teknik integrasi
TRANSCRIPT
Integral Parsial (Integration by parts)
Jika f dan g fungsi differensiabel, maka
Dengan mengintegralkan kedua ruas, menjadi
)(')()(')()()( xfxgxgxfxgxfdx
d
dxxfxgdxxgxfdxxgxfd )(')()(')()()(
)(')()(')()()( dxxfxgdxxgxfCxgxf
Integral Parsial (Integration by parts)
Saat integral di ruas kanan menghasilkan konstanta lain, maka dapat dinyatakan
Rumus ini merupakan Integral Parsial.
Misalkan: u = f(x) du = f (x) dx
v = g(x) dv = g(x) dx
Cdxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(
dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(
Integral Parsial (Integration by parts)
Sehingga bentuk tersebut menjadi
Integral parsial untuk integral tertentu:
Contoh: Selesaikan integral
a. b.
duvuvdvu
b
a
b
a
duva
buvdvu
dxex x dxex x2
5
Integral Fungsi Trigonometri
• Bentuk : * Untuk n ganjil, Tuliskan :
dan gunakan identitas
contoh :
* Untuk n genap, Tuliskan :
dan gunakan identitas:
cos & sinn n
x dx x dx
dansinsinsin 1 xxx nn xxx nn 1coscoscos
sin cos2 2
1x x
sin sin sin cos cos cos cos3 2 2 311
3x dx x x dx x d x x x C
xxxxxx nnnn 2222 coscoscosdansinsinsin
cos cos sin2 2 1 1 22 2
x x x
6
Contoh :
Bentuk
a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan
gunakan identitas
b). Untuk m dan n genap, tuliskan
menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan
identitas
Contoh :
cos cos sin2 1
21 2
1
2
1
42x dx x dx x x C
sin cosm n
x x dx
sin cos2 2
1x x
cos cos sin2 2 1 1 22 2
x x x
.
sin cos sin cos sin cos cos cos3 2 2 2 2 2
1x x dx x x x dx x x d x
1
5
1
3
5 3cos cosx x C
sin coscos cos2 2 1 2
2
1 2
2x x dx
x xdx
xx nm cosdansin
7
• Bentuk
Untuk m=0 atau n=0, keluarkan faktor
sehingga didapat :
contoh :
dan1sectan 22 xx
1csccot 22 xx
dxxxdxxx nmnm csccotdansectan
dxxxdxxxdxx mmm 1sectantantantan.1 2222
dxxxxdxxdxx mmm )1(csccotcotcotcot.2 2222
xdxdxxxdxx nnn tansecsecsecsec.3 222
.
?sectan 42 dxxx
duuudxxxxdxxx 1secsectansectan 2222242
1
5
1
3
1
5
1
3
5 3 5 3u u C x x Ctan tan
8
Substitusi Trigonometri
• Fungsi integran memuat
misalkan
Contoh : misalkan
22 xa
tax sin
dxx
x
2
225
tx sin5
.5
sin2525 1
2
2
2
Cx
x
xdx
x
x
9
Fungsi Integran memuat , misalkan
Contoh: misalkan
Fungsi Integran memuat misalkan
Contoh : misalkan x = 5 sec t
22 xa tax tan
92xx
dxtx tan3
22 ax
tax sec
x
xdx
225
Cxx
x
xx
dx
39ln
3
1
9
2
2
Cx
x
5sec525 12
10
Substitusi Bentuk Akar
Fungsi Integran memuat bentuk
misalkan
contoh : misalkan
ax bn
n baxu
dx
x2 2
dxduuxu 2dan2
dx
x
u
udu
udu u u C
2 2
2
2 21
1
11
ln
x x Cln 1
11
Integral Fungsi Rasional
Fungsi Integran berbentuk rasional : , der (P)< der(Q)
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear dan tidak berulang.
2. Faktor linear dan berulang.
3. Faktor kuadratik dan tidak berulang.
4. Faktor kuadratik dan berulang.
Kasus 1 ( linier tidak berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari.
f x
P x
Q x
Q x a x b a x b a x bn n 1 1 2 2 ...
P x
Q x
A
a x b
A
a x b
A
a x b
n
n n
1
1 1
2
2 2...
A A An1 2, , ... ,
12
contoh :
Sehingga,
Kasus 2 ( linier berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari
1
4 92xdx
323294
12
x
B
x
A
x
32321 xBxA
BAxBA 33221
6
1dan
6
1diperolehsehingga133dan022 BABABA
dx
xdx
xdx
x 32
61
32
61
94
12
Q x a x bi ip
p
ii
p
p
ii
p
iiii bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
1
1
2
21 ...
pp AAAA ,,...,, 121
Cxx 32ln12
132ln
12
1
13
• Contoh :
• Kasus 3 ( kuadratik tidak berulang )
Misal
dengan konstanta yang dicari
1
2 12
x xdx
12212
122
x
C
x
B
x
A
xx
9
1dan
9
1,
3
1diperoleh CBA
1
2 1
13
2
19
2
19
12 2x x
dxx
dxx
dxx
dx
Q x a x b x c a x b x c a x b x cn n n 12
1 1 22
2 22...
P x
Q x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
n n
n n n
1 1
12
1 1
2 2
22
2 22
...
nn BBBAAA ,...,,dan,,...,, 2121
.)1|ln9
1)2|ln
9
1
)2(3
1Cxx
x
14
Contoh :
sehingga,
Kasus 4 ( kuadratik berulang)
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari
12xx
dx
11
122
x
CxB
x
A
xx
0dan1,1diperoleh CBA
dx
x
xdx
xdx
xx 1
1
1
122
.|1|ln2
1||ln 2 Cxx
Q x a x b x ci i i
p 2
p
iii
pp
p
iii
pp
iiiiii cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP
212
11
22
22
2
11 ...
pppp BBBBdanAAAA ,,...,,,,...,, 121121
15
Contoh :
Sehingga,
6 15 22
3 2
2
2 2
x x
x x
dx
22222
2
22323
22156
x
EDx
x
CxB
x
A
xx
xx
0dan5,3,1,1diperoleh EDCBA
dx
x
xdx
x
xdx
xdx
xx
xx22222
2
25
2
3
3
1
23
22156
6 15 22 2 3 2 32 2 2 2x x A x Bx C x x Dx E x
dx
x
x
x
dxdx
x
x
x
dx2222 )2(
2
2
5
23
2
2
2
1
3
.)2(2
5
2tan
2
3)2ln(
2
1|3|ln
2
12 Cx
xxx