5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 1/16

 

Flexion: deformaciones

6.1. INTRODUCCION

Por razones de seguridad, de mantenimiento, 0 simplemente de estetica, las defor-

maciones de los elementos estructurales solicitados a flexi6n no pueden superar cier-tos valores considerados como admisibles. Esta limitaci6n es de tal importancia, que

numerosos elementos estructurales se dimensionan igualando las maximas deforma-

ciones a las deformaciones admisibles, y eomprobando posteriormente que los rna-

ximos esfuerzos no superen a los esfuerzos admisibles.

En el presente capitulo estudiaremos los mas usuales metodos de calculo de defor-

maciones en vigas y otras estructuras mas complejas solicitadas a flexi6n.

En las estructuras hiperestaticas solicitadas a flexi6n, las ecuaciones de la Estatica

son insuficientes para resolver su hiperestaticidad siendo necesario establecer eeua-

ciones adicionales. Estas ecuaciones adicionales, 0 ecuaciones de deformacion, se

obtienen utilizando los metodos de calculo de deformaciones a flexi6n expuestos en

el capitulo anterior.

EI grado de hiperestaticidad de una viga es igual a la diferencia entre el numero de

incognitas de sus reacciones extemas y el de ecuaciones de la Estatica. Para resolver

su hiperestaticidad es preciso establecer un mimerc de ecuaciones de deformaci6n

igual a t grade de hiperestaticidad de la viga. Para ella, se transforma la viga hiperes-

tatica en una viga Isostatica equivalente,

liberandola de sus ligaduras superabun-

dantes y sustituyendo su acci6n por fuer-

zas y pares. Las magnitudes de estas fuer-

zas y pares han de ser tales que la ,vigaisostatica equivalente conserve las coac-

ciones que Jas ligaduras suprimidas ejer-

dan sobre la viga hiperestatica.

Sea, por ejemplo, una viga de un so-

lo tramo can un extrema empotrado y

otro apoyado cargada uniformemente

(Fig. 7.1a). Esta viga es hiperestatica de

primer orden, ·yaque las inc6gnitas de sus .

reacciones extemas soil 4 y las ecuaciones

de Ia Estatica son 3..Al suprimirle el apo-

L

(a)

q

I l I I I I ( [ 1 I I I I I I B f

YB'

( b )

Fig. 7.1 (a) y (b).

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 2/16

 

yo m6vil B superabundante, sustituyendolo por la fuerza YB, se transforma en una

viga isostatica (Fig. 7.1b). Para que estaviga isostatica sea equivalente alahiperes-

tatica, la magnitud de YB ha de ser tal que la flecha en B sea nula. Esta condici6n

{,B =0 constituye la ecuaci6n de deformaci6n de la viga. Anulando la flecha en el

extremo Bde la viga isostatica equivalente, calculada por cualquiera de los metodos

anteriormente estudiados, se obtiene la reacci6n hiperestatica YB•

6.2. ANALISIS DE DEFORMACIONES

En el capitulo anterior se ha explicado que, en una viga solicitada a flexion, las dife-

rentes secciones transversales experimentan giros, y que, como consecuencia de esos

giros, las fibras longitudinales se curvan con el fin de mantener su ortogonalidad

respecto a las secciones transversales giradas. Como una fibra mas el eje de la viga,

inicialmente recto, se transforma en la elastica, 0 lugar geometrico de los centros

de gravedad de las secciones transversales de la viga deformada. Ademas, los sucesi-

vos ejes neutros, 0 ejes de giro de las diferentes secciones transversales, describen

la superficie neutra, la cual contiene a aquellas fibras longitudinales que-se han cur-

vado sin variaci6n de longitud, entre las que se encuentra la coincidente con la elasti-

ca. Por esta razon, el radio de curvatura de la superficie neutra 10 es tambien de

la elastica.

Analicemos ahora la deformaci6n de un elemento diferencial de viga solicitadoa flexion por un momento flector Mz , dirigido segun el eje principal z de cada sec-

ci6n transversal (Fig. 6.1a). Si se descompone el elemento de viga en varias rebana-

das, obtendremos su deformacion a flexion girando cada rebanada alrededor del eje

neutro de la seccion transversal extrema correspondiente, es decir, alrededor de no,

nt, n 2 (Fig. 6.1b).

Se observa que las diferentes secciones transversales no solamente giran sino que

se desplazan respecto al eje xA - Si se considera la deformacion de la totalidad de I

viga, la seeci6n transversal de referencia A se habra desplazado con relaci6n al ej

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 3/16

 

n jIIII

( a ) ( b )

Fig. 6.1.

inicial de la viga x. Ahora bien, las componentes de los desplazamientos en la direc-ci6n del eje x son despreciables frente a las componentes perpendiculares al eje, por10 que se admite que los desplazamientos de las secciones transversales son perpendi-

culares al eje de Ia viga. Consecuentemente, los centros de gravedad de las secciones

transversales se desplazardn perpendicularmente al eje de la viga, y sus nuevas posi-

ciones Go, G1, G2, G3 deflnen la elastica.

Cuando las cargas que acnian sobre la viga estan contenidas en un plano, la direc-ci6n del momento flector se mantiene constante a 10 largo de la viga, e igualmente

ocurre con las direcciones de los ejes neutros, por 10 que la elastica estara contenida

tambien en un plano. Este plano coincide con el que contiene las cargas cuando es-

tan dirigidas segun uno de los ejes principales de las secciones transversales. En el

caso general de que las cargas no sean coplanarias la elastica sera una curva ala-

En resumen, la flexi6n de la viga origina en una secci6n transversal cualquiera A

una deformaci6n definida por las dos magnitudes siguientes:

a) EI dngulo de flexion (JA' 0 dngulo girado por la secci6n transversal alrededor

de su eje neutro. (J A coincide con el angulo que la tangente a la elastica en la

secci6n considerada forma con el eje de la viga.

b) Laflecha YA, 0desplazamiento del centro de gravedad de la secci6n transversalen direcci6n perpendicular al eje de la viga.

6.3. ECUACION DIFERENCIAL DE LA ELAsTICA

Consideremos una viga solicitada por un momento flector M'; de magnitud variable,

dirigido segun el eje principal z de cada secci6n transversal. La elastica sera una cur-

va plana de ecuaci6n Y =y(x) (Fig. 6.2), cuya curvatura, segun (5.21), es

1 Mz-=--.r BIz

(6.1)

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 4/16

 

Esta expresi6n, correspondiente a fle-

xi6npura, esvalida en flexi6n simple siem-

preque la fuerza cortante T y sea constante,

yaque en ese caso T y produce en

laelasticaunatraslaci6n constante que no afecta a su

curvatura. En el caso de que la fuerza cor-

tante T y sea variable, su influencia es des-preciable en aqueUas vigas en que las di-

mensiones de sus secciones transversales

seanpequefias frente a su longitud, por 10

que (6.1) sera aplicable ala mayoria de las

vigas solicitadas a flexion simple.

Sustituyendo en (6.1) la expresi6n de la curvatura

o x

y(x)

y

Fig. 6.2.

se obtiene la ecuacion diferencial de la elastica de la viga

d2y

dx2 M z

[ 1 + (:rr = EI,'

(6.2)

La integraci6n de esta ecuaci6n no lineal presenta grandes dificultades. Sin em-

bargo, en la mayoria de las vigas las deformaciones son pequefias y ello permite esta-

blecer 0 = tg O . Es decir,

8= dy.dx

En consecuencia, el dngulo de flexion 8 es igual a la pendiente de la elastica.

AI ser (:)2

despreciable frente a la unidad, la ecuaci6n (6.2) se reduce a

.

. ,- =- 'l. (6.4)dx EIz

(6.3)

o su equivalente

d2y u,dx2 = EIz

que representa la ecuacion diferencial aproximada de la elastica de la viga, de aplica-

cl6n a toda clase de vigas salvo aquellas que por su esbeltez tienen grandes deforma-clones.

( 6 . S )

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 5/16

 

Eligiendo el sistema de ejes coordenados con el eje y dirigido hacia abajo, pitta;.d~ ~~

M r. > ° es dx2 < 0, por 10 que al segundo miembro de la ecuaci6n (6.5) se Ie d~_;j;

be afectar del signa menos , i : : , _

.,. .~" ..:

(6.6)

A continuaci6n se halia la ecuaci6n de la elastica correspondiente a distintos tiPOS:de vigas y de cargas.

-. <,

a )_M e nsula co n car ga co ncentra da en el extrem a libre (Fig. 6.3) ,'" ."., ,

Se elige un sistema de ejes coordenados con origen en el centro de gravedad d e , . : , ~ ;

la secci6n de empotramiento, el eje x coincidente con el eje de la viga y el eje s:dirigido hacia abajo. El momento fleeter M % a una distancia x del empotramien-vto es :~;~.

Mz = -P(L - x).

: : : : : : : q q r BI,

I

I

I

I

Sustituyendo esta expresi6n en (6.6), se .

obtiene la ecuaci6n diferencial de la elasti-ca de la viga

d2y Pdx2 = El (L - x).

%

x

L

Multiplicando los dos miembros por dx e.

integrando resulta

dy P ( X z )dx = EI

zLx - 2+ C1 •

Multiplicando de nuevo ambos miembros

por dx e integrando

y = ~ ( i X2 _ x3

) +'C1x+ C2•

EI% 2 6

x

y

Fig. 6.3.

Las constantes de integraci6n C I Y C2 se deducen teniendo en cuenta las condicio-

nes de sustentaci6n de la mensula, segun las cuales en la secci6n de empotramiento

la pendiente de la elastica y la flecha han de ser nulas. Es decir, para x = 0 han de ser

dy =0,dx

y:;; 0,

de donde

Cz = o .

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 6/16

 

por consiguiente, la ecuaci6n de la elastica es

La flecha es maxima en la secci6n extrema B

(6.7)

y la pendiente de la elastica en B es

0B _ ( d Y - ) _ pL2.- dx x seL - 2Elz

(6.8)

b) Mensula con carga uniformemente distribuida (Fig. 6.4)

Sesinia el origen de coordenadas en el centro de gravedad de la secci6n extrema B.

EImomento flector M, a una distancia x de la secci6n B es

qx2

M=--·z 2

La ecuaci6n diferencial de la elastica de

la viga es

x

Integrando dos veces, resultaL

y

Fig. 6.4.

Con los ejes elegidos, las condiciones de sustentaci6n son

(dY) _ 0dx x eL

de las que se deduce

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 7/16

 

que sustituidas en las expresiones anteriores, determinan las ecuaciones de la pen~diente de la elastica y de la propia elastica

dy = _!!_(x3 _ L3)dx 6Elz

Y = 24~1 (x4

- 4L3X + 3L4

).

z

El angulo girado y la flecha en la secci6n B son

(6.9)

(6 .10 )

c) Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida (Fig. 6.5)

Se sinia el origen de coordenadas en el centro de gravedad de la secci6n extrema iz -

quierda. El momento flector a una distancia x del apoyo A es

M = qL x- qx2

z 2 2

y la ecuaci6n diferencial de la elastica de

esta viga esx

Integrando dos veces

Ly

Fig. 6.5.

Las condiciones de sustentaci6n de la viga son

(y)x=O = 0

(Y)x:L = 0

de las que se deduce

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 8/16

 

'~iedlete:rmmalIllas ecuaciones de ·la pendiente de laelastica y de la elastica

dy q '3 23

dx = 24EI (4x - 6Lx + L )

z

angulos girados por las secciones extremas de la viga son

qL3

24Elz

8B= ( _ d Y _ ) = __ q _ L _ 3 _

dx x= L 24Elz

(6.11)(dY)

A= - =dx x= o

flecha maxima corresponde a la secci6n central ( x = ~ ) en la que : = 0,

es evidente por raz6n de simetria. Por consiguiente

5 qL4

Y m a x = (Y)x=LI2 = 3 8 4 EI .z

(6.12)

Viga simplemente apoyada con carga concentrada (Fig. 6.6)

sinia el origen de coordenadas en el centro de gravedad de la secci6n extrema iz-

Las expresiones del momento flector M, son

PhM=-x

z L

PhM; =LX - P(x - a).

Para el primer intervalo, la ecuaci6n diferencial de la elastica y sus dos integracio-

d

2

Y1 Pbdx2 = - ElL xz

dY1= __!!!_ x2

+ C1

dx st.: 2

Ph x3

Y1= ----+C1X+C2•si.: 6

Para el segundo intervalo, la ecuaci6nc:iiferencialde la elastica y sus dos integra-

clones son

a b

L

y

Fig. 6.6.

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 9/16

 

dY2Pb

X 2

P(x - a )2

dx = - EIzL 2EIz 2 + C3

Pb x3 P (x - a)3

Y2 = - El L6El 6 + C3x + C4 •z z

Las constantes de integraci6n se determinan a partir de las condiciones de suste..

taci6n de la viga y de las condiciones de continuidad de la elastica en el punto •

encuentro del primero yel segundo intervalo:

De estas cuatro ecuaciones se deducen las cuatro constantes de integraci6n

Pb(L2

- b2)C1 =C3 = •

6EIzL

con las que se hallan las ecuaciones de la pendientey de la elastica correspondientes

a cada intervalo:

dy; Pb 2 if 2

dx = 6El L (L - - 3x )z

Pbx 2 2 2

Yl = 6El L (L - b - x )z

dY2--=dx

Yz = 6:tL [ ~ (x- a)3 + (L2- b

2)x-X

3].

Los angulos girados por las secciones extremas son

( ) _ ( d Y 1) _A- -dx x= o

Pab(L + b)

6ElzL(6 .13)

()B = ( d Y2) = _ Pab(L + a) .dx xeL 6EIzL

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 10/16

 

La flecha maxima se origina siempre en el mayor de los dos intervalos, que

en la viga representada es el primero por ser a> b. Igualando a cero : ' re-

sulta

que define la abscisa del punto al que corresponde una tangente horizontal y, por

tanto, la flecha maxima de la viga. Sustituyendo Xo en la ecuaci6n Y l del primer in-

tervalo de la elastica, se obtiene

Cuando la carga Pse aplica en la secci6n central de la viga, por raz6n de simetria,

la tangente a la elastica ha de ser horizontal en dicha secci6n, a la que le corresponde

la flecha maxima

PL3

Y m a x = 48EI .z

(6.14)

e) Vigasimplemente apoyada con un par aplicado en un extremo (Fig. 6.7)

A 10 largo de la viga la expresi6n del momento flector M; es

xM =M.o - ·

Z L

La ecuaci6n diferencial de la elastica y sus dos integraciones son

»;

A!<:Jt ~ x

1---- II---X--~ I

I

dy Mo x2

C-- ----+dx - ElzL 2 1

L

D e las ecuaciones de sustentaci6n y

(y)x=o = 0,

se deduce

Fig. 6.7.(Y)x=L =0

M o LC1= 6EI '

Z

C2= 0

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 11/16

 

dy--=

dx

que determinan las ecuaciones de la pendiente y de la elastica de la viga.'

,>

MoX 2 2

Y = 6EI L (L - x ).z

Los angulos girados por las secciones extremas son

EjempJo 6.1. Determinar la ecuaci6n de la elastica de una viga simplemente apoyada,soo:'

metida a un diagrama triangular de carga (Fig. 6.8). . .

. Datos: qo, L, EIz•...- .

Soluci6n: Del equilibria de la viga

R L - qoL _ ! . _ _ =0A 2 3 t,

de donde

L

y El momenta fleetor M~en una secci6n s i p

tuada a una distancia x del apoyo A es

.' 3

M =RAx- qox !_!_= qoL x-~"z L 2 3 6 6L

F i g . 6 . 8 .

La ecuacion diferencial de la elastica es

d2y qox3 qoLx

dx2

= 6ElzL - 6Elz

e integrando dos veces

dy qox4 qoLx2

dx = 1AElzL 12El

z+ C1

Q o xs

q Lx3

y = 120ElzL - 3~Elz + Clx + C2•

De las condiciones de sustentacion

(Y)z=L = 0

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 12/16

 

_deduce

7QoI}C1= 360El '

z

'I" ecuacion de la elastica

Y = 3~ i(3X' ~lOx3L2}.f~J,4X).z

x

.-.plo 6.2. Determinar las ecuaciones de la elastica de una viga simplemente apoyada

-metida a un par de momenta Mo (Fig. 6.9).

1)atos: Mo. L, a, EIz·

,~.: Del equilibrio de la viga

~MB:: ; :O,

·41·donde

MoRA=-·

L

: L a s expresiones del momento flector Mz son

M = Moxz L

E;x<a

a<xE;L

L

La ecuaci6n diferencial de la elastica y sus dos integraciones, para el primer y segundo in-

lIr¥81o, son

Q:<x<a

y

Fig. 6.9.

! ! Y i = _ Mo Xl + Cdx EIzL 1 : 1

M. x3

Y l = --.Q_-- + C1x + ClEIzL 6

a<.xE;L

M. x3 M. Xlo 0 C· C

Y2 = - El L6 El T 3X + 4·z z

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 13/16

 

De las condiciones de sustentaci6n y de continuidad

(Y~.r" 'L = 0,

se deduce

Mo 2 2)C1 = 6E1 L (6aL - 3a - 2L ,

x

Cz = 0,Mo 2· 2

C3 = - 6EI L (3a + 2L ),z:

Por consiguiente, las ecuaciones de la elastica, correspondientes a cada intervalo, son

YI = Mo [_x3 + x(60L - 3a2 - 2L2)]6ElxL

y = Mo [_x3 + 3x2L - (3a2 + 2L2)x + 3a2L]2 6EIxL .

Ejempl0 6.3. Determinar la ecuaci6n de la elastica y la flecha en el extreme libre de una

mensula sometida a un diagrama triangular de carga (Fig. 6.10).

Datos: qo' L, EIz .

.~o

~x

I

x I

Soluci6n: EI momento flector Mta una dis-

tancia x del extreme libre es

1 qox x qox3

M = ----x-= --_.4 2 L 3 6L

L

La ecuaci6n diferencial de la elastica y sus

dos integraciones son

d2y _ qoxl

dx2 - 6ElxL

y dy qo 4 C-d-x = 24ElxL x + 1

Fig. 6.10.

qo 5 C Cy = 120ElL x + IX + 2'

z

Con el sistema de ejes elegido, las condiciones de sustentaci6n son

(dY) _ 0

dx 1:=L-

de las que se deduce

q L3C1= __0_.

24Elx

Por consiguiente, la eeuacion de la elastica es

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 14/16

 

y la flecha en el extremo fibre

Ejemplo 6.4. Determinar las ecuaciones

de la elastica y la flecha y el angulo girado enla secci6n extrema B de una mensula de sec-

ci6nvariable sometida a un par de momento

Mo(Fig. 6.11).

Datos : Mo, L, II = 3Iz , E.

S olu do n: A 10 largo de toda la viga el mo-

mentoflector es igual a Mo. AI ser la rigidez

El . diferenteen los intervalos A C y CB, habra~ ecuaci6nde la elastica diferente para cada

i a t e r v a 1 o .La ecuaci6n diferencial de la elastica, co-

pespOndientea cada intervalo, y sus dos inte-

atacionesson

" '1 Mo7=-Ell

, . 1 .Mo

. . - - - - - - --x + C1: t I X Ell

M. x'l

' 1 .= - Ei T+C1X+C'l

A

x

L/2

y

Fig. 6.11.

dZY2 Mo

-::;:-:r = ---dx EI2

dyz Mo-= --x+C3dx EIz

M XZ

Yz = - EI: T C3x + C4•

WaeQ:ndicionesde sustentaci6n y de continuidad de la elastica son

MoLC3=--,

Ell

MLzC4

= __ 0_

4EI1

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 15/16

 

con las que se obtienen las ecuaciones de los dos intervalos de la elastica

L Mox2

o ~ X ~ "2 Y1 = - 2EII

Mo 2 2

Y2 = - 4EI1 (6x - 4Lx + L ).

La flecha y el angulo girado en la seccion B son

3 MoL2YB = (Y2)x=L = -"4E

1

()B = (dY2) = _ 2 MoL .dx x eL Ell

Ejemplo 6.5. Una mensula de seccion rectangular tiene un ancho b constante y un C a 1 l ~

h variable linealmente, desde ho en la seccion extrema B hast a 2ho en el empotramienteot(Fig. 6.12). Determinar la flecha en la seccion B, cuando la mensula esta sometida a unacaJ:'~.

ga P aplicada en B.

PI-

I E - IA - - -

I

_ _

-_ -

- tx

L L

Datos: P = 6000 kg, L = 5m,b = 30 em, ho =40 em,E=2· 105 kg/em",

Soluci6n: Se elige como origen de coon

denadas el punto 0, situado en la intet..,

seccion de los bordes superior e inferi<>t

de la mensula, a una distancia L del.ex."

tremo libre. Siendo 1 0 el momento · . · · d e

inercia de la seccion transversalB,.i;momento de inercia de la seccion situa-

da a una distanda x del punto 0es

o

y

Fig. 6.12.

El momento fleet or en la seccion considerada es

M; = -P(x- L)

y la ecuacion diferencial de la elastica

d2y _ P(x - L) _ PL

3 ( _ 1 _ ! : _ )dx2 - I. - E1 x2 x3'

E_o x3 0

L3

Integrando dos veces

5/15/2018 TeoriaEstructuras TEMAVI 1 Vigas Hip Ere Static As - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoriaestructuras-temavi-1-vigas-hip-ere-static-as 16/16

 

U s condiciones de sustentaci6n son

(dY) -0dx x=2L - , (Y)x=2L = 0,

d e ] a s que se deduce

PL3

( 1 )2 = -- In2L--

l?I 2 .

Per consiguiente, la ecuaci6n de la elastica es

Y= PL3

(In 2L _~+~~ _ _ ! _ )l?Io x 2x 8 L 2

y ]a flecha en el extremo libre

PL3

(

5 )PL

3

YB = (Y)X=L = -- In2 - - = 0,068--·l? Io 8 l?Io

30.403

Svstituyendo los datos e 1 0 = 12 = 160 000 em", resulta

YB = 1,59cm.