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Optimización de la hidrodinámica de reactores electroquímicos: Empleo de métodos experimentales y númericos.Angel José Frías Ferrer
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant.2004
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA FÍSICA
OPTIMIZACIÓN DE LA HIDRODINÁMICA DE REACTORES ELECTROQUÍMICOS: EMPLEO DE MÉTODOS EXPERIMENTALES
Y NUMÉRICOS
Memoria presentada para optar al grado de Doctor por la Universidad de Alicante, por:
Ángel José Frías Ferrer
Directores de tesis:
D. Antonio Aldaz Riera. D. Vicente Montiel Leguey. Catedrático de Química Física Prof. Titular de Química Física de la Universidad de Alicante. de la Universidad de Alicante.
D. José González García Prof. Titular de Química Física de la Universidad de Alicante.
Alicante, Octubre 2004.
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant.2004
Ahora que ya se esta acercando el final de este largo periplo que ha sido la presente tesis creo que es necesario el hacer un alto en el camino para agradecer la ayuda y la colaboración que tantas y tantas personas me han ido brindando a lo largo de los años y cuyo fruto es el presente trabajo. A D. Antonio Aldaz y D. Vicente Montiel, por darme la oportunidad de entrar y acogerme en esta familia que es el Departamento de Química Física de la Universidad de Alicante así como por animarme a aumentar mis conocimientos científicos en diversos campos. A D. José González García, por todos los ratos buenos y malos, por nuestras risas, por todos los momentos pasados en y fuera del trabajo (así como en y fuera del país) y en general por todo lo que ha hecho que estos años de tesis hayan valido de verdad la pena y me hayan permitido mejorar a nivel científico y, lo que es aún más importante para mi, a nivel humano. Gracias por tu amistad. A Dña. Verónica Sáez, compañera de departamento pero, sobre todo, buena amiga. Por todos esos buenos ratos pasados frente a los platos del Club Social, por aguantar todas nuestras bromas y sobre todo por hacerme saber que siempre que me hiciera falta algo estaría allí para echarme un cable. A D. Frank C. Walsh, por haberme acogido en dos ocasiones distintas en su laboratorio, una vez en Portsmouth y la otra en Bath. Por tener una paciencia infinita conmigo y por hacer cada una de aquellas estancias fuera mucho más llevadera para aquel que siente morriña. A D. Juan Conesa, por haberme iniciado en el mundo de la simulación y darme apoyo científico cada vez que lo necesitaba. A D. Carlos Ponce de León, por haber hecho el tremendo esfuerzo de leer mi tesis. A mis compañeros de Departamento, D. Carlos Sánchez Sánchez, D. Pedro Bonete, D. Jesús Iniesta, D. Francisco Gallud, Dña. Dolores García, D. Francisco Vidal, D. Jose Solla, D. Eduardo Exposito, D. Juan Manuel Ortiz, D. Vicente García y D. Miguel Angel Pastor por haber hecho que todos estos años de trabajo sean algo de lo que de verdad me siento orgulloso de recordar.
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Al resto de compañeros del Departamento con los que, desgraciadamente he podido compartir menos momentos, pero a los que de verdad llevo en el corazón. A mis compañeros de carrera y post-carrera D. Antonio Berna, D. Joaquín Arias, D. Francisco Hernández, Dña. Laura Jiménez y especialmente a Dña. Mª Ángeles Lillo que no ha permitido que pasara más de un mes sin que nos tomáramos al menos un cafecito juntos y le llorara mis penas. A mis amigos Mario, Maria, Alberto, Natalia, Carolina, Marta, Santi, Bea, Isa, Carlos, Paloma y Botella por vuestra amistad y comprensión, por estar siempre ahí y hacer que los fines de semana olvidara todos los problemas y quebraderos de cabeza que me ha generado esta tesis. Y por último a mis amigos de toda la vida Sergio, Juanjo y Carlos por demostrarme que aunque la vida nos ha llevado por caminos distintos la amistad es algo que siempre perdura. A Todos vosotros,
Gracias
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A mi familia. A mis padres Casto y Pilar,
a mis hermanas Verónica y Mirian, a mi cuñado Oscar, y a mis suegros Pedro y Mercedes
por brindarme todo el cariño y el apoyo que me ha hecho falta en cada momento de mi vida.
Soy quien soy gracias a vosotros.
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A quien ha dado un nuevo rumbo a mi vida, enseñándome que la felicidad plena
es posible de alcanzar.
Gracias Merche
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I
ÍNDICE 1.- Introducción 1 1.1.- Objetivos de la presente memoria 4 2.- Técnicas 11 2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia 13 2.1.1.- Introducción 13 2.1.1.1.- Viscosidad del fluido 14 2.1.1.2.- Tipos de flujo 15 2.1.2.- Transporte de materia 19 2.1.2.1.- Ecuaciones de convección-difusión 20 2.1.2.2.- Grupos adimensionales 22 2.1.2.3.- Correlaciones de grupos adimensionales 25 2.1.2.4.- Flujo a través de un canal con sección
rectangular 26 2.1.3.- Medidas del transporte de materia 28 2.1.3.1.- Métodos para la determinación del coeficiente
de transporte de materia en reactores electroquímicos 28 2.1.3.2.- Determinación de la corriente límite
espacialmente promediada 30 2.2.- Estudios dispersión de flujo 33 2.2.1.- Introducción 33 2.2.2.- Distribución de tiempos de residencia (RTD) 33 2.2.2.1.- Curva E: Distribución de edades del fluido
que abandona un reactor 34 2.2.3.- Métodos experimentales 35 2.2.3.1.- La curva F 38 2.2.3.2.- La curva C 38 2.2.3.3.- Relaciones entre las curvas F, C y E 40 2.2.3.4.- Momentos principales 41 2.2.3.5.- Determinación de las características de la
respuesta a partir de una entrada en forma de impulso 44
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II
3.- Hidrodinámica / Transporte de materia 47 3.1.- Estudio del efecto entrada/salida 49
3.1.1.- Introducción 49 3.1.2.- Configuración experimental 55 3.1.3.- Resultados 64 3.1.3.1.- Medida de la caída de presión en el reactor 64 3.1.3.2.- Estudios de transporte de materia 64 3.1.3.3.- Efectos entrada / salida 69 3.1.3.4.- El efecto de los promotores de turbulencia 69 3.1.4.- Nomenclatura 81 3.1.5.- Referencias 82 3.2.- Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03 87 3.2.1.- Introducción 87 3.2.2.- Configuración experimental 88 3.2.3.- Estudios Hidrodinámicos 93 3.2.3.1.- Modelos para los estudios de RTD (Residence
Time Distribution) 93 3.2.3.2.- Flujo pistón con dispersión axial SIN intercambio de materia con las zonas muertas 95 3.2.3.3.- Flujo pistón con dispersión axial CON intercambio de materia con las zonas muertas 95 3.2.3.4.- Resultados 97
3.2.4.- Estudios de transporte de materia 100 3.2.5.- Estudios de visualización directa 105 3.2.6.- Conclusiones 107 3.2.7.- Nomenclatura 108 3.2.8.- Referencias 110 3.3.- Estudio de un reactor a escala piloto UA200.08 117 3.3.1.- Introducción 117 3.3.2.- Configuración experimental 117 3.3.3.- Resultados 125 3.3.3.1.- Estudios hidrodinámicos 125 3.3.3.1.1.- Caída de presión 125 3.3.3.1.2.- Estudios de RTD 127 3.3.3.2.- Estudios de transporte de materia 137 3.3.3.3.- Estudios de visualización directa 142
3.3.4.- Discusión de los resultados 144 3.3.5.- Nomenclatura 147 3.3.6.- Referencias 149
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III
3.4.- Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300 153 3.4.1.- Introducción 153 3.4.2.- Configuración experimental 153
3.4.3.- Resultados 157 3.4.3.1.- Estudios hidrodinámicos 157 3.4.3.1.1.- Desarrollo matemático del modelo 158 3.4.3.1.1.1.- Balance de materia global y
balance de materia por especies 158 3.4.3.1.1.2.- Modelo del reactor 159 3.4.3.1.1.3.- Solución del sistema de
ecuaciones diferenciales parciales 163 3.4.3.1.1.4.- Condiciones limite de contorno para las ecuaciones diferenciales parciales 166 3.4.3.1.1.5.- Ajuste de curvas experimentales 167
3.4.3.2.- Estudios de transporte de materia 169 3.4.4.- Conclusiones 171 3.4.6.- Nomenclatura 172 3.4.7.- Referencias 174 4.- Modelización por CFD 175 4.1.- Introducción a la técnica CFD 177 4.1.1.- Introducción 177 4.1.2.- Ecuaciones que gobiernan la dinámica de fluidos 184 4.1.2.1.- Modelos de flujo 184 4.1.2.1.1.- Volúmenes finitos de control 184 4.1.2.1.2.- Elemento infinitesimal de fluido 186 4.1.2.2.- Derivada sustantiva (velocidad de cambio
cuando el sistema se mueve con el fluido) 187 4.1.2.3.- Divergencia de la velocidad 190 4.1.2.4.- Ecuación de continuidad 193 4.1.2.5.- Ecuación de momento 201 4.1.2.6.- CFD 207 4.1.3.- Elementos finitos 209 4.1.3.1.- Elementos Finitos 210 4.1.3.2.- Mallado 212 4.1.3.3.- Discretización 213 4.1.3.3.1.- Método de los residuales ponderados 214 4.1.3.3.2.- Funciones base 216 4.1.3.3.2.1.- Función base P2-P1 217 4.1.3.4.- Resolución 220 4.1.3.4.1.- Convergencia 221
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IV
4.1.3.4.2.- Pre-acondicionamiento 222 4.1.4.- Nomenclatura 224 4.1.5.- Referencias 225 4.2.- Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03 229 4.2.1.- Introducción 229 4.2.2.- Configuración Experimental 230 4.2.3.- Estudios por CFD 232 4.2.3.1.- Definición del problema 232
4.2.3.1.1.- Definición de la geometría 232 4.2.3.1.2.- Mallado 235 4.2.3.1.3.- Propiedades del dominio 237 4.2.3.1.4.- Condiciones de contorno 238 4.2.3.2.- Resultados 239 4.2.3.3.- Interpretación de resultados 244 4.2.3.3.1.- Caídas de presión 244 4.2.3.3.2.- Hidrodinámica del sistema 246 4.2.3.4.- Validación de las simulaciones por CFD 249 4.2.3.4.1.- Comparación áreas activas obtenidas
por CFD y por RTD 249 4.2.3.4.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas experimentalmente y por CFD 252 4.2.3.4.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia 261
4.2.4.- Nomenclatura 268 4.2.5.- Referencias 269 4.3.- Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD 273 4.3.1.- Introducción 273
4.3.2.- Prototipos previos 277 4.3.3.- Configuración Experimental (UA63.04) 280 4.3.4.- Estudios por CFD 283 4.3.4.1.- Definición del Problema 283 4.3.4.1.1.- Definición de la geometría 283 4.3.4.1.2.- Mallado 284 4.3.4.1.3.- Propiedades del dominio 286
4.3.4.1.4.- Condiciones de contorno 287 4.3.4.2.- Resultados 288 4.3.4.3.- Interpretación de resultados 293
4.3.4.3.1.- Caídas de presión 293 4.3.4.3.2.- Hidrodinámica del sistema 296 4.3.5.- Estudios Experimentales 298 4.3.5.1.- Configuración Experimental 298
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V
4.3.5.2.- Estudios Hidrodinámicos 302 4.3.5.2.1.- Modelo matemático para el estudio
de las curvas RTD 302 4.3.5.2.2.- Resultados experimentos RTD 303 4.3.5.3.- Estudios de transporte de materia 307 4.3.5.4.- Estudios de visualización directa 310 4.3.6.- Validación de las simulaciones por CFD 312 4.3.6.1.- Comparación áreas activas obtenidas por CFD
y por RTD 312 4.3.6.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas
experimentalmente y por CFD 313 4.3.6.2.1.- Modelización de las RTDs 313 4.3.6.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia 324 4.3.7.- Nomenclatura 328 4.3.8.- Referencias 329 5.- Conclusiones 331 Apéndices 337 AP-1.- Programa Matlab modelo RTD: 1 Camino con Volumen muerto 339 AP-1.1.- Introducción 339 AP-1.2.- Código MATLAB 341 AP-1.2.1.- Programa principal (TAILB.M) 341 AP-1.2.2.- Programa de cálculo (OBJETIVO.M) 342
AP-2.- Programa Matlab modelo RTD: 2 Caminos con Volumen muerto 347 AP-2.1.- Introducción 347 AP-2.2.- Código MATLAB 349 AP-1.2.1.- Programa principal (OPTIMISE.M) 349 AP-1.2.2.- Programa de cálculo (OBJETIVE.M) 350
AP-3.- Programa Matlab para el calculo de las áreas activas a partir de CFD 353
AP-3.1.- Introducción 353 AP-3.2.- Código MATLAB 354 AP-3.2.1.- Programa de Interpolación 3D 354 AP-3.2.2.- Programa para el cálculo de áreas activas 357 AP-4.- Programa Matlab para el calculo km a partir de CFD 361 AP-4.1.- Introducción 361 AP-4.2.- Código MATLAB 362 AP-4.2.1.- Programa de Interpolación 3D 362
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VI
AP-4.2.2.- Programa principal (OPTIM.M) 365 AP-4.2.3.- Primer bucle de cálculo (OBJETIVO.M) 372 AP-4.2.4.- Segundo bucle de cálculo (OBJETIVO2.M) 386
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Capitulo 1: Introducción
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1.- INTRODUCCIÓN
El principal objetivo de la industria química, incluyendo en esta a la industria
electroquímica, es el de contribuir a la sociedad a través de una adecuada utilización de
unos recursos limitados. Aunque las industrias han de tener un tamaño adecuado para
poder satisfacer las necesidades de la sociedad, el escalado al tamaño de una planta
industrial así como los requerimientos del equipamiento necesario están íntimamente
ligados al avance de las actividades de esa misma sociedad, con lo cual se forma un
ciclo de “retro-alimentación” entre las necesidades y el diseño que ha de ser optimizado.
Ya que las industrias químicas, así como las industrias electroquímicas, son grandes
consumidoras de recursos energéticos, una de las mayores y más importantes tareas a
llevar a cabo consiste en optimizar al máximo los procesos a fin de ahorrar tanto
materias primas como energía, es decir, alcanzar un desarrollo sostenible.
La tecnología electroquímica tiene unas características únicas ya que los
procesos electroquímicos pueden ser considerados como reacciones catalíticas
heterogéneas que ocurren en los electrodos, por la introducción al sistema de una
energía eléctrica. Estos procesos suelen ser bastante flexibles y pueden ser englobados
en varios campos de la química tradicional. Estas características son especialmente
deseables y pueden resultar una ayuda inestimable para la economía de los procesos
químicos. Un ejemplo de estos intentos de aplicación de la electroquímica, en campos
que hasta hace no mucho pertenecían a lo que se definía como química tradicional,
puede ser la síntesis orgánica o inorgánica.
Por tanto, se entiende por Ingeniería Electroquímica al conocimiento necesario
tanto para el diseño como para el funcionamiento de una planta industrial que incluye
alguna etapa electroquímica en un sistema de producción, o bien en la generación de la
energía necesaria para el proceso. La primera opción implica el uso de energía eléctrica
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Capitulo 1: Introducción
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para, por ejemplo, la producción de compuestos químicos, y la segunda implica el uso
de compuestos químicos para la generación de energía.
Sin embargo la separación y distinción entre lo que son procesos químicos y
electroquímicos no siempre está tan clara, existiendo un gran número de áreas y de
aplicaciones en las que ambas se solapan y complementan. Por ejemplo, campos
relacionados con la dinámica de fluidos, el transporte de materia y energía, la
termodinámica de los sistemas, los procesos de separación, los procedimientos de
modelización o de optimización son campos que tienen sus bases en principios que
pueden ser aplicados tanto a procesos puramente químicos como electroquímicos.
En resumen, la Ingeniería Electroquímica hace referencia a aspectos prácticos de
la electroquímica relacionados directa o indirectamente con procesos industriales.
1.1.- OBJETIVOS DE LA PRESENTE MEMORIA
Como se ha hecho mención anteriormente, la aplicación de la tecnología
electroquímica a los procesos de síntesis orgánica e inorgánica está recibiendo
últimamente una gran atención por parte de centros de investigación e industrias,
motivada por el convencimiento de que se trata de una poderosa tecnología capaz, no
sólo de realizar síntesis no alcanzables o muy difíciles por métodos clásicos, sino
también, de simplificar en gran manera dichos procesos de síntesis. No obstante esta
utilización esta exigiendo un continuo diseño, desarrollo y perfeccionamiento de
diferentes tipos de reactores electroquímicos (figura 1.1) lo que implica el conocimiento
y la creación de nuevas herramientas que permitan caracterizarlos a través de su
comportamiento hidrodinámico y la estimación de sus transportes de materia. Uno de
los reactores más utilizados, en campos como la síntesis orgánica, y el tratamiento de
aguas con contenido orgánico, es el reactor tipo filtro-prensa. Una de sus principales
ventajas es su facilidad de escalado desde escala laboratorio hasta escala industrial, así
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Capitulo 1: Introducción
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como su capacidad de satisfacer las demandas de producción con su montaje en
apilamientos o stacks (monopolares, bipolares y mixtos). No obstante, en el desarrollo
de nuevos procesos con disolventes orgánicos y nuevos materiales electródicos, se ha
puesto de manifiesto la necesidad de mejorar y optimizar el diseño de dichos reactores,
con el objetivo de alcanzar las condiciones hidrodinámicas y las distribuciones de
corriente adecuadas que permitan trabajar con sistemas de más de una fase y mejorar la
selectividad de las reacciones y la evacuación de subproductos gaseosos.
El interés de este proyecto radica en la caracterización de una familia de
reactores electroquímicos del tipo filtro prensa fabricados en la propia Universidad de
Alicante. El estudio comprenderá desde reactores a tamaño laboratorio (16 cm2 y 63
cm2 de área electródica unitaria) pasando por reactores de escala piloto (área de
superficie electródica en célula unitaria 200 cm2) hasta en reactores industriales (3250
cm2 de área electródica unitaria). Para cada uno de ellos se estudiará:
• Su comportamiento hidrodinámico (caída de presión y distribución de
tiempos de residencia) mediante el desarrollo de modelos de simulación
así como experimentación directa en el laboratorio o planta piloto, según
el caso.
• Sus características del transporte de materia dentro del reactor (factor
muy importante a la hora de trabajar a escala industrial).
• Por último se utilizarán nuevas técnicas de simulación con uno de los
reactores a fin de poder modelizarlo totalmente para, posteriormente,
pasar a su optimización. Para ello se emplearán técnicas de CFD
(Computational Fluid Dynamics) basadas en la resolución de las
ecuaciones de Navier-Stokes a través del método de elementos finitos en
el interior de los compartimentos sometidos a estudio.
Se puede dividir la presente memoria en dos grandes partes, figura 1.2,
interconectadas entre sí y cuyo fin será la obtención de un diseño de reactor más
eficiente, que los fabricados hasta el momento en la Universidad de Alicante, obtenido a
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Capitulo 1: Introducción
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través de diversos métodos de optimización que evitarán la construcción de muchos
prototipos de prueba disminuyendo significativamente los recursos económicos que se
deberán destinar para alcanzar este objetivo. Por otro lado, a lo largo de la presente
memoria se irán empleando diversas técnicas y herramientas que serán puestas a punto
para desarrollar la tarea de conseguir una optimización más rápida, eficiente y barata de
esta clase de reactores.
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Capitulo 1: Introducción
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Figura 1.1: Esquema de concepción y puesta en practica de un proceso electroquímico
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Capitulo 1: Introducción
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Figura 1.2: Esquema del presente trabajo
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Capitulo 1: Introducción
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En la parte 1, se realizará un primer estudio de caracterización de reactores
electroquímicos de tipo filtro prensa. El objeto de esta primera parte consistirá,
básicamente, en obtener una visión general de los diversos aspectos que intervienen en
la hidrodinámica y la eficiencia en el transporte de materia de esta clase de sistemas.
Se estudiarán los fenómenos entrada / salida, de especial relevancia en reactores
de dimensiones reducidas en los que no se puede llegar a desarrollar un patrón de flujo
definido, así como las variaciones en la hidrodinámica de los sistemas a medida que se
va pasando de una escala inferior de trabajo a una superior.
Esta primera parte servirá para tener un conocimiento bastante pormenorizado
de la hidrodinámica de estos sistemas, así como, para poner a punto diversas técnicas de
caracterización y estudio de reactores filtro prensa. Entre ellas se tratarán los métodos
basados en el estudio de curvas RTD (Residence Time Distribution), métodos basados
en el estudio del transporte global de materia hacia los electrodos y métodos de
visualización directa.
Por ultimo, en la parte 2 del presente estudio se abordará un caso de
optimización concreto. Se iniciará un estudio mediante técnicas numéricas de
simulación por ordenador, técnicas de CFD (Computational Fluid Dynamics), de un
reactor filtro prensa a escala laboratorio que nos permitirá optimizar una nueva
herramienta que, posteriormente, utilizaremos para proponer un diseño optimizado del
mismo.
Este nuevo diseño de compartimiento será sometido a las mismas técnicas
convencionales de optimización que se vieron en la primera parte del estudio, lo que
además nos permitirá validar la herramienta empleada basada en estudios de CFD.
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
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2.1.- TÉCNICAS: ESTUDIOS DE TRANSPORTE DE MATERIA
2.1.1.- INTRODUCCIÓN
Las condiciones hidrodinámicas dentro de un reactor son importantes
para muchos aspectos de la Ingeniería Electroquímica. Así, el flujo del fluido no sólo
controla la magnitud y uniformidad del transporte de materia sino que también es
importante en aspectos tales como:
• Retirada de gas de los electrodos, con el objetivo de prevenir un posible
“apantallamiento de gas”, es decir, la obstrucción de la superficie
electródica por las burbujas de gas.
• El diseño correcto de los distribuidores para introducir los electrolitos /
reactivos y para retirar los electrolitos / productos de un reactor de flujo
continuo.
• El control de la estabilidad de temperatura y composición dentro de un
reactor que permitan el funcionamiento, según lo especificado.
• El diseño del equipamiento adicional tal como bombas, válvulas,
rotámetros e intercambiadores de calor.
• La caída de presión a lo largo del reactor, que determinará parcialmente
los requerimientos de bombeo.
• La capacidad de separación del producto, por ejemplo, en la recuperación
de metal en polvo a través de fluidización.
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
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2.1.1.1.- Viscosidad del fluido
La mayoría de los electrolitos líquidos son fluidos Newtonianos, es decir,
la tensión tangencial experimentada por el líquido es una fuerza proporcional a la
superficie sobre la que actúa. Consideremos dos planos de fluido separados una cierta
distancia, uno moviéndose a una velocidad, vx, y el otro permaneciendo inmóvil. En
flujo laminar, la tensión tangencial entre las capas de fluidos adyacentes, τyx, puede ser
expresada como:
y d vd
xyx µτ = (2.1.1)
donde la constante de proporcionalidad, µ, entre la tensión tangencial y el
gradiente de velocidad es la viscosidad dinámica. Esta propiedad depende sólo del
estado del fluido (es decir, su presión, temperatura y composición) y se puede
considerar como una resistencia a las fuerzas de fricción.
La ecuación (2.1.1) es un ley de transporte lineal que describe el
movimiento del flujo del fluido a una escala molecular. La viscosidad cinemática, ν, es
la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad del fluido:
ρµ
ν = (2.1.2)
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
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2.1.1.2.- Tipos de flujo
Convección libre y convección forzada
En el caso de la convección, el movimiento del fluido esta causado por la
influencia de un gradiente de velocidad. Se puede distinguir dos casos. La convección
natural (o libre) que tiene lugar por variaciones locales en la densidad ( a menudo
causadas por las variaciones locales en temperatura) y la convección forzada que es
originada por la aplicación de una energía mecánica (como el caso de un bombeo de
electrolito o movimiento del electrodo), o por el consumo de energía en un sistema
(como en el caso de caída de presión a través de una tubería). En la práctica, tanto la
convección libre como forzada pueden contribuir al flujo de fluido, aunque en
experimentos controlados de laboratorio, usualmente es deseable que uno de ellos
predomine.
Flujo laminar y turbulento
Las condiciones de flujo de un electrolito para una geometría particular
de reactor suelen estar caracterizadas por un grupo adimensional conocido como
número de Reynolds
νl v Re = (2.1.3)
donde v es la velocidad de flujo característica, l es la longitud característica y ν
es la viscosidad cinemática definida por la ecuación (2.1.2). La velocidad y la longitud
característica dependen de la geometría del compartimento. Por ejemplo, v puede ser la
velocidad lineal del fluido en un canal, o través de un electrodo poroso, o puede ser la
velocidad periférica de un cilindro rotatorio. La longitud característica puede ser el
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
16
diámetro de una tubería, el diámetro equivalente de un canal, el radio de poro medio de
un electrodo poroso o el radio de un disco rotatorio.
Figura 2.1.1: Clases de regímenes de flujo y sus correspondientes perfiles de velocidades
El número de Reynolds representa la relación de las fuerzas de inercia frente a
las fuerzas viscosas en un líquido, (es decir, la relación de fuerzas que causan el flujo
del electrolito frente a las que lo retardan). Su importancia puede verse considerando el
flujo convectivo forzado a través de una compartimiento rectangular de pared lisa, como
podría ser el caso de un reactor electroquímico filtro prensa (ver figura 2.1.1) donde la
velocidad característica, v viene dada como la relación de una velocidad de flujo
volumétrica media frente al área normal al paso del fluido, Ax (para un canal rectangular
Ax = B·S donde B es la anchura del canal y S su altura).
x
v
AQ
v = (2.1.4)
A valores de Re bajos, la capas de fluido se deslizan rápidamente una sobre otra
y la velocidad local en cualquier punto es independiente del punto. Esta condición de
flujo laminar tiene lugar típicamente para Re < 2000 en una compartimiento como el
Flujo Laminar, Re ↓
CaudalCaudal Qv
Flujo Turbulento, Re ↑
B
S
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
17
descrito. A valores de Re mayores (>2000), el flujo sufre una transición gradual y hay
una tendencia a la formación de vórtices que mezclan las capas de fluido. Dentro de
este rango se encuentra el número de Reynolds crítico, Recrit, para el comienzo del flujo
turbulento. A un valor de Re suficientemente alto los vórtices mezclan las capas de
fluido y los valores de velocidad local fluctúan con el tiempo alrededor de un valor
medio. Este flujo es totalmente turbulento y da lugar a un perfil de velocidades plano.
Cualquier obstáculo al flujo de fluido, tal como rugosidad de la pared del canal, causará
el inicio de las turbulencias a valores de Re menores, es decir, Recrit disminuirá.
Las condiciones de flujo pueden ser estudiadas a través de técnicas de
inyección de un trazador que se comentarán en capítulos posteriores.
Para una geometría electrodo / electrolito dada, los reactores de diferente
tamaño se espera que tengan propiedades de flujo similares si el valor de Re se
mantiene durante el escalado. Esto se denomina algunas veces como el “principio de
similitud dinámica”. Sin embargo, en el transcurso de la presente tesis se comprobará
que esto no siempre se cumple, y que dicho principio de similitud dinámica puede dar
lugar a escalados incorrectos o deficientes.
Hasta aquí, han sido considerados los perfiles de velocidad totalmente
desarrollados. En la práctica dichos perfiles se desarrollan gradualmente con la
distancia a lo largo de la pared en la dirección principal de flujo del fluido y se puede
ilustrar la situación considerando el desarrollo del flujo laminar de un electrolito sobre
una placa plana. Dos fuerzas actúan sobre el fluido:
1. La fuerza motriz que causa el flujo, (por ejemplo, la presión de un bomba
o la presión hidrostática).
2. Una fuerzas opositoras debida a las fuerza viscosa en la interfase entre la
placa y el electrolito que genera una fricción con la pared sólida.
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
18
Si la disolución se divide en capas elementales, los elementos cercanos a la placa
estacionaria son frenados por ella. En un reactor electroquímico, la placa plana
normalmente sería un electrodo o separador.
A velocidades más altas, y a una distancia suficientemente alejada de la entrada
de líquido en la dirección principal de flujo de fluido se desarrolla el flujo turbulento. A
distancias cortas, la capa límite es laminar; más allá de una distancia, xCRIT, a lo largo de
la superficie electródica, pasa a ser turbulenta (pero retiene una fina subcapa laminar
cercana a la placa, δ). Para fluidos Newtonianos, 3 x 105 < ReCRIT ( = u∞xCRIT/ν) < 3 x
106.
Figura 2.1.2: Desarrollo del flujo de un fluido sobre una superficie plana
La existencia de capas límite desarrolladas tiene dos importantes
implicaciones:
• El espesor de la capa laminar será más fino a distancias más cortas a lo
largo del electrodo, y por lo tanto, las densidades de corriente
controladas por el transporte de materia local serán mayores que los
valores medios sobre la longitud de la placa.
• En una caso de un canal delimitado, (por ejemplo un canal rectangular,
anular o circular) las capas límite en las dos paredes se unirán al final en
u∞ u∞
δ y
x
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
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el mismo punto. A partir de aquí, tendrá lugar una situación en estado
estacionario donde el flujo está completamente desarrollado.
Las turbulencias dentro de los reactores electroquímicos son normalmente
ventajosas, ya que los remolinos del flujo aumentan el transporte de materia de las
especies reactivas hacia el electrodo, y también promueven el intercambio de especies
entre el seno de la disolución y las capas superficiales. Este último factor tiende a
minimizar el efecto del pH local y cualquier otro cambio de composición provocado por
la reacción electródica. De hecho, es una práctica común utilizar redes o varillas de
material aislante cercanas a la superficie del electrodo para actuar como promotores de
turbulencia. Por otra parte, la misma forma del electrodo (por ejemplo mallas, esponjas,
redes, lechos de fibras o partículas) puede actuar como un promotor de turbulencia.
La generación de flujo turbulento implica una caída de presión mayor en el
reactor, con lo que se sufre una penalización de coste en términos de impulsión del
fluido.
2.1.2.- TRANSPORTE DE MATERIA
Una velocidad de transporte de materia elevada y uniforme de la especie
electroactiva hacia o desde la superficie electródica es importante en varias áreas del
comportamiento del reactor ya que,
• Conllevará la obtención de elevadas intensidades lo que a su vez
proporcionará gráficas de rendimiento del reactor mejoradas.
• Densidades de corriente uniformes sobre la superficie del electrodo
minimizan las reacciones secundarias y, por lo tanto, ayudan a mantener
la eficiencia en corriente, rendimiento en materia y selectividad en
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valores elevados. Esto es sólo posible si el régimen de transporte de
materia es uniforme sobre toda la superficie del electrodo.
• Deben mantenerse composiciones de la capa de reacción en la superficie
del electrodo en valores cercanos a las del seno de la disolución para
prevenir reacciones químicas indeseadas, de lo contrario se puede
dificultar la cinética de la reacción, contaminar el electrodo o disminuir
la pureza del producto.
2.1.2.1.- Ecuaciones de convección-difusión
En presencia de una concentración de electrolito soporte elevada el transporte de
materia de las especies puede ser descrito por un flujo compuesto de un término de
difusión y otro de convección:
dxdcD - vc N = (2.1.5)
donde v es la velocidad del fluido, c es la concentración de las especies, D es la
coeficiente de difusión y x es la dirección perpendicular a la superficie del electrodo.
Esta ecuación es, de hecho, una forma de la ley de Fick con la adición de un término de
flujo convectivo, vc. Un balance de materia para un elemento de volumen pequeño en
el sistema nos conduce a una forma diferencial de la ley de conservación. En los
sistemas puramente electroquímicos, la velocidad de reacción es cero en el seno de la
disolución y por tanto,
xN -
tc
∂∂
=∂∂
(2.1.6)
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El acoplamiento de las ecuaciones (2.1.5) y (2.1.6) lleva a una expresión para la
difusión-convección en términos de la velocidad de variación de la concentración con el
tiempo:
2
2
xc D
xc v-
t c
∂∂
+∂∂
=∂∂
(2.1.7)
Esta es una versión de la segunda ley de Fick con un término adicional para la
convección. Por otra parte, para fluidos Newtonianos, la variación de la velocidad con
el tiempo viene dada por la ecuación de Navier-Stokes que representa la conservación
del momento en el sistema. Para un fluido incompresible, y teniendo en cuenta tan solo
una componente de la velocidad, la relación es:
g x
v xp 1 -
xv v
t v
2
2+
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂ ν
ρ (2.1.8)
donde ρ es la densidad del fluido, p es la presión y g es la aceleración de la
gravedad. Por otro lado, la ley de la conservación de la materia en el electrolito también
debe cumplirse, como se expresa por la ecuación de continuidad:
0 xd vd
=ρ (2.1.9)
El sistema de ecuaciones diferenciales (2.1.7)-(2.1.9) define completamente
todos los parámetros requeridos para cuantificar el transporte de materia por
convección-difusión. En principio, estas ecuaciones deberían poder ser resueltas para
cualquier geometría electrodo / electrolito bien definida. En la práctica, se han obtenido
las soluciones analíticas de este sistema complejo de ecuaciones para geometrías
simples, en régimen laminar, tales como el electrodo de disco rotatorio, los electrodos
de placas paralelas separados por una distancia infinita, flujo en canal y el electrodo de
gota de mercurio. Para situaciones más complejas y para muchos casos de flujo
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turbulento, es difícil especificar las condiciones de contorno para la ecuación de Navier-
Stokes y la solución analítica es imposible. Si bien, y como se presentará en el
desarrollo de la presente tesis, en los últimos años han ido apareciendo una serie de
técnicas computacionales englobadas bajo las siglas CFD (Computational Fluid
Dynamics) que permiten afrontar problemas de elevada complejidad. Sin llegar a
recurrir a estas nuevas técnicas computacionales, es posible adoptar una aproximación
empírica donde las expresiones relacionen el transporte de materia observado con la
geometría electrodo / electrolito y con las condiciones de electrolisis. Esta
aproximación usando correlaciones de transporte de materia empíricas normalmente
hace uso de grupos adimensionales con el objetivo de reducir el número de variables
manejadas.
2.1.2.2.- Grupos adimensionales
En Ingeniería Electroquímica, es normal utilizar los grupos
adimensionales definidos en la Tabla 2.1.1. El número de tales grupos, usados en una
correlación, viene dada por el teorema π de Buckingham de análisis dimensional, como
el número de variables originales menos el número de dimensiones fundamentales.
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Grupo adimensional
Definición Ecuación Significado
Número de Sherwood, Sh D
lk m= (2.1.10) Transporte de materia por convección forzada
Número de Staton, St v
k m= (2.1.11) Transporte de materia por convección forzada
Número de Reynolds, Re ν
vl = (2.1.12) Flujo de fluido en convección forzada
Número de Grashof, Gr ρ
µρ
∆= 2
3 g L (2.1.13) Flujo de fluido
en convección natural
Número de Schmidt, Sc D
ν= (2.1.14) Propiedades de transporte
Tabla 2.1.1: Grupos adimensionales comunes utilizados en el transporte de materia electroquímico. km =
coeficiente de transporte de materia, l = longitud característica, D = coeficiente de difusión, v =
velocidad característica, ν = viscosidad cinemática, µ = viscosidad dinámica, ρ = densidad del fluido, g
= aceleración de la gravedad, L = longitud del electrodo.
El número de Sherwood hace referencia al transporte de materia bajo
condiciones de flujo convectivo forzado. La ecuación (2.1.10) puede ser rescrita
recordando que el espesor de la capa de difusión de Nernst, δ, se define como
mkD =δ (2.1.15)
Por lo que el número de Sherwood quedaría,
δ1 Sh = (2.1.16)
y, por tanto, expresa la relación de la longitud característica en comparación al
espesor de la capa de difusión de Nernst. La longitud característica, l, depende de la
geometría del electrodo y puede ser, por ejemplo:
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• Una dimensión perpendicular a la superficie del electrodo tal como el
espacio interelectródico.
• Una longitud equivalente apropiada.
• El radio o diámetro de un disco o cilindro.
• El radio o diámetro de poro medio de un material electródico
tridimensional poroso.
• El radio o diámetro medio de una partícula en un electrodo de lecho
fluidizado o compacto.
El número de Staton, que a veces se prefiere al número de Sherwood, está
definido por la ecuación (2.1.11) como la relación del coeficiente de transporte de
materia respecto a la velocidad característica. Está relacionado con el número de
Sherwood a través de la relación:
St·Re·Sc Sh = (2.1.17)
El número de Reynolds, ecuación (2.1.12), caracteriza el flujo del fluido en
sistemas de convección forzada y representa la relación de fuerzas de inercia asociadas
al flujo, respecto de las fuerzas viscosas debido a la resistencia del electrolito en la
superficie del electrodo. La longitud característica utilizada para definir el Re debería
ser la misma que la elegida para el Sh.
El número de Grashof (ecuación 2.1.13) caracteriza el flujo de fluido bajo
condiciones de convección natural donde las diferencias de presión debidas a las
diferencias de densidad locales proporcionan la fuerza motriz para el movimiento de
fluido.
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2.1.2.3.- Correlaciones de grupos adimensionales
Estas correlaciones pueden proporcionar expresiones para el transporte de
materia (a través del Sh) en términos de condiciones de flujo de fluido (con el Re, Gr o
ambos) y de propiedades del electrolito (Sc). En el caso general de convección-
difusión,
cdb ·Sc·Gra·Re Sh =
(2.1.18)
donde a, b, c y d son constantes que pueden ser obtenidas (en casos favorables)
teóricamente a través de una solución analítica de las ecuaciones de difusión-
convección. Más habitualmente, se calculan por medio de un análisis empírico de los
datos experimentales. La ecuación (2.1.18) tiene dos casos límite. Si sólo está presente
la convección libre, el efecto del valor de Re es despreciable, ya que el exponente b
tiende a 0, y la expresión pasa a ser
cd ·Sca·Gr Sh = (2.1.19)
En el caso más común de convección forzada predominante, el Gr es
despreciable, ya que el exponente d tiende a 0, y la correlación de transporte de materia
puede ser escrita en la forma
cb ·Sca·Re Sh = (2.1.20)
Los valores de las constantes, a, b y d dependen tanto de la geometría del
electrodo como de las condiciones de flujo. Por ejemplo, el exponente de Re, b, tiende
a ser más grande en flujo turbulento que en flujo laminar. Es común considerar que el
exponente del numero de Schmidt, c, tiene un valor de 1/3.
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El análisis de grupos adimensionales es un método poderoso para expresar el
transporte de materia en los reactores electroquímicos. Es importante, de todas formas,
darse cuenta de las deficiencias de las correlaciones de grupos adimensionales:
• Las expresiones se obtienen normalmente en un estrecho rango de los
parámetros experimentales. La extrapolación a otras condiciones (por
ejemplo, durante la etapa del escalado) debe ser hecha con precaución.
• Las relaciones proporcionan valores promediados en el espacio
(macroscópicos) de Sh sobre un rango de variables. No mostrarán, por
ejemplo una división del flujo en fases lentas debido al movimiento lento
del fluido en las cercanías de la pared, y fases rápidas en el seno de
disolución. No proporcionarán información sobre la separación de flujos
cerca de los alimentadores, o la uniformidad del flujo sobre una
superficie electródica. Estas deficiencias se solventarán a lo largo de la
presente tesis mediante el empleo de nuevas técnicas computacionales.
• La exactitud de las correlaciones publicadas varía considerablemente y el
valor de Sh predicho a unos valores de Re y Sc dados puede caer
normalmente dentro de un rango ± 20% del valor experimental.
La forma exacta de la ecuación (2.1.18) depende de la geometría electrodo /
electrolito particular.
2.1.2.4.- Flujo a través de una canal con sección rectangular
La geometría de placa paralela con flujo a lo largo de la placa es una de las
geometrías simples más utilizadas en los reactores electroquímicos industriales, es el
caso de los reactores tipo “filtro-prensa”. Esta geometría suele encontrar usos en
estudios de deposito de metal y electrosíntesis. Muchos reactores reales de placas
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paralelas se aproximan al flujo a través de un canal rectangular. De todas formas, las
relaciones de transporte de materia expuestas aquí se refieren a un flujo totalmente
desarrollado que normalmente se obtiene mediante una sección calmante, es decir, una
sección longitudinal de canal aislada eléctricamente previa a la superficie electródica.
En los reactores reales, tal exceso no es posible, y los distribuidores de flujo
normalmente inyectan o extraen el electrolito en puntos interiores, o muy cercanos, del
canal interelectródico.
En el caso del flujo bien totalmente desarrollado en un canal de sección
rectangular la correlación de grupos adimensionales normalmente toma la forma
general:
ecb ·Le·Sca·Re Sh = (2.2.21)
La velocidad característica utilizada en el número de Reynolds es normalmente
la velocidad de flujo lineal media en la dirección principal del flujo, definida como la
relación del caudal, Qv, respecto al área sección perpendicular al flujo, Ax:
BSQ
AQ
v v
x
v == (2.2.22)
donde B y S son el ancho del canal y S es la altura / profundidad del canal. S es
normalmente la separación electródica (o la distancia electrodo / membrana en una
célula dividida). La longitud característica tanto en Sh y Re es el diámetro hidráulico
equivalente, de, que se define como la relación de 4 veces el área seccional del canal
perpendicular al flujo respecto del perímetro húmedo:
SB2BS
2S 2B4BS d e +
=+
= (2.2.23)
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2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia
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El grupo de longitud adimensional, Le, es la relación del diámetro hidráulico
respecto la longitud de los electrodos en la dirección del flujo:
Ld
Le e= (2.2.24)
La expansión de los grupos adimensionales en la correlación (2.2.21) nos
conduce a:
e
ecb
eem
Ld
D
d v
a Ddk
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
νν
(2.2.25)
En el caso de un flujo laminar totalmente desarrollado, se dispone de la solución
analítica de las ecuaciones de convección-difusión y las expresiones teóricas resultantes
dependen de la relación de aspecto del canal, (γ=S/B). Para una célula que presente
electrodos infinitamente anchos (B >> S) y L/de ≤ 35,
1/31/33/1 Le ·Sc ··Re 1.85 Sh = (2.2.26)
2.1.3.- MEDIDAS DEL TRANSPORTE DE MATERIA
2.1.3.1.- Métodos para la determinación del coeficiente de transporte de
materia en reactores electroquímicos.
El coeficiente de transporte de materia, km, es una constante de velocidad
heterogénea que caracteriza la velocidad de transporte de materia bajo condiciones
conocidas de composición de electrolito, temperatura y condiciones de flujo. Se puede
determinar a través de cuatro rutas.
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1. Por manipulación de los grupos adimensionales de las correlaciones de
transporte de materia conocidas
2. A través de medidas de conversión de materia en el reactor bajo control
total por transporte de materia y la aplicación de las ecuaciones de diseño
que suponen un modelo de reactor particular e implican un balance de
materia en el reactor. Casos especiales son el empleo de una variación
de masa del electrodo (debido al deposito de un metal o a la disolución
del material electródico) o la medida de una variación de concentración
de un componente en la disolución.
3. Por determinación del espesor de la capa de difusión de Nernst y la
aplicación de la ecuación:
Nm
Dkδ
= (2.2.27)
Aunque está técnica es rara vez fácil de emplear en la práctica, y, además
ya se ha comentado que los perfiles de concentración son normalmente
no-lineales haciendo difícil, si no imposible, la medida correcta de δN.
De todas formas, en casos favorables, técnicas ópticas tales como la
interferometría se han utilizado para observar las capas de difusión.
4. Por medio de la medida de la corriente límite, por ser una técnica directa
ya que IL y km están ligados por la ecuación,
cFn A I
k Lm = (2.2.28)
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en donde A es el área del electrodo, F la constante de
Faraday, n el número de electrones implicados en la reacción
y c la concentración de la especie electroactiva en la
disolución.
2.1.3.2.- Determinación de la corriente límite espacialmente promediada.
El método más empleado de medida de la corriente límite es registrar una
curva de corriente, en estado estacionario, frente al potencial, y obtener el valor de esta
magnitud por medida de la corriente en la meseta de la curva. La técnica normalmente
se aplica a una combinación reacción / electrodo modelo en presencia de una alta
concentración de electrolito soporte. La contribución de la migración de reactivos al
transporte de materia se puede así ignorar debido al exceso de electrolito soporte y el
problema se reduce a un proceso de transporte por convección-difusión. Existe una
gran variedad de reacciones test todas ellas prácticamente reversibles en las condiciones
empleadas.
• Reducción del ión ferricianuro (hexacianoferrato (III)) o la oxidación del
ión ferrocianuro (hexacianoferrato (II)) en un medio neutro (por ejemplo
KCl) o alcalino (KOH) sobre platino u oro.
• Reducción de iones cúprico a cobre metálico en un medio sulfato ácido.
• Reducción del oxígeno molecular disuelto en un medio neutro (por
ejemplo NaCl) o alcalino (KOH) sobre un electrodo de platino, oro, plata
o monel.
• Reducción de triioduro a ioduro en un medio de ioduro potásico,
normalmente sobre un electrodo de platino.
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En la práctica, las dos reacciones más empleadas son el depósito de cobre a
partir del sulfato de cobre y la reducción de ferricianuro a ferrocianuro.
La reacción de deposito de cobre tiene la ventaja de un fácil y rápido análisis de
la variación de Cu2+, incluso a niveles bajos mediante, por ejemplo, polarografía o
espectroscopía de absorción atómica. De todas formas, los estudios de larga duración o
las velocidades de transporte de materia altas pueden ser problemáticas debido a la
formación de depósitos en forma de polvos dendríticos rugosos (que cambian tanto el
área superficial como el grado de microturbulencia cerca la superficie).
Normalmente resulta conveniente utilizar un electrolito y unas condiciones de
operación (tales como concentración y temperatura) que tengan propiedades de
transporte bien conocidas (ν y D) con el objetivo de facilitar el cálculo de los grupos
adimensionales. La viscosidad cinemática, ν, se mide rápidamente como la relación de
la viscosidad dinámica, µ, respecto de la densidad del fluido, ρ. Los coeficientes de
difusión se miden normalmente con un EDR a través de la ecuación de Levich.
Se disponen de varias técnicas para medir IL. El método de barrido de potencial
puede ser lento así como generar cambios en la superficie del electrodo o cambios en la
concentración del reactivo empleado en el caso de una célula dividida, especialmente si
la fracción de conversión es alta. Si el comportamiento I frente a E está bien
establecido, una alternativa conveniente es la técnica de salto de potencial, donde el
potencial varía desde un valor en equilibrio, en donde I tiende a 0, a uno en el que el
sistema se encuentra bajo control por transporte de materia. La corriente varía
bruscamente debido a la variación de la capacidad diferencial y la aparición del proceso
faradaico hasta alcanzar un valor de IL estacionario. En ciertos casos, resulta útil aplicar
un potencial seleccionado e ir aumentando el numero de Re del sistema por medio del
aumento progresivo de la velocidad del electrodo / electrolito. En el caso de reactores
industriales, a menudo resulta imposible utilizar un potenciostato para controlar el
potencial del electrodo. En estos casos, la ruta más común para obtener curvas I frente a
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E es ajustar manualmente la corriente y registrar el valor de E estacionario,
incorporando un electrodo de referencia en el reactor.
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
33
2.2.- TÉCNICAS: ESTUDIOS DE DISPERSIÓN DE FLUJO
2.2.1.- INTRODUCCIÓN
El comportamiento real de los reactores nunca se ajusta exactamente a las
situaciones y modelos hidrodinámicos ideales para el comportamiento de sistemas, es
decir, al modelo de reactor continuo de tanque agitado (RCTA) o al modelo de reactor
continuo flujo pistón (RCFP). En raras ocasiones el comportamiento de los sistemas se
aproxima tanto a estas condiciones; admitir este comportamiento ideal implica incurrir
en un error apreciable. Por norma general, las desviaciones pueden ser muy grandes
debidas, por ejemplo, a la formación de canalizaciones del flujo, o a la existencia de
zonas con recirculación del fluido o remolinos, o bien por la formación de zonas
estancadas o muertas en el reactor.
Los problemas del flujo no ideal están íntimamente relacionados con los de cambio
de escala, ya que la decisión de si ha de probarse un diseño o no a escala de planta
piloto depende, en gran parte, del control sobre las variables más importantes del
proceso. A menudo, el factor no controlable en el cambio de escala es la magnitud de la
no idealidad del flujo, y a que, con frecuencia, este factor difiere ampliamente entre las
unidades grandes y las pequeñas; por consiguiente, el desconocimiento de la variación
de este factor puede conducir a grandes errores en el diseño.
2.2.2.- DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA (RTD)
Si se supiera exactamente lo que sucede en el interior del reactor, es decir, si se
dispusiera de una representación completa de la distribución de velocidades del fluido,
se podría predecir el comportamiento hidrodinámico del reactor en su totalidad. Dicha
representación se obtendrá en el transcurso de la presente tesis a través de las técnicas
de CFD (Computational Fluid Dynamics) que serán tratadas más adelante. Sin embargo,
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34
y como primera aproximación a la caracterización hidrodinámica de los reactores se
usarán técnicas menos sofisticadas para obtener una primera interpretación del
comportamiento de los mismos. De manera tradicional, sólo se suele estudiar el tiempo
que permanece un elemento de fluido en el recipiente, o más exactamente, la
distribución de tiempos de residencia de la corriente del fluido. Esta información puede
determinarse de manera fácil y directa por un método de investigación empleado
ampliamente: el método experimental estímulo-respuesta. Sin embargo esta técnica
adolece de tratar al sistema sometido a estudio como una caja negra en la que no se sabe
exactamente qué esta ocurriendo en su interior, tan solo permite suponerlo.
2.2.2.1.- Curva E: Distribución de edades del fluido que abandona un reactor
Es evidente que, en general, los distintos elementos del fluido, al seguir los
diferentes caminos a lo largo del reactor, tardarán tiempos diferentes en pasar a su
través. La distribución de estos tiempos en la corriente de fluido que sale del recipiente
se denomina distribución de la edad del fluido a la salida, curva E, o Distribución del
Tiempo de Residencia, DTR, del fluido o, en inglés, RTD (Residence Time
Distribution).
Es conveniente representar la RTD de tal manera que el área bajo la curva sea la
unidad, es decir
∫∞
=0
1Edt (2.2.1)
La fracción de corriente de salida cuya edad, o tiempo que un elemento de fluido ha
permanecido en el recipiente, está comprendida entre t y t1, es,
∫1
·t
t
dtE (2.2.2)
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
35
la fracción con edad inferior a t1 es
∫1
0
t
Edt (2.2.3)
mientras que la fracción de material con edad superior a t1, es:
∫ ∫∞
−=1
1
0
1t
t
EdtEdt (2.2.4)
La curva E es la distribución que ha de tenerse en cuenta en el flujo no ideal.
2.2.3.- MÉTODOS EXPERIMENTALES
Como se pretende caracterizar el grado de flujo no ideal por medio de la función de
distribución de salida, se ha de saber cómo se puede determinar E para cualquier flujo.
Con este objetivo, se suele recurrir a una serie de técnicas experimentales que se
engloban en la denominación general de técnicas estimulo-respuesta. En este tipo de
experimentación, se estimula al sistema mediante una perturbación y se observa cómo el
sistema responde a este estímulo; el análisis de la respuesta proporciona información
sobre la hidrodinámica del sistema.
En nuestro caso, el estímulo es una inyección de trazador en el fluido que entra al
reactor electroquímico, mientras que la respuesta es la variación de la concentración del
trazador a la salida del recipiente frente al tiempo. Puede emplearse como trazador
cualquier sustancia que se pueda detectar, y que no perturbe el tipo de flujo en el
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
36
recipiente, y cualquier tipo de señal de entrada: una señal al azar, una señal periódica,
una señal en escalón, o una señal en impulso. En la figura 2.2.1 se representan estas
señales, así como sus respuestas características.
Los casos más frecuentemente usados son los dos últimos por resultar los más
sencillos en su tratamiento, aunque puede obtenerse la misma información con todos
estos tipos diferentes de señales de entrada.
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
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Figura 2.2.1: Técnicas Estimulo / Respuesta empleadas corrientemente para el estudio del flujo en
reactores
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
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2.2.3.1.- La Curva F
Cuando la corriente de fluido que entra al reactor no contiene trazador alguno, y le
imponemos una señal trazadora en escalón, de concentración C0, en la corriente de
fluido que entra al reactor, se denomina curva F a la curva representativa de la
concentración del trazador a la salida del reactor (midiendo esta concentración a la
salida en función de su concentración a la entrada, C/C0) frente al tiempo. En la figura
2.2.2 se representa esta curva y se observa que es siempre ascendente desde 0 hasta 1.
Figura 2.2.2: Señal característica a la salida del reactor, denominada curva F, que corresponde a la
respuesta de una señal de entrada en escalón
2.2.3.2.- La Curva C
Cuando la corriente de fluido que entra al recipiente no contiene trazador alguno, y
se le impone un impulso ideal de trazador (señal trazadora que se inyecta de modo
virtualmente instantáneo y que frecuentemente se conoce con el nombre de función
Tiempo
Señal de Entrada
Señal de Salida
0
1
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
39
delta), se denomina curva C a la respuesta normalizada generada por el trazador en el
flujo de salida frente al tiempo.
Para efectuar esta normalización se divide la concentración de salida a un tiempo t
por A (el área bajo la curva concentración-tiempo). Por consiguiente, tenemos en forma
normalizada:
∫∫∞∞
==00
1dtACCdt (2.2.5)
Siendo A,
∫∞
=0
CdtA (2.2.6)
Tiempo
Con
cent
raci
on d
e Tr
azad
or
Señal de Entrada en Pulsoδ
Señal de Salida (Curva C)
Figura 2.2.3: Señal característica a la salida del reactor, denominada curva C, que corresponde a
la respuesta de una señal en función δ.
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
40
2.2.3.3.- Relaciones entre las curvas F, C y E
Para relacionar E con C en régimen estacionario, se ha de tener en cuenta que la
RTD para cualquier porción de fluido que entra al recipiente ha de ser la misma que la
que sale. En caso contrario se acumularía en el recipiente material de distintas edades, lo
que estaría en contradicción con la hipótesis de estado estacionario.
Así, si se considera el siguiente experimento, en el que un fluido blanco (sin
trazador) circula en régimen estacionario a través de un recipiente, y en el instante t = 0
se provoca una pulsación de fluido trazador, la curva C representa la concentración del
trazador a la salida frente al tiempo; por consiguiente indica cuando salen estas
moléculas, es decir, su distribución de edades. Por tanto, tenemos:
EC = (2.2.7)
En consecuencia, la curva C da directamente la distribución de edades a la salida.
Para relacionar E con F se considera un fluido blanco (sin trazador) que circula en
flujo estacionario a través del recipiente, y en el instante t = 0, se introduce un fluido
trazador. La curva E representa el aumento de la concentración del trazador en la
corriente de salida.
Se tiene que, para cualquier instante t,
∫=t
EdtF0
(2.2.8)
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
41
2.2.3.4.- Momentos principales
Se pueden expresar determinadas características significativas de las funciones de
distribución a partir de técnicas numéricas relativamente sencillas como son el estudio
de los momentos de las curvas.
El momento general enésimo Mn o momento de orden n con respecto al origen para
una función f(t) de distribución viene definido por,
( ) ∫∞
=0
nn dt f(t) t M (2.2.9)
en donde n = 1,2,3....
El momento de orden 0 (M(0)) caracteriza el área existente bajo la curva estudiada,
( ) 1dt f(t) M0
0 == ∫∞
(2.2.10)
El momento de primer orden (M(1)) determina el tiempo de residencia medio del
sistema τ.
∫∞
==0
1(1) dt f(t) t M τ (2.2.11)
este tiempo de residencia medio puede ser también calculado a partir del volumen
del sistema y el caudal de flujo según,
V
(1)
QV M ==τ (2.2.12)
Los momentos generales de orden mayor (M(n)) (n = 2, 3, 4...) se utilizan para la
evaluación de los errores en la determinación en las funciones de distribución y en los
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
42
parámetros de sus modelos matemáticos. Los momentos de orden mayor suelen ser
especialmente sensibles a los errores de ajuste en las regiones finales de la curva, las
zonas denominadas como las “colas” de los experimentos de estimulo respuesta. Esta
desventaja puede evitarse con los denominados momentos ponderados.
El momento ponderado de orden n M(n)(p) se define según,
( ) ( ) ∫∞
=0
nn dt f(t) t)q(p, tpM (2.2.13)
en donde q(p,t) es la denominada función de ponderación.
Si la función de ponderación es una función exponencial del tipo e-st entonces,
aplicando las propiedades de las transformadas de Laplace se tendría que,
( ) ( ) (s)fdsd)1(dt f(t) e tsM n
nn
0
st-nn −== ∫∞
(2.2.14)
De acuerdo con esta relación el momento con respecto al origen seria el caso limite
de este momento ponderado,
( ) ( ) (s)fdsdlim)1((s)M limM n
n
0s
nn
0s
n
→→−== (2.2.15)
Las relaciones obtenidas se usan en casos generales para el estudio de las respuestas
registradas después de un estimulo en forma de impulso, en sistemas con recirculación.
El momento central de orden n en torno a un valor medio Mc(n) viene definido por,
( )∫∞
=0
n(n)c f(t)dt-t M τ (2.2.16)
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43
En estos casos el momento central de orden cero volvería a darnos el área existente
bajo la curva,
Mc(0) = 1 (2.2.17)
El momento central de primer orden sería igual a cero (la probabilidad matemática
de cantidades aleatorias centradas)
Mc(1) = 0 (2.2.18)
El momento central de orden 2 caracterizaría la varianza de la cantidad t alrededor
de un valor medio y se suele definir como σt2,
( )∫∞
==0
2t
2(2)c f(t)dt -t M στ (2.2.19)
Los momentos centrales de tercer y cuarto orden se suelen usar para descripciones
más detalladas de las curvas sometidas a estudio.
El momento central de orden 3 caracteriza la oblicuidad (asimetría de la curva de
densidad de probabilidad)
( )∫∞
=0
3(3)c f(t)dt -t M τ (2.2.20)
Y el momento de cuarto orden caracteriza la anchura del pico,
( )∫∞
=0
4(4)c f(t)dt -t M τ (2.2.21)
En el análisis de las curvas RTD los momentos centrales más comúnmente usados
son los de primer, segundo y tercer orden.
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44
2.2.3.5.- Determinación de las características de la respuesta a partir de una
entrada en forma de impulso
El trazador se debe añadir en un punto conocido del sistema y en un intervalo de
tiempo muy corto de tal manera que la concentración del trazador en cada elemento de
la sección perpendicular a la dirección de flujo que compone el punto de inyección sea
constante.
De ello se deduce que las medidas obtenidas a partir de un determinado impulso
pueden verse afectadas por:
1. Que el tiempo de dosificación no sea exactamente conocido
2. Que la dosificación sea más lenta que un impulso de tiempo 0
3. Que la velocidad del fluido en el punto de inyección varíe en la sección
perpendicular al flujo en ese punto
Como el procesamiento de las respuestas obtenidas es relativamente sencillo,
conviene conocer las desviaciones de la inyección ideal para las cuales se puede
suponer que la respuesta no varia significativamente de la que habríamos obtenido de
haber podido realizar un impulso perfecto.
Efecto del cambio del punto de inyección
A veces, la dosificación no se puede hacer exactamente en el punto de entrada del
sistema a estudiar. Por tanto, el trazador suele inyectarse en una tubería que conduce a
la entrada del sistema y que puede localizarse a una distancia considerable del mismo.
Por otra parte, puede estimarse el tiempo en el que el trazador debería entrar al sistema a
través del tiempo de transporte, es decir, el tiempo de residencia medio que emplearía el
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
45
trazador en alcanzar la entrada del sistema desde su punto de inyección. Si el tiempo de
inyección del trazador no se conoce aparecerán errores en el procesamiento de la señal
incluso aunque la forma del pulso se conserve hasta la entrada al sistema.
El primer momento de la curva medida no corresponderá al tiempo de residencia
medio, como muestra la ecuación (2.2.12), ya que el volumen ahora incluirá además el
volumen de la tubería que conduce el trazador hasta la entrada del sistema y la forma de
la curva RTD se vera distorsionada. Por otra parte, se ha asumido que desde el punto de
inyección del trazador hasta el punto de entrada al sistema a estudiar, no se produce
ninguna clase de fenómeno de mezcla y, por tanto, la forma del pulso se conserva hasta
la entrada del sistema.
Efecto del tiempo de dosificación
La inyección de la cantidad de trazador necesaria para realizar un impulso siempre
se realiza en un tiempo que dista mucho de ser el ideal, tiempo 0, de un pulso perfecto.
Esta desviación de la idealidad no se puede aceptar en estudios de sistemas pequeños
con altos caudales ya que los parámetros de tiempo relacionados con el sistema pueden
ser de una magnitud similar al tiempo de inyección. A medida que aumenta el tamaño
del sistema, o disminuye el caudal, esta diferencia de tiempos aumenta y el tiempo de
dosificación comienza a tener una menor influencia.
Efecto del perfil de velocidades
El procedimiento de dosificación asume una distribución uniforme de velocidades a
lo largo del área de sección perpendicular a la circulación del fluido en el punto de
inyección. Esto es aplicable en el caso de que tengamos unas condiciones de flujo
turbulento en el punto de inyección, ya que entonces el perfil de velocidades tiende a ser
plano. Sin embargo, si tenemos un flujo laminar en una tubería la distribución de
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2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo
46
velocidad difícilmente podrá ser considerada como un perfil plano y la anchura del
impulso aumentará a medida que lo haga la distancia entre el punto de inyección y la
entrada al sistema.
Se puede decir, de manera general, que la mejor forma de inyección cuando existe
un perfil de velocidades que no es plano consiste en intentar conseguir que la cantidad
local de trazador en la totalidad de la sección transversal sea proporcional a la velocidad
local del fluido así como que la zona de inyección se sitúe lo más cercana posible a la
entrada del sistema que se va a someter a estudio.
Con todo lo dicho anteriormente, se intentará realizar experimentos de estimulo /
respuesta en los reactores electroquímicos sometidos a estudio a fin de poder
modelizarlos y aproximar su posible hidrodinámica.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
49
3.1.- ESTUDIO DEL EFECTO ENTRADA / SALIDA
3.1.1.- INTRODUCCIÓN
Un aspecto fundamental de los proyectos de investigación y desarrollo
orientados a la industria es el escalado del reactor electroquímico. Con objeto de
extrapolar los resultados obtenidos a escala laboratorio, el ingeniero electroquímico
tiene que tener en cuenta diversos factores de semejanzas entre la escala laboratorio y la
escala industrial, a fin de conseguir un buen escalado en los siguientes diseños de
célula[1,2], que en términos generales engloban a la:
• Geometría de la célula
• Mecánica de fluidos
• Cinemática
• Distribuciones de corriente
• Propiedades químicas
• Distribución de corriente
• Transferencia de calor
La variación de la velocidad del electrolito con la posición y la formación de
capas límite en las cercanías de los electrodos causa cambios apreciables en las
propiedades del transporte de materia. Esto es especialmente cierto en canales de flujo
rectangulares, como es el caso de uno de los reactores electroquímicos más
comúnmente usados[3,4], el reactor tipo filtro-prensa. En estos reactores comerciales, el
electrodo habitualmente ocupa la totalidad de la pared (una de las paredes que forman el
canal), no habiendo zonas de calmado después de los distribuidores de liquido a la
entrada y a la salida del compartimento, con lo que, hasta que se llega a alcanzar un
flujo totalmente desarrollado la situación en el electrodo es radicalmente distinta a la
esperada si el flujo estuviera desarrollado encontrándose valores de transporte de
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
50
materia superiores a lo esperado. Este valor poco a poco comenzará a descender hasta
un valor adecuado al flujo totalmente desarrollado, a esto se le conoce como efecto
entrada. De manera similar, la región cercana a la salida del reactor tampoco será
representativa del régimen hidrodinámico del resto del reactor y mostrará también
valores anormalmente elevados del coeficiente de transporte de materia para los
caudales a los que se esté trabajando, a este fenómeno se le conoce como fenómeno de
salida.
Es lógico suponer entonces que los experimentos llevados a cabo en células
pequeñas, a escala laboratorio, en donde el área donde se desarrollan los efectos entrada
/ salida ocupa una elevada proporción del área electródica total, tienden a dar unos
valores muy superiores de velocidades de transporte de materia si se los compara a los
existentes en células mayores. No obstante, las células pequeñas suelen emplearse a
escala laboratorio en las primeras etapas de diseño de procesos, debido a su facilidad de
uso y a que no necesitan grandes volúmenes de electrolito o grandes equipamientos
para su estudio.
Los electrodos en canal son células realmente pequeñas en donde se ha
introducido deliberadamente una longitud de electrodo inactiva en la dirección del flujo
de fluido a fin de evitar precisamente estos efectos entrada / salida. Suelen ser usados
para estudios académicos o para sistemas analíticos[5], en investigaciones de
mecanismos de procesos a través de métodos voltamétricos[6] y en
espectroelectroquímica[7]. Sin embargo, muchos estudios electroquímicos prácticos se
realizan en células filtro prensa pequeñas de escala laboratorio sin esas zonas de
calmado o secciones de electrodo inactivo.
Además, estas células son especialmente útiles en procesos en donde son
necesarios electrodos tridimensionales. En condiciones típicas de síntesis, debido a la
elevada área especifica de esa clase de electrodos, los procesos se realizan bajo
condiciones de control por transferencia de carga y el control por transporte de materia
aparece sólo a muy bajas concentraciones al final de la electrolisis. Otro caso especial es
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
51
el uso de células pequeñas para pruebas de estabilidad de los materiales frente a la
corrosión bajo condiciones agresivas[8] o bajo condiciones que impliquen formación de
gases.
Se pueden encontrar ejemplos de estudios de transporte de materia usando
células pequeñas (a escala laboratorio), tabla 3.1.1[9-12].
Los efectos de entrada / salida del electrolito han sido también objeto de estudio
con anterioridad [13-14], con el objeto de investigar los coeficientes de transporte de
materia locales y las distribuciones de flujo en el interior de los reactores. Wragg et al. y
Goodridge et al. realizaron diversos estudios en este campo. En 1980, Wragg et al.[15]
obtuvieron la distribución de coeficientes de transporte de materia en reactores usando
una serie de mini-electrodos. Esta técnica les permitió darse cuenta de la existencia de
una marcada separación de flujo y recirculación, o formación de remolinos, a la entrada
de las células. El estudio se llevó a cabo con dos sistemas diferentes: una célula de
sección circular y otra de sección cuadrada. En la primera se observó una región con
flujo en recirculación (remolino) a la entrada de la célula alcanzándose en dicha región
valores elevados de transporte de materia. La división del fluido y su posterior
unificación aguas abajo de la entrada del reactor, en la zona en la que el fluido comienza
a desarrollarse de la manera habitual y esperada (patrón de flujo totalmente
desarrollado), producía un descenso de la velocidad global de transporte de materia y se
alcanzaba un valor estable del coeficiente de transporte de materia. Este valor del
coeficiente de transporte será mayor cuanto más pequeño sea el canal de entrada en
relación con el tamaño total del canal o compartimento. También se observó que el
mayor Re se alcanzaba a una distancia de 2.5dentrada desde la zona de entrada, siendo
dentrada el diámetro del canal de entrada. Cuando se estudió el canal de sección cuadrada,
se encontró un comportamiento similar para los Re, la relación de expansión y el punto
de localización del máximo del transporte de materia. Sin embargo, arrojó un
interesante detalle adicional referente a la variación del coeficiente de transporte de
materia, km, con respecto a la posición: en la zona de recirculación se obtenían valores
más elevados de km en el centro del canal que en las esquinas. Este comportamiento se
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
52
invierte totalmente aguas abajo de la entrada del reactor, localizándose los valores más
elevados de km en las esquinas. Todos estos estudios se realizaron usando una entrada
para el fluido al reactor en forma de boquilla de manera que haría falta también realizar
estudios con sistemas que posean múltiples entradas a fin de evaluar el hecho de que los
chorros resultantes de entrada de fluido y las zonas de recirculación debidas a la
expansión de cada uno de esos chorros puedan interactuar con sus vecinos.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
53
Tabla 3.1.1: Sumario de estudios de transporte de materia realizados en células filtro-prensa
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
54
En este sentido, Goodridge[16] comparó el transporte de materia de dos reactores
similares geométricamente pero de superficies electródicas diferentes (2025 y 225 cm2
de área electródica) con distribuidores de liquido con varias boquillas tanto a la entrada
como a la salida. Recientemente, Wragg y Leontaritis[17] han extendido este trabajo con
células pequeñas usando un conjunto de minielectrodos con el fin de obtener un mapa
detallado de la distribución del transporte de materia en el interior de los reactores.
Walsh [18] ha realizado también estudios en este campo, presentando un mapa
bidimensional del transporte de materia en células filtro-prensa usando para ello un
sistema de 9 x 11 minielectrodos combinados con un potenciostato multi-canal.
Nuestro estudio intentará realizar la caracterización de una familia de reactores
filtro-prensa diseñados y construidos en la Universidad de Alicante con una
configuración de distribuidores de fluido para los compartimentos del tipo “multi-canal”
(es decir, con múltiples boquillas de alimentación) tanto para la entrada como para la
salida del compartimiento, ver figuras 3.1.1a, 3.1.1.b y 3.1.1c.
Realizamos la caracterización en los reactores UA16.15 y UA63.15 a través de
estudios de transporte de materia globales y los resultados serán comparados con otro
reactor filtro prensa de escala laboratorio como es el UA63.03, también de diseño y
fabricación en la Universidad de Alicante y que, durante el transcurso de la presente
memoria, será sometido a un estudio más pormenorizado a fin de, posteriormente, poder
optimizarlo a través de nuevas técnicas de computación. Conviene resaltar que nuestra
nomenclatura referente a los distintos tipos de reactores se puede dividir en tres partes:
UA XXX . XX
Hace referencia a la Universidad de
Alicante
Área electródica en cm2 (B·L)
Espacio interelectródico o espesor del compartimento
en mm (S)
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
55
3.1.2. CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL
Los reactores UA16.15, UA63.15 y UA63.03 son reactores diseñados y
construidos en la Universidad de Alicante. Las figuras 3.1.1a, 3.1.1b y 3.1.1c muestran
los compartimentos estudiados así como sus dimensiones mientras que la figura 3.1.2
muestra esquemáticamente un despiece de una de las secciones del reactor UA16.15. En
la Tabla 3.1.2 se pueden encontrar las dimensiones características de estos reactores.
Figura 3.1.1a: Compartimento reactor UA16.15, cotas en mm (B = 4.0 cm, S = 1.5 cm, L = 4.0 cm)
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
56
Figura 3.1.1b: Compartimento del reactor UA63.15, cotas en mm (B = 7.0 cm, S = 1.5 cm, L = 9.0 cm)
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
57
Figura 3.1.1c: Compartimento del reactor UA63.03, cotas en mm (B = 7.0 cm, S = 0.3 cm, L = 9.0 cm)
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58
Junta polimérica(EPDM)
Electrodo (Cobre)
Compartimento para el electrolito (PVC)
Junta polimérica(EPDM)
Salida Electrolito
Entrada Electrolito
Placa de apriete (aluminio)
Figura 3.1.2: Despiece de una de las mitades del reactor filtro prensa UA16.15 (los promotores de
turbulencia que se usaran no se han incluido para mejorar la claridad del esquema e irían situados en el
interior del compartimento)
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
59
Tabla 3.1.2: Dimensiones de los reactores sometidos a estudio
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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Se ha dado una especial atención al diseño de los distribuidores, tanto en lo que
se refiere al número como al diámetro de los orificios de entrada y salida de fluido.
Las placas de apriete para los reactores filtro-prensa estudiados eran de
aluminio, los compartimentos fueron realizados en PTFE (Politetrafluoroetileno)
mientras que las juntas de sellado eran de EPDM (monómero de etilen-polipropilen-
dieno). Los promotores de turbulencia usados eran rejillas de PVC (Cloruro de
polivinilo). En las figuras 3.1.3a y 3.1.3b y en la tabla 3.1.3 se muestran las principales
características de los promotores de turbulencia usados. En todos los casos, en el
compartimiento de reacción del reactor se colocaron suficientes promotores de
turbulencia como para completar la totalidad del canal de paso.
Parámetro Promotor A Promotor C Promotor D sd/mm 1.5 5.0 7.0 ld/mm 2.0 6.0 9.0
ccld/mm 3.1 8.7 12.5 ccsd/mm 2.3 6.6 13.2
Grosor del promotor/mm 1 2 2.9 FT (Porosidad de la
Fibra)/mm 0.5 1.2 5.5
Porosidad del mallado 0.69 0.73 0.80
Tabla 3.1.3:características de los promotores de turbulencia usados. En donde sd es la diagonal corta,
ld es la diagonal larga, ccsd es la distancia entre el centro de uno de los orificios de un promotor y el
centro del siguiente orificio cercano en la dirección de ld , ccsd es la distancia entre el centro de uno de
los orificios de un promotor y el centro del siguiente orificio cercano en la dirección de sd y FT es la
porosidad de la fibra. Se usó un número de promotores de turbulencia suficiente para completar
totalmente el volumen del compartimiento.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
62
Para los estudios de transporte de materia, el electrodo de trabajo y el
contraelectrodo consistían en dos placas lisas de cobre de 2.5 mm de espesor. El
electrodo de referencia usado fue un electrodo de calomelanos saturado (ECS) situado
cerca del electrodo de trabajo gracias a un capilar Luggin. El coeficiente de transporte
de materia fue obtenido a partir de la técnica de la corriente limite[19], por medio de la
reducción catódica de Cu(II) en 0.5M de sulfato sódico a pH 2. La corriente limite fue
medida como una función del caudal y de la concentración de Cu(II). Los experimentos
se llevaron a cabo usando la disposición experimental que se muestra en la figura 3.1.4.
Los estudios de salto potenciostático fueron realizados usando un generador de ondas
EG&G PARC modelo 175, un potenciostato AMEL modelo 553 y un registrador X-Y
Philips PM 8133.
Además y tal y como se aprecia en la figura 3.1.4, el sistema experimental va
provisto de un manómetro diferencial que permite conocer la caída de presión entre la
entrada y la salida del reactor para cada caudal, es decir, para cada Re fijado.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
63
Figura 3.1.4: Diagrama del sistema experimental. (1) depósito; (2) Termómetro; (3) Bomba centrifuga;
(4) Reactor; (5) caudalímetros, (6) válvulas; (7) manómetro; (8) purga de nitrógeno; (9) intercambiador
de calor; (10) conectores para la medida de la presión
4
55
10
7
6 6 6
1
2
9
8
3
10
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
64
3.1.3. RESULTADOS
3.1.3.1.- Medida de la caída de presión en el reactor:
Se llevaron a cabo estudios preliminares de las caídas de presión en los reactores
UA16.15 y UA63.15. La figura 3.1.5 muestra los valores obtenidos con estos reactores
y son comparados con los que obtuvimos para el reactor UA63.03.
Esta figura muestra una representación del factor de fricción, f, frente al numero
de Reynolds, en donde f = ∆pde/2ρLv2, siendo ∆p la caída de presión, de el diámetro
equivalente, ρ la densidad, L la longitud y v la velocidad del fluido. Se puede apreciar
una gran diferencia entre los resultados obtenidos y los predichos por la teoría. Existe
una variación similar del factor de fricción para todos estos reactores para valores de Re
superiores a un valor de Re=1000 que es aproximadamente constante y que puede ser
considerado como Recrit. El Reynolds crítico es bastante diferente de 2300, que es el que
normalmente se considera como Reynolds crítico para el paso de régimen laminar a
turbulento. Esta diferencia debe ser atribuida a los efectos de entrada / salida que
experimenta el reactor. Hay, sin embargo, diferencias considerables entre los tres
reactores estudiados.
3.1.3.2.- Estudios de transporte de materia
Los estudios de transporte de materia se centraron en el cálculo de coeficientes
globales de transporte de materia obtenidos a partir de la medición de la corriente limite
global usando la ecuación:
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65
AzFCI
k Lm = (3.1.1)
en donde A es el área electródica, z el numero de electrones (z = 2 en este caso), F es la
constante de Faraday y C es la concentración de Cu(II) en el seno de la disolución.
Figura 3.1.5: Factores de fricción obtenidos para los distintos reactores estudiados.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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La Figura 3.1.6a muestra una curva típica de densidad de corriente frente a
potencial para el depósito de cobre en el compartimento catódico del reactor UA16.15.
Figura 3.1.6a: Experimentos de transporte de materia para la reducción de los iones Cu(II) en una
disolución 0.5M de sulfato sódico a pH 2. Curvas de densidades de corriente v.s. potencial electrodo
para determinar la ventana de potencial de trabajo. Voltametría lineal realizada a 5 mV·s-1
Se obtuvieron formas similares para el reactor UA63.15. De la meseta de la
figura 3.1.6a, se puede determinar el rango de potencial en el que el proceso se
encuentra controlado totalmente por transporte de materia. La figura 3.1.6b muestra
una representación de la densidad de corriente frente al tiempo obtenida al realizar un
salto potenciostático en el sistema desde su potencial de equilibrio hasta un potencial de
–500 mV vs. ECS (potencial que se encuentra dentro de la ventana para la cual estamos
trabajando bajo control total por transporte de materia).
Re ↑
-E vs ECS / mV
-j / mA·cm-2
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Figura 3.1.6b: Experimentos de transporte de materia para la reducción de los iones Cu(II) en una
disolución 0.5M de sulfato sódico a pH 2. Curvas de densidad de corriente v.s. tiempo para medir el
valor de la corriente límite. Los experimentos fueron llevados a cabo con el reactor UA16.15, siendo el
electrodo de trabajo y contraelectrodo dos placas lisas de cobre de 2.5 mm de espesor. El electrodo de
referencia usado fue un electro de calomelanos saturado.
Los ensayos se llevaron a cabo a diferentes velocidades de flujo (0.7-8.5 cm s-1)
y concentraciones (65-270 ppm de Cu) para cada reactor y con cada promotor de
turbulencia. Los resultados obtenidos para los tres reactores han sido comparados a
través de correlaciones de grupos adimensionales, tabla 3.1.4.
Re ↑
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
68
Tabla 3.1.4: Correlaciones adimensionales de transporte de materia (Sh = a·Reb·Sc0.33) para los
reactores filtro prensa estudiados
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
69
3.1.3.3.- Efectos entrada / salida:
Existen varios métodos para determinar los efectos de entrada / salida como
pueden ser el uso de electrodos segmentados[16], minielectrodos[15] o el uso de
electrodos parcialmente bloqueados[10,20]. El efecto entrada / salida generalmente suele
ser estudiado empleando los valores del coeficiente global de transporte de materia,
obtenidos a partir de los valores la corriente limite, IL, usando para ello la ecuación
(3.1.1). cb ScaSh ··Re= (3.1.2)
siendo Sh el número de Sherwood (=kmde/D), Re el número de Reynolds
(=vde/ν), Sc el número de Schmidt (=ν/D) y a, b y c son constantes empíricas
calculadas a partir de una correlación estadística de los puntos experimentales.
La figura 3.1.7 muestra las correlaciones obtenidas para el reactor UA16.15 con
diferentes áreas de electrodo expuestas al flujo de electrolito. Esto se consiguió a través
del bloqueo parcial de los electrodos mediante películas de material aislante, como ya
se ha mencionado antes. La correlación es prácticamente la misma para todas las áreas
de electrodo estudiadas, en el rango de áreas comprendido entre 3 a 16 cm2 (es decir, de
un 18.8 % a un 100 % de área de electrodo expuesta). Eso demuestra que la totalidad
del área del electrodo se encuentra trabajando bajo el efecto entrada / salida, es decir, se
encuentra operando un régimen altamente turbulento.
3.1.3.4.- El efecto de los promotores de turbulencia
Las figuras 3.1.8a, 3.1.8b, 3.1.9a y 3.1.9.b muestran la influencia de los
promotores de turbulencia en el reactor UA16.15 y UA63.15 así como la relación entre
el Sh obtenido con el compartimento del reactor lleno de promotores de turbulencia y
ese mismo compartimento operando en vacío.
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Figura 3.1.7:Estudio del transporte de materia para distintas áreas activas en el reactor UA16.15
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100 1000100
1000
UA16.15 Reactor Vacio Promotor A Promotor C
Sh
Re
Figura 3.1.8a: Gráfico doble logarítmico del número de Sherwood vs. el número de Reynolds para el
reactor UA16.15 (con y sin promotores de turbulencia). La reacción empleada fue la reducción de iones Cu(II) en un medio 0.5M de sulfato sódico a pH 2.
200 300 400 500 600 700 800 9000.76
0.78
0.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
Promotor A Promotor C
γ mt
Re
Figura 3.1.8b: Factor de aumento, γmt, (en relación con el reactor trabajando sin promotores de turbulencia) vs. Al número de Reynolds para el reactor UA16.15.
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Figura 3.1.9a: Gráfico doble logarítmico del número de Sherwood vs. el número de Reynolds para el reactor UA16.15 (con y sin promotores de turbulencia). La reacción empleada fue la reducción de iones
Cu(II) en un medio 0.5M de sulfato sódico a pH 2.
100 1000
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
UA63.15
γ mt
Re
Figura 3.1.9b: Factor de aumento, γmt, (en relación con el reactor trabajando sin promotores de
turbulencia) vs. al número de Reynolds para el reactor UA63.15.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
73
De acuerdo con trabajos previos[21], el factor de mejora o aumento del transporte
de materia se obtiene al comparar el coeficiente de transporte de materia en la situación
estudiada con promotores con el obtenido con el reactor vacío y fue definido por
Walsh[22] según,
γmt = km (con promotor de turbulencia) / km (compartimento vacío) (3.1.3a)
γmt = Sh (con promotor de turbulencia) / Sh (compartimento vacío) (3.1.3b)
Se puede observar que la presencia de promotores de turbulencia en estos
reactores “pequeños”, de escala laboratorio, muestra un comportamiento que es el
opuesto al encontrado en los reactores de mayor tamaño en la bibliografía.
La inclusión de los promotores de turbulencia, en reactores filtro prensa de
escala industrial, es una práctica recomendada a fin de aumentar su rendimiento
(aumentar km), sin embargo, en este estudio se puede observar exactamente el
comportamiento opuesto. Se puede ver que la inserción de promotores de turbulencia
en el reactor disminuye los valores del coeficiente de transporte de materia, o lo que es
lo mismo, del Sh. Estos resultados negativos a la hora de intentar aumentar el
transporte de materia usando promotores de turbulencia, son debidos a que el
comportamiento de estas células relativamente pequeñas, se encuentra prácticamente
controlado por la turbulencia generada por las entradas en forma de chorro y los
cambios repentinos de dirección de flujo del fluido cuando abandona el distribuidor
para entrar al compartimento. Curiosamente, la incorporación de promotores de
turbulencia disminuye la turbulencia natural del sistema, además de favorecer la
aparición de posibles canales para el paso de fluido que también colaboran en la
disminución del transporte de materia. Por lo tanto, en estos casos estudiados, los
promotores no crean una turbulencia extra en el fluido sino que más bien realizan el
efecto contrario al canalizarlo. Todo ello conlleva a un descenso de los coeficientes de
transporte de materia.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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Como se ha visto en la bibliografía[12] el efecto entrada / salida disminuye aguas
abajo de la entrada del electrolito al compartimento. Una vez que este efecto ya no
tiene importancia, la introducción de promotores de turbulencia si que aporta las
ventajas esperadas de ellos.
Pickett[13] determinó que la distancia necesaria para alcanzar un régimen de
flujo totalmente desarrollado en un reactor de placas paralelas era aproximadamente:
L* = 6·de (3.1.4)
desde la entrada del reactor, en donde de, es el diámetro hidráulico equivalente
del reactor, que viene definido por:
SBBSde +
=2 (3.1.5)
Y en donde B y S son la anchura y altura respectivamente. El parámetro L*
suministra un modo rápido y simple de determinar la influencia del efecto entrada /
salida, pero sin embargo no incluye factores que pueden influir en este efecto tales
como el número y tipo de orificios que tiene cada distribuidor. La distribución, número
y tipo de orificios de entrada puede disminuir esta longitud mínima. Como se muestra
en la figura 3.1.10, la influencia del efecto entrada / salida esta íntimamente relacionada
con la geometría y diseño del distribuidor; existen grandes diferencias entre los
reactores UA63.15 y UA16.15 comparados con el UA63.03.
En la tabla 3.1.5 se muestran los diferentes parámetros geométricos
característicos de cada diseño de distribuidor para los distintos reactores estudiados.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
75
también proponemos un nuevo parámetro Ψ, cuyo objetivo sería el cuantificar el efecto
del diseño del compartimento en el efecto entrada / salida.
Figura 3.1.10: Gráfico doble logarítmico del número de Sherwood vs. el número de Reynolds para los
reactores UA16.15, UA63.15 y UA63.03 durante la reducción de iones Cu(II) en un medio 0.5M de
sulfato sódico a pH 2.
100 1000
100
1000
UA 63.15 UA 16.15 UA 63.03
Sh
Re
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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Tabla 3.1.5: parámetros geométricos de los compartimentos y distribuidores estudiados
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
77
Este parámetro adimensional tendría en cuenta varios aspectos del diseño del
distribuidor como pueden ser su espesor, su anchura, la disposición geométrica de los
orificios de entrada y el área libre para la entrada de liquido al reactor.
El parámetro lo definimos según,
λζ
γψ
edL
= (3.1.6)
en donde L es la longitud del compartimento y de es el diámetro hidráulico. El
parámetro γ viene a su vez definido por,
BS
=γ (3.1.7)
El parámetro γ se denomina relación de aspecto del reactor filtro prensa. En el
caso de tener un flujo laminar totalmente desarrollado se ha encontrado que la solución
analítica de las ecuaciones de convección-difusión y las expresiones teóricas resultantes
dependen de la relación de aspecto del canal. Para un reactor filtro prensa con flujo
totalmente desarrollado y electrodos infinitamente anchos (B >> S) y L/de ≤ 35 se tiene
que,
Sh = 1.85·Re1/3·Sc1/3·Le1/3 (3.1.8)
En el caso de un reactor filtro prensa de dimensiones reales Rousar y
colaboradores[23] introdujeron un factor de corrección, χ, que depende en gran medida
de γ, figura 11.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
78
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00χ
γ
Figura 3.1.11: Factor de corrección χ para la correlación del número Sh, ecuación 3.1.9
Y la ecuación 3.1.8 quedaría,
Sh = 1.85·χ·Re1/3·Sc1/3·Le1/3 (3.1.9)
Por tanto, y volviendo al parámetro propuesto por nosotros, un mayor valor de γ
implicaría un menor valor de χ, o lo que es lo mismo, la ecuación 3.1.9 se alejaría cada
vez más de la teórica ideal para un reactor filtro prensa con patrón de flujo totalmente
desarrollado y electrodos infinitos. Es decir, a mayor γ, mayor Ψ y, por tanto, mayor
efecto entrada/salida.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
79
Sin embargo, la complejidad que implica un distribuidor con múltiples canales
circulares de entrada requiere el uso de otro parámetro complementario como es ζ, el
cual hace referencia al área libre que existe en el distribuidor para el paso del fluido al
interior del reactor.
SB
dnh
·4··
ordistribuiddelseccion de AreaOrificios Area
2π
ζ == (3.1.10)
Según observamos, valores elevados de ζ estarían generalmente asociados con
bajos valores de Sh. Un valor elevado de ζ indicaría un comportamiento similar a un
reactor ideal de placas paralelas sin distribuidor de liquido a la entrada, es decir un
canal rectangular con una entrada de liquido que sería su sección total, sin orificios de
entrada. Un reactor sin un distribuidor de liquido no puede generar corrientes de chorro
a la entrada o a la salida, con lo que el resultado general sería el de un reactor con poco
efecto entrada / salida. Un valor bajo de ζ parece estar relacionado con un
comportamiento cercano al de una entrada en chorros, lo cual implicaría a su vez la
existencia de una gran zona turbulenta en las cercanías de la entrada del reactor.
Finalmente, definimos el parámetro λ que tiene en cuenta la disposición
geométrica de los orificios de entrada en los distribuidores. En este estudio hemos
supuesto la simplificación de que el diseño del distribuidor se basa en una distribución
uniforme de los orificios de entrada dispuestos en filas uniformes. Por tanto, definimos
el parámetro λ por,
γλ rh nn ·
= (3.1.11)
en donde nh es el numero total de orificios en una de las filas y nr es el numero
de filas de orificios existentes en el distribuidor.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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El parámetro Ψ parece ser de gran importancia en el diseño del distribuidor.
Hemos observado en los reactores sometidos a estudio que valores elevados de Ψ están
relacionados con altos valores de Sh. Eso significa que valores elevados de Ψ implican
regímenes muy influenciados por el efecto entrada / salida mientras que un valor bajo
de Ψ estaría relacionado con el diseño de un distribuidor que permite una rápida
evolución del fluido entrante hasta su condición de flujo totalmente desarrollado como
en el reactor UA63.03.
El parámetro Ψ proporciona una valiosa aproximación a la importancia que
tiene el efecto de la entrada/salida del fluido en forma de chorros debido al diseño del
distribuidor y puede resultar una buena herramienta complementaria del estudio del de a
la hora de estimar y cuantificar el efecto entrada / salida en reactores de platos
paralelos.
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3.1.4. NOMENCLATURA
A Área de electrodo, m2
a Coeficiente en la correlación de transporte de materia, ecuación (2).
B Anchura del canal de flujo en el compartimento (perpendicular a la
dirección de flujo), m.
b Exponente del número de Reynolds en la correlación de transporte de
materia.
c Exponente del número de Schmidt en la correlación de transporte de
materia.
C Concentración de reactivo, mol m-3.
d Diámetro de los orificios en el distribuidor, m
de Diámetro hidráulico equivalente para el canal de flujo, m (= 2BS/(B+S)).
D Coeficiente de difusión del reactivo, m2 s-1
F Constante de Faraday, 96485 C mol-1
f Factor de fricción, (= ∆Pde/2ρLv2).
IL Corriente limite, A
km Coeficiente de transporte de materia, m s-1
L Longitud del compartimiento en la dirección del flujo, m.
L* Longitud para la obtención de un régimen de flujo totalmente
desarrollado, m
nh Numero de orificios en el distribuidor
nr Numero de filas de orificios en el distribuidor
∆P Caída de presión, Pa.
Re Número de Reynolds (= vde/ν)
S Grosor del compartimento, m.
Sc Número de Schmidt (= ν/D)
Sh Número de Sherwood (= kmde/D).
v Velocidad lineal media, m s-1
Vr Volumen del canal de flujo, m3 (= BLSε)
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z Número de electrones intercambiados en la reacción
Letras Griegas
ε Porosidad del promotor de turbulencia
χ Factor de corrección
γ Relación de aspectos del canal de flujo (= S/B).
γmt Factor de aumento del coeficiente de transporte de materia, ecuación (3)
λ Factor de diseño para los distribuidores definido por la ecuación (9)
Ψ Factor de diseño para los distribuidores definido por la ecuación (6)
ν Viscosidad cinemática, m2 s-1
ρ Densidad del fluido, kg m-3.
ζ Factor de diseño para los distribuidores definido por la ecuación (8)
3.1.5. REFERENCIAS
[1] Walsh, F.C., 1993, A First Course in Electrochemical Engineering, The
Electrochemical Consultancy, Romsey, UK.
[2] Goodridge, F. and Scott, K., 1995, Electrochemical Process Engineering, Plenum
Press, London.
[3] Walsh, F.C. and Robinson, D., 1994, Electrochemical synthesis and processing in
modern filter-press reactors, Chemical Technology Europe, May/June, 16-23.
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London, UK.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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[5] Weber, S.G., 1987, Digital simulation of the channel flow-through cell – A
theoretical study of the determination of solute adsorption on modified electrodes,. J.
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[6] Alden J. A., Compton, R. G., Leslie, W. M. and Silk, T., 1996, ECE and DISP
processes at channel electrodes: Analytical theory, J. Phys. Chem. 100, 14130-14136.
[7] Compton, R.G., Coles, B.A. and Pilkington, M.B.G., 1990, Photoelectrochemical
spin resonance. 4. The Photo-ECE reaction and the reduction of 1-
halogenoanthraquinones, J. Chem. Soc. Faraday T. 86(4), 663-670.
[8] González-García, J., Sánchez-Cano, G., Montiel V. and Aldaz, A., 1994, Spanish
Patent, 9401259.
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
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Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida
86
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
87
3.2.- ESTUDIO DE UN REACTOR A ESCALA LABORATORIO UA63.03
3.2.1.- INTRODUCCIÓN
Como ya se ha comentado en el capitulo anterior, el reactor tipo filtro prensa es
uno de los diseños de reactor electroquímico más ampliamente utilizado[1]. La
configuración en placas paralelas es una de las configuraciones preferidas en la industria
a causa de sus grandes ventajas. Estas ventajas pueden verse desde el punto de vista
industrial, de investigación o simplemente desde un punto de vista puramente práctico;
gran disponibilidad de componentes[2], fácil escalado[3,4] y alta versatilidad[5] permiten el
uso de esta clase de reactores en diversas configuraciones adaptables a una gran
variedad de procesos. Por otra parte, hay que tener en cuenta los éxitos logrados en el
paso de escala piloto a grandes escalas industriales[6-8], la amplia oferta comercial de
diversos tamaños para estos reactores (desde escala laboratorio a escalas
industriales)[9,10], la sencillez de su construcción[11], la obtención de distribuciones de
potencial en su interior bastante uniformes[12], la sencillez de su uso y el escaso
mantenimiento necesario[13], la posibilidad de poder trabajar en modo monopolar o
bipolar[14,15], el poder incorporar electrodos tridimensionales a fin de aumentar el área
activa de electrodo[16], la posibilidad de incorporación de promotores de turbulencia
para mejorar las características de transporte de materia[17], la facilidad para preparar el
sistema para un evacuado sencillo de gases[18,19] y un fácil control de la temperatura y de
los caudales de líquido[20].
Estas ventajosas características hacen de la configuración en filtro prensa una de
las más estudiadas en el campo académico[21-25] concediendo un especial interés al
estudio de la influencia de los promotores de turbulencia en el transporte de materia
mediante el empleo de diferentes técnicas electroquímicas[26-29]. Sin embargo, el
comportamiento hidrodinámico de estos sistemas no ha sido estudiado con la
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
88
profundidad que le corresponde, aunque recientes artículos muestran un interés
creciente en este campo.
Las técnicas generalmente usadas para el estudio de la distribución de flujo de
fluido en el interior del reactor son la visualización de flujo[30,31], la modelización de
tiempos de residencia (RTD)[32-34] y más recientemente, el estudio de sistemas a través
de modelización por CFD (Computational Fluid Dynamics) como se expondrá más
adelante en el transcurso de la presente tesis.
3.2.2.- CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL
Para este estudio hemos empleado el reactor UA63.03. En la figura 3.2.1(a) se
puede ver de nuevo el compartimento de este reactor así como sus dimensiones
geométricas, mientras que en la figura 3.2.1(b) se puede apreciar un esquema de la
configuración del reactor electroquímico dispuesto en la configuración sin separación,
que será la usada en este capítulo. Por otra parte, la tabla 3.2.1 recoge, nuevamente,
todas las dimensiones de este compartimento.
Los compartimentos fueron construidos en EPDM (ethylen-poly(propylene)-
diene monomer) mientras que las conducciones y placas finales fueron mecanizadas en
polipropileno.
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
89
Figura 3.2.1a: Compartimento del reactor UA63.03, cotas en mm (B = 7.0 cm, S = 0.3 cm, L = 9.0 cm)
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
90
Figura 3.2.1b: Esquema de la configuración de trabajo. 1) Placas de apriete; 2) juntas; 3) bloque de polipropileno con orificios para la alimentación y extracción del electrolito; 4) electrodo; 5)
compartimento UA63.03; 6) capilar Luggin; 7) electrodo de referencia
B / m Anchura
L / m Longitud
s / m Espesor
de / m Diámetro Equivalente
Le Le = de/L
γ Relación de
aspecto
7.00·10-2 9.00·10-2 3.00·10-3 0.58·10-2 6.44·10-2 4.29·10-2
Tabla 3.2.1: Dimensiones del reactor UA63.03
Como promotores de turbulencia se usaron rejillas plásticas de PVC con
características geométricas distintas. En la figura 3.2.2a y 3.2.2b se muestran los
promotores de turbulencia usados, así como sus principales dimensiones, siendo iguales
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
91
que los empleados en el anterior estudio con la salvedad de haber añadido una nueva
variante de promotor. Por otra parte, en la tabla 3.2.2, se pueden encontrar los valores de
dichas dimensiones para cada caso estudiado.
Figura 3.2.2a: Promotores de turbulencia usados
Figura 3.2.2b: Parámetros característicos de los promotores usados
A B
C D
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92
Promotor A B C D
sd/ mm 1.5 5-7* 5 2 ld/ mm 2 5-7* 6 3
ccld/ mm 3.1 6.2 8.7 3.7 ccsd/ mm 2.3 6.2 6.6 2.4
Grosor del promotor/ mm 1 1 2 1 FT (Porosidad Fibra)/ mm 0.5 0.9 1.2 0.6
Porosidad mallado 0.69 0.70 0.73 0.77
Tabla 3.2.1: Dimensiones características de los promotores de turbulencia. (* hace referencia a un lado
de un cuadrado). El significado de las abreviaturas se muestra en la figura 3.2.b. Se usó un número de
promotores de turbulencia suficiente para completar totalmente el volumen del compartimiento.
El compartimento del reactor se llenó con el número de rejillas necesarias para
completar totalmente el espesor del mismo.
Resulta importante resaltar todas estas características de los promotores
estudiados, ya que todas ellas influirán en el comportamiento del sistema, en mayor o
menor medida, y son necesarios para una completa caracterización de los promotores de
turbulencia utilizados.
Para los estudios de hidrodinámica se empleó la clásica técnica de impulso-
respuesta o técnicas de seguimiento de un trazador a la salida del compartimiento,
comentadas en capítulos anteriores. Esta técnica consiste básicamente en la inyección de
un pulso de trazador, que en nuestro caso fue una disolución saturada de NaCl, a la
entrada del reactor y un seguimiento a la salida del mismo de alguna propiedad medible
de dicho trazador, en este caso en concreto, se utilizó la variación de la conductividad
de la disolución a la salida del compartimento. Para todo ello se usó una sonda de
conductividad Ingold unida a un conductímetro Crison 522 y a un registrador analógico
Philips PM833 X-t. Como líquido transportador del trazador se usó agua destilada
bombeada al interior del reactor por medio de una bomba centrífuga. Con el fin de
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
93
controlar los caudales se usaron válvulas de membrana de polipropileno así como
caudalímetros de sección variable, (rotámetros).
Para los estudios de transporte de materia, tanto el electrodo de trabajo como el
contraelectrodo fueron placas lisas de cobre de 2.5 mm de espesor. Por otra parte
también se estudió la importancia de los efectos entrada / salida. Para ello se procedió
como en el capítulo anterior usando electrodos parcialmente bloqueados o tapados en su
extremo final por una lámina polimérica no conductora de 3 cm de largo y anchura la
del compartimento. El electrodo de referencia usado fue un electrodo de calomelanos
saturado (ECS). Por otra parte, el coeficiente de transporte de materia se obtuvo
mediante medidas de las corrientes límites de la reducción de los iones Cu(II) en una
disolución 0.5 M de sulfato sódico a pH 2. La corriente límite fue medida en función de
los caudales de trabajo así como de la concentración de Cu(II). El rango de las
velocidades lineales en el compartimento se varió entre 2.13·10-2 y 11.5·10-2 m s-1
correspondientes a números de Reynolds situados entre 117 y 629 respectivamente.
3.2.3.- ESTUDIOS HIDRODINÁMICOS
3.2.3.1.- Modelos para los estudios de RTD (Residence Time Distribution):
Existen dos modelos teóricos para describir el flujo de un fluido en el interior de
un reactor electroquímico que se comporte idealmente: el flujo pistón (RCFP) y el de
tanque continuamente agitado (RCTA)[35]. Sin embargo, los reactores reales no suelen
comportarse de una forma “ideal” y presentan siempre desviaciones en el
comportamiento hidrodinámico respecto de estos modelos límite, por lo que, dichos
modelos, no suelen ser totalmente válidos a la hora de intentar modelizar los sistemas
reales. Por ese motivo, se necesitan modelos más complejos de flujo de fluido[36-38] en
los estudios de modelización.
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
94
Así, las curvas experimentales para el reactor electroquímico UA63.03, que se
verán más adelante, no pueden ser descritas de manera apropiada sólo teniendo en
cuenta el modelo de flujo pistón puro o bien el de tanque agitado puro, ya que las curvas
RTD presentan un claro fenómeno de cola, o de ensanchamiento del pico. Este
fenómeno se ha observado previamente en reactores que presentan áreas o zonas con
altos tiempos de residencia, lo que podrían llamarse “zonas muertas” o “zonas estáticas”
sin dar a entender por ello que en esas zonas no exista un movimiento real de fluido,
sino tan sólo que este es muy lento. Por este motivo, y para explicar el comportamiento
de este reactor, se ha desarrollado un modelo basado en la existencia de un camino, con
características de flujo pistón con dispersión axial y zonas muertas. Por otra parte, en
este desarrollo se han aceptado los siguientes supuestos, (a) que exista intercambio de
materia entre el volumen muerto y la zona dinámica con características de flujo pistón
con dispersión axial o (b) que no exista intercambio de materia, ver figuras 3.2.3a y
3.2.3b.
Figura 3.2.3a: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD CON intercambio de materia entre el volumen muerto y el volumen dinámico
Figura 3.2.3b: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD SIN intercambio de materia entre el volumen muerto y el volumen dinámico
Vdinámico
Vmuerto
Vdinámico
Vmuerto
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95
3.2.3.2.- Flujo pistón con dispersión axial SIN intercambio de materia con las
zonas muertas
Para este caso, figura 3.2.3b, la ecuación común para el modelo de dispersión
asumiendo que la única dispersión observable ocurre en la dirección del flujo de fluido,
Z, puede expresarse de la siguiente forma:
∂∂ θ
∂∂
∂∂
C
= - C Z
+ 1Pe
C Z
2
2 (3.2.1)
en donde C es la magnitud de la propiedad medida, Z=z/L, siendo L la longitud total del
reactor en la dirección de flujo (z), θ = t/τ, siendo τ el tiempo de residencia medio y Pe
el número de Peclet (=vL/Dax). Los parámetros del modelo son el valor del Pe y la
relación entre el volumen de las zonas muertas (Vd) y el volumen total (Vt), Vd/Vt. Se
interpreta como Vd el volumen de liquido que se encuentra estancado o circulando a
muy baja velocidad en el interior del compartimento.
Un modelo como este debe proporcionar una curva que presentará el efecto
“cola” aunque en casos extremos, la cola puede ser no detectable debido al intercambio
de materia muy lento entre la zonas muertas del compartimento y las zonas dinámicas.
En esos casos, el tiempo de residencia observado a través de las RTDs es mucho más
pequeño que el tiempo de residencia medio, definido como el cociente del volumen
geométrico total accesible al líquido (Vt) y el caudal de fluido (Qv), Vt/Qv.
3.2.3.3.- Flujo pistón con dispersión axial CON intercambio de materia con las
zonas muertas
El modelo usado, figura 3.2.3a, es una adaptación de otro más complejo usado
para electrodos tridimensionales[39]. El electrolito en las zonas estancadas se va
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
96
renovando lentamente a través de un intercambio de materia con las zonas dinámicas o
zonas funcionando como un flujo pistón con dispersión axial. El intercambio de materia
local entre las zonas muertas y las zonas dinámicas se caracteriza a través de un
coeficiente de intercambio, αm, definido como:
)c - c( J
estatdinm =α (3.2.2)
en donde cdin y cestat son las concentraciones en la zona dinámica y en la zona muerta o
estática respectivamente y J es el número de moles intercambiados por m3 y segundo.
El modelo se obtiene a partir del balance de materia para el camino principal y
las zonas muertas[40].
)C - (C N - ZC
- ZC
Pe1 =
C
estatdindin
2din
2din
αβ ∂∂
∂∂
θ∂∂
Φ (3.2.3)
)C - (C N - = C
) - (1 dinestatestat
αβ θ∂∂
Φ (3.2.4)
En donde Φβ es la relación entre el volumen de fluido que se encuentra en la
zona dinámica, con flujo pistón con dispersión axial, y el volumen total de fluido en el
compartimento, Cdin y Cestat son las concentraciones, normalizadas con la concentración
total, en las zonas dinámicas y en las zonas muertas respectivamente y Nα caracteriza la
velocidad de intercambio de materia entre las zonas muertas y las zonas dinámicas. Los
parámetros del modelo serán, entonces, Pe, Nα y Φβ.
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97
3.2.3.4. Resultados
En la figura 3.2.3 se pueden ver las curvas RTD experimentales que obtuvimos
en el reactor UA63.03 trabajando en una configuración con el compartimento vacío y en
otra con el compartimento lleno con los distintos promotores de turbulencia propuestos
para una velocidad lineal del fluido en el interior del compartimento de 2.24·10-2 m s-1
(Re=129). Es importante fijarse en el comportamiento “anómalo” del promotor A
0.00E+00
2.00E-02
4.00E-02
6.00E-02
8.00E-02
1.00E-01
1.20E-01
1.40E-01
1.60E-01
1.80E-01
2.00E-01
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
t / s
Uni
dade
s A
rbitr
aria
s
Reactor VacioPromotor APromotor BPromotor CPromotor D
Reactor UA63.03Re = 129
Figura 3.2.4: RTDs experimentales obtenidas para el reactor UA63.03 con el compartimiento trabajando
vacío y con promotores de turbulencia
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98
En la Figura 3.2.5 se puede ver un ajuste de los dos modelos propuestos para las
RTDs experimentales obtenidas para el UA63.03 al mismo número de Reynolds. Se
puede observar que el modelo basado en el flujo axial con dispersión axial CON
intercambio de materia entre las zonas muertas y las zonas dinámicas presenta un ajuste
muy bueno a los datos experimentales, con valores de la función objetivo, usada para
encontrar los parámetros, inferiores a 10-3.
( )∑
i
2expi
calci x- x = F.O. (xi = punto de la curva RTD) (3.2.5)
Figura 3.2.5: RTD experimental y ajustes matemáticos de los dos modelos estudiados
En la Tabla 3.2.3 se ofrecen los valores de los parámetros optimizados obtenidos
para el modelo de flujo pistón con dispersión axial CON intercambio de materia. Se
puede observar unas tendencias bastante claras para los parámetros optimizados. Como
se podría esperar, los números de Peclet son elevados, lo cual nos indica claramente un
0 10 20 30 40 500.00
0.05
0.10
0.15
0.20Reactor UA63.03Configuración Vacia
RTD experimental Modelo SIN intercambio de materia Modelo CON intercambio de materia
Uni
dade
s Ar
bitra
rias
t / s
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
99
comportamiento del tipo flujo pistón con baja dispersión axial y, en general, aumentan a
medida que lo hace el Re. Además, el número de Pe para las configuraciones con
promotores de turbulencia es generalmente mayor que el obtenido para la configuración
del reactor vacío. Este efecto esta conforme con los trabajos de Brown[41] que propuso la
posibilidad de una canalización del electrolito como una explicación posible a las
pequeñas variaciones del exponente de la velocidad, b, en las correlaciones de
transporte de materia para reactores filtro prensa usando configuraciones vacías y llenas
de promotores de turbulencias.
Además, conviene resaltar que las secciones muertas del reactor, (1-Φβ), en
general, disminuyen a medida que el Re aumenta. Por tanto, de todo lo anteriormente
expuesto, se puede concluir que cuando aumenta el número de Re, la fracción de reactor
funcionando como un flujo pistón con dispersión axial aumenta. También aumenta el
número de Pe y, por tanto, la dispersión disminuye. Por otro lado, los resultados de las
simulaciones de RTD muestran valores de Φβ mayores para el promotor A que para los
otros promotores (Φβ = 0.7 contra los 0.6 para los otros promotores), como se podría
esperar por la existencia de una cola menos pronunciada mostrada por el promotor A en
las curvas RTD experimentales.
Vacío Promotor A Promotor B Promotor C Promotor D Re Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα
129 100 0.58 0.85 88 0.69 0.68 504 0.58 1.84 303 0.60 1.34 466 0.63 1.48200 312 0.58 0.86 289 0.73 0.80 570 0.61 1.44 310 0.68 1.34 492 0.68 1.35271 70 0.59 0.62 509 0.73 0.55 635 0.65 1.33 473 0.69 0.9 504 0.67 1.01414 453 0.74 0.53 553 0.65 2.90 554 0.70 0.88 638 0.80 0.9 394 0.80 0.50
Tabla 3.2.3: Resultado de la modelización de las RTDs para el reactor UA63.03
Resulta interesante resaltar la relación entre Nα y Φβ. Para un valor constante de
Φβ, un aumento en Nα, producirá un aumento de la turbulencia. En el mismo sentido,
para un valor constante de Nα, un aumento en Φβ tendrá como consecuencia que una
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
100
mayor parte del reactor se encuentre actuando como flujo pistón con dispersión axial,
por lo que la turbulencia también aumentaría. Por ello, se ha considerado al producto Nα
Φβ como un factor de turbulencia capaz de medir la eficiencia de los promotores de
turbulencia a la hora de generar ésta. En la Tabla 3.2.4 se pueden ver los valores de
dicho factor para el reactor UA63.03 en la configuración de compartimento vacío y
lleno de promotores de turbulencia. Es interesante el observar que el factor de
turbulencia disminuye, en general, al aumentar el Re mostrando el mismo
comportamiento que el factor de mejora obtenido a través de estudios de transporte de
materia.
Re Vacío Promotor A Promotor B Promotor C Promotor D 129 0.49 0.47 1.07 0.80 0.93 200 0.5 0.58 0.88 0.91 0.92 271 0.37 0.4 0.86 0.62 0.68 414 0.39 1.89 0.61 0.72 0.4
Tabla 3.2.4: Producto de NαΦβ para el reactor UA63.03
3.2.4.- ESTUDIOS DE TRANSPORTE DE MATERIA
Las figuras 3.2.6a y 3.2.6b resumen los resultados que obtuvimos para los
estudios de transporte de materia. En ellas se muestran el factor de mejora (Figura
3.2.6a), γmt, definido por Walsh y Reade[42] como
km(compartimiento con promotores)/km(compartimiento vacío) y el factor de corrección (Figura 3.2.6b), Γ,
definido como km(electrodo parcialmente bloqueado)/km(electrodo libre). El primer factor permite la
comparación entre las eficiencias actuando de cada promotor de turbulencia mientras
que el segundo analiza la influencia en el transporte de materia de los chorros de salida
de electrolito desde los distribuidores de liquido del reactor al propio compartimiento
(efecto entrada/salida). Este parámetro es especialmente importante en reactores de
pequeñas dimensiones o en reactores industriales que no dispongan de una zona de
“calmado”, como se comentó en el capitulo anterior.
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
101
Figura 3.2.6a: Factor de mejora γmt del transporte de materia en el reactor UA63.03
100 200 300 400 500 600 7000.72
0.74
0.76
0.78
0.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
Electrodo parcialmente tapado
Γ
Re
Figura 3.2.6b: Factor de corrección en el reactor UA63.03
100 200 300 400 500 600 7001.11.21.3
1.41.51.61.71.81.9
2.02.12.22.32.4 Promotor A
Promotor B Promotor C Promotor D
γ mt
Re
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
102
El comportamiento mostrado por el factor de mejora en el reactor UA63.03 es
similar al observado en otros reactores de laboratorio[42], así, el factor de mejora
disminuye al aumentar el Re. Por otro lado, el factor de corrección, Γ, revela la
importancia de los efectos entrada / salida en el valor de la constante de transporte de
materia. Se han encontrado en bibliografía resultados y comentarios similares a los
obtenidos en el presente caso[43,44].
Los resultados obtenidos pueden ser vistos desde un punto de vista de grupos
adimensionales a fin de poder comparar las correlaciones habitualmente usadas
(correlaciones de transporte de materia, Sh = a Reb Scc) que tienen en cuenta las
propiedades de la disolución y permiten comparar el comportamiento de nuestro reactor
con otros reactores electroquímicos filtro prensa. En la tabla 3.2.5 se puede observar un
sumario de diversas correlaciones de Sh vs. Re para distintos reactores filtro prensa y en
la figura 3.2.7 se pueden ver estas correlaciones representadas gráficamente (Los
números de las graficas en la figura corresponden a las referencias de las cuales se
obtuvieron las correlaciones, tabla 3.2.5)
Los resultados que obtuvimos con el reactor UA63.03 muestran de nuevo una
tendencia similar a la de otros reactores a escala laboratorio. Se puede observar que se
presentan condiciones de regímenes turbulentos cuando, si se hiciera caso tan solo del
número de Re, debería haber régimen laminar. Esta situación ya ha sido comentada
previamente por otros autores[43] y ha sido parcialmente explicada a causa de la
influencia de los efectos entrada / salida. También se puede observar el descenso del
exponente del Re al introducir los promotores de turbulencia[44,46] así como un aumento
de los valores de a (Sh = a·Reb·Scc).
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
103
Figura 3.2.7: Representación de las correlaciones adimensionales para el transporte de materia para las distintas referencias encontradas en la bibliografía. En la leyenda se muestra la referencia a partir
de la cual ha sido calculada la representación
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
104
Reactor ecuación a b c Condición Referencia FM01-LC Area=64 cm2
Le = 16.6 Vacío
6 0.174 0.68 0.33 120<Re<450 Hammond et al [56] 7 0.22 0.71 0.33 200<Re<1000 Brown et al [53] 8 0.24 0.70 0.33 240<Re<969 Brown et al [51]
Con Promotores
9 0.74 0.62 0.33 200<Re<1000 Brown et al [53] 10 0.90 0.59 0.33 240<Re<969 Brown et al [51] 11 1.50 0.57 0.33 240<Re<969 Brown et al [51] 12 0.63 0.60 0.33 240<Re<969 Brown et al [51] 13 0.56 0.62 0.33 240<Re<969 Brown et al [51]
Sin Nombre Area=100 cm2 Le=3.0
Vacío 14 0.28 0.70 0.33 148<Re<6109 Ralph et al [54]
Sin Nombre Area=100 cm2 Vacío
15 0.39 0.60 0.33 100<Re<2300 Fernández [57] Con
Promotor
16 0.21 0.75 0.33 700<Re<2600 Fernández [51]
Sin Nombre Area=70 cm2
Con Promotor
17 1.09 0.47 0.33 100<Re<1600 Letord-Quemere et al [58]*
UA63.03 Area=63 cm2
Le=6.44 Vacio
18 0.17 0.82 0.33 117<Re<629 Este trabajo Con
Promotores
Tipo A 19 0.54 0.59 0.33 117<Re<629 Este trabajo Tipo B 20 0.63 0.62 0.33 117<Re<629 Este trabajo Tipo C 21 0.43 0.63 0.33 117<Re<629 Este trabajo Tipo D 22 0.55 0.61 0.33 117<Re<629 Este trabajo
*Datos de Montillet et al. [31].
Tabla 3.2.5: Correlaciones para el transporte de materias (Sh = a Reb Scc)para reactores filtro prensa
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105
3.2.5.- ESTUDIOS DE VISUALIZACIÓN DIRECTA
Estos experimentos se realizaron por medio de la filmación en video de una
inyección de un trazador de color, azul de bromotimol, en el reactor. Con el fin de ver el
interior del reactor una de las placas de apriete del sistema fue sustituida por otra de
metacrilato transparente.
El modelo para el reactor UA63.03 basado en la existencia de una zona dinámica
para el paso de fluido y la existencia de una zona muerta con la que existe un
intercambio de materia queda “visualmente” justificado por las imágenes obtenidas del
interior del reactor. Se puede apreciar la existencia de unos caminos más rápidos,
perfectamente asumibles al volumen dinámico propuesto por el modelo físico, así como
unas zonas mucho más lentas, que podrían asimilarse a los volúmenes muertos. Por otra
parte, la existencia de remolinos justificaría el intercambio de materia entre las zonas
dinámicas y muertas, figuras 3.2.8.
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106
t1 t2
t3 t4
Figure 3.2.8: Visualización directa del flujo en el reactor UA63.03 trabajando a un Re = 414
Siendo t1< t2< t3< t4.
Zonas Dinámicas Zonas Muertas
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107
3.2.6.- CONCLUSIONES
A través de la combinación de los resultados obtenidos de los estudios de
hidrodinámica, y los obtenidos a través de los estudios de transporte de materia, se
pueden obtener conclusiones similares a las encontradas en otros centros para otros
reactores filtro prensa. A partir de los valores del número de Pe que obtuvimos para el
compartimento UA63.03 vacío y lleno de promotores se puede concluir que la
presencia de promotores de turbulencia puede conllevar un efecto de canalización del
fluido en el interior del compartimento y esta sería la explicación para las diferencias
en los exponentes de la velocidad de las correlaciones para el transporte de materia.
Por otro lado, los valores optimizados de NαΦβ obtenidos para el reactor
UA63.03, en general, disminuyen al aumentar el valor del Re. Esta tendencia está de
acuerdo con la experimentada por el factor de mejora, teniendo en cuenta que la
reducción en el transporte de materia puede ser debida al efecto de canalización.
Resulta interesante el hecho de que se puede usar el factor de turbulencia propuesto,
NαΦβ, con el fin de clasificar la eficiencia de los distintos promotores de turbulencia,
según esta clasificación quedaría:
B > D > C > A > vacío
Dicha secuencia es muy similar a la obtenida a través de estudios de transporte
de materia:
B > D > A > C > vacío.
Con la única salvedad del promotor A que presenta las peculiaridades ya
comentadas.
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Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03
108
Para finalizar, los estudios de visualización directa del flujo en el interior del
reactor avalan los modelos físicos propuestos de una manera cualitativa.
3.2.7. NOMENCLATURA
a, Coeficientes de las correlaciones de transporte de materia.
B Anchura del compartimento, m (perpendicular a la dirección de flujo).
b Exponente del numero de Reynold en la correlación de transporte de
materia.
c Concentración, mol/m3. Exponente del número de Schmidt en la
correlación de transporte de materia.
cdin Concentración en el flujo principal, mol/m3.
cestat Concentración en las zonas muertas, mol/m3.
C Concentración normalizada con la concentración total.
de Diámetro hidráulico equivalente del compartimento, m (= 2Bs/(B+s)).
D Coeficiente de difusión, m2/s
Dax Coeficiente de dispersión en la dirección axial, m2/s
J Velocidad de intercambio entre la fase estancada y el flujo principal,
mol/m3 s.
km Coeficiente de transporte de materia, m/s.
L Longitud del compartimiento en la dirección de flujo, m.
Le Longitud adimensional (=de/L).
Nα Velocidad normalizada de intercambio entre el flujo pistón con
dispersión y las zonas muertas.
NαΦβ Factor de turbulencia.
Pe Número de Peclet (=v L/Dax)
Re Número de Reynolds (=v de/ν)
Recrit Valor teórico de Re para el cambio de régimen laminar a turbulento.
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109
Qv Caudal volumétrico, m3/s.
Sc Número de Schmidt (= ν / D)
Sh Número de Sherwood (=km de/D).
s Grosor del compartimento, m.
t Tiempo, s.
Vd Volumen de la zona estancada del reactor, m3.
Vt Volumen total del reactor, m3.
v Velocidad media del fluido, m/s
z Coordenada en la dirección de flujo, m.
Z Coordenada normalizada en la dirección de flujo.
Letras Griegas
αm Coeficiente de intercambio entre el flujo principal y las zonas estancadas,
s-1
Φβ Fracción entre el flujo pistón con dispersión y el volumen total.
γ Relación de aspecto del compartimento (=s/B).
γmt Factor de aumento ( km(con promotor)/km(sin promotor))
Γ Factor de corrección ( km(Electrodo parcialmente
bloqueado)/km(electrodo sin bloquear))
ν Viscosidad cinemática, m2/s
θ Tiempo adimensional.
ρ Densidad, kg/m3.
τ Tiempo de residencia medio para el compartimento, s (=Vt/Qv) en donde
Vt es el volumen disponible para el flujo, teniendo en cuenta la presencia
de los promotores de turbulencia dentro del reactor.
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Capítulo 3.3: Estudio de un reactor a escala piloto UA200.08
117
3.3.- ESTUDIO DE UN REACTOR A ESCALA PILOTO UA200.08
3.3.1. INTRODUCCIÓN
Al igual que en el capitulo anterior, a continuación se realizará el estudio del
comportamiento hidrodinámico de un reactor filtro prensa a escala de planta piloto. Se
expondrán los resultados obtenidos del estudio de un reactor electroquímico fabricado
en la Universidad de Alicante (UA200.08) y se tomará un especial interés en la
influencia de la introducción de promotores de turbulencia en la hidrodinámica del
sistema, así como en las variaciones del coeficiente de transporte de materia.
Para ello se empleará un modelo matemático para el comportamiento
hidrodinámico del sistema basado en un modelo usado anteriormente con éxito en otros
sistemas[1].
3.3.2. CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL
El reactor electroquímico estudiado es el UA200.08. En la figura 3.3.1 en la que
se presenta una vista del compartimento destinado al flujo del fluido así como una vista
desglosada del montaje global del reactor.
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118
220 200
120
180
8
ABCDE
Figura 3.3.1: I) Vista del compartimento sometido a estudio. En ella se muestra un detalle del
distribuidor interno. II) Despiece del montaje global del reactor, (A)Placas terminales de apriete,
(B)Placa de polipropileno con orificios para los canales de flujo,(C) Electrodo, (D) Compartimento, (E)
Separador
I
II
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119
Los promotores de turbulencia usados son los mismos que los empleados en los
capítulos anteriores. A fin de simplificar la lectura de la presente tesis se vuelven a
mostrar estos distribuidores así como sus dimensiones en las figuras 3.3.2a y 3.3.2b. Las
dimensiones de dichos promotores de turbulencia se encuentran especificadas en la
tabla 3.3.1.
Figura 3.3.2a: Foto de los promotores de turbulencia usados
Figure 3.3.2b: Esquema de las dimensiones principales de los promotores de turbulencia usados.
(Valores en la Tabla 3.3.1)
A B
C D
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Promotor A B C D
sd/ mm 1.5 5-7* 5 2 ld/ mm 2 5-7* 6 3
ccld/ mm 3.1 6.2 8.7 3.7 ccsd/ mm 2.3 6.2 6.6 2.4
Grosor Promotor/ mm 1 1 2 1 FT (Porosidad fibra)/ mm 0.5 0.9 1.2 0.6
Porosidad mallado 0.69 0.70 0.73 0.77 Tabla 3.3.1: Dimensiones características de los promotores de turbulencia. (* hace referencia a
un lado de un cuadrado)
Los promotores se colocaron en el compartimento y se mantuvieron fijos en él
con la diagonal larga en la dirección del flujo entrante (en el caso del promotor C se
probaron ambas configuraciones, es decir, con la diagonal larga en la dirección del flujo
y después con la diagonal corta en esa dirección). El numero de promotores colocados
en el interior del reactor fue el suficiente para que, una vez apretado el reactor, los
promotores quedaran totalmente sujetos en su interior, rellenando al máximo posible el
volumen del compartimento.
Las mediciones de caída de presión se realizaron a partir de una disposición
experimental como la mostrada en la figura 3.3.3, de igual forma que se realizó en el
capitulo anterior, aunque con los dispositivos y tuberías ajustados a las nuevas
dimensiones del reactor.
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Figura 3.3.3: Diagrama del sistema experimental. (1) depósito; (2) Bomba centrifuga; (3) Reactor
UA200.08; (4) caudalímetros, (5) válvulas; (6) manómetro; (7) intercambiador de calor
Por otra parte el dispositivo experimental empleado para la obtención de las
curvas RTD es muy similar a la figura 3.3.3, salvo que se sustituyeron los conectores de
medición de presión por un sistema de inyección de trazador a la entrada del sistema y
por una sonda de conductividad a la salida del mismo Figura 3.3.4.
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Figure 3.3.4: configuración experimental para los estudios de RTD
El electrolito era bombeado al sistema a través de una bomba centrifuga de
arrastre magnético modelo MSE-EP-R (March May). Se usaron caudalímetros de área
variable y válvulas de membrana de polipropileno para el control y medición del flujo.
Para el control de la temperatura se usaron intercambiadores de vidrio así como sondas
de Pt para las medidas de conductividad.
El electrolito usado para la realización de los experimentos de caída de presión
fue una disolución al 0.5M de sulfato sódico. Por otra parte, para los experimentos de
RTD se uso agua como fluido circulante y una disolución saturada de NaCl como
trazador de conductividad.
Inyeccion
ReactorDeposito
Ordenador
SondaConductividad
Caudalimetro
Bomba
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Los experimentos de transporte de materia se realizaron usando las técnicas de
corriente limite. Tanto el electrodo de trabajo como el contraelectrodo eran electrodos
planos de cobre. Con el fin de determinar el factor de corrección se emplearon también
electrodos parcialmente bloqueados. Estos electrodos parcialmente bloqueados
presentan unas tiras de polímero no conductor de unos 4 cm de longitud y anchura igual
a la anchura del compartimento en sus extremos de entrada y salida. Como electrodo de
referencia se uso un electrodo de calomelanos saturado (ECS). La reacción test
empleada fue la reducción catódica de Cu(II) en una disolución 0.5M de sulfato sódico.
Los experimentos fueron llevados a cabo para una concentración de cobre(II) inferior a
60 ppm y las condiciones de flujo se variaron entre valores de Re comprendidos entre
90 y 800. En todos los casos, estudiamos el comportamiento con y sin promotores de
turbulencia insertados en el compartimento de flujo.
Las curvas de corriente vs. potencial fueron registradas desde el potencial de
equilibrio del sistema hasta el del desprendimiento de hidrogeno (-800 mV vs. ECS) a
una velocidad de barrido de 1-5 mV s-1. Un ejemplo de curva típica de polarización
obtenidas puede verse en la figura 3.3.5.
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Figure 3.3.5: Curva de polarización típica para el sistema estudiado. [Cu2+] = 60 ppm.
Velocidad de barrido = 5mV·s-1.
Todas las respuestas que obtuvimos para Re ≠ 0 mostraron una meseta bien
definida para la corriente limite que se extendía desde –200 hasta –800 mV vs. SCE,
punto en el que se aprecia ya el desprendimiento de hidrogeno. Conocida la zona de
potencial correspondiente a la corriente límite, los estudios de transporte de materia se
realizaron empleando la técnica de salto potenciostático. El salto se realizaba desde el
potencial de equilibrio de la disolución hasta un potencial de –500 mV situado dentro
del intervalo de control por transporte de materia.
-j / mA·cm-2
-E vs ECS / mV
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3.3.3. RESULTADOS
3.3.3.1.- Estudios Hidrodinámicos:
3.3.3.1.1.- Caída de presión
Los datos de caída de presión fueron usados para determinar los regímenes de
flujo en el sistema (laminar o turbulento). En un canal de flujo bien definido, la
transición entre el régimen laminar y el turbulento ocurre alrededor de un Reynolds de
2000 (Re=vde/ν). Estos resultados hacen referencia a unas condiciones experimentales
en las que se emplean zonas de “calmado” del flujo a fin de conseguir un flujo
plenamente desarrollado, ya sea laminar o turbulento, a la entrada y salida del liquido
del sistema.
La figura 3.3.6 compara las caídas de presión globales (factor de fricción) para
el reactor sometido a estudio UA200.08 así como para otros dos reactores filtro prensa,
el UA63.03, previamente estudiado, y otro de origen comercial, FM01-LC, fabricado
por ICI.
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Figura 3.3.6: Gráfico doble logarítmico del factor de fricción v.s. Re para el reactor UA63.03,
UA200.08 y el reactor fabricado por ICI, FM01-LC
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127
Las medidas incluyen también las caídas de presión debidas a los distribuidores
de fluido en los compartimentos. La caída de presión en los modelos FM01 y UA200.08
es relativamente elevada debido a las restricciones al flujo que causa el diseño de los
distribuidores de fluido de los compartimentos de estos dos reactores. Por tanto, para la
mayoría de los promotores de turbulencia usados, el aumento de la caída de presión que
origina su inserción en el canal de flujo resulta despreciable en comparación con la
caída de presión total que existe ya sin promotores. En la figura 3.3.6, no se han
dibujado el flujo de Poiseuille que sería aplicable para flujos a Re inferiores a 2300 en
canales abiertos ya que los resultados para nuestro reactor real se encuentran muy
alejados de estas condiciones ideales, mostrando un comportamiento de flujo laminar no
totalmente desarrollado. Sin embargo, para Re inferiores a 1000, el factor de fricción,
f=∆Pde/2ρLv2, comienza a aumentar a medida que disminuye el Re, sugiriendo la
existencia de un Recrit en el cual las condiciones de flujo en el interior del reactor se
encontrarían en la zona de transición entre el flujo laminar y el flujo turbulento. Este
valor de Re=1000 es un valor aproximado, calculado a través de la unión de dos líneas
rectas que representas los dos casos extremos de Re muy bajos y Re muy elevados,
estando en concordancia con la ref. [2].
3.3.3.1.2.- Estudios de RTD
Los valores de conductividad registrados a la salida del sistema en función del
tiempo permiten construir las curvas de RTD (Distribuciones de Tiempos de
Residencia).
Al igual que ocurría en el estudio del reactor UA63.03, las curvas de trazador
obtenidas para el reactor UA200.08 no pueden ser modelizadas con modelos
matemáticos simples basados en un flujo pistón con dispersión axial pura, ya que las
curvas registradas presenta un gran fenómeno de cola para tiempos elevados, como se
mostrará más adelante. Por este motivo se ha empleado el mismo modelo basado en un
flujo pistón con dispersión axial con el que existen un intercambio de materia entre él y
una zona muerta (o zona estancada) que se usó en el capítulo anterior para el reactor
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128
UA63.03. Este modelo es una adaptación de un modelo más complejo usado
previamente para electrodos tridimensionales[4] y está basado en trabajos de
Villermaux[3]. La figura (3.3.7) presenta un esquema del modelo empleado.
Figura 3.3.7.: Esquema del modelo matemático propuesto para el ajuste de las curvas de RTD
Donde Vdin es el volumen de la zona rápida (volumen dinámico), cdin es la
concentración de trazador en esta zona, Vestat es el volumen de la zona estática (volumen
muerto) y cestat es la concentración en ese volumen.
Recordando lo expuesto en el capítulo anterior, los parámetros a optimizar en
este modelo son solamente tres (Pe, Φβ y Nα) y todos ellos tienen un claro significado
físico.
Las figuras 3.3.8a-b y 3.3.9a-b muestran los resultados experimentales obtenidos
para las configuraciones del reactor vacío o lleno con las diversas clases de promotores
estudiados para distintos caudales (Re=106, figura 3.3.8a-b y Re=298, figura 3.3.9a-b).
Vestat
Vdin
cestat
cdin
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Figura 3.3.8a: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las
configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (a1) Re = 106 reactor vacío, (a2) Re = 106
promotor A, (a3) Re = 106 promotor B, (a4) Re = 106 promotor Cs (el subíndice s indica que se ha
colocado la diagonal corta del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo)
Reactor Vacío Re = 106
Promotor A Re = 106
Promotor B Re = 106
Promotor Cs Re = 106
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Figura 3.3.8b: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las
configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (a5) Re = 106 promotor Cl , el subíndice l
indica que se ha colocado la diagonal larga del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo,
(a6)Re = 106 promotor D
Promotor Cl Re = 106
Promotor D Re = 106
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Figure 3.3.9a: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las
configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (b1)Re = 298 reactor vacío, (b2) Re = 298
promotor A, (b3) Re = 298 promotor B, (b4) Re = 298 promotor Cs (el subíndice s indica que se ha
colocado la diagonal corta del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo)
Reactor Vacío Re = 298
Promotor A Re = 298
Promotor B Re = 298
Promotor Cs Re = 298
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Figura 3.3.9b: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (b5) Re = 298 promotor Cl, el subíndice l indica que se ha colocado la diagonal larga del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo,
(b6) Re = 298 promotor D
Se puede apreciar una gran diferencia entre los experimentos realizados con el
compartimento vacío y los realizados con promotores de turbulencia. Así, los primeros
muestran una curva típica de sistemas con volúmenes muertos, para todos los caudales
estudiados. Además, a caudales bajos, los resultados obtenidos presentan una gran
cantidad de “ruido” que puede darnos una idea de la complejidad de la hidrodinámica
del sistema en esas condiciones de flujo. La incorporación al sistema de promotores de
turbulencia modifica considerablemente las curvas experimentales obtenidas,
eliminando el “ruido” antes mencionado, disminuyendo la cola de la curva RTD, así
como acercando el pico de la curva a un valor de tiempo de residencia cercano al valor
teórico (θ = t/τ = 1), esto es especialmente cierto para valores de Re elevados. En las
figuras 3.3.10 y 3.3.11 se puede apreciar un ejemplo de un ajuste de los valores
experimentales con el modelo matemático elegido para la descripción del sistema,
considerando un posible intercambio de materia entre la zona muerta y la zona dinámica
así como sin tener en cuenta ese intercambio de materia.
Promotor Cl Re = 298
Promotor D Re = 298
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Como se puede apreciar, el modelo que no tiene en cuenta un posible
intercambio de materia entre la fase dinámica y el volumen muerto no presenta un ajuste
tan preciso como el modelo que tiene en cuenta este intercambio. Esto es debido a que
el modelo sin intercambio de materia no es capaz de ajustar la cola de la curva de
tiempos de residencia dando como resultado una mala predicción del sistema. Además,
hay que tener en cuenta que, después de realizar el proceso de optimización de
variables, el modelo en el que no se tenían en cuenta intercambios de materia daba
como resultado unos volúmenes muertos muy pequeños, cercanos a cero, hecho que
simplemente por observación de las curvas experimentales se deduce que es incorrecto.
La optimización de las curvas con el modelo con intercambio se realizó
partiendo de diversos juegos de valores iniciales para los parámetros a optimizar,
usando todo el rango de valores posibles y para valores de t/τ<3. En casi todos los
casos, todos los conjuntos de valores iniciales usados condujeron hacia los mismos
óptimos.
Figura 3.3.10: Curvas experimentales y simuladas para los dos modelos estudiados. Re = 106.
CV es el coeficiente de variación
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Re = 106 Modelo sin Intercambio CV: 3.13% Modelo con Intercambio CV: 1.04% Experimental
E
t/τ
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Figura 3.3.11: Curvas experimentales y simuladas para los dos modelos estudiados. Re = 298 .
CV es el coeficiente de variación
La función objetivo a optimizar fue:
( )∑i
2expi
calci x- x = F.O. (3.3.1)
siendo xi un punto de la curva RTD.
Los valores de las funciones objetivo optimizadas rondaban el valor de 10-3 para
casi todos los casos sometidos a estudio, yendo desde 10-4 para las curvas
correspondientes a valores bajos de Re hasta 10-2 para curvas correspondientes a valores
elevados de Re.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Experimental Modelo sin Intercambio CV: 5.09% Modelo con Intercambio CV: 1.81%
E
t/τ
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135
A fin de cuantificar la bondad del ajuste de la curva experimental con la teórica
se puede definir a su vez, un coeficiente de variación según:
exp
..
(%)..x
PNOF
VC −= (3.3.2)
en donde N es el número total de puntos, P es el número de parámetros a ser
ajustados, y expx es el valor medio de la serie de datos experimentales usados en la F.O.
Los valores de estos C.V. se encontraban entre 1 y 3% para el mejor modelo (el que
tiene en cuenta el posible intercambio de materia) para todas las curvas.
Durante el proceso de optimización, observamos una gran dependencia con el
parámetro Φβ, en el sentido de que, sólo si este parámetro presenta el valor adecuado se
puede llegar a una solución con una F.O. aceptable. Además, se observó que este es el
primer parámetro en optimizarse durante el proceso de optimización y que una vez que
el programa ha encontrado este valor, ya no varía apreciablemente durante el resto del
proceso de optimización.
En la tabla 3.3.2 se presentan los resultados de la optimización
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Tabla 3.3.2:Resultados de la optimización de las curvas RTD para la configuración del compartimento
vacío y para el compartimento lleno con diversas clases de promotores
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137
A pesar de la dificultad que implica la simulación de las curvas para la
configuración vacía, especialmente a valores de Re bajos debido al ruido del sistema, se
puede apreciar una gran diferencia de los parámetros optimizados encontrados para la
configuración vacía y las distintas configuraciones con promotores de turbulencia. El
modelo da valores bajos de Nα, Φβ y Pe para la configuración del reactor vacía.
Además, para las configuraciones con promotores de turbulencia Φβ aumenta y Nα
disminuye, en general, al aumentar el Re, mientras que la tendencia opuesta se puede
observar en el reactor vacío.
3.3.3.2.- Estudios de transporte de materia
La figuras 3.3.12a-b muestra los resultados obtenidos en los estudios de
transporte de materia.
En ella se muestran tanto los valores del factor de corrección Γ = km(con el
electrodo parcialmente bloqueado)/km(con el electrodo sin bloquear) y el factor de
aumento o mejora del transporte de materia γmt = ( km(con promotor de
turbulencia)/km(sin promotor de turbulencia)) definido por Walsh y Reade[5]. Los
resultados para el parámetro Γ rondan el valor de 0.93. Esto implica que los efectos de
entrada / salida en este reactor son menos obvios que en otros reactores filtro prensa de
escala laboratorio.
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0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
Promotor A Promotor B Promotor Cl Promotor Cs Promotor D
γ mt
Re
Figura 3.3.12a: Factor de mejora para el transporte de material, γmt, en el reactor UA200.08.
0 100 200 300 400 500 600 7000.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
1.02
1.04
1.06
1.08
1.10
Γ
Re
Figura 3.3.12a: Factor de corrección para el transporte de materia, Γ, en el reactor UA200.08.
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139
El factor de aumento o mejora del transporte de materia, γmt, tiende a disminuir a
medida que aumenta el Re, variando desde 2.2 hasta 1.3. Se han realizado además
estudios con el promotor C en dos orientaciones distintas a fin de comparar los
resultados con otros realizados por otros investigadores[6,7], y se ha visto que la
disposición del promotor afecta al valor del coeficiente de transporte de materia.
El coeficiente de transporte de materia puede ser colocado en una expresión
adimensional a través del numero de Sherwood (Sh). A fin de comparar los resultados
obtenidos con otros encontrados en la bibliografía se han calculado las correlaciones de
materia para el reactor sometido a estudio que relacionan el Sh con el Re y con el
numero de Schmidt (Sc). Estas correlaciones han sido comparadas a su vez con otras
encontradas en la bibliografía, tabla 3.3.3.
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140
Reactor ecuación Condiciones Referencia Sh = a’ Reb Scc a’ b c
Sin Nombre area 225 cm2 Le=15.4 10-2
γ = 0.1
Vacío 3 0.19 0.812 0.33 1250<Re<6900 8 Con
deflectores 4 0.18 0.75 0.33 Re > 3000 8
Con deflectores
5 0.46 0.66 0.33 3000<Re<15000 9
UA200.08 area 216 cm2
Le = 1.28 10-2
γ = 0.04
Vacío Electrodo sin
bloquear 6 0.35 0.70 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo
Electrodo bloqueado
7 0.15 0.64 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo
Pcon
promotores
Tipo A 8 0.43 0.71 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo B 9 1.24 0.58 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo Cl 10 1.03 0.59 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo Cs 11 1.31 0.55 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo D 12 0.75 0.64 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo
TEORÍA
Sh = a Reb Scc Led a b c d
Laminar 13 1.85 0.33 0.33 0.33 Re < 2000 10
Turbulento 14 0.023 0.8 0.33 - Re > 2000 10
Tabla 3.3.3: Correlaciones para el transporte de materia para el reactor UA200.08 y otros
reactores de escala piloto encontrados en la bibliografía.
En la figura 3.3.13 se han representado las correlaciones de la tabla 3.3.3 junto
con las ecuaciones teóricas para flujos laminar y turbulento totalmente desarrollados[10].
Se puede apreciar que la pendiente de las correlaciones es mayor que la de las
expresiones teóricas en la zona de Re laminares y que son bastante similares a las
pendientes de la zona de régimen turbulento. Este comportamiento ha sido observado
por varios investigadores [11,12,13,14] en una amplia variedad de reactores comerciales y
de fabricación propia. La explicación de este comportamiento se debe principalmente a
la inexistencia de zonas de calmado en el compartimiento.
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Figura 3.3.13: Grafico de las correlaciones de grupos adimensionales para el reactor UA200.08 (con y
sin promotores de turbulencia) comparados con otros estudios hallados en la bibliografía. (ecuaciones
en la tabla 3.3.3). 1.- Electrodos parcialmente bloqueados (reactor vacío) Ecuación 7; 2.- electrodos no
bloqueados (reactor vacío) Ecuación 6; 3.- Promotor A Ecuación 8; 4.- Promotor B Ecuación 9; 5.-
Promotor CS Ecuación 11; 6.- Promotor Cl Ecuación 10;7.- Promotor D Ecuación 12; 8.- Ecuación 3; 9.-
Ecuación 4; 10.- Ecuación 5; 11.- Flujo laminar Ecuación 13; 12.- Flujo turbulento Ecuación 14
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Este hecho, unido a una longitud no lo suficientemente larga en la dirección de
flujo, impide que se consiga un flujo laminar plenamente desarrollado. Sin embargo,
esta situación no puede ser únicamente atribuida a la forma de entrada del fluido en el
compartimento, ya que la correlación para el transporte de materia con los electrodos
parcialmente bloqueados no presenta un cambio significativo en la pendiente, 0.64, que
es mayor que el teórico 0.33. Además, la tendencia del factor de fricción en este rango
de Re sirve para apoyar esta hipótesis. Por otra parte, se ha de hacer notar que la
correlación para el transporte de materia con los electrodos parcialmente bloqueados
presenta una velocidad media de transporte de materia inferior, es decir, valores
menores de a’ y b.
3.3.3.3.- Estudios de visualización directa
Al igual que con el reactor UA63.03, los experimentos se realizaron por la
filmación en video de una inyección de un trazador de color, azul de bromotimol, en el
reactor. Una de las placas de apriete del sistema fue sustituida por otra de metacrilato
transparente a fin de poder ver el interior del reactor.
El modelo basado en la existencia de una zona dinámica para el paso de fluido y
la existencia de una zona muerta con la que existe un intercambio lento de materia
queda cualitativamente justificado al visualizar el flujo del fluido en el interior del
reactor. Se puede apreciar la existencia de un camino más rápido en el centro del
reactor, perfectamente asumible como el volumen dinámico propuesto por el modelo
físico, así como unas zonas laterales mucho más lentas, que podrían asimilarse a los
volúmenes muertos. Por otra parte, la existencia de remolinos justificaría el intercambio
de materia entre las zonas dinámicas y muertas, figuras 3.3.14.
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Figura 3.3.14a: Inyección de trazador. Re = 227. t0 Figura 3.3.14b: Inyección de trazador. Re = 227. t1
Figura 3.3.14c: Inyección de trazador. Re = 227. t2 Figura 3.3.14d: Inyección de trazador. Re = 227. t3
Figura 3.3.14e: Inyección de trazador. Re = 227. t4 Figura 3.3.14f: Inyección de trazador. Re = 227. t5
Siendo t0<t1<t2<t3<t4<t5.
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3.3.4. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
El modelizado de las curvas RTD del sistema proporciona información
sumamente interesante para analizar la influencia de los promotores de turbulencia. Los
bajos valores de Φβ y Pe para la configuración del reactor sin promotores, en contraste
con los resultados obtenidos para la configuración con promotores, permite imaginar al
reactor como un sistema formado por una zona o fase dinámica combinada con otra fase
estática, con la posibilidad de que existan posibles recirculaciones o remolinos. Esta
compleja representación estaría de acuerdo con la gran cantidad de “ruido” de las curvas
RTD hallado en las configuraciones vacías. Además, la tendencia ascendente del Pe con
los Re apoya este modelo que está de acuerdo con estudios realizados por otros
investigadores. Así mismo existen referencias en la bibliografía en las que se expone la
existencia de unos cambios de flujo a la entrada de células electroquímicas[15-17] debidos
principalmente al diseño de los distribuidores de entrada. En estos trabajos, se establece
una relación entre la distribución de la constante del transporte de materia y la
hidrodinámica de las zonas de recirculación por medio de estudios de corriente limite: el
fluido al pasar del distribuidor al compartimento se expande rápidamente y se forma una
región de flujo en recirculación con un elevado transporte de materia. Cerca de las
esquinas de las células rectangulares, se sabe que se forman flujos secundarios, tanto en
régimen laminar como en turbulento con altos valores de la constante de transporte de
materia. A una distancia cercana de la entrada, ya dentro del compartimento, el flujo de
fluido comienza a desarrollarse de manera habitual. Por ejemplo, para una célula de
sección cuadrada un hecho importante a notar es que en la zona de recirculación, el
transporte de materia en el centro es mayor que el transporte de materia en las esquinas.
En regiones alejadas de la zona de entrada, ese comportamiento se invierte y es en las
esquinas en donde se alcanzan valores mayores de transporte de materia.
Más recientemente se han realizado estudios del comportamiento hidrodinámico
de reactores electroquímicos filtro prensa basados en estudios locales de transporte de
materia usando una configuración con deflectores o sin ellos[1] así como con, o sin,
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promotores de turbulencia[11,19]. En estos trabajos, se ha descrito, para la configuración
vacía del compartimiento, un comportamiento global de remolinos debidos a las
entradas de líquido a través de los distribuidores en forma de chorros. Así mismo, se ha
descrito la posible existencia en estas configuraciones, de zonas inactivas de la célula.
Una situación similar puede desprenderse de nuestros estudios de RTD, y de la
modelización de los mismos. Así, para la configuración con promotores de turbulencia,
se obtienen valores elevados de Φβ y de Pe. La presencia de promotores de turbulencia
obstaculiza la posible formación de zonas muertas (altos valores de Φβ) y, además,
puede generar la formación de un gran número de “pequeños canales” dentro del
compartimento, los cuales favorecerían esa disminución de zonas muertas o estancadas.
En estos casos, el transporte de materia hacia los electrodos sería menos dependiente del
caudal (lo que se traduciría en un menor exponente del Re en las correlaciones de
transporte de materia) y más de las características del promotor (valores elevados de a
en las correlaciones de transporte de materia).
Un estudio más detallado de las diferencias existentes entre distintos promotores
de turbulencia presentaría numerosas complicaciones que ya han sido expuestas en otros
trabajos de investigación[7]. Una de las razones para el aumento del transporte de
materia al insertar promotores de turbulencia se debe a la formación de remolinos, lo
que, siguiendo el modelo de RTD propuesto, originaría en una disminución de los
volúmenes muertos del sistema (altos valores de Φβ) y un aumento del intercambio de
materia entre las zonas dinámicas y las zonas estancadas, las cuales suelen estar
ubicadas en las paredes del reactor. El aumento del parámetro Φβ es particularmente
importante en las regiones cercanas al electrodo. En este aspecto en particular, es lógico
asumir que la introducción de promotores de turbulencia disminuye en gran medida los
efectos entrada/salida desde el punto de vista hidrodinámico, particularmente en
reactores a escala laboratorio y piloto.
Por otra parte los promotores de turbulencia A y D, con distancias diagonales
menores, presentan exponentes de velocidad y valores de Φβ normalmente mayores que
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el resto de promotores. Con el objetivo de poder clasificar los promotores en función de
su eficiencia proponemos el empleo de un factor de turbulencia, NαΦβ [1]. Para un valor
constante de Φβ, un aumento en Nα, es decir un aumento en la velocidad de intercambio,
producirá un grado mayor de turbulencia. En el mismo sentido, para un valor constante
de Nα, un aumento de Φβ causaría que una mayor parte del reactor actuase como flujo
pistón, con lo que la turbulencia también se vería aumentada.
La tabla 3.3.4 muestra los valores de Nαθβ para los distintos casos estudiados,
NαΦβ Re Vacío Promotor A Promotor B Promotor Cs Promotor Cl Promotor D
75 0.43 106 1.23 1.12 1.25 1.04 0.99 161 0.99 1.13 1.01 1.06 227 0.49 243 0.96 0.88 0.9 0.86 0.76 298 0.96 0.82 0.93 346 0.49 499 0.52
Tabla 3.3.4: Producto NαΦβ para el reactor UA200.08
El parámetro NαΦβ para los promotores muestra una tendencia a disminuir
cuando el Re aumenta, igual que lo hace el coeficiente de aumento de transporte de
materia, sin embargo la clasificación de los promotores no es tan directa. Se puede ver
que tan solo el comportamiento del promotor A es distinto al comportamiento predicho
usando los estudios de transporte de materia,
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• clasificación segun estudios de transporte de materia
B > Cs > Cl > D > A
• clasificación según modelización de RTD
A >B ≈ Cs > Cl > D
El comportamiento anómalo del promotor A puede estar asociado con su
especial distribución de fibras, como se puede apreciar en la figura 3.3.2a. Este trazado
permite un empaquetamiento mas compacto dentro del reactor cuando se emplean
varias rejillas. Este fenómeno podría ocasionar una obstrucción de las paredes así como
favorecer una canalización del electrolito en la dirección de flujo
3.3.6. NOMENCLATURA
a Coeficientes de las correlaciones de transporte de materia
B Anchura del compartimento, m (perpendicular a la dirección de flujo).
b Exponente del numero de Reynold en la correlación de transporte de
materia.
c Concentración, mol/m3. Exponente del número de Schmidt en la
correlación de transporte de materia.
cdin Concentración en el flujo principal, mol/m3.
cestat Concentración en las zonas muertas, mol/m3.
C Concentración normalizada.
d Exponente de la longitud adimensional de la correlación de transporte de
materia.
de Diámetro hidráulico equivalente del compartimento, m (= 2Bs/(B+s)).
D Coeficiente de difusión, m2/s
E Distribución de tiempos de residencia (RTD)
f Factor de fricción, (= ∆Pde /2ρLv2).
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km Coeficiente de transporte de materia, m/s.
Le Longitud adimensional (=de/L).
Nα Velocidad normalizada de intercambio entre el flujo pistón con
dispersión y las zonas muertas.
NαΦβ Factor de turbulencia.
∆P Caída de presión, Pa.
Pe Número de Peclet (=v L/Dax)
Re Número de Reynolds (=v de/ν)
Recrit Valor teórico de Re para el cambio de régimen laminar a turbulento.
Qv Caudal volumétrico, m3/s.
Sc Número de Schmidt (= ν / D)
Sh Número de Sherwood (=km de/D).
s Grosor del compartimento, m.
t Tiempo, s.
C.V. Coeficiente de variación
Vdin Volumen de la región dinámica del reactor, m3.
Vestat Volumen de la zona estancada del reactor, m3.
v Velocidad media del fluido, m/s
Letras Griegas
Φβ Fracción entre el flujo pistón con dispersión y el volumen total.
γ Relación de aspecto del compartimento (=s/B).
γmt Factor de aumento ( km(con promotor)/km(sin promotor))
Γ Factor de corrección ( km(Electrodo parcialmente
bloqueado)/km(electrodo sin bloquear))
ν Viscosidad cinemática, m2/s
ρ Densidad, kg/m3.
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τ Tiempo de residencia medio para el compartimento, s (=Vt/Qv) en donde
Vt es el volumen disponible para el flujo, teniendo en cuenta la presencia
de los promotores de turbulencia dentro del reactor.
3.3.7. REFERENCIAS
[1] González-García J., Conesa, J. A., Iniesta, J., García-García, V., Montiel, V., Aldaz,
A. I. Chem.E. Symp. Ser. 1999, 145, 51.
[2] Holland, F. A., Fluid flow for Chemical Engineers, Edward Arnold (Ed.), London,
1973, p. 51.
[3] Villermaux, J., van Swaaij, W. P. M. Modèle représentatif de la distribution des
temps de séjour dans un réacteur semi-infini à dispersión axiale avec zones stagnantes.
Application à l’écoulement ruisselant dans des colonnes d’anneaux Rasching”, Chem.
Eng. Sci. 1969, 24, 1097.
[4] González-García, J., Montiel V., Aldaz, A., Conesa, J. A., Pérez, J. R., Codina, G.
Hydrodynamic behaviour of a filter-press electrochemical Reactor with carbon felt as a
Three-Dimensional Electrode. Ind. Eng. Chem. Res. 1998, 37, 4501
[5]Walsh, F. C., Reade, G. Design and performance of electrochemical reactors of
efficient synthesis and environmental treatment. Part 1. Electrode geometry and figures
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[6]Letord-Quémere, M. M., Legrand, J., Coeuret, F. Improvement of mass transfer in
electrochemical cells by means of expanded materials, I. Chem. E. Symp. Ser. 1986, 98,
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150
[7]Ralph, T. R., Hitchman, M. L., Millington, J. P., Walsh, F. C. Mass transport in an
electrochemical laboratory filterpress reactor and its enhancement by turbulence
promoters, Electrochim. Acta 1996, 41, 591.
[8] Wragg, A. A., Leontaritis A. A. Mass transfer measurements in a parallel cell using
the limiting current technique, Dechema Monograph 1991, 123, 345.
[9]Goodridge, F., Mamoor, G. M., Plimley, R. E., I. Chem. E. Symp. Ser. 1986, 98, 61.
[10]Pickett, D. J. Electrochemical Reactor Design, Elsevier, Amsterdam, 1979.
[11]Taama, W. M., Plimley, R. E., Scott, K. Mass transfer rates in a DEM
electrochemical cell, Electrochim. Acta 1996, 41, 543.
[12]Carlsson, L., Sandegren, B., Simonsson, D., Rihovsky, M. Design and performance
of a modular, multi-purpose electrochemical reactor, J. Electrochem. Soc. 1983, 130,
342.
[13]Hammond, J. K., Robinson, D., Walsh F. C. Mass transport studies in Filterpress
Monopolar (FM-Type) Electrolysers I – Pilot scale studies in the FM21-SP reactor,
Dechema Monograph 1991, 123, 279.
[14]Hammond, J. K., Robinson, D., Walsh F. C. Mass transport studies in Filterpress
Monopolar (FM-Type) Electrolysers II – Laboratory studies in the FM01-LC reactor,
Dechema Monograph 1991, 123, 299.
[15]Tagg, D. J., Patrick, M. A., Wragg, A. A. Heat and mass transfer downstream of
abrupt nozzle expansions in turbulent flow, Trans IChemE. 1979, 57, 176.
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[16]Wragg, A. A., Tagg, D. J., Patrick, M. A. Diffusion-controlled current distributions
near cell entries and corners, J. Appl. Electrochem. 1980, 10, 43.
[17]Pickett, D. J., Wilson, C. J. Mass transfer in a parallel plate electrochemical cell –
the effect of change of flow área and flow cross-section at the cell inlet, Electrochim.
Acta, 1982, 27, 591.
[18]Chouikhi, S. M., Patrick, M. A., Wragg, A. A. Mass transfer downstream of
nozzles in turbulent pipe flow with varying Schmidt number, J. Appl. Electrochem.
1987, 17, 1118.
[19]Brown, C. J., Pletcher, D., Walsh, F. C., Hammond, J. K., Robinson, D. Local mass
transport effects in FM01-LC laboratory electrolyser, J. Appl. Electrochem. 1992, 22,
613.
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Capítulo 3.3: Estudio de un reactor a escala piloto: UA200.08
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
153
3.4.- ESTUDIO DE UN REACTOR A ESCALA INDUSTRIAL: REIM3300
3.4.1. INTRODUCCIÓN
Con objeto de concluir esta primera sección del estudio de reactores
electroquímicos filtro prensa se ha investigado el comportamiento de un reactor de
dimensiones industriales. Con él concluiremos el estudio de una familia de reactores
filtro prensa que ha abarcado desde la escala laboratorio hasta la escala industrial
pasando por la escala piloto y que nos ha permitido validar unos modelos físicos de
comportamiento para los reactores basándonos en técnicas tradicionales (estudio de
RTDs, estudios de transporte de materia hacia los electrodos y visualización directa).
3.4.2. CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL
El reactor electroquímico filtro prensa estudiado es un reactor comercial de
escala industrial modelo REIM 3300 suministrado por la casa “I.D. Electroquímica”. En
la figura 3.4.1 se muestra unas imágenes del mismo.
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
154
Figura 3.4.1: Reactor REIM 3300 de I.D. Electroquímica y planta piloto del departamento de Química Física
Los promotores de turbulencia empleados se indican en la figura 3.4.2. y sus
dimensiones se encuentran especificadas en la tabla 3.4.1.
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
155
Promotor A Promotor B
Figura 3.4.2: Promotores A y B y esquema de las dimensiones principales. (Valores en Tabla 3.4.1)
Parámetro Promotor A Promotor B sd/ mm 4.5 ld/ mm 6.6
ccld/ mm 9 ccsd/ mm 7
Grosor Promotor/ mm 2 1.4 L / mm 11
Porosidad mallado 0.73 0.72
Tabla 3.4.1 Principales parámetros de los promotores de turbulencia usados
l
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
156
Los promotores fueron colocados en el compartimento del reactor (longitud
65cm, anchura 50 cm, grosor 2.5 cm). El número de promotores colocado fue el
suficiente para garantizar que el compartimento se encontrara totalmente relleno y que
los promotores no pudieran moverse.
En la figura 3.4.3 se puede apreciar un esquema de la configuración
experimental usada a fin de obtener las curvas RTD.
Figura 3.4.3: Configuración experimental para los estudios de RTD
La disolución se bombeaba al reactor desde un tanque de 600L. El caudal se fijó
en un rango de 300-800 l/h lo que implicaba unas velocidades lineales en el interior del
reactor entre 0.6-1.8 cm/s aproximadamente.
A la salida del reactor se colocó insertada en la tubería una sonda de
conductividad. La señal recibida por la sonda era enviada a un ordenador en donde se
registraba, grababa y analizaba.
Para cada experimento el depósito se vaciaba y se volvía a llenar con agua
destilada a fin de evitar que el trazador inyectado en un experimento afectara los
Inyección
ReactorDeposito
Ordenador
SondaConductividad
Caudalímetro
Bomba
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
157
resultados del siguiente. Por otra parte, el trazador elegido fue una disolución saturada
de NaCl y la cantidad del trazador inyectada por experimento fue de 5 ml. La inyección
se realizaba a través de una jeringuilla instalada a la entrada del reactor y el tiempo de
inyección oscilaba alrededor de 0.5 s.
3.4.3. RESULTADOS
3.4.3.1.- Estudios hidrodinámicos
Con el objetivo de encontrar un modelo matemático adecuado para el tipo de
curvas RTD obtenidas, figura 3.4.4, se probaron varios modelos de flujo no ideal.
Figura 3.4.4: Curvas RTD para el reactor REIM3300 trabajando con el promotor B
En este caso, y debido a la existencia de dos picos en las curvas RTD, figura
3.4.4, el modelo propuesto, que se detallará más adelante, considera dos posibles
caminos, uno de ellos con zonas muertas, por los que puede fluir el electrolito en el
interior del reactor. Este modelo es una modificación de un modelo usado previamente
en otros trabajos[1,2]. Debido a la mayor complejidad de este modelo se procederá a
desarrollarlo un poco más extensamente que el anterior.
Unidades Arbitrarias
Tiempo Normalizado
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
158
3.4.3.1.1.- Desarrollo matemático del modelo
3.4.3.1.1.1.- Balance de materia global y balances de materia por especies:
Para cualquier fluido, el flujo total de materia en un elemento de fluido menos el
flujo de salida es igual a la velocidad de acumulación de materia. En ese elemento es
posible escribir esta expresión en forma de balances integrales o balances diferenciales
en un elemento diferencial de fluido.
( ) 0· =∇+∂∂ uρρ
t (3.4.1)
en donde ρ es la densidad, y el termino en negrita u es un vector de coordenadas
x, y, z, que representa la velocidad del fluido. Las formas habituales de los balances
suelen estar relacionadas con uz, la componente de la velocidad en la dirección de flujo
del fluido, simplificando del estudio ux y uy.
Cuando se supone estado estacionario así como una densidad constante en el
reactor, se puede simplificar la ecuación (3.4.1) en,
( ) 0· =∇ uρ o ρ u = constante (3.4.2)
que es la ley de conservación de la materia.
Para un fluido multicomponente (el único caso de interés cuando se esta tratando
con reacciones químicas) es necesario resolver el balance de materia para cada especie.
El balance de las especies se suele escribir como “flujo de entrada” menos “flujo de
salida” más “cambios debidos a reacciones químicas” es igual a “acumulación de las
especies”. Por supuesto, existirá una ecuación para cada especie, sujetas todas ellas a la
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
159
conservación de la masa total a través de la ecuación de continuidad. Las ecuaciones de
balance para las especies son:
∑=
+∇=∇+∂
∂ R
iiijjjj
j rCDCt
C
1
2· νu (3.4.3)
En la derivación de esta ecuación se asume que la densidad es constante y la
difusividad Dj es independiente de la composición. (∇) y (∇2) son el operador gradiente
y el operador Laplaciano respectivamente mientras que νijri hace referencia al termino
de reacción química en la disolución.
Para un reactor tubular, asumiendo la variación solo en una dimensión espacial,
la dirección de flujo z, se obtiene,
∑=
+∂
∂=
∂
∂+
∂
∂ R
iiij
jj
jj rzC
Dz
Cu
tC
12
2
ν (3.4.4)
en donde u es la velocidad en la dirección del flujo (la dirección z) y todos los
gradientes están considerados en la dirección axial y no la radial. El último termino
representan los mol·m-3·s-1 que desaparecen del reactor debido a la reacción química.
3.4.3.1.1.2.- Modelo del reactor
La figura 3.4.5 muestra un esquema del modelo propuesto para el sistema
sometido a estudio.
Para uno de los caminos (camino 1 que ocupa el volumen V1) se asume que el
electrolito fluye de acuerdo con el modelo de flujo pistón con dispersión axial, muy
similar al empleado en capítulos anteriores para los reactores UA63.03 y UA200.08.
También se supone que en este volumen V1 existe una determinada zona estancada, o
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
160
volumen muerto. El electrolito en la zona estancada es renovado lentamente por el
electrolito que fluye por la fase dinámica, acorde con el modelo de flujo pistón con
dispersión axial. La fracción de electrolito en esta zona , βtot = Volumen1 / VolumenTotal,
está dividido a su vez en una fracción dinámica βdin y una fracción estática o muerta
βestat.
Figura 3.4.5: Esquema del modelo físico propuesto
La velocidad local de intercambio entre la zona dinámica (din) y la zona estática
(estat) se asume que es proporcional a la diferencia de concentración existente entre
D p
Zona Dinámica Zona Muerta
β din S βestat S
Q
Q 1 Q 2
Flujo piston con
dispersión axial
Volumen=V2Volumen=V1
Intercambio de materia entre zonas. Constante de Velocidad αm (1/s)
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Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300
161
ambas fases y que puede ser caracterizada por un coeficiente de intercambio, αm (s-1),
definido por:
) - c (c estatdinmα segundo ·volumen
adosintercambi moles de numero ≡ (3.4.5)
en donde cdin y cestat son las concentraciones en la fase dinámica y estática
respectivamente. αm puede ser considerada como el producto de un coeficiente de
transporte de materia y el área especifica interfacial entre la fase dinámica y la fase
estática, kLa
Las ecuaciones del modelo pueden obtenerse aplicando el balance de materia
(3.4.4) a ambas fases, la dinámica y la estática, en una fina lámina de fluido
perpendicular a la dirección de flujo. Se asume que la densidad es constante a lo largo
del reactor.
( )estatdinmtotdin
ddindin
dindindin
din ccSz
cuS
zc
DSt
cS −−
∂∂
−∂
∂=
∂∂
αββββ 2
2
(3.4.6)
( )estatdinmtotestat
estat ccSt
cS −−=
∂∂
αββ (3.4.7)
en donde S es al área de sección del reactor (m2), Ddin es el coeficiente de
dispersión en la fase dinámica (m2s-1), ud es la velocidad en la fase dinámica (m s-1) de
volumen V1 (=Q1/Sβdin), y Q1 es el flujo de electrolito que circula en el volumen V1
(m3s-1).
Si se introducen expresiones adimensionales, se obtiene a partir de las
expresiones (3.4.6) y (3.4.7),
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162
) - C (C - N Z
C -
Z C
Pe
= θ
C estatdinα
dindin
din
dinB ∂
∂∂
∂∂
∂2
21Φ (3.4.8)
( ) ) - C (C = - N θ
C dinestatα
estatB ∂
∂Φ−1 (3.4.9)
en donde Z=z/L, siendo L la longitud total del reactor; ΦB=βdin/βtot;
Nα=(αm·L)/(ΦBu1); Pedin=(u1·L)/Ddin; θ=t/τ, con τ=L/(ΦBu1); Cestat=cestat/c; Cdin=cdin/c.
En este sentido, Nα es el número de unidades de transporte de materia para el
intercambio entre la zona dinámica y la zona estancada, y Ped es el numero de Peclet
para la zona dinámica. Para el calculo de la curva RTD debida a este camino se han de
resolver las ecuaciones (3.4.8) y (3.4.9) con las condiciones limite de contorno
adecuadas.
Para el otro camino (camino 2 que ocupa un volumen V2), se ha aplicado un
modelo de flujo pistón con dispersión axial y se ha supuesto una dispersión axial baja.
La curva que representa la distribución de tiempos de residencia para el camino 2 (E2),
Levenspiel[3], es:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
2
2
2
2
2
Pe4
1exp
Pe2
1Eτ
π
t (3.4.10)
en esta ecuación, Pe2 es el numero de Peclet para el camino 2; t es el tiempo a
partir del momento de inyección del trazador y τ2 es el tiempo de residencia medio para
el camino 2.
Considerando que el modelo propuesto para el camino 1 se aplica en el volumen
V1 en el cual existe un caudal Q1, y el modelo para el camino 2 se aplica sobre el
volumen V2 con un caudal Q2, se puede decir que,
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163
Vtot = V1+V2 (3.4.11)
Q = Q1+Q2 (3.4.12)
Y el tiempo de residencia medio vendría dado por,
τi = Vi/Qi i=1,2 (3.4.13)
La curva RTD total se calcularía por tanto usando la siguiente ecuación,
Levenspiel[3],
QQE
QQEE 2
21
1 += (3.4.14)
Y para la evaluación de los parámetros se elegiría como función objetivo,
( )∑∑ −=r k
2expk,calk, EEF.O.
En esta ecuación, r representa cada experimento realizado a diferentes caudales,
k representa los datos obtenidos a cada tiempo y los subíndices “cal” y “exp” hacen
mención a los términos calculado y experimental.
Los valores que deben ser optimizados son: τ1, ΦB, Pedin, Nα, τ2 y Pe2. Se debe
hacer constar que se ha escogido el mínimo número de parámetros a optimizar. Usando
expresiones como (3.4.13) no es necesario optimizar el volumen o los caudales ya que
existen relaciones entre ellos conocidas.
3.4.31.1.3.- Solución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales
Se ha desarrollado un programa de matlab a fin de resolver el modelo, ver
apéndices. En el programa, el método usado a fin de resolver el sistema de ecuaciones
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es el método de las diferencias finitas[4]. Si se desarrolla la ecuación (3.4.9) a través de
este método se obtiene:
( ) ) - C (C = - NθCC
tidin
tiestatα
tiestat
tiestat
B ,,,
1,1∆
−Φ−
+
(3.4.16)
que reagrupando queda,
tidin
B
tiestat
B
tiestat C
NC
NC ,,
1, 11
1Φ−∆
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ−∆
−=+ θθ αα (3.4.17)
Para la ecuación (3.4.8), siguiendo el mismo procedimiento se obtiene:
( ) ( )
( )t
iestatBBdin
tidin
BBBdin
tidin
BBdin
tidin
tidin
CN
zPeC
NzzPe
CzzPe
CC
,21,
2,21,1, 12
Φ∆
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∆Φ∆
+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
Φ∆
−∆Φ
∆+
∆Φ∆−
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∆Φ∆
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆Φ∆
=
−
++
θθ
θθθθθ
α
α
(3.4.18)
El estudio de la estabilidad de las ecuaciones se realiza a través del siguiente
teorema[4],
(3.4.19)
Aplicando el teorema a la ecuación (3.4.18) se encuentra que si A>0, entonces:
dinPez
1<∆ ≡ Condición 1
les.despreciabseran sresultante errores losy estable es sistema el entonces 1,DBAy positivasson D B,A,Si 11
1
≤++++= −+
+ yDCCBCAC ti
ti
ti
ti
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165
si B>0 entonces:
zNzPe
z
din
B
∆+−∆
∆Φ<∆
α
θ12
≡ Condición 2
Teniendo en mente las Condiciones 1 y 2 se tiene que:
22>
∆zPedin
Esta expresión será siempre cierta si el producto zPedin∆ es positivo. Las otras
dos condiciones, D>0 y (A+B+D) ≤1 son siempre ciertas para la ecuación (3.4.18)
En el caso de las condiciones de estabilidad para la ecuación (3.4.17), la
condición más restrictiva se da cuando B>0,
01
1 >⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ−∆
−B
N θα ≡ Condición 3
reagrupando se tiene,
α
θN
BΦ−<∆
1 ≡ Condición 3
Por tanto, para que el sistema de ecuaciones diferenciales sea estable se
necesitará comparar los incrementos de tiempo dados por las condiciones 2 y 3 y elegir
el menor de ambos.
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166
3.4.3.1.1.4.- Condiciones limite de contorno para las ecuaciones diferenciales
parciales
Para un reactor “cerrado”, es decir, cuando una porción de fluido entra en el
reactor y no puede abandonarlo por el mismo sitio, las consideraciones de los balances
de flujo a la entrada y a la salida proporcionan lo que son normalmente conocidas como
“condiciones de contorno de Danckwerts”[5].
( ) ( )z
CuDCC A
AA ∂∂
−=+
+ 000 (3.4.20)
en donde CA0 es la concentración de entrada de la especie A y el punto 0+
representa el primer punto diferencial a la entrada del reactor. Si se aplica la ecuación
(3.4.20) a nuestro caso se obtiene,
zCC
uD
CCt
idint
idin
din
dintidin
tidin ∆
−−= ++
+1,2,
1,, (3.4.21)
que reagrupando
1··· 2,,
1, +∆
+∆= +
+ zPeCzPeC
Cdin
tidindin
tidint
idin (3.4.22)
Para el calculo de la curva E (curva RTD) se considerará una señal de entrada en
forma de escalón,
concentración = 0 si t < 0,
concentración = 1 si t ≥ 0,
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167
Esto proporcionaría la denominada curva F, que se encuentra relacionada con la
curva E por la relación dada por Levenspiel[3]
∫ =⇒=t
dtdFEEdtF
0
(3.4.23)
En este sentido, la señal de entrada usada en estos cálculos ha sido una señal en
escalón, que será posteriormente diferenciada a fin de obtener la curva E. La razón para
ello se debe a la simplicidad de las condiciones de contorno para el caso de una entrada
en escalón si se la compara con una entrada en impulso.
El sistema de ecuaciones propuesto anteriormente fue resuelto por Villermaux y
Van Swaaij[6] a través de cálculos mediante transformaciones de Laplace. Debido a la
complejidad de la solución analítica se ha considerado más oportuno una resolución de
las ecuaciones a través de métodos numéricos.
3.4.3.1.1.5.- Ajuste de las curvas experimentales
La figura 3.4.6 muestra un ejemplo del ajuste experimental del modelo
desarrollado con los datos obtenidos experimentalmente.
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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Experimental Modelo
Uni
dade
s Ar
bitra
rias
Tiempo Normalizado
Figura 3.4.6: Ajuste de los datos experimentales con el modelo propuesto con el reactor usando el
promotor B. Re = 847
Los valores optimizados de los parámetros requeridos por el modelo, tabla 3.4.2,
nos dan un comportamiento hidrodinámico de flujo pistón con una baja dispersión axial
para el reactor con promotores de turbulencia (valores más altos de Pe y Φβ que para el
caso del compartimento vacío) y una mayor agitación y mezcla para la configuración
vacía.
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169
PROMOTOR A PROMOTOR B VACIO Re Φβ Nα Nα· Φ β Φ β Nα Nα· Φ β Φ β Nα Nα· Φ β
317 0.81 0.38 0.31 0.78 3.35 2.61 0.86 0.31 0.27 423 0.79 0.32 0.25 0.79 3.07 2.43 0.76 0.2 0.15 529 0.8 0.23 0.18 0.83 2.35 1.95 0.85 0.27 0.23 635 0.82 0.14 0.11 0.86 2.20 1.89 0.92 0.17 0.16 741 0.82 0.16 0.13 0.83 2.06 1.71 0.84 0.12 0.10 847 0.9 0.11 0.10 0.99 1.06 1.06 0.83 0.10 0.08
Table 3.4. 2: Tabla sumario de los parámetros optimizados obtenidos
Un factor a resaltar sería el descenso del factor de turbulencia, NαΦβ, a medida
que aumenta el Re, siguiendo por tanto la misma tendencia que se observó ya en los
estudios realizados en el reactor UA200.08.
3.4.3.2.- Estudios de transporte de materia
Los estudios de transporte de materia a través de la corriente límite se realizaron
siguiendo las técnica de salto potenciostático. El salto se realizaba desde el potencial de
equilibrio de la disolución hasta un potencial situado dentro de la ventana de control por
transporte de materia, en concreto se eligió un potencial de –500 mV vs. ECS. Tanto el
electrodo de trabajo como el contraelectrodo eran electrodos bidimensionales de cobre.
Como electrodo de referencia se usó un electrodo de calomelanos saturado (ECS). La
reacción test empleada fue la reducción catódica de Cu(II) en una disolución 0.5M de
sulfato sódico. Los experimentos fueron llevados a cabo para unas concentraciones de
cobre(II) comprendidas entre 70 ppm - 460 ppm y las condiciones de flujo se variaron
entre valores de caudal comprendidos entre 200 y 800 l/h. En todos los casos se estudio
el comportamiento con y sin promotores de turbulencia insertados en el compartimento
de flujo.
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170
La figura 3.4.7 muestra los resultados obtenidos a través de los estudios de
transporte de materia.
Figura 3.4.7: Resultados de los estudios de transporte de materia para el reactor REIM 3300
En dicha grafica se muestran los resultados de Sh frente a Re obtenidos para los
distintos promotores así como para la configuración en vacío.
En la figura 3.4.8 se muestra a su vez, el factor de aumento para ambos
promotores.
Se puede apreciar que el factor de aumento o mejora, γmt, apenas varía en una
misma configuración para todos los Re estudiados, aunque existe una notable diferencia
entre ambas configuraciones.
200 300 400 500 600 700 800 900100
1000
Compartimento Vacio Promotor A Promotor B
Sh
Re
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171
Figura 3.4.8: Factor de mejora del transporte de materia, γmt para el reactor REIM 3300
3.4.4. CONCLUSIONES
En este estudio, al igual que se hizo ya anteriormente en el estudio de los
reactores UA200.08 y UA63.03 se ha realizado una comparación entre los resultados de
clasificación de los distintos promotores, tanto por medios hidrodinámicos como a
través de técnicas de estudio de transporte de materia.
Según el método hidrodinámico la rejilla más favorable sería aquella que tuviera
un mayor factor de turbulencia, NαΦβ, por lo que la clasificación quedaría:
200 300 400 500 600 700 800 9001.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
γPromotor A γPromotor B
γ
Re
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172
• clasificación según modelización de RTD
B > A > vacío
• clasificación según estudios de transporte de materia
B > A > vacío
Se puede apreciar que, en este estudio si que existe una concordancia total en la
clasificación por ambos métodos. Por lo que se puede en principio suponer una validez
aceptable del modelo elegido, así como de los valores optimizados obtenidos.
3.4.5. NOMENCLATURA
a área especifica interfacial entre las zona dinámica y estática, m-1
c Concentración, mol m-3.
cdin Concentración en la fase dinámica para el camino 1, mol m-3.
cestat Concentración en la fase estática para el camino 1, mol m-3.
Cdin Concentración normalizada en la fase dinámica para el camino 1
Cestat Concentración normalizada en la fase estática para el camino 1
Ddin Coeficiente de dispersión en la fase dinámica, m2 s-1.
E1 Distribución de Tiempos de Residencia (RTD) para el camino 1 (s-1).
E2 Distribución de Tiempos de Residencia (RTD) para el camino 2 (s-1).
kL Coeficiente de transferencia de masa, m s-1
L Longitud del compartimento en la dirección de flujo, m.
Pe Numero de Peclet
Pedin Numero de Peclet para el camino 1
Pe2 Numero de Peclet para el camino 2
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173
Q Caudal volumétrico, m3 s-1.
Q1 Caudal volumétrico a través del camino 1, m3 s-1.
Q2 Caudal volumétrico a través del camino 2, m3 s-1.
r Velocidad de reacción, mol m-3 s-1.
S área de sección para el volumen 1, m2.
t Tiempo, s.
u Vector de velocidades, m s-1.
u1 Velocidad lineal para el camino 1, m s-1.
V1 Volumen del camino 1, m3.
V2 Volumen del camino 2, m3.
Vtot Volumen total del reactor, m3.
z Coordenada en la dirección de flujo, m.
Z Coordenada normalizada en la dirección de flujo.
Símbolos Griegos
αm Coeficiente de intercambio entre la fase dinámica y la estática del camino 1, s-1
ΦB Fracción de la zona dinámica en el camino 1.
βtot Fracción de liquido para el camino 1.
βdin Fracción de liquido en la fase dinámica para el camino 1.
βestat Fracción de liquido en la fase dinámica para el camino 2.
νij Coeficiente estequiométrico.
θ Tiempo adimensional.
τ Tiempo de residencia medio, s.
τ1 Tiempo de residencia medio para el camino 1, s.
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174
τ2 Tiempo de residencia medio para el camino 2, s.
∇ Operador gradiente.
∇2 Operador Laplaciano.
3.4.6. REFERENCIAS
[1] González-García, J., Bonete, P., Expósito, E., Montiel, V, Aldaz, A., Torregrosa-
Maciá, R. 1999 Characterization of a carbon felt electrode: structural and physical
properties, J. Mater. Chem. 9, 419-426.
[2] González-García, J., Frías, A., Expósito, E., Montiel, V., Aldaz, A. & Conesa, J.A.
2000 Characterization of an Electrochemical Pilot Plant Filterpress Reactor by
Hydrodynamic and Mass Transport Studies; Ind. Eng. Chem. Res. 39, 1132-1142.
[3] Levenspiel, O. 1999 Chemical Reaction Engineering, 3rd ed.,Wiley
[4] Finlayson, B.A. 1980 Nonlinear Analysis in Chemical Engineering, McGraw-Hill
International.
[5] Danckwerts, P.V., 1958, The effect of incomplete mixing on homogeneous
reactions, Chem. Eng. Sci., 8, 93
[6] Villermaux, J., Van Swaajj, W.P.M. 1969 Modèle représentatif de la distribution des
temps de séjour dans un réacteur semi-infini à dispersion axiales avec zones stagnantes.
Application à l’écoulement ruisselant dans des colonnes d’anneaux Rasching. Chem.
Eng. Sci. 24, 1097.
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
177
4.1.- INTRODUCCIÓN A LA TÉCNICA DE CFD
4.1.1.- INTRODUCCIÓN
Se entiende por CFD (Computational Fluid Dynamics) al análisis de sistemas en los
que hay implicados flujos de fluidos, transferencia de calor y fenómenos asociados como
reacciones químicas, a través de simulaciones por ordenador. Se trata de una técnica
relativamente reciente así como muy potente y que abarca una amplia gama de
aplicaciones, ya sean industriales o no. Algunos ejemplos son:
• Aerodinámica de aviones y vehículos: rozamientos y fuerza ascensorial
• Hidrodinámica de barcos
• Plantas energéticas: estudios sobre las calderas de combustión y turbinas
• Ingeniería eléctrica y electrónica: Sistemas de enfriamiento de circuitos
• Ingeniería química: operaciones de mezclado, separación o extrusión de polímeros
• Ingeniería civil: estudio de las cargas eólicas e hidráulicas en edificios
• Ingeniería marina: estudio de estructuras sumergidas
• Ingeniería medioambiental: Estudio de la distribución de contaminantes en la
atmósfera o afluentes de ríos
• Hidrología y oceanografía: Estudio de ríos, mares y océanos
• Metereología: predicción del tiempo
• Ingeniería biomédica: flujo de sangre a través de arterias y venas
• Y por ultimo, y no por ello la menos importante, ingeniería electroquímica:
Estudios relacionados a la optimización de células de combustible así como de
reactores electroquímicos
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
178
Desde los años 60 la industria aeroespacial ha integrado las técnicas de CFD en el
diseño, I+D y fabricación de sus aviones y motores. Más recientemente, esta técnica se ha
empezado a usar en el diseño de los motores de combustión interna de coches y en el de las
cámaras de combustión de turbinas y hornos. Además, la industria automovilística ha
empezado a usar estas técnicas para modelizar la aerodinámica de los coches. Poco a poco,
la técnica del CFD comienza a despuntar como una herramienta imprescindible para los
procesos y productos industriales.
Los últimos avances en el desarrollo de CFD se han orientado a intentar una mejor
accesibilidad a estas técnicas de manera que sean similares a otras herramientas CAE
(Computer Aided Engineering). El principal motivo por el que las técnicas de CFD han
quedado ligeramente relegadas se ha debido a la gran complejidad causada por la necesidad
de una descripción completa del flujo del fluido. La disponibilidad de ordenadores cada vez
mas potentes, así como, la introducción de interfaces de usuario para los programas de CFD
más intuitivos para los usuarios ha provocado el aumento en los últimos años del uso de
estas técnicas.
La principal ventaja que presenta la técnica de CFD, frente a los procedimientos
experimentales clásicos, es el gran ahorro monetario y de tiempo subyacente que implica la
técnica. Por otra parte, existen una serie de ventajas adicionales que hacen atrayentes a
estas nuevas técnicas:
• Sustancial reducción de costes y tiempos a la hora de realizar nuevos diseños
• Posibilidad de estudiar sistemas en donde la realización de experimentos
controlados resulta difícil o incluso imposible
• Posibilidad de estudiar sistemas operando bajo condiciones peligrosas o
incluso más allá de sus límites operativos (estudios de seguridad o de
escenarios de accidente)
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
179
• Prácticamente ofrece un nivel ilimitado de detalle en los resultados
Desde un punto de vista más pragmático, el coste variable de un estudio, en
términos de alquiler o compra de instalaciones y/o mano de obra suele ser proporcional al
numero de experimentos y de configuraciones del sistema considerado. Por el contrario,
con las técnicas de CFD, se pueden obtener cantidades ingentes de resultados sin
prácticamente coste adicional. Del mismo modo resulta muy fácil realizar estudios
paramétricos a fin de optimizar los equipos.
Los códigos de CFD están estructurados alrededor de un conjunto de algoritmos
matemáticos que pueden manejar problemas de flujo de fluidos. Usualmente los programas
comerciales para el estudio de CFD suelen estar divididos en:
• Pre-procesador
Consiste básicamente en la introducción del problema a estudiar en el programa
de procesamiento y, luego, en la transformación del mismo a una forma capaz
de ser resuelta por el programa. Las etapas implicadas suelen ser:
1. Definición de la geometría sometida a estudio (el dominio
computacional)
2. Generación del mallado: Es la subdivisión del dominio en una serie de
elementos o sub-dominios no solapables.
3. Selección de los fenómenos físicos o químicos a ser estudiados
(ecuaciones diferenciales implicadas)
4. Definición de las propiedades del fluido (densidades, viscosidades...)
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
180
5. Especificación de las condiciones de contorno
La solución a un problema de flujo de fluido (obtención del perfil de
velocidades, presión, temperatura... ) se obtiene en cada uno de los nodos de los
subdomínios o elementos formados durante la obtención de la rejilla, o malla, de
cálculo. La exactitud y eficiencia de una simulación por CFD depende de la
cantidad de elementos que se hallan formado al realizar el mallado. Por norma
general, cuantos más elementos haya, es decir, a una densidad de mallado
mayor, mejor será la solución obtenida, hasta llegar al límite de un mallado
infinito que implicaría la resolución de las ecuaciones implicadas no en
subdomínios, sino en todos y cada uno de los puntos espaciales del sistema
sometido a estudio. Sin embargo, el tiempo de computación para la resolución
del problema depende también de la densidad de mallado, a mayor densidad
mayor tiempo de computación. Por tanto se hace necesaria encontrar una
solución de compromiso entre la exactitud de la solución buscada y el tiempo
necesario para obtenerla. Los mallados óptimos suelen ser del tipo no uniforme,
es decir, más finos o densos en las zonas en las que se producen mayores
variaciones de punto a punto y menos densos en zonas en las que los cambios de
punto a punto son menos bruscos.
Aproximadamente un 50% del tiempo que requiere un problema de simulación
por CFD se consume en determinar la geometría y el mallado optimo a estudiar.
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
181
• Solver
Existen tres clases principales de métodos para la resolución de los problemas
de CFD: diferencias finitas, elementos finitos y métodos espectrales. Las bases
de cualquiera de estos métodos se centran en:
1. Aproximación de las variables desconocidas de flujo a través de
ecuaciones sencillas.
2. Discretización por sustitución de las aproximaciones en las ecuaciones
que gobiernan el sistema y manipulaciones matemáticas posteriores
3. Solución de las ecuaciones algebraicas
Las diferencias principales entre los tres métodos se deben a la forma en la que
son aproximadas las variables de flujo así como a los procesos de discretización
que se llevan a cabo.
Método de las diferencias finitas: En este método, se describen las variables φ
del problema sometido a estudio, a través de valores definidos en los nodos del
mallado, que se encuentran en unas coordenadas especificas. Habitualmente, se
usan series de Taylor para generar las aproximaciones por diferencias finitas, de
los valores de las derivadas de φ en términos de los valores de φ en cada nodo y
los nodos inmediatamente adyacentes. Esas derivadas, que aparecen en las
ecuaciones diferenciales, son sustituidas por las aproximaciones en diferencias
finitas y se acaba construyendo una ecuación algebraica para los valores de φ en
cada nodo[1].
Método de elementos finitos[2-4]: Este método emplea funciones definidas a
trozos (por ejemplo lineales o cuadráticas) válidas sólo en el interior de los
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
182
elementos formados en el mallado con objeto de describir las variaciones de las
variables φ desconocidas. Las ecuaciones que gobiernan el sistema se satisface
por la resolución de las variables φ. Si las funciones de aproximación definidas a
trozos son sustituidas en las ecuaciones de gobierno del sistema obviamente no
se obtendrá una solución exacta y la desviación de la solución obtenida con el
valor exacto se usará como error del ajuste (denominado residual). A
continuación lo que se hace es intentar minimizar al máximo el conjunto de
residuales obtenidos multiplicándolos por un conjunto de funciones de
ponderación e integrándolos. Como resultado se obtiene un conjunto de
ecuaciones algebraicas para una serie de coeficientes desconocidos de las
funciones de aproximación. La teoría de los elementos finitos nació a partir de
los estudios de tensiones estructurales[5].
Métodos espectrales: Estos métodos se basan en aproximar las variables
desconocidas a través de series de Fourier o series de polinomios de Chebyshev.
Al contrario que el método de diferencias finitas, o el de elementos finitos, las
aproximaciones no son locales sino que han de ser válidas en todo el dominio
sometido a estudio. De nuevo, se sustituyen las variables desconocidas de las
ecuaciones de gobierno por las series de Taylor a fin de obtener la solución del
sistema[6].
• Post-procesador
Suelen ser herramientas de visualización de resultados. Suelen incluir:
1. Visualización de la geometría del dominio y del mallado generado
2. Representación vectorial
3. Representación de líneas de contorno y gráficas con mapeado de colores
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
183
4. Representación 2D y 3D
Por último, en la resolución de problemas con CFD, se ha de tener en cuenta la
física que subyace en el problema considerado, así como, tomar en consideración que los
resultados obtenidos a través de la simulación serán tan buenos como el grado de detalle
con el que se definan los fenómenos físicos y químicos implicados.
A la hora de plantearnos una simulación, se deben tener en cuenta tres conceptos
matemáticos básicos: convergencia, consistencia y estabilidad. La convergencia hace
referencia a una propiedad característica del método numérico elegido a la hora de obtener
soluciones. Esta se irá aproximando a la solución real en función de que la densidad de
mallado se aproxime a infinito. La consistencia de los sistemas numéricos genera sistemas
de ecuaciones algebraicas que son equivalentes a las ecuaciones de gobierno originales, a
medida que el espaciado del mallado generado se aproxima a cero (o la densidad del
mallado se aproxima a infinito). Por ultimo, la estabilidad está asociada a la evolución de
los errores del método numérico a medida que el procedimiento de calculo evoluciona. Si
una técnica no es estable, incluso los errores de redondeo al inicio de la simulación pueden
generar la inestabilidad del sistema y no encontrar soluciones finales ya sea por divergencia
de valores o por entrar en ciclos oscilatorios de resultados.
En resumen, las simulaciones con CFD consisten en generar una serie de valores
que (deseablemente) constituyan una aproximación realista de un sistema real.
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184
4.1.2.- ECUACIONES QUE GOBIERNAN LA DINÁMICA DE FLUIDOS
Todas las simulaciones de CFD, de una manera o de otra, se basan en las ecuaciones
fundamentales de la dinámica de fluidos, es decir, las ecuaciones de continuidad, de
momento y de energía. Estas ecuaciones no son más que la interpretación matemática de
los fenómenos físicos que entendemos como dinámica de fluidos:
1. Principio de conservación de la materia
2. Segunda ley de Newton, F=m·a
3. Principio de conservación de la energía
4.1.2.1.- Modelos de Flujo
4.1.2.1.1. Volúmenes finitos de control
Consideremos un perfil de flujo de fluido como el indicado por las líneas de flujo en
la figura 4.1.1a.
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185
Figura 4.1.1a: Volumen finito de control fijo en el espacio con el fluido moviendose a través de él
Figura 4.1.1b: Volumen finito de control moviendose con el fluido de tal forma que las mismas particulas
de fluido se encuentran siempre en el mismo volumen de control
Figura 4.1.1c: Elemento de fluido infinitesimal fijo en el espacio con el fluido moviendose a través de él
Figura 4.1.1d: Elemento de fluido infinitesimal moviendose a lo largo de una linea de flujo con la velocidad V igual a la velocidad local del fluido en
cada punto
Imaginemos un volumen cerrado en una región finita del fluido. Este volumen
definiría un volumen de control V; la superficie de control S se definiría como la superficie
cerrada que circunda al volumen V. El volumen de control puede estar fijo en el espacio,
con el fluido moviéndose a través de el (figura 4.1.1a), o bien moviéndose con el fluido de
tal forma que las mismas partículas de fluido se encuentran siempre dentro de él (figura
4.1.1b). En ambos casos, el volumen de control es una región finita de flujo con una
Volumen de control, V
Superficie de control, S
Volumen de control, V
Superficie de control, S
Volumen, dV
dV
V
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
186
dimensiones razonablemente grandes. Los principios físicos fundamentales se aplicarán al
fluido que se encuentra en el interior del volumen de control, así como, al fluido
atravesando la superficie de control (en el caso de un volumen de control que se encuentre
fijo en el espacio). Por tanto, en vez de considerar todo el fluido en su conjunto, podemos
limitar nuestro estudio solo al fluido contenido en el volumen de control. Las ecuaciones de
flujo de fluido, que directamente se obtienen aplicando los principios físicos fundamentales
a un volumen finito de control, se definen como forma integral. Estas formas integrales de
las ecuaciones de gobierno del sistema pueden ser manipuladas para obtener
indirectamente ecuaciones diferenciales parciales. Por otra parte, las ecuaciones obtenidas
para un volumen de control fijo en el espacio, ya sea en su forma integral o diferencial, se
llaman formas conservativas de las ecuaciones del sistema. A diferencia de las ecuaciones
obtenidas para los volumenes de control que se encuentran moviéndose con el fluido, ya
sea en su forma integral o diferencial, que suelen definirse como formas no conservativas
de las ecuaciones de gobierno del sistema.
4.1.2.1.2. Elemento infinitesimal de fluido
Si consideramos ahora un flujo de fluido como el representado en las figuras 4.1.1c
y 4.1.1d tendríamos en este caso un volumen de fluido de control de tamaño infinitesimal o
dV. El elemento de fluido es infinitesimal a efectos matemáticos, pero es lo suficientemente
grande como para contener un gran número de moléculas de fluido que nos permitan
considerar al elemento diferencial como un medio continuo. La nomenclatura para las
distintas formas de las ecuaciones resultantes (formas conservativas o no conservativas)
sería exactamente igual que para los casos representados en las figuras 4.1.1a y 4.1.1b.
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187
4.1.2.2.- Derivada sustantiva (velocidad de cambio cuando el sistema se mueve
con el fluido)
Antes de derivar las ecuaciones que rigen el sistema, es necesario definir un
concepto habitual en CFD, la derivada sustantiva que tiene una gran importancia fisica[7].
Para ello tomaremos como modelo de flujo el mostrado en la figura 4.1.2, es decir, un
elemento infinitesimal moviéndose con el fluido.
Figura 4.1.2: Elemento de fluido moviéndose con el fluido en su conjunto.
El vector velocidad vendría dado por:
V = u·i + v·j + w·k (4.1.1)
en donde u, v y w serían las componentes de la velocidad en los ejes x, y, z. Si
consideramos el caso más general de flujo no estacionario, tanto las componentes de la
velocidad como la densidad del fluido puede variar con el tiempo,
y
x
z
j
i k
V1 1
V2
2
Elemento de fluido a tiempo = t1
Elemento de fluido a tiempo = t2
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188
u = u(x,y,z,t)
v = v(x,y,z,t) (4.1.2)
w = w(x,y,z,t)
ρ = ρ(x,y,z,t)
En el momento t1, el elemento de fluido se encuentra ubicado en la posición 1, y por
tanto, en ese punto y tiempo la densidad del fluido será:
ρ1 = ρ(x1,y1,z1,t1) (4.1.3)
mientras que en el instante 2 será:
ρ2 = ρ(x2,y2,z2,t2) (4.1.4)
Partiendo de la expresión general de la densidad, ρ = ρ(x,y,z,t), podemos expandir
por series de Taylor en las cercanías del punto 1:
( ) ( ) ( ) ( )
superiororden de Terminos...
... 121
121
121
121
12
+
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+= ttt
zzz
yyy
xxx
ρρρρρρ
(4.1.5)
dividiendo ahora por t2-t1 y despreciando los términos de orden superior:
( ) ( ) ( )112
12
112
12
112
12
112
12 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=−−
tttzz
zttyy
yttxx
xttρρρρρρ (4.1.6)
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189
Si se examina la parte izquierda de la ecuación anterior se puede apreciar que es la
velocidad media de cambio de la densidad del elemento de fluido a medida que este avanza
del punto 1 al punto 2. En el limite, cuando t2 t1 el termino pasa a ser:
DtD
tttt
ρρρ=
−−
→12
12
12
lim (4.1.7)
en donde Dρ/Dt identifica la velocidad instantánea de cambio de la densidad del
elemento de fluido a medida que avanza con el fluido. Por definición a esta derivada D/Dt
se le denomina derivada sustantiva y no ha de confundirse con (δρ/δt)1, que indicaría la
velocidad de cambio de la densidad en el punto 1 fijo. En este ultimo caso centraríamos la
atención en un punto fijo y se comprobarían los cambios de densidad debidos a las
fluctuaciones del perfil de velocidades en ese punto.
Por tanto, tomando la ecuación de la variación de la densidad y rescribiéndola para
el limite en el que t2 t1, se tiene:
tzw
yv
xu
DtD
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ρρρρρ (4.1.8)
Realizando una generalización basada en la anterior expresión, se puede obtener una
forma general para la derivada sustantiva en coordenadas cartesianas:
tzw
yv
xu
DtD
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= (4.1.9)
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190
Si ahora definimos el vector operador ∇ como:
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ (4.1.10)
la derivada sustantiva quedaría de la forma,
( )∇+∂∂
≡ ·VtDt
D r (4.1.11)
Al término V·∇ suele llamársele derivada de convección, cuyo significado físico es
la velocidad de cambio debido al movimiento del elemento de fluido desde una posición a
otra, siguiendo el perfil de velocidades entre dos puntos que tienen propiedades espaciales
distintas. La derivada sustantiva se puede aplicar a cualquier variable como la presión, la
temperatura, las componentes de velocidad o a la densidad como en el caso anterior.
Por ejemplo, aplicada a la presión tendríamos.
zPw
yPv
xPu
tPPV
tP
DtDP
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇+∂∂
= )·(r
(4.1.12)
4.1.2.3.- Divergencia de la velocidad
El término de la divergencia de la velocidad, ∇·V, aparece frecuentemente en las
ecuaciones de dinámica de fluidos.
Si consideramos un volumen de control moviéndose con el fluido (figura 4.1.1b),
podemos decir que este volumen se encuentra siempre constituido por las mismas partículas
de fluido, ya que se mueve con ellas en su desplazamiento, por tanto, su masa es constante
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
191
e invariable con el tiempo. Sin embargo, su volumen V y la superficie de control S se
encuentran cambiando con el tiempo a medida que el volumen de control se desplaza a
distintas regiones del fluido en donde existen distintos valores de ρ. Es decir, este volumen
de control de masa constante se encuentra constantemente aumentando o disminuyendo su
volumen y cambiando su forma a medida que varían las características del fluido. En la
figura 4.1.3 se muestra este volumen de control en un momento dado.
Figura 4.1.3: Volumen de control en movimiento
Si se considera un elemento infinitesimal de superficie dS moviéndose a la
velocidad local V, el cambio en el volumen de control ∆V, debido únicamente al
movimiento del diferencial de superficie en un incremento de tiempo, ∆t, será igual al
volumen del cilindro de base dS y de altura (V·∆t)·n, en donde n es un vector unitario
perpendicular a la superficie dS. Es decir,
( )[ ] ( ) SdtVdSntVVrrrr
····· ∆=∆=∆ (4.1.13)
dS
n
V
V
V·∆T
S
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192
en donde el vector dS se define simplemente como dS = n·dS. En el incremento de
tiempo ∆t, el cambio total de volumen en la totalidad del volumen de control es igual a la
suma de la ecuación anterior sobre toda la superficie de control,
( )∫∫ ∆S
SdtVrr
·· (4.1.14)
si la integral se divide por Dt, el resultado tiene la interpretación física de la
velocidad de cambio de volumen del volumen de control, y se denota como DV/Dt,
( ) ∫∫∫∫ =∆∆
= SdVSdtVtDt
DV
S
rrrr···1 (4.1.15)
aplicando el teorema de la divergencia a la parte derecha de la ecuación,
( )∫∫∫ ∇=V
dVVDtDV r
· (4.1.16)
Ahora, asumiendo que el volumen de control de la figura 4.1.3 se comprime hasta
un volumen diferencial δV, la ecuación queda
( ) ( )∫∫∫ ∇=∂
V
dVVDt
VD r· (4.1.17)
Asumiendo el que δV es lo suficientemente pequeña como para que ∇·V sea
esencialmente constante en todo δV, entonces la forma integral en el límite en el que δV
0 viene dada por (∇·V)δV y queda,
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193
( ) ( ) VVDt
VD∂∇=
∂ r· (4.1.18)
o bien,
( )Dt
VDV
V ∂∂
=∇1·
r (4.1.19)
El término de la izquierda es la divergencia de la velocidad mientras que el término
de la derecha representa la velocidad de cambio de volumen de un elemento de fluido en
movimiento por unidad de volumen.
4.1.2.4.- Ecuación de continuidad
Aplicando el principio físico de conservación de la materia a cualquiera de los
modelos representados en las figuras de la 4.1.1a a la 4.1.1d se obtiene la ecuación de
continuidad.
- Modelo basado en un volumen de control fijo en el espacio:
Consideremos el modelo de flujo mostrado en 4.1.1a, es decir, un volumen de
control de forma arbitraria y de tamaño finito. El volumen se encuentra fijo en el espacio y
el fluido atraviesa dicho volumen de control. En un punto de la superficie del elemento de
control se podrá definir el vector velocidad del fluido V así como un vector de superficie
unitario dS. Por otro lado, se puede definir un volumen elemental dV en el interior del
volumen de control
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194
Figura 4.1.4: Volumen de control fijo en el espacio
Si se aplica el principio de conservación de la materia al volumen de control se tiene
que,
=
(4.1.20)
El flujo de materia atravesando la superficie de control sería igual al producto de la
(densidad) x (área superficial) x (componente de la velocidad perpendicular a la superficie).
Por tanto, el balance de materia a través de la superficie dS es:
dS
dS = n·dS
V
dV
Flujo neto de materiasaliendo del volumende control a través dela superficie dS
Velocidad dedisminución demateria en el interiordel volumen de control
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195
SdVdSVn
rr·ρρ = (4.1.21)
Un valor positivo de ρV·dS denota un flujo de salida del elemento de control,
mientras que un valor negativo indicaría un flujo de entrada
El flujo neto de materia abandonando el volumen de control se obtiene a través de la
integración sobre toda la superficie,
SdVrr
· salida neto FlujoS∫∫= ρ (4.1.22)
Por otro lado, el término de la derecha de la ecuación (4.1.20) indica que la masa
total en el interior del volumen de control es,
∫∫∫V
dVρ (4.1.23)
por lo que la velocidad de incremento de materia en el interior de V será,
∫∫∫∂∂
V
dVt
ρ (4.1.24)
o, lo que es lo mismo, la velocidad de disminución de materia será:
∫∫∫∂∂
−V
dVt
ρ (4.1.25)
y a ecuación (4.1.20) quedaría,
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196
∫∫∫∫∫ ∂∂
−=VS
dVt
SdV ρρrr
· (4.1.26)
o bien,
0· =+∂∂
∫∫∫∫∫SV
SdVdVt
rrρρ (4.1.27)
La ecuación (4.1.27) es una forma integral de la ecuación de continuidad. Ha sido
obtenida partiendo de la base de que el volumen de control se encuentra fijo en el espacio
por lo que se tratará de una ecuación en forma conservativa.
- Modelo basado en un volumen de control moviéndose con el fluido:
Consideremos un modelo como el mostrado en la figura 4.1.1b, es decir, un
volumen de control de tamaño finito moviéndose con el fluido. Este volumen de control, a
medida que se mueve con el fluido, estará compuesto siempre por las mismas partículas y,
por tanto, el volumen de control tendrá una masa constante. Por otro lado, a medida que
esta masa constante se mueve siguiendo la corriente, el tamaño y forma del volumen de
control pueden, en general, variar. Si se considera un elemento infinitesimalmente pequeño
de volumen dV dentro del volumen de control, la masa de este elemento infinitesimal sería
ρdV, por tanto, la masa total del volumen de control será:
∫∫∫=v
masa dVρ (4.1.28)
Se ha de tener en cuenta que V varía a medida que el volumen de control avanza
siguiendo las líneas de flujo.
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197
Teniendo en cuenta que la masa no varia con el tiempo se obtendría la ecuación de
continuidad,
∫∫∫ =V
dVDtD 0ρ (4.1.29)
Al haberse obtenido a partir de un modelo en el que el volumen de control se
encuentra moviéndose con el fluido, esta forma de expresar la ecuación de continuidad
tendría una forma no conservativa.
- Modelo basado en un volumen infinitesimalmente pequeño fijo en el espacio:
Partiendo de la figura 4.1.1c, o vista con más detalle, la figura 4.1.5,
Figura 4.1.5: Modelo de un elemento infinitesimal fijado en el espacio y diagrama de los flujos de materia a
través de sus diversas caras.
( ) dxdydzzww ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
+ρρ
( ) dxdzdyyvv ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
ρρ
( ) dydzdxxuu ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
+ρρ
(ρu)dydz
(ρw)dxdy (ρv)dxdz
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
198
La masa total de fluido en el elemento infinitesimal viene dada por ρ(dx·dy·dz), por
tanto, la velocidad de incremento de masa en el interior del elemento vendrá dado por
δρ/δt·(dx·dy·dz). Aplicando ahora el principio de conservación de la materia en la forma de
la ecuación (4.1.20) nos daría como resultado
( ) ( ) ( ) ( )dxdydzt
dxdydzzw
yv
xu
∂∂
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
∂∂
+∂
∂ ρρρρ (4.1.30)
o bien,
( ) ( ) ( ) 0=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
zw
yv
xu
tρρρρ (4.1.31)
teniendo en cuenta que los términos entre corchetes son simplemente ∇·(ρV) se
tendría:
( ) 0· =∇+∂∂ V
tr
ρρ (4.1.32)
La ecuación 4.1.32 es la forma en derivadas parciales de la ecuación de continuidad,
y al haberse obtenido de un modelo basado en un elemento de control fijo en el espacio se
encontraría en forma conservativa.
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199
-Modelo basado en un volumen infinitesimalmente pequeño moviéndose con
el fluido:
Partiendo ahora del modelo basado en la figura 4.1.1d, la forma y el tamaño del
elemento de control puede variar a medida que avanza este con el fluido, mientras que la
masa del mismo permanece constante. La masa de este elemento vendría dada por,
Vm ∂=∂ ρ (4.1.33)
teniendo en cuenta que la masa es constante podemos decir que,
( ) 0=∂
DtmD (4.1.34)
y, por tanto,
( ) ( ) 0=∂
+∂=∂
DtVD
DtDV
DtVD ρρρ (4.1.35)
o,
( ) 01=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ∂∂
+Dt
VDVDt
D ρρ (4.1.36)
el término entre corchetes no es más que ∇·V,
0· =∇+ VDtD r
ρρ (4.1.37)
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
200
En la figura 4.1.6 se pueden ver las cuatro formas de la ecuación de continuidad
obtenidas según el modelo usado para su derivación
∫∫∫ ∫∫ =+∂∂
V S
SdVdVt
0·rr
ρρ
Forma Integral Conservativa
∫∫∫ =V
dVDtD 0ρ
Forma Integral No-Conservativa
( ) 0· =∇+∂∂ V
tr
ρρ
Forma Diferencial Conservativa
0· =∇+ VDtD r
ρρ
Forma Diferencial No-Conservativa
Figura 4.1.6:Recopilación de las diversas formas de la ecuación de continuidad relacionadas con las
diversas formas de obtención de las mismas
Volumen de control, V
Superficie de control, S
Volumen de control, V
Superficie de control, S
Volumen, dV
dV
V
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant.2004
4.1.: Introducción a la técnica CFD
201
Si embargo, estas cuatro ecuaciones no son diferentes, sino más bien son cuatro
formas de la misma ecuación. Cualquiera de las cuatro ecuaciones se puede convertir en las
otras a partir de manipulaciones matemáticas.
Existe una ligera diferencia en cuanto a la forma integral y a la diferencial. La forma
integral de la ecuación de continuidad permite la existencia de discontinuidades en el
interior del volumen de control considerado (fijado en el espacio), es decir, no existen
razones matemáticas para presuponer otra cosa. Sin embargo, las formas diferenciales de la
ecuación de continuidad implican que las propiedades del flujo son diferenciables en el
volumen de control, y por tanto, continuas. Este hecho queda plenamente claro cuando se
usa el teorema de divergencia para obtener la forma diferencial a partir de la forma integral,
ya que el teorema de divergencia asume expresamente la continuidad de la ecuación. Este
es un razonamiento de peso para considerar a la forma integral de la ecuación de
continuidad como una forma más fundamental que la forma diferencial.
4.1.2.5.- Ecuación de Momento
Si se aplica el principio físico de la segunda ley de Newton al modelo de flujo, se
obtendrá la ecuación de momento del sistema.
Esta vez, tan solo se expondrá el caso para un elemento de fluido moviéndose con el
sistema. El elemento de fluido en movimiento queda representado en la figura 4.1.7,
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202
Figura 4.1.7: Elemento infinitesimal en movimiento con el fluido. Solo se han mostrado por claridad las
fuerzas en la dirección x
Se ha de tener en cuenta que las ecuaciones de momento pueden ser obtenidas de
cualquiera de los modelos propuestos en la figuras 4.1.1.
La segunda ley de Newton al ser aplicada al modelo representado en la figura 4.1.7
se resume en la siguiente frase: la fuerza neta que actúa sobre el elemento de fluido será
igual a la masa del mismo por su aceleración.
Si consideramos solo las fuerzas en la componente x,
xx maF = (4.1.38)
dydzdxxpp ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
+
τyxdxdz
dydzdxxxx
xx ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+τ
τ
dxdydzzzx
zx ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+τ
τ
τxxdydz
pdydz
dxdzdyyyx
yx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
ττ
τzxdydy
y
z
x
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203
Si se considera primero el termino izquierdo de la ecuación, se tiene que las fuerzas
que actúan sobre el elemento serán principalmente,
• Fuerzas que actúan sobre el cuerpo: Serán las fuerzas que actúan
directamente sobre la masa volumétrica del cuerpo. Estas fuerzas suelen
actuar a distancia, por ejemplo las fuerzas gravitacionales, electrostáticas...
• Fuerzas superficiales: actúan directamente sobre la superficie del cuerpo.
Son debidas exclusivamente a dos causas: (a) la distribución de presiones
que actúan sobre la superficie, impuestas por el fluido que rodea a nuestro
elemento de control y (b) las tensiones de tangenciales o axiales que actúan
sobre las superficies del elemento, generadas también por las capas de fluido
adyacentes al elemento.
Si definimos a las fuerzas que actúan sobre todo el volumen del elemento por f,
siendo fx su componente en el eje x, se tiene que,
Fuerza volumétrica actuando en eje x = ρfx(dx·dy·dz) (4.1.39)
Las tensiones axiales y tangenciales, por otro lado, están relacionadas con la
velocidad de deformación del elemento de control, las tensiones tangenciales tienen por
nomenclatura τxy mientras que las tensiones axiales son llamadas como τxx. Por convención,
se definirá a τij como la tensión en el eje j ejercida sobre un plano perpendicular al eje i.
Por tanto, para el elemento de fluido en movimiento con el flujo global, se puede
escribir:
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204
dydxdzz
dzdxdyy
dzdydxx
dzdydxxppp
zxzx
zxyxyx
yx
xxxx
xx
·· ...
...·· x eje elen neta
lsuperficia Fuerza
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−=
ττ
τττ
τ
ττ
τ
(4.1.40)
Por tanto, la fuerza neta en la dirección x, Fx, será la suma de las ecuaciones (4.1.39)
y (4.1.40),
( )dzdydxfdzdydxzyxx
pF xzxyxxx
x ····· ρτττ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+
∂
∂+
∂∂
+∂∂
−= (4.1.41)
La ecuación (4.1.41) sería el termino de la izquierda de la ecuación (4.1.38).
Considerando ahora el termino de la derecha de la ecuación (4.1.38) se tiene que ,
m = ρ·dx·dy·dz (4.1.42)
DtDua = (4.1.43)
Combinando las ecuaciones (4.1.41), (4.1.42) y (4.1.43):
xzxyxxx fzyxx
pDtDu ρ
τττρ +
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
−= (4.1.44)
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
205
que es la componente x de la ecuación de momento para un flujo viscoso.
Análogamente, para las otras componentes se tendría que,
Eje y:
yzyyyxy fzyxy
pDtDv ρ
τττρ +
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−= (4.1.45)
Eje z:
zzzyzxz fzyxz
pDtDw ρ
τττρ +
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
−= (4.1.46)
Las ecuaciones (4.1.44), (4.1.45) y (4.1.46) son las componentes de la ecuación de
momento. Al haberse obtenido a partir de un modelo basado en un elemento en movimiento
la forma obtenida es no-conservativa.
A esta ecuaciones se las conoce habitualmente como ecuaciones de Navier-Stokes
en honor a los dos investigadores (al alemán M. Navier y al inglés G. Stokes) que, de
manera independiente, obtuvieron estas ecuaciones a mediados del siglo XIX.
Las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden escribir también en forma conservativa:
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206
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) zzzyzxz
yzyyyxy
xzxyxxx
fzyxz
pVwtw
fzyxy
pVvtv
fzyxx
pVutu
ρτττ
ρρ
ρτττ
ρρ
ρτττ
ρρ
+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
+∂∂
−=∇+∂
∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−=∇+∂
∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
+∂∂
−=∇+∂
∂
r
r
r
·
·
·
(4.1.47)
Hacia finales del siglo XVII, Isaac Newton determinó que la tensión tangencial en
un fluido es proporcional al gradiente de velocidades. A esos fluidos se los denominó
Newtonianos. Para dichos fluidos Stokes obtuvo en 1845,
( )
( )
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==
∂∂
+∇=
∂∂
+∇=
∂∂
+∇=
zv
yw
xw
zu
yu
xv
zwV
yvV
xuV
zyyz
zxxz
yxxy
zz
yy
xx
µττ
µττ
µττ
µλτ
µλτ
µλτ
2·
2·
2·
r
r
r
(4.1.48)
en donde µ es el coeficiente de viscosidad molecular y λ es el coeficiente de la
segunda viscosidad. Stokes realizo la hipótesis,
µλ32
−= (4.1.49)
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207
La sustitución de las ecuaciones (4.1.48) en las ecuaciones (4.1.47) nos
proporcionan las ecuaciones de Navier-Stokes completas en forma conservativa
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
z
y
x
fzwV
z
zv
yw
yxw
zu
xzp
zw
yvw
xuw
tw
fzv
yw
z
yvV
yyu
xv
xyp
zvw
yv
xuv
tv
fxw
zu
z
yu
xv
yxuV
xxp
zuw
yuv
xu
tu
ρµλ
µµρρρρ
ρµ
µλµρρρρ
ρµ
µµλρρρρ
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∇∂∂
+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
−=∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∇∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
−=∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∇∂∂
+∂∂
−=∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
2· ...
...
...
...2·
...
...2·
2
2
2
r
r
r
(4.1.50)
4.1.2.6.- CFD
Para su empleo en CFD, suele preferirse el uso de las formas conservativas de las
ecuaciones de Navier-Stokes ya que suelen ser más sencillas de trabajar a nivel
computacional. Es decir, las ecuaciones de continuidad y de momento pueden ser
expresadas de una misma forma genérica, esto simplifica las cosas a la hora de realizar la
programación. Recuérdese que todas las ecuaciones vistas en forma conservativa contenían
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
208
un término de divergencia en el lado izquierdo. Este término implica la divergencia del
flujo de una determinada cantidad física como por ejemplo:
Vr
·ρ Flujo de materia Vur
··ρ Flujo de momento en la componente x Vvr
··ρ Flujo de momento en la componente y Vwr
··ρ Flujo de momento en la componente z
Si nos fijamos en las ecuaciones de continuidad y de momento en forma
conservativa nos daremos cuentas que todas tienen una forma genérica del tipo:
JzH
yG
xF
tU
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂
∂ (4.1.51)
La ecuación 4.1.51 puede representar el sistema completo de ecuaciones en forma
conservativa si se consideran las variables U, F, G, H y J como vectores columnas dados
por:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
wvu
U
···
ρρρρ
(4.1.52)
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−−+
=
xz
xy
xx
uw
uvpu
u
F
τρ
τρτρ
ρ
··
····
2
(4.1.52)
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
209
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−+
−=
yz
yy
yx
vw
pv
vuv
G
τρ
τρ
τρρ
··
·
···
2 (4.1.53)
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+
−−
=
zz
zy
zx
pw
wvwu
w
H
τρ
τρτρ
ρ
2·
····
·
(4.1.54)
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
z
y
x
f
ff
J
·
··
0
ρ
ρρ
(4.1.55)
En la ecuación (4.1.51) los vectores columna F, G y H son llamados términos de
flujo (o vectores de flujo) y J representa el término referente a la generación (cuyo valor
será cero si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son despreciables). El vector columna U
se denomina vector solución.
4.1.3.- ELEMENTOS FINITOS
En este apartado se intentará exponer de forma muy breve la técnica matemática de
los elementos finitos (FEM, Finite Element Method) empleada para resolver los problemas
de CFD. Esta técnica se basa en la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales
parciales aproximándolo a un problema con un número finito de variables desconocidas, es
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
210
decir, realizando lo que se entiende por discretización del problema. Esta discretización
implica la introducción en nuestro sistema de cálculo de elementos finitos o funciones de
forma que describan distintas posibilidades de aproximarse a la solución buscada
4.1.3.1.- Elementos Finitos
Si se considera un problema en un elemento continuo, entendiendo por continuo a
cualquier clase de cuerpo material (sólido, líquido o gaseoso), o bien, a cualquier región del
espacio en el que ocurre un fenómeno en particular, de cualquier dimensión, las variables
(presión, temperatura, desplazamiento, tensión...) poseen infinitos valores ya que son
funciones de cada punto genérico del cuerpo o de la región estudiada. Por tanto, el
problema consta de infinitas incógnitas. Los procedimientos de discretización por
elementos finitos reducen el problema a uno con un número finito de incógnitas dividiendo
la región de estudio en un determinado número de elementos y expresando las incógnitas en
términos de funciones de aproximación aceptadas en cada elemento. La funciones de
aproximación, también llamadas funciones de interpolación o prueba, se definen en
términos de los valores de las incógnitas en determinados puntos denominados nodos o
puntos nodales. Los nodos habitualmente se encuentran en los limites de los elementos
formados o bien el los vértices de unión entre elementos. Además de los nodos existentes
en los lados de los elementos, cada elemento puede contar con una serie de nodos internos.
Los valores nodales de las incógnitas y las funciones de interpolación para los elementos
definen totalmente el comportamiento de las incógnitas o variables estudiadas en el interior
del elemento.
En los elementos finitos, los valores nodales de las variables pasan a convertirse en
las incógnitas. Una vez que dichas incógnitas son calculadas a través de las funciones de
interpolación se puede obtener una visión general del valor de las variables estudiadas en su
conjunto.
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
211
Los pasos en los que se divide el método de los elementos finitos son, básicamente:
1. Discretización del medio continuo: Consiste en aproximar las ecuaciones
diferenciales parciales por un sistema de ecuaciones algebraicas con las
variables a resolver en una serie de puntos específicos del dominio estudiado
2. Selección de las funciones prueba: Consiste en asignar los nodos a cada
elemento formado y elegir las funciones de interpolación que representen las
variaciones de las variables estudiadas en el elemento. Las variables
estudiadas pueden ser escalares, vectores o tensores. Se suelen elegir
funciones polinomiales como funciones prueba ya que son fácilmente
integrables y diferenciables. El grado del polinomio de prueba dependerá del
número de nodos asignados a cada elemento, de la naturaleza y número de
las variables estudiadas en cada nodo, así como de determinados
requerimientos de continuidad impuestos en los nodos y en las fronteras de
los elementos. El valor de las variables a estudio, así como sus derivadas,
serán las incógnitas en cada nodo.
3. Encontrar las propiedades de los elementos: Una vez que el modelo por
elementos finitos ha quedado establecido (se han definido los elementos, sus
nodos y las funciones de interpolación ) se han de definir las matrices de
ecuaciones que expresan las propiedades de los elementos individuales.
4. Ensamblaje: El objetivo será el calcular las propiedades de todo el sistema
sometido a estudio a partir de la suma de la red de elementos formados y
estudiados. La base de este procedimiento se centra en que en los puntos de
unión de varios elementos (nodos situados en los vértices) el valor de las
variables a estudiar ha de ser el mismo para cada elemento que comparte ese
nodo.
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
212
5. Fijar las condiciones de contorno: En esta etapa se definen los valores
nodales conocidos debido a las características del sistema sometido a estudio
(por ejemplo, valor de la velocidad del fluido a la entrada de un conducto).
6. Resolución del sistema de ecuaciones: El proceso de ensamblaje nos
proporciona un conjunto de ecuaciones simultaneas que se resuelven a fin de
obtener los valores nodales del problema
4.1.3.2.- Mallado
El punto de partida al aplicar FEM consiste en realizar un mallado de la estructura
sometida a estudio, es decir, dividir la geometría a estudiar en una serie de unidades más
pequeñas de una forma geométrica sencilla. En una dimensión, los subdomínios o
intervalos se dividen en intervalos de mallado más pequeños. Los puntos finales de cada
elemento del mallado son denominados habitualmente vértices del mallado o nodos.
En bidimensional, la geometría sometida a estudio se divide, por ejemplo, en
triángulos (elementos del mallado). Por supuesto esto es sólo una aproximación, ya que la
geometría estudiada puede contener zonas curvas que solo pueden ser aproximadas por
geometrías rectangulares. Los lados de los elementos triangulares no han de contener en su
interior vértices de otros elementos adyacentes. Los elementos que se encuentran en las
zonas de frontera de la geometría se denominan elementos frontera.
Por último, si la geometría estudiada está en tridimensional, el subdomínio será
dividido, por ejemplo, en tetraedros
Los vértices de los elementos de mallado habitualmente son denominados como
nodos.
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213
4.1.3.3.- Discretización
La discretización es el proceso por el cual una expresión matemática, como una
función o una ecuación diferencial o integral que lleven implicadas funciones, existente en
un medio continuo (y por tanto con un entorno de infinitos valores en dicho medio) es
aproximada por una forma matemática análoga, pero diferente, que proporciona valores
sólo en determinados puntos del medio continuo o del dominio sometido a estudio.
Las soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales parciales permiten
encontrar funciones capaces de mostrar la variación de las variables estudiadas en todo el
dominio. En contraste, las soluciones numéricas solo muestran las soluciones en
determinados puntos (nodos) del dominio (mallado).
En nuestro caso, se parte de las ecuaciones de Navier-Stokes, así como de la
ecuación de continuidad del medio, como ecuaciones diferenciales parciales que describen
el comportamiento del dominio continuo. Una solución analítica de las mismas nos
suministraría, en principio, una expresión matemática capaz de proporcionar los valores de
u, v, w, p en función de x, y, z, t para cualquier punto del sistema. Por otro lado, si se
sustituyen las ecuaciones en derivadas parciales de las ecuaciones estudiadas por ciertas
aproximaciones, entonces, la ecuación en derivadas parciales queda transformada en una
ecuación de más sencilla resolución, aunque ahora tan solo se podrán tener los valores de
las incógnitas estudiadas en algunos puntos de nuestro mallado (nodos), mientras que en
resto se deberá proceder por interpolación.
