teknik mesin – ftui ã - website staff...

Teknik Mesin Teknik Mesin –– FTUI FTUI ãã Dr. Ir. Harinaldi, M.EngDr. Ir. Harinaldi, M.Eng


Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaranq Menjelaskan pengertian distribusi binomial,

mengidentifikasi eksperimen binomial dan menghitung probabilitas binomial, menghitung ukuran pemusatan dan penyebaran distribusi binomial

q Menjelaskan pengertian distribusi Poisson, mengidentifikasi eksperimen Poisson dan menghitung probabilitas Poisson, menghitung ukuran pemusatan dan penyebaran distribusi Poisson

q Mengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas variabel acak diskrit lainnya

q Menjelaskan sifat-sifat suatu distribusi normal, menggunakan mean dan deviasi standard dari variabel acak kontinyu yang terdistribusi secara normal untuk mengubah nilai variabel acak menjadi skor standard


Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaranq Menghitung probabilitas distribusi normal dan

menjelaskan hubungannya dengan luas daerah di bahwa kurva probabilitas normal, Menentukan skor z dari persyaratan probabilitas yang ditentukan

q Mengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas variabel acak kontinyu lainnya


Pokok BahasanPokok Bahasan

q Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit - Distribusi Binomial- Distribusi Poisson

q Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu - Distribusi Gaussian (Normal)


Eksperimen Binomial

q Suatu distribusi binomial dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen binomial

q Eskperimen Binomial:q Setiap percobaan/trial, hanya dapat menghasilkan satu

dari dua hasil yang mungkin, sukses atau gagalq Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas

gagal q = 1 - p selalu tetapdalam setiap percobaan (trial) q Setiap percobaan/trial saling bebas secara statistik, yang

berarti hasil suatu percobaan tidak berpengaruh pada hasil percobaan lainnya

q Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya (dinyatakan sebelum eksperimen dimulai)

Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Acak Diskrit –– Distribusi BinomialDistribusi Binomial



Contoh 4.1:Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen binomial: q Suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah

jawaban alternatif, probabilitas banyaknya soal yang benar dijawab oleh seseorang adalah eksperimen binomial dengan p = 1/4, q = 3/4, n = 5 dan variabel acak diskrit adalah jumlah jawaban benar, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

q Dalam suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil didapati bahwa 67 persennya memiliki jarak tempuh lebih dari 400 ribu kilometer sampai harus turun mesin (overhaul) yang pertama kalinya. Dua belas mobil jenis yang bersangkutan dipilih secara acak dan jarak tempuh rata-rata sampai turun mesin diperiksa. Eksperimen diatas adalah eksperimen binomial dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12 dan variabel acak diskrit adalah jumlah mobil yang dapat menempuh jarak lebih dari 400 ribu kilometer sebelum turun mesin pertama kali, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12


Probabilitas Binomial

q Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), dimana p adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan, maka probabilitas variabel acak X yakni banyaknya x sukses yang terjadi pada n percobaan tersebut dapat dihitung dengan :

nCx = kombinasi dari n obyek yang setiap kali dipilih x obyek


( ) ( ) (1 )x n x x n xn x n xP X x p x C p q C p p- -= = = = -

q Distribusi kumulatif dari probabilitas binomial :

0 0( ) (1 )

x xk n k k n k

n k n kk k

F x C p q C p p- -

= == = -å å



Contoh 4.2: Distribusi probabilitas pada contoh 4.1 mengenai suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif, yang merupakan suatu eksperimen binomial (p = 1/4, q = 3/4, n = 5 dan variabel acak diskrit (X) adalah jumlah jawaban benar), dapat ditentukan sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 50 0

5 0

4 41 1

5 1

3 32 2

5 2

5!3 31 1( 0) (0) 0, 23734 4 4 40!5!

5!3 31 1( 1) (1) 0,39554 4 4 41!4!

5!3 31 1( 2) (2) 0,26374 4 4 42!3!

P X p C

P X p C

P X p C

= = = = =

= = = = =

= = = = =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 23 3

5 3

1 14 4

5 4

0 05 5

5 5

5!3 31 1( 3) (3) 0,08794 4 4 43!2!

5!3 31 1( 4) (4) 0,01464 4 4 44!1!

