spatial point processes in aid of rainforest ecology

8/14/2019 Spatial point processes in aid of rainforest ecology

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S p a t i a l p o i n t p r o c e s s e s i n a i d o f r a i n f o r e s t e c o l o g y


T u o m a s R a j a l a

U n i v e r s i t y o f J y v s k y l , F i n l a n d

S u p e r v i s o r s : A . P e n t t i n e n , J . I l l i a n

F u n d i n g : C O M A S

T u o m a s R a j a l a , U n i v e r s i t y o f J y v s k y l , F i n l a n d 1 / 2 4


2/24


W h a t i s t h i s t a l k a b o u t :

E x a m p l e o f e c o l o g i c a l q u e s t i o n r e l a t e d t o b i o d i v e r s i t y

I n t r o d u c t i o n t o s p a t i a l p o i n t p r o c e s s e s

M e a s u r i n g d i v e r s i t y i n s p a t i a l c o n t e x t



3/24


R a i n f o r e s t d a t a : B a r r o C o l o r a d o I s l a n d , P a n a m a

T h e 5 0 - h e c t a r e p e r m a n e n t t r e e p l o t w a s e s t a b l i s h e d i n 1 9 8 0 i n t h e

t r o p i c a l f o r e s t o f B a r r o C o l o r a d o I s l a n d ( B C I ) i n G a t u n L a k e i n c e n t r a l

P a n a m a . C e n s u s e s h a v e b e e n c a r r i e d o u t i n 1 9 8 1 - 1 9 8 3 , 1 9 8 5 , 1 9 9 0 , 1 9 9 5 ,

2 0 0 0 , a n d 2 0 0 5 . I n e a c h c e n s u s , a l l f r e e - s t a n d i n g w o o d y s t e m s a t l e a s t

1 0 m m d i a m e t e r a t b r e a s t h e i g h t w e r e i d e n t i e d , t a g g e d , a n d m a p p e d .



4/24


Topography of area

12

0

130

140

150

160

Intensity map of the trees

1000

3000



5/24


Q u e s t i o n s o f b i o d i v e r s i t y 1

G l o b a l , c o m m u n i t y l e v e l q u e s t i o n s :

Q 1 S p e c i e s r i c h n e s s : H o w m a n y s p e c i e s ?

S

:= #s p e c i e s

Q 2 S p e c i e s e v e n n e s s : H o w e v e n i s t h e a b u n d a n c e d i s t r i b u t i o n ?

R e l a t i v e a b u n d a n c e s : = 1 , . . . ,

S,

:= n /n .

S e v e r a l i n d i c e s a r e u s e d t o m e a s u r e e v e n n e s s , e . g .

S i m p s o n i n d e x :=

S

= 1 2

.

C e n s u s ' 8 1 - ' 8 3 ' 8 5 ' 9 0 ' 9 5 ' 0 0 ' 0 5

n 2 3 5 2 8 2 2 4 2 0 4 6 2 4 3 9 9 9 2 2 9 0 2 0 2 1 3 7 6 9 2 0 8 3 7 0

S 2 8 5 2 8 7 2 8 8 2 8 1 2 8 0 2 8 2

0 . 0 5 1 0 . 0 5 2 0 . 0 5 2 0 . 0 5 2 0 . 0 5 1 0 . 0 4 9

N o w w e h a v e m o r e d e t a i l e d d a t a s o w e c a n a s k m o r e . . .



6/24


Q u e s t i o n s o f b i o d i v e r s i t y 2

L o c a l , i n d i v i d u a l l e v e l q u e s t i o n s :

Q 1 I n t e n s i t y a r o u n d i n d i v i d u a l s

H o w d e n s e i s t h e s u r r o u n d i n g a r e a , s i z e o f n e i g h b o u r h o o d ,

a n d

h o w i t a e c t s t h e i n d i v i d u a l ' s s u r v i v a l ?

Q 2 I n t e r s p e c i e s r e l a t i o n s h i p s

D o s p e c i e s d i e r i n t h e i r n e i g h b o u r h o o d s ?

W h a t i s t h e r o l e o f a s p e c i e s i n t h e c o m m u n i t y ?

L e t ' s t r y t o a n s w e r Q 2 .



