s. j. taylor-introduction to measure and integration-university press (1973)

7/23/2019 S. J. Taylor-Introduction to Measure and Integration-University Press (1973)

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I N T R O D U C T I O N T O

M E A S U R E

A N D I N T E G R A T I O N

B Y

S . J . T A Y L O R

P r o f e s s o r o f M a t h e m a t i c s a t W e s t f i e l d C o l l e g e ,

U n i v e r s i t y o f L o n d o n

C A M B R I D G E U N I V E R S I T Y P R E S S



C A M B R I D G E U N I V E R S I T Y P R E S S

C a m b r i d g e , N e w Y o r k , M e l b o u r n e , M a d r i d , C a p e T o w n , S i n g a p o r e , S a o P a u l o , D e l h i

C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s

T h e E d i n b u r g h B u i l d i n g , C a m b r i d g e C 1 3 2 8 R U , U K

P u b l i s h e d i n t h e U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a b y C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , N e w Y o r k

w w w . c a m b r i d g e . o r g

I n f o r m a t i o n o n t h i s t i t l e : w w w . c a m b r i d g e . o r g / 9 7 8 0 5 2 1 0 9 8 0 4 5

© C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 6 6 , 1 9 7 3

T h i s p u b l i c a t i o n i s i n c o p y r i g h t . S u b j e c t t o s t a t u t o r y e x c e p t i o n

a n d t o t h e p r o v i s i o n s o f r e l e v a n t c o l l e c t i v e l i c e n s i n g a g r e e m e n t s ,

n o r e p r o d u c t i o n o f a n y p a r t m a y t a k e p l a c e w i t h o u t t h e w r i t t e n

p e r m i s s i o n o f C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .

F i r s t p u b l i s h e d a s C h s . 1 - 9 o f K i n g m a n a n d T a y l o r

I n t r o d u c t i o n t o M e a s u r e a n d P r o b a b i l i t y 1 9 6 6

R e p r i n t e d a s I n t r o d u c t i o n t o M e a s u r e a n d I n t e g r a t i o n 1 9 7 3

R e - i s s u e d i n t h i s d i g i t a l l y p r i n t e d v e r s i o n 2 0 0 8

A c a t a l o g u e r e c o r d f o r t h i s p u b l i c a t i o n i s a v a i l a b l e f r o m t h e B r i t i s h L i b r a r y

L i b r a r y o f C o n g r e s s C a t a l o g u e C a r d N u m b e r : 7 3 - 8 4 3 2 5

I S B N 9 7 8 - 0 - 5 2 1 - 0 9 8 0 4 - 5 p a p e r b a c k



i i i

C O N T E N T S

P r e f a c e

p a g e v

1

T h e o r y o f s e t s

1 . 1

S e t s

1

1 . 2

M a p p i n g s

3

1 . 3

C a r d i n a l n u m b e r s

5

1 . 4

O p e r a t i o n s o n s u b s e t s

9

1 . 5

C l a s s e s o f s u b s e t s 1 4

1 . 6 A x i o m o f c h o i c e

1 9

2

P o i n t s e t t o p o l o g y

2 . 1

M e t r i c s p a c e

2 3

2 . 2

C o m p l e t e n e s s a n d c o m p a c t n e s s 2 9

2 . 3 F u n c t i o n s

3 5

2 . 4

C a r t e s i a n p r o d u c t s

3 8

2 . 5

F u r t h e r t y p e s o f s u b s e t

4 1

2 . 6

N o r m e d l i n e a r s p a c e

4 4

2 . 7

C a n t o r s e t

4 9

3

S e t f u n c t i o n s

3 . 1 T y p e s o f s e t f u n c t i o n 5 1

3 . 2

H a h n - J o r d a n d e c o m p o s i t i o n s 6 1

3 . 3

A d d i t i v e s e t f u n c t i o n s o n a r i n g

6 5

3 . 4

L e n g t h , a r e a a n d v o l u m e o f e l e m e n t a r y f i g u r e s 6 9

4

C o n s t r u c t i o n a n d p r o p e r t i e s o f m e a s u r e s

4 . 1

E x t e n s i o n t h e o r e m ; L e b e s g u e m e a s u r e

7 4

4 . 2

C o m p l e t e m e a s u r e s

8 1

4 . 3

A p p r o x i m a t i o n t h e o r e m s

8 4

4 . 4 * G e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f L e b e s g u e m e a s u r e 8 8

4 . 5

L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e

9 5

5

D e f i n i t i o n s a n d p r o p e r t i e s o f t h e i n t e g r a l

5 . 1

W h a t i s a n i n t e g r a l ?

1 0 0

5 . 2

S i m p l e f u n c t i o n s ; m e a s u r a b l e f u n c t i o n s

1 0 1

5 . 3 D e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l

1 1 0

5 . 4 P r o p e r t i e s o f t h e i n t e g r a l

1 1 5

5 . 5

L e b e s g u e i n t e g r a l ; L e b e s g u e - S t i e l t j e s i n t e g r a l

1 2 4

5 . 6 * C o n d i t i o n s f o r i n t e g r a b i l i t y

1 2 7



i v C O N T E N T S

6

R e l a t e d s p a c e s a n d m e a s u r e s

6 . 1

C l a s s e s o f s u b s e t s i n a p r o d u c t s p a c e

p a g e 1 3 4

6 . 2

P r o d u c t m e a s u r e s

1 . 3 8

6 . 3

F u b i n i ' s t h e o r e m 1 4 3

6 . 4 R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m

1 4 8

6 . 5

M a p p i n g s o f m e a s u r e s p a c e s

1 5 3

6 . 6 * M e a s u r e i n f u n c t i o n s p a c e 1 5 7

6 . 7 A p p l i c a t i o n s 1 6 2

7 T h e s p a c e o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s

7 . 1

P o i n t - w i s e c o n v e r g e n c e

1 6 6

7 . 2

C o n v e r g e n c e i n m e a s u r e

1 7 1

7 . 3 C o n v e r g e n c e i n p t h m e a n 1 7 4

7 . 4

I n e q u a l i t i e s

1 8 3

7 . 5 * M e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n s f r o m a 1 8 7

s p a c e t o i t s e l f

8 L i n e a r f u n c t i o n a l s

8 . 1

D e p e n d e n c e o f 2 2 o n t h e u n d e r l y i n g ( S ,

, , a ) 1 9 4

8 . 2

O r t h o g o n a l s y s t e m s o f f u n c t i o n s

1 9 9

8 . 3

R i e s z - F i s c h e r t h e o r e m

2 0 2

8 . 4 * S p a c e o f l i n e a r f u n c t i o n a l s 2 0 9

8 . 5 * T h e s p a c e c o n j u g a t e t o Y .

2 1 5

8 . 6 * M e a n e r g o d i c t h e o r e m

2 1 9

9 S t r u c t u r e o f m e a s u r e s i n s p e c i a l s p a c e s

9 . 1

D i f f e r e n t i a t i n g a m o n o t o n e f u n c t i o n

2 2 4

9 . 2

D i f f e r e n t i a t i n g t h e i n d e f i n i t e i n t e g r a l

2 3 0

9 . 3

P o i n t - w i s e d i f f e r e n t i a t i o n o f m e a s u r e s

2 3 6

9 . 4 * T h e D a n i e l l i n t e g r a l

2 4 1

9 . 5 * R e p r e s e n t a t i o n o f l i n e a r f u n c t i o n a l s

2 5 0

9 . 6 * H a a r m e a s u r e

2 5 4

I n d e x o f n o t a t i o n

2 6 1

G e n e r a l I n d e x

2 6 3



V

P R E F A C E

T h e r e a r e m a n y w a y s o f d e v e l o p i n g t h e t h e o r y o f m e a s u r e a n d i n t e -

g r a t i o n . I n t h e p r e s e n t b o o k m e a s u r e i s s t u d i e d f i r s t a s t h e p r i m a r y

c o n c e p t a n d t h e i n t e g r a l i s o b t a i n e d l a t e r b y e x t e n d i n g i t s d e f i n i t i o n

f r o m t h e s p e c i a l c a s e o f ` s i m p l e ' f u n c t i o n s u s i n g m o n o t o n e l i m i t s . T h e

t h e o r y i s p r e s e n t e d f o r g e n e r a l m e a s u r e s p a c e s t h o u g h a t e a c h s t a g e

L e b e s g u e m e a s u r e a n d t h e L e b e s g u e i n t e g r a l i n R n a r e c o n s i d e r e d a s

t h e m o s t i m p o r t a n t e x a m p l e , a n d t h e d e t a i l e d p r o p e r t i e s a r e e s t a b -

l i s h e d f o r t h e L e b e s g u e c a s e .

T h e b o o k i s d e s i g n e d f o r u s e e i t h e r i n t h e f i n a l u n d e r g r a d u a t e y e a r

a t B r i t i s h u n i v e r s i t i e s o r a s a b a s i c t e x t i n m e a s u r e t h e o r y a t t h e p o s t -

g r a d u a t e l e v e l . T h o u g h t h e s u b j e c t i s d e v e l o p e d a s a b r a n c h o f p u r e

m a t h e m a t i c s , i t i s p r e s e n t e d i n s u c h a w a y t h a t i t h a s i m m e d i a t e

a p p l i c a t i o n t o a n y b r a n c h o f a p p l i e d m a t h e m a t i c s w h i c h r e q u i r e s t h e

b a s i c t h e o r y o f m e a s u r e a n d i n t e g r a t i o n a s a f o u n d a t i o n f o r i t s

m a t h e m a t i c a l a p p a r a t u s . I n p a r t i c u l a r , o u r d e v e l o p m e n t o f t h e

s u b j e c t i s a s u i t a b l e b a s i s f o r m o d e r n p r o b a b i l i t y t h e o r y - i n f a c t t h i s

b o o k f i r s t a p p e a r e d a s t h e i n i t i a l s e c t i o n o f t h e b o o k I n t r o d u c t i o n t o

m e a s u r e a n d p r o b a b i l i t y ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 6 6 ) w r i t t e n

j o i n t l y w i t h J . F . C . K i n g m a n .

T h e b o o k i s l a r g e l y s e l f - c o n t a i n e d . T h e f i r s t t w o c h a p t e r s c o n t a i n

t h e e s s e n t i a l p a r t s o f s e t t h e o r y a n d p o i n t s e t t o p o l o g y ; t h e s e c o u l d

w e l l b e o m i t t e d b y a r e a d e r a l r e a d y f a m i l i a r w i t h t h e s e s u b j e c t s .

C h a p t e r s 3 a n d 4 d e v e l o p t h e t h e o r y o f m e a s u r e b y t h e u s u a l p r o c e s s

o f e x t e n s i o n f r o m ` s i m p l e s e t s ' t o t h o s e o f a l a r g e r c l a s s , a n d t h e

p r o p e r t i e s o f L e b e s g u e m e a s u r e a r e o b t a i n e d . T h e i n t e g r a l i s d e f i n e d

i n C h a p t e r 5 , a g a i n b y e x t e n d i n g i t s d e f i n i t i o n s t a g e b y s t a g e , u s i n g

m o n o t o n e s e q u e n c e s . C h a p t e r 6 i n c l u d e s a d i s c u s s i o n o f p r o d u c t

m e a s u r e s a n d a d e f i n i t i o n o f m e a s u r e i n f u n c t i o n s p a c e . C o n v e r g e n c e

i n f u n c t i o n s p a c e i s c o n s i d e r e d i n C h a p t e r 7 , a n d C h a p t e r 8 i n c l u d e s

a t r e a t m e n t o f c o m p l e t e o r t h o n o r m a l s e t s i n H i l b e r t s p a c e . C h a p t e r 9

d e a l s w i t h s p e c i a l s p a c e s ; d i f f e r e n t i a t i o n t h e o r y f o r r e a l f u n c t i o n s o f

a r e a l v a r i a b l e i s d e v e l o p e d a n d r e l a t e d t o L e b e s g u e m e a s u r e t h e o r y ,

a n d t h e H a a r m e a s u r e o n a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p i s d e f i n e d .

S t a r r e d s e c t i o n s c o n t a i n m o r e a d v a n c e d m a t e r i a l a n d c a n b e

o m i t t e d a t a f i r s t r e a d i n g .

I t w i l l b e c l e a r t o a n y r e a d e r f a m i l i a r w i t h t h e s t a n d a r d t r e a t i s e s

t h a t t h i s b o o k o w e s m u c h t o w h a t h a s g o n e b e f o r e . I d o n o t c l a i m a n y

p a r t i c u l a r o r i g i n a l i t y f o r t h e t r e a t m e n t , b u t t h e f o r m o f p r e s e n t a t i o n

o w e s m u c h t o m y e x p e r i e n c e o f t e a c h i n g t h i s s u b j e c t - a t B i r m i n g h a m



V i

P R E F A C E

U n i v e r s i t y , C o r n e l l U n i v e r s i t y a n d t h e U n i v e r s i t y o f L o n d o n - a n d I

r e a d i l y a c k n o w l e d g e t h e s t i m u l u s r e c e i v e d f r o m t h i s s o u r c e . I a m

g r a t e f u l t o D r B . F i s h e l a n d P r o f e s s o r G . E . H . R e u t e r w h o m a d e

h e l p f u l c r i t i c i s m s o f a n e a r l y d r a f t , a n d t o a g r e a t n u m b e r o f s t u d e n t s

a n d c o l l e a g u e s w h o p o i n t e d o u t m i s p r i n t s a n d e r r o r s i n t h e f i r s t

e d i t i o n . H o w e v e r m y m a i n d e b t o f g r a t i t u d e i s t o P r o f e s s o r J . F . C .

K i n g m a n w h o w a s c o - a u t h o r o f t h e f i r s t e d i t i o n o f t h i s b o o k , a n d w h o

w a s m u c h i n v o l v e d i n e v e r y d e t a i l o f i t .

S . J . T .

L o n d o n

D e c e m b e r 1 9 7 2



1

T H E O R Y O F S E T S

1 . 1

S e t s

W e d o n o t w a n t t o b e c o m e i n v o l v e d i n t h e l o g i c a l f o u n d a t i o n s o f

m a t h e m a t i c s . I n o r d e r t o a v o i d t h e s e w e w i l l a d o p t a r a t h e r n a i v e

a t t i t u d e t o s e t t h e o r y . T h i s w i l l n o t l e a d u s i n t o d i f f i c u l t i e s b e c a u s e i n

a n y g i v e n s i t u a t i o n w e w i l l b e c o n s i d e r i n g s e t s w h i c h a r e a l l c o n t a i n e d

i n ( a r e s u b s e t s o f ) a f i x e d s e t o r s p a c e o r s u i t a b l e c o l l e c t i o n s o f s u c h s e t s .

T h e l o g i c a l d i f f i c u l t i e s w h i c h c a n a r i s e i n s e t t h e o r y o n l y a p p e a r w h e n

o n e c o n s i d e r s s e t s w h i c h a r e ` t o o b i g ' - l i k e t h e s e t o f a l l s e t s , f o r

i n s t a n c e . W e a s s u m e t h e b a s i c a l g e b r a i c p r o p e r t i e s o f t h e p o s i t i v e

i n t e g e r s , t h e r e a l n u m b e r s , a n d E u c l i d e a n s p a c e s a n d m a k e n o a t t e m p t

t o o b t a i n t h e s e f r o m m o r e p r i m i t i v e s e t t h e o r e t i c n o t i o n s . H o w e v e r ,

w e w i l l g i v e a n o u t l i n e d e v e l o p m e n t ( i n C h a p t e r 2 ) o f t h e t o p o l o g i c a l

p r o p e r t i e s o f t h e s e s e t s .

I n a s p a c e X a s e t E i s w e l l d e f i n e d i f t h e r e i s a r u l e w h i c h d e t e r m i n e s ,

f o r e a c h e l e m e n t ( o r p o i n t ) x i n X , w h e t h e r o r n o t i t i s i n E . W e w r i t e

x r : E ( r e a d ` x b e l o n g s t o E ' ) w h e n e v e r x i s a n e l e m e n t o f E , a n d t h e

n e g a t i o n o f t h i s s t a t e m e n t i s w r i t t e n x 0 E . G i v e n t w o s e t s E , F w e

s a y t h a t E i s c o n t a i n e d i n F , o r E i s a s u b s e t o f F , o r F c o n t a i n s E

a n d w r i t e E c F i f e v e r y e l e m e n t x i n E a l s o b e l o n g s t o F . I f E C F

a n d t h e r e i s a t l e a s t o n e e l e m e n t i n F b u t n o t i n E , w e s a y t h a t E i s a

p r o p e r s u b s e t o f F .

T w o s e t s E , F a r e e q u a l i f a n d o n l y i f t h e y c o n t a i n t h e s a m e e l e -

m e n t s ; i . e . i f a n d o n l y i f E c F a n d F

E . I n t h i s c a s e w e w r i t e

E = F . T h i s m e a n s t h a t i f w e w a n t t o p r o v e t h a t E = F w e m u s t p r o v e

b o t h x E E x E F a n d x E F x r : E ( t h e s y m b o l

s h o u l d b e r e a d

` i m p l i e s ' ) .

S i n c e a s e t i s d e t e r m i n e d b y i t s e l e m e n t s , o n e o f t h e c o m m o n e s t

m e t h o d s o f d e s c r i b i n g a s e t i s b y m e a n s o f a d e f i n i n g s e n t e n c e : t h u s

E i s t h e s e t o f a l l e l e m e n t s ( o f X ) w h i c h h a v e t h e p r o p e r t y P ( u s u a l l y

d e l i n e a t e d ) . T h e n o t a t i o n o f ` b r a c e s ' i s o f t e n u s e d i n t h i s s i t u a t i o n

E = { x : x h a s p r o p e r t y P }

b u t w h e n w e u s e t h i s n o t a t i o n w e w i l l a l w a y s a s s u m e t h a t o n l y

e l e m e n t s x i n s o m e f i x e d s e t X a r e b e i n g c o n s i d e r e d - a s o t h e r w i s e

l o g i c a l p a r a d o x e s c a n a r i s e . W h e n a s e t h a s o n l y a f i n i t e n u m b e r o f



2


[ 1 . 1

e l e m e n t s w e c a n w r i t e t h e m d o w n b e t w e e n b r a c e s E = { x , y , z , a , b } .

I n p a r t i c u l a r { x } s t a n d s f o r t h e s e t c o n t a i n i n g t h e s i n g l e e l e m e n t x .

O n e m u s t a l w a y s d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e e l e m e n t x a n d t h e s e t { x } ,

f o r e x a m p l e , t h e e m p t y s e t 0 d e f i n e d b e l o w i s n o t t h e s a m e a s t h e c l a s s

{ 0 } c o n t a i n i n g t h e e m p t y s e t .

E m p t y s e t ( o r n u l l s e t )

T h e s e t w h i c h c o n t a i n s n o e l e m e n t s i s c a l l e d t h e e m p t y s e t a n d w i l l

b e d e n o t e d b y o . C l e a r l y

0 = { x : x + x } ,

a n d o c E f o r a l l s e t s E .

I n f a c t s i n c e Q J c o n t a i n s n o e l e m e n t , a n y s t a t e m e n t m a d e a b o u t t h e

e l e m e n t s o f 0 i s t r u e ( a s w e l l a s i t s n e g a t i v e ) .

T h e r e a r e s o m e s e t s w h i c h w i l l b e c o n s i d e r e d v e r y f r e q u e n t l y , a n d

w e c o n s i s t e n t l y u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n :

Z , f o r t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s ,

Q , f o r t h e s e t o f r a t i o n a l s ,

R = R 1 , f o r t h e s e t o f a l l r e a l n u m b e r s ,

C , f o r t h e s e t o f c o m p l e x n u m b e r s ,

R n , f o r E u c l i d e a n n - d i m e n s i o n a l s p a c e , i . e . t h e s e t o f o r d e r e d n -

t u p l e s ( x 1 , x 2 ,

. . . , x n )

w h e r e a l l t h e x i a r e i n R .

W e a s s u m e t h a t t h e r e a d e r i s f a m i l i a r w i t h t h e a l g e b r a i c a n d o r d e r

p r o p e r t i e s o f t h e s e s e t s . I n p a r t i c u l a r w e w i l l u s e t h e f a c t t h a t Z

i s w e l l o r d e r e d , t h a t i s , t h a t e v e r y n o n - e m p t y s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s

h a s a l e a s t m e m b e r : t h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e p r i n c i p l e o f m a t h e m a t i c a l

i n d u c t i o n .

W e f r e q u e n t l y h a v e t o c o n s i d e r s e t s o f s e t s , a n d o c c a s i o n a l l y s e t s

o f s e t s o f s e t s . I t i s c o n v e n i e n t t o t a l k o f c l a s s e s o f s e t s a n d c o l l e c t i o n s

o f c l a s s e s t o d i s t i n g u i s h t h e s e t y p e s o f s e t , a n d w e w i l l u s e i t a l i c

c a p i t a l s A , B ,

. . .

f o r s e t s , s c r i p t c a p i t a l s . 2 f , a , W , . . . f o r c l a s s e s a n d

G r e e k c a p i t a l s A , P , . . . f o r c o l l e c t i o n s . T h u s C E W i s r e a d ` t h e s e t C

b e l o n g s t o t h e c l a s s ' ; a n d . W c a m e a n s t h a t e v e r y s e t i n t h e c l a s s . 2 f

i s a l s o i n t h e c l a s s M .

C a r t e s i a n p r o d u c t

G i v e n t w o s e t s E , F w e d e f i n e t h e C a r t e s i a n ( o r d i r e c t ) p r o d u c t E x F

t o b e t h e s e t o f a l l o r d e r e d p a i r s ( x ; y ) w h o s e f i r s t e l e m e n t x E E a n d

w h o s e s e c o n d e l e m e n t y e F . T h i s c l e a r l y e x t e n d s i m m e d i a t e l y t o t h e

p r o d u c t E l x E 2 x

. . . x

E . o f a n y f i n i t e n u m b e r o f s e t s . I n p a r t i c u l a r

i t i s i m m e d i a t e t h a t R n , E u c l i d e a n n - s p a c e , i s t h e C a r t e s i a n p r o d u c t



1 . 1 1

S E T S

3

o f n c o p i e s o f R . F o r a n i n f i n i t e i n d e x e d c l a s s { E j , i E I } o f s e t s , t h e

p r o d u c t I I E l i s t h e s e t o f e l e m e n t s o f t h e f o r m { a s , i E I } w i t h a j E E s

i E I

f o r e a c h i E I .

E x e r c i s e s 1 . 1

1 . D e s c r i b e i n w o r d s t h e f o l l o w i n g s e t s :

( i )

{ t a R : 0 5 t S 1 } ;

( u ) { ( x , y ) E R 2 : x 2 + y 2 S 1 } ;

( i i i ) { k E Z : k = n 2 f o r s o m e n r : Z } ;

( i v ) { k e Z : n j k = > n = 1 o r k } ;

( v )

( v i ) { B : B c E } .

2 . S h o w t h a t t h e r e l a t i o n c i s r e f l e x i v e a n d t r a n s i t i v e , b u t n o t i n g e n -

e r a l s y m m e t r i c .

3 . T h e s e t s X x ( Y x Z ) a n d ( X x Y ) x Z a r e d i f f e r e n t b u t t h e r e i s a

n a t u r a l c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e m .

4 . S u p p o s e x i s a n e l e m e n t o f X a n d A = { x } . W h i c h o f t h e f o l l o w i n g

s t a t e m e n t s a r e c o r r e c t : x e A , x e % , x e A , x c I , A E % , A c % , A e x ?

5 . S u p p o s e P ( a ) a n d Q ( a ) a r e t w o p r o p o s i t i o n s a b o u t t h e e l e m e n t s u c h

t h a t P ( a )

. Q ( a ) . S h o w t h a t { a : P ( a ) } c { a : Q ( a ) } .

1 . 2

M a p p i n g s

S u p p o s e A a n d B a r e a n y t w o s e t s : a f u n c t i o n f r o m A t o B i s a

r u l e w h i c h , f o r e a c h e l e m e n t i n A , d e t e r m i n e s a u n i q u e e l e m e n t i n B .

W e t a l k o f t h e f u n c t i o n f a n d u s e t h e n o t a t i o n f : A - + B t o d e n o t e a

f u n c t i o n f d e f i n e d o n A a n d t a k i n g v a l u e s i n B . F o r a n y x E A , f ( x )

m e a n s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n f a t t h e p o i n t x a n d i s t h e r e f o r e a n

e l e m e n t o f t h e s e t B : w e t h e r e f o r e a v o i d t h e t e r m i n o l o g y ( c o m m o n

i n o l d e r t e x t b o o k s ) ` t h e f u n c t i o n f ( x ) ' . T h e w o r d s m a p p i n g a n d

t r a n s f o r m a t i o n a r e o f t e n u s e d a s a s y n o n y m f o r f u n c t i o n .

F o r a g i v e n f u n c t i o n f : A B , w e c a l l A t h e d o m a i n o f f a n d t h e

s u b s e t o f B c o n s i s t i n g o f t h e s e t o f v a l u e s f ( x ) f o r x i n A i s c a l l e d t h e

r a n g e o f f a n d m a y b e d e n o t e d f ( A ) . W h e n f ( A ) = B w e s a y t h a t f

i s a f u n c t i o n f r o m A o n t o B . G i v e n a f u n c t i o n f : A - > B , b y d e f i n i t i o n

f ( x ) i s a u n i q u e l y d e t e r m i n e d e l e m e n t o f B f o r e a c h x e A ; i f i n a d d i t i o n

f o r e a c h y i n f ( A ) t h e r e i s a u n i q u e x e A ( w e k n o w t h e r e i s a t l e a s t

o n e ) w i t h y = f ( x ) w e s a y t h a t t h e f u n c t i o n f i s ( 1 , 1 ) . A n o t h e r s h o r t e r

w a y o f s a y i n g t h i s i s t h a t f : A - > B i s ( 1 , 1 ) i f a n d o n l y i f f o r x 1 , x 2 E A ,

x 1 4 x 2 = f ( x 1 ) 4 f ( x 2 )



4

T H E O R Y O F S E T S 1 1 . 2

G i v e n f : A - > B t h e r e i s a n a s s o c i a t e d f : s a d - * - 4 , w h e r e . s a d i s t h e c l a s s

o f a l l s u b s e t s o f A a n d . 4 i s t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f B , d e f i n e d b y

f ( E ) = w i t h y = f ( x ) }

f o r e a c h E c A . ( t h e s y m b o l 3 s h o u l d b e r e a d , ` t h e r e e x i s t s ' : i . e . t h e

s e t d e s c r i b e d b y { x E E : y = f ( x ) ) i s n o t e m p t y ) . T h e r e i s a l s o a f u n c t i o n

f - 1 : - 4 - > & I d e f i n e d b y

f - 1 ( F ) = { x E A : f ( x ) E F } ,

f o r e a c h F - B . T h e s e t f - 1 ( F ) i s c a l l e d t h e i n v e r s e i m a g e o f F u n d e r f .

N o t e t h a t i f y E B - f ( A ) , t h e n t h e i n v e r s e i m a g e f - 1 ( { y } ) o f t h e o n e

p o i n t s e t { y } i s t h e e m p t y s e t . I f f : A - > B i s ( 1 , 1 ) a n d Y E f ( A ) , t h e n

i t i s c l e a r t h a t f - 1 ( { y } ) i s a o n e p o i n t s u b s e t o f A , s o t h a t i n t h i s c a s e

( o n l y ) w e c a n t h i n k o f f - ' a s a f u n c t i o n f r o m f ( A ) t o A . I n p a r t i c u l a r ,

i f f : A - * B i s ( 1 , 1 ) a n d o n t o t h e r e i s a f u n c t i o n f - 1 : B - - A c a l l e d t h e

i n v e r s e f u n c t i o n o f f s u c h t h a t f - 1 ( y ) = x i f a n d o n l y i f y = f ( x ) .

N o w s u p p o s e f : A l

B , g : A 2 - - B a r e f u n c t i o n s s u c h t h a t A , ' A 2

a n d f ( x ) = g ( x ) f o r a l l x i n A 2 : u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s w e s a y t h a t f

i s a n e x t e n s i o n o f g ( f r o m A 2 t o A 1 ) a n d g i s t h e r e s t r i c t i o n o f f ( t o A 2 ) .

F o r e x a m p l e , i f

g ( x ) = c o s x

( x E R ) ;

f ( x + i y ) = c o s x c o s h y + i s i n x s i n h y

( x + i y E C ) ;

t h e n f : C - - > C i s a n e x t e n s i o n o f g : R - - > C f r o m R t o C , a n d t h e u s u a l

c o n v e n t i o n o f d e s i g n a t i n g b o t h f a n d g b y ' c o s ' o b s c u r e s t h e d i f f e r e n c e s

i n t h e i r d o m a i n s .

I f w e h a v e t w o f u n c t i o n s f : A - * B , g : B - a C t h e r e s u l t o f a p p l y i n g

t h e r u l e f o r g t o t h e e l e m e n t f ( x ) d e f i n e s a n e l e m e n t i n C f o r a l l x E A .

T h u s w e h a v e d e f i n e d a f u n c t i o n h : A - + C w h i c h i s c a l l e d t h e c o m p o s i -

t i o n o f f a n d g a n d d e n o t e d g o f o r g ( f ) . T h u s , f o r x E A

h ( x ) = ( g o f ) x = g ( f ( x ) ) E C .

N o t e t h a t , i f f : A - > B i s ( 1 , 1 ) a n d o n t o w e c o u l d d e f i n e t h e i n v e r s e

f u n c t i o n p l : B - - > A a s t h e u n i q u e f u n c t i o n f r o m B t o A s u c h t h a t

( f o f - ' ) ( y ) = y

f o r a l l

y E B ,

( f - 1 o f ) ( x ) = x f o r a l l

x E A .

S e q u e n c e

G i v e n a n y s e t X a f i n i t e s e q u e n c e o f n p o i n t s o f X i s a f u n c t i o n f r o m

{ 1 , 2 , . . . , n } t o X . T h i s i s u s u a l l y d e n o t e d b y x l , x 2 ,

. . . , x n

w h e r e

x i c X i s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n a t t h e i n t e g e r i . S i m i l a r l y , a n i n f i n i t e

1 . 2 1 M A P P I N G S

5

s e q u e n c e i n X i s a f u n c t i o n f r o m Z t o X ( w h e r e Z i s t h e s e t o f p o s i t i v e

i n t e g e r s ) . T h i s i s d e n o t e d x 1 , x 2 , . . . , o r { x i } ( i = 1 , 2 , . . . ) , o r j u s t { x i }

w h e r e x i i s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n a t i , a n d i s c a l l e d t h e i t h e l e m e n t

o f t h e s e q u e n c e . G i v e n a s e q u e n c e { n i } o f p o s i t i v e i n t e g e r s ( t h a t i s , a

f u n c t i o n f : Z - + Z w h e r e f ( i ) = n i ) s u c h t h a t n i > n n f o r i > j , a n d a

s e q u e n c e { x i } o f e l e m e n t s o f X ( a f u n c t i o n g : Z - - * X ) i t i s c l e a r t h a t t h e

c o m p o s i t e f u n c t i o n g o f : Z X i s a g a i n a s e q u e n c e . S u c h a s e q u e n c e

i s c a l l e d a s u b s e q u e n c e o f { x i } a n d i s d e n o t e d { x n , } ( i = 1 , 2 , . . . ) . T h u s

{ x . , } i s a s u b s e q u e n c e o f { x i } i f n i E Z f o r a l l i E Z , a n d i > j = n i > n p

W e c a n t h i n k o f a s e q u e n c e a s a p o i n t i n t h e p r o d u c t s p a c e I j X i

i = i

w h e r e X i = X f o r a l l i . M o r e g e n e r a l l y a p o i n t i n t h e p r o d u c t s p a c e

1 1 X i w i t h X i = X f o r i E I c a n b e i d e n t i f i e d a s a f u n c t i o n f : I - + X .

i e l

E x e r c i s e s 1 . 2

1 . S u p p o s e f : R R i s d e f i n e d b y f ( x ) = s i n x . D e s c r i b e e a c h o f t h e

f o l l o w i n g s e t s :

f - 1 { 0 } , f l { 1 } ,

f - 1 { 2 } , f - 1 { y : 0 < , y <

2 . S u p p o s e f : A - . B i s a n y f u n c t i o n . P r o v e

( i ) E c f - 1 ( f ( E ) ) , f o r e a c h E c A ;

( i i ) F

f ( f - 1 ( F ) ) , f o r e a c h F e B ;

a n d g i v e e x a m p l e s i n w h i c h t h e r e i s n o t e q u a l i t y i n ( i ) , ( i i ) .

3 . S u p p o s e f : A - * B , g : B - + C a r e f u n c t i o n s a n d h = g o f : s h o w t h a t

h - 1 ( E ) = f - 1 [ g - 1 ( E ) ] f o r e a c h E e C .

4 . I f A c B C C , f : A - * X , g : B - + X , h : C - + X a r e s u c h t h a t h i s a n

e x t e n s i o n o f g a n d g i s a n e x t e n s i o n o f f , p r o v e t h a t f i s t h e r e s t r i c t i o n o f h

t o A .

5 . S h o w t h a t t h e r e s t r i c t i o n o f a ( 1 , 1 ) m a p p i n g i s ( 1 , 1 ) .

6 . S u p p o s e m , n E Z , A i s a s e t w i t h m d i s t i n c t e l e m e n t s a n d B i s a s e t

w i t h n d i s t i n c t e l e m e n t s . H o w m a n y d i s t i n c t f u n c t i o n s a r e t h e r e f r o m A

t o B ?

1 . 3

C a r d i n a l n u m b e r s

I f t h e r e i s a m a p p i n g f : A - + B w h i c h i s ( 1 , 1 ) a n d o n t o , t h e n i t i s

r e a s o n a b l e t o s a y t h a t t h e r e a r e t h e s a m e n u m b e r o f e l e m e n t s i n A

a s t h e r e a r e i n B . I n f a c t , f o r f i n i t e s e t s , t h e e l e m e n t a r y p r o c e s s o f

c o u n t i n g s e t s u p s u c h a m a p p i n g f r o m t h e s e t b e i n g c o u n t e d t o t h e

i n t e g e r s { 1 , 2 , . . . , n } , a n d f r o m e x p e r i e n c e w e k n o w t h a t i f t h e s a m e

f i n i t e s e t o f o b j e c t s i s c o u n t e d i n d i f f e r e n t w a y s w e a l w a y s e n d u p w i t h

6 T H E O R Y O F S E T S 1 1 . 3

t h e s a m e i n t e g e r n . ( T h i s f a c t c a n a l s o b e d e d u c e d f r o m p r i m i t i v e

a x i o m s a b o u t t h e i n t e g e r s . ) W e s a y t h a t t h e s e t A i s e q u i v a l e n t t o t h e

s e t B , a n d w r i t e A - B i f t h e r e i s a m a p p i n g f : A - > B w h i c h i s ( 1 , 1 )

a n d o n t o . I t i s c l e a r t h a t - i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n b e t w e e n s e t s

i n t h e s e n s e t h a t i t i s r e f l e x i v e , s y m m e t r i c a n d t r a n s i t i v e , a n d w e c a n

t h e r e f o r e f o r m e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f s e t s w i t h r e s p e c t t o t h i s r e l a t i o n .

S u c h a n e q u i v a l e n c e c l a s s o f s e t s i s c a l l e d a c a r d i r ' l n u m b e r , b u t b y

n o t i n g t h a t t h e e q u i v a l e n c e c l a s s i s d e t e r m i n e d b y a n y o n e o f i t s m e m -

b e r s , w e s e e t h a t t h e e a s i e s t w a y t o s p e c i f y a c a r d i n a l n u m b e r i s t o

s p e c i f y a r e p r e s e n t a t i v e s e t . T h u s a n y s e t w h i c h c a n b e m a p p e d ( 1 , 1 )

o n t o t h e r e p r e s e n t a t i v e s e t w i l l h a v e t h e s a m e c a r d i n a l . A s i s u s u a l

w e s h a l l u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n :

t h e c a r d i n a l o f t h e e m p t y s e t 0 i s 0 ;

t h e c a r d i n a l o f t h e s e t o f i n t e g e r s { 1 , 2 , . . . n } i s n ;

t h e c a r d i n a l o f t h e s e t Z o f p o s i t i v e i n t e g e r s i s N o ;

t h e c a r d i n a l o f t h e s e t R o f r e a l n u m b e r s i s c .

S i n c e Z i s o r d e r e d w e c a n c l e a r l y o r d e r t h e c a r d i n a l s o f f i n i t e s e t s

b y s a y i n g t h a t A h a s a s m a l l e r c a r d i n a l t h a n B i f A i s e q u i v a l e n t t o a

p r o p e r s u b s e t o f B . T h i s d e f i n i t i o n d o e s n o t w o r k f o r i n f i n i t e s e t s a s

t h e m a p p i n g s

2

n - + 2 n o r

n - n

m a p Z o n t o a p r o p e r s u b s e t o f Z a n d a r e ( 1 , 1 ) . I n s t e a d w e s a y t h a t t h e

c a r d i n a l o f a s e t A i s l e s s t h a n t h e c a r d i n a l o f t h e s e t B i f t h e r e i s a

s u b s e t B 1 c z B s u c h t h a t A - B 1 b u t n o s u b s e t A l c A s u c h t h a t

A l - B .

F r o m t h i s d e f i n i t i o n o f o r d e r i n g w e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s t a t e -

m e n t s , w h e r e m , n , p d e n o t e c a r d i n a l s

( i ) m < n , n . m m = n .

( i i i ) a t l e a s t o n e o f t h e r e l a t i o n s m < n , m = n , n < m h o l d s .

N o w ( i ) f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e d e f i n i t i o n , f o r l e t M , N , P b e s e t s w i t h

c a r d i n a l s m , n , p a n d s u p p o s e N 1 c N , P 1 c P w i t h M - N 1 , N - P 1 .

T h e m a p p i n g f : N - . P 1 w h e n r e s t r i c t e d t o N l g i v e s a n e q u i v a l e n c e

N 1 - P 2 c P 1 s o t h a t M , P 2 c P . F u r t h e r i f P - 1 1 1 1 c M t h e m a p -

p i n g g : M - > N l w h e n r e s t r i c t e d t o M 1 s h o w s P - M 1 - N 2 c N w h i c h

c o n t r a d i c t s n < p . ( i i ) c a n a l s o b e d e d u c e d f r o m t h e d e f i n i t i o n ( s e e

e x e r c i s e 1 . 3 ( 5 ) ) , t h o u g h t h i s r e q u i r e s q u i t e a c o m p l i c a t e d a r g u m e n t :

( i i ) i s k n o w n a s t h e S c h r o d e r - B e r n s t e i n t h e o r e m . H o w e v e r , t h e t r u t h

o f ( i i i ) - t h a t a l l c a r d i n a l s a r e c o m p a r a b l e - c a n n o t b e p r o v e d . w i t h o u t

1 . 3 1 C A R D I N A L N U M B E R S

7

t h e u s e o f a n a d d i t i o n a l a x i o m ( k n o w n a s t h e a x i o m o f c h o i c e ) w h i c h

w e w i l l d i s c u s s b r i e f l y i n § 1 . 6 . I f w e a s s u m e t h e a x i o m o f c h o i c e o r

s o m e t h i n g e q u i v a l e n t , t h e n ( i i i ) i s a l s o t r u e .

A s e t o f c a r d i n a l X . i s s a i d t o b e e n u m e r a b l e . T h u s s u c h a s e t

A - Z s o t h a t t h e e l e m e n t s o f A c a n b e ` e n u m e r a t e d ' a s a s e q u e n c e

a 1 , a 2 , . . . i n w h i c h e a c h e l e m e n t o f A o c c u r s o n c e a n d o n l y o n c e . A s e t

w h i c h h a s a c a r d i n a l m 5 N o i s s a i d t o b e c o u n t a b l e . T h u s E i s c o u n t a b l e

i f t h e r e i s a s u b s e t A c Z s u c h t h a t E - A , a n d a s e t i s c o u n t a b l e i f i t

i s e i t h e r f i n i t e o r e n u m e r a b l e .

G i v e n a n y i n f i n i t e s e t B w e c a n c h o o s e , b y i n d u c t i o n , a s e q u e n c e

{ b i } o f d i s t i n c t e l e m e n t s i n B a n d i f B 1 i s t h e s e t o f e l e m e n t s i n { b i }

t h e c a r d i n a l o f B 1 i s N o . H e n c e i f m i s a n i n f i n i t e c a r d i n a l w e a l w a y s

h a v e m > N o . B y u s i n g t h e e q u i v a l e n c e

b i + - + b 2 i

b e t w e e n B 1 a n d t h e p r o p e r s u b s e t B 2 B 1 w h e r e B 2 c o n t a i n s t h e e v e n

e l e m e n t s o f { b i } a n d t h e i d e n t i t y m a p p i n g

b < - + b f o r

w e h a v e a n e q u i v a l e n c e b e t w e e n B = B 1 v ( B - B 1 ) a n d B 2 V ( B - B 1 ) ,

a p r o p e r s u b s e t o f B . T h i s s h o w s t h a t a n y i n f i n i t e s e t B c o n t a i n s a

p r o p e r s u b s e t o f t h e s a m e c a r d i n a l .

I n o r d e r t o s e e t h a t s o m e i n f i n i t e s e t s h a v e c a r d i n a l > N o i t i s

s u f f i c i e n t t o r e c a l l t h a t t h e s e t { x E R : 0 < x < 1 } c a n n o t b e a r r a n g e d

a s a s e q u e n c e . 4 N o w i t t a n - 1 x + I = f ( X ) , x E R d e f i n e s a m a p p i n g f :

R - a ( 0 , 1 ) w h i c h i s ( 1 , 1 ) a n d o n t o s o t h a t R h a s t h e s a m e c a r d i n a l a s

t h e i n t e r v a l ( 0 , 1 ) a n d w e h a v e c > N o . I t i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t a

f a m o u s u n s o l v e d p r o b l e m o f m a t h e m a t i c s c o n c e r n s t h e e x i s t e n c e o r

o t h e r w i s e o f c a r d i n a l s m s u c h t h a t c > m > N o . T h e a x i o m t h a t n o

s u c h e x i s t , t h a t i s t h a t m > N o = m > , c i s k n o w n a s t h e c o n t i n u u m

h y p o t h e s i s .

T h e f a c t t h a t t h e r e a r e i n f i n i t e l y m a n y d i f f e r e n t i n f i n i t e c a r d i n a l s

f o l l o w s f r o m t h e n e x t t h e o r e m , w h i c h c c m p a r e s t h e c a r d i n a l o f a s e t

E w i t h t h e c a r d i n a l o f t h e c l a s s o f s u b s e t s o f E .

T h e o r e m 1 . 1 . F o r a n y s e t E , t h e c l a s s ( f = ( E ) o f a l l s u b s e t s o f E

h a s a c a r d i n a l g r e a t e r t h a n t h a t o f E .

P r o o f . F o r s e t s E o f f i n i t e c a r d i n a l n , o n e c a n p r o v e d i r e c t l y t h a t

t h e c a r d i n a l o f ' ( E ) i s 2 n , a n d a n i n d u c t i o n a r g u m e n t e a s i l y y i e l d s

n < 2 n f o r n E Z . H o w e v e r , t h e c a s e o f f i n i t e s e t s E i s i n c l u d e d i n t h e

g e n e r a l p r o o f , s o t h e r e i s n o t h i n g g a i n e d b y t h i s s p e c i a l a r g u m e n t .

t S e e , f o r e x a m p l e , J . C . B u r k i l l , A F i r s t C o u r s e i n M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s ( C a m -

b r i d g e , 1 9 6 2 ) .

8

T H E O R Y O F S E T S 1 . 3

S u p p o s e 2 i s t h e c l a s s o f o n e p o i n t s s e t s { x } w i t h x e E . T h e n

2 c ' a n d E - 2 b e c a u s e o f t h e m a p p i n g x H { x } . T h e r e f o r e i t i s

s u f f i c i e n t t o p r o v e b y ( i i ) a b o v e , t h a t ' i s e q u i v a l e n t t o n o s u b s e t

E l c E . S u p p o s e t h e n t h a t g ' - * E l i s ( 1 , 1 ) a n d o n t o a n d l e t

x : E l - > W d e n o t e t h e i n v e r s e f u n c t i o n . L e t A b e t h e s u b s e t o f E l

d e f i n e d b y

A = { x e E l ,

x x ( x ) } .

T h e n A E 6 s o t h a t c ( A ) = x c E E l . N o w i f x 0 a A , x ( x c ) = A d o e s n o t

c o n t a i n x 0 w h i c h i s i m p o s s i b l e , w h i l e i f x 0 0 A , t h e n x 0 i s n o t i n x ( x o )

s o t h a t x 0 E A . I n e i t h e r c a s e w e h a v e a c o n t r a d i c t i o n .

I t i s p o s s i b l e t o b u i l d u p s y s t e m a t i c a l l y a n a r i t h m e t i c o f c a r d i n a l s .

T h i s w i l l o n l y b e n e e d e d f o r f i n i t e c a r d i n a l s a n d N o i n t h i s b o o k , s o

w e r e s t r i c t t h e r e s u l t s t o t h e s e c a s e s a n d d i s c u s s t h e m i n t h e n e x t

s e c t i o n .

E x e r c i s e s 1 . 3

1 . S h o w t h a t ( 0 , 1 ] . . ( 0 , 1 ) b y c o n s i d e r i n g , d e f i n e d b y

f ( x ) = I - x ,

f o r l j < x . 1 ;

= I - x , f o r

J < x < , J ;

= I - x , f o r } < x < , j ;

2 - x ,

f o r 2 n < x . r i

D e d u c e t h a t a l l i n t e r v a l s ( a , b ) , ( a , b ] , [ a , b ] o r [ a , b ) w i t h a R w h i c h i s m o n o t o n i c , i . e .

a < x l < x 2 < b = t - f ( x i ) 4 f ( x 2 ) ,

i s d i s c o n t i n u o u s a t t h e p o i n t s o f a c o u n t a b l e s u b s e t o f [ a , b ] .

H i n t . C o n s i d e r t h e s e t s o f p o i n t s x w h e r e t h e s i z e o f t h e d i s c o n t i n u i t y

d ( x ) = f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) s a t i s f i e s 1 / ( n + l ) < d ( x ) < 1 / n a n d p r o v e t h i s i s

f i n i t e f o r a l l n i n Z .

3 . S h o w t h a t R 2 - R .

H i n t .

d e f i n e s a ( 1 , 1 ) m a p p i n g b e t w e e n p a i r s o f d e c i m a l e x p a n s i o n s a n d s i n g l e

e x p a n s i o n s o f n u m b e r s i n ( 0 , 1 ) . M o d i f y t h i s m a p p i n g t o e l i m i n a t e t h e

d i f f i c u l t y c a u s e d b y t h e f a c t t h a t d e c i m a l e x p a n s i o n s a r e n o t q u i t e u n i q u e .

4 . P r o v e t h a t a f i n i t e s e t E o f c a r d i n a l m h a s 2 m d i s t i n c t s u b s e t s .

5 . S u p p o s e A l c A , B l c B , A l . . . B a n d A - B 1 . C o n s t r u c t a m a p p i n g

t o s h o w t h a t A - B .



1 . 3 1

C A R D I N A L N U M B E R S

9

H i n t . S u p p o s e f : A - ) . B 1 , g : B - - > A l a r e ( 1 , 1 ) a n d o n t o . S a y x ( i n e i t h e r

A o r B ) i s a n a n c e s t o r o f y i f a n d o n l y i f y c a n b e o b t a i n e d f r o m x b y s u c c e s -

s i v e a p p l i c a t i o n s o f f a n d g . D e c o m p o s e A i n t o 3 s e t s A 0 , A 6 , A ; a c c o r d i n g

a s t o w h e t h e r t h e e l e m e n t x h a s a n o d d , e v e n o r i n f i n i t e n u m b e r o f a n c e s t o r s

a n d d e c o m p o s e B s i m i l a r l y . C o n s i d e r t h e m a p p i n g w h i c h a g r e e s w i t h f

o n A . a n d A , , a n d w i t h g - 1 o n A 0 .

1 . 4

O p e r a t i o n s o n s u b s e t s

F o r t w o s e t s A , B w e d e f i n e t h e u n i o n o f A a n d B ( d e n o t e d A v B )

t o b e t h e s e t o f e l e m e n t s i n e i t h e r A o r B o r b o t h . T h e i n t e r s e c t i o n

o f A a n d B ( d e n o t e d A n B ) i s t h e s e t o f e l e m e n t s i n b o t h A a n d B .

F i g . 1

I f A c X , t h e c o m p l e m e n t o f A w i t h r e s p e c t t o X ( d e n o t e d X - A )

i s t h e s e t o f t h o s e e l e m e n t s i n X w h i c h a r e n o t i n A . W e a l s o u s e

( A - B ) t o d e n o t e t h e s e t o f e l e m e n t s i n A w h i c h a r e n o t i n B f o r

a r b i t r a r y s e t s A , B . F o r a n y t w o s e t s A , B t h e s y m m e t r i c d i f f e r e n c e

( d e n o t e d A L B ) i s ( A - B ) v ( B - A ) , t h a t i s t h e s e t o f e l e m e n t s w h i c h

a r e i n o n e o f A , B b u t n o t i n b o t h . N o t e t h a t A L B = B L A .

T h e s e f i n i t e o p e r a t i o n s o n s e t s a r e b e s t i l l u s t r a t e d b y m e a n s o f a

V e n n d i a g r a m . I n t h i s s o m e f i g u r e ( l i k e a r e c t a n g l e ) d e n o t e s t h e w h o l e

s p a c e X a n d s u i t a b l e g e o m e t r i c a l f i g u r e s i n s i d e d e n o t e t h e s u b s e t s

A , B , e t c . I t i s w e l l k n o w n t h a t d r a w i n g d o e s n o t p r o v e a t h e o r e m , b u t

t h e r e a d e r i s a d v i s e d t o i l l u s t r a t e t h e r e s u l t s o f t h e n e x t p a r a g r a p h

b y m e a n s o f s u i t a b l e V e n n d i a g r a m s ( s e e F i g u r e 1 ) .

T h e o p e r a t i o n s v , n , , L s a t i s f y a l g e b r a i c l a w s , s o m e o f w h i c h a r e



1 0

T H E O R Y O F S E T S 1 1 . 4

l i s t e d b e l o w . W e a s s u m e t h e r e a d e r i s f a m i l i a r w i t h t h e s e , s o p r o o f s

a r e o m i t t e d .

( i ) A u B = B u A , A n B = B n A ;

( i i ) ( A v B ) v C = A v ( B v C ) , ( A n B ) n C = A n ( B n C ) ;

( i i i ) A n ( B v C ) = ( A n B ) v ( A n C ) ,

A v ( B n C ) = ( A v B ) n ( A u C ) ;

( i v ) A v o = A , A n N = O ;

( v ) i f A c X , t h e n A v X = X , A n X = A . ;

( v i ) i f A c X , B c X , t h e n X - ( A v B ) = ( X - A ) n ( X - B ) ,

X - ( A n B ) = ( X - A ) v ( X - B ) ;

( v i i ) A v B = ( A A B ) A ( A n B ) , A - B = A A ( A n B ) .

A s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e l a w s s a t i s f i e d b y n , v a n d t h e u s u a l a l g e b r a i c

l a w s f o r m u l t i p l i c a t i o n a n d a d d i t i o n c a n b e o b s e r v e d ( i n f a c t t h e o l d e r

n o t a t i o n f o r t h e s e o p e r a t i o n s i s p r o d u c t a n d s u m ) b u t t h e d i f f e r e n c e s

s h o u l d a l s o b e n o t e d : i n p a r t i c u l a r t h e d i s t r i b u t i v e l a w s , ( i i i ) a b o v e ,

a r e d i f f e r e n t i n t h e a l g e b r a o f s e t s . ( v i ) a b o v e w i l l b e g e n e r a l i z e d a n d

p r o v e d a s a l e m m a - i t i s k n o w n a s d e M o r g a n ' s l a w .

G i v e n a c l a s s f o f s u b s e t s A , t h e u n i o n U { A ; A E ' ' } i s t h e s e t o f

e l e m e n t s w h i c h a r e i n a t l e a s t o n e s e t A b e l o n g i n g t o ' a n d t h e i n t e r -

s e c t i o n n { A ; A E ' } i s t h e s e t o f e l e m e n t s w h i c h a r e i n e v e r y s e t A

o f W . I f t h e c l a s s ' i s i n d e x e d s o t h a t

' c o n s i s t s p r e c i s e l y o f t h e s e t s

A a , ( a E 1 ) , t h e n w e u s e t h e n o t a t i o n s U , , , , ,

I A a , f 1 a E I

A . f o r t h e u n i o n

a n d i n t e r s e c t i o n o f t h e c l a s s . I n p a r t i c u l a r w h e n ' i s f i n i t e o r e n u m e r -

a b l e i t i s u s u a l t o a s s u m e t h a t i t i s i n d e x e d b y { 1 , 2 ,

. . . ,

n } o r Z r e s p e c -

t i v e l y a n d t h e n o t a t i o n i s

n n

o o

c o

U A i ,

f l A i ,

U A i ,

f l A i

i = 1

i = 1

i = 1

i = 1

W h e n t h e c l a s s ' i s e m p t y , t h a t i s I = 0 , w e a d o p t t h e c o n v e n t i o n s

U E a = o ,

f l E a = X , t h e w h o l e s p a c e .

a E I

a E I

T h i s e n s u r e s t h a t c e r t a i n i d e n t i t i e s a r e v a l i d w i t h o u t r e s t r i c t i o n o n I .

L e m m a . S u p p o s e E , a E I i s a c l a s s o f s u b s e t s o f X , a n d E 1 i s o n e s e t

o f t h e c l a s s , t h e n

( i ) f l E a c E 1 c U E a ;

a E I

a E I

( i i ) x - U E . = f l ( X - E a ) ;

a E I a E I

( i i i ) X - n E a = U ( X - E a ) .

a E 1

a E 1

1 . 4 1 O P E R A T I O N S O N S U B S E T S

1 1

P r o o f . ( i ) T h i s i s i m m e d i a t e f r o m t h e d e f i n i t i o n .

( i i ) S u p p o s e x c X - U E a , t h e n x c X a n d x i s n o t i n U E a , t h a t

a E I a E I

i s x i s n o t i n a n y E a , a E I s o t h a t x E X - E a f o r e v e r y a i n I , a n d

X E n ( X - E a ) . C o n v e r s e l y i f x E n ( X - E a ) , t h e n f o r e v e r y a E I ,

a E I a E I

x i s i n X b u t n o t i n E a , s o x E X b u t x i s n o t i n U E a ; t h a t i s , x E X -

U E .

a E I a E I

( i i i ) S i m i l a r t o ( i i ) .

T w o s e t s A , B a r e s a i d t o b e d i s j o i n t i f t h e y h a v e n o e l e m e n t s i n

c o m m o n ; t h a t i s , i f A n B = o . A d i s j o i n t c l a s s i s a c l a s s ' o f s e t s s u c h

t h a t a n y t w o d i s t i n c t s e t s o f ' a r e d i s j o i n t . T h e u n i o n o f a d i s j o i n t

c l a s s i s s o m e t i m e s c a l l e d a d i s j o i n t u n i o n .

p

L e m m a . G i v e n a f i n i t e o r e n u m e r a b l e u n i o n o f s e t s U E i ( w h e r e p

i = 1

c a n b e + o o ) , t h e r e a r e s u b s e t s F i e E i s u c h t h a t t h e s e t s F i a r e d i s j o i n t

p p

a n d U E i

= U F i .

i = 1

i = 1

P r o o f . W e w r i t e o u t t h e d e t a i l s f o r p = o o . O n l y o b v i o u s c h a n g e s

p

a r e n e e d e d f o r p E Z . P u t C = U E i a n d d e f i n e F 1 = E l ,

i = 1

n - 1

n = E n _

U E i ( n = 2 , 3 , . . . ) .

i = 1

T h e n F . C E n f o r a l l n , a n d i f i > j , F i a n d E ) a r e d i s j o i n t , s o t h a t

F , , F m u s t b e d i s j o i n t . F u r t h e r i f x E C , a n d n i s t h e s m a l l e s t i n t e g e r

( w h i c h e x i s t s b e c a u s e Z i s w e l l o r d e r e d ) s u c h t h a t x E E n ; t h e n x E E .

0 0

b u t n o t t o E i f o r i < n . T h u s X E F . a n d s o x E U F . T h u s

i = 1

c o

C c U F i , a n d t h e r e v e r s e i n c l u s i o n i s i m m e d i a t e .

i = 1

T h e o r e m 1 . 2 . T h e u n i o n o f a c o u n t a b l e c l a s s o f c o u n t a b l e s e t s i s a c o u n t -

a b l e s e t .

P r o o f . B y t h e p r o c e s s o f t h e a b o v e l e m m a w e c a n r e p l a c e t h e c o u n t -

a b l e u n i o n b y a c o u n t a b l e d i s j o i n t u n i o n o f s e t s w h i c h a r e s u b s e t s o f

t h o s e i n t h e o r i g i n a l c l a s s - e a c h o f w h i c h i s t h e r e f o r e c o u n t a b l e .

E a c h c o u n t a b l e s e t c a n b e e n u m e r a t e d a s a f i n i t e o r i n f i n i t e s e q u e n c e .

S o w e h a v e

0 0

C = U E i

a d i s j o i n t u n i o n ,

i = 1

E i = { x i ; }

( j = 1 , 2 , . . . ) ,

w h e r e t h e i n f i n i t e u n i o n m a y b e a f i n i t e o n e a n d s o m e ( o r a l l ) o f t h e

s e q u e n c e s { x i ; } m a y b e f i n i t e . P u t F . = { x 1 1 : i + j = n } , t h e n F . i s a

1 . 5 ]

C L A S S E S O F S U B S E T S

1 5

p o s e s a n d i t i s u s u a l t o r e s t r i c t a t t e n t i o n t o s u b c l a s s e s o f W . H o w e v e r

i t i s i m p o r t a n t t h a t t h e s u b c l a s s e s c o n s i d e r e d h a v e s u f f i c i e n t s t r u c t u r e ,

a n d w e n o w d e f i n e v a r i o u s t y p e s o f c l a s s s t a r t i n g w i t h t h e s i m p l e s t .

1 . S e m i - r i n g

A c l a s s .

o f s u b s e t s s u c h t h a t

( i )

o E Y ;

( i i ) A , B E . ' z A n B E . S o ;

( i i i ) A , B E . 5

A - B = U E i , w h e r e t h e E i a r e d i s j o i n t s e t s i n 9 , i s

i = 1

c a l l e d a s e m i - r i n g . ( N o t e t h a t m a n y a u t h o r s , f o l l o w i n g V o n N e u m a n n ,

w h o f i r s t d e f i n e d t h e c o n c e p t , h a v e a n a d d i t i o n a l c o n d i t i o n i n t h e d e -

f i n i t i o n o f a s e m i - r i n g - i n s t e a d o f ( i i i ) t h e y a s s u m e t h a t i f A , B E Y

a n d B a A t h e r e i s a f i n i t e c l a s s C o , C 1 , . . . , C . o f s e t s o f . 5 1 s u c h t h a t

B = C o c C 1 c . . . c C n = A a n d D i = C 1 - C 1 _ 1 E . S o f o r i = 1 , 2 , . . . , n .

T h i s s t r o n g e r c o n d i t i o n c a u s e s c o m p l i c a t i o n s a n d w e w e a k e n i t s i n c e

i t i s u n n e c e s s a r y . ) A n i m p o r t a n t e x a m p l e o f a s e m i - r i n g o f s u b s e t s o f

R i s t h e c l a s s ' = 9 1 o f f i n i t e i n t e r v a l s ( a , b ] w h i c h a r e o p e n o n t h e l e f t

a n d c l o s e d o n t h e r i g h t . S i m i l a r l y , - 9 n c o n s i s t i n g o f t h e r e c t a n g l e s

i n R n o f t h e f o r m { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) : a i < x i S b i } i s a s e m i - r i n g i n R n .

2 . R i n g

T h i s i s a n y n o n - e m p t y c l a s s .

o f s u b s e t s s u c h t h a t

A , B E R = > A n B E P a n d A L B E P P .

S i n c e 0 = A A A , A v B = ( A A B ) A ( A n B ) , a n d A - B = A A ( A n B )

w e s e e t h a t a r i n g i s a c l a s s o f s e t s c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n s o f u n i o n ,

i n t e r s e c t i o n , a n d d i f f e r e n c e a n d Q S E R . T h u s a r i n g i s c e r t a i n l y a l s o a

s e m i - r i n g . A s e x a m p l e s t h e s y s t e m { o , X } i s a r i n g a s i s t h e c l a s s o f a l l

s u b s e t s o f X . H o w e v e r , t h e c l a s s 9 o f h a l f - o p e n i n t e r v a l s i n R i s n o t

a r i n g , f o r i t i s n o t c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n o f d i f f e r e n c e .

3 . F i e l d ( o r a l g e b r a )

A n y c l a s s s a d o f s u b s e t s o f X w h i c h i s a r i n g a n d c o n t a i n s X i s c a l l e d

a f i e l d . T h u s a r i n g i s a f i e l d i f a n d o n l y i f i t i s c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n

o f t a k i n g t h e c o m p l e m e n t . T h e c l a s s o f a l l f i n i t e s u b s e t s o f a s p a c e X

i s a r i n g , b u t i s n o t a f i e l d u n l e s s X i s f i n i t e . I n R t h e c l a s s o f a l l b o u n d e d

s u b s e t s i s a r i n g b u t n o t a f i e l d .



1 6 T H E O R Y O F S E T S

[ 1 . 5

4 . S i g m a r i n g

A r i n g . i s c a l l e d a

i f i t i s c l o s e d u n d e r c o u n t a b l e u n i o n s , i . e .

i f

0 0

A i E A ( i = 1 , 2 , . . . ) = > U A i E 9 .

i - 1

0 0

0 0

a o

N o w p u t A = U A i a n d u s e t h e i d e n t i t y f l A i = A - U ( A - A i ) t o

i = 1

i = 1

i = 1

s e e t h a t a i s a l s o c l o s e d u n d e r c o u n t a b l e i n t e r s e c t i o n s . H e n c e

i f R i s a o - - r i n g a n d { A n } i s a s e q u e n c e o f s e t s f r o m P A P t h e n l i m s u p A .

a n d l i m i n f A . b o t h b e l o n g t o R .

5 . S i g m a f i e l d ( o f i e l d , B o r e l f i e l d , a - a l g e b r a )

A n y c l a s s . F o f s e t s w h i c h c o n t a i n s t h e w h o l e s p a c e X a n d i s a o ' - r i n g

i s c a l l e d a a - f i e l d . A l t e r n a t i v e l y , a

a f i e l d

w h i c h i s c l o s e d u n d e r c o u n t a b l e u n i o n s . F o r a n y s p a c e X , t h e c l a s s o f

a l l c o u n t a b l e s u b s e t s w i l l b e a v - r i n g , b u t w i l l o n l y b e a v - f i e l d i f X

i s c o u n t a b l e .

6 . M o n o t o n e c l a s s

A n y c l a s s 4 f o f s u b s e t s s u c h t h a t , f o r a n y m o n o t o n e s e q u e n c e { E n }

o f s e t s i n . 4 ' w e h a v e l i m E n E . 4 ' i s c a l l e d a m o n o t o n e c l a s s . I t i s c l e a r

t h a t a

i s a m o n o t o n e c l a s s , a n d a n y m o n o t o n e c l a s s w h i c h i s a

r i n g i s a l s o a v - r i n g s i n c e

n

E i E . 4 '

U E I E J ,

i = 1

O D n

a n d U E i i s m o n o t o n e s o t h a t U E i = l i m U E i i s i n . f 1 .

i = 1 i = 1

i = 1

W e n o w u s e t h e t e r m z - c l a s s t o d e n o t e a n y o n e o f t h e t y p e s 2 , 3 , 4 ,

5 , 6 a b o v e ( b u t n o t a s e m i - r i n g ) , a n d w e c o n s i d e r a c o l l e c t i o n o f

z - c l a s s e s .

L e m m a . I f W . , f o r a E I i s a z - c l a s s , t h e n ' ' = n w a i s a z - c l a s s .

a E I

P r o o f . E a c h o f t h e s e z - c l a s s e s i s d e f i n e d i n t e r m s o f c l o s u r e w i t h

r e s p e c t t o s p e c i f i e d o p e r a t i o n s . S i n c e e a c h % , i s c l o s e d w i t h r e s p e c t t o

o p e r a t i o n s , t h e r e s u l t i n g s u b s e t w i l l b e i n W a f o r a l l a E I a n d t h e r e f o r e

i n ' f , s o t h a t ' ' i s a l s o a z - c l a s s . '

N o t e . T h e i n t e r s e c t i o n o f a c o l l e c t i o n o f s e m i - r i n g s n e e d n o t b e a

s e m i - r i n g .

T h e o r e m 1 . 3 . G i v e n a n y c l a s s ' o f s u b s e t s o f X t h e r e i s a u n i q u e z - c l a s s

. 9 c o n t a i n i n g ( f s u c h t h a t , i f . l i s a n y o t h e r z - c l a s s c o n t a i n i n g ' w e m u s t

h a v e . 2

Y .



1 . 5 1 C L A S S E S O F S U B S E T S

1 7

R e m a r k . T h e z - c l a s s . 5 o o b t a i n e d i n t h i s t h e o r e m i s c a l l e d t h e z - c l a s s

g e n e r a t e d b y W . I t i s c l e a r l y t h e s m a l l e s t z - c l a s s o f s u b s e t s w h i c h c o n -

t a i n s 6 .

P r o o f . T h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f X i s a z - c l a s s c o n t a i n i n g W . P u t

Y = ( 1 { 2 : 2 f a n d 2 i s a z - c l a s s ) . T h e m i s a z - c l a s s b y t h e l e m m a

a n d i t c l e a r l y s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n s o f t h e t h e o r e m .

I n c e r t a i n s p e c i a l c a s e s o n e c a n s p e c i f y t h e n a t u r e o f t h e z - c l a s s

g e n e r a t e d b y a g i v e n c l a s s .

T h e o r e m 1 . 4 . T h e r i n g M ( Y ) g e n e r a t e d b y a s e m i - r i n g . 5 o c o n s i s t s p r e -

c i s e l y o f t h e s e t s w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m

n

E = U A k

k = 1

o f a f i n i t e d i s j o i n t u n i o n o f s e t s o f Y .

P r o o f . ( i ) T h e r i n g . ( b ° ) c e r t a i n l y m u s t c o n t a i n a l l s e t s o f t h i s f o r m ,

s i n c e i t h a s t o b e c l o s e d u n d e r f i n i t e u n i o n s .

( i i ) T o s e e t h a t t h e s y s t e m . 2 o f s e t s o f t h i s t y p e f o r m a r i n g s u p p o s e

n

m

A = U A k , B = U B k

k = 1 k = 1

a n d p u t C i , = A i n B f E . 9 ' . T h e n s i n c e t h e s e t s C , , a r e d i s j o i n t a n d

n m

A r B = U U C i ,

i = 1 3 = 1

t h e s y s t e m 2 i s c l o s e d u n d e r i n t e r s e c t i o n s . N o w f r o m t h e d e f i n i t i o n

o f a s e m i - r i n g , a n i n d u c t i o n a r g u m e n t s h o w s t h a t

m

r ;

A i = U C i 1 v U D i k ,

( i = 1 , . . . , n )

a = 1

k = 1

n

s 1

B , = U C i , U U E k f ,

( j = 1 , 2 , . . . , m ) ;

i = 1

k = 1

w h e r e t h e f i n i t e s e q u e n c e s { D i k } ( k = 1 ,

. . . , r i )

a n d { E k , } ( k = 1 , . . . ,

s , )

c o n s i s t o f d i s j o i n t s e t s i n Y . I t f o l l o w s n o w t h a t

A L B = U U D i k

U m ( U E k ; )

i = 1 k = 1

j = 1 k = 1

s o t h a t t h e s y s t e m 2 i s a l s o c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n o f t a k i n g t h e

s y m m e t r i c d i f f e r e n c e .

E x a m p l e . W e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t J ' , t h e c l a s s o f i n t e r v a l s

( a , b ] i n R , i s a s e m i - r i n g . T h e g e n e r a t e d r i n g i s t h e c l a s s o f f o f f i n i t e

u n i o n s o f d i s j o i n t h a l f - o p e n i n t e r v a l s . o f f i s c a l l e d t h e c l a s s o f e l e m e n -

1 . 5 1

C L A S S E S O F S U B S E T S

1 9

4 . I f . G P i s a r i n g a n d ' i s t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s E o f X s u c h t h a t e i t h e r

E o r ( X - E ) i s i n G e , s h o w t h a t ' i s a f i e l d .

5 . W h a t i s t h e r i n g . g ( ' ) g e n e r a t e d b y e a c h o f t h e f o l l o w i n g c l a s s e s :

( i )

f o r a s i n g l e f i x e d E , l e = { E } ;

( i i )

f o r a s i n g l e E , ' i s c l a s s o f a l l s u b s e t s o f E ;

( i i i ) ' i s c l a s s o f a l l s e t s w i t h p r e c i s e l y 2 p o i n t s ?

6 . P r o v e t h a t i f A i s a n y s u b s e t o f a s p a c e X , A + o o r X , t h e n t h e

v - f i e l d J F ( A ) g e n e r a t e d b y t h e s e t A i s t h e c l a s s { 0 , A , X - A , X } .

7 . I f l e i s a n o n - e m p t y c l a s s o f s e t s s h o w t h a t e v e r y s e t i n t h e v - r i n g

g e n e r a t e d b y ' f i s a s u b s e t o f a c o u n t a b l e u n i o n o f s e t s o f .

8 . F o r e a c h o f t h e f o l l o w i n g c l a s s e s ' d e s c r i b e t h e v - f i e l d , u - r i n g a n d

m o n o t o n e g l a s s g e n e r a t e d b y W .

( i ) P i s a n y p e r m u t a t i o n o f t h e p o i n t s o f X , i . e . a n y t r a n s f o r m a t i o n f r o m

X t o i t s e l f w h i c h i s ( 1 , 1 ) a n d o n t o , a n d ' i s t h e c l a s s o f s u b s e t s o f X l e f t

i n v a r i a n t b y P .

( i i ) X i s R 3 , E u c l i d e a n 3 - s p a c e , ' i s t h e c l a s s o f a l l c y l i n d e r s i n X , i . e .

s e t s E s u c h t h a t ( x , y , z 1 ) E E . ( x , y , z 2 ) e E f o r a l l z 2 E R .

( i i i ) X = R 2 , t h e p l a n e , ' i s c l a s s o f a l l s e t s w h i c h a r e s u b s e t s o f a c o u n t -

a b l e u n i o n o f h o r i z o n t a l l i n e s .

9 . S u p p o s e X i s t h e s e t o f r a t i o n a l n u m b e r s i n 0 < x < 1 , a n d l e t 2 b e

t h e s e t o f i n t e r v a l s o f t h e f o r m { x c X ; a < x 5 b } w h e r e 0 < , a s b < 1 ;

a , b E X . S h o w t h a t 2 i s a s e m i - r i n g a n d e v e r y s e t i n 2 i s e i t h e r e m p t y o r

i n f i n i t e .

S h o w t h a t t h e u - r i n g g e n e r a t e d b y 2 c o n t a i n s a l l s u b s e t s o f X .

1 0 . G i v e n a f u n c t i o n f : X

Y , a n d a c l a s s o f s u b s e t s . o f X , f ( . V )

w i l l d e n o t e t h e c l a s s o f s u b s e t s o f Y o f t h e f o r m f ( A ) , A e d

W h a t i s t h e r e l a t i o n b e t w e e n f ( A - B ) a n d f ( A ) - f ( B ) ? G i v e a n e x a m p l e

i n w h i c h f ( A n B ) $ f ( A ) n f ( B ) . S h o w t h a t i t i s p o s s i b l e t o h a v e a r i n g s a d

s u c h t h a t f ( . V ) i s n o t a r i n g .

G i v e a n e x a m p l e o f a m a p p i n g : X Y a n d a s e m i - r i n g Y i n Y s u c h t h a t

f - 1 ( . 9 ) i s n o t a s e m i - r i n g . F o r a n y c l a s s V ' o f s e t s i n Y s h o w t h a t

g ( f - 1 ( . / V ' ) ) = f - 1 ( . g

( . f 1 ( ` A ) ) = f f 1 ( .

w h e r e R ( ' ) i s t h e r i n g g e n e r a t e d b y l e , a n d . F ( ' ) i s t h e v - f i e l d g e n e r a t e d

b y W .

1 . 6

A x i o m o f c h o i c e

A n y n o n - e m p t y s e t A c o n t a i n s a t l e a s t o n e e l e m e n t x , a n d i n t h e

o r d i n a r y p r o c e s s o f l o g i c o n e c a n c h o o s e a p a r t i c u l a r e l e m e n t f r o m a

n o n - e m p t y s e t . B y u s i n g t h e p r i n c i p l e o f i n d u c t i o n i t f o l l o w s t h a t o n e

c a n c h o o s e a n e l e m e n t f r o m e a c h o f a s e q u e n c e o f n o n - e m p t y s e t s ,

b u t d i f f i c u l t y a r i s e s i f o n e h a s t o m a k e t h e s i m u l t a n e o u s c h o i c e o f a n

2 0


[ 1 . 6

e l e m e n t f r o m e a c h s e t o f a n o n - c o u n t a b l e c l a s s W . T h e a s s u m p t i o n

t h a t s u c h a c h o i c e i s p o s s i b l e c a n b e f o r m u l a t e d i n t h e f o l l o w i n g e q u i v a -

l e n t f o r m s , k n o w n a s t h e a x i o m o f c h o i c e :

( 1 ) G i v e n a n o n - e m p t y c l a s s ' o f d i s j o i n t n o n - e m p t y s e t s E a , t h e r e

i s a s e t G c U { E . : E . E f } s u c h t h a t G n E . i s a s i n g l e p o i n t s e t f o r

e a c h E a E W .

( 2 ) F o r a n o n - e m p t y c l a s s ' o f n o n - e m p t y s e t s E a , t h e r e i s a f u n c t i o n

( c a l l e d a c h o i c e f u n c t i o n ) f : ' - + U { E a : E a E ' } s u c h t h a t , f o r e a c h E .

i n ' , f ( E a ) E E a .

T h e d i f f i c u l t y i n p r o o f s u s i n g t h e a x i o m o f c h o i c e i s t h a t o n l y t h e

e x i s t e n c e o f a c h o i c e f u n c t i o n i s p o s t u l a t e d , a n d i f ' ' i s u n c o u n t a b l e ,

o n e h a s n o i n f o r m a t i o n a b o u t i t s n a t u r e . H o w e v e r , w e w i l l f i n d i t

c o n v e n i e n t a t t i m e s t o u s e t h i s a x i o m ( o r s o m e t h i n g e q u i v a l e n t ) .

I t h a s r e c e n t l y b e e n s h o w n t h a t b o t h t h e a x i o m o f c h o i c e , a n d i t s

n e g a t i v e , a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e o t h e r a x i o m s o f s e t t h e o r y , s o t h a t

o n e h a s t o p o s t u l a t e t h i s a s a n a x i o m . A l t h o u g h p a r t o f o u r t h e o r y w i l l

b e v a l i d w i t h o u t t h i s a x i o m w e w i l l n o t t r o u b l e t o d i s c o v e r h o w m u c h

a n d w e w i l l u s e t h e a x i o m o f c h o i c e t h r o u g h o u t w h e n i t i s c o n v e n i e n t .

T h e r e a r e a l a r g e n u m b e r o f o t h e r a p p a r e n t l y d i f f e r e n t a x i o m s

w h i c h t u r n o u t t o b e l o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o t h e a x i o m o f c h o i c e . W e

w i l l f o r m u l a t e j u s t t w o o f t h e s e , a s t h e y w i l l b e c o n v e n i e n t l a t e r .

V a r i o u s n e w c o n c e p t s w i l l b e n e e d e d b e f o r e w e c a n s t a t e t h e m p r e -

c i s e l y .

P a r t i a l o r d e r i n g

S u p p o s e V i s a s e t w i t h e l e m e n t s a , b , . . .

a n d - < i s a r e l a t i o n d e f i n e d

b e t w e e n s o m e b u t n o t n e c e s s a r i l y a l l p a i r s a , b E V s u c h t h a t

( i )

- a = b ;

t h e n V i s s a i d t o b e p a r t i a l l y o r d e r e d b y t h e r e l a t i o n - < . V i s s a i d t o b e

s i m p l y ( o r t o t a l l y ) o r d e r e d i f ,

( i v ) f o r e a c h p a i r a , b E V a t l e a s t o n e o f a - < b , b - < a i s v a l i d .

A n y p a r t i a l o r d e r i n g i n a s e t V i n d u c e s a u t o m a t i c a l l y a p a r t i a l

o r d e r i n g i n e v e r y s u b s e t o f V . I f W V a n d t h e i n d u c e d o r d e r i n g i n

W i s a s i m p l e o r d e r i n g , t h e n W i s s a i d t o b e a c h a i n i n V .

F o r e x a m p l e , i n R t h e u s u a l S r e l a t i o n d e f i n e s a t o t a l o r d e r i n g o f

R . H o w e v e r , i n R 2 , i f w e s a y ( x i , Y i ) - < ( x 2 , Y 2 ) i f a n d o n l y i f y i < y 2

a n d x i 5 x 2 w e h a v e a n e x a m p l e o f a p a r t i a l o r d e r i n g w h i c h i s n o t

s i m p l e . A m o r e u s e f u l e x a m p l e i s t h e c l a s s ' o f a l l s u b s e t s o f a f i x e d

s e t X w i t h A - < B m e a n i n g A c B .

2 2 T H E O R Y O F S E T S

[ 1 . 6

a n d b = m . H e n c e w e m a y a d d b t o t h e c h a i n W a n d t h e n e w s e t o b -

t a i n e d i s s t i l l a c h a i n . T h i s w o u l d c o n t r a d i c t t h e f a c t t h a t W i s a

m a x i m a l c h a i n .

( B )

. ( A ) . T h e c h a i n s i n V f o r m a c l a s s f w h i c h i s p a r t i a l l y o r d e r e d

b y i n c l u s i o n . I f n o w V Y i s a c h a i n i n

' w i t h e l e m e n t s W ( e a c h o f w h i c h

i s a c h a i n i n V ) , t h e n t h e u n i o n U { W : W E * Y } i s a c h a i n i n V s o t h a t

i t i s a n e l e m e n t o f

' w h i c h c a n o n l y b e t h e s u p r e m u m o f 0 . H e n c e

b y h y p o t h e s i s

' c o n t a i n s a m a x i m a l e l e m e n t , i . e . V c o n t a i n s a m a x i -

m a l c h a i n .

( B )

( C ) . W e n o w s u p p o s e g i v e n a c l a s s . N V o f s e t s E . T h e r e a r e

c l e a r l y s o m e s u b s e t s ( i n f a c t a n y f i n i t e s u b s e t ) . c . ' V o n w h i c h

i t i s p o s s i b l e t o d e f i n e a c h o i c e f u n c t i o n g : . - - > U { E , : E a E . } s u c h

t h a t g ( E a ) E E . T h e s e t V o f a l l s u c h f u n c t i o n s g i s t h e r e f o r e n o n -

e m p t y a n d i t i s p a r t i a l l y o r d e r e d i f w e s a y g 1 - < g 2 i f g l i s d e f i n e d o n

. , 9 2 i s d e f i n e d o n X . , . c X . a n d g 1 ( E a ) = g 2 ( E a ) f o r E a E

( i . e . g 2 i s a n e x t e n s i o n o f g 1 ) . I f n o w W i s a c h a i n i n V c o n t a i n i n g f u n c -

t i o n s g i d e f i n e d o n M , t h e s u p r e m u m o f W i s t h e f u n c t i o n d e f i n e d

o n U

w h i c h h a s t h e v a l u e g i ( E a ) o n a n y s e t E . E . . I f w e n o w

a s s u m e ( B ) i t f o l l o w s t h a t t h e s e t V h a s a m a x i m a l e l e m e n t f . T h e n t h i s

f u n c t i o n f m u s t b e d e f i n e d o n a l l t h e s e t s E a , f o r o t h e r w i s e i f f i s n o t

d e f i n e d o n E 1 w e c o u l d c h o o s e a n e l e m e n t x 1 E E 1 , p u t f ( E l ) = x 1 a n d

t h i s w o u l d b e a p r o p e r e x t e n s i o n o f f a n d t h e r e f o r e c o n t r a d i c t t h e f a c t

t h a t f i s m a x i m a l . '

E x e r c i s e s 1 . 6

1 . S h o w t h a t Z i s p a r t i a l l y o r d e r e d i f a < b m e a n s t h a t a i s a d i v i s o r

o f b .

2 . S u p p o s e a i s a d e c o m p o s i t i o n o f t h e n o n - e m p t y s e t X i n t o d i s j o i n t

s u b s e t s ; X = U A i a l l t h e A i d i s j o i n t . S h o w t h a t t h e c o l l e c t i o n o f s u c h

d e c o m p o s i t i o n s i s p a r t i a l l y o r d e r e d i f a - < f m e a n s t h a t f t i s a r e f i n e m e n t

o f a , i . e . i f f t i s t h e d e c o m p o s i t i o n X = U B ; t h e n e a c h B 3 i s a s u b s e t o f

s o m e A ,

3 . A p a r t i a l l y o r d e r e d s e t V i s s a i d t o b e w e l l o r d e r e d i f e a c h n o n - e m p t y

s u b s e t W - - V h a s a l e a s t e l e m e n t , i . e . t h e r e i s a w o E W s u c h t h a t w o - < w

f o r a l l w e W . S h o w t h a t , i f V i s w e l l o r d e r e d , t h e n i t i s s i m p l y o r d e r e d , a n d

b y c o n s i d e r i n g t h e n a t u r a l o r d e r i n g o f R s h o w t h a t t h e r e e x i s t s i m p l y

o r d e r e d s e t s w h i c h a r e n o t w e l l o r d e r e d .

4 . A s s u m i n g Z o r n ' s l e m m a , s h o w t h a t a n y s e t X c a n b e w e l l o r d e r e d .

H i n t . C o n s i d e r t h e c l a s s l e o f w e l l o r d e r e d s u b s e t s V X w i t h t h e p a r t i a l

o r d e r i n g V 1 - < V 2 i f : ( i ) V 1 c V 2 , ( i i ) t h e o r d e r i n g i n V i i s t h e s a m e a s t h a t i n -

d u c e d b y t h e o r d e r i n g i n V 2 , ( i i i ) V 1 i s a n i n i t i a l s e g m e n t o f V 2 i n t h e s e n s e

t h a t a e V 1 , b E V 2 , b - < a

b E V 1 . S h o w t h a t e a c h c h a i n i n ' h a s a s u p r e m u m

a n d s h o w t h a t t h e m a x i m a l e l e m e n t V o i n ' m u s t b e X .

2 3

2

P O I N T S E T T O P O L O G Y

2 . 1

M e t r i c s p a c e

I n t h e f i r s t c h a p t e r w e w e r e c o n c e r n e d w i t h a b s t r a c t s e t s w h e r e n o

s t r u c t u r e i n t h e s e t w a s a s s u m e d o r u s e d . I n p r a c t i c e , m o s t u s e f u l

s p a c e s d o h a v e a s t r u c t u r e w h i c h c a n b e d e s c r i b e d i n t e r m s o f a c l a s s

o f s u b s e t s c a l l e d ` o p e n ' . B y f a r t h e m o s t c o n v e n i e n t m e t h o d o f

o b t a i n i n g t h i s c l a s s o f o p e n s e t s i s t o q u a n t i f y t h e n o t i o n o f n e a r n e s s

f o r e a c h p a i r o f p o i n t s i n t h e s p a c e . A n o n - e m p t y s e t X t o g e t h e r w i t h

a ` d i s t a n c e ' f u n c t i o n p : X x X - > . R i s s a i d t o f o r m a m e t r i c s p a c e

p r o v i d e d t h a t

( i ) p ( y , x ) = p ( x , y ) , > 0 f o r a l l x , y e X ;

( i i ) p ( x , y ) = 0 i f a n d o n l y i f x = y ;

( i i i ) p ( x , y ) < p ( x , z ) + p ( y , z ) f o r a l l x , y , z e X .

T h e r e a l n u m b e r p ( x , y ) s h o u l d b e t h o u g h t o f a s t h e d i s t a n c e f r o m

x t o y . N o t e t h a t i t i s p o s s i b l e t o d e d u c e c o n d i t i o n s ( i ) , ( i i ) a n d ( i i i )

f r o m a s m a l l e r s e t o f a x i o m s : t h i s h a s l i t t l e p o i n t a s a l l t h e c o n d i t i o n s

a g r e e w i t h t h e i n t u i t i v e n o t i o n o f d i s t a n c e . C o n d i t i o n ( i i i ) f o r p i s

o f t e n c a l l e d t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y b e c a u s e i t s a y s t h a t t h e l e n g t h s o f

t w o s i d e s o f a t r i a n g l e s u m t o a t l e a s t t h a t o f t h e t h i r d . C o n d i t i o n ( i i )

e n s u r e s t h a t p d i s t i n g u i s h e s d i s t i n c t p o i n t s o f X , a n d ( i ) s a y s t h a t t h e

d i s t a n c e f r o m y t o x i s t h e s a m e a s t h e d i s t a n c e f r o m x t o y . W h e n

w e s p e a k o f a m e t r i c s p a c e X w e m e a n t h e s e t X t o g e t h e r w i t h a

p a r t i c u l a r p s a t i s f y i n g c o n d i t i o n s ( i ) , ( i i ) a n d ( i i i ) a b o v e . I f t h e r e i s

a n y d a n g e r o f a m b i g u i t y w e w i l l s p e a k o f t h e m e t r i c s p a c e ( X , p ) .

I n t h e s e t R o f r e a l n u m b e r s , i t i s n o t d i f f i c u l t t o c h e c k ( i ) , ( i i ) a n d

( i i i ) f o r t h e u s u a l d i s t a n c e f u n c t i o n

P ( x , y ) = I x - y I ,

a n d s i m i l a r l y i n R R , x = ( x 1 ,

. . . ,

x n ) , y = ( y i , . . . , y n )

l l }

P ( x , y ) =

( x s - y z )

Z J

D Z i

J

( o n e a l w a y s a s s u m e s t h e p o s i t i v e s q u a r e r o o t ) t h e c o n d i t i o n s f o r a

m e t r i c a r e s a t i s f i e d . T h u s R a n d R n a r e m e t r i c s p a c e s w i t h t h e u s u a l

E u c l i d e a n d i s t a n c e f o r p .

2 4


O p e n s p h e r e

I n a m e t r i c s p a c e ( X , p ) , i f x c X , r > 0 , t h e n

[ 2 . 1

S ( x , r ) = { y : p ( x , y ) < r } ;

t h e s e t c o n s i s t i n g o f t h o s e p o i n t s o f X w h o s e d i s t a n c e f r o m x i s l e s s

t h a n r i s c a l l e d a n o p e n s p h e r e ( s p h e r i c a l n e i g h b o u r h o o d ) c e n t r e x ,

r a d i u s r . C l e a r l y , i n R n , S ( x , r ) i s t h e i n s i d e o f t h e u s u a l E u c l i d e a n

n - s p h e r e c e n t r e x , r a d i u s r ( f o r n = 2 , t h e ` s p h e r e ' i s t h e i n t e r i o r o f a

c i r c l e w h i l e f o r n = 1 i t r e d u c e s t o t h e i n t e r v a l ( x - r , x + r ) ) .

O p e n s e t

A s u b s e t E o f a m e t r i c s p a c e X i s s a i d t o b e o p e n i f , f o r e a c h p o i n t x

i n E t h e r e i s a n r > 0 s u c h t h a t t h e o p e n s p h e r e S ( x , r ) c E . N o t e

t h a t t h e o p e n s p h e r e s d e f i n e d a b o v e a r e e x a m p l e s o f o p e n s e t s s i n c e

y E S ( x , r ) = p ( x , y ) = r 1 < r ,

s o t h a t , f o r 0 < r 2 < , r - r 1 , S ( y , r 2 ) c S ( x , r ) .

T h e o r e m 2 . 1 . I n a m e t r i c s p a c e x , t h e c l a s s 9 o f o p e n s e t s s a t i s f i e s

( 1 )

0 , X E T J ;

( i i ) A 1 , A 2 , . . . , A . E T = > n A E V ;

i = 1

( i i i ) A . E V f o r a i n I

U A . c ? .

a E I

P r o o f . ( i ) S i n c e a n y s t a t e m e n t a b o u t t h e e l e m e n t s o f 0 i s t r u e , 0 E 9 ,

a n d i t i s c l e a r t h a t S ( x , r ) c X f o r a n y x E X , r > 0 s o c e r t a i n l y X E 9 .

n

( i i )

I f x E f l A i , t h e n x E A i f o r i = 1 ,

. . . , n

a n d e a c h A i i s o p e n

i - 1

s o t h e r e a r e r e a l n u m b e r s r i > 0 f o r w h i c h S ( x , r i ) c A . I f w e

p u t r = m i n r i , t h e n 0 < r < r i s o t h a t S ( x , r ) S ( x , r j ) c A i f o r

1 - < i < n

n

i = 1 , . . . , n ;

a n d

S ( x , r ) c ( 1 A i .

i = 1

( i i i ) F o r a n y x E U A a , t h e r e m u s t b e a p a r t i c u l a r a i n I s u c h t h a t

a E I

x E A . . S i n c e t h i s A a i s o p e n , t h e r e i s a n r > 0 s u c h t h a t

S ( x , r ) c A a c U A .

a E I

R e m a r k . T h e c o n d i t i o n ( i i ) s a y s t h a t 9 i s c l o s e d f o r f i n i t e i n t e r -

s e c t i o n s , w h i l e ( i i i ) s a y s i t i s c l o s e d u n d e r a r b i t r a r y u n i o n s . O n e

2 . 1 1

M E T R I C S P A C E

2 5

c a n n o t e x t e n d ( i i ) t o g i v e c l o s u r e f o r i n f i n i t e i n t e r s e c t i o n s f o r , i n R

t h e i n t e r v a l s ( 0 , 1 + ( 1 / n ) ) a r e o p e n s e t s , b u t

0 0

f l

( 0 , 1 + 1 1 = { x : 0 < x 5 1 } = ( 0 , 1 ]

n = 1 \

n

i s n o t o p e n a s i t c o n t a i n s n o o p e n s p h e r e c e n t r e 1 .

I t i s m o r e g e n e r a l t o s t a r t w i t h a s e t X a n d a c l a s s V o f s u b s e t s

o f X s a t i s f y i n g ( i ) ,

( i i ) ,

( i i i ) o f t h e o r e m 2 . 1 a n d t o c a l l t h e s e ` t h e

o p e n s e t s ' i n X . S u c h a c l a s s 9 a n d s e t X a r e s a i d t o f o r m a t o p o l o g i c a l

s p a c e , a n d 9 i s s a i d t o d e t e r m i n e t h e t o p o l o g y i n X . A t o p o l o g i c a l

s p a c e ( X , 9 ) i s s a i d t o b e m e t r i s a b l e i f t h e r e i s a d i s t a n c e f u n c t i o n p

d e f i n e d o n i t w h i c h d e t e r m i n e s t h e c l a s s 9 f o r i t s o p e n s e t s . M o s t t o p o -

l o g i c a l s p a c e s ( X , T ) o f i n t e r e s t s a t i s f y t h e r a t h e r w e a k c o n d i t i o n s

w h i c h a r e s u f f i c i e n t t o e n s u r e m e t r i s a b i l i t y , s o t h a t l i t t l e i s l o s t b y

a s s u m i n g i n t h e f i r s t p l a c e t h a t w e h a v e a m e t r i c s p a c e ( X , p ) . O f

c o u r s e t w o d i f f e r e n t m e t r i c s p 1 , p 2 o n a s e t X m a y d e f i n e t h e s a m e c l a s s

V o f o p e n s e t s , s o t h a t e v e n w h e n a t o p o l o g i c a l s p a c e i s m e t r i s a b l e ,

t h e m e t r i c p i s n o t u n i q u e l y d e t e r m i n e d - s e e e x e r c i s e 2 . 4 ( 1 ) .

I n t h i s c h a p t e r w e w i l l d e f i n e m o s t o f t h e f u r t h e r c o n c e p t s . w h i c h

d e p e n d o n t h e t o p l o g y o f X i n t e r m s o f t h e c l a s s 9 o f o p e n s e t s i n X :

t h i s m e a n s t h a t t h e d e f i n i t i o n s w i l l m a k e s e n s e e i t h e r i n a m e t r i c s p a c e

( X , p ) o r i n a t o p o l o g i c a l s p a c e ( X , V ) . H o w e v e r , w h e n i t s i m p l i f i e s t h e

p r o o f , w e w i l l a s s u m e t h a t X h a s a m e t r i c p d e t e r m i n i n g ( a n d u s e

t h i s m e t r i c , s o t h a t s o m e t h e o r e m s w i l l b e s t a t e d a n d p r o v e d f o r m e t r i c

s p a c e s e v e n t h o u g h t h e y a r e t r u e m o r e g e n e r a l l y .

C l o s e d s e t

A s u b s e t E o f X i s s a i d t o b e c l o s e d i f ( X - E ) i s o p e n . I f w e a p p l y

t h i s d e f i n i t i o n , w i t h d e M o r g a n ' s l a w s , t o t h e c o n d i t i o n s ( i ) ,

( i i ) ,

( i i i ) o f t h e o r e m 2 . 1 s a t i s f i e d b y t h e c l a s s o f o p e n s e t s , w e s e e t h a t t h e

c l a s s ' o f c l o s e d s e t s s a t i s f i e s

( i ) Q , X E f ;

( i i ) A 1 , A 2 , . . . , A n e

U A i E ' f ;

i = 1

( i i i ) A , , E W o , a i n l = > n A , , E W ,

a E I

s o t h a t t h e c l a s s W i s c l o s e d f o r f i n i t e u n i o n s a n d a r b i t r a r y i n t e r -

s e c t i o n s .

I n a m e t r i c s p a c e ( X , p ) , f o r x E X , r > 0 t h e s e t

S ( x , r ) = { y : p ( x , y ) < r }

2 6


[ 2 . 1

i s c a l l e d t h e c l o s e d s p h e r e c e n t r e x , r a d i u s r . I t i s a l w a y s a c l o s e d s e t

a c c o r d i n g t o o u r d e f i n i t i o n f o r

Y E G = X - S ( x , r )

p ( x , y ) = r l > r

s o t h a t S ( y , r 2 ) c G f o r 0 < r 2 5 r l - r .

N e i g h b o u r h o o d

I n a t o p o l o g i c a l s p a c e ( X , 9 ) , a n y o p e n s e t c o n t a i n i n g x E X i s

s a i d t o b e a n e i g h b o u r h o o d o f x .

L i m i t p o i n t o f a s e t

G i v e n a s u b s e t E o f X , a p o i n t x E X i s s a i d t o b e a l i m i t p o i n t ( o r

p o i n t o f a c c u m u l a t i o n ) o f E i f e v e r y n e i g h b o u r h o o d o f x c o n t a i n s a

p o i n t o f E o t h e r t h a n x . N o t e t h a t t h e p o i n t x m a y o r m a y n o t b e i n E .

I n a m e t r i c s p a c e i t i s e a s y t o s e e t h a t x i s a l i m i t p o i n t o f E o n l y i f

e v e r y n e i g h b o u r h o o d N o f x c o n t a i n s i n f i n i t e l y m a n y p o i n t s o f E :

f o r , i f N c o n t a i n s o n l y t h e p o i n t s x 1 , x 2 , . . . , x n o f E ( a l l d i f f e r e n t f r o m x ) ,

t h e n S ( x , r ) w h e r e r = m i n p ( x , x i ) i s a n e i g h b o u r h o o d o f x w h i c h c o n -

1 i < n

t a i n s n o p o i n t o f E o t h e r t h a n x .

L e m m a . A s e t E c X i s c l o s e d i f a n d o n l y i f E c o n t a i n s a l l i t s l i m i t

p o i n t s .

P r o o f . S u p p o s e E i s c l o s e d , t h e n X - E = G i s o p e n , s o t h a t i f x E G

t h e r e i s a n e i g h b o u r h o o d N o f x w i t h N c G . T h i s m e a n s t h a t N c o n -

t a i n s n o p o i n t o f E s o t h a t x i s n o t a l i m i t p o i n t o f E . C o n v e r s e l y ,

i f E i s a s e t w h i c h c o n t a i n s i t s l i m i t p o i n t s a n d x E G = X - E , t h e n

x i s n o t a l i m i t p o i n t o f E s o t h e r e i s a n e i g h b o u r h o o d N , , o f x c o n t a i n i n g

n o p o i n t o f E . S i n c e N x i s o p e n , s o i s H = U N . B u t N x c G f o r a l l

X E G

x E G s o H c G , a n d e v e r y p o i n t x o f G i s i n t h e c o r r e s p o n d i n g N z s o

H

G . T h u s H = G a n d G i s o p e n .

C l o s u r e

F o r a n y s e t E c X , t h e c l o s u r e o f E , d e n o t e d b y R , i s t h e i n t e r -

s e c t i o n o f a l l t h e c l o s e d s u b s e t s o f X w h i c h c o n t a i n E . I t i s i m m e d i a t e

t h a t E i s a c l o s e d s e t , a n d E = E i f a n d o n l y i f E i s c l o s e d . F u r t h e r

s i n c e a c l o s e d s e t c o n t a i n s i t s l i m i t p o i n t s , E m u s t c o n t a i n a l l t h e l i m i t

p o i n t s o f E : i n f a c t

E = E v E ' ,

w h e r e E ' i s t h e s e t o f l i m i t p o i n t s o f E , k n o w n a s t h e d e r i v e d s e t o f E ;

f o r i f x 0 E u E ' , t h e r e i s a n e i g h b o u r h o o d N o f x w h i c h c o n t a i n s n o

p o i n t o f E v E ' s o t h a t ( X - N ) i s a c l o s e d s e t c o n t a i n i n g E a n d x 0 E .

2 . 1 ] M E T R I C S P A C E 2 7

L i m i t o f a s e q u e n c e

G i v e n a s e q u e n c e { x i } o f p o i n t s i n a m e t r i c s p a c e ( X , p ) w e s a y t h a t

t h e s e q u e n c e c o n v e r g e s t o t h e p o i n t x E X i f e a c h n e i g h b o u r h o o d o f

x c o n t a i n s a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s o f t h e s e q u e n c e . T h u s

{ x i } c o n v e r g e s t o x i f g i v e n e > 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t

i > N = > p ( x , x i ) < e .

W e t h e n w r i t e x = l i m x i o r x = l i m x i a n d s a y t h a t x i s t h e l i m i t o f t h e

s e q u e n c e { x i } . N o t e t h a t , i n a m e t r i c s p a c e , t h e l i m i t o f a s e q u e n c e i s

u n i q u e - s e e e x e r c i s e 2 . 1 ( 7 ) .

I n a m e t r i c s p a c e X , g i v e n a p o i n t x a n d a s e t E , t h e d i s t a n c e f r o m

x t o E , d e n o t e d b y d ( x , E ) i s d e f i n e d b y

d ( x , E ) = i n f { p ( x , y ) : y e E } .

T h i s i s a l w a y s d e f i n e d s i n c e { p ( x , y ) : y e E } i s a s e t o f n o n - n e g a t i v e

r e a l n u m b e r s . I f E c S ( x , r ) f o r s o m e o p e n s p h e r e , w e s a y t h a t E i s

b o u n d e d a n d d e f i n e t h e d i a m e t e r o f E , d e n o t e d d i a m ( E ) , b y

d i a m ( E ) = s u p { p ( x , y ) : x , y e E } .

I f E i s n o t b o u n d e d t h e n t h e s e t { p ( x , y ) : x , y E E } i s n o t b o u n d e d a b o v e

a n d w e p u t d i a m ( E ) = + o o . N o t e t h a t d i a m ( E ) i s f i n i t e i f a n d o n l y

i f E i s b o u n d e d . F i n a l l y , i f E , F a r e t w o s u b s e t s o f X , w e d e f i n e

d ( E , F ) b y

d E F = i n f x x E E , Y E F

= i n f { d ( x , E ) , x e F }

a n d c a l l d ( E , F ) t h e d i s t a n c e f r o m E t o F . N o t e t h a t i f E n F + 0 ,

t h e n d ( E , F ) = 0 b u t t h e r e i s n o c o n v e r s e t o t h i s s t a t e m e n t .

R e m a r k

M a n y r e a d e r s w i l l b e f a m i l i a r w i t h t h e c o n c e p t s o f t h i s s e c t i o n f o r

R a n d R 2 . U s u a l l y t h e p r o o f s g i v e n i n t h e s e s p e c i a l c a s e s c a n b e

g e n e r a l i s e d t o a g e n e r a l m e t r i c s p a c e , a n d o f t e n e v e n t o a t o p o l o g i c a l

s p a c e . T h e r e a d e r w h o h a s d i f f i c u l t y i n w o r k i n g i n a n a b s t r a c t s i t u a -

t i o n s h o u l d v i s u a l i s e t h e a r g u m e n t i n t h e p l a n e R 2 , b u t n o t u s e a n y o f

t h e s p e c i a l p r o p e r t i e s o f R 2 .

2

T I T

2 . 1 1

M E T R I C S P A C E

2 9

9 . F o r a n y s e t E i n a m e t r i c s p a c e , s h o w t h a t

E = { x : d ( x , E ) = 0 } .

1 0 . I f E , F a r e s u b s e t s o f a m e t r i c s p a c e X , x , y

e X , s h o w

( i )

p ( x , y ) > J d ( x , E ) - d ( y , E ) I ;

( i i ) p ( x , y ) < d ( x , E ) + d i a m ( E ) ,

i f y c E ;

( f ) J p ( x , y 1 ) - p ( x , y 2 ) < d i a m ( E ) ,

i f

y 1 , y 2 E E ;

( i v ) d ( E , F ) = d ( F , E ) .

I s d a m e t r i c o n t h e s p a c e o f s u b s e t s o f X ?

1 1 . I n R s h o w t h a t a b o u n d e d o p e n s e t i s u n i q u e l y e x p r e s s i b l e a s a

c o u n t a b l e u n i o n o f d i s j o i n t o p e n i n t e r v a l s .

H i n t . F o r e a c h x E E , p u t a = i n f { y : ( y , x ) c E } , b = s u p { y : ( x , y ) C E } ;

a n d s h o w t h a t t h e o p e n i n t e r v a l I t , , = ( a , b ) c o n t a i n s x , i s c o n t a i n e d i n E a n d

i s s u c h t h a t a n y o p e n i n t e r v a l I s a t i s f y i n g x E I c E s a t i s f i e s I C I , , . D e d u c e

t h a t f o r x 1 , x 2 E E , e i t h e r I

x i

= I

x 9

o r I x l n I

x s

= o , s o t h a t E _ U I , , i s a

x E E

d i s j o i n t u n i o n . E n u m e r a t e t h e i n t e r v a l s I x b y c o n s i d e r i n g t h o s e o f l e n g t h

g r e a t e r t h a n 1 / n ( n = 1 , 2 , . . . ) .

I n R n ( n > 2 ) s h o w t h a t a b o u n d e d o p e n s e t c a n b e e x p r e s s e d a s a d i s -

j o i n t u n i o n o f a c o u n t a b l e n u m b e r o f h a l f - o p e n r e c t a n g l e s i n Y n ( b u t t h a t

t h i s e x p r e s s i o n i s n e v e r u n i q u e ) . S h o w t h a t i n g e n e r a l a n o p e n s e t i n R n

( n > 2 ) c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a d i s j o i n t u n i o n o f o p e n s p h e r e s , o r o f o p e n

r e c t a n g l e s .

2 . 2

C o m p l e t e n e s s a n d c o m p a c t n e s s

I n a m e t r i c s p a c e ( X , p ) a s e q u e n c e { x n } i s s a i d t o b e a C a u c h y

s e q u e n c e i f g i v e n e > 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t

n , m > N u p ( x n , x m ) < e .

I t i s i m m e d i a t e t h a t a n y s e q u e n c e { x n } i n a m e t r i c s p a c e w h i c h c o n -

v e r g e s t o a p o i n t x E X , i s a C a u c h y s e q u e n c e .

C o m p l e t e m e t r i c s p a c e

A m e t r i c s p a c e ( X , p ) i s s a i d t o b e c o m p l e t e i f , f o r e a c h C a u c h y

s e q u e n c e { x n } i n X , t h e r e i s a p o i n t x E X s u c h t h a t x = l i m x n . F o r

e x a m p l e , t h e s e t Q o f r a t i o n a l e i s a m e t r i c s p a c e w i t h t h e u s u a l d i s -

t a n c e , b u t i t i s n o t c o m p l e t e f o r V 2 0 Q , b u t o n e c a n e a s i l y d e f i n e a

C a u c h y s e q u e n c e { x n } o f r a t i o n a l s w h i c h c o n v e r g e s t o . J 2 ( i n R ) ,

a n d t h i s s e q u e n c e c a n n o t c o n v e r g e t o a n y r a t i o n a l . O n e o f t h e i m -

p o r t a n t p r o p e r t i e s o f t h e s p a c e R i s t h a t i t i s c o m p l e t e . T h i s p r o p e r t y

i s e q u i v a l e n t t o t h e a s s u m p t i o n t h a t , i n t h e u s u a l o r d e r i n g , e v e r y n o n -

v o i d s u b s e t o f R w h i c h i s b o u n d e d a b o v e h a s a s u p r e m u m o r l e a s t

u p p e r b o u n d . W e n o w g i v e a p r o o f o f t h e c o m p l e t e n e s s o f R b y a

m e t h o d w h i c h w i l l t u r n o u t t o b e u s e f u l i n m o r e c o m p l i c a t e d s i t u a t i o n s .

