INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

D I S E Ñ O D E L M E C A N I S M O D E P R E N S A D O P A R A L A

F A B R I C A C I Ó N D E M O S A I C O

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE

M A E S T R O E N C I E N C I A S

EN INGENIERÍA MECÁNICA: OPCIÓN DISEÑO

P R E S E N T A :

I n g . V i c t o r M a n u e l S a l i n a s A r r o y o

D i r e c t o r : M . e n C . C á n d i d o P a l a c i o s M o n t ú f a r

México, D.F. Mayo 2000

ÍNDICE

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO ii

ÍNDICE

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO iii

DDEEDDIICCAATTOORRIIAASS

A m i s p a d r e s :

S a l v a d o r S a l i n a s G o n z á l e z

y

M a r í a d e l P i l a r A r r o y o R o m e r o

Por e l g ran amor incond ic iona l que me han b r indado en las

horas de a legr ía y sobre todo en las horas de t r i s teza cuando me

he v is to en d i f i cu l tades , s iendo con e l lo una g ran ayuda para la

rea l i zac ión de mis metas . Metas que me he fo r jado para se r un

hombre de b ien según sus enseñanzas y e jemp lo .

A m i s h e r m a n o s :

S a l v a d o r ,

B e a t r i z

y

R o s a m a r í a .

M u y e s p e c i a l m e n t e a R o s a l b a p o r e l A m o r , C a r i ñ o y

C o m p r e n s i ó n q u e m e h a d e m o s t r a d o .

ÍNDICE

AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOOSS A Dios por haber ten ido la opor tunidad de l legar a l

termino de un per iodo más de mi formación.

A l Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) .

A l Inst i tu to Pol i técnico Nacional ( I P N) .

A la Secc ión de Estudios de Posgrado e Invest igac ión

(SEPI ) de la ESIME- IPN.

A l M. en C. Cándido Pa lac ios Montúfar, por su va l iosa

d i recc ión, consejos y sugerencias durante la rea l izac ión de

este t raba jo .

A l M. en C. Serg io Ale jandro Vi l lanueva Pruneda, por su

apoyo y sugerencias .

A e l Dr. Lu is Hector Hernández Gómez, M. en C. Gabr ie l

Vi l la y Rabasa, M. en C. R icardo López Mar t ínez y M. en C. A la

Kavaskaia , por su va l iosa rev is ión y comentar ios para la

mejora de este t raba jo .

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO iv

A todos los profesores de la Secc ión de Estudios de

Posgrado e Invest igac ión, por su par t ic ipac ión en mi formación

profes ional .

ÍNDICE

ÍÍNNDDIICCEE

ÍNDICE DE FIGURAS. VIII

ÍNDICE DE TABLAS. XII

GLOSARIO XIV

SIMBOLOGÍA. XIX

RESUMEN. XXIV

ABSTRACT. XXV

OBJETIVO. XXVI

JUSTIFICACIÓN. XXVII

INTRODUCCIÓN. 1

CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES DEL MECANISMO PROPUESTO.

1.1 Antecedentes internacionales y nacionales. 8

1.2. Normas que rigen el diseño para mosaico de mármol y granito. 9

1.3. Descripción del proceso para elaborar baldosa de mármol y granito. 10

1.4. Planteamiento del problema. 12

1.5. Traducción de los requerimientos del cliente a términos mensurables de ingeniería. 13

1.6. Ponderación de los requisitos del cliente. 14

1.7. Generación de conceptos. 16

1.8. Sumario. 18

Referencias. 19

CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL MECANISMO PROPUESTO.

2.1 Estructura y clasificación de los mecanismos. 21

2.1.1. Ecuación de la movilidad del mecanismo. 22

2.2 Tipos de mecanismos. 24

2.2.1. Mecanismo biela – manivela - corredera. 25

2.3. Cinemática del mecanismo. 26

2.3.1. Análisis de la velocidad; Polígono de velocidades. 27

2.3.2. Análisis de la velocidad; utilizando álgebra compleja. 30

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO v

ÍNDICE

2.4. Los engranajes. 31

2.4.1. Aplicación de los sistemas de engranajes planetarios. 33

2.5. Datos para el mecanismo propuesto para la fábricación de mosaico de mármol y granito.

33

2.5.1. Cinemática del mecanismo de transmisión. 35

2.6 Levas. 40

2.61. Cinemática del seguidor de rodillo respecto a la leva. 45

2.6.2. Cálculo de las dimensiones principales en los mecanismos de leva con seguidor oscilatorio de rodillo.

50

2.6.2.1. Cálculo del radio mínimo de base por el método gráfico. 56

2.7. Cinemática del mecanismo biela – manivela – corredera. 59

2.8. Sumario 63

Referencias. 64

CAPÍTULO 3. DINÁMICA DEL MECANISMO PROPUESTO.

3.1. Generalidades. 66

3.1.1. Fuerzas de fricción. 69

3.2. Dinámica del mecanismo biela manivela corredera. 70

3.3. Fuerzas de las ruedas dentadas. 79

3.4. Sumario 85

Referencias. 86

CAPÍTULO 4. DIBUJOS Y SELECCIÓN DE MATERIALES

PARA EL PROYECTO. 4.1. Esfuerzos en los dientes de los engranajes. 87

4.1.1. Concentración del esfuerzo. 89

4.1.2. Factor geométrico. 91

4.1.3. Efectos dinámicos. 91

4.1.4. Materiales del engranaje. 92

4.1.4.1. Diseño por resistencias a la fatiga. 94

4.1.4.2. Durabilidad de la superficie. 102

4.2. Esfuerzos en los ejes de transmisión o ejes (flecha). 114DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO vi

ÍNDICE

4.2.1. Diseño para cargas estáticas. 114

4.2.2. Fatiga en las flechas de transmisión. 116

4.2.2.1. Método de Soderberg. 117

4.2.3. Cálculo de diámetros de ejes de transmisión. 119

4.2.4. Selección de rodamientos. 126

4.2.5. Esfuerzo en el brazo soporte guía de transmisión y brazo soporte de transmisión.

134

4.3. Sumario. 181

Referencias. 181

CAPÍTULO 5. EVALUACIÓN APROXIMADA DE COSTOS DEL PROYECTO.

5.1. Elementos para hacer un análisis de fabricación 183

5.2. Sumario 188

Referencias 188

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 189

RESULTADOS Y DISCUCIONES 191

ANEXOS 193

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO vii

ÍNDICE

ÍNDICE DE FIGURAS.

Figura 1 Máquina de volante para mosaico de mármol y granito. 2

Figura 2 Máquina de cigüeñal para mosaico. 3

Figura 1.1. Generación de conceptos. 17

Figura 2.1. Mecanismo biela – manivela – corredera 25

Figura 2.2. Velocidades absolutas VA del punto A sobre el eslabón giratorio 2. 26

Figura 2.3. Velocidades absolutas VA y VB de los puntos A y B sobre el eslabón giratorio 2

27

Figura 2.4. Trazado del polígono de velocidades para el mecanismo de la figura 2.1. 29

Figura 2.5. Terminología para un engranaje recto. 31

Figura 2.6. Diagrama del engranaje que se utilizará para el diseño de la prensa 34

Figura 2.7. Relación de velocidad entre el engranaje 3 y el engranaje 2’ 37

Figura 2.8. Tipos comunes de levas: (a) leva de placa o disco con seguidor de rodillo en traslación; (b) leva de traslación o cuña con seguidor de rodillo traslacional; (c) Leva cónica con seguidor en traslación; (d) leva de cara con seguidor oscilante; (e) leva cilíndrica con seguidor de rodillo en traslación.

40

Figura 2.9. Leva de disco y seguidor de rodillo radial con la nomenclatura apropiada c-d es la elevación del seguidor en la posición 7

41

Figura 2.10. Perfil de desplazamiento del seguidor correspondiente a la figura 2.9. La Distancia c-d es la elevación del seguidor en la posición 7. El viaje máximo L del seguidor representa el movimiento del punto a sobre el circulo primario al punto b en las estaciones 5 y 6.

41

Figura 2.11. Comparación de las características cinemáticas de cuatro movimientos básicos.

43

Figura 2.12. (a) Movimiento cicloidal, (b) generación de la elevación cicloidal por medio de un fasor complejo rodante.

47

Figura 2.13. Características del movimiento del seguidor ó desplazamiento (a), velocidad del seguidor (b) y aceleración del seguidor (c)

49

Figura 2.14. Diagrama para encontrar el ángulo de presión λ 51

Figura 2.15. Figura de apoyo para calcular el radio mínimo de base 57

Figura 2.16. Posición del eje del brazo del seguidor de rodillo oscilante, así como el contorno de la leva de disco.

58

Figura 2.17. Circuito de cierre para las ecuaciones 2.54. a la 2.59 59

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO viii

ÍNDICE

Figura 2.18. Diagrama de aceleraciones tangenciales y normales 62

Figura 3.1. Eslabón K en movimiento plano general. 67

Figura 3.2. (a) Eslabonamiento del mecanismo biela manivela corredera, (b)diagrama de cuerpo libre.

71

Figura 3.3. Comportamiento del momento en la leva 78

Figura 3.4. Diagrama para el análisis de las fuerzas en los engranes 80

Figura 4.1. (a) Voladizo con dimensiones, (b) Diente de engranaje, para deducir la ecuación de Lewis

87

Figura 4.2. Croquis para obtener x y t, cuando la carga F se ejerce en el punto más alto del contacto en un solo diente

90

Figura 4.3. Factores de acabado en la superficie para dientes de engranes cortados, cepillados y esmerilados.

96

Figura 4.4. Gráfica de límites de fatiga en función de resistencias a la tensión. Con base en resultados de pruebas reales

99

Figura 4.5. Prensa para mosaico con capacidad de 2 ton. 107

Figura 4.6. Engrane 1 para la transmisión. 108

Figura 4.7. Engrane 2 para la transmisión. 109

Figura 4.8. Engrane 2’ para la transmisión. 110

Figura 4.9. Engrane 3 para la transmisión 111

Figura 4.10. Engrane 4 para la transmisión. 112

Figura 4.11. Engrane 5, soporte para levas 113

Figura 4.12. Diagrama de Soderberg que muestra la línea de esfuerzo seguro AB, paralela a la de Soderberg y tangente a la elipse.

117

Figura 4.13. Distancias donde se aplican las fuerzas en el eje de transmisión de la figura 4.15

119

Figura 4.14. Fuerzas y reacciones en el eje de transmisión 121

Figura 4.15. a) Diagrama de cortantes, b) Diagrama de momentos 121

Figura 4.16. Eje de transmisión de la flecha motor 123

Figura 4.17. Eje de transmisión de la flecha brazo. 124

Figura 4.18. Eje de transmisión de la flecha de salida 125

Figura 4.19. Soporte brida SKF-722511, para flecha de entrada y salida 131

Figura 4.20. Soporte brida SKF-722512, para flecha de entrada y salida 132

Figura 4.21. Tornillo sujetador para bridas 133DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO ix

ÍNDICE

Figura 4.22. a) Fuerzas que actúan en el brazo soporte guía de transmisión, b)Fuerzas que actúan en el brazo soporte de transmisión.

134

Figura 4.23. Brazo soporte para sujetar engrane 1-2 (movimiento interno) 135

Figura 4.24. Brazo de posición de los ejes de transmisión. 136

Figura 4.25. Tuerca hexagonal para sujetar balero SKF-21310, del brazo de posición. 137

Figura 4.26. Brazo soporte para sujetar engrane 2’-3. 138

Figura 4.27. Pieza 1.12.1., soporte del brazo (para guía fija) 139

Figura 4.28. Cuña 140

Figura 4.29. Brazo de posición, pieza 1.12.3. 141

Figura 4.30. Tornillo de cabeza allen (prisionero para brazo fijo) 142

Figura 4.31. Transmisión. 143

Figura 4.32. Separador del eje de transmisión. 144

Figura 4.33. Armazón de la caja de transmisión. 145

Figura 4.34. Frente del armazón de la caja de transmisión. 146

Figura 4.35. Piso del armazón de la caja de transmisión. 147

Figura 4.36. Lateral izquierda del armazón de la caja de transmisión. 148

Figura 4.37. Trasero del armazón de la caja de transmisión 149

Figura 4.38. Techo del armazón de la caja de transmisión. 150

Figura 4.39. Lateral derecha del armazón de la caja de transmisión. 151

Figura 4.40. Marco del armazón de la caja de transmisión 152

Figura 4.41. Pieza 1 del marco de transmisión. 153

Figura 4.42. Marco (pieza 2) del armazón de la caja de transmisión 154

Figura 4.43. Marco (pieza 3) del armazón de la caja de transmisión. 155

Figura 4.44. Tornillo de cabeza allen M8 (prisionero para marco) 156

Figura 4.45. Soporte SKF722506 157

Figura 4.46. Eje de la manivela (mecanismo de fuerza) 158

Figura 4.47. Leva exterior 159

Figura 4.48. Leva interior 160

Figura 4.49. Eje de engrane - leva. 161

Figura 4.50. Conjunto engrane - levas para prensa de mosaico 162

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO x

ÍNDICE

Figura 4.51. Tornillo M16 para sujetar levas. 163

Figura 4.52. Pernos de centraje. 164

Figura 4.53. Tornillo para sujetar cuña 165

Figura 4.54. Conjunto biela manivela - corredera. 166

Figura 4.55. Subconjunto pistón. 167

Figura 4.56. Armado del cilíndro 168

Figura 4.57. Tubo del armado de cilíndro 169

Figura 4.58. Base del armado del cilindro 170

Figura 4.59. Armado del muñón. 171

Figura 4.60. Orejas del tejo. 172

Figura 4.61. Tejo 173

Figura 4.62. Manivela del mecanismo 174

Figura 4.63. Tuerca de esfuerzo 175

Figura 4.64. Tornillo M20x15.5 paso fino 176

Figura 4.65. Biela 177

Figura 4.66. Cojinete para la biela 178

Figura 4.67. Brazo biela 179

Figura 4.68. Conjunto estructura 180

Figura 5.1. Análisis de fabricación 186

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xi

ÍNDICE

ÍNDICE DE TABLAS.

Tabla 1.1. Características físico mecánicas, según norma UNE 127001/90 10

Tabla 1.2. Requerimientos deseables del cliente 14

Tabla 1.3. Ponderación de los requerimientos del cliente 15

Tabla 1.4. Gráfica de despliegue de calidad 15

Tabla 1.5. Matriz de decisión (+ es mayor, - es menor y es igual) 16

Tabla 2.1 Pares inferiores 21

Tabla 2.2. Datos de las velocidades, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranajes

39

Tabla 2.3. Datos para las aceleraciones, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranajes

39

Tabla 2.4. Datos obtenidos de las fórmulas del movimiento cicloidal 48

Tabla 2.5. Radio mínimo de base de la leva, cuando se tiene un ángulo de presión de 30, 40 y 45 grados.

54

Tabla 2.6. Angulo de presión para una leva con seguidor oscilatorio 55

Tabla 2.7 (a) Aceleración tangencial y normal del eslabón AO3B del mecanismo biela manivela corredera, Tabla 2.7 (b) Velocidad y aceleración del mecanismo biela manivela corredera.

61

Tabla 2.8. Aceleraciones normales y tangenciales de los puntos S2 y S3, así como el ángulo formado entre la aceleración total y la aceleración tangencial.

63

Tabla 3.1. Datos obtenidos de la solución de ecuaciones lineales 76

Tabla 3.2. Momento de inercia y masa de cada engrane 79

Tabla 3.3. Fuerzas que actúan en el tren de engranajes 85

Tabla 4.1. Factores de tamaño para dientes de engranes rectos 97

Tabla 4.2. Factores de confiabilidad sugeridos por Shiley 97

Tabla 4.3. Factores de efectos diversos para flexión en un solo sentido 98

Tabla 4.4. Factor de corrección por sobrecarga KO 100

Tabla 4.5. Factor de distribución de la carga Km para engranes cilíndricos rectos 101

Tabla 4.6. Factores de modificación de vida y confiabilidad 103

Tabla 4.7. Valores del coeficiente elástico Cp para engranes rectos y helicoidales con contacto no localizado y para µ=30

104

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xii

ÍNDICE

Tabla 4.8. Factores de seguridad para las tres posibles fallas que existen en un engranaje

106

Tabla 4.9. Tipos de rodamientos - diseño y características 127

Tabla 5.1. Comparación de costo beneficio. 188

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xiii

ÍNDICE

GLOSARIO

A

Aceleración Angular. Se define como la rapidez de cambio de su velocidad angular

con respecto al tiempo.

Aceleración instantánea. Se define como la rapidez de cambio de su velocidad

respecto al tiempo.

Addendum. Es la distancia radial entre el borde superior y el círculo de paso, también

es la distancia radial entre el círculo de paso y el círculo de exterior.

Altura total. Es la suma del addendum y el dedendum.

Ángulo de transmisión. Ángulo mínimo necesario para trasmitir o comunicar

movimiento, sin que existan puntos de interferencia que ocasionen que los eslabones

del mecanismo no realicen su función de trasmitir movimiento.

Ángulo de presión. Es una medida de la capacidad de la leva para trasmitir

movimiento al seguidor y este es similar al ángulo de desviación en el análisis de

eslabonamientos y es el complemento del ángulo de transmisión.

C

Cadena Cinemática Se usa para especificar una posición particular de los eslabones

y articulaciones, cuando no se ha especificado con claridad cuál eslabón se usará

como marco de referencia. Una vez que se estipula el eslabón de referencia la cadena

cinemática se convierte en mecanismo.

Centrodas. Es la ubicación del centro instantáneo para todas las fases posibles de un

mecanismo, describiendo curvas o lugares geométricos.

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xiv

ÍNDICE

Cinemática. Parte de la mecánica que estudia el movimiento relativo en sus

elementos de espacio y tiempo.

Cinética. Parte de la física que estudia la acción de las fuerzas sobre los cuerpos.

Círculo de holgura. Es un círculo tangente al de addendum del engrane acoplado

Círculo de paso. Es un círculo teórico sobre el que generalmente se basan todos los

cálculos, y este es la tangente de dos engranes embonados entre si.

D

Dedendum. Es la distancia radial que va del borde inferior hasta el círculo de paso.

Diferencial. Si se le permite a un tren de engranes planetarios conservar dos grados

de libertad o más, se le llama diferencial.

Dinámica. Parte de la mecánica que estudia el movimiento en relación con las fuerzas

que lo producen.

E

Embrague. Como el conjunto de engranes planetarios poseen inherentemente dos

grados de libertad, podemos utilizar un tren planetario para transmitir potencia o bien

como rueda libre (es decir, para girar sin transmitir potencia del eje de entrada al eje de

salida).

Engranes. Son elementos de máquinas que transmiten movimiento mediante dientes

que engranan de manera sucesiva. Transmiten el movimiento de un eje giratorio a

otro.

Eslabón. Cuerpo rígido ó material resistente capas de soportar y trasmitir fuerzas ya

sea en tensión o compresión

Eslabonamiento. Consiste en eslabones generalmente considerados rígidos,

conectados por pares cinemáticos.

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xv

ÍNDICE

Espesor de diente Es la distancia a lo ancho del diente a lo largo del arco del círculo

de paso

Estructura. Son eslabones fijos sin movimiento alguno.

F

Fuerza. Acción de un cuerpo que actúa sobre otro con características de lugar de

aplicación, dirección y magnitud.

G

Granito. Roca visiblemente cristalina, compuesta por minerales de silicato. La

definición comercial de “granito” se aplica a todas las piedras con definición geológica.

I

Inercia. Inercia es la propiedad de la masa que hace que se resista a cualquier

esfuerzo por cambiar su movimiento.

Inversión geométrica. Mecanismo que puede ser ensamblado en configuraciones

diferentes para una orientación dada del eslabón de entrada r2

Isótropo. Se le considera a un material isótropo por tener las mismas propiedades en

todas las direcciones

J

Jalón. Es la rapidez de cambio de la aceleración y esta se determina por la tercera

derivada del desplazamiento, algunos autores lo llaman sobre-aceleración

Juego entre dientes. Es la cantidad en la anchura del espacio de diente excede al

espesor del diente acoplado sobre el círculo de paso.

M

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xvi

ÍNDICE

Mármol. Por lo general es una roca de carbonato, visiblemente cristalina, sin embargo,

también incluyen rocas microcristalinas tales como ónix, travertino y serpentino, que

suelen quedar incluidas en esta clasificación comercial siempre y cuando se puedan

pulir.

Máquina. Es un conjunto de mecanismos que trasmiten movimiento, fuerzas y

trasforman un tipo de energía en otra. Es decir que trasmiten fuerzas desde la fuente

de energía hasta la resistencia que se debe vencer.

Masa. Cantidad de materia de un cuerpo según la miden su volumen y densidad

Mecanismo. Es una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de

articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada o abierta con un

eslabón fijo, cuyo propósito es trasformar el movimiento o realizar una trayectoria

determinada. Es decir es una formación de eslabones que tienen un movimiento

relativo unos con respecto a otro bien definido y su función es la de trasformar el

movimiento o seguir una trayectoria determinada.

Módulo. Es la razón del diámetro de paso al número de dientes. La unidad de longitud

acostumbrada es el milímetro.

Movimiento. Es el cambio de posición de un cuerpo con respecto de un sistema de

referencia.

Movimiento Absoluto. Su punto de referencia es fijo.

Movimiento Relativo. Se considera cuando se toma un punto de referencia en

movimiento

Movimiento Rígido Limitado. Es un movimiento limitado por los cuerpos a moverse a

una determinada trayectoria

Movimiento Semi-Rígido. Se trata de un movimiento limitado en un arco haciendo el

movimiento de un balancín.

P DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xvii

ÍNDICE

Pares. Se llaman pares a las formas geométricas mediante las cuales se unen dos

elementos de un mecanismo de manera que el movimiento relativo entre ambos sea

consistente.

Paso circular. Es la distancia a lo largo del arco del círculo entre perfiles

correspondientes de dientes vecinos.

Paso diametral. Es el número de dientes en el engrane por pulgada de diámetro de

paso

Peso. Peso es la fuerza de gravedad que actúa sobre una masa.

Piñón. Es el más pequeño de los dos engranes acoplados

T

Transmisión. Esta permite que un tren de engranes de un solo eje de entrada a un

solo eje de salida, trasmita potencia en un solo grado de libertad

V

Velocidad Angular. Se define como la cantidad vectorial ω cuya dirección es la misma

que el eje instantáneo de rotación

Velocidad instantánea. En este trabajo se le designará también como velocidad y se

define por el límite de una distancia entre un intervalo de tiempo infinitesimalmente.

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xviii

ÍNDICE

SIMBOLOGÍA

A

a. Aceleración total.

an . Aceleración normal.

at . Aceleración tangencial.

B

b. Anchura real del diente

C

cg. Centro de gravedad

CL Factor de duración o vida

CH Factor de relación de dureza.

CT Factor de temperatura

CR Factor de confiabilidad.

Cp Coeficiente elástico.

CV Factor de velocidad.

D

d. Diámetro primitivo del engrane

F

F. Fuerza total

f(θ). Función del desplazamiento angular.

fk. Fuerza de fricción dinámica.

fs. Fuerza de fricción estática.

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xix

ÍNDICE

H

h. Altura del diente

Hc. Número de dureza Brinell.

I

I. Momento de inercia.

J

j. Número de pares cinemáticos (grados de libertad.)

J Factor de forma

K

ka Factor de superficie

kb Factor de tamaño

kc Factor de confiabilidad

kd Factor de temperatura

ke Factor de modificación por concentración del esfuerzo

kf Factor de efectos diversos

Kf Factor de concentración de esfuerzo en la fatiga

Km Factor de distribución de carga

Kv. Factor dinámico.

L

L. Elevación total de la leva.

l. Magnitud del brazo del seguidor oscilatorio.

M

m. Masa del eslabón.

md. Módulo. DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xx

ÍNDICE

mM Relación de carga.

mo. Movilidad del mecanismo.

N

n. Eslabones móviles.

N. Fuerza normal.

nG Factor de seguridad de los engranes

no Factor de seguridad ordinario

P

p. Eslabón restante de un mecanismo de 4 barras.

pa Paso del engrane

Q

q. Eslabón restante de un mecanismo de 4 barras.

R

r Magnitud del eslabón

r•

Velocidad lineal

r••

Aceleración lineal

Rb. Radio base de la leva.

rf Radio del filete del engrane.

rr Radio del rodillo del seguidor.

R0 Radio mínimo de la superficie de paso de la leva.

S

s. Eslabón más corto de un mecanismo de 4 barras.

Sc Esfuerzo recomendado por Buckingham.

Se Límite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxi

ÍNDICE

SH Límite de fatiga superficial corregido, o resistencia herziana.

T

t. Tiempo.

T. Torque ó momento.

V

V. Velocidad tangencial.

Y

Y Factor de forma de Lewis

y. Desplazamiento lineal del seguidor.

y’ Velocidad lineal del seguidor considerando la velocidad angular.

y’’ Aceleración lineal del seguidor considerando la aceleración angular

Z

Z. Número de dientes del engrane.

α

α ó . Aceleración angular. θ&&

β

β. Angulo de rotación de la leva durante la elevación.

δ

δ. Angulo complementario.

θ

θ. Posición angular.

θ•

Velocidad angular

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxii

ÍNDICE

θ••

Aceleración angular

λ

λ. Angulo de presión formado por el rodillo del seguidor y la leva.

µ

µS Coeficiente de fricción estática.

µf Coeficiente de fricción cinética.

γ

γ. Angulo complementario.

π

π. 3.1416.

ρ

ρ. Superficie de paso.

σ

σ. Esfuerzo normal.

φ

φ. Angulo de presión del engranaje.

φL. Angulo de carga.

ψ

ψ. Angulo de posición del brazo del seguidor.

ω

ω. Velocidad angular.

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxiii

ÍNDICE

R E S U M E N .

En este t rabajo se d iseña un mecanismo con caracter ís t icas

especi f icas de movimiento c inemát ico y d inámico. Para e l lo fue

necesar io combinar los movimientos de un mecanismo de es labones

ar t icu lados, una leva con movimiento c ic lo ida l y un reductor

p lanetar io de ruedas dentadas. Se ca lcu la la c inemát ica y d inámica

del mecanismo e legido con topología RRRP de p is tón, b ie la y

manivela. Este mecanismo va acoplado a una leva con seguidor de

rodi l lo osc i la tor io , que genera la ley de movimiento del p is tón, donde

se apl ica la fuerza de res is tencia út i l . E l per f i l de la leva a su vez

forma par te de una rueda dentada movida por e l motor e léct r ico a

t ravés del reductor de ve loc idad.

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxiv

ÍNDICE

A B S T R A C T .

This work a mechanism is designed wi th speci f ic k inemat ics

character is t ics and dynamic movement . For th is propose, the

movements of ar t icu late l inks a, a cam with cyc lo ida l movement and

a p lanetary reducer of jagged wheels were combined. The k inemat ics

and dynamic of the resul tant mechanism is evaluated in a

concordance wi th RRRP topology of p is ton, rod and crank

mechanism. I t is impor tant to keep in wind that th is mechanism is

connect wi th a cam, which has an osci l la tory a fo l lower wi th ro l ler ,

th is generates the p is ton movement law, where th is force is apply .

The cam prof i le is par t o f the jagged wheel that is moved by the

e lect r ic motor through a speed reducer .

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxv

ÍNDICE

O B J E T I V O .

GENERAL:

• D iseñar un mecanismo de prensado para la fábr icac ión de

mosaico.

ESPECÍFICOS:

• Establecer una metodología de d iseño de mecanismos,

para la fábr icac ión de mosaico

• Resolver las ecuaciones c inemát icas y d inámicas que

gobiernan e l movimiento de la máquina.

• Hacer los cá lcu los para vencer una fuerza de res is tencia

út i l de dos toneladas.

• Hacer d ibu jos de conjunto y de deta l le de los e lementos y

e leg i r los mater ia les, que conforman e l mecanismo de

prensado

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxvi

ÍNDICE

J U S T I F I C A C I Ó N .

El empleo de recubr imientos de p isos es una pract ica con una

t radic ión que puede contarse por mi len ios; ex is ten magní f icos

e jemplos de recubr imientos que han res is t ido por e l paso del t iempo

en un estado de conservación y de cá l ido aspecto. E l mármol es un

c laro e jemplo, así en 1911 se funda la pr imer empresa de mosaico y

ter razo, en Tuscan I ta l ia . Fué hasta en los años cuarenta que en

México toma importancia la industr ia de la fabr icac ión de mosaico y

grani to , s in contar con e l equipo adecuado, en 1958 en la c iudad de

puebla se dan las pr imeras empresas func ionando como pequeños

ta l leres ar tesanales. Desde entonces muy pocos ta l leres se han

conformado como verdaderas fábr icas, debido a la fa l ta de

desarro l lo de tecnología, ya que la gran par te de la maquinar ia ha

s ido de importac ión, por lo tanto e l mantenimiento es costoso, por lo

que muchos de estos ta l leres han optado por segui r los métodos

t radic ionales de fabr icac ión del mosaico. Método que no just i f ica e l

costo del producto, por lo que muchos han l legado a l c ier re parc ia l o

tota l de sus ta l leres, y con e l lo e l desempleo.

Por estas c i rcunstanc ias con este t rabajo del proyecto del

DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÖN

DE MOSAICO se pretende tener un equipo nacional que aumente la

producción con estándares que e l mercado nacional e in ternacional

demanda. DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxvii

CAPÍTULO 1

8

C a p í t u l o 1 .

ANTECEDENTES DEL MECANISMO PROPUESTO.

En éste trabajo se suponen las condiciones del objeto a diseñar. Tales condiciones

o especificaciones son los parámetros de entrada y salida, las características y

dimensiones del espacio que deberá ocupar el objeto, y todas las limitaciones a estas

cantidades. Es decir se puede considerar al objeto, como algo colocado en una caja negra,

invisible desde fuera.

Después de haber definido el problema y obtenido un conjunto de especificaciones,

se hará la síntesis de solución.

