sistemas hiperestaticos vol 2 340 a 632
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-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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EXERCÍCIOS DE
SISTEMASHIPERESTÁTICOS II
VOLUME 2
LUIZ CARLOS MENDES
2009
-
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CAPÍTULO 10
PROJETOS DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS
10.1 CÁLCULO MATRICIAL
Montar a matriz de rigidez para a barra segundo as
coordenadas de referência indicadas e seção transversal da barra.
Figura 10.1 – Barra com coordenadas de referência.
E = 2 x 103 kN/cm2
L = 8 m
3
1
2
4
20
20
cm
-
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a) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1
Figura 10.2 – Deslocamento ao longo da coordenada 1.
b) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 2
Figura 10.3 – Deslocamento ao longo da coordenada 2.
12EJ/L3 6EJ/L2
6EJ/L2
12EJ/L3
2EJ/L3
6EJ/L2
6EJ/L2
12EJ/L3
-
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c) Rotação unitária ao longo da coordenada 3
Figura 10.4 – Deslocamento ao longo da coordenada 3.
d) Rotação unitária ao longo da coordenada 4
Figura 10.5 – Deslocamento ao longo da coordenada 4.
4EJ/L
6EJ/L2 2EJ/L
6EJ/L
6EJ/L2
2EJ/L
4EJ/L
6EJ/L2
-
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1 2 3 4
L = 800 cm
J = 13.333,3 cm4
E = 2 x 103 kN/cm
EJ = 26,67 x 106 kN.cm
2
Então:
1 2 3 4
0,625 -0,625 250 -250
-o,625 0,625 -250 250
250 -250 133.350 -66.675
250 250 -66.675 133.350
12EJ/L3 -12EJ/L3 6EJ/L2 -6EJ/L2
-12EJ/L3 12EJ/L3 -6EJ/L2 6EJ/L2
6EJ/L2
-6EJ/L2 4EJ/L -2EJ/L
-6EJ/L2 6EJ/L
2 -2EJ/L 4EJ/L
-
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10.2 CÁLCULO MATRICIAL
Montar a matriz de flexibilidade para o quadro segundo as
coordenadas de referência indicadas.
Figura 10.6 – Quadro com as coordenadas de referência.
5
43
6
12
4
4
6
8 m 8 m m
-
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Ação de R1 = 1
Figura 10.7 – Ação do esforço unitário ao longo da coordenada 1.
Ação de R2 = 1
Figura 10.8 – Ação do esforço unitário ao longo da coordenada 2.
1
1
-
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Ação de R3 = 1
Figura 10.9 – Ação do esforço unitário ao longo da coordenada 3.
Ação de R4 = 1
Figura 10.10 – Ação do esforço unitário ao longo da coordenada 4.
1
1
1
4 4
6
-
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Ação de R5 = 1
Figura 10.11 – Ação do esforço unitário ao longo da coordenada 5.
Ação de R6 = 1
Figura 10.12 – Ação do esforço unitário ao longo da coordenada 6.
8
8
8
8
8
-
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Expressão de EJf 11
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )[ ]( )
EJ
67,1042
EJ6
98,5359
EJ
128
EJ3
64f
104814144286
1
8444443
1EJf
11
11
=++=
=−−−+−−−+
+−−+−−=
Expressão de EJf 22
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
EJ
22
EJ
10
EJ
8
EJ
4f
1011811411EJf
22
22
=++=
=++=
-
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Expressão de EJf 33
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
EJ
67,242
EJ3
280
EJ
128
EJ3
64f
6663
1444
3
1
8444443
1EJf
33
33
=++=
=++
+−−+−−=
Expressão de EJf 44
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
EJ
22
EJ
10
EJ
8
EJ
4f
1011811411EJf
44
44
=++=
=−−++=
-
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Expressão de EJf 55
( )( )( ) ( )( )( )
EJ67,810
EJ640
EJ67,170f
10888883
1EJf
55
55
=+=
=+−−=
EJf 66 = EJf 55 =EJ
67,810
Expressão de EJf 12
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
EJ
130
EJ
90
EJ
8
EJ
32f
1014412
1414
2
1814EJf
12
12
−=
−+
−+
−=
=−−+−+−=
-
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Expressão de EJf 13
( )( ) ( )( )[ ]
( )[ ]EJ
33,173108112
6
1f
10486144126
1EJf
13
13
=−=
=−+−+−+−=
Expressão de EJf 14
( )( )( )
EJ
90f
104141
2
1EJf
14
14
=
=−−−=
-
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Expressão de EJf 15
( )( )( )
EJ
720f
1041482
1EJf
15
15
−=
=−−=
Expressão de EJf 16
( )( )( ) ( )( )( )
EJ848
EJ720
EJ128f
1041482
1884
2
1EJf
16
16
−=−−−=
=−−+−=
-
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Expressão de EJf 23
( )( )( )
EJ
10f
104612
1EJf
23
23
−=
=+−=
Expressão de EJf 24
( )( )( )
EJ10f
1011EJf
24
24
−=
=−=
-
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Expressão de EJf 25
( )( )( )
EJ
80f
1081EJf
25
25
=
==
Expressão de EJf 26
( )( )( ) ( )( )( )
EJ
112
EJ
80
EJ
32f
10818812
1EJf
26
26
=+=
=+=
-
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Expressão de EJf 34
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
EJ
30
EJ
10
EJ
32
EJ
8f
104612
1814414
2
1EJf
34
34
−=+
−+
−=
=+−−+−+−=
Expressão de EJf 35
( )( )( ) ( )( )( )
EJ
48
EJ
80
EJ
128f
10468
2
1884
2
1EJf
35
35
=−
+=
=+−+−−=
-
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Expressão de EJf 36
( )( )( )
EJ
80f
104682
1EJf
36
36
−=
=+−=
Expressão de EJf 45
( )( )( ) ( )( )( )
EJ112
EJ80
EJ32f
10818812
1EJf
45
45
−=−+−=
=−+−=
-
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Expressão de EJf 46
( )( )( )
EJ
80f
1081EJf
46
46
−=
=−=
Expressão de EJf 56
( )( )( )
EJ
640f
1088EJf
56
56
=
==
-
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[ ]EJ
1x
67,8106408080112848
64067,8101124880720
8011222301090
80483067,2421033,173
11280101022130
8487209033,17313067,1042
F
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−−−
−−−
−−−
−−−
=
EJ = 2 x 103
kN/cm2
x 100 cm4
= 2 x 105
kN x cm2
EJ = 20 kN x m
2
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−−−
−−−
−−−
−−−
=
53,4032446,54,42
3253,406,54,2436
46,51,15,15,05,4
44,25,113,125,067,8
6,545,05,01,15,6
4,42365,467,85,613,52
F
10.3 CÁLCULO MATRICIAL
Montar a matriz de rigidez para o quadro com vigas de rigidez
infinita segundo as coordenadas de referência indicadas.
Tomar E = 2 x 103 kN/cm
2
Seção transversal dos pilares: 30 x 20 cm. A dimensão de 30
cm é na direção da flambagem.
-
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Figura 10.13 – Quadro com as coordenadas de referência.
Ação do deslocamento u1 =1 ao longo da coordenada 1
Figura 10.14 – Ação do deslocamento unitário na coordenada 1.
1
2
4m
6m
8m
J=∞
J=∞
J=∞
3
1
2
3
4m
6m
8m
J=∞
J=∞
J=∞
-
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Ação do deslocamento u2 =1 ao longo da coordenada 2
Figura 10.15 – Ação do deslocamento unitário na coordenada 2. Ação do deslocamento u3 =1 ao longo da coordenada 3
Figura 10.16 – Ação do deslocamento unitário na coordenada 3.
1
2
3
4m
6m
8m
J=∞
J=∞
J=∞
1
2
3
4m
6m
8m
J=∞
J=∞
J=∞
-
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Seção transversal do pilar
J =
4333
cm10x4512
30x20
12
h.b
==
Rigidez das colunas do primeiro andar L = 8 m
m/kN210cm/kN1,2800
10x45x10x2x12
L
EJ12K
3
33
3 ====
Rigidez das colunas do segundo andar L = 6 m
m/kN500cm/kN5600
10x45x10x2x12
L
EJ12K
3
33
3 ====
Rigidez das colunas do terceiro andar L = 6 m
m/kN5,1687cm/kN875,16400
10x45x10x2x12K
3
33===
30 cm
20 cm
-
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Ação do deslocamento ao longo da coordenada 1
K11 = 3 x (1687,5) = 5062,5
K21 = -3 x (1687,5) = -5062,5
K31 = 0
Ação do deslocamento ao longo da coordenada 2
K12 = -3 x (1687,5) = - 5062,5
K22 = 3 x (1687,5) + 4 x (500) = 7062,5
K32 = -4 x (500) = -2000
Ação do deslocamento ao longo da coordenada 3
K13 = 0
K23 = -4 x (500) = -2000
K33 = 4 x (500) + 5 x (210) = 3050
Matriz de Rigidez
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=333231
232221
131211
KKKKKK
KKK
K
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
305020000
20005,70625,5062
05,50625,5062
K
-
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10.4 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Figura 10.17 – Quadro com carregamentos externos.
a) Formação do sistema principal h = 3
Figura 10.18 – Quadro com formação do sistema principal.
5 kN
5 kN
2 kN/m
2 kN/m
2 m
2 m
2 m
9 m
D
C
B
A
E
F
-
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b) Determinação dos fatores de forma. EJ = 1
Haste AD
Figura 10.18a
667,06
4a ==
333,06
2b ==
167,06
6c
2 ==
Haste DE
Figura 10.18b
444,09
4a ==
222,09
2b ==
A
D
DE
-
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Haste EF
Figura 10.18c
667,06
4a ==
333,06
2b ==
167,06
6c
2 ==
c) Cálculo dos fatores de carga
Haste AD
Figura 10.18d
A
D
F
E
-
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44,46
4x2x5
L
PabM
2
2
2
2
A −=−=−=
22,26
4x2x5L
bPaM2
2
2
2
D +=+=+=
( ) ( )7,3
6
2x264x5
L
a2LPbR
3
2
3
2
A −=+
−=+
−=
( ) ( )3,1
6
4x262x5
L
b2LPaR
3
2
3
2
D −=+
−=+
−=
Figura 10.18e
22,2
6
2x4x5
L
PabM
2
2
2
2
A −=−=−=
44,46
2x4x5
L
bPaM
2
2
2
2
D +=+=+=
( ) ( )3,1
6
4x262x5
L
a2LPbR
3
2
3
2
A −=+
−=+
−=
( ) ( )7,3
6
2x264x5
L
b2LPaR
3
2
3
2
D −=+−=+−=
A
D
-
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Haste DE
1,820
9x2
20
qLM
22
D −=−=−=
4,530
9x2
30
qLM22
E +=+=+=
Haste EF
612
6x2
12
qLM
22E −=−=−=
612
6x2
12
qLM
22
F +=+=+=
62
6x2
2
qLRE +=+=+=
62
6x2
2
qLRF +=+=+=
F
E
DE
-
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d) Resumo dos fatores de carga e dos fatores de forma
Fatores de carga
Figura 10.19 – Resumo dos fatores de carga.
Ação de φ1 = 1
Figura 10.20 – Resumo dos fatores de forma gerados por φ1 = 1 .
0,4440,222
0,667
0,333
0,167
0,167
-8,1 5,4
+6,66
-6,66
-6
+6
-5 +6
-5 +6
-
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Ação de φ2 = 1
Figura 10.21 – Resumo dos fatores de forma gerados por φ2 = 1.
Ação de ∆3 = 1
Figura 10.22 – Resumo dos fatores de forma gerados por ∆3 = 1.
0,167
0,167
0,056
0,056
0,167
0,167
0,056
0,056
0,667
0,333
0,444
0,222
0,167
0,167
-
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Equação de coerência
(6,66 - 8,1) + (0,444 + 0,667)φ1 + 0,222φ2 - 0,167∆3 = 0
(5,4 - 6) + 0,222φ1 + (0,444 + 0,667) φ2 - 0,167∆3 = 0
(-5 + 6) - 0,167φ1 - 0,167φ2 + (0,056 + 0,056)∆3 = 0
-1,44 + 1,111φ1 + 0,222φ2 - 0,167∆3 = 0
- 0,6 + 0,222φ1 + 1,111φ2 - 0,167∆3 = 0
1 - 0,167φ1 - 0,167φ2 + 0,112∆3 = 0
φ1 = - 0,10
φ2 = - 1,06
∆3 = - 10,6
Determinação dos momentos fletores
M A = -6,66 + 0,333φ1 - 0,167∆3 = -4,9
MDinf = +6,66 + 0,667φ1 - 0,167∆3 = 8,37
MDdir = - 8,1 + 0,444φ1 + 0,222φ2 = -8,37
MEesq = +5,4 + 0,222φ1 + 0,444φ2 = 4,9
MEinf = -6 + 0,667φ2 - 0,167∆3 = -4,9
MF = +6 + 0,333φ2 - 0,167∆3 = 7,4
-
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Diagrama dos momentos fletores (kN.m).
Figura 10.23 – Diagramas de momentos fletores.
4,9
8,37
4,9 7,4
-
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10.5 ANÁLISE MATRICIAL
Determinar a matriz de flexibilidade das hastes segundo as
coordenadas de referência indicadas. EJ = 2 x 102 kNm2
a) Viga
Figura 10.24 – Viga com coordenadas de referência.
Ação de R1 = 1
Figura 10.25 – Ação de R1 = 1. Ação de R2 = 1
Figura 10.26 – Ação de R2 = 1.
6
2 m 4 m 2 m
12
3
2
-
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Ação de R3 = 1
Figura 10.27 – Ação de R3 = 1.
Cálculo das flexibilidades
( )( )( )EJ3
8222
3
1f 11 =−−=
( )( )( ) ( )( )( )[ ]EJ3
32224
2
1222
3
1f f 2112 =−−+−−==
( )( )( )EJ
2212
2
1f f 3113
−=−==
( )( )( )EJ72666
31f 22 =−−=
( )( )( )EJ
18616
2
1f f 3223 =−==
( )( )( ) EJ8
811f 33 ==
1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
36/294
374
Matriz de flexibilidade
[ ]EJ1
8182
1872332
23
32
3
8
F
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
[ ] 210
491
93633,5
133,533,1
F −
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
b) Pilar EJ = 2 x 102 kNm
2
Figura 10.28 – Pilar com coordenadas de referência.
1
2
5m
5m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
37/294
375
Ação de R1 = 1
Figura 10.29 – Ação de R1 = 1.
Ação de R2 = 1
Figura 10.30 – Ação de R2 = 1.
2
5m
5m
1
1
5m
5m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
38/294
376
( )( )( )EJ
67,41555
3
1f 11 ==
( )( )( )EJ
5,12551
2
1f f 2112
−=−==
( )( )( )EJ
101011f 22 =−=
[ ]EJ
1
105,12
5,1267,41F ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
[ ] 210525,6
25,683,20F −⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
c) Quadro
Figura 10.31 – Quadro com coordenadas de referência.
12
3
10m
6 m 6 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
39/294
377
Ação de R1 = 1
Figura 10.32 – Ação de R1 = 1. Ação de R2 = 1
Figura 10.33 – Ação de R2 = 1.
12
3
10m
6 m 6 m
12
3
10m
6 m 6 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
40/294
378
Ação de R3 = 1
Figura 10.34 – Ação de R3 = 1.
( )( )( ) ( )( )( )( )EJ
43210661666
3
1f 11 =+−−=
( )( )( )( )EJ
6010161f 12 ==
( )( )( )EJ
30010106
2
1f 13 ==
( )( )( )( ) ( )( )( )( )EJ
16611110111f 22 =+=
( )( )( )EJ
5010101
2
1f 23 ==
( )( )( ) EJ33,333
1010103
1
f 33 ==
12
3
10m
6 m 6 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
41/294
379
EJ = 2 x 10
2 kNm
2
[ ] 21067,16625150
2583015030216
F −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
d) Quadro
EJ = 4 x 104 kNm
2 Desprezar a ação dos esforços normais.
Figura 10.35 – Quadro com coordenadas de referência.
10 m
1 23
4
8m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
42/294
380
Ação de R1 = 1
Figura 10.36 – Ação de R1 = 1. Ação de R2 = 1
Figura 10.37 – Ação de R2 = 1.
10 m
12
4
8m
10 m
1 23
4
8m
8
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
43/294
381
Ação de R3 = 1
Figura 10.38 – Ação de R3 = 1.
Ação de R4 = 1
Figura 10.39 – Ação de R4 = 1.
10 m
1
4
8m
88
10 m
1 23
4
8m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
44/294
382
( )( )( ) ( )( )( )EJ
3841088
3
1888
3
1f 11 =+=
( )( )( )EJ
33,131018
6
1f 12
−=−=
f 13 = f 31 = f 23 = f 32 = f 33 = f 34 = f 43 = 0
( )( )( ) ( )( )( )EJ
67,4901088
2
1888
3
1f 14
−=−+−=
( )( )( )EJ
33,31011
3
1f 22 =−−=
( )( )( )EJ
401081
2
1f 24 =−−=
( )( )( ) ( )( )( )EJ
33,9811088888
3
12f 44 =−−+−−=
[ ] 410
33,24501067,122
0000
10083,033,367,122033,396
F −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
45/294
383
10.6 ANÁLISE MATRICIAL
Determinar a matriz de rigidez segundo as coordenadas de referência
indicadas para o quadro com deslocabilidade linear apenas para os pilares
uma vez que as vigas são de rigidez infinita J =∞. E = 4 x 104 kNm2
Figura 10.40 – Quadro com coordenadas de referência.
Seção transversal dos pilares
Figura 10.41 – Seção transversal.
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
0,40 m
0,20 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
46/294
384
Ação de u1 = 1 ao longo da coordenada de referência 1
Figura 10.42 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.
Ação de u2 = 1 ao longo da coordenada de referência 2
Figura 10.43 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 2.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
47/294
385
Ação de u3 = 1 ao longo da coordenada de referência 3
Figura 10.44 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 3.
Ação de u4 = 1 ao longo da coordenada de referência 4
Figura 10.45 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 4.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
48/294
386
Ação de u5 = 1 ao longo da coordenada de referência 5
Figura 10.46 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 5.
4433
y m10x67,1012
40,0x20,0
12
hxbJ −===
EJ = 4 x 104 x 10,67 x 10-4 = 42,68 kNm2.
Para andares de L = 5m
m/kN10,45
68,42x12
L
EJ12K33
===
1
2
3
4
5
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
49/294
387
K11 = 2k = 8,20
K21 = -2k = - 8,20
K22 = 4k = 16,40
K32 = -2k = -8,20
K33 = 4k = 16,40
K43 = -2k = -8,20
K44 = 4k = 16,40
K54 = -2k = -8,20
K55 = 4k = 16,40
Matriz de rigidez
[ ] m/kN
40,1620,8000
20,840,1620,800
020,840,1620,80
0020,840,1620,8
00020,820,8
K
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−−
−
=
10.7 ANÁLISE MATRICIAL
Determinar a matriz de rigidez segundo as coordenadas de referência
indicadas para o quadro com deslocabilidade linear apenas para os pilares
uma vez que as vigas são de rigidez infinita J =∞. E = 5 x 104 kNm
2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
50/294
388
Figura 10.47 – Quadro com coordenadas de referência.
Deslocamento ao longo da coordenada 1
Figura 10.48 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.
1
3m
4m
6m
J = ∞
J = ∞
J = ∞
1
2
3
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
51/294
389
Deslocamento ao longo da coordenada 2
Figura 10.49 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.
Deslocamento ao longo da coordenada 3
Figura 10.50 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 3 .
3
2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
52/294
390
Seção transversal dos pilares
Figura 10.51 – Seção transversal dos pilares.
4333
y m10x125,312
50,0x30,0
12
hxbJ −===
E = 5 x 104 kN/m2
EJ = 5 x 104 x 31,25 x 10
-4 = 156,25 kNm
2.
Para andares de L = 3m
m/kN42,693
25,156x12
L
EJ12K
331 ===
Para andares de L = 4m
m/kN30,294
25,156x12LEJ12K
332 ===
0,50 m
0,30 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
53/294
391
Para andares de L = 6m
m/kN68,86
25,156x12LEJ12K
333 ===
K11 = 2 x 69,42 = 138,84
K21 = - 2 x 69,42 = - 138,84
K31 = 0
K12 = - 2 x 69,42 = - 138,84
K22 = 2 x 69,42 + 2 x 29,30 = 197,44
K32 = -2 x 29,30 = - 58,6
K13 = 0
K23 = -2 x 29,30 = - 58,6
K33 = 2 x 29,30 + 3 x 8,68 = 84,64
Matriz de rigidez
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
64,846,580
6,5844,19784,138
084,13884,138
K
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
54/294
392
10.8 CÁLCULO MATRICIAL
Determinar a matriz de flexibilidade para o quadro abaixo segundo as
coordenadas de referência indicadas. Desprezar a ação do esforço normal.
Figura 10.52 – Quadro com coordenadas de referência.
Ação de R1 = 1
Figura 10.53 - Ação de R1 = 1
2 m 4 m
6 m
2R1=1
2
2
2 m 4 m
6 m
1
2
3
45
6
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
55/294
393
Ação de R2 = 1
Figura 10.54 - Ação de R2 = 1.
Ação de R3 = 1
Figura 10.55 - Ação de R3 = 1.
2 m 4 m
6 m
4 R3=1
4
4
2 m 4 m
6 m
1
R2=1
1
1
1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
56/294
394
Ação de R4 = 1
Figura 10.56 - Ação de R4 = 1.
Ação de R5 = 1
Figura 10.57 - Ação de R5 = 1.
2 m 4 m
1
1
R5 = 1
2 m 4 m
6 m
6
R4=1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
57/294
395
Ação de R6 = 1
Figura 10.58 - Ação de R6 = 1.
Tomar EJ = 1
67,266x2x2x12x2x2x
3
1f 11 =+=
146x1x2x12x1x2x2
1f 12 =+=
486x4x2f 13 −=−=
366x6x2x2
1f 14 −=−=
126x1x2x1f 15 ==
126x1x2x1f 16 ==
86x1x12x1x1f 22 =+=
246x4x1x1f 23 −=−=
186x6x1x2
1f 24 −=−=
66x1x1f 25 ==
66x1x1f 26 ==
2 m 4 m
6 m
1
1
R6=1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
58/294
396
33,1174x4x4x3
16x4x4x1f 33 =+=
726x6x4x2
1
f 34 ==
324x1x4x2
16x1x4x1f 35 −=−−=
246x1x4x1f 36 −=−=
726x6x6x
3
1f 44 ==
186x1x6x2
1f 45 −=−=
186x1x6x2
1f 46 −=−=
104x1x16x1x1f 55 =+=
66x1x1f 56 ==
66x1x1f 66 ==
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−−−−−−−
−−
−−
=
661824612
6101832612
181872721836
24327233,1172448
661824814
121236481467,26
F
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
59/294
397
10.9 CÁLCULO MATRICIAL
Determinar a matriz de rigidez segundo as coordenadas de referência
indicadas. Tomar E = 2 x 102 kN/m2..
Figura 10.59 – Pilar com as coordenadas de referência.
A coordenada 3 torce o eixo dos x.
A coordenada 4 torce o eixo dos y.
x
y
8m
1
4
3
2
0,30 m
0,60 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
60/294
398
Figura 10.60 – Coordenada1.
Figura 10.61 – Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.
1
x
12EJx/L
12EJx/L3
6EJx/L2
6EJx/L2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
61/294
399
Figura 10.62 – Coordenada 2.
Figura 10.63 - Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 2.
2
y
12EJy/L
12EJy/L3
6EJy/L2
6EJy/L
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
62/294
400
Figura 10.64 – Coordenada 3.
Figura 10.65 – Rotação unitária ao longo da coordenada 3.
x
3
6EJx/L
6EJx/L
4EJx/L
2EJx/L
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
63/294
401
Figura 10.66 – Coordenada 4.
Figura 10.67 – Rotação unitária ao longo da coordenada 4.
4
6EJy/L2
6EJy/L
4EJy/L
2EJy/L
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
64/294
402
E = 2 X 102 kN/m2
2x
433
x kNm08,1J.Em10x4,512
60,0x30,0J =∴== −
2y
433
y kNm27,0J.Em10x35,112
30,0x60,0J =∴== −
[ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
135,000253125,00
054,0010125,0
0253125,0000632812,00
010125,000253125,0
K
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
65/294
403
10.10 CÁLCULO MATRICIAL
Determinar as matrizes de flexibilidade e de rigidez do pilar segundo as
coordenadas de referência indicadas. Tomar E = 2 x 102 kN/cm2.
Figura 10.68 – Pilar com coordenadas de referência.
E = 2 x 102 kN/cm
2 A = 1200 cm
2 EA = 24 x 10
4 kN
2226x
43
x kNm10x72kNcm10x72J.Ecm36000012
60x20J ==∴==
2226y
43y kNm10x8kNcm10x8J.Ecm40000
12
20x60J ==∴==
x
y
5m
3
1
2
0,20 m
0,60 m
5
4
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
66/294
404
1 - MATRIZ DE FLEXIBILIDADE
Ação de R1 = 1
Figura 10.69 – Ação de R1 = 1.
0021,010x83,2010x24
500f 500500x1x1EAf 4
41111 ===∴== −
Ação de R2 = 1
Figura 10.70 – Ação de R2 = 1.
2,510x8
10x67,41f 10x67,41500x500x500x31f EJ
6
6
226
22y ==∴==
500
1
1
1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
67/294
405
Ação de R3 = 1
Figura 10.71 - Ação de R3 = 1.
578,010x72
10x67,41f 10x67,41500x500x500x
3
1f EJ
6
6
336
33x ==∴==
Ação de R4 = 1
Figura 10.72 - Ação de R4 = 1.
664444x
10x94,610x72
500f 500500x1x1f EJ −==∴==
1
1
500
1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
68/294
406
Ação de R5 = 1
Figura 10.73 - Ação de R5 = 1.
6565555y
10x5,6210x25,610x8
500f 500500x1x1f EJ −− ===∴==
26
4
344
43x34x 10x1736,010x72
10x5,12f 10x5,12500x1x500x
2
1f EJf EJ −==∴===
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−
−−
−
−
−
62
62
2
2
4
10x5,620010x56,10
010x94,610x1736,000
010x1736,0578,000
10x56,1002,50
000010x83,20
F
1
1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
69/294
407
2 – MATRIZ DE RIGIDEZ
Ação de u1 = 1
Figura 10.74 – Deslocamento unitário.
480500
10x24
L
EA 4==
Ação de u2 = 1
Figura 10.75 - Deslocamento unitário.
768,0500
10x8x12
L
EJ123
6
3
y==
u1=1
12EJy/L3
12EJy/L6EJy/L
6EJy/L
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
70/294
408
Ação de u3 = 1
912,6
500
10x72x12
L
EJ123
6
3x == Figura 10.76
Ação de u4 = 1
Figura 10.77
12EJx/L
12EJx/L
6EJx/L2
6EJx/L
6EJx/L2
6EJx/L2
4EJx/L
2EJx/L
-
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409
576000500
10x72x4
L
EJ4 6x ==
Ação de u5 = 1
Figura 10.78 – Deslocamento angular unitário.
64000500
10x8x4L
EJ4 6y ==
1728500
10x72x6
L
EJ62
6
2x −=
−=
−
192500
10x8x6
L
EJ6
2
6
2
y−=
−=
−
Matriz de rigidez
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
64000001920
0576000172800
01728912,600
19200768,00
0000480
K
6EJy/L2
6EJy/L4EJy/L
2EJy/L
-
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72/294
410
10.11CÁLCULO MATRICIAL
Determinar a matriz de flexibilidade para o quadro de acordo com as
coordenadas de referência indicadas.
EJ = 200 kNm2
Figura 10.79 – Quadro com coordenadas de referência.
1
2
3
4m
4 m 2 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
73/294
411
Ação de R1 = 1
Figura 10.80 – Ação de R1 = 1.
Ação de R2 = 1
Figura 10.81 - Ação de R2 = 1.
1
4m
4 m 2 m
1
1
1
4m
4 m 2 m
2
2
6
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
74/294
412
Ação de R3 = 1
Figura 10.82 - Ação de R3 = 1.
Cálculo de EJf 11
( ) ( ){ } ´xLMMx3
1´xLMMx´LMM2MMMM2
6
1EJf 22112111 +++++=
( ) ( ){ } 2x2x231
4x2x2422x26626x26
1
EJf 11 +++++=
EJf 11 = 69,33 + 16 + 2,67 = 88
1
4m
4 m 2 m
x
6 2 6 2
2 2
2
24 4
2
-
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413
Cálculo de EJf 12
EJf 12 = 0,5 x 1 x [6+2]x4 + 2 x 1 x 4 + 0,5 x 2 x 1 x 2
EJf 12 = 16 + 8 + 2 = 26
EJf 22 = 1 x 1 x 4 + 1 x 1 x 4 + 1 x 1 x 2 = 10
EJf 23 =2
1 x 4 x 1 x 4 = 8
EJf 33 =
3
1x 4 x 4 x 4 = 21,33
EJf 13 =6
1(4) x [ 2(6) + (2) ] x (4) = 37,33
[ ]⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
106,004,0186,0
04,005,013,0
186,013,044,0
33,21833,37
81026
33,372688
EJ
1F
6 2 1 1
2 1
2 1
-
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414
10.12 CÁLCULO MATRICIAL
Determinar a matriz de rigidez para o quadro que apresenta
deslocabilidade linear para os pilares uma vez que as vigas apresentam
rigidez à flexão infinita de acordo com as coordenadas de referência
indicadas.
Tomar E = 2 x 102 kN/m2
J = 1 m4
Figura 10.83 – Quadro com as coordenadas de referência.
3 m 3 m 4 m
1
2
3
J = ∞
J = ∞ J = ∞
J = ∞ J = ∞
2m
2m
4m
-
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415
Ação de u1 = 1 ao longo da coordenada 1
Figura 10.84 – Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.
33
2
3
2
3 L
2400
L
10x24
L
10x2x12
L
EJ12K ====
3002
2400Km2L
3 ==⇒=
11,116
2400Km6L
3 ==⇒=
5,374
2400Km4L3
==⇒=
3 m 3 m 4 m
J =∞
J = ∞ J = ∞
J = ∞ J = ∞
2m
2m
4m
600
-600
300 300
300300
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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416
Ação de u2 = 1 ao longo da coordenada 2
Figura 10.85 - Deslocamento unitário ao longo da coordenada 2.
K11 = 2 x 300 = 600
K21 = - 2 x 300 = - 600
K31 = 0
K12 = - 2 x 300 = - 600
K22 = 4 x 300 + 1(11,11) = 1211,11
K32 = 2 x 300 = - 600
3 m 3 m 4 m
J =∞
J = ∞
J = ∞ J = ∞
2m
2m
4m
1211,11
300300
-600
-600
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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417
Ação de u3 = 1 ao longo da coordenada 3
Figura 10.86 - Deslocamento unitário ao longo da coordenada 3.
K13 = 0
K23 = - 2 x 300 = - 600
K33 = 2 x 300 + 3 x 37,5 = 712,5
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=5,7126000
60011,1211600
0600600
K
3 m 3 m 4 m
2
J =∞
J = ∞ J = ∞
2m
2m
4m
-600
712,5300 300
37,5 37,5
37,5
-
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418
10.13 METODO DOS DESLOCAMENTOS
Determinar os momentos fletores pelo método dos deslocamentos nas
seções de apoio da viga contínua sujeita ao carregamento indicado. Tomar
EJ = 1.
2 kn 5 kn2 kn/m
4 kn
2,0 m 8,0 m 4,0 m 15,0 m 12,0 m 6,0 m 6,0 m
Figura 10.87 – Viga com o carregamento externo.EJ = 1
a) Formação do sistema principal
A B C D E
Figura 10.88 – Formação do sistema principal.
-
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419
b) Cálculo dos fatores de forma
EJ = 1
Primeiro vão
a`= 3EJ/L
a`= 3/12 = 0,25
A B
Figura 10.89 – Fator de forma na haste AB.
Segundo vão
a= 4EJ/L
b= 2EJ/L
a = 4/15 = 0,27b = 2/15 = 0,13
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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420
B C
Figura 10.90 – Fatores de forma na haste BC.
Terceiro vão
a= 4/12 = 0,33b= 2/12 = 0,17
C D
Figura 10.91 - Fatores de forma na haste CD.
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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421
Quarto vão
a`= 3EJ/La`= 3/12 = 0,25
ED
Figura 10.92 - Fator de forma na haste DE.
c ) Cálculo dos fatores de carga
Carregamento do balanço
Ma = 2,0 x 2,0 = 4,0 kN . m
Mb = -4,0 x 0,5 = -2,0 kN . m
A B
2
4
2
Figura 10.93 – Fator de carga na haste AB.
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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422
Carregamento concentrado
Mb = Pab ( L+ b )/ 2L
2
Mb = 5 x 4 x 8 ( 12 + 8 ) / 2 ( 12 )2 = 11,11 kN. M
A B
5
a b
Figura 10.94 - Fator de carga na haste AB.
Carregamento uniformemente distribuído
Mb = - qL2 / 12
Mb = -2 ( 15 )2 / 12 = - 37,5 kN.m
Mc = - qL2 / 12
Mc = 2 ( 15 )2 / 12 = 37,5 kN.m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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423
B C
2 kn/m
Figura 10.95 - Fatores de carga na haste BC.
Carregamento triangular
Mc = - qL2/ 20
Mc = -2 ( 12 )2 / 20 = - 14,4 kN.m
Mc = - qL2/ 30
Mc = 2 ( 12 )2 / 30 = 9,6 kN.m
CD
2 kn/m
Figura 10.96 - Fatores de carga na haste CD.
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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424
Carregamento concentrado
Md = - 3PL / 16
Md = - 3 x 4 x 12 / 16 = - 9 kN.m
ED
4
Figura 10.97 - Fator de carga na haste DE.
Resumo dos fatores de carga
A B C D E
9,11 -37,5 37,5 -14,4 9,6 -9
Figura 10.98 - Resumo dos fatores de carga.
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
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425
Ação de ℓ1 = 1
A B C D E
a`= 0,25
a = 0,27
b = 0,17
Figura 10.99 – Ação da rotação unitária no nó B.
Ação de ℓ2 = 1
A B C D E
a = 0,27
b = 0,13 a = 0,33
b = 0,17
Figura 10.100 - Ação da rotação unitária no nó C.
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
88/294
426
Ação de ℓ3 = 1
A B C D Ea` = 0,25
a = 0,33
b = 0,17
Figura 10.101 - Ação da rotação unitária no nó D.
Equação de coerência
( 9,11 – 37,5 ) + ( 0,25 + 0,27 ) ℓ1 + 0,13 ℓ2 = 0
( 37,5 – 14,4 ) + 0,13 ℓ1 + ( 0,27 + 0,33 ) ℓ2 + 0,17 ℓ3 = 0
( 9,6 – 9 ) + 0,17 ℓ2 + ( 0,33 + 0,25 ) ℓ3 = 0
ℓ1 = 69,10
ℓ2 = - 58
ℓ3 = 16
Cálculo dos momentos fletores
Mb = 9,11 + 0,25 (ℓ1 ) + = 26,4 kN.m
Mb dir = - 37,5 + 0,27 (ℓ1 ) + 0,13 (ℓ2) = - 26,4 kN.m
Mc esq = 37,5 + 0,13 (ℓ1 ) + 0,27 (ℓ2) = 30,8 kN.m
Mc dir = -14,4 + 0,33(ℓ2 ) + 0,17(ℓ3 ) = - 30,8 kN.m
Md esq = 9,6 + 0,17(ℓ2) + 0,33(ℓ3) = 5,0 kN.m
Md dir = - 9,0 + 0,25(ℓ3 ) = - 5,0 kN.m
-
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89/294
427
Diagrama do momento fletor
A B C D E
4,0
5,6
26,4
30,8
5,0
9,52
Figura 10.102 – Diagramas finais de momentos fletores.
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
90/294
428
10.14 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Determinar os momentos fletores pelo método dos deslocamentos nas
seções de apoio e nós do quadro sujeito ao carregamento indicado. Tomar
EJ = 1.
Figura 10.103 – Quadro com carregamento externo.
Determinação dos fatores de forma
Haste AB = Haste CD → 5,06
3
L
EJ3´a ===
Haste BC → 333,012
4
L
EJ4a ===
167,0122
LEJ2b ===
2 kN
2 kN/m
3kN/m3kN/m
6 m 6 m 6 m 6 m
2 kN/m
A
B G C
D
E F
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
91/294
429
Haste EB = Haste CF → 444,09
4
L
EJ4a ===
222,09
2
L
EJ2
b ===
074,09
6
L
EJ6c
22 ===
Determinação do sistema principal
Figura 10.104 – Formação do sistema principal.
Determinação dos fatores de carga
Figura 10.105 – Fatores de carga nas hastes AB e CD.
h = 3
A 4,8 B C 4,8 D
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
92/294
430
Carregamentos triangulares
8,415
6x215qLM
22
B ===
8,415
6x2
15
qLM
22
C −=−
=−
=
Figura 10.106 - Fatores de carga na haste BC.
Carga uniformemente distribuída
2412
12x2
12
qLM
22
B −=−
=−
=
241212x2
12qLM 22C ===
Carga concentrada
38
12x2
8
PLMB −=
−=
−=
38
12x2
8
PLMC ===
B 24 24 C B 3 3 C
2 kN/m 2 kN
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
93/294
431
Carregamentos triangulares dos pilares
Figura 10.107- Fatores de carga nas hastes BE e CF.
10,830
9x3
30
qLM
22
B ===
10,830
9x3
30
qLM
22
C −=−
=−
=
15,1220
9x3
20
qLM
22
E −=−
=−
=
15,1220
9x3
20
qLM
22
F
===
05,420
9x3x3
20
qL3RB −=
−=
−=
05,420
9x3x3
20
qL3RC ===
45,920
9x3x7
20
qL7RE −=
−=
−=
45,920
9x3x7
20
qL7RF ===
8,108,10
4,05 4,05
9,45 9,45
12,15
12,15
BC
EF
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
94/294
432
Resumo dos fatores de carga
Figura 10.108 - Resumo dos fatores de carga.
Resumo dos fatores de forma – Ação de φ1 = 1
Figura 10.109 - Ação de φ1 = 1.
0,5 0,333 0,167
0,444
0,222
-0,073
4,8 27
27 4,8
8,10
-4,05 4,05
-9,45 9,45-12,15
12,15
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
95/294
433
Resumo dos fatores de forma – Ação de φ2 = 1
Figura 10.110 - Ação de φ2 = 1.
Resumo dos fatores de forma – Ação de ∆3 = 1
Figura 10.111 - Ação de ∆3 = 1.
0,016 0,016
0,074 0,074
0,074 0,074
0,167 0,333 0,5
0,444
0,222
- 0,073
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
96/294
434
Equação de coerência
(4,8 - 27 + 8,1) + (0,5 + 0,333 + 0,444)φ1 + 0,167φ2 - 0,074∆3 = 0
(27 - 4,8 - 8,10) + 0,167φ1 + (0,5 + 0,333 + 0,444)φ2 - 0,074∆3 = 0
(4,05 - 4,05) - 0,073φ1 - 0,073φ2 + (0,016 + 0,016)∆3 = 0
-14,1 + 1,277φ1 + 0,167φ2 - 0,074∆3 = 0
14,1 + 0,167φ1 + 1,277φ2 - 0,074∆3 = 0
- 0,073φ1 - 0,073φ2 + 0,032∆3 = 0
φ1 = 12,7
φ2 = -12,7
∆3 = 0
Figura 10.112 – Diagramas finais de momentos fletores.
24,9 24,9
11,511,5
13,75
9,35 9,35
13,75
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
97/294
435
10.15 MÉTODO DE CROSS EJ = 1
Figura 10.113 – Viga com o carregamento externo.
Fatores de forma
Haste BE → 3,010
3
L
EJ3´a ===
Haste EF → 333,012
4
L
EJ4a ===
167,012
2
L
EJ2b ===
Haste FG → 5,06
3
L
EJ3´a ===
2 kN/m
5 kN 7 kN1 kN
A B C D E F G
1 kN
2 3 4 3 12 m 6 1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
98/294
436
Fatores de carga
Figura 10.114 – Fator de carga na haste BE.
MB = 1 x 2 = 2 kNm
ME = 2 x 0,5 = -1 kNm
Figura 10.115 - Fator de carga na haste BE.
( )=
+=
2E L2
bLbaPM
a = sempre do lado do engaste
b = sempre do lado do apoio
( ) ( )
kNm32,19495,12825,6
10x2
710x7x3x7
10x2
310x3x7x5M
22E
=+=
=+
++
=
B
E
5 kN 7 kN
B
E
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
99/294
437
Figura 10.116 - Fator de carga na haste EF.
kNm2412
12x2
12
LqM
22
E −=−
=−
=
kNm2412
12x2
12
LqM
22
F ===
Figura 10.117 - Fator de carga na haste FG.
kNm8,415
6x2
15
LqM22
F −=−
=−
=
GF
2 kN/m
FE
2 kN/m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
100/294
438
Coeficientes de distribuição
474,0333,03,0
3,0
a´a
´a
EFBE
BEEB =+=+=µ
526,0333,03,0
333,0
a´a
a
EFBE
EFEF
=+
=+
=µ
4,05,0333,0
333,0
´aa
a
FGEF
EF
FE =
+=
+=µ
6,05,0333,0
5,0
´aa
´a
FGEF
FGFG
=+
=+
=µ
0,474 0,526 0,4 0,6
18,32 -24 24 -4,32,69 2,99 1,495
-4,239 -8,476 -12,7172,01 2,23 1,115
-0,223 -0,446 -0,6690,106 0,117 0,0585
-0,0117 -0,0234 -0,03510,00546 0,00615
23,13 -23,13 17,72 -17,72
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
101/294
439
Diagrama de momentos fletores
Figura 10.118 – Diagramas finais de momentos fletores.
23,13
17,72
12
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
102/294
440
10.16 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Calcular os momentos em cada ponto espaçados de 2m e os cortantes nos
pontos A, B, C, D, E e F.
Figura 10.119 – Carregamento externo.
Figura 10.120 – Formação do sistema principal.
Fatores de forma ( EJ = 1 )
• Barra AB
Figura 10.121 – Fatores de forma.
SP
h=2m
5,0L
JE3'a ==
φ=1
a'
2 2 4 8 4 4 3
5KN2KN 1KN 3KN
A B C D
2KN/m
( m )
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
103/294
441
• Barra BC
Figura 10.122 – Fatores de forma.
• Barra CD
Figura 10.123 – Fatores de forma
Fatores de Carga
• Barra BC
Figura 10.124
5,0L
JE4a ==
25,0L
JE2b ==
375,0L
JE3'a ==
φ=1
a b
a'
φ=1
m.KN67,1012
8.2
12
lqM
22
B −=−=−=
m.KN67,1012
8.2
12
lqM
22
C ===
2KN/m
B C
-10,67 KN.m 10,67 KN.m
B C
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
104/294
442
• Barra AB
Figura 10.125 – Fator de carga.
Figura 10.126 – Fator de carga.
• Barra CD
Figura 10.127 – Fator de carga.
m.KN42.2M A ==
m.KN44,4)26(.6.2
4.2.5MB =+=
2KN
A B
-2 KN.m
A B
4,44 KN.m
A B
3KN
C D
4,5 KN.m
C D
m.KN93.3MD ==
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
105/294
443
Figura 10.128 – Fator de carga.
Resumo dos Fatores de Carga
Figura 10.129 – Resumo dos fatores de carga.
Ação de φ1 = 1
Figura 10.130 – Rotação unitária no nó B.
Ação de φ2 = 1
Figura 10.131 – Rotação unitária no nó C.
1KN
C D
-1,5 KN.m
C D
m.KN5,116
8.1.3
16
L.P.3MC −=−=−=
2,44 -10,67 10,67 3,00
A B C D
0,5
0,5
0,5
A B C D
φ1
0,25 0,5
0,375
A B C D
φ2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
106/294
444
Sistema: - 8,23 + φ1 + 0,25. φ2 = 0
13,67 + 0,25.φ1 + 0,875.φ2 = 0
φ1 = 13,07 e φ2 = -19,36
Momentos Fletores
m.KN975,807,13.5,044,2.5,044,2M 1esqB
=+=φ+=
m.KN975,8
)36,19(.25,007,13.5,067,10.25,0.5,067,10M 21dir B
−=
=−++−=φ+φ+−=
m.KN26,4
)36,19(.5,007,13.25,067,10.5,0.25,067,10M 21esqC
=
=−++=φ+φ+=
m.KN26,4)36,19(.375,00,3.375,00,3M 2dir C
−=−+=φ+=
Figura 10.132 – Diagramas de momentos com a continuidade quebrada.
• Suspensão dos Momentos Fletores no Primeiro Vão
Figura 10.133 – Suspensão no primeiro vão.
1 2 3 4
-8,975
-4
A B C D
A B C D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x.83,0dxd
6975,4
=⇒↔
↔
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
107/294
445
Primeiro Vão Terceiro Vão
• Suspensão dos Momentos Fletores no Segundo Vão
Figura 10.134 – Suspensão no segundo vão.
