tema 3 resumen estad_stico

8/17/2019 Tema 3 Resumen Estad_stico

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EMA 3

RESUMENES ADÍS ICO


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Estudia los métodos científicospara recoger, organizar,

resumir y analizar datos, asícomo para sacar conclusiones

válidas y tomar decisionesrazonables basadas en tales

análisis.

ES ADÍS ICA


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El resultado de cada observaciónrealizada en un proceso de medición

depende de la acción de un gran númerode factores que varían durante elproceso de medición de formaincontrolable (efectos aleatorios .

Aleatoriedad en lasmediciones


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!ensurando "perario #nstrumento de medición

$rocedimiento demedición

%ondicionesambientales

!étodo de cálculo

&esultadode la

medición

Factores que determinan el resultado de lamedición


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E'E!$ ")*

Pequeñas corrientes de aire y vibraciones.Variación de la atención del ojo del observador.Variaciones de la temperatura, la humedad y la

presión atmosférica.Variaciones de los momentos de fricción entre

partes móviles de instrumentos mecánicos.+luctuaciones del volta e y la frecuencia de lared de alimentación eléctrica.

Aleatoriedad en las mediciones


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1. l repetir n veces una medición obtendremos, en!eneral, diferentes valores en cada reali"ación.

#. $s imposible lo!rar la misma combinación de%factores& en cada observación repetida.

'. (os fenómenos que cumplen estas condiciones se

llaman fenómenos aleatorios y las variables quelos caracteri"an se denominan variablesaleatorias.

Aleatoriedad en las mediciones

AS ECTOS A CONSIDERAR


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!aria"les aleatorias

) -iscreta* se puede contar el conjunto deresultados posibles (datos que se cuentan .

*na variable aleatoria es una función que asociaun n+mero real a cada elemento dentro delconjunto de resultados posibles de un e perimentoestad-stico.

) %ontinua* cuando la variable puede tomarvalores en una escala continua (datos que semiden .


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) E emplos de variablesaleatorias discretas* /antidad de art-culos

defectuosos.

ccidentes por año enuna determinada v-a.

) E emplos de variablesaleatorias continuas* lturas. Pesos.

0emperaturas. istancias. Periodos de vida.


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Por tanto, el resultado de una medición es

una variable aleatoria continua , para eltratamiento de las cuales se usan losmétodos de la teor-a de probabilidades y laestad-stica matemática.



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De#inición de $ro"a"ilidad

) E emplo* $n 1222 tiradas de una moneda salen 3#4 escudos, es decir la

frecuencia relativa es 3#451222 6 2,3#4.

$n otras 1222 tiradas salen 7#' escudos, o sea una frecuenciarelativa en el total de #222 tiradas de 83#497#':5#222 6 2,7;


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Función dedistri"ución

pesar del carácter aleatorio de los resultados delas observaciones individuales repetidas bajo lasmismas condiciones en un proceso de medición,en ellos aparece una ley determinada quee presa una regularidad dada.

0oda variable aleatoria responde a una cierta ey

de -istribución que se e presa a través de ladenominada +unción de -istribución.


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Para una variable aleatoria continua la función de distribución puederepresentarse de la si!uiente forma=

donde f8>: se denomina función de densidad de probabilidad.

(a probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en el intervalo8a,b: es i!ual al área debajo de la curva acotada por los dos e tremosdel intervalo.

∫ =≤≤b

a

dX X f b X a P )()(

Función dedistri"ución


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Función de distri"ución

) (a función de distribución constituye elmétodo más universal para describirvariables aleatorias dado que indica almismo tiempo los valores que puedetomar la variable y la probabilidad de quelos tome.


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Caracter+sticas num,ricas delas &aria"les aleatorias*

$s necesario caracterizar la variable aleatoria conayuda de ciertas cantidades numéricas que caracteri"anla variable aleatoria !lobalmente.

$stas son las llamadas medidas de tendencia central y dedispersión, entre las cuales las más usadas para eltratamiento de los resultados de las mediciones y de su

incertidumbre, son la esperanza matemática, lavarianza y la desviación estándar.


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(a esperanza matemática o media de la poblacióne presa el valor medio de la variable aleatoria dada >,mediante la ley de distribución de la misma.

dXf(X)XE(X)∞+

∞−

∫ =

Es$eran-a matem.tica


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) etermina el lu!ar donde se centra la distribución deprobabilidad.

) $s un promedio y no necesariamente un resultadoposible 8ej= in!reso promedio:.

) Puede obtenerse multiplicando los valores posibles

de una variable por sus correspondientesprobabilidades y reali"ando la sumatoria de esosproductos o bien inte!rando para variables continuas.

CARACTER/STICAS


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-esde el punto de vista de las mediciones, este valor

que representa el valor medio de la variable aleatoriaresultante de las observaciones individuales, se tomaprecisamente como resultado de la medición.

Q X E −=Θ )(


a diferencia constante entre la esperanza matemática yel valor del mensurando (/ representa el errorsistemático de la medición.


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e acuerdo con la definición de esperan"a

matemática, para determinarla ser-a necesariocontar con información sobre todos los posiblesvalores que podr-a tomar la variable aleatoria.

$n la práctica, sólo contamos con un n+merolimitado de observaciones y necesitamos estimar elvalor de la esperan"a matemática. $n calidad deestimador de la esperan"a matemática se utili"arála media aritmética =

n

X X

n

1ii∑

=

=



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ro$iedades de la media

1. (a mayor-a de las personas entiende lo que si!nifica.

#. ?iempre e iste y puede ser calculada.

'. ?iempre es +nica.

0. 1oma en cuenta cada observación en forma individual (no

contempla influencia de valores e tremos .3. $s posible combinar las medias de varios !rupos de datos en una media

+nica sin tener que referirse de nuevo a las anotaciones ori!inales.


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(a esperan"a matemática nos permite conocer a qué valor tiende lavariable aleatoria, sin embar!o, dos variables aleatorias pueden tener lamisma esperan"a matemática, pero una tener mayor dispersión de susvalores respecto a la esperan"a matemática que la otra.

!aria"ilidad o dis$ersión delas o"ser&aciones

$l cálculo de ladispersión o variaciónde las observaciones

permite obtener unaidea de cuan esparcidosse encuentran éstos.


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Esta propiedad se caracteriza por medio ladenominada varianza, que se calcula mediante elpromedio del cuadrado de las desviaciones de lavariable aleatoria respecto a la esperanza matemática.

/omo la varian"a tiene dimensiones del cuadrado de la

ma!nitud aleatoria, resulta más cómodo usar ladesviación estándar =

(X)V(X) +=σ

=−= 2

E(X)XEV(X) ( )[ ] ( )∫ +∞

∞−− dX X f X E X 2

!arian-a ( Des&iaciónEst.ndar


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Para estimar la desviación estándar a partir de los datos de

una muestra, se usa la desviación estándar e perimental?8>:=

$s posible demostrar que=

por lo que su estimador será=n

S(X))XS( =n

(X))X(

σ σ =

( )

1n

XS(X)

n

1i

2i

−

−=

∑=

X

Des&iación Est.ndar

(a -esviación Estándar E perimental de la !edia representa la dispersiónque tendría la media de una muestra de valores si se continuaran tomandomuestras, por lo tanto, proporciona una idea de la precisión de la media.

/uantifica qué tan bien la@edia 8 : estima a el valoresperado de .


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&epresentación de la distribución de probabilidad-esviación 1ípica E perimental

a -esviación 1ípica E perimental representa lavariación (dispersión en los valores de una variable,nos da una idea de la variabilidad de las observacionesindividuales.

( )1n

XS(X)

n

1i

2i

−−

= ∑= X

& ió d l di ib ió d b bilid d


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&epresentación de la distribución de probabilidad-esviación 1ípica E perimental de la !edia

a me or estimación de la -esviación 1ípica E perimental se

obtendría a partir de la -esviación 1ípica E perimental de la !edia.

n X S X S )()( =


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Atro estimador de la desviación estándar es eldenominado &ango o &ecorrido (& . Este se definecomo la diferencia entre el mayor y el menor valorobtenido de la variable en la muestra dada.

$l ran!o tiene la desventaja como estimador de ladesviación estándar, de que no considera la distribuciónde los valores de la variable respecto a su valor medioy, por tanto, puede sobreestimar el valor de ladesviación estándar.

.min. X X R máx −=

Ran)o de una serie deo"ser&aciones


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$l error aleatorio de una observaciónviene determinado por=

y como σ8>: caracteri"a el promedio deestas desviaciones, resulta que mientras

mayor es la desviación estándar, mayoresson los errores aleatorios.

)( X E X a −=ε

Error aleatorio


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/uando se trata de un conjunto de ma!nitudes aleatorias > i que 2"

)"2 #2-E$E2-#E21E) 8ma!nitudes correlacionadas:, se utili"a otracaracter-stica numérica que es la covarianza y que e presanuméricamente el grado de dependencia que e iste entre estasvariables.

(a covarianza es una medida de la naturale"a de la asociación entrelas variables. $l si!no indica si la relación es positiva o ne!ativa.

/uando las variables son independientes su covarianza es cero.

Co&arian-a

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Y X Y X Y X xy XY E dxdy y x f y xY X E µ µ µ µ µ µ σ −=−−=−−−= ∫ ∫ +∞

∞−

+∞

∞− ,


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)i las variables aleatorias son independientes, tanto lacovarianza como el coeficiente de correlación son igual acero.

El coeficiente de correlación tiene la venta a sobre lacovarianza de que es adimensional, de modo que su valorno depende de las unidades de medida seleccionadas. osvalores del coeficiente de correlación están comprendidos

en el intervalo 34,4 , siendo igual a ± 4 cuando e iste unadependencia lineal entre las variables.

Coe#iciente de Correlación


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(a covarianza de dos ma!nitudescorrelacionadas > i, > j que son estimadas a partirde sus medias mediante pares deobservaciones simultáneas, puede a su ve"

estimarse a partir de la si!uiente e presión=

jX,X i

( ) ( ) ( )∑=

−−=n

1i

j jk iik ji X-XX1nn1

)X,(XS X

Co&arian-a

) ?i S(X iX j)B2 hay dependencia directa 8positiva:, es decir, a !randes valores de corresponden !randes valores de y.

) ?i S(X iX j)62 *na covarian"a 2 se interpreta como la no e istencia de una relación lineal entrelas dos variables estudiadas.

) ?i S(X iX j)C2 hay dependencia inversa o ne!ativa, es decir, a !randes valores de

corresponden pequeños valores de y.


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$n el caso de que las ma!nitudes > i sean

independientes, el se!undo término delmiembro de la derecha será i!ual a cero yresultará=

( )i2

2 N

1i i

2

XX

)Y( σ σ ∑=

∂∂

= f

( )2

i

N

1i i

2 X X

)Y(

∂∂= ∑

=σ σ

f

?i el coeficiente de correlación para todas las > i,

> j es i!ual a 1, entonces=


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-#)18%#72 &E%18296 8&

-#)18%#72 1 8& -#)18%#72 2"&!8

Al)unas #unciones dedistri"ución de &aria"les

aleatorias


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Frecuentemente sucede que sólo es posible establecer que

todos los valores de una variable aleatoria están comprendidosen un intervalo entre a G y a 9, y que cualquiera de los posiblesvalores tiene igual probabilidad de ocurrencia. $n este casose dice que la variable aleatoria cumple una ley dedistribución rectangular o uniforme.

Distri"ución Rectan)ular o Uni#orme

a: >

F8>:

a3 $8>:

=

casootrocualqui r !ara"#

!ara"1 +−−+

≤≤− a xa

aa

ó ) l


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a a

f8>:

>E(;$8>: G a $8>: 9 a

)i la diferencia entre los límites se denotapor


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$jemplos t-picos de aplicación de esta distribución son=

Hesolución de un instrumento di!ital.Iistéresis.

preciación.Jnformación técnica sobre el error 8e.m.p: de uninstrumento de medición.

$n !eneral, cuando e clusivamente >ay conocimiento delos límites superior e inferior del intervalo de variabilidad

de la ma!nitud de entrada, lo más conservador es suponeruna distribución rectan!ular.

Distri"ución Rectan)ular o Uni#orme

Di i" ió i ) l


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$n el caso que la probabilidad de que la variable aleatoria tome los

valores en el intervalo entre aG y a9, ten!a un valor má imo en el centrodel intervalo y disminuya linealmente hacia los e tremos del mismohasta cero, estamos en presencia de una ley de distribucióntriangular. /onsiderando un intervalo simétrico, o sea, 8a 9 G aG:6#a =

$ 8>: G a E (; $ 8>: 9 a >

f8>:

%)( a

X =σ

Distri"ución rian)ular

Di i" ió i ) l


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Distri"ución rian)ular

Porejemplo,

en un baño termostático, que

se utili"a para medir la densidad de un

l-quido, la temperaturapuede tener una li!era

deriva. ?i se mide la temperatura antes y después de la medición de la

densidad 8resultando en 0 1 y 0 #:, se puedesuponer para el momento de la medición de la

densidad una temperatura de 80 1 9 0 #: 5 # con unadistribución trian!ular entre 0 1 y 0 #.

Di i" ió N l


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$n la estad-stica matemática tiene !ran importancia la denominada leyde distribución normal o ley de distribución de 9auss.

$s la piedra an!ular de la teor-a estad-stica moderna.

0iene forma simétrica acampanada cuyas colas se e tiendenindefinidamente en ambas direcciones.

Kueda completamente determinada si se conoce su media y sudesviación estándar.

Distri"ución Normal

2

21

2

1 z eY

−=

π

σ

µ −= X z



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$ara una variable que sigue una ley de distribuciónnormal se cumple que*

&&.'$)$$( =+≤≤− σ µ σ µ X &*.+*)22( =+≤≤− σ µ σ µ X

.2'%)( =+≤≤− σ µ σ µ X



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Para una distribución normal la probabilidad de que la variabletome valores fuera del intervalo µ + 3σes prácticamente cero.

Por tanto, si los valores observados de una variable estánincluidos en el intervalo 8 µ ±a: y ella si!ue una ley de distribuciónnormal, se puede plantear que a 6 ' σ .Por tanto=



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$jemplos prácticos de eventos con distribución normal=

(os resultados de una medición repetida afectadapor una o más ma!nitudes de influencia que var-an

aleatoriamente.

(a incertidumbre indicada en certificados decalibración.



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1E"&E!8 -E ?!#1E %E21&8

?i una variable aleatoria ; es la suma deun número grande de variables aleatoriasmutuamente independientes, y la influenciade cada una de ellas en toda la suma es

despreciable, entonces > tiende a unadistribución normal.



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1E"&E!8 -E ?!#1E %E21&8$n el caso que nos ocupa de las mediciones, la variabilidadaleatoria de las observaciones durante la medición se debea la con ugación de un gran número de factores que

varían de forma impredecible de una observación a otra.


)i ninguno de estos factores predomina sobre losrestantes en cuanto a la variabilidad que provoca en elresultado de las observaciones, entonces se puedeafirmar que éste sigue apro imadamente una E@ -E-#)18%#72 2"&!8 .

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