siec-l2

Sisteme

Ierarhizate de Conducere An IV, dir. B

Department of Automatic Control and Systems Engineering Politehnica University of Bucharest | Faculty of Automatic Control and Computers

Splaiul Independentei 313, Sector 6, Bucharest, 060042, ROMANIA pg. 1 acse.pub.ro, 2014

Laborator 2 Identificare si validare experimentala [1]

Obiectiv laborator

In cadrul acestui laborator se vor reaminti elemente de baza privind identificarea numerica

a proceselor liniare si neliniare si anume : dimensionare semnal de excitatie, proceduri de

identificare experimentala, proceduri de validare a modelului obtinut.

Context

Identificarea este determinarea modelului unui sistem dinamic din date de intrare/iesire.

Cunoasterea modelului este necesara la proiectarea si implementarea unui sistem de

reglare performant.

Modelele de cunoastere bazate pe legile fizicii sunt in general prea complexe pentru

realizarea unui sistem de reglare. Din acest motiv s-au dezvoltat tehnici de identificare

directa a sistemelor dinamice (pentru control) din setul de date experimentale.

Avem doua tipuri de modele dinamice:

Modele neparametrice (ex: raspunsul in frecventa, raspunsul indicial);

Modele parametrice (ex: functii de transfer, ecuatii diferentiale sau cu diferente).

In Figura 2. 1 Procedeul clasic de identificare este prezentat un exemplu de identificare

printr-un model neparametric.

Figura 2. 1 Procedeul clasic de identificare

Sisteme




Identificarea sistemelor este formata din 5 etape:

1. Achizitia de date de intrare/iesire printr-un experiment;

a. Determinare perioada de esantionare (Te) ;

b. Dimensionare Semnal de comanda SPAB (N, u0, u, [L], [d]) ;

c. Aplicare semnal SPAB si colectare semnal de iesire y ;

d. Prelucrari preliminare ale semnalului achizitionat .

2. Selectia modelului si estimarea complexitatii

a. Selectie model

i. Tipuri de modele

b. Estimarea complexitatii

3. Estimarea parametrilor modelului(identificarea propriu-zisa)

4. Validarea modelului identificat

5. Analiza modelului identificat

2.1. Experimentul de achizitie de date intrare/iesire

2.1.1. Alegere perioada de esantionare

Aceasta se alege in functie de constantele de timp caracteristice ale procesului. In cazul

unui proces necunoscut perioada se poate alege in urma stimularii procesului cu un semnal de tip

treapta.

Figura 2. 2 Alegere Te

Unde este timpul de crestere, iar N reprezinta numarul de esantioane care sa prinda regimul

tranzitoriu al procesului. N poate fi ales in intervalul [3...20].

O alta varianta ar fi ca N sa fie ales ca un divizor al timpului mort identificat in urma achizitionarii

raspunsului indicial al sistemului.

! Nu exista un algoritm unic de estimare a parametrilor care sa conduc ntotdeauna la un model valid. Identificarea sistemelor este o procedura iterativa !

Catre meniu

Sisteme




2.1.2. Dimensionare semnal de comanda SPAB

Trebuie ales un semnal de excitare cu un spectru al frecventelor bogat pentru a acoperi

banda de frecvente a procesului identificat dar cu amplitudine mica deoarece in practica

variatiile de amplitudine ale semnalului de intrare sunt constranse puternic.

Parametrii definitorii pentru un semnal SPAB :

N Dimensiune registru poate fi considerat identic cu cel

din sectiunea Alegere Perioada

Esantionare

L Lungime Secventa Semnal Perioada completa a semnalului

L= p(2N -1).

u0 Comanda SPAB nominala O valoare intre 0-100.

u Amplitudine semnal SPAB O valoare intre 0-100

p Parametru registru de

deplasare

p=1,2,3 sau 4.

Texpr Durata experiment Texpr=L Te.

2.1.2.1. Generare Secventa Pseudo-Aleatoare Binara (SPAB)

Utilizeaza un registru de shiftare.

