segundo seminario: teoria de campos clássicos

Campos de calibre classicos: Maxwell

M.T. [email protected]

Instituto de Fısica, UFF

Resumo:A partir do princıpio de mınima ac ao reobtemos as equac oes de movimento cl assicas reescritas atrav es das equac oesde Lagrange. Mostramos como estender esse princıpio para o bter as equac oes de movimento dos campos cl assicose o aplicamos ao caso dos campos eletromagn eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desen volver,estudaremos a noc ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de tra nsformac ao da Relatividade Restrita eescrever as equac oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os camposeletrico e magn etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a inv ari ancia de calibre e implementadanestes campos.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 1 / 36

Apresentacao:

1. Princıpio de mınima acao

2. Revisao de topicos em Matematica

3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell

4. Espaco de Minkowski

5. Princıpio de Hamilton para campos classicos

6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell


Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell

Por que precisamos de campos para descrever aNatureza?

O modulo da forca gerada por uma partıcula de massa M sobre umapartıcula teste de massa m e:





Fgrav =Gm · M

r2,

sendo r a distancia entre as massas M e m.





Fgrav =Gm · M

r2,


O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma partıculateste de carga eletrica q e:





Fgrav =Gm · M

r2,



Felet =K|q| · |Q|

r2,

onde r e a distancia entre essas partıculas.





Fgrav =Gm · M

r2,



Felet =K|q| · |Q|

r2,

onde r e a distancia entre essas partıculas.

As constantes G e K sao diferentes.Qual a grande diferenca entre as forcaseletrica e gravitacional?



O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletricaQ sobre a carga q, depende do sinal da carga q.




Que quantidade fısica usamos de maneira que levamos emconta apenas as modificacoes no espaco pela presenca da cargaeletrica Q?





Seja ~FQ→q a forca que a carga Q faz sobre a partıcula de cargaeletrica q. Definimos o campo eletrico gerado pela carga Q comsendo:





Seja ~FQ→q a forca que a carga Q faz sobre a partıcula de cargaeletrica q. Definimos o campo eletrico gerado pela carga Q comsendo:

~FQ→q ≡ q~E(~x, t),

onde ~E(~x, t) e o campo eletrico gerado pela carga eletrica Q, indepen-dente do valor da carga eletrica q que vai sentir a sua acao.



Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais:




Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva.




Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas.





No campo eletrico ~E(~x, t) temos que ~x e um parametro, que representatodos os pontos do espaco





No campo eletrico ~E(~x, t) temos que ~x e um parametro, que representatodos os pontos do espaco ⇒ ~E(~x, t) e um campo.






Em cada ponto do espaco ~x temos um vetor ~E(~x, t) criado pelapresenca da carga eletrica pontual Q.






Em cada ponto do espaco ~x temos um vetor ~E(~x, t) criado pelapresenca da carga eletrica pontual Q. O que estudamos: a evolucaoe/ou acao deste vetor em cada ponto do espaco.



No caso geral, temos campos eletrico, ~E(~x, t), emagnetico, ~B(~x, t):




Equacao de movimento de uma partıcula com carga eletrica, na presencade campos eletricos e magneticos:

md2~x(t)

dt2= e~E(~x, t) + e

~v(t)

c× ~B(~x, t),

onde c e a velocidade da luz,~x(t) e o vetor posicao onde esta a partıcula.





md2~x(t)

dt2= e~E(~x, t) + e

~v(t)

c× ~B(~x, t),


Temos os campos:

~E(~x, t) :campo eletrico~B(~x, t) :campo magnetico

}

Campos eletromagneticos





md2~x(t)

dt2= e~E(~x, t) + e

~v(t)

c× ~B(~x, t),


Temos os campos:

~E(~x, t) :campo eletrico~B(~x, t) :campo magnetico

}

Campos eletromagneticos

~x e t: parametros nos campos eletromagneticos.



Equacoes de Maxwell

Estudaremos a dinamica dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) na presenca decargas e correntes eletricas conhecidas.



