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Relaciones Difusas y Principio de
Extensin
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Conjunto Fuzzy:
Sea U un universo de discurso, por ejep!o U " Rn
Un conjunto #uzzy F en U se de#ine ediante una #unci$n de
pertenencia F: U %&, '(, donde F)u* representa e! grado en e! +uee! e!eento u U pertenece a! conjunto F
Se puede ver coo una genera!izaci$n de! concepto conjunto
convenciona!, cuyo grado de pertenencia tiene coo codoinio un
conjunto de s$!o dos va!ores &, '-
2M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Conunto Difuso
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ara conjuntos discretos, se sue!e ep!ear !a notaci$n:
/ " /)u* 0 u
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or ejep!o, e! concepto 1teperatura corpora! uy a!ta2 se puede
representar coo:
/ " & . ' 0 3 4 5 & . 6 0 3 7 5 & . 7 0 3 8 5 ' 0 6 &
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
!otacin Discreta
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ara conjuntos continuos, se sue!e ep!ear !a notaci$n:
/ " /)u* 0 u
or ejep!o:
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Ee"plo de Conunto Difuso
xx
Ax
+
= 30
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Soporte de un conjunto #uzzy:
9s e! conjunto de e!eentos u U, ta!es +ue F)u* &
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Centro de un conjunto #uzzy:
9s e! conjunto de e!eentos u U, en !os +ue F)u* a!canza su;
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Sean / y B dos conjuntos #uzzy en U
=ntersecci$n / B:
/ B)u* " in / )u*, B)u* -
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#peracin %nterseccin
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Sean & y B dos conuntos fuzzy en $
Co"ple"ento '
(u) * + , & (u)
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#peracin Co"ple"ento
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
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9M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Ee"plos
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Propiedades de las #peraciones
Se usan !os sbo!os y para !a intersecci$n y !a uni$n
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>os conjuntos convenciona!es satis#acen:
>ey de !a contradicci$n: / " U
>ey de! edio e
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-,nor"a '
9s una #unci$n de %&,'( < %&,'( en %&,'( +ue veri#ica ciertos a
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Es usado para transfor"ar
conuntos difusos /ue tengan
iguales o distintos uni0ersos
seg1n una funcin de
transfor"acin en esos
uni0ersos.
Sean X e Y dos conuntos y f
una funcin de transfor"acin
de uno en otro'f: XY
B(y) = sup {A(x) / x X, y = f(x) }
SeaA un conjunto di#uso en 2.
9! Principio de Extensin sostiene +ue !a 1iagen2 deA en A, bajo !a #unci$n
f es un conjunto di#usoB = f (&*, de#inido coo:
La funcin sup se aplica si existen dos o ms
valores de x que tengan igual valor f (x).
(Ese caso no ocurre en el ejemplo)
Principio de Extensin (+3)
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rincipio de 9
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9jep!o:
Sea !a #unci$n # +ue proyecta puntos de! eje < en e! eje y de acuerdo con !a siguiente
re!aci$n:
9s una e!ipse de ejes a" y b" '
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Ee"plo 5 +
41)(
2x
xfy ==
Considereos un conjunto #uzzy / en e! universo G, de#inido por:
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DCua! es e! conjunto #uzzy B " # )/*E
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
xxA2
1=)(
Continua6
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SegHn e! principio de ea #unci$n inversa es, despejando:
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
)]([sup)()( xy AyfxB 1=
212 yx =
Continua6
20M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Continua6
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21M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
. 2.25
. .
. . . . .
