sol mat 2eso cat

8/18/2019 Sol Mat 2eso Cat

1/99

Matemàtiques

2. Solucionari

2

ESO

E. Vallès, J. M. Yábar, N. Margalef


2/99


3/99

1. Objectius

• Ordenar i representar nombres enters sobre la recta.• Calcular sumes i restes de dos nombres amb signe.• Resoldre operacions combinades de sumes i restes de nombres amb signe amb i sense parèntesis i

simplificant-ne l’escriptura.• Calcular multiplicacions i divisions de nombres amb signe.• Realitzar operacions amb potències de base entera i exponent natural.• Realitzar operacions combinades amb i sense parèntesis i simplificar-ne l’escriptura.• Fer servir la calculadora en el càlcul d’operacions.• Valorar la conveniència d’emprar els arrodoniments en els càlculs.

2. Continguts

3. Pautes d’avaluació

Identificar els nombres enters: comparar, ordenar i representar.Aplicar les operacions aritmètiques amb nombres sencers per tractar aspectes quantitatius de la rea-

litat valorant la necessitat de resultats exactes o aproximats.Comprovar que es plantegen correctament les expressions numèriques que resolen situacions pro-

posades i que s’efectuen els càlculs correctament.

4. Plantejament metodològic

La representació dels nombres positius i negatius sobre una recta permet establir un criteri per comparar dos nombres:

• El més gran de dos nombres és el que es troba més a la dreta sobre la recta.

Nombres positius

i negatius11

Conceptes

• Nombres positius i nega-tius. Representació sobreuna recta.

• Comparació de nombres.• Sumes i restes de dosnombres amb signe.

• Sumes algebraiques.• Supressió de parèntesis

en una suma algebraica.• Multiplicació i divisió

de nombres amb signe.• Potències.• Operacions combinades.• Multiplicació d’un nom-

bre per una suma algebraica. Propietat distribu-tiva.

• Factor comú.

• Arrodoniments.

Procediments

• Interpretació i utilització dels nombres amb signeen diferents situacions de la vida quotidiana.

• Comparació i ordenació de nombres enters.

• Utilització de tècniques de representació simbòli-ca i gràfica de nombres.• Càlcul exacte i aproximat amb nombres mental-

ment, per escrit i amb calculadora.• Càlcul de sumes i restes de nombres enters.• Càlcul de multiplicacions i divisions de nombres

enters.• Càlcul de potències amb exponent natural.• Estimació d’un valor aproximat al resultat de di-

verses operacions.• Estimació de l’error comès.• Plantejament i càlcul d’expressions numèriques

que resolen un problema fent servir les operacionsd’addició i subtracció, els parèntesis i les propie-tats de les operacions.

• Utilització de la calculadora en càlculs d’expres-sions combinades.

• Resolució de problemes.• Aplicació dels arrodoniments en el càlcul amb

mesures.

Actituds

• Reconeixement de la utilitat dels nombres positiusi negatius per representar, comunicar o resoldrediferents situacions de la vida quotidiana.

• Preocupació per actuar de manera sistemàtica iacurada a l’hora d’efectuar operacions combinadesi amb parèntesis.

• Consciència de la necessitat de determinar un con-veni de prioritat en les operacions.

• Preocupació per actuar de manera sistemàtica iacurada a l’hora de representar nombres positiusi negatius gràficament.

• Valoració positiva de l’ús de la calculadora per realitzar càlculs aritmètics.


4/99

Es revisen els continguts relatius a aquesta unitat que ja es van treballar a 1r: addició i subtracció de nombres amb signe i sumesalgebraiques.

Per sumar (o restar) un nombre en una suma algebraica entre parèntesis, es pot resoldre l’interior dels parèntesis (que és el méssenzill quan no es treballa amb lletres), però també es poden suprimir els parèntesis, tenint en compte que cal sumar (o restar)cadascun dels termes de la suma algebraica.

S’introdueixen la multiplicació de nombres amb signe, la divisió la potenciació i es treballen les operacions combinades. S’aplicala propietat distributiva a la multiplicació d’un nombre per una suma algebraica i, a la inversa, es treu factor comú d’una sumaalgebraica.

S’aprèn a introduir nombres negatius a la calculadora i es fan operacions amb calculadora sense anotar els resultats parcials. Elsexercicis 70 a 78 i 81 mostren com, de vegades, una utilització intel·ligent de la calculadora passa per fer alguns dels càlculs a mà.

5. Solucionari

1. 7; 3; 12; 0

2. 5; 12; 15; 0

3. a) A 5; B 2; C 1; D 0; E 1b) A 2; B 3; C 3; D 2; E 1; F 0c) C 3; A 9; B 7; C 3; D 1; E 3

d ) A –60,5; B 59; C 58; D 57; E 56; F 54,5; G 53

4. A 28,6; B 28,1; C 25,5; D 25,2

5. a)

b)

6. a) 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7; 5,8; 5,9b) 8,9; 8,8; 8,7; 8,6; 8,5; 8,4; 8,3;

8,2; 8,1c) 0,49; 0,48; 0,47; 0,46; 0,45; 0,44; 0,43;

0,42; 0,41

7. 5; 7; 3; 4,3

8. a) 3 > 4 Falsa; 15 > 27 Certa.b) 12,3 < 12,2 Certa; 17,3 > 1210 Certa.

9. a) 12 < 8 < 6 < 4 < 0 < 3 < 7b) 8,3 < 6 < 4,5 < 2,1 < 0 < 4 < 7

c) 2,5 < 2,53 < 2,59 < 2,610. a) 3,3 < 3,23 < 3,22 < 3,2

b) 4,6 < 4,52 < 4,5 < 4c) 7,55 < 7,50 7,5 < 7,05d ) 5,35 < 5,05 < 5,05 < 5,35e) 12,99 < 12,909 < 12,900 < 12,09

11. El positiu.

12. El que té el valor absolut més petit.

13. a) 3 (12) 3 12 1514 (22) 14 22 810 (3) 10 3 7

b) 15 32 47; 20 50 3013 5 8

c) 8 49 4117 (3) 17 3 205 (15) 5 15 10

d ) 38 2 368 (10) 8 10 214 30 16

e) 18 12 3013 (5) 13 5 188 (11) 8 11 19

f ) 62 40 2228 (13) 28 13 15

100 (50) 100 50 50 g ) 12,3 3,4 15,7; 3,5 2,5 1

2,3 (1,2) 2,3 1,2 3,5h) 4578 4578 0; 456 457 1

234 234 468

14. –18 5 –9 6

–13 –4 –3

–17 –7

–24

15. 12 –5 8 24

17 –13 –16

30 3

27

16. a) 1325 (4548) 1325 4548 32234548 (1325) 4548 1325 3223Per sumar dos nombres de signe contrari se’n restenels valors absoluts i s’hi posa el signe del que té elvalor absolut més gran.

b)

1325

(

4548)

1325

4548

5783Per sumar dos nombres negatius se’n sumen els valorsabsoluts i s’hi posa el signe menys.

17.

L’oposat de la suma de dos nombres coincideix amb lasuma dels oposats d’aquests nombres.

–16 –15 –14 –13 –12 –11

–15,1–14,1 –13,8 –12,1

–2 –1 0 1 2 3

–1,1 –0,6 1,10,6

Unitat 1 Nombres positius i negatius

4

a

b

a b

oposat de a

oposat de b

oposat de a b

oposat de a oposat de b

1

3

2

1

3

2

2

5

2

7

5

2

7

7

3

5

2

3

5

2

2

2

7

9

2

7

9

9


5/99

18.

El valor absolut de la suma de dos nombres no coincideixamb la suma dels valors absoluts d’aquests nombres.

19. a) 7 12 15 21 16 (7 15 16) (12 21) 38 33 5

b) 5 (14) (2) (4) 20 12 5 14 2 4 20 12 21

c) 1453 324 2 326 1453 4d ) 23 32 14 50 25 66

20. a) 5 (8 3) (4) 2 –5 (5) 4 2

5 5 4 2 6b) 15 (12 15 3) (2 3) (1)

15 (6) 1 1 15 6 1 1 9

21. a) 33 [17 (2 14) 2] 33 [17 (12) 2]

33 (17 12 2) 33 31 2

b) 10 [15 2 (4 2 3)] 10 [15 2 (1)]

10 (15 2 1) 10 14 4

c) 2

(15

1)

[(13

14)

(8

10)]

2 14 [1 (2)] 2 14 (1 2) 2 14 1 11

22. 32 2 9 20 18 23 €

23. 7 (5 1) 7 (4) 7 4 37 (5 1) 7 5 1 3

8 (6 3) 8 9 178 (6 3) 8 6 3 17

24. a) 1 (1 7) 1 1 7 58 (2 5) 8 2 5 15

b) 7 (5 8) 7 5 8 412 (6 10) 12 6 10 16

c) 2 (3 5 8) 2 3 5 8 122 (4 10 5) 2 4 10 5 3

25. a) a (b c) a b ca (b c) a b c

b) a ( b c) a b ca ( b c) a b c

c) a (b c) a b ca (b c) a b c

26. 3 5 2 3 (5 2)

4 12 3 4 (12 3)27. a) 5 · 3 15; 2 (8) 16

7(9) 63; 8 · 9 72b) 4 · 10 40; 4 · 10 40

4 · (10) 40; 4 · (10) 40

c) 3 · 1 3; 1 · (7) 70 · 8 0; 12 · 0 0

28. a) 4 · (10) · (2) 805(3) · (2) 30

b) 2 · 3 · (10) 60; 2 · 3 · (–4) · (–5) · 2 –240

29. a) 35 : (7) 5; 36 : 9 – 4

32 : (2) 16; 16 : 2 8b) 7 : 1 7; 4 : 1 4

0 : 3 0; 4 : 0. No es pot fer.

c) ;

;

30. 21 2; 22 4; 23 8; 24 16; 25 32; 26 64;27 128; 28 256; 29 512; 210 1024(2)1 2; (2)2 4; (2)3 8; (2)4 16;(2)5 32; (2)6 64; (2)7 128;(2)8 256; (2)9 512; (2)10 1024

