samenvatting optica · 2019. 8. 20. · samenvatting optica afbeeldingen van wouter de fockert...
TRANSCRIPT
Samenvatting Optica
Afbeeldingen van Wouter de Fockert (Masterstudent Natuurkunde aan de HU) uit 2013.
Master Leraar Natuurkunde
Instituut Archimedes HU FE
Hans Poorthuis, Peter Duifhuis
21 april 2017
Inhoudsopgave Les 1 De Aard van Licht ........................................................................................................................... 3
De stof in een oogopslag ..................................................................................................................... 3
Leervragen .......................................................................................................................................... 3
3.4 Straling .......................................................................................................................................... 3
4.2-4.4 De voorplanting van licht ........................................................................................................ 7
Les 2 Verstrooiing, Reflectie en Polarisatie........................................................................................... 16
De stof in een oogopslag ................................................................................................................... 16
Leervragen ........................................................................................................................................ 16
4.6.2-4.6.3 Reflectie en transmissie volgens Fresnel ........................................................................ 16
8.1-8.3 Vormen van polarisatie en dichroïsme ................................................................................. 19
Les 3 Polarisatie .................................................................................................................................... 22
De stof in een oogopslag ................................................................................................................... 22
Studievragen ..................................................................................................................................... 22
8.4 – 8.12 Polarisatie door dubbelbreking, verstrooiing en reflectie. Vertragers en polarisatoren. 22
Les 4 Interferentie ................................................................................................................................. 29
De stof in een oogopslag ................................................................................................................... 29
Studievragen ..................................................................................................................................... 29
9.1-9.4 Interferentie.......................................................................................................................... 29
Les 5 Buiging ......................................................................................................................................... 34
De stof in een oogopslag ................................................................................................................... 34
Studievragen ..................................................................................................................................... 34
10.1-10.2.3: Het buigingspatroon van de enkelspleet, dubbelspleet en meerdere spleten ............ 34
10.2.4-10.2.5: Het buigingspatroon van de rechthoekige en cirkelvormige opening ...................... 39
10.6 Oplossend vermogen en de Airy Disk ....................................................................................... 40
10.2.8 ................................................................................................................................................ 41
Les 6 Fourier Optica .............................................................................................................................. 42
De stof in een oogopslag ................................................................................................................... 42
Studievragen ..................................................................................................................................... 42
H11.1-11.3.3 Fourier Optica ............................................................................................................. 42
13.2 Spatiële filtering ........................................................................................................................ 51
Les 1 De Aard van Licht
De stof in een oogopslag
3.4
4.2-4.4
Leervragen 1. Wat is de Poynting vector en wat is de relatie tussen deze vector en de intensiteit van licht?
2. Hoe wordt een elektromagnetische golf veroorzaakt?
3. In welke richting plant deze golf zich voort?
4. Wat is de uitdrukking voor een het elektrisch veld van een golf in relatie tot 𝑥 en 𝑡?
5. Welke twee verschijnselen kunnen optreden wanneer een foton en een elektron botsen?
6. Waarom is de lucht blauw en de ondergaande zon rood?
7. Hoe kan het dat er bij Rayleigh verstrooing in een stof toch meer licht in voorwaartse
richting verstrooid wordt dan in zijwaartse (of achterwaartse) richting?
8. Wat wordt er, bij voortplanting in een stof, verstaan onder de primaire, secundaire en
gecombineerde stof?
9. Hoe kan licht in een stof een andere golflengte krijgen, dan in vacuüm?
10. Wat zijn de twee aannames waaruit je de wet van Snellius kan afleiden en hoe gaat deze
afleiding?
3.4 Straling
Versnellende ladingen zenden straling uit.
Deze deeltjes versnellen niet en zenden geen EM straling uit. De Poynting vector �⃗⃗� ∝ �⃗⃗� × �⃗⃗� wijst
niet naar buiten. Zie opgave H3.37.
Wanneer een deeltje versnelt is er wel een transverse (loodrechte) component van �⃗⃗� . Deze
component verandert met de tijd en wordt dus vergezeld door �⃗⃗� . De radiale component van �⃗⃗� gaat
als 1/𝑟2, terwijl de transverse component als 1/𝑟 gaat. Deze component dooft dus veel minder snel
uit… hierdoor kunnen we het licht van sterren nog over zo’n grote afstand waarnemen.
Merk op dat er in de richting van de versnelling geen transverse ‘knik´ in de veldlijnen zit. De
intensiteit van de straling is dus nul in de richting van de versnelling en maximaal loodrecht op
richting van de versnelling.
3.4.3 Electric Dipole Radiation
Wanneer een dipool trilt, versnellen de ladingen. Er wordt dus straling uitgezonden. De frequentie
van de trilling bepaalt de frequentie van de uitgezonden straling.
De sterkte van het elektrisch veld wordt gegeven door (3.56):
𝐸 =𝓅0𝑘
2 sin𝜃
4𝜋𝜖0 cos(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡)
𝑟
Hierin is 𝓅0 het dipoolmoment in C ⋅ m. Merk op dat het 𝐸-veld loodrecht op de
voortplantingsrichting van de straling staat. Verder gaat 𝐸 hier ook met 1/𝑟.
De intensiteit (irradiance) wordt gegeven door (3.57):
𝐼(𝜃) =𝓅0
2𝜔4
32𝜋2𝑐3𝜖0
sin2 𝜃
𝑟2
Merk op dat de intensiteit dus afhankelijk is van de hoek, maar vooral ook van de frequentie van de
trilling: 𝐼 ∝ 𝜔4!
Antennes
Wanneer er in antennes een staande golf kan ontstaan zijn dit goede (AM) zenders:
Merk op er in de een radiotoren een staande golf van 1
4𝜆 ontstaat. Een knoop bij de top, een buik bij
de aarde / functiegenerator.
3.4.4 The Emission of Light from Atoms
Wanneer de energie van een inkomend foton overeenkomt met de overgang van de elektronenwolk
in een hogere energietoestand (quantumsprong), kan een foton geabsorbeerd worden. De
verhoogde energietoestand van het atoom duurt typisch 10−9 ~10−8 s. Dan wordt de energie ofwel
weer uitgezonden met een nieuw foton (verstrooiing, scattering), ofwel omgezet in thermische
energie door botsingen tussen atomen (absorptie van een bepaalde golflengte, een van de
processen verantwoordelijk voor de kleuren die we zien). De frequentie waarbij dit gebeurt noemen
we de resonantiefrequentie.
4.2-4.4 De voorplanting van licht
Het doorlaten, reflecteren en breken van licht zijn het gevolg van verstrooiing op atomair niveau.
H4.2 Rayleigh Scattering
Wanneer een foton een molecuul (bijvoorbeeld lucht) raakt en de energie onvoldoende is om het
molecuul in een hogere toestand te krijgen, wordt het geabsorbeerd en wordt er direct een foton
met dezelfde energie uitgezonden in willekeurige richting. Hoe dichter de frequentie van het licht bij
de resonantiefrequentie van de moleculen komt, meer het verstrooid wordt.
Voor lucht ligt de resonantiefrequentie in de buurt van UV, daarom wordt violet meer verstrooid dan
blauw, blauw meer dan groen, groen meer dan geel, geel meer dan rood, etc… Zonlicht bevat weinig
violet, dus de hemel is blauw.
4.2.1 Scattering and Interference
In een dicht materiaal worden zijwaarts en achterwaarts verstrooide golven uitgedoofd door
interferentie. Hoe minder dicht het materiaal, hoe meer verstrooiing in alle richtingen.
Bij verstrooiing in de richting van de beweging is er sprake van constructieve interferentie.
Het secundaire (verstrooide) golffront is 180∘ uit fase met het primaire golffront.
4.2.2 The Transmission of Light Through Dense Media
In dicht materiaal, waarbij de afstand tussen de atomen kleiner is dan de golflengte van het licht, is
er zijwaarts destructieve interferentie.
4.2.3 Transmission and the Index of Refraction
Hoewel fotonen alleen met snelheid 𝑐 bestaan, beschouwen we een lichtgolf door een materiaal
alsof het met een snelheid anders dan de lichtsnelheid beweegt: 𝑣 ≠ 𝑐.
Wanneer een inkomend (primair) golffront een atoom in trilling brengt, is deze trilling doorgaans
niet in fase met de ‘aangedreven’ trilling. Dit faseverschil is afhankelijk van de frequentie van de
primaire golf (het invallend licht) en de eigenfrequentie (resonantiefrequentie) van de oscillator. De
atomen zorgen samen voor een secundair golffront dat uit fase is met het primaire golffront. Samen
telt dit op tot een verschoven resultante golf. Zie figuur 4.11.
Wanneer de secundaire golf meer dan 180∘uit fase is, spreken we van een phase lead: de resultante
lijkt voor te lopen op het primaire front, anders spreken we van een phase lag: de resultante loopt
achter op het primaire front.
Wanneer de secundaire golf precies 180∘ uit fase is, is er sprake van uitdoving.
De resultante zorgt weer voor een eigen ‘secundair golffront’, waarmee het combineert met een
nieuwe, verschoven, resultante. De faseverschuiving is dus rechtevenredig met de diepte waarin het
licht is doorgedrongen.
Zie de figuur; een golf met faseverschil evenredig met de afstand zorgt voor een golf met een andere
golflengte, terwijl de frequentie van de fotonen hetzelfde blijft. De snelheid 𝑣 van het licht door een
stof lijkt dus te veranderen.
𝑛 ≡𝑐
𝑣
De brekingsindex van een stof geeft de verhouding tussen de lichtsnelheid in vacuum en de snelheid
in de stof weer.
4.3 Reflection
We spreken van interne reflectie wanneer de lichtstraal vanuit een dichter medium naar een minder
dicht medium toe gaat: 𝑛𝑖 > 𝑛𝑡. Reflectie van een minder dicht naar dichter medium noemen we
externe reflectie: 𝑛𝑖 < 𝑛𝑡 . Deze vormen van reflectie zijn 180∘ graden uit fase.
(Wanneer de we twee stukken glas tegen elkaar brengen, zodanig dat de overgang naar lucht
verdwijnt, doven deze bundels elkaar uit; we hebben dan dus alleen nog de bundel in de
voortplantingsrichting.)
De diepte van de laag deeltjes die bijdraagt is ca. 𝜆/2 dik. Voor grotere golflengtes, die minder goed
gereflecteerd worden, dragen er dus meer deeltjes bij. Netto betekent dit dat verschillende kleuren
toch even goed reflecteren op een transparant object.
Zi figuur 4.15: Een inkomend golffront activeert achtereenvolgens atoom A t/m D. Het golffront wat
daardoor, door verstrooid, interfererend licht ontstaat is in de ‘gespiegelde’ richting.
De hoek die het inkomend front maakt met het grensvlak is gelijk aan de hoek die het vertrekkend
front maakt met het medium. Ofwel:
De hoek van inval is gelijk aan de hoek van breking: 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟.
Stralen zijn een handige manier om de richting van golffronten aan te duiden; een straal staat altijd
loodrecht op het golffront.
4.4 Refraction
Ten gevolge van de ‘lagere voortplantingssnelheid’ van licht in een dicht medium verandert de
invallende bundel van richting, verandert de bundel van intensiteit (zie figuur 4.19, de doorsnede
van de bundel in het medium is groter geworden), en verandert de golflengte.
We praten dan ook meestal over de golflengte in vacuüm 𝜆0, als we het over de kleur van licht
hebben:
𝜆 =𝜆0
𝑛
De richting van breking wordt beschreven door de wet van Snellius.
𝑛𝑖 sin 𝜃𝑖 = 𝑛𝑡 sin𝜃𝑡
Hierbij is 𝑛𝑖 de brekingsindex van het medium van de invallende bundel, 𝜃𝑖 de hoek van inval (in
middelbare schoolteksten 𝑖), 𝑛𝑡 de brekingsindex van het medium van de gebroken bundel, 𝜃𝑟 de
hoek van breking (in middelbare schoolteksten 𝑟). Merk op dat:
𝑛𝑡
𝑛𝑖=
sin 𝜃𝑖
sin 𝜃𝑟= 𝑛𝑡𝑖 = 𝑛 =
sin 𝑖
sin 𝑟
Een kwestie van naamgeving en algebra dus.
Les 2 Verstrooiing, Reflectie en Polarisatie
De stof in een oogopslag
4.6.2-4.6.3
8.1-8.3
Leervragen 1. Wat zeggen de Fresnel vergelijkingen over terugkaatsing en breking van licht?
2. Onder welke voorwaarde(n) spreken we een fasesprong bij teruggekaatst licht?
3. Welke kenmerken heeft de golffunctie van lineair gepolariseerd licht in het eerste en derde
kwadrant, van lineair gepolariseerd licht in het tweede en vierde kwadrant, van
linksdraaiend circulair gepolariseerd licht, van rechtsdraaiend circulair gepolariseerd licht,
van linksdraaiend elliptisch gepolariseerd licht en van rechtsdraaiend elliptisch gepolariseerd
licht?
4. Waarom is voor natuurlijk licht de omschrijving willekeurig gepolariseerd licht beter dan de
omschrijving niet-gepolariseerd licht?
5. Hoe bereken je de lichtintensiteit bij een set van polarisator en analysator?
6. Hoe verkrijg je gepolariseerd licht door middel van dichroïsme?
7. Waar komt de naam dichroïsme vandaan?
4.6.2-4.6.3 Reflectie en transmissie volgens Fresnel
Bij de overgang van het ene medium naar het ander wordt invallend licht deels teruggekaatst
(reflectie) en deels doorgelaten (transmissie). Voor de amplitudo van het elektrische veld E gelden
de Fresnel vergelijkingen met r voor de amplitudo reflectiecoëfficiënt en met t voor de amplitudo
transmissie coëfficiënt t. (zie figuur 4.38)
Algemeen
Voor de overgang tussen twee diëlektrische media geldt
𝑟⊥ =𝑛𝑖 cos 𝜃𝑖 − 𝑛𝑡 cos 𝜃𝑡
𝑛𝑖 cos 𝜃𝑖 + 𝑛𝑡 cos 𝜃𝑡
𝑡⊥ =2𝑛𝑖 cos 𝜃𝑖
𝑛𝑖 cos𝜃𝑖 + 𝑛𝑡 cos 𝜃𝑡
𝑟∥ =𝑛𝑡 cos 𝜃𝑖 − 𝑛𝑖 cos 𝜃𝑡
𝑛𝑖 cos 𝜃𝑡 + 𝑛𝑡 cos 𝜃𝑖
𝑡∥ =2𝑛𝑖 cos 𝜃𝑖
𝑛𝑖 cos 𝜃𝑡 + 𝑛𝑡 cos𝜃𝑖
Hierbij geldt:
𝜃𝑡 is de transmissiehoek, die in schoolboeken meestal de brekingshoek ∠𝑟 wordt genoemd
𝜃𝑖 is de invalshoek, die in schoolboeken meestal ∠𝑖 wordt genoemd
𝜃𝑟 is de reflectiehoek, die in schoolboeken meestal de terugkaatsingshoek ∠𝑡 wordt genoemd
Voor externe reflectie (nt > ni) is het verloop voor de overgang lucht-glas (nt = 1,5 en ni = 1)
weergegeven in figuur 4.41; voor interne reflectie (nt < ni) is het verloop voor de overgang glas-lucht
(ni = 1,5 en nt = 1) weergegeven in figuur 4.42.
Externe reflectie (nt > ni)
De transmissie is maximaal 0,8 bij θi = 0o , neemt af bij toenemende invalshoek en wordt 0 bij θi =
90o. Er is geen fasesprong.
De reflectie van de loodrechte component neemt in absolute waarde toe van 0,2 bij θi = 0o tot 1,0 bij
θi = 90o. Er is altijd een fasesprong van π.
De reflectie van de evenwijdige component neemt in absolute waarde af van 0,2 bij θi = 0o tot 0 bij θi
= θp = 56,3o en neemt dan weer toe tot 1,0 bij θi = 90o. Onder de polarisatiehoek θp is er geen
fasesprong; boven de polarisatiehoek is er een fasesprong van π.
Interne reflectie (nt < ni)
De reflectie van de loodrechte component neemt toe van 0,2 bij θi = 0o, tot 1,0 bij θi = θc =41,8o.
Boven de kritische hoek treedt volledige interne reflectie op r = 1. Er is geen fasesprong.
De reflectie van de evenwijdige component neemt in absolute waarde af van 0,2 bij θi = 0o tot 0 bij θi
= θp ‘ = 33,7o en neemt dan weer toe tot 1,0 bij θi = θc = 41,8o. Boven de kritische hoek treedt
volledige interne reflectie op r = 1. Onder de polarisatiehoek θp is er een fasesprong van π; boven de
polarisatiehoek is er geen fasesprong
Loodrechte inval
Bij loodrechte inval (θi ≈ 0o) geldt :
it
it
nn
nnrr
//
it
i
nn
ntt
2//
Voor de overgang lucht-glas en voor glas-lucht geldt r = ± 0,2. ( Als je een plaatje glas op een wit vel
legt ziet dit er grijs uit).
Fasesprong.
De relatieve fasesprong wordt gedefineerd als //
Bij externe reflectie is de relatieve fasesprong π onder de polarisatiehoek en 0 boven de
polarisatiehoek.
Bij interne reflectie is de relatieve fasesprong 0 onder de polarisatiehoek en variabel boven de
polarisatiehoek
De interne gereflecteerde loodrechte component heeft met de extern gereflecteerde loodrechte
component een faseverschil van π voor hoeken kleiner dan θp ‘ = 33,7o
De interne gereflecteerde evenwijdige component heeft met de extern gereflecteerde evenwijdige
component een faseverschil van π voor hoeken kleiner dan θp ‘ = 33,7o
Bij scherend invallend licht is de voor beide componenten de fasesprong gelijk aan π.
Reflectie en transmissie van intensiteit.
Omdat de amplitudo geen meetbare grootheid is en de intensiteit van de bundel wel, wordt vaak
gebruikgemaakt van de reflectiecoëfficient voor intensiteit en de transmissie-coefficient voor
intensiteit.
i
r
I
IR
ii
tt
I
IT
cos
cos 1TR
met
2
rR 2)
cos
cos( tn
nT
ii
tt
1 TR
2
//// rR 2
//// )cos
cos( tn
nT
ii
tt
1//// TR
Het verloopt van de reflectie- en transmissiecoëfficienten voor intensiteit is weergegeven in figuur
4.48 voor de overgang lucht-glas.
Loodrechte inval
Bij loodrechte inval (θi ≈ 0o) geldt :
𝑅 = 𝑅∥ = 𝑅⊥ = (𝑛𝑡 − 𝑛𝑖
𝑛𝑡 + 𝑛𝑖)2
𝑇 = 𝑇∥ = 𝑇⊥ =4𝑛𝑖𝑛𝑡
(𝑛𝑡 + 𝑛𝑖)2
Voor de overgang lucht-glas en ook voor de overgang glas-lucht geldt R = 0,04 = 4%. Een stapeltje
van 10 objectglaasjes is spiegelend en tamelijk ondoorzichtig.
8.1-8.3 Vormen van polarisatie en dichroïsme
Inleiding
Een golf die zich in de z-richting voortplant noemen je vertikaal gepolariseerd als het trillingsvlak
van de golf vertikaal is en horizontaal gepolariseerd als het trillingsvlak van de golf horizontaal is.
De soort polarisatie van een elektromagnetische golf kun je ook bekijken in het vlak z = 0 loodrecht
op de voortplantingsrichting van de golf. Daar wordt het E-veld van een harmonische golf
beschreven door:
)cos(cos^^
tEjtEiE oyox
Met ε >0 geldt: Ex gaat voor op Ey met faseverschil ε en Ey gaat voor op Ex met faseverschil 2π – ε
Ε 0 π/4 2π/4 3π/4 4π/4 5π/4 6π/4 7π/4 8π/4
Polarisatie
Lineair Ellips
As 45o
Circulair
As 90o
Ellips
As 135o
Lineair Ellips
As 135o
Circulair
As 90o
Ellips
As 45o
Lineair
1e / 3e Links Links Links 2e / 4e Rechts Rechts Rechts 1e / 3e
Voor een circulair gepolariseerde golf geldt E0x = E0y (zie figuur 8.5 voor een rechts circulair
gepolariseerde golf met ε = 3π/2 ).
Polarisatie door absorptie
Een lineaire polarisator heeft als input natuurlijk licht dat niet-gepolariseerd is en als output lineair
gepolariseerd licht. In een ideale polarisator wordt de component langs de extinctie-as volledig
geabsorbeerd, en wordt de andere component langs de transmissie-as volledig doorgelaten. (zie
figuur 8.13). De lichtintensiteit is dan afgenomen met 50%.
Tegenwoordig worden zogenaamde H-sheets gebruikt als polarisator. Deze werken goed voor
zichtbaar licht (maar niet voor infrarood). H30 betekent dat 30% van het natuurlijke licht wordt
doorgelaten, dat wil zeggen 50% vanwege de absorptie van een polarisatierichting en 20% vanwege
gedeeltelijke absorptie en reflectie van de doorgelaten component. De absorptie van lineair
gepolariseerd licht langs de transmissie-as voor H30 is dan 40%.
Bij gebruik van twee polarisatiefilter bepaalt de hoek tussen de beide transmissie-assen de
intensiteit van het doorgelaten licht. Voor ideale polarisatiefilters geldt de regel van Malus:
2cos)0()( II
Dichroide kristallen (zoals Tourmalijn) kunnen ook als polarisator worden gebruikt. De
kristalstructuur bepaalt de richting van de optische as. Licht met een polarisatierichting loodrecht (┴)
op de optische as wordt sterk geabsorbeerd; licht met een polarisatierichting evenwijdig (//)aan de
optische as wordt vrijwel volledig doorgelaten. (zie figuur 8.13). Kijk je langs de optische as naar wit
licht dat is Tourmalijn vrijwel zwart en kijk je loodrecht op de optische as naar wit licht dan is
Tourmalijn bijvoorbeeld groen. Vandaar de naam dichroïed (tweekleurig)
Les 3 Polarisatie
De stof in een oogopslag
8.4-8.12
8.10 en 8.11 worden niet getoetst. Je kan deze paragrafen overslaan.
Studievragen 1. Door welke vier mechanismen kan licht gepolariseerd worden?
2. Beschouw een splijtkristal van calciet (IJslands dubbelspaat)? Hoe vind je de optische as en
het optische hoofdvlak? Hoe manifesteert zich het verschijnsel van dubbele breking?
3. Hoe bereken je de lichtintensiteit als tussen een set van een loodrechte polarisator en
analisator nog een polarisator wordt geplaatst bv een dubbelbrekend kristal of een
vertrager?
4. Hoe verklaar je de werking van een Liquid Crystal?
5. Hoe onderscheid je met eenvoudige middelen een kwart plaatje, half plaatje en een
heel plaatje?
6. Hoe werkt een Nicol prisma, een Glan Foucault prisma, een kwart plaatje, een
Fresnelprisma?
7. Welke kleureffecten kun je verwachten bij een heel plaatje?
8. Uit welke onderdelen bestaat een circulaire polarisator? Werkt deze beide kanten op? Hoe
herken je met een eenvoudig experiment een circulaire polarisator?
8.4 – 8.12 Polarisatie door dubbelbreking, verstrooiing en reflectie. Vertragers en
polarisatoren.
Polarisatie door dubbelbreking
Een typisch voorbeeld van een dubbelbrekend kristal is calciet of IJslands kristal of kalkspaat. De
kristalstructuur bepaalt de richting van de optische as. Bij een splijtvorm is de optische as de ruimte-
bissectrice van de stompe hoek.
Licht dat loodrecht op het ondervlak van het splijtkristal valt wordt gesplitst in twee lichtstralen. Met
onderling loodrechte polarisatierichtingen. De gewone lichtstraal gaat rechtdoor zonder te worden
gebroken. Deze lichtstraal heeft een polarisatierichting loodrecht op de optische as en de lichtstraal.
De buitengewone lichtstraal breekt onder een hoek van 6,2o met de normaal van de stompe hoek
vandaan en breekt bij het bovenvlak weer terug zodat hij loodrecht op het bovenvlak en evenwijdig
aan de gewone lichtstraal uit het kristal komt. Deze lichtstaal heeft een polarisatierichting in het vlak
van optische as en lichtstraal.
Materiaal met één optische as heeft twee hoofdindices voor breking.
v
cno
en
//v
cne met oe nnn
Voorbeeld: voor Calciet geldt bij natriumlicht (589 nm): 1,486 v//= 1,658 v┴
Brekingsindex voor een dubbelbrekend kristal met één optische as (λ0 = 589,3 nm)
Kristal no ne Δn
Tourmalijn 1,669 1,638 - 0,031
Calciet 1,6584 1,4864 - 0,1720
Kwarts 1,5443 1,5534 + 0,0091
Natriumnitraat 1,5854 1,3369 - 0,1485
IJs 1,309 1,313 + 0,004
Rutiel (TiO2) 2,616 2,903 + 0,287
Bij polarisatie door dubbelbreking worden de gewone en de buitengewone lichtstraal gesplitst met
behulp van het verschil in brekingsindex. Voorbeelden zijn het Nicol-prisma (figuur 8.26), het Glan-
Foucault prisma (figuur 8.27), het Wollaston-prisma (figuur 8.28)
Polarisatie door verstrooiïng
Verstrooiing ontstaat doordat het invallende veld in de moleculen een dipool aan het trillen brengt
die eerst invallende energie absorbeert en daarna weer uitzendt. Dit heet Rayleigh verstrooiing en is
een moleculair proces. De dipoolstraling is sterk in het vlak loodrecht op de dipool. De
polarisatierichting komt overeen met de richting van de trilling van de dipool. (zie figuur 8.30 en
8.31)
Voorbeelden:
1. Blauwe lucht met de kijkrichting onder 90o met de lichtstralen van zon is sterk gepolariseerd.
De polarisatierichting van de blauwe lucht is vertikaal.
2. Een bundel wit licht door een bak met water met een druppeltje melk ziet en van de zijkant
blauw uit en van de voorkant rood. Het blauwe licht is vertikaal gepolariseerd.
Een bundel vertikaal gepolariseerd wit licht door een bak met water en een druppeltje melk
ziet er aan de zijkant blauw uit en is niet zichtbaar aan de bovenkant.
Polarisatie door reflectie
Bij reflectie van natuurlijk licht aan een niet-metaal is het gereflecteerde licht onder de zogenaamde
polarisatiehoek volledig horizontaal gepolariseerd.
Er geldt de polarisatieregel van Brewster:
invallend
etransmissi
Pn
ntan
De gereflecteerde bundel is volledig gepolariseerd maar zwak van intensiteit. De doorgelaten bundel
is gedeeltelijk gepolariseerd en sterk van intensiteit. Daarom wordt voor polarisatiedoeleinden
gebruik gemaakt van een polarisator van gestapelde plaatjes (zie figuur 8.33).
Uit de Fresnel vergelijkingen volgt voor de intensiteit van de gereflecteerde straling verschillende
reflectiecoëfficiënten voor de beide polarisatierichtingen.
)(tan
)(tan2
2
//
ti
tiR
)(sin
)(sin2
2
ti
tiR
22
// RR
R
𝜃𝑡: transmitted, schoolboek: 𝑟, gebroken bundel
𝜃𝑖: incident, schoolboek: 𝑖, invallende bundel
𝜃𝑟: reflected, schoolboek: 𝑡, teruggekaatste
bundel
Hierbij 𝑅∥ het gereflecteerde licht, met polarisatie in het vlak van 𝜃𝑡, 𝜃𝑖 en 𝜃𝑟.
Figuur 8.35 geeft het verloop voor de overgang lucht-glas waarbij ni = 1 en nt = 1,5.
De polarisatiegraad wordt gegeven door
minmax
minmax
II
II
II
IV
nP
P
Vertragers
Vertragers kunnen de polarisatie van een bundel veranderen. De voortplantingsnelheid van de golf
hangt in een vertrager af van de polarisatierichting van de golf. Dit betekent dat de vertrager ervoor
kan zorgen dat het faseverschil tussen de beide polarisatierichtingen verandert.
Een vertrager kan gemaakt worden van een dun plaatje Calciet dat zo geslepen is dat de optische as
parallel loopt aan de voor- en achterkant van het plaatje (zie figuur 8.37). De invallende golf heeft
een component met de polarisatierichting loodrecht op de optische as (met v┴ en no) en een
component met de polarisatierichting evenwijdig aan de optische as. (met v// en ne)
Het faseverschil dat de vertrager veroorzaakt wordt gegeven door de formule
dnn eo 0
2
In een negatief een-assige vertrager (Δn < 0) is v// > v┴; de optische as is dan de snelle as en de
richting daar loodrecht op de langzame as.
In een positief een-assige vertrager (Δn > 0) is v// < v┴; de optische as is dan de langzame as en de
richting daar loodrecht op de snelle as.
Heel-lambda-laatje
Een heel-lambda-plaatje veroorzaakt een relatieve faseverschuiving van Δφ = 2π. Dit betekent dat de
twee loodrechte componenten van de golf niet verschoven zijn in onderlinge fase. Er geldt:
0mnd met m = 1, 2, 3,...
Realiseer je dat d van de orde van grootte heeft van bijvoorbeeld honderd λ. Er geldt dus niet dat d
gelijk is aan λ0. In het algemeen zal Δn slechts weinig variëren over het zichtbare licht dus geldt Δφ ~
1/ λ0
Als een heel-lamda-plaatje wordt geplaatst tussen twee gelijkgerichte polarisatoren, komt het licht
waarvoor geldt Δφ =2π in de parallelle polarisatierichting aan bij de analysator en passeert de
analysator volledig.
Als een heel-lamda-plaatje wordt geplaatst tussen twee gekruiste polarisatoren, komt het licht
waarvoor geldt Δφ =2π in de loodrechte polarisatierichting aan bij de analysator en wordt volledig
geabsorbeerd.
Al het andere licht komt uit het plaatje in de vorm van elliptisch gepolariseerd licht en wordt
gedeeltelijk doorgelaten door de analysator. De kleuren die bij gelijkgerichte polarisatiefilters
worden doorgelaten worden bij gekruiste polarisatiefilters geabsorbeerd, en omgekeerd.
Kleurpatronen in cellofaan
Als doorzichtig materiaal zoals cellofaan wordt geplaatst tussen twee polarisatoren dan zal er in het
algemeen een kleurrijk patroon ontstaan.
Voorbeelden
1. Stel de vertraging voor blauw licht (435 nm) is 4π; dan is de vertraging voor geel licht (580
nm) circa 3π. Bij gelijkgerichte polarisatoren zal blauw licht worden doorgelaten en geel licht
worden geabsorbeerd; bij gekruiste polarisatoren zal geel licht worden doorgelaten en
blauw licht worden geabsorbeerd. De kleuren die bij gelijkgerichte polarisatoren worden
doorgelaten worden bij gekruiste polarisatoren geabsorbeerd, en andersom.
2. Stel de vertraging voor rood licht (650 nm) is 4π; dan is de vertraging voor blauw-groen licht
(520 nm) circa 5π. Bij gelijkgerichte polarisatoren zal rood licht sterk worden doorgelaten en
blauw-groen licht worden geabsorbeerd; bij gekruiste polarisatoren zal blauw-groen licht
sterk worden doorgelaten en rood licht worden geabsorbeerd..
De kleuren die bij gelijkgerichte polarisatoren worden doorgelaten worden bij gekruiste
polarisatoren geabsorbeerd, en andersom
Half-lambda-plaatje
Een half-lambda-plaatje veroorzaakt een relatieve faseverschuiving van Δφ = π. Lineair gepolariseerd
licht met een hoek θ ten opzichte van de snelle as van het plaatje verlaat het plaatje weer als lineair
gepolariseerd licht, maar nu met een hoek van - θ met de snelle as. Elliptisch en circulair
gepolariseerd licht veranderen van links in rechts en van rechts in links.
2)12( 0 mnd met m = 1, 2, 3, ...
Commercieel wordt meestal gebruik gemaakt van mica-plaatjes. Bij muscoviet zijn de snelle en de
langzame as vrijwel parallel aan de kliefvlakken en hebben de brekingsindexen een waarde van
1,599 en 1,594 voor natriumlicht. De minimale dikte van een micaplaatje is 60 μm.
Voor thuisexperimenten kan een half-lambda-plaatje gemaakt worden van een stukje cellotape
geplakt op een objectglaasje. De langzame as is in de lengte van het cellotape en de snelle as staat
daar loodrecht op.
Kwart-lambda-plaatje.
Een kwart-lambda-plaatje veroorzaakt een relatieve faseverschuiving van Δφ = π/2. Invallend
natuurlijk licht gaat verder zonder noemenswaardig effect. Laat je gepolariseerd licht door de
vertrager vallen dat verandert de polarisatie. Lineair gepolariseerd licht in het 1e en 3e kwadrant
(onder 45o met de snelle verticale as van de vertrager) verandert in links circulair gepolariseerd licht;
dat op zijn beurt verandert in lineair gepolariseerd licht in het 2e en 4e kwadrant (onder 45o met de
snelle verticale as van de vertrager); dat wordt rechts circulair gepolariseerd licht; en dat wordt
lineair gepolariseerd licht in het 1e en 3e kwadrant (onder 45o met de snelle verticale as van de
vertrager).
4)14( vmnd
met m = 1, 2, 3, …..
Een circulaire polarisator bestaat uit een lineaire polarisator aan de inputkant en een kwart-lambda-
plaatje aan de outputkant. De transmissie-as van de polarisator maakt een hoek van 45° met de
snelle as van de vertrager. Een circulaire polarisator die op een glimmende munt ligt geeft uitdoving
van het invallende omgevingslicht.
Commerciële kwart-lambda-plaatjes worden ontworpen voor hun lineaire vertraging bijvoorbeeld
140 nm. Dit betekent dat het plaatje voor 4x140 nm een faseverschuiving van π/2 veroorzaakt. De
vertragingswaarde kan iets worden verhoogd of verlaagd door het plaatje iets te verdraaien. Draaien
rond de snelle as vergroot de vertraging; draaien om de langzame as verlaagt de vertraging.
Optische activiteit.
Een stof wordt optisch actief genoemd als het polarisatievlak van lineair gepolariseerd bij doorgaan
door de stof draait. Bij rechtsdraaiend actieve stoffen draait het polarisatievlak met de klok mee als
je in de richting van de bron kijkt. Bij linksdraaiend actieve stoffen draait het polarisatievlak tegen de
klok in als je in de richting van de bron kijkt.
Voor de hoek waarover het vlak gedraaid is geldt:
)( RL
v
nnd
met nL de brekingsindex voor linksom gepolariseerd licht en nR de brekingsindex voor rechtsom
gepolariseerd licht.
Voorbeelden
1. Voor natriumlicht dat langs de optische as beweegt in quartz is mmd o /7,21/ en Δn =
7,1 x 10-5; in die richting is quartz niet dubbelbrekend. Voor licht dat loodrecht op de
optische as voortbeweegt is quartz dubbelbrekend, maar niet optisch actief.
2. Kwiksulfide is dubbelbrekend (no = 2,854 en ne = 3201) en optisch actief
( mmd o /5,32/ ).
3. Natriumchloraat is optisch actief mmd o /1,3/ ; maar niet dubbelbrekend.
De optische activiteit correspondeert met de vorm van de moleculen: de optische activiteit van
linkshandige helixvormige moleculen en van rechtshandige helixvormige moleculen is precies
tegengesteld.
Vloeistofkristallen
Voor licht onder 45° gedraagt een vloeibaar kristal (zie figuur 8.59) zich als een variabele vertrager
waarvan de faseverschuiving afhangt van de aangelegde spanning.
),,(2
),,( 0
0
0
TVndTV
Het vloeibaar kristal dat onder 45o geplaatst wordt tussen twee gekruiste polarisatoren onder 45o
gedraagt zich als modulator waarbij de intensiteit kan worden geregeld met de spanning.
Voor licht met een polarisatierichting evenwijdig aan de langzame as gedraagt het vloeibaar kristal
zich als een modulator, waarbij het relatieve faseverschil kan worden geregeld met de spanning.
Een gedraaide liquid-crystal-cel tussen twee 90o gekruiste polarisatoren met daarachter een spiegel
(zie figuur 8.61) kan gebruikt worden voor een display. In het eenvoudigste geval wordt het lcd-
scherm verlicht met omgevingslicht. Zonder spanning wordt het natuurlijke licht door de verticale
polarisator verticaal gepolariseerd, daarna door de lc-cel gedraaid tot horizontaal gepolariseerd licht
en dan doorgelaten door de horizontale polarisator. Na terugkaatsing door de spiegel kan dezelfde
weg terug worden afgelegd en het display is verlicht. Met spanning kan de lc-cel niet meer het
polarisatievlak van doorgaand licht draaien, het licht wordt volledig geabsorbeerd door de
polarisatiefilters en het display is donker.
Les 4 Interferentie
De stof in een oogopslag
9.1-9.4
Studievragen
1. Wanneer treedt interferentie op?
2. Hoe ontstaat splitsing van het golffront bij de dubbelspiegel van Fresnel, het dubbelprisma
van Fresnel, en bij de spiegel van Lloyd.
3. Hoe ontstaan de ringen van Newton ?
4. Hoe wordt bij een Michelson interferometer gezorgd voor twee coherente lichtbronnen?
Waarvoor dient de compensator in één van de bundels?
9.1-9.4 Interferentie
Algemeen
De stralingsintensiteit van twee interfererende lichtgolven met veldamplitudo E1 en E2 wordt
gegeven door
cos2 2121 IIIII
met δ het faseverschil tussen E1 en E2.
Constructieve interferentie versterking treedt op bij δ = 0, ±2π, ±4π,….
2121max 2 IIIII
Destructieve interferentie verzwakking treedt op bij δ = ±π, ±3π, ±5π,….
2121min 2 IIIII
Voor het geval dat I1 =I2 = I0 geldt:
2cos4)cos1(2 2
00
III
Het faseverschil δ kan veroorzaakt worden door verschil in weglengte Δs (corresponderend met een
verschil in optische weglengte Λ) en/of door een faseverschil bij de bron Δφ
2
Voor constructieve interferentie (buiken) wordt dit
0max 4II
Voor destructieve interferentie (knopen) wordt dit
0min I
In termen van de hoek θ tussen twee overigens gelijke golven die zich in de z-richting bewegen geldt
(zie figuur 2.22)
)sin
(cossin
cos)0,0(),( 22
yxIyxI
Voor twee bronnen S1 en S2 hebben de knoop- en buikvlakken de vorm van hyperboloiden met S1 en
S2 als brandpunten. In een vlak door S1 en S2 vormen de knoop- en buiklijnen hyperbolen met S1 en
S2 als brandpunt. In een vlak loodrecht op S1 en S2 vormen de knoop- en buiklijnen concentrische
cirkels. (zie figuur 9.3). De donkere en lichte banden worden het interferentiepatroon genoemd.
De lengte van een golftrein bepaalt de coherentielengte ΔLc en de tijd waarin een golftrein ontstaat
bepaalt de coherentie Δtc. Tussen twee afzonderlijke golftreinen is geen vast faseverband. Vandaar
dat je spreekt van quasi-monochromatisch licht. Echt monochromatisch licht zou inhouden dat de
golftrein oneindig lang is. Tot de komst van de laser gold als vuistregel dat onderscheiden
lichtbronnen geen interferentiepatroon konden maken. De gebruikelijke manier om twee coherente
bronnen te maken is het licht van een primaire bron te splitsen om zo twee coherente secundaire
bronnen te maken.
Splitsen van het golffront
Voor een dubbel spleet met zeer smalle spleten (proef van Young) geldt in het XY-vlak (het scherm)
voor het weglengte verschil Δs = a sin θ met a de afstand tussen de spleten. Maxima zullen optreden
als Δs = mλ (m 0, 1, 2, 3,….) onder voorwaarde dat de bronnen S1 en S2 cohertent en in fase zijn. Als
het interferentiepatroon wordt opgevangen op een scherm ter plekke van z=L met L de afstand
tussen de dubbelspleet en scherm dan geldt tan θ = Y/L.