2 - 2

3 0 P O I N T S E T T O P O L O G Y

[ 2 . 2

L e m m a . T h e s p a c e R i s c o m p l e t e .

P r o o f . L e t { x n } b e a C a u c h y s e q u e n c e i n R . D e f i n e a s e q u e n c e o f

i n t e g e r s { n i } b y n o = 1 ; i f n i _ 1 i s d e f i n e d , l e t n i b e s u c h t h a t n i

> n i - 1

a n d n , m > n i

I x n - x m I < 1 / 2 i . T h e n t h e s e r i e s

O D

( x n ,

- x n i _ 1 )

i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t , a n d t h e r e f o r e c o n v e r g e n t , - [ s a y t o y . B u t

i = 1

s o t h e s u b s e q u e n c e { x n p } ( p = 1 , 2 , . . . ) m u s t c o n v e r g e t o x = x 1 + y .

G i v e n e > 0 , c h o o s e i n t e g e r s P , N > n p s u c h t h a t

p ' > P = > I x - x n D I < 2 e ,

n , m >

I x n - x m l < 2 e .

N o w , i f m > N , w e c a n t a k e n p > N w i t h p > , P t o o b t a i n

I x - x m l - < I x - x n p l + I x n p - x m l < 6 ,

s o t h e s e q u e n c e { x j m u s t c o n v e r g e t o x .

C o v e r i n g s y s t e m s

A c l a s s ' o f s u b s e t s o f X i s s a i d t o c o v e r t h e s e t E c X o r f o r m a

c o v e r i n g f o r E , i f E c U { S : S E o n } . I f a l l t h e s e t s o f ' a r e o p e n , a n d

l e c o v e r s E , t h e n w e s a y t h a t ' i s a n o p e n c o v e r i n g o f E .

C o m p a c t s e t

A s u b s e t E o f X i s s a i d t o b e c o m p a c t i f , f o r e a c h o p e n c o v e r i n g c '

o f E , t h e r e i s a f i n i t e s u b c l a s s W . c ' s u c h t h a t '

1 c o v e r s

E . F o r e x -

a m p l e , t h e c e l e b r a t e d H e i n e - B o r e l t h e o r e m s t a t e s t h a t a n y f i n i t e

c l o s e d i n t e r v a l [ a , b ] i s c o m p a c t . T h o u g h t h i s i s p r o v e d i n m o s t

e l e m e n t a r y t e x t - b o o k s w e i n c l u d e a p r o o f w h i c h s t a r t s f r o m t h e l e a s t

u p p e r b o u n d p r o p e r t y .

L e m m a . I f a , b a r e r e a l n u m b e r s , t h e c l o s e d i n t e r v a l

[ a , b ] = { x : a e x < b }

i s c o m p a c t .

t T h e f a c t t h a t a b s o l u t e c o n v e r g e n c e i m p l i e s c o n v e r g e n c e i s a c o n s e q u e n c e o f t h e

l e a s t u p p e r b o u n d a x i o m f o r R , t h a t i s , i t f o l l o w s f r o m t h e a s s u m p t i o n t h a t e v e r y n o n .

e m p t y s u b s e t o f R w h i c h i s b o u n d e d a b o v e h a s a s u p r e m u m . ( S e e , f o r e x a m p l e ,

B u r k i l l , A F i r s t C o u r s e i n M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s , C a m b r i d g e , 1 9 6 2 . )

P

Z ( x n i - x n t _ 1 ) = x n , , - x 1 ,



3 2

P O I N T S E T T O P O L O G Y [ 2 . 2

F i n i t e i n t e r s e c t i o n p r o p e r t y

A c l a s s a o f s u b s e t s o f E i s s a i d t o h a v e t h e f i n i t e i n t e r s e c t i o n

n

p r o p e r t y i f e v e r y f i n i t e i n t e r s e c t i o n f l A i , w h e r e A i c d , ( i = 1 , 2 , . . . , n )

i = 1

i s n o n - v o i d .

T h e o r e m 2 . 2 . ( i ) A c l o s e d s u b s e t E o f a t o p o l o g i c a l s p a c e X i s c o m p a c t

i f a n d o n l y i f e v e r y c l a s s s a d o f c l o s e d s u b s e t s o f E w i t h t h e f i n i t e i n t e r s e c -

t i o n p r o p e r t y h a s a n o n - v o i d i n t e r s e c t i o n .

( i i ) I n a m e t r i c s p a c e X , a s u b s e t E i s c o m p a c t i f a n d o n l y i f i t h a s

p r o p e r t y ( W ) .

R e m a r k . I n a g e n e r a l t o p o l o g i c a l s p a c e , p r o p e r t y ( W ) i s e q u i v a l e n t

t o s e q u e n t i a l c o m p a c t n e s s - t h e p r o p e r t y t h a t e v e r y c o u n t a b l e o p e n

c o v e r i n g h a s a f i n i t e s u b c o v e r i n g . A s p a c e i n w h i c h a r b i t r a r y o p e n

c o v e r i n g s c a n b e r e p l a c e d b y c o u n t a b l e s u b c o v e r i n g s i s c a l l e d L i n d e l o f .

T h u s i n a n y L i n d e l o f s p a c e , p r o p e r t y ( W ) i s e q u i v a l e n t t o c o m p a c t -

n e s s .

P r o o f . ( i ) S u p p o s e E i s c o m p a c t a n d F a , a E I i s a c l a s s o f c l o s e d

s u b s e t s o f E w i t h f l F a v o i d . T h e n t h e c l a s s o f s e t s G a = X - F a ,

a E I

a E I i s a n o p e n c o v e r i n g o f E . C h o o s e a f i n i t e s u b c o v e r i n g

n

G a l , G a $ ,

. . . , G a n ; t h e n

i - 1

. 1

= 0

s o t h a t t h e c l a s s o f s e t s F a , a e I h a s n o t g o t t h e f i n i t e i n t e r s e c t i o n

p r o p e r t y . T h i s p r o v e s t h a t c o m p a c t n e s s i m p l i e s t h a t a n y c l a s s s a d

o f c l o s e d s u b s e t s w i t h t h e f i n i t e i n t e r s e c t i o n p r o p e r t y h a s a n o n - v o i d

i n t e r s e c t i o n . C o n v e r s e l y s u p p o s e a c l o s e d s e t E i s s u c h t h a t a n y c l a s s

. d o f c l o s e d s u b s e t s w i t h t h e f i n i t e i n t e r s e c t i o n p r o p e r t y h a s a n o n -

v o i d i n t e r s e c t i o n , a n d s u p p o s e G a , a E I i s a n o p e n c o v e r i n g o f E ,

s o t h a t ( 1 ( X - G a ) = Q 1 . I f E i s c l o s e d E n ( X - G a ) , a E I i s a f a m i l y o f

a E I

c l o s e d s u b s e t s o f E , s o t h e r e m u s t b e a f i n i t e s e t a l , a 2 ,

. . . , a n s u c h t h a t

n

n ( X - G a i ) n E _ 0 . T h i s m e a n s t h a t G a l , . . . , G a n f o r m a f i n i t e s u b -

c o v e r i n g f o r E .

( i i ) S u p p o s e f i r s t t h a t E h a s n o t g o t p r o p e r t y ( W ) . L e t A b e a n

i n f i n i t e s u b s e t o f E w i t h n o l i m i t p o i n t . I f A i s n o t e n u m e r a b l e , c h o o s e

a n e n u m e r a b l e s u b s e t B o f A . T h e n B i s c l o s e d a n d ( X - B ) i s o p e n .

E n u m e r a t e B a s a s e q u e n c e o f d i s t i n c t p o i n t s { x i } , a n d f o r e a c h x i

c h o o s e a n e i g h b o u r h o o d N i w h i c h c o n t a i n s x i b u t n o o t h e r p o i n t o f B .



3 6


[ 2 . 3

m e t r i c s t h i s d e f i n i t i o n a g r e e s w i t h t h e o n e f i r s t g i v e n f o r m a p p i n g s

f r o m o n e m e t r i c s p a c e t o a n o t h e r .

N o w i f f : X - > Y i s c o n t i n u o u s a n d E i s a c l o s e d s u b s e t o f Y , i t

f o l l o w s t h a t f - 1 ( E ) i s c l o s e d i n X . O n e h a s t o b e c a r e f u l a b o u t t h e

i m p l i c a t i o n s i n t h e r e v e r s e d i r e c t i o n . I n g e n e r a l , i t i s n o t t r u e f o r a

c o n t i n u o u s f : X - a Y , t h a t A o p e n i n X f ( A ) o p e n i n Y . T h e r e i s

o n e i m p o r t a n t r e s u l t o f t h i s k i n d w h i c h i s v a l i d :

T h e o r e m 2 . 3 . I f f : X - > Y i s c o n t i n u o u s , a n d A i s a c o m p a c t s u b s e t

o f X , t h e n f ( A ) i s c o m p a c t i n Y .

P r o o f . S u p p o s e G , , a E I f o r m s a n o p e n c o v e r i n g o f f ( A ) . T h e n

f - ' ( G , , ) i s o p e n f o r e a c h a a n d t h e c l a s s

a E I m u s t c o v e r A .

S i n c e A i s c o m p a c t , t h e r e i s a f i n i t e s u b c o v e r i n g f - 1 ( G 1 ) , . . . , f - 1 ( G , " )

w h i c h c o v e r s A , a n d t h i s i m p l i e s t h a t G 1 , . . . , G , , c o v e r f ( A ) .

C o r o l l a r y . I f f : X - R i s c o n t i n u o u s , a n d A i s c o m p a c t , t h e s e t f ( A )

i s b o u n d e d a n d t h e f u n c t i o n f a t t a i n s i t s b o u n d s o n A a t p o i n t s i n A .

P r o o f . f ( A ) i s c o m p a c t , a n d s o i t m u s t b e c l o s e d a n d b o u n d e d .

H e n c e s u p { x : x E f ( A ) } a n d i n f { x : x E f ( A ) } e x i s t a n d b e l o n g t o t h e s e t

f ( A ) . H e n c e t h e r e a r e p o i n t s x 1 , x 2 E A f o r w h i c h f ( A ) C [ f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ] . I

R e m a r k . T h e r e a d e r w i l l r e c o g n i s e t h i s c o r o l l a r y a s a g e n e r a l i s a t i o n

o f t h e e l e m e n t a r y t h e o r e m t h a t a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f : [ a , b ] - + R

i s b o u n d e d a n d a t t a i n s i t s b o u n d s .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t , i n a m e t r i c s p a c e X , t h e d i s t a n c e

f u n c t i o n p ( x , y ) i s c o n t i n u o u s f o r e a c h f i x e d y c o n s i d e r e d a s a f u n c t i o n

f r o m X t o R . F u r t h e r , f o r a f i x e d s e t A , d ( x , A ) d e f i n e s a c o n t i n u o u s

f u n c t i o n f r o m X t o R s i n c e

p ( x 1 , x 2 ) 1 >

I d ( x 1 , A ) - d ( x 2 , A ) 1 .

T h i s m e a n s t h a t i f E i s c o m p a c t , F i s a n y s e t , t h e f u n c t i o n d ( x , F )

f o r x E E a t t a i n s i t s l o w e r b o u n d s o t h a t t h e r e i s a n x 0 i n E w i t h

d ( x o , F ) = d ( E , F ) .

N o w , i f F i s a l s o c o m p a c t

d ( x o , F ) = i n f { p ( x o , y ) : y E F }

i s t h e l o w e r b o u n d o n a c o m p a c t s e t o f a n o t h e r c o n t i n u o u s f u n c t i o n ,

s o t h a t t h e r e i s a y o i n F s u c h t h a t

d ( x o , F ) = p ( x o , y o ) = d ( E , F ) .

T h u s w e h a v e p r o v e d a f u r t h e r c o r o l l a r y t o t h e o r e m 2 . 3 - w h i c h c o u l d

h a v e b e e n p r o v e d b y a d i f f e r e n t a r g u m e n t ( s e e e x e r c i s e 2 . 2 ( 5 ) ) .

2 . 3 1

F U N C T I O N S

3 7

C o r o l l a r y . I f E , F a r e t w o c o m p a c t s u b s e t s o f a m e t r i c s p a c e ( X , p ) ,

t h e r e a r e p o i n t s x o E E , y o E F s u c h t h a t

P ( x o , y o ) = d ( E , F ) .

U n i f o r m l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n

A m a p p i n g f : X

Y f r o m t h e m e t r i c s p a c e ( X , p x ) t o t h e m e t r i c

s p a c e ( Y , p Y ) i s s a i d t o b e u n i f o r m l y c o n t i n u o u s o n t h e s u b s e t A C X

i f g i v e n e > 0 , t h e r e i s a 8 > 0 f o r w h i c h

x , y E A , p x ( x , y ) < 8 z p Y ( f ( x ) , f ( y ) ) < e .

( 2 . 3 . 1 )

C l e a r l y a f u n c t i o n w h i c h i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s o n A i s c e r t a i n l y

c o n t i n u o u s a t e a c h p o i n t o f A , b u t t h e p o i n t o f t h e c o n d i t i o n ( 2 . 3 . 1 )

i s t h a t o n e c a n m a k e f ( x ) c l o s e t o f ( y ) i n Y s i m p l y b y m a k i n g x c l o s e

t o y s i m u l t a n e o u s l y f o r a l l x , y e A . T h e c h o i c e o f 8 i n ( 2 . 3 . 1 ) d o e s n o t

d e p e n d o n x o r y . I n g e n e r a l , u n i f o r m c o n t i n u i t y d o e s n o t f o l l o w f r o m

c o n t i n u i t y , b u t t h e r e i s a n i m p o r t a n t c a s e i n w h i c h i t d o e s :

T h e o r e m 2 . 4 . I f X , Y a r e m e t r i c s p a c e s , a n d f : X - * Y i s c o n t i n u o u s

o n A w h e r e A i s a c o m p a c t s u b s e t o f X , t h e n f i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s

o n A .

P r o o f . G i v e n e > 0 , f o r e a c h x E A , t h e r e i s a 8 , > 0 s u c h t h a t

6 E S ( x , 8 , ) n A

f ( 6 ) E 8 ( f ( X ) , f e ) .

F o r x c A , t h e c l a s s o f s p h e r e s S x = S ( x , J 8 8 ) f o r m a n o p e n c o v e r i n g

o f A . C h o o s e a f i n i t e s u b c o v e r i n g 5 _ - 1 , . . . , S a n d p u t S = I m i n

( 8 x 1 ,

. . . , 8 ) .

T h e n i f p x ( g , V ) < S , 6 , r / E A , t h e r e m u s t b e a s p h e r e S " ,

w h i c h c o n t a i n s 6 , a n d S ( x z , 8 x , ) w i l l t h e n c o n t a i n i

.

T h i s i m p l i e s

P Y ( f ( ) , f M ) < ' P Y ( f ( ) , f ( x , ) ) + P Y ( f ( r l ) , f ( x s ) ) < e . 1

R e m a r k . T h e r e a d e r w i l l r e c o g n i z e t h e a b o v e t h e o r e m a s a g e n e r a l i s a -

t i o n o f t h e r e s u l t t h a t a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f : [ a , b ] - + R i s u n i f o r m l y

c o n t i n u o u s .

E x e r c i s e s 2 . 3

1 . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n f : ( 0 , o o ) - + R g i v e n b y f ( x ) = m i n ( 1 , 1 / x ) , f o r

x > 0 .

S h o w t h a t i t i s c o n t i n u o u s . F i n d t h e i m a g e f ( E ) o f

( i ) t h e s e t E = ( 1 , 1 ) ;

( i i ) t h e s e t Z o f p o s i t i v e i n t e g e r s ;

( i ) s h o w s t h a t E c a n b e o p e n , f ( E ) n o t o p e n ; ( i i ) s h o w s t h a t E c a n b e c l o s e d ,

f ( E ) n o t c l o s e d .

3 8

P O I N T S E T T O P O L O G Y [ 2 . 3

2 . T h e f u n c t i o n

f : ( 0 , 1 )

R g i v e n b y f ( x ) _

x ( 1 - x )

i s c o n t i n u o u s o n ( 0 , 1 ) , b u t n o t b o u n d e d a n d n o t u n i f o r m l y c o n t i n u o u s ,

s o t h e o r e m s 2 . 3 , 2 . 4 f a i l i f t h e s e t i s n o t c l o s e d . T o s e e t h e y a l s o f a i l i f t h e s e t

i s c l o s e d b u t n o t c o m p a c t , e x a m i n e

g : R R g i v e n b y

g ( x ) = e x p ( x ) .

3 . I n t h e a r g u m e n t o f t h e p r o o f t o t h e o r e m 2 . 4 w h y c o u l d w e n o t h a v e

p u t

g = i n f { S x : x A }

b e f o r e f i r s t r e s t r i c t i n g t o a f i n i t e s u b s e t ?

4 . S u p p o s e A i s c o m p a c t a n d f f , } i s a m o n o t o n e s e q u e n c e o f c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s f , : A - * R c o n v e r g i n g t o a c o n t i n u o u s f : A - + R . S h o w t h a t t h e

c o n v e r g e n c e m u s t b e u n i f o r m , a n d g i v e a n e x a m p l e t o s h o w t h a t t h e

c o n d i t i o n t h a t A b e c o m p a c t i s e s s e n t i a l .

5 . P r o v e L e b e s g u e ' s c o v e r i n g l e m m a , w h i c h s t a t e s t h a t i f l e i s a n o p e n

c o v e r o f a c o m p a c t s e t A i n a m e t r i c s p a c e ( X , p ) , t h e n t h e r e i s a 8 > 0 ,

s u c h t h a t t h e s p h e r e S ( x , S ) i s c o n t a i n e d i n a s e t o f

' f o r e a c h x e X .

2 . 4

C a r t e s i a n p r o d u c t s

W e h a v e a l r e a d y d e f i n e d t h e d i r e c t p r o d u c t o f t w o a r b i t r a r y s e t s

X , Y a s t h e s e t o f o r d e r e d p a i r s ( x , y ) w i t h x e X , Y E Y . I f ( X , 9 )

( Y , J r ) a r e t o p o l o g i c a l s p a c e s , t h e n t h e r e i s a n a t u r a l m e t h o d o f d e -

f i n i n g a t o p o l o g y i n X x Y . L e t . V b e t h e c l a s s o f r e c t a n g l e s e t s G x H

w i t h G E T , H E . * ' a n d l e t ' b e t h e c l a s s o f s e t s i n X x Y w h i c h a r e u n i o n s

o f s e t s i n . 2 f ( f i n i t e o r i n f i n i t e u n i o n s ) : i t i s i m m e d i a t e t h a t

' s a t i s f i e s

t h e c o n d i t i o n s ( i ) , ( i i ) , ( i i i ) o f t h e o r e m 2 . 1 . T h i s , c l a s s

' o f ` o p e n '

s e t s i n X x Y i s s a i d t o d e f i n e t h e p r o d u c t t o p o l o g y . T h i s d e f i n i t i o n

e x t e n d s i n a n o b v i o u s m a n n e r t o f i n i t e p r o d u c t s X . X X 2 x

. . . X

X n ,

a n d i t i s a l s o p o s s i b l e t o e x t e n d i t t o a n a r b i t r a r y p r o d u c t o f t o p o l o g i c a l

s p a c e s - t h o u g h w e w i l l n o t h a v e o c c a s i o n t o c o n s i d e r a t o p o l o g y f o r

i n f i n i t e p r o d u c t s p a c e s .

T h e o r e m 2 . 5 . I f ( X i , p i ) ( i = 1 , . . . , n ) a r e m e t r i c s p a c e s t h e n

P ( ( x 1 , . . . , x n ) , ( Y 1 , . . . , y n ) ) = m a x p i ( x i , y i )

1 ' i < n

1

d e f i n e s a m e t r i c i n t h e C a r t e s i a n p r o d u c t X 1 x

. . . x X . w h i c h g e n e r a t e s

t h e p r o d u c t t o p o l o g y .

P r o o f . I t i s c l e a r t h a t p ( x , y ) = 0 i f a n d o n l y i f p i ( x i , y i ) = 0 f o r e a c h i

2 . 4 1

C A R T E S I A N P R O D U C T S

3 9

w h i c h i m p l i e s x i = y i , 1 < i < n o r x = y . T h u s i n o r d e r t o s h o w t h a t

p i s a m e t r i c i t i s s u f f i c i e n t t o p r o v e t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y . B u t

p i ( x i , y i ) < p i ( x i , z 1 ) + p i ( y i , z 1 )

( i = 1 , . . . , n )

s i n c e t h e p i a r e a l l m e t r i c s , s o t h a t

m a x p i ( x i , y i ) < m a x { P i ( x i , z 1 ) + P 1 ( y i , z i ) }

1 < i - < n

1 < i < n

m a x p i ( x i , z 1 ) + m a x p i ( y i , z i )

1 < i < n

1 < i - < n

N o w i n t h e p r o d u c t s p a c e , t h e o p e n s p h e r e c e n t r e x , r a d i u s r h a s

t h e f o r m

{ ( y 1 , . . . , y n ) : P i ( x i , y i ) < r ,

1 < i < n }

= S ( x 1 , r ) x S ( x 2 , r ) x . . . X S ( x n , r )

t h a t i s , i t i s t h e p r o d u c t o f s p h e r e s i n e a c h o f t h e c o m p o n e n t s p a c e s .

T h u s t h e o p e n s p h e r e s a r e o p e n s e t s i n t h e p r o d u c t t o p o l o g y a n d s i n c e

e v e r y o p e n s e t i n t h e t o p o l o g y o f a m e t r i c p i s a u n i o n o f t h e o p e n

s p h e r e s c o n t a i n e d i n i t , e a c h s u c h s e t m u s t b e o p e n i n t h e p r o d u c t

t o p o l o g y .

C o n v e r s e l y i f G i s a n o p e n s e t i n t h e p r o d u c t t o p o l o g y a n d x c G ,

t h e r e m u s t b e o p e n s e t s G i c X i s u c h t h a t x c G l x

. . . x G , , c G .

C h o o s e r i > 0 s u c h t h a t S ( x i , r 1 ) c G i a n d p u t r = m i n r i . T h e n

1 0 a n d S ( x , r ) c S ( x 1 , r 1 ) x . . . x S ( x n , r j c G . T h u s a n y s e t G o p e n

i n t h e p r o d u c t t o p o l o g y i s a l s o o p e n i n t h e t o p o l o g y o f t h e m e t r i c p .

R e m a r k . T h e m e t r i c p d e f i n e d i n t h i s t h e o r e m i s b y n o m e a n s t h e

o n l y o n e w h i c h g e n e r a t e s t h e p r o d u c t t o p o l o g y - s e e e x e r c i s e 2 . 4 ( 1 , 2 ) .

T h e o r e m 2 . 6 . I f X , Y a r e c o m p a c t t o p o l o g i c a l s p a c e s , t h e n X x Y i s

c o m p a c t i n t h e p r o d u c t t o p o l o g y .

R e m a r k . T h e p r o o f w h i c h f o l l o w s e x t e n d s i m m e d i a t e l y t o f i n i t e

C a r t e s i a n p r o d u c t s o f c o m p a c t s e t s . A c t u a l l y t h e t h e o r e m i s t r u e f o r

a r b i t r a r y p r o d u c t s , a n d i n t h i s m o r e g e n e r a l f o r m i s d u e t o T y c h o n o f f .

P r o o f . S u p p o s e f i r s t t h a t R . = G . x H a , a E I i s a c o v e r i n g o f X x Y

b y o p e n r e c t a n g l e s . T h e n i f x 0 i s a f i x e d p o i n t o f X a n d I x a i s t h e s e t o f

i n d i c e s a f o r w h i c h ( x o , y ) E G . x H a f o r s o m e y E Y , t h e c l a s s H a ,

a E I _ , o f o r m s a n o p e n c o v e r i n g o f t h e c o m p a c t s e t Y . H e n c e , t h e r e i s

a f i n i t e s e t J x o c I s u c h t h a t R a , a E J , . c o v e r s t h e s e t { x o } x Y . B u t

i f w e p u t A g o = n G a , A x , i s o p e n , c o n t a i n s x 0 , a n d t h e f i n i t e c l a s s

a E J z o

R a , a E J X o m u s t c o v e r a l l o f A x 0 x Y . F o r e a c h x 0 E X , f o r m s u c h a n o p e n

s e t A , , : t h e c l a s s o f a l l s e t s o f t h i s f o r m i s a n o p e n c o v e r i n g o f t h e

2 . 4 ]

C A R T E S I A N P R O D U C T S

4 1

t o p o l o g y i n t h e C a r t e s i a n p r o d u c t s p a c e i s t o s a y t h a t i t i s t h e c o a r s e s t

t o p o l o g y f o r w h i c h e a c h o f t h e p r o j e c t i o n s i s c o n t i n u o u s . )

3 . S u p p o s e X x Y h a s t h e p r o d u c t t o p o l o g y a n d A e X , B C Y . S h o w

t h a t

A x B = A x B ,

a n d p r o v e t h a t t h e p r o d u c t o f c l o s e d s e t s i s c l o s e d .

2 . 5

F u r t h e r t y p e s o f s u b s e t

I n a t o p o l o g i c a l s p a c e X , a s u b s e t E c X i s s a i d t o b e n o w h e r e

d e n s e i f t h e c l o s u r e E o f E c o n t a i n s n o n o n - v o i d o p e n s e t . I f E i s n o -

w h e r e d e n s e , a n d G i s a n y n o n - v o i d o p e n s e t , t h e i n t e r s e c t i o n

G n ( X - 2 ) i s a n o n - v o i d o p e n s u b s e t d i s j o i n t f r o m E , a n d t h e r e f o r e

f r o m E . C o n v e r s e l y i f E c o n t a i n s a n o n - v o i d o p e n s e t H t h e n e v e r y

n o n - v o i d o p e n s u b s e t o f H i s a n e i g h b o u r h o o d o f e a c h o f i t s p o i n t s , a n d

t h e r e f o r e c o n t a i n s p o i n t s o f E . T h u s E i s n o w h e r e d e n s e i f a n d o n l y i f

e v e r y n o n - v o i d o p e n s e t i n X c o n t a i n s a n o n - v o i d o p e n s e t d i s j o i n t

f r o m E .

C a t e g o r y

A s u b s e t E c X i s s a i d t o b e o f t h e f i r s t c a t e g o r y ( i n X ) i f t h e r e i s a

s e q u e n c e { E n } o f n o w h e r e d e n s e s u b s e t s o f X s u c h t h a t E = 1 J E i . A

0

i = 1

s e t E c X w h i c h c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a c o u n t a b l e u n i o n o f n o w h e r e

d e n s e s e t s i s s a i d t o b e o f t h e s e c o n d c a t e g o r y .

B e f o r e p r o v i n g t h a t c o m p l e t e m e t r i c s p a c e s a r e n e c e s s a r i l y o f t h e

s e c o n d c a t e g o r y , i t i s c o n v e n i e n t t o p r o v e a l e m m a w h i c h a g a i n

g e n e r a l i s e s a w e l l - k n o w n r e s u l t i n R ( a b o u t a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f

c l o s e d i n t e r v a l s ) .

L e m m a ( C a n t o r ) . I n a c o m p l e t e m e t r i c s p a c e , g i v e n { A n } a d e c r e a s i n g

0 0

s e q u e n c e o f n o n - e m p t y c l o s e d s e t s s u c h t h a t d i a m ( A n ) - > 0 , f l A n i s a

n = 1

o n e p o i n t s e t .

P r o o f . F o r e a c h i n t e g e r n , c h o o s e a p o i n t x n a A n . T h e n g i v e n

e > 0 w e c a n c h o o s e N s o t h a t

n > N = > d i a m ( A n ) < e ,

a n d , s i n c e A N

A n f o r n > N ,

n , m > N - x n , x . E A N z P ( x n , X . ) < e ;

s o t h a t { x n } i s a C a u c h y s e q u e n c e . S i n c e t h e s p a c e i s c o m p l e t e , t h e r e

i s a p o i n t x 0 s u c h t h a t x n - > x o a s n - o o . F o r e a c h n , s i n c e A n i s

2 . 5 J

F U R T H E R T Y P E S O F S U B S E T

4 3

c o v e r e d b y a f i n i t e c l a s s l e n o f o p e n s p h e r e s o f r a d i u s 1 / n f o r n = 1 , 2 , . . .

a n d t h e ( c o u n t a b l e ) s e t c o n s i s t i n g o f t h e c e n t r e s o f a l l t h e s e s p h e r e s i s

c l e a r l y d e n s e i n X .

B o r e l s e t s a n d B o r e l i a n s e t s

I n a n y t o p o l o g i c a l s p a c e X , w e w i l l c a l l t h e

i g e n e r a t e d b y

t h e o p e n s e t s t h e c l a s s o f B o r e l s e t s , a n d t h e

. ' 1 ' ' g e n e r a t e d b y

t h e c o m p a c t s e t s t h e c l a s s o f B o r e l i a n s e t s . ( O n e m u s t r e m a r k t h a t

s o m e a u t h o r s u s e t h e t e r m B o r e l s e t s f o r . 7 E . )

I n a m e t r i c s p a c e t h e c o m p a c t s e t s a r e c l o s e d , a n d t h e r e f o r e i n

O D

- 4 s o t h a t . ' ' c R . I f X = U K i i s a c o u n t a b l e u n i o n o f c o m p a c t s e t s

i = 1

( i n t h i s c a s e w e c a n s a y t h a t X i s o - - c o m p a c t ) , t h e n M ' = R . I n o r d e r

t o p r o v e t h i s i t i s s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t e a c h o p e n s e t G E X ' : b u t

i f G i s o p e n , E = X - G i s c l o s e d a n d s o E n K i i s c o m p a c t f o r e a c h i

O D

a n d t h i s i m p l i e s E _ U E n K i e

.

' a n d G = X - E E X . N o w E u c l i -

i = 1

d e a n n - s p a c e R n i s t h e u n i o n o f t h e c l o s e d s p h e r e s S ( 0 , k ) ( k = 1 , 2 , . . . )

e a c h o f w h i c h i s c o m p a c t , s o R n i s o - - c o m p a c t . T h i s m e a n s t h a t , i n R n

t h e B o r e l s e t s a n d t h e B o r e l i a n s e t s a r e t h e s a m e .

N o t e t h a t , b y o u r d e f i n i t i o n , t h e c l a s s P i n o f B o r e l s e t s i n R n i s

t h e v - f i e l d g e n e r a t e d b y t h e o p e n s e t s i n R . I t i s c o n v e n i e n t t o s e e

t h a t i c a n a l s o b e o b t a i n e d a s t h e o - - f i e l d g e n e r a t e d b y a s i m p l e r

c l a s s o f s e t s .

L e m m a . T h e c l a s s O n o f h a l f - o p e n i n t e r v a l s i n R n g e n e r a t e s t h e a f i e l d

R n o f B o r e l s e t s i n R n .

P r o o f . L e t n b e t h e o - - f i e l d g e n e r a t e d b y q n . E a c h s e t i n n ,

{ ( x 1 , x 2 ,

. . . , x , y ) : a i < x t <

b i ,

i = 1 , 2 ,

. . . ,

n }

c a n c l e a r l y b e o b t a i n e d a s a c o u n t a b l e i n t e r s e c t i o n

° ° 1

f l

( ( x l , . . . , x n ) : a i < x i < b i + k ,

n

k = 1

o f o p e n r e c t a n g l e s , a n d i s t h e r e f o r e i n P i n . H e n c e - 4 1 L D g n s o t h a t

O i " n F n .

O n t h e o t h e r h a n d , e a c h o p e n s e t G i n R n i s a u n i o n o f t h o s e r e c t -

a n g l e s o f O p n w h o s e b o u n d a r y p o i n t s a i , b i a r e a l l r a t i o n a l . S i n c e t h e r e

a r e o n l y c o u n t a b l y m a n y s u c h s e t s , e a c h G i s a c o u n t a b l e u n i o n o f

s e t s i n 9 n a n d s o O i l " n

9 . T h i s i m p l i e s t h a t F n

P i n . '

I t i s s o m e t i m e s u s e f u l t o b e a b l e t o d e s c r i b e s e t s w h i c h c a n b e

o b t a i n e d f r o m a g i v e n c l a s s 6 b y a c o u n t a b l e o p e r a t i o n . W e s a y t h a t

4 4 P O I N T S E T T O P O L O G Y [ 2 . 5

E i s a W Q s e t i f i t i s p o s s i b l e t o f i n d s e t s E 1 , E 2

. . . i n ' s u c h t h a t

0 0

0 0

E _ U E i ; a n d E i s a W 8 s e t i f E = f l E ; , f o r a s e q u e n c e { E n } i n W .

i = 1

i = 1

I n p a r t i c u l a r , i f 9 i s t h e c l a s s o f o p e n s e t s i n a s p a c e X , w e s e e t h a t

9 - g $

9 , T , , , = 9 . S i m i l a r l y , i f F i s t h e c l a s s o f c l o s e d s e t s ,

. 4 = > . F P F , a n d . F . = . F .

P e r f e c t s e t

A s u b s e t E o f a t o p o l o g i c a l s p a c e X i s s a i d t o b e p e r f e c t i f E i s c l o s e d ,

a n d e a c h p o i n t o f E i s a l i m i t p o i n t o f E . F o r e x a m p l e , i n R n , a n y

c l o s e d s p h e r e S ( X , r ) , r > 0 i s p e r f e c t a n d , i n p a r t i c u l a r , t h e c l o s e d

i n t e r v a l [ a , b ] i s p e r f e c t i n R f o r a n y a < b . I t i s o b v i o u s t h a t f i n i t e

s e t s i n a m e t r i c s p a c e c a n n o t b e p e r f e c t . I n f a c t m o r e i s t r u e - s e e

e x e r c i s e 2 . 5 ( 7 ) .

E x e r c i s e s 2 . 5

1 . S h o w t h a t , i n R " , a n y c o u n t a b l e s e t i s o f t h e f i r s t c a t e g o r y . G i v e a

c a t e g o r y a r g u m e n t f o r t h e e x i s t e n c e o f i r r a t i o n a l n u m b e r s .

2 . S h o w t h a t t h e c l a s s . N ' o f n o w h e r e d e n s e s u b s e t s o f X i s a r i n g , a n d t h e

c l a s s

' c o n t a i n i n g a l l s e t s o f t h e f i r s t c a t e g o r y i s t h e g e n e r a t e d o - - r i n g .

3 . S h o w t h a t i n a c o m p l e t e m e t r i c s p a c e , a s e t o f t h e f i r s t c a t e g o r y

c o n t a i n s n o n o n - e m p t y o p e n s e t . D e d u c e t h a t e v e r y n o n - e m p t y o p e n s e t

i s o f t h e s e c o n d c a t e g o r y .

4 . I f 0 i s a n o p e n s e t i n a t o p o l o g i c a l s p a c e , p r o v e t h a t ( C - G ) i s n o w h e r e

d e n s e .

5 . I n R s h o w t h a t t h e c l a s s

o f h a l f - o p e n i n t e r v a l s w i t h r a t i o n a l e n d -

p o i n t s g e n e r a t e s t h e o r - f i e l d - 4 o f a l l B o r e l s e t s . S i m i l a r l y i n R " , s h o w t h a t

9 ' g e n e r a t e s t h e B o r e l s e t s a n .

6 . S h o w t h a t a s e t E i s p e r f e c t i f a n d o n l y i f E = E ' , w h e r e E ' i s t h e s e t

o f l i m i t p o i n t s o f E .

7 . S h o w t h a t a n y n o n - e m p t y p e r f e c t s u b s e t o f a c o m p l e t e m e t r i c s p a c e

i s n o n - c o u n t a b l e . H i n t . U s e t h e o r e m 2 . 7 a n d t h e f a c t t h a t a c l o s e d s u b s e t

o f a c o m p l e t e m e t r i c s p a c e i s c o m p l e t e .

2 . 6 N o r m e d l i n e a r s p a c e

T h e r e a r e m a n y a b s t r a c t s e t s w h i c h h a v e a n a l g e b r a i c s t r u c t u r e a s

w e l l a s a t o p o l o g y . T h u s i f , i n t h e s e t X t h e r e i s a b i n a r y o p e r a t i o n

+ ( c a l l e d a d d i t i o n ) a n d a n o p e r a t i o n i n w h i c h e l e m e n t s o f X c a n b e

2 . 6 1

N O R M E D L I N E A R S P A C E

4 5

m u l t i p l i e d b y e l e m e n t s o f t h e r e a l n u m b e r f i e l d R t o g i v e e l e m e n t s i n

X w e s a y t h a t X i s a r e a l l i n e a r s p a c e i f f o r a l l x , y , z E X , a , b , E R ;

( i )

x + y = y + x ;

( i i ) x + ( y + z ) _ ( x + y ) + z ;

( i i i ) x + y = x + z = y = z ;

( i v ) a ( x + y ) = a x + a y ;

( v ) ( a + b ) x = a x + b x ;

( v i ) a ( b x ) = ( a b ) x ;

( v i i ) l . x = X .

I t f o l l o w s f r o m t h e s e a x i o m s t h a t X h a s a u n i q u e z e r o e l e m e n t

0 = 0 . y f o r a l l y E X , a n d t h a t s u b t r a c t i o n c a n b e d e f i n e d i n X b y

x - y = x + ( - 1 ) y .

I n t h e p r e s e n t b o o k w e w i l l o n l y c o n s i d e r l i n e a r s p a c e s o v e r R .

M o s t o f o u r r e s u l t s c a n b e e x t e n d e d , t h o u g h s o m e t i m e s w i t h a l i t t l e

d i f f i c u l t y , t o l i n e a r s p a c e s o v e r t h e n u m b e r f i e l d C . W e w i l l n o t c a r r y

o u t t h i s e x t e n s i o n , n o r d o w e c o n s i d e r a n y m o r e g e n e r a l n u m b e r

f i e l d s .

I t i s i m m e d i a t e t h a t R n i s a r e a l l i n e a r s p a c e w i t h v e c t o r a d d i t i o n

a n d s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n f o r t h e t w o o p e r a t i o n s . T h e p r o p e r t i e s

o f l i n e a r s p a c e s a r e s t u d i e d a t l e n g t h i n e l e m e n t a r y c o u r s e s o n l i n e a r

a l g e b r a . t W e w i l l n o t r e q u i r e m a n y o f t h e s e , b u t w i l l d e v e l o p t h e

p r o p e r t i e s o f l i n e a r i n d e p e n d e n c e w h e n t h e y a r e n e e d e d i n C h a p t e r 8 .

N o r m

I f i n a r e a l l i n e a r s p a c e X t h e r e i s a f u n c t i o n n : X R s a t i s f y i n g

( i )

n ( 0 ) = 0 , n ( x ) > 0

i f

x + 0 ;

( i i ) n ( x + y ) < n ( x ) + n ( y )

f o r a l l

x , y E X ;

( i i i ) n ( a x ) = j a l n ( x )

f o r a e R , x c X ,

w e s a y t h a t X i s a n o r m e d l i n e a r s p a c e . W e w i l l i n t h i s c a s e u s e t h e

u s u a l n o t a t i o n I I x j l f o r t h e v a l u e n ( x ) o f t h e n o r m f u n c t i o n n a t x .

I n a n y n o r m e d l i n e a r s p a c e X ,

P ( x , Y ) _ I I x - y I I = P ( x - Y , 0 )

d e f i n e s a m e t r i c , a n d i n t h e t o p o l o g y d e t e r m i n e d b y t h i s m e t r i c , t h e

a l g e b r a i c o p e r a t i o n s a r e c o n t i n u o u s i n t h e s e n s e t h a t

( i )

x + y i s c o n t i n u o u s i n t h e p r o d u c t t o p o l o g y o f X x X ;

( i i ) a x i s c o n t i n u o u s i n t h e p r o d u c t t o p o l o g y o f X x R .

t S e e , f o r e x a m p l e , G . B i r k o f f a n d S . M a c L a n e . A S u r v e y o f M o d e r n A l g e b r a ,

( M a c m i l l a n , 1 9 4 1 ) .



4 6


[ 2 . 6

I t f o l l o w s i n p a r t i c u l a r t h a t

( i i i ) a E R , l i m x n = 0

l i m ( a x . ) = 0 ;

( i v ) X E X , a

. E

R , l i m a , = 0 = > l i m ( a n x ) = 0 .

( T h e r e a d e r i s a d v i s e d t o c h e c k ( i ) - ( i v ) u s i n g t h e a x i o m s . )

S p e c i a l n o r m e d l i n e a r s p a c e s w i l l b e s t u d i e d i n C h a p t e r s 7 a n d 8 .

A t t h i s s t a g e w e c o n s i d e r a f e w i m p o r t a n t e x a m p l e s o f s u c h s p a c e s

a n d e x a m i n e t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e i m p o s e d b y t h e n o r m .

M . C o n s i d e r t h e s e t o f t h o s e f u n c t i o n s x : [ 0 , 1 ] - > R w h i c h a r e

b o u n d e d . D e f i n e , f o r t E [ 0 , 1 ]

( x + y ) ( t ) = x ( t ) + y ( t ) ,

( a x ) ( t ) = a x ( t )

a n d c h e c k t h a t t h i s m a k e s M a l i n e a r s p a c e . I f w e p u t

1 l x i i = s u p I x ( t ) I

o , t s i

i t i s n o t h a r d t o c h e c k t h a t t h e c o n d i t i o n s f o r a n o r m a r e a l s o s a t i s f i e d ,

s o w e h a v e a n o r m e d l i n e a r s p a c e .

C . T h e s e t o f t h o s e f u n c t i o n s x : [ 0 , 1 ] - R w h i c h a r e c o n t i n u o u s

i s a s u b s e t C o f M . S i n c e t h i s s u b s e t C i s c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n s

o f a d d i t i o n a n d s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n , i t m u s t b e a n o r m e d l i n e a r

s p a c e w i t h t h e s a m e n o r m

1 1 4 = s u p M 0 1 .

s . T h e s e t o f a l l s e q u e n c e s o f r e a l n u m b e r s { x i } i s a l i n e a r s p a c e i f

w e p u t

{ x i } + { y z }

=

{ x i + y i } ,

a { x i } = { a x i } .

S i n c e f o r x , y r e a l w e h a v e

I x + y l

I x l

l y l

1 + l x + y l

1 + 1 x 1 + 1 + I y l

i t f o l l o w s t h a t

p ( { x i } , { y i } )

+ x i - y i l

i = 1 2 1 + I x i - y i l

d e f i n e s a m e t r i c i n s .

m . T h i s i s t h e s e t o f a l l b o u n d e d s e q u e n c e s o f r e a l n u m b e r s w i t h

t h e s a m e l i n e a r s t r u c t u r e a s s . H o w e v e r t h i s t i m e i t i s m o r e c o n v e n i e n t

t o u s e t h e n o r m

i i { x 4 1 = s u p i x i l ,

i

t o m a k e m i n t o a n o r m e d l i n e a r s p a c e .

2 . 6 ]

N O R M E D L I N E A R S P A C E

4 7

c . T h i s i s t h e s e t o f c o n v e r g e n t s e q u e n c e s o f r e a l n u m b e r s w i t h

t h e s a m e n o r m a n d l i n e a r s t r u c t u r e a s m .

E a c h o f t h e a b o v e s p a c e s h a s a t o p o l o g y d e f i n e d b y t h e n o r m .

W e n o w o b t a i n a f e w o f t h e t o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s e s p a c e s ,

l e a v i n g t h e r e a d e r t o d e t e r m i n e t h e r e m a i n d e r .

L e m m a . T h e s p a c e C i s c o m p l e t e .

P r o o f . I f { x n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n C , t h e n f o r e a c h t e [ 0 , 1 ]

{ x n ( t ) } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n R w h i c h m u s t c o n v e r g e t o a r e a l n u m b e r

x o ( t ) . F o r e a c h e > 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t , i f

Y m ( t ) = I x N ( t ) - x m ( t ) I

( m > N ) ,

t h e n I l y m l l < j c ; t h a t i s ,

0 < y m ( t ) < j e

f o r e a c h t i n [ 0 , 1 ] .

I f w e n o w l e t m - - o o , i t f o l l o w s t h a t

I x N ( t ) - x o ( t ) I < j e f o r a l l t i n [ 0 , 1 ]

s o t h a t , i f n > N , t E [ 0 , 1 ]

I x n ( t ) - x 0 ( I 

0 a s n - * o o . T h i s m e a n s t h a t x o i s t h e u n i f o r m l i m i t

o f a s e q u e n c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a n d m u s t t h e r e f o r e b e c o n -

t i n u o u s ; t h a t i s , x o a C . I

L e m m a . T h e s p a c e M i s n o t s e p a r a b l e .

P r o o f . F o r e a c h s e [ 0 , 1 ) , l e t x s b e t h e f u n c t i o n g i v e n b y

0 f o r 0 < t < 8 ,

{ 1

f o r 8 < t < 1 .

T h e n i f r , s e [ 0 , 1 ) a n d r + s w e m u s t h a v e I I x r - x s l l = 1 . N o w a n y

d e n s e s e t i n M h a s t o c o n t a i n a p o i n t y 8 s u c h t h a t I l y s - x s l l < I f o r

e a c h s e [ 0 , 1 ) ; a n d w e c a n n o t h a v e y r = y 8 w i t h r + s f o r t h e n

1 = I l x r - x s l l <

I l x r -

Y r l i + I I Y r - y s i l + l l y s - x s l l < 1 .

T h i s m e a n s t h a t a n y s e t d e n s e i n M m u s t c o n t a i n a t l e a s t c p o i n t s ,

a n d t h e r e f o r e M i s n o t s e p a r a b l e .

L e m m a . T h e s p a c e c i s n o t l o c a l l y c o m p a c t .

P r o o f . A m e t r i c s p a c e X i s l o c a l l y c o m p a c t i f , f o r e a c h z e X , t h e r e

i s a n e > 0 s u c h t h a t t h e c l o s e d s p h e r e S ( z , e ) i s c o m p a c t . N o w p u t

x i

1

f o r i = k ,

=

0

f o r

i 4 k ,

4 8


a n d f o r e a c h i n t e g e r k ,

x k = { x ? } ( i = 1 , 2 , . . . ) E c a n d k + j

l l x k - x f l l = 1 .

G i v e n z = { z i } e c a n d e > 0 , p u t

z k = z + e x k

a n d a l l t h e p o i n t s z k a r e i n S ( z , e ) . B u t

I I z k - z i l l = e

i f

k + j

[ 2 . 6

s o t h a t { z k } ( k = 1 , 2 , . . . ) f o r m s a n i n f i n i t e s e t i n i ( z , e ) w i t h n o l i m i t

p o i n t , a n d 2 ( z , e ) c a n n o t b e c o m p a c t . J

E x e r c i s e s 2 . 6

1 . S h o w t h a t s i s b o u n d e d b u t n o t c o m p a c t . I f x = { x i } c s , a n d

E _ { y : l y i l , I x i l } ,

s h o w t h a t E i s c o m p a c t i n s , b u t s h o w t h a t s i s n o t l o c a l l y c o m p a c t .

2 . S h o w t h a t e a c h o f t h e s p a c e s M , c , m , s i s c o m p l e t e .

3 . S h o w t h a t e a c h o f t h e s p a c e s C , c , s i s s e p a r a b l e , b u t t h a t m i s n o t

s e p a r a b l e .

H i n t f o r C . C o n s i d e r t h e s e t o f f u n c t i o n s w h i c h t a k e r a t i o n a l v a l u e s a t

e a c h o f a f i n i t e s e t o f r a t i o n a l s i n [ 0 , 1 1 a n d a r e d e f i n e d b y l i n e a r i n t e r p o l a -

t i o n b e t w e e n t h e s e p o i n t s .

4 . C * ( X ) d e n o t e s t h e s p a c e o f f u n c t i o n s f : % - + R w h i c h a r e c o n t i n u o u s

a n d b o u n d e d . S h o w t h a t C * ( R ) i s n o t s e p a r a b l e b y c o n s i d e r i n g c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s w h i c h t a k e t h e v a l u e s + 1 , - 1 o n d i s j o i n t s s u b s e t s Z 1 , Z 2 o f t h e

s e t Z o f p o s i t i v e i n t e g e r s a n d a r e d e f i n e d e l s e w h e r e b y l i n e a r i n t e r p o l a t i o n .

( T h e d i s t a n c e b e t w e e n a n y t w o s u c h f u n c t i o n s i s 2 , a n d t h e r e a r e c o f t h e m . )

H o w e v e r , l e t . 9 b e t h e s u b s e t o f C * ( R ) c o n s i s t i n g o f t h o s e f u n c t i o n s f

f o r w h i c h l i m f t x ) , l i m & ) b o t h e x i s t . P r o v e t h a t - 9 i s s e p a r a b l e .

r o

5 . L e t 1 2 b e t h e s u b s e t o f s s u c h t h a t x Z c o n v e r g e s . I n t h e l i n e a r s t r u c -

i = Z

t u r e o f s s h o w t h a t 1 2 i s a l i n e a r s p a c e a n d t h a t

I I x I l = f i x ?

d e f i n e s a n o r m . I n t h e t o p o l o g y o f t h i s n o r m s h o w t h a t 1 2 i s s e p a r a b l e .

T h e s u b s e t { x : 1 x i l < 1 / i } o f 1 2 i s k n o w n a s t h e H i l b e r t c u b e : p r o v e i t i s

c o m p a c t .

H i n t . S t a r t i n g w i t h a n i n f i n i t e s e q u e n c e i n t h e H i l b e r t c u b e p i c k a s u b -

s e q u e n c e i n w h i c h t h e f i r s t c o o r d i n a t e c o n v e r g e s , t h e n s u c c e s s i v e s u b -

s e q u e n c e s i n w h i c h t h e 2 n d , 3 r d , . . . , n t h c o o r d i n a t e c o n v e r g e s . S h o w t h a t

t h e s e q u e n c e t o w h i c h t h e s e c o o r d i n a t e s c o n v e r g e i s i n t h e H i l b e r t c u b e

a n d i s a l i m i t p o i n t o f t h e o r i g i n a l s e t .



2 . 7 1 C A N T O R S E T 4 9

2 . 7

C a n t o r s e t

W e n o w d i g r e s s b r i e f l y f r o m t h e s t u d y o f g e n e r a l s i t u a t i o n s a n d

c o n s i d e r t h e d e f i n i t i o n a n d p r o p e r t i e s o f a s p e c i a l s u b s e t o f R f i r s t

c o n s i d e r e d b y C a n t o r . T h i s s e t a n d a s s o c i a t e d f u n c t i o n s w i l l b e u s e f u l

i n t h e s e q u e l t o p r o v i d e c o u n t e r - e x a m p l e s t o s e v e r a l c o n j e c t u r e s

w h i c h a r e p l a u s i b l e b u t f a l s e .

I f w e d e n o t e t h e o p e n i n t e r v a l ( ( 3 r - 2 ) / 3 n , ( 3 r - 1 ) / 3 n ) b y E n r , p u t

3 n - 1

W

G n = U E , , r G = U G n ;

r = 1 n = 1

i t i s c l e a r t h a t G i s a n o p e n s u b s e t o f [ 0 , 1 ] . I t s c o m p l e m e n t

C = [ 0 , 1 ] - G

i s c a l l e d t h e C a n t o r s e t . F r o m i t s d e f i n i t i o n C i s c l o s e d .

L e m m a . T h e C a n t o r s e t C i s n o w h e r e d e n s e a n d p e r f e c t .

P r o o f . I f w e e x p r e s s p o i n t s x E [ 0 , 1 ] i n t h e f o r m

a

x =

i

( a 1 = 0 , 1 , 2 ) ,

( 2 . 7 . 1 )

i = 1

3 '

t h e n t h e s e t G . a b o v e i s t h e s e t o f x f o r w h i c h a n = 1 . H e n c e , t h e s e t

C c o n s i s t s o f p r e c i s e l y t h o s e r e a l n u m b e r s w h i c h h a v e a r e p r e s e n t a t i o n

i n t h e f o r m ( 2 . 7 . 1 ) w i t h e a c h a i = 0 o r 2 . G i v e n a p o i n t x 1 E C , a l t e r i n g

t h e n t h t e r m a n ( r e p l a c i n g 0 , 2 b y 2 , 0 r e s p e c t i v e l y ) g i v e s a n e w

p o i n t x 2 i n C s u c h t h a t

I x l -

x 2 l =

2 . 3 - n .

T h i s s h o w s t h a t e v e r y p o i n t o f C i s a l i m i t p o i n t o f C , s o t h a t C i s

p e r f e c t .

I f H i s a n y o p e n s e t w i t h H n [ 0 , 1 ] n o t v o i d t h e n H n [ 0 , 1 ] c o n t a i n s

a n o p e n i n t e r v a l I o f l e n g t h S > 0 . I f S > 3 1 - n , t h e n I m u s t c o n t a i n

a n i n t e r v a l E n , r s o t h a t H c o n t a i n s a n o p e n s e t d i s j o i n t f r o m C .

T h i s p r o v e s t h a t C i s n o w h e r e d e n s e . I

F r o m t h e a b o v e l e m m a a n d e x a m p l e 2 . 5 ( 7 ) w e c a n d e d u c e t h a t C

i s n o t c o u n t a b l e . H o w e v e r , o n e c a n p r o v e t h a t C m u s t h a v e t h e s a m e

c a r d i n a l a s t h e c o n t i n u u m [ 0 , 1 ] b y c o n s i d e r i n g t h e f o l l o w i n g m a p p i n g :

0 0

i f

1 ] ,

p u t X =

z Z

2 i

( b i = 0 o r

1 ) ,

w h e r e t h e s e q u e n c e { b i } d o e s n o t s a t i s f y b i = 1 f o r i > N . P u t

0 0 a i

a i = 0 i f

b i = 0 ,

P X ) =

i ? 1 3 '

( a i

= 2

i f b i = 1 .

5 0 F O I N T S E T T O P O L O G Y

[ 2 . 7

T h e n f : [ 0 , 1 ] - * C i s ( 1 , 1 ) a n d m a p s [ 0 , 1 ] o n t o a ( p r o p e r ) s u b s e t o f C .

S i n c e C c [ 0 , 1 ] t h e c a r d i n a l o f C i s c .

W e c a n t h i n k o f f a s a f u n c t i o n o n [ 0 , 1 ] t o [ 0 , 1 ] . I t i s e a s y t o s e e

t h a t f i s m o n o t o n i c , t h a t i s ,

{

x 1 < x 2 e f ( x 1 ) < J ( x 2 )

s o t h a t , f o r e a c h y E [ 0 , 1 ] ,

f - 1 [ 0 , y ] = [ 0 , z ] .

( 2 . 7 . 2 )

I f z i s d e f i n e d b y ( 2 . 7 . 2 ) , t h e n w e s a y t h a t

z = g ( y ) -

T h i s d e f i n e s g :

[ 0 , 1 ] - > [ 0 , 1 ] a s a

m o n o t o n i c f u n c t i o n w h i c h i s c l e a r l y

c o n s t a n t o n e a c h o f t h e s e t s E n , . I n f a c t

3 r - 2 3 r - 1

2 r - I

3 n

- < y

3 n

g ( y ) =

2 n

T h e f u n c t i o n g i s c o n t i n u o u s a n d m o n o t o n i c i n c r e a s i n g , f o r

0 S y 1 - Y 2 < 3 - n - 1

0 5 g ( y 1 ) - g ( y 2 ) < 2 - n .

S i n c e t h e f u n c t i o n g i s c o n s t a n t i n e a c h E n , , i t f o l l o w s t h a t i t i s d i f -

f e r e n t i a b l e w i t h z e r o d e r i v a t i v e a t e a c h p o i n t o f G . O n e c a n e a s i l y

s e e t h a t g i n c r e a s e s a t e a c h p o i n t o f C - a n d i n f a c t t h e ` u p p e r d e r i v a -

t i v e ' a t p o i n t s o f C i s + o o .

N o t e t h a t t h e r e i s n o t h i n g m a g i c a l a b o u t t h e i n t e g e r 3 u s e d i n t h e

c o n s t r u c t i o n o f C .

S i m i l a r c o n s t r u c t i o n s u s i n g e x p a n s i o n s t o a

d i f f e r e n t b a s e w i l l g i v e s e t s w i t h s i m i l a r p r o p e r t i e s .

E x e r c i s e s 2 . 7

1 . I f x =

c

( c 2 = 0 , 1 , . . . , 9 ) i s a d e c i m a l e x p a n s i o n o f r e a l n u m b e r s

i = 1 1 0 '

i n [ 0 , 1 ] a n d T i s t h e s e t o f s u c h x f o r w h i c h c E + 7 , s h o w t h a t T i s p e r f e c t

a n d n o w h e r e d e n s e .

2 . C o n s t r u c t a s e t w h i c h i s d e n s e i n [ 0 , 1 ] a n d y e t t h e u n i o n o f a c o u n t a b l e

c l a s s o f n o w h e r e d e n s e p e r f e c t s e t s .

3 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n g : [ 0 , 1 ] - x [ 0 , 1 ] d e f i n e d a b o v e s a t i s f i e s a

L i p s c h i t z c o n d i t i o n o f o r d e r a = l o g 2 / l o g 3 , b u t n o t o f a n y o r d e r 8 > a .

( A f u n c t i o n h : I - * R i s s a i d t o s a t i s f y a L i p s c h i t z c o n d i t i o n o f o r d e r a a t

x o E I i f j h ( x ) - h ( x o ) I < K I x - x o ) j a f o r x e I a n d s o m e s u i t a b l e K E

R . )

3 . 1 1

T Y P E S O F S E T F U N C T I O N

5 3

E x a m p l e 4 . S 2 i s a n y s p a c e w i t h a t l e a s t t w o d i s t i n c t p o i n t s n , s ;

o i s t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f Q .

, u ( E ) = 0 , i f E c o n t a i n s n e i t h e r o r b o t h o f n , s ;

p ( E ) = 1 , i f E c o n t a i n s n b u t n o t s ;

µ ( E ) = - 1 , i f E c o n t a i n s 8 b u t n o t n .

E x a m p l e 5 . t = ( 0 , 1 ] , t h e s e t o f r e a l n u m b e r s x w i t h 0 < x S 1 ,

' f t h e c l a s s o f h a l f - o p e n i n t e r v a l s ( a , b ] w h e r e 0 < a < b < 1 .

, u ( a , b ] = b - a

i f

a + 0 ;

, u ( 0 , b ] = + o o .

E x a m p l e 6 . S 2 i s a n y i n f i n i t e s p a c e , W t h e c l a s s o f a l l i t s s u b s e t s . L e t

x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . b e a n e n u m e r a b l e s e q u e n c e o f d i s t i n c t p o i n t s o f 0 ,

0 0

a n d s u p p o s e P 1 , P 2 , . . .

i s a s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s s u c h t h a t E p i

i = 1

e i t h e r c o n v e r g e s a b s o l u t e l y o r i s p r o p e r l y d i v e r g e n t t o + o o o r - o o

( t h e c a s e E p i c o n v e r g e n t , E l p i I d i v e r g e n t i s n o t a l l o w e d : w h y ? ) . P u t

, u ( E ) = E p i ,

w h e r e t h e s u m e x t e n d s o v e r a l l i n t e g e r s i = 1 , 2 , . . . f o r w h i c h x i E E .

A n y s e t f u n c t i o n w h i c h c a n b e d e f i n e d a s i n e x a m p l e 6 i s c a l l e d d i s c r e t e .

N o t e t h a t e x a m p l e ( 4 ) c a n b e t h o u g h t o f a s a s p e c i a l c a s e o f e x a m p l e ( 6 ) .

A l t h o u g h i t i s n o t s u f f i c i e n t t o r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o s e t f u n c t i o n s

, u : W - . R w h i c h a r e f i n i t e v a l u e d , t h e c o n d i t i o n o f a d d i t i v i t y w h i c h i s

u s u a l l y a s s u m e d p r e v e n t s , u f r o m t a k i n g b o t h t h e v a l u e s + o o , - o o

a t l e a s t w h e n ' i s a r i n g . T h i s i s o n e o f t h e r e s u l t s i n t h e n e x t t h e o r e m .

T h e o r e m 3 . 1 . S u p p o s e T : V

R * i s a n a d d i t i v e s e t f u n c t i o n d e f i n e d

o n a r i n g ' a n d E , F E W . T h e n

( i ) i f E F a n d r ( F ) i s f i n i t e

T ( E - F ) = T ( E ) - T ( F ) ;

( i i )

i f E F a n d T ( F ) i s i n f i n i t e

T ( E ) = T ( F ) ;

( i i i ) i f T ( E ) _ + o o , t h e n r ( F ) + - o o .

P r o o f . ( i ) S i n c e ' ' i s a r i n g , E - F E ' o a n d a d d i t i v i t y i m p l i e s , s i n c e

F n ( E - F ) = 0 ,

T ( E ) = T ( E - F ) + T ( F ) . ( 3 . 1 . 2 )

S u b t r a c t i n g t h e f i n i t e r e a l n u m b e r T ( F ) g i v e s t h e r e s u l t .



5 4

S E T F U N C T I O N S

[ 3 . 1

( i i ) I f T ( F ) = + o o , t h e n ( 3 . 1 . 2 ) c a n o n l y h a v e a m e a n i n g i f

T ( E - F ) + - o o , a n d t h i s i m p l i e s T ( E ) = + o o . T h e c a s e r ( F )

o o

i s s i m i l a r .

( i i i ) S i n c e E n F , E - F , F - E a r e d i s j o i n t s e t s o f l e

T ( E ) = r ( E n F ) + T ( E - F ) = + o o ,

T ( F ) = T ( E n F ) + T ( F - E ) = - o o

c o u l d o n l y h a v e m e a n i n g i f r ( E n F ) i s f i n i t e . B u t t h i s w o u l d i m p l y

T ( E - F ) = + 0 0 , T ( F - E ) = - o o , a n d t h e n , s i n c e E L F E W ,

T ( E 0 F ) = r ( E - F ) + T ( F - E ) = + o o + ( - o o )

w h i c h i s i m p o s s i b l e . J

O u r d e f i n i t i o n o f a d d i t i v i t y m e a n s t h a t f o r , u : ' - > . R * t o b e a d d i t i v e

a n y s e t E 0 E ' w h i c h c a n b e s p l i t i n t o a f i n i t e n u m b e r o f d i s j o i n t s u b -

s e t s i n ' m u s t b e s u c h t h a t , u ( E o ) i s t h e s a m e a s t h e s u m o f t h e v a l u e s

o f , u o n t h e ` p i e c e s ' . W e o f t e n w a n t t h i s t o b e t r u e f o r a d i s s e c t i o n o f

E 0 i n t o a c o u n t a b l y i n f i n i t e c o l l e c t i o n o f s u b s e t s i n W .

o - - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n

A s e t f u n c t i o n , a : '

R * i s s a i d t o b e a - - a d d i t i v e ( s o m e t i m e s

c a l l e d c o m p l e t e l y a d d i t i v e , o r c o u n t a b l y a d d i t i v e ) i f

( i ) A a ( O ) = 0 ,

( i i ) f o r a n y d i s j o i n t s e q u e n c e E l , E 2 ,

. . .

o f s e t s o f s u c h t h a t

0 0

E _ U E i E ' f ,

i = 1

0 0

p ( E ) = Z , u ( E i ) .

( 3 . 1 . 3 )

i = 1

A s b e f o r e t h e c o n d i t i o n ( i ) i s r e d u n d a n t i f I t t a k e s a n y f i n i t e v a l u e s .

S i n c e w e m a y a s s u m e t h a t a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f t h e s e q u e n c e

{ E i } a r e v o i d i t i s c l e a r t h a t a n y s e t f u n c t i o n w h i c h i s o - - a d d i t i v e i s

a l s o a d d i t i v e . T o s e e t h a t t h e c o n v e r s e i s n o t t r u e i t i s s u f f i c i e n t t o

c o n s i d e r e x a m p l e ( 5 ) o n p . 5 3 . P u t

E

_ ( 0 , 1 ] , E n =

( W + 1 _ 1

1

n ( n = 1 , 2 , . . . ) ;

,

t h e n { E n } i s a d i s j o i n t s e q u e n c e i n ( f w h o s e u n i o n E i s i n ' b u t

+ o o = , u ( E ) + 1 =

\

-

1

)

_ E M E . ) .

= 1 n n + 1

n = 1

3 . 1 ]


5 5

N o t i c e f u r t h e r t h a t e v e n w h e n ' ' i s a r i n g i t d o e s n o t f o l l o w t h a t

E i c 9 ( i = 1 , 2 , . . . ) = > E = U E E a 1 ;

s o t h a t i n t e s t i n g ( 3 . 1 . 3 ) w e c a n o n l y u s e t h o s e s e t s E E ' w h i c h c a n b e

s p l i t i n t o a c o u n t a b l e s e q u e n c e o f d i s j o i n t s u b s e t s i n W . I n p a r t i c u l a r

i f ' i s a f i n i t e c l a s s o f s e t s t h e n a d d i t i v i t y f o r , u : ( f - > . R * i m p l i e s

a d d i t i v i t y . W e a l s o i n t e r p r e t ( 3 . 1 . 3 ) t o m e a n t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e

i s u n i q u e l y d e f i n e d a n d i n d e p e n d e n t o f t h e o r d e r o f t h e s e t s E i ;

t h u s i f p i s

a d e c o m p o s i t i o n E = U E i ,

i = 1

w e c a n n o t h a v e , u ( E i ) = + o o , p ( E 5 ) _ - o o , n o r c a n t h e s e r i e s i n ( 3 . 1 . 3 )

c o n v e r g e c o n d i t i o n a l l y .

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t e a c h o f t h e s e t f u n c t i o n s i n e x a m p l e s ( 1 ) , ( 2 ) ,

( 4 ) , ( 6 ) o n p . 5 2 i s

a n d t h e s e t f u n c t i o n o f e x a m p l e ( 3 ) i s

a l s o o - - a d d i t i v e t h o u g h t h e p r o o f o f t h i s f a c t i s n o n - t r i v i a l . T h i s p r o o f

w i l l b e g i v e n i n d e t a i l i n § 3 . 4 , a s i t i s a n e s s e n t i a l s t e p i n t h e d e f i n i t i o n

o f L e b e s g u e m e a s u r e i n R .

M e a s u r e

A n y n o n - n e g a t i v e s e t f u n c t i o n p : '

R + w h i c h i s o - a d d i t i v e i s

c a l l e d a m e a s u r e o n ' , ( R + = { x E R * : x > 0 } ) .

W e s h o u l d r e m a r k t h a t t h e r e i s n o t g e n e r a l a g r e e m e n t i n t h e

l i t e r a t u r e a s t o w h i c h s e t f u n c t i o n s o u g h t t o b e c a l l e d m e a s u r e s .

A c c o r d i n g t o o u r d e f i n i t i o n t h e s e t f u n c t i o n s i n e x a m p l e s ( 1 ) , ( 2 )

a n d ( 3 ) a r e m e a s u r e s , t h o s e i n ( 4 ) a n d ( 6 ) a r e n o t b e c a u s e / I c a n

t a k e n e g a t i v e v a l u e s w h i l e t h e s e t f u n c t i o n i n ( 5 ) i s n o t b e c a u s e i t i s

n o t o - - a d d i t i v e .

T h e n a t u r a l d o m a i n o f d e f i n i t i o n o f a m e a s u r e , o r i n d e e d o f a n y

o r - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n , i s a

s i n c e t h e n

O D

E i E 1 o ( i = 1 , 2 , . . . ) . U E i E ' .

i = 1

H o w e v e r , w e w i l l n o t r e s t r i c t o u r c o n s i d e r a t i o n t o

s e t

f u n c t i o n s a l r e a d y d e f i n e d o n a o - r i n g .

G i v e n a s e t f u n c t i o n , u : ( f - > R * w h e r e ' f i s a r i n g i t i s u s u a l l y q u i t e

e a s y t o c h e c k w h e t h e r o r n o t u i s a d d i t i v e f o r o n e o n l y h a s t o c h e c k

( 3 . 1 . 1 ) f o r n = 2 . I n o r d e r t o c h e c k t h a t i t i s a l s o c r - a d d i t i v e i t i s u s e f u l

t o h a v e a c h a r a c t e r i s a t i o n o f o - - a d d i t i v e I t i n t e r m s o f a c o n t i n u i t y

c o n d i t i o n f o r m o n o t o n e s e q u e n c e s o f s e t s . S i n c e w e h a v e s e e n a l r e a d y

( t h e o r e m 3 . 1 ) t h a t s u c h s e t f u n c t i o n s c a n n o t a t t a i n b o t h v a l u e s

+ o o , - o o t h e r e w i l l b e n o l o s s o f g e n e r a l i t y i n a s s u m i n g t h a t

- o o < p ( E ) 5 + o o

f o r a l l E E W .

5 6

S E T F U N C T I O N S [ 3 . 1

C o n t i n u i t y

S u p p o s e q i s a r i n g a n d p : .

R * i s a d d i t i v e w i t h , u ( E ) > - o o

f o r a l l E E M . T h e n f o r a n y E E R w e s a y t h a t :

( i ) u i s c o n t i n u o u s f r o m b e l o w a t E i f

l i m # ( E . ) = p ( E )

( 3 . 1 . 4 )

n - a w

f o r e v e r y m o n o t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e { E n } o f s e t s i n g P w h i c h c o n -

v e r g e s t o E ;

( i i ) I t i s c o n t i n u o u s f r o m a b o v e a t E i f ( 3 . 1 . 4 ) i s s a t i s f i e d f o r a n y

m o n o t o n e d e c r e a s i n g s e q u e n c e { E n } i n 9 w i t h l i m i t E w h i c h i s s u c h

t h a t p ( E n ) < o o f o r s o m e n ;

( i i i ) I t i s c o n t i n u o u s a t B i f i t i s c o n t i n u o u s a t E f r o m b e l o w a n d f r o m

a b o v e ( w h e n E = 0 t h e f i r s t r e q u i r e m e n t i s t r i v i a l l y s a t i s f i e d ) .

T h e o r e m 3 . 2 . S u p p o s e 9 i s a r i n g a n d , u : . 9 - - 3 - R * i s a d d i t i v e w i t h

, u ( E ) > - o o f o r a l l E E R .

( i ) I f p i s o - - a d d i t i v e , t h e n p i s c o n t i n u o u s a t B f o r a l l E E 9 ;

( i i )

i f I t i s c o n t i n u o u s f r o m b e l o w a t e v e r y s e t E E 9 ? , t h e n p i s v -

a d d i t i v e ;

( i i i ) i f p i s f i n i t e a n d c o n t i n u o u s f r o m a b o v e a t o , t h e n p i s o - - a d d i t i v e .

P r o o f . ( i ) I f ; a ( E n ) = + o o f o r n = N a n d { E n } i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g

t h e n , u ( E ) = + o o a n d # ( E . ) = + o o f o r n > , N b y t h e o r e m 3 . 1 ( i i ) ,

w h e r e E = l i m E n . T h u s i n t h i s c a s e , u ( E n ) - > . p ( E ) a s n - a o o . O n t h e

o t h e r h a n d , i f p ( E n ) < o o f o r a l l n a n d { E n } i n c r e a s e s t o E , t h e n

0 0

E = E l U U ( E n + 1 - E n )

% = 1

i s a d i s j o i n t d e c o m p o s i t i o n o f E a n d

c o

p ( E ) = # ( E l ) + E F t ( E n + 1 - E n )

n = 1

N

_ , u ( E 1 ) +

l i m

Z f p ( E n + 1 - E n ) =

l i m

F ( E N ) ,

N - 0 0 n = 1 N - - > c o

s i n c e , u i s a d d i t i v e o n t h e r i n g R . T h u s p i s c o n t i n u o u s f r o m b e l o w a t E .

N o w s u p p o s e { E n } d e c r e a s e s t o E a n d p ( E N ) < + o o . P u t

F n = E N - E n f o r

n > , N .

T h e n , b y t h e o r e m 3 . 1 ( i i ) , p ( F . ) < o o a n d t h e s e q u e n c e { F n } i s m o n o t o n e

i n c r e a s i n g t o E N - E . H e n c e , a s n

o o ,

# ( F . ) - . p ` ( E N - E ) = , u ( E N ) - p ( E )



3 . 1 1


5 7

B u t µ ( F , ) = , u ( E N ) - µ ( E f ) s o t h a t p ( E n ) - ) - µ ( E ) a s n - * o o , s i n c e

, u ( E N ) i s f i n i t e , a n d f c i s a l s o c o n t i n u o u s f r o m a b o v e a t E .

( i i ) S u p p o s e E E M , E i E M ( i = 1 , 2 , . . . ) a r e s u c h t h a t E _ U E i

i = 1

a n d t h e s e t s E i a r e d i s j o i n t . p u t

n

F n = U E i E J I ( n = 1 , 2 , . . . ) ,

a n d { F n } i s a m o n o t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s i n 9 w h i c h c o n -

v e r g e s t o E E M . I f , u i s c o n t i n u o u s f r o m b e l o w a t E

E , a ( E ' i ) _ , a ( 1 ' ' n )

c ( E )

a s

n - - > o o

i = 1

0 0

s o t h a t

, u ( E ) = E , u ( E i ) ,

i = 1

a n d , u i s Q - a d d i t i v e .

( i i i ) I n t h e n o t a t i o n o f ( i i ) p u t

G n = E - F F E P 2

( n = 1 , 2 , . . . ) .

T h e n { G n } i s a m o n o t o n e d e c r e a s i n g s e q u e n c e c o n v e r g i n g t o 0 a n d ,

f o r n = 1 , 2 ,

. . .

n

d = 1

I f u i s f i n i t e a n d c o n t i n u o u s f r o m a b o v e a t 0 w e m u s t h a v e

# ( G . ) - * 0

a s n - o o

s o t h a t a g a i n

, u ( E ) = , u ( E i ) .

i = 1

R e m a r k 1 . I n o u r d e f i n i t i o n o f c o n t i n u i t y f r o m a b o v e w e o n l y

r e q u i r e t o h a v e # ( E n ) - > . , u ( E ) f o r t h o s e s e q u e n c e s { E n } w h i c h d e c r e a s e

t o E f o r w h i c h u ( E n ) i s f i n i t e f o r s o m e n . T o s e e t h a t w e c o u l d n o t r e l a x

t h i s f i n i t e n e s s c o n d i t i o n , c o n s i d e r e x a m p l e ( 2 ) o n p . 5 2 w h i c h w e h a v e

a l r e a d y s e e n t o b e o - a d d i t i v e w i t h S 2 = ( 0 , 1 ) . T h e n i f

E n =

( 0 , n )

( n = 1 , 2 ,

. . . )

w e h a v e a s e q u e n c e d e c r e a s i n g t o 0 s u c h t h a t , u ( E n ) = + o o f o r a l l

n s i n c e E n i s o f t h e s e c o n d c a t e g o r y .

R e m a r k 2 . T h e c o n d i t i o n t h a t , u b e f i n i t e c a n n o t b e o m i t t e d i n

t h e o r e m 3 . 2 ( i i i ) . C o n s i d e r e x a m p l e ( 5 ) o n p . 5 3 w h i c h w e s a w w a s

a d d i t i v e b u t n o t o ' - a d d i t i v e . A c t u a l l y t h e c l a s s ' o f s e t s o n w h i c h I t

i s d e f i n e d i s a s e m i - r i n g r a t h e r t h a n a r i n g , b u t i t s d e f i n i t i o n c a n e a s i l y



5 8


[ 3 . 1

b e e x t e n d e d t o t h e r i n g o f f i n i t e d i s j o i n t u n i o n s o f s e t s i n W b y u s i n g

t h e o r e m 3 . 4 . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t i t w i l l r e m a i n c o n t i n u o u s f r o m

a b o v e a t 0 , b u t n o t a - a d d i t i v e .

P a r t ( i i i ) o f t h e o r e m 3 . 2 w i l l p r o v e v e r y u s e f u l i n p r a c t i c e , e s p e c i a l l y

f o r f i n i t e v a l u e d s e t f u n c t i o n s # : . i R + w h i c h a r e n o n - n e g a t i v e a n d

a d d i t i v e o n a r i n g M . I n o r d e r t o p r o v e t h a t s u c h a p i s a m e a s u r e i t i s

s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t , i f { E n } i s a n y s e q u e n c e o f s e t s i n q i d e c r e a s i n g

t o 0 ,

µ ( E . ) - - > 0 a s

n - * o o .

( 3 . 1 . 5 )

I f ( 3 . 1 . 5 ) i s f a l s e f o r s o m e s u c h s e q u e n c e { E n } t h e n , s i n c e # ( E . ) i s

m o n o t o n e d e c r e a s i n g w e m u s t h a v e

# ( E . ) - > - 8 > 0 a s

( 3 . 1 . 6 )

I f w e c a n e s t a b l i s h a c o n t r a d i c t i o n b y a s s u m i n g ( 3 . 1 . 6 ) , t h e n ( 3 . 1 . 5 )

w i l l b e p r o v e d a n d w e w i l l h a v e d e d u c e d t h a t I t i s a m e a s u r e .

W h e n w e c o m e t o c o n s i d e r p a r t i c u l a r s e t f u n c t i o n s o n e o f o u r o b j e c -

t i v e s w i l l b e t o d e f i n e p o n a s l a r g e a c l a s s ' a s p o s s i b l e . W e w i l l a l s o

w a n t I t t o b e v - a d d i t i v e . I t w o u l d b e d e s i r a b l e t o d e f i n e , o n t h e c l a s s

o f a l l s u b s e t s o f 0 , b u t u n f o r t u n a t e l y t h i s i s n o t p o s s i b l e i f 0 i s n o t

c o u n t a b l e a n d I t i s t o h a v e a n i n t e r e s t i n g s t r u c t u r e . I n p a r t i c u l a r i t

h a s b e e n s h o w n , u s i n g t h e c o n t i n u u m h y p o t h e s i s , t h a t i t i s i m p o s s i b l e

t o d e f i n e a m e a s u r e p o n a l l s u b s e t s o f t h e r e a l l i n e s u c h t h a t ( a ) s e t s

c o n s i s t i n g o f a s i n g l e p o i n t h a v e z e r o m e a s u r e ( t h i s e l i m i n a t e s d i s c r e t e

s e t f u n c t i o n s l i k e e x a m p l e s ( 1 ) , ( 4 ) , ( 6 ) o n p p . 5 2 - 3 ) ; ( b ) e v e r y s e t o f i n -

f i n i t e m e a s u r e h a s a s u b s e t o f f i n i t e p o s i t i v e m e a s u r e ( t h i s e l i m i n a t e s

e x a m p l e ( 2 ) ) ; ( c ) t h e m e a s u r e o f t h e w h o l e s p a c e i s n o t z e r o . I n

p r a c t i c e t h e m e t h o d u s e d i s t o d e f i n e I t w i t h d e s i r e d p r o p e r t i e s o n

a r e s t r i c t e d c l a s s o f s e t s ' ( a s i n e x a m p l e s ( 3 ) o r ( 5 ) ) a n d t h e n e x t e n d

t h e d e f i n i t i o n t o a l a r g e r c l a s s _ q

W .

E x t e n s i o n

G i v e n t w o c l a s s e s l e

_ q o f s u b s e t s o f S Z a n d s e t f u n c t i o n s , u : l e - > . R * ,

v : .

R * w e s a y t h a t v i s a n e x t e n s i o n o f p i f , f o r a l l E e '

v ( E ) = p ( E ) ;

u n d e r t h e s a m e c o n d i t i o n s w e s a y t h a t p i s t h e r e s t r i c t i o n o f v t o W .

I t i s s o m e t i m e s a p p r o p r i a t e ( a s i n p r o b a b i l i t y t h e o r y ) t o w o r k

w i t h s e t f u n c t i o n s , u w h i c h a r e f i n i t e . H o w e v e r , m o s t o f t h e t h e o r e m s

w h i c h c a n b e p r o v e d f o r f i n i t e v - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n s c a n a l s o b e

o b t a i n e d w i t h a c o n d i t i o n s l i g h t l y w e a k e r t h a n f i n i t e n e s s .

3 . 1 1


5 9

o f i n i t e s e t f u n c t i o n

A s e t f u n c t i o n , a : ' - - a R * i s s a i d t o b e o - - f i n i t e i f , f o r e a c h E e C ,

c o

t h e r e i s a s e q u e n c e o f s e t s C i ( i = 1 , 2 , . . . ) e ' s u c h t h a t E C U C i

i = i

a n d p ( C i ) i s f i n i t e f o r a l l i .

I n o u r e x a m p l e s , o n p . 5 2 , t h e s e t f u n c t i o n s i n ( 3 ) , ( 4 ) , a n d ( 5 ) a r e

a l l f i n i t e , ( 1 ) g i v e s a o - - f i n i t e m e a s u r e i f a n d o n l y i f i t i s c o u n t a b l e ,

( 2 ) i s n o t o - - f i n i t e i f Q i s o f t h e s e c o n d c a t e g o r y , ( 6 ) i s f i n i t e i f E I p z I

c o n v e r g e s a n d o t h e r w i s e i t i s o - - f i n i t e .

S o m e t i m e s i t i s u s e f u l t o r e l a x t h e c o n d i t i o n o f a d d i t i v i t y i n o r d e r

t o b e a b l e t o d e f i n e I t o n t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s . T h e m o s t c o m m o n

e x a m p l e o f t h i s i s i n t h e c o n c e p t o f o u t e r m e a s u r e .

O u t e r m e a s u r e

I f I F i s t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f 0 , t h e n , u : '

R + i s c a l l e d a n o u t e r

m e a s u r e o n t i f

( i )

u ( O ) = 0 ;

( i i )

u i s m o n o t o n e i n t h e s e n s e t h a t E c F

. p ( E ) < , u ( F ) ;

( i i i ) u i s c o u n t a b l y s u b a d d i t i v e i n t h e s e n s e t h a t f o r a n y s e q u e n c e

{ E i } o f s e t s ,

O D

0 0

E U E i - l i ( E ) S E , u ( E 1 )

i = 1 i = 1

( 3 . 1 . 7 )

N o t e t h a t e v e r y m e a s u r e o n t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f a s p a c e S 2

i s a n o u t e r m e a s u r e o n Q . H o w e v e r , i t i s n o t d i f f i c u l t t o g i v e e x a m p l e s

o f o u t e r m e a s u r e s w h i c h a r e n o t m e a s u r e s .

E x a m p l e 7 . S 2 a n y s p a c e w i t h m o r e t h a n o n e p o i n t . P u t

p ( 0 ) = 0 ,

p ( E ) = 1

f o r a l l E + 0 .

I n t h i s b o o k w e d o n o t s t u d y t h e p r o p e r t i e s o f o u t e r m e a s u r e s f o r

t h e i r o w n s a k e , b u t w e w i l l u s e t h e m a s a t o o l t o e x t e n d t h e d e f i n i t i o n

o f m e a s u r e s .

E x e r c i s e s 3 . 1

1 . I f S 2 = [ 0 , 1 ) a n d ' ' c o n s i s t s o f t h e 6 s e t s

0 ,

Q ,

[ 0 ,

' ) ,

[ 0 , 1 ) ,

[ 0 , 1 ) ,

l i ( o ) = 0 ,

u [ 0 , 1 ) = 2 , p [ 0 , 1 ) = 2 ,

, a [ 0 , 1 ) = 4 ,

f z [ 4 , 1 ) = 2 ,

l t ( Q ) = 4 ,

s h o w t h a t , a i s a d d i t i v e o n W . C a n p b e e x t e n d e d t o a n a d d i t i v e s e t f u n c t i o n

o n t h e r i n g g e n e r a t e d b y l e ?

3

T I T

6 0

S E T F U N C T I O N S [ 3 . 1

2 . S h o w t h a t i f 9 i s a n y f i n i t e r i n g o f s u b s e t s o f 0 a n d p i s a d d i t i v e o n

R t h e n , u i s a - - a d d i t i v e o n R .

3 . A s e t f u n c t i o n f i :

' - + R * i s s a i d t o b e m o n o t o n e i f p ( 0 ) = 0 a n d

E e F , E , F E '

. p ( E ) < , u ( F ) . S h o w t h a t m o n o t o n e s e t f u n c t i o n s a r e n o n -

n e g a t i v e , a n d i f % i s a r i n g , s h o w t h a t a n a d d i t i v e n o n - n e g a t i v e s e t f u n c t i o n

i s m o n o t o n e . O f t h e s e t f u n c t i o n s i n e x a m p l e s ( 1 ) - ( 7 ) , w h i c h a r e m o n o t o n e ?

4 . Z i s t h e s p a c e o f p o s i t i v e i n t e g e r s a n d Z a i s a c o n v e r g e n t s e r i e s o f

o

n = 1

p o s i t i v e t e r m s .

I f E i s a f i n i t e s u b s e t o f Z , p u t - r ( E ) _

a , , ; i f E i s a n i n f i n i t e s u b s e t o f

n E E

Z , p u t T ( E ) = + o o .

S h o w t h a t T i s a d d i t i v e , b u t n o t o r - a d d i t i v e o n t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s

o f Z .

5 . Z i s t h e s p a c e o f p o s i t i v e i n t e g e r s ; f o r E e Z l e t r n ( E ) b e t h e n u m b e r

o f i n t e g e r s i n E w h i c h a r e n o t g r e a t e r t h a n n . L e t ' b e t h e c l a s s o f s u b s e t s E

f o r w h i c h

l i m

r n ( E ) = T ( E )

n - - > w n

e x i s t s . S h o w t h a t T i s f i n i t e l y a d d i t i v e , b u t n o t v - a d d i t i v e o n e , b u t t h a t

' i s n o t e v e n a s e m i - r i n g .

6 . I f p i s f i n i t e l y a d d i t i v e o n a r i n g 9 ; E , F , G E 9 s h o w

p ( E ) + p ( F ) = # ( E v F ) + , u ( E n F ) ,

p ( E ) + , u ( F ) + , a ( G ) + , u ( E n F n 0 )

= p ( E v F u C ; ) + , u ( E n F ) + p ( F n G ) + l u ( G n E ) .

S t a t e a n d p r o v e a r e l a t i o n s h i p o f t h i s k i n d f o r n s u b s e t s o f R .

7 . S u p p o s e . i s a v - r i n g o f s u b s e t s o f n , I t i s a m e a s u r e o n Y . S h o w t h a t

t h e c l a s s o f s e t s E E . 9 ' w i t h p ( E ) f i n i t e f o r m s a r i n g , a n d t h e c l a s s w i t h p ( E )

v - f i n i t e f o r m s a a - - r i n g .

8 . I f E i s a s e t i n S o o f a - f i n i t e # - m e a s u r e ( w h e r e p i s a m e a s u r e o n S o )

a n d 9 c 0 1 w h e r e - 9 i s a c l a s s o f d i s j o i n t s u b s e t s o f E s h o w t h a t t h e s u b c l a s s

o f t h o s e D e - 9 f o r w h i c h p ( D ) > 0 i s c o u n t a b l e .

9 . S t a t e a n d p r o v e a v e r s i o n o f t h e o r e m 3 . 2 ( i ) f o r s e t f u n c t i o n s , d e f i n e d

o n a s e m i - r i n g W .

1 0 . T o s h o w t h a t t h e f i n i t e n e s s c o n d i t i o n i n t h e d e f i n i t i o n o f ' c o n t i n u -

o u s f r o m a b o v e ' i n t h e o r e m 3 . 2 ( i ) c a n n o t b e r e l a x e d , c o n s i d e r a n y i n f i n i t e

s p a c e . Q a n d p u t

T ( E ) = n u m b e r o f p o i n t s i n E , i f E i s f i n i t e ;

T ( E ) = + o o , i f E i s i n f i n i t e .

3 . 1 1 T Y P E S O F S E T F U N C T I O N

6 1

T h e n T i s a m e a s u r e o n t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f 0 , b u t f o r a n y s e q u e n c e

o f i n f i n i t e s e t s w h i c h d e c r e a s e s t o 0 , w e d o n o t h a v e u r n T ( E ) = 0 .

1 1 . S u p p o s e 9 i s t h e s e m i - r i n g o f h a l f - o p e n i n t e r v a l s ( a , b ] , Q i s t h e s e t

o f r a t i o n a l e i n ( 0 , 1 ] a n d 9 Q i s t h e s e m i - r i n g o f s e t s o f t h e f o r m ( a , b ] n Q .

P u t

, u { ( a , b ] n Q } = b - a

i f

0 < a < b < 1 .

S h o w t h a t , u i s a d d i t i v e o n 9 Q a n d i s c o n t i n u o u s a b o v e a n d b e l o w a t e v e r y

s e t i n e Q , b u t i s n o t a - - a d d i t i v e . T h i s s h o w s t h a t t h e o r e m 3 . 2 ( i i ) , ( i i i ) i s n o t

t r u e f o r s e m i - r i n g s .

1 2 . S h o w t h a t i f I t i s a n o u t e r m e a s u r e o n S 2 , E 0 a n y f i x e d s u b s e t t h e n

, u o ( E ) = p ( E n E o ) d e f i n e s a n o t h e r o u t e r m e a s u r e o n Q .

1 3 . S h o w t h a t i f I t , v a r e o u t e r m e a s u r e s o n S 2 , s o i s T d e f i n e d b y

T ( E ) = m a x [ u ( E ) , v ( E ) ] .

1 4 . S u p p o s e i s a s e q u e n c e o f o - - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n s d e f i n e d o n a

o - - r i n g Y a n d t h a t l i m

O ( E ) e x i s t s f o r a l l E i n . 9 ' . S h o w t h a t g S

i s f i n i t e l y a d d i t i v e o n Y . I f e i t h e r

( i )

0 . ( E ) - > q ' ( E ) u n i f o r m l y o n Y w i t h c ( E ) > - c o f o r a l l E r : 9 ; o r

( i i ) 0 1 ( E ) > - o o , 0 . ( E ) m o n o t o n e i n c r e a s i n g f o r a l l E E . © ;

s h o w t h a t 0 i s a - - a d d i t i v e o n Y .

3 . 2

H a h n - J o r d a n d e c o m p o s i t i o n s

W h e n d i s c u s s i n g o - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n s w e w i l l u s u a l l y r e s t r i c t

o u r a t t e n t i o n t o t h e n o n - n e g a t i v e o n e s ( w h i c h w e c a l l m e a s u r e s ) .

T h e p r e s e n t s e c t i o n j u s t i f i e s t h i s p r o c e d u r e b y s h o w i n g t h a t , u n d e r

r e a s o n a b l e c o n d i t i o n s a ` s i g n e d ' s e t f u n c t i o n u : ' - > R * w h i c h i s

c o m p l e t e l y a d d i t i v e c a n b e e x p r e s s e d a s t h e d i f f e r e n c e o f t w o m e a s u r e s .

T h i s m e a n s t h a t p r o p e r t i e s o f c o m p l e t e l y a d d i t i v e s e t f u n c t i o n s

c a n b e d e d u c e d f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g p r o p e r t i e s o f m e a s u r e s . T h e r e

a r e a l s o v e r s i o n s o f t h e d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m f o r f i n i t e l y a d d i t i v e

s e t f u n c t i o n s , b u t w e w i l l n o t c o n s i d e r t h e s e .

W e h a v e a l r e a d y s e e n ( t h e o r e m 3 . 1 ( i i i ) ) t h a t a n a d d i t i v e s e t f u n c t i o n

d e f i n e d o n a r i n g c a n n o t t a k e b o t h t h e v a l u e s + o o , - o o . I f . 9 0 i s a

o - r i n g a n d 1 u : . 5 o

R * i s c o m p l e t e l y a d d i t i v e t h e n f o r a n y s e q u e n c e

{ E i } o f d i s j o i n t s e t s i n . 9 ' ,

, t

i

E i = Z l u ( E i )

= 1

i = 1

c o

S i n c e U E i i s i n d e p e n d e n t o f t h e o r d e r o f t h e s e t s i n t h e s e q u e n c e ,

i = 1

i t f o l l o w s t h a t t h e s e r i e s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e m u s t b e e i t h e r

3 - 2

6 2


[ 3 . 2

a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t o r p r o p e r l y d i v e r g e n t . I n t h e c a s e o f e x a m p l e ( 6 )

t h e s e t f u n c t i o n

, u ( E ) = E p i

x ; E E

c a n b e d e c o m p o s e d

µ ( E ) = , u + ( E ) - p _ ( E ) ,

w h e r e

# + ( E ) = Z m a x ( O , p i ) , , u _ ( E ) = - Z m i n ( O , p , )

x i E E

x , E E

s o t h a t

a r e m e a s u r e s o f w h i c h a t l e a s t o n e i s f i n i t e . F u r t h e r

i f w e p u t P = { x ; , u { x } > 0 } , N = f 2 - P w e h a v e , u + E = , u + ( P n E ) ,

, u _ E = - , u ( N n E ) f o r a l l E c S Z , s o t h a t t h e d e c o m p o s i t i o n i n t o t h e

d i f f e r e n c e o f t w o m e a s u r e s c a n a l s o b e o b t a i n e d b y s p l i t t i n g 0 i n t o

t w o s u b s e t s P , N s u c h t h a t , u i s n o n - n e g a t i v e o n e v e r y s u b s e t o f P

a n d n o n - p o s i t i v e o n e v e r y s u b s e t o f N . T h e s e t w o a s p e c t s o f t h e

d e c o m p o s i t i o n a r e t r u e i n g e n e r a l , p r o v i d e d .

' i s a o - - f i e l d .

T h e o r e m 3 . 3 . G i v e n a c o m p l e t e l y a d d i t i v e T : F - * R * d e f i n e d o n a o - - f i e l d

. F , t h e r e a r e m e a s u r e s T + a n d T _ d e f i n e d o n F a n d s u b s e t s P , N i n . F

s u c h t h a t P u N = 0 , P n N = 0 a n d f o r e a c h E E . F ,

T + ( E ) = T ( E n P ) > 0 , r _ ( E ) _ - T ( E n N ) > 0 ,

T ( E ) = T + ( E ) - T _ ( E ) ;

s o t h a t T i s t h e d i f f e r e n c e o f t w o m e a s u r e s T + , T _ o n F . A t l e a s t o n e o f

T + , T _ i s f i n i t e a n d , i f T i s f i n i t e o r o - f i n i t e s o a r e b o t h T + , T _ .

P r o o f . S i n c e T c a n t a k e a t m o s t o n e o f t h e v a l u e s + o o , - o o w e

m a y a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t , f o r a l l E c : . F ,

- o o < T ( E ) S + o o .

W e f i r s t p r o v e t h a t , i f E E F a n d

A ( E ) =

i n f T ( B ) ,

B c E , B E . F

( 3 . 2 . 1 )

t h e n A ( S 2 ) + - o o . I f t h i s i s f a l s e t h e n t h e r e i s a s e t B 1 E F f o r w h i c h

T ( B 1 ) < - 1 . A t l e a s t o n e o f A ( B 1 ) , A ( f 2 - B 1 ) m u s t b e - o o ; s i n c e

A ( A v B ) > A ( A ) + A ( B ) i f A , B a r e d i s j o i n t s e t s o f F . P u t A l e q u a l

t o B 1 i f A ( B 1 ) = - o o a n d ( f 2 - B 1 ) o t h e r w i s e . P r o c e e d b y i n d u c t i o n .

F o r e a c h p o s i t i v e i n t e g e r n , c h o o s e B n + 1 c A . s u c h t h a t

T ( B n + 1 ) < - ( n + 1 ) .

I f A ( B , t + 1 ) = - o o , p u t A n + 1

=

B n + 1 ; o t h e r w i s e p u t A n + 1

=

A n

- B n + 1

T h e n A ( A n + 1 ) =

- o o

3 . 2 ]

H A H N - J O R D A N D E C O M P O S I T I O N S

T h e r e a r e t w o p o s s i b l e c a s e s :

( i )

f o r i n f i n i t e l y m a n y i n t e g e r s n , A .

= A n - 1 -

B n ;

( i i ) f o r n > n o , A . = B n .

I n c a s e ( i ) t h e r e i s a s u b s e q u e n c e { B . , } o f d i s j o i n t s e t s a n d

T i U B n i = i T ( B . , ) < i O - ( n i + 1 ) _ - o o ,

= 1

i = 1

= 1

s o t h a t r t a k e s t h e v a l u e

w

- o o o n E _ U B n , E ,

,

i = 1

c o n t r a r y t o a s s u m p t i o n . I n c a s e ( i i ) , t h e s e t

0 0

E = ( 1 B , E ° F

n = n ,

a n d s i n c e { B n } i s t h e n a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s w e h a v e

T ( E ) = l i m r ( B , ) = - o o

n o o

6 3

a g a i n g i v i n g a c o n t r a d i c t i o n .

S i n c e T ( 0 ) = 0 , A ( S 2 ) 5 0 s o t h a t A = A ( S 2 ) i s f i n i t e a n d w e c a n f i n d

a s e q u e n c e { C n } o f s e t s i n . F f o r w h i c h

T ( C , )

< A + 2 - n .

N o w c o n s i d e r t h e s e t C n n C , n + 1 B y n o t i n g t h a t

C . V C n + 1 = ( C n - C . n C n + l ) V ( C n + 1 - C . n C . + 1 ) V ( C n n C n + 1 )

i s a d e c o m p o s i t i o n i n t o d i s j o i n t s e t s , i t f o l l o w s t h a t

T ( C , n C n + 1 ) = T ( C n ) + T ( C n + 1 ) - T ( C n v C n + 1 ) 1

< A + 2 - n + A + 2 - n - 1 - A = A + 2 - n + 2 - n - 1 .

T h i s a r g u m e n t c a n b e r e p e a t e d t o t h e p a i r o f s e t s ( C n n C . + , ) a n d C n + 2 :

b y i n d u c t i o n i t c a n b e p r o v e d t h a t

T \ A C r )

< A +

Y 2 - r < A + 2 1 - n .

r = n r = n

m

I f w e p u t D n = f l C r w e h a v e D n E F a n d , b y t h e o r e m 3 . 2 ( i ) ,

r = n

T ( D , ) < A + 2 1 - n .

B u t n o w { D n } i s a m o n o t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s i n F s o t h a t

N = l i m D n = l i m i n f C n E . F ,

n - > o o n - - > a o

a n d T ( N ) = A ,

b y t h e o r e m 3 . 2 ( i ) .

6 4 S E T F U N C T I O N S

[ 3 . 2

F i n a l l y , p u t P = f l - N . I f E e . F , E e P w e m u s t h a v e T ( E ) > 0

f o r , i f T ( E ) < 0 , t h e n T ( E v N ) = T ( E ) + T ( N ) < A . A l s o i f B e F ,

E c N w e m u s t h a v e T ( E ) < 0 f o r , i f T ( E ) > 0 , t h e n

T ( N - E ) = T ( N ) - T ( E ) < A .

I f w e n o w p u t

T + ( E ) = T ( E n P ) , T _ ( E ) = T ( E n N ) ,

i t i s c l e a r t h a t a l l t h e c o n d i t i o n s o f t h e t h e o r e m a r e s a t i s f i e d .

R e m a r k . I t i s u s u a l t o c a l l t h e d e c o m p o s i t i o n T = T + - T _ , o f T

i n t o t h e d i f f e r e n c e o f t w o m e a s u r e s , t h e J o r d a n d e c o m p o s i t i o n w h i l e

t h e d e c o m p o s i t i o n o f S Z i n t o p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s e t s P a n d N i s

c a l l e d t h e H a h n d e c o m p o s i t i o n . I t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w t h a t t h e

J o r d a n d e c o m p o s i t i o n i s u n i q u e w h i l e t h e s e t s P , N a r e n o t u n i q u e l y

d e t e r m i n e d b y T u n l e s s T ( E ) + 0 f o r a l l E E , F s u c h t h a t 1 4 ( E ) + 0 a n d

p ( F ) = 0 o r µ ( E ) f o r e v e r y F c E w i t h F E . F . I t i s f u r t h e r c l e a r t h a t

T _ ( E ) = - A ( E ) ,

2 2 )

3

.

E B

f

+ (

) =

s u p T (

)

B C E , B E . i

u n d e r t h e c o n d i t i o n s o f t h e o r e m 3 . 3 , w h e r e A ( E ) i s g i v e n b y ( 3 . 2 . 1 ) .

I f o n e i s g i v e n a

a o r - r i n g Y

w h i c h i s n o t a

t h e n i t i s n o t , i n g e n e r a l , p o s s i b l e t o o b t a i n t h e

H a h n d e c o m p o s i t i o n , b u t t h e J o r d a n d e c o m p o s i t i o n i s s t i l l p o s s i b l e ,

u s i n g ( 3 . 2 . 1 ) , ( 3 . 2 . 2 ) a s t h e d e f i n i t i o n o f T _ , T + .

E x e r c i s e s 3 . 2

1 . I f : Y - > R * i s a ' - a d d i t i v e o n a

Y , s h o w t h a t , f o r a n y E e . 9 ' ,

t h e r e a r e s e t s A c E , B e E w i t h A , B E S o s u c h t h a t

c ( A ) =

i n f

0 ( 0 ) ,

O ( B ) =

s u p

( C r y ) .

C C E , C E . f

C C E , C E ` . '

2 . S h o w t h a t , g i v e n a ( f i n i t e l y ) a d d i t i v e , u : 3 P - - > R * d e f i n e d o n a o - - r i n g M

a n d t a k i n g f i n i t e v a l u e s , t h e r e i s a d e c o m p o s i t i o n

. u ( E ) = µ + ( E ) - u - ( E )

o f p i n t o t h e d i f f e r e n c e o f t w o n o n - n e g a t i v e a d d i t i v e s e t f u n c t i o n s o n M .

3 . T h e s e t E 0 E ' i s s a i d t o b e a n a t o m o f a s e t f u n c t i o n 0 : ' R * i f

g 5 ( E o ) + 0 a n d f o r e v e r y E e B 0 , E E T ; ¢ ( E ) = 0 o r ¢ ( E 0 ) . W r i t e d o w n t h e

a t o m s o f t h e s e t f u n c t i o n s o f e x a m p l e s ( 4 ) a n d ( 6 ) o n p a g e 5 3 .

4 . A s e t f u n c t i o n 0 : ' - > R * i s s a i d t o b e n o n - a t o m i c i f i t h a s n o a t o m s .

S u p p o s e q 5 : . F - * R * i s

o n t h e

n o n - a t o m i c , a n d f i n i t e

v a l u e d . S h o w t h a t f o r a n y A e . . , 0 t a k e s e v e r y r e a l v a l u e b e t w e e n - 0 - ( A )

a n d 6 + ( A ) f o r s o m e s u b s e t E e A .



3 . 3 1

A D D I T I V E S E T F U N C T I O N S

6 5

3 . 3

A d d i t i v e s e t f u n c t i o n s o n a r i n g

I n o r d e r t o s i m p l i f y t h e a r g u m e n t s w e n o w c o n s i d e r o n l y n o n -

n e g a t i v e s e t f u n c t i o n s , u : ' ' - - > R + . I t i s o f t e n p o s s i b l e , f o r a g i v e n r i n g

9 t o f i n d a s e m i - r i n g W c R s u c h t h a t 9 i s t h e r i n g g e n e r a t e d b y l e .

W e s a w ( s e e § 1 . 5 ) t h a t t h e s e t s o f R c a n t h e n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f

t h e s e t s o f ( f , s o i t i s n a t u r a l t o a s k w h e t h e r i n t h e s e c i r c u m s t a n c e s

a s e t f u n c t i o n 1 a :

- > R + c a n b e e x t e n d e d t o p : R - > - R + . W e n o w p r o v e

t h a t , i f , a i s a d d i t i v e o n ' , t h i s i s a l w a y s p o s s i b l e a n d t h a t t h e r e s u l t i s

u n i q u e .

T h e o r e m 3 . 4 . I f , u : ' - . R + - i s a n o n - n e g a t i v e a d d i t i v e s e t f u n c t i o n d e f i n e d

o n a s e m i - r i n g ' , t h e n t h e r e i s a u n i q u e a d d i t i v e s e t f u n c t i o n v d e f i n e d

o n t h e g e n e r a t e d r i n g .

= . ( % ) s u c h t h a t v i s a n e x t e n s i o n o f / J , . v i s

n o n - n e g a t i v e o n 9 , a n d i s c a l l e d t h e e x t e n s i o n o f p f r o m ' t o A ( W ) .

P r o o f . S u p p o s e A i s a n y s e t o f

. = R ( T ) , t h e n b y t h e o r e m 1 . 4 ,

n

A = U E k w h e r e t h e s e t s E l , a r e d i s j o i n t a n d E k e ' . D e f i n e

k = 1

n

v ( A ) = E µ ( E k ) -

k = 1

( 3 . 3 . 1 )

S i n c e f o r a n y a , b e R + , a + b i s a l w a y s d e f i n e d , t h e r i g h t - h a n d s i d e o f

( 3 . 3 . 1 ) d e f i n e s a n u m b e r i n R + . v i s t h u s d e f i n e d o n p r o v i d e d w e c a n

s h o w t h a t ( 3 . 3 . 1 ) g i v e s t h e s a m e r e s u l t f o r a n y t w o d e c o m p o s i t i o n s

o f A i n t o d i s j o i n t s u b s e t s i n W .

S u p p o s e

n

m

A = U E k = U F j ,

k = 1 j = 1

w h e r e F e ' a n d a r e d i s j o i n t . P u t H k j = E k n F 1 . T h e n - s i n c e W i s a

s e m i - r i n g t h e s e t s H k j a l e , a r e d i s j o i n t a n d

m

E k = U H k j ( k

n ) ;

j = 1

n

F j = U H k j

( 9 = 1 , 2 , . . . , m ) ;

k = 1

s o t h a t , s i n c e I t i s a d d i t i v e o n W ,

E 1 . ( E k ) = E ( E / ( H k j ) ) = E ( E u ( H k j ) ) = E l t ( F j )

k = 1

k = 1 j = 1

j = 1 k = 1 j = 1

a n d i t m a k e s n o d i f f e r e n c e w h i c h d e c o m p o s i t i o n i s u s e d w i t h ( 3 . 3 . 1 )

t o d e f i n e v ( A ) .



6 6


I f A 1 , A 2 a r e d i s j o i n t s e t s o f 9 , a n d

n

i n

1 = U E k , A 2 = U 1 } ,

k = 1

i = 1

1 3 . 3

t h e n A l v A 2 i s a s e t o f 3 P w i t h a p o s s i b l e d e c o m p o s i t i o n i n t o d i s j o i n t

s u b s e t s o f 1 g i v e n b y

n m

A 1 v A 2 = U E k v U F i .

k = 1

4 = 1

n

m

H e n c e

v ( A 1 v A 2 ) = E , u ( E k ) + i E , u ( F )

= v ( A 1 ) + v ( A 2 ) ,

s i n c e v i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y ( 3 . 3 . 1 ) . T h u s v i s f i n i t e l y a d d i t i v e

o n R ( s i n c e R i s a r i n g ) . I t i s o b v i o u s t h a t v i s n o n - n e g a t i v e .

N o w l e t r b e a n y e x t e n s i o n o f p f r o m ' t o ° . r P w h i c h i s a d d i t i v e . I f

n

A e 9 P a n d A = I J E k i s a d e c o m p o s i t i o n i n t o d i s j o i n t s e t s o f ' ' ,

k = 1

n

T ( A ) = E r ( E k ) , s i n c e r i s a d d i t i v e ;

k - 1

n

= E p ( E k ) ,

s i n c e r i s a n e x t e n s i o n ;

k - 1

= v ( A )

b y

( 3 . 3 . 1 ) .

T h u s v i s t h e u n i q u e a d d i t i v e e x t e n s i o n o f p f r o m $ ° t o Q .

I f w e s t a r t w i t h a m e a s u r e p : % - - > R + o n a s e m i - r i n g ' , t h e n I t

i s c l e a r l y a n o n - n e g a t i v e f i n i t e l y a d d i t i v e s e t f u n c t i o n , a n d s o p o s s e s s e s

a u n i q u e a d d i t i v e e x t e n s i o n t o t h e g e n e r a t e d r i n g R . W h a t c a n w e

s a y a b o u t t h i s e x t e n s i o n ?

T h e o r e m 3 . 5 . I f , u : ' - . R + i s a m e a s u r e d e f i n e d o n a s e m i - r i n g W ,

t h e n t h e ( u n i q u e ) a d d i t i v e e x t e n s i o n o f µ t o t h e g e n e r a t e d r i n g 3 P ( ( ) i s a l s o

a m e a s u r e .

P r o o f . I n t h e l a s t t h e o r e m w e d i s c o v e r e d t h e f o r m o f t h e u n i q u e

a d d i t i v e e x t e n s i o n v o f , u f r o m ' t o R . I t i s s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t

v i s o n R . S u p p o s e E e R , E k ( k = 1 , 2 , . . . ) e 9 a n d a r e

d i s j o i n t , a n d E = U E k ,

o

k = 1

n

P u t E = U A A r d i s j o i n t s e t s o f % ;

r - 1

n k

E k = U B k d ,

B k 4 d i s j o i n t s e t s o f f .

4 x 1



3 . 3 ]


6 7

P u t

C r k i = A r n B

t h e n { C r k i } f o r m s a d i s j o i n t c o l l e c t i o n o f s e t s i n ' , a n d

c o

n k n

A r = U U C r k i ,

B k i = U C r k i

k - 1 i = 1

r = 1

a r e d i s j o i n t d e c o m p o s i t i o n s i n t o s e t s o f W . S i n c e , a i s a d d i t i v e o n ' ,

n

u ( B k i ) = E l a ( C k i ) i

r = 1

a n d s i n c e i t i s a - - a d d i t i v e o n W

0 o

n k

p ( A r ) = z z / J ' ( C r k i ) -

k = 1 i = 1

S i n c e t h e o r d e r o f s u m m a t i o n o f d o u b l e s e r i e s o f n o n - n e g a t i v e t e r m s

m a k e s n o d i f f e r e n c e , w e h a v e

v ( E ) _ E f , ( A r ) _

( 0 0

n k

I E f p ( C r k i )

r = 1

r = 1 k = 1 i = 1

= E

(

k

E E ( C k i )

k = 1 i = 1 r = 1

C o

n k

° o

= F i

Z i l u ( B k i ) = F i v ( E k ) J

k = 1 i = 1 k = 1

T h e a b o v e t h e o r e m g i v e s o n e m e t h o d o f o b t a i n i n g a m e a s u r e o n a

r i n g - i t i s s u f f i c i e n t t o d e f i n e a m e a s u r e o n a n y s e m i - r i n g w h i c h

g e n e r a t e s t h e g i v e n r i n g . T h e e x t e n s i o n t o t h e g e n e r a t e d r i n g i s e a s i l y

c a r r i e d o u t , i s u n i q u e , a n d g i v e s a m e a s u r e . T h e r e a r e c i r c u m s t a n c e s

i n w h i c h o n e c a n d e f i n e a s e t f u n c t i o n p d i r e c t l y o n a r i n g s o t h a t i t i s

e a s y t o s e e t h a t p i s n o n - n e g a t i v e a n d a d d i t i v e . U n d e r t h e s e c i r c u m -

s t a n c e s o n e c a n o f t e n u s e t h e o r e m 3 . 2 a s a c r i t e r i o n f o r d e t e r m i n i n g

w h e t h e r o r n o t I t i s a m e a s u r e . A n o t h e r u s e f u l c r i t e r i o n i s g i v e n b y

t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 3 . 6 . S u p p o s e , u : 9 - - > R + i s n o n - n e g a t i v e a n d a d d i t i v e o n a

r i n g R . T h e n

( i )

i f E E R , a n d { E i } i s a s e q u e n c e o f d i s j o i n t s e t s o f R s u c h t h a t

C o

E = ) U E E

° °

i = 1

p ( E ) i T l u ( E i ) i

i = 1

( i i ) p i s a m e a s u r e i f a n d o n l y i f f o r a n y s e q u e n c e { E i } o f s e t s i n R

0 0

s u c h t h a t U E i

E E P A , 0 0

i = 1 p ( E ) 5 E p ( E i )

i = 1



6 8


P r o o f ( i ) . F o r e a c h p o s i t i v e i n t e g e r n ,

E i

s o t h a t

I A ( R ) > , , A

Z , u ( E i ) ,

i - 1

\ i = 1

I i = 1

s i n c e , u i s a d d i t i v e . H e n c e

p ( E ) % E , u ( E ' i )

i = 1

( i i ) F i r s t , s u p p o s e t h a t p i s a m e a s u r e . P u t

F i = E n E i ( i = 1 , 2 , . . . ) ; G l = F 1 ,

n - 1

a n d

G n

= F n - U F i

( n = 2 , 3 , . . . . ) .

i = 1

T h e n { O n } i s a s e q u e n c e o f d i s j o i n t s e t s o f 9 s u c h t h a t

c o

n = 1 n = 1

T h u s

µ ( E ) = µ

( t i o )

=

, a ( G i ) 5 E , i ( F i ) ,

- 1

i = 1

t = 1

s i n c e µ i s o ' - a d d i t i v e a n d n o n - n e g a t i v e .

c o

[ 3 . 3

C o n v e r s e l y i f i t i s k n o w n t h a t I t i s a d d i t i v e a n d E = U E i i s a

i = 1

d i s j o i n t d e c o m p o s i t i o n o f E E R i n t o s e t s i n 9 , b y ( i )

0 0

p ( E ) % E l i ( E i ) ;

i = 1

a n d i f t h e c o n d i t i o n i n ( i i ) i s s a t i s f i e d ,

0 0

p ( E ) 5 E , u ( E i )

i = 1

s o t h a t w e m u s t h a v e

u ( E ) = E , u ( E i )

i = 1

a n d p i s a m e a s u r e o n R . ]

E x e r c i s e s 3 . 3

1 . I f n = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , } , s h o w t h a t ' c o n s i s t i n g o f o , 0 , { 1 } , { 2 , 3 } ,

{ 1 , 2 , 3 , } , ( 4 , 5 1 i s a s e m i - r i n g a n d t h a t 0 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 d e f i n e s a s e t o f v a l u e s

f o r a n a d d i t i v e s e t f u n c t i o n , u o n W . W h a t i s t h e r i n g ? g e n e r a t e d b y 6 ?

F i n d t h e a d d i t i v e e x t e n s i o n o f p t o M , a n d s h o w t h a t i t i s a m e a s u r e .

2 . S u p p o s e .

i s a n y r i n g o f s u b s e t s , 0 : G - + R + i s n o n - n e g a t i v e , f i n i t e l y

a d d i t i v e o n 9 P , a n d p : . - - > . R + i s a m e a s u r e o n 6 .

s u c h t h a t , f o r a n y s e q u e n c e

o f s e t s

i n R

0 = 0 a s

n

o o ;

s h o w t h a t 0 i s c o m p l e t e l y a d d i t i v e .

3 . 3 ]


6 9

3 . I f , u : R - + R + i s f i n i t e l y a d d i t i v e o n a r i n g .

a n d E , F E R a r e s u c h

t h a t # ( E L F ) = 0 , w e s a y t h a t E - F . S h o w t h a t - i s a n e q u i v a l e n c e r e -

l a t i o n i n R a n d t h a t

E - F - # ( E ) = , u ( F ) _ , u ( E v F ) = , u ( E n F ) .

I s t h e c l a s s o f a l l s e t s E E R f o r w h i c h E - ' 0 a r i n g ?

4 . I n t h e n o t a t i o n o f q u e s t i o n 3 , p u t p ( E , F ) = # ( E A F ) a n d s h o w t h a t

p ( E , F ) > 0 , p ( E , F ) = p ( F , E ) , p ( E , F ) 5 p ( E , 0 ) + p ( O , F ) .

I f E 1 , . , E 2 ,

F 1 - F 2 a r e a l l s e t s i n . ' , s h o w t h a t p ( E 1 , F 1 ) = p ( E 2 , F 2 ) . D o e s p d e f i n e a

m e t r i c i n A ?

3 . 4

L e n g t h , a r e a a n d v o l u m e o f e l e m e n t a r y f i g u r e s

I n § 1 . 5 w e s a w t h a t :

( i ) I n R = R I ( E u c l i d e a n 1 - s p a c e ) t h e c l a s s 9 = 9 1 o f h a l f -

o p e n i n t e r v a l s ( a , b ] f o r m s a s e m i - r i n g w h i c h g e n e r a t e s t h e r i n g

n

f o f e l e m e n t a r y f i g u r e s ( s e t s E o f t h e f o r m E _ ( J ( a i , b i ] w i t h

i = 1

b i < a i + 1 ( i = 1 , 2 , . . . , n - 1 ) .

( i i ) I n R k t h e h a l f - o p e n i n t e r v a l s h a v e t h e f o r m { ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) :

a i < x i < b i , i = 1 , 2 , . . . , k } a n d t h e y a g a i n f o r m a s e m i - r i n g 9 k w h i c h

g e n e r a t e s t h e r i n g d 1 k o f e l e m e n t a r y f i g u r e s ( s e t s w h i c h c a n b e e x p r e s s e d

a s a f i n i t e u n i o n o f d i s j o i n t s e t s o f . 9 k ) .

I n s t e a d o f u s i n g t h e t e r m s l e n g t h ( f o r k = 1 ) , a r e a ( f o r k = 2 ) a n d

v o l u m e ( f o r k > 3 ) o f a n i n t e r v a l w e w i l l u s e t h e s a m e w o r d ` l e n g t h '

i n e a c h c a s e . T h u s t h e ` l e n g t h ' o f a n i n t e r v a l o f . k w i l l b e t h e p r o d u c t

o f t h e l e n g t h s o f k p e r p e n d i c u l a r e d g e s .

, u ( a , b ] = b - a ,

k

u { ( x 1 , . . . , x k ) : a i < x 5 b i , i = 1 , 2 , . . . ,

k } = H ( b i

- a i ) -

i = 1

T h u s f o r e a c h k w e h a v e d e f i n e d a s e t f u n c t i o n

# : 9 k

R +

w h i c h h a s t h e u s u a l p h y s i c a l m e a n i n g o f l e n g t h , a r e a o r v o l u m e . H i s -

t o r i c a l l y t h i s s e t f u n c t i o n a n d i t s e x t e n s i o n t o a l a r g e r c l a s s o f s u b s e t s

o f R k w a s t h e f i r s t t o b e s t u d i e d ; i t l e a d s q u i c k l y t o t h e d e f i n i t i o n o f

L e b e s g u e m e a s u r e i n R k . O u r o b j e c t i n t h e p r e s e n t s e c t i o n i s t o s h o w

t h a t t h e s e t f u n c t i o n o b t a i n e d b y e x t e n d i n g , u f r o m o a k t o i f f k i s a

m e a s u r e o n e k . T h e r e a r e e s s e n t i a l l y t w o d i s t i n c t m e t h o d s o f d o i n g

t h i s , a n d b o t h w i l l w o r k f o r e a c h k . I n b o t h i t i s n e c e s s a r y t o s h o w t h a t

, u i s a d d i t i v e o n 9 a k s o t h a t i t h a s a u n i q u e e x t e n s i o n t o a n a d d i t i v e

7 0


[ 3 . 4

s e t f u n c t i o n i n o f f k . T h e n o n e c a n e i t h e r m a k e u s e o f t h e c o n t i n u i t y

t h e o r e m 3 . 2 t o s h o w t h a t , u : f k - > R + i s a m e a s u r e o n 0 1 , o r o n e c a n

p r o v e d i r e c t l y t h a t , u i s a m e a s u r e o n 9 k a n d a p p e a l t o t h e o r e m 3 . 5

t o d e d u c e t h a t i t s e x t e n s i o n i s a l s o a m e a s u r e . W e i l l u s t r a t e b y a p p l y -

i n g t h e f i r s t m e t h o d t o t h e c a s e k = 1 , a n d t h e s e c o n d m e t h o d t o t h e

c a s e k = 2 .

k = 1

F o r e a c h ( a , b ] E 9 w e p u t µ ( a , b ] = b - a . I t f o l l o w s t h a t , i s a d d i t i v e

o n 9 f o r i f ( a , b ] _ U ( a i , b i ] a n d t h e ( a i , b i ] a r e d i s j o i n t w e m a y a s s u m e

i = 1

t h a t t h e s e i n t e r v a l s a r e o r d e r e d s o t h a t b i < a i + 1 ( i = 1 , 2 , . . . , n - 1 ) .

I t

f o l l o w s t h a t w e m u s t h a v e a 1 = a , b n = b a n d b i = a i + 1 ( i = 1 , 2 ,

. . . , n - 1 )

s o t h a t , i f a n + 1 = b n ,

n

n

n

E u ( a i , b i ] = E ( b i - a 1 ) = F ( a i + 1 - a 1 )

1 = 1

i = 1

i = 1

_ ( b - a ) = , u ( a , b ] .

B y t h e o r e m 3 . 4 t h e r e i s a u n i q u e a d d i t i v e e x t e n s i o n u : o f - > R + s i n c e

d ° i s t h e s m a l l e s t r i n g c o n t a i n i n g t h e s e m i - r i n g 9 . S i n c e p i s f i n i t e

o n f i t w i l l f o l l o w f r o m t h e o r e m 3 . 2 ( i i i ) t h a t p i s a m e a s u r e , i f w e

c a n p r o v e t h a t p i s c o n t i n u o u s f r o m a b o v e a t o .

S u p p o s e t h i s i s f a l s e ; t h e n t h e r e i s a m o n o t o n e s e q u e n c e { E n }

o f s e t s i n

f o r w h i c h l i m E . = o b u t # ( E . ) - > 4 > 0 a s n - + o o .

N o w E l c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o f i n t e r v a l s o f 9 . L e t F 1 b e a s e t

o f 9 o b t a i n e d b y t a k i n g a w a y s h o r t h a l f - o p e n i n t e r v a l s o f 9 f r o m t h e

l e f t - h a n d e n d o f e a c h o f t h e i n t e r v a l s o f E 1 i n s u c h a w a y t h a t

F 1 c F i c E 1 ;

f u ( F 1 ) > f u ( E 1 ) - 8 / 2 2 .

W e n o w p r o c e e d b y i n d u c t i o n . S u p p o s e w e h a v e o b t a i n e d F . e S

s u c h t h a t

F . c T . c E .

^ F n - 1

n

1 6

a n d

# ( F . ) > l z ( E n ) -

r E i 2 r + 1

( 3 . 4 . 1 )

T h e n F .

^

E n + 1 E o f a n d

, u ( F n ^ E n + 1 ) %

- , u ( L ' ' n - F n ) % µ ( E n + 1 ) - E + 1

( 3 . 4 . 2 . )

T = 1

W e c a n a g a i n r e m o v e s m a l l h a l f - o p e n i n t e r v a l s f r o m t h e l e f t - h a n d e n d

o f e a c h i n t e r v a l o f F . n E n + 1 t o g i v e a s e t F n + 1 E & s u c h t h a t

p ( F n + 1 ) > p ( E n + 1 A F n ) - 8 / 2 n + 2

( 3 . 4 . 3 )

a n d

F n + l c F n + 1 c E n + 1 ^ F n .

3 . 4 ]

L E N G T H , A R E A A N D V O L U M E 7 1

B y ( 3 . 4 . 2 ) a n d ( 3 . 4 . 3 ) w e d e d u c e t h a t

/

n + 1 E

a ( F F + 1 ) > u ( E n + 1 ) -

2 r + 1 + 1

T h u s b y i n d u c t i o n w e c a n e s t a b l i s h ( 3 . 4 . 1 ) f o r a l l n . S i n c e I I ( E . ) > , 4 6

f o r a l l n , w e h a v e

# ( F . ) > 1 6 ,

f o r a l l n

s o t h a t a l l t h e s e t s F . a r e n o n - v o i d . H e n c e { F n } i s a d e c r e a s i n g s e q u e n c e

C D

o f n o n - e m p t y b o u n d e d c l o s e d s e t s . H e n c e n F . i s n o t v o i d . B u t

n = 1

0 0 0 0

n F n c n E n = o ,

n = 1 n =

s o w e o b t a i n a c o n t r a d i c t i o n .

k = 2

S u p p o s e C = { ( x , y ) : a < x < b , c < y < d } i s a s e t o f g 2 , a n d

p ( C ) = ( b - a ) ( d - c ) . I n o r d e r t o p r o v e t h a t u i s a d d i t i v e o n g 2 ,

n

s u p p o s e t h a t

C

U C i i s a d e c o m p o s i t i o n o f C i n t o d i s j o i n t r e c t a n g l e s

i = 1

i n e a c h o f w h i c h o n e o f t h e s i d e s ( s a y ( c , d ] ) r e m a i n s t h e s a m e . T h e n

t h e o t h e r s i d e s ( a i , b i J m u s t b e d i s j o i n t a n d s a t i s f y

n

( a , b ] = U ( a i , b i ]

i = 1

s o t h a t b y t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t i n 9 1 , , u i s a d d i t i v e i n t h i s c a s e .

M o r e g e n e r a l l y i f

n

C = U C i ,

C i = { ( x , y ) : a i < x < b i ,

c i < y < d i }

i = 1

i s a d e c o m p o s i t i o n o f C i n t o a f i n i t e n u m b e r o f d i s j o i n t r e c t a n g l e s ,

u s e t h e i n f i n i t e l i n e s x = a i , x = b i , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) t o d e c o m p o s e

e a c h C i i n t o a f i n i t e n u m b e r o f p i e c e s C i k e a c h w i t h t h e s a m e b o u n d s

f o r t h e y - c o o r d i n a t e . H e n c e

n

c /

E p ( C i ) = E E l u \ c i k ) ,

i = 1

i k

a n d w e c a n s u m t h e r i g h t - h a n d s i d e b y f i r s t s u m m i n g o v e r t h e r e c t -

a n g l e s w h o s e x - c o o r d i n a t e i s b o u n d e d b y a p a i r o f c o n t i g u o u s a i ,

b y a n d t h e n s u m m i n g o v e r t h e s e i n t e r v a l s i n x . T h u s b y r e p e a t e d

a p p l i c a t i o n o f a d d i t i v i t y i n 9 1 w e g e t

n

A ( C ) = E l u ( C i ) ,

i = 1

a s r e q u i r e d . ( T h e r e a d e r s h o u l d d r a w a p i c t u r e . )

7 2 S E T F U N C T I O N S

G o

[ 3 . 4

N o w s u p p o s e C = U C i i s a n i n f i n i t e d e c o m p o s i t i o n o f C i n t o d i s -

i = 1

j o i n t s e t s o f 9 2 . W e m u s t s h o w t h a t I t i s c o m p l e t e l y a d d i t i v e o n g 2 .

S i n c e 9 2 i s a s e m i - r i n g i t f o l l o w s b y i n d u c t i o n t h a t , f o r e a c h n .

n

C - U C i

i = 1

c a n b e e x p r e s s e d a s a f i n i t e u n i o n o f s e t s o f ° . 1 ' 2 . S i n c e A i s n o n - n e g a t i v e ,

t h i s i m p l i e s t h a t

n

, u ( C )

E , u ( C i ) , f o r a l l n ,

i - 1

0 0

s o t h a t

p ( C ) > ' E p ( C 1 ) .

i = 1

S u p p o s e i f p o s s i b l e t h a t p i s n o t v - a d d i t i v e , t h e n t h e r e w i l l b e s u c h

a s e t C f o r w h i c h

c o

, u ( C ) =

+ 2 4

( 4 > 0 ) . ( 3 . 4 . 4 )

i = 1

W e n o w u s e a n o t h e r f o r m o f c o m p a c t n e s s a r g u m e n t t o o b t a i n a

c o n t r a d i c t i o n . S u p p o s e e > 0 i s s m a l l e n o u g h t o e n s u r e t h a t , i f

F o = { ( x , y ) : a + e < x , u ( C ) - 8 ;

a n d e i > 0 a r e s m a l l e n o u g h t o e n s u r e t h a t , i f

F i = { ( x , y ) : a i < x < b i + e i , c 1 < y < d i + e i } ,

t h e n

p ( F i ) < p ( C i ) + S 2 - n

( i = 1 , 2 , . . . ) .

( 3 . 4 . 5 )

T h e n F . c C a n d C i c F ° , t h e i n t e r i o r o f F i ( i = 1 , 2 , . . . ) ; s o t h a t

0 0

F o C U F o i .

i = 1

S i n c e F o i s c o m p a c t a n d t h e s e t s F O i a r e o p e n i t f o l l o w s t h a t , f o r s o m e

i n t e g e r n , w e h a v e

n

n

P O

C

U F °

s o t h a t

F o c U F i .

i = 1

i = 1

B y t h e f i n i t e a d d i t i v i t y o f p o n O g 2 t h i s i m p l i e s

n

p ( F o ) < E p ( F i )

i = 1

s o t h a t , b y ( 3 . 4 . 5 )

µ ( C ) - S < E , u ( C i ) + E 4 2 - i .

1 = 1

i = 1

W h i c h c o n t r a d i c t s ( 3 . 4 . 4 ) .



3 . 4 1

L E N G T H , A R E A A N D V O L U M E

7 3

T h u s , u i s a m e a s u r e o n 9 2 a n d b y t h e o r e m 3 . 5 t h e u n i q u e a d d i t i v e

e x t e n s i o n , u : & 2

R + i s a l s o a m e a s u r e . E i t h e r f o r m o f a r g u m e n t

c l e a r l y e x t e n d s t o t h e c l a s s o f e l e m e n t a r y f i g u r e s i n R k , s o w e h a v e

p r o v e d :

T h e o r e m 3 . 7 . S u p p o s e o f f k i s t h e c l a s s o f e l e m e n t a r y f i g u r e s i n R k , t h a t

i s , t h e c l a s s o f t h o s e s e t s n

E = U C 1

i = 1

w h e r e t h e C i a r e d i s j o i n t h a l f - o p e n i n t e r v a l s i n R k .

I f w e p u t

, u ( C i ) = l e n g t h o f C i = p r o d u c t o f l e n g t h s o f t h e s i d e s o f t h e i n t e r v a l C i

a n d

n

p ( E )

p ( C i ) ,

i = 1

t h e n I t i s u n i q u e l y d e f i n e d o n f f k a n d i s a m e a s u r e .



7 4

4

C O N S T R U C T I O N A N D P R O P E R T I E S

O F M E A S U R E S

4 . 1

E x t e n s i o n t h e o r e m ; L e b e s g u e m e a s u r e

M e a s u r e w a s d e f i n e d a s a n o n - n e g a t i v e o - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n

d e f i n e d o n a c l a s s o f s e t s W . I n t e s t i n g T f o r Q - a d d i t i v i t y w e o n l y n e e d e d

c o

T ( E ) = Z T ( E i )

i = 1

0 0

f o r s e q u e n c e s { E i } o f d i s j o i n t s e t s o f l e f o r w h i c h E = U E i E l e . T h i s

i = 1

i s a n a r t i f i c i a l r e s t r i c t i o n a s t h e c o n d i t i o n o f a d d i t i v i t y d o e s n o t

W

a p p l y t o a s e q u e n c e { E i } u n l e s s t h e u n i o n s e t U E i h a p p e n s t o b e l o n g

i = 1

t o W . F o r t h i s r e a s o n t h e n a t u r a l d o m a i n o f d e f i n i t i o n f o r a m e a s u r e

T : l e - > R + i s a o - r i n g , a n d i n p r a c t i c e m o s t u s e f u l m e a s u r e s a r e d e f i n e d

o n

I n t h e l a s t c h a p t e r w e c o n s i d e r e d p r o p e r t i e s o f m e a s u r e s d e f i n e d

o n a r i n g . , s o o u r f i r s t o b j e c t i v e i n t h e p r e s e n t c h a p t e r w i l l b e t o

p r o v e t h a t t h e s e c a n a l w a y s b e e x t e n d e d t o a m e a s u r e o n t h e o - - r i n g

. 9 ' g e n e r a t e d b y R . T h i s e x t e n s i o n i s u n i q u e p r o v i d e d t h e m e a s u r e o n

.

i s o - - f i n i t e . W e i n t r o d u c e a n ( u n n e c e s s a r y ) s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n -

t h a t t h e g e n e r a t e d i s a l s o a o - - f i e l d , i . e . t h a t i t c o n t a i n s t h e

w h o l e s p a c e 0 . E v e n w i t h t h i s s i m p l i f i c a t i o n t h e m a i n e x t e n s i o n

t h e o r e m i s s o m e w h a t i n v o l v e d . T h e m a i n i d e a i s t h a t o f i n t r o d u c i n g

a n o u t e r a p p r o x i m a t i n g s e t f u n c t i o n , d e f i n e d i n t e r m s o f t h e m e a s u r e

o n R , a n d t h e n r e s t r i c t i n g t h i s t o a c l a s s o f s e t s o n w h i c h i t i s a - - a d d i t i v e .

T h e r e l e v a n t s e t f u n c t i o n t u r n s o u t t o b e a n o u t e r m e a s u r e , s o i t i s

c o n v e n i e n t f i r s t t o o b t a i n a t h e o r e m a b o u t a l l o u t e r m e a s u r e s .

M e a s u r a b l e s e t

S u p p o s e , u * i s a n o u t e r m e a s u r e d e f i n e d f o r a l l s u b s e t s o f S 2 : t h a t

i s , , u * i s n o n - n e g a t i v e , c o u n t a b l y s u b a d d i t i v e a n d m o n o t o n e ( s e e

p . 5 9 ) . A s u b s e t E i s s a i d t o b e m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o , u * i f , f o r

e v e r y s e t A C S 2 ,

1 t * ( A ) _ , u * ( A n E ) + , u * ( A - E ) .

( 4 . 1 . 1 )

I t i s i m p o r t a n t t o s t r e s s t h a t t h e c o n c e p t o f m e a s u r a b i l i t y f o r a

s e t d e p e n d s o n t h e o u t e r m e a s u r e , u * . T h e s a m e s e t E m a y w e l l b e

4 . 1 1

E X T E N S I O N T H E O R E M

7 5

m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o , u l a n d n o n - m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o , u 2 .

I t h e l p s o n e s i n t u i t i o n t o r e a l i s e t h a t ( 4 . 1 . 1 ) s t a t e s t h a t i f o n e

d i v i d e s t h e s e t A u s i n g E a n d i t s c o m p l e m e n t , t h e n t h e o u t e r m e a s u r e

o f t h e ` p i e c e s ' a d d s u p c o r r e c t l y . T h u s a s e t E i s , u * - m e a s u r a b l e

i f a n d o n l y i f i t b r e a k s u p n o s e t A i n t o t w o s u b s e t s o n w h i c h , u *

i s n o t a d d i t i v e . T h e m e a s u r a b i l i t y o f E d e p e n d s o n w h a t t h e s e t E d o e s

t o t h e o u t e r m e a s u r e o f a l l t h e o t h e r s u b s e t s .

T h e r e a d e r m a y f i n d t h e a b o v e e x p l a n a t i o n o f c o n d i t i o n ( 4 . 1 . 1 )

s t i l l i n a d e q u a t e t o p r o v i d e t h e d e f i n i t i o n o f m e a s u r a b i l i t y w i t h m u c h

i n t u i t i v e c o n t e n t . T h i s i s a c a s e w h e r e t h e d e f i n i t i o n i s j u s t i f i e d b y t h e

r e s u l t - i t t u r n s o u t t h a t , f o r s u i t a b l e o u t e r m e a s u r e s , a w i d e c l a s s o f

s e t s i s m e a s u r a b l e a n d t h e c l a s s o f m e a s u r a b l e s e t s h a s g o t t h e r i g h t

k i n d o f s t r u c t u r a l p r o p e r t i e s . T h e d e f i n i t i o n i s t h e r e f o r e j u s t i f i e d

u l t i m a t e l y b y t h e e l e g a n c e a n d u s e f u l n e s s o f t h e t h e o r y w h i c h r e s u l t s

f r o m i t .

N o t e t h a t , b e c a u s e o f t h e s u b a d d i t i v i t y c o n d i t i o n o n o u t e r m e a s u r e s ,

w e a l w a y s h a v e

, u * ( A ) , u * ( A n E ) + , u * ( A - E )

f o r a l l s e t s A , E . H e n c e E i s a * - m e a s u r a b l e i f a n d o n l y i f

, M A ) 3 µ * ( A n E ) + , u * ( A - E )

( 4 . 1 . 2 )

f o r e v e r y s e t A c Q . S i n c e ( 4 . 1 . 2 ) i s a u t o m a t i c a l l y s a t i s f i e d f o r s e t s A

w i t h , u * ( A ) _ + o o , E i s , u * - m e a s u r a b l e i f a n d o n l y i f ( 4 . 1 . 2 ) i s s a t i s f i e d

f o r e v e r y A

S 1 w i t h I t * ( A ) < o o .

I t i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t m a n y o f t h e e a r l y d i s c u s s i o n s o f m e a s u r -

a b i l i t y u s e t h e c o n c e p t o f i n n e r m e a s u r e . I f , u * ( S 2 ) < o o , t h i s c a n b e

d e f i n e d f o r a l l s u b s e t s E b y

, u * ( E ) = , u * ( S 2 ) - , u * ( S 2 - E ) .

I n t h i s m e t h o d o f p r o c e d u r e a s e t E i s s a i d t o b e m e a s u r a b l e i f

, u * ( E ) = , u * ( E ) . T h i s a p p a r e n t l y w e a k e r d e f i n i t i o n o f m e a s u r a b i l i t y

c a n b e s h o w n t o b e e q u i v a l e n t t o t h e o n e w e h a v e a d o p t e d p r o v i d e d

t h e o u t e r m e a s u r e u * i s r e g u l a r . ( A n o u t e r m e a s u r e i s s a i d t o b e r e g u l a r

i f , f o r e v e r y A c 0 , t h e r e i s a m e a s u r a b l e c o v e r E A s u c h t h a t

, M E ) = , u * ( A ) . ) T h i s m e a n s i n p a r t i c u l a r t h a t , u n d e r t h e s e c i r c u m -

s t a n c e s , i t i s s u f f i c i e n t t o u s e t h e s i n g l e t e s t s e t i f o r A i n ( 4 . 1 . 1 . ) .

W e d o n o t u s e t h e c o n c e p t o f i n n e r m e a s u r e i n o u r d e v e l o p m e n t .

T h e o r e m 4 . 1 . L e t , u * b e a n o u t e r m e a s u r e o n S 2 , a n d l e t . e l f b e t h e c l a s s

o f s e t s o f S 2 w h i c h a r e m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o , u * , T h e n . 4 ' i s a o f i e l d

a n d t h e r e s t r i c t i o n o f , u * t o . , ' d e f i n e s a m e a s u r e o n . 4 ' .



7 6

P R O P E R T I E S O F M E A S U R E [ 4 . 1

P r o o f . W e f i r s t s h o w t h a t a n y f i n i t e u n i o n o f s e t s o f . i s i n . , l l .

I t i s c l e a r l y s u f f i c i e n t t o p r o v e t h a t E l v E 2 E . 4 ' f o r a n y E l , E 2 E . W f .

F o r a n y s e t A , s i n c e E l i s m e a s u r a b l e ,

# * ( A ) = / . c * ( A n E 1 ) + , u * ( A - E l ) .

( 4 . 1 . 3 )

N o w u s e ( A - E l ) a s a t e s t s e t f o r t h e m e a s u r a b l e E 2

, u * ( A - E l ) = , u * ( ( A - E 1 ) r F 2 ) + , u * ( A - E l - E 2 ) ,

, u * ( A - E l ) = , u * ( ( A - F 1 ) r E 2 ) + / t * ( A - ( E 1 u F 2 ) ) . ( 4 . 1 . 4 )

B u t

[ ( A - E l ) n E 2 ]

U ( A n E l ) = A n ( E l v E 2 ) ,

s o t h a t i f w e s u b s t i t u t e ( 4 . 1 . 4 ) i n t o ( 4 . 1 . 3 ) a n d u s e t h e s u b a d d i t i v i t y

o f , u * , w e o b t a i n

, u * ( A ) = , u * ( A n E l ) + , u * ( ( A - E 1 ) ( A ) + , u * ( A - ( E l v E 2 ) )

# * ( A n ( E l u E 2 ) ) + , u * ( A - ( E l u E 2 ) )

s o t h a t , b y ( 4 . 1 . 2 ) , E 1 v E 2 e . 4 ' .

N o w , s i n c e A n E = A - ( 1 2 - E ) , t h e e q u a t i o n f o r t h e m e a s u r a b i l i t y

o f ( S 2 - E ) i s t h e s a m e a s t h a t f o r t h e m e a s u r a b i l i t y o f E . H e n c e ,

( t ) - E ) i s m e a s u r a b l e i f a n d o n l y i f E i s m e a s u r a b l e .

S i n c e

n

n

f l E i = S 2 - U ( S 2 - E i ) ,

( s e e § 1 . 4 ) ,

i = 1 i = 1

i t f o l l o w s t h a t t h e c l a s s - i f i s a l s o c l o s e d u n d e r f i n i t e i n t e r s e c t i o n s s o

t h a t . , & i s a f i e l d . I n o r d e r t o s h o w t h a t . 4 ' i s a a v - f i e l d i t i s s u f f i c i e n t t o

s h o w t h a t E = U E k e . 4 l f o r a n y s e q u e n c e { E k ) o f s e t s o f . , f f . T h e r e i s

k = 1

n o l o s s i n g e n e r a l i t y i n a s s u m i n g t h a t t h e s e t s E k a r e d i s j o i n t f o r , s i n c e

. 4 f i s a r i n g , a n y c o u n t a b l e u n i o n c a n b e r e p l a c e d b y a c o u n t a b l e

d i s j o i n t u n i o n o f s u b s e t s i n - f f . P u t

n

F n = U E k

( n = 1 , 2 , . . . ) ,

k = 1

a n d l e t . ° n b e t h e h y p o t h e s i s t h a t , f o r a n y A ,

µ * ( A n F n ) = , u * ( A n E k ) .

k - 1

C l e a r l y . * ' , i s t r u e . U s e A n F n + 1 a s a t e s t s e t f o r t h e m e a s u r a b i l i t y o f

F

n

: t h e n

# * ( A n F . + 1 ) = , u * ( A n F n ) + , u * ( A n E . J .

H e n c e X l = > . ° n + 1 s o t h a t , b y i n d u c t i o n . * n i s t r u e f o r a l l p o s i t i v e

i n t e g e r s n .

4 . 1 ]


S i n c e , a * i s m o n o t o n i c , f o r e a c h n

, a * ( A n E ) > , a * ( A n F n ) I t * ( A n E k ) ,

k = 1

0 0

7 7

s o t h a t

p * ( A n E ) > , I a * ( A n E k ) ,

k = 1

a n d t h e s u b a d d i t i v i t y o f , a * n o w i m p l i e s t h a t

µ * ( A n E ) = F , µ * ( A n E k ) .

( 4 . 1 . 5 )

k = 1

T h u s , f o r a n y A , a n d a n y n ,

, a * ( A ) = p * ( A n F n ) + , a * ( A - F n ) > , , a * ( A n E k ) + , u * ( A - E )

k = 1

u s i n g < r n a n d t h e m o n o t o n i c i t y o f u * . T h u s , b y ( 4 . 1 . 5 ) ,

, a * ( A ) > , a * ( A n E ) + , a * ( A - E ) ,

a n d t h i s i m p l i e s E e . J I b y ( 4 . 1 . 2 ) .

N o w t h e r e s t r i c t i o n o f , a * t o . , d l i s a n o n - n e g a t i v e s e t f u n c t i o n .

F u r t h e r ( 4 . 1 . 5 ) w i t h A r e p l a c e d b y S 2 s h o w s t h a t , a * i s o - a d d i t i v e o n

. 4 ' a n d i s t h e r e f o r e a m e a s u r e o n . ' .

W e c a n n o w p r o v e t h e b a s i c e x t e n s i o n t h e o r e m . I n o r d e r t o s i m p l i f y

t h e f o r m u l a t i o n w e w i l l a s s u m e t h a t t h e r i n g 9 o f s u b s e t s o f 0 i s

s u c h t h a t t h e r e i s a s e q u e n c e o f s e t s { E n } i n . g ' s u c h t h a t 0 = U E n .

n = 1

W e t h e n s a y t h a t S 2 i s o - 9 . T h i s c o n d i t i o n i m p l i e s t h a t t h e o - - r i n g

g e n e r a t e d b y 9 i s a o - - f i e l d . T h e o r e m 4 . 2 i s t r u e w i t h o u t t h i s r e s t r i c t i o n ,

b u t t h e p r o o f w o u l d t h e n r e q u i r e t h e c o n s i d e r a t i o n o f o u t e r m e a s u r e s

d e f i n e d o n a s u i t a b l e c l a s s o f s u b s e t s o f 9 2 , r a t h e r t h a n o n a l l s u b s e t s .

S i n c e t h i s g e n e r a l i s a t i o n a l s o c a u s e s c o m p l i c a t i o n s i n t h e d e f i n i t i o n

o f t h e i n t e g r a l , a n d t h e e x t r a g e n e r a l i t y i s r a r e l y n e e d e d , w e w i l l k e e p

t h e c o n d i t i o n t h a t S 2 b e o - - R .

T h e o r e m 4 . 2 . S u p p o s e R i s a r i n g o f s u b s e t s o f 9 2 s u c h t h a t S 2 i s

a n d , a : 9 - > R + i s a m e a s u r e d e f i n e d o n £ . T h e n t h e r e i s a n e x t e n s i o n

o f I t t o a m e a s u r e v d e f i n e d o n . ( . ) , t h e o - r i n g g e n e r a t e d b y R . I f

u i s o - f i n i t e o n a , t h e n t h e e x t e n s i o n i s u n i q u e , a n d i s 0 - - f i n i t e o n Y .

P r o o f . L e t ' b e t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f Q . S i n c e 0 i s o - - .

, a n y

B e c a n b e c o v e r e d b y a c o u n t a b l e s e q u e n c e o f s e t s o f 9 . P u t

0 0

, u * ( E ) = i n f

i = 1

t h e i n f i m u m b e i n g t a k e n o v e r a l l s e q u e n c e s o f s e t s { F i } i n 9 s u c h t h a t

O D

E U J . I t i s c l e a r t h a t , a * : l e - - ) - R + i s n o n - n e g a t i v e , m o n o t o n e a n d

i - i

7 8

P R O P E R T I E S O F M E A S U R E

0 0

[ 4 . 1

t h a t , u * ( 0 ) = 0 . S u p p o s e n o w t h a t E

U E i . T h e n , i f p * ( E i ) i s

i = 1

i n f i n i t e f o r s o m e i ,

0 0

, u * ( E ) < E , u * ( E i )

i = 1

( 4 . 1 . 6 )

i s i m m e d i a t e . I f a * ( E 1 ) < o o f o r a l l i ; f o r a n y e > 0 , c h o o s e s e t s

F i k ( k = 1 , 2 , . . . ) i n . r i ' P s u c h t h a t

0 0

0 0

6

E

i c U F i k

a n d

E / ( F i k ) < , u * ( E i ) +

2 4

( i = 1 , 2 , . . . ) .

k = 1 k = 1

T h e c o u n t a b l e c o l l e c t i o n { F i k } w i l l n o w c o v e r E , a n d

0 0 0 0

' 0

p * ( E ) < E E F ( F i k ) < E

2 4 1

= 1 k = 1

i = 1

S i n c e e i s a r b i t r a r y , ( 4 . 1 . 6 ) n o w f o l l o w s , a n d w e h a v e p r o v e d t h a t

, u * : W

R + i s a n o u t e r m e a s u r e . L e t . 4 f b e t h e c l a s s o f s u b s e t s o f Q

w h i c h a r e m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o , u * .

W e f i r s t w a n t t o s h o w t h a t . , r '

M . I f E R a n d # * ( A ) < o o ( t h e

c a s e , u * ( A ) = + o o i s u n i m p o r t a n t a s ( 4 . 1 . 2 ) i s t h e n t r i v i a l l y s a t i s f i e d ) ,

0 0

c h o o s e a s e q u e n c e { E i } o f s e t s o f . q ' s u c h t h a t A c u E i a n d

i = 1

, u * ( A ) + e > E 1 ( E i ) = E L , u ( E i - E ) + , u ( E i - E ) l

i = 1

i = 1

> , u * ( A n E ) + p * ( A - E ) ,

b y t h e s u b a d d i t i v i t y o f , u * . S i n c e e i s a r b i t r a r y , w e h a v e a g a i n p r o v e d

( 4 . 1 . 2 ) , s o t h a t E E - 0 . B y t h e o r e m 4 . 1 , . 4 ' i s a o - r i n g , s o t h a t _ W

. ,

t h e o - r i n g g e n e r a t e d b y 9 . B u t t h e r e s t r i c t i o n o f , u * t o - 0 i s a m e a s u r e ,

s o t h a t i t s f u r t h e r r e s t r i c t i o n v t o . 9 ' i s a l s o a m e a s u r e .

I f E e 9 i t i s c l e a r t h a t , u * ( E ) > , u ( E ) b e c a u s e o f t h e o r e m 3 . 6 ( i ) ,

a n d s i n c e E i s a c o v e r i n g o f i t s e l f , , u * ( E ) < , u ( E ) . H e n c e , f o r a l l s e t s

E e ° R , w e h a v e v ( E ) _ , u * ( E ) _ , u ( E ) , s o t h a t v i s a n e x t e n s i o n o f , u

f r o m R t o Y .

0 0

I f w e n o w a s s u m e t h a t 1 a * i s o - f i n i t e o n q P , i t f o l l o w s t h a t S 2 = U E i

i = 1

w i t h { E i } a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s i n g a n d p ( E 1 ) f i n i t e , i = 1 , 2 , . . . .

F o r a f i x e d i n t e g e r n , c o n s i d e r t h e r i n g R . c o n s i s t i n g o f s e t s o f t h e

f o r m E . n E w i t h E E R . S u p p o s e , u l a n d

, t 2 a r e a n y t w o e x t e n s i o n s

o f , u f r o m 9 , , t o Y . = . 9 ( P 2 . ) . T h e n a l l t h e s u b s e t s i n Y . a r e c o n -

t a i n e d i n t h e s e t E , , s o t h a t I t , a n d , u 2 a r e f i n i t e o n i f , , . N o w l e t . 9

b e t h e s u b c l a s s o f t h o s e s e t s E o f . S o , , f o r w h i c h , u 1 ( E )

=

, u 2 ( E ) . S i n c e

4 . 1 ] E X T E N S I O N T H E O R E M

7 9

f i n i t e m e a s u r e s a r e c o n t i n u o u s f r o m a b o v e a n d b e l o w , i t f o l l o w s t h a t

. 1

i s a m o n o t o n e c l a s s . B y t h e o r e m 1 . 5 , s i n c e J - n 9 n , i t f o l l o w s

t h a t 9 - n

Y . a n d w e m u s t h a v e . ° l n = S o n . T h u s t h e e x t e n s i o n o f

p t o Y . i s u n i q u e f o r e v e r y n . B u t , f o r a n y E S o w e h a v e

E = l i m E n K .

n - _ > r o

s o t h a t a f u r t h e r a p p l i c a t i o n o f t h e c o n t i n u i t y t h e o r e m s h o w s t h a t t h e

e x t e n s i o n o f p t o . 5 o m u s t b e u n i q u e .

T h e o r e m 4 . 2 c a n b e a p p l i e d t o a n y m e a s u r e d e f i n e d o n a r i n g a .

I n 3 . 4 w e s a w t h a t t h e c o n c e p t o f l e n g t h i n R ' , a r e a i n R 2 a n d v o l u m e

i n R k ( k > 3 ) c o u l d b e p r e c i s e l y f o r m u l a t e d o n t h e r i n g 4 6 ' k o f e l e m e n t a r y

f i g u r e s t o d e f i n e a m e a s u r e o n 8 k . I t i s c l e a r t h a t R k i s o r - o k , a n d t h e

m e a s u r e i s a c t u a l l y f i n i t e o n o k . T h e o - r i n g g e n e r a t e d b y g k i s t h e c l a s s

_ V k o f B o r e l s e t s i n R k ( p r o v e d i n § 2 . 5 ) . T h u s i f w e a p p l y t h e s t a t e m e n t

o f t h e o r e m 4 . 2 t o t h i s m e a s u r e , a : g k - > - R + w e o b t a i n a u n i q u e e x t e n -

s i o n t o a m e a s u r e v : j k - + R + w h i c h i s o - - f i n i t e o n j k . I t i s w o r t h

n o t i c i n g t h a t i n t h e p r o o f o f t h e o r e m 4 . 2 t h e e x t e n s i o n w a s a c t u a l l y

c a r r i e d o u t t o a c l a s s o f m e a s u r a b l e s e t s c o n t a i n i n g R k . T h i s c l a s s i s

d e n o t e d b y W k a n d c a n b e s h o w n t o b e l a r g e r t h a n s k . A s e t E c R k

i s s a i d t o b e L e b e s g u e m e a s u r a b l e i f a n d o n l y i f i t i s i n t h e c l a s s 2 k .

I n p a r t i c u l a r a l l B o r e l s e t s i n R k a r e L e b e s g u e m e a s u r a b l e . T h e s e t

f u n c t i o n v : 2 " ' - > R + i s c a l l e d L e b e s g u e m e a s u r e i n k - s p a c e a n d s h o u l d

b e t h o u g h t o f a s a g e n e r a l i s a t i o n o f t h e n o t i o n o f - k - d i m e n s i o n a l v o l u m e

t o a v e r y w i d e c l a s s o f s e t s . W e w i l l e x a m i n e t h e p r o p e r t i e s o f t h i s s e t

f u n c t i o n i n s o m e d e t a i l i n § 4 . 4 , a n d i t w i l l t h e n b e c o m e c l e a r t h a t

m a n y o f o u r i n t u i t i v e i d e a s o f l e n g t h , a r e a , a n d v o l u m e c a n b e p r e -

c i s e l y f o r m u l a t e d a n d r e m a i n v a l i d f o r L e b e s g u e m e a s u r e .

I t i s w o r t h n o t i c i n g t h a t t h e o u t e r m e a s u r e o b t a i n e d b y c o v e r i n g

a s i n t h e o r e m 4 . 2 i s a l w a y s a r e g u l a r o u t e r m e a s u r e . F o r , i f , u * ( E ) < o o ,

c h o o s e s e t s T n , r E

9 ( r = 1 , 2 , . . . ) s u c h t h a t

E C U T n . r ,

, a * ( E ) + 1

> G i # ( T . " )

r = 1

n

r = 1

T h e n

G o

C o

A = n U T n , r = ) E , A e 2 ,

n = 1 r = 1

a n d p * ( A ) = p * ( E ) . T h i s m e a n s t h a t t h e a p p r o a c h t h r o u g h i n n e r

m e a s u r e w i l l l e a d t o t h e s a m e c l a s s o f m e a s u r a b l e s e t s a n d t h e s a m e

e x t e n s i o n t o t h i s c l a s s . I n p a r t i c u l a r t h e L e b e s g u e m e a s u r e c a n b e

o b t a i n e d b y t h i s m e t h o d p r o v i d e d o n e c o n s i d e r s s u b s e t s o f a f i x e d

b o u n d e d i n t e r v a l ( o f f i n i t e m e a s u r e ) i n t h e f i r s t i n s t a n c e a n d t h e n

a l l o w s t h e i n t e r v a l t o e x p a n d t o t h e w h o l e E u c l i d e a n s p a c e .

8 0


E x e r c i s e s 4 . 1

1 . S u p p o s e p * i s a n o u t e r m e a s u r e o n S 2 = l i m E k w h e r e { E k } i s a m o n o -

t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s . S h o w t h a t i f a s e t E i s s u c h t h a t E n E k

i s m e a s u r a b l e ( p * ) f o r a l l s u f f i c i e n t l y l a r g e k , t h e n E i s m e a s u r a b l e ( p * ) .

2 . S h o w t h a t i f p * i s a r e g u l a r o u t e r m e a s u r e o n S 2 a n d p * ( Q ) < o o ,

t h e n a n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r E t o b e m e a s u r a b l e ( , a * )

i s t h a t

p * ( S 2 ) = p * ( E ) + p * ( Q - E ) .

3 . I n e a c h o f t h e f o l l o w i n g c a s e s , s h o w t h a t p * i s a n o u t e r m e a s u r e , a n d

d e t e r m i n e t h e c l a s s o f m e a s u r a b l e s e t s

( i ) p * ( o ) . 0 , p * ( E ) = 1 f o r a l l E + 0 .

( i i ) p * ( Q ) = 0 , p * ( E ) = 1 f o r E + 0 o r S 2 , p * ( S Z ) = 2 .

( i i i )

S 2 i s n o t c o u n t a b l e ; p * ( E ) = 0 i f E i s c o u n t a b l e , p * ( E ) = 1 i f E i s n o t

c o u n t a b l e .

4 . S h o w t h a t a n y o u t e r m e a s u r e w h i c h i s ( f i n i t e l y ) a d d i t i v e i s o - - a d d i t i v e .

5 . S u p p o s e p * i s a n o u t e r m e a s u r e o n 0 a n d E , F a r e t w o s u b s e t s , a t

l e a s t o n e o f w h i c h i s m e a s u r a b l e ( p * ) . S h o w t h a t

p * ( E ) + p * ( F ) = p * ( E u F ) + , a * ( E n F ) .

6 . S u p p o s e

i s a s e q u e n c e o f s e t s i n a o - - r i n g . 9 7 , a n d # i s a m e a s u r e

o n 9 . S h o w t h a t

( i )

( i i ) p r o v i d e d U E k h a s f i n i t e m e a s u r e f o r s o m e n ,

0

k = n

p ( l i m s u p E n ) > l i m s u p

O D

I f E p ( E n ) < o o , s h o w t h a t p ( l i m s u p E n ) = 0 .

n = 1

7 . S h o w t h a t , i f p i s a d i s c r e t e m e a s u r e o n n ( a s i n e x a m p l e ( 6 ) o f § 3 . 1

w i t h p i > 0 ) , t h e n t h e o p e r a t i o n o f e x t e n d i n g i t t o a n o u t e r m e a s u r e a n d r e -

s t r i c t i n g t h i s e x t e n s i o n t o t h e c l a s s o f m e a s u r a b l e s e t s a s i n t h e o r e m 4 . 2

y i e l d s n o t h i n g n e w .

8 . S u p p o s e . , / l i s t h e u - r i n g o f p * - m e a s u r a b l e s e t s i n Q . T h e n i f { E n } i s

a m o n o t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s i n . 4 ' a n d A i s a n y s e t

p * ( l i m A n E n ) = l i m p * ( A n E n ) .

n - ) . 0 0

n - ) 1 o o

P r o v e a c o r r e s p o n d i n g r e s u l t f o r a d e c r e a s i n g s e q u e n c e ( w h i c h n e e d s a n

a d d i t i o n a l c o n d i t i o n ) .

9 . I f p * i s a r e g u l a r o u t e r m e a s u r e , s h o w t h a t p * ( l i m A n ) = l i m p * ( A n )

f o r a n y i n c r e a s i n g s e q u e n c e

1 0 . S u p p o s e i n t h e o r e m 4 . 2 t h a t p i s k n o w n o n l y t o b e f i n i t e l y a d d i t i v e

o n l ; t h e n t h e s a m e p r o c e d u r e y i e l d s a n o u t e r m e a s u r e p * a n d a r e s t r i c t i o n

4 . 1 1


8 1

µ o f / t * t o t h e u * - m e a s u r a b l e s e t s . S h o w t h a t ; u i s a m e a s u r e b u t i s n o t

n e c e s s a r i l y a n e x t e n s i o n o f I t .

1 1 . S u p p o s e .

i s a r i n g o f s u b s e t s o f a c o u n t a b l e s e t f Z s u c h t h a t e v e r y

s e t i n R i s e i t h e r e m p t y o r i n f i n i t e , b u t t h e g e n e r a t e d s i g m a - r i n g Y ( R ) c o n -

t a i n s a l l s u b s e t s o f S 2 ( s e e e x e r c i s e 1 . 5 ( 8 ) ) . P u t p 1 ( E ) = n u m b e r o f p o i n t s

i n E , , u 2 ( E ) = 2 , u 1 ( E ) f o r a l l s u b s e t s E c Q . T h e n / Z l , / b 2 a g r e e o n ? b u t n o t

o n . 9 ' ( R ) s o t h a t t h e u n i q u e n e s s a s s e r t i o n o f t h e o r e m 4 . 2 r e q u i r e s , u t o b e

v - f i n i t e .

1 2 . S u p p o s e h ( t ) i s a n y c o n t i n u o u s m o n o t o n i c i n c r e a s i n g f u n c t i o n

d e f i n e d o n ( 0 , y ) , y > 0 w i t h l i m h ( t ) = 0 . I f S l i s a n y m e t r i c s p a c e , l e t

t - ) - o +

0 0

h - m * ( E ) = l i m

[ i n f

h { d i a m ( C i ) } J ,

8 - + 0 i = 1

w h e r e t h e i n f i m u m i s t a k e n o v e r a l l s e q u e n c e s { C ; } o f s e t s o f d i a m e t e r

< 8 w h i c h c o v e r E ( i f t h e r e a r e n o s u c h c o v e r i n g s t h e n t h e i n f i s + e o ) .

S h o w t h a t h - m * ( E ) d e f i n e s a n o u t e r m e a s u r e i n Q . ( I t i s c a l l e d t h e H a u s -

d o r f f m e a s u r e w i t h r e s p e c t t o h ( t ) . )

4 . 2

C o m p l e t e m e a s u r e s

I f w e a g a i n t h i n k o f m e a s u r e a s a m a s s d i s t r i b u t i o n i n t h e s p a c e

S 2 , i t i s c l e a r t h a t a n y s u b s e t o f a s e t o f z e r o m a s s s h o u l d h a v e t h e m a s s

z e r o a s s i g n e d t o i t . T h e p r e s e n t s e c t i o n s e e k s t o m a k e t h i s n o t i o n

p r e c i s e .

G i v e n a m e a s u r e T :

' - > R + w e s a y t h a t t h e c l a s s ' f i s c o m p l e t e

w i t h r e s p e c t t o r i f

E c F , F E W ,

r

t h a t r ( E ) = 0 . ) I f r : W o - > R +

i s s u c h t h a t ' i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o r w e a l s o s a y t h a t r i s a c o m -

p l e t e m e a s u r e .

A l l m e a s u r e s I t w h i c h a r e o b t a i n e d ( a s i n t h e o r e m 4 . 1 ) b y r e s t r i c t i n g

a n o u t e r m e a s u r e , u * t o t h e c l a s s . , ' o f s e t s w h i c h a r e m e a s u r a b l e

( , u * ) a r e c o m p l e t e m e a s u r e s . F o r , s i n c e o u t e r m e a s u r e s a r e m o n o t o n e ,

n o n - n e g a t i v e ,

E c F ,

µ * ( F ) = 0 = > / t * ( E ) = 0 ,

a n d a l l s e t s E o f z e r o / t * - m e a s u r e a r e m e a s u r a b l e / t * b y ( 4 . 1 . 2 ) s i n c e

p * ( A ) > / t * ( A - E ) _ , u * ( A - E ) + # * ( A n E ) .

I n p a r t i c u l a r L e b e s g u e m e a s u r e d e f i n e d o n t h e c l a s s I k i s a c o m p l e t e

m e a s u r e .



8 2 P R O P E R T I E S O F M E A S U R E [ 4 . 2

G i v e n a n y m e a s u r e p o n a o - - r i n g . 5 , t h e r e i s a s i m p l e m e t h o d o f

e x t e n d i n g i t t o a c o m p l e t e m e a s u r e o n a l a r g e r o - r i n g - c a l l e d t h e

c o m p l e t i o n o f . ? w i t h r e s p e c t t o , u .

T h e o r e m 4 . 3 . G i v e n a m e a s u r e u o n a o - - r i n g . ? , l e t S o b e t h e c l a s s o f a l l

s e t s o f t h e f o r m E L N w h e r e E E . ? a n d N c - F E Y w i t h µ ( F ) = 0 .

T h e n 9 i s a a n d i f w e p u t

µ ( E A N ) = , u ( E ) ,

t h e n µ ' : . 9 - a R + i s a ( u n i q u e l y ) d e f i n e d e x t e n s i o n o f p f r o m . S ? t o . 7 ,

a n d ; u i s a c o m p l e t e m e a s u r e o n . 9 .

P r o o f . L e t E 0 = E A N , w h e r e E E . S , N F E . ? , µ ( F ) = 0 . P u t

E l = E - F , t h e n E l c E 0 , E l E . ' a n d # ( E 1 )

# ( E ) . I f

N 1 = E 0 - E l ,

t h e n E l , N 1 a r e d i s j o i n t a n d E 0 = E l v N 1 . F u r t h e r , s i n c e

E 0 C E u F = ( E - F ) v F ,

w e h a v e N 1 c F a n d # ( F ) = 0 . T h u s t h e c l a s s 9 i s t h e s a m e a s t h e c l a s s

o f s e t s E v N w i t h E E . ° , N c F E . S , , u ( F ) = 0 a n d E n N = 0 .

A s i m i l a r a r g u m e n t s h o w s t h a t S o i s a l s o t h e s a m e a s t h e c l a s s o f s e t s

o f t h e f o r m E - N w i t h E E . S , N c F E . 9 , , u ( F ) = 0 a n d N c E .

I t i s n o w e a s y t o c h e c k t h a t 9 i s a r i n g . S u p p o s e E 1 , E 2 E . 9 ; f i r s t

e x p r e s s t h e m a s E l = X , - N 1 , E 2 = X 2 - N 2 , N 1 c X 1 , N 2 C X 2 w h e r e

N 1 c F 1 , N 2 e F 2 a n d µ ( F 1 ) _ p ( F 2 ) = 0 . T h e n

E 1 A E 2 = X 1 n X 2 - ( N 1 v N 2 ) ,

a n d X . n X 2 E ? ,

N 1 v N 2 c F 1 v F 2 E . 5 ,

µ ( F 1 v F 2 ) = 0 ;

s o

t h a t

E 1 n E 2 E . P . N o w P u t

E , = X 3 - N 3 , E 2 = X 2 - N 2 , N 3 n X 3 = o , N 3 c F 3 w i t h

µ ( F 3 ) = 0 .

T h e n

E l - E 2 = ( X

3 - X 2 ) v

( N 3 - X 2 ) V ( N 2 n E 1 ) = ( X 3 - X 2 ) U N 5 1

w h e r e N . c F . u F 2 a n d µ ( F 3 v F 2 ) = 0 . F i n a l l y

E , = X 3 v N 3 ,

E 2 = X 4 v N 4 ,

w h e r e X 4 n N 4 = o ,

a n d N 4 c F 4 w i t h µ ( F 4 ) = 0 . T h e n

E 1 v E 2 = ( X 3 v X 4 ) v ( N 3 v N 4 - X 3 v X 4 ) = ( X 3 V X 4 ) v N 8 ,



4 . 2 ]

C O M P L E T E M E A S U R E S 8 3

w h e r e N 6 c F 3 u F . a n d , u ( F 3 v F 4 ) = 0 . T h u s . 9 i s c l o s e d u n d e r t h e

f i n i t e o p e r a t i o n s o f i n t e r s e c t i o n , d i f f e r e n c e , u n i o n s o i t i s a r i n g . T o

p r o v e i t i s a a - r i n g , p u t

E i = X i u N i , N i c F i ,

u ( F i ) = 0

( i = 1 , 2 , . . . ) ;

O D

0 0 0 0

t h e n

U E i = U X i u U N 7 = X v N ,

i = 1

i = 1

i = 1

0 0

w h e r e

N c U F i = F a n d µ ( F ) = 0 .

i = 1

w

H e n c e

U E i E Y .

i = 1

T o s e e t h a t , u i s u n i q u e l y d e f i n e d o n 9 , l e t

E 1 A N 1 = E 2 A N 2

b e t w o r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s a m e s e t . T h e n ( s e e e x e r c i s e 1 . 4 ( 5 ) )

E 1 A E 2 = N 1 A N 2

a n d N 1 A N 2 C F E . 9 ' w i t h , u ( F ) = 0 . H e n c e

u ( E 1 - E 2 ) = , u ( E 2 - E 1 ) = 0 ,

a n d

, u ( E 1 ) = , u ( E 1 ^ E 2 ) = p p ( E 2 )

T h u s i f w e d e f i n e , i c o n S o b y

7 Z ( E 0 ) = l p ( E 1 )

i f E o

= E 1 L N 1 ,

i i i s u n i q u e l y d e f i n e d .

I t o n l y r e m a i n s t o s h o w t h a t 9 i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o µ .

S u p p o s e E i s a n y s e t o f . 9 w i t h µ ( E ) = 0 . T h e n B = X v N w h e r e

X E . 9 ' , , u ( X ) = 0 , N c : F E Y , , u ( F ) = 0 . T h u s , i f G c E , w e h a v e

G c X v F w i t h p ( X v F ) = 0 a n d X v F E . 9 ' ; s o t h a t

G = 0 v G E . 9 ,

a n d µ ( G ) = 0 . 1

W e a l r e a d y s a w t h a t i f I t w a s a a - f i n i t e m e a s u r e d e f i n e d o n a r i n g 9 ,

t h e n i t h a d o n l y o n e e x t e n s i o n t o a m e a s u r e o n t h e g e n e r a t e d a r - r i n g . 9 ' .

I f w e n o w c o m p l e t e . 9 t o o b t a i n t h e m e a s u r e ; u d e f i n e d o n 9 s o

t h a t 9 i s n o w c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o t h e e x t e n s i o n 7 1 o f , a , t h e n

w e h a v e e x t e n d e d p f r o m . t o R . S i n c e t h e e x t e n s i o n f r o m . S o t o . 9 ,

i s a l s o u n i q u e , i t f o l l o w s t h a t t h e r e i s o n l y o n e e x t e n s i o n o f p f r o m 9 P

t o R . T h e r e i s a s e n s e i n w h i c h , i n g e n e r a l , t h i s i s a s f a r a s o n e c a n g e t

w i t h e x t e n s i o n s w h i l e s t i l l p r e s e r v i n g u n i q u e n e s s , t h o u g h i t m a y b e

p o s s i b l e t o e x t e n d , u f u r t h e r t o a l a r g e r o - - f i e l d ; s e e t h e o r e m 6 . 1 1 .

8 4

P R O P E R T I E S O F M E A S U R E 1 4 . 2

I t s h o u l d a l s o b e n o t i c e d t h a t i n t h e e x t e n s i o n t h e o r e m 4 . 2 , t h e

c l a s s f o f , u * - m e a s u r a b l e s e t s i s n o n e o t h e r t h a n . 9 t h e c o m p l e t i o n

o f t h e a - r i n g . 5 0 w i t h r e s p e c t t o , u . F o r , i n t h e f i r s t p l a c e , . , '

. S v

a n d d l i s c o m p l e t e , h e n c e . i l l . 5 " . S e c o n d l y , i f E i s a n y s e t o f . 4

s u c h t h a t µ ( E ) < o o , w e c a n c o v e r i t b y F E Y s u c h t h a t , * ( F ) = , u * ( E ) .

T h e n F - E E . , 1 1 a n d h a s z e r o m e a s u r e , s o t h a t i t c a n b e c o v e r e d b y a

G E . S ° w i t h # ( G ) = 0 , a n d

E _ ( F - G ) u ( E n G ) E . S o .

S i n c e I t i s a - f i n i t e o n . 4 ' , a n d . 9 i s a a - r i n g , i t n o w f o l l o w s t h a t

. , k c . 9 .

I n p a r t i c u l a r , L e b e s g u e m e a s u r e o n 2 k i s t h e u n i q u e e x t e n s i o n o f

t h e c o n c e p t o f l e n g t h f r o m t h e s e m i - r i n g 9 k t o t h e a - r i n g 2 k w h i c h

i s t h e c o m p l e t i o n o f R k .

E x e r c i s e s 4 . 2

1 . S u p p o s e I t i s a m e a s u r e o n a a - r i n g . 2 a n d ; u o n . 2 i s i t s c o m p l e t i o n .

S h o w t h a t i f A , B e t w i t h A c E c B , , u ( B - A ) = 0 t h e n E E

,

a n d

Z ( E ) = , u ( A ) = # ( B ) .

2 . G i v e n a a - f i n i t e m e a s u r e , u o n a r i n g .

t h e e x t e n s i o n g i v e n b y t h e o r e m

4 . 2 y i e l d s a c o m p l e t e m e a s u r e o n t h e c l a s s . 4 ' o f # * - m e a s u r a b l e s e t s w h i c h

i s t h e c o m p l e t i o n o f . 5 o t h e g e n e r a t e d a - r i n g . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s

t h a t t h i s i s n o t t r u e i f t h e h y p o t h e s i s o f a - f i n i t e n e s s i s o m i t t e d : L e t S 2 b e

n o n - c o u n t a b l e , . 9 ' t h e r i n g ( a l s o a a - r i n g ) o f a l l s e t s w h i c h a r e c o u n t a b l e

o r h a v e c o u n t a b l e c o m p l e m e n t s , j u ( E ) = n u m b e r o f p o i n t s i n E f o r E E Y .

T h e n . 5 o i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o a , b u t a p p l y i n g t h e o r e m 4 . 2 y i e l d s a

c o m p l e t e m e a s u r e o n t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s ( a s e v e r y s u b s e t i s m e a s u r a b l e ) .

4 . 3

A p p r o x i m a t i o n t h e o r e m s

W e h a v e s e e n h o w t h e d e f i n i t i o n o f a m e a s u r e c a n b e e x t e n d e d f r o m

a r i n g . g ' t o t h e g e n e r a t e d a - r i n g . 5 0 , a n d i t s c o m p l e t i o n . 9 . I t i s c o n -

v e n i e n t t o t h i n k o f t h e s e t s o f £ a s h a v i n g a s i m p l e s t r u c t u r e , s o t h a t

i t b e c o m e s i n t e r e s t i n g t o s e e t h a t t h e s e t s o f S o c a n a l w a y s b e a p p r o x i -

m a t e d i n m e a s u r e w i t h a r b i t r a r y a c c u r a c y b y s e t s i n t h e o r i g i n a l

r i n g ? .

T h e o r e m 4 . 4 . S u p p o s e . 5 P i s a r i n g f o r w h i c h S 2 i s a - . , a n d t h e o - f i n i t e

m e a s u r e , u : r P - + R + h a s b e e n e x t e n d e d ( u n i q u e l y ) t o t h e c o m p l e t i o n 9

o f t h e a - r i n g . 9 0 g e n e r a t e d b y 9 ? . T h e n f o r a n y e > 0 , a n y s e t E E . 5 ° w i t h

, u ( E ) < o o , t h e r e i s a s e t F E . ? s u c h t h a t

# ( E A F ) < e .

4 . 3 ]

A P P R O X I M A T I O N T H E O R E M S

8 5

P r o o f . F i r s t , f i n d a s e t E 1 a . S o s u c h t h a t

, u ( E L E l ) = 0 .

T h e n , u ( E 1 ) = , u ( E ) < o o , s o t h a t b y t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e o r e m 4 . 2 ,

w e h a v e

E , c u T i

T , 4 E 5

s o t h a t w e c a n c h o o s e a s e q u e n c e o f d i s j o i n t s e t s { T i } o f 9 s u c h t h a t

0 0 C o

E 1

( J T i

a n d a * ( E , ) + J e > E , u ( T i ) .

i = 1 i = 1

N o w c h o o s e a f i n i t e i n t e g e r n s u c h t h a t

G o

E t ( T i ) < . e ,

n + 1

n

a n d p u t

F = U T i E . Q .

i = 1

C o

T h e n

E 1 - F

U T i ,

s o t h a t , u ( E 1 - F ) < j e ;

i = n + i

a n d

F - E 1

I J T i - E 1

s o t h a t

, u ( F - E l ) < , f e .

i = 1

H e n c e

, u ( E

F ) = # ( E 1 A F ) < e . I

R e m a r k . T h e c o n d i t i o n , u ( E ) < o o c a n n o t b e o m i t t e d f r o m t h e a b o v e

t h e o r e m , s i n c e i t i s p o s s i b l e f o r a f i n i t e m e a s u r e I t o n 9 t o h a v e a n

e x t e n s i o n t o . 9 ' w h i c h i s

b u t n o t f i n i t e ( f o r e x a m p l e , L e b e s g u e

m e a s u r e ) .

I t i s a l s o w o r t h n o t i c i n g t h a t t h e s e t s E o f 9 c a n b e a p p r o x i m a t e d

e x a c t l y i n m e a s u r e b y s e t s i n . , b y t h e o r e m 4 . 3 . W e n o t i c e d e a r l i e r

t h a t t h e o u t e r m e a s u r e , u * g e n e r a t e d b y t h e p r o c e s s o f t h e o r e m 4 . 2 i s

a l w a y s r e g u l a r . T h i s m e a n s t h a t a n a r b i t r a r y s e t E

S Z i s a l w a y s

c o n t a i n e d i n a s e t F E Y f o r w h i c h , * ( E ) = # ( F ) , s o t h a t e v e r y s e t c a n

b e a p p r o x i m a t e d f r o m t h e o u t s i d e b y a s e t o f . 9 ' o f t h e s a m e m e a s u r e .

I f E i s n o t , u * - m e a s u r a b l e ( i . e . n o t i n 9 ) t h e n t w o - s i d e d a p p r o x i m a t i o n

i s n o t p o s s i b l e .

U p t o t h e p r e s e n t w e h a v e o n l y c o n s i d e r e d g e n e r a l a p p r o x i m a t i o n

t h e o r e m s v a l i d i n a n y a b s t r a c t s p a c e . I f t h e m e a s u r e i s d e f i n e d i n a

t o p o l o g i c a l s p a c e , t h e n i t i s o f i n t e r e s t t o o b t a i n a p p r o x i m a t i o n

t h e o r e m s w h i c h c o n n e c t t h e m e a s u r e p r o p e r t i e s t o t h e t o p o l o g y o f t h e

s p a c e . W e d o n o t , h o w e v e r , d i s c u s s t h i s p r o b l e m i n g e n e r a l : i n s t e a d

w e c o n s i d e r E u c l i d e a n s p a c e w i t h t h e u s u a l t o p o l o g y , a n d L e b e s g u e

m e a s u r e .

8 6


[ 4 . 3

R e g u l a r m e a s u r e

S u p p o s e . S o i s a

o f s u b s e t s o f a t o p o l o g i c a l s p a c e S 2 w h i c h

i n c l u d e s t h e o p e n a n d t h e c l o s e d s u b s e t s o f S 2 , a n d p : $ - - > - R + i s a

m e a s u r e . T h e n t h e m e a s u r e , u i s s a i d t o b e r e g u l a r i f , f o r e a c h e > 0 ,

( i ) g i v e n E E . Y , t h e r e i s a n o p e n G E w i t h , u ( G

- E ) < e ;

( i i ) g i v e n E E . , t h e r e i s a c l o s e d F E w i t h p ( E - F ) < e .

S i n c e t h e c l a s s

.

o f B o r e l s e t s i n S i s t h e

g e n e r a t e d b y t h e

o p e n s e t s , t h e c o n d i t i o n t h a t 3 i n c l u d e s t h e o p e n s e t s i m p l i e s . 9 '

. 4 .

I f p i s r e g u l a r o n . , t h e n . . 9 , w h e r e

.

d e n o t e s t h e c o m p l e t i o n o f

.

w i t h r e s p e c t t o , u ; f o r i f S n i s a s e q u e n c e o f p o s i t i v e n u m b e r s d e -

c r e a s i n g t o z e r o o n e c a n f i n d f o r a n y E i n . a n o p e n s e t G . a n d a

c l o s e d s e t F . s u c h t h a t

µ ( G . - F n ) < S n

a n d G .

E = F n ,

a n d

G = n G n , F = I J F F

n = 1 n = 1

w i l l t h e n b e B o r e l s e t s w i t h G E F a n d µ ( G - F ) = 0 .

M e t r i c o u t e r m e a s u r e

A n o u t e r m e a s u r e µ * d e f i n e d o n a m e t r i c s p a c e S 2 a n d s u c h t h a t

p * i s a d d i t i v e o n s e p a r a t e d s e t s , i . e .

d ( E , F ) > 0 . p * ( E v F ) = , u * ( E ) + , u * ( F ) ,

i s s a i d t o b e a m e t r i c o u t e r m e a s u r e . I t c a n b e p r o v e d t h a t , f o r a n y

m e t r i c o u t e r m e a s u r e , t h e c l a s s , t o f m e a s u r a b l e s e t s c o n t a i n s t h e

o p e n s e t s ( a n d t h e r e f o r e c o n t a i n s - 4 ) , a n d t h a t , i f u * i s a l s o o - - f i n i t e ,

t h e r e s t r i c t i o n o f µ * t o .

' i s r e g u l a r . S i n c e L e b e s g u e m e a s u r e i s

g e n e r a t e d b y a m e t r i c o u t e r m e a s u r e , t h i s g e n e r a l t h e o r y w o u l d a l l o w

u s t o d e d u c e t h a t L e b e s g u e m e a s u r e i s r e g u l a r . H o w e v e r , w e p r e f e r

i n s t e a d t o p r o v e t h e r e s u l t o n l y f o r t h e s p e c i a l . c a s e o f L e b e s g u e

m e a s u r e .

T h e o r e m 4 . 5 . L e b e s g u e k - d i m e n s i o n a l m e a s u r e , d e f i n e d o n t h e c l a s s

2 k o f L e b e s g u e m e a s u r a b l e s e t s i n R k , i s a r e g u l a r m e a s u r e .

P r o o f . W e g i v e t h e d e t a i l s o f t h e p r o o f f o r k = 1 ; o n l y o b v i o u s

a l t e r a t i o n s a r e n e e d e d f o r g e n e r a l k . S u p p o s e E e 2 = 2 1 ; t h e n

B n [ n , n + 1 ) = E . e 2 f o r e v e r y i n t e g e r n , a n d p ( E n ) < 1 < o o . B y

t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e o r e m 4 . 2 , t h e r e i s a c o u n t a b l e c o v e r i n g { C z }

o f E . b y f - o p e n i n t e r v a l s o f 9 s u c h t h a t

1 e

° °

l u ( E n )

4

i E

F ( C n i )

4 . 3 ]

A P P R O X I M A T I O N T H E O R E M S 8 7

E n l a r g e e a c h o f t h e s e i n t e r v a l s C n i t o a n o p e n i n t e r v a l G n i s u c h t h a t

1

e

u ( G n i

- C n i ) <

4 2 1 n 1 + i

0 0

T h e n Q . = U G n i i s a n o p e n s e t w h i c h c o n t a i n s E n a n d s a t i s f i e s

i = 1

u ( Q n - E n ) <

2 2 1 n 1 .

0 0

I f w e n o w p u t Q = U Q n , t h e n Q i s o p e n , Q C E , a n d u ( Q - E ) < e .

n = - a o

T h i s p r o v e s c o n d i t i o n ( i ) f o r r e g u l a r i t y .

F o r a n y E E 2 ' , 1 ) - E E 2 , a n d w e c a n a p p l y t h e a b o v e a r g u m e n t

t o o b t a i n a n o p e n R 1 2 - E s u c h t h a t , u ( R - ( S 1 - E ) ) < e . T h e n

F = S Z - R i s c l o s e d , F C E a n d # ( E - F ) = u ( R n E ) < e , s o t h a t t h e

s e c o n d c o n d i t i o n f o r r e g u l a r i t y i s a l s o s a t i s f i e d . I

C o r o l l a r y . G i v e n a n y s e t E e 2 k , t h e r e i s a V a - s e t Q a n d a n . ° F , s e t R

s u c h t h a t

Q = ) E = ) R a n d µ ( Q - R ) = 0 .

P r o o f . N o t e t h a t 9 r a a n d . F , , . s e t s w e r e d e f i n e d i n § 2 . 5 . F o r e a c h i n -

t e g e r n , t a k e a n o p e n s e t G .

E a n d a c l o s e d s e t F . C E s u c h t h a t

# ( G n - E ) <

I n ,

# ( E - F n ) < ' 1 .

n

n

O D

0 0

T h e s e t s

Q = n G n a n d R = ( , J F .

n = 1 n = 1

t h e n s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s o f t h e c o r o l l a r y . I

T h i s c o r o l l a r y s t r e n g t h e n s t h e r e s u l t t h a t a n y s e t i n F k c a n b e

a p p r o x i m a t e d e x a c t l y i n m e a s u r e b y a s e t i n R k - w h i c h f o l l o w s f r o m

t h e f a c t t h a t 2 k i s t h e c o m p l e t i o n o f e l k w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e

m e a s u r e .

E x e r c i s e s 4 . 3

1 . S u p p o s e 2 i s t h e o - - r i n g g e n e r a t e d b y a r i n g 9 a n d , u , v a r e t w o a - -

f i n i t e m e a s u r e s o n R . S h o w t h a t i f E e 2 i s s u c h t h a t b o t h # ( E ) , v ( E ) a r e

f i n i t e t h e n , f o r a n y e > 0 , t h e r e i s a s e t E . e R f o r w h i c h

p ( E A E o ) < e ,

v ( E A E 0 ) < e .

2 . S u p p o s e 0 i s a m e t r i c s p a c e a n d p * i s a n o u t e r m e a s u r e o n S 2 s u c h

t h a t e v e r y B o r e l s e t i s # * - m e a s u r a b l e . S h o w t h a t µ * i s a m e t r i c o u t e r

m e a s u r e , i . e . t h a t f o r E 1 , E 2 C S 1 ,

d ( E 1 , E s ) > 0

, a * ( E 1 v B 2 ) = p * ( E 1 ) + , u * ( E 2 )



8 8


[ 4 . 3

H i n t . T a k e a n o p e n s e t G

E l , G n E 2 = o a n d u s e E 1 v E 2 a s a t e s t

s e t f o r t h e m e a s u r a b i l i t y o f G .

3 . S u p p o s e , a * i s a m e t r i c o u t e r m e a s u r e o n a m e t r i c s p a c e Q . S h o w

t h a t i f E i s a s u b s e t o f a n o p e n s u b s e t G a n d E n = E n { x : d ( x , C - G ) > 1 / n }

t h e n l i m , u * ( E , , ) = / . c * ( E ) .

n - * o 0

H i n t . { E n } i s a m o n o t o n i c i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s e t s w h o s e l i m i t i s E .

P u t E .

= o , D . = E n + 1 - E . a n d n o t i c e t h a t i f n e i t h e r D , , + 1 n o r E i s

e m p t y t h e n d ( D n + 2 ,

0 s o t h a t

n

p * ( E 2 n + 1 ) > . 1 4 * ( D 2 i ) ,

/ i * ( E 2 n ) > E u * ( D 2 1 - 1 )

i = 1

4 = 1

I f e i t h e r o f t h e s e s e r i e s d i v e r g e s , t h e n , u * ( E n ) m o o = / * ( E ) . I f b o t h c o n -

v e r g e , u s e

O D

0 0

l M E ) S , u * ( E 2 n ) + Z p * ( D 2 1 ) + E / z * ( D 2 i + 1 )

i = n

i = n

4 . I f u * i s a m e t r i c o u t e r m e a s u r e , s h o w t h a t a l l o p e n s e t s ( a n d t h e r e f o r e

a l l B o r e l s e t s ) a r e u * - m e a s u r a b l e .

H i n t . I f G i s o p e n , A a n y s u b s e t , u s e n o t a t i o n o f ( 3 ) a p p l i e d t o E = A n G .

T h e n d ( E n , A n - G ) > 0 s o

/ c * ( A ) > , u * { E n v ( A n - G ) } =

+ / C * ( A n - G ) .

4 . 4 * G e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f L e b e s g u e m e a s u r e

W e h a v e n o w d e f i n e d L e b e s g u e m e a s u r e i n E u c l i d e a n s p a c e a n d

c o n s i d e r e d s o m e o f i t s m e a s u r e - t h e o r e t i c p r o p e r t i e s . H o w e v e r , t h e

j u s t i f i c a t i o n f o r s t u d y i n g L e b e s g u e m e a s u r e i s t h a t i t m a k e s p r e c i s e

o u r i n t u i t i v e n o t i o n o f l e n g t h , a r e a , v o l u m e i n E u c l i d e a n s p a c e a n d

g e n e r a l i s e s t h e s e n o t i o n s t o s e t s w h e r e o u r i n t u i t i o n b r e a k s d o w n .

I n t h e p r e s e n t s e c t i o n w e w a n t t o s h o w t h a t L e b e s g u e m e a s u r e h a s

g o t t h e p r o p e r t i e s w h i c h g e o m e t r i c a l i n t u i t i o n w o u l d l e a d u s t o

e x p e c t .

I t i s c o n v e n i e n t t o a d o p t t h e n o t a t i o n I E I f o r t h e L e b e s g u e m e a s u r e

o f a n y s e t E e 2 k , s o t h a t f o r s e t s E E - T I , I E l

i s a g e n e r a l i s a t i o n o f

l e n g t h ; f o r s e t s E e 2 2 , I E I i s a g e n e r a l i s a t i o n o f a r e a ; f o r s e t s E E 2 k

( k > 3 ) , I E I i s a g e n e r a l i s a t i o n o f v o l u m e .

S i n c e t h e s e t c o n s i s t i n g o f a s i n g l e p o i n t x c a n b e e n c l o s e d i n a n

i n t e r v a l o f 9 o f a r b i t r a r i l y s m a l l l e n g t h , i t f o l l o w s t h a t

I { x } I = 0

f o r x e R k .

I n p a r t i c u l a r , i n R ' ,

1 [ a , b ] I = I ( a , b ) I = I ( a , b ] I = I [ a , b ) I = b - a

s o t h a t t h e L e b e s g u e m e a s u r e o f a n y i n t e r v a l o n t h e l i n e i s i t s l e n g t h .

A n y c o u n t a b l e s e t i n R k i s t h e u n i o n o f i t s s i n g l e p o i n t s , a n d i s t h e r e f o r e



4 . 4 ]

L E B E S G U E M E A S U R E : P R O P E R T I E S

8 9

o f z e r o m e a s u r e . I n p a r t i c u l a r t h e s e t o f p o i n t s i n R k w i t h r a t i o n a l

c o o r d i n a t e s f o r m s a s e t o f z e r o m e a s u r e ( e v e n t h o u g h t h i s s e t i s d e n s e

i n t h e w h o l e s p a c e ) .

I n R k ( k > 2 ) , a n y s e g m e n t o f l e n g t h l o f a s t r a i g h t l i n e c a n b e

c o v e r e d b y [ n l ] + 1 c u b e s o f g k o f s i d e 1 / n s o t h a t t h e L e b e s g u e m e a -

s u r e o f s u c h a s e g m e n t m u s t b e l e s s t h a n ( [ x ] d e n o t e s t h e l a r g e s t i n t e g e r

n o t g r e a t e r t h a n x )

\

\ n l

k

{ [ n l ] + 1 } = 0

i n k

i

I

a s n - - > o o ,

a n d s o I L I = 0 f o r a n y s e g m e n t L o f f i n i t e l e n g t h . A n y i n f i n i t e s t r a i g h t

l i n e i n R k , k > 2 , i s t h e c o u n t a b l e u n i o n o f s e g m e n t s o f f i n i t e l e n g t h

s o t h a t I L I = 0 f o r a n y s t r a i g h t l i n e L i n R k ( k > 2 ) . I t f o l l o w s t h a t ,

i f w e a r e c a l c u l a t i n g t h e m e a s u r e o f a n y g e o m e t r i c a l f i g u r e i n t h e p l a n e

w h i c h i s b o u n d e d b y a c o u n t a b l e c o l l e c t i o n o f s t r a i g h t l i n e s , t h e n t h e

a r e a w i l l b e t h e s a m e w h e t h e r a l l , s o m e o r n o n e o f t h e b o u n d a r y l i n e s

a r e i n c l u d e d i n t h e s e t .

T h e a b o v e a r g u m e n t s h o w s t h a t t h e r e a r e s e t s E i n R k ( k > 2 )

w h i c h a r e n o t c o u n t a b l e , b u t s u c h t h a t I E I = 0 . T h e q u e s t i o n a r i s e s

w h e t h e r o r n o t s u c h s e t s e x i s t i n R ' . T h i s i s e a s i l y a n s w e r e d b y t h e

C a n t o r s e t

0 0

C = ( 1 F n ,

n = 0

d e f i n e d i n § 2 . 7 w h e r e F . = [ 0 , 1 ] a n d F . i s o b t a i n e d f r o m F n _ 1 b y r e p l a c -

i n g e a c h c l o s e d i n t e r v a l o f F n _ 1 b y t w o c l o s e d i n t e r v a l s o b t a i n e d b y

r e m o v i n g a n o p e n i n t e r v a l o f o n e t h i r d i t s l e n g t h f r o m t h e c e n t r e .

W e p r o v e d t h a t C w a s p e r f e c t a n d t h e r e f o r e n o n - c o u n t a b l e . B u t

I F n l = I I F n - l I = ( J ) ' I F 0 l = ( J ) n ,

s o t h a t

I C I = l i m I F n s = 0 .

n - - ) - c o

I t i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t i t i s a l s o p o s s i b l e f o r p e r f e c t n o w h e r e

d e n s e s e t s i n R t o h a v e p o s i t i v e m e a s u r e - s e e e x e r c i s e s 4 . 4 ( 2 , 3 ) .

W e n o w c o n s i d e r w h a t h a p p e n s t o t h e L e b e s g u e m e a s u r e o f s e t s

u n d e r e l e m e n t a r y t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e s p a c e .

( i ) T r a n s l a t i o n

S u p p o s e X E R k a n d E

R k . P u t

E ( x ) _ { z : z = x + y , y E E } .

F o r t h e i n t e r v a l s I E 9 k , i t i s i m m e d i a t e t h a t

I I ( x ) I = I I I

9 0


s o t h a t t h e o u t e r m e a s u r e , u * i s i n v a r i a n t u n d e r t r a n s l a t i o n s , a n d

L e b e s g u e m e a s u r e m u s t t h e r e f o r e a l s o b e i n v a r i a n t p r o v i d e d m e a s u r -

a b i l i t y i s p r e s e r v e d . S u p p o s e E E S 9 k , a n d A i s a t e s t s e t f o r E ( x ) .

T h e n s i n c e E i s m e a s u r a b l e , u s i n g A ( - x ) a s a t e s t s e t ,

p * ( A ( - x ) ) _ , u * ( A ( - x ) n E ) + , a * ( A ( - x ) - E )

s o t h a t

, M A ) = µ * ( A n E ( x ) ) + , t t * ( A - E ( x ) )

a n d E ( x ) m u s t a l s o b e m e a s u r a b l e .

( i i ) R e f l e x i o n i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o a n a x i s

( F o r k = 1 t h i s m e a n s r e f l e x i o n i n a p o i n t , f o r k = 2 t h i s m e a n s r e -

f l e x i o n i n a l i n e p a r a l l e l t o a n a x i s . ) I t i s c l e a r t h a t , a * i s i n v a r i a n t u n d e r

s u c h a r e f l e x i o n b e c a u s e t h e r e f l e x i o n o f t h e c o v e r i n g s e t s o f 9 k

a g a i n g i v e s I - o p e n i n t e r v a l s o f t h e s a m e m e a s u r e . A s i m i l a r a r g u m e n t

t o t h a t u s e d i n ( i ) s h o w s t h a t m e a s u r a b i l i t y i s p r e s e r v e d , s o t h a t

L e b e s g u e m e a s u r e i s i n v a r i a n t u n d e r s u c h r e f l e x i o n s .

( i i i ) U n i f o r m m a g n i f i c a t i o n

F o r p > 0 , t h e t r a n s f o r m a t i o n o f R k o b t a i n e d b y p u t t i n g y = p x

f o r a l l x E R k w i l l b e c a l l e d a m a g n i f i c a t i o n b y t h e f a c t o r p , a n d p E

d e n o t e s t h e r e s u l t o f a p p l y i n g t h i s m a g n i f i c a t i o n t o t h e s e t E . I f

I E g k , t h e n i t i s c l e a r t h a t

p I E . k a n d I p I I = p k I I I .

H e n c e , i f , u * d e n o t e s t h e o u t e r m e a s u r e g e n e r a t e d b y L e b e s g u e

m e a s u r e o n Y k ,

p p * ( p E ) = p k , a * ( E )

f o r a l l s e t s E . A s i m i l a r a r g u m e n t t o t h a t u s e d i n ( i ) s h o w s t h a t

m e a s u r a b i l i t y i s p r e s e r v e d b y m a g n i f i c a t i o n , s o t h a t i f E i s L e b e s g u e

m e a s u r a b l e , s o i s p E a n d

-

I p E I -

p k

I E I

( i v ) R o t a t i o n a b o u t t h e o r i g i n

L e b e s g u e m e a s u r e i s i n v a r i a n t i n t h i s c a s e a l s o , b u t r a t h e r m o r e

w o r k i s n e e d e d t o p r o v e i t . T h e k e y i d e a n e e d e d f o r t h e p r o o f i s t h a t

a n o p e n s p h e r e c e n t r e 0 i s i n v a r i a n t u n d e r r o t a t i o n a b o u t 0 . S u p p o s e

I i s a f i x e d i n t e r v a l o f 9 k

I = { x : a i < x i 0 ) , ( p I ) ( x ) i s a n i n t e r v a l o f R k s i m i l a r ,

a n d s i m i l a r l y s i t u a t e d t o I . I f x d e n o t e s t h e t r a n s f o r m a t i o n o f R k

c o n s i s t i n g o f a f i x e d r o t a t i o n a b o u t 0 , t h e n

X ( P I ) ( x ) = ( p x I ) ( x x )



4 . 4 ]

L E B E S G U E M E A S U R E : P R O P E R T I E S 9 1

B y ( i ) a n d ( i i )

I x ( p I ) ( x ) I = p ' I x 1 1 ,

I ( p I ) ( x ) I = p d I I I ,

s o t h a t

I X ( P I ) ( x )

I =

I

I I

I

I ( P I ) ( x ) I

f o r a l l p > 0 , x E R k . T h i s m e a n s t h a t , f o r a g i v e n x a n d I , t h e e f f e c t

o n t h e m e a s u r e i s t h e s a m e f o r a l l i n t e r v a l s o f t h e f o r m ( p 1 ) ( x ) .

N o w a n y o p e n s e t G c a n b e e x p r e s s e d a s a c o u n t a b l e u n i o n o f

d i s j o i n t s e t s o f t h e f o r m ( p I ) ( x ) . I n p a r t i c u l a r t h e u n i t o p e n s p h e r e

S c e n t r e t h e o r i g i n , c a n b e e x p r e s s e d t h i s w a y

O D

S = U ( p i I ) ( x i ) ,

i = 1

a n d

r o

I S I = E I ( p i I ) ( x i ) I .

i = 1

B u t x S = 8 , s o t h a t

O D G o

c o

E I ( P J ) ( x i ) I = I S I = I x S I

I x ( p i I ) x i I =

I I

I

x I I =

I I I .

T h i s a r g u m e n t i s v a l i d f o r a n y i n t e r v a l

I E 9 k .

W e c a n n o w u s e a r g u m e n t s s i m i l a r t o t h o s e i n ( i ) t o s h o w t h a t , f o r

a n y s e t E c R k

, z ( x E ) = w ( E )

a n d m e a s u r a b i l i t y i s p r e s e r v e d u n d e r X . T h u s i f E E . F k , X E i s a l s o i n

2 k a n d

I x E I _ I E I

N o t e f i n a l l y t h a t r e f l e x i o n i n a n a r b i t r a r y p l a n e c a n b e o b t a i n e d b y

s u c c e s s i v e l y a p p l y i n g t h e o p e r a t i o n s ( i v ) , ( i i ) , ( i ) , ( i v ) . W e h a v e t h u s

p r o v e d

T h e o r e m 4 . 6 . T h e c l a s s Y k o f L e b e s g u e m e a s u r a b l e s u b s e t s o f R k ,

a n d L e b e s g u e m e a s u r e o n _ p k a r e i n v a r i a n t u n d e r t r a n s l a t i o n s , r e f l e x i o n s

a n d r o t a t i o n s . I f E a n d F a r e t w o s u b s e t s o f R k w h i c h a r e c o n g r u e n t i n

t h e s e n s e o f E u c l i d a n d E i s m e a s u r a b l e , t h e n s o i s F a n d

I E I = 1 F I .

F o r p > 0 , i f p E d e n o t e s t h e s e t o f v e c t o r s x o f t h e f o r m p y , y E E , t h e n

E E Y k z p E E 2 k , a n d I p E I = p k j E I .

I f k , 1 , r a r e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d k + l = r , t h e n t h e E u c l i d e a n

s p a c e R r c a n b e t h o u g h t o f a s a C a r t e s i a n p r o d u c t R k x R . W e h a v e

d e f i n e d L e b e s g u e m e a s u r e i n d e p e n d e n t l y i n e a c h d i m e n s i o n , b u t t h e

4

T I T

9 2


m e a s u r e o f t h e p r i m a r y s e t s - 0 A ' c o u l d h a v e b e e n o b t a i n e d a s a p r o d u c t

o f t h e m e a s u r e s o f c o r r e s p o n d i n g s e t s i n Y k , 9 1 . I t i s t h e r e f o r e n o t

s u r p r i s i n g t h a t t h i s i s t r u e o f a w i d e r c l a s s o f s e t s .

T h e o r e m 4 . 7 . I f E E 2 k , F E 2 2 l t h e n t h e C a r t e s i a n p r o d u c t E x F e 2 p k + l

a n d

I E x F I = I E I . I F I .

P r o o f . W e u s e µ * t o d e n o t e t h e o u t e r m e a s u r e g e n e r a t e d b y L e b e s -

g u e m e a s u r e i n t h e s p a c e w h e r e t h e s e t l i e s . S u p p o s e f i r s t t h a t E , F

a r e b o u n d e d s o t h a t t h e r e a r e f i n i t e o p e n i n t e r v a l s J , K s u c h t h a t

E c J , F c K . W e c a n t h e n c o v e r E a n d F b y c o u n t a b l e c o l l e c t i o n s

o f o p e n i n t e r v a l s s u c h t h a t

0 0 0 0

E c U Q i c J , F c U R 1 c K ,

i = 1

f = 1

0 0

O D

I Q i I I

i . f i . y

= E I Q i l E I R 1 l < ( I E I + e ) ( I F I + e ) .

i = 1 f = 1

S i n c e e i s a r b i t r a r y , i t f o l l o w s t h a t

# * ( E x F ) S I E I . I F I .

( 4 . 4 . 1 )

B u t

J x K = E x F v ( J - E ) x F v E x ( K - F ) v ( J - E ) x ( K - F ) ,

a n d t h e s u b a d d i t i v i t y o f 1 a * g i v e s , w i t h ( 4 . 4 . 1 ) ,

p * ( J x K ) < , I E I . I F I + I J - E I . I F I + I E I . I K - F I + I J - E I . I K - F I .

B u t J x K i s a n o p e n r e c t a n g l e a n d t h e r e f o r e i n 2 k + ' , a n d

p * ( J x K ) = I J I . I K I = ( I E I + I J - E I ) ( I F I + 1 K - F l ) .

I t f o l l o w s t h a t a l l t h e i n e q u a l i t i e s o f t y p e ( 4 . 4 . 1 ) m u s t b e e q u a l i t i e s .

I n p a r t i c u l a r

R * ( E x F ) = I E I I F I

( 4 . 4 . 2 . )

B y t h e c o r o l l a r y t o t h e o r e m 4 . 5 , w e c a n f i n d s e q u e n c e s { A n } , { B n }

o f d i s j o i n t c l o s e d s e t s s u c h t h a t

A = U A n c E , B = U B m C F ,

n = 1

m = 1

I E - A I = 0 ,

I F - B I = 0 .

4 . 4 1 L E B E S G U E M E A S U R E : P R O P E R T I E S

9 3

S i n c e A x B i s a n F , s e t i n R k + a i t i s m e a s u r a b l e a n d

1 * ( A x B ) = I A x B I = I A I

.

I B I = I E I . I F I .

B u t A x B c E x F , a n d L e b e s g u e m e a s u r e i s c o m p l e t e s o t h a t w e

m u s t h a v e E x F m e a s u r a b l e a n d

I E x F I = , u * ( E x F ) = I E I . I F I .

I n o r d e r t o r e m o v e t h e r e s t r i c t i o n o f b o u n d e d n e s s , a p p l y t h e a b o v e

t o E n S , , F n S n , w h e r e S . S , '

, a r e

s p h e r e s o f r a d i u s n c e n t r e t h e o r i g i n

i n k - s p a c e , l - s p a c e r e s p e c t i v e l y . T h i s s h o w s t h a t , f o r e a c h n ,

( E n S n ) x ( F n S . ) E 2 k + l ,

I ( E n S . ) x ( F n S n ) I = I E n S . I I F n S ; , , I

a n d t h e r e s u l t f o l l o w s f r o m t h e c o n t i n u i t y o f m e a s u r e s o n l e t t i n g

n - . o o . 1

N o n - m e a s u r a b l e s e t s

W e h a v e n o w s e e n t h a t L e b e s g u e m e a s u r e c a n b e d e f i n e d o n 2 k ,

a l a r g e c l a s s o f s u b s e t s o f R k , i n s u c h a w a y a s t o p r e s e r v e t h e i n t u i t i v e

g e o m e t r i c a l i d e a s o f v o l u m e . W e a l s o r e m a r k e d e a r l i e r t h a t i t i s

i m p o s s i b l e t o d e f i n e s u c h a m e a s u r e o n a l l s u b s e t s o f R k , s o w e n o w

d e m o n s t r a t e t h e e x i s t e n c e o f a t l e a s t o n e s u b s e t w h i c h i s n o t i n 2 ' k .

A g a i n w e c a r r y o u t t h e c o n s t r u c t i o n f o r k = 1 .

C o n s i d e r s u b s e t s

E c ( 0 , 1 ] a n d f o r x E ( 0 , 1 ] l e t E ( x ) b e t h e s e t o f r e a l n u m b e r s z s u c h

t h a t

z = x + y ,

y E E a n d x + y < 1 ,

o r

z = x + y - 1 , y E E a n d x + y > 1 ;

t h a t i s , E ( x ) i s t h e r e s u l t o f t r a n s l a t i n g E a d i s t a n c e x a n d t h e n t a k i n g

t h e n o n - i n t e g e r p a r t . F r o m p r o p e r t y ( i ) , i t f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t

E E 2 = > E ( x ) E 2 ,

I E I = I E ( x ) I .

N o w l e t Z b e t h e s e t o f r a t i o n a l s i n ( 0 , 1 ] . T w o s e t s Z ( x 1 ) , Z ( x 2 ) w i l l

b e d i s j o i n t i f ( x 1 - x 2 ) i s i r r a t i o n a l a n d i d e n t i c a l i f ( x 1 - x 2 ) i s r a t i o n a l .

L e t f b e t h e c l a s s o f d i s j o i n t s e t s o f t h e f o r m Z ( x ) . B y t h e a x i o m o f

c h o i c e ( s e e § 1 . 6 ) t h e r e i s a s e t T c o n t a i n i n g p r e c i s e l y o n e p o i n t f r o m

e a c h o f t h e s e t s i n W . I f Z i s t h e s e t ( r 1 , r 2 , . . . ) , w e p u t

Q n = T ( r n )

( n = 1 , 2 , . . . ) .

T h e n

0 0

U Q n = ( 0 , 1 ] ,

n - 1

4 - 2

9 4 P R O P E R T I E S O F M E A S U R E

[ 4 . 4

s i n c e e v e r y p o i n t x E ( 0 , 1 ] i s i n Z ( x l ) f o r s o m e x 1 a n d i f q E Z ( x l ) n T ,

w e h a v e q - x 1 = r n s o t h a t x E Q . A l s o t h e s e t s Q . a r e d i s j o i n t a s T

c o n t a i n s o n l y o n e p o i n t f r o m e a c h s e t i n

a n d t h e r e f o r e c a n n o t

c o n t a i n t w o p o i n t s d i f f e r i n g b y a r a t i o n a l . I f T E 2 , t h e n Q . E 2

( n = 1 , 2 , . . . ) a n d

I T I = I Q . I

( n = 1 , 2 , . . . ) .

0 0u t t h e n 1 = 1 ( 0 , 1 ] l _ I 1 Q

.

1

n = 1

a n d t h i s e q u a t i o n c a n n o t p o s s i b l y b e s a t i s f i e d e i t h e r b y I Q - 1 = 0

o r I Q n I = c > 0 f o r a l l n . T h e o n l y p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e s e t T i s n o t

m e a s u r a b l e .

I t i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t t h e r e a r e m a n y m o r e L e b e s g u e s e t s t h a n

t h e r e a r e B o r e l s e t s . T h e n u m b e r o f s e t s i n 2 k i s n o t m o r e t h a n t h e

n u m b e r o f s u b s e t s o f R k , i . e . n o t m o r e t h a n 2 c . H o w e v e r i t i s a t l e a s t

2 c f o r i t c o n t a i n s a l l s u b s e t s o f t h e C a n t o r s e t ( p e r f e c t w i t h c p o i n t s

i n i t ) , s o t h a t t h e c a r d i n a l i t y o f 2 k m u s t b e 2 c .

H o w e v e r t h e

c a r d i n a l i t y o f t h e c l a s s a 1 k o f B o r e l s u b s e t s o f R k i s c a n d c < 2 c

( s e e § 1 . 3 ) s o t h a t t h e r e m u s t b e s o m e s e t s w h i c h a r e i n 2 k b u t

n o t i n . 2 k ; t h i s m e a n s t h a t t h e c l a s s V k i s n o t c o m p l e t e w i t h r e s p e c t

t o L e b e s g u e m e a s u r e . I n o r d e r a c t u a l l y t o e x h i b i t a s e t i n 2 k b u t

n o t i n _ J k o n e h a s t o w o r k a b i t h a r d e r s o w e d o n o t i n c l u d e s u c h a n

e x a m p l e .

E x e r c i s e s 4 . 4

1 . S h o w t h a t t h e s e t o f p o i n t s i n [ 0 , 1 ] w h o s e b i n a r y e x p a n s i o n h a s z e r o

i n a l l t h e e v e n p l a c e s i s a L e b e s g u e m e a s u r a b l e s e t o f z e r o m e a s u r e . I s i t

a B o r e l s e t ?

2 . B y c h a n g i n g t h e l e n g t h s o f t h e e x t r a c t e d i n t e r v a l s i n t h e c o n s t r u c -

t i o n o f t h e C a n t o r s e t , s h o w h o w t o o b t a i n a n o w h e r e d e n s e p e r f e c t s e t o f

m e a s u r e J .

3 . G e n e r a l i s e ( 2 ) t o s h o w t h a t f o r a n y e > 0 t h e r e i s a n o w h e r e d e n s e ,

p e r f e c t s u b s e t o f [ 0 , 1 ] w i t h m e a s u r e g r e a t e r t h a n 1 - e .

4 . C o n s i d e r a u n i o n o f s e t s o f ( 3 ) t o o b t a i n a s u b s e t o f [ 0 , 1 ] o f f u l l m e a s u r e

w h i c h i s o f t h e f i r s t c a t e g o r y , a n d a n o t h e r s u b s e t o f [ 0 , 1 ] o f z e r o m e a s u r e

w h i c h i s o f t h e s e c o n d c a t e g o r y .

5 S h o w t h a t a n y b o u n d e d s e t i n E u c l i d e a n s p a c e R k h a s f i n i t e L e b e s g u e

o u t e r m e a s u r e . I s t h e c o n v e r s e o f t h i s s t a t e m e n t t r u e ?

6 . S u p p o s e X i s t h e c i r c u m f e r e n c e o f a u n i t c i r c l e i n R 2 . S h o w t h a t t h e r e

i s a u n i q u e m e a s u r e a C d e f i n e d o n B o r e l s u b s e t s o f X s u c h t h a t , u ( X ) = 1

a n d p i s i n v a r i a n t u n d e r a l l r o t a t i o n s o f X i n t o i t s e l f .

4 . 4 ] L E B E S G U E M E A S U R E : P R O P E R T I E S

9 5

7 . B y c o n s i d e r i n g s u i t a b l e a p p r o x i m a t i n g p o l y g o n s ( f i n i t e u n i o n s o f

r e c t a n g l e s w i l l d o ) , s h o w t h a t t h e a r e a o f t h e p l a n e r e g i o n b o u n d e d b y x = 1 ,

y = 0 , y = x 3 i s J . G e n e r a l i s e t o t h e c a s e y = x k , w h e r e k > 0 b u t n e e d n o t

b e a n i n t e g e r .

8 . S h o w t h a t a s u b s e t E o f a b o u n d e d i n t e r v a l I c R k i s m e a s u r a b l e i f ,

f o r a n y e > 0 t h e r e a r e e l e m e n t a r y f i g u r e s Q 1 , Q 2 a e k s u c h t h a t Q 1

E ,

Q 2

I - E a n d

I Q 1 I + I Q 2 I < I I I

+ e -

9 . S u p p o s e X i s t h e u n i t s q u a r e { ( x , y ) : 0 < x < 1 , 0 < y < 1 } .

I f

E c [ 0 , 1 ] p u t 2 = { ( x , y ) :

0 < y < 1 ] a n d l e t . ' b e t h e c l a s s o f s e t s

P s u c h t h a t E i s 2 1 - m e a s u r a b l e . P u t µ ( E ) = I E I , a n d s h o w t h a t t h e s u b s e t

M = { ( x , y ) : 0 < x < 1 , y = J } i s n o t m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e o u t e r

m e a s u r e p * g e n e r a t e d b y a o n t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f X . S h o w t h a t

µ * ( M ) = 1 ,

p * ( X - M ) = 1 .

4 . 5

L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e

T h e r e a r e o t h e r m e a s u r e s i n R k w h i c h a r e o f i m p o r t a n c e i n p r o b -

a b i l i t y t h e o r y . S u p p o s e F : R - * R i s a m o n o t o n e i n c r e a s i n g r e a l v a l u e d

f u n c t i o n o f a r e a l v a r i a b l e w h i c h i s e v e r y w h e r e c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t .

S u c h a f u n c t i o n i s c a l l e d a S t i e l t j e 8 m e a s u r e f u n c t i o n . P u t

# F ( a , b ] = F ( b )

- F ( a )

f o r e a c h ( a , b ] E 9 . T h e n I t . i s n o n - n e g a t i v e a n d ( f i n i t e l y ) a d d i t i v e

o n 9 - t h e p r o o f u s e d f o r t h e l e n g t h f u n c t i o n i n § 3 . 4 c a n b e e a s i l y

a d a p t e d t o s h o w t h i s ( t h e l e n g t h f u n c t i o n c o r r e s p o n d s t o F ( x ) = x ) .

B y a p p l y i n g t h e o r e m 3 . 4 w e c a n e x t e n d / t F u n i q u e l y t o a n a d d i t i v e

s e t f u n c t i o n o n d , t h e r i n g o f e l e m e n t a r y f i g u r e s . A s i n § 3 . 4 w e a g a i n

h a v e a t l e a s t t w o m e t h o d s o f s h o w i n g t h a t I P F i s a m e a s u r e o n e . B y

t h e o r e m 3 . 2 ( i i i ) i f , a F i s n o t a m e a s u r e , t h e n t h e r e i s a m o n o t o n e

d e c r e a s i n g s e q u e n c e { E n } o f s e t s o f a s u c h t h a t l i m E , = o , b u t

l i m p F ( E f ) = S > 0 . T h e a r g u m e n t u s e d i n t h e L e b e s g u e c a s e f o r

k = 1 c a n b e m o d i f i e d b y u s i n g t h e f a c t t h a t , f o r a n y e > 0 , i f

P F ( a , b ] > 0 ,

w e c a n a l w a y s f i n d a y > 0 s u c h t h a t

( a + y , b ] = [ a + y , b ] c ( a , b ]

a n d

, / F ( a + y , b ] > , a F ( a , b ] - e ,

s i n c e F i s c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t a t a . T h i s l e a d s u s t o a c o n t r a d i c t i o n

w h i c h e s t a b l i s h e s t h a t , a F i s a m e a s u r e o n e .

F o r k > - 2 , w e m u s t s t a r t w i t h a f u n c t i o n F : R k - > R w h i c h i s c o n -

9 6 P R O P E R T I E S O F M E A S U R E

[ 4 . 5

t i n u o u s o n t h e r i g h t i n e a c h v a r i a b l e s e p a r a t e l y a n d s u c h t h a t , f o r

I E 9 } k ,

2 k

, u p ( I ) _

y i F ( Y ) ? 0 ,

( 4 . 5 . 1 )

i = 1

w h e r e V a r e t h e 2 k v e r t i c e s o f t h e s e t I E . k a n d y y = + 1 f o r t h e v e r t e x

i n w h i c h e a c h c o - o r d i n a t e i s l a r g e s t a n d y , = ( - 1 ) f i f t h e v e r t e x Y

i s s u c h t h a t r o f i t s c o o r d i n a t e s a r e a t t h e l o w e r b o u n d ( a n d ( k - r )

a t t h e u p p e r b o u n d ) . A n y s u c h f u n c t i o n F i s c a l l e d a k - d i m e n s i o n a l

S t i e l t j e s m e a s u r e f u n c t i o n . W i t h a l i t t l e c a r e . i t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w

t h a t , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , , u F i s a n o n - n e g a t i v e a d d i t i v e s e t f u n c t i o n

o n 5 k a n d t h a t i t t h e r e f o r e h a s a u n i q u e e x t e n s i o n t o t o k . E i t h e r o f

t h e a r g u m e n t s g i v e n i n § 3 . 4 c a n n o w b e m o d i f i e d t o s h o w t h a t , a F

i s a m e a s u r e o n 1 i k .

W e c a n n o w a p p l y t h e o r e m 4 . 2 t o t h i s m e a s u r e I t , , t o e x t e n d i t

t o t h e o - - r i n g 1 k o f B o r e l s e t s i n R k . A s i n t h e c a s e o f L e b e s g u e m e a s u r e ,

t h i s e x t e n s i o n a u t o m a t i c a l l y d e f i n e s , u F o n t h e c o m p l e t i o n T F

o f O a k w i t h r e s p e c t t o I t , . T h e c l a s s 2 F i s c a l l e d t h e c l a s s o f s e t s w h i c h

a r e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r a b l e f o r t h e f u n c t i o n F . T h e c l a s s c l e a r l y

d e p e n d s o n t h e f u n c t i o n F - f o r i n t h e p a r t i c u l a r c a s e F - c , T F

c o n t a i n s a l l s u b s e t s o f R k a s 1 t ( R k ) = 0 a n d p F i s c o m p l e t e ; w h i l e

i f F ( x 1 , x 2 , . . . x k ) = x 1 x 2 . . . x k , t h e n l u F i s t h e l e n g t h f u n c t i o n a n d

- T , k , i s t h e L e b e s g u e c l a s s 2 k .

E a c h o f t h e s e m e a s u r e s , u p : Y F - - ) - R + i s r e g u l a r . T h e p r o o f g i v e n

i n t h e o r e m 4 . 5 c a n e a s i l y b e m o d i f i e d t o s h o w t h i s ( w e a g a i n d o t h e

c a s e k = 1 ) b y u s i n g t h e f a c t t h a t , f o r a n y e > 0 , i f ( a , b ] E 9 , t h e r e i s

a y > 0 s u c h t h a t

( a , b + y ]

( a , b + y )

( a , b ]

a n d

# , ( a , b + y ) S # p ( a , b + y ] < , a F , ( a , b ] + e ,

t o o b t a i n e c o n o m i c a l c o v e r i n g s b y o p e n i n t e r v a l s .

P r o b a b i l i t y m e a s u r e

G i v e n a o ' - f i e l d F o f s u b s e t s o f 0 , a n y m e a s u r e P : F R + s u c h t h a t

P ( S 2 ) = 1 i s c a l l e d a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n F . I f i n a d d i t i o n F i s

c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o P w e w i l l s a y t h a t t h e t r i p l e ( S 2 , . F , P ) f o r m a

p r o b a b i l i t y s p a c e .

D i s t r i b u t i o n f u n c t i o n

A f u n c t i o n F : R - * R i s c a l l e d a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i f

( i ) F i s m o n o t o n i c i n c r e a s i n g , c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t ;

( i i ) F ( x ) - + 0 a s x - > - c o , F ( x ) - + 1 a s x - * + o o .

4 . 5 ] L E B E S G U E - S T I E L T J E S M E A S U R E

9 7

A f u n c t i o n F : R k - - R i s c a l l e d a ( k - d i m e n s i o n a l ) d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n

i f

( i ) F i s c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t i n e a c h v a r i a b l e ;

( i i )

/ A F . ( I ) > 0 f o r a l l I F _ 9 k , w h e r e p p i s d e f i n e d b y ( 4 . 5 . 1 ) ,

( i i i ) F ( x l , x 2 ,

. . . , x k ) - + 0

a s a n y o n e o f x l , x 2 , . . . , x k - * - 0 0 ,

F ( x l , x 2 ,

. . . , x k ) - * 1 a s x l , x 2 , . . . , x k a l l

- + + o o .

I t i s i m m e d i a t e f r o m o u r d e f i n i t i o n s t h a t a n y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n

F c a n b e u s e d t o d e f i n e a L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e O F o n t h e

o - - f i e l d 2 ' F . F u r t h e r # , , ( R k ) = 1 a n d , a F i s c o m p l e t e , s o t h a t e v e r y

d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n d e t e r m i n e s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e a n d ( R k ,

° F , # F ) , i s a p r o b a b i l i t y s p a c e . T h e r e , i s a s e n s e i n w h i c h t h e s e a r e t h e

o n l y i n t e r e s t i n g p r o b a b i l i t y m e a s u r e s o n R k .

T h e o r e m 4 . 8 . S u p p o s e S o i s a o - f i e l d o f s e t s i n R , . c o n t a i n s t h e o p e n

s e t s a n d , a : . 5 o - * R + i s a c o m p l e t e m e a s u r e w h i c h i s f i n i t e o n b o u n d e d s e t s

i n Y . T h e n t h e r e i s a S t i e l t j e s m e a s u r e f u n c t i o n F : R - - > R s u c h t h a t

. n . 5 ° F a n d , u c o i n c i d e s w i t h I t , o n Y

F . I f i s a p r o b a b i l i t y

s p a c e , t h e n F c a n b e c h o s e n t o b e a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n .

P r o o f . S i n c e

c o n t a i n s t h e o p e n s e t s a n d i s a o - - f i e l d , i t m u s t c o n t a i n

- 4 , t h e B o r e l s e t s a n d i n p a r t i c u l a r . 9 , t h e c l a s s o f h a l f - o p e n

i n t e r v a l s . D e f i n e F b y

, u ( 0 , x ]

f o r

x

0 ,

F ( x )

-

{

_ p ( x , 0 ] f o r

x < 0 .

T h e n F : R - > R i s c l e a r l y d e f i n e d a n d i s m o n o t o n i c i n c r e a s i n g f o r a l l

r e a l x ( n o t e t h a t F ( 0 ) = 0 ) . B y t h e o r e m 3 . 2 ( i ) , i f { x n } i s a n y m o n o t o n i c

s e q u e n c e d e c r e a s i n g t o x , l i m F ( x , , ) = F ( x ) ; s i n c e

n - > - o o

i f

x ' > 0 ,

l i m ( 0 , x , L ] = ( 0 , x ] ,

i f

x < 0 ,

l i m ( x n , 0 ] = ( x , 0 ] .

T h u s F i s c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t , a n d m u s t t h e r e f o r e b e a S t i e l t j e s

m e a s u r e f u n c t i o n .

N o w

i f

a > O , , u ( a , b ] = , u ( 0 , b ] - , u ( 0 , a ] = F ( b ) - F ( a ) ;

i f a < 0 S b ,

, u ( a , b ] = , u ( a , 0 ] + , u ( 0 , b ] = F ( b ) - F ( a ) ;

i f

b < 0 ,

µ ( a , b ] = µ ( a , 0 ] - µ ( b , 0 ] = F ( b ) - F ( a ) ;

s o t h a t I t c o i n c i d e s w i t h , u F o n - 0 . B y u n i q u e n e s s o f t h e e x t e n s i o n o f a

m e a s u r e t o t h e g e n e r a t e d a - - f i e l d a n d i t s c o m p l e t i o n , w e h a v e i t = u F

o n Y

, , a n d . S ° = 2 F .

9 8


I f p i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n . 9 ' , w e m u s t h a v e

l i m F ( x ) - l i m F ( x ) = l i m p ( - n , n ] = 1 ,

x - - + . 0

x - ) . - o o

s o t h a t

F 1 ( x ) = F ( x ) - l i m F ( x )

[ 4 . 5

w i l l b e a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n g e n e r a t i n g t h e s a m e S t i e l t j e s m e a s u r e

a s F . ]

R e m a r k . T h e c a s e w h e r e u i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e c o u l d h a v e b e e n

d o n e d i r e c t l y b y d e f i n i n g

F ' i ( x ) = p ( - c o , x ] .

I t i s c l e a r t h a t t h i s c a s e e x t e n d s i m m e d i a t e l y t o R k s i n c e i f w e p u t

F ( x l , x 2 , . . . , x k ) = p { ( 1 , . . . , f k ) : 1 1 4 x , , , 2 = 1 , . . . ,

k }

i t i s e a s y t o c h e c k t h a t F i s a k - d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n .

D i s c r e t e p r o b a b i l i t y

T h e r e i s a s p e c i a l c a s e o f a p r o b a b i l i t y m e a s u r e i n w h i c h a l l t h e

p r o b a b i l i t y i s c o n c e n t r a t e d o n a c o u n t a b l e s e t E 0 c S 2 . T h i s c a n b e

d e f i n e d b y s p e c i a l i s i n g e x a m p l e ( 6 ) o f § 3 . 1 . I f { x n , } i s a n y s e q u e n c e i n

O D

0 , a n d { p n } i s a s e q u e n c e o f p o s i t i v e r e a l n u m b e r s w i t h E p n = 1 ,

n = 1

t h e n i t i s c l e a r t h a t

P ( E ) = E p n

x n E E

d e f i n e s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s o f f l . W h e n

S 2 = R , t h i s m e a s u r e c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n

F ( x ) = E p n

x n < x

s o t h a t , i n R ( o r i n R k f o r t h a t m a t t e r ) a d i s c r e t e p r o b a b i l i t y m e a s u r e

c a n b e e x p r e s s e d a s t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e o f a s u i t a b l e

d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n .

E x e r c i s e s 4 . 5

1 . T o s e e t h a t c o n d i t i o n ( 4 . 5 . 1 ) f o r k - d i m e n s i o n a l S t i e l t j e s m e a s u r e

f u n c t i o n s i s n o t i m p l i e d b y t h e c o n d i t i o n t h a t F b e m o n o t o n i c i n c r e a s i n g

i n e a c h v a r i a b l e s e p a r a t e l y c o n s i d e r

F ( x x , ) =

f o r x 1 + x 2

0 .

m a x ( 0 , x 1 + x 2 - I - 1 )

f o r x 1 + x 2 < 0 ,

t

I

D o e s t h i s c o n d i t i o n ( 4 . 5 . 1 ) i m p l y t h a t F i s m o n o t o n i c i n e a c h v a r i a b l e ?

4 . 5 ]

L E B E S G U E - S T I E L T J E S M E A S U R E

9 9

2 . I f F : R - > R i s a S t i e l t j e s m e a s u r e f u n c t i o n , s h o w t h a t

, a F ( a , b ) = F ( b - 0 ) - F ( a ) , 1 t _ , [ a , b ] = F ( b ) - F ( a - 0 )

a n d d e t e r m i n e , u , f o r i n t e r v a l s o f t h e f o r m

[ a , b ) , ( - c , a ) ,

( a , c o )

3 . I f F i s a S t i e l t j e s m e a s u r e f u n c t i o n i n R w h i c h g e n e r a t e s t h e S t i e l t j e s

m e a s u r e , u , , s h o w t h a t F ( x ) i s c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f I u F { x } = 0 f o r a l l

s i n g l e p o i n t s e t s { x } . W h a t i s t h e c o r r e s p o n d i n g c o n t i n u i t y c o n d i t i o n i n R k ?

4 . C o n s i d e r L e b e s g u e m e a s u r e o n 2 1 - s u b s e t s o f [ 0 , 1 ] a n d l e t E 0 b e a

s u b s e t o f [ 0 , 1 ] w h i c h i s n o n - m e a s u r a b l e , s u c h t h a t t h e L e b e s g u e o u t e r

m e a s u r e o f E o a n d ( [ 0 , 1 ] - E 0 ) a r e b o t h 1 . L e t . 2 b e t h e s m a l l e s t 0 - - f i e l d

o f s u b s e t s o f [ 0 , 1 ] c o n t a i n i n g E o a n d Y . S h o w t h a t . 2 c o n s i s t s o f s e t s o f

t h e f o r m

E = A n E o + B n ( [ 0 , 1 ] - E 0 )

f o r A , B F 2 " a n d t h a t # ( E ) = I A n [ 0 , 1 ] l d e f i n e s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n

t h e a - - f i e l d . 2 . B y a p p l y i n g t h e o r e m 4 . 8 t o t h i s p r o b a b i l i t y m e a s u r e s h o w

t h a t , i n g e n e r a l i t i s n o t p o s s i b l e t o d e d u c e i n t h e o r e m 4 . 8 t h a t . S o = 2 F .

5 . S u p p o s e

F ( x ) -

r 0

f o r

x < 0 ,

1 f o r x > 0 .

S h o w t h a t

, u p ( - 1 , 0 ) < F ( 0 ) - F ( - 1 ) .

6 . G i v e a n e x a m p l e o f a r i g h t - c o n t i n u o u s m o n o t o n e F s u c h t h a t

, u p ( a , b ) < F ( b ) - F ( a ) < , u F [ a , b ] .

7 . S h o w t h a t , i f F , G a r e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s i n R k , t h e n a F + b G i s

a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r a n y a > 0 , b > , 0 , a + b = 1 .

8 . I n R 2 '

1 f o r

x l > , 0 , x 2 3 0 ,

F ( x i , x 2 )

f O

f o r

a l l o t h e r p o i n t s .

S h o w t h a t t h i s F i s a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n d e s c r i b i n g a u n i t m a s s a t 0 .

9 . S t a t e a n d p r o v e a n n - d i m e n s i o n a l f o r m o f t h e o r e m 4 . 8 .

1 0 . W e c a n o b t a i n c o m p l e t e l y a d d i t i v e s e t f u n c t i o n s i n R I w h i c h a r e n o t

n e c e s s a r i l y n o n - n e g a t i v e b y t h e f o l l o w i n g m e t h o d . S u p p o s e F : R - > R

i s c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t e v e r y w h e r e a n d o f b o u n d e d v a r i a t i o n i n e a c h

f i n i t e i n t e r v a l a n d F ( b ) - F ( a ) i s b o u n d e d b e l o w f o r a l l a < b a n d d e f i n e

T F ( a , b ] = F ( b ) - F ( a ) .

S h o w t h a t T F i s a d d i t i v e o n

a n d c a n b e e x t e n d e d t o S B y a n e x t e n s i o n

o f t h e o r e m 4 . 2 , T F c a n t h e n b e e x t e n d e d t o a o - - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n o n a .

N o w a p p l y t h e o r e m 3 . 3 t o e x p r e s s T F a s t h e d i f f e r e n c e o f t w o m e a s u r e s .

F i n a l l y , t h e a r g u m e n t o f t h e o r e m 4 . 8 s h o w s t h a t T F i s t h e d i f f e r e n c e o f t w o

S t i e l t j e s m e a s u r e s .



1 0 0

5

D E F I N I T I O N S A N D P R O P E R T I E S O F

T H E I N T E G R A L

5 . 1 W h a t i s a n i n t e g r a l ?

H i s t o r i c a l l y t h e c o n c e p t o f i n t e g r a t i o n w a s f i r s t c o n s i d e r e d f o r r e a l

f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e w h e r e e i t h e r t h e n o t i o n o f ` t h e p r o c e s s

i n v e r s e t o d i f f e r e n t i a t i o n ' o r t h e n o t i o n o f ` a r e a u n d e r a c u r v e ' w a s

t h e s t a r t i n g p o i n t . I n t h e f i r s t c a s e a r e a l n u m b e r w a s o b t a i n e d a s t h e

d i f f e r e n c e o f t w o v a l u e s o f t h e ` i n d e f i n i t e ' i n t e g r a l , w h i l e t h e s e c o n d

c a s e c o r r e s p o n d s i m m e d i a t e l y t o t h e ` d e f i n i t e ' i n t e g r a l . T h e s o - c a l l e d

` f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f t h e i n t e g r a l c a l c u l u s ' p r o v i d e d t h e l i n k

b e t w e e n t h e t w o i d e a s . O u r d i s c u s s i o n o f t h e o p e r a t i o n o f i n t e g r a t i o n

w i l l s t a r t f r o m t h e n o t i o n o f a d e f i n i t e i n t e g r a l , t h o u g h i n t h e f i r s t

i n s t a n c e t h e ` i n t e r v a l ' o v e r w h i c h t h e f u n c t i o n i s i n t e g r a t e d w i l l b e

t h e w h o l e s p a c e . T h u s , f o r ` s u i t a b l e ' f u n c t i o n s f : 0 > R * w e w a n t t o

d e f i n e t h e i n t e g r a l 5 ( f ) a s a r e a l n u m b e r . T h e ` s u i t a b l e ' f u n c t i o n s w i l l

b e c a l l e d i n t e g r a b l e a n d . 1 ( f ) w i l l b e c a l l e d t h e i n t e g r a l o f f .

B e f o r e d e f i n i n g s u c h a n o p e r a t o r . , w e e x a m i n e t h e s o r t o f p r o p e r t i e s

5 s h o u l d h a v e b e f o r e w e w o u l d b e j u s t i f i e d i n c a l l i n g i t a n ` i n t e g r a l ' .

S u p p o s e t h e n t h a t s a d i s a c l a s s o f f u n c t i o n s f : S 2 > R * , a n d 5 : a > R

d e f i n e s a r e a l n u m b e r f o r e v e r y f E . W . T h e n w e w a n t S t o s a t i s f y :

( i ) f d , f ( x ) > , 0 a l l x E 0

_ 0 ( f ) > , 0 , t h a t i s f p r e s e r v e s p o s i t i v i t y ;

( i i ) f , g E . W , a , f t E R = o f + f i g E . V a n d

5 ( a f + f g ) = a . N ) + / i f ( g ) ,

t h a t i s . 1 i s l i n e a r o n . Q f ;

( i i i ) S i s c o n t i n u o u s o n . V i n s o m e s e n s e , a t l e a s t w e w o u l d w a n t t o

h a v e . f ( f , , ) - > 0 a s n > o o f o r a n y s e q u e n c e { f n } o f f u n c t i o n s i n a w h i c h

i s m o n o t o n e d e c r e a s i n g w i t h f n ( x ) > 0 f o r a l l x i n 0 .

T h e s e c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d b y t h e e l e m e n t a r y i n t e g r a t i o n p r o -

c e s s , b u t t h e R i e m a n n i n t e g r a l d o e s n o t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g s t r e n g t h -

e n e d f o r m o f ( i i i ) :

( i i i ) * I f { f n . } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f f u n c t i o n s i n . V , a n d

f n ( x ) - - > f ( x ) f o r a l l x c 0 ,

t h e n f E . V a n d . f ( f n ) - > . 1 ( f ) a s n - > c o .



5 . 1 ]

W H A T I S A N I N T E G R A L ?

1 0 1

T h i s i s t h e m o s t s e r i o u s l i m i t a t i o n o f t h e R i e m a n n i n t e g r a l f o r ,

w i t h t h i s d e f i n i t i o n o f i n t e g r a t i o n , i t i s n e c e s s a r y i n ( i i i ) * t o p o s t u l a t e

, , ( x ) - + f ( x ) u n i f o r m l y i n x b e f o r e o n e c a n c o n c l u d e t h a t f E s a d a n d

J ( f n ) - - > . 1 ( f ) . N o w c o n d i t i o n s a b o u t t h e c o n t i n u i t y o f f a r e r e a l l y

e s s e n t i a l i f t h e o p e r a t i o n i s t o b e a u s e f u l t o o l i n a n a l y s i s - t h e r e w o u l d

n o t b e m u c h o f a n a l y s i s l e f t i f o n e c o u l d n o t c a r r y o u t a t l e a s t s e q u e n -

t i a l l i m i t i n g o p e r a t i o n s . O n e o f o u r m a i n o b j e c t i v e s , t h e r e f o r e , i s t o

d e f i n e a n o p e r a t o r . 1 w h i c h s a t i s f i e s ( i i i ) * .

O n e m e t h o d o f s t u d y i n g i n t e g r a t i o n t h e o r y ( e s s e n t i a l l y d u e t o

P . J . D a n i e l l ) i s t o s t a r t w i t h a r e s t r i c t e d c l a s s s a g o o f f u n c t i o n s w i t h a

s i m p l e s t r u c t u r e , d e f i n e . f : d 0 - R t o s a t i s f y ( i ) , ( i i ) a n d ( i i i ) a n d t h e n

e x t e n d Q t o a n d t h e f u n c t i o n a l . 1 s t e p b y s t e p u n t i l f : d - > R i s

d e f i n e d o n a s u f f i c i e n t l y l a r g e c l a s s w h i l e ( i ) , ( i i ) a n d ( i i i ) * a r e s a t i s f i e d .

U s i n g t h i s a p p r o a c h o n e c a n d e d u c e a m e a s u r e o n a s u i t a b l e o - r i n g

o f s u b s e t s o f S 2 b y p u t t i n g

, u ( E ) = . f ( X E )

f o r t h o s e s e t s E f o r w h i c h X E E s a d . C o n d i t i o n ( i ) t h e n i m p l i e s t h a t

, u i s n o n - n e g a t i v e , c o n d i t i o n ( i i ) t h a t i t i s a d d i t i v e a n d c o n d i t i o n

( i i i ) t h a t i t i s v - a d d i t i v e p r o v i d e d t h e d o m a i n o f d e f i n i t i o n i s a r i n g .

W e w i l l g i v e d e t a i l s o f t h i s a p p r o a c h i n § 9 . 4 , b u t f o r t h e p r e s e n t w e w i l l

r e g a r d t h e m e a s u r e a s t h e p r i m a r y c o n c e p t a n d d e f i n e t h e i n t e g r a l i n

t e r m s o f a g i v e n m e a s u r e . W e w i l l , h o w e v e r , o b t a i n a n o p e r a t o r

. 1 : s a d

R w h i c h h a s t h e a b o v e p r o p e r t i e s a n d m o r e o v e r i n d e f i n i n g

. 1 w e w i l l c o n t i n u a l l y h a v e t h e s e d e s i r e d p r o p e r t i e s i n m i n d . T h u s o u t

o f m a n y p o s s i b l e w a y s o f o b t a i n i n g t h e i n t e g r a l s t a r t i n g f r o m a

m e a s u r e , w e c h o o s e t h e m e t h o d o f d e f i n i t i o n b y l i m i t s o f m o n o t o n e

s e q u e n c e s o f ` s i m p l e ' f u n c t i o n s .

5 . 2

S i m p l e f u n c t i o n s ; m e a s u r a b l e f u n c t i o n s

W e n o w a s s u m e g i v e n

w h e r e i t i s a s p a c e , F a o - - f i e l d

o f s u b s e t s o f S 2 a n d I t a m e a s u r e o n . F . A l l t h e c o n c e p t s w e n o w d e f i n e

a r e r e l a t i v e t o ( S Z ,

I t i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t o u r d e f i n i t i o n s

c a n b e m o d i f i e d t o a p p l y t o t h e c a s e w h e r e J F i s a o - r i n g r a t h e r t h a n

a o - f i e l d , b u t t h i s r e s u l t s i n a d d i t i o n a l c o m p l i c a t i o n s i n p r o o f s . T h e

a d d i t i o n a l l a b o u r i n v o l v e d d o e s n o t s e e m j u s t i f i e d f o r t h e s m a l l g a i n

i n g e n e r a l i t y .

O u r o b j e c t i s t o d e f i n e a n o p e r a t i o n , c a l l e d i n t e g r a t i o n , h a v i n g

t h e p r o p e r t i e s d i s c u s s e d i n § 5 . 1 o n a s u i t a b l e c l a s s o f f u n c t i o n s

f : Q - * R * . U l t i m a t e l y w e w a n t t h i s d o m a i n o f d e f i n i t i o n f o r t h e

i n t e g r a l t o b e a s l a r g e a s p o s s i b l e . I n t h e p r e s e n t s e c t i o n w e o b t a i n t h e

p r o p e r t i e s o f c e r t a i n c l a s s e s o f f u n c t i o n s w h i c h w i l l b e i m p o r t a n t l a t e r .



1 0 2

P R O P E R T I E S O F T H E I N T E G R A L

[ 5 . 2

D i s s e c t i o n

n

I f

0

= U E i a n d t h e s e t s E i a r e d i s j o i n t , t h e n E l , E 2 , . . . , E . a r e s a i d

i = 1

t o f o r m a ( f i n i t e ) d i s s e c t i o n o f Q . T h e y a r e s a i d t o f o r m a n . ' - d i s s e c -

t i o n i f , i n a d d i t i o n , E i E . F ( i = 1 , 2 ,

. . . , n ) .

S i m p l e f u n c t i o n

A f u n c t i o n f : S 2 - > R i s c a l l e d F - s i m p l e i f i t c a n b e e x p r e s s e d a s

n

f ( x ) =

i

1

1

c x h i ( x ) '

=

w h e r e E 1 , E 2 ,

. . . , E .

f o r m a n . F - d i s s e c t i o n o f S Z a n d

c i e R ( i = 1 , 2 , . . . , n ) .

T h u s a n F - s i m p l e f u n c t i o n i s o n e w h i c h t a k e s a c o n s t a n t v a l u e

c i o n t h e s e t E . w h e r e t h e s e t s E i a r e d i s j o i n t s e t s o f . F . T h e a d d i t i o n a l

n

c o n d i t i o n i m p l i e d b y o u r d e f i n i t i o n t h a t 1 1 = U E i i s n o t i m p o r t a n t

i = 1

( a n d i s o m i t t e d b y m a n y a u t h o r s ) , s i n c e i f

F ' n + 1 = a - U E i $ 0

i = 1

w e c a n a l w a y s p u t c n + 1

0 a n d w r i t e

n + 1

f = E c i x E i

i 1

t o s e e t h a t t h e f u n c t i o n i s . f " - s i m p l e . I f t h e r e i s o n l y o n e o - - f i e l d . ° F

u n d e r c o n s i d e r a t i o n w e w i l l t a l k o f s i m p l e f u n c t i o n s r a t h e r t h a n F -

s i m p l e f u n c t i o n s .

L e m m a . T h e s u m , d i f f e r e n c e a n d p r o d u c t o f t w o s i m p l e f u n c t i o n s i s

a s i m p l e f u n c t i o n .

P r o o f . S u p p o s e w e h a v e t h e r e p r e s e n t a t i o n s

n m

f = 2 Y - e i x E i ,

9 = j E d j x d j ;

= 1

= J

t h e n t h e s e t s H i j = E i n A j ( i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , m ) a r e i n . F a n d

f o r m a d i s s e c t i o n o f Q . F u r t h e r

f ( x ) = c i

a n d

g ( x ) = d ,

f o r

x e H i j ,

X H , j = X E i x d j

s o t h a t

( f ± g ) ( x ) = c i ± d j , ( f g ) ( x ) = c i d j

f o r x e H i j

a n d

n

i n

n m

f ± g = i Z

j Z

( c i ± d j ) X H ,

f 9 = i E

j Z

c i d j x H i j I

5 . 2 ]

S I M P L E A N D M E A S U R A B L E F U N C T I O N S

1 0 3

N o t e t h a t t h e c o n s t a n t f u n c t i o n s

f ( x ) = c

a l l

x E S 1

a r e s i m p l e , s o t h a t b y t h i s l e m m a i t a l s o f o l l o w s t h a t c f i s s i m p l e i f

f i s a n d t h e c l a s s o f s i m p l e f u n c t i o n s f o r m s a l i n e a r s p a c e o v e r t h e r e a l s .

O n e s h o u l d r e g a r d s i m p l e f u n c t i o n s a s a g e n e r a l i s a t i o n o f ` s t e p '

f u n c t i o n s , b u t i t i s c l e a r t h a t t h e y f o r m a v e r y r e s t r i c t e d c l a s s s i n c e t h e

i m a g e o f S 2 u n d e r a s i m p l e f u n c t i o n i s a f i n i t e s u b s e t o f R .

I n d e f i n i n g m e a s u r a b i l i t y w e w i l l w a n t t o c o n s i d e r f u n c t i o n s

f : £ 1 - R * w i t h e x t e n d e d r e a l v a l u e s . I t i s p o s s i b l e t o d e f i n e a t o p o l o g y

i n R * a n d t o d e f i n e t h e c l a s s o f B o r e l s e t s i n R * i n t e r m s o f t h i s t o p o l o g y .

H o w e v e r , w e a d o p t t h e s i m p l e r p r o c e d u r e o f d e f i n i n g t h e c l a s s R *

o f B o r e l s e t s i n R * d i r e c t l y . W e s a y t h a t a s e t B c R * i s a B o r e l s e t

i n R * i f i t i s t h e u n i o n o f a s e t i n M I ( t h e c l a s s o f B o r e l s e t s i n R ) w i t h

a n y s u b s e t o f R * - R = { - o o , + o o } .

M e a s u r a b l e f u n c t i o n

A f u n c t i o n f : t - > R * i s s a i d t o b e F - m e a s u r a b l e i f a n d o n l y i f

f - 1 ( B ) E . F

f o r e v e r y B E - 4 * . I f t h e r e i s o n l y o n e

. F u n d e r d i s c u s s i o n w e

m a y s a y t h a t f i s a m e a s u r a b l e f u n c t i o n .

F r o m t h e d e f i n i t i o n i t a p p e a r s a t f i r s t s i g h t t h a t o n e h a s t o w o r k h a r d

t o c h e c k t h a t a g i v e n f u n c t i o n i s . F - m e a s u r a b l e . H o w e v e r , i n p r a c t i c e

i t i s s u f f i c i e n t t o c h e c k t h a t f - 1 ( E ) E . F f o r a s u i t a b l e c l a s s o f s u b s e t s

w h i c h g e n e r a t e s t h e o - - f i e l d ° . , $ * . T h e m o s t i m p o r t a n t s u c h c l a s s i s

g i v e n b y t h e n e x t t h e o r e m .

T h e o r e m 5 . 1 . I n o r d e r t h a t f : S 2 - > R * b e F - m e a s u r a b l e e a c h o f t h e

f o l l o w i n g c o n d i t i o n s i s n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t :

( i )

{ x : f ( x ) < c } E . F f o r a l l c E R ;

( i i )

{ x : f ( x ) > c } E J F f o r a l l

( i i i ) { x : f ( x ) > c } E . F f o r a l l

c E R ;

( i v ) { x : f ( x ) < c } E J F f o r a l l

c E R .

P r o o f ( i ) . S i n c e [ - c c , c ] E - 4 * , i t i s c l e a r t h a t t h e g i v e n c o n d i t i o n i s

n e c e s s a r y . I f w e s u p p o s e t h a t t h e c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d , a n d p u t

E . , = { x : f ( x ) S c } = f - 1 [ - c o , c ] ,

t h e n E 0 E F , f o r a l l c E R . B u t t h e s e t s I , , = [ - o o , c ] , c E R g e n e r a t e t h e

o - - f i e l d a * , s o t h a t , f o r e a c h B E - V * ( s e e e x e r c i s e 1 . 5 . ( 1 0 ) ) , t h e s e t f - 1 ( B )

1 0 4 P R O P E R T I E S O F T H E I N T E G R A L

[ 5 . 2

i s i n t h e o - - f i e l d o f s u b s e t s o f S 2 g e n e r a t e d b y t h e s e t s E 0 , c E R . S i n c e

. F i s a w e h a v e

f - 1 ( B ) E . F

f o r a l l B E a * .

( i i ) , ( i i ) a n d ( i v ) . A s i m i l a r p r o o f c a n b e c o n s t r u c t e d f o r e a c h c a s e .

A l t e r n a t i v e l y , i t i s e a s y t o p r o v e d i r e c t l y t h a t e a c h o f ( i ) , ( i i ) , ( i i i ) ,

( i v ) i s e q u i v a l e n t t o e a c h o f t h e o t h e r s . 3

C o r o l l a r y . A n y p - s i m p l e f u n c t i o n i s

P r o o f . I f

n

f =

c i x E i ,

t h e n

E . = { x : f ( x ) < c }

i i = 1

i s t h e f i n i t e u n i o n o f t h o s e s e t s E i ( e . F ) f o r w h i c h c i < c , a n d i s t h e r e -

f o r e i n F . B y c o n d i t i o n ( i ) o f t h e t h e o r e m , t h i s i m p l i e s t h a t f i s

m e a s u r a b l e . 3

T h e n e x t t h e o r e m e x a m i n e s f u r t h e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s i m p l e

f u n c t i o n s a n d m e a s u r a b l e f u n c t i o n s . I t i s b o t h i m p o r t a n t a n d s o m e -

w h a t s u r p r i s i n g .

T h e o r e m 5 . 2 . A n y n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n f : S 2 - R + i s

t h e l i m i t o f a m o n o t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f n o n - n e g a t i v e s i m p l e

f u n c t i o n s .

P r o o f . F o r e a c h p o s i t i v e i n t e g e r s , l e t

< f ( x ) < 2 }

( p =

1 , 2 , . . . , 2 2 , 1 ) ;

Q 8 =

( x : p - _ 2 8 '

2 2 8

Q o

8 =

- U Q P , 8 =

{ x : f ( x ) i 2 8 } .

P = 1

T h e n , s i n c e f i s F - m e a s u r a b l e , Q P , B E J 5 F a n d t h e s e t s

Q P , s ( P = 0 , 1 , . . . , 2 2 8 )

f o r m a n F - d i s s e c t i o n o f Q . T h e f u n c t i o n

f 8 ( x ) =

p 1

2 8

f o r x E Q P , B

( p = 1 , 2 , . . . , 2 2 s ) ;

= 2 8

f o r

x E Q 0 , $

i s a s i m p l e f u n c t i o n a n d i t i s i m m e d i a t e t h a t

0 < f a ' < f -

I f x c Q , , , , t h e n e i t h e r x c Q 2 P _ l

a + 1 o r x E Q Z P , 8 + 1 s o

t h a t e i t h e r

f 8 ( x ) = f 8 + 1 ( x )

o r

f 8 ( x ) +

2 8 + 1

= f 8 + 1 ( x )

5 . 2 1 S I M P L E A N D M E A S U R A B L E F U N C T I O N S

1 0 5

F u r t h e r , i f x E Q 0

8 ,

t h e n f 8 ( x ) = 2 8 < f ( x ) s o t h a t e i t h e r x E Q o ,

+ 1 , o r

x E Q , , 8 + 1 f o r s o m e p > 2 2 8 + 1 + 1 ; a n d i n e i t h e r c a s e , , + 1 ( x ) > f 8 ( x ) .

T h u s f o r e a c h i n t e g e r s

f 8 + 1 ( x ) > f 8 ( x ) f o r a l l

x e 0 ;

a n d t h e s e q u e n c e { f 8 } o f s i m p l e f u n c t i o n s i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g .

I f x i s s u c h t h a t f ( x ) i s f i n i t e , t h e n , i f 2 8 > f ( x ) w e h a v e

0 < f ( x ) - f 8 ( x ) < 2 - 8

s o t h a t i n t h i s c a s e f 8 ( x ) - f ( x ) a s s - * o o . O n t h e o t h e r h a n d , i f

f ( x ) _ + o o ,

t h e n

f 8 ( x ) = 2 8 ,

s o t h a t a g a i n f 8 ( x ) - + f ( x )

a s

s - + o o . ]

F o r a n y f u n c t i o n f : S 2 - > - R * w e d e f i n e t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e

p a r t s f + , f o f f b y

f + ( x )

= m a x [ 0 , f ( x ) ] ,

f _ ( x ) = - m i n [ 0 , f ( x ) ] .

T h e n c l e a r l y f o r a l l x ,

f ( x ) = f + ( x ) - f - ( x ) ,

I f ( x ) I = f + ( x ) + f ( x ) ,

a n d e a c h o f t h e f u n c t i o n s f + , f _ i s n o n - n e g a t i v e . I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y

f r o m t h e o r e m 5 . 1 t h a t , f o r a n y m e a s u r a b l e f , f + a n d f - a r e b o t h m e a s u r -

a b l e . A n a p p l i c a t i o n o f t h e o r e m 5 . 2 n o w s h o w s t h a t a n y m e a s u r a b l e

f u n c t i o n c a n b e e x p r e s s e d a s a l i m i t o f s i m p l e f u n c t i o n s . O u r n e x t s t e p

i s t o s h o w t h a t t h e c l a s s o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s f : f - > R * i s c l o s e d

b o t h f o r f i n i t e a l g e b r a i c o p e r a t i o n s a n d f o r c o u n t a b l e l i m i t i n g o p e r a -

t i o n s . A m i n o r d i f f i c u l t y a r i s e s i n t h a t R * i s n o t a n a l g e b r a i c f i e l d s o

t h a t , f o r e x a m p l e , ( f + g ) ( x ) i s n o t d e f i n e d a t p o i n t s w h e r e f ( x ) = + o o ,

g ( x ) = - o o . I n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m t h e r e f o r e , w e a s s u m e t h a t t h e

f u n c t i o n s a r e s u c h t h a t t h e a l g e b r a i c o p e r a t i o n s a r e p o s s i b l e .

T h e o r e m 5 . 3 . I f f a n d g a r e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s : S 2 - . R * a n d k e R ,

t h e n e a c h o f t h e f u n c t i o n s :

f + k ,

k f ,

f + g , f 2 ,

f g ,

1 / f

( w h e r e ( 1 / f ) ( x ) = + o o i f f ( x ) = 0 ) ,

m a x ( . f , g ) ,

m i n ( f , g ) ,

. f + , f ,

I f 1

w h i c h i s d e f i n e d , i s m e a s u r a b l e .

P r o o f . T h e m e a s u r a b i l i t y o f t h e f i r s t t w o f u n c t i o n s f + k , k f f o l l o w s

i m m e d i a t e l y f r o m a n y p a r t o f t h e o r e m 5 . 1 . C o n s i d e r n o w t h e f u n c t i o n

( f + g ) . L e t { r i } b e a s e q u e n c e c o n t a i n i n g a l l t h e r a t i o n a l s i n R . T h e n ,

s i n c e { r i } i s d e n s e i n R , f o r a n y c E R ,

O D

{ x : f ( x ) + g ( x ) > c } = U { x : f ( x ) > r i } n { x : g ( x ) > c - r i } .

i = 1

1 0 6

P R O P E R T I E S O F T H E I N T E G R A L [ 5 . 2

B y t h e o r e m 5 . 1 e a c h o f t h e s e t s o n t h e r i g h t - h a n d s i d e i s i n F s o t h a t ,

b e c a u s e . F i s a a - f i e l d , t h e s e t o n t h e l e f t i s a l s o i n . F , a n d ( f + g ) m u s t

b e m e a s u r a b l e .

N o w

0

i f

c < 0 ,

{ x : ( f ( x ) ) 2 < c } = { x : f ( x ) = 0 } i f

c = 0 ,

{ x : - c < f ( x ) < c }

i f c > 0 ,

a n d e a c h o f t h e s e s e t s i s i n . F , s o t h a t f 2 i s m e a s u r a b l e . F u r t h e r

{ x : 1 / c < f ( x ) < 0 }

i f c < 0 ,

{ x : ( 1 / f ) ( x ) < c } _ { x : - c o < f ( x ) < 0 } i f c = 0 ,

{ x : - c o < f ( x ) < 0 } u { x : f ( x ) > 1 / c }

i f

c > 0 ,

a n d e a c h o f t h e s e s e t s i s i n . F , s o t h a t 1 / f i s m e a s u r a b l e .

W e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t f + a n d f a r e m e a s u r a b l e , s o t h a t

i f I = f + + f _ i s a l s o m e a s u r a b l e . T h e m e a s u r a b i l i t y o f t h e r e m a i n i n g

f u n c t i o n s n o w f o l l o w f r o m t h e i d e n t i t i e s :

f g = { [ ( f + g ) 2 - f 2 - g 2 ] ,

m a x ( f , g ) = J [ f + g - I f - g l ] ,

m i n ( f , g )

= f + g - m a x ( f , g )

I t i s c l e a r t h a t t h e a b o v e t h e o r e m e x t e n d s i m m e d i a t e l y t o f u n c t i o n s

o b t a i n e d b y c a r r y i n g o u t a f i n i t e n u m b e r o f a l g e b r a i c o p e r a t i o n s o n

a n y f i n i t e c o l l e c t i o n o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s .

T h e o r e m 5 . 4 . S u p p o s e { f n } , n = 1 , 2 ,

. . .

i s a s e q u e n c e o f m e a s u r a b l e

f u n c t i o n s : S 2 - > R * ; t h e n

( i )

t h e f u n c t i o n s s u p f n a n d i n f f , , a r e m e a s u r a b l e ;

n

( i i )

t h e f u n c t i o n s l i m s u p f n , l i m i n f f n a r e m e a s u r a b l e ;

n - - > , , o

n - + a o

( i i i ) i f t h e s e q u e n c e { f n } c o n v e r g e s a n d i n p a r t i c u l a r i f i t i s m o n o t o n e ,

l i m f n i s m e a s u r a b l e .

n - + o o

0 0

P r o o f . ( i )

{ x : s U p f n > C } = U { x : f n ( x ) > C } -

n

n = 1

S i n c e . F i s a o - - f i e l d , a n a p p l i c a t i o n o f t h e o r e m 5 . 1 n o w s h o w s t h a t s u p f n

n

i s m e a s u r a b l e . T h e c a s e o f i n f f n c a n b e p r o v e d s i m i l a r l y o r i t m a y b e

n

d e d u c e d f r o m

i n f f n = - s u p ( - f n ) .

n n

S u p p o s e n o w t h a t { f n } i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g ; t h e n

l i m f n = s u p f n

n - a a o

n

1 0 8 P R O P E R T I E S O F T H E I N T E G R A L

[ 5 . 2

P r o o f . S i n c e , f o r c o n t i n u o u s f , t h e i n v e r s e i m a g e o f a n o p e n s e t

i n R * i s o p e n i n f l i t f o l l o w s t h a t { x : f ( x ) < c } i s o p e n f o r a l l c E R a n d

i s t h e r e f o r e i n . 4 .

I f F , 2 a r e a n y t w o o - - f i e l d s o f s u b s e t s o f f 2 s u c h t h a t F 2 , i t i s

i m m e d i a t e t h a t a n y f u n c t i o n f : f 2 - a R * w h i c h i s . 2 - m e a s u r a b l e i s a l s o

F - m e a s u r a b l e . I n p a r t i c u l a r i f F 2 , t h e n a n y c o n t i n u o u s f u n c t i o n

o n a t o p o l o g i c a l s p a c e f 2 i s . F - m e a s u r a b l e . I f f Z = R k ( E u c l i d e a n

k - s p a c e ) t h e n w e k n o w t h a t t h e c l a s s _ T k o f L e b e s g u e m e a s u r a b l e

s e t s , a n d t h e c l a s s Y F o f s e t s w h i c h a r e m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o

t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e d e f i n e d b y F e a c h c o n t a i n . 4 k , t h e

B o r e l s e t s i n R k . H e n c e , a l l c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n R k a r e B o r e l

m e a s u r a b l e a n d t h e r e f o r e . 2 ' - m e a s u r a b l e f o r a n y F ( i n p a r t i c u l a r

t h e y a r e ^ P k - m e a s u r a b l e w h i c h w e c a l l L e b e s g u e m e a s u r a b l e ) . F u n c -

t i o n s w h i c h n o r m a l l y o c c u r i n r e a l a n a l y s i s a r e u s u a l l y o b t a i n a b l e f r o m

c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a n d s i m p l e f u n c t i o n s b y t h e o p e r a t i o n s o f t h e

f o l l o w i n g t y p e s :

( i )

f i n i t e a l g e b r a i c o p e r a t i o n s ;

( i i )

c o u n t a b l e l i m i t i n g o p e r a t i o n s ;

( i i i ) c o m p o s i t i o n .

W e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t o p e r a t i o n s o f t y p e s ( i ) a n d ( i i ) p r e s e r v e

m e a s u r a b i l i t y s o t h a t w e s h o u l d c o n s i d e r w h e t h e r c o m p o s i t i o n o p e r a -

t i o n s c a n b e c a r r i e d o u t w i t h i n t h e c l a s s o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s .

L e m m a . S u p p o s e f : R *

R * i s B o r e l m e a s u r a b l e a n d g : 0 - > R *

i s . F - m e a s u r a b l e , t h e n t h e c o m p o s i t e f u n c t i o n f o g : f Z - * R * i s F -


P r o o f . I f A i s a n y B o r e l s e t i n R * , t h e n s i n c e f i s B o r e l m e a s u r a b l e ,

t h e s e t f - ' ( A ) i s a l s o a B o r e l s e t i n R * . N o w

{ x : f ( g ( x ) ) E A } = { x : g ( x ) E B } E . 5 F

s i n c e B

= f - ' ( A ) E 2 * . I

R e m a r k . I n t h e a b o v e l e m m a , i t i s n o t s u f f i c i e n t t o a s s u m e t h a t

f : R * - * R * i s L e b e s g u e m e a s u r a b l e - s e e e x e r c i s e 5 . 2 ( 9 ) .

T h i s m e a n s t h a t , f o r m o s t o f t h e f u n c t i o n s w h i c h n o r m a l l y o c c u r

i n a n a l y s i s , i t i s i m m e d i a t e l y o b v i o u s t h a t t h e y a r e 2 F - m e a s u r a b l e

f o r e v e r y F , a n d i n p a r t i c u l a r t h a t t h e y a r e L e b e s g u e m e a s u r a b l e .

A l m o s t e v e r y w h e r e ( a . e . )

I t i s c o n v e n i e n t t o h a v e a w a y o f d e s c r i b i n g t h e b e h a v i o u r o f a

f u n c t i o n f : f 2 - > R * o u t s i d e a n ( u n s p e c i f i e d ) s e t o f z e r o m e a s u r e . I f

P i s s o m e p r o p e r t y d e s c r i b i n g t h e b e h a v i o u r o f f ( x ) a t a p a r t i c u l a r

p o i n t x , t h e n w e s a y t h a t f ( x ) h a s a p r o p e r t y P a l m o s t e v e r y w h e r e

5 . 2 ]

S I M P L E A N D M E A S U R A B L E F U N C T I O N S

1 0 9

w i t h r e s p e c t t o u , i f t h e r e i s s o m e s e t

w i t h , u ( E ) = 0 s u c h t h a t

f ( x ) h a s p r o p e r t y P f o r a l l x E 0 - E . W e t h e n w r i t e

f ( x ) h a s p r o p e r t y P a . e . ( , u ) . ;

a n d , i f t h e r e i s n o a m b i g u i t y a b o u t t h e m e a s u r e b e i n g c o n s i d e r e d ,

( , u ) c a n b e o m i t t e d .

L e m m a . I f F i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o I t , a n d f = g a . e . , t h e n f i s

m e a s u r a b l e i f a n d o n l y i f g i s m e a s u r a b l e .

P r o o f . F o r a n y c e R t h e s e t

{ x : f ( x ) < c } o { x : g ( x ) < c } C { x : f ( x ) + g ( x ) }

s o t h a t { x : f ( x ) < c } d i f f e r s f r o m { x : g ( x ) < c } b y a s u b s e t o f a s e t o f

z e r o m e a s u r e . I f . F i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o I t , a l l s u c h s e t s a r e i n

. F s o t h a t

{ x : f ( x ) < c } E . F

i f a n d o n l y i f

{ x : g ( x ) < c } E . F . J

E x e r c i s e s 5 . 2

1 . I n t h e o r e m 5 . 1 , s h o w t h a t t h e c o n d i t i o n { x : f ( x ) S c } E . V f o r a l l r a t i o n a l

c i s s u f f i c i e n t t o i m p l y t h a t f :

)

R * i s 3 - - - m e a s u r a b l e .

2 . S u p p o s e { f , , ) i s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s : S 2 - > R * e a c h o f w h i c h i s

f i n i t e a . e . S h o w t h a t , f o r a l m o s t a l l x i n S 2 ,

i s f i n i t e f o r a l l n .

3 . S u p p o s e G i s a n o p e n s e t i n R a n d { i s a c o n v e r g e n t s e q u e n c e o f

f u n c t i o n s : S 2

R . S h o w t h a t

{ x : l i m E G } = U U f l

{ x :

d ( f ( x ) , R - 0 ) > m ) ,

0

n - . c o m = 1 k = 1 n = k

w h e r e d ( y , E ) d e n o t e s t h e d i s t a n c e f r o m y t o E ( d e f i n e d i n § 2 . 1 ) .

4 . S h o w t h a t , i n t h e o r e m 5 . 2 , t h e c o n d i t i o n f > , 0 c a n b e d e l e t e d p r o v i d e d

w e d o n o t r e q u i r e m o n o t o n i c i t y f o r t h e s e q u e n c e { f , , } o f s i m p l e f u n c t i o n s

c o n v e r g i n g t o f . S h o w t h a t i f f i s u n b o u n d e d a b o v e a n d b e l o w i t i s i m p o s s i b l e

t o a r r a n g e f o r t h e s e q u e n c e { f , , , } t o b e m o n o t o n e .

5 . A n e l e m e n t a r y f u n c t i o n i s o n e w h i c h a s s u m e s a c o u n t a b l e s e t o f v a l u e s

e a c h o n a m e a s u r a b l e s u b s e t o f 0 . S h o w t h a t , i f f : f

R i s m e a s u r a b l e

t h e n i t i s t h e u n i f o r m l i m i t o f a m o n o t o n e s e q u e n c e o f e l e m e n t a r y f u n c t i o n s ,

b u t t h a t i f f i s n o t b o u n d e d i t i s n o t t h e u n i f o r m l i m i t o f s i m p l e f u n c t i o n s .

6 . I f . ' V i s a f i n i t e f i e l d o f s u b s e t s o f S 2 , s h o w t h a t f : S 2 - * R i s 3 5 - ` - m e a s u r a b l e

i f a n d o n l y i f i t i s F . s i m p l e .

7 . I f S 2 i s a t o p o l o g i c a l s p a c e , g i v e e x a m p l e s t o s h o w t h a t , f o r f : C l - + R ,

t h e c o n d i t i o n

` f i s c o n t i n u o u s a . e . i n C l '



1 1 0


n e i t h e r i m p l i e s n o r i s i m p l i e d b y t h e c o n d i t i o n

` t h e r e i s a c o n t i n u o u s g : S 2 - R f o r w h i c h f = g a . e . '

8 . S u p p o s e S 2 i s a t o p o l o g i c a l s p a c e , . . 4 a n d ( 0 , F , u ) i s s u c h t h a t

. F i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o I t . S h o w t h a t a n y f u n c t i o n f w h i c h i s c o n t i n u -

o u s a . e . i s . F - m e a s u r a b l e . G i v e a n e x a m p l e o f a m e a s u r a b l e f u n c t i o n w h i c h

c a n n o t b e m a d e c o n t i n u o u s b y a l t e r i n g i t s v a l u e s o n a n y s e t o f z e r o m e a s u r e .

9 . I f 2 i s t h e c l a s s o f L e b e s g u e m e a s u r a b l e s e t s i n R , g i v e a n e x a m p l e

o f a n 2 - m e a s u r a b l e f u n c t i o n f : R - - > R a n d a n 2 - m e a s u r a b l e s e t E c R

f o r w h i c h f - 1 ( E ) i s n o t 2 - m e a s u r a b l e .

H i n t . U s e a s u i t a b l e s u b s e t o f t h e C a n t o r s e t ( s e e § 2 . 7 ) .

5 . 3

D e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l

O u r m e t h o d i s t o d e f i n e t h e o p e r a t i o n o f i n t e g r a t i o n f i r s t f o r n o n -

n e g a t i v e s i m p l e f u n c t i o n s , a n d t h e n e x t e n d t h e d e f i n i t i o n s t e p - b y - s t e p

s h o w i n g a t e a c h s t a g e t h a t t h e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s d i s c u s s e d i n § 5 . 1

a r e o b t a i n e d . I f w e t h i n k o f m e a s u r e a s a m a s s d i s t r i b u t i o n i n 0 ,

a n d i n t e g r a t i o n a s a m e a n s o f a v e r a g i n g a g i v e n f u n c t i o n f w i t h r e s p e c t

t o t h i s m a s s d i s t r i b u t i o n i t i s c l e a r t h a t t h e r e i s o n l y o n e r e a s o n a b l e

d e f i n i t i o n f o r t h e i n t e g r a l o f

( 1 ) A n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c t i o n

I f

n

f ( x ) = E c i X E i ( x ) ,

i = 1

w h e r e c i > 0 ( i = 1 , 2 ,

. . . , n ) w e d e f i n e

( 5 . 3 . 1 )

f f c z u

= E

c i , u ( E i )

i = 1

T h i s s u m i s a l w a y s d e f i n e d s i n c e e a c h o f t h e t e r m s i s n o n - n e g a t i v e .

I t i s c a l l e d t h e i n t e g r a l o f f w i t h r e s p e c t t o p . ( N o t e t h a t i f c i = 0 ,

, u ( E i ) = - b o o o u r c o n v e n t i o n i s t h a t c i p ( E i ) = 0 . ) S i n c e t h e r e p r e -

s e n t a t i o n o f a s i m p l e f u n c t i o n i n t h e f o r m ( 5 . 3 . 1 . ) i s n o t u n i q u e w e

m u s t f i r s t s e e t h a t o u r d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l d o e s n o t d e p e n d o n t h e

p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n u s e d . S u p p o s e

n

m

=

c j x E . = F i d j X F j ,

i = 1

j = 1

t h e n s i n c e b o t h s y s t e m s o f s e t s a r e d i s s e c t i o n s o f 0

m

n

, u ( E i ) = f E , a ( E i n F j )

a n d µ ( F ) = i E 1 1 ( E 1 n F j ) .

( 5 . 3 . 2 )



5 . 3 ]

D E F I N I T I O N O F T H E I N T E G R A L 1 1 1

A l s o i f E i n F i s n o t e m p t y , i t w i l l c o n t a i n a p o i n t x a n d f ( x ) = c i = d j .

T h u s

n

n m

n

m

E E c , u ( E i n F j ) _

d f # ( E i n F j )

i = 1

i = 1 j = 1

i = 1 j = 1

m

_

d j p ( F j ) .

j = 1

N o w c o n s i d e r t w o n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c t i o n s

n

m

f = E C i X E , ,

9 = E d i X F j

i = 1

j = 1

a n d u s e t h e r e p r e s e n t a t i o n s

n m

c m n

f = E E C i , X E g n F j , 9 = 1 Z d j X E t i n F 1

j = 1 J = 1

j = 1 i = 1

i n t e r m s o f t h e d i s s e c t i o n E i n F j . T h e n t h e s i m p l e f u n c t i o n ( f + g ) h a s

t h e r e p r e s e n t a t i o n

n m

f + g = E E ( c i + d j ) x E ; n F , ,

i = 1 j = 1

a n d

J

( f + g ) d u = E E ( c i + d j ) , u ( E i r 1 )

i = 1 j = 1

n m

n m

= E E c i , a ( E i n F i ) + E E d j , u ( E E n F j )

i = 1 j = 1

i = 1 j = 1

n

m

= E c i , u ( E i ) + E d j , u ( F ) ,

u s i n g

( 5 . 3 . 2 )

i = 1 j = 1

= J f d a + J g d u .

I t i s n o w i m m e d i a t e f r o m t h e d e f i n i t i o n t h a t i f a > 0 , 8 > 0 a n d

q a r e n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c t i o n s t h e n

r

f

( a f + f f g ) d u = a f

f d u + f f J 9 d u

s o t h a t o u r o p e r a t o r i s l i n e a r o n t h e c l a s s o f n o n - n e g a t i v e s i m p l e

f u n c t i o n s . I t i s a l s o c l e a r t h a t i t i s o r d e r p r e s e r v i n g ; t h a t i s , i f f , g

a r e s i m p l e f u n c t i o n s a n d f > g t h e n f f d u > f g d u .

T h e s e p r o p e r t i e s a l l o w u s t o e x t e n d o u r d e f i n i t i o n t o :

( 2 ) N o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s

G i v e n a m e a s u r a b l e f : S Z - - > R + , b y t h e o r e m 5 . 2 t h e r e i s a m o n o t o n e

i n c r e a s i n g s e q u e n c e f n o f s i m p l e f u n c t i o n s s u c h t h a t f n - > . f . S i n c e

1 1 2


[ 5 . 3

f f . d # i s d e f i n e d f o r a l l n , a n d i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g i t h a s a l i m i t i n

R + ( w h i c h m a y b e + o o ) . W e d e f i n e

f f d

= l m f

f n d % ( 5 . 3 . 3 )

n - o o J

S i n c e t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e m o n o t o n e s e q u e n c e s o f s i m p l e f u n c t i o n s

w h i c h c o n v e r g e t o a g i v e n n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f , w e m u s t s h o w

t h a t t h e i n t e g r a l f f d u d e f i n e d i n t h i s w a y i s i n d e p e n d e n t o f t h e p a r -

t i c u l a r s e q u e n c e u s e d .

S u p p o s e { f n } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f n o n - n e g a t i v e s i m p l e

f u n c t i o n s a n d f = l i m f n > g , w h e r e g i s n o n - n e g a t i v e s i m p l e . T h e

n - - > .

0 0

i r s t ( a n d m a i n ) s t e p i n s h o w i n g t h a t o u r d e f i n i t i o n ( 5 . 3 . 3 ) i s p r o p e r

i s t o s h o w t h a t , i n t h e s e c i r c u m s t a n c e s

l i m u > J g d u .

( 5 . 3 . 4 )

n - > o o

k

P u t

9 =

c i X E i ,

i = 1

t h e n i f f g d u = + o o , t h e r e m u s t b e a n i n t e g e r i , 1 0 , p ( E i ) _ + o o . T h e n f o r a n y f i x e d e s u c h t h a t 0 < e < c i , t h e

s e q u e n c e o f s e t s { A n n E j ( n = 1 , 2 , . . . ) i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g t o

E j w h e r e

A n = { x : f n + e > g } .

( 5 . 3 . 5 )

H e n c e p ( A n n E i ) - - , - + o o a s n - * o o , b y t h e o r e m 3 . 2 . B u t

f f d u

>

f / f l x f l R . d P

> ( c i - e ) # ( A n n E i ) - - > + o o

a s n -

T h u s ( 5 . 3 . 4 ) i s e s t a b l i s h e d , i f f g d u = + o o . N o w a s s u m e t h a t f g d u

i s f i n i t e a n d p u t

A = { x : g ( x ) > 0 }

= U E i .

C i > 0

S i n c e g i s s i m p l e , c = m i n c i i s p o s i t i v e . a n d , a ( A ) < o o . W e n o w

c a > 0

s u p p o s e e > 0 a n d a g a i n d e f i n e A . b y ( 5 . 3 . 5 ) . T h e n

f f n d u

>

f f n x A n A d 1 i u

>

f ( g _ e ) x 4 n 4 d u

=

f 9 l y - d . n A d u - e # ( A . n A ) >

f x A n A d p - e u ( A ) .

S i n c e # ( A . f l E i ) - > , a ( E i ) f o r e a c h i , w e c a n e v a l u a t e t h e i n t e g r a l s a s

f i n i t e s u m s a n d f i n d a n i n t e g e r n o = n o ( e ) s u c h t h a t

f i n d u > f g x A c 1 i u _ e _ e p ( 4 )

f o r n > n o ,

5 . 3 ]

D E F I N I T I O N O F T H E I N T E G R A L

1 1 3

s o t h a t w e h a v e e s t a b l i s h e d ( 5 . 3 . 4 ) a l s o i n t h e c a s e f g d a < o o .

W e c a n n o w s u p p o s e g i v e n t w o s e q u e n c e s o f s i m p l e f u n c t i o n s

0 < A < A < . . . < 1 A < . . .

A

0 < 9 1 < g 2 < . . .

e a c h m o n o t o n e i n c r e a s i n g a n d c o n v e r g e n t t o f . T h e n f o r e a c h f i x e d

m w e h a v e , b y ( 5 . 3 . 4 ) , s i n c e

f = l i m f n > g m ,

n w

l i m J f . d # >

J

g m d p .

I f w e n o w l e t m - + o o

l i m

f f d

a > l i m

f

g m d u .

n - - > o o

m - > a o

S i n c e t h e s i t u a t i o n i s s y m m e t r i c a l , t h e o p p o s i t e i n e q u a l i t y i s s i m i l a r l y

p r o v e d a n d w e m u s t h a v e

l i m

f

f n d 1 t = l i m

J

g m d u .

n - > o o

m o m

T h u s t h e o p e r a t i o n o f i n t e g r a t i o n i s p r o p e r l y d e f i n e d f o r n o n -

n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s . B e c a u s e o f t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t

f o r n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c t i o n s , i t n o w f o l l o w s t h a t , i f f , g a r e

t w o n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s a n d a > 0 , f 3 > 0 t h e n

f o x f

+ R g ) d # = a f f d a + f l g d u .

B y o u r d e f i n i t i o n , f o r f > 0 a n d m e a s u r a b l e , f f d u m a y b e f i n i t e o r

+ o o . A n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n f i s s a i d t o b e i n t e g r a b l e

w i t h r e s p e c t t o t h e m e a s u r e , i f f f d u i s f i n i t e .

T h e r e a r e c l e a r l y t w o p o s s i b l e r e a s o n s f o r s u c h a n f t o f a i l t o

b e i n t e g r a b l e . E i t h e r t h e r e i s a s i m p l e f u n c t i o n g < f f o r w h i c h

f g d u = o o , w h i c h w o u l d i m p l y t h e e x i s t e n c e o f a c > 0 f o r w h i c h

p { x : f ( x ) > c } = + o o , o r a l t e r n a t i v e l y i t i s p o s s i b l e t h a t f g d u i s

f i n i t e f o r a l l s i m p l e f u n c t i o n s g < f ( w h i c h i m p l i e s p { x : f ( x ) > c } < o o ,

a l l c > 0 ) b u t , f o r a n y s e q u e n c e g n o f s i m p l e f u n c t i o n s c o n v e r g i n g

t o f , f

g n d u - + + o c a s n - > c o .

W e c a n n o w d e f i n e t h e i n t e g r a l f o r :

( 3 ) I n t e g r a b l e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s

W e k n o w t h a t i f f : L 2 - > R * i s m e a s u r a b l e , t h e n s o a r e

. f + , f -

a n d f = f + - f - .



1 1 4


[ 5 . 3

I f b o t h f + a n d f _ a r e i n t e g r a b l e , t h e n w e s a y t h a t f i s i n t e g r a b l e a n d

d e f i n e

f f d

=

T h u s o u r o p e r a t i o n o f i n t e g r a t i o n i s n o w w e l l - d e f i n e d o n t h e c l a s s . V

o f i n t e g r a b l e f u n c t i o n s . W e w i l l s h o w i n t h e n e x t s e c t i o n t h a t a l l t h e

d e s i r a b l e p r o p e r t i e s d i s c u s s e d i n § 5 - 1 a r e s a t i s f i e d b y t h i s o p e r a t i o n .

F i n a l l y , w e d e f i n e :

( 4 ) I n t e g r a l o f a f u n c t i o n f o v e r a s e t A

T h i s c a n b e c o n s i d e r e d o n l y f o r s e t s A i n F . P u t

f A

f d u =

f f x A d a

p r o v i d e d f f x 4 d / L i s d e f i n e d . T h u s f f d a w i l l b e d e f i n e d i f e i t h e r

( i ) f X A i s n o n - n e g a t i v e a n d m e a s u r a b l e , o r ( i i ) f X A i s m e a s u r a b l e a n d

i n t e g r a b l e . W e s a y t h a t f i s i n t e g r a b l e o v e r A ( w i t h r e s p e c t t o p ) i f

t h e f u n c t i o n f X A i s i n t e g r a b l e . I t i s c l e a r t h a t

=

f f d l t

f a f d u

a n d w e w i l l u s u a l l y c o n t i n u e t o o m i t t h e s e t f w h e n w e a r e i n t e g r a t i n g

o v e r t h e w h o l e s p a c e .

N o t e t h a t , i f E e . ° F a n d , u ( E ) = 0 , t h e n a n y f u n c t i o n f : 0 - > R *

i s i n t e g r a b l e o v e r E w i t h

f E 1 d = 0 .

E x e r c i s e s 5 . 3

1 . S h o w t h a t a s i m p l e f u n c t i o n

f ( x ) = E C X E ; ( x )

i s i n t e g r a b l e i f a n d o n l y i f c ; = 0 f o r e a c h i n t e g e r i s u c h t h a t 4 a ( E ) = + a o .

2 . L e t S l b e a f i n i t e s e t , u ( E ) t h e n u m b e r o f p o i n t s i n E . S h o w t h a t a l l

f u n c t i o n s o n S 2 a r e s i m p l e f u n c t i o n s a n d t h a t t h e t h e o r y o f i n t e g r a t i o n

r e d u c e s t o t h e t h e o r y o f f i n i t e s u m s .

3 . I f f : S 2 - > R * i s i n t e g r a b l e ( a ) s h o w t h a t , f o r a n y e > 0

# r x : I f ( x ) I 1 e } G o o .

5 . 3 ]

D E F I N I T I O N O F T H E I N T E G R A L

1 1 5

4 . S u p p o s e , u l a n d 1 a 2 a r e t w o m e a s u r e s d e f i n e d o n f 7 a n d v = 1 1 1 + , u 2 .

S h o w t h a t i f f i s i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o p a n d , u 2 o v e r a s e t E , t h e n i t i s

i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o v a n d

f E

f d v

= J E f d w 1 + J E

f d p 2

5 . S u p p o s e f : S l - - > R + i s a n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n . S h o w t h a t

f f d u

= s u p L Z p ( E k ) i n f { f ( x ) : x e E k } 1

,

w h e r e t h e s u p r e m u m i s t a k e n o v e r t h e c o l l e c t i o n o f a l l f i n i t e c l a s s e s o f

d i s j o i n t m e a s u r a b l e s e t s w i t h

E = U E k .

k - . 1

( T h i s i s a p o s s i b l e w a y o f d e f i n i n g

f

f d u w h i c h l e a d s t o t h e s a m e c l a s s o f

a

i n t e g r a b l e f u n c t i o n s ) .

6 . S u p p o s e , a ( E ) < o o a n d f : E a R i s a m e a s u r a b l e f i n i t e - v a l u e d f u n c t i o n

d e f i n e d o n E P u t

0 0

k k

k l

S n ( E ) _

p

l

< f ( x ) <

: x E E ,

k a - . 2 n

2 n

2 n J

S h o w t h a t t h i s s e r i e s i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t f o r a l l n i f i t i s a b s o l u t e l y

c o n v e r g e n t f o r a n y o n e n e Z . S h o w t h a t f i s i n t e g r a b l e o n E i f a n d o n l y i f

t h e s e r i e s c o n v e r g e s a b s o l u t e l y f o r a l l n a n d i n t h i s c a s e

f

f d u = J i m S n ( E ) .

B

S - 0 0

S h o w t h a t t h i s i s n o t v a l i d i f , a ( E ) = + o o .

r

( T h i s i s a n o t h e r p o s s i b l e w a y o f d e f i n i n g

f B

d a . )

s

5 . 4

P r o p e r t i e s o f t h e i n t e g r a l

W e h a v e n o w d e f i n e d t h e o p e r a t i o n o f i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o a

m e a s u r e p o n a c l a s s o f i n t e g r a b l e f u n c t i o n s . T h e f i r s t o b j e c t i v e m u s t

b e t o s h o w t h a t o u r o p e r a t i o n h a s t h e p r o p e r t i e s o u t l i n e d i n § 5 . 1 .

T h e s e a r e o f t w o t y p e s : t h o s e i n v o l v i n g o n l y a f i n i t e n u m b e r o f f u n c -

t i o n s , a n d o p e r a t i o n s i n v o l v i n g a c o u n t a b l e c l a s s o f f u n c t i o n s . W e w i l l

o b t a i n v a r i o u s c l o s u r e p r o p e r t i e s o f t h e c l a s s d w h i l e w e a r e e x a m i n i n g

t h e i n t e g r a t i o n o p e r a t i o n .

T h e o r e m 5 . 5 . S u p p o s e ( 0 , j F , p ) i s a m e a s u r e s p a c e , A , B a r e d i s -

j o i n t s e t s i n F a n d P L - * R * , g : S 2 - + R * a r e t w o f u n c t i o n s i n t e g r a b l e

1 1 6


[ 5 . 4

( o v e r 9 2 ) w i t h r e s p e c t t o I t . T h e n f i s i n t e g r a b l e o v e r A , f + g a n d I f j a r e i n -

t e g r a b l e ( o v e r 1 2 ) a n d

p

r s

W

f a - B

f d , u = J f d u + J f d u ;

( i i ) f i s f i n i t e a . e . ;

( i i i )

f ( f + g ) d u = f f d u + f g d u ;

( i v )

I f f d , 2 l < f I f I d u ;

( v ) f o r a n y c E R , c f i s i n t e g r a b l e a n d f c f d u = c f f d u ;

( v i ) f > 0 = f f d u > O ; f > g = > f f d u > f g d u ;

( v i i )

i f f > 0 a n d f f d u = 0 , t h e n f = 0 a . e . ;

( v i i i ) f = g a . e . = f f d u = f g d u ;

( i x ) i f h : i - - > R * i s i F - m e a s u r a b l e a n d I h I < f , t h e n h i s i n t e g r a b l e .

C o r o l l a r y . A n y f u n c t i o n f : S 2 - * R * w h i c h i s b o u n d e d , . F - m e a s u r a b l e ,

a n d z e r o o u t s i d e a s e t E i n F o f f i n i t e , u - m e a s u r e i s i n t e g r a b l e ( o v e r 0 )

w i t h r e s p e c t t o , u .

P r o o f . I f f :

t 2 - + R + i s n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e a n d i n t e g r a b l e

( o v e r t 2 ) a n d 0 < g < f w i t h g : S 2 - - > R + m e a s u r a b l e , i t f o l l o w s i m -

m e d i a t e l y f r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l o f n o n - n e g a t i v e m e a s u r -

a b l e f u n c t i o n s t h a t g i s i n t e g r a b l e . S i n c e f o r a n y A E . F , x y i s

m e a s u r a b l e ,

0 < f + X A < f + a n d

0 < f _ X A < f - ,

a n d a f u n c t i o n f w h i c h i s i n t e g r a b l e o v e r t 1 i s a l s o i n t e g r a b l e o v e r a n y

m e a s u r a b l e s e t A .

( i ) I f A , B a r e d i s j o i n t ,

x d - B = X A + x B ,

s o t h a t

f + x a - B = f + x a + . f + X B ,

f - x A B = f - x A + f - X B ;

a n d s i n c e p r o p e r t y ( i ) i s a l r e a d y k n o w n f o r n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e

f u n c t i o n s w e m u s t h a v e

=

f f + x A

B d k -

f i _ x 4

B 4

d ' B f d a

= f

f + x A d a - f f - x A d a +

f f + x B d u - f

f - x a d 1 v ;

f / c z p - i - f B f d P ,

( 5 . 4 . 1 )

n d

f B / d P

=

s i n c e a l l t h e t e r m s a r e f i n i t e .

1 1 8


a n d t h e r e s u l t f o l l o w s s i n c e i t h a s a l r e a d y b e e n p r o v e d f o r n o n -

n e g a t i v e f u n c t i o n s ( p . 1 1 3 ) . S i m i l a r l y , i f c < 0

( c f )

+ = -

c f - ,

( c f )

- = -

c f + ,

f

( c f ) + d a -

f

( c f ) _ d u = ( - c ) f f - d 1 t +

C

f f + d u = c

f

f d u .

( v i ) T h e f i r s t s t a t e m e n t f o l l o w s f r o m t h e d e f i n i t i o n .

I f f > g , t h e n f = g + ( f - g ) , a n d V - g ) > 0 . B y ( i i i ) , w e n o w h a v e

f f d 1 u

=

f d P + f ( f _ ) d 1 u

>

f

g d u .

( v i i ) I f { x : f ( x ) > 0 } h a s p o s i t i v e m e a s u r e , t h e n b y t h e o r e m 3 . 2

t h e r e i s a n i n t e g e r n s u c h t h a t , i f

A = { x : f ( x ) > 1 / n } ,

, u ( A ) > 0 . B u t n - 1 X A S f x a 5 f , s o t h a t

5 f d u >

1

n

x a d u = n u ( A ) > 0 .

H e n c e , i f f > 0 a n d f f d u = 0 , w e m u s t h a v e , u { x : f ( x ) > 0 } = 0 .

( v i i i ) I f f = g a . e . , t h e n f + = g + , f = g - a . e . I n t h e c o n s t r u c t i o n

o f t h e o r e m 5 . 2 , t h e s e t s Q , , , . f o r t h e t w o f u n c t i o n s f + a n d g + w i l l a l l

h a v e t h e s a m e m e a s u r e . H e n c e , t h e r e a r e s i m p l e f u n c t i o n s f n - + f + ,

g n - + g + s u c h t h a t

f f n d P f n d h / t ( n = 1 , 2 , . . . ) ,

a n d i t f o l l o w s t h a t f f + d a = f g + d a . S i m i l a r l y f f - d # = f g _ d # .

( i x ) I f I 1 i

< f t h e n 0 < h + 5 f , 0 < h _ < f . F r o m ( v i ) i t n o w f o l l o w s

t h a t e a c h o f f h + d a , f h _ d u i s f i n i t e , a n d h i s t h e r e f o r e i n t e g r a b l e .

P r o o f o f c o r o l l a r y . I f I f I < K , t h e n t h e s i m p l e f u n c t i o n K x E i s

i n t e g r a b l e a n d t h e i n t e g r a b i l i t y o f f n o w f o l l o w s f r o m ( i x ) .

R e m a r k . I f F i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o I t , t h e n ( v i i i ) c a n c l e a r l y

b e s t r e n g t h e n e d a s f o l l o w s :

I f f : L l - - > R * i s i n t e g r a b l e , a n d g : f Z - * R * i s s u c h t h a t f = g a . e . ,

t h e n g i s i n t e g r a b l e a n d f f d u = f g d u . T h e r e i s a l s o a c o n v e r s e t o t h i s

r e m a r k : i f f a n d g a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s s u c h t h a t

f f d u = f g d u f o r a l l E e , V ,

t h e n f = g a . e . F o r , s u p p o s e n o t , s o t h a t , u { x : f ( x ) + g ( x ) } > 0 . T h e n

5 . 4 1


1 1 9

a t l e a s t o n e o f { x : f ( x ) > g ( x ) } , { x : f ( x ) < g ( x ) } h a s p o s i t i v e m e a s u r e .

B y t h e o r e m 3 . 2 t h e r e { x : f ( x )

u s t b e a n i n t e g e r n s u c h t h a t , f o r

E n =

> 9 ( x ) + n } ,

# ( E . ) > 0 .

B u t t h e n

f f l f _ f f l 4 > 1 µ ( E ) > 0

n

w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n e s t a b l i s h i n g t h e r e q u i r e d r e s u l t .

W e c a n n o w c o n s i d e r t h e o r e m s a b o u t t h e c o n t i n u i t y o f t h e i n t e g r a -

t i o n o p e r a t o r .

T h e o r e m 5 . 6 . S u p p o s e { f n } i s a m o n o t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f n o n -

n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s : t - > R + a n d f n ( x ) - * f ( x ) f o r a l l x E S 2 :

t h e n

n - > a o

l i m j f d d c = j f d i z ,

i n t h e s e n s e t h a t , i f f i s i n t e g r a b l e , t h e i n t e g r a l s f f n d µ c o n v e r g e t o

f f d p ; w h i l e i f f i s n o t i n t e g r a b l e e i t h e r f n i s i n t e g r a b l e f o r a l l n a n d

f f n d µ - . + o o a s n - * o o , o r t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t f N i s n o t

i n t e g r a b l e s o t h a t f f n d µ = + o o f o r n > N .

P r o o f . F o r e a c h n = 1 , 2 , . . . c h o o s e a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e

{ f n . k } ( k = 1 , 2 , . . . )

o f n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c t i o n s c o n v e r g i n g t o f n , a n d p u t

9 k = m a x U n . k l -

n < k

T h e n { g k } i s a n o n - d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c -

t i o n s a n d

g = l i m 9 k

k - - ) - a o

i s n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e . B u t

f n , k < 9 k < f k < f

f o r n < k ,

( 5 . 4 . 2 )

s o t h a t

f n < g < f ;

a n d , i f w e n o w l e t n - o o , w e s e e t h a t f = g . U s i n g t h e o r d e r p r o p e r t y

( v i ) o f t h e o r e m 5 . 5 a n d ( 5 . 4 . 2 ) g i v e s

f f n . k d 1 u

<

f

g k d p < f f u f o r n < k .

F o r f i x e d n , l e t k - * c o ; f r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l ,

f f n d µ

< f g d 1 u < l i m

f f k d P .

k - + O D

5 . 4 ]


1 2 1

P r o o f . S i n c e { f n } i s b o u n d e d b e l o w b y a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n g

w e m a y a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t f n > 0 f o r a l l n . F o r

h , , . = f n - g > 0 a . e . t a n d

f h n d / u = f / n d u - J g d u , l i m i n f h n = l i m i n f f n - g a . e .

P u t g n = i n f f k , t h e n

k . n

f u n c t i o n s a n d

g n i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f m e a s u r a b l e

l i m g n = l i m i n f f n .

n - * o o

n - i o o

S i n c e f n > g n , f o r a l l n

l i m i n f f f n d # > l i m f g n d u =

f

l i m g n d u =

f

l i m i n f f n d 1 z ,

n - > m

f

J n - ) . c o

J

b y t h e o r e m 5 . 6 .

C o r o l l a r y . I f { f n } i s a s e q u e n c e o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s w h i c h i s b o u n d e d

a b o v e b y a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n , t h e n

r

f l i m s u p f n d u > l i m s u p J f n d u .

n - , a o

n - O - a o

P r o o f . T h i s c a n b e p r o v e d d i r e c t l y b y a m e t h o d s i m i l a r t o t h a t o f

t h e o r e m 5 . 7 , o r i t c a n b e d e d u c e d f r o m t h a t t h e o r e m b y p u t t i n g

g n = - f f n ( n = 1 , 2 ,

T h e o r e m 5 . 8 ( L e b e s g u e ) . ( i ) I f g : f l - > R + i s i n t e g r a b l e , { f n } i s a s e -

q u e n c e o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s S Z

R * s u c h t h a t I f n I < g ( n = 1 , 2 ,

. . . )

a n d f n - - > f a s n - > o o , t h e n f i s i n t e g r a b l e a n d

f f n d a

f f d l 4

a s

n - o o .

( i i ) S u p p o s e g : S l - + R + i s i n t e g r a b l e , - o o < a f a s t - > a + o r t - * b - , t h e n f i s i n t e g r a b l e a n d

f d - * f f d i u .

P r o o f .

( i ) W e f i r s t p r o v e t h e s p e c i a l c a s e o f t h e t h e o r e m w h e r e

t S i n c e g i s i n t e g r a b l e t h e s e t ( x : j g ( x ) I = + o o } h a s z e r o m e a s u r e , s o t h a t t h e o p e r a -

t i o n f ( x ) - g ( x ) c a n b e c a r r i e d o u t a t l e a s t o u t s i d e t h e s e t ( x : l g ( x ) l _ + c o } . W e p u t i n

a . e . t o c o v e r t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n a l s e t o f z e r o m e a s u r e w h e r e ( f f - g ) i s n o t d e f i n e d .

B y t h e o r e m 5 . 5 ( v i i i ) s u c h e x c e p t i o n a l s e t s d o n o t e f f e c t t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l s ,

a n d w e c o u l d a r b i t r a r i l y d e f i n e

t o b e z e r o a t t h e p o i n t s w h e r e f a = g = ± o o .

1 2 2


[ 5 . 4

f n > 0 a n d f n - 0 a s n - + o o . I n t h i s c a s e w e c a n a p p l y t h e o r e m 5 . 7

a n d c o r o l l a r y t o g i v e

l i m s u p

f l i m s u p f d P

=

f o d f c

= 0

= J l i m i n f

f

f , d # < l i m s u p

J

f n d µ .

H e n c e a l l t h e i n e q u a l i t i e s m u s t b e e q u a l i t i e s , l i m f f n d u e x i s t s , a n d

h a s t h e v a l u e z e r o .

I n t h e g e n e r a l c a s e , p u t h , , = I f n - f I ; t h e n 0 < h n < 2 g , 2 g i s

i n t e g r a b l e a n d h n i s m e a s u r a b l e w i t h h n - * 0 a s n - + o o . B u t t h e n

f f d 1 u _ f f d / f I f _ f J d 1 u

- , 0

a s n - - > c o ,

a n d f i s i n t e g r a b l e b y t h e o r e m 5 . 5 ( i x ) .

( i i ) S u p p o s e , f o r e x a m p l e , t h a t f , f a s t - - > a + , t h e n w e c a n a p p l y

t h e s e q u e n c e f o r m o f t h e t h e o r e m t o f u = f t . , w h e r e { t n } i s a n y s e q u e n c e

i n ( a , b ) c o n v e r g i n g t o a . S i n c e f = l i m f n w e m u s t h a v e

f f n ( L P - > J / c 4 u .

B u t t h e r i g h t - h a n d s i d e i s n o w i n d e p e n d e n t o f t h e p a r t i c u l a r s e q u e n c e

{ t n } c h o s e n s o t h a t f f g d u m u s t a p p r o a c h t h e l i m i t f f d u a s t - > a

t h r o u g h v a l u e s i n ( a , b ) . 1

E x e r c i s e s 5 . 4

1 . S u p p o s e f : S 2 - + R i s m e a s u r a b l e , A E F , , u ( A ) < o o a n d

f ( x ) = 0 f o r

x E S 2 - A ,

m < f ( x ) < M f o r

x e A ,

w h e r e m , M E R .

S h o w t h a t f i s i n t e g r a b l e a n d

m p ( A ) <

f f

d # < M p ( A ) .

2 . P r o v e t h a t , i f f a n d g a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s ,

m i n

[ f f d / 2 . f d i a ]

>

f

m i n ( f , g ) d µ .

I f t h e t w o s i d e s o f t h i s i n e q u a l i t y a r e e q u a l , w h a t d e d u c t i o n c a n b e m a d e

a b o u t t h e r e l a t i o n b e t w e e n f a n d g ?

3 . P r o v e t h a t , f o r a n y e > 0 , i f f i s i n t e g r a b l e o v e r E t h e r e i s a s u b s e t

E i

u

c E s u c h t h a t u c ( E 0 ) < o o , a n d

f B f d µ -

f a . f d u l

< e .

5 . 4 1

P R O P E R T I E S O F T H E I N T E G R A L 1 2 3

4 . S h o w t h a t f : S 2 - > R * i s i n t e g r a b l e i f a n d o n l y i f f o r a n y e < 0 , t h e r e

e x i s t i n t e g r a b l e f u n c t i o n s g a n d h w i t h g 3 f 3 h a n d f ( g - h ) d 1 i < e .

0 0

5 . I f E _ U E r i s a c o u n t a b l e u n i o n o f d i s j o i n t s e t s o f f , a n d f i s i n t e -

r = 1

g r a b l e o v e r E , t h e n

f f d a = E

0 0 f

. f d a

E

r = 1

E ,

a n d t h e s e r i e s c o n v e r g e s a b s o l u t e l y .

6 . S u p p o s e Z i s t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s , J z ' . i s t h e c l a s s o f a l l s u b s e t s

o f Z a n d l u ( E ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f p o i n t s i n E . S h o w t h a t a n y f : Z - > R *

i s g - m e a s u r a b l e a n d t h a t f i s i n t e g r a b l e i f a n d o n l y i f E f ( n ) c o n v e r g e s

n = 1

a b s o l u t e l y . D e d u c e t h a t t h e s u m o f a n a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t s e r i e s i s

u n a f f e c t e d b y a n y r e a r r a n g e m e n t o f t h e t e r m s .

7 . S u p p o s e { f n } i s a s e q u e n c e o f i n t e g r a b l e f u n c t i o n s a n d

0 0 f

f l f n d 4 u <

o .

n = 1

w

S h o w t h a t t h e s e r i e s E f n ( x ) c o n v e r g e s a b s o l u t e l y a . e . t o a n i n t e g r a b l e

n = 1

f u n c t i o n f a n d t h a t

f

f d 1 i = E f

f n d l u

n = 1

8 . S u p p o s e { E r , } i s a s e q u e n c e o f s e t s i n . ° F , m i s a f i x e d p o s i t i v e i n t e g e r ,

a n d G i s t h e s e t o f p o i n t s w h i c h a r e i n E . f o r a t l e a s t m i n t e g e r s n . T h e n

G i s m e a s u r a b l e a n d

0 0

1 r n 1 u ( G ) < E f u ( E n )

n = 1

9 . S h o w t h a t a m e a s u r a b l e f u n c t i o n f i s i n t e g r a b l e o v e r a m e a s u r a b l e

s e t E i f a n d o n l y i f

E µ [ E n { x : I f ( x ) 1 3 n } ]

c o n v e r g e s .

1 0 . S u p p o s e f i s m e a s u r a b l e , g i s i n t e g r a b l e a n d a , f t e R w i t h a < f ( x ) < 8

a . e . T h e n t h e r e i s a r e a l y s u c h t h a t a < y < l Q a n d

f f J g J d # = y

f

I 9 I d 1 z .

S h o w b y a n e x a m p l e t h a t w e c a n n o t r e p l a c e I g I b y g i n t h i s e q u a t i o n .

1 1 . S u p p o s e p i s L e b e s g u e m e a s u r e i n R a n d p u t

f n ( x ) = - n 2

f o r

x E ( 0 , 1 / n ) ,

= 0

o t h e r w i s e .

T I T

5



1 2 4


[ 5 . 4

T h e n l i m i n f f = l i m f = 0 f o r a l l x , b u t

= - n .

T h i s s h o w s t h a t t h e o r e m 5 . 7 i s n o t v a l i d w i t h o u t t h e r e s t r i c t i o n t h a t {

b e b o u n d e d b e l o w b y a n i n t e g r a b l e g .

1 2 . S t a t e a n d p r o v e a v e r s i o n o f F a t o u ' s l e m m a ( t h e o r e m 5 . 7 ) f o r a

f a m i l y f t , t e ( a , b ) , o f n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s .

1 3 . I s i t t r u e t h a t , f o r m e a s u r a b l e f , g : 1 2

R * ,

f 2 a n d g 2 i n t e g r a b l e = > f g i n t e g r a b l e ?

=

f f 2 c 1 f 2 d p ,

h o

w t h a t , i f

[ f f d P ] 2

t h e n f a n d g a r e e s s e n t i a l l y p r o p o r t i o n a l : t h a t i s , t h e r e i s a r e a l a s u c h t h a t

f = a g a . e . , o r g = 0 a . e .

5 . 5 L e b e s g u e i n t e g r a l ; L e b e s g u e - S t i e l t j e s i n t e g r a l

W e h a v e d e f i n e d t h e o p e r a t i o n o f i n t e g r a t i o n o n a n a b s t r a c t m e a s u r e

s p a c e ( 1 2 , F , p ) . H i s t o r i c a l l y t h i s m e t h o d o f i n t e g r a t i o n w a s f i r s t

d e f i n e d o n ( R ,

w h e r e , d e n o t e s L e b e s g u e m e a s u r e o n t h e a - - f i e l d

2 o f L e b e s g u e m e a s u r a b l e s e t s . W e h a v e m a d e t h e d e f i n i t i o n i n t h e

g e n e r a l c a s e s i n c e n o m o r e w o r k i s i n v o l v e d , b u t w e m u s t n o w s p e c i a l -

i s e i t t o o b t a i n t h e L e b e s g u e i n t e g r a l .

I f E i s a L e b e s g u e m e a s u r a b l e s e t i n R , , u d e n o t e s L e b e s g u e m e a s u r e

i n R , f i s 2 - m e a s u r a b l e , , t h e n i t i s u s u a l t o u s e t h e n o t a t i o n

f f ( x ) d x

f o r f

E

f d l - t .

I n p a r t i c u l a r , i f E i s a n i n t e r v a l w i t h e n d - p o i n t s a , b w e u s e t h e n o t a t i o n

b

f a f ( x ) d x

f o r f E f d x ,

w h e r e E = [ a , b ] o r ( a , b ) o r [ a , b ) o r ( a , b ] . N o t e t h a t , s i n c e t h e

L e b e s g u e m e a s u r e o f a s i n g l e p o i n t i s z e r o , i t m a k e s n o d i f f e r e n c e

w h e t h e r t h e i n t e r v a l i s o p e n o r c l o s e d .

I n t h e a b o v e n o t a t i o n a m a y b e - o o r r a n d b m a y b e + o o s o t h a t

f ' 0 - f ( x ) d x

m e a n s

J x f d u = I t

i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t t h e i n t e g r a l o v e r a n i n f i n i t e i n t e r v a l i s

d e f i n e d d i r e c t l y ( a n i n f i n i t e i n t e r v a l i s a m e a s u r a b l e s e t ) a n d n o t a s

t h e l i m i t o f i n t e g r a l s o v e r f i n i t e i n t e r v a l s .

1 2 6


a n d I f n l < g a . e . f o r e a c h n ; t h e n t h e f u n c t i o n s f n , f a r e L e b e s g u e i n t e g r a b l e

a n d

l i m f f ( x ) d x = f f ( x ) d x .

M

o 0

0

0 0

C o r o l l a r y . I f E e 2 ' k a n d I E i s f i n i t e , t h e n f o r a n y s e q u e n c e { f n } o f

2 k - m e a s u r a b l e f u n c t i o n s R k - * R s u c h t h a t I f n ( x ) I 5 a < o o f o r a l l n ,

a l l x E E , f n - 3 f a . e . i n E w e h a v e

f f ( x ) d x = l i m

f

f n ( x ) d x .

E

E

I t i s c l e a r t h a t t h e o r e m 5 . 8 A c a n a l s o b e t r a n s l a t e d t o g i v e a c o r r e -

s p o n d i n g r e s u l t f o r s e r i e s . I t i s a l s o w o r t h r e m a r k i n g t h a t t h e t h e o r e m s

c o r r e s p o n d i n g t o t h e o r e m s 5 . 6 A , 5 . 8 A f o r t h e R i e m a n n i n t e g r a l c a n

o n l y b e p r o v e d b y u s i n g s o m e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n t h a t e n s u r e s t h a t

f i s i n t e g r a b l e : f o r e x a m p l e , i t i s s u f f i c i e n t t o a s s u m e t h a t f n - * f

u n i f o r m l y .

E x e r c i s e s 5 . 5

1 . F r o m f i r s t p r i n c i p l e s c a l c u l a t e t h e L e b e s g u e i n t e g r a l s

r o J 1

x g d x

( q < - 1 ) ;

i )

f o

( p > - 1 ) ;

( i i ) f 1 0

i

( i i i ) f

s

f d u , w h e r e I t i s L e b e s g u e m e a s u r e i n R 2 , f ( X , y ) = x y a n d S i s t h e

u n i t

s q u a r e 0 . x . 1 , O < y < 1 .

2 . S u p p o s e f : R

R * i s L e b e s g u e i n t e g r a b l e a n d

F ( x ) = f - "

f ( t ) d t .

0 0

S h o w t h a t F i s a u n i f o r m l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n .

3 . S h o w t h a t i f { f n } i s a s e q u e n c e o f i n t e g r a b l e f u n c t i o n s E - R * s u c h

t h a t

I f

f , , ( x ) l d x < c o ,

h e n f n ( x ) - * 0 f o r a l m o s t a l l x e E .

4 . S h o w t h a t i f

I f n ( x ) I 5 1 / n 2 f o r a l l i n t e g e r s n , x E E , a n d e a c h f n i s

m e a s u r a b l e a n d g i s i n t e g r a b l e o v e r E , t h e n

J

E f n ( x ) g ( x ) d x = I

f n ( x ) g ( x ) d x .

E n = 1

n = 1 f z

5 . 5 ]

L E B E S G U E I N T E G R A L

1 2 7

5 . C a r a t h e o d o r y d e f i n e s t h e L e b e s g u e i n t e g r a l o f a n o n - n e g a t i v e m e a s u r -

a b l e f u n c t i o n i n R a s t h e L e b e s g u e m e a s u r e o f t h e o r d i n a t e s e t i n R 2

f

0 < y < , f ( x ) } j .

a

S h o w t h a t t h i s d e f i n i t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e o n e w e h a v e g i v e n .

6 . S u p p o s e { x s } i s a s e q u e n c e o f p o i n t s i n R a n d p t > 0 ,

p t < c o . F ( x )

i s d e f i n e d b y

F ( x ) = Z p t

x t < x

a n d , u F d e n o t e s t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e w i t h r e s p e c t t o F . S h o w

t h a t a l l f u n c t i o n s f : R - R * a r e m e a s u r a b l e , a n d t h a t f i s i n t e g r a b l e i f a n d

0 0

o n l y i f Z p t f ( x t ) c o n v e r g e s a b s o l u t e l y .

t = 1

7 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n f ( x ) = 1 / x 2 i s i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o

L e b e s g u e m e a s u r e o v e r [ 1 , o o ) , b u t n o t w i t h r e s p e c t t o t h e L e b e s g u e -

S t i e l t j e s m e a s u r e g e n e r a t e d b y F ( x ) = x 3 .

8 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n f ( x ) = x 2 i s i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e

L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e g e n e r a t e d b y

0 , x < 0 ,

F ( x )

1

( x - F

1

1 ) 4 '

x > 0 .

9 . S h o w t h a t , f o r n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s f : R - + R + , t h e

C a u c h y d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l o v e r a n i n f i n i t e i n t e r v a l

t

f d # = l i m

f ( x ) d x

o t - * G O o

i s e q u i v a l e n t t o t h e L e b e s g u e d e f i n i t i o n .

B y c o n s i d e r i n g t h e f u n c t i o n f ( x ) = s i n x / x , s h o w t h a t t h i s e q u i v a l e n c e

d o e s n o t e x t e n d t o a l l m e a s u r a b l e f .

1 0 . S h o w t h a t i f f : [ a , b ] R i s c o n t i n u o u s a n d t e ( a , b )

l i m

V - * -

y l t

[ f a f ( x ) d x -

f t f ( x ) d x ]

= . f ( t ) ;

t h u s t h e L e b e s g u e i n d e f i n i t e i n t e g r a l c a n b e d i f f e r e n t i a t e d a t p o i n t s w h e r e

t h e i n t e g r a n d i s c o n t i n u o u s .

5 . 6 * C o n d i t i o n s f o r i n t e g r a b i l i t y

T h e s t r e n g t h o f t h e i n t e g r a t i o n o p e r a t o r w e h a v e d e f i n e d i s t h a t i t

w o r k s o n a v e r y w i d e c l a s s o f f u n c t i o n s . P r o v i d e d t h e o - - f i e l d . F i s

l a r g e , t h e r e s t r i c t i o n t h a t f h a s t o b e . F - m e a s u r a b l e i s n o t a s e r i o u s o n e ,

1 2 8


[ 5 . 6

f o r w e h a v e s e e n t h a t i n a t o p o l o g i c a l s p a c e S 2 , i f F c o n t a i n s t h e o p e n

s e t s , t h e n a n y f u n c t i o n w h i c h c a n b e o b t a i n e d f r o m c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s o r s i m p l e f u n c t i o n s b y c o u n t a b l e o p e r a t i o n s w i l l b e . F -

m e a s u r a b l e . T h e o n l y a d d i t i o n a l r e s t r i c t i o n f o r i n t e g r a b i l i t y o f f

i s o n t h e s i z e ( t h a t i s , t h e m e a s u r e ) o f t h e s e t s w h e r e j f j i s l a r g e . I t

s h o u l d b e e m p h a s i s e d t h a t o u r o p e r a t i o n c o u l d b e c a l l e d ` a b s o l u t e

i n t e g r a t i o n ' f o r f i s i n t e g r a b l e i f a n d o n l y i f j f i s a n d w e d o n o t a l l o w

t h e l a r g e n e g a t i v e v a l u e s o f f t o ` c a n c e l o u t ' t h e l a r g e p o s i t i v e v a l u e s

t o g i v e a f i n i t e i n t e g r a l u n l e s s e a c h o f f + a n d f _ i s s e p a r a t e l y i n t e g r a b l e

( s e e e x e r c i s e , 5 . 5 ( 9 ) ) .

I f w e r e s t r i c t o u r c o n s i d e r a t i o n n o w t o t h e L e b e s g u e i n t e g r a l o n

R , t h e s e g e n e r a l c o m m e n t s s t i l l a p p l y , b u t h e r e i t i s w o r t h c o m p a r i n g

t h e L e b e s g u e i n t e g r a l w i t h t h e R i e m a n n i n t e g r a l o v e r f i n i t e i n t e r v a l s .

S i n c e w e w a n t t o c o m p a r e i n t e g r a t i o n o p e r a t o r s , f o r t h e p r e s e n t

s e c t i o n ( o n l y ) w e w i l l u s e

b

Y

f f ( x )

d x t o d e n o t e t h e L e b e s g u e i n t e g r a l ,

a

' f ( x ) d x t o d e n o t e t h e R i e m a n n i n t e g r a l .

a

I t i s e a s y t o g i v e e x a m p l e s o f f u n c t i o n s w h i c h a r e 2 - i n t e g r a b l e

b u t n o t 9 - i n t e g r a b l e . T h e r e a r e t w o k i n d s o f b a d b e h a v i o u r w h i c h

c a n p r e v e n t a f u n c t i o n f r o m b e i n g 9 - i n t e g r a b l e . T h e s e a r e i l l u s t r a t e d

b y :

( 1 ) b o u n d e d f u n c t i o n s w h i c h a r e b a d l y d i s c o n t i n u o u s b u t s t i l l

2 - m e a s u r a b l e . F o r e x a m p l e

f ( x )

1 1

w h e n x i s r a t i o n a l ,

0 w h e n x i s i r r a t i o n a l ,

i s d i s c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e . F o r a n y a < b , i t i s c l e a r t h a t

b

f ( x ) d x

J a

c a n n o t e x i s t . H o w e v e r , t h e s e t o f r a t i o n a l p o i n t s i s c o u n t a b l e , a n d

t h e r e f o r e 2 - m e a s u r a b l e w i t h z e r o m e a s u r e , s o t h a t f ( x ) i s a n 2 -

s i m p l e f u n c t i o n a n d

b

2 f a

f ( x ) d x = 0 .

J

( 2 ) F u n c t i o n s w h i c h a r e u n b o u n d e d i n ( a , b ) c a n n o t b e G - i n t e g r a b l e

e v e n i f t h e y a r e c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e . F o r e x a m p l e , f ( x ) = x -

( 0 < a < 1 ) i s n o t R - i n t e g r a b l e o v e r ( 0 , 1 ) , a l t h o u g h a n e l e m e n t a r y

5 . 6 1 C O N D I T I O N S F O R I N T E G R A B I L I T Y

1 2 9

c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t i t i s 2 ' - i n t e g r a b l e . I f t h e p o i n t s o f u n b o u n d e d -

n e s s o f f ( a s i n t h e a b o v e c a s e ) a r e f i n i t e i n n u m b e r , i t i s s o m e t i m e s

p o s s i b l e t o u s e t h e ` C a u c h y - R i e m a n n ' p r o c e s s t o d e f i n e t h e i n t e g r a l .

T h u s

1

l i m a J f ( x ) d x

6 + O +

e

i s d e f i n e d i n t h e a b o v e c a s e a n d c o u l d b e u s e d a s a d e f i n i t i o n o f

J o

f ( x ) d x . P r o v i d e d t h e C a u c h y - R i e m a n n i n t e g r a l o f l f ( x ) e x i s t s , i t

i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w t h a t , i f t h e C a u c h y - R i e m a n n p r o c e s s f o r

f ( x ) w o r k s , t h e n f i s 2 - i n t e g r a b l e t o t h e s a m e v a l u e . T h i s i s n o t t r u e

w i t h o u t t h e c o n d i t i o n t h a t t h e p r o c e s s w o r k s f o r l f ( x ) l , s i n c e t h e

2 - i n t e g r a l i s a n a b s o l u t e i n t e g r a l .

W e k n o w ( c o r o l l a r y t o t h e o r e m 5 . 5 ) t h a t a n y f u n c t i o n f : [ a , b ] - > R

w h i c h i s 2 ' - m e a s u r a b l e a n d b o u n d e d i s . ' - i n t e g r a b l e . F o r t h e e x i s -

t e n c e o f t h e 9 - i n t e g r a l i t i s n e c e s s a r y f o r f t o b e b o u n d e d , b u t t h e

c o n d i t i o n o f m e a s u r a b i l i t y d o e s n o t g i v e s u f f i c i e n t s m o o t h n e s s . I n

f a c t t h e n a t u r a l w a y o f c h a r a c t e r i s i n g f u n c t i o n s w h i c h a r e

.

- i n t e g r a b l e

o v e r a f i n i t e i n t e r v a l i s i n t e r m s o f t h e m e a s u r e o f t h e s e t o f p o i n t s

w h e r e t h e f u n c t i o n i s d i s c o n t i n u o u s .

T h e o r e m 5 . 9 . A b o u n d e d f u n c t i o n f : [ a , b ] - + R i s R i e m a n n i n t e g r a b l e

i f a n d o n l y i f t h e s e t E o f p o i n t s i n [ a , b ] a t w h i c h f i s d i s c o n t i n u o u s

s a t i s f i e s J E l = 0 . A n y f : [ a , b ] - + R w h i c h i s R i e m a n n i n t e g r a b l e i s

L e b e s g u e i n t e g r a b l e t o t h e s a m e v a l u e .

P r o o f . W e u s e t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n f o r t h e R i e m a n n i n t e g r a l

o f f o v e r [ a , b ] ( t h i s i s n o t t h e u s u a l o n e b u t c a n e a s i l y b e s e e n t o b e

e q u i v a l e n t b y u s i n g t h e b a s i c t h e o r y o f t h e . ? - i n t e g r a l ) . F o r a n y p o s i -

t i v e i n t e g e r n , d i v i d e I o = ( a , b ] i n t o 2 n e q u a l h a l f - o p e n i n t e r v a l s

n , a = ( a n , 4 - v a n . i ]

( 2 = 1 , 2 , . . . , 2 n ) ;

p u t

m n , , i = i n f { f ( x ) : a n , j _ 1 < x < a n . 4 } ,

_ M n . t = s u p { f ( x ) : a n i _ 1 < x < a n , z } ,

g n ( x ) =

0

m n 1

h n ( x ) =

0

0

T h e n f o r e a c h i n t e g e r n , x E I o

f o r

x e I n .

d ,

f o r

x ¢ I o ;

f o r

X E I n ,

f o r

x 0 I o .

g n ( x ) < f ( x ) < h n ( x ) ;

1 3 0


[ 5 . 6

{ g n } i s a m o n o t o n e i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s i m p l e f u n c t i o n s , a n d { h n }

i s a m o n o t o n e d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f s i m p l e f u n c t i o n s . I f w e p u t

g = l i m g n ,

h = l i m h n ,

t h e n g

n - - ) . O D n - 1 G o

< f < h . F u r t h e r , b y d e f i n i t i o n ,

Y ( ` b

g ( x ) d x = l i m 2 J b g n ( x ) d x

J

a

n - + o o

a

b - a 2 "

= l i m

E m n , = l i m s n ,

s a y ;

, - - , . . o

n

i = 1

n - > o o

b

p b

2

f

h ( x ) d x = l i m 2 J h n ( x ) d x

J a

a

2

b - a

= l i m - E M n , = l i m S n ,

s a y .

n - - > o o

2 7 E

i = 1

n - . w

W e s a y t h a t f i s . ? - i n t e g r a b l e o v e r [ a , b ] i f , o n l y i f

b

l i m s n = l i m S . a n d 9 f ( x ) d x

n - > o o

a

i s t h e n t h e c o m m o n v a l u e o f t h e l i m i t .

N o w n o t i c e t h a t i f f i s c o n t i n u o u s a t x e ( a , b ) t h e n g ( x ) = h ( x ) .

C o n v e r s e l y i f g ( x ) = h ( x ) a n d x i s n o t a d y a d i c p o i n t ( t h a t i s , x O D ,

w h e r e D i s t h e c o u n t a b l e s e t o f e n d - p o i n t s o f i n t e r v a l s I n , i ) , t h e n

f i s c o n t i n u o u s a t x .

p b

I f A J f ( x ) d x e x i s t s , s i n c e g < f < h ,

a

r a

2 f a g ( x ) d x =

M

p b

f ( x ) d x = 2 J

b h ( x ) d x

a

M E

s o t h a t , b y t h e o r e m 5 . 5 ( v i i ) g = h a . e . S i n c e t h e s e t E o f p o i n t s w h e r e

f i s d i s c o n t i n u o u s i s c o n t a i n e d i n D u { x : g ( x ) + h ( x ) } i t f o l l o w s t h a t

J E T = 0 . F u r t h e r , s i n c e L e b e s g u e m e a s u r e i s c o m p l e t e , f i s P - m e a s u r -

a b l e a n d , b y t h e o r e m 5 . 5 ( v i i i ) ,

Y

E

b

f ( x ) d x =

Y

f

b g ( x ) d x =

M E b f ( x ) d x .

J a

a a

C o n v e r s e l y i f t h e s e t E s a t i s f i e s J E J = 0 , t h i s i m p l i e s g ( x ) = h ( x )

a . e . , w h i c h g i v e s , b y t h e o r e m 5 . 5 ( v i i i )

Y

E

b g ( x ) d x =

Y

f

b h ( x ) d x

a

a

s o t h a t f i s .

- i n t e g r a b l e . I

5 . 6 ] C O N D I T I O N S F O R I N T E G R A B I L I T Y

1 3 1

T h e o r e m 5 . 9 s h o w s t h a t . P - i n t e g r a b l e f u n c t i o n s h a v e t o b e c o n -

t i n u o u s a t m o s t p o i n t s . W e h a v e m a n y e x a m p l e s o f 2 - i n t e g r a b l e

f u n c t i o n s w h i c h a r e c o n t i n u o u s n o w h e r e . H o w e v e r , t h e r e i s a s e n s e i n

w h i c h e v e n 2 - i n t e g r a b l e f u n c t i o n s h a v e t o b e a p p r o x i m a b l e b y c o n -

t i n u o u s f u n c t i o n s - i n f a c t b y f u n c t i o n s w h i c h a r e a r b i t r a r i l y s m o o t h ,

t h a t i s , f u n c t i o n s t h a t c a n b e d i f f e r e n t i a t e d a r b i t r a r i l y o f t e n .

T h e o r e m 5 . 1 0 . G i v e n a n y 2 ' - i n t e g r a b l e f u n c t i o n f : R - * R * a n d a n y

e > 0 t h e r e i s a f i n i t e i n t e r v a l ( a , b ) , a n d a b o u n d e d f u n c t i o n g : R - - > R

s u c h t h a t g ( x ) v a n i s h e s o u t s i d e ( a , b ) , i s i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e f o r a l l r e a l

x a n d

Y f l f x _ u x i I d x

< e .

P r o o f . W e c a r r y o u t t h e a p p r o x i m a t i o n i n 4 s t a g e s .

( i ) F i r s t , f i n d a f i n i t e i n t e r v a l [ a , b ] a n d a b o u n d e d m e a s u r a b l e

f u n c t i o n f i w h i c h v a n i s h e s o u t s i d e [ a , b ] a n d i s s u c h t h a t

Y

f

I / ( x ) - f i ( x ) I d x < J e .

T h i s c a n b e d o n e b y c o n s i d e r i n g t h e s e q u e n c e o f f u n c t i o n s

f ( x )

i f x e [ - n , n ] a n d

I f ( x ) I < n ,

i f

x E f - n . n 1

a n d

f ( x ) > n .

a . . ( X i

0

i f x o [ - n , n ] .

- n

I t x E [ - n , n j a n a j ( x ) < - n ,

T h e n g n ( x ) - + f ( x ) f o r a l l x a n d I g n I o o

s o t h a t w e c a n f i x a s u f f i c i e n t l y l a r g e N a n d p u t f i ( x ) = g N ( x ) .

( i i ) T h e n e x t s t e p i s t o a p p r o x i m a t e f l b y a n ' - s i m p l e f u n c t i o n / 2

w h i c h v a n i s h e s o u t s i d e [ a , b ] a n d s a t i s f i e s

I . f i ( x ) - 1 2 ( x ) I d x < } e .

T h i s i s c l e a r l y p o s s i b l e s i n c e w e d e f i n e d t h e i n t e g r a l a s a l i m i t o f t h e

i n t e g r a l s o f s i m p l e f u n c t i o n s .

( i i i ) N o w a s i m p l e f u n c t i o n i s a f i n i t e s u m o f m u l t i p l e s o f i n d i c a t o r

f u n c t i o n s . I f e a c h i n d i c a t o r f u n c t i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d b y t h e

i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a f i n i t e n u m b e r o f d i s j o i n t i n t e r v a l s , t h e n i t w i l l

f o l l o w t h a t f 2 c a n b e a p p r o x i m a t e d b y f 3 , a s t e p f u n c t i o n o f t h e f o r m

n

f 3 ( x ) _

g x J 1 ( x ) ,

a = i

1 3 2


[ 5 . 6

w h e r e e a c h J t i s a f i n i t e i n t e r v a l a n d

I f 2 ( x ) - / 3 ( x ) I d x < J E .

T o s e e t h a t t h i s i s p o s s i b l e s t a r t w i t h a b o u n d e d I F - m e a s u r a b l e s e t E

a n d 7 / > 0 . F i n d a n o p e n s e t G z ) E s u c h t h a t I G - E I < i n a n d f r o m

t h e c o u n t a b l e u n i o n o f d i s j o i n t o p e n i n t e r v a l s m a k i n g u p G p i c k a

f i n i t e n u m b e r t o f o r m G o s u c h t h a t I G - G o I < J r / . I t w i l l t h e n f o l l o w

t h a t I E A G o I < r / s o t h a t

f - I I X ) - x a o ( x ) I d x < , t / -

( i v ) I n o r d e r t o o b t a i n t h e r e q u i r e d i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c -

t i o n g f o r w h i c h

f f 3 ( x ) - g ( x ) I d x < f e

i t i s n o w s u f f i c i e n t t o f i n d a f u n c t i o n f o r o n e o f t h e c o m p o n e n t s

X j , ( x ) o f f 3 .

S u p p o s e J = ( a , b ) a n d 0 < 2 1 1 .

I f c - 1 = J

0 , , , , ( x ) d x ,

l e t

h ( x ) = c I f x

1 0 a , , 1 0 ) - c b b , , 7 ( t ) } d t .

- ' 0 0 0

- O D

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t h i s i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e a n d

f I x x - h ( x ) I d x

< 4 7 1 ,

s i n c e 0 < , 1 ( x ) < 1 f o r a l l x a n d { x : X j ( x ) + h ( x ) } i s c o n t a i n e d i n t h e t w o

i n t e r v a l s ( a - 7 1 , a + , I ) a n d ( b - i s , b + 7 1 ) . J

R e m a r k 1 . W e s t a t e d o u r a p p r o x i m a t i o n t h e o r e m i n R 1 . I t i s a l s o

t r u e i n R k f o r e v e r y k , a n d i n t h i s c a s e w e c a n r e q u i r e t h e a p p r o x i m a t i n g

f u n c t i o n t o h a v e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f a l l o r d e r s e v e r y w h e r e . O u r

p r o o f r e q u i r e s o n l y m i n o r m o d i f i c a t i o n s t o g i v e t h e c o r r e s p o n d i n g

t h e o r e m i n R k .

R e m a r k 2 . I f S Z i s a t o p o l o g i c a l s p a c e , a n d F i n c l u d e s t h e B a i r e

s e t s i n S 2 t h e n t h e o r e m 5 . 1 0 c a n b e g e n e r a l i z e d t o ( t i ,

t o s h o w t h a t

a n y i n t e g r a b l e f u n c t i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a c o n t i n u o u s f u n c t i o n .

( T h e B a i r e s e t s a r e t h e s e t s i n t h e a - - r i n g g e n e r a t e d b y s e t s

{ x : f ( x ) > 0 } w h e r e f : S 2

R

i s c o n t i n u o u s a n d v a n i s h e s o u t s i d e a c o m p a c t s e t ) .

5 . 6 1

C O N D I T I O N S F O R I N T E G R A B I L I T Y

1 3 3

E x e r c i s e s 5 . 6

1 . I n t h e o r e m 5 . 1 0 i t w a s s h o w n t h a t a n y i n t e g r a b l e f u n c t i o n f c o u l d b e

a p p p r o x i m a t e d b y a s t e p f u n c t i o n g i n t h e s e n s e t h a t

f I f x ) _ ( x i d x < e .

S h o w t h a t i n g e n e r a l i t i s n o t p o s s i b l e t o a r r a n g e a t t h e s a m e t i m e t h a t

g < f -

2 . S h o w i f f : R - > R * i s i n t e g r a b l e , t h e n

f a f u n c t i o n w h i c h i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s

a n d z e r o o u t s i d e a b o u n d e d i n t e r v a l .

3 . I f f " ( x ) = e - " x - 2 e - 2 n x s h o w t h a t f , , i s i n t e g r a b l e o v e r [ 0 , + o o ) b u t

t h a t

f

I f n

( x ) ) d x

+ Z

J

' f n ( x ) d x .

o

0 = 0 1

n - 1 0

x 2 s i n l / x 3

( x + 0 ) ,

4 . P u t

g ( x )

_

{ 0

( x = 0 ) ,

a n d

g ' ( x ) = f ( x )

f o r a l l

x e R .

S h o w t h a t f ( x ) i s f i n i t e f o r a l l x , b u t u n b o u n d e d n e a r x = 0 . S h o w t h a t

f i x ) i s n o t R - i n t e g r a b l e o v e r ( 0 , 1 ) , b u t t h a t i t i s C a u c h y - R i e m a n n i n t e g r a b l e

( e v a l u a t e i t s i n t e g r a l ) . I s f ( x ) 2 ' - i n t e g r a b l e o v e r ( 0 , 1 ) ?



1 3 4

6

R E L A T E D S P A C E S A N D M E A S U R E S

6 . 1 C l a s s e s o f s u b s e t s i n a p r o d u c t s p a c e

I n t h e l a s t f e w c h a p t e r s w e h a v e d e f i n e d a l l o u r c o n c e p t s i n a s i n g l e

a b s t r a c t s p a c e S 2 a n d u s u a l l y w e h a v e a t a n y t i m e c o n s i d e r e d o n l y o n e

m e a s u r e d e f i n e d o n a f i x e d c l a s s o f s u b s e t s o f Q . I n a p p l i c a t i o n s o n e

o f t e n r e q u i r e s t o c o n s i d e r m o r e t h a n o n e m e a s u r e , a n d t h e r e l a t i o n -

s h i p b e t w e e n t h e s p a c e s a n d m e a s u r e s i n v o l v e d b e c o m e i m p o r t a n t .

W e f i r s t c o n s i d e r m e a s u r e s d e f i n e d o n t h e C a r t e s i a n p r o d u c t o f t w o

m e a s u r e s p a c e s . B e f o r e c o n s i d e r i n g t h e d e f i n i t i o n o f s u c h m e a s u r e s

w e m u s t e x a m i n e , i n t h e p r e s e n t s e c t i o n , t h e s t r u c t u r e o f t h e r e l e v a n t

c l a s s e s o f s u b s e t s .

I n § 1 . 1 w e d e f i n e d t h e C a r t e s i a n p r o d u c t X x Y o f t w o s p a c e s

X , Y t o b e t h e s e t o f a l l o r d e r e d p a i r s ( x , y ) w i t h x E X , y E Y .

R e c t a n g l e

A n y s e t i n X x Y o f t h e f o r m E x F w i t h E c X , F c Y i s c a l l e d a

r e c t a n g l e ( s e t ) .

P r o d u c t o f c l a s s e s

I f ' ' , 3 d e n o t e c l a s s e s o f s u b s e t s i n X , Y r e s p e c t i v e l y , t h e n ' x - 9

d e n o t e s t h e c l a s s o f a l l r e c t a n g l e s E x F w i t h E E ' , F E . 9 .

P r o d u c t r i n g , f i e l d , o - - f i e l d

I f z - c l a s s a g a i n d e n o t e s a n y o n e o f r i n g , f i e l d , o r - r i n g , a r - f i e l d a n d

W , 3 a r e z - c l a s s e s i n X , Y , r e s p e c t i v e l y , t h e n t h e p r o d u c t z - c l a s s i s t h e

z - c l a s s i n X x Y g e n e r a t e d b y l e x - 9 .

L e m m a . I f l e , - 9 a r e s e m i - r i n g s i n X , Y r e s p e c t i v e l y , t h e n ' x

i s a

s e m i - r i n g i n X x Y .

P r o o f . I t i s i m m e d i a t e t h a t l e x - 9 i s c l o s e d f o r f i n i t e i n t e r s e c t i o n s ,

s o t h a t w e h a v e o n l y t o p r o v e t h a t

E 1 x . F - E 2 x F 2

c a n b e e x p r e s s e d a s a u n i o n o f d i s j o i n t s e t s o f ' x _ q f o r a n y

E l , E 2 E ' i ; F 1 , F 2 E _ q .



1 3 8 R E L A T E D S P A C E S A N D M E A S U R E S [ 6 . 1

8 . S u p p o s e _ - Y i s t h e p r o d u c t v - f i e l d o f t w o a - f i e l d s . F , 9 . S h o w t h a t

a n y f u n c t i o n o n X x Y - * R w h i c h i s . ' - s i m p l e h a s a l l i t s s e c t i o n s F - s i m p l e

o r 9 - s i m p l e .

9 . S u p p o s e . r i s t h e p r o d u c t v - f i e l d o f t w o v - f i e l d s .

F 2 . S h o w t h a t t h e

p r o j e c t i o n o f a s e t i n 3 0 " o n a n a x i s n e e d n o t b e i n . F 1 , . ° F 2 , r e s p e c t i v e l y .

1 0 . S u p p o s e F i i s a v - f i e l d i n X i ( i = 1 , 2 , . . . ) a n d t h e v - f i e l d g e n e r a t e d

b y c y l i n d e r s e t s W ( .

, .

+ 1 ,

. . . ) i n l j X i i s d e n o t e d b y . V , , . T h e n g i v e n a n y

i = n

c o

s e t E i n r j X i t h e ( f i n i t e d i m e n s i o n a l ) s e c t i o n o f E a t x 1 , x 2 , . . . , x k i s t h e s e t

i = 1

0 0

( i n

n X i ) o f p o i n t s ( x k + i , x k + 2 , . . . ) s u c h t h a t ( x 1 , x 2 , . . . ) r : E . T h e n i f E E Y 1

\ \

i = k + 1

t h e p r o d u c t o - - f i e l d i n r j X i , a l l i t s k - d i m e n s i o n a l s e c t i o n s b e l o n g t o . S o k + 1

i = 1

6 . 2

P r o d u c t m e a s u r e s

W e n o w a s s u m e t h a t ( X 1 ,

a n d ( X 2 ,

a r e m e a s u r e

s p a c e s a n d / 1 1 1 F 2 a r e o - - f i n i t e m e a s u r e s . T h e p r o d u c t Q - f i e l d . ' i n

X 1 X X 2 w a s d e f i n e d a s t h e s m a l l e s t

c o n t a i n i n g t h e c l a s s

' F 1 x F 2 w h i c h i s k n o w n t o b e a s e m i - r i n g s i n c e e a c h o f

F . a r e

s e m i - r i n g s . I n C h a p t e r s 3 a n d 4 w e d e v e l o p e d a g e n e r a l m e t h o d o f

e x t e n d i n g a m e a s u r e f r o m a s e m i - r i n g t o t h e g e n e r a t e d a - r i n g . S i n c e

t h e s e m i - r i n g F 1 x F 2 c o n t a i n s t h e w h o l e s p a c e X 1 x X 2 t h i s g e n e r a t e d

r - r i n g m u s t b e a a - f i e l d a n d i s t h e r e f o r e F 1 * . F 2 , t h e p r o d u c t o r - f i e l d .

T h u s i f w e u s e t h e o r e m s 3 . 5 a n d 4 . 2 w e c a n e x t e n d a n y a - f i n i t e m e a s u r e

o n

x F 2 t o a a ' - f i n i t e m e a s u r e o n . * . ' F 2 i n a u n i q u e w a y .

S u p p o s e E 1 x E . i s a n y r e c t a n g l e s e t i n F 1 x F 2 a n d p u t

# ( E 1 x E 2 ) = # 1 ( L ' 1 ) # 2 ( L ' 2 ) 1

w i t h t h e u s u a l c o n v e n t i o n t h a t 0 . o o = c o . 0 = 0 . T h e n p i s a n o n -

n e g a t i v e s e t f u n c t i o n o n F 1 x F 2 w h i c h i s e a s i l y s e e n t o b e c r - f i n i t e .

O u r f i r s t o b j e c t i v e i s t o s h o w t h a t p i s a m e a s u r e o n t h e s e m i - r i n g

. F 1 x . r 2 . F i r s t , s u p p o s e t h a t

E x F = U ( E i x F i )

i = 1

w i t h t h e s e t s E . x F i d i s j o i n t .

D e f i n e t h e f u n c t i o n s f i : X 1 - * R +

b y f i ( x )

=

p s ( F i ) x E i ( x ) ( i = 1 , 2 ,

. . . , n ) .

T h e n f i i s a n o n - n e g a t i v e

f u n c t i o n o r p o s s i b l y a f u n c t i o n w h i c h t a k e s t h e v a l u e + e o o n a m e a s u r -

a b l e s e t E i a n d z e r o o u t s i d e i t : i n a n y c a s e

f i c z p i = p 1 ( E i ) p 2 ( r ' i )

( i = 1 , 2 , . . . , n ) .

6 . 2 ]

P R O D U C T M E A S U R E S

S i m i l a r l y , i f f ( x ) = , u 2 ( F ) X E ( x ) w e h a v e

f f d i

= I a 1 ( E ) u u 2 ( F )

N o w f o r e a c h f i x e d x i n X 1 w e h a v e

( E x F ) x = U ( E , x F i ) x

i - 1

1 3 9

w i t h t h e s e t s ( E i x F i ) x d i s j o i n t . S i n c e 1 u 2 i s ( f i n i t e l y ) a d d i t i v e i t f o l l o w s

t h a t

n

f ( x ) = E f i ( x )

i = 1

I f w e n o w u s e ( f i n i t e ) a d d i t i v i t y f o r i n t e g r a l s o f n o n - n e g a t i v e s i m p l e

f u n c t i o n s w e h a v e

l u 1 ( E ) , a 2 ( F ) = f

f d , u 1 = f

T i d a l =

f

f i d u 1 = L . i , a 1 ( E i ) l i 2 ( F i )

t i = 1

i = 1 i = 1

T h i s s h o w s t h a t t h e s e t f u n c t i o n u 1 w e h a v e d e f i n e d i s f i n i t e l y a d d i t i v e

o n F l x " 2 . T h e s a m e a r g u m e n t e x t e n d s w i t h o u t d i f f i c u l t y t o c o u n t -

a b l e u n i o n s o f d i s j o i n t r e c t a n g l e s

0 0

U ( E i x F i ) = E x F

i = 1

b e c a u s e a l l t h e f u n c t i o n s f i ( x ) a r e n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e , s o t h a t

t h e m o n o t o n e c o n v e r g e n c e t h e o r e m 5 . 6 j u s t i f i e s t h e i n v e r s i o n o f

i n t e g r a t i o n a n d s u m m a t i o n . T h u s I t i s a m e a s u r e o n t h e s e m i - r i n g

. F 1 x . F 2 . I t c a n b e e x t e n d e d u n i q u e l y b y t h e o r e m 3 . 5 t o t h e g e n e r a t e d

r i n g , a n d t h e n , b y t h e o r e m 4 . 2 , t o t h e g e n e r a t e d o - - r i n g w h i c h i s t h e

p r o d u c t o - - f i e l d F 1 * . 5 F 2 . T h e r e s u l t i s c a l l e d t h e p r o d u c t m e a s u r e

o n < F 1 * c . F 2 . W e h a v e t h u s p r o v e d

T h e o r e m 6 . 2 . G i v e n t w o m e a s u r e s p a c e s ( X 1 , # i , 1 u 1 ) , ( X 2 1 ' F 2 1 , 0 2 ) s u c h

t h a t , u 1 7 u 2 a r e o - - f i n i t e , t h e r e i s a u n i q u e m e a s u r e a d e f i n e d o n t h e p r o d u c t

o f i e l d A l * f f l 7 2 i n X 1 x X 2 s u c h t h a t

, a ( E 1 x E 2 ) = l u 1 ( E 1 ) J a 2 ( E 2 )

f o r

E 1 E . ° F 1 , E 2 E ' 2 .

T h e a b o v e t h e o r e m c l e a r l y e x t e n d s i m m e d i a t e l y t o a n y f i n i t e

C a r t e s i a n p r o d u c t o f

m e a s u r e s p a c e s . D i f f i c u l t i e s a r i s e w i t h

t h e C a r t e s i a n p r o d u c t o f a n e n u m e r a b l e c o l l e c t i o n o f m e a s u r e s p a c e s

u n l e s s w e a r r a n g e t h a t t h e i n f i n i t e p r o d u c t s o f r e a l n u m b e r s o c c u r r i n g

c o n v e r g e . T h e e a s i e s t w a y t o e n s u r e t h i s i s t o r e s t r i c t t h e d i s c u s s i o n

t o c o u n t a b l e p r o d u c t s o f m e a s u r e s p a c e s ( X i , A j , p i ) w i t h , u i ( X i ) = 1 .

1 4 0


[ 6 . 2

I t i s p o s s i b l e t o d e f i n e p r o d u c t m e a s u r e s o n a r b i t r a r y p r o d u c t

s p a c e s j j X i s u c h t h a t , u i ( X i ) = 1 b y e x a c t l y t h e m e t h o d u s e d b e l o w .

i E I

W e c a r r y o u t t h e c o n s t r u c t i o n o n l y f o r e n u m e r a b l e p r o d u c t s a s , i n

a p p l i c a t i o n s , i t i s n o t u s u a l l y a p p r o p r i a t e t o c o n s i d e r t h e p r o d u c t

m e a s u r e f o r n o n - c o u n t a b l e p r o d u c t s . I n § 6 . 6 w e w i l l g i v e a g e n e r a l

c o n s t r u c t i o n f o r a m e a s u r e i n j l X i , a n a r b i t r a r y p r o d u c t s p a c e -

i E I

t h i s c o n s t r u c t i o n c o u l d c l e a r l y b e s p e c i a l i z e d t o g i v e t h e r e s u l t s o f t h e

r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n , b u t i t i s s i m p l e r t o d e a l w i t h t h e c a s e o f

p r o d u c t m e a s u r e s i n c o u n t a b l e p r o d u c t s p a c e s f i r s t . W e w i l l s e t u p o u r

m e a s u r e o n t h e p r o d u c t o - - f i e l d b y a s l i g h t l y d i f f e r e n t p r o c e d u r e .

L e t b e t h e s e m i - r i n g o f c y l i n d e r s e t s i n j I X i .

W e d e f i n e I t o n W b y u ( E )

= 1 z 1 ( E 1 ) # 2 ( E 2 ) . . . l u n ( E n ) , i f

E = E 1 x E 2 x

. . . X E . x

j j X i ; E i E , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) .

0

i = = n + 1

I t i s c l e a r t h a t 0 < , u ( E ) < 1 f o r a l l E i n V . T o s e e t h a t I t i s f i n i t e l y

a d d i t i v e o n ' i t i s s u f f i c i e n t t o s e e t h a t , i n a n y f i n i t e c o l l e c t i o n o f

c y l i n d e r s e t s , o n l y a f i n i t e n u m b e r o f c o o r d i n a t e s a r e i n v o l v e d s o t h a t ,

m

i f C = U C j i s a d i s s e c t i o n o f C E ' i n t o d i s j o i n t s e t s o f l e , t h e r e i s a n

j = 1

i n t e g e r N s u c h t h a t C a n d C j ( j = 1 ,

. . . , m ) c a n

a l l b e e x p r e s s e d i n

t h e f o r m

E 1 x E 2 x . . . x E N x j j X i .

0

i = N + 1

W e c a n t h e n a p p l y t h e o r e m 6 . 2 t o t h e f i n i t e p r o d u c t s t o s e e t h a t

m

f i ( C ) = E , u ( C j ) .

j = 1

B y t h e o r e m 3 . 4 , u h a s a u n i q u e a d d i t i v e e x t e n s i o n t o t h e r i n g Q

o f f i n i t e u n i o n s o f c y l i n d e r s e t s . I n o r d e r t o a p p l y t h e o r e m 4 . 2 w e

m u s t s h o w t h a t u i s a m e a s u r e o n 9 . T h i s c a n b e d o n e b y u s i n g t h e

c o n t i n u i t y t h e o r e m 3 . 2 . I t i s s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t a n y m o n o t o n e

d e c r e a s i n g s e q u e n c e { A n } o f s e t s i n R s u c h t h a t

0

h a s a n o n - v o i d i n t e r s e c t i o n .

O D

L e t Y . = f X . T h e n b y t h e a b o v e p r o c e d u r e w e c a n d e f i n e p r o -

i = n + 1

d u c t s e t f u n c t i o n s v ( n ) o n t h e c l a s s * n > o f f i n i t e u n i o n s o f c y l i n d e r



1 4 2 R E L A T E D S P A C E S A N D M E A S U R E S

[ 6 . 2

t h e n t h e r e i s a u n i q u e m e a s u r e µ d e f i n e d o n t h e p r o d u c t o - - f i e l d F o f

0 0

s u b s e t s o f X X i w h i c h i s g e n e r a t e d b y t h e c y l i n d e r s e t s o f t h e f o r m

i = 1

E 1 x E 2 x . . . x E n x r j X i ( E i E F i , i = 1 , 2 , . . . ) ,

i = n + 1

s u c h t h a t

µ ( E 1 x . . . x E n x

f t

\

i = n + 1

)

= l u 1 ( E 1 ) f i 2 ( E 2 ) . . . r u n ( E . )

E x e r c i s e s 6 . 2

1 . G i v e n 3 o r - f i n i t e m e a s u r e s p a c e s ( X 1 , .

1 , µ l ) , ( X 2 , .

, µ 2 ) ,

l e t T b e t h e p r o d u c t m e a s u r e o f µ 1 , µ 2 i n X 1 X X 2 a n d v t h e p r o d u c t m e a s u r e

o f I t , , µ 3 i n X 2 X X 3 . S h o w t h a t , i n t h e s p a c e X 1 X X 2 X X 3 t h e p r o d u c t

m e a s u r e o f T a n d µ 3 i s t h e s a m e a s t h e p r o d u c t m e a s u r e o f I t , a n d v .

2 . S u p p o s e ( X i , . 5 F i , , u i ) ( i = 1 , 2 , . . . ) i s a s e q u e n c e o f m e a s u r e s p a c e s

0 0

w i t h a i ( X i ) = 1 . L e t µ b e t h e p r o d u c t m e a s u r e o f t h e o r e m 6 . 3 o n j j X i

i = 1

C O

a n d s u p p o s e T n i s t h e c o r r e s p o n d i n g p r o d u c t m e a s u r e o f j j X . S h o w t h a t

i = n + 1

µ i s t h e s a m e a s t h e p r o d u c t m e a s u r e o f µ 1 7 u 2 , . . . , µ n , T n o n t h e f i n i t e C a r -

t e s i a n p r o d u c t

T 7

X 1 X X 2 X . . . X X n X

1 1

X i

.

3 . T h e p r o d u c t m e a s u r e o f t w o c o m p l e t e m e a s u r e s n e e d n o t b e

c o m p l e t e . A s a n e x a m p l e t a k e X 1 = X 2 = u n i t i n t e r v a l w i t h L e b e s g u e

m e a s u r e . S u p p o s e M i s a n o n - m e a s u r a b l e s e t i n X 1 , a n d c o n s i d e r t h e s e t

M x { y } ; u s e e x e r c i s e 6 . 1 ( 7 ) .

m

4 . S u p p o s e j j X i i s a p r o d u c t s p a c e w i t h µ i ( X i ) = 1 . L e t E .

i = 1

' 0

0 0

( i = 1 , 2 , . . . ) . T h e n t h e s e t j j E i i s i n t h e p r o d u c t o , - f i e l d a n d µ ( E )

µ ( E i ) .

i = 1 i = 1

5 . I f a c y l i n d e r s e t E 1 x E 2 x . . . x E x j j X i i s i n t h e p r o d u c t u - f i e l d

0

n + 1

F g e n e r a t e d b y W ( J F 1 , J F 2 , . . . ) , t h e n i t i s i n

i n f a c t E i E .

( i = 1 , 2 , . . . , n ) .

6 . 3 1

F U B I N I ' S T H E O R E M 1 4 3

6 . 3

F u b i n i ' s t h e o r e m

G i v e n t w o m e a s u r e s p a c e s ( X , F , I t ) , ( Y , 9 , v ) w e h a v e n o w s e e n

h o w t o d e f i n e a p r o d u c t m e a s u r e o n t h e p r o d u c t o - - f i e l d i n X x Y .

G i v e n a f u n c t i o n f : X x Y - - > R * t h e r e a r e s e c t i o n s f , , : Y - > - R * d e f i n e d

f o r e v e r y x E X . O u r o b j e c t i v e i n t h e p r e s e n t s e c t i o n i s t o c o m p a r e t h e

i n t e g r a l o f f ( x , y ) w i t h r e s p e c t t o t h e p r o d u c t m e a s u r e w i t h t h e i t e r a t e d

i n t e g r a l o b t a i n e d b y f i r s t i n t e g r a t i n g f e ( y ) w i t h r e s p e c t t o v f o r e a c h

f i x e d x , a n d t h e n i n t e g r a t i n g t h e r e s u l t i n g f u n c t i o n o f x w i t h r e s p e c t t o

t h e m e a s u r e I t . B e c a u s e o f o u r m e t h o d o f d e f i n i n g t h e i n t e g r a l t h e

g e n e r a l r e s u l t w i l l f o l l o w e a s i l y f r o m t h e s p e c i a l c a s e o f s i m p l e

f u n c t i o n s . T h e e s s e n t i a l s t e p t o w a r d s t h i s c a s e i s g i v e n b y t h e n e x t

t h e o r e m .

T h e o r e m 6 . 4 . G i v e n ( X , F , I t ) , ( Y , ? , v ) t w o o - - f i n i t e m e a s u r e s p a c e s ,

l e t A b e t h e p r o d u c t m e a s u r e d e f i n e d o n t h e p r o d u c t o - - f i e l d F * 9 . T h e n

f o r a l l A F * 9 , v ( A . , ) i s F - m e a s u r a b l e a n d a ( A v ) i s 9 - m e a s u r a b l e ;

a n d r

f v ( A ) d .

( A ) =

J

# ( A ' ) d v =

P r o o f . S u p p o s e f i r s t t h a t p ( X ) , v ( Y ) a r e b o t h f i n i t e . L e t _ W b e

t h e c l a s s o f s u b s e t s o f X x Y f o r w h i c h t h e c o n c l u s i o n s o f t h e t h e o r e m

a r e v a l i d . T h e n . 4 ' . F x T s i n c e i f A = E l x E 2 , E l E . F , E 2 E W

v ( A , , ) i s . F - s i m p l e a s a f u n c t i o n o f x ,

, u ( A Y ) i s 9 - s i m p l e a s a f u n c t i o n o f y ,

a n d b o t h t h e s e f u n c t i o n s i n t e g r a t e t o A ( A ) b y t h e d e f i n i t i o n o f A o n

. F x 9 . I t f o l l o w s t h a t A c o n t a i n s t h e r i n g . o f f i n i t e u n i o n s o f

r e c t a n g l e s e t s o f F x T . S i n c e t h e l i m i t o f a m o n o t o n e s e q u e n c e o f

m e a s u r a b l e f u n c t i o n s i s m e a s u r a b l e , a n d t h e o r e m 5 . 6 a p p l i e s t o t h e

i n t e g r a l s , i t f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t . 4 ' i s a m o n o t o n e c l a s s . H e n c e ,

b y t h e o r e m 1 . 5 , . , ' i s a o - - r i n g . B u t c l e a r l y . 4 ' c o n t a i n s X x Y s o t h a t

. 4 ' i s a o - - f i e l d a n d _ W n F * 9 . T h e r e s t r i c t i o n , u ( X ) < o o , v ( Y ) < o o

c a n n o w b e r e m o v e d b y t h e u s u a l d e v i c e o f t a k i n g m e a s u r a b l e s e q u e n c e s

{ A , z } i n c r e a s i n g t o X a n d { B n } i n c r e a s i n g t o Y f o r w h i c h p ( A ) < o o ,

v ( B , ) < o o f o r a l l n , a n d c o n s i d e r i n g t h e s e t A n ( A n x B . ) w h i c h

i n c r e a s e s t o A a s n - o o .

C o r o l l a r y . U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f t h e o r e m 6 . 4 , i f A E . 5 F * 9 , A ( A ) = 0

i f a n d o n l y i f v ( A . , ) = 0 f o r a l m o s t a l l x , a n d i f a n d o n l y i f p ( A Y ) = 0

f o r a l m o s t a l l y .

T h i s f o l l o w s f r o m t h e t h e o r e m u s i n g t h e f a c t t h a t a n o n - n e g a t i v e

m e a s u r a b l e f u n c t i o n c a n i n t e g r a t e t o z e r o o n l y i f i t i s z e r o a l m o s t

e v e r y w h e r e . I

6 . 3 ]

F U B I N I ' 3 T H E O R E M

1 4 5

w i l l a l w a y s b e d e f i n e d , t h o u g h i t m a y t a k e t h e v a l u e + o o . S i n c e

f f + ( x ) d p e x i s t s , w e m u s t h a v e f + f i n i t e e x c e p t f o r a s e t o f z e r o u -

m e a s u r e . S i m i l a r l y , f - i s f i n i t e a l m o s t e v e r y w h e r e . I f w e p u t

f ( x ) = f + ( x ) - . f - ( x )

w h e n b o t h f + , f - a r e f i n i t e a n d f ( x ) = 0 o t h e r w i s e , w e s e e t h a t

f

h d A = f h + d A _ f h _ d A

= f

f + d u -

r f - d µ = f f d a .

( i i i ) A g a i n s p l i t f i n t o p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p a r t s . S i n c e

0 < f + < I f 1 ,

w e c a n a p p l y ( i ) t o e a c h o f t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p a r t s t o d e d u c e

t h a t f f + d A a n d f f - d A a r e b o t h f i n i t e . T h e r e s u l t n o w f o l l o w s b y ( i i ) .

W e s h o u l d r e m a r k t h a t t h e o r e m 6 . 5 i s o n e o f t h e m o s t u s e f u l t o o l s

i n t h e t h e o r y o f i n t e g r a t i o n a s w e h a v e d e v e l o p e d i t . T h i s r e s u l t a g a i n

e x h i b i t s t h e p o w e r a n d n e a t n e s s o f t h e a b s o l u t e i n t e g r a l .

W e h a v e b e e n c a r e f u l t o d e f i n e t h e p r o d u c t m e a s u r e A o n t h e

s m a l l e s t

. V w h i c h c o n t a i n s F x T . S o m e a u t h o r s d e f i n e p r o -

d u c t m e a s u r e t o b e t h e c o m p l e t i o n o f t h i s A o b t a i n e d b y t h e p r o c e s s

o f t h e o r e m 4 . 3 . I f o n e u s e s t h i s d e f i n i t i o n t h e n s o m e o f o u r s t a t e m e n t s

h a v e t o b e m o d i f i e d t o e x c l u d e p o s s i b l e s u b s e t s o f z e r o m e a s u r e ,

t h o u g h t h e e s s e n t i a l c o n t e n t o f t h e r e s u l t s r e m a i n v a l i d . I n p a r t i c u l a r ,

g i v e n a f u n c t i o n f ( x , y ) w h i c h i s m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e c o m -

p l e t e d a r - f i e l d . f ° , o n e c a n o n l y s a y t h a t t h e s e c t i o n f x i s T - m e a s u r a b l e

f o r a l m o s t a l l x . H o w e v e r , p r o v i d e d F a n d T a r e c o m p l e t e w i t h r e s p e c t

t o t h e i r r e s p e c t i v e m e a s u r e s , t h e o r e m 6 . 5 r e m a i n s v a l i d a s s t a t e d .

W e c a n u s e o u r d e f i n i t i o n o f p r o d u c t m e a s u r e t o g i v e a n a l t e r n a t i v e

d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l o f a n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n .

T h e o r e m 6 . 6 . S u p p o s e ( S 2 , - , µ ) i s a o - - f i n i t e m e a s u r e s p a c e , ( R , . , v )

d e n o t e s t h e r e a l l i n e w i t h L e b e s g u e m e a s u r e o n i t a n d z i s t h e p r o d u c t

m e a s u r e , a x v d e f i n e d o n t h e p r o d u c t c r f i e l d d Y i n t x R . T h e n i f

E E F a n d f : E - ; , - R + i s n o n - n e g a t i v e , f i s F - m e a s u r a b l e o v e r E i f a n d

o n l y i f Q ( E , f ) E . y e , a n d i n t h i s c a s e ,

f E f d 1 i = r ( Q ( E ' , f ) ) ;

w h e r e Q ( E , f ) i s t h e o r d i n a t e s e t d e f i n e d b y

{ ( x , y ) : x E E , y R , 0 < y < f ( x ) } .



6 . 3 ]

F U B I N I ' S T H E O R E M 1 4 7

I f w e c o n s i d e r t h e c a s e k = 2 , a f u n c t i o n f ( x , y ) w h i c h i s 3 2 -

m e a s u r a b l e n e e d n o t b e

F 2 - m e a s u r a b l e .

T h u s w e c a n o n l y s a y t h a t

t h e f u n c t i o n f e ( y ) = f ( x , y ) c o n s i d e r e d a s a f u n c t i o n o f y f o r f i x e d x i s

m e a s u r a b l e f o r a l m o s t a l l x . T h u s i n T h e o r e m 6 . 5 ( i i ) , i f f ( x , y )

i s L e b e s g u e i n t e g r a b l e w e c a n d e d u c e t h a t ¢ ( x ) = f f ( x , y ) d y e x i s t s

a n d i s f i n i t e e x c e p t f o r a n e x c e p t i o n a l s e t o f x o f z e r o m e a s u r e . A s

g 5 ( x ) i s t h u s d e f i n e d a . e . i t c a n b e i n t e g r a t e d a n d

f f f ( x Y ) d x d Y

=

f r ( x ) d x .

E x e r c i s e s 6 . 3

1 . S u p p o s e S 2 i s a n y s e t o f c a r d i n a l g r e a t e r t h a n X 0 , a n d F i s t h e o - f i e l d

o f s e t s i n f I w h i c h a r e e i t h e r c o u n t a b l e o r h a v e a c o u n t a b l e c o m p l e m e n t .

F o r E e J F , p u t p ( E ) = 0 i f E i s

1 i f ( S 2 - E ) i s c o u n t a b l e .

C o n s i d e r t h e C a r t e s i a n p r o d u c t o f t w o c o p i e s o f S 2 a n d l e t E b e a s e t i n

S 2 x S Z w h i c h h a s c o u n t a b l e x - s e c t i o n s f o r e v e r y x a n d y - s e c t i o n s w h o s e

c o m p l e m e n t i s c o u n t a b l e f o r e v e r y y . I f

h

i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f E , t h e n

f h u ( x ) a u ( d x )

= 1 ,

f h ( Y ) ( d Y )

= 0 .

W h y d o e s t h i s n o t c o n t r a d i c t t h e o r e m 6 . 4 ?

2 . S u p p o s e ( X , . F , # ) ( Y , O F , v ) a r e o - f i n i t e m e a s u r e s p a c e s a n d A i s t h e

p r o d u c t m e a s u r e o n t h e p r o d u c t a - f i e l d A . S h o w t h a t

( i ) I f E , G c : A ' a r e s u c h t h a t v ( E . , ) = v ( G , , ) f o r a l m o s t a l l x e X , t h e n

A ( E ) = A ( G ) .

( i i ) I f f , g a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s o n X , Y t h e n f ( x ) g ( y ) i s i n t e g r a b l e o n

X x Y a n d

f f ( x )

g ( y ) d A =

f f d u f Y d v .

3 . X = Y = [ 0 , 1 ] a n & F , 9 a r e t h e B o r e l s u b s e t s . L e t p ( E ) b e t h e L e b e s -

g u e m e a s u r e o f E , v ( E ) t h e n u m b e r o f p o i n t s i n E . F o r m t h e p r o d u c t m e a -

s u r e I t x v o n B o r e l s u b s e t s o f t h e u n i t s q u a r e . T h e n i f D i s t h e d i a g o n a l

{ ( x , y ) ; x = y } , D i s m e a s u r a b l e a n d

f

v ( D x ) u ( d x ) = 1 ,

f ( D Y )

v ( d y ) = 0 .

W h y d o e s t h i s n o t c o n t r a d i c t t h e o r e m 6 . 4 ?

4 . I f f ( x , y ) =

( x 2 - y 2 ) / ( x 2 + y 2 ) 2 s h o w t h a t

f { f f x , Y d Y } d x

=

0 0

4 ,

f ( x , y ) d x d y = - 4 ,

0

0

[ 6 . 3

w h e r e a l l t h e i n t e g r a l s a r e t a k e n i n t h e L e b e s g u e s e n s e . T h u s t h e o r e m

6 . 5 ( i i i ) i s n o t v a l i d w i t h o u t t h e m o d u l u s s i g n . S i m i l a r l y , s h o w t h a t

1

J

( e - - 2 e - 2 0 9 ) d x ) d y + J

J O

1 ( e - x v - 2 e -

v ) d y } d x .

0

1

1

1 1

5 . I f f ( x , y ) = x y l ( x 2 + y 2 ) 2 , t h e n

+ 1

+ 1 + 1

f ( f f ( x , Y ) d Y ) d x

- 1

( f

1

f ( x ,

)

= =

b u t t h e i n t e g r a l o v e r t h e u n i t s q u a r e i n R 2 d o e s n o t e x i s t .

6 . G i v e n a c o u n t a b l e c o l l e c t i o n o f p r o b a b i l i t y s p a c e s ( X 2 , . j u ; ) a n d

t h e p r o d u c t m e a s u r e , u o n t h e p r o d u c t v - f i e l d , w e c a n f o r m t h e f i n i t e p r o d u c t

m e a s u r e s T . . = µ 1 X P 2 X . . . x p n a n d t h e p r o d u c t m e a s u r e A o n t h e p r o d u c t

s p a c e r j X j . T h e n , i f f ( x 1 , x 2 , . . . ) i s a n y p - i n t e g r a b l e f u n c t i o n o n r j X j w e

{ = n + 1 i

1

h a v e

f d u =

j f t x 1 , x , . . . ) d n d T n .

6 . 4

R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m

W e s t a r t w i t h a d e f i n i t i o n .

A b s o l u t e c o n t i n u i t y

S u p p o s e F i s a

o f s u b s e t s o f S 2 a n d p i s a m e a s u r e o n . F .

T h e n t h e s e t f u n c t i o n v : . F - + R * i s s a i d t o b e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s

w i t h r e s p e c t t o p i f v ( E ) = 0 f o r e v e r y E i n F w i t h , u ( E ) = 0 . I n t h i s

c a s e w e w r i t e v < I t . I f ( f 2 ,

u ) i s a m e a s u r e s p a c e a n d f : 0

- R *

i s µ - i n t e g r a b l e , t h e n i t i s c l e a r t h a t

v ( E ) =

f E

f d u

J

d e f i n e s a f i n i t e v a l u e d a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s s e t f u n c t i o n v . I n f a c t ,

i n § 5 . 4 w e p r o v e d t h a t v w a s a n d t h a t ( c o r o l l a r y t o t h e o r e m

5 . 6 ) g i v e n e > 0 , t h e r e i s a 8 > 0 s u c h t h a t f o r E e . F ,

p ( E ) < S ' I v ( E ) I < e . ( 6 . 4 . 1 )

I t i s i m m e d i a t e t h a t a n y s e t f u n c t i o n v w h i c h s a t i s f i e s ( 6 . 4 . 1 ) i s

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o I t . T h e c o n d i t i o n s a r e e q u i v a -

l e n t f o r f i n i t e m e a s u r e s , b u t n o t i n g e n e r a l ( s e e e x e r c i s e 6 . 4 ( 4 ) ) .

T h e r e i s a p a r t i a l c o n v e r s e g i v e n b y :

L e m m a . I f ( S 2 , F , p ) i s a m e a s u r e s p a c e a n d v : F - > . R i s f i n i t e v a l u e d ,

a r - a d d i t i v e a n d a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o , u , t h e n v s a t i s f i e s

c o n d i t i o n ( 6 . 4 . 1 ) .

1 5 0


[ 6 . 4

T h e f u n c t i o n f i s u n i q u e i n t h e s e n s e t h a t i f w e a l s o h a v e

v 2 ( E ) =

f E

g d a

f o r a l l E i n . F , t h e n f ( x ) = g ( x ) e x c e p t i n a s e t o f z e r o , - m e a s u r e .

C o r o l l a r y . U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f t h e t h e o r e m i f v < I t t h e n t h e r e i s a

f i n i t e v a l u e d f : S 2 - . R s u c h t h a t

v ( E ) =

f E

f d µ f o r E e . F .

N o t e . T h e d e c o m p o s i t i o n o f v i n t o a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d s i n g u -

l a r c o m p o n e n t s i s o f t e n c a l l e d t h e L e b e s g u e d e c o m p o s i t i o n , w h i l e t h e

i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n i s c a l l e d t h e R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m .

P r o o f . S i n c e w e c a n e x p r e s s S Z a s a u n i o n o f a c o u n t a b l e s e t o f d i s -

j o i n t s e t s o n e a c h o f w h i c h b o t h , a a n d v a r e f i n i t e , t h e r e i s n o l o s s i n

g e n e r a l i t y i n a s s u m i n g t h a t t h e y a r e b o t h f i n i t e o n 9 2 . T h i s a p p l i e s

t o b o t h t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s p r o o f s . W e f i r s t s e e t h a t t h e

d e c o m p o s i t i o n i s u n i q u e .

L e t

V = V l + V 2 = V 3 + V 4 ,

w h e r e v 1 , v 3 a r e s i n g u l a r a n d v 2 , v 4 a r e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s . T h e n

v 1 - V 3 = V 4 - V 2 1

T a k i n g t h e u n i o n o f s u p p o r t s e t s o f v 1 , v 3 g i v e s a s e t E o s u c h t h a t

( v 1 - v 3 ) ( E ) = ( v 1 - v 3 ) ( E n E 0 ) ,

, a ( E o ) = 0 .

B u t ( v 4 - v 2 ) i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d t h e r e f o r e z e r o o n a n y n u l l

s e t s o t h a t , f o r a n y E E . F ,

( v 4 - v 2 ) ( E ' ) = ( v 1 - v 3 ) ( E ) = ( v 1 - v 3 ) ( E n E o )

= ( v 4 - v 2 ) ( E n E o ) = 0 .

T h u s v l ( E ) = v 3 ( E ) , v 2 ( E ) = v 4 ( E ) f o r a l l E . T h e u n i q u e n e s s o f t h e

i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f v 2 w a s p r o v e d i n § 5 . 4 . T h u s i t i s s u f f i c i e n t

t o f i n d a n y d e c o m p o s i t i o n a n d i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n .

B y t h e o r e m 3 . 3 w e c a n d e c o m p o s e v i n t o t h e d i f f e r e n c e o f t w o m e a -

s u r e s . I t i s t h e r e f o r e s u f f i c i e n t t o p r o v e t h e t h e o r e m w h e n v i s a

m e a s u r e . N o w l e t . - ° b e t h e c l a s s o f n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e

f : U - * R +

s u c h t h a t

v ( E ) >

f

f d #

f o r a l l E i n J F

E

6 . 4 j

R A D O N - N I K O D Y M T H E O R E M

1 5 1

a n d p u t

a = s u P

{ f i z 1 u : i E . 3 1

.

L e t { f n } b e a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s i n . ° s u c h t h a t

. f n d u > a -

1

- .

n

P u t g n ( x ) = m a x { f l ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) } . T h e n i f

a n d n i s f i x e d

w e c a n d e c o m p o s e E i n t o a d i s j o i n t u n i o n E 1 v E 2 v . . . v E , , o f s e t s o f

. F s u c h t h a t g n = f j o n E j . H e n c e

f

g n c i u =

f

g n d l u

f j d ' a s E v ( E ; ) = v ( E ) ,

E

j = 1 E j

j = 1 E j

j = 1

s o t h a t 9 n E . ° f o r a l l n . B u t { g n } i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g , a n d b y t h e

m o n o t o n e c o n v e r g e n c e t h e o r e m , f o ( x ) = l i m g n ( x ) E A ° . S i n c e

f a ( x ) > f n ( x ) f o r a l l n ,

w e m u s t h a v e

a = f

f o ( x ) d µ .

F o r e a c h E i n F , p u t

v 2 ( E ) =

f E f o d p ,

v 1 ( E ) = v ( E ) -

v 2 ( E ) .

T h e n v 2 i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o p , s o i t o n l y r e m a i n s t o

s h o w t h a t v 1 i s s i n g u l a r .

C o n s i d e r t h e o - - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n

; ( n = V 1 - ( 1 / n ) a

a n d d e c o m p o s e S 2 , u s i n g t h e o r e m 3 . 3 . i n t o p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s e t s

P n , N n s u c h t h a t P n v N n = S Z , P n n N n = o , E c P n o - A n ( E ) > 0 ,

E c N n A ( E ) < 0 . T h e n , f o r E c P n ,

v ( E ) = v 1 ( E ) + v 2 ( E ) % v 2 ( E ' ) + n p ( E )

=

f

E

( . i + n ) d u .

T h i s s h o w s t h a t t h e f u n c t i o n e q u a l t o f o o n N . a n d [ f o + ( 1 / n ) ] o n P .

i s i n . * ' . T h i s w i l l g i v e a l a r g e r i n t e g r a l t h a n a u n l e s s , u ( P n ) = 0 . I f

0 0

P = U P . , t h e n p ( P ) = 0 .

F u r t h e r S 2 - P c N n f o r a l l n s o t h a t

n = 1

v 1 ( S Z - P ) = 0 a n d

v 1 ( E ) = v 1 ( E n P )

f o r a l l E i n . F ,

t h a t i s , v 1 i s , u - s i n g u l a r .

[ 6 . 4

I n t h e c a s e w h e r e v < < , u , b y t h e u n i q u e n e s s o f t h e d e c o m p o s i t i o n

w e m u s t h a v e v = v 2 , a n d t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f v n o w f o l l o w s . ]

R e m a r k . I n t h e s t a t e m e n t o f t h e o r e m 6 . 7 w e d o n o t a s s e r t t h a t t h e

f u n c t i o n f i s i n t e g r a b l e . A n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n t h a t f

b e i n t e g r a b l e i s t h a t v b e f i n i t e . H o w e v e r , t h e u s e o f t h e s y m b o l

f F

f d u a s s e r t s t h a t e i t h e r f + o r f - h a s a f i n i t e i n t e g r a l . T h i s c o r r e s p o n d s

t o t h e r e s u l t o f t h e o r e m 3 . 2 t h a t v c a n n o t t a k e b o t h t h e v a l u e s ± c c .

D e r i v a t i v e o f a s e t f u n c t i o n

I f

i s a

m e a s u r e s p a c e a n d

v ( E ) =

f o r E i n ,

t h e n w e w r i t e f = d v / d µ a n d c a l l f t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e o f

v w i t h r e s p e c t t o y .

O n e s h o u l d e m p h a s i s e t h a t t h e d e r i v a t i v e d v / d µ i s n o t d e f i n e d

u n i q u e l y a t a n y g i v e n p o i n t , i t h a s t o b e c o n s i d e r e d a s a f u n c t i o n a n d

t h e n i t b e c o m e s u n i q u e l y d e f i n e d i n t h e s e n s e t h a t a n y t w o f u n c t i o n s

r e p r e s e n t i n g t h e s a m e d e r i v a t i v e c a n d i f f e r o n l y o n a u - n u l l s e t .

E x e r c i s e s 6 . 4

1 . S h o w t h a t i f µ , v a r e a n y t w o m e a s u r e s o n a a - r i n g S P , t h e n v < µ - { - v .

2 . S u p p o s e F ( x ) i s t h e C a n t o r f u n c t i o n d e f i n e d i n § 2 . 7 a n d v i s t h e

L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e w i t h r e s p e c t t o F . S h o w t h a t v i s s i n g u l a r w i t h

r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e .

3 . S u p p o s e ( S 2 , . F , µ ) i s a m e a s u r e s p a c e w i t h µ ( S 2 ) < a c a n d v i s a m e a s u r e ,

v < < I t . S h o w t h e r e i s a s e t & s u c h t h a t ( S 2 - E ) h a s v - f i n i t e v m e a s u r e a n d f o r

e v e r y m e a s u r a b l e F c E , v ( F ) i s e i t h e r 0 o r o o .

4 . L e t t b e t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s ,

µ ( E ) = E 2 - n ,

v ( E ) 2 n

n E E n E E

t h e n v < µ , b u t ( 6 . 4 . 1 ) i s n o t s a t i s f i e d . T h i s s h o w s t h a t ( 6 . 4 . 1 ) i s a s t r o n g e r

c o n d i t i o n t h a n a b s o l u t e c o n t i n u i t y w h e n v i s n o t f i n i t e .

5 . S u p p o s e Q i s a n u n c o u n t a b l e s e t , . " i s t h e c l a s s o f s e t s w h i c h a r e e i t h e r

c o u n t a b l e o r h a v e c o u n t a b l e c o m p l e m e n t s . F o r E e . r i " , p u t µ ( E ) = t h e

n u m b e r o f p o i n t s i n E , v ( E ) = 0 o r 1 a c c o r d i n g a s E i s c o u n t a b l e o r n o t . T h e n

c l e a r l y v < # , b u t n o i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n i s p o s s i b l e . T h i s s h o w s t h a t

i n t h e R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m w e c a n n o t d o w i t h o u t t h e c o n d i t i o n t h a t

µ b e a r - f i n i t e .

6 . 4 1

R A D O N - N I K O D Y M T H E O R E M

1 5 3

6 . I f A , , u , v a r e o r - f i n i t e m e a s u r e s o n I F a n d A < < I t , , u < < v ; s h o w t h a t

A < < v a n d

d A _ d A d u

d v

d u d v

e x c e p t o n a s e t o f z e r o A - m e a s u r e .

7 . A , a a r e v - f i n i t e m e a s u r e s o n F w i t h y < A . T h e n i f f i s , u - i n t e g r a b l e

f f d u = J f d

d A .

8 . I f A , # a r e a - - f i n i t e m e a s u r e s o n F s u c h t h a t , u < A a n d A < # t h e n

d 1 t

T A

d A )

-

(

e x c e p t f o r a s e t o f z e r o A - m e a s u r e .

9 . I f , u , v a r e o - - f i n i t e m e a s u r e s o n F s u c h t h a t v < < , u , s h o w t h a t t h e s e t

o f p o i n t s x a t w h i c h d v / d u i s z e r o h a s z e r o v - m e a s u r e .

1 0 . S u p p o s e { , u 1 } i s a c o u n t a b l e f a m i l y o f f i n i t e m e a s u r e s o n a o , - f i e l d F .

S h o w t h a t t h e r e e x i s t s a f i n i t e a o n s u c h t h a t e a c h o f t h e p i i s a b s o l u t e l y

c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o I t .

1 1 . S u p p o s e

n n

l u n

r

I l k - l u ,

v n = E v k - v ,

k = 1

k = 1

w h e r e a l l t h e u , v w i t h s u f f i c e s a r e f i n i t e m e a s u r e s o n a o r - f i e l d 3 1 7 a n d v n

i s d i n - c o n t i n u o u s f o r a l l n . S h o w t h a t

( i )

d u 1 / d u n - d u 1 l d c a l m o s t e v e r y w h e r e ( f 1 ) .

( i i ) I f e a c h , u n i s v - c o n t i n u o u s t h e n d 7 n / d v - - * a . e . ( v ) .

( i i i ) v i s 7 1 - c o n t i n u o u s a n d d v n / d u n - * d v / d u a . e . ( F 1 ) .

6 . 5

M a p p i n g s o f m e a s u r e s p a c e s

I n m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s o n e o f t e n n e e d s t o c o n s i d e r t w o s p a c e s ,

X , Y w i t h a m a p p i n g f : X - * Y . S u c h a m a p p i n g i n d u c e s m a p p i n g s

o n t h e c l a s s e s o f s u b s e t s o f X a n d Y : i f E c X , f ( E ) d e n o t e s t h e s e t o f

y i n Y w i t h y = f ( x ) , a n d i f F c Y , f - 1 ( F ) d e n o t e s t h e s e t o f x

i n X w i t h f ( x ) e F ; f u r t h e r i f V i s a c l a s s o f s u b s e t s o f X , f ( W ) d e n o t e s

t h e c l a s s o f s e t s f ( E ) w i t h E e q ' , a n d s i m i l a r l y f o r f - 1 ( & ) w h e r e & i s a

c l a s s o f s u b s e t s o f Y . W e s a w ( § 1 . 5 ) t h a t f - 1 p r e s e r v e s t h e s t r u c t u r e

o f a c l a s s o f s u b s e t s , s o t h a t i f . 9 ' i s a a - - f i e l d i n Y , f - 1 ( J ' ) i s a o r - f i e l d i n X .

S o m e t i m e s t h e t w o s p a c e s X , Y a l r e a d y h a v e c l a s s e s o f s u b s e t s d e f i n e d ,

a n d o n e c a n t h e n e x a m i n e t h e r e l a t i o n s h i p o f t h e m a p p i n g f t o t h e s e .



6 . 5 ]

M A P P I N G S O F M E A S U R E S P A C E S

1 5 5

g : Y - ) . R + . S u p p o s e f i r s t t h a t g = X F , t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a s e t

E i n 9 . T h e n

g ( f ) ( x ) = 1

i f

x E f - ' ( E ) ,

= 0 i f

x o f ' - ' ( E ) ;

s o t h a t g ( f ) i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f f - 1 ( E ) , a s e t i n F . T h u s , i n t h i s

c a s e , b y ( 6 . 5 . 1 )

f g d ( f u f - 1 )

= o f - 1 ( E ) =

# ( f - 1 ( E ) ) = f g ( f ) d u .

B y l i n e a r i t y , t h e r e s u l t n o w f o l l o w s f o r n o n - n e g a t i v e 9 - s i m p l e f u n c -

t i o n s g . I f { g j i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c -

t i o n s c o n v e r g i n g t o t h e m e a s u r a b l e f u n c t i o n g , t h e n g n ( f ) w i l l b e a n

i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f s i m p l e f u n c t i o n s c o n v e r g i n g t o g ( f ) . T h e

d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l o f a n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n n o w c o m p l e t e s

t h e p r o o f . I

S o m e t i m e s i n i n t e g r a t i o n , w h e n t h e v a r i a b l e i s c h a n g e d , o n e w a n t s

t o i n t e g r a t e w i t h r e s p e c t t o a n e w m e a s u r e v + µ f - 1 . W e c a n d o t h i s

e a s i l y w h e n u f - 1 i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o v .

T h e o r e m 6 . 9 . G i v e n o - f i n i t e m e a s u r e s p a c e s ( X , . F , , u ) a n d ( Y , T , v )

a n d a m e a s u r a b l e t r a n s f o r m a t i o n f f r o m ( X , F ) i n t o ( Y , T ) s u c h t h a t

µ f - ' i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o v

f g ( f ) d u

= f

g . O d v ,

w h e r e 0 i s t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e d ( , a f - ' ) / d v , f o r e v e r y m e a s u r -

a b l e g : Y - * R * i n t h e s e n s e t h a t , i f e i t h e r i n t e g r a l e x i s t s , s o d o e s t h e

o t h e r a n d t h e t w o a r e e q u a l .

C o r o l l a r y . I f q : R - - R + i s L e b e s g u e i n t e g r a b l e ,

F ( x ) = E c o q ( t ) d t ,

a n d , u p i s t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e g e n e r a t e d b y F , t h e n

f B g ( x ) d x = f b g ( F ( t ) ) d # F = f b g ( F ( t ) )

q ( t ) d t

d a a

w h e r e A = F ( a ) , B = F ( b ) .

P r o o f . B y t h e o r e m 6 . 8 w e h a v e

f

g ( . f ) d u =

f g d ( 1 u f - 1 ) .

6 T I T

[ 6 . 6

I n o u r a c c o u n t w e r e s t r i c t X t o b e t h e r e a l l i n e R ( i t i s e a s y t o e x t e n d

t h e t h e o r y t o t h e c a s e X = C , b u t s o m e r e s t r i c t i o n i s n e e d e d f o r i t s

v a l i d i t y ) , l e a v i n g t h e i n d e x s e t I c o m p l e t e l y a r b i t r a r y .

B o r e l s e t s i n R I

I f w e a s s u m e t h e u s u a l t o p o l o g y i n R , a n d d e n o t e t h e c l a s s o f B o r e l

s e t s i n R b y t h e n t h e c l a s s ' o f c y l i n d e r s e t s

{ f R I : f ( i k ) E B k ,

k = 1 , 2 ,

. . . , n } , B k E - 4

i s a s e m i - r i n g o f s u b s e t s i n R I . T h e a - f i e l d g e n e r a t e d b y ' w i l l b e d e -

n o t e d b y _ I . I f G R n d e n o t e s t h e c l a s s o f B o r e l s e t s i n R n , i t i s i m m e d i a t e

t h a t _ I c a n a l s o b e g e n e r a t e d b y t h e c l a s s o f s e t s o f t h e f o r m

{ f E R I : a k < f ( i k ) < b k , k = 1 , 2 , . . . , n } ,

( 6 . 6 . 1 )

o r o f t h e f o r m

{ f E R I : ( f ( i 1 ) , f ( i 2 ) , . . . , f ( i n ) ) E B n } ,

B n E . 1 n .

( 6 . 6 . 2 )

I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t n o s e t i n . 4 I c a n h a v e r e s t r i c t i o n s o n a n

u n c o u n t a b l e s e t o f c o o r d i n a t e s . F o r , i f E i s a c o u n t a b l e s u b s e t o f I

a n d F = I - E , a s e t o f t h e f o r m

{ f E R I : f E E R E } ,

( 6 . 6 . 3 )

w h e r e f E d e n o t e s t h e r e s t r i c t i o n o f f t o E , c o n t a i n s f u n c t i o n s f w h i c h

a r e n o t r e s t r i c t e d o n F . T h e c l a s s o f s u b s e t s o f R I o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 3 )

( f o r a l l p o s s i b l e c o u n t a b l e s e t s E C I ) i s c l e a r l y a o - - f i e l d w h i c h c o n -

t a i n s t h e f i n i t e d i m e n s i o n a l c y l i n d e r s e t s W . F u r t h e r , e v e r y s e t o f t h e

f o r m ( 6 . 6 . 3 ) m u s t b e i n . 9 1 I , s o t h a t t h e B o r e l s e t s i n R ' a r e p r e c i s e l y

t h e s e t s o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 3 ) .

O u r o b j e c t w i l l b e t o e x t e n d a m e a s u r e w h i c h i s a l r e a d y d e f i n e d o n

s e t s o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 1 ) t o t h e o - - f i e l d _ I . F o r a f i x e d f i n i t e s e t

2 1 , 2 2 , . . . , i n E I , t h e s e t s o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 1 ) c l e a r l y g e n e r a t e a o - - f i e l d

c o n t a i n i n g t h o s e s e t s o f R I o b t a i n e d b y t a k i n g a B o r e l s e t i n

R i 1 x R i s x . . . x R i , , a n d f o r m i n g t h e c y l i n d e r w i t h t h i s s e t a s b a s e .

I f w e a r e t o h a v e , a ( R I ) = 1 , t h e n , f o r e a c h f i x e d i 1 , i 2 , . . . , i n , o u r s e t

f u n c t i o n o n s e t s o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 2 ) m u s t d e f i n e a m e a s u r e o n t h e B o r e l

s e t s o f t h e E u c l i d e a n n - s p a c e R . 1 x . . . x R i , i n w h i c h t h e w h o l e s p a c e

h a s m e a s u r e 1 .

I t i s c l e a r t h a t t h e m e a s u r e s g i v e n i n t h e v a r i o u s E u c l i d e a n s p a c e s o f

t h i s t y p e h a v e t o s a t i s f y v a r i o u s c o n s i s t e n c y r e l a t i o n s , i f t h e r e i s t o b e

a n y h o p e o f e x t e n d i n g t o a s i n g l e m e a s u r e o n t h e w h o l e o f _ 4 I . F o r

s u c h a m e a s u r e o n 9 I m u s t y i e l d t h e o r i g i n a l s y s t e m o n r e s t r i c t i o n t o

s e t s o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 2 ) . T h e s e c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n s c a n b e s t a t e d

6 . 6 1

M E A S U R E I N F U N C T I O N S P A C E 1 5 9

i n t e r m s o f m u l t i d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s w h i c h g e n e r a t e

t h e m e a s u r e s o n s e t s ( 6 . 6 . 2 ) , b u t w e p r e f e r t o s t a t e t h e m ( e q u i v a l e n t l y )

i n t e r m s o f t h e m e a s u r e s .

W e a s s u m e t h e n t h a t f o r e a c h f i n i t e s e t o f d i s t i n c t i n d i c e s i 1 , i 2 ,

. . . , i n

w e h a v e a m e a s u r e / - t ' 1 ' 2 . . . i n d e f i n e d f o r t h e B o r e l s e t s i n R n s u c h t h a t

( I ) 1 a i l . . . i n i n + 1 ( A x R ) = # i l . . . i n ( A ) , A E a n .

( I I ) I f 7 7 i s a p e r m u t a t i o n o f ( 1 , 2 ,

. . . ,

n ) a n d 0 : R n - + R n i s t h e m a p -

p i n g

T

( x 1 , . . . , x n ) _ ( x , 1 1 , x , 1 2 , . . . , x , r , y ) I

t h e n

p i " = , a i l i 2 . . . i n 0 - 1 -

T h e c o n d i t i o n ( I ) s a y s t h a t p u t t i n g o n t h e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n

f ( i n + 1 ) E R a t a n e w i n d e x c a n n o t e f f e c t t h e m e a s u r e o f t h e s e t s i n c e i t

i m p o s e s n o r e s t r i c t i o n , a n d c o n d i t i o n ( I I ) m a k e s p r e c i s e t h e n o t i o n t h a t

t h e o r d e r i n w h i c h t h e i n d e x s e t i l l i 2 ,

. . . ,

i n i s w r i t t e n s h o u l d n o t h a v e

a n y e f f e c t o n t h e m e a s u r e o f t h e ( s a m e ) s e t . B o t h t h e s e c o n s i s t e n c y

c o n d i t i o n s a r e c l e a r l y n e c e s s a r y i f t h e r e i s t o b e a n y h o p e o f e x t e n d i n g

t h e m e a s u r e s , a i l . . . i n t o a s i n g l e m e a s u r e , a o n R I . T h e f a c t t h a t t h e y

a r e a l s o s u f f i c i e n t w a s p r o v e d b y D a n i e l l i n 1 9 1 8 a n d r e d i s c o v e r e d

b y K o l m o g o r o v i n 1 9 3 3 . W e s t a t e i t a s

T h e o r e m 6 . 1 0 . I f I i s a n y i n f i n i t e i n d e x s e t , a n d f o r e a c h f i n i t e s e t

i l , i 2 , . . . , i n o f d i f f e r e n t i n d i c e s i n I t h e r e i s a m e a s u r e , a i 1 i 2 . . . i n d e f i n e d

o n t h e B o r e l s u b s e t s o f R n s u c h t h a t t h e f a m i l y o f a l l s u c h m e a s u r e s

s a t i s f i e s t h e c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n s ( I ) a n d ( I I ) , t h e r e i s a u n i q u e m e a s u r e

, a d e f i n e d o n 9 1 i n R ' s u c h t h a t , f o r e a c h n E Z , B n E . I n ,

p { f E R ' : ( f ( i 1 ) , . . . , f ( i n ) ) E B n }

= , a i l i 2 . . . i n ( B n ) .

P r o o f . L e t . 5 ° d e n o t e t h e s e m i - r i n g o f s e t s i n R r o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 1 )

f o r s o m e f i n i t e v a l u e o f n . L e t . 9 2 d e n o t e t h e r i n g g e n e r a t e d b y . 9 "

c o n s i s t i n g o f f i n i t e u n i o n s o f d i s j o i n t s e t s i n Y . N o w / Z i 1 i 2 . . . i n

d e f i n e s t h e m e a s u r e o f t h e s e t

{ f E R ' : a k < f ( i k ) < b k ,

k = 1 , . . . , n }

( 6 . 6 . 4 )

a n d t h e c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n s ( I ) a n d ( I I ) c l e a r l y e n s u r e t h a t t h e

m e a s u r e i s u n i q u e l y d e f i n e d a n d a d d i t i v e o n . ( f o r t h e s e t s o f a n y

f i n i t e c l a s s o f s e t s i n k c a n a l l b e d e s c r i b e d b y r e s t r i c t i o n s o n t h e s a m e

f i n i t e s e t o f c o o r d i n a t e s , a n d t h e r e f o r e t h e m e a s u r e c a n b e g i v e n b y a

s i n g l e m e a s u r e o f t h e f a m i l y ) . I t f o l l o w s , b y t h e o r e m 3 . 1 , t h a t t h e r e

i s a s e t f u n c t i o n r d e f i n e d o n t h e r i n g . w h i c h i s a d d i t i v e a n d c o -

i n c i d e s w i t h t h e m e a s u r e p i , . . . i n o n a s e t o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 1 ) .

F u r t h e r a ' i s t h e o - - f i e l d g e n e r a t e d b y R a n d w e c a n o b t a i n t h e

r e q u i r e d m e a s u r e p o n a r b y a p p l y i n g t h e o r e m 4 . 2 t o t h e m e a s u r e T

1 6 0

R E L A T E D S P A C E S A N D M E A S U R E S [ 6 . 6

- p r o v i d e d t h e c o n d i t i o n s o f t h a t t h e o r e m a r e s a t i s f i e d . I t i s i m -

m e d i a t e t h a t R I i s

f o r R I E 9 , a n d r ( R I ) = 1 ; s o t h a t t h e o n l y

c o n d i t i o n w h i c h r e q u i r e s p r o o f i s t h a t T i s a m e a s u r e o n R . T h e p r o o f

o f t h i s f a c t i s a n e x t e n s i o n o f t h e m e t h o d u s e d i n § § 3 . 4 , 4 . 5 .

I f r i s n o t a m e a s u r e o n ? , w e c a n f i n d a d e c r e a s i n g s e q u e n c e { E n }

o f s e t s i n R s u c h t h a t n E . = o , b u t T ( E . ) > 8 > 0 f o r a l l n . N o w

n = 1

g i v e n a n y s e t C o f t h e f o r m ( 6 . 6 . 4 ) , a n d e > 0 , w e c a n c h o o s e I > 0

s u c h t h a t

T ( D ) > T ( C ) - e

w h e r e

D = { f E R I : ( f ( i 1 ) , f ( i 2 ) , . . . , f ( i n ) ) E P }

a n d

P , = { a k + q < x k 5 b k ,

k = 1 , 2 ,

. . . ,

n } ,

s i n c e F ' , ' 2 '

-

" n i s a m e a s u r e . B u t n o w P , , c P O . T h i s a r g u m e n t c l e a r l y

e x t e n d s t o a n y n o n - e m p t y s u b s e t i n 9 , a n d w e c a n a p p l y i t b y i n d u c -

t i o n t o t h e s e q u e n c e { E n } . S i n c e i n e a c h o f t h e s e t s E . t h e v a l u e o f f

a t o n l y a f i n i t e s e t o f i n d i c e s i s r e s t r i c t e d , t h e r e i s n o l o s s o f g e n e r a l i t y

i n a s s u m i n g t h a t i n t h e s e t s E 1 , E 2

. . . , E .

t h e r e i s a r e s t r i c t i o n o n f

o n l y a t t h e f i r s t n o f t h e i n d i c e s i n t h e s e q u e n c e

i l , 2 2 , . . . , 2 n , . . . .

( I f t h i s c o n d i t i o n i s n o t s a t i s f i e d o n e n e e d o n l y a d d a d d i t i o n a l s e t s i n 9

t o t h e s e q u e n c e { E n } t o o b t a i n a n e w s e q u e n c e o f w h i c h t h e o r i g i n a l i s a

s u b s e q u e n c e . )

T h u s w e m a y a s s u m e t h a t

/

n

= { f E R I : ( f ( i 1 ) ,

. . . , f ( i ) ) E Q n } r

w h e r e Q

n

E C a n t h e c l a s s o f e l e m e n t a r y f i g u r e s i n R n . T h e c o n d i t i o n

t h a t E n b e a d e c r e a s i n g s e q u e n c e n o w m e a n s t h a t Q n + 1 C Q n x R .

W e a p p l y t h e a b o v e p r o c e d u r e t o e a c h o f t h e s e t s E n t o g i v e a s e q u e n c e

{ D n } o f s e t s

D n = { f R I : ( f ( i 1 ) , . . . ,

f ( i n ) ) E P n }

s u c h t h a t P . c Q n , P n E 6 1 n a n d

T D > T E

8

(

n )

(

n ) -

2 n + 1

I f w e p u t

V n = D l n D 2 n

. . . n

D .

n

t h e n T ( V n ) = T ( E n ) - T ( E n - V n ) i T ( E n ) - E T ( E i - D i ) > J 8

i = 1

s o t h a t t h e s e t s { V . } f o r m a m o n o t o n e d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f n o n -

e m p t y s e t s . I n e a c h V , , c h o o s e a p o i n t

f n = { f n ( i ) ,

2 E 1 } .

6 . 6 1

M E A S U R E I N F U N C T I O N S P A C E

1 6 1

N o w

( f n + p ( i 1 ) , f n + p ( 2 2 ) , . . . , f n + p ( i ) )

( p = 1 , 2 , . . . )

d e f i n e s a s e q u e n c e o f p o i n t s i n R n w h i c h i s a s u b s e t o f t h e b o u n d e d

c l o s e d s e t

( P 1

x R n - 1 ) n ( P 2 x R n - 2 ) n . . . n ( P n ) = F n .

W e c a n t h e r e f o r e f i n d a s u b s e q u e n c e o f { f n + p } w h i c h , e v a l u a t e d a t t h e

f i r s t n i n d i c e s c o n v e r g e s t o a p o i n t o f F n . S i n c e T ( V n ) > J S , V n i s n o t

e m p t y a n d F . i s n o t e m p t y s i n c e

V . C { f E R I : ( . f ( 2 i ) , . . . , f ( i ) ) E F . } .

F u r t h e r F n x R c F n + 1 ( n = 1 , 2 , . . . ) , a n d w e c a n n o w e m p l o y a s t a n d a r d

d i a g o n a l i s a t i o n a r g u m e n t t o o b t a i n a p o i n t i n ( 1 E n .

o

n = 1

O b t a i n s u c c e s s i v e l y , b y i n d u c t i o n , i n f i n i t e i n c r e a s i n g s e q u e n c e s o f

p o s i t i v e i n t e g e r s

V 1 Z ) V 2 = . . . : D P L . = > . . .

s u c h t h a t { f n } r e s t r i c t e d t o t h e s e q u e n c e v k g i v e s a s e q u e n c e w h o s e

v a l u e s a t i 1 , i 2 , . . . , i k c o n v e r g e t o a p o i n t i n F k . F o r m t h e s e q u e n c e v

o b t a i n e d b y t a k i n g t h e k t h i n t e g e r i n t h e s e q u e n c e v k . T h e n , f o r e a c h

k , v i s a s u b s e q u e n c e o f V k e x c e p t f o r a f i n i t e n u m b e r o f t e r m s a t t h e

b e g i n n i n g s o t h a t { ( f n ( i 1 ) , f n ( i 2 ) ,

. . . ,

f n ( i k ) ) } , n E v m u s t c o n v e r g e t o a

p o i n t i n F k C Q k . I f w e p u t q k = l i m f n ( i k ) ( k = 1 , 2 , . . . ) t h e s e t

n E v

H = U E E R I . f ( 2 k )

= q k ,

k = 1 , 2 ,

. . .

}

c o

i s n o n - e m p t y , a n d H c V n c E n f o r a l l n . T h i s c o n t r a d i c t s f l E n = 0 . 1

n = 1

R e m a r k . F o r a f i n i t e i n d e x s e t I , t h e o r e m 6 . 1 0 i s s t i l l t r u e , b u t l a c k s

a n y c o n t e n t a s t h e m e a s u r e , u i 1 . . . i n a l r e a d y i s t h e r e q u i r e d a i f

I = { 2 1 , 2 2 ,

. . . ,

2 n } .

B r o w n i a n m o t i o n

W e c a n s e t u p a m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r B r o w n i a n m o t i o n b y a p p l y -

i n g t h e o r e m 6 . 1 0 t o a p a r t i c u l a r f a m i l y o f f i n i t e d i m e n s i o n a l d i s -

t r i b u t i o n s . U s e t h e i n d e x s e t T = { t E R , t > 0 1 w h i c h c a n b e t h o u g h t

o f a s t i m e a n d , f o r

0 < t l < . . . < t n ,

d e f i n e , a t 1 . . . t o { f E R I : a i < f ( t i ) < b i , i = 1 , . . r . , n }

r

b , ,

( S n - 5 n

) 2

b n - 1

( e n - 1 - E n = 2 ) 2

e x p -

d 6 n

e x p -

d 5 n - 1

( 2 7 T ) j n

a n

2 ( t n -

t o - 1 ) I

f a n _ i

2 ( 1

n - 1 -

t o - 2 )

J

J b E e x p L - ( 6 2 - 6 1 ) 2 1 d 6 2 f b l e x p ( - * )

d

1 .

2 ( t 2 - t 1 ) J

a i

6 . 7 1

A P P L I C A T I O N S

1 6 3

T h e n F ( x ) - * 0 a s x - > . - o o , F ( x ) - - > , u ( S 2 ) a s x - - > - + o o , a n d F : R - > - R

i s c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t . T h u s w e c a n d e f i n e a S t i e l t j e s m e a s u r e

# p u s i n g t h i s p a r t i c u l a r F .

T h e o r e m 6 . 1 1 . S u p p o s e ( 0 2 , . F , f t ) i s a f i n i t e m e a s u r e s p a c e a n d : c 2

R

i s . F - m e a s u r a b l e , , u F i s t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e i n R g i v e n b y

( 6 . 7 . 1 ) a n d g : R R i s B o r e l m e a s u r a b l e , t h e n g ( f ) i s $ - m e a s u r a b l e a n d

, u { x : g ( f ) ( x ) E B ) i s d e t e r m i n e d b y u F f o r e v e r y B o r e l s e t B . F u r t h e r

f g ( f ) d a

= f

g ( x ) d F ( x )

i n t h e s e n s e t h a t , i f e i t h e r s i d e e x i s t s s o d o e s t h e o t h e r , a n d t h e t w o a r e e q u a l .

P r o o f . { x : g ( f ) ( x ) E B } = { x : f ( x ) E g - 1 ( B ) } a n d g - 1 ( B ) = C i s a B o r e l

s e t s o t h a t { x : f ( X ) E C } i s i n F , a n d , u { x : f ( X ) E C ) i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d

b y , u { x : a < f ( x ) S b } = F ( b ) - F ( a ) f o r a l l r e a l a , b s i n c e 9 , t h e

c l a s s o f h a l f - o p e n i n t e r v a l s g e n e r a t e s t h e

R o f B o r e l s e t s i n

R , a n d F ( b ) - F ( a ) = , u F ( a , b ] . T h u s , f o r a l l B i n 9 ,

, u { x : g ( f ) ( x ) E B } = , u F ( g - 1 ( B ) ) .

N o w s u p p o s e g i s a n i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a B o r e l s e t B . T h e n

f g ( f ) c i u

= u { x : f ( x ) E B }

= / t F ( B ) =

f d P F .

B y l i n e a r i t y o u r r e s u l t f o l l o w s f o r n o n - n e g a t i v e s i m p l e f u n c t i o n s a n d

t h e m o n o t o n e c o n v e r g e n c e t h e o r e m t h e n g i v e s i t f o r n o n - n e g a t i v e

B o r e l m e a s u r a b l e g a n d t h e n f o r a l l i n t e g r a b l e g .

C o r o l l a r y . I n t h e n o t a t i o n o f t h e t h e o r e m

f f d u

=

f x d F ( x ) .

R e m a r k . T h e r e i s a n n - d i m e n s i o n a l f o r m o f t h e o r e m 6 . 1 1 a n d

c o r o l l a r y w h i c h l i n k s t h e b e h a v i o u r o f n m e a s u r a b l e f u n c t i o n s w i t h a

L e b e s g u e - S t i e l t j e s d i s t r i b u t i o n i n R n - s e e C h a p t e r 1 4 .

M a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s

N o t a l l m e a s u r e s i n p r o d u c t s p a c e s a r e p r o d u c t m e a s u r e s . S u p p o s e

X , Y a r e s p a c e s , t h e n t h e p r o j e c t i o n X x Y - - * X g i v e n b y p ( x , y ) = x

d e f i n e s a m a p p i n g . T h i s w i l l b e a m e a s u r a b l e t r a n s f o r m a t i o n o n

( X x Y , . $ ) i n t o ( X , . 9 ' ) p r o v i d e d E x Y E . F f o r e v e r y E E Y . I n t h i s

c a s e , i f I t i s a f i n i t e m e a s u r e o n J F , p p - 1 d e f i n e s a m e a s u r e o n Y . I n



1 6 4


[ 6 . 7

g e n e r a l i t m a y n o t b e a v e r y i n t e r e s t i n g m e a s u r e a s t h e r e m a y b e n o

s e t s o f f i n i t e p o s i t i v e m e a s u r e . H o w e v e r , i f ( X x Y , .

, 1 u ) i s a f i n i t e

m e a s u r e s p a c e , t h e n t h e m e a s u r e p p - 1 o n . 9 ' i s c a l l e d t h e m a r g i n a l

m e a s u r e o n X . T h e m a r g i n a l m e a s u r e o n Y i s s i m i l a r l y d e f i n e d u s i n g

a p r o j e c t i o n o n Y . I f I t i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e t h e s e m a r g i n a l m e a -

s u r e s a r e c a l l e d m a r g i n a l ( p r o b a b i l i t y ) d i s t r i b u t i o n s .

I f F ( x , y ) i s a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i n R 2 ( s e e § 4 . 5 ) t h e n

l i m F ( x , y )

a n d l i m F ( x , y )

7 H + M

w i l l a g a i n d e f i n e 1 - d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s , a n d i t i s i m -

m e d i a t e f r o m t h e o r e m 4 . 8 t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g L e b e s g u e - S t i e l t j e s

m e a s u r e s w i l l b e t h e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s o f , U F . I f

F ( x , y ) = F 1 ( x ) F 2 ( y )

i s t h e p r o d u c t o f t w o 1 - d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n s , t h e n , u F w i l l b e

t h e c o m p l e t i o n o f t h e p r o d u c t m e a s u r e 1 a F , x , u F 2 a n d F 1 , F 2 w i l l b e

t h e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s f o r F . C o n v e r s e l y , i f , u F i s a p r o d u c t m e a -

s u r e , t h e n i t m u s t b e t h e p r o d u c t o f i t s m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s s o t h a t

F ( x , y ) = F 1 ( x ) E 2 ( y ) i s a n e c e s s a r y a s w e l l a s a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r

F i F t o b e a p r o d u c t o f t w o p r o b a b i l i t y m e a s u r e s .

T h i c k s u b s e t s

F o r a n y f i n i t e m e a s u r e s p a c e w e c a n g e n e r a t e t h e o u t e r

m e a s u r e

0 0

p * ( E ) = i n f E # ( E 1 ) ( 6 . 7 . 2 )

i = 1

t h e i n f i m u m b e i n g t a k e n o v e r a l l s e q u e n c e s o f s e t s { E i } i n F w i t h

0 0

E c U E i . ( S i n c e I t i s a m e a s u r e o n t h e o - - f i e l d . , ( 6 . 7 . 2 ) i s t h e s a m e

i s 1

a s , u * ( E ) = i n f , u ( F ) f o r F A s u b s e t E o o f S Z i s s a i d t o b e

t h i c k i n 4 i f , u * ( E o ) = , u ( 5 2 ) . T h u s a s u b s e t E o i s t h i c k i f a n d o n l y i f

( 5 2 - E o ) c o n t a i n s n o s e t i n F o f p o s i t i v e , a - m e a s u r e . T h e r e i s a s e n s e

i n w h i c h t h e m e a s u r e s p a c e c a n b e p r o j e c t e d o n t o a n y t h i c k s u b s e t .

T h e o r e m 6 . 1 2 . I f E o i s a t h i c k s u b s e t o f t h e f i n i t e m e a s u r e s p a c e

( 5 2 , , µ ) , . F o = . F n E o , a n d u o ( E n E o ) = µ ( E ) f o r a n y E .

,

t h e n

( E o , . F o , u o ) i s a m e a s u r e s p a c e .

P r o o f . W e f i r s t s e e t h a t 1 u o i s d e f i n e d u n i q u e l y o n F o . I f A 1 , A 2 E F

a r e s u c h t h a t A 1 n E o = A 2 n E o , t h e n w e m u s t h a v e

( A 1 L A 2 ) n E o = o ,

s o t h a t / ( A 1 o A 2 ) = 0 a n d A u ( . 1 l J = , u ( A 2 ) .



6 . 7 1

A P P L I C A T I O N S

1 6 5

N o w s u p p o s e { B , . , } i s a d i s j o i n t s e q u e n c e o f s e t s i n F o s o t h a t t h e r e

i s a s e q u e n c e o f s e t s { C n } i n F w i t h

B n = C n n E 0 ( n = 1 , 2 , . . . ) .

n - 1

P u t

D n = C n - U C i

( n = 1 , 2 , . . . ) .

i - 1

T h e n

D . n E o = C n n E o ,

s o t h a t , u ( D n 0 C n ) = 0 . I t f o l l o w s t h a t

0 0

0 0

0 0

E µ 0 ( B n ) = E µ ( C C ) = E µ ( D n ) = , u ( U D n ) = = 4

% ( U B )

n - 1

/

n = 1

/

s o t h a t µ o i s a m e a s u r e .

R e m a r k . T h i s t h e o r e m s h o w s t h a t i n a p r o b a b i l i t y s p a c e ( 5 2 , . 5 V , P ) ,

t h e o - - f i e l d F c a n b e e x t e n d e d t o i n c l u d e a n y s e t E . n o t i n i t w h o s e

o u t e r m e a s u r e i s 1 . T h e e f f e c t o f t h i s e x t e n s i o n i s t o d i s c a r d a l l t h e

p o i n t s o f 5 2 w h i c h a r e n o t i n E 0 . T h e d e v i c e t u r n s o u t t o b e u s e f u l i n t h e

t h e o r y o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s w h e r e , b y a c a r e f u l c h o i c e o f E 0 , o n e

c a n o b t a i n a p r o b a b i l i t y o n a u s e f u l c l a s s o f s u b s e t s . I n p a r t i c u l a r ,

f o r W i e n e r m e a s u r e i n R T d e s c r i b e d i n § 6 . 6 , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e

s e t C o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s i s t h i c k a n d t h a t t h e e x t e n s i o n g i v e n b y

p u t t i n g E o = C i s a u s e f u l o n e - s e e C h a p t e r 1 5 .

E x e r c i s e s 6 . 7

1 . F o r m u l a t e a n d p r o v e a t h e o r e m o f t h e f o r m o f t h e o r e m 6 . 1 1 f o r n

F - m e a s u r a b l e f u n c t i o n s f i : 5 2 - . R ( i = 1 , 2 , . . . , n ) .

2 . F i n d t h e 2 - d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n F ( x , y ) w h i c h g e n e r a t e s

t h e m e a s u r e µ F s u c h t h a t u F ( R ) i s 1 1 V 2 ( l e n g t h o f d i a g o n a l D i n B ) f o r a n y

r e c t a n g l e R , w h e r e D i s t h e s e g m e n t j o i n i n g ( 0 , 0 ) t o ( 1 , 1 ) . C a l c u l a t e t h e

m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s o f µ F , a n d s h o w t h a t µ F i s n o t a p r o d u c t m e a s u r e .

3 . I f

i s a c o m p l e t e o - - f i n i t e m e a s u r e s p a c e , a n d t h e o u t e r m e a -

s u r e , a * i s d e f i n e d b y ( 6 . 7 . 2 ) s h o w t h a t a s e t E i s , u * - m e a s u r a b l e i f a n d o n l y

i f i t i s i n F .

4 . S u p p o s e ( 5 2 ,

i s a f i n i t e m e a s u r e s p a c e a n d E . i s a s u b s e t o f 4

s u c h t h a t , f o r A 1 ,

A 1 n E 0 = A 2 r E ' o = µ ( A 1 ) = µ ( A 2 )

P r o v e t h a t E . i s t h i c k i n Q .



1 6 6

7

T H E S P A C E O F M E A S U R A B L E

F U N C T I O N S

T h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r w e w i l l a s s u m e ( u n l e s s s t a t e d o t h e r w i s e )

t h a t ( f 2 , F , t t ) i s a v - f i n i t e m e a s u r e s p a c e , a n d t h a t t h e o - - f i e l d . F i s

c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o I t . T h i s i m p l i e s t h a t i f f : f 1 - * R * , g : S 2 - - R *

a r e f u n c t i o n s s u c h t h a t f i s F - m e a s u r a b l e a n d f = g a . e . , t h e n g i s

a l s o . l - m e a s u r a b l e . T h u s , i f M i s t h e c l a s s o f f u n c t i o n s f : 9 2 - > R *

w h i c h a r e F - m e a s u r a b l e , w e s a y t h a t f l , f 2 i n M a r e e q u i v a l e n t i f

f l = f 2 a . e . T h i s c l e a r l y d e f i n e s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n i n M a n d w e

c a n f o r m t h e s p a c e J , - ' o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s w i t h r e s p e c t t o t h i s r e l a -

t i o n . W h e n w e t h i n k o f a f u n c t i o n f o f M a s a n e l e m e n t o f f l w e a r e

r e a l l y t h i n k i n g o f f a s a r e p r e s e n t a t i v e o f t h e c l a s s o f F - m e a s u r a b l e

f u n c t i o n s w h i c h a r e e q u a l t o f a . e . A s i s u s u a l w e w i l l u s e t h e s a m e

n o t a t i o n f f o r a n e l e m e n t o f M a n d . 4 ' . W e c a n t h i n k o f M o r _ W a s a n

a b s t r a c t s p a c e , a n d t h e d e f i n i t i o n o f c o n v e r g e n c e i f g i v e n i n t e r m s o f a

m e t r i c w i l l t h e n i m p o s e a t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o n t h e s p a c e . W e w i l l

c o n s i d e r s e v e r a l s u c h n o t i o n s o f c o n v e r g e n c e o f w h i c h s o m e , b u t n o t

a l l , c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f a m e t r i c i n - W . W e w i l l o b t a i n t h e

r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d i f f e r e n t n o t i o n s o f c o n v e r g e n c e , a n d i n e a c h

c a s e p r o v e t h a t t h e s p a c e i s c o m p l e t e i n t h e s e n s e t h a t f o r a n y C a u c h y

s e q u e n c e t h e r e i s a l i m i t f u n c t i o n t o w h i c h t h e s e q u e n c e c o n v e r g e s .

T h e m a i n s t r a t e g y u s e d t o p r o v e c o m p l e t e n e s s w i l l b e t o f i n d a s u i t a b l e

s u b s e q u e n c e o f t h e g i v e n s e q u e n c e w h i c h c l e a r l y c o n v e r g e s t o a l i m i t f

a n d t h e n s h o w t h a t f i s a l i m i t o f t h e w h o l e s e q u e n c e . T h i s e x t e n d s t h e

m e t h o d u s e d i n § 2 . 2 t o s h o w t h a t R i s c o m p l e t e .

7 . 1

P o i n t - w i s e c o n v e r g e n c e

G i v e n a s e q u e n c e { f n } o f f u n c t i o n s w h e r e f n : E - > R * a n d a f u n c t i o n

f : E - + R * ( E c S 2 ) , w e s a y t h a t f n c o n v e r g e s t o f p o i n t - w i s e o n E i f ,

f o r e a c h x i n E , f , , ( x ) - > f ( x ) a s n - > c o . T h i s n o t i o n h a s a m e a n i n g i f w e

r e s t r i c t c o n s i d e r a t i o n t o . 4 1 . I f E i s s u c h t h a t , a ( S 2 - E ) = 0 , a n d f n - > f

p o i n t - w i s e o n E , t h e n w e s a y t h a t f n - + f a . e . F o r i f f n - > f a . e . , f n = g n

a . e . f o r e a c h n , a n d g n - g a . e . , t h e n

{ x : . f ( x ) + g ( x ) } C { x : f n ( x ) - H / ( x ) }

0 0

v { x : g n ( x )

g ( x ) } v U { x : f n ( x ) + g n ( x ) } ,

n = 1

7 . 1 ]

P O I N T - W I S E C O N V E R G E N C E 1 6 7

a n d e a c h o f t h e s e s e t s h a s z e r o m e a s u r e s o f ( x ) = g ( x ) a . e . w h i c h m e a n s

t h a t f = g i n - W . { f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e ( p o i n t - w i s e ) o n E i f , g i v e n

x E E , e > 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t

I f n ( x ) - f m ( x ) I < e

f o r n , m > N . ( 7 . 1 . 1 )

( T h i s h a s m e a n i n g o n l y i f f n : E R i s f i n i t e v a l u e d . ) B e c a u s e R

i s c o m p l e t e i t i s c l e a r t h a t i f { f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e o n E , t h e r e m u s t

b e a n f : E - * R s u c h t h a t f n - > - f p o i n t - w i s e o n E .

U n i f o r m c o n v e r g e n c e

I f t h e s e q u e n c e { f n } a n d t h e f u n c t i o n f a r e f i n i t e v a l u e d f u n c t i o n s

o n E t o R , w e s a y t h a t f c o n v e r g e s u n i f o r m l y t o f o n E i f f o r e a c h

e > 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t

x e E , n > N I f n ( x ) - f ( x ) I < 6 .

S i m i l a r l y , w e s a y t h a t t h e s e q u e n c e i s a C a u c h y s e q u e n c e u n i f o r m l y o n

E i f g i v e n e > 0 , a s i n g l e i n t e g e r N c a n b e c h o s e n s o t h a t ( 7 . 1 . 1 )

i s s a t i s f i e d f o r a l l x E E . S i n c e a C a u c h y s e q u e n c e u n i f o r m l y o n E i s

c e r t a i n l y a C a u c h y s e q u e n c e o n E a n d t h e e x i s t e n c e o f l i m f m ( x ) = f ( x )

n - > c o

f o l l o w s f o r e a c h x , w e c a n l e t m - - > o o i n ( 7 . 1 . 1 ) t o d e d u c e t h a t a C a u c h y

s e q u e n c e u n i f o r m l y o n E m u s t h a v e a l i m i t f u n c t i o n f : E - . R s u c h

t h a t f n - > . f u n i f o r m l y o n E .

I f p ( L - E ) = 0 a n d f n - - > f u n i f o r m l y o n E , t h e n w e s a y t h a t f n f

u n i f o r m l y a . e . A l l t h e s e n o t i o n s h a v e a m e a n i n g f o r f u n c t i o n s w h i c h

n e e d n o t b e m e a s u r a b l e . H o w e v e r , t h e n o t i o n o f c o n v e r g e n c e u n i -

f o r m l y a . e . c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f a m e t r i c o n t h e r e s t r i c t e d c l a s s

o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s .

E s s e n t i a l l y b o u n d e d f u n c t i o n s

A n . F - m e a s u r a b l e f u n c t i o n f : )

R * i s s a i d t o b e e s s e n t i a l l y

b o u n d e d i f # { x : I f ( x ) I > a } = 0 f o r s o m e r e a l n u m b e r a . I n t h i s c a s e

w e d e f i n e t h e e s s e n t i a l s u p r e m u m o f f b y

e s s s u p I f I = i n f { a : , u { x : I f ( x ) I > a } = 0 } .

N o t i c e t h a t , i f e s s s u p I f I = C , t h e n

E = { x : I f ( x ) I > C } = k U 1 ( x : I f ( x ) I > C +

s o t h a t , a ( E ) = 0 a n d I f ( x ) I < C o u t s i d e E . T h u s I f ( x ) < C a . e . , a n d

i f w e d e f i n e

f ( x )

i f

I f ( x ) I < ' C ,

0 i f I f ( x ) I > C ,

1 6 8

S P A C E O F M E A S U R A B L E F U N C T I O N S

1 7 . 1

t h e n I f * ( x ) I < C f o r a l l x a n d f * = f a . e . F u r t h e r { x : I f * ( x ) l > C -

e )

h a s p o s i t i v e m e a s u r e f o r a l l e > 0 , s o t h a t i t i s n o n - e m p t y a n d w e m u s t

h a v e s u p I f * I = C . I t i s c l e a r t h a t , i f f = g a . e . , t h e n e s s s u p f = e s s s u p g ,

s o t h a t w e c a n t h i n k o f e s s s u p a s a f u n c t i o n a l o n t h e s u b s e t Y , ' C ' o f

t h e e s s e n t i a l l y b o u n d e d f u n c t i o n s o f - 9 . I f w e d e f i n e ( a f + / 3 g ) b y

( a f + / i g ) ( x ) = a f ( x ) + / 3 g ( x )

w h e n f ( x ) , g ( x ) E R ,

= 0

o t h e r w i s e ;

i t i s c l e a r t h a t ( a f + , 6 g ) E

_

i f f , g E _ W , 0 f o r a n y a , , 8 E R s o t h a t Y . ,

i s a l i n e a r s u b s p a c e o f . m i l ( o v e r t h e r e a l s ) F u r t h e r

P . ( f , g ) = e s s s u p i f - g i

d e f i n e s a m e t r i c i n Y . , f o r

( i ) P c ( f , g ) = P . ( g , f ) ;

( i i ) p . ( f , g ) = 0 i f o n l y i f f = g a . e . ;

( i i i ) e s s s u p I f + g l < e s s s u p I f I + e s s s u p I g I s o t h a t

p . ( f , g ) . f u n i f o r m l y a . e . , t h e n p r o ( f n , f ) - * 0 a s n - > o o . C o n v e r s e l y s u p -

p o s e p o ( f f ) - - > 0 , a n d l e t E . b e a s e t o f . F w i t h , a ( E n ) = 0 a n d

e s s s u p l f n - f I = s u p

I f n ( x ) - f ( x ) I

E Q - E n

P u t E = U E n , t h e n f o r x E S Z - E

I f n ( x ) - f ( x ) 1 5 s u p

I f n . ( x ) - f ( x ) I = e s s s u p I f , , - f l

x e n - E n

s o t h a t f n - - > f u n i f o r m l y o n S Z - E a n d # ( E ) = 0 . A s i m i l a r , b u t s l i g h t l y

m o r e c o m p l i c a t e d a r g u m e n t s h o w s t h a t , i n 2 , a C a u c h y s e q u e n c e

u n i f o r m l y a . e . i s t h e s a m e a s a C a u c h y s e q u e n c e i n p . n o r m .

A l m o s t u n i f o r m c o n v e r g e n c e

G i v e n f u n c t i o n s f n : E - + R * ( n = 1 , 2 , . . . ) a n d f : E

R * e a c h o f

w h i c h i s f i n i t e a . e . o n E w e s a y t h a t f n c o n v e r g e s a l m o s t u n i f o r m l y t o

f o n E i f , f o r e a c h e > 0 , t h e r e i s a s e t F e ' E , F E E . F , , u ( F 6 ) < e s u c h t h a t

f n - - > f u n i f o r m l y o n ( E - F E ) . T h e e x a m p l e E = [ 0 , 1 ] c R , f n ( x ) = x n

I t L e b e s g u e m e a s u r e s h o w s t h a t i t i s p o s s i b l e f o r a s e q u e n c e t o c o n -

v e r g e a l m o s t u n i f o r m l y o n E w h i l e i t d o e s n o t c o n v e r g e u n i f o r m l y a . e .

o n E . H o w e v e r , i t i s i m m e d i a t e f r o m t h e d e f i n i t i o n s t h a t c o n v e r g e n c e

u n i f o r m l y a . e . i m p l i e s a l m o s t u n i f o r m c o n v e r g e n c e . W h a t i s m o r e

s u r p r i s i n g i s t h a t , u n d e r s u i t a b l e c o n d i t i o n s , c o n v e r g e n c e a . e . i m p l i e s

a l m o s t u n i f o r m c o n v e r g e n c e .

7 . 1 1

P O I N T - W I S E C O N V E R G E N C E

1 6 9

T h e o r e m 7 . 1 . ( E g o r o f f ) . S u p p o s e E

o o , a n d { f n } i s a s e q u e n c e

o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s o n E - > R * w h i c h a r e f i n i t e a . e . a n d c o n v e r g e

a . e . t o a f u n c t i o n f : E - > J 2 * w h i c h i s a l s o f i n i t e a . e . T h e n f n - + f a l m o s t

u n i f o r m l y i n E .

P r o o f . B y o m i t t i n g a s u b s e t o f E o f z e r o m e a s u r e , w e m a y a s s u m e

t h a t a l l t h e f u n c t i o n s f n a n d f a r e f i n i t e a n d t h a t

f n ( x ) - * f ( x )

f o r a l l

x E E .

F o r p o s i t i v e i n t e g e r s , m , n p u t

A - =

i l l

{ x :

J f t i ( x ) - f ( x ) I <

y n } .

T h e n , f o r f i x e d m , A i ' , A , - , . . . , A n ,

. . .

i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f

m e a s u r a b l e s e t s c o n v e r g i n g t o E . S i n c e # ( E ) i s f i n i t e , b y t h e o r e m 3 . 2

t h e r e i s a p o s i t i v e i n t e g e r N . = N m ( m ) s u c h t h a t

, u ( E - A ' ) < e / 2 ' n f o r

i > N m .

a )

I f w e p u t

F E

U ( E - A m

N m

M = 1

t h e n , u ( F E ) < e . F u r t h e r g i v e n S > 0 w e c a n c h o o s e m s o t h a t 1 / m < 8

a n d t h e n

f i ( x ) - f ( x ) I < S f o r a l l

i > N m ,

x E ( E - F , ) ,

s o t h a t f n - - > f u n i f o r m l y o n ( E - F E ) .

R e m a r k . T h e c o n v e r s e t o t h e o r e m 7 . 1 i s t r u e a n d a l m o s t t r i v i a l .

F o r i f { f n } , f a r e f i n i t e a . e . o n E , m e a s u r a b l e , a n d f n - - > . f a l m o s t u n i -

f o r m l y , t h i s m e a n s w e c a n f i n d s e t s F . w i t h , a ( F . ) < 1 / n s u c h t h a t

f n - > f u n i f o r m l y o n ( E - F n ) a n d s o f n f p o i n t - w i s e o n ( E - F n ) .

P u t

a )

F = l l F n ,

t h e n

, u ( F ) = 0

n = 1

a n d f n - , , - f p o i n t - w i s e o n ( E - F ) s o t h a t f , , - f a . e . o n E .

E x e r c i s e s 7 . 1

1 . L e t X b e t h e s p a c e o f p o s i t i v e i n t e g e r s ,

c l a s s o f a l l s u b s e t s o f X ,

a n d , u ( E ) t h e n u m b e r o f i n t e g e r s i n E c X . I f f n ( x ) i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n

o f { 1 , 2 , . . . , n } , t h e n f , , , ( x ) - - 1 f o r a l l x . H o w e v e r , f n d o e s n o t c o n v e r g e a l m o s t

u n i f o r m l y t o 1 , s h o w i n g t h a t t h e o r e m 7 . 1 i s f a l s e w i t h o u t µ ( E ) < o o .

2 . S u p p o s e t h e c o n d i t i o n s o f t h e o r e m 7 . 1 a r e s a t i s f i e d e x c e p t t h a t

, u ( E ) = e o , s h o w t h a t g i v e n P > 0 , t h e r e i s a s u b s e t F p c E w i t h

, u ( F p ) > P

s u c h t h a t f n f u n i f o r m l y o n F p b u t t h a t t h e r e n e e d n o t b e a s u b s e t F

w i t h µ ( F ) _ + c o w i t h f n - * f u n i f o r m l y o n F .

1 7 0


[ 7 . 1

3 . S u p p o s e E E , " - " , , u ( E ) < o o ,

f , , : E - * R * ( n = 1 , 2 , . . . )

i s a C a u c h y

s e q u e n c e a . e . o f m e a s u r a b l e f u n t i o n s e a c h f i n i t e a . e . P r o v e t h e r e i s a f i n i t e

c a n d a m e a s u r a b l e F c E w i t h , u ( F ) > 0 s u c h t h a t , f o r e v e r y i n t e g e r n ,

a l l x E F , I f ( x ) < c .

4 . S u p p o s e E E . ° , E h a s v - f i n i t e m e a s u r e , f ( n = 1 , 2 , . . . ) a n d f a r e f i n i t e

a . e . o n E a n d f - * f a . e . o n E . S h o w t h a t t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e { E ; } o f

s e t s i n . ° s u c h t h a t

, u ( E -

U

E z l

= 0

a n d

d , - *

f

\ \

i = 1

u n i f o r m l y o n e a c h E j . B y c o n s i d e r i n g t h e m e a s u r e o f e x a m p l e 2 , § 3 . 1 ,

a n d a s u i t a b l e s e q u e n c e o f f u n c t i o n s s h o w t h a t t h e c o n d i t i o n t h a t E h a s

v - f i n i t e m e a s u r e i s e s s e n t i a l .

5 . I n § 4 . 4 w e p r o d u c e d a s e q u e n c e o f s e t s e a c h o f w h i c h w a s n o t

L e b e s g u e m e a s u r a b l e . I f w e p u t f ( x ) = i n d i c a t o r f u n c t i o n o f

n

[ 0 , 1 ) - L J Q 2 , t h e n f ( x ) - * 0 f o r a l l x i n [ 0 , 1 ] .

i = 1

S h o w t h a t f d o e s n o t c o n v e r g e a l m o s t u n i f o r m l y s o t h a t t h e o r e m 7 . 1 f a i l s

i f t h e f u n c t i o n s a r e n o t m e a s u r a b l e .

6 . S u p p o s e f a : E - * R , h > 0 i s a c o n t i n u o u s f a m i l y o f m e a s u r a b l e f u n c -

t i o n s , e a c h f i n i t e v a l u e d , # ( E ) < o o a n d f o r e a c h x E E , f , , ( x ) - - * f ( x ) a s h 0

w h e r e f i s f i n i t e v a l u e d . T h e n i f a c o n t i n u o u s p a r a m e t e r v e r s i o n o f E g o r o f f ' s

t h e o r e m w e r e v a l i d w e w o u l d h a v e g i v e n e > 0 , t h e r e e x i s t s F s

F E e E , , u ( F E ) < e s u c h t h a t f h ( x ) - * f ( x ) a s h - * 0 u n i f o r m l y o n ( E - F E ) . T h e

f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s t h a t t h i s e x t e n s i o n i s f a l s e . I n C h a p t e r 4 , w e

s a w t h a t t h e r e i s a n o n - m e a s u r a b l e s e t E e [ 0 , 1 ) s u c h t h a t e v e r y p o i n t

x e [ 0 , 1 ) h a s a u n i q u e r e p r e s e n t a t i o n x = y + q ( m o d 1 ) , y e E , q r a t i o n a l .

P r o v e t h a t , i f M i s a m e a s u r a b l e s u b s e t o f [ 0 , 1 ] s u c h t h a t M n E ( r ) i s

n o n - v o i d f o r f i n i t e l y m a n y r a t i o n a l e r , t h e n I M I = 0 .

A r r a n g e t h e r a t i o n a l s Q a s a s e q u e n c e

F o r x E [ 0 , 1 ) l e t n ( x ) b e t h e

i n t e g e r s u c h t h a t x = y + y E E . I f x / n ( x ) _ a l a 2 . . . ( d e c i m a l r e p r e -

s e n t a t i o n n o t e n d i n g i n 9 r e c u r r i n g ) , p u t O ( x ) _ / 3 1 / 3 2 . . . w h e r e A

k = a k

( k = 1 , 2 , . . . ) ; a n d

N 2 k - 1 =

1

f o r k = n ( x ) , 0 o t h e r w i s e . P u t f h ( x ) = 1 ,

f o r x = ¢ ( h ) , f h ( x ) = 0 o t h e r w i s e . P r o v e f h ( x ) - * 0 a s h

0 f o r e a c h x .

S h o w t h a t i f M a n y m e a s u r a b l e s e t ,

I M > 0 , t h e n f h ( x ) + i 0 u n i f o r m l y

o n M .

7 . S u p p o s e f f , , } i s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s i n . 2 , I n

f a . e . a n d t h e r e i s

a n i n t e g r a b l e f u n c t i o n g s u c h t h a t < g a . e . f o r a l l n . S h o w t h a t f , , - a f

a l m o s t u n i f o r m l y .

8 . D e f i n e w h a t i s m e a n t b y s a y i n g t h a t a s e q u e n c e { f n } o f a . e . f i n i t e

v a l u e d f u n c t i o n s i s a C a u c h y s e q u e n c e a l m o s t u n i f o r m l y , a n d s h o w t h a t t h i s

i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a l i m i t f u n c t i o n f s u c h t h a t f n - * f a l m o s t u n i f o r m l y .

7 . 2 ]

C O N V E R G E N C E I N M E A S U R E

1 7 1

7 . 2

C o n v e r g e n c e i n m e a s u r e

W e n o w c o n s i d e r a d i f f e r e n t k i n d o f ` n e a r n e s s ' i n . 4 ' i n w h i c h t h e

m e a s u r e o f t h e s e t w h e r e t w o f u n c t i o n s d i f f e r b y m o r e t h a n a f i x e d

p o s i t i v e n u m b e r i s r e l e v a n t . T h i s t i m e w e m a k e t h e d e f i n i t i o n s

r e l a t i v e t o t h e w h o l e s p a c e Q . O b v i o u s c h a n g e s g i v e t h e c o r r e s p o n d i n g

c o n c e p t s r e l a t i v e t o a s e t E i n . . G i v e n . - m e a s u r a b l e f u n c t i o n s

f : S Z - > R * , f n : S 2

R * ( n = 1 , 2 , . . . ) w e s a y t h a t f n c o n v e r g e s i n

m e a s u r e ( , u ) t o f i f , f o r e a c h e > 0 ,

l i m , u { x : I f n ( x ) - f ( x ) I > e } = 0 .

n

o o

N o t e t h a t t h e d e f i n i t i o n o n l y m a k e s s e n s e f o r f u n c t i o n s i n W w h i c h

a r e f i n i t e a . e . W e f i r s t s e e t h a t t h e l i m i t i n m e a s u r e i s u n i q u e i n . a l t ' .

F o r s u p p o s e f n - - > f i n m e a s u r e , f n g i n m e a s u r e ; t h e n i f 8 > 0 ,

{ x :

I A X ) - g ( x ) I > 8 } C { x : I f n ( x ) - A x ) I > 1 8 } v { x : I f n ( x ) - g ( x ) I > Z s }

a n d b o t h s e t s o n t h e r i g h t c a n b e m a d e o f a r b i t r a r i l y s m a l l m e a s u r e

b y c h o o s i n g n l a r g e . T h i s m e a n s t h a t

, u { x : I & ) - g ( x ) I > S } = 0

f o r e a c h

S > 0 ,

a n d i t f o l l o w s t h a t f = g a . e . ( b y t a k i n g a s e q u e n c e 8 n d e c r e a s i n g t o

z e r o ) .

W e s a y t h a t t h e s e q u e n c e { f n } o f f u n c t i o n s i n .

' i s a C a u c h y s e q u e n c e

i n m e a s u r e i f , g i v e n e > 0 , 8 > 0 t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t

n > N , m > N - , u { x : I f n ( x ) - f m ( x ) I > e } < 8 .

T h e a r g u m e n t u s e d t o p r o v e u n i q u e n e s s o f t h e l i m i t a l s o s h o w s t h a t

f n - > . f i n m e a s u r e

{ f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e .

T h e c o n v e r s e i s i n c l u d e d i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 7 . 2 . S u p p o s e f a n d f n ( n = 1 , 2 , . . . ) a r e f u n c t i o n s i n . , / l w h i c h

a r e f i n i t e a . e . T h e n

( i ) f n - f a l m o s t u n i f o r m l y = f n - - > f i n m e a s u r e ;

( i i )

{ f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e a l m o s t u n i f o r m l y z { f n } i s a C a u c h y

s e q u e n c e i n m e a s u r e ;

( i i i ) { f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e = t h e r e i s a s u b s e q u e n c e

{ n k } s u c h t h a t { f n k } i s a C a u c h y s e q u e n c e a l m o s t u n i f o r m l y ;

( i v ) { f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e = t h e r e i s a f u n c t i o n g e . 4 '

s u c h t h a t f n - > g i n m e a s u r e .

7 . 2 1

C O N V E R G E N C E I N M E A S U R E

1 7 3

I t i s n o t d i f f i c u l t t o s e e t h a t c o n v e r g e n c e i n m e a s u r e d o e s n o t n e c e s -

s a r i l y i m p l y c o n v e r g e n c e p o i n t - w i s e a t a n y p o i n t , a n d s o i t c e r t a i n l y

c a n n o t i m p l y a l m o s t u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e w h o l e s e q u e n c e . F o r

l e t

r [ _ _ 1

r

E r , k =

k 2 k

( r = 1 , 2 , . . . , 2 k ;

k = 1 , 2 , . . . ) ,

a n d a r r a n g e t h e s e i n t e r v a l s a s a s i n g l e s e q u e n c e o f s e t s { F n } b y

t a k i n g f i r s t t h o s e f o r w h i c h k = 1 , t h e n t h o s e w i t h k = 2 , e t c . I f , u

d e n o t e s L e b e s g u e m e a s u r e o n [ 0 , 1 ] , a n d f , , ( x ) i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n

o f F n , t h e n , f o r 0 < e < 1 ,

{ x : I f n ( x ) I i e } = F .

s o t h a t , f o r a n y e > 0 , , a { x : I f n ( x ) I > e } 5 , u ( F . ) - > . 0 . T h i s m e a n s t h a t

f n

0 i n m e a s u r e i n [ 0 , 1 ] . H o w e v e r , a t n o p o i n t x i n [ 0 , 1 ] d o e s

f , , ( x ) - - > 0 ; i n f a c t , s i n c e e v e r y x i s i n i n f i n i t e l y m a n y o f t h e s e t s F . a n d

i n f i n i t e l y m a n y o f t h e s e t s ( S 2 - F , , , ) w e h a v e

l i m i n f f , , , ( x ) = 0 ,

l i m s u p f n ( x ) = 1

f o r a l l

x E [ 0 , 1 ] .

E x e r c i s e s 7 . 2

1 . S u p p o s e { f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e , a n d f n t , f , n , a r e t w o s u b -

s e q u e n c e s w h i c h c o n v e r g e t o f , g , r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t f = g a . e .

2 . S h o w t h a t i f { f } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e t h e n e v e r y s u b s e -

q u e n c e o f { f n } i s a l s o a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e .

3 . I f S 2 i s t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s a n d , a i s t h e c o u n t i n g m e a s u r e o n t h e

c l a s s 0 T o f a l l s u b s e t s , s h o w t h a t c o n v e r g e n c e i n m e a s u r e i s e q u i v a l e n t t o

u n i f o r m c o n v e r g e n c e .

4 . I f # ( S 2 ) = c o c a n w e s a y t h a t c o n v e r g e n c e a . e . i m p l i e s c o n v e r g e n c e

i n m e a s u r e ?

5 . S u p p o s e { A n } i s a s e q u e n c e o f s e t s i n , ' Z ; ' , x n i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n

o f A , , , a n d d ( A , B ) = , u ( A A B ) f o r A , B e " . S h o w t h a t i s a C a u c h y

s e q u e n c e i n m e a s u r e i f a n d o n l y i f d ( A , , , A . ) - * 0 a s n , m - > o o .

6 . S u p p o s e { f n } i s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s o f M w h i c h a r e f i n i t e a . e .

a n d f n - * f a . e . w i t h f f i n i t e a . e . S h o w t h a t , i f ( i ) , u ( S 2 ) < c c , o r

< , g o

f o r a l l n w h e r e g o i s i n t e g r a b l e ; t h e n f , , - > f i n m e a s u r e .

7 . S u p p o s e ( S 2 ,

i s a f i n i t e m e a s u r e s p a c e a n d { f n } ,

a r e f i n i t e

v a l u e d F - m e a s u r a b l e f u n c t i o n s w h i c h c o n v e r g e i n m e a s u r e t o f , g r e s p e c -

t i v e l y . S h o w

( i )

I f , , l c o n v e r g e s i n m e a s u r e t o I f ;

( i i )

f o r a l l r e a l a , 6 t h e s e q u e n c e

c o n v e r g e s i n m e a s u r e t o

( a f + f i g ) ;

7 . 3 ] C O N V E R G E N C E I N p T H M E A N 1 7 7

I f { f n } i s n o t a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e , t h e n t h e r e i s a n e > 0 ,

8 > 0 f o r w h i c h

P ' { x : I f n ( x ) - f m ( x ) I

' > e } > 8

f o r i n f i n i t e l y m a n y n , m . I f n o w r l > 0 i s s m a l l e n o u g h t o e n s u r e t h a t

e > , ? 1 1 / 2 p , 8 > r t k w e h a v e

f i f n ( X ) _ f m ( X ) I 4

a i I > 0

f o r i n f i n i t e l y m a n y n , m s o t h a t { f n } i s n o t a C a u c h y s e q u e n c e i n p t h

m e a n . T h i s p r o v e s t h e f i r s t s t a t e m e n t : t h e s e c o n d p a r t o f t h e t h e o r e m

i s p r o v e d s i m i l a r l y .

R e m a r k . T h e e x a m p l e a f t e r t h e o r e m 7 . 2 s h o w s t h a t { f n } m a y c o n -

v e r g e i n p t h m e a n b u t n o t c o n v e r g e a . e . , t h o u g h t h e o r e m s 7 . 2 , 7 . 3

t o g e t h e r s h o w t h a t t h e r e m u s t b e a s u b s e q u e n c e { f n t i } w h i c h c o n v e r g e s

a . e . I f w e c o n s i d e r L e b e s g u e m e a s u r e i n R a n d p u t

f - W =

n - 1 / P f o r

x i n [ 0 , n ] ,

{ 0

o t h e r w i s e ,

n i / P

f o r

x i n [ 0 , 1 / n ] ,

{ 0

o t h e r w i s e .

w e s e e t h a t f n - - > 0 u n i f o r m l y ( a n d t h e r e f o r e a l m o s t u n i f o r m l y , a . e . ,

a n d i n m e a s u r e ) b u t n o t i n p t h m e a n . I f t = [ 0 , 1 ] , t h e n g n

0

a l m o s t u n i f o r m l y , a . e . a n d i n m e a s u r e , b u t n o t i n p t h m e a n s o t h a t

e v e n i n a f i n i t e m e a s u r e s p a c e w e c a n n o t d e d u c e c o n v e r g e n c e i n m e a n

f r o m o t h e r t y p e s o f c o n v e r g e n c e w i t h o u t s o m e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n ,

e v e n i f t h e f u n c t i o n s c o n c e r n e d a r e a l l i n Y p . T h e n e x t d e f i n i t i o n

t u r n s o u t t o b e a p p r o p r i a t e :

S e t f u n c t i o n s e q u i c o n t i n u o u s a t 0

S u p p o s e v 2 ( i E . 1 ) i s a f a m i l y o f s e t f u n c t i o n s d e f i n e d o n a

T h e f a m i l y i s s a i d t o b e e q u i c o n t i n u o u s a t 0 i f , g i v e n e > 0 a n d a n y

s e q u e n c e { B n } o f s e t s o f F w h i c h d e c r e a s e s t o 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r

N s u c h t h a t

I v ; ( B n )

i < e

f o r a l l

i e I ,

n

N .

I n § 6 . 4 w e s a w t h a t a s e t f u n c t i o n v w a s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h

r e s p e c t t o a i f , g i v e n e > 0 t h e r e i s a 6 > 0 s u c h t h a t , f o r

u ( E ) < 6 r

i v ( E ) I < e ;

a n d t h a t t h i s c o n d i t i o n w a s a l s o n e c e s s a r y i f v w a s a f i n i t e v a l u e d

m e a s u r e . T h i s m a k e s t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n r e a s o n a b l e :

7 . 3 ]

C O N V E R G E N C E I N p T H M E A N

1 7 9

B y ( 7 . 3 . 1 ) w e o b t a i n , f o r n > N , k > k o ,

f l f n l p o l u

<

2 P f B k I f N l P d , + 2 p f B k I f n - f N I P d µ

< 2 + 2 p

f ,

I f .

- f N I P d / z < e ,

s o t h a t t h e s e q u e n c e { v , } i s e q u i c o n t i n u o u s a t 0 .

I n t h e o t h e r d i r e c t i o n , s i n c e w e a s s u m e t h a t I t i s o - - f i n i t e o n n ,

t h e r e m u s t b e a s e q u e n c e { E n } i n . F w h i c h d e c r e a s e s t o 0 a n d i s s u c h

t h a t , u ( S 2 - E n ) i s f i n i t e f o r a l l n . G i v e n e > 0 , t h e e q u i c o n t i n u i t y

o f v n n o w e n s u r e s t h a t t h e r e i s a s e t E = E N w i t h u ( S l - E ) < o o a n d

f r I f n I P d # <

+ 2

f o r a l l n .

T h u s , f o r a l l m , n , b y ( 7 . 3 . 1 )

J .

I f n - f m I P d u < j e .

( 7 . 3 . 2 )

N o w p u t S 2 - E = F , , u ( F ) = A . B y t h e l e m m a , t h e s e q u e n c e { v n } o f

m e a s u r e s m u s t b e u n i f o r m l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s . W e c a n t h e r e f o r e

f i n d a n q > 0 s u c h t h a t , f o r B

f B I P

E ,

, u ( B ) < 7 j ,

v n ( B ) =

I f n P d < 2 p + 3 '

( 7 . 3 . 3 )

F o r e a c h i n , n p u t

C m . n =

{ x : I f m ( x ) - f n ( x ) I >

( 4 A e

)

1 1 P

)

T h e n

J

I f m - f . l P d l u <

6 # ( F - C m , n ) < 6 , 0 ( F ) _ 1 e .

F - C m . r

S i n c e { f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n p t h m e a n w e c a n f i n d a n n o s u c h

t h a t l u ( C m , n ) n 0 , n > n o . T h i s g i v e s , b y ( 7 . 3 . 3 ) ,

f n

f f I V d # < 2 1

C m ,

C m , n

C m , n

s o t h a t

I F I f m - f n I p d u < j e

f o r

m , n > n o .

T h i s , t o g e t h e r w i t h ( 7 . 3 . 2 ) g i v e s

f I f m - f n I p d u

< e

f o r

m , n > n o .



1 8 0


[ 7 . 3

( i i ) I f f n - > f i n m e a s u r e , t h e n { f } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n m e a s u r e

s o t h a t b y ( i ) t h e c o n d i t i o n t h a t { v , , , ) i s e q u i c o n t i n u o u s i m p l i e s t h a t

{ f n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n p t h m e a n . B y t h e o r e m 7 . 3 , t h e r e e x i s t s

a g E L p s u c h t h a t f n - * - g i n p t h m e a n . B y t h e o r e m 7 . 4 ( i ) , f n - a g

i n m e a s u r e s o t h a t w e h a v e f = g a . e . a n d i t f o l l o w s t h a t f n - - f i n p t h

m e a n .

W e c a n n o w s l i g h t l y s t r e n g t h e n t h e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m

( 5 . 8 ) .

T h e o r e m 7 . 6 . S u p p o s e p > 1 , a n d { f n } i s a s e q u e n c e o f m e a s u r a b l e

f u n c t i o n s w i t h I f n I P S h E L 1 f o r e a c h n . I f e i t h e r f n - > f o i n m e a s u r e o r

f n - - > f o a . e . , t h e n f n - - > f o i n p t h m e a n .

P r o o f . W e m u s t h a v e v n ( E ) = f f l P d 1 a S

f

h d u , s o t h a t t h e

E

E

f a m i l y { v n } i s e q u i c o n t i n u o u s a t 0 b y t h e o r e m 5 . 6 . I f f n f o i n m e a s u r e

w e c a n a p p l y t h e o r e m 7 . 5 ( i i ) t o o b t a i n t h e r e s u l t . O n t h e o t h e r h a n d , i n

t h e p r o o f o f t h e o r e m 7 . 5 ( i ) w e o n l y u s e c o n v e r g e n c e i n m e a s u r e o n t h e

s u b s e t F o f S Z w i t h , a ( F ) f i n i t e . O n F , f n - . f o a . e . i m p l i e s f n i n

m e a s u r e b y t h e o r e m s 7 . 1 , 7 . 2 , s o t h a t t h e c o n d i t i o n f n - * . f o a . e . , t o -

g e t h e r w i t h e q u i c o n t i n u i t y a t 0 o f { v n } , i m p l i e s c o n v e r g e n c e i n p t h

m e a n o f { f n } .

W e h a v e n o w d e f i n e d c o n v e r g e n c e t o a l i m i t f o r s e q u e n c e s o f f u n c -

t i o n s i n s e v e r a l d i f f e r e n t w a y s , a n d h a v e p r o v e d c o m p l e t e n e s s i n e a c h

c a s e . I t m a y h e l p t o s u m m a r i s e t h e r e l a t i o n s h i p s b y a n u m b e r o f

d i a g r a m s ( F i g u r e s 2 t o 4 ) . I n e a c h o f t h e s e a n a r r o w f r o m A t o B

U n i f o r m

* p t h m e a n

P o i n t w i s e *

P o i n t w i s e a . e . - * `

u n u o r m

I n m e a s u r e

F i g . 2 . N o a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s .

i n d i c a t e s t h a t c o n v e r g e n c e i n s e n s e A i m p l i e s c o n v e r g e n c e i n s e n s e B .

T h e l a c k o f a n a r r o w f r o m A t o B i n d i c a t e s t h a t t h e r e i s a n e x a m p l e o f

a s e q u e n c e s a t i s f y i n g t h e s t a t e d c o n d i t i o n s w h i c h c o n v e r g e s i n s e n s e

A , b u t n o t i n s e n s e B . W e a s s u m e t h r o u g h o u t t h a t w e a r e c o n s i d e r i n g

f u n c t i o n s i n M w h i c h a r e a . e . f i n i t e .

1 8 2


[ 7 . 3

5 . S h o w t h a t , i f { f , , , } c o n v e r g e s i n p t h m e a n t o f , a n d g i s e s s e n t i a l l y

b o u n d e d , t h e n f f , , g } c o n v e r g e s i n p t h m e a n t o f g .

6 . S h o w t h a t i f

v n ( E ) =

f n d u

( n = 1 , 2 , . - . ) ,

d e f i n e s a s e q u e n c e o f s e t f u n c t i o n s w h i c h i s u n i f o r m l y a b s o l u t e l y c o n t i n u -

o u s t h e n s o d o e s

A n ( E ) = S E I f . I d u .

7 . S u p p o s e { f n } i s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s i n L 1 . S h o w t h a t i s a

C a u c h y s e q u e n c e i n m e a n i f a n d o n l y i f

f I f . d = x

i s a C a u c h y s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s f o r e v e r y E E . F , a n d { f , j i s a C a u c h y

s e q u e n c e i n m e a s u r e . G i v e a n e x a m p l e o f a s e q u e n c e w h i c h d o e s n o t

c o n v e r g e i n m e a s u r e , f o r w h i c h

l i m f

E

f o r a l l E .

8 . S u p p o s e 1 u ( L ) < o o , a n d f o r f , g E . , ' , a n d a . e . f i n i t e ;

A M ) =

f I f - g I

d µ

l + I f - g l

S h o w t h a t p d e f i n e s a m e t r i c i n t h e s p a c e o f a . e . f i n i t e f u n c t i o n s o f . 4 ' , a n d

t h a t c o n v e r g e n c e i n t h i s m e t r i c i s e q u i v a l e n t t o c o n v e r g e n c e i n m e a s u r e .

9 . S u p p o s e # ( Q ) < c o ( 1 < q < p ) . S h o w t h a t Y i z D _ a

Y v

Y , , , a n d

t h a t p . ( f , 0 ) = l i m p 9 ( f , 0 ) f o r f E 2 , , . S h o w t h a t t h e f i n i t e m e a s u r e c o n -

d i t i o n i s e s s e n t i a l .

B y c o n s i d e r i n g a s u i t a b l e f u n c t i o n o n [ 0 , 1 ] s h o w t h a t 2 ' + n Y , , b u t

t h a t i f f E l Y p - t h e n p , ( f , 0 ) - - * o o a s p - * o o .

T > 1

v > 1

1 0 . S u p p o s e S 2 = [ 0 , 1 ] , , u i s L e b e s g u e m e a s u r e . L e t K b e a n o w h e r e

d e n s e p e r f e c t s e t w i t h p o s i t i v e m e a s u r e a n d l e t { E k } b e t h e s e t o f d i s j o i n t

o p e n i n t e r v a l s s u c h t h a t ( 0 , 1 ) - K = ( J E i . L e t f n b e t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n

0

i = 1

n

o f F , , = U E i . P r o v e t h a t f n ( n = 1 , 2 , . . . ) i s R i e m a n n i n t e g r a b l e a n d c o n -

v e r g e s i n m e a n t o t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n f o f ( 0 , 1 ) - K . B y c o n s i d e r i n g t h e

c o n s t r u c t i o n o f K , s h o w t h a t f i s d i s c o n t i n u o u s a . e . o n t h e s e t K o f p o s i t i v e

m e a s u r e , a n d s o c a n n o t b e R i e m a n n i n t e g r a b l e . T h i s s h o w s t h a t t h e c l a s s

o f R i e m a n n i n t e g r a b l e f u n c t i o n s i s n o t c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o c o n v e r g e n c e

i n m e a n .

1 8 4


[ 7 . 4

G i v e n E e . , p u t E 0 = E n { x : f ( x ) g ( x ) = 0 } . T h e n b y o u r a s s u m p -

t i o n , a ( E - E 0 ) > 0 . F o r x e E - E 0 , w e c a n a p p l y ( 7 . 4 . 1 ) r e p l a c i n g

a b y

p ,

# b y 1 , x b y

I f ( x ) I p

I f l p d #

E - E , ,

g ( x ) g

a n d y b y

E - E 0

I g l g d u

f

T h i s g i v e s

I f

<

I f ( x ) I P

+

I g ( x ) I g

\ p f

I f l p d i

q f

I g l g d u E - E o

E - E o

( 7 . 4 . 2 )

I f w e n o w i n t e g r a t e o v e r ( E - E 0 ) a n d n o t e t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e

g i v e s 1 / p + 1 / q = 1 , w e o b t a i n t h e d e s i r e d i n e q u a l i t y f o r t h e i n t e g r a l

o v e r ( E - E 0 ) . W e c a n o n l y o b t a i n e q u a l i t y f o r t h e i n t e g r a l s i f w e h a v e

e q u a l i t y i n ( 7 . 4 . 2 ) f o r a l m o s t a l l x E ( E - E 0 ) . T h e c o n d i t i o n f o r

e q u a l i t y i n ( 7 . 4 . 1 ) n o w s h o w s t h a t w e m u s t h a v e a I f I P = b l g l q a . e . o n

( E - E 0 ) w h e r e

a =

i t

E - E I f I p d u

a n d

b

=

f E -

I g I g d u .

0 0

T h e i n e q u a l i t y f o r t h e i n t e g r a l s o v e r E n o w f o l l o w s , a n d w e c a n

a g a i n o n l y h a v e e q u a l i t y i f f = g = 0 a . e . o n E 0 , s i n c e o t h e r w i s e t h e

r i g h t - h a n d s i d e i s i n c r e a s e d w h i l e t h e l e f t - h a n d s i d e r e m a i n s t h e s a m e

o n r e p l a c i n g ( E - E 0 ) b y E . T h u s e q u a l i t y c a n o n l y o c c u r i f a l l I P = b I g I g

a . e . o n E . 1

R e m a r k 1 . T h e s p e c i a l c a s e p = q = 2 o f t h e o r e m 7 . 7 i s c a l l e d

S c h w a r t z ' s i n e q u a l i t y . A s i m p l e r p r o o f o f t h i s c a s e i s p o s s i b l e . S e e

e x e r c i s e 5 . 4 ( 1 3 ) .

R e m a r k 2 . I n t h e s e n s e o f t h e o r e m 7 . 7 t h e i n d e x c o n j u g a t e t o p = 1

i s q = o o . I t i s e a s y t o p r o v e d i r e c t l y t h a t , i f f E L g E L . t h e n

f 1 f 1 d t < ( f l f l i t ) e s s s u P l x E I )

T h e o r e m 7 . 8 ( M i n k o w s k i ) . F o r p > , 1 , i f f , g E L p t h e n ( f + g ) E L P a n d

f o r a n y E E C ,

( f E I f + g I P d l - t ) l / p

\

( f i ) l/ p + ( f E I g l p d 1 a ) l / p

F o r p > 1 , e q u a l i t y i s s t r i c t u n l e s s t h e r e a r e

r e a l n u m b e r s a > 0 , b > 0

s u c h t h a t o f = b g a . e . o n E .



7 . 4 ]

I N E Q U A L I T I E S

1 8 5

P r o o f . W e a l r e a d y p r o v e d i n § 7 . 3 t h a t L p i s a l i n e a r s p a c e . F o r

p = 1 , t h e r e s u l t i s i m m e d i a t e . F o r p > 1 ,

f E l f + g l p d u = f E l f + g I I f + g I p - l d 1 t

f

E I f I I f + g I p - 1 d a + f I I I f + g I p - 1 d u ,

w i t h e q u a l i t y i f a n d o n l y i f f a n d g h a v e t h e s a m e s i g n a . e . i n E .

I f w e n o w a p p l y t h e o r e m 7 . 7 t o e a c h o f t h e s e i n t e g r a l s w e o b t a i n

J E f + g P d p

( I E I f l p d a ) l l p

( f E +

' d u ) 1 1 4

+

( f E I g I p

d 1 ) " ( f E

I f + g l p ) 1 1 q

w i t h s t r i c t i n e q u a l i t y u n l e s s t h e r e a r e n u m b e r s a , / 1 , y s u c h t h a t

a I f I p = / i h f + g I p = y I g I p a . e . W e c a n o n l y h a v e e q u a l i t y i n b o t h i n -

e q u a l i t i e s i f t h e r e i s a > 0 , b > 0 w i t h o f = b g a . e . P r o v i d e d i t i s n o t

z e r o w e n o w d i v i d e b o t h s i d e s b y

( f E

1 1 q

I f + g I p d 1 )

t o o b t a i n t h e d e s i r e d r e s u l t . I f

f E I f + g I P d y = 0 ,

t h e n t h e i n e q u a l i t y i s t r i v i a l l y s a t i s f i e d , a n d e q u a l i t y i s o n l y p o s s i b l e

i f f = g = 0 a . e . ]

T h e a b o v e t h e o r e m s h o w s t h a t

1 1 p

P p ( f , g ) =

( f E I f

- g I p d , - )

d e f i n e s a m e t r i c i n g y p .

W e h a v e p r o v e d t h e H o l d e r a n d M i n k o w s k i i n e q u a l i t i e s f o r g e n e r a l

m e a s u r e s p a c e s . T h e y a r e o f c o u r s e v a l i d f o r L e b e s g u e m e a s u r e i n R

e i t h e r o v e r a f i n i t e i n t e r v a l o r o v e r t h e w h o l e l i n e .

H o w e v e r , w e c a n a l s o a p p l y t h e s e g e n e r a l t h e o r e m s t o t h e c a s e

w h e r e S > i s t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s Z , a n d , a i s t h e c o u n t i n g m e a s u r e

, a ( E ) = n u m b e r o f i n t e g e r s i n E ,

w h i c h m a k e s a l l s u b s e t s E c Z m e a s u r a b l e . T h e n f u n c t i o n s f : Z - > R

a n d g : Z - R r e d u c e t o

f ( i ) = a i ,

g ( i ) = b i ( i = 1 , 2 , . . . ) ,

1 8 6

S P A C E O F M E A S U R A B L E F U N C T I O N S [ 7 . 4

w h e r e f a i l a n d { b i } a r e s e q u e n c e s o f r e a l n u m b e r s , a n d w e c a n a p p l y

t h e o r e m s 7 . 7 , 7 . 8 t o g i v e :

1

H o l d e r .

E l a i b i l < ( j l a i l

p ) 1 I p

( i l b i l 4

J 1 1 4

i = 1

i = 1

i = 1 /

i n t h e s e n s e t h a t t h e c o n v e r g e n c e o f b o t h s e r i e s o n t h e r i g h t i m p l i e s t h e

c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s o n t h e l e f t a n d t h e i n e q u a l i t y . F u r t h e r , e q u a l i t y

i s o n l y p o s s i b l e i f t h e r e i s a c o n s t a n t k s u c h t h a t l a i l p = k l b i l 4 f o r a l l i .

M i n k o w s k i .

c o

l l p

l a i + b i l p

c o

l a i l P ) l l p

+

( Z '

l b i l P ) l l p

i = 1

= 1

w i t h e q u a l i t y i f a n d o n l y i f t h e r e i s a k > 0 s u c h t h a t a i = k b i f o r a l l i .

I t i s i n t e r e s t i n g t o s e e h o w t h e s e e l e m e n t a r y i n e q u a l i t i e s ( w h i c h

c a n o f c o u r s e b e p r o v e d d i r e c t l y ) f a l l o u t o f t h e g e n e r a l t h e o r e m s b y

u s i n g a s i m p l e s p e c i a l m e a s u r e .

E x e r c i s e s 7 . 4

1 . S u p p o s e a > 0 , / B > 0 , y > 0 , a + , 6 + y = 1 a n d f e L a , g e L p h

E L y .

S h o w t h a t

f E

l f g h l d p

\

( I E l f l V I

d 1 , ) a

( f E I

g I l l a d ) i e

( f E l

h l l l y d 1 u ) ' .

G e n e r a l i s e t o n > 2 f u n c t i o n s .

2 . I f , u i s L e b e s g u e m e a s u r e o n I = ( a , b ) a n d f e L , , ( I , , u ) s h o w t h a t

t h e r e i s a c o n t i n u o u s g s u c h t h a t

5

b

I f ( x ) - g ( x ) 1 1 d x < e .

D e d u c e t h a t

J b

a

I f ( x + h ) - f ( x ) l p d x - * 0 a s h - > . 0

( h e r e f i s g i v e n t h e v a l u e z e r o o u t s i d e I ) . H i n t . S e e t h e o r e m 5 . 1 0 .

3 . I f u ( S 2 ) < o o , 1 5 p < q a n d f c L , , s h o w t h a t

[ P M ,

0 ) l

< k p a ( f , 0 )

f o r a s u i t a b l e c o n s t a n t k . S h o w t h a t p ( S 2 ) < o o i s e s s e n t i a l .

4 . S h o w b y a n e x a m p l e t h a t t h e o r e m 7 . 8 i s f a l s e f o r p < 1 .

5 . I f p , q a r e c o n j u g a t e i n d i c e s , f n - > . f 0 i n p t h m e a n , g n - a g o i n q t h m e a n ,

s h o w t h a t f n g n

i n m e a n .



7 . 4 ] I N E Q U A L I T I E S

1 8 7

6 . B y c o n s i d e r i n g i n t e r v a l s o f O .

w h o s e c o o r d i n a t e s a r e r a t i o n a l , a n d

l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f s u c h i n t e r v a l s o b t a i n a

c o u n t a b l e d e n s e s e t i n £ , o f o r S 2 = R k , , u a n y L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e .

S u c h a s p a c e T q i s t h e r e f o r e s e p a r a b l e .

7 . 5 * M e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n s f r o m a s p a c e

t o i t s e l f

I n § 6 . 5 w e d i s c u s s e d m e a s u r a b l e t r a n s f o r m a t i o n s T f r o m

t o ( Y , . 9 ' ) a n d d e f i n e d t h e m e a s u r e , u T - 1 o n . i n t e r m s o f t h e t r a n s -

f o r m a t i o n . A s p e c i a l c a s e o f t h i s i s o b t a i n e d w h e n T : X - + X m a p s X

i n t o i t s e l f . W e t h e n s a y t h a t T i s m e a s u r e p r e s e r v i n g i f , f o r e v e r y

E e F , , u ( T - 1 ( E ) ) = p ( E ) . G i v e n a m a p p i n g T : X - + X , w e c a n d e f i n e

t h e i t e r a t e s T n o b t a i n e d b y c o m p o s i n g T w i t h i t s e l f n t i m e s . F o r

c o n v e n i e n c e T O w i l l d e n o t e t h e i d e n t i t y m a p p i n g , a n d T - n w i l l b e

d e f i n e d a s a s e t m a p p i n g

T - n ( E ) = { x : T " ( x ) e E }

e v e n i f T - n i s n o t a p o i n t f u n c t i o n .

I f ' F i s t h e v - r i n g g e n e r a t e d b y a s e m i - r i n g 9 , t h e n i t i s i m m e d i a t e

o n a p p l y i n g t h e e x t e n s i o n t h e o r e m s o f C h a p t e r s 3 a n d 4 t h a t T i s

m e a s u r e p r e s e r v i n g i f , a n d o n l y i f ,

# ( T - 1 ( E ) ) _ , u ( E ) f o r e v e r y E i n 9 .

I f T i s a ( 1 , 1 ) t r a n s f o r m a t i o n f r o m X t o i t s e l f , t h e n i t i s s a i d t o b e

i n v e r t i b l e a n d t h e c o n d i t i o n f o r T t o b e m e a s u r e p r e s e r v i n g i n t h i s c a s e

c a n b e w r i t t e n a s a ( T ( E ) ) = , a ( E ) f o r a l l E i n F .

I n § 4 . 5 w e c o n s i d e r e d t h e g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f L e b e s g u e

m e a s u r e a n d s h o w e d t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n s o f E u c l i d e a n s p a c e

d e f i n e d i n t e r m s o f t r a n s l a t i o n s , r o t a t i o n s o r r e f l e x i o n s a r e m e a s u r e

p r e s e r v i n g . O n e c a n a l s o p r o v e t h a t a m a t r i x t r a n s f o r m a t i o n o f

d e t e r m i n a n t

1

d e f i n e s a m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n i n

E u c l i d e a n s p a c e . A l l t h e s e a r e e a s i l y s e e n t o b e i n v e r t i b l e .

I f f 2 = [ 0 , 1 ) a n d T x = 2 x r e d u c e d m o d 1 t h e n , f o r L e b e s g u e

m e a s u r e , T i s s e e n t o b e m e a s u r e p r e s e r v i n g b y c o n s i d e r i n g t h e

e f f e c t o f T - 1 o n t h e d y a d i c i n t e r v a l s [ p / 2 q , ( p + 1 ) / 2 4 ) w h i c h f o r m

a s e m i - r i n g g e n e r a t i n g - 4 . I f x = . a 1 a 2 . . . i s t h e e x p a n s i o n o f x a s a

b i n a r y ` d e c i m a l ' , t h e n T x =

. a 2 a 3 . . . .

T h i s T i s n o t i n v e r t i b l e .

I t i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t t h e s t u d y o f m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s -

f o r m a t i o n s s t a r t e d w i t h c e r t a i n c o n s i d e r a t i o n s i n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s .

S u p p o s e w e h a v e a s y s t e m o f k p a r t i c l e s w h o s e p r e s e n t s t a t e i s d e s -

c r i b e d b y a p o i n t i n ` p h a s e s p a c e ' R 6 k i n w h i c h e a c h p a r t i c l e d e t e r m i n e s

7 T I T



1 8 8


1 7 . 5

3 c o o r d i n a t e s f o r p o s i t i o n a n d 3 c o o r d i n a t e s f o r m o m e n t u m . T h e n

t h e e n t i r e h i s t o r y o f t h e s y s t e m c a n b e r e p r e s e n t e d b y a t r a j e c t o r y

i n p h a s e s p a c e w h i c h i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d ( a s s u m i n g t h e l a w s o f

c l a s s i c a l m e c h a n i c s ) b y a s i n g l e p o i n t o n i t . T h u s f o r a n y ( t i m e ) t

w e c a n d e f i n e a n i n v e r t i b l e t r a n s f o r m a t i o n T e b y s a y i n g t h a t , f o r

x i n p h a s e s p a c e , T x d e n o t e s t h e s t a t e o f a s y s t e m w h i c h s t a r t s

a t x a f t e r a t i m e t . O n e o f t h e b a s i c r e s u l t s i n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s

( d u e t o L i o u v i l l e ) s t a t e s t h a t , i f t h e c o o r d i n a t e s i n p h a s e s p a c e a r e

c o r r e c t l y c h o s e n , t h e n t h e ` f l o w ' i n p h a s e s p a c e l e a v e s a l l v o l u m e s

( i . e . L e b e s g u e m e a s u r e i n R B k ) u n c h a n g e d . T h i s m e a n s t h a t T t b e c o m e s

a m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n i n ( R s k ,

Y O , I t ) . I n p r a c t i c e

k i s e n o r m o u s , a n d i t i s n o t p o s s i b l e t o o b s e r v e a t a n y o n e m o m e n t

a l l t h e p a r t i c l e s o f t h e s y s t e m . I n s t e a d o n e a s k s q u e s t i o n s l i k e ` w h a t

i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a t t i m e t t h e s t a t e o f t h e s y s t e m b e l o n g s t o a

g i v e n s u b s e t o f p h a s e s p a c e ? ' O n e t h e n i m p o s e s c o n d i t i o n s w h i c h

e n s u r e t h a t t h i s c a n b e c a l c u l a t e d b y c o n s i d e r i n g t h e ` a v e r a g e '

b e h a v i o u r o f T x a s t

o o . T o b e m o r e p r e c i s e T B + t = T s T , s o t h a t

T n t = ( T T ) n a n d o n e c a n c o n s i d e r a d i s c r e t e m o d e l , c o u n t t h e p r o p o r t i o n

o f t i m e s u p t o n t h a t T i X E E w h e r e T = T , a a n d t h e n l e t n - - > o o .

I n p r a c t i c e a s e t E i n p h a s e s p a c e i s r e p l a c e d b y a f u n c t i o n f ( x )

( r e p r e s e n t i n g s o m e p h y s i c a l m e a s u r e m e n t ) a n d o n e c o n s i d e r s t h e

a v e r a g e b e h a v i o u r i n t e r m s o f t h e s e q u e n c e

j n - 1

- Z i f ( T i x )

( n = 1 , 2 , . . . ) .

i = o

T h i s d i s c u s s i o n o f p h a s e s p a c e p r o v i d e s a p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n f o r

t h e m a t h e m a t i c a l r e s u l t s w h i c h w e n o w f o r m u l a t e p r e c i s e l y .

F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n , T w i l l d e n o t e a m e a s u r e p r e s e r v i n g

t r a n s f o r m a t i o n o f S 2 t o i t s e l f , a n d f : t 2 - * R * w i l l d e n o t e a n i n t e g r a b l e

f u n c t i o n . W e d e f i n e

f k ( x ) = f ( T k x )

( k = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

T h e n f k w i l l b e i n t e g r a b l e a n d t h e o r e m 6 . 8 s h o w s i m m e d i a t e l y t h a t

5 / k d p

= J f d u .

B e f o r e g i v i n g t h e p r o o f ( d u e t o F . R i e s z ) o f t h e p o i n t - w i s e e r g o d i c

t h e o r e m , w e o b t a i n a l e m m a w h i c h i s a n i m p o r t a n t s t e p t o w a r d s i t .

L e m m a . ( s o m e t i m e s c a l l e d t h e m a x i m a l e r g o d i c t h e o r e m ) . S u p p o s e

E i s t h e s e t o f p o i n t s x E L s u c h t h a t

n

E f i ( x ) i 0

i = 0

7 . 5 ]

M E A S U R E P R E S E R V I N G T R A N S F O R M A T I O N S

1 8 9

f o r a t l e a s t o n e n : t h e n

f E f d a > 0 .

P r o o f . W e f i r s t n e e d a r e s u l t a b o u t f i n i t e s e q u e n c e s o f r e a l n u m b e r s .

S u p p o s e a l , a 2 . . . , a n E R a n d m < n . A t e r m a i o f t h i s s e q u e n c e i s c a l l e d

a n m - l e a d e r i f t h e r e i s a n i n t e g e r p , 1 < p < m , s u c h t h a t

a i + a i + 1 + . _ . + a i + p _ 1 % 0 .

F o r a f i x e d m , l e t a k b e t h e f i r s t m - l e a d e r , a n d l e t ( a k +

. . . + a k + p _ 1 )

b e t h e s h o r t e s t n o n - n e g a t i v e s u m t h a t i t l e a d s . T h e n f o r e v e r y i n t e g e r

h w i t h k < h < k + p - 1 , w e m u s t h a v e a h + a h + 1 +

. . . + a k + p - 1 > 0 ,

s o t h a t a h i s a n m - l e a d e r . N o w c o n t i n u e w i t h t h e f i r s t m - l e a d e r i n

a k + p , . . . , a n a n d r e p e a t t h e a r g u m e n t u n t i l a l l t h e m - l e a d e r s h a v e b e e n

f o u n d . I t f o l l o w s t h a t t h e s u m o f a l l t h e m - l e a d e r s o f t h e o r i g i n a l

s e q u e n c e m u s t b e n o n - n e g a t i v e , a s i t i s t h e s a m e a s t h e s u m o f t h e

n o n - n e g a t i v e s h o r t e s t s u m s o b t a i n e d b y t h e a b o v e p r o c e d u r e .

W e c a n n o w t u r n t o t h e p r o o f o f t h e l e m m a a n d n o t i c e t h a t , s i n c e f

i s i n t e g r a b l e , w e m a y a s s u m e t h a t i t i s e v e r y w h e r e f i n i t e v a l u e d . I f

E . d e n o t e s t h e s e t o f x s u c h t h a t

n

E f i ( x ) i 0

i = O

f o r a t l e a s t o n e n < m , t h e n E . i n c r e a s e s t o E , s o i t i s s u f f i c i e n t t o p r o v e

f d a > , 0

f o r a l l m .

F o r a p o s i t i v e i n t e g e r n , l e t s ( x ) b e t h e s u m o f t h e m - l e a d e r s o f t h e

f i n i t e s e q u e n c e f o ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n + m _ 1 ( x ) . L e t A k b e t h e s e t o f x f o r w h i c h

f k ( x ) i s a n m - l e a d e r a n d l e t x k b e t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f A k . S i n c e

n + m - 1

A k i s m e a s u r a b l e , a n d s ( x ) = Z x k ( x ) f k ( x ) , s i s m e a s u r a b l e a n d i n -

k = 0

t e g r a b l e a n d s ( x ) > 0 s o t h a t

n + m - 1

f k d a

0 .

( 7 . 5 . 1 )

I

f

k = 0

d k

N o w n o t i c e t h a t , f o r k = 1 , 2 ,

. . . , n - 1 ,

T ( x ) E A k _ 1 i f a n d o n l y i f

f k - 1 ( T x ) + . . . + f k _ l + p - 1 ( T x ) > 0 f o r s o m e p < m , w h i c h i s e q u i v a l e n t

t o f k ( x ) + . . . + f k + p - 1 ( x ) > 0 f o r s o m e p < m w h i c h i n t u r n i s t h e

c o n d i t i o n f o r X E A k . T h u s A k = T - ' A k - 1 = T - k A 0 f o r k = 1 ,

. . . , n - 1 .

H e n c e b y t h e o r e m 6 . 8 ,

f a k f k ( x ) d i t = J T - " f ( T k x ) d # =

f d f ( x ) d a

7 - 2

1 9 0 S P A C E O F M E A S U R A B L E F U N C T I O N S

[ 7 . 5

s o t h a t t h e f i r s t n t e r m s o f ( 7 . 5 . 1 ) a r e a l l e q u a l . N o w A 0 = E m , s o t h a t

( 7 . 5 . 1 ) i m p l i e s

r

n f E m f d u + m J J f j d a >

0 .

D i v i d e b y n , k e e p m f i x e d a n d l e t n - > o o t o g i v e

E m f d u > , 0 . ]

f

T h e o r e m 7 . 9 ( B i r k h o f f ) . S u p p o s e T i s a m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a -

t i o n o n a o - - f i n i t e m e a s u r e s p a c e

t o i t s e l f a n d f : S 2 - - > R * i s i n -

t e g r a b l e . T h e n

I n - 1

( i )

- Z f ( T i x ) c o n v e r g e s p o i n t - w i s e a . e . ;

n i = 0

( i i )

t h e l i m i t f u n c t i o n f * ( x ) i s i n t e g r a b l e a n d i n v a r i a n t u n d e r T

( i . e . f * ( T x ) = f * ( x ) a . e . ) ;

( i i i ) i f 4 u ( 1 ) < o o , t h e n f f * d u = f f d u .

P r o o f ( i ) . S u p p o s e r , s a r e r a t i o n a l n u m b e r s r < s a n d B = B ( r , s )

i s t h e s e t o f p o i n t s x f o r w h i c h

I n - 1

I I n - 1

l i m i n f

i -

2 Z f i ( x ) < r < s < l i m s u p - 2 Z f i ( x )

I t i s i m m e d i a t e t h a t B i s m e a s u r a b l e a n d i n v a r i a n t u n d e r T . O u r

r e s u l t w i l l n o w f o l l o w i f w e c a n p r o v e t h a t , u ( B ( r , s ) ) = 0 f o r a l l r a t i o n a l

r , s . T h e f i r s t s t e p i n t h i s d i r e c t i o n i s t o s h o w t h a t # ( B ) < o o .

W e m a y a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t s > 0 , f o r o t h e r w i s e

t h e a r g u m e n t c a n b e c a r r i e d o u t w i t h f r e p l a c e d b y - f . S u p p o s e

C E . F , , u ( C ) < o o , C c B , a n d x i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f C . A p p l y

t h e l e m m a t o t h e f u n c t i o n ( f - s x ) t o g i v e

j _

/

0 ,

f E f _ s x d

w h e r e E i s d e f i n e d i n t h e l e m m a . I f X E B , t h e n a t l e a s t o n e o f t h e

a v e r a g e s

I n - 1

- Z f i ( x ) > s > 0

n i _ o

s o t h a t a t l e a s t o n e o f t h e s u m s

n - 1

E { f ( T i x ) - s x ( T i x ) } > 0 ,

i = 0

a n d i t f o l l o w s t h a t x E E . T h u s

f E f d u

> f E s x d u

s o t h a t

u ( C ) < s f i i i d u .

7 . 5 ]

M E A S U R E P R E S E R V I N G T R A N S F O R M A T I O N S

1 9 1

S i n c e B h a s

m e a s u r e a n d i t s s u b s e t s o f f i n i t e m e a s u r e h a v e

b o u n d e d m e a s u r e , i t f o l l o w s t h a t µ ( B ) i s f i n i t e . S i n c e B i s i n v a r i a n t

u n d e r T w e c a n r e s t r i c t o u r o - f i e l d a n d m e a s u r e t o B a n d t h i n k o f

T a s a m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n o n B . A p p l y t h e l e m m a

a g a i n t o t h e i n t e g r a b l e f u n c t i o n ( f - 8 ) , a n d n o t e t h a t i n t h i s c a s e

t h e s e t E o f t h e l e m m a i s t h e w h o l e s p a c e B . T h i s g i v e s

S i m i l a r l y , w e c a n o b t a i n

f B ( f - 8 ) d # > 0 .

f B

( r - f ) d u > 0 .

T o g e t h e r t h e s e g i v e

( r - s ) d u > , 0 .

1 ,

S i n c e r < s , w e m u s t h a v e , u ( B ) = 0 .

( i i ) P u t

r 1 n - I

f * ( x ) = l i m { - E f i ( x ) }

, . 0 , n i = 0

w h e n t h e s e q u e n c e c o n v e r g e s . T h e n i t i s i m m e d i a t e t h a t f * i s m e a s u r -

a b l e a n d i n v a r i a n t . F u r t h e r

1

1 n - 1

- E f i ( x )

n i = o

d 1 t

l n - 1

- E

I f i ( x ) I d p = l f ( x ) l d a

n i = 0

s o t h a t , b y t h e o r e m 5 . 7 ( F a t o u ) f * i s i n t e g r a b l e , a n d

5 1 1 * 1

d u s f I f I d u

( i i i ) F o r f i x e d n , p u t

D ( k , n ) _ { x :

k

< f * ( X ) <

k + 1

a n d a p p l y t h e l e m m a t o t h e t r a n s f o r m a t i o n T o n t h e s e t D ( k , n ) w h i c h

c a n b e a s s u m e d t o b e i n v a r i a n t . T h e n f * ( x ) 3 k / 2 n i n D ( k , n ) , s o t h a t

a t l e a s t o n e o f t h e s u m s

n - 1

k

E

( f i ( x ) - 2 n +

> 0

i = 0

f o r e a c h e > 0 . H e n c e

( _ e ) u ( D ( k , n ) ) ,

f d u >

k

k , n )

a n d s o w e m u s t h a v e

f d u %

2

k

D ( k , n )

, u ( D ( k , n ) )

1 9 2


[ 7 . 5

S i m i l a r l y

( '

f d \ k + 1 ( / D ( k ,

n ) )

D ( k , n )

2 n

a n d

k

( D ( k n ) ) c

f

f d

k 2

1

( D

k

,

µ

J D ( k , n )

(

, n ) ) .

F o r e a c h i n t e g e r k , i t f o l l o w s t h a t

D ( k ,

n ) f

* d

J D ( k ,

n ) f

d

J

a n d i f w e s u m o v e r k

2 n µ ( D ( k , n ) ) ;

I f a f * d 1 i

- f n f

d u I

< I # ( Q )

S i n c e n i s a r b i t r a r y w e m u s t h a v e f f * d µ = f f d u . ]

F o r a p p l i c a t i o n s t o s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s o n e w o u l d e x p e c t t h e

e q u i l i b r i u m v a l u e f * ( x ) t o b e i n d e p e n d e n t o f t h e p o i n t x , s o t h a t t h e

l i m i t f u n c t i o n f * o f t h e o r e m 7 . 9 i s a c o n s t a n t . U n f o r t u n a t e l y t h i s i s

n o t t r u e w i t h o u t i m p o s i n g a n a d d i t i o n a l c o n d i t i o n .

E r g o d i c t r a n s f o r m a t i o n

A m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n T i s s a i d t o b e e r g o d i c ( o r

m e t r i c a l l y t r a n s i t i v e o r m e t r i c a l l y i n v a r i a n t ) i f f o r a l l i n v a r i a n t s e t s

E ( s e t s f o r w h i c h T - 1 ( E ) = ( E ) ) , µ ( E ) = 0 o r , u ( S 2 - E ) = 0 .

L e m m a . T i s e r g o d i c i f a n d o n l y i f e v e r y m e a s u r a b l e i n v a r i a n t f u n c t i o n

i s c o n s t a n t a . e .

P r o o f . S u p p o s e g i s m e a s u r a b l e a n d i n v a r i a n t . T h e n { x : g ( x ) > a }

i s i n v a r i a n t f o r a l l r e a l a , a n d m u s t e i t h e r h a v e z e r o m e a s u r e o r b e

t h e c o m p l e m e n t o f a s e t o f z e r o m e a s u r e . H e n c e g = c o n s t a n t a . e . , i f

T i s e r g o d i c . C o n v e r s e l y , i f e v e r y m e a s u r a b l e i n v a r i a n t f u n c t i o n i s

c o n s t a n t a . e . , s i n c e t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a n i n v a r i a n t s e t i s a n

i n v a r i a n t f u n c t i o n , t h e r e c a n n o t b e a n y i n v a r i a n t s e t s o t h e r t h a n

n u l l s e t s a n d c o m p l e m e n t s o f n u l l s e t s . ]

W e c a n n o w a p p l y t h i s l e m m a t o t h e o r e m 7 . 9 w h e n T i s e r g o d i c .

T h e r e a r e t w o c a s e s :

( i ) µ ( S 2 ) = + o o . S i n c e t h e o n l y c o n s t a n t w h i c h i s i n t e g r a b l e o v e r a

s p a c e o f i n f i n i t e m e a s u r e i s z e r o w e d e d u c e t h a t

l n - 1

- E f i ( x )

0

a . e .

n i = 0

( i i ) µ ( S 2 ) < o o . W e c a n i n t e g r a t e f * = c a . e . b y ( i i i ) t o o b t a i n

l n - 1

1

n

i E f i ( x )

A D )

f f d µ

a . e .

7 . 5 ] M E A S U R E P R E S E R V I N G T R A N S F O R M A T I O N S

1 9 3

T h i s l a s t r e s u l t t i e s u p w i t h o u r r e m a r k s a b o u t s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s ,

s i n c e i t s h o w s t h a t t h e a v e r a g e v a l u e o f f o n t h e d i s c r e t e t r a j e c t o r y

a p p r o a c h e s t h e a v e r a g e v a l u e o f f i n p h a s e s p a c e f o r a l l s t a r t i n g p o i n t s

x e x c e p t f o r a p o s s i b l e n u l l s e t .

T h e r e a d e r w h o w i s h e s t o l e a r n m o r e a b o u t e r g o d i c t h e o r y i s

a d v i s e d t o r e a d P . R . H a l m o s , L e c t u r e s o n E r g o d i c T h e o r y ( C h e l s e a ,

1 9 5 6 ) .

E x e r c i s e s 7 . 5

1 . S u p p o s e S 2 i s t h e r e a l l i n e , T i s t h e t r a n s l a t i o n T x = x + 1 , f i s t h e

i n d i c a t o r f u n c t i o n o f [ 0 , 1 ] . W h a t i s

1 0 - 1

f * ( x ) = l i m - Z f i ( x )

n i = 0

i n t h i s c a s e ? S h o w t h a t t h e o r e m 7 . 9 ( i i i ) i s n o t s a t i s f i e d w i t h o u t t h e c o n -

d i t i o n , u ( S 2 ) < o o .

2 . S u p p o s e T i s m e a s u r e p r e s e r v i n g a n d e r g o d i c o n ( Q , F , p ) a n d

u ( S 2 ) < a o .

I f f i s n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e a n d

i n - 1

- E f ( T t i x ) - * c E R a . e . ,

n i = 0

d e d u c e t h a t f i s i n t e g r a b l e .

3 . S u p p o s e S 2 i s f i v e p o i n t s p a c e { a , b , c , d , e } , i s t h e s e t o f a l l s u b s e t s ,

, u { a } = , u { b } = , u { c } = 1 a n d u { d } = µ { e } = 2 , T i s t h e p e r m u t a t i o n ( a , b , c ) ( d , e ) .

S h o w t h a t T i s m e a s u r e p r e s e r v i n g b u t n o t e r g o d i c . F i n d t h e f * o f t h e o r e m

7 . 9 i f f i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f { a , b , e } .

4 . S u p p o s e ( 0 , . 5 F , P ) i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . F o r m t h e d o u b l y i n f i n i t e

C a r t e s i a n p r o d u c t o f c o p i e s o f ( 0 , _ 5 F , P ) l a b e l l e d ( . . . , - 2 , - 1 , 0 , 1 , . . . , n , . . . )

a n d t h e p r o d u c t m e a s u r e b y t h e p r o c e s s o f t h e o r e m 6 . 3 . I f a p o i n t o f t h i s

p r o d u c t s p a c e i s w = ( . . . , w _ 1 , w o , w 1 , . . . ) a n d T i s t h e s h i f t ( T w ) n = w n + 1 ;

s h o w t h a t T i s m e a s u r e p r e s e r v i n g a n d e r g o d i c .

5 . I f 0 = [ 0 , 1 ) , T x = 2 x ( m o d 1 ) , a n d , u i s L e b e s g u e m e a s u r e , s h o w t h a t

T i s e r g o d i c . B y a p p l y i n g t h e e r g o d i c t h e o r e m t o t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n

o f [ 0 , { ) d e d u c e t h e B o r e l n o r m a l n u m b e r t h e o r e m w h i c h s t a t e s t h a t i n t h e

b i n a r y e x p a n s i o n 0 a 1 a 2 . . . a n . . . o f r e a l n u m b e r s i n [ 0 , 1 ) , t h e d e n s i t y

i n

-

a i -

f o r a l m o s t a l l x .

n i = 1

6 . S u p p o s e T i s e r g o d i c a n d m e a s u r e p r e s e r v i n g o n a f i n i t e m e a s u r e

s p a c e ( X ,

a n d f , g a r e t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f m e a s u r a b l e s e t s

F , G . S h o w t h a t

1 n - 1

c ( F ) , u ( G )

l i r a I n E , u ( ( T z F ) n G )

0

I

A X )

1 9 4

8

L I N E A R F U N C T I O N A L S

I n t h i s c h a p t e r a l l m e a s u r e s p a c e s ( S 2 , F , p ) w i l l b e o - f i n i t e , a n d F

w i l l b e c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o p , u n l e s s s t a t e d o t h e r w i s e . I n C h a p t e r 7

w e s a w t h a t Y . ( 1 < p < o o ) w i t h t h e m e t r i c

l l p

P p ( f , g ) _

( f I f - g l p d , a }

a n d Y . w i t h t h e m e t r i c

P . ( f , g ) = e s s s u p I f - g l ,

w e r e c o m p l e t e m e t r i c s p a c e s . W e a l s o p r o v e d t h e y w e r e l i n e a r s p a c e s

( o v e r t h e r e a l s ) ; a n d i t i s i m m e d i a t e t h a t t h e m e t r i c d e f i n e s a n o r m

I l f l i p = P 1 ( . f f 0 )

( 1 0

i f f + 0 ,

I 1 0 1 1 = 0 1

I l f + g l I p < I l f l l p + I l g l i p ,

I I a f I I p = I a l l l f l l p

f o r a e R .

W e w i l l o m i t t h e s u f f i x p i n I I

.

l i p w h e n i t i s c l e a r w h i c h F p s p a c e i s

b e i n g c o n s i d e r e d .

I t t u r n s o u t t h a t t h e s p a c e . T 2 h a s s o m e s p e c i a l p r o p e r t i e s n o t s h a r e d

b y o t h e r 2 p s p a c e s . T h e s e c a n b e p o s t u l a t e d i n t e r m s o f t h e d i f f e r e n c e

b e t w e e n H i l b e r t s p a c e a n d B a n a c h s p a c e , b u t w e p r e f e r t o e x a m i n e ,

i n t h e f i r s t t h r e e s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r , t h e s t r u c t u r e o f . 8 t i a n d

t h e n d i s c u s s l a t e r t h e a n a l o g o u s p r o p e r t i e s o f m o r e g e n e r a l n o r m e d

l i n e a r s p a c e s .

2 o n t h e u n d e r l y i n g ( 1 2 , F , p . )

. 1

D e p e n d e n c e o f 2

I n g e n e r a l , t h e s t r u c t u r e o f t h e s p a c e . 9 2 d e p e n d s o n t h e u n d e r l y i n g

s p a c e w h e n w e w a n t t o e m p h a s i s e t h i s w e u s e t h e n o t a t i o n

W e f i r s t e x a m i n e c o n d i t i o n s o n w h i c h w i l l e n s u r e

t h a t T 2 ( Q , / t ) i s s e p a r a b l e ( i n t h e t o p o l o g y o f t h e n o r m ) . W e l a t e r

d e f i n e ( r e a l ) H i l b e r t s p a c e i n t e r m s o f i t s a b s t r a c t p r o p e r t i e s , a n d s h o w

t h a t 2 2 ( K 1 , , u ) i s a l w a y s a r e a l i s a t i o n o f H i l b e r t s p a c e .

8 . 1 1

D E P E N D E N C E O F . P 2 O N ( f , F , p )

1 9 5

C o u n t a b l e b a s i s f o r m e a s u r e

I n t h e m e a s u r e s p a c e ( t 1 , w e c a n u s e t h e e q u i v a l e n c e r e l a t i o n

A - B a , u ( A . B ) = 0 t o i d e n t i f y t h e s u b s e t s i n F w h i c h d i f f e r

o n l y b y a s e t o f m e a s u r e z e r o . I f w e d e n o t e t h e r e s u l t i n g q u o t i e n t

s p a c e b y . , K , i t i s c l e a r t h a t , w h e n , u ( S 2 ) < o o , F , , i s a m e t r i c s p a c e

w i t h t h e m e t r i c p ( A , B ) = µ ( A D B ) , a n d o n e c a n f u r t h e r s h o w t h a t

. F , , i s c o m p l e t e . I n t h i s c a s e w e c a n d e f i n e a d e n s e s u b s e t b y m e a n s o f

t h e t o p o l o g y o f t h i s m e t r i c . H o w e v e r , t h e n o t i o n o f a d e n s e s u b s e t i n

J r . c a n b e e x t e n d e d t o i n c l u d e t h e c a s e p ( S 2 ) = o o b y a d e v i c e w h i c h

m a k e s s e n s e p r o v i d e d I t i s o - - f i n i t e o n Q . T h u s w e s a y t h a t µ h a s a

c o u n t a b l e b a s i s i f t h e r e i s a s e q u e n c e { E n } o f s e t s i n . F s u c h t h a t , g i v e n

e > 0 a n d a n y A e . F w i t h # ( A ) < o o , t h e r e i s a s e t E k o f t h e s e q u e n c e

f o r w h i c h

# ( A A E k ) < e .

I n C h a p t e r s 3 a n d 4 w e s a w h o w m e a s u r e s c o u l d b e o b t a i n e d b y

e x t e n d i n g a m e a s u r e a l r e a d y d e f i n e d o n a s e m i - r i n g . I f p c a n b e

d e f i n e d b y e x t e n d i n g a f i n i t e m e a s u r e o n a s e m i - r i n g - 0 w h i c h c o n t a i n s

o n l y a c o u n t a b l e n u m b e r o f s e t s , t h e n u h a s a c o u n t a b l e b a s i s . F o r

t h e r i n g 9 g e n e r a t e d b y ' i s c o u n t a b l e , a n d f o r m s a b a s i s f o r F b y

t h e o r e m 4 . 4 . I n p a r t i c u l a r , i n t h e d e f i n i t i o n o f L e b e s g u e m e a s u r e ,

w e c o u l d h a v e u s e d t h e c o u n t a b l e s e m i - r i n g o f f - o p e n i n t e r v a l s , w h o s e

b o u n d i n g c o o r d i n a t e s a r e r a t i o n a l s , t o g e n e r a t e t h e o - - f i e l d R k o f

B o r e l s e t s i n R k ; s o i t f o l l o w s t h a t L e b e s g u e m e a s u r e i n R k h a s a

c o u n t a b l e b a s i s .

W e f i r s t o b t a i n a c o n d i t i o n e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f a c o u n t a b l e

b a s i s f o r p .

L e m m a . A m e a s u r e p h a s a c o u n t a b l e b a s i s i f a n d o n l y i f , f o r e a c h

e > 0 , a n y c o l l e c t i o n ' c F o f s u b s e t s o f f i n i t e m e a s u r e s u c h t h a t

A , B E f , A $ B = > p ( A L B ) > , e

( 8 . 1 . 1 )

i s c o u n t a b l e .

P r o o f . S u p p o s e f i r s t t h a t e > 0 i s s u c h t h a t t h e r e i s a n o n - c o u n t a b l e

l e s a t i s f y i n g ( 8 . 1 . 1 ) ; a n d s u p p o s e i f p o s s i b l e t h a t u h a s a c o u n t a b l e

b a s i s - 9 . T h e n , f o r e a c h A E

' w e c a n f i n d a s e t E A E 9 w i t h

p ( A t E A ) < 1 e .

T h e n , i f A + B ,

µ ( E . g E B ) > , u ( A I B ) - # ( A A E A ) - # ( B A E B ) > a e > 0 ,

s o t h a t E A 4 E B . T h u s i f . 9 i s d e n s e , i t c o n t a i n s a n o n - c o u n t a b l e

s u b c l a s s , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n .

1 9 6


[ 8 . 1

C o n v e r s e l y , s u p p o s e t h e c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d . T h e n f o r e a c h p o s i t i v e

i n t e g e r n , t h e s e t F . o f t h o s e c l a s s e s W . w h i c h s a t i s f y ( 8 . 1 . 1 ) w i t h

e = 1 / n c a n b e p a r t i a l l y o r d e r e d b y i n c l u s i o n . C l e a r l y i f A n

F n

i s a t o t a l l y o r d e r e d s e t o f c l a s s e s , t h e u n i o n o f a l l t h e c l a s s e s i n O n

i s a c l a s s W

n

w h i c h i s a m a x i m a l e l e m e n t o f O n . B y Z o r n ' s l e m m a

( s e e § 1 . 6 ) i t f o l l o w s t h a t w e c a n o b t a i n a m a x i m a l e l e m e n t i n F n

w i t h r e s p e c t t o t h i s o r d e r i n g . T h u s w e c a n f i n d a c l a s s ' . c F s a t i s f y i n g

( 8 . 1 . 1 ) , w i t h e = 1 / n , a n d s u c h t h a t , g i v e n E E . F , t h e r e i s a t l e a s t o n e

A E W , O y w i t h , u ( A L E ) < 1 / n , a s o t h e r w i s e E c o u l d b e a d d e d t o W n

0 0

t o f o r m a l a r g e r c o l l e c t i o n . B u t W O , i s c o u n t a b l e s o W _ U W ° n i s c o u n t -

a b l e a n d f o r m s a b a s i s f o r I t .

J

T h e o r e m 8 . 1 . T h e s p a c e P 2 ( i , 4 a ) o f f u n c t i o n s f : £ 2

R * w h i c h a r e

s q u a r e i n t e g r a b l e i s s e p a r a b l e ( i n t h e n o r m t o p o l o g y ) i f a n d o n l y i f

t h e m e a s u r e , a h a s a c o u n t a b l e b a s i s .

P r o o f . S u p p o s e f i r s t t h a t 2 ' 2 i s s e p a r a b l e , s o t h a t t h e r e i s a s e q u e n c e

{ f n } i n Y 2 s u c h t h a t f o r a n y e > 0 , f e Y 2 w e c a n f i n d a n i n t e g e r k

w i t h j j f - f k j j < e . L e t ' ' b e a n y c o l l e c t i o n o f m e a s u r a b l e s e t s o f f i n i t e

m e a s u r e . T h e n f o r e a c h A E ' 6 ' , t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n x 4 E Y 2 , s o t h e r e

i s a n i n t e g e r k 4 s u c h t h a t

I l f k d - x e 1 1 < 3 e .

T h e n , i f ' ' s a t i s f i e s ( 8 . 1 . 1 ) , w e m u s t h a v e

1 l f k a - f k B I > 3 e

f o r A + B

s o t h a t k A + k B , a n d C m u s t b e c o u n t a b l e . B y t h e l e m m a t h i s i m p l i e s

t h a t , u h a s a c o u n t a b l e b a s i s .

C o n v e r s e l y s u p p o s e t h a t I t h a s a c o u n t a b l e b a s i s ' . T h e s e t , o f

a l l s i m p l e f u n c t i o n s

n

h = E r i x ,

i = 1

w h i c h a r e f i n i t e s u m s o f r a t i o n a l m u l t i p l e s o f i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f

s e t s o f ' e i s t h e n c o u n t a b l e . I n o r d e r t o p r o v e 1 1 2 s e p a r a b l e , i t i s s u f f i -

c i e n t t o s h o w t h a t t h i s s e t 9 i s d e n s e i n 2 ' 2 .

F r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l , f o r a n y f e x ' ' 2 , e > 0 w e c a n

f i n d a s e t E E . F w i t h , u ( E ) < o o s u c h t h a t f i s b o u n d e d o n E a n d

I f I 2 d 1 j < 3 e 2 .

S Z - E

8 . 1 ]

D E P E N D E N C E O F 2 2 O N ( 0 , F , p )

1 9 7

O n t h e s e t E , w e c a n u s e t h e p r o c e s s o f t h e o r e m 5 . 2 t o a p p r o x i m a t e f

u n i f o r m l y b y a s i m p l e f u n c t i o n g t a k i n g o n l y r a t i o n a l v a l u e s

i = 1

U s i n g # ( E ) < c o , t h i s m e a n s t h a t s u c h a f u n c t i o n g c a n b e f o u n d w i t h

T h e n

E i n E E = 0

( i + j ) ,

9 = i k x E k

4

-

U

E 1 .

n

f E f _ g 1 2 d p

< j e 2 .

I I f - g l l 2

=

L _ E I f - g I 2 d u + f

E

I f - g l 2 d u

=

f f - E I f I 2 d p + f

i f - g l 2 d p

< 1 e 2 .

s o t h a t I I f - g l l < 1 e . I f a l l t h e r k i n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f g a r e z e r o w e

a r e f i n i s h e d , s o t h e r e i s n o l o s s i n g e n e r a l i t y i n a s s u m i n g t h e y a r e a l l

n o n - z e r o . S i n c e ' i s a b a s i s f o r , u a n d p ( E k ) < o o , w e c a n f i n d s e t s

C k o f s u c h t h a t

T h e n

s o t h a t , i f

2

, u ( E k L C k ) < G

r

n )

( k = 1 , 2 , . . . , n ) .

k

E

2

I I r k X E k - r k X C , I I 2 =

( 2 n

n n

h = F + r k X C k ,

w e h a v e

I I g - h I I , = I I r k X k - r k X C . I I < J E

k = 1

k = 1

a n d

I I f - h I I s I I f - g I l + I i g - h I I < e . J

C o r o l l a r y . I f p d e n o t e s L e b e s g u e m e a s u r e i n R k , t h e n

i s s e p a r a b l e .

T o p r o v e t h i s w e u s e t h e o b s e r v a t i o n t h a t L e b e s g u e m e a s u r e i n R k

h a s a c o u n t a b l e b a s i s . I t i s w o r t h r e m a r k i n g t h a t t h e c l a s s i c a l m e t h o d

o f p r o v i n g t h i s c o r o l l a r y i s t o a p p r o x i m a t e f e 2 2 b y a c o n t i n u o u s

f u n c t i o n v a n i s h i n g o u t s i d e a f i n i t e i n t e r v a l , a n d t h e n a p p r o x i m a t e t h i s

c o n t i n u o u s f u n c t i o n b y a r a t i o n a l p o l y n o m i a l .

W e e n d t h i s s e c t i o n b y m a k i n g a n i m p o r t a n t d e f i n i t i o n w h i c h i s

e s s e n t i a l t o a g e o m e t r i c u n d e r s t a n d i n g o f l i n e a r s p a c e s . W e w i l l s e e

l a t e r t h a n i t i s n o t p o s s i b l e t o d e f i n e a n i n n e r p r o d u c t i n . p f o r

p + 2 .

1 9 8

L I N E A R F U N C T I O N A L S ( 8 . 1

I n n e r p r o d u c t

F o r a n y n o r m e d l i n e a r s p a c e K o v e r t h e r e a l s a f u n c t i o n ( f , g ) o n

K x K - > . R i s c a l l e d a n i n n e r p r o d u c t ( o r s c a l a r p r o d u c t ) i f

( i )

V , g ) = ( g , f ) ;

( 1 1 )

( f l + f 2 , g )

= ( f 1 , g ) + ( f 2 , g ) ;

( i i i ) ( A f , g ) = A ( f , g ) , f o r A E R ;

( i v ) ( f f ) = 1 1 f J 1 2 .

F o r t h e n o r m e d l i n e a r s p a c e ' T 2 w e c a n d e f i n e

( f , g ) = P 9 d l t ,

f , g E ' 4 2 ,

s i n c e , b y t h e o r e m 7 . 7 , t h e p r o d u c t f g i s i n t e g r a b l e . I t i s a s i m p l e m a t t e r

t o c h e c k t h a t , w i t h t h i s d e f i n i t i o n , ( f , g ) s a t i s f i e s a l l t h e c o n d i t i o n s

( i ) - ( i v ) f o r a n i n n e r p r o d u c t .

E x e r c i s e s 8 . 1

1 . F o r a n y n o r m e d l i n e a r s p a c e w i t h a n i n n e r p r o d u c t , p r o v e t h a t

V ' O ' , 0 f o r a l l r e a l 6 .

2 . I f ( f , g ) = 0 i n a n o r m e d l i n e a r s p a c e , s h o w t h a t

I l f + g l l 2 = i l f l l 2 + I l g l l 2 .

3 . S u p p o s e ( 9 2 , . v u ) i s a d i s c r e t e m e a s u r e s p a c e , i . e . t h e r e i s a s e q u e n c e

{ p i } o f r e a l s w i t h E 1 p i I < o o a n d a s e q u e n c e { x i } i n f 2 s u c h t h a t p ( E ) = F , p i .

x = e E

P r o v e t h a t 2 2 ( f 2 u ) i s s e p a r a b l e .

4 . I f ( Y , 9 , v ) a r e v - f i n i t e m e a s u r e s p a c e s e a c h w i t h c o u n t a b l e

b a s e s , s h o w t h a t t h e p r o d u c t m e a s u r e A = I t x v o n X x Y a l s o h a s a c o u n t -

a b l e b a s i s .

H i n t . C o n s i d e r f i n i t e u n i o n s o f r e c t a n g l e s w h i c h a r e p r o d u c t s o f b a s i c

s e t s .

5 . G e n e r a l i s e t h e a b o v e t o c o u n t a b l e p r o d u c t s o f s p a c e s

w i t h , u i ( X i ) = 1 . T h e e x a m p l e ( 8 ) b e l o w s h o w s t h a t i t d o e s n o t e x t e n d t o

a r b i t r a r y p r o d u c t s .

6 . L e t Q . b e a n y s e t a n d d e f i n e t h e c o u n t i n g m e a s u r e , u ( E ) = n u m b e r o f

p o i n t s i n E w h e n E i s f i n i t e ; # ( E ) = + o o o t h e r w i s e . S h o w ( i ) i f f 2 i s c o u n t a b l e ,

t h e f i n i t e s u b s e t s o f 0 f o r m a c o u n t a b l e b a s i s ; ( i i ) i f f 2 i s u n c o u n t a b l e , t h e r e

i s n o c o u n t a b l e b a s i s f o r , u .

7 . S h o w t h a t a n y L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e ( R k ,

h a s a c o u n t -

a b l e b a s i s .

8 . 1 ]

D E P E N D E N C E O F 2 2 O N ( S 2 , . µ )

1 9 9

8 . S u p p o s e I i s a n o n - c o u n t a b l e i n d e x s e t a n d f o r a e I , X a d e n o t e s

a 2 - p o i n t s p a c e { 0 , 1 } w i t h µ a { 0 } = , a a { 1 } = 1 . F o r m t h e p r o d u c t m e a s u r e

p o n t h e C a r t e s i a n p r o d u c t j - j { 0 , 1 } = S 2 . S h o w t h a t t h e r e i s n o c o u n t a b l e

a e l

b a s i s f o r p .

9 . S h o w t h a t , i f p h a s a c o u n t a b l e b a s i s , t h e n 2 ( S 2 , µ ) , I < p < c o

i s a s e p a r a b l e s p a c e .

8 . 2

O r t h o g o n a l s y s t e m s o f f u n c t i o n s

W e n o w e x a m i n e t h e p a r t o f t h e s t r u c t u r e o f Y 2 ( S 2 p ) w h i c h i s

m o r e i n t i m a t e l y r e l a t e d t o t h e i n n e r p r o d u c t .

L i n e a r d e p e n d e n c e

I n a l i n e a r s p a c e K , t h e f i n i t e s e t i s s a i d t o b e l i n e a r l y

d e p e n d e n t i f t h e r e a r e r e a l n u m b e r s c ; , , n o t a l l z e r o , s u c h t h a t

n

0 . ( 8 . 2 . 1 )

i = 1

O n t h e o t h e r h a n d , i f ( 8 . 2 . 1 ) i m p l i e s t h a t a l l t h e c i a r e z e r o , t h e n w e s a y

t h a t 0 1 ,

. . . , 0 . a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . A s e t E e K i s s a i d t o b e

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t i f e a c h o f i t s f i n i t e s u b s e t s i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t .

N o t e t h a t , w h e n K = 2 2 t h e r e l a t i o n ( 8 . 2 . 1 ) b e c o m e s

n

c i o i ( x ) = 0 a . e .

C l o s e d l i n e a r s p a n

I n a n o r m e d l i n e a r s p a c e K , g i v e n a f a m i l y { q a } , a r : I o f p o i n t s o f K

t h e s e t

o f a l l f i n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n s

n

c a k 0 . ,

c a & E R

( 8 . 2 . 2 )

k = 1

i s c a l l e d t h e s p a n o f { 0 a } , a n d i t s c l o s u r e ( i n t h e n o r m t o p o l o g y ) i s

c a l l e d t h e c l o s e d l i n e a r s p a n o f { 0 } a n d d e n o t e d b y M { O a } . T h u s

t h i s s e t M c o n s i s t s o f p r e c i s e l y t h o s e e l e m e n t s o f K w h i c h c a n b e

a p p r o x i m a t e d i n n o r m b y e l e m e n t s o f t h e f o r m ( 8 . 2 . 2 ) .

C o m p l e t e s e t

A f a m i l y { c a } ( a c : I ) i n a n o r m e d l i n e a r s p a c e K i s s a i d t o f o r m a c o m -

p l e t e s e t i f i t s c l o s e d l i n e a r s p a n i s t h e w h o l e s p a c e .

S u p p o s e n o w t h a t a n o r m e d l i n e a r s p a c e K i s s e p a r a b l e , s o t h a t

t h e r e i s a s e q u e n c e x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . o f p o i n t s d e n s e i n K . B y o m i t t i n g ,

i n t u r n , a n y p o i n t i n t h e s e q u e n c e w h i c h c a n b e e x p r e s s e d a s a l i n e a r

2 0 0


[ 8 . 2

c o m b i n a t i o n o f t h e p r e v i o u s o n e s w e o b t a i n a s e q u e n c e 9 . 1 g 2 ,

. . .

w h i c h i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , a n d h a s t h e s a m e l i n e a r s p a n a s { x , z } .

S i n c e { x n } i s d e n s e , t h e c l o s e d l i n e a r s p a n o f { g n } m u s t t h e r e f o r e b e t h e

w h o l e s p a c e . T h u s i n a n y s e p a r a b l e n o r m e d l i n e a r s p a c e t h e r e i s a

c o m p l e t e s e t o f i n d e p e n d e n t p o i n t s w h i c h i s e i t h e r f i n i t e o r e n u m e r a b l e .

I f t h e r e i s a f i n i t e c o m p l e t e s e t ( g 1 , g 2 ,

. . . , g i . ) o f i n d e p e n d e n t p o i n t s a n d

K h a s a n i n n e r p r o d u c t , t h e n w e w i l l s e e t h a t K i s i s o m o r p h i c t o

E u c l i d e a n k - s p a c e . F o r K = Y 2 ( S 2 , 1 a ) , i t i s e a s y t o s e e t h a t K i s

f i n i t e - d i m e n s i o n a l i f , a i s a d i s c r e t e m e a s u r e c o n c e n t r a t e d o n a f i n i t e

s e t o f p o i n t s , f o r t h e n t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f t h e s e i n d i v i d u a l

p o i n t s w i l l f o r m a f i n i t e c o m p l e t e s e t . H o w e v e r , t h e i n t e r e s t i n g Y 2 -

s p a c e s a r e i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l . A n y ( S 2 , . ° u ) f o r w h i c h c o n t a i n s

i n f i n i t e l y m a n y d i s j o i n t s e t s , e a c h o f f i n i t e p o s i t i v e m e a s u r e , c l e a r l y

g e n e r a t e s a n i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l

s i n c e t h e i n d i c a t o r f u n c -

t i o n s o f t h i s s e q u e n c e f o r m a n i n d e p e n d e n t s e t .

O r t h o g o n a l s y s t e m

T w o p o i n t s x , y i n a n o r m e d l i n e a r s p a c e K w i t h a n i n n e r p r o d u c t

a r e s a i d t o b e o r t h o g o n a l i f ( x , y ) = 0 . A n y c l a s s % } ( i E I ) o f p o i n t s

o f K w h i c h a r e d i f f e r e n t f r o m z e r o a n d p a i r w i s e o r t h o g o n a l i s c a l l e d a n

o r t h o g o n a l s y s t e m . A n o n - z e r o e l e m e n t x E K i s s a i d t o b e n o r m a l i z e d

i f J l x i i = 1 , i . e . ( x , x ) = 1 . A n o r t h o g o n a l s y s t e m o f n o r m a l i z e d p o i n t s

i s s a i d t o b e a n o r t h o n o r m a l s y s t e m i n K . T h u s { O 2 } ( i E I ) i s a n o r t h o -

n o r m a l s y s t e m i f

1

f o r i = j E I ,

1 0

f o r

i + j .

N o w a n y o r t h o g o n a l s y s t e m o f p o i n t s i s c e r t a i n l y l i n e a r l y i n d e p e n -

d e n t f o r , i f w e t a k e t h e i n n e r p r o d u c t o f ( 8 . 2 . 1 ) w i t h O ; w e o b t a i n

c f ( c , , 0 f ) = 0 , s o t h a t c f = 0 . F u r t h e r , i f K i s s e p a r a b l e , a n y o r t h o -

g o n a l s y s t e m i n K i s c o u n t a b l e . F o r a n y s u c h s y s t e m c a n b e n o r m a l -

i s e d t o g i v e a n o r t h o n o r m a l s y s t e m { o i } ( i E I ) , a n d t h e n

J J 0 z - Y ' 7 I I = V 2

f o r i 4 j ;

a n d , i f { x , , } i s a c o u n t a b l e d e n s e s e t , w e c a n f i n d f o r e a c h i E I a n

i n t e g e r n z s u c h t h a t 1 1 x ' i - 5 z l j < J a n d t h i s g i v e s

1 1 x n i - x n j J J > 4 J 2 - 1 > 0

f o r

i + j ,

s o t h a t

n z + n j .

I n t h e s t u d y o f f i n i t e - d i m e n s i o n a l n o r m e d l i n e a r s p a c e s i t i s h e l p f u l

t o u s e a ( f i n i t e ) o r t h o g o n a l n o r m a l i z e d b a s i s . I n t h e g e n e r a l c a s e , a t

l e a s t f o r K s e p a r a b l e , i t i s a l s o p o s s i b l e t o f i n d a c o m p l e t e o r t h o n o r m a l

8 . 2 ] O R T H O G O N A L S Y S T E M S O F F U N C T I O N S

2 0 1

s e q u e n c e f o r K . T h i s c a n b e d o n e b y f i r s t o b t a i n i n g a c o m p l e t e i n -

d e p e n d e n t s e q u e n c e a n d t h e n o r t h o g o n a l i s i n g i t b y t h e p r o c e s s o f t h e

n e x t t h e o r e m .

T h e o r e m 8 . 2 ( G r a m - S c h m i d t o r t h o g o n a l i s a t i o n p r o c e s s ) . I f K i s a

n o r m e d l i n e a r s p a c e w i t h a n i n n e r p r o d u c t a n d x 1 , x 2 ,

. . . , x n , . . .

i s a

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s e q u e n c e i n K , t h e n t h e r e i s a n o r t h o n o r m a l s e q u e n c e

y 1 1 y 2 1 . . . Y n , . . . s u c h t h a t

( 1 ) y n = a n 1 x 1 4 a n 2 x 2 4 . . . + a n n x n , a n n 4 0 ;

( i i ) x n

= b n l y l + b n 2 y 2 + . . . + b n n y n , b n n + 0 ;

w h e r e a 1 1 , b 1 1 a r e r e a l n u m b e r s . F u r t h e r e a c h y 1 i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d

( u p t o t h e s i g n ) b y t h e s e c o n d i t i o n s .

P r o o f . I f y l = a x 1 , t h e n

( y l , y l ) = a 2 ( x 1 , x 1 ) = 1

i f a i s s u i t a b l y c h o s e n . T h e c o n d i t i o n s a r e t h e r e f o r e s a t i s f i e d w i t h

n = 1 i f b 1 1 = 1 / a , 1 = , J ( x 1 , x 2 ) . ( N o t e t h a t t h e l i n e a r i n d e p e n d e n c e

c o n d i t i o n e n s u r e s t h a t I l x l l l + 0 . ) F o r n > 1 , s u p p o s e y 1 , y 2 ,

. . . , y n _ 1

h a v e b e e n f o u n d t o s a t i s f y a l l t h e c o n d i t i o n s . T h e n

x n = b n 1 y 1 + . . . + b n , n - l y n - l + z n ,

w h e r e b n j

= ( x n , y i ) ( i = 1 , 2 , . . . , n - 1 ) s o

t h a t ( z n , y z ) = 0 f o r i < n .

W e m u s t h a v e ( z n , z n ) > 0 , s i n c e o t h e r w i s e z n = 0 a n d x 1 , x 2 , . . . , x n

w o u l d b e l i n e a r l y d e p e n d e n t . I f w e p u t

Z n

I I

/ /

y n =

( z

z n ) )

b n n = N ( z n , z n ) ,

t h e n ( y n , y n )

= 1 , ( y n , y 2 ) = 0

f o r i < n a n d ( i i ) i s s a t i s f i e d . W e c a n

t h e n d e d u c e ( i ) s i n c e b n n 4 0 . B y i n d u c t i o n t h e m e t h o d o f o r t h o -

g o n a l i s a t i o n i s e s t a b l i s h e d .

T h e u n i q u e n e s s o f t h e p r o c e s s ( a p a r t f r o m s i g n ) f o l l o w s s i n c e t h e

v a l u e s o f t h e c o n s t a n t s a r e a l l d e t e r m i n e d e x c e p t f o r t h e ± s i g n i n

t h e s q u a r e r o o t w h i c h o c c u r s a t e a c h s t a g e . J

C o r o l l a r y . I f

i s s e p a r a b l e , t h e n t h e r e i s a c o m p l e t e o r t h o -

n o r m a l s e q u e n c e i n Y 2 .

P r o o f . S t a r t w i t h a s e q u e n c e { f n } w h i c h i s d e n s e i n 2 2 , a n d r e p l a c e

i t f i r s t b y a s e q u e n c e { g n } o f l i n e a r l y i n d e p e n d e n t f u n c t i o n s w i t h t h e

s a m e c l o s e d l i n e a r s p a n . I f t h i s i s a n i n f i n i t e s e q u e n c e , u s e t h e p r o c e s s

o f t h e o r e m 8 . 2 t o o b t a i n t h e o r t h o n o r m a l s e q u e n c e { h n } . I t i s c l e a r t h a t

t h i s s e q u e n c e h a s t h e s a m e c l o s e d l i n e a r s p a n a s { g n } s o t h a t i t i s a c o m -

p l e t e s e t . O n t h e o t h e r h a n d , i f 2 2 i s f i n i t e d i m e n s i o n a l , w e w i l l o b t a i n



2 0 2


[ 8 . 2

a f i n i t e s e t { g 1 , 9 2 ,

. . . ,

9 n } w h o s e l i n e a r s p a n i s 2 ' 2 . T h i s f i n i t e s e t

c a n b e r e p l a c e d b y a f i n i t e o r t h o n o r m a l s e t u s i n g t h e p r o c e s s o f

t h e o r e m 8 . 2 . ]

I n p r a c t i c e i t i s n o t a l w a y s e a s y t o p r o v e t h a t a g i v e n o r t h o n o r m a l

s e q u e n c e { 0 1 , 4 5 2 , . . . } i s c o m p l e t e . V a r i o u s m e t h o d s f o r p r o v i n g c o m -

p l e t e n e s s w i l l b e g i v e n i n t h e n e x t s e c t i o n .

E x e r c i s e s 8 . 2

1 . S u p p o s e L 1 = [ 0 , 1 ) , , u i s L e b e s g u e m e a s u r e , f o ( x ) - 1 ,

f n ( x )

+ 1

i f

2 n - 1 x - y e [ 0 , J )

( m o d 1 ) ,

- { - 1

i f

2 n - i x = y e [ j , 1 )

( m o d 1 ) .

T h e f u n c t i o n s f n : [ 0 , 1 ) - > R a r e c a l l e d t h e R a d e m a c h e r f u n c t i o n s . S h o w

t h a t t h e y f o r m a n o r t h o n o r m a l s e q u e n c e i n

2 . F o r Q = [ - r r , 7 r ] , I t L e b e s g u e m e a s u r e , s h o w t h a t t h e t r i g o n o m e t r i c

f u n c t i o n s

1

1

1

1

1 ,

V 2 r r

,

-

c o s x ,

n

s i n x , . . . ,

T V

c o s n x , - s i n n x , . . .

f o r m a n o r t h o n o r m a l s e q u e n c e i n

3 . F o r S 2 = [ - 1 , 1 ] , , a L e b e s g u e m e a s u r e , s h o w t h a t t h e L e g e n d r e

p o l y n o m i a l s

P n ( x )

2 n n

I d o { (

_

d x n

1 ) n }

( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,

a r e o r t h o g o n a l i n a n d t h a t t h e s e q u e n c e V { 1 ( 2 n + 1 ) } P , , ( x ) i s

o r t h o n o r m a l .

8 . 3 R i e s z - F i s c h e r t h e o r e m

T h i s t h e o r e m i s f o r m u l a t e d a n d p r o v e d i n H i l b e r t s p a c e . S i n c e

2 2 s p a c e s w i l l b e s h o w n t o b e r e a l i s a t i o n s o f H i l b e r t s p a c e , w e w i l l

d e d u c e t h e c l a s s i c a l t h e o r e m a b o u t t h e F o u r i e r e x p a n s i o n a s a t r i g o -

n o m e t r i c s e r i e s o f a f u n c t i o n i n . 2 a s a s p e c i a l c a s e .

H i l b e r t s p a c e

S u p p o s e H i s a n o r m e d l i n e a r s p a c e w i t h a n i n n e r p r o d u c t w h i c h i s

c o m p l e t e i n t h e t o p o l o g y o f t h e n o r m ; t h e n H i s s a i d t o b e a H i l b e r t

s p a c e . ( N o t e t h a t s o m e o l d e r t e x t - b o o k s r e q u i r e s e p a r a b i l i t y i n a d d i -

t i o n . ) I f H i s f i n i t e - d i m e n s i o n a l , t h e n t h e o r e m 8 . 2 a l l o w s u s t o c h o o s e

a f i n i t e o r t h o g o n a l b a s i s e 1 , e 2 , . . . , e n f o r H . I t i s t h e n c l e a r t h a t

n

x = E C k e k ,

C k = ( x , e k )

( 8 . 3 . 1 )

k = 1



8 . 3 1 R I E S Z - F I S C H E R T H E O R E M 2 0 3

i s t h e u n i q u e e x p a n s i o n o f x e H i n t e r m s o f t h i s b a s i s . F o r s e p a r a b l e

i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l H , w e h a v e s e e n t h a t t h e r e i s a l w a y s a n o r t h o -

n o r m a l s e q u e n c e { e i } w h i c h f o r m s a c o m p l e t e s e t . T h e m a i n o b j e c t i v e

o f t h e p r e s e n t s e c t i o n i s t o o b t a i n t h e e x t e n s i o n o f ( 8 . 3 . 1 ) t o t h i s

i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l c a s e . H o w e v e r , i n f o r m u l a t i n g t h e r e s u l t s w e w i l l

n o t a s s u m e t h a t H i s s e p a r a b l e . I t w i l l t u r n o u t t h a t a n e x p a n s i o n i n

t h e f o r m ( 8 . 3 . 1 ) i s s t i l l p o s s i b l e , a n d t h a t a t m o s t c o u n t a b l y m a n y

t e r m s i n a n y s u c h e x p a n s i o n w i l l b e n o n - z e r o . B e f o r e l e a v i n g t h e

f i n i t e - d i m e n s i o n a l H , w e s h o u l d o b s e r v e t h a t a n y H i l b e r t s p a c e o f

d i m e n s i o n n i s i s o m o r p h i c t o E u c l i d e a n n - s p a c e R n w i t h t h e u s u a l

s c a l a r p r o d u c t . F o r ( 8 . 3 . 1 ) d e t e r m i n e s t h e p o i n t ( c l , c 2 ,

. . . , C J E

R n

a n d d e f i n e s a ( 1 , 1 ) m a p p i n g w h i c h t h e n p r e s e r v e s t h e i n n e r p r o d u c t .

F o u r i e r c o e f f i c i e n t s

G i v e n a n o r t h o n o r m a l f a m i l y ( e i ) , j e J i n a H i l b e r t s p a c e H , a n d

a n y p o i n t x E H , t h e r e a l n u m b e r s

C , = ( x , e i ) ( j e J ) ,

a r e c a l l e d t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f x o n t h e o r t h o n o r m a l f a m i l y ,

a n d t h e s e r i e s

E c i e i

J E J

i s c a l l e d t h e F o u r i e r s e r i e s o f x . ( N o t e w e h a v e n o t y e t s a i d i n w h a t

s e n s e ( i f a n y ) t h i s s e r i e s c o n v e r g e s . )

T h e c h o i c e o f t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s c , c a n b e j u s t i f i e d a s f o l l o w s .

I f I i s a f i n i t e s u b s e t o f t h e i n d e x s e t J , r e - l a b e l t h e i n d i c e s 1 , 2 ,

. . . , n

a n d c o n s i d e r t h e p a r t i a l s u m

n

s n =

a i e i

( n = 1 , 2 , . . . ) .

i = 1

n

n

T h e n

1 1 s n - x 1 1 2 = x - Z a i e i , x - Z a i e i

i = 1

i = 1

x

n

n

= J J x J J 1 - 2 E ( x , a i e i ) + E 1

E 1 ( a i e i , a , e f ) ,

n n

J J x J J 2 - 2 a i c i +

a i ,

i = 1 i = 1

n n

s o t h a t

I l s n - x l l 2 = 1 1 x 1 1 2 -

C i

( a i - C i ) 2 .

( 8 . 3 . 2 )

i = 1

i = 1

T h u s I l s n - x l l w i l l b e a m i n i m u m w h e n a l l t h e t e r m s o f t h e l a s t s e r i e s

i n ( 8 . 3 . 2 ) a r e z e r o , a n d

a i e i i s t h e b e s t a p p r o x i m a t i o n ( i n n o r m )

i = 1

2 0 4


[ 8 . 3

t o x w h e n a l l t h e a i a r e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s . T h i s g e n e r a l i s e s t h e w e l l -

k n o w n g e o m e t r i c a l t h e o r e m ( f o r R n ) w h i c h s t a t e s t h a t t h e l e n g t h o f

t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m a p o i n t t o a p l a n e i s s m a l l e r t h a n t h e l e n g t h o f

k

a n y o t h e r l i n e j o i n i n g t h e p o i n t t o t h e p l a n e : f o r

( x

- I c i

e , )

i s o r t h o -

\

i = 1

k

g o n a l t o a l l l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e f o r m

f i e i .

i = 1

B e s s e l ' s i n e q u a l i t y

W e c a n m a k e a n o t h e r d e d u c t i o n f r o m ( 8 . 3 . 2 ) b y n o t i n g t h a t

I 1 s n - x 1 1 2 > 0 .

I f w e p u t a i = c i w e o b t a i n

n

( I x l l 2 .

= 1

= 1

I f w e n o w d e f i n e

c t o b e t h e s u p r e m u m o f

c , f o r a l l f i n i t e s u b s e t s

j E J j E I

I c J w e f i n d t h a t

e I I x I 1 2 ,

( 8 . 3 . 3 )

j E J

a n d t h i s i s k n o w n a s B e s s e l ' s i n e q u a l i t y . I t f o l l o w s a s a n i m m e d i a t e

c o r o l l a r y t h a t a t m o s t c o u n t a b l y m a n y F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f a p o i n t

i n H c a n b e n o n - z e r o .

T h e o r e m 8 . 3 . I f { e j } ( j E J ) i s a n o r t h o n o r m a l f a m i l y i n a H i l b e r t s p a c e ,

e a c h o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s i s e q u i v a l e n t t o { e j } b e i n g a c o m p l e t e

f a m i l y

( i ) Z e ; = J J x 1 1 2 f o r e v e r y x E H ( P a r s e v a l ) ,

j E J

w h e r e { c , } a r e t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f x ;

( i i ) T h e f i n i t e p a r t i a l s u m s s I = E c k e k o f t h e F o u r i e r s e r i e s o f x

c o n v e r g e t o x i n n o r m f o r a l l x E H .

N o t e . F o r a n y a r b i t r a r y i n d e x s e t J w e s a y t h a t Z x j c o n v e r g e s i n

j E I

n o r m t o x i f , g i v e n e > 0 , t h e r e i s a f i n i t e s e t K s u c h t h a t i f I i s f i n i t e

a n d K c I c J t h e n

1 1

x j -

x I I < e .

j

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t , w h e n J i s c o u n t a b l e a n d t h e x j a r e r e a l s o

t h a t w e h a v e a r e a l s e r i e s t h i s n o t i o n r e d u c e s t o t h e u s u a l d e f i n i t i o n

o f a b s o l u t e c o n v e r g e n c e .

P r o o f . T h e c o n d i t i o n s ( i ) a n d ( i i ) a r e c l e a r l y e q u i v a l e n t b y ( 8 . 3 . 2 ) .

N o w s u p p o s e t h a t ( i i ) i s s a t i s f i e d . T h e n a n y x c a n b e a p p r o x i m a t e d i n

n o r m b y a f i n i t e s u m s n w h i c h i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f e 1 , e 2 , . . . , e n .

8 . 3 1 R I E S Z - F I S C H E R T H E O R E M

2 0 5

H e n c e , e a c h x i s i n t h e c l o s e d l i n e a r s p a n o f { e j } a n d t h e s e q u e n c e m u s t

f o r m a c o m p l e t e s y s t e m .

C o n v e r s e l y s u p p o s e { e j } i s a c o m p l e t e s y s t e m . T h e n g i v e n e > 0 ,

N

x E H , t h e r e i s a f i n i t e s u m y = E a i e i f o r w h i c h l l x - y I I < e . B u t ,

i = 1

i f S N i s t h e c o r r e s p o n d i n g p a r t i a l F o u r i e r s u m , w e k n o w

i l x - y 1 1 2 i

I l x - s N I I 2 ,

N

s o t h a t , b y ( 8 . 3 . 2 )

E c 2 > '

1 1 x 1 1 2 - e .

i = 1

S i n c e e i s a r b i t r a r y , w e c a n c o m b i n e t h i s w i t h ( 8 . 3 . 3 ) t o g i v e

E C j = I 1 x 1 l 2 . ]

J E J

F r o m ( 8 . 3 . 3 ) w e k n o w t h a t a g i v e n s e t { / 3 i } ( j E J ) o f r e a l n u m b e r s

c a n o n l y b e t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f a p o i n t i n H i f E f j 2 c o n v e r g e s .

j E J

I t t u r n s o u t t h a t t h i s c o n d i t i o n i s s u f f i c i e n t a s w e l l a s n e c e s s a r y .

T h e o r e m 8 . 4 ( R i e s z - F i s c h e r ) . L e t { e , } ( j E J ) b e a n y o r t h o n o r m a l s y s t e m

( n o t n e c e s s a r i l y c o m p l e t e ) i n a H i l b e r t s p a c e H , a n d l e t { / 3 j } j E J b e a n y

s e t o f r e a l n u m b e r s s u c h t h a t E , 6 j ' c o n v e r g e s . T h e n t h e r e i s a p o i n t

j E J

X E H w i t h F o u r i e r c o e f f i c i e n t s / 3 j = ( x , e j ) s u c h t h a t t h e f i n i t e p a r t i a l

s u m s s I = Y , , 8 i e i c o n v e r g e t o x i n n o r m .

j E I

P r o o f . S i n c e E / 3 c o n v e r g e s t h e s e t o f j f o r w h i c h / ) , + 0 i s c o u n t a b l e

j E J

a n d w e m a y s u p p o s e t h e n t h a t t h e s e i n d i c e s a r e r e n a m e d

A , 1 8 2 , 1 1 6 , , - - -

( i t m a y b e o n l y a f i n i t e s e t ) . P u t

s n = E / 3 i e i

i = 1

n + p

R R

T h e n

I l s n + p - s n 1 1 2 = E N 2

i = n + 1

S i n c e E f 2 c o n v e r g e s , i t f o l l o w s t h a t { s n } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n n o r m .

S i n c e H i s c o m p l e t e , t h e r e m u s t b e a n x e H s u c h t h a t 8 n - + x i n n o r m .

F u r t h e r

( x , e i ) = ( s n , e i ) + ( x - s n , e i )

=

N i + ( x - 8 n , e 1 )

f o r n > , i

a n d , b y e x e r c i s e 8 . 1 ( 1 )

I

( x - s n , e i ) I < - l l e i l l

I l x - s n l l = I I x - s n l l - - > 0

a s n - 9 o o .

S i n c e ( x , e i ) i s i n d e p e n d e n t o f n , w e h a v e & = ( x , e i ) f o r a l l i . J

2 0 6


[ 8 . 3

C o r o l l a r y . A n o r t h o n o r m a l s y s t e m { e e } ( j E J ) i n a H i l b e r t s p a c e H

f o r m s a c o m p l e t e s y s t e m i f a n d o n l y i f t h e o n l y p o i n t x E H w h i c h i s

o r t h o g o n a l t o a l l t h e { e ; } i s t h e p o i n t x = 0 .

P r o o f . S u p p o s e { e 1 } i s a c o m p l e t e o r t h o n o r m a l s e t a n d ( x , e f ) = 0

f o r a l l j . T h e n a l l t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f x a r e z e r o a n d s o

I I x l 1 2 = Z c 1 = 0 .

I E J

C o n v e r s e l y s u p p o s e { e ; } i s n o t a c o m p l e t e s y s t e m . T h e n b y t h e o r e m

8 . 3 ( i ) , t h e r e i s a p o i n t x E H w i t h

1 1 x 1 1

2 > E c f , w h e r e

c f = ( x , e j ) .

I E J

B y t h e o r e m 8 . 4 , t h e r e i s a y E H s u c h t h a t

( y , e 5 ) ,

I I y l l 2 = E c J 2 .

, E J

T h e n t h e p o i n t ( x - y ) E H i s o r t h o g o n a l t o a l l t h e e , . B u t 1 1 x - y l l + 0 ,

s i n c e l l x l l > l l y l l . 1

R e m a r k . I f t h e H i l b e r t s p a c e i s s e p a r a b l e w e h a v e a l r e a d y o b s e r v e d

t h a t a n y o r t h o n o r m a l s y s t e m i s c o u n t a b l e . F o r a s e p a r a b l e H i l b e r t

s p a c e , t h e r e f o r e , i t i s n a t u r a l t o s t a t e a n d p r o v e t h e o r e m 8 . 4 a n d

c o r o l l a r y i n t e r m s o f a n a r b i t r a r y o r t h o n o r m a l s e q u e n c e . N o e s s e n t i a l

m o d i f i c a t i o n s t o t h e p r o o f a r e n e e d e d .

T h e s p a c e 1 2

T h e c l a s s o f a l l i n f i n i t e s e q u e n c e s c , , c 2 ,

. . . , c , , , , . . .

o f r e a l n u m b e r s

a D

f o r w h i c h Z c k c o n v e r g e s i s c a l l e d t h e s p a c e 1 2 . B y u s i n g t h e d i s c r e t e

k = 1

v e r s i o n o f t h e o r e m 7 . 7 o n e c a n c h e c k t h a t i f { c i } , { d i } E l 2 ,

0 0

( c , d ) _ c i d i

( 8 . 3 . 4 )

i = 1

c o n v e r g e s a n d d e f i n e s a n i n n e r p r o d u c t . A l t e r n a t i v e l y , i f S 2 i s t h e s e t

o f p o s i t i v e i n t e g e r s , , u i s t h e c o u n t i n g m e a s u r e , c i = f ( i ) , t h e n f . T 2

( 0 , I t ) i f a n d o n l y i f Z c k < o o , a n d ( 8 . 3 . 4 ) i s t h e u s u a l i n n e r p r o d u c t

0

k = 1

( f , g ) = f f g d a i n 2 2 . C o m p l e t e n e s s a n d s e p a r a b i l i t y f o r 1 2 c a n b e

p r o v e d d i r e c t l y , o r t h e y c a n b e d e d u c e d f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g

p r o p e r t i e s o f Y 2 ( 9 2 , # ) . T h u s 1 2 i s a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e a c c o r d i n g

t o o u r d e f i n i t i o n - a n d h i s t o r i c a l l y 1 2 w a s t h e s p a c e f i r s t c o n s i d e r e d i n

d e t a i l .

8 . 3 1

R I E S Z - F I S C H E R T H E O R E M

2 0 7

T h e j u s t i f i c a t i o n f o r o u r a b s t r a c t d e f i n i t i o n o f H i l b e r t s p a c e i s

c o n t a i n e d i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 8 . 5 . A n n - d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e i s i s o m o r p h i c t o R n .

A n y s e p a r a b l e i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e i s i s o m o r p h i c t o 1 2 .

P r o o f . T h e f i n i t e - d i m e n s i o n a l c a s e w a s c o n s i d e r e d e a r l i e r . I f H

i s s e p a r a b l e a n d i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l w e c a n s e l e c t a c o m p l e t e o r t h o -

n o r m a l s e q u e n c e { e n } a n d o b t a i n t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s { c n } o f

a p o i n t x E H . T h e n s i n c e x E H E c 2 , < o o , t h i s d e f i n e s a m a p p i n g

f r o m H t o 1 2 . C o n v e r s e l y , e v e r y s e q u e n c e i n 1 2 d e t e r m i n e s a p o i n t i n

H w i t h t h e s e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s , b y t h e o r e m 8 . 4 . T h e r e i s o n l y o n e

s u c h f u n c t i o n b y t h e c o r o l l a r y t o t h e o r e m 8 . 4 . T h u s t o p r o v e t h a t w e

h a v e a n i s o m o r p h i s m i t i s s u f f i c i e n t t o p r o v e t h a t t h e l i n e a r s t r u c t u r e

a n d i n n e r p r o d u c t a r e p r e s e r v e d b y t h e m a p p i n g . S u p p o s e

x ( 1 ) , x ( 2 ) E H

c o r r e s p o n d t o { c ( ) } , { c ( 2 ) } E 1 2 . T h e n i t i s i m m e d i a t e t h a t

a x ( l ) 4 - + { a c 2 1 ) } ( a E R ) ;

X ( 1 ) + x ( 2 ) t - + { ( C ( l ) + C ( 2 ) ) } ;

I x ( 1 ) I I 2 = Y _ ( C 1 1 1 ) 2 ,

I I x ( 2 ) I I 2 = E ( c 2 ) ) 2 ,

l l x ( 1 ) + x ( 2 ) 1 2 =

I l x ( 1 ) I I 2 + 2 ( x ( 1 )

x ( 2 ) ) + I l x ( 2 ) I I 2

F . . ( C z 1 ) ) 2 + 2 } r c ' c 2 ) +

( c 2 ) ) 2 ,

s o t h a t ( x ( 1 ) , x ( 2 ) ) = Z c ( i l , c i 2 ) .

C o r o l l a r y . I f

i s a n y m e a s u r e s p a c e w i t h a c o u n t a b l e b a s i s ,

t h e n

i s e i t h e r f i n i t e - d i m e n s i o n a l , w h e n i t i s i s o m o r p h i c t o a

E u c l i d e a n s p a c e R n , o r i t i s i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l w h e n i t i s i s o m o r p h i c

t o 1 2 . I f ( 5 2 1 , ; , µ l ) , ( Q 2 ,

s u c h t h a t - T 2 ( 5 1 , p 1 ) a n d - T 2 ( 1 2 , 1 a 2 )

a r e b o t h i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l a n d s e p a r a b l e , t h e n Y 2 ( 5 2 1 , µ 1 ) a n d

° 2 ( 0 2 1 p 2 ) a r e i s o m o r p h i c .

T h e t h e o r e m s o f t h i s s e c t i o n w e r e f i r s t o b t a i n e d f o r t r i g o n o m e t r i c

s e r i e s o f f u n c t i o n s f i n Y 2 ( [ - 7 r , 7 r ] , 1 a ) w h e r e p i s L e b e s g u e m e a s u r e .

I n o r d e r t o o b t a i n t h e s e s p e c i a l t h e o r e m s o n e o n l y h a s t o p r o v e t h a t

t h e f u n c t i o n s

1

V 2 r r '

1

1

.

1

1

-

c o s x ,

n

s i n x ,

. . . ,

n

c o s n x ,

-

s i n n x , . . .

f o r m a c o m p l e t e o r t h o n o r m a l s e q u e n c e i n t h i s Y 2 s p a c e . T h e s t e p s

n e c e s s a r y f o r t h i s p r o o f a r e c o n t a i n e d i n e x e r c i s e 8 . 3 ( 2 ) .

2 0 8


E x e r c i s e s 8 . 3

[ 8 . 3

m

1 . P r o v e t h a t a s e r i e s E a n o f r e a l t e r m s c o n v e r g e s a b s o l u t e l y t o s i f a n d

n = 1

o n l y i f , f o r e a c h e > 0 t h e r e i s a f i n i t e s e t I e Z s u c h t h a t f o r e v e r y f i n i t e K

w i t h I C K c Z w e h a v e

( s

- E a n l < e .

n E K

2 . I f S 2 = [ - i t , 7 f ] , µ i s L e b e s g u e m e a s u r e , f E Y 2 ( S 2 , µ )

1 f

a m = -

f ( x ) c o s m x d x

( m = 0 , 1 , 2 , . . . ) ;

7 f

1

I T

b m =

f ( x ) s i n m x d x

( m = 1 , 2 , . . . ) ,

_ n

t h e n t h e a , , , , b m a r e t h e c l a s s i c a l F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f f . P r o v e :

O D

f f

( 1 ) j a g + E ( a + b m ) <

1 f

{ f ( x ) } 2 d x ;

m = 1

7 <

- , r

( i i )

i f { a n } , { b n } a r e s u c h t h a t

0 "

j a o + E ( a 2 + b 2 , , ) < 0 0 ,

t h e n t h e r e i s a f u n c t i o n f E 2 ' 2 f o r w h i c h t h e s e a r e t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s

a n d s u c h t h a t

n

s n ( x )

= J a o

+ E ( a m c o s m x + b m s i n m x ) - ± f

m = 1

i n s e c o n d m e a n ;

( i i i ) i f { a n } , { b n } a r e t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f f i n t h e a b o v e s e n s e

n

8 . ( X ) = J a 0 + E ( a m c o s m x + b m s i n m x ) ,

m = 1

o ' n ( x )

= n + 1

[ s o ( x ) + s l ( x ) + . . . + s n ( x ) ] ,

t h e n v n ( x ) - > f ( x ) i n Y . n o r m ( a n d i n f a c t o n - * f a . e . ) ;

1 n

( i v )

_ n n c r

( x ) d / 2 =

E a t + E ( a k + b k ) ( _ _ _ ) a

n - F 1

n

o 0

< a o + ( a k + b k ) < ' a o + E ( a k + b k ) ;

r

1 1

( v ) s i n c e v ( x ) d µ - *

J

f 2 ( x ) d w e h a v e f o r f

E . f I T

I r

J

f f { f ( x ) } 2 d f a

_ S a o + E ( a k + b k ) ;

( v i ) t h e t r i g o n o m e t r i c s y s t e m o f e x e r c i s e 8 . 2 ( 2 ) i s c o m p l e t e .

8 . 3 1

R I E S Z - F I S C H E R T H E O R E M

2 0 9

3 . I f

i s a n y o r t h o n o r m a l s e q u e n c e i n a H i l b e r t s p a c e H , t h e n f o r

x E H , ( x , 0 ) - 0 a s n - - > o o .

4 . I f f e P 2 ( [ - 7 T , 7 T ] , u ) t h e n , a s n - > c o ,

f f ( x ) s u n n x d x - + 0 ,

f ' f ( x )

c o s n x d x - * 0 .

n

5 . I f 1 " i s t h e s p a c e o f r e a l s e q u e n c e s { x ; } f o r w h i c h

j x i j v < c o

f o r 1 < , p < o o ,

s h o w t h a t l p i s s e p a r a b l e . I . , i s t h e s p a c e o f b o u n d e d r e a l s e q u e n c e s w i t h

j j x l i = s u p l x i l . B y c o n s i d e r i n g s e q u e n c e s o f 0 ' s a n d 1 ' s s h o w t h a t l . , i s n o t

s e p a r a b l e . D e d u c e t h a t Y . , i s n o t s e p a r a b l e i f S 2 h a s i n f i n i t e b u t v - f i n i t e

m e a s u r e .

8 . 4 * S p a c e o f l i n e a r f u n c t i o n a l s

W e s t a r t b y d e f i n i n g a m o r e g e n e r a l t y p e o f n o r m e d l i n e a r s p a c e .

B a n a c h s p a c e

A n y n o r m e d l i n e a r s p a c e o v e r t h e r e a l s w h i c h i s c o m p l e t e i n t h e

t o p o l o g y d e t e r m i n e d b y t h e n o r m i s c a l l e d a ( r e a l ) B a n a c h s p a c e .

W e s a w a l r e a d y t h a t t h e . 2

( 1 < p 5 + c o ) s p a c e s a r e n o r m e d l i n e a r

s p a c e s a n d t h a t e a c h o f t h e m i s c o m p l e t e i n t h e n o r m t o p o l o g y s o t h a t

e a c h Y p i s a B a n a c h s p a c e . E u c l i d e a n n - s p a c e R n w i t h t h e u s u a l m e t r i c

p r o v i d e s a s i m p l e r e x a m p l e o f a B a n a c h s p a c e . C [ a , b ] , t h e s p a c e o f

c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n a f i n i t e c l o s e d i n t e r v a l , w i t h 1 1 f l i = s u p 1 f ( x ) 1 ,

c a n a l s o b e e a s i l y s e e n t o b e a B a n a c h s p a c e .

F r o m o u r d e f i n i t i o n o f H i l b e r t s p a c e , i t f o l l o w s t h a t a n y B a n a c h

s p a c e w i l l b e a H i l b e r t s p a c e p r o v i d e d t h e r e i s a n i n n e r p r o d u c t

d e f i n e d s a t i s f y i n g 1 i f 1 1 2 = ( f , f ) . T h e q u e s t i o n i m m e d i a t e l y a r i s e s a s

t o w h e t h e r o r n o t a l l B a n a c h s p a c e s a r e H i l b e r t s p a c e s ; o r i s i t a l w a y s

p o s s i b l e t o d e f i n e a n i n n e r p r o d u c t i n a B a n a c h s p a c e ? W e c a n s e t t l e

t h i s a s f o l l o w s . I f t h e r e i s t o b e a n i n n e r p r o d u c t , t h e n

1 1 f + g i l 2 = ( f + g , f + g ) = ( f , f ) + 2 ( f , g ) + ( g , g ) ,

I 1 f - g 1 l 2 = ( f - g , f - g ) = ( f , f ) - 2 ( f , g ) + ( g , g ) ,

s o t h a t o n a d d i n g

I l f + g 1 1 2 + I 1 f - g i l 1 = 2 1 1 f 1 1 2 + 2 1 1 g I 1 2

( 8 . 4 . 1 )

T h u s , a r e l a t i o n ( 8 . 4 . 1 ) f o r a l l f , g i n t h e s p a c e i s a n e c e s s a r y c o n d i t i o n

f o r t h e B a n a c h s p a c e t o h a v e a n i n n e r p r o d u c t . O n e c a n a l s o e a s i l y

c h e c k t h a t , i f ( 8 . 4 . 1 ) i s a l w a y s s a t i s f i e d , t h e n

( f , g ) = { l I f + g l l 2 - 1 1 f 1 1 2 - 1 1 g 1 1 2 }

( 8 . 4 . 2 )

2 1 0


[ 8 . 4

s a t i s f i e s a l l t h e c o n d i t i o n s f o r a n i n n e r p r o d u c t , s o t h a t a n y B a n a c h

s p a c e w h i c h s a t i s f i e s ( 8 . 4 . 1 ) i s a H i l b e r t s p a c e i f w e d e f i n e t h e i n n e r

p r o d u c t b y ( 8 . 4 . 2 ) . W e c a n t h i n k o f t h e c o n d i t i o n ( 8 . 4 . 1 ) a s a g e n e r a l -

i s a t i o n o f t h e E u c l i d e a n t h e o r e m t h a t i n a n y p a r a l l e l o g r a m t h e s u m

o f t h e s q u a r e s o n t h e d i a g o n a l s i s t w i c e t h e s u m o f t h e s q u a r e s o n t w o

a d j a c e n t s i d e s . I f t h i s t h e o r e m i s n o t v a l i d i n t h e B a n a c h s p a c e K ,

t h e n i t i s n o t p o s s i b l e t o d e f i n e a n i n n e r p r o d u c t o n K . T h i s a l l o w s u s

t o s h o w t h a t 2 P i s n o t a H i l b e r t s p a c e f o r p + 2 - s e e e x e r c i s e 8 . 4 ( 2 ) .

L i n e a r f u n c t i o n a l

G i v e n a l i n e a r s p a c e K o v e r t h e r e a l s a f u n c t i o n T : K - * R i s

c a l l e d a l i n e a r f u n c t i o n a l i f , f o r a l l x 1 , x 2 E K , a , , 8 E R ,

T ( a x 1 + f i x 2 ) = a T ( x l ) + f T ( x 2 ) .

I f K i s a n o r m e d l i n e a r s p a c e , t h e n T i s c o n t i n u o u s a t x o E K i f , g i v e n

e > 0 , t h e r e i s a 8 > 0 w i t h

I I x - x o l l <

I T ( x ) - T ( x o ) I < e .

F o r a n o r m e d K t h e f u n c t i o n a l i s s a i d t o b e b o u n d e d i f t h e r e i s a r e a l

c o n s t a n t C s u c h t h a t

I T ( x ) I 5 C I I x I I

f o r a l l

x E K .

I t i s i m m e d i a t e t h a t a l i n e a r f u n c t i o n a l o n a n o r m e d l i n e a r s p a c e

i s c o n t i n u o u s e v e r y w h e r e i f i t i s c o n t i n u o u s a t a n y o n e p o i n t . T h e

c o n n e x i o n b e t w e e n c o n t i n u i t y a n d b o u n d e d n e s s i s n o t q u i t e s o o b v i o u s .

L e m m a . A l i n e a r f u n c t i o n a l T o n a n o r m e d l i n e a r s p a c e K i s c o n t i n u o u s

i f a n d o n l y i f i t i s b o u n d e d .

P r o o f . S u p p o s e f i r s t t h a t T i s b o u n d e d , t h e n g i v e n x 1 E K , e > 0 , p u t

8 = e . C - 1 a n d w e h a v e

I T ( x ) - T ( x 1 ) I = I T ( x - x 1 ) I 5 C I l x - x 1 I l < e

i f 1 1 x - x 1 I I < 8 . C o n v e r s e l y , i f T i s c o n t i n u o u s a t 0 E K w e c a n c h o o s e

B > 0 s u c h t h a t

I T ( x ) I

1 f o r

I I x i i

B .

T h e n f o r x E K ,

I I B I I I I = B , s o t h a t

I T ( x ) I =

I I B I T ( I I x i I )

< B I I x l I ,

a n d T i s b o u n d e d . J

8 . 4 ]

S P A C E O F L I N E A R F U N C T I O N A L S

2 1 1

N o r m o f a b o u n d e d f u n c t i o n a l

I f T i s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l o n a n o r m e d l i n e a r s p a c e K , t h e

s m a l l e s t n u m b e r C s a t i s f y i n g I T ( x ) I S C 1 1 x I I f o r a l l x E K i s c a l l e d t h e

n o r m o f T a n d w e d e n o t e i t b y I I T 1 1 . B e c a u s e o f l i n e a r i t y ,

I I T I I

= s u p I

T ( x ) I

=

s u p

I T ( x ) l .

1 1 4

I I x I I = 1

I f T 1 , T 2 a r e t w o l i n e a r f u n c t i o n a l s o n a l i n e a r s p a c e K , a , , 8 E R

t h e n

( a T 1 + 1 8 T 2 ) ( x ) = a T 1 ( x ) + f T 2 ( x )

i s a l s o a l i n e a r f u n c t i o n a l o n K ; a n d t h e s e t o f a l l l i n e a r f u n c t i o n a l s

o n K i s a l i n e a r s p a c e . W e c a n s a y m o r e i f K i s n o r m e d .

L e m m a . I f K * d e n o t e s t h e s e t o f b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l s o n a

n o r m e d l i n e a r s p a c e K , t h e n K * i s a B a n a c h s p a c e .

P r o o f . T E K * , 1 1 T I I

= 0

i m p l i e s t h a t T ( x ) = 0 f o r a l l x E K w h i c h

m e a n s t h a t T i s t h e n u l l t r a n s f o r m a t i o n ,

1 I T I + T 2 1 1 = s u p I T 1 ( x ) + T 2 ( x ) I , s u p

I T 1 ( x ) I + S U P I T 2 ( x )

I 1 4 = 1

I 1 x I I = 1

I I x I I = 1

= 1 1 T i h 1 + I I T 2 1 I

a n d I I a T I I = s u p I a T ( x ) I

= j a i s u p

I T ( x ) l

= I a l . 1 1 T I 1 .

I 4 I I = 1

I I x I I = 1

T h i s s h o w s t h a t K * i s a n o r m e d l i n e a r s p a c e w i t h t h e n o r m

I I T I I = s u p I T ( x ) I

I l x I I = 1

I t r e m a i n s t o s h o w t h a t K * i s c o m p l e t e . S u p p o s e { T n } i s a s e q u e n c e

i n K * s u c h t h a t

I I T m - T n I I - , - 0

a s

m , n - + o o .

T h e n , f o r e a c h x E K , I T m ( x ) - T T ( x ) I

- > . 0 a s m , n - - > c o . T h e c o m p l e t e -

n e s s o f R n o w i m p l i e s t h a t t h e r e i s a r e a l n u m b e r

y = T ( x ) = l i m T T ( x ) .

n - - *

N o w T i s c l e a r l y a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n a n d s i n c e

I I I T - I I - 1 I T - I I I s I I T m - T n I I

t h e r e a l s e q u e n c e { I I T n I I } m u s t b e b o u n d e d , s a y b y C . T h e n

I T T ( x ) I < C I I x I I

f o r a l l x E K

a n d a l l i n t e g e r s n , s o t h a t I T ( x ) I 5 C I I x I I a n d T i s a b o u n d e d l i n e a r

f u n c t i o n a l , t h a t i s T E K * . G i v e n e > 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r N = N ( e )

s u c h t h a t

I T m ( x ) - T , , ( x ) I < e

f o r

1 1 x 1 1 = 1 , x E K , m , n , > N .

2 1 2


I f w e l e t m

o o , t h e n

I T ( x ) - T , , ( x ) I < e f o r l i x i l = 1

( n > N ) ,

s o t h a t I I T - T I I - > 0 a s n - o o , a n d K * i s c o m p l e t e .

[ 8 . 4

C o n j u g a t e s p a c e

F o r a n y n o r m e d l i n e a r s p a c e K ( i n p a r t i c u l a r i f K i s a B a n a c h

s p a c e ) , t h e B a n a c h s p a c e K * o f b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l s o n K i s

c a l l e d t h e c o n j u g a t e s p a c e ( o r d u a l s p a c e ) o f K .

L i n e a r s u b s p a c e

A s e t H c o n t a i n e d i n a l i n e a r s p a c e K s u c h t h a t H i s i t s e l f a l i n e a r

s p a c e i s c a l l e d a l i n e a r s u b s p a c e o f K .

I f K c o n t a i n s a p o i n t x + 0 , i t i s c l e a r t h a t t h e s e t o f a l l p o i n t s

a x , a E R i s a l i n e a r s u b s p a c e H o f K . T h e n , i f w e p u t ,

T ( a x ) = a

f o r a l l

a x E H

i t i s i m m e d i a t e t h a t T + 0 i s a l i n e a r f u n c t i o n a l o n H . H o w e v e r , i t i s

n o t i m m e d i a t e l y o b v i o u s t h a t t h e s e t o f b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l s

d e f i n e d o n t h e w h o l e o f K c o n t a i n s a n y T + 0 . T h e e x i s t e n c e o f s u c h a

n o n - t r i v i a l T w i l l f o l l o w i f w e c a n p r o v e t h a t l i n e a r f u n c t i o n a l s d e f i n e d

o n a s u b s p a c e c a n a l w a y s b e e x t e n d e d t o t h e w h o l e o f K .

T h e o r e m 8 . 6 ( H a h n - B a n a c h e x t e n s i o n ) . S u p p o s e K i s a l i n e a r s u b s p a c e

o f a l i n e a r s p a c e H . T h e n a n y b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l o n K c a n b e

e x t e n d e d t o a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l o n H w i t h t h e s a m e n o r m .

P r o o f . S u p p o s e f : K R i s t h e g i v e n f u n c t i o n a l a n d

a = s u p 1 f ( x ) I I X 1 1

x E K

T h e n I f ( x ) I < a J J x J I f o r a l l x i n K . C o n s i d e r t h e c l a s s ' ' o f a l l l i n e a r

f u n c t i o n a l s T d e f i n e d o n s p a c e s J s u c h t h a t ( i ) K - J c H ; ( i i )

T ( x ) = f ( x ) f o r x E K ; ( i i i ) T ( x ) < a J I x J J f o r x E J . W e c a n p a r t i a l l y o r d e r '

b y p u t t i n g g 1 < 9 2 ' f 9 1 i s d e f i n e d o n J 1 , 9 2 o n J 2 , K - J 1 - J 2 c H a n d

g l ( x ) = g 2 ( x ) = f ( x ) f o r

x E K ,

g l ( x ) = g 2 ( x ) f o r

x E J 1 .

B y Z o r n ' s l e m m a ( § 1 . 6 ) w e c a n f i n d a m a x i m a l e l e m e n t i n t h i s p a r t i a l

o r d e r i n g . T h i s m u s t b e a n e x t e n s i o n T o f f d e f i n e d o n a s u b s p a c e

J c H s u c h t h a t n o f u r t h e r e x t e n s i o n t o a l a r g e r s u b s p a c e i s p o s s i b l e .

I t i s c l e a r l y s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t , f o r t h i s m a x i m a l T E e , w e m u s t

h a v e J = H .

S u p p o s e n o t , t h e n t h e r e i s a p o i n t z E H - J . W e w i l l o b t a i n a c o n -

t r a d i c t i o n b y s h o w i n g t h a t T c a n b e e x t e n d e d t o t h e l i n e a r s p a c e

J . c o n s i s t i n g o f a l l p o i n t s o f t h e f o r m j + a z , j E J , a E R . N o t e f i r s t t h a t ,

8 . 4 ]


2 1 3

s i n c e z 0 J , t h e r e p r e s e n t a t i o n ( j + a z ) i s u n i q u e . T h e e x t e n s i o n t o

J z w i l l t h e r e f o r e b e d e t e r m i n e d b y i t s v a l u e a t z . N o w i f x , y e J ,

T ( x ) - T ( y ) = T ( x - y ) < a l l x - y l l < a l l x + z l l + a l l - y - z l l

s o t h a t

- a l l - y - z l l - T ( y ) < a l l x + z l l - T ( x ) .

H e n c e

s u p [ - a l l

- y - z l l - T ( y ) ]

< i n f [ a l l x + z l l - T ( x ) ] .

V E J x E J

L e t t b e a n y r e a l n u m b e r s a t i s f y i n g

s u p [ - a l l - y - z l l - T ( y ) ] < t < i n f [ a l l x + z l l - T ( x ) ] ,

( 8 . 4 . 3 )

y E J x E J

a n d p u t T ( z ) = t : t h i s i m p l i e s

T ( k + a z ) = T ( k ) + a t f o r

k E J .

N o w p u t y = x / a i n ( 8 . 4 . 3 ) a n d l e t w = x + a z :

- a

w

a

- T i a < t < a

\ a

w

a

I f a > 0 m u l t i p l y t h e r i g h t - h a n d i n e q u a l i t y b y a , w h i l e i f a < 0

m u l t i p l y t h e l e f t - h a n d i n e q u a l i t y b y a . B o t h c a s e s g i v e

a l l w l l - T ( x ) > a t

s o t h a t

T ( w ) < a l l w l l

a n d T E ' ' . S i n c e J i s a p r o p e r s u b s e t o f J z t h i s e s t a b l i s h e s t h e e x i s t e n c e

o f t h e e x t e n s i o n . T o s e e t h a t t h e e x t e n s i o n F h a s t h e s a m e n o r m a s

f w e n e e d o n l y n o t e t h a t I F ( x ) I < a l l x l l f o r a l l x i n H s o t h a t

I I F I I < a = l l f I I ;

a n d I I F I I = s u p I F ( x ) l > _ s u p l f ( x ) l

=

x E H

x E K

I 1 x 1 1 = 1 I 1 x 1 l = 1

R e m a r k . I n t h e a b o v e t h e o r e m , t h e o n l y p r o p e r t y o f t h e n o r m w h i c h

w e u s e d w a s t h a t

l l x + y l l < l l x l l + l l y l l

f o r a l l x , y E H .

I t i s p o s s i b l e t o s t a t e a n d p r o v e t h e e x t e n s i o n t h e o r e m i n t e r m s o f a n y

s u b a d d i t i v e b o u n d i n g f u n c t i o n a l . T h i s g i v e s

T h e o r e m 8 . 6 A ( H a h n - B a n a c h e x t e n s i o n ) . S u p p o s e K i s a l i n e a r

s u b s p a c e o f a l i n e a r s p a c e H , p i s a s u b a d d i t i v e f u n c t i o n a l o n H s u c h

t h a t p ( a x ) = a p ( x ) f o r a > , 0 , x E H ; a n d f i s a l i n e a r f u n c t i o n a l o n K s u c h

t h a t f ( x ) < p ( x ) f o r a l l x E K . T h e n t h e r e i s a l i n e a r f u n c t i o n a l f : H - R

s u c h t h a t

f ( x ) = f ( x )

f o r

x E K ,

j ( x ) < p ( x )

f o r x E H .



2 1 4

L I N E A R F U N C T I O N A L S [ 8 . 4

E x e r c i s e s 8 . 4

1 . I f ( 0 , . F , u ) i s s u c h t h a t t h e r e a r e t w o s e t s E l , E 2 . . w i t h , u ( E 1 ) ,

u ( E 2 ) p o s i t i v e a n d f i n i t e , s h o w b y c o n s i d e r i n g t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f

E l , E . t h a t

d o e s n o t s a t i s f y ( 8 . 4 . 1 ) i f p + 2 ; a n d t h e r e f o r e i s n o t a

H i l b e r t s p a c e .

2 . P r o v e t h a t m , t h e s e t o f b o u n d e d r e a l s e q u e n c e s { x i } , i s a B a n a c h s p a c e

w i t h I I x I I

= s u p I x i 1

i

3 . S u p p o s e K i s a B a n a c h s p a c e , K * i s i t s d u a l , a n d K * * i s t h e d u a l o f

K * . P r o v e :

( i )

i f x i s a f i x e d e l e m e n t i n K , X ( f ) = f ( x ) f o r f E K * d e f i n e s a l i n e a r

f u n c t i o n a l o n K * ;

( i i )

f o r t h e a b o v e f u n c t i o n I I X I I = 1 1 x i i , s o t h a t T ( x ) = X i s a n o r m

p r e s e r v i n g m a p f r o m K t o K * * ;

( i i i ) t h i s m a p T p r e s e r v e s t h e l i n e a r s t r u c t u r e ;

( i v ) T h e s e t o f e l e m e n t s X o f K * * s u c h t h a t X ( f ) = & ) f o r s o m e x K

f o r m s a c l o s e d l i n e a r s u b s p a c e o f K * * .

4 . I f K i s a l i n e a r s u b s p a c e o f a B a n a c h s p a c e H s h o w t h a t a p o i n t y

o f H i s i n t h e c l o s u r e o f K i f a n d o n l y i f f ( y ) = 0 f o r e v e r y l i n e a r f u n c t i o n a l

f c H * w h i c h v a n i s h e s o n K .

5 . I n § 4 . 4 w e s h o w e d t h a t i t i s n o t p o s s i b l e t o d e f i n e a m e a s u r e o n [ 0 , 1 )

w h i c h i s d e f i n e d f o r a l l s u b s e t s a n d i n v a r i a n t f o r t r a n s l a t i o n s ( m o d 1 ) .

T h e f o l l o w i n g s t e p s w i l l s h o w t h a t w e c a n d e f i n e s u c h a f i n i t e l y a d d i t i v e

s e t f u n c t i o n o n a l l s u b s e t s o f [ 0 , 1 ) w i t h v [ 0 , 1 ) = 1 a n d v ( E ) = I E I w h e n

E i s L e b e s g u e m e a s u r a b l e .

( i )

L e t H b e t h e s e t o f a l l b o u n d e d f u n c t i o n s f : [ 0 , 1 ) - R w h i c h a r e

e x t e n d e d t o b e p e r i o d i c i n t h e w h o l e o f R b y f ( x + 1 ) = f ( x ) . P r o v e H i s

a l i n e a r s p a c e .

1 n

( i i ) P u t

M ( f ; a l , a 2 , . . . . a n ) = s u p - 1 f ( x + a i ) ,

x E R n i = 1

p ( f ) = i n f M ( f ; a 1 , . . . , a n ) f o r a l l s u c h f i n i t e s e q u e n c e s o f r e a l a , . P r o v e t h a t

p i s s u b a d d i t i v e a n d p ( a f ) = a p ( f ) f o r a > 0 .

( i i i ) I f f : [ 0 , 1 ) - . R i s b o u n d e d a n d L e b e s g u e m e a s u r a b l e , s h o w t h a t t h e

L e b e s g u e i n t e g r a l 5 ( f ) 5 M ( f ; a 1 , . . . , a n ) .

( i v ) S h o w t h a t t h e s e t o f b o u n d e d m e a s u r a b l e f : [ 0 , 1 ) - + R i s a l i n e a r s u b .

s p a c e o f H , a n d 5 ( f ) i s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l o n t h i s s u b s p a c e .

( v ) U s e t h e o r e m 8 . 6 A t o e x t e n d f t o a l i n e a r f u n c t i o n a l F d e f i n e d o n

a l l o f H .

( v i ) S h o w t h a t F { f ( x + x 0 ) } = F { f ( x ) } f o r a l l x o E R .

( v i i ) B y c o n s i d e r i n g i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f s u b s e t s o f [ 0 , 1 ) , p u t

v ( E ) = F ( X E ) f o r E l c [ 0 , 1 ) .

8 . 4 ]


2 1 5

P r o v e v ( E 1 v E 2 ) = v ( E 1 ) + v ( E 2 )

i f E 1 , E 2 a r e d i s j o i n t ,

v ( E ) = J E J

i f E i s L e b e s g u e m e a s u r a b l e ,

v ( E )

i s i n v a r i a n t u n d e r t r a n s l a t i o n s .

6 . S i m i l a r a r g u m e n t s t o t h o s e u s e d i n ( 5 ) a b o v e c a n b e a p p l i e d t o t h e

l i n e a r s p a c e V o f b o u n d e d r e a l f u n c t i o n s f : [ 0 , + e o ) - . R . S h o w t h a t t h e r e

e x i s t s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l L i m f ( x ) o n V s u c h t h a t , f o r a , b E R .

( i ) L i m { a f ( x ) + b g ( x ) } = a L i m f ( x ) + b L i m g ( x ) ;

( i i ) f ( x ) > 0 i n [ 0 , c o ) r . L i m f ( x ) > 0 ;

( i i i ) L i m f ( x + x 0 ) = L i m f ( x ) f o r a n y x o > , 0 ;

( i v ) L i m f ( x ) = l i m f ( x ) i f t h i s e x i s t s .

D e d u c e a c o r r e s p o n d i n g r e s u l t f o r t h e s p a c e m o f b o u n d e d r e a l s e q u e n c e s .

8 . 5 * T h e s p a c e c o n j u g a t e t o 2 p

W e h a v e s e e n t h a t Y , ( 1 5 p < + o o ) i s a B a n a c h s p a c e a n d , a f o r -

t i o r i , a n o r m e d l i n e a r s p a c e . I t f o l l o w s f r o m t h e l e m m a o n p . 2 1 1 t h a t

t h e s p a c e o f b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l s o n . p i s a l s o a B a n a c h s p a c e .

T h e o b j e c t o f t h e p r e s e n t s e c t i o n i s t o i d e n t i f y t h e s e c o n j u g a t e s p a c e s

a t l e a s t u p t o a n i s o m o r p h i s m .

T h e o r e m 8 . 7 . S u p p o s e ( f ,

i s a a - f i n i t e m e a s u r e s p a c e a n d Y , , ,

1 5 p < o o i s t h e l i n e a r s p a c e o f , F - m e a s u r a b l e f u n c t i o n s f : S Z - > R *

w h o s e p t h p o w e r i s i n t e g r a b l e , w i t h t h e u s u a l n o r m

I l f 1 I =

{ f t f I P d } l i p

L e t 1 / p + 1 / q = 1 ( i f p = 1 , q = c o ) . T h e n

( i ) f o r e a c h

F ( f ) = f f d u

d e f i n e s a l i n e a r f u n t i o n a l o n Y p ;

( i i ) g i v e n a n y b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l F o n 2 7

, t h e r e i s a g c . T .

s u c h t h a t

F ( f ) =

f f g d i u ,

1 / q

a n d i n t h i s c a s e

I I F I I =

( f l g l Q d p }

i f p > 1 ,

= e s s s u p I g I

i f P = 1 -

P r o o f . ( i ) T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e o r e m 7 . 7 a n d t h e l i n e a r -

i t y p r o p e r t i e s o f t h e i n t e g r a l ; f o r

I F ( f ) I <

{ f l f v d 4 u ) " P J i g I Q d u } 1 1 q

2 1 6

L I N E A R F U N C T I O N A L S [ 8 . 5

( i i ) S u p p o s e f i r s t t h a t , u ( S 2 ) < o o a n d F i s a l i n e a r f u n c t i o n a l o n

. T , . F o r a n y m e a s u r a b l e E c S 2 p u t

c r ( E ) = F ( X E ) ,

w h e r e x E i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f E . T h e l i n e a r i t y o f F i m p l i e s

i m m e d i a t e l y t h a t 0 ' i s f i n i t e l y a d d i t i v e . N o w s u p p o s e E _ ( J E i ,

i = 1

N

E i d i s j o i n t . T h e n

, u (

U E 1 ) - > , u ( E ) a s N o o , s o t h a t i n - r p ,

\ \ \ i = 1

1

N

I I x Q r , - X E I I - - > 0 ,

w h e r e Q N = U E i .

i = 1

S i n c e F i s c o n t i n u o u s , w e m u s t h a v e

0 0

N

E c r ( E i ) = l i m E o ( E i ) = t r ( E )

i = 1

N - 0 0 i = 1

s o t h a t o - i s c o m p l e t e l y a d d i t i v e o n - 5 F . F u r t h e r 1 u ( E ) = 0 - v ( E ) = 0 ,

s o t h a t a - i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o p . B y t h e o r e m 6 . 7

i t n o w f o l l o w s t h a t t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n g w h i c h i s i n t e g r a b l e , s u c h

t h a t

F ( , X E ) = v ( E ) = I

g d t i

f o r a l l E E z ,

r

=

f

y j p g d l c .

T h i s g i v e s t h e r e q u i r e d r e p r e s e n t a t i o n f o r F o n t h e c l a s s o f i n d i c a t o r

f u n c t i o n s o f m e a s u r a b l e s e t s . W e m u s t p r o v e t h a t g E . q , a n d t h a t t h e

r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d o n t h e w h o l e o f

p .

I t i s c l e a r f r o m l i n e a r i t y t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d f o r F -

s i m p l e f u n c t i o n s . I f f o E Y p , f o > 0 , w e c a n f i n d a s e q u e n c e f n o f

s i m p l e f u n c t i o n s w h i c h i n c r e a s e s m o n o t o n e l y t o f o . T h e n b y t h e o r e m

7 . 6 , f n

- f 0

i n p t h m e a n , a n d b y t h e c o n t i n u i t y o f F

F ( f f o ) = l i m F ( f n ) = l i m

f

f n g d u = f f o g d u

n - > 0 0

o n a p p l y i n g t h e m o n o t o n e c o n v e r g e n c e t h e o r e m t o { f n g + } a n d { f n g _ }

s e p a r a t e l y . T h e r e s t r i c t i o n f o > 0 c a n b e r e m o v e d b y c o n s i d e r i n g f i .

a n d f _ s e p a r a t e l y , s o t h a t

F ( f ) = f f g c z u

f o r a l l

f E , P p .

N o w s u p p o s e p > 1 , a n d g ( t ) h a s b e e n o b t a i n e d b y t h e a b o v e p r o c e s s .

P u t

I g ( t ) 1 9 - 1 s i g n g ( t )

i f

I g ( t ) I q - 1 < n ,

9 n ( t ) - -

l l l n s i g n g ( t )

i f

I g ( t ) I q - 1 > n .

8 . 5 ]

T H E S P A C E C O N J U G A T E T O 2 p 2 1 7

T h e n e a c h g n i s b o u n d e d a n d m e a s u r a b l e , a n d i s t h e r e f o r e i n . p .

H e n c e

B u t

I F ( g n ) I = i f g n g d l t I , I I F I I I I g n I I = I I F I I

( f I d / 4 ) 1 / p

g n g = I g n I I g I - I g n I

I g n 1 1 / q - 1 = I g n i p ,

s o t h a t

f I g n I P d i u s I I F I I ( f I g n d )

a n d

( f i n i z ) 1 / g s

1 1 F 1 1 .

B u t

I g n I p _

I g l g a . e .

1 / p

s o t h a t , b y t h e o r e m 5 . 5

( f l g d I t ) 1 / 4 S

I I F I I .

( 8 . 5 . 1 )

B e f o r e g o i n g o n t o p r o v e

e q u a l i t y i n ( 8 . 5 . 1 ) , l e t u s n o w r e m o v e

t h e r e s t r i c t i o n , u ( Q ) < o o . S u p p o s e , u ( S Z ) = o o , s o t h a t t h e r e i s a

s e q u e n c e { Q , , , } o f d i s j o i n t m e a s u r a b l e s e t s w i t h

c o

S Z = U Q 1 , p ( Q n ) < o o

a l l n .

i = 1

W e c a n a p p l y t h e a b o v e a r g u m e n t t o e a c h o f t h e s p a c e s ( Q n , W i n , a )

w h e r e f f l n = F n Q n . B y t h e u n i q u e n e s s o f t h e d e r i v a t i v e g i n t h e

R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m , i f f e

a n d v a n i s h e s o u t s i d e

N

R N

z U U Q i ' F ( f ) =

f f g d i &

B u t i f f > 0 , w e c a n a p p l y t h e m o n o t o n e c o n v e r g e n c e t h e o r e m t o e a c h

o f { f n g + } , { f n g _ } w h e r e f n = A R t o o b t a i n t h i s r e p r e s e n t a t i o n b y

u s i n g t h e c o n t i n u i t y o f F . T h e f i n a l s t e p i s t o u s e f = f + - f - s o t h a t

t h e r e p r e s e n t a t i o n i s v a l i d o n a l l o f g y p . F u r t h e r ( 8 . 5 . 1 ) f o l l o w s s i n c e

i t i s t r u e f o r t h e i n t e g r a l o v e r e a c h R .

N o w b y H o l d e r ' s i n e q u a l i t y ( t h e o r e m 7 . 7 ) w e h a v e

I F ( f ) I < - I I f I I J I g l g d u }

s o t h a t

I I F I I =

{ f I v d i }

1 / g

u s i n g ( 8 . 5 . 1 ) .

W e n e e d t o m o d i f y t h e a r g u m e n t i n t h e c a s e p = 1 , a s s u m i n g t h a t

g h a s b e e n d e f i n e d a s b e f o r e a s t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e o f o .

F o r a n y t > 0 , l e t E b e a s e t s u c h t h a t 0 t

f o r x E E . P u t f ( x ) = X E s i g n g ( x ) a n d w e h a v e

F ( f ) > t u ( E ) ,

1 1 f 1 1 = , u ( E )

2 1 8


[ 8 . 5

s o I I F I I > , t . S i n c e s u c h a s e t E c a n b e f o u n d f o r a n y t < e s s s u p I g I

w e m u s t h a v e

I I F I I _ > e s s s u p I g I .

B u t

I F ( f ) I =

f f u d p . l

< - ( e s s s u p l g 1 ) I I f 1 I ,

s o t h a t I I F I I S e s s s u p I g i . ]

C o r o l l a r y . I f H i s a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e :

( i ) f o r a n y f i x e d h e H , t h e i n n e r p r o d u c t F ( f ) = ( f , h ) d e f i n e s a b o u n d e d

l i n e a r f u n c t i o n a l ;

( i i ) f o r a n y b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l F o n H , t h e r e i s a n h e H s u c h

t h a t F ( f ) = ( f , h ) f o r a l l f E H : f u r t h e r 1 1 F 1 1 = I I

h I l .

P r o o f . C h o o s e a m e a s u r e s p a c e

s u c h t h a t

i s a

s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e , a n d s o i s i s o m o r p h i c t o H . N o w a p p l y t h e

t h e o r e m i n t h e c a s e p = q = 2 .

N o t e . O n e c a n a l s o c o n s t r u c t a d i r e c t p r o o f o f t h e C o r o l l a r y w i t h o u t

t h e r e s t r i c t i o n t h a t H b e s e p a r a b l e ; t h e c a s e p = q = 2 o f t h e o r e m

8 . 7 c o u l d t h e n b e d e d u c e d f r o m t h i s .

R e f l e x i v e B a n a c h s p a c e

I n e x e r c i s e 8 . 4 ( 3 ) w e p r o v e d t h a t , f o r a n y B a n a c h s p a c e H , H * * n H

i n t h e s e n s e t h a t H i s i s o m o r p h i c t o a B a n a c h s u b s p a c e o f H * * .

T h o s e B a n a c h s p a c e s H f o r w h i c h H = H * * a r e c a l l e d r e f l e x i v e .

B y o u r r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m 8 . 7 , 2 , i s r e f l e x i v e f o r 1 < p < o o .

I n g e n e r a l , . 1 i s n o t r e f l e x i v e b e c a u s e Y , i s b i g g e r t h a n £ 1 : t h i s w i l l

f o l l o w f r o m e x e r c i s e s 8 . 5 ( 3 , 4 ) . I n f a c t v e r y l i t t l e i s k n o w n a b o u t t h e

s t r u c t u r e o f . , * o : t h e d i f f i c u l t y i s t h a t t h e a x i o m o f c h o i c e , o r s o m e t h i n g

e q u i v a l e n t , i s n e e d e d t o c o n s t r u c t . * a n d t h i s m a k e s i t i m p o s s i b l e

t o g e t a h o l d o n i t .

E x e r c i s e s 8 . 5

1 . S u p p o s e 1 f i n . 9 n o r m , g g

i n £ a n o r m . D e d u c e t h a t

f f - g . d u - J f g d U .

2 . I f f 2 i s t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s a n d u i s c o u n t i n g m e a s u r e , t h e n

2 D ( 1 < p < o o ) r e d u c e s t o t h e s e t o f s e q u e n c e s { x i } o f r e a l n u m b e r s s u c h

t h a t

I x i I 9 < o o ; 2 , , , r e d u c e s t o t h e s e t m o f b o u n d e d s e q u e n c e s .

i = 1

3 . L e t X = [ - 1 , 1 ] , , u L e b e s g u e m e a s u r e . S h o w t h a t t h e c o l l e c t i o n '

o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f : X - * R i s a c l o s e d l i n e a r s u b s p a c e o f Y . , ( p r o -



8 . 5 ]

T H E S P A C E C O N J U G A T E T O Y

2 1 9

v i d e d a n y f u n c t i o n f w h i c h i s e q u a l a . e . t o a c o n t i n u o u s f u n c t i o n i s i d e n t i f i e d

w i t h i t ) . H e n c e , b y t h e o r e m 8 . 6 , e x t e n d t h e b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l

F ( f ) = f ( O ) f r o m 9 t o Y . w i t h o u t c h a n g i n g i t s n o r m . I f p o s s i b l e , s u p p o s e

t h e r e i s a n f 0 w h i c h i s i n t e g r a b l e a n d s u c h t h a t

F ( f ) = f

f f o d u

f o r f E Y . .

T h e n , f o r t h e s p e c i a l s e q u e n c e

f n ( x ) = ( 1 - I x I " ) ,

w e h a v e F ( f n ) = 1 f o r a l l n . S h o w t h a t , f o r a n y f 0 E .

,

f f f 0 d

- 0 .

4 . E x t e n d e x a m p l e ( 3 ) t o s h o w t h a t i f S 2 c o n t a i n s a d i s j o i n t s e q u e n c e

o f m e a s u r a b l e s e t s o f f i n i t e p o s i t i v e m e a s u r e , t h e n 2 1 ( Q , , u ) i s a p r o p e r

s u b s p a c e o f .

. D e d u c e t h a t l l i s n o t

r e f l e x i v e .

8 . 6 * M e a n e r g o d i c t h e o r e m

I n § 7 . 6 w e o b t a i n e d t h e p o i n t - w i s e e r g o d i c t h e o r e m f o r f u n c t i o n s

i n _ T 1 . I f t h e f u n c t i o n i s i n 3 ° 2 t h e r e i s a n a l t e r n a t i v e f o r m o f t h i s

t h e o r e m i n w h i c h p o i n t - w i s e c o n v e r g e n c e i s r e p l a c e d b y c o n v e r g e n c e

i n s e c o n d m e a n . W e s a w t h a t a n y F 2 i s a H i l b e r t s p a c e . A m e a s u r e

p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n T o n t h e u n d e r l y i n g m e a s u r e s p a c e t h e n

l e a d s n a t u r a l l y t o a m a p p i n g o n t h e H i l b e r t s p a c e t o i t s e l f w h i c h

p r e s e r v e s t h e i n n e r p r o d u c t ( a n d n o r m ) . I t i s t h e r e f o r e p o s s i b l e t o

s t a t e t h e m e a n e r g o d i c t h e o r e m i n t e r m s o f t h e p r o p e r t i e s o f s u c h a

m a p p i n g i n H i l b e r t s p a c e , a n d d e d u c e t h e _ T 2 t h e o r e m b y c o n s i d e r i n g

t h i s a s a r e a l i z a t i o n o f H i l b e r t s p a c e . H o w e v e r , w e c h o o s e i n s t e a d t o

s t a t e a n d p r o v e i t d i r e c t l y a s a t h e o r e m a b o u t t h e s t r u c t u r e o f

I t h e l p s i f w e f i r s t s h o w t h a t b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l s o n

a B a n a c h s p a c e c a n b e u s e d t o s e p a r a t e a c l o s e d l i n e a r s u b s p a c e K

f r o m a p o i n t n o t i n K ( s e e e x e r c i s e 8 . 4 ( 4 ) ) .

T h e o r e m 8 . 8 . S u p p o s e K i s a l i n e a r s u b s p a c e o f a B a n a c h s p a c e H ,

a n d y e H w i t h d ( y , K ) = I > 0 . T h e n t h e r e i s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l

F o n H s u c h t h a t 1 1 F 1 1 = 1 , F ( y ) = r l , F ( x ) = 0 f o r a l l x e K .

P r o o f . L e t J b e t h e s e t o f p o i n t s o f H o f t h e f o r m

x = z + a y , z e K , a e R .

T h e n J i s a l i n e a r s u b s p a c e o f H a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n o f p o i n t s o f

J i n t h i s f o r m i s u n i q u e . D e f i n e a l i n e a r f u n c t i o n a l f o n J b y

f ( z + a y ) = a y .

8

T I T

2 2 0


T h e n f v a n i s h e s o n K a n d , f o r a + 0 ,

I l z + a y l l = I a I

> I a I q = I f ( z + a y ) I ,

z

- + y

a

( 8 . 6

s o t h a t I f I I < 1 . B u t i f { z n } i s a s e q u e n c e i n K f o r w h i c h I I z n - y I I - > - y

w e h a v e

I I f I I I I z n - y I I >

I f ( z n - y ) I = I f ( z n ) - f ( y ) I = I f ( y ) I = y

s o t h a t I I f I I > 1 , o n l e t t i n g n - * o o . H e n c e I I f I I = 1 , a n d f h a s a l l t h e

d e s i r e d p r o p e r t i e s e x c e p t t h a t i t i s o n l y d e f i n e d o n J , a l i n e a r s u b -

s p a c e o f H . U s e t h e o r e m 8 . 6 t o e x t e n d i t t o a l i n e a r f u n c t i o n a l F o n t h e

w h o l e o f H w i t h 1 1 F 1 1

= I f I I = 1 .

C o r o l l a r y . I f ( S 2 , ° 4 a ) i s a o r f i n i t e m e a s u r e s p a c e , a n d K i s a c l o s e d

l i n e a r s u b s p a c e o f 2 2 ( S 2 u ) , a n d y E Y 2 - K , t h e n y = z + x w h e r e

z E K a n d ( x , w ) = O f o r a l l w e K .

P r o o f . T 2 ( Q , t ) i s a B a n a c h s p a c e , a n d K i s c l o s e d ( i n t h e m e t r i c

p 2 ) s o t h a t d ( y , K ) = 7 1 > 0 . F i n d t h e f u n c t i o n a l F s a t i s f y i n g t h e c o n -

d i t i o n s o f t h e o r e m 8 . 8 a n d r e p r e s e n t i t , b y t h e o r e m 8 . 7 , a s

F ( p ) = ( , u , g )

w h e r e

g E 9 2 .

N o w p u t x = V g , z = y - x s o t h a t

( x , w ) = q F ( w ) = 0

f o r a l l w E K .

I t o n l y r e m a i n s t o s h o w t h a t z E K . F o r e > 0 c h o o s e k c K s u c h t h a t

I l k - y l 1 2 = ( k - y , k - y ) < y 2 + e .

T h e n

I 1 k - z 1 I 2 = ( k - y , k - y ) + 2 ( x , k - y ) + ( x , x )

=

I l k - y I I 2 + 2 , 1 ( g , k - y ) + y 2 l l g l l 2

= I l k - y I l 2 - 2 7 l F ( y ) + y 2 I I F I I 2

=

I l k - y I I 2 - V 2 < e ,

s o t h a t t h e r e a r e p o i n t s o f K a r b i t r a r i l y c l o s e t o z , a n d w e m u s t h a v e

z E K , s i n c e K i s c l o s e d .

L e t u s r e m i n d o u r s e l v e s o f t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h w e e s t a b -

l i s h e d t h e o r e m 7 . 9 . ( 5 2 , _ 5 F , I t ) i s a o - - f i n i t e m e a s u r e s p a c e , a n d T i s a

m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n f r o m 1 1 t o i t s e l f . T k i s t h e r e s u l t

o f r e p e a t i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n k t i m e s ( T ° i s t h e i d e n t i t y m a p ) . F o r

a n F - m e a s u r a b l e f u n c t i o n f w h i c h i s f i n i t e a . e . w e c o n s i d e r t h e

s e q u e n c e o f m e a n s

1 n - 1

g n = - E f ( T Z x ) .

( 8 . 6 . 1 )

n z = °

8 . 6 1

M E A N E R G O D I C T H E O R E M

2 2 1

T h e o r e m 8 . 9 . I f ( 1

a n d T s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s i n t h e o r e m

7 . 9 , f E Y 2 ( n , p . . ) , a n d g n i s d e f i n e d b y ( 8 . 6 . 1 ) t h e n { g n } i s a C a u c h y

s e q u e n c e i n s e c o n d m e a n . I t s l i m i t ( i n s e c o n d m e a n ) f * s a t i s f i e s

( i ) f * i s i n v a r i a n t u n d e r T , t h a t i s

f * ( T x ) = f * ( x ) a . e . ;

( i i )

I I f * I I s I l l I I ;

( i i i ) f o r a n y f u n c t i o n g i n Y 2 w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r T , ( g , f * ) _ ( g , f ) .

P r o o f . ( a ) S u p p o s e f i r s t t h a t f i s s u c h t h a t t h e r e i s a n h E ' 2 s u c h

t h a t

f ( x ) = h ( T x ) - h ( x ) a . e .

1 n - 1 1

T h e n

g n ( x ) =

n

E f ( T i x ) =

n

[ h ( T n - 1 x ) - h ( x ) ]

i . 0

s o t h a t 1 1 g l l < 2 1 1 h l l

/ n - - >

0 a s

n

, c o .

( b ) N o w s u p p o s e f i s t h e l i m i t ( i n s e c o n d m e a n ) o f a s e q u e n c e L J k }

s u c h t h a t , f o r e a c h k , f k ( x ) = h k ( T x ) - h k ( x ) w i t h h k E 2 ' 2 . T h e n

I I g n I < n '

n - 1

{ f ( T 1 x ) - f k ( T 2 x ) }

1

+ n

n - 1

f k ( T i x )

i = O

= O

E I I f ( T i x ) - f k ( T i x ) I I + 1

E f k T 1 ( x )

1

n i = o

n i = o

I I f - A l l + n l l h k l l ;

s o t h a t w e c a n m a k e I I g n I I < e b y f i r s t c h o o s i n g f k w i t h I f - f k l l < j e a n d

t h e n m a k i n g n l a r g e .

T h e c l a s s o f f E - T 2 w h i c h s a t i s f y e i t h e r ( a ) o r ( b ) i s c l e a r l y a c l o s e d

l i n e a r s u b s p a c e K o f 2 2 . B y t h e c o r o l l a r y t o t h e o r e m 8 . 8 , a n y f E ' 2

c a n b e w r i t t e n u n i q u e l y a s

f = / 1 + f 2 w h e r e f 1 E K ,

a n d

( f 2 , T f - f ) = 0

f o r a l l f E 2 2 .

N o w 0 = ( f 2 , T f - f ) = ( f 2 , T f ) - ( f 2 , f )

( T - 1 f 2 , f ) - ( f 2 , f ) = ( T - 1 f 2 - f 2 , f )

f o r a l l

f E Y 2 ,

a n d i n p a r t i c u l a r w h e n f i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f a m e a s u r a b l e s e t E

o f f i n i t e m e a s u r e . H e n c e T - - 1 f 2 = f 2 a . e . s o t h a t f 2 i s i n v a r i a n t u n d e r T .

H e n c e

l n - 1

- Z f 2 ( T i x ) = f 2 ( x ) a . e .

f o r a l l

n ,

n i = o

8 - 2

2 2 2


1 8 . 6

s o t h a t f * = f 2 i s t h e l i m i t i n s e c o n d m e a n o f { g n } . T h u s ( i ) a n d ( i i ) a r e

p r o v e d . T o p r o v e ( i i i ) , s u p p o s e g i s i n v a r i a n t u n d e r T ; t h e n

( T i f , g ) = ( . f , T - 1 g ) = ( f , g )

s o t h a t ( g n , g ) = ( f , g ) f o r e a c h n a n d t h e r e s u l t f o l l o w s o n l e t t i n g

n - - * o o s i n c e t h e i n n e r p r o d u c t i s c o n t i n u o u s i n t h e n o r m t o p o l o g y .

C o r o l l a r y . U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f t h e o r e m 8 . 9 , i f T i s e r g o d i c , t h e n

t h e l i m i t ( i n s e c o n d m e a n ) f * = c a . e . A l s o

( i )

i f , u ( S 2 ) = o o , t h e n c = 0 ,

( i i ) i f # ( Q ) < o o , t h e n f f * d u = f f d u .

P r o o f . T h e o n l y i n v a r i a n t f u n c t i o n s a r e c o n s t a n t s s o ( i i ) o f t h e

t h e o r e m i m p l i e s t h a t f * = c a . e . N o w i f µ ( S 2 ) = o o , w e h a v e 1 1 f * 1 I f i n i t e ,

s o c = 0 . I f µ ( S 2 ) < o o , t h e n t h e f u n c t i o n g ( x ) = 1 i s i n 2 ' 2 a n d i s i n -

v a r i a n t s o t h a t

( 1 , f * ) =

f f * d i u

= ( 1 , f ) =

f

f d u .

E x e r c i s e s 8 . 6

1 . I f µ ( S 2 , ) < o o , f e 2 q ( S 2 , µ ) , 1 < p < c o a n d T i s a m e a s u r e p r e s e r v i n g

t r a n s f o r m a t i o n , s h o w t h a t g , , , , d e f i n e d b y ( 8 . 6 . 1 ) , c o n v e r g e s a . e . t o a l i m i t

f u n c t i o n f * e 2 , s u c h t h a t p , ( g , n , f * ) - > . 0 . ( T h i s g i v e s a s i m p l e r p r o o f o f

t h e o r e m 8 . 9 f o r t h e c a s e µ ( S 2 ) < o o ) .

P r o v e t h a t ( i i ) o f t h e c o r o l l a r y t o t h e o r e m 8 . 9 i s v a l i d w i t h o u t t h e c o n d i -

t i o n t h a t T b e e r g o d i c .

2 . S u p p o s e X i s a n o p e n s u b s e t o f R k o f f i n i t e L e b e s g u e m e a s u r e a n d

T : X - X p r e s e r v e s L e b e s g u e m e a s u r e a n d i s e r g o d i c . S h o w t h a t , f o r

a l m o s t a l l x e X , t h e s e q u e n c e { T k x } i s d e n s e i n X .



2 2 3

9

S T R U C T U R E O F M E A S U R E S I N

S P E C I A L S P A C E S

I n t h e p r e s e n t b o o k m o s t o f t h e t h e o r y o f m e a s u r e a n d i n t e g r a t i o n

h a s b e e n d e v e l o p e d i n a b s t r a c t s p a c e s , a n d w e h a v e u s e d t h e p r o p e r t i e s

o f s p e c i a l s p a c e s o n l y t o i l l u s t r a t e t h e g e n e r a l t h e o r y . T h e p r e s e n t

c h a p t e r , a p a r t f r o m § 9 . 4 , i s d e v o t e d t o a d i s c u s s i o n o f p r o p e r t i e s w h i c h

d e p e n d e s s e n t i a l l y o n t h e s t r u c t u r e o f t h e s p a c e .

T h e f i r s t q u e s t i o n c o n s i d e r e d i s t h a t o f p o i n t - w i s e d i f f e r e n t i a t i o n .

I n t h e R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m 6 . 7 w e d e f i n e d t h e d e r i v a t i v e d u / d v

o f o n e m e a s u r e w i t h r e s p e c t t o a n o t h e r f o r s u i t a b l e m e a s u r e s , u , v :

b u t t h e p o i n t f u n c t i o n d u / d v o b t a i n e d i s o n l y d e t e r m i n e d i n t h e s e n s e

t h a t t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f f u n c t i o n s e q u a l a l m o s t e v e r y w h e r e i s

u n i q u e l y d e f i n e d . T h i s m e a n s t h a t a t n o s i n g l e p o i n t ( e x c e p t f o r t h o s e

p o i n t s w h i c h f o r m s e t s o f p o s i t i v e m e a s u r e ) i s t h e d e r i v a t i v e d e f i n e d b y

t h e R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m . I n o r d e r t o d e f i n e d u / d v a t a p o i n t x ,

t h e l o c a l t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h e s p a c e n e a r x h a s t o b e c o n s i d e r e d .

I t i s p o s s i b l e t o d e v e l o p t h i s l o c a l d i f f e r e n t i a t i o n t h e o r y i n f a i r l y

g e n e r a l s p a c e s , b u t o n l y a t t h e c o s t o f c o m p l i c a t e d a n d r a t h e r u n -

n a t u r a l a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s : w e h a v e d e c i d e d i n s t e a d t o g i v e t h e

d e t a i l e d t h e o r y o n l y i n t h e s p a c e R o f r e a l n u m b e r s w h e r e t h e t e r m

d e r i v a t i v e h a s a c l e a r e l e m e n t a r y m e a n i n g .

T h e r e a r e s e v e r a l w a y s o f d e f i n i n g a n i n t e g r a l w i t h p r o p e r t i e s s i m i l a r

t o t h o s e o b t a i n e d i n C h a p t e r 5 . S o f a r i n t h i s b o o k w e h a v e c o n -

s i d e r e d d e f i n i t i o n s w h i c h s t a r t f r o m a g i v e n m e a s u r e d e f i n e d o n

a s u i t a b l e c l a s s o f s e t s . I n § 9 . 4 w e d e s c r i b e t h e D a n i e l l i n t e g r a l a n d

s h o w t h a t , u n d e r s u i t a b l e c o n d i t i o n s t h i s c a n b e o b t a i n e d i n t e r m s o f

a m e a s u r e . T h e n , f o r l o c a l l y c o m p a c t s p a c e s , w e d i s c u s s p o s i t i v e

l i n e a r f u n c t i o n a l s o n t h e s p a c e C g o f r e a l - v a l u e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n s

w h i c h v a n i s h o u t s i d e a c o m p a c t s e t , a n d s h o w t h a t t h e s e a l s o c o r r e -

s p o n d t o i n t e g r a l s w i t h r e s p e c t t o a s u i t a b l e m e a s u r e .

T h e f i n a l s e c t i o n o f t h e c h a p t e r i s d e v o t e d t o t h e d e f i n i t i o n o f H a a r

m e a s u r e i n t o p o l o g i c a l s p a c e s w h i c h h a v e t h e a l g e b r a i c s t r u c t u r e

o f a g r o u p a n d i n w h i c h t h e g r o u p o p e r a t i o n i s c o n t i n u o u s . T h e

d e t a i l s a r e g i v e n o n l y f o r l o c a l l y c o m p a c t m e t r i c g r o u p s .

2 2 4

M E A S U R E S I N S P E C I A L S P A C E S [ 9 . 1

9 . 1

D i f f e r e n t i a t i n g a m o n o t o n e f u n c t i o n

W e s a y t h a t f : I - R w h e r e I i s a n o p e n i n t e r v a l i n R ( t h a t i s , a

s e t o f t h e f o r m ( a , b ) w i t h a , b E R * ) , i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g , i f

x 1 , x 2 E I , x 1 < x 2

. f ( x 1 ) < f ( x 2 )

A t a g i v e n p o i n t x i n I t h e f u n c t i o n : I - R m a y n o t b e d i f f e r e n t i a b l e

b u t

D + f ( x ) = l i r a s u p

f ( x +

h ) - f ( x )

D f ( x ) = l i m

s u p f ( x )

- f ( x - h ) ;

h - 0 +

h

D + f ( x )

= l i m

i n f f ( x +

h ) - f ( x )

D _ f ( x ) = l i m

i n f f

( x ) - f ( x - h )

h - 0 +

h

h - o +

a r e a l w a y s u n i q u e l y d e t e r m i n e d i n t h e e x t e n d e d r e a l n u m b e r s y s t e m

R * . T h e s e n u m b e r s a r e c a l l e d t h e d e r i v a t e s o f f a t x . W e s a y t h a t f

i s d i f f e r e n t i a b l e a t x i f

D + f ( x ) = D + f ( x ) = D f ( x ) = D _ f ( x ) = D f ( x ) + ± o o .

I t i s c l e a r t h a t f i s d i f f e r e n t i a b l e a t x i f a n d o n l y i f t h e r e i s a r e a l

n u m b e r D f ( x ) s u c h t h a t , g i v e n e > 0 t h e r e i s a 8 > 0 f o r w h i c h

f ( x + h ) - f ( x ) - D f ( x ) I

< e i f

0 < I h I < 8 ;

h

s o t h a t o u r d e f i n i t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h a t u s u a l l y a d o p t e d i n e l e -

m e n t a r y t e x t s o n r e a l a n a l y s i s . W h e n f i s d i f f e r e n t i a b l e a t x , w e

c a l l D f ( x ) t h e d e r i v a t i v e o f f a t x .

I f f : I - > R i s c o n t i n u o u s , b u t n o t m o n o t o n e , i t i s p o s s i b l e t h a t

i t i s d i f f e r e n t i a b l e a t n o p o i n t x . H o w e v e r , a m o n o t o n e f : I - - > R

m u s t b e c o n t i n u o u s e x c e p t a t t h e p o i n t s i n a c o u n t a b l e s e t , a n d t h e

m o n o t o n i c i t y f u r t h e r i m p l i e s t h a t t h e r e a r e s o m e p o i n t s x w h e r e t h e

d e r i v a t i v e e x i s t s . I n f a c t w e p r o v e m u c h m o r e : t h e s e t o f p o i n t s x

i n I w h e r e f i s n o t d i f f e r e n t i a b l e t u r n s o u t t o h a v e z e r o m e a s u r e .

I n o r d e r t o p r o v e t h i s i t i s c o n v e n i e n t f i r s t t o o b t a i n a n e w t y p e o f

c o v e r i n g t h e o r e m . W h e n i n § 2 . 2 w e s h o w e d t h a t a b o u n d e d c l o s e d

i n t e r v a l K i n R i s c o m p a c t w e s t a r t e d w i t h a c o v e r i n g o f K b y a

f a m i l y o f o p e n s e t s a n d w e d e m a n d e d t h a t a l l o f K b e c o v e r e d b y a

f i n i t e s u b f a m i l y . H o w e v e r , i n p r o v i n g c o m p a c t n e s s w e w e r e n o t i n -

t e r e s t e d i n e c o n o m i c a l c o v e r i n g , a n d t h e c o v e r i n g s e t s f i n a l l y c h o s e n

c o u l d o v e r l a p . C l e a r l y i f w e r e q u i r e t h a t t h e c o v e r i n g s e t s m u s t n o t

o v e r l a p w e c a n n o l o n g e r r e q u i r e t h a t a l l o f K b e c o v e r e d . H o w e v e r ,

e v e n i f w e a r e s a t i s f i e d w i t h a c o u n t a b l e s u b c o v e r i n g b y d i s j o i n t s e t s o f

a l m o s t a l l o f K ( s e e e x e r c i s e 9 . 1 ( 8 ) ) a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s o n t h e

n a t u r e o f t h e o r i g i n a l c o v e r i n g a r e e s s e n t i a l . A s u i t a b l e f o r m o f t h e s e

c o n d i t i o n s n o w f o l l o w s .

9 . 1 ]

D I F F E R E N T I A T I N G A F U N C T I O N

2 2 5

V i t a l i c o v e r i n g

F o r a s u b s e t E c R , a c l a s s f o f i n t e r v a l s i s s a i d t o c o v e r E i n t h e

V i t a l i s e n s e i f , g i v e n x E E , e > 0 t h e r e i s a n i n t e r v a l J E / w i t h

x E J a n d O < I J I < e .

T h e o r e m 9 . 1 . S u p p o s e E c R h a s f i n i t e L e b e s g u e o u t e r m e a s u r e a n d

i s c o v e r e d i n t h e V i t a l i s e n s e b y a c l a s s / o f i n t e r v a l s . T h e n t h e r e i s a

c o u n t a b l e d i s j o i n t s u b c l a s s f 1 e / s u c h t h a t

I E - U { J : J E / 1 } I = 0 .

P r o o f . W e u s e J A I t o d e n o t e t h e L e b e s g u e o u t e r m e a s u r e o f A

w h e t h e r o r n o t A i s m e a s u r a b l e . T h e r e i s n o h a r m i n a s s u m i n g t h a t

a l l t h e i n t e r v a l s J i n / a r e c l o s e d s i n c e I I I = I I I f o r a n y i n t e r v a l I .

W e m a y f u r t h e r a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t t h e r e i s a n

o p e n s e t 0 D E w i t h I G I < o o , a n d t h a t a l l t h e i n t e r v a l s o f f a r e

c o n t a i n e d i n G .

W e c h o o s e f 1 b y i n d u c t i o n a s f o l l o w s . L e t J 1 b e a n y i n t e r v a l o f / .

S u p p o s e w e h a v e a l r e a d y c h o s e n d i s j o i n t i n t e r v a l s J 1 , J 2 , . . . , J m a n d l e t

s m b e t h e s u p r e m u m o f t h e l e n g t h s o f t h e i n t e r v a l s i n I f w h i c h d o n o t

i n t e r s e c t a n y o f J 1 , J 2 , . . . , J m . N o w s m 0 . T h u s i f E i s n o t a l r e a d y c o v e r e d ,

i = 1

m

w e c a n c h o o s e J m + l d i s j o i n t f r o m U J i w i t h I J m + 1 I > l i s m . N o w t h e

i = 1

M

t h e o r e m i s p r o v e d i f E c U J i f o r a n y f i n i t e m . O t h e r w i s e w e o b t a i n

i = 1

a s e q u e n c e { J , , } o f d i s j o i n t s e t s s o t h a t

0 0

I J i I , I G I < c o .

i = 1

N o w s u p p o s e , i f p o s s i b l e , t h a t

0 0

J E - U J i I = S > 0 .

e = 1

c o

W e c a n c h o o s e N s o t h a t

I J i I <

S ,

i = N + 1

a n d p u t

N

F = E - U J i .

i = 1

N

F m u s t b e n o n - v o i d a n d U J i i s c l o s e d s o w e c a n f i n d a p o i n t x i n E

i = 1

2 2 6

M E A S U R E S I N S P E C I A L S P A C E S

[ 9 . 1

a n d a n i n t e r v a l J o f f c o n t a i n i n g x a n d s h o r t e n o u g h t o b e d i s j o i n t

N

f r o m U J i . T h i s i m p l i e s I J I S s n < 2 I J n + 1 I S i n c e

i = 1

l i m l R R I = 0 ,

n - a o

t h i s J m u s t m e e t a t l e a s t o n e o f t h e J i f o r i > n . L e t k b e t h e s m a l l e s t

i n t e g e r f o r w h i c h J r J k + 0 . T h e n I J I 5 S k - 1 < 2 I J k l , s o t h e d i s t a n c e

f r o m x t o t h e m i d - p o i n t o f J k i s a t m o s t I J I + J I J k I _ Z I 4 , a n d x

m u s t b e l o n g t o t h e i n t e r v a l H k w h i c h h a s t h e s a m e c e n t r e a s J k a n d

5 t i m e s t h e l e n g t h . T h u s

0

I ' ' c U H i

i = N + 1

0 0

a n d

6 = I I ' ' I 5

I H i l = 5

' - +

I J i l < 6 ,

% = N + 1

i = N + 1

w h i c h e s t a b l i s h e s a c o n t r a d i c t i o n . '

C o r o l l a r y . U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f t h e o r e m 9 . 1 , f o r e a c h e > 0 t h e r e i s

a f i n i t e s e t J 1 , J 2 , . . . , J . o f d i s j o i n t i n t e r v a l s o f f s u c h t h a t

p

E - U J i

i = 1

< C .

T h e o r e m 9 . 2 . S u p p o s e f : I - - > R i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g . T h e n t h e s e t

E o f p o i n t s x i n I f o r w h i c h f i s d i f f e r e n t i a b l e a t x s a t i s f i e s I I - E l = 0 .

T h e d e r i v a t i v e f ' i s L e b e s g u e m e a s u r a b l e , a n d i f [ a , b ] c I ,

b . f ' ( x )

d x 5 f ( b ) - f ( a ) .

a

P r o o f . I t i s c l e a r l y s u f f i c i e n t t o p r o v e t h e t h e o r e m f o r a f i n i t e

c l o s e d i n t e r v a l I = [ c , d ] . T h e f i r s t s t e p i s t o s h o w t h a t e a c h o f t h e

s u b s e t s o f I :

{ x : D + f ( x ) > D _ f ( x ) } ,

{ x : D - f ( x ) > D + f ( x ) } ,

{ x : D + f ( x ) > D + f ( x ) } ,

{ x : D - f ( x ) > D _ f ( x ) } ,

h a s z e r o L e b e s g u e m e a s u r e . W e g i v e t h e d e t a i l s f o r t h e s e t

E = { x : D + f ( x ) > D _ f ( x ) } ;

t h e p r o o f f o r t h e o t h e r s i s s i m i l a r . N o w E i s t h e ( c o u n t a b l e ) u n i o n

o f s e t s

E . , , , = { x : D + f ( x ) > u > v > D _ f ( x ) }

o v e r r a t i o n a l p a i r s u , v . I t i s t h e r e f o r e s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t I E u , r o I = 0

f o r a l l p a i r s u , v w i t h u > v .

9 . 1 1

D I F F E R E N T I A T I N G A F U N C T I O N 2 2 7

L e t t = ( E U , , l a n d e > 0 . F i n d a n o p e n s e t 0 D E . . , , w i t h

1 0 1 < t + e .

F o r e a c h x e E . , , , , t h e r e i s a n a r b i t r a r i l y s m a l l c l o s e d i n t e r v a l

[ x - h , x ] c G

w i t h

/ ( x ) - f ( x - h ) < v h .

B y t h e o r e m 9 . 1 , c o r o l l a r y w e c a n f i n d a f i n i t e d i s j o i n t c o l l e c t i o n

J l , J 2 ,

. . . ,

J N o f s u c h i n t e r v a l s w h o s e i n t e r i o r s c o v e r a s u b s e t F o f

E n , , , w i t h J E U , , D - F l < e . I f w e s u m o v e r t h e s e i n t e r v a l s

N

N

(

F i

v E h n < v l G l

n = 1

n = 1

< v ( t + e ) .

B u t e a c h y e F i s t h e l e f t - h a n d e n d - p o i n t o f a n a r b i t r a r i l y s m a l l i n t e r -

v a l [ y , y + k ] w h i c h i s c o n t a i n e d i n o n e o f t h e J i ( i = 1 , 2 ,

. . . ,

N ) a n d

s u c h t h a t

f ( y + k ) - f ( y ) > u k .

U s e t h e o r e m 9 . 1 a g a i n t o f i n d a d i s j o i n t c o l l e c t i o n K 1 , K 2 1

. . . ,

K P o f

s u c h i n t e r v a l s w h i c h c o v e r s a s u b s e t H o f F w i t h

l H l > t - 2 e .

S u m m i n g o v e r t h e s e i n t e r v a l s , s i n c e e a c h K . i s c o n t a i n e d i n a J . ,

N P

s o t h a t

{ f ( x n ) - J ( x n - h n ) J %

f ( y i + k i ) - f ( y i )

i = 1 i = 1

P

> u k i > u ( t - 2 e )

i = 1

v ( t + e ) > u ( t - 2 e ) .

S i n c e u > v a n d e i s a r b i t r a r y , w e m u s t h a v e t = 0 . T h u s f o r a l m o s t

a l l x i n I ,

g ( x ) = D f ( x ) =

l i m f ( x + h ) - f ( x )

A g o h

e x i s t s a s a n e l e m e n t i n R * ( w e a r e t h u s a l l o w i n g t h e v a l u e ± o o f o r a

l i m i t ) . I f w e p u t

g n ( x ) = n [ f ( x +

- f ( x ) ]

f o r

w h e r e w e r e - d e f i n e f ( x ) = f ( b ) f o r x > , b , t h e n g n ( x ) i s d e f i n e d a n d

m e a s u r a b l e a n d g n ( x ) - - > g ( x ) f o r a l m o s t a l l x i n [ a , b ] a s n - * o o s o t h a t

g : I - R * i s L e b e s g u e m e a s u r a b l e i f w e d e f i n e i t a r b i t r a r i l y t o b e z e r o

2 2 $


o n t h e e x c e p t i o n a l s e t w h e r e D f ( x ) i s n o t d e f i n e d . B y F a t o u ( t h e o r e m

5 . 7 )

f a

b

g ( x ) d x 5 l i m i n f

f b

g n ( x ) d x

n - o o J a

J i m i n f n f

a ( f

( x

+ n ) - f ( x ) } d x

r b + ( 1 / n )

a + ( 1 / n )

=

l i m i n f [ n J b

f ( x ) d x - n

f a

f ( x ) d x ]

5 f ( b ) - f ( a ) .

J

T h i s s h o w s t h a t t h e f u n c t i o n g i s i n t e g r a b l e a n d s o f i n i t e a l m o s t

e v e r y w h e r e . T h u s f i s d i f f e r e n t i a b l e a . e . i n [ a , b ] . S i n c e [ a , b ] i s a n

a r b i t r a r y s u b i n t e r v a l o f I , f i s d i f f e r e n t i a b l e a l m o s t e v e r y w h e r e i n I .

F u n c t i o n s o f b o u n d e d v a r i a t i o n

A f u n c t i o n f : I R i s s a i d t o b e o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n I i f

n

I f ( x i ) - f ( x i - 1 ) I

i = 1

i s b o u n d e d a b o v e f o r a l l o r d e r e d f i n i t e s e q u e n c e s x u < x 1 <

. . . < x n

i n I . C l e a r l y i f f :

i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n I , i t i s a l s o o f

b o u n d e d v a r i a t i o n o n e a c h i n t e r v a l J c I . F o r a n o r d e r e d s e q u e n c e

a = { x i } , i = 0 , 1 , . . . , n p u t

n

p ( a ) _

m a x [ O , f ( x i ) - f ( x i - 1 ) ] ,

i = 1

n

n ( a ) m i n

[ O , f ( x i ) - . f ( x i - 1 ) ] ,

i = 1

n

t ( a ) = p ( a ) + n ( a ) _

I f ( x i ) - . f ( x i - 1 ) I

i = 1

I f f : [ a , b ] - > R i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n [ a , b ] , p u t

T a = s u p t ( a ) ,

P a = s u p p ( a ) ,

N a = s u p n ( a ) ,

a a

a

w h e r e e a c h o f t h e s u p r e m a i s t a k e n o v e r a l l o r d e r e d f i n i t e s e q u e n c e s

a i n [ a , b ] . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t , i n t h i s c a s e

T a = P a + N a ,

f ( b ) - f ( a ) = P a - N a .

N o w i f f : [ a , b ]

R i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n [ a , b ] w e c a n p u t

g ( x ) = N a , h ( x ) = P Q

f o r a l l x e [ a , b ]

s o t h a t f ( x ) c a n b e e x p r e s s e d a s t h e d i f f e r e n c e o f t w o n o n - d e c r e a s i n g

f u n c t i o n s o f b o u n d e d v a r i a t i o n .

9 . 1 1

D I F F E R E N T I A T I N G A F U N C T I O N

2 2 9

C o r o l l a r y ( L e b e s g u e ) . A f u n c t i o n f : I - a R w h i c h i s o f b o u n d e d

v a r i a t i o n o n e a c h f i n i t e i n t e r v a l [ a , b ] c I m u s t b e d i f f e r e n t i a b l e a t x

f o r a l m o s t a l l x i n I .

P r o o f . I n e a c h f i n i t e [ a , b ] w e c a n e x p r e s s f a s t h e d i f f e r e n c e o f

t w o m o n o t o n e i n c r e a s i n g f u n c t i o n s g a n d h . E a c h o f t h e s e i s d i f f e r e n -

t i a b l e a l m o s t e v e r y w h e r e i n [ a , b ] b y t h e o r e m 9 . 2 . H e n c e t h e d i f f e r e n c e

f i s d i f f e r e n t i a b l e a l m o s t e v e r y w h e r e i n [ a , b ] . I

E x e r c i s e s 9 . 1

1 . S h o w t h a t , i f g : I - > - R , h : I - R a r e e a c h m o n o t o n e i n c r e a s i n g , t h e n

f = g - h i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n e a c h [ a , b ] c I .

2 . I f f : I - * R i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n e a c h [ a , b ] c I , s h o w t h a t t h e

l i m i t s f ( x + 0 ) , f ( x - 0 ) e x i s t a t e a c h i n t e r i o r p o i n t o f I .

3 . I f c i s a n i n t e r i o r p o i n t o f I a n d f : I - * R h a s a ( l o c a l ) m a x i m u m a t c ,

s h o w t h a t D + f ( c ) < 0 , D _ f ( c ) > 0 .

4 . I f f : [ a , b ] - - > R i s c o n t i n u o u s a n d D + f ( x ) > 0 f o r a l l x i n [ a , b ) , s h o w

t h a t f ( b ) > , f ( a ) .

5 . D e f i n e

f ( o ) = 0 ,

f ( x ) = x 2 s i n x 2

f o r

x + 0 ;

g ( 0 ) = 0 ,

g ( x ) = x 2 s i n x - 1 f o r

x + 0 .

W h i c h o f t h e f u n c t i o n s f , g i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n [ - 1 , 1 ] ?

6 . G i v e a n e x a m p l e o f a f u n c t i o n f o r w h i c h a l l t h e f o u r d e r i v a t e s a r e

d i f f e r e n t a t x = 0 .

7 . F o r a n y L e b e s g u e m e a s u r a b l e f : I - - > R , p r o v e t h a t D + f ( x ) i s L e b e s g u e


8 . S h o w t h a t t h e o r e m 9 . 1 a s s t a t e d i n R i s f a l s e i n R " f o r n > 2 .

H i n t . T a k e a V i t a l i c o v e r i n g o f [ 0 , 1 ] a n d f o r e a c h J o f c o v e r i n g c o n s i d e r

J x [ 0 , 1 ] a n d J x [ 3 , 1 J . T h i s w i l l g i v e a c o v e r i n g i n t h e s e n s e o f o u r d e f i n i t i o n

o f t h e u n i t s q u a r e [ 0 , 1 ] x [ 0 , 1 ] . S h o w t h e o r e m 9 . 1 i s n o t s a t i s f i e d .

( I n f a c t a m o r e c o m p l i c a t e d c o n s t r u c t i o n s h o w s t h a t t h e o r e m 9 . 1 f a i l s

e v e n i f w e r e q u i r e e a c h p o i n t o f t h e s e t t o b e c o v e r e d b y a n i n t e r v a l J o f

a r b i t r a r i l y s m a l l d i a m e t e r . )

9 . S h o w t h a t t h e o r e m 9 . 1 i s t r u e i n R " f o r a l l n i f w e r e s t r i c t t h e c o v e r i n g

t o c u b e s . ( I n f a c t i t c a n b e s h o w n t h a t i t i s t r u e i f t h e r e i s a c o n s t a n t K

s u c h t h a t t h e r a t i o o f t h e l e n g t h s o f l o n g e s t a n d s h o r t e s t s i d e s i s b o u n d e d

f o r t h e i n t e r v a l s i n f )

1 0 . F o r t h e C a n t o r t e r n a r y f u n c t i o n g : [ 0 , 1 ] - > [ 0 , 1 ] s h o w t h a t g ' ( x ) = 0

f o r a l l x e [ 0 , 1 ] - C .

2 3 0


[ 9 . 1

( T h i s s h o w s t h a t w e c a n n o t h o p e , i n g e n e r a l , f o r e q u a l i t y i n

f f ' ( x )

d x

1 1 . P r o v e t h a t a c o n v e r g e n t s e r i e s o f n o n - d e c r e a s i n g r e a l f u n c t i o n s c a n

b e d i f f e r e n t i a t e d t e r m b y t e r m a . e .

9 . 2 D i f f e r e n t i a t i n g t h e i n d e f i n i t e i n t e g r a l

T h e ` f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f t h e i n t e g r a l c a l c u l u s ' s t a t e s t h a t , i f

f : [ a , b ] - > R i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n a n d

F ( x ) = 1 : 1 ( t )

t h e n F : [ a , b ] - - > R i s d i f f e r e n t i a b l e i n ( a , b ) w i t h F ' ( x ) = f ( x ) . T h e

o b j e c t o f t h i s s e c t i o n i s t o o b t a i n t h e a n a l o g o u s t h e o r e m f o r t h e

L e b e s g u e i n t e g r a l , w h e r e i t i s n o t a p p r o p r i a t e t o a s s u m e t h a t f i s

c o n t i n u o u s . ( O f c o u r s e , i f f : [ a , b ] - * R i s c o n t i n u o u s o n [ a , b ] , w e

k n o w t h a t F ( x ) = f ( x ) f o r a l l x i n ( a , b ) s i n c e t h e L e b e s g u e i n t e g r a l

c o i n c i d e s w i t h t h e R i e m a n n i n t e g r a l i n t h i s c a s e . ) T h e f i r s t t h i n g t o

n o t e i s t h a t , e v e n f o r a m o n o t o n i c f u n c t i o n F , w e c a n n o t c l a i m t h a t ,

i n g e n e r a l ,

b

J F ' ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) ,

( 9 . 2 . 1 )

a

s e e e x e r c i s e 9 . 1 ( 1 0 ) . W e w i l l , h o w e v e r , o b t a i n n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t

c o n d i t i o n s f o r t h e t r u t h o f ( 9 . 2 . 1 ) .

L e m m a . I f f : [ a , b ] - > . R * i s L e b e s g u e i n t e g r a b l e o n [ a , b ] a n d

1 : 1 ( 1 ) d t = 0 f o r a l l x i n [ a , b ] ,

t h e n f ( t ) = 0 f o r a l m o s t a l l t i n [ a , b ] .

N o t e . T h i s s t r e n g t h e n s t h e r e s u l t o f t h e o r e m 5 . 5 ( v i i ) .

P r o o f . I f t h e l e m m a i s f a l s e t h e n a t l e a s t o n e o f t h e s e t s

{ t : f ( t ) < 0 } , { t : f ( t ) > 0 }

h a s p o s i t i v e m e a s u r e . I f I { t : f ( t ) > 0 } 1 > 0 t h e n w e c a n f i n d a S > 0 f o r

w h i c h J E T > 0 , w h e r e E = { t : f ( t ) > S } . N o w c h o o s e a c l o s e d s e t

F c E w i t h I F I > 0 , a n d c o n s i d e r t h e o p e n s e t G = ( a , b ) - F . T h e n

0 = a

f d m = J F f d m + J

a f d m .

B u t G i s t h e d i s j o i n t u n i o n o f a c o u n t a b l e c o l l e c t i o n o f o p e n i n t e r v a l s

( a n , b n ) a n d

f d m = 0

f a .

9 . 2 1

D I F F E R E N T I A T I N G T H E I N T E G R A L

2 3 1

f o r e a c h n . S i n c e t h e i n t e g r a l d e f i n e s a o - - a d d i t i v e s e t f u n c t i o n w e m u s t

h a v e

f G

f d m = 0

s o t h a t

f F

f d m = 0

a n d t h i s c o n t r a d i c t s

5 1 d m > 8 I F 1 > 0 . 1

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e p r o p e r t i e s o f a n y f u n c t i o n F w h i c h i s a n

i n d e f i n i t e i n t e g r a l , t h a t i s

F ( x ) =

f

f ( t ) d t

a

f o r a f u n c t i o n f : [ a , b ] - ± R * w h i c h i s L e b e s g u e i n t e g r a b l e . I t i s i m -

m e d i a t e f r o m t h e o r e m 5 . 6 t h a t F i s c o n t i n u o u s o n [ a , b ] , b u t m o r e

c a n b e s a i d : s i n c e i t i s t h e d i f f e r e n c e o f t h e i n d e f i n i t e i n t e g r a l s o f f +

a n d f - i t m u s t b e t h e d i f f e r e n c e o f t w o m o n o t o n e f u n c t i o n s a n d t h e r e -

f o r e i t i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n . I n f a c t , w e s a w i n t h e o r e m 5 . 6 t h a t t h e

s e t f u n c t i o n

v ( E ) =

f E

f d m n : E m e a s u r a b l e , E - [ a , b ]

J

i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s ; t h a t i s t h a t v ( E )

0 a s m ( E ) - * 0 . T h i s

m e a n s i n p a r t i c u l a r t h a t g i v e n e > 0 , t h e r e i s a 8 > 0 s u c h t h a t i f

n

E = U I k i s a f i n i t e d i s j o i n t u n i o n o f i n t e r v a l s i n [ a , b ] f o r w h i c h

k = 1

n

m ( I k ) < 8 ,

t h e n I v ( E ) I =

k = 1

n

E v ( I k )

k = 1

< E .

I n f a c t , b y c o n s i d e r i n g s e p a r a t e l y t h e i n t e r v a l s I k f o r w h i c h v i s p o s i t i v e

a n d n e g a t i v e w e c a n f i n d 8 > 0 s u c h t h a t

n n

m ( I k ) < 8 - Z I V ( I k ) I < 6 -

k = 1

k = 1

I n t e r m s o f t h e i n d e f i n i t e i n t e g r a l F t h i s m e a n s t h a t t h e f u n c t i o n

F : [ a , b ] - + R i s s u c h t h a t , f o r e a c h e > 0 t h e r e i s a 8 > 0 f o r w h i c h

n

n

E ( b i - a i ) < 8 - E I F ( b i ) - F ( a i ) I < e ( 9 . 2 . 2 )

i = 1 i = 1

f o r a n y f i n i t e c l a s s o f d i s j o i n t i n t e r v a l s ( a i , b i ) c ( a , b ) . A n y f u n c t i o n

F : I - - > R w h i c h s a t i s f i e s t h i s c o n d i t i o n o n e v e r y f i n i t e i n t e r v a l

( a , b ) c I i s s a i d t o b e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s o n I .

I t i s i m m e d i a t e t h a t a n y f u n c t i o n F : I - R w h i c h i s a b s o l u t e l y

c o n t i n u o u s i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n e a c h f i n i t e i n t e r v a l [ a , b ] C I .

F o r i f w e p u t e = 1 i n ( 9 . 2 . 2 ) a n d c h o o s e 8 > 0 , t h e n a n y f i n i t e d i s s e c -

2 3 2 M E A S U R E S I N S P E C I A L S P A C E S [ 9 . 2

t i o n o f [ a , b ] c a n b e s p l i t i n t o K s e t s o f i n t e r v a l s ( b y i n s e r t i n g e x t r a

d i v i s i o n p o i n t s i f n e c e s s a r y ) e a c h o f t o t a l l e n g t h l e s s t h a n 8 , w h e r e

K = [ ( b - a ) / 8 ] + 1 ; a n d i t f o l l o w s t h a t , f o r a n y d i s s e c t i o n o f [ a , b ]

n

F ( x r ) - F ( x r - 1 )

K .

r = 1

B y t h e c o r o l l a r y t o t h e o r e m 9 . 2 w e n o w s e e t h a t a n y f u n c t i o n F

w h i c h i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s i s d i f f e r e n t i a b l e e x c e p t o n a s e t o f

z e r o m e a s u r e .

T h e o r e m 9 . 3 . S u p p o s e f : [ a , b ] - * R * i s L e b e s g u e i n t e g r a b l e o n [ a , b ]

a n d F : [ a , b ] - - > R s a t i s f i e s

F ( x ) = F ( a ) + 1 : 1 ( t )

T h e n F i s d i f f e r e n t i a b l e w i t h F ' ( x ) = f ( x ) f o r a l m o s t a l l x i n [ a , b ] .

P r o o f . A s s u m e f i r s t t h a t f i s b o u n d e d o n [ a , b ] s o t h a t f o r a s u i t a b l e

M i n R , I f ( x ) I < M , f o r a l l x i n [ a , b ] . N o w w e k n o w t h a t F i s a b s o l u t e l y

c o n t i n u o u s a n d t h e r e f o r e d i f f e r e n t i a b l e a l m o s t e v e r y w h e r e . P u t

f n ( x ) =

n [ F ( x + n \ \ l

- F ( x ) J .

T h e n I f . I < M a n d f n ( x ) - F ' ( x ) a l m o s t e v e r y w h e r e ; s o , b y t h e o r e m

5 . 8 f o r a < c < b ,

f ( x ) d x = l m n

f

) - F ( x ) ] d x

F ' ( x ) d x

= 1 i m f a

+ ( 1 / n )

a + ( 1 / n )

= l i m

[ n f

F ( x ) d x - n

f

F ( x ) d x

a

= F ( c ) - F ( a ) =

f c

f ( x ) d x

s i n c e F i s c o n t i n u o u s . H e n c e

f c { F ' ( x ) - f ( x ) } d x = 0

f o r a l l c i n [ a , b ] s o t h a t F ' ( x ) = f ( x ) a l m o s t e v e r y w h e r e .

N o w s u p p o s e t h a t f : [ a , b ]

R * i s i n t e g r a b l e b u t n o t b o u n d e d .

F r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l i t i s s u f f i c i e n t t o p r o v e t h e t h e o r e m

w h e n f > 0 . P u t

g n ( x ) = m i n [ n , f ( x ) ]

a n d

G n ( x ) = f a

x

[ f ( t ) - g n ( t ) ] d t .

9 . 2 1

D I F F E R E N T I A T I N G T H E I N T E G R A L 2 3 3

S i n c e f - f n > 0 , G . i s m o n o t o n e i n c r e a s i n g a n d s o h a s a n o n - n e g a t i v e

d e r i v a t i v e a l m o s t e v e r y w h e r e . S i n c e f n i s b o u n d e d ( b y n ) w e k n o w t h a t

d t l ( = f n ( x ) a . e . ,

d x

J . x f , , ( t )

s o t h a t t h e d e r i v a t i v e

d

F i ( x ) = G . n ( x ) +

d x

J x f . ( t ) d t )

> f n ( x ) ,

a n d e x i s t s a l m o s t e v e r y w h e r e . S i n c e t h i s i s t r u e f o r e a c h i n t e g e r n ,

F ' ( x ) > f ( x ) a . e .

( 9 . 2 . 3 )

H e n c e

J

b F ' ( x )

d x >

f b

f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) ,

a

a

a n d b y t h e o r e m 9 . 2 w e m u s t h a v e

d x ,

b

F ' ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = f j

a

a n d

J

{ F ' ( x ) - f ( x ) } d x = 0 .

a

T h i s w i t h ( 9 . 2 . 3 ) i m p l i e s t h a t F ' ( x ) = f ( x ) a . e .

L e m m a . I f F : [ a , b ] - > R i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s o n [ a , b ] a n d

F ' ( x ) = 0 a . e . ,

t h e n F i s c o n s t a n t .

P r o o f . S u p p o s e a < c 0 , t h e r e a r e a r b i t r a r i l y s m a l l i n t e r v a l s [ x , x + h ] f o r e a c h

x E E s u c h t h a t

I F ( x + h ) - F ( x ) I < e h .

C h o o s e 8 > 0 t o s a t i s f y ( 9 . 2 . 2 ) i n t h e d e f i n i t i o n o f a b s o l u t e c o n t i n u i t y

a n d u s e t h e o r e m 9 . 1 t o o b t a i n a f i n i t e c o l l e c t i o n [ x k , y k ] o f i n t e r v a l s

w i t h

I F ( y k ) - F ( x k ) I < e ( y k - x k )

w h i c h c o v e r a l l o f E e x c e p t f o r a s u b s e t o f m e a s u r e l e s s t h a n 8 . O r d e r

t h e s e i n t e r v a l s s o t h a t

y o = a < x 1 < y 1 - < x 2 < . . . < y n - < C = x n + i ,

a n d

n

I x i + 1 - y i l < 8 .

i = 0

n

B y ( 9 . 2 . 2 ) t h i s i m p l i e s Z I F ( x i + i )

- F ( y i ) I < e

i = o

a n d , f r o m t h e c h o i c e o f t h e c o v e r i n g f a m i l y

n

F ( y i ) - F ( x i ) I < e ( c - a )

i = o

s o t h a t

I F ( c ) - F ( a ) =

n

n

{ F ( x 2 + 1 )

- F ( y z ) } +

{ F ( y z ) - F ( x i ) }

2 = o

a = o

< e ( c - a + 1 ) .

S i n c e e i s a r b i t r a r y , w e h a v e F ( c ) = F ( a ) . ]

T h e o r e m 9 . 4 . A f u n c t i o n F : I

R i s a n i n d e f i n i t e i n t e g r a l , t h a t i s

t h e r e i s a m e a s u r a b l e f : I - - > R * s u c h t h a t

F ( b ) - F ( a ) = J b f ( x ) d x

a

f o r a l l [ a , b ] c I , i f a n d o n l y i f F i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s o n I .

P r o o f . W e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t a n y i n d e f i n i t e i n t e g r a l i s a b s o -

l u t e l y c o n t i n u o u s . C o n v e r s e l y s u p p o s e F : I - + R i s a b s o l u t e l y c o n -

t i n u o u s . T h e n F i s d i f f e r e n t i a b l e a l m o s t e v e r y w h e r e i n [ a , b ] a n d

I F ' ( x ) I 5 F i ( x ) + F 2 ( x ) a . e . ,

w h e r e F = F i - F 2 e x p r e s s e s F a s t h e d i f f e r e n c e o f t w o m o n o t o n e

f u n c t i o n s . B y t h e o r e m 9 . 2 , F ' i n i n t e g r a b l e o n [ a , b ] . P u t

G ( x ) = f a F ' ( t ) d t .

T h e n G i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d s o i s H = F - G . B u t , b y t h e o r e m

9 . 3 ,

H ' = F ' - G ' = F ' - F ' = 0 a . e .

s o t h a t H i s c o n s t a n t b y t h e l e m m a . H e n c e

F ( x ) = f

a

J a

C o r o l l a r y . E v e r y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n F : I - - > R i s t h e

i n d e f i n i t e i n t e g r a l o f i t s d e r i v a t i v e .

D e n s i t y

G i v e n a s e t A C R , X E R c o n s i d e r t h e r a t i o

I I n A j

I I I

f o r a l l i n t e r v a l s I c o n t a i n i n g x w h e r e J E J d e n o t e s t h e L e b e s g u e o u t e r

m e a s u r e o f E . I f t h i s r a t i o c o n v e r g e s t o a l i m i t a s I I I - > 0 , t h e n

9 . 2 1 D I F F E R E N T I A T I N G T H E I N T E G R A L

2 3 5

t h i s l i m i t i s c a l l e d t h e d e n s i t y o f A a t x a n d d e n o t e d ? - ( x , A ) . T h e

p o i n t x i s c a l l e d a p o i n t o f d e n s i t y f o r A i f T ( x , A ) = 1 , a n d a p o i n t

o f d i s p e r s i o n f o r A i f T ( x , A ) = 0 . W e c a n o b t a i n t h e f o l l o w i n g a s a

c o r o l l a r y o f t h e o r e m 9 . 4 .

L e m m a ( L e b e s g u e ) . I f A - R , A i s L e b e s g u e m e a s u r a b l e , t h e n

T ( x , A ) = 1

f o r a l m o s t a l l x E A ,

T ( x , A ) = 0 f o r a l m o s t a l l

x E R - A .

P r o o f . S u p p o s e a < x < b . T h e n t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n y d i s

L e b e s g u e i n t e g r a b l e o v e r [ a , b ] . H e n c e

F ( x ) = f x x . d x

a

i s d i f f e r e n t i a b l e a l m o s t e v e r y w h e r e a n d

F ' ( x ) = 1

f o r a l m o s t a l l x i n [ a , b ] n A ,

F ' ( x ) = 0

f o r a l m o s t a l l x i n [ a , b ] n ( R - A ) .

B u t i f x i s s u c h t h a t F ' ( x ) = 1 , t h e r e i s f o r e a c h e > 0 a E > 0 s u c h t h a t

( i )

1 > I [ x , x ] n A l

> 1 - e f o r 0 < h < 4 ,

( i i )

> 1 - e f o r 0 < k < 4 ;

a n d s o

i ' >

l [ x - k h + h

] n A l

> 1 - e f o r

0 < h , k < S ,

k

w h i c h i s p r e c i s e l y t h e c o n d i t i o n f o r T ( x , A ) = 1 . A s i m i l a r p r o o f s h o w s

t h a t , a t p o i n t s x w h e r e F ' ( x ) = 0 w e h a v e T ( x , A ) = 0 . 1

E x e r c i s e s 9 . 2

1 . I f F : I

R i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s , s h o w t h a t F D i s a b s o l u t e l y

c o n t i n u o u s f o r e a c h p > 1 , b u t n o t , i n g e n e r a l , f o r p < 1 .

2 . I f F : [ a , b ] - > . R i s s u c h t h a t F ' e x i s t s e v e r y w h e r e i n ( a , b ) a n d i s

b o u n d e d s h o w t h a t

r b

F ' ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) .

F o r F ( x ) = x 2 s i n l / x 2 ( x + 0 ) , F ( 0 ) = 0 s h o w t h a t F ' ( x ) e x i s t s f o r a l l

x b u t i s n o t L e b e s g u e i n t e g r a b l e o v e r [ - 1 , 1 ] . ( T h i s s h o w s t h a t e v e n t h e

L e b e s g u e i n t e g r a l i s n o t s t r o n g e n o u g h t o i n t e g r a t e a l l d e r i v a t i v e s . )

3 . C o n s t r u c t a s u b s e t A c R f o r w h i c h T ( 0 , A ) = J .

9

T I T




4 . E x t e n d t h e d e n s i t y r e s u l t t o n o n - m e a s u r a b l e s e t s A b y s h o w i n g t h a t

f o r a n y A c R , T ( x , A ) = 1 f o r a l l x i n A e x c e p t a s u b s e t o f z e r o m e a s u r e .

H i n t . A s s u m e A i s c o n t a i n e d i n a f i n i t e i n t e r v a l , a n d t a k e a m e a s u r a b l e

s e t B A w i t h J B I = C A I .

D e d u c e t h a t a s e t A c R i s m e a s u r a b l e i f a n d o n l y i f r ( x , A ) = 0 f o r

a l m o s t a l l x i n ( R - A ) .

5 . P r o v e t h a t t h e C a n t o r f u n c t i o n g : [ 0 , 1 ] - * [ 0 , 1 ] d e f i n e d i n § 2 . 7

i s

m o n o t o n e i n c r e a s i n g a n d c o n t i n u o u s b u t n o t a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .

6 . T h e f u n c t i o n f : [ 0 , 1 ] - - > R i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s o n [ e , 1 ] f o r e a c h

e > 0 . C a n o n e d e d u c e t h a t f i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s o n [ 0 , 1 ] ? D o e s t h e

a d d i t i o n a l c o n d i t i o n t h a t f i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n [ 0 , 1 ] h e l p ?

9 . 3

P o i n t - w i s e d i f f e r e n t i a t i o n o f m e a s u r e s

I n t h e o r e m 4 . 8 w e p r o v e d t h a t a l l m e a s u r e s p i n R d e f i n e d f o r B o r e l

s e t s a n d f i n i t e o n b o u n d e d s e t s a r e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e s :

t h a t i s , t h e r e i s a m o n o t o n e i n c r e a s i n g f u n c t i o n F : R - - R w h i c h i s

c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t s u c h t h a t I t = , a F o n - 4 . B e c a u s e o f t h i s

c o r r e s p o n d e n c e w e c a n o b t a i n p r o p e r t i e s o f s u c h B o r e l m e a s u r e s i n

t e r m s o f t h e c o r r e s p o n d i n g p r o p e r t i e s o f F .

L e m m a 1 . S u p p o s e , u F i s t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e w i t h r e s p e c t t o

t h e f u n c t i o n F : R - - R w h i c h i s c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t . T h e n , a F i s

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e m i f a n d o n l y i f

F i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .

P r o o f . S u p p o s e f i r s t t h a t F i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s . T h e n , b y

t h e o r e m 9 . 4

, a F ( a , b ] = F ( b ) - F ( a ) =

J

b F ' ( t )

d t

a

s o t h a t , f o r E E 9 , , u F c o i n c i d e s w i t h t h e s e t f u n c t i o n

v ( E ) =

f E

F ' d m .

J

B u t t h e e x t e n s i o n o f a m e a s u r e f r o m 9 t o . ' i s u n i q u e , s o t h a t , a F = v

o n - 4 , a n d u p m u s t t h e r e f o r e b e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t

t o m .

C o n v e r s e l y , i f p p i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o m , b y

t h e R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m m t h e r e i s a n f > 0 s u c h t h a t

# '

=

f E

d m

f o r E .

.

9 . 3 1

P O I N T - W I S E D I F F E R E N T I A T I O N

2 3 7

H e n c e

# p ( 0 , x ] = F ( x ) - F ( 0 ) =

f f 4 t d t

f o r

x > 0 ,

# 1 , ( x , 0 ] = F ( 0 ) - F ( x ) _ f

o

f ( t ) d t

f o r

x < 0 ,

s o t h a t F : R - - > - R i s a n i n d e f i n i t e i n t e g r a l a n d m u s t t h e r e f o r e b e

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .

A t o m

G i v e n a n y m e a s u r e s p a c e ( X , 3 ; 7 , p ) i n w h i c h F c o n t a i n s a l l s i n g l e

p o i n t s e t s t h e p o i n t x E X i s s a i d t o b e a n a t o m f o r t h e m e a s u r e µ

i f , u { x } > 0 . A m e a s u r e I t w i t h n o a t o m s i s s a i d t o b e n o n - a t o m i c .

N o w i f I t i s o - - f i n i t e , t h e s e t o f a t o m s o f I t i s c o u n t a b l e . I n t h i s c a s e i f

w e p u t

v ( E ) = Z , u { x }

x E E

µ { x } + 0

w e o b t a i n a n e w m e a s u r e v d e f i n e d o n a l l s u b s e t s o f X , a n d v i s a

d i s c r e t e m e a s u r e a s d e f i n e d i n § 3 . 1 . F u r t h e r , t h e s e t f u n c t i o n

T = , a - v

d e f i n e d o n F i s c l e a r l y n o n - a t o m i c a n d s o

I t = v + T

i s a d e c o m p o s i t i o n o f a o - - f i n i t e m e a s u r e a i n t o t h e s u m o f a d i s c r e t e

m e a s u r e a n d a n o n - a t o m i c m e a s u r e . T h i s d e c o m p o s i t i o n i s c l e a r l y

u n i q u e . T h u s w e h a v e p r o v e d

L e m m a 2 . G i v e n a o - - f i n i t e m e a s u r e s p a c e ( X , F , # ) i n w h i c h . c o n t a i n s

a l l s i n g l e p o i n t s e t s t h e r e i s a u n i q u e d e c o m p o s i t i o n o f I t ,

p = V + T

f o r w h i c h v i s a d i s c r e t e m e a s u r e o n X a n d r i s a n o n - a t o m i c m e a s u r e

o n F .

L e m m a 3 . A m e a s u r e , a o n .

( t h e B o r e l s e t s o f R ) w h i c h i s f i n i t e o n

b o u n d e d i n t e r v a l s i s a d i s c r e t e m e a s u r e i f a n d o n l y i f p = / t F w h e r e F i s

a j u m p f u n c t i o n , t h a t i s ,

F ( x ) _

p i f o r

x > , 0 , 1

0 < x s 5 x

( 9 . 3 . 1 )

- F ( x ) =

p i f o r

x < 0 ,

x < x { < o

J

w h e r e t h e m e a s u r e p h a s a t o m s x i o f w e i g h t ( o r m e a s u r e ) p i .

9 - 2

2 3 8


[ 9 . 3

P r o o f . I t i s c l e a r t h a t i f F : R - . R s a t i s f i e s ( 9 . 3 . 1 ) t h e n

, F ( a , b ] =

p i = E P s

a < x ; 5 b

x i E ( a , b ]

s o t h a t # F c o i n c i d e s w i t h t h e d i s c r e t e m e a s u r e

v ( E ) = E p i

x ; E E

f o r E e 9 . B y u n i q u e n e s s o f e x t e n s i o n P F . m u s t b e a d i s c r e t e m e a s u r e .

C o n v e r s e l y , i f a i s a d i s c r e t e m e a s u r e w i t h a t o m s x i o f w e i g h t p i ,

a n a p p l i c a t i o n o f t h e t h e o r e m 4 . 8 s h o w s t h a t , a = , U F , w i t h F a j u m p

f u n c t i o n . ,

L e m m a 4 . A m e a s u r e , I t d e f i n e d o n . 1 w h i c h i s f i n i t e o n b o u n d e d i n t e r v a l s

i s n o n - a t o m i c i f a n d o n l y i f , i t _ , a F f o r a c o n t i n u o u s F : R - - R .

P r o o f . I f F i s c o n t i n u o u s , t h e n

0 < , U F , { x } < , a F , ( x - h , x ] = F ( x ) - F ( x - h )

f o r a l l h > 0 , s o t h a t , u p { x } = 0 .

C o n v e r s e l y i f F i s n o t c o n t i n u o u s a t x 0 , t h e n

( x o

- n , x o = F ( x o ) - F ( x o - 0 )

a F . { x o } = " M / t F

1

s o x o i s a n a t o m . I

S i n g u l a r m o n o t o n e f u n c t i o n

A n y f u n c t i o n F : I - R w h i c h i s c o n t i n u o u s a n d m o n o t o n e i n -

c r e a s i n g , s u c h t h a t F ' ( x ) = 0 f o r a l l x i n I e x c e p t f o r a s e t o f z e r o

L e b e s g u e m e a s u r e , i s s a i d t o b e s i n g u l a r . T h e f u n c t i o n g d e f i n e d i n

§ 2 . 7 c l e a r l y s a t i s f i e s t h e s e c o n d i t i o n s w i t h o u t b e i n g c o n s t a n t .

L e m m a 5 . A f u n c t i o n F : R - + R i s s i n g u l a r i f a n d o n l y i f t h e L e b e s g u e -

S t i e l t j e s m e a s u r e I t p i s n o n - a t o m i c a n d s i n g u l a r w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e

m e a s u r e .

P r o o f . T h e c o n t i n u i t y o f F i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n t h a t u ,

b e n o n - a t o m i c b y l e m m a 4 . N o w a m e a s u r e v i s s i n g u l a r w i t h r e s p e c t

t o L e b e s g u e m e a s u r e i f a n d o n l y i f a n y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s T

s a t i s f y i n g T ( E ) 5 v ( E ) f o r a l l E i n .

m u s t b e z e r o . N o w i f F ' ( x ) > 0

o n a s e t o f p o s i t i v e m e a s u r e , t h e s e tt f u n c t i o n

T ( E ) =

f E

d x

i s n o t a l w a y s z e r o a n d T < , a F . b y t h e o r e m 9 . 2 s o , a F i s n o t s i n g u l a r

w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e . C o n v e r s e l y , i f µ F i s n o t s i n g u l a r a

9 . 3 ]

P O I N T - W I S E D I F F E R E N T I A T I O N

2 3 9

n o n - n u l l a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s m e a s u r e T 5 µ F c a n b e f o u n d , a n d t h i s

c o r r e s p o n d s t o a f u n c t i o n G , t h a t i s

G ( b ) - G ( a ) =

J

b G ' ( x ) d x .

a

B u t F ( x ) > G ' ( x ) w h e n b o t h a r e d e f i n e d , s o F ' ( x ) > 0 o n a s e t o f

p o s i t i v e m e a s u r e . )

T h e o r e m 9 . 5 ( L e b e s g u e ) .

G i v e n a n y f u n c t i o n F : R - - > R w h i c h i s

m o n o t o n e i n c r e a s i n g a n d c o n t i n u o u s o n t h e r i g h t , t h e r e i s a d e c o m p o s i t i o n

o f F

F = F 1 + F 2 + F 3

w h e r e F 1 i s a j u m p f u n c t i o n ,

F 2 i s s i n g u l a r ,

F . i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .

T h i s d e c o m p o s i t i o n i s u n i q u e i f w e i n s i s t t h a t F 1 ( 0 ) = F 2 ( 0 ) = 0 .

P r o o f . U s e t h e f u n c t i o n F t o d e f i n e a L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e

, u p o n - 4 . D e c o m p o s e µ F w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e m b y

t h e o r e m 6 . 7 s o t h a t

, a F = v l + V 3

w i t h v 3 < m a n d v 1 s i n g u l a r w i t h r e s p e c t t o m . D e c o m p o s e v 1 b y

l e m m a 2 ,

v 1 = A 1 + A 2 ,

w h e r e A l i s d i s c r e t e a n d A 2 i s n o n - a t o m i c .

L e t F 1 , F 2 b e t h e m o n o t o n e f u n c t i o n s ( w i t h F 1 ( 0 ) = F 2 ( 0 ) = 0 )

o b t a i n e d b y t h e o r e m 4 . 8 f o r w h i c h A l = P F , ' A 2 = U F 2 o n A T h e n b y

l e m m a s 3 a n d 5 , F 1 i s a j u m p f u n c t i o n , a n d F 2 i s a s i n g u l a r f u n c t i o n .

I f o n e a p p l i e s t h e o r e m 4 . 8 t o v 3 o n e o b t a i n s a n a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s

G 3 f o r w h i c h v 3 = µ a , . F i n a l l y , p u t F 3 ( x ) = G 3 ( x ) + F ( 0 ) a n d w e s t i l l

h a v e F . a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s , a n d v 3 = µ F 8 . N o w

F ( x ) - F ( 0 ) = F i ( x ) - F 1 ( 0 ) + F 2 ( x ) - F 2 ( 0 ) + F 3 ( x ) - F 3 ( 0 )

f o r a l l x s o t h a t

F ( x ) = F 1 ( x ) + F 2 ( x ) + F 3 ( x ) .

T h e u n i q u e n e s s f o l l o w s f r o m t h e u n i q u e n e s s o f t h e d e c o m p o s i t i o n

µ F = A l + A 2 + v 3 , a n d t h e o r e m 4 . 8 . 1

I n R w e c a n a l s o u s e t h e c o n n e x i o n b e t w e e n µ F a n d F t o d e f i n e

d i f f e r e n t i a t i o n . T h u s i f F : I - + R i s d i f f e r e n t i a b l e a t x 0 , t h i s m e a n s

t h a t

F ( x o + h ) - F ( x o - k )

- ) - F ' ( x o )

a s

h , k - > 0

h + k



2 4 0


[ 9 . 3

w i t h h > O , k > 0 , a n d

p F ( x o - k , x a + h ]

1 7 L - -

F ( x o )

k

T h i s c a n b e w r i t t e n

I ( x o -

, x o + ] 1

# F ( J )

- a F ' ( x o )

a s I J I - - > 0

A

f o r i n t e r v a l s J c o n t a i n i n g x 0 , a n d w e c a n w r i t e d a F / d m ( x o ) f o r t h e v a l u e

o f t h i s l i m i t . M o r e g e n e r a l l y , i f p , v a r e t w o m e a s u r e s i n R w h i c h a r e

f i n i t e f o r b o u n d e d s e t s t h e n

l i m

L / t ( J )

I . n - - o L

v ( J ) J

x E J

w h e n i t e x i s t s , i s c a l l e d t h e d e r i v a t i v e o f p w i t h r e s p e c t t o v a t t h e

p o i n t x .

I n R n w e c a n c o n s i d e r t h e v a l u e s o f t h e r a t i o

, a ( J )

V ( J )

( 9 . 3 . 2 )

f o r r e c t a n g l e s J ( i n 9 1 1 ) c o n t a i n i n g a f i x e d p o i n t x a n d a s k w h e t h e r o r

n o t t h i s r a t i o a p p r o a c h e s a l i m i t a s d i a m ( J )

0 . T h e e x i s t e n c e o f

t h i s l i m i t f o r a l l x e x c e p t f o r a s e t o f z e r o v m e a s u r e c a n b e p r o v e d

w h e n v i s L e b e s g u e m e a s u r e : t h e l i m i t i n t h i s c a s e i s c a l l e d t h e s t r o n g

d e r i v a t e o f p a t x . T h i s r e s u l t i s h a r d e r t o p r o v e t h a n t h e r e s u l t i n

§ 9 . 1 b e c a u s e t h e o r e m 9 . 1 i s n o t v a l i d w i t h o u t s o m e r e s t r i c t i o n o n t h e

r a t i o o f t h e s i d e s o f t h e c o v e r i n g c l a s s / . E s s e n t i a l l y s i m i l a r m e t h o d s

t o t h o s e o f § 9 . 1 w i l l w o r k i f o n l y c u b e s J a r e c o n s i d e r e d . O n t h e o t h e r

h a n d i f i n ( 9 . 3 . 2 ) o n e c o n s i d e r s r e c t a n g l e s w i t h a r b i t r a r y o r i e n t a t i o n

a n e x a m p l e c a n b e g i v e n f o r w h i c h t h e l i m i t e x i s t s n o w h e r e .

D i f f e r e n t i a t i o n p o i n t - w i s e i n a b s t r a c t s p a c e s c a n a l s o b e d e f i n e d

i n t e r m s o f s u i t a b l e ` n e t s ' , a n d t h e t h e o r e m s o f t h i s c h a p t e r c a n b e

o b t a i n e d i f s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s a r e i m p o s e d . S i n c e t h e r e s u l t s a r e

n o t o f t e n u s e d i n p r a c t i c e , w e w i l l n o t s t a t e t h e m i n d e t a i l .

E x e r c i s e s 9 . 3

1 . E n u m e r a t e t h e r a t i o n a l s a s a s e q u e n c e { r i } . B y c o n s i d e r i n g t h e d i s c r e t e

m e a s u r e w i t h m a s s 1 / i 2 a t r i ( i = 1 , 2 , . . . ) d e f i n e a j u m p f u n c t i o n w h i c h i s

c o n s t a n t i n n o i n t e r v a l .

2 . G i v e a n e x a m p l e o f a s i n g u l a r f u n c t i o n w h i c h i s c o n s t a n t i n n o i n t e r v a l .

3 . I f F , G a r e t w o m o n o t o n e r e a l f u n c t i o n s d i f f e r e n t i a b l e a t x o w i t h

G ' ( x o ) + 0 , s h o w t h a t

d # F

( x ) = l i m

- F

e x i s t s a n d e u a l s

( )

d u G

x o E J # G ( J )

q

,

G ( x 0 )

I J I - + o



9 . 4 ]

T H E D A N I E L L I N T E G R A L

2 4 1

9 . 4 * T h e D a n i e l l i n t e g r a l

O u r a p p r o a c h i n t h i s b o o k h a s b e e n t o r e g a r d m e a s u r e a s t h e p r i m i -

t i v e c o n c e p t , a n d t o d e f i n e t h e i n t e g r a t i o n p r o c e s s i n t e r m s o f a g i v e n

m e a s u r e . O n e i m p o r t a n t a l t e r n a t i v e i s t o s t a r t w i t h a n ` i n t e g r a l '

d e f i n e d o n a s u i t a b l e c l a s s o f f u n c t i o n s , e x t e n d i t s d e f i n i t i o n t o a l a r g e r

d o m a i n w i t h d e s i r a b l e p r o p e r t i e s a n d t h e n o b t a i n m e a s u r e a s a

b y - p r o d u c t a t a l a t e r s t a g e . I n t h e p r e s e n t s e c t i o n w e d e s c r i b e t h i s

a l t e r n a t i v e a p p r o a c h : i t i s c o n v e n i e n t t o u s e i t i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n

t o o b t a i n t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f a n i m p o r t a n t c l a s s o f l i n e a r

f u n c t i o n a l s .

F o r a n a r b i t r a r y s p a c e X , w e c o n s i d e r a f a m i l y L o f f u n c t i o n s f :

X - > . R s a t i s f y i n g

( i ) L i s a l i n e a r s p a c e o v e r t h e r e a l s ;

( i i )

f o r e a c h f E L , t h e f u n c t i o n f + E L , w h e r e

f + ( x ) = m a x ( 0 j ( x ) ) .

N o w i f w e d e f i n e , f o r e a c h f , g E L , X E X

( f v g ) ( x ) = m a x ( f ( x ) , 9 ( x ) ) ,

( f A g ) ( x ) = m i n ( f ( x ) , g ( x ) ) ,

t h e r e l a t i o n s

f + = f v 0 , f v g = ( f - g ) v 0 + g , f A g = f + g - ( f v g ) ;

s h o w t h a t

( i i i ) i f f , g E L , t h e n f v g , f n g E L .

A n y f a m i l y L s a t i s f y i n g c o n d i t i o n s ( i ) a n d ( i i ) ( a n d t h e r e f o r e ( i i i ) )

i s c a l l e d a v e c t o r l a t t i c e o f f u n c t i o n s . S u p p o s e 5 i s a l i n e a r f u n c t i o n a l

o n L ( c o n s i d e r e d a s a r e a l l i n e a r s p a c e ) , t h e n w e s a y S i s p o s i t i v e i f

f E L , f > 0 = - 5 ( f ) > 0 .

A p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l f o n L i s s a i d t o b e a D a n i e l l f u n c t i o n a l

i f , f o r e v e r y i n c r e a s i n g s e q u e n c e { J n } o f f u n c t i o n s o f L

. f ( g ) S l i m S ( f n )

( 9 . 4 . 1 )

n - c o

f o r e a c h g E L s a t i s f y i n g g ( x ) 5 l i m f n ( x ) f o r a l l x E X . ( N o t e t h a t

n - c o

l i m f n ( x ) w i l l b e + o o i f t h e s e q u e n c e { f n ( x ) } i s u n b o u n d e d , a n d e v e n

n - * 0 0

i f l i m f n e x i s t s a s a f u n c t i o n w i t h f i n i t e v a l u e s w e d o n o t a s s u m e

t h a t i t i s i n L . )

I n p a r t i c u l a r , t h i s i m p l i e s t h a t , i f f i s a D a n i e l l f u n c t i o n a l , { f n }

a m o n o t o n e s e q u e n c e i n L s u c h t h a t f ( x ) = l i m f n ( x ) , x E X d e f i n e s

n - C 0



2 4 2 M E A S U R E S I N S P E C I A L S P A C E S

[ 9 . 4

a f u n c t i o n i n L t h e n 5 ( f ) = l i m 5 ( f n ) . F o r i f { f z } i s i n c r e a s i n g t h e n

n - - * o o

f > f n f o r a l l n , s o 5 ( f ) > - f ( f n ) s i n c e . 1 i s p o s i t i v e , w h i c h w i t h ( 9 . 4 . 1 )

g i v e s t h e r e q u i r e d e q u a l i t y . T h u s a D a n i e l l f u n c t i o n a l i s c o n t i n u o u s i n

t h e s e n s e t h a t f o r a n y s e q u e n c e { f n } i n L w h i c h d e c r e a s e s m o n o t o n i c a l l y

t o t h e z e r o f u n c t i o n w e m u s t h a v e . . f ( f . ) - ) . 0 . A n y D a n i e l l f u n c t i o n a l

i s t h e r e f o r e a n ` i n t e g r a l ' i n t h e s e n s e d i s c u s s e d i n § 5 . 1 . H o w e v e r ,

f o r t h e i n t e g r a l t o b e u s e f u l w e w a n t t h e d o m a i n L t o b e a s l a r g e a s

p o s s i b l e : i f { f n } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e i n L w h i c h i s b o u n d e d a b o v e

b y a n e l e m e n t o f L w e w o u l d c e r t a i n l y w a n t l i m f n t o b e i n L . T h e

D a n i e l l i n t e g r a l i s e s s e n t i a l l y t h e r e s u l t o f e x t e n d i n g a D a n i e l l f u n c -

t i o n a l . f f r o m L t o a c l a s s L l L : i t t u r n s o u t t h a t t h i s e x t e n s i o n c a n

b e c a r r i e d o u t i n t w o s t a g e s .

S u p p o s e f i s a D a n i e l l f u n c t i o n a l o n a v e c t o r l a t t i c e L . D e n o t e

b y L + t h e s e t o f f u n c t i o n s f : X - > R * w h i c h a r e l i m i t s o f m o n o t o n e

i n c r e a s i n g f u n c t i o n s o f L . L + i s n o t a l i n e a r s p a c e b u t

a , f > 0 f , g E L + = o f + / 3 g E L + .

T h e n i f { f n } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e i n L , { , f ( f . ) } i s a n i n c r e a s i n g

s e q u e n c e i n R w h i c h h a s a u n i q u e l i m i t i n R u { + o o } . W e c a n d e f i n e

5 i n L + b y

_ f ( l i m f n ) = l i m 5 ( f n ) .

T h i s d e f i n i t i o n i s p r o p e r b e c a u s e i f { f n } , { g n } a r e t w o m o n o t o n e

s e q u e n c e s e a c h c o n v e r g i n g t o h i n L + , c o n d i t i o n ( 9 . 4 . 1 ) g i v e s , f o r

f i x e d n ,

f n S h = l i m g n

5 ( f n ) 4 " M - f ( 9 n )

s o t h a t l i m 5 ( f n ) S l i m . f ( g n ) a n d t h e o p p o s i t e i n e q u a l i t y c a n b e

s i m i l a r l y o b t a i n e d . I t i s c l e a r t h a t f i s l i n e a r o n L + i n t h e s e n s e t h a t

a > 0 ,

f > , 0 ; f , g E L + = . f ( a f + f g ) = a . f ( f ) + f S ( g )

F o r a n a r b i t r a r y f u n c t i o n f : X - > R * w e d e f i n e t h e u p p e r i n t e g r a l

. f * ( f ) b y

. ' * ( f ) = i n f o f ( g ) ,

8 > f

D E L +

w h e r e w e a d o p t t h e ( u s u a l ) c o n v e n t i o n t h a t t h e i n f i m u m o f t h e e m p t y

s e t i s + o o . S i m i l a r l y , t h e l o w e r i n t e g r a l 5 * ( f ) i s d e f i n e d b y

5 * ( f ) = - . f * ( - f ) ,

a n d w e s a y t h a t a f u n c t i o n f : X - a R * i s i n t e g r a b l e ( w i t h r e s p e c t t o 5 )

i f 5 * ( f ) _ 5 * ( f ) a n d i s f i n i t e . T h e c l a s s o f i n t e g r a b l e f u n c t i o n s w i l l

b e d e n o t e d b y L l = L 1 ( 5 , L ) . F o r f E L l w e c a l l t h e c o m m o n v a l u e o f

5 * ( f ) , 5 * ( f ) t h e i n t e g r a l o f f a n d d e n o t e i t b y / ( f ) . W e n o w s h o w t h a t

9 . 4 ]

T H E D A N I E L L I N T E G R A L 2 4 3

t h i s f u n c t i o n a l / o n L 1 i s a D a n i e l l f u n c t i o n a l w h i c h e x t e n d s 5 , a n d

t h a t L 1 h a s t h e c l o s u r e p r o p e r t i e s d e s i r e d . I t i s c o n v e n i e n t t o o b t a i n

a n u m b e r o f p r e l i m i n a r y r e s u l t s b e f o r e s t a t i n g t h e t h e o r e m .

L e m m a 1 . I f { g n } i s a s e q u e n c e o f n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s i n L + , t h e n

0 0

g = 1 i g n

n = 1

O D

i s i n L + a n d

J f ( g ) = Z 5 ( g n ) .

n = 1

P r o o f . I t i s c l e a r t h a t a n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n f : X - > R + b e l o n g s

t o L + i f a n d o n l y i f t h e r e i s a s e q u e n c e { f n } o f n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s

i n L w i t h f =

f n . B y d e f i n i t i o n , i n t h i s c a s e

n = 1

C O

5 ( f ) = E 5 ( f n )

n = 1

H e n c e , e a c h f u n c t i o n g n c a n b e e x p r e s s e d a s a s u m

G o

g n = E f n , v

V = 1

w i t h

f n , v : X - + R + ,

f n , , E L .

I t f o l l o w s t h a t g = I Z f n r o

n v

i s a c o u n t a b l e s u m o f n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s o f L a n d s o m u s t b e

i n L + . F u r t h e r s i n c e a l l t h e t e r m s a r e n o n - n e g a t i v e , t h e o r d e r o f s u m -

m a t i o n i s i m m a t e r i a l a n d

O D

= E

( E ( f n , v ) )

n = 1 v = 1

L e m m a 2 . F o r a r b i t r a r y f u n c t i o n s f : X - - > R * , g : X - - > R * :

( i ) 5 * ( f + g )

( i i )

i f c % 0 ,

5 * ( c f ) = c 5 * ( f ) ;

( i i i ) i f f 5 g ,

5 * ( f ) < 5 * ( g ) ,

J * ( f ) 5 - f * ( g ) ;

( i v ) 5 * ( f ) 5 J * ( f ) ;

( v ) i f f E L + ,

5 * ( f ) = 5 * ( f ) _ 5 ( f ) .

P r o o f . ( i ) , ( i i ) a n d ( i i i ) f o l l o w i m m e d i a t e l y f r o m t h e d e f i n i t i o n s .

I t i s w o r t h n o t i n g i n ( i ) , t h a t w e c a n p u t ( f + g ) ( x ) = + o o a t t h o s e

p o i n t s x f o r w h i c h o n e o f f ( x ) i s + o o a n d t h e o t h e r i s - c o s o t h a t ( i )

i s t r u e w h a t e v e r t h e v a l u e i n R * c h o s e n f o r ( f + g ) ( x ) a t s u c h p o i n t s x .

( i v ) S i n c e 0 = 5 ( 0 ) = 5 ( f - f ) < 5 * ( f ) + 5 * ( - f ) b y ( i ) , i t f o l l o w s

t h a t . * ( f ) _ - 5 * ( - f ) < 5 * ( f )

( v ) I f f E L + , t h e n b y d e f i n i t i o n . / * ( f ) = . 1 ( f ) . N o w i f g E L , t h e n

2 4 4


- g c L c L + s o t h a t - 0 ' * ( g ) = . f i ( g ) . B u t e a c h f i n L + i s t h e l i m i t o f a n

i n c r e a s i n g s e q u e n c e { g n } i n L . T h u s f > g n s o J * ( f ) 3 5 * ( g n ) = 5 ( g n )

a n d J * ( f ) > , l i m . f ( g n ) = 5 ( f ) . ]

L e m m a 3 . I f { g n } i s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s o n X t o R + , a n d

g = E g n ,

t h e n

. O * ( g ) < E . - . O * ( g n )

n = 1 n = 1

P r o o f . I f 5 * ( g n ) = + o o f o r s o m e n , o r i f t h e s e r i e s I . f * ( g n ) d i v e r g e s

t h e r e i s n o t h i n g t o p r o v e . O t h e r w i s e , g i v e n e > 0 , f o r e a c h i n t e g e r

n c h o o s e h n > g n , h n E L + s u c h t h a t . f * ( g n ) > 5 ( h n ) - e 2 - n . T h e n

h = E h n E L + b y l e m m a 1 , h > , g a n d

0 0

- f * ( g ) < , 5 ( h ) = E 5 ( h n ) < e + 2 1 . E * ( g n )

n = 1

S i n c e e i s a r b i t r a r y t h e r e s u l t i s p r o v e d .

T h e o r e m 9 . 6 . G i v e n a D a n i e l l f u n c t i o n a l , f o n a v e c t o r l a t t i c e L o f

f u n c t i o n s o n X t o R , t h e p r o c e s s d e f i n i n g a f u n c t i o n a l / o n t h e s e t

L 1 d e t e r m i n e s a D a n i e l l f u n c t i o n a l o n a l a t t i c e L 1 w h i c h e x t e n d s . f .

F u r t h e r , i f { f n } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f f u n c t i o n s i n L 1 a n d f = l i m f n ,

t h e n f E L 1 i f a n d o n l y i f l i m / ( f n ) i s f i n i t e i n w h i c h c a s e / ( f ) = l i m / ' ( f n ) .

P r o o f . L e m m a 2 ( v ) s h o w s t h a t L 1

L a n d t h a t f i s a n e x t e n s i o n

o f . 0 . N o w i f g E L 1 s o d o e s c g f o r c i n R s i n c e

c % 0 - 5 * ( c f ) = c . f * ( f ) = c . f * ( f ) = 5 * ( c f ) ,

c < 0 5 * ( c f ) = c - f * ( f ) = c 5 * ( f ) _ . f * ( c f ) .

F u r t h e r , i f f a n d g a r e b o t h i n L 1 , u s i n g l e m m a 2 ( i ) , t

- 5 * ( f + g ) = 5 * ( - f - g )

/ ( f ) - / ( g )

s o

/ ( f ) + / ( g ) %

* ( f + g ) ;

a n d , b y l e m m a 2 ( i v ) , f + g E L 1 a n d

/ ( f + g ) = / ( f ) + / ( g )

T h u s L 1 i s a r e a l l i n e a r s p a c e , a n d f i s a l i n e a r f u n c t i o n a l o n L 1 .

T o p r o v e t h a t L 1 i s a l a t t i c e i t i s s u f f i c i e n t t o p r o v e t h a t

f E L 1 = f + e L 1 .

t A s p o i n t e d o u t i n t h e p r o o f o f l e m m a 2 ( i ) t h e i n e q u a l i t y i s v a l i d , w h a t e v e r v a l u e

i n R * i s c h o s e n f o r ( f + g ) ( x ) a t p o i n t s x w h e r e f ( x ) = + o o , g ( x ) = - o o . T h e p r o o f

g i v e n t h e n s h o w s t h a t , f o r f , g e L 1 , ( f + g ) E L 1 w h a t e v e r v a l u e s a r e a s s u m e d a t s u c h

p o i n t s .

9 . 4 1


2 4 5

F o r a f i x e d f i n L 1 a n d e a c h c > 0 , c h o o s e f u n c t i o n s g , h i n L + s u c h t h a t

- h < f < g a n d

5 ( g ) < / ( f ) + e < o o ,

f ( h ) < - / ( f ) + e < o o .

N o w g = ( g v 0 ) + ( g A 0 ) a n d g A 0 E L + ; s o . 5 ( g v 0 ) < . f i ( g ) - 5 ( g A 0 )

< o o .

T h u s g + = g v 0 E L + a n d . f ( g + ) < o o . S i m i l a r l y , - h _ = h A 0 E L + a n d

h - < f + < 9 + . B u t ( g + h ) > 0 ; a n d s e p a r a t e c o n s i d e r a t i o n o f e a c h

p o s s i b l e p a i r o f s i g n s f o r g , h s h o w s t h a t g + - h _ < g + h . H e n c e

. f ( 9 + ) + . f ( - h _ ) < . f i ( g ) + . f ( h ) < 2 e .

B u t

h _ ) <

* ( f + ) < 5 * ( . f + ) < 5 ( g + )

s o t h a t . f * ( f + ) - 5 * ( f + ) < 2 e . S i n c e e i s a r b i t r a r y a n d / ( g + ) i s f i n i t e

w e h a v e f + E L 1 a s r e q u i r e d .

N o w s u p p o s e { f n } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f f u n c t i o n s i n L 1

a n d f = l i m f n . T h e n i f l i m / ( f n ) = + o o , a n d g < f , g E L 1 i t i s c l e a r

t h a t / ( g ) < l i m / ( f n ) s i n c e / ( g ) i s f i n i t e . O n t h e o t h e r h a n d i f

l i m / ( f n ) i s f i n i t e , p u t h = f - f l . T h e n h > 0 a n d

W

h = E . + V . + 1 - A ) .

n = 1

B y l e m m a 3 ,

s o t h a t

0 0

E { d ( f n + 1 ) - ( f n ) }

n = 1

= l i m

/ ( f n ) - / ( . f 1 )

* ( f ) _ 5 * ( f i + h ) < J l * ( f i ) + J * ( h )

< l i m

/ ( f n )

B u t f n < f s o t h a t . f * ( f ) > , J i m / ( f n ) , a n d w e m u s t h a v e

5 * ( . f )

=

5 * ( f ) = J i m f ( f n ) -

T h i s m e a n s t h a t , i f l i m / ( f n ) i s f i n i t e , t h e n f i s i n L 1 , a n d

/ ( f ) = l i m f ( f n )

T h e p o s i t i v e f u n c t i o n a l / t h e r e f o r e s a t i s f i e s ( 9 . 4 . 1 ) a n d m u s t b e a

D a n i e l l f u n c t i o n a l o n L 1 . I

R e m a r k . T h e r e m a y b e s o m e f u n c t i o n s f : X - * R * w h i c h t a k e t h e

v a l u e s ± o o a t s o m e p o i n t s b u t a r e s t i l l i n L 1 . I n t h e c o u r s e o f t h e p r o o f

w e s a w t h a t i t m a d e n o d i f f e r e n c e t o t h e l i n e a r f u n c t i o n a l / w h a t

v a l u e w a s a s s i g n e d t o ( b f + e g ) ( x ) a t p o i n t s x w h e r e t h e u s u a l c a l c u l a t i o n

l e a d s t o + o o + ( - o o ) . I t i s i n t h i s s e n s e t h a t f i s a l i n e a r f u n c t i o n a l




[ 9 . 4

o n t h e r e a l l i n e a r s p a c e L 1 . H o w e v e r , w e w i l l s h o r t l y s e e t h a t a l l

f u n c t i o n s f : X - - R * i n L 1 m u s t t a k e f i n i t e v a l u e s a t ` a l m o s t a l l '

p o i n t s , s o t h a t t h e s e t w h e r e ( b f + c g ) i s n o t d e t e r m i n e d b y t h e l a w s o f

a l g e b r a i s a l w a y s s m a l l ( r e l a t i v e t o f ) .

N o w i f o n e s t a r t s w i t h a D a n i e l l f u n c t i o n a l . / o n a v e c t o r l a t t i c e L

w h i c h i s a l r e a d y c l o s e d f o r m o n o t o n e l i m i t s , i . e . i f { f j i s a m o n o t o n e

s e q u e n c e i n L a n d l i m 5 ( f n ) i s f i n i t e , t h e n f = l i m f , i s i n L ; t h e e x t e n -

s i o n p r o c e s s d e f i n e d w i l l l e a d t o n o t h i n g n e w a s t h e p a r t o f L + o n

w h i c h . 0 i s f i n i t e i s i n L a n d t h i s w i l l g i v e L = L 1 .

D a n i e l l i n t e g r a l

A n y D a n i e l l f u n c t i o n a l / o n a v e c t o r l a t t i c e L 1 o f f u n c t i o n s o n X

t o R * s u c h t h a t t h e l i m i t f o f a m o n o t o n e s e q u e n c e { f n } o f f u n c t i o n s i n

L 1 i s i n L 1 p r o v i d e d l i m / ( f . ) i s f i n i t e i s c a l l e d a D a n i e l l i n t e g r a l .

W e n o w s e e h o w o n e c a n o b t a i n a t h e o r y o f m e a s u r e i f o n e s t a r t s

w i t h a l i n e a r o p e r a t o r f s a t i s f y i n g t h e s e c o n d i t i o n s . T h e d e f i n i t i o n s

a r e m a d e s o t h a t t h e i n t e g r a l ( i n t h e s e n s e o f C h a p t e r 5 ) w i t h r e s p e c t t o

t h e m e a s u r e r e c o v e r s t h e o p e r a t o r f . S t a r t i n g w i t h a D a n i e l l i n t e g r a l

/ w e s a y t h a t a n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n f : X - a R + i s m e a s u r a b l e

( w i t h r e s p e c t t o f ) i f g c L 1 = f A g E L 1 . W e s a y t h a t a s e t A c X

i s m e a s u r a b l e ( w i t h r e s p e c t t o / ) i f t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n X A i s m e a s u r -

a b l e ; w h i l e t h e s e t A i s i n t e g r a b l e i f X A E L 1 . I n o r d e r t o e n s u r e t h a t t h e

c l a s s o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s a n d s e t s h a s u s e f u l p r o p e r t i e s w e w i l l

f u r t h e r a s s u m e t h a t t h e s p a c e X i s m e a s u r a b l e , t h a t i s , t h a t t h e

c o n s t a n t f u n c t i o n f ( x ) _ _ 1 i s m e a s u r a b l e .

L e m m a 4 . I f X i s m e a s u r a b l e , t h e n t h e c l a s s . d o f s e t s m e a s u r a b l e w i t h

r e s p e c t t o f i s a o f i e l d . I f f : X - - > R + i s a n y n o n - n e g a t i v e i n t e g r a b l e

f u n c t i o n , t h e s e t E a = { x : f ( x ) > a } E . d f o r a l l a E R .

P r o o f . G i v e n f , g n o n - n e g a t i v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n s , t h e l a t t i c e

p r o p e r t i e s o f L 1 i m m e d i a t e l y g i v e t h a t f v g a n d f A g a r e m e a s u r a b l e . B u t

X A A X B , X A ' B = X A V X B

s o t h a t A , B e d = A n B a n d A u B E a . F u r t h e r f o r a n y s e t E ,

g A X E = ( g v O + g A O ) A X E = ( g v O ) A X E + g A O

s o t h a t i f g E L 1 , g v 0 a n d g A 0 E L 1 a n d

( g V O ) A X A - B =

E L I ,

( g A O ) A X A - B = g A O E L 1 ,

s o t h a t g A X A - B E L 1 . T h u s s a d i s a r i n g , a n d s i n c e X E S , w e h a v e

p r o v e d t h a t a i s a f i e l d . T o s h o w t h a t s a d i s a o - - f i e l d o n e n e e d o n l y u s e

9 . 4 ]


2 4 7

t h e f a c t t h a t L 1 i s c l o s e d f o r m o n o t o n e l i m i t s w h i c h a r e b o u n d e d ,

n

s i n c e E . = U A i i s m o n o t o n e a n d s o i s X E n .

i = 1

N o w i f f : X - > R + i s n o n - n e g a t i v e a n d i s i n L 1 , E a = X f o r a < 0 .

I f a = 0 p u t h = f ; w h i l e i f a > 0 p u t h = [ a - l f - ( a - l f ) A 1 ] . T h e n

h e L 1 , a n d i n e i t h e r c a s e h ( x ) > 0 f o r x E E a a n d h ( x ) = 0 f o r x E X - E a .

F o r e a c h i n t e g e r n , p u t f n = 1 A ( n h ) . T h e n f n E L 1 a n d t h e s e q u e n c e

{ f n } i n c r e a s e s m o n o t o n e l y t o y E

H e n c e X E E i s m e a s u r a b l e , s o E a i s

m e a s u r a b l e . ]

T h e o r e m 9 . 7 ( S t o n e ) . S u p p o s e / i s a D a n i e l l i n t e g r a l o n t h e c l a s s L 1

o f f u n c t i o n s f : X - + R * , a n d X i s a m e a s u r a b l e s e t w i t h r e s p e c t t o f .

T h e n

p ( E ) = / ( X E ) w h e n E i s i n t e g r a b l e ,

p ( E ) = + o o o t h e r w i s e

d e f i n e s a m e a s u r e p o n t h e o - - f i e l d . u d o f m e a s u r a b l e s e t s . A f u n c t i o n

f : X - R * i s i n L 1 i f a n d o n l y i f i t i s i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o t h i s

m e a s u r e p , a n d

/ ( f ) =

J

f d a f o r a l l f e L l .

P r o o f . I t i s i m m e d i a t e t h a t , u ( 0 ) = 0 . I f B i s i n t e g r a b l e a n d A i s

m e a s u r a b l e w i t h A c B , t h e d e f i n i t i o n s e n s u r e t h a t A i s i n t e g r a b l e a n d

0 < p ( A ) 5 p ( B ) . T h i s i n e q u a l i t y i s t r i v i a l l y s a t i s f i e d w h e n B i s

m e a s u r a b l e b u t n o t i n t e g r a b l e , s o p i s m o n o t o n e o n d .

c oo w l e t { E n } b e a d i s j o i n t s e q u e n c e i n a a n d E = U E n . I f a t l e a s t

n - 1

o n e o f t h e E . f a i l s t o b e i n t e g r a b l e , t h e n E i s n o t i n t e g r a b l e a n d

u ( E ) = + o o = E p ( E n ) .

( 9 . 4 . 2 )

I f e a c h o f t h e s e t s E i s i n t e g r a b l e , t h e n E w i l l b e i n t e g r a b l e i f a n d o n l y

i f E p ( E n ) < o o b y t h e o r e m 9 . 6 , s i n c e X E = E X E E a n d i n t h i s c a s e

p ( E ) = E p ( E n ) < o o .

I t i s c l e a r f r o m t h e s t a t e m e n t o f t h e o r e m 9 . 6 t h a t ( 9 . 4 . 2 ) w i l l b e s a t i s -

f i e d i f E p ( E n ) = + o o . T h u s i n a l l c a s e s , I t i s

o n . .

N o w l e m m a 4 e n s u r e s t h a t . 2 f i s a

a n d t h a t a n y n o n - n e g a t i v e

g - i n t e g r a b l e f u n c t i o n s i s . s a d - m e a s u r a b l e .

S i n c e e a c h g - i n t e g r a b l e

f u n c t i o n i s t h e d i f f e r e n c e o f t w o n o n - n e g a t i v e g - i n t e g r a b l e f u n c t i o n s

i t f o l l o w s t h a t a n y f i n L 1 i s a - m e a s u r a b l e .

2 4 8


[ 9 . 4

C o n s i d e r a n o n - n e g a t i v e f : X - > R + i n L 1 . F o r e a c h p a i r ( r , 8 ) o f

p o s i t i v e i n t e g e r s p u t

E r , s = { x : f ( x ) > r / s } .

N o w E , S E . Q f a n d x E r

8

E L 1 ( t h a t i s , , u ( E r , s ) < o o ) s i n c e

X E r , s - x E r . , A

( i f ) .

P u t

f n , = -

x E , s '

s = 2 " ,

8 r = 1

a n d n o t e t h a t { f , , } i s a m o n o t o n e s e q u e n c e i n L 1 w h i c h c o n v e r g e s t o f .

H e n c e / ( f ) = l i m / ( f n ) . B u t

1

s '

1 s '

f f n d l j , ,

( f n ) = Z / ( X E r , , ) - Z i l u ( E r . s ) =

8 r = 1

8 r = 1

a n d f r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e i n t e g r a l o f a n o n - n e g a t i v e . - m e a s u r -

a b l e f u n c t i o n w e h a v e

/ ( f ) = l i m

f

f n d a = f f d , u .

C o n v e r s e l y , i f f : X - + R + i s n o n - n e g a t i v e a n d i n t e g r a b l e w i t h

r e s p e c t t o p , t h e n e a c h o f t h e s e t s E r , s i s i n s a f a n d h a s f i n i t e , - m e a s u r e .

H e n c e x E r

8

a n d t h e r e f o r e f n a r e i n L 1 . S i n c e

= l i m f f - d u = l i m a N n ) < c o ,

b y t h e o r e m 9 . 6 , f = l i m f n i s i n L . I . T h i s c o m p l e t e s t h e r e p r e s e n t a t i o n

t h e o r e m f o r n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s . B u t f o r b o t h t h e f u n c t i o n a l f ,

a n d t h e i n t e g r a l w i t h r e s p e c t t o , u w e h a v e a d e c o m p o s i t i o n f = f + - f -

o f a n y i n t e g r a b l e f : X - * R * a s t h e d i f f e r e n c e o f t w o n o n - n e g a t i v e

i n t e g r a b l e f u n c t i o n s , s o w e c a n d e d u c e t h e r e p r e s e n t a t i o n f o r a r b i t r a r y

i n t e g r a b l e f u n c t i o n s . I

A n o b v i o u s q u e s t i o n a r i s i n g i s t h a t o f u n i q u e n e s s f o r t h e m e a s u r e

, u i n t h e o r e m 9 . 7 . T h i s c a n n o t a l w a y s b e o b t a i n e d , b u t w e g i v e a n

o u t l i n e o f t h e u n i q u e n e s s p r o o f u n d e r s u i t a b l e c o n d i t i o n s i n e x e r c i s e s

9 . 4 ( 8 , 9 ) .

9 . 4 1


2 4 9

E x e r c i s e s 9 . 4

1 . S h o w t h a t t h e c o n d i t i o n ( 9 . 4 . 1 ) f o r a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l i s

e q u i v a l e n t t o s a y i n g t h a t , i f { u n } i s a s e q u e n c e o f n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s i n

L a n d 0 E L s a t i s f i e s 0 < E u , n , t h e n - 0 ( 0 ) 5 E 5 ( u n ) .

2 . I f ( S 2 ,

, u ) i s a a - f i n i t e m e a s u r e s p a c e , L i s t h e c l a s s o f u - i n t e g r a b l e

f u n c t i o n s a n d 5 ( f ) = f f d u , s h o w t h a t . 0 i s a D a n i e l l f u n c t i o n a l o n L .

3 . L e t J b e t h e c l a s s o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n R t o R w h i c h a r e z e r o

o u t s i d e [ - K , K ] f o r s o m e K a n d p u t

0 - 0 0 0

J O ( f ) =

J

f ( x ) d x i n t h e R i e m a n n s e n s e .

S h o w t h a t S i s a D a n i e l l f u n c t i o n a l o n J .

4 . I f / i s a D a n i e l l i n t e g r a l d e f i n e d o n t h e c l a s s L 1 p r o v e t h a t

f E L 1 = I f I E L 1 .

5 . ( F a t o u f o r D a n i e l l i n t e g r a l . ) S u p p o s e { f , , , } i s a s e q u e n c e o f n o n -

n e g a t i v e f u n c t i o n s i n L 1 . P r o v e t h a t l i m i n f f i s i n L 1 i f l i m i n f . f ( f ) < o o

a n d i n t h i s c a s e

/ ( l i m i n f f n ) < l i m i n f / ( f , , , ) .

6 . ( D o m i n a t e d c o n v e r g e n c e . ) S u p p o s e { f n } i s a c o n v e r g e n t s e q u e n c e i n

L 1 s u c h t h a t I f n I

g f o r a l l n w h e r e g e L 1 . T h e n i f f = l i m f n , f E L 1 a n d

A ( f ) = l i m / ( f n )

7 . S u p p o s e I t i s a m e a s u r e o n a f i e l d . V o f s u b s e t s o f X , a n d L i s t h e f a m i l y

o f f i n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f i n d i c a t o r f u n c t i o n s o f s e t s o f d w i t h f i n i t e

m e a s u r e . S h o w t h a t L i s a v e c t o r l a t t i c e a n d i f s i s d e f i n e d o n L t o b e i n t e g r a -

t i o n w i t h r e s p e c t t o , u , t h e n . i s a D a n i e l l f u n c t i o n a l . D i s c u s s i t s e x t e n s i o n

/ t o a D a n i e l l i n t e g r a l .

8 . S u p p o s e 5 i s a D a n i e l l f u n c t i o n a l o n a v e c t o r l a t t i c e L , a n d f ' i s a n

e x t e n s i o n o f 5 t o a D a n i e l l f u n c t i o n a l o n a v e c t o r l a t t i c e L '

L . I f 5

a n d 5 ' a r e e x t e n d e d t o g i v e D a n i e l l i n t e g r a l s o v e r L 1 a n d L i s h o w t h a t

L i L 1 a n d f ' i s a n e x t e n s i o n o f f

9 . S u p p o s e L i s a f i x e d v e c t o r l a t t i c e c o n t a i n i n g t h e c o n s t a n t f u n c t i o n

1 a n d - 4 i s t h e s m a l l e s t Q - f i e l d o f s u b s e t s o f X s u c h t h a t e a c h f u n c t i o n i n L

i s m e a s u r a b l e - 4 . P r o v e t h a t f o r e a c h D a n i e l l i n t e g r a l / o n L 1 t h e r e i s a

u n i q u e m e a s u r e p o n a s u c h t h a t

/ ( f ) = J f d u f o r a l l f E L .

H i n t . I f s a d i s a - - f i e l d o f s e t s m e a s u r a b l e w . r . t . 0 , a s a . E x i s t e n c e o f

p f o l l o w s f r o m t h e o r e m 9 . 7 . T o p r o v e u n i q u e n e s s i t i s s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t

f o r a n y s u c h , u ,

, u ( B ) = / ( X B )

f o r a l l

U s e q u e s t i o n s 8 a n d 7 a b o v e t o e x t e n d t h e t w o D a n i e l l f u n c t i o n a l s - o n e

g i v e n a n d t h e o t h e r d e f i n e d i n t e r m s o f t h e i n t e g r a l s w i t h r e s p e c t t o p .

2 5 0


[ 9 . 5

9 . 5 * R e p r e s e n t a t i o n o f l i n e a r f u n c t i o n a l s

I n t h i s s e c t i o n w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t o p o l o g i c a l s p a c e s X

w h i c h a r e l o c a l l y c o m p a c t a n d H a u s d o r f f . A t o p o l o g i c a l s p a c e i s

H a u s d o r f f i f g i v e n t w o d i s t i n c t p o i n t s x , y E X , t h e r e a r e o p e n s e t s

G , H w i t h x E G , y E H , G n H = 0 . T h e f a m i l y o f f u n c t i o n s f : X - > R

w h i c h a r e c o n t i n u o u s o n X a n d v a n i s h o u t s i d e a c o m p a c t s u b s e t

o f X i s c a l l e d C 0 ( X ) . I f w e d e f i n e t h e s u p p o r t o f a f u n c t i o n f : X - > R

t o b e t h e c l o s u r e o f t h e s e t { x : f ( x ) + 0 } , t h e n C 0 ( X ) i s t h e f a m i l y

o f t h o s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f : X - > R w h i c h h a v e c o m p a c t s u p p o r t .

B a i r e s e t s a n d m e a s u r e

T h e c l a s s o f B a i r e s e t s i s t h e s m a l l e s t o ' - f i e l d W o f s u b s e t s o f X s u c h

t h a t e a c h f u n c t i o n f i n C 0 ( X ) i s f - m e a s u r a b l e . T h u s ' i s t h e o - - f i e l d

g e n e r a t e d b y t h e s e t s o f t h e f o r m { x : f ( x ) > a } , f E C o ( X ) , a E R .

A m e a s u r e u i s c a l l e d a B a i r e m e a s u r e o n X i f I t i s d e f i n e d o n t h e

o ' - f i e l d l e o f B a i r e s u b s e t s , a n d u ( K ) i s f i n i t e f o r e a c h c o m p a c t s e t K i n ' .

C l e a r l y C 0 ( X ) i s a n o r m e d l i n e a r s p a c e i f w e p u t

1 1 f 1 1 = s u p 1 f ( X ) 1 ,

x E X

a n d w e w i l l a l s o u s e t h e f a c t t h a t C 0 ( x ) i s a v e c t o r l a t t i c e . T h i s a l l o w s

u s t o i d e n t i f y t h e p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l s o n C 0 ( X ) .

T h e o r e m 9 . 8 ( B i e s z ) . S u p p o s e X i s l o c a l l y c o m p a c t H a u s d o r f f , a n d

5 i s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n t h e s p a c e C 0 ( X ) o f c o n t i n u o u s f u n c -

t i o n s f : X - . R w i t h c o m p a c t s u p p o r t . T h e n t h e r e i s a B a i r e m e a s u r e

, u o n X s u c h t h a t

5 ( f ) _ ( f d u f o r a l l f E C o ( X ) .

P r o o f . T h e f i r s t s t e p i s t o s h o w t h a t - 0 m u s t b e a D a n i e l l f u n c t i o n a l

o n C 0 ( X ) . S u p p o s e f E C 0 ( X ) , { f n } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e i n C 0 ( X )

a n d f 5 l i m f n . I n o r d e r t o p r o v e t h a t 5 ( f ) 5 l i m . f ( f n ) i t i s s u f f i c i e n t

t o s h o w t h a t f ( f ) = l i m . > f ( g n ) w h e r e g n = f n f n s o t h a t

f = l i m g n 1 < l i m f n .

B u t t h e n , i f w e p u t h n = f - g n w e o b t a i n a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f

f u n c t i o n s o f C 0 ( X ) w h o s e l i m i t i s z e r o . L e t K b e t h e s u p p o r t o f h l ,

t h e n t h e r e i s a f u n c t i o n 0 i n C 0 ( X ) w h i c h i s n o n - n e g a t i v e a n d s a t i s f i e s

c ( x ) = 1 f o r x E K . f F o r e a c h x E K , e > 0 t h e r e i s a n n . , s u c h t h a t

h n x ( x ) < 2 e a n d , s i n c e

i s c o n t i n u o u s , t h e r e i s a n o p e n s e t G x f o r w h i c h

x E G z a n d h n x ( t ) < e f o r t E G x .

t T h i s u s e s a s e p a r a t i o n p r o p e r t y o f X ; s e e , f o r e x a m p l e p a g e 1 4 6 o f J . L . K e l l e y

O e n c r a l T o p o l o g y , V a n N o s t r a n d ( 1 9 5 5 ) .

9 . 5 1 L I N E A R F U N C T I O N A L S

2 5 1

S i n c e K i s c o m p a c t t h e r e i s a f i n i t e s u b c o v e r i n g

G a d o f K .

I f N = m a x [ n x l ,

. . . , n x 8 ] w e h a v e h , ( x ) < e f o r a l l x i n K , n > N . T h u s

0 < h , y < e ( b

s o t h a t

0 < . f ( h n ) < e - - ' ( ¢ ) .

S i n c e a i s a r b i t r a r y w e m u s t h a v e l i m . f ( h n ) = 0 w h i c h i m p l i e s c o n -

d i t i o n ( 9 . 4 . 1 ) .

W e c a n n o w a p p l y t h e o r e m 9 . 7 t o t h e e x t e n s i o n f o f f t o

L i C 0 ( X )

t o o b t a i n a m e a s u r e I t o n t h e o - - f i e l d . w h i c h c o n t a i n s t h e B a i r e s e t s

a n d s u c h t h a t , f o r f E C 0 ( X ) ,

5 ( f ) _ / ( f ) = f f d p .

B y c o n s i d e r i n g t h e a b o v e f u n c t i o n 0 w h i c h i s i n C 0 ( X ) a n d t a k e s t h e

v a l u e 1 o n t h e c o m p a c t K , w e s e e t h a t

, t ( K ) = f ( X K ) 5 / ( 0 ) =

f

O d a < o o ,

s o t h a t t h e m e a s u r e I t w e h a v e o b t a i n e d i s f i n i t e o n c o m p a c t s e t s .

W h e n X i s c o m p a c t , C 0 ( X ) i s t h e s a m e a s C ( X ) t h e s p a c e o f c o n -

t i n u o u s f : X - + R , s o t h a t i n t h i s c a s e t h e p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l s

o n C ( X ) c o r r e s p o n d t o f i n i t e B a i r e m e a s u r e s . F u r t h e r , b e c a u s e o f

e x e r c i s e 9 . 5 ( 9 ) t h e r e i s u n i q u e n e s s . T h i s g i v e s

C o r o l l a r y . I f X i s a c o m p a c t t o p o l o g i c a l s p a c e a n d C ( X ) i s t h e s e t

o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f : X

R , t h e n t h e r e i s a ( 1 , 1 ) c o r r e s p o n d e n c e

b e t w e e n p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l s f o n C ( X ) a n d f i n i t e B a i r e m e a s u r e s

p o n X g i v e n b y

, 0 ( f )

= 5 .

I f w e w a n t t o c o n s i d e r m o r e g e n e r a l l i n e a r f u n c t i o n a l s o n C ( X ) ,

i t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s t h e s e a s t h e d i f f e r e n c e o f t w o p o s i t i v e l i n e a r

f u n c t i o n a l s s o t h a t t h e o r e m 9 . 8 c a n b e a p p l i e d . T h i s c a n b e d o n e f o r

b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l s .

I f L i s a v e c t o r l a t t i c e o f b o u n d e d f u n c t i o n s f : X - * R , t h e n L

i s a n o r m e d l i n e a r s p a c e w i t h I f I I = s u p I f ( x ) 1 . A b o u n d e d l i n e a r

f u n c t i o n a l F h a s a n o r m

I I F I I = s u p I F ( f ) j .

I I J I I < 1

T h e o r e m 9 . 9 . S u p p o s e L i s a v e c t o r l a t t i c e o f b o u n d e d f u n c t i o n s f : X - > - R

w h i c h c o n t a i n s t h e c o n s t a n t f u n c t i o n 1 . T h e n f o r e a c h b o u n d e d l i n e a r

f u n c t i o n a l F o n L , t h e r e a r e t w o p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l s F + a n d F -

s u c h t h a t F = F + - F - a n d 1 1 F I I

= F + ( 1 ) + F

( 1 ) .

2 5 2


1 9 . 5

P r o o f . F o r e a c h f > 0 i n L p u t

F + ( f ) = s u p F ( g )

O S g < f

g E L

S i n c e F ( 0 ) = 0 , F + ( f ) > 0 a n d F + ( f ) > F ( f ) . F u r t h e r

F + ( c f ) = c F + ( f )

f o r c > 0 .

I f f , g a r e t w o n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n s i n L , s u c h t h a t 0 < 0 < f ,

0 < x < g , t h e n 0 < 0 + x < f + g , s o t h a t F + ( f + g ) > F ( O ) + F ( x ) .

T a k i n g s u p r e m a o v e r a l l s u c h 0 , x i n L g i v e s

F + ( f + g ) > F + ( . f ) + F + ( g )

T o o b t a i n t h e r e v e r s e i n e q u a l i t y c o n s i d e r x e L s u c h t h a t

0 < x < f + g :

t h e n 0 < x A f < f

a n d

0 5 x - ( x A f ) < g

s o t h a t

F ( x ) = F ( X A f ) + F [ x - ( x A f ) ]

< F + ( f ) + F + ( g )

a n d t a k i n g t h e s u p r e m u m o v e r s u c h x g i v e s

F + ( f + g ) < F + ( f ) + F + ( g )

F o r a n a r b i t r a r y f E L , l e t p , q b e t w o c o n s t a n t s s u c h t h a t ( f + p )

a n d ( f + q ) a r e b o t h n o n - n e g a t i v e . T h e n

F + ( . f + p + q ) = F + ( f + p ) + F + ( q ) = F + ( f + q ) + F + ( p )

s o t h a t

F + ( f + p ) - F + ( p ) = F + ( f + q ) - F + ( q )

T h i s m e a n s t h a t t h e v a l u e o f [ F + ( f + p ) - F + ( p ) ] i s i n d e p e n d e n t o f p

a n d w e c a n d e f i n e F + ( f ) t o b e t h i s v a l u e . T h u s F + i s n o w d e f i n e d o n L ,

F + ( f + g ) = F + ( f ) + F + ( g )

f o r a l l f , g E L ,

a n d

F + ( c f ) = c F + ( f ) f o r

c > 0 ,

/ E L .

B u t F + ( - f ) + F + ( f ) = F + ( 0 ) = 0 s o w e h a v e F + ( - f ) F + ( f ) a n d

F + i s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n L .

B u t F + ( f ) > F ( f ) s o t h a t F - = F + - F i s a l s o a p o s i t i v e l i n e a r

f u n c t i o n a l o n L .

N o w

I I F I I < 1 1 F + I I + J I F - 1 1 = F + ( 1 ) + F - ( 1 ) .

T o e s t a b l i s h t h e o p p o s i t e i n e q u a l i t y c o n s i d e r f u n c t i o n s f E L f o r

w h i c h 0 < f < 1 . S i n c e 1 2 f

< 1

1 1 F 1 1 > F ( 2 f - 1 ) = 2 F ( f ) - F ( 1 ) .

9 . 5 ]


2 5 3

T a k i n g t h e s u p r e m u m o v e r s u c h f g i v e s

1 1 F 1 1 > 2 F + ( 1 ) - F ( 1 ) =

C o r o l l a r y . L e t X b e a c o m p a c t H a u s d o r f f s p a c e a n d C ( X ) t h e s e t o f

c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f : X - + R . T h e n t h e r e i s a ( 1 , 1 ) c o r r e s p o n d e n c e

b e t w e e n f i n i t e s i g n e d B a i r e m e a s u r e s v o n X a n d t h e d u a l s p a c e t o C ( X )

g i v e n b y

F ( f ) = f f d v .

M o r e o v e r , I I F I I

= I v I ( X ) .

P r o o f . I f o n e s t a r t s w i t h a f i n i t e s i g n e d B a i r e m e a s u r e v , t h e n b y

t h e o r e m 3 . 3 , t h e r e i s a d e c o m p o s i t i o n v = v + - v _ i n t o t h e d i f f e r e n c e

o f t w o f i n i t e B a i r e m e a s u r e s . C l e a r l y

F ( f ) =

f f d v + -

f f d v _

t h e n d e f i n e s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l o n C ( X ) s i n c e e a c h f u n c t i o n

f i n C ( X ) i s b o u n d e d a n d m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e c l a s s o f

B a i z e s e t s .

C o n v e r s e l y g i v e n a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l F o n C ( X ) , t h i s c a n

b e d e c o m p o s e d b y t h e o r e m 9 . 9 i n t o t h e d i f f e r e n c e F = F + - F - o f t w o

p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l s . A p p l y t h e o r e m 9 . 8 a n d c o r o l l a r y t o f i n d

f i n i t e B a i r e m e a s u r e s , a 1 , , u 2 w i t h

F + ( f ) =

f f d 1 q )

F - ( f ) =

f f d A u z .

I f w e p u t v = , u 1 - , u 2 , t h e n v i s a f i n i t e B a i r e m e a s u r e a n d

F ( f ) = f f d v .

N o w

I F ( f ) I < f I f I d I v I

I l f l l I v I ( X )

s o t h a t I I F I I < I v I ( X ) . F u r t h e r

I v I ( X ) < 1 t 1 ( X ) + , u 2 ( X ) = F + ( 1 ) + F - ( 1 ) = I I F I I

s o w e h a v e I I F I I

= I v l

( X ) .

T o p r o v e t h a t v i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y F , s u p p o s e t h e r e a r e

t w o s i g n e d m e a s u r e s v 1 , v 2 2 w i t h

f f d v i =

f f d v 2 f o r

e a c h f e C ( X ) .

2 5 4


[ 9 . 5

D e c o m p o s e A = v 1 - v 2 b y t h e o r e m 3 . 2 t o g i v e A = A + - A _ . T h e n

f f d A

= J f d l _

f o r a l l f C ( X ) ,

s o t h a t b y t h e u n i q u e n e s s p r o v e d i n e x e r c i s e 9 . 4 ( 9 ) , A + = A _ o n t h e

B a i r e s e t s . H e n c e v 1 = v 2 . I

E x e r c i s e s

9 . 5 -

1 . S h o w t h a t i n a l o c a l l y c o m p a c t s e p a r a b l e m e t r i c s p a c e t h e c l a s s o f

B a i r e s e t s i s t h e s a m e a s t h e c l a s s o f B o r e l s e t s .

2 . S u p p o s e u i s a B a i r e m e a s u r e o n a l o c a l l y c o m p a c t s p a c e X . L e t

H b e t h e u n i o n o f a l l o p e n B a i r e s e t s 0 f o r w h i c h , u ( G ) = 0 . T h e c o m -

p l e m e n t F = X - H i s c l o s e d a n d c a l l e d t h e s u p p o r t o f a . P r o v e

( i )

i f G i s a n o p e n B a i r e s e t a n d G n F + 0 t h e n µ ( G ) > 0 ;

( i i )

i f K i s a c o m p a c t B a i r e s e t w i t h k n F = o , t h e n # ( K ) = 0 ;

( i i i ) i f f e C 0 ( X ) a n d f > 0 , f f d u = 0 i f a n d o n l y i f f = - 0 .

3 . T h e c o r o l l a r y t o t h e o r e m 9 . 9 i s n o t v a l i d o n C 0 ( X ) f o r X l o c a l l y c o m -

p a c t H a u s d o r f f . A R a d o n m e a s u r e 0 o n a l o c a l l y c o m p a c t s p a c e i s d e f i n e d

t o b e a l i n e a r f u n c t i o n a l o n 0 0 ( X ) w h i c h i s c o n t i n u o u s i n t h e s e n s e t h a t , f o r

e a c h c o m p a c t K , e > 0 t h e r e i s a 6 > 0 s u c h t h a t 1 I f ( x ) I < 6 f o r a l l x , w i t h

t h e s u p p o r t o f f c o n t a i n e d i n K , i m p l i e s t h a t I # ( f ) I < e .

P r o v e e v e r y

p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l i s a R a d o n m e a s u r e .

F o r R a n d t h e u s u a l t o p o l o g y d e f i n e

C O

g 5 ( f ) = Z ( - 1 ) * f ( r )

f o r

f E C 0 ( R ) .

S h o w t h a t 0 i s a R a d o n m e a s u r e , b u t t h a t 0 d o e s n o t c o r r e s p o n d t o a n y

s i g n e d B a i r e m e a s u r e .

9 . 6 * H a a r m e a s u r e

T h e r e i s a g e n e r a l m e t h o d o f d e f i n i n g a m e a s u r e o n a n i m p o r t a n t

c l a s s o f t o p o l o g i c a l s p a c e s w h i c h h a v e t h e a l g e b r a i c s t r u c t u r e o f a

g r o u p . F o r n o t a t i o n a l p u r p o s e s w e w i l l r e p r e s e n t t h e g r o u p o p e r a t i o n

i n t h e s e t X b y m u l t i p l i c a t i o n . W e d o n o t a s s u m e t h a t t h e g r o u p

o p e r a t i o n i s c o m m u t a t i v e . F o r s u b s e t s A , B o f X a n d a n e l e m e n t

x E X w e d e f i n e

x A = { x y : y E A } ,

A B = { x y : x E A , y E B } ,

A - 1

= { x : X _ 1 E A } ,

a n d c a l l x A a n d A x r e s p e c t i v e l y t h e l e f t t r a n s l a t i o n a n d r i g h t t r a n s l a -

t i o n o f A b y x . W e a l s o r e q u i r e t h e a l g e b r a i c o p e r a t i o n s t o b e c o n -

9 . 6 1

H A A R M E A S U R E

2 5 5

t i n u o u s i n t h e t o p o l o g y o f X . T h e t h e o r y o f H a a r m e a s u r e c a n b e

d e v e l o p e d f o r a n y s u c h t o p o l o g i c a l g r o u p w h i c h i s l o c a l l y c o m p a c t

a n d H a u s d o r f f , b u t i n t h i s s e c t i o n w e w i l l m a k e t h e a d d i t i o n a l ( u n -

n e c e s s a r y ) a s s u m p t i o n t h a t t h e t o p o l o g y i s d e t e r m i n e d b y a m e t r i c p .

A s e t X i s a m e t r i c g r o u p i f X i s a g r o u p a n d t h e r e i s a m e t r i c p

s u c h t h a t i n ( X , p ) , t h e g r o u p o p e r a t i o n i s c o n t i n u o u s . I n p a r t i c u l a r

l i m X . = x o

l i m X . Y . = x o Y o ,

n - c o

n - a o o

l i m Y . = y o

l i m x n 1 = x o 1 .

n - o o

n - a c o

W e w i l l , f o r t h e r e m a i n d e r o f t h e s e c t i o n , a s s u m e t h a t X i s a m e t r i c

g r o u p w h i c h i s l o c a l l y c o m p a c t i n t h e t o p o l o g y o f t h e m e t r i c .

W e a r e i n t e r e s t e d i n m e a s u r e s f o r w h i c h t h e t r a n s l a t i o n o f A b y

a n y e l e m e n t x l e a v e s t h e m e a s u r e i n v a r i a n t . F o r e x a m p l e , t h e s p a c e R

o f r e a l n u m b e r s i s c l e a r l y a m e t r i c g r o u p w i t h o r d i n a r y a d d i t i o n f o r

t h e g r o u p o p e r a t i o n . G i v e n a s e t E c R , a n d a p o i n t x E R , x E d e n o t e s

t h e s e t o f r e a l n u m b e r s o f t h e f o r m x + y w i t h y E E . W e s h o w e d i n

§ 4 . 5 t h a t L e b e s g u e m e a s u r e i n R i s i n v a r i a n t u n d e r t r a n s l a t i o n s i n t h e

s e n s e t h a t , f o r m e a s u r a b l e E , E = I x E 1 . T h e n o t a t i o n o f a n i n v a r i a n t

m e a s u r e i n a t o p o l o g i c a l g r o u p s h o u l d b e t h o u g h t o f a s a g e n e r a l i s a -

t i o n o f t h i s p r o p e r t y o f L e b e s g u e m e a s u r e i n R . T o b e p r e c i s e , a m e a -

s u r e , u d e f i n e d o n t h e c l a s s .

o f B o r e l s u b s e t s o f X i s c a l l e d a l e f t H a a r

m e a s u r e i f

( i )

, u i s i n v a r i a n t u n d e r l e f t t r a n s l a t i o n s ; t h a t i s f o r e v e r y E E 9 ,

x E X u ( x E ) = , a ( E ) ;

( i i ) f o r e v e r y c o m p a c t s e t C , , u ( C ) < o o ;

( i i i ) f o r e v e r y n o n - v o i d o p e n s e t G , µ ( G ) > 0 .

C o n d i t i o n s ( i i ) a n d ( i i i ) e l i m i n a t e s u c h t r i v i a l m e a s u r e s a s t h e z e r o

m e a s u r e , a n d t h e m e a s u r e w h i c h i s + o o e x c e p t o n t h e n u l l s e t . A

r i g h t H a a r m e a s u r e i s o n e f o r w h i c h l e f t t r a n s l a t i o n i n v a r i a n c e i s

r e p l a c e d b y i n v a r i a n c e f o r r i g h t t r a n s l a t i o n s . W e g i v e t h e d e t a i l s o f

c o n s t r u c t i o n f o r a l e f t H a a r m e a s u r e : o b v i o u s m o d i f i c a t i o n s w o u l d

g i v e t h e r i g h t H a a r m e a s u r e .

L e t W O b e t h e c l a s s o f n o n - e m p t y o p e n s u b s e t s o f X w h o s e c l o s u r e s

a r e c o m p a c t . T h e i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f l o c a l c o m p a c t n e s s i s

t h a t e v e r y c o m p a c t K i n X c a n b e c o v e r e d b y a f i n i t e n u m b e r o f s e t s

o f W O . T h e s e t s 0 , X a d d e d t o W O f o r m t h e c l a s s ` e . T h e f i r s t s t e p i s t o

d e f i n e a s u i t a b l e s e t f u n c t i o n A o n e .

S u p p o s e H E ( o , a n d G i s a n y n o n - e m p t y o p e n s e t . T h e n

9 = { x G : x E H G - ' }

2 5 6


[ 9 . 6

i s a c l a s s o f o p e n s e t s c o v e r i n g H s i n c e , i f y e H , g E G , x = y g - 1 ,

y = x g E x G . B u t H i s c o m p a c t s o t h e r e i s a f i n i t e s u b c l a s s o f 9 ,

w h i c h c o v e r s H . L e t t h e s m a l l e s t n u m b e r o f s e t s o f 9 w h i c h c o v e r H

b e d e n o t e d

( H : G ) .

T h i s i s a m e a s u r e o f t h e r e l a t i v e s i z e s o f H a n d G . I t i s i m m e d i a t e

t h a t , f o r A , B , C E T o

1 < ( A : C ) < ( A : B ) ( B : C ) .

N o v y c o m p a r e a l l s e t s w i t h s o m e f i x e d H O E W O , a n d p u t , f o r e a c h

n o n - e m p t y o p e n s e t G , H E W O ,

A G ( H ) =

( H : G )

(

o . G ) .

N o w , f o r f i x e d H , A , ( H ) i s a b o u n d e d f u n c t i o n o f G s i n c e

0 <

1

< A 0 ( H ) < ( H : H 0 ) .

( 9 . 6 . 1 )

( H o : H )

I f e i s t h e i d e n t i t y e l e m e n t o / / f t h e g r o u p X a n d

S n = S I e , n 1 ( n = 1 , 2 , . . . )

i s t h e o p e n s p h e r e c e n t r e e r a d i u s 1 / n , t h e n f o r e a c h f i x e d H E W O

A 2 . ( H )

( n = 1 , 2 , . . . )

i s a b o u n d e d s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s . P u t

A ( H ) = L i m A , . ( H )

w h e r e L i m i s t h e g e n e r a l i z e d l i m i t d e f i n e d f o r a l l s e q u e n c e s i n m

u s i n g t h e H a h n - B a n a c h t h e o r e m t o e x t e n d t h e d e f i n i t i o n f r o m c

t o m w h i l e p r e s e r v i n g t h e n o r m ( s e e e x e r c i s e 8 . 4 . ( 7 ) ) .

F i n a l l y , p u t

A ( o ) = 0 , A ( X ) = + o o i f X i s n o t c o m p a c t ( a n d s o n o t i n m o o ) .

L e m m a . T h e s e t f u n c t i o n A d e f i n e d o n l e h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( i )

0 < A ( H ) < o o f o r e v e r y H E ' o ;

( i i )

i f H 1 , H 2 E W O , d ( H 1 , H 2 ) > 0 t h e n

A ( H 1 v H 2 ) = A . ( H 1 ) + A ( H 2 ) ;

( i i i ) f o r a n y H l , H 2 E W O ,

A ( H 1 v H 2 ) < A ( H 1 ) + A ( H 2 ) ;

( i v ) i f H l , H 2 E l e o , H l C H 2 t h e n

A ( H 1 ) < A ( H 2 ) ;

( v ) f o r a n y x E X , H E T o , A ( x H ) = A ( H ) .

9 . 6 ]


2 5 7

P r o o f . B y ( 9 . 6 . 1 ) , A s . ( H ) i s b o u n d e d b e l o w a n d a b o v e s o t h a t

0 <

1

5 A ( H ) S ( H : H o ) < o o .

( H o : H )

T h i s e s t a b l i s h e s ( i ) . F u r t h e r , f o r e a c h H e W O , G o p e n , t h e c o v e r i n g

r a t i o s ( x H : 0 ) = ( H : G ) f o r a l l x r : X ; s o t h a t t h e s e q u e n c e A s n ( H ) i s

i n v a r i a n t u n d e r l e f t t r a n s l a t i o n s : t h e r e f o r e A i s a l s o a n d ( v ) i s p r o v e d .

I f H 1 , H 2 E c o a n d d ( H I , H 2 ) = q > 0 , t h e n f o r 1 / n < , I w e m u s t h a v e

( H 1 v H 2 : S n ) = ( H I : S . ) + ( H 2 : S n ) ,

A s . ( H 1 v H 2 ) = A s ( H ) + A s . ( H 2 ) ,

a n d ( i i ) i s n o w e s t a b l i s h e d b y t a k i n g g e n e r a l i s e d l i m i t s .

N o w f o r a n y o p e n G , a n d H 1 , H 2 E ' C o

( H 1 u H 2 : G ) s ( H 1 : G ) + ( H 2 : 0 ) ,

s o

A s n ( H 1 v H 2 ) 5 A s . ( H 1 ) + A s , , ( H 2 ) ;

t h i s i m p l i e s ( i i i ) a n d a s i m i l a r a r g u m e n t g i v e s ( i v ) .

W e n o w d e f i n e a s e t f u n c t i o n µ * f o r a l l s u b s e t s o f X b y

, u * ( E ) = i n f E A ( H H ) ,

0

i - 1

( 9 . 6 . 2 )

w h e r e t h e i n f i m u m i s t a k e n o v e r a l l c o v e r i n g s { H , H } o f E b y s e t s

i n W .

T h e o r e m 9 . 1 0 . I n a l o c a l l y c o m p a c t m e t r i c g r o u p , t h e s e t f u n c t i o n a *

g i v e n b y ( 9 . 6 . 2 ) i s a m e t r i c o u t e r m e a s u r e . T h e r e s t r i c t i o n , u o f , u * t o t h e

c l a s s - 4 o f B o r e l s e t s i s a l e f t H a a r m e a s u r e .

P r o o f . I n t h e d e f i n i t i o n o f o u t e r m e a s u r e g i v e n i n § 3 . 1 , c o n d i t i o n

( i ) i s o b v i o u s , ( i i ) f o l l o w s f r o m ( i v ) o f t h e l e m m a , a n d s u b a d d i t i v i t y

( i i i ) f o l l o w s f r o m ( 9 . 6 . 2 ) a s i n t h e p r o o f o f t h e o r e m 4 . 2 . T h u s µ * i s a n

o u t e r m e a s u r e . N o w s u p p o s e E 1 , E 2 C X w i t h d ( E 1 , E 2 ) > 0 . I f

E 1 V E 2 c a n n o t b e c o v e r e d b y a s e q u e n c e f r o m W O , t h e n a t l e a s t o n e

o f t h e s e t s E 1 , E 2 c a n n o t b e c o v e r e d b y s u c h a s e q u e n c e a n d

, u * ( E 1 v E 2 ) = u * ( E 1 ) + , u * ( E 2 )

( 9 . 6 . 3 )

s i n c e b o t h s i d e s a r e + o o . I f E 1 , E 2 c a n b e c o v e r e d b y s e q u e n c e s f r o m

W o , f i r s t c h o o s e o p e n s e t s G 1

E 1 , G 2

E 2 f o r w h i c h d ( G 1 , G 2 ) > 0 a n d

l e t { H i } b e a s e q u e n c e o f s e t s f r o m W O c o v e r i n g E 1 v E 2 w i t h

E A ( H i ) 5 I t * ( E l v E 2 ) + e .

2 5 8


[ 9 . 6

F o r e a c h i , p u t H ' = G l n H i ,

H i 2 = G 2 n H i .

T h e n b y ( i i ) a n d ( i v ) o f t h e l e m m a , f o r e a c h i n t e g e r i ,

A ( H i ) > A ( H ' v H % ) = A ( H i ) + A ( H 2 )

a n d s o

p * ( E 1 ) + , u * ( E 2 ) < F - A ( H i ) < 1 a * ( E 1 v E 2 ) + e .

S i n c e t h i s i s t r u e f o r e a c h e > 0 , a n d p * i s s u b a d d i t i v e w e h a v e e s t a b -

l i s h e d ( 7 . 6 . 3 ) s o t h a t p * i s a m e t r i c o u t e r m e a s u r e .

N o w a p p l y t h e o r e m 4 . 1 t o p * t o o b t a i n a m e a s u r e p o n a c l a s s . 4 l

o f , u * - m e a s u r a b l e s e t s . S i n c e p * i s a m e t r i c o u t e r m e a s u r e , t h i s c l a s s

. 4 l i n c l u d e s t h e o p e n s e t s a n d t h e r e f o r e t h e B o r e l s e t s . 4 ( s e e e x e r c i s e

4 . 3 ( 4 ) ) ; s o t h a t t h e r e s t r i c t i o n o f / . z * t o - 4 d e f i n e s a m e a s u r e o n - 4 .

I f w e n o w e x a m i n e t h e c o n d i t i o n s f o r I t t o b e l e f t H a a r m e a s u r e w e

s e e t h a t ( v ) o f t h e l e m m a i m p l i e s t h a t p * i s l e f t t r a n s l a t i o n i n v a r i a n t .

I f K i s a n y c o m p a c t s e t i n X , t h e r e i s a f i n i t e s u b c l a s s o f W O w h i c h

c o v e r s K s o t h a t

n

p * ( K ) < E A ( H i ) < c o

i = 1

s o t h a t c o n d i t i o n ( i i ) f o r a H a a r m e a s u r e i s s a t i s f i e d . N o w s u p p o s e

0 i s a n y n o n - v o i d o p e n s e t i n X . I f x e G , p i c k e > 0 s u c h t h a t

S ( x , e ) e G a n d p u t E = S ( x , ' j e ) s o t h a t E c G . S i n c e X i s l o c a l l y

c o m p a c t w e m a y a s s u m e a i s s m a l l e n o u g h t o m a k e E c o m p a c t s o t h a t

E e c 1 a . I f , a ( G ) = o o t h e n p ( G ) > 0 ; s o w e m a y s u p p o s e , u ( G ) < o o . F o r

e a c h y > 0 t h e r e i s a s e q u e n c e { H i } f r o m W O s u c h t h a t

0 0

U

G

E ,

F ' A ( H i ) < , a * ( G ) + r / .

i = 1

B u t E i s c o m p a c t s o a f i n i t e n u m b e r o f t h e H i m u s t c o v e r E . T h e n i f

U H i : D E ,

i = 1

A ( E ) < A ( U H i )

A ( H i ) A ( E ) > 0

s o t h a t I t s a t i s f i e s c o n d i t i o n ( i i i ) f o r a H a a r m e a s u r e .

C o r o l l a r y . F o r a n y c o m p a c t m e t r i c g r o u p X t h e r e i s a l e f t H a a r

m e a s u r e P d e f i n e d o n a c r f i e l d F w h i c h i n c l u d e s t h e B o r e l s e t s s u c h t h a t

( X , . F , P ) i s a p r o b a b i l i t y s p a c e .

9 . 6 1


2 5 9

P r o o f . I f X i s c o m p a c t , t h e a b o v e c o n s t r u c t i o n g i v e s a l e f t H a a r

m e a s u r e i n w h i c h

0 < , u ( X ) < 0 0

w i t h , u d e f i n e d o n a o - - f i e l d $ w h i c h i s c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o , c c . I f

w e p u t

P ( E ) =

f o r E e . F

i t i s c l e a r t h a t ( X , . F , P ) i s a p r o b a b i l i t y s p a c e .

E x e r c i s e s 9 . 6

1 . S u p p o s e S 2 i s t h e s e t o f p o s i t i v e r e a l n u m b e r s w i t h t h e u s u a l m e t r i c

a n d m u l t i p l i c a t i o n f o r t h e g r o u p o p e r a t i o n . I f ( 1 , e ) i s t h e r e f e r e n c e s e t H o

u s e d i n t h e d e f i n i t i o n o f H a a r m e a s u r e I t i n f 1 , s h o w t h a t

, u ( a , b ) = l o g b / a f o r e a c h i n t e r v a l ( a , b ) c Q .

( H e r e e i s t h e b a s e f o r N a p i e r i a n l o g a r i t h m s . )

2 . W i t h X = R a n d a d d i t i o n f o r t h e g r o u p o p e r a t i o n d e f i n e H a a r

m e a s u r e , u w i t h ( 0 , 1 ) t a k e n a s t h e r e f e r e n c e s e t H o . S h o w t h a t I t i s L e b e s g u e

m e a s u r e i n R .

3 . L e t X b e t h e s e t o f 2 x 2 m a t r i c e s o f t h e f o r m

( 0 x )

w i t h x > 0 a n d m u l t i p l i c a t i o n f o r t h e g r o u p o p e r a t i o n . D e f i n e a m e t r i c

i n X b y u s i n g t h e E u c l i d e a n m e t r i c i n R 2 . S h o w t h a t i n t h e t o p o l o g y o f

t h i s m e t r i c , X i s a l o c a l l y c o m p a c t m e t r i c g r o u p .

D e f i n e

F ( x y = - y

0

X /

x '

M a p t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e l i p i n t h e r i g h t h a l f - p l a n e x > 0

o f R 2 o n t o t h e s e t X , a n d s h o w t h a t t h e r e s u l t i s b o t h a l e f t a n d a r i g h t H a a r

m e a s u r e .

4 . X i s t h e s e t o f 2 x 2 m a t r i c e s o f t h e f o r m

(

x y

( x > 0 )

0

1

m e t r i s e d b y t h e E u c l i d e a n m e t r i c i n R 2 . A s i n q u e s t i o n 3 , o b t a i n a m e a s u r e

i n X b y m a p p i n g t h e L e b e s g u e - S t i e l t j e s m e a s u r e , u F o f q u e s t i o n 3 i n t o X .

S h o w t h a t t h i s i s a l e f t H a a r m e a s u r e b u t n o t a r i g h t H a a r m e a s u r e .

5 . I f , u i s a l e f t H a a r m e a s u r e o n X a n d v i s d e f i n e d b y v ( E ) = , u ( E - 1 ) ,

s h o w v i s a r i g h t H a a r m e a s u r e .




[ 9 . 6

6 . T h e l e f t H a a r m e a s u r e o f t h e o r e m 9 . 1 0 i s r e g u l a r i n t h e s e n s e t h a t

, u * ( E ) = i n f { , u ( G ) : G

E , G o p e n } .

7 . H a a r m e a s u r e i s o b v i o u s l y n o t u n i q u e s i n c e f o r a n y H a a r m e a s u r e

, u , c > 0 t h e m e a s u r e c u i s a l s o a H a a r m e a s u r e . H o w e v e r , o n a c o m p a c t

m e t r i c g r o u p , w i t h t h e c o n d i t i o n u ( X ) = 1 i t c a n b e p r o v e d t h a t t h e

H a a r m e a s u r e i s e s s e n t i a l l y u n i q u e .

8 . I f A , B a r e t w o c o m p a c t s e t s w i t h , u ( A ) = , u ( B ) = 0 , d o e s i t f o l l o w

t h a t # ( A B ) = 0 ?

9 . I f I t i s a H a a r m e a s u r e i n X , t h e n X h a s a d i s c r e t e t o p o l o g y i f a n d o n l y

i f µ { x } $ 0 f o r a t l e a s t o n e x r : X .

1 0 . I f a H a a r m e a s u r e I t o n X i s f i n i t e p r o v e t h a t X i s c o m p a c t .

1 1 . I n a l o c a l l y c o m p a c t m e t r i c g r o u p X s h o w t h a t a H a a r m e a s u r e #

o n X i s o - - f i n i t e i f a n d o n l y i f X i s o - - c o m p a c t .



2 6 1

I N D E X

O F N O T A T I O N

A - B , 9

l p , 1 w , 2 0 9

- 4 , - 4 - , 4 3 2 k , 7 9

R * , 1 0 3

F , 9 6

C 0 ( X ) , 2 5 0

1 6 8

C ( X ) , 2 5 1

Y 2 ( S 2 , µ ) , 1 9 4

C , 2

M , . , f , 1 6 6

C , 4 6

M ( c a ) , 1 9 9

C ( a , b ) , 2 0 9

M , m , 4 6

C * ( X ) , 4 8

p , g n , 1 5

c , 6 , 4 7 t

Q , 2

W x - 9 , 1 3 4

R , R n , 2

W * - 9 , 1 3 5

R * , 3 4 , 5 1

( ( 3 ; i E I ) , 1 3 6

R + , 5 1

D , D + , D _ , D + , D - , 2 2 4

R I , 1 5 8

d ( x , E ) , d ( E , F ) , 2 7

S ( x , r ) , 2 4

E , 2 6

S ( x , r ) , 2 5

E x , E Y , 1 3 5

s , 4 6

E x F , 2

2 , 8 2

e , 1 5

5 P ( M ) , 1 8

g n , 1 8

X I , 1 5 7

f - 1 , 4

f o g , 4

f : A - i - B , 3

f e ( y ) , 1 3 6

( f , g ) , 1 9 8

V i a , 4 4

F ( A ) , 1 9

1 9

9 a , 4 4

- o r , 1 0 0

K * , 2 1 1

4 3

L 1 , $ 1 , 1 7 4

L p , Y p , 1 7 5

1 2 , 4 8

{ x 1 } , 5

{ x ; P } , 1

Z , 2

a . e . , 1 0 9

d i a m , 2 7

e s s i n f , e s s s u p , 1 6 7

l i m i n f , l i m s u p , 1 2

1 1 + , , u _ , 6 2

9 6

, a f - 1 , 1 5 4

p e r , 1 6 8

P l , 1 7 4

p p , 1 7 5

( r - - q , 7 7

T ( x , A ) , 2 3 5

t N o t e t h a t t h e s y m b o l c h a s t w o d i s t i n c t u s e s , w h i c h s h o u l d n o t b e c o n f u s e d .

2 6 2 I N D E X O F N O T A T I O N

X E , 1 2

u , n , t o

N o , 6

1 1 . 1 1 , 4 5

E , O , z , = > , 1

f

, s e e

c h a p t e r 5

o , 2

< < , 1 4 8

H , 3 V , A , 2 4 1

3 , 4

T h e s y m b o l ] i s u s e d t o s i g n a l

- , 6

t h e e n d o f a p r o o f .

v , n , A , 9



2 6 3

G E N E R A L I N D E X

a b s o l u t e c o n t i n u i t y o f f u n c t i o n s , 2 3 1 ; o f

m e a s u r e s , 1 2 0 , 1 4 8 , 2 3 6

i n t e g r a t i o n , 1 2 8

a d d i t i v e s e t f u n c t i o n , 5 1 , 6 5 , 2 1 4

a l g e b r a o f s u b s e t s , 1 5

a l g e b r a i c n u m b e r s , 1 3

a l m o s t e v e r y w h e r e , 1 0 8

u n i f o r m c o n v e r g e n c e , 1 6 8

a p p r o x i m a t i o n i n m e a s u r e , 8 4

t o m e a s u r a b l e f u n c t i o n s , 1 3 1

a r e a , 6 9 , 7 9

u n d e r a c u r v e , 1 4 6

a t o m , 6 4 , 2 3 7

a x i o m o f c h o i c e , 7 , 1 9 , 9 3

B a i r e s e t s , 1 3 2 , 2 5 0

m e a s u r e , 2 5 0

B a i r e ' s c a t e g o r y t h e o r e m , 4 2

B a n a c h s p a c e , 1 9 4 , 2 0 9

B e s s e l ' s i n e q u a l i t y , 2 0 4

B i r k h o f f ' s t h e o r e m , 1 9 0

B o r e l f i e l d , 1 6

- m e a s u r a b l e f u n c t i o n , 1 0 7 , 1 5 4

s e t s , 4 3

B o r e l i a n s e t s , 4 3

b o u n d e d , 2 7

c o n v e r g e n c e t h e o r e m , 1 2 6

l i n e a r f u n c t i o n a l , 2 1 0 , 2 5 1

v a r i a t i o n , 2 2 8

b o u n d s , u p p e r a n d l o w e r , 2 1

B r o w n i a n m o t i o n , 1 6 1

C a n t o r s e t , f u n c t i o n , 4 9 , 1 1 0 , 1 5 2 , 2 2 9 ,

2 3 6 ,

C a n t o r ' s l e m m a , 4 1

C a r a t h e o d o r y , 1 2 7

c a r d i n a l n u m b e r s , 5 , 6

C a r t e s i a n p r o d u c t , 2 , 3 8 , 1 3 4

c a t e g o r y , f i r s t a n d s e c o n d , 4 1

C a u c h y i n t e g r a l , 1 2 7

- R i e m a n n i n t e g r a l , 1 2 9

s e q u e n c e , 2 9 , 1 6 7 , 1 7 1

c h a i n , 2 0

m a x i m a l , 2 1

c h a n g e o f v a r i a b l e , 1 5 5

c l a s s , 2

c l o s e d l i n e a r s p a n , 1 9 9

s e t , 2 5

s p h e r e , 2 6

c l o s u r e , 2 6

c o a r s e r t o p o l o g y , 4 0

c o l l e c t i o n , 2

c o m p a c t i f i c a t i o n , 3 3 , 3 4

c o m p a c t n e s s , 2 9 , 3 0 , 3 9

l o c a l , 3 1

c o m p l e m e n t , 9

c o m p l e t e m e a s u r e , 8 1 , 1 0 9 , 1 6 6

m e t r i c s p a c e , 2 9 , 1 7 5 , 1 9 4

s e t i n a l i n e a r s p a c e , 1 9 9

c o m p l e t i o n , 8 2

c o m p o s i t i o n , 4 , 1 5 4

c o n j u g a t e i n d i c e s , 1 8 3

s p a c e , 2 1 3 , 2 1 5

c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n s , 1 5 8

c o n t i n u o u s f u n c t i o n , 3 5

s e t f u n c t i o n , 5 6

c o n t i n u u m h y p o t h e s i s , 7 , 5 8

c o n v e r g e n c e , 1 8 0 - 1

i n m e a n , 1 7 4

i n m e a s u r e , 1 7 1

i n n o r m , 2 0 4

i n p t h m e a n , 1 7 4

o f s e t s , 1 2

c o u n t a b l e , 7

b a s i s f o r m e a s u r e , 1 9 5 , 2 0 7

c o u n t i n g m e a s u r e , 1 8 5

c o v e r i n g , 3 0 , 2 2 5

c y l i n d e r s e t , 1 3 6 , 1 4 0 , 1 5 8

D a n i e l l e x t e n s i o n , 2 4 2

f u n c t i o n a l , 2 4 1

i n t e g r a l , 1 0 1 , 2 2 3 , 2 4 1 , 2 4 6

- K o l m o g o r o v t h e o r e m , 1 5 9

d e c o m p o s i t i o n , H a h n - J o r d a n , 6 1 , 6 4

L e b e s g u e , 1 4 9 , 2 3 9

d e M o r g a n ' s l a w s , 1 0

d e n s e , 4 2 , 1 9 5

d e n s i t y , 2 3 4

d e r i v a t e , 2 2 4

d e r i v a t i v e , 2 2 4 , 2 4 0

R a d o n - N i k o d y m , 1 5 2 _ 2 2 3

d e r i v e d s e t , 2 6

d i a m e t e r , 2 7

d i f f e r e n t i a b l e , 2 2 4

d i s c r e t e d i s t r i b u t i o n

m e a s u r e , 5 3 , 8 0 , 2 3 7

p r o b a b i l i t y , 9 8

t o p o l o g y , 2 8

d i s j o i n t , 1 1

d i s s e c t i o n , 1 0 2

d i s t a n c e , 2 3 , 2 7

d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n , 9 6 - 7

d o m a i n , 3

d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m , 1 2 1 ,

1 2 5 - 6 , 1 8 0 , 2 4 9

d u a l s p a c e , 2 1 , 2 1 5

E g o r o f f ' s t h e o r e m , 1 6 9



2 6 4


e l e m e n t a r y e v e n t

f i g u r e s , 1 7 - 1 8 ; l e n g t h , a r e a a n d v o l u m e

o f , 6 9

f u n c t i o n s , 1 0 9

e m p t y s e t , 2

e n u m e r a b l e , 7

e q u i c o n t i n u i t y , 1 7 7

e q u i v a l e n c e r e l a t i o n , 6 , 1 6 6

e r g o d i c t h e o r e m s , m a x i m a l , 1 8 8 ; m e a n ,

2 2 1 ; p o i n t w i s e , 1 9 0

t r a n s f o r m a t i o n , 1 9 2 , 2 2 2

e s s e n t i a l l y b o u n d e d , 1 6 7

e x t e n d e d r e a l n u m b e r s , 3 3

e x t e n s i o n o f f u n c t i o n s , 4

o f s e t f u n c t i o n s , 5 8

t h e o r e m s , 6 5 - 6 , 7 7 , 2 4 4

F a t o u ' s l e m m a , 1 2 0 , 2 4 9

f i e l d , 1 5

f i n i t e - d i m e n s i o n a l

d i s t r i b u t i o n s , i n t e r -

s e c t i o n p r o p e r t y , 3 2

F o u r i e r c o e f f i c i e n t s , 2 0 3

s e r i e s , 2 0 3

F u b i n i ' s t h e o r e m , 1 4 3 - 4

f u n c t i o n , 3

s p a c e , 1 5 7

g e n e r a t e d r i n g , 1 7 , 6 5

o - r i n g , 1 8 , 7 7

z - c l a s s , 1 7

G r a m - S c h m i d t o r t h o g o n a l i s a t i o n , 2 0 1

g r o u p s , 2 5 4

H a a r m e a s u r e , 2 5 5 , 2 5 7 , 2 5 9

H a h n - B a n a c h t h e o r e m , 2 1 2 - 1 3

d e c o m p o s i t i o n , 6 1 , 6 4

H a u s d o r f f s p a c e , 2 5 0

H e i n e - B o r e l t h e o r e m , 3 0

H i l b e r t c u b e , 4 8

s p a c e , 1 9 4 , 2 0 2

H o l d e r ' s i n e q u a l i t y , 1 8 3 , 1 8 6

i n d e f i n i t e i n t e g r a l , 1 2 7 , 1 4 9 , 2 3 0 , 2 3 4

i n d i c a t o r f u n c t i o n , 1 2

i n d i s c r e t e t o p o l o g y , 2 8

i n e q u a l i t i e s , 1 8 3

i n n e r m e a s u r e , 7 5

p r o d u c t , 1 9 8

i n t e g r a b l e f u n c t i o n , 1 1 3 - 1 4 , 1 2 7 , 1 2 9 , 2 4 6

s e t , 2 4 6

i n t e g r a l , 1 0 0

C a u c h y , 1 2 7

C a u c h y - R i e m a n n , 1 2 9

D a n i e l l , 1 0 1 , 2 2 3 , 2 4 1 , 2 4 6

L e b e s g u e , 1 2 4

L e b e s g u e - S t i e l t j e s , 1 2 5

R i e m a n n , 1 0 0 , 1 2 8 , 1 2 9 , 1 7 6

i n t e g r a t i o n b y p a r t s , 1 5 7

i n t e r i o r p o i n t , 2 8

i n t e r s e c t i o n , 9 , 1 0

i n v a r i a n t f u n c t i o n , 1 9 0

m e a s u r e , 9 0 , 2 5 5

i n v e r s e f u n c t i o n , 4

i m a g e , 4

i n v e r t i b l e , 1 8 7

J a c o b i a n , 1 5 6

J o r d a n d e c o m p o s i t i o n , 6 1 , 6 4

j u m p f u n c t i o n , , 2 3 7

K o l m o g o r o v , 1 5 9

K u r a t o w s k i ' s l e m m a , 2 1

l e a s t u p p e r b o u n d a x i o m , 2 1 , 3 0

L e b e s g u e c o n v e r g e n c e t h e o r e m , 1 2 1

c o v e r i n g l e m m a , 3 8

d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m , 1 4 9 , 2 3 9

d e n s i t y t h e o r e m , 2 3 5

i n t e g r a l , 1 2 4

m e a s u r a b l e , 1 0 8

m e a s u r e , 6 9 , 7 9 , 1 9 5

- S t i e l t j e s i n t e g r a l , 1 2 5 ; m e a s u r e , 9 5 ,

1 9 8 , 2 3 6

L e g e n d r e p o l y n o m i a l s , 2 0 2

l e n g t h , 6 9 , 7 9

l i m i t o f a s e q u e n c e , 2 7

p o i n t , 2 6

l i n e a r d e p e n d e n c e , 1 9 9

f u n c t i o n a l , 2 0 1 , 2 1 5 , 2 4 1 , 2 5 0

s p a c e , 4 5 , 1 9 4

s p a n , 1 9 9

s u b s p a c e , 2 1 2

L i n d e l o f s p a c e , 2 2

L i o u v i l l e ' s t h e o r e m , 1 8 8

l o c a l c o m p a c t n e s s , 3 1 , 2 5 0 , 2 5 4

m a j o r i s e d , a e e d o m i n a t e d

m a p p i n g , 3 , 1 5 3

m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n , 1 6 3

m a x i m a l e r g o d i c t h e o r e m , 1 8 8

m e a n e r g o d i c t h e o r e m , 2 2 1

m e a s u r a b l e

f u n c t i o n ,

1 0 3 , 1 0 7 ,

1 6 6 ,

2 4 6

s e t , 7 4 , 7 9 , 9 6 , 2 4 6

s p a c e , 2 4 6

t r a n s f o r m a t i o n , 1 5 4

m e a s u r e , 5 5

H a a r , 2 5 5 , 2 5 7 , 2 5 9

L e b e s g u e , 6 9 , 7 9 , 1 9 5

L e b e s g u e - S t i e l t j e s , 9 5 , 1 9 8 , 2 3 6

R a d o n , 2 5 4

m e a s u r e - p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n s , 1 8 7

m e t r i c , 2 3 , 1 8 5

g r o u p , 2 5 5

o u t e r m e a s u r e , 8 6 , 8 8 , 2 5 7

s p a c e , 2 3




m e t r i s a b l e , 2 5

M i n k o w s k i ' s i n e q u a l i t y , 1 8 4 , 1 8 6

m o n o t o n e c l a s s , 1 6 , 7 9

c l a s s t h e o r e m , 1 8

c o n v e r g e n c e t h e o r e m , 1 1 9

s e q u e n c e , 1 2

s e t f u n c t i o n , 6 0

m o n o t o n i c f u n c t i o n , 8 , 2 2 4 , 2 2 6

m u t u a l l y s i n g u l a r m e a s u r e s , 1 4 9

n e i g h b o u r h o o d , 2 6

n o n - a t o m i c , 6 4 , 2 3 8

n o n - m e a s u r a b l e s e t , 9 3

n o r m , 4 5 , 1 9 4 , 2 1 1

n o r m a l n u m b e r s , 1 9 3

n o r m e d l i n e a r s p a c e , 4 4 - 5

n o w h e r e d e n s e , 4 1 , 4 9

n u l l s e t , 2

o p e n c o v e r i n g , 3 0

s e t , 2 4

s p h e r e , 2 4

o r d e r e d p a i r s , 2

o r d e r i n g , 2 0

o r d i n a t e s e t , 1 4 5

o r t h o g o n a l s y s t e m , 1 9 9 , 2 0 0

o r t h o g o n a l i s a t i o n , 2 0 1

o r t h o n o r m a l s y s t e m , 2 0 0

o u t e r m e a s u r e , 5 9 , 7 4

m e t r i c , 8 6 , 8 8 , 2 5 7

p a r a l l e l o g r a m l a w , 2 0 9

P a r s e v a l ' s i d e n t i t y , 2 0 4

p a r t i a l o r d e r i n g , 2 0

p e r f e c t s e t , 4 4 , 4 9

p h a s e s p a c e , 1 8 7

p o i n t o f d e n s i t y , 2 3 5

o f d i s p e r s i o n , 2 3 5

p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e , 1 6 6

p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l , 2 4 1 , 2 5 0

p r o b a b i l i t y m e a s u r e , 9 6 , 9 8

s p a c e , 9 6

p r o d u c t f i e l d , 1 3 4

m e a s u r e , 1 3 9 , 1 4 1 , 1 6 4

r i n g , 1 3 4

v - f i e l d , 1 3 4

s p a c e , 3 , 5 , 1 3 4

z - c l a s s , 1 3 4

p r o j e c t i o n , 4 0 , 1 3 5

p r o p e r s u b s e t , 1

R a d e m a c h e r f u n c t i o n s , 2 0 2

R a d o n m e a s u r e , 2 5 4

- N i k o d y m d e r i v a t i v e , 1 5 2 , 2 2 3 ; t h e o -

r e m , 1 4 9

r a n g e o f a f u n c t i o n , 3

r e c t a n g l e , 1 3 4

r e f l e x i v e , 2 0 , 2 1 8

2 6 5

r e g u l a r m e a s u r e , 8 6

o u t e r m e a s u r e , 7 5

r e p r e s e n t a t i o n o f l i n e a r f u n c t i o n a l s ,

2 5 0

r e s t r i c t i o n , 4

o f a s e t f u n c t i o n , 5 8 , 7 5

R i e m a n n i n t e g r a l , 1 0 0 , 1 2 8 , 1 2 9 , 1 7 6

R i e s z - F i s h e r t h e o r e m , 2 0 5

R i e s z ' s l e m m a , 1 8 8

r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m , 2 5 0

r i n g , 1 5

( i n a l g e b r a i c s e n s e ) , 1 8

s c a l a r p r o d u c t , 1 9 8

S c h r S d e r - B e r n s t e i n t h e o r e m , 6

S c h w a r z ' s i n e q u a l i t y , 1 8 4

s e c t i o n , 1 3 5 - 6

s e m i - r i n g , 1 5

s e p a r a b l e , 4 8 , 1 8 7 , 1 9 4

s e p a r a t i n g f u n c t i o n a l , 2 1 9

s e q u e n c e , 4

m o n o t o n e , 1 2 , 1 8

s e t , 1

f u n c t i o n , 5 1

s h i f t , 1 9 3

s i g m a a d d i t i v e ( v - a d d i t i v e ) , 5 4

a l g e b r a ( v - a l g e b r a ) , 1 6

c o m p a c t ( v - c o m p a c t ) , 4 3

f i e l d ( v - f i e l d ) , 1 6

f i n i t e ( Q - f i n i t e ) , 5 9

r i n g ( Q - r i n g ) , 1 6

s i m p l e f u n c t i o n , 1 0 2

s i n g u l a r , 1 4 9 , 2 3 8

s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s , 1 8 8

S t i e l t j e s m e a s u r e , 9 5 - 6 , 9 9 , 1 6 3

s e e a l s o L e b e s g u e - S t i e l t j e s

S t o n e ' s t h e o r e m , 2 4 7

s t r o n g d e r i v a t i v e , 2 4 0

s u b a d d i t i v e , 5 9 , 2 1 3

s u p p o r t , 2 5 0

s u p r e m u m , 2 1 , 2 9

t h i c k , 1 6 4

t o p o l o g i c a l g r o u p , 2 5 4

s p a c e , 2 5

t r a n s c e n d e n t a l n u m b e r s 1 4

t r a n s f o r m a t i o n , 3 , 8 9 , 1 5 4

m e a s u r e - p r e s e r v i n g , 1 8 7

t r a n s i t i v e , 2 0

t r i a n g l e i n e q u a l i t y , 2 3

t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s , 2 0 2

T y c h o n o f f ' s t h e o r e m , 3 9

u n i f o r m a b s o l u t e c o n t i n u i t y , 1 7 8

c o n t i n u i t y , 3 7

c o n v e r g e n c e , 1 6 7

u n i o n , 9 , 1 0

u n i q u e n e s s o f e x t e n s i o n , 7 7



2 6 6


u p p e r b o u n d , 2 1

W e i e r s t r a s s p r o p e r t y , 3 1

w e l l o r d e r e d , 2 , 2 2

s. j. taylor-introduction to measure and integration-university press (1973)

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