7/24


M a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k

L o c a l l e v e l q u e s t i o n s r e q u i r e

T r e a t m e n t o f i n d i v i d u a l u n i t s w i t h k n o w n l o c a t i o n s

d e n i t i o n o f ' l o c a l '

p o s s i b i l i t y t o s t a t i s t i c a l l y e s t i m a t e g l o b a l a n d s p e c i e s s p e c i c

f e a t u r e s

s t o c h a s t i c i t y , a s t h e f o r e s t i s h i g h l y c o m p l i c a t e d s y s t e m

S u i t a b l e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k

1

i s g i v e n b y

S p a t i a l p o i n t p r o c e s s e s

1

e . g . M a t r n ' 6 0 , R i p p l e y ' 7 6 , D i g g l e ' 8 3 , S t o y a n e t a l . ' 9 5 , I l l i a n e t a l . ' 0 8



8/24


S p a t i a l p o i n t p r o c e s s e s

S p a t i a l p o i n t p r o c e s s i s i n t h i s c o n t e x t u n d e r s t o o d a s a

r a n d o m , l o c a l l y n i t e s e t X

= {x

i }o f d i s c r e t e p o i n t s i n

Rd

.

D a t a p a t t e r n

xi s a s i n g l e i n s t a n c e X () = x o f s p a t i a l p o i n t

p r o c e s s m o d e l .

T h e i n t e r e s t i s i n t h e d i s t r i b u t i o n a l p r o p e r t i e s o f X : i n t e n s i t y

, s p a t i a l c o r r e l a t i o n o f p o i n t s , h o m o g e n e i t y , i s o t r o p i a , . . .



9/24


T h e c o m p l e t e s p a t i a l r a n d o m n e s s i s d e s c r i b e d b y t h e P o i s s o n

p r o c e s s : n o i n t e r a c t i o n b e t w e e n p o i n t s .

M o d e l s c a n b e g i v e n t r o u g h a d e n s i t y f

X

w i t h r e s p e c t t o t h e

P o i s s o n p r o c e s s p :

P(X A ) =

A

f

X

(x

)d p (x

)

E x a m p l e : l e f t : P o i s s o n f

X

1 .r i g h t : H a r d c o r e p r o c e s s f

X

1 ( m i n || xi

xj

|| > 0 .0 5 ) .

Poisson

0 1

0

1

Hard core,h=0.05

0 1

0

1



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M u l t i t y p e s p a t i a l p o i n t p r o c e s s e s

M u l t i t y p e ( s p a t i a l ) p o i n t p r o c e s s e s a r e s p a t . p o i n t p r o c e s s e s

w i t h a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o n t h e p o i n t s , M

= {[x

i ;t

(x

i )]}.

T h e t y p e s t ( xi

) {1 ,..., S } c a n r e p r e s e n t t h i n g s l i k e s p e c i e s , c o l o r , s i z e c l a s s , e v e n t ( o n / o ) , r o l e ( f a c t o r y / c o n t a m i n a t i o n ) ,

s t a t e o f g r o w t h , s e x . . .

betacells

ants

T u o m a s R a j a l a , U n i v e r s i t y o f J y v s k y l , F i n l a n d 1 0 / 2 4


11/24


T o o l s f o r a n a l y s i n g p o i n t p r o c e s s e s

W h e n a p o i n t p a t t e r n d a t a i s g i v e n s u m m a r y s t a t i s t i c s a r e

c a l c u l a t e d , e . g .

I n t e n s i t y n| W |

K

- f u n c t i o n : K

(r

) = Eo

x X 1 (x B (o , r ) \ {o }).

M u l t i t y p e v e r s i o n s a l s o p o s s i b l e

I n t e n s i t y

n

|W

|

K , = E o ,

x X 1 (

x

B(

o,

r) \ {

o}).

Ants nests

0 2 4 6 8 10 12

0

1

2

3

4

r



12/24


B a c k t o t h e j u n g l e

N o w , w r i t e M = {[x

i

; t (xi

)]} f o r a m u l t i t y p e p o i n t p r o c e s s w i t h i n t e r p r e t a t i o n s

x

i

t r e e l o c a t i o n

t(

x

i

) t r e e s p e c i e s

I n t h e s m a l l s a m p l e S = 5 6 , s o r o u g h l y 1 5 0 0 d i e r e n t K - f u n c t i o n s t o c o m p a r e .

H o w a b o u t s u m m i n g u p t h e d i v e r s i t y i n t h e ' n e i g h b o u r h o o d s ' ?




13/24

M e a s u r e s o f D i v e r s i t y : S i m p s o n i n d e x

R e c a l l : d e n i t i o n o f S i m p s o n i n d e x

:=S

=1

(

)2 =S

=1

2

S h i m a t a n i & K u b o t a ( 2 0 0 4 ) i n t r o d u c e d t h e S p a t i a l S i m p s o n

i n d e x :

( r ) :=S

=1

2

K ,( r )

K (r ).