31. a) 53 125; 34 81; 36 729; 42 16b) (3)2 9; (5)4 625; (3)3 27; (3)4 81

32. a) (5)6 15625; (3)5 243;(4)3 64; (3)6 729

b) (1)6 1; 153 1; (10)3 1000;(10)6 1000000

c) 0,12 0,01; (0,3)3 0,027;(0, 02)2 0,0004; (0,12)2 0,0144

33. a) 3 · (8) 5 · (3) 9 (2) 3

24 15 18 3 54

b) 4 · 5 · 2 3 1 2 · 6

40 3 1 12 54c) 7 4 · (2 5) 7 4 · (3) 7 12 19

d ) (7 5) · (3) 4 · (2) 1

2 · (3) 8 1 6 8 1 3

e) 4 (3 5) 4 (1) 2 3

4 8 4 2 3 7 f ) 7 · (1 3) (3 6) · 2 1

7 · (2) (3) · 2 1

14 (6) 1 14 6 1 19 g ) (5 2) (7 3) 2(3 7) 1

3 4 2 (4) 1 3 4 8 1 2

h) [(5 2) (7 3)] 2 (3 7) 1

(3 4) 2 (4) 1

(1) 8 1 1 8 1 10

34. a)

4

b)

4 164

4 4 8

44

16 1 16 17

164

4 (4) 4 4 8

4 164

124

3

12

0,5124

3

273

975

5 15


5

a

b

a b

valor absolut de a

valor absolut de b

valor absolut de a b

valor absolut de a valor absolut de b

4

1

3

4

1

3

5

5

2

7

5

2

7

7

3

5

2

3

5

2

8

2

7

9

2

7

9

9


6/99

c)

35. a) ; ;

b) ; ;

36. a) ; ; ;b) ; ; ;

37. a) 32 1 9 1 8;(3)2 1 9 1 10;(32 1) (9 1) 10

b) 5 22 5 4 1;(5 2)2 32 9;52 22 25 4 21

c) 3 52 3 25 22;(3 5)2 (2)2 4;32 52 9 25 16

d ) 32 (3)2 9 9 0;24 (2)4 16 16 32;25 (2)5 32 32 0

38. a) 52 [3 (2 5)2] 25 [3 (3)2 ] 25 (3 9) 25 (6) 25 6 31

b) 62 [(3 1)2 52 ] 36 [ 42 25] 36 (16 25) 36 (9) 36 9 27

c) 23 (4)3 8 64 56

39. 50 (2 · 8 2) 50 (16 2) 50 18 32 €

40. P (3,5 2,6) · 2 6,1 · 2 12,2 m

41. P [5,5 (4,5 2)] · 2 (5,5 2,5) · 2 8 · 2 16 cmS 5,5 · (4,5 – 2) 5,5 · 2,5 13,75 cm2

42. S [3,5 (1 0,8)] · [2 (0,5 0,2)] (3,5 1,8) · (2 0,7) 1,7 · 1,3 2,21 m2

43.

5 · 12 60 cm2

44.

A (540 160) (360 40) 700 · 320 224000 m2

45.

46.

47. 103 10 · 10 · 10 1000105 10 · 10 · 10 · 10 · 10 100000108 100000000

1015

100000000000000048. 100 102; 1000000 106; 10000000000 1010

49. hg 102 g; kg 103 g; t 106 g; dag 10 g

50. 103 · 102 105; 102 · 105 107; 104 · 10 105

51.

52. 103 · 0,1 1000 · 0,1 100 102

105 · 0,001 100000 · 0,001 100 102

104 · 0,01 10000 · 0,01 100 102

53. 103 102 1000 100 110010 104 10 10000 10010104 103 10000 1000 9000

54. a) 3 · 102 3 · 100 300; 5 · 104 5 · 10000 500007 · 108 7· 100000000 700 000 000

b) 3,1 · 10 31; 3,1 · 102 3,1 · 100 310;3,1 · 103 3,1 · 1000 3100

c) 3,15 · 10 31,5; 3,15 · 102 3,15 · 100 315

3,15 · 103 3,15 · 1000 3150d ) 12,43 · 104 12,43 · 10000 124300;

24,365 · 102 24,365 · 100 2436,5;143,26 · 106 . 143,26 · 1000000 143260000

e) 0,427 · 102 0,427 · 100 42,70,03 · 105 0,03 · 100000 30000,24 : 104 0,24 : 10000 0,000 024

55. a) 3 · 103 2 · 102 5· 10 1 3000 200 50 1 3251

b) 5 · 105 7 · 103 5 · 102 8 500 000 7 000 500 8 507508

56. a) 7 : 10

2

0,07;7 : 103 0,007;

b) 45,3 : 10 4,53;45,3 : 102 0,453;45,3 : 104 0,00453

c) 128,42 : 102 1,2842;128,42 : 103 0,12842;128,42 : 105 0,0012842

57. a 0,435 · 10 4,35b 4035 : 102 40,35c 40,35 : 10 4,035

58. a) 20000000 2 · 107 20 · 106 200 · 104

b) 4800000 4,8 · 106 48 · 105 4800 · 103

c) 2130 2,13 · 103 21,3 · 102 213 · 10

j

4 035

102 40,35

i 4 35102

4 0,35 4,35

h 40 35102

40 0,35 40,35

g 4 3

102

5103

4 0,03 0,005 4,035

f 4 35103

4 0,035 4,035

e 4 3

10

5100

4 0,3 0,05 4,35

d 40 310 5102

40 0,3 0,05 40,35

7104

0,0007

105

10

100 00010

10 000 104

103

102

1 000100

10

104

102

10 000100

100 102

50 0,5 1,8 48,70

50 (1,8 0,5) 50 1,3 48,70

5,70 2

3 3,80

540 m

40 m

3 6 0 m

540 m 160 m

rectangle original rectangle transformat

S 7 3015

(15 3) (7 2) 12

(3)5 24335 243(3)2 932 923 8(2)3 824 16(2)4 16

22

52 4 25 100

(2 5)2 102 1002 52 2 25 503 22 3 4 7

32 22 9 4 13(3 2)2 52 25

14 248

14 3 17

8 242

16

2 8


6


7/99

59.

60. a) 9 · 1016

b) 2,5 · 1017

61. a) 3 · (10 12) 3 · 22 663 · (10 12) 3 · 10 3 · 12 30 36 66

b) (4 6) · 5 10 · 5 50(4 6) · 5 4 · 5 6 · 5 20 30 50

c) 4 · (6 8) 4 · 2 84 · (6 8) 4 · (6) 4 · 8 24 32 8

d ) (8 10) · 2

e) (5 4 3) · 5

62. a)

12 · (10

6)

12 · 10

12 · (

6)

120 72 48b) (4 6 15 3) · (5) 4 · (5) 6 · (5)

15 · (5) 3 · (5) 20 30 75 15 50c) (3 7 12 5) · 4 3 · 4 7 · 4 12 · 4 5 · 4

12 28 48 20 12

63. a) 28 · 15 28 · (10 5) 28 · 10 28 · 5 280 140 420

b) 28 · 15 (30 2) · 15 30 · 15 2 · 15 450 30 420

64. a) 38 · 12 38 · (10 2) 38 · 10 38 · 2 380 76 456

b) 42 · 19 42 · (20 1) 42 · 20 42 · 1 840 42 798

c) 32 · 18 32 · (20 2) 32 · 20 32 · 2 640 64 576

d ) 15 · 99 15 · (100 1) 1500 15 1485

65. a) 25 · 12 25 · (10 2) 250 50 30025 · 1003 25 · (1000 3) 25000 75 2507550 · 1002 50 · (1000 2) 50000 100 50100

b) 13 · 102 13 · (100 2) 1300 26 1326999 · 50 (1000 1) · 50 50000 50 4995027 · 101 27 · (100 1) 2700 27 2727

c) 15 · 11 15 · (10 1) 150 15 165

8 · 59 8 · (60 1) 480 8 47298 · 4 (100 2) · 4 400 8 392

d ) 75 · 99 75 · (100 1) 7500 75 7425235 · 101 235 (100 1) 23500 235 23735500 · 999 500 · (1000 1) 500000 500 499500

66. a) 4 · 7 4 · 9 4 · (7 9)b) 7 · (3) 4 · (3) (7 4) (3)c) 10 · 6 10 · 8 10 · (6 8)d ) 25 · 42 13 · 42 4 · 42 (25 13 4)e) 3 · 12 3 · 15 3 · 8 3 · (12 15 8)

67. a) 6 · 4789 6 · 4785 6 · (4789 4785) 6 · 4 24b) 2999 · 24 1 · 24 (2999 1) · 24 3000 · 24 72000c) 27 · 8 27 · 5 27 · 3 27 · (8 5 3) 27 · 10 270d ) 258 · 97 3 · 258 258 · (97 3) 258 · 100 25800e) 25 · 32 15 · 25 23 · 25 (32 15 23) · 25

40 · 25 1000 f ) 157 · 1999 157 157 · (1999 1) 157 · 2000

314000

68. 2. 17 12 4 21 12 94. 3 5 · 2 3 10 136. 3 · (2 10) 6 30 248. 2 · (3 · 4) 2 · 12 249. 14 (8 10) 14 (2) 14 2 16

69. 6,1170. a) 13,5 · 3,27 44,145

b) 13,5 · 3,27 44,14513,5 · (3, 27) 44,14513,5 · (3,27) 44,145

71. a) 3,5 · 2,6 · (3,4) 30,94b) 0,21 · (2,3) · (3,7) 1,7871

72. a)

b) ; ;

73. ;

74. a) 3,61 (13,4) (12,8) 3,61 13,4 12,8 3,01

b) 3,5 (112,9 23,6) (2,4 3,1) 3,5 112,9 23,6 2,4 3,1 85,1

75. a) (14,1)2 198,81b) (14,1)2 198,81

76. a) (5,4)3 157, 464b) (5,4)3 157,464

77. (14,2)3 2863,288(2,5)4 39,0625

78. a) 2,4 3,5 · (3) (2,1) · (3,51) 2,4 3,5 · 3 2,1 · 3,51 5,529

b)

13

79. 5,5 · (3,2 6,4) –17,6

80. (3,5 4,1 2,7 3,6) · 2,7 4,05

81. 5,2 · 357,63 7,8 · 357,63 4,1 · 357,63 8,6 · 357,63 12,7 · 357,63 357,63 · (5,2 7,8 4,1 8,6 12,7) 1716,624

2,5 3,1

0,4 2,5 (3,1) 2,5

3,1

0,4 2,5 3,1

4,28

2,5 1,712

4,1

2,5 1,64

13,1

12,5 1,048

13,1

12,5

1,04813,1

12,5

1,048

13,1

12,5 1,048

4 5 20

5 5 4 5 3 5 25 20 15 20

18 2 36

8 2 10 2 16 20 36


7

Notació científ ica

7 · 103

8 · 106

4 · 107

3 · 1012

3,8 · 105

2,23 · 107

1,3 · 107

2,43 · 104

Notació decimal

7000

8000000

40000000

3000000000000

380000

22300000

13000000

24300

… …… …… …

… … …… … … …


8/99

82.

83. a)

b)

c)

84. a) 336; 77b) 90; 1c) 3,3; 0,3

85. a) 560; 43,2b) 24,3; 1270c) 0; 1880

86.

87.

88. a) 5 b) 58 c) 19

89.

90.

91. a) 36,399b) 36,401

92. a)

b)

93. a) 423,5 · (361,2) · (215,3) 400 · (400) · 200 32000000

b) 4,76 · (8,78) · (9,825) 5 · (9) · (10) 450

94. Arrodoniment als dm:3,46 dm 3 dmArrodoniment als cm:3,46 dm 3,5 dm

95. Perímetre:6,9 × 4 27,6 cm 28 cm

96. Arrodoniment als m2:254,253 m2 254 m2

Arrodoniment als dm2:254,253 m2 254,25 m2

97. Àrea: (2,35)2 5,5225 m2 5,52 m2

98. Nombre aproximat de persones:112 · 9 · 3 100 · 10 · 3 3000 persones

Hi caus?

La graella

La resposta més habitual és «4 minuts», però no és la resposta correcta. La resposta correcta és: 3 minuts.

A continuació explicarem com fem les torrades en 4 minuts

i com les podem fer en 3 minuts.Anomenem A, B, C les llesques. Cada llesca té dues cares,

la cara 1 i la cara 2.Distribució del temps per fer les torrades en 4 minuts:Primer minut: torrar les cares A1 i B1.Segon minut: torrar A

2i B

2.

Tercer minut: torrar C1.

Quart minut: torrar C2.Distribució del temps per fer les torrades en 3 minuts:Primer minut: torrar les cares A

1i B

1.

Segon minut: torrar B2

i C1.

Tercer minut: torrar A2 i C2.

Guants

13 guants.Si agaféssim 12 guants, podria ser que 6 fossin blancs d’una

mateixa mà i que els altres 6 fossin negres d’una mateixa mà,de manera que no ens podríem posar un parell de guants delmateix color. Però, en agafar un guant més, per força seria elguant –blanc o negre– que ens faltava i ja ens podríem posar un parell de guants del mateix color.

9,851 24,92 34,8513 10 25 35 20

9,851 24,92 34,8513 19,7823

2 495 2 358 39 654 5 840 2 000 2 000 40 000 6 000 46 000

2 495 2 358 39 654 5 840 45 631

2,3 5,04

0,9 8,155 8,15 8,16

2,3 5,04

0,9 7,9

5,4

1,6 0,9 5,4 : (1,6 0,9) 2,16

13,5 12,92

0,16 165,125


8

Aproximació

per defecte

24000

42000

364000

Nombre

24832

42961

364251

Aproximació

per excés

25000

43000

365000

Arrodoniment

25000

43000

365000

Aproximació

per defecte

224,3

42,4

3

Nombre

224,38

42,434

3,01

Nombres

39451

451261

Centenes

39400

451300

Arrodoniment a…

Milers

39000

451000

Desenes de miler

40000

450000

Nombres

5392

10351

Centenes

54000

10300

Arrodoniment a…

Milers

5000

10000

Desenes de miler

5000

10000

Aproximació

per excés

224,4

42,5

3,1

Arrodoniment

224,4

42,4

3


9/99

1. Objectius

• Reconèixer la presència i la utilitat de les fraccions en diferents contextos.

• Obtenir fraccions equivalents a una fracció donada per amplificació o per simplificació.

• Aplicar el criteris de divisibilitat.

• Reduir fraccions a comú denominador.

• Sumar, restar, multiplicar i dividir fraccions.

• Realitzar operacions amb potències de base fraccionària i exponent natural.

• Resoldre operacions combinades amb fraccions amb parèntesis i sense.

• Resoldre problemes de la vida quotidiana en els quals apareguin fraccions en diferents formes.

2. Continguts

3. Avaluació

Identificar els nombres fraccionaris i saber-los comparar, ordenar i representar.

Utilitzar les fraccions, les operacions amb fraccions i les propietats que tenen per recollir, transformar i intercanviar informació

i resoldre problemes relacionats amb la vida diària.


La unitat comença amb una revisió del concepte de fracció i un petit recordatori que les fraccions es poden expressar en forma

decimal. De manera natural sorgeix la necessitat de considerar fraccions amb signe (de fet, ja havíem parlat de decimals amb signe

en la unitat anterior), posant un signe + o – al davant de la ratlla de fracció. Interpretant les fraccions com a quocients i tenint en

compte la regla dels signes de la divisió, es treballen diferents expressions d’una fracció amb signe:

3

4

3

4

3

4

1

2

1

2 0,5

Fraccions22

Conceptes

• Fraccions.• Fraccions positives i ne-

gatives.• Fraccions equivalents.

Amplificació i simplifi-cació.• Reducció de fraccions a

comú denominador.• Addició i subtracció de

fraccions.• Multiplicació de frac-

cions.• Divisió de fraccions.• Potències.• Operacions combinades.

Procediments

• Representació gràfica de les fraccions com a partd’una unitat.

• Càlcul de la fracció d’un nombre.• Expressió gràfica de situacions quotidianes.

• Obtenció de fraccions equivalents a una fracciódonada. Amplificació.• Conversió de fraccions equivalents a una fracció

donada. Simplificació.• Reducció a comú denominador.• Comparació i ordenació de fraccions.• Càlcul de sumes i restes de fraccions.• Càlcul de multiplicacions i divisions d’una fracció

per un nombre.• Càlcul de multiplicacions i divisions de fraccions.• Càlcul de potències de fraccions amb exponent

natural.• Plantejament i càlcul d’expressions numèriques

amb fraccions fent servir les operacions, els parèn-tesis i les propietats de les operacions.

• Resolució de problemes.

Actituds

• Actitud receptiva envers les fraccions i les opera-cions amb fraccions.

• Interès per incorporar aquests conceptes a les es-tratègies de resolució de problemes.

• Constància en la cerca de les possibles solucionsals problemes amb fraccions.• Valoració dels resultats obtinguts operant amb frac-

cions enfront dels càlculs aproximats amb nombresdecimals.

• Confiança en les pròpies capacitats per afrontar problemes i fer càlculs i estimacions numèriques.


10/99

En aquest curs no introduïm la nomenclatura de «nombre racional» perquè ja ho farem el curs que ve, quan parlem dels nom-

bres irracionals i es pugui entendre, en contraposar l’un a l’altre, per què es fan servir aquests noms.

Els continguts relatius a les fraccions treballats a 1r s’amplien ara en les fraccions amb signe: fraccions equivalents, simplifica-

ció i amplificació, reducció de fraccions a comú denominador, addició i subtracció. Aconsellem treballar sempre amb una expres-

sió de la fracció amb el denominador positiu.

De 1r es repassa la multiplicació de fraccions i s’amplien aquestes operacions a les fraccions negatives. S’introdueix la divisió

de fraccions i les potències de fraccions. Insistim en la conveniència de simplificar sempre abans d’operar perquè els càlculs siguin

més senzills.

Al final de la unitat es treballen les operacions combinades amb fraccions. A la pàgina 44, la pràctica de la propietat distributi-

va per multiplicar una fracció per una suma de fraccions pot ser considerada una activitat d’ampliació.

Al llarg de tota la unitat hi ha intercalats problemes de fraccions.

5. Solucionari

1. a) b)

2. de 87

Volen fer bàsquet 58 alumnes.

3. Perd dels partits. Guanya dels partits

4.

Nois: ; noies:

5. a) b)

6.

7. a) ; ; ; ;

b) ; ; ; ;

c) ; ; ; ;

d ) ; ; ; ;

8. ; ;

9. a) Fals; Cert;

b) Cert; Fals;

c) Fals; Cert.

10. Negativa; Positiva; Negativa;

Positiva; Negativa.

11. ; ; ;

12. a) i Sí; i Sí; i No.

13. ; ; ;

14. a) b) 0,75 c) 3,5

15. Operacions: 324 : 12 27

25 · 27 675

16. . No es pot perquè 2 · … 323 no es pot com-

pletar amb un nombre natural.

17. a) ; ;

b)

;

18. a) ; ;

b) ; ;

19.

20. a) ; ; ; ;

b) ; ;

;

Classificació en fraccions equivalents:

Fraccions equivalents a :16

24,

10

15 i

72

108

2

3

2430

45

6480

810

45

72

108

8

12

2

3

6

12

1

2

12

15

4

5

4

5

10

15

2

3

16

24

2

3

25

30

5

6

10

12

36

24

6

4

3

2

49

7

7

1 7

3

4

3

4

25

100

1

4

24

18

4

3

30

21

10

7

210

54

70

18

35

9

1 998

1 998

1

1 1

9

12

3

4

5944 356 66484

33242 322

450

825

90

165

18

33

6

11

536

268

1

2

100

200

1

2

8

36

2

9

3

2…

324

25

12 675

324

1

4

17

5

13

4

15

6

13

5

15

6 2,5

17

5 3,4

13

5 2,6

13

4 3,25

2

7

2

7

15

2

15

2

5

8

5

8

3

7

6

11

3

7

5

8

8

7

4

7

2

3

8

5

3

4

2

5 0,4

3

5 0,6

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

1

5

1

5

124,567 124 567

1 0003,47

347

10012,6

126

10

15

10 1,5

10

10 1

3

10 0,3

2

10 0,2

1

10 0,1

5

5 1

4

5 0, 8

3

5 0,6

2

5 0,4

1

5 0,2

5

4 1,25

4

4 1

3

4 0,75

2

4 0,5

1

4 0,25

52 2,542

232 1,522

112 0,5

3

5

3

8

1

8

3

5

2

5

nois noies

3

5

2

5

2 87

3 58

2

3

1

10

1

4

Unitat 2 Fraccions

10

· 2

· 2


11/99

Fraccions equivalents a



21.

22.

23. a) ; ;

b) ;

;

24. a) ;

; ;

b) ; ;

25. ;

26.

27. a)

b)

28. ;

29.

30. Despesa total: 910 810 530 2250 euros

El lloguer representa:

31. a)

Nombre de persones que érem:7 · 6 42 persones

b)

Vam ser: 3 · 7 21 persones.

32.

Nombre de trossos que tenim: 6 · 5 30.

Nombre de trossos que sobren: 30 23 7 trossos.

Sobra de pastís, és a dir, 1 pastís i .

33.

Nombre de persones que ens hem reunit:

persones

34. a)

b) ;

mcm (40, 32, 20) 25 · 5 160

35.

36. ; ; ;

S’han repartit : No és possible.61

60

2

5

24

60

1

6

10

60

1

5

12

60

1

4

15

60

3

4

5 20

4

2 14

7

4

7

40 23 5

32 25

20 22 511

40

44

160

1

32

5

160

3

20

24

160

7

15

14

30

4

5

24

30

1

30

1

30

2

5

12

30

1

3

10

30

7

2

105

30

405 34 5

162 2 34

mcm (405,162) 2 34 5 810

1

405

2

810

5

162

25

8103

7

9

21

4

21

4

21

3

4

15

20

1

5

4

20

5 8

2 20

8 pastissos

1

6

7

6

5 pastissos

7 coques

7 coques

910

2 250

7 13 2 5

2 32 53

91

225

480 (118 156 86)

480

120

480

12

48

1

4

25

40

5

8

15

40

3

8

20

15

28

21

24

18

4

3

16

12

45

27

15

9

20

12

5

3

30

18

168

189

23 3 7

33 7

23

32

8

9

125

300

53

3 22 52

5

3 22

5

12

96

72

25 3

32 23

22

3

4

3

54

60

2 33

22 3 5

32

2 32 5

3

10

10 5

5

15

5

3

1

3

10 5

5

10

1

10

25 33

26 37

1

2 34

24 32

2 35

23

3323 5

2 3

22 5

3

32 5

3 55

3

5422 3 74

28 73

5 7

23

24 3 7

23 3

2 7

1 2 7

32 5

33 53

1

3 52

23 5

22

2 5

1 2 5

3 11 17

3 11

17

1 17

2 7

2 5 7

1

5

2 3 5

3 5 7

2

7

3 3 7

2 3

3 7

2

5 3

24 35

5 3 22 32

26 37

5 22 33

26 37

7

112 13

7 11 13

113 132

1

2 :

6

12

4

5 :

12

15

4

5 :

64

80 i

24

30

Unitat 2 Fraccions

11

2


12/99

37.

38. a) ;

;

b)

;

39. a)

b)

84 242 2

21 3

7 7

1

mcm (84, 18) 22 · 32 · 7 252

225 3 135 3

75 3 45 3

25 5 15 35 5 5 5

1 1

mcm (225, 135) 33 · 52 27 · 25 675

c) ;

d )

mcm (4, 18, 20) 22 · 32 · 5 180

mcm (15, 6, 20) 22 · 3· 5 60

40.

mcm (50, 60) 22 · 3 · 52 300

mcm (12, 30) 22 · 3 · 5 60

41. a)

b)

mcm (36, 15, 10) 22 · 32 · 5 180

42. a)

b)

c)

d )2

3 1 5

6 7

12

1

18

20 8 6 25

30

31

30

23

4

15 1

5

5

6 2

3

4

15

1

5

5

6

36

48

32

48

5

48

9

48

3

16

3

4 2

3

5

48 3

4

2

3

5

48

12

20

15

20

14

20

13

20

3

5 34 710 35 34 710

36 22 32

15 3 5

10 2 5

25

180

12

180

18

180

25 12 18

180

19

180

5

36 1

15

1

10 5

36

1

15

1

10

36 22 32

30 2 3 5 mcm (36, 30) 22 32 5 180

25

180

6

180

19

180

5

36

1

30

5

36 1

15

1

10 5

36 2

30

3

30

12 22

3

30 2 3 5

25 2 120

60

147

60

49

20

5

12

1

30 2

25

60

2

60

120

60

50 2 52

60 22 3 5

18 4 500 5

300

4 523

300

3

50 15

1

60

18

300

4 500

300

5

300

15 3 5

6 2 3

20 22 5

8 110 9

60

109

60

2

15

11

6

3

20

8

60

110

60

9

60

4 22

18 2 32

20 22 5

135 50 9

180

76

180

38

90

19

45

3

4

5

18

1

20

135

180

50

180

9

180

63

36

35

20

7

4

7

4 0

9

2

18

4

18

4

18

4 0

4

3

4

3 0

225 32 52

135 33 5

2

225

1

135

6

675

5

675

6 5

675

1

675

84 22 3 7

18 2 32

5

84

7

18

15

252

98

252

15 98

252

83

252

5

8

3

10

25

40

12

40

25 12

40

13

40

7

3

14

15

35

15

14

15

35 14

15

21

15

7

5

3

4

7

24

18

24

7

24

18 7

24

25

24

2

9 3

5 10

45 27

45 10 27

45 17

45

4 8

5

20 8

5

12

5

3

7 2

3 14

7

11

7

4

5 2

4 10

5

14

5

8 2

3

24 2

3

26

3

3

5 2

3 10

5

7

53

7

2

6 7

2

1

2

23

1 2 33

13

2 34

8 34

114

1

9

5

9

2

9

1 5 (2)

9

4

9

4

5

3

5

4 (3)

5

7

5

7

8

5

8

7 5

8

2

8

Unitat 2 Fraccions

12


13/99

e)

43. a)

de

b)

de

c)

3 vegades

44. a) ;

;

b) ;

;

c) ;

;

d ) ;

;

e) ;

;

f ) ; ;

g ) de

h)

45. a b f g

c d e

h

46. Invers de ; invers de ;

invers de ; invers de .

47. Fracció de treballadors que no són ni informàtics ni engi-

nyers: .1

7

9

1

9

1

3 3

4

7

7

4

3

8

8

3

3

5 de

4

5 de 50

3

5

4

5 50 24

1

2 de

3

4 de

2

5

1

2

3

4

2

5

3

20

2

7 de

4

5

2

7

4

5

8

35

305 3

5 305 183

3

5

3 1

3 17

1

7

7

7 1

4

3

3

4 1

7

4

5

3 24

70

1 70

3

16

2

3 8 1

2

3 4

5

9

40

27

14

6 (9)

21

1 21

55 8

15

88

3

5 3

7

15

7

4

9

5

8 27

10

3

4

24

15 10

21

11

6

88

63

9

5

3

7

3

2

81

70

4

3

3

2

2

1 2

8

35

7

16

1

10

12

48

36

10

9

10

3

14

21

25

9

50

4 75

45 2

4

45

75

2

10

3

4

3

5

9

4 5

39

20

27

27

3 67

27

27

3

7

4

5

12

35

4

5

3

7

4

5

4

5

3

7

12

35

3

7

4

5

3

7

715

76

1430

3530

2130

710

13

2

15 5

6 2 7

15 7

6

48

72

12

72

42

72

4

72

74

72

37

36

2

3

1

6

7

12

1

18

Unitat 2 Fraccions

13

2 5

3

3

2

1 9

41

1

1

5 2

2

5 2

5 3

2 2

3

1

3

1 1

11

7

1

1

8

1

1 1

2

61

62

2

1

3

4

1

1 1


14/99

Nombre de treballadors informàtics:

treballadors

Nombre de treballadors enginyers:

treballadors

Nombre de treballadors ni informàtics ni enginyers:

3500 (1000 2000) 500 treballadors

48.

49. Ha obtingut:

50. Entrada:

He pagat a cada termini:

51. Nombre de caixes que ha venut a 2,70 € la caixa:

caixes

Ha cobrat per la venda de les caixes a 2,70 € la caixa:

2,70 · 27 72,90 €

Pes de tomàquets que ha venut a 1,30 € el kg:

(45 27) · 3 18 · 3 54 kg.

Ha cobrat per la venda dels tomàquets a 1,30 € el kg:

1,30 · 54 70,20 €

Ha cobrat en total: 72,90 70,20 143,10 €

52. Fracció dels participants que han recollit un obsequi:

53. Fracció del total que aboquem:

Fracció del bidó que ha quedat plena:

54. Fracció del terreny que compra la 1a persona:

Fracció del terreny que compra la 2a persona:

Fracció del terreny que compra la 3a persona:

Superfície total:

305 : 42 12810 m2

Superfície de la 1a part:



55. Mètode 1

La capsa plena contenia 18 bombons.Mètode 2

Nombre de bombons que contenia la capsa plena:

de 12 = 18 bombons

56. a) Fracció de la collita que s’ha quedat:

Pes de la collita: 95 · 40 3800 kg

b) Pes de raïm que s’ha quedat la primera cava:

kg

Pes de raïm que s’ha quedat la segona cava:

kg

57. Fracció que he gastat dels diners que tenia:

Fracció que em queda dels diners que tenia:

Quant tenia al principi? 0,60 · 9 5,40 €.

58. a) ;

;

b) ; ;

59. ampolles

60. trossos

61. ;

62. ; ; 453 64

125; 2

55 32

243323 27

8322 9

4

2

5 2

5 2

5 2

5

2

5 43

7

3

7

3

7

3

7 3

28

1

2

28 2

1 56

90

3

4

90 4

3 120

12

35

10

3

12

35

3

10

18

175

4

9 : 5

4

9

1

5

4

457 :

2

3 7

3

2

21

2

36

63 :

27

28

36

63

28

27

16

27

8

7 :

11

5

8

7 5

11

40

77

4

5 :

11

3

4

5

3

11

12

55

0,60€

1

9

2

3

2

3

1

3

2

3

2

9

6 2

9

8

9

3

8 3 800 1 425

35

3 800 2 280

40 24 15

40

1

40

1 35

3

8 1 3

5

3

8

3

2

12 bombons

6 · 3 =18 bombons

122 = 6 bombons

4

21 12 810 2 440 m2

8

21 12 810 4 880 m2

3

7 12 810 5 490 m2

1 37

8

21 1 9 8

21 1

17

21

4

21

2

3

4

7

8

21

3

7

1

2

3

8

1

8

3

4 de

1

2

3

8

1

3

1

2

1

6

3

5 45 27

575 115

10

460

10

46

1

5 575 115

7

6 19 716 23 002

3

5 1 960 1 176

4

7 de 3 500

4 3 500

7 2 000

2

7de 3 500

2 3 500

7 1 000

Unitat 2 Fraccions

14

500

500

4 4

9

6

5

30

3


15/99

63. ; ;

;

64. . No és possible.

;

65. a)

b)

c)

d )

e)

f )

g )

h)

i)

j )

k )

l )

m)

n)

66. a)

b)

67. a)

b)

El primer mètode és més senzill.

68. a)

b)

69.

70.

71. ; 1; ; 1

72. a)

b)

73. a) ; ; 1 232 1 4

9

5

92

3 2 4

92

32 4

9

1 1

2 1 2

1

2

3

2

4 380

4 381

224

448 1

1

4 381

4 381

4 381

1

2 1

2 1

2 3

1

3 4

1

4 1 1 1 3

1

2

1

3

1

4

1

2

1

3

1

4

1

3

1

4

1

4

7

4

3

2

5

12

7

12

1

12 4

13

13

12

4

13

1

3

5

12

4

13

7

12

4

13

1

12

4

13

3

4 33

3

4 3

3

4 (33 3)

3

4 36 27

9

8

1

4

9 2

8

11

8

3

2 3

4

1

6 3

2 3

4 3

2 1

6

3

2

11

12

11

8

3

2 3

4

1

6 3

2 9

12

2

12

14

9

7

18

28 7

18

21

18

7

6

7

3 2

3

1

6 7

3

2

3

7

31

6

7

3

2

3

1

6

7

3

4 1

6

7

3

3

6

7

6

24

5 : 8

1 2 :8

5

24

40

1 10

8

24

40

18

8

24

40

8

18

4

15

19

10

19

9

19

10

9

19

9

10

7 23 : 4 2

3

1 2 59

19

3

3

10

1 109

1 3

4

2 3

8

7

4

13

8

7

4

8

13

14

13

2

3 1

5

6

1

3

1

3

3

6

1

3

6

3

2

3

5

2 3

4

5

5

4

5 :5

4 5

4

5 4

1 2

5

3

7

5

3

7

5

1

3

7

15

3

5

3

10

1

5

6 3 2

10

11

10

3

5 3

10 : (1) 1

5

3

5 3

10

11

15

3

4

1

2

1

2

3 2 2

4

1

4

3

4

1

3 :

2

3

1

2

3

4

1

3

3

2

1

2

9 4

12 :

4 3

6

5

12 :

1

6

5

12

6

1

5

2

34

1

3 : 2

3

1

2

3

4

7

8

5

12

3

2

18 21 10 36

24

29

24

5

4

11

2

5 22

4

27

4

2 34 3 1

2 2 1

5 5

4

5

2

11

5

2 35 1 7

10 13

5

3

10

39

50

1 34

: 25

1 34

52

1 158

238

3

8

2

5 12

7

9

35

3

4 2

5 1

3

10 1

3 10

10

7

10

2

25

3

5 2

2

25

6

5

2 30

25

28

25

35 2

90

25012 6

1

64

25 8

125

12 6 1

643

2 4 81

16

45 3 64

1253

4 2 9

16

Unitat 2 Fraccions

15

1

2

2

2

1

2

2

8

5 6

9

3

3

2

1

14

4

1

1

1

3


16/99

b) ;

;

c);

;

d );

74. kg de raïm de costa

3 kg i de raïm costaran: 14 · 0,90 12,60 €.

75. Mètode 1

L’any passat en va collir 975 kg.

Mètode 2

Fracció del que va collir l’any passat que representa el

que ha recollit aquest any:

Fracció del que ha collit aquest any que representa el que

ha collit l’any passat:

Pes de fruita que va collir l’any passat:

76.

Abans de les rebaixes valia 60 €.

77.

Nombre d’habitants del meu poble quan no hi ha estiue-

jants:

habitants

78. a) ;

;

b) ; ;

c) ; ;

d ) ; ;

e) ; ;

f ) ;

79. a)

b) ;

Hi caus?

Repartint pastís

a) b) c)

d )

Lluna2

3

1

4

56

vuit parts4 talls

vuit parts3 talls

sis parts3 talls

quatre parts2 talls

dues parts1 tall

3

4

36

7

27

7

9

7

3

5

2 300

2

468

1 234

4

600

1

4

11 111

25

753

33

333

1

2 :3

7

14

33 :

1

2 6

6

25 (5)

6

5

5

2 :

5

4 2

5

4 :

3

2

10

12

5

6

2

3 :

1

4

8

5

3

5

5

3 1

2

7

7

4

1

2

2

3

9

5

6

5

2 3

4

5

41

2

7

5

73

2

5

13

5

2

27

5

3

2 45

27

43

27

3

2

5

6

9

6

5

6

4

6

1

2

1

4

1

4

327

3 2 218

estiuejants327 hab.

gent del poble

preu abans de les rebaixes

preu després de les rebaixes: 51€rebaixa

5117

= 3 €

3 · 20 = 60 €

3

4 de 1 300 325 kg

3

4

1 1

3

4

3

Va collir l’any passat

Ha collit aquest any: 1300 kg

13004

= 325 kg

325 · 3 = 975 kg

1

2

2,70

3 0,90

1

4

322 : 3

43 9

4 :

27

64

9

4

64

27

16

3

43

3

2 2

43 9

4 16 9 144

233 3

8 2 8

27

9

64

1

24

1

3

72

10

1

3

49

10

49

30

1

3 7

102 1

3

49

100

49

300

13 710 2

730 2

49

900

1 233 1 8

27

19

27

1 233 1

33 1

27

1 23

3 1

8

3

5

3

Unitat 2 Fraccions

16

1 1

16

3

3 2

11

2

2

3 8


17/99

1. Objectius

• Expressar en llenguatge algebraic enunciats donats en llenguatge usual.• Calcular el valor numèric d’una expressió algebraica.• Simplificar l’escriptura d’expressions algebraiques.

2. Continguts

3. Avaluació

Expressar situacions de la vida quotidiana mitjançat el llenguatge algebraic.Obtenir el valor numèric d’expressions algebraiques mitjançant càlcul mental o escrit, calculadora

o ordinador.Reduir i simplificar les expressions algebraiques.


Es defineix expressió algebraica com un conjunt de nombres i lletres lligats pels signes de càlcul is’explica que el signe de multiplicar es pot sobreentendre davant d’una lletra o davant d’un parèntesi.

Quan calculem el valor numèric d’una expressió algebraica per a algun valor de la lletra que hi inter-

vé, ens podem imaginar aquesta lletra com un espai que cal omplir amb aquest valor. És aquesta, pot-ser, la primera aproximació a la idea de funció, que s’introduirà el curs que ve.

Per simplificar l’escriptura d’una expressió algebraica que és una multiplicació de factors repetits,l’expressem en forma de potència:

També podem simplificar l’escriptura d’una suma de sumands repetits. Diem, en aquest cas, que lareduïm:

Per simplificar l’escriptura d’una suma algebraica, en reduïm els termes semblants:

Reprenem la propietat distributiva, ara treballant amb lletres, que és quan esdevé més útil. Introduïmla doble distributiva per multiplicar una suma algebraica per una altra. I traiem factor comú d’unasuma algebraica.

2 x 7 5 x2 3 x 4 3 x2 8 x2 x 3

x x x 3 x

x x x x3

Expressions

algebraiques33

Conceptes

• Expressions algebraiques.• Valor numèric d’una expressió

algebraica.• Multiplicacions de factors repe-

tits. Simplificació de l’escriptura.• Sumes algebraiques de sumands

repetits. Reducció.• Factor comú.• Quocients algebraics.

Procediments

• Interpretació i ús de símbols i expressions prò- pies del llenguatge algebraic per expressar fra-ses i enunciats.

• Simbolització de nombres no concrets per mit- jà de lletres.

• Obtenció del valor numèric d’expressions algebraiques per substitució.

• Reducció d’expressions algebraiques.• Simplificació d’expressions algebraiques mit-

jançant l’eliminació de parèntesis, l’agrupa-

ment de termes, el càlcul del factor comú…

Actituds

• Valoració positiva del caràcter instrumentaldel llenguatge algebraic com a llenguatge queés útil per resoldre problemes de la vida quoti-diana.

• Actitud receptiva envers el llenguatge algebraic i les operacions algebraiques.

• Preocupació per actuar de manera sistemàticai acurada a l’hora de reduir i simplificar expressions algebraiques.

• Interès per incorporar aquests conceptes a les

estratègies de resolució de problemes.


18/99

Finalment, treballem quocients algebraics: la simplificació i les operacions. Cal insistir que, si un signe menys que es trobadavant d’una ratlla de quocient, el traslladem al numerador, cal posar primer el numerador entre parèntesis.

Al llarg de tota la unitat es demana als alumnes que expressin en llenguatge algebraic nombroses i diverses situacions.Als exercicis 38, 39 i 40 hi diu «expressa en funció de…». Hi apareix per primera vegada la paraula «funció», un concepte que

s’introduirà el curs que ve.Al final de la unitat es fa servir el full de càlcul per trobar el valor numèric d’expressions algebraiques o per resoldre problemes

per tempteig.

5. Solucionari

1. a) 3 · 5; 3 · x 3 x; 5 · 7 · x 5 · 7 xb) 2 · ( x 5) 2( x 5); 3 · x 4 · 5 3 x 4 · 5;

5 · a · b 5ab

2. a) x y; b) x y; c) y x; d ) x( p q)e) ( x a) : b; f ) 2 x; g ) abc; h) (a b) (c d )i) x2; j ) x2 y2; k ) ( x y)2

3. a) a b; b) a b; c) b a;d ) a a a a, o bé 4a

4. a) AB x 3

b) AB x 15c)

d ) AB 8 x

5. a) 1, 20 x; b) 9 y;

6. d ) ; e)

7. 4 x; b) 2(a b); c) π x

8. a) x2; b) ab; c) ; d ) π y2

9. a) ; b)10. a) ; b) c 2; c) ; d ) ; e) 1030c; f ) p – 20; g ) 53 x

11. a) x 10 x 6b) x 23c) Fill gran: x 20. Fill petit: x 22.d ) 50 xe) x 3

12. a) n 1; b) n 1;c) n 1, n, n 1; d ) n, n 1, n 2

13. 100 x; ;

14. a) 10; 10t ; b) 75; 75 · t

15. a) pn b) x y c)

16. a) 3 · 2 5 6 5 1b) 3 · (2) 5 6 5 11

c)

d )

17. a) 7 · 3 8 21 8 13b) 7 · (3) 8 21 8 29

c)

d ) 7 8 1 8 9

18. a)

b)

19. a)

b)

c)

d )

20. a) 22 4(2)2 4

b) (2)2 2 4 2 6(2)2 2 4 2 6

c) (2)2 1 4 1 3(2)2 1 4 1 3

d ) 2 · (2)2 2 · 4 82 · (2)2 2 · 4 8

e) 2 · (2)2 4 2 · 4 4 8 4 42 · (2)2 4 2 · 4 4 8 4 4

f ) 2 · (2)2 3 · 2 5 8 6 5 72 · (2)2 3(2) 5 8 6 5 19

2 12

2

4 2 14

4 12

72

2 12

2

4 12

4 72

2 12

2

2 14

12

2 12

2

2 14

12

1

2 2

1

1

4

1

3

4

12

2

1 14

1 34

12

2

2 14

2 94

12

2

2 14

2 94

12

2

1

4

12

2

14

6 16

245 3 1

6

1 24

5 12

25

92

509

6 16

24

5 3 16

1 24

5 12

23

112

46

11

6 (4) 24

5 3 (4)

