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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA

VITOR DIAS DO VALE / 05021002401

PROPOSTA DE APLICAO DO

TEOREMA DE CASTIGLIANO

BELM

2013




Trabalho de Concluso de Cursoapresentado ao Colegiado da Faculdade deEngenharia Mecnica do Instituto deTecnologia da Universidade Federal do Parpara obteno do grau de EngenheiroMecnico.

Orientador: Prof. Me. Eng. Mauro JosGuerreiro Veloso.

BELM

2013




Trabalho de Concluso de Curso

apresentado para obter o grau de Engenheiro

Mecnico pela Universidade Federal do

Par. Submetido banca examinadora

constituda por:

Prof. Me. Eng. Mauro Jos Guerreiro Veloso

UFPA Orientador, Presidente

Prof. Dr. Eng. Jerson Rogrio Pinheiro Vaz

UFPA - Membro

Prof.Eng. Arielly Assuno Pereira

UFPA - Membro

Julgado em ____ de _________ de _______.

Conceito:

BELM

2013

Se o relgio indica a existncia do relojoeiro, se

o palcio anuncia o arquiteto, como poderia o

universo no demonstrar a inteligncia

suprema? Que planta, que animal, que

elemento, que astro, no traz a marca daquele a

quem Plato chamava o Eterno Gemetra?...

Provas contra a existncia de uma Inteligncia

Suprema nunca ningum as deu.

Voltaire

Dedico esta obra, primeiramente, aos meus

pais Vitor e Vilma, por todo empenho e apoio

incondicional para que eu pudesse chegar onde

estou. A toda minha famlia e amigos, que

estiveram comigo em todos os momentos.

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus, por todas as condies favorveis encontradas para que chegasse a concluso

desse trabalho. A minha famlia, que me deu toda a ajuda necessria durante o longo caminho

at a finalizao desta obra. Aos meus tios e tias, em especial minha tia Selma, por todo

incentivo e motivao que me fazem sempre seguir em frente.

Muito Obrigado!

RESUMO

O presente trabalho visa a elaborao de uma metodologia simplificada de aplicao do

Teorema de Castigliano, o qual corresponde a um mtodo energtico aplicado ao clculo de

deflexo de vigas. Para alcanar esse objetivo foi desenvolvido um quadro de equaes

contendo o resultado da anlise de aplicao do Teorema, onde foram selecionadas as equaes

para os casos de solicitao por trao, cisalhamento, toro e flexo. Para uma abordagem

correta e ampla do Teorema de Castigliano, foram demonstrados, ao longo deste trabalho, os

conceitos bsicos necessrios ao seu entendimento, tais como: deformao de um corpo e

energia de deformao. Ao final, duas aplicaes tericas e dois estudos de casos foram

apresentados com a finalidade de demonstrar a aplicabilidade do quadro.

Palavras-chave: Cisalhamento. Deformao. Energia de deformao. Flexo. Teorema de

Castigliano. Torque. Trao.

ABSTRACT

The present paper aims at the development of a simplified methodology for the

application of Castigliano's theorem, which corresponds to a power method applied to the

calculation of deflection of beams. To achieve this goal was developed a table of equations

containing the result of the analysis of the application of the theorem, where the equations were

selected for the cases of request for traction, shear, torsion and bending. For a correct approach

and wide of Castigliano's theorem, were demonstrated, throughout this work, the basic

concepts necessary for their understanding, such as: a body deformation and deformation

energy. In the end, two theoretical and two case studies were presented to demonstrate the

applicability of the table.

Keywords: Bending. Deformation. Shear. Strain energy. Theorem of Castigliano. Traction.

Twist.

LISTA DE SMBOLOS

: derivada parcial.

A: rea da seo transversal.

W: trabalho virtual.

dx: variao espacial no eixo x.

dy: variao espacial no eixo y.

dz: variao espacial no eixo z.

E: mdulo de elasticidade.

G: mdulo de elasticidade transversal.

I: momento de inrcia.

J: momento polar de inrcia.

kc : coeficiente de correo para energia de deformao por cisalhamento.

ko : constante de rigidez torcional.

l: comprimento longitudinal de um corpo.

M: momento fletor.

N: fora normal (axial).

P: fora qualquer.

Q: carga generalizada.

T: torque ou momento torcional.

U: energia de deformao.

V: fora cortante ou cisalhante.

: deformao angular longitudinal para corpos cilndricos.

: deslocamento.

: alongamento relativo.

: deformao angular por cisalhamento.

: tenso axial.

: deformao angular na toro.

: tenso de cisalhamento.

SUMRIO

1 INTRODUO....................................................................................................................10

1.1 Consideraes iniciais.......................................................................................................10

1.2 Objetivos............................................................................................................................10

1.3 Justificativa........................................................................................................................11

1.4 Metodologia........................................................................................................................11

1.5 Estrutura do trabalho ......................................................................................................12

2 HISTRICO SOBRE O TEOREMA E SEU AUTOR.....................................................14

3 O TEOREMA DE CASTIGLIANO...................................................................................18

3.1 Teorema de Castigliano pelo Princpio da Energia Potencial Estacionria.................23

3.2 Problemas estaticamente indeterminados.......................................................................25

4 ENERGIA DE DEFORMAO........................................................................................29

4.1 Energia de deformao na trao....................................................................................30

4.2 Energia de deformao no cisalhamento........................................................................33

4.3 Energia de deformao na toro....................................................................................35

4.4 Energia de deformao elstica na flexo.......................................................................38

5 O TEOREMA NA PRTICA.............................................................................................41

5.1 Para carregamento axial...................................................................................................41

5.2 Para carregamento cisalhante transversal......................................................................41

5.3 Para carregamento torcional............................................................................................42

5.4 Para Carregamento por momento fletor........................................................................43

5.5 Proposio de quadro.......................................................................................................43

5.6 Utilizaes do quadro........................................................................................................44

6 APLICAES.....................................................................................................................46

6.1 Aplicao 01.......................................................................................................................46

6.2 Aplicao 02.......................................................................................................................49

6.3 Estudo de caso 01..............................................................................................................54

6.4 Estudo de caso 02..............................................................................................................59

7 CONCLUSES....................................................................................................................67

REFERNCIAS......................................................................................................................69

10

1 INTRODUO

1.1 Consideraes iniciais

O presente Trabalho de Concluso de Curso tratar de uma proposta de aplicao do

Teorema de Castigliano, o qual consiste em um mtodo matemtico que possibilita o clculo

da variao na posio de um ponto sobre um corpo, no qual est sendo aplicada uma

determinada fora, sendo a variao calculada na mesma linha de atuao da fora. Tal

mtodo baseia-se principalmente na anlise da energia de deformao.

A energia de deformao, de acordo com Hibbeler (2004), corresponde energia

armazenada em um corpo deformado devido ao de uma carga que atua sobre ele. Caso

no haja perdas, o trabalho externo realizado por essa carga ser totalmente transformado em

trabalho interno, que se apresenta sempre de forma positiva, e provocado pelo surgimento

de tenses no corpo. Sendo essa energia responsvel por fazer o corpo voltar ao seu estado

no deformado.

Ainda de acordo com Hibbeler, a necessidade de se estabelecer limites para o valor da

deflexo (ou deformao), que uma viga ou eixo, pode suportar quando submetido a cargas,

se apresenta de forma corriqueira. Norton (2010) diz que um projetista necessita conhecer,

no apenas as tenses geradas em uma viga de material dctil, mas tambm as suas deflexes,

sendo que qualquer carga que venha a ser aplicada em uma determinada viga, inevitavelmente

esta causar uma certa deflexo, e se tal deflexo no causar deformao alm do ponto de

escoamento, a viga retornar ao seu estado inicial (no deformado) ao se remover tal carga.

Porm, se a deflexo levar o material de composio da viga a exceder seu ponto de

escoamento, tal material escoar, pois ter entrado em sua zona plstica o que resultar em

deformaes permanentes ou at mesmo a ruptura do material.

1.2 Objetivos

Tem-se por objetivos, a realizao de uma reviso bibliogrfica, demonstrao terica,

aplicaes e elaborao de um quadro composto das variaes do Teorema de Castigliano,

que corresponde a um mtodo energtico para o clculo da deflexo de vigas com base na

energia de deformao, fora/carga aplicada e deformao resultante observada em uma

determinada viga, que se apresente dentro da zona elstica do grfico tenso/deformao

11

(). Apresenta-se como objetivo maior deste trabalho, a elaborao de uma maneira verstil

de aplicao do Teorema de Castigliano atravs da implementao do quadro que conter as

diversas combinaes que podem resultar da juno entre a equao de tal teorema com as

equaes existentes para o clculo da energia de deformao nos casos de trao/compresso,

cisalhamento, toro e flexo. Esses objetivos esto apresentados na listagem abaixo.

Objetivo especfico:

Elaborar um quadro de equaes baseado no Teorema de Castigliano.

Objetivos gerais:

Desenvolver uma metodologia simplificada para o uso do Teorema de

Castigliano em situaes prticas;

Aplicar a metodologia proposta a dois estudos de caso.

1.3 Justificativa

O clculo de deflexo de viga apresenta-se como forma de garantir a segurana

pessoal/patrimonial nas corriqueiras aplicaes de cargas adicionais em uma determinada

estrutura. Pois, atravs desse clculo pode-se prever que a estrutura ter ou no capacidade de

suportar carga adicional sem que haja deformao permanente que causaria comprometimento

da estabilidade de tal estrutura. Apresenta-se, portanto, o Teorema de Castigliano, um mtodo

prtico e eficaz para que se possa efetuar tal clculo. Porm, tal Teorema apresentado apenas

de forma genrica em todas as literaturas pesquisadas, enxergando-se assim, a necessidade de

implementao de equaes derivadas do Teorema em questo, na forma de um quadro de

equaes que venha a contribuir para uma forma simplificada de sua aplicao.

1.4 Metodologia

Para a parte inicial do Trabalho foi feita uma pesquisa bibliogrfica com a finalidade

de expor a formulao terica a respeito do Teorema e identificar os princpios no qual ele se

baseia. Partiu-se ento para o entendimento do Teorema, onde foi identificada a necessidade

da abordagem sobre Energia de Deformao. Como o Teorema leva o nome de seu autor,

tambm foi realizada uma pesquisa sobre a biografia desse ilustre engenheiro.

Aps a seleo dos assuntos e autores, partiu-se ento para a montagem do quadro de

12

equaes proposto. Como a simples montagem do quadro, por si s, no explicaria muita

coisa, definiu-se que tambm seria necessria a busca de exemplos que servissem de base para

uma explicao de como o quadro dever ser usado. Sendo ento possvel comprovar a

aplicabilidade do quadro.

1.5 Estrutura do trabalho

A presente seo configura-se como uma sntese de todo o trabalho, sendo de vital

importncia para o entendimento do contedo que vem a seguir, bem como a sua finalidade,

pois cada um dos prximos captulos representa o desdobramento do que foi proposto neste.

Na seo seguinte, foi reservado um espao para falar sobre a histria de vida de Carlo

Alberto Castigliano e seu teorema, o qual a base deste trabalho, apontando no apenas fatos

relevantes elaborao do seu teorema, como trechos interessantes sobre sua vida pessoal,

que mostraram que ele no foi apenas um grande estudioso e engenheiro, mas um grande

exemplo de vida a ser seguido.

Posteriormente, na seo 3, feita a abordagem do Teorema de Castigliano,

utilizando-se dos argumentos de trs autores distintos para a demonstrao dos princpios que

norteiam a sua base terica, bem como as condies de aplicabilidade desse Teorema.

Na seo 4, constam explicaes sobre Energia de Deformao, assunto no qual o

Teorema de Castigliano se baseia. Nessa seo ficaro mais evidentes as situaes onde o

Teorema em questo se faz til, esclarecendo para os casos de tenso, cisalhamento, toro e

flexo como se chegar ao clculo da energia de deformao constante nessas trs situaes

para posterior utilizao, com o Teorema de Castigliano, para se achar a deflexo de um corpo

devido a aplicao de uma fora, ou a fora que resultou em tal deflexo.

seo 5 ficou reservada a tarefa de se expor como o Teorema de Castigliano se une

s equaes de Energia de Deformao para ento gerar as novas equaes que possibilitaro

o calculo das deflexes ou foras geradoras de tais deflexes. Sendo tambm neste captulo

feita a elaborao do quadro proposto neste trabalho bem como sua aplicabilidade.

Na seo 6 feita a demonstrao da utilizao do quadro proposto no captulo

anterior, utilizando-se de duas aplicaes e dois estudos de caso. Sendo na primeira aplicao

utilizado a forma tradicional de aplicao do teorema e na aplicao seguinte e nos dois

estudos de caso utilizado o quadro de equaes proposto.

13

Por fim, na seo 7 constam as concluses e consideraes resultantes da elaborao

deste trabalho bem como sugestes de trabalhos futuros. Sendo ento, este Trabalho de

Concluso de Curso composto por sete sees.

14

2 HISTRICO SOBRE O TEOREMA E SEU AUTOR

O teorema em questo foi proposto em 1879 pelo engenheiro ferrovirio, Carlo

Alberto Castigliano (figura 1), que publicou, em um livro intitulado Thorie de lquilibre

des systmes lastiques, et ses applications (em portugus: Teoria de Equilbrio de Sistemas

Elsticos e Suas Aplicaes), o mtodo para determinar o deslocamento e a inclinao de um

ponto em um determinado corpo (Boley, 2008).

Figura 1 Carlo Alberto Castigliano

Fonte: ROBERTSON, 1997

De acordo com Norton (2006), o Teorema de Castigliano apresenta-se como um dos

mtodos mais utilizados na engenharia para a resoluo de problemas envolvendo deflexo de

vigas. Norton ressalta ainda que, essa larga utilizao decorre principalmente do fato de ser

possvel a soluo de problemas de vigas estaticamente indeterminadas, alm de vrios

motivos.

Boley (2008) relata que o teorema foi decorrncia do surgimento de um grande grupo

de engenheiros estruturais na Itlia, durante a segunda metade do sculo XIX, que, em sua

grande parte, foi responsvel pela criao e popularizao dos vrios mtodos de anlise

estrutural com base nos conceitos de trabalho-energia. Este grupo inclua homens de diversas

vocaes, e a lista proposta por Boley (2008), contendo os nomes, considerados como

principais pelo autor, notvel, tanto pela versatilidade dos indivduos relacionados, quanto

15

pelas provas que apresentam o vigor intelectual e cientfico daqueles tempos: Alessandro

Dorna (1825 - 1866, engenheiro e astrnomo), Luigi Menabrea (1809-1896, general e

estadista), Francesco Emilio Sabbia (1838-1914, em geral), Angelo Genocchi (1817-1889,

matemtico), Enrico Betti (1823-1892, matemtico e engenheiro), Vincenzo Cerruti (1850-

1909, engenheiro e matemtico), Francesco Crotti (1839-1896, engenheiro), Luigi Donati

(1846-1932, fsico), e, claro, Castigliano.

Na publicao de Robertson (1997), encontra-se a afirmao que Castigliano nasceu

em 8 de novembro de 1847 na cidade de Asti na regio de Piemont no noroeste da Itlia, em

uma famlia de origem humilde, filho de Giovanni e Orsola Cerrato. Seu pai faleceu quando

ele tinha 16 anos, porm sua me casou-se novamente, e ele recebeu apoio de seu padrasto

para seguir com seus estudos. Por quatro anos estudou no Instituto Tcnico de Terni, na

mbria. Boley (2008) afirma que durante a estadia de Castigliano na mbria, ele tambm

teria lecionado Projeto de Mquinas e Mecanismos em tal Instituto, e voltou em 1870 para a

regio de Piemont para estudar no Instituto Politcnico de Turim (figura 2). Boley conta ainda

que, como estudante l, foi que ele comeou seu trabalho sobre a teoria das estruturas,

levando-o sua primeira publicao, que foi a sua celebre dissertao em 1873. A

Giovannardi (2009) relata que durante a graduao de Engenheiro Mecnico pelo Instituto

Politcnico de Turim, ele precisou conciliar seus estudos com empregos para poder

complementar sua renda. Aps aprovao no Real Museu Industrial de Turim, ele se tornou

professor de Matemtica aplicada nessa mesma instituio.

Giovannardi conta ainda que, em 1873, Castigliano foi contratado pela Strade Ferrate

Alta Italia, companhia ferroviria italiana que o lotou, inicialmente na cidade de Alba, mas

decorrido um ano, ele foi transferido pra o escritrio de projetos da companhia, em Turim. Em

fevereiro de 1875, a sede do Instituto de Artes, em Milo, o chamou para a concepo e

acompanhamento de todas as grandes obras da rede ferroviria no norte da Itlia, que exigiam

alto nvel tcnico de conhecimento. Sua alta eficincia, fez com que, decorrido apenas trs

anos na funo, ele fosse promovido a chefe da seo. Boley (2012) acrescenta que ele

manteve essa ultima posio at sua morte, porm durante todo o tempo continuou a estudar e

a escrever. A morte de Carlo Alberto Castigliano ocorreu em Milo, na noite de 25 de outubro

de 1884, aos 36 anos, vtima de pneumonia. Conforme o descrito em Giovannardi (2009).

Boley (2008) expe que as principais contribuies de Castigliano so os dois

teoremas conhecidos pelo seu nome. O primeiro destes, contido na sua tese, Intorno ai sistemi

elastici, afirma que a derivada parcial da energia de deformao considerada como uma

16

funo das foras aplicadas (ou momentos) que atuam sobre uma estrutura linear elstica,

com relao a apenas uma dessas foras (ou momentos), igual ao deslocamento (ou rotao)

na direo da fora (ou momento) do seu ponto de aplicao. Boley afirma ainda que,

Castigliano incluiu o caso de reaes externas, no prescritas, observando que quando o apoio

correspondente a essas reaes no for flexvel, a derivada parcial zero e que o seu teorema,

em seguida, reduz-se ao "princpio do menor esforo" de autoria de Luigi Federico Menabrea.

Em 1875 Castigliano publicou seu segundo teorema, em que a energia de deformao

considerada uma funo dos deslocamentos indeterminveis de pontos de limite discretos; sua

derivada em relao a um destes deslocamentos resulta na fora correspondente atuante no

corpo.

Boley (2008) expe ainda que outros marcos histricos de princpios energticos deste

tipo foro a comprovao, por Clapeyron, em 1827, do princpio da conservao do trabalho,

igualando o trabalho realizado pelas foras externas aplicadas com o trabalho interno

realizado pelas tenses; desenvolvimento por Menabrea de seu princpio do menor esforo, e

comprovao independente de Cotterill (desconhecido para Castigliano) dos Teoremas de

Castigliano.

Robertson (1997) afirma que a seguinte proposio foi a feita por Castigliano em sua

primeira dissertao, e que posteriormente passou a ser chamada de Teorema de Castigliano,

em sua homenagem:

... a derivada parcial da energia de deformao, considerada como uma funo das

foras aplicadas que atuam sobre uma estrutura linear elstica, com relao a uma dessas

foras, igual ao deslocamento na direo do ponto de aplicao da fora. (subcitao: B A

Boley, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990))

Robertson (1997) afirma ainda que, os resultados de Castigliano adotavam o princpio

do menor esforo como sendo um caso especial, e isso o levou a uma disputa com Luigi

Frederico Menabrea, disputa na qual Castigliano no se saiu to bem quanto ele esperava.

Para Boley (2012) est claro que o princpio de Menabrea pode ser considerado como

incluso nos teoremas de Castigliano, porm as provas apresentadas por Menabrea na poca,

no foram satisfatrias para comprovar sua tese e foram de fato repetidamente modificadas

por ele devido s vrias crticas sofridas. A nova demonstrao de Menabrea sobre o seu

princpio foi dada por ele em 1875 com base em alguns dos resultados recm-publicados por

Castigliano, que, no entanto, foram referidos apenas em nota de rodap. Castigliano ops

fortemente a essa falta de reconhecimento suficiente em uma carta cheia de indignao juvenil

17

enviada ao presidente da Accademia dei Lincei, hoje conhecida como Accademia Nazionale

dei Lincei. Menabrea respondeu nos tons fundamentados e um tanto condescendente, tpicos

de um estadista mais velho, ressaltando a prioridade de seu trabalho. O matemtico e

engenheiro Luigi Cremona, atuando como presidente de uma reunio da Academia, deu uma

sentena salomnica sobre a polmica, afirmando que ele acreditava que a denncia de

Castigliano no estava suficientemente fundamentada, afirmando que o teorema em questo

seria o resultado da obra de ambos os autores, e que as provas no estavam cem por cento

livres de objees. Deduzindo que no havia objeto para disputa, e concluindo ainda que

Castigliano pode ter tido a honra de ter feito um bom trabalho, porm, ningum seria capaz de

tirar de Menabrea o mrito de ter tornado popular e de uso comum um princpio geral, que

estaria certamente destinado a receber uma aplicao mais extensa.

Outras contribuies menores de Castigliano foram um manual do engenheiro;

estudos sobre a teoria da lamina e toro em molas (publicado em um livro, em Viena, 1884.),

em arcos de alvenaria, no golpe de arete, e a inveno de um tipo de extensmetro (Boley,

2012).

Boley (2012) comenta ainda que a principal obra de Castigliano, embora no isento de

falhas conceituais, representou um avano definitivo em relao de seus antecessores. Para

avaliar a importncia de sua contribuio, no entanto, importante notar que, embora haja

alguma validade na atribuio de popularizao dos mtodos de energia Menabrea, por

Cremona, precisamente neste aspecto que se destaca Castigliano. Ele resolveu um nmero

surpreendente de problemas estruturais importantes por seus mtodos, afirmando atravs de

comparaes com solues previamente conhecidas, a superioridade e exatido de seus

mtodos, estabelecendo de uma vez por toda a sua convenincia e versatilidade. Como ele

afirma no prefcio de sua obra Thorie de lquilibre des systmes lastiques, et ses

applications, este foi realmente um de seus objetivos explcitos, e o sucesso que ele alcanou

notvel devido sua curta carreira (morrendo aos trinta e seis) mesmo com a ausncia de

fortes laos acadmicos.

18

3 O TEOREMA DE CASTIGLIANO

Na abordagem de Norton (2010), o Tefiguraorema de Castigliano dado como um

mtodo de carter mais prtico do que a maioria dos outros mtodos para clculo de deflexo

de vigas, por ser um mtodo energtico, ressaltando que o Teorema de Castigliano configura-

se como um dos mais utilizados para o clculo de deflexo de vigas sendo, tal mtodo,

tambm capaz de solucionar casos de vigas estaticamente indeterminadas. Norton expe ainda

que, o princpio que norteia o Teorema de Castigliano est no fato de que quando um corpo

elstico sofre deslocamento devido aplicao de uma determinada fora, torque ou

momento, uma energia armazenada nesse corpo em forma de tenso. Para pequenos

deslocamentos em vrios tipos de geometria, a relao entre a fora, momento ou toque

aplicado e o deslocamento resultante pode possuir um carter linear conforme o mostrado na

figura 2.

Figura 2 Energia armazenada em uma mola

Fonte: NORTON, 2010

Essa relao tambm pode ser chamada de razo de mola do sistema (k). A rea dentro

da curva de deflexo do carregamento corresponde energia de deformao U armazenada.

Quando a relao linear, tal rea corresponde rea do triangulo, que em termos

equacionais corresponde a (NORTON, 2010):

19

U=P i i

2 (3.1)

onde Pi corresponde ao carregamento aplicado e i ao deslocamento.

Norton expe ainda que Castigliano observou que quando um corpo elasticamente

fletido por uma carga qualquer, a deflexo na direo em que o carregamento aplicado

igual derivada parcial da energia de deformao com relao carga. Sendo U a energia de

deformao, Q um carregamento qualquer, e um certo deslocamento, tem-se que:

= U Q

(3.2)

Ao expor o Teorema de Castigliano, Rocha (1969) considera uma viga sujeita a vrias

foras P, que realizam um trabalho de deformao na viga em questo, sendo essa

deformao igual energia interna adquirida pela pea, ou energia de deformao (U). Se um

acrscimo infinitesimalmente pequeno for introduzido em uma das foras atuantes na viga (Pi,

por exemplo), a energia interna tambm sofrer um acrscimo, o qual ser equivalente a:

U total=U + U P i

dP i (3.3)

Dando sequncia explicao de Rocha, se o processo inverso for feito, ou seja, se a

mesma viga estiver previamente sujeita fora infinitesimalmente pequena dPi e em seguida

todas as foras P forem aplicadas, essas cargas realizaram um trabalho de deformao na pea

causando um deslocamento i na direo da fora Pi. Sendo assim, o trabalho total realizado

aps a adio das foras P, ser o trabalho previamente existente resultante da fora dPi mais

o trabalho de deformao das foras P. Dessa forma, o acrscimo da energia interna devido ao

acrscimo na fora Pi, corresponder ao trabalho de dPi realizado com a aplicao das foras

P.

U P i

d P i=d P i . i

20

ou

U P i

=i (3.4)

O que corresponde ao Primeiro Teorema de Castigliano: A derivada parcial da

energia interna em relao a uma fora qualquer aplicada igual ao deslocamento que se

realiza na direo da fora considerada.

Porm, atribuindo-se um deslocamento infinitesimalmente pequeno i ao sistema

carregado com foras P na direo de uma fora qualquer, como Pi, o acrscimo de energia

interna ser:

Ui

d i=P i . d i

ou

U i

=P i (3.5)

O que corresponde ao Segundo Teorema de Castigliano: A derivada parcial da

energia interna em relao a um dos deslocamentos da pea, igual fora aplicada na

direo do deslocamento considerado.

Rocha (1969) ressalta que a condio de aplicabilidade desses teoremas que tanto a

fora P1 quanto o deslocamento i sejam variveis independentes, ou seja, ao se fazer um

acrscimo em Pi ou i as outras foras ou deslocamentos no devem se modificar. Sendo

tambm vlida a lei da superposio dos eventos.

Uma explicao mais detalhada sobre o Teorema de Castigliano dada por Popov

(1978), ao afirmar que a energia de deformao de um dado corpo pode ser expressa por uma

funo quadrtica das foras externas P1, P2,..., Pk,..., Pn, M1, . . . , Mp, isto :

U=U (P1 , P2 P k Pn ,M 1 ,M 2 M p) (3.6)

Dando continuidade ao raciocnio de Popov, supondo-se que essa energia corresponda

energia de deformao de um corpo como mostrado na Fig. 3(a), o aumento infinitesimal

21

nessa funo (dU), para um aumento infinitesimal em todas as foras aplicadas dPk e dMm,

decorre da aplicao da regra da cadeia na diferenciao. Isso resultar em:

U= U P1

d P1+ U P2

d P2++ U Pk

d P k + U

M pd M p (3.7)

Figura 3 Sequncias possveis para aplicao de carga em um sistema elstico

Fonte: POPOV, 1987

Nessa expresso os P e os M so usados, por Popov (1978), no lugar da notao

diferencial ordinria, para enfatizar a independncia linear dessas quantidades. Desse ponto de

vista, se apenas a fora Pk variasse de uma quantidade dPk, Fig. 3(b), o incremento de energia

de deformao seria:

U= U P k

d P k (3.8)

Dessa forma, como o trabalho das reaes zero, a energia total de deformao U'

22

correspondente aplicao de todas as foras externas e dPk, Fig. 3(c), :

U =U+U =U+ U Pk

d P k (3.9)

Analogamente a explicao da equao 3.9, Popov (1978) formula uma nova equao

invertendo-se a sequncia de aplicao da carga, como se pode constatar nas figuras. 3(a),

3(b) e 3(d). Aplicando-se dPk primeiro, provoca-se um deslocamento infinitesimal dk. Para

um corpo linearmente elstico, o correspondente trabalho externo de dPk k /2, pode ser

desprezado porque de segunda ordem. Alm disso, o trabalho externo We realizado pelas

foras P1, P2, . . . , Pk , . . . , Mp afetado pela presena de dPk. Por outro lado, durante a

aplicao dessas foras, a fora dPk realiza trabalho ao se mover de k, na direo de Pk. Esse

trabalho adicional igual a (dPk)k. Dessa forma, o trabalho total W'e realizado pelo sistema

externo de carregamento, incluindo o trabalho efetuado por dPk, (figura 3(d)), :

W ' e=W e+(d Pk )k (3.10)

Essa relao pode ser igualada equao. 3.9, porque a ordem de aplicao da carga

no interfere no resultado final, e o trabalho externo igual energia interna de deformao:

W e+(d Pk ) k=U +( U Pk

)d Pk (3.11)

Simplificando, tem-se:

k= U P k

(3.12)

Resultando finalmente no Primeiro Teorema de Castigliano, igual ao exposto por

Rocha (1969). Norton (2010) tambm afirma que, a relao proposta por Castigliano pode ser

aplicada a qualquer carregamento seja ele axial, deflexo, cisalhamento ou toro. Se mais de

um desses casos existirem em um mesmo corpo analisado, seus efeitos podem ser sobrepostos

23

usando a equao de Castigliano para cada caso e somando-se os resultados em seguida.

3.1 Teorema de Castigliano pelo Princpio da Energia Potencial Estacionria

Boresi (1993) expe que tambm possvel chegar ao Teorema de Castigliano atravs

da utilizao do conceito de Coordenadas Generalizadas. E, desde que as sees transversais

planas dos membros analisados se mantenham planas, as alteraes nas coordenadas

generalizadas indicaram translao e rotao da seo transversal do membro.

Para expor o Teorema de Castigliano pelo Princpio da Energia Potencial Estacionria,

Boresi (1993) apresenta um sistema com um nmero finito de graus de liberdade que se

encontra em configurao de equilbrio (x1, x2, ..., xn) de forma que um deslocamento virtual

imposto a tal sistema de forma que sua nova configurao passa a ser (x1 + dx1, x2 + dx2, ... , xn+ dxn), onde (dx1, dx2, ..., dxn) representa o deslocamento virtual. Dessa forma o trabalho

virtual dW correspondente ao deslocamento virtual ser dado por:

dW=Q1 dx1+Q 2 dx2++Qi dx i++Qn dxn (3.13)

Onde (Q1, Q2, ..., Qi, ..., Qn), explica Boresi, so os componentes da carga

generalizada, que so funes das coordenadas generalizadas. Sendo Qi definido por uma

dada seo transversal da estrutura, Qi ser uma carga unidirecional se dxi for uma translao

da seo transversal, e Qi ser um momento ou torque se dxi for uma rotao da seo

transversal.

Para um corpo deformvel o trabalho virtual dW, correspondente ao deslocamento

virtual de um sistema mecnico, poder ser separado de acordo com a seguinte soma

(BORESI, 2013):

dW=dW e+dW i (3.14)

Onde dWe corresponde ao trabalho virtual gerado pelas foras externas e dWicorresponde ao trabalho virtual gerado pelas foras internas.

Analogamente a expresso para dW na equao 3.13, para um deslocamento virtual

24

(dx1, dx2, ..., dxn) obtm-se:

dW e=P1 dx1+P2 dx2++Pn dxn (3.15)

Onde (P1, P2, ..., Pn) so funes das coordenadas generalizadas (x1, x2, ..., xn). Por

analogia com os Qi na equao 3.13, as funes (P1, P2, ..., Pn) so chamadas de componentes

do carregamento externo generalizado. Se as coordenadas gerais (x1, x2, ..., xn) representam

deslocamentos e rotaes que ocorrem no sistema, as variveis (P1, P2, ..., Pn) podem ser

chamadas de componentes das foras externas pr-existentes e binrios que agem no sistema

(BORESI, 2013).

Dando sequncia a explicao de Boresi, admitindo-se agora um deslocamento virtual

que conduz um sistema completamente por um caminho fechado. Ao final de tal caminho,

ser observado que os deslocamentos dx1 = dx2 = ... = dxn = 0. E por isso, pela equao 3.15,

We = 0. Para a anlise em questo so considerados apenas sistemas submetidos ao

comportamento elstico. Sendo assim, o trabalho virtual dWi resultante das foras internas

ser igual ao negativo da variao virtual na energia de deformao elstica dU, ou seja:

dW i=dU (3.16)

Onde U = U(x1, x2, ..., xn) corresponde a energia de deformao total do sistema. Desde

que o sistema se desloque por um caminho fechado, ele retornar ao seu estado inicial e,

sendo assim, dU = 0. Consequentemente pela equao 3.16, dWi = 0. E, analogamente o

trabalho virtual total dW (equao 3.14) tambm ser igualado a zero caso percorra um

caminho fechado. A condio para dW = 0 para deslocamentos virtuais que conduzem um

corpo por um caminho fechado, indica que o sistema conservativo. A condio dW = 0

conhecida como Princpio da Energia Potencia Estacionria (BORESI, 2013).

Boresi explica ainda que, para um sistema conservativo (estrutura elstica carregada

por uma fora externa conservativa), a variao virtual na energia de deformao dU da

estrutura sob um deslocamento virtual (dx1, dx2, ..., dxn) ser dada por:

dU= U x1

dx1+ U x2

dx2++ U xn

dxn (3.17)

25

Dessa forma, a devida substituio das equaes 3.13, 3.15 e 3.17 na equao 3.14

resultar em:

Q1dx1+Q2 dx2++Qn dxn=.

.=P1 dx1+P2 dx2++Pn dxn U x1

dx1 U x 2

dx2U xn

dxn

ou

Qi=PiU x i

(3.18)

Para qualquer sistema com finitos graus de liberdade, se os componentes Qi da fora

generalizada forem igualados a zero, ento o sistema est em equilbrio. Portanto, pela

equao 3.18, um sistema elstico com n graus de liberdade estar em equilbrio se:

P i= U x i

, i=1,2 , , n (3.19)

A relao dada pela equao acima corresponde ao Segundo Teorema de Castigliano

(Equao 3.5). Para uma trelia a energia de deformao ser obtida pela soma das energias

de deformao de todos os seus membros.

3.2 Problemas estaticamente indeterminados

Shigley (2005) define um problema estaticamente indeterminado como um sistema no

qual as leis da mecnica esttica no so suficientes para que todas as foras ou momentos

atuantes desconhecidos sejam determinados, sendo necessrio para solucion-los escreverem-

se as equaes apropriadas de equilbrio esttico mais as equaes adicionais que estejam

relacionadas deformao da pea em anlise. Ao total, o nmero de equaes deve ser igual

ao nmero de incgnitas.

Norton (2010) afirma que o mtodo de Castigliano tambm fornece uma forma

conveniente de resolver tais problemas estaticamente indeterminados, pois reaes em apoios

26

redundantes atuando em uma viga, por exemplo, podem ser encontradas igualando-se a

deflexo no apoio redundante a zero e calculando fora em seguida, ou seja, igualando-se a

equao 3.4 a zero, que resultar na equao 3.20. Dessa forma o Teorema de Castigliano

passa a ser a equao relacionada ao deslocamento da pea, porm com deslocamento igual

zero.

U P i

=0 (3.20)

Boresi (1993) exemplifica melhor essa operao ao expor as seguintes situaes

expostas na figura 4, onde a viga pinada pela extremidade no ponto B, caso da figura 4(a),

possui quatro reaes internas desconhecidas (atuantes em um mesmo plano), que so VA que

impede que a barra deslize verticalmente, NA que impede que a viga se mova ao longo de seu

prprio eixo vertical, MA que impede que a viga rotacione em torno do ponto A e RB que

representa a reao ao apoio em B, como pode der observado na figura 4(b). Porm, apenas

trs equaes da esttica podem ser aplicadas, que so o somatrio das foras verticais, o

somatrio das foras horizontais e o somatrio dos momentos. O apoio em B pode ser

considerado como um apoio redundante, pois caso ele seja retirado a viga torna-se um

problema estaticamente determinvel, com a quantidade de incgnitas iguais ao numero de

equaes. E o fato de o apoio em B impedir a flexo da viga, possibilita a elaborao de uma

equao adicional, quando associado ao Teorema de Castigliano para flexo, para o clculo da

reao RB.

Para o caso do membro ABCDE, na figura 4(c), o suporte em E (ou A) pode ser

considerado como apoio redundante. Sendo assim, tanto o suporte em A ou em E podem ser

retirados (mas no ambos) para tornar a estrutura estaticamente determinvel. Para o caso de o

suporte em E considerado como redundante (figura 4(d)), as suas trs reaes redundantes

(VE, TE e ME) podem ser calculadas atravs do Teorema de Castigliano em conjunto com o fato

de que o suporte em E impede que a flexo, toro e translao atuem no ponto E do membro,

bastando para isso aplicar as respectivas Energias de Deformao para cada caso e igualar as

suas deflexes a zero.

27

Figura 4 Estruturas com apoios redundantes

Fonte: BORESI, 1993

Boresi (1993) aponta que no apenas apoios redundantes podem ser calculados pela

equao de Castigliano, mas tambm estruturas estaticamente indeterminadas que contenham

membros redundantes tambm podem ter as reaes nesses membros encontradas, como o

caso da estrutura mostrada na figura 5(a), em que caso o membro BE (ou CD) um membro

redundante, visto que a retirada do membro BE ou CD (mas no de ambos) torna a estrutura

estaticamente determinvel. Sendo assim, desde que a trelia na figura 6(a) seja ligada por

pinos, o membro BE, por exemplo, estar sujeito a uma fora axial (trao), como mostra a

figura 5(b) que ser a nica fora interna redundante. O membro redundante ABC da estrutura

mostrada na figura 5(c) pode suportar trs reaes internas, a fora axial N, o cisalhamento V

e o momento M, como mostra a figura 5(d). Tais foras redundantes tambm podem ser

calculadas pelo Teorema de Castigliano, desde que as deflexes sejam consideradas zero.

(d)(c)

(b)(a)

28

Figura 5 Estruturas com membros redundantes

Fonte: BORESI, 1993

(a) (b)

(c) (d)

29

4 ENERGIA DE DEFORMAO

De acordo com Timoshenko (1981) as equaes para o clculo da energia de

deformao, que sero apresentadas a seguir, s podem ser aplicadas se as seguintes

condies forem satisfeitas:

O material do elemento analisado segue a lei de Hooke, ou seja, possui

comportamento linear elstico;

As condies so tais que pequenos deslocamentos, devidos a deformao, no

afetam a ao das foras exteriores e so desprezveis no clculo das tenses.

Timoshenko (1980) explica que, quando uma barra submetida a trao simples, as

foras em suas extremidades realizam certa quantidade de trabalho quando a barra

distendida por um alongamento representado por . Ento, seja o elemento mostrado na figura

10 submetido somente a tenses normais x (figura 6(a)), resulta uma fora x d y d z que

realiza trabalho para um alongamento x dx . A relao entre essas duas quantidades durante o

carregamento representada por uma linha reta, como OA na figura 6(b). E o trabalho

realizado durante a deformao fornecido pela rea A= 12

Px do tringulo OAB, sendo

P= x dy dz e x= x dx . Designando tal trabalho por dU , resulta:

dU=12

x x dx dy dz (4.1)

Timoshenko (1980) afirma que tal trabalho convertido na energia de deformao

esttica, a qual permanecer acumulada no corpo em quanto ele permanecer deformado dentro

do seu limite elstico.

Considerando-se que o termo x d y d z nada mais do que a tenso sendo

multiplicada por unidade de rea, ou seja, dA=F , e que x d x corresponde ao alongamento

sofrido na direo de x e ainda que o trabalho realizado na deformao corresponde energia

de deformao, a definio de Shigley (2005) para a energia de

30

Figura 6 Corpo submetido a esforo de trao

Fonte: TIMOSHENKO, 1980

deformao pode ser adotada, pois Shigley afirma que a energia de deformao

correspondente ao trabalho externo feito sobre um membro elstico para deform-lo, sendo

este trabalho transformado em energia potencial, que tambm pode ser chamado de energia de

deformao. E se o membro deformado de uma distncia x, tal energia igual ao produto da

fora mdia pela deflexo, ou seja, a equao 4.1 pode assumir a seguinte forma:

U=12

Px (4.2)

4.1 Energia de deformao na trao

Timoshenko (1981) ressalta que, para um corpo sob trao, a fora P atuante dividida

por unidade de rea da seo transversal do corpo corresponde a tenso, sendo a fora P uma

normal (N):

= NA

(4.3)

A Lei de Hooke representada por =E , onde E o mdulo de elasticidade do

material e o alongamento relativo dado pela diviso da variao de comprimento do corpo

( l= ) aps a aplicao da carga pelo comprimento inicial do corpo (l), ou seja

(a)(b)

31

(Timoshenko, 1981):

= l

(4.4)

Fazendo as devidas substituies entre as equaes 4.3, 4.4 e a lei de Hooke, chega-se

a equao:

NA=E.

l (4.5)

Isolando-se o termo da equao 4.5, resulta em:

= NlAE

(4.6)

E isolando-se o termo N da equao 4.5, resulta em:

N= AEl (4.7)

Substituindo a equao 4.6 no local de x da equao 4.2, pode-se encontrar a equao

para o clculo da energia de deformao para o caso especfico de trao ou compresso, com

relao carga atuante:

U= N2 l

2 AE (4.8)

Se refizermos a mesma operao, porm substituindo a equao 4.7 no lugar de N da

equao 4.2, pode-se encontrar a equao para o clculo da energia de deformao para o caso

especfico de trao ou compresso com relao a sua deformao:

32

U= AE 2

2 l (4.9)

Para um elemento infinitesimal dx, o acrscimo da energia de deformao dU ser

(Branco 1998):

dU= N2 dx

2 AE (4.10)

E para se chegar energia ao longo de todo o corpo, basta submeter a equao 4.10 a

integrao de zero a l, sendo l o comprimento total do corpo:

U=0

l N 2

2 AEdx (4.11)

Porm o mesmo autor resalta que para aplicaes prticas, a energia por unidade de

volume, ou energia especfica de deformao ( U 0 ), muitas vezes de grande importncia,

podendo ser encontrado a partir das equaes 4.8 e 4.9, dividindo-as por Al:

U 0=UAl

= N2l

2 AE. 1

Al=( NA )

2 l2 El

U 0=12

2

E (4.12)

ou

U 0=UAl

= AE 2

2 l1Al

=( l )2 AE

2 A

U 0=12

2 E (4.13)

onde = NA representa a tenso de trao e =

l representa o alongamento relativo.

Timoshenko (1981) ressalta que a maior quantidade de energia especfica de

33

deformao que pode ser acumulada em uma barra, sem que tal barra atinja a zona de

deformao plstica determinada pela substituio de (da equao 4.12) pelo limite de

elasticidade do material. O autor ressalta tambm que em certos casos tambm se faz

necessrio conhecer a maior quantidade de energia de deformao por unidade de peso (U')

do material que pode ser acumulada sem que esse atinja a zona plstica, sendo essa

quantidade calculada atravs da diviso de U 0 pela massa de um centmetro cbico do

respectivo material.

4.2 Energia de deformao no cisalhamento

A energia de deformao armazenada em um elemento submetido tenso cisalhante

(figura 7), de acordo com Timoshenko (1981), pode ser calculada pelo mtodo usado no caso

da trao, bastando para isso considerar a face interior oc do elemento como fixa, sendo

necessrio apenas o clculo do trabalho realizado pela deformao da fora V na face superior

ab.

Figura 7 Corpo sujeito a cisalhamento


34

Admitindo-se que o material segue a lei de Hooke, Timoshenko (1981) afirma que a

deformao por cisalhamento proporcional tenso de cisalhamento, sendo o diagrama que

representa essa relao, semelhante ao mostrado na figura 6. Sendo assim, o trabalho

produzido pela fora V e armazenado sob a forma de energia de deformao pode ento ser

encontrado pela aplicao da equao 4.2.

Analisando-se a figura 7, constata-se que, para pequenos deslocamentos, onde a face

ao no sofra encurvamento considervel a curvatura l . Um coeficiente de correco kc

torna-se necessrio para uma maior exatido da expresso para a energia de deformao

cisalhante U, que passa a ser definido por kcU. Sendo os valores de kc para perfis I igual a 1 e

para perfis retangulares igual a 1,5. Por tanto, a energia de deformao cisalhante para uma

viga submetida a uma fora V, com a aplicao da equao 4.2, ser (Boresi, 1993):

U=kc U'=1

2k c V (4.14)

Boresi (1993) ressalta que =l , que a tenso cisalhante =VA e que =

G , onde

G representa o mdulo de elasticidade transversal.

U=k c V

2l2 AG

(4.15)

e

U= AG 2

2l (4.16)

onde a equao 4.15 representa a energia de deformao com relao fora aplicada e a

equao 4.16 representa a energia de deformao com relao tenso (Timoshenko, 1981).

Para um elemento infinitesimal dy o acrscimo da energia de deformao dU ser:

dU=k c V

2

2 AGdy (4.17)

35

E para o corpo todo com comprimento l:

U=0

l kc V2

2 AGdy (4.18)

Analogamente ao que foi feito na seo 4.1, a energia por unidade de volume, ou

energia especfica de deformao por cisalhamento resulta da diviso das equaes de energia

de deformao por cisalhamento pelo volume do elemento (Al):

U 0=UAl

= V2 l

2 AG1Al

=(VA )2 l2 Gl

U 0=2

2G (4.19)

ou

U 0=UAl

= AG 2

2 l1Al

=( l )2 AG

2 A

U 0=2 G

2 (4.20)

onde =VA

representa a tenso de cisalhamento e = l

representa a deformao de

cisalhamento.

E, por conseguinte, a energia especfica de deformao por cisalhamento que pode ser

acumulada no elemento, sem que aja deformao plstica obtida atravs da substituio do

termo (da equao 4.19) pelo respectivo limite de elasticidade do material do elemento em

questo.

4.3 Energia de deformao na toro

O clculo da energia de deformao por toro, conforme demonstrado por

Timoshenko (1981), pode ser efetuado atravs do diagrama de toro (figura 8(a)) de uma

barra cilndrica , no qual o momento toror representado pela ordenada e o ngulo de toro

pelas abscissas, sendo o ngulo toro proporcional ao momento toror, quando analisados

36

dentro do limite elstico do material em questo, conforme pode ser observado pela linha

inclinada AO do grfico da figura 8(a). Nesse grfico a rea estreita tracejada representa o

trabalho produzido pelo momento de toro durante um acrscimo de d no ngulo de toro

causado pelo torque T (figura 8(b)). Sendo assim, a rea do triangulo OAB representa a

energia total armazenada no eixo durante a toro, resultando:

Figura 8 Diagrama da energia de deformao na toro


OAB=U=12

T (4.21)

Dado um plano de coordenadas xy onde o eixo x paralelo ao eixo axial da barra

cilndrica, a energia de deformao torcional ser (Boresi, 1993):

U=dU = 12 Td (4.22)

Analisando a figura 8(b), Boresi (1993) constata que, sendo o raio r da seo

transversal do cilindro, r=l e assumindo que:

= G

(4.23)

(b)

(a)

37

=TrJ (4.24)

onde J representa o momento polar de inrcia da seo transversal da barra cilndrica, Boresi

(1993) demonstra que ao substituir a expresso de e na relao r=l uma expresso para

o ngulo pode ser determinada:

r= G

l r= TrGJ

l

Simplificando:

= TlGJ (4.25)

E substituindo a equao 4.25 na equao 4.22 pode-se ento encontrar a equao para

a energia de deformao torcional:

U= M2l

2 GJ (4.26)

ou

U=2 G I P

2 l (4.27)

Na equao 4.26 a energia dada em funo do momento toror e na equao 4.27 ele

dado em funo do ngulo de toro.

Para um elemento dx da barra cilndrica a equao 4.26 assume a forma:

dU= M2

2GJdx (4.28)

E para a extenso total da barra cilndrica:

38

U=0

l M 2

2GJdx (4.29)

Conforme ressalta Timoshenko (1981), o ngulo de toro entre duas sees

transversais adjacentes obtido pela equao:

ddx

dx=M Tko

dx (4.30)

onde ko representa a constante de rigidez torcional. Sendo assim, a energia de deformao por

toro de um elemento infinitesimal do eixo :

12

M Tddx

dx=ko2 ( ddx )

2

dx (4.31)

Sendo a energia total de deformao dada por:

U=k o2 0

l

( ddx )2

dx (4.32)

4.4 Energia de deformao elstica na flexo

Para explicar a energia de deformao por flexo, Boresi (1993) considera uma barra

prismtica (figura 9(a)) com seo transversal uniforme ao longo do seu eixo longitudinal.

Com as foras P Q e R sendo aplicadas no plano xy. Para esse caso, a expresso para tenso

na flexo ser:

x=M z y

I z (4.33)

39

onde M z representa o momento fletor em relao ao eixo z (que perpendicular ao plano

xy), I z representa o momento de inrcia da seo transversal x com relao ao eixo z e y

mensurado a partir do plano xz.

Figura 9 Viga sob flexo

Fonte: BORESI, 1993

Antes da aplicao das foras P, Q e R, considerando duas sees planas BC e DE

separadas por uma distncia dx, se apresentam paralelas uma a outra, porm aps a aplicao

das foras, as respectivas sees so deslocadas para BC e DE onde permanecem planas. O

diagrama de corpo livre deste segmento da barra est representado na figura 9(b) onde nota-se

que o plano DE sofreu uma rotao angular d com relao ao plano BC. Para um corpo

de material com comportamento linear elstico, d variar linearmente com o momento Mxonde o grfico d-M ser similar ao apresentado na figura 2. Considerando que a tenso de

cisalhamento seja desprezvel, a energia de deformao na flexo ser igual rea do

triangulo formado por esse grfico (Boresi, 1993).

(a)

(b)

40

U=dU = 12 M z d (4.34)

Boresi (1993) ressalta que:

d= dy

(4.35)

d= x dx (4.36)

E assumindo que:

x= xE

(4.37)

Ento d pode assumir a forma:

d= x dxEy

(4.38)

E substituindo o termo x pela expresso 4.33, chega-se ento expresso para a

deformao d em funo do momento M:

d=M z dxE I z

(4.39)

Substituindo, ento o termo d da equao 4.34 pela equao 4.39, chega-se ento a

expresso para a energia de deformao para o momento fletor:

U= M z2

2 E I zdx (4.40)

41

5 O TEOREMA NA PRTICA

Tendo a base terica sido construda, pode-se agora partir para o objetivo maior deste

trabalho, o qual se apresentar sob a forma de um quadro que sintetizar as equaes expostas

nos captulos anteriores de forma que se consiga apresentar o Teorema de Castigliano em um

conjunto de equaes que j contenham tanto o Teorema quanto as equaes de energia de

deformao.

Para alcanar esse objetivo as sees a seguir iro demonstrar como a equao de

Castigliano une as equaes de Energia de Deformao para formar a equao que ir

produzir o resultado final.

5.1 Para carregamento axial

Para um carregamento axial, a deflexo dada pela substituio da equao de energia

de deformao na deflexo axial (eq. 4.8) no Teorema de Castigliano (eq. 3.3):

=12

Q ( N

2 lEA ) (5.1)

Isso vlido somente se A e E no variarem ao longo do comprimento l. Se eles

variarem ao longo do eixo x do corpo em questo, ento a integrao se far necessria:

=12

Q (0

l NEA

dx ) (5.2)

5.2 Para carregamento cisalhante transversal

Para um carregamento cisalhante transversal, a energia de deformao ser dada em

funo da forma da seo transversal, carregamento e comprimento. Para uma viga com seo

transversal retangular, a deflexo ser encontrada substituindo-se a equao de energia de

deformao para cisalhamento (equao 4.15) no Teorema de Castigliano (eq. 3.3):

42

=12

Q (V

2lGA ) (5.3)

Obtendo-se, a seguinte equao para o caso de haver variao nas caractersticas

fsicas no corpo:

=12

Q (0

l V 2

GAdx) (5.4)

onde V a fora cisalhante, que pode estar em funo de x. O efeito de um carregamento

cisalhante transversal em deflexo em uma viga, geralmente ser menor que 6% do efeito

devido a um momento fletor, de acordo com Norton (2004), quando o quociente entre o

comprimento e profundidade (ou vice-versa) for maior que 10. Assim, somente vigas muito

pequenas tero um efeito significante de carregamentos cisalhante transversal.

5.3 Para carregamento torcional

A deflexo resultante de um carregamento torcional substitui-se a equao da energia

de deformao na toro (Eq. 4.26), no Teorema de Castigliano (eq. 3.3), e ento se obtm:

=12

Q (T

2 lGJ ) (5.5)

onde T o torque aplicado, G o modulo de rigidez e J o momento polar de inrcia com

relao a seo transversal.

Obtendo-se, a seguinte equao para o caso de haver variao nas caractersticas

fsicas no corpo:

=12

Q0

l T 2

GKdx (5.6)

43

5.4 Para Carregamento por momento fletor

Para a flexo, a deflexo ser encontrada substituindo-se e equao da energia de

deformao (equao 4.40) no Teorema de Castigliano (eq. 3.3), obtendo-se:

=12

Q (M

2lEI ) (5.7)

Como o ngulo de deflexo varia ao longo a seguinte equao dever ser usada ao

invs de a anterior.

=12

Q (0

l M 2

EIdx ) (5.8)

onde M o momento fletor, que est em funo de x.

5.5 Proposio de quadro

O estudo da aplicao do Teorema de Castigliano resultou na observao de que

determinados procedimentos que so comuns durante a sua aplicao. Os procedimentos

observados foram: a identificao do tipo de solicitao (trao, cisalhamento, toro, flexo);

determinao da energia de deformao; substituio do valor da energia de deformao no

Teorema de Castigliano, dentre outros. Porm, para efeito de elaborao do quadro apenas

estes trs sero considerados. Devido a limitao do espao de pgina, as equaes no

estaro dispostas em um nico quadro, mas sim em quatro.

Tais procedimentos podem ser sintetizados nos quadro a seguir, onde as equaes

correspondem as que foram elaboradas nas sees de 5.1 a 5.4.

44

Quadro 1 Teorema de Castigliano para deflexo na trao e cisalhamento

Varivel Trao Cisalhamento

U com relao a P =12

P ( N

2 lAE ) =12 P (V

2 lAG )

Fonte: Autoria nossa

Quadro 2 Teorema de Castigliano para deflexo na toro e flexo

Varivel Toro Flexo

U com relao P =12

P (T

2lGI ) =12 P ( M

2 lEI )


Quadro 3 Teorema de Castigliano para carga na trao e cisalhamento

Varivel Trao Cisalhamento

U com relao P=12

( AE

2

l ) P=12 ( AG 2

l )Fonte: Autoria nossa

Quadro 4 Teorema de Castigliano para carga na toro e flexo

Varivel Toro Flexo

U com relao P=12

(

2G I Pl ) P= 12 (

2 E I zl )


5.6 Utilizaes do quadro

Atravs da proposio desse quadro, espera-se que a tarefa de se calcular a deflexo de

uma viga, ou a fora que resultou em uma determinada deflexo, possa ser facilitada, pois os

trs procedimentos observados podero ser substitudos por apenas um, que corresponde ao

emprego do quadro.

Levando-se em conta as limitaes da empregabilidade do Teorema de Castigliano, ao

se deparar com uma situao em que seja necessrio calcular uma deflexo ou fora que

causou determinada flexo os seguintes passos devero se empregados:

45

1. Identificar o tipo de deformao sofrida pelo corpo;

2. Identificar qual incgnita deve ser calculada (deflexo ou carga);

3. Selecionar a equao adequada contida em um dos quadros de equaes do

Teorema de Castigliano atravs do quadro 5, cruzando-se o tipo de solicitao

com a incgnita;

4. Adequao a equao e substituio dos dados;

5. Efetuar o clculo da equao.

Quadro 5 Seleo da equao para o Teorema de Castigliano

Incgnita Trao/Compresso Cisalhamento Toro Flexo

Deflexo Quadro 1 Quadro 1 Quadro 2 Quadro 2Carga Quadro 3 Quadro 3 Quadro 4 Quadro 4


46

6 APLICAES

A seguir so expostos quatro aplicao do Teorema, sendo as duas primeiras

aplicaes, casos tericos, retirados da bibliografia consultada, seguidas de dois estudos de

caso de situaes reais. primeira aplicao ficou reservada a utilizao do Teorema de

forma Tradicional e s trs aplicaes seguintes a utilizao do Teorema em conjunto com o

quadro de equaes proposto. E atravs de comparao entre essas aplicaes, na seo 7,

ser mostrada a eficincia do quadro de equaes proposto.

6.1 Aplicao 01 (Boresi, 1993)

Duas barras AB e CB de comprimentos l1 e l2, respectivamente, esto pinadas em uma

fundao rgida pelos pontos A e C, conforme o mostrado na figura 10. A rea da seo

transversal da barra AB A1 e da barra CB A2. Os mdulos de elasticidades so E1 e E2correspondentes s barras AB e CB respectivamente.

Figura 10 Exemplo 01

Fonte: BORESI, 1993

47

Sob a ao da fora horizontal P e da fora vertical Q, o pino em B submetido a um

deslocamento finito na horizontal e vertical com componentes u e v, respectivamente (figura

11(b)). Mesmo aps tal deslocamento as barras permanecem linearmente elsticas. E os pino

apresenta as reaes internas conforme a figura 11(a).

Figura 11 Deslocamento do pino em B para B'


Sendo E1 A1

l1=k1=2,00 N /mm e

E2 A2l 2

=k 2=3,00 N /mm , b1=h=400mm e

b2=300mm pode-se ento, encontrar a dimenso das foras P e Q atravs do seguinte

procedimento.

Considerando as deflexes nas barras AB e CB como 1 e 2, tais deflexes podem ser

obtidas atravs de:

(l 1+1 )2=(b1+u )

2+( h+v )2 , l 12=b1

2+h2

(l 2+ 2 )2=(b2u)

2+ (h+v )2 , l 22=b2

2+h2

(b)

(a)

(a)

48

Isolando-se 1 e 2 tem-se respectivamente:

1=(b1+u )2+(h+v )2l 1 2= (b2+u )2+ (h+v )2l 2Considerando que cada barra permanece em comportamento linear elstico, as

energias de deformao U1 e U2, das barras AB e CB respectivamente, sero:

U 1=12

N 1 1=E1 A12l1

12

(c)

U 2=12

N 2 2=E2 A22 l2

22

Onde N1 e N2 correspondem s foras de trao nas barras AB e CB respectivamente. A

deflexo das duas barras pode ser dada pela relao i=N i l iE i Ai

. A energia de deformao total

U para a estrutura ser igual soma U1 + U2 correspondente s energias de deformao das

duas barras. Dessa forma:

U=E1 A12 l 1

12+

E2 A22 l 2

22

E as magnitudes de P e Q sero obtidas pela diferenciao da equao (d) com relao

a u e v, respectivamente.

P= U u

=E1 A1 1

l 1 1 u

+E2 A2 2

l 2 2 u

(e)

Q= U v

=E1 A1 1

l1 1 v

+E2 A2 2

l 2 2 v

A derivada parcial de 1 e 2 com relao a u e a v obtida atravs das equaes (b).

Obtendo-se as derivas e substituindo-as na equao (e), obtm-se:

P=E1 A1 (b1+u )

l 1 (b1+u )2+ (h+v )2l1 (b1+u )2+ (h+v )2

E2 A2 (b2+u )

l 2(b2+u )2+( h+v )2l 2(b2+u )2+ ( h+v )2

(f)

Q=E1 A1 ( h+v )

l 1 (b1+u )2+( h+v )2l 1 (b1+u )2+ ( h+v )2

E2 A2 (h+v )

l 2(b2+u )2+( h+v )2l 2(b2+u )2+( h+v )2

(b)

(d)

49

Substituindo os valores de k1, k2, b1, b2, h, l1, l2, u e v obtm-se os seguintes resultados:

P=43,8 N

Q=112,4 N

Os valores de P e Q podem ser confirmados atravs da determinao das foras de

teno N1 e N2 nas duas barras.

6.2 Aplicao 02 (Hibbeler, 2004)

A trelia conectada por pinos exibida na figura 12 feita de um material cujo E= 200

GPa. As magnitudes da carga P = 100 kN. A rea da seo transversal de cada elemento

igual a 400 mm2. Sendo assim, pretende-se encontrar o deslocamento vertical do n C.

Figura 12 Exemplo 02

Fonte: HIBBELER, 2004

Para isso, uma fora vertical P dever ser aplicada ao n C, j que este se apresenta

como ponto de anlise. As reaes dos apoios A e D da trelia e as foras de trao N foram

calculadas e os resultados mostrados na figura 13. Como no existe carga real no n C da

trelia, preciso que P = 0.

50

Figura 13 Exemplo 02 (reaes)

Fonte: HIBBELER, 2004

Reaes para a estrutura:

Fx=0 RAx+RDx=0

RAx=RDx

Fy=0100P+RAy=0

RAy=100[kN ]+P

M A=0 100.4P.2+RDx .2=0

RDx=400+2P

2

RDx=200+P

RAx=RDx=200 [kN ]+P

51

Reaes para o pino A:

Fx=0 RAxRAC cos 45+RAB=0

200+PRAC cos 45RAB=0

Fy=0 RAy+RAC sen 45=0

100P+RAC sen45=0

RAC=100+Psen 45

RAC=141,4 [kN ]+1,414 P

200+P( 100+Psen 45 )cos 45RAB=0 200+P100PRAB=0

RAB=100 [kN ]

Reaes para o pino B:

RBA=RAB=100 [kN ]

RBC=RAB

cos 45= 100

cos 45

RBC=141,4 [kN ]

Devido s unies entre as barra serem feitas por pinos, apenas esforos de trao e

compresso esto submetidos a estrutura, sendo necessrio a aplicao a equao 4.8 para a

determinao da energia de deformao de cada membro.

Sendo:

N AB=100kN

N BC=141,4 kN

N AC=141,41414,4 P [kN ]

52

N CD=200+P [kN ]

As derivadas de N com relao a P sero:

N AB P

=0

N B C P

=0

N A C P

=1 , 414 [kN ]

N CD P

=1[kN ]

E igualando-se a fora P=0, pois uma fora fictcia:

N AB(P )=100 kN

N BC (P)=141,4 kN

N AC (P )=141,4kN

N CD (P)=200 kN

Com:

LAB=4m

LBC=2,828m

LAC=2,828m

LCD=2m

Ento, a equao de Castigliano para deformao na trao, dada pelo quadro 5, ser:

=12

P ( N

2 lAE )

Ajustando-a:

= 1AE

N N l P

Como so vrios corpos, uma somatria se far necessria:

53

= 1AE N

N P

l

Ento:

= 1AE

[(100 . 0 . 4)+(141,4 . 0 . 2,828)+(1 , 414.141,4 . 2,828 )+1. 200 .2]

= 1AE

[0+0+565,7+400]

=965,7AE

Com E= 20,0 GPa e A=400 mm2, resulta:

c=965,7 kN.m

[ 400 (106 )m2 ]200 (106) kN /m2=0,01207 m=12,1mm

54

6.3 Estudo de caso 01

O Pau de carga (ou guincho de coluna) apresentado na figura 14, est instalado na

planta siderrgica da Albras, possui a finalidade de iamento de cargas de at 1 tonelada (ou

10 kN), e h a necessidade de confirmao de sua capacidade estrutural de suportar tal

solicitao.

Figura 14 Pau de carga

Fonte:Autoria nossa

Como no haviam informaes seguras sobre o material usado na sua confeco,

foram adotados os parmetros de vigas metlicas constantes nos catlogo da Gerdau [201-?].

Em loco, foi confirmado que o perfil I horizontal, possui bitola de 6 (152,4 mm) e base de

84,63 mm. O perfil I de apoio diagonal, possui bitola de 4 (101,6 mm) e base de 67,6 mm.

Pelo catlogo da Gerdau, por padro os perfis I so construdos com ao ASTM A36, que

possuem mdulo de elasticidade E=200 GPa. O perfil horizontal possui momento de inrcia I

= 919 cm4. O perfil diagonal possui rea da seo transversal A = 14,5 cm2.

Os dados dimensionais da estrutura constam na figura 15, com dimenses em

milmetros:

55

Figura 15 Dimenses do pau de carga


As reaes de apoio constam na figura 16:

Figura 16 Reaes internas no pau de carga


56

Para o clculo das reaes foram aplicadas as equaes equilbrio da mecnica esttica

e relaes trigonomtricas, considerando o momento MA nulo, pois o binrio RDx Rax se

sobrepe a ele. Todas as foras sero deixadas em funo de P, pois o Teorema de Castigliano

necessita de integrao com relao a essa fora:

Reaes para a seo AB:

F x=0 RAxRCx=0

F y=0 RCyRAyP=0

RAy=RCyP

M A=0 P . 2,6+RCy .1 ,0392=0

P . 2,6RCy .1,0392

RCy=2,5019 P

RAy=RCyP=2,5019 PP

RAy=1,5019 P

RAx=RCx=RCy

tg 30=2,5019 P

tg 30=4,3334 P

RC=RCy

sen30=2,5019 P

sen30=5,0038P

Reaes para a seo DC:

RD=RC=5,0038 P

RDx=RCx=4,3334 P

57

RDy=RCy=2,5019 P

O clculo do deslocamento do ponto B na direo da carga P se dar pela soma das

energias de deformao resultantes da fora axial (RD) que atua no perfil diagonal CD e dos

dois momentos fletores (resultantes da carga P e da reao RDx) que atuam no membro AB.

Pelo quadro 5, a equao para o Teorema de Castigliano para a deflexo na trao

corresponde a primeira equao do quadro 1 =12

P ( N

2 lAE ) , e para o momento fletor

corresponde a segunda equao do quadro 2 =12

P (M

2lEI ) . Por tanto o Teorema de

Castigliano corresponder derivada da soma dessas equaes, ou seja:

=12

P ( N

2 lAE

+M 1

2lEI

+M 2

2 lEI )

Como os momentos fletores M1 no trecho AC e M2 para o trecho CB so dados

respectivamente por (figura 17):

Figura 17 Momentos fletores no elemento AB


M 1=1,5019 P.x1

M 2=P.x2

Ento:

=12

P ( N

2 lAE )+ 120

l 1 P ( M 1

2

EIdx)+ 120

l2 P ( M 2

2 lEI

dx )

58

= N lAE

+0

l 1

M 1 M 1 P

dxEI

+0

l 2

M 2 M 2 P

dxEI

= N lAE

+ 1EI 0

l 1

1,5019. P . x11,5019. x1 dx+1EI 0

l 2

P.x2. x2 dx

= N lAE

+2,2557 . P x133 EI 0l 1

+P x233 EI 0l 2

= N lAE

+ 0,9565 PEI

+ 1,2674 PEI

= N lAE

+ 2,2239 PEI

Sendo N = RC = 5,0038P kN; P = 10 kN; l = 1,2 m; l1 = 1,0392 m; l2 = 1,5608m; A =

0,00145 m2; I = 919.10-8 m4, E = 200000000 kPa:

= 5,0038. 20 .1,20,00145. 200 . 106

+ 2,2239. 20200 . 106 .919.108

=0,000165111+0,038908052=0,039073163 m

Limite de escoamento para AB:

Pelo catlogo da Gerdau [201-?], a tenso de escoamento (esc) para o ao ASTM NBR

A36 encontra-se no valor de 250 MPa. Porm, Hibeller (2004)ressalta a necessidade de se

garantir que a estrutura s seja submetida a tenses menores que a tenso de escoamento,

tornando-se necessria a utilizao de uma tenso admissvel (adm). A tenso admissvel ser

dada por:

FS=escadm

onde FS representa o coeficiente de segurana, que para este caso sera de 1,15. Por tanto:

1,15= 250 adm

adm=217,39 MPa

Sendo a tenso de flexo dada pela equao 4.33:

59

=M yI

Como momento fletor mximo na viga AB pode ser dado por M 2=P.x2 com P = 10

kN, x2 = 1,5608 m, y equivalente a metade da bitola do perfil I de 6 (y = 6/2= 152,4/2 mm =

76,2 mm = 0,0762 m) e I = 919.10-8 m4. Ento a tenso de flexo,ser:

=M 2 y

I=(10.1,5608). 0,0762

919.108

=1,29.1011 kPa=0,001291014 MPa

Logo o membro AB suportar a condio ao qual poder ser exposto, pois:

0,001291014 MPa

60

Figura 18 Monovia


Para esta monovia tambm foram aplicados os clculos de acordo os parmetros do

catlogo da Gerdau [201-?], devido a falta de informaes seguras sobre as especificaes

tcnicas da viga. A monovia constituda de um perfil I com bitola de 6 (152,4 mm) e base

de 84,63 mm. Pelo catlogo da Gerdau [201-?], por padro os perfis I so construdos com ao

ASTM A36, que possuem mdulo de elasticidade E = 200 GPa. O perfil em questo possui

momento de inrcia I = 919 cm4.

Os dados dimensionais da estrutura constam na figura 19, com dimenses em

milmetros, onde as linhas pontilhadas correspondem s bases onde a monovia soldada,

sendo que, para os clculos apenas a seo contida na elipse pontilhada foi utilizada, devido a

essa seo conter os pontos com maior espaamento entre os apoios soldados o que resulta em

um maior brao de alavanca, que por sua vez, gerar os maiores momentos fletores. E caso a

viga suporte os esforos nessa seo, seguramente ela suportara os esforos nos outros pontos.

61

Figura 19 Dimensionamento da monovia


Calculo da deflexo para carga aplicada no ponto D:

As reaes de apoio para a situao onde a carga encontra-se no meio do espao entre

os pontos AB constam na figura 20. No ponto D haver a maior flexo para essa seo da

monovia, desprezando-se atrao.

62

Figura 20 Reaes para a monovia com carga entre os pontos A e B.


Pelas equaes de equilbrio sabe-se que cada apoio em A e em B ter uma reao

normal e equivalente a metade da carga de P no ponto D. O clculo para a seo da AB da

viga que se encontra sob flexo ser feito, de acordo com o quadro 5, com a aplicao do

Teorema de Castigliano para deflexo na flexo, retirado do quadro 2:

=12

P (M

2lEI )= 1EI 0

l

M M P

dx

Como os momentos fletores a direita e a esquerda da carga P so iguais (figura 21) e a

variao entre os ngulos em A e em B igual a zero, de acordo com Popov (1978) pelo

mtodo da rea de momento, o momentos MA ser:

M A=M B=P12

x

=2 1EI 0

l

M M P

dx= 2EI 0

l

( P12 x )( x12 )dx

= 2EI P x

3

36 0l

= P l3

18 EI

63

Figura 21 Momentos fletores na seo AB


Sendo P = 20 kN; l = 1,2875 m; E = 200.106 kPa; I = 919.10-8 cm4.

= 20.(1,2875)3

18.200.106. 919.108

=0,00129019=1,29019 .103 m

Calculo da deflexo para carga aplicada no ponto C:

Para situao onde a caga se localiza no ponto C as reaes sero calculadas pelo

mtodo da superposio, inicialmente os momentos MA e MB sero anulados pois tornam a

estrutura estaticamente indeterminada, sendo assim, as reaes ficaro da seguinte maneira

(figura 22):

Figura 22 Reaes para a monovia com carga no o ponto C


F y=0RAy+RByP=0

M A=0

64

RBy . 2,575P .(2,575+0,920)=0

RBy=3,495 . P

2,575

RBy=1,3573. P

M B=0P . 0,92+RAy . 2,575=0

RAy=0,92. P2,575

RAy=0,3573. P

Os momentos fletores M1, na seo AB, e M2, na seo BC, (pela figura 23) so

calculados a baixo:

Figura 23 Momentos fletores na seo AC


M 1+RAy . x1=0

M 1=RAy . x1

M 1=0,3573 . P . x1

M 2P . x2=0

M 2=P. x2

Aplicando-se agora somente os momentos MA e MB eles devero possuir tais

magnitudes que anulem os efeitos dos momentos M1 e M2 mximos, ou seja, MA = M1 e MB =

M2. Como os momentos M1 e M2 mximos sero encontrados em x1 = 2,575 e x2 = 0,92:

M A=M 1=(0,3573. P ). 2,575=0,92 P

65

M B=M 2=0,92. P

Ento, reaplicando as reaes no sistema, os novos momentos M1' e M2' (figura 24)

sero, iguais a M1' e M2', de acordo com o mtodo da sobreposio:

Figura 24 Anlise do sistema completo


Sendo assim, como a viga em anlise tambm encontra-se em flexo e necessita-se

saber sua deflexo, novamente pelo quadro 5, o Teorema de Castigliano para deflexo na

flexo ser retirado do quadro 2, e ser aplicado tanto para a seo AB quanto AC:

=12

P (M

2lEI )= 1EI M M P dx

= 1EI 0

l1

M 1 M 1 P

dx+ 1EI 0

l2

M 2 M 2 P

dx

= 1EI 0

l1

(0,3573 . P . x1) .(0,3573 . x1)dx+1

EI 0

l2

(P . x2) .(x2)dx

= 1EI 0

l1

0,1277 .P . x12 dx+ 1

EI 0

l2

P . x22 dx

= 1EI 0,1277. P . x1

3

3 0l 1

+ 1EI P . x2

3

3 0l 2

=0,1277. P . l 1

3

3 EI+

P . l 23

3 EI

Sendo P = 20 kN; l1 = 2,5750 m; l2 = 0,9200 m; E = 200.106 kPa; I = 919.10-8 cm4.

=0,1277.20.(2,575)3

3.200.106. 919.108+

20 .(0,923)3.200.106 .919.108

66

= 14,5355+5,1912200.106 .919.108

=1,0733.102 m

Limite de escoamento para carga no ponto D:

Como o material de composio da monovia o mesmo do pau de carga do Estudo de

Caso 01, ento a tenso admissvel para a monovia tambm ser adm=217,39 MPa . Sendo a

tenso de flexo dada pela equao 4.33:

=M yI

Como momento fletor mximo na viga pode ser dado por M= P2

x com P = 20 kN, x

= 1,2875 m, y equivalente a metade da bitola do perfil I de 6 (y = 6/2= 152,4/2 mm = 76,2

mm = 0,0762 m) e I = 919.10-8 m4. Ento a tenso de flexo,ser:

=M yI

=(20.1,2875) .0,0762

2.919.108=1,0675 .103 kPa=1,0675.106 MPa

Logo a monovia suportar a condio ao qual poder ser exposto, pois:

1,0675.106 MPa

67

7 CONCLUSES

Carlo Alberto Castigliano foi um engenheiro de grande importncia visto suas

relevantes contribuies na rea de Resistncia dos Materiais onde, mesmo estando no meio

industrial, no se afastou do meio cientfico continuando a estudar por conta prpria. Embora

os frutos de seus estudos no tenham recebido o devido mrito, na poca em que Castigliano

viveu, sua importncia notria nos dias atuais, em face da raridade de livros que abordam a

rea de Resistncia dos Materiais que no contenham uma seo, ou mesmo um captulo

dedicado ao seu teorema.

Por ser um mtodo energtico, o Teorema de Castigliano baseado no princpio de

energia de deformao. Esse mtodo muito til para o clculo de deflexo de pontos

especficos em um sistema. A equao = U Q

relaciona fora e deflexo atravs da energia

de deformao. Para um sistema fletido por mais de um carregamento, os efeitos individuais

podem ser sobrepostos usando uma combinao das equaes de energia de deformao para

carregamento axial, torsional, fletor e cisalhante. Quando carregamentos fletor e torsional

esto presentes, os seus respectivos componentes defletores geralmente iro ser

significantemente maiores que aqueles resultantes de um carregamento axial qualquer

existente. Por essa razo os efeitos axiais podem ignorados algumas vezes.

A deflexo em pontos em que no h carregamento atuante pode ser encontrada

aplicando-se uma carga imaginria no ponto em questo e ento o submetendo a uma das

equaes da energia de deformao, considerando a carga imaginria igual a zero.

Para achar a deflexo mxima, necessria alguma noo do seu posicionamento na

viga. Pois, embora o Mtodo de Castigliano seja muito eficiente e dado como um dos mtodos

mais prticos para o clculo de deflexo de vigas, ele no fornece equaes que possam

calcular a deflexo sofrida em vrios pontos distintos ao longo de uma viga, j que a equao

do teorema diz respeito somente ao ponto presente na linha de atuao da fora analisada.

Caso seja necessrio o conhecimento dos pontos de deflexo mxima e/ou mnima a consulta

a outros mtodos mais abrangentes se far necessria.

O Teorema de Castigliano calcula somente a quantidade de deflexo sofrida por um

corpo, sendo necessrio recorrer a outras fontes de dados, como catlogos ou manuais do

fabricante, para saber se a deflexo apontada pelo Teorema resultar ou no em deformao

plstica.

68

O quadro proposto, conta somente das equaes que foram encontradas na literatura

consultada, no garantindo esteja cobrindo todas as possibilidades de aplicao em conjunto

com as equaes de Energia de Deformao. Porm, por acreditar-se que a literatura

consultada aborda os principais aspectos da aplicao de tal Teorema, conclusse que a

validade, bem como a eficincia do quadro proposta, no estejam comprometidas devido

possibilidade de ainda haverem outras variaes do Teorema.

Atravs dos quatro exemplos mostrados na seo 6, pode-se perceber que por meio do

quadro de equaes elimina-se a anlise de energia de deformao, que ocorre no primeiro

exemplo, que se no se faz necessria nos trs seguintes, j que as equaes de energia de

deformao j encontram embutidas nas equaes do quadro proposto.

Por tanto, conclui-se que os objetivos propostos no inicio deste Trabalho Acadmico

de Concluso foram alcanados e se prope como sugesto de trabalhos futuros, um estudo

mais abrangente sobre a influncia da variao do formato das vigas, como cilndricos,

prismticos e tubulares, a aplicao de um estudo de caso e comparao com outros mtodos

para clculo de deflexo de vigas.

69

REFERNCIAS

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