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S.E.P. S.E.1.T D.G.1.T
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOL~GICO
cenidet !!ESTUDIO DEL FLUJO Y TRANSFERENCIA DE CALOR EN
UN SISTEMA ROTOR-ESTATOR
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
EN INGENIERiA MECÁNICA CENTRO DE INF RN C l o t ,
OPCIÓN TÉRMICA) C E N I O E T
P R E S E N T A:
ING. JOSÉ CLEMENTE GONZÁLEZ ROCHA
S E P
~-ZÑGG-/
Cuernavaca, Morelos Noviembre de 1996
Centro Nacional de Investigacih y Desarrollo Tecnológico
ACADEMIA DE LA MAESTR~A EN CIENCIAS EN INGENIER~A MECANICA Cuemavaca, Mor.,a 22 de noviembre de 1996.
Dr. Juan Manuel Ricailo Castillo Director de CENIDET
At'n: Dra. Gabriel5 Alvarez Garcia Jefe del Departamento de ing. Mecánica.
Sección Térmica
Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:
ESTUDIO DEL FLUJO Y TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN SISTEMA ROTOR- EST ATOR"
I)eslirrollado por cl Ing. José Clemente Conzález Rocha. y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión dc la tcxis y la fecha de examen de grado.
Sin otro particular, quedamos de usted.
A t e n t a m e n t e Comisión Revisora
Dra. Gabnela Alvarez Gkcía I
Dra. Sara Lilia oya Acosta
,.. -- e c ,.*:"":y . : ...* ,;. ."h . . . > : : . . . Dr. Gustavo Urqui7a Beltrrin
. , ( , , . . '.:.':.
L2..,>/& .. , . .
. ~ . __ i;;. ;i!3?r!g:g& . _.l ,_,,. yi ,,,, I C i.. . . . .-
Tels.: (73) 18-77-41:
.. ,... ,..., ..,, Interior internado Palmira S/N ClP. 62490 Apartado P. 5-164 Cuernavaca. Mor., Méxi--
V I bG SISTEMA NACIONa DE INSTITUTOS TECNOILOefICOS
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico SUBDIRECCION ACADÉMICA
Cuemavaca,Mor.,a 26 de noviembre de 1996.
- Ing. Josb Clemente González Rocha Candidato al Grado de Maestro en Ciencias en Ingenieria Mecánica
- P r e s e n t e
Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulado:
" ESTUDIO DEL FLUJO Y TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN SISTEMA ROTOR- EST ATOR"
Y habiendo cumplido las indicaciones que el jurado revisor de tesis him, se le comunica que se le concede la autorización para que proceda a la impresión de la misma, como requisito para la obtención del grado. i
Sin otro particular, quedo de usted.
A t e n t a m e n t e
Dra. Gabriela Alvarez García Jefe del Departamento de Ingeniería Mecánica. Sección Térmica.
C.C.P. Servicios Escolares Expediente
Interior internado Palmira S/N C.P. 62490 Apartado P: 5-164 Cueriiavaca. Mor.,
Tels.: . . (73) 18-77:41; 12-23-14; 12-76-13, Fax: 12-24 ~
Si no puedo pagar las obras que me hacen con otras obras, pongo en su lugar los deseos de hacerlas y cuando estas no bastan, las publico; porque quién dice y publica las buenas obras que recibe, también las recompensará con otras, si pudiera; porque por la mayor parte, los
que reciben son inferiores a los que dan y así es dios, sobre todo
porque es dador sobre todos, y no pueden comprender la dádiva del
hombre a los de dios con igualdad, por infinita distancia; y esta
estrecha y cortedad, en cierto modo, lo suple el agradecimiento.
Don Quijote
DEDICO ESTE TRABAJO::
A Dios: por darme la vida y permitirme llegar a una etapa más de mi preparación. Para heredar a mis semejantes un conocimiento más.
A mi esposa María de los Ángeles por darme su amor, su apoyo y comprensión
A mis hijas Angélica y Ana María por que son mi esperanza y quiénes
fueron mi fuerza en los momentos dificiles
A mis suegros. Sr. Zeferino López Viera (Q E. P. D) y Sra Guadalupe
Torres Sánchez : por su gran apoyo incondicional
A mis padres: Sr. Manuel González Morales y Sra Ma. del Carmen Rocha
Hernandez por su cariño y comprensión que siempre me han brindado
A toda mi familia
AGRADECIMIENTOS:
Quiero agradecer:
De UM manera muy especial a mi asesor Dr. Gustavo Urquiza Beltrán por su dirección, dedicación y excelente asesoría en el desarrollo de este trabajo.
Al jurado revisor de mi tesis por sus wmentanos y sugerencias
Al Instituto Tecnológico de cd. Victoria Tamaulipas por su &nfianza y apoyo.
A mis compañeros profesores que me brindaron su confianza y apoyo laboral para concluir esta empresa.
A mis Maestros: por su noble labor de enseñanza, y por haber sido mis que un Maestro _... Un amigo. ..
Al cenidet: por brindarme la oportunidad dc lograr una meta más en mi vida profesional.
A la infracstructura de centros de cómputo del cenidet, en particular el laboratorio (TAC) a cargo del Ing. Moisés González
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia (CONACYT) por el apoyo financiero, gracias al cual se hace posible la superación académica en el nivel de
excelencia por M ~ X I C O .
A todos mis compañeros del cenidet que mc brindaron su amistad.
Y el mas sincero agradecimiento a todas aquellas personas que de alguna manera . hicieron posible la conclusión de este trabajo. Especialmente a ¡as familias Nieves
Ruir y González Castro.
GRACIAS
i
TABLA DE COFJTXNIDO
TABLA DE CONTENIDO
NOMENCLATURA
LISTA D E FIGURAS
LISTA DE TABLAS
RESüMEN
1 INTRODUCCI~N
I . 1 GENERALIDADES
I .2 ALCANCE Y ORGANIZACIÓN DEL ESTUDIO
2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 'I
2 . I INTRODUCCIÓN
2.2 SISTEMAS EN ROTACION 'I
2.2.1 CILINDROS INFINITOS
2 . 2 . 2 CAVIDADES CILINDRICAS FINITAS
2 .2 .3 TRANSFERENCIA DE CALOR
3 FORMLILACI~N DEL PROBLEMA
3. I ' GENERALIDADES
3.2 ECUACIONES FUNDAMENTALES
3.2 . I HIÓTESIS FUNDAMENTAL
3.2.2 FORMULACI~N GENERAL I
3.2.2.1 FORMlJlACiON EN VARV\DI.ES PlUMlTiVAS
3.3.2.2 'ECUACIONES AIXMENSIONALES
3.3 METODO DE SOLUCION
3 . 3 . 1 CARACTER~STICAS DE LA MALLA &RICA UNIFORME
3.3.2 DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES ADIMENSIONALES
1
111
VI
VIII
[X
1
1
3
5
5
6
6
8
13
22
22
24 24 25
27 32 34
36
36
1
---,LA DE CONTENIDO
3.4 APLICACI6N DEL MÉTODO NUM6RICO
3.5 ALGORITMO DE SOLUCl6N
4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
4. i INTRODUCCI6N
4.2 VALIDACI6N DEL MODELO NUMÉRICO
4.3 FLUJO DE TAYLOR-COUETTE
4.3. I EFECTO DE LA LONGlTUD FINITA DE LOS ClLINDROS
4 3.2 INFLUENCIA DE LA ROTACI~N
4.4 CONVECCION EN UN SISTEMA ROTOR-ESTATOR
4.4 I EFECTOS DE LA ROTACI~N
4.4 2 EFECTO DE LOS PARhETROS GEOMhRICOS
4.4.3 ..EFECTO DE LOS PARhETROS TÉRMICOS
4.4 4 INFLUENCIA DEL !=LUJO DE CALOR EN EL
SISTEMA ROTOR-ESTATOR
5 CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA
42
45
48
48
49
51
53
56
58
60
64
66
16
80
84
NOMENCLATURA
SÍMBOLO DESCRIPCI~N
a
A
CP d
f
&
&
&
Gr
k
K,i M
N
P Pe
Pr
r rot
Ri R, R
Re
Ra R
Número de onda adimensional, nrJa Relación de aspecto, A= Wd, adim
Calor específico a presión constante, J/K,K 1 Ancho del espacio anular, d = R&
Función
Fuerza gravitacional en dirección radial, d s 2
Fuerza gravitacional en dirección angular, nds2 Fuerza gravitacional en dirección axial, , d s 2
Número de Grashof, goATR:/y2, adim
Conductividad térmica, WlmK Conductividad equivalente, adim '
Número de nodos en dirección axial
Número de nodos en dirección radial
Presión del fluido, Pa
Número de Peclet, R,%lu, adim
Número de Prandtl, ylu, adim
Coordenada cilíndrica en dirección radial Rotacionai Radio del cilindro interior, m
Radio del cilindro exterior, m Relación de radios, RJR,.adim
Número de Reynolds, R,%I/y, adim
Número de Rayieigh, PrGr, adim
Constante universal de los gases, NndmolK
/ I
NOMENCLATURA
s t
T
Ta
U
U
V
W
X
z
Término fuente
Tiempo, s
Temperatura, "C
Número de Taylor, 4R2R,4/(y( l-R'))', adim
Velocidad en dirección radial, ds
Velocidad, ds
Velocidad en dirección angular, ds
Velocidad en dirección axial, d s
Variable (u, w, w, 5 ) Coordenada cilíndrica axial
SNBOLOS GRíEGOS
a
P
r A
P
Y
R
4 0
P
w 5
Coeficiente de difusividad térmica, WpC,. m2/s
Coeficiente volumétnco de expansión térmica, I / "C
Cambio de
Velocidad de torque, m/s
Viscosidad dinámica, Kdms
Viscosidad cinemática, p/p, m2/s
Velocidad angular, rad/s
Coordenada cilíndrica angular
Parámetro rotacionai, &/Re2
Densidad, K4m3 Función de corriente, m3/s
Vorticidad, l/s
t
Iv
NOMENCLATURA P
SUB~DICES
a i O
ij R E f OTROS SIMBOLOS
aire
Cilindro interior Cilindro exterior
Punto nodal en la malla computacional
Rotor
Estator
Condición en la fronetra
Condición primitiva
LISTA DE FIGURAS
FIGURAS J
PÁGINA
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4. IO
4.11 4.12a
4.12b
4.13
Diagrama esquemático de la cavidad cilíndrica vertical
Malla computacional
Matriz indiagonal
Matriz tridiagonal .general
Algoritmo de solución general Cavidad cilíndrica de un sistema rotor-estator
Diagrama esquemático de la cavidad cilindrica
Líneas de corriente para Re = 75,R = 2.0, A = 1 .O, 3.8,4.0, 5.8
Líneas de corriente para Re = 20, 70, 100, 150 con A = 3.8,R = 2.0
Cavidad cilíndrica de un motor eléctrico
Líneas de corriente e isotermas para Re = 200, A = 1 .O, R = 1.5
Lineas de corriente e isotermas para Re = 100, Ra = IO4, R = 2, A = 1
Líneas de corriente e isotermas para Re = 33.3, Ra = lo4, R = 4, A = 1
Líneas de corriente e isotermas para Re = IO, Ra = lo3, R = 2.0, A = 0.25
Líneas de comente e isotermas para Re = 300, Ra = IO3,
R = 2.0, A = 0.25
Líneas de comente para Re = 100, Ra = 0.0, R = 2.0, A = 1.0
Variaciones del número de Nusselt superior'vs. número de Prandtl. Para Re = 50,100 y Ra = O, IO' :;
Variaciones del número de Nusselt exterior vs. número de Prandtl. Para Re = 50,100 y Ra = O, IO',
Isotermas para Re = 100, Ra = O, R = 2.0, A = 1 .O
23
36
43
44
47
50
52
55
56
60
62
63
64
64
65
67
68
69
70
VI
LISTA DE FIGURAS
4.14
4.1s
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
Lineas de comente e isotermas para Re = 10,h = '0'.
R=2 .0 ,A=1 .0
Lineas de corriente e ¡sotemias para Re = 10, Ra = 5 . IO4,
R = 2 . 0 , A = 1.0
Líneas de comente e isotermas para Re = 100, Ra = IO4, R = 2.0, A = 1.0
Líneas de comente e isotermas para Re = 100, Ra = lo3,
R = 2.0, A = 1.0
Líneas de comente e isotermas para Re = 100, Ra = IO',
R=2.0, A = 1.0
Líneas de comente e isotermas para Re = 100, Ra = IO',
R = 2.0, A = 1.0
Líneas de corriente e isotermas con flujo de calor para Re = 100,
8)
~a = io3, R = 2.0, A = 1.0
Líneas de c0rflente.e kotermas con flujo.de calor para Re = 100,
Ra=104 ,R=2 .0 ,A= 1.0
73
74
75
77
77
77
78
78
'LISTA DE TABLAS
TABLA PÁGINA
3.1 Condiciones de frontera dinámicas y térmicas para el problema geométrico 34
4.1 5 1
4.2 Condiciones de frontera dinámicas para cilindros finitos 52
4.3 Condiciones dinámicas y térmicas para el sistema rotor-estator 60
Valores obtenidos por de Vahl Davis et al [21] y el presente trabajo
VI11
RESUMEN
Este estudio trata numéricamente algunos problemas de flujo de fluidos y transferencia de calor en espacios anulares cilíndricos. El problema físico consiste de un
fluido newtoniano ocupando un espacio limitado por dos cilindros coaxiales finitos con el
cilindro interno en rotación. El estudio tiene, entre otros, un objetivo fundamental: la comprensión de los fenómenos de base de la mecánica de fluidos y de transferencia de calor en sistemas en rotación.
Numerosas máquinas y dispositivos en rotación requieren que el calor generado en
su interior, debido a procesos magnéticos, eléctricos o mecánicos, pueda ser disipado Lograr mantener la elevación de temperatura dentro de los límites preestablecidos, impone la
necesidad de una adecuada disipación de calor (sistema de enfriamiento). El calor es un
RESUMEN
parámetro que está íntimaniente relacionado con el comportamiento de los materiales, en
cuanto a los niveles de esfuerzo y fatiga que son producidos por una distribución no uniforme del calor en la superficie de los materiales.
Esta disipación de calor se realiza por medio de un sistema llamado sistema de
enfriamiento que consiste en extraer el calor desde la superficie del material al fluido
circundante (aire , agua, gas). Un proceso de calentamientoiy enfriamiento de este tipo
puede inducir esfuerzos térmicos que pueden reducir paulatinamente la vida útil de la
máquina o dispositivo, a esta acción de extracción de calor se le conoce como transferencia de calor por convección
Todos los sistemas en rotación, involucran flujos rotativos en su interior, tales flujos
están expuestos a disturbios ocasionados por sus condiciones de operación, y por lo general
trabajan en un régimen de flujo que no es totalmente laminar, es decir, existe una región con
disturbios infinitesimales que alteran la estabilidad del flujo laminar, produciendo una serie
de flujos secundarios conocidos como vórtices de Taylor Hasta la fecha se han realizado
numerosos estudios considerando la estabilidad teórica del flujo laminar entre cilindros
concéntricos, obteniéndose diversos resultados, tal como se menciona en la revisión
bibliográfica (capítulo 2 )
Una manera de poder determinar la estructura del flujo (vórtices de Taylor), y
analizar el fenómeno de transferencia de calor, es conocer el fenómeno de base de estos
flujos, el flujo base es el modelo de flujo de Taylor-Couette que resulta del análisis del flujo en una cavidad de longitud infinita y donde se presentan flujos periódicos de bifurcaciones simétricas Sin embargo, en condiciones de cavidad con cilindros de longitud finita la
simetrka de las bifurcaciones es interrumpida I
El análisis se realizará resolviendo las ecuaciones de continuidad, Navier-Stokes y de la energía por medio de un programa de cómputo [ S O ] , el cual es considerado como
herramienta fundamental para lograr el objetivo. Inicialmente se analiza el comportamiento
X
RESUMEN
del fenómeno de base en un espacio anular de cilindros finitos con el cilindro interior en rotación. Posteriormente se realizarán los cambios correspondientes en las condiciones de
frontera para convección mixta en un sistema rotor-estator (capítulo 3), considerando en primer término el caso isotérmico ( con el rotor a una temperatura mayor que la temperatura
del estator) y en segundo el flujo de calor a través del rotor Con los resultados obtenidos se
podrá observar la influencia de los diferentes parámetros como relación de radios (R = Ra / R,), relación de aspecto (A = H / d), número de Reynolds (Re = R: C2 I y), número de
Rayleigh @a = gPK’AT I ay), sobre la estructura resultante del flujo (el grado de distorsión
a lo largo de la cavidad) así como la rapidez de transferencia de calor
Los resultados obtenidos con el modelo numérico utilizado (capítulo 4) son
validados con los resultados obtenidos en la literatura publicada anteriormente. Cabe hacer
notar que la mayor parte de los resultados que se presentan en este trabajo no han aparecido
aún en la literatura, lo que representa la originalidad del presente estudio,
b
Para la solución numérica de las ecuaciones diferenciales parciales se utilizó una
plataforma compuesta por estaciones de trabajo SunSPARCstation 20 bajo el sistema
operativo UNIX (SUNSOLARIS 5.3), eligiéndose por su velocidad de procesamiento y
capacidad de memoria.
