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Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di stringa

(connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i numeri

di partizione)

Parte Prima Michele Nardelli, Francesco Di Noto Gruppo “B. Riemann” Abstract In this paper we show some possible connections between knot theory and string theory, based on Fibonacci’s numbers, Lie numbers and partition of numbers. Riassunto Qui mostriamo qualche possibile relazione tra la teoria di stringa e teoria matematica dei nodi, tramite la comune connessione con i numeri di Fibonacci , di Lie e i numeri di partizione °°°°°°°°°° Sul sito del quotidiano “Il sole -24 ORE” www.ilsole24ore.com/art/...10.../nodi-stringhe-fisica-085759_PRN.shtml si parla

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della teoria dei nodi in fisica, e anche sull’edizione cartacea del 20.10.2013 c’è un articolo di Umberto Bottazzini, “ Nodi e stringhe della fisica”, con una lezione a Milano del fisico Edward Witten, noto studioso delle stringhe, e reperibile sul web alla omonima voce su Google. Incuriositi dalla notizia per il nostro interesse circa le teorie di stringa con la quale la teoria dei nodi sembra interconnessa, e con il sospetto che c’entrassero in qualche modo i numeri di Fibonacci (e poi anche i numeri di Lie e le partizioni di un numero), abbiamo trovato un documento adatto al nostro scopo, e che riportiamo integralmente:

Nodo nell'Enciclopedia Treccani www.treccani.it › Enciclopedia

avendovi trovato un sia pur timida connessione con i numeri di Fibonacci (e le partizioni di un numero n), già trovati anche nelle teorie di stringa. Evidenziamo in rosso tale possibile connessione (e in blu un riferimento alla classificazione completa), che poi vedremo meglio in apposita tabella.

“…

2. Teoria dei nodi

In topologia, studia le proprietà geometriche, in particolare i gruppi di omotopia dell’insieme complementare in R3, di un o circuito annodato , ossia di una curva semplice chiusa non riducibile con deformazione continua a una circonferenza (n. banale ). Tutti i n. sono omeomorfi tra loro, tuttavia a causa della diversa maniera con cui si immergono in R3 essi vengono classificati in tipi di n. equivalenti o dello stesso tipo, che si possono cioè corrispondere mediante un omeomorfismo. La proiezione ortogonale su un piano permette di classificare i diversi tipi di n.: ne esistono un solo tipo per i n. con 3 o 4 autointersezioni (sul piano), 2 e 3 tipi per quelli con 5 o 6 autointersezioni, 7 e 21 per quelli con 7 o 8 autointersezioni rispettivamente (in fig. 2 sono dati alcuni esempi). Tuttavia, anche se è stato possibile distinguere i vari tipi con al massimo 10 autointersezioni, una classificazione completa di tutti i possibili casi è tuttora sconosciuta. A partire dagli anni 1980, la teoria dei n. ha mostrato, oltre al notevole interesse intrinseco, un numero sempre crescente di punti di contatto con svariate problematiche della fisica. Ciò non sorprende, se si considera che la teoria dei n. ha avuto origine proprio da un problema di fisica. Nel 19° sec. lord Kelvin ideò una teoria, la cosiddetta teoria degli atomi vortice, in cui gli atomi erano considerati come mulinelli (vortici) nell’etere (onnipervasivo substrato fluido dello spazio a tre dimensioni). Kelvin immaginava questi mulinelli come anelli di fumo che fossero annodati individualmente ed eventualmente l’uno con l’altro a formare le molecole. Questa teoria coinvolse alcuni matematici in un progetto per la compilazione di tavole di tutti i n. topologicamente distinti. La teoria degli atomi

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vortice scomparve quando la teoria di Einstein della relatività speciale e i risultati dell’esperimento di Michelson-Morley mostrarono che lo ‘spazio vuoto’, qualunque ne fosse la natura, non poteva essere considerato analogo a un fluido onnipervasivo.

La correlazione tra la teoria dei n. e la fisica moderna fu stabilita all’inizio degli anni 1980, quando L.H. Kauffman riuscì a trovare il modo di descrivere il polinomio di Alexander (e più tardi il polinomio di Jones) nella forma di una funzione di partizione della meccanica statistica, e V. Jones scoprì invarianti del tutto nuovi di n. e link (un link è l’unione di un numero finito di n. che non abbiano tratti di corda in comune), direttamente correlati a problemi di meccanica statistica. Pochi anni più tardi, E. Witten mostrò come tutte queste costruzioni potessero essere comprese in termini di teoria quantistica dei campi, dando con ciò origine al nuovo settore di studio riguardante la topologia quantistica e la teoria topologica dei campi quantizzati.”

Come possiamo notare facilmente , tutte le coppie di numeri segnati in rosso riguardano uno dei numeri di Fibonacci 2,3,5,8,21 (non figura però il numero 13)

Ma con la voce d Wikipedia “Nodo primo”, troviamo la seguente tabella:

“I nodi primi più semplici

I nodi primi sono generalmente descritti tramite diagrammi, con ordine crescente di incroci. Il nodo primo più semplice in questa descrizione è il nodo a trifoglio con 3 incroci, seguito dal nodo a otto con quattro incroci. La tabella seguente mostra il numero di nodi primi con incroci.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero di nodi primi con incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

Dove si nota la connessione con la nostra tabella riepilogativa, infatti 8 è il numero di incroci (autointersezioni) è connesso a 21, numero di nodi primi, con 8 e 21 numeri di Fibonacci; per 9 incroci si hanno 49 nodi, e con 10 incroci si hanno 165 nodi. La connessione con Fibonacci da noi ipotizzata si allenta sempre più (49 non è numero di Fibonacci e nemmeno 165)

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TABELLA 2

Tipi

Numero di nodi

Autointersezioni (incroci)

Numeri di Fibonacci in numero di nodi o immediatamente precedenti

Numeri di Fibonacci in numero di nodi o differenze

1 3 o 4 1 3 2 e 3 5 o 6 2 e 3 5 7 e 21 7 o 8 7 ≈8 e 21 8 49 9 34 49-34 = 15≈

13 165 10 144 165-144= 21

Ora possiamo creare una nuova tabella, TABELLA 3, con i rapporti successivi tra numero di nodi e numero di incroci, per vedere l’andamento medio della loro crescita:

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TABELLA 3

Numero di nodi N(n)

Numero di incroci n Rapporti successivi

r = N(n) /n 0 1 - 0 2 - 1 3 0,33 1 4 0,25 2 5 0,4 3 6 0,5 7 7 1 21 8 2,62 49 9 5,44 165 10 16,5 ≈ 435 ? 11 39,6 ? Vedi sotto ≈ 1188 ? 12 99 ? … … …

Notiamo che a partire da Nn = n = 7, il rapporto raggiunge e poi supera l’unità, e poi cresce mediamente e proporzionalmente a circa 2,4*r

val. stimati valori reali

Infatti 1*2,4 = 2,4 ≈ 2,65 = r

2,65 * 2,4 = 6,36 ≈ 5,44 = r

5,44*2,4 = 13,05 ≈ 16,5 = r

16,5*2,4 = 39,6 ≈ ? valore reale di r

41,25 *2,4 = 99 ≈ ? valore reale di r

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Dai quali si risale ad N(n) per n = 11 ed n = 12, moltiplicandolo per 11 e 12, ottenendo i valori stimati N(n) ≈ 435 e ≈ 1188 rispettivamente per n =11 ed n =12.

Ma lasciamo per un momento la serie Fibonacci, e passiamo alle partizioni, poiché la serie dei numeri Nn, numero dei nodi, somiglia stranamente alla serie numerica dei numeri di partizione p(N), e cioè N(n) ≈ p(n). Confrontiamo le due colonne fino ad n = 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero di nodi primi con incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

Numero di partizioni fino ad n = 10 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30

Tale somiglianza si limita fino ad n = 8, poi le due serie si allontanano per n = 9 per n =10

Per i valori successivi, 11 e 12, abbiamo i valori stimati 435 e 1188 che come valori di partizioni, abbiamo 435 come circa media aritmetica tra i numeri di partizione 385 e 490, infatti: (385+490)/2 = 875/2 = 437,5 ≈ 435 valore stimato per n = 11.

Idem per 1188, come media tra 1002 e 1255, infatti (1002 + 1255)/2 = 2257/2 = 1128 ≈ 1188 valore stimato per n = 12.

Ma anche i valori precedenti di N(n) possono approssimarsi a medie aritmetiche di numeri di partizioni:

49 = (42 + 56)/2 = 98/2 = 49

165 = (135 + 176)/2 = 311/2 = 155,5 ≈ 165

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Ma anche i numeri N(n) precedenti più piccoli possono essere media di numeri di partizione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero di nodi primi con incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

Numero di partizioni fino ad n = 10 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30

Vedi lista seguente con le coppie dei numeri di partizioni in blu interessati alle medie aritmetiche, sebbene 1, 2, e 3 e 7 sono essi stessi numeri di partizione

1 = (1+1)/2 = 1

2 = (2+3)/2 = 5/2 = 2,5 ≈ 2 ≈

3 =(2+3)/2 = 5/2 = 2,5 ≈ 3

7=(5+7)/2 = 12/2= 6 ≈ 7

21 = (15+30)/2 = 45/2 = 22,5 ≈ 21

Per 49 e 165 vedi sopra

Praticamente, una coppia si e una coppia no da origine ad una media che è molto vicina ad un numero N(n)

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338, 44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525

8

La prossima coppia, per n = 13 incroci, dovrebbe essere 2436 e 3010 con media (2436 + 3010)/2 = 5446 = 2723, invece 99*2,4*13 = 3088, che molto vicino a 3010 numero di partizione:

per n = 14, avremo 99*2,4*2,4 *14 = 7983,36 ≈ (6842 +8349)/2 = 15191/2 = 7595,5, si ritorna ad una media aritmetica, ma con una coppia non più alternata.

Ne possiamo dedurre che i numeri N(n) hanno una curva logaritmica simile a quella delle partizioni, solo che i suoi valori, tranne quelli iniziali 1, 2, 3, 7, sono molto spesso circa una media di due numeri di partizioni consecutivi, ma i valori di n incroci di N(n) ed n di p(n) partizioni non coincidono perfettamente, e si presenta il problema di connetterli; chiamiamoli rispettivamente n ed n’, e cerchiamo la possibile connessione, anche per trovare il modo di andare a ritroso: ponendo n il numero degli incroci, risalire al numero di nodi che abbiano n incroci ciascuno, allo scopo di trovare una via, sia pure approssimativa, alla classificazione completa dei nodi.

Per esempio, vogliamo sapere quanti sono , approssimativamente, i nodi con 13 incroci. Lo abbiamo stimato in 3088, molto vicino al

numero di partizione 3010, con n’ = 27, poiché 3010 è il 27°numero di partizione

0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

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. A000041 as a simple table n a(n) 0 1

1 1 2 2 3 3 4 5 5 7 6 11

7 15 8 22 9 30

10 42 11 56 12 77

13 101 14 135 15 176 16 231

17 297 18 385 19 490 20 627

21 792 22 1002 23 1255 24 1575

25 1958

26 2436 27 3010 28 3718

29 4565

30 5604 31 6842 32 8349 33 10143

34 12310

35 14883

36 17977

37 21637

38 26015

39 31185

10

40 37338

41 44583

42 53174

43 63261

44 75175

45 89134

46 105558

47 124754

48 147273

49 173525

E ora si ritorna ai numeri di Fibonacci o loro medie, poiché n’ di p(n’) , prima colonna della lista OEIS, costeggia la serie di Fibonacci 1,2,3,5 8, 10 ≈13, 22≈21, 27 media 27,5 tra 21 e 34, 31≈34, e così via. Per n = 13 incroci, se la nostra stima risultasse esatta, n’ di n’(p) dovrebbe essere circa 27 come media tra 21 e 34.

Vediamo ora un confronto tra n incroci e ed n’ di partizioni

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TABELLA 4

n di N(n)

(numero di incroci)

n’ di p(n)≈ Fibon. corrispondente

N(n)

reale e stimato 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 1 1 4 1 1 5 2 2 6 3 3 7 5 7 8 8 21 9 10 ≈ media 8 e 13 49 10 14≈13 165 11 18 ≈ media 13 e 21 435? 12 22≈ 21 1188? 13 27 ≈ media 21 e 34 3088? 14 31≈ 34 7983? … … …

Il rapporto n’/n cresce lentamente da 1 per i primi numeri, a 2,21 tra 31 e 14, per cui è poco utile per essere utilizzato al fine di trovare n di N(n) a partire da un numero di Fibonacci o una loro media (con una curva grafica si potrebbe fare di meglio). Ma potrebbe essere utile il rapporto n’/n

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TABELLA 5

n’ connesso alle partizioni

n incroci n’/n reale o stimato

0 1 - 0 2 - 1 3 0,33 1 4 0,25 2 5 0,40 3 6 0,50 5 7 0,71 8 8 1 10 9 1,11 14 10 1,4 18 11 1,63 22 12 1,83 27 13 2,07 31 14 2,21 Osservazione: la

parte decimale cresce mediamente di 0,2

36 15 2,4 ? 41 16 2,6? … … …

Potrebbe essere utile anche l’inverso: ad un numero di Fibonacci f o una loro media f’ , è il f-esimo numero di partizione, al quale corrisponde un numero approssimativo N(n) di numero di nodi con n incroci, e trovando n nel possibile grafico dei rapporti n’/n .

Abbiamo n ≈ f /r, n ≈ f’/r . Se per esempio prendiamo 31 numero prossimo al numero 34 di Fibonacci, troviamo nella lista OEIS sopra riportata che il 31° numero di partizioni è 6842

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( N(n) stimato ) vicino ad un N(n) più preciso, 7983 , corrispondente a n = incroci, 14 , corrispondente al rapporto 31/2,21 , infatti n = f/r = 31/2.21 = 14,02 ≈ 14 dei rapporti n’/n. Per l’osservazione in tabella, il prossimo rapporto sarebbe 2,4, che per 15 fa 36, il 36° numero di partizione è 17977numero prossimo o come media con il successivo 21637, e quindi (17977+ 21637)/2 = 39614/2 = 19807 circa il numero di nodi con 15 incroci. Facciamo un esempio con numeri reali. Prendiamo il numero di Fibonacci n’= 13. Il 13° numero di partizione è 101. Poiché nella curva dei rapporti 13 si trova a circa 1,3, dividendo 13/1.3 abbiamo 10 , corrispondente a N(n) = 165 valore reale. Altro esempio di problema pratico: vogliamo sapere quanti sono i nodi N(n) con n = 16 incroci. Moltiplichiamo 16 *2.6 = 41.6 (con 2.6 dalla tabella per r), e otteniamo 41,6 = compreso tra 41 e 42. Il 41° numero di partizione è 44583, il 42° è 53174 (da tabella OEIS). Probabilmente, N(16) sarà compreso tra tali due numeri , o vicino alla loro media (44583 + 53174) /2 = 97757/2 = 48878, 5. Non è molto per una classificazione completa dei nodi (numeri di nodi con n incroci), ma potrebbe essere un primo tentativo, seppure non ancora deterministico ma solo probabilistico, in tal senso. La connessione con le partizioni p(n) è dovuta al fatto che esse sono tutti i possibili modi in cui un numero intero n può essere scritto come somma di numeri più piccoli; mentre il numero di nodi N(n) sono tutti i possibili nodi con un numero n di incroci . Come abbiamo visto, tali numeri N(n) sono essi stessi numeri di partizioni, come 1, 2, 3, 7, o prossimi alla media tra due numeri di partizioni. Solo che il problema dei nodi è un po’ più difficile, poiché mentre per le partizioni ci sono già formule deterministiche, per il numero di nodi N(n) con n incroci ancora non ce ne sono. Questo lavoro potrebbe aiutare i matematici in tal senso, e in caso di successo, ne seguiranno possibili miglioramenti nelle teorie di stringhe.

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Qui il confronto, interessante, a conferma di quanto sopra, con i numeri di Fibonacci, di Lie e soprattutto, dei numeri di partizioni:

Numero di nodi N(n) con l’equazione preferita dalla natura n2 + n + 1 che dà i numeri di Lie, molto vicini ai numeri di Fibonacci e ai numeri di partizione. Numero di nodi in rosso

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero di nodi primi con incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

TABELLA 6

Fibonacci Numeri di Lie Numero di partizioni 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 5 5 8 ≈ 7 7 7 13 13 11, 15 21 21 22 ≈ 21 34 31 30 55 57 42, 56 media

(42+56)/2= 49 89 91 77, 101 144 133 135, 176 media

(135+176)/2 = 155,5 ≈ 165

233 240 231 … … …

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Come vediamo, tutti i primi numeri noti di N(n), numero di nodi per n incroci, coincidono, o sono vicinissimi, o sono medie di numeri di partizioni (e, in misura minore, anche ai numeri di Fibonacci e ai numeri di Lie). Ampliando ancora la tabella, sarà così anche per i successivi numeri di nodi con n incroci che saranno scoperti e contati in futuro. Questa è la nostra ipotesi di base, che connette la teoria dei nodi alle partizioni e , più in generale, alle teorie di stringa, come si accenna nell’intervita ad Eward Witten citata all’inizio. Il modo in cui cresce il numero di nodi N(n) al crescere degli incroci n, potrebbe essere utile ad approfondire la relazione tra la teoria matematica dei nodi e le teorie di stringa.

Conclusioni prima parte

Constatata la suddetta evidente relazione tra tipi di nodi e serie di Fibonacci F(n), dei numeri di Lie e delle partizioni di numeri p(n), tramite formule e varie tabelle, soprattutto la Tabella 6 finale, lasciamo agli esperti di fisica e matematica delle stringhe e della teoria dei nodi la classificazione completa di tutti i possibili casi, che potrebbe essere facilitata in qualche modo dalle nostre Tabelle.

Per inciso, vogliamo qui ricordare che abbiamo scoperto come cresce il numero di partizioni p(n) al crescere di n: il rapporto tra un numero di partizioni p(n) e il numero di partizioni precedente p(n-1) è sempre più piccolo, e tende a 1 al crescere di n; il che significa che p(n) cresce sempre più lentamente al crescere di n: p(n) / (pn-1) → 1 per n → ∞ Invece per i numeri N(n) il rapporto successivo tra due numeri consecutivi è di circa, mediamente, 2,36

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N(n) N(n-1) r =N(n) / N(n-1) da 1 in poi

1 1 1 2 1 2 3 2 1,5 7 3 2,3 21 7 3 49 21 2,33 165 49 3,36 435 165 2,63 1188 435 2,73 3088 1188 2,59 7983 3088 2,58

Media degli ultimi valori (stimati) 2,63; media totale 2,36; rapporto 2,718/2,36= 1,1516 ≈ 8 718,2 = 1,13

Quindi sembra essere coinvolto in qualche modo il numero e = 2,718, frequente in molte formule di fisica.

Approfondiremo la cosa in eventuali nuovi lavori sull’argomento

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Riferimenti

Tutti gli articoli recenti sul nostro sito che riguardano la teoria di stringa e la successione di Fibonacci come “L’equazione preferita dalla natura”, ecc.

1) Wikipedia “Teoria dei nodi”

La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. La teoria ha applicazioni in fisica subatomica, chimica supramolecolare e biologia.

Fregio del cancello del dipartimento di matematica di Cambridge.

Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei nodi è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.

2) Wikipedia “Nodo primo”

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I nodi primi più semplici

I nodi primi sono generalmente descritti tramite diagrammi, con ordine crescente di incroci. Il nodo primo più semplice in questa descrizione è il nodo a trifoglio con 3 incroci, seguito dal nodo a otto con quattro incroci. La tabella seguente mostra il numero di nodi primi con incroci.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero di nodi primi con incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

3) Nodi e stringhe della fisica sul sito de Il Sole 24 Ore, dal quale riportiamo brevemente

Ancora nelle più avanzate regioni di confine tra matematica e fisica, nella interazione tra teoria dei quanti, teoria delle stringhe e teoria matematica dei nodi si collocano le sue ricerche più recenti. Un nodo è un oggetto familiare e a prima vista non sembra offrire argomento di interesse matematico. Umberto Bottazzini - Il Sole 24 Ore - leggi su http://24o.it/hfOqI

Teoria dei nodi.

Parte seconda. Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero, Francesco Di Noto

Abstract In this second part we show other observations about Knot’s Theory

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Riassunto In questa seconda parte approfondiremo il nostro precedente lavoro (Rif. 1) °°°°°°°°°°°° Unificando le liste dei vari numeri potenzialmente connessi con N(n), numeri di nodi con n incroci, abbiamo la seguente tabella generale, seguita da nostre nuove osservazioni rispetto al nostro precedente lavoro (“Teoria matematica dei nodi”, Rif. 1)

TABELLA 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero N(n) di nodi primi con incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

Numeri di Fibonacci 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

Numeri di partizioni 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30

Numeri di Lie 1 3 7 13 21 31 43 57 73 91

Come vediamo, inizialmente le tre serie sono molto vicini, e connessi

alla formula della geometria proiettiva n^2 + n +1 che da i numeri di

Lie 1 3 7 13 21 31 43 57, in cui 3, 7, 21 sono anche numeri N(n)

Vedi lavori precedente (Rif. 1)

Vediamo ora con la piramide dei numeri (alla base dell’equazione

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preferita dalla natura) , con i numeri N(n) in rosso)

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21

1,3,7,21 sono numeri di Lie, ma non lo sono poi 49 e 165

I numeri di Fibonacci sono in verde

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21

21

I numeri di partizione sono in blu

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35 36

Per i numeri di Lie, in lilla , abbiamo questa piramide

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21

22

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42 43 44 45

Come vediamo, nelle quattro piramidi di numeri consecutivi sono

ovviamente compresi i vari numeri interessati, ma in una posizione

preferenziale verso il lati esterni, più raramente verso l’interno.

Più significativa e utile invece la piramide dei numeri dispari, con la

verticale centrale contenente i quadrati dispari 1, 9, 25, mentre i

quadrati Pari sono medie dei due numeri centrali, per es.

16 = (15+17)/2

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21 23 25 27 29

31 33 35 37 39 41

43 45 47 49 51 53 55

In questa piramide, i numeri N(n) dispari, in rosso sono inizialmente

tutti sulla diagonale sinistra, tranne il 49 quadrato perfetto, si trova

sulla verticale centrale. Per i primi, tranne 49, i numeri N(n) sono

23

quindi della forma n’^2 +n +1 per n’ = 0, 1, 2, 4. Per 49, abbiamo

solo 7^2 quadrato perfetto, Per 165, invece abbiamo n’ =12, poichè

12^2+12 +1 = 144 +12 +1 =157, prossimo a 165, con differenza

165 - 157 = 8. Ma n’ =12, mentre n di N(n) = 10

I vari n’ sono quindi 0, 1 ,2, 3, 4, 7, 12

La successione 0, 1, 2, 3, 4, 7 , 12 costeggia da vicino la serie di

Fibonacci, con 4, 7 e 12 differenti di una sola unità con numeri di

Fibonacci, infatti 4 = 5 - 1, 7 = 8 - 1, 12 = 13 - 1

Potrebbe essere questa una relazione dei numeri di nodi N(n) con i

numeri di Fibonacci , da approfondire quando si conosceranno

esattamente i futuri numeri N(n). Per la relazione con le partizioni di

numeri vedi Rif. 1, il nostro lavoro precedente, dove abbiamo visto che

essi sono connessi al n’ – esimo numero di partizioni ,

N(n) ≈ n’- esimo numero di partizione, o ad una media tra questo e il

successivo, per esempio 49 in modo esatto e 165 in modo

approssimativo.

49 è anche quasi la media tra i due numeri di Lie 43 e 57. infatti

(43+57)/2 = 50 = 49 +1, con 43 e 57 rispettivamente 7° e 8° numero di

Lie. 49 è il 9° numero di nodi, mentre è la media perfetta del 10° e

dell’11° numero di partizione, e cioè di 42 e 56, molto vicini ai numeri

di Lie 43 e 57.

10 42

24

11 56

(estratto dalla lista OEIS dei numeri di partizioni).

Facendo la media tra 7, 8, 10 e 11, abbiamo n = 9 per cui 49 è il

numero di nodi per n = 9 incroci.

Ma per numeri maggiori di nodi tale tentativo non funziona però

molto bene. Circa la vicinanza dei numeri N(n) a numeri di Fibonacci,

di Lie e soprattutto partizioni di numeri, osserviamo le parti decimali

de i numeri N(n) , in quanto quella dei numeri di Fibonacci tende, sia

pure irregolarmente, a 0,40, quella di Lie a 0,50 e quella dei numeri di

partizioni a 0,60, il che significa che tutti e tre i tipi di numeri si

trovano quasi tutti nella fascia centrale (dal 40% al 60%) degli

intervalli tra due quadrati successivi, fascia evidentemente preferita

dalla Natura per scegliere i numeri con i quali regola i suoi fenomeni

vedi “L’equazione preferita dalla Natura” sul nostro sito).

TABELLA 2

N(n) fino ad n =10:

0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

N(n) √N(n) Osservazioni 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1,41

25

3 1,73 > 0,50 5 2,23 7 2,64 > 0,50 21 4,58 > 0,50 49 7,00 (= 1, per 6^2=36) 165 12,84 > 0,50 … … …

La media a partire da 1,41, è la seguente:

(0,41+0,73+0,23+0,64+0,58 + 1 + 0,84 = 4,43 /7 = 0,63, maggiore di

0,60 e quindi leggermente maggiore della media 0,60 per i numeri di

partizioni, e quindi una nuova possibile connessione con questi

numeri: i numeri N(n) dei nodi con n incroci sono leggermente più

grandi dei numeri di partizioni p(n).

Ulteriori tabelle con nuovi numeri N(n) reali per n > 10

confermeranno tale tendenza , sottolineando ancora la connessione dei

numeri di nodi con n incroci e le partizioni di numeri, anche questi

presenti in natura come i numeri di Fibonacci e i numeri di Lie (questi

presenti nel numero di dimensioni dei gruppi di simmetria importanti

in fisica e nel Modello Standard).

Riportiamo la tabella finale del Rif. 1, leggermente modificata, per

ricordare tale possibile relazione, emersa già con i soli primi dieci

valori già noti di N(n):

26

TABELLA 6 Fibonacci Numeri di Lie Numero di partizioni 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 5 5 8 ≈ 7 7 7 13 13 11, 15 21 21 22 ≈ 21 34 31 30 55 57 42, 56 media

(42+56)/2= 49 > 42 89 91 77, 101 144 133 135, 176 media

(135+176)/2 = 155,5 ≈ 165 > 135

233 240 231 … … … Come vediamo, tutti i primi numeri noti di N(n), numero di nodi per n incroci, coincidono, o sono vicinissimi, o sono medie di numeri di partizioni (e, in misura minore, anche ai numeri di Fibonacci e ai numeri di Lie). Ampliando ancora la tabella, sarà così anche per i successivi numero di nodi con n incroci che saranno scoperti e contati in futuro.

27

Questa è la nostra ipotesi di base, che connette la teoria dei nodi alle partizioni e , più in generale, alle teorie di stringa, come si accenna nell’intervista ad Edward Witten citata all’inizio. Il modo in cui cresce il numero di nodi N(n) al crescere degli incroci n, potrebbe essere utile ad approfondire la relazione tra la teoria matematica dei nodi e le teorie di stringa”.

Conclusioni seconda parte.

Possiamo terminare dicendo che le novità riportate in questa seconda parte confermano le conclusioni della parte precedente (Rif. 1) sulla possibile relazione tra nodi n, incroci e numero N(n) di nodi con n incroci e particolarmente con le partizioni di numeri . Nota 1 Riprendiamo la Tabella 1:

TABELLA 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero N(n) di nodi primi con incroci 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165

Numeri di Fibonacci 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

Numeri di partizioni 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30

Numeri di Lie 1 3 7 13 21 31 43 57 73 91

28

Riguardo il numero N(n) di nodi, i numeri 2 e 3 sono anche numeri di Fibonacci e numeri di partizioni e 3 è anche numero di Lie. Il 7 è numero di partizioni e numero di Lie e somma dei due numeri di Fibonacci 2 e 5. Il 21 è numero di Fibonacci e numero di Lie, ed è anche la somma dei tre numeri di partizione 1, 5 e 15. Il 49 è dato dalla media dei due numeri di Lie 91 e 7 ((91 + 7)/2 = 98/2 = 49) ed è anche la media tra il 10° e l’11° numero di partizione, cioè tra 42 e 56 (42+56 = 98; 98/2 = 49). Il 49, inoltre, è anche la somma dei tre numeri di Fibonacci 2, 13 e 34. Infine, 165 è dato dalla somma dei due numeri di Fibonacci 144 + 21 = 165 e dalla somma dei tre numeri di Lie 91, 43 e 31 (91+43+31 = 165). Il 165 è anche la somma del 9° numero di partizione, 30, e del 14° numero di partizione 135 (135+30 = 165).

Nota 2

Analizziamo le liste più complete dei numeri dei nodi e dei numeri di partizioni.

A002863 as a simple table

Lista più completa numero dei nodi n a(n) 1 0

2 0

3 1

4 1

5 2

6 3

7 7

8 21

9 49

10 165

11 552

12 2176

13 9988

14 46972

15 253293

29

16 1388705

[0,0,1,1,2,3,7,21,49,165,552,2176,9988,46972, 253293,1388705]

A000041 as a simple table

Notiamo che l’11° numero di nodi è 552 molto vicino a quello da noi stimato (435, differenza 117). Mentre per il 12°, il 13° ed il 14° numero di nodi abbiamo 2176 ≈ 1188 * 2 (2376 diff. 200), quindi circa il doppio del valore da noi stimato, 9988 ≈ 3088 * 3 (9264 diff. 724), quindi circa il triplo del valore da noi stimato ed infine 46972 ≈ 7983 * 6 (47898 diff. 926), quindi circa il sestuplo del valore da noi stimato. Il 15° numero di nodi è 253293, il valore da noi stimato era 19807 che è circa 13 * 19807 = 257491. Il 16° numero di nodi è 1388705, il valore da noi stimato era 48878 che è circa 28 * 48878 = 1368584.

Lista più completa numero di partizioni n a(n) 0 1

1 1

2 2

3 3

4 5

5 7

6 11

7 15

8 22

9 30

10 42

11 56

12 77

13 101

14 135

15 176

16 231

17 297

18 385

19 490

20 627

30

21 792

22 1002

23 1255

24 1575

25 1958

26 2436

27 3010

28 3718

29 4565

30 5604

31 6842

32 8349

33 10143

34 12310

35 14883

36 17977

37 21637

38 26015

39 31185

40 37338

41 44583

42 53174

43 63261

44 75175

45 89134

46 105558

47 124754

48 147273

49 173525

[1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231, 297,385,490,627,792,1002,1255,1575,1958,2436,3010, 3718,4565,5604,6842,8349,10143,12310,14883,17977, 21637,26015,31185,37338,44583,53174,63261,75175, 89134,105558,124754,147273,173525]

Vediamo che 552 è dato dalla somma dei numeri di partizione 176, 135, 101, 77, 56 e 7. Il numero 2176 è dato dalla somma dei numeri di partizione 1958, 176 e 42. Il numero 9988 è dato dalla somma dei numeri di partizione 8349, 1575, 42 e 22. Il numero 46972 è dato dalla somma dei numeri di partizione 37338, 8349, 1255 e 30. Il numero

31

253293 è dato dalla somma dei numeri di partizione 147273, 105558, 385 e 77. Quindi, dall’11° al 15° numero di nodi abbiamo numeri corrispondenti “esattamente” a somme di numeri di partizioni. Mentre fino al 10° numero di nodi abbiamo numeri corrispondenti a numeri di Fibonacci, di Lie e di partizioni (e/o loro medie e somme).