• Suspensão dos Momentos Fletores no Terceiro Vão
Figura 10.135 – Suspensão no terceiro vão.
Figura 10.136 – Diagramas de momentos pelas cargas concentradas.
4 5 6 7 8
4,26
8,975
8 9 10 11 12
9
4,26
A B
1
2 3
4
5KN
3,33
6,66
+
C D
8 9
10
11 12
1KN
2
11+
z.59,0dzd
874,4
=⇒↔
↔
y.59,0dyd
8715,4
=⇒↔
↔
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
108/294
446
Figura 10.137 – Diagramas de momentos fletores.
Cálculo dos cortantes em formas programáveis
Figura 10.138 – Planilha para o cálculo de cortantes.
Ponto Wr 8
ql2LC Mt (KN.m)
1 0 0 - 4,0 - 4,0
2 0 0 - 4,0 - 1,66 = - 5,66 1,0
3 0 0 - 5,66 – 1,66 = - 7,32 - 3,994 0 0 - 7,32 – 1,66 = - 8,98 - 8,98
5 0,1875 12 - 8,98 + 1,18 = - 7,8 4,21
6 0,25 16 - 7,8 + 1,18 = - 6,62 9,38
7 0,1875 12 - 6,62 + 1,18 = -5,44 6,56
8 0 0 -5,44 + 1,18 = - 4,26 - 4,26
9 0 0 - 4,26 – 1,18 = - 5,44 - 4,44
10 0 0 - 5,44 – 1,18 = - 6,62 - 4,62
11 0 0 - 6,62 – 1,18 = -7,8 - 6,8
12 0 0 - 9,0 - 9,0
A B C D
DMF ( KN.m )
9,0
6,8
4,26
9,38
8,975
4
1,0
A B C D
4,0 4,0 8,975 8,975 4,26 4,26 9,0 9,0
2
3,33
0,83
1,67 8
0,590,83 0,59 0,59
8 0,5
0,59
0,5
3
4,50 11,09 7,32 3,09
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
109/294
447
Figura 10.139 – Diagramas finais de esforços cortantes.
A B C D
++
+
--
--
DEC ( KN )
2,5
2,5
8,59
7,41
0,091,09
3,0
2,0
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
110/294
448
10.17 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Fazer diagramas de momentos fletores utilizando o método dos
deslocamentos.
Figura 10.140 – Quadro com deslocabilidade linear.
a) Fatores de forma ( EJ = 1 ) e h = 2
Figura 10.141 – Rotação unitária e deslocamento unitário.
C
4
6
4
3KN
3KN
A
E
6
B
2 KN.m
3
2
( m )
A
B
C
D
E
φ1
a'
a'
a
a
b
b
A
B
C
D
E
c
c
c
c
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
111/294
449
• Haste AB
• Haste BC
• Haste DB
• Haste BE
b) Fatores de carga
• Haste AB
Figura 10.142 - Fator de carga da haste AB.
75,04
1.3L
JE3'a ===
1L
JE4'a == 375,0L
JE6c2
==5,0L
JE2b ==
5,06
1.3
L
JE3'a ==−=
67,0L
JE4'a == 33,0
L
JE2b == 167,0
L
JE6c
2==
m.KN13,2
15
4.2
15
lqM
22
B ===
A B A B
2 KN.m 2,13 KN.m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
112/294
450
• Haste BC
Figura 10.143 – Fator de carga da haste BC.
• Haste DB
Figura 10.144 – Fatores de carga da haste BD.
m.KN98
6.2
8
lqM
22
B −=−=−=
2 KN.m
C C
-9 KN.m
B B
B
D
B
D
3KN1,5 KN.m
-1,5 KN.m
m.KN5,1
8
4.3
8
LPMM BD ±==±==
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
113/294
451
3KN
B
E
B
E
2,25 KN.m
-2,25 KN.m
• Haste BE
Figura 10.145 – Fatores de carga da haste BE.
c) Resumo dos fatores de carga
Figura 10.146 – Resumo dos fatores de carga.
m.KN25,28
6.3
8
LPMM EB ±==±==
A
B
C
D
E
-2,25
1,5
2,13 -9
2,25
-1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
114/294
452
d) Resumo da ação dos hiperestáticos
Figura 10.147 – Resumo dos fatores de forma.
e) Equações de coerência
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∆++φ−+−−
=∆−+φ+++++−−
0.)0557,01875,0(.)167,0375,0()5,15,1(
0.)167,0375,0(.)67,05,0175,0()25,295,113,2(
31
21
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∆+φ+−
−=∆+φ+−
0.241,0.208,03
)15865,1(.0.208,0.92,212,6
31
31
31,11,29,10.17526,3091,4 211 =∆=φ⇒=φ−
f) Cálculo dos momentos fletores
m.KN10,313,2)29,1(.75,0MesqB
=+=
m.KN36,8)29,1(.5,09Mdir B
−=+−=
m.KN03,4)31,11(.375,0)29,1(.15,1MsupB
=++−=
m.KN22,1)31,11(.167,0)29,1(.67,025,2Minf B
=−+=
m.KN39,65,1)31,11(.375,0)29,1(.5,0MD
=++= m.KN72,325,2)31,11(.67,1)29,1(.33,0ME −=−−=
A
B
C
D
E
0,75
0,5
0,67
1
b
b
0,375
0,167
0,375
0,167
A
B
C
D
E
0,167
0,375
0,167
0,375
0,056
0,1875
0,1875
0,056
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
115/294
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
116/294
454
Linha de Chamada
Figura 10.150 – Diagrama de suspensão.
Trecho BE
Figura 10.151 – Diagrama de momentos pela carga concentrada.
Linha de Chamada
Figura 10.152 – Diagrama de suspensão.
x.61,2dxd
4)04,440,6(
=⇒↔
↔+6,4
-4,04
y.417,0dyd
6)22,172,3(
=⇒↔
↔−
3KN
B E
DMF ( KN.m )
+
4,5
3,72
1,22
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
117/294
455
10.18 MÉTODO DE CROSS
Fazer diagramas de momentos fletores utilizando o método de Cross.
Figura 10.153 – Quadro com carregamentos externos.a) Determinação do SP
Figura 10.154 – Sistema principal.
b) Determinação dos fatores de forma ( EJ=1 )
Figura 10.155 – Ação das rotações unitárias nos nós B e C.
842 6 4
3 KN 4 KN
2 KN/m
A B C D
( m )
A B C D
h = 2
A B C D
φ1 = 1
b
a
a'
A B C D
φ2 = 1
a'
a
b
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
118/294
456
• Haste AB
• Haste BC
• Haste CD
c) Determinação dos fatores de carga
• Haste AB
Figura 10.156 – Fator de carga da haste AB.
5,06
3
L
JE3'a ===
m.KN67,2
)6(.2
)8(.2.4.3
L.2
)bL(.b.a.PM
22==
+=
3,0
10
3
L
JE3'a ===
25,08
2
L
JE2b ===5,0
8
4
L
JE4a ===
42
3 KN
A B A B
2,67 KN.m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
119/294
457
• Haste BC
Figura 10.157 - Fatores de carga da haste BC.
• Haste CD
Figura 10.158 – Fator de carga da haste CD.
d) Cálculo dos coeficientes de distribuição
5,05,05,0
5,0
a'a
'a
MBCBA
BABA =+=+=
5,05,05,0
5,0
a'a
aM
BCBA
BCBC =
+=
+=
625,03,05,0
5,0
'aa
aM
CDCB
CBCB =
+=
+=
375,05,03,0
3,0a'a
'aMCBCD
CDCD =
+=
+=
m.KN67,1012
)8(.2
12
lqM
22
±=±=±=
m.KN72,6)10(.2
)14(.4.6.4
L.2
)bL(.b.a.PM
22−=−=
+−=
8
2 KN/m
B C B C
-10,67 10,67
6 4
4 K N
C D
- 6 , 7 2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
120/294
458
e) Resumo dos fatores de carga
Figura 10.159 – Resumo dos fatores de carga.
f) O Algorítimo de Cross
Trecho AB
Figura 10.160 – Diagrama de momento pela carga concentrada.
A B C D
2,67 -10,67 10,67 -6,72
0,5
A B C
0,5 0,625 0,375
D
-10,67
4
-1,86
0,93
-0,145
0,0725
-0,0113
0,0057
-7,687,68
0,0051
0,0725
0,93
4
2,67 6,72
-2,23
-0,17
-0,0135
-9,14
10,67
2
-3,72
0,465
-0,29
0,036
-0,0226
0,0283
9,14
-0,00106-0,0018
0,5
42
3 KN
A B+
DMF ( KN.m )
4
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
121/294
459
Linha de Chamada
Figura 10.161 – Diagrama de suspensão.
Trecho CD
Figura 10.162 – Diagrama de momento pela carga concentrada.
Linha de Chamada
Figura 10.163 – Diagrama de suspensão.
Figura 10.164 – Diagrama de momentos finais.
