teoria calculo 1 universidad

8/18/2019 Teoria Calculo 1 universidad

1/148


2/148


3/148

Índex

1 Funcions d’una variable real. Conceptes bàsics 11.1 Domini i imatge, gràfic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operacions amb funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Ĺımit d’una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Continuı̈tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Teoremes sobre la continüıtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Càlcul diferencial i les seves aplicacions 202.1 Relació continuı̈tat-derivabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Teoremes sobre la derivabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Extrems relatius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Convexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Ĺımits indeterminats. Regles de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Construcció de gràfics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Càlcul Integral 363.1 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 El teorema Fonamental del Càlcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Aplicacions de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Integrals impròpies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Sèries 564.1 Sèries numèriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Sèries de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Sèries de potències. Sèries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Anàlisi de Fourier 745.1 Funcions periòdiques i harmònics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2 Expressió complexa de la Sèrie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Polinomis trigonomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4 Transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Funcions de peŕıode infinit:

la transformada (contı́nua) de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

i


4/148

5.6 Propietats de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.7 La transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.8 Anti-transformades de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.9 Aplicació a la resolució d’equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Funcions de diverses variables 1066.1 Definició i representació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2 Ĺımits i continüıtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3 Derivades direccionals, derivades parcials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 Diferenciabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.5 Extrems relatius. Extrems condicionats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.6 Integrals múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.6.1 Integració sobre regions del pla R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.6.2 Canvi de variables: coordenades polars . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.6.3 Integrals triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.6.4 Canvi de variables: coordenades ciĺındriques . . . . . . . . . . . . 1406.6.5 Canvi de variables: coordenades esf̀eriques . . . . . . . . . . . . . 142


5/148

Caṕıtol 1

Funcions d’una variable real.Conceptes bàsics

1.1 Domini i imatge, gràfic.

Definició 1.1.1Donats dos conjunts no buits A i B, una aplicaci´ o f de A a B és una correspondència,que es representa per f : A −→ B, tal que a cada element a ∈ A li fa correspondre un,i només un, element de B que es representa per f (a) i que s’anomena imatge de a per l’aplicaci´ o f .

Es diu que una aplicació f : A −→ B és• Injectiva: si cada element de A té una imatge diferent dels altres elements de A.

Per tant només és possible que f (a1) = f (a2) quan a1 = a2.

• Exhaustiva: si cada element de B és imatge d’algun element de A.• Bijectiva: si l’aplicació és injectiva i exhaustiva al mateix temps.

Definició 1.1.2Una funció real d’una variable real és una aplicació entre dos subconjunts del conjuntdels nombres reals R.

En el cas d’una funció real d’una variable real (que d’ara endavant d’anomenarà funci´ oreal o més simplement funci´ o) f : A −→ B , s’anomena

• Domini de la funció: al conjunt de sortida A. En el cas que la funció vingui definidaper una regla aritmètica, per exemple f (x) = ln x, i no s’especifiqui el conjunt desortida es considerarà com domini de la funció el subconjunt de R més gran on laregla que defineix la funció és pot aplicar. Per tant, en el cas de la funció f (x) = ln xel seu domini és (0, ∞).

• Imatge de la funció: al subconjunt de R format per totes les imatges dels elementsdel domini. Per exemple, la imatge de la funció f (x) = sin x és el conjunt [−1, 1].

• Gràfic de la funció: al subconjunt de punts del pla R2 format pels parells (a, f (a))per a tots els elements a del domini.

1


6/148

2 Càlcul. Curs 2015-16

Exemples:

1. f (x) = x2.

El seu domini és tot R i la seva imatge són només els nombres reals no negatius:

Im(f ) = [0, ∞).Aquesta aplicació no és injectiva perquè hi ha elements diferents que tenen la ma-teixa imatge, per exemple f (−1) = (−1)2 = 1 = f (1) i, en general, hi ha infinitesparelles de punts amb la mateixa imatge: f (x) = f (−x).Tampoc és una aplicació exhaustiva ja que els nombre reals negatius no són imatgede cap element. En tot cas es pot dir que f : R −→ [0, ∞) és exhaustiva.Per representar el seu gràfic s’han de dibuixar els punts del pla R2 de coordenades(x, x2), és a dir, els punts d’una paràbola.

2. f (x) = 1

xEl seu domini és el conjunt de nombres reals diferents de zero: R−{0}, que tambées pot escriure com la unió d’intervals (−∞, 0) ∪ (0, ∞).La seva imatge és el conjunt de nombres reals diferents de 0, és a dir el mateixconjunt que el domini.

Aquesta aplicació és injectiva perquè si f (x) = f (y) llavors 1

x =

1

y ⇒ x = y; és a

dir, si dos elements tenen la mateixa imatge és que són el mateix element.

Gràfic de la funció f (x) = x2 Gràfic de la funció f (x) = 1

x

Apunts de teoria. Capı́tol 1. Conceptes bàsics


7/148

Càlcul. Curs 2015-16 3

1.2 Operacions amb funcions

Les operacions aritmètiques definides en el conjunt del nombres reals es poden exportara les funcions reals. A partir de dues funcions reals f , g es defineixen les noves funcions:

1. Suma: la funció f +g és la que té per imatge en cada punt la suma de les respectivesimatges; és a dir, f +g (x) = f (x) + g(x).

2. Producte: la funció f · g és la que té per imatge en cada punt el producte de lesrespectives imatges; és a dir, f · g (x) = f (x) · g(x).

3. Quocient: la funció f

g és la que té per imatge en cada punt el quocient de les

respectives imatges; és a dir, f

g(x) =

f (x)

g(x).

A partir d’aquestes operacions es poden definir altres funcions com pot ser el producted’una funció f per una constant k, la funció kf , que correspon a fer el producte de lafunció f amb la funció constant g(x) = k o també la diferència de funcions, f − g, quecorrespon a fer la suma de la funci ó f amb la funció kg quan la constant k val −1.Repetint el producte d’una funció f amb ella mateixa s’arriba a la potència f n que té perimatge en cada punt el producte la imatge per f n vegades; és a dir, f n(x) = (f (x))n.

En totes aquestes operacions aritmètiques s’entén que el domini de la funció resultantés la intersecció de dominis de les funcions involucrades en l’operació, excepte en el cas delquocient en que, a més, no formen part del domini els punts on la funció del denominadorval 0.

Exemples: Siguin f (x) = √ x, g(x) = x2

. El domini de f és [0, ∞) mentre que el de gés tot R.1. f +g (x) = x2 +

√ x, que té domini [0, ∞).

2. f · g (x) = x2√ x, que té domini [0, ∞).

3. f

g(x) =

√ x

x2 que té domini (0, ∞).

4. f −g (x) = √ x − x2 que té domini [0, ∞).5. 3f (x) = 3

·√

x que té domini [0,

∞).

6. f 4(x) = x2 però té domini [0, ∞), en lloc de tot R, degut a que és la potència d’unafunció que no està definida per a x


8/148


S’ha d’observar que la composició g ◦ f pot no ser igual a la composició f ◦ g i quealguna d’aquestes podria no existir perquè el domini de la composició g ◦ f està formatper aquells punts x del domini de f tals que la imatge f (x) és del domini de g.

Exemple: Siguin f (x) = −

x2

−1, g(x) =

√ x. Llavors la composició g

◦f no existeix

perquè el seu domini són els punts x del domini de f (que és tot R) tals que f (x) és deldomini de g, però f (x) és sempre negatiu i, per tant, mai és del domini de g.

En canvi śı que existeix la composició f ◦ g que és la funció

f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (√ x) = −(√ x)2 − 1 = −x − 1

el seu domini és [0, ∞).

A partir d’una funció f és pot definir la seva inversa per la composició:

Definició 1.2.2Donada una funció real f s’anomena inversa de f la funció f −1 tal que per a tot x deldomini de f compleix: f −1(f (x)) = x.

Aquesta definicío diu que la composició f −1 ◦ f és la funció identitat i que el dominide f −1 és la imatge de f .

S’ha d’observar que la funció inversa no està definida si la funció f no és injectiva,perquè en aquest cas existirien dos punts diferents a

= b tals que tindrien la mateixa

imatge y = f (a) = f (b); però llavors

f −1(y) = f −1(f (a)) = a i també f −1(y) = f −1(f (b)) = b

la qual cosa no pot ser perquè les imatges per una funció han de ser úniques. A vegadeses pot reduir el domini de f per poder definir la seva inversa com és el cas de les funcionsarcsin x, arccos x o el del següent

Exemple: La funció f (x) = x2 no té inversa perquè no és una funció injectiva. Ara bé,si es considera el domini de f només dins els reals positius o només dins els reals negatius

llavors si que es injectiva i tindrà inversa. En efecte, la funció

f : (−∞, 0] −→ Rx → x2

té per inversa la funció

f −1 : [0, ∞) −→ Rx → −√ x



9/148


1.3 Ĺımit d’una funció

Intuı̈tivament, el ĺımit d’una funció en un punt és el valor, si existeix, al qual s’acostenles imatges de la funció en punts a prop del punt sense igualar aquest punt. Aquesta

idea, però, s’ha de precisar per tal d’establir correctament què s’entén per punts a propd’un altre. En la idea de ĺımit aquesta proximitat és infinitesimal, o sigui que a prop voldir tan a prop com es vulgui.

De les moltes maneres equivalents de precisar aquesta noció de ĺımit, una d’elles és lasegüent:

Definició 1.3.1Es diu que l és el ĺımit de la funció f en un punt a, i s’escriu l = lim

x→af (x) o bé f (x) −→

x→al,

si per a tot interval obert I que cont́e l existeix un interval obert J que cont́e a tal queper a tot x ∈ J, x = a, es t́e f (x) ∈ I .

Per a cada interval obert I de l n’hi ha un altre J de a tal que tots els punts (excepte,pot-ser, a) tenen imatge dins I .

Si s’agafa un interval I de l encara més petit, segueix havent-hi uninterval J de a amb les imatges dins I .



10/148


Exemple: f (x) = 2x té ĺımit l = 2 en el punt a = 1.Tot interval obert I de l = 2 en conté un de la forma (2 − ε, 2 + ε), per algun ε > 0.

Llavors si es considera l’interval J = (1 − ε2

, 1 + ε2

) s’obt́e que per a tot punt x ∈ J laseva imatge f (x) = 2x es troba dins l’interval (2

−ε, 2 + ε) i, per tant, dins de I .

De la definició de ĺımit es dedueix que si una funció té ĺımit en un punt, aquestĺımit és únic; és a dir, no poden existir dos valors diferents l1, l2 tals que lim

x→af (x) = l1

i a la vegada limx→a

f (x) = l2.

Ĺımits lateralsLa funció de Heaviside H es defineix com

H (x) =

0 si x


11/148


Operacions amb ĺımitsLes operacions aritmètiques amb dues funcions es traslladen als seus ĺımits en el cas

que aquests existeixin. A continuació es detallen aquestes propietats en el cas de ĺımitsbilaterals, però són igualment certes per ĺımits laterals sempre que tots ells s’efectüın pel

mateix costat (és a dir, tots els ĺımits per la dreta o tots per l’esquerra).

Proposició 1.3.3Siguin f i g dues funcions tals que: lim

x→af (x) = l, lim

x→ag(x) = m; és a dir, existeix el ĺımit

de totes dues en el mateix punt a. Llavors

1. limx→a

f +g (x) = l + m

2. limx→a

f · g (x) = l · m

3. limx→a

K ·

f (x) = K ·

l, per a tota constant K .

4. limx→a

f

g(x) =

l

m, si m = 0.

Combinant aquestes operacions es poden deduir altres propietats dels ĺımits, perexemple:

• limx→a

f − g (x) = l − m, utilitzant la propietat 3, amb K = −1, i la propietat 1.

• limx→a(f (x))n

= ln

.

• limx→a

n

f (x) = n√

l (suposant que l > 0 per a n parell).

Ĺımits infinits i ĺımits a l’infinitEl concepte de ĺımit que s’acaba de donar es pot generalitzar quan les imatges de la

funció en lloc d’acostar-se a un valor l s’acosten a ∞, o quan en lloc de considerar lesimatges dels punts que estan a prop d’a es consideren les dels que estan a prop d’∞. Perpoder donar la definició rigorosa d’aquesta noció s’ha de tenir en compte que el concepte

a prop d’ ∞ vol dir que es té un valor positiu no acotat (és a dir, tan gran com es vulgui);aix́ı el que seria un interval obert d’∞ és un interval de la forma (M, ∞). De la mateixamanera, el concepte a prop de −∞ vol dir que es té un valor negatiu no acotat (és adir, tan petit com es vulgui); això implica que un interval obert de −∞ és de la forma(−∞, N ).

Per això les definicions corresponents són

Definició 1.3.4• Una funció té ĺımit ∞ en el punt a, lim

x→af (x) = ∞, si per a tot valor real M existeix

un interval obert J que conté a tal que les imatges dels punts x ∈ J , excepte pot-serf (a), estan dins (M,

∞); és a dir, f (x) > M .



12/148


• Una funció té ĺımit −∞ en el punt a, limx→a

f (x) = −∞, si per a tot valor real N existeix un interval obert J que cont́e a tal que les imatges dels punts x ∈ J , exceptepot-ser f (a), estan dins (−∞, N ); és a dir, f (x) < N .

• Una funció té ĺımit l a ∞, limx→∞ f (x) = l, si per a tot interval obert I que conté lexisteix un valor M tal que les imatges dels punts x > M estan dins I .

• Una funció té ĺımit l a −∞, limx→−∞

f (x) = l, si per a tot interval obert I que cont́e

l existeix un valor N tal que les imatges dels punts x < N estan dins I .

Les definicions anteriors encara es poden generalitzar més definint el concepte de ĺımit∞ a l’∞, o qualsevol de les seves variants.

Exemples:

1. limx→0

1

x2 = ∞, perquè com més a prop de 0 està x més gran és el valor 1

x2. Concre-

tament, per a tot valor M > 0 les imatges de x ∈ J =

− 1√ M

, 1√

M

, excepte

x = 0, són f (x) = 1

x2 > M .

2. limx→∞

1√ x

= 0, perquè com més gran és el valor de x més petit és 1√

x encara que

sempre és positiu. Concretament, tot interval obert I que conté el 0 conté un

interval de la forma (−ε, ε) llavors les imatges de x ∈ J = 1ε2

, ∞ verificaran quef (x) ∈ (−ε, ε) ⊂ I .

1.4 Continüıtat

La definició de ĺımit d’una funció en un punt a es basa en el comportament de la funció

a prop de a però no té en compte el valor de f (a) que, fins i tot, podria no existir; però,a vegades, per calcular el l ı́mit de la funció en el punt a és suficient determinar el valorf (a). Les funcions que tenen aquesta propietat s’anomenen cont́ınues en el punt a; ladefinició matemàtica de continuı̈tat concorda amb el sentit quotidià de la paraula (unprocés continu és el que es fa de manera gradual, sense canvis abruptes).

Definició 1.4.1Una funció f és contı́nua en el punt a si lim

x→af (x) = f (a).

Si f no és contı́nua en a es diu que té una discontinuı̈tat en el punt a o bé que ésdiscont́ınua en a.



13/148


Encara que la definició de funció contı́nua és molt sintètica, aquesta definició implicade manera impĺıcita tres condicions indispensables per tal que una funció sigui contı́nua:

La funció f és contı́nua en el punt a si es compleixen les següents condicions

1. Que existeixi f (a); és a dir, que a estigui en el domini de f .

2. Que existeixi el limx→a

f (x); la qual cosa implica que f ha d’estar definida en un

interval obert que conté a.

3. Que limx→a

f (x) = f (a); tal com es demana a la definici ó.

Exemples:

1. f (x) = x2 − x − 2

x

−2

És discont́ınua en el punt a = 2 perquè f (2) no esta definit.

2. f (x) =

1

x2 si x = 0

1 si x = 0

És discont́ınua en el punt a = 0. En aquest cas existeix f (0) però no existeixlimx→0

f (x).

3. f (x) = x2

−x

−2

x − 2 si x = 21 si x = 2

És discont́ınua en el punt a = 2. En aquest cas existeix f (2) i també existeixlimx→2

f (x) però

limx→2

f (x) = limx→2

x2 − x − 2x − 2 = limx→2

(x − 2)(x + 1)x − 2 = limx→2(x + 1) = 3 = 1 = f (2)

Quan existeix l = limx→a

f (x) però no és igual a f (a) o bé f (a) = l, la discontinüıtates pot evitar redefinint la funció en el punt a i posant f (a) = l això és el que passa enl’exemple 3; aquestes discontinüıtats s’anomenen evitables . Però quan el ĺımit en el punta no existeix o és ±∞ llavors no hi ha manera d’evitar la discontinüıtat; en aquest cases diu que la discontinüıtat és essencial com passa en l’exemple 2.

Com que la definició de continüıtat es basa en la de ĺımit; és immediat comprovar queles operacions vàlides amb ĺımits seran vàlides amb funcions cont́ınues. També es potdemostrar la continüıtat de la composició de funcions cont́ınues. Tot això apareix recolliten la següent:



14/148


Proposició 1.4.2Siguin f , g dues funcions cont́ınues en el punt a i K una constant real.

1. Les funcions f + g, f − g, f · g, Kf són contı́nues en a.

2. La funció f

g és cont́ınua en a si g(a) = 0.

3. Si h és una funció cont́ınua en el punt b = f (a) llavors la funció h ◦ f és cont́ınuaen el punt a.

És especialment interessant la propietat 3, perquè a partir de la continüıtat d’unespoques funcions es pot deduir la continüıtat de moltes altres. Per exemple:

• Com que la funció

g(x

) = √

x és cont́ınua en tots els punts del seu domini llavors

per a tota funció contı́nua f es tindrà que f (x) també és contı́nua en aquellspunts on f (x) > 0.

• Com que la funció valor absolut, g(x) = |x|, és cont́ınua llavors per a tota funciócont́ınua f es tindrà que |f (x)| també és cont́ınua.

1.5 Teoremes sobre la continüıtatDefinició 1.5.1Una funció és contı́nua en un interval obert (a, b) si és contı́nua en cada punt de l’interval.Una funció és contı́nua en un interval tancat [a, b] si és contı́nua en l’interval obert (a, b)i es compleix: lim

x→a+f (x) = f (a), lim

x→b−f (x) = f (b).

La condició de continüıtat en tot un interval tancat assegura unes propietats impor-tants de la funció. La primera d’elles, és el teorema de Bolzano que permet deduir que elgràfic d’una funció cont́ınua en un interval es pot dibuixar d’un sol traç; és a dir, senseaixecar el llapis del paper. Una possible versió d’aquest teorema, entre les moltes versionsequivalents, és

Teorema 1.5.2 (Bolzano)Sigui f una funció cont́ınua en un interval tancat [a, b] tal que f (a) · f (b) < 0, llavorsexisteix un punt c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Observacions:

1. La condició f (a) · f (b) < 0 vol dir que el signe de les imatges en a i en b és diferenti que, per tant, el 0 es troba entre les dues imatges.



15/148


Si la funció és contı́nua en [a, b] i les imatges en els extrems tenen signe diferent,llavors al menys hi ha un punt on la funció val 0.

2. Aquest teorema és d’exist̀encia , és a dir assegura que existeix un c tal que f (c) = 0però no permet calcular quin és aquest punt; tampoc permet saber quants punts hiha que tenen imatge 0, el teorema assegura que al menys n’hi ha un.

3. Fent un desplaçament de les imatges (això és construint la funció g(x) = f (x) − k),el teorema de Bolzano demostra que si una funció és contı́nua en un interval [a, b] ik és un valor que es troba entre f (a) i f (b) llavors hi ha algun punt c ∈ (a, b) tal quef (c) = k. Per això un enunciat equivalent del teorema de Bolzano és: una funci´ ocont́ınua en un interval tancat que pren dos valors l lavors pren tots els valors que hi ha entremig.

Si la funció cont́ınua f pren S’aplica el teoremados valors llavors a la funció

pren tots els d’entremig g(x) = f (x) − k4. La continüıtat de la funció en tots els punts de l’interval tancat és essencial per que

el resultat del teorema sigui sempre vàlid. Si falla la continüıtat en un sol punt,la funció podria saltar i no prendre els tots els valors d’entremig. Per exemple, la

funció de Heaviside H (x) =

0 si x


16/148


Exemples:

1. L’equació 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 té una arrel entre 1 i 2.En efecte, la funció f (x) = 4x3

−6x2 + 3x

−2 és cont́ınua en tots els punts, per

tant és contı́nua en l’interval [1, 2]. Com que

f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0 i f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0

llavors existeix un c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0; és a dir, hi ha una arrel entre 1 i 2.Com s’ha comentat en les observacions anteriors, no es pot determinar el valord’aquesta arrel, només la seva existència.

2. L’equació sin x = x − 1 té alguna solució.En efecte, la funció f (x) = 1

−x + sin x és cont́ınua amb

f (0) = 1 > 0, f (π) = 1 − π


17/148


2. Una conseqüència del teorema és que tota funció cont́ınua en un interval tancatés acotada , això vol dir que existeix un valor K tal que |f (x)| < K per a tot xde l’interval. En altres paraules, una funció cont́ınua en un interval tancat no pottendir a

±∞ en cap punt de l’interval.

3. Com en el cas de Bolzano, si falla la continüıtat de la funció en un sol punt ol’interval no és tancat no es pot assegurar l’existència d’extrems absoluts de lafunció.

4. Quan f (d) ≤ f (x) ≤ f (c) per a tot x ∈ [a, b] es diu que la funció sobre l’interval[a, b] t́e un mı́nim absolut en el punt d i un màxim absolut en el punt c. En aquestcas, els valors f (d), f (c) es denominen, respectivament, valor mı́nim i valor màxim de la funció sobre l’interval [a, b].

5. Combinant aquest teorema amb el teorema de Bolzano, es dedueix que la imatge

d’un interval tancat [a, b] per una funció contı́nua f és també un interval tancatd’extrems els valors mı́nim i màxim de la funció: f ([a, b]) = [f (d), f (c)].

1.6 DerivadesDefinició 1.6.1Una funció real f : R −→ R és derivable en el punt x = a si existeix

limh→0

f (a + h) − f (a)h

El valor d’aquest ĺımit (quan existeix) s’anomena derivada de f en a i es representa per

f (a) (que és la notació de Lagrange) o bé per df

dx (a) (notació de Leibnitz).

Per tant, la derivada és el lı́mit del quocient de l’increment de la funció f (a+h)−f (a)dividit per l’increment de la variable, h. Aquest quocient s’anomena quocient incremental de la funció.

Interpretació “f́ısica”Si la funció f representa la posició d’un mòbil en una trajectòria rectiĺınia, com que

la velocitat mitjana del mòbil en un interval de temps és el quocient de la distànciarecorreguda en aquest interval de temps entre la longitud de l’interval, llavors la velocitatmitjana en un interval (a, a + h) serà

v = f (a + h) − f (a)

h

el ĺımit d’aquesta velocitat quan h tendeix a 0 és la velocitat instantània del mòbil, iaquest ĺımit és la derivada f (a).



18/148


D’una manera més matemàtica es podria dir que la derivada de una funció en un puntés el ĺımit de la proporció de canvi de la funció en el punt respecte punts pròxims; és adir, és la taxa de variació infinitesimal de la funció.

El valor de la derivada permet conèixer el caràcter creixent de la funció com es veurà

en l’assignatura de Càlcul. Entre altres aplicacions es demostrarà

Proposició 1.6.2Si una funció f compleix que la seva derivada és 0 en tot un interval, f (x) = 0 ∀x ∈ I ,llavors la funció és constant en aquest interval, f (x) = C ∀x ∈ I .

Encara que ara no es faci la demostració, el resultat s’intueix cert perquè la derivadaés la velocitat de canvi de la funció i, llavors, si la velocitat és 0 és raonable pensar quela funció no canvia. Però s’ha d’observar que aquest fet és pot assegurar només quan laderivada sigui 0 en tot un interval; no n’hi ha prou en que sigui 0 en un punt.

Interpretació geomètricaSi es vol determinar la recta tangent en un punt (a, f (a)) del gràfic d’una funció f

es determina la recta secant que passa per aquest punt i un altre punt a prop d’aquest:(a + h, f (a + h)). L’equació d’aquesta recta secant és

y = f (a) + f (a + h) − f (a)

h (x − a)

llavors la derivada és el ĺımit dels pendents f (a + h) − f (a)

h d’aquestes rectes secants

quan h tendeix a 0. Aquest ĺımit ha de ser el pendent de la recta tangent. Per tant,

Definició 1.6.3Si una funció f és derivable en un punt x = a llavors l’equació de la recta tangent algràfic de la funció en el punt (a, f (a)) és

y = f (a) + f (a)(x − a)

La recta tangent com ĺımit de les secants



19/148


Propietats de les derivadesSi f i g són dues funcions derivables en el punt x = a llavors

1. Les funcions són cont́ınues en el punt a. En efecte,

limh→0

f (a + h) − f (a) = limh→0

hf (a + h) − f (a)h

= f (a) limh→0

h = 0

2. f + g és derivable en a i es compleix (f + g)(a) = f (a) + g(a). Aquesta propietates comprova fàcilment descomposant el ĺımit del quocient incremental en suma deĺımits.

3. Si k és una constant, kf és derivable en a i es compleix (kf )(a) = kf (a).

4. f · g és derivable en a i es compleix (f · g)(a) = f (a) · g(a) + f (a) · g(a).Es demostra aquesta propietat sumant i restant al numerador del quocient incre-mental el terme f (a) · g(a + h) i s’utilitza la continuı̈tat de g(x) en el punt a:

(f · g)(a) = limh→0

(f · g)(a + h) − (f · g)(a)h

=

= limh→0

(f · g)(a + h) + f (a) · g(a + h) − f (a) · g(a + h) − (f · g)(a)h

=

= limh→0

g(a + h)f (a + h) − f (a)

h + lim

h→0f (a)

g(a + h) − g(a)h

5. Si g(a) = 0, 1g

és derivable en a i es compleix1

g

(a) = − g(a)(g(a))2

.

Admetent que 1

g és derivable (per demostrar-ho s’hauria de fer el ĺımit del quocient

incremental) es pot trobar fàcilment el valor de la derivada: com que la derivadad’una constant és 0, de la propietat anterior es té

0 =

g · 1

g

(a) = g (a) · 1

g(a) + g(a) ·

1

g

(a)

d’on es troba el valor de la derivada de 1

g .

6. Si g(a) = 0, f g

és derivable en a i es compleix

f

g

(a) =

f (a) · g(a) − f (a) · g(a)(g(a))2

.

Es comprova aquesta propietat aplicant la regla de derivació del producte f · 1g

.

7. (Regla de la cadena)Si Φ(x) és una funció derivable en f (a) llavors la funciócomposició (Φ ◦ f )(x) = Φ(f (x)) és derivable en a i la seva derivada és

(Φ

◦f )(a) = Φ(f (a))

·f (a)



20/148


Per provar-ho es fa servir la continüıtat de f en a per tal de posar t = f (a+h)−f (a)i poder assegurar que t → 0 quan h → 0. Llavors

(Φ

◦f )(a) = lim

h→0

Φ(f (a + h)) − Φ(f (a))h

=

= limh→0

Φ(f (a + h)) − Φ(f (a))f (a + h) − f (a)

f (a + h) − f (a)h

=

= limt→0

Φ(f (a) + t) − Φ(f (a))t

limh→0

f (a + h) − f (a)h

8. (Derivació de la funció inversa). Si f és una funció que té inversa, és a dir,

f −1(f (x)) = x, llavors f −1 és derivable en f (a) i la derivada és (f −1)(f (a)) = 1

f (a).

Admetent que f −1 és derivable es pot calcular la seva derivada fent servir la reglade la cadena i que la derivada de la funció identitat és 1:

1 = (x) = (f −1(f (x))) = (f −1)(f (x)) · f (x) =⇒ (f −1)(f (a)) = 1f (a)

Si es posa b = f (a), com que a = f −1(b) llavors el que es té és

(f −1)(b) = 1

f (f −1(b))

Exemples:

1. Sabent que (x) = 1 (que surt de manera immediata de la definició), es pot calcular

(a) la derivada de xn per n ∈ N utilitzant la regla per derivar un producte demanera recorrent n vegades. Llavors (xn) = nxn−1.

(b) la derivada de xn per n ∈ Z, n


21/148


3. Sabent que la derivada de sin x és cos x, es pot calcular la derivada de qualsevolaltra funció trigonomètrica, per exemple

(a) cos x = sin(x + π2

) =

⇒ (cos x) = (sin(x + π

2)) = cos(x + π

2) =

−sin x.

(b) (tan x) = sin x

cos x

=

cos x · cos x − sin x · (− sin x)cos2 x

= 1

cos2 x = sec2 x.

(c) (sec x) =

1

cos x

=

−(− sin x)cos2 x

= tan x · sec x

4. Si f (x) = tan x es pot calcular la derivada de la inversa f −1(x) = arctan x:

(arctan x) = 1

1 + tan2(arctan x) =

1

1 + x2

1.7 Primitives

Definició 1.7.1Una primitiva d’una funció f en un interval I és una funció F tal que F (x) = f (x) pera tot x ∈ I .

Observacions

1. Com que la derivada d’una constant és 0, llavors si F és una primitiva de f , tambého serà la funció G(x) = F (x) + C per a qualsevol constant C .

2. Si F , G són dues primitives d’una funció f en un interval I llavors existeix unaconstant C tal que G(x) = F (x)+ C per a tot x ∈ I . Això és degut a que la derivadade la funció G − F és 0, ja que (G − F )(x) = G(x) − F (x) = f (x) − f (x) = 0,per a tot x de l’interval llavors la funció és constant: G(x) − F (x) = C ∀x ∈ I ; ésa dir, G(x) = F (x) + C .

3. Pel Teorema Fonamental del Càlcul, la integral d’una funció sobre un interval espot calcular amb una primitiva de f . Això fa que, a vegades, en lloc de dir primitiva d’una funci´ o f es digui integral de f i que es representi pel śımbol de la integral,

f (x) dx, el conjunt de totes les primitives de la funció.

Càlcul de primitivesHi ha dos mètodes generals per convertir el càlcul de les primitives d’una funció en el

càlcul de les primitives d’una altra funció. Aquests mètodes seran útils des del punt devista pràctic si el càlcul de les primitives d’aquesta altra funció és més fàcil que el de lafunció original.



22/148


1. Mètode d’integració per partsAquest mètode es basa en la propietat de la derivació d’un producte de funcions: si

es volen trobar les primitives d’una funció de la forma f (x) · g(x) com que

(f · g)(x) = f (x) · g(x) + f (x) · g(x) =⇒ f (x) · g(x) = (f · g)(x) − f (x) · g(x)per tant,

f (x) · g(x) dx = (f · g)(x) −

f (x) · g(x) dx

Per poder aplicar aquest mètode al calcular les primitives d’una funció és necessari des-compondre aquesta funció en producte de dues, una de les quals ha de tenir primitivaconeguda.

Exemples:

1. Per calcular xex dx es pot(a) posar f (x) = x, g(x) = ex llavors f (x) =

x2

2 , g(x) = ex i, per tant

xex dx =

x2

2 ex −

x2

2 ex dx

però el càlcul de la primitiva de x2ex no es immediat.

(b) posar f (x) = ex, g(x) = x llavors f (x) = ex, g(x) = 1 i, per tant xex dx = xex −

ex dx = xex − ex

2. Encara que la funció no tingui dos factors, també es pot aplicar el mètode d’inte-gració per parts:

ln x dx =

1 · ln x dx = x ln x −

x · 1

x dx = x ln x − x

2. Mètode del canvi de variableAquest mètode es basa en la propietat de la derivació d’una composició de funcions

(la regla de la cadena ):

(Φ(f (x)) = Φ(f (x)) · f (x)per tant, si es vol trobar una primitiva d’una funció de la forma g(f (x)) · f (x) llavorsn’hi ha prou en trobar una primitiva de g(t), posant t = f (x), perquè quan G(t) = g(t)es tindrà G(f (x)) = G(f (x)) · f (x) = g(f (x)) · f (x). Aix́ı una primitiva de la funció ésG(f (x)).



23/148


Exemples:

1.

2x cos(x2) dx

t = x2

=

cos t dt = sin(t)

t = x2

= sin(x2).

2. A vegades s’ha d’arreglar la funció per tal de poder aplicar el canvi de variable

t = x3 − 6x2 + 3x + 1 ↓

x2 − 4x + 1x3 − 6x2 + 3x + 1 dx =

1

3

3x2 − 12x + 3x3 − 6x2 + 3x + 1 dx =

1

3

1

t dt =

= 1

3

ln

|t

| =

1

3

ln

|x3

−6x2 + 3x + 1

|El mètode del canvi de variable es pot generalitzar efectuant el canvi de variable en

forma impĺıcita, és a dir, quan es vol trobar una primitiva de g(f (x)) · f (x) en lloc deposar t = f (x) també es pot posar ϕ(t) = f (x), però en aquest cas el que s’ha de calcularés una primitiva de g(ϕ(t))ϕ(t). Això és

g(f (x))f (x) dx =

g(ϕ(t))ϕ(t) dt

Per exemple, encara que la primitiva de f (x) = 1

1 + x2 és coneguda ja que f (x) és la

derivada de l’arc-tangent, una manera de calcular-la és efectuant el canvi de variable dela tangent: es posa tan t = x llavors

1

1 + x2 dx =

1

1 + tan2 t(tan t) dt =

1 dt = t = arctan x

A partir d’aquı́ es poden desenvolupar mètodes espećıfics per a calcular primitives defuncions trigonomètriques, de funcions racionals i, en general, de funcions que contenenexpressions de la forma (ax2 + bx + c)α.



24/148


25/148


com que els ĺımits laterals són diferents llavors no existeix limh→0

f (0 + h) − f (0)h

.

Aix́ı com el teorema de Bolzano permet arribar a la conclusió que una funció cont́ınuano pot fer salts abruptes, el teorema que s’acaba de demostrar permet concloure que lesfuncions derivables, a més, han de ser suaus , és a dir, el seu gràfic no pot tenir punxes.

2.2 Teoremes sobre la derivabilitat

Al ser la derivada d’una funció una taxa de canvi, el valor de la derivada en un punt d ónauna certa informació sobre el comportament de la funció. De tota manera, per poder teniruna bona informació sobre el comportament de la funció és necessari conèixer el valor de laderivada en tot un interval. Això és essencialment el que proven els següents resultats. Laprimera proposició diu que una funció que té derivada positiva (respectivament, negativa)

en un punt llavors té un caràcter creixent(respectivament, decreixent) en aquest punt.El terme caràcter creixent (o decreixent) fa referència al comportament infinitesimal dela funció de la funció en el punt però no es pot treure cap conclusió global sobre elcreixement (o decreixement) de la funció sense un coneixement de la derivada en tot uninterval.

Proposició 2.2.1Sigui f una funció derivable en un punt a. Si f (a) > 0 llavors la funció té un caràctercreixent en a; si, per contra, f (a) < 0 llavors la funció té un caràcter decreixent en elpunt.

Demostració: Com que per definició la derivada és un ĺımit i el valor d’un ĺımit en a ésaquell al qual s’acosten els valors de la funció a prop de a, es pot fer el següent raonament

f (a) = limh→0

f (a + h) − f (a)h

=⇒ f (a + h) − f (a) ≈ f (a) · h per |h| molt petit

Aixı́ si f (a) > 0, llavors f (a + h) − f (a) > 0 quan h > 0 i f (a + h) − f (a) < 0 quanh 0 prou petit, llavors f (x) < f (a) < f (y). Això dóna idea del caràcter creixentde la funció en el punt a respecte els punts infinitesimalment a prop.

De manera similar es provaria que si f (a) < 0 llavors la funció té un caràcter infini-

tesimal decreixent en el punt.

El següent teorema és el primer resultat que permet treure conclusions de la deriva-bilitat en tot un interval:

Teorema 2.2.2 (Rolle)Sigui f una funció cont́ınua en l’interval [a, b] i derivable en (a, b) tal que f (a) = f (b),llavors existeix un punt c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

La demostració es basa en que si la funció no és constant (si ho fos, llavors f (c) = 0 pera tot c ∈ (a, b)) llavors en algun moment ha de tenir un caràcter creixent (o decreixent).Com que al final f (a) = f (b), com conseqüència de la proposició anterior, no pot ser que

Apunts de teoria. Capı́tol 2. Aplicacions de la derivabilitat


26/148


f (c) > 0 (o f (c) < 0) per a tot c. La part complicada de la demostracío, que no ésdóna, és provar que si hi ha punts amb derivada positiva i altres amb derivada negativallavors hi ha un punt, al menys, amb derivada 0; aquesta part seria fàcil de demostrar,pel teorema de Bolzano, si es tingués que la funció f és contı́nua, però com es veu a

l’enunciat aquesta condicío no es demana.

Aix́ı com el teorema de Bolzano serveix per determinar un nombre mı́nim d’arrelsd’un polinomi, el teorema de Rolle pot servir per determinar un nombre màxim d’arrelsperquè entre dues arrels a, b d’un polinomi (que és una funció derivable) hi haurà d’haveruna arrel de la derivada.

Exemple: f (x) = x3 + 2x + 1 és un polinomi de grau 3 i, per tant, té com a màxim3 arrels reals. Però si existissin dues arrels a, b, llavors es tindrien dos punts tals quef (a) = f (b) = 0 i, pel teorema de Rolle, existiria un punt c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.Però f (x) = 3x2 + 2 és un polinomi de segon grau que no té arrels reals. Llavors és

impossible que f (x) tingui més d’una arrel real.

Una generalització del teorema de Rolle és el

Teorema 2.2.3 (Teorema del valor mig)Sigui f una funció contı́nua en l’interval [a, b] i derivable en (a, b) llavors existeix un punt

c ∈ (a, b) tal que f (c) = f (b) − f (a)b − a .

Demostració: Es basa en el teorema de Rolle. Posant g(x) = f (x) − f (b) − f (a)b − a x es

té una funció en les condicions del teorema de Rolle: és derivable en (a, b), cont́ınua en[a, b] i

g(a) = f (a) − f (b) − f (a)b − a a =

(b − a)f (a) − (f (b) − f (a))ab − a =

bf (a) − af (b)b − a

g(b) = f (b) − f (b) − f (a)b − a b =

(b − a)f (b) − (f (b) − f (a))bb − a =

−af (b) + bf (a)b − a

=⇒=⇒ g(a) = g(b)

per tant, existeix algun c ∈ (a, b) tal que g (c) = 0. Com que g (x) = f (x)−f (b)

−f (a)

b − a , ja es té el resultat del teorema.

A partir d’aquest teorema es pot determinar el creixement o decreixement d’una funcióconeixent el signe de la seva derivada en tot un interval. En primer lloc, es precisarà ques’entén per creixement o decreixement de la funció, perquè a la literatura matemàticaaquests termes no sempre tenen el mateix significat.

Definició 2.2.4• Una funció f és creixent en un interval (a, b) si per a tot parell de punts de l’interval

x, y

∈ (a, b) amb x < y es té f (x) < f (y).



27/148


• Una funció f és decreixent en l’interval (a, b) si per a tot parell de punts de l’intervalx, y ∈ (a, b) amb x < y es té f (x) > f (y).

Proposició 2.2.5Sigui f una funció derivable en l’interval obert (a, b). Llavors

1. Si f (x) > 0 per a tot x ∈ (a, b), la funció és creixent en l’interval (a, b).

2. Si f (x) < 0 per a tot x ∈ (a, b), la funció és decreixent en l’interval (a, b).

Demostració: Siguin x, y dos punts qualssevol de (a, b) amb x < y. Llavors la funcióés cont́ınua i derivable en [x, y], per tant es pot aplicar el teorema del valor mig: existeixalgun c ∈ (x, y) tal que

f (c) = f (y) − f (x)

y − x =⇒ f (y) − f (x) = f (c)(y − x)

llavors, com que sempre y − x > 0, es t́e

1. si la derivada és positiva en tot l’interval (a, b) es tindrà que f (c)(y − x) > 0 i, pertant, f (y) − f (x) > 0;

2. si la derivada és negativa en tot l’interval (a, b) es tindrà que f (c)(y − x) < 0 i, pertant, f (y) − f (x) < 0.

Exemple: Intervals de creixement de la funció f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5.S’ha de calcular la derivada

f (x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x2 − x − 2) = 12x(x + 1)(x − 2)

i s’han de determinar els intervals on f és positiva i aquells on és negativa. Per lacontinuı̈tat de la funció f només cal observar quin signe té entre les arrels 0, 1 i 2:

• Si x > 2 llavors x − 2 > 0, x + 1 > 0, x > 0. Per tant f (x) > 0 en (2, ∞).

• Si 0 < x 0, x > 0. Per tant f (x) < 0 en (0, 2).

• Si −1 < x 0, x 0 en (−1, 0).

• Si x


28/148


2.3 Extrems relatius

Una de les aplicacions més importants del Càlcul diferencial es troba al resoldre problemes d’optimitzaci´ o, en els quals s’ha de determinar la millor de les possibles solucions. En la

majoria de casos aquests problemes es redueixen a trobar el valor màxim o mı́nim d’unafunció, no en tot un interval sinó dels que estan al seu voltant. Aquests tipus de valorses coneixen amb el nom d’extrems relatius i la seva definició precisa és

Definició 2.3.1Una funció f té un màxim relatiu (o local) en un punt c si el valor de la funció en c ésel més gran de tots els que estan al seu voltant; això és, si existeix un δ > 0 tal quef (c) ≥ f (x) per a tot x ∈ (c − δ, c + δ ).

De manera similar, es diu que f té un mı́nim relatiu (o local) en un punt d si el valorde la funció en d és el més petit de tots els que estan al seu voltant; això és, si existeixun

ε > 0 tal que

f (d

) ≤ f

(x

) per a tot x ∈

(d − ε, d

+ ε

).

Per tant, segons aquesta definició, si f té un màxim relatiu en el punt c això no voldir que f (c) sigui el valor més gran possible de la funció, sinó només dels punts que estanal seu voltant.

En general es dirà que f té un extrem relatiu en un punt c si té un màxim relatiu oun mı́nim relatiu en c.

El següent teorema posa de manifest la importància que té la derivada d’una funcióper determinar els seus extrems relatius:

Teorema 2.3.2

Si una funció f té un extrem relatiu en un punt c i és derivable en aquest punt llavorsf (c) = 0.

Demostració: Si f té un màxim relatiu en el punt c i és derivable en aquest punt llavorsper h ∈ (−δ, +δ ) es t́e f (c + h) ≤ f (c) si δ és prou petit. Com que

f (c) = limh→0

f (c + h) − f (c)h

quan h estigui a prop de 0 el numerador sempre ser à negatiu o 0; el denominador seràpositiu si h > 0 i negatiu si h


29/148


Exemple: Sigui f (x) = x3. Encara que f (0) = 0 la funció no té ni un màxim ni unmı́nim relatius en el 0 ja que si x > 0 llavors f (x) = x3 > 0 = f (0) i si x < 0 llavorsf (x) = x3 0 per a tot x ∈ (c−δ, c) i f (x) < 0 per a tot x ∈ (c, c+δ, c)llavors f té un màxim relatiu en el punt c.

2. Si f (c) = 0 amb f (x) < 0 per a tot x ∈ (c−δ, c) i f (x) > 0 per a tot x ∈ (c, c+δ, c)llavors f té un mı́nim relatiu en el punt c.

3. Si f (c) = 0 i f (x) té el mateix signe per a tot x ∈ (c−δ, c) o x ∈ (c, c + δ, c) llavorsf no té un extrem relatiu en el punt c.

Però això comporta calcular, si existeix, la derivada en punts infinitesimalment a prop

dels punts cŕıtics i això a vegades no és immediat.Com que es tracta de saber com és el signe de f a prop del punt cŕıtic c, es potutilitzar (si existeix) el valor de la seva derivada en el punt, f (c). Aquest és el criterique es dóna en el següent:

Teorema 2.3.4Si c és un punt crı́tic d’una funció f , derivable, al menys, dues vegades en un entorn dec llavors

1. Si f (c) > 0, la funció té un mı́nim relatiu en el punt c.

2. Si f (c) < 0, la funció té un màxim relatiu en el punt c.

3. Si f (c) = 0, amb la segona derivada no es pot decidir si la funci ó té un extremrelatiu en el punt c.

Demostració:

1. Si f (c) > 0, llavors la funció f té un caràcter creixent en el punt c; però com quef (c) = 0, resulta que f és negativa a l’esquerra de c (prou a prop) i és positiva ala seva dreta. Aix́ı la funció f és decreixent a l’esquerra de c i creixent a la dretai, per tant, la funció té un mı́nim relatiu en el punt c.



30/148


2. Si f (c) < 0, llavors la funció f té un caràcter decreixent en el punt c; però comque f (c) = 0, resulta que f és positiva a l’esquerra de c (prou a prop) i és negativaa la seva dreta. Aix́ı la funció f és creixent a l’esquerra de c i decreixent a la dretai, per tant, la funció té un màxim relatiu en el punt c.

3. Si f (c) = 0, no es pot conèixer el comportament de f , és necessita més informació.

Si f (c) > 0 f és creixent en c f té un mı́nim en c

Si c és un punt crı́tic i f (c) = 0 llavors el criteri per decidir si hi ha un extrem relatiuo no en c es basa en l’estudi del signe de la primera derivada diferent de 0 en c, segons elseu signe es pot anar reproduint el raonament de la demostraci ó anterior i s’obté:

Proposició 2.3.5

Sigui c un punt cŕıtic d’una funció f i sigui f

(n)

(c) és la primera diferent de 0 (és a dir,f (c) = f (c) = · · · = f (n−1)(c) = 0 i f (n)(c) = 0) llavors1. Si n és parell i f (n)(c) > 0, la funció té un mı́nim relatiu en c.

2. Si n és parell i f (n)(c) < 0, la funció té un màxim relatiu en c.

3. Si n és senar, la funció no té un extrem relatiu en c.

Exemples:1. f (x) = x3 − x.

La funció és derivable en tots els punts. Els punts cŕıtics són aquells on la funcióf s’anul·la:

f (x) = 0 =⇒ 3x2 − 1 = 0 =⇒ x = ± 1√ 3

Per tant, hi ha dos punts cŕıtics. S’ha de mirar el signe de f en aquests dos punts.

• f 1√

3 = 6 · 1√

3> 0. Llavors f té un mı́nim relatiu en c1 =

1√ 3

.



31/148


• f

− 1√ 3

= −6 · 1√

3 0. Llavors f té un mı́nim relatiuen c2 =

√ 12.

• f −√ 12 = 20 · (−√ 12)3 − 120 · (−√ 12) = −120√ 12 < 0. Llavors f té unmàxim relatiu en c3 = −

√ 12.

3. f (x) = |3x − 6| + 2La funció és derivable en tots els punts menys en x = 2 perquè la definició de lafunció és equivalent a

f (x) = 3x − 4 si x ≥ 2

8 − 3x si x ≤ 2llavors

limh→0−

f (2 + h) − f (2)h

= limh→0−

−3hh

= −3; limh→0+

f (2 + h) − f (2)h

= limh→0+

3h

h = 3

per tant, la derivada no existeix en el 2 al no coincidir els ĺımits laterals del quocientincremental en aquest punt.

La derivada de la funció en els altres punts és f (x) = 3 si x > 2 o bé f (x) = −3si x < 2. Per tant no hi ha punts cŕıtics. Això no vol dir que no hi pugui haverextrems relatius, sinó que no n’hi pot haver en els punts on la funció és derivable.És a dir, en els punts on la funció no és derivable s’ha d’estudiar si hi ha extremsrelatius mirant el creixement de la funció als dos costats del punt (òbviament, noes pot fer ús de la derivada el el punt on aquesta no existeix però śı en els altrespunts).

Com que f (x) < 0 per a x 0 per a x > 2 i la funció és creixent a la dreta del 2. Llavors f té un mı́nimrelatiu en el punt 2.



32/148


2.4 Convexitat

A l’estudiar el comportament d’una funció derivable f el signe de la derivada serveixper a determinar si la funció creix o bé decreix entre dos punts. Però per tenir un

coneixement més precı́s del comportament de la funció és necessari saber com s’efectuaaquest creixement o decreixement.

Per exemple, les funcions del següents gràfics són creixents entre a i b però el seucreixement té unes caracterı́stiques que les diferencia

El tros de gràfic entre a i b El tros de gràfic entre a i bestà corbat cap amunt està corbat cap avall

Per fer una representació absolutament precisa del gràfic de la funció seria necessarideterminar exactament la curvatura de la corba, però moltes vegades és suficient donarla tendència d’aquesta curvatura. Excepte que el gràfic entre els punts a i b sigui unsegment rectilini, hi ha dues posicions respecte la curvatura ben definides. Per descriure-les es dóna la següent:

Definició 2.4.1• Una funció f és convexa en l’interval (a, b) si el gràfic de f entre x i y queda persota del segment (x, f (x))(y, f (y)) per a tot x, y ∈ (a, b).

• Una funció f és còncava l’interval (a, b) si el gràfic de f entre x i y queda per sobredel segment (x, f (x))(y, f (y)) per a tot x, y ∈ (a, b).

Convexa Còncavael tros de gràfic entre a i b el tros de gràfic entre a i bestà per sota del segment està per sobre del segment



33/148


Observació: no hi ha un consens universal sobre la definició de convexitat i concavitat.Aix́ı, es corrent trobar definicions on s’intercanvia còncava per convexa en la definicióque s’ha donat (sobre tot en llibres de batxillerat). La definició que s’acaba de donarés la que topològicament és més correcta, encara que actualment és habitual trobar les

expressions còncava cap amunt o convexa cap amunt per descriure el que s’ha definit comfunció convexa i les expressions còncava cap avall o convexa cap avall per fer referènciaal que s’ha definit com funció còncava.

En el cas que la funció sigui derivable, la derivada pot caracteritzar la seva convexitat.La següent proposició estableix un fet que s’intueix de manera gràfica, encara que la sevademostració (que no es dóna) s’ha de fer de manera anaĺıtica.

Proposició 2.4.2

• Si f és una funció derivable i convexa en l’interval (a, b), llavors per a cada punt

c ∈ (a, b) la recta tangent a f en el punt c està per sota de f entre a i b.

• Si f és una funció derivable i còncava en l’interval (a, b), llavors per a cada puntc ∈ (a, b) la recta tangent a f en el punt c està per sobre de f entre a i b.

Convexa Còncavael tros de la tangent que passa el tros de la tangent que passa

per qualsevol c ∈ (a, b) es troba per qualsevol c ∈ (a, b) es trobasota el gràfic entre a i b sobre el gràfic entre a i b

Aquesta caracterització és més fàcil de verificar que la definició inicial de convexitat,però a efectes pràctics és encara poc aplicable, perquè s’hauria de comparar el valor delspunts (x, y) de la recta tangent en cada c ∈ (a, b) amb el valor de la funció en x per a totx ∈ (a, b).

En el cas que la funció tingui derivada segona es pot donar una caracterització moltmés útil a l’hora de la seva aplicació pràctica:



34/148


Proposició 2.4.3Sigui f una funció derivable dues vegades en (a, b).

• Si f (c) > 0 per a tot c ∈ (a, b) llavors f és convexa en l’interval (a, b).

• Si f (c) < 0 per a tot c ∈ (a, b) llavors f és còncava en l’interval (a, b).

Demostració: Només cal comprovar l’equivalència en un cas, per l’altre el raonamentseria similar.

Suposant que f (c) > 0 per a tot c ∈ (a, b), s’ha de provar que totes les rectes tangentsen els punts de (a, b) estan per sota el gràfic de la funció entre a i b.

Com que l’equació de la recta tangent en c ∈ (a, b) ésy = f (c) + f (c)(x − c)

llavors s’ha de demostrar que per a tot x ∈ (a, b) es compleixf (x) > f (c) + f (c)(x − c)

Suposant que c < x (l’altre cas es faria de manera anàloga), s’aplica el teorema del valormig a l’interval [c, x] i s’obté

f (x) − f (c)x − c = f

(d) =⇒ f (x) = f (c) + (x − c)f (d) amb c < d < x

La condició f > 0 implica que f és una funció creixent i, per tant, f (c) < f (d). Llavors

f (c) + f (c)(x − c) < f (c) + f (d)(x − c) = f (x)Aix́ı s’ha provat la condició de la convexitat.

Els punts on canvia la convexitat d’una funció tenen un nom especial:

Definició 2.4.4Es diu que un punt c és un punt d’inflexi´ o de la funció f si la funció és convexa en uninterval (c − δ, c) i còncava en (c, c + δ ) o viceversa.

A partir del criteri de la segona derivada, a l’esquerra d’un punt d’inflexió f ha de

tenir signe contrari al que té a la seva dreta. Per això:Proposició 2.4.5Si f és una funció que té segona derivada cont́ınua en un interval (a, b) i c és un puntd’inflexió de f llavors f (c) = 0.

Exemple: Per determinar els intervals de concavitat i de convexitat de la funció

f (x) = x3 − 3x + 1com que té derivades de qualsevol ordre en tots els punts, només cal determinar els signesde la derivada segona: f (x) = 6x. Llavors



35/148


• la funció és convexa per x > 0 ja que f (x) > 0;

• la funció és còncava per x 0 i es sap que g(x) ≥ 0 llavors limx→a

f

g(x) = ∞.

En canvi quan l = m = 0 no es pot, directament a partir de la definició de ĺımit i

les seves propietats, determinar limx→a

f

g(x). Com es veu en els següents exemples, quan

les dues funcions tenen ĺımit 0 llavors el ĺımit del quocient varia segons quines són lesfuncions f i g:

1. limx→0

x3

x2 = 0

2. limx→0

x2

x4 = ∞

3. limx→0

x3

x3 = 1

Per això aquests ĺımits s’anomenen indeterminats . Hi ha altres tipus de ĺımits quesón indeterminats, la descripció de tots ells la dóna la següent



36/148


Definició 2.5.1Es diu ĺımit indeterminat en el punt a del tipus

1. 00

al ĺımit: limx→a

f

g(x) quan lim

x→af (x) = lim

x→ag(x) = 0.

2. ∞∞ al lı́mit: limx→af

g(x) quan lim

x→af (x) = lim

x→ag(x) = ±∞.

3. 0 · ∞ al ĺımit: limx→a

f · g (x) quan limx→a

f (x) = 0 i limx→a

g(x) = ±∞.

4. ∞ − ∞ al ĺımit: limx→a

f − g (x) quan limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = ∞.

5. 00 al ĺımit: limx→a

(f (x))g(x) quan limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = 0.

6. ∞0 al ĺımit: limx

→a(f (x))g(x) quan lim

x

→a

f (x) = ∞ i limx

→a

g(x) = 0.

7. 1∞ al lı́mit: limx→a

(f (x))g(x) quan limx→a


g(x) = ±∞.

Aquests ĺımits indeterminats es poden resoldre, a vegades, amb la derivada de lesfuncions. Un primer resultat (que té una demostració simple, encara que no és el mésgeneral possible) és la següent

Proposició 2.5.2Si f , g són dues funcions derivables en un interval obert que conté el punt a amb

f (a) = g(a) = 0 i g(a) = 0

llavors limx→a

f

g(x) =

f (a)g(a)

.

Demostració:

limx→a

f

g(x)

(1)= lim

x→af (x) − f (a)g(x) − g(a) = limx→a

f (x) − f (a)x − a

g(x) − g(a)x − a

(2)=

f (a)g(a)

La igualtat (1) és possible perquè f (a) = 0.

La igualtat (2) surt de la definició de derivada posant x = a + h:

f (a) = limh→0

f (a + h) − f (a)h

= limx→a

f (x) − f (a)x − a

Exemple: limx→0

2x − 1x

= ln 2 perquè és el quocient de f (x) = 2x − 1 entre g(x) = x quesón derivables en tot punt i f (0) = g(0) = 0. Per la proposició anterior, el ĺımit és igualal quocient de les derivades f (0) = ln 2, g(0) = 1.

El següent teorema generalitza la proposició anterior, però la seva demostració és méscomplicada i no es donarà:



37/148


Teorema 2.5.3 (Regles de l’Hôpital)Siguin f , g funcions derivables amb g(x) = 0 en un interval obert que cont́e el punt a(excepte, pot-ser, en el punt a) tals que existeix lim

x→af

g(x) (o és ±∞).

1. Si limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = 0 llavors limx→a

f g

(x) = limx→a

f g

(x)

2. Si limx→a

f (x) = ±∞, limx→a

g(x) = ±∞ llavors limx→a

f

g(x) = lim

x→af

g(x)

Aquest teorema també és vàlid per a ĺımits laterals i per a ĺımits a l’infinit.

Exemples:

1. limx→1

x − 1

ln x

= limx→1

11

x

= limx→1

x = 1.

2. limx→0

tan x − xx2

= limx→0

sec2 x − 12x

. Aquest últim ĺımit també és indeterminat, aix́ı que

s’aplica novament la regla de l’Hôpital:

limx→0

sec2 x − 12x

= limx→0

2sec2 x tan x

2 = 0

3. limx→∞

ex

x2 = lim

x→∞ex

2x = lim

x→∞ex

2 = ∞

4. limx→0

x − 1sin x

= limx→0

1

cos x = 1. INCORRECTE!! S’ha aplicat la regla de l’Hôpital a

un ĺımit que no és indeterminat.

Per als altres tipus de ĺımits indeterminats, es poden fer operacions que converteixinel càlcul en un quocient dels que apareixen a les regles de l’H ôpital.

• El ĺımit limx→a

f · g (x) quan limx→a


g(x) = ±∞ es pot convertir en un

ĺımit indeterminat del tipus 00

posant f (x) · g(x) = f (x)1g(x)

. També es pot convertir

en un ĺımit indeterminat del tipus ∞

∞ posant f (x)

·g(x) =

g(x)1

f (x)

.

Exemple: Per calcular limx→0

x · ln x es pot posar

limx→0

x · ln x = limx→0

x1

lnx

= limx→0

1

− 1x ln2 x

que ja es veu que no es podrà resoldre perquè surt un ĺımit similar a l’inicial. Peròtambé es pot posar

limx→0

x · ln x = limx→0

ln x1x

= limx→0

1x

− 1x2

= limx→0

(−x) = 0



38/148


• Les indeterminacions del tipus 1∞, 00, ∞0 es poden convertir en indeterminacionsdel tipus 0 · ∞ utilitzant logaritmes:

(f (x))g(x) = eg(x)ln(f (x))

com que la funció exponencial és contı́nua el ĺımit de l’exponencial és igual a l’ex-ponencial del ĺımit. Per tant

limx→a

f (x))g(x) = limx→a

eg(x)ln(f (x)) = elimx→a g(x)ln(f (x))

Exemples:

1. limx→0

xx = limx→0

ex lnx = elimx→0

x ln x= e0 = 1.

2. lim

x→0+

(1 + sin x)cotx = elimx→0+ cot x ln(1+sin x) Per calcular el ĺımit de l’exponent

es fa

limx→0+

cot x ln(1 + sin x) = limx→0+

ln(1 + sin x)

tan x = lim

x→0+

cosx1+sinx

sec2 x = 1

per tant, limx→0+

(1 + sin x)cotx = e1 = e.

• Les indeterminacions del tipus ∞−∞ s’han de convertir en una indeterminació deltipus 0

0 o del tipus ∞∞ efectuant alguna operació aritmètica (treure factors comuns,

racionalitzar, passar a comú denominador,...)

Exemple:

limx→π

2−

(sec x − tan x) = limx→π

2−

1

cos x − sin x

cos x

= lim

x→π2−

1 − sin xcos x

= limx→π

2−

− cos x− sin x = 0

2.6 Construcció de gràfics

Utilitzant el coneixement que proporciona la derivada sobre la funció (creixement, ex-trems, convexitat) es pot fer una representació aproximada del gràfic. El que falta es-tudiar, i això no ho dóna la derivada, és el comportament asimptòtic de la funció al’infinit.

De manera intüıtiva es podria dir que una aśımptota de la funció és una recta queés tangent al gràfic però en el punt de l’infinit . D’aquesta manera, s’obt́e el concepted’aśımptota vertical i d’aśımptota obliqua.

Definició 2.6.1Si en un punt real a ∈ R la funció tendeix a infinit, lim

x→a+f (x) = ±∞ i/o lim

x→a−f (x) = ±∞,

es diu que la recta x = a és una aśımptota vertical de f .



39/148


El concepte d’aśımptota obliqua apareix quan hi ha una recta que tendeix a ser tangenta la funció quan x → ∞ o bé quan x → −∞.

Com que tot recta té equació y = mx + b, per trobar l’aśımptota (si existeix) s’ha dedonar el pendent, m, i la ordenada en el zero, b.

Aix́ı es dóna

Definició 2.6.2• Si existeix m = lim

x→∞f (x)

x i per aquest m existeix b = lim

x→∞f (x) − mx es diu que la

recta y = mx + b és aśımptota obliqua per la dreta de la funció f .

• Si existeix m = limx→−∞

f (x)

x i per aquest m existeix b = lim

x→−∞f (x) − mx es diu que

la recta y = mx + b és aśımptota obliqua per l’esquerra de la funció f .

Observacions:

• Quan existeix una ası́mptota obliqua i el pendent és zero, m = 0, també es pot dirque l’ası́mptota és horitzontal .

• Mentre d’aśımptotes verticals pot haver-ni moltes, d’aśımptota obliqua n’hi ha, commàxim, una per la dreta i una per l’esquerra.

• En els punts on la funció és contı́nua no hi pot haver cap aśımptota.

Exemple: Ası́mptotes de la funció f (x) = x2 + 2

x − 3La funció és cont́ınua en tots els punts excepte en x = 3. Llavors si hi ha algunaaśımptota vertical només es pot ser la recta x = 3. Com que

limx→3+

x2 + 2

x − 3 = ∞ i limx→3−x2 + 2

x − 3 = −∞

la recta x = 3 és una aśımptota vertical.Per determinar si hi ha aśımptota obliqua per la dreta es calculen els ĺımits

limx

→∞

f (x)

x = lim

x

→∞

x2 + 2

x2

−3x

= 1

limx→∞

f (x) − 1 · x = limx→∞

x2 + 2x − 3 − x = limx→∞

x2 + 2 − x2 + 3xx − 3 = 3

Llavors la recta y = x + 3 és aśımptota obliqua per la dreta.Un càlcul similar amb els lı́mits en el −∞ donaria que, en aquest cas, també la recta

y = x + 3 és aśımptota obliqua per l’esquerra.



40/148

Caṕıtol 3

Càlcul Integral

3.1 Integral de Riemann

La noció d’àrea d’una figura plana té una interpretació intüıtiva clara i quan es tractade figures planes simples, com són triangles, rectangles o, en general, poĺıgons, la de-terminació del valor de l’àrea es pot fer a partir d’un càlcul amb les dimensions delscostats.

Al voler determinar l’àrea de conjunts plans més generals no es pot fer un càlculelemental però, en moltes situacions, els conjunts es poden aproximar per unions derectangles i llavors es pot determinar l’àrea del conjunt per la suma de les àrees d’aquestsrectangles.

Encara que la idea del càlcul de l’àrea per triangulacions o per aproximacions ambrectangles ja es troba a la Grècia clàssica, el desenvolupament amb rigor d’aquesta teoriaes déu sobre tot als treballs de Riemann juntament amb les les contribucions anteriorsde Dirichlet i Cauchy.

Per descriure la construcció de la integral de Riemann s’utilitzar̀a com a motivacióel problema del càlcul de l’àrea que hi ha entre un segment de l’eix d’abscisses i elgràfic d’una funció f , cont́ınua i positiva. Després aquesta construcció de la integral esgeneralitzarà a funcions de qualsevol tipus (no caldrà que siguin ni cont́ınues ni positives).

Sigui f una funció contı́nua tal que f (x) ≥ 0 per a tot x ∈ [a, b]. Al ser una funcíocont́ınua existeix un màxim absolut, M , i un mı́nim absolut, m, sobre l’interval [a, b].

L’àrea A de la figura limitada pel gràfic de la funció i l’eix d’abscisses entre els puntsa i b es troba compresa entre el valor de l’ àrea del rectangle de base b − a i alçada m i elvalor de l’àrea del rectangle de base b − a i alçada M . És a dir,

m(b

−a)

≤ A

≤ M (b

−a)

36


41/148


Figura 3.1.1 Figura 3.1.2Aproximació a l’àrea per excés Aproximació a l’àrea per defecte

dividint l’interval en dos trossos dividint l’interval en dos trossos

Per reduir l’error comès amb l’aproximació per excés o per defecte, es podria subdividirl’interval [a, b] en intervals més petits i considerar les àrees dels rectangles que tenen

per base cadascun d’aquests intervals i alçades el mı́nim (o el màxim) de la funció encadascun d’ells. Sumant les àrees d’aquests rectangles s’obtindria una aproximació quereduiria l’error per defecte (o per excés).

Definició 3.1.1Una partició P d’un interval tancat [a, b] és una col·lecció d’intervals

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn]

de tal manera que a = x0

< x1

< x2

< · · ·

< xn−1

< xn

= b.

Per a una partició P s’anomena norma o diàmetre de la partició a la longitud màximadels intervals que la formen, es representa per ∆P . Per tant,

∆P = màx{x1 − x0, x2 − x1, . . . , xn − xn−1}

Fixada una partició P , per a cada interval [xi−1, xi] (i = 1, . . . n) hi ha un màximabsolut M i i un mı́nim absolut mi perquè la funció és contı́nua en tots aquests intervals

tancats. És a dir,

mi ≤ f (x) ≤ M i ∀x ∈ [xi−1, xi] i = 1, 2, . . . , n

Per construcció l’àrea limitada pel gràfic de la funció i l’eix d’abscisses en l’interval[xi−1, xi] està compresa entre les àrees dels rectangles de base l’interval i al çades M i i mi.Això vol dir que

n

i=1mi(xi − xi−1) ≤ A ≤

n

i=1M i(xi − xi−1)

Apunts de teoria. Capı́tol 3. Càlcul Integral


42/148


Figura 3.1.3 Figura 3.1.4Com més punts té la partició Com més punts té la partició

les sumes superiors s’aproximen les sumes inferiors s’aproximenmillor al valor de l’àrea millor al valor de l’àrea

Definició 3.1.2Es diu suma inferior de la funció f per la partició P a la suma de les àrees dels rectangles

que es formen amb els intervals de la partició i d’alçada el mı́nim de la funció en aquestsintervals:

SI (f, P ) =n

i=1

mi(xi − xi−1)

Es diu suma superior de la funció f per la partició P a la suma de les àrees dels rectanglesque es formen amb els intervals de la partició i d’alçada el màxim de la funció en aquestsintervals:

SS (f, P ) =n

i=1

M i(xi − xi−1)

Per tant, per a tota partició P es té

SI (f, P ) ≤ A ≤ SS (f, P )

Quan a partir d’una partició P es construeix una altra partició P efectuant particionsdels intervals de P s’observa que

SI (f, P ) ≤ S I (f, P ) ≤ A ≤ S S (f, P ) ≤ S S (f, P )

Utilitzant la continüıtat de la funció es pot demostrar que les sumes superiors i in-feriors tendeixen al mateix ĺımit quan el diàmetre de la partició tendeix a zero. Aquestĺımit correspon a la idea intüıtiva de l’àrea A i s’anomena integral de la funció:

Definició 3.1.3Si f és una funció contı́nua en l’interval [a, b], s’anomena integral de f sobre [a, b] al valor b

a

f (x) dx = lim∆P →0

SI (f, P ) = lim∆P →0

SS (f, P )



43/148


Observació: Els śımbols

, dx provenen dels oŕıgens del càlcul integral, quan encarano s’havia formalitzat en termes de ĺımits. La noció d’integral correspon a fer una su-ma dels valors de la funció per la longitud d’un segment que és infinitesimalment petit(un diferencial de x: dx). Aixı́ el śımbol representa una S (de suma) estilitzada illavors f (x) dx s’interpreta com la suma dels productes dels valors de la funció per uninfinitesim de longitud.

El fet de mantenir el śımbol dx té també una finalitat pràctica, ja sigui per indicar(quan hi ha diversos paràmetres) quina és la variable d’integració ja sigui com suportmnemotècnic a l’aplicar el teorema del canvi de variable.

La noció d’integral també es pot donar per funcions que no siguin cont́ınues, encaraque llavors pot passar que la funció no tingui màxim (o mı́nim) en alguns intervals dela partició. També pot passar que els ĺımits, si existeixen, de les sumes inferiors i de lessumes superiors no coincideixin.

Per tot això, es donarà una noció d’integral que generalitza la obtinguda per a funcionscont́ınues. A diferència del que passa amb aquestes, no sempre existirà la integral d’unafunció qualsevol. En primer lloc, la condició que es demanarà per poder fer la construccióde la integral és que les funcions siguin acotades en l’interval. Això és

Definició 3.1.4Una funció f és acotada en un interval J si existeixen valors reals K 1, K 2 tals queK 1 ≤ f (x) ≤ K 2 per a tot x de J . Definició 3.1.5Sigui f una funció acotada en l’interval [a, b]. Es diu que f és integrable (en el sentit de

Riemann) si existeix el l ı́mit

L = lim∆P →0

ni=1

f (ci)(xi − xi−1) amb ci ∈ [xi−1, xi]

i, a més, aquest ĺımit no depèn dels punts ci escollits en cada interval de la partició. En

aquest cas el valor del ĺımit es representa per

ba

f (x) dx i s’anomena integral (definida)

de f sobre l’interval [a, b].

Com s’ha comentat abans, tota funció contı́nua és integrable. També es pot demostrar

que una funció acotada amb una quantitat numerable de discontinüıtats és integrable. Ésper això que al buscar exemples de funcions acotades no integrables s’han de considerarles que tenen un quantitat de discontinüıtats no numerables i, per tant, no es podenexpressar en termes de les funcions elementals amb les que habitualment es treballa. Unexemple de tals funcions és

Exemple: La funció caracterı́stica dels racionals que ve definida per

f (x) =

1 si x ∈ Q0 si x /∈ Q

no és integrable en sobre cap interval.



44/148


El motiu és que per a tota particío P d’un interval [a, b] es pot escollir un puntirracional (ci /∈ Q) en cada interval [xi−1, xi] de P i, llavors, la suma de Riemann és 0:

n

i=1 f (ci)(xi − xi−1) =n

i=1 0(xi − xi−1) = 0per tant el ĺımit de les sumes de Riemann quan ∆P → 0 és 0. Però també per a cadainterval de la partició es pot escollir un punt racional (di ∈ Q); en aquest cas, les sumesde Riemann són

ni=1

f (di)(xi − xi−1) =n

i=1

1(xi − xi−1) = b − a

aixı́ que el ĺımit tampoc depèn de la partició, però no és 0 sinó que és b − a.La funció no és, doncs, integrable perquè el ĺımit de les sumes de Riemann depèn dels

punts escollits en els intervals de la partició.

Propietats. Sigui f una funció integrable sobre l’interval [a, b].

1. Si f està definida en el punt a llavors

aa

f (x) dx = 0 (per conveni).

2.

ab

f (x) dx = − ba

f (x) dx (per conveni).

3. f és integrable sobre [a, c] per a tot c ∈ (a, b).4. Si f és integrable en els intervals definits per dos dels punts a, b c llavors

ba

f (x) dx = ca

f (x) dx + bc

f (x) dx

En el cas que a < c < b llavors la igualtat es dedueix construint la integral amb lessumes de Riemann però considerant que totes les particions contenen el punt c.

Per a qualsevol altra relació d’ordre entre a, b i c (inclòs el cas que dos d’ells, o totstres, siguin iguals) el resultat es dedueix dels convenis establerts en les propietats1 i 2.

5. Si k és una constant real llavors

b

a

kf (x) dx = k b

a

f (x) dx

Per demostrar-ho es comprova que totes les sumes de Riemann de la funció kf (x)són iguals a les corresponents sumes de f (x) però multiplicades per k.

6. Si g també és integrable sobre [a, b] llavors ba

(f (x) ± g(x)) dx = ba

f (x) dx ± ba

g(x) dx

Es demostra aquesta propietat observant que les sumes de Riemann de per la funcióf ± g es poden posar com suma (o difer̀encia) de les corresponents a f amb lescorresponents a g .



45/148


7. Si f (x) ≥ 0 per a tot x ∈ [a, b] llavors

0 ≤ ba

f (x) dx

Aquesta propietat és immediata perquè cap de les sumes de Riemann pot ser nega-tiva, llavors el seu ĺımit tampoc pot ser negatiu.

8. Si g també és integrable sobre [a, b] i f (x) ≤ g(x) per a tot x ∈ [a, b] llavors ba

f (x) dx ≤ ba

g(x) dx

Es dedueix de la propietat anterior considerant la funció (positiva) g − f .9. Si m ≤ f (x) ≤ M per a tot x ∈ [a, b] llavors

m(b − a) ≤ ba

f (x) dx ≤ M (b − a)

10.

ba

f (x) dx

teoria calculo 1 universidad

Documents