1.1. ANTECEDENTES INTERNACIONALES Y NACIONALES.

La primer industria fundada, sobre pedacería de mármol, surge en 1911 cuando el

Señor Oreste Menicucci S. originario de Tuscan Italia, abre la primer industria de mosaico

en la calle 30 de marzo en Italia. El pionero, en el uso del terrazo para la construcción, fue

en república Dominicana. La compañía del Sr. Menicucci empezó trabajando con máquinas

de volante, que posteriormente se cambiaron por prensas semi-automáticas.

En México en la ciudad de Puebla, la planta Mármoles y Terrazos abrió sus

operaciones en 1958 y es considerada, hoy en día, la planta más grande de la ciudad de

Puebla y una de las más importantes en el ámbito nacional. Esta compañía hoy en día

cuenta con 5 laminadoras, dos cortadoras de puente y un tren automático de pulido,

después que inicio prácticamente sin maquinaria, ya que moldeaban los trabajos.

El mármol y el granito son dos de los materiales más nobles por su fácil limpieza y

permanencia, ya que el mármol tiene una buena apariencia después de los años. Por lo

que este material puede ser trabajado en medidas y diseños especiales, desde una

CAPÍTULO 1

9

cubierta de baño hasta una chimenea, pasando por columnas, mesas y diversos

accesorios. Este material en pisos de negocios, en casas residenciales, tiene mejores

características de duración que los pisos en base de cerámica.

No existe una compañía, que se dedique exclusivamente, al desarrollo de tecnología

para máquinas de mosaico de granito y mármol, ya que gran parte del proceso es

artesanal, sin embargo, se han hecho intentos en la automatización sin resultados

satisfactorios, debido a que la materia prima, como es el terrazo de mármol, no tiene

uniformidad y por ello se hace difícil el diseño de alguna máquina, para el llenado del

molde. Las empresas AMERICAN HIGH PRESS y DEHISON han realizado prensas para

mosaico; sin embargo, no hay una especificación de cómo debe ser la prensa para

mosaico, por esto, comúnmente se diseñan las prensas como elementos independientes.

Este material tiene una buena aceptación en el mercado, por ejemplo el taller del Sr.

Armado García tiene ventas de 500 a 800 m² semanales, este taller actualmente tiene una

superficie de 500 m², contando con 8 máquinas de cigüeñal, Sin embargo es necesario

hacer un ahorro de espacio ya que el mosaico necesita mas espacio que las máquinas.

1.2. NORMAS QUE RIGEN EL DISEÑO PARA MOSAICO DE MÁRMOL Y GRANITO.

Los fabricantes nacionales que han trabajado en este ramo no cuentan con una

norma que garantice que el producto sea de calidad, ya que estos fabricantes se han

hecho de gente sin preparación, confiando solo en su experiencia.

El control utilizado, es importante para la selección de la materia prima empleada es

por ello que para garantizar la calidad del producto es importante tener controles

intermedios de fabricación, tanto interno como los realizados por laboratorios externos

independientes y así poder garantizar que el producto cumpla con las características

mínimas que rige la norma UNE No. 127.0011, que se transcribe en la tabla 1.1. donde se

1 Fuente: página de internet http://ww.sea.es/paviurba/empresa.htm.

CAPÍTULO 1

10

mencionan los aspectos que deben considerarse para que se tengan las características

optimas.

Tabla 1.1. Características físico mecánicas, según norma UNE 127001/90 Coeficiente de absorción. 4.2%.

Flexotracción. 9, 1-7, 4

Nmm2 .

Espesor. 33 mm. Peso por m2. 78 kg. Compresión.

395 kg

cm2 .

Succión. 0.015 gr./cm.2/min. Capa de la huella. 17 mm.

Permeable. No. M2 por palet. 20 m2.

Fuente : Página Internet http//www.sea.es/paviurba/empresa.htm

Por norma se deben fabricar el mosaico en dimensiones de 400 x 400 mm. y 333 x

333 mm. Sin embargo, es muy común encontrar mosaicos de 300 x 300 mm.

1.3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO PARA ELABORAR BALDOSA DE MÁRMOL Y GRANITO.

El proceso de fabricación de mosaico (baldosa) de mármol y granito, es hasta cierto

punto artesanal, comúnmente, el mosaico es utilizado para el recubrimiento de pisos, que

resisten al paso del tiempo con un excelente estado de conservación y con aspecto cálido.

El proceso de producción del mosaico de pedacería de mármol y granito es el siguiente:

Se inicia con la recepción de las materias primas tal como:

• Cemento Portland normal, tipo 1, según especificación C150 de la

ASTM2.

• Cemento Portland blanco, según especificación C150 de la ASTM .

2 “Book of ASTM Standards” ASTM

CAPÍTULO 1

11

• La arena, que se utiliza, debe constar de granos limpios, duros, sin

recubrimientos y exentos de materia orgánica, marga vegetal, álcalis u

otras sustancias perjudiciales.

• Granito con número de criba del No. 16, 8, 4, 3/8”, 3/4” según norma

ASTM C1093.

• Mármol, pedacería de mármol de diferentes tamaños.

La resistencia del mosaico depende, en gran parte, de las proporciones entre arena

y el cemento Portland normal, tipo 1; comúnmente, es una parte de arena por una parte de

cemento, para producir una resistencia adecuada. Se realiza la mezcla minuciosamente del

cemento Portland normal, tipo 1 con la arena y agua para obtener una mezcla

homogénea. Esta mezcla de arena con cemento no debe tener exceso de agua,

recomiendan, que debe ser húmeda la mezcla, para obtener mejores resultados.

También, se mezcla una parte de cemento Portland blanco, con 1/2 parte de granito

de número de criba 16, comúnmente, conocido en el mercado como polvo de mármol, con

una parte de grano, según el tipo de criba, que escoja el cliente, y agua, para obtener una

mezcla homogénea, la cantidad de agua dependerá de la fluidez con que la pasta ó

mezclado puedan cubrir todo el piso del molde.

Después de tener las mezclas, se procede a engrasar el molde con aceite de linaza,

se pone en el piso del molde la pedacería de mármol, se agrega la pasta de granito con

cemento Portland blanco, hasta obtener un grosor de 17 mm. según norma UNE 127001/90, posteriormente, se agrega la mezcla de cemento Portland normal, tipo 1 hasta

tener un grosor total de 43 mm. se tapa el molde y se aplica la presión, hasta tener un

espesor de 33 mm. para obtener así las características deseables según norma UNE 127001/90 (ver tabla 1.1.).

Después de aplicada la presión, se quita la pieza (mosaico), se deja fraguar, hasta

endurecer por un periodo de 8 h., y, por último se deja remojar por un periodo de una hora,

se seca, así ésta lista para salir al mercado. En ocasiones, se les da un pre-pulido al

mosaico siendo más atractivas para el cliente.

3 “Book of ASTM Standards” ASTM

CAPÍTULO 1

12

Con lo anterior, la parte medular en proceso de fabricación de mosaico, se resume

en el prensado del mosaico.

1.4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

El taller Mármoles de San Lorenzo no tiene una infraestructura de tecnológica, por

tanto es necesario que se adquieran máquinas que aumenten la producción por lo menos

un 50 % más, Así mismo que tenga el cumplimiento de normas técnicas que garanticen la

calidad del producto. Ya que actualmente en este taller se utilizan prensas de volante

donde la calidad del producto no cumple en su totalidad con las especificaciones, así

también la eficiencia de la producción no es constante debido al esfuerzo que se aplica en

el prensado que no es controlado y depende en gran medida de la habilidad del operario,

ocasionando por tanto una gran rotación de personal que no conviene al taller ya que

constantemente debe capacitar.

El cumplimiento de la norma UNE es muy importante, sin embargo es necesario que

se cumplan parte en el vaciado antes de aplicar la presión. Si se cumplen estas, el trabajo

expuesto pretende el diseño de un mecanismo que tenga las siguientes características:

1. Tenga una presión de cierre de 2 Ton. Presión mínima necesaria para que el

producto después de ser prensado tenga una densidad de 2.3 kg/m³

2. Aumente la producción más del 50 %, ya que el operador no se fatigará más de

lo necesario.

3. Sea de dimensiones pequeñas, más adelante se explicará de cuanto debe tener,

para poder tener más versatilidad en el espacio reducido que se cuenta.

4. Todas las refacciones se encuentren fácilmente en el mercado.

5. Que cualquier persona, no especializada, pueda hacer un fácil mantenimiento.

6. Tenga un promedio de vida el mecanismo de 5 años.

7. Sea de un costo accesible.

Con los siete puntos anteriores se optimizará un mecanismo, de tal manera que la

energía potencial almacenada sea capaz de compactar la materia prima, según los

CAPÍTULO 1

13

requerimientos que el producto demanda, cumpliendo así las características físico

mecánicas, Así mismo con este mecanismo se pretende mejorar el proceso, aumentando

la producción de 12 m² a 24 m².

Para lograr lo anterior se utiliza el método del QDF (Quality Funtion Deplayment) ya

que permite hacer el análisis profundo de cada una de las fases del proyecto que se

describen en este trabajo.

1.5. TRADUCCIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DEL CLIENTE A TÉRMINOS MENSURABLES DE INGENIERÍA.

El cliente espera, que la prensa proporcione la compactación necesaria de las

mezclas de cemento Portland normal, tipo 1, con la arena y el cemento Portland blanco con

grano, y tenga la consistencia, para el cumplimiento de la norma UNE-127001/90. Para

obtener la compactación necesaria, es preciso aplicar una fuerza de 19600 N. (2

toneladas).

La máquina a diseñar, deberá tener un largo no mayor de 1500 mm., ancho no

mayor a 1000 mm. y una altura no mayor de 2500 mm. contando la base de la máquina,

además, debe ser de fácil operación, robusta, una buena apariencia y segura para el

operador.

La máquina no deberá tener ningún sistema hidráulico o sistema neumático, ya que

según las experiencias de algunos fabricantes de mosaico, el mantenimiento es muy

costoso, por esto, se prefiere un sistema mecánico sencillo el cual pueda ser capás de

darle mantenimiento, sin necesidad de personal calificado.

Para obtener una compactación necesaria, según tabla 1.1, la aplicación de la

fuerza, tendrá el inicio a una distancia de 15 mm. del ras del molde, así mismo, para tener

movilidad de sacar y meter el molde , la carreta total del pistón será de 30 mm. El

desplazamiento del pistón, debe ser lo mas lento posible, para dar tiempo al operador de

CAPÍTULO 1

14

hacer el moldeado del mosaico(se sugiere una velocidad máxima de 4.0 mm/seg.), no

importando si es variable la velocidad.

La máquina a diseñar debe ser capaz de aumentar un 100% la producción en un

proceso continuo. Para poder competir en el mercado nacional.

1.6. PONDERACIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DEL CLIENTE.

Los requerimientos del cliente obligatorios que se enumeran a continuación, no son

caso de comparación, ya que son requisitos indispensables para cumplir las

especificaciones técnicas que se recomiendan en la tabla 1.1.

1. Presión de 19600 N. (2 toneladas)

2. Dimensiones con largo no mayor a 1500 mm., ancho no mayor a 1000 mm. y

altura no mayor a 2500 mm.

3. No tener instalaciones especiales.

Los requerimientos que entran en la fase de ponderación, son aquellos que son

deseables por el cliente, ver tabla 1.2.

Tabla 1.2. Requerimientos deseables del cliente. Número de

Requerimiento. Requerimientos.

A. Debe tener buena apariencia. B. Fácil mantenimiento. C. Robusta. D. Desplazamiento del pistón lento.

La ponderación consiste en determinar el grado de importancia, relativa de los

requerimientos del cliente. Un método, de ponderación de los requerimientos del cliente

consiste en la confrontación por pares, es decir, de la tabla 1.2 se compara el

requerimiento A con los requerimientos B, C, D y E, y al de mayor importancia se le asigna

el valor de uno y al que tiene menor importancia se le asigna el valor de cero. De donde se

obtiene la tabla 1.3.

CAPÍTULO 1

15

Tabla 1.3. Ponderación de los requerimientos del cliente. Requerimiento. A. B. C. D. Total. Peso especifico.

A. --- 0. 0. 0. 0. 0 %. B. 1. --- 1. 1. 3. 50%. C. 1. 0. --- 0. 1. 16.7%. D. 1. 0. 1. 0. 2. 33.3%. Total. 6. 100%.

La tabla 1.3. para el cliente, es más importante el fácil mantenimiento, así como el

desplazamiento lento del pistón y tiene cierta importancia el ajuste de posición de la carrera

del pistón.

Tabla 1.4. Gráfica de despliegue de calidad. Requerimientos del Ponderación Traducción de los requerimientos del

cliente a términos de ingeniería.. Estudio comparativo.

Cliente. %. A. B. C. D. A. B. C. D.

Buena apariencia. 0. * * Fácil

mantenimiento. 50. * *

Ajuste de posición de la carrera del

pistón.

16.7. * *

Desplazamiento del pistón lento.

33.3. * *

Unidades. ------ ------- mm. mm. /seg.

$ $ $ $

Valor. ------ ------- 20 19. Pesos.

Pesos. Pesos.

Pesos.

Referencia A.

No cumple.

Cumple. Cumple. No cumple.

5000.

Referencia B.

Cumple. Cumple. No cumple.

No cumple.

14000.

Referencia C.

Cumple. No cumple.

Cumple. No cumple.

17000.

Referencia D.

Cumple. No cumple.

Cumple. No cumple.

18000.

Con la ponderación se puede establecer lo deseable e importante del cliente, ésta

ponderación permite medir desde el punto de vista de ingeniería algunos requisitos, de

CAPÍTULO 1

16

donde, consultando a diferentes proveedores, se tiene en el mercado algunas opciones

que se observan en la tabla 1.4. del despliegue de calidad, según el método QFD..

La comparación es realizada para una, (A), Máquina por accionamiento de tornillo,

(B), Máquina mecánica biela manivela, (C), Máquina hidráulica y por último (D), Máquina

neumática. En esta comparación, es un hecho, que la máquina neumática e hidráulica,

requiere gente especializada, y por tanto este equipo no sea lo más adecuado, según los

requerimientos obligatorios y necesarios del cliente.

1.7. GENERACIÓN DE CONCEPTOS.

Para que el mosaico, tenga la consistencia adecuada, por tanto se concluye que la

parte medular del proceso, es el prensado de la materia prima, por consiguiente la meta del

diseño, es obtener una prensa, que satisfaga todos requerimientos obligatorios y deseables

del cliente, por esto es necesario tener una lluvia de ideas, las cuales sean capaces de

solucionar el problema; y así obtener la opción más adecuada, evaluando cada uno de los

conceptos.

Tabla 1.5. Matriz de decisión (+ es mayor, - es menor y es igual). CONCEPTOS.

Requerimientos deseables. Peso especifico.

A. B. C. D. E.

Buena apariencia. 0. - - - - R E

Fácil mantenimiento. 50. + + F E

Ajuste de posición de la carrera del pistón. 16.7. R E

Desplazamiento del pistón lento. 33.3. - - - - N C

+∑ . 1 0 0 1 I A.

−∑ . 2 1 -2 2

( ) ( )+ − −∑ ∑.

-1 -1 -2 -1

Total. 17%

33%

33%

17%

CAPÍTULO 1

17

De esta lluvia de ideas, se genera un árbol de funciones (figura 1.1.), del cual se

selecciona la opción “E” considerada como la más adecuada, esta se evalúa en una matriz

de decisión (tabla 1.5.).

Engrane.

Operario.

Tornillo.

Molde.

Peso Muerto.

Tornillo en agujero roscado.

Motor Eléctrico.

Cigüeñal.

Leva seguidor.

Figura 1.1. Generación de conceptos.

E

Molde

m

M

Molde

Piso

mm

Concepto “A”

Concepto “B”

M E

Molde

Piso

M

Volante de inercia

Molde

Piso

Concepto “C”

Transmisión por Bandas

Molde

Piso

Concepto “D”

Molde

Piso

E

M

Concepto “E”

CAPÍTULO 1

18

Según la evaluación, se tiene los argumentos para obtener una decisión con un

porcentaje menor de error. Según tabla 1.5. y figura 1.1. se tiene que el concepto “E”, es la

referencia correcta, la cual satisface los requerimientos del cliente, así como todo requisito

obligatorio, para poder obtener la prensa de mosaico. Por tanto el mecanismo a diseñar, es

un mecanismo de adaptación ya que nos valemos de algunas medidas que se tienen en el

mercado, así como de experiencias del usuario, por tal motivo en él capítulo dos se

manejan estos datos para adaptarse a nuestra máquina de mosaico de granito y terrazo.

1.8. SUMARIO.

En este CAPÍTULO se tiene la parte importante en la toma decisión en base al

método de aplicación del QFD (Quality Funtion Deplayment), porque sin un método se

corre el riesgo de no presentarse la solución adecuada, ocasionando esfuerzos y gastos

innecesarios que repercuten indirectamente en el costo del producto. Por tanto es

importante obtener un resultado lo más apegado a los requerimientos del cliente haciendo

el mejor juicio posible, sin tomar a la ligera una solución.

En el CAPÍTULO 2 y CAPÍTULO 3, se analiza el proyecto en su forma analítica, es

decir; se hace el análisis de su comportamiento dinámico y cinemático del mecanismo

propuesto.

En el CAPÍTULO 4 se tiene plasmado el resultado de los capítulos anteriores, cabe

mencionar que estos dibujos no son definitivos para hacer en serie la máquina, ya que

depende de gran parte del prototipo para tener los dibujos definitivos.

En el CAPÍTULO 5 se tienen los costos aproximados ya que esta máquina no ha

sido posible su financiamiento, por tanto solo son especulaciones a donde se pretende

llegar.

CAPÍTULO 1

19

REFERENCIAS.

• Yoji Akao, “Despliegue de Funciones de Calidad QFD (S.I)” 2ª. Edición, TGP-

Hoshinn, 1993.

• Sergio A. Villanueva Pruneda. “Metodología para la extracción de tecnología”,

Tesis de grado, México D.F. 1996

• Jorge Ramos Watanave, “Apuntes de la metodología para realizar y/o dirigir la

adaptación, mejora o innovación de productos ó sistemas mecánicos”, México

D.F., 1996

• Jorge A Salbato y Michael Mackenzin, La producción de Tecnología, 2ª. Edición,

Nueva Imagen, México D.F. 1988.

• Norma ASTM “Book of ASTM Standards” Tomo 4.1,1997.

• Internet http://www.sea.es/paviurba/empresa.

CAPÍTULO 2

19

CAPÍTULO 2

20

C a p í t u l o 2 .

CINEMÁTICA DEL MECANISMO PROPUESTO.

La mecánica del sólido rígido, es una rama de la física, que tiene tres ramificaciones

principales: La cinemática, la estática y la cinética. La combinación de la cinemática y la

cinética se denomina dinámica, parte esencial en el del diseño de los mecanismos.

Un mecanismo, es un dispositivo mecánico, que tiene el propósito de transferir el

movimiento y/o fuerza de una fuente a una salida. En otras palabras, un mecanismo

permite el movimiento relativo entre sus eslabones. El estudió de los mecanismos, es muy

importante por los notables avances realizados en el diseño de instrumentos para controles

automáticos y equipos automatizados. Por esto se puede definir a un mecanismo como el

corazón de una máquina que aprovechará los movimientos relativos para transmitir

potencia, información, o trasformar el movimiento en una trayectoria predeterminada, para

facilitar el trabajo del hombre. Los mecanismos más simples conocidos desde la

antigüedad son:

1. Mecanismo de tornillo.

2. Mecanismo de palanca.

3. Mecanismo de cuña.

4. La rueda.

5. El polipasto.

La combinación adecuada, de estos nos permite diseñar y construir máquinas. Por

consiguiente, el mecanismo que se propone en éste tema de tesis, permite tener la

posibilidad de realizar el diseño, análisis y la síntesis de los mecanismos que comúnmente

son empleados en la fabricación de máquinas complejas.

CAPÍTULO 2

21

2.1. Estructura y clasificación de los mecanismos.

Una de las primeras preocupaciones en el diseño o en el análisis de los

mecanismos, es el número de grados de libertad, conocido también, como movilidad del

mecanismo, esta depende de los pares cinemáticos, Robert Willis en 1841 y Franz

Reuleaux en 18761 distingue dos grupos: uno llamado pares cinemáticos Inferiores, que

son aquellos donde sus elementos del par hacen contacto en una superficie y el otro el

llamado pares cinemáticos superiores, son aquellos donde el contacto entre los eslabones

se realiza en una línea o un punto, por ejemplo, el contacto entre el seguidor y la leva.

En la tabla 2.1. aparecen los nombres de los pares inferiores y los símbolos usados

por Hartenberg y Denavit2 para cada uno de ellos, junto con él número de grados de

libertad y las variables del par correspondientes. Ésta simbología generalmente se acepta

en el ámbito mundial.

Tabla 2.1. Pares inferiores. Par. Símbolo. Variable del

par. Grados de libertad.

Movimiento relativo.

Revoluta. R. ∆θ. 1. Circular.

Prismático. P. ∆s. 1. Lineal.

Tornillo. H. ∆θ o ∆S. 1. Helicoidal.

Cilíndrico. C. ∆θ y ∆s. 2. Cilíndrico.

Esfera. S ó G. ∆θ, ∆φ, ∆ψ. 3. Esférico.

Plano. F. ∆x, ∆y, ∆θ. 3. Plano.

En él estudió de los diversos tipos de articulaciones, ya sean pares superiores o

pares inferiores, existe otra suposición restrictiva de gran importancia. Se supone que en la

articulación no existen espacios libres entre los elementos de la misma y cualquier

desviación en la geometría de los elementos es despreciable.

1 Reuleaux,F., Kinematics of Machinery: Outline of a Teory of Machines. New York: Dover.1963. 2 Hantenberg,R.S., and J.Denavit, Kinematics Synthesis of Linkages. New York, McGraw-Hill Book Company,1964.

CAPÍTULO 2

22

La movilidad de los mecanismos hace que estos se clasifiquen, para poder entender

la relación entre la geometría y la trayectoria generada al aplicar una fuerza. Por lo que se

han clasificado en tres grupos:

Mecanismos Planos: Son aquellos cuyos eslabones se mueven en un plano ó en

planos paralelos, por lo que, comúnmente, a estos mecanismos se les conoce como

coplanares. Estos contienen pares inferiores como revolutas y pares prismáticos. Hay

también mecanismos planos que contienen pares cinemáticos superiores como las levas,

mecanismos de ruedas dentadas y ejes paralelos.

Mecanismos Esféricos. Estos mecanismos son aquellos cuyos eslabones se

mueven en una esfera que tiene puntos estacionarios, que son de ubicación común, estos

sólo se componen exclusivamente de pares de revoluta. Sin embargo existen sus

excepciones como el mecanismo con topología RSSC que puede ser también esférico.

Mecanismos Espaciales. Son aquellos que no tienen restricciones en sus

movimientos relativos y pueden tener partículas con lugares geométricos de doble

curvatura. Los ejes de los pares cinemáticos se orientan arbitrariamente en el espacio.

2.1.1. Ecuación de movilidad de un mecanismo.

La ecuación de movilidad de un mecanismo sirve para conocer si la unión de pares

cinemáticos y eslabones es un mecanismo o bien una estructura, la ecuación (2.1.) permite

conocer la movilidad (mo) de un mecanismo plano de n eslabones, ésta ecuación se le

conoce como el criterio de Kutzbach:

mo = 3( n – 1 ) - 2j1 - j2 (2.1.).

Donde (j1) denota él número de pares de un sólo grado de libertad y (j2) el número

de pares con dos grados de libertad.

Si el criterio de la ecuación de Kutzbach nos presenta un resultado mo>0, el

mecanismo poseé m grados de libertad. Si mo=1, el mecanismo se puede impulsar con un

CAPÍTULO 2

23

sólo motor de entrada. Si mo=2, entonces se necesitan dos motores de entrada separados

para producir el movimiento restringido del mecanismo. Si mo=0 el movimiento es

imposible y el mecanismo forma una estructura aunque hay sus excepciones. Si mo =_1 o

menos, entonces hay restricciones redundantes en la cadena y forman una estructura

estáticamente indeterminada.

Cuando existen mecanismos, donde el criterio de la ecuación de Kutzbach no tenga

una aplicación práctica, es común recurrir al criterio de la ecuación de Grübler3 (ecuación

2.2.), donde éste sólo se aplica en articulaciones de un sólo grado de libertad es decir si

mo =1 y j2=0 y sustituimos en la ecuación (2.1.) 1 = 3 n – 3 - 2j1 de donde se tiene:

3n – 2j1 –4 = 0 (2.2.).

Esto permite ver, por ejemplo, que un mecanismo plano con movilidad 1 y que sólo

tiene articulaciones de un grado de libertad, no puede tener un número impar de

eslabones. Si se desarrollan criterios similares para mecanismos espaciales, el criterio de

Kutzbach poseé la forma que se representa en la ecuación (2.3.).

mo = 6(n-1) – 5j1 – 4j2 – 3j3 –2j4 – j5 (2.3.).

De la ecuación (2.3.) se supone que mo = 1 y j2 = 0, obtenemos el criterio de Grübler

(ecuación (2.4.)).

6n – 5j1-7 = 0 (2.4.).

Evidentemente, una de las consideraciones de mayor importancia cuando se diseña

un mecanismo que se impulsará con un motor, es asegurarse que la manivela de entrada

pueda realizar una revolución completa. Cuando se trata de un eslabonamiento de cuatro

barras, existe una prueba muy sencilla para saber si se presenta éste caso.

La ley de Grashof (ecuación (2.5.) afirma que, para un eslabonamiento plano de

cuatro barras, la suma de las longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede

3 Esta ecuación es una de las ecuaciones más pupulares usada en la practica, para otras versiones ver: and E.R. Maki, “The Creation of Mechanisms According to Kinematic Structure and Funtion,” General Motor Research Publications, GMR-3073, September 1979; International Journal for the Science of Architecture and Design,(1980)

CAPÍTULO 2

24

ser mayor que la suma de las longitudes de los dos eslabones restantes, si se desea que

exista una rotación relativa continua entre dos elementos, se tiene:

p +q ≥ s + l (2.5.).

s = Eslabón más corto.

l = Eslabón más largo.

p y q = Eslabones restantes.

Si no se satisface ésta desigualdad, ningún eslabón efectuará una revolución

completa, en relación con otro.

2.2. Tipos de mecanismos.

Los mecanismos son, casi siempre impulsados por una fuente de potencia para

producir una amplia variedad de movimientos, que van de una simple tarea rotacional,

como el movimiento reciprocante u oscilante, hasta movimientos tridimensionales

sumamente complejos. Sin perder el objetivo, que sea confiable e insensible a cambios en

la manufactura y desgaste, por lo que implica:

• Seleccionar el tipo de mecanismo (Análisis del mecanismo).

• Determinar las dimensiones apropiadas que se ajusten al espacio disponible(síntesis del mecanismo).

Los mecanismos pueden clasificase de acuerdo a su función en las siguientes

categorías:4

• Generador de función: Se le llama generador de función por ser un

eslabonamiento en el que el movimiento relativo sólo coordinan la posición,

velocidad y aceleración para que el ángulo de salida cambie de una manera

prescrita con respecto al ángulo de entrada para cumplir una función φ4=f (φ2).

4 R.S. Hartenbert y J. Denavit, Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw-Hill, New York, 1964

CAPÍTULO 2

25

• Generador de trayectoria; en éste sólo interesa la trayectoria en función de

datos de entrada del eslabón conductor (ángulos o desplazamientos).

• Generador de movimiento; es de interés el movimiento total del eslabón

acoplador: las coordenadas “x”, “y” del punto trazador de trayectoria y la

orientación angular del eslabón acoplador, es decir coordina la conducción de

cuerpo rígido.

2.2.1. Mecanismo biela – manivela – corredera.

Éste mecanismo tiene su mayor aplicación en el motor de combustión interna

(figura. 2.1. (a)), en el caso de que el pistón fuera el elemento motor el nombre de los

eslabones cambia. Se puede ver que hay dos puntos muertos durante el ciclo en las

posiciones extremas correspondientes. Con el propósito de vencerlos es necesario fijar un

volante al cigüeñal de manera que se puedan pasar los puntos muertos.

4

B

A

O2

2 3

1

1.- Bancada. 2.- Manivela. 3.- Biela. 4.- Corredera o pistón.

(b)

B 1

O2

4 3

A

1.- Bancada. 2.- Manivela. 3.- Biela. 4.- Corredera o pistón.

(a).

B O2

A

4

r3 r2

r4

ω2

1

2

1.- Bancada. 2.- Manivela. 3.- Biela. 4.- Corredera o pistón.

(c)

Figura 2.1. Mecanismo biela- manivela – corredera.

CAPÍTULO 2

26

Es posible, fijar algún otro eslabón distinto al 1 de la figura 2.1., y de ésta manera

obtener 3 inversiones. Al mantener fija la manivela se permite el movimiento al resto, lo que

da un mecanismo que se usó en los primeros motores de aviación, conocido como motores

rotatorios debido a que el cigüeñal estaba fijo y los cilindros rodaban alrededor del

cigüeñal. Una aplicación más moderna de ésta inversión es el mecanismo de Whitworth.

Por otra parte, cuando la biela se mantiene fija y se permite el movimiento al resto, el

mecanismo se emplea en máquinas de vapor y es la base para el mecanismo accionador

de un cepillo mecánico(figura 2.1. (b)).

La tercera inversión en que se mantiene fijo el pistón a veces se usa en las bombas

manuales de agua. (Figura 2.1. (c)).

2.3. Cinemática del mecanismo.

Cuando se traslada un cuerpo rígido, el movimiento de cualquier partícula es igual al movimiento de todas las demás del mismo cuerpo (movimiento de traslación). Sin embargo, cuando éste cuerpo gira éste sufre un desplazamiento angular respecto al tiempo

(movimiento de rotación), el cual se define como una cantidad vectorial ω2, cuya dirección

es la misma que la del eje instantáneo de rotación, observando que la magnitud rA y el ángulo de desplazamiento angular son constantes, tenemos que el vector diferencial de

velocidad VA es igual a ω2 x rA (figura 2.2.). Para calcular ésta diferencial de velocidad, existen muy variados métodos, en éste trabajo se mencionan algunos que son empleados.

AV

A 2ω

θ A

A0

iy

e Aiθ

rA

x

Figura 2.2. Velocidades absolutas VA del punto A sobre el eslabón giratorio 2.

CAPÍTULO 2

27

2.3.1. Análisis de la velocidad; Polígonos de velocidades.

Éste método se emplea en problemas bi-dimensionales, cuando se tiene sólo una

posición que requiere solución, su principal ventaja es su rapidez y ayuda a la comprensión

del problema. Aunque la exactitud depende del cuidado en la construcción y la escala del

dibujo, usualmente puede obtenerse una precisión aceptable.

El radio vector rA de un punto arbitrario A sobre el eslabón 2 (ver figura 2.3.), se

localiza instantáneamente en la posición angular θA con respecto al eje x de un sistema de

referencia absoluto fijo al eslabón 1. Por tanto la velocidad es el cambio de posición

angular del eslabón 2 con respecto al eje fijo “1”, llamándose velocidad angular (ω2) del

eslabón 2 (ecuación (2.6.)):

ωθ

2A

d d t

≡ (2.6.).

Realizando el análisis se puede obtener la velocidad absoluta lineal de un punto “A”

siendo ésta, la velocidad del cambio del vector de posición de ese punto con respecto a

tierra.

V A

r

B

r

x

V

2

A

BA

B

B

iy

1

2ω

θB

r B

Figura 2.3. Velocidades absolutas Va y Vb de los puntos A y B sobre el eslabón giratorio 2.

V = rt

AAd

d (2.7.).

CAPÍTULO 2

28

e θ

A

o en forma polar, el vector rA = rAei θA, la velocidad es:

V = r + A Ai A

A Ai Ae rθ θ

• •

(2.8.).

donde el punto indica derivada con respecto al tiempo.

La diferencia de dos velocidades absolutas de dos puntos, en éste caso VBA, donde

el segundo subíndice es el punto de referencia y el primer subíndice es el punto de interés.

Es decir:

V = V - VBA B A (2.9.).

de donde:

V = V + V B A B (2.10.).

A la ecuación (2.10.) se le conoce como teorema de velocidades relativas.

La solución gráfica del mecanismo de la figura 2.1. (a) se puede llevar a cabo,

usando el teorema de las velocidades relativas aplicado a cada eslabón por separado.

Por otro lado, se supone que las dimensiones del mecanismo se conocen, es decir

la longitud de la manivela O2A, la longitud de la biela AB, se conocen, además la velocidad

angular de la manivela ω2. Para este efecto se dibuja el mecanismo a escala ver figura 2.4.

En este caso, se calcula la velocidad del punto A, como el vector de posición es rA =

rAei θA, es un vector de magnitud constante y de dirección variable, entonces:

VA = =• •

r i rA Aieθ θ

2 .

donde . θ ω•

=2 2

Sé Nota que VA es perpendicular a su vector de posición. Un método para demostrar

que el vector de posición es perpendicular, es multiplicando escalarmente A•B=⎢A⎢⎢B⎢cosθ

si θ = 90º, entonces coseno de 90º = 0, como el producto escalar es conmutativo y además

CAPÍTULO 2

29

drdt

VAA= ; se deduce que 2VA * rA = 0, como ninguno de estos vectores es cero, significa

que VA es perpendicular a rA de la definición de producto escalar.

Para encontrar la velocidad del punto B, se hace uso del teorema de velocidades

relativas (ecuación 2.10). De estos tres vectores, al vector VB se le conoce sólo su

dirección o sea, se desplaza horizontalmente a lo largo del par prismático, del vector VA se

le conoce su magnitud, dirección y sentido, pués se conoce ω2 y la longitud O2A,

consecuentemente, VA = ω3 × AB se le conoce su dirección solamente, es perpendicular a

la biela AB, de la definición de producto vectorial, por tanto, se puede elegir un polo “p”

cuya velocidad absoluta es igual a cero, se dibuja el vector VA, luego siguiendo el orden de

la suma vectorial de unir puntos con colas, donde determinamos VA, empieza VAB, en éste

caso sólo trazamos una recta perpendicular a la biela AB. Enseguida del polo “p” se traza

otra recta que sea paralela al eje del par prismático; (ver figura 2.4) donde se juntan ésta

ultima con la que es perpendicular a la biela se cumple por tanto la relación de la ecuación

2.10. En la escala elegida, la distancia “pA” representa la magnitud del vector VA. La

distancia “pB” representa en la escala elegida la magnitud del vector VB. En el polígono de

velocidades AB representa la magnitud de la velocidad relativa VBA.

Por otro lado, la velocidad de VB es lineal, por lo que se traslada, Así mismo se toma

el eslabón 3, para trazar una perpendicular desde el punto A del polígono de velocidades

hasta el crucé de la velocidad lineal de VB, se toma la medida, siendo ésta la velocidad

buscada (en la figura 2.4 se observa que la línea punteada representa el mecanismo de

donde se partió para el análisis del polígono de velocidades).

VBp

VA

B

A

32

ω

Figura 2.4. Trazado del polígono de velocidades para el mecanismo de la figura 2.1.

CAPÍTULO 2

30

2.3.2. Análisis de la velocidad; Utilizando álgebra compleja.

Éste método proporciona un planteamiento alternativo para los problemas

bidimensionales de la cinemática y es adecuado para hallar soluciones mediante

programas para computadora. Su dificultad es la determinación de la ecuación de cierre del

circuito. Su relación general se encuentra derivando el vector de posición en su forma polar

compleja (r = re i θ ).

r = drdt

= r e + re• •

i iθ θ•

iθ (2.11.).

en donde denotan la rapidez de cambio con respecto al tiempo de la magnitud y el

ángulo de r, respectivamente.

r y • •

θ

Para ilustrar éste método, analicemos la figura 2.1.(a). La ecuación de cierre es:

r e + r e + r e = 02i

3i

4i2 3θ θ θπ (2.12.).

Derivando respecto al tiempo y separando las partes real e imaginaria de la

ecuación (2.12.), se obtiene:

θ•

3 = – arc sen ( )r sen

r2 2

3

θ⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(2.12. a).

de donde se obtiene que la velocidad del punto 4 es:

r r r• • •

= − −4 2 2 2 3 3 3θ θ θsen senθ

••

=

(2.12. b).

2.3.3. Análisis de la aceleración.

Éste método es una extensión del método analítico de la velocidad, obtenido para el

mecanismo de la figura 2.4. Derivando una vez más la velocidad respecto al tiempo, se

obtiene la forma general de la aceleración, considerando que es constante. θ•

2

r i r i i ri i ie e e2 22

3 32

3 42 3 3 0θ θ θθ θ θ( ) ( ( ) ( ))

• • ••

+ + + (2.13.).

CAPÍTULO 2

31

θ

Sé aplica la fórmula de Euler para separar ésta ecuación compleja polar en sus

componentes real e imaginaria, se obtiene:

r = - r sen - r cos - r sen - r cos

0 = - r cos - r sen - r cos - r sen

4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

2

3 3

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

2

3 3

•• •• • •• •

•• • •• •

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

2

2 .

Éstas dos ecuaciones se pueden resolver simultáneamente para las dos incógnitas

de aceleración, : θ•• ••

3 4 y r

θθ θ θ θ θ θ

θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

•••• • •

•• •• •• • •

32 2

3 =

- r + r sen + r senr

r = - r sen - r sen - r cos - r cos

2 2 2 2

2

3 3 3

2

3

4 2 2 2 3 3 3 2 2 2

2

3 3 3

2

coscos (2.14.).

La solución se considera ahora completa, ya que se puede evaluar numéricamente

para cada ángulo de la manivela, dadas las dimensiones de la velocidad y aceleración de

entrada.

2.4. Los engranajes.

Estos mecanismos constituyen uno de los mejores medios disponibles para

transmitir movimiento, la nomenclatura común para el engranaje tipo recto, que

utilizaremos en el análisis se muestra en la figura 2.5. Círculo de addedendum

Dedendum Holgura Adedendum

Espesor del diente

Círculo de paso

Radio del chaflán

Pasocircular

Figura 2.5. Terminología para un engranaje recto.

CAPÍTULO 2

32

La acción de los dientes acoplados, uno sobre otros, para producir un movimiento

rotatorio, puede compararse con una leva y su seguidor. Cuando a los perfiles del diente se

les da una forma tal como para que produzcan una razón constante entre las velocidades

angulares durante el endentamiento, se dice que las superficies son conjugadas. Una de

las soluciones es el perfil de involuta que se utilizará en éste análisis.

Las relaciones de velocidad se basan en la línea de acción ó de paso; es decir, Si

los radios del punto de paso de los dos perfiles se designan como r2 y r3, tenemos:

ωω

2

3 =

rr

3

2 (2.15.).

Ésta ecuación se usa con mucha frecuencia para definir la ley de engranaje, la cual

afirma que el punto de paso se debe mantener fijo sobre la línea de los centros. Esto

significa que todas las líneas de acción de todo punto de contacto instantáneo debe pasar

por el punto de paso.

No se debe presuponer que cualquier forma o perfil para el que se pueda encontrar

un conjugado resultará satisfactorio, por lo que surgen normas5 (como la NFE 23-001 – NF E 23-005, la ANSI B6.13, ANSI B6.9, AGMA 208.02, AGMA 209.03, AGMA 202.03, AGMA 203.03, AGMA 374.04) que especifican las relaciones entre el addendum,

dedendum, altura de trabajo, espesor del diente y ángulo de presión para lograr la

intercambiabilidad de los engranajes de todos los números de dientes, pero del mismo

ángulo de presión y paso, (para éste trabajo el análisis se basa en un ángulo de presión de

20 grados, porque es el ángulo común para engranejes rectos según la ANSI y AGMA).

Hay muchas maneras de fabricar los engranajes. Comercialmente se emplean dos

procesos distintos: colado o maquinado. Los métodos más utilizados incluyen el colado en

arena, el colado por investidura, el colado por troquel y el colado centrífugo. Para este

trabajo se supone que los engranajes serán maquinados.

Para los engranajes con pasos diametrales siempre que es posible se utilizan: Paso

diametral grueso (2, 2-1/4, 2-1/2 , 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16) y paso diametral fino (20, 24, 32,

CAPÍTULO 2

33

40, 48, 64, 80, 96, 120, 150, 200). Para los engranajes con módulo normalizado fino (0.50,

0.60, 0.80, 1.0, 1.25, 1.50, 2.0, 2.50, 3.0) y módulo normalizado grueso (4.0, 5.0, 6.0, 8.0,

10.0, 12.0, 16.0, 20.0, 25.0) con el fin de mantener en un mínimo el inventario de

herramientas de corte de engranes.

2.4.1. Aplicaciones de los sistemas de engranajes planetarios.

Uno de los propósitos de un mecanismo es transmitir movimiento de un lugar a otro,

por lo regular modificado el movimiento durante la transmisión. Los engranajes tienen dos

o más ejes para obtener una relación de velocidad (ecuación 2.15), ésta relación no

contempla un engranaje de dos grados de libertad ó engranes planetarios. Los trenes de

engranajes planetarios representan dos grandes ventajas. La primera, hay algunas

situaciones en las que se requiere dos grados de libertad. Segunda, cuando se trata de

transmisión de potencia con un grado de libertad de un eje de entrada a un eje de salida,

muchas veces es posible lograr la misma razón de engranajes en un espacio más

reducido, y trasmitir más potencia, si se utiliza trenes de engranajes planetarios en lugar de

ordinarios. Por lo anterior el análisis de los trenes planetarios se complica por el hecho de

que el engrananje planetario gira alrededor de su propio centro, y al mismo tiempo gira

alrededor del centro del engraneje sol. Efectivamente, el engranaje planetario tiene dos

velocidades angulares distintas (pero relacionadas entre si) una respecto al brazo y una

respecto a tierra. En este trabajo al engranaje planetario lo fijamos y así transmitir potencia

en un menor espacio, optimizando al máximo la energía requerida para el prensado.

2.5. Datos para el mecanismo propuesto para la fabricación de mosaico de mármol y granito.

El proceso de fabricación de loseta de pedacería de mármol es hasta cierto punto

artesanal, como se sabe comúnmente la loseta es utilizada para el recubrimiento de pisos

5 Normas ANSI Sección B6.1, y AGMA Standard, Sección 201.02 A.

CAPÍTULO 2

34

que resisten al paso del tiempo con un excelente estado de conservación y con aspecto

cálido. Del proceso de fabricación explicado en el capítulo uno tenemos que para un molde

para mosaico de 400 x 400 mm. Se necesita aplicar una fuerza de 2 toneladas según lo

explicado en el capítulo uno.

De donde al tomar en cuenta la generación de alternativas se seleccionó una prensa

mecánica con un mecanismo de engranes planetarios de transmisión de potencia, que está

conectada a una leva y ésta a su vez trasmite movimiento a un mecanismo biela manivela

corredera ver figura 2.6.(a) con las siguientes restricciones:

(a).

(b).

Figura 2.6. Diagrama del engranaje que se utilizará para el diseño de la prensa.

CAPÍTULO 2

35

Los engranajes con número de dientes Z4 y Z5 tienen un módulo 8. Él engranaje con

número de dientes, Z4 = 20 dientes, el engranaje con número de dientes Z5 = 40 dientes y

el resto de los engranajes con un módulo 4. Además la carrera total del pistón es de 30

mm., y un ángulo de desplazamiento total de la biela es de 8 grados.

La velocidad angular del motor de entrada ω1 = 142.41887 rad./seg. (1360 r.p.m.) y a

la velocidad angular de salida ω 2 = 7.1209433 rad./seg. (68 r.p.m.).

Con respecto a la leva, ésta tiene 110 grados en la elevación, con 40 grados de

reposo en el punto más alto, 110 grados en el descenso y con 100 grados de reposo en el

punto más bajo. Y si suponemos las siguientes relaciones del mecanismo biela manivela,

los cuales son datos aproximados que hay que cumplir.

O A

O B

ll

3

3

= 1.2.

O B

BC

ll

3 = 2.

O S

O A

ll

3 2

3

= 0.25.

BS

BC

ll

3 = 0.5.

La fuerza de resistencia productiva se debe aplicar cuando el pistón ha recorrido

una distancia de 15 mm. (datos proporcionado por fabricantes de mosaico).

2.5.1. Cinemática del mecanismo de transmisión.

Analizando la figura 2.6. (b) y de la ecuación 2.1 tenemos que si n=5 eslabónes

móviles y j1=4 pares cinemáticos de revolución y j2 = 3 pares cinemáticos superiores,

obtenemos:

mo = 3(5-1) – 2(4) – 3 = 1.

CAPÍTULO 2

36

es decir se tiene un grado de libertad por lo que se trata de un engrane planetario de

transmisión. Por otro lado si la rueda dentada 1, poseé una velocidad angular a la entrada

de ω1 = 142.41887 rad./seg. (1360 rpm. ) y a la salida de transmisión una velocidad angular

de ω5 = 7.1209433 rad/seg (68 r.p.m.).

Además se tiene que el engranaje 5 tiene un diámetro primitivo de:

d5 = (md2)(Z5) ⇒ d5 = (8)(45) = 360 mm.

Y el diámetro primitivo del engranaje 4 es:

d4 = (md2)(Z4) ⇒ d5 = (8)(20) =160 mm.

Como la velocidad angular del brazo es igual a la velocidad angular del engranaje 4;

se tiene:

ωB = ω4; ⇒ = ⇒ωω

ω45 5

44

rr

= 17.802358 rad./seg..

Por otra parte analizando el tren de engranajes; tenemos que por norma, es

necesario tener como mínimo 18 dientes para el piñón, de donde se utilizaran 20 dientes,

se obtiene:

d1 = (md1)(Z1) ⇒ d1= (4)(20) = 80 mm.

El engranaje 2 tiene la misma velocidad angular del engrane 2’ por estar en el

mismo eje, pero con velocidades tangenciales diferentes es decir:

ω2=ω2’ (a).

V2 ≠V2’ (b).

De donde:

V1= ω1 x r1 (2.16.).

CAPÍTULO 2

37

Sustituyendo valores tenemos:

V1= 5696.7547 mm./seg...

Como la rueda dentada 3 es fija (figura 2.7.) y sobre ésta rueda gira el engrane 2’

tenemos que en el punto de contacto es:

V2p’ = 0 por ser fijo el engrane 3. p

r V2r’

3

2

Figura 2.7. Relación de velocidad entre el engranaje 3 y el engranaje 2.

Considerando que V1 tiene relación directa con el engrane 2’:

V1 = V2r’ + V2r’1 (2.17.).

V1 = 0 + V2r’1 ⇒ si V2r’1 = 2ω2’r2’.

Sustituyendo la ecuación (2.16.) en ecuación (2.17.):

ω1r1 = 2ω2’r2’ despejando ω2’ obtenemos:

ωω

21 1

22''

=r

r (2.18.).

Si suponemos que:

r2 = 2r2’ (2.19.).

CAPÍTULO 2

38

La velocidad tangencial del brazo (VB) es:

VB = V2’ + V2’B.

VB = 0 + V2’B ⇒ si V2’B = ω2’ x r2’.

VB = ω2’r2’ (2.20.).

Sustituyendo la ecuación (2.18.) en la ecuación (2.20.):

Vr

B =ω1 1

2 (2.21.).

Si el brazo tiene un movimiento de rotación tenemos:

VB = (rB)ωB (2.22.).

Sustituyendo la ecuación (2.21.) en la ecuación (2.22.):

ωω

BB

rr

= 1 1

2 (2.23.).

despejando rB’ se tiene:

rr

BB

=ωω1 1

2 (2.24.).

r1 = 40 mm. con 20 dientes, se tiene:

( )( )r rB B= ⇒ =

( . ).

.142 4188 402 17 802358

160mm .

Con el análisis anterior se obtienen la tabla 2.2., con estos datos se analizaran las

aceleraciones:

CAPÍTULO 2

39

Tabla 2.2. Datos de las velocidades, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranajes. Engranaje. Número de

dientes. Módulo mm..

Diámetro primitivo mm..

Velocidad angular rad./seg..

Observaciones.

1. 20. 4. 80. 142.41887. El número de dientes es según norma.

2. 60. 4. 240. 47.472957. Se obtuvo por cálculos.

2’. 30. 4. 120. 47.472957. Se obtuvo por cálculos.

3. 110. 4. 440. ---- Se obtuvo por cálculos.

4. 20. 8. 160. 17.802358. Se tiene por diagrama del mecanismo.

5. 50. 8. 400. 7.1209433. Se tiene por diagrama del mecanismo.

Brazo. ---- ---- ** 17.802358. Se obtiene por distancias entre centros.

** Longitud del brazo = 160 mm. (éste conectado al eje del engranaje 2’ y al eje del engranaje 4).

Para calcular las aceleraciones de cada engranaje tenemos:

a = an + at .

a = ω x (ω x r) + α x r (2.25.).

Como se trata de un sistema de velocidad angular constante, la aceleración tangencial es

cero, por ejemplo para el punto “A” de la figura 2.6 b tenemos:.

(aA)n = (142.41887)2(40) = 811325.38 mm./seg..

Realizando las operaciones correspondientes se tiene la tabla 2.3.

Tabla 2.3. Datos para las aceleraciones, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranes.

Elemento. Aceleración Normal mm./s².

Velocidad angular rad/seg..

1. 81135.38. 142.41887. 2. 135220.89. 23.736478. 2’. 67610.447. 23.736478. 3. 0. 0. 4. 25353.916. 17.802358. 5. 10141.567. 7.1209433.

Brazo. 50707.832. 17.802358.

CAPÍTULO 2

40

2.6. Levas.

Una leva es un elemento mecánico adecuado para transformar un movimiento en

otro deseado, donde se requiere generar una función matemática de la forma F = f(θ),

siendo θ el ángulo de giro de la leva y f(θ) el desplazamiento del seguidor, comúnmente

éste movimiento se trasforma en oscilatorio, de traslación o una combinación de ambos.

Leva

Seguidor

(e)

(d)

(c) (b)

(a)

leva

Figura 2.8. Tipos comunes de levas: (a) leva de placa o disco con seguidor de rodillo en traslación; (b) leva de traslación o cuña con seguidor de rodillo de traslación; (c) leva cónica con seguidor en traslación; (d) leva de cara con seguidor oscilante; (e) leva cilíndrica con seguidor de rodillo en traslación.

Las levas (figura 2.8.) se han clasificado según su geometría en levas de placa o

disco, levas de traslación (bidimensionales o planas), levas cilíndricas (tridimensionales o

espaciales), y por el tipo de seguidor, lo que hace que sean muy versátiles, según el tipo

de movimiento, sea de traslación (en línea recta) radial o excéntrica, respecto al centro de

leva, ésta clasificación comprende la forma de la superficie de contacto del seguidor (de

cara plana, de rodillo, puntual, esférica, de curva plana o de superficie espacial curva). Sea

cual sea el conjunto de leva seguidor, la forma de cálculo es muy similar.

CAPÍTULO 2

41

A pesar de la gran variedad de tipos de levas usados y sus diferentes formas,

poseén ciertas características comunes que permiten un enfoque sistemático para su

diseño. La nomenclatura estándar para las levas se muestra en la figura 2.9.

Ángulo de presión

Contorno normal de la leva

λ

Movimiento del seguidor

Punto de paso

Círculo de base

Círculo primario

Rotación Número del punto de éstación

Superficie de la leva (contorno)

Curva de paso

Punto de paso

Círculo de Paso

Viaje total L del seguidor

Seguidor de rodillo en traslación

Figura 2.9. Leva de disco y seguidor de rodillo radial con la nomenclatura apropiada c-d es la elevación del seguidor en la posición 7.

Números de los puntos de estación

Puntos de transición o inflexión

C = Círculo Primario Desarrollado detención

Viaje del seguidor, L

Figura 2.10. Perfil de desplazamiento del seguidor correspondiente a la figura 2.9. La distancia c-d es la elevación del seguidor en la posición 7. El viaje máximo L del seguidor representa el movimiento del punto a sobre el círculo primario al punto b en las éstaciones 5 y 6.

Durante la rotación de la leva a lo largo de un ciclo del movimiento de entrada, el

seguidor ejecuta una serie de eventos como los que se muestran en la figura 2.10. En el

diagrama de ésta índole, la abscisa representa un ciclo del movimiento de entrada θ (una

CAPÍTULO 2

42

revolución de la leva) y se dibuja a cualquier escala conveniente. La ordenada representa

el recorrido “y” del seguidor. En el diagrama de desplazamientos se puede identificar una

porción de la gráfica conocida como subida, en donde el movimiento del seguidor es hacia

fuera del centro de la leva. La subida máxima se llama elevación. Los periodos durante los

cuales el seguidor se encuentra en reposo se conocen como detenciones y el retorno es el

periodo en el que el movimiento del seguidor es hacia el centro de la leva. La construcción

de ésta gráfica se realiza con la relación.

( )y y= θ (2.26.).

Ésta ecuación contiene en su expresión misma la naturaleza exacta del perfil de la

leva final, la información necesaria para su trazado y fabricación, y también las

características importantes que determinan la calidad de su comportamiento dinámico.

Los movimientos comúnmente empleados son el movimiento uniforme, el cual se distingue

por ser una recta con pendiente constante, movimiento armónico simple, movimiento

cicloidal, su nombre se debe a la curva geométrica llamada cicloide (figura 2.11.(d)), cabe

aclarar que el ángulo de presión debe mantenerse tan pequeño como sea posible, en la

actualidad éste se fija como máximo de 30º para levas de seguidor traslaciónal.

Adicionalmente, en una leva con un seguidor de carretilla, el radio de curvatura de la

superficie de paso debe ser mayor que el radio del seguidor; en caso contrario, el perfil de

la leva se torna puntiagudo.

Kloomok y Muffley6 desarrollaron un sistema para diseñar levas que impiden el jalón

infinito con su efecto destructivo en el tren de levas, para la cual se emplean tres funciones

analíticas: (a) cicloide (y semicicloide), (b) armónica (y semiarmónica) y (c) polinomio de

octavo grado. Las curvas tienen derivadas continuas en todos los puntos intermedios, por

lo que la aceleración cambia gradualmente y el jalón es finito. En los extremos se evita el

jalón infinito igualando las aceleraciones. Se debe notar que las velocidades también se

igualan debido a que no pueden aparecer discontinuidades en la curva de desplazamiento

tiempo.

6 M. Kloomok, and R.V. Muffley, “Plate Cam Design, Product Engineering. 1955

CAPÍTULO 2

43

sobreaceleración

y&&&

∞∞

β-∞

0 0

-∞

Aceleración

0

y&&

∞

0 β-∞

Velocidad

β 0 0

y& 1

φ φ φ

a) Velocidad constante

0

y& 2

β 0 β

0

y&&

0

-4

4 y&&&

∞

-∞

∞

β0 0

φ φ φ

b) Movimiento parabólico

d) Movimiento cicloidal

c) Movimiento armónico simple

y&

-6.28

6.28

β

y&&

0 0

φ β 0

0

y& 2

4.93

0 βφ

-4.93

-15.5 β

y&&&

∞∞

0 0 0

y&&

1.57

φ β 0

0 φ

y&&&

∞

0

39.5

-39.5

0 φ φβ

Figura. 2.11. Comparación de las características cinemáticas de cuatro movimientos básicos para la velocidad angular ω (grados/s)=β°/s y elevación L=1 m.. Para estos

valores las dimensiones son: y ms y m

s y ms

• •• •••⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =, . y 2 3 .

CAPÍTULO 2

44

Para el diseño de levas, según Kloomok y Muffley las curvas de “aceleración” no deberán

tener implicaciones, ya que si imaginamos una fuerza de inercia del seguidor, la curva de

aceleración tiene variación abrupta que ejercerán esfuerzos de contacto que cambian

brúscamente en los cojinetes y sobre la superficie de la leva y dará por resultado ruido,

desgaste de las superficies y falla final. Por consiguiente, al elegir un diagrama de

desplazamientos es muy importante asegurarse que la primera y segunda derivada, es

decir, las curvas de “velocidad” y “aceleración”, sean continuas, ésto es, que no contengan

cambios en escalón.

Aunque existen excepciones principalmente cuando se utilizan aplicaciones de baja

velocidad, con toda certeza tales levas presentan mayores problemas conforme aumenta

la velocidad. Para cualquier aplicación de leva de alta velocidad es extremadamente

importante que no sólo se hagan continuas las curvas de desplazamiento y “velocidad”,

sino también la de “aceleración” para el ciclo completo del movimiento. Por tanto es

importante que toda leva cumpla los siguientes puntos:

1. Satisfaga las necesidades de movimiento de la aplicación en particular.

2. Los diagramas de desplazamiento “velocidad” y “aceleración” sean continuos, a

través de las fronteras de los segmentos. El diagrama del “tirón ó sobre-

aceleración ”puede admitir discontinuidades si es necesario, pero no hacerse

infinito; es decir, la curva de “aceleración” puede contener vértices pero no

discontinuidades.

3. Las magnitudes máximas de los picos de “velocidad” y “aceleración” se

mantengan tan bajas como sea posible. Coherentes con las dos condiciones

previas.

De la figura 2.11. se analizan los diagramas del seguidor que traza, en el perfil de

velocidad constante inciso (a), se observan picos que pueden causar desgastes,

acuñamiento o ruido, que por lo tanto el diseño no es conveniente, ya que en los puntos a

infinito se generan esfuerzos superficiales que deterioran la leva. Por otro lado el perfil

parabólico inciso (b), se tiene picos en las aceleraciones del seguidor teniendo por

consiguiente deterioro más severo por el desgaste excesivo ocasionando vibración y ruido.

CAPÍTULO 2

45

Otro tipo de diagrama que comúnmente es utilizado por su fácil fabricación, inciso (c), es el

que tiene la trayectoria del con movimiento armónico simple, aunque este tipo de

trayectoria no es recomendable, tiene gran utilización en aplicaciones de baja velocidad.

Para un seguidor que tiene una trayectoria tipo cicloidal, inciso (d) , que se utiliza en

este proyecto, ya que tiene magnitudes finitas en todo el ciclo. Aunque en la aceleración es

alta que los perfiles anteriores, la sobre-aceleración ó “jalón” de la trayectoria es mejor, ya

que evita el golpeteo que ocasiona fatiga y esfuerzos superficiales que ayudan al

mecanismo a tener un ciclo de vida más alto.

Existen otros tipos de levas tal como la llamada leva de perfil trapecial el cual es la

combinación de las curvas de desplazamiento cicloidal y parabólicas. Otro tipo es el seno

modificado siendo un perfil muy aceptado, es una combinación de las curvas de

desplazamiento cicloidal y armónico, y por ultimo e importante es el polinomial, que puede

usarse para el “diseño a la medida”.

2.6.1. Cinemática del seguidor de rodillo respecto a la Leva.

En la figura 2.12. tenemos un perfil de desplazamiento cicloidal. que con ayuda del

fasor complejo, podemos derivar la ecuación de la elevación cicloidal como sigue:

Si Z = re-iθ donde: rL

L= =

22 2

πθ =

θβ

θβ

π πβ

θ y = L r

L.

Donde θ es el ángulo de giro de la leva, β es ángulo de elevación del seguidor hasta

el reposo, que tiene relación con el ángulo de desplazamiento de la manivela del

mecanismo RRRP:

Z = re-i(2π/β)θ (2.27.).

De la figura 2.12. b:

CAPÍTULO 2

46

y L m= + ℑθβ

( )Z .

y L r m ie= + ℑ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟θ

β

πβ

θ2

(2.28.).

y L r m i= + ℑ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

θβ

πβ

θπβ

θcos sen2 2

.

y L r y L= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

θβ

πβ

θθβ π

πθβ

sen sen2 1

22 (2.29.).

donde ( ) significa “ la parte imaginaria de ( )”, y es el desplazamiento lineal del

seguidor. Si derivamos la ecuación (2.29.), considerando L, β y la velocidad angular

constante, obtenemos la velocidad del seguidor para el ascenso:

ℑm

′ = −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•

yL

θβ

πθβ

12

cos (2.30.).

Derivando nuevamente, obtenemos la aceleración del seguidor:

′′ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

•

yL

θπβ

πθβ

2

22 2

sen (2.31)

Las ecuaciones no incluyen la velocidad angular ni la aceleración angular desde el

punto de vista de la velocidad y aceleración de leva-seguidor, si necesitamos un análisis

dinámico total, la ecuación 2.26 se deriva respecto al tiempo, obteniendo las ecuaciones

(2.32.), (2.33.), (2.34.):

y y•

= ′ω (2.32.).

y y y••

= ′′ + ′ω 2 α

α

(2.33.).

y y y y••• •

= ′′′ + ′′ + ′ω ωα3 3 (2.34.).

Cuando la velocidad del eje de la leva es constante, éstas expresiones se reducen

a:

CAPÍTULO 2

47

ω 2y y y y y y• •• •••

= ′ = ′′ = ′′′ω ω 2 (2.35.).

Figura 2.12. (a) Movimiento cicloidal; (b) generación de la elevación cicloidal por medio de un fasor complejo rodante.

Para el retroceso se tienen las siguientes expresiones:

y L= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

12

2θβ π

πθβ

sen (2.36.).

CAPÍTULO 2

48

yL, cos= − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

•

βθ

πθβ

12

(2.37.).

yL,, ( ) sen= −

•2 22

2πβ

θπθβ

(2.38.).

Donde es la velocidad angular y = α es la aceleración angular del sistema.

Sustituyendo valores en incrementos de θ cada 10 grados se obtienen los siguientes

resultados:

θ•

θ••

Tabla 2.4. Datos obtenidos de las fórmulas del movimiento cicloidal. Divisiones. Desplazamiento

de la leva en Grados (θ).

Desplazamiento lineal del seguidor

(mm.).

Velocidad lineal del seguidor (mm./seg.).

Aceleración lineal del seguidor (mm./seg.2).

Desplazamiento angular del seguidor

(grados). 1. 0. 0 0 0 176.0000 3. 10. 0.17508357 0.369957191 0.51248482 176.0389 5. 20. 1.33364712 1.36236997 0.86225933 176.2967 7. 30. 4.14692271 2.662154292 0.93827259 176.9225 9. 40. 8.76078299 3.856637818 0.71639094 177.9480 11. 50. 14.7494277 4.566580469 0.26706022 179.2782 13. 60. 21.2505723 4.566580469 -0.267060 180.7217 15. 70. 27.239217 3.856637818 -0.716390 182.0519 17. 80. 31.8530773 2.662154292 -0.938272 183.0774 19. 90. 34.6663529 1.36236997 -0.862259 183.7032 21. 100. 35.8249164 0.369957191 -0.512484 183.9610

23-31. 110-150. 36 0 0 183.9999 33. 160. 35.8249164 -0.369957191 -0.512484 183.9610 35. 170. 34.6663529 -1.36236997 -0.862259 183.7032 37. 180. 31.8530773 -2.662154292 -0.938272 183.0774 39. 190. 27.239217 -3.856637818 -0.716390 182.0519 41. 200. 21.2505723 -4.566580469 -0.267060 180.7217 43. 210. 14.7494277 -4.566580469 0.2670602 179.2782 45. 220. 8.76078299 -3.856637818 0.7163909 177.9480 47. 230. 4.14692271 -2.662154292 0.9382725 176.9225 49. 240. 1.33364712 -1.36236997 0.8622593 176.2967 51. 250. 0.17508357 -0.369957191 0.5124848 176.0389

53-72. 260-360. 0 0 0 176.000

Es necesario que para el trazado del perfil de leva los incrementos de θ, sean lo más

pequeños posibles. Con los datos obtenemos los diagramas de desplazamiento, velocidad

angular y aceleración angular del seguidor (figura 2.14.)

CAPÍTULO 2

DESPLAZAMIENTO ANGULAR DEL SEGUIDOR

3

3.05

3.1

3.15

3.2

3.25

ROTACIÓN DE LA LEVA(GRADOS)

RO

TAC

IÓN

DEL

SE

GU

IDO

R(R

AD

IAN

ES)

VELOCIDAD ANGULAR DEL SEGUIDOR

- 0.02

- 0.015

- 0.01

- 0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

ROTACIÓN DE LA LEVA (grados)

VELO

CID

AD

AN

GU

LAR

DEL

SEG

UID

OR

(rad

./seg

.)

ACELERACIÓN ANGULAR DEL SEGUIDOR

- 0.004

- 0.003

- 0.002

- 0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

ROTACIÓN DE LA LEVA (grados)

AC

ELER

AC

IÓN

AN

GU

LAR

D

EL S

EGU

IDO

R (r

ad./s

eg².)

(c)

(b)

(a)

Figura 2.13. Características del movimiento del seguidor ó desplazamiento(a), Velocidad del seguidor (b) y aceleración del seguidor (c).

49

CAPÍTULO 2

50

2.6.2. Cálculo de las dimensiones principales en el mecanismo de leva con seguidor oscilatorio de rodillo.

Las dimensiones principales de los mecanismos de las levas, se calcula de las

condiciones del movimiento a producir en el seguidor, (como movimiento armónico,

cicloidal, polinómial, etc.), así como de las condiciones de no acuñamiento, ausencia de

ruido y de un alto nivel de eficiencia. Sin olvidar las condiciones de construcción del

mecanismo, éste deberá soportar la resistencia al desgaste de los elementos de contacto

en los pares cinemáticos.

El acuñamiento de estos mecanismos sólo sucede en la fase de elevación, que

corresponde al vencimiento de las fuerzas de resistencia útil. Para evitarlo en lo posible, se

sugiere que para el diseño de mecanismos de levas, un ángulo de presión λmax.= 30 a 40

grados para mecanismos con seguidor traslaciónal y para levas con seguidor oscilatorio

sugieren un ángulo de presión λmax.= 40 a 50 grados.

Para realizar la síntesis de la leva utilizaremos el método de Raven7 de variables

complejas para determinar el radio de curvatura de la superficie de paso ρ y el ángulo de

presión λ.

De la figura 2.14. el punto “O” es el centro de la leva, el punto D el centro de

curvatura y el punto O’ es el centro de oscilación del seguidor. El desplazamiento angular

del seguidor desde la horizontal es “ψ”, dado por la ecuación:

ψ = ψ0 + f(θ) (2.39.).

en que f(θ) es el desplazamiento angular deseado del seguidor desde el ángulo de

referencia ψ0. En la figura 2.14 se aprecia que el ángulo de presión λ está dado por:

λ ψπ

γ= − −2

(2.40.).

7 F.H. Raven, “analytical design of Disk Cams and Three-Dimensional Cams by Independent Position Equations, “ASME transactions, serie E, vol. 26, No. 1, 1959

CAPÍTULO 2

51

Sustituyendo la ecuación (2.39.) en ψ, de la expresión (2.40.) se tiene:

λ=(ψ0 + f(θ)) − −π2

γ (2.41.).

ψ -π/2

γ

θ

ρ δ

γ r

ψ = f(θ)

A

b

a

R

B

Superficie de paso

O’

f(θ)

ψ0

O

λ

l

D

Figura 2.14. Diagrama para encontrar el ángulo de presión λ .

Con el propósito de obtener una expresión para el ángulo γ, se describen dos

ecuaciones independientes de la posición para el centro del rodillo A. Una expresión

describe la trayectoria del triángulo ODA y la otra pasando por el contorno OBO’A. La

ecuación para la primera trayectoria (ODA) está dada por:

R = rei δ + ρei γ = r(cos δ + i senδ) + ρ(cos γ + i sen γ) (2.42.).

La segunda trayectoria (O-B-O’-A) está dada por:

CAPÍTULO 2

52

R = a + bi + l ei ψ = a + bi + l (cos ψ + i sen ψ) (2.43.).

Igualando las ecuaciones (2.42.) y (2.43.) y separando las partes real e imaginaria

se tiene:

r cos δ + ρ cos γ = a + l cos ψ (2.44.).

r senδ + ρsen γ = b + l sen ψ (2.45.).

Diferenciando las ecuaciones (2.44.) y (2.45.) con respecto a θ:

− − = −

+ =

rdd

dd

ldd

rdd

dd

ldd

sen sen sen

cos cos cos

δδθ

ρ γγθ

ψψθ

δδθ

ρ γγθ

ψψθ

.

Se puede considerar que ρ permanece constante para una rotación infinitesimal de

la leva. En consecuencia, el punto D, es el centro de curvatura de la leva en el punto de

contacto. Por tanto, la magnitud de dδ es igual a dθ, y ya que δ decrece al aumentar θ se

infiere que dδ/dθ= -1. Adicionalmente de la ley del movimiento del seguidor, dψ/dθ = f’(θ).

En consecuencia:

)('sensen θθγγρδ lf

ddr −=− (2.46.).

)('coscos θθγγρδ lf

ddr =+− (2.47.).

Eliminando dγ/dθ de las ecuaciones (2.46.) y (2.47.):

tanr lfr lf

γδ θ ψδ θ

=ψ

++

sen ' ( )sencos ' ( ) cos

. (2.48. a)

Despejando los términos r cosδ y r senδ de la ecuación (2.44.) y (2.45.)

respectivamente y sustituyendo en la ecuación (2.48.a), obtenemos:

CAPÍTULO 2

53

ψθγρψψθγρψγ

cos)('sencossen)('sensen

lflalflbtan

+−++−+

=

Si ρ es constante, por tanto γ sólo está en función de la curvatura del punto de

contacto, por consiguiente ρ = 0. (ρ Superficie de paso ver figura 2.14.). De donde:

[ ][ ]tan

b l fa l f

γψ θψ θ

=+ ++ +

sen ' ( )cos ' ( )

11

(2.48. b).

De las ecuaciones anteriores se considera que la longitud “l” es del centro del eje del

rodillo al centro del punto de apoyo; es decir, la longitud izquierda de la manivela, ver figura

4.62.

Si se supone que la manivela tiene una distancia entre el centro de la leva al centro

de apoyo de 257.41 mm. (ver figura 2.16.), cuando el seguidor se encuentra en el punto

más bajo de la leva, y según SKF nos recomienda en sus tablas que el rodamiento de leva

con eje debe ser de un diámetro de 52 mm. para soportar más de 2 tonelada (19620N)

tenemos por tanto que:

b= 26+ radio de base de la leva

l = 258.042 mm.

a = 257.41

f(θ)=al desplazamiento angular de la manivela:

Además, si se supone que el ángulo de presión es de 30º, 40º y 45º, para obtener el

radio mínimo (ver tabla 2.5.).

De la tabla 2.5. tomando el valor absoluto se tiene que el radio mínimo de base es

de 2.2886 mm. Cuando se trata de un ángulo de presión de 45 grados, pero para éste

caso se supone un radio mínimo de base de 61 mm, por cuestión de diseño.

CAPÍTULO 2

54

Tabla 2.5. Radio mínimo de base de la leva, cuando se tiene un ángulo de presión de 30, 40 y 45 grados. Desplazamiento

angular de la leva (grados)

Desplazamiento angular de la

manivela (grados.)

Radio mínimo en mm. de la leva con un

ángulo de presión de 30 grados

Radio mínimo en mm. de la leva con un

ángulo de presión de 40 grados

Radio mínimo en mm. de la leva con un

ángulo de presión de 45 grados

0 176 -43.9975 -43.9978 -44.6178 10 176.0389 -44.2567 -44.2213 -44.9606 20 176.2967 -44.9558 -44.8247 -45.8825 30 176.9225 -45.8860 -45.632 -47.0947 40 177.9480 -71.7234 -68.1001 -80.3993 50 179.2782 -47.33387 -46.9147 -48.8912 60 180.7217 -77.9098 -73.8193 -87.0361 70 182.0519 -46.90126 -46.5642 -48.2601 80 183.0774 -46.0218 -45.7936 -47.1612 90 183.7032 -45.0393 -44.924 -45.9626 100 183.9610 -44.2809 .4425 -45.0463

110-150 183.9999 -43.9972 -43.9975 -44.7041 160 183.9610 -43.7134 -43.745 -44.3612 170 183.7032 -42.9551 -43.0711 -43.4398 180 183.0774 --23.75126 -26.0373 -20.0306 190 182.0519 -41.0933 -41.431 -41.1082 200 180.7217 -40.6060 -41.0155 -40.4335 210 179.2782 -10.6322 -14.8275 -2.2886 220 177.9480 -16.27137 -19.8953 -8.8804 230 176.9225 -42.10876 -42.3635 -42.1619 240 176.2967 -43.0390 -43.1709 -43.3598 250 176.0389 -43.7381 -43.7743 -44.2758

260-360 176.0 -43.9975 -43.9978 -44.6178

Con el radio de base seleccionado se sustituye en la ecuación (2.48.) con el que se

calcula el ángulo suplementario ó de apoyo del ángulo de presión y con el resultado se

sustituye en la ecuación (2.41.), para obtener el ángulo de presión real. Estos resultados se

observan en la tabla 2.6. donde el ángulo máximo de presión es:

λ = 28.833 grados.

No es necesario el cálculo al retorno del seguidor oscilatorio, debido a que sólo nos

interesa el análisis cuando la leva proporciona la fuerza necesaria al seguidor oscilatorio. ;

El ángulo nos ayudará en el cálculo de las fuerzas que intervienen en el análisis dinámico.

CAPÍTULO 2

55

Tabla 2.6. Ángulo de presión para una leva con seguidor oscilatorio. Desplazamiento angular de la leva

(grados). Ángulo de presión (λ = grados).

0. 3.9996 10. 3.7683 20. 3.0044 30. 1.7154 40. 19.8050 50. 1.7886 60. 28.8333 70. 4.54017 80. 4.9487 90. 4.7310

100. 4.2530 110-150. 4.0028

160. 4.2791 170. 4.8856 180. 23.5703 190. 5.2360 200. 4.2616 210. 26.2743 220. 19.7169 230. 1.4246 240. 2.9026 250. 3.7513

260-360. 3.9996

Para encontrar el radio de curvatura ρ es necesario primeramente diferenciar la

ecuación (2.48.) con respecto a θ. Se sustituye dγ/dθ en la ecuación (2.47.) y con ayuda de

las ecuaciones (2.45.) y (2.46.) se obtiene la ecuación (2.49.). Para obtener el valor de ρ (

éste radio es necesario para el maquinado, ver anexo).

[ ]( )[ ]ρ

θ θ ψ ψ=

+

+ + − + + −

C DC D f aC bC f a b lf

2 23

2

2 2 1 ' ( ) ( ) ' ( ) ( sen cos ) ' ' ( )θ (2.49.).

Donde : C=a + l cosψ (1+f’(θ)).

D=b + l senψ (1+f’(θ)).

CAPÍTULO 2

56

2.6.2.1. Cálculo del radio mínimo de base por el método gráfico.

Éste método por cuestión de diseño no es aplicado, pero es importante su uso, ya

que permite de una manera fácil y rápida calcular el radio mínimo de base, así como

diferente variante.

Por otra parte analizando la figura 2.15. se tiene que el seguidor gira alrededor del

eje “E”. El ángulo de presión λ en éste mecanismo se forma entre la normal n-n y la

componente P’ de la fuerza P, dirigida perpendicularmente a la dirección de EB del

seguidor 2.

Se encuentra el eje instantáneo de rotación P0, en la intersección de la normal n-n

con la línea EA. La función de la relación de transmisión i21 en éste caso poseé la forma:

i21 = ωω

ψψ

2

1

2

1= =

dd

APEP

0

0 (2.50.).

si BC = i21l2 = dd

lψψ

2

12 , donde l2 es la longitud del brazo del seguidor 2.

Bajando del punto A una perpendicular Ak a la dirección EB, entonces, el ángulo de

presión se calcula de la igualdad: (figura 2.15)

TankCkA

BC BkkA

λ = =−

(2.51.).

donde:

Bk = l2 – l3cos(ψ2 + ψ0),

l3 = Distancia entre los puntos A y E. ψ0 = Ángulo formado entre el seguidor con la línea AE, en la posición inicial, figura 2.15. ψ2 = Ángulo de giro del eslabón seguidor, o ley del movimiento del seguidor: ψ2=ψ2(ψ1).

CAPÍTULO 2

57

Por otro lado la longitud de BE en el eje “x” tenemos: 22 cosψl , dé donde por

pitágoras tenemos por tanto:

l3 = ( ) ( )222

2 cosψlkA + (2.52.).

con el valor de la ecuación (2.25.) se sustituye en la ecuación (2.53.).para obtener el radio

mínimo de base de la leva.

R l lb l l= + −22

32

2 3 02 cosψ (2.53.).

Con éstas expresiones se tiene que el ángulo de presión disminuirá en la medida

que l3 aumenta.

Figura 2.15. Figura de apoyo para calcular el radio mínimo de la base.

CAPÍTULO 2

58

Figura 2.16. Posición del eje del brazo del seguidor de rodillo oscilante, asi como el contorno de la leva de disco.

CAPÍTULO 2

59

2.7. Cinemática del mecanismo Biela – Manivela - Corredera.

Analizando el mecanismo de la figura 2.17. y según el tema 2.3.2. tenemos por el

método de Raven la ecuación de cierre es:

r1 + r4 = r2 + r3 (2.54.).

en donde r1, θ1=0º , r2 , r3 y θ4 = 90º son constantes. El ángulo θ2 es el ángulo de entrada

conocido.

θ3

θ2

r3

r2

r4

r1

Figura 2.17. Circuito de cierre para las ecuaciones (2.54.) a la( 2.59.).

Donde se tiene:

θθ

31 2 2

3

=−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥arccos

cosr rr

(2.55.).

r r r4 2 2 3 3= +sen senθ θ (2.56.). Derivando las ecuaciones (2.55.) y (2.56.) se tienen las velocidades

correspondientes:

θθ θ

θ32 2

3 3

••

= −r

rsen

sen2

3

•

(2.57.).

r r r4 2 2 2 3 3

• •

= +cos cosθ θ θ θ (2.58.).

Derivando la ecuación (2.58.) y (2.57.) se tienen las aceleraciones:

CAPÍTULO 2

60

θθ θ θ θ θ θ

θ3

2 2 2 2 2 2

2

3 3 3

2

3 3

••

•• • •

=− − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟r r r

r

sen cos cos

sen (2.59.).

r r r r r4 2 2 2 2 2

2

2 3 3 3 3

2

3

•• •• • •• •

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟cos sen cos senθ θ θ θ θ θ θ (2.60.).

Con éstas expresiones se evalúa numéricamente cada ángulo de la manivela, θ2, dadas las dimensiones r1, r2, y r3 (r1 =214.51 mm. , r2 = 215.03381 mm. y r3 = 107.51691

mm.) y la velocidad y aceleración de entrada . Por otra parte si el ángulo generado θ

θ θ2

• •

y 2

•

2 = ψ2 + π (el ángulo ψ2 se obtuvo del análisis del brazo del seguidor oscilante de la figura 2.14. y figura 2.15. para obtener la tabla 2.5. y tabla 2.6.). Y de las expresiones (2.55.) y (2.60.) se tienen las tablas 2.7. (a) y 2.7.(b).

Tabla 2.7.(a) aceleración tangencial y normal del eslabón AO3A del mecanismo Biela manivela corredera.

Desplazamiento angular de la leva

(grados). (aA)t

mm./seg.². (aA)n

mm./seg.².Velocidad

Angular θ2

•

(rad./seg.).

Aceleración angular α2 (rad/seg.2).

Ángulo θ3 (grados).

0. 0. 0. 0. 0. 90. 10. -0.5113. 0.00053. -0.001430292. -0.001981319. 90.00541. 20. -0.8605. 0.00716. -0.00526865. -0.003334588. 90.03987. 30. -0.9369. 0.02739. -0.010301927. -0.0036309. 90.11388. 40. -0.7159. 0.05757. -0.014936275. -0.00277449. 90.20566. 50. -0.267. 0.0808. -0.017695737. -0.00103487. 90.27005. 60. 0.267. 0.0808. -0.017695737. 0.001034872. 90.27005. 70. 0.7159. 0.05757. -0.014936275. 0.002774492. 90.20566. 80. 0.9369. 0.02739. -0.010301927. 0.0036309. 90.11388. 90. 0.8605. 0.00716. -0.00526865. 0.00333458. 90.03987.

100. 0.5113. 0.00053. -0.001430292. 0.001981319. 90.00541. 110-150. 0. 0. 0. 0. 90.

160. -0.5113. -0.0005. 0.001430292. 0.001981319. 90.00541. 170. -0.8605. -0.0072. 0.00526865. 0.003334588. 90.03987. 180. -0.9369. -0.0274. 0.010301927. 0.0036309. 90.11388. 190. -0.7159. -0.0576. 0.014936275. 0.00277449. 90.20566. 200. -0.267. -0.0808. 0.017695737. 0.001034872. 90.27005. 210. 0.267. -0.0808. 0.017695737. -0.001034872. 90.27005. 220. 0.7159. -0.0576. 0.014936275. -0.002774492. 90.20566. 230. 0.9369. -0.0274. 0.010301927. -0.0036309. 90.11388. 240. 0.8605. -0.0072. 0.00526865. -0.003334588. 90.03987. 250. 0.5113. -0.0005. 0.001430292. -0.001981319. 90.00541.

260-360. 2E-16. 0. 0. -8.97932E-19. 90.

CAPÍTULO 2

61

Tabla 2.7.(b) Velocidad y aceleración del mecanismo Biela manivela corredera. Desplazamiento

angular de la leva (grados).

Posición de r4 (mm.).

Velocidad angular θ3 (rad

/seg.).

Velocidad de r4 (mm./seg).

Aceleración Angular. α3

(rad./seg.2).

Aceleración r4 (mm./seg.2).

0. 92.5169 0 0 0 0. 10. 92.6628 -0.000198 -0.306825 -0.0002778 -0.425004 20. 93.6283 -0.000681 -1.130521 -0.0004862 -0.71518 30. 95.9725 -0.001106 -2.211832 -0.0006018 -0.778418 40. 99.8169 -0.00107 -3.209332 -0.0006446 -0.594384 50. 104.807 -0.000446 -3.804654 -0.0006523 -0.221357 60. 110.225 0.000446 -3.805106 -0.0006523 0.2219758 70. 115.216 0.00107 -3.210157 -0.0006446 0.5946352 80. 119.061 0.001106 -2.212304 -0.0006018 0.7784122 90. 121.406 0.000681 -1.130623 -0.0004862 0.715153

100. 122.371 0.000198 -0.306829 -0.0002778 0.425001 110-150. 122.517 0 0 -1.253E-19 1.926E-16

160. 122.371 -0.000198 0.306829 0.0002778 0.4249954 170. 121.406 -0.000681 1.130623 0.0004862 0.7150802 180. 119.061 -0.001106 2.212304 0.0006018 0.778155 190. 115.216 -0.00107 3.210157 0.0006446 0.5941377 200. 110.225 -0.000446 3.805106 0.0006523 0.2213147 210. 104.807 0.000446 3.804654 0.0006523 -0.222019 220. 99.8169 0.00107 3.209332 0.0006446 -0.594881 230. 95.9725 0.001106 2.211832 0.0006018 -0.778675 240. 93.6283 0.000681 1.130521 0.0004862 -0.715253 250. 92.6628 0.000198 0.306825 0.0002778 -0.425009

260-360. 92.5169 0 0 1.253E-19 -1.93E-16

Para el análisis dinámico es necesario tener la aceleración en los puntos de inercia

(S2 y S3), según la figura 2.18. y según datos de diseño se tiene el siguiente análisis.

La aceleración del punto A es igual ala aceleración normal de la leva es decir:

(aA)t + (aA)n= y’’ (2.62.).

Con un ángulo de 90º con respecto al eje “x”, por tanto la aceleración del punto S2

tiene una aceleración total con un ángulo de 90º con respecto al eje x, (ver figura 2.18.)de

donde por tanto se tiene:

CAPÍTULO 2

62

(as2)t= rs2 x α2 (2.63.).

(as2)n= ω2 x ω2 x rs2 (2.64.).

Con las ecuaciones (2.63.) y (2.64.) se puede calcular la aceleración total del punto

S2. Con la ecuación (2.65.).

((as2)t)2 + ((as2)n)2 = (as2)2 (2.65.).

θ3

r2

r3

r1

aA

r4

y’’

A

O3

B

C

S3

S2

“x”

as2

as2t

as2n

as3n

as3t

as3

aBt

aBn

aB

aAt

Figura 2.18. Diagrama de aceleraciónes tangenciales y normales.

De la tabla 2.7.(a) y 2.7.(b) se tienen las aceleraciones angulares y velocidades

angulares para cada eslabón, con las expresiones (2.62.) y (2.65.) se calcula la aceleración

normal y tangencial para el punto S2 y punto S3. De donde se tiene la tabla 2.8.

CAPÍTULO 2

63

Tabla 2.8. Aceleraciónes normales y tangenciales de los puntos S2 y S3, así como el ángulo formado entre la aceleración total y la aceleración tangencial.

Desplazamiento angular de la leva (grados).

(as2)n (mm./seg2)

(as2)t (mm./seg2)

(as2) (mm./seg2)

Ángulo(en grados) de localización

de (as2).

(as3)t (mm./seg2)

(as3)n (mm./seg2)

(as3) (mm./seg2)

Ángulo de localización

de (as3).

0 0 0 0 0 0 0 2.78E-07 0 5 -0.066676 8.52E-06 0.066675 -0.029533 -0.01549 2.78E-07 0.015496 -0.0010 10 -0.127956 0.000132 0.127955 -0.236373 -0.02986 4.19E-06 0.02986 -0.00805 15 -0.178885 0.000624 0.178886 -0.799339 -0.04228 1.89E-05 0.0422 -0.02568 20 -0.215351 0.001790 0.215358 -1.905031 -0.05226 4.98E-05 0.05226 -0.05459 25 -0.234402 0.003856 0.234434 -3.76556 -0.05968 9.26E-05 0.05968 -0.08894 30 -0.234487 0.006846 0.234587 -6.661399 -0.06470 0.00013 0.064704 -0.11648 35 -0.215578 0.010519 0.215834 -11.04496 -0.06773 0.000145 0.06773 -0.12315 40 -0.17918 0.014391 0.179756 -17.81119 -0.06930 0.000123 0.069302 -0.10169 45 -0.128223 0.017828 0.129456 -29.08129 -0.06994 7.24E-05 0.069948 -0.05933 50 -0.066833 0.020200 0.069819 -50.40531 -0.07013 2.13E-05 0.070132 -0.01745 55 -2.91E-17 0.021047 0.021047 -90 -0.07015 8.47E-33 0.07015 -6.E-30 60 0.066833 0.020200 0.069819 50.405313 -0.07013 2.13E-05 0.07013 -0.017 65 0.128222 0.017828 0.129456 29.081285 -0.06994 7.24E-05 0.06994 -0.0593 70 0.179179 0.014391 0.179756 17.811193 -0.0693 0.00012 0.06930 -0.10169 75 0.215577 0.010519 0.215834 11.044964 -0.06773 0.00014 0.06773 -0.1231 80 0.234487 0.00684 0.234587 6.6613986 -0.06470 0.00013 0.0647 -0.11648 85 0.234402 0.003856 0.234434 3.76556 -0.05968 9.26E-05 0.05968 -0.08894 90 0.21535 0.001790 0.215358 1.9050315 -0.0522 4.98E-05 0.05226 -0.05459 95 0.17888 0.000624 0.178886 0.7993391 -0.0422 1.89E-05 0.04228 -0.02568

100 0.127955 0.000132 0.127955 0.2363734 -0.02986 4.19E-06 0.02986 -0.00805 105 0.066676 8.5E-06 0.066675 0.029533 -0.0154 2.78E-07 0.01549 -0.0010 110 5.7E-17 0 5.7E-17 0 -1.3E-17 0 1.34E-17 0

2.8. Sumario.

En éste capítulo se estudió el análisis y síntesis del mecanismo que se propone, de

donde se realizó el estudio con expresiones conocidas como la de movilidad, se realizó la

síntesis obteniendo expresiones del movimiento del mecanismo biela – manivela –

corredera, se analizó el movimiento del engranaje de transmisión de potencia, así mismo

se seleccionó la leva que transmitirá el movimiento al mecanismo biela – manivela –

corredera esta fue según Kloomok, and R.V. Muffley. Con este análisis se obtuvieron tablas

que permitirán realizar el estudio dinámico del mecanismo.

CAPÍTULO 2

64

Siempre considero el movimiento de los eslabones conductores conocidos, esto es,

que la ley de movimiento del eslabón o barra motor es dato conocido. El movimiento de los

eslabones conducidos se estudia en función del movimiento dado del conductor. Las

fuerzas que actúan en los eslabones del mecanismo y las fuerzas que aparecen debido al

movimiento de los eslabones se estudian en el CAPÍTULO 3. De ésta manera podemos

decir que en la cinemática la investigación del movimiento se lleva a cabo tomando sólo la

estructura de los mecanismos y las relaciones entre sus dimensiones.

REFERENCIAS

• Reuleaux, F., Kinematics of Machinery: Outline of a Theory of Machines. New

York: Dover, 1963.

• Hartenberg, R. S., and J. Denavit, Kinematics Synthesis of Linkages. New York:

McGraw-Hill Book Company, 1964.

• and E. R. Maki, “The Creation of Mechanisms According to Kinematic Structure

and Funtion, “ General Motors Research Publications, GMR-3073, September

1979; Innternational Journal for the Science of Arquitecture and Design, 1980.

• Normas ANSI Sección B6.1 y AGMA Standard, Sección 201.02 A.

• M. Kloomok and R.V. Muffley, Plate Cam Design, Product Engineering, 1955.

• F. H. Raven, Analytical Design of Disk Cams and Three-Dimensional Cams by

Independent Position Equations, ASME Transactions, serie E, vol. 26, NO. 1,

1959.

• Austin H. Church, Cinemática de las Máquinas, 23ª Edición, Compañía Editorial

Continental, S.A. de C.V., México D.F., 1990.

• Hamilton H. Mabie, Mecanismos y Dinámica de Maquinaria, 4ª. Edición,

Compañía Editorial Continental, S. A. De C. V., México D.F., 1990.

CAPÍTULO 2

65

• Beer Johnston, Mecánica Vectorial para Ingenieros (Dinámica), 6ª. Edición,

McGraw Hill, México D.F., 1998.

• Joseph Edwar Shigley, Teoría de Máquinas y Mecanismos, 1ª Edición, McGraw

Hill, México D.F., 1988.

• M. en C. Cándido Palacios Montúfar, Análisis y síntesis de mecanismos., I.P.N.

México D.F. ,1997.

• M. en C. Cándido Palacios Montúfar, Apuntes de Dinámico de maquinas y

mecanismos, México D.F. ,1997.

CAPÍTULO 3

65

CAPÍTULO 3

66

C a p í t u l o 3 .

DINÁMICA DEL MECANISMO PROPUESTO.

En él CAPÍTULO 2, se hizo el análisis cinemático del mecanismo para la prensa de

loseta de pedacería de mármol, su enfoque se basa en la geometría de los movimientos y

de las relaciones entre el desplazamiento y el tiempo. Se pasó completamente por alto las

fuerzas que produce el movimiento, o los movimientos que resultarían de la aplicación de

un sistema de fuerzas dado; es decir, después de haber utilizado la síntesis y el análisis

cinemático para definir una configuración y un conjunto de movimientos para un diseño en

particular, es lógico y conveniente aplicar una solución dinámica inversa, para determinar

las fuerzas y momentos en el sistema. De donde, él análisis de las fuerzas se hace

suponiendo, que el mecanismo tiene las propiedades de un cuerpo rígido, sin considerar

las propiedades de elasticidad de los materiales, es decir; en el análisis de los mecanismos

es usualmente conocido el movimiento, ya sea por experimentación o por predicciones

analíticas basadas en un análisis cinemático. Las restricciones físicas en las juntas del

mecanismo ayudan a predecir el movimiento, mientras que las fuerzas que ocasionan esos

movimientos deben ser determinadas.

3.1. GENERALIDADES.

El análisis de las fuerzas dinámicas está basado en las tres leyes de Newton, que se

utilizarán para determinar las fuerzas y momentos en el sistema que resultan de o se

requieren para impulsar el sistema cinemático, de modo que proporcione las aceleraciones

predeterminadas en la cinemática del mecanismo o como dato de diseño. En otras

palabras, las leyes de Newton describen la relación entre el movimiento de una partícula y

las fuerzas que actúan sobre ella. Los mecanismos están formados por eslabones rígidos

que están constituidos por millones de partículas que forman el cuerpo sólido.

CAPÍTULO 3

67

Analicemos a una partícula (figura 3.1) de un eslabón (k) en un instante con una

velocidad angular ωk y una aceleración angular αk conocida. El centro de masa está

situado en el centro de gravedad (cg) y tiene una aceleración acg. Cualquier partícula

(digamos Pi) de éste eslabón debe obedecer las leyes de Newton. La aceleración de Pi

puede encontrarse por el procedimiento de diferencia de aceleración. Además, se puede

expresar la aceleración en sus componentes, de donde se tiene:

a a a a aPin

Pit

cg Pi cgn

Pi cgt+ = + +( ) ( ) (3.1.).

donde: y está dirigida de Pi a cg; y es perpendicular a la

componente normal con el sentido de α

a Pi cgn

i k( ) = −rω 2 a Pi cgt

i kie( )

/= rα π 2

k. La segunda ley de Newton puede aplicarse a la

partícula Pi para determinar la fuerza aplicada a la partícula Pi :

ddt

ddt

ii

ii i i i i i i

iieT

= mV

= m a = m a - m r + m r = FP PP cg k

2kω α π /2 (3.2.).

donde: mi es la masa de la partícula y T es su momentum expresado en forma vectorial.

Eslabón K

Pi

acg

cg

ωK

αK

Figura 3.1. Eslabón k en movimiento plano general.

La fuerza resultante aplicada a todo el eslabón puede encontrarse sumando las

contribuciones de todas las partículas Pi:

F = F = m a - m r + m rcg k kii

ii

i ii

i ii

ie∑ ∑ ∑ ∑ω α π2 2/ (3.3.).

o

F = F = a m - m r + m r cg k2

k eii

ii

i ii

i

i∑ i i∑ ∑ ∑ω α π /2 (3.4.).

CAPÍTULO 3

68

La expresión (3.4.) se simplifica, observando que:

m ii∑ = m, masa total del eslabón K (3.5.).

y:

m ri ii∑ = 0 (3.6.).

ya que cg es el centro de gravedad. Por tanto la ecuación (3.4.) puede expresarse como:

F = m acg (3.7.).

Si se suman los momentos respecto al centro de gravedad de todos los puntos Pi,

los términos normales desaparecen y el par resultante es entonces:

T = m r r = m rki

ki

i i i i iα α∑ ∑ 2 (3.8.).

Por definición, la suma en el lado derecho de la expresión (3.8.) es el momento de

inercia de masa respecto al centro de gravedad (Icg), La expresión (3.8.) se escribe como:

T = Icgαk (3.9.).

La ecuación (3.7.) tiene dos componentes, en el caso de movimiento plano, se

tendrán tres ecuaciones independientes de equilibrio dinámico que, para cualquier eslabón

k, se escribe como:

F = ax cgx∑ m (3.10.).

F = ay cgy∑ m (3.11.).

T = Icg∑ αk (3.12.).

Las expresiones (3.10.) a la (3.12.) representan las leyes de la dinámica de cuerpos

rígidos que se mueven con movimiento plano. Ellas pueden expresarse como extensiones

convenientes de las leyes de la estática:

F =∑ 0 (3.13.).

T =∑ 0 (3.14.).

CAPÍTULO 3

69

T

en donde, se sobre entiende que tanto las fuerzas, como los momentos externos y de

inercia se deben incluir como términos de las sumatorias en F∑ ∑ y . A ésto, se le

conoce como el principio D’Alembert1, de donde se resume como:

La suma vectorial de todas las fuerzas externas y las fuerzas de inercia que actúan

sobre un cuerpo rígido es cero. La suma vectorial de todos los momentos externos y todos

los momentos de torsión de inercia que actúa sobre un cuerpo rígido también es cero por

separado.

3.1.1. FUERZAS DE FRICCIÓN.

Las fuerzas de fricción siempre se oponen al movimiento relativo de un cuerpo que

se deslice sobre otro, en forma automática y nunca la favorecen. Aún cuando no se

produzca un movimiento relativo existen siempre fuerzas de fricción entre ambas

superficies.

Las fuerzas de fricción que actúan entre superficies que están en reposo entre sí, se

llaman fuerzas de fricción estática. La fuerza de fricción estática máxima será precisamente

del mismo valor que la menor fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Una vez que el

movimiento ha comenzado, las fuerzas de fricción que actúan entre las superficies

generalmente decrecen de modo que para conservar el movimiento uniforme se requiere

una fuerza menor. La fuerza que actúa entre las superficies que están en movimiento

relativo entre sí, se llama fuerza de fricción cinética.

La relación entre la magnitud de la fuerza de fricción estática máxima y la magnitud

de la fuerza normal se llama el coeficiente de fricción estática de las superficies

consideradas. Si f, representa la magnitud de la fuerza de fricción estática, se tiene que:

fs ≤ µsN (3.15.).

1 Tomado de” Teoría de máquinas y mecanismos”, Joseph Edward Shigley 1ª edición, pagina 456, México 1988

CAPÍTULO 3

70

en la expresión (3.15.) µs es el coeficiente de fricción estática y N es la magnitud de la

fuerza normal. El valor de la igualdad se cumple cuando fs tiene su valor máximo.

La relación de la magnitud de la fuerza de fricción cinética a la magnitud de la fuerza

normal se llama el coeficiente de fricción cinética. Si fk representa la magnitud de la fuerza

de fricción cinética:

fk = µkN (3.16.).

en donde µk es el coeficiente de fricción cinética.

Tanto µs como µk son constantes adimensionales, puesto que ambas son relaciones

entre dos fuerzas. Generalmente, en un par de superficies dadas, µs>µk. Los valores de µs

y de µk dependen de la naturaleza de ambas superficies en contacto.

Nota: El coeficiente de fricción depende de muchas variables, tales como la

naturaleza de los materiales, el acabado de las superficies, las películas

superficiales, la temperatura y el grado de contaminación.

3.2. DINÁMICA DEL MECANISMO LEVA BIELA MANIVELA CORREDERA.

Éste mecanismo poseé una topología RRRP, cuyos pares cinemáticos, y el orden

en que están colocados definen la naturaleza del movimiento del mecanismo, es decir se

transformará movimiento de rotación de la leva a movimiento de traslación del pistón,

siguiendo una ley de movimiento cicloidal.

Se establece un sistema coordenado local, no rotatorio en cada elemento móvil, es

decir; todas las fuerzas aplicadas exteriormente, ya sea debido a otros elementos

conectados u otros sistemas, deben tener entonces sus puntos de aplicación localizados

en un sistema coordenado local. Además, se considerara que cualquiera de las fuerzas o

torques aplicados cuyas direcciones se conocen, deben conservar los signos apropiados

en sus componentes. Se supondrá que todas las fuerzas y torques desconocidos son

positivos. Sus signos verdaderos "Saldrán en el proceso".

CAPÍTULO 3

71

F41= -F14

a) Eslabonamiento.

A

O3

F21 = -F12

O3

S2

A

B

F25=-F52

F12

F32

Fp

acg

F14

F34 = -F43

b) Diagramas de cuerpo libre. F52

F15ω

O5

O5

y

S3

F43

F23=-F32

mg

acg

acg mg

215.034 mm.

107.517 mm. S2 S3

C

O3

x

y

B 53.758 mm.

64.51 mm.

258.041 mm.

C

x B

F51 = -F15

Figura 3.2. (a) Eslabonamiento del mecanismo biela manivela corredera, (b) Diagramas de cuerpo libre.

CAPÍTULO 3

72

Analizando la figura 3.2, que representa el diagrama de cuerpo libre y si la leva

(eslabón 5) tiene una masa de 5.61026 kg. y con un centro de gravedad en el eje “x” de _

12.855752 mm. y en el eje “y” de 15.320889 mm. respecto al centro de giro de la leva. Y

según la figura 3.2. sin considerar el rodillo del seguidor, se tienen las ecuaciones lineales

de las fuerzas que actúan en el punto de contacto entre el seguidor y la leva, así como las

fuerza ejercida en el eje de giro, es decir:

Fx∑ = F15x - F25x = m5acg5x (a).

Fy∑ = F15y - F25y – m5g = m2acgy (b).

Mo5∑ = T15 _ (r52xF25y – r52yF25x) –rcg5xm5g = I0α0 (c).

Analizando la leva, el punto de presión entre el seguidor y leva tienen un ángulo λ

que es el ángulo de presión del mecanismo. El cual fue analizado anteriormente en el

análisis cinemático. Por otra parte, tenemos que la velocidad angular del mecanismo leva

es constante, por tanto carece de una aceleración angular, por otro lado si la fuerza en la

leva en “x” es:

F25x = F25y tanλ (d).

Como el centro de masa se encuentra desfasado del centro de giro, tenemos que la

aceleración tiene componentes en “x” y en “y” de donde tenemos de las ecuaciones

(a),(b),(c) y (d):

F15x - F25y (tanλ) = m5acg5x (3.17.).

F15y - F25y – m5g = m5acg5y (3.18.).

T15 - r52yF25y tanλ = rcg5xm5g (3.19.).

r52y = (y + Rb)seno (270).

rcg5x = 20(coseno(110 + desplazamiento angular de la leva)).

CAPÍTULO 3

73

Analizando el eslabón 2 (AO3B) según figura 3.2. diagrama de cuerpo libre, y

considerando la ecuación (d) y como punto fijo el punto O3, se tiene:

F12x + F32x + F25ytanλ = m2acg2x (3.20.).

F12y + F32y + F25y = m2acg2y - m2g (3.21.).

(r32xF32y – r32yF32x) + F25y(r25x - r25ytanλ ) = Icg2α2 - (r12m2g) (3.22.).

si:

r12x = (64.510143)(coseno(180 - ψ2)), r12y = (64.510143)(seno(180 - ψ2)).

r32x = (215.03381)(coseno(360 - ψ2)), r32y = (215.03381)(seno (360 - ψ2)).

r25x = (258.04057)(coseno (180 - ψ2)), r25y = (258.04057)(seno (180 - ψ2)).

En el caso del eslabón 3:

F43x - F32x = m3acg3x (3.23.).

F43y - F32y – m3g= m3acg3y (3.24.).

(r43xF43y – r43yF43x) – (r23xF32y – r23yF32x) = Icg3α3 (3.25.).

si:

r43x = (53.75845)(senθ3), r43y =(53.75845)(cosθ3).

r23x = (53.75845)(seno (180 + θ3)), r23y = (53.75845)(seno (180 + θ3).

Para el eslabón 4:

F14x – F43x + Fpx= m4acg4x (e).

F14y – F43y + Fpy = m4acg4y (f).

(r14xF14y – r14yF14x) – (r34xF43y – r34yF43x) + (rpxFpy – rpyFpx) = Icg4α4 (g).

CAPÍTULO 3

74

Para la inversión de la manivela corredera mostrada, el bloque deslizante, o pistón,

ésta en traslación pura respecto al plano fijo estacionario; por tanto, puede no tener

aceleración o velocidad angulares. Asimismo, los vectores de posición en la ecuación “g”

del torqué son todos nulos, ya que la fuerza Fp actúa en el cg. Por lo tanto, la expresión del

torqué para el eslabón 4 es igual a cero para ésta inversión del eslabonamiento de

manivela corredera. Su aceleración lineal tampoco tiene componente “x”:

α4 = 0 acgx = 0 (h).

La única fuerza dirigida según “y”, puede hallarse en la interfaz entre los eslabones 4

y 3, es la fricción. Supóngase efecto friccional ideal, la componente “y” puede expresarse

en función de la componente “x” de la fuerza en está interfaz. Por tanto se tiene una

relación para la fuerza de rozamiento f en esa interfaz, como f = ± µN, donde ± µ es un

coeficiente de fricción conocido (0.058). Los signos más y menos son para reconocer el

hecho de que la fuerza friccional siempre se opone al movimiento. El signo de µ siempre

será el opuesto al signo de ésta velocidad:

F14y = -µF14x (i).

Al sustituir las ecuaciones, tenemos:

F14x – F43x - Fpx= 0 (3.26.).

±µF14x – F43y - Fpy = m4acg4y (3.27.).

Con la última sustitución tenemos 11 incógnitas que son: F15x, F15y, F25y, F12x, F12y

F32x, F32y, F43x, F43y, F14x, T15 con 11 ecuaciones lineales necesarias para la solución del

sistema. Esto puede expresarse en forma matricial, con los coeficientes de las variables

incógnitas en la matriz A, dichas variables en el vector B y los términos constantes en el

vector C; luego se resuelve para evaluar B.

[A] x [B] = [C] (3.28.).

CAPÍTULO 3

75

Nótese que la matriz A contiene toda la información geométrica necesaria y la matriz

C, toda la información dinámica acerca del sistema. La matriz B contiene todas las fuerzas

y Momentos desconocidos. De donde tenemos:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 00 0

52

25 25 2 32 32

23 23 43 43

−−

−

− −−

−− − −

−

tan

r tantan

r r tan r r

r r r r

y

x y y x

y x y x

λ

λλ

µ λ( )

0 0 0 0 0 0 1 00

15

15

25

12

12

32

32

43

43

14

15− −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

×

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=

µ

FFFFFFFFFFT

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

=

+

++

+

+ +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

m am a m g

r m gm a

m a m gI m g r

m am a m g

I

m a F m g

cg x

cg y

cg x

cg x

cg y

x

cg x

cg y

y py

5 5

5 5 5

5 5

2 2

2 2 2

2 2 2 12

3 3

3 3 3

3 3

4 4 4

0

α

α

( ) .

Suponiendo que µ0 = 0.058 para la corredera que tiene un deslizamiento grasoso

entre las superficies de acero con acero, y con los datos obtenidos en la tabla 2.7. (a), 2.7.

(b) y 2.8. y con los datos propuestos en el tema 2.5. se obtiene la tabla 3.1. para la

posición angular de la leva desde 60 grados a 110 grados, ya que es el periodo del cual

nos interesa el análisis dinámico.

CAPÍTULO 3

76

Tabla 3.1. Datos obtenidos de la solución de las ecuaciones lineales. Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en: 60 grados.

Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -1402.044 -16478.95 16538.486 85.136 F25 1402.831 -16533.85 16593.256 -85.150 F12 1309.262 36556.12 36579.558 87.948 F32 93.66207 -19865.31 19865.531 -89.729 F43 93.66207 -19826.07 19826.291 -89.729 F14 93.66207 -1614.8633 1617.5772 -86.681 T15 5.644

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 65 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro

Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento F15 -1674.036 -16506.44 16591.111 84.209 F25 1674.8081 -16561.27 16645.74 -84.225 F12 1590.163 36587.09 3662163 87.5113 F32 84.66759 -19869.86 19869.04 -89.755 F43 84.66759 -19829.62 19829.01 -89.755 F14 84.66759 -1459.786 1462.23938 -86.680 T15 11.731

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 70 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro

Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento F15 -1944.397 -16537.39 16651.305 83.294 F25 1945.1475 -16592.15 16705.779 -83.313 F12 1873.883 36620.58 36668.492 87.070 F32 71.26351 -19871.46 19871.588 -89.794 F43 71.26351 -19832.22 19832.348 -89.794 F14 71.26351 -1228.6812 1230.7461 -86.680 T15 19.005

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 75 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro

Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento F15 -2201.679 -16574.24 16719.833 82.433 F25 2202.4033 -16628.94 16774.154 -82.455 F12 2091.487 36662.08 36721.689 86.734 F32 110.8681 -19876.18 19876.489 -89.680 F43 110.8681 -19836.94 19837.25 -89.679 F14 110.8681 -1911.519 1914.7314 -86.680 T15 26.892

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 80 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -2431.718 -16599.77 16776.937 81.665

CAPÍTULO 3

77

F25 2432.4099 -16654.41 16831.102 -81.690 F12 2392.93 36684.67 36762.632 86.267 F32 39.46462 -19873.3 19873.339 -89.886 F43 39.46462 -19834.06 19834.099 -89.885 F14 39.46462 -680.42448 681.568 -86.680 T15 34.650

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 85 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -2625.804 -16625.8 16831.877 81.025 F25 2626.4593 -16680.38 1688.5892 -81.051 F12 2603.451 36709.81 36802.012 85.943 F32 25.11205 -19872.47 19872.486 -89.927 F43 25.11205 -19833.23 19833.246 -89.927 F14 25.11205 -432.96638 433.69402 -86.680 T15 41.583

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 90 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -2776.052 -16645.51 16875.41 80.531 F25 2776.6639 -16700.03 16929.29 -80.559 F12 2762.839 36727.54 36832.351 85.676 F32 13.83111 -19870.54 19870.545 -89.960 F43 13.83111 -19831.3 19831.305 -89.960 F14 13.83111 -238.46741 238.86818 -86.680 T15 47.121

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 95 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -2880.228 -16657.99 16905.157 80.190 F25 2880.7936 -16712.46 16958.93 -80.219 F12 2874.671 36737.09 36849.39 85.516 F32 6.114029 -19867.68 19867.681 -89.982 F43 6.114029 -19828.44 19828.441 -89.982 F14 6.114029 -105.41429 105.59145 -86.680 T15 50.964

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 100 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -2971.373 -16663.69 16921.222 79.988 F25 2942.1973 -16717.98 16974.904 -80.018 F12 2940.326 36739 36856.473 85.424 F32 1.881961 -19864.05 19864.05 89.994 F43 1.881961 -19824.81 19824.81 89.994 F14 1.881961 -32.447603 32.502134 86.680

CAPÍTULO 3

78

T15 53.151 Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 105 grados.

Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -2971.373 -16663.69 16926.536 79.889 F25 2969.3967 -16718.07 16979.729 -79.928 F12 2969.166 36734.91 36854.709 85.379 F32 0.2340356 -19859.88 19859.88 -89.999 F43 0.2340356 -19820.64 19820.64 89.999 F14 0.2340356 4.0350966 4.0418779 86.680 T15 54.013

Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 110 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento

F15 -2974.416 -16660.63 16924.058 79.877 F25 2974.815 -16714.98 16924.128 79.876 F12 2974.803 36727.38 36847.658 85.369 F32 0.004300 -19855.44 19855.44 89.999 F43 0.004300 -19816.2 19816.2 89.999 F14 0.004300 0.0740379 0.0742625 86.680 T15 54.096

En la tabla 3.1. se observa que el momento máximo es cuando la leva ésta en una posición de 110 grados, respecto al punto de origen de análisis, ya que cuando lleva al punto masa alto, se encuentra en reposo, y al retorno del seguidor no tiene carga por tanto no es necesario el análisis, se puede observar en la gráfica de la figura 3.3. el comportamiento del momento de la leva respecto al seguidor.

MOMENTO DE LA LEVA

0

10

20

30

40

50

60

DES70

PLA M ENTO ANG

NE

WTO

N-M

ETR

O

856560 55ULAR90 95 100 105 110

I80

ZA75

Figura 3.3. Comportamiento del momento en la leva.

CAPÍTULO 3

79

3.3. FUERZAS DINÁMICAS DE LAS RUEDAS DENTADAS

Por otro lado consideremos la dinámica del tren de engranajes, para hacer el

análisis completo es necesario tener las masas de los engranajes, supondremos que k= 8

(k = factor de ancho de cara del diente) y con una densidad promedio de 7800 kg/m3. Con

estos datos y con la tabla 2.2 se obtiene datos de la tabla 3.2.

El momento de inercia de masa se calcula de la siguiente expresión:

(I I m a Ly z= = +1

123 2 2 ) (3.29.).

Tabla 3.2. Momento de inercia y mása de cada engranaje. Engrane Número

de dientes Módulo (mm.)

Diámetro (mm.)

Ancho de cara

(mm.)

Ancho real

(mm.)

Área (mm.2 )

Volumen (mm.3)

Masa (kg.) Momento de inercia (Kg. – m2)

1 20 4 80 32 38.1 5026.548 191511.49 1.493 0.0007 2 60 4 240 32 38.1 45238.93 1723603.4 13.44 0.0500 2' 30 4 120 32 38.1 11309.73 430900.85 3.361 0.0034 3 110 4 440 32 57.15 ------ -------- ------- ------ 4 20 8 160 64 50.8 20106.19 1021394.6 7.966 0.0144 5 50 8 400 64 50.8 125663.7 6383716.3 49.79 0.5088

brazo ------ ------ ----- ----- ------ ------ 1.5 0.0035

De la tabla 3.1. el momento máximo es 54.09683 N.-m. él cual deberá ser trasmitido

por el engranaje 5 (ver figura 2.7.).

De los diagramas de cuerpo libre de la figura 3.4. se determinan las fuerzas que

actúan en cada eslabón. Las fuerzas de inercia son cero para el engranaje planetario y el

porta-engranaje (ó brazo), así como también para en engranaje externo de transmisión ya

que la aceleración angular de los centros de masa de estos elementos es cero, los pares

de inercia también son cero debido a que el tren opera a velocidad angular constante y

aceleración angular igual a cero. Por lo que respecta a los satélites, las fuerzas de inercia

centrifugas actúan debido a la aceleración centrípeta de los centros de los satélites. De

donde se tiene:

T05 = r54 x F45. (3.39.).

Si el torque es debido a la fuerza en “y” (ver figura 3.4.):

CAPÍTULO 3

80

F45y = Tr x

05

54

54 096830 2

=.

. N. .

O5

F45F45y

F45x

F05

F45 = - F54

F04 = -FB4

“x”

“y” T05

(a)

160 F2’B

TO4

FB4 F2B + F2’BPorta engranaje ó Brazo

(b)

Engranaje 5 Engranaje 4

(c)

-F2’3 = F32’

Engranaje 3

“y”

“x” TO3

FO3

“x”

“y”

T22’

FB2’ = -F2’BEngranaje 2’

F2’3

“y” F21

F01

To1

(d) “y”

“x”

T2’2

FB2 = -F2B

F12 = -F21Engranaje 2

Engranaje 1

“x”

F2B

T04

Figura 3.4 Diagrama para el análisis de las fuerzas en los engranajes.

CAPÍTULO 3

81

F45y = - 270.484 N.

F45x = -98.448 N.

Si analizamos las fuerzas en el engranaje 5, tenemos las ecuaciones (3.40.), (3.41.)

y (3.42.) tenemos:

F∑ 5x = F05x + F45x = m5acg5x (3.40.).

F∑ 5y = F05y + F45y – m5g = m5acg5y (3.41.).

T∑ 5cg = T05 + r54xF45y = Icgα5 (3.42.).

Si α5 es igual a cero, la aceleración del centro de gravedad en el eje “y” es cero, de

dónde tenemos que de la ecuación (3.40.) la fuerza en F05x es:

F05x = (49.792)(7.121)2(-0.2) - 98.448 = -603.390 N.

F05y = (49.792)(9.81) + 270.484 =758.953 N.

F05 = 969.098 N ∠ 51.514 º.

Analizando el engranaje 4 tenemos:

F∑ 4x = FB4x - F54x = m4acg4x (3.43.).

F∑ 4y = FB4y - F54y – m4g= m4acg4y (3.44.).

T∑ 4cg = T04 - r45xF54y = Icgα (3.45.).

Sustituyendo valores en ecuaciones (3.43.), (3.44.) y (3.45.):

FB4x =(7.966)(17.802)2(0.08) + 98.448 = 300.439 N

FB4y = (7.966)(9.81) + (270.517) = 348.639 N.

CAPÍTULO 3

82

FB4 = 460.231 N ∠ 49.246 º.

T04 = (0.2)(270.517) = 54.103 N-m.

Analizando el brazo del engranaje planetario.

F∑ brazo(x) = FB4x + (F2Bx + F2’Bx) = mBacg4x (3.46.).

F∑ brazo(y) = FB4y + (F2By + F2’By) – mBg= mBacg4y (3.47.).

T∑ brazo(cg) = T04 – r04B(F2By +F2’By) = I0α (mB)(9.81)(r04Bcg) (3.48.).

De la ecuación 3.48, despejamos (F2By + F2’By) y sustituimos valores obtenemos:

F2By + F2’By = 330.789 N.

Si por otro lado tenemos:

rr

FF

B x

B x

By

By

2

2

2

2

'

'= (3.49.).

Sustituyendo valores en la ecuación (3.49.):

F2By = - 110.263 N.

F2’By = - 220.526 N.

Analizando el engranaje 2’ de la figura 3.3. tenemos:

F∑ 2’x = -F2’Bx + F2’3x = m2’acg2x (3.50.).

F∑ 2’y = -F2’By + F2’3y – m2g = m2’acg2’y (3.51.).

T∑ 2’cg = T2’2 + (r2’3xF2’3 – r2’3yF2’3x) = Icgα2’’ (3.52.).

Sustituyendo valores en la ecuación (3.52.) tenemos que el torque es:

CAPÍTULO 3

83

T22’ = 13.231 N-m.

Sustituyendo valores en la ecuación (3.51.), obtenemos:

F2’3y = (3.361)(9.81)-220.526 = -187.552 N.

Analizando el engranaje 3, tenemos:

F∑ 3x = F03x - F2’3x = 0 (3.53.).

F∑ 3y = F03y - F2’3y = 0 (3.54.).

T∑ 3cg = T03 – r03xF2’3y = 0 (3.55.).

Nótese que la FO3 y TO3 son respectivamente, la fuerza y el momento de torsión que

ejerce el marco sobre el engranaje 3.

Sustituyendo valores en ecuaciones (3.55.) y (3.54.) tenemos:

T03 = 52.414 N-m.

F03y = 187.552 N.

Analizando el engranaje 2 tenemos:

F∑ 2x = -F2Bx – F21x = m2acg2x (3.56.).

F∑ 2y = -F2By – F21y – m2g = m2acg2y (3.57.).

T∑ 2cg = T2’2 - (r12xF21y – r12yF21x) = Icgα2 (3.58.).

Si F2B es la fuerza del eje sobre el brazo planetario “B” que actúa contra el engranaje

“2”, los engranajes 2 y 2’ están conectados entre si pero giran libremente sobre el eje del

brazo planetario por consiguiente T2’2 es el momento de torsión ejercido por el engranaje 2’

sobre el engranaje 2. De donde sustituyendo valores en ecuación (3.57.) y (3.58.) tenemos:

CAPÍTULO 3

84

F21y = -21.624 N.

T2’2 = 2.594 N-m.

Analizando al engranaje 1 tenemos:

F∑ 1x = F01x + F21x = m1acg1x (3.59.).

F∑ 1y = F01y + F21y = m1acg1y + m1g (3.60.).

T∑ 1cg = T01 + (r12xF21y – r12yF21x) = Icgα1 (3.61.).

Sustituyendo valores tenemos que :

T01 = 0.864 N-m.

F01y = 36.278 N.

Si tenemos que el ángulo de presión del engranaje es de 20 grados tenemos por

tanto que:

F21x = F21x tan (20º) (3.62.).

Sustituyendo valores en ecuación (3.62.) tenemos:

F21x = -7.870 N.

Con éste valor se sustituye en las diferentes incógnitas, de donde se obtiene la tabla

3.3.

Por otro lado para calcular la potencia del motor tenemos:

Potencia = torque x velocidad angular (3.63.).

Sustituyendo el torque T01 y la velocidad angular del engranaje 1 tenemos:

Potencia = (0.864)(142.418) = 123.187 watts.

CAPÍTULO 3

85

Potencia = 0.165 Hp.

Con ésta potencia tenemos que el fabricante IFIMOTO-IBÉRICA , según sus tablas

hay un motor de 0.25 Hp. con una eficiencia del 54 % a plena carga, de donde la potencia

real seria del 0.15 hp. Por consiguiente no es el motor adecuado, el siguiente es de 0.33

HP. con una eficiencia del 54% a plena carga , de donde la potencia real seria de 0.1782

Hp., de donde se opta por éste motor para no forzarlo. Por consiguiente tenemos:

Potencia del motor = 0.33 Hp.

Según IFIMOTO–IBÉRICA ® se trata de un motor asíncrono monofásico de par

medio de arranque (4 polos, 230 V. 50 Hz.) Tamaño IEC-71A con potencia nominal de 0.33

Hp. , velocidad angular de 142.418 (1360 r.p.m.) con una eficiencia del 54% a plena carga,

y con una intensidad de corriente para 230 V. de 2.1 y con un peso aproximado de 7.6 Kg.

Tabla 3.3. Fuerzas que actúan en el tren de engranajes. Fuerza en “x”

(Newton). Fuerza en “y”

(Newton). Fuerza total (Newton).

Ángulo (grados).

F05 -603.390 758.953 969.098 51.514 F45 -270.484 -98.448 287.843 20 FB4 300.439 348.639 460.231 49.246 F2B 3627.977 -110.263 3629.65 1.737 F2’B 4012.349 -220.526 4018.40 3.145 F03 3557.868 187.552 3562.80 3.017 F21 7.870 -21.624 23.012 20 F01 142.531 36.278 134.890 43.373 F2’3 -3557.868 -187.552 3562.808 3.017

3.4. SUMARIO.

Del CAPITULO 2, se tomó la información obtenida del análisis y síntesis del

mecanismo biela – manivela – corredera, así mimo la información cinemática del

mecanismo de transmisión para poder evaluar las fuerzas que intervienen para obtener el

movimiento deseado, es decir; en éste CAPITULO se analizaron las fuerzas dinámicas,

conociendo la cinemática de los eslabones, este análisis se realizó en dos partes, en la

CAPÍTULO 3

86

primera se analizó la dinámica del mecanismo biela – manivela – corredera, es donde se

obtuvo una matriz en donde interviene el eslabón “leva”, ésta matriz se resolvió por medio

de herramientas de cómputo, el método empleado es el llamado de “Gauss “, y por ultimo

se analizaron las fuerzas que intervienen en las ruedas dentadas (engranajes), de manera

que se puede decir que la dinámica es la base para realizar el análisis de los materiales y

dimensiones faltantes del sistema. En el CAPÍTULO 4 se observarán dibujos de detalle,

que es el resultado del análisis dinámico y mecánico.

REFERENCIAS

• Halmiton H. Mabie, Mecanismos y Dinámica de Maquinaria, 4ª. Edición,

Compañía Editorial Continental, S. A. De C.V., México D.F., 1990

• Arthur G. Erdman, Diseño de Mecanismos, Análisis y Síntesis, 3ª. Edición,

Prentice Hall, México D.F., 1998.

• Ferdinand P. Beer & E. Russell Johnston Jr., Mecánica Vectial para Ingenieros,

Dinámica, 6ª. Edición, McGraw-Hill, México D.F.,1998.

• Joseph Edwar Shigler, Teoría de Máquinas y Mecanismos, 1ª. Edición, McGraw

Hill, México D.F., 1988.

CAPÍTULO 4

C a p í t u l o 4 .

DIBUJOS Y SELECCIÓN DE MATERIALES PARA EL PROYECTO.

A continuación se realizan los cálculos correspondientes, para obtener las

dimensiones adecuadas de los dispositivos mecánicos, así como los materiales que

proporcionen la óptima resistencia de las fuerzas calculadas con anterioridad. Es

importante señalar, que la selección de estos últimos comprende la maquinabilidad del

mismo.

4.1. Esfuerzos en los dientes de los engranajes.

La resistencia de los dientes de engranaje se tiene que evitar tres posibles fallas.

Estás son la falla estática debida a esfuerzos por flexión, la falla por fatiga debida también

a esfuerzos por flexión y la falla en la superficie, derivada de esfuerzos de contacto.

rf

x

t

F

Ft

h

a

Fn

Ft

(a)

h

t

e

Figura 4.1. (a) voladizo con dimensiones, (b) diente de engranaje, para deducir ecuación de Lewis

(b)

87

CAPÍTULO 4

El investigador Wilfred Lewis1 presenta una expresión que relaciona el esfuerzo

por flexión que se produce en el diente del engranaje (ecuación 4.5.), ésta relación fue

publicada en 1892 el estudió del factor de forma para calcular el esfuerzo en dientes de

engranajes y en la actualidad es fundamental para el diseño de engranajes. De la figura

(4.1.) podemos deducir la ecuación de Lewis, de donde el esfuerzo por flexión es:

σ =TIc

(4.1.).

donde I/c es el módulo de la sección. Por otro lado analizando la figura (4.1. (b)) el

esfuerzo máximo se tiene en el punto a. Por triángulos semejantes tenemos:

xth

=2

4 (4.2.).

Si t es el espesor del diente, t = π (md

2)

y h es la altura del diente, h = 2.25(md), y

sustituimos en la ecuación (4.2.) obtenemos que:

xmd

=π 2

36( )

(4.3.).

Reordenando la ecuación (4.1.):

σ = ×Fb x

t 123

( ) (4.4.).

Se multiplica el numerador y el denominador por el módulo, además se tiene que

yx

md= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

23

, por tanto:

σ =F

b md yt

( ) (4.5.).

La ecuación (4.5.) es conocida como la ecuación de Lewis y el factor “y” se le

llama factor de forma de Lewis, si se emplea el paso para determinar el esfuerzo

tenemos:

88

1 R.G. Mitchiner and H:Mabie, The Determination of the Lewis Form Factor and the AGMA Geometry Factor J for

CAPÍTULO 4

σ =F p

bYt a( )

(4.6.).

donde:

Y x pa=23

( ) (4.7.).

“Y” es el factor de forma considerando el paso, sin embargo se desprecia la

compresión debida a la componente radial de la fuerza es decir sólo se considera la

flexión. El uso de la ecuación 4.7 implica asimismo que los dientes no comparten la carga

y que la fuerza se ejerce en el extremo del diente; Sin embargo la relación de contacto

debe ser algo mayor que la unidad, por tanto se considera a la ecuación (4.7.) como la

aproximación del esfuerzo máximo probable que se producirá mientras un sólo par de

dientes soporta la carga completa en un punto donde otro par se encuentra a punto de

hacer contacto.

La ecuación de la norma AGMA2 (publicación 225.01.) para el factor de forma de

Lewis es:

Y

xtan

tL L

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

115cos

cos.φ

φφ (4.8.).

donde φL es el ángulo entre el vector de carga total y éste, difiere del ángulo de presión

de contacto del engranaje φ.

4.1.1. Concentración del esfuerzo.

Cuando Lewis propuso su modelo para el esfuerzo por flexión, los factores de

concentración de esfuerzos todavía no se utilizaban. Pero hoy se sabe de

investigaciones, como la fotoelástica realizada por Dolan y Broghamer3 constituyen la

fuente primaria de información acerca de la concentración del esfuerzo. Mitchiner y

External Spur Gear Teeth, ASME Journal of Mechanical Design, vol 104, No. 1, 1982, pp. 148-158 2 AGMA (American Gear Manufacturers Association, Extractó de la hoja de información AGMA - Resistencia de dientes de engranajes cilíndricos, 1901

89

3 t.j. Dolan y E.I. Broghamer, A Photoelastic Study of the Stresses in Gear Tooth Fillets, Bulletin 335, 1942.

CAPÍTULO 4

Mabie4 interpretan los resultados en función del factor de concentración del esfuerzo en

la fatiga Kf como:

K Htr

thf

L M

= + ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (4.9.).

donde; H = 0.34 – 0.45366(2φ).

L = 0.316 – 0.458366(2φ).

M = 0.290 + 0.458366 (2φ):

( )( )rr md rd md rf f

f

=+ −

+ −

125

2 125

2. ( )

. ( ).

En éstas ecuaciones h y t se determinan mediante el esquema de la figura 4.2.

donde φ es el ángulo de presión del engranaje, rf es el radio del filete y d es el diámetro

de paso del engranaje.

F

x

h

rf

t2

.

90º

φL

Línea eje del diente Figura 4.2. Croquis para obtener x y t, cuando la carga F se ejerce en el punto más alto del contacto en un sólo diente.

90

4 R.E. Peterson, Stress Concentration Fector, Wiley,1974.

CAPÍTULO 4

4.1.2. Factor geométrico.

La AGMA5 ha éstablecido un factor J, denominado factor geométrico, el cual utiliza

el factor de forma modificado Y de la ecuación (4.8.), el factor de concentración de

esfuerzos en la fatiga Kf de la ecuación (4.9.) y una relación de carga mN . Ésta última, en

el caso de los engranajes rectos mN = 1, por consiguiente tenemos:

JYK f

= (4.10.).

de donde la ecuación (4.6.), considerando el factor geométrico tendrá la forma:

σ =F p

bJt a( )

(4.11.).

La ecuación (4.11.) nos muestra el esfuerzo normal correspondiente a la carga

total F, que actúa en el punto más alto de contacto en un sólo diente e incluye los efectos

de concentración del esfuerzo.

4.1.3. Efectos dinámicos.

Cuando un par de engranajes funciona a velocidades moderadas o altas y se

genera ruido, es seguro que existen efectos dinámicos. Uno de los primeros intentos para

tener en cuenta un incremento en la carga dinámica debido a la velocidad de operación

fue en el siglo XIX por Carl G. Barth6 el cual expreso el factor de velocidad por la

ecuación:

KVv = +

30483048

..

(4.12.).

donde V es la velocidad en la línea de paso en metros por segundo. La ecuación (4.12.)

5 R.G. Mitchiner and H.H. Mabie, The Determination of the Lewis Form Factor ans the AGMA Geometry Fector J for Externel Spur Gear Teeth, ASME Journal of Mechanical Desing, vol. 104,1982.

91

6 AGMA, information Sheet for Strength of Spur,Helical, Herringbone, and Bevel Gear Teeth, AGMA 225.01, American Gear Manufacturers Association.

CAPÍTULO 4

es conocida como la ecuación de Barth y se sabe que está basada en pruebas de

engranajes de hierro fundido con dientes colados. Por lo que es altamente probable que

se llevara a cabo con dientes de perfil cicloidal, en vez de envolvente. La ecuación de

Barth a menudo se modifica a la forma:

KVv = +

60966096

..

(4.13.).

La ecuación (4.13.) es utilizada en el caso de dientes cortados o fresados, o bien

para engranajes formados sin mucha exactitud. Si consideramos de la ecuación (4.6.) el

factor dinámico se tiene:

σ =F pK bY

t a

v

( )( )

(4.14.).

σ =F pK bJ

t a

v

( )( )

(4.15.).

La ecuación (4.14.) es utilizada por lo general cuando no es un problema la falla

por fatiga de los dientes. La ecuación (4.15.) debe ser utilizada en el caso de aplicaciones

importantes y donde debe considerarse la posibilidad de la falla por fatiga.

4.1.4. Materiales del engranaje.

Para analizar un juego de engranajes, con objeto de determinar la confiabilidad

correspondiente a una vida especificada o el factor seguridad contra una falla dada, es

necesario conocer su tamaño y los materiales de que están fabricados. En él capítulo 3

se dio un factor k de anchura de cara de 8 éste ésta basado en un valor de anchura de

cara del intervalo 3pa >b>5pa. De éste modo, una anchura de cara de cinco veces el paso

es aproximadamente el valor máximo, a menos que se tomen precauciones especiales

en lo que respecta a maquinado, montaje y rigidez del ensamble completo.

92

Cuando la anchura de cara sea menor a tres veces el paso se necesitará un

engranaje más grande para soportar la carga mayor por unidad de anchura de cara. Esto

CAPÍTULO 4

requiere más espacio en el alojamiento y lo que hacen que la máquina sea más grande y

de mayor costo.

Si se supone, que existe la posibilidad de una falla por fatiga en el engranaje 1, de

la ecuación (4.15.) se necesita los valores de las variables, de donde:

H = 0.02, t = 12.566371, h = 18 y r = 1.2638655, L = -0.004 M= 0.61, con estos

valores se sustituyen en la ecuación (4.9.), obteniendo:

K f = + ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=−

0 021256637112638655

1256637118

181401420 004 0 61

..

..

.. .

.

De la ecuación (4.8.), sustituimos valores obteniendo:

Y tan=−

=1

1521932454

2012566371

15268244..

( ).

.

Con los valores de la ecuación 4.8 y 4.9 obtenemos el factor de forma de la

ecuación 4.10, es decir:

J = =1526824418140142

08416827..

.

Utilizando ecuación (4.13.) y con la velocidad lineal o tangencial del engranaje se

obtiene el factor de velocidad:

Kv = +=

60966096 56967548

05169275.

. .. .

Con todos los valores obtenidos se sustituyen en la ecuación (4.15.), de donde se

obtiene:

σ =×

× ×⎡⎣⎢

⎤⎦⎥× = ×

2162421 2513274105169275 381 08416827

10 32 78514 106 62

. .. . .

.Nm

.

Éste es el esfuerzo que ocurre entre el engranaje de los engranajes 1 y 2 (ver

93

CAPÍTULO 4

figura 2.5. (b)). Siguiendo el procedimiento anterior para el engranaje entre los

engranajes 2’ y 3, de la figura 2.5. (b), tenemos:

σ = 162.06462 x 106 N/m2.

Para el engranaje entre los engranajes 4 y 5 (ver figura 2.6. (b)),tenemos:

σ = 71.059557 x 106 N/m2.

De donde se puede observar, que el mayor esfuerzo en el engranaje es entre los

engranajes 2’y3; para el engranaje 2’ seleccionamos un material AISI 8620, el cual tiene

una resistencia a la cedencia de 352 MPa. en condición de recocido y de 382 MPa. en

condición de normalizado y para el engranaje 3 un material AISI 4140, el cual tiene una

resistencia a la cedencia de 411 MPa en condición de recocido y de 656 MPa en

condición de normalizado. Estos materiales según Aceros Fortuna7 tienen una

maquinabilidad promedio en condiciones de recocido del 67%. De donde se tiene un

margen de seguridad para el engranaje 2’ de:

Factor de seguridad = 382 10

162 06462 1023571

6

6×

×=

.. .

Para el engranaje 3 se tiene un margen de seguridad de :

Factor de seguridad = 656 10

162 06462 104 0478

6

6×

×=

.. .

El factor de seguridad del engranaje 2’ es menor ya que el maquinado de éste

engranaje es de menor costo que el del engranaje 3 por lo que se deja un mayor margen

de seguridad.

4.1.4.1. Diseño por resistencia a la fatiga.

Cuando existe un esfuerzo fluctuante debido al movimiento se dice que el material

94

CAPÍTULO 4

95

puede fallar por fatiga. Éstas comienzan con una pequeña grieta que es tan diminuta que

no se puede percibir a simple vista. La grieta se desarrollará en un punto de

discontinuidad del material. Una vez que se forma la grieta, el efecto de concentración del

esfuerzo se hace mayor y se extiende más rápidamente hasta que finalmente el área

restante falla de repente.

Jeseph Marin8 clasificó las condiciones que afectan al límite de fatiga, como:

1. Material: Composición química, base de falla, variabilidad.

2. Manufactura: método de fabricación, tratamiento térmico, corrosión por desgaste,

condición de la superficie, concentración del esfuerzo.

3. Condición ambiental: corrosión, temperatura, tiempos de relajación.

4. Diseño: tamaño, configuración, duración, estado de esfuerzo, concentración del

esfuerzo, velocidad de desgaste.

Para tener en cuenta las más importantes de éstas condiciones se emplea una

diversidad de factores que modifican el límite de fatiga. Con base a lo anterior tenemos:

Se = kakbkckdkekfSe’ (4.16.).

Donde: Se = Límite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico.

Se’ = Límite de resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria.

ka = Factor de superficie.

kb = Factor de tamaño.

kc = Factor de confiabilidad.

kd = Factor de temperatura.

ke = Factor de modificación por concentración del esfuerzo.

7 Aceros Fortuna, Manual técnico de productos, edición 1997, Ediciones Acero Fortuna S.A. de C.V., México D.F., 1997. 8 Joseph Marin, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Emglewood Cliffs, N.J., 1962

CAPÍTULO 4

kf = Factor de efectos diversos.

El factor de superficie ka (valor adimensional) debe corresponder siempre a un

acabado a máquina, aún cuando el flanco del diente sea esmerilado o cepillado. Es

común no rectificar el fondo del espacio entre dientes, por lo que en la figura (4.3.) hay

una gráfica donde se tiene el factor de superficie contra la resistencia a la tensión, en el

eje “x” se tiene la resistencia a la tensión (Sut) del material a utilizar. De donde para el

acero AISI 8620 en una condición de normalizado se tiene una resistencia de 627 MPa.

(92 kpsi), de la figura (4.3.) en el eje “x” se encuentra el valor de 627 MPa. (92 kpsi) se

traza una perpendicular hasta la intersección de la curva, de éste punto se traza otra

perpendicular de donde se encuentra un valor aproximado de:

ka = 0.765.

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

0.9 0.8 0.7 0.6

Factor de superficie ka

Resistencia a la tensión Sut, kpsi.

Gráfica tomada de Joseph Edward Shigley, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 644.

Figura 4.3. Factores de acabado en la superficie para dientes de engranajes cortados, cepillados y esmerilados.

El factor de tamaño tiene una relación con el módulo, donde en la tabla (4.1.) se

muestran los factores de tamaño para dientes de engranajes rectos, Estos valores están

96

CAPÍTULO 4

97

basados a la anchura de cara en el intervalo 3pa>b>5pa.

Tabla 4.1. Factores de tamaño para dientes de engranajes rectos. Módulo Factor kb Módulo. Factor kb

12 0.8362 5 0.9103

10 0.8512 4 0.9285

8 0.8694 3 0.9559

6 0.8944 2 0.9963 Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 645

De donde de la tabla 4.1 tenemos un factor de tamaño del diente.

kb = 0.8694, para los engranajes con módulo 8. kb = 0.9285, para los engranajes con módulo 4.

El factor de confiabilidad no es un factor que proporcione valores absolutos. Su

mayor utilidad será servir como una guía para determinar qué es la más efectivo para

aumentar la vida y la confiabilidad de elementos reales. Shigley sugiere los valores

representados en la tabla 4.2.

Tabla 4.2. Factor de confiabilidad sugeridos por Shigley. Confiabilidad 0.5 0.90 0.95 0.99 0.999 0.9999

Factor kc 1.0 0.897 0.868 0.814 0.753 0.702

Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 645

Para el engranaje 3 es necesario que sea lo más confiable posible por lo que

supondremos 0.999 de confiabilidad, con un factor kc de 0.753, y para los demás

engranajes una confiabilidad del 0.5 con un factor kc de 1.0.

El factor de temperatura(kd) se debe considerar por los efectos térmicos, es decir

las altas temperaturas movilizan las dislocaciones y reducen la resistencia a la fatiga de

CAPÍTULO 4

muchos materiales. Forest9 muestra una idea general del efecto de temperatura, de

donde sugiere las siguientes relaciones para evaluar el factor de temperatura:

98

CF

º )k

T C FT C TT F T

d =≤

− − < ≤− − < ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

−

−

10 450 8401 58 10 450 450 5501 32 10 840 840 1020

3

3

. (. ( ) ( ) º º. ( ) ( ) º º

o

(4.17.).

Como el mecanismo trabajará a temperatura del medio ambiente, y el calor

generado en la transmisión, se supone que no excede de los 450ºC, el factor de

temperatura (kd) es de uno para toda la transmisión.

El factor de concentración de esfuerzos(ke) ha sido incorporado al factor de forma

(ecuación 4.10.), de donde se tiene por tanto que ke = 1.

El factor de efectos diversos kf son debidos a las fuerzas que actúan sobre el

diente. De manera que la carga se repite pero no se invierte. Esto significa que se puede

emplear el factor por efectos diversos a fin de incrementar el límite de fatiga de los

dientes cuando se someten a flexión. Es decir con la expresión de la línea de Goodman10

modificada σ =+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2S SS S

e ut

ut e se sustituyen valores, es decir si S

Sut

e='

.0 5 y además si Se’

(límite de resistencia a la fatiga de una probeta de viga rotatoria) es igual a Se (límite de

resistencia a la fatiga de un elemento de máquina particular) de donde se encuentra que

σ = 1.33 Se’, así el factor de efectos combinados kf es 1.33 cuando Sut es menor que

1378.94 MPa. (200 kpsi), de ésta manera se obtienen algunos valores útiles y se dan en

la tabla 4 .3.

Tabla 4.3. Factores de efectos Diversos para flexión en un sólo sentido. Resistencia a la tensión Sut, Mpa Hasta

1378.94 1723.675 2068.41 2413.145 2757.88

Factor kf 1.33 1.43 1.50 156 1.6 Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 646.

9 P.G. Forest, Fatigue of Metals, Pergamon Press, Londres, 1962 10 Robert C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strength, McGraw-Hill Book Company, Nueva York,1967, pp 268-314.

CAPÍTULO 4

Para obtener Se’ se disponen de tres alternativas. Si el costo del proyecto lo

justifica, deben emplearse procedimientos experimentales para obtener la media y la

desviación estándar del límite de fatiga. Ésta, es buena práctica y debe utilizarse siempre

que sea posible. Un segundo procedimiento recomendado es el utilizar la ecuación

(4.18.), pero hay que utilizar un factor de confiabilidad lo más amplio posible. Un tercer

método sería el de emplear la recta Se’/Sut = 0.35 de la figura 4.4. y utilizar luego Se '= 80

kpsi (551.576 MPa.) cuando Sut > 1400 MPa. (200 kpsi). La raya superior del símbolo Se '

señala el hhecho de que el valor de resistencia que se especifica es un valor medio y, por

tanto los resultados reales pueden variar en un sentido o en otro respecto a éste:

Se '= 0.5 Sut Sut ≤ 1400 MPa. (200 kpsi) (4.18. (a)).

Se '= 700 MPa. (100 kpsi) Sut > 1400 MPa. (200kpsi) (4.18. (b)).

Acero al carbon

Acero de aleación

Hierros forjados

Límite de resistencia a la fatiga

Resistencia última a la tensión Sut , kpsi.

Figura 4.4. Gráfica de límites de fatiga en función de resistencias a la tensión. Con base en resultados de pruebas reales (tomado de datos compilados por H. J. Grover, S.A. y L. R. Jackson en fatigue of Metals and Etructures,Bureaun of Naval Weapons Document NAVWEPS 00-258-534,1960).

De donde el engranaje 3 es de un material de acero AISI 4140 con una resistencia

99

CAPÍTULO 4

100

a la tensión de 1018 MPa. (148kpsi) en condición de normalizado, el cual tiene los

siguientes factores: ka = 0.7650, kb = 0.8694, kc = 0.733, ke = 1, kf = 1.333 y Se’ =

0.5(1018) = 509 MPa. y para el resto de los engranajes de un material AISI 8620 con

una resistencia a la tensión de 627 MPa. (92 kpsi) en condición de normalizado con los

siguientes factores: ka = 0.7650, kb = 0.8694, kc =1, ke = 1, kf = 1.333 y Se’

=0.5(627)=313.5 MPa.

Se analiza el engranaje 2’ y 3 (ver figura 2.6. b y figura 3.3.) donde existe el mayor

esfuerzo, tenemos que para el engranaje 3 el límite de resistencia a la fatiga del elemento

mecánico es:

Se = (0.765)(0.8694)(0.733)(1)(1.333)(509 x 106 ) = 330.77523 x 106 N/m2.

y para el engranaje 2’ se tiene:

Se = (0.765)(0.8694)(1)(1)(1.333)(313.5 x 106 ) = 277.93854 x 106 N/m2.

Con estos valores se obtiene el factor de seguridad de los engranajes cuando

existe la posibilidad de una falla por fatiga. La expresión para calcular el factor de

seguridad (nG) de los engranajes es:

nG = KoKmno (4.19.).

donde K0 es el factor de sobrecarga. Los valores recomendados por la AGMA aparecen

en la tabla 4.4. El factor Km es un factor de distribución de carga establecido por la

AGMA, que toma en cuenta la posibilidad de que la fuerza que actúa sobre un diente

pueda no estar distribuida uniformemente a todo lo ancho de la cara. Los valores

recomendados para el factor Km aparecen en la tabla 4.5.

Tabla 4.4. Factor de corrección por sobrecarga Ko.

Características de impulso Características de la carga impulsada de la máquina motriz Uniforme Choques moderados Choques fuertes Uniforme 1.00 1.25 1.75 Choque ligero 1.25 1.50 2.00 Choque moderado 1.50 1.75 2.25

Fuente: Darle W. Dudley (dir. Ed.) Gear Handbook McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1962, pp. 13-21.

CAPÍTULO 4

Si de la tabla 4.4, Ko = 1.25 para una condición de choque ligero en una máquina

impulsada, y Km = 1.7 para montajes y precisión de engranaje de tipo medio. Por lo tanto,

de la ecuación (4.19.). se obtiene:

nG = KoKmno = (1.25)(1.60)no = 2no.

Tabla 4.5. Factor de distribución de la carga Km para engranajes cilíndricos rectos

Ancho de cara, mm.

Características de montaje 0 a 50.8 152.4 228.6 406.4 o más

Exactos. Holguras pequeñas en cojinetes, mínima flexión del eje, engranajes de precisión

1.3 1.4 1.5 1.8

Menos rígidos, engranajes menos exactos, contactos a través de toda la cara.

1.6 1.7 1.8 2.2

Exactitud y ajuste tales que el área de contacto es menor que la de toda la cara

Mayor que 2.2

(Fuente: Darle W. Dundley (ed) Gear Hanbook, McGraw Hill Book Company, Nueva Yor, 1962,p. 13-21).

Si de la tabla 4.4, Ko = 1.25 para una condición de choque ligero en una máquina

impulsada, y Km = 1.7 para montajes y precisión de engranaje de tipo medio. Por lo tanto,

de la ecuación (4.19.). se obtiene:

nG = KoKmno = (1.25)(1.60)no = 2no.

El factor de seguridad para el engranaje 3 nG es:

nS

Ge= =

××

=σ

330 77523 10162 06462 10

2 04106

6..

. .

por lo tanto:

no = =2 0410

2 010205

..

. .

El factor de seguridad para el engranaje 2’ nG es:

101

CAPÍTULO 4

nS

Ge= =

××

=σ

27793854 10162 06462 10

171506

6..

. .

por lo tanto:

no = =17150

2 00 8575

..

. .

Con los valores de nG y no para el engranaje 2’ y 3 se tiene evidentemente que la

falla por fatiga es una posibilidad a considerar. Posiblemente el engranaje 2’ tenga la falla

por fatiga más evidentemente, sin embargo es necesario sacrificar a éste engranaje, ya

que el maquinado del engranaje 3 es de mayor costo que el maquinado del engranaje 2’,

por lo tanto para el engranaje 2’ según la AGMA no cumple con el factor de seguridad

para las cargas de fatiga.

4.1.4.2. Durabilidad de la superficie.

El desgaste ó falla en las superficies se manifiesta como una picadura superficial

debida a muchas repeticiones de esfuerzos de contacto intensos. Otras fallas de

superficie son la escarificación, que es una falla por falta de lubricación, y la abrasión que

se manifiesta en desgaste debido a la presencia de materias extrañas.

El límite de fatiga en la superficie con frecuencia se observa en elementos de

máquinas que trabajan en contacto entre si por rodamiento, deslizamiento ó una

combinación de contacto rodante y deslizante. Ésta falla ocurrirá después de cierto

número de ciclos de operación por lo que es complicada su determinación y por tanto no

existe un método exacto, sin embargo investigaciones de Buckingham11 y posteriormente

Talbourde12 obtuvieron gran cantidad de datos que para el caso del acero se tiene la

ecuación (4.20.):

SH kpsiHcB

B=

−−

⎧⎨⎩

0 4 102 76 70..

MPa

(4.20.).

11 Earl Buckingham, Analytical Mechanics of Gears, cap. 23, McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1949.

102

12 Según informe de W.D. Cram, Experimental Load-Stress Factors, en Charles Lipson y L.V. Colwell (dirs. Eds.), Engineering Approach to Surface Damage, University of Michigan Summer Session, Ann Arbor, 1958.

CAPÍTULO 4

donde: HB es el número de dureza Brinell. Los resultados con la ecuación (4.20.).

concuerdan con los valores de los factores de carga y esfuerzos recomendados por

Buckingham. Siempre que sea un acero y en el que se estime que tendrá una duración

de 108 aplicaciones del esfuerzo.(para la propuesta se utiliza ésta como base).

La AGMA recomienda que se modifique el límite de fatiga de superficie en forma

similar a la usada para el de flexión. La ecuación es:

SC CC C

SHL H

T RC= (4.21.).

donde: SH = Límite de fatiga superficial corregido, o resistencia herziana.

CL = Factor de duración o vida.

CH = factor de relación de dureza. Se emplea 1.0 para engranajes rectos.

CT = Factor de temperatura. Se usa 1.0 para temperaturas menores que 250ºF.

CR = Factor de confiabilidad.

El factor de duración de vida CL se emplea para incrementar la resistencia cuando

se usa el engranaje en periodos cortos(ver tabla 4.6.). El factor de confiabilidad CR, como

lo presenta la AGMA, es bastante vago por lo que usaremos los valores de la tabla (4.2.),

ya que los valores presentados en ésta tabla son aproximadamente iguales.

Tabla 4.6. Factores de modificación de vida y confiabilidad. Ciclos de vida. Factor de vida CL. Confiabilidad R. Factor de

confiabilidad CR. 104 1.5 Hasta 0.99 0.80 105 1.32 0.99 a 0.999 1.00 106 1.1 0.999 ó más 1.25 ó más

108 ó más 1.0

FUENTE: AGMA 225.01

103

CAPÍTULO 4

Tabla 4.7. Valores del coeficiente elástico Cp para engranajes rectos y Helicoidales con contacto no localizado y para µ = 0.30.

Engranaje Piñón

Acero Hierro fundido

Bronce de aluminio

Bronce de estaño

Acero, E = 206.841 Gpa 190.2x103 165.4x103 161.3x103 157.1x103

Hierro fundido, E = 130.9993 Gpa 165.4x103 148.9x103 148.9x103 144.7x103

Bronce de aluminio, E = 120.6573 GPa 161.3x103 148.9x103 144.7x103 140.6x103

Bronce de estaño, E = 110.3152 GPa 157.1x103 144.7x103 140.6x103 136.5x103

Fuente: Darle W. Dudley, Gear Handbook, McGraw-Hill, Nueva York, 1962, pp. 13-22.

Para Asegurar una vida satisfactoria los engranajes deben diseñarse de manera

que los esfuerzos dinámicos que actúan sobre la superficie queden dentro del límite

superficial del material. La teoría de Hertz relaciona el esfuerzo de contacto en la

superficie, donde:

σπH p

t

vC

FC b md I

= −×( )

(4.22.).

si b = 38.1 mm. (anchura real del diente), de la tabla 4.7, CP = 2300 para material de

acero sobre acero, Ft = 187.55233 N, Cv = Kv (factor de velocidad) para éste caso del

engranaje 2’, tenemos que el factor de velocidad es igual a 1.0, para obtener el factor de

configuración geométrica (I) para engranajes rectos exteriores tenemos:

Im

mG

G=

+cos senφ φ

2 1 (4.23.).

Para engranajes interiores el factor es:

Im

mG

G=

−cos senφ φ

2 1 (4.24.).

Si mG es la relación de velocidad, y por otro lado si para el material AISI 8620 tiene

una dureza HBN de 183, sustituyendo en la ecuación (4.20.) tenemos:

104Sc = 2.76 (183)-70 = 435.08 x 106 Pa.

CAPÍTULO 4

Sustituyendo el valor de Sc y los factores correspondiente en la ecuación (4.21.) se

tiene:

SH = × =( . )( . )( )( . )

( . ) .110 101 0 733

43508 10 65291678 106 6× Pa.

Empleando la ecuación (4.24.) se tiene:

I =−

= =cos( )sen( )

. ( . ) .20 20

2

20060

20060

101607 14286 0 2296 .

Sustituyendo en la ecuación (4.22.) se tiene:

65291678 10 230010 381 31416 8 0 2296

6.( . )( . )( . )( )( . )

,× =Ft p .

Resolviendo da como resultado Ft,p = 2590.6 N. Como Ft = 187.55233 N., el factor

nG es :

nFFGt p

t= = =, .

..

2590 618755233

138127 .

De donde el factor de seguridad ordinario es :

nn

K KoG

m= = =

0

138127125 17

65.

( . )( . ). .

De modo que existe la seguridad contra una falla por fatiga en la superficie, y

puede esperarse que los engranajes tengan una duración por desgaste algo mayor que

106 aplicaciones del esfuerzo.

Resumiendo, se tienen que la tabla 4.8. se muestra que el material seleccionado

es adecuado para resistir las tres posibles fallas que existen en el engranaje.

105

CAPÍTULO 4

106

Tabla 4.8. Factor de seguridad para las tres posibles fallas que existen en un engranaje.

Falla por estática

Falla por esfuerzos de

flexión

Falla por fatiga en la superficie

Factor de seguridad

Engranaje 2’ 2.3571 0.8575 6.5

Ordinario (no) Engranaje 3 4.0478 1.0205

Factor de seguridad

Engranaje 2’ --- 1.7150 13.8127

De engranaje (nG) Engranaje 3 --- 2.0410

El engranaje 2’ puede fallar por flexión, sin embargo es preferible tener en éste

caso al engranaje 2’ como el material de sacrificio, ya que el engranaje 3 su maquinado

es de mayor costo.

El engranaje 1 tiene las dimensiones mostradas en el dibujo EM4-20 (figura 4.5.),

las dimensiones de la flecha se calculan en el tema 4.2.

Nota: El número de identificación no ésta normalizado, sin embargo de ésta

manera es más fácil la identificación en un sistema de control, por ejemplo en número de

asignación EM4-20, donde E es Engranaje, M de módulo 4, con 20 dientes.

En las siguientes figuras (4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11.) se muestran los dibujos de

detalle para la fabricación de los engranajes 1, 2, 2’, 3, 4 y 5 con número de asignación

EM4-20, EM4-60, EM4-30, EM4-110, EM8-20, EM8-50 respectivamente que pertenecen

al conjunto de transmisión, ver figura 4.5 (prensa).

CAPÍTULO 4

107

CAPÍTULO 4

108

CAPÍTULO 4

109

CAPÍTULO 4

110

CAPÍTULO 4

111

CAPÍTULO 4

112

CAPÍTULO 4

113

CAPÍTULO 4

4.2. Esfuerzos en los ejes de transmisión ó ejes (flechas13).

Los ejes de transmisión, o simplemente ejes, son barras sometidas a cargas de

flexión, tensión, compresión o torsión que actúan individualmente o combinadas. En este

último caso es de esperar que la resistencia estática y la de fatiga sean consideraciones

importantes de diseño, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultanea a la

acción de esfuerzos estáticos, completamente invertidos en forma alternante y repetidos

sin cambio de sentido.

Se recomienda, que siempre que sea posible los elementos de transmisión de

potencia, como engranajes o poleas, deben montarse cerca de los cojinetes de soporte,

esto reduce el momento flexionante y, en consecuencia, la deflexión y el esfuerzo por

flexión.

Los métodos de diseño, que siguen difieren en varios aspectos. Algunos son muy

conservadores, mientras que otros son útiles porque proporcionan resultados rápidos,

pero no debe esperarse que todos produzcan resultados idénticos.

4.2.1. Diseño para cargas estáticas.

Si el esfuerzo por flexión (σf) sabemos que se calcula por:

σ fMeI

= (a).

Donde I es el momento de inercia con respecto al eje centroidal (eje neutro), si se

trata de un eje macizo de sección circular, tenemos:

I =12π r4 (b).

y si e es el eje neutro, donde e = r.

114

13 A veces a un eje de transmisión se le llama, impropiamente, “flecha”.

CAPÍTULO 4

Sustituyendo la ecuación b en a tenemos por tanto:

σπf

M=

32d3 (4.25.).

Los esfuerzos en la superficie de un eje macizo de sección circular, sometido a

cargas de torsión son:

τπxy =16 T

d3 (4.26.).

donde: τxy = esfuerzo de torsión.

T = momento torsionante en la sección crítica.

Mediante el círculo de Mohr se halla que el esfuerzo cortante máximo:

τσ

τmax =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +x

xy2

22 (c).

Sustituyendo la ecuación (4.25.) y (4.26.) en la ecuación c se obtiene:

τπmax 3d

=16 2M T+ 2 (4.27.).

La teoría del esfuerzo cortante máximo para la falla estática expresa que Sxy=Sy/2.

Empleando un factor de seguridad n la ecuación (4.27.) puede escribirse como:

Sn

M Ty

216 2=π

2+d3 (d).

o bien:

( )d =32 n

Syπ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

M T2 212

13

(4.28.).

115

CAPÍTULO 4

Un enfoque similar se utiliza en la teoría de falla de la máxima energía de

distorsión es decir:

d =32 n

Syπ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

MT2

212

13

34

(4.29.).

4.2.2. Fatiga en las flechas de transmisión.

En todo árbol rotatorio, que está sometido a momentos flexionantes y torsionantes

invariablemente en el tiempo, ocurrirá el fenómeno comúnmente llamado fatiga. Según

Sines14 no es afectada por la existencia del esfuerzo medio de torsión (esfuerzo cortante)

hasta que la resistencia de fluencia no exceda un 50%, por tanto el esfuerzo alternante

(σa) queda sencillamente así:

σa =Sn

e (4.30.).

donde: Se = al limite de fatiga (ver tema 4.1.4.1.).

Sí el esfuerzo de flexión de la ecuación (4.25.) es igual al esfuerzo alternante,

sustituyendo en la ecuación (4.30.) y despejando al diámetro (d), obtenemos:

d =32 M n

Seπ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

(4.31.).

El esfuerzo al corte no es considerado, ya que según Sines no afecta al límite de

fatiga a la flexión.

14 George Sines en George Sines y J.L. Waisman(eds.), Metal Fatigue, McGraw-Hill, Nueva York, 1959, p.158.

116

CAPÍTULO 4

4.2.2.1. Método de Soderberg.15

Este método estudia la resistencia a la fatiga de piezas sometidas a esfuerzos

alternantes y se basa en el diagrama de Soderberg, en la figura 4.12. se muestra que los

esfuerzos cortantes alternos se llevan como ordenadas, y los esfuerzos medios de corte

estáticos, como abscisas. Como se indica, la línea de Soderberg es una recta que pasa

por él limite de fatiga a la cortadura completamente corregida Sse y la resistencia de

fluencia al corte Ssy. Debe notarse particularmente que el límite de fatiga al corte es el

límite correspondiente a un elemento de máquina, después de haber tenido en cuenta los

factores correspondientes (hacer uso de la ecuación (4.16.)).

Línea de Soderberg

Línea de esfuerzo seguro

Sse

B

45º

90º 0º

16Tπ d3

75º 15º

A

16Mπ d3

SsuSsy

.

Esfuerzo alternante de corte ταa

Esfuerzo cortante medio ταm

Figura 4.12. Diagrama de Soderberg que muestra la línea de esfuerzo seguro AB, paralela a la de Soderberg y tangente a la elipse.(Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingenieria Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 735.).

Por otro lado, si se considera un plano que forma un ángulo α con la horizontal, el

esfuerzo cortante tendrá un valor medio de:

τπ

ααmT

=16

d 23 cos (4.32.).

y una amplitud de componente alternante de:

117

15 C.R. Soderberg, Working Stresses, J. Appl. Mechanics, vol. 57, 1935, p. A.106.

CAPÍTULO 4

τπ

ααaM

=16

d 23 sen (4.33.).

Para determinar si la falla ocurrirá o no en ciertos planos que forman un ángulo α

con la horizontal, se sitúa en la figura 4.12. para cada valor de α. Sus coordenadas serán,

(τ ταm , aα ), según las ecuaciones (4.32.) y (4.33.).Al considerar la figura 4.12. se llega a la

conclusión de que el factor de seguridad debe ser el correspondiente al punto de la elipse

que esté más próximo a la línea de falla. Con tal recta podrá determinarse gráficamente

el factor de seguridad “n”. Esta solución es totalmente aceptable, pero por geometría

analítica puede demostrarse que el valor de n así obtenido será:

nTS

MSsy se

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π d3

16 22

(4.34.).

De ésta ecuación puede despejarse el diámetro obteniendo:

d = 16 nπ

TS

MSsy se

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 212

13

(4.35.).

puesto que Ssy = 0.5 Sy y Sse = 0.5 Se cuando se utiliza la teoría del esfuerzo cortante

máximo, se sustituye en la ecuación (4.35.), obteniendo:

d = 32 nπ

TS

MSy e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 212

13

(4.36.).

Si se emplea la teoría de la energía de distorsión, entonces Ssy = 0.577 Sy y Sse =

0.577 Se, de donde la ecuación (4.35.) se convierte en:

118

CAPÍTULO 4

d = 48 nπ

TS

MSy e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 212

13

(4.37.).

Es importante observar que el análisis anterior no toma en cuenta el hecho de que

los límites de fatiga a la torsión pueden requerir factores de modificación diferentes de los

límites de fatiga a la flexión.

4.2.3. Cálculo de diámetros de ejes de transmisión.

Para el cálculo de los ejes de transmisión se consideran los esfuerzos normales

por flexión que se producen, de donde supondremos que los ejes son vigas que son

inicialmente planas y que permanecen planas en todo el ciclo de esfuerzos, así como se

dijo anteriormente el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.

Por otra parte supondremos que el módulo elástico es igual a tensión que a la

compresión, ya que al esfuerzo de flexión en cualquier fibra es directamente proporcional

a su distancia de la superficie neutra y por último supondremos que la viga es

inicialmente recta y de sección constante.

Para el análisis es necesario calcular las fuerzas que intervienen en el eje de

transmisión, de la figura 4.13, se tienen las distancias donde están aplicadas las fuerzas,

que producen los esfuerzos de flexión.

Brida 2Brida 1 Polea Brazo

deslizanteEngranaje 1

49.4 mm. 86.4 mm.82.025 mm.110.275 mm.

Figura 4.13. Distancias donde se aplican las fuerzas en el eje de transmisión de la figura 4.15.

119

CAPÍTULO 4

En la polea existen dos fuerzas de tensión diferentes en la banda de transmisión

cuando ésta, se encuentra en movimiento, por consiguiente es necesario considerar el

coeficiente empírico de fricción de deslizamiento, (µ = +0 22 0 012. . V ), si el motor tiene

una velocidad angular de 1360 rpm. (142.41887 rad/seg) y suponemos que el diámetro

de las poleas es de 50.8 mm. Tenemos por tanto que la velocidad tangencial es de

7.2349 m/seg. Así por tanto:

µ = + =0 22 0 012 7 234 03068. . ( . ) . .

Si el motor transmite una potencia de 0.33 Hp., tenemos por tanto que la fuerza

tangencial( ó periférica, Fp) es:

Fp =×

=033 716

7 234934027

..

. N. .

Si el ángulo de contacto es de 180º (α = π rad), se tiene por tanto que la fuerza de

tensión total (FTa) es:

F FTa pee

=+−

µα

µα11

(4.37.).

Sustituyendo valores se tiene:

( )( )( )

( )( )FTaee

=+

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=34 026732

11

7598980 3068

0 3068. ..

.

π

π N .

De donde la fuerza total de tensión es aproximadamente igual a 76 N, Si

suponemos que se trata de una polea para dos bandas, tenemos:

FTa = (76 N)(2)= 152 N.

Si se analiza la figura 4.14. se observa que la reacción RA y RB son incógnitas, ya

que los valores del brazo deslizante y del engranaje uno se obtienen de la tabla 3.3.

(nótese que se toman valores de “x”, debido al análisis realizado en su momento.

120

CAPÍTULO 4

FTa=152 N RA RB F2B = 3627.9776 N FO1 = 142.53162 N

49.4 mm. 86.4 mm.82.025 mm.110.275 mm.

Figura 4.14. Fuerzas y reacciones en el eje de transmisión.

De donde la reacción en RA = 3701.109 N y RB = -7623.6182 N, con estos valores

tenemos el diagrama de momentos (figura 4.15.), de donde se tiene un momento máximo

de 332.4285 N-m.

a) Diagrama de Cortantes

M=7.0413 N-m. M=16.5413 N-m.

MB=332.4285 N-m.

b) Diagrama de momentos

Figura 4.15. a) Diagrama de cortantes b) Diagrama de momentos

En el diagrama de momentos de la figura 4.15. b) se observa que en MB es el de mayor magnitud y actúa en el centro del cojinete, si el eje de transmisión se supone que es de un acero AISI 1040, el cual tiene una resistencia de fluencia Sy = 352 Mpa, se toma un factor de seguridad de 2 y de la ecuación (4.28.) se tiene que T es el momento torsiónante del sistema, del cual es igual a a 0.8645 N-m., sustituyendo en ecuación (4.36.), se obtiene:

( )d =×

× ×+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

32 2352 10

332 4285 08645 0 0267962 2

12

13

π( . ) ( . ) . mts .

121

CAPÍTULO 4

Este resultado es en base únicamente en cargas estáticas, pero si se considera la

fatiga, utilizaremos la ecuación (4.31.) y la ecuación (4.16.), de donde:

Se= (0.765)(0.8694)(1)(1)(1.333)(519x106[0.5])=228.7341 MPa. Sustituyendo:

d m=× ×

× ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

32 332 485 2228 7341 10

0 03096

13.

.. .

πts .

Este resultado es mayor que el anterior lo que significa que el diámetro del eje es

más seguro para cargas de fatiga y estática. El enfoque de Soderberg es más

conservador. Con la ecuación (4.36.) se tiene:

d m=×

×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

=32 2 08645

352 10332 4285

228 7341 100 0316

2

6

212

13

π. .

.. .ts .

Este resultado se basa en la teoría del esfuerzo cortante máximo. Si utilizamos la

teoría de la energía de distorsión, ocupamos la ecuación (4.37.) de donde obtenemos:

d m=×

×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

=48 2 0 8645

352 10332 4285

228 7341 100 03546

2

6

212

13

π. .

.. .ts

Este resultado es sustancialmente más conservador. De donde para seleccionar el

diámetro de la flecha, se tiene que partir de tablas comerciales, por consiguiente se tiene

un diámetro comercial del rodamiento de 40mm, según SKF. Para tener este diámetro se

partirá de una barra sólida de diámetro de 57.15 mm. (2-1/4 pulg.) Para el eje de

transmisión de la flecha motor, según figura 4.16.

Para calcular el diámetro de los ejes mostrados en las figuras 4.17. y 4.18., se

siguió el mismo principio, utilizando el diámetro sobre la base de la teoría de falla de la

máxima energía de distorsión. Con un material AISI 1040 y AISI 1060 respectivamente.

En la figura 4.31. se muestra el conjunto transmisión, este cuenta con las

posiciones de los elementos que lo integran.

122

CAPÍTULO 4

123

CAPÍTULO 4

124

CAPÍTULO 4

125

CAPÍTULO 4

126

4.2.4. Selección de rodamientos.

Cada tipo de rodamiento presenta características que dependen de su diseño y lo hacen adecuado para una aplicación en especifico. En muchos casos, cuando se selecciona el tipo de rodamiento se tiene que considerarse, por ejemplo, la rigidez de una disposición integrada por rodamientos de bolas con contacto angular o rodamientos de rodillos cónicos que depende también de la precarga seleccionada, y los límites de velocidad del rodamiento tiene relación directa con la precisión del mismo y de los componentes asociados, así como por el diseño de la jaula. Con los rodamientos de rodillos cilíndricos, la capacidad de carga axial de los diseños moderados es mucho mayor que la del diseño tradicional, razón por la cual no es posible dar reglas generales de selección. Además, es necesario tener en cuenta el espacio disponible, la magnitud de la carga, así como la dirección de la misma, las desalineaciones angulares entre el eje y el soporte (puede ser provocadas por la flexión del eje bajo la carga de funcionamiento), precisión, velocidad, funcionamiento silencioso, rigidez, montaje y desmontaje. La tabla 4.9. clasifica los tipos de rodamientos; sus características de diseño y sus características a las exigencias de su aplicación.

El tamaño del rodamiento que va ser utilizado para una determinada aplicación se

selecciona inicialmente por su capacidad de carga, comparada con las cargas que tendrá

que soportar, y a las exigencias de duración y fiabilidad requeridas por la aplicación en

cuestión. La capacidad de cargas se expresa en los cálculos por medio de valores

numéricos que representan las capacidades de carga nominales básicas de los

rodamientos. En catálogos de rodamientos (SKF16), se indican los valores de la

capacidad de carga dinámica C y de capacidad de carga estática CO de los diferentes

rodamientos.

La capacidad de carga dinámica C se usa para los cálculos en que intervienen

rodamientos sometidos a esfuerzos dinámicos, es decir, el rodamiento al girar puede

soportar cargas alcanzando una vida nominal, y son validos para cargas constantes,

tanto en magnitud como en dirección.

16 Catalogo General SKF 4000/II Sp, SKF-1997.

CAPÍTULO 4

127

Tabla 4.9. Tipos de rodamientos - diseño y características.

Fuente: Catalogo general SKF 1997-06

CAPÍTULO 4

La capacidad de carga estática CO se usa en los cálculos cuando los rodamientos

giran a velocidades muy bajas, cuando están sometidos a movimientos lentos de

oscilación o cuando están estacionarios bajo carga durante ciertos periodos. También

debe tomarse en cuenta cuando sobre un rodamiento giratorio (sometido a esfuerzos

dinámicos) actúan elevadas cargas de choque de corta duración.

La capacidad de carga estática le corresponde una tensión calculada en el centro

de la superficie de contacto. Ésta tensión produce una deformación permanente total del

elemento rodante de aproximadamente igual a 0.0001 el diámetro del elemento rodante.

Por otro lado la vida del rodamiento ésta dada por él número de revoluciones que

el rodamiento puede dar antes de que se manifieste el primer signo de fatiga, sin

embargo, según SKF, los rodamientos aparentemente idénticos funcionan en condiciones

equivalentes, pero tienen vidas diferentes. Es por tanto esencial para el cálculo del

tamaño del rodamiento una definición clara del término “vida”. La capacidad de la carga

dinámica de los baleros SKF está basada en la vida alcanzada o sobrepasada por el 90%

de los rodamientos aparentemente idénticos de un grupo suficientemente grande. A esta

vida se le denomina vida nominal y está de acuerdo con la definición ISO 76:1987. La

vida media de los rodamientos es aproximadamente cinco veces la vida nominal. Para

calcular la vida nominal tenemos:

LCP

p

10 =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (4.38.)

Donde: L10 = Vida nominal, en millones de revoluciones

C = Capacidad de carga dinámica, en N.

P = Carga equivalente

p = Exponente de la fórmula de vida, p =3 para los rodamientos de bolas, p=

10/3 para los rodamientos de rodillos.

128

Para rodamientos que funcionan a velocidad constante, será más conveniente

expresar la duración nominal en horas de servicio usando para ello:

CAPÍTULO 4

LCP

Lh

p

h10 101 000 000 1

60= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ′ =

60 n

o L 000 000

n10 (4.39.)

donde: L10h = vida nominal, en horas de servicio

n = velocidad de giro, en r/min.

Existen también otros conceptos de vida en un rodamiento. Uno de ellos es la

“vida de servicio”, que es la duración real alcanzada por un rodamiento dada antes de

fallar. El fallo generalmente no se debe en primer lugar a la fatiga, sino al desgaste, la

corrosión, etc.

Para este caso, se necesita un rodamiento que soporte una carga radial pura y

que sea capaz de soportar cargas axiales, rígido y de bajo rozamiento, a demás

silencioso. De la tabla 4.9. se selecciona el tipo de rodamiento el cual es recomendado

según SKF, hay dos rodamientos que son adecuados, como es el rodamiento de rodillos

a rótula con aceptables condiciones y el de rodillos cónicos. Para la flecha motor y para la

flecha conductor se selecciona el rodamiento de rodillos cónicos ya que este evitará la

desalineación en el funcionamiento, por tanto tienen una buena exactitud de giro, lo que

hace necesario evitar errores de alineación, así mismo este puede ser desarmable. Y

para la flecha del brazo seleccionamos el rodamiento de rodillos de rótula.

Al seleccionar el rodamiento de rodillos cónicos, para la flecha motor se necesitan

dos rodamientos de rodillos cónicos los cuales según la flecha por cálculos tiene un

diámetro mínimo seleccionado de 38.1 mm, éste diámetro no puede ser igual al diámetro

interior del rodamiento, ya que por necesidad de sujeción del rodamiento se necesita un

diámetro mayor por lo que se selecciona un diámetro interior de 50 mm. y un diámetro

exterior de 110 mm. Para seleccionar un soporte para rodamiento tipo brida para eje

pasante diseño B, con designación 722511-DB que según SKF necesita de un

rodamiento de designación 30310, serie de dimensiones ISO 355, 2FB, con una

capacidad de carga dinámica C= 125 000 N. y estática CO=140 000 N (ver figura 4.19.).

Sin embargo, par evitar problemas de montaje, se selecciona otro soporte brida para eje

pasante diseño B, con designación SKF 722512-DB que según SKF necesita de un

129

CAPÍTULO 4

130

rodamiento de designación T2ED 055, serie de dimensiones ISO 2ED con un diámetro

interior de 55 mm y diámetro exterior de 110 mm. Con una capacidad de carga dinámica

C = 179 000 N. y estática CO = 232 000 N (ver figura 4.20.) de donde se tiene que la vida

nominal del rodamiento 30310, según fórmula (4.38.) es:

L10= 124526.1203 millones de revoluciones.

Sin embargo si el mecanismo funciona a velocidad constante de donde la duración

nominal de servicio es:

L10n= 1526055.396 hrs de servicio ≅ 174 años.

Para el rodamiento de la biela - manivela se utilizara un soporte para rodamiento

tipo brida para eje pasante diseño B, con designación 722506-DB que según SKF

necesita de un rodamiento de designación 2206 EK con manguito de fijación H306. Éste

tiene una capacidad de carga dinámica C= 23 800 N. y estática CO= 6 700 N (ver figura

4.45.).

Se puede observar que la selección esta muy sobrada, por lo que no se tendrán

problemas por los rodamientos.

CAPÍTULO 4

131

CAPÍTULO 4

132

CAPÍTULO 4

133

CAPÍTULO 4

4.2.5. Esfuerzo en el brazo soporte guía de transmisión y brazo soporte de transmisión.

El brazo soporte guía de transmisión y el brazo soporte de transmisión soportan

las fuerzas ejercidas por los ejes de los engranajes, analizando la figura (4.22.) tenemos:

F01 = 134.89 N

F2B = 3629.65 N.

FB4 = 460.23 N

F2’B = 4018.41 N.

a) b)

Figura 4.22. a) fuerzas que actúan en el brazo soporte guía de transmisión, b) fuerzas que actúan en el brazo soporte de transmisión.

La figura 4.22. se muestra que los brazos están en un estado combinado de

esfuerzos, pero si solo se considera en el cálculo el estado de tensión, es decir cuando

giran y se ejerce solo la tensión sin considerar los esfuerzos de corte; si se considera que

solo se realizara el cálculo para el inciso b) debido a la existencia de una mayor fuerza

aplicada, por tanto una concentración de esfuerzos más alta. Suponiendo las medidas

según figuras 4.23. a la 4.30. Tenemos que la parte más delgada es de 53.61 mm en

dirección de las fuerzas aplicadas; por tanto se tiene:

( ) 2222

. mN0573.396099

mm 9623.10144N 41.4018

6625.93274.1474

N 41.4018==

−= πσ max

Si se considera un material ASTM A-36, el esfuerzo a la tensión es de 339.893

MPa. (58,000 psi.), y el esfuerzo a la cedencia es de 248.21 MPa. (36,000 psi). Este

material seleccionado es el más adecuado para el mecanismo.

134

Para la estructura de la transmisión se tiene el acero ASTM-A-36, así mismo como

el separador son de una acero ASTM-A-36,ver las figuras (4.31.) a la (4.44)

respectivamente.

CAPÍTULO 4

135

CAPÍTULO 4

136

CAPÍTULO 4

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CAPÍTULO 4

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CAPÍTULO 4

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CAPÍTULO 4

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CAPÍTULO 4

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CAPÍTULO 4

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CAPÍTULO 4

169

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CAPÍTULO 4

171

CAPÍTULO 4

172

CAPÍTULO 4

173

CAPÍTULO 4

174

CAPÍTULO 4

175

CAPÍTULO 4

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CAPÍTULO 4

177

CAPÍTULO 4

178

CAPÍTULO 4

179

CAPÍTULO 4

180

CAPÍTULO 4

181

Capitulo 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

En el desarrollo de este trabajo de tesis, se tomaron algunas ideas tal vez

alocadas para la solución del problema, se evaluaron según criterios de algún fabricante

de mosaico, según las necesidades.

El camino que se desarrollo en la solución del problema fue largo, pero permitió

observar que cualquier idea, tomando los parámetros definidos del proyecto, puede

trasladarse en dibujos de definición, estos dibujos de definición tienen sustento en su

análisis cinemático importante para realizar la ingeniería del producto.

En el análisis cinemático se mostró el comportamiento del mecanismo “principal”

(mecanismo biela – manivela - corredera), así mismo como el comportamiento del

mecanismo “leva”, parte importante del comportamiento de la velocidad lineal de

corredera (pistón).

Los tipos de leva proporcionan la velocidad más adecuada según se necesite, para

el estudio fue importante una leva cicloidal ya que esta nos permite tener una aceleración

lineal en el seguidor, sin llegar a tener una discontinuidad en la curva de aceleración que

se traduce en menos esfuerzos. Con las ecuaciones se obtuvo el perfil de leva que

traducido en dibujo se muestra en la figura 4.50.

Para el análisis dinámico se estructuraron las ecuaciones del mecanismos del

conjunto leva – manivela – biela- corredera, provocando que el análisis fuera engorroso y

por consiguiente propenso a equivocaciones, por tal motivo se hizo uso de métodos

numéricos donde se logro conjuntar las ecuaciones correspondientes del mecanismo,

obteniendo la tabla 3.1.

Con el análisis dinámico se obtuvieron las diferentes fuerzas que intervienen a

través del mecanismo, con ello y basándose en él calculo por resistencia de los

materiales se le dio forma al diseño que se presenta.

CAPÍTULO 4

182

A un que ente trabajo no fue la intención meterse a fondo con los cálculos de

resistencia propias de los materiales, si se expresaron algunas ideas que son importantes

para el diseño, por tal motivo si quisiéramos tener un análisis más detallado seria

recomendable tener que hacer una análisis por elemento finito, o por otro método que

permita observar el comportamiento real de los elementos según el material y así poder

determinar con más exactitud el tipo las dimensiones de los elementos diseñados.

Con los dibujos aquí mostrados podemos llegar a construir la maquina, tal vez en

los dibujos se encuentran detalles no previstos que son propios del maquinado, aunque

en este trabajo se puso un total interés el desarrollo de los dibujos, no por ellos están

exentos de errores.

