teza dana ultima

5/16/2018 Teza Dana Ultima - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teza-dana-ultima 1/203

„We should make things as simple as possible, but not simpler.”

— Einstein 1921

„Tot ce e gândire corectă este sau matematică sau susceptibilă de matematizare. Pentru a

putea întrebuinţa calculatorul la studiul problemelor concrete, omul e obligat să învete să

gândeasca exact şi abstract".

— Moisil 1932

„But the qualitative insight that the theory gave could also be achieved în a simpler way. The

significance of Fredholm’s work was more the qualitative insight than the explicit formulas”.

— Gârding 1998

„Unlike the new, abstract theories, Fredholm dealt with integral operators, and his central

notion was the determinant asociated with such operators. Since his determinant appears în

some modern theories (inverse scattering, integ able systems), it is time to resurrect it. ”

— Lax 2002

1



Cuprins

Introducere...........................................................6

Fig. 7 Micula ....................................................................................16

(1943-2003).......................................................................................16

Capitolul 1...........................................................17

Metoda colocaţiei................................................17

1.1.Func ii splineţ .....................................................................................171.1.1.Func ii spline polinomialeţ ............................................................17

1.1.2. Bazele locale pentru spa iul func iilor spline.ţ ţ ..............................20

1.1.3. Func ii spline polinomiale naturaleţ .............................................29

1.2. Rezolvarea aproximativ a ecua iilor integrale de tip Fredholm cu metoda Spline-ă ţGalerkin...................................................................................................37

.........................................................................37

Vom considera ecuaţia integrală liniară de tip

Fredholm.............................................................37

1.2.1. Rezolvarea aproximativ a ecua iilor integrale liniare de tipă ţ

Fredholm cu metoda Spline-Galerkin....................................................37

1.3. Exemple numerice...........................................................................501.4 Func ii spline polinomiale de mai multe variabileţ ...............................52

1.4.1. Func ii spline bicubiceţ ................................................................53

1.4.2. Spa iul Sk,ţ ∆p(Rd)........................................................................55

1.4.3.Dimensiunea spa iului Sk,pţ ∆ .......................................................56

1.4.4.Subspa ii ale spa iului Sk,pţ ţ ∆........................................................57

1.4.5. Func ii B spline de mai multe variabile. Func ii spline poliedrale.ţ ţ Func ii spline de tip simplex şi boxţ .......................................................58

1.4.6. Ordinul de aproxima ieţ ...............................................................62

1.4.7. Condi ia Strang Fix şi puterea de aproxima ie a spa iilorţ ţ ţ

invariante din L2(Rd)............................................................................63

Corolar. Dacă ϕ∈ L2(Rd) şi 1/ este mărginită în

apropierea lui 0 şi w2ϕ (u) pentru ϕ > r+d/2 şi o

2



vecinătate u a lui 2πZd\ 0 şi ϕ satisface SFr atunci

AO(S(ϕ )) ≥ r.........................................................64

..........................................................................65Capitolul 2..........................................................65

Rezolvarea aproximativă a ecuaţii integrale de tip

Fredholm cu metoda nucleelor degenerate.... .. .. ..65

2.1 Metoda nucleelor degenerate pentru ecua ii integrale liniare de tip Fredholmţ .........2.1.1 Metoda ecua iilor apropiate. Teorema lui Kantorovici.ţ .................65

2.1.2. Rezolvarea ecua iilor integrale liniare de tip Fredholm cu metodaţ nucleelor degenerate...........................................................................68

2.1.3. Exemplu numeric........................................................................71

2.2 Rezolvarea ecua iilor integrale de tip Hammerstein cu metoda nucleelor degeneraţ................................................................................................................732.3 Rezolvarea ecua iilor integrale de tip Uryson cu metoda nucleelor degenerate.ţ ......2.4 Exemple numerice............................................................................82

Capitolul 3.........................................................85

Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale de

tip Fredholm cu metoda cuadraturii....................85

3.1 Formule de cuadratură......................................................................863.1.1 Generalit iăţ .................................................................................86

3.1.2 Formulele de cuadratur ale lui Gaussă ........................................88

3.1.3 Extinderi ale formulei de cuadratur a lui Gaussă ..........................95

3.2 Rezolvarea ecua iilor integrale liniare cu metoda cuadraturiiţ ...........97

Exemple.............................................................103

3.3 Rezolvarea aproximativ a ecua iilor integrale de tip Hammerstein cu metodaă ţ cuadraturii.............................................................................................104Fie ecua ia integral de tip Hammersteinţ ă ..............................................104

3.4 Rezolvarea aproximativ a ecua ii integrale de tip Uryson cuă ţ

metoda cuadraturii.............................................................................113

3.4 Exemple......................................................................................116

Capitolul 4.......................................................119

3



Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea

ecuaţiilor integrale de tip Fredholm ..................119

4.1 Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea ecua iilor integrale liniare.ţ ................

4.2 Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea ecua iilor integrale de tip Hammersteiţ..............................................................................................................1214.3 Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea ecua iilor integrale de tip Uryson.ţ .....

Notăm că algoritmul definit de formulele (4.3.4) şi

(4.3.5) poate fi prezentat în forma.....................127

Dacă condiţia Lipschitz nu e satisfăcută pe întreg

spaţiu Hilbert H, putem demonstra....................130

4.4 Exemple.........................................................................................130

Capitolul 5.........................................................133

5.1 Utilizarea teoremei lui Kantorovici la ecua iile integrale de tip Fredholm.ţ ................5.2 Utilizarea teoremei lui Banach la ecua iile integrale de tip Fredholm.ţ 1365.3 Utilizarea teoremei lui Perov la ecua iilor integrale de tip Fredholm.ţ 138

..........................................................................................................139

Teorema 5.3.4. ................................................................................139

Fie (X,d) un spa iu metric generalizat complet şi f:Xţ →X o aplica ie ceţ satisface o condi ie Lipschitz generalizat de matrice A. Dac A este oţ ă ă

matrice convergent la zero, atunci exist un unic x*ă ă ∈X astfel încât

f(x*)=x*. Mai mult, dac consider m şirul aproxima iilor succesiveă ă ţ

xn=fn(x0), acesta este convergent şi are ca limit pe x*, oricare ar fi x0ă

∈X. De asemenea are loc estima iaţ ....................................................139

5.4 Utilizarea teoremei lui Schauder la ecua iilor integrale de tip Fredholm.ţ ................

5.5 Studiul ecua iilor integrale în L2(ţΩ

)..................................................141

CAPITOLUL 6.....................................................144

Interpolarea utilizând funcţiile spline cubice cu

deficienţă a ecuaţiilor Fredholm neliniare... .. .. ..144

6.1 Cea mai bun aproximare dirijat în spa ii Hilbertă ă ţ ..........................1446.2. O teorem relativ la aproxima ia dirijat în spa ii Hilbert.ă ă ţ ă ţ ............1466.3. Interpolarea prin func ii spline cubice cu deficienţ ţă........................1486.4. Caracterizarea proiec ieiţ .................................................................151

Algoritmul lui Newton............................................................................154Exemple numerice.................................................................................154

4



Capitolul 7. .......................................................155

Metoda cuadraturii ...........................................155

7.1. Metoda cuadraturii relativ la ecua iile integrale Fredholm de spe a a II-a liniare.ă ţ ţ .

7.2. Construc ia aproxima iei folosind func ii spline cubice de tipul I.ţ ţ ţ ....1577.3. Convergen a şi analiza eroriiţ ..........................................................158

7.3.1. Rezultate preliminare...............................................................158

7.3.2. Convergen a şi analiza eroriiţ ....................................................161

7.4. Aproximarea nucleului....................................................................1627.5. Exemple numerice .........................................................................162

Capitolul 8........................................................164

Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei integrale de tip

Fredholm de speţa a II-a folosind funcţii B spline

şi funcţii spline cardinale..................................164

8.1. Rezolvarea aproximativ a ecua iei integrale de tip Fredholm de spe a a II-a folosă ţ ţfunc ii B splineţ .......................................................................................1648.2. Estimarea erorii şi convergen a procedeuluiţ .................................166.............................................................................................................1668.3. Exemple.........................................................................................1668.4.Utilizarea func iilor spline cardinale pentru rezolvarea numeric a ecua iei integralţ ă ţFredholm de spe a a II-a.ţ .......................................................................166

Capitolul 9.........................................................167

Rezolvarea numerică a ecuaţiei integrale

Fredholm de speţa a II-a pe spaţiul Sobolev.......167

9.1 Spa iul Sobolevţ ................................................................................1689.2.Metoda Galerkin..............................................................................1699.3. Ordinul de aproximare al func iilor din spa iul Sobolev prin func ii spline.ţ ţ ţ ..............

9.4.Ordinul de convergen al solu iei numerice ob inute prin metoda Galerkin.ţă ţ ţ ...........9.5. Exemplu.........................................................................................171

Capitolul 10.......................................................171

Rezolvarea aproximativa a ecuaţiei integrale

Fredholm de speţa a-II-a prin substituirea nucleului

prin funcţii “spline-blended” de convergenta a

optimă. .............................................................171

5



10.1. Metoda spline-blended..................................................................17210.2 Operatori de proiec ie pe spa ii Sobolev construi i cu func ii B splineţ ţ ţ ţ 172

O bază locală în după cum s-a văzut şi în

capitolul 1 este furnizata de funcţiile B spline.. 173Definitia10.2.1:......................................................................................173

Fie func ia spline unic determinata de condi iaţ ţ ................................173

10.3 Grade de aproxima ieţ ....................................................................173Teorema 10.3.1...............................................................................173

10.4. Aproxima ii “spine-blended“ ale nucleului.ţ ...................................17410.5. Exemple numerice........................................................................176

Bibliografie........................................................191

[120] Schultz M. H, Spline Analisis, Prentice-Hall Englewood, 1973. .....198

Introducere

Teoria ecuaţiilor integrale reprezintă un capitol important în matematica aplicată.

Primele lucrări, având ca tematică ecuaţiile integrale au apărut în secolul 19 şi la începutul

6



Fig 1 .Cercetătorştiinţific g(I)dr.Ion Păvăloiu

secolului 20, având ca autori matematicieni renumiţi ca Niels Abel (1802-1829), Augustin

Cauchy (1789-1857), Edouard Goursat (1858-1936), Maxime Bocher (1867-1918), David

Hilbert (1862-1943), Vito Volterra (1860-1940), Ivar Fredholm (1866-1927), Emile Picard

(1856-1941), Traian Lalescu (1882-1929). Primele tratate din acest domeniu au apărut în anii

1910 (T. Lalescu 1911, M. Bocher 1912, D.Hilbert 1912, V. Volterra 1913). În secolul 20 teoria

ecuaţiilor integrale a avut o dezvoltare spectaculoasă, atât din perspectiva teoriilor matematice

care se pot aplica, cât şi din punctul de vedere al aproximării efective a soluţiilor. În prezent

teoria operatorilor integrali ( dezvoltată de Hilbert, Schmidt, Carleman, Riesz, Schauder,

etc.)nu are în prezent numai un interes istoric . Principalele metode care se aplică la studiul

ecuaţiilor integrale sunt:

1. metodele de punct fix (principiul contracţiilor, teoreme de punct fix de tip Schauder, Leray-

Schauder);

2. metodele variaţionale (puncte critice, teoreme de tip mountain pass);

3. metode iterative (metoda iteraţiilor monotone, metode de tip Newton);

4. metode numerice (metoda elementului finit, metoda elementului la frontieră, metoda

colocaţiei, funcţii spline,metoda ondeletelor).

Pentru o introducere în studiul acestor metode menţionăm câteva lucrări

fundamentale 1. T.A. Burton ([31]), R.P. Agarwal şi D. O’Reagan ([14]),

C. Corduneanu ([53]), V. Lakshmikantham ([83]), M.A. Krasnoselskii

([86] ), R.Precup ( [117]). O contribuţie importantă în dezvoltarea teoriei

punctului fix, a teoriei operatorilor, a teoriei funcţiilor spline, în studiul

ecuaţiilor operatoriale şi integrale au avut-o şi membrii seminariilor de

cercetare din cadrul catedrelor de ecuaţii diferenţiale, analiză funcţională

şi analiză numerică dintre care aş aminti prof. dr. Ioan Rus, prof. dr.

Gheorghe Micula, prof. dr. Ioan Munteanu, prof. dr. Petru Blaga, prof. dr

Octavian Agratini. Nu în ultimul rând cercetări în acest domeniu au fost realizate de cercetătoriide la institutul T Popoviciu al Academiei române condus de prof. Dr. Ion Păvăloiu (Fig.1). S-au

obţinut rezultate remarcabile în următoarele domenii : interpolare inversă, metode iterative de

convergenţă optimă, monotonia şirurilor de aproximaţii succesive ale soluţiilor numerice ale

ecuaţiilor integrale, metode iterative (Newton, Newton-Krylov, Newton-type) pentru rezolvarea

sistemelor de ecuaţii în R n , metode iterative(Newton, Chebyshev, Steffensen, etc.) pentru

determinarea aproximativă a valorilor proprii, metode de aproximare a funcţiilor, rezolvarea

ecuaţiilor integrale neliniare în spaţii Banach, stabilitatea metodelor numerice de rezolvare aecuaţiilor integrale şi estimarea erorii.

7



Fig.2 Fredholm

(1866-1927)

Fig. 3 Nysträm

(1895-1960)

Matematicianul suedez Eric Ivar Fredholm (Fig.2) a stabilit bazele

teoriei moderne a ecuaţiilor integrale. Problema rezolvării ecuaţiilor

integrale Fredholm de speţa I-a şi II-a a dat naştere teoriei Fredholm,

adică studiului nucleelor şi operatorilor Fredholm. Lucrarea publicată de

Fredholm în anul 1903 în Acta Mathematica este considerată a fi unul

dintre reperele majore în stabilirea teoriei operatorilor. Ecuaţii integrale de

tip Fredholm apar în mod natural în teoria procesării semnalelor :

problema concentraţiei spectrale analizată de David Slepian, modelarea

liniară şi problemele inverse. Ecuaţii integrale furnizează un instrument important pentru

modelarea unei numeroase fenomene şi procese (teoria coliziunii atomice, împrăştierea inversă,

Teoria Floquet, metoda integrării Feynman, autocorelarea modelului Ising, renormarea în

QFT, teoria matricelor aleatoare, procesele de creştere combinatorice) şi, de asemenea, pentru

rezolvarea problemelor la limită atât pentru ecuaţii diferenţiale ordinare cât

şi pentru ecuaţii cu derivate parţiale.

Dezvoltarea istorică a ecuaţiilor integrale de tip Fredholm este strâns legată

de soluţionarea problemelor la limită în teoria potenţialului [4] Progresele

înregistrate în teoria ecuaţiilor integrale au avut impact, de asemenea, asupra

dezvoltării de analizei funcţionale. Reciproc, principalele rezultate ale teoriei

operatorilor compacţi au stat la temelia teoriei existenţei soluţiei pentru ecuaţiile integrale

Fredholm de speţa a II-a. În ultimele decenii, datorită dezvoltării fără precedent a tehnicii de

calcul a crescut interesul pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor integrale.

Metoda Nystrom (Fig. 3) şi metoda de colocaţiei sunt, probabil, cele mai importante

două abordări pentru rezolvarea numerica a acestor ecuaţii integrale. Sunt cunoscute multe alte

metode pentru determinarea soluţiei aproximative a ecuaţiilor integrale. Pentru un studiu

cuprinzător teoriei referitoare la metodele de determinare a soluţiei numerice pentru diferite

clase de ecuaţii integrale ne referim la monografii realizate de Hackbusch [7], Atkinson [2] şiBaker [4]. Recent, rezultate foarte importante, referitoare la metoda Galerkin, pentru ecuaţiile

integrale Fredholm liniare au fost publicate de Chen şi Xu [5] şi Lin, Sloan şi Xie [11]. Puţine

metode numerice sunt cunoscute pentru ecuaţii integrale neliniare, pentru ecuaţii integrale cu

nuclee care admite singularităţi şi mai ales pentru ecuaţii integrale Fredholm multi-

dimensionale. În cazul ecuaţiilor integrale Fredholm multi-dimensionale metode folosind

extrapolarea Richardson de soluţii Galerkin au fost investigate de Han şi

Wang [9].

8



Fig. 4 Schomberg

1903-1990

Un instrument eficient a cărui utilizare în construcţia soluţiei numerice ( şirului de

aproxima ii succesive) sunt func iile sț ț pline. Matematic vorbind, studiul funcţiilor spline cade

în domeniul teoriei aproximaţiei, care studiază funcţii care aproximează alte funcţii. În unele

cazuri, aceste alte funcţii pot fi cunoscute, dar greu de calculat; de aici şi interesul pentru

funcţiile spline, nu numai pentru matematicieni, ci şi pentru informaticieni.

Datorită aplicabilităţii ei în diferite compartimente ale analizei numerice, la rezolvarea

aproximativa a ecuaţiilor diferenţiale şi integrale, în mecanică şi în alte domenii teoria

funcţiilor spline, un domeniu relativ nou al analizei matematice, a cunoscut în ultimele decenii o

dezvoltare considerabila, chiar spectaculoasă. Dezvoltarea tehnicii de calcul a făcut posibila

atât verificarea rezultatelor teoretice cât şi aplicarea acestora în practică.

Schumaker a făcut o listă conţinând obiectivele (scopurile) pe care le dorea atinse în cercetarea

funcţiilor spline.

s1) să expliciteze sub forma unei formule dimensiunea spaţiului de funcţii spline;

s2) să construiască explicit baze pentru aceste spaţii formate din elemente cu suport local;

s3) să găsescă algoritmi pentru calculul convenabil şi evaluarea funcţiei spline, însă şi a derivatelor, a

integralelor;

s4) să estimeze puterea de aproximaţie a spaţiilor de funcţii spline de mai multe variabile;

s5) să găsească în ce condiţii e aplicabilă în mod eficient interpolarea cu funcţii spline de una sau de

mai multe variabile;

s6) să găsescă algoritmi pentru utilizarea funcţiilor din acest spaţiu în metodele numerice la rezolvarea

ecuaţiilor (mă refer în special la ecuaţiile integrale) din diferite domenii ale stiinţelor inginereşti.

În urma unor încercări nu prea reuşite au apărut îndoieli că vor fi uşor de atins aceste obiective

chiar şi în cazul cel mai simplu al funcţiilor spline bidimensionale.

Unele rezultate obţinute cu privire la folosirea polinoamelor pentru interpolare au condus încă de acum

câteva decenii la ideea că acestea nu sunt cel mai potrivit instrument de aproximare a unei funcţii date.

Pornind de la ideea că orice funcţie continuă poate fi aproximată printr-o linie poligonală (funcţia

spline de gradul I) care a generat şi formula de cuadraturăa trapezului se pune problema găsirii unei funcţii de interpolare care în cazul când numărul de noduri

creşte indefinit să conveargă spre funcţia pe care o interpolează (în cazul nostru

aceasta va fi soluţia unei ecuaţii integrale de tip Fredholm). În cazul cel mai

simplu această funcţie este segmentar polinomială şi se racordează în noduri

împreună cu un anumit număr de derivate.

Termenul de funcţie spline a fost utilizat cu această semnificaţie pentru prima

dată de I. J. Schomberg (Fig.4) în anul 1946. Funcţiile de acest tip au

9



proprietatea de a minimiza funcţionala ( )[ ] f t dt q

a

b

( )∫ 2

pe mulţimea funcţiilor care verifică condiţia de

interpolare de tip Hermite-Birkhoff (( )

yt f i

j=)(

1 , ( )i j, ∈ Ε mulţime de indici t t t N <<< 21 diviziune

dată).Noţiunea de “funcţie spline“ a fost mai târziu abstractizată, generalizată, extinsă la

mai multe dimensiuni. Aceste funcţii spline includ multe varietăţi de funcţii spline, dintre care

menţionam funcţiile B spline, spline naturale, blended-spline, funcţiile spline genetice, funcţiile

spline cuantice şi altele. De asemenea, varietăţi de funcţii spline speciale, includ funcţii spline

monotone, funcţii spline optimale, reprezentări de baza ale funcţiilor spline, funcţii fizice de

energie minimă şi altele. Alte exemple care fac din funcţiile spline un instrument util sunt cele

legate de grafica pe calculator, atât pentru reprezentarea obiectelor reale, cât şi a celorimaginare, în proiectarea asistată de calculator, în proiectarea automobilelor, proiectarea

navelor cu pânze (a velierelor), în arhitectură şi în alte domenii. În lucrarea noastră metoda

spline a fost combinată şi cu alte metode (spline blended). Funcţiile spline polinomiale prezintă

avantajul ducerii pană la sfârşit a calculelor programarea algoritmilor la calculatoarele

electronice făcându-se fără dificultate.

Problematica utilizării funcţiilor spline pentru rezolvarea ecuaţiilor integrale Fredholm

a început cu lucrările lui Aselone şi Laurent "A General Method for Construction of Interpolating of Smoothing Spline Functions" (1968) şi D.W. Arhtur "The Solution of Fredholm

Intesral Equations Using Spline Functions". Interpolarea funcţiilor spline acoperă o mare

varietate de abordări explicite pentru analiza funcţiilor spline, de exemplu interpolarea

punctelor din plan, prin curbe şi interpolarea punctelor din spaţiul 3-dimensional prin suprafeţe.

Această lucrare sintetizează, analizează şi dezvoltă rezultate ale matematicienilor

Ahlberg, Atkinson , Andereson, Borr, Baker, Chui, Curry, Deutch, Elfving, Gordon, Homerlin,

Miller, Micula, Schomberg, Schumaker, Schultz, Walsh, Hackbusch, Ionescu, Precup, Păvăloiu

şi alţii; rezultate care se referă la metoda spline şi mai ales la rezolvarea numerică a ecuaţiilor

integrale Fredholm de speţa a II a prin această metodă.

10



Fig. 5

De asemenea sunt prezentate rezultatele publicate de autoare în buletine ştiinţifice, reviste

recunoscute de CNSSIS (Cotate B,B+)[49-53,141-148],sau prezentate la conferinţe, sesiuni de

comunicări internaţionale sau naţionale[128-140,153], mese rotunde, sau în cadrul referatelor.

Sunt prezentate şi aplicaţii realizate în cadrul Grant CNCSIS nr. 810/2004, „Contribuţia privind

modelarea procesării cognitive a imaginilor în aplicaţii militare” sau unor programe de

cercetare din planul AFT în colaborare cu Cercetător ştiinţific g(I) dr.Căruţaşu V.

Metoda nu apare evident independent ci este impusă fie de găsirea unei formule de

cuadratură optime, fie de necesitatea substituţiei nucleului cu un nucleu degenerat, fie de

aplicarea unei metode de proiecţie de tip Galerkin în care proiecţia se face pe spaţiul funcţiilor

spline polinomiale. Proprietăţile funcţiilor spline folosite sunt evident legate de proprietăţile

nucleului K al ecuaţiei integrale şi ale funcţiei care mai apare în expresia acesteia. Ele mai

depind de proprietăţile pe care le cerem soluţiei (problema se pune diferit pe spaţii Banach,

Hilbert, Sobolev). Există desigur o diferenţa între modul în care se pune aceasta problemă la

ecuaţiile Fredholm de speţa a II a omogene şi la cele neomogene, la ecuaţiile lineare şi neliniare

( în particular de tip Hammerstein,Uryson şi de alte tipuri care satisfac condiţiile din teoremele

care vor fi enunţate ). în procedeele de interpolare şi aproximare care menţin forma se cer în

mod explicit proprietăţi importante ale soluţiei de bază şi pentru interpolant. Aceste proprietăţi

includ convexitatea, monotonia, etc. în multe dintre cazuri e necesară considerarea problemei

abstracte (variaţională) a minimizării unei norme în spaţiul Hilbert când variabila este limitată

la o mulţime convexă CCH şi satisface anumite egalităţi liniare. Mulţimea aceasta convexă ne

sugerează forma constrângerilor şi condiţiile de interpolare sunt generate de inegalităţile liniare.

Lucrarea este axată pe studiul a patru dintre cele mai importante metode de abordare a

ecuaţiilor integrale de tip Fredholm de speţa a doua şi anume: metoda

nucleelor degenerate, metoda cuadraturii, metode proiectiv-iterative şi

metoda colocaţiei, iar ca un caz particular metoda spline-Galerkin. Acesteavor fi combinate cu alte metode procedeu pe care îl vom numi „spline-

blended”şi aplicate pentru ecuaţiile liniare, neliniar inclusiv în cazul când

nucleul ecuaţiilor admite singularităţi. Vom lua de asemenea în considerare

cazul bidimensional, vom estima eroarea procedeelor folosite şi ordinul de

aproximaţie al soluţiei numerice.

Lucrarea este structurata în 10 capitole având mai multe paragrafe şi subparagrafe şi

acoperă cele trei idei amintite anterior. Primul capitol prezintă spaţiile de funcţii spline care vorfi folosite în metodele numerice: funcţiile spline polinomiale de o variabila de interpolare de

11

Fig. 6 Galerkin

1871-1945



speţa I, II, periodice, cu deficienţă B-spline, spline cardinale şi în paragraful 1.2 generalizarea

la mai multe variabile a funcţiilor spline polinomiale, funcţii spline simplex, spline box, spline

poliedrale. Capitolul este inspirat de lucrarea profesorului Micula Gheorghe [100] şi o lucrare

recentă a matematicianului C. de Boor ” Multivariate piecewice polynomials”. (Evident nu va

fi exclusă nici viziunea de dată mai puţin recentă în care acest spaţiu era văzut ca un produs

tensorial al unor spaţii de funcţii spline de o variabilă)

Autoarea porneşte de la lucrarea „Splines nonneschive B-spline coeficients“ (1974) în care

Boor [30] şi Daniel au cercetat posibilitatea reprezentării funcţiilor spline printr-o combinaţie

neneschiv de B-spline şi de la rezultatele lui Smith şi Hess (1988) care considerând calcularea

unei spline de clasă C’ neneschiv pe un sistem de noduri dat şi deduc că problema are o

infinitate de soluţii. Alegerea soluţiei cu curbura minimă conduce la o problemă de optimizare

rezolvată prin metoda Newton. Interpolarea e tratată prin alte metode prin alte metode folosind

funcţii spline de gradul II sau cubice. Diferenţa între metoda lor şi metoda prezentată aici

(Capitolul 6) este că soluţia devine o funcţie spline cubică de ordinul doi pe un sistem de noduri

modificat. Există un rezultat de caracterizare binecunoscut datorat lui Michelli care afirmă că

soluţia este ortogonală pe subspaţiul convex generat de combinaţiile liniare construite cu o

anumită bază de funcţii pe care îl utilizăm. Aceste funcţii sunt determinate de tipul specific de

interpolare considerat şi de alegerea normei (metoda Galerkin). Capitolele următoare

evidenţiază rolul acestor funcţii în metodele numerice aplicabile ecuaţiilor integrale Fredholm

de speţa a II a.

În capitolul 2 s-au analizat câteva teoreme de existenţă şi unicitate celebre (metoda

Newton-Kantorovici, teorema lui Banach, teorema lui Perov, teorema lui Schauder) din

perspectiva aplicării acestora la ecuaţiile integrale neliniare de tip Fredholm. Remarcăm aici

subcapitolul 2.1. unde s-a demonstrat o teoremă de existenţă şi unicitate pentru soluţiile

ecuaţiilor integrale neliniare de tip Fredholm care se bazează pe metoda lui Newton-

Kantorovici. Am prezentat metoda nucleelor degenerate aplicată pe rând ecuaţiilor integraleliniare, ecuaţiilor integrale de tip Hammerstein şi ecuaţiilor integrale de tip Uryson. Pentru

ecuaţiile integrale de tip Uryson metoda face obiectul subcapitolului 2.2.2..

Capitolul trei se ocupă cu aproximarea soluţiei unei ecuaţii integrale cu metoda

cuadraturii. Primul subcapitol face o trecere în revista a câtorva metode de integrare numerică

cunoscute punând accentul pe formulele de cuadratură ale lui Gauss şi pe posibilitatea extinderii

gradului de exactitate al acestora. Următorul subcapitol se ocupa cu aplicarea metodei

cuadraturii la rezolvarea ecuaţiilor integrale liniare de tip Fredholm. în următoarele subcapitolese exploatează teorema Banach-Steinhaus la aproximarea soluţiei ecuaţiilor integrale de tip

12



Hammerstein şi a ecuaţiilor integrale de tip Uryson. Ultimul subcapitol prezintă un exemplu

concret de aplicare a acestei metode. Contribuţia la acest capitol se materializează într-un articol

la revista Studia Mathematica referitor la aplicarea acestei metode la ecuaţiile integrale de tip

Uryson şi face obiectul subcapitolului 3.4..

În capitolul patru am abordat câteva metode proiectiv-iterative pentru aproximarea

soluţiei ecuaţiilor integrale de tip Fredholm. Primul subcapitol se ocupa cu aplicarea acestor

metode la ecuaţiile integrale liniare, următorul la ecuaţii integrale de tip Hammerstein,

subcapitolul 4.3. ocupându-se de aplicarea lor la ecuaţiile integrale de tip Uryson. La acest

capitol am demonstrat doi algoritmi de aproximare a soluţiei unei ecuaţii integrale de tip

Uryson. Rezultatele amintite vor apare într-un articol din revista Revue d’Analise Numerique,

iar aici sunt date în subcapitolul 4.3..

Capitolul cinci se ocupă cu aplicarea metodei spline-Galerkin la aproximarea soluţiei

ecuaţiilor integrale de tip Fredholm. Primul subcapitol se ocupa cu aplicarea metodei spline-

Galerkin la aproximarea soluţiei ecuaţiilor integrale liniare de tip Fredholm. Subcapitolul 1.2.2.

se ocupa cu aplicarea metodei spline-Galerkin la aproximarea soluţiei ecuaţiilor integrale

neliniare de tip Fredholm. Ultimul subcapitol prezintă un exemplu concret de aplicare a acestei

metode. Michelli şi Utretcs au demonstrat cadrul teoretic iar mai târziu Chui, Deuch şi Ward au

analizat foarte atent problema teoretică.

Pe partea algoritmică Iliev şi Pollul au propus folosirea ecuaţiilor Peano ca mijloc pentru

construcţia soluţiilor problemei de interpolare. Ei au considerat cazul cu deficient pentru a doua

derivată (convexitate) şi au folosit tipul Iakobi al metodei pentru soluţionarea acestora. O

lucrare anterioară importantă asupra interpolării monotonice a fost realizată de Hornung. Apoi

Obfer şi Oberle au considerat problema deficientelor esenţiale pentru cazul deficientelor

constate pe porţiuni. Fisher, Obfer şi Puri (1991) au descris un algoritm local care ne furnizează

un sistem de noduri care poate fi considerat ca punct de plecare.

Alte metode pentru calculul funcţiilor spline cubice nenegative şi monotone sunt prezentate de Pouer şi Reinsch (1989).O lucrare anterioară importantă asupra interpolării

monotonice a fost realizată de Hornung. Apoi Obfer şi Oberle au considerat problema

deficientelor esenţiale pentru cazul deficientelor constate pe porţiuni. Fisher, Obfer şi Puri

(1991) au descris un algoritm local care ne furnizează un sistem de noduri care a fost considerat

în acest capitol ca punct de plecare. Alte metode pentru calculul funcţiilor spline cubice

nenegative şi monotone pe baza cărora vom evalua rezultatul obţinut sunt prezentate de Pouer şi

Reinsch (1989).

13



Capitolul sase se referă la legătura dintre metodele de proiecţie şi metoda spline. Problema

este tratată întâi abstract, pe spaţii Hilbert. Apoi sunt date aplicaţii concrete. Capitolul sase

referă de asemenea la legătura dintre metodele de proiecţie şi metoda spline tratat întâi abstract,

pe spaţii Hilbert. Nu se cer explicit în lucrarea noastră,ca în procedeele de interpolare şi

aproximare care menţin forma, proprietăţi importante ale soluţiei de bază şi pentru interpolant :

convexitatea, monotonia, etc. Din acest motiv e necesară, în multe dintre cazuri, considerarea

problemei variaţionale a minimizării unei norme în spaţiul Hilbert. când variabila este limitată

la o mulţime convexă şi satisface anumite egalităţi liniare. Mulţimea ne sugerează forma

constrângerilor. Condiţiile de interpolare sunt generate de inegalităţile liniare.

In exemplul nostru funcţiile alese pentru bază vor fi funcţiile B spline lineare (de gradul

I). Coeficienţii necunoscuţi şi combinaţia lineară sunt definiţi prin condiţiile de interpolare care

dau naştere unui sistem de ecuaţii numite ecuaţii Peano. Metoda noastră are ca scop rezolvarea

numerică a ecuaţiilor Fredholm neliniare în formă generală.

In paragraful 2. e prezentată metoda abstractă. Noua metodă e expusă T3 care prezintă

rezultatul care caracterizează soluţia problemei de interpolare. Noua metodă se bazează pe

stabilirea existentei parametrilor Lagrange în T2. în T6 se formulează o caracterizare care

corespunde rezultatului aproximaţiei când se folosesc norme euclidiene.

In paragraful 3 considerăm problema minimizării2

în cazul interpolării pană la

ordinul 2 de derivare şi când variabilele soluţiei aproximative sunt constrânse între marginea

superioară şi cea inferioară. Problema generală e reformulată pentru a se potrivi cu cadrul

interpolării într-un subspaţiu convex închis al unui anumit spaţiu Hilbert. Subspaţiul convex se

construieşte în aşa fel încât proiecţia să fie făcută pe fiecare interval (t i, ti+1) ti noduri date în

mod separat. Aceasta simplifică algoritmul şi îl face ideal pentru o implementare.

Ecuaţiile Peano ce rezultă utilizează în două cazuri rădăcinile polinoamelor Hermite şi

alte alegeri posibile ale subspaţiului convex.Proiecţia este un ingredient esenţial în rezolvarea problemei de interpolare. în

paragraful 4. voi caracteriza proiecţia. în cazul special de proiecţie a unei funcţii liniare vom

obţine o expresie explicită care conţine trei parametrii necunoscuţi r,s,z. în cazul funcţiilor

polinomiale pe porţiuni soluţia este un spline cubic cu cel puţin 4 noduri noi între fiecare

pereche consecutivă a absciselor interpolării. Marginile de sus şi jos pot fi active într-un

subinterval reducând astfel numărul de noduri noi la cel puţin două pe subinterval.

In paragraful 5. vom da metoda de calcul pentru parametrii l, s şi z din datele de

interpolare. Pentru cazul liniar vom obţine expresii explicite. Probabil se pot obţine asemenea

14



expresii şi structuri mai complicate cu funcţii polinomiale cubice pe porţiuni dar calculul care

urmează devine dificil. In paragraful 6. deducem iacobianul transformatei şi vom arăta

că este pozitiv definit. Pentru rezolvarea ecuaţiilor Peano se va aplica o metodă Newton

specială. In partea finală vom aplica metoda noastră la câteva exemple pentru a demonstra

robusteţea şi eficienta ei.

După cum am mai menţionat Michelli şi Utretcs au demonstrat cadrul teoretic iar mai

târziu Chui, Deuch şi Ward au analizat foarte atent problema teoretică. Pe partea

algoritmică Iliev şi Pollul au propus folosirea ecuaţiilor Peano ca mijloc pentru construcţia

soluţiilor problemei de interpolare. Ei au considerat cazul cu deficient pentru a doua derivată

(convexitate) şi au folosit tipul Iakobi al metodei pentru soluţionarea acestora. Apoi sunt date

aplicaţii concrete.

Capitolul şapte prezintă metoda lui Nystöm metodă de substituţie a nucleului printr-

un nucleu degenerat. În acest capitol pornind de la teoria generală fundamentată de Anselone

şi Moore vom da o metodă de rezolvare numerică care foloseşte funcţii spline de tipul I. În

paragraful 7.2 sunt prezentate funcţiile spline blended un insrument relativ nou şi după cum se

va vedea mai eficient. Teoremele 7.3.1, 7.3.2 din paragraful 7.3. sunt rezultate originale.

Krylov, Misovskich şi Brogage şi mulţi alţii au dezvoltat această metodă folosind diferite tipuri

de scheme de cuadratură. Anselone şi Moore au fost primii care au abstractizat problema

îmbrăcând-o în hainele analizei matematice, făcând posibilă generalizarea ei în cadrul acestui

capitol. În ipotezele generale satisfăcute în majoritatea cazurilor ei au demonstrat convergenţa

metodei şi au găsit dimensiunea erorii. Pornind de la rezultatele obţinute de aceştia Atkinson a

generalizat metoda lui Nystöm la nuclee care prezentau singularităţi. El a găsit marginile erorii

care depindeau de netezimea nucleului. În acest capitol chiar dacă metoda conduce la calculul

valorii soluţiei aproximative într-un număr de puncte echidistante ale intervalului [a,b] vom

considera soluţia aproximativă globală ca funcţie care admite un anumit număr de derivate

continue pe [a,b]. Pentru construcţia ei vom folosi funcţii spline cubice de speţa I. Evident

existenţa şi unicitatea soluţiei exacte ca şi a celei aproximative depind de netezimea nucleului şi

funcţiei f. Nilson şi Walsh au construit o aproximaţie folosind un alt tip de funcţii spline cubice

fără a demonstra convergenţa metodei. Cu toate că pot fi date demonstraţii ale convergenţei

ordinul de convergenţă e scăzut.

În capitolul opt sunt folosite pentru aproximarea nucleului şi a funcţiei f, baze formate

din funcţii B-spline, BB-spline şi funcţiile spline cardinale. Am analizat pentru fiecare caz

eroarea procedeului. Rezultatele confirmă faptul că funcţiile spline sunt un instrument de

15



aproximare pentru ecuaţiile integrale de tip Fredholm cu bune rezultate practice. Soluţiile

aproximative spline dau o precizie bună în aproximare mai ales când nucleul ecuaţiei este o

funcţie care nu are puncte singulare.

Capitolul nouă tratează problema găsirii ordinului de aproximaţie în cazul aplicării

metodei Galerkin pe spaţii Sobolev şi utilizării unei baze formate din funcţii spline. Rezultatele

numerice confirmă acurateţea aproximaţiei la care ne-am aşteptat. Considerând condiţii de

netezime suplimentare cu modificări minore în demonstraţii rezultate similare pot fi uşor

demonstrate în legătură cu aproximarea cu funcţii spline de ordin mai mare ca 3.

Capitolul X prezintă aplicaţii în teoria împrăştierii şi probleme de contact. Pentru o

ecuaţie integrală care apare în teoria împrăştierii se studiază posibilitatea aplicării metodei

spline-Galerkin pentru rezolvarea numerică. Vom problema Hertz de contact a două suprafeţe

rigide din materiale diferite şi cu nucleu de forma unei funcţii potenţial cu scopul determinării

soluţiei numerice. Evaluarea numerică a determinanţilor Fredholm va utilizată şi în rezolvarea

unor probleme de statistică, teoria probabilităţilor referitoare la distribuţii şi matrici aleatoare.

În primul paragraf al ultimului capitol pornind de la teoria generală fundamentată

de Anselone şi Moore indicăm o metodă de rezolvare numerică care foloseşte funcţii spline

cubice de tipul I uni şi bidimensionale şi demonstrăm posibilitatea aplicării ei în mecanică.

Funcţiile spline cubice sunt folosite în studiul vibraţiilor de torsiune ale unor bare neuniforme.

Soluţia este obţinută prin transformarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare în ecuaţii integrale şi

apoi acestea sunt rezolvate numeric. Funcţiile spline cubice satisfac condiţiile geometrice, de

continuitate şi la limită. Studiul pune în evidenţă efectele rigidităţii, a legăturilor elastice şi a

maselor adiţionale.

Unul dintre matematicienii români cu valoroase şi numeroase rezultate în

dezvoltarea teoriei funcţiilor spline şi a aplicaţiilor acestora este profesor

doctor Micula Gheorghe căruia doresc prin această lucrare să-i aduc un ultim

omagiu pentru sprijinul acordat. S-a preocupat de teoria funcţiilor spline şiaplicaţii ale acestora la Analiza numerică a ecuaţiilor diferenţiale. A realizat

peste 90 articole ştiinţifice şi a publicat două monografii asupra teoriei

funcţiilor spline. A fost profesor invitat la universităţi din: Germania, SUA,

China, Coreea, Noua Zeelandă, Israel, Italia, Cehia, Elveţia, etc.

16

Fig. 7 Micula(1943-2003)



Capitolul 1

Metoda colocaţiei

Acest capitol îşi propune să studieze aplicarea metodei colocaţiei şi în special a metodei

spline-Galerkin la rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale de tip Fredholm.

Primul paragraf conţine noţiuni şi rezultate legate de funcţiile spline.

Al doilea paragraf este consacrat aplicării metodei colocaţiei şi a metodeispline-Galerkin la rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale liniare şi neliniare de tip

Fredholm.

Ultimul paragraf conţine exemple cu aplicarea acestei metode la rezolvarea unor ecuaţii

integrale de tip Fredholm.

1.1.Funcţii spline

1.1.1.Funcţii spline polinomiale

Soluţia unei ecuaţii integrale în condiţiile în care datele problemei asigură existenţa, unicitateaşi anumite proprietăţi de regularitate care depind de nucleu şi funcţia g poate fi determinată

17



exact numai în anumite cazuri particulare. Din acest motiv se recurge în general la metode

numerice( de exemplu interpolarea).

Unele rezultate obţinute cu privire la folosirea polinoamelor pentru interpolare au condus încă

de acum câteva decenii la ideea că acestea nu sunt cel mai potrivit instrument de aproximare a

unei funcţii date. Pornind de la ideea că orice funcţie continuă poate fi aproximată printr-o linie

poligonală (funcţia spline de gradul I) care a generat şi formula de cuadratură trapezului se pune

problema găsirii unei funcţii de interpolare care în cazul când numărul de noduri creşte indefinit

să conveargă spre funcţia pe care o interpolează (în cazul nostru aceasta va fi soluţia unei

ecuaţii integrale de tip Fredholm). În cazul cel mai simplu această funcţie este segmentar

polinomială şi se racordează în noduri împreună cu un anumit număr de derivate.

Termenul de funcţie spline a fost utilizat cu această semnificaţie pentru prima dată de I. J.

Schomberg în anul 1946. Funcţiile de acest tip au proprietatea de a minimiza funcţionala

( )[ ] f t dt q

a

b

( )∫ 2

pe mulţimea funcţiilor care verifică condiţia de interpolare de tip Hermite-

Birkhoff ( ( ) yt f

i

j =)( 1 , ( )i j, ∈ Ε mulţime de indici t t t N <<< 21 diviziune dată).

Fie [a,b] ⊂ R un interval închis şi fie ∆ : a=x0<x1<…<xk<xk+1 = b , o partiţie a lui [a,b]

în k subintervale

Ii=[xi,xi+1), i ∈ 1,0 −k şi Ik=[xk,xk+1].

Fie m un număr întreg şi pozitiv şi fie M=(m1,m2,…,mk) ∈ R k un vector cu componente

întregi satisfăcând 1≤ mi≤ m, i ∈ k ,1 .

Definiţia 1.1.1.

O funcţie spline polinomială de grad m-1 şi ordin m cu nodurile x1,x2,…,xk de multiplicităţim1,m2,…,mk, este o funcţie s:[a,b]→R satisfăcând următoarele condiţii :

1. Există polinoamele s0,s1,…,sk ∈ Pm (mulţimea polinoamelor de grad m-1), astfel încât

sIi=si, ∀ i ∈ k ,1 .

2. D jsi-1(xi)=D jsi(xi), j ∈ imm −−1,0 , i ∈ k ,1 .

Vom nota cu

(1.1.1) S(Pm;M;∆)

18



spaţiul liniar al funcţiilor spline polinomiale de grad m-1, cu vectorul multiplicităţilor

M:=(m1,m2,…,mk) care respectă nodurile diviziunii ∆.

Vectorul multiplicităţilor M determină gradul netezimii funcţiei spline în noduri. Dacă

m=mi, funcţia spline este definită în felul următor: pe intervalul din stânga nodului k i, ca un polinom si-1, pe subintervalul din dreapta lui xi, ca un polinom si. În nodul xi funcţia spline

poate fi discontinuă. Dacă m<mi, atunci cele două polinoame sunt legate prin netezire în nodul

xi, aceasta însemnând că funcţia spline s şi primele m-1-mi derivate sunt continue în xi.

În multe aplicaţii problemele aproximării se referă la un interval închis [a,b] şi acesta

este motivul pentru care funcţia spline a fost definită pe un astfel de interval. Dar, orice funcţie

spline poate fi extinsă la R într-un mod foarte natural : pentru s ∈ S(Pm;M;∆) definim

(1.1.2) s(x):= >< b x x s

a x x sk ),(

),(0 unde s0 şi sk sunt polinoamele definite de funcţia spline pe

intervalele I0 şi respectiv Ik.

Vom vedea că S(Pm,M,∆) este un spaţiu vectorial liniar finit dimensional. Pentru a simplifica

notaţia, vom nota simplu cu S.

Teorema 1.1.2.

Fie K:= ∑=k

iim

1. Atunci S este un spaţiu liniar de dimensiune m+K.

În continuare vom construi o bază pentru acest spaţiu. Cum Pm⊂S(Pm,M,∆) înseamnă că

orice bază a lui S trebuie să conţină o bază a lui Pm. Considerăm ca bază a lui Pm funcţiile 1,x-a,

(x-a)m-1. Trebuie să mai găsim încă K elemente. Vom folosi următoarea notaţie:

(x-y)+ j

:=(x-y) j(x-j)+0, j>0, unde

(x-y)+0:=

≥< .,1

,0 y x y x

Funcţia (x-y)+ j se numeşte funcţie trunchiată.

Teorema 1.1.3.

Funcţiile k im jiji ,0,.1 ∈∈

ρ definite de

(1.1.3) ρij(x)=(x-xi)+m-j, i ∈ k ,0 , j ∈ im,1 ,

unde x0=a şi m0=m, formează o bază a spaţiului liniar al funcţiilor spline S.

19



Teorema 1.1.3. ne arată că orice funcţie s ∈ S(Pm,M,∆) are o unică reprezentare de forma :

(1.1.4) s(x) = ∑ ∑ −

= =

+k

i

m

j

jiij

i x xc

0 1

)( .

Baza (1.1.3) este utilă din punct de vedere teoretic, dar pentru aplicaţii această bază nu este

totdeauna benefică. De exemplu, pentru a găsi valorile lui s la dreapta intervalului [a,b] trebuie

să calculăm valorile tuturor funcţiilor din (1.1.3) în aceste puncte.

Pentru a evita aceste calcule, vom demonstra că putem găsi o altă bază a lui S, o bază care se

utilizează mai uşor în aplicaţii.

1.1.2. Bazele locale pentru spaţiul funcţiilor spline.

Dată o funcţie f, îi definim suportul ca fiind

(1.1.5) supp f:= 0)( ≠ x f x

Vom construi o bază pentru S(Pm,M,∆) care să conţină funcţii spline cu cel mai mic suport

posibil. Evident, o astfel de bază poate fi obţinută din combinaţii liniare ale funcţiilor spline de

la (1.3). Lema următoare ne dă condiţii necesare pentru ca o combinaţie liniară a acestor funcţii

să fie 0 în afara oricărui interval finit.

Lema 1.1.4.

Fie t1,t2,…,td şi 1 ≤ li ≤ m, i ∈ d ,1 . Dacă ∑ >=

d

ii ml

1 atunci există numerele

ii l jd iij ,0,.1 ∈∈α

nu toate nule, astfel încât funcţia B(x):= ∑ ∑−

−

= =

−d

i

l

j

jmi

ij

i

jm

t xα

1 1 )!(

)( să satisfacă condiţia B(x)=0, (∀)

x<t1, şi x>td. Dacă ∑ ≤=

d

ii ml

1, atunci nu există nici o funcţie cu această proprietate.

Modalitatea de construire a acestor funcţii cu suport minim pentru S(Pm,M,∆) ne

sugerează că trebuie utilizate diferenţele divizate ale funcţiilor (x-z)+m-1.

Definiţia 1.1.5.

Fiind dată o partiţie a intervalului [a,b], ∆:a<x1,x2,…,xk<b şi numerele 1≤ mi≤ m, i∈ k ,1 ,

presupunem că există numerele y1,y2,…,y2m+k astfel încât

20



(1.1.4) y1≤ …≤ ym≤ a, b≤ ym+k+1≤ …≤ y2m+k

ym+1≤ …≤ ym+k=

1

111 ,...,,m

x x x,…,

k m

k k k x x x ,...,,

Atunci partiţia k mii y +∈= 2,1)(:Δ~

se numeşte extensia partiţiei asociate spaţiului S(Pm,M,∆).

Notăm că nodurile k mii y +∈ 2,1)( ale partiţiei extinse Δ~ asociată spaţiului S(Pm,M,∆) sunt

unic determinate de nodurile partiţiei ∆. Primul şi ultimele m noduri ale lui Δ~ pot fi alese

arbitrar, atâta timp cât satisfac condiţia (1.1.4).

Vom nota cu [t1,t2,…,tr+1]f diferenţa divizată a funcţiei f în nodurile t1,t2,…,tr+1 .

Teorema 1.1.4.

Fie k mii y+∈

=2,1

)(:Δ~

o partiţie extinsă asociată spaţiului S(Pm,M,∆) şi presupunem b<y2m+k.

Pentru i ∈ k m +,1 fie

(1.1.7) Bi(x)=(-1)m(yi+m-ym)[yi,…,yi+m](x-y)+m-1, a≤ x≤ b.

Atunci funcţiile k mii B +∈ ,1)( formează o bază a spaţiului S(Pm,M,∆) şi acestea satisfac

proprietăţile:

(1.1.8) Bi(x)=0, pentru x ∉[yi,yi+m] şi,

(1.1.9) Bi(x)>0, pentru x ∈ (yi,yi+m).

Mai mult,

(1.1.10) ∑ =+

=

k m

ii x B

11)( , (∀) a≤ x≤ b,

Corolarul 1.1.7.

Presupunem k mii y +∈= 2,1)(:Δ~

că este o partiţie extinsă asociată spaţiului S(Pm,M,∆)

satisfăcând

(1.1.11) b=ym+k+1=…=y2m+k

Presupunem că funcţiile k mii B +∈ ,1)( sunt definite ca în (1.1.7) cu excepţia lui Bm+k a cărui

valoare în b este dată de :

(1.1.12) Bm+k= )(lim x B k mb x

+→

Atunci funcţiile k mii B +∈ ,1)( formează o bază a spaţiului S(Pm,M,∆) şi (1.1.8) are loc.

21



Acest corolar este un caz particular de partiţie extinsă Δ~ , foarte important pentru aplicaţii.

Definiţia 1.1.8. (B- spline). Fie

…y-1 ≤ yo ≤ y1 …

un şir real. Considerăm un număr întreg i şi m > 0 şi orice x ∈ R definim funcţiile

(1.1.13) ( )( ) [ ]( )

<−−

= +−

+++

altfel

y ydaca y x y y y xQ mii

mmiii

mmi

,0

,...,1 11 ,

unde s-a notat cu [y1, y2,..., ym]g diferenţa divizată a funcţiei g pe nodurile y1, y2,.., ym.

Funcţiile QIm se numesc funcţii B- spline de ordinul m asociate nodurilor yi, yi+1,…, yi+m

Dacă m = 1, funcţiile B- spline asociate nodurilor yi<yi+1 sunt următoarele funcţii scară:

(1.1.14) ( )

≤≤

−= ++

altfel

y x ydaca y y xQ

miiiii

0

,1

11

O formulă explicită pentru funcţiile Qim poate de asemenea fi obţinută în cazul în care yi sau yi+m

este un nod de multiplicitate m.