24 245 12

487

487

6 4 245 3 4

24 245 12

0

17 0

12 (2) 4

6 (2) 1

24 412 1

20

11

2011

12 2 46 2 1

24 412 1

2813

17

7 17

8 1 8 7

3 12 5 3

2 5

3 102

13

2

3 12

5 32

5 3 10

2

72

m

n

ab

100

m2d

1 000

y

2 x

4

g

2

x

5

12

x

ab

2

34

x5,20

x

x

4

AB x

3

Unitat 3 Expressions algebraiques

18


19/99

21. a) Resultat 5 · xb) Resultat x 7c) Resultat x 3

22. a) x3; x2 · y3

b) ab; ab2

c) 35 x2; 5 xd ) 21 x2; 10 x2 y3

23. a) x3; x4

b) x6; x7

c) x3 · y2; x3 y3

24. a) 8 · x · (3) · x2 24 x3

5 x · x · x · x2 · 2 10 x5

b) 3 · x2 · (7) · x · (1) 21 x3

5 x · 7 x2 y 35 x3 yc) x · ( x) · x x3

3 x2 · (5) · ( x) 15 x3

25. a) x · 7 7 x; x · 5 5 x; x · (8) 8 x; 11 · ( x) 11 x

b) x(2) 2 x; ( x) (2) 2 x; x · 2 2 x; ( x) · 2 2 x

26. a) 6 x;b) 5 x;c) x;

d ) x

27. a) 4 x 2 x 6 x; 4 x 2 x 3 x 9 xb) 7 x 5 x 2 x; 4 x 6 x 2 xc) x 2 x 3 x; 4 x 12 x 3 x 13 x

28. a) 6 x2 3 x2 9 x2; 4 x2 x2 3 x2

b) 6 x2 4 x2 2 x2; x2 6 x2 7 x2 0

29. a) 2 x 3 4 x 8 6 x 5; 5a 3a 8ab) 12 5 x 3 9 x 14 x 9; 7 y 9 y 2 yc) 2 x 3 y 4 x y 6 x 2 y; 2 x 2 x 3 x 2d ) 4 5 x 2 7 x 6 x 1; x y no es pot.

30. a) 3 x2

x

3b) 3 x2 3 x 6c) 76 x2 15 x 33d ) 2 x 6 y 1e) 27 x 6 y 9 f ) 14a 6b 1

31. a) 4 x (5 7 x) 4 x 5 7 x 11 x 5b) 2 x (3 x 4) 2 x 3 x 4 5 x 4c) (8 x 2) (4 x 5) 8 x 2 4 x 5 4 x 7d ) (4 x 7) (3 x 8) 4 x 7 3 x 8 x 1e) 4 (3 x2 4 x 1) 2 x 4 3 x2 4 x 1 2 x

3 x2 6 x 5

32.

33. 4 x y

34. a) AB 3 x 2b) AB 15 3 x

35. Rectangle:

P 2( x y)Quadrat:

P 4 xRomboide:

P 2( x y)Rombe:

P 4 x

36. Triangle equilàter:

P 3 xTriangle isòsceles:

P 2 x y

Triangle escalè:

P x y z

Trapezi isòsceles:

P x y 2 z

37.

S xy S x2

x x x

x

x

x

y

y

x

y

z z

z

y x

x x

y

x x

x

x x

x x

x x

y

y

x

x

x

x

x x

y

y

x y y x x y y x

y x

y x

12

32

102

142

7

2 12

2

312 5 1

2

32

5

2 12

2

312

5 12

32

5 12

32

102

92


19


20/99

38.

39.

40. (10 y) x

41. 3 x x 2 x

42. Fill gran ara: x 20.Fill petit ara: x 20 2 x 22.Pare, d’aquí a tres anys: x 3.Fill gran, d’aquí a tres anys: x 20 3 x 17.Fill petit, d’aquí a tres anys: x 22 3 x 19.

43. 30 x 25 y

44. 3c 7

45.

46. a(b c) ab ac

47. a(b c) ab ac

48. (a b) (c d ) ac ad bc bd

49. a) 4(8 x) 4 · 8 4 x 32 4 x3( x 4) 3 x 3(4) 3 x 12

b) 2(3 x 5) 2 · 3 x 2(5) 6 x 103 x(2 x 1) 3 x · 2 x 3 x(1) 6 x2 3 x

c) (3 x 1) 5 3 x · 5 1 · 5 15 x 5(3 x 1) (2) 3 x · (2) 1(2) 6 x 2

d ) 4 x (5 3 x2) 20 x 12 x2

x(3 x 2) 3 x2 2 xe) 3( x2 x 4) 3 x2 3 x 12

4( x2 3 x 2) 4 x2 12 x 8

50. a) 2(3 x 2) 4 x 3 6 x 4 4 x 3 2 x 7

b) 3 ( x 4) 2(5 x 3) 3 x 12 10 x 6 7 x 6

c) 7(3 8 x) 4(3 x 1) 21 56 x

12 x 4 44 x 25

d ) 5 · (3 10 x) 3 x · (2 x 7) 15 50 x 6 x2 21 x 6 x2 29 x 15

e) 3 x · (–2 x 7) 3 · (4 x 8) 6 x2 21 x 12 x 24 6 x2 9 x 24

f ) [3 2 · (4 x)] (2 x) (3 8 2 x) (2 x) 5 2 x 2 x 3 x

51. a) (2 x) ( x 5) 2 x 10 x2 5 x x2 7 x 10b) (4 x) (3 x 6) 12 x 24 3 x2 6 x

3 x2 18 x 24c) ( x 4) (2 x) 2 x x2 8 4 x x2 2 x 8d ) ( x 3) ( x 8) x2 8 x 3 x 24 x2 11 x 24e) (2 x 5) ( x 4) 2 x2 8 x 5 x 20

2 x2 3 x 20 f ) (3 x 2) (3 2 x) 9 x 6 x2 6 4 x

6 x2 13 x 6

g ) (4 x 2) 2 x 4 x2 1 2 x

24 x2 4 x 1

52. a) (x 3)2 ( x 3) ( x 3) x2 3 x 3 x 9 x2 6 x 9

b) ( x 4)2 ( x 4) ( x 4) x2 4 x 4 x 16 x2 8 x 16

c) (4 x 3)2 (4 x 3) (4 x 3) 16 x2 12 x 12 x 9 16 x2 24 x 9

d ) (3 x 1)2 (3 x 1) (3 x 1) 9 x2 3 x 3 x 1 9 x2 6 x 1

e)

53. a) ( x 5) ( x 5) x2 5 x 5 x 25 x2 25b) (2 x 3) (2 x 3) 4 x2 6 x 6 x 9 4 x2 9c) (4 x 2) (4 x 2) 16 x2 8 x 8 x 4 16 x2 4

d )

54. a) 3 x (2 x 3) ( x 4) 3 x 2 x2 8 x 3 x 12 2 x2 8 x 12

b) 5 x (4 x 1) (3 x 2) 5 x (12 x2 8 x 3 x 2) 5 x (12 x2 5 x 2) 5 x 12 x2 5 x 2 12 x2 10 x 2

c) 3(4 3 x) (2 x 1) (3 x 2) 12 9 x (6 x2 4 x 3 x 2)

12 9 x 6 x2 4 x 3 x 2 6 x2 8 x 10

d ) (2 x 1) ( x 3) (3 x 2) (2 x2 6 x x 3) 3 x 2 2 x2 7 x 3 3 x 2 2 x2 4 x 1

55. a) (2 x 3)2 5(3 x) (2 x 3)(2 x 3) 5(3 x) 4 x2 6 x 6 x 9 15 5 x 4 x2 7 x 24

b) ( x 2)2 ( x 2)2

( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x2 2 x 2 x 4 ( x2 2 x 2 x 4) x2 2 x 2 x 4 x2 2 x 2 x 4 8 x

c) ( x 5)2 ( x 5)( x 5) ( x 5)(( x 5) ( x 5)( x 5) x2 5 x 5 x 25 ( x2 5 x 5 x 25) x2 5 x 5 x 25 x2 5 x 5 x 25 10 x 50

56. a) 5( x y)5( x 2)

b) 5(5a 3)5(2 x 1)

c) 5(3 x 7 y 10 z )5( x2 5 x 10)

d ) No es pot.5(2 x 1)

57. a) x(7 6) x(5 x2 8)b) No es pot. x(16 4 2)

58. 7 ( x 1) 7(2 x 3)

59. a) 3 x( x 9) 3 x (5 x 1)b) No es pot. 3 x(25 x 33)

60. x(38 53 12) 3 x

x(1,3 2,5) 1,2 x

61. a) ;

b) ;a

3a

13

3aa

31

3

ab

bc

a

c

ab

ac

b

c

3 x2

2 3 x2

2 9 x2

4 3 x 3 x 4

9 x2

4 4

x2

4 x x 4

x2

4 2 x 4

x2

22

x2

2 x2

2

12

x

7 x x

2

PT a b

2

MP a b

2


20


21/99

c) (no es pot);

d ) ;

62. a) ;

b) ;

c) ;

63. a) ;

b) (no es pot);

c) ;

64. a)

(no es pot);

b) (no es pot);

65. a)

b) (no es pot);

c) ; (no es pot).

d ) (no es pot);

e) ;

66. ; ;

67. ;

;

68. a)

b)

mcm (60, 24) 23 · 3 · 5 120

c)

d )

69. a)

b)

c)

d )

e)

f )

g )

h)

i)

2 x 2 24 9 x 15

6

7 x 376

2 x 2 24 (9 x 15)

6

x 13

4 3 x 5

2

5 2 x 1

3

15 2 x 13

16 2 x

3

3 5 x 2

4

12 5 x 24

10 5 x

4

1 x 2

4

4 x 24

2 x

4

6 x 12 10 x 10 15 x

60

11 x 260

6 x 12 (10 x 10) 15 x

60

x 210

x 1

6

x

4

47 x 29

100

x

5

x 14

x 2

50

20 x 25 x 25 2 x 4100

15 x 5 6 3 x

30

18 x 1130

3 x 16

2 x

10

15 x 5 (6 3 x)

30

x

15

2 x 156

2 x 10 x 75

30

12 x 7530

9 x 10 4 x

12

13 x 1012

3 x4

5 2 x

6

9 x12

(5 2 x) 2

12

2 x 4 x 1

6

x 36

x 23

x 1

6

2 x 4 ( x 1)

6

x

5 2

x 105

60 22 3 5

24 23 3

2 x 360

5

24

4 x 6 25120

4 x 31

120

23

x

4

8 3 x12

5 x 103 x 6

5( x 2)

3( x 2)

53

12 x 31 4 x

3(4 x 1)

1 4 x 3

3 x 15 x 5

3( x 5)

x 5 3

x 41( x 4)

1

2 x 51(2 x 5)

11( x 3)

x 3 1

2 x 83 x 12

2( x 4)

3( x 4)

