the volume (v) flow rate (dv/dt) of fluid through the wire rectangle (a) is va when the area of the...
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The volume (V) flow rate (dV/dt) of fluid through the wire rectangle (a) is vA when the area of the rectangle is perpendicular to the velocity vector v and (b) is vA cos when the rectangle is tilted at an angle .
Flujo (caudal) de fluidoa través del área A
AvA nvcos
nu
V
Conservación de Masa
razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V
V V
dVt
dVdtd
nu
V
Conservación de Masa
razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V
V V
dVt
dVdtd
Flujo de masa que saledel volumen a través
de la superficie A
dAnu
nu
V
Conservación de Masa
razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V
V V
dVt
dVdtd
Flujo de masa que saledel volumen a través
de la superficie
AV
dAdVt
nu
A
dAnu
Conservación de masa
nu
V
Conservación de Masa
razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V
V V
dVt
dVdtd
Flujo de masa que saledel volumen a través
de la superficie
AV
dAdVt
nu
A
dAnu
Conservación de masa
dVdAVA )( unu Teorema de Gauss
nu
V
Conservación de Masa
razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V
V V
dVt
dVdtd
Flujo de masa que saledel volumen a través
de la superficie
AV
dAdVt
nu
A
dAnu
Conservación de masa
dVdAVA )( unu Teorema de Gauss
V
dVt
0)( uPor lo tanto, 0)(
ut
ixxxx ),,( 321x
iuuuu ),,( 321u
innnn ),,( 321n
iii
ii nununununu 332211nu1x
3x
2x
Notación: vectores (y tensores) se denotan con índices libres
convención de “índices repetidos”
0)(
ut
0)()()(
3
3
2
2
1
1
x
u
x
u
x
u
t
0)(
i
i
x
u
t
Así, la ecuación se puede escribir también como
p
pp
Fuerzas (de superficie) sobre un elemento fluido
• Para un fluido en reposo: presión hidrostática
dApd nf pn
dAdApndf ii
fuerza sobre un elemento de área cualquiera
p
pp
33
12
13
21
2223
11
3132
1x
3x
2x
Fuerzas (de superficie) sobre un elemento fluido
• Para un fluido en reposo: presión hidrostática
• Para un fluido en movimiento: tensor de esfuerzos
333231
212221
131211
ij
n
dA
dAd nσf
dApd nf pn
dAdApndf ii
dAndf jiji
fuerza sobre un elemento de área cualquiera
fuerza sobre un elemento de área cualquiera
fd
p
pp
33
12
13
21
2223
11
3132
1x
3x
2x
Fuerzas (de superficie) sobre un elemento fluido
• Para un fluido en reposo: presión hidrostática
• Para un fluido en movimiento: tensor de esfuerzos
333231
212221
131211
ij
n
dA
dAd nσf
dApd nf pn
dAdApndf ii
dAndf jiji
fuerza sobre un elemento de área cualquiera
fuerza sobre un elemento de área cualquiera
fd
nu
V(t)
Conservación de Momentum
Fv
dtmd )(
Ley de Newton:
nu
V(t)
Conservación de Momentum
Fv
dtmd )(
Ley de Newton:
razón de cambio del momentum para la partículas que forman el
volumen V(t) )(tV
idVudtd
nu
V(t)
Conservación de Momentum
Fv
dtmd )(
Ley de Newton:
)(tA
jij dAn
razón de cambio del momentum para la partículas que forman el
volumen V(t)
Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t)
)(tV
idVudtd
nu
V(t)
Conservación de Momentum
Fv
dtmd )(
Ley de Newton:
)(tA
jij dAn
)(tV
i dVg
razón de cambio del momentum para la partículas que forman el
volumen V(t)
Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t)
Fuerzas que actúan sobre la masa contenida en V(t)
)(tV
idVudtd
nu
V(t)
Conservación de Momentum
Fv
dtmd )(
Ley de Newton:
)()()( tV
i
tA
jij
tV
i dVgdAndVudtd
)(tA
jij dAn
)(tV
i dVg
razón de cambio del momentum para la partículas que forman el
volumen V(t)
Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t)
Fuerzas que actúan sobre la masa contenida en V(t)
Conservación de momentum
)(tV
idVudtd
)(tV j
ij dVx
(teorema de Gauss)
nu
V(t)
Conservación de Momentum
Fv
dtmd )(
Ley de Newton:
)()()( tV
i
tA
jij
tV
i dVgdAndVudtd
)(tA
jij dAn
)(tV
i dVg
razón de cambio del momentum para la partículas que forman el
volumen V(t)
Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t)
Fuerzas que actúan sobre la masa contenida en V(t)
Conservación de momentum
)(tV
idVudtd
)(tV j
ij dVx
(teorema de Gauss)
)()( tV
ij
ij
tV
i dVgx
dVudtd
b
a
tb
ta
tafdtda
tbfdtdb
dxtf
dxtxfdtd
),(),(),()(
)(
La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral)
b
a
tb
ta
tafdtda
tbfdtdb
dxtf
dxtxfdtd
),(),(),()(
)(
La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral)
• Generalización a 3D, para un volumen material:
)( )( )(
),(tV tV tA
dAfdVtf
dVtfdtd
nux
V(t)
b
a
tb
ta
tafdtda
tbfdtdb
dxtf
dxtxfdtd
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)(
La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral)
• Generalización a 3D, para un volumen material:
)( )( )(
),(tV tV tA
dAfdVtf
dVtfdtd
nux
iu
)(
)(
tV j
ji dVx
uu
)()()(
)(tA
jji
tV
i
tV
i dAnuudVt
udVu
dt
d V(t)
b
a
tb
ta
tafdtda
tbfdtdb
dxtf
dxtxfdtd
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)(
La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral)
• Generalización a 3D, para un volumen material:
)( )( )(
),(tV tV tA
dAfdVtf
dVtfdtd
nux
iu
)(
)(
tV j
ji dVx
uu
)()( tV
ij
ij
tV
i dVgx
dVudtd
La ecuación de conservación de momentum nos queda como
0)()(
)(
tV
ij
ij
j
jii dVgxx
uu
t
u
)()()(
)(tA
jji
tV
i
tV
i dAnuudVt
udVu
dt
d V(t)
b
a
tb
ta
tafdtda
tbfdtdb
dxtf
dxtxfdtd
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)(
La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral)
• Generalización a 3D, para un volumen material:
)( )( )(
),(tV tV tA
dAfdVtf
dVtfdtd
nux
V(t)
iu
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)(tA
jji
tV
i
tV
i dAnuudVt
udVu
dt
d
)(
)(
tV j
ji dVx
uu
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ij
ij
tV
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dVudtd
La ecuación de conservación de momentum nos queda como
0)()(
)(
tV
ij
ij
j
jii dVgxx
uu
t
u
ij
ij
j
jii gxx
uu
t
u
)()(
por lo tanto,
3,2,1;)()(
igxx
uu
t
ui
j
ij
j
jii
0)(
j
j
x
u
t
conservación de masa:
conservación de momentum:
• Para ij se necesita un modelo constitutivo:
333231
212221
131211
333231
212221
131211
00
00
00
p
p
p
33
12
13
21
2223
11
3132
p
pp
33
12
13
21
2223
11
3132
= +
(i)
(esfuerzo total) (presión estática) (esfuerzo viscoso)
ijijij p
(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso ij : Ley de viscosidad de Newton
dydu
(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso ij : Ley de viscosidad de Newton
dydu
• En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad:
j
i
x
u
(tensor gradiente de velocidad)
(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso ij : Ley de viscosidad de Newton
dydu
• En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad:
j
i
x
u
(tensor gradiente de velocidad)
• La parte de este tensor que representa deformación de un elemento fluido es:
i
j
j
iij x
u
x
uS
21
(tensor de deformación)
(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso ij : Ley de viscosidad de Newton
dydu
• En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad:
j
i
x
u
(tensor gradiente de velocidad)
• La parte de este tensor que representa deformación de un elemento fluido es:
i
j
j
iij x
u
x
uS
21
(tensor de deformación)
klijklij SC• La ley de viscosidad de Newton se puede generalizar postulando una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación:
(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso ij : Ley de viscosidad de Newton
dydu
• En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad:
j
i
x
u
(tensor gradiente de velocidad)
• La parte de este tensor que representa deformación de un elemento fluido es:
i
j
j
iij x
u
x
uS
21
(tensor de deformación)
klijklij SC• La ley de viscosidad de Newton se puede generalizar postulando una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación:
• Aplicando consideraciones de isotropía y simetría a Cijkl se obtiene:
ij
k
k
i
j
j
iij x
ux
u
xu
32
Fluido Newtoniano
iijk
k
i
j
j
i
jij
jii gx
u
x
u
x
u
xxp
x
uu
t
u
32)()(
0)(
j
j
x
u
t
El sistema de ecuaciones diferenciales parciales queda como:
conservación de masa:
conservación de momentum: (Ecuación de Navier-Stokes)
• Estas ecuaciones gobiernan la dinámica de los fluidos, en la inmensa mayoría de los casos (fluidos Newtonianos).
• Para una solución deben ser suplementadas con:
una ecuación de estado que relacione con p. condiciones de contorno condiciones iniciales
• En muchas situaciones se puede introducir la simplificación de flujo incompresible: la densidad no depende de la presión.
ijj
i
ij
ij
i gxx
u
xp
x
uu
t
u
21
0
j
j
x
uPara flujo incompresible:
• conservación de masa:
• conservación de momentum: (Ecuación de Navier-Stokes)
• Estas ecuaciones se deben resolver para las variables: puuu ,,, 321
0 u
guuuu 21
)(
pt
En notación vectorial:
b
a
tb
ta
tafdtda
tbfdtdb
dxtf
dxtxfdtd
),(),(),()(
)(
La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral)
• Generalización a 3D, para un volumen material:
)( )( )(
),(tV tV tA
dAfdVtf
dVtfdtd
nux
V(t)
)()()(
)(tA
jj
tVtV
dAnudVt
dVdt
d
)(
)(
tV j
j dVx
u
FuentesDifusióndVdt
d
tV
)(
La ecuación de conservación del escalar es:
0)()(
)(
tV jjj
j dVqxxx
u
t
qxxx
u
t jjj
j
)()(
por lo tanto,