Teorema 1.1.9.

Presupunem yi< yi+1…=yi+m

(1.1.15) ( )( )

( )

<≤

−−

= ++

−

altfel

y x ydaca y y

y x

xQ miimimi

mi

mi

,0

,1

Similar, dacă yi< yi+1…=yi+m atunci

(1.1.16) ( ) ( )

<≤

−−

= ++

+

altfel

y x ydaca y y x y

xQmiim

imi

mimi

,0

,

Următoarea teoremă ne spune că pentru orice i funcţia Q im este o funcţie spline polinomială cu

nodurile yi, yi+1…yi+m .

Teorema 1.1.10.

Presupunem yi < yi+m

22



d

l

dd

l

111mii t,...t,t...,t,...,t,ty...y

d1

=≤≤ +

Atunci Qim este o funcţie spline polinomială de gradul m-1 cu nodurile t1, t2, …, td cu alte

cuvinte

(1.1.17) ( ) ( )∑∑= =

−+

−α=d

1 j

l

1k

k m j jk

mi

j

txxQ

d jl cu j j,1,0 ∈≠α . Mai mult au loc următoarele:

(1.1.18) ( ) ( ) d jl mk t Q Dt Q D j jmi

k j

mi

k ,1,1,1, ∈−−∈= +−

unde D+ şi D+ sunt operatori de derivare la stânga şi la dreapta definiţi astfel:

(1.1.19) ( ) ( ) ( )h x f h x f x f D

h−+=

→+ lim

0

(1.1.20) ( )( ) ( )

h

h x f x f x f D

h

−−=

→− lim

0

Următoarea teoremă descrie structura generală a funcţiilor B-spline cu nodurile yi, …,yi+m,foarte

utilă în calculele actuale cu funcţii B-spline.

Teorema 1.1.11.

Presupunem m ≥ 2 şi yi < yi+m. Atunci pentru orice x∈R

(1.1.21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xQxyxQyxyy

1xQ

1m1imi

1mii

imi

mi

−++

−

+−+−

−=

Teorema 1.1.11. dă o relaţie de recurenţă între funcţiile B-spline de ordinul m şi cele de ordin

m-1. În următoarea teoremă vom vedea că derivatele funcţiilor B-spline de ordinul m pot de

asemenea fi scrise în termenii funcţiilor B-spline de ordin mai mic.

Teorema 1.1.12.

Presupunem yi<yi+1 şi fie D+ derivata la dreapta definită în (1.1.19). Atunci

(1.1.22) )]()([1

)( 11

1 xQ xQ y y

m xQ D m

imi

imi

mi

−+

−

++ −

−−=

Teorema 1.1.13.

Presupunem m>1 şi yi < yi+m . Atunci

(1.1.23) ( ) miimi yxy pentru,0xQ +<<>

23



şi

(1.1.24) ( ) miimi yxsiyx pentru,0xQ +><=

pentru capetele intervalului (yi, yi+m) avem

(1.1.25) ( ) ( )

( ) ( )

−α−∈>−

α−−∈=−

+α−+

+α−+

1m,mk ,0yQD1

1m,0k ,0yQD1

iimi

k mk

iimik mk

i

i

şi

(1.1.26)( ) ( )

( ) ( )

−β−∈>−

β−−∈=−

++−+β−

++−+β−

1m,mk ,0yQD1

1m,0k ,0yQD1

mimimi

k mm

mimimi

k mm

i

i

unde

.y...y/ jmax:

,y...y/ jmax:

1 jmimimi

1 jiii

+−+++

−+

===β==α

Notă. αi este numărul nodurilor yi ≤ … ≤ yi+m care sunt egale cu yi, iar βi+m este numărul celor

care sunt egal cu yi+m.

Următoarea teoremă ne dă informaţii cu privire la liniar independenţa funcţiilor

B-spline.

Teorema 1.1.14.

Presupunem yl < yl+1. Atunci

),[ 1,1 +−+∈= l l ml ml i

m

i y y pe P spanQ

Mai general, dacă l<r şi yr-1 < yr, atunci funcţiile 1

1,1

−

−−+∈

r

r ml i

m

iQ sunt liniar independente pe

)y,y[ r l .

Până acum nu s-a spus nimic despre mărimea mulţimii valorilor funcţiilor

B-spline. Funcţiile B-spline miQ introduse aici pot avea valori arbitrare, mici sau mari,

depinzând de poziţia nodurilor. De exemplu, pe intervalul )y,y[ 1ii + funcţia B-spline

( )i1i

1i

yy

1xQ

−=

+poate avea valori foarte mari sau foarte mici, depinzând de distanţa

dintre noduri. Din raţiuni de calcul, preferăm funcţiile ale căror valori nu sunt nici prea mari,

24



nici prea mici. Acesta este motivul pentru care vom introduce aşa-numitele funcţii B-spline

normalizate.

Definiţie 1.1.15. ( funcţii B-spline normalizate).

Fie

(1.1.27) ( ) ( ) ( ),xQyy:x N miimi

mi ⋅−= +

cu funcţiile B-spline miQ definite în definiţia 1.1.8. .

Funcţiile mi N se numesc funcţii B-spline normalizate asociate nodurilor

yi ≤ … ≤ yi+m.

Pentru m=1 funcţia B-spline normalizată asociată nodurilor yi < yi+m este dată de

(1.1.28) ( ) ≤≤

= +

altfel,0

yxydaca,1:x N

1ii1i

Următoarea teoremă arată că pentru orice m ≥ 1,

(1.1.29) ( ) ( ) .R x,.1x N0 mi ∈∀≤≤

Teorema 1.1.16.

Funcţiile B-spline normalizate formează o partiţie a unităţii, adică

(1.1.30) ( ) ( )∑−+=

+≤≤∀= j

m1 ji

1 j jmi yxy,1x N .

Notă. În mod similar, putem găsi o extensie explicită cu funcţiile B-spline normalizate pentru

câteva polinoame importante. De exemplu, putem vedea că dacă l≤ r şi 1r l yy +≤ , atunci

pentru orice y∈R avem

(1.1.31) ( ) ( ) ( )∑−+=

+− <≤=−

r

m1l

1r lmim,i

1myxy,x Nyaxy

(1.1.32) ( ) ( ) ,yxy,m,1 j,x N bxr

m1li

1lmi

ji

1 j ∑−+=

++ <≤∈=

unde

25



( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) r ml i aD

m

j b

y y y a

mi j m j j

i

m

p pi mi

,,!

!:

:

,

,

−+=−

−−=

−=

−−

−

=+∏

101

11

1

1

1

Următoarea teoremă ne dă ceea ce se numeşte o reprezentare Peano pentru diferenţe divizate şivalorile primelor două momente ale funcţiilor B-spline normalizate.

Teorema 1.1.17.

Presupunem 0≤ j≤ m-1. Atunci pentru orice [ ]mii jm

1 y,yLf +−∈ , avem

(1.1.33) [ ]( )

( )

( ) ( )∫ +

−++

−

−=

mi

i

y

y

jmmi

j j

mii ,dxxf DxQD

!1m

1f y,...,y

(1.1.34) ( )∫ +

=mi

i

y

y

mi

m

1dxxQ

şi

(1.1.35) ( )( )

( )∫ +

++ ++++

=mi

i

y

y

mi1iimi y...yy

1mm

1dxxxQ .

Mai departe vom introduce o altă clasă de funcţii B-spline, m

iQ~

, care sunt similare funcţiilor

miQ cu excepţia faptului că ele nu au noduri multiple de ordinul m:

(1.1.36) ( ) [ ]( ) R x,xyy,...,y,y:xQ~ 1m

mi21mi ∈−= −

++ .

Lema 1.1.18.

Are locmiQ

~ = miQ (x), (∀) x∈R\ m

i j ,

unde mi j :=nodurile funcţiilor d ordinul m ale funcţiei m

iQ .

Următorul rezultat relevă relaţia dintre produsul interior a două funcţii B-spline şi diferenţele

divizate.

Teorema 1.1.19.

Presupunem mii yy+

< şi n j j yy +< . Atunci

26



(1.1.37)( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

[ ]

[ ] ( ) 1,...,

,...,!1

!1!11

−++

+

+∞

∞−

−

−+

−−−=∫

nm

x ym j j

xmii

m

n

j

m

i

x y y y

y ynm

mndx xQ xQ

Indicii de jos x şi y pentru diferenţe divizate indică variabila cu care se operează.

Formula (1.1.37) este foarte importantă pentru numeroase aplicaţii. Când utilizăm funcţii spline

în diferite aplicaţii, nodurile pot fi luate echidistante, de aceea în continuare vom studia funcţiile

B-spline cu noduri echidistante.

Vom numi reţeaua de noduri …,yi,yi+1,… o reţea uniformă de pas h, dacă

(1.1.38) yi+1-yi=h, ∀i.

In acest caz special, orice funcţie B-spline poate fi obţinută dintr-o funcţie spline de bazăefectuând o translaţie şi o înmulţire cu o constantă. Fie Qm funcţia

(1.1.39) ( )( )

( )( )

( )∑=

−+

−+ −−=−∆−=

m

i

mim

imm

mm i xC

m y x

m xQ

0

11

!1

!1

unde ∆m este diferenţa divizată a operatorului de ordinul m. Această funcţie este o funcţie B-

spline asociată cu nodurile simple 0,1,…,m. Ea aparţine mulţimii Cm-2(R) .

Putem asocia lui Qm versiunea normalizată Nm(x)=mQm(x)

Următoarea teoremă ne arată că orice funcţie B-spline poate fi obţinută din Qm

sau Nm

efectuând o translaţie şi, posibil, o înmulţire cu o constantă.

Teorema 1.1.20.

Presupunem că yi,…,yi+m sunt noduri echidistante cu pasul h. Atunci,

(1.1.40) ( )

−=

h

y xQ

h xQ imm

i

1şi

(1.1.41) ( ) −= h y x N x N immi .

Este uşor de revăzut că funcţia Nm are proprietăţile:

(1.1.42) [ ] [ ]1

,,1

==∞ mo L

m

mo L

m N N

(1.1.43) [ ]( ) ∞≤≤∀≤ q N

mo L

m

q

1,0,

Proprietăţile fundamentale ale funcţiilor B-spline sunt substanţial simplificate în cazul nodurilor

echidistante. De exemplu, formula de recurenţă (1.1.21) devine

27



(1.1.44) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]11 11 −−+= −− xQ xm x xQm

xQ mmm

şi pentru funcţii B-spline normalizate

(1.1.45) ( ) ( ) ( ) ( )111 −−+= −− xQ xm x xQ x N mmm

Similar, formula (1.1.22) pentru derivatele funcţiilor B-spline devine

(1.1.46) ( ) ( ) ( )111 −−= −−+ x N x N x N D mmm

Formula de reprezentare a lui Peano (1.1.33), pentru noduri echidistante, devine

(1.1.47) ( ) ( ) ( )∫ =∆m

mmm dx x f D x N f 0

0

pentru orice f ∈L1[0,m]. Făcând o schimbare de variabilă, această formulă devine

(1.1.48) ( ) ( )∫ +

=∆ − m mmmm dxt x f D

h x N ht f

0

1

pentru orice h>0, t>0 şi f ∈L1[t,t+mh]

Produsul interior al funcţiilor B-spline cu noduri echidistante poate fi explicitat şi are loc

următoarea egalitate:

(1.1.49) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −∈=+ +

m mhn

jimi

mm m jdx x N x N h

dx j x N x N 0 0

1,0,1

Definim următoarea funcţie B-spline astfel,

(1.1.50) ( )

+=

2m

x N x M mm

şi notăm că funcţia Mm este simetrică faţă de origine şi suportul ei este intervalul

−

2,

2mm

. Un

calcul direct ne conduce la următoarea formulă a convoluţiei :

(1.1.51) ( ) ( ) ( )

∫

∞

∞−

−− =−=∗ x M dy y M y x M M M mmimi 11

O alegere particulară a nodurilor ne conduce la nişte funcţii B-spline speciale care se numesc B-

spline perfecte. Nodurile considerate sunt:

(1.1.52) nim

im yi ,0,cos ∈⋅

−= π .

Definiţia 1.1.21.

Se numeşte funcţie B-spline perfectă de ordinul n (sau de grad m-1) funcţia spline Bm*, cunodurile (1.1.52), dată de

28



(1.1.53) ( ) ( ) [ ]( ) 110 ,...,,1 −

+∗ −−= m

mm

m y x y y ym x B .

Teorema 1.1.22.

Are loc următoarea egalitate:

(1.1.54) ( )∫ −

=1

1

* 1dx x Bm

şi

(1.1.55) ( ) ( ) 1x1,!1m2xBD 2m*m

1m ≤≤−−= −−+ .

Funcţiile B-spline perfecte Bm

*

se numesc perfecte pentru că derivata de ordinul m-1 este învaloare absolută.

Se poate vedea că derivatele de ordin mai mare ale lui Bm* sunt mărginite:

(1.1.56)[ ]

( )( )

.2m j0,!2 jm

!1m2BD

1 j

1,1C

*m

j−≤≤

−−

−≤

+

−+

1.1.3. Funcţii spline polinomiale naturale

În acest subcapitol vom considera un subspaţiu liniar al spaţiului S(P m;M;∆) al funcţiilor

spline polinomiale. Acest subspaţiu joacă un rol important în aplicaţii.

Fie M:=(m1,m2,…,mk) un vector cu componentele ,1 mmi ≤≤ k i ,1∈ .Vom nota cu N

S(P2m;M;∆) următoarea mulţime de funcţii spline

(1.1.57) NS(P2m;M;∆):= ( ) [ ] [ ] mk ok k m P s sb x s s xa s s M P S s ∈==∆∈ ,;,,,, 110

Această mulţime se numeşte mulţimea funcţiilor spline naturale de grad 2m-1, sau de ordin 2m,

cu nodurile x1,x2,…,xk de multiplicităţi m1,m2,…,respectiv mk. Evident

N S(P2m;M; ∆) este un subspaţiu liniar al spaţiului S(P2m;M;∆).Următoarea teoremă se referă la dimensiunea spaţiului NS(P2m;M, ∆).

Teorema 1.1.23.

Mulţimea tuturor funcţiilor spline naturale NS(P2m;M;∆) este un spaţiu liniar de dimensiune K

∑=

=k

iim

1.

29



În multe aplicaţii funcţiile spline naturale sunt folosite, pornind de la o bază a spaţiului

S(P2m;M; ∆) şi impunând restricţii la capetele intervalului. În alte aplicaţii este necesar să

construim o bază a spaţiului NS(P2m;M; ∆). Vrem să construim o bază cu funcţii spline având

suport minim.Dat ,...yşi1,1 1i jii y yn j ++ ≤≤≤≥≥ definim funcţiile

(1.1.58)[ ]

=

<−=

+

+−

++

jii

jii

n

jiin

ji y ydacă

y ydacă z x y y x L

, 0

,)(,...,:)(

1

, şi

(1.1.59)[ ]

=

<−−=

+

+−

++

jii

jiin

jii j

n ji

y ydacă

y ydacă y x y y x R

, 0

,)(,...,)1(:)(

1

,

O funcţie B- spline uzuală, definită în subcapitolul anterior este dată de

).()()( ,, x R x L xQ nni

nni

ni ==

Proprietăţile acestor funcţii sunt date în următoarea teoremă

Teorema 1.1.24.

Pentru orice j, n j ≤≤0 au loc următoarele proprietăţi

(1.1.40)

<>

>=

+

+

ji

ji

, yx , 0

y pentru x , 0

)( pentru x L

n

ji

(1.1.41) n ji L + este un polinom de grad n-j, pentru x<yI

(1.1.42) )()1()( 1, x Ln x L D n ji

n ji

−++ +−=

(1.1.43)

=−

>−+=

−+

−+

−−

0 )()(

1 ),()()()(

1,

1,

11,

, jdacă x L x y

jdacă x L x y x L x L

n ji ji

n ji ji

n jin

ji

Similar:

(1.1.44)

>><=

i

in ji y x pentru

y x pentru x R

,0

,0)(, ;

(1.1.45) n ji R , este un polinom de grad n-j , pentru x>yI+j

(1.1.46) )()1()( 1,, x Rn x R D n ji

n ji

−+ +=

(1.1.47) 1),()()()( 1,

11,, >−+= −−

− j x R y x x R x R n jii

n ji

n ji

Teorema 1.1.25.

30



Fie K>2m şi

(1.1.48)

+−∈−+∈

∈

=−+

−++

k mk i pentru x Rmk mi pentru x N

mi pentru x L

x Bm

ik mi

m

i

m

imm

i

,1 ),(,1 ),(

,1 ),(

:)(2

,

2

2

1,1

Atunci funcţiile k ii B ,1∈ formează o bază în spaţiul NS(Pm;M;∆).

Următoarea teoremă ne dă o formulă de reprezentare a derivatelor funcţiilor spline naturale,

care se obţin utilizând funcţiile B-spline. Această reprezentare este extrem de importantă în

practică.

Teorema 1.1.26.

Fie funcţia s∈ NS(Pm;M;∆) definită de

(1.1.49) s(x)= ∑∑∑+−

−+

−

+−++ ++

k

mk

m

ik mii

m

i

mk

m

i

m

imm

m

i x Rc x N c x Lc1

2

,

2

1

2

1,1

1

)()()(

Atunci, pentru md ≤≤0

(1.1.70) ∑ ∑ ∑−

=

−

+−=

−

+−=

−−−++

−+

−++ ++=

d m

i

mk

d mi

d k

mk i

d md ik md i

d i

d md i

d i

d mm

d i

d x Rc x M c x Lc x s D1 1 1

2,

)(2)(21

)( ),()()()(

unde

k icc ii ,1,)0( ∈=

mk d mi y y

ccd mc

d im

d i

d id

i −+−∈−

−−=

++

−−+ ,1,

)())(2(

12

)1()1(1)(

−+−∈−

−∈−−=

−+

−

d k mk icd m

d micd mc

d i

d id

i,1,)2(

,1,)2()1(

1

)1()(

Mai mult

(1.1.71) ∑+−

=

−++ =

d mk

i

d mmi

d i

d x M c x s D2

1

2)( ),()(

unde

d mk i y y

ccd mc

mid im

d i

d id

i +−∈−

−−=

+−−+

−−

−

2,1,)(

))(2(

13

)1(1

)1()(

31



Funcţiile spline naturale de grad cel mult 2m-1 au proprietăţi variaţionale remarcabile, pe care

funcţiile de acelaşi grad nu le au.

1.1.4. Existenţa şi unicitatea funcţiilor spline de interpolare

În acest subcapitol dorim să vedem câteva proprietăţi remarcabile ale funcţiilor spline de

interpolare.

Fie N∈N un număr fixat şi fie x0, x1,…, x N∈I:= [ ]ba, nişte puncte fixate din intervalul I.

Presupunem de asemenea, că numerele reale f 0,f 1,…,f n sunt date şi că avem un număr k∈N.

Pe Ck(I)definim forma biliniară

(1.1.72) (f,g)k:= ∫ I f (k)(t)g(k) (t)dt, f, g ∈Ck(I)

care defineşte următoarea seminormă pe Ck(I):

(1.1.73) f k:=( ∫ I

(f (k)(t))2dt)1/2

Problema este de a determina o funcţie s∈Ck(I) care ia valorile f j în nodurile x j şi care are

proprietatea că dintre toate funcţiile din Ck(I) această interpolare cu valorile f j în nodurile x j, este

minimă în raport cu seminorma (1.1.73).

Vom vedea că o astfel de funcţie este funcţia spline de interpolare şi astfel vom găsi cea mainetedă funcţie de interpolare.

Din formula:

(1.1.74) g 2

k =2

k s s g +− =(g-s+s)k=

2

k s g − +

2

k s +2(s,g-s)k

care are loc pentru orice funcţii g, s∈Ck(I), rezultă că funcţia s*∈Ck(I) este suficient să

satisfacă condiţia

(1.1.75) (s*, g+s*)k=0,

pentru orice funcţie de interpolare g∈Ck(I). Formula (1.1.75) ne dă mărginirea

(1.1.76)2

k g =

2*k

s g − +2*k

s2*k

s≥

şi egalitatea are loc dacă k s g *− =0, adică când derivatele de ordin k ale funcţiilor g şi s sunt

egale.

Pentru determinarea funcţiei s* trebuie să impunem şi alte condiţii de interpolare. Avem

următoarea teoremă:

Teorema 1.1.27.

32



Fie T un operator liniar definit pe Ck(I) care ia valori într-un spaţiu liniar B, astfel încât

Ts*=y. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) Dintre toate funcţiile g∈Ck(I) care satisfac Tg=y , funcţia s* este cea mai mică relativ la

seminorma (1.1.73). b)Oricare ar fi g∈Ck(I) cu Tg=y, următoarea egalitate are loc

(s*, g-s*)=0

c) Pentru orice f ∈Ck(I) cu Tf=0, avem că

(1.1.77) (s*,f)k=0.

Mai departe dorim să găsim pentru forma biliniară (1.1.72) o reprezentare mai bună pentru

scopurile propuse.

Teorema 1.1.28.

Fie pe N un număr satisfăcând ∈≤≤ k p1 N. Atunci pentru orice f ∈Ck(I) şi s∈C2k-p(I) are loc

următoarea egalitate:

(1.1.78) (s,f)k=(-1)k-p

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )[ ]∑∫

−

=

−−+−+−−

−−+

pk

i

jk jk jk jk j pb

a

pk

a f a sb f b sdt t f t s 1

112

1 .

În continuare vom introduce spaţiul:

(1.1.79) S2k-1,p:= ( ) ( ) [ ] 10,, 1,212 −≤≤∈∈∈ +

−−− N j x x pentrux P s I C s j j p pk pk

= ( ) ( ) 10,,, 1212 −≤≤∈∈∈ +

−− N j x x pentrux P s I C s j jk pk

care se numeşte spaţiul funcţiilor spline polinomiale de grad 2k-1, cu deficienţa p.

De asemenea, avem şi spaţiul:

(1.1.80) N2k-1,p:= ( ) ( ) ,0 ,1222,12 pk s pk

k pk

k pk S s R sa RS s −−−− ⊂==∈

unde

(1.1.81) R ji (x):Ck(I)→ R j-I,x∈I, i≤0 <k+1, definit de

R j

i (x)(f):=(f ( )i (x), f ( )1+i (x),…, f ( )1− j (x)).

se numeşte spaţiul funcţiilor spline naturale de gradul 2k-1, cu deficienţa p.

Următoarea teoremă dă o proprietate remarcabilă a normei minimale pentru funcţiile spline de

interpolare.

33



Teorema 1.1.29. ( Proprietatea de minimalitate a funcţiilor spline)

Fie s*∈S2k-1,p o funcţie spline satisfăcând condiţiile de interpolare

(1.1.82) s*(i)(x j)=: ,10,0, −≤≤≤≤ pi M j f ji

cu nodurile x0,x1,…,x N. Atunci funcţia s* minimizează norma (1.1.72) în raport cu toate funcţiile g∈Ck(I), care satisfac

g ( )i (x j)= ji f , 10,0 −≤≤≤≤ pi M j .

Dacă în plus este satisfăcută una din următoarele condiţii:

a) s* este o funcţie spline naturală din M2k-1,p;

b) s* satisface condiţiile la limită

s*(i)(x j)=g(i)(x j)= j

i f , pentru N j ,0∈ şi i∈ 1,...,1, −+ k p p ;

c) s* este periodică cu perioada x N-x0 .

Teorema 1.1.29. ne permite să afirmăm existenţa şi unicitatea funcţiei spline de interpolare.

Teorema 1.1.30.

Funcţia spline s*∈S2k-1,p este unic determinată de valorile s*(i) (x j), ,0,10 M j pi ≤≤−≤≤ în

nodurile a=x0,x1,…, x N=b, dacă are loc una din următoarele afirmaţii:

a) s* este o funcţie spline naturală din N2k-1,p şi p(N+1)≥ k;

b) s* are valorile fixe limitate R ( ) *0 s xk p şi R ( ) * s x N

k p ;

c) s* este o funcţie spline periodică din S2k-1,p.

Teorema 1.1.31.

Fie a=x0,x1,…, x N=b şi pentru p∈N fie 1,0,,0, −∈∈ pi N j f ji valori reale date. Atunci există

o funcţie spline s*∈S2k-1,p,care se numeşte funcţie spline de interpolare, care satisface

următoarele condiţii de interpolare:(1.1.83) s*(i)(x j)= ;,0, N j f i

j ∈ şi ,1,0 −∈ pi p-1<k-1.

Mai mult, funcţia s* satisface de asemenea una din următoarele proprietăţi:

a) s* ∈ N2k-1,p

b) date valorile ,,...,,,..., 1100

−− k N

p N

k p f f f f funcţia s* satisface condiţiile la capetele

intervalului

(1.1.84) s*(i)(x j)= ,i j f pentru 1, −∈ k pi şi j= N ,0 .

c) s* este o funcţie periodică de perioadă b-a.

34



Spaţiile vectoriale ale funcţiilor spline pe care le avem au următoarele dimensiuni:

dim M2k-1,p =p(N+1) în cazul a)

dim S2k-1,p=p(N+1)+2k în cazul b)

dim *

,12 pk S − =pN în cazul c)

Notă. Teorema 1.1.31. relevă motivul pentru care funcţiile spline de grad impar sunt preferate.

Utilizarea acestor funcţii de grad impar prezintă câteva avantaje, datorită acestui fapt numărul

de condiţii care se impun sunt aceleaşi pentru ambele capete ale intervalului I, care nu este

posibil în cazul în care funcţiile spline sunt de grad par.

Următoarea întrebare naturală pe care ne-o punem este dacă pentru aproximarea unei funcţiidate f ∈Ck(I) este cea mai bună aproximare a funcţiei f cu elemente din S2k-1,p relativ la

seminorma (1.1.73).

Teorema 1.1.32. (teorema de cea mai bună aproximare)

Cea mai bună aproximare s* a unei funcţii date f ∈Ck(I) în raport cu seminorma (1.1.73), în

una din următoarele clase de funcţii spline:

a) mulţimea funcţiilor spline naturale, N2k-1,p;

b) mulţimea funcţiilor spline S2k-1,p satisfăcând condiţiile la limită( ) ( ) ( ) ;, f b R f a R sa R k

pk

pk

p =

c) mulţimea funcţiilor spline periodice cu perioada b-a, este funcţia spline de

interpolare corespunzătoare lui f, care există şi este unică pentru fiecare din

mulţimile a), b) sau c) ale funcţiilor spline.

În continuare dorim să găsim câteva estimări ale erorii pentru cazul funcţiilor spline de

interpolare. Pentru a face asta avem nevoie de următorul rezultat:

Teorema 1.1.33.

Fie g∈Ck(I), k≥ 1. Fie d>0 o constantă cu proprietatea că pentru orice x∈I, în intervalul

[ ]d xd x +− , funcţia g are cel puţin un zero , x*(x). Pentru seminormele j şi ..

∞ , date de

∞ g =

))((max t g I t ∈ şi

( ) ( )( ) k jdt t g g I

j j ≤≤

= ∫ 0,:

2/12

35



au loc următoarele inegalităţi:

(1.1.85) 10 2 g

d g ≤

(1.1.86) ∞∞ ≤ ' g d g

(1.1.87) 12/1' g d g ≤

∞ .

Teorema 1.1.34.

Fie N>k-2p. Funcţia spline de interpolare s∈S2k-1,p corespunzătoare unei funcţii f ∈Ck(I), cu

presupunerile din teorema 1.1.30. , satisfac următoarele inegalităţi:

(1.1.88) k

k

k

k f h pk C s f h pk C s f ).(),(0

≤−≤−

(1.1.89) unde f h pk C s f h pk C s f k

k

k

k ,),(2),(2 2/12/1 −−∞

≤−≤−

(1.1.90) h=max

1 N j ≤≤ (x j-x j-1) , şi

C(k,p) = ( )

( )

<+−

<+−

≤≤

+−−−

−−

−−

c)şi b)cazurileînk2p pentru, )!22(2

a)2 ,!122

2,2

122k

-

2

2

pk

cazul înk p pentru pk

pk p pentru

pk p

pk

pk

Această teorema ne arată avantajul utilizării funcţiilor spline de interpelare.

Teorema 5.1.35.

Dacă f ∈ C2k(I) şi s∈S2k-1,p este funcţia spline de interpolare satisfăcând condiţiile b) şi c) din

teorema 5.1.30. , atunci au loc următoarele mărginiri:

( )k

k f h pk C s f 2

220

,≤−

( )k

k f h pk C s f

22122 ,2

−

∞≤− .

Din această teoremă urmează că dacă h → 0, avem rezultate bune de convergenţă cu funcţia

spline de interpolare a funcţiei f, putând chiar să determinăm ordinul de convergenţă.

36



1.2. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale de tip Fredholm cu metoda Spline-

Galerkin.

Vom considera ecuaţia integrală liniară de tip Fredholm

(1.2.1) y(x)- [ ]∫ ∈=b

a

ba x x g ds s y s x K ,),()(),(

care poate fi scrisă ca ecuaţie operatorială

(1.2.2) (I-K)y=g,

unde x∈C([a,b]) este funcţia necunoscută, y∈C([a,b]) este dată, I este operatorul identitate şi K

este un operator liniar definit pe o submulţime a lui C[a,b] de

(1.2.3) Ky:= ( )∫ ⋅⋅b

a

ds s y s K )(,

1.2.1. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale liniare de tip Fredholm cu metoda

Spline-Galerkin.

Nu întotdeauna este posibil să găsim o soluţie analitică a ecuaţiei (1.2.1), de aceea vom

căuta o aproximare a soluţiei y care satisface câteva proprietăţi interpolatorii.

Fie ∆ o partiţie a intervalului [a,b] definită de nodurile xi, astfel încâtb x x xa M =≤≥≤= ...21 . Pe această partiţie împreună cu nodurile extinse 1012 x x x x ≤≤≤ −−

şi 321 +++ ≤≤≤ N N N N x x x x ,putem construi N+2 funcţii B-spline cubice notate cu

1,0 +∈ N i Bi , unde Bi nu este zero în intervalul (xi-2,xi+2) şi este un polinom cubic în orice

subinterval

(xi+j,xi+j+1),j∈-2,…,1 şi cu restricţia suplimentului găsim C2-continuitate peste tot. O astfel de

regularitate este obţinută dacă nodurile sunt simple, adică dacă xi+j<xi+j+1, j=-2,…,1.

Dacă, oricum, introducem nodurile multiple, atunci se produce pierderea continuităţii. Dacă

pentru un j, x j=x j+1, atunci în acest punct este obţinută C1-continuitatea, deşi pentru x j-1=x j=x j+1

este obţinută C0-continuitatea. În toate aceste cazuri

Bi / i 1,0 +∈ N este o bază pentru spaţiul liniar S3 al funcţiilor spline cubice cu partiţia ∆.

Utilizând acest spaţiu liniar, aproximăm soluţia exactă a ecuaţiei (1.2.2) cu o combinaţie

liniară dată de

37



(1.2.4) i

N

ii B∑

+

=

1

0α

unde trebuie găsită mulţimea coeficienţilor αi.

Pentru găsirea coeficienţilor, definim funcţia reziduală r cu relaţia(1.2.5) r:= ∑

+

=

1

0

N

iiα (I-K)Bi –g.

Atunci coeficienţii αi sunt aleşi astfel încât să minimizeze restul r în acest fel.

O astfel de metodă este de a alege N+2 abscise s j, j 1,0 +∈ N , şi apoi de a rezolva sistemul

liniar de ecuaţii dat de

(1.2.6) r(s j)=0, j 1,0 +∈ N .

Aceasta este metoda colocaţiei.Cum ne aşteptam, o proastă alegere a punctelor de colocaţie are ca rezultat o slabă aproximare.

De aceea, vom alege să calculăm coeficienţii αi , i 1,0 +∈ N rezolvând sistemul de ecuaţii

liniare dat de

(1.2.7) (r,Bi)=0, i 1,0 +∈ N ,

unde ( , ) este produsul scalar pe C([a,b]),

(f,h):= ∫ b

a f (x)h(x)dx.

Aceasta este metoda clasică a lui Galerkin. Pentru a analiza această metodă, fie G N o funcţie

definită pe C([a,b]), G Nf să fie cea mai bună aproximare a lui f din S3 în norma dată de produsul

scalar. Adică

(1.2.8) G Nf= ∑+

=

1

0

N

iiλ Bi,

Unde λi sunt soluţiile sistemului liniar

(1.2.9) ∑+

=

1

0

N

iiλ (Bi,B j)=(f,B j), j 1,0 +∈ N .

Operatorul G N este un operator de proiecţie, care este uşor de găsit din proprietăţile funcţiilor

spline cubice.

Pentru problema noastră considerăm

G Nr= ∑+

=

1

0

N

iiλ Bi.

Atunci, pentru găsirea coeficienţilor 'iλ s avem de rezolvat sistemul

38



(1.2.10) ( ) ( ) 1,0,,,1

0+∈=∑

+

= N j Br B B j ji

N

iiλ

Datorită liniar independenţei bazei funcţiilor B – spline, soluţia sistemului este

λi =0 (∀) i, adică, G N r= 0 (funcţia zero), dacă şi numai dacă (r,B j) = 0, j ∈ 1,0 + N . Astfel,metoda lui Galerkin ne dă o soluţie u∈S3 astfel încât:

(1.2.11) G N(I-K) u= G N g.

G N definită aici este operatorul continuu de aproximare al celor mai mici pătrate şi una din

proprietăţile aproximării cu cele mai mici pătrate cu funcţii spline cubice este că există o

mulţime de abscise 1,0, +∈ N iiδ strict crescătoare, unde eroarea de aproximare este zero.

Astfel:

(1.2.12) ( ) 1,0,0 +∈= N ir iδ

şi deci metoda lui Galerkin este metoda colocaţiei cu δ i mulţimea punctelor de colocaţie.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii (r,Bi) = 0, 1,0 +∈ N i avem nevoie să facem două integrări

numerice. Pentru aceasta vom alege o formulă de cuadratură numerică standard

( ) ( )∫ ∑≅=

b

a

p

jii s F wds s F

1cu alegerea potrivită a nodurilor s j, p j ,1∈ . Atunci pentru orice

1,0 +∈ N k scriem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑≅∫ ==

p

j jk j j

ba k k s B sr wds s B sr Br

1,

în timp ce

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ +

=−

−=

1

0

, N

i j

b

a

i j jii j s g ds s B s s K s B sr α .

Astfel

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑+

= =−

−=

1

0 1

, N

i j

p

qqiq jq jii j s g s B s s K w s B sr α .

Utilizând această ecuaţie obţinem o aproximare a funcţiei spline cubice u ∈S3 pentru funcţia

necunoscută y. Putem afirma că metoda schiţată aici converge cu o rată a convegenţei de

ordinul 4. Dezvoltarea teoriei pentru nuclee continue nu permite, utilizarea normei uniforme,

deoarece aceasta presupune că există un β pentru care:

yG yu y N −≤− β .

39



Utilizând teorema nucleului lui Peano, avem:

( ) 44 384

5h y yG y N ≤−

presupunând că y∈Cn([a,b]) este soluţia exactă, cu h norma diviziunii. Deci, există o constantă

C independentă de h astfel încât 4Chu y ≤− şi ordinul de convergenţă 4 este obţinut.

1.2.2. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale neliniare de tip Fredholm cu metoda

Spline – Galerkin discretă.

Considerăm problema aproximării soluţiei ecuaţiei integrale neliniare :

(1.2.13) ( ) ( )( ) Ω∈= ∫ Ω x s y s x K x y ,,,

Putem scrie această ecuaţie operatorial:

(1.2.14) y = K(y), ( ( ) ( )( ) Ω∈⋅= ∫ Ω

x dssy sK y K ,,, )

unde K presupunem că este un operator complet continuu definit pe o mulţime deschisă

( )Ω⊂ ∞ L D cu valori în C(Ω), unde Ω ⊂ R m, m ≥ 1. Vom analiza utilizarea metodei lui

Galerkin discretă pentru aproximarea soluţiei exacte y* a lui K.

Fie Sh un subspaţiu finit dimensional al lui ( )Ω∞ L (pentru aproximarea noastră un subspaţiu de

funcţii spline) cu h parametru de discretizare. Metoda lui Galerkin de rezolvare a ecuaţiei

(1.2.14) constă în găsirea elementului yh∈Sh pentru care:

(1.2.15) ( )( ) hh S y K y ∈Ψ∀= ,,ψ .

Presupunem că Sh este şi subspaţiu al lui L2(Ω), fie Ph proiecţia ortogonală a lui L2(Ω) în Sh.

Atunci relaţia (2.3) poate fi scrisă ca:

(1.2.16) yh = Ph (K)yh, când yh ∈ ( )Ω∞ L

După găsirea aproximaţiei yh a soluţiei exacte y* definim:

(1.2.17) ( )hh y K y =~

care este numită soluţia Galerkin iterată.

Pentru proprietăţile de aproximare ale lui Sh vom propune:

(1.2.18) Ph y→y, când h→0, pentru (∀) y∈C(Ω).

Presupunând că [I-K(y*)]-1 există şi este mărginit putem vedea că există yh pentru orice h

suficient de mic, înainte de studiul convergenţei la y*. În particular se poate vedea că:

40



(1.2.19) y P yc y y hh −≤− ••

(1.2.20) [ ] ( )•••• −−−≤− y K P I y P y y P yc y y hhhh',max~ ,

unde c este o constantă arbitrară. Observăm că h y~ converge mai rapid la y* decât yh.

Schema numerică (5.1.7) este implementată luând tot timpul ψ ca o bază a spaţiului funcţiilor

spline Sh. Rezultă un sistem neliniar care implică multe integrale, ambii produşi scalari şi

operatorul integral K. Pentru fiecare parametru discret h >0 introducem o formulă de cuadratură

numerică de forma:

(1.2.21) ( ) ( ) ( )∑=∫ =Ω

h M

jh jh j t f wt d t f

1,,σ

Aici f aparţine spaţiului funcţiilor continue pe restricţii ( )Ω⊂∞

LC h~

, adică presupunem căinclude şi C(Ω) şi Sh. Aplicând lui (1.2.21) produsul scalar din L2(Ω) avem produsul scalar

discret:

(1.2.22) ( ) ( ) ( )∑==

M

j j j jh t g t f w g f

1,

Fie ϕ 1, ϕ 2, …, h N ϕ este o bază a lui Sh şi fie matricea NxM:

(1.2.23) ( M j N it ji ≤≤≤≤= 1,1,ϕ φ .

Pentru orice h>0 presupunem că sunt satisfăcute următoarele ipoteze:

[ ]

[ ] ( )

[ ]

[ ] ( ) 0,,0

1,0

4

3

2

1

>≠∈

≤≤>

=

≥

hh

j

siS H

M jw H

N rang H

N M H

ϕ ϕ ϕ ϕ

φ

Având în vedere aceste ipoteze rezultă că există un unic operator liniar

Qh : hC

~

→Sh , definit de:(1.2.24) (Qhz, ϕ )h = (z, ϕ )h , oricare ar fi ϕ ∈Sh .

Este clar că operatorul liniar Qh este o proiecţie (Qh2=Qh) şi că aceasta satisface:

(1.2.25) (Qhx, y)h = (x, Qhy), oricare ar fi x,y ∈ hC ~

.

Dacă M=N, atunci Qhx este un simplu element din Sh care interpolează x, cu nodurile t j.

Pentru obţinerea unei reprezentări a lui Qh în cazul general, avem nevoie de câteva notaţii.

Introducem diagonala matricei:

W = diag[w1, …, wM] şi funcţia vector

41



ϕ : Ω→R N,, ϕ (t)=[ ϕ 1(t),…, ϕ n (t)]T .

De asemenea putem asocia oricărei funcţii x∈Ch vectorul

x = [x(t1),…, x(tM)].

Atunci, este simplu să arătăm că:( ) ( ) ( ) ( ) xwwt t xQ t T

h

=

−φ φ φ ϕ

1

pentru orice funcţie x ∈Ch şi orice t ∈Ω. Până acum am considerat proiecţia ortogonală Ph:L2(Ω)

→Sh. De acum încolo, se va numi “ proiecţia continuă” pe Sh în contrast cu “ proiecţia discretă”

Qh. Presupunem că:

[ ] ( ) ( )

[ ] .sup

;,00

06

5

∞<

Ω∈∀→→−

∞>

∞

hh

h

Q H

C xhcand x x P H

Aceste presupuneri ne asigură că

( )Ω∈−≤−∞∞ C x x P x c x Q x hh , .

Mai departe vom considera Ω = [a,b] şi fie ∆(n) o partiţie a intervalului de forma :

a= )()(

1

)(

0... n

m

nn

nδ δ δ <<< =b.

Definim

)(

)(

,1

)()()()(1

)()( max:,max: ,:n

j

ni

m ji

nni

i

nni

ni

ni

h

hqhhh

n≤≤− ==−= δ δ

şi presupunem că şirul partiţiilor ∆(n) este quasi-uniform în sensul că

(1.2.26) ∞<∞=∞→

)(sup ,lim n

nn

nqm

Cu aceste presupuneri putem scrie că

0lim )( =∞→

n

nh

În cele ce urmează vom măsura ratele convergenţei schemelor de aproximare în termenii

parametrului h=h(n). Vom renunţa la indicele n şi vom scrie h→0 când n→∞ . Elementele

partiţiei )(n∆=∆ pot fi notate foarte simplu

mδ δ δ ,...,, 10=∆ , ,)(nii δ δ = [ ]iii δ δ ,1−=∆ , hi=hi

(n) , m=mn, q=q(n), h=h(n).

Vom nota cu ν ∆S spaţiul funcţiilor spline care conţin toate funcţiile continue pe restricţii

g:[a,b]→R astfel încât miC g ii,1),( =∆∈∆

ν . Este clar că S∆=S∆0 este un spaţiu închis al lui

42



]),([ ba L∞ care conţine spaţiul funcţiilor continue definite pe [a,b]. Fie r un număr întreg

nenegativ şi fie ∆,r P subspaţiul lui ∆S compus din toate funcţiile polinomiale de

grad ≤ r pe fiecare subinterval ∆i.

Fie Ω:=[a,b], Sh=Pr,∆ , ∆= S C h :~

Avem N=m(r+1)=dim Sh. Proiecţia continuă Ph:L2([a,b])→Sh , hh S f f P ∈∀= ϕ ϕ ϕ ),,(),( .

În acest caz înseamnă că pentru orice polinom Ψ de grad ≤ r, trebuie să avem

(Phf ,Ψ)i=(f ,Ψ)i, i∈ m,1 ,

unde ( , )i este produsul scalar din L2(∆i), adică

(u,v)i= ∫ −

i

i

dt t vt uδ

δ 1

)()(.

Pentru a defini o proiecţie discretă hhh S C Q → ~: , mai întâi vom construi o formulă de

integrare numerică pentru

(1.2.27) ∫ ∑==

b

a

M

j j j t f wdt t f

1)()( .

Vom începe cu o formulă de cuadratură numerică pe [0,1],

∫ ∑= =

1

0 1 ).ˆ(ˆ)( p

j j j t g wdt t g

Presupunem că avem gradul de precizie d, astfel încât

(1.2.28) d≥ p-1≥ r

şi coeficienţii pozitivi

(1.2.29) p jw j ,1,0ˆ ∈>

Apoi, utilizând partiţia ∆, definim formulele de integrare numerică pe [a,b] prin

(1.2.30) )ˆ(ˆ)(1 1

1 j

b

a

m

i

p

ji ji t h f whdt t f +=∫ ∑ ∑

= =−δ .

Aceasta poate fi identificată cu (1.2.27) punând

M=mp, w(i-1)p+j=hi jw , t(i-1)p+j=δ i-1+hi

jt

cu următoarea mulţime de întregi

(1.2.31) Ji:=(i-1)p+j ⁄ j∈ p,1 , i∈ m,1 .

Atunci (5.1.22) se poate rescrie

43



(1.2.32) ∫ ∑∑= ∈

=b

a

m

i J j j j

i

t f wdt t f 1

)()(

Cu această metodă numerică de integrare, definim un produs scalar discret şi o proiecţie

discretă Qh: hh S C →~ .

Propoziţia 1.2.1.

Fie Ph ,(⋅ ,⋅ )h şi Qh definite ca mai înainte şi presupunem că au loc (1.2.26),(1.2.28) şi (1.2.29).

Atunci [H1]-[H6] sunt satisfăcute pentru orice bază ϕ 1, ϕ 2,…,ϕ N, N=mp a lui Sh=Pr,∆.

Propoziţia 1.2.2.

Presupunem ipotezele propoziţi.1. îndeplinite cu p>r+1. Fie z∈C ν-1(∆i) dat astfel încât z( ν-1) să

fie absolut continuă pe ∆i, mi ,1∈ şi z(h)∈L∞[a,b]. Atunci

21

)(2/1

2

!1

))(()(+

∞∈≤

∑ −

µ

µ ih

I j jh j j h zt zQt zw

i

, unde µ:=min ν,r+1.

Concluzia acestei propoziţii este trivial verificată în cazul p=r+1, unde z(t j)=(Qhz)(t j), M j ,1∈ .

Propoziţia 1.2.3.

În condiţiile propoziţiei 1.2.1.

)( µ hO zQ z h =− ∞ .

Aceste rezultate pot fi găsite în Atkinson şi Potra (1988).

Să considerăm din nou ecuaţia integrală neliniară (1.2.13). Presupunem că am ales un şir de

spaţii finit dimensionale de funcţii spline Sh şi o formulă de cuadratură numerică (1.2.21)

astfel încât condiţiile [H1]-[H6] să fie satisfăcute. Un mod standard de construire a unui operator

neliniar discret K h care să aproximeze operatorul neliniar continuu K din (1.2.13) este să

folosim câteva formule de integrare numerică (1.2.21) şi să definim:

(1.2.33) [ ] [ ]∑ ∈==

m

j j j jh bat t xt t K w x x K

1,)),(,,(:)()(

O dată ce produsul scalar discret (⋅ ,⋅ )h şi operatorul discret K h au fost definiţi, atunci

aproximarea spline discretă a lui Galerkin a soluţiei ecuaţiei (1.2.21) este un element z h ∈Sh de

forma

44



∑==

N

j j jh z

1: ϕ ξ

Mulţimea ϕ 1,ϕ 2,…,ϕ n este o bază a lui Sh şi coeficienţii ξ1,…,ξ N sunt obţinuţi rezolvând

sistemul neliniar.

(1.2.34)h

i

N

j j jhhi j

N

j j K

∑=∑==

ϕ ϕ ξ ϕ ϕ ξ ,)(),(11

Soluţia discretă iterată a lui Galerkin este:

(1.2.35) ],[),()(1

~bat t K x z

N

j j jhh ∈

∑==

ϕ ξ .

Lema 1.2.4.

Metoda lui Galerkin discretă (1.2.34) este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiei

(1.2.36) zh=QhK h(zh)

în timp ce soluţia Galerkin iterată (1.2.35 ) satisface :

(1.2.37)

=

~~ zQ K z hhh

unde Qh este proiecţia discretă indusă de produsul scalar discret (⋅ ,⋅ )h definită în (1.2.22).

Demonstraţie.

Ecuaţiile (1.2.36) implică zh ∈Range (Qh)=Sh şi că zh satisface

(zh ,ψ )h=(K h(zh),ψ )h , (∀) ψ∈Sh

Luând ψ =ϕ 1,ϕ 2,…,ϕ M, obţinem (1.2.34).

Din (1.2.35) pentru~

h z ,

(1.2.38) ~h z =K h(zh), Qh ~h z =QhK h(zh)=zh.

Substitutind în (1.2.38) obţinem (1.2.37).

Analiza lui (1.2.35) şi a lui~

h z urmăreşte îndeaproape schema unei teorii generale pentru

aproximarea familiilor de operatori colectiv compacte.

Vom presupune că sunt îndeplinite următoarele ipoteze :

[A1] K şi K h, h>0, sunt operatori neliniari complet continui definiţi pe mulţimea deschisă D⊂

]),([ ba L∞ cu valori în C([a,b]);

45



[A2] K h ⁄ h>0 este o familie colectiv compactă pe D, adică pentru orice mulţime mărginită

B⊂D, închiderea mulţimii0

)(>h

h B K este compactă în C[a,b];

[A3] K h converge punctual la K pe D, adică pentru orice x∈D, K h(x) →K(x) când h→0.[A4] Pentru orice x∈D, K h(x) este o familie de funcţii echicontinue.

Pentru K(t,s,u) continuu, familia K h definită în (2.21) satisface [A1]-[A4].

Începem analiza lui~

h z examinând operatorii

(1.2.39) K hQh : x→K h(Qhx), x∈ D~

cu D~ :=D∩C([a,b]).

Lema 1.2.5.

Presupunem că ipotezele [H1]-[H6] sunt satisfăcute pentru aproximarea subspaţiilor Sh şi

produsul scalar discret h),( ⋅⋅ . Mai presupunem că K şi K h satisfac [A1]-[A4]. Atunci K hQh

satisfac de asemenea [A1]-[A4] din D~ în C([a,b]).

Demonstraţie.

Demonstrarea ipotezelor [A1]-[A4] este simplă, şi vom demonstra numai [A3]. Din [A4] pentruK h avem că pentru orice x∈D există o funcţie cu valori reale εx(r) pentru care

(1.2.40) ( 0rcând 0)(,0,)()( →→>−≤− ∞∞ r h y x y K x K x xhh ε ε .

Atunci pentru K hQh avem

( ))()()()()()()()()( xQ x x K x K xQ K x K x K x K xQ K x K h xhhhhhhh −+−≤−+−≤− ε

Utilizând (1.2.40) şi [A3] pentru K h putem demonstra [A3] pentru K hQh.

Pentru analiza lui

~

h z din (5.1.29) vom presupune că K h satisface [A5].Fie y*∈ D

~ un punct fix al lui K şi fie B(y*,r)⊂C([a,b]), bila de rază r în jurul lui y*. Atunci

pentru r>0, K şi K h , h>0 sunt ambele diferenţiabile de două ori pe B(y*,r) şi

( ) ( ) ( )r y B yh M y K y K h ,,0,, •∈>∞<≤′′′′ .

Aceasta implică de asemenea [A4] pentru K h pe B(y*,r).

Lema 1.2.6.

Derivata de ordinul doi a lui K hQh va satisface de asemenea [A5] pe bila B(y*,r).

46



Demonstraţie.

Fie αh(y)=K h(Qky). Atunci,

L’

h(y)l=K ’

h(Qhy)Qhϕ , L”

h(y)( ϕ ,ψ ))=K ”

h (Qhy) (Qhϕ ,Qhψ ).Aplicând, [A5] pentru K h şi [H6] pentru Qh obţinem rezultatul dorit.

Teorema 1.2.7.

Presupunem că [H1]-[H6] şi [A1]-[A5] sunt satisfăcute. Fie y* un punct fix al lui K, şi

presupunem că 1 nu este o valoare proprie pentru K ’(y*). Atunci există o vecinătate B(y*,r) şi

un h0>0 astfel încât pentru 0<h<h0, ecuaţia y=K h(Qhy) are o unică soluţie h z~ în B(y*,r). Mai

mult ( )

∞

•

∞

• −•≤− )()(~ yQ K y K c z y hhh

unde c>0 este o constantă oarecare.

Direct din această teoremă avem:

Corolarul 1.2.8.

Pentru orice 00 hh ≤≤

(1.2.41) ( ) ( ) ( )[ ] ∞∞∞

∗

∞

++−≤− ***,**,** '2~

yQ y y K yQ y y K y K cMax z y hhhhh .

Demonstraţie.

