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Simuler en temps réel la descente du foetusFlorence Zara

To cite this version:Florence Zara. Simuler en temps réel la descente du foetus. Quadrature, EDP Sciences, 2018, pp.34-46.�hal-01486863�

Quadrature no 42 (2017) 1-12© Quadrature, 2017 [Simulation par modèle physique]

Simuler en temps réel la descente du fœtus

par Florence ZARA*

Résumé.

La formation médicale a besoin d’être éprouvée par la pratique afin que les médecinss’approprient les gestes médicaux-chirurgicaux à réaliser. Mais la formation directement ef-fectuée sur le patient pose des problèmes éthiques en soumettant le patient à des risques liésà cet enseignement. L’emploi de systèmes d’apprentissage basés sur des simulations permetde palier à ce problème. Nous présentons dans cet article la réalisation d’un simulateur basésur les techniques de Réalité Virtuelle visant la formation aux gestes médicaux de l’accou-chement. Ce simulateur intègre une simulation numérique, temps réel, du comportementdes organes de la parturiente (terme employé pour une femme qui accouche) et du fœtus aucours de l’accouchement. Nous verrons ici les étapes de la réalisation de cette simulation.

I Un contexte médical

Dans le domaine médical, la formation repose majo-ritairement sur l’observation alors que l’apprentissaged’un geste doit être éprouvé dans la pratique. En effet,durant sa formation, l’étudiant en médecine observe gé-néralement un médecin expert effectuant une opération,sans la faire lui-même, afin de ne pas exposer le patientà des risques liés à l’enseignement. Or le maniementdes instruments chirurgicaux nécessite une dextéritéet une compréhension complète du geste qui doit êtreeffectué sur le patient, ainsi que la situation particu-lière liée à la pathologie du patient. Pour palier à ceproblème d’apprentissage par la pratique, la formationmédicale se tourne de plus en plus vers l’emploi desimulations. Ces simulations vont de la mise en situa-tion des médecins apprentis lors de l’annonce d’unepathologie, jusqu’à l’emploi de simulateurs complexestels que ceux employés dans l’aviation, permettant des’entrainer à un geste et une situation précise.

Dans cet article, nous allons nous intéresser à laréalisation d’un simulateur basé sur les avancées tech-nologiques en Réalité Virtuelle. Ce nouveau type desimulateurs médicaux couple ainsi (i) un modèle numé-rique permettant de visualiser en 3D le geste effectué,ainsi que le comportement des organes en interaction ;

* florence.zara@univ-lyon1.fr

(ii) un dispositif issu de la robotique (appelée interfacehaptique) permettant d’interagir avec le modèle numé-rique, tout en restituant les sensations de toucher per-çues par le médecin lors de l’emploi de son instrumentusuel ; (iii) un composant pédagogique proposant unensemble de scénarios pertinents pour l’apprentissageavec notamment la proposition de mise en situationsdélicates que la formation médicale usuelle ne peutproposer à tout étudiant en médecine.

Les travaux présentés dans cet article ont notammentété réalisés dans le cadre du projet SAGA (Simulateurspour l’Apprentissage des Gestes de l’Accouchement)de l’appel ANR Modèles Numériques 2012. Ce projet aréuni des chercheurs experts en didactique (pour déter-miner les différents éléments du simulateur et concevoirdes scénarios pertinents pour l’apprentissage), en robo-tique, mécatronique, automatique (pour concevoir l’in-terface haptique adéquate du geste) et en informatiquegraphique (pour concevoir la simulation numériquetemps réel). Ce projet a de plus été rendu possible parune étroite collaboration avec des obstétriciens de l’Hô-pital Lyon Sud et l’école de sage-femme de Grenoble(pour comprendre le geste médical et valider l’apportdu simulateur pour l’apprentissage). Tous ces acteurs,de disciplines différentes, sont ainsi nécessaires pourla réalisation d’un tel simulateur de gestes médicauxrépondant aux attentes de la formation médicale.

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II Un simulateur pour apprendre

les gestes de l’accouchement

Dans la majorité des cas, un accouchement ne né-cessite pas l’intervention d’un obstétricien. Le rôle dela sage-femme consiste alors à aider la future mère àpousser aux moments adéquats afin que ces forces depoussées maternelles se conjuguent aux forces issuesdes contractions utérines, permettant de faire descendreet sortir le fœtus du bassin pelvien. Par contre, danscertains cas causés par la morphologie du fœtus ou dubassin maternel, ou encore par le positionnement dufœtus, ces forces ne suffisent pas. L’obstétricien doitalors intervenir en employant un instrument appelé for-ceps (semblable à deux grandes cuillères) qui permetd’extraire le fœtus. Il s’agit alors de savoir manipulercet instrument afin de ne pas endommager ni la futuremère ni le fœtus, en posant tout d’abord les cuillèresde façon à épouser la tête fœtale, puis en effectuant legeste d’extraction permettant de délivrer le fœtus.

Pour apprendre à effectuer ce geste qui évite le re-cours, jamais sans risque, à une césarienne, le labora-toire Ampère a développé au fil des années, un disposi-tif haptique [7, 8] permettant de s’entraîner à la posedes forceps sur la tête du fœtus et à son extraction. Cedispositif appelé BirthSIM (visible sur la Fig. 1) estconstitué de mannequins anthropomorphes usuellementemployés par les obstétriciens et les sages-femmes lorsde leur apprentissage. Un vérin pneumatique (encadrérouge) a ensuite été mis en place pour simuler la des-cente de la tête du fœtus au travers du bassin pelvien.Des capteurs de position à six degrés de liberté ontensuite été positionnés sur les forceps et la tête fœtale(encadré vert). Ces capteurs enregistrent dans les 3 di-rections de l’espace les mouvements de translation etde rotation. Ils permettent ainsi de suivre le mouvementdu médecin tout au long de son geste d’extraction.

Figure 1. Le simulateur physique BirthSIM [7, 8] développé parle laboratoire Ampère (INSA de Lyon) et le Pr Olivier Dupuis(Centre Hospitalier Lyon-Sud).

