Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Escuela de Ingeniería EléctricaExtensión Maturín

Profesora: Bachiller:

Ing. Mariangela Pollonais Carlos Marcano

Maturín, Agosto del 2013

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES:

Se denomina Lugar de Raíces a la gráfica de la posición de las raíces de la ecuación

característica de un sistema, es decir el denominador de la función de transferencia de lazo

cerrado, con la variación de cero a infinito de algún parámetro, normalmente la ganancia de

la función de transferencia de la rama directa.

Al resultar la función de transferencia de lazo cerrado la forma es:

Por lo tanto la ecuación característica es:

Las raíces de la ecuación característica determinan tanto la estabilidad del sistema como la

forma de la respuesta del mismo.

La técnica del lugar geométrico de las raíces (LGR) es un método gráfico para dibujar la

posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que varia un parámetro, la

información que proporciona este método es utilizada para el análisis de la estabilidad y

funcionamiento del sistema.

En la figura se muestra un sistema en lazo cerrado, en donde la constante k es el parámetro

que se va a variar para trazar el LGR, la variación de k es desde cero hasta infinito (0≤ k<∞).

CARACTERÍSTICAS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES:

La ecuación característica del sistema proporciona información valiosa con respecto a la

respuesta del sistema cuando se determina las raíces de la ecuación; para trazar el LGR del

sistema primero se debe determinar la función características del sistema.

Luego se factoriza G(s):

Despejando:

Se ubica en el plano complejo los polos y ceros de la ecuación 3.4. recuerde que los polos se

representan por una x y los ceros con una o. Para dibujar el LGR, sé varia k entre cero e

infinito. De la ecuación 3.4 se puede deducir que:

Sí k=0 entonces las raíces de la ecuación característica son los polos de G(s).

Sí K⇒ ∞ entonces las raíces de la ecuación característica son los ceros de G(s).

Por lo tanto el LGR inicia en los polos de G(s) y termina en los ceros de G(s) a medida que

aumenta k de cero a infinito. Otra característica importante a tener en cuenta del LGR es que

este gráfico es simétrico con respecto al eje real, ya que las raíces complejas de un polinomio

deben aparecer en parejas (raíces complejas conjugadas). El número de segmentos que

componen el LGR de un sistema es igual al número de polos en lazo abierto del proceso, ya

que en sistemas dinámicos el número de polos es mayor que el número de ceros.

Donde N es el número de segmentos del LGR que terminan en polos en el infinito, nz el

número de ceros del sistema y np el número de polos. N también determina el número de

asíntotas del LGR.

Como el número de polos es mayor que el de ceros, entonces en el gráfico del LGR del

sistema habrá segmentos que terminen en ceros en infinito, y dichos segmentos tomaran la

dirección que indiquen las asíntotas, el cálculo de dichas asíntotas se muestra a continuación.

TRASADO DEL UGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES CON

MATLAB:

A continuación se presenta el programa en Matlab para dibujar el LGR. El sistema el cual se

le va a trazar el LGR es:

Los polos de F(s) son: s = 0, s = -5 y s = -2 ± j2.

Los ceros de F(s) son: s = -1.

Lugar Geométrico de las Raíces.

PASOS PARA DETERMINAR LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES:

Trazado del Lugar Geométrico de las Raíces:

Para el trazado de LGR, se retoman paso a paso los anteriores ítems, a continuación se

realizará un ejemplo del trazado del LGR.

Ejemplo:

Dado el sistema de la figura 3.4, dibuje el LGR, determinando las asíntotas, punto de ruptura

y corte con el eje imaginario.

Sistema Realimentado

Marcar los polos y ceros en el plano:

Ubicación de Polos y Ceros:

Calcular número, ángulo y puntos de corte de las asíntotas:

N = 2 – 1 = 1

Luego se tiene una asíntota, el ángulo con respecto al eje real es:

No es necesario calcular puntos de corte ya que solo hay una asíntota.

Calcular el punto de ruptura:

La función características es:

Luego se determina el máximo de P(s)

Los valores de s para que se cumpla la anterior ecuación son: s = 0 y s = -2. Como el sistema

tiene dos polos en cero es lógico pensar que s = 0 es un punto de ruptura, para saber si s = -2

es otro punto de ruptura es necesario aplicar la condición de ángulo en este punto:

Como cumple la condición de ángulo s = -2 es punto de ruptura del LGR.

Corte con el eje imaginario.

Para este punto se utiliza el criterio de Routh-Hurwitz, para lo cual se requiere la función

característica del sistema, la cual es:

Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz:

Para que el LGR corte el eje imaginario k debe ser igual a cero.

Los ángulos de salida y de llagada se calculan para polos y ceros complejos conjugados.

Para el trazado del LGR, se analizan los datos anteriormente obtenidos y se trazan los

segmentos del LGR. La figura muestra el LGR.

MATLAB :

Matlab es un paquete de software orientado hacia el cálculo numérico científico e ingenieril.

Integra calculo numérico, computación de matrices y gráficos en un entorno de trabajo

cómodo para el usuario. Su nombre significa Laboratorio de Matrices y fue escrito

inicialmente en base a los ya existentes paquetes de calculo matricial LINPACK y EISPACK.

Posteriormente se han añadido librerías, denominadas Toolboxes, especializadas en

diferentes áreas cientícas.

Entre ellas podemos destacar:

_ Simulink Toolbox

_ Control System Toolbox

_ System Identi_cation Toolbox

_ Robust Conntrol Toolbox

_ Signal Processing Toolbox

_ Filter Design Toolbox

_ Symbolic Math Toolbox

Por su particular interés para nuestra área de conocimiento. La ultima de la lista, Symbolic

Math Toolbox, está basada en el programa de calculo simbólico Maple y utiliza una sintaxis

diferente.

Matlab ha evolucionado y crecido con las aportaciones de muchos usuarios. En entornos

universitarios se ha convertido, junto con Mathematica y Maple, en una herramienta

instructora básica para cursos de matemáticas aplicadas así como para cursos avanzados en

otras aéreas. En entornos industriales se utiliza para investigar y resolver problemas prácticos

y cálculos de ingeniería. Son aplicaciones típicas el cálculo numérico, la realización de

algoritmos, la resolución de problemas con formulación matricial, la estadística, la

optimización, etc. Es de destacar la aplicación en el estudio, simulación y diseño de los

sistemas dinámicos y de control.

FUNCIONAMIENTO

Matlab es un programa interprete de comandos. Esto quiere decir que es capaz de procesar de

modo secuencial una serie de comandos previamente definidos, obteniendo de forma

inmediata los resultados. Los comandos pueden estar ya definidos en el propio Matlab y

pueden también ser definidos por el usuario. Para que Matlab pueda realizar este proceso el

usuario ha de escribir la lista de comandos en la ventana de comandos, si su número es

reducido, o en un fichero con extensión constituyendo entonces un programa.

El metodo que debe seguirse para procesar los datos es muy simple:

1. El usuario escribe expresiones en la ventana de comandos, o bien en un archivo de texto

apropiado (archivo.m).

2. Tras la orden de ejecución (enter) (o escribir el nombre del fichero), Matlab procesa la

información.

3. Matlab Escribe los resultados en la ventana de comandos y los gráficos (si los hubiere) en

otras ventanas graficas.

CREACIÓN Y SIMULACIÓN DE UN MODELO

Para aprender a manejar Simulink comenzaremos realizando el modelo de un sistema de

control simple.

Dado el diagrama de bloques de un sistema de control,

En donde:

suponiendo que la entrada es una función de tipo escalon unitario, queremos realizar la

simulación del mismo con Simulink.

La construcción del modelo es muy sencilla. En primer lugar hemos de abrir una ventana

para hacer el dibujo. Esto se hace picando con el raton en primer el icono de la izquierda

(hoja en blanco) de la ventana de Simulink o también seleccionando con el raton (file-new

model), en la misma. A continuación iremos colocando en esta ventana los bloques del

diagrama, para lo cual hemos de buscarlos en las librerías de Simulink.

Donde se encuentran en este caso. Para los bloques G(s) y H(s), funciones de transferencia,

utilizaremos el elemento Transfer Fcn que se encuentra en la librería Continuous de

Simulink. Una vez encontrado el bloque, lo arrastramos con el raton a la ventana de dibujo.

Como necesitamos dos elementos, repetiremos la misma accion de nuevo. Tambien es

posible efectuar una copia del elemento, sin salir de la pantalla de dibujo, sin mas que

arrastrar dicho elemento manteniendo pulsado el boton derecho del raton. Una vez que hemos

colocado los dos bloques, procederemos a ponerles sus datos. Para introducir los datos de

G(s) repicaremos con el raton en uno de los iconos Transfer Fcn. Veremos entonces que se

abre una ventana, y en ella pondremos, en formato numerico, los datos correspondientes a los

polinomios numerador y denominador de G(s), es decir los vectores [1; 1] y [1; 0; 4]

correspondientes, respectivamente, a dichos polinomios. Del mismo modo, lo que haremos

para poner los datos de H(s) es repicar en su icono e introducir los vectores [2; 1] y [1; 1] en

la ventana que se abra.

Para el bloque con función de transferencia K constante se podría usar también el bloque

Transfer Fcn si bien parece m_as apropiado el bloque Gain que se encuentra en la librería

Math Operations de Simulink. Elegido este, lo arrastraremos con el ratón a la pantalla del

dibujo y, tras un repique en el mismo, pondremos un 5 como valor de la ganancia. El bloque

adecuado para poner el punto de suma es Sum y se encuentra en la librería Math Operations.