Voor kleine θ dus L >> a geldt dan voor de plaats van de maxima
msa
LLYm tan
en voor de afstand tussen opeenvolgende maxima
a
LY
De intensiteitsverdeling van het interferentiepatroon wordt (zie figuur 9.9)
L
YaII
2
0 cos4
In termen van fouriertransformatie geldt dat de fouriergetransformeerde van twee δ-functies met
afstand a de veldverdeling geeft van het interferentiepatroon in de vorm van een cosinus functie. De
intensiteitsverdeling is dan het kwadraat van een cosinusfunctie.
Naast de Young dubbelspleet zijn er andere interferometers die werken door het golffront eerst te
splitsen en dan samen te laten vallen, bijvoorbeeld Fresnel dubbelspiegel (figuur 9.12), Fresnel
dubbelprisma (figuur 9.13), Lloyd´s spiegel (figuur 9.14),
Splitsen van de amplitudo
Interferentiepatronen kunnen ook ontstaan als licht schijnt op een dun transparant laagje met een
dikte van enkele golflengtes de zogenaamde dunne film, maar ook als licht schijnt op parallele platen
met een dikte van enkele centimeters (zoals een vensterruit). Wel moet gelden dat het optisch
weglengteverschil kleiner is dan de coherentielengte van het gebruikte licht.
Interferentiebanden voor gelijke hoeken
Het interferentiepatroon in dunne lagen ontstaat door interferentie van het gedeelte van de golf dat
weerkaatst tegen de voorkant van de dunne laag (voor glas in lucht 4%), en het gedeelte van de golf
dat weerkaatst tegen de achterkant van de dunne laag (voor glas in lucht 4% van 96% dus bijna 4%).
Voor invalshoeken θi kleiner dan 30o is voor ieder van de loodrechte componenten van het licht de
fasesprong gelijk aan π. Interferentiebanden zijn zichtbaar onder bepaalde hoeken θr = θi ten
opzichte van de optische as van de ooglens. (zie figuur 9.17).
Er geldt voor 𝑛1 < 𝑛𝑓 en 𝑛2 < 𝑛𝑓, én voor 𝑛1 > 𝑛𝑓 en 𝑛2 > 𝑛𝑓 een fasesprong van 𝜋 dus
tf dn cos2
met sn f het optisch weglengte verschil, fn de brekingsindex van de film, d de dikte van de
film en t de transmissiehoek waarvoor geldt
fti nn /sin/sin 1
Er zijn dan maxima te zien zijn voor
4
)12(cosf
t md
met f
fn
0
Voor 21 nnn f en voor
21 nnn f is de fasesprong 0 . Er zijn dan maxima te zien voor:
4
2cosf
t md
met f
fn
0
De interferentiebanden onder gelijke hoek ten gevolge van interferentie van licht in een ruit staat
bekend als een Haidinger interferentiepatroon. (zie figuur 9.21)
Interferentiebanden voor gelijke diktes
Het optisch weglengteverschil kan ook veroorzaakt worden door verschil in dikte van de film of
plaat. Je noemt dit interferentiebanden voor gelijke diktes.
Voorbeelden zijn de Fizeau interferentiebanden bij een wigvormige film (zie figuur 2.22), het
kleurenpatroon bij een verticaal zeepvlies (zie figuur 9.22), de ringen van Newton bij een lens op een
vlakke plaat (figuur 9.23)
Interferometers
In veel interferometers wordt gebruik gemaakt van spiegels en bundelsplitsers. Een belangrijk
voorbeeld van een interferometer is de Michelson en Morley interferometer. Voor het
ringenpatroon geldt voor de minima
0cos2 md m m = 1,2,3, …..
met voor kleine hoeken
d
mm
0
Bij een beweegbare spiegel geldt bij een verplaatsing van de spiegel over Δd en een passeren van N
ringen :
)2
( 0Nd
Andere interferometers zijn de Mach-Zender interferometer figuur 9.27), de Sagnac interferometer
in diverse uitvoeringen (figuur 9.29), de Pohl-interferometer (figuur 9.30)
Les 5 Buiging
De stof in een oogopslag
10.1-10.2.3 en 10.2.6
10.2.4, 5, 8 zonder rekenwerk
Studievragen 1. Welke kenmerken heeft het Fraunhoferbuigingspatroon van een enkele spleet ?
2. Hoe groot is de maximale procentuele fout in de plaatsbepaling van de maxima als je
aanneemt dat ze precies tussen de minima in liggen? Hoeveel lijnen kunnen maximaal
zichtbaar worden in een buigingsbeeld?
3. Een puntvormige lichtbron geeft door de diffractie aan het diafragma van het oog een
buigingsbeeld.
Waarom is dit een geval van Fraunhofer diffractie en niet van Fresnel diffractie?
Over hoeveel zenuwcellen wordt een puntvormig voorwerp uitgesmeerd? (Om een schatting
ter maken veronderstel je het volgende: = 555 nm, oogdiepte 2,5 cm, diafragma 1 mm tot
4mm, afstand tussen zenuwcellen 2,5 m)
4. Welke kenmerken heeft het interferentiepatroon van meerdere spleten?
5. Welke kenmerken heeft het interferentiepatroon van een vierkante opening?
6. Welke kenmerken heeft het interferentiepatroon van een schijfvormige opening?
7. Hoe kun je het Fraunhoferbuigingspatroon schetsen van een opening met een willekeurige
vorm?
10.1-10.2.3: Het buigingspatroon van de enkelspleet, dubbelspleet en meerdere spleten
Inleiding
Diffractie is de afwijking van het licht van de rechtlijnige voortbewegen bij het passeren van
voorwerpen. Het is een verschijnsel dat voor alle soorten golven geldt, dus ook voor licht. Buiging is
te begrijpen met het Huygens-Fresnel principe. Dit zegt: ieder punt van een golffront, op een
bepaald tijdstip, dient als een bron van secundaire bolgolfjes (met dezelfde frequentie als de
primaire bron). De amplitudo van het optische veld op ieder punt daarna is de superpositie van alle
bolgolfjes (rekening houdend met hun amplitudo’s en relatieve fases). Hieruit is bijvoorbeeld te
begrijpen dat een klein gaatje een bolgolf geeft.
Als de golflengte van dezelfde orde grootte is als de opening waardoor de golf beweegt spreidt de
golf zich uit over grootte hoeken in het gebied na de opening. Des te kleiner de opening des te
groter de spreidingshoek.
Als de golflengte veel en veel kleiner is dan de opening waardoor de golf beweegt zal een tamelijk
scherpe schaduw ontstaan en is de breedte van de lichtvlek vergelijkbaar met de grootte van de
opening.
Men maakt onderscheid tussen Fresnel buiging of nabije-veld-diffractie en Fraunhoferhofer buiging
of verre-veld-diffractie.
Als zowel de inkomende als de uitgaande golf beschouwd mag worden als vlakke golf dan ontstaat
Fraunhofer buiging. Dit is het geval als zowel de bron als het scherm ver verwijderd zijn van de
opening. In opstellingen worden daarom twee positieve lenzen gebruikt. Het voorwerp wordt
geplaatst in het brandpunt van de eerste lens waardoor voor de buigingsopening het voorwerp in
het oneindige ligt. Het scherm wordt geplaatst in het brandpunt van de tweede lens zodat voor de
buigingsopening het beeld in het oneindige licht. De openingsfuncties zijn dan lineair.
Als vuistregel wordt gehanteerd dat Fraunhoferbuiging optreedt als zowel voor de bron als het
scherm geldt
D
D
L
met L de afstand bron-opening c.q. opening-scherm en D de grootte van de opening.
De enkele spleet
Voor een enkele spleet geldt voor de intensiteitverdeling van het interferentiepatroon
2
sin)0()(
II en
sin
b
voor een spleetbreedte b (zie figuur 10.6)
Minima met intensiteit 0 treden op voor
,....3,2, dus ,.....3
,2
,sinbbb
Maxima treden op als:
tan bij benadering als ,.....5,3,5,2,4,1
Het is gebruikelijk om de relatieve intensiteit I(θ)/I(0) uit te zetten als functie van β en sinθ (zie
figuur 10.10)
Omdat deze functie zo vaak terug komt heeft hij een eigen naam gekregen: de sincfunctie.
sin)(cnis
De dubbelspleet
Voor een dubbelspleet geldt voor de intensiteitverdeling van het interferentiepatroon
2
2
cossin
)0()(
II
sin
a en
sin
b
voor een afstand tussen de spleten van a en een spleetbreedte b (zie figuur 10.13)
Minima in het diffractiepatroon treden op als
,....3,2, dus ,.....3
,2
,sinbbb
Minima met intensiteit 0 treden ook op bij uitdoving vanwege het interferentiepatroon van de twee
spleten
,....5,2,5,1,5,0 dus ,.....2
5,
2
3,
2sin
aaa
Het is gebruikelijk om de relatieve intensiteit I(θ)/I(0) uit te zetten als functie van β en sinθ
(uitgedrukt in b) en als functie van α en sin (uitgedrukt in a) (zie figuur 10.10)
Meerdere spleten
Voor meerdere spleten geldt voor de intensiteitverdeling van het interferentiepatroon
2
2
2
sin
sin1sin)0()(
N
NII
met
sin
a en
sin
b
voor een afstand a tussen de N equidistante spleten met spleetbreedte b (zie figuur 10.15)
Minima met intensiteit 0 treden op in de minima van het diffractiepatroon
,....3,2, dus ,.....3
,2
,sinbbb
Hoofdmaxima treden op als vanwege interferentie van de meerdere spleten geldt dat
NN
sin
sin dus als ,....3,2,,0 dus ,.....
3,
2,sin
aaa
Tussen de hoofdmaxima zijn er N-1 nevenminima (met intensiteit 0) en N-2 nevenmaxima die
ongeveer midden tussen de minima liggen.
Voor de nevenminima (met intensiteit 0) geldt:
N
N
NNN
)1(,....
3,
2,
dus ,.....
3,
2,sin
NbNbNb
Voor de nevenmaxima geldt:
,....2
7,
2
5,
2
3
NNN
dus ,.....
2
7,
2
5,
2
3sin
NaNaNa
Het is gebruikelijk om de relatieve intensiteit I(θ)/I(0) uit te zetten als functie van β en sinθ
(uitgedrukt in b) en als functie van α en sin (uitgedrukt in a) (zie figuur 10.17)
10.2.4-10.2.5: Het buigingspatroon van de rechthoekige en cirkelvormige opening
Rekenwerk van deze paragrafen wordt niet teruggevraagd, of de formules zullen gegeven en
toegelicht worden.
De rechthoekige opening
Voor de rechthoekige opening geldt een intensiteitverdeling van het interferentiepatroon:
22
sinsin)0,0(),(
IYXI
sin
b
sin
c
met b en c de breedte en de hoogte van de vierkante opening. (figuur 10.20)
De cirkelvormige opening
Voor de cirkelvormige opening geldt een intensiteitverdeling van het interferentiepatroon:
2
1
sin
)sin
(
)0()(
D
DJ
II
met D de diameter van de circulaire opening. (figuur 10.23). De waarden van de Besselfunctie J1
staan getabelleerd in tabel 10.1.
Voor het intensiteitpatroon als functie van de straal r in het vlak z = L met r/L = θ geldt dan:
2
1 )(
)0()(
L
rDL
rDJ
IrI
De Airy schijf is het centrale maximum tot aan het eerste minimum. Voor de diameter van de Airy-
disk geldt voor r<<L:
opening
airyD
LLD 44,2
met Δφ de hoekmaat van de Airy-disk op afstand L.
10.6 Oplossend vermogen en de Airy Disk
Oplossend vermogen
Puntbronnen worden door een lens op zijn best afgebeeld als een Airy-patroon met diameter Dairy
corresponderend met de opening van de lens Dlens. Volgens het Rayleigh criterium kun je twee Airy-
patronen nog goed onderscheiden als het centrale maximum van de een samenvalt met het eerste
minimum van de ander.
De beperking van het oplossend vermogen is dan
lensD
22,1min
lensD
fX
22,1min
lensD
vx
22,1min
met min de gezichtshoek tussen voorwerpen en beelden, en minX de minimale afstand tussen
de beelden en minx de minimale afstand tussen de puntbronnen.
(Zie figuur 10.25)
10.2.8
Buigingstralie
Je kunt onderscheid maken tussen het amplitudotransmissietralie, het fasetransmissietralie en het
reflectietralie. Als je door een tralie kijkt dat dient je ooglens als afbeeldingslens voor het
diffractiepatroon. Voor de optische as van je ooglens loodrecht op het tralie geldt voor het me orde
maximum
mm sin
Het nulde orde maximum van wit licht is te zien als wit licht; het eerste maximum en de hogere orde
maxia zijn te zien als spectrum; de hogere orde-spectra overlappen.
Een tweedimensionaal tralie wordt gevormd door een geordend array van rechthoekige of circulaire
openingen. (zie figuur 10.34)
Les 6 Fourier Optica
De stof in een oogopslag
11.1-11.3.3
12.1
13.1 alleen The Speckle effect (602)
13.2
Studievragen
1. Welke complexe functies en rekenregels horen bij het theorema van Fourier?
2. Welke eigenschappen heeft de deltafunctie?
3. Hoe kun je convolutie gebruiken voor de berekening van een buigingsbeeld van meerdere
spleten?
4. Hoe ziet het buigingsbeeld er uit van m spleten op afstanden a=nb voor een eigen keuze van
n en m? Bepaal de plaats van de maxima, de minima en de submaxima.
5. Wat is het verschil tussen spatiële en temporele coherentie?
6. Hoe kun je met behulp van spatiële filtering beelden aanpassen?
7. Welk filter hebt je nodig als je spatiële filtering toepast om specifieke kenmerken (zoals
lijnen of ruis) uit een beeld te filteren?
H11.1-11.3.3 Fourier Optica
Inleiding
In verschillende verschijnselen van de optica speelt de Fouriertheorie een rol. De systematiek van de
Fouriertheorie blijkt veel inzicht te geven in de natuurkundige verschijnselen. Bij een
Fouriertransformatie wordt een functie f getransformeerd tot een andere functie F(f). De functie F
bevat dezelfde informatie over het verschijnsel als de functie F alleen anders voorgesteld.
Voorbeeld 1 Buigingspatroon
Het buigingspatroon van een spleet F(θ) is de Fouriergetransformeerde van de doorlaatfunctie f(x)
van de spleet.
Voorbeeld 2 Beeldvorming bij een lens
Zet in het eerste brandvlak van een lens een dia. Belicht deze dia met coherent monochromatisch
licht zodat ter plekke van de dia een intensiteitpatroon f(x) In het andere brandvlak van de lens
ontstaat het buigingsbeeld F(y). Dit buigingspatroon F(y) blijkt de Fouriergetransformeerde te zijn
van f(x).
Door achter het buigingsbeeld een tweede lens op brandpuntsafstand te plaatsen transfomeert de
tweede lens het buigingsbeeld weer terug. In het tweede brandvlak van de tweede lens ontstaat dan
de afbeelding van het oorspronkelijke patroon. Deze opstelling geeft de mogelijkheid om uit het
buigingsbeeld specifieke details weg te filteren en te onderzoeken wat voor invloed dat heeft op het
oorspronkelijke patroon.
Fouriertransformatie
Om handig te rekenen met Fouriergetransformeerden maak je gebruik van drie basisoperaties.
𝐹{…} 1.de Fouriertransformatie (in het boek is dit de sierlijke hoofdletter F)
∗ 2. de convolutie (in het boek staat hier een rondje omheen)
⋅ 3. het product (het vermenigvuldigingsteken wordt meestal weggelaten)
De fouriertransformatie kun je dan schrijven als 𝐹{𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝑘) (spatieel) of 𝐹{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝜔)
(temporeel). Merk op dat de 𝐹 met accolades {} voor de transformatie staat, en de 𝐹 met de haakjes
(𝑘) of (𝜔) voor de Fouriergetransformeerde in het spatiële of temporele frequentiedomein staat.