XI
CAP~TULO I
INTRODUCCI~N
1.1 GENERALlDADES
El flujo Taylor-Couette entre cilindros concéntricos verticales en rotación, ha sido
estudiado teórica y experimentalmente, debido a sus múltiples aplicaciones [24, 33, 251.
Estos flujos también tienen diversas aplicaciones en geofisica, incluyendo la circulación oceánica y atmosférica. En estas aplicaciones el desarrollo de los patrones de flujo y la transferencia de calor, desempeñan un papel de gran importancia
Para una cierta relación de radios, el flujo circunferencia1 laminar básico de Couette se desestabiliza por los disturbios axisimétricos ocasionados cuando la velocidad del cilindro
1
__ INTRODUCCI~N CAPínnO 1
interior se incrementa a un valor ligeramente amba de su velocidad crítica. Esta inestabilidad
conduce a un nuevo estado estable constituido por vórtices toroidales espaciados
uniformemente a lo largo de los cilindros. Este estado es conocido como régimen de flujo
con vórtices de Taylor.
Cuando la velocidad se incrementa más allá de la velocidad correspondiente at régimen de flujo con vórtices de Taylor, aparece una segunda velocidad critica que
desestabiliza este régimen de flujo; esta segunda velocidad crítica conduce a un movimiento
ondulatorio circunferencial sobrepuesto a la estructura toroidal previamente descrita. Si la
velocidad se incrementa a valores considerablemente más altos, aparecen nuevas
irregularidades y el flujo finalmente se vuelve turbulento. Esta lenta transición de flujo
laminar a turbulento es más accesible de analizar, que la rápida transición, puesto que los
mecanismos fisicos involucrados en estos procesos son más comprensibles.
La importancia tecnológica del problema de Taylor ha sido enfocada a estudios de
transferencia de calor en el interior de cavidades cilíndricas, particularmente relacionados
con la transferencia de calor en sistemas en rotación (rotor-estator). Es evidente que durante
la transferencia de calor por convección forzada ó convección mixta (efectos de la rotación y
empuje respectivamente) a través del espacio anular, el flujo puede tener influencias
dominantes sobre sus patrones de flujo, variando por tanto la tasa de transferencia de calor
Por lo tanto, puede observarse que el interés principal de este trabajo es estudiar el
fenómeno del flujo y el transporte del calor partiendo del fenómeno de Taylor.
La importancia del estudio del flujo y de la transferencia de calor en un sistema en rotación, es fundamental para comprender la estructura de estos flujos y predecir
específicamente sus características en el diseño térmico de estos sistemas Es de gran interés
práctico [24, 4, 5, 251 en el sistema de enfnamiento convencional de máquinas en rotación
como: sistemas rotor-estator en turbinas de gas [40] y las flechas de motores eléctricos [ 5 ]
1
CAPITULO 1 INTKODUCCIÓN
a r a s aplicaciones incluyen condensadores rotativos para la destilación de agua de mar y
reactores de barril usados en los procesos de deposición de vapor químico [3], etc
En las últimas tres décadas se ha dado considerable atención al problema de transferencia de calor por convección, y una gran cantidad de datos y correlaciones se han
obtenido para casos particulares de sistemas sin rotación. Sin embargo, el (flujo y
transferencia de calor todavia no ha sido lo suficientemente estudiado para el caso de los
sistemas en rotacion..
Recientemente el fenómeno del flujo y transferencia de calor en cavidades cilíndricas
verticales (cilindros de longitud finita) ha tomado considerable interés por su versatilidad práctica en el control de transferencia de calor El objetivo principal de este trabajo es
determinar las estructuras del flujo y la transferencia de calor por convección mixta
(convección forzada más convección natural) en un sistema rotor-estator, con apoyo
fundamental en el fenómeno de base
1.2 ALCANCE Y ORGANIZACI~N DEL PRESENTE TRABAJO.
Se utiliza un modelo numérico [ S O ] para determinar el comportamiento del
fenómeno del flujo y la transferencia de calor en un sistema rotor-estator. Este módelo se
aplica para un fluido newtoniano incompresible con propiedades constantes (excepto para la
densidad en convección natural), confinado en el interior de una cavidad cilindrica vertical,
en régimen laminar. La estructura del flujo, así como los perfiles de temperatura darán en conjunto valiosa información acerca del transporte del calor y el comportamiento del flujo. Además, este modelo perm¡tirá conocer la influencia de los parametros que describen el sistema (la relación de aspecto (A), relación de radios (R), el número de Reynolds (Re) y el
número de Rayleigh (Ra)) sobre la estructura del flujo y la transferencia de calor en una
cavidad cilindrica. Se estudiará primeramente el fenómeno hidrodinámico en el interior de un espacio anular f odado por dos cilindros concéntncos, con base, en el fenómeno de:Taylor.
Posteriormente, se trata la convección mixta para dos casos, el primer caso isotérmico;
3
CAPiTULO 1 INTRODUCCI~N
donde el rotor se encuentra a una temperatura mayor que la temperatura del estator. Para el segundo caso, el rotor se encuentra sometido a un flujo de calor, con el estator a una
temperatura isotérmica, en todos los casos se analizará la influencia de los parámetros (A, R,
Re, Ra) sobre la estructura del flujo y sobre la transferencia de calor. Id
El contenido de este trabajo de investigación se presenta de la-siguiente manera:
En el capítulo dos, se lleva a cabo una revisión bibliográfica de las investigaciones
teóricas ylo experimentales publicadas en los últimos años, concernientes al estudio del
fenómeno de base, as¡ como de estudios recientes sobre el comportamiento del flujo y
transferencia de calor en cavidades cilindricas en rotación.
El modelo matematico que gobierna el comportamiento del flujo en un sistema en
rotaci6n. as¡ como su discretización y el método de solución se describen en el capitulo tres.
La validación del modelo numérico utilizado, así como, el análisis de los resultados y
su discusión se presentan en al capitulo cuatro.
Finalmente, en el capítulo cinco se presentan las conclusiones generadas durante el
desarrollo del trabajo.
4
CAP~TULO 2
REVISI~N BIBLIOGRÁFICA I/
2.1 INTRODUCCI~N
Para realizar un estudio de la influencia de los parámetros geométricos (R, A), dinámicos (Re), y térmicos (Pr) sobre los patrones del flujo y la transferencia de calor en una cavidad cilíndrica en rotación (rotor-estator), con aire confinado y en régimen laminar, es necesario apoyarse en los avances teóricos ylo experimentales que predicen el
comporiamiento del fluido y la distribución de temperaturas, para un rango de condiciones
de operación y de frontera.
En este capítulo se presenta una revisión bibliográñca de investigaciones teóricas ylo
experimentales relacionadas con el tema.
5
1 CApíTULO 2 FWISIÓN BIBLIOGRÁFICA
i
2.2 SISTEMAS EN ROTACIdN
Las características del flujo y transferencia de calor en los sistemas en rotación [3 i]
no se consideran Únicamente de interés teórico sino también de gran importancia práctica El
fenómeno del flujo y transporte de calor en sistemas en rotación ha demandado mucha
dedicación por parte de investigadores, desde hace vanos aaos Por ejemplo, Kelvin en 1880
[3 I ] investigó las oscilaciones gravitacionales en un sistema en rotación y Lord Rayleigh en
1917 [3 11 estudió la dinámica y estabilidad de los fluidos en rotación
Algunas de las soluciones clásicas de las ecuaciones de Navier-Stokes y de la energía
para sistemas en rotación, por ejemplo el flujo inducido por un disco en rotación y la
transferencia de calor asociada fue investigada por Von Karman en 1921 [3 11, y la mecánica
de fluidos y el criterio de estabilidad para el flujo rotatorio en una cavidad formada entre dos
cilindros concéntricos en rotación fue estudiada por Taylor [48].
2.2.1 CILMDROS INFINITOS
Las observaciones de Taylor sobre la inestabilidad del flujo entre cilindros
concéntricos en rotación considerando loyitud infinita (L) y un espacio anular infinitesimal
muestran que existe una velocidad critica de rotación arriba de la cual aparece un flujo
secundario producto de la inestabilidad y que toma la forma de vórtices toroidales
espaciados regularmente llamados vórtices de Taylor. Taylor observó que “un incremento moderado de la velocidad de los cilindros, tenía como consecuencia un incremento en la
circulación de los vórtices, sin alterar apreciablemente su espacio o posición”. Subsecuentes análisis sobre el desarrollo de los vórtices de Taylor axisimétncos han sido abordados, algunas’veces con espacios finitos (para cilindros concéntncos) y algunas otras con espacios
pequeños para cilindros excéntricos, considerando siempre la longitud de los cilindros
infinita
6
CAP~TULO 2 REVISI~N BIBLIOGRÁFICA
De forma similar, en los análisis realizados por Davey [20], Stuart [47], sobre la
estabilidad del flujo con vórtices de Taylor fueron también restringidos a cilindros coaxiales
de longitud infinita y pequeños espacios anulares.
Coles [ 161, proporciona una detallada revisión bibliográfica sobre este problema y
provee una extensa investigación expenmental para amplios rangos de parámetros y
regímenes de flujo. Coles demostró que el estado periódico de los vórtices de Taylor no es
Único, y que se pueden encontrar 26 estados diferentes para un número de Reynolds
particular. Los estudios experimentales sobre las inestabilidades del flujo, se realizan por lo
general usando cilindros largos, probablemente para reproducir las condiciones de longitud
infinita, aunque los cilindros cortos, son encontrados en aplicaciones reales de ingeniería En
observaciones experimentales realizadas en cavidades cortas se han encontrado que los
vórtices de Taylor se presentan en pares a contrarotación, encontrándose cinco vórtices para
una longitud de dos veces el espacio anular.
Cole. [ 151 presenta un extenso estudio experimental con relación a los efectos de la
longitud sobre la estabilidad de los vórtices de Taylor en cuanto a la velocidad crítica, considerando cilindros concéntricos y relación de aspecto de 1 a 107 La conclusión
principal de este trabajo fue que únicamente la velocidad critica afecta significativamente el
desarrollo de los vórtices, al reducir la longitud de la cavidad, particularmente para
relaciones menores a 40. Estos resultados fueron enriquecidos ampliamente por Snyder [43],
el cual estableció que los efectos de los extremos, son importantes cuando la relación de
aspecto es menor a IO, para el caso de flujo axisimétnco periódico El estudio de Snyder
[44, 451, Burkhaler y Koschmieder [i2, 131, mostraron la posibilidad de obtener diferentes
longitudes de onda axiales dependiendo de la manera en que se alcanza el estado estable
Muchos investigadores han hecho uso del movimiento cilíndrico en estado transitorio
y cavidades de longitud vanable para alcanzar el estado permanente en el estudio del fenómeno de base, otros por su parte lo buscan incrementando la velocidad del cilindro
intenor en un estado cuasiestatico para un estado supercrítico. Benjamin y Mull¡ [S, 111,
1
CAPiTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
realizaron diferentes expeRmentos en cavidades con moderadas relaciones de aspecto
(altura-espacio anular) y observaron 50 diferentes flujos en estado estacionario, todos ellos
realizados para el mismo flujo y bajo las mismas condiciones de frontera dinámicas y
geométricas. Estos autores estudiaron también la transición entre el flujo primario con
pequeiias perturbaciones y el flujo secundario que resulta para pequeños incrementos en la
velocidad angular.
El análisis de la teoría de la estabilidad lineal ha sido numerosamente analizada por Diprima a partir de los estudios realizados por Taylor Una revisión de la teoría no lineal es
proporcionada por Diprima y Rogers en 1969 para valores del número de Taylor arriba de
su valor crítico mínimo Una teoría desarrollada por Kogelman y Diprima [30], permite
predecir un subintervalo en el intervalo de longitud de onda, y que consiste de un flujo permanente con perturbaciones periódicas en cilindros infinitos Este problema está
claramente relacionado con la unicidad de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes en estado permanente, lo cual también ha sido discutido por Ladyzhenskoya [32] La
consecuencia clásica de la inestabilidad en este flujo es la presencia de vórtices de Taylor
periódicos.
2.2 2 CAVIDADES CILhDRlCAS FINITAS
Subsecuentes investigaciones del problema de Taylor axisimétrico han sido
abordados considerando cavidades cilindncas finitas y donde se han realizado numerosas
modificaciones (existencia de múltiples soluciones) para esta estructura, debido al movimiento de los cilindros finitos, en cuanto a su altura y10 estado transitorio. Al considerar la condición de cilindros finitos la simetría de las bifurcaciones es interrumpida.
Al respecto Benjamin [9, IO], investigó la existencia de múltiples soluciones al problema
hidrodinámico, especialmente acerca de las bifurcaciones y estabilidad, haciendo referencia
al experimento de Taylor sobre el flujo de Couette entre cilindros en rotación. Esta contribución al estudio del fenómeno de bifurcación hidrodinámico fue presentada en dos
partes, en la primera de ellas, presenta una discusión teórica [9], sobre aspectos generales y
8
cAPínno 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
la teoría matemática usada, conduciendo a conclusiones de clases de flujo particulares que
posteriormente son aplicados en la parte dos, es en esta parte donde se verifican algunas de
la predicciones de la parte uno, concernientes al fenómeno de bifurcación en flujo
permanente En este trabajo experimental Benjamin [IO], utilizó un aparato de flujo de
Couette, reproduciendo el movimiento circular investigado por Taylor en 1923 En este
aparato el cilindro exterior y los extremos son estacionarios y el cilindro interior puede ser
rotado a velocidad constante y la longitud de la cavidad que confina un fluido puede ser
ajustada, la longitud es comparativamente pequeña, reproduciendo solo algunos vórtices de
la familia de los vórtices de Taylor y donde los efectos de los extremos son más fuertes que
en muchos de los experimentos-previos, Benjamin [IO], clasificó los flujos observados,
como:
a),- Modo primario el cual es Únicamente posible para pequeños valores de Reynolds (Re) y
el cual usualmente se desarrolla lentamente al incrementar el Re.
b).- Modo secundario el cual es posible arriba del valor crítico de Reynolds y el cual se
manifiesta para predecir su comportamiento.
En sus trabajos experimentales, predice la existencia del fenómeno de histbesis del
flujo primario, el cual es acompañado de una morfogenésis de la estructura celular, cuando
el Re varia con los valores criticos de A.
El conocer cada vez más, y darle más relevancia al fenómeno de las bifurcaciones de
un fluido homogéneo en estado estable, es mejorar el modelo teórico estandard del
experimento original descrito por Taylor [48], el cual, mantiene una gran información acumulata Esta idealización permite primero, que un flujo circular simple dependa únicamente de la coordenada radial satisfaciendo todas las condiciones del problema, y
segundo, las perturbaciones del flujo pueden ser consideradas en una clase de funciones periódicas en la coordenada axial.
9
I
~ B ~ ~ I O G R Á F I C A CAPÍTULO 2
I1
Los conceptos desarrollados sobre esta base, son dominados completamente por la
teoría de la estabilidad hidrodinámica, en particular sobre un cambio de estabilidad entre el
flujo primario, y el flujo celular que surge de la bifurcación en una velocidad crítica. Sin
embargo, un razonamiento de los eventos observados en el experimentos de Taylor,
proponen un nuevo conjunto de interpretaciones acerca de la multiplicidad del flujo,
teniendo mucha flexibilidad para elaborar el experimento de Taylor, tal como lo hace la
teona standard. Benjamin utilizó la teoría matemática abstracta de Leray-Schauder para
incluir los efectos de los extremos asociados con las cavidades de longitud finita al problema
de Taylor.
Un resumen de algunas investigaciones para cavidades finitas, considerando los
efectos de la longitud finita puede encontrarse en los artículos publicados por Diprima y
Swinney [22]. Algunas referencias de estos trabajos sobre flujos en estado básico conísin
perturbación puede encontrarse en Neitzel[39].
LOS diferentes modos de flujo celular fueron estudiados numéricamente por Ball y
Farouk [4] Estos flujos son caracterizados por el número de células presentes, donde, para
un rango particular de relación de aspecto (A), existe un modo único compuesto por un
número de células que emergen del flujo primario, cuando la velocidad del cilindro interior
se incrementa gradualmente desde el reposo Ellos explican que el estado estable de dos
pares de células de Taylor nunca se observaron en su estudio, debido a la interacción de la
vorticidad inducida por las fuerzas de empuje, donde sólo alcanza un máximo cerca del
plano medio de la cavidad, una célula de Taylor sería imposible que se desarrollara en esa
región Las siguientes bifurcaciones de las células de Taylor aparecían cuando o disminuyó
por abajo de O 1, es decir, persisten 4 células hastaa = O 05, debajo de este valor aparecen 5
pares de células y donde el flujo es dominado por las fuerzas de rotación, teniendo pocos efectos las fuerzas de empuje sobre el flujo
1
Estos flujos son únicamente estables para valores de Reynolds muy por arriba del
valor crítico de Reynolds correspondiente al flujo primario. Los modos secundarios pueden
10
CAP~TULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA IS
ser alcanzados, dando al sistema un impulso inicial para la velocidad de rotación deseada.