L’emploi de ce dispositif seul ne permet pas de gérertous les cas possibles puisqu’il est basé sur une seulemorphologie de mannequins, aussi bien pour le bassinmaternel que la tête du fœtus. Pour le rendre plus

générique, l’idée a été de le coupler à une simulationnumérique qui peut intégrer des organes de différentesmorphologies. La simulation permet de visualiser lemouvement des organes durant la descente du fœtus,ainsi que les gestes réalisés lors de l’extraction parforceps. Il s’agit ainsi de reproduire le comportementdes organes de la parturiente (nom donné à une femmequi accouche) qui sont en interaction (c’est-à-direen contact) avec le fœtus et les forceps lors de cetteextraction. L’apprentis s’approprie ainsi le gestemédical en le comprenant et en s’y entraînant, sans au-cun risque pour une parturiente ou un futur nouveau né.

Dans cet article, nous nous concentrons sur laréalisation de la simulation [4, 5]. Nous présentonsainsi l’approche qui a permis d’effectuer cettesimulation de la descente du fœtus en temps interactif,permettant son couplage avec BirthSIM. Ce couplagepermet à la simulation numérique et à l’interfacehaptique de communiquer ensemble, en échangeantdes informations telles que la position ou les forcesappliquées sur la tête du fœtus. L’objectif est de faireen sorte que la simulation intègre les mouvements del’utilisateur (notamment le mouvement des forceps) etque l’interface haptique intègre les calculs effectuéspar la simulation, afin de reproduire la trajectoire de latête du fœtus, c’est-à-dire que la tête du mannequinpilotée par le vérin pneumatique reproduise lemouvement calculé par la simulation tout au long del’accouchement et lors de l’emploi des forceps.

Nous allons dans la suite de cet article présenterquelles sont les étapes nécessaires à l’élaborationd’une telle simulation numérique. L’enjeu réside dansle fait de réussir à faire une simulation numériquesuffisamment réaliste pour que la trajectoire calculéede la tête du fœtus soit correcte, tout en ayant des tempsde calcul compatibles avec un dispositif permettant àl’utilisateur d’interagir avec le modèle numérique.

Les chercheurs en Informatique Graphique tra-vaillent ainsi sur l’élaboration de modèles numé-riques des organes, basés sur des connaissances bio-mécaniques (issues des recherches effectuées par lesmécaniciens dans ce domaine), permettant des simula-tions complexes (avec plusieurs organes en interactionentre-eux et avec des instruments médicaux) et celaen temps réel. Il s’agit alors de savoir simplifier, à lafois les modèles géométriques des organes (c’est-à-direleur représentation mathématique en 3D), ainsi que leséquations issues de la Mécanique des Milieux Conti-nus, qui gouvernent à la fois leurs mouvements et leursdéformations. Du point de vue mécanique, les organessont considérés comme des objets dits déformables.

2 Quadrature n

o

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III Avant tout, il faut représenter

les organes dans l’espace 3D

Dans un premier temps, il s’agit de concevoir lemodèle dit géométrique des organes présents dans lasimulation, c’est-à-dire leur représentation en 3D.

Modèle géométrique d’un objet 3D. Un objet estdécomposé en un ensemble d’éléments plus petits quisont connectés entre eux. Nous parlons alors de discré-tisation ou représentation discrète de l’objet 3D. Leséléments composant le modèle géométrique peuventêtre des polygones ou des polyèdres. Chacun de ceséléments est composé de points (appelés sommetsou nœuds) et de segments (appelés arêtes). Cettereprésentation va permettre d’effectuer l’affichage del’objet, grâce à la connaissance de la position 3D deses sommets, et d’effectuer les calculs de la simulationnumérique, consistant à évaluer à chaque instant t,la nouvelle position de ses sommets. L’évolutiondes positions des sommets au cours du temps re-produit ainsi le mouvement et la déformation de l’objet.

Modèles géométriques des organes. Les modèlesgéométriques des organes sont élaborés à partird’images médicales de type IRM ou scanners. Cesimages représentent une coupe, dans un plan del’espace, d’une partie du corps du patient. En exemple,la Fig. 2 (a) montre une image issue d’une IRM d’unefemme enceinte sur laquelle le fœtus est visible.

Les images sont ensuite segmentées, c’est-à-direque l’organe visé est entouré sur chacune d’entreelles. La superposition de ces images segmentéespermet de créer le maillage dit surfacique de l’organe,donnant une représentation mathématique de la surfacedélimitant son contour. Ce maillage surfacique estconstitué d’un ensemble de polygones qui sont reliésensemble. En informatique graphique, les trianglessont alors privilégiés et nous parlons ainsi de maillagestriangulaires. En effet, les calculs nécessaires lors del’affichage des objets à l’écran (projection de la scène

3D vers l’écran 2D engendrant des transformationsgéométriques de type translation, rotation ou chan-gement d’échelle) sont plus faciles à réaliser sur destriangles que sur d’autres types de polygones. Ils sontainsi naturellement gérés par la carte graphique. Enexemple, la Fig. 2 (b) montre le maillage du fœtus.

Le maillage dit volumique de l’organe est ensuitecréé à partir de ce maillage surfacique. Il est constituéde plusieurs polyèdres (généralement des hexaèdresou des tétraèdres) permettant de remplir l’intérieur dumaillage surfacique. L’algorithme de Delaunay [9]peut être employé pour générer les tétraèdres. Nousavons ainsi une représentation volumique de l’objetsur laquelle les calculs seront effectués. La Fig. 2 (c)montre en exemple le maillage tétraédrique du fœtus.

Simplification pour la simulation. Les maillages gé-nérés à partir des images médicales comportent ungrand nombre d’éléments que nous avons diminué pourlimiter le temps de la simulation, puisque le nombrede calculs à effectuer est proportionnel au nombre desommets présents dans le maillage. Cette simplifica-tion est faite sur les maillages surfaciques. La Fig. 2 (d)présente le maillage du fœtus avant et après sa sim-plification passant de 21500 à 2800 sommets. Pourles autres maillages, nous sommes passés de 1750000pour le bassin, 42 811 pour l’utérus, 38863 pour l’ab-domen à respectivement 3500, 2348 et 3268 sommets.

Pour réduire ce nombre de sommets, les zones dumaillage ayant une petite variation angulaire entre leséléments ont été simplifiées, tout en veillant à conserverles caractéristiques principales des organes grâce à descritères de précision. Comme grandeur, nous avonschoisi l’épaisseur de l’aile iliaque pour le bassin osseux,l’épaisseur de la membrane utérine pour l’utérus, et lediamètre de la tête pour le fœtus. Pour le bassin osseux,nous avons encore simplifié le maillage obtenu, enréalisant un maillage très grossier s’appuyant sur lesboites englobantes des différentes parties connexes dubassin pour obtenir au final un maillage comportantque 1 750 sommets (illustré par la Fig 3).

(a) (b) (c) (d)

Figure 2. (a) Image IRM d’une femme enceinte permettant la création du maillage surfacique (b) et du maillage volumique (c) dufœtus. (d) Maillage surfacique du fœtus avant et après sa simplification passant de 21500 à 2800 sommets.

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Figure 3. De gauche à droite : maillage simplifié (3 500 noeuds),boîtes englobantes, maillage final (1 750 noeuds).

Nous avons modélisé comme un seul objet, l’utérus,le col utérin et le canal vaginal. Sur la Fig. 4 se trouvele maillage initial issu des données médicales avec42 811 noeuds, et le maillage obtenu après lissage etreconstruction manuelle du col de l’utérus à partir del’anatomie [11, 6] pour une dilatation complète.

Figure 4. Modèle géométrique de l’utérus : (gauche) maillageobtenu à partir des données médicales, (droite) maillage obtenuaprès lissage et reconstruction du col de l’utérus.

Les maillages volumiques ont ensuite été générés àpartir de ces maillages simplifiés.

Enjeu actuel. Des avancées ont été faites pour au-tomatiser la construction des maillages volumiquesd’organes à partir d’images médicales, mais certainesdifficultés apparaissent encore. Elles concernent parexemple la qualité des maillages obtenus (élémentsdont la forme de base est conservée), ou encore la diffi-culté de voir sur les images médicales toutes les partiesdes organes (une partie pouvant être tronquée). Il s’agitalors de savoir la reconstruire à partir d’atlas de réfé-rence ou d’organe générique. Par contre, cette automati-sation est nécessaire si nous souhaitons développer dessimulateurs dits « patient spécifique », c’est-à-dire dessimulateurs dont l’utilisation permettrait un entraîne-ment directement basé sur les données médicales d’unpatient avant par exemple une intervention délicate.

IV Reproduire le comportement

des objets déformables

Après avoir élaboré le modèle géométrique des or-ganes, il s’agit de les animer, c’est-à-dire de reproduireleur mouvement et déformation en tenant compte deleurs éventuelles interactions avec d’autres organes ouavec des instruments médicaux tels que les forceps.

Dans cette section, nous présentons les équations quigouvernent, selon les lois de Newton, le mouvementd’un objet. Puis, nous considérons le cas particulierdes objets déformables, puisque un organe est un corpsmécanique qui se déforme sous l’action de contraintes.

Dynamique newtonienne

L’objectif est de calculer le mouvement de l’objet,c’est-à-dire l’évolution de sa position au cours dutemps. Ensuite, son affichage à l’écran en fonction decette position permettra de visualiser son mouvement.Pour cela, le temps qui est une grandeur continue estdiscrétisé en différents instants t. En considérant t0le temps initial et h le pas de temps de la discrétisa-tion, les instants suivants sont donnés par : tn = t0+n h.

Pour calculer la position de l’objet, nous nousappuyons sur la mécanique newtonienne. La premièreloi de Newton dit que le mouvement d’un objet estprovoqué par les forces qui lui sont appliquées. Laseconde loi, plus connue sous le nom de « PrincipeFondamental de la Dynamique », dit que la sommedes forces qui sont exercées sur un objet est égale à lamasse de l’objet multipliée par l’accélération de l’objet.

Soit m la masse de l’objet, qui est connue et quine change pas au cours de la simulation. Notons�!f (t) l’ensemble des forces appliquées sur l’objet,

et �!a (t),�!v (t),�!x (t) l’accélération, la vitesse et laposition de l’objet. Ces grandeurs sont définies àchaque instant t car elles évoluent au cours du temps.

D’après la seconde loi de Newton�!f (t) = m �!a (t),

ou encore �!a (t) =�!f (t)/m. Il suffit ensuite d’intégrer

l’accélération pour obtenir la vitesse de l’objet, puisquel’accélération est la dérivée par rapport au temps de

la vitesse, soit : �!v (t) =Z

t

�!a (t) dt. Et une fois que

nous avons obtenu la vitesse, il suffit de l’intégrer pour

obtenir la position de l’objet avec : �!x (t) =Z

t

�!v (t) dt.

Comme ces intégrales n’ont que très rarementdes solutions analytiques (c’est-à-dire des solutionsconnues), un schéma d’intégration numérique estutilisé pour calculer la vitesse et la position en donnantune approximation des intégrales de l’accélérationet de la vitesse. Il s’agit d’effectuer un compromisentre la précision de ce résultat (en choisissant uneapproximation ayant une erreur plus ou moins grande)et le temps de calcul nécessaire à cela.

En animation physique, les schémas d’intégrationnumérique qui sont privilégiés sont le schéma d’Eu-

4 Quadrature n

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ler semi-implicite (nécessitant des petits pas de tempspour ne pas faire une erreur trop importante) et leschéma d’Euler implicite [3] (dit inconditionnellementstable, c’est-à-dire donnant une approximation numé-rique ayant la même erreur quelque soit le pas de temps,mais nécessitant la résolution d’un système linéaire àchaque itération, c’est-à-dire beaucoup plus de calculsque la première méthode). Pour le schéma d’Euler semi-implicite, les calculs sont très simples avec :

® �!v (t +h) = �!v (t)+h �!a (t)�!x (t +h) = �!x (t)+h �!v (t +h)

En résumé, la position de l’objet à chaque instant estobtenue en effectuant les calculs suivants :

1. Calcul de l’ensemble des forces�!f (t) qui sont

exercées sur l’objet (forces internes à l’objet is-sues du modèle physique employé et forces ex-ternes issues des collisions avec d’autres objets).

2. Calcul de l’accélération �!a (t) de l’objet en divi-sant les forces

�!f (t) par la masse m de l’objet.

3. Calcul des nouvelles vitesse �!v (t +h) et position�!x (t +h) de l’objet par intégration numérique del’accélération et de la vitesse précédentes.

4. Affichage de l’objet à l’écran en fonction de lanouvelle position �!x (t +h).

5. Puis itération, en reprenant l’étape 1 pour obtenirles nouvelles forces

�!f (t +h), et ainsi de suite.

L’enchaînement au cours du temps de ces calculsest communément appelé en Informatique Graphique« boucle de simulation », puisque c’est une boucle quise perpétue en fonction du temps.

Cas d’un objet continu

La question qui se pose ensuite est : « Commentcalculer les forces internes et externes de l’objet ? ».Les forces externes sont la force de gravité et les forcesdues aux collisions avec d’autres objets présents dansla simulation. Les forces internes à l’objet dépendentde la modélisation physique choisie.

En Mécanique des Milieux Continus, nous appli-quons le principe fondamental de la dynamique à toutélément de volume. Soit Dt le domaine du matériauconsidéré à l’instant t et ∂Dt sa surface. Le volume del’objet est alors défini par V =

RDt

dx dy dz. Ensuite, sinous supposons que la mesure masse est continue parrapport au volume de l’objet ayant une vitesse �!v (t) àl’instant t et en notant r = m/V la masse volumique

de l’objet (soit m = r V ), nous pouvons écrire :

m �!a (t) = mddt�!v (t)

= r Vddt�!v (t)

=ddt

Z

Dt

r �!v (t) dx dy dz.

Le principe fondamental de la dynamique peut alorss’écrire de la façon suivante :

ddt

Z

Dt

r �!v (t) dx dy dz=Z

Dt

r �!fext dx dy dz+

Z

∂Dt

�!T ds

(1)avec

�!T les forces appliquées sur la surface de l’objet

et�!fext les forces extérieures volumiques appliquées sur

la totalité de l’objet (�!fext est un vecteur de densité de

force par unité de volume). Concentrons-nous sur levecteur

�!T appelé vecteur de contraintes, qui est un

vecteur de forces défini par unité de surface ds autourd’un point. Sa formulation est donnée par :

�!T = s ·�!n , Ti =

3X

j=1si j n j

avec �!n la normale à l’élément de surface ds et s letenseur de contrainte de Cauchy qui est d’ordre 2. Cetenseur s décrit l’état de contrainte en tout point del’objet et dans toutes les directions. Nous pouvons levoir comme une matrice 3⇥3 qui est symétrique avecsi j = s ji (i, j = 1,2,3). Chacune de ses composantesest homogène à une pression (en Pa = N.m�2) cor-respondant à une force exercée sur une unité de surface.

Pour définir l’ensemble des tractions appliquées surun élément de matière, il faut considérer les contraintesappliquées sur chacune de ses faces et dans chaquedirection. Nous obtenons alors la relation :

�!T ds =

�!div s dx dy dz

En définitive, l’équation (1) s’écrit pour un élémentde volume sous la forme :

r ddt�!v (t) = r �!

fext +�!div s . (2)

Pour résoudre cette équation, nous devons alors relierle vecteur vitesse �!v (t) au tenseur des contraintes spour chaque point matériel de l’objet considéré.

Cas des objets déformables

Nous considérons le cas particulier des objetsdéformables, c’est-à-dire tels que la distance entredeux points quelconques de l’objet peut varier au cours

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du temps. Ce changement est fonction du matériauconsidéré. En effet, les mêmes efforts appliqués surdes objets de même géométrie mais de matériauxdifférents (par exemple en caoutchouc et en acier), neconduisent pas à la même déformation (c’est-à-direau même changement dans la forme des objets). Lesmécaniciens effectuent alors des expérimentationspour définir la « loi de comportement » du matériaudonnant la relation entre les contraintes appliquéessur le matériau (rapport entre les forces exercées surl’objet et la surface sur laquelle elles sont appliquées)à la déformation induite en fonction du matériau.

Pour définir cette déformation, nous allons consi-dérer l’objet au travers deux configurations : l’état deréférence qui correspond à l’état non-déformé au tempst0 et l’état déformé qui correspond à l’état courant autemps t. Puis, nous nous intéressons au déplacementdes points de l’objet entre ces deux états. Soit X laposition initiale d’un point de l’état de référence(constante dans le temps) et x sa position couranteprise dans l’état déformé (évoluant dans le temps). Ledéplacement de ce point est défini par �!u = x�X.

Le tenseur de déformation e permet ensuite de quan-tifier la déformation. Il peut être vu comme une matrice3⇥3 symétrique avec ei j = e ji (i, j = 1,2,3). Selon ladéformation qui nous intéresse, plusieurs tenseurs dedéformation ont été définis. Pour notre part, nous consi-dérons le tenseur de déformation de Green-Lagrangecalculé à partir de la différence entre les carrés de laconfiguration initiale et de la configuration déformée.En notant —�!u = U, il est défini par :

e =12(UT +U+UT ·U).

Dans le cadre de petites perturbations avec de petitsdéplacements, nous pouvons considérer uniquement lapartie linéaire de ce tenseur, définissant ainsi une rela-tion linéaire entre le déplacement et les déformations.Le tenseur linéarisé est alors défini par :

e =12(UT +U), ei j =

12

Ç∂ui

∂Xj+

∂u j

∂Xi

å.

Reprenons l’équation (2) gouvernant le mouvementd’un objet continu. La Fig. 5 présente les relations quisont mises en place pour relier la vitesse �!v (t) de l’ob-jet au tenseur de contraintes s en les exprimant enfonction du déplacement �!u (t) : la vitesse correspondà la dérivée par rapport au temps du déplacement avec�!v (t) = d�!u (t)/dt, la loi de comportement relie le ten-seur de contraintes s au tenseur de déformation e , etcelui-ci est exprimé en fonction du déplacement.

Cas des organes

Pour la simulation des organes, nous avons utiliséles lois de comportement de Hooke et de Neo-Hooke.

Loi de Hooke. La loi de Hooke permet la modélisa-tion d’un comportement élastique linéaire. L’élasticitésignifie que l’état des déformations de l’objet dépenduniquement de l’état présent des contraintes. Ainsi, unmatériau élastique qui a été déformé sous l’action decertaines forces regagne son état initial une fois lesforces disparues et toute l’énergie absorbée est resti-tuée. A cela, nous rajoutons la linéarité, c’est-à-direque les forces sont proportionnelles aux déformationset l’isotropie, c’est-à-dire que les propriétés de l’objetsont les mêmes dans toutes les directions. Pour les ma-tériaux homogènes et isotropes, la loi de comportementde Hooke est ainsi définie par

s = D · e

avec s le tenseur des contraintes, e le tenseur des dé-formations, et D le tenseur défini par

[D] =

2

6666664

l +2µ l l 0 0 0l l +2µ l 0 0 0l l l +2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ

3

7777775,

avec l et µ les coefficients de Lamé définis par

l =E ·n

(1+n) · (1�2n), µ =

E2(1+n)

,

où E est le module de Young (en unité de pression) etn est le coefficient de Poisson (sans unité).

Déplacement U Déformation ε Contrainte σ

Loi de comportement

σ = (ε)

Géométrie Mécanique

Figure 5. Mise en relation du déplacement avec le tenseur de contrainte.

6 Quadrature n

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Loi de Neo-Hooke. Nous avons choisi d’utiliserla loi de Neo-Hooke pour la modélisation d’uncomportement hyper-élastique, caractérisée par uneénergie de déformation W ne dépendant que de l’étatactuel des déformations avec s = ∂W/∂e .

Cette énergie de déformation est définie pour unmatériel incompressible (cas des organes) par

W =C10(I1 �3)

avec C10 = G/2 et G = E/(2(1+ n)) le module decisaillement, I1 le premier invariant du tenseur dedéformation de Cauchy-Green gauche, lui-mêmedéfini par B = F FT où F est le tenseur gradient dela déformation. Nous avons I1 = l1

2+ l2

2+ l3

2où

li = J�13 li avec J = det(F) représentant la variation

de volume et li les étirements principaux.

Utilisation des lois de comportement. Pour utiliserles lois de comportements de Hooke et Neo-Hooke,nous devons définir des valeurs des paramètres asso-ciés (E, n et C10) caractérisant le matériau considéré.Dans le cas des organes, il est difficile d’obtenir cesvaleurs, puisque les tests mécaniques (de type trac-tions, cisaillement, etc.) mettant en évidence les loisde comportement et leurs paramètres sont difficilementréalisables sur les tissus vivants. De plus, les valeursobtenues varient parfois d’un facteur mille selon leprotocole employé, et les résultats sont faussés sur lestissus morts. Des verrous scientifiques sont ainsi encoreà lever pour la caractérisation des tissus mous in vivo.

Résolution de l’équation de la dynamique

Si nous reprenons les étapes, l’équation du mouve-ment d’un l’objet déformable se définit en choisissantun tenseur de déformation (reliant la déformation audéplacement), et une loi de comportement (reliant ladéformation à la contrainte appliquée à l’objet).

Par exemple, pour un matériau élastique isotropedont le comportement est régi par la loi de Hooke eten considérant le tenseur de déformation de Green-Lagrange linéarisé, nous obtenons :

�!div s = (l +µ) — (div �!u )+µ D�!u .

L’équation (2) du mouvement, qui sera ensuite ré-solue pour obtenir le déplacement �!u (t) de l’objet àchaque instant t, s’écrit alors de la façon suivante (appe-lée équation de Navier de l’élasticité linéaire isotrope) :

r d2

dt2�!u (t)= r �!

fext(t)+(l +µ)— (div�!u (t))+µ D�!u (t).

Mais il est rare de pouvoir résoudre de manière ana-lytique cette équation, c’est-à-dire qu’il est rare detrouver une solution formelle à ce problème. Une mé-thode d’approximation numérique est alors employéerésolvant cette équation de manière discrète. Pour cela,il s’agit de transformer le problème mathématique ini-tialement défini sur un milieu continu en un problèmediscret. La discrétisation de l’équation du mouvementrepose alors sur la définition du maillage volumiquereprésentant l’objet. Les équations numériques sontalors résolues sur chacun des noeuds du modèle géo-métrique. C’est la méthode de résolution numériquedites des éléments finis qui est alors classiquementchoisie pour cette résolution. Nous obtenons ainsi unesolution approchée de l’équation initiale définissantainsi le déplacement de l’objet au cours du temps.

V Modèle de l’accouchement

Revenons à l’élaboration de notre simulation numé-rique de l’accouchement. Rappelons que les structuresanatomiques qui ont été modélisées sont l’abdomenmaternel, le bassin osseux, le plancher pelvien, l’utéruset le fœtus. Il faut désormais définir le modèle phy-sique de chacun de ces organes, c’est-à-dire définirleur comportement mécanique en choisissant une loide comportement et les valeurs des paramètres asso-ciés. Nos choix ont été effectués de façon à obtenir unesimulation temps réel restituant un comportement glo-balement réaliste pour la descente du fœtus, c’est-à-direqu’ils auraient été différents pour une simulation pré-cise de chacun des organes impliqués. Pour effectuer cechoix, nous donnons au préalable quelques explicationssur l’anatomie et le rôle physiologique de ces organes.

Bassin osseux et plancher pelvien

Anatomie et physiologie. Visibles sur la Fig. 6 (a), lebassin osseux est constitué de plusieurs os qui sontreliés entre eux par un certain nombre de ligaments.

(a) (b)

Figure 6. (a) Bassin osseux constitué des os coxaux-iliaques(bleu), du sacrum (rouge) et du coccyx (vert). (b) Les deux oscoxaux-iliaques sont constitués de trois parties. Images de [1, 4].

Le sacrum (en rouge) se situe dans la partie infé-rieure de la colonne vertébrale, le coccyx (en vert) se

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trouve dans le prolongement du sacrum, et les deux oscoxaux-iliaques (en bleu) forment les parties latéraleset antérieures du bassin. Ces deux os sont constitués detrois parties détaillées sur la Fig. 6 (b) : l’ischium (enbleu), l’ilium (en rouge) et le pubis (en blanc). Les ailesiliaques de ces os sont constituées d’une zone lisse etcreuse appelée fosse iliaque qui va accueillir la tête dufœtus au moment de sa descente.

Le bassin mou (ou plancher pelvien) est constituéde deux muscles principaux : le muscle releveur del’anus et le muscle coccygien. Ces muscles s’insèrentdans les parois latérales du bassin osseux formantun diaphragme musculaire sur lequel reposent lesorganes pelviens, empêchant la descente du fœtus aucours de la grossesse. De part sa densité, il est difficiled’identifier les différents muscles de ce réseau.

Comportement durant l’accouchement. Durantl’accouchement, le fœtus rentre complètement dansl’orifice d’entrée du bassin (appelé détroit supérieur),puis le traverse pour en sortir par l’orifice de sortie(appelé détroit inférieur). Pour franchir ces obstacles,le fœtus va effectuer une série de mouvements pours’adapter à la forme de la cavité pelvienne. Ainsien même temps que la tête s’engage dans le détroitsupérieur, elle est fléchie sur la poitrine, puis elle vase tourner légèrement vers le côté droit ou gauchepour entrer dans le bassin (pour présenter sa pluspetite taille). Ce premier détroit franchi, la têtedescend ensuite dans le bassin pour effectuer uneseconde rotation. Pour accompagner ces mouve-ments, le bassin effectue également un mouvementparticulier appelé « nutation », conséquence de lapoussée de la tête fœtale sur celui-ci. Ainsi au coursde la descente du fœtus, la partie supérieure desailes iliaques effectue un mouvement d’adductionaccompagné d’une abduction de la partie basse del’ischium. Durant ces rotations, la tête va appuyersur le coccyx qui effectue alors un mouvement deflexion. Le coccyx effectuera ensuite un mouvement decontre-nutation lors du dégagement de la tête du bassin.

Notre approche pour le bassin osseux. Comme illus-tré par la Fig. 7, nous avons considéré les ailes iliaquescomme fixes et indéformables, le rachis comme fixe etla bascule au niveau inférieur mobile.

Figure 7. En vert les parties fixées du bassin osseux.

Pour le comportement mécanique, nous avonsutilisé la loi de Hooke avec un module de YoungE = 23 MPa, un coefficient de Poisson n = 0,3, et unedensité à 1000 kg/m3. Pour simplifier la simulation, leplancher pelvien a été directement incorporé dans lamodélisation de l’abdomen.

Comportement du bassin osseux. Observons la bas-cule du sacrum. La Fig. 8 présente l’évolution angu-laire de la pointe du sacrum dans le plan sagittal. Nousconstatons deux pics sur cette courbe. Le premier cor-respond au premier contact de la tête avec le sacrum,qui est poussé en arrière par les os du crâne du fœtus.Puis, lorsque la tête commence à entrer dans le canalvaginal, le second pic est causé par le passage du restedu corps du fœtus. En outre, nous pouvons noter qu’à lafin du travail (32 minutes plus tard), le bassin ne revientpas à sa position initiale. Cette simulation donne ainsides premiers résultats en concordance avec la réalité.

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Figure 8. Evolution angulaire de la pointe du sacrum.

Notre approche pour le plancher pelvien. Durant lagrossesse le volume de l’abdomen augmente signifi-cativement et les organes qui y sont présents (vessie,rectum, colonne vertébrale, côtes, foie, etc.) changentde position afin de laisser de la place pour le fœtus. Du-rant l’accouchement, le volume de l’abdomen diminueet les organes internes reprennent leur position initialegrâce à une pression interne assurant la cohésion desorganes. Pour des raisons évidentes de temps de calcul,nous ne pouvons pas modéliser individuellement tousles organes qui y sont présents. C’est pourquoi, nousavons considéré l’abdomen comme un organe uniquedont le contour a été défini à partir des images IRM etl’intérieur a été maillé à l’aide de tétraèdres en ôtant lesautres organes déjà modélisés (bassin, utérus et fœtus)comme nous pouvons le voir sur la Fig. 9 (a).

Nous avons mentionné que le plancher pelvien avaitété intégré dans le modèle de l’abdomen. Ainsi, nousavons donné un comportement mécanique assez prochedes propriétés des tissus musculaires du bassin mou à

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notre abdomen, c’est-à-dire élastique et compressible.Ces propriétés permettent le re-positionnement des élé-ments de l’abdomen autour de l’utérus au cours dela descente du fœtus. Ainsi, l’abdomen a été modé-lisé comme un matériel hyper-élastique en utilisant laloi de Neo-Hooke avec une densité de 2500 kg/m3 etC10 = 5 kPa. Pour les conditions limites, nous avonsfixé l’arrière de l’abdomen afin de prendre en comptela position de la parturiente (assise avec le dos fixe).Mais nous ne pouvons pas imposer un déplacementnul à l’ensemble du contour de l’abdomen maternelcar en fixant la partie basse de l’abdomen maternel, lasortie du fœtus ne serait pas autorisée. Cette dernièrecondition est réglée en autorisant uniquement les dé-placement latéraux sur la partie basse de l’abdomenautour de la zone vaginale. Ces conditions limites sontillustrées par la Fig. 9 (b). De plus, une légère pression(représentant le tonus musculaire résiduel) a été ajoutéepour assurer une cohésion entre les organes à l’intérieurde l’abdomen (utérus, bassin et fœtus).

(a) (b)

Figure 9. (a) Coupe sagittale de l’abdomen et (b) ses condi-tions limites : (violet) parties fixées, (orange) étirement possible,(rouge) déplacements verticales interdits, (vert) libre.