23

x2 2 x3 x 6

x ( x 2)

3( x 2)

x2 4 x x 2 x2

x ( x 4)

x (1 2 x)

x 41 2 x

x

6 x 8

x 5 x22

x 65 x 30

x 6

5( x 6)

15

8 x 322 x 8

8( x 4)

2( x 4) 4

3 x 65 x 2

15 25 x10 x 35

5(3 5 x)

5(2 x 7)

3 5 x2 x 7

2 x 46 x 8

2( x 2)

2(3 x 4)

x 23 x 4

8a 162

2(4a 8)

2 4a 8

3 x 156

3( x 5)6

x 5

2

10 x 115

5 10 x15

5(1 2 x)

15

1 2 x3

10 x 815

6a 912

3(2a 3)

12

2a 34

;

a 8

a(a

8)

1

a

12(a 5)

15(a

5)

4

5

2(a 3)

5(a 3)

25

5(a 12)

6

3(a 5)

15

a 55

3(a 6)

3 a 6

36a2

60a2

35

45a3a3

15a2

9a2

15a 3a5

10a5b2

8a3b4 5a2

4b2

3a2b15ab2

a

5b3a2b3ab

a

8a6b

4a3b

15a51

5a17

ab

a b

a b

a


21

5

4

51

4


22/99

70. a)

b)

c)

71. a)

b)

c)

d )

e)

f )

g )

h)

i)

j )

k )

72. a)

b)

c)

73. a)

b)

c)

74. a)

b)

c)

d )

12 x 60 x 1

8

11 x 618

3 x 15

2

x 18

12 x 60

8

x 18

x 55

215

x 124

x 5

5

152

x 1

2

14

18 x 54 3 x2 2 x

6 x

3 x2 20 x 546 x

3 x 9

x

3 x 26

18 x 54

6 x

3 x2 2 x6 x

x 3

3

9 x

3 x 2

6

x 33

: x

9

3 x 29

32

x 5 x 1

10

2 x 44

2( x 2)

4

x 22

x 58

45

x 1

5

12

x 5

10

x 110

33 x 91

20

5 x 15

4

2 x 45

25 x 75 8 x 16

20

x 34

15

x 25

12

x 3

4 5

x 25

2

x 52

47

x 5

2

74

7 x 35

8

3 x 1

2

4

7

6 x 12

4

7

7 x2

514

7 x2

145

49 x5

x 46

:23

x 4

6

32

x 4

4

9 x

4

10

4

9 x 10

4

3 x5

23

154

3 x5

154

23

154

3 x5

23

154

9 x 10

15

154

9 x 10

4

3

20

3 x40

6 3 x

40

34

15

x

10 3

4

15

34

x

10

34

15

x

10 3

4

2 x10

6 3 x

40

3 x8

3

20

15 x 640

34

x2

15

34

x

2

34

15

34

x2

15

34

5 x 2

10

15 x 640

6 x2 3 x 10 x 5

20

6 x2 7 x 520

3 x 5

4

2 x 1

5

(3 x 5)(2 x 1)

20

x 12

34

3 x 3

8

2 x3

34

4

6

x

3

x 15

34

( x 1) 3

20

3 x 320

x

2

25

52

x

2

2 x

5

3 x

7

6 x2

35

x

4

2 y

7

xy

14

x

3

35

x

5

23

x

8

2 x24

x

12

x

4

25

x

10

x

3

x

5

x2

15

5 x 70 4 x 8 2

20

x 6020

5 x 70 4( x 2) 2

20

x

4

72

x 25

1

10 x

4

72

x 2

5

110

36 3 x 4 x 8 2

12

7 x 4612

3 x4

x 23

16

3 x4

x 2

3

16

45 x 10 x 12

30

35 x 1230

3 x2

x3

25

3 x2

x

3

25


22

1

2

3 5

2

2

3

3

1

1

3

12

1

1

7


23/99

e)

Els exercicis 75 al 83 cal fer-los amb ordinador.

Hi caus?

Sumes

1. a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 · 11 · 5 55

b) 1 2 3 … 12 13 … 22 23 24 25 · 25 · 12 300

c) 1 2 3 … 750 751 … 1498 1499 1500 1501 · 1501 · 750 1125750

2. a) 1 2 3 4 5 6 7 8 · 4 8 · 3 4 24 24 4 28

b) 1 2 3 … 8 … 13 14 15 16 · 8 16 · 7 8 112 8 120

c) 1 2 3 … 618 … 1233 1234 1235 1236 · 618 1236 · 617 618

762612 618 763230

1 2342

142

62

1 5002

24

2

102

x 2

2 1

x 2 22

x

2

x 23

23

1 x 2

3

32

11

x 13

23

1

3 x 13

23

1


23

11

11

11

11

11

25

25

25

25

1501

1501

1501

1501

8

8

8

16

16

16

1236

1236

1236


24/99

Equacions44

1. Objectius

• Identificar la incògnita en una equació.• Resoldre equacions additives per tempteig i pel mètode general.• Resoldre equacions multiplicatives per tempteig i pel mètode general.• Resoldre equacions de primer grau pel mètode general.

2. Continguts

3. Avaluació

Resoldre problemes senzills de la vida quotidiana en els quals calgui el plantejament i la resoluciód’equacions de primer grau.

Resoldre equacions de primer grau senzilles.Saber comprovar les solucions obtingudes d’una equació.


En aquest curs ens referim només a equacions de primer grau amb una incògnita. Definim equació

com una igualtat amb una lletra que designa un nombre desconegut. Per trobar aquest nombre, és a dir per resoldre l’equació, ho fem primer per tempteig: ens hem d’imaginar la lletra o incògnita com unespai que hem d’emplenar amb un nombre de manera que la igualtat es compleixi (ja havíem fet untreball similar de substituir una lletra per un nombre quan calculàvem el valor numèric d’una expres-sió algebraica). L’objectiu de resoldre algunes equacions per tempteig és que quedin ben clars els con-ceptes d’equació i de solució de l’equació.

A continuació passem a treballar la tècnica de resolució d’equacions. Resolem, en primer lloc, equa-cions additives, és a dir, equacions de la forma x + a = b (a ≠ 0), sumant o restant un mateix nombreals seus dos membres, i de seguida apliquem la mecànica corresponent:

• Si un nombre suma (o resta) en un dels membres d’una equació, passa a l’altre membre restant (osumant).

A continuació resolem equacions multiplicatives, és a dir, de la forma ax = b (a ≠

0), multiplicant odividint per un mateix nombre diferent de zero els dos membres, i de seguida ho fem aplicant la mecà-nica corresponent:

• Si un nombre multiplica (o divideix) en un dels membres d’una equació, pot passar a l’altre membre dividint (o multiplicant).

Conceptes

• Equacions.• Resolució d’equacions additives.• Resolució d’equacions multipli-

catives.• Resolució d’equacions senzilles.• Resolució d’equacions.• Resolució d’equacions amb

denominadors.

• Resolució d’equacions de la for-

ma . M N

P Q

Procediments

• Resolució per tempteig d’equacions de primer grau amb una incògnita.

• Aplicació de les regles de la suma i el produc-te per resoldre equacions de primer grau.

• Aplicació de les tècniques adequades per a laresolució d’equacions de primer grau (supres-sió de parèntesis i denominadors, reducció itransposició de termes i aïllament de la incòg-nita).

• Comprovació de les solucions obtingudesd’una equació per substitució.

Actituds

• Valoració positiva del caràcter instrumentaldel llenguatge algebraic com a llenguatge queés útil per resoldre problemes de la vida quoti-diana.

• Actitud receptiva envers el llenguatge algebraic, les operacions algebraiques i la resolu-ció d’equacions.

• Preocupació per actuar de manera sistemàticai acurada a l’hora de resoldre equacions.

• Interès per incorporar aquests conceptes a lesestratègies de resolució de problemes.


25/99

Unitat 4 Equacions

25

A continuació resolem equacions de la forma ax + b = c (a ≠ 0) i també equacions reduïbles a aquesta forma per transposició determes. Finalment resolem equacions amb parèntesis i equacions amb denominadors.

Insistim que els alumnes distingeixin entre una equació (o igualtat entre dues expressions algebraiques) i una expressió algebraica, i que entenguin quan es poden eliminar els denominadors i quan no es pot fer (exercicis 41 a 43).

Al final de la unitat resolem equacions de la forma M / N = P /Q, que apareixeran després, molt sovint, a la unitat 6, quan fem problemes de proporcionalitat.

Al llarg de la unitat es demana als alumnes que expressin amb una equació nombroses i diverses situacions que se’ls plantegeni que després resolguin l’equació. És el primer pas per poder, a la unitat següent, plantejar i resoldre problemes d’equacions.

5. Solucionari

1. a) x 9b) x 6c) x 6

2. Per a x 6, 4 5 x 4 5 · 6 4 30 26. No.Per a x 6, 4 5 x 5 5 · (6) 4 30 34. Sí.

3. a) Per a x 6,

; sí.

b) Per a ,

; no.

c) Per a ,

; sí.

4. a) Per a x 5,

; sí.b) Per a x 5,

;no.

c) Per a x 5, x2 3 x (5)2 3 (5) 25 15 40 ≠ 0; no.

d ) Per a x 5,

; sí.

5. a) x 20 35; x 15b) x 4 15; x 19c) 15 x 6; x 9d ) 5 x 40; x 8e) 2 x 120; x 60

f ) ; x 20

6. 71 i 632

7. 2373 i 2764

8. a) P 4 xb) Si x 3 P 12;

Si x 0,5 P 4 · 0,5 2c) 4 x 32

x 8

9. a) (5 x 3 x)2 (8 2 x)2 16 4 xb) Si x 3 16 4 · 3 16 12 28

Si x 0,5 16 4 · 0,5 16 2 18Si x 12 16 4 · 12 16 48 64

c) 16 4 x 18d ) x 0,5

10. a) x 18 9 x 9 18 x 9 x 30 40 x 40 30 x 70 x 60 35 x 35 60 x 25

b) x 25 53 x 53 25 x 78

x 41 52 x 52 41 x 93 x 30 1 x 1 30 x 29

c) 24 x 5 x 5 24 x 1927 x 2 x 2 27 x 2940 x 43 x 43 40 x 3

d ) 25 x 12 x 25 12 x 3736 x 15 x 36 15 x 51100 x 8 x 100 8 x 92

e) 34 45 x x 34 45 x 1199 60 x x 99 60 x 15915 12 x x 15 12 x 3

11. a) x

101

10 x

10

101 x

9130 x 42 x 42 30 x 1275 x 41 x 75 41 x 34

b) 1,2 x 3,6 x 3,6 1,2 x 2,4 x 28,7 11,3 x 11,3 28,7 x 17,41,16 x 0,7 x 1,16 0,7 x 1,86

c) x 36 117 x 117 36 x 15378 y 96 y 96 78 y 17481 7 a a 81 7 a 8843 2 b b 2 43 b 41

12. a) x 3 8; x 8 3; x 5b) x 5 2; x 2 5; x 7c) 54 x 22; x 54 22 32

13. x 5 20; x 20 5; x 15. Ara té 15 anys.