Cuando la velocidad de rotación disminuye hasta alcanzar el valor critico de Re, el modo
secundano colapsa en un modo primario.
Una serie de experimentos, sobre el problema de los modos de flujo, fue abordado por Benjamin [8, IO]. Utilizando un aparato de Taylor con una.relación de Radios de R =
0.615 y una relación de aspecto (A) en el rango de 3.4 A < 4.0. Benjamin observ6 que se presentaban dos células cuando el número de Re se incrementaba gradualmente desde el
reposo, y con valores arriba de este rango, observó cuatro células.
. .
El cambio de células, entre el estado de dos y cuatro células se presenta en el flujo
primario. Un factor esencial en los procesos de intercambio en el flujo primario, es la
multiplicidad de los distintos estados de flujo, donde muchos de los cuales pueden existir
para las mismas condiciones de frontera y diferentes condiciones iniciales. Benjamin y Mullin
[ 1 11 presentaron observaciones expenmentales, observando modos de flujo secundario,
donde algunos de los flujos observados en otros estudios con multiplicidad .~ del estado celular
de Taylor, han sido modos anormales Mullin [38] y Cliffe y Mullin [18], una vez que estos
flujos pueden solamente presentarse para números de Re suficientemente altos y siempre
colapsan cuando el número de Re se reduce gradualmente.
Estos estados secundarios son caracterizados por la dirección opuesta con respecto
al que ocurre para Re bajos, normalmente el flujo adyacente en los extremos es &n la
dirección hacia afuera (del cilindro interior al cilindro exterior). El flujo que ocurre entre
células es consecuentemente flujo hacia adentro, el cual es opuesto al estado normal de las &lulas de Taylor.
Frecuentemente el número total de células, en muchos modos anormales son muy
raros. Cliffe [ 171, complementa estos resultados experimentales presentando la solución numérica de estos flujos para pequeñas relaciones de aspecto. El resolvió las ecuaciones de
Navier-Stokes para flujo misimétrico en el experimento de Taylor cuando los cilindros son
11 9 6 0 2 8 2
CAPÍTULO 2
tan cortos que, únicamente se presentan una o dos células de Taylor Cliffe comparó sus
resultados con los trabajos realizados por Benjamin y Mullin [ 1 I]. En particular, la teona
general hace predicciones acerca de los flujos inestables, los cuales no pueden observarse,
pero pueden confirmarse por medios numéricos.
En la discretización de Cliffe, se utilizó el método del elemento finito, aplicado a la
teoría de bifurcación para obtener soluciones múltiples de las ecuaciones variando el número
de Re y la relación de aspecto. La teoría general de bifurcación para un flujo de fluidos
viscoso en estado estable, fue desarrollada por Benjamin y aplicada específicamente a flujo
celular simple por Benjamin y Mullin [ 1 I].
li
Estos modos anormales fueron primeramente observados en una cavidad
relativamente corta Sin embargo, estos efectos son intrínsecos al problema de estabilidad
hidrodinámica, y es de esperarse que sea de importancia en algún aparato de Taylor.
Cuando el número de Taylor difiere significativamente de su valor crítico es
necesario considerar métodos numéricos para obtener una mayor aproximación de la
solución esperada, este problema fue tratado por Meyer [34], usó la técnica de diferencias
finitas para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en estado transitorio en términos de la
componente tangencia1 de velocidad y la vorticidad, para un flujo con vórtices de Taylor en
un espacio anular limitado
Strawbrige y Hooper [46] resolvieron numéricamente un conjunto similar de
ecuaciones, para el caso de un flujo de vórtices de Taylor en un amplio espacio anular, los resultados de Meyer, Strawbrige y Hooper fueron muy aproximados con los valores
observados experimentalmente por Benjamin [8, 101. Estos autores analizaron el 'caso
particular donde el cilindro exterior es fijo y la técnica diferencial que utilizaron se limitó a
esquemas explícitos. Meyer [34] encontró la longitud de onda para una longitud axial
empírica del dominio, encontrando varias células idénticas de acuerdo con la hipótesis de
12 ...
CAP~TULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA -
periodicidad, en SUS resultados se muestra claramente la influencia de la perturbación inicial
y la no unicidad de la solución. 18
18
Un esquema implícito de dirección alternante es analizado por V.,Alonso y O ,
Macagno [51] Este método fueron aplicados al caso de cilindros infinitos y los autores
utilizaron condiciones de fronteras periódicas Alziary et al [i], calcularon teórica y
experimentalmente algunos flujos supercríticos en una cavidad finita con una relación de
radios (R) y una relación de aspecto (A), para pequeños incrementos del número de
Reynolds, alcanzando en si, el estado permanente entre los incrementos Ellos emplearon el
método de diferencias finitas para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, usando un esquema “upwind para incrementar la estabilidad
Por su parte, Meyer-Spasche y Keller [35], usaron expansiones de Fourier en la
dirección axial para analizar la transición del flujo circular de Couette a flujo con vórtices de
Taylor. Recientes estudios numéricos realizados por Hughes et al [26], predijeron algunos
flujos secundarios en el experimento de Taylor. Los resultados presentados por K. A Cliffe
[ 17) resultaron con una buena aproximación comparados con los resultados experimentales
dados en [8,10], Jones y Cliffe [27]
2.2.3 TRANSFERENCIA DE CALOR
En todos los trabajos anteriores, el flujo ha sido considerados isotérmicos. La
influencia de las fuerzas de empuje sobre el comportamiento del flujo Taylor-Couette, fue
analizado por Ball et al (31 quienes mostraron numérica y experimentalmente el desarrollo de
los diferentes patrones del flujo (vórtices de Taylor), con particular énfasis sobre la estabilidad del flujo, la interación mutua de los efectos rotacionales y de empuje
(cuantificados por el parametro rotacional o = @/Re2) , y el subsecuente efecto sobre los
patrones de flujo y tasa de transferencia de calor, así como el criterio de transición. Sus soluciones fueron obtenidas con el cilindro interior rotando y calentado, considerando una
relación de aspecto de 10, para un rango de número de Grashof (O < Gr S IO’) con el
13
CAPITULO 2 RE VISIÓN B IBLIOGRÁFICA
número de Re = 100. Este valor del número de Re corresponde a un número de Taylor T= 9 93 x IO‘ el cual está muy por arriba del valor critico Tk”, = 3 310 x IO‘ para esta
geometría. El rango del parámetro rotacional O O 5 o 5 10, indica la importancia relativa de
los parámetros de empuje y rotacional
Observaron que al considerar flujo isometrico con Gr = O y bajo un número de
Reynolds critico el flujo era unidimensional, es decir, las componentes de la velocidad en
dirección radial y axial eran cero. El flujo entonces consistía de una linea de Corriente
circular concéntrica en el plano (r-4) aunque una muy pequeña circulación se introduce en
el plano (r-z) debido a la propagación de la vorticidad dentro del flujo desde las .,paredes
rígidas estacionanas en los extremos. Arriba de un número critico de Reynolds (Re), el flujo
sufría una transición a flu,io tridimensional cuasiestático (axisimétrico), caracterizado por
vórtices toroidales a contrarotación (vórtices.de Taylor) en el plano (r-z).
Los resultados en estado permanente mostraron que con un impulso inicial se
desarrollaban flujos secundarios conforme o variaba graduaimente, la solución en estado
permanente desde o =, I O , con un descenso gradual y un impulso inicial de rotación y
calentamiento del cilindro interior, e iterando, aparecieron los patrones del flujo convectivo
natural (Re = O). Para o = 1 aparecieron los vórtices de Taylor en la parte superior de la
cavidad.
El flujo secundario en este estado o = 1, era dominado por las fuerzas de empuje,
siendo el vórtice positivo mucho más grande que el vórtice negativo en la parte supenor de la cavidad, siendo este último, la primera manifestación de la presencia de la inestabilidad de Taylor. Las siguientes bifurcaciones del flujo en el estudio de Ball et al [4], aparecen para o
= O. 1. El estado de las células cambia de un par a tres pares, donde en cada par la célula
positiva es más grande, debido a la influencia de las fuerzas de empuje y por la tendencia del
calentamiento de las partículas adyacentes del fluido al cilindro interior calentado, las cuales
ascienden con suficiente fuerza para dar las características del espaciamiento regular de la inestabilidad de Taylor. Ellos observaron que la célula en la parte superior de la cavidad
14
CAP~TULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
tiene un sentido negativo, mientras que la célula en la parte inferior tiene un sentido positivo
(positivo en dirección de acuerdo a la circulación convectiva).
Cuando Ball et al [31 introdujeron la fuerza de empuje dentro del flujo dedujeron que la vorticidad extra inducida por la circulación convectiva natural, favorecía a la célula de
Taylor positiva causándole su crecimiento, mientras que al mismo tiempo se reducía la magnitud de la vorticidad de la célula de Taylor negativa, la 'cual disminuía en tamaño.
Entonces la célula inferior era de esperarse que creciera, mientras que la célula superior
permanecía pequeña al incrementarse las fuerzas de empuje (caracterizado por o).
Cuando se presentaban los tres pares de células, se observaron que cada par de
cdulas a contrarotación ocupaba el mismo volumen, es decir, la tercera parte de la cavidad,
siendo, en los dos pares inferiores la célula positiva de aproximadamente 4.75 veces más.
grande que la célula negativa. Sin embargo, el otro par de células guardaba una relación de
tamaao de 2.46. Esta consideración fue debido al hecho de que la magnitud de la vorticidad
inducida era relativamente pequeña en la parte superior de la cavidad (comparada 'con la
parte media, donde alcanza su máximo). Así la vorticidad negativa inducida por la
inestabilidad de Taylor en la parte superior de la cavidad era disminuida al mínimo por las
fuerzas de empuje (el cual induce una vorticidad con un sentido positivo). Esto, también
explica que las primeras células de Taylor se presentaran en la parte superior de la cavidad.
Dorfman [23] preparó una excelente revisión bibliográfica del flujo y transferencia de
calor en sistemas en rotación. Sin embargo, el desarrollo de nuevos sistemas en rotación ha
dado nuevos ímpetus a la exploración del problema relacionado con el fenómeno de transporte en los sistemas en rotación con fluidos como el aire o vapor en condiciones muy
versátil&, que por lo general se encuentran en maquinaria en rotación. Por ejemplo Foltz
[24], han observado la posibilidad de modelar experimentalmente el fenómeno geofisico,
utilizando sistemas de rotación a escala. Gran variedad de intercambiadores de" calor
rotativos han sido introducidos en la industria química [3,4], y automotriz.
15
CAP~TULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA I'
I, Sin embargo, los flujos rotativos los cuales no son isotérmicos ocurren en gran
variedad de aplicaciones tecnológicas [24, 4, 251. Con base en su importancia tecnológica, y
de acuerdo a la literatura, pocos trabajos han sido realizados en el estudio de los flujos por
convección mixta en cavidades cilíndricas en rotación.
El primer intento para estudiar este problema fue un trabajo experimental con flujo
axial a través del espacio anular y el objetivo fue determinar sobre todo, la tasa de
transferencia de calor a través del espacio anular, Kaye y Elgar [28]. Becker y Kaye [6]
aportaron información relativa a la estabilidad hidrodinámica de estos flujos
Trabajos posteriores se han dirigido al estudio de los flujos con transferencia de calor
por convección mixta en presencia de gradientes de temperatura radial Becker y Kaye [7],
Walowit et al [52], enfocaron sus estudios sobre la estabilidad del flujo de Couette en
presencia de gradientes de temperatura y con el cilindro interior en rotación Estos flujos
permanecen axisimétricos para un amplio rango de Número de Reynolds y de Grashof y por
io tanto su solución numérica es más accesible
Se concluyó que un gradiente de temperatura a través del espacio anular (por
ejemplo, el cilindro exterior calentado y el cilindro interior enfriado ) es desestabilizador,
mientras que un gradiente de temperatura negativo es estabilizador Esto puede explicarse
notando que la fuerza centrífuga arroja a las partículas de fluido frío hacia el exterior, así, las partículas adyacentes al cilindro interior enfriado tienen mayor tendencia a ser desplazadas
por el flujo en rotación, en estos análisis la fuerza de empuje o gravitacional es despreciable
Walowit et al (521 justificó esta severa restricción, notando que el régimen
conductivo (Gr << IO') en convección natural tiene pequeiíos efectos sobre la transferencia de calor y por lo tanto es de esperarse que no se produzcan efectos sobre la estabilidad del
flujo Sin embargo, Snyder y Karlson [45], presentaron observaciones experimentalesl'para
cavidades con pequeño espacio anular con gradiente térmico radial impuesto sobre el flujo, y
concluyeron que el flujo axial inducido por fuerzas de empuje tiene una influencia
16
I/
CAPITULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
significativa sobre la estabilidad del flujo. Ellos encontraron que los gradientes de
temperatura negativos O positivos son estabilizadores, considerando que el gradiente de temperatura es pequeño. Para grandes gradientes de temperatura observaron una
inestabilidad en forma de espiral
Se podria mencionar que las soluciones en espiral , también pueden presentarse en
otras configuraciones del aparato de Taylor, y notablemente en sistemas con ambos cilindros
en rotación: Para la primera configuración, ver por ejemplo Astill [2], quién concluyó que
con un flujo axial desarrollado en una cavidad con el cilindro interior en rotación, se originan
vórtices de Taylor cerca de la pared interior y crecen radialmente hacia el exterior; los
vórtices se mueven en la dirección del flujo. Esto conduce a dos efectos longitudinales: uno
para el punto donde ocurre la inestabilidad y el otro para un punto donde los vórtices son
totalmente desarrollados.
La distancia desde la entrada al punto de los vórtices, se incrementa al incrementar el
numero de Re, y disminuye al incrementar el número de Taylor Esto conduce a dos tipos de
transición para flujo con vórtices uno cuando la capa límite tangencial se desarrolla y el otro
cuando la capa límite tangencial está totalmente desarrollada En ambos casos la transición
es caracterizada por el número de Taylor basado sobre el espesor de desplazamiento.
Un estudio experimental de transferencia de calor en una cavidad cilíndrica vertical
fue realizado por Ball et al [SI, con el cilindro interior en rotación y calentado, mientras que
el cilindro exterior es estacionario y enfiado, las placas horizontales son estacionarias Ellos determinaron la interdependencia entre el mecanismo de transferencia de calor y la estructura de los flujos secundarios Se enfocaron específicamente, en un estudio
parámetko del porcentaje de transferencia de calor promedio a través del espacio anular,
así como también, un estudio cuantitativo (usando técnicas de visualización de humo) de los flujos secundarios característica de los sistemas en rotación.
17
CAPITULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
Sobre los efectos de los flujos secundarios en la distribución de temperatura, Ball et
al [SI, encontraron que los vórtices de Taylor influyen grandemente en el transporte del
fluido a través del espacio anular, ellos usaron la conductividad térmica equivalente (kq )
como una medida de efectividad del mecanismo del transporte del calor, donde el estado con
mayor número de onda tiene mayor efectividad en el transporte del calor, el par de 5 células
a contrarotación presentes para IS = O, corresponde a un número de onda adimensional a =
xro /h = 6 28, ellos compararon sus resultados con el valor encontrado de a = 6 4 para una
cavidad infinita
Los resultados muestran la transición de un régimen de flujo dominantemente de
empuje a uno dominado por la rotación Primero analizaron el comportamiento de la tasa de
transferencia de calor (KeJ correspondiente a diferentes números de Grashof para el flujo
convectivo natural sin rotación, y usaron estos datos para trazar una línea base, que
permitiera comparar y determinar los efectos de la rotación (Re’), sobre el mecanismo de
transferencia de calor, para varios valores de Gr Ellos utilizaron una relación de radios R =
O 437, O 565, O 656, así como, la relación Q = &/Re’, como el parámetro rotacional para
indicar la importancia relativa de los efectos de empuje y rotacionales
Observaron que la tasa de transferencia de calor es relativamente constante para
cierto valor critico del número de Re arriba del cual se incrementa como una potencia del
Re, es decir, el exponente del número de Re se incrementa con R, mientras que su
coeficiente disminuye también con R Esto debido a los efectos de las células de Taylor
sobre la transferencia de calor, en el régimen de convección forzada, como puede verse en las siguientes ecuaciones
El comportamiento cuantitativo del flujo por convección mixta que ocurre dentro de
la cavidad depende de los valores de o Así, encontraron que para valores de o > 10 el flujo
es dominado por las fuerzas de empuje Similarmente, para valores de u < O 01, las fuerzas
de rotación son predominantes y el flujo se aproxima a la isoterma Taylor-Couette
18
CAP~TULO 2 REVISI~N BIBLIOGRÁFICA -
Para el rango de O O1 < o < 10, el flujo es caracterizado por los efectos combinados
de las fuerzas de rotación y de empuje En o = 1 ocurre la transición respectiva para cada
patrón de flujo Para valores de o < 1 la estructura de flujo es periódica en la dirección axial
y para valores entre O O1 < o < O 03 esta estructura celular es remplazada por un flujo
axisimétrico, el cual asciende en forma de espiral y disminuye conforme o De esta manera,
la acción de los flujos secundarios sobre las características de la transferencia de calor de los
sistemas en rotación es muy significativa hasta un valor crítico de o = 1, para un incremento
en la rotación, manteniéndose constante la transferencia de calor
En los últimos años, las aplicaciones practicas de transferencia de calor en los
sistemas en rotación por lo general se han centrado en el enfriamiento convencional de
maquinaria en rotación, por ejemplo, el sistema de enfriamiento interno de las turbinas de
gas [40], desde el desarrollo de estas máquinas en los años de 1940 la temperatura de
entrada a las turbinas se ha incrementado muy por arriba de 900 K, este incremento ha
mejorado la eficiencia térmica, dando como resultado un mayor rendimiento y reduciendo el
consumo de combustible.
Recientemente, algunos estudios numéricos han sido reportados en la literatura para
flujos con convección mixta, en cavidades en rotación Leonardi et al [33] y, de Vahl Davis
et al [2i], investigaron numéricamente los efectos del Ra y Re sobre el flujo confinado en
una cavidad cilíndrica vertical , presentando sus resultados para flujo axisimétrico, con una
relación de aspecto de 1 O y relación de radios de 2 O
Hessami et al [25] también estudiaron este problema concentrándose en los patrones
del flujo y en las tasas de transferencia de calor por convección mixta, para aire confinado entre dos cilindros concéntricos verticales y dos planos horizontales, el cilindro interior y el plano horizontal inferior, son calentados y rotados con respecto al eje axial vertical , el otro
plano horizontal superior y el cilindro exterior son enfriados y mantenidos estáticos
19
CAPÍTULO 2 REVISI~N BIBLIOGRÁFICA
Esta geometria simula los espacios en los extremos de un rotor de un pequeño motor
eléctrico montado verticalmente y enfriado por aire. Estos autores encontraron que el
dominio de las fuerzas centrífuga se presentaba para valores bajos de R y valores altos de
Reynolds, mientras que para valores altos de A y Ra los efectos de empuje determinaban la
estructura del flujo y por consiguiente la transferencia de calor.
Al variar R manteniendo constante a Ra y Re el número de Nusselt promedio para
varias superficies no cambió significativamente, el número de Nusselt total disminuyó
cuando R cambió de 1.2 a 8.0 y se incrementó disminuyendo A. ,I
Hessami et al [25] consideraron los siguentes rangos paramétricos 0.25 2 A s 4.0,
1.2 S R 5 8.0, 10 5 Re 5 300. Observaron, que una alta transferencia de calor se presentaba
al incrementar el Ra y10 Re, Además, se concluyeron que, incrementando Ra y/o A y/o R las
células conductoras son fuertemente de empuje, mientras que un incremento en el Re
promueve que el campo del flujo sea dominado por la fuerza centrífuga. De acuerdo a lo
anterior, las soluciones para los casos en donde el patrón del flujo se presentaba multicelular,
se requería mayor tiempo de cómputo para converger, que el correspondiente al patrón de
flujo monocelular. Hessami et al [25] obtuvieron resultados para los parámetros dentro del
rango antes mencionado, excepto para Ra = loJ para A = 1.0 y R 2 8.0 para Re > 150,
debido a la inestabilidad del campo del flujo,'la' cual, mencionan que puede ser causado por
la incidencias de la transición del flujo del régimen laminar al turbulento. Observaron que los
perfiles del Nusselt local mostraban un alto flujo de calor y consecuentemente, grandes
gradientes de temperatura en los extremos del rotor y en los bordes de los planos horizontales, creándose una distribución de transferencia de calor no uniforme.
Recientes estudios numéricos para el caso de 2 cilindros concéntricos con generación
interna de calor, cuando el flujo de Taylor-Couette es perturbado por la presencia de un
disco en el cilindro interno en rotación, fueron realizados por Urquiza B. G [SO]. presenta
resultados de la influencia de diferentes parámetros (el número de Re, el número de Grashof, la relación de aspecto de la cavidad, y la longitud del disco) sobre el flujo. Asimismo,
20
- CAPITULO 2 REVISIÓN B I B L I O G ~ I C A -
Presenta resultados del flujo y transferencia de calor. SU estudio se enfocó al a&lisis de
inestabilidades térmicas oscilatorias. Para el caso especifico de Re = 900, Ra = io7, A =
0.25, y R = 2.0. Observó que la estnictura del flujo periódico pasa a través de un ciclo.
multicelular de 2 a 4 células,
De la revisión bibliográfica anterior se puede observar que el modelo clásico ideal del
flujo Taylor-Couette (fenómeno de base) continúa a suscitar interés por su gran versatilidad en aplicaciones prácticas. La teoria de la inestabilidad del flujo de Taylor-Couette, ha sido
estudiada por diversos investigadores; algunos continúan considerando cilindros infinitos
con condiciones de frontera isotérmicas. Otros han considerado relaciones de aspecto muy
grandes con el objetivo de reproducir el modelo clásico ideal. Sin embargo, en la práctica la
relación de aspecto jamás es demasiado grande para aplicar el modelo ideal de Taylor-
Couette. Ai respecto numerosos investigadores han analizado los efectos de la longitud finita
sobre el flujo de base, también considerando flujo isotérmico con el cilindro interior a mayor
temperatura que el cilindro exterior y con extremidades adiabáticas. En décadas recientes, se
han realizado estudios sobre el acoplamiento entre el flujo de fluidos y la transferencia de
calor, sin embargo, todavía no ha sido suficientemente estudiado para el caso de los sistemas
en rotación.
De acuerdo a lo anterior, la influencia del número de Pr sobre un sistema sometido a condiciones combinadas de fuerzas centrífugas y de gravedad, no ha sido aún estudiada.
Precisamente, una de las originalidades de este trabajo radica en considerar esta influencia de
número de Pr en un sistema rotor-estator y observar su comportamiento temoconduct,ivo.
Por otra parte, según la observación de Kimura y Bejan [29] la condición de flu~o de
calor a través de las fronteras es más fácil de simular que las condiciones isotérmicas dificiles
de establecer en condiciones de laboratorio Por lo anterior, en el presente trabajo se
considera la influencia de ambas condiciones sobre la estructura del flujo y la transferencia de calor en cavidades cilíndricas en rotación
21
CAPiTULO 3
FORMULACI~N DEL PROBLEMA
3.1.- GENERALIDADES
Gran variedad de problemas prácticos [24, 4, 7.51 que involucran flujos rotativos y
transferencia de calor, pueden ser estudiados por medio de cavidades cilíndricas en rotación
conteniendo un fluido newtoniano con sus correspondientes condiciones de Frontera, es decir, un fluido confinado en un sistema en rotación (rotor-estator) Estos sistemas, los
cuales involucran flujos y transferencia de calor,
es posible estudiarlos mediante la solución de ecuaciones diferenciales parciales gobernantes del transporte de masa y energía en cavidades Estas ecuaciones diferenciales que gobiernan
los procesos fisicos reales son por lo general de naturaleza compleja, y su solución analítica
sólo es posible para casos simples.
22
I!
I¡ El USO frecuente de los métodos numéricos para resolver diferentes problemas en el
área fisico matemática, incluyendo desde luego los problemas de flujo y transferencia de
calor, se encuentra estrechamente relacionado con el uso generalizado de las computadoras
Actualmente, existen en el mercado computadoras modernas de alta velocidad, asi como,
algoritmos para la solución numérica de problemas prácticos, que han simplificado
considerablemente la programación, de tal manera que las técnicas computacionales se han vuelto más accesibles a un gran número de investigadores, acelerando el uso de estas
técnicas <jn el área de la ciencia y la tecnología En el presente capítulo se plantean las
ecuaciones gobernantes del comportamiento del flujo y de la transferencia de calor en una
cavidad cilindrica figura 3 1 Se describirá su formulación general en forma de variables
primitivas y adimensional, con sus correspondientes condiciones iniciales y de frontera Una
vez establecidas las consideraciones correspondientes, se describirá el método numérico
empleado para la solución, así como SU algoritmo
Figura 3.1 Diagrama esquedtico de la cavidad cilíndrica vertical
23
CAP~TULO 3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
3.2 ECUACIONES FUNDAMENTALES
El problema presente radica en determinar el comportamiento de los patrones de
flujo definidos por las células de Taylor [48, 47, 20, 3, 41 y la transferencia de calor por
convección mixta (convección forzada más convección natural) [33, 25, 261 para un fluido
Newtonian0 confinado en una cavidad cilíndrica vertical. La geometría general considerada
para este trabajo consiste de una cavidad cilíndrica vertical, formada entre dos cilindros
concéntricos y dos planos horizontales (figura 3.1). La geometría es especificada para una
relación de radios R = & / Ri, y la relación de aspecto A = Wd, donde d = Ro - Ri. 3.2.1 HIPÓTESIS FUNDAMENTALES
El planteamiento matemático para analizar el comportamiento de los patrones de
flujo y transferencia de calor por convección mixta estará sujeto a las consideraciones
siguientes; el fluido es newtoniano e incompresible, flujo axisimétrico (las componentes de
velocidad son independientes de I$), estado transitorio (dependiente del tiempo) y donde
para convección forzada los cambios de densidad con respecto del tiempo no varían (ap/at
=O). El estudio se realiza en régimen laminar, bidimensional, las propiedades termofisicas del
aire se consideran constantes para convección forzada (p, p, K, Cp, j3 ). Para convección
natural es usual aplicar la aproximación de Boussinesq que consiste en considerar todas las
propiedades constantes excepto la densidad en el término de las fuerzas de cuerpo ,en la
ecuacion de cantidad de movimiento Es decir, esta aproxiniación expresa la variación de
densidad causada por una diferencia de temperaturas, esta variación en la densidad, ,!tiene relación considerable con los efectos de empuje Además la aproximación de Boussinesq
permanece válida para flujos en rotación cuando los efectos de la diferencia de presión
inducida centnfugamente sobre la densidad pueden ser despreciados [3,4].
En convección mixta el flujo puede ser cuántificado en términos del número de
Reynolds (Re = Ri2 R / y) como parámetro rotacional, y el número de Rayleigh (Ra = g p AT k’ / a y) como parámetro convectivo natural, que a la vez relaciona al número de
24
CAP~TULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
Prandt (Pr) con el numero de Grashof (Gr) mediante la relación (Ra = Pr Gr); a es el
coeficiente de expansión térmica. El número de Grashof caracteriza las fuerzas de empuje,
mientras que el núniero de Reynolds caracteriza las fuerzas de rotación (centrífuga ), es
decir, las únicas fuerzas que se consideran por su importancia fundamental en el movimiento
del fluido son las fuerzas de empuje gravitacional y la centrífuga.
3.2.2 FORMULAC16N GENERAL
El flujo y transferencia de calor en el interior de una cavidad cilíndrica (figura 3.1) es
descritó matemáticamente por la ecuación de continuidad; ecuaciones de Navier-Stokes, y la
ecuación de la energía, las cuales se obtienen de los principios de conservación de masa, de
movimiento y de energía, respectivamente. Considerando la sección 3.2.1 estas ecuaciones
se expresan en forma bidimensional de la siguiente manera:
Ecuación de continuidad
Eciiaciones dc movimiento:
en dirección radial
25
CAF'iTULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
en dirección angular
cn dirección asial
Ecuación dc la energía:
(3.5)
Estas ecuaciones describen el comportamiento del flujo y la transferencia de calor en
el interior de la cavidad (figura 3 1) Las ecuaciones de Navier Stokes expresan una condición de equilibrio de fuerzas (segunda ley de Newton), es decir, cada partícula mantiene un estado de equilibrio entre las fuerzas de inercia (debidas a la aceleración del fluido) y las fuerzas externas que actúan sobre la partícula. Por ejemplo, el término inercial,
lado izquierdo de la ecuación (3.3) comprende, tres términos en consideración; el primero la aceleración local o temporal, los otros tres representan la aceleracibn convectiva (términos
26
no k a l e s que hacen que la solución general analítica sea imposible y su solución Aumérica
complicada) Y finalmente la fuerza centrífuga (rQ2) que expresa la fuerza por unidad de
volumen que actúa sobre un partícula de un fluido en rotación a una distancia del eje axial,
que reducida en función de la velocidad tangencia1 se expresa como v2/ r El lado derecho contiene los términos de fuerza motriz (p), fuerzas viscosas (se oponen al movimiento) y la
presencia de las fuerzas de cuerpo que actúan sobre la masa de la partícula (únicamente son
importantes cuando la distribución de densidad por efecto de la gravedad es no homogénea)
La ecuación de la energía (3 S), expresa la tasa de transferencia de calor por
convección (de la energía interna de la partícula) y la rapidez a la cual se adiciona calor por
conducción. además de un término fuente (generación de calor) y la ecuación (3 1) ecuación
de continuidad para un fluido incompresible, expresa la ley de conservación de masa 'I
En el estudio de la convección mixta, se considera la presencia de las fuerzas de
empuje (convección natural), las cuales son producidas por un campo gravitational conservativo y que contiene tres componentes presentes en las ecuaciones de movimiento
(Navier-Stokes) y que son las responsables del movimiento convectivo natural En este
estudio las fuerzas externas que actúan sobre el fluido forzado y las de empuje propias de
una vanación en la densidad del fluido causado por una diferencia de temperaturas, no
pueden ser independientes, sino por el contrario las ecuaciones de movimiento y de la energía se deben de resolver acopladas mediante la aproximación de Boussinesq, Ó en SU
defecto, hacer las consideraciones correspondientes para analizar cada caso aislado, es decir,
considerando sólo las fuerzas centrifuga ó las fuerzas de empuje dependiendo del caso por
abordar
3.2.2.1 FORMULAC16N EN VARIABLES PRIMITIVAS
Considerando las hipótesis del problema y las ecuaciones fundamentales (3 1-3 5 )
que describen el fenómeno fisico, y tomando en consideración los términos necesarios para
el estudio de la convección mixta, el campo conservativo que contiene tres componentes (&
21
CAPITULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
, g+ , g, ) en dirección radial, angular, y axial respectivamente, de las cuales sólo la
componente en dirección axial de las fuerzas de empuje es de importancia. Dad8 que el
cilindro es completamente vertical, la componente g, es la única que tiene que considerarse.
Es común expresar los efectos de las fuerzas de empuje mediante la aproximación de
Boussinesq el flujo es producido por un campo de densidades p (r, 2) es generado por un
campo de temperaturas T (r, z) y acoplados mediante la ecuación de estado del fluido (P =
pRT) bajo la consideración que el aire se comporta como un gas ideal, el resultado de estas
consideración es la relación siguiente
@ = p a I-- [ T';aTa ]
Este resultado indica que cuando la temperatura local (T') aumenta ligeramente arriba de la
temperatura media del aire (temperatura de referencia) la densidad p decrece ligeramente
abajo de la densidad del aire p,, en general :
(3.7)
Donde p es el coeficiente de expansión térmica a presi6n constante, y se define como:
28
n CAPITULO 3
I, la ecuación (3 7) es conocida como la aproximación de Boussinesq, e indica en forma
general que las variaciones de densidad son debidas sólo a los cambios de temperatura De
acuerdo con lo anterior la ecuación (3 4) puede ser escrita como
Sustituyendo la ecuación (3 7) en la ecuación (3.9) de tal manera que el término
inercia1 en el lado izquierdo de la ecuación (3.9) pueda ser dominado por la densidad p.
mientras que el término (p'-pa) es sustituido por - pag, (T'-T,) dando como resultado la
ecuación siguiente:
(3.10)
De acuerdo a la consideración realizada en (3 2. I ) la densidad es independiente de
los efectos centrífugos producidos por alguna diferencia de presiones en dirección radial, por
lo tanto la componente del gradiente de presión en dirección radial es despreciable, así la ecuación (3 2) toma la forma siguiente
(3.11)
29
1, De acuerdo a lo considerado en cuanto a trabajar con la formulación vorticidad-función de
corriente, a las ecuaciones (3.10, 3 1 1) se les aplicará la definición de vorticidad, asimismo al
primer término (fuerza centrífuga) del lado derecho de la ecuación (3 11) se le aplicará la
definición de velocidad de torque r' = r'v' con el objetivo de expresar la variación de esta
fuerza en dirección axial, Así
ai Ow' rotu y=,.- ar=
'y la ecuación resultante es :
aZy I a y y a2 r --+y. [ a r 3 % &'2 I' at P a¿
-+----+-
Introduciendo la función de corriente Y (r, z) definida por:
(3.14)
Las ecuaciones 3.14 y 3.15 satisfacen la ecuaci6n de continuidad.