Utérus

Anatomie et physiologie. L’utérus est une pochemusculaire creuse située dans la cavité pelvienne.Durant la grossesse, l’utérus est ramené vers l’avantde l’abdomen et sa taille va passer d’environ 8 cm à35 cm de long en moyenne en fin de grossesse. Cechangement important modifie ses caractéristiquesmécaniques qui sont ainsi difficiles à identifier et quisont de plus très variables d’une femme à l’autre etselon le nombre de grossesses antérieures. Le colutérin est séparé du corps utérin par un étranglement àla base de l’utérus appelé isthme. Durant la grossesse,le col utérin reste fermé avec une longueur de 30 à40 mm. Puis il va se ramollir et se raccourcir en fin degrossesse pour atteindre environ 13 mm.

Notre approche pour l’utérus. Pour la modélisationbiomécanique de l’utérus, nous avons considéré uncomportement anisotrope en utilisant loi de comporte-ment de Neo-Hooke, avec une densité de 950 kg/m3

et C10 = 30 kPa. Les déplacements du canal vaginalsont limités dans le plan transversal pour permettrel’ouverture et la fermeture du canal vaginal, en évi-tant la descente des organes. Pour le traitement descollisions, les contacts entre l’utérus et le fœtus sontconsidérés sans frottement. Cette hypothèse est due aufait que lorsque la phase de travail commence, la pocheutérine se vide du liquide amniotique mais les parois in-ternes n’en restent pas moins très humides engendrantun comportement extrêmement lubrifié. Les contactsentre l’utérus et l’abdomen ont aussi été considéréssans frottement pour prendre en compte le phénomènevisqueux existant entre tous les organes de l’abdomen.

Ensuite, au lieu de modéliser le comportement dumuscle que représente l’utérus, nous avons modéliséses conséquences à savoir les contractions utérines(CU). Conformément à la réalité [11], les CU et lesforces d’expulsion ont été modélisées comme deuxchamps de pression périodiques, uniformes sur la sur-face interne et externe de l’utérus, avec 12 périodespour une durée de travail de 30 à 40 minutes. La Fig. 10présente ces deux champs de forces.

Figure 10. Champs de forces appliqués sur l’utérus : en gris lesCU ; en vert les CU, les forces de poussées abdominales et dudiaphragme ; en rouge la zone fixée sur le bassin.

Comportement de l’utérus. Les contractions utérinesexercées sur l’utérus font diminuer son volume durantla descente du fœtus. Pour vérifier ce comportement,nous considérons deux points de l’utérus choisis dansle plan transversal. La Fig. 11 montre le mouvement deces deux points lors de la simulation dans l’axe fron-tal/transversal. Les déplacements de ces deux pointssuivent des directions opposées indiquant que le com-portement de l’utérus correspond au comportementdes CU. En outre, la taille de l’utérus est diminuéede 2/3 environ à la fin d’un accouchement Ce phéno-mène est vérifié en suivant l’évolution de la trajectoiresagito-frontal d’un point au sommet de l’utérus et enla comparant à un point de la partie basse de l’utérus.Sur la Fig. 12, cette différence est de 230 mm au débutde la phase de travail et de 80 mm à la sortie du fœtusdonnant une diminution de sa taille de l’ordre de 2/3,en concordance avec la réalité.

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Figure 11. Déplacement de 2 points de l’utérus (présentés àgauche) durant la simulation.

Figure 12. Trajectoire sagito-frontal d’un point de l’utérus.

Fœtus

Nous considérons uniquement le cas où l’accouche-ment se produit à partir de la 37e semaine de grossesse.Le fœtus pèse alors environ 3,5 kg avec une taille d’en-viron 50 cm. La Fig. 13 (a) représente la position deflexion du fœtus (position dite fœtale) rendue possiblepar une grande souplesse de ses articulations. Notonsque la proportion des organes d’un fœtus n’est pas lamême que celle des adultes ou d’un enfant, avec uncrâne de taille plus importante en proportion.

(a) (b)

Figure 13. (a) Position de flexion du fœtus dans l’utérus. (b)Voûte crânienne du fœtus.

La tête fœtale est la partie la plus importante dufœtus et ses rotations sont primordiales pour traverserles cavités du bassin. Il faut aussi que le crâne puissese déformer. Ceci est rendu possible par la mobilité desos de la voute crânienne les uns par rapport aux autres.Sur la Fig. 13 (b) sont représentées les sutures de la

voûte crânienne. Ce sont des bandes membraneusesqui relient les différents os du crâne et qui se rejoignentau niveau de la fontanelle permettant le « modelage dela tête fœtale » au cours de sa traversée. Bien entendu,le volume intracrânien est quasi-constant grâce audéplacement du liquide cérébro-spinal dans le canalvertébral, assurant la préservation du cerveau pendantl’accouchement. Au final, nous considérons que si latête passe, le reste du corps passe également.

Notre approche pour le fœtus. Il n’est pas possiblede modéliser les différents organes du fœtus. C’estpourquoi, nous avons créé trois zones au sein du fœtusvisibles sur la Fig. 14 : le crâne, le corps et le tissucutané. Le crâne et le corps sont inclus dans le tissucutané (avec plusieurs noeuds en commun) afin d’éviterd’avoir à traiter des collisions entre ces trois parties.

Figure 14. Fœtus : crâne, corps et tissu cutané.

D’un point de vue mécanique, le crâne est considérécomme un objet déformable et le corps est considérécomme un objet légèrement déformable, afin de per-mettre à l’arrière du fœtus de se déplacer librement etde simuler les différentes articulations. Le tissu cutanéest considéré comme plus élastique que le corps et lecrâne, avec un module d’élasticité moins élevé. Le tissucutané est le seul organe compressible, permettant deréduire les forces de répulsion induites par le contactentre le fœtus et l’utérus. Les trois parties ont été mo-délisés avec la loi de Neo-Hooke avec C10 = 130 kPapour le tissu cutané, C10 = 75 kPa pour le crâne etC10 = 70 kPa pour le corps. Nous avons choisi unedensité de 400 kg/m3 pour le tissu cutané, et une den-sité de 950 kg/m3 pour le crâne et le corps.

Notre approche pour la tête fœtale. Une modélisa-tion plus fine de la tête fœtale [1, 2] intégrant les dif-férentes plaques a ensuite été réalisée. Son modèlegéométrique est basé sur le modèle numérisé de la têtede BirthSIM. Le maillage comporte 4 466 noeuds et8 928 triangles. Au niveau mécanique, le maillage a étéséparé en deux zones. Sur la Fig. 15 (a)), nous pouvonsvoir en bleu les os du crâne, et en vert les fontanelles etsutures. La Fig. 15 (b) présente les mesures employéespour évaluer les déformations subies par la tête fœ-tale [12]. Ces mesures correspondent aux diamètresreflétant le plus les déformations issues de la pression

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Figure 15. (a) Maillage de la tête fœtale intégrant les os du crâne (bleu) ainsi que les fontanelles et les sutures (vert). (b) Mesures dudiamètre de la tête. (c) Pressions intra-utérines et du col de l’utérus appliquées sur le crâne. (d) Déformation de la tête due auxpressions intra-utérines et au contact avec le col de l’utérus.

intra-utérine appliquée sur la tête durant l’accouche-ment : le SOB (sous-occipito-bregmatique), le OrVDet le MaVD. La modélisation mécanique est basée surle modèle de coque CST-DKT [1, 2] dont les propriétéssont résumées dans le Tab. 1. Ce modèle intègre unecontrainte pour la préservation du volume.

Os du crâne Fontanelles et suturesE = 2 GPa E = 31.5 MPan = 0,22 n = 0,45r = 1.8 kg.m�1 r = 1,0 kg.m�1

Epaisseur : 0,8 mm Epaisseur : 0,6 mm

Tableau 1. Propriétés mécaniques des parties de la tête fœtale.

Comportement de la tête fœtale. La Fig. 15 (c) pré-sente les pressions que nous avons appliquées sur la têtefœtale pour simuler celles subies durant un accouche-ment. Elles correspondent aux pressions intra-utérineset aux pressions exercées par le col de l’utérus. Nousnous sommes basés sur les mesures de [10] pour établirces champs de pression. Les fontanelles et sutures nesubissent aucune pression. La zone autour du plan SOBcorrespond à la zone en contact avec le col de l’utérus.Trois différents champs de pression sont appliqués :45 kPa pour la partie la plus haute du crâne (jaune),40 kPa pour la partie du milieu (marron) et 30 kPa pourle champ le plus bas (rouge). Le reste du crâne est sou-

mis à une pression de 7 kPa correspondant à la pressionamniotique. La Fig. 15 (d) présente les déformationsde la tête fœtale obtenues montrant un chevauchementdes os pariétaux (os sur les côtés du crâne) constituantun phénomène classique lors d’un accouchement.

Simulation complète de l’accouchement

La simulation a été réalisée sur un PC Intel Core duo,2.4 Ghz, 4 Go RAM en employant le progiciel d’Elé-ments Finis Abaqus développé par Dassault Systèmes.Ce logiciel utilise la méthode des éléments finis pour ré-soudre les équations issues de la mécanique des milieuxcontinus. Nous avons par ailleurs employé le schémad’intégration numérique d’Euler semi-implicite. Nousobtenons ainsi la position au cours du temps de chacundes nœuds des maillages employés dans la simulation.La Fig. 16 présente des images issues de la simula-tion [5]. La descente du fœtus est ainsi provoquée parles contractions utérines et les forces de poussées mater-nelles. Elle dure 32 minutes avec une vitesse moyennede descente du fœtus de 0.09 mm/s.

VI Conclusion

L’emploi d’une simulation numérique dans laconception d’un simulateur pour l’apprentissage de

Figure 16. Différentes phases de la simulation de la descente du fœtus au cours d’un accouchement.

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gestes médicaux permet de multiplier les situationspossibles par rapport à l’emploi d’un simulateur uni-quement basé sur un dispositif physique qui comporteun seul type de mannequin anthropomorphique. Nouspouvons ainsi plus facilement gérer les variables desscénarios mis en place pour l’apprentissage. Dans lecadre du simulateur pour l’apprentissage des geste del’accouchement, cela se traduit par l’emploi au sein dela simulation numérique de maillages permettant deprendre en compte des morphologies de bassins pel-viens et de tête de fœtus différentes. Nous pouvonsainsi analyser les forces de poussées maternelles etl’amplitude des contractions utérines nécessaires audégagement du fœtus, et ainsi mesurer pour quelle in-tensité l’emploi des forceps devient nécessaire. Celapeut être dès lors que la parturiente est fatiguée (l’ap-prentis doit alors saisir que les poussées maternellesseront insuffisantes et qu’une aide extérieure est néces-saire) ou pour une certaine morphologie de bassin etde tête fœtale pour lesquels une force extérieure est detoute façon nécessaire. La simulation numérique per-met ainsi de tester et simuler ces différentes situations.Nous pouvons également effectuer une simulation àdifférents niveaux d’engagement du fœtus dans le ca-nal pelvien ou encore effectuer une bascule du bassinou une rotation de la tête du fœtus au cours de la simu-lation permettant de simuler les manoeuvres pouvantêtre faites par la sage-femme durant l’accouchement.

Naturellement la simulation permet également devisualiser la descente du fœtus durant l’accouchementet de comprendre les répercutions des gestes effectuéssur la tête du fœtus lors de l’emploi de forceps. Cettevisualisation aide à l’acquisition des gestes par l’ap-prentis en visualisant ce qui n’est normalement pasvisible, avec une compréhension direct des implica-tions de chacun des gestes effectués (par exemple lavisualisation des conséquences liées à un mauvais posi-tionnement des forceps ou encore à l’application d’uneforce d’extraction trop importante).

Enfin, l’usage premier de la simulation numériquecouplée à un dispositif haptique est de renvoyer lesinformations au dispositif haptique relatives aux mou-vements effectués par l’apprentis. Ceci permet de nepas employer des trajectoires de descente fœtale pré-définies au sein du dispositif physique, mais de cal-culer la descente relative aux paramètres du scénarioset aux gestes effectués par l’apprentis. Par contre, ils’agira dans la phase de validation du simulateur com-plet, d’analyser si il y a des répercutions négatives surl’apprentissage dans le fait de coupler un dispositifphysique ayant toujours la même géométrie à une simu-lation dont les maillages des objets ne correspondentpas à ceux du mannequin physique et qui peuvent varierd’un exercice à un autre.

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