:
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23M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
ariab!e !ingIstica:
9s una variab!e cuyos posib!es va!ores son pa!abras y pueden ser representados
ediante conjuntos #uzzy
or ejep!o:
ariab!e !ingIstica 1ve!ocidad2:
/dite va!ores !ingIsticos: lenta, moderada y rpida
/dite va!ores nuJricos: nHeros rea!es en %&, a
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9jep!o:
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Cua!+uier teperatura
precisa, p. ej. K&L, tiene un
Hnico grado de pertenencia
a cada va!or:
>N)K&* " &
M9O=UM)K&* " &.KP
Q=Q)K&* " &.3P
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Ee"plo de 7aria8les 9ing:sticas
>os va!ores de una variab!e !ingIstica )odi#icadores !ingIsticos* pueden
ser:
riarios
Copuestos
>os va!ores priarios son !os va!ores inicia!ente de#inidos
Un va!or copuesto se obtiene anteponiendo a un va!or priario
odi#icadores coo MUA, , M/S M9S, ..., o cobinando
va!ores priarios ediante conectivos !$gicos
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7alores de la 7aria8le 9ing:stica
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Se sue!en usar #unciones cuya #ora se puede ajustar ediante un
conjunto #inito de par;etros
or ejep!o, en !a #unci$n:
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a: anco de !a #unci$n
b: iprecisi$n
c: posici$n de! pico
SMALL MEDIUM LARGE
a 0.0005 0.0005 0.0005
b 3 3 3
c 20 50 80
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
bc)a(x1
1(x)
+=
Modelando 7alores Pri"arios
9s #recuente usar #unciones ;s e#icientes de coputar:
Funciones triangu!ares: / " triangu!o)pi, ci*
28M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
;uncin de Pertenencia -riangular
+
=
contrariocasoen
cpacpc
ap
a iiiiii
ii
iA
;
;)(
0
1
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Funciones trapezoida!es: / " trapecio)a, b, c, d*
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a b c d
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
;uncin de Pertenencia-rapezoidal
Funciones S: / " S ), , *
30
9jep!o:
coo! " S )P&, P, &*
ot " S )P&, 4P, '&&*
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
;uncin de Pertenencia Sig"oidea
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Funciones: / " ), *
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9jep!o:
coo! " )P, &*
ediu " )P&, &*
ot " )4P, &*
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
;uncin de Pertenencia Pi
a!ores copuestos:
Cobinar va!ores ediante
conectivos !$gicos:
/O: tnora )in*
R: tconora )a
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a!ores copuestos:
/nteponer un odi#icador
!ingIstico a un va!or
Sea F un conjunto #uzzy en U )por
ejep!o, F " pe+ueTo*
MUA:
MUA F )u* " )F )u* *
M/S M9S:M/S M9S F )u* " )F )u**'0
33M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Modificadores 9ing:sticos
MUY
MAS O MENOS
EN REALIDAD
MAS
MENOS
SOBRE
BAJO
Re!aci$n di#usa:
Sean dos universos U y
Una re!aci$n di#usa es cua!+uier conjunto di#uso de! universo dado por e! producto
cartesiano U <
Se de#ine ediante una #unci$n de pertenencia R)u, v*
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Relacin Difusa
or ejep!o:
Sea U un universo discreto de tres teperaturas
U " u', u, u3- " '7, &, -
Sea un universo discreto de tres grados de uedad
" v', v, v3- " 3&, P&, 4&-
9! concepto 1abiente con#ortab!e2 podeos representar!o ediante !a re!aci$n #uzzy
R:
v' v v3
u'
u
u3
=
206020
50150
206020
...
..
...
R
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
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Coposici$n de re!aciones supstar:
Sea R una re!aci$n #uzzy en U <
Sea S una re!aci$n #uzzy en < N
>a coposici$n supstar de R y S es una re!aci$n #uzzy, representada coo R S, yde#inida coo:
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[ ]),(),(sup),( wvvuwu SRVvSR = o
9! operador puede ser cua!+uier tnora
Usua!ente es e! operador nio, y entonces se !!aa coposici$n supin
ara e! caso discreto )a
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%"plicacin en %ngeniera de Control
Sean / y B dos conjuntos #uzzy en G e A, respectivaente
Una ip!icaci$n #uzzy, / B, se de#ine coo un tipo especia! dere!aci$n #uzzy en G < A, de#inida ediante a!guna #unci$n de pertenencia
particu!ar /B )
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9jep!o:
Sea !a variab!e !ingIstica temperatura, con !os va!ores:
baja:
a!ta:
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Ee"plo de %"plicacin de Ma"dani
210050 )(x.1
1(x)
+=
230050 )(x.1
1(x)
+=
Sea !a variab!e !ingIstica humedad, con !os va!ores:
baja:
a!ta:
40M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
270050 )(.1
1)(
+=
yy
230050 )(.1
1)(
+=
yy
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Considereos !a ip!icaci$n:
?eperatura " a!ta Quedad " baja
? a!taQ baja )
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perador de ip!icaci$n a
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perador de ip!icaci$n producto acotado:
/B )as in#erencias #uzzy son procediientos coputaciona!es para eva!uar descripciones
!ingIsticas
Modus onens enera!izado )M*:
reisa ': =F < es / ?Q9 y es B
reisa : < es /V
Consecuente: y es BV
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9! M perite in#erir e! va!or #uzzy BV, dado un va!or de entrada /V y una re!aci$n de
ip!icaci$n R/ B )
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9! va!or in#erido BV se ca!cu!a ediante !a coposici$n de! va!or /V con !a
re!aci$n de ip!icaci$n R)
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Se introduce e! dato )sing!eton* :
< es /V
< es e
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Se obtiene !a re!aci$n R de#inida por !a siguiente tab!a:
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Relacin en ;or"a -a8ular
52M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza
Cdigo Matla8 de %nferencia Difusa
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bsJrvese +ue e! resu!tado es !a #unci$n de pertenencia de B recortada a una a!tura igua! a!
grado en e! +ue /V concuerda con /:
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9ste va!or, e! grado en e! +ue /V concuerda con /, se denoina grado de satisfaccin
OF )Oegree o# #u!#i!!ent* de !a reg!a:
9n e! ejep!o: OF " &.P
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9n genera!:
[ ])()(),( ' xxRADOF AAXx
=
M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza