temas econometriap

7/17/2019 Temas EconometriaP

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HIUSEF MOHAMED MOHAMED

2014

ECONOMETRIA

TEMARIO COMPLETO


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HIUSEF MOHAMED MOHAMED ECONOMETRIA

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Tema 1: Introduccin a la Econometra

Econometra y modelos economtricos

Fases del mtodo economtrico

Componentes de un modelo economtrico

Naturaleza de la informacin utilizada en Econometra

1. Econometra y modelos economtricos

La Estadstica juega un papel importante en cualquier ciencia emprica

a la hora de estimular la formulacin de modelos y contrastarlos. En laciencia econmica este papel se hace especialmente importante hasta el

punto de que la necesidad de extender la Estadstica ha dado lugar al

nacimiento de una disciplina nueva que hoy goza de una gran vitalidad: la

Econometra.

La Econometra es una rama de la Economa que aglutina a la Teora

Econmica, las Matemticas, la Estadstica y la Informtica para estudiar y

analizar fenmenos econmicos. Puede decirse que constituye en s misma

una disciplina dentro de la Economa y a la vez una potente herramienta que

tanto los economistas como otros muchos investigadores sociales utilizan

para el estudio de sus problemas concretos. El principal propsito de la

Econometra es proporcionar un sustrato emprico a la Teora Econmica.

Una breve descripcin de la historia economtrica la puedes encontrar

en las lecturas recomendadas.

Definicin de Econometra

De entre las muchas definiciones existentes sobre la Econometra

destacara la siguiente:

La Econometra, usando la Teora Econmica, las Maten ticas y

La Inferencia Estadstica como fundamentos analticos, y los datos

Econmicos como la base informativa, proporciona una base para:

1. Modificar, refinar o posiblemente refutar las conclusiones en el

Cuerpo de conocimientos conocido como Teora Econmica.

2. Conseguir signos, magnitudes y afirmaciones de calidad para


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Los coeficientes de las variables en las relaciones econmicas,

De modo que esta informacin puede usarse como base para

La eleccin y toma de decisiones. Judge y otros (1985)

Modelo econmico y economtrico

Modelo econmico: Un modelo econmico es una representacin

simplificada de la realidad econmica mediante la expresin matemtica de una

determinada teora econmica.

Modelo economtrico: Un modelo economtrico es aquel modelo econmico

que contiene todos los elementos necesarios para ser estudiado desde un punto de

vista emprico. Es decir, un modelo econmico en el que se ha especificado el

tipo de relacin entre variables (en este curso lineal), el nmero de variables,

introduccin de la perturbacin aleatoria (para recoger el efecto de las variables

no incluidas fundamentalmente), etc.

As, por ejemplo, un modelo econmico es aquel en el que se especifica que

el consumo es una funcin de la renta:

Consumo = f (Renta).

Mientras el modelo economtrico ser aquel en el que se establece que la

relacin es lineal y se introduce la perturbacin aleatoria :

= + . +

2. Fases del mtodo economtrico

La elaboracin de un modelo econometrico se puede dividir en las siguientes

Fases:

Especificacin: En esta fase se propone la forma matemtica de la relacin

que liga las variables presentes en el modelo y la perturbacin aleatoria. Tambin

debe decidirse el nmero de ecuaciones y variables que forman el modelo. Todoello se realizar a partiendo de la Teora Econmica.

Estimacin: Esta fase consiste en la obtencin de valores numricos de las

cantidades constantes del modelo econometrico. Por tanto, ser a necesario

disponer de informacin emprica sobre el fenmeno (datos) y haber decidido el

mtodo de estimacin a usar.

Validacin: En esta fase se evalan los resultados obtenidos en la etapa

anterior para decidir si los mismos son o no aceptables tanto desde el punto de

vista de la teora econmica (magnitudes, signos, etc.) como desde el punto devista estadstico (validez del modelo).


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Explotacin: Si el modelo es aceptado, este puede ser usado para la

prediccin y contrastar la permanencia de la estructura estimada.

3. Componentes de un modelo economtrico

Las principales componentes de un modelo econometrico son:

Variables: Dentro de las variables podemos distinguir entre las variables

observables (aquellas de las que se disponen datos) y no observables (la

perturbacion aleatoria). Y dentro de las primeras tenemos a las variables

dependientes, explicadas o endgenas (aquellas que estn influidas por otras

variables) y variables independientes, explicativas o exgenas (aquellas que no

est influidas por otras).

Parmetros: Los parmetros son las cantidades fijas o constantes del modelo

economtrico que se desean estimar (los coeficientes de las variables y lavarianza de la perturbacin aleatoria).

Ecuaciones: Las relaciones entre las distintas variables se explicitar a

mediante una o ms ecuaciones.

4. Naturaleza de la informacin utilizada en Econometra

Los datos econmicos suelen ser de clases muy variadas, siendo los tipos

ms importantes los siguientes:

Datos de corte transversal: son un conjunto de datos formados por unidades(individuos, empresas, regiones, etc.) observados en un momento determinado

(da, mes, trimestre, ao, etc.). Por ejemplo, el consumo de varias familias en un

mes en concreto.

Datos de series temporales: son un conjunto de datos formado por

observaciones de una misma variable a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el

consumo mensual de una familia a lo largo de todo un ao.

Datos de panel o longitudinales: son un conjunto de datos que combinan una

dimensin temporal con otra transversal. Por ejemplo, el consumo mensual de unconjunto de familias a lo largo de todo un ao.

Habr que atender al tipo de datos que se analicen ya que dependiendo de su

naturaleza se podrn aplicar unos u otros mtodos economtricos.

5. Lecturas recomendadas:

[1] Presentacin de la edicin espaola de Johnston, J. (1989). Mtodos de

Econometra. Ed. Vicens-Vives por A.G. Barbancho.

[2] Portillo, F. (2006). Introduccin a la Econometra. Logroo: autoedicin.


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6. Bibliografa

[1] Gujarati, D. (1997). Econometra. Ed. McGraw Hill. Captulo 1.

[2] Johnston, J. (1989). Mtodos de Econometra. Ed. Vicens-Vives. Presentacin de

la edicin en espaola por A.G. Barbancho.

[3] Uriel, E., Contreras, D., Molt o, M.L. y Peir o, A. (1990). Econometra. El

Modelo Lineal. Editorial AC. Captulo 1.

[4] Wooldridge, J.M. (2005). Introduccin a la Econometra: Un enfoque moderno.

Thomson. Captulo 1.


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Tema 2-3: El modelo Lineal General

Especificacin del modelo

Estimacin del modelo

Validacin del modelo

Explotacin del modelo

Ejemplos

1- Especificacin del modelo

Modelo lineal uniecuacional mltiple

El modelo lineal uniecuacional mltiple analiza la relacin lineal entre una

variable dependiente, Y, y ms de una variable independiente, ; i = 1,.., k; k>1ms un trmino aleatorio, u.

As, a partir de n observaciones para cada variable, el modelo puede ser

expresado como:

= + + + + + , = 1, , , (1)

Donde se ha considerado que hay trmino constante, es decir,

El objetivo ser estimar (es decir, obtener una aproximacin numrica)

aquellas cantidades constantes presentes en el modelo (1), as como la bondad de

la estimacin realizada. En primer lugar, se escribe dicho modelo para todas y

cada una de las observaciones:

= + + + + +

= + + + + +

.

= + + + + +

Que nos conduce a la siguiente forma matricial:

= . .+ ()

Dnde:


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Hiptesis del modelo

Consideraremos las siguientes hiptesis bsicas en el modelo lineal

uniecuacional mltiple:

El vector y se puede expresar como combinacin lineal de las

variables explicativas ms un vector de perturbacin.

La perturbacin aleatoria est centrada (!"#$= %& =1, . , eshomocedastica '("$ !"

$ ), 1, , e incorrelada

*, !" + $ %, - , , 1,. . . , . En tal

caso se dice que las perturbaciones son esfricas y se verifica que

!"$ / '( !" + $ ) + 0 .

La matriz X es no estocstica y de rango completo por columnas, es

decir, rg(X) = k (como consecuencia n > k y las columnas de X, es

decir, Xi, i = 1, . . . , n, son linealmente independientes).

No hay relacin entre variables independientes y la perturbacin aleatoria:

2- Estimacin del modelo

Estimacin mnimo cuadrtica de los coeficientes del modelo

Definiendo los errores o residuos, e, del modelo lineal uniecuacional mltiple

como la diferencia entre los verdaderos valores de la variable dependiente y su

estimacin, esto es

Donde 23 456 , siguiendo la premisa de minimizar la suma de los cuadrados

de los residuos.


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Se obtiene la estimacin del parmetro como:

Dicho mtodo recibe el nombre de mnimos cuadrados ordinarios, MCO, por

lo que los estimadores obtenidos a partir de dicho mtodo reciben el nombre de

estimadores de mnimos cuadrados ordinarios, EMCO.

Como consecuencias de dicha estimacin se verifica que:

Advirtase que:

Teorema de Gauss-Markov

Teorema 1 (Teorema de Gauss-Markov) Los estimadores de mnimos

cuadrados ordinarios son lineales, insesgados y ptimos (ELIO), es decir, tienen

varianza mnima entre la clase de los estimadores lineales e insesgados.

En efecto, por la forma de escribirse el estimador es evidente que es lineal.

As, llamando:


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Adems,

En tal caso, puesto que podemos escribir con

se tiene que , y en tal caso:

, esto es ,

Y como es definida positiva: y en tal , y en tal caso:

Adems de los coeficientes de las variables independientes, hay en el modelo una

cantidad constante que habr que estimar: la varianza de la perturbacin aleatoria, .

Un estimador insesgado de es:

ya que

Para calcular dicho estimador se dispone de la expresin:

En consecuencia, la estimacin de la matriz de varianza-covarianzas de es:

3- Validacin del modelo

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinacin

Una vez estimado el modelo lineal uniecoacional mltiple, es decir, una vez

obtenidas las estimaciones , el siguiente paso ser estudiar la calidad de

dichas estimaciones.

As, a continuacin, obtendremos el coeficiente de determinacin, que no es

ms que una medida para estudiar la bondad del ajuste lineal determinado por los

estimadores por mnimos cuadrados ordinarios.


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Dicho coeficiente de determinacin, que se denota por , se define como el

porcentaje de variabilidad explicada por el modelo. Por tanto, este se obtendr

como el cociente entre la variedad explicada por la estimacin y la total:

Como se observa, el coeficiente de determinacin queda expresado en funcin de

la suma de cuadrados explicados y los totales

Luego, teniendo en cuanta la descomposicin ,

se tiene que

Entonces, para calcular dicho coeficiente se dispone de la expresin:

Advirtase que, siempre que el modelo lineal tenga trmino independiente,el

coeficiente de determinacin varia entre 0 y 1. El valor 0 lo toma cuando la SCE

es nula y, por tanto, el modelo no es adecuado; mientras que toma el valor 1

cuando la SCR es nula y, por tanto, el modelo es adecuado.

Coeficiente de determinacin corregido

Puesto que a medida que vamos incluyendo variables en el modelo el

coeficiente de determinacin aumenta aunque las variables que incluyamos no

sean significativas, esto supone un problema.

El coeficiente de determinacin corregid ,viene a resolver este problema

del coeficiente de determinacin. Dicho coeficiente mide el porcentaje de

variacin de la variable dependiente (al igual que el coeficiente de determinacin)

pero teniendo en cuenta el nmero de variables incluidas en el modelo. Se define

como:

En cualquier caso, estas medidas de bondad del ajuste no deben de ser

sobrevaloradas. Obtener un o cercano a 1 no indica que los resultados sean


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fiables, ya que, por ejemplo, puede ser que no se cumpla alguna de las hiptesis

bsicas y los resultados no ser vlidos. Por tanto, estos indicadores han de ser

considerados como una herramienta ms a tener en cuanta dentro del anlisis.

Criterios de seleccin de modelo

Por otro lado, se podra pensar en usar el coeficiente de determinacin para

comparar distintos modelos. En tal caso, estos deben de tener la misma variable

dependiente ya que as tendrn la misma suma de cuadrados totales. Y an as,

habra que tener cuidado con el problema ya comentado: aumenta su valor al

aadir una nueva variante explicativa, sea cual sea su aportacin al modelo.

Para evitar tales problemas, a la hora de comparar modelos para elegir uno

de ellos se usan los criterios de seleccin de modelos. Ms concretamente,

estudiaremos los criterios de informacin de Akaike (AIC), el bayesiano de

Schwarz (BIC) y el de Hannan-Quinn (HQC)

Estos criterios se obtienen a partir de la suma de cuadrados de los residuos

y de un factor que penaliza la inclusin de parmetros .As, un modelo ms

complejo (con ms variables explicativas) reducir la suma de cuadrados de los

residuos pero aumentara el factor de penalizacin.

Utilizando estos criterios se escogera aquel modelo con un menor valor de

AIC, BIC o HQC.

Criterios de seleccin de modelos: AIC,BIC y HQC

Teniendo en cuenta que: , el criterio de

informacin de Akaike responde a la expresin: ,

el de Schwarz a: , y el de Hannan-Qinn:

.

Distribucin en el muestreo de los estimadores MCO

Introduciendo la hiptesis de que la perturbacin aleatoria sigue una distribucin

normal, esto es:

En consecuencia: .

sigue una distribucin normal ya que se puede expresar en funcin de

una normal:

Se tienen calculados el vector de medidas, y matriz de

varianzas-covarianzas,

Por otro lado, ya que


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simtrica, idempotente y con se

tiene que lo que se traduce en que

Contraste de un conjunto de hiptesis lineales

A continuacin abordaremos la especificacin de contrastes sobre un conjunto de

hiptesis lineales sobre los coeficientes del modelo. Concretamente, suponiendo

restricciones lineales independientes entre s:

Plantearemos contrastar la hiptesis nula donde

Usando la distribucin

rechazaremos la hiptesis nula al nivel de significacin si

donde es el punto de una de Senedecor de grados

de libertad que deja por debajo suyo una probabilidad

Casos particulares


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Un caso particular de suma importancia sera aquel en el que se desee contrastar la

hipotesis nula

En tal caso por lo que la distr-

ibucion anterior queda simplificada como

donde es el elemento de la matriz o lo que es lo mismo, es

el elemento de , esto es la varianza estimada de

Teniendo en cuenta que la raiz cuadrada de una F-Snedecor con 1y

Grados de libertad es una t-student con grados de libertad se tiene que

Y en tal caso rechazaremos al nivel de significacion si

donde es el punto de una distribucion tde student con grados

de libertad que deja por debajo suya una probabilidad

Este caso particular es de vital importancia cuando ya que ntonces estaremos

contrastando si el coeficiente de la variable independiente es o no nulo . De forma

que al rechazar dicha hipotesis tenemos garantizado que la variable ha de estar en el

modelo, por lo que sus variaciones influyen en la variable dependiente. En tal caso se

dice que dicha variable es significativa y que el contraste es un contraste de

significacin individual.

Mnimos Cuadrados Restringidos

En el caso en el que no se rechace la hiptesis nula , sera deseable

incorporar dicha informacin al modelo. En tal caso, se obtiene un nuevo estimador:


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que recibe el nombre

de mnimos cuadrados restringidos ya que se ha obtenido con la restriccin de que a

de verificar que

Dicho estimador es lineal, insesgado siempre que la hiptesis nula :

sea cierta y optimo. Es decir, el estimador por mnimos cuadrados

restringidos tiene menor varianza que el estimador mnimo cuadrtico ordinario siempre

y cuando la restriccin (hiptesis nula) sea cierta.

Luego, cuando una restriccin lineal sobre los coeficientes de las variables

independientes es cierta, el estimador por mnimos cuadrados ordinarios deja de ser

optimo y habr que usar el estimador por mnimos cuadrados restringidos.

Adems se verifica que:

Anlisis de varianza

El anlisis de la varianza aborda el contraste que tiene por hiptesis nula que

todos los coeficientes de las variables independientes son nulos simultneamente, esto

es,

Salta a la vista que estamos ante un caso particular de un contraste sobre k 1

restricciones lineales de los coeficientes de las variables independientes. En este caso,

rechazaremos la hiptesis nula al nivel de significacin si

Para calcular dicho estadstico se suele resumir la informacin anterior en una

tabla, conocida como tabla de anlisis de la varianza (tabla ANOVA) ya que en ella serecogen las fuentes de variacin de la varianza:

Advirtase que rechazar implica que hay al menos un coeficiente no nulo, por

lo que la relacin existente entre las variables independientes y la dependiente no se

debe al azar, lo cual valida el modelo en su conjunto.


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Por otro lado, sin ms que dividir la regin de rechazo por SCT tanto en el

numerador como en el denominador se obtiene la expresin equivalente:

La importancia de esta nueva expresin para la regin de rechazo es que permite

calcular una cota, sin ms que despejar , a partir de la cual el coeficiente de

determinacin es significativo. Esto es, el coeficiente de determinacin es significativo

al nivel de significacin si si

Intervalos de confianza

A partir de las distribuciones en el muestreo para los estimadores estudiados es

inmediato obtener los siguientes intervalos de confianza al nivel 1

Intervalo de confianza para

Intervalo de confianza para

donde son los puntos de una distribucin chicuadrado

con grados de libertad que dejan a su izquierda, respectivamente, una probabilidad

1

Una forma alternativa de contrastar hiptesis es usando los intervalos de

confianza. De manera que para contrasta se calculara la regin de

confianza para si rpertenece a dicha regin, no se rechazar a la hiptesis nula.

4- Explotacin del modelo


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Prediccin Puntual Optima

Una vez validado el modelo, la siguiente fase de un modelo economtrico es la

explotacin, siendo entonces la prediccin o la permanencia estructural algunos

de sus objetivos.

La prediccin se realiza desde dos puntos de vista: a) por un lado realizaremos

una prediccin puntual dando un nico valor de prediccin para un instante en concreto;

b) por otra parte, puesto que Yes una variable aleatoria, podemos calcular su esperanza

dado un valor en concreto de las variables independientes. Siguiendo las directrices

anteriores se llega a la misma expresin algebraica en ambos casos:

donde contiene los valores de las variables independientes

para los que se quiere obtener la prediccin.

Este predictor, , mnimo cuadrtico (ya que se obtiene a partir del estimador

por mnimos cuadrados ordinarios de es lineal, insesgado y optimo (en el sentido de

mnima varianza).

Prediccin por intervalo

En este apartado calcularemos el intervalo de confianza para el valor esperado

de Ydado , es decir, para

como se distribuye segn una normal (ya que est en funcin de y

, ya que es , ya que es insesgado.

se tiene que

Ahora bien, esta distribucin no es apta para hacer inferencia puesto que depende

de la cantidad desconocida . Para resolver este problema, tipificaremos la anterior

distribucin normal y la dividiremos entre la raz cuadrada de la siguiente distribucin

chicuadrado.


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dividida a su vez entre sus grados de libertad, obteniendo la siguiente distribucint-Student:

A partir de esta distribucin, el intervalo de confianza al nivel 1 para

donde es el punto de una distribucin de student con

grados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad

Contraste de permanencia estructural

Al explotar el modelo mediante la prediccin se est presuponiendo que la relacin

estimada se mantiene para la informacin no presente en la muestra observada.

Para confirmar este aspecto, calcularemos el intervalo de confianza para Y dado

, de forma que si la nueva informacin pertenece a dicho intervalo, la estructura del

modelo estimado permanecer.

Partiendo de que

se llega de forma anloga a la anterior a la distribucin

donde Por tanto, el intervalo de confianza al nivel 1 para es :


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5- Ejemplos

Ejemplo 1

A continuacin vamos a realizar un anlisis exhaustivo del modelo

a partir de las siguiente informacin muestral:

En primer lugar calcularemos la estimacin por mnimos cuadrados ordinarios de

los coeficientes de las variables a partir de la expresin

A partir de la informacin muestral anterior es claro que:

de forma que :


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Y entonces a partir de la formula (3):

Es decir lo cual se traduce en la siguiente

estimacin del modelo considerado:

A partir de estas estimaciones es sencillo obtener las estimaciones de Y :

y los residuos del modelo:


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Desde un punto de vista terico, dichos residuos han de sumar cero, si bien en

este caso la suma del vector anterior es igual a 00016. De igual forma, a partir de

dichos residuos se puede obtener f fcilmente la estimacin de la varianza de la

perturbacin aleatoria, ya que por definicin:

donde es la suma de los cuadrados de los residuos, n el nmero de observaciones

del modelo y el nmero de variables presentes en el mismo. En este caso:

Otra forma equivalente de obtener la estimacin anterior es:

Puesto que

Es claro que

Y a partir de esta estimacin se puede obtener la estimacin de la matriz de varianzas-covarianzas de mediante:

que ser usada para calcular la regin de rechazo de los contrastes de significacin


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individual as como para los intervalos de confianza de cada coeficiente de la regresin.

Para medir la bondad del ajuste realizado mediante la estimacin anterior

calcularemos el coeficiente de determinacin:

Para la primera expresin de (7), teniendo en cuenta que:

Se tiene que

Adems en tal caso:

Mientras que para la segunda expresin:

A partir de este coeficiente podemos afirmar que el ajuste realizado permite

explicar un 97326301% de la variabilidad de la variable dependiente, que si bien se

encuentra muy prximo al 100%, ms adelante comprobaremos si es significativo y, por

tanto, si es suficiente para validar el modelo.

Una vez estimadas las cantidades constantes del modelo, a continuacin se

estudiar la validez del mismo a partir de:

contrastes de significacin individual.

contraste de significacin conjunta.

significacin del coeficiente de determinacin.

Para abordar los contrastes de significacin individual tendremos en cuenta que se

rechaza .

donde es el elemento de la matriz o, lo que es lo mismo,

es la raz cuadrada del elemento de la matriz


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conservando (6) es claro que

teniendo en cuenta que

se obtiene que :

Como es evidente, rechazamos y no rechazamos es

decir, la variable influye en mientras que la no lo hace. En tal situacin

se dice la segunda variable es significativa y que la tercera no es significativa.

Para el contraste de significacin conjunta se rechaza la

hiptesis nula si

donde es el punto de una F de Snedecor con grados

de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1

SCE denota

a la suma de cuadrados explicada y SCR a la suma de los cuadrados de los residuos

(cantidades que ya han sido calculadas con anterioridad al obtener el coeficiente de

determinacin).

En este caso, para calcular la regi on de rechazo recurriremos a la tabla ANOVA:

Y como es evidente que se rechaza la hiptesis

nula. Esto es, existe al menos un coeficiente que es no nulo de manera que entonces se

puede afirmar que hay algn tipo de asociacin (que no se debe al azar) entre las

variables independientes y la dependiente.

Para terminar con la validacin del modelo, estudiaremos si el coeficiente de

determinacin obtenido con anterioridad es significativo o no. Teniendo en cuenta que :


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la regin de rechazo anterior se puede expresar como:

y sin ms que despejar el coeficiente de determinacin, se obtiene que el modelo

es significativo si

Esto es, se tiene una cosa a partir de la cual el coeficiente de determinacin

es significativo.

Puesto que en este caso:

Recordemos que = 097326301, que claramente es significativo al ser superior

a la cota inferior de significacin Esto es, el coeficiente de

determinacin obtenido implica que el modelo es explicativo. Por todo lo anterior,

parece claro que el modelo es vlido y, por tanto, apto para la prediccin.

Supongamos ahora que se tiene nueva informacin para las variables

independientes y que se desea obtener una prediccin puntual y

por intervalo a partir de ella para la variable dependiente.

A partir de dicha informacin, la prediccin puntual optima ser:

Mientras que para la prediccin por intervalo ser necesario calcular:


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de forma que el intervalo de confianza para el valor esperado de Y ser:

y el intervalo de confianza para Y ser:

Adems, a partir de este ultimo intervalo (conocido como permanencia estructural), si se

sabe que acompaando a se tiene a puesto que este valor pertenece al

intervalo calculado, se puede afirmar (al nivel de confianza considerado) que la relacin

estimada para las variables se sigue verificando (permanece la estructura) para la nueva

informacin.

Por ultimo, con el objetivo de aplicar la estimacin con informacin a priori al

modelo considerado vamos contrastar la hiptesis nula As, en el

caso de no rechazarla obtendremos el estimador por mnimos cuadrados restringidos.

Como es sabido, se rechazar a la hiptesis nula si

Donde es el punto de una F de Snedecor con grados

de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1

A partir de se obtiene que de forma que


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Y en tal caso, , donde recordamos que

Por otro lado, puesto que, es evidente que no se

rechaza la hiptesis nula, es decir, no rechazo que los coeficientes de las variables

verifiquen la relacin

En tal caso, habr que incorporar dicha informacin al modelo con el fin de obtener

un mejor estimador (cuando se dispone de informacin a priori el estimador por

mnimos cuadrados ordinarios ya no es optimo). En esta situacin el estimador

insesgado con mnima varianza es el de mnimos cuadrados restringidos, el cual

responde a la siguiente expresin:

De la expresin anterior se conoce:

Faltando calcular

Entonces a partir de (8) se obtiene que:

A partir de esta estimacin es fcil comprobar que se obtiene:


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Ejemplo 2

Dado el modelo (9) donde: (9) donde:

Y es el consumo familiar mensual (medido en miles de euros).

X2 es la renta familiar mensual (medida en miles de euros).

X3es una variable ficticia que toma el valor 1 si la familia correspondiente

tiene una deuda en forma de un prstamo para la compra de una viviendao coche, y el valor 0 en caso contrario

X4 es el nmero de hijos de una familia

Se pide analizar el modelo sabiendo que para 22 familias se ha obtenido que:

En primer lugar obtendremos la estimacin de las cantidades constantes del modelo,

es decir, de


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Donde se ha usado que

Adems, a partir de la estimacin de se obtiene una estimacin para la matriz de

varianzas-covarianzas de

Esta matriz tiene importancia de cara a los contrastes de significacin individual

ya que entonces se usaran sus elementos de la diagonal principal. Pasamos a

continuacin a calcular la bondad del ajuste realizado, es decir, el coeficiente de

determinacin:

Como SCR = 15657 ya ha sido calculada en la estimacin de la varianza de la

perturbacin aleatoria, tan slo hay que calcular:


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donde se ha usado que a partir del primer elemento de

esto es, la estimacin realizada explica un 9353% de la variabilidad de Y .

Ahora bien, como es sabido, cuanto ms cercano al 100% mejor ser a el

coeficiente de determinacin y, por tanto, la estimacin realizada. Est en este caso

suficientemente cerca del 100% como para que la estimacin realizada sea

significativa?

Como respuesta afirmativa a esta pregunta, el coeficiente de determinacin ha de

ser superior a la siguiente cota:

donde se ha usado que F3,18(095) = 315991. Puesto que el R2obtenido es superior a

dicha cota inferior podemos afirmar que el coeficiente de determinacin es significativo,

es decir, valida al modelo.

Esta validacin del modelo se puede establecer tambin a partir del contraste de

significacin conjunta. Bajo el supuesto de normalidad en el modelo rechazaremos :

Para calcular la regin de rechazo y tomar una decisin en este contraste planteamos

la tabla ANOVA:

El nico elemento no calculado hasta el momento de la tabla anterior es SCE =

SCT SCR = 24214 15657 = 226483. En tal caso, se tiene para la regin de rechazo

que: 867747 > 315991 ,de forma que es evidente que se rechaza la hiptesis nula de


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que todos los coeficientes pueden ser nulos de forma simultnea. Por tanto, se tiene que

la relacin existente entre las variables independientes y la dependiente no se debe al

azar, validando el modelo.

Para finalizar estudiaremos los contrastes de significacin individual. Como es

sabido se rechazar la hiptesis

Donde es la raz cuadrada del elemento de la matriz y

En todos los casos se rechaza la hiptesis nula, lo que se interpreta como que las

variables X2, X3y X4son significativas.

Como es sabido, para llegar a estas conclusiones tambin se podran haber

obtenido los intervalos de confianza de cada coeficiente:

As por ejemplo, para el ultimo coeficiente se tiene que el intervalo de confianza

al 95% es: 02287 210092 00671 = (008772827, 03696717).

Como el cero no pertenece a dicho intervalo se concluir a que el coeficiente

correspondiente ser distinto de cero. El intervalo de confianza al 95% para el segundo

coeficiente es: 04862 210092 00387 = (04048944, 05675056). Al igual queantes se concluir que el coeficiente correspondiente ser a distinto de cero.


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Para finalizar con el clculo de intervalos de confianza, obtendremos a

continuacin el intervalo para la varianza de la perturbacin aleatoria:

Por todo lo expuesto hasta ahora se tiene que el modelo estimado es vlido y que

las variables de renta familiar, deuda y nmero de hijos influyen positivamente en el

consumo de las familias. Es decir, a mayor renta, deuda y nmero de hijo mayor

consumo familiar. Adems, al ser la variable correspondiente a la deuda una variable

ficticia, habremos estimado la diferencia esperada en el consumo familiar entre familias

con deuda y sin deuda con el mismo nivel de renta y nmero de hijos. En este caso se

obtiene que dicha estimacin es positiva, por lo que aquellas familias que tienen algn

tipo de deuda consumen ms que aquellas que no la tienen.

Ejemplo 3

Supongamos que adems del modelo del ejemplo anterior se tienen en cuenta estos

otros dos modelos:

de forma que para el modelo (12) se tiene la siguiente informacin:

mientras que para el modelo (13):


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31

Se pide seleccionar el modelo ms adecuado.

Para el modelo (9) se tiene que n = 22, k = 4 y SCR = 15657, por lo que:

Por tanto:

Para los modelos (12) y (13) seguirn siendo vlidos los valores de yt y, n y k,

sin embargo, habr que obtener la suma de cuadrados de los residuos de cadamodelo.

Para el modelo (12) se verifica que:

En tal caso

Para el modelo (13) se verifica que:

En tal caso


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Atendiendo a la informacin anterior (resumida en la siguiente tabla), podemos observar

que el modelo con menores valores para los criterios de seleccin es el (9). Por tanto,

nos quedaramos con este modelo a la hora de analizar el consumo familiar.

6- Lecturas recomendadas

[1] Salmern, R. y Garca, C. (2010). Experiencia docente en la asignatura de

Mtodos Cuantitativos para la Economa y la Empresa para su adaptacin

al Espacio Europeo de Educacin Superior. XXXII Congreso Nacional de

Estadstica e Investigacin Operativa. A Corua 14-17 septiembre 2010.

[2] Salmern, R., Lpez, M. y Garca, C. (2011). Uso de las Tics en la docencia

de la Econometra. XXV Congreso Internacional de Economa Aplicada -

ASEPELT, 8-11 junio 2011.

[3] Salmern, R. y Tamayo, J. (2012). Incidencia de la calidad en la produccin

explotacin y exploracin de las empresas. I International workshop on

Difusin

Process and Multivariate Analysis. Granada 6 Julio 2012.

[4] Salmern, R. (2012). Entorno de programacin R y la econometra: funcin

MUM (online).

[5] Novales, A. (1993). Economertia. McGraw Hill. Captulo 1 (repaso

matrices).

Puedes encontrarlas en la direccin web:

http://www.ugr.es/local/romansg/material/WebEco/index.html

7- Bibliografa


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33

[1] Esteban, M.V., Moral, M.P., Orbe, S., Regulez, M., Zarraga, A. y Zubia, M.

(2009).Econometra bsica aplicada con Gretl. Sarriko-On, Universidad del

Pas Vasco. Captulos 2, 3, 4 y 7.

[2] Gujarati, D. (1997).Econometra. Ed. McGraw Hill. Captulos 2, 3, 4, 5 y 7.

[3] Johnston, J. (1989).Mtodos de Econometra. Ed. Vicens-Vives. Captulos

2, 4, 5 y 6.

[4] Novales, A. (1993).Econometra . McGraw Hill. Captulos 3 y 4.

[5] Uriel, E., Contreras, D., Molt, M.L. y Peir o, A. (1990).Econometra. El Modelo

Lineal. Editorial AC. Captulos 2, 3, 4, 5, 6 y 8.

[6] Wooldridge, J.M. (2005).Introduccin a la Econometra : Un enfoque moderno.

Thomson. Captulos 2, 3, 4 y 6, y Apndices.


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Tema 4 Multicolinealidad

Concepto y causas

Multicolinealidad exacta: efectos

Multicolinealidad aproximada: efectos

Deteccin de la Multicolinealidad

Soluciones al problema de multicolinealidad

1.

Concepto y causas

Multicolinealidad

El problema de multicolinealidad consiste en la existencia de relaciones lineales

entre dos o ms variables independientes del modelo lineal uniecuacional mltiple.

Dependiendo de cmo sea dicha relacin lineal hablaremos de multicolinealidad

perfecta o aproximada.

Las principales causas que producen multicolinealidad en un modelo son:

relacin causal entre variables explicativas del modelo.

escasa variabilidad en las observaciones de las variables independientes.

reducido tamao de la muestra.

En definitiva, la multicolinealidad suele ser un problema muestral que se

presenta normalmente en datos con el perfil de series temporales.

As, por ejemplo, la edad y la experiencia suelen presentar una alta relacin

ya que ambas evolucionan conjuntamente: a mayor edad se presupone mayor

experiencia. Por tal motivo ser difcil separar el efecto de cada una sobre la variable

dependiente y que se produzca multicolinealidad debido a la relacin causal existente

entre dichas variables (series temporales).

Supongamos ahora que nos pasan una encuesta donde hay que valorar las

siguientes afirmaciones en una escala de 1 a 5 donde 1 significa que estamos totalmente

en desacuerdo y 5 totalmente de acuerdo:

Seguro que saco un 10 en Econometra.

No me gusta la Econometra.


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Para la primera afirmacin, variable que llamaremosX, tendremos valores

concentrados alrededor del 1, mientras que para la segunda, que llamaremos Y,

obtendremos valores alrededor del 5. Por tanto, tendramos dependencia lineal ya que

Estas variables se podran usar en un modelo donde la variable dependiente es la

calificacin obtenida en la asignatura de Econometra: X podra ser un indicio de la

calificacin esperada e Ydel grado de afinidad a la materia.

Como se puede observar, la multicolinealidad de este ejemplo se debe a

problemas con las observaciones disponibles (escasa variabilidad o reducido tamao de

la muestra). Por tanto, si se es capaz de mejorar estos problemas muestrales se evitar la

presencia de multicolinealidad entre dichas variables.

2. Multicolinealidad exacta: efectos

La multicolinealidad exacta o perfecta hace referencia a la existencia de una

relacin lineal exacta entre dos o ms variables independientes.

Dicho tipo de multicolinealidad se traduce en el incumplimiento de una de las

hiptesis bsicas del modelo uniecuacional mltiple: la matriz X no es de rango

completo por columnas, esto es,

El incumplimiento de dicha hiptesis no permite invertir la matriz , por lo

que el sistema normal es compatible indeterminado, es decir, es

imposible obtener una solucin nica para (hay infinitas).

Qu hacer ante esta situacin? Evidentemente no se podrn estimar los

coeficientes de las variables independientes, sin embargo, si se podr estimar una

combinacin lineal de los mismos. Y en tal caso no tenemos garantizado que se puedan

recuperar a partir de estas las estimaciones de los parmetros originales.

Ejemplos

Consideremos el modelo donde entonces

sin ms que sustituir en el modelo original:

obtenemos que las combinaciones lineales estimables de los parmetros originales son:


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3. Multicolinealidad aproximada: efectos

La multicolinealidad aproximada hace referencia a la existencia de una relacin

lineal aproximada entre dos o ms variables independientes.

En este caso, no se incumplir a la hiptesis bsica de que la matriz X sea

completa por columna s ,por lo que se podr invertir y obtener los

estimadores por mnimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, el determinante de

Ser muy prximo a cero, porque tendera a tener valores altos .

En consecuencia, cuando existe un problema de multicolinealidad no perfecta

se presentan los siguientes problemas:

las varianzas de los estimadores son muy grandes.

al efectuar contrastes de significacin individual no se rechazar a la hiptesis

nula, mientras que al realizar contrastes conjuntos si.

los coeficientes estimados sern muy sensibles ante pequeos cambios en los

datos.

un coeficiente de determinacin elevado

4. Deteccin de Multicolinealidad

Basarse en los sntomas enumerados anteriormente para la deteccin de la

multicolinealidad no es un procedimiento fiable ya que es subjetivo.

Por tal motivo, para la deteccin de la multicolinealidad usaremos los mtodos:

Numero de condicin

Factor de agrandamiento de la varianza

El nmero de condicin, se define como la raz cuadrada del cociente entre el

auto valor ms grande de y el ms pequeo Esto es:

Si dicho nmero de condicin toma un valor entre 20 y 30 estamos ante un problema

de multicolinealidad probable y se considera seguro si supera 30.

El factor de agrandamiento de la varianza, FAV, se define para cada uno de los

coeficientes como:

donde es el coeficiente de determinacin obtenido al efectuar la regresin de

sobre el resto de las variables independientes del modelo.


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El FAV se interpreta como la razn entre la varianza observada y la que habr sido en

caso de que estuviera incorrelacionada con el resto de variables independientes del

modelo, es decir, muestra en qu medida se agranda la varianza del estimador como

consecuencia de la relacin de los regresores. Valores del FAV superiores a 10 hacen

pensar en la posible existencia de multicolinealidad en el modelo.

5. Soluciones al problema de Multicolinealidad

Soluciones

Algunas de las posibles soluciones al problema de multicolinealidad son las siguientes:

mejora del diseo muestral extrayendo la informacin mxima de la

variables observadas. eliminacin de las variables que se sospechan son causantes de la

multicolinealidad.

en caso de disponer de pocas observaciones, aumentar el tamao de la

muestra

utilizar la relacin extramuestral que permita realizar relaciones entre los

parmetros (informacin a priori) que permita estimar el modelo por

mnimos cuadrados restringidos.

Por otro lado, algunos autores sugieren tratar el problema de la multicolinealidad de

forma mecnica y puramente numrica proponiendo una tcnica conocida como

regresin alomada. Sin embargo, esta tcnica tiene dos problemas importantes:

es arbitraria y los estimadores obtenidos no son interpretables.

Lecturasrecomendadas

[1] Salmern, R. y Gmez, S. (2012). Relacin entre los factores institucionales y el

emprendimiento: anlisis mediante tcnicas cuantitativas. Revista de Mtodos

Cuantitativos para la Economa y la Empresa, Nmero 13, Paginas54-72.

[2] Novales, A. (1993).Econometrical. McGraw Hill. Captulo 1 (obtencin de auto

valores de una matriz).




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38

Bibliografa

1] Gujarati, D. (1997).Econometrical. Ed. McGraw Hill. Captulo 8.

[2] Novales, A. (1993).Econometra. McGraw Hill. Captulo 10.

[3] Uriel, E., Contreras, D., Malt, M.L. y Peir, A. (1990).Econometra. El Modelo

Lineal. Editorial AC. Captulo 7.


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Tema 5 Heteroscedasticidad

Naturaleza del problema

Causas y consecuencias de la heteroscedasticidad

Procedimientos de Deteccin

Estimacin en los modelos con heteroscedasticidad

1. Naturaleza del problema

Heteroscedasticidad

En el modelo lineal general, se supone que la perturbacin aleatoria es talque lo cual implica que :

( Varianza constante=

homocedasticidad)

Cuando se incumple el supuesto de homocedasticidad, es decir, la varianza no es

constante sino que vara con la observacin se dice que hay

heteroscedasticidad.

Consideramos entonces el modelo lineal general

tal que es una matriz diagonal con

no constante.

Advirtase que en este caso se dice que el modelo tiene una matriz de

varianzas-covarianzas no escalar o con perturbaciones no esfricas (ya que la matriz de

varianzas-covarianzas de la perturbacin aleatoria ya no es igual al producto de una

constante por la matriz identidad).

Ejemplo: (Novales-Econometra)

Este problema aparece especialmente cuando se disponen de datos de seccincruzada,

es decir, cuando se disponen de observaciones que miden una variableen un momento

determinado para distintas entidades (individuos, familias, empresas, etc.).


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As, por ejemplo, en un modelo de consumo en funcin de los ingresos,

es esperable que aquellas familias con mayores ingresos tengan mayor

varianza que aquellas otras con ingresos inferiores. Esto es debido a que tienen un

mayor excedente sobre el que decidir qu parte ahorrar y cual gastar.

Parecida interpretacin se puede realizar sobre un modelo que estudie los dividendos

que reparte una empresa a partir sus beneficios, Las empresas

con mayores beneficios tendrn mayor margen al fijar su poltica de dividendos, por lo

que es esperable que la varianza de la perturbacin aleatoria dependa del nivel de

beneficios de cada empresa .

2. Causas y consecuencias de la heteroscedasticidad

Causas de la heteroscedasticidad

Las principales causas de la presencia de heteroscedasticidad en un modelo lineal

mltiple son:

Naturaleza del fenmeno: en situaciones en las que se disponen de datos de

seccin cruzada (como las del ejemplo anterior: consumo de bienes de lujo e ingresos

familiares, poltica de dividendos y ganancias empresariales o poltica de inversin y

ganancias empresariales) es factible la presencia de heteroscedasticidad.

Usar datos agregados: cuando las observaciones de la variable dependiente

pueden dividirse en grupos (por ejemplo, una persona que reside en una provincia, un

grupo de empresas que pertenecen a un mismo sector, etc.) y se usan como datos los

promedios proporcionados por tales grupos es factible la presencia de heterosce-

dasticidad.

Si se omite una variable relevante en el modelo, es esperable que la perturbacin

aleatoria dependa de dicha variable omitida, por lo que su varianza difcilmente ser

constante.

Ejemplo ( Novales-Econometra )

Supongamos que en lugar de considerar el modelo se

especifica este otro

Si la variedad omitida es realmente relevante, la perturbacin aleatoria

depender de por lo que se puede establecer que en tal caso:


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Como es evidente, la varianza de la perturbacin aleatoria no es constante sino que varia

con cada observacin.

Consecuencias de la heteroscedasticidadPuesto que en el mtodo de estimacin por MCO no influye la matriz de varianzas-

covarianzasde la perturbacin aleatoria es claro que el estimador por MCO del

modelo con perturbaciones no esfricas ser:

Dicho estimador sigue siendo lineal e insesgado, ya que las condiciones que

conducen a verificar dichas propiedades en el modelo con perturbaciones esfricas no se

han modificado (las demostraciones son idnticas a tal caso). Sin embargo, ya no se

tiene asegurado que la varianza sea mnima, ya que ahora:

distinta a la del modelo con perturbaciones esfricas:

Por tanto, la consecuencia de la presencia de heteroscedasticidad en un modelo

lineal es que los estimadores obtenidos, aunque sern lineales e insesgados, no sern

ptimos.

3. Procedimiento de deteccin

Procedimiento de deteccin

Para detectar la heteroscedasticidad en un modelo lineal mltiple disponemos

de distintos procedimientos.

En primer lugar usaremos mtodos grficos a partir de los cuales intentaremos

intuir cules son las variables que provocan la existencia de heteroscedasticidad en el

modelo. Concretamente, estudiaremos los grficos de los residuos y de dispersin.

Puesto que tomar una decisin a partir de un procedimiento grfico no es muy

adecuado ya que son fcilmente manipulables, recurriremos a mtodos analticos para

determinar la presencia de heteroscedasticidad en el modelo. Los test estudiados son el

de Glesjer, Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan y White. Los dos primeros se deben usarcuando la muestra es pequea y una variable es la causa de la heteroscedasticidad,


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mientras que los otros dos cuando la muestra es grande y no se sabe la o las variables

que provocan el problema. Adems, la hiptesis nula de todos estos contrastes es

siempre que el modelo es homocedstico.

Mtodos GrficosDentro de los procedimientos grficos consideraremos:

Grfico de los residuos: es un grfico de dispersin de los residuos o residuos al

cuadrado, frente a Si en dichos grficos observamos grupos de observaciones

con distinta varianza, podemos pensar en la presencia de heteroscedasticidad.

Grfico de dispersin: consiste en el diagrama de dispersin de los residuos o residuos

al cuadrado frente a la variable independiente que sospechamos que puede

causar la heteroscedasticidad. Si la variabilidad de los residuos aumenta o disminuye

conforme aumenta el valor de la variable independiente, entonces podemos pensar quela varianza de la perturbacin aleatoria depende de dicha variable y, por tanto, habra

presencia de heteroscedasticidad .

Ejemplo

.

Supongamos que para el ejemplo anterior

en el que deseamos analizar los dividendos de una empresa en funcin

de sus beneficios disponemos de las 20 observaciones de la tabla 1.

Tras realizar la estimacin por MCO se obtiene que: 102229

+ 00638456 (135823) (0011223) con = 0642 y donde entre

parntesis se especifica la desviacin tpica estimada de cada

coeficiente estimado.

Dada la naturaleza del problema, tal y como se ha indicado, sospechamos la

posible presencia de heteroscedasticidad en el modelo. Por tal motivo, en primer lugar

usaremos los mtodos grficos para intentar detectarla.


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En el grfico de los residuos de la figura 1 podemos observar que los grupos de

observaciones dados por 1-7, 8-13 y 14-20 tienen distinta varianza. Al mismo tiempo,

en el grfico de dispersin de la figura 2 observamos que la varianza de los residuos al

cuadrado aumenta conforme lo hace la variable dividendos.

Todo lo anteriormente expuesto nos hace pensar en la presencia de heterosce-

dasticidad en el modelo. Si bien, para confirmar este hecho recurriremos a los

distintos mtodos analticos que disponemos.

Algunos de dichos procedimientos analticos presuponen que la heterosce-

Dasticidad est provocada por una variable independiente en concreto. Dicha


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informacin se puede obtener a partir de los procedimientos grficos.

Test de Glesjer

1. Ajustar el modelo original por MCO y obtener los residuos,

2. Ajustar por MCO la regresin auxiliar que tiene como variable dependiente elvalor absoluto de los residuos anteriores y como independiente la variable que se

supone provoca la heteroscedasticidad elevada a . Esto es:

Los valores ms comunes para son

3. Observar los contrastes de significacin individual de la pendiente de la regr-

esin auxiliar. Si rechazamos indicar a presencia de heteroscedasticidad.

Al rechazar entonces los residuos dependern de por lo que habr

heteroscedasticidad en el modelo y podemos considerar que

Ejemplos

Tras realizar la estimacin por MCO del modelo original (ejemplo

anterior) hemos obtenido los errores o residuos de la tabla 2. A partir

de los cuales hemos ajustado las siguientes regresiones auxiliares:

En todos los casos rechazamos por lo que hay heteroscedasticidad. Adems,

como el mejor modelo es el quinto (mayor coeficiente de determinacin), pensamos que

Test de Goldfeld-Quantd

1. Ordenar de menor a mayor las observaciones respecto de la variable queconsideramos que produce la heteroscedasticidad.


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2. Eliminarmobservaciones centrales (normalmente un tercio de la muestra).

3. Ajustar por MCO los dos grupos de observaciones restantes y calcular su suma de

cuadrados de los residuos (SCR1para el primer grupo y SCR2para el segundo).

4. Calcular el estadstico de contraste que sigue una distribucin FdeSnedecor con grados de libertad en el numerador y en el denominador.

5. Si rechazamos la hiptesis nula de homocedasticidad .

Advirtase que algunos textos consideran que los grados de libertad de la F de

Snedecor son Nosotros usaremos cualquiera de las dos versiones.

Ejemplos

Tras reordenar de forma creciente los datos con respecto a la

variable que provoca la heteroscedasticidad (beneficios), ajustamos

por MCO las regresiones formadas por las 7 primeras observaciones

y las 7 ultimas, ya que suprimimos las 6 observaciones centrales:

Como entonces recha-

zamos la hiptesis nula de homocedasticidad. Esto es, hay heteroscedasticidad en el

modelo considerado.

Test de White

1. Ajustar el modelo original por MCO y obtener los residuos,

2. Ajustar por MCO la regresin auxiliar en la que la variable dependiente son los

residuos al cuadrado y las independientes todas las variables del modelo original, sus

cuadrados y todos los posibles productos cruzados (omitiendo las repeticiones).


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3. Calcular el estadstico de contraste es el coeficiente de

determinacin de la regresin auxiliar, que sigue una distribucin chi-cuadrado con

grados de libertad donde p es el nmero de regresores de la regresin auxiliar.

4. entonces rechazamos la hiptesis nula de homocedasticidad. El

test de Breusch-Pagan coincide con este test con la nica diferencia de que la regresin

auxiliar normalmente solos se consideran como independientes todas las variables del

modelo.

Ejemplos

Al aplicar el test de Glesjer ya hemos ajustado el modelo original por MCO y

obtenido los residuos, por lo que procedemos a ajustar directamente la regresin

auxiliar:

Puest !ue entonces

rechazamos la hiptesis nula de homocedasticidad y, por tanto, en el modelo conside-

rado hay presencia de heteroscedasticidad.

Para el test de Breusch-Pagan la regresin auxiliar sera:

En tal caso, entonces

rechazamos la hiptesis nula de homocedasticidad.

4. Estimacin en los modelos con heteroscedasticidad

Mnimos Cuadrados Ponderados

Hemos comprobado que en un modelo con perturbaciones no esfricas el

estimador por mnimos cuadrados ordinarios es lineal e insesgado pero no tenemos

asegurado que sea optimo (en el sentido de varianza mnima).Para resolver este

problema surgen los mnimos cuadrados generalizados.

Dicho mtodo consiste en transformar un modelo con perturbaciones no esfri-

cas en otro con perturbaciones esfricas, de forma que al aplicarle a este ltimo el

mtodo de mnimos cuadrados ordinarios se obtenga un estimador lineal, insesgado y

ptimo.


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En dicha transformacin es fundamental el teorema de Aitken, el cual afirma

que al ser una matriz simtrica definida positiva entonces existe una matriz regular,

P, tal que ( en tal caso se verifica que de donde se deduce

que

Esto es, premultiplicando el modelo con perturbaciones no esfricas por una

matriz no estocstica, P, se obtiene que donde

Entonces:

Consideremos el modelo lineal general

es decir, la perturbacin aleatoria es incorrecta, y

heterocedastica,

por cuestin de notacin consideraremos:

Por tanto, se ha considerado que la varianza de la perturbacin aleatoria tiene la

siguiente estructura:

Esta suposicin final es fundamental para que el modelo pueda ser estimado.

En principio, si suponemos que todas las varianzas son distintas entre s, tendramos que

estimar k + nparmetros: kcorrespondientes a los coeficientes de las variables indepen-dientes y n correspondientes a la varianza de la perturbacin aleatoria. Ante esta situac-


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in, habra ms parmetros a estimar que observaciones disponibles, n. Estimacin abs-

olutamente imposible.

Ahora bien, teniendo en cuenta que estar a relacionado con las variables

independientes (tal y como se ha puesto de manifiesto en los mtodos analticos), simpl-emente habra que estima. Por tanto, hemos pasado a estimar un slo parmetro en

lugar de n. Es decir, hay que estimar en el modelo k+1parmetros. Cuestin que ahora

si es asumible.

Para resolver el problema de heteroscedasticidad, como hemos indicado, hay

que encontrar una matriz Pno estocstica tal que . En este caso, puesto que

es claro que

Comprendemos que el modelo transformado a partir de la matriz P anterior

donde

es un modelo con perturbaciones esfricas. En efecto, es claro que


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Y entonces

Es evidente que el modelo transformado es un modelo con perturbaciones esfricas, por

lo que las estimaciones obtenidas a partir del mismo sern lineales, insesgadas y

ptimas.

Advirtase que en el modelo transformado se ponderan los datos inversamente

al valor de la desviacin tpica de las perturbaciones. Por tal motivo, el mtodo de

mnimos cuadrados generalizados (MCG) recibe en este caso el nombre de mnimos

cuadrados ponderados (MCP).

Ejemplo

En el modelo considerado sobre al anlisis de los dividendos de las empresas en

funcin de sus beneficios hemos constatado, a partir de 20 observaciones, la presencia

de heteroscedasticidad en dicho modelo. Por tanto, las estimaciones obtenidas

no son optimas.

Gracias al test de Glesjer hemos supuesto que es decir, la perturb-

vacin aleatoria depende directamente de los beneficios. Por tanto, lo que en teora se

denotaba como corresponde a la variable beneficios, Luego para transformar los

datos habr que dividir por la raz cuadrada de dicha variable:

Ejemplo

A partir de los datos transformados(ver la tabla 4) se obtiene

la siguiente estimacin por MCO del modelo transformado:


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con (advirtase que los valores numricos de las nuevas estimaciones no difieren

mucho de las originales).

Para estudiar si se ha resuelto el problema de heteroscedasticidad, realizaremos el

contraste de White para su deteccin:

No se rechaza la hiptesis nula de homocedasticidad. Por tanto, se ha resuelto el

problema.

Lecturas recomendadas

[1] Salmern, R. y Tamayo, J. (2010). Tcnicas cuantitativas aplicadas al anlisis de la

flexibilidad en la produccin, la explotacin y la exploracin en las empresas. Revista

Estadstica Espaola, Volumen 52, Numero 175, Pginas 529-567.

[2] Gmez, S. y Salmern, R. (2011). Influencia del entorno institucional en el desarr-

ollo del emprendimiento espaol. Un anlisis emprico. Revista Venezolana de

Gerencia, Volumen 16, Nmero 54, Pginas 191-208.

[3] Salmern, R., Gutirrez, R., Lpez, M.M. y Garca, C. (2012). Evaluando la evalu

acin contina. III Jornadas sobre Innovacin Docente y Adaptacin al EEES en las

Titulaciones Tcnicas. Granada 20-21 septiembre 2012. Puedes encontrarlas en la

direccin web:


Bibliografa

[1] Gujarati, D. (1997).Econometria. Ed. McGraw Hill. Captulo 9.

[2] Johnston, J. (1989).Mtodos de Econometra. Ed. Vicens-Vives. Captulo 8.

[3] Novales, A. (1993).Econometria. McGraw Hill. Captulo 6.

[4] Uriel, E., Contreras, D., Malt, M.L. y Peir, A. (1990).Econometra. El Modelo

Lineal. Editorial AC. Captulo10.

[5] Wooldridge, J.M. (2005).Introduccin a la Econometra: Un enfoque moderno.

Thompson. Captulo 8.


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51

Tema 6 Autocorrelacin

Naturaleza del problema

Causas y consecuencias de la autocorrelacin

Procedimientos de Deteccin

Estimacin en los modelos con autocorrelacin

1. Naturaleza del problema

En el modelo lineal general, se supone que la perturbacin aleatoria es tal

que lo cual implica que:

(Varianza constante = homocedasticidad )

( Incorrelacin)

Cuando se incumple el supuesto de incorrelacin, es decir, la covarianza de la

perturbacin aleatoria es no nula para dos instantes de tiempo distintos,

equivalentemente, se dice que hay auto-

correlacin.

En tal caso, los elementos de fuera de la diagonal principal de la matriz de

varianzas-covarianzas no son todos nulos (hay al menos un elemento no nulo). Este

problema aparece especialmente cuando se disponen de datos de series temporales, es

decir, cuando se disponen de observaciones que miden una variable de una entidad

(individuos, familias, empresas, etc.) a lo largo del tiempo.

Ejemplo

As, por ejemplo, al estudiar la productividad de una empresa, la aparicin de

una nueva mquina en un momento determinado, adems de producir un efecto en dicho

instante de tiempo, lo producir tambin en sucesivos. No es factible pensar que dicho

efecto vaya a desaparecer en instantes de tiempo sucesivos.

Esto implicar a que las perturbaciones en ambos momentos estn correlacionados entre

s.

Uriel, E. y otros (1990). Econometra. El modelo lineal.


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Similar interpretacin merece el fichaje de un jugador estrella por un equipo de

ftbol. El incremento (deseable) en ventas de camisetas con el dorsal que llevar el

nuevo jugador, adems de afectar al momento del anuncio de su fichaje, se presupone

que influir tambin en la venta en el futuro.

... este es mo

Autocorrelacin

Consideraremos entonces el modelo lineal general tal que

donde es una matriz cuya diagonal principal es

constantemente 1 y de los elementos que no pertenecen a dicha diagonal principal hay al

menos un elemento no nulo.

Al igual que en el tema anterior, se dice que el modelo tiene una matriz de

varianzas-covarianzas no escalar o con perturbaciones no esfricas (ya que la matriz de

varianzas-covarianzas de la perturbacin aleatoria es distinta al producto de una

constante por la matriz diagonal).

2. Causas y consecuencias de la auto correlacin

Las principales causas que provocan autocorrelacin en un modelo lineal son:

Existencia de variables endgenas retardadas.

Omisin de variables relevantes: la perturbacin aleatoria contendr a la variable

excluida ocasionando un patrn de correlacin.

Si se especifica una relacin funcional errnea (por ejemplo, una relacin lineal

cuando no lo es), el trmino de perturbacin captar tal efecto provocando

Autocorrelacin en el modelo.

Las tcnicas de manipulacin de datos (interpolacin, promedios, etc.) pueden

introducir un patrn sistemtico en el modelo que conduzca a la autocorrelacin.

Naturaleza del fenmeno: con datos correspondientes a series de tiempo (se

observa una variable a lo largo del tiempo) es probable que observaciones

sucesivas sean dependientes entre s provocando autocorrelacin.

La presencia de autocorrelacin en un modelo lineal provoca, al igual que en el caso de

la heteroscedasticidad, que los estimadores obtenidos no sean ptimos (aunque si sean

lineales e insesgados).

Ejemplo


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Supongamos que el modelo correcto para explicar es

Y que errneamente se especifica el modelo

En tal caso, el trmino de error del segundo modelo depender de la variable

omitida (por ejemplo Tal relacin conducir a la presencia de

autocorrelacin en el modelo:

donde se ha tenido en cuenta que la perturbacin aleatoria del primer modelo tiene

media cero y esta incorrelada.

3. Procedimientos de deteccin

Para detectar la autocorrelacin en un modelo lineal mltiple disponemos dedistintos procedimientos.

En primer lugar usaremos mtodos grficos a partir de los cuales intentaremos

intuir cuales son las variables que provocan la existencia de autocorrelacin en el

modelo. Ya que las perturbaciones aleatorias no son observables, usaremos los residuos

de la estimacin por MCO (al igual que para detectar la heteroscedasticidad).

Concretamente, analizaremos el grfico temporal de los residuos y el grfico de

dispersin de los mismos frente a algn retardo suyo.

Puesto que tomar una decisin a partir de un procedimiento grafico no es muy

adecuado ya que son fcilmente manipulables y sera totalmente subjetiva, recurriremos

a mtodos analticos para determinar la presencia de heteroscedasticidad en el modelo.

De todos los mtodos analticos disponibles, el ms utilizado, y que

estudiaremos, es el de Durbin-Watson. Adems, como este mtodo no es adecuado

cuando existen variables retardadas como explicativas (ya que entonces tiende a indicar

ausencia de autocorrelacin), se estudia entonces el contraste hde Durbin. Tambin

usaremos el contraste de Ljung-Box.


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Mtodos grficos

Dentro de los procedimientos grficos consideraremos:

Grfico temporal de los residuos: si los residuos estn incorrelados deben

distribuirse de forma aleatoria alrededor de su media (el cero). Sin embargo, si estn

correlacionados:

observaremos rachas de residuos por debajo y por encima de la

media (correlacin positiva).

observaremos una alternancia en el signo de los residuos

(correlacin negativa).

Grficos de dispersin: el grfico de dispersin de los residuos, frente algn

retardo suyo, (normalmente se considera k = 1),puede mostrar la existencia de

autocorrelacin positiva (tendencia creciente en el grfico) o negativa (tendenciadecreciente).

Funciones de autocorrelacin y autocorrelacin parcial: Si dichas funciones,

ACF y ACP, corresponden a ruido blanco, se concluir que la perturbaciones

incorrelada.

Ejemplo

Consideremos los datos de la tabla 1 para ajustar un modelo que

analice el consumo de energa elctrica (en miles de TEP) a

partir del PIB a precios constantes (millones de euros).

Dada la naturaleza del problema (serie temporal), tal y

como se ha indicado, sospechamos la posible presencia de autoc-

orrelacin en el modelo. Por tal motivo, en primer lugar usaremos

los mtodos grficos para intentar detectarla.

Usaremos con tal objetivo los residuos de la estimacin

por MCO del modelo:


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En el grfico de la figura 1 observamos rachas de residuos por encima y por

debajo de la media (cero), mientras que en el de la figura 2 observamos una tendencia

claramente creciente. Por tanto, podemos pensar que hay presencia de autocorrelacin

positiva en el modelo.

Para confirmar este hecho recurriremos a los procedimientos analticos delcontraste de Durbin-Watson y de Ljung-Box.


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Contraste de Durbin-Watson

Supongamos que la autocorrelacin de la perturbacin aleatoria viene definida por un

proceso autoregresivo de primer orden, esto es:

Luego para contrastar si realmente hay autocorrelacin en el modelo hay que

plantear los siguientes contrastes de hiptesis:

Para tomar una decisin en los contrastes anteriores utilizaremos el estadstico

de Durbin-Watson, que se define como:

donde denota a los residuos del modelo estimado por MCO.

Aproximacion al estadstico de Durbin-Watson

Teniendo en cuenta que para un numero de observaciones grande podemos establecer

que y denotando es claro que :

Obsrvese que corresponde a la pendiente ( y coeficiente de correlacin) de la

regresin


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Interpretacin estadstico de Durbin-Watson

Teniendo en cuenta que es el coeficiente de correlacin de los residuos, se tiene que:

habr correlacin negativa en los residuos cuando est prximo a -1, lo cual se

traduce en que dsea prximo a 4.

habr incorrelacion en los residuos cuandoest prximo a 0, lo cual se traduce

en que dsea prximo a 2.

habr correlacin positiva en los residuos cuando est prximo a 1, lo cual se

traduce en que dsea prximo a 0.

Pero, cmo de prximo a los valores 0, 2 y 4 se ha de estar? Durbin y Watson

encontraron unas cotas, dLy dU, tales que:

si d < dL, entonces habr autocorrelacion positiva.

si dU< d < 4 dU,entonces hay incorrelacion.

si d > 4 dL, entonces hay autocorrelacion negativa.

en cualquier otro caso el contraste no es concluyente.

Cotas del estadstico de Durbin-Watson

Representando grficamente la informacin anterior se obtiene:

Ejemplo

Considerando el modelo que ajusta el consumo energtico en funcin del BIP, tras

estimarlo por MCO


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Y calcular sus residuos, podemos obtener la siguiente informacin:

Ejemplo

A partir de dicha informacin se puede calcular el valor del estadstico de Durbin-

Watson:

Y de su aproximacin:

Comparando estos valores con las cotas de Durbin-Watson para 16 observaciones al 5%

de significacin, se tiene que hay autocorrelacion

positiva ya que

H de Durbin

El contraste de Durbin-Watson es vlido cuando la autocorrelacin de los errores

es autoregresiva de orden 1 y cuando la regresin no incluye entre las variables

explicativas algn retardo de la variable dependiente.

En este segundo caso se recurre al contraste h de Durbin. Esto es, en modelos


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del tipo

donde para contrastar

Utilizaremos el estadstico de forma que se

rechazara la hiptesis nula si

Contraste de Ljung-Box

Si los residuos son independientes, sus primeras m autocorrelaciones son cero, paracualquier valor de m. El contraste de Ljung-Box contrasta, entonces, la hiptesis nula de

que las primeras mautocorrelaciones, m, son cero. Esto es:

Se rechaza la hiptesis nula ( de incorrelacion) si

es el coeficiente de autocorrelacion muestral de orden k.

Si las observaciones son independientes (incorrelacion), los coeficientes r(s)

sern prximos a cero, por lo que no se rechazara la hiptesis nula. Por otro lado, el

valor dempuede ser fijado arbitrariamente aunque no debe de ser grande.

Ejemplo

Consideremos el modelo que ajusta el consumo energtico en funcin del PIB

para aplicar el anterior contraste para m = 3.

De este ejemplo ya sabemos que Adems, a partir delos residuos podemos

construir la siguiente tabla:


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A partir de la cual podemos obtener:

De forma que:

Como no rechazo la hiptesis nula de

incorrelacion.

Advirtase que para

por tanto, en tal caso si se rechazara la hiptesis nula de incorrelacion.

4. Estimacin de los modelos con autocorrelacion


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Estimacin bajo autocorrelacion

Consideremos el modelo lineal uniecuacional mltiple donde

(homocedasticidad) y

( autocorrelacion)

Por tanto, la matriz de varianzas-covarianzas de la perturbacin aleatoria ser

Para resolver el problema de autocorrelacion hay que aplicar el mtodo de

mnimos cuadrados generalizados al modelo, para lo cual debemos obtener una

matriz no estocstica Ptal que .

Para conseguir el objetivo anterior supondremos que la estructura de autocorrelacion

viene marcada por un proceso autorregresivo de orden 1, esto es,

En tal caso:

Por lo que repitiendo el clculo de forma iterativa:

Entonces, la matriz de varianzas-covarianzas de la perturbacin aleatoria viene

determinada por la matriz:


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Advirtase que la suposicin de que la perturbacin aleatoria sigue el esquema de

un proceso AR(1) es fundamental para que se pueda estimar el modelo. Teniendo en

cuenta la matriz original, tendramos que estimar parmetros: de la

matriz , 1 correspondiente a y kde los coeficientes de los regresores.

Por tanto, se tendran mas parmetros a estimar que observaciones. Cuestin que

no es viable.

Sin embargo, a partir de la suposicin realizada sobre la perturbacin aleatoria

habra que estimar k + 2parmetros: 1 de la matriz (que es ), 1 correspondiente

a y k de los coeficientes de los regresores. Por lo que la estimacin si sera viable.

Entonces teniendo en cuenta que:

La matriz buscada para realizar la transformacin es:

El modelo transformado a partir de la matriz Panterior , es tal que


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Por lo que las nuevas observaciones responden a las expresiones:

Ahora bien, para obtener estos valores del modelo transformado es necesario estimar,

pero para esto hay que estimar tambin los coeficientes. Cmo resolver este problema?

Mediante el proceso iterativo de Prais-Winsten que describimos a continuacin.

Proceso iterativo de Prais-Winsten:

1. Estimar el modelo original por MCO.

2. Utilizar los residuos del ajuste anterior para estimar .

3. Utilizar la estimacin de para obtener

4. Estimar el modelo transformado por MCO volviendo al paso 1.

Repetir este proceso hasta que la diferencia entre dos estimaciones consecutivas de

sea menor que un valor prefijado (de orden 10-3

normalmente). En los casos en los que

se disponga de un nmero de observaciones suficientemente grande se puede despreciar

la primera observacin (perdindola) transformando los datos segn

Para En tal caso se puede establecer un proceso iterativo similar

al anterior que recibe el nombre de Cochrane-Orcutt.

Finalmente, comprobemos que con esta transformacin realmente se ha eliminado

el problema en el modelo.

Para t=1, se tiene que por lo que:


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Mientras que para t>1, se tiene que y entonces:

Por tanto, el modelo transformado tiene una perturbacin aleatoria con media cero,

varianza constante, , e incorrelada. Luego el problema ha sido resuelto.

Ejemplo

Dado el modelo que analiza el consumo energtico a partir del PIB, en el que sabemos

que hay autocorrelacin positiva, vamos a transformarlo de forma adecuada para

subsanar dicho problema.

A partir de la estimacin por MCO del modelo original y considerando los residuos de

dicho ajuste, obtenemos una estimacin desin ms que ajustar el modelo de frente a

obtenindose:

Es decir

Como se dispone de pocas observaciones, transformaremos los datos conforme

al proceso de Prais-Winsten:


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Los datos del modelo transformado sern

A partir de los valores transformados se obtiene la estimacin

y un valor del estadstico de Durbin-Watson, d, de 1208017. Puesto que dL< d < dU, el

contraste de Durbin-Watson no es concluyente.

A continuacin, siguiendo el proceso iterativo, habra que volver a estimar a

partir de este modelo transformado y volver a transformar los datos. Y as

sucesivamente hasta que el proceso converja.

En este caso es necesario realizar 12 iteraciones para la convergencia

obtenindose la estimacin:

y un valor del estadstico de Durbin-Watson, d, de 1400435. Puesto que dU< d < 4

dU, el contraste de Durbin-Watson confirma la ausencia de autocorrelacin en elmodelo.


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Nota sobreP

Al calcular la aproximacin del estadstico de Durbin-Watson se obtuvo que =

04665722, mientras que al hacer la regresin de frente a hemos obtenido que

= 0531275. Si ambos mtodos de obtener el valor de son equivalentes, a qu se debe

esta diferencia?

Si partimos de la regresin de los residuos se tiene que:

Luego la diferencia comentada se debe a que tericamente se ha supuesto que

Lecturas recomendadas

[1] Salmern, R. (2012). El modelo lineal general mediante Gretl (online).

[2] Notas sobre los Mnimos Cuadrados Generalizados (MCG).

[3] Econometra en YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=xVRRUdk-N8Q



Bibliografa

[1] Gujarati, D. (1997)..Econometra Ed. McGraw Hill. Captulo 10.

[2] Johnston, J. (1989).Mtodos de Econometra .Ed. Vicens-Vives. Captulo 8.

[3] Novales, A. (1993).Econometra McGraw Hill. Captol 7.

[4] Uriel, E., Contreras, D., Molt, M.L. y Peir, A. (1990).Econometra. El Modelo


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Lineal. Editorial AC. Captulo 11.

[5] Wooldridge, J.M. (2005).Introduccin a la Econometra: Un enfoque moderno.

Thomson. Captulo 12.

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