Sveu£ili²te J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Tina Malo£a

�ivotna osiguranjaDiplomski rad

Osijek, 2014.

Sveu£ili²te J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Tina Malo£a

�ivotna osiguranjaDiplomski rad

Mentor: doc.dr.sc. Mirela Juki¢ Bokun

Osijek, 2014.

Sadrºaj

Uvod 5

1 Uvod u ºivotna osiguranja 61.1 Po£eci ºivotnih osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Prikupljanje i vrednovanje informacija o osiguraniku . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Tipi£ni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Analiza smrtnosti 92.1 Budu¢i ºivotni vijek osiguranika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Intenzitet smrtnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Aktuarske oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Zakoni smrtnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Cjelobrojni budu¢i ºivotni vijek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Veza izme�u cijele i cjelobrojne preostale duljine ºivota . . . . . . . . 182.6 �ivotne tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Tablice s odabirom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8 Vjerojatnost smrti u dijelovima godine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Vrste ºivotnih osiguranja 283.1 Osnovne funkcije �nancijske matematike u aktuarstvu . . . . . . . . . . . . . 293.2 Doºivotno osiguranje ºivota (Whole life insurance) . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Osiguranje plativo u trenutku smrti (Ax) . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2 Isplata osigurane svote na kraju godine u kojoj je smrt nastupila (Ax) 313.2.3 Isplata osigurane svote na kraju jednog od m perioda u godini smrti

(A(m)x ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Osiguranje ºivota na odre�eno vrijeme (Term life insurance) . . . . . . . . . 333.3.1 Osiguranje plativo u trenutku smrti (A

1

x:nq) . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2 Isplata osigurane svote na kraju godine u kojoj je smrt nastupila (A1

x:nq) 333.3.3 Isplata osigurane svote na kraju jednog od m perioda u godini smrti

(A(m)1x:nq) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Osiguranje doºivljenja (Pure endowment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 Mje²ovito osiguranje ºivota i doºivljenja (Endowment) . . . . . . . . . . . . 363.6 Odgo�eno osiguranje ºivota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7 Varijabilno osiguranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 �ivotne rente 404.1 Financijske rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Neposredne doºivotne rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Neposredne privremene rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Odgo�ene doºivotne rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Odgo�ene privremene rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6 �ivotne rente plative m puta godi²nje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.1 Woolhouseova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.2 Neprekidne ºivotne rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7 Rastu¢e ºivotne rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.8 Usporedba ºivotnih renti prema frekvenciji isplata . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Premije 565.1 Neto premije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Neto premije za doºivotno i privremeno osiguranje ºivota . . . . . . . 575.1.2 Neto premije za osiguranje doºivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.3 Neto premije za mje²ovito osiguranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Bruto premije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Premijska rezerva 636.1 Neto premijske rezerve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.1 Prospektivna i retrospektivna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Rekurzivna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Dobit i gubitak zbog smrtnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7 Ponuda ºivotnih osiguranja u Hrvatskoj 777.1 Allianz Zagreb d.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Croatia osiguranje d.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Literatura 81

Saºetak 82

Summary 83

�ivotopis 84

Prilozi 85A. Tablica smrtnosti LAT A 1967-70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4

Uvod"Zaista je neobi£no da ljudi osiguravaju svoje do-move, poku¢stvo, automobile, brodove i druge stvari,a oklijevaju u osiguravanju svog ºivota, koje je zasi-gurno najvrijednije od svega, a ujedno postoji jo² ve¢aopasnost da ga izgube."

Benjamin Franklin

Svrha osiguranja je preno²enje rizika koje nalazimo u na²em okruºenju s pojedincana osiguravatelja sklapanjem ugovora o osiguranju, pri £emu se pojedinac nastoji za²titi odopasnosti koje mu mogu ugroziti ºivot ili nanijeti ²tete na imovini. Osnovna karakteristikatih rizika je da su budu¢i, neizvjesni i neovisni od na²e volje. Velika grana osiguranja suºivotna osiguranja i iz godine u godinu raste potraºnja za njima.

Osnovna transakcija kod ºivotnih osiguranja je razmjena - vlasnici polica pla¢aju pre-mije u zamjenu za kasniju isplatu od osiguravatelja, koja ovisi o smrti ili doºivljenju. Cijenaosiguranja je premija osiguranja koju osiguranik moºe platiti jednokratno, godi²nje ili vi²eputa godi²nje, a ra£una se na temelju vjerojatnosti nastupanja osiguranog slu£aja. Naj£e²¢itipovi ºivotnog osiguranja su osiguranje ºiviota u slu£aju smrti (privremeno ili doºivotno),gdje se ugovoreni iznos ispla¢uje osiguranikovoj obitelj nakon njegove smrti, zatim osigu-ranje doºivljenja, gdje se osiguraniku ispla¢uje naknada samo ako doºivi ugovoreni rok temje²ovito osiguranje u slu£aju smrti i doºivljenja koje, kao kombinacija prethodna dva, pred-stavlja najtraºeniji oblik ºivotnog osiguranja. Uz klasi£nu policu ºivotnog osiguranja moºe seugovoriti i dodatno osiguranje od nesretnog slu£aja koje moºe prouzro£iti smrt, invaliditet,bolni£ko lje£enje i sli£no, sve ovisi o vrsti osiguranja. Polica ºivotnog osiguranja moºe pos-luºiti i kao instrument osiguranja naplate kredita. U tom slu£aju radi se vinkulacija policeosiguranja, ²to zna£i da se pravo na isplatu osigurane svote ustupa banci umjesto osiguraniku.

Za ºivotna osiguranja iznimno su bitna dva matemati£ka podru£ja: teorija sloºenog uka-ma¢ivanja (odnosno �nancijska matematika) te teorija smrtnosti (odnosno teorija vjerojat-nosti). Ne¢emo posebno raditi uvod u oba podru£ja nego ¢emo postepeno uvoditi oznake iobja²njenja istih. U prva dva poglavlja ¢emo napraviti uvod u ºivotna osiguranja i uvestivarijable s kojima ¢emo raditi u nastavku te analizirati smrtnost kroz intenzitet smrtnosti,zakone smrtnosti te ºivotne tablice. O svim tipovima osiguranja ¢emo ne²to vi²e re¢i uPoglavlju 3. Zatim u Poglavlju 4 slijedi pregled ºivotnih renti kao jo² jedan poseban oblikºivotnog osiguranja. �ivotna renta je naziv za niz isplata u jednakim vremenskim interva-lima. Mogu se ispla¢ivati doºivotno ili odre�eni broj godina, sve ovisi o doºivljenju osobe.U Poglavlju 5 su obja²njene vrste i na£ini pla¢anja premija te formule za izra£un svake odnjih. Premijska rezerva (vrijednost police) predstavlja odre�eni iznos koji bi osiguravatelju svakom trenutku trebao imati kako bi mogao pokriti sve svoje budu¢e obveze i o tomegovorimo u Poglavlju 6. Na kraju, Poglavlje 7 donosi jedan dio ponude ºivotnih osiguranjadva najve¢a osiguravaju¢a dru²tva u Republici Hrvatskoj, Allianz Zagreb d.d. i Croatiaosiguranje d.d.

5

1 Uvod u ºivotna osiguranja

Svatko od nas ima planove i o£ekivanja od svog ºivota. No, £ovjeku su oduvijek prijetileopasnosti koje su ugroºavale njegov ºivot, zdravlje i imovinu. Na temelju toga dizajnirana suosiguranja kako bi ga za²titila od ozbiljnih �nancijskih preokreta i kao djelatnost su postalaod velikog zna£aja, kako za pojedinca, tako i za dru²tvo op¢enito. Svakako se moºemo sloºitida naziv "ºivotna osiguranja" zvu£i malo neprikladno, jer sami ºivot ne moºemo doslovnoosigurati, ali tako�er se moºemo sloºiti da nam osiguranja pruºaju dobar �nancijski oslonacu budu¢nosti.

Osiguranja danas, osim za²tite od rizika, nude i jedan oblik ²tednje. Naime, ukoliko jedogovoreno osiguranje doºivljenja, osiguraniku se ispla¢uje odre�ena svota ako doºivi ugovo-reni rok. Postavlja se pitanje da li je to zapravo tako jednostavno kao ²to zvu£i. Naime, akodanas osiguramo iznos od, recimo, 20000 eura koji ¢e biti ispla¢en za 20 godina, zbog in�acijeon ne¢e imati vrijednost koju ima sada. U tom slu£aju je potrebno uklju£iti indeksaciju, tj.za²titu od in�acije koja uve¢ava premiju za odabrani godi²nji postotak. To je samo jedanod problema koji se mogu javiti tijekom poslovanja. Zato postoje aktuari kako bi sve rizikeprocijenili i pove¢ali dobit za obje strane, ali prvenstveno za osiguravatelja.

Aktuar je stru£njak koji se, koriste¢i matemati£ke metode teorije vjerojatnosti, statistikei �nancijske matematike, bavi problemima �nancijske neizvjesnosti i rizika. Posao aktu-ara za projekciju budu¢ih doga�aja uklju£uje analizu podataka iz pro²losti, razvoj modela iprocjenu postoje¢ih rizika. Aktuari rade na kalkulacijama premija osiguranja, odre�ivanjuosigurateljnih pri£uva, razvoju osigurateljnih proizvoda te upravljanju imovinom, obvezamai drugim poslovima vaºnim za rad osiguravaju¢ih dru²tava.

Od samih po£etaka vaºnu ulogu na trºi²tu imaju i brokeri koji povezuju klijente saosiguravaju¢im ku¢ama nude¢i im razne proizvode. Postoji stara izreka me�u aktuarima:"Osiguranje je prodano, ne kupljeno", ²to zna£i da je uloga posrednika u nagovaranju poten-cijalnih klijenata da zaklju£e policu osiguranja presudna u odrºavanju adekvatnog volumenaposla. Alternativa brokerima je direktan marketing, gdje se putem televizijskih reklama itelemarketinga poti£e osobe na ugovaranje osiguranja.

U ovom poglavlju ¢emo se upoznati s po£ecima osiguranja, pristupanjem klijenata osiguranjui tipi£nim problemima koji se mogu javiti u poslovanju.

1.1 Po£eci ºivotnih osiguranja

Prvi aktuari su radili u osiguravaju¢im ku¢ama po£etkom 18. stolje¢a kako bi upravljaliimovinom i obvezama tvrke. Obveze su ovisile o broju smrti osiguranika svake godine paje tako modeliraje smrtnosti postala glavna zada¢a, ²to je privuklo mnoge znanstvenike imatemati£are aktuarskim problemima. Ispostavilo se da su rani po£eci teorije vjerojatnostibili usko vezani uz rje²avanje brojnih aktuarskih problema.

6

U po£ecima su ugovori bili godi²nji, tj. osiguranici su ih obnavljali svake godine. No,kako su bili sve stariji, rizik od smrti se pove¢avao, pa je osiguravatelj svake godine odre�ivaosve ve¢i iznos premije kako bi se za²titio. Zbog toga je sve vi²e ljudi odustajalo od obnoveugovora. Ipak, ova metoda se jo² ponegdje koristi u grupnom osiguranju, gdje uglavnomposlodavac ugovara grupno osiguranje za svoje zaposlenike, iz godine u godinu. Veliki razvojdogodio se krajem 18. stolje¢a kada je osiguranik mogao zadrºati svoje premije istima zacijelo vrijeme trajanja ugovora i upla¢ivati ih tjedno, mjese£no, kvartalno, polugodi²nje iligodi²nje, kroz duºi vremeski period. I osiguravatelju je odgovaralo da se ugovori traju ²toduºe jer je ve¢a vjerojatnost da ¢e klijenti duºe pla¢ati premije. No ipak, postojala je inegativna strana ugovora na duºe vrijeme - bili su kompliciraniji za modeliranje i nosili suve¢i rizik.

Osamdesetih godina pro²log stolje¢a dolazi do radikalnih promjena i razvoja osiguranjakakvo u velikoj mjeri poznajemo i danas. Glavni razlozi koji su doveli do razvoja osiguranjasu sljede¢i:

• Danas ugovori o ºivotnom osiguranju nude i jedan oblik ²tednje. Originalna ºivotnaosiguranja su nudila naknadu ²tete prouzrokovane smr¢u vlasnika police, dok mnogimoderni ugovori kombiniraju naknadu ²tete sa prilikom za ulaganje.

• Razvoj informati£kih znanosti omogu¢uje modeliranje sve kompliciranijih problema.

• Vlasnici polica su postali mnogo vje²tiji te zahtjevaju vi²e opcija u svojim ugovorimakoji im omogu¢avaju da, primjerice, mijenjaju premije ili osiguranu svotu tijekomtrajanja ugovora.

• Pove¢ana konkurencija na trºi²tu osiguranja tjera osiguravaju¢e ku¢e na stalan razvoji inovacije.

• Do²lo je i do razvoja kod upravljanja rizikom, zbog £ega osiguravatelji imaju ve¢ukontrolu nad rizikom te svojim klijentima mogu pruºiti posebno �nancijsko jamstvo.

Proteklih godina osiguravatelji pruºaju mnoge �eksibilne proizvode te postaju konku-rencija bankama. Kako smo ve¢ ranije naveli, ºivotna osiguranja nude mogu¢nost ulaga-nja/²tednje, naravno uz isplatu odre�enog iznosa nakon smrti (ako je tako ugovoreno). Osi-guravaju¢e ku¢e su konstantno u potrazi za na£inima kako pobolj²ati svoje usluge i ste¢ikomercijalnu prednost pred konkurentima.

1.2 Prikupljanje i vrednovanje informacija o osiguraniku

Vaºno je vidjeti ²to se doga�a pri sklapanju ugovora o ºivotnom siguranju. Svaki pristup-nik mora pro¢i kompletnu provjeru kako bi se mogle odrediti sve stavke u osiguranju - visinapremija, duljina trajanja ugovora, visina ugovorne svote itd. Prvo mora ispuniti obrazackako bi osiguravatelj imao sve bitne informacije, kao ²to su spol, dob, zanimanje (odnosnoprima li redovno pla¢u), interesi, povijest bolesti osiguranika i njegove obitelji. Nadalje,

7

osiguravatelj provjerava je li osoba pu²a£, ima li neke opasne hobije i sli£no. U nekim slu-£ajevima osiguravatelj se moºe konzultirati o klijentovom zdravstvenom stanju s njegovimlije£nikom, a ako se radi o nekim ve¢im ugovorenim svotama osiguravatelj moºe uvjetovatida klijent pristupi pregledu kod doktora kojeg zapo²ljava upravo taj osiguravatelj (kako nebi do²lo do krivotvorenja nalaza). Taj postupak prikupljanja i vrednovanja informacija senaziva underwriting.

Glavna svrha ovog postupka je grupiranje klijenata u odre�ene kategorije. Postoje oni"normalni", koji mogu biti osigurani po standardnim uvjetima, tj. velika je vjerojatnost da¢e redovno pla¢ati premije i da ne postoji rizik od njihove rane smrti, ²to zna£i da ¢e dugi nizgodina mo¢i otpla¢ivati svoje obveze osiguravatelju. �to duºe klijent upla¢uje svoje premije,ve¢a je korist za osiguravatelja. Zatim postoji kategorija u kojoj se nalaze rizi£niji klijentite ¢e sukladno tome i njihove obveze prema osiguravatelju biti ve¢e. Naravno, postoje inepoºeljni klijenti s kojima osiguravatelj nikako ne ºeli u¢i u ugovorni odnos.

Ovaj postupak mora biti strog kako osiguravatelj na kraju ne bi pretrpio gubitke. Unekim slu£ajevima, nakon smrti osiguranika, osiguravatelj moºe provjeriti sve okolnosti iistinitost podataka koje mu je klijent dao, a ako se pokaºe da je neke zadrºao za sebe ili mudao neistinite podatke osiguravatelj mu nije duºan isplatiti svu ugovorenu svotu. No, svakiugovor je druga£iji od ostalih i svakom klijentu se individualno pristupa.

1.3 Tipi£ni problemi

Primarna zada¢a aktuara je odrºati solventnost (sposobnost podmirivanja obveza) i pro-�tabilnost osiguravatelja. Premije koje pla¢a osiguranik moraju biti dovoljne da pokrijunaknade koje ¢e mu biti ispla¢ene po smrti ili isteku ugovora, a imovina koju osiguravateljposjeduje mora biti dovoljna za obveze koje se mogu javiti. Aktuari utje£u i na odluke nakoji na£in ¢e pla¢ene premije biti investirane kako bi osiguravatelj zaradio zna£ajnu kamatu,dok akumulirane premije u prosjeku moraju biti dovoljne da se osiguraniku kasnije isplatinaknada. Kako bi to osigurao, aktuar mora izra£unati vjerojatnost doºivljenja vlasnika po-lice, povrate ulaganja koje ¢e zaraditi te tro²kove koji ¢e se pojaviti prilikom izrade i trajanjapolice osiguranja. Problemi su puno kompleksniji ako osiguranje pokriva invalidnost ili uklju-£uje vi²e ºivota. Osiguranik ¢e moºda htjeti raskinuti ugovor prije njegova isteka pa aktuarmora i tu vjerojatnost uzeti u razmatranje. Ako pak osiguranik ima neke dodatne zahtjeveaktuar mora ispitati pro�tabilnost svakog od njih. Tek kad se svi faktori modeliraju, oni sekombiniraju kako bi se izra£unala premija.

8

2 Analiza smrtnosti

�ivotno osiguranje bavi se �nancijskim transakcijama £ije uplate/isplate ovise o smrti ilidoºivljenju vlasnika police. Osiguranik ¢e pla¢ati premije osiguranja do odre�enog vremen-skog roka ili do trenutka smrti, ako ona nastupi ranije. Tako�er, vrijeme isplate ugovorenogiznosa ovisi o trenutku smrti vlasnika police ºivotnog osiguranja. Budu¢i da ne moºemo sasigurno²¢u predvidjeti vrijeme ne£ije smrti, ºivotni vijek osobe ¢emo modelirati slu£ajnomvarijablom. Kako osiguravatelj ne moºe znati kada ¢e morati isplatiti odre�eni iznos osi-guravatelju trebaju mu modeli smrtnosti, iz kojih se mogu izra£unati vjerojatnosti smrti uodre�enoj dobi i to ¢e biti glavna tema ovog poglavlja.

2.1 Budu¢i ºivotni vijek osiguranika

Sa (x) ¢emo ozna£iti osobu koja pristupa osiguranju u dobi x, gdje je x > 0. Budu¢iºivotni vijek te osobe modeliramo neprekidnom slu£ajnom varijablom Tx, pa je x+Tx slu£ajnavarijabla koja predstavlja dob te osobe u trenutku smrti.Neka je Fx funkcija distribucije slu£ajne varijable Tx, tj.

Fx(t) = P (Tx 6 t), t > 0.

Dakle, Fx(t) predstavlja vjerojatnost da (x) ne¢e doºivjeti vi²e od dobi x + t, za bilo koji�ksni t. Pretpostavljamo da nam je distribucija budu¢eg ºivotnog vijeka poznata. Tako�erpretpostavljamo da je funkcija Fx neprekidna i ima funkciju gusto¢e fx(t) = F ′x(t).�e²¢e ¢e nas zanimati funkcija doºivljenja nego smrti:

Sx(t) = 1− Fx(t) = P (Tx > t).

Drugim rije£ima, Sx(t) predstavlja vjerojatnost da (x) doºivi barem jo² t godina. T0 je brojgodina koje ¢e doºivjeti osoba koja je tek ro�ena. Pretpostavimo da je osoba sada starax godina, ²to zna£i T0 > x. Ako osoba umre u roku t godina od sada, onda je Tx 6 t iT0 6 x+ t. Pod pretpostavkom da je osoba doºivjela dob x, ºelimo da su ova dva navedenadoga�aja ekvivalentna. Dakle,

P (Tx 6 t) = P (T0 6 x+ t|T0 > x), ∀x > 0,∀t > 0. (1)

Iz formule za uvjetnu vjerojatnost za proizvoljne doga�aje A i B vrijedi

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B).

Uz oznake (T0 6 x+ t) za doga�aj A i (T0 > x) za doga�aj B, formulu (1) moºemo zapisatiu sljede¢em obliku:

P (Tx 6 t) =P (x < T0 6 x+ t)

P (T0 > x),

odnosno

Fx(t) =F0(x+ t)− F0(x)

S0(x).

9

Kako znamo da vrijedi Sx(t) = 1− Fx(t) moºemo pisati i

Sx(t) =S0(x+ t)

S0(x), (2)

odnosnoS0(x+ t) = S0(x)Sx(t). (3)

Ovo je vrlo vaºan rezultat jer pokazuje da vjerojatnost preºivljenja do dobi x + t moºemoprikazati kao produkt

1) vjerojatnosti preºivljenja do dobi x (od ro�enja) i2) vjerojatnosti preºivljenja do dobi x+t, uz pretpostavku da je osoba ve¢ doºivjela dob x.

Vjerojatnost doºivljenja bilo koje dobi moºemo zapisati na sli£an na£in kao (3). Primje-rice, vjerojatnost da (x) poºivi jo² barem t + u godina moºemo razdvojiti na vjerojatnostpreºivljenja prvih t godina koje slijede i, ako je osoba preºivjela do dobi x + t, na daljnjepreºivljenje jo² u godina. Tj.

Sx(t+ u) =S0(x+ t+ u)

S0(x)=S0(x+ t)

S0(x)

S0(x+ t+ u)

S0(x+ t)= Sx(t)Sx+t(u). (4)

Prethodna formula nam omogu¢ava da, ako znamo vjerojatnost preºivljenja od bilo kojedobi x > 0, onda znamo i vjerojatnost preºivljenja od dobi x+ t > x.

Svaka funkcija doºivljenja mora zadovoljiti sljede¢e uvjete da bi bila valjana:

Uvjet 1. Sx(0) = 1, tj. vjerojatnost da osoba trenutne dobi x, (x), preºivi 0 godina je 1.

Uvjet 2. limt→∞

Sx(t) = 0, tj. sve osobe ¢e kad tad umrijeti.

Uvjet 3. Funkcija doºivljenja ne smije biti rastu¢a funkcija od t. Ne smije biti vi²e vje-rojatno da (x) doºivi jo² 15 godina nego 14.5, jer da bi doºivjela dob x + 15 mora najprijedoºivjeti dob od x+ 14.5 godina.

Navedeni uvjeti su nuºni i dovoljni pa tako svaka funkcija Sx, koja kao funkcija od t, t > 0,

zadovoljava navedena tri uvjeta, za �ksni x > 0, de�nira distribuciju ºivotnog vijeka od dobix i koriste¢i formulu (4), za svaku dob ve¢u od x.

Ubudu¢e, za sve funkcije doºivljenja koje ¢emo koristiti u ovom radu imamo tri pretpostavke:

Pretpostavka 1. Sx(t) je diferencijabilna za svaki t > 0. Zajedno s uvjetom 3 to zna£i

d

dtSx(t) 6 0, ∀t > 0.

10

Pretpostavka 2. limt→∞

tSx(t) = 0.

Pretpostavka 3. limt→∞

t2Sx(t) = 0.

Zadnje dvije pretpostavke osiguravaju da o£ekivanje i varijanca distribucije od Tx postoje.

Primjer 2.1.1 Neka je

F0(t) = 1−(1− t

120

)1/6

, 0 6 t 6 120.

Izra£unajte vjerojatnost da:

a) novoro�en£e doºivi barem dob 30,

b) osoba u dobi 30 godina umre do dobi 50.

Rje²enje:

a) S0(30) = 1− F0(30) =

(1− 30

120

)1/6

= 0.9532.

b) F30(20) =F0(50)− F0(30)

1− F0(30)= 0.0410.

2.2 Intenzitet smrtnosti

De�nicija 2.2.1 Intenzitet smrtnosti ozna£avamo s µx i de�niramo kao

µx = limdx→0+

1

dxP (T0 6 x+ dx|T0 > x).

Pomo¢u formule (1) µx moºemo zapisati kao

µx = limdx→0+

1

dxP (Tx 6 dx),

a u terminima funkcije doºivljenja kao

µx = limdx→0+

1

dx(1− Sx(dx)). (5)

Za jako mali dx dobijemo aproksimaciju

µxdx ≈ P (T0 6 x+ dx|T0 > x), (6)

koju moºemo interpretirati kao vjerojatnost da osoba koja doºivi dob x umre prije dobix + dx, ²to zna£i da nam intenzitet smrtnosti daje vjerojatnost smrti u jako kratkom vre-menskom periodu i to ¢e nam biti od velike koristi. Drugim rije£ima, vjerojatnosti smrtiosobe starosti x u predstoje¢em intervalu duljine dx je proporcionalna dx, a faktor propor-cionalnosti je upravo intenzitet smrtnosti.

11

Vidimo da intenzitet smrtnosti ovisi o jedinici vremena. Kako ¢emo mi uglavnom mjeritivrijeme (dob) u godinama, kaºemo da je µx mjeren po godini.

Ako poveºemo µx sa S0 iz (2) i (5) slijedi

µx =1

S0(x)lim

dx→0+

S0(x)− S0(x+ dx)

dx=

1

S0(x)

(− d

dxS0(x)

)pa je

µx =−1S0(x)

d

dxS0(x). (7)

Spomenuli smo ranije i funkciju gusto¢e fx(t), a zbog Sx(t) = 1− Fx(t) vrijedi

fx(t) =d

dtFx(t) = −

d

dtSx(t), (8)

Intenzitet smrtnosti stoga moºemo ra£unati i na sljede¢i na£in

µx =f0(x)

S0(x).

Za bilo koju dob x+ t tako�er moºemo povezati intenzitet smrtnosti sa funkcijom doºiv-ljenja Sx. Pretpostavimo da je x �ksan i t varijabla pa vrijedi d(x+ t) = dt. Slijedi

µx+t = − 1

S0(x+ t)

d

d(x+ t)S0(x+ t)

= − 1

S0(x+ t)

d

dtS0(x+ t)

= − 1

S0(x+ t)

d

dt(S0(x)Sx(t))

= − S0(x)

S0(x+ t)

d

dtSx(t)

= − 1

Sx(t)

d

dtSx(t).

Zaklju£ujemo

µx+t =fx(t)

Sx(t). (9)

Kako za derivabilnu funkciju h vrijedid

dxln h(x) =

1

h(x)

d

dxh(x), iz (8) slijedi

µx =f0(x)

S0(x)=

d

dx(−ln S0(x)), ∀S0(x) > 0.

Integriraju¢i prethodni izraz dobijemo∫ y

0

µxdx = −(ln S0(y)− ln S0(0)).

12

Budu¢i da je ln S0(0) = ln P (T0 > 0) = ln 1 = 0 slijedi

S0(y) = e−∫ y0 µxdx

i dalje

Sx(t) =S0(x+ t)

S0(x)= e−

∫ x+tx µsds = e−

∫ t0 µx+sds. (10)

Intenzitet smrtnosti u potpunosti opisuje distribuciju 'ºivotnog vijeka', kao ²to to radi i S0,tj. ako znamo µx, ∀x > 0, moºemo izra£unati sve vjerojatnosti doºivljenja Sx(t), za bilo kojix i t. �esto je prikladnije opisivati distribuciju ºivotnog vijeka koriste¢i intenzitet smrtnostinego funkciju doºivljenja.

2.3 Aktuarske oznake

Oznake Sx(t), Fx(t) i fx(t) su standardne statisti£ke oznake. Uvest ¢emo sada posebnunotaciju koju koriste aktuari.

• tpx je vjerojatnost da osoba u dobi x doºivi jo² barem t godina:

tpx = P (Tx > t) = Sx(t).

Za t = 1 moºemo kra¢e pisati px, ²to ozna£ava vjerojatnost da ¢e osoba u dobi xpreºivjeti barem do dobi x+ 1.

• tqx je vjerojatnost da osoba sada u dobi x umre prije dobi od x+ t godina:

tqx = P (Tx 6 t) = 1− Sx(t) = Fx(t).

Za t = 1 dobijemo stopu smrtnosti qx, ²to ozna£ava vjerojatnost da ¢e osoba u dobi xumrijeti u sljede¢ih godinu dana, do dobi x+ 1.

• u|tqx je vjerojatnost da osoba u dobi x preºivi daljnjih u godina i onda umre u sljede¢iht godina, u dobi izme�u x + u i x + u + t godina. Ovo se zove vjerojatost odgo�enesmrtnosti i vrijedi

u|tqx = P (u < Tx 6 u+ t) = Sx(u)− Sx(u+ t).

Za t = 1 izraz u|qx ozna£ava vjerojatnost da osoba umre u dobi izme�u x+u i x+u+1

godina, naravno uz uvjet da je doºivjela starost od x+ u godina.

U terminima novih oznaka ranije dobivene izraze zapisujemo na sljede¢i na£in:

tpx + tqx = 1,

u|tqx = upx − u+tpx,

13

t+upx = tpx upx+t iz (4).

Uo£imo da gornja jednakost povla£i da je

tpx = px px+1 · · · px+t−1. (11)

Dalje slijedi

µx = −1

xp0

d

dxxp0 iz (7),

µx+t = −1

tpx

d

dttpx ⇒

d

dttpx = −tpx µx+t,

µx+t =fx(t)

Sx(t)⇒ fx(t) = tpx µx+t iz (9),

tpx = e−∫ t0 µx+sds iz (10).

Kako je Fx funkcija distribucije, a fx njena funkcija gusto¢e, formulu

Fx(t) =

∫ t

0

fx(s)ds

u aktuarskim oznakama moºemo zapisati kao

tqx =

∫ t

0spx µx+sds.

Interpretacija: Vjerojatnost da je (x) ºiva u vremenu s, 0 6 s < t, je spx, a vjerojatnost da(x) umre u dobi izme�u x + s i x + s + ds, uz uvjet da je preºivjela do x + s, je pribliºnoµx+sds, pri £emu je ds jako mali. Tako je spx µx+sds vjerojatnost da osoba sada u dobi xumre izme�u dobi x + s i x + s + ds. Ako sad sumiramo po svim intervalima 〈s, s + ds〉 ukojima bi smrt mogla nastupiti, dobit ¢emo vjerojatnost smrti prije dobi x+ t. Gra�£ki namje to prikazano na sljede¢oj slici.

Slika 1 . Vremenski dijagram za tqx

14

2.4 Zakoni smrtnosti

Vi²e je razloga za zahtjev da distribucija slu£ajne varijable Tx bude analiti£ka. Prvirazlog je teoretski. Mnogi prou£avani fenomeni mogu biti e�kasno prikazani jednostavnimformulama. Stoga su mnogi stru£njaci predloºili da se ljudsko preºivljavanje odredi jed-nako jednostavnim zakonima. Drugi opravdani razlog je prakti£ni. Analiti£ka funkcija imaprednost da Fx moºe biti jednostavno izra£unata s malim brojem numeri£kih parametara.Statisti£ko zaklju£ivanje je puno lak²e kad je potrebno procjeniti samo nekoliko parametara.Popularost analiti£kih formula moºemo usporediti sa kori²tenjem normalne distribucije ustatistici.

Op¢enito pod zakonom smrtnosti podrazumijevamo matemati£ki izraz za neku od funk-cija px, qx ili µx, jer upravo razdiobu slu£ajne varijable Tx moºemo izraziti preko fx, Fx, Sxi µx. Navest ¢emo neke analiti£ke zakone smrtnosti, pri £emu svaki nosi ime svog "izumitelja".

• De Moivre (1725.)De Moivre je ozna£io postojanje maksimalne dobi za ljudska bi¢a s ω i pretpostavio daTx ima uniformnu distribuciju izme�u dobi 0 i ω − x, ²to zna£i da je funkcija gusto¢e

dana s fx(t) =1

ω − x, za 0 < t < ω − x. Intenzitet smrtnosti je

µx =1

ω − x,

odnosnoµx+t =

1

ω − x− t, 0 < t < ω − x,

²to je rastu¢a funkcija od t.

• Gompertz (1824.)Gompertzova pretpostavka je da intenzitet smrtnosti raste eksponencijalno, tj.

µx = Bcx, B > 0, c > 0,

²to bolje prikazuje proces starenja od De Moivreovog zakona. Ovdje nemamo pret-postavku o maksimalnoj dobi ω. Na prvi pogled nam izgleda logi£no da intenzitetsmrtnosti raste eksponencijalno sa dobi, ali on ipak za ve¢i dio populacije nije rastu¢afunkcija dobi ba² u cijelom rasponu ºivotnog vijeka. Ipak, Gompertzov model nampruºa dobru pretpostavku o podacima smrtnosti u nekim dobnim periodima, posebnood srednje dobi do rane starosti.Na Slici 2 su prikazane stope smrtnosti u SAD-u 2000.-2002. za mu²karce starije oddobi 50, stvarne vrijednosti i vrijednosti koju je prognozirao Gompertzov model. Re-zultati su poprili£no impresivni budu¢i da je model dan davne 1824. godine.

15

Slika 2 . Stvarne stope smrtnosti i stope smrtnosti procijenjene Gompertzovim pravilom zamu²karce starije od 50 godina, SAD 2000.-2002. (preuzeto iz [3])

• Makeham (1860.)Jednostavno pro²irenje Gompertzovog zakona je Makehamov zakon, koji modelira in-tenzitet smrtnosti formulom

µx = A+Bcx.

Zakon je sli£an Gompertzovom, samo je dodan jedan aditivni £lan, koji ne ovisi o dobi,kako bi obuhvatio sve smrti koje su nastale nekom slu£ajnom nesre¢om. Zbog dodanog£lana A ovaj zakon bolje modelira podatke o smrtnosti za mla�u dob.

Ako stavimom =B

ln ciz Makehamovog modela moºemo dobiti vjerojatnost doºivljenja

tpx = e−At−mcx(ct−1).

Obi£no se u praksi koristi 0.001 < A < 0.003, 10−6 < B < 10−3 i 1.08 < c < 1.12.

• Dvostruki geometrijski zakon (1867.)

µx = A+Bcx +Mnx, x > 0.

• Makeham II (1889.)

µx = A+Hx+Bcx, x > 0.

• Perk (1931.)

µx =A+Bcx

Kc−x + 1 +Dcx, x > 0.

16

• Weibull (1939.)Weibull je predloºio da intenzitet smrtnosti raste kao potencija od x, a ne eksponenci-jalno, tj.

µx = κxα,

pri £emu su κ > 0, α > 0 �ksni parametri te x > 0. Vjerojatnost doºivljenja je tada

tpx = e−κα+1

[(x+1)α+1−xα+1

].

Naºalost, zakoni smrtnosti ne mogu opisti podatke o smrtnosti dovoljno to£no za svakuºivotnu dob. No, oni su se jako puno koristili prije pojave ra£unala. Drugi na£in pregledapodataka o smrtnosti su tzv. tablice smrtnosti. O njima ¢emo re¢i ne²to vi²e kasnije u radu.

2.5 Cjelobrojni budu¢i ºivotni vijek

O£ekivanu preostalu duljinu ºivota, E[Tx], aktuari ozna£avaju s�ex. Iz de�nicije mate-mati£kog o£ekivanja nenegativne i neprekidne slu£ajne varijable slijedi

�ex = E[Tx] =

∫ ∞0

t fx(t)dt.

Znamo da vrijedi fx(t) = tpx µx+t = −d

dttpx pa je

�ex =

∫ ∞0

t fx(t)dt =

∫ ∞0

t tpx µx+tdt = −∫ ∞0

t

(d

dttpx

)dt = −

(t tpx|∞0 −

∫ ∞0

tpx dt

).

Iz Pretpostavke 3 u Poglavlju 2.1 znamo da vrijedi limt→∞

t tpx = 0, iz £ega slijedi

�ex =

∫ ∞0

tpxdt.

U mnogim problemima ºivotnog osiguranja nije nam bitna to£na dob osiguranika u tre-nutku smrti, nego koliko je cijelih godina proteklo dok osoba nije umrla. Primjerice, akoje ugovorom dogovoreno da osiguranik na svaki ro�endan izme�u 60-e i 70-e godine ºivotaprima uplatu od 1000 eura, svejedno nam je da li je osiguranik umro u dobi od 65.3 ili 65.8godina. Jedino je bitno da je smrt nastupila u dobi izme�u 65 i 66 godina.

Dakle, budu¢i da se mnogi tokovi novca odvijaju u diskretnim vremenskim trenucima po-nekad je korisno diskretizirati duljinu ºivota. Pretpostavljamo da je Tx neprekidna slu£ajnavarijabla, ali zanima nas slu£ajna varijabla Kx = bTxc sa vrijednostima u skupu N0.

Moºemo prona¢i vjerojatnost za Kx = k, k = 0, 1, 2, . . . , ako i samo ako osoba u dobi xumre izme�u dobi x+ k i x+ k + 1. Vrijedi

P (Kx = k) = P (k 6 Tx < k + 1) = k|qx = kpx − k+1px = kpx − kpx px+k = kpx(1− px+k),

P (Kx = k) = kpx qx+k,

P (Kx 6 k) = k+1qx,

17

odnosnoP (Kx > k) = k+1px.

Budu¢i da je Kx diskretna slu£ajna varijabla morat ¢emo paziti na to gdje je nejednakoststroga, a gdje nije. O£ekivanje cjelobrojne preostale duljine ºivota iznosi

ex = E[Kx] =∞∑k=0

kP (Kx = k) =∞∑k=0

k(kpx − k+1px)

= (1px − 2px) + 2(2px − 3px) + 3(3px − 4px) + · · ·

=∞∑k=1

kpx.

2.5.1 Veza izme�u cijele i cjelobrojne preostale duljine ºivota

Kako je ex cjelobrojni dio preostale duljine ºivota pitamo se moºemo li na¢i neku vezuizme�u�ex i ex. Moºemo pisati

�ex=∫ ∞0

tpxdt =∞∑j=0

∫ j+1

jtpxdt.

Ako aproksimiramo svaki integral koriste¢i trapezno pravilo dobijemo∫ j+1

jtpx dt ≈

1

2(jpx + j+1px)

i dalje

�ex ≈∞∑j=0

1

2(jpx + j+1px) =

1

2+∞∑j=1

jpx.

Imamo aproksimaciju koja se £esto koristi u praksi

�ex ≈ ex +1

2.

Budu¢i da nam je vremenska jedinica godina, ovaj rezultat nam govori da je o£ekivanapreostala duljina ºivota za otprilike pola godine dulja od cjelobrojne, ²to smo nekako moglii pretpostaviti.

Ozna£imo sa Rx dio godine koji je osoba preºivjela u godini smrti, tj. vremenski periodod po£etka godine u kojoj je smrt nastupila pa to trenutka smrti. Vrijedi

Tx = Kx +Rx.

Slu£ajna varijabla Rx ima neprekidnu distribuciju s vrijednostima izme�u 0 i 1. Aproksima-

cija o£ekivane vrijednosti slu£ajne varijable Rx je1

2, ²to nam samo potvr�uje da je najbolja

aproksimacija za vezu izme�u�ex i ex upravo�ex ≈ ex +1

2.

18

Prednost cjelobrojne preostale duljine ºivota je u tome ²to ju je puno lak²e izra£unati odo£ekivanja kompletne preostale duljine ºivota, jer sumirati je lak²e nego integrirati. U Tablici1 su dane vrijednosti za�ex i ex, izra£unate pomo¢u Gompertzovog zakona uz B = 0.0003 ic = 1.07. Vidimo da je ovo dosta dobra aproksimacija u slu£aju kada promatramo osobe umla�oj dobi, dok je manje to£na za jako stare osobe.