14. a) 12 x 60 x 5

40 x 120 x 3

b) 52 x 13

44 x 6

c) 32 x 44

12 x 3 x 14

x 3

12

x 118

x 4432

x 3

22

x 6

44

x 14

x 1352

x 120

40

x 6012

x

5 4

2 x2 x 2(5)2 (5) 2 25 5 55

55

2( x 7) 3 2(12) 3 24 3 27

5( x 1) 2 5(5 1) 2 5(4) 2

20 2 22

2( x 3) 2 (5 3) 2 (8) 16

4 x 4 4(5) 4 20 4 16

3 2 x 3 2 1

2 3 1 4

x 12

5 x 8 5 12

8 52

8 5 16

2

112

x 12

2

9

x 4 2

9

6 4 4

3

4 4 12

4

8

3

3


26/99

d ) 12 3 y y 4

111 3 x x 37

e) 21 3 p p 7

8 24 x

f ) x 4 · 2 x 8

x 15 · 3 x 45

15. a) x 7 x 7 x 21 x 21

b) 12 x x 12

1,5 x 3 x 2

c) 0,07 x 3,43 x 49

0,1 x 10 x 100

16. a) 1,25 x 3,75 x 3

b) 3 x 21 x 7

17. a) 15 x 21 159b) 15 x 159 21

15 x 180

El nombre que hem pensat és el 12.

18. a) 7 x 10 3; 7 x 3 10; 7 x 7; ; x 1

4 x 32 8; 4 x 8 32; 4 x 40; ; x 10

b) 30 2 x 60; 2 x 60 30; 2 x 30; ; x 1550 6 x 42; 6 x 42 50; 6 x 8;

;

c) 8 7 x 20; 7 x 8 20; 7 x 28; ; x 42 18 5 x; 5 x 2 18; 5 x 20;

; x 4

d ) 9 6 x 30; 6 x 9 30; 6 x 39; ;

9 6 x 3; 6 x 3 9; 6 x 6; ; x 1

e) x 5 8; x 8 5; x 3; x 3 x 3 2; x 2 3; x 5; x 5

f ) 13 x 6; x 6 13; x 19; x 19100 x 2; x 2 100; x 98; x 98

g ) 4 35 x; x 35 4; x 318 33 x; x 33 8; x 25

h) 3 x 2 4; 3 x 4 2; 3 x 6; ; x 2

4 x 11 15; 4 x 15 11; 4 x 26;

;

i) 7 x 30; x 30 7; x 2366 14 40 x; 40 x 66 14; 40 x 80;

; x 2

j ) 2,6 2 x 5; 2 x 5 2,6; 2 x 2,4; ; x 1,2

9 x 2 3,4; 9 x 3,4 2; 9 x 5,4; ; x 0,6

k ) 2 x 16 8; 2 x 8 16; 2 x 24

; x 12

49 7 x 7; 7 x 49 7; 7 x 42; ; x 6

19. a) 2 x304; 2 x430; 2 x26; ; x13

2 x 30 4; 2 x 4 30; 2 x 26; ; x 13

b) 2 x304;2 x430;2 x34;

x 172 x 30 4; 2 x 4 30; 2 x 34;

; x 17

c) 2 x 30 4; 2 x 4 30; 2 x 26;

; x

132 x 30 4; 2 x 4 30; 2 x 26;

; x 13

20. a) 2c 16 8; 2c 16 8; 2c 24;

; c 12

49 7t 7; 7t 49 7; 7t 42;

; t 6

b)

7t

15

49;

7t

49

15;

7t

34;;

7a 15 49; 7a 49 15; 7a 34;

;

21. 22 x 12 342; 22 x 342 12; 22 x 330;

; x 15

22. a) 2 x 1 15; 2 x 15 1; 2 x 14;

; x 7

b) 25 x 16; x 16 25; x 9; x 9

c) 29 5 3 x; 3 x 29 5 24; ; x 8 x 243

8

x 14

2

x 33022

a 347

a 347

347

t 34

7t

347

34

7

t 42

7 6

c 242

12

x 262

x

26

2

x 342

x 342

;

x 262

x 262

x 427

x 24

2

x 5,4

9

x 2,4

2

x 8040

x 132

x 264

x 63

x 66

x 132

x 396

x 20

5

x 287

x 43

x 86

x 302

x 404

x 77

x 18015

12

x 213

x 3,75

1,25

x 100

1 x 100,1

x 343

7 x

3,43

0,07

x 3

1,5

x

3 15

x

2 4

x 8

24

13

p 21

3

x 111

3

y 12

3

Unitat 4 Equacions

26


27/99

23. a) 9 x 8 x 4 7; x 3b) 5 x 3 x 4 6; 2 x 2;

; x 1

c) 18 x 3 7 x 2; 18 x 7 x 2 3; 11 x 5;

d ) 15 x x 3 1; 16 x 4;

;

e) 8 x x 3 x 6 x 5 3 1 2

6 x 5;

f ) x x 3 2; 2 x 5;

g ) 8 x 8 x 5 x 2 3; 5 x 1;

;

h) 3 x 5 x 7 x 2 1 3

9 x 4; ;

i) 7 x 5 x 2 3; 2 x 5;

j ) 14 x 2 x x 3 16

11 x 19;

k ) 20 x x 6 2; 21 x 8;

;

24. 3 x 2 x 1; 3 x 2 x 1; x 1. És l’1.

25. 12 x 3 8 x 23; 12 x 8 x 23 3; 4 x 20;

; x 5

26. En un quadrat les diagonals mesuren el mateix:

x 4 3 x; 2 x 4;

27. a) 60 x 2 x 3 x 360 x 2 x 3 x 360 60

6 x 300 x 50

b) x 81 2 x 1803 x 81 180; 3 x 180 81; 3 x 99;

; x 33

28. a) x 2 x 6 9; 3 x 9 6; 3 x 15

; x 5

b) 2 x 27 6 9 x; 11 x 33; ; x 3

c) 7 8 4 x 2 x 8 3 x4 x 2 x 3 x 8 7 8;9 x 7

;

d ) 20 4 x 7 x 15 6 3 x4 x 7 x 3 x 15 16 20

6 x 1;

e) 6 x 60 6 x 21 4512 x 45 60 2112 x 36

; x 3

f ) 18 x 14 x 14 1 45 x 1518 x 14 x 45 x 1 15 14 277 x 2

g ) 15 3 x 8 x 7 7 x 14 5 x3 x 8 x 7 x 5 x 7 14 153 x 6

; x 2

h) 1 5 x 20 4 x 32 6 x 25 x 4 x 6 x 32 2 1 203 x 55

29. (5 x 16) · 2 131210 x 32 1312; 10 x 1312 32; 10 x 1280;

; x 128. Havíem pensat el 128.

30. a) 2 · 3 x 2 · (2 x 5) 6 x 4 x 10 10 x 10

b) 10 x 10 355; 10 x 345;c) AB 3 · 34,5 103,5 cm

BC 2 · 34,5 5 69 5 74 cm

31. a) 3 x 2( x 4)b) 3 x 2 x 8; 3 x 2 x 8; x 8c)

32. (8 2) ( x 4) 8 x

6( x 4) 2 x6 x 24 2 x6 x 2 x 244 x 24

; x 6

33. a) Edat d’en Miquel Àngel: x 7.b) Edat de la Joana: x 7 2 x 5.c) x x 7 x 5 33

3 x 33 7 53 x 45

; x 15

d ) Edat d’en Pere: 15 anys.Edat d’en Miquel Àngel: 15 7 8 anys.Edat de la Joana: 15 5 10 anys.

34. a)

12 x 3 1

12 x18

3

18

118

2 x3

16

1

18

x 453

x 244

14

8 cm

3 cm 2 cm

12 cm

x 34510

34,5

x 1 280

10

x 553

x 63

x 277

x 3612

x 16

x 79

x 79

x 3311

x 153

x 993

x 360

6

x 42

2

x 204

x 8

21 x

821

x 1911

x 52

x 4

9

x 4

9

x 15

x 15

x 52

x 56

x 14

x 416

x 5

11

x 22

Unitat 4 Equacions

27


28/99

12 x 1 312 x 2

;

b)

24 x 3 2524 x 25 324 x 22

;

c)

8 x 1 158 x 14

;

d ) ; 12 x 2; x 12 2; x 10

e) ; 4 x 72 27; 4 x 27 72;

4 x 99;

35. a)

4 x 14 5 x 55 404 x 5 x 40 14 559 x 81

; x 9

b)

2 x 4 18 3 x 122 x 3 x 12 4 18 x 34; x 34

c)

10 x 4 6 x7 x 14

; x 2

d )3 x 3 x 1 48 x 36 40 46 x

;

e)

6 x 4 20 x 40 5 x 5 50

19 x 1;

36. a)

8 6 x 12 2 x 288 8 x; x 1

b)

20 x 40 10 x 10 8 x 12 x10 x 30 13 x 8

23 x 38;

c)

12 x 8 3 x 24 16 12 x 69 x 16 12 x 22

21 x 6; ;

d )

4 x 32 3 x 6 x 30 9 x x 32 30 3 x

4 x 2; ;

e)

2 x 8 2 x 4 1 (5 x 5)4 x 12 1 5 x 54 x 5 x 1 5 12

9 x 18; ; x 2

37. a)

4 x 12 (6 x 10) 24 ( x 5)4 x 12 6 x 10 24 x 54 x 6 x x 24 5 12 10 x 21; x 21

b)

4 x 12 (6 3 x) 40 15 x4 x 12 6 3x 40 15 x4 x 3 x 15 x 40 12 6

14 x 46; ;

c)

5 6 x 3 5 x8 11 x

x 8

11

1 6 x 3

5 x

1 3(2 x 1)

5 x

x 23

7 x

4614

2 x 65

6 3 x

10 4

3 x2

2( x

3)

5 3

(2

x)

10 4 3 x2

x 32

3 x 5

4 3

x 58

x 189

x 45

x 2

5

110

x 1

2

x 45

3( x 2)

15

110

x 1

2

x 12

x 24

4 x 329

x3

2 x 103

x

4( x 8)

9

x

3

2( x 5)

3 x

x 27

x 6

21

3 x 24

3 x 24

sol mat 2eso cat

Documents