Per quanto concerne il “polinomio di Jones” inerente un nodo, il geniale fisico teorico e matematico Edward Witten ha elaborato la seguente espressione:

( )( ) ( )∫Γ ⋅ΑΑ0

,exp KAHolTrikCSD R (1)

Definiamo la funzione di Chern-Simons ( )ΑCS , per qualche connessione Α , possibilmente dal valore complesso, attraverso la seguente espressione:

( ) ∫∂

ΑΑΑ+Α∂Α=ΑV

TrxdCS λνµλνµµνλε

π 3

2

4

1 3 . (2)

Indicando con h il doppio del numero di Coxeter del gruppo di gauge G , è possibile scrivere una formula equivalente alla (2) nei termini di una “traccia” adTr nella rappresentazione aggiunta di G

( ) ∫∂

ΑΑΑ+Α∂Α=ΑV adTrxd

hCS λνµλνµ

µνλεπ 3

2

8

1 3 . (3)

Inoltre, nella (1) il termine ( )KAHolTrR , può anche scriversi nel seguente modo:

( ) ( ) ∫==KRRR APTrKAHolTrKW exp, . (4)

Quindi, la (1) può riscriversi nel seguente modo:

[∫Γ Α0

expikD ⋅

ΑΑΑ+Α∂Α∫∂ ]3

2

8

1 3

V adTrxdh λνµλνµ

µνλεπ ∫KR APTr exp . (5)

32

L’azione di Chern-Simons per una teoria di gauge con un gruppo di gauge G (dove G è un gruppo di Lie compatto) ed un campo di gauge A su una varietà tridimensionale orientata W , può essere scritta:

∫

∧∧+∧=W

AAAdAATrk

I3

2

4π. (6)

Ricordiamo che nella teoria di gauge YMg è la costante di accoppiamento di gauge e θ l’angolo-theta della teoria di gauge. L’azione I della teoria 4=N di super Yang-Mills su una varietà quadridimensionale V è la somma di un termine proporzionale a

2/1 YMg , che contiene l’energia cinetica per tutti i campi, ed un termine proporzionale a θ :

∫ ∫+=V Vkin

YM

FTrFxdigxdg

I αβµνµναβε

πθ 4

24

2 32

1L . (7)

La parte di kinL che riguarda soltanto φ,A (in metrica Euclidea) è:

[ ]

+++−= 2, ,2

1

2

1νµ

νµµν

νµνµ

µνµν

φ φφφφφφ RDDFFTrAkinL . (8)

Possiamo quindi connettere la (6) e la (7), ottenendo:

⇒

∧∧+∧= ∫W AAAdAATrk

I3

2

4π ∫ ∫+V Vkin

YM

FTrFxdigxdg αβµν

µναβεπ

θ 42

42 32

1L . (9)

Allora, la (1) può anche scriversi nel seguente modo:

∫ ∫∫∫Γ⋅

+

0

exp32

1exp 4

24

2 KRVkinVYM

APTrFTrFxdigxdg

ikDA αβµνµναβε

πθ

L , (10)

che è connessa con la (5), quindi, in definitiva:

[∫Γ Α0

expikD ⋅

ΑΑΑ+Α∂Α∫∂ ]3

2

8

1 3

V adTrxdh λνµλνµ

µνλεπ

⇒∫KR APTr exp

∫ ∫∫∫Γ⋅

+⇒

0

exp32

1exp 4

24

2 KRVkinVYM

APTrFTrFxdigxdg

ikDA αβµνµναβε

πθ

L . (11)

Notiamo come nella (11) ci siano i numeri di Fibonacci 2, 3 ed 8 e che tale numero è connesso con i “modi” corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la seguente funzione di Ramanujan:

33

( )

++

+

⋅

=

−

∞ −∫

42710

421110

log

'142

'

cosh'cos

log4

31

8

2

'

'4

0

'

2

2

wtitwe

dxex

txw

anti

w

wt

wx

φ

ππ

π

π

.

Inoltre notiamo come 32 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 che sono tutti numeri di Fibonacci. Abbiamo anche 32 = 24 + 8 dove 24 è anch’esso connesso con i modi corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche attraverso l’altra funzione di Ramanujan:

( )

++

+

⋅

=

−

∞ −∫

42710

421110

log

'142

'

cosh'cos

log4

24

2

'

'4

0

'

2

2

wtitwe

dxex

txw

anti

w

wt

wx

φ

ππ

π

π

.

Sempre presente nella (5) è, inoltre, il π che è connesso con la sezione aurea attraverso le seguenti relazioni:

5

cos2πφ ⋅= oppure

10

3sin2

πφ ⋅=

Il legame tra π e φ , ossia tra 3.14… e 0.618… , può ottenersi anche dalla semplice relazione: arccosφ = 0.2879 π; vale a dire arccos 0.618 = 0.2879 π che in radianti con l’uso della calcolatrice si effettua così: rad inv(cos) 0,61803398 = 0,9045569 e 0,2879 · 3,14159265 = 0,9044645. Da cui notiamo come 0,90455 sia vicinissimo all’altro valore, cioè 0,90446 con una differenza 0,00009 trascurabilissima.

34

Riferimenti

1) “Teoria dei nodi e i numeri di Fibonacci” Sul nostro sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/

2) “Teoria dei nodi”

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. La teoria ha applicazioni in fisica subatomica, chimica supramolecolare e biologia.

Fregio del cancello del dipartimento di matematica di Cambridge.

Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei nodi è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.

3) sito http://www.aromatic.com/rudi/026.pdf :

4) http://www.unimib.it/open/news/I-polinomi-che-governano-la-complessita/6413442428496323404 I polinomi che governano la complessità

35

“Grazie ai formidabili progressi fatti in questi ul timi anni, in particolare dalla teoria dei nodi, è ora possibile identificare e seguire nel tempo l’annodamento e lo snodamento di filamenti fluidi nello spazio. Semplici polinomi – come x+x3–x-4 – identificano in modo univoco ognuno degli infiniti ed evanescenti nodi e legami che si formano nel fluido, a cui si associano poi proprietà dinamiche ed energetiche…” 5) “The Jones Polynomial” http://math.berkeley.edu/~vfr/jones.pdf

6) “Intervista a Vaughan Jones”

di Francesco Vaccarino - Politecnico di Torino

da "La Stampa - Tuttoscienze" del 18 marzo 2009

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/I nterventi/Articoli/VaccarinoNodi/VaccarinoNod...

7)”Nodi e fisica”

Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2007)

di Louis H. Kauffman

http://www.treccani.it/enciclopedia/nodi-e-fisica_(Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica)/ 8)Edward Witten – “A new look at the Jones Polynomial of a Knot” – Clay Conference, Oxford, October 1, 2013 9)Edward Witten – “Fivebranes and Knots” – arXiv:1101.3216v2 [hep-th] - 11/08/2011

36

Nota finale su una nuova stima più attendibile: Osserviamo meglio il brano sulla divergenza tra le nostre stime i valori reali dall’11° al 15° numero di nodi:

Notiamo che l’11° numero di nodi è 552 molto vicino a quello da noi stimato (435, differenza 117). Mentre per il 12°, il 13° ed il 14° numero di nodi abbiamo 2176 ≈ 1188 * 2 (2376 diff. 200), quindi circa il doppio del valore da noi stimato, 9988 ≈ 3088 * 3 (9264 diff. 724), quindi circa il triplo del valore da noi stimato ed infine 46972 ≈ 7983 * 6 (47898 diff. 926), quindi circa il sestuplo del valore da noi stimato. Il 15° numero di nodi è 253293, il valore da noi stimato era 19807 che è circa 13 * 19807 = 257491. Il 16° numero di nodi è 1388705, il valore da noi stimato era 48878 che è circa 28 * 48878 = 1368584.

… Quindi, dall’11° al 15° numero di nodi abbiamo numeri corrispondenti “esattamente” a somme di numeri di partizioni. Mentre fino al 10° numero di nodi abbiamo numeri corrispondenti a numeri di Fibonacci, di Lie e di partizioni (e/o loro medie e somme).”

Notiamo che tale divergenza potrebbe essere legata, ancora una volta, ai numeri di Fibonacci, come da seguente tabella:

nostra stima precedente

moltiplicata per i primi numeri di Fibonacci

Numeri di Fibonacci Nuove stime più attendibili

11° numero

stima 435 valore reale552

Rapporto stimato reale 435/552 = 0,78 ≈ 1

(1,26 ≈ √1,618=1,27)

435* 1 = 435

435/1 = 435

435/0,78= 557,69

37

Differenza intera 5 12° numero

Stima 1188

valore reale 2176

2176/1188 = 1,83 ≈ 2

2176/2 = 1088 ≈ 1188

Differenza 100

13° numero

Stima 3088

valore reale

9988

3,23 ≈ 3

3088*3 = 9264 diff.724

9988/3088 = 3,23

9988/3 = 3329

Differenza intera 241

14° numero

Stima 7983

reale 46972

46972/7983 = 5,88 ≈ 5 46972/5 = 9394,4

Differenza intera 1411

46972/5,88= 7988

15° numero

Stima 19807

Valore reale 253293

253293/19807= 12,78 ≈ 13 253293/13 = 19484

Differenza intera 323

16° numero

Stima 48878

Valore reale 1388705

1388705/48878 = 28,41 ≈ 27

≈ Media ar. tra 12 e 34 = 27,5

1388705/27 = 51433,51

Differenza intera

51433- 48878 = 2555

Dal 11° al 15° numero, quindi, un valore stimato v ancora più attendibile è

v = stima * numeri di Fibonacci successivi 1, 2, 3, 5,13, o loro medie, per es. 27 per

il 16° numero

Previsione di stima dei numeri di nodi per il 17° numero numero :

nostra stima precedente * 34 successivo numero di Fibonacci dopo la media 27, e

cosi via.

38

Ma riprendiamo la precedente tabella di pag. 16 e completiamola ora con i numeri

N(n) esatti, dall’11° al 16°

N(n) Valori reali Valori stimati (in rosso)

N(n-1) r =N(n) / N(n-1) da 1 in poi .Valori reali

Valori stimati(in rosso)

1 1 1 2 1 2 3 2 1,5 7 3 2,33 21 7 3 49 21 2,33 165 (10)° numero) 49 3,36 552 165 3,34 2176 552 3,94 9 988 2 176 4,59 46 972 9 988 4,70 253 293 46 972 5,39 1 388 705 253 293 5,48 1 388 705*6=8 332 230 1 388 705 ≈ 6? 8332230*6,5=54159495 8 332 230 ≈ 6,5 ? 54159495*7=379116465 54 159 495 ≈ 7 ? 379 116 465*7,5=

2 843 373 487 intero

379116465 ≈ 7,5?

… … …

In tal modo possiamo stimare con buona approssimazione i valori del 17°, 18°, 19° e 20° numero di nodi , e cioè N(17), N(18), N(19) ed N (20), stimando i rapporti tra uno di essi e il precedente, leggermente crescenti (mediamente di circa 0,5 ad ogni nuova stima. Ulteriori calcoli per i valori reali confermeranno o meno queste nostre attuali stime provvisorie, il 20° numero, per esempio, non dovrebbe essere molto lontano dai tre miliardi di nodi con 20 incroci

39

Una stima per difetto potrebbe essere il prodotto tra un valore reale e l’ultimo rapporto noto, per esempio 1388 705*5,48 = 7 610 103 intero, circa 8 332 230 del valore stimato con il più attendibile rapporto (ora anch’esso stimato), e cioè 6, possibilmente più vicino al valore reale