Tablica 1 . Vrijednosti za kompletnu i cjelobrojnu preostalu duljinu ºivota (Gompertzovzakon uz B = 0.0003 i c = 1.07) (preuzeto iz [3])

2.6 �ivotne tablice

Kako smo vidjeli ranije, funkcija doºivljenja Sx(t) jedinstveno de�nira distribuciju od Tx.Ako ºelimo tabelirati vrijednosti funkcije Sx(t) moramo baratati s jako malim brojevima,tj. vjerojatnostima izme�u 0 i 1. Puno je prikladnije raditi s brojevima ve¢im od 1. Zatomoºemo konstruirati ºivotne tablice (tablice smrtnosti).

�ivotne tablice su konstruirane na bazi statisti£kih podataka za razne populacijske grupekoje se razlikuju po spolu, rasi, dobi ili pak tipu osiguranja kojeg ºele ugovoriti. Praksa jepokazala da su razli£ite stope smrtnosti za ºene i mu²karce. Slika 3 nam daje prikaz stopasmrtnosti od ro�enja do dobi 100, za mu²karce i ºene (SAD, 2000.-2002.). Populacije diljemsvijeta imaju sli£ne vrijednosti stopa smrtnosti u cijelom rasponu ºivotne dobi. Vrijednostiza q0 su poprili£no velike zbog perinatalne smrtnosti i qx tu razinu doseºu opet tek oko dobi50 pa na dalje. U kasnim teenagerskim godina smrtnost ima strmiji nagib, pogotovo zamu²ki spol. Ponekad se to zove "slu£ajni skok", kao ²to su i mnoge nesre¢e koje uzrokuju tajskok slu£ajne. Primje¢ujemo da su i stope smrtnosti za mu²karce vi²e od stopa smrtnosti zaºene i to za svaku dob.

U na²im razmatranjima vaºnija ¢e nam biti dob osiguranika nego spol. Kako je osiguranjeponu�eno samo osobama dobrog zdravlja za o£ekivati je da su osobe koje su tek ugovorileosiguranje boljeg zdravstvenog stanja od osoba iste dobi koje su ugovorile osiguranje neko-

19

Slika 3 . Stope smrtnosti za mu²karce (to£kasto) i ºene (SAD, 2000.-2002.) (preuzeto iz [3])

liko godina ranije, jer su novi osiguranici u bliºoj pro²losti pro²li medicinske testove. Ovakavfenomen ¢emo ugraditi u tablice s odabirom (select tablice) o kojima ¢emo re¢i ne²to vi²ekasnije. U takvim tablicama vjerojatnosti smrti su grupirane obzirom na dob u kojoj supristupili osiguranju.

Prve ºivotne tablice sastavili su J. Graunt (1662.) i Sir E. Halley (1693.). Nedugo zatimprou£avali su ih i poznati matemati£ari tog vremena, kao npr. J. Bernoulli i C. Huygens.Danas su sveprisutne u djelovanju osiguravaju¢ih dru²tava, a sastavljaju se i u Hrvatskoj.

Za dani model smrtnosti, u kojem je zadan tpx, moºemo konstruirati ºivotne tabliceod po£etne dobi x0 do maksimalne dobi ω. Broj l0 ozna£ava broj novoro�enih osoba upromatranoj populacijii i zove se korijen tablice. De�niramo funkciju lx, za 0 6 x 6 ω, s

lx = l0 xp0.

Iz de�nicije, za 0 6 x 6 x+ t 6 ω, vrijedi

lx+t = l0 x+tp0

= l0 xp0 tpx

= lx tpx,

odnosno

tpx =lx+tlx,

gdje je lx broj osoba u promatranoj populaciji koje su ºive u dobi x.�ivotne tablice mogu biti konstruirane na osnovi empirijskih podataka. U takvim ºi-

votnim tablicama su vrijednosti dane uglavnom samo za cjelobrojne x. Za necjelobrojne xfunkcija lx se moºe npr. odrediti nekom interpolacijom kako bi postala glatka funkcija (Slika4).

20

Slika 4 . Interpolacija lx na osnovi podataka Drºavnog zavoda za statistiku RepublikeHrvatske

U na²im primjerima koristit ¢emo tablice smrtnosti LAT A 1967-70 ("Life Assurance table"),gdje su tabelirane i odre�ene zamjenske funkcije koje ¢e se kasnije spominjati. Korijen tabliceovdje iznosi l0 = 34489. Tablice LAT A 1967-70 nalaze se u Prilogu A.

Napomena 2.6.1 U ºivotnim tablicama ¢emo uglavnom slijediti deterministi£ki pristup, tj.pretpostaviti da je lx to£an broj osoba koje ¢e biti ºive u dobi x u portfelju osiguravatelja. Uztu pretpostavku i koriste¢i o£ekivane vrijednosti za budu¢e lx moºemo izra£unati premije, noako ºelimo ne²to statisti£ki zaklju£ivati ili dati ocjenu rizi£nosti to ne¢e biti toliko precizno.

U terminima lx moºemo zapisati intenzitet smrtnosti kao

µx = −1

lx

d

dx= − d

dxln(lx) = −[ln(lx)]

′, (12)

²to ¢e nam koristiti ne²to kasnije u radu.

U tablicama se £esto nalaze i brojevi dx, koji ozna£avaju broj smrti u inervalu [x, x+1〉,odnosno broj osoba koje su doºivjele dob x, ali ne i x+ 1, tj.

dx = lx − lx+1.

Vrijedi

lx =ω−1∑k=x

dk,

jer je lx broj svih onih koji si doºivjeli dob x, a umrli bilo kada kasnije - ili prije x+ 1 (njihdx), ili prije x+ 2 (njih dx+1) itd.

21

Promotrimo jo² zapis vjerojatnosti odgo�ene smrtnosti u terminima lx:

m|nqx = mpx − m+npx =lx+m − lx+m+n

lx.

Za m = 0 i n = 1 dobijemo stopu smrtnosti

qx =lx − lx+1

lx=dxlx. (13)

Primjer 2.6.1 Izra£unajte vjerojatnost da ¢e osoba, koja je doºivjela dob 40,

a) doºivjeti dob 50,

b) umrijeti nakon navr²ene dobi 70, ali prije dobi 80.

(LAT A 1967-70, i=4%)

Rje²enje:

a) 10p40 =l50l40

=32669.855

33542.311= 0.973989.

b) 30|10q40 =l70 − l80l40

=23622.102− 12522.890

33542.311= 0.3309.

2.7 Tablice s odabirom

Osiguravaju¢a dru²tva obi£no razlikuju potencijalne klijente po dobi, spolu i sli£no. No,osiguranici se ne razlikuju samo me�usobno, nego op¢enito i od ostalog (neosiguranog) dijelapopulacije. Ako promatramo novog pristupnika koji sklapa policu ºivotnog osiguranja, vje-rojatnost njegove smrti je u pravilu manja nego kod ostalih osoba iste dobi. Dva su glavnarazloga za to. U slu£aju da se osigurana svota ispla¢uje po smrti osiguranika, veliki rizik zaosiguravaju¢u ku¢u je ako se to dogodi prebrzo. U tom slu£aju se premije koje osiguranikupla¢uje ne¢e sti¢i akumulirati do neke odre�ene razine. Osiguravatelj se ºeli osigurati odtakvih klijenata i naj£e²¢e zahtjeva dodatni lije£ni£ki pregled. Ako neki standard nije zado-voljen klijent ¢e biti odbijen i ne¢e mu biti ponu�ena polica ºivotnog osiguranja. Rezultatsvega toga je da je u trenutku sklapanja police vjerojatnost smrti osiguranika manja od vje-rojatnosti smrti ostatka populacije njegove dobi. S druge strane, sli£no je i sa osiguranjemrenti. Osobe koje primjerice ugovaraju isplatu ºivotne rente koja po£inje u nekom trenutkunjihovog ºivota i koja traje duºi period su obi£no dobrog zdravlja. U suprotnom, moglo bido¢i do ranije smrti ²to i njima ne ide u korist s �nancijske strane, jer £im do�e do smrtiprestaju uplate na njihov ra£un.

Ovakva selekcija rezultira manjim stopama smrtnosti od prosje£nih, no i to se nakon pargodina vrati u ravnoteºu. Naime, nakon tzv. perioda odabira smatra se da sve osobe pod-lijeºu istim, op¢im stopama smrtnosti. Naj£e²¢e je period odabira u trajanju od 2 godine.Tablice smrtnosti u kojima je posebna paºnja na trajanju £lanstva u grupi zovu se tablice sodabirom (select), a nakon odre�enog broja godina (perioda odabira) opet koristimo krajnje

22

(ultimate) tablice. Tablice u kojima svi potencijalni osiguranici podlijeºu istom intenzitetui stopama smrtnosti i u kojima se ovaj fenomen ignorira zovu se skupne (agregatne) tablice.

U select tablicama budu¢e vjerojatnosti doºivljenja ovise o trenutnoj dobi osiguranika io dobi kada je pristupio osiguranju. Period odabira ¢emo ozna£iti sa r, ²to zna£i da nakon rgodina vjerojatnost smrtnosti i doºivljenja osiguranika opet ovise samo o njegovoj trenutnojdobi.

No, u nekim slu£ajevima selekcija ne mora nuºno voditi do niºih vrijednosti smrtnosti,²to nam sljede¢i primjer i pokazuje.

Primjer 2.7.1 Pretpostavimo da se mu²karac zbog bolesti mora podvrgnuti operaciji koja jerizi£na i samo je 50% ²ansi da ¢e preºivjeti godinu dana nakon operacije. Ako preºivi tugodinu, smatra se da je potpuno izlje£en i da ima budu¢e stope smrtnosti kao i ostali vr²njaci.Ako su dani sljede¢i podaci:

l60 = 89777, l61 = 89015, l70 = 77946,

izra£unajte vjerojatnost da ¢e mu²karac u dobi 60,

a) koji se upravo priprema za operaciju, biti ºiv u dobi 70,

b) koji je imao operaciju u dobi 59, biti ºiv u dobi 70,

c) koji je imao operaciju u dobi 58, biti ºiv u dobi 70.

Rje²enje:U ovom primjeru, grupu £ine svi mu²karci koji su imali operaciju. Biti odabran u dobi xzna£i imati operaciju u dobi x. Period odabira ovog modela i za ovu grupu je jedna godina,jer ako tu godinu preºive opet podlijeºu istim, op¢im stopama smrtnosti.

a) Vjerojatnost da osoba doºivi dob 61 je 0.5, a nakon toga od dobi 61 do dobi 70

9p61 =l70l61

=77946

89015= 0.8757.

Ukupna traºena vjerojatnost doºivljenja iznosi

10p60 = p60 9p61 = 0.5 · 0.8757 = 0.4378.

b) Budu¢i da je mu²karac ve¢ preºivio godinu dana nakon operacije, za njega vi²e nevrijede posebne stope smrtnosti. Njegova vjerojatnost da ¢e doºivjeti dob 70 iznosi

10p60 =l70l60

=77946

89777= 0.8682.

c) Budu¢i da je mu²karac preºivio vi²e od godinu dana nakon operacije, imamo istuvjerojatnost kao u dijelu b) (0.8682).

23

U select tablicama vjerojatnosti se ne²to druga£ije ozna£avaju:

• p[x]+t ozna£ava vjerojatnost da ¢e osoba koja je pristupila osiguranju u dobi x, a sadaje u dobi x+ t, preºivjeti do dobi x+ t+ 1,

• sq[x]+t ozna£ava vjerojatnost da ¢e osoba koja je pristupila osiguranju i pro²la selekcijuu dobi x, a sada je u dobi x+ t, umrijeti prije dobi x+ t+ s,

• sp[x]+t + sq[x]+t = 1,

• sp[x]+t = e−∫ s0 µ[x]+t+u du,

• q[x]+t = qx+t, ∀t > r.

Selekcija vodi do sljede¢ih nejednakosti:

q[x] < q[x−1]+1 < q[x−2]+2 < q[x−3]+3 < · · · ,

jer, kako smo ve¢ ranije naveli, osobe koje kasnije pristupaju osiguranju su u boljem zdravs-tvenom stanju te su im i stope smrtnosti manje nego kod osoba koje su pristupile osiguranjunekoliko godina ranije. No nakon r godina selekcija "blijedi":

q[x−r]+r = q[x−r−1]+r+1 = q[x−r−2]+r+2 = · · · = qx.

Da bi mogli izgraditi tablicu s odabirom potrebne su nam jo² vrijednosti l[x]+t. Kao i ultimatetablice, select tablice uglavnom daju vrijednosti samo za cjelobrojni x, pri £emu x predstavljadob osiguranika.Pokaºimo kako se konstruira tablica s odabirom za osobu u dobi x0 uz period odabira duljiner. Neka je lx0+r proizvoljan pozitivan broj. Za y > x0 + r de�niramo

ly = y−x0−rpx0+r lx0+r, (14)

pri £emu je y−x0−rpx0+r lx0+r = y−x0−rp[x0]+r lx0+r, jer je r period odabira. Za y > x > x0 + r

vrijedi

ly = ((y−x0−r)px0+r) lx0+r

= (y−xp[x0]+x−x0)((x−x0−r)p[x0]+r) lx0+r

= (y−xpx)((x−x0−r)p[x0]+r) lx0+r

= y−xpx lx.

Formula (14) de�nira ultimate (krajnji) dio ºivotne tablice. Moramo jo² de�nirati ºivotnutablicu u okvirima select dijela. Za x > x0 i 0 6 t 6 r de�niramo

l[x]+t =lx+r

r−tp[x]+t,

²to zna£i da ako imamo l[x]+t osoba u dobi x+ t, koji su pristupili osiguranju prije t godina,tada o£ekivani broj preºivjelih do dobi x+ r iznosi lx+r.

24

Primjer 2.7.2 Izra£unajte vjerojatnost da ¢e osoba, koja je pristupila osiguranju i pro²laselekciju u dobi 60, doºivjeti dob 64. Period odabira je 2 godine. (LAT A 1967-70, i=4%)

Rje²enje:Koriste¢i formulu (11), ali uz select oznake, slijedi:

4p[60] = p[60] p[60]+1 p[60]+2 p[60]+3

= p[60] p[60]+1 p62 p63

= (1− q[60]) (1− q[60]+1) (1− q62) (1− q63)= 0.99380198 · 0.99029832 · 0.98225028 · 0.98034536= 0.9476918786.

2.8 Vjerojatnost smrti u dijelovima godine

�ivotne tablice zadaju samo zakon razdiobe za cjelobrojne x, tj. za slu£ajne varijableKx = bTxc. Razdioba slu£ajne varijable Tx moºe se dobiti interpolacijom uz neke dodatnepretpostavke o funkcijama uqx i µx+u, za u ∈ 〈0, 1〉. Razmotrit ¢emo tri glavne pretpostavke.

• Linearnost funkcije uqx

Ova pretpostavka je najvaºnija i moºe biti zapisana u dva razli£ita, ali ekvivalentnaoblika.

1. Za cjelobrojni x, 0 6 u < 1, pretpostavljamo

uqx = uqx.

2. U Poglavlju 2.5.1 upoznali smo se sa zapisom Tx = Kx + Rx, pri £emu je Kx

cjelobrojni dio slu£ajne varijable Tx. Pretpostavljamo da vrijedi Rx ∼ U(0, 1 i daje Rx neovisan od Kx.

Dokazat ¢emo ekvivalenciju ovih dviju pretpostavki:

(1)⇒ (2) Pretpostavljamo da je 1. pretpostavka to£na. Za x cijeli broj i 0 6 u < 1 vrijedi

P (Rx 6 u) =∞∑k=0

P (Rx 6 u,Kx = k) =∞∑k=0

P (k 6 Tx 6 k + u)

=∞∑k=0

kpx uqx+k =∞∑k=0

kpx u(qx+k)

= u

∞∑k=0

kpx qx+k = u

∞∑k=0

P (Kx = k) = u.

Slijedi da Rx ima uniformnu distribuciju na intervalu 〈0, 1〉. Kako bi dokazalinezavisnost Rx i Kx pogledajmo sljede¢e:

P (Rx 6 u,Kx = k) = P (k 6 Tx 6 k + u)

= kpx uqx+k = u kpx qx+k

= P (Rx 6 u)P (Kx = k).

25

Vidimo da iz pretpostavke (1) slijedi pretpostavka (2) pa pokaºimo i obrnutismjer.

(2) ⇐ (1) Pretpostavljamo sada da je 2. pretpostavka to£na. Za x cijeli broj i 0 6 u < 1

vrijedi

uqx = P (Tx 6 u) = P (Kx = 0, Rx 6 u) = P (Rx 6 u)P (Kx = 0)

jer smo pretpostavili da su Kx i Rx nezavisni. Slijedi

uqx = uqx.

�

Direktna posljedica ove pretpostavke je

lx+u = lx − udx, 0 6 u < 1.

To slijedi iz

uqx = 1− lx+ulx

uz kori²tenje pretpostavke 1 i (13)

udxlx

=lx − lx+u

lx.

Kad se rije²imo razlomka dobijemo navedenu posljedicu.

Primjer 2.8.1 Ako je p40=0.99855733, izra£unajte 0.4q40.2 pod ovim pretpostavkama.

Rje²enje:

0.4q40.2 = 1− 0.4p40.2 = 1− l40.6l40.2

= 1− 0.6p40

0.2p40= 1− 0.6 q40

0.2 q40= 0.0005772346.

• Konstantan intenzitet smrtnostiDruga vaºna pretpostavka je konstantnost intenziteta smrtnosti izme�u cjelobrojnihvrijednosti za dob x. Dakle, za cjelobrojni x i 0 6 u < 1 pretpostavljamo da µx+une ovisi o u te ga moºemo ozna£iti s µ∗x. Kako bi dobili vrijednost za µ∗x kre¢emo odjednakosti

px = e−∫ 10 µx+udu.

Kako pretpostavljamo da je µx+u = µ∗x, za 0 6 u < 1 slijedi

px = e−µ∗x ⇒ µ∗x = −ln px.

26

Dalje,

upx = e−∫ u0 µ∗xdu = e−µ

∗x = (px)

u.

Sli£no, za t, u > 0 i t+ u < 1, vrijedi

upx+t = e−∫ u0 µ∗xdu = (px)

u.

Primjer 2.8.2 Ako je p40=0.99855733, izra£unajte 0.4q40.2 (kao u Primjeru 2.8.1), alikoriste¢i pretpostavku o konstantnom intenzitetu smrtnosti.

Rje²enje:

0.4q40.2 = 1−0.4 p40.2 = 1− (p40)0.4 = 0.0005773179.

Vidimo da isti primjeri, rje²avani pomo¢u dvije razli£ite pretpostavke, daju jako sli£narje²enja (to£nost na 6 decimala). Razlog tome su slijede¢e aproksimacije:Pod pretpostavkom o konstantnom intenzitetu smrtnosti imamo

qx = 1− e−µ∗ ≈ µ∗,

uz uvjet da je µ∗ jako mali, i za 0 < u < 1

uqx = 1− e−µ∗u ≈ µ∗u.

Drugim rije£ima, aproksimacija uqx je u puta aproksimacija od qx, ²to nam zapravogovori prva pretpostavka o linearnosti funkcije uqx.

• Balduccijeva pretpostavkaPod Balduccijevom pretpostavkom mislimo na linearnost funkcije 1−uqx+u, tj. vrijedi

1−uqx+u = (1− u)qx.

Napomena 2.8.1 Nijedna od ovih pretpostavki nije ba² realisti£na, intenzitet smrtnosti usva tri slu£aja ima skokove (u cjelobrojnim vrijednostima dobi x nije neprekidan), dok jepod Balduccijevom pretpostavkom intenzitet smrtnosti £ak i padaju¢a funkcija u intervalima[k, k + 1〉, k ∈ N.