Equacoes de Maxwell


Relembrando:• ~E(~x, t) e ~B(~x, t): campos (variaveis)• ~x e t: parametros.



Equacoes de Maxwell



Vamos obter as 4 equacoesde Maxwell locais a partir dassuas expressoes globais.



Equacoes de Maxwell



Vamos obter as 4 equacoesde Maxwell locais a partir dassuas expressoes globais.

James Clerk Maxwell



Equacoes de Maxwell: eq. globais ⇒ eq. locais



Equacoes de Maxwell: eq. globais ⇒ eq. locais

1. Lei de Gauss do campo eletrico:∮

S

~E(~x, t) · nds = 4πQ(t)

sendo Q(t) a carga eletrica totalcontida no volume V

Q(t) =

∫

Vd3~x ρ(~x, t),

e ρ(~x, t) e a densidade decarga eletrica em ~x no instante t.



O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para ocampo eletrico como:




∮

S

~E(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~E(~x, t)]




∮

S

~E(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~E(~x, t)]

= 4π Q(t) = 4π

∫

Vd3~x ρ(~x, t),

sendo S a area fechada que delimita o volume V.




∮

S

~E(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~E(~x, t)]

= 4π Q(t) = 4π

∫

Vd3~x ρ(~x, t),

sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto:∫

Vd3~x

[

~∇ · ~E(~x, t)− 4πρ(~x, t)]

= 0.




∮

S

~E(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~E(~x, t)]

= 4π Q(t) = 4π

∫

Vd3~x ρ(~x, t),


Vd3~x

[

~∇ · ~E(~x, t)− 4πρ(~x, t)]

= 0.

Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer volume V, entao,




∮

S

~E(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~E(~x, t)]

= 4π Q(t) = 4π

∫

Vd3~x ρ(~x, t),


Vd3~x

[

~∇ · ~E(~x, t)− 4πρ(~x, t)]

= 0.


~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),




∮

S

~E(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~E(~x, t)]

= 4π Q(t) = 4π

∫

Vd3~x ρ(~x, t),


Vd3~x

[

~∇ · ~E(~x, t)− 4πρ(~x, t)]

= 0.


~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),

So temos fluxo nao nulo de linhas de campo eletrico atraves de umaarea fechada que engloba ~x se temos carga eletrica neste ponto. Aslinhas de campo eletrico comecam e terminam em cargas eletricas.



2. Lei de Gauss do campo magnetico:

∮

S

~B(~x, t) · nds = 0

sendo S uma superfıcie fechada.




∮

S

~B(~x, t) · nds = 0


O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para ocampo magnetico como:




∮

S

~B(~x, t) · nds = 0



∮

S

~B(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~B(~x, t)]




∮

S

~B(~x, t) · nds = 0



∮

S

~B(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~B(~x, t)]

= 0,




∮

S

~B(~x, t) · nds = 0



∮

S

~B(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~B(~x, t)]

= 0,

Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer superfıciefechada S, entao,




∮

S

~B(~x, t) · nds = 0



∮

S

~B(~x, t) · nds =

∫

Vd3~x [~∇ · ~B(~x, t)]

= 0,

Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer superfıciefechada S, entao,

~∇ · ~B(~x, t) = 0.



A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e:

~∇ · ~B(~x, t) = 0.




~∇ · ~B(~x, t) = 0.

Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves dequalquer superfıcie fechada e nulo. Portanto as linhas de campomagnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de camposmagneticos. Nao temos monopolos magneticos.




~∇ · ~B(~x, t) = 0.


Configuracoes de campo magnetico:




~∇ · ~B(~x, t) = 0.



Campo magnetico gerado por um fio retilıneo.




~∇ · ~B(~x, t) = 0.



Campo magnetico gerado por um fio retilıneo.

Varios campos magneticos gerados por correntes.



3. Lei de Faraday (inducao):

∮

Γ

~E(~x, t) · dl = −1

c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]

,

sendo Γ um caminho fechado eorientado. A regra da mao direita aolongo do caminho Γ determina osentido do vetor n. S e qualquer

area delimitada por contorno Γ.




