Sur la gSom4trie diff~rentielle des surftces regl4es.

OT~ON P ~ L ~ O S (~ A_th~nes, Grace) (*)

Resume. - Est donnd duns l'introduction.

La courbure normale et la torsion g~od~sique de la ligne de striction d' une surface regl~e gauche de l 'espace euclidien h trois dimensions sont des invariants m~triques de la surface. Pa r ail leurs ces deux grandeurs sent des fonctions de la variable aux valeurs de laquelle correspondent les points de la ligne de striction; anssi sont-elles li6es en g~n~ral par une relation et los surfaces regl~es gauchos sur lesquelles ces grandeurs son~ li~es par des relations de la m~me forme ont des propri~tds communes dont la recherche peat conduire h des resultats concernant la g~om~trie diff~rentielle m~triqne des surfaces regl~es, qni ne sont pas d~pourvus d'int~r~t.

Duns le prdsent article, consacr~ i~ la recherche indiqude, f dtablis certains th~or~mes concernant les surfaces regl~es gauches, sur chacune desquelles la courbure normale et la torsion g~od~sique de sa ligne de strietion v~irifient une relation alg~brique du premier ou du second degr~ coefficients constants. En outre, apr~s avoir d~montr~ que, lorsque la courbure et la torsion g~od~siques d ' u n e t rajectoire orthogonale des g~n~ratrices d ~ une surface regl~o gauche v(~rifient une relation alg~ibrique i~ coefficients constants, la courbure et la torsion g~od~siques de toute autre trajectoire orthogonate des g~in~ratrices de la surface sont n~cessairement li~es par une relation alg~brique i~ coefficients constants, je parviens ~ l ' a ide des th~or~mes ~tablis, h la d6termination de certaines classes de surfaces regl~es, sur lesquelles la courbure et la torsion g6od4siques de chaque trajectoire orthogonale de leurs g~n~ratrices v~rifient une relation alg~brique du second degr~ au plus h coefficients qui sont constants sur elle, mais qui varient en g~n~ral de 1' une h l ' au t r e de cos conrbes. Je montre ainsi que la courbure et la torsion g~od~siques de chaque trajectoire orthogonale des g~n~ratrices de la surface engendr~e par los normales principales d ' u n e courbe de BERT~aA~D OU d 'une courbe de ~ D , ~ E ~ ou d ' une h~lice cylindrique, ainsi que d 'une surface

(*) Entrata in Redazione il l~t giugno 1970.

390 OTHON PYLARINOS: SUF la gdom~trie di]]~rentielte des surfaces regt#es

gauche i~ param~tre de d i s t r ibu t ion cons tant ou de la surface engendr6e par les b inormales d ' u n e courbe gauche v~rif ient une re la t ion a tg6brique du second degr~ au plus h coeff ic ients constants sur el le; ces coefficients , si l ' o n exeepte le cas des surfaces h pa ram~t re de dis~ribt~tion constant , var ient de I ' u n e h l ' a u t r e de ces courbes.

I .

1. Consid~rons sur une surface regl6e gauche r4elle ds l ' e space eucl id ien h~ trois d imens ions une por t ion R dour le param/~tre de d i s t r ibu t ion est @ 0 sur toutes les g6n~ratrices.

Soit

(1.1} ~ - - ~(u}

l '~qua t ion veetor ie l le par rappor t au syst~me de eoordonn~es choisi dans l ' e space de la l igne de s tr iet ion C de R, l ieu des points cen t r aux des g~n~iratriees de eette surface, le param~tre u (itant l ' a r c de C.

Si e(u), n(u}, ztu) ---- e A n sont les vec teurs un i t a i r e s qui d~terminent tes sens posit ifs sur la ggn6ratr ice e de R issue du point couran t K(u) de C, de la normale centrale n de R en K et de la tangente centrale z de R en ce m~me point, c.h.d, de la tangente /~ R en K perpend icu la i re h la g~n~ratr ice e, on a - - c o m m e on sait (4, p . 1 4 5 ) - pour les d6riv~es des e n, z par rappor t h la var iable u les formules

(1.2~ e -- zn, n -- -- xe 4- crz, z ........ on (li,

oh

= ° =

et ~ = + 1 ou - - 1 su ivant que le produi t mix te ( ~ A e ) X e , qui, d ' apr~s l ' hypo th~se fa, ite pour le param~tre de d i s t r ibu t ion de R, est =~ 0 pour toutes les va leurs de u cor respondant aux points de C, est > ou < 0.

Les droi tes e, n, z issues du point K[u} de la courbe C, sur les d i rec t ions desquel les les sens posit ifs se d~ te rminen t par les vecteurs un i ta i res e, n, z

(i) Les points ddsignent les d~riv4es par rapport i~ la variable u, On suppose que les opdrations de d@ivation qui seront faites, clans ee qui suit, sont Iggitimes clans les intervalles eonsider~s.

OTHON PYLARINOS: Sur la gdomdtrie di]fdrentielle des surfaces regtdes 391

respectivement, sent les axes d ' u n tri~dre tr irectangle orient6 [K; e, n, z]; ce tri~dre est appel~, dans ee qui suit, tri~dre central associd (~ la surface.

Par ailleurs la d~riv~e ~ au point K(u} de la courbe C est un veeteur unitaire, puisque u est l ' a rc de C. Ce vecteur, 4tant parall~le h la tangente

C en K, est parall~le au plan tangent [K; e, zJ fi R en ce point. On peut done le mettre sous la forme

(1.4) ~ ~ t -- e cos ~ -t- z sin ~,

oh ~ est l ' angle orient(i (e, t) sur le plan [K; e, z]. Les trois grandeurs z, ~, ¢p sont des fonctions de l ' a rc u de la ligne de

striction C de R d~finies, grace h F hypoth~se faite pour le parami~tre de distr ibution de R, dans F interva]le de valeurs de u correspondant aux points de la courbe C ou - - ce qui revient au m~me-aux g~n6ratrices de R. Ces trois fonctions :e(u), ~(u), ~(u), dont les valeurs sur chaque g~n~ratrice de R sont appel~es par E. K~uPPA (3, p. 63), courbure, ~orsion et striction de la surface sur cette g~n~ratrice sont avec F are u de C des invariants m~triques de R et ce sont pr~cis~ment les invariants m6triques de la surface, qui ont ~t~ choisis comme fondamentaux dans la g~om~trie diff~rentielle m~trique des surfaces regl~es fond~e par G. S~1,~1~ [5] et E. KnVl~P2~ [4].

Deux autres invariants m~triques de la surface sont ta courbure normale z,~ et la torsion g~od~sique % de sa ligne de striction. Ces deux grandeurs sont des fonctions des trois invariants fondamentaux de la surface.

En effet, d~apr~s des formules connues (3, p. 73}, on a

(L5) z~-- z cos ~ - - v sin % % = z sin ~ --I- ~ cos ~.

R E M A R Q U E . - La surface R coupe sous un angle droit - - comme on le volt a u s s i t O t - la surface /~ engendr~e par les normales centrales de R tout le long de sa ligne de striction C qui (ividemment est une trajectoire orthogonale des g~n~ratrices de R~.

I1 en r(isulte que la courbure normale z~ et la torsion g~od~sique % de la courbe C consid4r~e comme une courbe trac~e sur ]a surface R, sont en chaque point de C la premiere ~gale en valeur absolue h la courbure g~odd- sique z~ et la seconde ~gale h la torsion g~od~siqne ~ de C considSr(fe comme une courbe trac~ie sur la surface R~.

On aura done en chaque point de C

oil ~' -- ~ 1 ou -- 1 et on peut choisir le sens positif sur la direction de la normale ~ R~ de manibre que l 'on ait

392 OTHON PYLARINOS: Slit" Ia gdomdtrie di]]SrentietIe des surfaces regldes

(1.6) x~ -- ~ , 4 : %.

2. L '~quat ion (1.1) de la courbe C, grace ~ (1.4), peut s '0crire

(2. l) ~- - - f (e cos ~ + z sin ?)du

et l '6quation (vector ie l le)de la surface R, si l 'on choisit sur elle sa ligne de striction C comme courbe directrice, peut se mettre sous la forme

t2.2} r = f ( ~ cos ~ + ~ sin ~)du + re(u).

Cela pos0, soit R' une surface regl~e gauche coupant R sous un angle droit tout le long d 'une trajectoire orthogdnale C' des g~nO'atrices de R.

Si

~'=~'(u)=~(u~+v'iu)~(u)

cst l '~quation de la courbe C', la normale ~ R an point courant K'(u) de cette courbe est parall61e au vecteur

(:~.3) n'(u) = : e A e ~- t' A IPl

. - - t', e, d 'apr6s I~'1

qui est un vecteur unitaire, puisque les vecteurs unitaires l 'hypoth6se faite pour la courbe C', sont orthogonaux.

La g4n0ratrice e' de la surface R' issue du point K'(u) de C' est situ~e sur le plan [K'; t', n'] perpendiculaire en K'/~ la g0n6ratrice de R, issue de ee point et, par consequent, elle est n0cessairement parall61e ~ ua veeteur unitaire de la forme

e" = ~ cos 0 + n' sin 0. (2.4)

Pour que la courbe C' soit en plus la ligne de striction de la surface R', il faut et il suffit, comme on sait, que l 'on ait en chaque point de C'

t2.5t ? x ~ ' = o.

Mais de (2.4) on a

e' = ~' cos 0 + n' sin 0 + 0(-- ~ sin 0 -{- n' cos 0)

OTHON PYLARINOS: Sur la gdomdtrie di]/drentielle des surfaces regIdes 393

et la condition 12.5), si l 'on tient compte du fait que t' on a ~,2=_ 1, t ' X ~ ~ 0

et, grace aux hypothbses faites, ~ X n ' - - 0 , sin 0 # 0, devient

6 - × n' = o .

Le vecteur e'(u) (2.4) pour chaque fonction 0(u) satisfaisant i~ l '6quafion diff~rentielle {2.6) d~termine ~ t droites, issues des points de la courbe C', qui engendrent une surface reglde gauche /~' coupant R le long de C' sous un angle droit et admettant cette courbe comme ligne de striction.

Mais la courbe C' est une trajectorie orthogonate des gd~n6ratrices de R choisie au hasard. Par ailleurs les consid6rations pr~c6dentes n ' ex igent pas que la surface regime R soit gauche.

On peut done Ononcer le

Ta~O~t~ME I. - Chaque trajectoire orthogonale des gdndratrice d' une surface reglde est la ligne de striction de ~1 surfaces regldes gauches qui admettent les gdndratrices de la surface comme normales centrales.

Par ail leurs l '4quation vectorielle d 'une surface regl~e gauche R1 repr6. sent~e sur la surface gauche R d~finie par F~quation (2.2) de manibre que les points homologues des deux surfaces admettent les m~mcs coordonnOes curvil ignes u, v, est ndcessairemenf -- comme on sait (5; p. 45) - - de la forme

(2.7) r~ --- f (e cos ~ q- z sin ~)du "4" ~n -4- v~(vl(e cos to A- z sin to),

off

(2.s) -- Cte, to ---- Cte {-- 7: < to ~ n),

la fonction vl(v) ~tant arbitraire, lorsque, duns cette representation, les g(~n6ratrices des deux surfaces ainsi que leurs lignes de striction se correspon- dent, les deux surfaces ayant en outre des normales coYncidantes en chaque couple de points homologues de leurs lignes de striction.

L' 6quation (2.7), pour chaque syst~me de valeurs de param~tres ~, to qui y figurent, d~termine une surface regl~e gauche. Cette surface, lorsque est ~ 0 , si t o - - 0 ou % ne coincide pas avec la surface R et les deux surfaces, ~tant repr6sant6es 1' une sur l ' au t re de la mani~re indiqu6e, admettent des normales eentrales coYncidantes aux points homologues de leurs lignes de striction.

I1 en r~sulte, eu ~gard au fait que R e s t une surface regl~e gauche ehoisie au hasard, qu'& chaque surface reglde gauche on peut faire associer ~2 surfaces regldes gauches dent les normales centrales coincident avec les normales centrales de cette surface.

Annali di Matematlca 5o

394 OTnON PYLARINOS: Sur Ia gdomdtrie di]]&entieile des surfaces regtdes

L'ensemble de surfaces repr6sent6es sur une surface regl6e gauche de la manibre indiqu6e est appel6, dans ce qui suit, ensemble (N) assovid dt celte surface.

L' ensemble (.N) assoei6 h la surface consid~r6e R e s t d6fini par l' 6quation (2.7). Les surfaces de cet ensemble, la surface /~ y comprise, correspondent aux systbmes de valeurs des parambtres 2, ~o qui f igurent dans cette 6quation, appartenant respeet ivement h l ' in terval le ouvert (--o~, + ~ ) et ~ Finterval le sup6rieurement ferm6 (--- ~, --I- 7:).

3. La g6n6ratrice d ' une surface R~ de l ' ensemble (N) associ6 ~ la surface R, homologue de la g6n6ratrice de R issue du point courant K(u) de sa ligne de striction C, est n6cessairement parall~le au plan tangent h R en K et, d 'apr~s (2.8), elle est invariablement li6e avee le tri~dre central associ6 ~ R.

Cela 6tant, on peut choisir le sens positif sur la direction de cette droite de mani~re que l e s s e n s positifs sur la direction commune des normales co~ncidantes des surfaces R, R~ en ehaque couple de points homologues de 1curs lignes de striction coYncident.

On aura ainsi, en d6signant par e~, n~, z~ les vecteurs unitaires qui d6ter- minent l e s sens positifs sur les directions de axes du tri~dre central associ(f i~ R~ an point Kj de sa ligne des striction C~ homologue du point courant Ktu) de la ligne de striction C de R, les relations:

(3.1) e1 -- ecos to -{--zsin o), nl -" n, zl ----el A nl -~ - - e s i n ~o -[- zcos ¢o.

Par ailleurs la ligne de striction C1 de R~ est d~finie, d 'aprbs (2.7), par 1' ~quation

(3.2) ~1 -- ~-~(u) -- l ( e c o s ~ + zs in ~)du .~ ~(u~ , J

off, d 'aprbs (2.8), ~ est une constante. En diff6rentiant (3.2) par rapport ~t u et en faisant usage des (1.2), il vient

d ~ _ e(eos ~ - - [ix) -[- z(sin ~ -[- [io). (3.3) du

On aura done, en d6signant par dul l'are 61~mentaire de la courbe C1 en son point K1 homologue du point courant K(u) de la courbe C,

(a 112 (a li = (cos - + (sin' +

OTHON PYLARINOS: Sbll" Ia gdomdtrie diJJdrent~elle des surIaces regldes 395

Cette re la t ion, /~ l ' a i d e des (1.5), a f fee te la fo rme

:_ I (3.4) \ du ] - - 1 - - 2}x~ + ~ (x~ -~ %~ = V ;

ce qui mon t r e que le r a p p o r t des arcs 61dmentaires dul , du des courbes C~, C en leurs points homologues K t , K est une fonet ion a lg6br ique de la c o n r b u r e no rma le z~ et de la tors ion g6od6sique % de la courbe C, le coeffi- c ient }, qui y f igure , ~tant une cos tan te 6gale en v a l eu r absolue h la d i s tance

cons tan te , d ' ap r~s (2.8), des po in ts homologues des d e u x courbes . De m~me on d i f f~ren t i an t la p remibre et la t rois ibme r e l a t i on (3.1) p a r

r a p p o r t ~ u et en fa i san t usage des (1.2), il v ien t

-L --"

(3.5) el - - (× cos o) - - ~ sin ~o)n, zl - - - - (x sin -t- z cos to)n.

Si l ' o n d6signe m a i n t e n a n t par xl , 61, ~1 la courbure , la tors ion et la s t r ic t ion de ta su r f ace /~x sur sa g6n6ra t r i ce homologue de la g6n6ra t r iee e o u r a n t e de R et que l ' o n t i enne compte que, d ' a p r b s des fo rmules co n n u es (4, p. 145), on a

de1 _ - dz~ _ - dH1 -- xlnl ~ d#l - - - - ~l~l

des ces fo rmules , h l ' a i d e des 13.4} et (3.5 *, on p a rv i en t a u x re la t ions

d e ~ - d u - d u ~ = x l n l = ( x c o s ~o - - ~ s i n e)) ~ n = X i x c o s ¢o - - a s i n to)r t

d z l _ - d u d u l - - - - ~ l n l - - - - - ( x s i n ¢o - b ~ c o s o)) ~ n = - - i ( z s i n to - [ - ~ c o s to )n .

~Iais, d ' ap r~s la seeonde r e l a t ion (3.11, on a n = n~; on a u r a done

(3.6) xl - - ),(× cos to -- ~ sin to), ~1 "- ).(x sin ~o Jr- ~ cos to).

En ou t re on a

cos :~ = ~ × el - dul du }( el - - ), Y,, el

sin ¢~t -- dul - d t t d-~l - d ~ l

- - - - X Z~ - - d u l d u X z l = ;. - d u y" z~ '

396 OTHON PYLARINOS: Nut" la gdomdtrie diJ/drentieIIe des surlaces regldes

puisque la tangente ~t la eourbe C~ en son point /£1 est ~ividemment situ4e sur le plan tangent [K~; e~, z~] h R~ en ce m8me point.

Ces relations, si l 'on y remplaee el, z~, ~-~ par leurs valeurs (3.1) et

(3.3), prennent la forme

i3.7) I cos ~ = ), t cos @cos ? - - ~x) -t- sin to(sin ~ -4- ~¢;)}

/ sin ~t = 2. { - - sin ~o(cos ¢0 -- 1~×) -/- cos re{sin qo -Jr- }~1}.

Enfin, si l 'on tient compte du fair que la courbure norma!e x~, et la torsion g6od4sique ~ de la ligne de striction C~ de R~ sent li4es, d 'apr6s des formules connues (3, p. 73), avec les iuvariants foudamentaux x~, oh, ~ de la surface par les relations

XI~ ---- Xl c o s ~I - - ~ 1 s in ~ , o~ - - x~ s i n ~ 2 c (;i C O S ~ 1

on parvient en y remplagant x~, z~ et cos ~ , sin ?~ par leurs valeurs (3.6) et {3.7) et en faisant usage des (1.5), aux relation~

et finalement, grace i~ (3.4), aux formules

(3.8) zl~ = ~le = 2 2 2 ~ 2 2 2 "

~Iais, d 'aprbs la remarque finale du paragraphe 1, la courbure normale et la torsion g4od6sique de la ligne de striction de la surface R, ainsi que de toute autre surface R~ de l ' ensemble (N) associ6 h R, sent li6es par les relations 0.6) avec ta courbure et la torsion g6od4siques de cette courbe consid6r6e comme une courbe trae4e sur la surface R= engendrt~e par les normales centrales de R.

Cela 4rant, des deux formules (3.8), en d4signant par z~, z~g; z~, a~g les courbures et les torsions g6od6siques des lignes de striction C, C~ des surfaces R, R~, consid6r4es comme des courbes trac6es sur la surface R=, on obtient les relations

t t _ ~ - ~(~;2 + 421 , %

~3.9) ~"g - 1 2 ~ ; + / ( ~ 7 + ~;~ ~'~ = '~ ' • - , ' ~ - 2 ~ ; + / ( ~ 7 + ~

le coefficient ~ qui y figure 6taut 6gal en valeur absolue /~ la distance con- stante, d 'apr~s (2.8), des deux points des courbes C, C~ situ6s sur la m~me g4n4ratrice de la surface /~ .

OTHON PYLARINOS: Sur la gdomdtrie diff~rentielle des surfaces regldes 397

La ligae de striction C~ de la surface R1 est ~videmment une trajectoire orthogonale des g~n4ratrices de la surface R. choisie au hasard et les consi. d(~rations pr~c~dentes coucernant la eourbure et la torsion g~odesiques de cette courbe trac~e sur la surface R~, jointes au th~orbme I, permettent d ~ ~inoneer le

THI~ORI~MFE H. - Si t'on choisit sur une surface reglde gauche une traie- ctoire orthogonale de ses gdadratrices com,.ne courbe direetriee, on peut exprimer la eourbure et la torsion gdoddsi~ues de toute autre tra]ectoire orthogona!e des gdndratrices de la surtace comme fonetions rationnelles de la forme (3.9) de la courbure et de 1 ~ torsion gdoddsiqttes de la eo~rbe direetriee, le coefficient unique

qui figure duns ces fonctions grant une constante dgale en valeur absolue la distance eonstante des deux points de eette trajectoire et de la courbe dire- ctrice situds sur la m~me gdndratrice de la surface.

Une consequence remarquable de ce th~or~me est la proposition suivante:

Si la courbure et la torsion gdoddsiques d'une tra]ectoire orlhogonale des gdndratrices d' une surface reglde gauche vdrifient une relation atgdbrique coefficients constants, la courbure el la torsion gdoddsiques de route autre tra]e- ctoire orthogonale des gdndratrices de la surface vdrifient dgalement une rela- tion algdbrique & coefficients constants.

I I .

4. Supposons d 'abord que la surface consid4r~e R soit une surface de BERTRA~ND.

Duns ce cas les points de la ligne de striction C de R correspondent aux points de la ligne de striction Ct d 'une autre surface regl~e gauche RI de maniibre que les normaIes aux surfaces en chaque couple de points homo- logues de leurs lignes de striction coincident, les deux surfaces ayant en outre des strictions ~gales sur leurs g~n~ratrices issues de chaque couple de points homologues de ces courbes ~5, p. 45).

La surface R~ qui (ividemment est aussi nne surface de BERTRAND, ap- part ient nec4ssairement h F ensemble (2Y) associ~ h R, ear deux surfaces re. gl~es gauches dent les normales}:centrales co~:ncident~ appart iennent - - com- me on le voit aussit6t - - chacune ~t l ' ensemble (N) associ~ h l 'aut re .

Or, si ~ , ¢o~ sent les valeurs des param~tres ~, ~o qui fig~lrent darts l ' equat ion (2.7) de l ' ensemble (N)Vassoci~ /~ R , auxquel les correspond la sur- face R~ de cet ensemble, qui constitue avec R uu couple de surfaces de BEaTRA~D, [~ est n4cessairement @ 0 et, d 'apr~s les formules (5.7), les inva- r iants z , ~, q~ de R sent des fonctions de l ' a re u de sa ligne de striciion C

398 OTHON PYLARINOS: Sur Ia gdomdtrie dil]drentielIe des sur]aces regldes

v6rifiaut n6cessairement la relation

(4.1) cos (q~ - - tod - - ~(x cos to1 - x sin (ol) cos s i n (qo - - oh) -t- ~1(× s i n ¢ol -t- ~ s i n tot) s i n q)

pour routes les valeurs de u correspondant aux points de C. L~ condition (4.1), qui -- oc tane il r6sulte des formules (3.7) est en carte

suffisaa~e afin que la surface R soit uue surface de BSRTRA~D, 'h l ' a ide des (1.5), affecte la forme

s i n to1 (4.2) x~ sin ¢ol + % cos tot = ~1

La relation (4.2), duns le eas off la ligne de strictioa C de R e s t une ligne de courbure, est v4rifi6e, si l 'on y pose o)1-----0 ou r:, ~ 6taut une constante arbitraire ~ 0, car, duns ce cas, on a % = 0.

Alors la surface R~, engendr6e par les normales centrMes de R, est une surface d6veloppable et tou~es les surfaces de l ' ensemble IN) associ6 h R . dont les g6n6ratrices homologaes de chaque g6n6ratrice de R sont parall61es

cette g6n6ratrice, admettent sur ces g6n6ratrices la m~me que R striction. Donc, une surface reglde gauche, dont la ligne de slriction est une ligne de de courbure, pent ~tre considdrde comme une surface de BERtRAnD.

Si les invariants x, ~, ~ de la surface R dont la ligne de striction n 'est pus une ligne de courbure, v6rifient une relation de la forme (4.1), off ~1, sin to1, cosec1 sont des constantes dont les deux premi6res sont ~ 0 , F en- semble (N) associ6 /~ R ne contient qu 'une seule surface consti tuant avec R un couple de surfaces de BERTRAND: La surface R~ de cet ensemble, qui correspond aux valeurs ~1, (01 des param6trcs ~, to que l '6quation (2.7) renferme.

La surface R1 est 6galement une surface de BERTRAND; p~r cons6quent la courbure normale xl. et ta torsion g6od6sique ~ de sa ligne de striction C~ doivent v6rifier une relation de la forme (4.2);

Zl,~ s i n (9' ~ 6 ~ OOS to~ ~ - - - - - sin (o'

oft ~', ~o' sont les valeurs des param6tres ~, to qui f igurent duns l '6quat ion la forme (2.7)de l 'ensemble (N) associ6 g la surface R1, auxquelles corre. spond la surface R consid6r6e comme une surface appar tenant i~ cet ensemble. Mais on a, comme on le volt aussit6t, ~'------ ~t, t o ' = - - ( m . Donc xl~, vlg doivent v6rifier la relation

sin to~ (4.3) ×in sin to1 -- ~le cos o)1 - - ~1 '

OTHON PYLARINOS: Sblr la g~om~trie di/l~rentieIte des surfaces regI&s 399

D'aprbs (4.2), pour que ta surface considdr~e R soil une surface de BENTRAND, it faut que ta courbure normale z~ e t l a torsion gdod~sique a s de sa ligne de striction C v~rifient une relation de la forme

(4.4) A~,~ --[- B% = C,

les coefficients A, B, C qui y f igurent ~tant des constantes dont la premiere e t l a troisi~me sont routes les deux soil ~ 0 soil ~ 0, la seconde 0rant, dans ee cas, ~ 0.

Cette condition est en outre suffisante afin que R soit une surface de BERTRA!~D.

En effet, si A-----C--~-0, B ~ 0, la ligne de striction de R e s t une ligne de courbure; par consequent R peut 0tre consid~r~e comme une surface de B E R T R A N D .

Si A =4= 0, C :# 0, en posant

A B A . . . . - - sin ¢ol, - - cos ----- ~1,

VA 2 + B ~ V ~ + B ~ +~ '~

on peut donner h la relation (4.4) la forme (4.2) qui, eitant ~quivalente ~ la relation (4.1), est suffisante pour que R soit une surface de :BERTRAND.

On peut donc ~noncer le

Ttt]~OR]~ME I I I . - Afin qu'une surface reglde gauche soil une surface de BERTRAND, il faut et il SUffit que la courbure normale et la torsion gdoddsique de sa ligne de striction vdrifient une relation lindaire ~ coefficients constants dont le premier et le troisi~me sont tous les deux ou bion ~ 0 ou bien ~ O, le second grant, dans ce cas, =4= O.

Il est i~ noter que dans le cas off la ligne de striction C d ' une surface de B:ERTRA~D R n ~est pas une ligne de courbure, de la relation (4.2) ~ la- quelle doivent satisfaire la courbure normale z~ et la torsion g0od~sique % de la courbe C, qui peut s'(~crire

sin ,~1(1 -- ~lz~) : ~ cos o)1%,

off ~I ~= 0, sin (ul ~ 0, on d~duit que l 'on a

2 2 ~I ~Jg (4.5) sin to1

2 2 " (1 - - ~ ) ~ + ~%

Par ailleurs, d 'apr~s la seconde formule (3.8), la torsion g~oddsique v~g de la ligne de striction C~ de la surface R~ qui constitue avec R u n couple de BERTRAND~ est li0e avee x~, % par la relation

(4.6) (1 - - ~ . n ) 2 + ~o~"

400 OTHON lPYLARINOS: Sur la gdomdtrie diffdrentieUe des surfaces regl6es

Des deux relations (4.5) et (4.6) on d~duit aussit6t que les torsions gdodd- siques ~ , ~ des lignes de striction des surfaces R , R~ en leurs points situds sur la m~me gd~dratrice de la surface engendrde par les normales centrales communes des deu~ surfaces vdrifient la relation

sin 2~o~ (4.7) % o ~ - - ~

R E M A R Q U E . - Les lignes de striction des deux surfaces regldes gauches R , R~ qui consti tuent un couple de BEI~TI~AI~D, d 'apr~s un th6or~me connu (6, p. 143), sont des g~od~siques de ces surfaces, dans le cas part iculier off ces courbes sont en plus des trajeetoires isogonales des g(in6ratrices des deux surfaces ou - - ce qui revient au m~me - - dans le cas off les deux surfaces sont des surfaces i~ striction constante. Alors la normale centrale commune des deux surfaces en chaque couple de points homologues de leurs lignes de striction est ndcessairement la normale principale commune de ces courbes aux m~mes points. Donc, dans ee eas, les lignes de stricgion des deux surfaces constituent un couple de courbes de BE]~Tn~D et la relation (4.7) se rdduit & la relafion qui - - comme on salt ~6, p. 35) - - est verifide par les torsions des courbes d ' u n tel couple en leurs points situds sur la m~me gdndratrice de la surface engendrde par les normales principales communes de ces courbes.

5. Si los lignes de striction C, C1 d ' u n couple de surfaces R , R~ de BERTRAND ne sont pas de lignes de courbure de ces surfaces, leurs courbu- res normales ×~, x~ et leurs torsions g6od~siques %, a~g doivent satisfaire - - c o m m e nous I 'avons reconnu dans le paragraphe p r 6 c 6 d e n t - h deux relations de la forme (4.2) et (4.3), les constantes ~ , ~o~ pui y figurent, ~tant les valeurs des param~tres ~, ¢o que l '~quation (2.7)de l ' ensemble (N)associ~

R renferme, auxquel les correspond l~ surface R1. Pa r Mlteurs, si R* est une surface de cette ensemble correspondant aux

valeurs ~*, to* des param~tres ~, to, la courbure normale x2 et la torsion g~od~sique ~ de la ligne de striction C* de R*, d 'apr~s (3.8), sont li~es avec la eourbure normale x~ et la torsion g~od~sique ~g de la ligne de strietion C de R par les relations

(5. t ) x * = 2 2

(t - - ~*:~n) 2 + ~ * ~ ' %" =

L'~liminat ion des xn, % entre les relations (5.1) et (4.2) conduit h la relation

- - ~ 1 ) ( x , + % ) -{- (2~* - - ~l)x~* -{- 1 } -- ~1 cos oh~g* = 0, (5.2) sin ~ol {(2 *2 . *2 *2

OTHON PYLARINOS: Sur ta gdomOtrie di]fOrentielle des surfaces regldes 401

laquelle doivent satisfaire, dans le cas envisag6, la courbure normale et la torsion gfod6sique de la ligne de striction de R*. Cette relation se rdduit la relation (4.2) ou (4.3), si l 'on y pose ~ * = 0 ou ~ * = ~ respectivement.

D ' au t r e part, si la courbure normale z* et la torsion g4od6sique ¢r~ de la ligne de striction C* d ' une surface regl6e gauche R* v6rifient une relation de la forme (5.2) et que l 'on air ~ ~ 0, sin (ol =4= 0, de cette relation, qui peut s ~ 6crire

sin ~ol x: + ~,(×:2 + ~2) ag* __ sin to1 (~ _ ~*~*)~ + ~,~o~ + cos ~o, (t - ~%2)~ + ~ * ~ ~ '

r6sulte, eu 6gard aux (3.6), que l ' ensemble (2Y) associ~ ~ la surface R* con- tient une surface de BERTRAI~D, puisque la courbure normale et la torsion g6od6sique de sa ligne de striction v6rifient une relation de la forme (4.2), ou -- ce qui revient au m~me - - que les normales centrales de R* sent les normales centrales communes d ~un couple de surfaces de BERTR, Ai"qD.

I1 s ' ensu i t que la courbure normale x~ et la torsion g6od6sique % de la ligne de striction d ' u n e surface gauche R doivent v6rifier une relation de la forme

(5.3) A(x:o + o~) + Bx~ + C% + D = o,

les coefficients A, B, C, D qui y figurent 6tant des constantes dent au moins la seconde et la quatri~me sent :@ 0, lorsque In ligne de striction de R n'est pas une ligne de courbure et que ses normales centrales soient les norma]es ceutrales communes d ' u n couple de surfaces de ]3ERTRA~D.

D ~autre part, si la courbure normale et la torsion g6od~sique de la ligne de striction d ' une surface gauche r6elle v6rifient une relation de la forme (5.3), le second et le quatri~me des coefficients constants A, B, C, D qui y figurent, ~tant ~ 0, et que l 'on considikt'e les relations

(5.4) B ^ cos o 3 1 C

en 61iminant 21 entre les deux premieres, on parvient ~t la relation

D~ .2 -- B~* + A = O.

Or, si 4 A D - - B 2 ~ O, ~ chaque racine (r6elle) du polyn6me D~ * z - B[5*-q--A on peut faire associer, /~ l ' a ide des deux derni~res relations (5.4), deux va. leurs r~elles des [~1, cfgtoi telles que la relation (5.2), si l 'on y remplace ~1, ctgtol pat' ces valeurs et ~* par la racine eonsid6r6e, se ram~ne ~t la relation

AnnaIi di Matematica 51

402 OTHON PYLARINOS: gut" Ia gdomdtrie dif]drentielle des surfaces regIdes

(5.3); ee qui p r o u v e - comme nons l ' avons d6j~t reconnu = - q u e tes normales eentt.ales de R* sont les normales eentrales communes d ' u n couple de sur- faces de BERTRA~TD.

On peat donc formuler le

TH]~On.~tE I V . - Afin que les normales cenlr~les d'une surface regtde gauche rdelle, dont la ligne de striction n'est pas une lithe de courbure, soient les normales centrales communes d' un couple de surfaces rdelles de BEIt~RA~D, il faut et il suffit que la courbure normale et la torsion gdoddsique de sa ligne de striction vdrifient une relation algdbrique du second degrd de la forme (5.3), les coefficienls A, B, C, D qui y figurent dtant des constantes telles que l'on ait 4 A D - - B ~ O, tandis que B e t D sont ~ O.

I1 est h noter qne, comme il r6sulte des consid6rations pr6c6dentes, les normales centrales communes d 'un couple de surfaces de BERTRAND sont en m~me temps les normales cenlrales con~munes d' un second couple de surfaces de cette esp~ce, qui en gdndral ne co~:ucide pas avec le t~remier.

Par ailleurs, si F on tient compte du fait que la ligne de striction C* de la surface consid6t.6e R* de Fensemble (N) associ6 h R est une trajectoire orthogonale choisie au hasard des g6n6ratrices de la surface R, engendr6e par les normales centrales de R, on d6duit de la relation (5.2) et de la remarque finale du paragraphe 1, que, lorsque R est nne surface de ]3ERTRAlqD, dont la ligne de strictien C n 'es t pas une ligne de courbure et que l 'on choisisse C eomme cout.be direetrice sur la surface R., la courbure et la torsion g~od6siques z~, s~ de chaque trajectoire ~rthogonale des g~n~ratrices de R. v6rifient une relation de Ia forme

(5.5)

les coefficients premieres sont sont ~ 0 et la

On a done

A, B, ~2, ~ qui y figurent ~tant des constuntes dont les trois les m~mes pour toutes ces courbes, la premiere et la troisibme quarti~me vat.ie de F une h l ' au t re de ces courbes. Ie

T~Ol~]~ME ¥. - La courbure et la torsion gdoddsiques de chaque tra]e. ctoire orthogonale des gdndratrices de la surface R~ engendrde par les nor~nales centrales communes d 'un couple de surfaces de Berl+'and, dont tes lignes de striction ne sont pas de lignes de courbure, vdrifient une relation atgdbrique du second degrd de la /orme

(5.6) A'(~'~ + ~'~) + B' .7 + c'o'~ + D' = 0

dt coefficients qui sont constants sur elle, mats qui varient de l' une & l'autre de ces courbes. Cetle relation devient li~daire sur la lig~e de striclion de cha-

OTHON PYLARINOS: Sur la gdomOtrie di/]&entielte des sur]aces regl&s 403

curie des surfaces dont les normales centrales communes sont les gdndratriees de la surface.

De ce th~or6me joint au fail que les normales priucipales communes &un couple de courbes de BERTRA:ND sont - - comme on le reconnalt ais6ment - - les normales centrales commtmes de cxD ~ couples de surfaces de BERTRAND h, striction constante, on d6duit que la courbure et la torsion gdoddsiques de chaffue trajectoire orthogonale des gdnd,,atrices de la surface engendrde par les normales principales communes d' un couple de courbes de ]~ERTRAND vdrifient une relation algdbrigue du second degrd de la forme (5.6), & coefficients qui sont constants sur elle mais qui varient de l 'une ~ l 'autre de ces courbes. Cetle relation sur chaffue courbe du couple se reduit & lu relation lindaire vd- rift& par la courbure et la torsion de cetle courbe.

6. Supposons maintenant que la ligne de striction C de la surface con- sid6r6e R soit une ligne asymptotique de cette surface el, par eons6quent, que l 'on air en chaque point de C

(6.1) x~---O.

Duns ce cas la eourbe C est une g6od~sique de la surface R~ engendr6e par les normales centrales de R, puisque les surfaces, R, R~ se coupent sous un angle droit le long de cette courbe; aussi les normales centrales de R sont-elles les binormales de la courbe C.

En outre, dans ce cas, les formules (3.8), qui expriment la courbure nor- male x~, et la torsion g6od~sique ~lg de la tigne de striction C~ d ' une surface R~ de l 'ensemble (N) associ6 t~ R comme [onctions de la courbure normale ~,~ et de la torsion g~od~sique % de la ligne de striction C de R, en vertu de (6.1), deviennent

(6.2) xl~ ----- (z2 2 ~ G i g - - 2

En ~liminant % entre ces deux relations on d~duit que la courbure nor. male ~'lr~ et la torsion geod6sique z~g de la ligne de striction C~ d ' une surface R1 de l 'ensemble (N) associ6 h la sur[ace R, lorsque les normales centrales de R sont les binormales de sa ligne de striction C, doivent v6rifier une relation de la forme

(6.3) + o2g) + = 0,

le coefficient ~ qui y figure (itant 6gal en valeur absolue ~t la distance con- stante, d~aprbs (2.8), des deux points des courbes C, C~ situ6s sur la m~me normale centrale de R.

404 OTHON PYLARINOS: Sblr la gdom~trie diffdrentielle des surlaces regl~es

D'au t re part, ]es normales centrales d 'une surface regl~e gauche R~ sont les binormales d' une courbe gauche, lorsque la eourbure normale e t l a torsion g~oddsique de s~ ligne de striction C~ v~rifient une relation de la forme (6.3).

En effet de eette relation r~sulte, h l ' a ide de la premibre formule (3.8), que l ' ensemble (N) associ~ ~ la surface R~ contient nne surface R dont la ligne de strietion est une ligne asymptotique. Par consequent les normales centrales communes des surfaces R, 1~ soul les binormales de cette courbe.

On a done le

TItI~OR~[E VL - Atilt que les normales centrales d'une surface reglde gauche soient les binormales d'une courbe gauche, il faul et il suf[it que la courbure normale et la torsion gdoddsique de sa ligne de striction vdrifienl une relation algdbrique du second degrd de la forme (6.3), le coefficient unique, qui y figure, dtant une constante.

La condition (6.3) qui, d 'apr~s le th~or~me VI, est n~cesraire et suffi- saute alia qui une surface regl~e gauche jouisse de la propri~t~ indiqu~e, si ] 'on y remplace Xl~, z~ p~r leurs valeurs eomme fonction des invariants fon- damentaux de la surface: z~, a~, ~ , affecte la forme

~ ( ~ + ~ ) + ~ cos :~ - ~ s in % = 0

et sous cctte forme elle est donn~e par E. KnUPPA (4, p. 165). Pa r ail leurs la courbure normale z~ et la torsion g~od~sique ~g de la

ligne de striction C~ de la surface R~, d'aprSs ce qui est expos~ duns la re- marque finale du paragraphe 1, sont respectivement 6gales h la courbure et

Ia torsion g6od~siques x~g, ~s de cette courbe, considSr~e comme une eourbe trae~e sur la sur[ace R, engendr~e par les normales centrales communes des surfaces R, R~. Done, d'apr/~s (6.3), z{s, ~ig doivent v(h'ifier la relation

(6.4) + o7 ) + = o.

Y~ais R~ est une surface de l ' ensemble (5 T ) associ~ h R choisie au ha. sard; par consdquent, sa ligne de strietiou C~ est une trajectoire orthogonale des g~n6ratrices de la surface R~ choisie aussi au hasard. En outre ehaque trajeetoire orthogonale des g~n~ratrices de la surface engendr~e par ]es bi. normales d 'une courbe gauche, d' apr~s le th~or~me I, est la ligne de strietion de cx~ surfaces regldes gauches qui admettent les binormales de cette courbe comme normales eentrales. On peat done ~noncer le

TK~OR~IE VII. - La courbure e t l a lorsioJ~ gdoddsiques de chaque traje. ctoire orthogonate des gdneratrices de la surface engendrde par tes binormales d' une courbe gauche C vdrifient une relation algdbrique du second degrd de la forme (6.4), le coefficient unique qui y fiyure dtant une conslante dgale en

OTHON PYLARtNOS: SHt" la gdomdtrie diJJdrentieIle des surlaces regIdes 405

valeur absolue ~ la distance eonstante des deux points de cette trajectoire et de la courbe C siluds sur la m~me gdndratrice de la surface.

De ce th6o~'6me, si l ' on tient compte de ta propri6t6 carast6ristique des courbes de ~ A ~ K E I ~ , d 'aprbs laquelle Ies norlnales principales d' une courbe de cette espbce C~ sont tes binormales d ' une autre conrbe gauche C et du fait que la courbe C~ est une ligne asymptotique de la surfa(.e engendr6e par ses normales principales, on d6duit que la courbure et la torsion gdoddsi. ques de chaque trajectoire orlhogoJ~ale des gdndratrices de la surface engendrde par les ~wrmales principales d'une courbe de MANN~EI~ (~ vdrifient une rdla. tion algdbrique du second degrde de la forme (64), le coeff~cienl uniqne qui y figure dtant dgal en valeur absolue ~ la distance conslanle des deux points de cette trajecloire et de la courbe dont les binormales soul les normales princi. pales de la courbe (~ situds sur la m~me gdndratrice de la surface. Cetle relation se rdduit sur la courbe C~ ~ la relation vdrifide par la courburd et la torsion de cette courbe.

7. Consid6rons maintenant la sur[ace d6veloppable R~ tangente it la surface consid6r6e R tout le long de sa ligne de striction C.

Les g6n6ratrices de la surface Rd sont les tangentes it la surface R aux points de !a courbe C, conjugu6es aux tangentes it R en ces m~mes points et -- comme on sail (2, p. 189) -- la g6n6ratrice de cette surface issue du point courant K(u) de C est parall~le au vecteur

(7.1) h = ~e A- zz,

off x, ~ sont la courbure et la torsion de R sur sa g6n~ratrice issue du point K .

Si l 'on d¢signe par + F angle (t, d), off [ e s t le vecteur unitaire (1.4) parallble it la tangente ~ C en K, en vertu des (1.4) et (7.t), on a

COS ~ siu ~ -b z cos

+

De cette formule, qui, h l 'a ide des (1.5), acquiert la forme

% (7.2 + = +

on dCduit aussit6t que, pour que la ligne de striction d ' une surface reglde gauche R soit une trajectoire isogonale des gCn4ratrioes de la surface d6ve. loppable Rd tangente h R tout le long de la courbe C, il faut et il suffit que la courbure normale et la torsion g6odCsique de cette courbe vCrifient

406 OTHON PYLARINOS: Stir Ia gOomdtrie dif/drentielle des surlaces regl@s

une relation de la forme

(7.3) Az~ + B% -----0,

les coefficients A, B qui y figurent (~tant des constantes dont au moins une est 4= 0. 0 u peat done dist inguer trois cas suivant que l 'on a A = 0 , B 4= 0, ou A ~ 0 , B = 0 , ou A ~ O , B4:0 .

Si A = 0 , B @ 0 , la ligae de strietiou 6 de R e s t u n e l i g n e d e courbure, puisque en chaque point de C on a % = 0. Duns ce cas la surface R~ engen- dr6e par les normales eentrales de R est d6veloppable et les trajeetoires orthogonales des g~n6ratrices de R~ sont des Iignes de courbure de cette surface. Par eons6quent lear torsion g6od6siqae est par tout = 0 .

Si A 4= (), B = 0. la ligne de str ict ion C de R est une ligae asymptot ique de eerie surface et ce cas est diseout(i duns le paragraphe pr6e6dent.

Si enfin A 4= 0, B 4= 0, en 61iminant x,~, % ent re la relation (7.3) et les deux relations (3.~) v~rifi6es par les courbares normales x~, x~, et les torsions g6od6siques ~g, ~g de la ligne de strietion C de R et de la ligne de striction C~, d 'une surface R~ de l ' ensemble (N) associ(f 5~ R, on d6duit que la cour- bare normale x~ et la torsion g6od~sique ~g de la eourbe C1 doivent v6rifier la relation

(7.4) , 2 2

off ~1, est uue oonstante dgale en valeur absolue /~ la distauce constante, d'apr/~s (2.8), des deux points des courbes C, C1 si tars sur la m~me normale centrale commune des surfaces R, [~1.

Les normales eentrales de la surface R sont en m~me temps les normales i~ la surface d6veloppable Rd tangente it R tout le long de sa ligne de stri- etion C. Pa r ailleurs, d'apr/~s le th6or~me I, ane trajectoire isogonale des g~n6ratrices d 'une surface d6veloppable est la ligne de strietion de ec ~ sur- faces regl~es gauches qui admettent les normales i~ la surface aux points de cette courbe eomme normales centrales.

Cela 6tant, de la relation (7.4) on d~duit que la courbure normale ×, et la torsion g~od~sique % de la ligne de striction d' une surface reglde gauche doivent wSrifier une relation de la forme

(7.5) 2 Al(z~ + %) + B~zo + G% = 0,

les coefficients A1, B1, Q qui y figurent ~tant des constantes, dont au moins les deux clernibres sont :4=0, lorsque les normales centrales de la surface sont les normales h une surface d~veloppable aux points d ' une trajectoire isogonale - - non orthogonale -- de ses g6n6ratrices.

OTHON PYLARINOS: Sur la gdomdtrie difIdrentielIe des sur]aces regldes 407

D ' au t r e part, la condition (7.5) v~rifi~e par la courbure normale et la torsion g6od~sique de la ligne de striction d ' u n e surface regl~e gauche R est suffisante, afin que les normales centrales de la surface soient ]es nor- males i~ une surface d~veloppable aux points d ' une trajectoire isogonale de ses g~n6ratrices, car de cette relation, qui, si l 'on y pose B1 ~ A, A~ = Bi ~1, C1 ~ B B1, acquirer t la forme

on d6duit, h l ' a ide des formules (3.8), que la eourbure normale et la torsion g4od6sique de la ligne de strietion d 'une surface de l ' ensemble (N) associ4 h R v4rifient une relation de la forme (7.3). Cette surface eoYncide avee R, si A~ = 0.

On peat done 6noneer le

TH]~ORgNE VIII . - Afin que les normales centrales d 'une surface reglde gauche soie~t les ~wrmales de u~e sur/ace ddveloppable aux points d 'une lraje. ctoire isogonale - - no~ orlhogonale - - de ses gd~dralrices, il /'aut et il suffit que la courbure normate el la torsion gdoddsique de sa ligne de ~triction vdri. fient une relaliou algdbrique du second degrd de la forme (7.5), les coefficients qui y figurent dtant des constantes dent au mo i l s les deux derni~res sent ~ O.

En outre, d 'apr~s la remarquc finale du paragraphe 1, la courbure et la torsion g~od6siques z~g, ~g de la ligne de striction C~ d 'une surface R~ de l ' ensemble (.N) associ6 i~ R, consid~r6e comme une courbe trac~e sur la sur- face R~ engendr6e par les normales centrales de R, doivent v6rifier, dams te cas envisag6, la relation

~2 (7.6) A~(x~ + ~g) + Az'~g + Bc~Ig ---~ 0

laquelle on parvient en rempla~ant dans la relation (7.4), ~1~, ¢h~ par x~, ~'le respectivement. Les coefficients A, B qui f igurent dans la relation (7.6) sent les coefficients de la relation (7.3), tandis que ~ est une constante 6gale en valeur absolue ~ la distance constante, d 'aprgs (2.8), des deux points de la courbe C1 et de la ligne de striction C de R, situ6s sur la m~me g6n6ra. trice de la surface R,.

Cette constatation, jointe au fair que, d'apri, s le th~orbme Ii chaque tra- jectoire orthogonale des g6n6ratrices de la surface Rn engendr6e par les normales h. une surface d6veloppable aux points d ' une trajectoire isogonale de ses g6n6ratrices, est la ligne de striction de oc ~ surfaces regl6es gauches qui admettent les g6n6ratrices de R~ comme normales centrales, permet de formuler le

TtII~OI~EME IX. - La courbure et la torsion gdoddsiq~'es de chaque traje. ctoire orthogonale des gdndralrices de la surface e~gendrde par les ~wrmales de

408 OTHON PYLARINOS: Sbtr Ia gdomdtrie dil]&entielIe des sur]aces regtdes

une surface ddveloppable aux points d' une trajectoire is(agonale C - - non or- thogonale - - de ses gdndratriees, vdrifient une relation algdbrique du second degr~ de la [orme (7.6) & coefficients qui sont constants sur elle. Les deux pre. miers des coefficients A, B, ~ qui figurent dans cette relation, giant t ous l e s deux ~ O, soul les m~mes sur loutes ces courbes, landis que le troisi~me varie de l' une & 1 ~ aulre. Cetle relation se rdduit sur la courbe C & la relation li. ndaire el homog~ne vdrifide par la courbure el la torsion gdoddsiques de cette courbe.

De ce th~oreme, si l 'on tient compte du fail que les normales principales d ' une h61ice cylindrique sont les normales le long de cette courbe h la sur- face cylindrique dont l 'h~liee est nne g6od6sique, on d6duit que la courbure et la torsion gdoddsiques de chaffue trajectoire orthogonale des gdndralrices de la surface engendrde par les normales principales d'm~e hdlice cylindrique, sont lides par une relation algdbrique du second degrd de la for'me (7.6), les coefficients A , B , ~ qui y figurent dtant constants sur elle. Le coefficient varie de l 'une & l 'aulre de ces courbes, landis que les deux premiers sont invariables; ce sont les coefficients qui figurent dans la relation lindaire et homog~ne vdrifide par la courbure et la torsion de l'hdlice.

8. Soil R~ une surface de l 'ensemble (27) associ6 h Ia surface consid6r6e R, correspondant aux valeurs ~1, ¢o~ des param~tres ~, (o qui f ignrent dans l '~quation (2.7) de cet ensemble.

La courbure normale x~. et la torsion g6od6sique ~g de la ligne de stri- ction C~ de R~ sont les fonctions (3.8) de la courbure normale z~ et de la torsion g6od~isique % de la ligne de C strietion C de R.

En 61iminant ~1 entre les deux relations (3.8), on parvient facilcmcnt ~t la relation

Olg Ug (8.1) 2 2 - - -~- ~ ;

×l,~-t--the z,~ "-I- %

2 2

ce qui montre que le rapport x.-{- % est le m6me pour teutes les surfaces de l 'ensemble (N) associ6 g R. %

La valeur de ce rapport au point courant K(u) de ta Iigne de striction C de R e s t 6gale au param~tre de distribution p. de la surface R~, engen. dr~e par les normales centrales de R sur sa g6n6ratrice issue de ce point.

Eu effet, d 'apr~s la formule connue, le parambtre de distribution Pn de /in sur sa g~n~ratrice issue du point K(u) de la courbe C, est

4A,,/x p . - -

,>

OTHON PYLARINOS: Sblr la gdomdtrie di]/&entielle des sur]aces regldes 409

Cette formule, si l 'on y remplace 9, n par leurs valeurs (1.4) et (1.2), acquiert la forme

x s i n ~o -4- ~ cos ¢~ prt = Z2 ~._ (~2 '

ou finalement, /~ l 'a ide des (1.5),

% (8.2) P° +

De cette formule on d6duit aussit6t que, pour que la surface R, engen- dr6e par les normales centrales d ' une surface regl6e, soil une surface /~ pa- ram6tre de distribution constant, il faut et il suffit que ] 'on air

(8.3) % = 0 ,

off a est une eonstante. On a done le

Tltl~OR~3IE X. - Pour que la surface engendrde par les normales centrales d' une surface reglde gauche R, soit une surface dt paramdtre de distribution con- stant, il faut et il suffit que la c, ourbure normale el la torsion gdoddsique de la ligne de striction de R vdrifient une relation algdbrique du second degrd de la forme (8.3), le coefficient unique qui y figure dtant dgal au param~tre de distribution constant de eette surface.

Par ailleurs des deux relations (8.1) et (8.3) on d6duit aussit6t, si l 'on tient compte en outre de la remarque finale du paragraphe 1, que la cour- bure et le torsion g~od6siques zig, ~g de la ligne de striction G d 'une sur- face R~ de l 'ensemble (N) associ6 ~t R, eonsid6r6e comme une courbe trac~e sur la surface R, engendr6e par les normales centrales de R verifient la relat ion

(8.4) +2 v

off a est une eonstante, lorsque R,, est une surface h param~tre de distribu- tion constant 4gal i~ a .

Cette constatation jointe au fail que, d' apr6s le th6or6me I, les g6n6ratriees d ' une surface regl~e h param6tre de distribution constant sent les normales centrales communes de cx~: surfaces regl~es gauches, permet de formuler le

Ttt~ORI~ME X I . - La courbure el la torsion gdoddsiques de chaque traje- ctoire orthogonale des gdndratrices d' une surface reglde d~ paramdtre de distri- bution constant vdrifient une relation algdbrique du second degrd de la forme (8.4), le coefficient unique qui y figure dtant dgal au param~lre de distribution constant de la surface.

AnnaIi di Matematiea 52

410 OTHON PYLARINOS: Sur la gdomdtrie dilldrentietIe des surJaces regIdes

9. Supposons enfin que la ligne de striction C de la surface R soit une courbe de cette surface, dont la courbure normale et ]a torsion gdodd- sique sont toutes les deux constantes:

(9.1) x ~ = c l , %----c2,

o~ c~, c2 sont des constantes dont au moins la seconde est @0. Dans ce cas, d 'apr~s ce qui est exposd dans le paragraphe 7, la courbe

C est une trajectoire isogonale des gdn6ratrices de la surface ddveloppable Rd tangente i~ R le long de cette courbe.

En outre, les normales centrales de R, d'aprgs ce qni est expos6 dans le paragraphe 6, sont les binormales d 'une courbe gauche C1: la ligne de striction la surface R~ de F ensemble (N) associd h R correspondant aux valeurs

62 ~ ~ 2 2, ¢o~ des parambtre ~, co qui figurent dans l 'dquat ion (2.7) de eet

Ci -~- C2

ensemble.

Par ailleurs, dans ee cas, la surface R~ engendrde par les normales een- trales de R, gr~tee aux (9.1), est une surface h param~tre de distribution con stant :

C2 (9 .2) pn - - ~ ~ + o .

e l - [ - e2

Cela dtant, d 'apr~s le thdorgme XI, ta courbure et la torsion gdoddsiques x~g, o~ de la courbe (;'1 dont les binormales sont les normales centrales de R, considSrde comme une courbe de la surface R,~, doivent vdrifier la relation

{ '2 "2 ; ~ O. (9.3) p~ zig + olg) o~g

Mais la courbe C1 est ndeessairement une gdoddsique de la surface R~ engendrde par ses binormales. On aura done z~-----t), zig = ol, o~ zl est ta torsion de cette courbe et de la relation ~9.3) on ddduit que l 'on dolt avoir

1 soit o~ e = ~ l = O soito~ e = o 1 = - 4 = 0 .

pn

Si o~ ----0, la eourbe CI serait une eourbe plane et la surface Rn engen. drde par ses binormales serait une surface eylindrique, ce qui, d 'aprgs l 'hypoth~se faite pour le param~tre de distribution de R, est exclu.

Done, darts le cas envisagd, les normales centrales de la surface R sont les binormales d 'une courbe gauche i~ torsion constante:

2 2 1 el "k- cl 0.4) ol =

ion C2

OTHON PYLARINOS: Sur ta gdomdtrie di]]drentielle des sur]aces regldes 411

D ' a u t r e part, la sur face R~ engendr~e par les b inormales d ' u n e courbe gauche C i~ tors ion cons tan te c e s t - - comme on sait (1, p. 104) - - une sur.

1 face gauche h pa ram~t re de d i s t r ibu t ion cons tant p~ ~ - .

c

0r, si l ' o n choisi t sur la surface R~ la co~rbe C comme courbe d i rec t r ice et qae l ' o n t ienne eompte du fair que la courbure et la torsion g(iod~siques de C considerSe comme une courbe trac~e sur R~, sont

0 5 ) z'~ = O, ~i~ = ~ ~ c,

puisque C est une g~o:l~sique de R~, on obt ieut h l ' a i d e des (3.9) et (9.5) pour la eourbare et ia torsion gSo~16siques z~, a~ d ~ uue t ra jec to i re or thogonale des g~n4ratr ices de la surface R~ les express ions

~,~2 e (9.6) x'~ = 1 + ~t '~ c ~' ~'~ - - 1 + ~'~ c ~ ;

ce qui mont re que ×g, ue song cons tan tes sac chaque t ra jec to i re or thogonale des g4n6ratr ices de la surface R~, le coeff ic ient ~' qui f igure dans les formules (9.6) (itant cons tan t sur chacune de ces courbes.

Les cons idera t ions pr~c~dentes pe rme t t en t d '~nonce r le

TR~OREME X I L - La courbure et la torsion gdoddsiques des trajectoires orthogonales des gdndratrices d'une surface reglde gauche ne sont constantes sur chacune de ces courbes que dana le cas oie les gdndratrices de la surface sont lea binormales d'une courbe gauche ~ torsion constante.

I1 est h rioter que, d ' ap rbs un th6or~me du h X. AN~OMA]~I (4, p. 168), si une tra]ectoire orthogonale des gdndratrices de la surface engendrde par les binormales d'une coterbe gauche C~ est une courbe de la surface & courbure gdoddsique constante toutes les trajectoires orthogonalea des gdndratrices de la surface sont ndcessairement des courbes & eourbure gdoddsique constante.

Duns ce cas la courbe C~ est n~cessa i rement une courbe h torsion corn s tante .

E a ef~et, C~ est une t r~jectoire or thogonale des g~n~ratr ices de la sur face Rb engeudr~e par ses b iuormaIes et en m~ne temps une g6od~sique de cette surface. On aura dour , en d~signant par ×'~g, ~g [a eourbure et la tors ion g~od~siques de Q , z~g ~ 0, v~g ~ ~ , o~ ~ est la torsion de cette courbe.

Or, si uae au t re t ra jectoi re or thogonale C' des g6n~ratr ices de R~ est une eourbe ~ eourbure g6od(!sique cons tan te : z~ = c' 4= 0 et que 1' on choisisse sur la surface Rb la courbe C~ comme courbe directr ice, on aura., d ' ap r~s la p remie re fo rmule (39), pour la eourbure g4od~sique x~ de la courbe C'

412 OTHON PYLARINOS: Sur Ia gdom~trie di]]drentielle des surfaces regldes

1' e x p r e s s i o n

g

ce qut p r o u v e , eu ~ga rd a u fa i r que ~' e s t u n e e o n s t a n t e s u r la e o u r b e C', q u e C~ do i t ~tre , d a n s le cas e n v i s a g 4 , u n e e o u r b e h t o r s i o n e o n s t a n t e .

De cette constatation joinle au th4or~me X I I rdsulte que. si une trajectoire orthogonale des gdndratrices de la surface engendrde par les binormales d' une courbe gauche est une courbe de la surface ?~ courbure gdoddsique constante (=#: 0), la courbure et la torsion gdocldsiques des trajectoires orthogonales des gd. ndratrices de la surface sent sur chacune de ces courbes routes les deu$ con. stantes.

B I B L I O G R A P H I E

[1] A. BRAUSER, ~)~er StrahlflSche~ yon Konstantem Drall, Mh. filr 2¢Iath. 63 (1959), pp. 101-111.

[2] J. KI~AY~Es, ~fber den Drall ~vindschiefer FlSchen~ .(nz. der (~st. Akad. der Wiss. Wien, Math-~at . Klasse 97 (1960), pp. 187-192.

[3] E. KRUPPA, Analytische und konstruktive Differential geometric, Springer 1957. [4] - - - - , Z~r Differentialgeometri~ der Strahlflgchen und Raumkurven, Stzb. der ()'st.

Akad. der Wiss. Wien (1957)~ pp, 1~3 176. [5] ~. SANS~A, U,a rappreeentazions intrinseca delle rigate, G-iora. di Mat. 63 {1925),

pp. 31.47.

[6] G.E. W~ATHERSURS, Diff~r~nticd geometry of three dime~sions, voI. I~ Cambridge, 1_901.