Lungimea maxima: Lmax = 2N-1 (N numarul de celule ale registrului) se obtine numai

pentru anumite alegeri ale bitilor intre care se face functia sau exclusiv:

N L=2N-1 Biti adunati modulo 2

2 3 1 si 2

3 7 1 si 3

4 15 3 si 4

5 31 3 si 5

6 63 5 si 6

7 127 4 si 7

8 255 2, 3, 4 si 8

9 511 5 si 9

10 1023 7 si 10

Durata experimentului trebuie sa fie cel putin egala cu durata secventei pentru a acoperi

intregul spectru de frecventa generat de SPAB.

Pentru a nu avea o durata prea lunga se poate alege un divizor de frecvente:

fSPAB=fs/p (p=1,2,3,4).

Urmatorul tabel prezinta o comparatie intre modificarile aduse asupra lungimii maxime a

secventei de date I/O si asupra duratei maxime a unui puls (perioada in care semnalul

Catre meniu

Sisteme




SPAB sta in 1) de cresterea numarului de biti ai registrului de shiftare (coloana 1) si de

divizarea frecventei cu d (coloana 2).

NN+n fs fs/p

Lungimea maxima L 2nL L pL

Durata maxima a unui puls NTe (N+n)Te NTe pNTe Tabel 2. 1 Redimensionare SPAB

Observatii:

Se recomanda d 4.

Amplitudinea SPAB-ului trebuie sa fie mai mare decat cea a zgomotului.

Cresterea prea puternica a amplitudinii SPAB are efecte nedorite asupra

liniaritatii sistemului identificat (in general ne intereseaza identificarea unui

sistem liniar in jurul unui punct de functionare).

Figura 2. 3 SPAB, p=1, spectru complet

Figura 2. 4 SPAB, p=2, Spectru limitat superior

Sisteme




2.1.3. Aplicare semnal SPAB si achizitie semnal de identificare

Trebuie asigurat ca etapele precedente au fost realizate corect:

- Alegerea corecta a perioadei de esantionare

- Dimensionarea corecta a SPAB ( lungimea semnalului L convenabila, acopera intreg

domeniul de frecvente, timpul de experimentare nu e prea lung).

- Semnalul y recuperat se supune unor prelucrari suplimentare (a se vedea sectiunea

urmatoare).

2.1.4. Prelucrari primare a semnalului achizitionat

Prelucrari asupra datelor sunt necesare precum eliminarea componentelor

continue, a offset-urilor sau a unor caracteristici liniare. In acest fel modelele liniare pot

fi estimate mult mai corect. Modelele de estimare vor descrie relatiile dintre schimbarile

in iesire si schimbarile in intrare.

Pot exista proceduri/functii care sa identifice automat ce prelucrari ar trebui

aplicate semnalelor achizitionate.

In cazul caracteristicilor liniare ar fi de remarcat cazul semnalelor de tip integrator.

Alte prelucrari posibile:

1. Tratarea cazurilor in care apar date lipsa sau eronate (din cauza unor

defecte de senzor). In acest caz acele secvente se pot scoate din setul de

date.

2. Filtrarea perturbatiilor cu frecvente in afara intervalului de interes . O

solutie poate fi chiar si reesantionarea/extrapolarea datelor.

3. Combinarea datelor de identificare din mai multe experimente. De

exemplu se face o medie a mai multor experimente.

4. Rescalarea datelor (daca este cazul).

Catre meniu

Sisteme




2.2 Selectia modelului si estimarea complexitatii

2.2.1 Selectia modelului

A. O prima alegere este data de cata informatie dispunem despre proces :

In cazul identificarii Black Box : nu se cunosc aprioric relatii fizice sau

parametrice intre intrare si iesire. Prin urmare alegerea unui model de identificare

poate fi extrem de variata.

In cazul identificarii Grey Box : pe baza unei explorari anterioare se

cunoaste modelul sau dinamicile caracteristice ale procesului. In acest caz se

cunoaste ce tip de model este potrivit dar nu se cunosc parametrii. Identificarea se

va axa doar pe parametrii modelului. Se poate vorbi aici de ecuatii diferentiale,

ecuatii cu diferente de tip liniar si neliniar, modele pe stare sau functii de transfer.

B. In cazul Black Box :

Trebuie identificat in prima etapa daca avem de a face cu un model liniar

sau neliniar. Pentru acest lucru fie se analizeaza cu algoritmi specifici setul de

date experimentale fie se stimuleaza sistemul cu semnale tip treapta pozitiva si

negativa.

Daca se observa ca amplificarea statica a procesului (

) are

valori diferite pentru amplitudini diferite ale semnalului treapta, sau daca timpii de

crestere sunt diferiti (in cazul unor trepte diferite atat pozitive si negative) atunci

avem de a face cu un model neliniar.

! Daca se cunoaste care este tipul de neliniaritate acesta in anumite situatii

poate fi eliminat. De exemplu daca iesirea depinde proportional cu patratul intrarii

atunci se realizeaza o transformare a datelor a.i. dependenta intre intrare-iesire sa

fie liniara !

! Este recomandat tot timpul sa se inceapa identificarea cu modelele cele

mai simple. Prin urmare se prefera utilizarea de modele liniare decat neliniare.

u BLACK BOX y u GREY BOX y

Catre meniu

Sisteme




C. Tipuri de modele utilizabile in identificare

Modele Liniare

(LTI)

Model Stare

MATLAB

Continuu :

Discret :

Model

Polinomial

MATLAB

WinPim

numarul de intrari numar esantioane intarzieri pe canalul de intrare i dimensiune polinom A, B, C, D, F Componenta A (autoregresiva) este comuna modelului si

zgomotului ; Componentele B si F sunt componentele

modelului masurat ; C si D componente asociate

modelului de zgomot ;

Subclase :

ARX : (Structura 1 in WinPim)

OE : (Structura 2 in WinPim)

ARMAX : (Structura 3 in WinPim)

ARIMAX : (Structura 4 in WinPim)

cu BJ - Box-Jenkins

Model

Functie de

Transfer

MATLAB

Atat in discret cat si in continuu. Nu considera model

pentru zgomot ;

Model de

Proces

MATLAB

Atat in discret cat si in continuu. Se considera si o functie

de transfer atasata zgomotului ;

Modele gri

MATLAB

Modelde de stare, parametrizate ;

Catre meniu

Sisteme




Modele Neliniare

(NLTI)

Nonlinear

ARX

MATLAB

- Bazat pe o extensie a modelului ARX liniar

Hammerstein-

Wiener

MATLAB

Descriu sisteme dinamice folosind una sau dou blocuri neliniare statice n serie cu un bloc liniar. Blocul liniar

este o funcie de transfer discret i reprezint componenta dinamic a modelului. Se pot utiliza pentru a capta efectele neliniare fizice din

senzori i actuatori care afecteaz intrarea i ieirea dintr-un sistem liniar, cum ar fi zonele moarte i de saturaie.

Model Gri

neliniar

MATLAB

- Bazat pe modelul de stare neliniar

2.2.2 Estimarea complexitatii

In functie de clasa de modele aleasa exista proceduri specifice pentru estimarea

complexitatii modelului. De asemenea se estimeaza si timpul mort.

Estimarea se poate face pe baza datelor de intrare iesire achizitionate sau se pot

face cateva determinari suplimentare :

- Raspunsul indicial la treapta (se poate estima foarte bine timpul mort) - Raspunsul impulsional acesta va da informatii despre filtrul sistemlului.

2.2.2.1. In cazul Sistemelor pe stare :

- Se pune problema estimarii dimensiunii vectorului x. In Matlab se poate utiliza comanda :

>> n4sid(data,nx), unde nx=1 :1 :3 -> diferite valori, si se va returna

ordinul optim ;

>> data reprezinta un obiect de identificare intrare/iesire (creat cu functia

iddata).

2.2.2.2. In cazul Modelelor Polinomiale :

Estimarea consta in a determina nA, nB si d (timpul mort).

Indicatie: se poate face o prima identificare cu d = 0. Ulterior acesta este crescut, d = di,

daca 1 0.15 , 1,

ii d ib b i d . Apoi se reidentifica sistemul !

Pentru a determina grdele maxime ale polinoamelor A si B se porneste de la valori mici

apoi sunt crescute alternativ gr(A) si gr(B) si se calculeaza varianta erorii de predictie:

*

2 2

*1

10

N

i

R E t tN

Daca Rnou(0) 0.8 Rvechi(0), nu se recomanda cresterea gradului polinomului. Ordinul sistemului discret este n = max(nA, nB+d).

In WinPIM se poate introduce valoarea minima a timpului mort (daca aceasta este

cunoscuta, de exemplu din raspunsul indicial al sistemului) si ordinul maxim al

sistemului. Sunt disponibile 4 metode de estimare a complexitatii.

Catre meniu

Sisteme




Se recomanda folosirea metodei 3, Instrumental Variable with Delayed Inputs.

Metoda 1 (Least Squares - CMMP) este sensibila la perturbatii si poate da estimatii

gresite in cazul proceselor afectate de zgomote.

In MATLAB se pot utiliza succesiv functiile : struc, arxstruc si selstruc, iar

pentru intarziere : delayest.

2.2.2.3.In cazul sistemelor cu functii de transfer si a sistemelor de proces se utilizeaza in

MATLAB functiile : tfest, respectiv procest.

2.3. Identificarea Modelului

! Dupa ce s-a ales structura si ordinele de complexitate respectiv valoarea intarzierii

se merge la procedura de identificare.

In cazul modelelor polinomiale identificarea se face dupa principiul din figura urmatoare :

Figura 2. 5 Princiupiu identificare recursiva

. .

Vectorul Vectorul Matrice Vectorul Eroare

parametrilor parametrilor de adaptare marimilor de predictie

nou estimati est la pasul prec parametrica masurate scalar

1 1 1 1

1 11

1 1 1

( 1) 1 1

T

T

T

k k F k k k

F k k k F kF k F k

k F k k

k y k k k

Catre meniu

Sisteme




Fiecare model ales are metode proprii de identificare.

Nu exista o structura si o metoda de identificare care sa functioneze in toate cazurile. Mai

multe trebuie sa fie incercate pentru a o gasi pe cea corecta!

Observatii:

Structura 3 -ARMAX corespunde in practica la putin sub doua treimi

din cazuri, structura 2- OE la aproximativ o treime iar ce ramane

reprezinta alte structuri.

In anexa sunt atasate metodele de identificare folosite in WinPIM.

In MATLAB sunt doi algoritmi de baza folositi: ARX (care foloseste metoda estimatiilor

cu cele mai mici patrate si factorizarea QR) si IV4 (metoda variabilelor instrumentale).

Recomandarea este ca ARX sa fie folosit in cazul zgomotelor albe, iar in cazul

zgomotelor colorate1 metoda IV4.

! De asemenea a nu se uita ca in metodele recursive de identificare o alta problema

centrala este data de conditiile initiale. Exista metode care ofera estimatii pentru conditiile

initiale.

2.4. Metode de validare

2.4.1. Validarea modelelor de tip ARMAX si BJ (WinPim structurile 1,3,4)

Principiu: daca structura aleasa este cea corecta iar gradele nA, nB, nC si d sunt corecte,

atunci eroare de predictie tinde asimptotic spre un zgomot alb:

lim 0

1,2,3,...; 1, 2, 3,...

tE t t i

i

Validarea se face pe un nou set de date:

1. Se calculeaza y t

2. Se calculeaza t

3. Testul de albire (necorelare)

Testul de albire:

Fie t secventa centrata a erorilor de predictie. Se calculeaza:

*

*

2

*1

*1

010 ; 0 1

0

1;

0

N

t

N

t

RR t RN

N R

R iR i t t i RN i

N R

1 Un zgomot colorat ar putea fi definit si ca un zgomot alb filtrat. De obicei culoarea unui zgomot da

informatii asupra aspectului spectrului sau. In cazul zgomotului alb spectrul sau este plat.

Catre meniu

Sisteme




Testul ideal de validare ar fi RN(0) = 1 si RN(i) = 0, pt i 1. In realitate nu se indeplineste.

Testul practic de validare este RN(0) = 1 si *

2.17RN i

N pt i 1.

Observatie: un criteriu indeplinit prea bine sugereaza faptul ca se pot face simplificari in modelul de identificare.

2.4.2. Validarea modelelor identificate de tip OE (WinPim structura 2)

Principiu: daca perturbatia si intrarea sunt independente (E{w(t)u(t)}=0), structura este

corect aleasa, metoda buna iar nA, nB, d sunt corect determinate atunci iesirea predictata

cu un model de tip OE:

1 1 ( ) ( )dA q y k q B q u k este asimptotic necorelata cu eroarea de predictie:

*

*1

1 0, 1,2,3,...

N

t

E t y t i t y t i iN

Se calculeaza:

*

* *

*1

1/2

2 2

* *1 1

max

max

1 ;

1 1

0,1,2,...,

max( , )

N

t

N N

t t

A B

R i t y t iN

R iRN i

t y tN N

i i

i n n d

Criteriul de validare este acelasi ca la testul de albire a erorii de predictie.

2.5. Analiza modelului validat

Dupa validare modelul poate fi analizat suplimentar:

- se studiaza harta poli-zerouri si se face o analiza a stabilitatii modelului

obtinut;

- se studiaza raspunsul sistemului la diferite tipuri de intrari

- se studiaza functiile de sensibilitate ale sistemului in prezenta diferitelor tipuri

de perturbatii;

Catre meniu

Catre meniu

Sisteme




Aplicatii

1. De ce pentru un proces de identificare numerica este important un semnal de intrare de tip SPAB ?

2. Ce informatii utile pentru identificare se pot obtine pe baza raspunsului indicial ? 3. Generare semnal SPAB : Se considera registrul de shiftare al SPAB cu n biti, si cu un divizor p=1. Se considera

secventele de initializare urmatoare :

Se dau :

n =

d =

Se cere :

a) Sa se determine primele 15 valori ale semnalului SPAB. b) Sa se reprezinte grafic cum arata comanda de tip SPAB, tinand cont ca

amplitudinea SPAB este u = [%], iar valoarea comenzii initiale u0= [%]. (h perioada de esantionare)

Figura 3. Reprezentarea unei semnal tip SPAB

c) Cum arata semnalul daca p=2 ? d) Pentru ambele cazuri plotati spectrul semnalului generat. (In Matlab folositi

functia periodogram).

t

u(t) 100

80

60

40

20

0

0 h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h

Catre meniu

Sisteme




4. Identificare model.

Folosind programul WinPIM identificati modelul unui proces necunoscut. Pe acest proces

s-a efectuat un experiment de identificare prin aplicarea unui semnal SPAB, setul de date

intrare-iesire fiind salvat in fisierul aero.c . Perioada de esantionare folosita este de 5

secunde (trebuie incarcata la meniul Sampling period). a. Folosind Data Files Management incarcati fisierul de date de la locatia

specificata mai sus. Aveti grija sa eliminati componenta continua (Filter -> Add

-> Removing DC component apoi Filter->Validate si in final salvati cu numele

aero.dat). b. Estimati complexitatea cu Estimation of Complexity! Cat este N, nA, nB si

timpul mort?

c. Pasul urmator consta in identificarea parametrica. Incercati diferite structuri pentru gasirea unui model valid. Validarea se face la Model Validation. Ce structura a functionat pentru gasirea unui model valid? Ce tip de validare ati

folosit? Care sunt ordinele acestui model?

d. Care este functia de transfer gasita ? Trasati graficul raspunsului in timp al acestui model si cel al raspunsului in frecventa (Time/Frequency Domain Analysis->Compute). Care sunt amplificarea de regim stationar si timpul de crestere al procesului? Este sistemul stabil ?

Bibliografie

1. Digital Control Systems, Ioan D. Landau, G. Zito, Springer, 2006

Catre meniu

Sisteme




Catre meniu

Sisteme




Catre meniu

MeniuExperimentAchizitieAlegerePerEsantionareDimensionareSPABOLE_LINK4AplicareSemnalSPABConditonareSemnalSelectieModelSelectieModelSectionTipuriModeleEstimareComplexitateIdentificareModelMetodeValidareAnalizaModelOLE_LINK5

siec-l2

Documents

validare a modelului

ales in intervalul 320

proiectarea si implementarea

comanda spab n

estimare a parametrilor

modele neparametrice

raspunsul in frecventa

alege in functie