Luăm marginile extinderii

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( 2' ******** yQ yO yQ y y K y K y K yQ K y K hhhhhh −+++−=− .

Familia ( ) *" y K h este uniform mărginită utilizând [A5]. Eroarea soluţiei discrete

spline- Garlekin se obţine utilizând (1.2.38). Avem

−+−=−=−

~~

***** hhhhhh z yQ yQ y zQ y z y

[ ]~

*sup*** hhhh z yQ yQ y z y −⋅+−≤− .

47



Actuala rată a convergenţei este atunci uşor de obţinut utilizând (1.2.41). Pentru ecuaţia

integrală (1.2.13), presupunem K(t,s,u) este de două ori diferenţiabilă cu derivata de ordinul doi

continuă în raport cu u.

Definim K h ca în (1.2.33). Atunci:

( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( )∑

∫

= ∂∂==

∈=

M

ju j j ju ju

b

a

u

u

K K t t yt t K wt y K

bat ds s s y st K t y K

1

''

'

)(,,

,,,,

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Ponderile w j sunt aceleaşi din (1.2.22) pentru produsul scalar discret. K ’ şi K ” se definesc

similar.

Examinăm termenii din partea dreaptă a lui (1.2.41). Termenul ( ) ( )∞

− ** y K y K h

este o simplă eroare de integrare numerică. Termenul2**∞

−Qy y implică proprietăţi de

aproximare ale lui Sh şi poate fi mărginit de estimarea:

[ ]( )baC y y P yC yQ y hh ,, ∈−≤−∞∞ .

Pentru al doilea termen fie:

( ) ( ) ( )( ) s y st K st l sl ut *,,:,: == ∗∗

Atunci:

( )[ ]( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )∞

−−≤

≤−−−=

=−=−

,1,

*

'*

*'

*

***,

*,***

hhht h

hhhht h

hht hh

yQ I l Q I

t yQ I y K yQ I l Q I

yQ I l t yQ y y K

ξ

unde

( ) ( )∑= ≤≤∞

== M

j j

M jh j jht f f t f w f

1 1,1,max:,: .

Pentru netezirea lui l(t,s), termenul ( )1,

*h

t h l Q I − are acelaşi ordin ca *)( yQ I h− şi atunci

marginea erorii (1.2.41) poate fi redusă la

( ) ( ) 2~

**,**max*∞∞

−−≤− yQ y y K y K C z y hhh .

Mai multe informaţii pot fi obţinute adăugând alte presupuneri asupra lui Sh şi asupra schemei

de integrare numerică din definirea lui K h şi ( , )h .

Un caz special al soluţiei iterate discrete spline-Galerkin este atunci când N=M.

48



Teorema 1.2.9.

Presupunem K h(y) depinde de y(t) numai de t1,t2,…,tM. Mai presupunem că N=M, h>0. Atunci

=

~~

hhh z K z şi atunci h z

~

este independent de alegerea lui Sh. Atunci marginea erorii pentru

h z~

este de forma:

( ) ( ) .***~

∞∞ −≤− y K y K C z y hh

Demonstraţie.

Din comentariul care urmează lui (1.2.25),N=M implică faptul că Qhy interpolează y în t=t1,

…,tM. În (1.2.37),

hhh zQ K

~depinde de ( )t zQ hh

~în t=t1,…,t N; şi din proprietatea de

interpolare, acestea sunt simple ( ) ( ).,...,~~

N hh t z t z 1Astfel

=

hhhhh z K zQ K

~~. Marginea

erorii iese imediat din teorema 1.2.7..

Observaţie. Metoda de aproximaţie spline prezentată poate fi aplicată unei mari varietăţi de

ecuaţii integrale neliniare de tip Fredholm. Un caz important este cel al ecuaţiilor integrale

Hammerstein

( ) ( ) ( )( ) Ω∈+= ∫ Ω

x x g ds s y s f s x K x y ),(,, ,unde Ω este un domeniu sau varietate înscrisă

din R m , 1≥m .

Pentru ecuaţiile integrale de tip Hammerstein metodele lui Galerkin şi a colocaţiei sunt uşor de

aplicat. Dar, pentru această ecuaţie există o formulare care poate conduce la o mai simplămetodă de proiecţie . Când utilizăm metoda colocaţiei considerăm problema

( ) ( )∑=

=n

j j jn x x y

1

ϕ α şi determinarea coeficienţilor (α j) se face folosind

În soluţia iterativă a acestui sistem, intervin multe integrale care trebuie să fie calculate,şi care de obicei conduc la multă pierdere de timp. În particular, integrala din partea dreaptă

49

( ) ( ) ( )∑ ∫ ∑= Ω =

∈

=

n

j

n

ji j jii j j nids x s f s x K x

1 1

,1,,, ϕ α ϕ α



trebuie reevaluată cu fiecare nouă iteraţie. Kumar(1987) şi Kumar şi Sloan(1987) recomandă

următoarea variantă de aproximare. Definim z(s)=f(s,y(s)). Rezolvăm ecuaţia echivalentă:

( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈

+= ∫

Ω

xds s z s x K x g x f x z ,,,

şi obţinem y(x) din:

( ) ( ) ( )

+= ∫

Ω

)(, t g ds s z s x K x y

Metoda colocaţiei pentru ecuaţia în z este

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫ ∑

∑

= Ω=

=

+=

=

n

j ji j

n

jiii j j

n

j j j

ds s s x K x g x f x

x x z

1 1

1

,, ϕ β ϕ β

ϕ β

Integralele din partea dreaptă trebuie evaluate numai o singură dată, ele sunt dependente numai

de bază, nu şi de necunoscutele αi. Trebuie calculate multe integrale trebuie calculate pentru

a rezolva acest sistem.

1.3. Exemple numerice.

1. Fie ecuaţia integrala

(1.3.1) y(t)=t2 +sin(t) ∫ −

−1

1

22 dssy s )]()[exp( , t∈[-1,1],

care poate avea doua soluţii, una din ele fiind

(1.3.2) y*(t)=t2 +c sin(t),

unde c=1,95778398647... . Notam ca pentru acest exemplu nucleul şi z*=(y*)2 sunt ambele

netede.Ecuaţia data a fost rezolvata folosind metoda colocaţiei discreta, o rata a convergentei de

ordinul O(h4) pentru n y~ putând fi obţinuta folosind o formula de cuadratura. în tabelele 1 şi 2

sunt date rezultatele obţinute cu regula trapezului şi respectiv metoda lui Gauss cu doua puncte.

Rata convergentei este trecuta în coloana EPOH care conţine puterea lui h. Notam ca folosirea

unei formule de cuadratura insuficient de precisa se concretizează intr-o rata a convergentei mai

mica de O(h4) (cazul utilizării regulii trapezului) şi ca o folosire a unei formule de cuadratura

50



corespunzătoare duce la o rata a convergentei prezise de O(h4) (cazul utilizării formulei lui

Gauss).

Tabelul 1

n∞

∗ − n z z ~ EPOH∞

∗ − n y y ~ EPOH

8

16

24

32

40

48

1.18E-1

2.91E-2

1.29E-2

7.24E-3

4.63E-3

3.22E-3

2.02

2.01

2.00

2.00

2.00

2.22E-3

4.47E-4

1.90E-4

1.05E-4

6.67E-5

4.61E-5

2.31

2.11

2.06

2.03

2.02

Tabelul 2

n∞



8

16

24

32

40

48

1.07E-1

2.67E-2

1.19E-2

6.69E-3

4.28E-3

2.97E-3

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

3.35E-5

1.75E-6

3.32E-7

1.04E-7

4.22E-8

2.03E-8

4.26

4.09

4.05

4.03

4.02

2. Procedeul de aproximare folosit la rezolvarea ecuaţiei (1.3.1) este de asemenea utilizat larezolvarea ecuaţiei

(1.3.3) y(t)=f(t)+ ∫ −1

0

205.1 )]([ ds s y st , t∈[-1,1],

unde f este data astfel încât ecuaţia să admită soluţia y*(t)=t. Notam ca în acest caz z* este

neted , dar nucleul nu este.

In tabelele 3 şi 4 sunt date aceleaşi informaţii ca în tabelele 1 şi 2, pentru ecuaţia

(1.3.3), corespunzătoare regulii trapezului şi respectiv formulei lui Gauss cu doua noduri.

51



Tabelul 3

n∞



2

48

16

32

64

4.88E-2

1.41E-23.63E-3

9.19E-4

2.30E-4

5.76E-5

1.791.96

1.98

2.00

2.00

5.36E-2

1.43E-23.64E-3

9.14E-4

2.29E-4

5.72E-5

1.901.98

1.99

2.00

2.00

Tabelul 4

n∞



2

4

8

16

32

64

6.39E-2

1.40E-2

3.94E-3

9.68E-4

2.38E-4

5.89E-5

2.00

2.02

2.02

2.02

2.02

9.88E-3

2.51E-3

5.89E-4

1.42E-4

3.09E-5

5.74E-6

1.97

2.09

2.06

2.19

2.43

1.4 Funcţii spline polinomiale de mai multe variabile

Cuvântul variabilă (aici cu sensul de argument) are în teoria probabilităţilor şi statistică o

altă semnificaţie.Problema definirii funcţiilor spline de mai multe variabile a apărut ca o

generalizare a problemei pentru cazul unidimensional cât şi din necesitatea aproximării a

funcţiilor cu argument multiplu (definite pe G⊂R d).Vom nota cu Sk,∆(R d) spaţiul funcţiilor spline polinomiale care pe ochiurile unei reţele ∆

sunt polinoame de gradul cel mult k din C p(R d) (care admit derivate continue până la ordinul ϕ ).

Unii autori cer ca funcţiile să aparţină Crϕ(R d) (∃ f (k) şi ∆k(t) continuă până la ordinul ϕ de cel

mult r ori în raport cu fiecare variabil, f (ϕ ) să fie din L2(G) ). Funcţiile spline pot f i privite ca

făcând parte din clasa funcţiilor radiale sau ca soluţii ale unei probleme variaţionale. Testarea

opiniei mai multor specialişti a dovedit că cea mai utilizată definiţie este cea clasică (de

polinomiale pe porţiuni). Din acest motiv vom adopta o idee clasică deşi suntem convinşi că

52



metoda variaţională va juca un rol în teoria funcţiilor spline de mai multe variabile decât acela

pe care îl joacă în teoria funcţiilor spline de o variabilă.

Extinderea la mai multe dimensiuni a fost începută de Birkhoff şi Garabedian în lucrarea

“Smooth Surface Interpolation”(1960 pag 258-268). Au urmat contribuţii ale lui C. de Boor,

Alberg, Nilson şi Walsh referitoare la funcţiile spline bicubice, poliedrale etc. şi utilizarea

acestora în metodele numerice. Vom fi preocupaţi în acest referat de metoda spline relativă la

ecuaţiile integrale Voltera de speţa a II-a.

în materialul “Multivalente Piecewise Polinomials” publicat în 1993 C. de Boor o schiţă a

dezvoltărilor recente în domeniul în care se regăsesc rezultate ale în actualitate dar şi idei din

lucrările lui Frenke şi Schumaker (1991) .

1.4.1. Funcţii spline bicubice

Fie Ω∈R 2 domeniu mărginit. Ω=(x,y)∈R 2a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

∆x : a=x0<x1<…<x N=b, ∆y : c=y0<y1<…<yM=d, ∆ = ∆x× ∆ y Ωi,j = (x,y) ∈Ωxi-1≤ x≤ xi, yi-

1≤ y≤ y j i=1,2,…,N j=1,2,…,M

O funcţie S∆:Ω→R se numeşte funcţie spline bicubică (de două variabile) în raport cu ∆ dacă

satisface:

1.S∆Ωij polinom de grad cel mult trei în variabile x şi y.

2.S∆∈ C2

4

(Ω) unde Cr

n

(Ω) = f:Ω→R f admite derivate parţiale continue până la ordinul n numai mult decât r în raport cu fiecare argument.

Observaţie. Ca şi în cazul funcţiei spline de o variabilă S ∆ se poate reprezenta ca o funcţie

liniară de un număr finit de funcţii polinomiale liniar independente a căror alegere nu e unică

(şi care de multe ori se precizează prin valorile lor în anumite puncte).

S∆(xi,yi)=

c x y f x y D x y f x y

x D x y

f x y

x

E x y f x y

y E x y

f x y

y F x y

f x y

x y

F

ij i j j

j

Nj

N j

j

M

j

M

i

N

ii

iMi M

i

N

N

( , ) ( , ) ( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

+ +

+

+ +

+ +

+

===

=

∑∑∑

∑

0

0

000

00

000

20 0

0

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂

( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

x y f x y

x y F x y

f x y

x y F x y

f x y

x y N

MM

NMN M∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

20

0

20

2

+ +funcţi

ile Ci, Dej, Ei, Fii sunt funcţii spline bicubice ce poartă numele de funcţii spline cardinalebidimensionale.

53



Definiţia1.4.1.1 Funcţia spline bicubică se numeşte de interpolare pe punctele diviziunii ∆

pentru mulţimea de numere reale zij i=1,…,N j=1,…,M (care pot fi valorile unei funcţii de două

variabile în nodurile (xi ,y j ) date) dacă satisface egalităţile:

S ∆(xi,yi)= zij 0 ≤ i ≤ N 0 ≤ j ≤ M Observaţie. Existenţa şi o clasificare analoagă celei prezentată în capitolul I pentru funcţiile

spline de o variabilă pot fi găsite în [ 15 ] pag 124-125.( S ∆ poate fi de speţa I, I’, II, II’,

periodică dacă întâlneşte anumite condiţii în x0 , xn , y0 , y M - toate combinaţiile posibile de

puncte.

Teorema 1.4.1.1. Fie f ∈ C48(Ω) Ω=(x,y)∈R 2a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d şi

∆ = ∆ x×∆ y o diviziune de forma precizată ∆ = max ∆ x ,∆ y iar S ∆(f,x,y) funcţia spline

de interpolare pe nodurile diviziunii ∆.Raportul dintre lungimea cea mai mare şi lungimea cea mai mică a intervalelor diviziunii îl

presupunem uniform mărginit.

lx = min(xi+1-xi) Lx = max(xi+1-xi) i=1,2,…, N µx =L

l x

x

< M1

ly = min(y j+1-y j) Ly = max(y j+1-y j) j=1,2,…, M µy =L

l

y

y

< M2

în plus ∆ →0.

Fie γ = α+β ≤ 6, 0 ≤ α ≤ 3, 0 ≤ β ≤ 3. Atunci∂

∂ ∂

γ

α β

S f x y

x y

( , , )este uniform convergentă în

raport cu x şi y către∂ ∂ ∂

γ

α β

f x y

x y

( , ). Ordinul de convergenţă depinde de forma celor două

diviziuni α respectiv β. Are loc relaţia:∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

γ

α β

γ

α β

f x y

x y

S f x y

x y

( , ) ( , , )= + O(∆xn-α+∆yn-β).

Demonstraţia în [12].

Observaţii. 1. O consecinţă importantă a acestei teoreme se referă la convergenţa şirului de

funcţii spline corespunzător unui şir de diviziuni ∆ N N =∞

1 din ce în ce mai rafinate. S N f =

S N (f,x,y) N=1,2,…dacă ∆ N → 0 când N →∞ şi f - S N f sunt de tipul I’, II’ sau f şi S N f dublu

periodice iar f ∈C 24( Ω ) către f şi a derivatelor sale parţiale până la ordinul 6 de cel mult 3 ori

în raport cu variabilele x şi y către derivatele periodice ale lui f.

54



limN

Nf f

y

S

y → ∞−∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

γ

α β

γ

α β x x=0 γ = α+β=6 0 ≤ α ≤ 3 0 ≤ β ≤ 3.

2.Mulţimea C24(Ω) poate fi organizată ca spaţiu Hilbert H(Ω) = =H2[a,b] ⊗ H2[c,d]. Funcţionala

ϕ :C24(Ω)→R + ϕ (t)=

∂ ∂ ∂∂

4

2 2

1 2

f x y

x y dxdy

a

b

c

d( , )

/

∫ ∫

este seminormă în H(Ω). Funcţia spline de

interpolare cu condiţii la frontieră este singura care minimizează ϕ .

Considerând seminormă mai generale, spaţii de funcţii interpolatoare mai generale se pot obţine

cu unele modificări adecvate generalizări ale funcţiei spline de două variabile.

Manstield a încercat să facă o teorie a funcţiilor spline bicubice definite pe un domeniu Ω

oarecare (care nu e dreptunghi). în acest caz apar anumite dificultăţi.

1.4.2. Spaţiul Sk,∆p(R d)

Inginerii angajaţi în programe aerospaţiale sau nucleare au lucrat cu produse tensoriale? de

funcţii spline încă dinaintea anului 1960. Preocupările mai serioase ale matematicienilor au

atins subiectul funcţiilor spline polinomiale pe porţiuni neexprimate prin produse tensoriale

după 1970.

Spaţiul Sk,∆ p este format din funcţii C p (sau Cr p) care pe ochiurile reţelei ∆ numite porţiuni suntfuncţii polinomiale de grad mai mic sau egal decât k. Diviziunea ∆ din ochiuri distincte cu

interior nevid şi cu reuniunea o mulţime G subdomeniu al lui R d . Clasa de continuitate ne dă

informaţii aspra modului cum se face racordarea pe frontiera acestor celule.

Definiţia 1.4.2.1. O funcţie aparţine spaţiului S k,∆ p(Rd ) al funcţiilor spline de d variabile (de

grad cel mult k şi netezime p) dacă satisface:

1) ∀ δ∈∆ un ochi de reţea sδ ∈ Pk(δ) adică este polinom de grad cel mult k după fiecare

argument.2) s∈C p(G) G⊂R d (sau G=R d) (unii autori nuanţează cerinţa considerând s∈Cr

p(G) definit în

paragraful 2.2.).

Pentru ϕ ≥ 0 ochiurile reţelei se vor închide în politopuri (poligoane pentru R 2, poliedre pentru

R 3 etc). Fiecărei celule de acest fel îi corespunde o mulţime de vârfuri şi o mulţime de muchii.

în acest caz sarcina îmbinară funcţiilor polinomiale care corespund unor adiacente pe frontieră

devine dificilă.

55



Partiţia ∆ se va numi regulată dacă este înfăşurătoarea convexă a intersecţiilor mulţimilor de

vârfuri . Cele mai simple partiţii regulate pentru d>2 sunt triangulaţiile (se numesc astfel şi

pentru d oarecare).

Schumaker a făcut o listă conţinând obiectivele (scopurile) pe care le dorea atinse.s1) să expliciteze sub forma unei formule dimensiunea spaţiului de funcţii spline;

s2) să construiască explicit baze pentru aceste spaţii formate din elemente cu suport

local;

s3) să găsească algoritmi pentru calculul convenabil şi evaluarea funcţiei spline, însă şi a

derivatelor, a integralelor;

s4) să estimeze puterea de aproximaţie a spaţiilor de funcţii spline de mai multe variabile;

s5) să găsească în ce condiţii e aplicabilă în mod eficient interpolarea cu funcţii spline de mai

multe variabile;

s6) să găsească algoritmi pentru utilizarea funcţiilor din acest spaţiu în metodele numerice la

rezolvarea ecuaţiilor (mă refer în special la ecuaţiile integrale).

În urma unor încercări nu prea reuşite au apărut îndoieli că vor fi uşor de atins aceste obiective

chiar şi în cazul cel mai simplu al funcţiilor spline bidimensionale.

De exemplu nu este clar dacă trebuie pusă aprioric restricţia ca gradul polinoamelor să fie mai

mic sau egal decât k. Să considerăm celulele δ1 şi δ2 de o anumită dimensiune. Pe o celulă de

tipul δ1× δ 2 se poate rezonabil să folosim elemente ale produsului Pk(δ1)× Pk(δ2). Să spre

exemplu cazul funcţiilor spline bidimensionale. Pentru o partiţie formală din triunghiuri şi

patrulatere restricţia uniformă asupra gradului nu mai pare rezonabilă. Dacă rafinăm partiţia

împărţind patrulaterele în triunghiuri vom obţine o partiţie care are avantajul uniformităţii.

Ochiurile ei pot fi suportul unor funcţii polinomiale de grad mai mic decât cel iniţial

(corespunzător partiţiei iniţiale) şi cu proprietăţi de netezime. Cu toate că triangulaţiile au acest

avantaj ca o consecinţă a dominaţiei anterioare a metodelor bazate pe produse tensoriale

partiţionarea suprafeţelor se preferă să se facă în celule dreptunghiulare.

1.4.3.Dimensiunea spaţiului Sk,p∆

Dacă p=-1 atunci putem da formula Sk,-1

∆=dimPk(R d) # ∆.Pentru p=0 nu există speranţă

pentru o formulă generală exceptând cazul mai simplu când ∆ este o triangulaţie.

Fie bf forma BB (Bernstein - Bezier) a funcţiei polinomiale f (vezi pag 80).

Prin transformarea f bf realizăm o corespondenţă biunivocă între Sk, p

∆ şi mulţimea Ak,∆ = vα,

α=k, <v>∈∆, deci dim Sk,0∆=#Ak,∆ .

56



Pentru p>1 s-ar putea crede că Sk, p

∆ e un subspaţiu liniar al lui Sk,0∆ care conţine funcţii din G p.

Dificultăţile apar în găsirea unei baze în C(p) . Acestea sunt evidenţiate în articolul lui Strang cu

privire la dimensiunea spaţiului Sk, p

∆. Strang pentru cazul funcţiilor spline de două variabile

anunţă o conjectură privind limita inferioară a aplicabilităţi teoremei datorată lui Schumaker.Teorema 1.4.3.1 Fie ∆ o triangulaţie în R2 cu vârfurile V I şi muchiile M I . Pentru fiecare vârf

v∈ V I să notăm cu M v mulţimea muchiilor cu punctul final în v.

E v ⊂ E ν (muchiile care conţin acest vârf).

Atunci dim Sk, p

∆ = dim Pk + Pk-n-1 # M I - (k 2+3k-ϕ 2 -3ϕ )/2 (2 # V I ) ∈[σ ,σ ]

unde [ ] înseamnă interval închis şi nu diferenţă divizată. iar σ ρ

= + + −=

−

∈∑∑ ( p j j j

k

v V j

11

#

M v )+ şi σ de definit în acelaşi fel înlocuind M v cu M v .

Exemplu. Problema determinării dimensiunilor spaţiului Sk,1∆ unde ∆ este o partiţie obţinută

prin considerarea a patru vârfuri ale unui patrulater convex şi a unui punct interior.

Considerând pe rând situaţiile în care punctele se găsesc pe una sau pe amândouă diagonalele

evidenţiate în figura de mai jos:

Figura 1

Aplicând teorema 3 în acest caz particular obţinem (7,7,8) - 7 ∈[0,1]Încercări de găsire a dimensiunii în cazul general au fost făcute şi de Biltera şi Hass folosind

instrumentele din algebră. Se pare că totuşi în abordarea acestei probleme trebuie ca prim pas

găsirea unei formule pentru dimensiunea H3,1∆(R 2) pentru ∆ arbitrar.

1.4.4.Subspaţii ale spaţiului Sk,p∆

Fiind dificilă determinarea dimensiunii acestui spaţiu e evident la fel de dificilă şi construcţia

unei baze.

57



Dacă k e suficient de mare în raport cu p există subspaţii ale spaţiului Sk, p

∆ cu aceeaşi putere

de aproximare ca cea a spaţiului. Spre exemplu subspaţiile super - spline introduse de Chui şi

Lai (1987) formate din elementele spaţiului care sunt în fiecare vârf de clasă C(2p). Impunerea în

noduri a acestei condiţii asigură consistenţa condiţiilor de netezime impuse.Se pun aici o serie de întrebări. Datorită succesului metodei multigrid care lucrează cu un şir de

subspaţii obţinute fiecare prin rafinarea celui precedent se pune problema utilizării ei şi în cazul

funcţiilor spline de mai multe variabil. În cazul în care spaţiile implicate sunt spaţii conţinând

funcţii super - spline datorită ordinului înalt de netezime impus în vârfuri spaţiul găsit în final

nu este cel corect.

Din aceste motive gradul k trebuie să fie suficient de înalt ( de exemplu pentru n=2

k≥ 4p+1) .

Continuând raţionamentul se ajunge că pentru d arbitrar k≥ 2dp+1 .

Observaţie. Aceste condiţii sunt necesare şi suficiente . Ele furnizează un spaţiu super - spline

în care aproximaţia poate fi construită local pe fiecare ochi p depinzând doar de datele

problemei.

1.4.5. Funcţii B spline de mai multe variabile. Funcţii spline poliedrale. Funcţii spline de

tip simplex şi box

Rolul central pe care îl conferă matematicieni ca Curry, Schomberg funcţiilor B spline de o

variabilă (ilustrat prin aplicaţii de C. de Boor şi Schumaker 1981-[118] ) a motivat interesul

manifestat pentru generalizarea noţiunii.

Această generalizare se bazează pe o proprietate obscură ilustrată de figura :

Figura 2

58



şi demonstrează original în lucrările amintite (se arată că funcţiile B spline prezintă o

concavitate de tip lung).

Fie x=(x1,x2,..,xs). Se ştie că funcţia spline e unica funcţie pentru care

[ x1,x2,..,xs ,t]= M t x D f t dt s s

R

( / ) ( ) / ! pentru toate funcţiile suficient de netede. Prelucrând acest

rezultat Schomberg a ajuns la ecuaţiile

M t x D f t dt s s

R

( / ) ( ) / ! = D f x r x r x d d s s s

r r s

( )0 1 1 2 1000

1 11

+ ∇ + + ∇−

∫ ∫ ∫ Γ Γ unde ∇x j = x j - x j-1.

Aceste ecuaţii evidenţiază faptul că M(t/x) este măsura mulţimii (volumul de dimensiune s-

1).r∈Ts x0+r1∇x1+…+rs∇xs=t unde Ts este un s simplex de forma

Ts = r∈R s 1 ≥ r1 ≥ r2 ≥ ... ≥ rs ≥ 0.

Acest simplex are nodurile (vârfurile) v j= I ii

j

=∑

1

j=1,2,…,s. Deci dacă definim transformarea

afină P:R s→R r→x0+r1∇x1+…+rs∇xs. (P va duce vârfurile v j în x j pentru orice j).

În consecinţă funcţia M pe care o considerăm de variabilă t reprezintă distribuţia

f → f pT s

funcţiei f corespunzându-i o funcţie din R s. Această transformare este ilustrată şi de

figura 2 pentru s = 3.

Odată aceste consideraţii făcute generalizarea poate avea un obiect. Ea a fost iniţiată de

Schomberg (1965), Micchelli (1980), De Vore (1983), Boor şi Hölling (1982) după cum

urmează:

Definiţia 11. Fiind dată o varietate convexă B în R s şi o transformată p: R s→ Rd vom defini

funcţia B - spline M B ca distribuţia f → f pb

.

M B este nenegativă şi are ca suport P(B) (domeniu). M B este funcţie numai când P(B)⊂ Rd , are

interior nevid dar este întotdeauna o funcţie pe affine (P(B)). Când b este un politop (o

infăşurătoare convexă a unei mulţimi finite) M B se numeşte funcţie spline poliedrală.

O funcţie spline poliedrală este o funcţie polinomială pe toate imaginile lui P, pe feţele lui

B, de dimensiune d-1.

59



După o translaţie dacă e necesar putem presupune că P este o transformare liniară. Atunci

D f p D p

f p y y

( ) ( ) = .

Mai mult dacă MB este o distribuţie DyMB dacă folosim integrarea prin părţi

(1.4.5.1) DyMBf = - MB(Dyf)

Pentru y∈R d arbitrar şi f ∈D-(y)

(DP2MB)f= - ( ) ( ) ( ) ( ) D f p D f p z n f p z n M f B B

T

B

T s F F

F B2 2 1 = − = − = − ∑ −

∈∂ este frontiera

orientată a lui B.

Dacă B este politop frontiera este reuniunea feţelor B(s-1) (de dimensiune s-1) care mărginesc

pe B nF fiind valoarea constantă a normalei pe faţa F.

Folosind această relaţie de recurenţă putem arăta că orice derivată a lui M B de ordin maimare decât s-d este o combinaţie de distribuţii de forma MB cu F de dimensiune mai mică decât

d.

Deci pe orice componentă a mulţimii P F F Bd

( )∈ −1 unde Bd-1 este mulţimea feţelor lui B de

dimensiuni d-1. MB este polinom de grad mai mic sau egal decât k=s-d.

Observaţie. M B∈C s-m-1 cu m cel mai mic întreg pentru care p transportă orice F ∈ B(m) cu

interior nevid.

Exemplu. Fie B=[0,1]s cubul s - dimensional. x j=P(I j) j=1,2,…,s x0=P(0) = 0.

Atunci funcţia B spline de două variabile poate avea discontinuităţi ale derivatelor pe imaginile

prin P ale unor muchii ale lui B de forma x x x U x W ∈ ∈∑ ∑

, cu U şi W submulţimi arbitrare ale

mulţimii (x0,x1,…,xs). Orice astfel de mulţime este o parte a mulţimii (dublă înfăşurătoare

pătratică) formată din linii de forma x∈R 2 x(j)=h j∈1,2 şi h∈Z. Atunci abstracţie făcând de

o translaţie x j este unul din vectorii directori i1, i2. Acest lucru implică existenţa unei feţe a lui Bde dimensiune s/2 care prin transformarea P este dusă într-o mulţime fără interior ⇒MB este în

cel mai bun caz de clasă Cs/2-2 dar s este număr par.

Situaţia este mai bună pe înfăşurătoarea formată din linii de forma x∈R 2 x(j)=h j∈1,2,3,

h∈Z şi x(3)=x(2)-x(1). Acum x j=I j j=1,2,3 funcţia MB se confundă cu elementul liniar finit

(Courant 1943).

Pentru o bună aproximare nu vom folosi o singură funcţie spline poliedrală ci o combinaţie

liniară în care intră suficient de multe asemenea funcţii. în consecinţă aceste defecte nu vorafecta prea mult calitatea aproximaţiei.

60



Aceasta înseamnă că după o normalizare dacă e necesară. (MB)B∈B mulţime de funcţii spline

poliedrale vor forma o partiţie a unităţii şi vor satisface M B B B∈∑ =1. MB pot fi alese şi astfel.

Teorema 1.4.5.1

Dacă există o vecinătate de dimensiune s-d, elementele din B fiind disjuncte două câte două şi

cu reuniunea o mulţime de forma R d× C avem:

(1.4.5.2.)M x vol CB

B Bs d

∈−∑ =( ) ( )

în aceste formule având MB≥ 0.

Dacă B=[ 0,1 ] s M B se numeşte funcţie box spline.

Concluzie: Orice funcţie B spline de mai multe variabile cu B un simplex standard (0,i1 ,i2 ,…,i s )

este o cutie standard = [ 0,1 ] s sau un con standard din R+ s , iar transformarea P poate fi

găsită dacă se cunosc P(ij) pentru orice j.

O primă sinteză consistentă în legătură cu funcţiile B spline de mai multe variabile a fost

realizată de Dahmen şi Michelli (1986). În 1992 de Boor, HÖlling şi Riemenschneider au

consacrat acestor funcţii spline box o întreagă lucrare. Prima funcţie B spline şi cea mai folosită

în aplicaţii este cea de tip simplex. dacă v0,…,vs este mulţimea nodurilor unui simplex atunci

M(v0,…,vs) e unic determinată de v=(Pv j) j. Pentru acest motiv funcţia spline simplex se mai

notează M(·/x) unde x este un vector din R d (imaginea prin P a vârfurilor unui simplex).

Simplexul se alege astfel încât M x Rd

( / )⋅∫ =1.

Corespondentul de o variabilă al funcţiilor spline box sunt funcţiile B spline cardinale (vezi

monografia lui Schömberg 1969). Ca şi acestea ele au condus foarte repede la o teorie

matematică bogat exemplificată prin frumoasele rezultate obţinute de Dahmen şi Michelli.

Teorema 1.4.5.2 (C. de Boor 1993 pag 91)

Fiind dată ∆ o trianulaţie.

(i) V o variaţie de dimensiune d+1 cu ⟨ V ⟩ ∈ ∆

(ii) β∈ Z V + cu β=k

(iii) Y B = v j 0 ≤ j ≤ β (v) v∈V

(iv) punctele v j se obţin alegând pentru ficare v din mulţimea vârfurilor

61



V( ∆ ) = ⟨ ⟩⟨ ⟩∈

V V ∆ corespunzătoare diviziunii alese k puncte adiţionale v1 ,…,vk şi punând v0=v

(vom impune o singură condiţie acestei alegeri a punctelor adiţionale v j j=1,..,k v∈V( ∆ ) e

următoarea).

Pentru orice varietate de dimensiune d+1 v cu ⟨v ⟩ ∈ ∆ Ωv,k=∩(vβ(v) )δ∈V:β∈Z+v β≤k≠0.

Cu aceste presupuneri Seidel (1992) demontează că orice funcţie f ∈ Sk,∆k-1 se poate scrie f =

M v v F v v

v

( / ) ( , ) ( ),

⋅ −∑ β β

β

ω β 1

unde ω(v,β) sunt factori de normalizare cunoscuţi cu β-

i:v→β(v)-1, iar k = β = # vβ-i şi Fv un polinom care coincide cu f pe celula ⟨v ⟩ ∈ ∆ . Aceasta

înseamnă că Fv este unica formă multi-liniar simetrică pentru care f(x) = Fv(x,x,…,x) ∀

x∈⟨v ⟩ . Demonstraţia foloseşte acest rezultat valabil pentru orice f ∈ Sk şi a fost stabilit deDahmen în 1992. Rezultatul prezentat în acest paragraf a fost surprinzător şi iniţial de

neaşteptat.

1.4.6. Ordinul de aproximaţie

Tratarea aproximaţiei şi rezultatele obţinute cu privire la ordinul de aproximaţie sunt

prezentate în capitolul publicat de C de Boor în 1992. Puterea de aproximaţie a unui subspaţiu S

al spaţiului Sk,∆ se măsoară în termenii partiţiei ∆ ∆= supδ

δ ∈∆

diam şi ai netezimii funcţiei f

pe care dorim să o aproximăm.Rezultatul tipic este dist(f,s) ≤ c|∆ | r∆rf

în această formulă ∆rf e măsura derivatei de ordinul r a funcţiei f şi constanta c este

independentă de f şi ∆.

Spre exemplu constanta poate depinde de măsura uniformă

R ∆= sup inf / ( ) ( )δ

δ ∈

⊂ ⊂∆

M m B x B ym M unde Bm(x) este sfera deschisă cu centrul în x şi rază

m, deci este independentă de ∆ numai dacă punem restricţia R ∆ ≤ R pentru R oarecare finit.O versiune mai simplă a formulei ordinului de aproximare pentru s este următoarea:

Teorema 1.4.6.1 Fie σ h s = f( ⋅ /h) f ∈ s . Spunem că s are ordinul de aproximaţia r şi scriem

AO(s)=r.

Atunci

(i) pentru orice funcţie suficient de netedă f dist(f, σ h s)=O(hr )

62



(ii) Qh⊂σ h s f- Qh s ≤ chr Dr f (Qh o schemă de aproximare

oarecare) Q:f → ϕ ϕ ϕ

f z ( )∈Φ∑

1.4.7. Condiţia Strang Fix şi puterea de aproximaţie a spaţiilor invariante din L2(R d)

Fie ϕ∈ L2(R d) ϕ∈S, S invariant faţă de translaţii, S+α=α. (De exemplu - spaţiul Sρk,∆ este

invariant faţă de translaţii dacă ∆+α=∆ oriceα∈Zd .

Fie c: Zd→R un exemplu de spaţiu invariant este

S0(ϕ)(x)= ϕ α α α

( ) ( ) ( ) x c c l Z Z

d

d

− ∈

∈

∑ 0 , l0(Zd) conţine toate cazurile finite din Zd. S0(ϕ ) se

numeşte spaţiul invariant generat de ϕ pentru că este cel mai mic spaţiu invariant ce conţine ϕ .Închiderea acestuia S(ϕ )=S0( )ϕ se numeşte spaţiul invariant principal şi se notează PSI.

Dacă Φ este o mulţime finită de funcţii definite pe R d S(Φ)= SP

0( )ϕ ∈Φ∑ .)

Problema determinării AO(S(ϕ)) pentru funcţii ϕ cu suport compact a condus la condiţia

Strang Fix care priveşte comportarea transformatei Fourier

:ϕ ξ ϕ ξ → −e

Rd a funcţiei ϕ în punctele 2πZd unde eQ:R d→C x →eiQTx.

Cu aceste precizări condiţia Strang Fix se enunţă astfel

Definiţia 1.4.7.1. ϕ satisface condiţia Strang Fix SF r dacă

(i) (ϕ 0) 1=

(ii) pentru orice multi-indice α cu α< r avem pα ϕ =0 pe

2π Z d \ 0 .

Importanţa acestei condiţii rezultă şi din următoarele teoreme demonstrate de Schömberg.

Teorema 1.4.7.1. Dacă S este un subspaţiu invariant închis al spaţiului L2(Rd ) şi f,g ∈ L2(Rd )

dist(f,S) ≤ dist(f,P S(g) ) + 2dist(f,S(g)).

Această teoremă ne arată că puterea unui subspaţiu invariant general din L2(R d) e atinsă de unul

din subspaţiile PSI.

Lemă. Există funcţii simple g pentru care orice r dist(f,σ h(g)) =

O(hr fW Rr d 2 ( ) )). Definţia spaţiului Sobolev şi a normei corespunzătoare e dată în capitolul 9.

fW Rr d

2 ( )

ϕ ) = (1+| | r f 2.

63



Corolar. Dacă ϕ∈ L2(R d) şi 1/ ϕ este mărginită în apropierea lui 0 şi ϕ w2ϕ(u) pentru ϕ > r+d/2

şi o vecinătate u a lui 2πZd\ 0 şi ϕ satisface SFr atunci AO(S(ϕ)) ≥ r.

64



Capitolul 2Rezolvarea aproximativă a ecuaţii integrale de tip Fredholm cu metoda

nucleelor degenerate.

In acest capitol ne ocupăm de rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale de tip

Fredholm cu metoda nucleelor degenerate.

Primul paragraf este consacrat aplicării acestei metode la ecuaţiile integrale liniare de tip

Fredholm. La sfârşitul acestuia se prezintă un exemplu amplu analizat de aplicare a acesteimetode.

Paragraful doi se ocupă cu aplicarea acestei metode la ecuaţiile integrale de tip

Hammerstein şi Uryson. Subliniem că subparagraful 2.2.2. este original, Ultimul paragraf

conţine exemple de aplicare a acestei metode la ecuaţii integrale de tip Hammerstein şi Uryson,

fiind concepute şi rezolvate de autor.

2.1 Metoda nucleelor degenerate pentru ecuaţii integrale liniare de tip Fredholm

Vom considera ecuaţia (1.2.1). Vom demonstra câteva rezultate teoretice care ne permit

reyolvarea numerică a ecuaţiei pentru cayul când nucleul acesteia este degenerat.

2.1.1 Metoda ecuaţiilor apropiate. Teorema lui Kantorovici.

La început vom enunţa şi demonstra cele două teoreme ale lui von Newman.

Teorema 2.1.1.

Fie (X, ) un spaţiu Banach şi A:X → X un operator liniar şi continuu, cu A<1. Atunci

1) „operatorul perturbat ” I-A este bijectiv şi (I-A) ∈ (X,X) (unde (X,X) este spaţiul

liniar al aplicaţiilor liniare şi continue de la X la X).

2) (I-A)-1- (I+A+A2+…+An)≤ N n

A

An

∈∀+

,1

.

65



Demonstraţie

1) Fie g∈X ş i Tg:X→X definim operatorul prin Tg(y)=g+A(y). Arătăm că Tg este o

contradicţie :

Tg(y´)- Tg (y´´) = A(y´) – A(y´´) = A(y´-y´´)≤ Ay´-y´´ deci Tg(y´)-Tg(y´´)≤ Ay´-y´´, ∀ y´,y´´∈ X.

Cum A<1, rezultă că Tgeste o contradicţie. Cum X este spaţiu Banach, reultă că există un

unic y*∈X astfel încât Tg(y*)=y* sau y*-A(y*)=g sau (I-A)(y*)=g.

Deci I-A este bijectivă. Cum I-A este şi liniară şi continuă, iar X este o funcţie Banach, atunci

(I-A)∈ (X,X)*.

2) Pentru a obţine evaluarea dorită scriem şirul aproximaţiilor succesive: y0=g ,

yn+1=Tg(yn)=g+A(g)+A2g)+…+An+1(g) şi evident ∞→nlim yn=y*. În plus are loc evaluarea y*-yn≤

A

An

−1y1-y0=

A

An

−1A(g)≤

A

An

−1g,de unde obţinem

(I-A)-1-(I+A+…+An)= 1sup

≤ g [(I-A)-1-(I+A+…+An)](g)= 1sup

≤ g y*-yn≤ ≤ 1sup

≤ g A

An

−1

g= A

An

−1

Teorema 2.1.2

Fie X şi Y două spaţii Banach S,T:X→Y două aplicaţii liniare şi continue astfel încât S

bijectivă şi S-1T<1. Atunci „aplicaţia perturbată ” S+T este bijectivă şi

(S+T)-1

∈ (Y,X)*

.

Demonstraţie.

Deoarece S este liniară, continuă şi există S-1 iar X şi Y sunt spaţii Banach, rezultă că

S-1∈(Y,X)* şi deci S-1T:X→X este din (X,X)*.

Prezentăm în continuare metoda ecuaţiilor apropiate.

Fie (X, ) un spaţiu normat, A:X→X un operator liniar, g∈X şi ecuaţia(2.1.1) (I-A)y=g

66



care se presupune că are o unică soluţie.

Metoda ecuaţiilor apropiate constă în alegerea unui alt operator Ă:X→X, „apropiat ” de A şi a

unui alt vector g ~ ∈X, „apropiat” de g astfel încât ecuaţia

(2.1.2) (I-Ă) y~

= g ~

,să aibă o unică soluţie, iar eroareay- y~ să nu depăşească un număr dat.

Teorema 2.1.3. (Kantorovici).

Fie (X, ) un spaţiu Banach, A,Ă:X→X doi operatori liniari şi continui, α,β,γ≥ 0 , cu α·β<1

astfel încât (I-A)-1≤β şi g- g ~ ≤γ , atunci ecuaţiile (2.1.1) şi (2.1.2) admit câte o singură

soluţie y, respectiv y~ , şi are loc evaluarea

y- y~ ≤α (γ +αβ β α

−⋅

1 g ~ ).

Demonstraţie.

Având în vedere teorema 2.1.2. putem scrie

(I-A)-1(A-Ă)≤ (I-A)-1A-Ă≤αβ <1 şi deci I-A=(I-A)+(A+Ă) este bijectivă.

Aceasta înseamnă că ecuaţiile (2.1.1) şi (2.1.2) au câte o singură soluţie y

respectiv y~ .

Avem următoarele egalităţi:

y- y~ = Ay-Ă y~ +g- g ~ = Ay-A y~ +g- g ~ -(Ă-A) y~ = A(y- y~ )+g- g ~ -(Ă-A) y~ ,

de unde obţinem

(I-A)(y- y~ )=g- g ~ -(A-Ă) y~ sau y- y~ =(I-A)-1(g- g ~ -(A-Ă) y~ ),

care în normă devine

y- y~ ≤ (I-A)-1(g- g ~ +Ă-A y~ )≤α (γ +β y~ ).

Dar y~ = g ~ +Ă y~ = g ~ +A y~ +( Ă -A) y~

de unde obţinem

(I-A) y~ = g ~ +(A-Ă) y~ sau y~ =(I-A)-1( g ~ +(A-Ă) y~ )

care în normă devine

y~ ≤ (I-A)-1( g ~ +Ă-A y~ )≤α ( g ~ +β y~ ),

adică

y~ ≤ αβ α −1

~ y .

67



Deci y- y~ ≤α (γ +αβ

β α

−⋅

1 y~ ).

2.1.2. Rezolvarea ecuaţiilor integrale liniare de tip Fredholm cu metoda nucleelor

degenerate.

Fie K ∈C([a,b]x[a,b]) g∈C([a,b]) două funcţii date şi se consideră ecuaţia integrală liniară

(2.1.3) y(x)=g(x)+ ( ) ( ) ,,∫ ⋅b

ads s y s x K λ x∈[a,b] şi λ∈R un parametru

Fie A:C([a,b])→C([a,b]), (Ay)(x)= ∫ ∈∈⋅b

aba xbaC yds s y s x K ],[]),,([,)(),(

Avem A= ∫ ∈

b

aba xds s x K ),(sup

],[

Ecuaţia (2.1.3) se mai poate scrie y=g+λAy sau (I-λA)y=g.

Teorema 2.1.4.

Dacă λA<1, atunci ecuaţia (2.1.3) are o unică soluţie y∈C([a,b]) de forma y(x)=g(x)+λ

∫ ⋅b

ads s g s x λ R ,)(),,( x∈[a,b], unde R:λ∈R λA<1x[a,b]x[a,b]→R, R(λ,x,s)=

∑ ⋅∞

=

−

1

1),(n

nn λ s x K , cu K 1(x,s)=K(x,s) şi K n(x,s)= ∫ −⋅

b

a

n du su K u x K ),(),( 1 .

Demonstraţie.

Cum λA<1 , din teorema 2.1.1. rezultă că

(I-λA)-1=I+λA+…+λnAn+… sau y(x)=g(x)+λ(Ag)(x)+…+λn(Ang)(x)+…

Fie α= ),(sup

]1,0[,

s x K

s x ∈şi β=λA<1.

Avem (Ag)(x)= ∫ ⋅b

ads s g s x K )(),( , (A2g)(x)=(A(Ag))(x)=

= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =⋅=⋅b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

duu g dsu s K s x K dsduu g u s K s x K ds s g s x K )(]),(),([])(),([),()(),(

În general se arată că (Ang)(x)= ∫ b

an ds s g s x K ,)(),( deci

68



y(x)=g(x)+λ ∫ ∫ ++b

a

b

an

n ds s g s x K λds s g s x K ...)(),(...)(),(1

Vom arăta prin inducţie că λnK n+1(x,s)≤α·βn, (∀)x,s ∈[a,b], (∀) n≥ 1.

Pentru n=1 avem :

λK 2(x,s)≤ ∫ ⋅=⋅⋅∫ =⋅≤∈∈

b

a

b

aab subau x β α Aα λdu su K u x K du su K u x K .),(sup),(sup),(),(

][,],[,

Presupunem că pentru n este adevărată şi arătăm că inegalitatea se menţine pentru n+1.Avem

∫ ∫ =≤⋅≤≤ −

∈∈+

b

a

b

a

nnn

ba sbau x

nn

nn

n αβ Aαβ λdu su K u x K λdu su K u x K λ s x K λ 1

],[],[,1 ),(sup),(sup),(),(),(

De aici rezultă că seria∑ ⋅∞

=

−

1

1),(n

nn λ s x K

este uniform convergentă, deci seria

∑ ⋅∞

=

−

1

1 )(),(n

nn s g λ s x K

poate fi integrată termen cu termen, adică y(x)=g(x)+λ ∫ ⋅b

ads s g s x λ R ,)(),,(

x ∈ [a,b].

Vom aplica metoda ecuaţiilor apropiate, descrisă în teorema lui Kantorovici larezolvarea numerică a ecuaţiei integrale (2.1.3). Fie ecuaţia integrală ataşată

(2.1.4) y~ (x) = g ~ (x)+ ∫ b

a

ds s y s x K )(~),(~, c ∈ [a,b].

Teorema 2.1.5.

Fie p,q,r şi γ ∈ R + astfel încât p+q<1, q(x)≤r, g(x)- g ~ (x)≤γ , ∀ x ∈ [a,b] şi p≥

∫ ∈

b

aba xds s x K ),(sup

],[, iar ∫ −≥

∈

b

aba x

ds s x K s x K q ),(~

),(sup],[

. Atunci ecuaţiile integrale (2.1.3) şi

(2.1.4 ) au câte o singură soluţie y , respectiv y~ din C([a,b]) şi are loc evaluarea

y(x)- y~ (x)≤

−−

+− q p

qr γ

p 111

.

Demonstraţie.

69



Avem X=C([a,b]) – spaţiu Banach, cu norma y= ,)(sup],[

s yba x∈

A, Ă:X→X, (Ay)(x)= ∫ ⋅b

ads s y s x K )(),( şi (Ă y~ )(x)=∫ ⋅

b

a

ds s y s x K )(~),(~unde

A= ∫ ≤∈

b

aba x pds s x K ),(sup

],[, iar ∫ ≤−=−

∈

b

aba x

qds s x K s x K A A ),(~),(~ sup

],[

, în plus

(I-A)-1≤ (I-A)-1-I+I≤ p A A

A

−≤

−=+

− 1

1

1

11

1

Luând α= p−1

1şi β=q obţinem concluzia dorită.

Teorema 2.1.4. ( E. Goursat şi E. Schmidt ).

Presupunem că ∑=

⋅=n

iii sC x B s x K

1

)()(),(~, x,s ∈ [a,b], B,C ∈ C([a,b]) este un nucleu

degenerat, cu Bi-liniar independente. Dacă y~ este o soluţie a ecuaţiei (2.1.4), atunci există

α1,α2, … , αn ∈ R astfel încât

y~ (x)= g ~ (x)+ ∑=

n

i

ii x β α

1

)( , unde

∫ ∑

∫ =

+=b

a

n

i

b

a

jii j j ds sc sds sc s g 1

)()()()(~ β α α .

Demonstraţie.

Cum ∑=

=n

i ji sC x B s x K

1)()(),(

~rezultă că

∑∑ ∫ ==

+=+=n

iii

n

i

b

aii x B x g ds s y sC x B x g s y

11)()(~)(~)()()(~)(~ α , unde

∫ ∫ ∑ ∫ ∑∫ = =

=⋅⋅+=+=⋅=b

a

b

a

n

i

b

a

n

i

b

aiii jii j j j ds s B sC ds s g sC ds s s g sC ds s y sC

1 1)()()(~)())()(~)(()(~)( α β α α

∫ ∑ ∫ =

⋅+=b

a

n

i

b

a

jii j ds sC s Bds s g sC 1

)()()(~)( α .

70



Observaţie. Teorema lui Stom – Weierstrass ne asigură că orice nucleu continuu poate fi

aproximat cu un nucleu degenerat oricât de bine.

2.1.3. Exemplu numeric

Fie g:

21

,0 →R, g(x)=

∈−+

=

21

,0),12

(cos1

1

0,1

x x

x

x

.

Ne propunem să arătăm că ecuaţia integrală

(2.1.5) y(x)=g(x)+

∈∫

21

,0,)()sin(21

0 xds s y xs ,

are o unică soluţie ∈ 21,0C y pe care dorim să o calculăm cu cinci zecimale exacte în

fiecare punct din intervalul

2

1,0 . Să observăm, la început, că funcţia g din enunţ este continuă

în x=0, deoarece

)0(12

sin21

lim1)(lim00

g x

x g x x

==

−+=

→→

Intenţionăm să aplicăm teoremele 2.1.5. şi 2.1.4. cu [a,b]=

21,0 şi

K(x,s)=sin xs , n K K =~, unde

K n(x,s)=xs- ( )

∈

−−+++ −−

21

,0,;)()!12(

1)1(...)(

!51

!31 12153 s x xs

n xs xs nn , n∈ N şi g ~ =gl, unde

N l x x

l x x

x

l

x x

x x g

l

l l

l

l l

∈

∈−+−+−=

=

−

−+−

+

−+=

−

21,0,

2)!2(1)1(...

2!41

2!211

12)!2(

1)1(...

!2!41

2!21

11

1)(

2

12

4

3

2

242

E firesc să remarcăm că îndeplinim cerinţa de precizie cu cinci zecimale exacte cu efort minim

de calcul. Consideraţii similare cu cele de mai jos arată că acest deziderat este irealizabil când

n≤ 1, oricum am alege l ∈ N. Alegând însă n=l=2, adică

!3),(~ 33 s x

xs s x K −= şi3848

1)(~3 x x

x g +−= , teorema 2.1.5. se va putea aplica.

71



Într-adevăr, ( )

∈∫

21

0 21

,0/),(sup xds s x K ≤

∈∫

21

0 21

,0/sup x xsds =161

Apoi, ţinând seama de cunoscuta evaluare a restului seriilor alternate

convergente,obţinem ( )

∈−∫

21

0 21

,0/),(~),(sup xds s x K s x K =

∈∫

21

0

55

21

,0/!5

sup xdst x

=0,00000068

şi analog

g(x)- g ~ (x)≤0,00000068, (∀) x ∈

21

,0

E clar că, g(x)≤ 1, (∀) x ∈

2

1,0 .

Punând acum p=161

, q=γ =0,00000068 şi r=1, din teorema 2.1.5. rezultă existenţa şi

unicitatea soluţiilor conţinute y, respectiv y~ , ale ecuaţiilor (2.1.5) şi respectiv

(2.1.4) y~ (x)= g ~ (x)+ ∫ 2

1

0

)(~),(~

ds s y s x K , x ∈

21

,0 , precum şi evaluarea :

y(x)- y~ (x)≤

∈∀<=

−−

+−

−

21

,0,100000015.011

1 5 xq p

qr

pγ .

Aşadar, y~ aproximează uniform pe y pe intervalul

21

,0 cu o precizie de 5 zecimale

exacte.

Pentru calculul efectiv al lui y~ ne vom folosi de teorema 2.1.4. . În acest caz observăm

că nucleul K ~ este degenerat cu

B1(x)=x, B2(x)=x3, C1(s)=s, C2(s)=6

3 s− , deci soluţia apropiată y~ are aici forma

y~ (x)=ğ(x)+α1β1(x)+α2β2(x), x ∈

21

,0 , unde necunoscutele α1 şi α2 verifică sistemul.

(2.1.7)

++=++=

22211222

22111111

α α α α α α

aab

aab

termenii b j şi coeficienţii aij fiind daţi de formulele :

72



11980794,03848

1)(~)(2

1

0

21

0

3

11 =

+−=⋅= ∫ ∫ ds

s sds s g sC b

00247444,0384816

1

)(~

)(

21

0

21

0

33

22 −=

+−−=⋅= ∫ ∫ ds s

s s

ds s g sC b

∫ ∫ ===2

1

0

21

01111 24

1)()( ssdsds sC s Ba ,

∫ ∫ ===2

1

0

21

0

31221 160

1)()( sds sds sC s Ba ,

∫ ∫ −=−==

21

0

21

0

3

2112 ,960

1

6

1

)()(ds ssds sC s Ba

∫ ∫ −=−==2

1

0

21

0

332222 ,

53761

61

)()( ds s sds sC s Ba

Sistemul (1.3.3) capătă forma

−=−

=−

00247444,05376

5377

960

1

11980794,0160

12423

21

21

α α

α α

cu soluţia α1=0,125 şi α2=-0,00260416, y~ se poate scrie acum ca

y~ (x)=1-0,125x+0,00260446x3+0,125x-0,00260416x3=1+0,00000001x3 adică,

(2.1.8) y~ (x)=1+0,00000001x3, x ∈

21

,0 . Prin verificare directă se constată că funcţia

y(x)=1, ∀ x ∈

21

,0 este soluţia exactă a ecuaţiei integrale (2.1.5). Din (2.1.8) se vede încă o

dată că y~ este o aproximare cu 5(chiar 7) zecimale exacte a soluţiei y.

2.2 Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Hammerstein cu metoda nucleelor degenerate.

Fie dată ecuaţia integrală,cunoscută sub numele de ecuaţia lui Hammerstein

(2.2.1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ ∈+=1

0

1,0 ,,,x xds s y s f s x K x g y .

unde g∈C([a,b]), K ∈C([a,b]×[a,b]),f ∈C([a,b]× R), iar y este funcţia necunoscută

73



Pentru a asigura existenţa şi unicitatea soluţiei acestei ecuaţii vom presupune următoarele:

( ) ( ) [ ];, ,xg ) ba x Ai ∈∀≤

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]( )

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ].,, ,1,0 ,,, )

,... 0,1Cy

sferaurmatoareadefinim Pentru);1,0 ,0, )

;1,0, ,, ,][0,1]x[0,1CK )

hhvu svu Bv s f u s f v

t pah x y

abCD Ahiv s D s f iii

s xC s x K ii

−∈∈∀−≤−

≤∈=Ω

−+>∈∀≤

∈∀≤∈

Teorema 2.2.1.

Dacă ( )

( ) ( ) ,

1

−

<−⋅

−−−≤abC abhC

abCD Ah B atunci ecuaţia (2.2.1) are o unică soluţie în Ω.

Demonstraţie.

Fie [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ ∈+=→Ω1

0

1,0 ,,,,1,0: xds s y s f s x K x g xTyC T

Avem:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) .,

))(,(, ,1

0

habCDabh BC Adso s f ds s y BC A

ds s y s f C Ads s y s f s x K x g xTy

b

a

b

a

b

a

≤−+−⋅+≤

++≤

≤+≤+≤

∫ ∫

∫ ∫

Deci T(Ω) ⊂ Ω, adică operatorul T invariază sfera Ω. Avem şi

( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( ) .

,,,

221

2/12

2121

y yabCB

dxds s y s f s y s f s x K TyTyb

a

b

a

−−≤

≤

−=− ∫ ∫

Cum B ⋅ C (b-a) < 1 rezultă că T este o contracţie. Deci există o unică soluţie

y ∈ Ω a ecuaţiei (2.2.1).

Vom aproxima nucleul continuu K(x,s) cu un nucleu degenerat de forma:

(2.2.2) ( ) ( ) ( )∑==

n

iiin sC x B s x K

1,,

74



unde mulţimea de funcţii Bi este presupusă liniar independentă.

Vom presupune de asemenea că

(2.2.3) 0lim2n

=−∞→ n K K .

Ecuaţia integrală ataşată este de forma :

(2.2.4) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .],[ ,,,∫ ∈+=b

a

nnn ba xds s y s f s x K x g x y

Dacă înlocuim (2.2.2) în (2.2.4) obţinem :

(2.2.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ ∫ =

∈+=n

i

b

a

nii ba xds s y s f sC x B x g x1

n . ],[ ,,y .

Notăm

(2.2.6) ( ) ( )( )∫ =b

a

ni ds s y s f sC , iα .

şi obţinem

(2.2.7) ( ) ( ) ( ) b],[a,x, 1

n ∈+= ∑=

n

iii x B x g x y α

unde constantele αi sunt determinate rezolvând sistemul algebric neliniar care rezultă din

(2.2.6) şi (2.2.7):

(2.2.8) ( ) ( ) ( ) . ,1 ,, 1

∫ ∑ ∈

+=

=

b

a

i

n

ii j j n jds s B s g s f sC α α .

Vom analiza acum existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei (2.2.4). Avem următoarea

Teorema 2.2.2.

Fie [ ] [ ]( )ba xbaC K n ,,∈ astfel încât să fie satisfăcută condiţia (2.2.3). Dacă presupunem (ii) şi

(2.2.3) , atunci există N∈N astfel încât oricare ar fi n ≥ N, ecuaţia (2.2.4) are o unică soluţie

[ ]( )ba L yn ,∈ .

Demonstraţie.

Având în vedere (ii) şi (2.2.3) rezultă că există N∈N astfel încât:

( ) ( ) . ,,2/1

2 N nC dxds s x K n

b

a

b

a

≥∀≤

∫ ∫ .

Dacă definim [ ]( ),,: 2 ba LT n →Ω

75



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ ∈+=b

a

nn ba xds s y s f s x K x g x yT , ,,, ,

demonstraţia decurge în acelaşi fel ca la teorema 2.2.1. .

Teorema 2.2.3.

Fie

(2.2.9) ( ) ( )2/1

1

1

0

22/1

1

1

0

2

= ∑∫ ∑∫

==

n

ii

n

ii dx xC dx x B B M

şi presupunem M < 1 . Atunci sistemul algebric neliniar (2.2.8) are o unică soluţie

( ),,...,, **2

*1

*nα α α α = şi

(2.2.10) ( ) ( ) ( )∑=

+=n

iiin x B x g x y

1

*α

este unica soluţie a ecuaţiei (2.2.4).

Demonstraţie.

Definim funcţia

( ) ( ),: 22 nl nl F → ( ) ( ) ( )( ),,....,,....,,....,,..., 11111 nnn F F F α α α α α α = unde

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑

+=

=

1

0 11 ,,...., dx x B x g x f xC F

n

iii jn j α α α

Pentru ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( 221

2111

1 ,..., si ,..., nn α α α α α α == avem

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22

21

2/1

1

1

0

22/1

1

1

0

221

l

n

ii

n

iil

dx xC dx x B B F F α α α α −

≤− ∑∫ ∑∫

==.

În consecinţă F este un operator de contracţie în l2(n) cu M < 1.Deci F are un unic punct fix α* astfel încât F (α*) = α*.

Pentru acest α*, este evident că yn definit de rela¡ia (2.2.10) este o soluţie a ecuaţiei (2.2.4), iar

din teorema 2.2.2. rezultă că aceasta este unică.

Teorema 2.2.4.

Presupunem că sunt îndeplinite următoarele condiţii:

76



( )( )

( )( ) ( ) . ,, )

;0lim )

; )

2

2/1 b

a

2

2n

Ω∈∀≤

=−−

−−−≤

∫

∞→

y y Lds s y s f c

K K b

abhC

abCD Ah Ba

n

Atunci

( ) 22/12 1 nn K K ab BC

y L y y −

−−≤− .

Demonstraţie.

Din a) şi b) rezultă, având în vedere teoremele 2.2.1. şi 2.2.2. , că ecuaţiile (2.2.1) şi (2.2.4) auo unică soluţie în Ω, oricare ar fi n≥ N.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫ ∫ −+−=−b

a

nn

b

a

nn ds s y s f s y s f s x K ds s y s f s x K s x K x y x y ,,,,,,,

şi deci

( ) ,a- bB2

21

222 nnn y yC y K K A y y −+−≤−

adică

( ).

a- bB1 22/12

2 nn K K C

y A y y −

−≤−

Cum 02

→− n K K , rezultă că .02

→− n y y

2.3 Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Uryson cu metoda nucleelor degenerate.

Fie ecuaţia integrală , cunoscută sub numele de ecuaţia lui Uryson

(2.3.1) ( ) ( ) ( )( )∫ ∈+=b

a

ba xds s y s x K x g x y ],[ ,,, .

Pentru a asigura existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei (2.3.1) vom presupune

următoarele:

77



[ ]( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( )

[ ]( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ].,, , ba,sx, ,,,rs,x,K

incat astfel ,,,K )

; ba, pe a.p.t. /,Ly=

sfera a- bB+A>hPentru)

;,,x ,s.ox,K )

;, , ,, )

212121

2

hhr r r r C r s x K

hh xba xbaC iv

h x yba

iii

ba s Bii

ba x A x g baC g i

−∈∀∈∀−≤−−∈

≤∈Ω

∈∀≤

∈∀≤∈

Teorema 2.3.1.

Dacă ( )

( )C

h A B b a

h b a b a≤

− − −−

<−

1, atunci ecuaţia (2.3.1) are o unică soluţie în Ω.

Demonstraţie.

Fie [ ]( )T L a b: , ,Ω → 2 operatorul definit prin:

( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]Ty x g x K x s y s dsa

b

= + ∈∫ , , , x a,b .

Avem

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

Ty x g x K x s y s ds

A K x s y s K x s o ds K x s o ds

A C b a h B b a h

a

b

a

b

a

b

≤ + ≤

≤ + − + ≤

≤ + − + − ≤

∫ ∫ ∫

, ,

, , , , , ,

.

Deci T(Ω) < Ω .

Avem şi

( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) . a- bC

,,,,

.,,,

221

2/12

21

2/1 b 2

21

2/12

21221

y y

dt ds s y s yC

dt ds s y s x K s y s x K

dt ds s y s x K s y s x K TyTy

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

a

−≤

≤

−≤

≤

−≤

≤

−=−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Cum C (a-b) < 1 rezultă că T e o contracţie şi deci există o unică soluţie

78



y ∈ Ω a ecuaţiei (2.3.1).

Vom aproxima nucleul K(x,s,r) cu un nucleu degenerat de forma

(2.3.2) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

=n

iiiin r D sC x Br s x K

1

,,,

unde mulţimea funcţiilor ( ) B xi este presupusă liniar independentă. De asemenea vom

presupune că

(2.3.3) [ ] [ ] [ ] .,, ba, peK launiformconverge hh xba x K n −

Ecuaţia integrală ataşată este de forma

(2.3.4) ( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ ∈+=b

a

nn ds s y s x K x g x . ba,x,,,yn

Dacă înlocuim (2.3.2) în (2.3.4) obţinem

(2.3.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] . ba,x,1

∈+= ∫ ∑=

ds s y D sC x B x g x y ni

b

a

i

n

i

in

Notăm cu

(2.3.6) ( ) ( )( )ds s y D sC ni

b

a

i∫ =i α

şi obţinem

(2.3.7) ( ) ( ) ( ) [ ]∑=

∈+=n

iiin x B x g x y

1

, ba,x,α

unde constantele αi sunt determinate rezolvând sistemul algebric neliniar care rezulta din (2.3.6)

şi (2.3.7):

(2.3.8) ( ) ( ) ( ) . n1, j ,1

∈

+= ∑∫

=ds s B s g D sC i

n

iii

b

a

j j α α

Vom analiza acum existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei (2.3.4). Avem următoarea

Teorema 2.3.2.

Dacă şirul K n converge uniform la K pe [a,b] x [a,b] x [-h,h], atunci ( ) 0> N ∃ astfel încât

ecuaţia (3.4) să aibă o unică soluţie în Ω, ( )∀ ≥n N .

Demonstraţie.

Avem

79



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Nn ,,,,,,,,,+

,,,,,,,,

. Nn ,,,,,,,,,

212221

1121

≥∀−≤−+−

+−≤−

≥∀<+−≤

r r C r s x K r s x K r s x K r s x K

r s x K r s x K r s x K r s x K

Bo s x K o s x K o s x K o s x K

nnn

nn

Deci, având în vedere teorema 2.3.1., rezultă că ecuaţia (2.3.4) admite o unică soluţie în Ω.Vom vedea mai departe în ce condiţii sistemul algebric neliniar (2.3.8) are o unică soluţie.

Pentru aceasta vom presupune

( ) ( ) ( ) [ ]vi D r D r L r r r r h hi i i i) , , , , i 1,n .1− ≤ − ∀ ∈ − ∈2 1 2 2

Teorema 2.3.3.

Dacă are loc vi) şi

( ) ( ) M L B x dx C x dxii

n

i

a

b

i

n

i

a

b

i

n

=

= = =∑ ∫ ∑ ∫ ∑2

1

1 22

1

1 22

1

1 2/ / /

este astfel încât M < 1 , atunci sistemul algebric neliniar (2.3.8) are o unică soluţie

( )α α α * * *,...,= 1 n şi

( ) ( ) ( ) [ ] y x g x B x x a bn ii

n

i= + ∈=∑α * , ,

1

este unica soluţie a ecuaţiei integrale (2.3.4).

Demonstraţie.

Definim operatorul

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) F l n l n F F F nn n: , ,... ,..., ,..., ,2 2 1 1 1 2→ = α α α α

unde

( ) ( ) ( ) ( ) F C s D g s B s ds j n j j i ii

n

a

b

α α α 1 1

− = +

=∑∫ .

Arătăm că F este o contracţie

80



( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

F F F F

C s D g s B s D g s B s ds

C s L B s ds

n nl

j n j n j

n

j j i ii

n

j i ii

n

j

n

j j i i ii

n

j

α α α α α α α α

α α

α α

11 1

12 2

11 1

12 2

2

1

1 2

1

1

2

10

1 2

1

1 2

1 2

10

1 2

2

,..., ,..., ,..., ,...,/

/

− = −

=

= +

− +

≤

≤ −

=

= ==

=

∑

∑ ∑∫ ∑

∑∫

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

= =

= = =

∑

∑∫ ∫ ∑

∑ ∫ ∑ ∫ ∑

≤

≤ −

≤

≤

−

1

1 2

1 2

1

2

0

11 2

2 2

0

1

1

1 2

2

1

1 22

0

1

1

1 22

0

1

1

1 2

1 2

2

n

i i ii

n

j j j

n

j

j

n

i

i

n

j

j

n

l

B s ds L C s ds

L B s ds C s ds

/

/ /

/ / /

α α

α α

Deci F e o contracţie şi în consecinţă există un unic α* ∈ l2(n) astfel încât F(α*) = α* .

Evident

( ) ( ) ( )∑=

+=n

iiin x B x g x y

1

*α

este o soluţie a ecuaţiei integrale (2.3.4) şi din teorema 2.3.2. rezultă că aceasta este unică.

Teorema 2.3.4.

Dacă( )

( )C

h A B b a

h b a≤

− − −− şi şirul K n converge uniform la K, atunci există un şir ( )

nn A

descrescător la zero astfel încât

( )

( ) y y

A b a

C b an

n− ≤−

− −2 1 21 / .

Demonstraţie.

K n converge uniform K pe [a,b] x [a,b] x [-h,h] implică existenţa unui şir descrescator (An)n,

astfel încât

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] K x o r K x s r A r h hn n, , , , , , ,− ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ −x, s a, b .

Atunci putem scrie

81



( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ).a- bC

,,,,syC

,,,,,,sys,x,K

,,,,

2

2/1

b

a

b

a

ab A y y

ds s y s x K s y s x K ds s y

ds s y s x K s y s x K ds s y s x K

ds s y s x K s y s x K x y x y

nn

b

a

nnnn

b

a

nnnn

b

a

nnn

−+−≤

≤−+−≤

≤−+−≤

≤−=−

∫ ∫

∫ ∫

∫

Trecând la normă avem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .a- bC= 2/3

2

2/1

22

2/1

2/12

2

ab A y y

dxab A y yabC

dx x y x y y y

nn

b

a

nn

b

a

nn

−+−

=

−+−−≤

≤

−=−

∫

∫

Deci

( )( )

. 1

2/3

2 abC

ab A y y n

n −−−≤−

2.4 Exemple numerice.

1. Fie ecuaţia integrală de tip Hammerstein cu nucleu degenerat

(2.4.1) ( ) ( ) ( ) [ ].0,1x,161

1481

6463 2

1

0

∈++−= ∫ ds s y xs x x y

Avem:

i) ( ) ;

192

185A,

192

185 =≤ x g

ii) ( ) ( ) [ ] 2;C,1,0,,2, =∈∀≤ s x s x K

iii) D=0(f(x,0)=0, ( ) [ ]1,0∈∀ x );

iv) Pentru h=2>192185

(=DC+A), [ ]( ) ( ) a.p.t./1,02 h x y L y ≤∈=Ω ;

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]

.4192185

241

,2,2,,1,0,41

,, v)

−<=

−∈∀∈∀−≤−

B

vu svuv s f u s f

82



Deci ecuaţia dată are o unică soluţie în Ω .

vi) .131

31

131

141 2/12/1

<=

+

+= M

Prin urmare sistemul algebric neliniar

( )[ ]

( )[ ]

++=

++=

∫

∫ 1

0

2212

1

0

2211

dx x x g x

dx x x g

α α α

α α α

are o unică soluţie în ( )22l .

Dacă se rezolvă sistemul obţinem

=

=.1

02

1

α α

Deci, unica soluţie a ecuaţiei date este

y(x)=x, ( ) [ ]1,0∈∀ x .

2. Fie ecuaţia integrală de tip Uryson

(2.4.2) ( ) ( )

∈+−+= ∫ 2

10,x,21

2/1

0

4/ ds xsee x x y s xsy x .

Vom ataşa ecuaţiei integrale (2.4.2) o ecuaţie integrală de forma

(2.4.3) ( )( ) ( )

∈

++++−+= ∫ 2

10,x,

!...

!1121

2/1

0

4/ dsn

s y s x s xsy xse x x y

nn

nnn x

n .

Avem:

i) ( ) ( ) ;21

,21

,0,21 =

∈∀≤ A x x g

ii)( ) ( ) ;

2

1B,

2

1,0,,

2

10,, =

∈∀≤ s x s x K

iii) Pentru

h2

1C Luam

2

1 cuegalsaumicmaifiesatrebuieC1,hexemplude ==> .,

43

.

iv) ( ) ( ) [ ]1,1,,21

,0,,21

),,(),,( 212121 −∈∀

∈∀−≤− r r s xr r r s x K r s x K .

În aceste condiţii, ecuaţia (2.4.2) are o unică soluţie în Ω . Avem şi următoarea estimare:

83



v)( ) ( )

( )

( )( ) [ ] ( ).0,1unde,1,1-hsi

21

,0,,!12

1

!121

)!1(2,,,,

4/152

22111

∈∈

∈∀

+≤

≤+

≤+

≤−

+

+++++

θ

θ

s xen

en

s xe

n

r s x xsr s x K r s x K

n

sx

nn

xsr nnn

n

Deci, şirul n K converge uniform la K pe [0,1/2]× [0,1/2] × [-1,1], şi conform teoremei 2.3.2

există N∈N astfel încât ecuaţia (2.4.3) are o unică soluţie în Ω, ( ) N n ≥∀ .

( )!12 52

4/1

+= + n

e A

nn , iar

( )( ) !1

2...

!12

2,,1122

011

−+++=

−

n

r s xr s xr s xr s x K

nnn

n .

Luăm

( ) ( ) ( )( )!12

D,C,1

ii −===

−

i

r r s s x x B

iii

i şi avem

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) [ ] .n2,i,1,1,,

!2

2

!1

12

...!1

2

21

222

31

212121

∈−∈∀−

=−−

≤

≤+++−−

=− −−−

r r ii

i

r r r r r r i

r Dr D iii

ii

( ) n2,i,!22

L,2L,0 i21 ∈−=== i L .

.6

1

41

1

21

1

221

21

21

121

2!1

2

2/12

2/1

1

122/1

1

122/1

1

2/1

0

2

2/12

0

22/1

1

2

<

−

−

=

<

+=

<

=

∑∑∑ ∫

∑∑

=

+

=

+

=

−

==

n

n

i

in

i

in

i

i

n

i

n

ii

idt t

ei

L

Deci M ( ) N ne

e ≥∀<=< ,136

12 .

În consecinţă sistemul algebric neliniar la care se ajunge are o unică soluţie în ( )nl 2 .

Conform teoremei 2.3.4.

( )( )!1223

2

1

2

11

221

!1242

4/152

4/1

+=

−

+≤−+

+

n

en

e

y yn

n

n .

84



Capitolul 3

Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale de tip Fredholm cu metoda

cuadraturii

Acest capitol este consacrat aplicării metodei cuadraturii la rezolvarea aproximativă a

ecuaţiilor integrale de tip Fredholm.

Primul paragraf conţine noţiuni şi rezultate legate de formule de cuadratură şi ne

ocupăm în special de formulele de cuadratură de tip Gauss.

Paragraful doi se ocupă cu aplicarea metodei cuadraturii la rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor

integrale liniare de tip Fredholm.

85



In paragrafele doi şi trei ne ocupăm de aplicarea acestei metode la ecuaţiile integrale de tip

Hammerstein şi Uryson. Subliniem că paragraful 3.3.4. este în întregime original şi face

obiectul unui articol publicat în revista Studia Mathematica.

Ultimul paragraf conţine exemple cu aplicarea acestei metode la ecuaţiile integrale de tip

Hammerstein şi Uryson.

3.1 Formule de cuadratură

3.1.1 Generalităţi

Fie în general o funcţie f:[a,b]→R integrabilă şi fie punctele x1, x2, …, xn ∈ [a,b] pe care le vom

numi noduri. O formulă de tipul:

(3.1.1) ∫ ++++=b

a

nn R ) x( f A... ) x( f A ) x( f Adx ) x( f 2211

în care constantele A1, A2, …, An şi nodurile x1, x2, …, xn sunt alese astfel încât restul R să fie

nul când funcţia f este înlocuită cu un polinom oarecare de un anumit grad p se numeşte

formulă de cuadratură.

Formulele de cuadratură ale lui Gauss sunt formulele de tipul (3.1.1) în care se pot determina

atât nodurile x1, x2, …, xn cât şi constantele A1, A2, …, An astfel încât restul să fie nul când

funcţia f este înlocuită cu un polinom oarecare de gradul 2n-1 şi are forma:

(3.1.2) ∫ ∫ ++++=b

a

b

a

nnn dx x f x x f C x f C x f C dx x f )()()(...)()()( )2(

2211 ϕ

restul sub forma R= ∫ b

a

n dx x f x )()( )2(ϕ , fiind stabilit de D.V. Ionescu.

Alte formule de cuadratură se pot obţine considerând că în (3.1.1) nodurile x1, x2, …, xn suntdate trebuind să determinăm doar coeficienţii A1, A2, …, An astfel ca restul R să fie nul când f

este înlocuită cu un polinom oarecare de gradul n-1. Dacă nodurile x1, x2, …, xn împart

intervalul [a,b] în părţi egale formulele de cuadratură de tipul (3.1.1) se numesc formulele lui

Côtes.

Se poate întâmpla ca în formulele (3.1.1) mai multe noduri să coincidă. Astfel de noduri vor fi

numite noduri multiple. O formulă de cuadratură cu noduri multiple are forma:

(3.1.3) ( ) ( )∫ ∑ ∑∑−

=

−

=

−

=++++=

b

a

j

j

j

jk jkj j j

j

j

j j

k

R x f A x f A x f Adx x f

1

0

1

0

)(2)(2

1

011

21

)(...)()(

86



unde nodurile multiple sunt x1, x2, …, xk, iar în membrul al doilea figurează atât valorile funcţiei

f în aceste noduri cât şi derivatele ei până la ordinul j1-1 în punctul x1, până la ordinul j2-1 în

punctul x2, …, până la ordinul jk-1 în punctul xk. Şi aici problema care se pune este determinarea

constantelor A1j, A2j, …, Akj şi a nodurilor x1, x2, …, xk astfel ca restul R să fie nul când funcţia f

este înlocuită cu un polinom oarecare de gradul p.

Când în formula (3.1.1) restul R este nul dacă f este înlocuită cu 1, x, …, x n-1, dar este

diferit de zero când f este înlocuită cu xn, se spune că formula (1.1) are gradul de exactitate n-1.

Amintesc în continuare câteva formule de cuadratură elementare:

1. Formula trapezului

(3.1.4) ∫ ++−=b

a

Rb f a f ab

dx x f ,)]()([2

)(

iar când ),(,)('' ba x M x f ∈∀< se obţine M ab R 3)(084,0 −< .

Dacă am considera formula de cuadratură

(3.1.5) ∫ ++−=b

a

R x f x f ab

dx x f ,)]()([2

)( 21

unde )(268,02

si)(268,02 21 abba xabba x −++=−−+= am obţine o evaluare a restului de

forma M ab R 3)(009,0 −< .

2. Formula lui Simson

(3.1.4) ∫ ++

+

+

−

=

b

a Rb f

ab f a f

abdx x f

,)]()2(4)([2)(

iar când ),(,)()4( ba x M x f ∈∀< se obţine M ab

R2880

)( 5−< .

Dacă am considera formula de cuadratură

(3.1.7) ∫ +=−+−=b

a

R x f x f k x f k

abdx x f ,)]()()13(2)([

6)( 32

212

unde 7642,0 ,2

,2

,2

,2

321 =−=++=+=−+= k ab

hkhba

xba

xkhba

x

87



am obţine o evaluare a restului de forma M ab

R2880

)(07552,0

5−< .

3. Formula lui Newton

(3.1.8) ∫ ++++−=b

a

Rb f x f x f a f ab

dx x f ,)]()(3)(3)([8

)( 21

unde x1 şi x2 sunt simetrice faţă de mijlocul intervalului [a,b], iar dacă

),(,)()4( ba x M x f ∈∀< se obţine o evaluare a restului de forma M ab

R6480

)( 5−< , mai bună

decât evaluarea restului din formula lui Simson.Se mai cunosc şi alte formule de cuadratură celebre cum ar fi cea a lui

Boole , a lui N. Obreschkoff sau cea a lui Euler. Mă voi ocupa însă mai departe de formulele de

cuadratură ale lui Gauss.

3.1.2 Formulele de cuadratură ale lui Gauss

După cum am mai spus, formulele de cuadratură ale lui Gauss au forma

(3.1.9) ∫ ∫ ++++=b

a

b

a

nnn dx x f x x f C x f C x f C dx x f )()()(...)()()( )2(

2211 ϕ

unde f:[a,b]→R este de clasă C2n ( [a,b] ) (D.V. Ionescu).

Fie integrala mai generală

(3.1.10) I= ∫ b

a

dx x f xw )()(

unde ]).,([iar],,[,0)(]),,([ 12 baC f ba x xwbaC w n+∈∈∀≥∈

În intervalul [a,b] luăm nodurile succesive x1, x2, … , xn şi ataşăm funcţiile

],[],...,,[],,[orintervalel,..., 211121 b x x x xa nn+ϕ ϕ ϕ care sunt soluţiile ecuaţiilor diferenţiale

(3.1.11) )()(),...,()(),()( )2(1

)2(2

)2(1 xw x xw x xw x n

nnn === +ϕ ϕ ϕ

Scriind integrala I sub forma

88



∫ ∫ ∫ ++++=b

x

nn

x

x

n x

a

n

n

dx x f xdx x f xdx x f x I )()(...)()()()()2(

1)2(

2)2(

1

2

1

1

ϕ ϕ ϕ

şi aplicând succesiv integrarea prin părţi (formula generalizată de integrare prin părţi) obţinem

(3.1.12) 2)]()()1(...)()()()([)()( )12(1

12')22(1

)12(1

xa

nnnnb

a

x f x x f x x f xdx x f xw −−−− −++−=∫ ϕ ϕ ϕ +

∫ ++1

)()( )2(1

x

a

n dx x f xϕ

+−++−+ −−−− 2

1)]()()1(...)()()()([ )12(

212')22(

2)12(

2 x x

nnnn x f x x f x x f x ϕ ϕ ϕ

∫ ++2

1

)()( )2(

2

x

x

n dx x f xϕ

+... +−++−+ −+

−−+

−+

b x

nn

nnn

nn n

x f x x f x x f x )]()()1(...)()()()([ )12(1

12')22(1

)12(1 ϕ ϕ ϕ

∫ ++b

x

n

n

n

dx x f x )()( )2(1ϕ

Dacă punem pentru ecuaţiile diferenţiale (3.1.11) condiţiile la limită

(3.1.13)

===

===

===

===

−++

−−+++

−−

−

0)(,.....,0)(,0)(

)()(),...,()(),()(

.........................................................................................)()(),...,()(),()(

0)(,.....,0)(,0)(

)12(1

'11

)22()22(1

''11

1)22(

11)22(

21'11

'21112

)12(1

'11

bbb

x x x x x x

x x x x x x

aaa

nnnn

nn

nnn

nnnnnnnnn

nn

n

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

formula (3.1.12) poate fi scrisă:

(3.1.14) ++++=∫ )](...)()([)()( 2211 nn

b

a x f C x f C x f C dx x f xw

+−++−+ −+

−−+

−+ )]()()1(...)()()()([ )1()(

11')22(

1)12(

1 b f bb f bb f b nnn

nnn

nn ϕ ϕ ϕ

∫ +b

a

n dx x f x ,)()( )2(ϕ

iar dacă introducem funcţia ϕ(x) egală pe intervalele [a,x1], [x1,x2],… , [xn,b] cu funcţiile ϕ 1,

ϕ 2,..., ϕ n+1 obţinem

89



(3.1.15)

+−−=−=

+−−=−=

+−−=−=

−−−+

−

−−−−

−−−−

)0()0()()(

............................................................................................

)0()0()()(

)0()0()()(

)12()12()12(1

)12(

2)12(

2)12(

2)12(

32)12(

22

1)12(

1)12(

1)12(

21)12(

11

nn

nn

nn

nnn

nn

nnnn

nnnn

x x x xC

x x x xC

x x x xC

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

Se observă că formula (3.1.14) depinde numai de funcţia ϕ (atât restul cât şi coeficienţii)

Pentru găsirea funcţiei ϕ să observăm că:

(3.1.16) ds swn

s x x

x

a

n

)()!12(

)()(

)12(

1 ∫ −−=

−

ϕ

verifică prima ecuaţie diferenţială (3.1.11) şi condiţia la limită (3.1.12) în punctul a.

Apoi funcţia

(3.1.17))!12(

)()()!12(

)()( )12(11

)12(2 −

−−∫ −−= −−

n x xk ds sw

n s x x n x

a

nϕ

verifică a doua ecuaţie diferenţială (3.1.11) şi condiţia la limită (3.1.12) în punctul x 1.

Se continuă la fel până se ajunge la funcţia:

(3.1.18)

])!12(

)(...

)!12()(

)!12()(

[)()!12(

)()(

)12()12(2

2

)12(1

1

)12(

1 −−++

−−+

−−−

−−=

−−−−

+ ∫ n

x xk

n

x xk

n

x xk ds sw

n

s x x

nn

n

nn x

a

n

nϕ

care verifică ultima ecuaţie diferenţială (3.1.11) şi condiţia la limită (3.1.12) în punctul xn,

oricare ar fi constantele k1, k2, ..., kn.

Scriind că şi condiţiile (3.1.12) în punctul b sunt verificate obţinem un sistem de ecuaţii

liniare care determină pe k1, k2, ..., kn:

(3.1.19)

−=−++−+−

−=−++−+−

−=−++−+−

−−−−

++++

∫

∫

∫

,))(()(...)()(

.....................................................................................................

,))(()(...)()(

,))(()(...)()(

12121222

1211

11122

111

2211

ds sb xw xbk xbk xbk



nb

a

nnn

nn

nb

a

n

nn

nn

nb

a

nnn

nn

Rezolvând acest sistem obţinem k1, k2, ..., kn şi deci funcţiile ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n+1.

Din (2.7), (2.8), (2.9) şi (2.10) obţinem că

k1=C1, k2=C2, ..., kn=Cn, adică

k1, k2, ..., kn sunt chiar coeficienţii din formula de cuadratură (3.1.14).

90



Pentru determinarea nodurilor x1, x2, ..., xn dăm următoarea

Teorema 3.1.1.

Fie u(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn) Formula de cuadratură

(3.1.20) R x f C dx x f xwn

k k k

b

a

+= ∑∫ =1

)()()(

este exactă pentru orice polinom de gradul 2n-1 dacă şi numai dacă polinomul u este ortogonal

pe mulţimea Pn-1 relativ la ponderea w şi intervalul [a,b].

Demonstraţie.

Presupunem că formula de cuadratură este exactă pentru orice polinom de gradul 2n-1. Rezultăcă:

1-n1

P p ),()()()()( ∈= ∑∫ =

k

n

k k k

b

a

x p xuC dx x p xu xw

şi cum ,,1)(,0)( ni xu i ∈∀= rezultă că

1-nP p)( ,0)()()( ∈∀=∫ dx x p xu xwb

a

adică 1−⊥ n P u .

Reciproc, fie 1−⊥ n P u şi presupunem că 12 −∈ n P f .Atunci f=up+r, 1, −∈ n P r p , iar

(3.1.21) =+= ∫ ∫ ∫ dx xr xwdx x p xu xwdx x f xwb

a

b

a

b

a

)()()()()()()(

dx xr xwb

a

)()(∫ = ) ( celălalt termen fiind zero: 1−⊥ n P u ).

Cum formula de cuadratură este exactă pentru orice p∈Pn-1, rezultă că

(3.1.22) .)()()(1

∑∫ =

=n

k k k

b

a

xr C dx xr xw

dar r(xi)=f(xi) rezultă că (din (3.1.21) şi (3.1.22))

,)()()(1

∑∫ =

=n

k k k

b

a

x f C dx x f xw

adică formula este exactă pentru orice f ∈P2n-1.

Dacă considerăm w(x)=1, observăm că u este chiar polinomul lui Legendre:

91



(3.1.23) ],)()[()!2(

!)( nn

n

n

xba xdx

d

n

n xu −−=

adică nodurile formulei lui Gauss sunt rădăcinile polinomului lui Legendre relativ la intervalul

[a,b]. Coeficienţii formulei lui Gauss (w(x)=1) sunt:

(3.1.24) .,1,)]()[)((

)(

])!2[(

)!(2'

12

2 nk xu xba x

ab

n

nC

k k k

nn

k ∈−−

−=+

Dacă în formula de cuadratură a lui Gauss se înlocuieşte f cu

12,0,

2

2 −∈

−

+−nk

ab

ba x

k

,

se obţin următoarele ecuaţii:

=+++

−=+++

=+++−=+++

−−− .0...

...................................................

,3

...

,0...

,...

121222

1211

2222

211

2211

21

nnn

nn

nn

nn

n

C C C

abC C C

C C C

abC C C

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

Punând

''

22

'

11 )(,...,)(,)( nnC abC C abC C abC

−=−=−= , coeficienţii

''

2

'

1,...,,

nC C C

suntindependenţi de a şi b şi se determină doar din primele n ecuaţii de mai sus:

(3.1.25)

=+++

=+++

=+++

=+++

=+++

..............................................5

1...

0...31

...

0...

1...

4'42

'2

41

'1

3'32

'2

31

'1

2'22

'2

21

'1

'2

'21

'1

''2

'1

nn

nn

nn

nn

n

C C C

C C C

C C C

C C C

C C C

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

şi deci formula de cuadratură a lui Gauss se poate scrie sub forma

,)](...)()()[()( '2

'21

'1 R x f C x f C x f C abdx x f nn

b

a

++++−=∫

unde ''2

'1 ,...,, nC C C sunt daţi de ecuaţiile (3.1.25).

Restul formulei de cuadratură a lui Gauss este

92



∫ =b

a

n dx x f x R .)()( )2(ϕ

Cum ϕ este pozitivă pe [a,b], iar f (2n) este continuă pe [a,b], aplicând formula mediei

obţinem

(3.1.26) ∫ ∈=b

a

n badx x f R ),(unde,)()()2( ξ ϕ ξ

Dacă în formula de cuadratură (3.1.20) înlocuim funcţia f cu polinomul)!2()]([ 2

n

xuobţinem

∫ ∫ =b

a

b

a

dx xun

dx x 2)]([)!2(

1)(ϕ

Insă )(!)!2()1(])()[( xu

nn

dx xba xd n

n

nnn

−=−−

Şi notând cu nn xba x xv )()()( −−= vom avea

∫ ∫ =b

a

b

a

n dx xvn

ndx x 2)(

3

2

)]([])!2[(

)!()(ϕ

adică ∫ +−

=

+b

a

nn

n

ab

n

n

dx x 12)(

])!2[()!(

)(

12

3ϕ

Restul (3.1.26) se scrie deci

),(unde),(12

)(])!2[(

)!( )2(12

3 ba f n

ab

n

n R n

nn

∈+

−=+

ξ ξ

Exemple de formule de cuadratură de tip Gauss

Cazul n=3

Formula lui Gauss corespunzătoare este

∫ ∫ +++−=b

a

bb

a

dx x f x x f x f x f C ab

dx x f )()()](5)(8)([18

)()( )(

321'1 ϕ

în care

93



ξ

ξ

ξ

22

...77459667,0 2

22

3

12

11

abba x

ba x

abba x

−−+=

=+

=

−−

+=

Avem

!5)(

18)(5

!6)(

!6)(

51

6

2

6

1

x xaba x

a x

−−−−=

−=

ϕ

ϕ

Restul se scrie sub forma

).,(unde

),(2

)(15750

1 7

ba

f ab

R b

∈

−=

ξ

ξ

Cazul n=6

Formula de cuadratură a lui Gauss este

∫ ∫

+

++++++−=

b

a

b

a

dx x f x

x f x f C x f x f C x f x f C abdx x f

)()(

)]()([)]()([)]()([)()(

)12(

43'352

'261

'1

ϕ

unde

16

25

34

33

22

11

22

22

22

22

22

22

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

abba x

abba x

abba x

abba x

abba x

abba x

−−+=

−−+=

−−+=

−−+=

−−+=

−−+=

cu

94



...,233861919,0...66120939,0...93246951,0

3

2

1

===

ξ ξ ξ

iar

....233956697,0

...18038079,0

...08566225,0

'3

'2

'1

=

=

=

C

C

C

Avem

,!11

)()(

!12

)()(

,!12)(

)(

111'

1

12

2

12

1

x xC ab

a x x

a x x

−−−−=

−=

ϕ

ϕ

!11)(

)(!11

)()(

!12)(

)(11

2'2

111'

1

12

3 x x

C ab x x

C aba x

x−−−−−−−=ϕ

!11)(

)(!11

)()(

!11)(

)(!12)(

)(11

3'3

112'

2

111'

1

12

4

x xC ab

x xC ab

x xC ab

a x x

−−−−−−−−−−=ϕ

şi putem scrie

b)(a,),(

2506489844681

1 )12(13

∈

−= ξ ξ f ab

R .

3.1.3 Extinderi ale formulei de cuadratură a lui Gauss

O extensie a unei formule de cuadratură urmăreşte creşterea gradului de exactitate a

respectivei formule. Având în vedere ipotezele de la subcapitolul 3.1.2. se pot generaliza

formulele lui Gauss în următorul sens:

(3.1.27)

,...)()(

...)()(

)(...)()()()(

)1(1

'10

)1(1

'10

2211

R(b) f Bb f Bb f B

(a) f Aa f Aa f A

x f C x f C x f C dx x f xw

k nk n

ii

nn

b

a

+++++

+++++

++++=

−+−+

−−

∫

unde

95



(3.1.28)

−=

−=

−=

−+++−++

−++−++

−++−++

)()(

...................................................

)()(

)()(

)12( 1)12(

2)12(

32)12(

22

1)12(

21)12(

11

nk innnk innn

k ink in

k ink in

x xC

x xC

x xC

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

apoi

(3.1.29)

−=

=

−=

+−

−++

−++

)()1(

...................................

)(

)(

)2(11

)22(11

)12(10

a A

a A

a A

k nii

k in

k in

ϕ

ϕ

ϕ

şi

(3.1.30)

−=

−=

=

++

−+−+

−+++

−+++

)()1(

...................................

)(

)(

)(1

11

)22(11

)12(10

b B

b B

b B

inn

k nk n

k inn

k inn

ϕ

ϕ

ϕ

iar ∫ −= +++ b

a

k ink i dx x f x R )()()1( )2(ϕ

Dacă punem condiţiile suplimentare

(3.1.31)

=

=

=

−++

+++

++

0)(

.....................

0)(

0)(

)12(1

)1(1

)(1

b

b

b

inn

inn

inn

ϕ

ϕ

ϕ

obţinem formula de cuadratură

(3.1.32)

R(b) f Bb f Bb f B

(a) f Aa f Aa f A

x f C x f C x f C dx x f xw

k k

ii

nn

b

a

+++++

+++++

++++=

−−

−−

∫

)1(1

'10

)1(1

'10

2211

...)()(

...)()(

)(...)()()()(

care are restul

(3.1.33) ∫ −−∆++

−=b

an

k i

n

k

ds su sba s swk in

R ,)()())(()!2(

)1( 22

unde

96



,...

......

...

...

iar ),)...()(()(

),(

12212

11

021

21

−−−

−

−−

=∆

−−−∆=∈

nnn

nn

nn

n

nnn

C C C

C C C

C C C

x x x x x x xu

baξ

12,0 ,)())(( −∈∫ −−= n pds s sba s swC b

a

pk i p .

3.2 Rezolvarea ecuaţiilor integrale liniare cu metoda cuadraturii

Fie ecuaţiile integrale

(3.2.1) ],[,)(),()()( badt t yt x K x g x yb

a

∈+= ∫ xλ şi

(3.2.2) ],[,)(),()()( badt t yt x K x g x yb

annnn ∈+= ∫ xλ

Presupunem că )(ϕ J este o formulă de cuadratură de forma

(3.2.3) ∑==

n

j j j t w J

0),()( ϕ ϕ

pentru aproximarea integralei ∫ b

a

dt t )(ϕ . Vom presupune că )(ϕ J este sumă Riemann, adică

nit iii ,1],,[ 1 ∈∈ +ν ν , unde 1,1,si 1

00 +∈+== ∑

−

=niwaa

i

j jiν ν

şi )),[max(max 1 iiiii

t t ν ν −−=∆ + este ”norma” diviziunii )(ϕ J .

Avem nevoie de n+1 funcţii nii ,0)( ∈ϕ cu următoarele proprietăţi:

(a) Pentru n ji ,0, ∈

(3.2.4) j;idaca,0)()( ≠=∫ dt t t j

b

a

i ϕ ϕ

(b) Pentru ni ,0,∈

(3.2.5) ;)]([ 2i

b

a

i wdt t =

∫ ϕ

97



(c) Pentru n ji ,0, ∈ ,

(3.2.6) ji ji t ,)( δ ϕ = ,

şi în consecinţă, dacă

∑=

=n

iii t t

0

)()( ϕ α ϕ , atunci

(3.2.7) iit α ϕ =)(

Vom defini nucleul

(3.2.8) ∑ ∑== =

n

i

n

j ji jin t xt t K t x K

0 0)()(),(),( ϕ ϕ

şi funcţia

(3.2.9) ∑==

n

i iin

xt g x g 0

)()()( ϕ

Evident, dacă yn este o soluţie a ecuaţiei (3.2.2) cu K n şi gn definite de (3.2.8) şi (3.2.9),

atunci ea are forma

(3.2.10) ∑=

=n

iiin x x y

0)()( ϕ α ,

deoarece K, yn şi gn sunt combinaţii ale funcţiilor iϕ .

Pentru obţinerea lui yn introducem (3.2.10), (3.2.9), (3.2.8), în (3.2.2):

∑=∑−∑===

n

iii

n

iini

n

iii xt g x K a xa

000)()())(()( ϕ ϕ λ ϕ ,

unde

.),()(

)()()(),()())((

0

00

∑

∫ ∑∑

=

==

=

==

n

k ik ik

k j

b

a

n

j j jk

n

k k in

t t K w x

dt t x xt t K x K

ϕ

ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ

Deci

∑=∑ ∑−∑== ==

n

iii

n

ii

n

k k ik k

n

iii xt g xt t K wa xa

00 00)()()(),()( ϕ ϕ λ ϕ .

Funcţiile nii ,0, ∈ϕ fiind liniar independente, deducem că

(3.2.11) nit g at t K wa ik

n

k k ik i ,0),(),(

0∈=∑−

=λ

care reprezintă un sistem algebric liniar.

98



Astfel, dacă ecuaţia integrală (3.2.2) are soluţie, ea poate fi obţinută rezolvând sistemul

(3.2.11) şi punând

∑=

=n

iiin xa x y

0

)()( ϕ

Teorema 3.2.1.

Dacă K şi g sunt continue şi mm J ))(( ϕ este o familie de formule de cuadratură astfel încât

0lim =∆∞→ m

m , atunci

0lim =− ∞∞→n

m y y , unde ∑

==

n

iiin xt y x y

0)()()( ϕ .

Demonstraţie.

Avem

)()(sup sup i y xi

n y g x g g g mi

−≤−∆<−

∞

),(),(sup sup,

ji

t t t x ji

n t t K t x K K K

m j

mi

−≤−∆<−∆<−

∞

şi când 0→∆m vedem că

0 si →−− ∞∞ nn K K g g când m→∞.

Corolarul 3.2.2.

În condiţiile teoremei 3.2.1.

0)()(maxlim)(,0

=−∈∞→

inimnim

t yt y .

Pentru a calcula o aproximaţie a soluţiei în punctul x, putem utiliza extensia lui Nÿstrom ~n y ,

unde

)(),()(~

0

~

jn

n

j j jn t yt x K w x g y ∑

=+= λ .

În condiţiile teoremei 3.2.1. putem arăta că:

0~lim =−∞∞→

y yn

m

99



Pentru a stabili acest rezultat, introducem nucleul:

(3.2.12) ))(),(),(0

^t t x K t x K i

n

iin ϕ ∑=

=

Ecuaţia ataşată ecuaţiei (3.2.1) va fi

(3.2.13) dt t yt x K x g y n

b

ann )(),()(

~^~

∫ += λ

Avem

,),(),(supmax),(),(^

t x K t x K t x K t x K it t i

nmi

−≤−∆<−

deci

0lim ^

m=−

∞∞→ K K n .

Făcând diferenţa ecuaţiilor (3.2.1) şi (3.2.13) obţinem

(3.2.14) dt t yt x K dt t yt x K x zb

an

b

an )(),()(),(()(

~^

∫ ∫ −= λ , unde

)()()(~

x y x y x z n −= .

Mai departe obţinem

),)()),(),(())()((),(()(~^~

dt t yt x K t x K dt t yt yt x K x z n

b

an

b

a∫ ∫ −+−= λ

deci

)(~^~

∞∞∞∞∞ −+−≤ nnn y K K y y K z λ ,

sau

(3.2.15)λ

λ ∞

∞∞

∞ −

−≤−

K

y K K

y ynn

n 1

~^

~

şi cum

0lim^

m=−

∞∞→ K K n înseamnă că lim

m0

~=−

∞∞→ y yn

Am stabilit de fapt următorul rezultat:

100



Teorema 3.2.3.

Presupunând condiţiile teoremei 3.2.1. îndeplinite şi considerând ~

n y extensia lui Nÿstrom a

vectorului T

nnnnt yt yt y ))(),...,(),((

10, atunci

limm

0~

=−∞∞→

y yn .

Eroarea locală de trunchiere nit i ,0),( ∈δ poate fi definită punând

(3.2.16) )()(),()()(0

i j

n

j ji jii t g t yt t K wt yt −−= ∑

=λ δ

deci

))(),()(),(()(0

j

n

j ji j

b

aii t yt t K wdt t yt t K t ∑∫

=−= λ δ

adică

(3.2.17)~~~~~~

)( g y D K I −−= λ δ ,

unde

T nt yt yt y y ))(),...,(),(( 10~

=

T nt g t g t g g ))(),...,(),(( 10

~=

T nt t t ))(),...,(),(( 10~

δ δ δ δ =

n ji ji t t K K ,0,~),(( ∈=

=nw

w

D0

.

00

~

Dar

(3.2.18)~

~

~~~~)( g y D K I n =− λ ,

unde

T nnnnn t yt yt y y ))(),...,(),((

~

1

~

0

~~

~ = ) (soluţia sistemului algebric)

101



atunci, din (3.2.17) şi (3.2.18) avem

))((~

~~~~~~n y y Dk I −−= λ δ ,

şi când1

~~~ )(−

− D K I λ există, avem

(3.2.19)∞∞

−

∞−≤−

~

1

~~~

~

~~)( δ λ D K I y y n

Vom arăta acum că

)1(0)( 1

~~~=−

∞

− D K I λ

Presupunem că nϕ ϕ ϕ ,...,1,0 şi considerăm ecuaţia

(3.2.20) )()(),(()( xdt t t x K x nn

b

ann γ ψ λ ψ =∫ −

Atunci, cum am arătat mai înainte avem

(3.2.21)~~~~~

)( nn D K I γ ψ λ =−

.))(),...,(),(( 10~

T nnnnn t t t γ γ γ γ =

Presupunând m suficient de mare şi că ecuaţia (3.2.21) are o unică soluţie pentru toţi ~nγ , atunci

(3.2.22)∞∞

−

∞

−=~

1

~~~~)( n

n

D K I γ λ ψ

Pe de altă parte, din definiţia normei şi ecuaţia (3.2.20) obţinem

(3.2.23)∞∞

−

∞

−≤ nnn

K I γ λ ψ 1

~)(

Din (3.2.22) şi (3.2.23) obţinem delimitările

(3.2.24)

∞∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

−−−

−≤

≤−≤−

n

n

K K K I

K I

K I D K I

1

1

11

~~~

)(1

)(

)()(

λ λ

λ

λ λ

Astfel:

102



)1(0)( 1

~~=−

∞

− D K I λ

şi introducând în (3.2.19) obţinem

(3.2.25) )(0~

~

~~ ∞∞=− δ n y y

Putem, pe baza celor arătate anterior, da rezultatul următor:

Teorema 3.2.4.

a) Dacă nucleul K este o funcţie continuă şi mm J ))(( ϕ este o familie de formule de

cuadratură cu normele m∆ astfel încât

∞∞

−

∞

−

∞

−

−−−

−≤−

n K K K I

K I

D K I 1

1

1

~~~)(1

)()(

λ λ

λ λ

b) Dacă K este continuă şi atunci0,lim mm=∆

∞→

)(0)()(sup

~

~

)(,0 ∞∈

=− δ ii

mni

t yt y

undeT

nt t t ))(),...,(),(( 10~

δ δ δ δ =

şi

)()(),()()(0

i j

n

j ji jii t g t yt t K wt yt −−= ∑

=λ δ .

Observaţie. Teorema 3.2.4. punctul (b) ne dă câteva intuiţii practice. În particular, notăm că

eroarea )()(~ii y f y f − depinde doar de valorile n jt j ,0),( ∈δ şi nu de alte valori ale funcţiei ,

astfel:

(3.2.26) )()(),()()(0

x g t yt x K w x y x j

n

j j j −−= ∑

=λ δ .

Exemple

1. Soluţia ecuaţiei

103



xdt t y xt x y =+ ∫ 1

0

)()(

este x x y

3

2)( = .

Chiar dacă y nu este mărginită în x=0, regula trapezului în metoda de cuadratură ne dă

răspunsul corect deoarece cea mai rea comportare a lui xt t x K =),( şi x x y32

)( = se

anulează reciproc în integrală.

2. Ecuaţia

xdt t y x x y =+ ∫ )()(1

0

are de asemenea o soluţie x x y α =)( , dar folosirea regulii trapezului cu pasul h furnizează o

soluţie cu o eroare de 0(h3/2), şi obţinem o rată modestă a convergenţei când h→0.

3.3 Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale de tip Hammerstein cu metoda

cuadraturii.

Fie ecuaţia integrală de tip Hammerstein

(3.3.1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ −

−∈+=1

1

1,1 ,,,xy xds s y s f s x K x g ,

unde g∈C([a,b]), K ∈C([a,b]×[a,b]), f ∈C([a,b]× R), iar y este funcţia necunoscută.

Pentru a asigura existenţa şi unicitatea soluţiei ecuaţiei (3.3.1) vom presupune următoarele:

i ) [ ] [ ]( ) [ ]1,1 1,1 , , 1,1 K R x s∈ − × − ∀ ∈ −

ii) [ ]( )1,1 f C R∈ − × cu proprietatea

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 2 1 2, , , 1,1 f s y s f s y s h s y s y s s− ≤ − ∀ ∈ −

iii) [ ]( )1,1 g R∈ −

Unde [ ]( )1,1 R − este mulţimea funcţiilor integrabile Rieman pe intervalul [-1,1] iar

[ ] [ ]( )1,1 1,1 R − × − este mulţimea funcţiilor integrabile Rieman pe [-1,1]× [-1,1]

Teorema 3.3.1.

104



Dacă ,1 22

<hC atunci ecuaţia (3.3.1) are o unică soluţie în L2([-1,1]).

Demonstraţie.

Fie T: L2([-1,1]) →L2([-1,1]),

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ −

−∈+=1

1

.1,1 ,,, xds s y s f s x K x g x yT

Avem:

( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22122212

2/11

1

2

21

1

1

2/11

1

21

121

2/11

1

21

121221

22hC

C

,

,,,

y yhC y y

dxds s y s y sh

dxds s y s y sh s x K

dxds s y s f s y s f s x K TyTy

−=⋅−≤

≤

−≤

≤

−≤

≤

−=−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

− −

− −

− −

Cum ,1 22

<hC rezultă că T e o contracţie şi deci ecuaţia (3.3.1) are o unică soluţie în

L2([-1,1]).În continuare vom vedea cum ajungem la ecuaţia ataşată, când aceasta are soluţie unică şi în ce

condiţii soluţia ecuaţiei ataşate converge în L2 ([-1,1]) la soluţia ecuaţiei (3.3.1).

Fie Pn polinomul Legendre de grad n definit pe [-1,1].

Fie ∆n = x1,....., xn mulţimea rădăcinilor polinomului Pn.

Definim

( )( ) ( ) ( )∑=

=n

i

iin xl x y x y L

1

: (operatorul de interpolare Lagrange),

unde

( )( )

( ) ( )ini

ni x P x x

x P xl

−=

Din teorema Erdös – Turán avem că

( ) ( ) [ ]( )1,1 ,0lim2

−∈∀=−∞→

R y y y Lnn

(mulţimea funcţiilor integrabile Riemann pe [-

1,1]).

Din [ ] avem următoarea estimare

105



( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) [ ],1,1 ,1 ,!2!2 −∈<⋅= x y x P

n

n x y R n

n

n

n ζ ζ

unde

( ) y L y y R nn −= Numerele reale

( )( )

( ),,1 ,0

122

12

21

1

ni x P n

xdx xl W

in

iii ∈>−==

−−∫

sunt coeficienţii din formula de cuadratură Legendre – Gauss cu abscisele din ∆n şi

W1 + W2 + .... + Wn = 2

este satisfăcută [ ].

Din formula de cuadratură Legendre – Gauss de coeficienţi Wii şi abscise ∆n avemconvergenţa (vezi [ ])

( ) ( ) ( ) [ ]( )∫ ∑−

∞→

=

−∈∀ → →≤1

11

.1,1 , R ydx x y x yW ni

n

ii

Eroarea acestei formule de cuadratură este de forma

( ) ( )( ) ( ) .1 ,

!212)!(2

)( 23

412

<=+

=+

η η nn

n ynn

n y E

În sfârşit are loc relaţia

( ) ( ) ,,1 ,1

1

1

n jiW dx xl xl jqiq

n

qi ji ≤≤= ∑∫

=−

δ δ

unde δiq , δ jq sunt simbolurile lui Kronecker.

Vom începe să construim ecuaţia ataşată. Vom aproxima mai întâi nucleul K(x,s) cu

nucleul K n(x,s) de forma

( ) ( ) ( )

∑∑= =

=n

i

n

j

ij jin K sl xl s x K 1 1

,,

unde

( ., jiij x x K K =

Avem

C K W W K n

iij j

n

jin 2

2/1

1

2

12

≤

= ∑∑

= =

.

Definim în continuare

I x x y x f x y F I L I R F ∈=→ )),(,())(( ),()(: 2 = [ -1,1]

106



Observăm că pentru un y ∈ R(I) fixat avem F(y) ∈ L2 (I).

Definim de asemenea:

)())(()( ),()(:22 I L y F L y F I L I R F nnn ∈=→ .

Din teorema Erdös – Turan avem căR(I)y )( ,0)()(lim ∈∀=−

∞→ y F y F n

n.

Avem şi că

ni

n

iin x y F W y F ∆∈≥

= ∑

=i

2/12

12

x1,n ,))(()( .

Ecuaţia (2.1) poate fi scrisă sub forma

(3.3.2) [ ]∫ − −∈+=

1

1,1,1 ,))((),()()( xds s y F s x K x g x y

iar ecuaţia ataşată se scrie în felul următor:

(3.3.3) [ ],1,1 ,))((),()()(1

1

−∈+= ∫ −

xds s y F s x K x g x y nnnn

sau, dacă se înlocuiesc K n şi Fn,

(3.3.4) ].1,1[ ),())(,()()(1 1

−∈+= ∑∑= =

x xl x y x f K W x g x y jini

n

i ji

n

jin

Dacă înlocuim x pe rând cu valorile din ∆ obţinem sistemul algebric neliniar

(3.3.5) n j x y x f W K x g x y ini

n

ii ji j jn ,1 )),(,()()(

1

∈+= ∑=

Notăm

iin x y α =)(

şi sistemul (3.3.5) capătă forma

(3.3.6) ( ) . ,1 ,,)(1

n j x f K W x g ii ji

n

ii j j ∈+= ∑= α α

Teorema 3.3.2.

Fie Tn: R (I) →L2 (I), operatorul definit prin

[-1,1]x)),(,()()())((11

∈+= ∑∑==

ini ji

n

ii

n

j jnn x y x f K W xl x g x yT

şi

107



( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) . ,1 ,,,...,

,,...,,...,,...,,...,G ,:

11

1111

∑=

∈+=

=→n

iii jii jn j

nnnnnn

n j x f K W x g G

GG R RG

α α α

α α α α α α

Dacă Tn are punct fix pe ( ), I R y

n

∈ atunci

( ) ( )( ) n

nnn R x y x y

∈,...,1 este punct fix al luiG. Reciproc, dacă (α1, ...., αn) ∈ R n este punct fix al lui G, atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I R x f K W xl x g x y ii

n

i jii

n

j jn ∈+= ∑∑

==α ,

11 este punct fix al lui Tn.

Demonstraţie.

“⇒” Avem, din faptul că yn e punct fix:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) . ,...,

,

,...,,...,

,,

,

nnn

n j j n

n j

i ni

n

i ji i j

n j nnn j nnn

x y x y

x y x y x f K W x g

x y x y G x y x y G

1

111

111

=

==

+=

==

∈∈=

∈

∑

“ ⇐“ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ini

n

i jii

n

j jnn x y x f K W xl x g x yT ,

11∑∑

==

+=

Cum ( ) ( ) ( ) ( )i i ji

n

i i

n

j j n x f K W x l x g x y α ,∑∑ ==

+=11

rezultă că

( ) ( ) ( ) ( )( ).Gpentrufixpunct ,..., , nn j i i ji

n

i i j j n R x f K W x g x y ∈=+= ∑

=α α α α 1

1

Deci ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . )ylui(definitia , n x y x f K W x l x g x y T ni i

n

i ji i

n

j j nn =+= ∑∑

==α

11

Mai departe vom arăta că K n →K în L2 (I) .

Lema 3.3.3.

Dacă [ ] [ ]( ),1,11,1 −−∈ x R K atunci 0lim2

=−∞→

nn

K K .

Demonstraţie.

Avem

108



( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) . ,,,,

,,,,2

2/11

1

2

2

2/11

1

2

2

2/11

1

2

2

2/11

1

2

22

⋅−⋅+

⋅−⋅+

+

⋅−⋅+

⋅−⋅≤−

∫ ∫

∫ ∫

−−

−−

dx x K x K Lds s K s K L

dx x K L x K ds s K L s K K K

nnnn

nnn

Fie ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) . ,,sup si ,,sup22

⋅−⋅=⋅−⋅=∈∈

x K L x K J s K L s K I n I s

nn I s

n

Atunci

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) . 2,,,,

;2,,,,

;2,,

;2,,

2/12

21

2/11

1

2

2

2/12

21

2/11

1

2

2

2/11

1

2

2

2/11

1

2

2

n jn j

n

iinn

nini

n

iinn

nn

nn

J x K L x K W ds x K x K L

I x K L x K W ds s K s K L

J ds x K L x K

I ds s K L s K

≤

⋅−⋅=

⋅−⋅

≤

⋅−⋅=

⋅−⋅

≤

⋅−⋅

≤

⋅−⋅

∑∫

∑∫

∫

∫

=−

=−

−

−

Deci ( ),22 nnn J I K K +≤=

iar din teorema Erdös – Turán avem că

=

=

∞→

∞→

. 0lim

0lim

nn

nn

J

I

În concluzie 0lim2

=−∞→ n

n K K .

Lema 3.3.4.

Dacă ( ) ( ) [ ],, , ,, B B x I z x M z x f −∈∀∞<≤ atunci (Fn(yn))n este mărginit în L2(I) în

raport cu norma 2 .

Demonstraţie.

( )[ ]

[ ]

( ) . ,max 2BB,-z

1,1-x2 z x f y F nn

∈∈

≤

109



Având în vedere că şirul (Fn(yn))n este marginit uniform, din teorema Banach –

Steinhaus [ ], rezultă că există un subşir slab convergent în L2 (I). Adică, există

( )( ) ,m )(2 I L F y F mm ∈ astfel încât

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).,0 21

1

I Lvdx x F x y F xv mmm ∈∀ → −∫

−

∞→

Vom arăta că ( ) ( ) ( ) ( ) , y x g x K x s F s ds= +−∫ 1

1

este limita subşirului ym m , rezultatul fiind

cuprins în următoarea teoremă.

Teorema 3.3.5.

Pentru y definit mai sus avem:

1) ( ) I R y ∈ˆ

2) 0ˆ2 → − ∞→m

m y y .

Demonstraţie.

1) ( ) y g K F 2 2 2 2

≤ + ∈Deci y R I .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,ˆ,

,,ˆsx,K =

,ˆsx,K =

,ˆ,ˆ )2

22

2/11

1

21

1

2/121

1-

1

1-

1

1

2/11

1-

21

1-

1

12

mmmmm

mmmmm

mmm

mmmm

y F K K dxds s y F s F s x K

dxds s y F s x K s x K ds s y F s F

ds s y F s x K s F

ds s y F s K s F s K y y

−+

−≤

≤

−+−

=

−

=⋅−⋅=−

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

− −

−

−

având în vedere inegalitatea lui Schwarz.Fie ( ) [ ] ( ) ( ) incatastfel ,1,1 . 0 N x M x ∈∃−∈∀>ε

110



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) K x s F s F y s dsm m, , .− < ∀ ≥−∫ 1

1

ε m M x

Luăm[ ]

( ) M M x x

=∈ −sup

,1 1 şi găsim că

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) K x s F s F y s ds x m M m m, , , ,− < ∀ ∈ − ∀ ≥−∫ 1

1

11ε .

Deci

( ) y y K K F ym m m m− ≤ + −22 2

ε

ε arbitrar şi K K m− →2

0 (lema 2.3.) rezultă că y ymm− → →∞

20 .

Vom demonstra că y este soluţia ecuaţiei (3.3.1). Dar mai întâi vom demonstra

următorul rezultat ajutător:

Lema 3.3.6.

În condiţiile teoremei 3.3.5. avem

( ) ( )limm

m m m F y F y→∞

− =2

0 .

Demonstraţie. Avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ˆˆˆˆ2222 mmmmmmmm y F y F y F y F y F y F y F y F −+−+−≤−

( ) ( )22

ˆˆ mm y yh y F y F −≤−∞ .

Cum 0ˆ2

→− m y y (teorema 3.3.5.), rezultă că ( ) ( ) . 0ˆ2

→− m y F y F

( ) ( ) 0ˆˆ2

→− y F y F m (teorema Erdös – Turán).

( ) ( ) unde ,ˆyˆ wm2 yh y F y F mmm −≤− ∞

( ) ( )( ) . ˆˆ 2

1

2imi

m

iiwm x y x yW y y −=− ∑

=

Fie k ≤ m, atunci

. ˆˆˆˆˆ mk wk mk wk wm y y y y y y y y y y y y −+−+−≤−+−≤−

Deci adica ,0ˆ2ˆlim → −≤− ∞→

∞→

k k wm

m y y y y

( ) ( ) 0ˆ 2 →− y F y F mmm .

111



În concluzie, ( ) ( ) . 0lim2

=−∞→ mmmm

y F y F

Teorema 3.3.7.

În condiţiile teoremei 3.3.5. y este soluţia ecuaţiei (3.3.1).

Demonstraţie.

Având în vedere inegalitatea lui Schwarz putem scrie

( ) ( ) ( ) yT yT yT y y y yT y mmmm ˆˆˆˆ22

−+−+−≤−

0ˆ2

→− m y y (teorema 3.3.5.)

( ) ( ) ( ) ( ) ,ˆˆˆ 2222 y yh K y F y F K yT yT mmm −≤−≤− ∞

şi converge la zero.De asemenea

( ) unde ,222 mmmm J I yT y +≤−

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ −

−=1

1

,,)( ds s y F s x K s x K x I mmmm şi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . ,)(1

1∫ −

−= ds s y F s y F s x K x J mmmm

( )222 mmmm y F K K I −≤ (inegalitatea Schwarz)

şi converge la zero ( 0→− K K m ) din lema 3.3.3.)

( ) ( )22 mmmm y F y F K J −≤ (inegalitatea Schwarz)

şi converge la zero ( ( ) ( ) 02

→− mmm y F y F din lema 3.3.6.).

Deci ( ) ( ) 0ˆˆ,0ˆˆ22

=−→− yT y yT y adica , ceea ce este echivalent cu ,0ˆˆ =− yT y adică

yT y ˆˆ = .

În C ([-1,1]) avem următoarea:

Teorema 3.3.8.

Dacă funcţiile K şi g sunt continue, atunci au loc afirmaţiile

1) y este continuă ;

2) 0ˆˆ =− ∞ yT y

112



3) ( ) . m când 0ˆ ∞→→−∞m yT y

Demonstraţie.

1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )21,1,,

1

1

ˆ,,max2ˆ,,ˆˆ F s z K s x K ds s F s z K s x K z y x y s z x

−≤−=−−∈

−∫

Deci y continuă .

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ˆˆˆˆ x yT x y x yT x yT x yT x y mm −+−≤−

( )( ) ( )( ) ( ) 0ˆ,maxˆ2

→−⋅≤−∞∈

y yh x K x yT x yT m I x

m .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ −−

−+−≤− 1

1

1

1

,ˆ,ˆ ds s y F s y F s x K ds s y F s F s x K x yT x y mmmmmm

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) )slab ˆF( 0ˆ, m

1

1

F yds s y F s F s x K I mmmm →→−= ∫ −

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ,max,22

1

1

→−⋅≤−=∈

−∫ mmm

I xmmmm y F y F x K ds s y F s y F s x K J

(inegalitatea Schwarz şi ( ) ( ) 02 →− mmm y F y F din lema 3.3.6.)

3) ( ) ( ) ( ) 0ˆmax0

→+≤−∈ mmm I

J I x yT x y .

3.4 Rezolvarea aproximativă a ecuaţii integrale de tip Uryson cu metoda cuadraturii

Fie ecuaţia integrală neliniară

(3.4.1) ( ) ( ) ( )( ) [ ] y x g x K x s y s ds xa

b

= + ∈ −∫ , , , , .11

Presupunem că sunt satisfăcute următoarele condiţii:

( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) [ ]

( )

[ ]( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] . r s,x,K

incat astfelr s,x,K

1,1-pea.p.t. Ly=

definim si 2B+ A>h Luam

os,x,K

si

1

2

hhr r s xr r C r s x K

hh x xC iv

h x y

iii

s x Bii

x A x g C g i

,,,,1,1,,,,

.,1,11,1

/1,1

;1,1,,

;1,1,1,1

21212 −∈∀−∈∀−≤−−−−∈≤−∈Ω

−∈∀≤

−∈∀≤−∈

113



Teorema 3.4.1.

Dacă C h A B

h≤ − − <

22

12

, atunci ecuaţia (3.4.1) are o unică soluţie în Ω.

Demonstraţie.

Fie T : Ω →L2 ([-1,1])

( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]Ty x g x K x s x s ds x= + ∈ −−∫ , , , , .111

1

Avem

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

.22

,,,,sxs,x,K +A

,,

1

1-

1

1

1

1

h BCh A

o s x K dso s x K

ds s x s x K x g xTy

≤++≤

≤+−≤

≤+≤

∫ ∫

∫

−

−

Deci ( )T Ω Ω⊂

Avem şi

Ty Ty C y y1 2 1 22− ≤ − şi cum 2C < 1 rezultă că T e o contracţie şi deciecuaţia (3.4.1) are o unică soluţie.

Introducând formula de cuadratură Gauss – Legendre definită mai înainte obţinem

ecuaţia integrală ataşată

(3.4.2) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] y x g x W K x s xn j j

n

j j= + ∀ ∈ −=

∑1

11, , , ,α .

Dacă notăm cu )( ini s y=α obţinem următorul sistem algebric neliniar

(3.4.3) .n1,i,),,()(1

∈+= ∑=

j jin

j jii s s K W s g α α

Teorema 3.4.2.

Dacă funcţia K satisface condiţia ( ) ( ) K s s r K s s r L r r i i i, , , ,1 2 1 2− ≤ −

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ,12 si ,, , 1,1 ,,1 2/1

1

221 <

−∈∀−∈∀∈∀ ∑

=

n

ii Lhhr r sni

atunci sistemul (3.4.3) are o unică soluţie în l2(n).

114



Demonstraţie.

Fie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) F l u l u F F F n n n n: , ,..., ,..., ,..., ,..., ,2 2 1 1 1 1→ = α α α α α α unde

( ) ( ) ( ) F f s W K s si n i j j

n

i j jα α α 11

,..., , ,= +=

∑ .

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

.L

LL=

=

n

1=i

2

i

n

1=i

2i

n

1=i

2i

n

2

2

212/1

2/1

1

221

2/1

12

2/1

211

2/1

2/1

1

2

21

1

2/1

1

2

211

1

2/12

1

2121

2

,,,,

l

n

j j j

n

j j j j

n

j j

n

i j ji

n

j j

i j ji j j

n

j j

n

iii

l

W W

LW s s K s s K W

F F F F

α α

α α α α

α α α α

α α α α

−

≤

≤

−

≤

−

=

−≤

−

=

−=−

∑

∑∑∑∑∑

∑ ∑∑ ∑

∑

===

= == =

=

Cum 2 12

1

1 2

Lii

n

=∑

<

/

rezultă că F e o contracţie şi deci sistemul (3.4.3) are o unică

soluţie în l2(n).

Acum putem scrie că soluţia ecuaţiei (3.4.2) este

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] y x g x W K x s xn j j

n

j j= + ∀ ∈ −=

∑1

11, , , ,α .

Teorema 3.4.3.

Dacă y şi n y sunt soluţiilor ecuaţiilor (3.4.1) şi (3.4.2) atunci are loc :

limn

n y y→∞ − =2 0 .

115



Demonstraţie.

Avem

( )( ) ( )( ) y y K x s y s K x s y s ds dx I n n n− ≤ −

+

−−∫ ∫ 21

12

1

1

1 2

, , , , ,

/

unde

( )( ) ( )( ) .,,,,

2/11

1

2

1

1

1

−= ∫ ∑∫

− =−

dx s y s x K W ds s y s x K I jn j

n

j jnn

Deci

y y C y y I n n n− ≤ − +2 22 .

Fie

( ) [ ] ( ) ( ) .incat astfel . N x N x ∈∃−∈∀> ,1,10ε

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .x Nn ,,,,,1

1

1

≥∀<− ∑∫ =−

ε jn j

n

j jn s y s x K W ds s y s x K

Fie

[ ]( ) x N N

x 1,1sup

−∈=

Atunci

( )( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) . N n x s y s x K W ds s y s x K jn j

n

j jn ≥∀−∈∀<− ∑∫

=−,1,1,,,,,

1

1

1

ε

În concluzie

y y C n− ≤⋅

−2

21 2

ε ,

adică . cand ∞→→− n y y n 02

3.4 Exemple

Fie ecuaţia integrală

(3.5.1) ( ) ( )ds s y x x y 2

1

1 2 1sin ⋅+= ∫ −

π

116



şi ecuaţia integrală ataşată

(3.1.2) ( ) ( ) ( ) y x K x s y s dsn n n= ⋅−∫ 1

12, .

Pentru a găsi soluţia ecuaţiei integrale (3.5.2) vom rezolva următorul sistem algebricneliniar:

+=

+=

∑

∑

=

=

2

1

2

11

2

1sin

..........................................

2

1sin

j

n

j j

nn

j

n

j j

i

W x

W x

α π α

α π α

sau

.2

1sin

2

1sin

........

21

sin

2

1

11

1

1

+=

+

==

+

∑=

j

n

j j

n

n

W x

x x

α π α

π

α

π

α

Avem

+

++=

+

+

=

∑= π

π α α

π

π

α α

2

1sin

2

1sin

21

sin

2

1sin

2

1sin

12

2

21

1

11

11

x

x

W x

x

x

j

n

j j

i

j

Obţinem α1 = 0 şi deci α1 = α2 = ... = αn = 0

sau

n2,i ,

2

1sin

2

1sin

si

2

1sin

2

1sin

2

1

2

1

1

1 ∈

+

+

=

+

+

=

∑∑==

π

π α

π

π α

jn

j j

i

i j

n

j j

xW

x

xW

x

Deci ecuaţia integrală (3.5.2) are două soluţii:

yn1 = 0 (adică y1 (x) = 0)şi

117



( ) ( ) ji

n

j j

k n

k k

in

iin K xl

xW

x

W x y ∑∑

∑=

=

=

+

+

=1

2

2

1

12

2

1sin

2

1sin

π

π

sau

( ) ( )

+⋅

+

+

= ∑∑

∑=

=

=π

π

π

2

1sin

2

1sin

2

1sin

1

2

2

1

12

jn

j j

k n

k k

in

iin

x xl

xW

x

W x y

Deci

( ) ( )

+⋅

+

+

= ∑∑∑ =

=

= π π

π

21sin

2

1sin

2

1sin

12

2

1

12

jn

j j

k n

k k

in

ii

n x xl x

W

xW

x y

sau încă

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .

21

sin

2

1

sin

2

1sin

2

1sin

1

12

1

212

1

1

22

∑

∑∑

∑∑

=

=

=

=

=

=

+

+

=

+

+

=

n

j j jn

n

k

k k

j

n

j jn

n

j

j jn

k

k k

n

xl x y

xW

x

xl x y

x xl

xW

x y

α

π

π

π π

( ) .2

1sinlim 2

)(2

+==

∞→π

x x y y n

n

x

118



Capitolul 4

Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip

Fredholm

In acest capitol ne ocupăm de rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor integrale de tip Fredholm cumetode proiectiv-iterative în spaţii Hilbert, deoarece orice operator de proiecţie P este ortogonal

şi are proprietatea:

P.-IQunde,222 =+=+ Qy PxQy Px

Primul paragraf se ocupă cu aplicarea acestei metode la ecuaţii integrale liniare de tip

Fredholm.

Paragrafele doi şi trei îşi propun să studieze aplicabilitatea acestor metode la ecuaţiile

integrale de tip Hammerstein şi Uryson. Subliniem că paragraful 4.4.3. este original, un articolîn legătură cu aceste rezultate fiind publicat în revista Revue d’Analyse Numerique.

Ultimul paragraf conţine un exemplu interesant de aplicare a acestei metode pe o ecuaţie

integrală din teoria vâscozităţii.

4.1 Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea ecuaţiilor integrale liniare.

Fie dată ecuaţia integrală liniară

(4.1.1) ( ) ( ) ( ) [ ]ba xds s y s x K x g x yb

a

, ,)(, ∈+= ∫ ,

unde g∈C([a,b]), K ∈C([a,b]×[a,b]), iar y este funcţia necunoscută.

Ecuaţia (4.1.1) scrisă operatorial are forma

(4.1.2) ( ), y K g y +=

unde K este următorul operator integral

119



(4.1.3) ( ) ( )∫ ⋅=b

a

ds s y s K y K .)(,

Presupunem că X este spaţiu Banach , K este un operator liniar şi compact astfel

încât I-K să fie inversabil.Schema proiecţiei accelerate se bazează pe următoarea descompunere

(4.1.4) y=Py+Qy ,

unde P este un operator de proiecţie pe X, Q=I-P, iar y este un element oarecare din X.

Astfel ecuaţia (1.2) se poate scrie

(4.1.5) y=g+KPy+KQy .

Aplicând operatorii P şi Q în (1.5) obţinem

(4.1.4) Py=Pg+PKPy+PKQy(4.1.7) Qy=Qg+QKPy+QKQy .

Ecuaţia (4.1.7) poate fi rezolvată în raport cu Qy în funcţie de Py:

(4.1.8) Qy= ( ) 1−− QK I (Qg+QKPy),

mai întâi trebuind să demonstrăm că (I-QK) este inversabil.

Dacă operatorul de proiecţie P este ales astfel încât

( ) 1<−= K P I QK ,

atunci Qy va fi dat de ecuaţia (4.1.8) .Dacă introducem (4.1.8) în (4.1.4) obţinemPy=PKPy+PK ( ) 1−− QK I (Qg+QKPy)+Pg=

=PK ( )( QK QK I I 1−−+ Py+PK ( ) 1−− QK I Qg+Py

sau

(4.1.9) Py-PK ( ) 1−− QK I Py=Pg+PK ( ) 1−− QK I Qg

Ecuaţia (4.1.9) are Py ca unică soluţie deoarece operatorul

I-PK ( )

1−

− QK I =(I-K) ( )

1−

− QK I Este inversabil când (I-QK) este inversabil. Dacă 1<QK , atunci ( ) 1−− QK I poate fi înlocuită

cu seria ( ) 1−− QK I = ( )∑∞

=0 j

jQK .

Trunchierea seriei la (n-1) termeni se numeşte schema proiecţiei accelerate de ordinul n

pentru ecuaţia (4.1.9):

( ) ( )∑ ∑−

=

−

=+=−

1

0

1

0

n

j

n

j

jn

jn Qg QK PK Pg uQK PK u ,

120



unde nu are ordinul n de aproximare a lui Py.

Eroarea asociată schemei proiecţiei accelerate de ordinul n poate fi găsită în

[ ] ca fiind

(4.1.10) (n

n PK K Ou Py −=− ,

unde O( ) este notaţia uzuală pentru ordinul de convergenţă.

Aplicând operatorul Q în ecuaţia (1.2) şi rearanjând termenii obţinem:

(4.1.11) (I-QK)y=Py+Qg.

Soluţia aproximativă este dată de

(4.1.12) ( ) ( )∑−

=+=

1

0

n

jn

jn Qg uQK y .

Din (4.1.10) şi (4.1.11) rezultă următoarea estimare a erorii:n

n PK K O y y −=−

Deci, orice aproximare a lui Py provoacă o aproximare corespunzătoare lui y de acelaşi ordin.

4.2 Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Hammerstein.


(4.2.1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]ba xds s y s f s x K x g x y

b

a

, ,,, ∈+= ∫ ,

unde g∈C([a,b]), K ∈C([a,b]×[a,b]) şi f ∈C([a,b]× R) sunt date, iar y este funcţia necunoscută.

Ecuaţia (4.2.1) scrisă operatorial are forma

(4.2.2) ( ) y g KF y= + ,

unde

( ) ( ) ( )( )

∫ ⋅=

b

a

ds s y s f s K y KF .,,

O proiecţie P pe un spaţiu Hilbert are proprietatea

(4.2.3) P.-IQunde,222 =+=+ Qy PxQy Px

Fie H un spaţiu Hilbert. În cele ce urmează vom presupune că au loc următoarele

proprietăţi:

a) F: H→H operator neliniar care satisface condiţia

( ) ( ) ( ) ;, , H y x y x L y F x F ∈∀−≤−b) K: H→H operator liniar şi mărginit;

121



c) g este un element dat din H şi y este elementul necunoscut din H.

1. Pentru a obţine o soluţie aproximativă a ecuaţiei (4.2.2) construim un algoritm bazat pe o

metodă proiectiv - iterativă de forma:(4.2.4) ( )( ) y g K F y B y H n

n n n= + + ∈ =−1 0 1 2, , , ,...,

unde Bn este determinat de un operator de proiecţie ortogonală P în felul următor:

(4.2.5) ( ) ( )( ) B P F y F y nn n n= − =−1 1 2, , ,... .

Având în vedere (4.2.4) şi (4.2.5) putem scrie

(4.2.6) ( ) ( ) y g KPF y KQF y n y H n n n= + + = ∈−1 01 2, , ,...., .

Teorema 4.2.1.

Dacă L p şi Lq sunt constantele Lipschitz ale operatorilor PF şi respectiv QF , în H , şi condiţia

(4.2.7) K L L p q2 2 1+ <

este satisfăcută, atunci şirul (yn)n al soluţiilor unice ale ecuaţiilor (4.2.6) în H, converge la

unica soluţie y a ecuaţiei (4.2.2) şi avem estimarea erorii

(4.2.8) y y y yn

n

− ≤−

−ε

ε

1

1

1 0

1

,

unde

(4.2.9)( )

.1 21

p

q

L K

L K

−=ε

Demonstraţie.

Din teorema de punct fix a lui Banach rezultă că ecuaţia (4.2.6) are o unică soluţie în H.

Folosind proprietatea (4.2.3), găsim

.1

,

011

1

011

11

2111

y y y y

si

y y y y

y y y y

n

n pn

nnn

nnnn

−−

≤−

−≤−

−≤−

+

−−

−−−

ε ε

ε

ε

Din ultima inegalitate vedem că (yn)n e un şir Cauchy şi cum H e complet, rezultă că

(yn)n e convergent la y∈H. Făcând p → ∞ rezultă estimarea (4.2.8).

122



În cazul în care PF şi QF nu sunt lipschitziene pe întreg spaţiul H, avem următoarea:

Teorema 4.2.2.

Presupunem că

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PF y V r QF y V r B y r ≤ ≤ ≤1 2si in, ,

r > 0, unde V1 şi V2 sunt funcţii care iau valori pozitive.

Dacă inegalitatea

(4.2.10) ( ) ( ) g K V r V r r + + ≤12

22 ,

are loc, atunci şirul (yn)n, al unicelor soluţii ale ecuaţiilor (4.2.6), este în bila ( ) B y r ≤ şi

converge către unica soluţie y a ecuaţiei (4.2.2) pentru orice y0 ∈ ( ) B y r ≤ şi are locestimarea (4.2.8).

Demonstraţie.

Din condiţia (4.2.7) notăm că ecuaţia (4.2.6) are o unică soluţie.

Din (4.2.6) şi (4.2.3) obţinem:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

y g KPF y KQF y

g K PF y QF y

g K PF y QF y

g K V r V r r

n n n

n n

n n

≤ + + ≤

≤ + + =

= + + ≤

≤ + + ≤

−

−

−

1

12

2

1

2

12

22

.

Deci yn ∈ ( ) B y r ≤ şi în continuare procedăm ca în demonstraţia

teoremei 4.2.1. .

Observaţie. Algoritmul (4.2.4) - (4.2.5) este mai rapid şi estimarea erorii e mai bună în

spaţiul Hilbert H deoareceε ε 1 < B ,

unde εB corespunde metodei aplicate într-un spaţiu Banach.

2. Mai interesant este un algoritm de forma

(4.2.11) ( ) y g KF y C y H nn n n= + + ∈ =−1 0 1 2, , , ,...,

unde corecţia Cn este definită în felul următor:

(4.2.12) ( ) ( )( )C P KF y KF yn n n= − −1 , n = 1,2,.... .

123



Din (4.2.11) şi (4.2.12) rezultă că algoritmul este dat de formula

(4.2.13) ( ) ( ) y g PKF y QKF y y H n n n= + + ∈−1 0, , n = 1,2,... .

Teorema 4.2.3.

Dacă este satisfăcută condiţia K L < 1, atunci şirul (yn)n, al unicelor soluţii ale ecuaţiilor

(4.2.13) în spaţiul Hilbert H, converge către unica soluţie y a ecuaţiei (4.2.2) şi avem

estimarea (4.2.8), unde ε 1 este înlocuit de

( )ε 2 2

1=

−

QK L

PK L.

Demonstraţie.

Din ecuaţiile (4.2.13) şi (4.2.3) obţinem

y y y yn n n n− ≤ −− − −1 2 1 2ε .

Apoi procedăm ca în demonstraţia teoremei 4.2.1. .

Corolarul 4.2.4.

12

<=< LK t tunde , ε ε ε

.

Demonstraţie.

Avem că:

( ) ( ) K P Q K PK QK PK K L QK 2 2 2 2 2 2 2= + = + > + .

De aici obţinem

( ) ( )

( ).

122

22222

ε ε =−

>=

+>

L PK

LQK L K

si

LQK L K PK L K

t

Observaţie. Folosind această metodă obţinem o mai bună estimare a erorii decât cu metoda

aproximaţiilor succesive.

Dacă condiţiile Lipschitz nu sunt îndeplinite pe întreg spaţiul H, putem demonstra

124



Teorema 4.2.5.

Presupunem că au loc condiţiile

( ) ( ) K L F y V r < ≤1 si

într-o bilă ( ) B y r < , unde V e o funcţie care ia valori pozitive. Dacă condiţia

(4.2.14) ( ) g K V r r + ≤

are loc, atunci şirul (yn)n, al unicelor soluţii ale ecuaţiilor (4.2.13), este în bila ( ) B y r ≤ şi

converge la unica soluţie y a ecuaţiei (4.2.2) pentru orice y0 ∈ ( ) B y r ≤ şi are loc estimarea

din teorema 4.2.3. .

Demonstraţie. Evident ecuaţia (4.2.13) are o unică soluţie. Din (4.2.14) şi (4.2.3) obţinem:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

y g PKF y QKF y

g PKF y QKF y

g PK QK V r g K V r r

n n n

n n

≤ + + =

= + + ≤

≤ + + = + ≤

−

−

1

2

21

2

2 2

.

Deci yn ∈ ( ) B y r ≤ şi în continuare procedăm ca în demonstraţia

teoremei 4.2.1..

3. În continuare considerăm următoarea variantă a metodelor proiectiv - iterative:

(4.2.15) ( ) y g KF y A y H n n n= + + ∈−1 0, , n = 1,2, ...,

unde corecţiile An sunt definite în maniera lui Sokolov:

(4.2.16) ( ) A P y yn n n= − −1 .

Având în vedere (4.2.15) şi (4.2.16) putem scrie(4.2.17) ( ) ( )( ) . ,...2,1 , , 01 =∈++= − n H y yQ y P KF g y nnn

Teorema 4.2.6.

Dacă are loc inegalitatea K L < 1, atunci şirul (yn)n, al unicelor soluţii ale ecuaţiilor (4.2.17)

în spaţiul H, converge către unica soluţie y a ecuaţiei (4.2.2) şi are loc următoarea estimare a

erorii:

125



(4.2.18)( )

( ) .11

012

12

2 y yQ

L PK

L K y y

n

n −−−

≤−−

ε ε

Demonstraţie. Să notăm că

y y K L Py Qyn n n n− ≤ +− −1 12

şi folosind proprietatea (4.2.3) găsim

( ) ( ) y y K L P y y Q y yn n n n n n− ≤ − + −− − − −1 1

2

1 2

2.

Este clar că

( ) ( ) ( )

( ) ( )

P y y PK L P y y Q y y

PK L P y y Q y y

n n n n n n

n n n n

− ≤ − + − =

− + −

− − − −

− − −

1 1 1 22

1

2

1 2

2= ,

de unde obţinem

( )( )

( ) P y y PK L

PK L

Q y yn n n n− ≤−

−− − −1 2 1 2

1

.

Deci

( )( ) y y K L

PK LQ y yn n n n− ≤

−−− − −1 2 1 2

1

şi

( ) ( ) ( )Q y y Q y y Q y yn n n nn− ≤ − ≤ −− − −

−1 2 1 2 2

11 0ε ε .

În consecinţă

( )( ) y y K L

PK LQ y yn n

n− ≤−

−−−

1 2 22

1 0

1ε .

Mai departe procedăm ca în demonstraţia teoremei 4.2. 1. .

Observaţie. Dacă nu este satisfăcută condiţia lui Lipschitz pe întreg spaţiul Hilbert H, teorema

4.2.6. poate fi demonstrată pe o bilă din H.

4.3 Metode proiectiv-iterative pentru rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Uryson.

126



Fie ecuaţia integrală:

(4.3.1) ( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ ∈+=b

a

ba xds s y s x K x g , ,,,xy ,

unde g∈C([a,b]) şi K ∈C([a,b]×[a,b]× R) sunt cunoscute, iar y este funcţia necunoscută.Ecuaţia (4.3.1) scrisă operatorial are forma

(4.3.2) , Ky g y +=

unde

( )( )∫ ⋅=b

a

ds s y s K Ky . ,,

Ne vom ocupa de rezolvarea acestei ecuaţii într-un spaţiu Hilbert H, deoarece aici orice

operator de proiecţie P este ortogonal şi are proprietatea:

(4.3.3) ( ).,, ,Qy+Px 222 P I Q H y xQy Px −=∈+=

În cele ce urmează vom presupune că:

a) H e spaţiu Hilbert ;

b) ( ) ( );sau, , 212121 r y B H y y y y L Ky Ky ≤∈∀−≤−

c) g este un element dat din H, iar y este elementul din H ce urmează a fi determinat.

1. Pentru aproximarea soluţiei ecuaţiei (4.3.2) construim un algoritm de forma:

(4.3.4) ( ) ,......2,1 , , 01 =∈++= − n H y B y K g y nnn ,

unde corecţiile Bn sunt determinate în felul următor:

(4.3.5) ( ) ,......2,1 ,1 =−= − n y y P B nnn .

Notăm că algoritmul definit de formulele (4.3.4) şi (4.3.5) poate fi prezentat în forma

(4.3.6) ( ) H ynQy Py K g y nnn ∈=++= − 01 ,....,2,1 , .

Teorema 4.3.1.

Dacă L< 2/2 , atunci şirul (yn)n, al unicelor soluţii ale ecuaţiilor (4.3.6) în spaţiul Hilbert H,

converge la unica soluţie y a ecuaţiei (4.3.2) şi are loc estimarea erorii

(4.3.7) 011 y y y y

n

n −−

≤−ε

ε ,

unde

127



(4.3.8) 21 L

L

−=ε .

Demonstraţie .

Din teorema de punct fix a lui Banach avem că ecuaţia (4.3.6) are o unică soluţie în H:

( ) ( )

( ).unde

,

1

2121

12

1121

−

−−

++=

−≤−≤

≤+−+=−

nnnn

nnnn

nnnnnnnn

Qy Py K g yT

y y L Py Py L

Qy Py K Qy Py K yT yT

Avem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

y y K Py Qy K Py Qy

L P y y Q y y

L P y y Q y y

n n n n n n

n n n n

n n n n

− = + − + ≤

≤ − + − =

= − + −

− − − −

− − −

− − −

1 1 1 2

1 1 22

12

1 2

2.

Găsim că

y y y y

y y y y

n n n n

n nn

− ≤ −

− ≤ −− − −

−−

1 1 2

11

1 0

ε

ε

,

şi

y y y yn p n

n

+ − ≤−

−ε ε 1 1 0 .

Din ultima inegalitate vedem că (yn)n este un şir Cauchy. Cum H e complet, rezultă că există y

∈ H astfel încât y yn− → 0. Estimarea erorii (4.3.7) urmează din ultima inegalitate făcând p

→ ∞.

Dacă condiţia Lipschitz nu e satisfăcută în tot spaţiul Hilbert H, putem demonstra

Teorema 4.3.2.

Presupunem că următoarele condiţii sunt satisfăcute:

( ) ( )r V Qyr V Pyii

y A Ky Li

21 ,)

,,2/2)

≤≤

≤<

într-o bilă ( ) B y r ≤ cu raza r > 0, unde V1, V2 sunt funcţii care iau valori pozitive. Dacă

(4.3.9) ( ) ( ) r r V r V A g ≤++ 22

21

128



este satisfăcută, atunci şirul (yn)n, al unicelor soluţii ale ecuaţiilor (4.3.6), este în ( ) B y r ≤ şi

converge către unica soluţie y a ecuaţiei (4.3.2), iar estimarea (4.3.7) are loc.

Demonstraţie. Din condiţia L < 2/2 , notăm că ecuaţia (4.3.6) are o unică soluţie în H. Vom arăta că

( ) y B y r n ∈ ≤ . Din (4.3.9), (4.3.6) şi (4.3.3) găsim

( )

( ) ( )

y g K Py Qy g A Py Qy

g A Py Qy g A V r V r r

n n n n n

n n

≤ + + ≤ + + =

= + + ≤ + + ≤

− −

−

1 1

21

212

22 .

În continuare procedăm ca în demonstraţia teoremei 4.3.1., înlocuind H cu ( ) B y r ≤ .

Observaţie. Algoritmul (4.3.4) - (4.3.5) este mai rapid şi estimarea erorii mai bună în spaţiul

Hilbert H deoarece

ε ε < B

unde εB corespunde metodei aproximaţiilor succesive.

2. Un alt algoritm este de forma

(4.3.10) ,.....,2,1 ,1 =++= − nC Ky g y nnn

unde corecţiile Cn sunt definite în felul următor:

(4.3.11) ,......,2,1 ,1 =−= − n PKy PKyC nnn

care poate fi prezentat de formula:

(4.3.12) .,....2,1 , , 01 =∈++= − n H yQKy PKy g y nnn

Teorema 4.3.3. Dacă L < 2/2 , atunci şirul (yn)n, al unicelor soluţii ale ecuaţiilor (4.3.12) în spaţiul Hilbert

H, converge către unica soluţie y a ecuaţiei (4.3.2) şi estimarea erorii (4.3.7) are loc.

Demonstraţie.

Din teorema de punct fix a lui Banach urmează că ecuaţia (4.3.12) are o unică soluţie în H:

T y T y PKy PKy Ky Ky L y yn n n n n n n n n n

~ ~

,1 2 1 2 1 2 1 2− = − ≤ − ≤ −

undeT y g PKy QKyn n n n

~= + + −1

.

129



Din (4.3.12) şi (4.3.3) găsim

( ) ( )

( ) ( )

y y P Ky Ky Q Ky Ky

P Ky Ky Q Ky Ky

L y y y y

n n n n n n

n n n n

n n n n

− = − + − =

= − + − ≤

≤ − + −

− − − −

− − −

− − −

1 1 1 2

1

2

1 2

2

12

1 22 ,

şi în fine

y y y yn n n n− ≤ −− − −1 1 2ε .

În continuare procedăm ca în demonstraţia teoremei 4.3.1. .

Dacă condiţia Lipschitz nu e satisfăcută pe întreg spaţiu Hilbert H, putem demonstra

Teorema 4.3.4. Dacă L < 2/2 şi ( ) Ky V r ≤ sunt satisfăcute într-o bilă ( ) B y r ≤ , unde V e o funcţie

care ia valori pozitive şi dacă are loc inegalitatea

(4.3.13) ( ) ,2 r r V g ≤+

atunci şirul (yn)n , al unicelor soluţii ale ecuaţiilor (4.3.12) din spaţiul Hilbert H, este în bila

( ) B y r ≤ şi converge către unica soluţie y a ecuaţiei (4.3.2) din bila ( ) B y r ≤ pentru orice

y0∈ ( ) B y r ≤ şi estimarea erorii (4.3.7) are loc.

Demonstraţie.

Din condiţia L < 2/2 notăm că ecuaţia (4.3.12) are o unică soluţie

în H. Vom demonstra că yn∈ ( ) B y r ≤ .

Din (4.3.13), (4.3.12) şi (4.3.3) găsim că

( ) y g PKy QKy g Ky Ky

g V r r n n n n n≤ + + ≤ + + ≤

≤ + ≤− −

2

1

2 2

1

2

2 .

În continuare procedăm ca în demonstraţia teoremei 4.3.1., dar în loc de H avem

( ) B y r ≤ .

4.4 Exemple

130



Fie ecuaţia integrală de speţa a doua cu singularitate slabă

(4.4.1) y(x)=g(x)+ ( )∫ −

− <<−1

1

1,0, α λ α ds s y s x

cu singularitatea slabă în x=s.Această ecuaţie apare în teoria vâscozităţii intrinseci; cazul special g(x)= 2 x şi

21=α

reprezentând subiectul multor investigaţii.

Definim următoarea proiecţie

(4.4.2) Py= ( ) ( ) 1, N,1

≥∑=

∗ xe x y i

N

ii

Unde ∗i x este mijlocul intervalului ],( 1 ii x x − şi ie este funcţia caracteristică

(4.4.3) ( ) ∈

= −

. altfel,0],(,1 1 ii

i

x x x xe

Dezavantajul acestei proiecţii este rata slabă a convergenţei de ordinul O

−21

N . Această

proiecţie serveşte de asemenea la ilustrarea utilizării şi puterii schemelor accelerării la ordine

mari prin accelerarea convergenţei nodale ale schemei de ordinul unu.

Modelul discret pentru ecuaţia (4.4.1) se obţine utilizând constantele produsului integral:

(4.4.4) y(x)=g(x)+ ( ) ,1,1

1

≥

−∑ ∫ =

∗−

−

M s yds s x M

j j

s

s

j

j

α λ

unde j j e si ssi M M

s j j

j111 −∗ +−=+−=

τ τ este funcţia caracteristică pe intervalul ],( 1 j j s s − .

Cu notaţiile

(4.4.5) ( ) ∫ −−

−=

j

j

s

s j ds s x x

1

α

α

şi

(4.4.6) ( ) ( ) ( )∑=

∗= M

j j j M s y x x y K

1

α λ

ecuaţiile (4.4.4) poate fi scrisă

(4.4.7) y(x)=g(x)+ M K y(x).

Operatorul de proiecţie P se aplică ecuaţiei (4.4.6) şi obţinem:

131



(4.4.8) ( ) ( ) ( ) ( ).1 1

xe s y x x y PK i

N

i

M

j ji j M ∑ ∑

= =

∗∗

= α λ

De asemenea, putem scrie

(4.4.9) ( ) ( ) ( ). x y PK K x yQK M M M −=Din (4.4.6) şi (4.4.8) obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),1 1

∗

= =

∗∑ ∑

−= j

M

j

N

iii j j M s y xe x x x yQK α α λ

adică

(4.4.10) ( ) ( ) ( ),1

∑=

∗= M

j j j M s y x x yQK δ λ

unde

( ) ( ) ( ) ( )∑=

∗−= N

iii j j j xe x x x

1

.α α δ

În mod similar poate fi discretizată şi funcţia g:

(4.4.11) Qg=g-Pg

şi

(4.4.12) Pg(x)= ( ) ( )∑=

∗ N

iii xe x g

1,

Atunci

(4.4.13) Qg(x)=g(x)- ( ) ( )∑=

∗ N

iii xe x g

1.

132



Capitolul 5

Metode numerice care utilizează teoreme de punct fix

Acest capitol este consacrat unor teoreme de punct fix şi posibilităţii aplicării lor la

ecuaţiile de tip Fredholm.

In primul paragraf, se studiază metoda lui Newton-Kantorovici şi aplicarea acesteimetode la ecuaţiile integrale de tip Uryson. Subliniem că teorema 1.1.2. este originală, fiind

prezentată la o sesiune de comunicări.

Al doilea paragraf este consacrat aplicării teoremei de punct fix a lui Banach la ecuaţiile

integrale de tip Uryson. Paragraful trei îşi propune să aplice teorema lui Perov la ecuaţiile

integrale de tip Uryson. şi paragraful patru analizează aplicabilitatea teoremei lui Schauder la

ecuaţiile integrale de tip Uryson.

Ultimul paragraf se ocupă cu studiul ecuaţiilor integrale de tip Fredholm în L2

(Ω).

5.1 Utilizarea teoremei lui Kantorovici la ecuaţiile integrale de tip Fredholm.

Vom începe cu enunţarea teoremei lui Kantorovici.

Teorema 5.1.1. (Kantorovici):

Fie X şi Y două spaţii Banach peste acelaşi corp K, D⊂X o parte deschisă şi convexă, f:D→Y

o aplicaţie derivabilă pe D şi x0∈D un punct în care există [f'(x0)]-1. Presupunem că există

patru numere pozitive α ,β ,γ şi δ , care satisfac condiţiile:

(i) α = βγδ≤ 1/2;

(ii) [f'(x0)]-1 ≤ β ;

(iii) [f'(x0)]-1(f(x0)) ≤ δ ;

(iv) [f'(x')] – f'(x) ≤ γ x'-x , ∀x',x∈D;

133



Notăm cu t' şi t'', t'≤ t'' cele două rădăcini (reale şi pozitive) ale ecuaţiei

(5.1.1) β2γ 2t2 – 2βγ + 2α = 0,

şi presupunem că ' B ⊂D , unde B' = x∈X ⁄ x0 - x < t'. Atunci

1. Şirul (xn)n≥ 0 este corect definit prin formula de recurenţă:

(5.1.2) xn+1= xn – [f '(xn)]-1(f(xn)), n≥ 0 (metoda Newton - Kantorovici);

2. xn∈B', (∀) n≥ 0;

3. xn → x ∈ ' B ;

4. f( x ) = 0;

5. În B'' = x∈X ⁄ x0 - x < t'' nu există alte soluţii ale ecuaţiei

f(x) = 0 , diferite de x . În plus are loc evaluarea

(5.1.3) x -xn ≤ .0)(,)2(1 2

2≥∀ nα

βγ

n

n

În continuare vom aplica această teoremă la ecuaţiile integrale de tip Uryson. Avem următoarea

teoremă:

Teorema 5.1.2.

Fie D⊂C([0,1]) o parte deschisă şi convexă, A:D →C([0,1]), definită de

(5.1.4) A(y)=y-∫ ⋅1

0

))(,,( dt t yt K ,

şi x0∈D un punct din D care îndeplineşte următoarele condiţii:

(i) C t yt s K t s ≤∈ ))(,,(]1,0[,

sup0 ;

(ii) Bt yt s K t s

u ≤∈

))(,,(']1,0[,

sup0 , (B<1);

(iii) β ≤−1

0 )]('[ y A ([A'(x0)]-1 există datorită condiţiei (ii));

Presupunem în plus că

(iv) K ∈C([0, 1] x [0, 1] x R) şi este derivabilă în raport cu al treilea argument, cu

derivata parţială continuă şi K'u(s, t, u1) –K'u(s, t, u2) ≤γ u1 –u2 , (∀) s, t∈[0, 1], (∀) u1, u2∈R.

134



Atunci, dacă β2γ ( x0 +C) < 1/2, ipotezele teoremei 1.5.1. sunt satisfăcute şi deci există

y*∈D , astfel încât A(y*) = 0. În plus avem evaluarea

(5.1.5) y* - yn ≤ .))(2(1 2

02

2

n

n C y +γ β

βγ

Demonstraţie:

Avem

A'(y0)(y) = x - dt t yt yt K u )())(,,(' 0

1

0

⋅∫ , iar

[I – A'(y0)](y) = dt t yt yt K u )())(,,(' 0

1

0

⋅

∫ ;

I –A'(y0) = 1

sup

≤ x (I – A'(y0))(y) =

=1

sup

≤ y dt t yt yt K u )())(,,(' 0

1

0

⋅∫ =

=1

sup

≤ y

]1,0[sup

∈ s dt t yt yt s K u )())(,,(' 0

1

0

∫ ≤

≤ 1

sup

≤ y ]1,0[

sup∈ s B ]1,0[

sup

∈t y(t) =1

sup

≤ yB y < 1

Conform teoremei lui von Newmann, există

[I – (I – A'(y0))]-1 = [A'(y0)]-1.

Condiţia (ii) din teorema 5.1.1. este verificată.

În continuare arătăm că este satisfăcută condiţia (iv) a teoremei 1.5.1. .

A'(y') – A'(y'') =1

su p

≤ y A'(y')(y)– A'(y'')(y) =

=1

sup

≤ y y - dt t yt yt K u )())(',,('

1

0

⋅∫ - y + dt t yt yt K u )())('',,('1

0

⋅∫ =

=1

su p

≤ y ))(',,('[

1

0

t yt K u ⋅∫ - dt t yt yt K u )())]('',,(' ⋅ =

= 1

sup

≤ y ]1,0[sup

∈ s ))(',,('[

1

0t yt s K u

∫ -dt t yt yt s K u )())]('',,('

≤

135



≤ 1

sup

≤ y ]1,0[

sup∈ s

dt t yt yt s K t yt s K uu )())('',,('))(',,('1

0∫ − ≤

≤ 1

sup

≤ y ]1,0[

sup

∈ s ( ]1,0[

sup

∈t y(t) )∫ 1

0

γ

y'(t) – y''(t) dt =

=1

sup

≤ y y γ ∫

1

0

y'(t) – y''(t) dt ≤ γ y' – y''

Trecem, în sfârşit la verificarea condiţiei (iii) a teoremei 1.5.1. .

[A'(y0)]-1(A(y0)) ≤ [A'(y0)]-1 A(y0) ≤ β A(y0) =

= β y0 - dt t yt K ))(,,( 0

1

0

⋅∫ = β ]1,0[

sup∈ s

y0(s) - dt t yt s K ))(,,( 0

1

0

∫ ≤

≤ β( y0 +]1,0[

sup

∈ sdt t yt s K ∫

1

0

0 ))(,,( ≤ β( y0 + C).

5.2 Utilizarea teoremei lui Banach la ecuaţiile integrale de tip Fredholm.

Teorema 5.2.1. (Banach)

Fie (X,d) un spaţiu metric complet şi f:X→X o aplicaţie ce satisface condiţia Lipschitz

d(f(x),f(y))≤α d(x,y),

cu α<1. Atunci există un unic x* ∈X astfel încât f(x*)= x* . Mai mult, dacă considerăm şirul

x0, x1=f(x0),…, xn=f(xn-1),…

numit şirul aproximaţiilor succesive, acest şir este convergent oricare ar fi x0∈X şi are ca

limită pe x*

, având loc estimaţia

d(xn,x*)≤α

αn

−1d(x0,x1).


(5.2.1) y(x)=g(x)+ ∫ ∈Ω

Ω,))(,,( xds s y s x K λ .

Pentru a stabili teoreme de existenţă şi unicitate vom reduce problema determinării soluţiei

ecuaţiei (5.2.1) la o problemă de punct fix. în acest scop considerăm aplicaţia

136



A:C( n R,Ω )→C( n R,Ω ),

definită de

(5.2.2) (Ay)(x)=g(x)+ ∫ Ω

))(,,( ds s y s x K λ .

Se observă cu uşurinţă că mulţimea soluţiilor ecuaţiei (5.2.1) coincide cu mulţimea punctelor

fixe ale aplicaţiei A. Aplicând pentru A teorema de punct fix a lui Banach obţinem:

Teorema 5.2.2.

Presupunem că

(i) ),Ω(),,ΩΩ( nnn RC g R RC K ∈××∈ ;

(ii) există L>0 astfel încât

( ) ( ) ∑ −≤−=

n

iiiii vu Lv s x K u s x K

1,,,,

pentru orice x,s∈ Ω şi orice u,v∈R n;

(iii) ( ).

Ωmes1

nL λ <

In aceste condiţii sistemul de ecuaţii integrale (5.2.1) are în C(Ω,R n) o soluţie unică,y*, soluţie

ce poate fi obţinută prin metoda aproximaţiilor succesive pornind de la orice element din

C(Ω,R n). Mai mult, dacă y0(=(y01,…,y0n)), este o funcţie de pornire şi yk(=(yk1,…,ykn)), este a k-

a aproximaţie succesivă atunci

(5.2.3)( )[ ]

( ).

mes1

mes

),(10),(

nn RC

k

RC k y y

Lm

Ln y y

ΩΩ

∗ −Ω−

Ω≤−

λ

λ

Demonstraţie.

Din (ii) avem

[ ] ),Ω(Ω

z-y)Ωmes())(,,())(,,()()( n RC nL λds s z s x K s y s x K λ x Az x Ay ≤∫ −≤−

sau

),Ω(),Ω( z-y)Ωmes( nn RC RC nL λ Az Ay ≤− .

Condiţia (iii) ne permite să aplicăm teorema de punct fix a lui Banach şi demonstraţia este

completă.

Teorema 5.2.3.

137



Presupunem că

(i) ),Ω(),,...ΩΩ( 1nn

n RC g R J J C K ∈××××∈ ,

unde J1,…,Jn⊂R sunt intervale mărginite şi închise;

(ii) există L>0 astfel încât

( ) ( ) ∑ −≤−=

n

iiiii vu Lv s x K u s x K

1,,,,

pentru orice x,s Ω∈ şi orice u,v∈J1× …× Jn;

(iii) ,),,( M u s x K ≤ pentru orice x,s Ω∈ şi u∈J1× …× Jn.

Dacă R>0 este astfel încât (y );( R g B∈ ) )...)(( 1 n J J x y ××∈⇒ şi

(iv) ( )Ωmes1

nL λ <

(v) ( ),

Ωmes M

R λ <

atunci sistemul (1.2.1) are în );( R g B o soluţie unică, soluţie ce poate fi obţinută prin metoda

aproximaţiilor succesive,având loc delimitarea (1.2.3).

Demonstraţie.

Condiţiile (i), (ii), (iv) asigură că operatorul

A:C( n R,Ω )→C( n R,Ω ), (Ay)(x)=g(x)+ ∫ Ω

))(,,( ds s y s x K λ

satisface condiţia de contracţie, iar condiţia (v) ne asigură că A( );( R g B )⊂ );( R g B . Cum

);( R g B este o mulţime închisă în C( n R,Ω ) se poate aplica teorema de punct fix a lui Banach

şi demonstraţia este completă.

5.3 Utilizarea teoremei lui Perov la ecuaţiilor integrale de tip Fredholm.

Vom face mai întâi câteva consideraţii teoretice după care vom enunţa teorema lui

Perov şi vom vedea cum o putem aplica la ecuaţii integrale.

Considerăm în R n următoarea relaţie de ordine:

dacă x,y∈R n, x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn), atunci x≤ y dacă şi numai dacă xi≤ yi, ni ,1∈ .

Definiţia 5.3.1.

138



Printr-o metrică generalizată pe o mulţime X înţelegem o aplicaţie d:X× X→R n, ce satisface

condiţiile:

(i) d(x,y) ≥ 0, (∀) x,y∈X ; d(x,y)=0 ⇔ x=y;

(ii) d(x,y)=d(y,x), (∀) x,y∈X ;(iii) d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y), (∀) x,y,z∈X .

Printr-un spaţiu metric generalizat vom înţelege o mulţime X împreună cu o metrică

generalizată definită pe ea.

Definiţia 5.3.2.

Fie (X,d) un spaţiu metric generalizat. Aplicaţia f:X→ X satisface o condiţie Lipschitz

generalizată, dacă există o matrice A∈ M nn(R) astfel încât

d(f(x),f(y))≤ Ad(x,y) , (∀) x,y∈X.Definiţia 5.3.3.

O matrice A∈Mnn (R) se numeşte convergentă către zero dacă Ak converge către matricea nulă

când k→∞.

Vom enunţa acum teorema lui Perov:

Teorema 5.3.4.

Fie (X,d) un spaţiu metric generalizat complet şi f:X→ X o aplicaţie ce satisface o condiţie

Lipschitz generalizată de matrice A . Dacă A este o matrice convergentă la zero,

atunci există un unic x*∈X astfel încât f(x*)=x*. Mai mult, dacă considerăm şirul

aproximaţiilor succesive xn=f n(x0), acesta este convergent şi are ca limită pe x*,

oricare ar fi x0 ∈X. De asemenea are loc estimaţia

d(xn,x*)≤ An(I-A)-1d(x0 ,x1).

In continuare vom aplica această teoremă la ecuaţii integrale. Pentru a asigura condiţiile

de aplicabilitate a teoremei lui Perov înzestrăm spaţiul C( n R,Ω ) cu norma vectorială

)Ω()Ω(1 ,...,C nC

y y y = .

Obţinem astfel un spaţiu Banach generalizat complet. Presupunem în continuare că funcţia K

satisface condiţia Lipschitz generalizată, adică există L∈Mnn(R +), astfel încât

(1.3.1) K(x,s,u)-K(x,s,v) ≤ L u-v , pentru orice x,s Ω∈ , u,v∈R n,

unde pentru un element x∈R n am notat

139



x = ( n x x ,...,1 ).

Teorema 5.3.5.

Presupunem că

(i) ),Ω(),,ΩΩ( nnn RC g R RC K ∈××∈ ;

(ii) are loc (3.1);

(iii) ( )Ωmes λ L este o matrice convergentă către zero.

In aceste condiţii sistemul de ecuaţii (1.2.1) are în C( n R,Ω ) o unică soluţie y* , soluţie ce

poate fi obţinută prin metoda aproximaţiilor succesive pornind de la orice element din C(

n

R,Ω ).Mai mult, dacă y0 este elementul de pornire şi yk este a k-a aproximaţie succesivă,atunci

( )( ) ( )( ) 101ΩΩ y y Lmes λ I Lmes λ y y

k k −−≤− −∗ .

Teorema 5.3.6.

Presupunem că

(i) ),Ω(),,...ΩΩ( 1

nn

n RC g R J J C K ∈××××∈unde J1,…,Jn⊂R; M u s x K ≤),,( ;

(ii) există L∈Mnn(R +), astfel încât

K(x,s,u)-K(x,s,v) ≤ L u-v , pentru orice x,s Ω∈ , ui∈Ji , i n,1∈ .

Dacă R=(R 1,…,R n) este astfel încât

(y∈ );( R g B ) ⇒(y(x)∈ J1× …× Jn)

şi

(iii) ( )Ωmes λ L este o matrice convergentă către zero;

(iv) ( )Ωmes λ M≤ R,

atunci sistemul (1.2.1) are în );( R g B o soluţie unică, soluţie ce poate fi obţinută prin metoda

aproximaţiilor succesive, având loc estimarea din teorema 1.3.5..

5.4 Utilizarea teoremei lui Schauder la ecuaţiilor integrale de tip Fredholm.

140



Vom enunţa în continuare teorema lui Schauder

Teorema 5.4.1.

Fie X un spaţiu Banach şi Y⊂X o submulţime mărginită, convexă şi închisă. Dacă f:X→X estecomplet continuă (adică compactă şi continuă), atunci f are cel puţin un punct fix.

Pentru a obţine teoreme de existenţă vom asigura condiţiile de aplicabilitate a teoremei

lui Schauder, relativ la aplicaţia A ataşată sistemului (5.2.1).Obţinem astfel

Teorema 5.4.2.

Presupunem că

(i) ),Ω(),,...ΩΩ( 1

nn

n RC g R J J C K ∈××××∈ ,unde J1,…,Jn⊂R sunt intervale închise şi finite;

(ii) ,),,( M u s x K ≤ pentru orice x,s Ω∈ şi u∈J1× …× Jn.

Dacă R>0 este astfel încât (y );( R g B∈ ) )...)(( 1 n J J x y ××∈⇒ şi

(iii) ( ),

Ωmes M

R λ <

atunci sistemul (5.2.1) are în );( R g B ⊂ C( n R,Ω ) cel puţin o soluţie.

Demonstraţie.

Rezolvabilitatea în );( R g B a sistemului (5.2.1) este echivalentă cu determinarea punctelor fixe

ale aplicaţiei

A: );( R g B →C( n R,Ω ),

definită de

(Ay)(x)=g(x)+ ∫ Ω

))(,,( ds s y s x K λ .

Condiţia (i) ne asigură că aplicaţia A este complet continuă, iar condiţia (ii) că );( R g B

este o submulţime invariantă pentru A. Aplicând teorema lui Schauder, obţinem concluzia

dorită.

5.5 Studiul ecuaţiilor integrale în L2(Ω).

141



FieΩ⊂R n un domeniu măsurabil. O funcţie y:Ω→R , măsurabilă Lebesgue se numeşte L2-

integrabilă, dacă y2 este L2-integrabilă, adică

∫ ∞<Ω

2 )( dx x y .

Vom nota cu L2(Ω,R) mulţimea funcţiilor L2-integrabile. Această mulţime se poate organiza ca

spaţiu liniar în raport cu operaţiile obişnuite de adunare a două funcţii şi de înmulţire a unei

funcţii cu un număr real. Notăm cu N subspaţiul liniar al funcţiilor egale cu zero aproape peste

tot (a.p.t.) şi considerăm spaţiul liniar cât L2(Ω)/N. Vom nota în continuare acest spaţiu tot cu

L2(Ω), iar un element din L2(Ω)/N, indus de y∈ L2(Ω) tot cu y. Introducem norma2/1

2)(

)(2

= ∫

Ω

Ωdx x y y

L,

şi obţinem astfel spaţiul liniar normat(L2(Ω),+,R, . ), care se demonstrează că este Banach.

Menţionăm că o submulţime Y⊂ L2(Ω) este compactă dacă şi numai dacă este mărginită în

L2(Ω) şi este egal continuă în medie pătratică.

In continuare ne propunem să studiem rezolvabilitatea unei ecuaţii integrale de tip Fredholm

(5.5.1.)y(x)=g(x)+ ∫ ∈Ω

Ω,))(,,( xds s y s x K λ ,

în L2

(Ω). Pentru aceasta vom presupune că funcţia R R K →×× ΩΩ: satisface condiţiile luiCaratheodory şi anume

(a) K(.,.,u) este măsurabilă pe Ω×Ω ,(∀) u∈R;

(b) K(x,s,.) este continuă pe R pentru aproape orice x,s∈Ω . Avem

Teorema 5.5.1.

Presupunem că

(i) g∈ L2(Ω) şi există L∈ L2(Ω×Ω ), astfel încât

K(x,s,u)-K(x,s,v) ≤ L(x,s) u-v , pentru orice x,s Ω∈ ;

(ii) K(.,s,0) ∈ L2(Ω), s Ω∈ ;

(iii)( )

.1

ΩΩ2 ×

≤ L

L λ

In aceste condiţii ecuaţia (1.5.1) are în L2(Ω) o unică soluţie, ce poate fi obţinută prin metoda

aproximaţiilor succesive pornind de la orice element din L2(Ω).

142



Demonstraţie.

Notăm =))(~( x y A ∫ Ω

))(,,( ds s y s x K şi (Ay)(x)=λ ))(~( x y A +g(x).

Este evident că mulţimea soluţiilor din L2(Ω) ale ecuaţiei (1.5.1), coincide cu mulţimea

punctelor fixe din L2(Ω) ale aplicaţiei A.

Mai întâi vom arăta că A~ ∈L2(Ω) şi că dacă y∈L2(Ω), atunci Ay∈L2(Ω).Avem

)Ω()Ω()ΩΩ()Ω()Ω()Ω( 222222 )0(~)0(~)0(~)(~)(~ L L L L L L

A y L A A y A y A +≤+−≤ × .

Deci, A~ y∈L2(Ω) şi cum g∈L2(Ω) rezultă că Ay∈L2(Ω).

Pentru a putea aplica teorema de punct fix a lui Banach trebuie să verificăm condiţia de

contracţie pentru A: L2(Ω)→L2(Ω). Avem

)Ω(Ω())Ω( 222 L L L z y L λ Az Ay −≤−

şi condiţia (iii) ne asigură că aplicaţia A este o contracţie. Teorema este complet demonstrată.

O teoremă analogă poate fi obţinută pentru sistemele de ecuaţii integrale de tip

Fredholm.

143



CAPITOLUL 6.

Interpolarea utilizând funcţiile spline cubice cu deficienţă a ecuaţiilor

Fredholm neliniare.

6.1 Cea mai bună aproximare dirijată în spaţii Hilbert

Pentru înţelegerea acestui capitol ar fi utilă o revedere a metodei parametrului

Lagrangian pentru problemele de aproximaţie dirijată în spaţiul Hilbert. Variabila este limitată

la o submulţime conexă închisă a spaţiului Hilbert şi este presupusă satisfăcând un sistem de

egalităţi liniare. Tehnica se aplică problemei de interpolare a datelor în plan printr-o funcţie

spline cubică cu deficienţă (pe porţiunile determinate de noduri vom avea funcţii polinomiale de

grad mai mic sau egal cu 3. Rezultatele teoretice sunt folosite pentru dezvoltarea unui algoritm

de tip Newton pentru obţinerea soluţiei numerice (vezi Anderson şi Elfving 1995).

În procedeele de interpolare şi aproximare care menţin forma se cer în mod explicit

proprietăţi importante ale soluţiei de bază şi pentru interpolant. Aceste proprietăţi includ

convexitatea, monotonia, nonneschivitatea etc. În multe dintre cazuri e necesară considerarea

problemei abstracte (variaţională) a minimizării unei norme în spaţiul Hilbert H când variabila

este limitată la o mulţime convexă CCH şi satisface anumite egalităţi liniare. Mulţimea aceasta

convexă C ne sugerează forma constrângerilor şi condiţiile de interpolare sunt generate de

inegalităţile liniare.

În exemplul nostru funcţiile alese pentru bază vor fi funcţiile B

spline lineare (de gradul I). Coeficienţii necunoscuţi şi combinaţia lineară sunt definiţi princondiţiile de interpolare care dau naştere unui sistem de ecuaţii numite ecuaţii Peano. Metoda

noastră are ca scop rezolvarea numerică a ecuaţiilor Fredholm neliniare în formă generală.

În paragraful 6.2. e prezentată metoda abstractă. Noua metodă e expusă T13 care

prezintă rezultatul care caracterizează soluţia problemei de interpolare. Noua metodă se bazează

pe stabilirea existenţei parametrilor Lagrange în T12. În T16 se formulează o caracterizare care

corespunde rezultatului aproximaţiei când se folosesc norme euclidiene.

144



În paragraful 3 considerăm problema minimizării2

în cazul interpolării până la

ordinul 2 de derivare şi când variabilele soluţiei aproximative sunt constrânse între marginea

superioară şi cea inferioară. Problema generală e reformulată pentru a se potrivi cu cadrul

interpolării într-un subspaţiu convex închis al unui anumit spaţiu Hilbert. Subspaţiul convex seconstruieşte în aşa fel încât proiecţia să fie făcută pe fiecare interval (t i, ti+1) ti noduri date în

mod separat. Aceasta simplifică algoritmul şi îl face ideal pentru o implementare.

Ecuaţiile Peano ce rezultă utilizează în două cazuri rădăcinile polinoamelor Hermite şi

alte alegeri posibile ale subspaţiului convex.

Proiecţia este un ingredient esenţial în rezolvarea problemei de interpolare. În paragraful

4. voi caracteriza proiecţia. În cazul special de proiecţie a unei funcţii liniare vom obţine o

expresie explicită care conţine trei parametrii necunoscuţi r,s,z. În cazul funcţiilor polinomiale pe porţiuni soluţia este un spline cubic cu cel puţin 4 noduri noi între fiecare pereche

consecutivă a absciselor interpolării. Marginile de sus şi jos pot fi active într-un subinterval

reducând astfel numărul de noduri noi la cel puţin două pe subinterval.

În paragraful 5. vom da metoda de calcul pentru parametrii l, s şi z din datele de

interpolare. Pentru cazul liniar vom obţine expresii explicite. Probabil se pot obţine asemenea

expresii şi structuri mai complicate cu funcţii polinomiale cubice pe porţiuni dar calculul care

urmează devine dificil.În paragraful 6. deducem iacobianul transformatei şi vom arăta că este pozitiv definit.

Pentru rezolvarea ecuaţiilor Peano se va aplica o metodă Newton specială.

În partea finală vom aplica metoda noastră la câteva exemple pentru a demonstra

robusteţea şi eficienţa ei.

După cum am mai menţionat Michelli şi Utretcs au dat cadrul teoretic iar mai târziu

Chui, Deuch şi Ward au analizat foarte atent problema teoretică.

Pe partea algoritmică Iliev şi Pollul au propus folosirea ecuaţiilor Peano ca mijloc pentruconstrucţia soluţiilor problemei de interpolare. Ei au considerat cazul cu deficient pentru a doua

derivată (convexitate) şi au folosit tipul Iakobi al metodei pentru soluţionarea acestora.

În acest capitol am propus folosirea metodei Newton fiind inspirată de Irvine şi Smith.

Metoda devine în acest caz simplă şi puternică.

O lucrare anterioară importantă asupra interpolării monotonice a fost realizată de

Hornung. Apoi Obfer şi Oberle au considerat problema deficienţelor esenţiale pentru cazul

deficienţelor constate pe porţiuni. Fisher, Obfer şi Puri (1991) au descris un algoritm local care

ne furnizează un sistem de noduri care poate fi considerat ca punct de plecare.

145



Alte metode pentru calculul funcţiilor spline cubice nenegative şi monotone sunt

prezentate de Pouer şi Reinsch (1989).

6.2. O teoremă relativă la aproximaţia dirijată în spaţii Hilbert.

Teorema6.2.1.

Fie H şi Y spaţii Hilbert înzestrate cu produsele scalare (..), < > şi normele si .

Fie CcH o mulţime convexă. Fie A:H → Y o transformare liniară mărginită iar A-1 y0 = x A x=

y0 imaginea inversă a unui element y0∈Y, f:C → R o funcţie cu următoarele proprietăţi

(i) convexă şi semicontinuă (e. s. G diferenţiabilă)

(ii) coercitivă(iii) mărginită

(coercitivă înseamnă aicilim ( )

x x C

f x → ∞∈

= +∞ , de exemplu f = x ).

Acum să considerăm problema determinării

(6.2.1) µ0 = inf f(x) | x∈C∩ A-1y0

Vom discuta condiţiile în care problema are pentru un vector dat y0 o soluţie unică. Vom

folosi demonstraţia dată de Chui, Deuth şi Ward în anul 1990.

Dacă

a) C∩ A-1y0 ≠ Φ

b) int(C) ∩ A-1 y0 ≠ Φ

Vectorul dat y0 se numeşte admisibil dacă satisface a) şi punct Slater dacă satisface b).

Să notăm

(6.2.2) AC = y∈Yy = Ax pentru x∈C.

Dacă y0∈int(AC) ≠ Φ vom spune că y0 este punct interior dat. Aceasta este echivalent cu

(6.2.3) y∈YAx - y0 = y x∈C⊃y| y≤ε ε > 0.

Acum să presupunem că A e surjectiv. În aplicaţii Y este finit dimensional şi atunci putem

întotdeauna presupune acest lucru.

Teorema 6.2.2. Presupunem că y0 e admisibil, că domeniul pe care e definită f este nevid.

Atunci pentru problema (1) există o soluţie x0 astfel încât µ 0 = f(x0 ). Dacă f este strict convexă

atunci soluţia este unică. (vezi Anderson (1212)).

Teorema 6,2.3. Să presupunem că are loc (3). Atunci există un parametru Lagrange y*∈Y

astfel încât

146



(6.2.4) µ 0 = f(x0 ) = min f(x) + < Ax-y0, y* > | x∈C .

Dacă (4) areloc pentru y0 cu Ax0 = y0 atunci µ 0 = f(x0 ).

Demonstraţie. Fie ω:Y→R u(∞) definită astfel(6.2.5) ω(y) = inf f(x) | x∈C Ax-y0=y unde ω(y) = ∞ dacă

x | x∈C Ax-y0=y = Φ

Să observăm că ω(y) < ∞ adcăy<ε. Este uşor de verificat că ω este convexă şi mărginită.

Considerăm mulţimea convexă B⊂Y× R

(6.2.6) B = (y,r) | ∞ > r ≥ ω(y). (y,r) nu înseamnă o pereche ci produsul scalar din H.

În relaţia (6.2.3) int(B) ≠ Φ. (0,µ0) aparţine închiderii lui B. Atunci din versiunea geometrică a

teoremei lui Hahn - Banah (vezi Braess "Nonlinear Aproximation Theory") există un hiperplan :

(6.2.7) <⟨y,y*> + (r-µ0)r0 = 0 cu (y*,r) ≠ (0,0) astfel încât

(6.2.8) (y,r) ∈ B ⇒<y,y*> + (r-µ0)r0 ≥ 0.

Să observăm că r0 ≥ 0 (dacă r > µ0 ⇒(0,r)∈B)

Să presupunem că r0 = 0. Din (6.2.3) y≤ε ⇒ ∃ r (y,r)∈B.

Deci din (6.2.8) y< ε ⇒ ⟨y,y*⟩ = 0 ⇒y* = 0.

Rezultatul obţinut e o contradicţie. Vom ajunge la concluzia că r 0 ≥ 0 deci (6.2.7) reprezintă un

hiperplan nonvertical.

Putem alege r0 = 1. Din (8)

µ ω 0 0

0

= ⟨ ⟩ = + ⟨ ⟩ = ∈ − =

+⟨ ⟩ = + ⟨ − ⟩

∈inf , * inf ( ) , * inf inf ( )

, * inf ( ) , *

( , ) y r B y y x

y

y y y y y f x x C Ax y y

y y f x Ax y yUltima afirmaţie a

teoremei este trivială.

Teorema 6.2.4. Fie f(x) = x2 şi y0 ∈ int AC ≠ Φ . Atunci problema (1) are soluţie unică.

(6.2.9) x0 = P c(A*y) y∈Y unde P c este proiecţia ortogonală pe C şi

(6.210) A* :Y → H operatorul adjunct lui A.

Dacă y∈Y x = P c(A*y) satisface condiţia Ax = y0 x va fi o soluţie a problemei (1).

Demonstraţie. Unicitatea rezultă din stricta convexitate a normei.

Vom observa că

(5.2.11) x2 - 2⟨Ax,y⟩ = x-A*y2 + A*y2

Presupunând că x0 este soluţie pentru (1) din teorema (12) şi în (11) punând

147



y*= -2y

µ 02

0

2 2

0

2 2

0

2

2

= + ⟨ − ⟩ = − − + ⟨ ⟩ =

= − − + ⟨ ⟩

∈ ∈

∈

min , * min * * ,

min * * ,

x C x C

x C

x A y y x A y A y y y

x A y A y y y

Acum să presupunem că x = Pc⟨A*y⟩ pentru un y∈Y şi A x = y0. Din teorema 6.2.32 rezultă

că x rezolvă problema (1).

Vom termina cest paragraf formulând o teoremă utilă când lucrăm cu problema

netezimii funcţiilor spline dimensionale (şi f(x) = x2). Considerăm problema

(6.2.12) minσx2+(z-ys)TQ(z-ys) | x∈ C z∈Y Ax = Kz+U. Aici Q: Y →Y este o

transformare pozitiv definită şi simetrică (reprezentată printr-o matrice de corelaţie) şi K : Y

→Y o transformare liniară surjectivă. U este un vector dat, iar Y s un vector dat cu dimensiunea sşi σ > 0 un parametru numit şi de netezime.

Fie F=(x,z) element al spaţiului Hilbert H = H× Y cu produsul scalar

<> H definit de ⟨F1,f 2⟩ H = (x1,x2)+σ-1⟨z1,Qz2⟩ Y F0 = ⟨0,Vs⟩ şi să definim

J: H →Y J(i) = Ax - kz.

Atunci problema (6.212) devine o problemă de interpolare în H .

min F-F02iF | F∈C× Y J(I) = u.

Condiţiei (6.2.2) îi corespunde

(6.2.13) inf(C× Y )∩(x,z)∈ H | Ax=kz+u ≠ Φ iar (3) devine

(6.2,14) y∈ Y | Ax-Kz-u x∈C, z∈Y ⊃y∈Y| y≤ε ε>0.

Se poate observa că (6.2.13) ⇒(6.2.14) dacă J este operator surjectiv.

Aplicând teorema 6.2.4 după unele calcule (vezi Anderson şi Eleving 1214) se obţine următorul

rezultat

Teorema 6.2.5. Dacă condiţia (6.214) are loc atunci problema (6.212) are o soluţie unică (x,z)

∈ C × Y şi (15) x = P c(A*y), z = Y s - σ Q-1k*y pentru y∈Y.

Vectorul v satisface ecuaţiile

(6.216) A P c(A*y) + σ KQ-1 K T y = Ky s+ u. În plus dacă x = P c(A*y) şi z satisface (6.2.15) şi

(6.2.16) atunci (x,z) este soluţia problemei (6.2.14).

6.3. Interpolarea prin funcţii spline cubice cu deficienţă

148



Vom aplica teoria din paragraful doi la interpolarea prin funcţii spline cu deficienţă.

Vom reformula problema clasică pentru a putea aplica rezultatele teoretice.

Fie (t1,xi) puncte date în R 2 cu

(6.3.1) t0<t1<…<t N ϕ (ti) < xi < ψ (ti) i= 0,1,…,N.Atunci ϕ şi ψ sunt funcţii semicontinue date (la dreapta respectiv la stânga) care satisfac

inf ( ) ( )t I

t t ∈

− >ψ ϕ 0 unde I = (t0,t N) Ii = (ti,ti+1) hi = ti+1 - ti .

W2(I) este spaţiul Sobolev (x este astfel încât x' este absolut continuă şi x'' ∈L2(I)). (Pentru p=2

avem spaţiu Hilbert vezi capitolul IX).

Să considerăm problema

(6.3.2) min [ "( )] x

x t dt 2 x ∈I p∩C

C = x∈W2 ϕ (t) ≤ x(t) ≤ ψ (t) t∈I şi I p = x∈W2 x(ti) = xi i=0,1,…,N

Vom reformula problema (6.3.2..) în aşa fel încât să corespundă problemei abstracte din

paragraful doi.

Să notăm cu d i=1 N-1 diferenţa divizată de ordinul doi a funcţiilor date ti,xi0

N şi

Mii=0 N-1 funcţii B spline definite pe nodurile diviziunii ∆ : tii=0

N cu supMi = [ti-1,ti+1] şi

normalizată în aşa fel încât

Mi(ti) = 1/[ti+1-ti-1] ceea ce implicăM t dt

iI

( )

∫ = ˝.

E binecunoscut (teorema lui Peano) că condiţiile de interpolare pot fi scrise echivalent

(6.3,4) x t M t dt i

I

" ( ) ( )∫ =d i i=1,2,…,N-1.

Această poate fi demonstrată considerând diferenţe divizate în formula lui Taylor.

Pentru orice x∈W2(I) presupunem adevărată următoarea formulă de interpolare

(6.3.5) x(t) = Q(t) - G t s x s ds

I

( , ) " ( )∫ unde Q este polinom liniar. Dacă punem

ht(s) = Q(t) - G t s v s ds I

( , ) ( ) atunci hv"(t) = v(t).

Vom discuta mai târziu de ce am ales formula de interpolare sub forma (6.3.5).

Să considerăm problema

(6.3.6) min ( )f C

I

f t dt ∈ ∫ 2

M t f t dt i

I

( ) ( )

∫ =di

i=1,2,…,N-1 cu C = f ∈L

2

(t) : ϕ(t) ≤ hf

(t) ≤ ψ (t) t∈I

149



Introducem acum transformarea surjectivă M: L2(t)→R N-1 Mf = ((M1,f),(M2,f),…,(M N-1,f))T .

Problema este după cum se vede de forma (6.2.1) cu H = L2(t) f(x) = x2L2(t) şi y0 = (d 1,d 2,

…,d N-1)T MT este o transformare mărginită definită pe L2(t) iar C este o mulţime închisă şi

convexă.Pentru a aplica teorema 6.2.4 trebuie doar să verificăm condiţiile de consistenţă. De

exemplu dacă are loc condiţia b) există o funcţie u∈C∩M-1(y0) u punct interior pentru C.

Deoarece ϕ (ti) < xi < ϕ(ti) pentru orice i ⇒există x∈C∞ [t0,t N] astfel încât ε>0.

ϕ(t) + ε ≤ x(t) ≤ ψ (t) - ε ∀t şi x(t) interpolează punctele (ti,xi) atunci

x" = u ∈ C∩ M-1(y0).

ϕ(t) ≤ ϕ (t) + ε ≤ Q(t) - G t s u s ds

I

( , ) ( )∫ ≤ ϕ(t) -ε < ψ (t) ∀ t∈I de unde deducem că u este un

punct interior al mulţimii C şi condiţia Slater (b) este satisfăcută.

Urmează să considerăm egalităţile

(u,M*β)L2(I) = (Mu,β) = ( , ) ,

( )

M u u M j j j j

j

N

L I j

N

β β =

=

−

=

−

∑∑1

1

1

1

2

care implică

M*β = β j j

j

N

M=

−

∑1

1

cu β = (β1,β2,…,β N-1)T.

Putem deci anunţa următoarea teoremă

Teorema 6.3.1. Problema (6.3.2) are o soluţie unică f=P c(u) cu u = β j j

j

N

M=

−

∑1

1

in plus daca u =

β j j

j

N

M=

−

∑1

1

şi (P c(u),M i ) L2(t) = d i i=1,2,…,N-1. f = P c(u) rezolvă (6.2.9), iar unica soluţie a

problemei ) se obţine din (6.3.4) cu x"=f.

Vom specifica acum conţinutul formulei de interpolare (20) folosind interpolarea liniară pe fiecare Ii=(ti,ti+1).

Fie Q(t) = Qi(t) =1

hi

(xi(ti+1-t) + xi+1(t-ti)) t∈I şi G = Gi = Gti funcţia lui Green pe Ii . Dacă

J=(a,b) un interval finit G j e definită astfel

(6,3,7) G t s

s a b t

J a s t b

t a b t

J a t s b

j ( , )

( )( )

( )( )=

− −< < <

− −< < <

iar

150



(6.3.8) Ci = f ∈ L2(Ii) : ϕ (t) ≤ Qi(t) - Q t s f s ds t i I i

( , ) ( ) ( )≤ ϕ ∀ t∈Ii.

Atunci C devine C = = f ∈ L2(Ii) : f | Ii ∈ Ci i=0,1,…,N-1.

Observaţie. Dacă u∈ L2(I i ) este arbitrar aleasă e clar din definiţie că

P C (u)| I i = P Ci(u| I i ).

Deci în alegerea formulei de calcul proiecţia poate fi realizată pe fiecare subinterval

separat.

E convenabil ca pentru scrierea lui u să se folosească funcţii B spline normale

N j = (t j+1 - t j-1)M j

deci u(t) = α j j j

N

N =

−

∑1

1

. Observăm că β j = (t j+1 - t j-1)α j j=1,2,…,N-1.

Flosind produsul scalar ⟨ ⟩ = ∫ f g f x g x dx I

I

, ( ) ( ) şi (t j+1 - t j-1) d i = di

ecuaţiile (Pc(u),Mi)L2(t) = d t i=1,2,…,N-1 se pot scrie folosind PC(u)| Ii = PCi(u| Ii) = Pi(u| Ii).

(6.3,9) (Pi(u),Ni)Ii + (Pi-1(u),Ni) = Pi(u| Ii) = di i=1,2,…,N-1.

Pentru a simplifica calculul proiecţiei vom transforma cele N-1 proiecţii P j definite pe

L2(Ii) în proiecţii care au ac argument funcţii din L2(0,1).

Definim Ai: L2(Ii)→L2(0,1)

(6.3.10) (Aiu) (s) = u(ti (1-s) + ti+1s) cu transformarea inversă

(6.3.11) (Ai-1g) (t) = g(

1

hi

(t-ti)) g∈L2(Ii).

Este clar că hi Ai este o izometrie hi(Aiu,Aiv)I = (u,v) I unde I =(0,1).

Aceasta înseamnă că AiPi = PAiCiAi unde AiCi este imaginea mulţimii Ci prin Ai, AiCi ∈L2(0,1) şi

este o mulţime închisă mărginită.

Notăm Bi = AiCi , în (24) u→Aiu şi folosind (Ai Ni) (t) = 1-t (Ai-1 Ni)

(t) = t t∈(0,1), deoarece u(t) = αi(ti+1 - t) + αi+1(t-ti)/hi t∈Ii deducem că

(6.3.12) Aiu(t) = αi(1-t) + αi+1(t) t∈(0,1).

6.4. Caracterizarea proiecţiei

Aşa cum am arătat în paragraful precedent proiecţia v = PB(u) e necesar să fie

cunoscută când rezolvăm o problemă de interpolare.

151



Pentru cazul particular în care u este liniar vom obţine o expresie explicită care conţine

trei parametrii necunoscuţi r, s, z. Vom obţine şi o caracterizare a interpolantului ca o funcţie

spline cubică pe un set completat de noduri.

Ca să nu mai folosim indicele i B = B i, ϕ = ϕ i, ψ = ψ i deci Q = Li = z0(1-t) + z1t z0 =xi/hi2 z1 = xi+1/hi

2 cu notaţia simplificata.

(6.4.1) B = u∈L2(0,1) | ϕ(t) ≤ hv(t) ≤ ψ (t) ∀t∈(0,1)

(6.4.2) h t Q t G t s v s dsv ( ) ( ) ( , ) ( )= − ∫ 0

1

h"v(t) = v(t).

Vom încerca să caracterizăm proiecţia v = PB(u) u∈L2(0,1).

Sunt cunoscute condiţiile necesare şi suficiente pentru ca v = PB(u)

(6.4.3) v + ϕ 0 ∈ B → ( )v u dt − ≥∫ ϕ 00

1

0

unde ϕ 0∈L2(0,1).

echivalent cu ϕ (t) ≤ hv(t) ≤ ψ (t) ∀t∈ (0,1)

ϕ(t) ≤ hv(t) - G t s s ds t t ( , ) ( ) ( ) ( , )ϕ ϕ 0

0

1

01∫ ≤ ∀ ∈ ⇒ ( )v u dt − ≥∫ ϕ 00

1

0.

Acum din ecuaţia Φ" = ϕ 0 Φ(0) = Φ(1) = 0 are soluţia

Φ(t) = G t s s ds( , ) ( )ϕ 00

1

∫ cu Φ∈W2(0,1).

Deducem în continuare că ϕ (t) ≤ hv(t) -Φ(t) ≤ ψ (t) Φ∈W2(0,1)

Φ(0) = Φ(1) = 0 ⇒ ( ) " ( )v u t dt − ≤∫ Φ0

1

0.

Să introducem subspaţiile disjuncte următoare

Ev = t∈(0,1) ϕ (t) < hv(t) < ψ (t)E-

v = t∈(0,1) hv(t) = ϕ (t)

E+v = t∈(0,1) hv(t) = ψ (t)

Ev∪ E-v ∪ E+

v = (0,1).

Folosind continuitatea lui hv deducem că mulţimea Ev e deschisă E+v, E-

v sunt închise.

Lema 6.4. 1. Fie u∈ L2(0,1) atunci (v-u)" = 0 pe E v (în sensul distribuţiilor) mai mult (v-u)" ≥ 0

într-o vecinătate a lui E +v .

(vezi Anderson and Elfing 1221).

152



Din această lemă deducem că (v-u)" = µ- - µ+ unde µ- şi µ+ sunt măsurile finite pozitive

ale Ev- şi Ev

+ . Aceasta implică că v-u este continuă pe (0,1) şi liniar pe (0,ε), (1-ε,1) pentru ε >

0.

Lema 6,4.2. Să presupunem că u∈C( [ 0,1 ] ). Atunci v(0+) = u(0) şi v(1-) = u(1).Lema 6.4.3. Să presupunem că funcţiile ϕ şi ψ sunt funcţii spline cubice pe fiecare subinterval

I i .

Fie u(t) = k 0(1-t) + k 1t o funcţie liniară. Presupunând că E v- şi E v+ nu sunt vide ele vor fi

intervale închise de forma [ r - ,s- ] şi [ r + ,s+ ] .

Posibilitatea ca r - = s- şi r + = s+ , adică să se reducă la un punct nu este exclusă.

Aceste rezultate fiind enumerate vom considera două cazuri:

I. ϕ cubic, ψ = ∞II. ϕ = -∞, ψ cubic

Vom scrie r şi s în loc de r+, s+, r-, s- dacă formulaeste adevărată pentru ambele cazuri.

Teorema 6.4.1 Fie u(t) = k 0(1-t) + k 1t. Atunci sunt numai trei posibilităţi pentru v = P B(u).

a) v = u; Aceasta se întâmplă dacă şi numai dacă hu ≥ ϕ (1) şi hu ≤ ψ (??)

b) u(t) =k t s zt s t s

k t s s z t s t 0

1

1 01 1 1 0 1

( / ) /( ) / ( / ( ))

− + ≤ ≤− − + − − ≤ ≤

cu I. ϕ "(s- ) ≤ v(s- ) = z ≤ k 0(1- s- ) + k 1 s- 0 < s- < 1

II. ϕ "(s+ ) ≥ v(s+ ) = z ≥ k 0(1- s+ ) + k 1 s+ 0 < s+ < 1.

Aici nu e necesar ca k 0 şi k 1 să fie amândouă pozitive

c) u(t) =

k t r r t s t r

t r t s

k t s s s t s s t

0

1

1 0

1 1 1 1

( / ) " ( ) /

" ( )

( ) / " ( )( )( )

− + ≤ ≤≤ ≤

− − + − − ≤ ≤

ΦΦ

Φ

cu 0 < r , s < t.

I. Φ = ϕ . Aici e necesar ca k 0 şi k 1 ≥ 0

II. Φ = ψ . Aici e necesar ca k 0 şi k 1 ≤ 0.

Teorema 6.4.2. Soluţia problemei (18) cu ϕ şi ψ funcţii spline cubice pe fiecare subinterval Ii

este o funcţie spline cubică de clasă C 2 pe o mulţime de noduri obţinute din cea originală

adăugând noduri suplimentare ca la punctele b) şi c) ale teoremei 16. Vor fi cel puţin patru

noduri pe fiecare subinterval. În cazul când ϕ şi ψ sunt liniare numărul de noduri este cel puţindoi.

153



Algoritmul lui Newton

Presupunem rezolvarea ecuaţiei

Fi(α) = di i= 1,2,…,N-1 unde αT = (α1, α2,…, α N-1) α0 = α N = 0 şi

F1(α) = h P u t t dt h P u t tdt i B i i B ii i( )( )( ) ( )( )1

0

1

1

0

1

1− +∫ ∫ − − ui(t) = αi(1-t) + αi+1t

folosind un algoritm de tip Newton ⇒

Fi,i' = 1/3(hi + hi-1)

Fi,j+1' = 1/6hi

Fi,j-1' = 1/3 hi-1

sau dacă matricea jacobiană F’x e diagonal dominantă

Fi,i' = hiai(b) + 1/3hi-1 Fi,i+1' = hi bi(b) Fi,i-1' = 1/6hi-1

a1(b) = s(z(3-s) + k0(1-s)+k1s)/T

a2(b) = (1-s)(z(s+2) + k0(1-s)+k1s)/T

b1(b) = b2(b) = s(s-1)z/T

T = 4(27 + k0(1-s) +k1s)

Exemple numerice

Acest algoritm poate fi implementat într-un limbaj de programare. Se consideră iniţial α0

= (1,1,…,1)T. Eroarea măsurată va fi

en

n n

n= −

+

+

+ −max

( )α α α

1

1 1010

Punctele date sunt

t = (-4⋅ 10-5, -3⋅ 10-5, -2⋅ 10-5, -⋅ 10-5, 0, 1, 2, 3, 4, 5)T

x = (4, 3, 2, 1, 10-5, 2⋅ 10-5, 3⋅ 10-5, 4⋅ 10-5, 5⋅ 10-5)T

Tabelul 6.6.1.

n en, d = 0 en, d = 2 en,Ex.2

0 1,3 1.3 21 0,11 0,26 4⋅ 105

154



2 2⋅ 10-3 6⋅ 10-4 63 3⋅ 10-7 3⋅ 10-8 24 6⋅ 10-15 3⋅ 10-16 1⋅ 10-13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0

Figura 3.

Aici cazul a) poate fi aplicat în afara intervalului [0,1] unde aplicăm b).

În acest exemplu artificial primele patru componente diferă de ultimele patru prin 1014.

Alte exemple şi concluzii conţine lucrarea lui Anderson şi Elfving.

Capitolul 7.

Metoda cuadraturii

7.1. Metoda cuadraturii relativă la ecuaţiile integrale Fredholm de speţa a II-a liniare.

155



(7.1.1) λϕ(t) - k t s s dsa

b

( , ) ( )ϕ ∫ = f(t) a ≤ t ≤ b unde a,b,λ sunt contante reale,

k:R 2→R, f:R →R.

O funcţie ϕ :R →R satisfăcând (1) spunem că este soluţia exactă a ecuaţiei (1).Dacă k este operatorul integral ( vezi capitolele 3,4) ecuaţia se poate scrie (λI - k)ϕ = f.

Numeroşi autori au investigat problema aproximării soluţiei exacte a ecuaţiei (7.1.1)

folosind metoda cuadraturii: înlocuirea integralei prin utilizarea unei formule de cuadratură.

Aşa cum am arătat la (3.2) pentru nuclee continue Nystöm utilizând o formulă de cuadratură

(de tip Gauss) am obţinut o soluţie aproximativă ϕ (t) = ϕ n(t) pe o diviziune de forma a = t0 <

…, tn-1<tn = b rezolvând sistemul (7.1.2) λϕ n i i j n j

j

N

jt w k t t x t y t ( ) ( , ) ( ) ( )− ==∑0

i = 0,1,

…,n unde w j j = 0,1,…,n sunt ponderile din formula de cuadratură Kantorovich şi Krylov,

Misovskich şi Brogage şi mulţi alţii au dezvoltat această metodă folosind diferite tipuri de

scheme de cuadratură.

Anselone şi Moore au fost primii care au abstractizat problema îmbrăcând-o în hainele

analizei matematice, făcând posibilă generalizarea ei. în ipotezele generale satisfăcute în

majoritatea cazurilor ei au demonstrat convergenţa metodei şi au găsit dimensiunea erorii.

Pornind de la rezultatele obţinute de aceştia (Anselone şi Moore) Atkinson a a generalizat

metoda lui Nystöm la nuclee care prezentau singularităţi. El a găsit marginile erorii care

depindeau de netezimea nucleului.

În acest capitol chiar dacă metoda conduce la calculul valorii soluţiei aproximative într-un

număr de puncte echidistante ale intervalului [a,b] vom considera soluţia aproximativă globală

ca funcţie care admite un anumit număr de derivate continue pe [a,b]. Pentru construcţia ei vom

folosi funcţii spline cubice de speţa I. Evident existenţa şi unicitatea soluţiei exacte ca şi a celeiaproximative depind de netezimea nucleului şi funcţiei f.

Analog, Nilson şi Walsh au construit o aproximaţie folosind un alt tip de funcţii spline

cubice fără a demonstra convergenţa metodei. Cu toate că pot fi date demonstraţii ale

convergenţei ordinul de convergenţă e scăzut.

În cele ce urmează pornind de la teoria generală fundamentată de Anselone şi Moore vom

da o metodă de rezolvare numerică care foloseşte funcţii spline de tipul I.

156



7.2. Construcţia aproximaţiei folosind funcţii spline cubice de tipul I.

Fie ∆n o diviziune a=t0<…<t N=b şi f o funcţie cu valori reale continuă pe de[a,b],

diferenţiabilă la dreapta respectiv la stânga în a şi b.Atunci o funcţie spline cubică de interpolare pe diviziunea

∆n (sn∈δ(4, ∆) vezi (15) pag 27) satisface

(i) s∆n/ Ii ∈ P3 Ii=(xi,xi+1) i = 0,1,…,n-1

(ii) s∆n ∈ C2[a,b]

(iii) s∆n(ti) = f(ti)

Vom nota mai sugestiv această funcţie cu s∆n(f,t).

Funcţia este de tipul I (vezi capitolul I) dacă satisface(iv) s'∆(f,a) = f(a)

(v) s∆n(f,b) = f'(b)

în mod convenabil o asemenea funcţie spline poate fi scrisă folosind ca bază funcţiile

(7.2.1) A∆n,k(ti) = δi,k k = 0,1,…,n i = 0,1,…,n

(7.2.2) A'∆n,k(a) = A'∆n,k(b) = 0 k = 0,1,…,n

(vom defini aceste funcţii ca funcţii spline de speţa I) (5) B∆n,k(ti) = 0 k = 0,1,…,n i = 0,1,…,n

(7.2.3.) B'∆n,k(ti) = δi,k k = 0,1,…,n i = 0,1,…,n

Dacă folosim pentru interpolarea lui ϕ acest tip de funcţie spline

(7.2.4) s∆n,k(ϕ ,t) = ϕ ( ) ( ),t A t k

k

n

n k

=∑ +

0

∆ ϕ '(a) B∆n,0(t) + ϕ '(b) B∆n,n(t)

Dacă facem următoarea notaţie

kϕ = k s s dsa

b

(, ) ( )⋅∫ ϕ , knϕ = k s s s dsa

b

n(, ) ( , )⋅∫ ∆ ϕ , a j = k s A s dsa

b

n j(, ) ( ),⋅∫ ∆ j = 0,1,…,n, an+1 =

k s D s dsa

b

n(, ) ( ),⋅∫ ∆ 0 , an+2 = k s B s dsa

b

n n(, ) ( ),⋅∫ ∆ şi cu ϕ n soluţua ecuaţiei aproximate (λI-kn) = f

sau echivalent

(7.2.5) λϕn(t) - ϕ n j j j

j

n

t a t ( ) ( )=

∑ +

0

ϕ 'n(t0)an+1(ti) + ϕ 'n(tn)an+2 ]( )t i = f(t)

cu n+3 necunoscute ϕ 'n(t0), ϕ n(t0), ϕ n(t+1),…, ϕ n(tn), ϕ 'n(tn) care satisfac s∆n(ϕ ,⋅ ).

Acestea vor fi găsite punând t = t i i=0,1,…,n. Obţinem sistemul

157



(7.2.6) λϕ'n(t) - ϕ n j j j

j

n

t a t ( ) ( )=∑ +

0

ϕ 'n(t0)an+1(ti) + ϕ 'n(tn)an+2 ]( )t i = f(ti) iar derivând ecuaţiile

din sistem

(7.2.7) λϕ 'n(ti) - ϕ n j j j

j

nt a t ( ) ' ( )

=∑ +

0

ϕ 'n(t0)a'n+1(ti) + ϕ 'n(tn)a'n+2 ]( )t i = f'(ti)

i = 0,1,…,n.

Condiţiile în care sistemul (7.2.6) (7.2.7) admite soluţie vor fi date în

capitolul VII. Scriind (10) în forma

(7.2.8) ϕ n =1

0λ ϕ f t a t n j j j

j

n

+ +

=∑ ( ) ( ) ϕ 'n(t0)an+1 + ϕ 'n(tn)an+2 ].

Observăm că valorile lui ϕ n în punctele diviziunii şi ale lui ϕ 'n la capetele diviziunii definesc

complet ϕ n.

După obţinerea valorilor ϕ 'n(t0), ϕ n(t0), ϕ n(t1), ϕ n(tn), ϕ 'n(tn) pentru calculul lui ϕ n pot fi

folosite mai multe scheme de interpolare. Noi vom opta pentru (7.2.8) care prezintă proprietăţi

bune de convergenţă pentru că e complicat de folosit datorită faptului că a j pot fi complicate.

Interpolarea ϕ n = s∆(xn,⋅ ) e netedă, uşor de construit şi are o convergentă bună.

7.3. Convergenţa şi analiza erorii

Ar merita să discutăm relaţia dintre această metodă şi aproximarea Galerkin abordată de

Kontorovich şi mai recent de Ikebe în cazul ecuaţiilor integrale Fredholm de speţa a II-a.

Notăm Pn operatorul de proiecţie Pnϕ = s∆n(ϕ ⋅ ). Atunci ecuaţia

(λI - kn)ϕ n = f poate fi scrisă (λI - kPn) ϕ n = f şi folosind ϕ n = Pnϕ n ϕ n devine soluţie a

ecuaţiei (λI - kPn)ϕ

n = Pnf ϕ

n este atunci o aproximaţie Galerkin a ecuaţiei exacte pesubspaţiul funcţiilor spline cubice de speţa I.

7.3.1. Rezultate preliminare

În acest paragraf vom demonstra câteva rezultate necesare

demonstrării rezultatului principal. Lema 1 (datorată lui Swartz "Linear Operators" 344 - 345) şi

lema 2 ( demonstrată în " Aproximate Solution of The Integral and

Operator Equations" de Anselone şi Moore) sunt rezultate binecunoscute şi le vom enunţa fără

demonstraţie.

158



Fie C p[a,b] p∈ N spaţiul Banah al funcţiilor de p ori continuu,

diferenţiabil înzestrat cu f p =[ ]

sup ( ) ( ),

( ) ( )

t a b

i

i

ni

i

if t f t

d f

dt ∈ =∑ =

0

.

Lema 7.3.1. A este subspaţiul lui C p

[ a,b ] t ∈[ a,b ] . A are închiderea compactă dacă şi numai dacă

(i) A este mărginită

(ii) pentru ∀ ε > 0 ∃ δ < 0 aşa încât pentru orice s,t ∈[ a,b ]

satisfăcând

s-t <δ putem găsi o funcţie f ∈ A pentru care are loc relaţia

(1) f (p)(s)-f (p)(t)< ε .

Lema 7.3.2. a) Fie X spaţiu Banah înzestrat cu norma b) P:X → X un operator liniar compact

c) P n : n=1,… un şir de operatori P n :X → X care satisfac

1. P n X → P X când n→∞ pentru orice x∈ X

2. P n : n=1,… este global compactă (ceea ce înseamnă că

mulţimea P n x n≥ 1 x≤ 1 x∈ X are o închidere compactă în X).

Din aceste ipoteze rezultă că

(i) şirul Pn este uniform mărginit

(ii) (P-Pn )p→0 şi (P-Pn )Pn→0 când n→∞.

(iii) ( λI-P)-1 există dacă şi numai dacă există un întreg pozitiv N astfel încât pentru ∀ n ≥ N (

λI-P)-1 există şi este uniform mărginită.

Lema 7.3.3. Fie K (i,j)(t,s) = ∂ i+j K(t,s)/ ∂ t i∂ s j şi presupunem că există următoarele proprietăţi:

(i)[ ]

sup ( , ),

( , )t a b

i j k a

b

i K t s ds M ∈ ∫ ≤ < ∞ i = 0,1,…,n

(ii) când k →∞ K t s K t s ds pk

pk

a

b( , ) ( , )( , ) ( ' , )0 0 0− →∫ uniform pentru orice două şiruri t k şi t' k

cu t k , t' k ∈[ a,b ] în care pentru orice k →∞ satisfac

t k -t' k → 0.

Atunci K definit Kf = K s f s dsa

b

( , ) ( )⋅∫ este un operator liniar şi

compact

159



K: C p[a,b]→ C p[a,b]. Lema 3 şi lema 4 au fost demonstrate de Ahlberg.

Lema 7.3.4. Fie K i K n n=1,… operatori liniari definiţi k ϕ = K s s dsa

b

( , ) ( )⋅∫ ϕ

(2) K nϕ = K s s s dsna

b

( , ) ( , )⋅∫ ∆ ϕ .

Presupunem condiţiile de la Lema 3 îndeplinite cu p≥ 1

(i) limn

n p K K

→∞− =ϕ ϕ 0

(ii) şirul de operatori K n n=1,… global compact

Demonstraţie.

(i) Avem

(7.3.3)

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]

K K K t s s s s ds

K t s ds s s s

M s s s

n pt a b

in

a

b

i

p

t a b

i

a

b

i

p

t a bn

t a bn

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− = −

≤

≤

− ≤

≤ −

∈ =

∈ = ∈

∈

∫ ∑

∫ ∑

sup ( , ) ( , ) ( )

sup ( , ) sup ( , ) ( )

sup ( , ) ( )

,

( , )

,

( , )

,

,

0

0

0

0

∆

∆

∆

unde M = p maxMi. Ultimul pas la (3) foloseşte ipoteza Lemei 3. Din proprietăţile de

convergenţă ale interpolării spline

s∆n(ϕ ,s)- ϕ(s)→0 când n→∞ ceea ce demonstrează (i).

(ii) Pentru a stabili acest rezultat este suficient să arătăm că K nϕ n≥ 1 ϕ p≤ 1 ϕ∈C p[a,b] are

închiderea compactă.

Pentru fiecare ϕ ϕ p≤ 1 avem[ ]

sup ( ),

( )

t a b

i x t ∈

≤ 1 şi deci[ ]

sup ( , ),t a b

ns t L

∈≤ < ∞∆ ϕ

Deci considerăm şirurile tk şi t'k tk,t'k∈[a,b]şi tk - t'k→0 când k→∞.

[ ]( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' , ) ( , ) ( , )

( ' ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

K t K t K t s K t s s s ds

L K t K t ds

n

p

k n

p

k

p

k

p

k n

a

b

p

k

p

k

a

b

ϕ ϕ ϕ − = − ≤

≤ −

∫ ∫

0 0

0 0

∆

Din condiţiile Lemei 3 ultima diferenţă tinde la 0 pentru K →∞ ceea ce demonstrează (ii).

Observaţie. Deşi rezultatul obţinut în Lema 4 ne este suficient pentru a atinge scopul pe care îl

urmărim e posibil să fie îmbunătăţit dacă 1 ≤ p ≤ 3. Deoarece s∆( ϕ ,⋅ ) converge la ϕ pentru

orice ϕ∈C p[ a,b ] şi P n uniform mărginit se poate demonstra că

K-PnK p → 0

160



( λ I-P n K)-1-( λ I-K)-1 p → 0

7.3.2. Convergenţa şi analiza erorii

Teorema 7.3.1 Presupunem că K satisface condiţiile Lemei 3 cu p=1 şi ( λ I-K)-1 există. Vom

considera ϕ∈C 1

[ a,b ] . Atunci există un număr întreg pozitiv N astfel încât pentru n≥ N ( λ I-K)-1

există iar şirul ϕ n = ( λ I-K)-1ϕ converge la f când n→∞ .

Demonstraţie. Din (λI-k)ϕ n = f şi (λI-k)ϕ = f rezultă că (λI-kn)(ϕ−ϕn) = (K −K n) pentru n≥ N şi

ϕ−ϕn1≤β(K −K n)ϕ1.

Ultima normă tinde la 0 când n tinde la ∞ pentru orice ϕ∈C1[a,b] în virtutea relaţiei (2) din

Lema 4.

Corolarul 1. presupunem îndeplinite condiţiile din teorema precedentă şi în plus pentru orice s

fixat s∈[ a,b ] K( ⋅ ,s) ϕ∈C 4[ a,b ] există N ∈ Z şi β 1 astfel încât pentru orice n≥ N

(7.3.4) ϕ−ϕ n1≤β 1 sn4.

Teorema 7.3.2. Din condiţiile teoremei precedente rezultă că dacă sn→ 0 atunci ϕ -ϕ n→ 0.

Demonstraţie. Notăm εn = ϕ−ϕn. Atunci

(7.3,5) ϕ -s∆n(ϕ n⋅ )1≤ ϕ-s∆n(ϕ ⋅ )1+s∆n(ϕ n⋅ )1

când n→∞, iar termenii din dreapta tind la 0 (datorită teoremei 18) respectiv e mărginit.

Corolarul 2. Suntem în condiţiile Corolarului 1, există numere întregi pozitive N şi constanta pozitive β 2 şi β 3 astfel încât pentru n≥ N

(i) x− x n0≤β 2 sn4

(ii) x− x n1≤β 3 sn3.

Demonstraţie.

(i) (7.3.6) ϕ -s∆n(ϕ n⋅ )0 ≤ ϕ -s∆n(ϕ ⋅ )0+s∆n(ϕ n⋅ )0

Termenii din dreapta sunt de ordin O(s∆n4) când n este suficient de mare. Folosind

proprietăţile de convergenţă ale funcţiilor spline cubice, deoarece εn respectiv ε'n sunt O(s∆n4)

din Corolarul 1. Acestea demonstrează (i).

(ii) se deduce din relaţia (7.3.5).

Convergenţa şi analiza erorii pot fi tratate şi folosind rezultatele Ikebe relative la metodele

Galerkin.

(7.3.7) ϕ n -ϕ1 ≤ (λI-PnK)-11PnK-K 1x1+PPnf-f 1.

161



7.4. Aproximarea nucleului

Pentru a putea folosi tehnica de calcul e convenabil ca nucleul să fie aproximat prin funcţii

spline cubice. O asemenea metodă a prezentat Sultz în "Spline Analysis".

În această relaţie tk- t'k→0 deoarece K ∈C44(D). irul de operatori K n n=1,2,… e gloal

compact. Dacă operatorul (λI- K n )-1 e mărginit uniform de β5 pentru n≥ N

ϕ -ϕ n ≤ β5K- K n ϕ≤ β6sn4

Dacă ε ϕ ϕ n n= − atunci

ϕ ϕ ϕ ϕ ε β − ⋅ ≤ − + ⋅ ≤ +

−s s sn n n n n i n

i

∆ ∆ ∆ ∆( ) ( ) ( ) 8

4

i = 0,1

deoarece ( )ε n n

i

eset de O ∆

4−

i = 0,1

7.5. Exemple numerice

Am studiat pentru exemple numerice pe intervalul [0,1]. Intervalul a fost împărţit în n

subintervale egale.

Primul tabel conţine valorile lui λ, k(t,s), f(t) şi ale soluţiei exacte pentru ecuaţia

investigată, iar tabelul al doilea conţine eroarea obţinută pentru ecuaţia exemplele 12,3,,4 pentru

5,10,15 respectiv 20 de paşi.

TABELUL 7.1

Numărul

exemplulu

i

λ k(t,s) f(t) ϕ(t)

1 1 ts et-t et

2 1 ts sinπt-t/π sinπt3 1 t4ets t-t3[et(1-1/t)+1/t] t4 1 t4ets sinπt - [ (πt4)/(t2+π2) ] (et+1) sinπt

162



TABELUL 7. 2

r 1 2 3 45 1,04335⋅ 10-4 33661⋅ 10-6 â38915⋅ 10-5 24615⋅ 10-4

10 6,47485⋅ 10-6 208900⋅ 10-7 456141⋅ 10-6 74813⋅ 10-5

15 127731⋅ 10-4 41200⋅ 10-8 61450⋅ 10-7 43412⋅ 10-6

20 403960⋅ 10-7 13030⋅ 10-8 71481⋅ 10-8 73112⋅ 10-7

aici eroarea [ ]max ( ) ( )

,t i it t

∈−

01ϕ ϕ

Rezultatele numerice confirmă acurateţea aproximaţiei la care ne-am

aşteptat. Considerând condiţii de netezime suplimentare cu modificări minore în demonstraţii

rezultate similare pot fi uşor demonstrate în legătură cu aproximarea cu funcţii spline de ordin

mai mare ca 3.

163



Capitolul 8

Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei integrale de tip Fredholm de speţa a II-afolosind funcţii B spline şi funcţii spline cardinale

8.1. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei integrale de tip Fredholm de speţa a II-a folosind

funcţii B spline

Considerăm ecuaţia :

(8.1.1) ϕ(x) = k x y y dy a

b

( , ) ( )ϕ ∫ + f(x)

funcţia ϕ fiind necunoscuta, f:[a,b]→R k: [a,b]×[a,b]→R funcţii date continue pe domeniul lor

de definiţie şi care satisfac condiţiile necesare existenţei şi unicităţii soluţiei ϕ :[a,b]→R.

Se ştie că deşi se cunosc mai multe metode de aproximare a soluţiilor ecuaţiilor integrale în

cazul ecuaţiei integrale Fredholm neliniare de speţa a II-a o parte din acestea nu pot fi aplicate.

Din acest motiv vom trata mai întâi ecuaţia Fredholm de speţa a II-a liniară.

Vom prezenta în acest capitol o metode rezolvare numerică a acestei ecuaţii folosind

funcţiile B spline.

Scopul va fi determinarea unei funcţii spline polinomiale de grad impar 2m-1 pentru

aproximarea acestei ecuaţii.

Fie ∆: a=x1<x2<…<xn=b n>m o partiţie a uniforma a intervalului [a,b]. Funcţia spline o

calculăm în S2m-1(∆) = mulţimea funcţiilor spline naturale de grad 2m-1.

Se ştie că funcţiile B spline pot fi completate la o bază a spaţiului liniar S 2m-1(∆) al funcţiilor

spline naturale de grad 2m-1.

(8.1.2) Mi(x) = M x x x i N m

x i n m n

i i n

i n m

( , ,..., ) , , ,

, ,( )

+− − −

= −= − +

1 2

11

Se ştie că M(x,xi,…,xi+m) este diferenţa divizata a funcţiei M(x,t) = (x-t)+2m-1 ca funcţie de t pe

nodurile x,xi,…,xi+m (vezi capitolul I).

Cum Mii=1n formează o bază a spaţiului S2m-1(∆) rezultă că orice

funcţie spline poate fi scrisă

164



(8.1.3) s(x) = a M x i i

i

n

( )=

∑1

unde coeficienţii aii=1n se determină din condiţiile de interpolare

date.

Pentru o funcţie spline s de două variabile se poate scrie analog

(8.1.4) s(x,y) = b M x N y ij i

j

n

i

n

j( ) ( )==

∑∑11

considerând bij care se determină din condiţiile de

interpolare date iar N j respectiv Mi funcţii de variabilă y respectiv x definite ca în

paragraful1. 2.

Procedeul de aproximare spline este următorul. Nucleul K al ecuaţiei Fredholm se va

aproxima cu o funcţie spline de două variabile (cu un nucleu degenerat) iar funcţia f cu o

funcţie spline de o variabilă. Se ştie că rezolvarea ecuaţiilor integrale cu nucleu degenerat se

reduce la rezolvarea unui sistem algebric lucru ce nu prezintă dificultăţi.

Fie K şi f −

funcţiile spline de interpolare ale funcţiilor K şi f.

(8.1.5)~( , ) ( ) ( ) K x y b M x N yij i j

j

p

i

p

===∑∑

11

(8.1.6)

Întrucât am folosit aceleaşi noduri şi acelaşi tip de funcţii spline în ambele variabile N j(y) sunt

acelaşi tip de funcţii cu Mi(x).Pentru funcţiile spline naturale p=n (n fiind numărul de noduri). Funcţia s va fi de forma

(8.1.7) s(x) = k x y s y dy f xa

b − −∫ +( , ) ( ) ( )

Soluţia acestei ecuaţii o căutăm ca o combinaţie liniară de funcţii din bază.

(8.1.8) s(x) = a M xi ii

p

( )=∑

1

. Înlocuind în (8.8), (8.6) şi (8.7) obţinem

( )b T a M x a d M x unde

T M y M y dy

ij jk k

k

p

j

p

i i i

i

p

i

i

p

jk j

a

b

k

== == ∑∑ ∑∑

∫

= +

=

11 11( ) ( )

: ( ) ( )

Simplificând cu Mi(x) şi folosind scrierea matriceală obţinem

(8.1.9) BTA = A + d unde B = (bij)i, p j=1 T = (Tij) pi,j=1 A = (a1,a2,…,a p) este vector necunoscut iar

d:= (d1,d2,…,d p) este vector cunoscut din (8.9).

Rezolvând ecuaţia (8.9) obţinem

A = (BT - I)-1 d. Evident cu presupunerea că BT-I est nesingulară.

165



8.2. Estimarea erorii şi convergenţa procedeului

Fără un studiu profund al acestui procedeu vom enunţa următoarea teoremă.

Teorema 8.2.1 Fie ecuaţia (1) cu~

K şi f −

definite de (5) şi (6) şi s definită de (7) dacă

(i) K x y K x y dya

b

( , ) ( , )− ≤−∫ ξ

(ii) f(x) - f −

(x)≤ n x∈[a,b] se poate arăta că există o constanta M a.î. (sx) - ϕ (x)< (ξ+η)

x∈[a,b] deoarece ξ şi η tind la 0 rezultă că s-ϕ →0 când h→0, h fiind pasul diviziunii ∆.

8.3. Exemple

1. Considerăm ecuaţia integrală ϕ (x) = e y dy ee

x xy x

x

ϕ ( )0

1 1

1∫ + −

+

+

.

Soluţia exactă a acestei ecuaţii este funcţia ϕ(x) = ex. Prin acest procedeu am determinat funcţii

spline naturale care aproximează pe ex de grad 1,3 şi 5. Rezultatele numerice sunt conţinute în

tabelul

Tabelul 8.1

gradul

funcţiei splinex=0 x=0,5 x=1

Ordinul

de convergentă

1 0,989514 1,635782 2,704181 23 0,999069 1,647588 2,717111 35 0,999960 1,648674 2,718242 4

Aceste rezultate confirmă faptul că funcţiile spline sunt un

instrument de aproximare pentru ecuaţiile integrale de tip Fredholm cu bune rezultate practice.

Soluţiile aproximative spline dau o precizie bună în aproximare mai ales când nucleul ecuaţiei

este o funcţie care nu are puncte singulare.

8.4.Utilizarea funcţiilor spline cardinale pentru rezolvarea numerică a ecuaţiei integrale

Fredholm de speţa a II-a.

166



Metoda a fost propusă pentru prima dată de Ahlberg, Nilsen şi Walsh (1967).

Fie o ecuaţie integrală

(8.4.1) ϕ(x) = λ ϕ k x y y dy f x

a

b

( , ) ( ) ( )∫ + λ∈R, f:[a,b] → R k:[a,b] × [a,b] → R continue ∆ :

a=x0 < x1 <…<x N < b o diviziune a intervalului [a,b]. Pe această diviziune definim funcţiile

spline (vezi capitolul I) cu condiţiile la capete M0 = M1 M N = M N-1 .

Notăm aceste funcţii s∆ j(x) j = 0,1,…,N s∆,k(x) = δkj (j = 0,1,…,N) s'∆,k(x) = 0 (i=0 şi i=N).

(8.4.2) s''∆,j(x0) = s''∆ j(x1) s''∆ j(x N-1) = s''∆ j(x N) (j = 0,1,…,N).

Funcţia spline de interpolare care aproximează soluţia ecuaţiei are forma

(8.4.3) s∆(x) = f s x j j

j

N

∆, ( )

=

∑0

unde f j = f(x j). Dacă E∆(x) = f(x) - s∆(x)

s∆(x) = λ K x y s y dy f xa

b

( , ) ( ) ( )∫ + + G∆(x)

(8.4.4) s∆(x) = λ K x y E y dy E xa

b

( , ) ( ) ( )∆ ∆∫ − .

Valorile f 0,f 1,…,f N se determină înlocuind G∆(x j) cu 0 pentru j = 0,1,…,N. Astfel se obţine

sistemul liniar

(8.4.5) f s x f x K x t f s t dt i k ii

N

ia

b

i ii

N

∆ ∆, ,( ) ( ) ( , ) ( )= =∑ ∫ ∑= +

0 0λ din care se determină f 0,f 1,…,f N şi prin

urmare soluţia .

Se poate demonstra uşor că dacă f ∈Cα[a,b] K ∈Cα[a,b]×[a,b] atunci E∆(x) = 0(∆α)

α∈0,1,2,3.

Capitolul 9

Rezolvarea numerică a ecuaţiei integrale Fredholm de speţa a II-a pe spaţiul

Sobolev

167



9.1 Spaţiul Sobolev

În capitolele precedente am prezentat modul cum metoda spline se aplică pentru a

aproxima soluţia unei ecuaţii integrale Fredholm de speţa a II-a. Ordinul de convergenţă al

soluţiei depinde nu numai de metoda numerică leasă (cuadratură,Galerkin etc.) şi funcţiile

spline din baza care constituie suportul metodei, ci şi de datele iniţiale ale problemei : nucleul k

şi funcţia g.

Problema se pune diferit pe spaţii Banach, pe spaţii Hilbert, pe spaţii Sobolev. Rezultatele

prezentate în acest capitol se referă la ordinul aproximaţiilor în cazul folosirii metodei lui

Galerkin şi a unor baze formate din funcţii spline când problema se pune într-un spaţiu Sobolev.

Fie J o submulţime deschisă a spaţiului R n ,n∈ N* =N\0. Spaţiul Cm(J)= f:J→C (sau R) f (k)

∈C(J) k=0,1,…,m va fi înzestrat cu norma uniformă f C(J)= f ∞=supf(x) .Spaţiul L p(J)=

f:J→C x ∈J, ∃ f x dx p

J

( ) <∞ ie vom înzestra cu norma f p=[ f x dx p

J

( ) ]1/p . Vom defini

acum un nou spaţiu notat W pn(J) p∈R p≥ 1.

Definiţie. Notăm

M= f:J → C ∃ f (k) sau sk f ∀ k= xii

m

=∑

1

≤ n, f (k) ∈ L p(Y) unde vectorul

x=(x1 ,…,xn ) reprezintă ordinul de derivare în raport cu fiecare variabilă care

global este cel mult egal cu n.

Considerând submulţimile din R n măsurabile (Jordan) introducem pe M următoarea relaţie de

echivalenţă : f,g∈M f ∼ g ⇔ f(z)=g(z) a.p.t. pe J(mulţimea pe care iau valori diferite este de

măsură nulă).

Relaţia de echivalenţă considerată determină împărţirea lui M în clase. Grupul cât M∼ =

W pn(J) , W p

n(J) este un spaţiu liniar (demonstraţia este evidentă). Acest spaţiu pate fi normat

introducând

(9.1.1) gn,p= g g x dxk

pk

nk p

J k

n p

( ) ( )

/

( )= =∑ ∫ ∑=

0 0

1

Am obţinut astfel un spaţiu Sobolev W pn(J).

Observaţii. 1. Pentru orice p,n W pn(J) este un spaţiu Banah.

2. Pentru p=2 este spaţiu Hilbert.

168



9.2.Metoda Galerkin

Fie ecuaţia f(x)=g(x)+ k x y f y dy( , ) ( )0

1

∫ x∈[0,1]; q şi k satisfac condiţia care asigură existenţa

şi unicitatea soluţiei. Cele mai utilizate metode de calcul aproximativ a acestor soluţii sunt cele

de proiecţie din care face parte şi metoda Galerkin. Soluţia aproximativă se caută într-un spaţiu

finit dimensional (în acest caz subspaţiul funcţiilor spline polinomiale Sn,r ν de funcţii spline

definite pe n subintervale de ordin r şi continuitate ν). Ecuaţia devine:

(9.2.1)f n=png+λ pnkf n

unde pn este operatorul de proiectare al cărui domeniu conţine pe C şi S n(x) şi care satisface

pn(sn)=sn pentru orice n∈Sn(s).În cazul metodei Galerkin este Φ(x)= ( ) ( ) ∑=

=Φn

k k k n x x x p

0

)(φ α

unde1

, ,n

k j jk =

Φ Φ = Φ Φ∑ j=0,1,…,n.

În [4] metoda Galerkin este discutată în amănunţime când x=C[a,b] ∞ şi x=L2[a,b] 2

atât pentru ecuaţii liniare cât şi pentru ecuaţii neliniare. De exemplu convergenţa pnk-k2 la

zero în metoda clasică a lui Galerkin este asigurată de condiţia(9.2.2) K x y dxdy

a

b

a

b

( , )2∫ ∫ < ∞

şi alegerea unui sistem compact de funcţii în baza Φ0(x),Φ1(x),… implică convergenţa

punctuală ⇒ c1K((f-pnf)∞ ≤ f-f nG∞ ≤ c2K((f-pnf)∞ din care rezultă că f-f nG∞ şi K((f-

pnf)∞ au acelaşi ordin de convergenţă. f nG fiind soluţia aproximativă obţinută prin metoda

Galerkin.

9.3. Ordinul de aproximare al funcţiilor din spaţiul Sobolev prin funcţii spline.

În lucrarea Journal of Numerical Analysis 1985 I.G. Graham enunţă şi demonstrează o

serie de rezultate legate de aproximarea prin funcţii spline a funcţiilor din spaţiul Sobolev pe

care doar le vom aminti aici.

a) Fie g∈W pm n≥ 1 şi sn∈Sn(s) iar p∈R p≥ 1. ∆ fiind o diviziune şi xi+1-xi=h ⇒ ∃ sn ∈ Sn a.î. g-

sn≤ chm

gm,p În demonstrarea acestui rezultat se porneşte de la un rezultat mai simplu careafirmă că pentru orice funcţie g∈W1

l(a,b) există un polinom de grad cel mult k p∈Pk k≤ l-1 care

169



satisface (g-p)(j)≤ c(b-a)l-jg(l) j≤ l şi care conduce la b) Fie g∈ W pm (0,1) ∀ n≥ 1 există o

funcţie spline sn cu următoarele proprietăţi:

(9.3.1)(g-sn)(j)1/Ii≤ chil-jg(l) 1/Ii unde Ii=[xi,xi+1].

(9.3.2) max1 sn(j) ∞/Ii≤ cgl/1 j≥ 0.

9.4.Ordinul de convergenţă al soluţiei numerice obţinute prin metoda Galerkin.


(9.4.1)

f(x)=g(x)+ K x y f y dy( , ) ( )0

1

∫ .

Facem notaţia K x(y)=K(x,y) K x∈L1şi presupunem că lim x x

k x

k x1 2 1 2 1

0→

− = x2∈[0,1].

Teorema 9.1. Presupunem satisfăcute următoarele condiţii:

a) g∈C[0,1]

b) limk z

x z K K →

− = 0 unde z∈[0,1]

c) f ∈W pl , kx∈ Wqm 0 ≤ k,m < rd) kxm,q < ∞ ∀ x∈[ 0,1 ]

atunci f-f nG∞ =0 (hm+l ), f nG fiind soluţia aproximativă obţinută prin metoda Galerkin.

În lucrarea lui C.T.H. Baker a fost demonstrat rezultatul c1K(f-pnf)∞ ≤ f-f nG∞ ≤ c2K(f-

pnf)∞ din care deducem că e suficient să găsim ordinul de convergenţă al normei K(f-pnf)∞.

Calculăm :

K(f-pnf)(x)= K y f p f y dy x n( )( )( )−∫ 0

1

= ⟨K x,f-pnf ⟩ .

Fie sn∈Sn o bază formată din funcţii spline.

În cazul metodei Galerkin alegerea lui pn se face cu respectarea condiţiei ⟨f-pnf,Φi⟩ = 0 i>1.

Deci ⟨f-snf, Φn⟩ = 0 sn∈Sn.

De aici rezultă faptul că ⟨K x,f-pnf ⟩ = ⟨K x-sn,f-pnf ⟩ ⇒ K(f-pnf)(x)≤ K x-snqf-pnf p dar f-

pnf p=(I-pn)(f-sn)d dacă folosim proprietatea (Φk)= Φk.

Cum pn este un operator de proiecţie este evident mărginit pn ≤ C deci k(f-pnf)(x)≤ K x-snq (1+ pn) f-sn p.

170



Conform teoremei din paragraful 9.3.

K x∈Wqm ⇒ K x-snq≤ c1hmK xm,q

f ∈W pl ⇒ K x-sn p≤ c2hlf mlp

Folosind aceste relaţii obţinem(9.4.2) f-f nG∞ = 0 (hm+l)

9.5. Exemplu

Fie ecuaţia f x g x x y f y dy ( ) ( ) ( ) ( )/= + −∫ λ 1 4

0

1

x∈[0,1] unde considerăm g∈W23, λ

valoare regulată. Soluţia acestei ecuaţii este de forma f(x) = c1x1/4 + c2(1-x)1/4 + h(x) h∈W23.

Condiţiile teoremei din 9.4. fiind îndeplinite f ∈W22, kx∈W21 r ≥ 2 din (9.4.2) ⇒

f-f nG∞ = 0 (h3).

în practică folosirea funcţiilor spline polinomiale în construcţia metodei Galerkin are nu numai

importanţă teoretică cât şi practică. Dacă sn∈Sn,pυ numărul de ecuaţii la care se erduce metoda

aproximativă este H = (n-1)(n-υ) + r.

Capitolul 10

Rezolvarea aproximativa a ecuaţiei integrale Fredholm de speţa a-II-a prin

substituirea nucleului prin funcţii “ spline-blended ” de convergenta a optimă.

Acest capitol pornind de la metoda clasica a substituţiei prezentata în primul paragraf,îşi

propune ca să înlocuiască substituţiile spline cu substituţii”spline-blende

”

171



O convergenta mai buna a nucleului de substituţie către nucleul ecuaţiei date presupunem ca

asigura o creştere a ordinului de convergentă al soluţiei numerice către soluţia exactă .Clasa

“ spline-blended”a apărut în 1982. Bamberger şi Hammerlin au avut idea utilizării lor pentru

construcţia operatorilor de proecţie (1995)

10.1. Metoda spline-blended

În paragraful 1 am explicat în ce consta metoda înlocuirii nucleelor prin nuclee degenerate.

în particular şi în acest paragraf substituţia va fi generata de aşa numitele “ spline-blended “

Aproximarea de acest fel conţine atât elemente ale aproximării spline cat şi valori exacte de-a

lungul liniilor de reţea pe suprafaţa care trebuie aproximata, procedeul rezultând ca o

combinaţie a acestora.

Problema centrala va fi cea a proprietarilor de convergenta ale soluţiei aproximative, obţinuta

prin substituţia nucleului utilizând aceasta schema de aproximaţie de tip spline.

Putem arata ( vezi cap. 3 ) ca nucleele obţinute printr-un procedeu de substituire de acest fel

conduc la valori proprii aproximative care converg către cele exacte convergenta fiind de

ordinul l, unde l nu depinde atât de calitatea aproximaţiei cat de formula utilizata pentru

integrarea numerica ( de funcţiile spline folosite pentru construcţie ). Daca funcţiile spline sunt

polinomiale acest fapt devine esenţial când gradul este par: cum se cunoaşte foarte bine ordinul

de acurateţe al formulei de cuadratura este mai mare cu unu ca acurateţea aproximaţiei.

Termenul de aproximaţie optiomală trebuie înţeles prin acest sens :

10.2 Operatori de proiecţie pe spaţii Sobolev construiţi cu funcţii B spline

Să consideram intervalul [ 0,1 ţ şi h = 1/p+1 unde p este număr natural.

Partiţionăm acest interval astfel:1,2...2i x i mh i m p m= − = + ∈ Ν

Fie ∆ partiţia obţinută. O funcţie ( )1m s S −∈ ∆ pentru ( )1, 1, 2,...2i i x x x i m p+∈ = + dacă

( ) s S ∈

(10.2.1) ( ) ( ) ( ) ( ) 21, 0, ,m m m

i i s S D s C F D s x x x x−+∈ ∆ = ∈ = ∈ deci ( ) ( )1 ,m

mS S D− ∆ = ∆

defineşte spaţiul funcţiilor spline polinomiale de ordinul m ( grad m-1 m ≥ 1 ) corespunzătoare partiţiei ∆. Dimensiunea spaţiului este m+p.

172



O bază locală în ( ),mS D ∆ după cum s-a văzut şi în capitolul 1 este furnizata de funcţiile B

spline.

( ) ( )1

1,2,...,m m

i j ij ij i j

h f f t i m p t x jhe

λ α =

= = + = + −∑ funcţionale lineare. Atunci

operatorul

(10.2.2) ( ) ( ) ( ) ( )1

m pm

h i ii

P f f B xλ +

=∞ = ∑

este un operator de proiecţie şi defineşte o aproximaţie locală spline dacă a j(m) sunt alese în aşa

fel încât Ph q=q pentru orice polinom unde q ∈ Pm-1.

Definitia10.2.1:

Fie S P f S hm= ∈⊥ ( , )∆ ∆ funcţia spline unic determinata de condiţia

(10.2.3)

atunci P f h⊥ este proiecţia ortogonala a funcţiei f pe spaţiul funcţiilor spline de ordinul m (grad

m-1)

10.3 Grade de aproximaţie

In paragraful (3.3) am văzut ca~( , ) ,( ) ( ) K x y cij x m y

rj

m

j==

∑1

Ψ

ecuaţia ~ ~ ~ ~k K ϕ ϕ =

poate fi rezolvata exact. Rezolvarea ei este echivalenta cu problema găsirii vectorilor proprii ai

matricei E=C P.

( )C cij P x x dxijj

m

ii j

ij

m

: : ( ) ( )= = =

∫ =1 0

1

11η Ψ

Rezultatul demonstrat îl vom prezenta pe scurt sub alta forma.

Teorema 10.3.1

Fie H un spaţiu Banach de tipul Lq(I) 1<= q < ∞

sau ( C(I) , ) Fie K 1, K h : H ->H operatori integrali compacţi cu K ≠ 0 şi valorile proprii ale

lui K sunt multipli lui µ

.Presupunem ca este îndeplinita condiţia: lim

hh K K

→− =

00

173



Atunci are loc următoarea estimaţie:

Pentru h suficient de mic exista exact µ valori proprii~ , ~ ,..., ~k k k 1 2 µ ale lui K h care converg

către k daca H -> 0. Mai mult exista o constantă c depinzând de k şi K dar independentă de h

astfel încât:

(10.3.1.)( )( )

( ) ( ) y x K y x K

K K K K K K ck k

h

hhi

,,~ punand3.6dinrexultaestimatieAceasta

~1 2

11

=

−+−≤− ∑−

µ

µ

O altă demonstraţie apare în lucrarea lui Schofer care a mai fost amintită.

Următoarele rezultate se refera la ordinul de aproximaţie şi la ordinul schemei de integrare

numerica:

a) exista d2 > 0 şi n2 număr natural astfel încât;(10.3.2.)

Oh fiind operatorul de proiecţie definit la (4.2)

Dl operatorul diferenţial.

b) exista d3> 0 care depinde de3

30

ni

i

D g n N = ∞

∈∑ astfel încât

(10.3.3.)

33

2

3

1

30 ( )( )( )orice , ( )

nn i

h i n

n

g x f P f x dx d h D f

f g C I

∞=

− ≤ ∈

∑∫

Observaţie: în cazul operatorului de proecţie definit la (10 3.11.)

relaţiile a) şi b) au loc pentru n2 = n3 = m daca m par şi n2 = m şi n3 = m+1 daca m impar.

10.4. Aproximaţii “spine-blended“ ale nucleului.

Fie Bh operatorul de proiecţie spline (10.2.2). Introducem funcţionalele;

( ) ( )

( ) ( )

P P

P K x y P K y g y

P K x y P K x h x

h x

h y

h

x

h

x

h

y

h

y

, ( ) ( )

, ( ) ( )

= =

= =

Definiţia10.4.1 Funcţia R I I K →×:~ în particular I=(c,b) sau I=[0,1] astfel:

(10.4.1) ( ) ( ) ( ) ( ) y x K P P y x K P y x K P y x K yh

xh

yh

xh ,,,,~ ++=

Se numeşte funcţie de aproximaţie “ spline- blended “ a nucleului K ea a fost introdusă de S.A

Coons şi lucrarea “ Surfaces fot computer Aided Design of space Forms”In cazul folosirii funcţiilor spline pentru construcţia proiecţiei :

174



Teorema 23

Presupunem: K C IxI m∈ 2 2 ( )

Ph : C(I) → −S m 1( )∆ operatorul spline de proiecţie.

Si perechile:

P siP

P siD

P siD

h x

h y

h y

x

h x

y

comuta

atunci se poate da următoarea margine superioară a erorii de aproximaţie.

(10.4.2)( ) ( ) ( )

( )

K K K P K P K P K d h D K P K

d h D K P D K d h D D K

h x

h y

h x n

yn

h x

m yn

h x

yn n

xn

yn

− = − − − ≤ − =

− ≤

∞ ∞ ∞

∞ ∞

~

( )

2

2 22 2

2 2

2 2 2 2 2 2

(10.4.3) K K K K C hhn( )− ≤ 3

2 3

Observaţie:

(1) Dacă m este ordinul funcţiilor spline polinomiale folosite, K aparţine lui

C IxI n m P nh

23

3 ( ) , ≥ operatorul spline de proiecţie, şi K h operatorul integral al substituţiei

“spline-blended” generat de Ph prin înlocuire în (10.4.2) obţinem folosind estimaţia

(10.4.4)k c n o n

ii

m m

k c h c h h− ≤ + ==

∑1 2

13 2

4 4 23 3

µ

µ ~min( , )

( ) ( )

2)Fie P h⊥ proiecţia ortogonala, se ştie ca

Schumaker a demonstrat în “Spline Functions:Basic Theory”(1981) următorul rezultat [118]

(10.4.5)2

1g Dhb g P g

mm

h≤− ⊥

Dacă utilizăm (10.4.3)

≤ − − ≤ =⊥ ⊥

g g f f g f g f h h

m m m m m

p p b h D D b h D2 2

1

2 2

2 2 2

2

2( )

32n m=

(3) Daca minim (4m. 2n3) = 4m atunci 0(h4m) deci 0(h8) pentru funcţii spline blending liniare.

( şi vezi formulele din capitolul 1 pentru funcţii pătratice, respectiv cubice).

Daca comparam acest procedeu cu cel prezentat în paragraful 1. v-a trebui să observam ca în

cazul interpolării nucleului folosind funcţii spline biliniare exprimate prin produse tensoriale

K K h K K h− = − =∞ ∞

~ ~( )0 02 4c iar in cazul cubic

175



(3) Evident în cazul utilizării procedeului prezentat în acest capitol ordinul de aproximaţie este

mai bun.

(4) Au fost calculate numeroase exemple numerice (L. Bamberger 1981). Pentru a examina

ordinul de convergenţă estimat prin formulele prezentate în acest capitol. Intre acestea au fost

considerate şi nuclee de tipul K (x,y) = sin 9 (x+y) periodice sau foarte netede K(x,y)== exy.

Exemplele acoperă ordinele m=1,2,3. Aceste exemple numerice au concurat la obţinerea şi

confirmarea rezultatelor teoretice dar spaţiul lucrării nu ne permite să le prezentam.

(5) În lucrare am luat în considerare numai funcţii spline polinomiale. Evident sunt posibile

generalizări ale procedeului la diferite categorii de funcţii spline (generalizate ). în particular un

procedeu asemănător a fost studiat de Banberger utilizând funcţii spline trigonometrice. El a

condus la rezultate similare.

10.5. Exemple numerice

Am studiat pentru exemple numerice pe intervalul [0,1]. Intervalul a fost împărţit în n

subintervale egale. Primul tabel conţine valorile lui λ, k(t,s), f(t) şi ale soluţiei exacte pentru

ecuaţia investigată, iar tabelul al doilea conţine eroarea obţinută pentru ecuaţia exemplele

12,3,,4 pentru 5,10,15 respectiv 20 de paşi.

TABELUL 10.1

Numărul exemplului λ k(t,s) f(t) ϕ (t)1 1 ts et-t et

2 1 ts sinπt-t/π sinπt3 1 t4ets t-t3[et(1-1/t)+1/t] t4 1 t4ets sinπt - [ (πt4)/(t2+π2) ] (et+1) sinπt

TABELUL 10.2

r 1 2 3 45 1,04335⋅ 10-4 33661⋅ 10-6 38915⋅ 10-5 24615⋅ 10-4

10 6,47485⋅ 10-6 208900⋅ 10-7 456141⋅ 10-6 74813⋅ 10-5

15 127731⋅ 10-4 41200⋅ 10-8 61450⋅ 10-7 43412⋅ 10-6

20 403960⋅ 10-7 13030⋅ 10-8 71481⋅ 10-8 73112⋅ 10-7

aici eroarea [ ]max ( ) ( )

,t i it t

∈−

01ϕ ϕ

176



Rezultatele numerice confirmă acurateţea aproximaţiei la care ne-am aşteptat. Considerând

condiţii de netezime suplimentare cu modificări minore în demonstraţii rezultate similare pot fi

uşor demonstrate în legătură cu aproximarea cu funcţii spline de ordin mai mare ca 3.

Capitolul XII

177



În primul paragraf al ultimului capitol pornind de la teoria generală fundamentată de

Anselone şi Moore indicăm o metodă de rezolvare numerică care foloseşte funcţii spline cubice

de tipul I uni şi bidimensionale şi demonstrăm posibilitatea aplicării ei în mecanică. Funcţiile

spline cubice sunt folosite în studiul vibraţiilor de torsiune ale unor bare neuniforme. Soluţia

este obţinută prin transformarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare în ecuaţii integrale şi apoi

acestea sunt rezolvate numeric. Funcţiile spline cubice satisfac condiţiile geometrice, de

continuitate şi la limită. Studiul pune în evidenţă efectele rigidităţii, a legăturilor elastice şi a

maselor adiţionale.

12.1 Utilizarea funcţiilor spline cubice în aproximarea soluţiei ecuaţiei integrale Fredholm


λϕ(t) - k t s s dsa

b

( , ) ( )ϕ ∫ = f(t) a ≤ t ≤ b (12.1)

unde a,b,λ sunt contante reale,

k:R 2→R, f:R →R.

O funcţie ϕ :R →R satisfăcând (1) spunem că este soluţia exactă a ecuaţiei (1).Dacă k este

operatorul integral ( vezi capitolele 3,4) ecuaţia se poate scrie (λI - k)ϕ = f.

Numeroşi autori au investigat problema aproximării soluţiei exacte a ecuaţiei (2) folosindmetodaa cuadratirii: înlocuirea inntegralei prin utilizarea unei formule de cuadratură.

Pentru nuclee continue Mystöm utilizând o formulă de cuadratură (de tip Gauss) am obţinut o

soluţie aproximativă ϕ (t) = ϕ n(t) pe o diviziune de forma a = t0 < …, tn-1<tn = b rezolvând

sistemul

λϕ n i i j n j

j

N

jt w k t t x t y t ( ) ( , ) ( ) ( )− ==

∑0

i = 0,1,…,n (12.2)

unde w j j = 0,1,…,n sunt ponderile din formula de cuadratură Kantorovich şi Krylov,Misovskich şi Brogage şi mulţi alţii au dezvoltat această metodă folosind diferite tipuri de

scheme de cuadratură.

Anselone şi Moore au fost primii care au abstractizat problema îmbrăcând-o în hainele

analizei matematice, făcând posibilă generalizarea ei. în ipotezele generale satisfăcute în

majoritatea cazurilor ei au demonstrat convergenţa metodei şi au găsit dimensiunea erorii.

Pornind de la rezultatele obţinute de aceştia (Anselone şi Moore) Atkinson a a generalizat

metoda lui Mystöm la nuclee care prezentau singularităţi. El a găsit marginile erorii caredepindeau de netezimea niucleului.

178



În acest capitol chiar dacă metoda conduce la calculul valorii solluţiei aproximative într-un

număr de puncte echidistante ale intervalului [a,b] vom considera soluţia aproximativă globală

ca funcţie care admite un anumit numărt de derivate continue pe [a,b]. Pentru construcţia ei vom

folosi funcţii spline cubice de speţa I. Evident existenţa şi unicitatea soluţiei exacte ca şi a celeiaproximative depind de netezimea nucleului şi funcţiei f.

Fie ∆n o diviziunde a=t0<…<t N=b şi f o funcţie cu valori reale continuă pe de[a,b],

diferenţiabilă la dreapta respectiv la stânga în a şi b.

Atunci o funcţie spline cubică de interpolare pe diviziunea

∆n (sn∈δ(4, ∆) vezi (15) pag 27) satisface

(i) s∆n/ Ii ∈ P3 Ii=(xi,xi+1) i = 0,1,…,n-1

(ii) s∆n ∈ C2

[a,b](iii) s∆n(ti) = f(ti)

Vom nota mai sugestiv această funcţie cu s∆n(f,t).

Funcţia este de tipul I (vezi capitolul I) dacă satisface

(iv) s'∆(f,a) = f(a)

(v) s∆n(f,b) = f'(b)

în mod convenabil o asemenea funcţie spline poate fi scrisă folosind ca bază funcţiile

A∆n,k(ti) = δi,k k = 0,1,…,n i = 0,1,…,n (12.3)

A'∆n,k(a) = A'∆n,k(b) = 0 k = 0,1,…,n

(vom defini aceste funcţii ca funcţii spline de speţa I)

B∆n,k(ti) = 0 k = 0,1,…,n i = 0,1,…,n (12.4)

B'∆n,k(ti) = δi,k k = 0,1,…,n i = 0,1,…,n

Dacă folosim pentru interpolarea lui ϕ acest tip de funcţie spline

s∆n,k(ϕ ,t) = ϕ ( ) ( ),t A t k k

n

n k =∑ +0

∆ ϕ '(a) B∆n,0(t) + ϕ '(b) B∆n,n(t) (12.5)

Dacă facem următoarea notaţie

kϕ = k s s dsa

b

(, ) ( )⋅∫ ϕ , knϕ = k s s s dsa

b

n(, ) ( , )⋅∫ ∆ ϕ , a j = k s A s dsa

b

n j(, ) ( ),⋅∫ ∆ j = 0,1,…,n, an+1 =

k s D s dsa

b

n(, ) ( ),⋅∫ ∆ 0 , an+2 = k s B s dsa

b

n n(, ) ( ),⋅∫ ∆ şi cu ϕ n soluţua ecuaţiei aproximante (λI-kn) =

f sau achivalent

179



λϕn(t) - ϕ n j j j

j

n

t a t ( ) ( )=

∑ +

0

ϕ 'n(t0)an+1(ti) + ϕ 'n(tn)an+2 ]( )t i = f(t) (12.6)

cu n+3 necunoscute ϕ 'n(t0), ϕ n(t0), ϕ n(t+1),…, ϕ n(tn), ϕ 'n(tn) care satisfac s∆n(ϕ ,⋅ ).

Acestea vor fi găsite punând t = t i i=0,1,…,n. Obţinem sistemul

λϕ 'n(t) - ϕ n j j j

j

n

t a t ( ) ( )=

∑ +

0

ϕ 'n(t0)an+1(ti) + ϕ 'n(tn)an+2 ]( )t i = f(ti) (12.7)

iar derivând ecuaţiile din sistem

λϕ 'n(ti) - ϕ n j j j

j

n

t a t ( ) ' ( )=

∑ +

0

ϕ 'n(t0)a'n+1(ti) + ϕ 'n(tn)a'n+2 ]( )t i = f'(ti) (12.8)

i = 0,1,…,n.

Condiţiile în care sistemul (8) (9) admite soluţie vor fi date pentru cazul particular tratat în

articol. Scriind (9) în forma

ϕ n =1

0λ ϕ f t a t n j j j

j

n

+ +

=∑ ( ) ( ) ϕ 'n(t0)an+1 + ϕ 'n(tn)an+2 ]. (12.9)

Observăm că valorile lui ϕ n în punctele diviziunii şi ale lui ϕ 'n la capetele diviziunii definesc

complet ϕ n.

După obţinerea valorilor ϕ 'n(t0), ϕ n(t0), ϕ n(t1), ϕ n(tn), ϕ 'n(tn) pentru calculul lui ϕ n pot fifolosite mai multe scheme de interpolare. Noi vom opta pentru (7.2.8) care prezintă proprietăţi

bune de convergenţă pentru că e complicat de folosit datorită faptului că a j pot fi complicate.

Interpolarea ϕ n = s∆(xn,⋅ ) e netedă, uşor de construit şi are o convergentă bună.

12.2 Funcţii spline bicubice

Cuvântul variabilă (aici cu sensul de argument) are în teoria probabilităţilor şi statistică

o altă semnificaţie. Problema definirii funcţiilor spline de mai multe variabile a apărut ca ogeneralizare a problemei pentru cazul unidimensional cât şi din necesitatea aproximării a

funcţiilor cu argument multiplu (definite pe G⊂R d).