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214
4.1.3.3.1.- Método de los residuales ponderados
El método de los residuales ponderados (weighted residual method) es una
herramienta potente a la hora de obtener soluciones de ecuaciones (o sistemas de
ecuaciones) basados en derivadas parciales.
El primer paso de este método consiste en determinar una función de prueba en la
que se encuentra la variable incógnita a determinar en función de unas constantes que se
determinarán posteriormente. Esta función de prueba no es más que una aproximación del
valor real de la variable y rara vez coincide con su valor exacto.
Por ejemplo, si se dispone de un sistema del tipo:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
−=−
0)1(0)0(
2
2
uu
xudx
ud
(4.1.56)
una posible función de prueba sería:
)1(~ xaxu −= (4.1.57)
en donde el símbolo ∼ indica solución aproximada. Como se puede apreciar, dicha función
de prueba contiene una incógnita a para ser determinada.
En general, la precisión de la solución aproximada depende en gran medida de una
correcta elección de la función de prueba. Una vez que la función de prueba ha sido
seleccionada, se pasa a calcular el valor del residual sustituyendo la función de prueba en la
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
215
ecuación diferencial. Como u~ es distinta de la solución exacta, el residual no se anulará en
todos los puntos del dominio.
El siguiente paso consiste en determinar el valor de la constante “a” de tal manera
que aproximemos al máximo nuestra función de prueba a la solución real. Con objeto de
conseguir este paso, se debe usar una nueva función test (o de ponderación) ω. Esta función
ponderará el valor del residual en todo el dominio intentando que sea lo más próximo a
cero. Esto es:
∫Ω
=Ω= 0·· dRI ϖ (4.1.58)
en donde R representa el residual y Ω hace referencia al dominio en su conjunto.
Por último, se ha de decidir que clase de función test se va a usar. Los métodos
basados en el residual ponderado se pueden clasificar en función de la función test que se
elija[8-10], aunque en concreto nos centraremos en el método de Galerkin.
Para dicho método, la función test se obtiene directamente de la función de prueba
elegida:
u~=ω (4.1.59)
Con el objetivo de mejorar la solución aproximada obtenida, se pueden añadir un
mayor número de términos a la función de prueba previamente elegida, por ejemplo:
)1()1(~ 221 xxaxxau −+−= (4.1.60)
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216
con lo que ahora se necesitarán tantas funciones test como constantes hayamos
introducido, en este caso harán falta dos funciones test.
4.1.3.3.2.- Funciones base
La precisión de la solución aproximada obtenida dependerá mucho de las funciones
prueba, o test, elegidas. Sin embargo, encontrar la función de prueba apropiada para
aproximar las variables desconocidas no siempre resulta inmediato. Esto es especialmente
cierto cuando la solución exacta del sistema se espera que tenga grandes variaciones a lo
largo del dominio de estudio, el dominio tiene una forma geométrica compleja o bien se
impongan condiciones de contorno complejas. Con objeto de soslayar estos problemas se
suelen definir funciones de prueba definidas a trozos.
)()()(~332211 xaxaxau ϕϕϕ ++= (4.1.61)
o bien,
∑=i
iiUu ϕ (4.1.62)
En concreto, ϕi(x) se trata de una función linear en cada uno de los elementos del
mallado y cuyo valor vale 1 en el nodo i y 0 en el resto de los nodos. A esta clase de
funciones de prueba se las denomina funciones base. El conjunto de funciones u~ forman
un espacio de función lineal denominado habitualmente espacio de elemento finito.
Los elementos Lagrangianos de orden k implican funciones base polinómicas de
orden k definidas a tramos. Para definir esta clase de funciones es suficiente con tener sus
valores en los puntos Lagrangianos de orden k. Estos son los puntos en donde las
coordenadas locales son múltiplos enteros de 1/k. Por ejemplo, en 2D con k=2 se tendrían
puntos nodales en las esquinas así como en los puntos intermedios de cada lado del
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217
elemento triangular considerado. Para cada uno de esos puntos nodales, pi, se tiene un
grado de libertad Ui=u(pi) y una función base ϕ1.
Para el caso de simulaciones destinadas a la resolución de las ecuaciones de Navier-
Stokes se han empleado elementos del tipo Langrangianos p2-p1[11], debido a que para
estabilizar la resolución del sistema de las ecuaciones de Navier-Stokes no se necesita el
mismo grado de precisión en el cálculo de las componentes de la velocidad (u, v, w) como
para la presión (p). Las componentes de la velocidad usaran elementos Lagrangianos de
segundo orden, es decir, se calcularán las componentes de la velocidad en los vértices y en
los puntos medios de cada elemento triangular, mientras que el cálculo de la presión se
realizará con elementos lagrangianos de primer orden, es decir, solo se calculará la presión
en los vértices de los elementos triangulares.
4.1.3.3.2.1.- Función base P2-P1
Una función lineal base en 2D puede venir definida por:
f(x,y) = a + bx + cy (4.1.63)
Por tanto, se tienen tres incógnitas (a, b, c) que requieren de tres nodos para una
representación general. El objeto natural geométrico con tres nodos es obviamente un
triangulo. Las funciones base se han de derivar teniendo en cuenta el paso de las
coordenadas cartesianas, en las que se encuentra imbuido el triangulo, o elemento del
mallado, a unas coordenadas locales (figura 4.1.8)
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218
Figura 4.1.8: Triangulo usado para el cambio de coordenadas
x = xA + (xB – xA)ξ + (xC – xA)η (4.1.64)
o bien:
x = ϕi xi = (1 - ξ – η) xA + ξ xB + η xc (4.1.65)
XA XB
XC C
B A
1
1
η
ξ
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219
haciendo referencia a las coordenadas de área ζ1, ζ2, ζ3 que se muestran en la figura
4.1.9,
Figura 4.1.9: Coordenadas de área
ϕ1 = ζ1 = 1 – ξ – η, ϕ2 = ζ2 = ξ, ϕ3 = ζ3 = η (4.1.66)
Esto sería para una función base lineal en 2D usada para el calculo de las presiones.
Usando esta misma nomenclatura se puede definir ahora una función cuadrática en 2D. La
forma general de la función cuadrática sería:
f(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 (4.1.67)
Figura 4.1.10: Triangulo cuadrático. La presión se calcularía en los vértices y
las componentes de la velocidad en los vértices y puntos medios de los lados
1 2
3 ζ1 = Area . Area Total
1 2
3
5
4
6
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220
Las funciones base serían:
ϕ1 = ζ1 ( 2ζ1 – 1) = (1 – ξ – η) (1 – 2ξ – 2η)
ϕ2 = ζ2 ( 2ζ2 – 1) = ξ ( 2ξ – 1)
ϕ3 = ζ3 ( 2ζ3 – 1) = η ( 2η − 1)
ϕ4 = 4 ζ1 ζ2 = 4 ξ (1 – ξ – η)
ϕ5 = 4 ζ2 ζ3 = 4 ξ η
ϕ6 = 4 ζ1 ζ3 = 4 η (1 – ξ – η)
(4.1.68)
4.1.3.4.- Resolución
La resolución del sistema de ecuaciones en derivadas parciales que ha sido
discretizado se reduce a la resolución de un sistema lineal del tipo:
A x = b (4.1.69)
En donde A es una matriz cuadrada dispersa, es decir, gran parte de sus elementos
son ceros, x es el vector solución y b es otro vector.
Los métodos para la resolución de estos sistemas se centran principalmente en el
uso de métodos iterativos de cálculo.
Estos métodos resuelven el problema generando una secuencia de soluciones
aproximadas x(k) que vayan convergiendo progresivamente hacia
x = A-1 b (4.1.70)
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221
Para ello se debe suministrar previamente una suposición inicial para los valores de
la solución, x(0). En función de lo precisa que sea la suposición inicial de valores, más
rápido funcionará el método. El procedimiento iterativo elegido para la resolución ha sido
el GMRES[12], (Generalized Minimal Residual o método Generalizado del Residual
Mínimo. Se seguirá usando el acrónimo en inglés debido a su extensa aceptación a nivel
mundial).
4.1.3.4.1.- Convergencia
Los métodos iterativos fueron diseñados en un principio para la resolución de
sistemas lineales con una matriz A definida positiva. Estas matrices al ser discretizadas a
menudo alcanzan la forma de un sistema en derivadas parciales de tipo elíptico, como por
ejemplo la ecuación de Poisson. Para estas matrices, la teoría de los métodos iterativos se
encuentra bien desarrollada. La velocidad de convergencia se encuentra íntimamente
relacionada con el número de condición de la matriz
κ2 = λmax / λmin (4.1.71)
en donde λmax y λmin son los valores máximos y mínimos respectivamente de los
eigenvalores de la matriz A. Idealmente el número de condición debe ser tan próximo a 1
como sea posible. A fin de lograr esta propiedad se suele realizar previamente al cálculo un
pre-acondicionamiento de las matrices.
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222
4.1.3.4.2.- Pre-acondicionamiento
En las simulaciones de flujo de fluidos se necesitan, por norma general, métodos de
resolución lineales muy eficientes.
Si se tiene un sistema del tipo
A x = b (4.1.72)
Siendo A una matriz de grandes dimensiones y dispersa, es decir, con muchos de
sus términos 0, se pueden considerar dos tipos se métodos para solucionar el sistema.
1. Métodos directos: Con ellos se debe resolver una factorización LU completa
de la matriz A. A través de la eliminación de Gauss se puede construir una
matriz triangular inferior L y otra matriz triangular superior U tal que
A = LU. Entonces, el sistema representado en la ecuación (4.1.72) se puede
resolver en dos pasos: a) primero se resuelve Ly = b y luego b) Ux = y. Sin
embargo, los sistemas lineales que se obtienen de la discretización de las
ecuaciones suelen ser bastante dispersos. Una deficiencia de los métodos
directos es que si bien A es una matriz dispersa, las matrices L y U no lo son
debido al llenado que se produce durante la factorización. Por tanto, las
necesidades de almacenamiento de datos para las matrices L y U son
bastante elevadas. Por otra parte, para matrices A de grandes dimensiones, la
factorización LU requiere bastante tiempo.
2. Métodos iterativos: Por ejemplo el uso de GMRES. El problema de dichos
métodos radica en que su convergencia depende enormemente de las
características de la matriz A. La convergencia se puede mejorar
transformando el sistema lineal en un sistema equivalente con la misma
solución, pero con mejor número de condición. La matriz P que realiza esa
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
223
transformación se denomina pre-acondicionador. Por tanto, el método
iterativo se aplicará al sistema pre-acondicionado.
P-1Ax = P-1b (4.1.73)
La matriz P debe cumplir que:
- P ha de ser una buena aproximación de A. Es decir P-1A ha de ser
próxima a la matriz identidad
- Sea sencilla de calcular y el sistema Py=c para un c dado sea más
sencillo de resolver que el sistema original
- La necesidad de almacenaje de datos de P sea moderada
Una clase importante de pre-acondicionadores están formados por las
factorizaciones LU incompletas[13-16]. Estas factorizaciones descartan parte de los elementos
de llenado que ocurren en una factorización LU normal de la matriz A. Una factorización
LU incompleta de A viene dada por:
A = LU + R (4.1.74)
Siendo R una matriz pequeña.
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224
4.1.4.- NOMENCLATURA
u Velocidad en el eje x (m·s-1)
v Velocidad en el eje y (m·s-1)
w Velocidad en el eje z (m·s-1)
i, ir
Vector unitario en la dirección x
j, jr
Vector unitario en la dirección y
k, kr
Vector unitario en la dirección z
V,Vr
Vector velocidad total de componentes (u, v, w)
n, nr Vector unitario normal a la superficie
S Superficie (m2)
t Tiempo (s)
V Volumen (m3)
m masa (kg)
fx Fuerza en la dirección x (N)
ax Aceleración en la dirección x (m·s-2)
f, fr
Fuerza por unidad de volumen (N·m-3)
p presión (Pa)
F, Fr
Fuerza neta (N)
Fx Fuerza neta en la dirección x
R Residual
Letras Griegas
ρ densidad (kg·m-3)
∇ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
zk
yj
xi
rrr
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225
τ Tensiones tangenciales o axiales
µ Viscosidad
λ Segunda viscosidad
ω función de ponderación
ϕ función base
4.1.5.- REFERENCIAS
[1] Smith. G.D., 1985, Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite
difference methods, 3rd edn, Clarendon Press, Oxford
[2] Clough, R.W., The finite element method in plane stress analysis; Proceedings of 2nd
ASCE Conference on Electronic Computation, Pittsburgh, PA, September 8-9, 1960
[3] Zienkiewicz, O.C. and Cheung, Y.K., Finite elements in the solution of field problems;
Engineer, Vol 220, 1965, pp 307-317
[4] Noor, A.K., Bibliography of books and monographs on finite element technology; Appl.
Mech. Rev., Vol 44, Nº 8, June 1991, pp. 307-317
[5] Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L., 1991, The Finite Element Method – Vol 2: Solid
and Fluid Mechanics, McGraw-Hill, New York
[6] Gottlieb, D. and Orszag, S.A., 1977, Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory
and Applications, SIAM, Philadelphia
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
226
[7] Anderson, John D., 1991, Fundamentals of Aerodynamics, 2d ed, McGraw-Hill, New
York
[8] Crandall, S. H., Engineering Analysis: A survey of numerical procedures, McGraw-
Hill, New York, 1956
[9] Finlayson, B.A., The method of weighted residuals and variational principles, Academic
Press, New York, 1972
[10] Cook, R.D., Concepts and applications of finite element analysis, 2nd ed., John Wiley
& Sons, New York, 1981
[11] Hood, P. and taylor, G., Navier-Stokes equations using mixed interpolation in finite
element in flow problem., Oden Ed., UAH Press, 1974
[12] Saad, Y., Schultz, M.H., GMRES: A generalized minimal residual algorithm for
solving nonsymmetric linear system., SIAM J. of Sci. Statist. Comp, 7 (1986), 856-869
[13] Buleev, N.I., A numerical method for the solution of two dimensional and three
dimensional equations of diffusion, Math. Sb., 51 (1960), 227-238
[14] Meijerink, J.A. and Van der Vorst, H.A., An iterative solution method for linear
systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix, Math. Comp. 31(137),
1977, 148-162
[15] Oliphant, T.A., An implicit, numerical method for solving two dimensional time
dependent diffusion problems, Quart. Appl. Math., 19 (1961), 221-229
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4.1.: Introducción a la técnica CFD
227
[16] Oliphant, T.A., An extrapolation procedure for solving linear systems, Quart. Appl.
Math., 20 (1962), 257-265
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Capítulo 4.2: Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03
229
4.2.- MODELIZACIÓN POR CFD DE UN RECTOR A ESCALA LABORATORIO: UA63.03
4.2.1. INTRODUCCIÓN
Las técnicas basadas en CFD se han estado empleando con objeto de
comprender y optimizar el flujo de fluidos en el interior de diversos sistemas. En este
sentido, se han llevado a cabo estudios experimentales y de cálculo con objeto de
comprender como afecta al flujo de un fluido la existencia de un obstáculo en su
camino[1-3] viéndose las estelas y vórtices que se generan en la cola del mismo. Por otro
lado, y con objeto de optimizar los sistemas de filtración de membranas, se han llevado
a cabo también numerosos trabajos referentes a la hidrodinámica de los mismos[4-8]. En
este mismo sentido, también pueden encontrarse en bibliografía numerosos trabajos
destinados al estudio y optimización de columnas de destilación[9-11].
Todos estos trabajos permiten tener una idea general del comportamiento de los
fluidos líquidos en distintas clases de sistemas cerrados.
En sistemas electroquímicos los principales avances dentro del estudio de flujo
de fluidos se han desarrollado principalmente en el campo de las células de
combustible[12-14] debido a su emergente importancia como sistemas de suministro de
energía “limpia”. Sin embargo, otras clases de sistemas electroquímicos de importancia
industrial como los reactores filtro prensa[15-19], con compartimentos y dimensiones
distintas a las clásicas células de combustible estudiadas, han quedado un poco
relegados al olvido.
En anteriores capítulos, se han utilizado y desarrollado diversas técnicas para
caracterizar y estudiar el comportamiento de los reactores electroquímicos del tipo
filtro-prensa[20-24] centradas en estudios hidrodinámicos basados en la interpretación de
curvas de RTD (Residence Time Distribution), así como, estudios puramente
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Capítulo 4.2: Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03
230
electroquímicos basados en la obtención de la constante global de transporte de materia
(km) hacia los electrodos en el interior de los reactores estudiados. Ambas técnicas se
combinaron en aquellos capítulos para dar lugar a una interpretación más amplia de los
fenómenos que ocurrían en el interior de estos sistemas electroquímicos.
Posteriormente, se pasó a un estudio más directo mediante la visualización de
los sistemas con el fin de determinar la posible existencia de caminos preferenciales y
zonas muertas, o estáticas, en el interior de los compartimentos. Con este objetivo, se
realizaron estudios de visualización directa de los sistemas que validaron de forma
cualitativa los estudios previos por RTDs y cálculo de km.
En este capitulo se intentará determinar de una manera más exacta cual es el
patrón de flujo del líquido así como la distribución de los puntos de mayor turbulencia y
de las zonas muertas en el interior de un reactor electroquímico filtro prensa a escala
laboratorio, con el objetivo de, posteriormente, optimizarlos para obtener un sistema
más eficiente hidrodinámicamente hablando. Para ello se usarán las técnicas basadas en
CFD expuestas en el capitulo anterior.
4.2.2. CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL
El reactor usado fue el UA63.03 ya descrito en anteriores capítulos. A fin de facilitar la
lectura de la presente tesis se volverán a colocar tanto los esquemas del compartimiento
con sus dimensiones, figura 4.2.1(a), como el montaje del reactor electroquímico
trabajando en la configuración sin división del compartimiento, figura 4.2.1(b). Por otra
parte, la tabla 4.2.1 recoge todas las dimensiones de este compartimento.
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Capítulo 4.2: Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03
231
Figura 4.2.1a: Vista del compartimento y sus dimensiones, en mm.
Figura 4.2.1b: Esquema de la configuración de trabajo. 1) Placas de apriete; 2) juntas; 3) bloque de
polipropileno con orificios para la alimentación y extracción del electrolito; 4) electrodo; 5)
compartimento UA63.03
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Capítulo 4.2: Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03
232
B / m Anchura
L / m Longitud
s / m Espesor
de / m Diámetro Equivalente
Le Le = de/L
γ Relación de
aspecto
7.00·10-2 9.00·10-2 3.00·10-3 0.58·10-2 6.44·10-2 4.29·10-2
Tabla 4.2.1: Dimensiones características del reactor UA63.03.
Por otra parte, para la modelización y cálculo de las variables de flujo a través de
CFD se usó el paquete comercial FEMLAB 2.3.
4.2.3. ESTUDIOS POR CFD
4.2.3.1.- Definición del problema
4.2.3.1.1.- Definición de la geometría:
El primer paso en cualquier estudio de CFD radica en la definición de la
geometría sometida a estudio o, dicho de otra forma, la definición del dominio a
estudiar por el método de los elementos finitos.
La geometría del compartimiento UA63.03 junto con los dos distribuidores de
flujo (uno para la entrada de líquido y otro para la salida del mismo) se muestra en las
figuras 4.2.1. y 4.2.2. En esta última tan solo se ha representado la zona que esta abierta
al paso de fluido. Es decir, sería como una imagen en “negativo” de la figura 4.2.1a. A
efectos de CFD tan solo nos interesa el canal de paso del liquido y no el “frame” o
carcasa que constituye el compartimiento de EPDM.
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Capítulo 4.2: Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03
233
Sin embargo, la existencia de los numerosos ángulos rectos y de los cambios
bruscos de dirección (principalmente en los distribuidores) obligan a hacer ciertas
simplificaciones en el modelo a representar a fin de poder abordarlo con las capacidades
de cálculo disponibles.
Para ello se aceptó la simplificación consistente en la anulación del distribuidor
de salida en la resolución de las ecuaciones. Esta simplificación queda justificada ya que
el liquido en el distribuidor de salida no llegaba a completar toda la sección del mismo,
por lo que se puede suponer que, en ambos puntos de recogida de liquido a la salida del
compartimiento, la presión de trabajo es la atmosférica, no habiendo una diferencia de
presión apreciable entre los puntos 1 y 2 mostrados en la figura 4.2.2.
Figura 4.2.2: Esquema de la geometría del reactor UA63.03 con los dos distribuidores (el de
entrada y el de salida)
Salida de Fluido
Entrada de Fluido
Compartimento
1
2
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234
Por tanto, la geometría final a estudiar quedaría como se muestra en la figura
4.2.3,
Figura 4.2.3: Esquema de la geometría del reactor UA63.03 sin el distribuidor de salida.
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235
4.2.3.1.2.- Mallado
El mallado se realizó a través del algoritmo de triangulación de Delaunay[25] que
se centra básicamente en la regla de que no deben existir nodos de otros elementos en la
circunferencia (esfera) envolvente de un determinado elemento triángulo (tetraedro).
La figura 4.2.4 muestra el mallado usado para realizar la simulación así como
una barra de color que indica la calidad de dicho mallado.
Figura 4.2.4: Mallado y calidad de los tetraedros que lo conforman.
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236
La calidad de los tetraedros formados viene determinada por[26]:
( ) 232
625
24
23
22
21
3216
hhhhhh
Vq+++++
= (4.2.1)
en donde h1, h2, h3, h4, h5 y h6 son las longitudes de las aristas del tetraedro a
estudiar y V es el volumen del tetraedro.
La figura 4.2.5 muestra un histograma de la distribución de calidades de los
tetraedros formados para el mallado de la geometría.
Figura 4.2.5: Histograma de la distribución de calidades de los tetraedros formados durante el
mallado de la geometría
Calidad
Número de tetraedros
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237
Se ha de tener en cuenta que para el estudio de geometrías en 3D se suele
considerar como buenos los tetraedros con una calidad superior a 0.3. Calidades
inferiores a este valor, en concreto inferiores a 0.1, pueden hacer que la solución del
sistema no converja hacia valores aceptables o bien diverja totalmente.
Como se puede apreciar del histograma, los tetraedros generados se encuentran
en su mayoría por encima del umbral de 0.3 habiendo tan solo una ínfima cantidad con
una calidad inferior a 0.3.
El mallado seleccionado para realizar las simulaciones consta de:
• Número de elementos (Tetraedros): 22927
• Número de nodos: 6061
• Grados de libertad: 123979
• Mínima calidad para un tetraedro: 0.279
• Volumen máximo de tetraedro: 2.85·10-9 m3
• Volumen mínimo de tetraedro: 8.68·10-12 m3
4.2.3.1.3.- Propiedades del dominio
A efectos de modelización hidrodinámica del sistema se ha usado como líquido
circulante por el reactor agua, considerada como fluido Newtoniano, isotermo con una
densidad ρ = 1000 kg·m-3 y una viscosidad dinámica de η = 10-3 Pa·s.
Como funciones base para el cálculo de elementos finitos se han elegido
funciones lagrangianas del tipo P2-P1 que tienen por objetivo la estabilización de las
ecuaciones de Navier-Stokes y en las que se calculan las componentes de la velocidad
tanto en los vértices del tetraedro como en los puntos medios de sus lados mientras que
la presión se calcula solo en los vértices de los mismos.
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238
4.2.3.1.4.- Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno usadas para la resolución de las ecuaciones de
Navier-Stokes son:
Figura 4.2.6: Diagrama del reactor UA63.03 con las zonas frontera que requieren consideraciones
especiales remarcadas. El resto de ellas son consideradas como paredes rígidas.
• Contorno 1: Se define la velocidad de entrada del fluido según V=(ux, vy,
wz). Se tomarán los valores en función del número de Reynolds al que se
realice el estudio
• Contornos 2 y 3: Se define la presión a la salida del compartimiento
(presión manométrica). En estos contornos se supone una presión de 0
con lo que se obtendrá directamente de la simulación las caídas de
1
2
3
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239
presión en el interior del compartimiento. En estos contornos o caras se
tiene que K=0 siendo K la fuerza viscosa por unidad de área,
( )( )TuunK ∇+∇= ··ηr (4.2.2)
en donde nr es un vector normal a la superficie de la cara estudiada. K
representa la fuerza que la cara del compartimiento ejerce sobre el fluido
y el exponente, T ,representa a la matriz transpuesta.
• Resto de contornos o caras: Condición de “no-deslizamiento” o, dicho
de otro modo, el fluido en contacto con el resto de las caras se encuentra
en reposo, V = (ux, vy, wz) = 0
4.2.3.2.- Resultados
Las simulaciones se han llevado a cabo a los mismos valores de Re estudiados
previamente (estudios de RTD, estudios electroquímicos para la obtención del
coeficiente global de transporte de materia y estudios de visualización directa) con
objeto de poder realizar una comparación entre los resultados obtenidos a través de los
distintos métodos.
Las simulaciones obtenidas se muestran a continuación, las velocidades vienen
indicadas en m·s-1 mientras que las presiones vienen en kg·m-1·s-2:
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4.2.3.3.- Interpretación de resultados
4.2.3.3.1.- Caída de presión
Como se puede apreciar en las figuras 4.2.7b, 4.2.8b, 4.2.9b y 4.2.10b las caídas
de presión principalmente ocurren en el distribuidor de entrada.
En las figuras 4.2.11 se muestra el mapa de presiones en el distribuidor de
entrada al compartimiento trabajando a distintos números de Re. A fin de obtener tan
solo valores relativos de la caída de presión en el distribuidor se ha supuesto una presión
de 0 a la salida de los mismos. La alimentación a los distribuidores en las figuras se
realizará por la derecha de los mismos
Figura 4.2.11a:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 129. Vista 3D
Figura 4.2.11b:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 129. Vista Inferior
kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2
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Figura 4.2.11c:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 200. Vista 3D
Figura 4.2.11d:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 200. Vista Inferior
Figura 4.2.11e:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 271. Vista 3D
Figura 4.2.11f:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 271. Vista Inferior
kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2
kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2
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Figura 4.2.11g:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 414. Vista 3D
Figura 4.2.11h:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 414. Vista Inferior
Esta caída de presión en el distribuidor de entrada será un factor determinante en
la mejor o peor distribución de líquido en el interior del compartimiento y, por tanto, un
factor clave a la hora de optimizar el reactor.
4.2.3.3.2.- Hidrodinámica del sistema
Las simulaciones de la hidrodinámica del sistema a través de CFD aportan unos
resultados fácilmente comparables con los datos obtenidos para este mismo reactor por
métodos basados en el estudio de las curvas de RTD así como la visualización directa
del flujo.
A partir de las curvas de RTD se propuso un modelo basado en la existencia en
el reactor de un determinado volumen, o zona dinámica, en el cual el fluido tendría un
comportamiento de flujo pistón con dispersión axial, junto con una serie de zonas
muertas o volúmenes más o menos estáticos. Entre la zona dinámica y los volúmenes
muertos existiría un intercambio constante de materia, Figura 4.2.12.
kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2
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Figura 4.2.12: Modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD. El modelo supone la
existencia de un camino dinámico para el flujo del fluido y la existencia de zonas muertas. También
postula la existencia de un cierto intercambio de materia entre las zonas dinámicas y las muertas.
Este modelo queda plenamente justificado al ver la simulación por CFD. Por
ejemplo, tomando cualquiera de las figuras 4.2.7a, 4.2.8a, 4.2.9a, 4.2.10a, se puede
apreciar la existencia de unos caminos más rápidos, perfectamente asumibles al
volumen dinámico propuesto por el modelo, así como unas zonas mucho más lentas,
que podrían asimilarse a los volúmenes muertos. Por otra parte, la existencia de
remolinos justificaría el intercambio de materia entre las zonas dinámicas y muertas.
La simple comparación entre los experimentos de visualización directa y la
modelización obtenida demuestran una gran concordancia a nivel cualitativo.
Vdinámico
Vmuerto
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Figura 4.2.13: Visualización directa del flujo en el reactor UA63.03 trabajando a un Re = 414, donde
t1<t2<t3<t4. El trazador es una disolución de azul de bromotimol en 0.01 M NaOH.
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En las figuras 4.2.13 se puede apreciar incluso la zona muerta central que
aparece en la sección derecha de la imagen pronosticada por la modelización por CFD
(Figura 4.2.10a)
Sin embargo, hasta el momento tan solo se han evaluado cualitativamente la
similitud de resultados obtenidos por medio del estudio de las curvas de RTD y de la
visualización directa con los estudios de CFD.
A fin de desarrollar una comparación cuantitativa de los resultados obtenidos
por RTD y CFD se ha propuesto el siguiente sistema.
4.2.3.4.- Validación de las simulaciones por CFD
4.2.3.4.1.- Comparación áreas activas obtenidas por CFD y por RTD
Cuando se hace referencia a que un determinado compartimiento se encuentra
trabajando a un determinado número de Reynolds ello implica una aproximación
consistente en afirmar que todo el compartimiento se encuentra trabajando a un valor
constante de la velocidad para el flujo de fluido en su interior determinado por:
AQV = (4.2.3)
en donde V es el valor medio de la velocidad del fluido en la dirección de flujo,
Q es el caudal volumétrico de líquido y A es la sección transversal de paso al fluido.
A partir de esta velocidad media se obtiene,
ηρ edV ··
Re = (4.2.4)
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)(··2SBSBde +
= (4.2.5)
en donde ρ es la densidad del liquido, V su velocidad media calculada con la
ecuación (4.2.3), η es la viscosidad dinámica del fluido y de representa el diámetro
equivalente definido por (4.2.5) como la relación entre sección transversal al flujo de
fluido del compartimiento y el perímetro “mojado” (en donde B es el ancho del
compartimiento y S la altura del mismo).
De esta forma, afirmar que el compartimiento se encuentra trabajando a un
determinado Re implica que “todo” el compartimiento se encontraría trabajando a ese
valor de la velocidad media. Según lo comprobado a través de los distintos
procedimientos ensayados (estudio de curvas de RTD, visualización directa y cálculo
por CFD) esta afirmación no es del todo cierta ya que, si bien en promedio se cumple
esta suposición, a nivel local se puede apreciar que existen zonas en las que el fluido
tiene velocidades distintas, ya sean superiores o inferiores a la media.
Vamos a definir como zona dinámica toda aquella zona del compartimiento en la
que la velocidad del fluido sea igual o superior al 45% de la velocidad media
correspondiente al Re de trabajo. Por otra parte, las zonas muertas o estáticas
corresponderán a todas aquellas regiones en las que el fluido circule a una velocidad
inferior a ese 45% de la velocidad media.
En las figuras 4.2.14a, 4.2.14b, 4.2.14c y 4.2.14d se muestran los mapas de
velocidades superiores al 45% de la velocidad teórica media, en m·s-1 (Las zonas rojas
implican velocidades iguales o superiores al 45% de V)
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A fin de realizar el computo de las áreas activas se ha desarrollado un programa
de matlab, ver apéndices, capaz de efectuar este cálculo a partir de los datos de la
simulación de CFD obteniéndose los valores mostrados en la Tabla 4.2.2.
Por otra parte, del estudio de las curvas de RTD se obtenía también una
estimación de las zonas activas del reactor a partir del parámetro Φβ, (Tabla 4.2.2).
Comparando ambos valores puede apreciarse una gran similitud de resultados, lo que
permite concluir que el método cuantitativo de estimación de áreas activas a partir de
los estudios por CFD es, en principio, válido.
Re
Área Activa calculada a través
de RTD (Φβ)
Área activa calculada a través
de CFD
Error E = (CFD-RTD)/CFD *100
129 58 % 63 % 8.00 % 200 58 % 55 % 4.50 % 271 59 % 55 % 7.00 % 414 74 % 74 % 0.00 %
Tabla 4.2.2: Comparación entre los valores de áreas activas calculados a través de estudios de
RTD y estudios de CFD
4.2.3.4.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas experimentalmente y por
CFD
También con el objetivo en mente de validar las simulaciones realizadas a través
de las técnicas de CFD se procedió también a realizar una simulación de la respuesta
que tendría el sistema estudiado ante una entrada de trazador para, posteriormente,
compararlas con las RTDs experimentales obtenidas previamente.
Para ello, se partió de los resultados obtenidos para las distribuciones de
velocidades en el interior del compartimiento, que se asumieron constantes con el
tiempo, hipótesis valida si se supone que el compartimiento se encuentra operando en
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régimen estacionario, es decir, una vez alcanzado el régimen hidrodinámico
estacionario.
Para realizar la simulación de una entrada de trazador en el compartimiento se
resolvió la ecuación de convección-difusión, con valores de densidad y coeficiente de
difusión constantes.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
zc
yc
xcDR
zcw
ycv
xcu
tc
(4.2.6)
siendo c la concentración de la especie considerada, D el coeficiente de difusión,
u, v y w las velocidades del fluido en los ejes x, y, z respectivamente y R un término
que hace referencia la una posible reacción en el medio sometido a estudio, cuyo valor
será 0 en nuestro caso ya que lo único que se va a estudiar es la dispersión del trazador y
no su reacción.
Conviene resaltar nuevamente que, si bien se ha supuesto que el perfil de
velocidades en el interior del reactor es constante con el tiempo (régimen hidrodinámico
estacionario), no ocurre lo mismo con las concentraciones del trazador en los distintos
puntos del sistema ya que dicha concentración deberá ir variando a medida que va
pasando el trazador por el interior del compartimiento de reacción. Ello implica la
resolución de la ecuación de convección-difusión (ecuación 4.2.6) en régimen
transitorio.
La simulación fue llevada a cabo usando como trazador una inyección de
disolución de NaCl 3.5M. Las respuesta del trazador se midió realizando una
integración de los valores de la concentración de NaCl en las boquillas de salida del
compartimiento. Las curvas obtenidas fueron normalizadas con la concentración total de
trazador y comparadas con las RTDs experimentales obtenidas previamente.
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Las figuras 4.2.15a, 4.2.15b, 4.2.15c y 4.2.15d muestran los resultados obtenidos
a través de la simulación por CFD de la entrada de trazador a un valor de Re = 414, los
valores de las concentraciones vienen expresados en mol·m-3.
Estas figuras corroboran las hipótesis iniciales usadas para definir el modelo
matemático empleado en el ajuste de las curvas de RTD. Se puede apreciar claramente
la existencia de unos caminos preferenciales así como volúmenes muertos. Por otra
parte se aprecian las formaciones de remolinos que permiten realizar un intercambio de
materia entre las zonas dinámicas y las muertas.
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Una vez obtenidas las simulaciones para distintos tiempos de la evolución del
trazador inyectado se puede proceder a realizar una integración de los valores de las
concentraciones de dicho trazador a cada instante en los contornos de las boquillas de
salida de fluido. Las curvas obtenidas por este método, una vez normalizadas, pueden
ser comparadas con las RTD experimentales a fin de comprobar la validez de las
simulaciones.
En la figura 4.2.16 se muestran unas comparativas entre las curvas RTD
experimentales obtenidas para el reactor UA63.03, trabajando a diversos valores Re, así
como las curvas RTD virtuales obtenidas a través de simulación por CFD a los mismos
valores de Re de trabajo.
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Figura 4.2.16: Comparación entre las RTD experimentales y RTD virtuales para el reactor UA63.03
trabajando a diversos números de Re
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Como se puede apreciar a partir de la figura 16, la bondad de los ajustes entre las
curvas obtenidas de manera experimental y las curvas virtuales es bastante elevada.
Considerando como medida del error entre ambas curvas el valor,
( )N
N
∑ −=
2calcexp yy
error (4.2.7)
siendo N el número total de puntos de la gráfica, se obtiene que para los diversos
Re estudiados, el error entre los valores experimentales y los teóricos no supera nunca el
valor de 4·10-4.
El buen ajuste entre las curvas RTD experimentales y las virtuales constituyen
un factor más a la hora de dar validez a las simulaciones.
Por otro lado, las curvas RTD virtuales pueden proporcionar información acerca
de las zonas muertas del reactor. La figura 4.2.17 muestra las variaciones de
concentración del trazador con el tiempo en cuatro localizaciones distintas del
compartimiento de reacción.
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Figura 4.2.17: Estudio por CFD de la variación de concentración de trazador en cuatro localizaciones
distintas del reactor UA63.03
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Como se puede apreciar en la figura 4.2.17, los puntos situados justo enfrente de
los distribuidores o boquillas de entrada muestran unas curvas de RTD locales de forma
muy estrecha, indicando claramente que en esos puntos existiría muy poco retardo del
trazador. Por otro lado, las RTD locales de los puntos situados en las esquinas inferiores
derecha e izquierda, presentan un claro fenómeno de cola, es decir, un gran retardo del
trazador debido principalmente a la existencia de volúmenes muertos en dichas zonas
que tienen intercambio de materia con las zonas dinámicas.
Por tanto, a través del estudio de la dispersión del trazador en el interior del
compartimiento se pueden señalar fácilmente las zonas problemáticas
hidrodinámicamente hablando a fin de plantearse posibles mejoras futuras.
4.2.3.4.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia
Las primeras ideas acerca del transporte de materia en sistemas electroquímicos
fueron presentadas por Nernst y Merriam[27]. Estos autores usaron una analogía con la
disolución de un sólido sugiriendo que el transporte de materia ocurría por difusión
molecular en una pequeña capa de fluido adyacente al electrodo.
En esta capa existiría una variación lineal de la concentración de la especie
electroactiva desde su valor en el seno de la disolución hasta el valor correspondiente en
la superficie del electrodo, figura 4.2.18.
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Capítulo 4.2: Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03
262
Figura 4.2.18:Representación de la capa de difusión de Nernst
Como ya se expuso en anteriores capítulos, la constante de transporte de materia,
km, en el interior de un reactor viene definida según la expresión,
δDkm = (4.2.8)
en donde D es el coeficiente de difusión de la especie electroactiva y δ es el
espesor de la capa de difusión de Nernst.
δ proporciona una medida de la variación espacial del perfil de concentraciones
que se produce al existir sobre el electrodo una determinada reacción electroquímica.
La expresión correspondiente para el cálculo de δ mediante técnicas de salto
petenciostático viene dada por[28],
tD··πδ = (4.2.9)
y se puede obtener resolviendo la transformada de Laplace de la ecuación de
difusión bajo unas condiciones de contorno e iniciales específicas. También puede
Cseno
Csuperficie
δ
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obtenerse a través de otros métodos[29] así como resolviendo la propia expresión de la
capa de difusión[30] para un proceso estacionario reversible,
( )δ
erficieseno CCDnFA
I sup−= (4.2.10)
en donde I es la corriente que circula en el proceso electroquímico, Cs es la
concentración de la especie electroactiva en la superficie del electrodo, Cb es la
concentración en el seno de la disolución, F es la constante de Faraday, A es el área del
electrodo y D el coeficiente de difusión de la especie electroactiva.
Según esto, se puede decir que un reactor se encuentra trabajando al máximo de
su capacidad, es decir a su corriente límite, cuando Csuperficie = 0, ya que,
senomsenoL CnFAkCDnFAI ==δ
(4.2.11)
Por tanto, el reactor debe ser diseñado con el objetivo de maximizar el valor de
km, ya que, para un determinado proceso y reactor el resto de parámetros no eléctricos
han de ser fijos[31,32].
La constante de transporte de materia esta relacionada tanto con la geometría del
electrodo, como con las condiciones de flujo, por una expresión del tipo:
y
m Vk ∝ (4.2.12)
siendo V la velocidad del fluido, e “y” una constante indeterminada que depende
de muchos factores tales como la naturaleza del flujo, la forma del reactor y del
electrodo[33], etc.
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264
La dificultad de poder determinar el valor de “y”, condujo al empleo de las
denominadas correlaciones basadas en grupos adimensionales que manejan valores de
km globales, como ya se ha visto en capítulos previos.
Sin embargo, a partir de las actuales técnicas de simulación por CFD se puede
intentar obtener un mapeado completo de los valores locales de km.
Teniendo en cuenta la relación existente entre km y δ, a partir de la ecuación
4.2.12 se obtiene
yVa
∝δ (4.2.13)
siendo “a” e “y” dos parámetros a ajustar.
Partiendo de la ecuación 4.2.13 y conociendo el valor global de la km obtenido
de manera experimental, como se indicó en capítulos previos, se puede suponer que,
medio
globalm
Dkδ
= (4.2.14)
∑ ∑⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
aelectródic totalAreaoconsiderad local elemento del Area·
ylocal
locales
globalm
VaDDk
δ (4.2.15)
siendo Vlocal el valor de la velocidad local en cada punto del reactor.
Empleando el modelo de CFD se pueden obtener los valores de Vlocal para cada
punto del reactor, con lo que se puede obtener un mapa de valores de km en el interior
del reactor.
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265
Para ello es necesario encontrar los valores óptimos de las constantes “a” e “y”.
Se han desarrollado una serie de códigos de Matlab, ver apéndices, obteniéndose el
mapa de valores de km en el interior del reactor sometido a estudio, mostrado en las
figuras 4.2.19a-d.
Los resultados obtenidos son acordes con los valores que cabría esperar de las
simulaciones por CFD. Es decir, en aquellas zonas en las que la velocidad del fluido es
mayor, se obtendrán menores espesores de la capa de difusión de Nernst y, por tanto,
mayores valores de km.
De esta forma se puede obtener un mapa total del área electródica y saber que
zonas se encuentran trabajando a valores inferiores al deseado.
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Las diferencias entre los valores de km global obtenidos experimentalmente y los
calculados teóricamente a través del ajuste de la ecuación (4.2.15) difieren en muy poco,
Tabla 4.2.3.
Ecuación:
δ = a / Vy
Re
a
y
km Experimental
km Teórico
Error
129 4.89·10-5 5.06·10-5 3.48 % 200 7.00·10-5 7.49·10-5 7.08 % 271 8.98·10-5 8.75·10-5 2.53 % 414
4.57·10-7
1.01
1.27·10-4 1.24·10-4 2.09 %
Tabla 4.2.3: Resultados de la simulación para la obtención de km.
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4.2.4. NOMENCLATURA
B Anchura del canal de paso (m)
Cb Concentración en el seno de la disolución (mol·m-3)
Cs Concentración en la superficie (mol·m-3)
D Coeficiente de difusión de la especie electroactiva
de Diámetro hidráulico equivalente (m)
F Constante de Faraday
K Fuerza viscosa por unidad de área
km Constante de transporte de materia
m Viscosidad (Pa·s)
nr Vector normal a la superficie
Q Caudal volumétrico (m3·s-1)
Re Número de Reynolds
S Espesor del canal de paso (m)
V Vector velocidad
ux Componente de la velocidad en el eje x
vy Componente de la velocidad en el eje y
wz Componente de la velocidad en el eje z
Letras Griegas
ρ Densidad (kg·m-3)
Φβ Relación (volumen activo / volumen total) del reactor
calculada a través de estudios de RTD
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4.2.5. REFERENCIAS
[1] Zhang, H.L., Ko, N.W.M., Numerical analysis of incompressible flow over a smooth
and grooved circular cylinders, Comput. Fluids, 25(3), 1996, 263-281
[2] Breuer, M., Bernsdorf, J., Zeiser, T., Durst, F., Accurate computations of the laminar
flow past a square cylinder based on two different methods: lattice-Boltzmann and finite
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
273
4.3.- DISEÑO Y ESTUDIO DE UN REACTOR FILTRO PRENSA OPTIMIZADO POR CFD
4.3.1. INTRODUCCIÓN
Los reactores electroquímicos del tipo filtro prensa se encuentran sujetos a
ciertas deficiencias inherentes a su propia estructura que deben ser optimizadas, en la
medida de lo posible, al realizar el diseño de los mismos.
Los principales problemas son:
• Corrientes shunt o corrientes de fuga,
Un aspecto importante para los reactores tipo filtro prensa trabajando con
una configuración bipolar, figura 4.3.1, es que existen electrodos a distinto
potencial eléctrico interconectados por medio de conductos de electrolito,
produciéndose un flujo de corriente a su través, figura 4.3.2. Estas corrientes
de fuga constituyen una derivación de la corriente efectiva del sistema que
provoca, por tanto, una disminución del rendimiento culómbico. Estas
corrientes de fuga pueden ser reducidas aumentando la resistencia eléctrica
de los conductos del electrolito. Esto se puede conseguir aumentando la
longitud o disminuyendo la sección de los mismos[1-14].
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
274
Figura 4.3.1: Reactor filtro prensa trabajando en modo bipolares
Electrolito
Electrodo Bipolar
Membrana
Electrodo bipolar
Membrana
+-
Electrodo Final
Electrodo Final
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
275
Figura 4.3.2: Esquema de las corrientes de fuga migrando a través de los distribuidores
Electrodo Final
Membrana
Electrodo Bipolar
Electrodo Final
Electrolito
Electrolito CorrienteFuga
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
276
• Requisitos hidráulicos,
Desafortunadamente un aumento de la resistencia eléctrica en los conductos
de electrolito supone un aumento de la pérdida de carga hidráulica en los
mismos, por lo que, para mantener el caudal adecuado de electrolito se
deberá aumentar la potencia de las bombas, disminuyendo así el rendimiento
energético global del sistema[15-16].
• Distribuidores de flujo,
Por ultimo cabe resaltar los problemas hidráulicos en el propio interior del
reactor debidos al diseño de unos distribuidores de flujo ineficientes. Dichos
problemas provocan, como ya se ha visto en anteriores capítulos,
distribuciones de flujo en el interior del sistema que generan grandes
volúmenes muertos en los que el reactor no esta funcionando como cabría
esperar, pudiendo dar lugar a reacciones secundarias no deseadas.
Por estos motivos, en este capítulo se procederá al diseño y caracterización de un
nuevo reactor filtro prensa que, manteniendo la especificación de área electródica del
reactor previamente estudiado UA63.03 (63cm2 de área electródica), optimice tanto su
hidrodinámica como su transporte de materia hacia los electrodos de trabajo. Por otra
parte se buscará solucionar algunas deficiencias que presenta la configuración previa del
reactor (UA63.03) como por ejemplo la imposibilidad de este último de poder trabajar
en stacks de células. Para poder emplearlo en sistemas bipolares, será necesario a su
vez, aumentar las resistencias eléctricas en los distribuidores de entrada y salida a fin de
minimizar las corrientes shunt o de fuga. Obviamente se intentará obtener un patrón de
flujo interno lo más eficiente posible.
Para ello se usará el procedimiento inverso al descrito hasta el momento, se
comenzará con un diseño del reactor a través de estudios de CFD que nos permitirán
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
277
probar distintas configuraciones sin necesidad de pasar por las etapas de estudio de
prototipos físicos.
Una vez encontrado un diseño optimizado realizaremos la caracterización del
reactor por los métodos experimentales ya citados.
4.3.2. PROTOTIPOS PREVIOS
El primer paso del proceso de optimización consistió en un estudio previo de
diversos modelos o prototipos del reactor intentando hallar uno que presentase un
patrón de flujo en su interior lo mejor posible.
Esta etapa previa consumiría, antes del uso de las nuevas técnicas de simulación
por ordenador, gran cantidad de tiempo y dinero ya que sería necesaria la realización
física de cada reactor y su posterior experimentación.
El criterio de eliminación de los diferentes prototipos fue el comentado
previamente durante el estudio del reactor UA63.03 y que se basaba en el estudio del
área activa del compartimiento. Es decir, determinamos el área del compartimiento que
se encuentra trabajando a una velocidad superior al 45% de la velocidad media fijada
para el Reynolds de trabajo y las comparamos para, al final, elegir aquel reactor que
tenga una mayor cantidad de zonas activas hidrodinámicamente hablando.
Según este criterio, algunos de los prototipos previos ensayados fueron (las
velocidades en las figuras vienen expresadas en m·s-1):
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280
En el caso del UA63.04-PRO1, figura 4.3.3d, existe una gran zona muerta en el
lateral derecho del compartimiento. Este diseño, si bien mejora el área activa con
respecto al anterior reactor estudiado (UA63.03) no resulta aún del todo eficiente, el
UA63.04-PRO2, figura 4.3.4d, mejora en gran medida el UA63.04-PRO1, sin embargo
aún existen zonas inactivas bastante extensas.
Posteriores estudios condujeron al modelo que se ha tomado como diseño
optimizado del UA63.03, el UA63.04.
4.3.3. CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL (UA63.04)
En las figura 4.3.5a-d se puede ver el compartimento del reactor UA63.04 así como sus
dimensiones geométricas. Por otra parte, la tabla 4.3.1 recoge todas las dimensiones de
este compartimento.
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281
Figura 4.3.5a: Vista del compartimiento del reactor UA63.04
Figure 4.3.5b: Compartimiento UA63.04
Entrada de Fluido
Salida de Fluido
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282
Figura 4.3.5c: Vista en planta del compartimiento y dimensiones en mm
Figura 4.3.5d: Detalle del distribuidor de entrada y sus dimensiones en mm
B / m Anchura
L / m Longitud
s / m Grosor
de / m Diámetro Equivalente
Le Le = de/L
γ Relación de
aspecto
7.00·10-2 9.00·10-2 4.00·10-3 1.89·10-3 2.10·10-2 5.71·10-2
Tabla 4.3.1: Dimensiones características del reactor filtro prensa UA63.04
Para la modelización y cálculo de las variables de flujo a través de CFD se usó
el paquete comercial FEMLAB 2.3.
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
283
4.3.4. ESTUDIOS POR CFD
4.3.4.1.- Definición del problema
4.3.4.1.1.- Definición de la geometría:
Como para el estudio del anterior reactor (UA63.03) el primer paso consistió en
la definición de la geometría sometida a estudio o, dicho de otra forma, en la definición
del dominio a estudiar por el método de los elementos finitos.
El compartimiento UA63.04 junto con los dos distribuidores de flujo (uno para
la entrada de líquido y otro para la salida del mismo) tienen una geometría como se
muestra en la figura 4.3.6. en la que tan solo se ha representado la zona que esta abierta
al paso de fluido.
Figura 4.3.6: Esquema de la geometría del reactor UA63.04 con los dos distribuidores (el de
entrada y el de salida)
Salida de Fluido
Entrada de Fluido
Compartimento
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284
4.3.4.1.2.- Mallado
Igual que en el capitulo anterior, el mallado se realizó a través del algoritmo de
triangulación de Delaunay[17].
La figura 4.3.7 muestra el mallado usado para realizar la simulación, así como
una barra de color que indica la calidad de dicho mallado.
Figura 4.3.7: Mallado y calidad de los tetraedros que lo conforman
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285
Como ya se indicó en el capítulo anterior, la calidad de los tetraedros formados
viene determinada por[18]:
( ) 232
625
24
23
22
21
3216
hhhhhh
Vq+++++
= (4.3.1)
en donde h1, h2, h3, h4, h5 y h6 son las longitudes de los lados del tetraedro a
estudiar y V es el volumen del tetraedro.
La figura 4.3.8 muestra un histograma de la distribución de calidades de los tetraedros
formados para el mallado de la geometría.
Figura 4.3.8: Histograma de la distribución de calidades de los tetraedros formados durante el mallado
de la geometría
Calidad
Número tetraedros
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286
De igual forma que en el caso del reactor UA63.03, se ha de tener en cuenta que
para el estudio de geometrías en 3D se suele considerar como buenos los tetraedros con
una calidad superior a 0.3. Calidades inferiores a este valor, en concreto inferiores a 0.1,
pueden generar problemas de cálculo.
Como se puede apreciar del histograma, los tetraedros generados se encuentran
en su mayoría por encima del umbral de 0.3 habiendo tan solo una ínfima cantidad con
una calidad inferior a 0.3.
El mallado seleccionado para realizar las simulaciones consta de:
• Número de elementos (Tetraedros): 21096
• Número de nodos: 6078
• Grados de libertad: 120018
• Mínima calidad para un tetraedro: 0.11
• Volumen máximo de tetraedro: 6.94·10-9 m3
• Volumen mínimo de tetraedro: 9.37·10-12 m3
4.3.4.1.3.- Propiedades del dominio
A efectos de modelización hidrodinámica del sistema, se ha usado como líquido
circulante por el reactor agua, como fluido Newtoniano-isotermo, con una densidad ρ =
1000 kg·m-3 y una viscosidad dinámica de η = 10-3 Pa·s.
Como funciones base para el cálculo de elementos finitos se ha elegido
funciones lagrangianas del tipo P2-P1.
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287
4.2.3.1.4.- Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno usadas para la resolución de las ecuaciones de
Navier-Stokes son:
Figure 4.3.9: Diagrama del reactor UA63.04 con las zonas frontera que requieren
consideraciones especiales remarcadas. El resto de ellas son consideradas como paredes rígidas.
• Contorno 1: Se define la velocidad de entrada del fluido según V=(ux, vy,
wz). Los valores de la velocidad serán acordes a los valores de Re
estudiados.
1
2
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288
• Contorno 2: Se define la presión a la salida del compartimiento (presión
manométrica). Por definición se supone una presión de 0 con lo que se
obtendrá directamente de la simulación las caídas de presión en el
interior del compartimiento. En estos contornos o caras se tiene que K=0
siendo K la fuerza viscosa por unidad de área,
( )( )TuunK ∇+∇= ··ηr (4.3.2)
en donde nr es un vector normal a la superficie de la cara estudiada. K
representa la fuerza que la cara del compartimiento ejerce sobre el fluido.
• Resto de contornos o caras: Condición de “no-deslizamiento” o, dicho
de otro modo, el fluido en contacto con el resto de las caras se encuentra
en reposo, V = (ux, vy, wz) = 0
4.3.4.2.- Resultados
Los resultados obtenidos a partir de los estudios de CFD fueron (las velocidades
en las figuras vienen expresadas en m·s-1 mientras que las presiones están expresadas en
Pa):
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293
4.3.4.3.- Interpretación de resultados
4.3.4.3.1.- Caídas de presión
Como se puede apreciar en las figuras 4.3.10b, 4.3.11b, 4.3.12b y 4.3.13b las
caídas de presión ocurren principalmente en el distribuidor de entrada.
En las figuras 4.3.14a-b se muestra el mapa de presiones en el distribuidor de
entrada al compartimiento trabajando a distintos números de Re. A fin de obtener tan
solo valores relativos a la caída de presión en el distribuidor se ha supuesto una presión
relativa de 0 a la salida de los mismos.
Figura 4.3.14a:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 129.
Figura 4.3.14b:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 129
m·s-1 kg·m-1·s-2
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Figura 4.3.14c:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 200
Figura 4.3.14d:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 200
Figura 4.3.14e:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 271
Figura 4.3.14f:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 271
m·s-1
m·s-1
kg·m-1·s-2
kg·m-1·s-2
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
295
Figura 4.3.14g:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 414
Figura 4.3.14h:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re=414
Esta caída de presión en el distribuidor de entrada es un factor determinante en
la mejor o peor distribución de líquido en el interior del compartimiento y, por tanto, un
factor clave a la hora de optimizar el reactor. Por otra parte, el actual diseño del
compartimiento UA63.04 fue concebido para permitir el trabajo en stacks de células así
como en modo bipolar.
Se ha intentado minimizar posibles corrientes shunt cuando el sistema trabaje en
modo bipolar al diseñar unos distribuidores de entrada más largos y estrechos que en el
reactor precedente UA63.03. Este aumento de la resistencia eléctrica conlleva aparejado
un aumento de las caídas de presión en dichos distribuidores. Como se puede apreciar
en las figuras 4.3.12b, 4.3.12d, 4.3.12f, 4.3.12h la caída de presión en este nuevo diseño
UA63.04 se ha aumentado de manera considerable con respecto a la que se tenía en el
caso del reactor UA63.03 (figuras 4.2.11a – 4.2.11h del capitulo anterior).
m·s-1 kg·m-1·s-2
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
296
Por tanto se han obtenido varias ventajas en este nuevo diseño de reactor,
• Una mejor distribución interna del fluido que la existente en el diseño
precedente (UA63.03)
• Se aumenta la resistencia eléctrica en los distribuidores de entrada con lo
que se disminuyen las corrientes shunt
• Se aumenta la versatilidad del diseño ya que ahora permite el trabajo en
stacks en modo bipolar
4.3.4.3.2.- Hidrodinámica del sistema
Al igual que ya se hizo anteriormente con el reactor UA63.03 se procedió a
calcular las áreas activas del compartimiento modelizado para así poder compararlas
con las áreas activas del diseño anterior y poder comprobar si se obtenía una mejora
sustancial en cuanto al aprovechamiento de la célula. Al igual que en el capitulo
anterior, se definió como zona dinámica toda aquella zona del compartimiento de
reacción en la que la velocidad del fluido era igual o superior al 45% de la velocidad
media correspondiente al Re de trabajo. Por otra parte, las zonas muertas o estáticas
corresponderán a todas aquellas regiones en las que el fluido circule a una velocidad
inferior a ese 45% de la velocidad media.
En las figuras 4.3.15a, 4.3.15b, 4.3.15c y 4.3.15d se muestran los mapas de
velocidades superiores al 45% de la velocidad teórica media (las zonas rojas implican
velocidades iguales o superiores al 45% de V). Las velocidades vienen expresadas en
m·s-1.
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
297
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
298
Como se puede apreciar en las figuras 4.3.15a, b, c y d prácticamente la totalidad
del reactor se encuentra trabajando a velocidades de flujo por encima del 45% de la
teórica para el Re estudiado, existiendo solo unas pequeñísimas zonas muertas que
tendría un intercambio de materia favorecido por la existencia de los dos grandes
remolinos que las envuelven.
Por tanto, este nuevo diseño parece mejorar en gran medida el diseño
precedente, UA63.03. Sin embargo, y antes de proceder a realizar posteriores
comparaciones entre ambos diseño se hace necesaria una validación de las simulaciones
realizadas.
Para ello se emplearán las técnicas previamente usadas para la caracterización de
esta clase de sistemas, es decir:
1. Estudios de RTD (Distribuciones de tiempos de residencia) y posterior
modelización de las curvas obtenidas
2. Estudios de transporte de materia hacia los electrodos
3. Estudios de visualización directa de distribución de colorantes en el
interior del compartimiento sometido a estudio
4.3.5. ESTUDIOS EXPERIMENTALES
4.3.5.1.- Configuración Experimental
En la figura 4.3.16 se puede apreciar un esquema del reactor electroquímico
trabajando en la configuración sin división, que será la usada en este trabajo.
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299
Los compartimentos fueron modelados en metacrilato mientras que las conducciones
fueron mecanizadas en polipropileno y las placas finales fueron mecanizadas en acero
inoxidable.
Figura 4.3.16: Montaje experimental para el reactor UA63.04en configuración de compartimiento sin división por membrana
Placa de Apriete
Electrodo
Junta (EPDM, ethylene-poly(propylene)-diene monomer)
Compartimiento UA63.04
Junta (EPDM, ethylene-poly(propylene)-diene monomer)
Electrodo
Alimentador (PP, Polipropileno)
Placa de Apriete
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300
Como promotores de turbulencia se usaron las mismas rejillas plásticas de PVC
empleadas durante la caracterización del reactor UA63.03. Para facilitar la lectura de la
presente memoria, las figuras 4.3.17a-b muestran nuevamente los promotores de
turbulencia usados así como sus principales dimensiones mientras que en la tabla 4.3.2
se pueden encontrar los valores de dichas dimensiones para cada caso estudiado.
Figura 4.3.17a: Promotores de turbulencia usados
A B
C D
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301
Figura 4.3.17b: Esquema de las dimensiones principales de los promotores de turbulencia usados.
(Valores en la Tabla 4.3.2)
Promotor A B C D
sd/ mm 1.5 5-7* 5 2 ld/ mm 2 5-7* 6 3
ccld/ mm 3.1 6.2 8.7 3.7 ccsd/ mm 2.3 6.2 6.6 2.4
Grosor promotor/ mm 1 1 2 1 FT (Porosidad fibra)/ mm 0.5 0.9 1.2 0.6
Porosidad malla 0.69 0.70 0.73 0.77
Tabla 4.3.2: Principales dimensiones de los promotores usados.
Al igual que en anteriores ocasiones, el compartimento del reactor se llenó con
el numero de rejillas necesarias para completar totalmente el espesor del canal de paso
de liquido.
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302
Tanto los estudios de RTD como de transporte de materia se realizaron con las
mismas técnicas y disoluciones que las empleadas en el estudio del reactor UA63.03. Es
decir, la técnica de estimulo respuesta para la obtención de las RTD se realizó a través
de una inyección de trazador de NaCl saturado mientras que el estudio del transporte de
materia se realizó mediante la técnica de seguimiento de las corrientes límite para la
reducción de los iones Cu(II). En ambos casos los Reynolds estudiados fueron los
mismos que para el reactor UA63.03.
4.3.5.2.- Estudios Hidrodinámicos
4.3.5.2.1.- Modelo matemático para el estudio de las curvas de RTD
En el presente caso se eligió el mismo modelo matemático utilizado para la
caracterización del otro reactor UA63.03. En este caso, y a la vista de las simulaciones
de la hidrodinámica interna del reactor, predicha por los estudios de CFD, cabría esperar
que dicho modelo se ajustase bastante bien a la descripción de la hidrodinámica del
sistema.
El mencionado modelo hacía referencia a la existencia de un camino
preferencial o dinámico para el paso de líquido en el reactor con una cierta dispersión
axial así como también postulaba la existencia de una serie de zonas muertas o
estancadas. Además, existía también un cierto intercambio de materia entre las zonas
muertas y la zona dinámica, figura 4.3.18.
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303
Figura 4.3.18: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD con
intercambio de materia entre el volumen muerto y el volumen dinámico
Dicho modelo quedaría bien justificado a la vista de las simulaciones
hidrodinámicas realizadas previamente a la construcción del reactor, figuras 4.3.10,
4.3.11, 4.3.12 y 4.3.13. En ellas se apreciaba claramente un camino dinámico
preferencial que abarcaba casi la totalidad de la zona central del compartimiento
UA63.04 así como la existencia de dos grandes remolinos laterales que favorecería el
intercambio de materia entre las posibles zonas muertas existentes y la zona dinámica
antes comentada.
4.3.5.2.2.- Resultados de los experimentos de RTD
En la figura 4.3.19 se pueden ver las curvas RTD experimentales obtenidas en el
reactor UA63.04 trabajando en una configuración con el compartimento vacío así como
con el compartimento lleno de los distintos promotores de turbulencia para una
velocidad lineal del fluido en el interior del compartimento de 1.7·10-2 m s-1 (Re=129).
Al igual que ocurría en el compartimiento UA63.03, el promotor A presenta un
comportamiento ligeramente anómalo al compararlo con el resto de promotores.
Vdinámico
Vmuerto
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
304
0 20 40 60 80 100 1200.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
Reactor UA63.03Re = 129
Compartimento Vacio Promotor A Promotor B Promotor C DC Promotor C DL Promotor DU
nida
des
Arb
itrar
ias
t / s
Figura 4.3.19: RTDs experimentales para el reactor UA63.04 trabajando a un Re = 129. La
nomenclatura Promotor C DC y Promotor C DL hace referencia a si la rejilla que actúa como
promotor de turbulencia tiene su diagonal corta en la dirección principal de flujo o si al contrario tiene
su diagonal larga orientada en la dirección del flujo.
En la Figura 4.3.20 se puede ver un ajuste del modelo propuesto para las RTDs
experimentales obtenidas para el UA63.04. Se puede observar que el modelo basado en
el flujo piston con dispersión axial con intercambio de materia entre las zonas muertas y
las zonas dinámicas presenta un ajuste muy bueno a los datos experimentales, con
valores de la función objetivo, usada para encontrar los parámetros, inferiores a 10-3.
( )∑
i
2expi
calci x- x = F.O. (xi = punto de la curva RTD) (4.3.3)
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305
0 20 40 60 80 1000.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Reactor UA63.04Re = 129
Datos Experimentales Modelo Matemático
Uni
dade
s A
rbitr
aria
s
t / s
Figura 4.3.20: Ajuste matemático de la RTD experimental para el reactor UA63.04 trabajando
en configuración vacía a un Re = 129 y el modelo matemático propuesto
En la Tabla 4.3.3 se ofrecen los valores de los parámetros optimizados obtenidos
para el modelo de flujo pistón con dispersión axial con intercambio de materia.
Vacío Promotor A Promotor B Promotor C-DC
Promotor C-DL
Promotor D
Re Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα
129 21.27 0.78 0.83 50.61 0.79 2.18 31.30 0.70 1.18 31.95 0.74 1.18 28.02 0.80 0.87 32.16 0.73 1.59200 23.47 0.78 0.77 46.88 0.85 1.60 27.79 0.77 0.87 28.00 0.74 1.05 39.30 0.78 0.84 26.89 0.77 1.62271 17.74 0.84 0.5 34.76 0.83 1.51 37.19 0.76 0.92 48.17 0.79 0.97 42.92 0.80 0.70 38.41 0.80 1.53414 20.17 0.85 0.39 61.08 0.86 1.05 46.59 0.81 0.80 77.27 0.83 1.08 50.89 0.83 0.57 57.40 0.82 0.88
Tabla 4.3.3: Resultado de la modelización de las RTDs para el reactor UA63.04 trabajando con
y sin promotores de turbulencia
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
306
Como se puede apreciar en este caso, al igual que en la modelización del reactor
UA63.03, también se obtienen valores de Pe elevados, lo que indica claramente un
comportamiento del tipo flujo pistón con baja dispersión axial. Además, el número de
Pe para las configuraciones con promotores de turbulencia es generalmente mayor que
el obtenido para la configuración del reactor vacío.
Conviene resaltar además, que los volúmenes muertos del reactor, (1-Φβ),
tienden a disminuir, en general, a medida que el Re aumenta. Por tanto, de todo lo
anteriormente expuesto, se puede concluir que cuando aumenta el Re, la fracción de
reactor funcionando como un flujo pistón con dispersión axial aumenta y la dispersión
disminuye.
Al igual que se hizo previamente con el reactor UA63.03, resulta interesante
resaltar la relación entre Nα y Φβ. Para un valor constante de Φβ, un aumento en Nα, la
velocidad de intercambio, producirá un aumento de la turbulencia. En el mismo sentido,
para un valor constante de Nα, un aumento en Φβ tendrá como consecuencia que una
mayor parte del reactor se encuentre actuando como flujo pistón con dispersión axial,
por lo que la turbulencia también aumentaría. Se vuelve pues ahora a considerar al
producto NαΦβ como un factor de turbulencia capaz de medir la eficiencia de los
promotores de turbulencia. En la Tabla 4.3.4 se pueden ver los valores de dicho factor
para el reactor UA63.04 en la configuración de compartimento vacío y lleno de
promotores de turbulencia.
Re Vacío Promotor A
Promotor B
Promotor C-DC
Promotor C-DL
Promotor D
129 0.64 1.72 0.83 0.87 0.70 1.16 200 0.60 1.36 0.67 0.78 0.66 1.25 271 0.42 1.25 0.70 0.77 0.56 1.22 414 0.33 0.90 0.65 0.90 0.47 0.72
Tabla 4.3.4: Producto de NαΦβ para el reactor UA63.04
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
307
Es interesante el observar, figura 4.3.21, que el factor de turbulencia disminuye,
en general, al aumentar el Re mostrando el mismo comportamiento que el factor de
mejora obtenido a través de estudios de transporte de materia, como se verá en la
siguiente sección.
100 150 200 250 300 350 400 450
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8 Reactor UA63.04 Vacio Promotor A Promotor B Promotor C-DC Promotor C-DL Promotor D
Nαφ β
Re
Figura 4.3.21: Factor de turbulencia para el reactor UA63.04
Se puede realizar una clasificación de la eficiencia de actuación de los
promotores para generar turbulencia en función del factor de turbulencia que quedaría:
A > D > C-DC > B > C-DL > Vacío
4.3.5.3.- Estudios de transporte de materia
Las figuras 4.3.22 y 4.3.23 resumen los resultados obtenidos para los estudios de
transporte de materia. En ellas se muestran el grafico en escala doble logarítmica del Sh
vs. Re obtenidos para las diversas configuraciones (Figura 4.3.22) y los valores del
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
308
factor de mejora (Figura 4.3.23), γmt. Este factor, como ya se vio para el caso del reactor
UA63.03, permite la comparación entre las eficiencias de cada promotor de turbulencia
100 200 300 400
200
300
400
500
600
700
Reactor UA63.04 Vacio Promotor A Promotor B Promotor C-DC Promotor C-DL Promotor D
Sh
Re
Figura 4.3.22: Estudios de transporte de material para el reactor UA63.04
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
309
100 150 200 250 300 350 400 4501.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.20
2.25
2.30 Reactor UA63.04 Promotor A Promotor B Promotor C-DC Promotor C-DL Promotor D
γ mt
Re
Figura 4.3.23: Factor de mejora para el transporte de materia, γmt, en el reactor UA63.04
De igual forma que con los estudios hidrodinámicos se puede realizar una
clasificación de la eficiencia de los promotores según el factor de mejora, γmt.
A > D > C-DC > B > C-DL > Vacío
Como se puede observar, se obtiene la misma clasificación que en el caso de los
estudios de RTD lo cual lleva a pensar en la validez de modelo matemático elegido para
describir el comportamiento hidrodinámico interno del compartimiento. Por otro lado,
se ha de recordar a su vez, que dicho modelo se ajustaba, de una manera cualitativa,
bastante bien a los resultados obtenidos por CFD.
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
310
4.3.5.4.- Estudios de visualización directa
Al igual que para el resto de reactores estudiados, estos experimentos se
realizaron a través de la filmación en video de una inyección de un trazador de color,
azul de bromotimol, en el reactor. Una de las placas de apriete del sistema fue sustituida
por otra de metacrilato transparente a fin de poder ver el interior del reactor.
El modelo basado en la existencia de una zona dinámica para el paso de fluido, y
la existencia de una zona muerta con la que existe un intercambio de materia, queda
justificado al realizar la visualización directa del flujo del fluido en el interior del
reactor. Se puede apreciar la existencia de un camino más rápido central, asumible al
volumen dinámico propuesto por el modelo físico, así como unas zonas más lentas, que
podrían asimilarse a los volúmenes muertos. Por otra parte, la existencia de los dos
grandes remolinos laterales justificaría el intercambio de materia entre las zonas
dinámicas y muertas, figuras 4.3.24.
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
312
Como se puede apreciar, todo el compartimiento recibe aporte de materia, a t4
todo el compartimiento se encuentra ya azul, a diferencia de lo que ocurría en el reactor
UA63.03, en el que, para la misma cantidad de trazador inyectada en ningún momento
se llegaba a colorear toda la disolución interna del compartimiento. Por tanto, se ha
obtenido una mejora sustancial en el diseño y comportamiento hidrodinámico de la
célula.
4.3.6. VALIDACIÓN DE LAS SIMULACIONES POR CFD
4.3.6.1.- Comparación áreas activas obtenidas por CFD y por RTD
De igual manera a como se procedió en el caso del reactor UA63.03 se realizó
una comparación de las áreas activas obtenidas a través de las simulaciones por CFD
(Figuras 4.3.15a, 4.3.15b, 4.3.15c y 4.3.15d) y se compara con los valores de áreas
activas, φβ, obtenidos a partir del ajuste matemático del modelo propuesto para el
comportamiento hidrodinámico del reactor a partir de las RTD experimentales.
De esta forma se obtiene que,
Re
Área activa calculada por RTD
(Φβ)
Área activa calculada por CFD
Error E = (CFD-RTD)/CFD *100
129 78 % 91.4 % 15 % 200 78 % 91.8 % 15 % 271 84 % 91.8 % 8.5 % 414 85 % 92.8 % 8.5 %
Tabla 4.3.5: Comparación entre los valores de áreas activas calculados a través de estudios de
RTD y estudios de CFD
Si bien los errores en este caso son ligeramente superiores a los obtenidos en el
caso de la caracterización del reactor UA63.03 pueden considerarse aceptables, más
aun, teniendo en cuenta que en los métodos tradicionales de caracterización de reactores
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
313
electroquímicos filtro prensa, como los basados en las correlaciones de grupos
adimensionales del tipo (Sh = a·Reb·Scc), se llegan a cometer errores de hasta un 20%
entre los valores pronosticados por las correlaciones y los valores experimentales.
4.3.6.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas experimentalmente y por
CFD
4.3.6.2.1.- Modelización de las RTDs
Tal como se hizo ya con el reactor UA63.03, y con el objetivo de validar
totalmente las simulaciones realizadas a través de las técnicas de CFD, se procedió a
realizar una simulación por ordenador de la respuesta que tendría el sistema estudiado
ante una entrada de trazador para, posteriormente, compararlas con las RTDs
experimentales obtenidas.
La sistemática y las simulaciones por ordenador se llevaron a cabo de una
manera análoga a la del reactor UA63.03, por lo que se omitirá aquí una nueva una
descripción de las mismas
Las figuras 4.3.25a, 4.3.25b, 4.3.25c, 4.3.25d, 4.3.25e, 4.3.25f muestran los
resultados obtenidos a través de la simulación por CFD de la entrada de trazador a un
valor de Re = 414, las concentraciones vienen indicadas en mol·m-3.
Estas figuras corroboran las hipótesis iniciales usadas para definir el modelo
matemático empleado en el ajuste de las curvas de RTD. Se puede apreciar claramente
la existencia de un camino preferencial así como dos grandes remolinos que facilitarían
el intercambio de materia entre las pequeñas zonas muertas y las zonas dinámicas.
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
317
Siendo t1< t2< t3< t4< t5< t6.
Por otra parte se puede apreciar una mejora sustancial con respecto al modelo de
reactor UA63.03, ya que en esta configuración se llega a alcanzar una distribución más
o menos homogénea del trazador en el interior del reactor, figura 4.3.25f, mientras que
esto mismo no ocurría en el caso del reactor UA63.03.
Una vez obtenidas las simulaciones para distintos tiempos de la evolución del
trazador inyectado se puede proceder a realizar una integración de los valores de las
concentraciones de dicho trazador a cada instante en el contornos de la boquilla de
salida de fluido.
Las curvas obtenidas por este método, una vez normalizadas, pueden ser
comparadas con las RTD experimentales obtenidas a fin de comprobar el la validez de
las simulaciones, al igual que se hizo ya en el reactor UA63.03.
En la figura 4.3.26 se muestran unas comparativas entre las curvas RTD
experimentales obtenidas para el reactor UA63.04 trabajando a diversos valores Re así
como las curvas RTD virtuales obtenidas a través de simulación por CFD a los mismos
valores de Re de trabajo.
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Unidades Arbitrarias
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Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD
319
Como se puede apreciar a partir de la figura 4.3.26, el ajuste entre las curvas
obtenidas de manera experimental y las curvas virtuales es muy bueno.
Considerando como medida del error entre ambas curvas el valor,
( )N
∑ −=
2calcexp yy
error (4.3.5)
se obtiene que, para los diversos Re estudiados, el error entre los valores
experimentales y los teóricos no supera nunca 2.8·10-4, siendo yexp e ycalc los valores
experimentales y calculados y N el número total de puntos de las gráficas.
El buen ajuste entre las curvas RTD experimentales y las virtuales constituyen
un factor más a la hora de dar validez a las simulaciones. Por otro lado, las curvas RTD
virtuales pueden proporcionar información acerca de las zonas muertas del reactor. Las
figuras 4.3.27, 4.3.28 y 4.3.29 muestra las variaciones de concentración del trazador con
el tiempo en distintas zonas del compartimiento de reacción.
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La figura 4.3.27 muestra las RTDs locales para los puntos situados justo en la
desembocadura de los distribuidores de entrada. Dicha figura muestra unas curvas de
RTD locales de forma muy estrecha, indicando claramente que en esos puntos existiría
muy poca retención del trazador.
Por otro lado, en la figura 4.3.28 se muestran las RTDs locales de dos puntos
situados en las esquinas inferiores del compartimiento. Si bien estas RTD locales
muestran un ligero retardo del trazador, es decir, la curva se ensancha, al ser
comparadas con las de la figura 4.3.27 no presentan el gran fenómeno de cola que
aparecía en las mismas posiciones en el reactor UA63.03. Por tanto, se ha conseguido
eliminar los problemas de volúmenes muertos existentes en dichas localizaciones en el
diseño de reactor anterior.
Por ultimo, la figura 4.3.29 muestra las RTDs locales de dos puntos situados en
los remolinos que se forman en el reactor UA63.04. Si bien en este caso también se
aprecia un ligero retardo del trazador, en comparación con las RTD locales de los
puntos situados justo en la desembocadura de distribuidor de entrada, ese retardo es
claramente inferior al que se producía en los puntos muertos del reactor UA63.03. Todo
ello indica a que el reactor UA63.04 tiene un mejor diseño hidrodinámico que el
UA63.03.
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324
4.3.6.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia
Al igual que se hizo con el reactor UA63.03 se procederá a calcular a
continuación el valor de las constantes de transporte de materia locales a partir de la
información disponible gracias a las simulaciones por CFD (perfiles de velocidad) y los
valores de las constantes de transporte de materia globales obtenidas
experimentalmente, figuras 4.3.30a-d.
Los resultados obtenidos son acordes con los valores que cabría esperar de las
simulaciones por CFD. Es decir, en aquellas zonas en las que la velocidad del fluido es
mayor se obtendrán menores espesores de la capa de difusión de Nernst y, por tanto,
mayores valores de km, m·s-1.
De esta forma se puede obtener un mapa total del área electródica y saber que
zonas se encuentran trabajando a valores inferiores al deseado.
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Las diferencias entre los valores de km globales obtenidos experimentalmente y
los calculados teóricamente difieren en muy poco, Tabla 4.3.6.
Ecuación:
δ = a / Vy
Re
a
y
km Experimental
km Teórico
Error
129 2.46·10-5 2.47·10-5 0.45 % 200 2.87·10-5 2.90·10-5 1.04 % 271 3.26·10-5 3.23·10-5 0.84 % 414
1.04·10-5
0.29
3.71·10-4 3.74·10-4 0.90 %
Tabla 4.3.6: Resultados para las simulaciones de km
La figuras 4.3.31a y 4.3.31b, muestran una comparación del mapa de valores de
los coeficientes de transporte de materia para los reactores UA63.03 y UA63.04 para un
mismo valor de Re de trabajo. Aun a pesar de que en el reactor UA63.03 se obtienen
valores locales de km superiores a los obtenidos en el reactor UA63.04, resulta mucho
más conveniente a la hora de realizar un proceso electródico el poder disponer de una
mayor uniformidad en el transporte de materia en la totalidad del sistema ya que, de esa
manera será mucho más fácil el poder controlar la aparición de reacciones secundarias
no deseadas ya sea porque puedan generar productos de reacción que contaminen
nuestro producto final o bien generen gases (por ejemplo debidos a la a la descarga del
electrolito fondo) que puedan resultar por si mismos nocivos o incluso generar
explosiones por aumento de la presión en el interior del reactor.
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Figura 4.3.31a: Mapa de color de las km para el reactor UA63.03trabajando a Re = 414
Figura 4.3.31b: Mapa de color de las km para el reactor UA63.04trabajando a Re = 414
Por este motivo se considera que, si bien se alcanzan valores de km globales
menores en el reactor UA63.04 que en el UA63.03 es preferible esa disminución si con
ello se consigue una mayor uniformidad en la distribución interna que conllevará un
mayor control en la posible aparición de reacciones secundarias.
En la figuras 4.3.32a y 4.3.32b, se vuelven a repetir las imágenes de la figura
4.3.31a y 4.3.31b pero esta vez colocando igual escala de colores a ambas imágenes a
fin de poder obtener una comparación más intuitiva. Como ya se ha comentado antes, la
uniformidad conseguida con el nuevo diseño de reactor es notablemente superior al
diseño precedente.
m·s-1 m·s-1
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Figura 4.3.31a: Mapa de color de las km para el reactor UA63.03trabajando a Re = 414
Figura 4.3.31b: Mapa de color de las km para el reactor UA63.04trabajando a Re = 414
4.3.7. NOMENCLATURA
B Anchura del canal de paso (m)
Cb Concentración en el seno de la disolución (mol·m-3)
Cs Concentración en la superficie (mol·m-3)
D Coeficiente de difusión de la especie electroactiva
de Diámetro hidráulico equivalente (m)
F Constante de Faraday
K Fuerza viscosa por unidad de área
km Constante de transporte de materia
m Viscosidad (Pa·s)
nr Vector normal a la superficie
Q Caudal volumétrico (m3·s-1)
Re Número de Reynolds
S Espesor del canal de paso (m)
V Vector velocidad
ux Componente de la velocidad en el eje x
vy Componente de la velocidad en el eje y
m·s-1 m·s-1
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wz Componente de la velocidad en el eje z
Letras Griegas
ρ Densidad (kg·m-3)
Φβ Relación (volumen activo / volumen total) del reactor
calculada a través de estudios de RTD
4.3.8.- REFERENCIAS
[1] Prokopius, P.R., NASA TM X-3359, 1976
[2] Kaminski. E.A. and Savinell, R.F., J. Electrochem. Soc., 130 (1983), 1103
[3] Grimes, P.G., Bellows, R.J. and Zahn, M., Electrochemical cell design, R.E. White
(Ed.), p. 259, Plenum Publishing Co., 1984
[4] Grimes, P.G., Bellows, R.J. and Zahn, M., Electrochemical cell design, R.E. White
(Ed.), p. 277, Plenum Publishing Co., 1984
[5] Holmes, J.W., White, R.E., Electrochemical cell design, R.E. White (Ed.), p. 259,
Plenum Publishing Co., 1984
[6] White, R.E., Walton, C.W., Burney, H.S., Beaver, R.W., J. Electrochem. Soc., 133
(1986), 485
[7] Szpak, S., Gabriel, C.J., Driscoll, J.R., J. Electrochem. Soc., 131 (1984), 1996
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330
[8] Katz, J. Electrochem. Soc., 125 (1978), 515
[9] Huhn, A.F., Booth, J.S., J. Appl. Electrochem., 10 (1980), 233
[10] Burney, H.S., White, R.E., J. Electrochem. Soc, 135 (1988), 1609
[11] Szpak, S., Gabriel, C.J., Smith, J.J., Driscoll, J.R., J. Electrochem. Soc., 137
(1990), 849
[12] Codina, G. Aldaz, A., Scale-up studies of an Fe/Cr redox flow battery based on
shunt current análisis, J. Appl. Electrochem., 22 (1992), 668-674
[13] Codina, G., Perez, J.R., Lopez-Atalaya, M., Vazquez, J.L., Aldaz, A., Development
of a 0.1 kW power accumulation pilot plant based on a Fe/Cr redox flow battery. Part 1:
Considerations on flow design., Journal Power Sources, 48 (1994), 293-302
[14] Codina, G., Lopez-Atalaya, M., Perez, J.R., Vazquez, J.L., Aldaz, A., Nuevos
avances en el desarrollo de un acumulador redox, Energia, Marzo-Abril 1990
[15] Hoberecht, M.A., DOE/NASA/12726-7, NASA TM-82598, 1981
[16] Kanari, K., Nozaki, K., Ozawa, T., AIChE Symp. Series, Electrochemical
Applications, R.E. White, R.F. Savinell & A. Schneider, Vol. 83, 1987, p. 104
[17] George, P.L., Automatic mesh generation – Application to finite element methods,
Wiley, 1991
[18] Bank, R.E., PLTMG: A software package for solving elliptic partial differential
equations, User’s guide 6.0, Society for Industrial and Applied Mathematics,
Philadelphia, PA, 1990
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Capítulo 5: Conclusiones
333
5.- CONCLUSIONES
Como finalización de la presente memoria conviene remarcar las conclusiones
finales obtenidas.
- Con el fin de estudiar uno de los parámetros más importantes a la hora de
plantearse posibles opciones de escalado de reactores electroquímicos filtro prensa, el
efecto entrada/salida, se ha realizado un estudio preliminar de la hidrodinámica de diversos
reactores a escala laboratorio. A raíz de dicho estudio se concluye que no todas las células a
escala laboratorio pueden ser fácilmente escalables, es decir, no se puede pasar de manera
sencilla de una célula de tamaño x a otra de tamaño 2x, tan sólo escalando sus dimensiones
y manteniendo su geometría, ya que existen otros factores implicados en la hidrodinámica
que deben ser tenidos en cuenta. Por tanto, una de las características más atractivas de los
reactores filtro prensa para el mundo industrial, como es su relativamente sencillo escalado,
se pierde para células de pequeño tamaño. Es por ese motivo que muchos proyectos
electroquímicos pueden llegar a fracasar en la etapa de paso de la experimentación desde
escala laboratorio a planta piloto.
- En vista de los problemas de falta de escalabilidad en células pequeñas, se
procedió a realizar un estudio sistemático de diversas células filtro prensa de distintos
tamaños, a fin de poder comprender cual es el comportamiento hidrodinámico
predominante en esta clase de reactores. Para ello se ha estudiado su hidrodinámica por
métodos clásicos, como son el estudio del transporte de materia hacia los electrodos de
trabajo, el estudio de las curvas de Distribución de Tiempos de Residencia (RTD en inglés)
así como estudios de visualización directa de la dispersión de un trazador de color en el
interior de los compartimentos. Dicho trabajo se realizó en las tres etapas fundamentales del
proceso de escalado de reactores, es decir, la escala laboratorio (con un reactor de área
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Capítulo 5: Conclusiones
334
electródica de 63 cm2), un reactor de escala planta piloto (área electródica de 200 cm2) y un
reactor de escala industrial (3250 cm2 de área electródica). Para todos ellos los estudios
mostraron un comportamiento hidrodinámico más o menos similar basado siempre en la
existencia de un camino principal para el paso de fluido por su interior con la existencia de
zonas muertas. Estas zonas muertas mantendrían un intercambio de materia con las zonas
dinámicas. Sólo en el caso del reactor industrial se encontró también la existencia de un
canal bypass cambiando ligeramente el modelo hidrodinámico propuesto.
- A la vista de los resultados obtenidos, se planteó la posibilidad de mejorar los
diseños existentes de reactores electroquímicos filtro prensa a través de nuevas técnicas.
Los métodos clásicos implicaban tener que realizar necesariamente la construcción de un
prototipo de reactor para poder realizar la experimentación con él y comprobar si la mejora
del sistema se había alcanzado o no. Esto implicaba un coste y un derroche de materiales
excesivos, ya fuera a nivel laboratorio, planta piloto o industrial. Por tanto se procedió a
realizar la optimización del sistema a través de nuevas técnicas de cálculo englobadas
generalmente bajo el epígrafe de CFD (Computational Fluid Dinamics). A través de dichas
técnicas se estudió nuevamente el reactor que iba a ser objeto de optimización (el reactor a
escala laboratorio UA63.03) y se desarrollaron una serie de métodos de validación de las
simulaciones obtenidas a fin de comprobar su validez.
- Una vez que los métodos de validación fueron puestos a punto, se procedió al
diseño de un reactor mejorado de la misma área activa que el reactor UA63.03. Para ello se
probaron, a través de simulaciones por ordenador, diversas geometrías y diseños. Las
mejoras a conseguir eran:
1.- Minimización de posibles corrientes shunt o de fuga a través de un diseño
mejorado de los distribuidores de líquido.
2.- Mejor distribución hidrodinámica en el interior del compartimento de reacción
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Capítulo 5: Conclusiones
335
3.- Mejor distribución de los perfiles de km en el interior del compartimiento, lo que
impediría en gran medida la existencia de reacciones secundarias provocadas por la
existencia en el interior del reactor de zonas muertas en las que se llegue a agotar el
material electroactivo
4.- Posibilidad de trabajar en stack de células (el anterior diseño de célula UA63.03
no permitía esta configuración de trabajo).
Para conseguir la mejora en el primer punto se modificaron los distribuidores de
entrada y salida del nuevo compartimento a fin de aumentar su resistencia eléctrica. Para
ello se hacia necesario un aumento de la longitud de los distribuidores de entrada así como
una disminución de la sección de paso. Dichos cambios implican una mayor caída de
presión en los distribuidores como se puede apreciar de la comparación de las figuras
4.2.11b, 4.2.11d, 4.2.11f, 4.2.11h y las figuras 4.3.14b, 4.3.14d, 4.3.14f, 4.3.14h.
El punto 2 de mejora quedaba íntimamente ligado al punto uno, ya que se debía
realizar una mejora sustancial de la hidrodinámica interna del sistema pero teniendo en
cuenta la modificación del distribuidor de entrada para aumentar su resistencia eléctrica y
disminuir posibles corrientes shunt.
Se consiguió una mejora hidrodinámica, como se puede apreciar de la comparación
de las figuras 4.2.7a, 4.2.8a, 4.2.9a, 4.2.10a y las figuras 4.3.10a, 4.3.11a, 4.3.12a, 4.3.13a.
Por otra parte, también se obtuvieron mejoras en cuanto a las zonas activas en el interior del
reactor, como se puede comprobar de la comparación de las figuras 4.2.14.a-d y las figuras
4.3.15.a-d.
Por otra parte, el punto de mejora referente a una distribución más uniforme del
coeficiente de transporte de materia en el interior del compartimento también se alcanzó
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Capítulo 5: Conclusiones
336
con éxito, como se puede apreciar a partir de las figuras 4.3.31a y 4.3.31b así como de
4.3.32a y 4.3.32b. En ellas se muestra de forma clara que se ha conseguido con el nuevo
diseño una distribución mucho más uniforme y, por tanto, mejor que en el caso del reactor
UA63.03.
Por último, y aún siendo una mejora secundaria, el nuevo diseño de reactor permitió
la posibilidad de trabajar en stacks. Ello se consiguió a través del propio diseño del
compartimiento que ahora ya permite esta configuración.
Por tanto, y como conclusión de la presente memoria, se ha conseguido tener un
mayor conocimiento del comportamiento físico de los reactores filtro prensa así como de su
funcionamiento electroquímico. Dichos conocimientos se han combinado con nuevas y
potentes técnicas de computación a fin de poder predecir y optimizar el comportamiento de
una nueva célula a escala laboratorio más eficiente que la existente hasta la fecha .
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
339
AP-1.- PROGRAMA DE AJUSTE DE CURVAS RTD. MODELO DE 1 CAMINO CON VOLÚMENES MUERTOS
AP-1.1. INTRODUCCIÓN
Los siguientes códigos de matlab permiten la simulación y ajuste de las gráficas de
RTD (Residence Time Distribution) obtenidas experimentalmente.
Para ello el programa se basa en el modelo propuesto consistente en un camino
principal dinámico en el que existe una cierta dispersión axial y una serie de volúmenes
muertos o estáticos. Entre la zona dinámica y los volúmenes muertos existiría un
intercambio de materia.
Figura AP-1.1: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curves RTD teniendo en cuenta
un posible intercambio de material entre las zonas muertas y las dinámica
Vdinámico
Vmuerto
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
340
Figura AP-1.2: Diagrama de flujo de cálculo del programa
Lectura de los datos experimentales
Valores iniciales de los parámetros
Lectura de los parámetros experimentales de montaje
Cálculo del tiempo de residencia medio con los datos leidos, así como de otros parámetros necesarios para el
modelo
Resolución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales
Cálculo de la curva E
Cálculo de la función objetivo (F.O.)
F.O. < 10-4 Fin
Estimación de nuevos valores para los parámetros a optimizar
NO
SI
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
341
AP-1.2. CODIGO MATLAB
AP-1.2.1.- Programa principal (TAILB.M) % VALORES DE PRUEBA: TAU1, TETA-BETA, PE1, NALFA, Q global fichero load 'datos.txt'; %******* HAY QUE PONER EL NOMBRE DEL FICHERO % LA PRIMERA COLUMNA ES EL TIEMPO, LA SEGUNDA COLUMNA ES RTD experimental fichero=datos; %******* HAY QUE PONER EL NOMBRE DEL FICHERO global funcionobjetivo global tiempoacomparar global eexp global ecal global contador %un=1; %contador para grabaciones periodicas un=0; %contador para grabaciones periodicas angel=100; Inicial=[2.5e+001 5.0e-001 2.9864964e+001 1e+000 1.7e+001] global fichero contador=0; %Contador de iteraciones while ang>1e-4 | contador<500; %Bucle de calculo ang es el error y contador las iteraciones opciones(1)=1; opciones(2)=1e-6; opciones(3)=1e-6; opciones(14)=75; minimiza=fmins('objetivo',Inicial, opciones) if contador==un; %Grabaciones periodicas joe(:,1)=tiempoacomparar(:,1); joe(:,2)=eexp(:,1); joe(:,3)=ecal(:,1);
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
342
save general.txt joe -ascii save optimos.txt minimiza -ascii; save error.txt ang -ascii; save itera.txt contador -ascii; un=un+1; end ang = funcionobjetivo; Inicial=minimiza; contador=contador+1 funcionobjetivo end % Final del programa joe(:,1)=tiempoacomparar(:,1); joe(:,2)=eexp(:,1); joe(:,3)=ecal(:,1); save general.txt joe -ascii %Graba tiempo experimental calculado save optimos.txt minimiza -ascii; save error.txt ang -ascii; disp('*******************************************************************') disp('SE ACABO') disp('*******************************************************************') funcionobjetivo contador pause
AP-1.2.2.- Programa de calculo (OBJETIVO.M) function funcionobjetivo=objetivo(X) global fichero global funcionobjetivo global tiempoacomparar global contador global eexp global ecal caudal=(X(5)/1000)*(1/3600); % Dimensiones de la celula ancho=7.11/100; %ancho alto=10.44/100; %largo largo=0.3/100; %espesor
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
343
volumen=((ancho*alto*largo))*1+61.09e-6; %volumen libre en metros cubicos tresid=volumen/caudal; % Tiempo de residencia experimental (s) final=length(fichero); %numero de intervalos de tiempo % A LOS VALORES LEIDOS LE RESTAMOS EL PRIMERO fichero(:,2)=fichero(:,2)-fichero(1,2); fichero(1,2)=0; % NORMALIZACION DE LOS VALORES LEIDOS integral=trapz(fichero(:,1),fichero(:,2)); %Hace la integral por trapecios fichero(:,2)=fichero(:,2)/integral; % Curva “E” experimental normalizada finalt=fichero(length(fichero),1); % Tiempo final del fichero % CALCULO TIEMPO RESIDENCIA SEGUN LOS VALORES LEIDOS Ct=fichero(:,2).*fichero(:,1); integraCdt=trapz(fichero(:,1),Ct); tresidcurva=integraCdt; % Tener en cuenta que ya están normalizados los datos fichero(:,2) VaLoReS=[X(1) X(2) X(3) X(4)]; % VALORES DE PRUEBA: TAU1, TETA-BETA, PE1, NALFA, TAU2, PE2 Tau1=X(1); TB=X(2); if TB>1; TB=0.99; elseif TB <0; TB=0.01;end Pe1=X(3); Nalfa=X(4); if Nalfa < 0, Nalfa=0.01; end contador Btot=Tau1*caudal/volumen; Bdyn=Btot*TB; Veloc1=caudal/(largo*ancho*Bdyn); Caudal1=caudal; Volumen1=volumen; Alfa=Nalfa*TB*Veloc1/alto; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PROGRAMA DE CALCULO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales % curva F. Pe=Pe1; %Valor del peclet tb=TB; % Na=Nalfa; % tf=finalt/Tau1; %tiempo final adimensional %N=max([round(1.5*Pe),20]); % Número de incrementos de posición para cada tiempo N=max([round(1.8*Pe),20]); % Número de incrementos de posición para cada tiempo incx=1/N; inctiA=tb*incx/(2/(Pe*incx) - 1 + Na*incx); % Incremento de tiempo según un criterio de estabilidad, el de la primera ec. inctiB=(1-tb)/Na;%Incremento de tiempo según el otro criterio de estabilidad incti=min([inctiA, inctiB]); %Elección del mínimo de los dos inct % Valores iniciales
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
344
Cd(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase dinámica a un tiempo dado Cda(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase dinámica a un tiempo anterior Cs(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase estática a un tiempo dado Csa(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase estática a un tiempo anterior Cdo=1; %Valor inicial de la concentración en fase dinámica Cs(1)=0; %Valor inicial de la concentración en fase estática Cd(1)= (Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); %Aplicación de las condiciones de contorno de Danckwerts % Bucle de calculo fCd=[]; fCs=[]; t=[]; ecal1=[]; ecal2=[]; ecal=[]; tiempo = 0; while tiempo < tf tiempo = tiempo + incti; i=2; while i < N+1 A=incti/(Pe*tb*incx^2) - incti/(tb*incx); B=-2*incti/(Pe*tb*incx^2) + incti/(tb*incx) - Na*incti/tb + 1; C=incti/(Pe*tb*incx^2); Cda(i)= A*Cd(i+1) + B*Cd(i) + C*Cd(i-1) + Na*incti/tb*Cs(i); % Csa(i)= (1-Na*incti/(1-tb))*Cs(i) + Na*incti/(1-tb)*Cd(i); % EULER k1=-Na/(1-tb)*(Cs(i)-Cda(i))*incti; % Constantes del Runge-Kutta k2=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k1/2 -Cda(i))*incti;% Constantes del Runge-Kutta k3=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k2/2 -Cda(i))*incti;% Constantes del Runge-Kutta k4=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k3 -Cda(i))*incti;% Constantes del Runge-Kutta Csa(i)=Cs(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);% Incremento de Runge-Kutta i=i+1; end Cd=Cda; Cs=Csa; fCd=[fCd,Cd(N)]; % En el vector fCd almacena los valores de la concentración en fase dinámica a la salida del reactor fCs=[fCs,Cs(N)];% En el vector fCs almacena los valores de la concentración en fase estática a la salida del reactor t=[t,tiempo]; Cd(1)=(Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); Cs(1)=0; Cd(N+1)=Cd(N); Cs(N+1)=Cs(N);
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
345
end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIN PROGRAMA CALCULO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ecal1=diff(fCd)./diff(t);% Realmente la RTD es dependiente de Cdinámica, no de Cs ecal1=[ecal1 0]; % Ultimo punto que no calcula % Normalización de las Ecalculadas: integral1=trapz(t,ecal1); ecal1=ecal1/integral1; %Suma de las dos contribuciones ecal=(ecal1'); % Esta ecal está calculada a tiempos que no coinciden con los experimentales, hay que buscar % los valores de ecal a los tiempos experimentales para comparar. tyty=t*Tau1; ecallista=interp1(tyty,ecal,fichero(:,1)'); [fila,columna]=find(isnan(ecallista)==1); if ~isempty(fila) & ~isempty(columna); ecallista(fila,columna)=0; end eexp=fichero(2:final,2); ecal=ecallista(2:final)'; tiempoacomparar=fichero(2:final,1); kk=trapz(tiempoacomparar,ecal); ecal=ecal./kk; %contador=contador+1; %disp('Iteraciones') %contador otrav=abs(eexp-ecal);% variable complementaria %otrav=((eexp-ecal).^2)./((eexp+ecal)+eps);% variable complementaria if Caudal1<0 funcionobjetivo=1000*abs(sum(otrav)); else funcionobjetivo=(sum(otrav)) end % ************************ DIBUJO DE LA FUNCIÓN ***************************** figure(1) plot(tiempoacomparar,eexp,'--',tiempoacomparar,ecal); % *************************************************************************** drawnow
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Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos
346
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Apéndice AP-2: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 2 Caminos con Volúmenes Muertos
347
AP-2.- PROGRAMA DE AJUSTE DE CURVAS RTD. MODELO DE 2 CAMINOS CON VOLÚMENES MUERTOS
AP-2.1. INTRODUCCIÓN
Los siguientes códigos de matlab permiten la simulación y ajuste de las gráficas de
RTD (Residence Time Distribution o Distribuciones de Tiempos de Residencia) obtenidas
experimentalmente. Para ello los programas se basan en el modelo propuesto consistente la
existencia de dos caminos dinámicos para el paso del fluido. Por otra parte, también postula
la existencia de una serie de zonas muertas o estáticas con las que existe un cierto
intercambio de materia con el camino dinámico.
Figura AP-2.1: Esquema del modelo físico de comportamiento propuesto.
D p
Zona Dinámica Zona Muerta
β din S βestat S
Q
Q1 Q 2
Flujo piston con
dispersión axial
Volumen=V2Volumen=V1
Intercambio de materia entre zonas. Constante de Velocidad αm (1/s)
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Apéndice AP-2: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 2 Caminos con Volúmenes Muertos
348
Figura AP-2.2: Diagrama de flujo de cálculo del programa
Lectura de los datos experimentales
Valores iniciales de los parámetros
Lectura de los parámetros experimentales de montaje
Cálculo del tiempo de residencia medio con los datos leidos, así como de otros parámetros necesarios para el modelo
Resolución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales
Cálculo de la curva E
Cálculo de la función objetivo (F.O.)
F.O. < 10-4 Fin
Estimación de nuevos valores para los parámetros a optimizar NO
SI
Cálculo del segundo camino y normalización
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Apéndice AP-2: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 2 Caminos con Volúmenes Muertos
349
Para una visión más detallada del modelo referirse al capitulo 2.4 del presente
trabajo.
AP-2.2. CÓDIGO MATLAB
AP-2.2.1.- Programa principal (OPTIMISE.M) %PARAMETROS: TAU1, ThETA-B, PEd, NA, TAU2, PE2 global fichero % Definocion de las variables globales load('c:\datos.txt'); % Lectura de los datos experimentales % datos(:,1) == tiempo % datos(:,2) == RTD experimental fichero=datos; % Cambio de nombre de las variables que contienen los datos global fichero objectivefunction commontime eexp ecal % Definicion de variables globales % variables Contador=0 % Contador del numero de iteraciones Yousave=0 % Indica si el programa tiene que grabar los resultados Initial=[40 8.7756e-001 1.1240e+001 1.0023e+000 15 3.7533e+001] %Valores iniciales de los parametros mostrados en la primera linea while funcionobjetivo>1e-4 | contador<500; %Comienzo del bucle de calculo
opciones(1)=1; % Opciones de la funcion de Matlab FMINS. Option(1)=1 % Muestra los calculos intermedios
opciones(2)=1e-6; % == Tolerancia de terminacion para el vector de entrada opciones(3)=1e-6; % == Tolerancia de terminacion de la funcion opciones(14)=75; % == Maximo numero de iteraciones antes de grabar
minimise=fmins('objetivo',Inicial, opciones) %Minimizacion de la % funcion. El resultado final sera almacenado en una variable llamada % 'minimise'
if contador==Yousave; %Grabacion periodica de resultados
filetosave=[commontime(:,1) eexp(:,1) ecal(:,1)] save general.txt filetosave -ascii save optima.txt minimise -ascii; % El fichero 'general.txt' contendrá el tiempo asi como los datos
%experimentales y calculados de las RTDs %El fichero 'optima.txt' contendra la optimizacion de los parametros
Yousave= Yousave +1; end Inicial=minimise; contador=contador+1; end
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Apéndice AP-2: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 2 Caminos con Volúmenes Muertos
350
% Final del programa save general.txt filetosave -ascii save optima.txt minimise -ascii; pause
AP-2.2.2.- Programa de cálculo (OBJETIVE.M)
function objectivefunction=objective(X) %Definicion de la funcion global fichero objectivefunction commontime eexp ecal % Definicion de las % variables globales % EXPERIMENTAL SETUP: flowrate=(583/1000)*(1/3600); % Valor experimental del caudal (m3/s) ancho=18/100; % Dimensines del reactor (m) alto=12/100; % Dimensines del reactor (m) largo=0.8/100; % Dimensines del reactor (m) volume=ancho*alto*largo; % Volumen en m3 tresid=volume/flowrate; % Tiempo de residencia experimental (s) final=length(fichero); % Numero de intervalos % Normalizacion de los datos: integral=trapz(fichero(:,1),fichero(:,2)); % Integracion por metodo trapecios fichero(:,2)=fichero(:,2)/integral; % Curva E experimental normalizada finalt=fichero(length(fichero),1); % Tiempo final en 'fichero' % Calculo del tiempo medio de residencia: Ct=fichero(:,2).*fichero(:,1); integraCdt=trapz(fichero(:,1),Ct); tresidcurva=integraCdt; % Valores de los parámetros: % X = vector de valores de los parametros que son usados en cada iteracion Tau1=X(1), % Resto de variables TB=X(2), if TB>1; TB=0.999; elseif TB <0; TB=0.01;end % No tiene significado % fisico valores de theta-b mayores que 1 Ped=X(3), % Resto de variables. Numero de Peclet de la zona dinamica Nalfa=X(4), if Na < 0, Nalfa=0.01; end % No tiene significado fisico valores % de Na menores que 0 Tau2=X(5), % Resto de variables. Tiempo de residencia medio para el camino 2 Pe2=X(6), % Resto de variables. Numero de Peclet camino 2 % Calculo de varios parametros necesarios para el modelo Btot=Tau1*flowrate/volume; Bdyn=Btot*TB; Velocd=caudal/(largo*ancho*Bdyn); % Velocidad lineal en la fase dinamica Flow1=(volume-Tau2*flowrate)/(Tau1-Tau2); % Caudal a traves del camino 1 Flow2=flowrate-Flow1; % caudal a través del camino 2 Volume1=Tau1*Flow1; % Volumen del camino 1 Volume2=Tau2*Flow2; % Volumen del camino 2
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Apéndice AP-2: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 2 Caminos con Volúmenes Muertos
351
Alpha=Na*TB*Velocd/alto; % Resolucion del sistema de ecuaciones diferenciales parciales: % Curva 'F'. Camino 1 tf=finalt/Tau1; % Tiempo final adimensional N=max([round(1.5*Ped),20]); % Numero de incrementos de posicion para cada % calculo de tiempo. Se selecciona el maximo entre 1.5 veces el numero de Peclet % y 20 veces. Este valor se debe parcialmente a la Condicion 1 % (Ver capitulo de la tesis referido al reactor REIM3300) incx=1/N; % Incremento de posicion, valor dado por la Condicion 1 inctiA=tb*incx/(2/(Ped*incx) - 1 + Na*incx); %Incremento de tiempo % calculado siguiendo la Condicion 2 (estabilidad de la primera ecuacion) inctiB=(1-tb)/Na; % Incremento de tiempo calculado segun Condicion 3 incti=min([inctiA, inctiB]); % Seleccion del minimo %Valores iniciales de la concentracion en las zonas dinamicas y estaticas: Cd(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); % Conc. En la zona dinamica en un tiempo t Cda(1:N+1)=zeros(size(1:N+1));% Conc. En la zona dinamica en un tiempo (t-1) Cs(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); % Conc. En la fase estatica en un tiempo t Csa(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); % Conc. En la fase estatica en un tiempo (t-1) Cdo=1; %Valore inicial de la concentracion en la fase dinamica a t=0 % y a la entrada del reactor Cs(1)=0; % Valor inicial de la concentracion en la fase estatica Cd(1)= (Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); % El valor inicial esta afectado por el % flujo. Applicacion de las condiciones de contorno de Danckwerts % CALCULO- Metodo Elementos Finitos fCd=[]; fCs=[]; t=[]; ecal1=[]; ecal2=[]; ecal=[]; time = 0; while time < tf time = time + incti; i=2; while i < N+1 A=incti/(Pe*tb*incx^2) - incti/(tb*incx); B=-2*incti/(Pe*tb*incx^2) + incti/(tb*incx) - Na*incti/tb + 1; D=incti/(Pe*tb*incx^2); Cda(i)= A*Cd(i+1) + B*Cd(i) + D*Cd(i-1) + Na*incti/tb*Cs(i);
k1=-Na/(1-tb)*(Cs(i)-Cda(i))*incti; % Primera constante Runge-Kutta k2=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k1/2 -Cda(i))*incti; % Runge-Kutta
k3=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k2/2 -Cda(i))*incti; % Runge-Kutta k4=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k3 -Cda(i))*incti; % Runge-Kutta
Csa(i)=Cs(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); % Incremento Conc. i=i+1; end Cd=Cda;
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Apéndice AP-2: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 2 Caminos con Volúmenes Muertos
352
Cs=Csa; fCd=[fCd,Cd(N)]; % fCd vector = Guarda los valores de la concentracion % en la fase dinamica a la salida del reactor fCs=[fCs,Cs(N)]; % fCs vector = guarda los valores de la concentracion % en la fase estatica a la salida del reactor reactor t=[t,time]; Cd(1)=(Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); Cs(1)=0; Cd(N+1)=Cd(N); Cs(N+1)=Cs(N); end % Calculo de la curva 'E' a partir de la curva 'F': ecal1=diff(fCd)./diff(t); % Diferenciacion numerica ecal1=[ecal1 0]; % El ultimo punto no se calcula % Calculo del segundo camino % Curva 'E'. Camino 2 time=0; i=1; while time < tf time = time + incti; time2=time*Tau1/Tau2; % Tiempo adimensional para el camino 2. El numero de intervalos ha de ser el mismo que para el camino 1. ecal2(i)=1/(2*(3.1416*time2/Pe2)^0.5)*exp(-(1-time2)^2/(4*time2/Pe2)); % Ecuacion que define la RTD i=i+1; end % Normalizacion de las curvas calculadas: integral1=trapz(t,ecal1); integral2=trapz(t,ecal2); ecal1=ecal1/integral1; ecal2=ecal2/integral2; % Suma de las contribuciones de cada camino: ecal=(ecal1'.*Flow1+ecal2'.*Flow2)./flowrate; % Esta 'ecal' esta calculada a unos tiempos que no coinciden con los % experimentales, por tanto se recalcula 'ecal' a esos tiempos % a fin de poder comparar. commontime=t*Tau1; ecalready=interp1(commontime,ecal,fichero(:,1)'); % Interpola los % vectores 'ecal' y 'fichero(:,1)' a los tiempos dados por 'commontime' eexp=fichero(2:final,2); ecal=ecalready(2:final)'; otrav=abs(eexp-ecal); % Diferencias entre valores experimentales y calculados objectivefunction=sum(otrav) % Funcion objetivo % Representacion de resultados figure(1) plot(commontime,eexp,'--',commontime,ecal); drawnow
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
353
AP-3.- PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS ACTIVAS A TRAVÉS DE LOS RESULTADOS DE CFD
AP-3.1. INTRODUCCIÓN
Los siguientes códigos de matlab permiten trabajar con los datos obtenidos con el
paquete informático FEMLAB 2.3.
El primer código permite realizar un nuevo mallado del compartimiento en 3D
estudiado con FEMLAB. El nuevo mallado será rectangular uniforme y se usará para
realizar una interpolación de los resultados obtenidos a partir del mallado empleado en el
cálculo por elementos finitos, formado por tetraedros. Una vez realizada la interpolación
suministra los valores interpolados para una lámina a la altura fijada de estudio.
El Segundo código tiene por finalidad la determinación del área activa del
compartimiento basándose en la teoría de que todo aquel punto del compartimiento que se
encuentre operando por debajo de un determinado valor límite de velocidad puede ser
considerado como un volumen muerto o zona estática. Para este código se utiliza el fichero
generado previamente con el programa de interpolación 3D, “vtot.txt” y se usará el mismo
mallado rectangular uniforme que en el programa anterior.
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
354
AP-3.2. CODIGO MATLAB
AP-3.2.1.- Programa de Interpolación 3D
% Programa para representar las velocidades dentro del compartimento % Primero se ha de exportar al Workspace desde el Femlab la estructura de la % solucion con el nombre fem % Se introducen las coordenadas de un rectangulo "perfecto" en el que quede % enmarcado nuestro compartimento % Las celdas que no sean del compartimento quedaran marcadas como NaN % % ----------------------X % | | % | | % | | % | | Hay que introducir los valores de las X % | | % | | % | | % X---------------------- clc; disp('Introduccion de los limites del compartimento a estudiar'); disp(' '); disp(' '); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); zh=input('Altura a la que se ha de evaluar el rectangulo fijado :'); disp(' '); ntot=input('Introduce el numero de particiones de la matriz nxn que quieres :'); yy=linspace(yinf,ysup,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje y xx=linspace(xizq,xder,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje x % ************************************************************* % ** Generación de las matrices de datos ** % ************************************************************* vtot=ones(ntot);
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
355
vtotb=ones(ntot); ux=ones(ntot); uxb=ones(ntot); vy=ones(ntot); vyb=ones(ntot); wz=ones(ntot); wzb=ones(ntot); p=ones(ntot); pb=ones(ntot); n=1; nv=ntot+1; % ************************************************************ % ** Comienzo del calculo ** % ************************************************************ while n<=ntot % Interpolación % Para una determinada altura de y interpolaremos todos los valores del vector x % generado % Posteriormente pasaremos a la siguiente altura de y % Todas las x para un mismo valor de y j=yy(1,n).*ones(1,ntot); zh=zh.*ones(1,ntot); vector=[xx;j;zh]; vtot((nv-1),:)=postinterp(fem,'sqrt(u^2+v^2+w^2)',vector); %debido a la numeracion se empieza el calculo por abajo vtotb(n,:)=vtot((nv-1),:); %Sirve para invertir los resultados y que luego tengan sentido al compararlos con los vectores xx e yy ux((nv-1),:)=postinterp(fem,'u',vector); uxb(n,:)=ux((nv-1),:); vy((nv-1),:)=postinterp(fem,'v',vector); vyb(n,:)=vy((nv-1),:); wz((nv-1),:)=postinterp(fem,'w',vector); wzb(n,:)=wz((nv-1),:); p((nv-1),:)=postinterp(fem,'p',vector); pb(n,:)=p((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1 end ycoord=linspace(ysup,yinf,ntot); ycoord=ycoord';
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
356
% ******************************************************************* % ** Grabación de resultados ** % ******************************************************************* save xcoord.txt xx -ascii save ycoord.txt ycoord -ascii save vtot.txt vtot -ascii save ux.txt ux -ascii save vy.txt vy -ascii save wz.txt wz -ascii save hz.txt zh -ascii save p.txt pb -ascii % ******************************************************************* % ** Representación de resultados ** % ******************************************************************* figure(1); surf(xx,yy,vtotb); view(2); shading interp;
title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(2); subplot(2,2,1) surf(xx,yy,uxb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades ux (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad ux m/s'); subplot(2,2,2) surf(xx,yy,vyb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades vy (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad vy m/s'); subplot(2,2,3) surf(xx,yy,wzb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades wz (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad wz m/s'); subplot(2,2,4) surf(xx,yy,pb);
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
357
view(2); shading interp; title('Distribucion de Presiones (Pa)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Presion p (Pa)');
AP-3.2.2.- Programa para el cálculo de áreas activas
% Programa para el calculo de las areas que en el compartimento se encuentran % operando a una velocidad superior a la dada. % Previamente se necesita haber ejecutado el programa de interpolacion 3D que % habra generado un fichero vtot.txt. % Se introducen los valores solicitados (los mismos que en el programa de % interpolación 3D) % y este programa devuelve el area "activa" asi como el porcentaje referido al % area total del compartimento estudiado clear clc load ('vtot.txt'); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); disp(' '); ntot=input('Introduce el numero de particiones de la matriz nxn que quieres :'); disp(' '); disp(' '); areaa=input('Introduce la seccion del compartimento :'); vmin=input('Introduce la velocidad minima :'); areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); v=vtot; contador=0; long=length(v); mm=0;
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
358
% ******************************************************************* % ** Calculo extremo superior ** % ******************************************************************* n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if v(contador,n)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % ******************************************************************* % ** Calculo extremo inferior ** % ******************************************************************* n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if v(contador,n)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % ******************************************************************* % ** Calculo extremo izquierdo ** % ******************************************************************* n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if v(n,contador)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
359
% ******************************************************************* % ** Calculo extremo derecho ** % ******************************************************************* n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if v(n,contador)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % ******************************************************************* % ** Calculo zona central ** % ******************************************************************* n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if v(n,contador)>=vmin mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc disp('Area Activa :'); activa=areab.*mm disp(' '); disp('Porcentaje :'); Porcentaje=activa./areaa.*100
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Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD
360
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Apéndice AP-4: Programa para el cálculo de km a través de resultados de CFD
361
AP-4.- PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE km A TRAVÉS DE LOS RESULTADOS DE CFD
AP-4.1. INTRODUCCIÓN
Los siguientes códigos de matlab permiten trabajar con los datos obtenidos con el
paquete informático FEMLAB 2.3.
El primer código permite realizar un nuevo mallado del compartimiento en 3D
estudiado con FEMLAB. El nuevo mallado será rectangular uniforme y se usará para
realizar una interpolación de los resultados obtenidos a partir del mallado empleado en el
calculo por elementos finitos, formado por tetraedros. Una vez realizada la interpolación
suministra los valores interpolados para una lamina a la altura fijada de estudio.
El Segundo código tiene por finalidad la determinación de un mapa de km
(coeficientes de transporte de materia). Para ello se parte de la suposición de que todas
aquellas zonas del reactor que se encuentren trabajando por debajo de una determinada
velocidad media, en concreto, por debajo de un 45% de la velocidad media correspondiente
al Reynolds de trabajo, son zonas estáticas o muertas, mientras que todas aquellas regiones
trabajando a una velocidad media superior a ese 45% son zonas activas o dinámicas. Para
este código se utiliza el fichero generado previamente con el programa de interpolación 3D,
“vtot.txt” para cada Re de trabajo y se usará el mismo mallado rectangular uniforme que en
el programa anterior. Se necesita todos los ficheros vtot.txt generados para todos los
Reynolds estudiados a fin de poder ajustar los parámetros “a” e “y” de la ecuación
yVa
∝δ
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Apéndice AP-4: Programa para el cálculo de km a través de resultados de CFD
362
Una vez obtenido el espesor de la capa de difusión de Nernst el cálculo de km es
inmediato.
AP-4.2. CODIGO MATLAB
AP-4.2.1.- Programa de Interpolación 3D
% Programa para representar las velocidades dentro del compartimento % Primero se ha de exportar al Workspace desde el Femlab la estructura de la % solucion con el nombre fem % Se introducen las coordenadas de un rectangulo "perfecto" en el que quede % enmarcado nuestro compartimento % Las celdas que no sean del compartimento quedaran marcadas como NaN % % ----------------------X % | | % | | % | | % | | Hay que introducir los valores de las X % | | % | | % | | % X---------------------- clc; disp('Introduccion de los limites del compartimento a estudiar'); disp(' '); disp(' '); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); zh=input('Altura a la que se ha de evaluar el rectangulo fijado :'); disp(' ');
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Apéndice AP-4: Programa para el cálculo de km a través de resultados de CFD
363
ntot=input('Introduce el numero de particiones de la matriz nxn que quieres :'); yy=linspace(yinf,ysup,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje y xx=linspace(xizq,xder,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje x % ******************************************************************* % ** Generación de las matrices de datos ** % ******************************************************************* vtot=ones(ntot); vtotb=ones(ntot); ux=ones(ntot); uxb=ones(ntot); vy=ones(ntot); vyb=ones(ntot); wz=ones(ntot); wzb=ones(ntot); p=ones(ntot); pb=ones(ntot); n=1; nv=ntot+1; % ******************************************************************* % ** Comienzo del calculo ** % ******************************************************************* while n<=ntot % Interpolación % Para una determinada altura de y interpolaremos todos los valores del vector x % generado. Posteriormente pasaremos a la siguiente altura de y % Todas las x para un mismo valor de y j=yy(1,n).*ones(1,ntot); zh=zh.*ones(1,ntot); vector=[xx;j;zh]; vtot((nv-1),:)=postinterp(fem,'sqrt(u^2+v^2+w^2)',vector); %debido a la numeracion se empieza el calculo por abajo vtotb(n,:)=vtot((nv-1),:); %Sirve para invertir los resultados y que luego tengan sentido al compararlos con los vectores xx e yy ux((nv-1),:)=postinterp(fem,'u',vector); uxb(n,:)=ux((nv-1),:); vy((nv-1),:)=postinterp(fem,'v',vector); vyb(n,:)=vy((nv-1),:); wz((nv-1),:)=postinterp(fem,'w',vector); wzb(n,:)=wz((nv-1),:);
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p((nv-1),:)=postinterp(fem,'p',vector); pb(n,:)=p((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1 end ycoord=linspace(ysup,yinf,ntot); ycoord=ycoord'; % ******************************************************************* % ** Grabación de resultados ** % ******************************************************************* save xcoord.txt xx -ascii save ycoord.txt ycoord -ascii save vtot.txt vtot -ascii save ux.txt ux -ascii save vy.txt vy -ascii save wz.txt wz -ascii save hz.txt zh -ascii save p.txt pb -ascii % ******************************************************************* % ** Representación de resultados ** % ******************************************************************* figure(1); surf(xx,yy,vtotb); view(2); shading interp;
title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(2); subplot(2,2,1) surf(xx,yy,uxb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades ux (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad ux m/s'); subplot(2,2,2) surf(xx,yy,vyb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades vy (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m');
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zlabel('Velocidad vy m/s'); subplot(2,2,3) surf(xx,yy,wzb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades wz (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad wz m/s'); subplot(2,2,4) surf(xx,yy,pb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Presiones (Pa)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Presion p (Pa)');
AP-4.2.2.- Programa principal (OPTIM.M)
% Programa para ajuste de una ecuacion que permita el calculo de la km en un % compartimento a traves de sus perfiles de velocidad. % Para ello antes se habra tenido que obtener el perfil de velocidad para los % diferentes Re que se quieren estudiar a una determinada altura % (convenientemente la mitad dekl compartimento) % a traves de alguno de los programas estilo "interpolacion3d.m" por ejemplo. % se ha de procurar que el mallado de todos los perfiles sea el mismo. % La ecuacion que se intentara ajustar sera del tipo "delta=a/(v^b)" donde delta % es el espesor de la capa de difusion y v las velocidades en cada uno de los % puntos. Los parametros a y b seran los parametros de ajuste global funcionobjetivo global vt1 global vt2 global vt3 global vt4 global difusion global kmexperimental1 global kmexperimental2 global kmexperimental3 global kmexperimental4 global xder global xizq global ysup global yinf global ntot global kmteorico1 global kmteorico2 global kmteorico3
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global kmteorico4 global kmmedio1 global kmmedio2 global kmmedio3 global kmmedio4 global delta1 global delta2 global delta3 global delta4 global error1 global error2 global error3 global error4 clc; format long; disp('Introduccion de los limites del compartimento a estudiar'); disp(' '); disp(' '); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); % ******************************************************************** % **** LECTURA DE DATOS **** % ******************************************************************** load 're129.txt'; %Nombre los ficheros que contienen el mapa de velocidades load 're200.txt'; load 're271.txt'; load 're414.txt'; vt1=re129; vt2=re200; vt3=re271; vt4=re414; ntot=length(vt1); clc disp(' '); anchura=input('Introduce el valor de la anchura del compartimento (m) :'); espesor=input('Introduce el valor del espesor del compartimento (m) :'); de=(anchura.*espesor)/(2.*(anchura+espesor)); densidad=input('Introduce el valor de la densidad (kg/m3) :'); viscosidad=input('Introduce el valor de la viscosidad (Pa·s) :');
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difusion=input('Introduce el coeficiente de difusion (m2/s) :'); kmexperimental1=input('Introduce el valor de km experimental 1 (m/s) :'); kmexperimental2=input('Introduce el valor de km experimental 2 (m/s) :'); kmexperimental3=input('Introduce el valor de km experimental 3 (m/s) :'); kmexperimental4=input('Introduce el valor de km experimental 4 (m/s) :'); % ************************************************************************* % ** CALCULO DE LA CAPA DE DIFUSION "DELTA" Y EL VALOR DE KM LOCAL ** % ************************************************************************* % Los valores iniciales asignados a "iniciala" y "inicialb" se basan en la % clasica ecuación Sh=a * Re^b * Sc^c. % En donde los valores de las constantes para el compartimento estudiado son: aa=0.17; bb=0.82; % Cambiar por los adecuados cc=0.33; iniciala=(de.^(1-bb).*difusion.^cc)./(aa.*((viscosidad./densidad).^(cc-bb))); inicialb=bb; iniciala=iniciala/100; inicialb=inicialb/100; inicial=[iniciala inicialb]; opciones(1)=1; opciones(2)=1e-3; opciones(3)=1e-3; opciones(14)=5500; minimiza=fmins('objetivo',inicial,opciones) clc; disp('------------------------------'); disp('FINAL DEL BUCLE DE ITERACION 1'); disp('------------------------------'); disp(' '); disp(' '); disp('Valores aproximados para 1º bucle para la ecuacion delta=a/(V^b) :'); disp(' '); a1=minimiza(1) b1=minimiza(2) disp(' '); disp(' '); disp('Pulsa una tecla para entrar al 2º bucle de calculo '); pause; iniciala=minimiza(1); inicialb=minimiza(2); inicial=[iniciala inicialb];
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iniciala=iniciala/100; inicialb=inicialb/100; opciones(1)=1; opciones(2)=1e-3; opciones(3)=1e-3; opciones(14)=5500; minimiza2=fmins('objetivo2',inicial,opciones) clc; disp('------------------------------'); disp('FINAL DEL BUCLE DE ITERACION 2'); disp('------------------------------'); disp(' '); disp('Valores aproximados para 1º bucle para la ecuacion delta=a/(V^b) :'); a1 b1 disp('Valores aproximados para 2º bucle para la ecuacion delta=a/(V^b) :'); a2=minimiza2(1) b2=minimiza2(2) % Los errores que se dan a continuacion indican el % de error entre el km +ç % obtenido experimentalmente y el que se obtendria a traves de la ecuacion % ajustada error1=(abs(sqrt(error1)))./kmexperimental1.*100 error2=(abs(sqrt(error2)))./kmexperimental2.*100 error3=(abs(sqrt(error3)))./kmexperimental3.*100 error4=(abs(sqrt(error4)))./kmexperimental4.*100 errores=zeros(4,1); errores(1,1)=error1; errores(2,1)=error2; errores(3,1)=error3; errores(4,1)=error4; % ------------------------------------------------------------------------- % Representaciones % ------------------------------------------------------------------------- yy=linspace(yinf,ysup,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje y xx=linspace(xizq,xder,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje x % Este bucle sirve solo a efectos de representacion en matlab ya que hay que % invertir los valores % para que la grafica salga bien. En la grabacion de los datos se graba de forma % adecuada
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% ------------------ Primer Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb1(n,:)=kmteorico1((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt1b(n,:)=vt1((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(1); surf(xx,yy,vt1b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(2); surf(xx,yy,kmb1); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); % ------------------ Segundo Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb2(n,:)=kmteorico2((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end
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n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt2b(n,:)=vt2((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(3); surf(xx,yy,vt2b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(4); surf(xx,yy,kmb2); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); % ------------------ Tercer Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb3(n,:)=kmteorico3((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt3b(n,:)=vt3((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(5);
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surf(xx,yy,vt3b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(6); surf(xx,yy,kmb3); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); % ------------------ Cuarto Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb4(n,:)=kmteorico4((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt4b(n,:)=vt4((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(7); surf(xx,yy,vt4b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(8);
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surf(xx,yy,kmb4); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); save kmcalc1.txt kmteorico1 -ascii save kmcalc2.txt kmteorico2 -ascii save kmcalc3.txt kmteorico3 -ascii save kmcalc4.txt kmteorico4 -ascii save deltacalc1.txt delta1 -ascii save deltacalc2.txt delta2 -ascii save deltacalc3.txt delta3 -ascii save deltacalc4.txt delta4 -ascii save minimiza.txt minimiza2 -ascii %Primer valor "a", segundo valor "b" d la ecuacion delta=a/(v^b) save errores.txt errores -ascii %Errores de los ajustes para los distintos Re (errores relativo)
AP-4.2.3.- Primer bucle de cálculo (OBJETIVO.M)
function funcionobjetivo=objetivo(X) % En este primer bucle de calculo lo que vamos a intentar es un primer ajuste de % los parametros pero poniendo algunas limitaciones a los valores que presenten % singularidades como valores de la velocidad 0. % Vamos a intentar ajustar una ecuacion del estilo delta=a/vtot^b global funcionobjetivo global vt1 global vt2 global vt3 global vt4 global difusion global kmexperimental1 global kmexperimental2 global kmexperimental3 global kmexperimental4 global xder global xizq global ysup global yinf global ntot global kmteorico1 global kmteorico2 global kmteorico3
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global kmteorico4 global kmmedio1 global kmmedio2 global kmmedio3 global kmmedio4 global delta1 global delta2 global delta3 global delta4 global error1 global error2 global error3 global error4 % ************************************************************************* % *** Primer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta1=zeros(longitud); kmteorico1=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt1(n,nv)==0 %Se intenta que la velocidad no valga 0 para que no haya una singularidad vt1(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta1=a./((abs(vt1)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta1(n,nv)<=1e-9 %Se impone un valor de delta minimo delta1(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end
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n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta1(n,nv)>=1e-2 %Se impone un valor de delta maximo delta1(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico1=difusion./delta1; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- % Para el calculo de km global lo que se hara sera multiplicar cada km local % por el area a la cual asociamos esa km local, las sumaremos todas y las % dividiremos por el area total areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico1; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end
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% Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0
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kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio1=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Segundo Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta2=zeros(longitud); kmteorico2=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt2(n,nv)==0 vt2(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta2=a./((abs(vt2)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta2(n,nv)<=1e-9 delta2(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1; end
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nv=1; n=n+1; end n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta2(n,nv)>=1e-2 delta2(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico2=difusion./delta2; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico2; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end
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% Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0
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kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio2=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Tercer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta3=zeros(longitud); kmteorico3=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt3(n,nv)==0 vt3(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta3=a./((abs(vt3)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta3(n,nv)<=1e-9 delta3(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1; end
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nv=1; n=n+1; end n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta3(n,nv)>=1e-2 delta3(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico3=difusion./delta3; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico3; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end
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% Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0
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kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio3=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Cuarto Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta4=zeros(longitud); kmteorico4=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt4(n,nv)==0 vt4(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta4=a./((abs(vt4)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta4(n,nv)<=1e-9 delta4(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1;
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end nv=1; n=n+1; end n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta4(n,nv)>=1e-2 delta4(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico4=difusion./delta4; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico4; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end
Optimización de la hidrodinámica de reactores electroquímicos: Empleo de métodos experimentales y númericos.Angel José Frías Ferrer
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384
% Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1)
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385
if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio4=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** FUNCION OBJETIVO *** % ************************************************************************* %comparar=(kmexperimental-kmmedio).^2; %compararb=sum(sum(comparar)); % La funcion objetivo elegida se basa en el error relativo de la medida de km % calculada y la km experimental error1=((abs(kmmedio1-kmexperimental1))./(kmexperimental1).*100); error2=((abs(kmmedio2-kmexperimental2))./(kmexperimental2).*100); error3=((abs(kmmedio3-kmexperimental3))./(kmexperimental3).*100); error4=((abs(kmmedio4-kmexperimental4))./(kmexperimental4).*100); %compararb=error1+error2+error3+error4 % Ponderamos cada uno de los errores segun veamos una mayor o menor disparidad % en los resultados compararb=(100.*error1)+(10.*error2)+(100.*error3)+(50.*error4) funcionobjetivo=compararb
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AP-4.2.4.- Segundo bucle de cálculo (OBJETIVO2.M)
function funcionobjetivo=objetivo2(X) % En este segundo bucle de calculo lo que vamos a intentar es un segundo ajuste % de los parametros pero ahora sin poner limitaciones a los valires % Vamos a intentar ajustar una ecuacion del estilo delta=a/vtot^b global funcionobjetivo global vt1 global vt2 global vt3 global vt4 global difusion global kmexperimental1 global kmexperimental2 global kmexperimental3 global kmexperimental4 global xder global xizq global ysup global yinf global ntot global kmteorico1 global kmteorico2 global kmteorico3 global kmteorico4 global kmmedio1 global kmmedio2 global kmmedio3 global kmmedio4 global delta1 global delta2 global delta3 global delta4 global error1 global error2 global error3 global error4 % ************************************************************************* % *** Primer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta1=zeros(longitud); kmteorico1=zeros(longitud);
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n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt1(n,nv)==0 vt1(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta1=a./((abs(vt1)).^b); kmteorico1=difusion./delta1; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico1; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end
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% Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0
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kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio1=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Segundo Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta2=zeros(longitud); kmteorico2=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt2(n,nv)==0 vt2(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta2=a./((abs(vt2)).^b); kmteorico2=difusion./delta2; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot;
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mm=0; kmbis=0; km=kmteorico2; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end
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% Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio2=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Tercer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta3=zeros(longitud); kmteorico3=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot
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if vt3(n,nv)==0 vt3(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta3=a./((abs(vt3)).^b); kmteorico3=difusion./delta3; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico3; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab);
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mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc
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activa=areab.*mm; kmmedio3=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Cuarto Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta4=zeros(longitud); kmteorico4=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt4(n,nv)==0 vt4(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta4=a./((abs(vt4)).^b); kmteorico4=difusion./delta4; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico4;
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% Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long
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if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio4=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** FUNCION OBJETIVO *** % ************************************************************************* %comparar=(kmexperimental-kmmedio).^2; %compararb=sum(sum(comparar)); %error1=((abs(kmmedio1-kmexperimental1))./(kmexperimental1).*100); %error2=((abs(kmmedio2-kmexperimental2))./(kmexperimental2).*100); %error3=((abs(kmmedio3-kmexperimental3))./(kmexperimental3).*100); %error4=((abs(kmmedio4-kmexperimental4))./(kmexperimental4).*100); % La funcion objetivo elegida se basa en el cuadrado de la diferencia existente % entre la km teorica y la km experimental error1=(kmmedio1-kmexperimental1)^2; error2=(kmmedio2-kmexperimental2)^2; error3=(kmmedio3-kmexperimental3)^2; error4=(kmmedio4-kmexperimental4)^2;
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% Ponderamos cada uno de los errores segun veamos una mayor o menor disparidad % en los resultados compararb=(100.*error1)+(10.*error2)+(100.*error3)+(50.*error4) funcionobjetivo=compararb
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