∮

Γ

~E(~x, t) · dl = −1

c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]

,



O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de inducao deFaraday como:




∮

Γ

~E(~x, t) · dl = −1

c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]

,




∮

Γ

~E(~x, t) · d~l =

∫

Sds n · [~∇× ~E(~x, t)]




∮

Γ

~E(~x, t) · dl = −1

c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]

,




∮

Γ

~E(~x, t) · d~l =

∫

Sds n · [~∇× ~E(~x, t)]

= −1

c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]

.



Como a igualdade

∫

Sds n ·

[

~∇× ~E(~x, t)−1

c

∂

∂t

(

~B(~x, t))]

= 0

tem que ser valida para qualquer superfıcie S, entao,



Como a igualdade

∫

Sds n ·

[

~∇× ~E(~x, t)−1

c

∂

∂t

(

~B(~x, t))]

= 0


~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t.



Como a igualdade

∫

Sds n ·

[

~∇× ~E(~x, t)−1

c

∂

∂t

(

~B(~x, t))]

= 0


~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t.

A lei de inducao Faraday nos mostra que induzimos campo eletricoatraves da variacao de campo magnetico. Variacoes de camposmagneticos sao fontes de campos eletricos.



4. Lei de Ampere modificada por J.C. Maxwell:

∮

Γ

~B(~x, t) · d~l =1

c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]

+4π

c

∫

S~(x, t) · nds,





4. Lei de Ampere modificada por J.C. Maxwell:

∮

Γ

~B(~x, t) · d~l =1

c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]

+4π

c

∫

S~(x, t) · nds,



A relacao entre a densidade de corrente~(x, t) e a corrente I e:

∫

S=A ~(x, t) · nds = I.



O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Amperemodificada por J.C. Maxwell como:




∮

Γ

~B(~x, t) · dl =

∫

Sds n · [~∇× ~B(~x, t)]




∮

Γ

~B(~x, t) · dl =

∫

Sds n · [~∇× ~B(~x, t)]

=1

c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]

+4π

c

∫

S~(x, t) · nds,




∮

Γ

~B(~x, t) · dl =

∫

Sds n · [~∇× ~B(~x, t)]

=1

c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]

+4π

c

∫

S~(x, t) · nds,

Assim,∫

Sds n ·

[

~∇× ~B(~x, t)]−1

c

∂

∂t

(

~E(~x, t))

−4π

c~(x, t)

]

= 0

A igualdade anterior tem que ser valida para qualquer superfıcie Sdelimitada pelo contorno Γ. Logo,




∮

Γ

~B(~x, t) · dl =

∫

Sds n · [~∇× ~B(~x, t)]

=1

c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]

+4π

c

∫

S~(x, t) · nds,

Assim,∫

Sds n ·

[

~∇× ~B(~x, t)]−1

c

∂

∂t

(

~E(~x, t))

−4π

c~(x, t)

]

= 0

A igualdade anterior tem que ser valida para qualquer superfıcie Sdelimitada pelo contorno Γ. Logo,

~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t︸︷︷︸

termo de correcao de Maxwell

+4π

c~(~x, t).



A lei de Ampere modificada pela corrente de deslocamento de Maxwellfica:




~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t+

4π

c~(~x, t).




~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t+

4π

c~(~x, t).

Esta equacao nos da que as fontes do campo magnetico sao: correntese variacoes do campo eletrico.



As equacoes de Maxwell

~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),

~∇ · ~B(~x, t) = 0,

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t,

~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t+

4π

c~(~x, t).




~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),

~∇ · ~B(~x, t) = 0,

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t,

~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t+

4π

c~(~x, t).

A evolucao no tempo dos campos ~E(~x, t) ~B(~x, t) e governada pelas 4eqs. de Maxwell acopladas.




~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),

~∇ · ~B(~x, t) = 0,

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t,

~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t+

4π

c~(~x, t).