7,68
0
x.61,2dxd
668,7
=⇒↔
↔
6 4
4 KN
C D +
DMF ( KN.m )
9,6
9,14
0y.914,0dyd
1014,9
=⇒↔
↔
A B C D1,44
7,68
9,14
5,94
DMF ( KN.m )
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
122/294
460
10.19 QUADRO PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS TIRANDO
PARTIDO DA SIMETRIA
Figura 10.165 – Quadro com carregamento externo.
Passagem de cm para m ; J básico será o J maior .
Inércia de referência
6 KN
10 KN 12 KN
A B C
D E F
(m)
a
b c d
0,20
1,00
0,20
0,40
0,20
0,60
0,20
10
6
6
5 5
0,40
a
b c d
4 _3
a m601,012
1.2,0J == 43 _3
b m10.62,012
2,0.4,0J −==
433
c m10.4,012
02.6,0J −== 43
_3
d m10.62,012
2,0.4,0J −==
R
4 _
a
Jm601,0J ==
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
123/294
461
• Haste AD
• Haste BE
• Haste CF
• Haste DE = Haste EF
Sistema Principal
Figura 10.166 – Vínculos para tornar o quadro indeslocável.
m750'l12.
10.62,0
601,0
J
J'l
3 _
_
b
R =⇒==−
m50012.10.4,0
601,0
J
J'l
3
_
b
R ===−
m75012.
10.62,0
601,0
J
J'l
3 _
_
b
R ===−
m10l'l ==→
A C
D E F
a
a a
aa
b b b
h = 4
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
124/294
462
Cálculo dos fatores de forma
• Haste AD
• Haste BE
• Haste CF
• Haste DE (haste EF)
10.19.1 Primeira parte: Estudo do carregamento simétrico
Figura 10.167 – Carregamento simétrico.
0053,0750
4
'l
4
a === 0027,0'l2
b ==5
22 10.07,1750
6
'l
6
c
−
===
5
210.4,2
500
6c −==004,0
500
2b ==008,0
500
4
'l
4a ===
5
2210.07,1
750
6
'l
6c −===0027,0b =0053,0
750
4
'l
4a ===
2,0b4,010
4
'l
4a ====
A B C
D E F
3 KN
5 KN
3 KN
5 KN
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
125/294
463
Sistema principal
Figura 10.168 – Sistema principal.
Cálculo dos fatores de carga
• Haste AD
Figura 10.169 – Fator de carga da haste AD.
• Haste DE
Figura 10.170 – Fatores de carga da haste DE.
A
DE
h = 1
m.KN5,78
12.5
8
L.PM ===
A
D
-7,5
7,5
m.KN75,3
8
10.3
8
L.PM ===
D E
-3,75 3,75
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
126/294
464
Resumo dos fatores de carga e de forma
Figura 10.171 – Resumo dos fatores de carga e forma.
Equação de coerência
Cálculo dos momentos (kN.m)
DE
-3,75 3,75
-7,5
7,5
A
DE
0,4
0,2
φ1 = 1
0,0027
0,0053
00.4053,075,3 11 =φ⇒=φ+
m.KN52,7)25,9(.0027,05,7M A −=−+−=
m.KN9,1)25,9(.2,075,3MesqE
=−+=
m.KN45,7)25,9(.4,075,3Mdir D
−=−+−=
m.KN45,7)25,9(.0053,05,7Minf D
=−+=
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
127/294
465
Figura 10.172 – Diagramas dos momentos fletores simétricos.
10.19.2 Segunda parte: Estudo do carregamento antimétrico
Figura 10.173 – Carregamento antimétrico.
7,515
7,45
7,45
2,825
1,90
2,825
7,45
7,515
7,45
7,52
DMF ( KN.m )
A B C
D E F
3 KN
5 KN
3 KN
5 KN12 KN
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
128/294
466
Sistema principal
Figura 10.174 – Formação do sistema principal.
Cálculo dos fatores de carga
• Haste AD
Figura 10.175 – Fatores de carga da haste AD.
• Haste EB
Figura 10.176 – Fatores de carga da haste EB.
A B C
D E F h = 4
m.KN188
12.12
8
L.PM ===
m.KN5,78
12.5
8
L.P
M ===
A
D
- 7 , 5
7 ,5
A
D
18
-1 8
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
129/294
467
• Haste DE
Figura 10.177 – Fatores de carga da haste DE.
Resumo dos fatores de carga e de forma
Ação de φ1 = 1
Figura 10.178 – Fatores de forma pela ação de φ1 = 1.
m.KN75,38
10.3
8
L.PM ===D E
3,75 3,75
B C
E
F
A
D
0,4
0,2
φ1 = 1
0,0027
0,0053
0,000667
0,000667
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
130/294
468
Ação de φ2 = 1
Figura 10.179 - Fatores de forma pela ação de φ2 = 1.
Ação de φ3 = 1
Figura 10.180 - Fatores de forma pela ação de φ3 = 1.
A B C
D E F
0,4
φ2 = 1
0,004
0,008
0,4
0,20,001
0,001
0,2
A B C
D E F
φ3 = 1
0,0027
0,00533
0,4
0,2
0,000667
0,000667
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
131/294
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
132/294
470
l) Equações de coerência
m) Cálculo dos momentos fletores
8,13361180,2232,2080,22 4321 −=∆−=φ=φ−=φ QQQ
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−φ−φ−φ−
=∆−φ+φ+
=∆−φ+φ+φ+−
=∆−φ+φ+
−−−
−
−
−
010.56,7.10.67,6.001,0.10.67,61
0.10.07,1.4053,0.2,075,3
0.10.4,2.2,0.808,0.2,05,10
0.10.07,1.2,0.4053,075,3
63
421
4
45
32
45
321
45
21
81,85,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0053,0M 5inf F
=+−−−= −81,875,3)80,22(.4,0)32,20(.2,0M
esqF
−=−−+=
32,775,3)80,22(.2,0)32,20(.4,0Mdir E
=+−+=
63,1418)8,133611(.10.4,2)32,20(.008,0M 5inf
E −=−−−= −
32,775,3)32,20(.4,0)80,22(.2,0MesqE
=++−=
81,875,3)32,20(.2,0)80,22(.4,0Mdir D
−=−+−=
81,85,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0053,0M 5inf D
=+−−−= −
13,65,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0027,0M 5C −=−−−−= −
29,2118)8,133611(.10.4,2)32,20(.004,0M 5B =+−−= −
13,65,7)8,133611(.10.07,1)80,22(.0027,0M 5 A −=−−−−= −
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
133/294
471
Figura 10.183 – Diagrama dos momentos fletores antimétricos.
Diagrama final
Figura 10.184 – Diagrama de momentos fletores finais pela soma dodiagrama simétrico com o diagrama antimétrico.
6,13
7,53
18,04
8,81
8,81
0,57
7,32
7,32
14,63
21,29 6,13
7,53
8,81
8,818,25
DMF ( KN.m )
13,65 21,291,39
1,36
1,36
5,42
14,63
18,04
15,05
2,26
9,22
16,26
16,26
DMF ( KN.m )
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
134/294
472
10.20 CÁLCULO MATRICIAL
Montar a matriz de flexibilidade para o quadro segundo as coordenadas
de referência indicadas. E = 2 x 102 kN/m2 e J = 1 m4.
Figura 10.185 - Quadro com coordenadas de referência.
3
1
2
2
4
3 m 3 m m
4
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
135/294
473
Ação de R1 = 1
Figura 10.186 – Ação de R1 = 1.
Ação de R2 = 1
Figura 10.187 - Ação de R2 = 1.
3
R2=1
6
2
R1=1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
136/294
474
Ação de R3 = 1
Figura 10.188 - Ação de R3 = 1.
Ação de R4 = 1
Figura 10.189 - Ação de R4 = 1.
2
2
6
2
R4=1
3
R3=1
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
137/294
475
Expressão de EJf 11
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )[ ]( )
EJ
84f
424662126
1
3222223
1EJf
11
11
=
=−−−+−−−+
+−−+−−=
Expressão de EJf 22
( )( )( ) ( )( )( )( )
EJ45f
43313333
1EJf
22
22
=
=+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
138/294
476
Expressão de EJf 33
( )( )( ) ( )( )( )( )
EJ
45f
43313333
1EJf
33
33
=
=+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
Expressão de EJf 44
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )[ ]( )
EJ
84f
42466212
6
1
3222223
1EJf
44
44
=
=−−−+−−−+
+−−+−−=
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
139/294
477
Expressão de EJf 12
( )( )( ) ( )( )( )
EJ
57f
46232
1332
2
1EJf
12
12
=
=+++=
Expressão de EJf 14
( )( ) ( )( )[ ]
EJ33,69f
422x26626x26
1EJf
14
14
−=
=+++−=
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
140/294
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
141/294
479
Expressão de EJf 24
( )( )( )
EJ
48f
46232
1EJf
24
24
−=
=+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
Expressão de EJf 34
( )( )( ) ( )( )( )
EJ57f
3232
14623
2
1EJf
34
34
=
=++=
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
142/294
480
[ ]
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
84574833,69
57453648
48364557
33,69485784
FEJ
Tomando-se EJ = 2 x 102 kN.m2 , tem-se:
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
−−
=
42,0285,024,03466,0285,0225,018,024,0
24,018,0225,0285,0
3466,024,0285,042,0
F
10.21 CÁLCULO MATRICIAL
Montar a matriz de rigidez para a barra segundo as coordenadas dereferência indicadas e seção transversal da barra. E = 2x102 kN/m2 e J=1m4.