., (3.12)
(3.13)
(3.15)
Sustituyendo estas ecuaciones (3.14) y (3.15) en la ecuación (3.12) se obtiene una
ecuación adicional que involucra a las variables 6 y w
30
CAPITULO 3 FORMLTLACI~N DEL PROBLEMA
(3.16)
Aplicando la velocidad de torque (r) a la ecuación (3.3) definida como r' = r'v',se obtiene
la ecuación de circulación que indica la intensidad de circulación de los vórtices que puedan
emerger del flujo [17,4, 51. De esta manera la ecuación resultante es:
(3.17)
Las ecuaciones (3 13, 3 16, 3 17, y 3 5) son ecuaciones no lineales que'deben
resolverse numéricamente en función de (6, vi, r, T), con sus correspondientes condiciones
de frontera A menudo las ecuaciones que describen el comportamiento de la dinámica de fluidos son expresadas en forma adimensional, así, los parámetros característicos como A,
R, Re, Ra, etc pueden ser variados independientemente, además, de que las variables son
normalizadas y sus valores se encuentran dentro de ciertos límites prescritos [19], por
consiguiente las ecuaciones primitivas que rigen el comportamiento del flujo y la
transferencia de calor (3 13, 3 16, 3 17, y 3 5) serán adimensionalizadas introduciendo las siguientes escalas
31
I
CAP~TULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
(r ' , z') . (u',v', w')Ri (r , z)=- (u, v, w )= Ri Y
T '-T Io
RiZ Ti -To T = t=t ' - Y
(3.18)
3.2.2.2 ECUACIONES ADIMENSIONALES
De acuerdo con la sección 3.2 y específicamente la subsección 3.2.2, las ecuaciones
(3 13, 3.16, 3.17, 3.5) del transporte de vorticidad, función de corriente, de circulación y de
la energía respectivamente, toman la siguiente forma adimensional:
1 ai- ar ar a2r iar a2r zar -+u-+w-=y -+-- +---- a m a [h l r & al r h
ar ar
.(3?19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
32
.
CAPiTULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA - - :
ir
Las condiciones iniciales y de frontera necesarias para resolver el sistema de
ecuaciones diferenciaies parciales no lineal (3.19-3.22), bajo la formulación E, v, r, T se
expresan a continuación:
CONDICIONES MlCiALES
(3.23)
CONDICIONES DE FRONTERA
Las condiciones de frontera hidrodinámicas son caracterizadas por el no
deslizamiento de las partículas de fluido sobre las paredes y la impermeabilidad de éstas Los
valores de la función de corriente (y) a lo largo de todas las fronteras debe ser constante
debido a la condición de no deslizamiento en una pared impermeable resultando:
las componentes de velocidad de torque son iguales a cero en las fronteras estacionarias. El
cilindro interior y el plano horizontal inferior rotan con una velocidad angular R, tal que la
velocidad de torque adimensional está dada por el número de Reynolds (Re) Una expresión
para la condición de frontera de vorticidad se obtiene expandiendo la función de corriente
cerca de las superficie usando los tres primeros términos de la expansión de la serie de
Taylor y haciendo uso de la ecuación de continuidad y de la condición de no deslizamiento:
donde n es el valor de la coordenada normal al nodo de la pared calculada, es decir r ó z. A
continuación se presenta una tabla con los valores adimensionales de T y r. La geometría es
33
CAPITULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
cil. finitosl rotorssiaior
r
T
flujo de calor
especificada por la relación de radios (R = K / K) y una relación de aspecto (A = H / d),
r = 1 r = R z = o z = H
Re ? I Re? 0 1 0 O I R e ? O 1 0
T = 1 T = O T = 1 T = 0 .
n1ar =q T=O arlaz =q T = O
', donde d es la diferencia entre el radio exterior (R.,) y el radio interior (Ri).
Las condiciones generales de frontera térmicas y dinámicas asociadas al sistema de
ecuaciones (3.19-3.22) son:
3.3 MÉTODO DE SOLUCI~N.
Los métodos aproximados son una alternativa para la solución de este tipo de
problemas [26,27]. Estos métodos se dividen generalmente en dos categorías. La primera,
cubre aquellos métodos que poseen una solución analítica, que en la mayoría de los casos es
complicada ya que intervienen, funciones especiales, y en muchas ocasiones no resulta una
opci6n practica.
La segunda categoría de métodos aproximados corresponde a las técnicas numéricas,
las cuales se sirven de una sene de valores aproximados para la solución deseada En esta
categoría se encuentran los métodos más comunes como son el método de diferencias finitas
(MDF) y el método del elemento finito (MEF). Existe mucha literatura al respecto [19, 41,
42, 361, cada método tiene sus ventajas dependiendo de la naturaleza del problema fisico a
resolver. El método de diferencias finitas es simple para formular, puede extenderse a
34
CAPITULO 3 FORMLTLACI~N DEL PROBLEMA
problemas de dos O tres dimensiones y es muy fácil de aplicar a la solución de ecuaciones diferenciales parciales formuladas en problemas de ingeniería.
La formulación estricta de un problema, bajo un número reducido de hipótesis, ha
logrado que la investigación numérica sea comparable a un buen experimento fisico.
Inclusive, los experimentos numéricos presentan un gran número de ventajas, los cuales, con una simplicidad relativa y bajo costo, proporcionan la posibilidad de considerar con mayor
precisión los efectos involucrados en un proceso. Además, los experimentos numéricos
permiten la variación de los parámetros del problema, así como de sus condiciones de
frontera, en un rango bastante amplio, y proveen también información completa de los procesos de investigación, los cuales en diversas ocasiones son prácticamente imposibles de
reproducir bajo condiciones de laboratorio.
En la secciones anteriores se plantearon las ecuaciones diferenciales que
corresponden al problema de convección (3.19, 3.20, 3.21, 3.22) para una cavidad cilíndrica
vertical. Para resolver estas ecuaciones se utilizará el método de diferencias finitas (MDF),
que consiste en establecer una red de puntos de malla (i, j, n) con espacios (Ar, Az, At) en la
región de interés ocupada por las variables independientes (r, z, t), tal que, al aproximar las
derivadas de las ecuaciones parciales por medio de la expansión de las series de Taylor 1481
se llega a un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden resolverse simultáneamente para
encontrar el valor de la solución aproximada U,,,. Este procedimiento se asociará con un
esquema implícito de dirección alternante (ADI) [14, 19, 361 Mientras la técnica
fundamental del método de diferencias finitas (MDF), se basa en el concepto de
discretización, el método AD1 se basa en la utilización de dos ecuaciones, una implícita en dirección radial y explícita en dirección axial , y la otra es implícita en dirección axial y explícita en dirección radial. Las cuales son usadas en forma alternativa para avanzar sucesivamente a través del dominio discretizado, cada una con duración de tiempo At.
35
- .. .
3.3.1 CARACTERfSTICA DE LA MALLA NUMERICA UNIFORME
El campo del flujo es dividido en una malla uniforme con Ar en dirección radial, y
con Az en dirección axial como se muestra en figura 3.2.
I
Figura 3.2 Malla compuiacional
3.3.2 DISCRETIZACIdN DE LAS ECUACIONES ADIMENSIONALES
La discretización de las ecuaciones, se realiza por,medio de la expansión de la sene
de Taylor, considerando que f = f (r, z, t) son funciones denvables y donde f = u, v, w, T. Se
utilizaran diferencias centrales de tres puntos nodales ¡-I, i, ¡+I, para evaluar las derivadas
espaciales de l o y 2O orden y para los términos dependientes del tiempo se discretizarán con diferencias hacia adelante en el tiempo. El campo del flujo es dividido en una malla uniforme
con Ar en dirección radial, y con Az en dirección axial (ver Figura 3.2). Los valores de las
variables 6, w, r, T, son calculados en cada punto de la malla para cada intervalo de tiempo
At, esto se logra resolviendo la representación en diferencias finitas (discretización) de las ecuaciones (3.19, 3.20, 3.21,3.22).
36
CAPÍTULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
Ecuación de transporte de vorticidad implícita en r, y explícita en z
Ecuación de transporte de vorticidad implícita en z y explícita en r
("ij 1 ) ( I . 2 ) ( 1 ) t i . j , n + i + -- +- t i+i . j .n+i + 2Ar Ar2 +- ti-l.j,"+,+ - - -
2Ar Ar2 At Ar2 (3.19b)
37
CAP~TULO 3 FORM[JLACIÓN DEL PROBLEMA
Ecuación de función de corriente y, implícita en r y explícita en z
Ecuación de función de corriente Y, implícita en z y explícita en r
(3.20a')
Las dos ecuaciones (3.20 a, a') pueden ser agrupadas dando el resultado la siguiente:
(3.20b)
38
CAP~TULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
. .
La ecuación de circulación implícita en r y explícita en z
(3.21a)
a
Ecuación de circulación implícita en z y explícita en r
(3.21b)
39
CAPITULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
La ecuación de la energía implícita en r y explícita en z
(3.22 a)
Ecuación de la energía implícita en z y explicita en r
40
(3.22b)
CAPITULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA -
Las ecuaciones anteriormente discretizadas avanzan su solución a través del tiempo,
es decir de t a t+At, una con respecto a la otra, cumpliendo el ciclo que establece el método
AD1 (implicito de dirección alternante) [14, 19, 361. Este método propuesto por Peaceman,
Rachford y discutido por Widlund en 1967 [41]. tiene estrecha relación con la estabilidad del
método numerico. Existen muchas variantes de este método, sin embargo, todas ellas estan
enfocadas a incrementar la eficiencia en el tiempo rk cómputo requerido para resolver cada
ecuación, además, mantienen la calidad de los resultados. Douglas en 1955 [41]., ofrece la
ventaja de usar un sistema de ecuaciones con una matriz de coeficientes tridiagonal que
puede ser resuelta por el algoritmo de Thomas (TDMA). En esencia el principio es emplear
dos ecuaciones diferenciales parciales las cuales son usadas en forma alternativa en pasos de
tiempp sucesivos cada uno con duración de At, la primera ecuación es solo implicita en la
dirección radial, y la segunda sólo en dirección axial. As¡, la variable X,j.n+i tiene su valor al
final del primer tiempo, donde X puede ser cualquiera de las variables consideradas en las
cuatro ecuaciones gobernantes. En el presente trabajo se han considerado sólo las
ecuaciones para el caso de los cilindros finitos con la finalidad de expresar visuaimente la
discretización.
Las ecuaciones discretizadas (3.19a, b, 3.20a, b, 3.21a, b, 3.22a, b) pueden
expresarse de la siguiente manera (se considera sólo las implicitas en r).
A(1) C(I-l,J) + B(1) S(1,J) + C(1) E,(I+I,J) D(1)
A(1) "(1-1,J) + B(1) 'I'(1,J) + C(1) Y(I+l,J) = D(1)
A(I) l-(I-l,J) + B(l) T(1.J) + C(1) T(I+I,J) = D(I)
A(l) T(L1,J) + B(1) T(1,J) + C(1) T(I+I,J) = D(1)
41
CAP~TULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
Estas ecuaciones avanzan la solución en dirección radial, para una (J) fija, mientras
que el otro sistema de ecuaciones avanzará la solución en dirección axial, para una (I) fija,
3.4 APLICACIÓN DEL MÉTODO NUMÉRKO
Para ilustrar la aplicación del método numérico [42, 49, SO] se considera la ecuación
de circulación (3.21a, c). Estas ecuaciones. están expresadas implícitamente en r, y
explícitamente en z, donde A(I), B(I), 'C(l), son los coeficientes de las variables incógnitas
(lado izquierdo de las ecuaciones). Para cada 1, D(I) es determinado por el lado derecho de
la ecuación y sus valores son'conocidos), de la ecuación implícita. Con la aplicación de esta
ecuación (3.21~) a los N-1 nodos de la'malla a lo largo del renglón paralelo a O-r figura3.2,
se obtendrán N-1 ecuaciones para las N-i incógnitas para un tiempo t=(n + ])At, que se
resuelven para obtener la solución ri,j,ni,.
Es decir, la ecuación 3 21c implícita en r y explicíta en en z es usada para avanzar la
solución en el tiempo, desde (n) a (n+i) nivel de tiempo, el siguiente paso es avanzar la
solución al n+2 nivel tiempo, esto se logra aplicando la ecuación (3 21b) en forma implícita
con respecto a (z), tal. que al resolver nos conduce a un sistema independiente de M-1 ecuaciones cada una conteniendo M-l incógnitas, que pueden ser resueltas en forma
matricial figura 3 3, mediante la aplicación del algoritmo de Thomas (TDMA) por columnas
En este caso el resultado es la solución r,d.n*2 para el tiempo t = (n+2)At Este procedimiento
produce una matriz tridiagonal como se observa en el esquema de la figura 3 3
Es decir, la ecuación 3.21b implícita en z y explícita en r nos permite avanzar del n+l
al n+2 nivel tiempo, para una I fija, de acuerdo con Smith G. D. 1421, la solución de este tipo de sistemas es mucho más fácil que la solución de (N-I)(M-I) ecuaciones que se requeriría
para el método implícito 1421. Otra manera de ver el método es que cada campo de variables
se calcula en direcciones alternadas partiendo de las condiciones de frontera, hasta que el campo calculado en ambas direcciones TV se aproxime a un criterio de convergencia de E =
42
CAF'íTULO 3 FORMLnACIÓN DEL PROBLEMA
1 ~ 1 0 ~ . El esquema de solución descrito recibe el nombre de método implícito de dirección
alternada (ADI), y se aplica a cada ecuación.
- o o . . . . . O
c3 0 8 4 c4 A5 B5 cs O
- o o . . . . . O
c3 0 8 4 c4 A5 B5 cs O
Figura 3.3 Matriz tridiagonal
donde a = N, M, de acuerdo a la dirección de barrido
La base fundamental de este esquema consiste de un ciclo iterativo determinado por
un barrido sobre todos los renglones, seguido de un barrido sobre las columnas De las
representaciones implícitas se obtienen matrices tridiagonales que pueden ser resueltas
utilizando el algoritmo de Thomas por renglones en el primer paso, y se completa el ciclo
iterativo aplicando el algoritmo de Thomas por columnas, este procedimiento asegura la
estabilidad del método numérico, aumentando la eficiencia en términos del número de iteraciones requeridas para cada ecuación y por consiguiente disminuye el tiempo de cómputo de acuerdo al criterio de convergencia.
Por otra parte el error de truncamiento en la evaluación de las derivadas espaciales
(diferencias centrales), tiende a despreciarse conforme Ar y Az son cada vez más pequeños
(Ar, Az -+O) de tal manera que al aplicar el esquema AD1 el falso transporte de convección
es evitado, y por consiguiente los resultados pueden interpretarse como una buena
43
CAPITULO 3
aproximación a los reales, sin embargo, la forma discreta de los términos convectivos
impiden conservación, existiendo cierta diferencia entre la rapidez de adición de calor y la
rapidez de calor removido [52]
En algunas ocasiones el esquema de solución del sistema de ecuaciones algebraicas
obtenidas con la aplicación del ADI. es usado junto con un SOR (sobrerelajación sucesiva)
114, 19, 361, como es el caso de la ecuación de función de corriente ecuación. (3.20~). Una
comparación de esta formulación, fue realizada por W.J.Minkowycz et .al [36], y afirma que
se puede economizar de un 20 a 40% el tiempo de cómputo, que el requerido por un
procedimiento por Gauss Seidel con SOR. El sistema de ecuaciones 3.19a, b, 3.20a;b,
3.21a, b. 3.22 a, b, puede expresarse en una matriz en forma general figura 3.4 por ejemplo
para una I= 2 hasta N-1, como sigue:
3 0
3 0 . . . .
O
O
%-2 Ba-2 c a - 2
%-I Bu-i
Figura 3.4 Matriz tridiagonal general
Donde a = N Ó M según sea la dirección de barrido.
Donde X puede asumir las incógnitas 6, VI, r, T. Este tipo de matrices como ya se
mencionó pertenece a la clase de matrices llamadas tridiagonales, donde cada sistema de
44
CAPÍTULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
ecuaciones es un sistema lineal con el mismo número de ecuaciones e incógnitas y pueden
ser resueltas por medio del algoritmo de Thomas (TDMA).
3.5 ALGORITMO DE SOLUCIÓN
En el primer paso de tiempo los valores de todas las variables son cero, (u, w, 6, v) con la
excepción de la velocidad finita de torque r en los puntos de malla adyacente la frontera en
rotación (cilindro interno), esto constituye la solución inicial. La solución en este primer
incremento de tiempo, se utiliza para probar el criterio de estabilidad para asegurar que los
tamaños de paso (Ar, Az, At) seleccionados son adecuados para la estabilidad del método
Con el cálculo de r en las fronteras, se procede a calcular rid en el interior de la cavidad con
la ecuación (3.21a, b) aplicando el método (ADI), y de acuerdo ai criterio de convergencia
establecido de tal manera que los resultados de este trabajo se aproximaran a los resultados
de publicaciones recientes [21 J utilizada para validación así
E = Ixn+'-xnI/ Ix"+'I = 1 ~ 1 0 - ~ (3.23)
donde X puede ser cualquiera de las variables E,, w, r, T.
Enseguida se, calculan los valores de r en todos los puntos de la frontera usando las
correspondientes condiciones de frontera. Los valores de rij son entonces sustituidos en la
ecuación (3.19) de transporte de vorticidad' para encontrar cij en el interior de la cavidad,
para posteriormente sustituir los valores de hi, en la ecuación de función de corriente
(3.20), la cual es resuelta iterativamente sobre todos los puntos interiores de la malla,
permaneciendo los valores de w constantes en la frontera. Las componentes de velocidad
&,¡, wij son obtenidos de los valores locales de la función de coqiente de acuerdo a su
definición y con las ecuaciones (3.14,3.15), finalmente conociendo el campo de velocidades,
45
CAPITLLO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
se puede conocer el campo de temperaturas resolviendo la ecuación (3 22), esto completa el
calculo para el primer paso de tiempo La solución, así obtenida, es entonces usada como la solución inicial para el siguiente incremento de tiempo y el proceso es iterativo Ai final de
cada cálculo se examina la solución mediante el criterio de convergencia individual
(residuo), y al final de cada paso de tiempo se examina el criterio de convergencia global, es
decir, todas las soluciones deben converger, tanto individual como globalmente, ecuación
(3 23)
La ecuación 3.20b, es la operación que requiere de mayor tiempo para converger, por tal motivo para reducir el tiempo de computo a un mínimo, se usa un factor de
sobrerelajación sucesiva para incrementar el porcentaje de convergencia del procedimiento
iterativo.
En el caso de convección mixta el algoritmo de solución; es semejante para las dos
formulaciones (isotérmica y mixta) con la variante que en el problema de convección forzada
las ecuaciones gobernantes se resuelven independientemente de la temperatura, y en el caso
mixto se resuelven acopladas (dependientes de la temperatura). Es decir, primeramente se
debe de encontrar el campo de temperaturas con la ecuación (3.22). con una previa
inicialización de1;campo de velocidades (por lo general cero), los parámetros de flujo Gr y
Re (que nos dará la relación entre los efectos de las fuerzas de empuje y los efectos de la fuerza centrifuga ocasionada por la rotación del cilindro interior, respectivamente. Para
posteriormente calcular la solución para velocidad de torque con la ecuación (3.21), la
vorticidad con 1a"ecuación (3.19) , la función de corriente con la ecuación (3.20), y por
último el campo de velocidades con las ecuaciones (3.14, 3.15), siendo lo anterior para un paso de tiempo eniuna iteración.
46
CAP~TULO 3 FORMULACI~N DEL PROBLEMA
C I de U. W. volt. Psi, Temp
NlT=300
Cdculo de gama con la ec. 3.21
Cdculo de Iavor t en las tiont.
Cálculo de l a i e m p . en las üont. no
1 Cálculo detemp. ec. 3.22
U0
M k l = M k l + I Cálculo de psi con la cc.3.20
Cálculo deu. w, ecs. 3.14. 3.15 1
Fig. 3.5 .Algoritmo de solucibn general
47
CAPITULO 4
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
4.1 INTRODUCCI~N
Los resultados del estudio de los patrones de flujo y la transferencia de calor en un
sistema rotor-estator, se presentan bajo la consideración correspondiente a la formulación
adimensional en función de las variables (e, y, r, T), vorticidad, función de corriente,
velocidad de torque y temperatura, respectivamente (capítulo 3) Se discutirá la influencia de
los parámetros geométricos y dinámicos sobre el flujo de base de Couette- Taylor, así como también, el comportamiento de éste, en un sistema rotor estator bajo la influencia de la relación de aspecto (A), relación de radios (R), el número de Rayleigh (Ra), los efectos de la
rotación caracterizados por el número de Reynolds (Re), sobre los patrones del flujo y la distribución de temperaturas.
Se presenta una sección transversal vertical de la cavidad cilíndrica (ver figura 3.1).
donde el eje axial se encuentra del lado izquierdo de cada diagrama (análisis en 2D). Los
48
CAPíTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
resultados del estudio del fenómeno de base se han obtenido considerando una cavidad
cilíndrica en la cual el lado izquierdo representa el cilindro interior y el lado derecho el
cilindro exterior, ambos se encuentran a temperatura constante T = cte los dos extremos de
la cavidad son paredes fijas y adiabáticas En el estudio del sistema rotor-estator, el lado
izquierdo y la pared inferior constituyen el rotor, mientras que el lado derecho y la pared
superior forman el estator, ambos rotor y estator se encuentran a T = cte donde TR > TE
Posteriormente se analizarán los efectos que pueda tener al introducir un flujo de calor q =
cte a través del rotor Las fronteras con movimiento rotacional cilindro interior y rotor se
encuentran a una velocidad angular Q = cte Los resultados han sido obtenidos para un
espacio anular con una gama de relaciones de aspecto O 25 5 A 6, relación de radios 1 S
2 R 2 4 O y 10 e Re c 300. El número de Reynolds, basado en el radio interno, es igual al
número de Reynolds basado en el espacio anular.
4.2 VALLDACI~N DEL MODELO NUMÉRICO
El modelo numérico [SO] utilizado para este trabajo, es representativo del
comportamiento de los patrones del flujo y la transferencia de calor en un sistema rotor-
estator Este modelo es validado con respecto a resultados experimentales y numéricos de
publicaciones anteriores. Se considera el caso de un espacio anular cilíndrico el cual
representa la región superior de un pequeño motor eléctrico donde el fluido es confinado
entre un rotor mantenido a la temperatura caliente T,, y un estator mantenido a la temperatura fría Tf El rotor gira a una velocidad angular constante y mueve, por un mecanismo de
convección mixta, al aire (Pr = O 7) que se encuentra en el interior del espacio anular La figura 4 1 ilustra este caso estudiado por de Vahl Davis y Leonardi E [21] y tomado d é
nuevo por Hessami et al [2S].
Los efectos del número de Re sobre los patrones de flujo para una relación de aspecto
A y una relación de radios R, igual a la usada en el estudio De Vahl Davis y Leonardi E. (A =
1 .O, R = 2.0), se expresan en valores de líneas de corriente w,,,~. y wiilrx..
49
CAPITULO 4
Figura. 4.1 Cavidad cilindrica de un sistema rotor-estator
Se consideran los casos siguientes
Caso a) Para Re = 10, Ra = 10’.
Caso b) Para Re = 10, Ra = 5E+04
Caso c) Para Re = 100, Ra = lo4,
La intensidad de los efectos, tanto de la fuerza centrífuga como de la fuerza de empuje
se pueden determinar con el valor resultante de la función de comente I+I &, 6 y mh las cuales
representan el valor máximo y mínimo de la intensidad del flujo y en particular la influencia de
las fuerzas antes mencionadas En la tabla 4 1 se observa que la diferencia es despreciable
entre los valores mínimos y máximos de la función de comente encontrados en este trabajo,
con respecto a los valores obtenidos por de Vahl Davis et al [21]
Todos los resultados utilizados para la validación se obtuvieron hasta alcanzar el estadopermanente, es decir, el flujo en estudio es basado sobre las ecuaciones dependientes
del tiempo, la solución en estado estable es obtenida en el límite asintótico de la ecuación
transitoria Este procedimiento permite el tratamiento del flujo estable como parabólico en el tiempo, tal que la solución avance en el tiempo para el resultado en estado estable.
50
Tabla 4.1. Valores obtenidos por de Vahi Davis et al [21] y el presente trabajo.
El método de diferencias finitas (MDF) usado en este trabajo es el mismo utilizado
por De Vahl Davis et al [21], y Hessami [25] con la diferencia que para alcanzar más
rápidamente el estado estable al resolver la ecuación de Poisson (función de corriente-
vorticidad) estos investigadores aplicaron un esquema AD1 con la técnica de Falso trasiente
discutida en detalle por Mallison y de Vahl Davis 1973 [53]. Sin embargo, utilizando un
esquema de SOR se pueden obtener soluciones de precisión aceptable
Otras simulaciones similares, no presentadas aquí, han permitido validaciones
suplementarias del código de cálculo para los problemas tratados.
4.3 FLUJO DE TAYLOR-COUETTE
Para analizar el fenómeno de base (flujo de Taylor-Couette), se considera el caso,
donde las propiedades del fluido son constantes y por lo tanto el campo de flujo es convectivo forzado, en estas circunstancias la distribución de temperatura es independiente del flujo. En la ecuación 3.19 se puede ver la ausencia de las fuerzas de empuje característica
de la convección natural, es decir, para este caso de convección forzada solo la fuerza
centrífuga es considerada y se encuentra implícita en la ecuación (3.19) en el primer término
del segundo miembro como una función de la velocidad de torque r definido como r = rv.
51
CAP~TULO 4
r =I
La geometna consiste de un cilindro de radio R, dentro de otro cilindro concéntrico
de radio & y dos planos horizontales en los extremos (arl h = O). El cilindro exterior y los
dos planos horizontales son fijos, mientras que el cilindro interior gira con velocidad angular
(n = constante), la geometría es especificada por la relación de radios (R = & / R,) y una
relación de aspecto (A = H / d), donde d es la diferencia entre el radio exterior (RJ y el
radio interior (R,)
r = R z = O z = H
Figura. 4.2 Diagrama esquemático de la'cavidad cilindnca.
r I Re? I o ' ,
CONDICIONES 'DE FRONTERA
O O
Las condiciones de frontera a las cuales se sujetará este estudio son:
52
4.3.1 EFECTO DE LA LONGITUD FINITA DE LOS CILINDROS
Las células de Taylor resultan de la bifurcación de un flujo circular inestable desde el
punto de vista perturbaciones centrífugas Haciendo referencia al modelo clásico ideal del
flujo de Taylor-Couette donde los cilindros son considerados de longitud infinita, este flujo
depende sólo de dos parámetros adimensionales, la relación de radios (R), y el número de
Reynolds (Re) Para una relación de radios (R) fija existe un número de Reynolds critico
(Res) arriba del cual se desarrolla un flujo periodic0 transversal en forma de vortices
(vortices de Taylor) Cuando el espacio anular es finito, es decir, limitado por paredes fijas
en los extremos (ver figura 4 2) la inestabilidad es favorecida por la presencia de la velocidad
relativa de rotación entre el cilindro interior y las paredes fijas
A > , I
En esta sección se análiza la evolución de los vortices de Taylor considerando una
relación de radios R = 2.0 y una relación de aspecto de 3.8 < A C 6.0. Estos resultados
muestran los procesos de-transición que determinan los diferentes estructuras de flujo.
Se parte de un sistema inicialmente en reposo, donde el campo de velocidades es
esencialmente nulos, la evolución del flujo se inicia suministrando al sistema una
perturbación producida por un incremento en la velocidad angular del rotor, más allá de la
velocidad crítica El flujo circular tangencial inicialmente unidimensional en el plano (r-4) donde las componentes de la velocidad en dirección radial (u) y axial (w) son iguales a cero,
adquiere otro modo de flujo transversal formado por lineas de comente en el plano (r-z) este
último se desarrolla debido al incremento en la vorticidad introducida en el flujo por las
paredes en los extremos de la cavidad, y al incrementar la velocidad tangencial del flujo inicialmente en reposo Esta transición a flujo axisimétrico es caracterizado por vórtices toroidales a contra comente conocidos como vórtices de Taylor
El resultado en estado permanente de este tipo de evolución se muestra en la figura
4.3 Se observa que el flujo es simétrico y bicelular para Re = 70, para un número de
Reynolds particular Re = 75 el patrón de flujo se muestra bicelular girando a contracomente
53
CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
(ver figura 4.3b, c), estas dos células son simétricas con respecto al eje'central de la cavidad,
z= W2 hasta una relación de aspecto de aproximadamente 3.8, (SAnsidera que la.célula es
positiva, cuando esta gira en sentido contrarotación de las manecillas del reloj). En la figura
4.3a, b se constata que el flujo permanece en este modo de flujo; dos células girando a
contracorriente teniendo cada una de ellas la misma intensidad (ver valores de en la figura). Se observa que el centro de rotación es desplazado hacia las paredes en los
extremos, este hecho es ocasionado por la intensidad de la fuerza Centrífuga la cual es mayor
en los extremos que en el centro de la cavidad proporcionando el sentido de giro de las
célula.
.I.
-
. Ai incrementar la relación de aspecto A = 4.0, el flujo de dos células inicia una
morfogénesis positiva debido al incremento considerable de la fuerza centrífuga en los
extremos fijos donde adquiere una mayor intensidad, la vorticidad ocasionada por las
paredes fijas principalmente en la pared adyacente a los extremos contribuye en gran medida
a intensificar considerablemente esta fuerza manifestándose por el mayor tamaño de las
células adyacentes en los extremos, la intensidad de la velocidad de torque implícita en el
término de la fuerza centrífuga (2T/+X/ az) en la ecuación (3.19) disminuye en el centro de
la cavidad, esto ocasiona el desarrollo de dos células que son atraídas por la influencia de la
célula positiva completamente desarrollada, de esta manera se forman dos pares de vórtices
de Taylor girando a contracomente
El comportamiento de este fenómeno se puede observar analizando la ecuación
(3.19) donde la aceleración sustancial de la vorticidad contribuye en gran parte al valor de la
fuerza centrífuga. En la figura 4.3d se observa que el flujo es simétrico y representa esta transición de 2 células a 4 células.
En esta figura las células centrales son de menor tamaño como es de esperarse, debido a que la vorticidad es casi nula en el parte central de la cavidad, y no contribuye a intensificar la velocidad de torque que varía significativamente en dirección radial Este
punto correspondiente a una relación de aspecto A=3 8 y es considerado como un punto de
54
- RESULTADOS Y DISCUSIÓN CAPITULO 4
bifurcación de 2-4 células [49]. En la figura 4 3d, se muestran 6 células las cuales se han
obtenido con la progresión de la relación de aspecto (A) sufriendo el mismo proceso de
rnorfogénesis mencionado para el caso de 4 células.
a) A = 1.0
í b) (c) A = 3.8 A = 4.0
(d ) A = 5.8
Figura. 4.3 Líneas de comente para Re = 75 , R= 2.0, a) vmh= 0.583, b ) vmh= 3.51 1E-02, c) vmax= 4.257E-02, d ) 4.289E-02.
Este proceso de transformación se observó hasta una relación de aspecto de 5.7 por
arriba de este valor se mantiene el mismo número de células: Se presenta sólo la relación de aspecto inicial correspondiente a A = 5.8. Los cálculos se limitan para una relación máxima de aspecto de 6 donde la estructura del flujo presenta células casi cuadradas que representan
la longitud de onda axial, calculada con la ayuda de la teoría de inestabilidad lineal de Taylor
en 1923 [48].
5 5
CAP~TULO 4
4.3.2 INFLUENCIA DE LA ROTACIÓN
Por otra parte se consideran los efectos de la rotación en la evolución de las
estructuras del flujo a partir de un sistema inicialmente en reposo, para enseguida aumentar
progresivamente la velocidad de rotación del cilindro interior, aumentando el número de
Reynolds a partir de cero. La estructura del flujo se desarrolla según los regímenes de 2
Células, 4 células y 2 células a medida que el número de Reynolds se incrementa En la gama
de O 5 Re 5 45, el flujo está constituido de dos células a contracorriente en las extremidades
de los cilindros En la gama de 50 2 Re 2 74, otro par de pequeñas células (con respecto a
los células en las extremidades) aparece a la mitad de la cavidad, formando un flujo “débil”
de 4 células. Para Re > 75, el par de pequeñas células desaparece, y el flujo vuelve de nuevo
a ser bicelular La figura 4 4 muestra una serie de líneas de corriente en los regímenes de 2, 4
y 2 células para Re = 20, 70, 100 y 150 Nótese que estos resultados han sido obtenidos
utilizando los resultados con un número de Reynolds más pequeño como condición inicial
La solución para Re = 20 ha sido únicamente obtenida utilizando el sistema en reposo como
condición inicial.
(a) íb) (4 (d ) Re = 20 Re = 70 Re= 100 Re= 150
Figura 4.4 Líneas de comente para A= 3.8, R = 2.0, a) v-= 6.794E-03, b) y&= 3.505E-02, C) vmir= 5.107E-02 d ) \y&= 1.25lE-02.
56
L RESULTADOS Y DISCUSIÓN CAPiTULO 4
La figura 4.4a muestra los perfiles del flujo para Re = 20. Para este número de
Reynolds, la existencia de dos células se explica por el hecho que las extremidades reducen
la velocidad a cero, y de esta forma, crean un fuerte gradiente de fuerzas centrífugas. Como
la presión no puede equilibrar esta fuerza, las células se presentan en las extremidades desde
que el cilindro comienza a girar, a pesar de permanecer débiles en las extremidades del
espacio anular.
La figura 4.4b muestra una estructura “débil” de 4 células para Re = 70. La
intensidad de las células en la región central es mucho más pequeña que las células situadas
en las extremidades Este par de células desaparecen cuando Re > 75 Cuando el número de
Reynolds aumenta, el número de células no cambia, y no se desarrollan más células de
Taylor, a pesar de que el modelo ideal predice la aparición de 4 células cuando el número de
Reynolds pasa al valor crítico de Re,= 68 En realidad, el flujo permanece bicelular, a pesar de que las fuerzas centrífugas aumentan la intensidad del flujo (hacia el exterior) en la región
central con respecto a la intensidad del flujo (dirigida hacia el interior) en la región de las
extremidades. Las figuras 4 . 4 ~ y 4.4d representan la estructura del flujo en esta región.
La velocidad radial hacia el exterior aumenta rápidamente con Re, y la localización
de sus máximos se desplaza hacia el cilindro externo, lo que indica que los centros de las
células se desplazan no solamente hacia el plano de simetría sino también hacia el cilindro
externo a medida que el flujo es más intenso
Estos resultados muestran claramente que la parte primaria de soluciones (en el
sentido de Benjamin) consiste de 2, 4, y 2 modos de células, lo que demuestra una gran influencia de las extremidades. En realidad, como las células cerca de las extremidades
preceden las células de Taylor, éstas alcanzan tal importancia que impiden el desarrollo de
las células de Taylor teniendo un sentido contrario de rotación, inclusive para fuertes números de Reynolds.
CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En el caso presente, el par de células obtenidas para grandes números de Reynolds,
es en realidad una combinación de las células primarias en las extremidades y de un par de
“células de Taylor” teniendo el mismo sentido de rotación.
Con el fin de apreciar la fuerte interacción entre los efectos de las extremidades y las células de Taylor en cilindros cortos, es interesante realizar una comparación con los
resultados obtenidos por Aiziary y Grillaud [2] para un espacio anular de relación de aspecto
A = 10 y de relación de radios R,& = 0.933. En este caso, el flujo primario de 2 células
observadas para Re = O 039 Re, se desarrolla sucesivamente en 4,6,8 y finalmente 10 células
para Re = O. 195 RG, 0.389 R%, 0.584 Re, y O 973 RG.
Los efectos de las extremidades en un espacio anular grande son contrarias a las de
un espacio anular corto En lugar de suprimir la presencia de las células de Taylor, estimulan
su desarrollo para números de Reynolds por debajo del valor crítico.
4.4 CONVECCI~N EN UN SISTEMA ROTOR -ESTATOR
El problema de enfriamiento en máquinas eléctricas en rotación, se incrementa con el
tamaño de la máquina, esto es debido, a que el calor generado en el interior de la máquina es
proporcional al volumen de ésta, mientras que el enfiiamiento es proporcional al área
disponible. Por lo tanto mientras mayor sea el volumen de la máquina se requiere un mejor
sistema de enfriamiento.
En pequeñas máquinas, sin embargo, esto no es muy práctico, ni necesario
seleccionando en su lugar el proceso de enfriamiento natural. En este proceso, el calor generado en el interior de la maquina es transferido de las superficies externas de ésta al
medio ambiente. Esta transferencia de calor se transfiere por conducción a través de la
estructura de la máquina y por convección a través de las cavidades que contienen fluido.
Cuando las superficies de las cavidades son estacionarias, el cálculo de la transferencia de calor es normalmente simple.
58
. CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En las cavidades de las máquinas eléctricas una ó más de las superficies se
encuentran en movimiento rotational y en las cuales varias de las superficies pueden
encontrarse a diferente temperatura Por ejemplo, la cavidad anular entre la carcaza extenor
de un motor el cual es enfnado por transferencia de calor al medio ambiente, y el rotor
calentado, dificultan e incrementan los problemas en el diseño La transferencia de calor que
se presenta en estas cavidades es por convección natural como un resultado de la fuerza de
gravedad y la fuerza centrífuga causada por la rotación y, por convección forzada como un
resultado del movimiento relativo entre las paredes de la cavidad Por lo tanto, el mecanismo
de transferencia de calor es mucho más complejo En esta sección se presentan los
resultados de un estudio paramétrico de la convección en una cavidad Figura 4 5, los
resultados son aplicables a motores con el eje axial vertical, ya que se considera simetría
axial, sin embargo se ha demostrado que para velocidades altas de rotación, los resultados
pueden ser aplicados a máquinas con el eje axial horizontal [20] El uso de las ecuaciones de
flujo laminar limitan el número de Reynolds para valores del orden de IO3 y el número de Ra
para valores de lo6, en este estudio se tomarán casos de aplicación práctica dentro de este
rango Se considera una relación de radios de R = 2 O y una relación de aspecto A = O 25,
1 O En este estudio las soluciones se han encontrado para 1 5 < R < 4 O, 10 < Re < 300, lo3
5 Ra <io5, estos valores se encuentran dentro de los rangos de operacion de un prototipo de
un motor eléctrico tal como se muestra en la figura 4 5.
Como una aplicación del fenómeno de base (flujo de Taylor), se considera la cavidad
del extremo superior de un motor eléctrico como dos cilindros finitos; donde se discutirán
los resultados para el caso isotérmico, y posteriormente se analizarán los efectos de
introducir un flujo de calor constante a través del rotor, (ver tabla 4.3) de acuerdo con la observación de Kirnura y Bejan [29] con respecto a simular con mayor facilidad los trabajos
experimentales, bajo condiciones de flujo de calor en comparación con las condiciones
isotérrnicas
59
CAPITULO 4
r = I r = R z = o
r Re+ O Rer2
T 1 O 1
flujo de calor m&=q d~/dr=o dT/dz=q
Figura 4.5 Cavidad cilíndrica de un motor eléctrico.
z = H
: o O
d~/az=o
4.4.1 EFECTOS DE LA R O T A C I ~ N
Se determina la influencia del número de Reynolds (Re) sobre la estructura del flujo para una relación de aspecto A = 1 O y un número de Rayleigh Ra = IO4, ambos fijos y una relación de radios (K) variable El objetivo especifico en este caso es observar la
transformación de la estructura del flujo original de Taylor para un sistema rotor-estator con la variación de número de Re, y la influencia de las fuerzas centrífuga y de las fuerzas de
empuje
60
CAPITULO 4
Los resultados en estado permanente, con previo impulso inicial y el subsecuente
desarrollo de las patrones del flujo, se presentan al vanar los parámetros adimensionales
como el Re, R. Las fuerzas de mayor importancia las cuales determinan los patrones del
flujo en la cavidad cilindrica, así como la transferencia del calor son:
I FUERZA GRAVITACIONAL O DE EMPUJE (Gr m/&) en la ecuación (3 Is), la cual causa que
el fluido ascienda a lo largo del cilindro interior y se mueva hacia afuera a lo largo de la
frontera superior
z FUERZA CENTR~FUGA (21-1 R' (ai-/ az )) en la misma ecuación (3.19), esta fuerza
centrífuga al vencer la fuerza de fricción que actúa sobre la capa de fluido adyacente a la
frontera inferior expulsa el fluido desde el cilindro interior a lo largo de la superficie inferior
en rotación.
Estas dos fuerzas de empuje y centrífuga actuando como se describió anteriormente,
producen un movimiento opuesto que de acuerdo a la magnitud de cada una de ellas se
generan diferentes patrones de flujo en el interior de la cavidad cilíndrica Para un flujo
isotérmico, los efectos de la variación simultánea del Re y de la relación de radios (R = RJ
R,) manteniendo constante el número de Ra y la relación de aspecto (A) se muestran en las
figuras 4.6, 4.7,4 8.
Considerando como referencia la figura 4 3a la cual se ha obtenido para un R ~ 7 5 y una relación de aspecto de A=l O, con las condiciones del fenómeno de base (flujo de
Taylor), se obtienen dos células con intensidad de función de comente igual Si este mismo flujo se visualiza en un sistema rotor estator, se obtendrán diferentes estmcturas de flujo de acuerdo con las condiciones de frontera Por ejemplo, al incrementar el Re=2OO para una
relación de aspecto invariable de A=l O y con R=l 5, el flujo bicelular adquiere una estructura monocelular El movimiento inducido por la frontera inferior en rotación figura
4 6, causa que el fluido que se encuentra en sus proximidades sea forzado hacia el exterior
61
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
en dirección radial, permitiendo que este sea reemplazado por el fluido que proviene del
cilindro interior en dirección axial.
Figura 4.6 Lineas de corriente e isotermas para A=l, Re = 200, R= 1.5, ~',&=.5.05, \vmin =-0.582E-03
Este hecho dá como resultado un flujo secundario el cual acompaña a la rotación,
las capas límites térmicas supenor e inferior incrementan su espesor como resultado del aire
frío proveniente del cilindro exterior, y el fluido caliente de la supeificie del cilindro interior.
Este movimiento centrífugo domina el flujo mostrando una célula (+) como se puede
observar en los valores de la función de corriente. Para un decremento en el número de Re =
100 y un aumento de R = 2.0, la intensidad de circulación de la pequeña célula inducida por la fuerza de empuje (ver valores de la función de comente para Re = 200 y R = i . 5 ) sufre un
incremento significativo en el valor de la función de comente, tal que la célula conducida
centrífugamente pierde momentum paulatino conforme la célula de empuje se desarrolla, disminuyendo así la influencia de la fuerza centrífuga.
Este flujo debido a las fuerzas de empuje se fortalece formando una estructura del
flujo más compleja (figura 4.7a), la célula negativa generada por el fluido que asciende cerca
62
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN - -.
del cilindro interior ocupa la porción superior de la cavidad, y la célula positiva generada por
la fuerza centrífuga, en las proximidades de la frontera inferior ocupa la porción inferior de
la cavidad.
(a)
Figura 4.7 Líneas de corriente e is( mas para Rc= 100, Ra =IO4, R = 2.0, \vmk =5.58, \v,,,in =-5.87
0
Para un decremento en el Re = 33.3 un incremento en R = 4.0 permite que el espacio
anular disminuya hacia el eje axial de la cavidad, disminuyendo por tanto la influencia de la
fuerza centrífuga Como un resultado, el flujo dominado por la fuerza centrífuga (líneas de
corriente en dirección contraria a las manecillas del reloj (+)) es cambiado a un flujo
dominado por las fuerzas de empuje (lineas de comente en dirección rotación de las
manecillas del reloj (-)).
Los valores máximos y mínimos de la función de comente muestran la intensidad de la función de comente Así, para un Re = 33.3 y R = 4.0 con Ra = lo4, una célula negativa representativa de las fuerzas de empuje (figura 4.8a) adquiere suficiente momentum,
contrarrestando por completo los efectos de la fuerza centrífuga.
63
CAPITULO 4
Figura 4.8 Lineas de corriente e isotermas para Re= 33.3, R 4 . 0 , A=l, Ra = 1E+04 vmi,=O.O, vmin= -144
4.4.2 EFECTO DE LOS PARAMETROS GEOMETRICOS
Para una relación de aspecto A = 1 O, un número de Ra = O y con el parámetro
rotacional como dominante de acuerdo a los comentarios anteriores se tiene un patrón de
flujo monocelular con una célula positiva Para una relación de aspecto A = 0.25 y relación
de radios R = 2 O, manteniendo constante el Ra figuras 4 9, 4 10, el campo del flujo para Re
= 10 y Ra = lo3 muestra una influencia combinada de los efectos de la fuerza de empuje y
centrífuga, la célula central positiva es generada por la fuerza centrífuga, mientras que las
células negativas son debidas a las fuerzas de empuje generadas por los gradientes de
temperatura cerca de cada extremo de la cavidad
(a) (b)
Figura 4 9 Lineas de comente e isotennas para Re = 10, Ra = IO', R=2.0, A =0.25, vmrix= 0.869E-02, vmtn= -0.186E-01
64
CAPÍTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Es decir, el calor transferido del cilindro interior caliente a la pared superior enfriada
y de la frontera inferior calentada al cilindro exterior enfriado, hace que la célula cerca del
cilindro exterior sea más fuerte que las otras dos células. Es evidente, que así parezca,
debido a que el área disponible para conducir la célula cerca del cilindro exterior es mayor
que el área disponible para la célula cerca del cilindro interior.
La diferencia relativa en las intensidades de estas células es una función de la relación
de radios (R): mientras más grande sea R la célula cerca de cilindro exterior es más fuerte, lo
que concuerda con los resultados anteriores al incrementar la relación de radios R las fuerzas de empuje se tornan dominantes Al incrementar el número de Re manteniendo constante
los mismos parámetros anteriores, el campo de flujo es dominado por la fuerza centrífuga
ver figura 4 10, desapareciendo las células negativas del caso anterior, aunque una pequeña
circulación de célula negativa no significativa se encuentra presente tal, como se puede
observar en los valores de la función de corriente
---... . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ + - - - - - - - - - - - * .
Figura 4.10 Líneas de corriente e isotermas para Re = 300, Ra = IO', R = 2.0, A = 0.25, 'vmh= 8.52. -0.532E-03
Con respecto a la influencia de la relación de radios R y de A. AI incrementarse R
con A=cte disminuyen los efectos de la fuerza centrífuga, dando lugar que a través de su
proceso de transformación se presenten en el flujo una serie de estmcturas multicelulares, de una manera semejante si se aumenta la relación de aspecto A con R=cte se producen los
mismos efectos al reducir la influencia de la fuerza centrífuga, sin embargo, el valor de la
6 5
CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
función de corriente aumenta al incrementarse R y disminuye al incrementarse A Este
comportamiento es debido principalmente al área disponible para la influencia de cada una
de las fuerzas centrífuga y de empuje, por ejemplo, al incrementar R la cavidad tiende al
limite de R+l disminuyendo el área de la parte inferior que se encuentra en rotación
constante, dando como resultado los efectos antes mencionados, si se aumenta (A) la altura
'del cilindro interno se incrementa y por consiguiente se tiene mayor área de calentamiento
Este comportamiento es válido dentro de los rangos establecidos al inicio de estos
resultados Se han seleccionado solo los casos más representativos para el estudio de las
estructuras del flujo
4.4.3 EFECTO DE LOS PARAMETROS TÉRMICOS
2 -
EFECTO DEL ~ R O DE PRANDTL íPr1
En esta sección el estudio se limita para relación de aspecto de A = 1 O y relación de
radios R = 2 O La literatura existente acerca de este tema muestra que el número de Prandtl
tiene un efecto despreciable sobre la transferencia de calor por convección natural en
régimen laminar al interior de un espacio anular Tres regímenes de flujo han sido puestos en evidencia los kegimenes de conducción, de transición y el régimen de capa límite Hessami
et al [25] propone la siguiente correlación
- 0.214 0.669 Nu = Gr0.254[ 1 + ]A - 111 ( R - 1 )-
válida para lo'< Ra C lo5, 1.25 R 5 8,0.25< Ra < 4.0 y 10s Re < 300
(4.1)
Esta correlación toma en cuenta los efectos de la relación de radios y de la relación
de aspecto. sin embargo, el número de Nusselt (Nu) es independiente del número de Prandtl (Pr). La figura 4.1 1 muestra que el flujo en convección forzada es unicelular para Re = 100
66
CAPiTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSI~N
El flujo es centrífugo en las proximidades de la superficie inferior debido a la rotación de
ésta.
Figura 4.1 1 Lineas de corriente para Re= 100, Ra= O, R=2.0 y A=T.O
La figura 4 12a, b muestra las variaciones del número de Nusselt (Nu) en función del
número de Prandtl (Pr) en convección forzada y mixta para dos números de Reynolds Re =
50 y Re = 100 para Ra = O y Ra = 1E+04 Para números de Prandtl muy bajos (Pr -+ O), el
campo térmico es conductivo y el número de Nu tiende hacia la unidad Para Pr = O la
ecuación de la energía se reduce a la ecuación del calor en conducción pura
67
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN 1
Variación del Nu. superior vs. Pr para Re=100, Ra= O, 1EN4
8 Re=IOO. Ra=IE+04 'C
O 0.7 5 10 1 O0 200 300
Número de Pr.
Variación del Nusuperior vs. Pr para Re=50, Ra=O,IE+04
200 -
20 -- 0 7
O. 7 5 10 1 O0 200 300 Número de Pr.
Figura 4. I2a Variaciones del número de Nu. superior vs. el número de Pr. Para varios Re=50,100 y Ra=O,lE+04'
68
CAPITULO 4 RESLJLTADOS Y DISCUSIÓN
Vanación del Nu.exterior vs, Pr para Re= 100, &=O, 1EM4
i 100
-Rs-100. R.=O 1 - -. -Rc=lOO.Re=1E+04 O
60 i' 40
200 180
- - -
1 0.7 5 I O 100 200 300
- Número de Pr.
Variación del Nuexterior vs. Pr. para ñe=50, Ra=O,lE+04
140 1 1
2 0 1 ' I - - . - Re=50. üa-IE+04 " I
0.7 5 10 I O0 200 300
Número de Pr
Figura 4.12b Variaciones del Número de Nu. exterior. vs. ei número de Pr. Para varios Re=50,100 y Ra=O, 1E+04
69
CAPiTUI,O 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Para el caso de metales liquidos (número de Pr muy pequeño) el transporte de la
entaipia por el movimiento del fluido es muy débil con respecto a la conducción. Como
consecuencia el perfil de temperaturas es casi conductivo. Esta aproximación es también
valida como primera aproximación para el aire a Re = 100 tal como se observa en la figura
4.13a.
( a ) Pr = 0.7
NU,,,,,,= -35.3 NU,,= -47.2
( d ) Pr = 100
NU,,.= - 168 Nuea=-145
( e ) Pr=200
NU,,,= -225 N ~ & = - 1 7 6
( c ) P r = 1 0
Nuw= -1 12.2 N ~ & . = - 1 0 7 . 4
( f ) P r=300
NU,,.= -259 N k a = - 196
Figura. 4.13 Isotermas para Re = 100, Ra =O, R=2 y A=l Donde Sup. y ext. representa el valor del numero de Nu en la pared superior e infenor.
70
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
las curvas de la figura 4.12 (Nu vs. Pr) se incrementan más allá de los aceites
comunes (Pr = 500). En efecto si Pres infinito se resuelve
DT - = o Dt
ecuación que se reduce a :
Ü.?T = O
(4.2)
(4.3)
en régimen permanente Esta ecuación es verificada sobre los cilindros (si son impermeables
o isotérmicos, que es el caso ) Por otra parte, esto equivale a decir que ?T = O sobre todo
el dominio y de este hecho la temperatura debe ser uniforme en el centro del espacio anular
La solución es ahora T = O la temperatura de referencia. Numéricamente esta solución es
imposible de alcanzar, pues los gradientes térmicos tendrían que ser infinitos sobre los
cilindros (espesores de capa limite nulos) Sin embargo se observa esta tendencia de estado
isotérmico en el centro del espacio anular y el adelgazamiento de las capas límites térmicas
cuando el número de Prandtl se incrementa figuras 4 13 d, e y f
Otra forma de razonar es suponer que la difusividad térmica es la que varía para una
viscosidad dada. Aumentar el número de Prandtl equivale a disminuir la difusividad , que es
inversamente proporcional al flujo de convección, lo que hace que el fluido pueda extraer el
máximo de energía de los cilindros calientes con el fin de transmitirla a los cilindros Fríos
La figura 4 13 muestra las distribuciones de temperatura para diferentes números de Prandtl en convección forzada Para números de Prandtl débiles, el perill es conductivo El flujo desestabiliza el campo térmico para números de Pr altos; entre mayor es el valor del
número de Prandtl mayores son los gradientes parietales sobre los cilindros
Para el caso de convección mixta, Ra = lo4, las variaciones del número de Nusselt
ver figura 4.12, son similares a los encontrados en convección forzada. La fuerza de
e
CAPITULO 4
Arquimides (Ó de empuje) que inclusive perturba el flujo no influye sobre el efecto del
número de Prandtl elevados.
EFECTOS DEL NÚMERO DE RAYLEIGH Ob)
En esta sección se analizara la influencia del. número de Rayleigh (Ra) sobre la
distribución de temperatura analizando sus perfiles de los diagramas isotérmicos ,de las
figuras correspondientes para los casos a) Re= 200,.b) Re= 100, c) Re='33.3, con.A=1.0 y
R=2.0, considerados anteriormente para el análisis paramétrico de las estructuras del flujo.
El comportamiento cualitativo de las isotermas correspondientes a la estructura del
flujo de la figura 4.6a. con Re=200, R=1.5, A=l y con Ra= IO4 puede apreciarse en la Figura
4.6b la cual muestra las isotermas obtenidas con una malla de 3 1x31: para este número de Re
la distorsión de los perfiles de temperatura indican la presencia de la célula positiva (+)
observándose la mayor concentración de gradientes de temperatura en los bordes del rotor.
'En la siguiente figura 4.7b la transferencia de calor es por convección forzada y por
convección natural; el número de Ra se hace más evidente a medida que el número de Re disminuye, este efecto se percibe por la concentración de gradientes de temperatura en las
partes calientes con un flujo potencial estratificado en el centro de la cavidad el cual se.
encuentra a temperatura constante figura. 4.8b.
Los resultados de convección mixta anteriores, se obtuvieron combinando el efecto
rotacional disminuyendo con el número de Ra constante, de tal manera que el efecto de
Número de Ra dominará el flujo y se manifestara en los perfiles de temperatura. De una manera similar si se vana el número de Ra de bajo a moderado para un Re fijo y
posteriormente se incrementa el Re se obtendrán resultados similares, en cuanto al
comportamiento de las estructuras del flujo y de la transferencia de calor Enseguida se analizan las líneas de corriente y las isotennas para los tres casos siguientes: a) Re = 10 y Ra
= id , b) Re = 10 y Ra = io4, c) Re = 10' y Ra = io'.
72
CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
a) Re= 1 0 y R a = IO3
El patrón de flujo es dominado por la convección natural (figura 4 i4a ) formado por una célula toroidal proporcional en el espacio anular de la cavidad, la célula gira lentamente
con una dirección de rotación en el sentido de las manecillas del reloj (-), la intensidad de la
circulación es débilcomo puede apreciarse en el valor de pero lo suficientemente fuerte
para ser un flujo convectivo natural y con las características de un régimen de flujo del tipo
conductivo. El número de Reynolds es insuficiente para conducir un movimiento de
convección forzada significativo, este régimen de flujo prácticamente sin movimiento y
conducido por las fuerzas de empuje actuando en el centro de la cavidad: en este
comportamiento el número de Ra y Re son bajos, el número de Nusselt (Nu) en la superficie interior calentada (cilindro interno) no es afectado Sin embargo, el Nu en la superficie
inferior incrementa su valor en más de un 50%, con respecto al Nu de cilindro interior la
transferencia de calor es netamente por conducción , el gradiente de temperatura es uniforme
en dirección radial, dando como consecuencia un comportamiento simétrico en los pefiles de
temperatura, figura 4 i4b
Figura 4.14 Líneas de comente e isotennas para Re = 10, ña = IO', R =2.0, A =1.0, Vmh= 0.5424E103, vmin=-22 9
13
CAPÍTULO 4
b) Re = IO, Ra = 5IO4
Al incrementarse el número de Rayleigh a valores moderados Ra = 5i04 manteniendo
el Re =lo, el flujo convectivo natural mencionado anteriormente, adquiere un tipo de flujo
considerablemente de empuje aumentando su intensidad de circulación y donde el efecto del
parametro rotacional es prácticamente eliminado, como se observa en el valor de m6x de la
figura 4 15a De Vahl Davis y Leonardi E [ 191, han encontrado que la función de corriente en
su estudio se incrementaba 20 veces al incrementar 50 veces el número de Rayleigh (Ra =
5 . lo4), los resultados obtenidos en este trabajo concuerda en una buena aproximación con
esta observación Incrementando el número de Rayleigh se altera significativamente la
distribución de temperaturas en el interior de la cavidad favoreciendo la transferencia de calor
por convección, el número de Nusselt en el cilindro interno y en la Frontera inferior se
incrementan en forma proporcional, ocasionando una distorsión en los perfiles de
temperatura, de tal manera, que los gradientes de temperatura tienden a concentrarse en el
interior de la cavidad como se puede observar en la figura 4 15b La distorción de los
perfiles de temperatura indican una mayor concentración de gradientes de temperatura en los
bordes
Figura 4.15 Lineas de comente e isotermas para Re = 10 y Ra = 5104 ,R =2.0, A = 1.0, yl&= 0.0, ymh= - 4.1
14
CAPiTULO 4 RESULTADOS Y DlSCUSiÓN
c) Re = 100, Ra = lo4
Si se disminuye el Ra =IO4, y se aumenta el Re = lo2, el flujo se presenta en forma
bicelular, con dos células girando a contrarotación figura 4.16a, y en donde el balance de
fuerzas es dividido entre la fuerza de empuje propia de la convección natural y la fuerza
centrífuga El número de Nu es parcialmente afectado disminuyendo en un porcentaje
comparado con el correspondiente para el mismo Re y con Ra =lo3, pero si se continua
incrementando el Ra la transferencia de calor se ve favorecida en el rango de O < Res 100
donde el número de Nu se incrementa para la superficie interior, y disminuyendo para la superficie inferior, la concentración de los gradientes - de temperatura (figura 4 16b) cerca de
las fronteras móviles muestra una distribución de temperaturas no uniforme
Figura. 4.16 Líneas de corriente e isotermas para Re = 100, Ra = lo4, R = 2.0, A =]'.O, vrnrx= 5.58, y1~i.4.87
Si se continúa incrementando el número de Re > 100, en la superficie interior el Nu es
afectado disminuyendo su valor en números de Ra amba de su valor critico de lo4 y
aumentando momentaneamente para la superticie inferior para este mismo valor de Re
- CAPÍTULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN L
-.-.-.> 4.4.4 INFLUENCIA DEL FLUJO DE CALOR EN EL SISTEMA ROTOR-ESTATOR
En esta sección es de interés fundamental el análisis de los resultados sobre el
comportamiento del fenómeno del flujo en un sistema rotor-estator, cuando son impuestas las
condiciones de frontera de flujo de calor a través del rotor.
Se considera el caso del sistema rotor-estator con las condiciones de frontera
isotérmicas para posteriormente considerar las condiciones de frontera con flujo de calor,
ambos casos bajo la influencia de los parámetros geométricos A =1, R = 2, Re = 100, io' s Ra S 10' Lo anterior con la finalidad de establecer comparativamente el comportamiento del
flujo y de la transferencia de calor bajo condiciones isotérmicas con respecto ai sistema rotor
estator con flujo de calor en el rotor Esta última consideración, de acuerdo con la
observación de Kimura y Bejan [29] sobre la dificultad de simular las condiciones isotérmicas
en laboratorio, donde las condiciones de flujo de calor son más fáciles de establecer al trabajar
experimentalmente.
CASO ISOTkRMICO
Para un Re = 100 y Ra bajos del orden de IO' se obtiene un flujo monocelular
dominado por la fuerza centrifuga figura 4 17, al incrementar el número de Ra = IO4 se
presentan los efectos de la fuerza centrífuga y las fuerzas de empuje dando como resultado un
patrón de flujo bicelular de aproximadamente de igual intensidad figura 4.18 (ver valores ydx.
Y Wmia).
AI continuar incrementando el número de Ra = lo5 el flujo monocelular (+) dominado por la fuerza centrífuga para Ra = IO' es dominado entonces por las fuerzas de empuje con
una célula negativa (-), ver valores de ymln y y,,,¡" en la Figura 4 19
76
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
. . . . -.
Figura 4.17 Lineas de corriente e isotermas para Re = 100, Ra = IO', A = 1.0, R=2.0, vmin=-101E-02 y\vm,=9.75
Figura 4.18 Líneas de comente e isotermas para Re = 100, Ra = lo4, A = 1.0 ,R=2.0 , t+1min=-5.87yyimk=5.58
Figura 4.19 Líneas de corriente e isotermas para Re = 100, Ra = IO', A = 1 .O, R = 2.0, vrnú>= -54.9 y vmk = 0.0
77
CAP~TULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
CASO CON FLUJO DE CALOR EN EL ROTOR
Al considerar el flujo de calor a través del rotor, para el mismo caso de la figura 4.17, la
célula monocelular dominada por la fuerza centrífuga, incrementa su intensidad de función de
comente w d x en un 3.5% como puede observarse en la figura 4.20
Figura 4.20 Lineas de comente e isotermas para Re = 100, Ra = IO3,
A = 1.0,R=2.0,iy~n=-0.918E-03 YW-= 10.1
Al incrementar el número de Ra = IO4 el flujo de dos células obtenidas para el caso
isotérmico, Figura 4 18 sufre una transformación a flujo monocelular dominado por la fuerza
centrífuga y cuya intensidad de función de corriente wdr; se incrementa en un 94% Figura
4 21
Figura 4.21 Lineas de comente e isotemas para Re = 100, Ra = IO4, A = 1.0, R = 2.0, iymin = -0.2870-02 y yrnh = 9.48
78
CAPITULO 4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La modogénesis sufrida por estas células y los cambios en la intensidad de la función
de corriente, es una consecuencia del efecto de los gradientes de temperatura ocacionados
por el flujo de calor en el rotor.
Para un Re = 100 y Ra = 10' con flujo de calor no fue posible obtener la solución
convergente, debido a la inestabilidad del campo del fluido, la cual puede ser causada por la
transición de¡ régimen laminar a turbulento en el presente estudio se considera únicamente
flujo laminar Esta inestabilidad fue también observada para otros casos particulares
realizados por Hessami et al [25]
19
CAP~TULO 5
CONCLUSIONES
El presente trabajo trata sobre el estudio de la convección forzada y la convección
natural de fluidos confinados en cavidades anulares cilíndricas verticales.
La primera etapa del trabajo consistió en la presentación de una extensa revisión
bibliográfica de trabajos realizados sobre el flujo de fluidos y transferencia de calor en
sistemas en rotación. En la segunda etapa se planteó la formulación general que gobiernan el flujo de fluidos y la transferencia de calor por convección mixta en un sistema rotor estator
En la tercera etapa se describe el código [SO] de cálculo empleado para la simulación de flujos axisimdtricos, este código utilizó el método de diferencias finitas y las ecuaciones son
resueltas en formulación de vorticidad-función de comente.
El código ha sido validado basándose en resultados de publicaciones anteriores, presentadas en revistas científicas de circulación internacional
80
CAPITULO 5 CONCLUSIONES
En la primera sección de resultados del capítulo 4 se mantiene el cilindro interior en
rotación, mientras que el cilindro extenor y las paredes en las extremidades se mantienen
fijas En esta geometría se estudio los efectos de la longitud finita de los cilindros y de la
rotación sobre la estructura del flujo de Taylor-Couette
*El efecto de los extremos sobre el fenómeno de base, son
progresivamente importantes a medida que la relación de aspecto se
incrementa
*Se ha encontrado que bajo la presencia de los extremos (placas fijas) el flujo de base es alterado por la imposición de las condiciones de frontera
de no deslizamiento, esta imperfección en los sistemas conduce a una
transformación del flujo primario cuando la relación de aspecto y el
número de Reynolds son variados El flujo evoluciona en un régimen de 2,
4,6 células, asimismo, cuando el número de Reynolds aumenta aparece un
régimen de 2 , 4 , 2 células para una relación de aspecto invariable A=3 8
*El flujo consiste de dos vórtices a contracomente para Res 45, 4 vórtices
en el rango 50s Re s 74, y de una estructura de 2 células para Re supenor
a 75. Estos resultados concuerdan bien con la descripción suministrada en los artículos de Benjamin [ IO] y de Ball y Farouk [4] relacionados con el
fenómeno de bifurcación de un flujo viscoso entre cilindros cortos
En la segunda sección del capítulo 4, se estudió el fenómeno de convección en un sistema rotor-estator Se estudiaron los efectos- de la rotación, de los parámetros geométricos, así como el efecto de los parámetros térmicos (pr, Ra).
Asimismo, 2 configuraciones con condiciones térmicas diferentes han sido I comparadas; paredes isotérmicas y flujo de calor constante sobre las superficies en rotación.
81
CAPITULO 5 CONCLUSIONES
*Con las condiciones isotérmicas se observó que los patrones de flujo y la
transferencia de calor son determinados por la magnitud de las fuerzas de
empuje y centrífuga si una de estas fuerzas es dominante el flujo se
muestra monocelular, de otro modo la estructura del flujo se presenta
multicelular.
*Con flujo de calor impuesto en el rotor, se favorece la influencia de la
fuerza centrífuga para Re > 80. la distribución de temperaturas es más irregular concentrándose los gradientes de temperatura principalmente en
el borde inferior del rotor a diferencia del sistema rotor
*El número de Nu no se altera para Re y Ra bajos, donde el flujo es
dominado por la convección natural y la transferencia de calor es por
conducción La transferencia de calor por convección se incrementa para
Re bajos y Ra moderados
*Para valores bajos de A=O25, Re y Ra bajos la estructura del flujo
muestra la acción combinada de la fuerza centrífuga y de empuje (flujo multicelular) predominando las fuerzas de empuje Si se incrementa el
número de Re = 300 para A = O25 y Ra bajos el patrón de flujo es
completamente dominado por la fuerza centrífuga
*La mayor concentración de gradientes de temperatura se presentan en las
proximidades del rotor y en los bordes de este de acuerdo con los perfiles de temperatura obtenidos Por lo tanto se crea una distribución de
temperaturas no uniforme
*Para números de Pr muy bajos (Pr +O), el campo térmico es conductivo
y el número de Nu tiende hacia la unidad. Para Pr altos el campo del flujo desestabiliza más el campo térmico.
82
CAP~TULO 5 CONCLUSIONES
Finalmente, se puede concluir que la contribución de las simulaciones numéricas de
los fenómenos de flujo de fluidos y de transferencia de calor han progresado a tal punto de
proveer la capacidad complementaria y de igual importancia que los experimentos. Las
simulaciones suministran información detallada y completa relacionada con el
comportamiento del flujo y de la transferencia de calor, usualmente con mayor resolución y
flexibilidad que la lograda con los trabajos expenmentales
83
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