S u m m a r i z e s t h e i n f o r m a t i o n i n t h e p a t t e r n : N o d i s t i n c t i o n

b e t w e e n s p e c i e s . . .

0 10 20 30 40 50

0.

00

0.

02

0.

04

0.

06

r

(r)




14/24

M e a s u r e s o f D i v e r s i t y : I S A R

W i e g a n d e t . a l l . ( 2 0 0 7 ) : I n d i v i d u a l S p e c i e s - A r e a - R e l a t i o n s h i p

( I S A R ) f u n c t i o n f o r a s p e c i e s :

I ( r ) :=S

=1

P

o,( X B ( o , r ) = )

T h e e x p e c t e d n u m b e r o f s p e c i e s p r e s e n t a r o u n d a t y p i c a l t r e e

o f s p e c i e s

U s e I ( r ) t o s t u d y Q 2 : L o o k f o r s p e c i e s e s w h i c h d e v i a t e s f r o m P o i s s o n p r o c e s s I

0

(r ) .

I f I ( r ) > I

0

( r ), t h e s p e c i e s h a s m o r e d i v e r s i t y a r o u n d i t t h a n

w o u l d b e e x p e c t e d . C a l l t h e s e s p e c i e s d i v e r s i t y a c c u m u l a t o r s .

I f I ( r ) < I

0

( r ), w e c a l l t h e s p e c i e s d i v e r s i t y r e p e l l e r .

T h e s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e i s b a s e d o n M o n t e C a r l o - s i m u l a t i o n s .




15/24

T h e r e s u l t s f o r B C I

D a t a s e t : B C I c e n s u s ' 9 5 , a l l t r e e s w i t h d b h > 1 0 c m . = 2 . 5 %

0 10 20 30 40

0

20

40

60

80

100

r

Percentage

cases

neutral

repelleraccumulator

S u p r i s i n g a m o u n t o f r e p e l l e r s .




16/24

C o m p a r i n g I S A R ' s

A n o t h e r r a i n f o r e s t p l o t : 5 0 h a p l o t P a s o h , M a l a y s i a . M o r e t h a n

8 0 0 s p e c i e s , o v e r 0 . 3 m i l i n d i v i d u a l s .

F i g u r e d e p i c t s I S A R f o r s u b s e t o f i n d i v i d u a l s w i t h

d b h > 1 0 c m f o r s p e c i e s w i t h n > 7 0 .

0 10 20 30 40 50

0

2

0

40

60

80

r

I(r)

BCI

Pasoh

0 10 20 30 40 50

0.0

0

0.1

0

0.2

0

0.3

0

r

I(r)/S

BCI

Pasoh




17/24

B a c k t o m a t h : t h e n e i g h b o u r h o o d s

T h e n e i g h b o u r h o o d d e n i t i o n u s e d w a s

y n e ( x ) y B ( x , r )

f o r a x e d r > 0 .

W h a t i f w e w a n t t o d e n e t h e n e i g h b o u r h o o d r e l a t i o n

d i e r e n t l y ?

T h e t h e o r y f o r s t u d y i n g n e i g h b o u r h o o d r e l a t i o n s h i p s : G r a p h

t h e o r y g e n e r a l f r a m e w o r k f o r n e i g h b o u r h o o d s

G r a p h i s d e n e d a s a p a i r G (V ) = ( V , E ) w h e r e V i s an o n - e m p t y s e t c a l l e d v e r t e x s e t , a n d E {x y :, x , y V } t h ee d g e s e t . ( w r i t e x y E x y ) .

D e n i t i o n o f

n e i g h b o u r h o o d o f a p o i n t x V :

n e ( x ) := {y V : x y }.




18/24

T h e t y p e o f i n f o r m a t i o n o f X i n G (X ) i s c o v e r n e d b y t h e c o n s t r u c t i o n r u l e o f E . C o m m o n e x a m p l e s :

G e o m e t r i c g r a p h f o r R > 0 :

x y d ( x , y ) R

f o r s o m e m e t r i c d (, ) .

k - n e a r e s t n e i g h b o u r s g r a p h , k > 0 : i f

d

k

( x ) := i n f {r > 0 : N ( b ( x , r )\{x }) = k }

i s t h e d i s t a n c e t o t h e k t h n e i g h b o u r i n g

p o i n t o f x , t h e n

x y d ( x , y ) dk

( x ).




19/24

R a n d o m g r a p h s

G r a p h t h e o r e t i c a l f e a t u r e s r e e c t t h e s t r u c t u r e o f t h e p o i n t p r o c e s s .