A evolucao no tempo dos campos ~E(~x, t) ~B(~x, t) e governada pelas 4eqs. de Maxwell acopladas. Esses campos sao diferentes manifestacoesde um mesmo campo: campo eletromagnetico.




~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),

~∇ · ~B(~x, t) = 0,

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t,

~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂~E(~x, t)

∂t+

4π

c~(~x, t).

A evolucao no tempo dos campos ~E(~x, t) ~B(~x, t) e governada pelas 4eqs. de Maxwell acopladas. Esses campos sao diferentes manifestacoesde um mesmo campo: campo eletromagnetico. Temos uma primeiraunificacao de campos na Natureza.



Campos Eletromagneticos:

~E(~x, t)~B(~x, t)

}

⇒ 6 componentes




~E(~x, t)~B(~x, t)

}

⇒ 6 componentes

Interpendencia dos campos eletromagneticos: ~E(~x, t) e ~B(~x, t),∮

Γ

~E(~x, t) · d~l = −1

c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]

e∮

Γ

~B(~x, t) · d~l =1

c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]

+4π

c

∫

S~(~x, t) · nds

onde S e qualquer area aberta, cuja borda e a linha Γ.




~E(~x, t)~B(~x, t)

}

⇒ 6 componentes

Interpendencia dos campos eletromagneticos: ~E(~x, t) e ~B(~x, t),∮

Γ

~E(~x, t) · d~l = −1

c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]

e∮

Γ

~B(~x, t) · d~l =1

c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]

+4π

c

∫

S~(~x, t) · nds

onde S e qualquer area aberta, cuja borda e a linha Γ.Nao temos 6 graus de liberdade: Porque nao trabalhar com camposcom menos graus de liberdade?



Campos Auxiliares

Lei de Gauss para o campo magnetico:~∇ · ~B(~x, t) = 0 =⇒ ~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t),

onde ~A(~x, t) e o potencial vetor.



Campos Auxiliares


onde ~A(~x, t) e o potencial vetor.Lei de inducao de Faraday:

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t=⇒ ~∇×

(

~E(~x, t) +1

c

∂~A(~x, t)

∂t

)

= 0.



Campos Auxiliares



~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t=⇒ ~∇×

(

~E(~x, t) +1

c

∂~A(~x, t)

∂t

)

= 0.

Solucao geral:

~E(~x, t) +1

c

∂~A(~x, t)

∂t= −~∇A0(~x, t),

onde A0(~x, t) e o potencial escalar.



Campos Auxiliares



~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)

∂t=⇒ ~∇×

(

~E(~x, t) +1

c

∂~A(~x, t)

∂t

)

= 0.

Solucao geral:

~E(~x, t) +1

c

∂~A(~x, t)

∂t= −~∇A0(~x, t),

onde A0(~x, t) e o potencial escalar.Graus de liberdade: (~E(~x, t), ~B(~x, t)): 6 graus de liberdade

(A0(~x, t), ~A(~x, t)): 4 graus de liberdade.



Lembrando:~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) e ~E(~x, t) = −

1

c

∂~A(~x, t)

∂t− ~∇A0(~x, t).

Para cada conjunto de campos fısicos (~E(~x, t), ~B(~x, t)), os camposauxiliares (A0(~x, t), ~A(~x, t)) sao unicos?




1

c

∂~A(~x, t)

∂t− ~∇A0(~x, t).


Como: ~∇× (~∇G(~x, t)) = 0, entao se~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t),

obtemos~∇× ~A′(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) + ~∇× (~∇G(~x, t))

= ~∇× ~A(~x, t) = ~B(~x, t).




1

c

∂~A(~x, t)

∂t− ~∇A0(~x, t).


Como: ~∇× (~∇G(~x, t)) = 0, entao se~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t),

obtemos~∇× ~A′(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) + ~∇× (~∇G(~x, t))

= ~∇× ~A(~x, t) = ~B(~x, t).

Os potenciais ~A(~x, t) e ~A′(~x, t) geram o mesmo campo magnetico!!!!!



Campo eletrico:

~E(~x, t) = −1

c

∂~A(~x, t)

∂t− ~∇A0(~x, t).



Campo eletrico:

~E(~x, t) = −1

c

∂~A(~x, t)

∂t− ~∇A0(~x, t).

Potenciais vetores ~A(~x, t) e ~A′(~x, t), onde

~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t)

nao geram o mesmo campo eletrico,



Campo eletrico:

~E(~x, t) = −1

c

∂~A(~x, t)

∂t− ~∇A0(~x, t).


~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t)

nao geram o mesmo campo eletrico, a menos que simultaneamente:

A′0

(~x, t) ≡ A0(~x, t)−1

c

∂G(~x, t)

∂t.

Neste caso:

−~∇A′0

(~x, t)−1

c

∂~A′(~x, t)

∂t= −~∇A0(~x, t)−

1

c

∂~A(~x, t)

∂t



Campo eletrico:

~E(~x, t) = −1

c

∂~A(~x, t)

∂t− ~∇A0(~x, t).


~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t)

nao geram o mesmo campo eletrico, a menos que simultaneamente:

A′0

(~x, t) ≡ A0(~x, t)−1

c

∂G(~x, t)

∂t.

Neste caso:

−~∇A′0

(~x, t)−1

c

∂~A′(~x, t)

∂t= −~∇A0(~x, t)−

1

c

∂~A(~x, t)

∂t

= ~E(~x, t).



Os potenciais (A0(~x, t), ~A(~x, t)) e (A′0

(~x, t), ~A′(~x, t)) relacionados atravesdas transformacoes de calibre:

A′0

(~x, t) ≡ A0(~x, t)−1

c

∂G(~x, t)

∂t~A′(~x, t) ≡ ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t)





A′0

(~x, t) ≡ A0(~x, t)−1

c

∂G(~x, t)

∂t~A′(~x, t) ≡ ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t)

geram os mesmos campos fısicos: ~E(~x, t) e ~B(~x, t).

Por que ~E(~x, t) e ~B(~x, t) sao chamados de campos fısicos?





A′0

(~x, t) ≡ A0(~x, t)−1

c

∂G(~x, t)

∂t~A′(~x, t) ≡ ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t)

geram os mesmos campos fısicos: ~E(~x, t) e ~B(~x, t).

Por que ~E(~x, t) e ~B(~x, t) sao chamados de campos fısicos?

Uma partıcula com carga eletrica, na presenca de camposeletromagneticos sente a forca de Lorentz:

md2~x(t)

dt2= e~E(~x, t) + e

~v(t)

c× ~B(~x, t).


Espaco de Minkowski

Espaco de Minkowski

Mecanica nao-relativıstica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.


Espaco de Minkowski

Espaco de Minkowski


Mecanica relativıstica: v <∼ c.

Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.


Espaco de Minkowski

Espaco de Minkowski



Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento fısico: caracterizado por ~x e t.


Espaco de Minkowski

Espaco de Minkowski




A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) e c em todos osreferenciais ⇒ sistema relativıstico.


Espaco de Minkowski

Espaco de Minkowski




A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) e c em todos osreferenciais ⇒ sistema relativıstico.

H. Minkowski (1908): formalismo matematico em que o espaco e otempo formam um espaco em 4-dimensoes: quadri-vetor posicao: (ct,~x).


Espaco de Minkowski

Exemplo de escalares no espaco Euclideano

vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos.


Espaco de Minkowski



escalar: um numero que e o mesmo em qualquer conjunto de eixoscoordenados.


Espaco de Minkowski




Exemplos:i) modulo de um vetor: |~x|


Espaco de Minkowski




Exemplos:i) modulo de um vetor: |~x|

ii) produto escalar entre dois vetores ~u e ~v

~u · ~v = |~u||~v| cosα

= uxvx + uyvy = u′

xv′x + u′

yv′y,

sendo α o angulo entre os vetores ~u e ~v.


Espaco de Minkowski

Transformacoes de Lorentz

x

y y’S

V

Figura 3.2

x’

S’

Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longoda direcao x:


Espaco de Minkowski


x

y y’S

V

Figura 3.2

x’

S’


x′0

= γ(x0 − βx1) e x′1

= γ(−βx0 + x1),

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

β =V

c


Espaco de Minkowski


x

y y’S

V

Figura 3.2

x’

S’


x′0

= γ(x0 − βx1) e x′1

= γ(−βx0 + x1),

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

β =V

c⇒ 0 ≤ β ≤ 1


Espaco de Minkowski


x

y y’S

V

Figura 3.2

x’

S’


x′0

= γ(x0 − βx1) e x′1

= γ(−βx0 + x1),

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

β =V

c⇒ 0 ≤ β ≤ 1 e γ =

1√

1 − β2


Espaco de Minkowski


x

y y’S

V

Figura 3.2

x’

S’


x′0

= γ(x0 − βx1) e x′1

= γ(−βx0 + x1),

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

β =V

c⇒ 0 ≤ β ≤ 1 e γ =

1√

1 − β2⇒ 1 ≤ γ < ∞.


Espaco de Minkowski

Escalar de Lorentz:


Espaco de Minkowski

Escalar de Lorentz: um numero que e o mesmo em qualquerreferencial inercial.


Espaco de Minkowski


Exemplo de escalar de Lorentz: equacao de frente de uma ondaluminosa.

0 = −x2 + c2t2

= −x′2+ c2t′

2


Espaco de Minkowski


Exemplo de escalar de Lorentz: equacao de frente de uma ondaluminosa.

0 = −x2 + c2t2

= −x′2+ c2t′

2

Como definir os escalares de Lorentz como umproduto escalar?


Espaco de Minkowski

Produto escalar no espaco de Minkowski

. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0, x);

ii) Vetores covariantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0,−x),

sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.


Espaco de Minkowski

Produto escalar no espaco de Minkowski

. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0, x);

ii) Vetores covariantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0,−x),

sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.

Produto escalar no espaco de Minkowski:

−x2 + c2t2 = x0x0 + x1x1

=

1∑

µ=0

xµxµ ≡ xµxµ︸︷︷︸

soma implıcita

.


Espaco de Minkowski

. d=4 (3+1)

.Quadri-vetor posicao:

Vetor contra-variante: xµ = (x0,~x);

Vetor covariante: xµ = (x0,−~x).


Espaco de Minkowski

. d=4 (3+1)




Escalar de Lorentz:∑

3

µ=0xµxµ = xµxµ = −~x ·~x + c2t2.


Espaco de Minkowski

. d=4 (3+1)




Escalar de Lorentz:∑

3

µ=0xµxµ = xµxµ = −~x ·~x + c2t2.

Como relacionar os vetores covariantes econtra-variantes?

xµ = gµνxν sendo gµν = gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

.


Espaco de Minkowski

Para qualquer 4-vetor Bµ = (B0, ~B):

Bµ = gµνBν ⇒ Bµ = (B0,−~B).

sendo

gµν = gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

.


Espaco de Minkowski



sendo

gµν = gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

.

O tensor metrico gµν e utilizado para baixar ındices dequadri-vetores e tensores,


Espaco de Minkowski



sendo

gµν = gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

.

O tensor metrico gµν e utilizado para baixar ındices dequadri-vetores e tensores, enquanto gµν e usado para levantar osındices de Lorentz,

Bµ = gµνBν ⇒ Bµ = (B0, ~B).


Espaco de Minkowski

Exemplos de 4-vetores de Lorentz:

i. 4-posicao: xµ = (ct,~x).


Espaco de Minkowski



ii. 4-momento: pµ =(

Ec , ~p

).


Espaco de Minkowski




Ec , ~p

).

Energia relativıstica de partıcula livre:

E2 =| ~p |2 c2 + m2c4 ⇒E2

c2− | ~p |2= m2c2 = const.

A quantidade Ec e a componente zero do 4-vetor momento.


Espaco de Minkowski




Ec , ~p

).

Energia relativıstica de partıcula livre:

E2 =| ~p |2 c2 + m2c4 ⇒E2

c2− | ~p |2= m2c2 = const.

A quantidade Ec e a componente zero do 4-vetor momento.

A energia relativıstica de partıcula livre nao e um escalar de Lorentz.


Espaco de Minkowski

iii. 4-potencial vetor: Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)),

onde A0(~x, t) e o potencial escalar e ~A(~x, t) o potencial vetor associadosaos campos eletromagneticos.


Espaco de Minkowski

iii. 4-potencial vetor: Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)),

onde A0(~x, t) e o potencial escalar e ~A(~x, t) o potencial vetor associadosaos campos eletromagneticos.

iv. 4-densidade de corrente: jµ(~x, t) = (cρ(~x, t),~(~x, t)),

onde ρ(~x, t) e a densidade de carga eletrica e ~(~x, t) e a densidade decorrente eletrica.

A partir dos quadri-vetores e dos tensores com ındices de Lorentzpodemos escrever os escalares de Lorentz, que utilizaremos paraescrever as acao de modelos de campos.


Espaco de Minkowski

Observe a definicao dos operadores diferenciais covariantes e contra-variantes:

∂µ ≡ ∂∂xµ =

(

∂∂x0 , ~∇

)

e

∂µ ≡ ∂∂xµ

=

(

∂∂x0 ,−~∇

)

.


Espaco de Minkowski

Observe a definicao dos operadores diferenciais covariantes e contra-variantes:

∂µ ≡ ∂∂xµ =

(

∂∂x0 , ~∇

)

e

∂µ ≡ ∂∂xµ

=

(

∂∂x0 ,−~∇

)

.

Continuamos a ter:

∂µ = gµν∂ν e ∂µ = gµν∂ν ,

estamos somando sobre o ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3.


Espaco de Minkowski

O operador diferencial d’Alambertiano,

⊔⊓ =

(

−∇2 +1

c2

∂2

∂t2

)

,

onde ∇2 = ∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2 , pode ser escrito na forma


Espaco de Minkowski


⊔⊓ =

(

−∇2 +1

c2

∂2

∂t2

)

,

onde ∇2 = ∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2


⊔⊓ = ∂µ∂µ.


Espaco de Minkowski


⊔⊓ =

(

−∇2 +1

c2

∂2

∂t2

)

,

onde ∇2 = ∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2


⊔⊓ = ∂µ∂µ.

O operador diferencial d’Alambertiano ⊔⊓ aparece na equacao de ondaseletromagneticas.


Espaco de Minkowski

A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:

i. 4-vetor:

Bµ = gµνBν ,


Espaco de Minkowski


i. 4-vetor:

Bµ = gµνBν ,

ii. tensor de ordem 2:

Bµ1µ2 = gµ1ν1gµ2ν2Bν1ν2,


Espaco de Minkowski


i. 4-vetor:

Bµ = gµνBν ,

ii. tensor de ordem 2:

Bµ1µ2 = gµ1ν1gµ2ν2Bν1ν2,

iii. tensor de ordem n:

Bµ1µ2...µn = gµ1ν1gµ2ν2 . . . gµnνnBν1ν2...νn .


Espaco de Minkowski

As transformacoes de calibre:

A′0

(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c∂G(~x,t)

∂t

e~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t),

podem ser escritas na forma covariante:


Espaco de Minkowski


A′0

(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c∂G(~x,t)

∂t

e~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t),


A′µ = Aµ − ∂µG(~x, t).


Espaco de Minkowski


A′0

(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c∂G(~x,t)

∂t

e~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t),


A′µ = Aµ − ∂µG(~x, t).

A condicao de calibre de Lorentz e escrita como um escalar deLorentz:

~∇ · ~A(~x, t) +1

c

∂A0(~x, t)

∂t= 0 ⇒ ∂µAµ = 0.


Espaco de Minkowski

As transparencias deste seminario estao no blog:

http://mttdivulgacao.blogspot.com

na seccao:

”Divulgacao ja realizada em Universidades”


segundo seminario: teoria de campos clássicos

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