La ventana que se abre al repicar en el permite poner dos o mas signos + o - y cambiar la

orientación de las flechas de entrada y salida según que la barra vertical este en la posición

izquierda, derecha, o entre los signos + y -. Para realizar la simulación hemos de poner como

entrada una función de tipo escalón. Esto lo hacemos escogiendo el bloque Step de la librería

Sources de Simulink. lo arrastraremos también a la ventana de dibujo y, repicando en su

icono, pondremos como parámetros los siguientes. Step time = 0, Initial value = 0, Final

value = 1.

Y por ultimo, para ver el resultado de la simulación, necesitamos un elemento en el que se

genere el grafico de la respuesta temporal. Lo más sencillo es colocar el bloque Scope que se

encuentra en la librería Sinks.

Una vez colocados todos los bloques, utilizando el botón izquierdo del ratón, los uniremos

entre sí mediante flechas y acomodaremos su posición hasta dejarla a nuestro gusto.

El resultado puede ser, más o menos, el siguiente.

A veces puede ser conveniente invertir la orientación de algún bloque para mejorar el aspecto

de su conexión. Esto ocurre en este caso con el bloque H(s) en el que las flechas van hacia

atrás. El cambio orientación de un bloque se realiza picando en el mismo con el botón

derecho del ratón y a continuación, con el botón izquierdo, enformat—flip-blok De modo

similar son también posibles otras operaciones, como por ejemplo ocultar el nombre de un

bloque.

Los bloques pueden tener otras opciones que no describimos aquí pero que el usuario puede

ver con facilidad con la ayuda de Matlab, accesible mediante el boton derecho del raton para

cada bloque.

Una vez que el modelo ha sido completado, podemos proceder a la simulacion. En la ventana

del dibujo de Simulink, seleccionamos con el ratón en (simulation—simulation parameters)

Esto nos permitirá escoger los instantes de tiempo inicial y final, el algoritmo y su paso, fijo o

variable, así como algunos otros parámetros relacionados con la simulación.

APLICACIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL

El modelo de estado de un sistema de control viene dado por las ecuaciones

Uno de los problemas que se presentan en las aplicaciones es hallar la solución del problema

de condiciones iniciales, es decir, la solución del sistema (4.2) junto con un sistema de

condiciones iniciales dadas La solución, que se puede hallar por el

método de variación de las constantes (o por otros métodos), viene dada por las formulas.

El cálculo numérico de estas expresiones esta implementado en la función lsim de Matlab.

Un sencillo ejemplo nos aclarara sobre su uso. Sea un sistema dinámico lineal definido por

las matrices:

Calcular la respuesta temporal y(t) cuando la entrada u(t) es una función escalón unitario en t

= 0 y las condiciones iniciales vienen dadas por el vector x(0) = [00]0. Para hallar la solución

con Matlab, introducimos las cuatro matrices,

las condiciones iniciales

Para hallar la solución numérica hemos de definir un vector t cuyos elementos son los valores

del tiempo en los que queremos a calcular la solución. Por ejemplo,

Ahora definimos los valores de la entrada u(t),

Que en este caso es un vector del mismo tamaño que t y cuyos elementos son todos igual a

uno. Para obtener la solucion, ponemos

y Matlab nos calcula x(t) e y(t) para los valores de t antes definidos.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Con lo que obtenemos la grafica de la respuesta temporal.

Otra forma de obtener la solucion de las ecuaciones de estado es utilizando la transformada

de Laplace. Sabemos que la matriz de transferencia tiene dada por la formula:

Y que, dadas G(s) y U(s) podemos hallar Y (s) con:

En donde U(s) = L(u(t)). Una vez hallada Y (s), la transformada inversa de Laplace nos dara

y(t).

Apliquemos este metodo al mismo ejercicio que acabamos de resolver con lsim. Primero

definimos la matriz identidad de orden 2.

Ahora, para hacer la operación , escribimos

Ahora, para hallar Y (s), ponemos

Y, finalmente,

Con lo que obtendremos la expresion de y(t). Podemos comprobar con

Que obtenemos la misma grafica que antes.

FUNCIÓN Q CALCULA GLR EN MATLAB:

La función q calcula el GLR (lugar geométricos de raíces) se denomina función

rlocus. La función rlocus produce la gráfica del lugar geométrico de raíces de la función de

transferencia polinómica de ciclo abierto:

En esta se tiene un polinomio numerador (num) y un polinomio denominador (den) y una

ganancia K.

Instrucción:

[r,k] = rlocus (num,den,m)

Esta instrucción determina los vectores r y k de las raíces (r) y las ganancias correspondientes

(k) de la función de transferencia definida por los vectores num y den, de los coeficientes de

los polinomios del numerador y denominador de la función de transferencia de lazo abierto

G(s)H(s) y la variable de entrada opcional m, un vector de ganancias de entrada especificadas

por el usuario.

Ejemplo 1:

Obtener la gráfica del Lugar Geométrico de Raíces del siguiente sistema de realimentación

unitaria:

En definitiva, la respuesta obtenida con Matlab debe interpretarse, asignando

la ganancia calculada por el programa del modo que gráficamente se indica para

algunas de las raíces graficadas, a continuación: