Date: 7/09/2011 

Report Number: 3 

Title:  Characterization and Peridynamic Modeling of Shape Memory Alloy based Self‐Healing Composite Aerospace 

 

Keywords:    Peridynamic,  Horizon,  Local/Nonlocal model,  Length  scale,  Bonds,  Bond  Elongation, Pairwise Force 

Additional notes about Peridynamic equation of motion In  Peridynamic  theory,  the  forces  are  exactly  nonlocal  because material  inside  and  outside  of  a region exert force together, but in classical elasticity the force interactions are restricted only on the surface of a meshed material (Figure 1), in other words, when force occurs over a volume and not a surface, we say  the  force  is nonlocal  (Figure 2),  it  is known as difference of  local/nonlocal among Peridynamic and classical elasticity. [4] 

 

Figure 1. Local model 

 

Figure 2. Nonlocal model 

Peridynamic  from  orthographic  point  of  view  is  composed  of  two  parts  of  peri which means  all around,  near,  surrounding  and  dyna which means  force  or  power.  [1]  Peridynamic  is  a  nonlocal reformulation  of  classical  continuum mechanics  and  depends  on  the  length  scale  it  can  behave between MD1 and Classical Elasticity,  the benefit of  this method are  in decrease of computational costs of nonlocal model  and  increasing  the  accuracy of  classical methods which  is using mesh  to discrete the model,  in other words, MD  is hard to use  in practical applications and there  is  limited validity for classical elasticity. [3]In equations that have not length scales (eq.1), when we change the 

                                                            

1 . Molecular Dynamic 

scale  of  variable  the  dynamic  of  system will  remain  unchanged,  but  in  equations  like  (eq.2)  by changing scale of one parameter like x some terms in equation will be dominant, but in Peridynamic authors have added the ability of changing length scales in a wide range of scales in the formulation of materials behaviors,  in simple words,  it  is a single multiscale material model [4] and the scale of EOM2 will be changed by defining different horizons.  

                                                                          (1)

                                                              (2)

In a Peridynamic  integral equation which  is nonlocal  (eq.3)  if we extend  it by Taylor series we will have  (eq.4)  that  shows  the  effect  of  selection  of  horizon  by  vanishing HOT3  and  if we  tend  the horizon to zero, so the result will be a local scale invariant equation (eq.5). 

, | | , ,                                               (3)

,                                                    (4)

, lim                                 (5)

Classical elasticity have  implement stress‐strain relationship but  in Peridynamic  it  is replaced by an integral that shows the summation of  internal forces between particles  in a  limit distance and this integral is not a function of deformation gradient so it can be used in different types of deformations instead of classical elasticity that  is align with kinematic assumption of molecular dynamics, so we can say Peridynamic is a generalized continuum mechanics. [4] 

In the first report we discussed about benefits of using Peridynamic equation instead of implement of  PDE4  in  continuum  mechanics  for  dynamical  motions,  moreover  I  find  that  in  Peridynamic equation of motion for simulation of growth of crack, we don't need to use extra  laws and special techniques of fracture mechanic which is used in classical equations in continuum mechanics and it is based on laws stress intensity factor. [1] The Peridynamic model involves displacement field only instead of its gradient so it formally appears to be a continuum version of MD. [5] 

 

Figure  3. Pairwise force function 

                                                            

2 . Equation of Motion 3 . Higher Order Terms 4 . PDE 

The interaction between two point x and x' is called bond, and the vector valued function f (Figure 3) is the force density that its dimension is force per volume squared and Pairwise force is a function of current relative position of points and also  their relative displacement  (u)  in order  to deformation (eq.6)  and  contains  all  the  constitutive  (material  dependent)  properties  and  its  vector  is  in  the direction  of  connected  line  among  deformed  position  of  x  and  deformed  position  of  x' which  is coming from using equilibrium of angular momentum. (eq.7) 

  , , , ,                                           (6) 

, , 0                                           (7) 

A Pairwise force function can be specified by bond elongation (eq.8), and we can draw bond force based on bond elongation, as  it can be seen from (Figure 4), by  increasing relative distance among two  points  after  their  deformation  the  bond  force  will  rise,  but  when  this  distance  passes  the horizon limitation, bond breakage will be happen. 

| | | |                                                      (8) 

 

Figure 4. Bond force vs. Bond elongation and Bond breakage horizon 

Crack will be happened when the bonds break irreversibly, because of exceeding elongation to some prescribed value [2]. In PD5, cracks are part of solution not part of the problem. [6] 

 

 

 

 

 

   

                                                            

5 . Peri‐Dynamic 

Reference(s) [1]. "http://en.wikipedia.org/wiki/Peridynamics", 2011‐08‐24. 

[2]."Peridynamic Analysis of Damage and Failure in Composites", Ebrahim Askari, Jifeng Xu, Stewart Silling, 44th AIAA Aerospace Science Meeting and Exhibit, Jan 2006, Reno, Nevada 

[3]." http://www.math.cmu.edu/cna/macro2011/seleson.html", 2011‐08‐31 

[4]."Peridynamic for multiscale materials modeling", E Askari, F Babaru, R B Lehoucq, M L Parks, S A Silling, O Wekner, Journal of Physics, Conference series 125 012078, 2008 

[5]. "Poro‐mechanics I", Hoe I. Ling, Andrew Smyth and Raimondo Betti, Proceeding of fourth Biot conference on poromechanics, 2009, Google Books website. 

[6]."Computational Peridynamics", Michael Parks, Computational Research Center Sandia National Laboratories Albuquerque New Mexico, 16‐22 Jan 2011.