Vom nota cu Sk,∆(R d) spaţiul funcţiilor spline polinomiale care pe chiurile unei reţele ∆

sunt polinoame de gra ce lmult k din C p(R d) (care admit derivate continue până la ordinul ϕ ).

Unii autori cer ca funcţiile să aparţină Crϕ(R d) (∃ f (k) şi ∆k(t) continuă până la ordinul ϕ de cel

mult r ori în raport c ufiecare variabil, f (ϕ) să fie din L2(G) ). Funcţiile spline pot f iprivite ca

făcând parte din clasa funcţiilor radiale sau caa soluţii ale unei probleme variaţionale. Testareaopiniei mai multor specialişti a dovedit că cea mai utilizată definiţie este cea clasică (de

180



polinomiale pe porţiuni). Din acest vom motiv vom adopta idee casică deşi suntem convinşi că

metoda variaţională va juca un rol în teoria funcţiilor spline de mai multe variabile decât

acelape care îl joacă în teoria funcţiilor spline deovariabilă.

Extinderea la mai multe dimensiuni a fost începutăde Birkhoff şi Garabedian în lucrarea

“Smooth Surface Interpolation”(1960 pag 258-268). Au urmat contribuţii ale lui C. de Boor,

Alberg, Nilson şi Walsh referitoare la funcţiile spline bicubice, poliedrale etc.şi utilizarea

acestora în metodele numerice. Vom fi preocupaţi în acest referat de metoda spline relativă la

ecuaţiile integrale Voltera de speţa a II-a.

în materialul “Multivalente Piecewise Polinomials” publicat în 1993 C. de Boor o schiţă a

dezvoltărilor recente în domeniiul în care se regăsesc rezultate ale în actualitate dar şi idei din

lucrările lui Frenke şi Schumaker (1991) .

Fie Ω∈R 2 domeniu mărginit. Ω=(x,y)∈R 2a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

∆x : a=x0<x1<…<x N=b, ∆y : c=y0<y1<…<yM=d, ∆ = ∆x× ∆ y Ωi,j = (x,y) ∈Ωxi-1≤ x≤ xi, yi-

1≤ y≤ y j i=1,2,…,N j=1,2,…,M

Ofuncţie S∆:Ω→R se numeşte funcţie spline bicubică (de două variabile) în raport cu ∆ dacă

satisface:

1.S∆Ωij polinom de grad cel mult trei în variabile x şi y.

2.S∆∈ C2

4

(Ω) unde Cr

n

(Ω) = f:Ω→R f admite derivate parţiale continue până la ordinul n numai mult decât r în raport cu fiecare argument.

Observaţie. Ca şi în cazul funcţiei spline de o variabilă S ∆ se poate reprezenta ca o funcţie

liniară de un număr finit de funcţii polinomiale liniar independentea căror alegere nu e unică

(şi care de multe ori se precizează prin valorile lor în anumite puncte).

S∆(xi,yi)=

c x y f x y D x y f x y

x D x y

f x y

x

E x y f x y

y E x y

f x y

y F x y

f x y

x y

F

ij i j j

j

Nj

N j

j

M

j

M

i

N

ii

iMi M

i

N

N

( , ) ( , ) ( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

+ +

+

+ +

+ +

+

===

=

∑∑∑

∑

0

0

000

00

000

20 0

0

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂

( , )( , )

( , )( , )

( , )( , )

x y f x y

x y F x y

f x y

x y F x y

f x y

x y N

MM

NMN M∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

20

0

20

2

+ +

funcţiile Cij

, Dij

, Eij

, Fij

sunt funcţii spline bicubice ce poartă numele de funcţii spline cardinale

bidimensionale.

181



Definiţia 2 Funcţia spline bicubică se numeşte de interpolare pe punctele diviziunii ∆

pentru mulţimea de numere reale zij i=1,…,N j=1,…,M (care pot fi valorile unei funcţii de două

variabile în nodurile (xi ,y j ) date) dacă satisface egalităţile:

S ∆(xi,yi)= zij 0 ≤ i ≤ N 0 ≤ j ≤ M Observaţia 1

Existenţa şi o clasificare analoagă celei prezentată în capitolul I pentru funcţiile spline de o

variabilă pot fi găsite în [ 15 ] pag 124-125.( S ∆ poate fi de speţa I, I’, II, II’, periodică dacă

întâlneşte anumite condiţii în x0 , xn , y0 , y M - toate combinaţiile posibile de puncte.

Teorema 2 Fie f ∈ C48(Ω) Ω=(x,y)∈R 2a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d şi

∆ = ∆ x×∆ y o diviziune de forma precizată ∆ = max ∆ x ,∆ y iar S ∆(f,x,y) funcţia spline

de interpolare pe nodurile diviziunii ∆.Raportul dintre lungimea cea mai mare şi lungimea cea mai mică a intervalelor diviziunii îl

presupunem uniform mărginit.

lx = min(xi+1-xi) Lx = max(xi+1-xi) i=1,2,…, N µx =L

l x

x

< M1

ly = min(y j+1-y j) Ly = max(y j+1-y j) j=1,2,…, M µy =L

l

y

y

< M2

în plus ∆ →0.

Fie γ = α+β ≤ 6, 0 ≤ α ≤ 3, 0 ≤ β ≤ 3. Atunci∂

∂ ∂

γ

α β

S f x y

x y

( , , )este uniform convergentă în

raport cu x şi y către∂ ∂ ∂

γ

α β

f x y

x y

( , ). Ordinul de convergenţă depinde de forma celor două

diviziuni α respectiv β. Are loc relaţia:∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

γ

α β

γ

α β

f x y

x y

S f x y

x y

( , ) ( , , )= + O(∆xn-α+∆yn-β).

Demonstraţia în [12].

Observaţia 2

1. O consecinţă importantă a acestei teoreme se referă la convergenţa şirului de funcţii spline

corespunzător unui şir de diviziuni ∆ N N =∞

1 din ce în ce mai rafinate. S N f = S N (f,x,y) N=1,2,…

dacă ∆ N → 0 când N →∞ şi f - S N f sunt de tipul I’, II’ sau f şi S N f dublu periodice iar f ∈C 24( Ω )

către f şi a derivatelor sale parţiale până la ordinul 6 de cel mult 3 ori în raport cu variabilele x şi y către derivatele periodice ale lui f.

182



limN

Nf f

y

S

y → ∞−∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

γ

α β

γ

α β x x=0 γ = α+β=6 0 ≤ α ≤ 3 0 ≤ β ≤ 3.

2. Mulţimea C24(Ω) poate fi organizată ca spaţiu Hilbert H(Ω) = =H2[a,b] ⊗ H2[c,d].

Funcţionala ϕ :C24(Ω)→R + ϕ (t)=

∂ ∂ ∂∂

4

2 2

1 2

f x y

x y dxdy

a

b

c

d( , )

/

∫ ∫

este seminormă în H(Ω). Funcţia

spline de interpolare cu condiţii la frontieră este singura care minimizează ϕ .

Considerând semi-norme mai generale, spaţii de funcţii interpolatoare mai generale se

pot obţine cu unele modificări adecvate generalizări ale funcţiei spline de două variabile.

Manstield a încercat să facă o teorie a funcţiilor spline bicubice definite pe un domeniu Ω

oarecare (care nu e dreptunghi). în acest caz apar anumite dificultăţi.

12.3 Folosirea funcţiilor spline cubice pentru studiul vibraţiilor

Intervalul [0,1] este divizat echidistant ∆: x0 = 0<x1< x2< …<xn =1 cu

h N

x x j j :1

1 ==− − iar X p0, X p1, …, X pN sunt p valori fixate arbitrar. Funcţiile S p(x) sunt

continue împreună cu primele două derivate şi coincid cu X pj în punctele x = x (j), (j=0,N).

Funcţiile S p(x) sunt funcţii spline în raport cu măsura ∆. Se obţine:

( )( ) ( ) ( ) +−

−+

−+

−= −−

−1

2''3

''1

31''

6

11

66 j pj pj pj

j

pj p x xh X X hh

x xj X

h

x x X xS

−+ −−

2''11 6

11h X X

h pj pj (x j-x) (12.10)

unde X pj”= S p”(xj). Continuitatea lui S p’(x) în x j, folosind relaţia S p’(x j-0) = S p’(x j+0) conduce la

sistemul de ecuaţii:

( )

( )

( )1

'

2

''''

1

112

''

1

''''

1

'

12

''

1

''

46

2

1,1,26

4

62

−−

−−−−−−−−

−++−

+−=+

−=+−=++

−−=+

pN pN pN pN pN

pj pj pj pj pj pj

po po p p po

X X X h

X X

N j X X X h

X X X

hX X X h

X X

care se mai scrie în formă matricială astfel:

183



[ ] [ ] p p p X X Q X P +='' (12.11)

cu [P] şi [Q] matrici pătrate de ordinul (N+1)x(N+1) iarX pşiX p matrici coloană de ordinul

N+1. Din relaţia (12) obţinem:

X a X b X b X pi il pl io po iN pN l

N '' ' '= + +

=∑

0(12.12)

unde

[ ] [ ]( ) [ ] a P Q b X b X A X ij ij io po iN pN pi

= + =

− − −−1 1; ' ' (12.13)

Vibraţiile unei bare neuniforme Timoşenko sunt date de ecuaţiile:

∂ ∂

ρ ∂ ∂

∂ ∂

ρ ∂ ψ ∂

∂ ψ ∂

∂ ∂

ψ Q

x A

y

t

M

xQ I

t x

M

EI

y

x

Q

KAG= ⋅ = − = − = +

2

2

2

2; ; ;

(12.14)

notaţiile fiind cele cunoscute. Separând variabilele, presupunem

y(x,t)=Y(x)eiωt ; Ψ(x,t)= Ψ(x) eiωt ; M(x,t)=M(x) eiωt ; Q(x,t)=Q (x) eiωt (12.15)

astfel că se obţine sistemul:

KAG

Q

dx

dY

EI

M

x

d I Q

dx

M d Y A

dx

Qd −−−−−−−−+=−=

∂+=−= ψ ψ ψ ρω ω ρ ;; 22 (12.16)

Presupunem că

( ) ( )3

00 1;1

+=

+=

l

xC I x I

l

xC A x A

unde C este o constantă, l este lungimea barei iar A0, I0 sunt A(x) şi I(x) pentru x=0.

Folosind expresiile adimensionale:

X l Q

EI X

l M

EI X X

Y

l

x

l 1

2

02

03 4= − = − = = =

−− _

; ; ; ;ψ η (12.17)

ecuaţiile diferenţiale (8) se scriu în forma:

dX

d G X p

p

pk k k η

= ==

−−−

∑1

4

1 4, , (12.18)

unde

184



( ) ( )( )

20

02

02

02

0

4202

43

2

41

332

3222321

214

;;;1;1

1

1;1;1;1

Gl KA

EI s

Al

I r

EI

l AG

C

sG

CnGCnr GGC G

===Ω=+

−=

+=+Ω==+Ω=

ω ρ

η

η

(12.19)

ceilalţi Gij = 0.

Prin integrarea sistemului (10) pe intervalul [0,η], obţinem:

( ) ( ) ( ) X X G S t dt p p pk k

k η η

= +=

∑∫ 01

4

0

(12.20)

unde Sk(t) sunt funcţiile spline (11). Împărţind intervalul [0,1] în N intervale echidistante şi

înlocuind η = = − − − − − x j N j , ,0 în ecuaţiile (21), se obţine:

( ) ( ) X X G S d pj po pk x

x

k i

j

k

i

i

= +−

∫ ∑∑==

η η η 1

1

4

1(12.21)

unde

( ) ( ) ( )( ) X X x j N X X x X p j p j p o p o p

= = = =−−−−−

, , ,0 0

Înlocuind (11) în (22), obţinem:

X X g X h X pj po pkik i

j

ki pkik i

j

ki= + +== ==

∑∑ ∑∑1

4

1 1

4

1

'' (12.22)

cu g pki, h pki coeficienţii lui Xki” şi respectiv Xki din substituţia făcută.

Folosind condiţiile la limită (la η=0 şi η=1) în ecuaţiile (10), obţinem:

X X X X po pk ko pN pk kN k k

' ';= ===

∑∑α β 1

4

1

4

(12.23)

Substituim relaţiile (24) în ecuaţiile (14) şi acestea în (23) obţinem un sistem de ecuaţii

omogene în Xkj:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = = =

++++++++ ==+++++−4

1 0

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

11111111 ,0;0k

N

l k k s k s s N k s N j p k jok s j p k jk j p k jk l p k j p j p j N j X b g X b g X h X g X X β α (12.24)

În legătură cu ecuaţiile (16) se introduc matricile următoare:

185



−

−=

11...00.........

00...1000...1100...00

A ; [ ]

=

NN pkN N pkN N pkN

N pk pk pk

N pk pk pk

pk

a g a g a g

a g a g a g

a g a g a g

G

........................

...

...

10

11111011

00010000

[ ]

=

pkN

pk

pk

pk

h

h

h

H

:...000...............0

0...00

1

0

; [ ]

=

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

4

1

4

10

4

111

4

1110

4

10

4

`1000

:...00

............

...00

...00

iiN piN NN

iik piN N

iik pi N

iik pi

iik pioN

iik pi

pk

g b g b

g b g b

g b g b

B

β α

β α

β α

[M] pk=δ pk[A]+[G] pk+[H] pk+[B] pk , p,k=1,4 (12.25)

Soluţia nebanală a sistemului (25) conduce la anularea determinantului caracteristic

(determinant celular):

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

0

44434241

34333231

24232221

14131211

=

M M M M

M M M M

M M M M

M M M M

(12.26)

Soluţiile ecuaţiei (27) conduc la aflarea coeficientului frecvenţă de forma:

Ω =ρ

ω A

EI l 0

0

2

În cele ce urmează, considerăm bara Timoşenko în consolă, cu un corp greu la capătul liber.

Condiţiile la limită sunt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y Q l m y l M l J l 0 0 0 0= = = − =, , ; ... ..

Ψ Ψ

Cu notaţiile Φ = =m

A l

J

ml o ρ δ ; ,2

2 matricile [α] şi [β] din (15) sunt:

[ ]

000001000010000

2 s−

=α ; [ ]

( )( )

c

s

c

cr

c

+ΦΩ

+ΩΦ

ΦΩ−+Ω

+Ω

=

1100

0)1(

00

100

1000

22

3

222

222

2

δ β (12.27)

186



Pentru diferite valori ale constantei c şi pentru ϕ=20, r=0,03 obţinem valorile

parametrului Ω care sunt comparate cu cele cunoscute în lucrarea profesorului Marica [6] prin

metoda Simpson:

Tabelul 1c Prezentul Studiu [52] Lucrarea [100]

N = 5 N = 10 N=10

0 0,803 0,801 0,799

−1

60.793 0,789 0,785

−2

60.780 0,776 0,771

−3

60,761 0,758 0,755

−4

6

0,748 0,744 0,739

−5

60,729 0,725 0,724

0

0 .

1 6 6 6 6 6 6 6 7

0 .

3 3 3 3 3 3 3 3 3

- 0 .

5

0 .

6 6 6 6 6 6 6 6 7

0 . 6

6 6 6 6 6 6 6 7

N =

5

N =

1 0

N = 1 0

0.68

0.7

0.72

0.74

0.76

0.78

0.8

0.82

aproximaţia

valoarea c număr

probe

N = 5

N = 10

N=10

Concluzii:

Metoda prezentată în studiul vibraţiilor neliniare dă rezultate foarte bune în comparaţie

cu cele cunoscute în literatutră . Deşi puţin cunoscută cercetătorilor din domeniul ingineriei

mecanice, prin programe specifice pe calculator dau rezultate apreciabile

Spline şi AUTOCAD

Comanda SPLINE permite trasarea curbelor spline. O curbă spline este o curbă netedă care

trece printr-o serie de puncte specificate. Pentru desenarea curbelor spline, AutoCAD utilizează

NURBS ( Non-Uniform Rational B-Spline).

Curbele spline pot fi create utilizând o varietate de comenzi care includ CIRCLE , ARC ,

ELLIPSE , DONUT , PLINE şi SPLINE . Cu toate acestea, utilizarea comenzii SPLINE oferă

187



anumite avantaje: se economiseşte spaţiu pe disc şi memorie RAM, comanda permite

transformarea poliliniilor racordate cu funcţii spline în curbe spline adevărate, când variabila de

sistem SPLFRAME este setată la valoarea 1, programul AutoCAD va afişa polilinii racordate cu

funcţii spline şi poligoane, precum şi punctele de control utilizate pentru crearea obiectelor

spline (într-un cadru). Evident, setarea variabilei SPLFRAME la valoarea 0 dezactivează cadrul

(figura 3).

În fapt, poliliniile şi poligoanele sunt reprezentări prin linii drepte sau curbe ale obiectelor

spline care sunt curbe adevărate.

După lansarea în execuţie a comenzii SPLINE , utilizatorul începe să traseze curbele spline

utilizând setările implicite care permit alegerea punctelor prin care trece curba cu ajutorul

mouse-ului în spaţiul de lucru sau prin introducerea coordonatelor în linia de comandă.

Fig. 7.

Opţiunea Start Tangent determină direcţia curbei create în punctul de început, iar opţiunea End

tangent determină capătului curbei spline.

Opţiunea Object permite utilizatorului transformarea unei polilinii racordată cu funcţii spline

într-o curbă spline adevărată.

188



Fig.8

Opţiunea Close închide curba spline realizând coincidenţa ultimului punct cu primul şi

asigurând o tangentă unică la îmbinare. Astfel, se generează o curbă între cele două puncte, iar

utilizatorul are posibilitatea de a modifica direcţia curbei spline nou create.

O curbă spline se desenează pornind de la un set de puncte fixe, dar, în locul acestora,

utilizatorul poate trasa curba respectivă între două frontiere sau regiuni. Opţiunea Fit Tolerance

setează valoarea toleranţei, astfel încât curba spline să treacă sau nu prin acele puncte. Spreexemplu, pentru valoarea 0, curba spline va trece chiar prin punctele specificate. Dacă valoarea

este diferită de 0, dar pozitivă, curba spline va fi trasată printre punctele specificate, interpolată.

189



Fig. 9

190



Bibliografie

[1] Abdeshov H.U., Spline-approximation în the three-bodyes problem, Teor. i Prikl. Voprocy

Mat. Modelir Alma-Ata, 1990, 64-72[in russian].

[2] Abdou,M.A.et al.On The Numerical Treatment Of The Singular Integral Equation Of The

Second Kind, J.Appl. Math. Comput., .(2003)146:373-380.

[ 3] Abdou ,M.A.et al A Solution Of NonLinear Integral Equation , J. Appl .Math. Comput. .

(2005).160:1-14.M.A. Abdou and S.A. Hassan, Fredholm integral equation with singular kernel, Korean J.

Comp. Appl. Math. 7 (2000), No.1, 223-236.

[4] Abdou, M.A., “On the Solution of Linear and NonlinearIntegral Equation,” Appl. Math.

Comput.,V14, N6, pp. 857-871, 2003.

[5] Ahlberg I. N, Nilson E. H. and Walsh I. L, The Teory of Splines and their Applications, New

York, Academic Press, 1967.

[6] Anderson L. E. and Elfving T, Best Constrained Approximation în Hilbert Space and Interpolation by Cubic Splines Subject to Obstracles, Society of Industrial and Applied

Mathematics, 1995.

[7] Anselon P.M., Uniform approximation theory for integral equations with discontinuous

kernels, SIAM J. Numerical Analysis,4(1967), 245-253.

[ 8] Anselon P.M., Collectively compact operator approximations theory and applications to

intregral equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971.

[9] Anselon P.M. and Gonzalez-Fernando J.M.,Uniformly convergent approximate solutions of

Fredholm intregral equations, J. Math. Anal. Appl., 10(1966), 519-536.

[10] Anselon P.M. and Krales W., Approximate solution of weakly singular integral equations,

J. of Integral Equations, 1(1979),61-75.

[ 11] Anselon P.M. and Moore R.H., Approximate solution of integral and operator equations,

J. Math. Anal. Appl., 9(1964), 268-277. [ ] Anselon P.M., Collectively compact operator

approximations theory and applications to intregral equations, Prentice-Hall, Englewood

Cliffs, N.J., 1971.

191



[12] Appell J.,De Pascale E. and Zabrejko P.P., On the Application of the Newton-Kantorovich

Method to Nonlinear Integral Equations of Uryson Type, Numer. Funct. Anal. Optim.,

Vol.12(1992), 271-283.

[13] Appell J.,De Pascale E. and Zabrejko P.P., On the Application of the Method of Successive

Approximations and the Newton-Kantorovich Method to Nonlinear Functional-Integral

Equations, Advances în Mathematical Sciences and Application, Gakkotosho, Tokio,Vol.2,

Nr.1(1993), pp. 25-38.

[14] R.P. Agarwal, D. O'Regan, Singular problems on the infinite interval modelling

phenomena în draining flows, IMA J. Appl. Math. 66 (2001) 621-635.

[15] Artmeladze N.K., On the approximate solution of integral equations, Trudy Tbiliss. Mat.

Inst., 13(1944), 29-53.

[16] K.E.Atkinson , A Survey of Numerical Methods for The Solution of Fredholm Integral

Equations of The Second Kind , Society for Industrial and applied Mathematics , Philadelphia,

PA,1976.

[17] Atkinson K.E., Extension of the Nystrom method for the numerical solution a linear

integral equations of the second kind, Tech. Rep., 686, Mathematics Research Center United

States Army, University of Visconsin, Madison, 1966, 1-58.

[18] Atkinson K.E., The numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind,

SIAM, J. Numer. Anal., 4(1967), 337-348.

[19] Atkinson K.E., Graham I.G. and Sloan I.H., Piecewise continuous collocation for integral

equation, SIAM J.Numer. Anal., 20(1983), 172-186.

[ 20] Atkinson K.E., Extension of the Nystrom method for the numerical solution a linear

integral equations of the second kind, Tech. Rep., 686, Mathematics Research Center United

States Army, University of Visconsin, Madison, 1966, 1-58.

[21]] Atkinson K.E., The numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind,

SIAM, J. Numer. Anal., 4(1967), 337-348.

[22] K.E.Atkinson, The numerical evaluation of fixed points for completely continuous

operators, SIAM J.Numer. Anal., Vol.10(1973), Nr.5, 799-807.

[23] Atkinson, K., Iterative Variants of the Nystrom Method for the Numerical Solution of

Integral Equations,Numer. Math. 22,1973.

[24] Atkinson K.E., A survey of numerical methods for the solution of Fredholm integral

equation, SIAM Meeting on Integral equations, Madison, Vis., 1981.

[25] Atkinson K.E., The numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind with singular kernels, Numer. Math., 19(1972), 248-259.

192



[26] Atkinson K.E., A survey of numerical methods for the solution of Fredholm integral

equation, SIAM Philadelphia, Pa., 1976.

[27] Atkinson K.E., Graham I.G. and Sloan I.H., Piecewise continuous collocation for integral

equation, SIAM J.Numer. Anal., 20(1983), 172-186.

[28] Baker, C. T. H. The Numerical Treatment of Integral Equations. Oxford, England:

Clarendon Press, pp. 358-360, 1977.

[29] Backer C. T. H and Gofrey F. Miller, Treatment of Integral Equations by Numerical

Methods, Academic Press, 1982.

[30] Z. Battles, L.N. Trefethen, An extension of MATLAB to continuous functions and

operators, SIAM J. Sci. Comp. 25 (2004) 1743–1770.

[31] Berger,M. Nonlinearity and functional analysis, Academic press, New York, 1977

[32] Bickley, W. G. Piece-wise cubic interpolation and two point boudary value problems

Comp.J.11 206 1968

[33] C. de Boor, Quasiinterpolants and Aproximation Power of Multivariale Splines în

Computation of Curves and Surfaces, Kluer 313 - 345, 1990.

[34] C. de Boor, Multivariate Piecewise Polynomials, Medison Acta Numerica, 1993.

[35] Brikhoff G. and Boor C, Piecewise Polynomial Interpolation and Aproximation în

Approximation of Functions, Amsterdam, 1990.

[36] C. de Boor, Quasiinterpolants and Aproximation Power of Multivariale Splines în

Computation of Curves and Surfaces, Kluer 313 - 345, 1990.

[37] Burton T.A Volterra Integral and Differential Equations Academic Pr Mathematics în

Science and Engineering October 1983 ISBN 13-9780121473808

[38] ]Buckner H., Numerical methods for integral equations, Survey of Numar. Anal., John

Todded, New York, 1962, 439-467.

[39] Caruţaşu V, Numerical Approximation of L2([-1,1])-Integrable Solutions to Uryson’s

Equatipon, Vol. 45(2000),nr.3, Studia Mathematica, 3-10.[40] Caruţaşu V, Degenerate Kernel Method for Nonlinear Integral Equations, Bulletin

Matematique de la Soc. Math. Roumanie, Vol.42(90)(1999), Nr.3, 207-215.

[41] Chen, Z., Micchelli, C.A., Xu, Y. (2002). Fast collocation methods for second kind

integral equations. SIAM Journal on Numerical Analysis 40(1), 344-375.

[42] Chen, Z., Wu, B., Xu, Y. (2007). Fast numerical collocation solutions of integral equations.

Communications on Pure and Applied Analysis 6(3), 643-666.

[43] Chandler G.A., Superconvergence of numerical solutions to second kind integral equation ,Australian National University, Canbera, 1979.

193

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0120741202/ref=nosim/weisstein-20





[44] Chandler G.A., Superconvergence for second kind integral equation, R.S. Andersson, F.R.

de Hoog and M.A. Lucaseds, Appl. And Numer. Sol. Of Integral Equations(Netherlands),

1980.

[45] Chatelin F. And Lebbar R., The iterated projection solution for the Fredholm integral

equation of the second kind , J. Austral. Math. Soc., Ser. B, 22(1981),

439-351.

[46] Cheney W., Introduction to Approximation Theory, Mc Gram Hill, New York, 1966.

[47] Chui C. K. and Lai M. I, On Multivariate Vertex Splines and Application Topics on

Multivariate Approximation, Academic Press New York, 19 - 36.1995

[48] Chui C, Deutsch F. and Ward I. D, Constraind Best Approximation on Hilbert Space -

Approximation Theory, 1992.

[49] Cosma D. An Application of Approximation Theory to the Numerical Solutions For

Fredholm Integral Equations Of the Second Kind KBO Proceedings 2010 Sibiu

[50] Cosma D. O Schemă Numerică De Aproximare A Soluţiei Ecuaţiei Integrale

Fredholm,Utilizând Funcţii Spline Cu Noduri Variabile Şi O Estimare A Ordinului De

Convergenţă Anuar AFT 2007 www.actrus.ro/biblioteca/anuare/2007/index.html

[51] Cosma D. Aproximating the Solution of Fredholm Integral Equation using Using

Blending-Splines With High Order Of Covergence Recent Progress în Spline and Wavelet

Approximation, Rome, Engineering Faculty of "La Sapienza", June 14-16, 2006

[52] Cosma D. Marinca V. Using spline functions for analysis of free vibrations. Recent

Progress in Spline and Wavelet Approximation, Rome, Engineering Faculty of "La Sapienza",

June 14-16, 2006

[53] Cosma D. Bogdan O. Ratiu G.Pateşan M. The Simulation Method and the Information

Systems Working for Educational Purposes Balkan Region Conference On Engineering And

Business Education & International Conference On Engineering And Business Education

BRCEE 2009 Lucian Blaga University of Sibiu, Romania 15 - 17 October 2009 ISBN 978-973-739-848-2 p 630

[54] Corduneanu C. Principles of differential and integral equations The Bronx New York

ISBN 0-8284-0295-7 1977 - Mathematics

[55] Curry N. B. and Schomberg I. J, The Fundamental Spline Functions and their Linmits, J

Anolyse Math, 1966.

[56] P.J. Davis, "Interpolation and approximation" , Dover, reprint (1975) pp. 108–126

[57] Davis,P.J.and Rabinowitz,P. Numerical Integration,Blaisdell Publishing Company,

194

http://www.dmmm.uniroma1.it/~pitolli/approx06/












[58] W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Fredholm Equations of

the Second Kind." §18.1 în The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England:

Cambridge University Press, pp. 782-785, 1992

230p,1967.

[59] Douglas J. And Dapont T., Superconvergence for Galerkin method for the two point

boundary problema via local projection, Numer. Math., 21(1973), 270-278.

[60] Erdos P. and Tutan P.,Quadrature-and Mean-Convergence în the Lagrange-Interpolation,

Annals of Mathematics, Vol. 38(1937),Nr.1, 142-156.

[61] Erdos P. and Tutan P., On interpolation, Ann. of Math., 38(1937), 142-155.

[62] Fejes Juliu, Functii spline în teoria mecanismelor , Editura Stiintifica şi Enciclopedica,

Bucuresti, 1981.

[63] Gordon W. J, Blending Function Methods Biveriate and Multivariate Interpolation,

S.I.A.M. J Numerical Analisy 8, 1971.

[64] Günther Hömmerlin, Methods of Solving Equations Approximately, Aplied Mathematics

198-206, 1983.

[65] Gabushin V.N., Bunykov M.A., Mironov V.I., Splines and numerical methods of

approximation theory, Academy of Sciences U.S.S.R., Center of Math. Ural, Sverdlovsk,

1984[in russian].

[66] Garmich J.V., On the numerical solution of integral equations, Johan Grundt Tanums

Forlag, Oslo, 1952, 113-121.

[67] M.A. Golberg, The convergence of a collocation method for a class of a Cauchy singular

integral equations, J. [ ]Math. Anol. Appl. 100 (1984) 500–512.

[68] Gori L. And Santi E., On the numerical solution of Cauchy singular integral equations II-a

projector-splines method for solution, Advance Math. Tools în Metrology II, Edited by

P.Ciarlini, M.G.Cox, F.Pavese and D.Richter, World Scientific Publishing Company, 1996.

[69] Graham I.G., Joe S. And Sloan I.H., Iterated Galerkin versus iterated collocation for

integral equations of the second kind , IMA J. Of Numer. Anal., 5(1985), 355-369.

[70] Graham I.G. and Sloan I.H., On the compactness of certain integral (equations) operators,

J. Math. Anal. Appl., 68(1979), 586-594.

[71] Hackbusch W., Multi-grid method and application, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,

New York, Tokyo, 1985.

[72] Hacia L., Approximate solutions of a certain class of operator equations, Demonstratio

Mathematica, Vol. XXI(1989), Nr. 2, 339-349.[73] L. Hacia, Solving nonlinear integral equations by projection - iteration methods, 1993.

195

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/052143064X/ref=nosim/weisstein-20

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/052143064X/ref=nosim/weisstein-20



[74] Hemker P.W. and Schippers H., Multi-grid methods for the solution of Fredholm integral

equations of the second kind, Math. Of Comput., 36(1981), 215-232.

[75] Hilbebrand F.B., Introduction to Numerical Analysis,McGraw-Hill,1956.

[76] Hömmerlin G, 1. Zur Numerischen Behandlung von Homogenen Fredholmschen

Integralgleichungen

2. Art mit Splines - Spline Function - Karlsruhe,1995.Lecture Holhes im Math vol 501, Sprinset

Verlang, 1976.

[77] Ikebe Y., The Galerkin method for the numerical solution of Fredholm integral equations

of the second kind , SIAM Rev., 14(1972), 465-491.

[78] Ilioi C., Splines and finit elements, Published by Fac. Of Math., Univ. Iasi, Romania, 1996,

168pp.

[79] Ionescu D.V., Cuadraturi numerice, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1957.

[80] Ionescu D.V., Diferente divizate, Ed. Acad. R.S.R., Bucuresti, 1978.

Jiang, S., Rokhlin, V., “Second Kind Integral Equations for the Classical Potential Theory on

Open Surface II,” J. Comput. Phys., V19, N5, pp. 1-16, 2004.

[81] Joe S., Discrete collocation methods for second kind Fredholm integral equations, SIAM

J. Numer. Anal., 22(1985), 1167-1177.

[82] Kaneko H. and Xu Y. , Degenerate kernel method for Hammerstein equations , Math.

Komp.193(1991),pag.141-148.

[83] Kaneko, H. (1989 ). A projection method for solving Fredholm integral equations of the

second kind. Applied Numerical Mathematics 5(4), 33 3-344.

[84] L.V.Kantorovici şi G.P.Akilov, Analiză funcţională, Editura ştiinţifică şi enciclopedică,

Bucureşti,1986.

[85] Kondo, J., Integral Equations. 1991. Oxford University Press.

[86] M. A. Krasnoselskii, Tworemarks on the method of successive approximations,

UspehiMat. Nauk., 10(1955), No. 1 (63), 123-127.[90] Kumar S. And Sloan I.H., A new colocation-type method for Hammerstein integral

equation, Math. Comp. 48(1987), 585-593.

[91] N. S. Kurp’el, Projection-iteration methods for solving operator equations, Naukova

Dumka, Kiev 1968 [in Russian].

[92] Kythe, P.K., Puri, P., Computational Methods of Linear Integral Equations, Springer-

Verlag, New

York, 2002.

196



[93] Lakshmikantham, V. and V.S. Vatsala. 1998. Generalized Quasilinearization for Nonlinear

Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands.

[94] Liang, D., Zhang, B., “Numerical Analysis of Graded Mesh Methods for a Class of

Second Kind Integral Equations on Real Line,” J. Math. Anal.Appl., V29, N4, pp. 482-502,

2004.

[95] Lin, F.-R. (2003). Preconditioned iterative methods for the numerical solution of Fredholm

equations of the second kind. Calcolo 40, 231-248.

[96] Maleknejad, K. and Karami, M., Numerical solution of non-linear Fredholm integral

equations by using multiwavelet în Petrov-Galerkin method. Appl. Math. Comput. v168. 102-

110.

[97] Maleknejad K. and Hadizadeh M., Numerical solution of Hammerstein integral equation

by collocation method , Mehran University Research Journal of Engineering and Technology, 17

(1998), No. 3, 129—134.

[98] Maleknejad, K., Kajani, M.T. (2003). Solving second kind integral equations by Galerkin

methods with hybrid Legendre and Block-Pulse functions . Applied Mathematics and

Computation 145, 62 3-629.

[99] Maleknejad, K. and Lotfi, T., Numerical expansion method for solving integral equation

by interpolation and Gauss quadrature rules. Appl. Math. Comput. v168. 111-124.

[100] Marinca, V..Herişanu N - Use of cubic spline functions for analysis of free vibrations of

elastically restrained non-uniform Timoshenko beams - Proceed.of the Seven Int.Congress on

Sound and Vibration, Garmisch - Partenkirchen, Germania (2000)

[101] Micula G.,Micula S, Handbook of Splines, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-

Boston-London, Vol. 462, 1999.

[102] Micula G., Functii spline şi aplicatii, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1978.

[103] Micula G Răchiţan D.(Cosma) Metode multigrid pentru aproximarea soluţiei ecuaţiei

integrale Fredholm de speţa a doua Sesiune de comunicări ştiinţifice, a Catedrei de EcuaţiiDiferenţiale, Universităţii Babeş Blyai, Cluj Napoca, dec. 1995G.R.

[104] Miller, L.M. Keer, A numerical technique for the solution of singular integral equations

of the second kind , Quart. Appl. Math. (1985) 455–466

[105] Munteanu I. , “ Analiză funcţională “ , Universitatea “Babeş-Bolyai “, Cluj-Napoca

1993.

[106] Munteanu I., “ Analiză funcţională. Capitole speciale.” Universitatea “Babeş-Bolyai“,

Cluj-Napoca 1990.

197



[107] Muthuvalu, M.S., Sulaiman, J. (2008). Half-Sweep Geometric Mean method for

solution of linear Fredholm equations. Matematika 24(1), 75-84.

[108 Muthuvalu, M.S., Sulaiman, J. (2009). Half-Sweep Arithmetic Mean method with high-

order Newton-Cotes quadrature schemes to solve linear second kind Fredholm equations .

Journal of Fundamental Sciences 5(1), 7-16.

[109 Oladejo, S.O., Mojeed, T.A., Olurode, K.A. (2008). The application of cubic spline

collocation to the solution of integral equations. Journal of Applied Sciences Research 4(6),

748-75 3.

[110] Păvăloiu Ion (Co-PI).GAR nr.45/2002 of the Romanian Academy, Theme: High order

convergence of the successive approximations

[111] Păvăloiu Ion La convergence de certaines méthodes itératives pour résoudre certaines

equations operationnelles, Preprint No.1, (1986), pp.127-132. Seminar on functional analysis

and numerical methods.

[112] Păvăloiu Ion Sur l'order de convergence des méthodes d'itération, Mathematica, 23, (46),

1, (1981), pp.261-272). (M.R. 83m: 40002).

[113] I. Păvăloiu, Sur l'intérpolations à l'aide des polynômes raccordées, Mathématica, 6 (27),

2, (1964), pp.295-299.

[114] I. Păvăloiu, N. Pop, Interpolare i aplica ii, Editura Risoprint, Cluj-Napoca 2005, 322ș ț

pagini.

[115] I. Păvăloiu, Evaluarea erorilor în rezolvarea numerică a ecua iilor operatoriale, Studii iț ș

cercetări matematice, 9, 23, (1971), pp.1459-1464.

[116] Polyanin, A.D., Manzhirov, A.V. (1998). Handbook of Integral Equations. CRC Press

LLC, Florida.

[117] R. Precup, Methods în Nonlinear Integral Equations, Kluwer Academic Publishers,

Dordrecht, 2002, 232 pp.ISBN 1-4020-0844-9

[118] Schumaker, Uniform Approximation Spline Functions, S.I.A.M. I. Numerical Anal., 1968.[119] Schumaker L. L, Recent Progress on Multivariatle Splines în Mathematics of Finite

Element S.I.A.M. I. Numerical Anal., 1968. p 448

[120] Schultz M. H, Spline Analisis, Prentice-Hall Englewood, 1973.

[121] Răchiţan, (Cosma) D. Ordinul de convergenţă al aproximaţiilor obţinute prin metoda

Galerkin şi metoda colocaţiilor care utilizează spaţii se funcţii spline pe spaţiul Sobolev

Conferinţa de operatori neliniari şi teoria controlului, Universitatea Babeş Bolyai. Facultatea de

matematică, 27-30 aug. 1994

198



[122] Răchiţan, (Cosma) D. Aspecte privind unele aplicaţii ale funcţiilor spline în aproximarea

soluţiilor unor tipuri de ecuaţii şi în rezolvarea unor probleme de teoria ajustării, probabilităţi,

balistică şi tactică. Sesiune de comunicări ştiinţifice, Institutul Militar de Tancuri şi Auto

noiembrie1995

[123] Răchiţan, (Cosma) D. Funcţii spline şi aproximarea ecuaţiilor integrale Fredholm de

speţa a doua bidimensionale prin metoda colocaţiilor Sesiunea de comunicări ştiinţifice a

Institutului Militar V. Bungescu, Rm. Vâlcea 1993

[124] Răchiţan, (Cosma) D. Soluţii numerice ale ecuaţiilor integrale Voltera bidimensionale

obţinute prin metoda colocaţiilor Simpozion cu prilejul aniversării universităţii Babeş Blyai din

Cluj Napoca oct. 1993

[125] Răchiţan, (Cosma) D. Metode multigrid pentru aproximarea soluţiei ecuaţiei integrale

Fredholm Sesiune de comunicări ştiinţifice, a Catedrei de Ecuaţii Diferenţiale, Universităţii

Babeş Blyai, Cluj Napoca, dec. 1995

[126] Răchiţan, (Cosma) D. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor integrale Voltera Referat în

cadrul doctoratului, Catedra de Ecuaţii Diferenţiale, Universităţii Babeş Bolyai, Cluj Napoca

1996

[122] Răchiţan, (Cosma) D. Ordinul de aproximaţia al soluţiei numerice pentru ecuaţia

integrală Fredholm de speţa a doua obţinută prin metoda Galerkin utilizând baze de funcţii

spline. Sesiune Ştiinţifică Matematică Informatică Universitatea „Lucian Blaga" Sibiu 6 iunie

1997

[123] Răchiţan, (Cosma) D. Cea mai bună aproximare dirijată în spaţii Hilbert şi interpolarea

utilizând funcţii Spline cu deficienţă a ecuaţiilor integrale Fredholm neliniare A Il-a Sesiune de

Comunicări Ştiinţifice „Ştiinţă menagement eficinţă" cu participare internaţională a ATU 10-11

dec. 1998 Sibiu

[124] Răchiţan, (Cosma) D. Interpolarea utilizând funţiile spline cubice cu deficienţă a unei

clase de ecuaţii integrale Fredholm neliniare A Il-a Sesiune de Comunicări Ştiinţifice „Ştiinţămenagement eficinţă" cu participare internaţională a ATU 10-11 dec. 1998 Sibiu

[125] Răchiţan, (Cosma) D. Metoda splineblended şi rezolvarea numerică a unei clase de

ecuaţii integrale Fredholm de speţa a doua neliniare A XVI-a Sesiune de Comunicări

Ştiinţifice a Cadrelor Didactice SECOMAR – 1999

[126] Răchiţan, (Cosma) D. An integral equation from statistical mechanics A XXVIII-a

Sesiune de Comunicări Ştiinţifice cu participare internaţională Academia Tehnică Militară 21-

22 oct. 1999 Bucureşti

199



[127] Răchiţan, (Cosma) D. Funcţii spline de ajustare şi aplicaţii. Sesiune de comunicării

ştiinţifice cu participare internaţională dedicată aniversării a 30 ani de la înfiinţare Hunedoara

19-20 oct. 2000

[128] Răchiţan, (Cosma) D. Cea mai bună aproximare dirijată în spaţii Hilbert Armata şi

Societatea, Sesiune de Comunicării Ştiinţifice, Academia Forţelor Terestre „Nicolae Bălcescu"

Sibiu, 2000

[129] Răchiţan, (Cosma) D. Interpolarea utilizând funcţii spline cubice cu deficienţă a

ecuaţiilor integrale Fredholm liniare Tehnomil, Sesiune de Comunicări Ştiinţifice Academia

Forţelor Terestre „Nicolae Bălcescu" Sibiu, 2001

[130] Răchiţan, (Cosma) D. Metoda Galerkin şi rezolvarea numerică a ecuaţiilor integrale

Fredholm de speţa a II- a pe spaţii Sobolev Tehnomil, Sesiune de Comunicări Ştiinţifice

Academia Forţelor Terestre 2001

[131] Răchiţan, (Cosma) D. Approximative solving of a Fredholm integral quadric ecuation of

second type by substituting the Kernel with „splineblend" optimal convergency functions The

17* International szmpoposium on naval and Marine education 24-26 mai 2001

[132] Răchiţan, (Cosma) D. Ordinul de convergenţă al soluţiei numerice pentru ecuaţii

integrale Fredholm de speţa a Il-a pe spaţii Sobolev NAVMAR Constanţa 14/26 nov. 2002

Sesiunea Jubiliară de Comunicări cu articipare Internaţională

[133] Răchiţan, (Cosma) D. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor integrale Fredholm pe spaţiul

Sobolev NAVMAR Constanţa 14/26 nov. 2002 Sesiunea Jubiliară de Comunicări cu articipare

Internaţională

[134] Răchiţan, (Cosma) D. Cea mai bună aproximare dirijată în spaţii Hilbert şi interpolarea

utilizând funcţiile spline cubice cu deficienţă a ecuaţiilor integrale Fredholm neliniare Sesiunea

de comunicări ştinţifice a Academiei Forţelor Terestre Cunoaştere şi progres 2002

[135] Răchiţan, (Cosma) D. Ordinul de convergenţă al soluţiei numerice a ecuaţiei Fredlom

de .speţa a II-a obţinută prin metoda Galerkin pe spaţiul; Sobolev Provocările ştiinţei însecolul XXI A VII-a sesiune de comunicări ştiinţifice, 5 decembrie, 2003

[136] Răchiţan, (Cosma) D. Creşterea ordinului de convergenţă al soluţiei numerice al

ecuaţiei integrale Fredlom de speţa a II-a liniară prin utilizarea în interpolare a funcţiilor

spline blended Ştiinţă şi învăţământ fundamente ale sec. XXI 25-26 11.2004,

[137] Răchiţan, (Cosma) D. Aproximate solving of the Fredholm integral Equation of Secound

Kind using Substitution of the Kernel With “ Răchiţan, (Cosma) D. Spline Blended functions of

Optimum Convergence The 31st Internationality Attended Scientific Conference of the MilitaryTechnical Academy “Modern Technologie 21st Century 2005

200



[138] Răchiţan, (Cosma) D. Approximate solving of the Fredholm integral equation of Second

Kind A XI –a sesiune de comunicari stiintifice cu participare internationala “Omul în

organizatia bazata pe cunoastere” 2006

[139] Răchiţan, (Cosma) D. On stability of spline approximation methods for fredholm integral

eqations. Aan extend of Chandler and Gaham results concerning error estimates weighted

L2and în sobolev spaces to a more general class of operators The 12th International

Conference „The Knoledge Based Organization” Sibiu 11th-14th June 2007

[140] Răchiţan, (Cosma) D. Numerical scheme for approximating the solution of the

Fredholm Integral Equation of the Second Kind using splines with variable knots. Study

concerning the rate of convergence The 12th International Conference „The Knoledge Based

Organization” Sibiu 11th-14th June 2007

[141] Răchiţan, (Cosma) D. Rezolvarea numerică a ecuaţiei integrale Fredholm de speţa a

doua pe spaţiul Sobolev Buletinul ştinţific 2(4) 1997

[142] Răchiţan, (Cosma) D. Ordinul de aproximaţiei al spaţiilor de funcţi polinomiale de mai

multe variabile şi condiţia Strang-Fix Buletinul ştiinţific 1(5) 1998

[143] Răchiţan, (Cosma) D. Metoda Galerkin şi rezolvarea numerică a ecuaţiei integrale

Fredholm pe spaţiul Sobolev Buletinul Ştiinţific al Academiei Forţelor Terestre „Nicolae

Bălcescu", Nr. 1(9). 2000

[144] Răchiţan, (Cosma) D. Calculul erorii procedeului de aproximare a soluţiei ecuaţiei

integrale Fredhlom de speţa a II-a liniare folosind funcţii spline.Buletin ştiinţific A.F.T. nr.2

2003

[145] Răchiţan, (Cosma) D. Eroarea procedeelor de interpolare a ecuaţiilor integrale

Fredhlom liniare prin funcţiiB spline Buletin ştiinţific A.F.T. nr. 1, 2003

[146] Răchiţan, (Cosma) D. Puterea de aproximaţie a funcţiilor spline polinomiale de mai

mule variabile. Anuar A.F.T 2002- 2003

[147] Răchiţan, (Cosma) D. An aplication of Aproximation Theory to Numerical Solution for

Fredholm Integral Eqation of second kind Revista A.F.T. nr. 4, 2004

[148] Răchiţan, (Cosma) D. Eroarea obtinuta prin substituirea nucleului ecuatiei integrale

Fredholm de speta aII-a cu un nucleu degenerat Revista A.F.T. nr. 2, 2005

[149] Răchiţan, (Cosma) D. Approximate solving of the Fredholm integral equation of Second

Kind Anuar ATU 2006

[150] Răchiţan, (Cosma) D. Aproximate solving of the Fredholm integral Equation of Secound

Kind using Substitution of the Kernel With “Spline Blended functions of Optimum Convergence

201



The 31st Internationality Attended Scientific Conference of the Military Technical Academy

“Modern Technologie 21st Century 2006

[151] Răchiţan, (Cosma) D. Aproximating the Solution of Fredholm Integral Equation using

Using Blending-Splines With High Order Of Covergence Recent Progress în Spline and

Wavelet Approximation, Rome, Engineering Faculty of "La Sapienza", June 14-16, 2006

[152] Răchiţan, (Cosma) D. Numerical scheme for approximating the solution of the

Fredholm Integral Equation of the Second Kind using splines with variable knots. Study

concerning the rate of convergence The 12th International Conference The “ Knoledge Based

Organization” Sibiu 11th-14th June 2007

[153] Răchiţan, (Cosma) D. Substitution Kernels Methods Using Blending-Splines With High

Order Of Covergence A XX-a sesiune de comunicari stiintifice cu participare internationala

"NAV-MAR-EDU 2007" Constanta, 15-17 Noiembrie 2007

[154] Ruggiero, V., Galligani, E. An iterative method for large sparse systems on a vector

computer. Computers and Mathematics with Applications 20(1), 25-28. (1990).

[155] Rus I.A., Matrical fixed point theorems, Univ. of Cluj-Napoca, 1979.

[156] Rus I.A., Generalized contractions, Babes-Bolyai Univ., Preprint Nr.3, 1983, 1-130.

[157] Rus, A. I., Principii şi aplicaţii ale teoriei punctului fix, Editura Dacia, Cluj-Napoca,

1979.

[158] Sloan I.H., The numerical solution of Fredholm equations of the second kind by

polynomial interpolation, J. Integral Equations, 2(1980), 265-279.

[159] Saberi-Nadjafi, J., Heidari, M. (2007). Solving linear integral equations of the

second kind with repeated modified trapezoid quadrature method. Applied Mathematics and

Computation 189, 980-985.

[160] Sahimi, M.S., Ahmad, A., Bakar, A.A. (1993). The Iterative Alternating

Decomposition Explicit (IADE) method to solve the heat conduction equation. International

Journal of Computer Mathematics 47, 219-229.

[161] Sahimi, M.S., Khatim, M. (2001). The Reduced Iterative Alternating Decomposition Explicit

(RIADE) method for diffusion equation. Pertanika Journal of Science and Technology 9(1),

13- 20.

[162] Secrieru I., Râbacova G. “ Analiza numerică în probleme şi exemple”. CE USM, Chişinău:

2003-75 p.

[163] Sloan I.H., The numerical solution of Fredholm equations of the second kind by

polynomial interpolation, J. Integral Equations, 2(1980), 265-279.

202







[164] D. Sokolov, Method of averaging functional corrections, Naukova Dumka, Kiev 1967 [in

Russian].

[165] Stoer, J., Bulirsch, R. (1993). Introduction to Numerical Analysis . Springer-Verlag.

[166] Suzuki C., Nummerical approximation of Riemann-integrable solutions to

Hammerstein’s equations-(in Japanese), Trans. IPSJ, 31, 9(1990), 1269-1279.

[167] Zabrejko P.P., Nonlinear integral operators, Sem. Funk. Anal., Voron. Gos. Univ. Trudy,

Vol.8(1966), 1-148.

[168] Zolotarevsci V.A. ”Metode aproxiamtive de rezolvare a ecuaţiilor integrale singulare pe

circumferinţa unitate”. Chişinău: Ştiinţa, 1997.-148 p.

[169] Wang, W. (2006). A new mechanical algorithm for solving the second kind of

Fredholm integral equation. Applied Mathematics and Computation 172, 946-962.

[170] Wen-Jing Xie, Fu-Rong Lin A fast numerical solution method for two dimensional

Fredholm integral equations of the second kind Applied Numerical Mathematics 59 (2009)

1709–1719

[171] Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Numerical Solution of Integral Equations." §183

în The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York:

Dover, pp. 376-381, 1967

[172] Yang, S.A., “ An Investigation into Integral Equation Methods Involving Nearly Singular

Kernels for Acoustic Scattering ,” J. Sound Vib. V23, N4, pp.225-239, 2000.

Cosma D. Grant CNCSIS nr. 810/2004, „Contribuţia privind modelarea procesării cognitive a

imaginilor în aplicaţii militare”membru în colectiv

Proceedings of the World Congress on Engineering 2008 Vol II WCE 2008, July 2 - 4, 2008, London, U.K.ISBN:978-988-17012-3-7 WCE 2008

-

.

.

.

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/B0006BP2CE/ref=nosim/weisstein-20



teza dana ultima

Documents