Figura 10.190 – Barra com as coordenadas de referência.
L = 8 m
2
1
4
3
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
143/294
481
a) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 1
Figura 10.191 – Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.
b) Rotação unitária ao longo da coordenada 2
Figura 10.192 - Ação da rotação unitária ao longo da coordenada 2.
4EJ/L
6EJ/L2
2EJ/L
6EJ/L2
12EJ/L3 6EJ/L2
6EJ/L2
12EJ/L3
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
144/294
482
c) Rotação unitária ao longo da coordenada 3
Figura 10.193 - Ação da rotação unitária ao longo da coordenada 3.
d) Deslocamento unitário ao longo da coordenada 4
Figura 10.194 - Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 4.
6EJ/L2
2EJ/L
4EJ/L
6EJ/L2
12EJ/L3
6EJ/L2
6EJ/L2
12EJ/L3
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
145/294
483
Matriz de rigidez
1 2 3 4
L = 10 m
J = 1m4
E = 2 x 102 kN/m2
EJ = 2 x 102 kN.m2
Então:
1 2 3 4
2,4 -12 12 -2,4
-12 80 -40 12
12 -40 80 -12
-2,4 12 -12 2,4
12EJ/L3 -6EJ/L2 6EJ/L2 -12EJ/L3
-6EJ/L2 4EJ/L -2EJ/L 6EJ/L2
6EJ/L2 -2EJ/L 4EJ/L -6EJ/L2
-12EJ/L3 6EJ/L2 -6EJ/L2 12EJ/L3
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
146/294
484
10.22 CÁLCULO MATRICIAL
Determinar a matriz de rigidez segundo as coordenadas de referência
indicadas. Tomar E = 2 x 102 kN/cm2..
Figura 10.195 – Pilar com as coordenadas de referência indicadas.
A coordenada 4 torce o eixo dos x.
A coordenada 3 torce o eixo dos y.
x
y
4m
2
3
4
1
0,40 m
0,60 m
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
147/294
485
4433
x cm000.720m10x2,712
60,0x40,0J === −
4433
y cm000.320m10x2,312
40,0x60,0J === −
E.Jx = 21x102 x 720.000 = 15,12 x 108 kN.cm2
E.Jy = 21x102 x 320.000 = 6,72 x 108 kN.cm2
Deslocamento ao longo da coordenada 1
Figura 10.196 - Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 1.
126400
320000x10x21x12
L
EJ12k
3
2
3
y11 ===
25200400
320000x10x21x6
L
EJ6k
2
2
2
y31 −=
−=
−=
K11 = 12EJy/L3
12EJy/L36EJy/L
2
K31 = 6EJy/L2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
148/294
486
Deslocamento ao longo da coordenada 2
Figura 10.197 - Ação do deslocamento unitário ao longo da coordenada 2.
5,283400
720000x10x21x12
L
EJ12k
3
2
3x
22 ===
56700
400
720000x10x21x6
L
EJ6k
2
2
2x
42 −=−
=−
=
K22 = 12EJx/L3
12EJx/L3
K42 = 6EJx/L2
6EJx/L2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
149/294
487
Deslocamento ao longo da coordenada 3
Figura 10.198 - Ação da rotação unitária ao longo da coordenada 3.
6720000400
320000x10x21x4
L
EJ4k
2y
33 ===
25200400
320000x10x21x6
L
EJ6k
2
2
2
y13 −=
−=
−=
6EJy/L2
6EJy/L2
4EJy/L
2EJy/L
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
150/294
488
Deslocamento ao longo da coordenada 4
Figura 10.199 - Ação da rotação unitária ao longo da coordenada 4.
15120000400
720000x10x21x4
L
EJ4k
2x
44 ===
56700
400
720000x10x21x6
L
EJ6k
2
2
2
x24 −=
−=
−=
K24 = 6EJx/L2
6EJx/L2
K44 = 4EJx/L
2EJx/L
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
151/294
489
[ ]
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
000.120.150700.560
0000.720.60200.25
700.5605,2830
0200.250126
K
10.23 TRABALHOS VIRTUAIS ENVOLVENDO DIAGRAMAS DE
TRAPÉZIOS.
a)
( ) ( )[ ] ´L.´M.M.2M´M.MM.26
1EJf 221121ij +++=
b)
( ) ´L.´M.2´M.M.6
1EJf 212ij +=
M1 M2 M1´ M2´
M1 M2 M1´ M2´
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
152/294
490
c)
( ) ´L.´M´M.2.M.6
1EJf 211ij +=
d)
( )´L.´M´M.M.
2
1EJf
211ij +=
10.24 MÓDULOS DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL DO CONCRETO E
DO AÇO
Concreto
E = 210.000 kgf/cm2
= 2.100.000 N/cm2
= 2.100 kN/cm2
E = 2.100 kN/cm2 = 21 x 102 kN/cm2. = 210 tf/cm2.
E = 21.000 MPa
Aço
E = 2.050.000 kgf/cm2 = 205.000 MPa
M1 M1´ M2´
M1 M2 M1´ M2´
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
153/294
491
10.24 QUADRO COM DESLOCABILIDADE LINEAR E RÓTULAS
Figura 10.200 – Quadro com carregamentos externos.
Formação do sistema principal
Figura 10.201 – Sistema principal.
2 kN/m
2 kN/m2 kN/m
20 m 20 m
5m
A
B D
C
F
E
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
154/294
492
Cálculo dos fatores de forma. Tomar EJ = 1
Haste AB = EF
60,05
3
L
EJ3´a ===
12,05
3
L
EJ3´c
22 ===
Haste CD
80,05
4
L
EJ4a ===
40,05
2
L
EJ2b ===
24,05
6
L
EJ6c 22 ===
Haste BD = DF
15,020
3
L
EJ3´a ===
Cálculo dos fatores de carga
Haste AB = Haste EF
25,68
5x2
8
qL
M
22
A −=
−
=
−
=
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
155/294
493
25,68
5x2x5
8
qL5R A −=
−=
−=
75,38
5x2x3
8
qL3
RB −=
−
=
−
=
Figura 10.202 – Fatores de carga da haste AB.
Haste BD = Haste DF
1008
20x2
8
qLM
22
D ===
258
20x2x5
8
qL5RD ===
158
20x2x3
8
qL3RB ===
R A = - 6,25
RB = - 3,75
M A=-6,25
A
B
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
156/294
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
157/294
495
Ação de ∆2 = 1
Figura 10.205 – Ação do deslocamento unitário.
Equações de coerência
( 100 - 100) + (0,15 + 0,15 + 0,80).φ1 + (-0,24).∆2 = 0
( 3,75 - 3,75) + (-0,24).φ1 + (0,024 + 0,096 + 0,024).∆2 = 0
1,1.φ1 - 0,24.∆2 = 0
-0,24.φ1 + 0,144.∆2 = 0
0,024 0,096 0,024
0,12 0,240,12
0,24
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
158/294
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
159/294
497
10.25 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Figura 10.207 – Quadro com carregamentos externos.
Formação do sistema principal
Figura 10.208 – Sistema principal.
8 m
2 kN/m
2 kN/m
2 kN
2 kN
2 m
2 m
2 m A
B C
D
E
F
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
160/294
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
161/294
499
Haste BC
Figura 10.211 - Fatores de forma da haste BC pela rotação.
Determinação dos fatores de carga
Haste AB
Figura 10.212 – Fatores de carga da haste AB.
a = 4/L = 4/8 = 0,5 b = 2/L = 2/8 = 0,25
MB = +qL2/12 = 2x6
2/12 = 6 kN.m
M A = -qL2/12 = -2x62/12 = -6 kN.m
RB = -6 kN
R A = -6 kN
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
162/294
500
Haste BC
Figura 10.213 - Fatores de carga da haste BC.
Haste CF
Figura 10.214 - Fatores de carga da haste CF.
2 kN/m
-10,67+10,67
-1,78
+0,89
2 kN
2 m
4 m
+1,48
+0,52
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
163/294
501
Figura 10.215 - Fatores de carga da haste CF.
Somatório total da haste CF
Figura 10.216 - Fatores de carga da haste CF.
- 2,67
+ 2,67
2 kN
2 m
2 m
+ 2
+ 2
2 m
2 kN
-0,89
+1,78
2 kN
4 m
2 m
+1,48
+0,52
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
164/294
502
Resumo dos fatores de carga
Figura 10.217 – Resumo dos fatores de carga.
Ação da rotação φ1 = 1
Figura 10.218 – Ação da rotação unitária φ1 = 1.
0,5 0,25
0,667
0,333
0,17
0,17
-10,67 +10,67
+6
-6
-2,67
+2,67
-6 +2
-6 +2
-
8/16/2019 Sistemas Hiperestaticos Vol 2 340 a 632
165/294
503
Ação da rotação φ2 = 1
Figura 10.219 - Ação da rotação unitária φ2 = 1.
Ação do deslocamento linear ∆3 = 1
Figura 10.220 – Ação do deslocamento linear ∆3 = 1.
+ 0,055 + 0,055
-0,055 -0,055
-0,167
-0,167 -0,167
-0,167
0,50,25
0,667
0,333
-0,17
+