E x a m p l e :

M e a n c o n n e c t i o n s p e r p o i n t o r m e a n d e g r e e

d e g :=E

o

x N

1( o x ).

I f n e i g h b o u r h o o d i s g i v e n b y g e o m e t r i c g r a p h w i t h p a r a m e t e r

r > 0 ,d e g = K (r ),

i . e . t h e i n f o r m a t i o n o f R i p l e y ' s K - f u n c t i o n i s a n e x a m p l e o f

g r a p h s u m m a r y .

S a m e c a n b e d o n e t o a n y f u n c t i o n o f s o m e n e i g h b o u r h o o d ,

e . g . t h e I S A R f u n c t i o n :

I ( G (X )) =S

=1

P

o

(X n e (o ) = )




20/24

B C I v s . P a s o h : k

- n e a r e s t n e i g h b o u r s

U p p e r : M e t r i c n e i g h b o u r h o o d , g e o m e t r i c g r a p h

L o w e r : T o p o l o g i c a l n e i g h b o u r h o o d , k - n e a r e s t n e i g h b o u r s g r a p h .

0 10 20 30 40 50

0

20

40

60

80

r

I(r)

BCI

Pasoh

0 10 20 30 40 50

0.0

0

0.1

0

0.2

0

0.3

0

r

I(r)/S

BCI

Pasoh

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

knn

I(r)

BCI

Pasoh

0 20 40 60 80 100

0.0

0

0.0

4

0.0

8

0.1

2

knn

I(r)/S

BCI

Pasoh




21/24

F r o m 1 D t o 2 D : G e n e r a l c o n s e p t o f D i v e r s i t y

Equality Segregation RegularityClusteringDominance Mingling

T w o a s p e c t s o f c l a s s i c a l d i v e r s i t y : R i c h n e s s a n d e v e n n e s s

T h e t w o a s p e c t s o f s p a t i a l d i v e r s i t y : E x p o s u r e a n d s c a t t e r i n g

1

P r o b l e m : E x p o s u r e a n d s c a t t e r i n g a r e n o t i n d e p e n d e n t

T o p o l o g i c a l n e i g h b o u r h o o d s m i g h t h e l p s e p a r a t e t h e t w o

a s p e c t s

1

P i e l o u ' 7 7 , A g u i r r e e t a l . ' 0 3 , S h i m a t a n i e t a l . ' 0 4 .



22/24



23/24

C o n c l u s i o n s

R a i n f o r e s t s b i o d i v e r s i t y : S h o w n m e t h o d s a l l o w s u s t o e . g . t e s t

v a l i d i t y o f d i e r e n t t h e o r i e s ( n e u t r a l v s . n i c h e )

G e n e r a l c o n s e p t o f d i v e r s i t y , a l s o i n 2 D ? ( S o s i o l o g y , m a t e r i a l

s c i e n c e s , c h e m i s t r y , g e n o l o g y . . . )

N e i g h b o u r h o o d s : m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k ( G r a p h s )




24/24

L i t e r a t u r e

A r t i c l e s :

H u b b e l l , C o n d i t , F o s t e r : B a r r o C o l o r a d o f o r e s t c e n s u s p l o t d a t a .

U R I : h t t p : / / c t f s . s i . e d u / d a t a s e t s / b c i /

2 0 0 5

S h i m a t a n i , K u b o t a : " Q u a n t i t a t i v e a s s e s s m e n t o f m u l t i s p e c i e s

s p a t i a l p a t t e r n w i t h h i g h s p e c i e s d i v e r s i t y " , E c o l o g i c a l r e s e a r c h

, v . 1 9 ,

2 0 0 4

W i e g a n d , G u n a t i l l e k e , G u n a t i l l e k e , H u t h : H o w i n d i v i d u a l s p e c i e s

s t r u c t u r e d i v e r s i t y i n t r o p i c a l f o r e s t s , P N A S , n o v . 1 6 2 0 0 7

B o o k s :

B u r s l e m , P i n a r d , H a r t l e y :

B i o t i c i n t e r a c t i o n s i n t h e t r o p i c s ,

C a m b r i d g e 2 0 0 5 .

I l l i a n , P e n t t i n e n , S t o y a n , S t o y a n :

S t a t i s t i c a l a n a l y s i s a n d m o d e l l i n g

o f s p a t i a l p o i n t p a t t e r n s , W i l e y 2 0 0 8 .

M a r c h e t t e :

R a n d o m g r a p h s f o r s t a t i s t i c a l p a t t e r n r e c o g n i t i o n , W i l e y

2 0 0 4 .


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