stabilite dynamique du vehicule en virage · modèle linéarisé à deux degrés de liberté: ......
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STABILITE DYNAMIQUE DU VEHICULE EN VIRAGE
Pierre DUYSINX
Ingénierie des Véhicules Terrestres
Université de Liège
Année Académique 2017-2018
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Références bibliographiques
G. Sander « Véhicules Automobiles», Notes de cours, 1983, Université de Liège
G. Genta. « Motor Vehicle Dynamics: Modeling and Simulation ». World Scientific. 1997.
J.R. Ellis. Vehicle Dynamics. London Business Book Limited. 1969
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Plan de l’exposé
Modèle bicyclette
Équations du comportement dynamique du modèle bicyclette
Équations d’équilibre
Équations de compatibilité
Équations de la dynamique
Dérivées de stabilité
Équations sous forme canonique
Étude de la stabilité du mouvement
Signe des parties réelles
Étude du discriminant
Cas du virage établi
Description de la trajectoire
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Modèle bicyclette
Véhicule infiniment rigide
en tangage (q=0)
et en pompage (w=0)
Véhicule sans roulis : p=0
On peut ignorer le phénomène de transfert de charge latéral qui conduit à une réduction de la raideur d’envirage de l’essieu lorsque les accélérations latérales restent sous 0.5 g (L. Segel, Theoretical Prediction and Experimental Substantiation of the Response of Automobile Steering Control, Cornell Aer. Lab. Buffalo. NY.)
Mouvement à vitesse constante V
Plan y=0 est plan de symétrie : Jyx = 0 et Jyz = 0
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Modèle bicyclette
Petits angles
de braquage
de dérive
Théorie linéarisée
CONCLUSION
Modèle linéarisé à deux degrés de liberté:
angle de dérive b (v)
vitesse de lacet r
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Modèle bicyclette
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Équilibre dans le repère dynamique (véhicule)
Équations d’équilibre
Dérivée dans le repère dynamique
Équations d’équilibre
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Équilibre dans le repère dynamique
Modèle à 2 ddls
Équations du mouvement
Équations des réactions relatives aux
déplacements bloqués
e t J y z = 0
e J x y = 0
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Équilibre dans le repère dynamique
Explication
Pour un mouvement circulaire
Forces agissantes:
Forces développées par les pneus
Autres forces (ex forces aérodynamiques)
négligées, car elles ne dépendent pas des
perturbations (en première approximation)
e t J y z = 0
e J x y = 0
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Équilibre dans le repère dynamique
Équilibre selon Fy et Mz
Hypothèse des petits angles
Équilibre linéarisé
e t J y z = 0
e J x y = 0
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Équations de compatibilité
Compatibilité des angles et des vitesses
Petits angles de dérive et de braquage
Si u=V
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Équation de comportement des pneus
Forces latérales et raideur d’envirage
Source: Gillespie (fig 6.2)12
Modèle dynamique
Équilibre
Introduisons les relations constitutives
Utilisons les compatibilités
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Modèle dynamique
Les forces latérales et les moments de lacets s’écrivent donc:
Soit
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Modèle dynamique
Équations de comportement du modèle bicyclette
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Dérivées de stabilité
De manière équivalente, cela revient à développer en série de Taylor les forces et moments autour de la configuration de référence
On note habituellement les dérivées de stabilité
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Dérivées de stabilité
Valeur des dérivées de stabilité
Les équations différentielles s’écrivent alors
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Forme canonique des équations
Il est également intéressant de remarquer que le modèle bicyclette conduit à un modèle linéaire invariant au cours du temps. Il est commun de mettre ce type de modèle sous forme canonique.
Les variables d’état du système et le vecteur de commande sont:
Les matrices A et B du systèmes s’obtiennent aisément
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Étude de la stabilité du système
Utilisation de la transformation de Laplace
Le système devient
La stabilité de la réponse libre résulte de l’examen des racines de l’équation caractéristique
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Étude de la stabilité du système
Équation caractéristique
Cette équation est semblable à celle des vibrations d’un oscillateur à 1 degré de liberté
mk
c
x
f
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Étude de la stabilité du système
Racines de l’équation caractéristique
Critère de stabilité: les parties réelles de toutes les racines doivent être négatives
Si racines complexes conjugués, la somme des racines doit être négative
Si racines réelles, la somme doit être négative et le produit positif
Soit:
Le critère est équivalent à Routh Hurwitz.
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Étude de la stabilité du système
Im
Re
t
t
tt
t
mk
c
x
f
stable instable
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Étude de la stabilité du système
Équation caractéristique (rappel)
A vérifier:
Première condition: toujours satisfaite
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Étude de la stabilité du système
Seconde condition:
Soit
D’où la condition
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Étude de la stabilité du système
La seconde condition est satisfaite si
Pour un véhicule sous-vireur:
le comportement est toujours stable
Pour un véhicule sur-vireur
le comportement est instable au-dessus de la vitesse critique
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Étude du type de mouvement
Examen du discriminant
si r>0: 2 racines réelles, amortissement plus que critique et mouvement apériodique
si r<0: 2 racines complexes conjuguées, amortissement sous critique
si r=0, 2 racines confondues, amortissement critique
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Étude du type de mouvement
Valeur du discriminant
On trouve finalement
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Étude du type de mouvement
Discriminant (rappel)
Lorsque Nb<0 (machine sur-vireuse), r>0.
La réponse est apériodique
Stable tant que v < Vcrit.
Lorsque Nb>0 (machine sous-vireuse), r<0.
Le terme positif décroît avec 1/V²
La réponse devient oscillante amortie au-delà de la vitesse
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Équations du virage en régime établi
Le mouvement circulaire est caractérisé par:
Il vient successivement
La valeur de l’angle de dérive
La valeur de la vitesse de lacet
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Équations du virage en régime établi
On en déduit le gain de vitesse de lacet:
Sachant que:
Il vient
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Équations du virage en régime établi
Soit en tenant compte des données cinématiques du mouvement en virage
En introduisant la valeur
On retrouve l’expression classique
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Description de la trajectoire
La trajectoire peut être décrite par une loi paramétrique entre le temps et les coordonnées absolues
On définit: q l’angle de course
entre la trajectoire et l’axe des X
y l’angle de cap entre
l’axe des X et l’axe des x
du repère de la voiture
b l’angle de dérive
du véhicule, l’angle entre
l’axe des x de la voiture et
le vecteur vitesse tangent à
la trajectoire
X
Y
Trajectoiredu véhicule
y projeté
x projeté
Vitesse instantannée(projection)
Angle de cap y
Angle de course
Angle de dérive b
Angle de braquage
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Description de la trajectoire
On évidemment les relations suivantes entre les angles de course q, de cap y et de dérive b:
Les vitesses linéaires s’obtiennent par changement de repère entre le repère inertiel et celui de la voiture:
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