5!3 31 1( 5) (5) 0,00104 4 4 45!0!

P X p C

P X p C

P X p C

= = = = =

= = = = =

= = = = =


Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

q Mean Aritmatika(Nilai Harapan) :


( )x E X npm = =

q Varians danStandard Deviasi :

q Kemencengan(skewness) :

q Keruncingan(kurtosis) :

2 x xnpq npqs s= ® =

1 3 12 q p q p

np nq n npqb a b

-= + - ® = =

2 41 6 3pq

npqb a

-= = +



Contoh 4.3: Pada distribusi probabilitas dalam contoh 4.1 mengenai suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil yang merupakan eksperimen binomial dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12, diperoleh :

( ) (12)(0,67) 8,04x E X npm = = = =2 (12)(0,67)(0,33) 2,6532

2,6532 1,6289x

x

npqnpq

ss

= = == = =

12 0,33 0,67 2 1

(12)(0,67) (12)(0,33) 12q pnp nq n

b = + - = + - =

21 6 1 6(0,67)(0,33)3 3 2

(12)(0,67)(0,33)pq

npqb

- -= + = + =


Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik

q Pemeriksaan elemen-elemen benda manufaktur q Dalam kebanyakan kasus, pemeriksaan menggunakan

dua kategori, rusak atau dapat diterima/dipakaiq Diasumsikan elemen-elemen benda kerja berasal dari

sebuah populasi yang:Ø memiliki persentase bagian baik dan buruk yang

tetapØ persentase ini tetap sama pada waktu kita

mengambil sampel untuk diuji ü populasi yang cukup besar ü menggantikan setiap sampel yang terambil dengan

yang lainnya yang memiliki karakteristik serupa selama kita melakukan pengambilan sampel



Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik

q probabilitas mendapatkan x elemen baik dari batch sampel sejumlah n adalah:


( ) ( ) (1 )x n x x n xn x n xP X x p x C p q C p p- -= = = = -

q p = probabilitas mendapatkan elemen yang baik = 0,25

q q = probabilitas mendapatkan elemen yang buruk = 1 – p = 0,75

q n = jumlah elemen dalam batch yang sedang diuji =10


Dalam praktek:q nilai p yang sebenarnya tidak diketahui q Perkirakan p berdasarkan data yang diperoleh dari jumlah

sampel yang terbatasq Batas-batas interval kepercayaan untuk p telah dikaji dan

hasilnya telah dibuat dalam bentuk tabel-tabel (n < 30) dan grafik-grafik (n ³ 30)


The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.


Eksperimen Poisson

q Distribusi Poisson digunakan dalam mengamati jumlah kejadian-kejadian khusus yang terjadi dalam satu satuan waktu atau ruang

q Suatu distribusi Poisson dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen Poisson :q Eksperimen yang meliputi penghitungan/pencacahan

banyaknya kali suatu peristiwa terjadi dalam suatu satuan waktu atau ruang yang ditentukan

q Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan waktu atau ruang

q Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam suatu satuan waktu atau ruang saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada suatu satuan waktu atau ruang lainnya

Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Acak Diskrit –– Distribusi PoissonDistribusi Poisson



Contoh 4.4:Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen Poisson: q Banyaknya klaim asuransi kecelakaan mobil terhadap suatu

perusahaan asuransi setiap tahunnya q Banyaknya cacat pada permukaan sebuah panel lembaran

logam yang digunakan dalam produksi suatu satelit ruang angkasa

q Banyaknya panggilan telepon yang masuk setiap menitnya pada kantor pelayanan darurat jalan tol

q jumlah yang rusak pada setiap 3000 meter pita pada jalur manufaktur pita magnetik


Probabilitas Poisson

q Dalam sebuah eksperimen Poisson, probabilitas memperoleh dengan tepat peristiwa X sebanyak x kejadian setiap satu satuan waktu atau ruang (jam, menit, meter persegi, dll) dapat dihitung dengan rumus:

l = laju kejadian (rata-rata banyaknya kejadian dalam satusatuan waktu)

e = basis logaritma natural = 2,71828….


( ) ( )!

xeP X x p xx

ll -

= = =



Contoh 4.5: Contoh yang mudah dijelaskan misalnya adalah pada peristiwa emisi dari partikel radioaktif yang dideteksi dengan sebuah Geiger counter. Partikel-partikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Namun, jika kita hitung jumlah emisi tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju rata-rata emisi m partikel-partikel perdetik dapat dihitung. Jika kemudian kita ingin memperkirakan probabilitas P(X=x) atau p(x) dapat menghitung secara tepat x partikel dalam selang satu detik, fenomena ini menunjukkan sangat mendekati model matematika Poisson.

Sebagai contoh, jika m = 3 maka probabilitas dengan tepat 5 partikel perdetik adalah

( ) ( )!

x mm eP X x p xx

-

= = =

5 33 (243)(0,0498)( 5) (5) 0,10085! 120eP X p-

= = = = =


Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

q Mean Aritmatika(Nilai Harapan) :


q Varians danStandard Deviasi :

q Kemencengan(skewness) :

q Keruncingan(kurtosis) :

( )x E Xm l= =

2 x xs l s l= ® =

1 3 11 1 b a bl l

= ® = =

2 41 3b al

= = +


Ilustrasi Distribusi Poisson di Bidang Teknik

q Pengendali yang akan menghentikan proses saat terjadi cacat yang tidak normal (laju cacat tinggi), untuk mengurangi jumlah sisa tak terpakai (scrap)

q Misal cacat terjadi secara acak dan secara rata-rata terjadi 0,6 cacat untuk setiap 1000 meter produk Ø Kondisi syarat untuk menghentikan proses

ü Menghentikan proses ketika tidak terjadi kecacatan ü Tidak menghentikan proses ketika terjadi kecacatan

Ø Keuntungan dan kerugian menggunakan sampel dengan ukuran tertentu

Ø Ukuran sampel yang terbaik yang harus digunakan



q Untuk kasus 1 atau lebih cacat, gunakan kurva berlabel x = 0:q untuk proses normal, kita akan menemukan 1 atau lebih cacat

adalah sekitar 46 persen dari keseluruhan waktuq Jika kriteria diubah menjadi 2, 3, dan 4 cacat atau lebih maka

proporsinya akan menjadi berturut-turut 13, 3, 0,4 persen dari keseluruhan waktu


The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.


Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Acak Diskrit –– Distribusi LainDistribusi Lain


Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak KontinyuAcak Kontinyu

q Sifat-sifat histogram probabilitas variabel acak kontinyu:q Luas daerah hc dari setiap batang adalah probabilitas

mendapatkan varibel acak dalam kelas interval yang bersangkutan

q Jumlah seluruh luas daerah batang tersebut harus 1,00 (100 persen probabilitas bahwa variable didapatkan antara nilai terendah dan tertinggi)

q Probabilitas dari setiap batang adalah persentase dari nilai data yang berada di dalam kelas interval tersebut

Histogram Probabilitas

probabilitas mendapatkan variabel acak dalam kelas intervallebar kelas interval,

hc

=



Histogram Probabilitas



Fungsi Kepadatan Probabilitas

q Eksperimen hipotetis yang mempersyaratkan dua hal yaitu :q Variabel acaknya (dalam contoh di atas adalah breaking

stress) harus dapat diukur dengan ketelitian (resolusi) yang kecil tak hingga (infinitesimal), artinya nilai yang diukur memiliki jumlah angka penting yang tak terbatas

q Sampel yang diuji jumlahnya juga tidak terbatas q Lebar kelas interval dapat kecil sekali (jumlah kelas interval

semakin banyak), sehingga histogram yang berbentuk seperti tangga akan menjadi sebuah kurva yang mulus

q Kurva ini adalah kurva sebuah fungsi f dari variabel x, f(x). Fungsi f(x) ini disebut fungsi kepadatan probabilitas (probability density function/PDF)

q Luas batang f(x)dx masih memiliki arti yang sama yakni probabilitas mendapatkan x dalam kelas interval dx




q Jadi probabilitas mendapatkan x bernilai antara a dan badalah:

( | ) ( ) ( )b

a

P X a x b p a x b f x dx< < = < < =ò

q Jika diketahui PDF dari sebuah variabel acak f(x), maka banyak perhitungan berguna yang dapat dilakukan:

( | ) ( ) ( )a

P X x a p x a f x dx-¥

< = < =ò

( | ) ( ) ( )b

P X x b p x b f x dx¥

> = > =ò

( | ) ( ) ( ) 1.0P X x p x f x dx¥

-¥

-¥ < < ¥ = -¥ < < ¥ = =ò



Fungsi Kepadatan Probabilitasq Untuk setiap PDF f(x) terdapat

sebuah fungsi terkait F(x) yang disebut fungsi distribusi kumulatif, yang didefinisikan sebagai:

q Fungsi ini menyatakan probabilitas bahwa x kurang dari sebuah nilai tertentu:

ò¥-

=x

dxxfxF )()(

( ) ( )ax

ap x x f x dx-¥

-¥ < £ = ò



Fungsi Kepadatan Probabilitas Teoritisq Ketika mencari fungsi-fungsi matematik yang bisa dipakai

sebagai fungsi kepadatan probabilitas PDF, hanya ada beberapa kriteria dasar yang harus dipenuhi: q Fungsi f(x) yang ingin dijadikan PDF harus tidak negatif

(non-negative function) q Fungsi f(x) harus berupa kurva yang baik yang sesuai

dengan data dalam praktek sebenarnya yang akan dikaji q

q Setiap fungsi yang memenuhi persyaratan tersebut adalah model matematik yang berguna dan potensial untuk menjadi fungsi kepadatan probabilitas.

0.1)( =ò¥

¥-

dxxf


Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Acak Kontinyu –– Distribusi GaussianDistribusi Gaussian

Fungsi Kepadatan Probabilitas Gaussianq Distribusi yang paling penting dan paling biasa digunakan

sebagai model bagi data aktual à distribusi normal2

2( )(2 )1( )

2

x

x

x

x

f x e xm

s

s p

--

= -¥ < < ¥

q Untuk setiap nilai sx dan mx :Ø kurva fungsi simetris terhadap mxØ memiliki total luas di bawah kurva tepat 1.0Ø Nilai dari sx menentukan bentangan dari kurva sedangkan

mx menentukan pusat (center)nyaØ Kemencengannya (skewness) = a3 = b1 = 0Ø keruncingannya (kurtosis) = a4 = b2 = 3



Fungsi Kepadatan Probabilitas Gaussian



PDF Gaussian Standardq Kurva PDF gaussian yang khusus dengan nilai mean, m = 0 dan

deviasi standar, s = 1q Variabel acak dari PDF gaussian standard adalah satuan

standard deviasi dan didefinisikan sebagai skor z (z score):

q Dengan menggunakan variabel z fungsi PDF gaussian standardnya menjadi

q Perhitungan probabilitas untuk distribusi gaussian apapun, dapat dipermudah dengan menggunakan tabel gaussian standard

xx

x

xz ms-

=

2 / 21( )2

xzxf z e

p-=



PDF Gaussian Standard



Contoh 4.6: Nilai tahanan yang pada sejenis rangkaian menunjukkan suatu distribusi gaussian dengan mean 100 ohm dan deviasi standard 5 ohm :Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang lebih besar dari 110 ohm adalah:

Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang bernilai antara 96,72 ohm dan 101,17 ohm adalah:

110 100100, 5, 110 25

( 100) ( 2) 1 ( 2) 1 0,97725 0,02275 2,28%

xx x x

x

x x

xx z

P x P z P z

mm s

s- -

= = > ® > = =

> = > = - £ = - = =

100, 5, 96,72 100 96,72 101,1796,72 101,17

5 5

0,656 0, 234

(96,72 101,17) ( 0,656 0, 234) 0,5925 0, 2559 0,3366 33,66%

x x

x

x

x

x z

z

P x P z

m s= =- -

£ £ ® £ £ ®

- £ £

£ £ = - £ £= - = =



Contoh 4.6 (lanjutan): Nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang probabilitasnya meliputi 99,43 % dari seluruh rangkaian:

Jadi 99,43 % dari rangkaian memiliki nilai tahanan kurang dari 112,65 ohm.

( ) 99,43% 0,9943 2,53

100 (2,53)(5) 112,65

x x

xx x x x

x

P z a a z

xz x zmm s

s

£ = = ® = =

-= ® = +

= + =


Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Acak Kontinyu –– Distribusi LainnyaDistribusi Lainnya

teknik mesin – ftui ã - website staff...

Documents