teknik mesin – ftui ãdr. ir. harinaldi,...

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Teknik Mesin Teknik Mesin –– FTUI FTUI ãã Dr. Ir. Harinaldi, M.EngDr. Ir. Harinaldi, M.Eng



Pokok BahasanPokok Bahasan



Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiEksperimen Probabilitas, Ruang Sampel dan Peristiwaq Eksperimen probabilitas (probability experiment)

adalah segala tindakan dimana suatu hasil/keluaran (outcome), tanggapan (response) ataupun ukuran (measurement) diperoleh

q Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan, ataupun ukuran dari eksperiment tersebut disebut ruang sampel (sample space)

q Peristiwa/kejadian (event) didefinisikan sebagai segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan, ataupun ukuran dalam suatu ruang sampel

q Diagram venn



Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiContoh 3.1:Pada eksperimen probabilitas mengambil sehelai kartu dari satu set kartu bridge, maka ruang sampel dari eksperimen tersebut adalah seluruh jenis kartu yang berjumlah 52 lembar tersebut. Jika peristiwa A adalah terambilnya sebuah kartu hati (H), maka peristiwa A dapat dinyatakan sebagai A = {2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AsH}

Diagram Venn

S

A



Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiDefinisi Probabilitasq Probabilitas: sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang

berkaitan dengan suatu peristiwa (even) tertentuØ Peristiwa pasti terjadi à probabilitas =1 Ø Peristiwa mustahil terjadi à probabilitas =0

q Definisi Klasik :Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan fA cara dari sejumlah total N cara yang yang memiliki kesempatan sama dan mutually exclusive mungkin terjadi, maka:- probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A:

- probabilitas tidak terjadinya peristiwa A

( ) AfP AN

=

( ) ( ) (~ ) 1 1 ( )A AN f fP A P A P A P AN N-

= = = = - = -%



Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiContoh 3.2:Definisi klasik cocok digunakan misalnya pada permainan tembakan/undian (games of chance). Misalnya dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu terdapat 4 buah kartu As, maka probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu As adalah: P(As) = 4/52 = 1/13 = 0,077



Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiDefinisi Probabilitasq Definisi Frekuesi Relatif :

Jika sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan kejadian A terjadi sebanyak fA kali, maka jika percobaan dilakukan sedemikian rupa N mendekati tak terhingga (dilakukan tak terhingga banyaknya), limit dari fA/N(frekuensi relatif) didefinisikan sebagai probabilitas kejadian A atau P(A)

( ) lim AN

fP AN®¥

=

q Definisi Subyektif (Intuitif) :Dalam hal ini, probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa Aadalah sebuah ukuran dari “derajat keyakinan” yang dimiliki seseorang terhadap terjadinya peristiwa A



Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa Majemuk

Definisiq Peristiwa majemuk (compound event) adalah

peristiwa yang merupakan gabungan/kombinasi dua atau lebih peristiwa sederhana (simple event)

q Terdapat tiga jenis peristiwa majemuk antara peristiwa A dan peristiwa B :Ø Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah

terjadi à Notasi : P(A|B) Ø Keduanya, peristiwa A dan peristiwa B sama-sama

terjadi à Notasi : P(A dan B) atau P(A ÇB) Ø Salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau keduanya

terjadi à Notasi : P(A atau B) atau P(A ÈB)



Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Bersyaratq Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah

terjadiq Dengan telah terlebih dahulu peristiwa B terjadi, maka

terjadi perubahan (pengurangan) pada ruang sampelyang perlu dipertimbangkan untuk menentukanprobabilitas peristiwa A.

AB

BAÇ B

( )( | ) ( ) 0( )

P A BP A B P BP BÇ

= ¹




Peristiwa Saling Bebas (independent events) dan Saling Terikat (dependent) q Dua peristiwa A dan B saling bebas (independent)

apabila terjadinya/tidak terjadinya peristiwa A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B

q Sebaliknya, jika terjadinya peristiwa A mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B disebut peristiwa saling terikat (dependent)

q Jika peristiwa A dan B saling bebas, maka berlaku:

( | ) ( ) dan juga ( | ) ( )P A B P A P B A P B= =




Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan) q Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive jika

terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas mencegah terjadinya peristiwa yang lainnya selama berlangsungnya eksperimen probabilitas yang sama

q Sebaliknya, jika peristiwa A dan B dapat terjadi secara bersamaan dalam sebuah eksperimen probabilitas, maka A dan B tidak mutually exclusive

q Jika peristiwa A dan B mutually exclusive , maka berlaku:

( dan ) ( ) 0 artinya juga ( | ) 0P A B P A B P A B= Ç = =




Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan) q Diagram venn dari peristiwa mutually exclusive dan

tidak mutually exclusive

AB

AB



Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukHukum Perkalian-Peristiwa Saling BebasJika A,B,C, ... adalah peristiwa-peristiwa yang saling bebas (independent events), maka probabilitas bahwa seluruh peristiwa itu terjadi, atau disebut pula probabilitas gabungan (joint probability) P(ABC ...), adalah produk (perkalian) dari probabilitas masing-masing peristiwa

-=

= Ç Ç Ç= × ×

= Ç Ç Ç Ç = Õ

LL

I 1 2 11

( dan dan dan ...) ( ) ( ) ( ) ( )

Notasi matematis secara umum:( ) ( ... ) ( )

nni n n ii

i

P A B C P A B CP A P B P C

P A P A A A A P A



Contoh 3.3:Ketika menghubungkan sebuah sumber tenaga listrik di bagian depan sebuah pesawat militer ke peralatan-peralatan yang menggunakan tenaga listrik di bagian belakang, maka ketimbang menggunakan sepasang kabel, kita dapat menggunakan 3 pasang kabel parallel, yang masing-masing dengan jalur berbeda melalui fuselage (rangka pesawat). Jadi jika tembakan musuh memutuskan sepasang kabel, kedua pasang kabel lainnya masih tetap bekerja. Prinsip dasar perancangan (design philosophy) seperti itu akan meningkatkan realibitas perancangan. Dalam contoh pengkabelan pesawat militer di atas, anggaplah probabilitas sepasang kabel terputus oleh tembakan musuh adalah 0,01 setiap satu jam tempur. Dengan cara merancang lebih pengkabelan menjadi tiga pasang, maka probabilitas putusnya hubungan tenaga listrik dalam satu jam tempur di pesawat itu sangat jauh berkurang menjadi:

P(ketiga kabel putus) = (0,01)(0,01)(0,01) = 10-6




Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukHukum Perkalian-Peristiwa Saling Terikat Untuk dua peristiwa A dan B yang saling terikat (tidak saling bebas):

( dan ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P A B P A P B A P B P A B= Ç = ´ = ´

Contoh 3.4:Dalam contoh pesawat militer, andaikan untuk jarak pemisahan kabel yang mungkin dilakukan dalam pesawat sesungguhnya, kajian-kajian menunjukkan bahwa sistem disain lebih dengan dua pasang kabel menunjukkan probabilitas pasangan kabel kedua akan terputus akibat tembakan yang sama, yang telah memutuskan hubungan pasangan kabel pertama adalah 0,03. Maka:P(kedua kabel putus) = P(A) x P(B|A) = (0,01)(0.03) = 3 x 10-4



Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukHukum PenjumlahanProbabilitas peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya sama-sama terjadi ditunjukkan oleh hukum penjumlahan menyatakan:

Perluasan (Continued Reapplication) :

( atau ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P B P A B= È = + - Ç

( atau atau ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P A B C P A B CP A P B P C

P A B P A C P B CP A B C

= È È= + +- Ç - Ç - Ç+ Ç Ç



Contoh 3.5:Sebagai contoh pemakaian hukum ini, perhatikan struktur yang dilas seperti pada gambar. Jelas dari gambar tersebut bahwa kegagalan dari struktur ini terjadi jika salah satu atau lebih dari ketiga sambungan las tersebut putus. Jika probabilitas dari kegagalan/putusnya masing-masing sambungan las adalah 0.001 dan diasumsikan masing-masing sambungan saling bebas, maka:P(kegagalan struktur) = 0,001 + 0,001 + 0,001 – 10-6 – 10-6 – 10-6 + 10-9= 0,003 – 0,000003 + 0.000000001 » 0,003




Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukFormulasi Bayes q Perluasan dari probabilitas bersyarat (conditional probability)

dan aturan umum hukum perkalian (multiplication) jika terdapat sekelompok peristiwa B1, B2, ..., Bn , yang:Ø mutually exclusive à masing-masing peristiwa tidak

memiliki hasil/keluaran (outcomes) yang sama Ø exhaustive (menyeluruh), à secara bersama-sama

memuat keseluruhan hasil/keluaran (outcomes) di dalam ruang sampel Kemudian sebuah peristiwa lain, Adidefinisikan pada ruang sampel yang sama

q Maka probabilitas peristiwa A didapat dengan menjumlahkan probabilitas P(A Ç Bi) untuk seluruh harga I

1 1( ) ( ) ( ) ( | )

n n

i i ii i

P A P A B P B P A B= =

= Ç = ´å å



Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukFormulasi Bayes q Sebaliknya jika peristiwa A telah terjadiq Probablitias masing-masing peristiwa Bi juga terjadi dapat

ditentukan dengan Formulasi Bayes:

1 1

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )( | )( ) ( ) ( | ) ( )

i i i i ii n n

i i ii i

P B A P B P A B P B P A BP B AP A P B P A B P B A

= =

Ç= = =

Çå å



Contoh 3.6:Vendor I, II, III, dan IV menyediakan seluruh keperluan bantalan bush yang dibeli oleh perusahaan Sumber Teknik sebanyak masing-masing 25 %, 35 %, 10 % dan 30 %. Dari pengalaman selama ini diketahui bahwa vendor I, II, III, dan IV masing-masing mengirimkan 80 %, 95 %, 70 % dan 90 % bantalan bush yang baik (tanpa cacat). Maka probabilitas bahwa sebuah bantalan yang dipilih secara acak merupakan bantalan yang cacat dapat dihitung sebagai berikut. Misalkan A adalah peristiwa pemilihan sebuah bantalan yang cacat, dan B1, B2, B3, dan B4, adalah peristiwa pemilihan bantalan dari vendor I, II, III, dan IV. Maka


4 4

1 1( ) ( ) ( ) ( | )

0, 25(0, 2) 0,35(0,05) 0,1(0,3) 0,3(0,1) 0,1275

i i ii i

P A P A B P B P A B= =

= Ç = ´

= + + +=

å å



Contoh 3.6 (lanjutan):Kemudian jika terpilih sebuah bantalan cacat, maka probabilitas bantalan cacat itu berasal dari vendor III adalah :


33

( ) 0,03( | ) 0,2353( ) 0,1275

P B AP B AP AÇ

= = =



Teknik EnumerasiTeknik EnumerasiPohon Probabilitas

teknik mesin – ftui ãdr. ir. harinaldi,...

Documents