11.1 Fouriertransformatie met complexe getallen
Een niet-periodieke functie kan worden samengesteld door superpositie van een oneindig aantal
harmonische functies. Je werkt hier met de notatie met complexe getallen omdat dan het rekenwerk
het eenvoudigst is uit te voeren. In de golftheorie horen x en k bij elkaar en t en ω.
dkekFxf ikx)(2
1)(
met
dxexfkF ikx)()(
deAtf ti)(2
1)( met
dtetfF ti )()(
In veel berekeningen maak je gebruik van een bijzondere functie de δ-functie. Deze functie wordt
gedefinieerd als
dxekkxkki
)(
00
2
1)(
Nader onderzoek van de functie leert dat voor deze functie geldt:
δ = 0 voor k ≠ k0
δ = voor k = k0
het oppervlak onder δ is 1
Hoewel dit wiskundig een bizarre functie is, heeft hij veel waarde in natuurkundige berekeningen. Zo
kun je een smalle spleet voorstellen als een deltafunctie
Verder gelden enkele handige rekenregels:
sincos iei
sincos ie i
)(2
1cos ii ee
)(2
1sin ii ee
i
)(1
)(a
kF
aaxf (a>0)
)()( kFeaxf iak
)()( akFxfeiax
)()( kFxf
Eendimensionale voorbeelden
Constante functie (het interferentiepatroon van een smalle spleet)
)(2)()( kAkFAxf
Cosinusfunctie (het interferentiepatroon van twee spleten)
)}()({)(cos)( 000 kkkkAkFxkAxf
Cosinusfunctie boven de x-as
)}()(2)({)()cos1()( 000 kkkkkAkFxkAxf
Sinusfunctie
)}()({)(sin)( 000 kkkkAikFxkAxf
Kamfunctie (interferentiepatroon van een tralie)
mm d
mkd
kFmxdxf )2
(2
)()()(
Blokfunctie (breedte λ en hoogte 1) (interferentiepatroon van een brede spleet)
)2
1(sin
2
12
1sin
)()()(
kc
k
k
kFxpxf
De driehoekfunctie (basis λ en hoogte 1)
2
4
4sin
2
1)()()(
k
k
kFxdxf
Gauss of klokfunctie (zie figuur)
a
k
ax ekFea
xf 4
2
2
)()(
ax
2
1 en ak 2 en 1 kxkx
Tweedimensionale voorbeelden
Rechthoekige opening
Rechthoekige blokfunctie
1),( zyf als az en by
0),( zyf als az en by
Met als gekwadrateerde fouriergetransformeerde
22 )sin
()sin
)(0(),(
IYZI
R
Zaa
sin en
R
Yaa
sin en
Cirkelvormige opening
Cilinderfunctie (zie figuur)
1),( yxf als ayx 22
0),( yxf als ayx 22
Na overgang op poolcoordinaten r en θ i.p.v. x en y, en k en α in plaats van kx en ky wordt de
fouriergetransformeerde:
ka
kaJakF
)([2)( 12 ]
met J1 de eerste orde Besselfunctie waarvan de waarden in tabellenboeken staan.
Kiezen we Δx = 2a (= diameter van de opening) en Δka = 2 x 3,83 (= diameter van de Airy schijf) dan
geldt Δx Δk = 4 x 3,83 = 15,32
11.2 Convolutie
Een gemakkelijke manier om je voor te stellen wat bedoeld wordt met convolutie, is een detector
die een intensiteitpatroon aftast. Als de detector haarscherp waarneemt zal het waargenomen
patroon gelijk zijn aan het aangeboden patroon. De gevoeligheid van de detector wordt dan
voorgesteld door de dellta-functie. Heeft de detector een zekere breedte dan is het waargenomen
patroon een uitgesmeerde variant van het aangeboden patroon. De detector wordt dan voorgesteld
door een blokfunctie of een Gauss-functie.
In de figuur is dat in beeld gebracht.
a. Een intensiteitpatroon kan weergegeven worden door een functie f(x).
b. Bij haarscherpe detectie kan de gevoeligheid van detector worden voorgesteld als de delta-
functie.
c. Het waargenomen patroon is gelijk aan het aangeboden patroon.
d. De detectiefunctie is in de werkelijkheid eerder een Gauss-kromme.
e. Nu wordt ieder punt van de aangeboden intensiteitfunctie uitgesmeerd volgens
detectiefunctie. De de waargenomen intensiteitfunctie is een uitgesmeerde versie van de
aangeboden intensiteitfunctie.
Dezelfde figuur kun je ook gebruiken voor de afbeelding door een lens. Als de afbeelding haarscherp
zou zijn in de waargenomen intensiteitverdeling gelijk aan de aangeboden intensiteitverdeling.
Vanwege de beperkte apertuur wordt een punt echter altijd afgebeeld als een schijfje. De
afbeeldingkromme lijkt op een Gauss-kromme. De waargenomen intensiteitverdeling is dan
uitgesmeerd in vergelijking met de aangeboden intensiteitverdeling.
De formules voor convolutie
Bij convolutie spelen drie functies een rol.
f het ingangfunctie
g het uitgangfunctie
h de afbeeldingfunctie
Een optisch systeem wordt gekenmerkt door de afbeeldingfunctie h(x) die gelijk is aan de
uitgangfunctie g(x) bij afbeelden van een puntvoorwerp δ(x)
)()()())(*( xhdxhxh
Als een lijn met voorwerpsintensiteitsverdeling f(x) wordt afgebeeld met een afbeeldingsfunctie h(x),
dan geldt voor de afbeelding g(x):
dxhfxhfxg )()())(*()(
11.3 Convolutietheorema (vermenigvuldigen in plaats van convolueren)
Bij berekeningen wordt vaak gebruik gemaakt van het convolutietheorema:
}{}.{}*{ gFfFgfF
}{*}{2
1}{ gFfFgfF
Als een functie te schrijven is als de convolutie van twee eenvoudiger functies dan kan de
fouriergetransformeerde van die functie berekend worden uit het product van de
fouriergetransformeerden van die eenvoudiger functies. (zie figuur )
Dus: je bent op zoek naar de fouriergetransformeerde van een driehoeksfunctie (g). Je weet dat dit
de convolutie is van twee blokfuncties (f en h). De fourier getransformeerde van een blokfunctie is
bekend. Dan volgt de fouriergetransformeerde van een driehoeksfunctie uit het product van de
twee sincfuncties.
De geblokte sinus (g) is te herkennen als de convolutie van een blokfunctie en twee deltafuncties. De
fourier getransformeerde van g is dan het product van de sincfunctie en de sinusfunctie.
Als een functie te schrijven is als het product van twee eenvoudiger functies dan kan de
fouriergetransformeerde van die functie gevonden worden als de convolutie van de
fouriergetransformeerden van die eenvoudiger functies. (zie figuur)
Buigingsbeelden
Het veldinterferentiepatroon van een enkele spleet kan berekend worden uit de
fouriergetransformeerde van de blokfunctie.
De dubbelspleet kan beschouwd worden als de convolutie van een enkele spleet en twee nauwe
spleten. Het veldinterferentiepatroon is daarom het product van beide afzonderlijke
veldinterferentiepatronen, die bekend zijn.(figuur 11.31)
13.2 Spatiële filtering
Ruimtelijke verdeling van optische informatie
In de opstelling van de figuur beeldt de objectlens het Fraunhoferinterferentiepatroon van het tralie
af in het brandvlak en beeldt de lens het tralie af in het beeldvlak. De afbeelding door een lens kan
volgens Abbe beschouwd worden als een dubbele Fouriertransformatie.De consequentie is dat een
lens vanwege zijn beperkte opening altijd functioneert als een filter dat alleen de lagere frequenties
van de ruimtelijke intensiteitsverdeling doorlaat.
Voor ruimtelijke filtering van optische informatie wordt gebruik gemaakt van de opstelling in de
volgende figuur. Op het voorwerp vallen vlakke golven (Fraunhoferconditie). Het voorwerp staat in
het brandpunt van de transformatielens die een interferentiepatroon vormt in het brandvlak van de
lens, het transformatievlak. Dit transformatievlak staat in het brandpunt van de beeldlens, die het
beeld vormt in het brandvlak van de lens.
Je kunt nu op twee manieren naar het lenzenstelsel kijken:
traditioneel: de beide lenzen beelden het voorwerpsvlak af op het beeldvlak.
volgens Abbe: de ene lens zorgt op het transformatievlak voor een Fouriergetransformeerde van de
intensiteitverdeling van het voorwerpsvlak; de tweede lens zorgt op het beeldvlak voor de
fouriergetransformeerde van het formatievlak; dus de oorspronkelijke intensiteitverdeling verschijnt
op het beeldvlak
De hoge ruimtelijke frequenties dragen bij aan de scherpe contrasten tussen lichte en donkere
gebieden