Se llega a concluir por tanto que este trabajo llega a su objetivo planteado, es decir

siguió una metodología para poder especificar los productos según los requerimientos del

cliente, se pudo integrar los conocimientos aprendidos durante la estancia de estudios y

lo más importante esta metodología empleada puede emplearse para cualquier tipo de

proyecto, producto, maquina o empresa.

CAPÍTULO 4

ANEXOS

ANEXO 1

Para especificar calcular las características de un engranaje recto, normal con ángulo de

presión de 20 grados tenemos la siguiente tabla:

Módulo M Determinado por cálculos basados en resistencias de

materiales

Número de dientes Z Determinado a partir de la relación de velocidades

A

B

B

A

ZZ

nn

=

Paso P P=m*π

Altura de cabeza ah ah =m

Altura de pie fh fh =1.25 m.

Altura del diente H h= + =2.5m. ah fh

Diámetro primitivo D d=m*z

Diámetro de cabeza ad ad =d + 2m

Diámetro de pie fd fd =d-2.5m

ANEXO 2

Especificación PS-1.

Para el maquinado por CAD se pueden utilizar formulas que se vieron en este trabajo.

Sin embargo cuando se trabaja en maquinas convencionales se tiene que especificar los

183

CAPÍTULO 4

184

radios y por ende las distancias en el eje “x” y “y” respecto al centro de la leva, para

nuestro caso será el centro de la circunferencia del engranaje 5. De donde:

Desplazamiento angular de la leva (grados)

Radio de la leva exterior (mm.)

Radio de la leva interior (mm.)

Desplazamiento en el eje “x”

(mm.)

Desplazamiento en el eje “y”

(mm.)

0 113.4 0 0 0

10 137.2881 84.8881 -23.8853 -.7906

20 279.0529 226.6829 -164.4918 -19.0117

30 439.168 386.768 -322.3245 -45.8035

40 224.6034 172.2034 -112.2984 -1.9008

50 151.4427 99.0427 -41.8845 17.9578

60 126.3084 73.9084 -18.8786 28.0804

70 114.9219 62.5176 -9.6013 34.6898

80 109.9738 57.5738 -6.3985 38.4566

90 110.516 58.116 -6.5135 37.9165

100 117.6748 65.2748 -7.2041 30.7903

110 134.7759 82.3759 -4.6049 13.8877

120-150 149.4 0 0 0

160 134.7759 82.3759 -12.8729 6.9466

170 117.7805 65.3805 -29.0751 12.4421

180 110.516 58.116 -36.2094 12.9987

190 109.9777 57.577 -36.7577 12.9806

200 114.9205 62.5205 -32.4933 15.481

210 126.3081 73.9081 -24.3757 23.4677

220 151.4427 99.0427 -10.4118 44.3665

CAPÍTULO 4

185

230 224.6039 172.2039 21.3725 110.2628

240 439.168 386.768 47.2866 158.6915

250 279.0529 226.6529 23.8853 0.892

260-360 113.4 61 0 0

Tabla para maquinar levas.

CAPÍTULO 4

186

BIBLIOGRAFÍA

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Halmiton H. Mabie. Mecanismos y dinamica de máquinaria, 1ª edición, Editorial Limusa S.A. de C.V., México D.F., 1990.

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aumentada, Ediciones Aceros Fortuna S.A. de C.V., México D.F., 1997.

J. P. Den Hartog. Mecánica de las vibraciones, 4ª edición, Cia. Editorial Continental S.A. de C.V., México D.F., 1987.

M. Candido Palacios Montufar. Apuntes de Análisis dinámico de máquinas y mecanismos, 1ª edición, México D.F., 1997.

Jorge Ramos Watanave. Apuntes de la metodología para realizar y/o dirigir la adaptación, mejora o inavación de productos ó sistemas mecánicos, México D.F., 1996.

Sergio A. Villanueva Pruneda. Metodología para la extracción de tecnología, Tesis de grado, México D.F., 1996.

Warren J. Luzadder, Fundamentos de dibujo en ingenieria, 9ª Edición, Prentice Hall hispanoamericana, S.A. 1988 México.

Villanueva Pruneda Sergio A. Ramos Watanave Jorge Manual de métodos de fabricación metal mecanica, 4ª. Edición, AGT Editor S.A. México 1994.

CAPÍTULO 4

187

V.M. Faires. Diseño de elementos de máquinas” Editorial Montaner y Simon, S.A. España 1970

CAPÍTULO 4

107

CAPÍTULO 5

4.3. Sumario.

Este capitulo es el resumen de los tres anteriores, ya que en este se realizó la

selección de los materiales con la información obtenida del análisis cinemático y dinámico

de los elementos mecánicos que intervienen en el diseño de la máquina.

Con la selección de los materiales, se hacen los dibujos de detalle de los

elementos que intervienen en la construcción de la máquina, sin embargo hay que aclarar

que estos dibujos no son los definitivos, ya que serán definitivos hasta que exista un

prototipo.

Nótese que el cálculo de los materiales, se analizó a la ligera ya que no es el

objetivo del presente trabajo hacer una análisis profundo de los elementos mecánicos

bajo los esfuerzos sometidos, por lo que es necesario en trabajos posteriores hacer el

estudio más profundo, sugiriendo el método del elemento finito para la optimización de

los elementos mecánicos.

Referencias.

• R.G. Mitchiner and H. Mabie, the determination of the Lewis Form Factor and

the AGMA Geometry Factor J for External Spur Gear Teeth, ASME journal of

Mechanical Design, vol 104, No. 1, 1982.

• AGMA (American Gear Manufacturers Association), Extracto de la hoja de

información AGMA – Resistencia de dientes de engranes cilíndricos, 1901.

• T. J. Dolan y E.I. Broghamer, A Photoelastic Study of the Stresses in Gear Tooth

Fillets, Bulletin 335.

• R.E. Peterson, Stress Concentration Factor, Wiley, 1974.

• Aceros Fortuna, Manual técnico de productos, edición 1997, ediciones Acero

Fortuna S.A. de C.V. , México D.F.

181

CAPÍTULO 5 • Joseph Marin, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Emglewood

Cliffs, N. J., 1962.

• P.G. Forest, Fatigue of Metals, Pergamon, Londres,1962.

• Robert C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strenght,

McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1964.

• Earl Buckingham, Analytical Mechanics of Gears, cap-23, McGraw-hill, Nueva

York, 1949.

• S. P. Timoshenko, Mecanica de Materiales, Editorial unión Tipográfica, hispano

americana, México, 1979.

• Carl A. Keyser, James L. Leach, Materiales y Procesos de Manufactura para

Ingenieros, Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. 4ta Edición, México 1988.

• Joseph Edward Shigley, Larry D. Mitchell, Diseño en Ingeniería Mecánica,

McGraw-Hill, Cuarta edición. 1990.

• A. Chevalier, Dibujo Industrial, Grupo Noriega Editores, 2da. Edición, México

1992.

182

CAPÍTULO 5

Capítulo 5

EVALUACIÓN APROXIMADA DE COSTOS DEL PROYECTO.

El costo del proyecto depende de los gastos que se generan en cuanto al consumo

de las materias primas, máquinas, mano de obra, ventas, almacenamiento y otros gastos

generales, es decir, en todo proyecto debe tenerse en cuenta el costo económico para

poder generar un beneficio; por tanto, puede afirmarse que el costo del proyecto debe ser

económicamente aceptable y competitivo.

Es importante señalar que la manufactura demanda la existencia de un control

geométrico severo sobre las piezas que se pretende sean intercambiables por

consiguiente, es necesario que todo proyecto ó diseño sea en lo más posible apegado a

los estándares del mercado, de preferencia del nacional, para garantizar piezas

intercambiables y de fácil servicio.

5.1. ELEMENTOS PARA HACER UN ANALISIS DE FABRICACIÓN.

Para hacer cualquier proyecto, es necesario hacer una secuencia de fabricación,

para obtener el producto especificado en el dibujo de definición, esta secuencia debe

tener en cuenta el ritmo de producción, conocimientos de las posibilidades y limitaciones

del equipo (máquinas, herramientas, dispositivos de sujeción, dispositivos o elementos de

medición) disponible para la fabricación.

Una vez conocidas las especificaciones dadas por el dibujo del proyecto, es

necesario determinar los procesos, según la forma, dimensiones, materiales,

recubrimientos superficiales, tratamientos térmicos, el tipo de esfuerzos a que va estar

sometido el material, etc. Es necesario para escoger el tipo de proceso tener en cuenta

que sea económico sin perder de vista la precisión, ésta selección se ve influida por la

cantidad de piezas a producirse. Generalmente, existe una máquina apropiada a un

problema de fabricación dado. Para la producción de lotes pequeños, tal es el caso de

este proyecto, las máquinas de propósitos generales, se justifican como el tipo de

maquinas más apropiado. 183

CAPÍTULO 5 Es importante señalar que en muchas ocasiones el análisis de fabricación y en la

elaboración no intervienen los elementos idóneos, debido a que se usan sólo aquellos

que se tienen disponibles, pero siempre debe buscarse el trabajar con la herramienta

adecuada, pues el fin más importante es el cumplir con todas las especificaciones del

dibujo de definición del producto en el menor tiempo y con el costo mínimo.

Todos los costos que varían deben considerarse y por comodidad pueden dividirse

en costos directos, indirectos y costos de capital. El costo directo varia de máquina a

máquina de donde en éste costo se debe considerar la mano de obra, el tiempo de

habilitar y de realizar una operación, otros costos directos son la potencia de la máquina

(consumo eléctrico) y material, ya que depende de gran parte el modo de trabajar. Los

costos indirectos comúnmente se calculan multiplicando el tiempo de operación por un

estándar de indirectos. Los costos de capital se determinan por la distribución de los

costos principales de las máquinas y herramientas en una base según horas o entre las

piezas producidas. Es común encontrar que él costeo ó cálculo del costo del producto se

estima en base a tiempo de los maquinados del producto ó pieza, este tiene un precio

según el centro de maquinado, donde se ha determinado los costos directos, indirectos y

de capital, tal es el caso de la compañía “etal” la cual ésta tiene tablas que determinan el

costo del producto según sus tiempos de maquinado.

El tiempo total requerido para realizar una operación puede dividirse en cuatro

partes, que son:

Tiempo de habilitación. Este es el tiempo requerido para preparar la operación

y puede incluir el tiempo para obtener las herramientas desde el cuarto de

herramientas y para hacer la documentación requerida.

�

�

�

Tiempo del trabajador o de manipulación. Este es el tiempo que el operador

pierde cargando y descargando el trabajo, manipulando la máquina y las

herramientas, y haciendo mediciones durante cada ciclo de la operación.

Tiempo de máquina. Este tiempo es durante cada ciclo de la operación que la

máquina está trabajando o las herramientas están cortando.

184

CAPÍTULO 5 Tiempo muerto o perdido. Este tiempo es el inevitable por el operador, ya sea

por descomposturas, esperas por las herramientas y materiales, etc.

�

Es importante señalar que los tiempos de habilitación y trabajador se estiman de

los rendimientos previos en operaciones similares. Todo trabajo en un tipo particular de

máquina herramienta consta de un número limitado de elementos, estos pueden

estandarizarse, medirse y registrarse, siendo esto la esencia del estudio de tiempos y

movimientos, un gran campo que no se trata en este trabajo.

La cantidad real de tiempo muerto que se representa en una operación especifica

difícilmente puede predecirse. Algunas operaciones transcurrirán sin contratiempos, otras

resultarán plagadas por problemas, de donde la mejor estimación se basa en la cantidad

promedio, que comúnmente se pierde en la planta.

El tiempo maquina ó tiempo corte es común que la velocidad y la profundidad de

corte se basen en tablas preestablecidas por los fabricantes de las maquinas

herramientas.

A continuación se presenta un ejemplo del análisis de fabricación del engrane 1,

dibujado en el capítulo 4 en la figura 4.6., con este dibujo se realiza un análisis de

fabricación, se hace un esquema explicativo, se realiza la selección del equipo ó

maquinaria a utilizar, así mismo como alguna observación de relevancia. (ver figura 5.1.).

Esta figura es solo representativa ya que en este trabajo, no tiene la intención de

profundizar en el análisis de fabricación.

Se tiene por tanto que el análisis de fabricación, es el conjunto de actividades

ejecutadas en un mismo puesto de trabajo. Es decir el estudio minucioso de todo lo que

deba efectuarse para cumplir cada etapa de la fabricación del producto.

En el análisis de fase están involucradas todas las actividades simples como

gesticulaciones, movimientos, pasadas de maquinado, etc. Por consiguiente es necesario

antes de hacer un análisis de fase tener establecido el análisis de fabricación de cada

pieza para poder considerar las posibilidades y limitaciones de cada centro de

maquinado.

185

CAPÍTULO 5 Fase No. ESQUEMA EXPLICATIVO Máquina, Herramientas de corte,

Elementos de sujeción y control Observaciones

10

- Torno paralelo - Buril para refrentar - Buril de forma para radios 10 - Broca para aproximar a

diámetro de 38.1 - Rima para diámetro según

tolerancias. - Pie de rey.

Apoyo plano 1,2 y 3 Orientación 4 y 5 Apriete en “b”. a.- Cilindrar en 2 a un diámetro de 60 y refrentar 4 a 38.1 b.- Quitar filos a 4 X 45º en 3 y 6 c.- hacer barreno en 5 a un diámetro de 38.1 con tolerancias de más 0.016, menos cero.

20 - Torno paralelo.

- Buril para refrentar y quitar

filos

- Pie de rey.

Apoyo en 1,2 y 3

Orientación en 4 y 5

Apriete en “c”

a.- Quitar filos a 4 X45º

en 7.

30 - Fresadora horizontal

- Fresa módulo 4.

- Pie de rey.

- Cabezal divisor

- Contra punto

Apoyo en plano 1,2 y 3

Orientación en 4 y 5

Apriete en d.

a.- Hacer dientes

40 - Cepillo.

- Pie de rey.

- Prensa de mecánico.

Apoyo en 1,2y 3

Orientación en 4 y 5

Apriete en “e”

a.- Hacer ranura para

cuña en 11

50 - Taladro.

- Prensa para mecánico.

- Broca

- Machuelo M6

Apoyo en 1,2 y 3

Orientación en 4 y 5

Apriete en “f”.

a.- Hacer cuerda en 12

4

5

1 2 3 10

2

3

5

6

4

b

7

c

4

5

1 2 3

d 1 2 3

4

5

e

4

5

11

1 2 3

e

4

5

11

1 2 3

Figura 5.1. Análisis de fabricación 186

CAPÍTULO 5 Para determinar de manera más exacta el tiempo de maquinado es necesario

hacer la estimación de los tiempos mínimos necesarios, Esta estimación se representa en

una hoja de proceso. Cabe mencionar que en este trabajo no se realiza de manera

detallada el proceso de análisis1 de fase. Por lo que solo se dará para el engranaje 1 el

estimado, según la Compañía ETAL.

Maquina : Torno paralelo “TURRI”.

Costo horas maquina: 0.59 USD.

Costo horas hombre: 2.7170 USD.

Maquina : Fresadora horizontal “HERMLE”.

Costo horas maquina: 0.46 USD.

Costo horas hombre: 2.9073 USD.

Costo de ingeniería: 5.30 USD.

Tiempo necesario para el maquinado en torno: 0.32 hrs., Costo : 1.06 USD.

Tiempo necesario para el maquinado en fresadora : 0.23 hrs. Costo: 0.78 USD.

Costo Materia prima ( acero AISI-4140 ) 3.80 USD.

SUB-TOTAL : 5.64 USD.

Costo por trabajo de ingeniería 5.30 USD

TOTAL : 10.94 USD

De esta manera se calculó el costo por pieza. De donde se tiene que el costo total

del diseño es de :

$3800.00 (tres mil ochocientos pesos)

Si se compara con los precios de la máquina del taller de mármoles de San

Lorenzo y la del taller del Sr. Armado Gracia se tiene( ver tabla 5.1.)

1 Para mayor información ver el ejemplo de: Sergio A Villanueva Pruneda, Manual de Fabricación Metalmecánica,

187

CAPÍTULO 5 Tabla 5.1. Comparación de costo – beneficio.

Taller Mármoles de

San Lorenzo

Taller del Sr.

Armando García.

Diseño propuesto.

Costo de Prensa $ 2700.00 $ 5500.00 $ 3800.00

Piezas producidas 12 mts cuadrados 19 mts. cuadrados 24 mts cuadrados

(estimado)

Rechazos por mal prensado 30 % 10 % 0 % Estimado.

Como se puede ver en la tabla 5.1. se puede apreciar que la máquina propuesta

cumplirá con las expectativas propuestas, es claro señalar que este estimación no puede

ser medida sin que exista un prototipo funcionando.

5.2. SUMARIO.

Este capitulo fue tratado muy a la ligera ya que no es la finalidad hacer un análisis

de costos muy detallado, sin embargo; es necesario considerar en todo proyecto la

viabilidad de poderse fabricar con los recursos materiales mínimos necesarios; es decir,

todo proyecto necesita del análisis detallado para conocer, de que manera se fabricará,

así se determinaran elementos y recursos necesarios, definiendo éstos se podrá hacer

un análisis de fabricación, la cual define el costo aproximado del producto a fabricar.

REFERENCIAS.

• Sergio A. Villanueva Pruneda, Manual de Métodos de Fabricación

Metalmecánica, AGT EDITOR,S.A.,1994.

• Doyle Keyser, Materiales y Procesos de Manufactura para Ingenieros, Prentice

Hall, 1988.

AGT Editor, 1994, paginas 221-242. 188

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

Concluyendo es importante señalar que en los talleres que son familiares y de

mediana capacidad, no cuentan con una normalización que garantice la calidad del

producto, además los tiempos de entrega son muy largos por lo que el mercado ha

desplazado al mosaico de granito y terrazo por productos de cerámica, ya que estos son

de más fácil adquisición.

Con la prensa para mosaico que se sugiere, dará una buena calidad del producto,

impactando en el proceso productivo, por cero defecto, y por tanto menos desperdicios.

También esta máquina pretende el aumento de producción de un 100% debido a su

versatilidad y facilidad de operación, ya que por ningún motivo se necesita gente

especializada para su manejo, así mismo se cuidó que las piezas ó eslabones se

encuentren bajo los estándares nacionales para tener una buena intercambiabilidad de

sus partes, por tanto un fácil mantenimiento.

En el desarrollo de este trabajo se presentó una lluvia de ideas para la solución

más apropiada de una área de oportunidad, este método es el llamado QDF (Quality

Funtion Deplayment) el cual permite hacer el análisis profundo de cada una de las fases

del proyecto. Por tanto se puede decir que este trabajo mostró un método para la

solución de un problema, desde el planteamiento hasta tener un análisis económico, muy

general. Sin embargo cabe mencionar que la fabricación de cualquier producto por muy

difícil que fuese, es posible llegar a un término satisfactorio, siempre y cuando el fin

justifique el medio.

Por lo tanto se sugiere para próximos trabajos, hacer un estudio más detallado en

el análisis y selección de los materiales por medio de elemento finito, u otro método que

garantice la funcionalidad y reduzca considerablemente los excesos donde no son

necesarios, según la aplicación de los esfuerzos.

Otro punto importante, es el estudio económico, ya que intervienen muchas

variables que pueden hacer un trabajo más caro de lo normal, por consiguiente es

importante tener un historial de estudio de tiempos y movimientos de los elementos

189

maquinados semejantes ó parecidos para hacer un aproximado de los tiempos mínimos

necesarios para la elaboración del producto.

Como recomendación se sugiere hacer un prototipo para la validación de los

dibujos que se presentaron en él capitulo 4.

Es importante tener en cuenta que la estructura que se sugiere no necesita una

instalación especial, sin embargo esta puede ser cambiada, muy comúnmente se observa

en los talleres que la base de la máquina es de concreto siempre y cuando la máquina se

considere que no tendrá cambios de ubicación.

Y por ultimo se recomienda que en todo diseño se siga la mejor metodología para

la solución de cualquier área de oportunidad, para evitar trabajo innecesario y que traerá

consigo incremento de costos y errores de funcionamiento, por tanto es necesario que

todo proyecto sea de fácil fabricación (barato), sencillo y funcional.

190

RESULTADOS Y DISCUSIONES.

El método empleado se considera en este trabajo como el más viable para la

solución del problema, por el desarrollo que se hace en su metodología desde la

generación de ideas para obtener un satisfactor adecuado.

Las especificaciones de detalle se basaron desde el análisis cinemático, estudiado

en él capitulo 2, donde se observa el comportamiento del mecanismo biela –manivela –

corredera, así mismo como la leva seguidor sin faltar el comportamiento del engranaje

planetario, muy necesario en la optimización de la máquina.

En él capitulo 3, se realizó el análisis dinámico de los mecanismos leva – biela –

manivela – corredera, donde se estructuró las ecuaciones que rigen la dinámica del

mismo, de donde sé tubo que realizar un programa para hacer más fácil la solución de las

ecuaciones, (ver anexos). Así mismo se analizó la dinámica del tren de engranajes

planetarios por un método tradicional.

Con las fuerzas del análisis dinámico se encontraron las formas geométricas y sus

materiales para cada una de las partes ó eslabones integrantes del mecanismo, esto se

realizó satisfactoriamente en el capitulo 4, hasta su fase de calidad de proyecto de

diseño.

Y por ultimo se realizo de manera muy superficial, la comparación de costos con

las otras dos máquinas que se mencionaron desde un inicio del presente, es un echo que

a esta comparación le falta realizar una secuencia detallada de cada una de las piezas,

así mismo como un análisis de fase detallado.

En un futuro se debe hacer una automatización completa del proceso, ya que

existen varias áreas de oportunidad, tal es el caso del llenado del granito con el terrazo

en los moldes, hay que considerar que para este diseño hay que tener en cuenta la falta

de uniformidad de la materia prima. Otra área de oportunidad es el desmoldeo del

mosaico, ya que actualmente este proceso se hace a mano y por ultimo hacer un sistema

de secado que permita la optimización del proceso.

191

ANEXO 1.

Tabla para calcular las características de un engrane recto, con un ángulo de

presión de 20º.

Módulo m Determinado por cálculos basados en resistencias de materiales

Número de dientes Z Determinado a partir de la relación de velocidades

ZZ

nn

A

B

B

A =

Paso p p = m * π

Altura de cabeza ha ha = m

Altura de pie hf hf =1.25 m.

Altura del diente H H = +h = 2.5 m ha f

Diámetro de cabeza da da = d + 2 m

Diámetro primitivo d d = m * Z

Diámetro de pie d f d f = d – 2.5 m

192

ANEXO 2.

Para el maquinado por CAD se pueden utilizar las expresiones que se obtuvieron

en él capitulo 2, sin embargo es común que el maquinado se tenga que especificar según

los radios y por ende las distancias en el eje “x” y “y” respecto al centro de circunferencia

del engrane 5. De donde:

Desplazamiento angular de la leva (grados)

Radio de la leva exterior (mm.)

Radio de la leva interior (mm.)

Desplazamiento en el eje “x”

(mm.)

Desplazamiento en el eje “y”

(mm.) 0 113.4 61 0 0 10 137.2881 84.8881 -23.8853 -0.7906 20 279.0529 226.6829 -164.4918 -19.0117 30 439.168 386.768 -322.3245 -45.8035 40 224.6034 172.2034 -112.2984 -1.9008 50 151.4427 99.0427 -41.8845 17.9578 60 126.3084 73.9084 -18.8786 28.0804 70 114.9219 62.5176 -9.6013 34.6898 80 109.9738 57.5738 -6.3985 38.4566 90 110.516 58.116 -6.5135 37.9165

100 117.6748 65.2748 -7.2041 30.7903 110 134.7759 82.3759 -4.6049 13.8877

120-150 149.4 82.3759 0 0 160 134.7759 82.3759 -12.8729 6.9466 170 117.7805 65.3805 -29.0751 12.4421 180 110.516 58.116 -36.2094 12.9987 190 109.9777 57.577 -36.7577 12.9806 200 114.9205 62.5205 -32.4933 15.481 210 126.3081 73.9081 -24.3757 23.4677 220 151.4427 99.0427 -10.4118 44.3665 230 224.6039 172.2039 21.3725 110.2628 240 439.168 386.768 47.2866 158.6915 250 279.0529 226.6529 23.8853 0.892

260-360 113.4 61 0 0

193

ANEXO 3.

Programa para la resolución de la s ecuaciones dinámicas del mecanismo propuesto. 10 CLS REM Programa para la solución de la ecuaciones REM dinámicas del problema PRINT " La matriz tendrá igual numero de " PRINT " renglones (m) y columnas (n)" PRINT " m = n " DIM A(20, 20), B(20, 20), C(20, 20), D(20, 20), F(20, 20) INPUT "numero de filas o renglones (m) = ", M FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO M PRINT "A("; I; ","; J; ")" INPUT A(I, J) NEXT J NEXT I N = M + 1 FOR K = 1 TO M PRINT " Reducción SUCESIVA #.", K FOR J = 2 TO N FOR I = 2 TO M IF J = N THEN A(I, J) = 0: A(1, J) = 1 B(I - 1, J - 1) = A(I, J) - A(1, J) * A(I, 1) / A(1, 1) NEXT I NEXT J FOR J = 2 TO M B(M, J - 1) = A(1, J) / A(1, 1) NEXT J B(M, M) = 1 / A(1, 1) FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO M PRINT "B("; I; ","; J; ")="; B(I, J) A(I, J) = B(I, J) NEXT J NEXT I NEXT K PRINT "MULTIPLIQUE LA MATRIZ C" REM MULTIPLICACION DE MATRICES INPUT "NUMERO DE RENGLONES DE LA MATRIZ C", N3 INPUT "NUMERO DE COLUMNAS DE LA MATRIZ C", N4 FOR I = 1 TO N3 FOR J = 1 TO N4 PRINT "C("; I; ","; J; ") ": INPUT C(I, J) NEXT J NEXT I 20 PRINT "DESEA MODIFICAR S/N" INPUT S$ IF S$ = "S" THEN GOSUB 100

194

FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO N4 D(I, J) = 0 FOR K = 1 TO M D(I, J) = D(I, J) + B(I, K) * C(K, J) NEXT K NEXT J NEXT I FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO N4 PRINT "F("; I; ","; J; ") ="; F(I, J) NEXT J NEXT I PRINT " DESEA EL MISMO PROBLEMA S/N" INPUT S$ IF S$ = "S" THEN 20 PRINT " DESEA OTRO PLOBLEMA S/N" INPUT S$ IF S$ = "S" THEN 10 GOTO 200 100 REM SUBRUTINA PARA MODIFICAR LAS MATRICES PRINT "CUAL MATRIZ A O B" INPUT A$ INPUT " NUMERO DE RENGLON", N5 INPUT " NUMERO DE COLUMNA", N6 INPUT " VALOR DEL ELEMENTO", E RETURN 200 END

195

En este caso solamente puede facilicitar una orientación aproximada,por lo que en cada caso particular es necesario hacer una selecciónmás cuantificada. Para mas detalle consultar el catalogo general SKF.

Agu

jero

con

ico

Prot

ecci

ones

u o

btur

acio

nes

auto

aline

able

no d

esar

mab

le

desa

rmab

le

carg

a ra

dial

pura

carg

a ax

ial p

ura

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a co

mbi

nada

mom

ento

s

altav

eloc

idad

alta

exac

titud

de

giro

alta

rigid

ez

Func

iona

mie

nto

silen

cios

o

bajo

roza

mie

nto

Com

pens

ació

n de

des

aline

ació

n en

fu

ncio

nam

ient

oCo

mpe

nsac

ión

de e

rror

es d

e ali

neac

ión

(inic

ial)

Disp

osic

ione

s de

roda

mie

nto

fijo

Disp

osic

ione

s de

roda

mie

nto

libre

Des

plaz

amie

nto

axial

pos

ible

en

el

roda

mie

nto

Rodamientos rigidos de bola+ + + - +++ +++ + +++ +++ - - ++ + -' -

+ + + + + + + + ++ -' - -' - + + -' -

Rodamiento de bolas a rótula+ - - -' - ++ ++ - ++ ++ +++ ++ + + -' -

Rodamiento de bolas con contacto+ + ++ - ++ +++ + ++ ++ - - ++ -' - -' -

angular (espalda con espalda)a ++ + ++ + + ++ ++ + + -' - -' - ++ + -' -

Rodamiento de bolas de 4 puntos de contacto- + + + ++ + + + + -' - -' - ++ - -' -

Rodamientos de rodillos cilíndricos++ -' - -' - -' - +++ ++ ++ ++ ++ - - -' - +++ +++

++ + + -' - +++ ++ ++ + ++ - - + + +

+++ -' - -' - + +++ +++ +++ ++ ++ -' - -' - -' - +++ +++

Rodamientos completamentea b +++ + - -' - - + +++ - - - - + + +

llenos de rodillos cilindricosa +++ + - + - + +++ - - -' - -' - + + +

Rodamientos de agujas++ -' - -' - -' - + + ++ + - -' - -' - -' - +++ +++

Rodamiento de rodillos a rótula+++ + +++ -' - + + ++ + + +++ ++ ++ + -' -

Rodamiento de rodillos cónicos++ ++ +++ -' - + ++ ++ + + - - ++ -' - -' -

(frente a frente)+++ ++ +++ - + + +++ + + - - +++ + -' -

Rodamientos axiales de bolas-' - + -' - -' - + ++ + - + -' - -' - + -' - -' -

-' - + -' - -' - + + + - + -' - +++ + -' - -' -

Rodamientos axiales de rodillos cilindricos-' - ++ -' - -' - - ++ ++ - - -' - -' - + -' - -' -

Rodamientos axiales de agujas-' - ++ -' - -' - - + ++ - - -' - -' - + -' - -' -

Rodamientos axiales de rodillos a rótula-' - +++ + -' - + + ++ - + +++ ++ ++ -' - -' -

Simbolos:+++ Excelente - Mediocre ++ Bueno - - Inadecuado + Aceptable Simple efecto doble efecto

ab a a

ba a,b a c,b c,b

ab

ab

a

a a b b

a b

a a b c