tema1

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Fundamentos matemticos y criptografa

clsica

[1.1] Cmo estudiar este tema?

[1.2] Conceptos bsicos

[1.3] Aritmtica modular

[1.4] Criptografa clsica

1

TE

M

A

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Criptografa y mecanismos de seguridad

TEMA 1 Esquema

Esquema

Fu

ndamentosmatemticosycriptografa

clsica

Conceptosbsicos

Criptosist

emas

Clavesdbiles

Criptoanlisis

Esteganografa

Criptografaclsica

Sustitucin

Transposicin

Producto

Aritm

ticamodular

AlgoritmodeEuclides

Exponenciacin

Logarismosdiscretos

Factorizacinynmeros

primos

Algoritmode

Euclidesextendido

Teo

remadeFermat

Clculodeinversos

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TEMA 1 Ideas clave

Ideas clave

1.1. Cmo estudiar este tema?

Para estudiar este tema lee los captulos 2 y 5 Conceptos Bsicos y

Aritmtica Modular del libro Criptografa y seguridad de computadores de

Manuel Lucena, disponible en:

http://sertel.upc.es/tdatos/Libros/Lucena.pdf

Aunque no sern tratados en este tema, puede ser relevante para los estudiantes

interesados la lectura rpida de los captulos 3 y 4 del mismo libro, donde se repasan

conceptos de la teora de la informacin y de la teora de la complejidad.

As mismo, para la parte de aspectos de criptografa clsica, apartado 1.4 de este primer

tema, tendrs que estudiar el apartado 2.1 Transposicin, sustitucin y

producto (pginas 20-30) del libro Introduccin a la criptografa de Pino

Caballero Gil, disponible en el aula virtual.

Esta unidad pretende introducirte en los principios matemticos necesarios para

comprender los mecanismos criptogrficos de proteccin de la informacin. Estos

principios estarn relacionados con la aritmtica modular, pero existen otros

conceptos que tambin forman parta de las bases de la criptografa y que, si te interesa,

puedes repasar para conseguir una base ms amplia sobre la que apoyar los conceptos

criptogrficos: se trata de las teoras de la informacin y de la complejidad.

Como se ha comentado, los conceptos matemticos tratados en este tema se centrarn

en las operaciones de aritmtica modular necesarias para que puedas utilizar losalgoritmos de cifrado clsico que se tratarn en las siguientes unidades y que tambin

estn presentes en muchos de los algoritmo criptogrficos actuales. Pero, antes de

comenzar con esos conceptos, el tema repasa algunos elementos bsicos de la

criptografa, como son los criptosistemas, las claves dbiles de cifrado y la

esteganografa. Como contrapunto de estas tcnicas de proteccin de la informacin,

entre los conceptos previos se trata tambin el criptoanlisis, que tiene como objetivo

fundamental la vulneracin de las protecciones establecidas para la informacin y que,

sin lugar a dudas, supone el principal incentivo para evolucin de los algoritmoscriptogrficos.
http://sertel.upc.es/tdatos/Libros/Lucena.pdfhttp://sertel.upc.es/tdatos/Libros/Lucena.pdfhttp://sertel.upc.es/tdatos/Libros/Lucena.pdf

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TEMA 1 Ideas clave

En definitiva, este tema tiene como objetivo mostrarte dos grupos de conceptos

diferenciados. El primero de ellos engloba los siguientes conceptos:

Utilidad de los criptosistemas.

Elementos bsicos de los criptosistemas.

Los ataques a las tcnicas criptogrficas.

Por otro lado, el tema tiene por objeto que conozcas algunas herramientas bsicas que

te permitirn operar con los algoritmos criptogrficos clsicos y tambin avanzar en las

tcnicas empleadas sobre los algoritmos criptogrficos actuales. Estas herramientas de

aritmtica modular engloban:

Clculo de inversos en aritmtica modular.

La factorizacin de grandes nmeros.

El empleo de operaciones de exponenciacin en los algoritmos criptogrficos.

Finalmente, se aplicarn estas herramientas matemticas para la utilizacin de

algoritmos criptogrficos clsicos.

1.2. Conceptos bsicosLas tcnicas criptogrficas y la criptografa han existido desde hace siglos. El

inters del ser humano por ocultar determinadas informaciones ha existido desde que

la escritura empez a extenderse y, a lo largo de todos estos siglos, las tcnicas

criptogrficas han ido evolucionando junto con la capacidad de vulnerar las

protecciones establecidas.

A pesar de toda esta evolucin, el concepto de criptosistema clsico no haevolucionado, pues en su esencia el objetivo de estos sistemas sigue siendo el mismo:

proteger un mensaje para que no pueda ser ledo mientras atraviesa por un canal

inseguro.

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TEMA 1 Ideas clave

La definicin de criptosistemaqueda recogida en la siguiente ilustracin:

Figura 1: Esquema de criptosistema clsico

M representa el mensaje en claro que puede ser interpretado por cualquier

entidad.

C representa al criptograma, se trata del mensaje cifrado que atravesar el canal

de comunicacin inseguro.

Erepresenta las funciones de cifradoque se aplican al mensaje en claro.

Drepresenta las funciones de descifradoque se aplican al mensaje cifrado.

K representa la clave empleada para cifrar el mensaje en claro o para descifrar el

criptograma.

Es condicin necesaria que en todo criptosistema obtengamos el mensaje M si seaplican secuencialmente un proceso de cifrado y descifrado sobre el mismo mensaje M.

Dk(Ek(M))= M

Un buen criptosistemadebe evitar que puedan existir claves dbiles.

Las circunstancias descritas a continuacin indicaran la existencia de claves dbiles,

por lo que deben ser evitadas por los criptosistemas:

Puesto que M y C pertenecen al mismo conjunto de mensajes, es importante evitar

que la aplicacin de la funcin de cifrado con una determinada clave no transforme

el mensaje en claro M.

Ek(M)= M

Es requisito evitar que cifrado del mensaje cifrado (criptograma) C produzca el

mensaje en claro original.Ek(C)=M

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TEMA 1 Ideas clave

Aunque los criptosistemas pueden ser clasificados de varias formas, sin duda alguna, la

ms habitual permite distinguir dos tipos de criptosistemas:

Criptosistemas simtricos(clave secreta): La clave usada para cifrar y descifrar

es idntica y compartida entre el emisor y el receptor. Debido a esta

circunstancia, el empleo de este tipo de criptosistemas precisa que emisor y receptor

dispongan de un canal seguro para el intercambio de la clave

Criptosistemas asimtricos (clave pblica): Cada entidad dispone de una

clave pblica y privada que pueden ser usadas indistintamente para cifrar y

descifrar el mensaje. Cuando la clave pblica es usada para cifrar, el descifrado del

criptograma resultante debe ser realizado con la clave privada (y viceversa). Para

este tipo de criptosistemas es necesario que sea computacionalmente complejo

averiguar una de las claves partiendo de la otra. Este tipo de criptosistema permite

ser usado para la autentificacin.

En la prctica se utilizan criptosistemas asimtricos (en general

computacionalmente ms exigentes) para transmitir la clave secreta que

posteriormente ser usada en el criptosistema simtrico(que en general son ms

rpidos que los anteriores).

En ocasiones los criptosistemas no persiguen la transformacin del mensaje en claro,

sino que solo persiguen su ocultacin dentro de otro mensaje. Esta tcnica se denomina

esteganografa y se basa en la ocultacin de informacin (no tiene por qu estar

cifrada previamente) dentro de otro tipo de informacin. Un claro ejemplo es la

ocultacin de mensajes dentro de imgenes o ficheros de audio o vdeo.

Como se coment al principio de este apartado, la evolucin de las criptosistemas est

ntimamente relacionada con la mejora de las tcnicas que permitan vulnerar las

protecciones establecidas por los criptosistemas. A estas tcnicas que persigue la

vulneracin de criptosistema se le denomina criptoanlisis, y puede presentar

diversos escenarios de ataque de los que pueden destacarse dos:

Texto en claro escogido: Conocer textos en claro escogidos por el atacante y sus

correspondientes criptogramas. Es el mejor de los escenarios para que un atacante

pueda obtener la clave de cifrado.

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TEMA 1 Ideas clave

Fuerza bruta: Obtencin del mensaje en claro a partir del cifrado, probando todo

el espacio posible de claves del criptosistema. La mayora de criptosistemas actuales

son invulnerables a este tipo de ataque, pues el tiempo necesario para realizar la

prueba de todas las claves es inabordable. En ocasiones, cuando la clave de cifrado

posee patrones predecibles o cuando su longitud es reducida, el tiempo necesario

para este tipo de ataques se puede reducir drsticamente y los criptosistemas

pueden ser vulnerados.

Por ltimo, en la actualidad no debemos olvidar que el empleo de este tipo de tcnicas

tiene por objetivo final la mejora de la seguridad en los sistemas informticos.

1.3. Aritmtica modularLa aritmtica modular es la principal de las herramientas matemticas que han

fundamentado la evolucin cientfica de la criptografa. A continuacin se repasarn los

conceptos ms importantes, lo cuales ayudarn en la compresin tanto de los procesos

internos de los criptosistemas, como de las claves matemticas en las que reside la

seguridad de los mismos.

Concepto de aritmtica modular

Dados tres nmeros se dice que a es congruente con b mdulo n si se

cumple que:

, para algn

Queda expresado mediante la siguiente ecuacin:

Por ejemplo, 898 (md. 9), ya que 89= 9 9 +8 . Los nmeros 8, 17, -1, 28 forman

una clase de equivalencia, ya que son equivalentes en la aritmtica mdulo 9.

8917 (md. 9), ya que 89= 9 8+17

89-1 (md. 9), ya que 89= 9 10 -1

8928 (md. 9), ya que 89= 9 7+28

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TEMA 1 Ideas clave

La aritmtica modular cumple las siguientes propiedades:

Propiedades de la suma:

o Asociativa:o Conmutativa:o Elemento neutro:o Elemento simtrico (opuesto):

Propiedades del producto:

o Asociativa:o Conmutativa:o Elemento neutro:

Propiedades del producto con respecto de la suma:

o Distributiva:

Algoritmo de Euclides

Este algoritmo permite calcular el Mximo Comn Divisorde dos nmeros ay b. La

definicin en pseudocdigo del algoritmo de Euclides es la siguiente:

Entrada: Valores a y b.

Salida: Un mximo comn divisor de a y b.

1.

2.3. Mientras

a.b.

4. Resultado:

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TEMA 1 Ideas clave

A continuacin se muestra un ejemplo de uso del algoritmo:

Entrada: 721 y 448

Resultado: 7

Clculo de las Inversas en

Existencia de la inversa:

Dada una expresin de aritmtica modular , atiene inversa mdulo nsi:

Si nes primo (es decir es divisible nicamente por el mismo y por la unidad), entonces

todos sus elementos tienen inversa a excepcin del cero, ya que siempre.

Funcin de Euler

Se define la funcin de Euler sobre n, y se representa con , como el nmero deelementos en el conjunto (conjunto de todos los nmeros con inversa mdulo n). Si

nfuera el producto de dos primospy qentonces .

Teorema: Si entonces

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TEMA 1 Ideas clave

(Pequeo) Teorema de Fermat: Sipes primo, entonces:

Uno de los mtodos para calcular inversas mdulo nes la Funcin de Euler puesto que:

Algoritmo extendido de Euclides

La alternativa al clculo de inversas cuando se desconozca la funcin de Euler es el

empleo del algoritmo extendido de Euclides. A continuacin se muestra un ejemplo de

uso del algoritmo: cul es el inverso de 117 (md. 244)?

Entrada: n=244 y a=117

n=a2+r1; r1=10

a=r111+r2; r2=7

r1=r21+r3; r3=3

r2=r32+1

Despejamos el 1 de la ultima ecuacin: 1=r2-2r3y dejamos esta ecuacin en funcin de

n y a (md.n).

1=(a 11(n -2a)) -2 ((n-2a) - =(a 11(n -2a)) ) (md. n)

Podemos eliminar todas las constantes que multiplican a n, pues Cten (md.n)= 0.

Quedando:

1=(a 11(-2a)) -2 ((-2a) - (a 11(-2a)) ) (md. n)

1= a + 22a + 4a + 2a + 44a

1= 73 a

Por lo que el nmero que multiplica a aes su inverso.

Resultado: 73

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TEMA 1 Ideas clave

Exponenciacin. Logaritmos discretos

El empleo de la factorizacin es habitual en las tcnicas criptogrficas. El clculo de

esas operaciones precisa de tcnicas especficas que puedan operar de manera rpida

con nmeros muy grandes tanto para la base como para el exponente de las

operaciones. El algoritmo rpido de exponenciacinpermite que la operacin de

exponenciacin sea viable en cuanto a tiempo se refiere.

La seguridad de estos algoritmos (Diffie-Hellman o ElGamal son claros ejemplos)

reside en la poca eficiencia de los algoritmos actuales para calcular el inverso de la

exponenciacin en aritmtica modular, o sea, la operacin denominada logaritmo

discreto.

Se define el logaritmo discretode aen base bmdulo ncomo:

El logaritmo discreto se encuentra en relacin directa con la factorizacin, ya que si

es posible calcular el logaritmo en un tiempo viable, la factorizacin tambin es posible

en el mismo tiempo.

El tiempo de clculo del inverso crece cuanto mayor sea a y cuanto menor sea el

nmero de factores de dicho valor. La utilizacin de primos minimiza este ltimo

criterio (nmeros con nicamente dos factores).

Algoritmos de factorizacin

El algoritmo de fuerza bruta para factorizar un nmero consiste en dividir dicho

nmero por todos los nmeros comprendidos en . Este algoritmo es el ms

sencillo pero tambin el menos eficiente.

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TEMA 1 Ideas clave

1.4. Criptografa clsicaTeniendo en cuenta los principios de longitud del texto invariante y de un

alfabeto finito, se definen dos formas de realizar cifrado digital con clave secreta

compartida:

Transposicin: El texto cifrado se obtiene de desordenar el texto en claro.

Sustitucin: El texto cifrado se obtiene de remplazar los smbolos del texto en

claro por otros. Se realiza sobre bloques de longitud constante (n smbolos). Existen

n!posibles combinaciones.

o Sustitucin monoalfbetica: Cada smbolo tiene un nico smbolo decifrado para la misma clave.

o Sustitucin polialfabtica: Cada smbolo tiene varios smbolos de cifradopara la misma clave. La correspondencia depender de factores como la posicin.

La combinacin de los dos mtodos anteriormente descritos se denomina cifrado

producto(mejora la confusin y difusin).

Sustitucin monoalfabtica

Este tipo de sustitucin consta de dos variantes:

Sustitucin de letras: Teniendo un alfabeto de mletras y un entero constate b, se

denomina transformacin de desplazamientoa la funcin de cifrado:

La funcin de descifrado se obtiene calculando el inverso sobre la anterior:

La clave del sistema (secreto) queda definida por b. El famoso cifrado Csar es una

transformacin de desplazamiento con b=3y m=27.

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TEMA 1 Ideas clave

El sistema puede ser mejorado aadiendo un parmetro fijo a en la anterior

ecuacin, creando as una transformacin afn.

La funcin de descifrado queda recogida en la siguiente ecuacin:

donde

,

La clave es el conjunto {a, b} donde a tiene que ser coprimo con m (condicin

necesaria para el clculo de la inversa).

Este tipo de sistemas son vulnerables a ataques por anlisis de frecuencia. Una

solucin es recurrir a la sustitucin homofnica (un mismo smbolo se corresponde

con varios en el mensaje cifrado).

Sustitucin de n-palabras: Consiste en aplicar la transformacin afn a un

conjunto de palabras {a,b,c,} de cardinalidad fija y que son expresadas

previamente como un nmero entero (puede requerir caracteres de relleno si no sealcanza la cardinalidad fijada).

Este tipo de sustitucin es vulnerable a ataques de anlisis de frecuencia en los que

se analiza el n-simosmbolo de cada bloque de palabras, puesto que este depende

nicamente de su correspondiente smbolo en el mensaje original y no del resto de

smbolos cifrados.

Cifrado de Hill:

Sustitucin de n-palabras mediante la definicin de matrices de cifrado cuadradas y

de orden n. Las ecuaciones de cifrado y descifrado quedaran:

Siendo B un vector de longitud n y A inversible con determinantes no nulos y

coprimos con m. La clave queda definida por el conjunto {A, B}.

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TEMA 1 Ideas clave

El sistema no obstante es vulnerable, ya que puede calcularse la clave con

nicamente tres parejas de n-palabras (palabras en claro y sus correspondientes

cifrados).

Cifrado Playfair:

Caso de sustitucin cuyo valor de nes 2, con un alfabeto de 25 smbolos (carece de

y J e I son idnticas) y con un incremento del tamao del texto (insercin de smbolo

fijo entre smbolos repetidos y al final de los mensajes de longitud impar).

Es unamatriz de orden 5 compuesta por lossmbolos de una palabra

secreta que se sita e n las primeras filas y completada por el resto de

smbolos del alfabeto situados en orden alfabtico. No deben existir

smbolos repetidos en la matriz tras calcularla.

Clave de Playfair

El cifrado se realiza sobre conjuntos de dos smbolos y se define con las siguientes

reglas (todos los ndices de fila y columna calculados son siempre mdulo 5):

1. En los smbolos que ocupen la misma fila y distinta columna, sus cifradoscorresponden con los smbolos de la misma fila y de columna adyacente por la

derecha.

2. En los smbolos que ocupen la misma columna y distinta fila, sus cifradoscorresponden con los smbolos de la misma columna y de fila inmediatamente

inferior.

3. En los smbolos que ocupen distintas filas y columnas, sus cifrados correspondencon los smbolos de la misma fila y esquina opuesta respecto al rectngulo

delimitado por los smbolos originales.

4. Es necesario insertar smbolos nulos (QoX) cada vez que el par de smbolos deentrada est compuesto por un mismo smbolo repetido y cuando el mensaje

dispone de un nmero impar de smbolos.

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TEMA 1 Ideas clave

El descifrado se realiza procediendo de forma inversa a las reglas anteriormente

detalladas.

Ejemplo de cifrado con Playfair:

- Palabra secreta: SECRETO.- Texto en claro: HOLA.- Matriz Playfair:

S E C R T

O A B D F

G H I K L

M N P Q U

V W X Y Z

- Texto Cifrado: GAHF

Sustitucin polialfabtica

Su principal caracterstica es la presencia de una clave k que contiene dos o ms

sustituciones diferentes. De este tipo concreto podemos encontrar los siguientes

sistemas:

Cifrado de Vernam:

El sistema se considera de cifrado perfecto, aunque el tamao de la clave n(igual o mayor

tamao que el texto en claro) y la dificultad de obtener una clave aleatoria K(secuenciaindependiente e idnticamente distribuida segn una distribucin equiprobable sobre

), hace que no sea til en la prctica. Su ecuacin de cifrado es la siguiente:

El cifrado Vernam puede considerarse como la XOR entre la clave y el mensaje en claro,

siguiendo el siguiente esquema:

XiKi= Yi

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TEMA 1 Ideas clave

Cifrado de Vigenre:

El sistema es una generalizacin del cifrado Csar con una clave definida por la

repeticin de una secuencia de smbolos que se denomina semilla.

Un ejemplo del sistema con clave K={A,S,H}y mensaje en claro M={E,J,E,M,P,L,O}y

un alfabeto de 27 letras.

Mensaje E J E M P L O

Clave A S H A S H A

Cifrado E B L M I R O

El autocifradode Vigenre es una mejora respecto al cifrado anterior en el que cada

smbolo se cifra teniendo en cuenta el anterior.

El cifrado de Beaufordpor su parte es idntico al de Vigenre salvo por la funcin

de transformacin:

La ventaja de este sistema es que cifrado y descifrado utilizan la misma funcin.

Criptoanlisis estadstico

Segn el tipo de sistema analizado tenemos:

Transposicin y sustitucin monoalfabtica: Anlisis de la frecuencia de los

smbolos y grupos de palabras. Si el valor es igual a la entropa de un lenguaje, es

altamente probable que se trate de una transposicin o una sustitucin

monoalfabtica. El valor de la entropa se calcula mediante la ecuacin:

Siendo Pla probabilidad de un smbolo concreto.

Sustitucin polialfabtica: El anlisis de este tipo de sistema puede definirse en

dos pasos:

o Calcular el periodo rde la clave utilizada.

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TEMA 1 Ideas clave

o Criptoanalizar los sistemas monoalfabticos resultantes.

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TEMA 1 Lo + recomendado

Lo + recomendado

Lecciones magistrales

Fundamentos matemticos y criptografa clsica

En esta leccin veremos algunos fundamentos matemticos y algunos algoritmos de

la criptografa clsica.

La clase magistral est disponible en el aula virtual.

No dejes de leer

Los cdigos secretos

Singh, Simon (2000).Los cdigos secretos. Madrid: Debate.

Amena visin histrica de la criptografa desde sus inicios hasta

nuestros das. Una lectura ms que interesante para aquellos

interesados en esta asignatura.

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TEMA 1 Lo + recomendado

No dejes de ver

Introduccin a la aritmtica modular

Se trata de una presentacin bsica

que realiza una introduccin al

concepto de aritmtica modular. Para

ello utiliza el ejemplo de la horas del

da (desde las 0 a las 23 horas) y

cmo pueden asemejarse a los

clculos en mdulo 24.

El vdeo completo est disponible en el aula virtual o en la siguiente direccin web:

http://www.youtube.com/watch?v=wBIUpBBQ1zI

Euclidean Algorithm

Este vdeo describe cmo aplicar elalgoritmo de Euclides para calcular

el mximo comn divisor de dos

nmeros. Este paso puede ser

interesante para aquellos alumnos

que vayan a comenzar a utilizar el

algoritmo extendido.

El vdeo completo est disponible en el aula virtual o en la siguiente direccin web:

http://www.youtube.com/watch?v=fwuj4yzoX1o
http://www.youtube.com/watch?v=wBIUpBBQ1zIhttp://www.youtube.com/watch?v=wBIUpBBQ1zIhttp://www.youtube.com/watch?v=fwuj4yzoX1ohttp://www.youtube.com/watch?v=fwuj4yzoX1ohttp://www.youtube.com/watch?v=fwuj4yzoX1ohttp://www.youtube.com/watch?v=wBIUpBBQ1zI

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TEMA 1 + Informacin

+ Informacin

A fondo

La mquina Enigma

En esta web encontrars una serie de artculos que describen los acontecimientos

histricos de la mquina de cifrado Enigma.

Los artculos estn disponibles en el aula virtual o en la siguiente direccin web:

http://www.kriptopolis.com/enigma

Reinas, conspiraciones y cifrados

Este artculo realiza una revisin histrica sobre el papel de la criptografa a lo largo de

la historia y su importancia a lo largo de los siglos.

El artculo est disponible en el aula virtual o en la siguiente direccin web:

http://www.historiasdelaciencia.com/?p=426

Webgrafa

Kriptopolis: Criptografa y Seguridad

Esta web es una de las referencias espaolas en este campo. Adems posee una lista dedistribucin para estar al da sobre noticias relacionadas.

http://www.kriptopolis.com/
http://www.kriptopolis.com/enigmahttp://www.kriptopolis.com/enigmahttp://www.historiasdelaciencia.com/?p=426http://www.historiasdelaciencia.com/?p=426http://www.kriptopolis.com/http://www.kriptopolis.com/http://www.kriptopolis.com/http://www.historiasdelaciencia.com/?p=426http://www.kriptopolis.com/enigma

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TEMA 1 + Informacin

Bibliografa

Caballero Gil, P. (1996).Introduccin a la criptografa. Madrid: Ra-Ma.

Fster Sabater, A. [et al.]. (2004). Tcnicas criptogrficas de proteccin de datos.Madrid: Ra-Ma.

Lucena Lopez, M. J. (2010). Criptografa y seguridad en computadores. Extrado el da

23 de enero de 2013 desdehttp://wwwdi.ujaen.es/~mlucena/wiki/pmwiki.php?n=Main.LCripto .

Pastor Franco, J. (1998). Criptografa digital: fundamentos y aplicaciones.Zaragoza:Prensas Universitarias de Zaragoza.
http://wwwdi.ujaen.es/~mlucena/wiki/pmwiki.php?n=Main.LCriptohttp://wwwdi.ujaen.es/~mlucena/wiki/pmwiki.php?n=Main.LCriptohttp://wwwdi.ujaen.es/~mlucena/wiki/pmwiki.php?n=Main.LCriptohttp://wwwdi.ujaen.es/~mlucena/wiki/pmwiki.php?n=Main.LCripto

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TEMA 1 Actividades

Actividades

Trabajo: Resolucin de ecuaciones y criptogramas

A continuacin se muestra un ejemplo para la resolucin de ecuaciones en aritmtica

modular.

Ejemplo: 3x (mod 8) = 5

Transformamos a 3y (md. 8) = 1

Para resolverlo aplicamos el teorema de Euler

x = a

(n)-1mod n

Conjunto reducido de restos = {1,3,5,7}

o tambin por (n) = nk - 1(n-1)

(8) = 4,

y = 33(mod 8)

y = 3

Despejamos en x = by (mod n), y resolvemos

x = 15 (mod 8)

x = 7

Una vez estudiado el ejemplo debers resolver las siguientes ecuaciones escribiendo los

resultados en el lugar correspondiente del Excel que puedes encontrar en el aula

virtual:

28x (md 47) = 6

17x (md 22) = 5

15x (mod 19) =14

NOTA: Aunque solamente se piden los resultados, los ejercicios deben ser

desarrollados manualmente como prctica para el examen. En el examen no se podr

usar calculadora. Para realizar la entrega nicamente se subir a la plataforma el

documento Excel adjunto relleno con los resultados obtenidos.

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TEMA 1 Actividades

Una vez resueltas estas ecuaciones, el siguiente ejercicio debe ser resuelto con la

herramienta JCryptool. Esta herramienta se puede descargar desde la siguiente URL:

http://www.cryptool.org/en/jct-downloads-en/jct-downloads-stable-en

Ejercicio

Hallar laclave de cifrado del siguiente texto cifrado mediante Vigenre con una clave

de longitud 6.

oLSTUgdMXEMaSHfEegoLSTUgdMXEMbaPdUeWgRSSTOVSoAehgVqAZRlLWGdSSXWSfUgSVIeZaXlLQSfSmGTTgVSLXZaJWIeOVVWAYOfHVRQOeWlHQakIdVQgSVWOZZqHjEMakXZIeZaJWWTWULZAPPWIfTTSlSeBaTZMkVUflYWAZRgJZIeVgRgUdWkFmTMkSPcIZUkLSDakSTgOdddEqEdhZElSffmXkAZRXVWTeVaWZOgfmTgNfV

WWlASSSRVTTSfMkHQOjHfOYcjIaTUgSXSLQhgPVBkOfMVIahXYdLaTkSmNPOfHXUdmkMYNUTqMfGZclLaNS

La clave deber escribirse en el lugar correspondiente del Excel. Respeta maysculas o

minsculas de la clave.

Para realizar la entrega nicamente se subir a la plataforma el documento Excel

relleno con los resultados obtenidos.
http://www.cryptool.org/en/jct-downloads-en/jct-downloads-stable-enhttp://www.cryptool.org/en/jct-downloads-en/jct-downloads-stable-enhttp://www.cryptool.org/en/jct-downloads-en/jct-downloads-stable-en

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TEMA 1 Test

Test

1. En la criptografa asimtrica:

A.Si se conoce una clave puede calcularse la otra en un tiempo limitado.B.La clave privada ha de almacenarse de manera protegida.C.La clave de cifrado y de descifrado es la misma.D.Si se cifra con la clave privada, solo puede descifrarse con la misma clave

privada.

2. En la criptografa simtrica:

A.La clave de cifrado es siempre idntica a la clave de descifrado.B.La clave de descifrado puede ser calculada si se conoce la clave de cifrado.C.Las respuestas A y B son correctas.D.Ninguna de las anteriores.

3. El inverso de 3 mdulo 37 es:

A.3.B.12.C.No puede ser calculado.D.Ninguna de las anteriores.

4. En un criptosistema de sustitucin monoalfabtico:

A.No es necesario negociar la clave de cifrado.B.Los smbolos del alfabeto en claro son distintos que los del alfabeto cifrado.C.El alfabeto cifrado tiene el mismo n de elementos que el alfabeto en claro.D.Ninguna de las anteriores.

5. El teorema de Fermat puede ser aplicado siempre que:

A.La base de la aritmtica modular (p) sea producto de dos primos.B.La base de la aritmtica modular (p) sea un nmero primo y, a y p primos

relativos.

C.La base de la aritmtica modular (p) sea un nmero primo y m.c.d(a,p)1.D.Ninguna de las anteriores.

5/26/2018 tema1

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TEMA 1 Test

6. Supuesto un mtodo de sustitucin monoalfabtico definido por: C (m)=2m+3

(mod. 27). Cifre el mensaje ABAD:

A.DLDJ.B.DEDG.C.No puede ser calculado.D.Ninguna de las anteriores.

7. Calcule el inverso multiplicativo de 32 md. 5:

A.6.B.3.C.No puede ser calculado.D.Ninguna de las anteriores.

8. Suponga un cifrado tipo CESAR definido por C(m)= m+3 (md. 27). Descifre el

mensaje WUHV.

A.No es un sistema de cifrado vlido.B.SEIS.C.TRES.D.Ninguna de las anteriores.

9. Suponga un criptosistema tipo CESAR:

A.Es ms seguro si m.c.d (a,n) 1.B.Es ms seguro si se aplica el cifrado varias veces consecutivas.C.Es ms seguro si el nmero de letras del alfabeto es mayor.D.Ninguna de las anteriores.

10. Cul es el inverso de 35 md. 33:

A.9.B.19.C.29.D.Ninguna de las anteriores.

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