27

3 Vrste ºivotnih osiguranja

U ovom poglavlju ¢emo izvesti formule za tradicionalne oblike ºivotnih osiguranja. Vri-jeme i iznos isplate ¢e biti funkcije slu£ajne varijable Tx, koju smo ranije de�nirali kao duljinupreostalog ºivotnog vijeka osiguranika, no i same mogu biti slu£ajne varijable. Iako se u sa-mom radu baziramo samo na ºivotna osiguranja, ideje i izra£uni polica se mogu primjenitii na ostale tipova osiguranja - osiguranje opreme, strojeva, zajmova, poslovnih pothvata isli£no, tj. ovi modeli se mogu koristiti u svakoj situaciji gdje veli£ina i vrijeme �nancijskogu£inka mogu biti izraºeni isklju£ivo u terminu vremena nekog slu£ajnog doga�aja.

S funkcijama kojima izraºavamo sada²nju vrijednost uglavnom radimo u neprekidnomvremenu, jer je s matemati£ke strane transparentnije, kompletnije i �eksibilnije. To zna£i daako je, primjerice, dogovoreno osiguranje u slu£aju smrti, naknada ¢e biti ispla¢ena to£no utrenutku smrti. To naravno u praksi nije tako. U praksi osiguravatelji i aktuari adaptirajute analize u neprekidnom vremenu na probleme u diskretnom vremenu te £esto rade s mje-se£nim ili kvartalnim projekcijama nov£anog toka.

Sa Z ¢emo ozna£iti sada²nju vrijednost slu£ajnog toka novca. Ako postoji E[Z] < ∞,tada izraz E[Z] moºemo uzeti za "fair" cijenu slu£ajnog toka novca. Tu vrijednost zovemo ijednokratna neto premija, koju osiguravaju¢a ku¢a traºi u zamjenu za obvezu pla¢anja ugo-vorene svote. U premiju nisu ura£unati tro²kovi i naknade osiguranika, ²to nam i govori rije£neto u nazivu. Upla¢ene neto premije osiguravatelj investira kako bi kasnije mogao isplatitiosiguranu svotu. Pri izra£unu premije osiguravatelj mora prethodno �ksirati kamatnu stopu,po kojoj ¢e biti u mogu¢nosti investirati prikupljene premije tijekom ugovornog vremenskograzdoblja. No ipak, kod ovakvog odre�ivanja cijena nuºan je oprez jer:

- podrazumijeva neutralan odnos prema riziku, ²to je nerealno,

- katkad dopu²ta arbitraºu (zaradu bez rizika).

E[Z] ne opisuje rizik koji prihva¢a osiguravatelj, nego se taj rizik £esto opisuje varijancom.Jedna od mjera rizika je VaR (Value at Risk), gdje se koriste gornji q-kvantili razdiobe slu-£ajne varijable Z, tj. vrijednosti uq za koje je P (Z > uq) = q, za neki unaprijed odre�ennivo q. Naj£e²¢e je u praksi q = 0.05.

Doºivotno osiguranje ºivota, osiguranje ºivota na odre�eno vrijeme, osiguranje doºivlje-nja i mje²ovito osiguranje su naj£e²¢i oblici osiguranja koji donose prihod po smrti ili po rokudospije¢a, ovisi o vrsti, uglavnom sa unaprijed dogovorenim iznosom premija i osiguranomsvotom. Za svaki od ovih oblika de�nirat ¢emo slu£ajne varijable koje predstavljaju sada²njevrijednosti naknada koje trebaju biti ispla¢ene osiguraniku.

U nastavku pretpostavljamo neprekidnost slu£ajne varijable Tx i �ksnu kamatnu stopu.

28

3.1 Osnovne funkcije �nancijske matematike u aktuarstvu

Budu¢i da ra£unamo s �ksnom kamatnom stopom i, sada²nja vrijednost iznosa 1 kojidospijeva u trenutku t je jednostavno vt, pri £emu v zovemo diskontni faktor. Diskontnifaktor je dan formulom

v =1

1 + i,

gdje je i godi²nja efektivna kamatna stopa.

Sljede¢a funkcija koju ¢emo uvesti je δ, £iji je puni naziv intenzitet kamate po jedinicivremena u trenutku t. Vrijedi

δ = ln(1 + i) ⇒ 1 + i = eδ ⇒ v = e−δ.

Dakle, vrijednost u trenutku investicije iznosa investiranog bilo kada, koji dospijeva t godinakasnije u iznosu 1, je

v(t) = e−δt = (e−δ)t = vt.

δ(t) zapravo predstavlja brzinu akumulacije po jedinici kapitala.Uvedimo jo² oznaku

d = 1− v.

Izraz v = 1 − d = e−δ moºemo interpretirati na sljede¢i na£in: 1 − d moºemo shvatiti kaozajam u trenutku t = 0 koji ¢e biti ispla¢en u trenutku t = 1 i iznosa 1, s tim da je ve¢pla¢ena kamata d u trenutku t = 0. Dakle, banka nam odobri zajam u iznosu 1 na rokod jedne godine, mi vra¢amo to£no 1, ali na po£etku ne raspolaºemo s iznosom 1, nego siznosom 1−d. Kaºemo da je d diskontna ili anticipativna kamatna stopa po jedinici vremena.

Imamo i nominalnu diskontnu kamatnu stopu plativu p puta godi²nje:

d(p) = p

(1− v1/p

)⇔

(1− d(p)

p

)p= v.

Nominalnu kamatnu stopu plativu p puta godi²nje ozna£avamo sa i(p). Veza izme�u nomi-nalne i efektivne kamatne stope dana je sljede¢om formulom:

i(p) = p

((1 + p)1/p − 1

)⇔ 1 + i =

(1 +

i(p)

p

)p.

Kaºemo da je efektivna kamativna stopa i ekvivalentna nominalnoj kamatnoj stopi i(p) iobratno. Moºemo pokazati da vrijedi i > i(p),∀p > 1. Primjenom binomne formule imamo

1 + i =

(1 +

i(p)

p

)p=

p∑k=0

(p

k

)(i(p)

p

)k1p−k = 1 + p

i(p)

p+

p∑k=2

(p

k

)(i(p)

p

)k> 1 + i(p).

Op¢enito vrijedi ii = i(1) > i(2) > i(3) > . . . ,

no to ovdje ne¢emo dokazivati (dokaz se moºe na¢i u [1]).

29

3.2 Doºivotno osiguranje ºivota (Whole life insurance)

Pretpostavimo da ugovoreno osiguranje ºivota obvezuje osiguravatelja na isplatu �ksnog(unaprijed dogovorenog) iznosa 1 nakon smrti osiguranika. Isplata moºe biti neposrednonakon smrti, na kraju godine u kojoj je smrt nastupila ili na kraju nekog perioda tijekomgodine. Svaki od ovih slu£ajeva ¢emo posebno promatrati te dati formule i primjere.

3.2.1 Osiguranje plativo u trenutku smrti (Ax)

Prvo pretpostavljamo da ¢e osigurana svota biti ispla¢ena odmah po smrti osiguranika.Ovo je poznato i kao neprekidni slu£aj, budu¢i da radimo s neprekidnom slu£ajnom varija-blom Tx. Naravno, zbog raznih formalnosti u praksi nije mogu¢a isplata istog trena kad smrtnastupi, nego postoji neka odgoda od smrti do isplate. No to "ka²njenje" ne¢emo smatratizna£ajnim.

Uvijek ¢emo formule ra£unati na osnovu osiguranog iznosa 1, a u praksi ¢e se kod izra£unasada²nje vrijednosti mnoºiti sa iznosom osigurane svote. Dakle, za osiguranika u dobi x,sada²nja vrijednost iznosa 1, koji se ispla¢uje odmah po smrti, je slu£ajna varijabla Z danas

Z = vTx = e−δTx .

Vi²e ¢e nas zanimati o£ekivana sada²nja vrijednost E[Z], ²to aktuari ozna£avaju s Ax. Pov-laka iznad A ozna£ava isplatu odmah po smrti.Kako Tx ima funkciju gusto¢e fx(s) = spx µx+s slijedi

Ax = E[Z] = E[e−δTx ] =

∫ ∞0

e−δs spx µx+sds.

Interpretirajmo prethodnu jednakost:Promatramo vrijeme s, gdje je x 6 x+s 6 ω. Vjerojatnost da je osoba u dobi x ºiva do dobix+ s je spx, a vjerojatnost da (x) umre u periodu izme�u x+ s i x+ s+ ds je µx+sds, poduvjetom da je ds jako mali. U tom slu£aju, sada²nja vrijednost iznosa 1 u trenutku smrtiiznosi e−δs. Kada integriramo produkt sada²nje vrijednosti svote i navedenih vjerojatnostipo svim intervalima 〈x + s, x + s + ds〉 u kojima smrt moºe nastupiti dobit ¢emo sada²njuvrijednost naknade koja ¢e biti ispla¢ena u to£no jednom od tih intervala. Moºemo to igra�£ki pokazati.

Bilo koju vjerojatnost vezanu uz varijablu Z moºemo izra£unati iz vjerojatnosti povezanihs Tx. Primjerice, izra£unajmo vjerojatnost P (Z 6 0.5):

P (Z 6 0.5) = P (e−δTx 6 0.5) = P (−δTx 6 ln(0.5)) = P (δTx > ln(0.5))

= P (−δTx > ln(2)) = P (Tx > ln(2)/δ) = upx,

gdje je u = ln(2)/δ. Primje¢ujemo da su niske vrijednosti od Z povezane s ve¢im vrijed-nostima Tx, ²to ima smisla, jer je naknada puno skuplja za osiguravatelja ako ju on moraisplatiti ranije, budu¢i da je tad manja ²ansa da zaradi neku korist za sebe. �to kasnije

30

Slika 5 . Vremenski dijagram za neprekidno ºivotno osiguranje

osiguravatelj mora isplatiti osiguranu svotu, tj. ²to kasnije osiguranik umre, ve¢a je koristza osiguravatelja.

3.2.2 Isplata osigurane svote na kraju godine u kojoj je smrt nastupila (Ax)

Sada pretpostavljamo da osiguravatelj ispla¢uje ugovoreni iznos na kraju godine u kojojje smrt osiguranika nastupila. Ovo vrijeme isplate u praksi nije realno, ali razmotrit ¢emo iovakav pristup, jer ima prednost da se formule za sada²nju vrijednost mogu dobiti direktnoiz ºivotnih tablica. Trebat ¢e nam varijabla Kx, koja, podsjetimo, ozna£ava broj potpunihgodina koje je osiguranik doºivio od dobi kad je ugovarao policu ºivotnog osiguranja pa dosmrti. Tada vrijeme do kraja godine kada je smrt nastupila iznosi Kx+1. Slu£ajna varijablaZ opet ozna£ava sada²nju vrijednost osiguranog iznosa 1 koji se ispla¢uje na kraju godinesmrti, no ovaj put ju de�niramo sa

Z = vKx+1.

Prisjetimo se da vrijedi

P (Z = vk+1) = P (Kx = k) = P (k 6 Tx < k + 1)

= kpx qx+k = k|qx.

O£ekivana sada²nja vrijednost (jednokratna neto premija) za ovakav ugovor je

Ax = E[Z] = E[vKx+1]

=∞∑k=0

vk+1k|qx

= v qx + v2 1|qx + v3 2|qx + · · · .

Svaki od £lanova na desnoj strani jednakosti predstavlja sada²nju vrijednost iznosa 1, pla-¢enog u trenutku k, pod uvjetom da je osoba, koja je pristupila osiguranju u dobi x, umrlau intervalu 〈k − 1, k]. Gra�£ki prikaz je na Slici 6.�elimo li Ax izraziti u terminima veli£ina iz tablice smrtnosti prisjetimo se da vrijedi

k|qx =lx+k − lx+k+1

lx=dx+klx

.

31

Slika 6 . Vremenski dijagram za osiguranje ºivota s osiguranim iznosom plativim na krajugodine

Stoga je

Ax =∞∑k=0

vk+1k|qx =

∞∑k=0

vk+1 dx+klx

=1

vxlx

∞∑k=0

vx+k+1 dx+k.

Ako de�niramo nove zamjenske funkcije

Cx = vx+1 dx,

Mx = Cx + Cx+1 + Cx+2 + · · ·+ Cω−1,

Dx = vxlx,

moºemo pisati i

Ax =Mx

Dx

.

Primjer 3.2.1 Izra£unajte iznos koji osiguranik, sada u dobi 50, mora uplatiti pri sklapanjupolice ºivotnog osiguranja u zamjenu za isplatu 10000 eura na kraju godine u kojoj smrtosiguranika nastupi. (LAT A 1967-70, i = 4%)

Rje²enje:

A50 = 10000 · M50

D50

= 10000 · 1767.55554597.0607

= 3844.968808.

Obveze osiguranika pri sklapanju ugovora po navedenim uvjetima je uplata jednokratne netopremije u iznosu ≈ 3845 eura.

3.2.3 Isplata osigurane svote na kraju jednog od m perioda u godini smrti (A(m)x )

Pretpostavljamo da je godina podijeljena na m perioda i da osiguravatelj ispla¢uje osi-guranu svotu na kraju jednog od njih, ovisno u kojem je dijelu godine smrt nastupila. De�-niramo slu£ajnu varijablu K(m)

x , m > 1 cijeli broj, sa

K(m)x =

1

mbmTxc.

Diskretna slu£ajna varijabla K(m)x = k ozna£ava da je osoba, koja je pristupila osiguranju u

dobi x, umrla u intervalu [k, k + 1m〉, za k = 0, 1

m, 2m, . . . .

32

Pretpostavimo da (x) ºivi to£no 23.675 godina. Tada je Kx = 23, K(2)x = 23.5, K

(4)x =

23.5, K(12)x = 23 8

12= 23.6667.

Slu£ajna varijabla Z je de�nirana s

Z = vK(m)x +1/12,

a sada²nja vrijednost osiguranog iznosa 1 koji ¢e osiguravatelj morati isplatiti

A(m)x =

∞∑k=0

vk+1m k

m| 1mqx

= v1/m 1mqx + v2/m 1

m| 1mqx + v3/m 2

m| 11mqx + v4/m 3

m| 1mqx + · · · .

3.3 Osiguranje ºivota na odre�eno vrijeme (Term life insurance)

Pod pojmom ºivotnog osiguranja na odre�eno vrijeme smatramo isplatu unaprijed do-govorene osigurane svote samo u slu£aju smrti osiguranika unutar ugovorenog roka, recimood n godina. Ako osiguranik poºivi duºe od n godina ni²ta mu ne¢e biti ispla¢eno. Kao i uprethodnom poglavlju, imamo slu£ajeve kad se isplata vr²i odmah po smrti osiguranika, nakraju godine u kojoj je smrt nastupila ili na kraju nekog od m perioda unutar godine.

3.3.1 Osiguranje plativo u trenutku smrti (A1

x:nq)

U neprekidnom slu£aju, naknada se ispla¢uje odmah po smrti osiguranika. Sada²njuvrijednost osiguranog iznosa 1 ponovno ozna£avamo sa Z i de�niramo na sljede¢i na£in

Z =

{vTx = e−δTx , ako je Tx 6 n0 , ako Tx > n.

Aktuarska oznaka za o£ekivanu sada²nju vrijednost osiguranog iznosa je A1

x:nq, pri £emupovlaka iznad slova A ponovno ozna£ava da se naknada ispla¢uje odmah nakon smrti, ajedinica iznad x ozna£ava da osoba koja je ugovorila ovakav oblik ºivotnog osiguranja u dobix mora umrijeti prije nego ²to rok od n godina istekne da bi ugovorena svota bila ispla¢ena.Jednokratna neto premija se tada ra£una po formuli

A1

x:nq =

∫ n

0

e−δt tpx µx+tdt.

3.3.2 Isplata osigurane svote na kraju godine u kojoj je smrt nastupila (A1x:nq)

Sada promatramo situaciju kada se osigurana svotu ispla¢ujena kraju godine smrti, poduvjetom da se to dogodilo unutar n godina od sklapanja ugovora. Slu£ajnu varijablu Z,kojom opet modeliramo sada²nju vrijednost iznosa 1, de�niramo s

Z =

{vKx+1 , ako je Kx 6 n− 10 , ako Kx > n.

33

O£ekivana sada²nju vrijednost osigurane svote iznosi

A1x:nq =

n−1∑k=0

vk+1k|qx.

Izraz za jednokratnu neto premiju za ovakav oblik osiguranja moºemo izra£unati i na osnovivrijednosti iz tablica smrtnosti na sljede¢i na£in

A1x:nq =

Mx −Mx+n

Dx

.

Primjer 3.3.1 Izra£unajte iznos koji osiguranik, sada u dobi 50, mora uplatiti pri sklapanjupolice ºivotnog osiguranja na rok od 20 godina, u zamjenu za isplatu 10000 eura, na krajugodine u kojoj osiguranik umre. (LAT A 1967-70, i = 4%)

Rje²enje:Primjetimo da su osigurana svota i dob osiguranika jednaki kao u Primjeru 3.2.1, no sadapolica osiguranja ima rok trajanja 20 godina. Iznos koji ¢e osiguranik morati platiti prisklapanju ugovora iznosi

A150:20| = 10000 · M50 −M70

D50

= 10000 · 1767.5555− 994.38597

4597.0607= 1681.876922.

Logi£no je da je u ovom slu£aju iznos koji osiguranik mora uplatiti puno manji, jer postojimogu¢nost da nikad ni ne dobije osigurani iznos od 10000 eura. To ¢e se dogoditi ako doºivi70. godinu, dok je u slu£aju doºivotnog osiguranja ºivota isplata sigurna, samo je trenutakisplate neizvjesan.

3.3.3 Isplata osigurane svote na kraju jednog od m perioda u godini smrti(A(m)1

x:nq)

Promatramo slu£aj kada su godine trajanja ugovora podijeljene na m perioda, a osigura-vatelj ima obvezu isplate na kraju jednog od perioda u kojem je smrt nastupila, naravno poduvjetom da je osiguranik umro unutar n godina od sklapanja police osiguranja. Slu£ajnuvarijablu Z de�niramo kao

Z =

{vK

(m)x + 1

m , ako je K(m)x 6 n− 1

m

0 , ako K(m)x > n,

a o£ekivana sada²nja vrijednost iznosa 1 iznosi

A(m)1

x:nq =mn−1∑k=0

vk+1m k

m| 1mqx.

34

3.4 Osiguranje doºivljenja (Pure endowment)

Osiguranje doºivljenja se sastoji od jednokratne isplate na odre�eni datum u budu¢nosti,recimo za n godina, ali samo pod uvjetom da je osiguranik u tom trenutku ºiv. Pretpostavimoda je osoba pristupila osiguranju u dobi x i da je osigurala iznos 1 na n godina. Sada²njavrijednost iznosa 1 je

Z =

{vn , ako je Tx > n0 , ako Tx < n

=

{vn , s vjerojatno²¢u npx0 , s vjerojatno²¢u 1− npx

a o£ekivana sada²nja vrijednost (jednokratna neto premija) je

A 1x:nq = vn npx = vn

lx+nlx

. (15)

Jedinica iznad n ozna£ava da ¢e ugovoreni iznos biti ispla¢en samo ako pro�e n godinaod sklapanja police osiguranja. Prethodnu jednakost moºemo malo pro²iriti kako bi uvelizamjensku funkciju Dx. Vrijedi

A 1x:nq =

vx+nlx+nvxlx

=Dx+n

Dx

.

Primjer 3.4.1 Izra£unajte iznos koji osiguranik, sada u dobi 50, mora uplatiti za 20-ogodi²njeosiguranje doºivljenja u iznosu 10000 eura. (LAT A 1967-70, i = 4%)Koliko bi premija bila uz efektivnu kamatnu stopu 6%?

Rje²enje:i = 4% :

A 150:20| = 10000 · D70

D50

=1516.9972

4597.0607= 3297.75.

i = 6% :

A 150:20| = 10000 · v20 · 20p70 = 10000 ·

(1

1 + 0, 06

)20

· l70l50

= 2254.5196674.

Primjer 3.4.2 Pokaºite da je isplativije uzeti osiguranje doºivljenja na n godina u iznosuC, uz efektivnu kamatnu stopu i, nego oro£enu ²tednju uz kamatnu stopu i, koja nakon n

godina donosi iznos C (naravno ukoliko se poºivi dovoljno dugo).

Rje²enje:Ozna£imo sa Pod jednokratnu neto premiju koju osiguranik mora platiti pri sklapanju policeosiguranja doºivljenja, a sa Po² iznos koji bi uplatio u banku i oro£io na n godina kako bimu se kasnije isplatio iznos C. Vrijedi

Pod = CA 1x:nq = Cvn

lx+nlx

,

Po² = Cvn.

No, kako je lx+n < lx, jer naravno ima manje ljudi u dobi x+ n nego onih u dobi x, vrijedi

Pod < Po².

Akumulacija je ve¢a jer ispla¢ena naknada dolazi i od kamate i od doºivljenja.

35

3.5 Mje²ovito osiguranje ºivota i doºivljenja (Endowment)

Mje²ovito osiguranje ºivota je naj£e²¢i oblik osiguranja, jer je uz osiguranje ºivota i je-dan oblik ²tednje. To je privremeno osiguranje ºivota od dobi x do dobi x + n i osiguranjedoºivljenja dobi x+n, tj. ono osigurava iznos 1 na kraju godine smrti ukoliko se ona dogodiu prvih n godina, u suprotnom se isti iznos ispla¢uje na kraju n-te godine. Ovdje ¢emo samoprou£iti situaciju kada osigurani iznos ispla¢ujemo na kraju godine u kojoj je smrt nastupila.Mogu¢a su i druga dva roka isplate koje smo ranije spominjali, ali radi jednostavnosti i mo-gu¢nosti kori²tenja tablica smrtnosti u izra£unu sada²nje vrijednosti osigurane svote samo¢emo spomenuti isplatu na kraju godine smrti.

Sada²nju vrijednost iznosa 1 de�niramo slu£ajnom varijablom Z

Z = Z1 + Z2 =

{vKx , ako je Kx 6 n− 1vn , ako Kx > n

= vmin(Kx+1,n),

pri £emu je Z1 slu£ajna varijabla de�nirana kao u Poglavlju 3.3.2 za slu£aj osiguranja ºivotana odre�eno vrijeme, a Z2 je slu£ajna varijabla de�nirana kao u Poglavlju 3.4 za slu£ajosiguranja doºivljenja.O£ekivana sada²nja vrijednost je

n−1∑k=0

vk+1k|qx + vn npx,

²to koriste¢i aktuarsku notaciju moºemo zapisati kao

Ax:nq = A1x:nq + A 1

x:nq.

Koriste¢i tablice smrtnosti sada²nju vrijednost osiguranog iznosa moºemo dobiti i iz formule

Ax:nq =Mx −Mx+n +Dx+n

Dx

.

Kako je Z = Z1 + Z2, vrijedi

V ar(Z) = V ar(Z1) + 2Cov(Z1, Z2) + V ar(Z2).

Produkt Z1Z2 je uvijek 0 pa vrijedi

Cov(Z1, Z2) = E[Z1Z2]− E[Z1]E[Z2] = −A1x:nqA

1x:nq < 0.

Tada je varijanca dana s

V ar(Z) = V ar(Z1) + V ar(Z2)− 2A1x:nqA

1x:nq < V ar(Z1) + V ar(Z2).

Prethodna jednakost nam pokazuje da je manji rizik ako prodamo policu mje²ovitog osi-guranja jednom klijentu, nego da jedan klijent posebno ugovara osiguranje ºivota, a drugiosiguranje doºivljenja (ako rizik mjerimo varijancom).

36

Primjer 3.5.1 Osoba u dobi 35 godina ugovara 20-ogodi²nje mje²ovito osiguranje sa svotomza slu£aj doºivljenja 10000 eura i svotom za slu£aj smrti 15000 eura. Odredite jednokratnoneto premiju koju osiguranik mora platiti pri sklapanju ugovora. (LAT A 1967-70, i = 4%)

Rje²enje:

A35:20| = 15000 · A135:20| + 10000 · A 1

35:20|

= 15000 · M35 −M55

D35

+ 10000 · D55

D35

= 15000 · 1949.1300− 1645.2318

8545.0060+ 10000 · 3664.5684

8545.0060= 4822.016158.

3.6 Odgo�eno osiguranje ºivota

Isplata osigurane svote kod odgo�enog ºivotnog osiguranja za m godina ¢e se ostvaritisamo ako osiguranik preºivi tih m godina. Promatrajmo slu£aj isplate na kraju godine ukojoj je smrt nastupila. Sada²nja vrijednost osigurane svote 1 je

Z =

{vKx+1 , ako je Kx > m0 , ako Kx < m.

Jednokratnu neto premiju ozna£avamo sa m|Ax i ra£unamo po formulama

m|Ax = mpx vmAx+m

m|Ax = Ax − A1x:mq,

a moºemo ju izra£unati i iz tablica smrtnosti jer vrijedi

m|Ax =Mx+m

Dx

.

Ako promatramo slu£aj privremenog osiguranja ºivota s odgodom slu£ajnu varijablu Zde�niramo kao

Z =

{vKx+1 , ako je m 6 Kx < m+ n0 , ako Kx < m ili Kx > m+ n,

dok je o£ekivana sada²nja vrijednost osiguranog iznosa dana s

m|A1x:nq = A1

x:m+n| − A1x:mq =

Mx+m −Mx+m+n

Dx

.

3.7 Varijabilno osiguranje

U prethodnim poglavljima smo mogli primjetiti da smo o£ekivanu sada²nju vrijednostugovorenog iznosa koji ¢e biti ispla¢en ra£unali kao sumu po svim mogu¢im trenucima isplate.Sumirali smo produkt od 3 £lana:

- osigurana svota

37

- diskontirani faktor za pripadni termin isplate

- vjerojatnost da ¢e naknada biti ispla¢ena na taj termin isplate.

Na ovaj na£in moºemo ra£unati sada²nju vrijednost za bilo koji oblik osiguranja, ako jeduljina preostalog dijela ºivota osiguranika jedino ²to ne moºemo sa sigurno²¢u znati. Ovakavpristup moºemo opravdati kori²tenjem Bernoullijeve (ili indikatorske) slu£ajne varijable, £ijatablica distribucije ima oblik:

X(D) =

(0 1

1− p p

),

pri £emu p ozna£ava vjerojatnost uspjeha doga�aja D.

Ako s D ozna£imo doga�aj da je osoba dobi x umrla u intervalu 〈k, k+1], onda je E[X(D)] =

p, gdje je p = k|qx. O£ekivanje Bernoullijeve slu£ajne varijable je tada

E[X(D)] = 1 · ( k|qx) + 0 · (1− k|qx) = k|qx. (16)

Pretpostavimo da siguravaju¢e dru²tvo pla¢a 10000 eura nakon 10 godina ako je (x) umrlatijekom tih 10 godina i 20000 nakon 20 godina, ako je (x) umrla u narednih 10 godina.Doga�aj moºemo zapisati na sljede¢i na£in:

10000X(Tx 6 10)v10 + 20000X(10 < Tx 6 20)v20.

O£ekivana sada²nja vrijednost je tada

1000010qx v10 + 2000010|10qx v

20.

Bernoullijevu slu£ajnu varijablu moºe biti kori²tena i u neprekidnom slu£aju, tj. kada senaknada ispla¢uje u trenutku smrti osiguravatelja. Za jako mali dt vrijedi

E[X(t < Tx 6 t+ dt)] = P (t < Tx 6 t+ dt)

= P (Tx > t) P (Tx < t+ dt|Tx > t)

≈ tpx µx+tdt.

Promotrimo rastu¢u policu osiguranja s isplatom naknade u iznosu Tx u trenutku smrtiosiguranika. Dakle, ispla¢ena svota je jednaka broju godina koje je osiguranik preºivio, oddobi x do smrti. Ovo je primjer neprekidnog ºivotnog osiguranja, pri £emu je naknada kojase ispla¢uje linearno rastu¢a funkcija. Kako bi prona²li sada²nju vrijednost naknade koja ¢ebiti ispla¢ena, moramo sumirati (tj. integrirati) po svim intervalima 〈t, t + dt〉 u kojima jemogu¢a isplata. Potrebni su nam:

- osigurana svota u iznosu t

- diskontirani faktor e−δt

38

- vjerojatnost da ¢e naknada biti ispla¢ena u intervalu 〈t, t + dt〉 je vjerojatnost da ¢eosoba preºivjeti od dobi x do x + t i umrijeti u in�nitezimalnom intervalu 〈t, t + dt〉,²to je jednako tpx µx+tdt.

Sada moºemo izra£unati o£ekivanu sada²nju vrijednost∫ ∞0

te−δt tpx µx+tdt.

Aktuarska oznaka je (I A)x, gdje I dolazi od rije£i 'increasing', a povlaka iznad I ozna£avada je pove¢anje neprekidno.Ako polica prestaje vrijediti nakon �ksnog perioda od n godina, sada²nja vrijednost ugovo-rene svote je

(I A)1x:nq =

∫ n

0

te−δt tpx µx+tdt.

39

4 �ivotne rente

Osim opisanih tipova osiguranja u Poglavlju 3, osoba moºe ugovoriti i isplatu ºivotnih(osobnih) renti. Op¢enito, ºivotna renta je naziv za niz isplata u jednakim vremenskim in-tervalima, £ije su isplate uvjetovane doºivljenjem osigurane osobe. Ako osoba ºeli sklopitipolicu osiguranja osobnih renti, kao i u ranijim slu£ajevima duºna je platiti cijenu osigura-nja, odnosno premiju. Ona se moºe uplatiti jednokratno, godi²nje ili ispodgodi²nje. No, opremijama ¢emo ne²to vi²e re¢i u sljede¢em poglavlju.

Rente mogu biti doºivotne ili privremene, neposredne ili odgo�ene, prenumerando (pla-tive unaprijed, na po£etku intervala) ili postnumerando (plative unatrag, na kraju intervala),mogu se ispla¢ivati u jednakim ili nejednakim vremenskim intervalima (u godi²njim, ispodgo-di²njim ratama ili kontinuirano). Iznos koji se ispla¢uje moºe biti konstantan ili varijabilan.Ako je konstantan, dovoljno je izvesti izraz za sada²nju vrijednost rente koja se ispla¢ujeu iznosu 1, ostale vrijednosti su proporcionalne. Iznosi rente su unaprijed odre�eni, ali jebroj isplata slu£ajan, jer se isplata renti prekida nakon smrti osiguranika. Zato je sada²njavrijednost rente slu£ajna varijabla i ozna£it ¢emo ju s Y. Njeno o£ekivanje i ovdje moºemosmatrati "fair" cijenom i zvati jednokratno neto premija.

4.1 Financijske rente

Oznake za ºivotne rente analogne su �nancijskima pa ¢emo se upoznati s njima. Detalj-njije se moºe vidjeti u [1]. Za razliku od ºivotnih, �nancijske rente su izvjesne i ne ovise osmrti ili doºivljenju osiguranika. Ponovno ra£unamo s konstantnom efektivnom kamatnomstopom i.

• Promotrimo prvo slu£aj isplate iznosa 1 na kraju svake od n uzastopnih godina. Takvarenta zove se postnumerando renta ili plativa unatrag (ordinary annuity), a njenasada²nja vrijednost je

anq = v + v2 + · · ·+ vn = v(1 + v + · · · vn−1) = v1− vn

1− v=

1− vn1v− 1

=1− vn

i.

Naravno, ako se ispla¢uje iznos C sada²nja vrijednost je Canq.

• Sada promatramo prenumerando rentu ili rentu plativu unaprijed (annuity due). Vri-jednost u trenutku prve isplate je

anq = 1 + v + v2 + · · ·+ vn−1 =1− vn

1− v=

1− vn

d.

• Sada²nja vrijednost neprekidne rente iznosa 1, za n > 0, iznosi

anq =

∫ n

0

vtdt =1− vn

δ.

40

• Ispodgodi²nja prenumerando renta plativa m puta godi²nje, tijekom n godina, imasada²nju vrijednost

a(m)nq =

1

m

(1 + v

1m + v

2m + · · ·+ vn−

1m

)=

1− vn

d(m).

• Ispodgodi²nja postnumerando renta plativa m puta godi²nje, tijekom n godina, imasada²nju vrijednost

a(m)nq =

1

m

(v

1m + v

2m + · · ·+ vn

)=

1− vn

i(m),

a(m)nq = a

(m)nq −

1

m(1− vn).

O£ito vrijedi

anq = (1 + i)anq, anq = 1 + an−1|, ∀n > 2.

Vrijednost ovakve serije od n godi²njih isplata u trenutku zadnje isplate je

snq = (1 + i)n−1 · · ·+ (1 + i) + 1 =(1 + i)n − 1

i,

a godinu dana nakon zadnje isplate

�snq = (1 + i)n · · ·+ (1 + i)2 + (1 + i) = (1 + i)(1 + i)n − 1

i=

(1 + i)n − 1

d.

Ponekad se vrijednosti snq i �snq zovu akumulirane vrijednosti renti ili, kra¢e, akumulacije.

4.2 Neposredne doºivotne rente

Neposredna doºivotna renta po£inje vrijediti od datuma potpisivanja ugovora pa sve dosmrti osiguranika. Odrediti sada²nju vrijednost rente zna£i na¢i iznos koji bi ta osoba prislapanju police osiguranja u dobi x morala uplatiti kako bi joj osiguravatelj ispla¢ivao rentudo kraja ºivota.

Sa ax ozna£avamo vrijednost u trenutku x neposredne doºivotne godi²nje prenumerandorente iznosa 1. Ako (x) umre izme�u dobi x + k i x + k + 1 tada ¢e se prva isplata bitiodmah, druga godinu dana poslije (pod pretpostavkom da je osiguranik ºiv) i tako dalje,tj. u trenucima t = 0, 1, 2, ..., k, ²to zna£i ukupno k + 1 isplata. Neka je Kx takav da jesmrt osobe, koja je pristupila osiguranju u dobi x, nastupila izme�u x+Kx i x+Kx+1, tj.ukupno Kx + 1 isplata. Sada²nja vrijednost ove rente je slu£ajna varijabla Y dana s

Y = aKx+1| = 1 + v + v2 + · · ·+ vKx =1− vKx+1

d.

O£ekivana sada²nja vrijednost je

ax = E[Y ] = E

[1− vKx+1

d

]=

1− E[vKx+1]

d,

41

²to zbog veze s varijablom Z iz Poglavlja 3.2.2 daje

ax =1− Axd

.

Nakon sre�ivanja prethodne jednakosti dobijemo

1 = dax + Ax. (17)

Sada²nja vrijednost se moºe izraziti i kao

Y =∞∑k=0

vk X(Kx > k),

gdje X ponovno ozna£ava Bernoullijevu slu£ajnu varijablu, pa je jednokratna neto premija

ax = E[Y ] =∞∑k=0

vk kpx. (18)

Gra�£ki prikaz dobivene relacije je na Slici 7.

Slika 7 . Vremenski dijagram za neposredne ºivotne prenumerando rente

S desne strane formule (18) primjetimo vezu s (15); to je kao da za svaku godinu proma-tramo osiguranje doºivljenja u trajanju od jedne godine, jer za svaku godinu koju doºivimoispla¢uje nam se renta pa moºemo pisati

ax = 1 + A 1x:1| + A 1

x:2| + A 1x:3| + · · ·+ A 1

x:ω−x|.

U gornjoj sumi prvi £lan je 1, jer odmah po sklapanju ugovora osiguranje ispla¢uje prvurentu u iznosu 1, a daljnje ovise o doºivljenju osiguranika. U terminima zamjenskih funkcijaje

ax = 1 +ω−x∑k=1

A 1x:k| = 1 +

ω−x∑k=1

Dx+k

Dx

=1

Dx

(Dx +Dx+1 +Dx+2 + · · ·Dω−1).

Uvedemo li novu funkciju formulom

Nx =ω−1∑k=0

Dx+k = Dx +Dx+1 + · · · ,

42

za sada²nju vrijednost ove rente jo² moºemo pisati

ax =Nx

Dx

. (19)

Pogledajmo sada pripadnu neposrednu doºivotnu godi²nju postnumerando rentu. Ona seispla¢uje na kraju svake godine, sve dok je osiguranik ºiv. Ako je ugovorena renta u iznosu1 odmah moºemo zaklju£iti da vrijedi

ax = ax − 1, (20)

jer se u prenumerando slu£aju prvi iznos 1 ispla¢uje odmah po sklapanju ugovora, a upostnumerando tek na kraju perioda (u ovom slu£aju godine). Pogledajmo i gra�£ki prikaz:

Slika 8 . Vremenski dijagram za neposredne ºivotne postnumerando rente

Sada²nja vrijednost svih renti koje ¢e biti ispla¢ene iznosi

Y = v + v2 + · · ·+ vKx = aKx|,

a o£ekivana sada²nja vrijednost, tj. cijena ovog osiguranja je

ax = E[Y ] =äx − 1 =1− Axd

− 1.

Sli£no kao i u prenumerando slu£aju vrijedi

ax =∞∑k=1

vk kpx,

odnosno

ax = A 1x:1| + A 1

x:2| + A 1x:3| + · · ·+ A 1

x:ω−x| =ω−x∑k=1

A 1x:k|

=ω−x∑k=1

Dx+k

Dx

=1

Dx

(Dx+1 +Dx+2 + · · ·+Dω−1)

=Nx+1

Dx

.

Primjer 4.2.1 Osoba u dobi 50 ºeli osigurati doºivotnu osobnu rentu u visini 500 eura godi²-nje plativo na po£etku godine. Koliku jednokratnu neto premiju treba uplatiti osiguravateljuu trenutku pristupanja osiguranju? (LAT A 1967-70, select, i = 4%)

43

Rje²enje:Na ovom primjeru ¢emo pokazati da se i uz select tablice jednako ra£una, uz analogne oznakekao prije.

500 · a[50] = 500 ·N[50]

D[50]

= 500 · 73544.8234581.3224

= 8026.59326.

Dakle, osiguranik pri sklapanju ugovora pla¢a otprilike 8027 eura da bi do kraja ºivota napo£etku svake godine primao 500 eura. Samo za usporedbu, da osiguranik ºeli primati uplatena kraju svake godine, cijena ºivotne rente bi bila dosta jeftinija (7524.6 eura).

Formula (21) nam jasno pokazuje da je novac ispla¢en ranije skuplji. I u na²em slu£ajumoºemo primijeniti tu formulu pa ¢e vrijediti

500 · a[50] = 500 · a[50] − 500 = 7526.59326,

²to je pribliºno jednako i na²em izra£unu kojeg smo dobili na osnovu ºivotnih tablica.

4.3 Neposredne privremene rente

Neposredne privremene rente ili rente s ograni£enim trajanjem (od recimo n godina) seprestaju ispla¢ivati nakon isteka roka od n godina ili naravno ranije ako osiguranik umre.

Prvo promatramo prenumerando slu£aj. Pretpostavljamo da je osoba u dobi x ugovorilaneposrednu privremenu rentu na n godina. Uplate stiºu u trenucima k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,pod pretpostavkom da je osiguranik ºiv do dobi x+ k. Sada²nja vrijednost rente je

Y =

{aKx+1| , ako je Kx < n

anq , ako je Kx > n,

odnosno

Y = amin(Kx+1,n)| = 1 + v + v2 + · · ·+ vmin(Kx+1,n) =1− vmin(Kx+1,n)

d.

Jednokratna neto premija je tada

ax:nq = E[Y ] =1− E[vmin(Kx+1,n)]

d=

1− Ax:nqd

.

Prepoznajemo neke sli£nosti s mje²ovitim ºivotnim osiguranjem. Ranije smo imali isplatuili u slu£aju smrti ili u slu£aju doºivljenja, a kod osobnih renti isplate osiguraniku prestajukada se jedan od ova dva slu£aja dogodi. Promotrimo ovaj slu£aj i gra�£ki.

44

Slika 9 . Vremenski dijagram za neposredne privremene prenumerando rente

Sli£no kao i ranije dobivamo (Slika 9)

ax:nq = 1 + v px + v2 2px + v3 3px + · · ·+ vn−1 n−1px =n−1∑k=0

vk kpx.

Ako ºelimo ra£unati cijenu neposredne privremene rente iz tablica smrtnosti koristimo slje-de¢u formulu, istom logikom kao i ranije:

ax:nq = 1 + A 1x:1| + A 1

x:2| + A 1x:3| + · · ·+ A 1

x:n−1|

=Dx

Dx

+Dx+1

Dx

+Dx+2

Dx

+ · · ·+ Dx+n−1

Dx

=Nx −Nx+n

Dx

.

Promotrimo sada neposredne privremene rente plative unatrag (postnumerando). Slu-£ajna varijabla kojom modeliramo sada²nju vrijednost svih isplata ove rente je

Y = amin(Kx,n)|,

pa je (Slika 10)

ax:nq = v px + v2 2px + v3 3px + · · ·+ vn npx =n∑k=1

vk kpx.

Slika 10 . Vremenski dijagram za neposredne privremene postnumerando rente

Vezu izme�u postnumerando i prenumerando neposredne privremene rente daje nam sljede¢aformula

ax:nq = äx:nq − 1 + vn npx.

45

Ako ponovno ºelimo koristiti vrijednosti iz tablice smrtnosti, cijenu ove postnumerandorente dobijemo iz sljede¢ih relacija

ax:nq = A 1x:1| + A 1

x:2| + A 1x:3| + · · ·+ A 1

x:n|

=Dx+1

Dx

+Dx+2

Dx

+ · · ·+ Dx+n

Dx

=Nx+1 −Nx+n+1

Dx

.

4.4 Odgo�ene doºivotne rente

Ako ºelimo da nam uplate osobnih renti po£nu stizati za u godina pa sve do na²e smrti,moºemo ugovoriti policu odgo�ene doºivotne rente. Na Slici 11 moºemo vidjeti kad stiºuuplate iznosa 1 te pripadna vjerojatnost i diskontni faktor.

Slika 11 . Vremenski dijagram za odgo�ene doºivotne prenumerando rente

Stoga je o£ekivana sada²nja vrijednost ovakve rente dana s

u|ax = vu upx + vu+1u+1px + vu+2

u+2px + · · · = vu upx ax+u.

O£ito vrijedi

u|ax = ax − ax:uq =Nx+u

Dx

,

²to i logi£ki moºemo zaklju£iti. Naime, privremena doºivotna renta jednaka je neposrednojdoºivotnoj renti kada od nje oduzmemo uplate koje stiºu na ra£un osiguranika tijekom prvihu godina nakon sklapanja ugovora.

Sli£no, za odgo�enu doºivotnu godi²nju postnumerandu rentu s rokom odgode u godina (ugodi²njem iznosu 1) o£ekivana sada²nja vrijednost je

u|ax = ax − ax:uq =Nx+1

Dx

− Nx+1 −Nx+u+1

Dx

=Nx+u+1

Dx

.

Primjer 4.4.1 Osoba u dobi 30 uplati jednokratnu premiju 5000 eura. Na koju doºivotnugodi²nju prenumerando rentu ima pravo po£ev²i od svoje 65. godine? (LAT A 1967-70,i = 4%)

Rje²enje:Ozna£imo sa C iznos godi²nje rente. Vrijedi

5000 = C · 35|ax = C · N65

D30

⇒ C = 5000 · D30

N65

46

C = 5000 · 10433.31023021.434

= 2265.999155.

Vidimo koja se koli£ina novca akumulirala kroz 35 godinja £ekanja. Na upla¢enih 5000 eurau 30. godini, osiguranik od 65. godine pa do smrti moºe po£etkom svake godine primati2266 eura. Osiguranik na koncu moºe zaraditi puno vi²e nego ²to je uplatio, naravno uzuvjet da to doºivi.

4.5 Odgo�ene privremene rente

Isplata odgo�ene privremene rente, ugovorene u dobi x, kre¢e u dobi x+u i traje do dobix+ u+ n. Dakle, radi se o renti u trajanju od n godina s odgodom od u godina. O£ekivanasada²nja vrijednost, ako promatramo prenumerando slu£aj, je

u|nax = ax:u+n| − ax:uq =Nx+u −Nx+u+n

Dx

.

Za n = 1

u|1ax =Nx+u −Nx+u+1

Dx

=Dx+u

Dx

= A 1x:m|

dobivamo osiguranje doºivljenja dobi x + u i jednu jedinu isplatu u iznosu 1, ako ju osobakoja je pristupila osiguranju u dobi x i doºivi.

O£ekivana sada²nja vrijednost renti koje se ispla¢uju na kraju godine (postnumerando) je

u|nax = ax:u+n| − ax:uq =Nx+u+1 −Nx+u+n+1

Dx

.

4.6 �ivotne rente plative m puta godi²nje

Uplata premija, isplata renti ili pak isplata mirovina u godi²njim periodima nije toliko£est slu£aj. �e²¢e se uplate/isplate vr²e kvartalno, mjese£no ili £ak tjedno.

Neka je m prirodan broj. Promotrimo doºivotnu prenumerando rentu u godi²njem iznosu1, ali koja se pla¢a m puta godi²nje u iznosima 1

m. Uplate dospijevaju u dobi osiguranika

x, x+1

m,x+

2

m, . . . , x+ 1, x+ 1 +

1

m, . . . .

Analogno kao i ranije, zaklju£ujemo da je o£ekivana sada²nja vrijednost ove rente (Slika 12)

a(m)x =

1

m

∞∑k=0

vkm k

mpx =

1

m

∞∑k=0

vkm

lx+ km

lx=

1

m

∞∑k=0

Dx+ km

Dx

.

Za odgovaraju¢u postnumerando rentu uplate stiºu u dobi

x+1

m,x+

2

m, . . . , x+ 1, x+ 1 +

1

m, . . . ,

tj. u trenucima1

m,2

m,3

m. . . .

47

Slika 12 . Vremenski dijagram za prenumerando rente plative m puta godi²nje

Stoga je o£ekivana sada²nja vrijednost je analogna kao u prenumerando slu£aju, ali kre¢e odk = 1, tj.

a(m)x =

1

m

∞∑k=1

vkm k

mpx =

1

m

∞∑k=1

vkm

lx+ km

lx=

1

m

∞∑k=1

Dx+ km

Dx

.

Vrijedi

a(m)x =

1

m+ a(m)

x . (21)

iz £ega ponovno vidimo da su prenumerando rente skuplje.

Promotrimo sada privremene rente koje se ispla¢uju m puta godi²nje. Ako je ugovoromodre�eno da ¢e se renta ispla¢ivati kroz n godina, naravno ukoliko osiguranik ostane ºiv,ukupno moºemo o£ekivati najvi²e nm isplata. Dakle,

a(m)x:nq =

1

m

nm−1∑k=0

vkm k

mpx =

1

m

nm−1∑k=0

Dx+ km

Dx

,

a(m)x:nq =

1

m

nm∑k=0

vkm k

mpx =

1

m

nm∑k=1

Dx+ km

Dx

,

a(m)x:nq − a

(m)x:nq =

1

m− 1

m

Dx+n

Dx

=1

m

(1− Dx+n

Dx

).

Cijenu rente koja se ispla¢uju vi²e puta godi²nje moºemo izraziti preko cijene godi²njedoºivotne rente koriste¢i Woolhouseovu formulu.

4.6.1 Woolhouseova formula

Ako je u(t) = ut dovoljno puta derivabilna funkcija vrijedi (vidi [3])

1

m

nm−1∑k=0

u tm≈

n−1∑t=0

ut +m− 1

2m(un − u0)−

m2 − 1

12m2(u′

n − u′

0) +m4 − 1

720m4(u′′

n − u′′

0)− · · · . (22)

Uglavnom se zadnji £lan iz gonje formule izostavlja pa ¢emo ju i mi koristiti u tom obliku.

Neka je ut =Dx+t

Dx

derivabilna funkcija. Kada na tu funkciju primjenimo Woolhouseovu

formulu lijeva strana je jednaka

48

1

m

nm−1∑t=0

Dx+ tm

Dx

= a(m)x:nq .

Nadalje, prvi £lan s desne strane formule je

1

m

n−1∑t=0

Dx+t

Dx

= ax:nq.

Kako bi dalje mogli raspisati formulu (22), to£nije njen tre¢i £lan s desne strane, moramo

vidjeti kako izgleda derivacija na²e funkcije, tj. zanimat ¢e nas∂

∂tDx+t.

Kako je Dx+t = vx+tlx+t, uz (12) vrijedi

∂

∂tDx+t =

∂

∂t(vx+t)lx+t + vx+t

∂

∂tlx+t

= ln v · vx+tlx+t + vx+t(−µx+t lx+t)= −δDx+t − µx+tDx+t

= −Dx+t(µx+t + δ).

Sada moºemo raspisati Woolhouseovu formulu s na²om funkcijom

a(m)x:nq ≈ ax +

m− 1

2m

(Dx+n

Dx

− 1

)− m2 − 1

12m2

(− Dx+n

Dx

(µx+n + δ) + (µx + δ)

). (23)

Kada n = ω − x, vrijedi

a(m)x ≈ ax −

m− 1

2m− m2 − 1

12m2(µx + δ),

jer Dω = Dω+1 = 0.

Kako bi si jo² olak²ali ra£un zanemarit ¢emo tre¢i £lan gornje formule. Naime, δ i µ suuglavnommali brojevi (naj£e²¢e manji od 1

10). Budu¢i da se radi o ispodgodi²njim funkcijama

m je barem 2, ako promatramo taj tre¢i £lan vidimo da je on u praksi uvijek

622 − 1

12 · 22· ( 110

+1

10) = 0.0125,

pa to moºemo zanemariti. Dakle, vrijedi

a(m)x ≈ ax −

m− 1

2m. (24)

Budu¢i da znamo (20) i (21) za postnumerando rentu tako�er moºemo izra£unati aproksi-maciju

a(m)x = a(m)

x − 1

m≈ ax +

m− 1

2m− 1

m= ax + 1− m− 1

2m− 1

m= ax +

m− 1

2m,

a(m)x ≈ ax +

m− 1

2m.

Iz dobivenih aproksimacija vidimo da je

49

a(m)x < ax i a(m)

x > ax,

²to je i logi£no. Naime, skuplje je platiti 1 na po£etku godine nego m puta iznos 1mtijekom

godine, jer su kamate ve¢e. No, o tome ¢emo detaljnjije ne²to kasnije.

Dosad smo promatrali neposrednu doºivotnu rentu plativu m puta godi²nje, budu¢i dasmo odredili da n→∞. No, promatrajmo sada privremenu doºivotnu rentu plativu m putatijekom godine. Ponovno iz formule (23) ispustimo zadnji £lan pa imamo

a(m)x:nq ≈ ax −

m− 1

2m

(1− Dx+n

Dx

).

Prisjetimo se veze izme�u postnumerando i prenumerando neposredne privremene rente

ax:nq = ax:nq + 1− vn npx = ax:nq + 1− Dx+n

Dx

,

i uz

a(m)x:nq − a

(m)x:nq =

1

m

(1− Dx+n

Dx

),

slijedi

a(m)x:nq = a

(m)x:nq −

1

m

(1− Dx+n

Dx

),

a(m)x:nq ≈ ax:nq −

m− 1

2m

(1− Dx+n

Dx

)− 1

m

(1− Dx+n

Dx

),

a(m)x:nq ≈ ax:nq +

(1− 1

m− m− 1

2m

)(1− Dx+n

Dx

).

Dakle, kona£na aproksimacija za privremenu postnumerando rentu plativu m puta godi²njeje

a(m)x:nq ≈ ax:nq +

m− 1

2m

(1− Dx+n

Dx

).

Za doºivotnu rentu, plativu m puta godi²nje i odgo�enu k godina, vrijedi

k|a(m)x = k|ax −

m− 1

2m· Dx+k

Dx

.

Kako u praksi £esto imamo tablice samo za cjelobrojne vrijednosti od x, ovdje dobiveneaproksimacije su osobito korisne u ovim slu£ajevima.

Primjer 4.6.1 Osoba u dobi 50 ugovara ºivotnu rentu koja ¢e se po£eti ispla¢ivati od 60. go-dine pa do smrti, u iznosu 100 eura na kraju svakog mjeseca. Izra£unajte sada²nju vrijednostrente. ( LAT A 1967-70, i = 4%)

50

Rje²enje:Godi²nje se osiguraniku isplati 12 · 100 = 1200 eura. Ra£unamo

10|a(12)50 = 10|a50 −

12− 1

2 · 12· D60

D50

=N61

D50

− 11

24· D60

D50

=32985.667

4597.0607− 11

24· 2855.59424597.0607

= 6.89.

Dakle, o£ekivana sada²nja vrijednost ove rente je 1200 · 6.89 = 8268 eura.

4.6.2 Neprekidne ºivotne rente

U praksi se rente ispla¢uju u diskretnim vremenskim intervalima, ali ako su ti intervalibliski jedan drugome, primjerice ako se renta ispla¢uje tjedno, prikladno je te isplate tretiratikao neprekidne. Dakle, pretpostavljamo da se renta u godi²njem iznosu 1 ispla¢uje m putagodi²nje, pri £emu jem jako velik. Tada nema razlike izme�u prenumerando i postnumerandoisplate, pa ¢emo zajedni£ku neprekidnu rentu, tj. njezinu o£ekivanu sada²nju vrijednostozna£avati s ax. Slu£ajnu varijablu Y de�niramo kao

Y = aTx

i analogno kao u slu£aju neposredne doºivotne rente plative u godi²njem iznosu formulu zacijenu rente moºemo dobiti na nekoliko na£ina.

Prvo ¢emo iskoristiti formulu iz �nancijske matematike

anq =1− vn

δ,

odnosno, u na²im oznakama ¢e to biti

Y =1− vTx

δ

pa slijedi

ax = E[Y ] =1− E[vTx ]

δ=

1− Axδ

.

Drugi na£in je da sumiramo (u ovom slu£aju ¢emo morati integrirati) sve produkte iznosaisplate u jako malom intervalu 〈t, t+ dt〉, pripadni diskontni faktor i vjerojatnost da je do²lodo isplate ba² u tom intervalu. Za svaki takav interval iznos je dt, diskontni faktor e−δt ivjerojatnost tpx, ²to nam daje

ax =

∫ ∞0

e−δt tpxdt.

Zapravo, ovdje integral ne ide do ∞ nego do ω − x, jer je to broj godina koje ¢e osiguranikod dobi x, u kojoj ugovara rentu, pa sve do smrti doºivjeti, a upravo je to i broj godina

51

koliko ¢e se dugo renta ispla¢ivati.Kada je δ = 0 slijedi da je ax =�ex, odnosno cijena neprekidne godi²nje rente u iznosu 1jednaka je o£ekivanoj preostaloj duljini ºivota.

Tako�er smo do ove formule mogli do¢i koriste¢i izraz

Y =

∫ ∞0

e−δt X(Tx > t)dt.

Na jednak na£in moºemo dobiti formule i za neprekidne privremene ºivotne rente kojese ispla¢uju tijekom n godina u jako kratkim vremenskim intervalima. Slu£ajna varijabla

amin(Tx,n)| =1− vmin(Tx,n)

δ

ima o£ekivanje koje ¢emo ozna£iti s ax:nq. Ponovno moºemo na nekoliko na£ina dobiti cijenuove rente:

ax:nq =1− Ax:nq

δ,

odnosnoax:nq =

∫ n

0

e−δt tpxdt.

Ipak, puno bolju preciznost dobijemo kada se vratimo Woolhouseovoj formuli

a(m)x ≈ ax +

m− 1

2m− m2 − 1

12m2(µx + δ).

Kada pustimo m→∞ dobijemo

ax ≈ ax +1

2− 1

12(µx + δ).

Moºemo pisati i

ax ≈ ax +1

2− 1

12(µx + δ), (25)

jer smo rekli da se razlika izme�u postnumerando i prenumerando rente gubi kada m→∞.

Dalje, neprekidnu ºivotnu rentu moºemo zapisati i na sljede¢i na£in

ax =

∫ ω−x

0

vt tpxdt =

∫ ω−x

0

Dx+t

Dx

dt.

Ako de�niramo

Dx =

∫ 1

0

Dx+tdt i Nx =

∫ ∞0

Dx+tdt = Dx +Dx+1 + · · · ,

dobivamo

ax =Nx

Dx

.

Ako aproksimiramo∫ 1

0

Dx+tdt ≈1

2(Dx +Dx+1) ⇒ Dx ≈

1

2(Dx +Dx+1)

52

onda slijedi

Nx ≈1

2Nx +

1

2Nx+1 = Nx −

1

2Dx.

Stoga je cijena rente

ax =Nx

Dx

≈Nx − 1

2Dx

Dx

=2Nx −Dx

2Dx

=Nx

Dx

− 1

2

ax ≈ ax −1

2,

²to smo mogli dobiti iz (24) kada pustimo m→∞.

Pogledajmo ²to bismo dobili da nema kamate (i = 0, odnosno v = 1, δ = 0). Formula

ax =

∫ ω−x

0

vt tpxdt

prelazi u

�ex =∫ ω−x

0tpxdt,

²to ozna£ava o£ekivano budu¢e trajanje ºivota osobe koja sada ima x godina. Aproksimacija(26) daje

�ex ≈ ex +1

2− 1

12µx,

a kad zanemarimo i zadnji £lan dobijemo

�ex ≈ ex +1

2.

Ovu aproksimaciju smo ve¢ vidjeli u Poglavlju 2.5.1. U ovom je slu£aju ex vrijednost doºi-votne postnumerando rente bez kamate. Ranije smo ex upoznali kao cjelobrojno preostalotrajanje ºivota osobe koja je sada u dobi x. Dobivena aproksimacija pokazuje da je�ex pri-bliºno isto ²to i modi�cirani ex u kojem se pretpostavlja da se sve smrti doga�aju na polovicigodine.

4.7 Rastu¢e ºivotne rente

Ponekad se mogu ispla¢ivati rente koje nisu uvijek iste visine, nego se s godinama po-ve¢avaju. To pove¢anje moºe biti primjerice aritmeti£ko, geometrijsko i sli£no, a mi ¢emoovdje radi jednostavnosti razmatrati samo aritmeti£ko pove¢anje rente s vremenom.

Pretpostavljamo da se iznosi t + 1 ispla¢uju u trenucima t = 0, 1, 2, . . . , n − 1, dakleprenumerando u dobi osiguranika x, x+1, x+2, . . . , naravno uz pretpostavku da je osoba uvremenu t jo² ºiva.Oznaka za o£ekivanu sada²nju vrijednost rastu¢e prenumerando rente je (Ia)x i sa Slike 13vidimo da se moºe ra£unati na sljede¢i na£in

53

Slika 13 . Vremenski dijagram za rastu¢e rente

(Ia)x =∞∑t=0

vt(t+ 1)tpx.

Sli£no, ako se renta ispla¢uje samo kroz n godina, a ne doºivotno, o£ekivana sada²nja vri-jednost rente dana je formulom

(Ia)x:nq =n−1∑t=0

vt(t+ 1)tpx.

Ako ºelimo da se rente ispla¢uju na kraju perioda u prethodnim formulama ¢emo krenutisumirati od t = 1, a u slu£aju privremene rastu¢e rente suma ide do indeksa t = n.

4.8 Usporedba ºivotnih renti prema frekvenciji isplata

Iz Tablice 2 moºemo vidjeti da vrijedi

ax < a(4)x < ax < a(4)x < ax.

Tablica 2 . Vrijednosti za ax, a(4)x , ax, a

(4)x , ax

Dva su razloga za ovakav poredak:

• Recimo da se renta u iznosu 1 ispla¢uje godi²nje. Dok je god osiguranik ºiv i u postnu-merando i u prenumerando slu£aju svake godine se isplati iznos 1, ali u prenumernadoslu£aju on se ispla¢uje ranije. Renta koja se ispla¢uje ranije je skuplja nego renta kodkoje se iznos ispla¢uje na kraju perioda (naravno ako je efektivna kamatna stopa > 0).Dakle, vrijednosti rente su u rastu¢em poretku od prosje£no najkasnijeg datuma isplate(ax se ispla¢uje na kraju godine) do najranijeg datuma isplate (a se pla¢a na po£etkusvake godine).

54

• U godini u kojoj osiguranik umre bit ¢e ispla¢eni razli£iti iznosi renti. U slu£ajugodi²nje prenumerando rente cijeli iznos 1 ¢e biti ispla¢en, ako je osoba na rok isplatepo£etkom godine ºiva. Pretpostavljamo da u godini smrti osiguranik nije umro ba² nanjenom isteku, pa je lako mogu¢e da iznos 1 uop¢e ne¢e biti ispla¢en. Ako se renteispla¢uju vi²e puta godi²nje ili neprekidno, ni tada puni iznos rente ne¢e biti ispla¢en.Na primjer, pretpostavimo da je osoba umrla nakon 7 mjeseci. Godi²nja prenumerandorenta ¢e biti ispla¢ena u punom iznosu 1. U slu£aju prenumerando rente koja seispla¢uje kvartalno stigle su tri uplate na ra£un osiguranika, svaka u iznosu 1

4i to

u trenucima 0, 14i 1

2. Zadnja isplata ove rente, koja je trebala sti¢i u trenutku 3

4, se

nije dogodila, jer osoba nije doºivjela po£etak devetog mjeseca. Ako je ugovorenaneprekidna renta ispla¢en je ukupan iznos 7

12. U slu£aju rente koja se ispla¢uje na

kraju svakog kvartala ukupno je ispla¢eno pola godi²njeg iznosa rente, jer su izostaleuplate u trenucima 3

4i 1. Do isplate postnumerando godi²nje rente naºalost nije ni

do²lo. Dakle, vidimo da zaklju£ak s po£etka poglavlja vrijedi jer je

0 <1

2<

7

12<

3

4< 1.

Osiguranje ºivota se razlikuje od osiguranja ºivotnih renti. Kod osiguranja ºivota, u slu£a-jevima Ax i A

(m)x nema razlike u iznosu isplate. On ¢e svakako biti ispla¢en u cijelosti, samo

se razlikuje rok isplate. No, za razliku od toga, rente ax i a(4)x se razlikuju i u iznosu i udatumu isplate.

Iz tablice jo² moºemo zaklju£iti da su vrijednosti za ax otprilike aritmeti£ka sredina od

ax i ax, sugeriraju¢i nam aproksimaciju ax ≈ ax +1

2.

Sli£no vrijedi i za rente koje se ispla¢uju samo tijekom n godina ili do smrti osobe akodo toga ranije do�e:

ax:nq < a(4)x:nq < ax:nq < a

(4)x:nq < ax:nq.

55

5 Premije

Polica osiguranja je �nancijski ugovor izme�u osiguravaju¢eg dru²tva i osobe koja seºeli osigurati. Ona s jedne strane osiguravatelju name¢e obvezu pla¢anja naknada nakonsmrti/doºivljenja/tijekom ºivota osiguranika, kako je ve¢ ugovorom dogovoreno, a s drugestrane i osiguraniku name¢e obvezu pla¢anja premija. Premija je zapravo cijena police i imadvije namjene. Jedna je osiguranje sredstava za osiguravatelja kako bi on kasnije mogaoisplatiti ugovoreni iznos klijentu, a druga je pokrivanje dodatnih tro²kova koji se javljajuu poslovanju. Ako ignoriramo dodatne tro²kove govorimo o neto premiji, u suprotnom ri-je£ je o bruto premiji. U slu£aju neto premije, njena o£ekivana sada²nja vrijednosti morabiti jednaka o£ekivanoj sada²njoj vrijednosti obveza osiguravatelja (osiguranih iznosa). Navisinu premije osiguranja utje£u: vjerojatnost nastupa smrti osiguranika, visina kamatnestope koju osiguravatelj o£ekuje ostvariti na �nancijskim trºi²tima, rok trajanja ugovora oosiguranju, procijenjeni tro²kovi i planirana dobit osiguravatelja.

Tri su na£ina pla¢anja premija. Ve¢ smo u prija²njim poglavljima spominjali jednokratnuneto premiju, no rijetko kada osiguranici pla¢aju premiju u jednom obroku. Izuzetak su ne-posredne rente, jer njihova isplata po£inje odmah po sklapanju ugovora, pa osiguravaju¢aku¢a mora osigurati sredstva za isplatu. Kod osiguranja ºivota, doºivljenja ili odgo�enihrenti premije se uglavnom pla¢aju u pravilnim vremenskim razmacima, primjerice tjedno,mjese£no, kvartalno ili polugodi²nje, i to ve¢inom u jednakim iznosima. Naj£e²¢e se radi omjese£noj uplati premija. Pretpostavlja se da su svi osiguranici i zaposleni (i da primajumjese£nu pla¢u), jer u suprotnom te²ko da bi im osiguravaju¢a ku¢a odobrila policu osigu-ranja, pa osiguranici naj£e²¢e ºele da im je frekvencija mjese£nih nov£anih odljeva pribliºnojednaka frekvenciji mjese£nih priljeva. Tre¢i na£in je periodi£no pla¢anje premija, ali u raz-li£itim iznosima, ²to je rijetko.

Bitno obiljeºje premija je da se one pla¢aju unaprijed, tj. prenumerando, pri £emu osi-guranik mora uplatiti prvu premiju odmah po sklapanju ugovora. Kako bi vidjeli za²to je tobitno, pretpostavimo da je mogu¢e prvu premiju uplatiti tek na kraju godine u kojoj je policaosiguranja ugovorena. U tom slu£aju osiguranik moºe sklopiti ugovor o polici osiguranja inakon nekog vremena raskinuti ugovor. Tada bi ta osoba bila skoro godinu dana osigurana,a bez da je uplatila ijednu premiju, ²to nikako ne ide u korist osiguravatelju.

Pla¢anje premija prestaje nakon isteka ugovorenog roka ili smr¢u osiguranika ako onaranije nastupi. Primjerice, ako ugovaramo doºivotno osiguranje ºivota uobi£ajeno je pla¢anjepremija do neke odre�ene dobi - recimo do dobi 65 kada osiguranik odlazi u mirovinu.Nadalje, osoba u dobi 45 bi mogla ugovoriti odgo�enu ºivotnu rentu i pla¢ati premije tijekom20-ogodi²njeg perioda kako bi si u mirovini osigurala dodatni izvor prihoda.

56

5.1 Neto premije

Nov£ani tok za ugovore tradicionalnih ºivotnih osiguranja se sastoji od naknade kojeosiguravatelj mora isplatiti (uz dodatne tro²kove koji se javljaju tijekom trajanja policeosiguranja) i prihoda od premija. I ugovorena svota koju osiguranje ispla¢uje i premije kojeprima ovise o smrti i doºivljenju osiguranika, tj. o njegovoj preostaloj duljini ºivota. Zato¢emo slu£ajnom varijablom L modelirati sada²nju vrijednost gubitka osiguravatelja u odnosuna policu osiguranja i de�nirati ju na sljede¢i na£in

L = sada²nja vrijednost naknada - sada²nja vrijednost neto premija.

Negativni gubitak zapravo zna£i dobitak za osiguravatelja. Distribucija sada²nje vrijednostigubitka se koristi kako bi osiguravatelj izra£unao odgovaraju¢u visinu premija za odre�eniiznos naknada, ili obratno, odgovaraju¢e visine isplata osiguranicima s obzirom na iznospremija koje oni upla¢uju. Osiguravatelju ¢e za to trebati tzv. princip premija. To jemetoda odabira odgovaraju¢e premije kori²tenjem distribucije slu£ajne varijable L, a mi¢emo u tu svrhu koristiti princip ekvivalencije. Pod ovim principom podrazumijevamo da zaneto premije mora vrijediti

E[L] = 0, (26)

odnosno

o£ekivana s.v. naknade = o£ekivana s.v. svih neto premija

Sada²nje vrijednosti su uglavnom odre�ene do trenutka kad je polica osiguranja izdana.Oznaka za godi²nju neto premiju, koju osiguranik po£inje pla¢ati u dobi x, je Px.

5.1.1 Neto premije za doºivotno i privremeno osiguranje ºivota

Promotrimo doºivotno osiguranje ºivota za osobu u dobi x, gdje je osigurani iznos 1plativ na kraju godine smrti. Premija Px se pla¢a godi²nje prenumerando pa je jednadºbavrijednosti, prema (26), dana s

ax · Px = Ax.

Suma godi²njih uplata svih premija mora biti jednaka iznosu koji se ispla¢uje nakon smrtiosiguranika. Premija iznosi

Px =Axax.

Iz tablica smrtnosti tako�er slijedi

Px =Axax

=Mx

DxNxDx

=Mx

Nx

.

Prisjetimo se, Mx =ω−1∑k=x

Ck predstavlja zbroj diskontiranih brojeva umrlih osoba (Cx =

vx+1dx) u dobi x, a Nx =ω−1∑k=x

Dk zbroj diskontiranih brojeva ºivih osoba (Dx = vxlx) u dobi

x.

57

Gubitak osiguravatelja je tadaL = vK+1 − PxaK+1|.

Promotrimo osiguranje ºivota na rok od n godina. Pretpostavljamo da se osigurana svotau iznosu 1 osiguraniku pla¢a na kraju godine u kojoj je smrt nastupila, naravno samo akoje smrt nastupila unutar tih n godina. Godi²nju premiju ozna£avamo s P 1

x:nq i ona iznosi

P 1x:nq =

A1x:nq

ax:nq=

Mx−Mx+n

DxNx−Nx+n

Dx

=Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

.

Gubitak za osiguravatelja je

L =

{vK+1 − P 1

x:nqaK+1| , ako je K < n

−P 1x:nqanq , ako je K > n.

U slu£aju da osigurnik poºivi duºe od n godina od trenutka pristupanja osiguranju osigu-ravatelje ne mora platiti nikakvu naknadu, a zadrºava premije koje je osiguranik uplatio.Vrijednost slu£ajne varijable L je tada negativna, ²to zna£i da je osiguravatelj na dobitku.

Ako se premije upla¢uju kroz kra¢i vremenski period nego ²to je trajanje osiguranjaoznakama za premiju se dodaje pre�ks t koji inducira da se premija pla¢a samo kroz prvih tobroka (tj. godina ako se premija upla¢uje godi²nje). Godi²nja premija u slu£aju doºivotnogosiguranja ºivota ¢e biti

tPx · ax:tq = Ax ⇒ tPx =Mx

Nx −Nx+ t,

a u slu£aju osiguranja ºivota na odre�eno vrijeme (n godina)

tP1x:nq =

A1x:nq

ax:tq=Mx −Mx+n

Nx −Nx+t

.

U uvodu smo rekli kako se premije uglavnom upla¢uju u obrocima £e²¢im od godi²njih,tj. m puta godi²nje. U tom slu£aju samo trebamo modi�cirati dosada²nje formule. Vrijedi

P (m)x =

Ax

a(m)x

,

odnosno

P1(m)x:nq =

A1x:nq

a(m)x:nq

.

Bilo bi pogre²no samo podijeliti iznos godi²nje premije sa m, jer treba voditi ra£una oukama¢ivanju i eventualnoj ranijoj smrti osiguranika.

5.1.2 Neto premije za osiguranje doºivljenja

Pretpostavljamo da je osiguranik u dobi x ugovorio osiguranje doºivljenja u trajanju odn godina. Osigurana svota 1 se ispla¢uje samo ako osiguranik doºivi dob x+n. Tada gubitakosiguravatelja iznosi

L =

{−P 1

x:nqaK+1| , ako je K < n

vn − P 1x:nqanq , ako je K ≥ n.

58

U slu£aju da osiguranik umre prije isteka roka od n godina, osiguravatelj zadrºava sve pre-mije koje je osiguranik platio do smrti.

Neto godi²nja premija u ovom slu£aju iznosi

P 1x:nq =

A 1x:nq

ax:nq=

Dx+nDx

Nx−Nx+nDx

=Dx+n

Nx −Nx+n

.

Ako se premija pla¢a samo u prvih t obroka, njen iznos je

tP1

x:nq =A 1x:nq

ax:t|=

Dx+n

Nx −Nx+t

.

Vrijednost premije koja se pla¢a m puta godi²nje je

P1(m)

x:nq =A 1x:nq

a(m)x:nq

.

5.1.3 Neto premije za mje²ovito osiguranje

Pretpostavljamo da je osiguranik sklopio policu mje²ovitog osiguranja u trajanju n go-dina, ²to zna£i da ¢e mu naknada biti ispla¢ena i u slu£aju doºivljenja i u slu£aju ranijesmrti. O£ito vrijedi

Px:nq =Ax:nqax:nq

Px:nq = P 1x:nq + P 1

x:nq =Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

.

Gubitak osiguravatelja je

L =

{vK+1 − P 1

x:nqaK+1| , ako je K < n

vn − P 1x:nqanq , ako je K ≥ n.

Ako se premija pla¢a kra¢e od n godina, odnosno samo u prvih t obroka njen iznos je

tPx:nq =Ax:nqax:t|

=Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+t

.

Ako osiguranik ºeli pla¢ati premiju vi²e puta godi²nje, njegova obveza je uplata osiguravateljugodi²nje m rata u iznosu

P(m)x:nq =

Ax:nq

a(m)x:nq

.

Primjer 5.1.1 Osoba u dobi 35 godina ugovara 20-ogodi²nje mje²ovito osiguranje sa svotomza slu£aj doºivljenja 10000 eura i svotom za slu£aj smrti 15000 eura. Odredite godi²nju netopremiju. (LAT A 1967-70, i = 4%)

59

Rje²enje:P · a35:20| = 15000 · A1

35:20| + 10000 · A 135:20q

P · N35 −N55

D35

= 15000 · M35 −M55

D35

+ 10000 · D55

D35

P =15000 · (M35 −M55) + 10000 ·D55

N35 −N55

= 346.2824381.

Prisjetimo se, u Primjeru 2.5.1 se radilo o mje²ovitom osiguranju sa istim rokom i osiguranimsvotama za oba slu£aja, no tada smo ra£unali jednokratno neto premiju (4822 eura). S drugestrane, primjetimo da osiguranik u ovom slu£aju ukupno uplati 20 · 346.2824381 ≈ 6925.65

eura premija (ako doºivi svih 20 godina koliko ugovor traje).

5.2 Bruto premije

Kada osiguravaju¢e dru²tvo odre�uje visinu premija za pojedino osiguranje, mora uzetiu obzir sve tro²kove koji se u poslovanju mogu pojaviti. Premija koja uklju£uje sve tro²kovekoje osiguravaju¢e dru²tvo moºe imati u vezi s osiguranim slu£ajem zove se bruto premija.

Tro²kove dijelimo na po£etne tro²kove i tro²kove obnove. Primjerice, provizija agentimaza prodaju osiguranja se ubraja u po£etne tro²kove, dok pod tro²kove obnove podrazumi-jevamo pla¢e zaposlenika, najam poslovnog prostora, godi²nja izvje²¢a vlasnicima polica isli£no. Podrazumijeva se da tro²kovi obnove nastaju u drugoj godini i dalje se proteºu dokraja.

Tro²kovi mogu biti proporcionalni premijama i ispla¢enim naknadama pa se i izraºavajuu njihovom postotku ili mogu biti 'po polici', tj. �ksni za sve police i nevezani za veli-£inu ugovora. Logi£no je da ¢e provizija agentima za prodaju osiguranja ovisiti o njihovoje�kasnosti, dok je za razliku od toga mjese£na visina najma poslovnog prostora unaprijedodre�ena. �esto se pretpostavlja da tro²kovi kamata po polici rastu kako bi primirili utjecajin�acije.Ponovno ¢emo s L modelirati sada²nju vrijednost gubitka osiguravatelja u odnosu na policuosiguranja. U slu£aju bruto premije ona je de�nirana s

L = sada²nja vrijednost naknade + sada²nja vrijednost tro²kova-- sada²nja vrijednost svih bruto premija.

Ako primijenimo de�niciju za L u slu£aju neto premije prethodnu jednadºbu moºemo zapisatii na sljede¢i na£i na£in:

L = sada²nja vrijednost svih neto premija + sada²nja vrijednost tro²kova-- sada²nja vrijednost svih bruto premija.

Ponovno mora vrijediti princip ekvivalencije, tj. E[L] = 0. Dakle,

o£ekivana s.v. bruto premija = o£ekivana s.v. naknade + o£ekivana s.v. tro²kova (27)

Sljede¢i teorem nam daje vezu izme�u neto i bruto premije, pod pretpostavkom posebnestrukture tro²kova, koja je primjenjiva u mnogim situacijama u praksi.

60

Teorem 5.2.1 Ugovorena je polica osiguranja u kojoj se premije pla¢aju godi²nje, prenu-merando tijekom n godina. Dio tro²kova obnove su proporcionalni premiji (npr. k putagodi²nja premija, 0 6 k 6 1), dok drugi dio tro²kova obnove u konstantnom iznosu c nastajena po£etku svake godine kad se premija pla¢a. Uz to postoje i po£etni tro²kovi u iznosu I. SaP ¢emo ozna£iti neto premiju, a sa P

′′bruto premiju. Tada je

P′′=

1

1− k

(P + c+

I

ax:nq

), ako je n kona£an i

P′′=

1

1− k

(P + c+

I

ax

), ako je n beskona£an.

Dokaz:Iz (27) slijedi

P′′ax:nq = P ax:nq︸ ︷︷ ︸

Ax:nq

+ k · P ′′ ax:nq + c · ax:nq + I︸ ︷︷ ︸sada²nja vrijednost tro²kova

.

Nakon dijeljenja s ax:nq dobijemo

(1− k)P ′′ = P + c+I

ax:nq

P′′=

1

1− k

(P + c+

I

ax:nq

).

�

Interpretirajmo prethodnu formulu u slu£aju kada je n kona£an. Svaki put kad je pla¢enagodi²nja bruto premija P

′′, jedan dio te premije, kP

′′+ c, pokriva tro²kove obnove. Ostaje

namP′′ − (kP

′′+ c) = (1− k)P ′′ − c = P +

I

ax:nq.

Znamo da je P neto premija, aI

ax:nqmoºemo interpretirati kao godi²nju ratu, koja u seriji

uplata pokriva po£etne tro²kove. Zaista, sada²nja vrijednost tih uplata jeI

ax:nqax:nq = I.

Dakle, svaka uplata godi²nje premije u potpunosti pokriva neto premiju i tro²kove obnoveza tu godinu, a dio koji preostaje ¢e s vremenom pokriti i po£etne tro²kove.

Primjer 5.2.1 Izra£unajte godi²nju bruto premiju za mje²ovito osiguranje osobe u dobi 40,na period od 25 godina i uz osiguranu svotu od 10000 eura. Po£etni tro²kovi iznose 2%

osigurane svote, tro²kovi obnove se sastoje od 5% svake premije (uklju£uju¢i prvu) i 0.3%osigurane svote, s tim da se uzme jo² 50% prve premije. (LAT A 1967-70, select, i = 4%)

Rje²enje:Neka je A[40]:25| sada²nja vrijednost naknade i P

′′bruto premija. Jednadºba vrijednosti je

sada

P′′a[40]:25| = A[40]:25| · 10000 +

5

100· P ′′ · a[40]:25| +

0.3

100· 10000 · a[40]:25| +

2

100· 10000 + 0.5P

′′,

61

odnosnoP′′(0.95 · a[40]:25| − 0.5) = (A[40]:25| · 100 + 0.3 · a[40]:25| + 2) · 100.

Kako je

a[40]:25| =N[40] −N65

D40

= 15.6087,

A[40]:25| =M[40] −M65 +D65

D40

= 0.399665,

dobijemo godi²nju bruto premiju u iznosu

P′′=

(100 · 0.399665 + 0.3 · 15.6087 + 2) · 1000.95 · 15.6087− 0.5

= 325.574 eura.

62

6 Premijska rezerva

U trenutku sklapanja ugovora o polici osiguranja sada²nje vrijednosti obveza osigura-vatelja i osiguranika su jednake. Dakle, sada²nja vrijednost naknade (ugovorene svote zakoju se o£ekuje da ¢e ju osiguravatelj isplatiti) je jednaka sada²njoj vrijednosti premija zakoje se o£ekuje da ¢e ih klijenti uplatiti. Govorimo upravo o principu ekvivalencije kojegsmo spominjali u pro²lom poglavlju. Nakon nekog vremena princip ekvivalencije vi²e ne¢evrijediti. Mogu¢e je da je osiguranik ve¢ otplatio dio svojih premija, ali jo² nije do²lo doosiguranog slu£aja (smrti, isteka roka osiguranja itd.) da bi osiguravatelj isplatilo naknadu.

Promatrat ¢emo tijek novca (uplate premija/isplata naknade) tijekom trajanja ugovora.Bit ¢e nam potreban jedan "fond" koji bi balansirao izme�u dvije ugovorne strane. U osi-guravaju¢im dru²tvima taj fond zovemo premijska rezerva. Ako polica osiguranja jo² uvijektraje, osiguravatelj ºeli osigurati sredstva koja bi mogla pokriti sve budu¢e obveze. Akobudu¢e premije koje tek moraju biti upla¢ene nisu dovoljne za to, odre�eni fond izgra�enod ve¢ primljenih premija mora biti ostavljen sa strane. Ako se polica �nancira isklju£ivoiz neto premija govorimo o neto premijskoj rezervi, a ako su uklju£eni i tro²kovi radi se omodi�ciranoj ili bruto premijskoj rezervi. Mi ¢emo ovdje govoriti samo o neto premijskimrezervama.

6.1 Neto premijske rezerve

Ponovno ¢emo slu£ajnom varijablom Lmodelirati budu¢i gubitak osiguravatelja, ali ¢emododati i pre�ks t kako bi precizirali da promatramo sada²nje vrijednosti preostalih obvezaosiguranika i osiguravatelja od trenutka t pa do kraja ugovora. Vrijedi

tL = s.v. u trenutku t svih budu¢ih naknada - s.v. u trenutku t svih budu¢ih premija.

Neto premijsku rezervu de�niramo kao

tV = E[tL|Tx > t].

Oznaka tV dolazi od rije£i policy value. Dakle, premijska rezerva nam daje vrijednost policeu trenutku t, tj. o£ekivanu vrijednost svih budu¢ih gubitaka, uz uvjet da je osiguranik ºiv utrenutku t. Police uglavnom imaju svojstvo da je tV > 0 nakon nekog vremena t, ²to zna£ida o£ekivani gubitak za osiguravatelja na po£etku raste. Kako smo ve¢ u uvodu naveli, toje posljedica £injenice da se premije pla¢aju i prije nego ²to se ispla¢uju naknade, ²to dajemotivaciju osiguranicima da ne raskidaju ugovor. Upla¢ene premije osiguravatelj mora rezer-virati i reinvestirati kako bi osigurao sredstva za budu¢e obveze i naknade osiguranicima kojetek dolaze na naplatu. Drºanje rezerve je klju£no u odrºavanju solventnosti osiguravaju¢egdru²tva.

No, osiguravatelj naravno ne¢e rezervirati sve upla¢ene premije, nego samo jedan dio.Neto premija sastoji se od riziko premije Pr i ²tedne premije Ps (P = Pr + Ps). �tedna ilirezervna premija je onaj dio premije koji se iz godine u godinu izdvaja iz napla¢enih premijau fond koji sluºi za pokri¢e budu¢ih obveza osiguravatelja. Osiguravatelj od napla¢ene neto

63

premije koristi samo riziko premiju za pokri¢e rizika, a ²tednu premiju odvaja u ²tednju uzkamatu, da bi, kad se za to ukaºe potreba, ispunio svoje obveze. Dakle, ukupna premijskarezerva u trenutku t je zbroj svih ukama¢enih ²tednih premija do tog trenutka. Ukupnarezerva podijeljena brojem polica koje su u tom trenutku aktivne zove se neto premijskarezerva po slu£ajno odabranoj polici.

6.1.1 Prospektivna i retrospektivna formula

Premijska rezerva se moºe ra£unati na vi²e na£ina, a mi ¢emo spomenuti prospektivnu iretrospektivnu metodu. Sa svt(C) ozna£imo vrijednost toka novca u iznosu C u trenutku tpa vrijedi

E[svt(C)] = (1 + i)tE[sv0(C)] =1

vtE[Tsv0(C)].

De�niramo sljede¢e tokove novca

N[a,b〉= sve naknade ispla¢ene u intervalu [a, b〉,

P[a,b〉= sve premije upla¢ene u intervalu [a, b〉.

Iz E[L] = 0 slijediE[sv0(N[0,∞〉)]− E[sv0(P[0,∞〉] = 0,

pa vrijedi i

E[sv0(N[t,∞〉)]− E[sv0(P[t,∞〉] = E[sv0(P[0,t〉)]− E[sv0(N[0,t〉]. (28)

Ako se premijska rezerva dobije kao razlika sada²njih vrijednosti svih budu¢ih isplata nak-nada i sada²njih vrijednost svih budu¢ih uplata premija radi se o prospektivnoj metodi(prospektivno = gledano unaprijed).Ako se premijska rezerva dobije kao razlika akumuliranih vrijednosti svih upla¢enih premijai akumuliranih vrijednosti ve¢ ispla¢enih naknada radi se o retrospektivnoj metodi (retros-pektivno = gledano unatrag).Vidimo da u (28) desna strana jednakosti jednim dijelom odgovara retrospektivnoj metodi,a lijeva strana prospektivnoj, naravno uz uvjet da je osoba doºivjela dob t. Dakle, moravrijediti:

prospektivna rezerva u trenutku t = retrospektivna rezerva u trenutku t

Matemati£ki, prospektivnu metodu moºemo zapisati kao

tVprosp = E[svt(N[t,∞〉)|Tx > t]− E[svt(P[t,∞〉|Tx > t]

=1

vt

(E[sv0(N[t,∞〉)|Tx > t]− E[sv0(P[t,∞〉|Tx > t]

),

a uz kori²tenje svojstava uvjetnog o£ekivanja moºe se dobiti ([7])

tVretro =

E[sv0(P[0,t〉)]− E[sv0(N[0,t〉]

vt tpx.

64

Vidimo da akumulirana vrijednost nije jednostavno razlika izme�u upla¢enih premija i is-pla¢enih naknada. Recimo to ovako: ako postoji veliki broj ljudi koji ugovaraju istu vrstuosiguranja, akumulirana vrijednost je udio jednog preºivjelog osiguranika u ukupnom fondu.Dakle, moºemo re¢i da je retrospektivna rezerva novac koji je osiguravaju¢e dru²tvo aku-muliralo do trenutka t, a prospektiva rezerva je koli£ina novca potrebna za budu¢e obveze.Naravno, ove dvije rezerve moraju biti jednake kako osiguravaju¢e dru²tvo ne bi imalo �-nancijskih problema, a da bi to ostvarili premije moraju biti ispravno odre�ene (principomekvivalencije).

Primjetimo da vrijedi 0Vretro = 0, jer osiguranje ne moºe biti prodano osobi koja je umrla

pa je i naknada u slu£aju smrti za t = 0 uvijek 0. Moºemo pisati i 0V = 0.

U Poglavlju 5 upoznali smo se s aktuarskim oznakama za premije, koje se na isti na£in moguprimijeniti i na premijske rezerve. Navest ¢emo formule za prospektivnu metodu za svakitip osiguranja. Retrospektivne se na analogan na£in mogu izvesti.

Prospektivna formula

• Doºivotno osiguranje ºivota:

tVx = Ax+t − Pxax+t

= Ax+t − Axax+tax

= 1− dax+t − (1− dax)ax+tax

= 1− ax+tax

tVx =Mx+t

Dx+t

− Mx

Nx

· Nx+t

Dx+t

• Osiguranje ºivota na rok od n godina:

tV1x:nq = A1

x+t:n−t| − P1x:nqax+t:n−t|

= A1x+t:n−t| − A

1x:nq

ax+t:n−t|ax:nq

tV1x:nq =

Mx+t −Mx+n

Dx+t

− Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

• Osiguranje doºivljenja:

tV1

x:nq = A1

x+t:n−t| − P1

x:nqax+t:n−t|

= A1

x+t:n−t| − A1

x:n|ax+t:n−t|ax:nq

tV1

x:nq =Dx+n

Dx+t

− Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

65

• Mje²ovito osiguranje ºivota na rok od n godina:

tVx:nq = Ax+t:n−t| − Px:nqax+t:n−t|

= Ax+t:n−t| − Ax:n|ax+t:n−t|ax:nq

= 1− dax+t:n−t| − (1− dax:nq)ax+t:n−t|ax:nq

= 1−ax+t:n−t|ax:nq

tVx:nq =Mx+t −Mx+n +Dx+n

Dx+t

− Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

Primjer 6.1.1 Osoba u dobi 45 ugovara ºivotno osiguranje u trajanju 20 godina i iznosa5000 eura. Premije se pla¢aju godi²nje. Koliko iznosi rezerva na kraju 12. godine? (LAT A1967-70, 4%)

Rje²enje:Ukupna rezeva iznosi 5000 · 12V

145:20|, gdje je

12V145:20| = A1

57:8| − A145:20| ·

a57:8|a45:20|

.

Ra£unamo redom

A157:8| =

M57 −M65

D57

= 0.0977,

A145:20| =

M45 −M65

D45

= 0.1043483332,

a57:8| =N57 −N65

D57

= 6.707882588,

a45:20| =N45 −N65

D45

= 13.48790764.

Kao rezultat dobijemo

12V145:20| = 0.04580489618,

pa je ukupna neto rezerva na kraju 12. godine pribliºno 229 eura.

Primjer 6.1.2 Osoba u dobi 50 ugovara doºivotno osiguranje ºivota u iznosu 10000 eura igodi²nju uplatu premija. Koliko iznosi rezerva u dobi od 63 godine? (LAT A 1967-70, 4%)

Rje²enje:Traºena rezerva iznosi 10000 · 13V50, pri £emu je

13V50 = 1− a63a50

.

66

Redom dobijemo

a50 =N50

D50

= 16.06598838,

a63 =N63

D63

= 11.46266783,

pa slijedi

13V50 = 0.2865258234.

Ukupna rezeva nakon 13 godina trajanja ugovora iznosi 2865.26 eura.

U primjerima koje smo dosad promatrali premijska rezerva je bila pozitivna, no to nemora uvijek biti tako. Navest ¢emo primjere s negativnom premijskom rezervom, ukazati naprobleme koje one nose te pokazati kako ih se rije²iti.

Pretpostavimo da grupa ljudi ugovara jednogodi²nje osiguranje u iznosu 1000 s uplatompremije na kraju godine. Premiju moºemo odrediti iz formule

PA 1x:1| = 1000A1

x:1|

P = 1000A1x:1|

A 1x:1|

.

Naizgled sve izgleda u redu s premijom, no ovakva situacija krije potencijalnu opasnost zaosiguravatelja. Ako vlasnik police preºivi do kraja godine ne¢e primiti nikakvu naknadu, pa¢e moºda odustati od police i ne¢e platiti premiju za nju. S druge strane, ako je osiguranikumro tijekom te godine osiguravatelj mu mora isplatiti osigurani iznos, a da mu zauzvratnije upla¢ena niti jedna premija.

Ako osiguranik tijekom te godine odustane od police, osiguravatelj ¢e pretrpiti �nancij-ski gubitak. Na prvi pogled se moºe £initi £udno kako osiguravatelj moºe pretrpiti gubitakiako nije morao isplatiti osiguranu svotu klijentu koji je odustao od osiguranja, ali svakoodustajanje ipak zna£i gubitak za osiguravatelja. Moramo imati na umu da se cijene po-lica odre�uju na temelju tablica smrtnosti za grupu osiguranika. Ako netko od osiguranikaodustane ostatak grupe vi²e ne £ini reprezentativan uzorak.

Kako bi se svi problemi izbjegli rezervu je potrebno ra£unati nakon ²to se isplate svenaknade u slu£aju smrti osiguranika, a prije isplata naknada za doºivljenje i uplata premija.Ako polica istekne, premija ne¢e biti pla¢ena, a osiguravatelj ne¢e morati platiti ni naknaduza doºivljenje. Ako osiguranik raskine ugovor u trenutku kada je rezerva pozitivna osigura-vatelj ne¢e pretrpjeti gubitak. �ak je mogu¢e da dio rezerve i vrati osiguraniku.

Navest ¢emo jo² neke uvjete zbog kojih rezerve ne mogu biti negativne. Ako je prisklapanju ugovora pla¢ena jednokratna premija, prospektivna rezerva ¢e biti nenegativna ubilo kojem trenutku t > 0. Vaºno je uvijek imati na umu da izra£un rezerve u trenutku t ima

67

svojstvo da se uplate i isplate ne mogu doga�ati nakon trenutka t, osim ako je osiguranikpreºivio. Sada pretpostavimo doºivotno osiguranje ºivota s konstantnim iznosom, koji ¢ebiti ispla¢en nakon smrti te godi²nju uplatu premija. Vjerojatnost umiranja za pojedinogosiguranika iz godine u godinu raste. �to je osiguranik stariji, sve je ve¢a ²ansa da ¢eumrijeti, a vjerojatnost preºivljavanja se smanjuje. To povla£i da ¢e osiguravatelj svakegodine ispla¢ivati sve vi²e naknada, a primati sve manje premija. Zato je potrebno uvijekimati pozitivnu rezervu kako bi se pokrio taj rastu¢i jaz. Sve ove £injenice ¢emo probatidokazati matemati£ki.

Teorem 6.1.1 Pretpostavimo da je osiguranje izdano osobi dobi x u trenutku t = 0. Zabilo koji cijeli broj k uplate i isplate (premija i naknade) se ne mogu ostvariti nakon t = k,osim ako je osiguranik preºivio do tog trenutka. Neka je n kona£an pozitivan cijeli broj ilibeskona£an, takav da je vjerojatnost uplate premije nakon trenutka t = n jednak 0. Za bilokoji nenegativni cijeli broj k 6 n−1 s Pk ozna£imo o£ekivanu sada²nju vrijednost u trenutkut = k toka novca premija izme�u t = k i t = k + 1, a o£ekivanu sada²nju vrijednost u t = k

toka novca naknada izme�u trenutaka t = k i t = k+1 sa Uk. �tovi²e, ako je n kona£an, Unozna£ava o£ekivanu sada²nju vrijednost u t = n svih tokova novca nakon t = n. Neka su Pki Uk pozitivnog predznaka. Pretpostavljamo da vrijedi

P0 > P1 > P2 > · · · > Pn−1 > 0,

U0 6 U1 6 U2 6 · · · 6 Un−1.

Tada je

r(t) =tV

n−t−1∑k=0

vk kpx+t Pt+k

za t = 0, 1, . . . , n− 1 rastu¢a funkcija od t.

Dokaz prethodnog teorema se moºe na¢i u [5].

Korolar 6.1.2 Pod pretpostavkama Teorema 6.1.1 vrijedi

tV > 0, t = 0, 1, . . . , n.

Dokaz:Budu¢i da je vjerojatnost isplate naknade uslijed smrti u trenutku t = 0 jednaka nuli, imamo

0V =0 Vretro = 0.

Slijedir(0) = 0.

Koriste¢i tvrdnju teorema dobijemo

0 6 r(t) =tV

n−t−1∑k=0

vk kpx+t Pt+k

.

68

Dakle,0 6 tV, t = 1, 2, . . . , n− 1.

Budu¢i da se premije ne pla¢aju nakon t = n slijedi

nV =n Vprosp = Un > 0.

�

Pogledajmo neke primjene ovog teorema u praksi. Ako se premije pla¢aju u jednakimgodi²njim iznosima, tijekom trajanja osiguranja ºivota na odre�eno vrijeme, vrijedi

P0 = P1 = P1 = · · · = P.

Kad se premija upla¢uje neprekidno, pri £emu je ukupna godi²nja premija u iznosu P , vrijedi

Pk = P

∫ 1

0

vt tpx+k dt,

a kako je tpx+k padaju¢a funkcija od k, za svaki �ksni t, vrijedi Pk > Pk+1.

Promotrimo osiguranje ºivota sa ugovorenim iznosom 1 koji ¢e biti ispla¢en u slu£aju smrti.Ako se naknada ispla¢uje na kaju godine u kojoj je smrt nastupila imamo

Uk = v qx+k.

Kako je qx+k rastu¢a funkcija od k vrijedi Uk 6 Uk+1.

6.2 Rekurzivna formula

Ako se pla¢anje premija i naknada uvijek doga�a na po£etku ili na kraju godine tijekomtrajanja osiguranja, postoji jednostavna rekurzivna formula koja daje vezu izme�u rezervi uuzastopnim godinama. U tu svrhu ¢emo promotriti sljede¢i model.

Osiguranje je prodano u trenutku t0 = 0 osobi u dobi x. Trajanje ugovora je N go-dina, gdje je N pozitivan cijeli broj ili beskona£an. Ako osiguranik preºivi do trenutkat, 0 6 t 6 N , naknada za doºivljenje Bt i premije Pt se pla¢aju u trenutku t. Ako je osigu-ranik umro izme�u t− 1 i t, 1 6 t 6 N, t cijeli broj, naknada uslijed smrti, St, ispla¢ena je utrenutku t. Iznosi Bt, Pt i St mogu biti nula. Na taj na£in ovaj model opisuje ²irok rasponrazli£itih osiguranja: osiguranje doºivljenja, ºivotne rente, privremeno i doºivotno osigura-nje ºivota ili mje²ovito osiguranje sa jednokratnom ili godi²njom premijom. Ako osiguranjepodrazumijeva pla¢anje naknade uslijed smrti, pretpostavljamo da se ona ispla¢uje na krajugodine u kojoj je smrt nastupila kako bi se i taj slu£aj uklopio u model.

Za ilustraciju ¢emo navesti neke vrste osiguranja opisane navedenim modelom.

69

• Neposredna privremena ºivotna renta u trajanju od n godina, s godi²njom isplatom uiznosu 1, pla¢ena jednokratnom premijom, moºe biti opisana na sljede¢i na£in (N = n):

Pt =

1

ax:nq, t = 0

0 , 1 6 t 6 N,

Bt =

{0 , t = 01 , 0 < t 6 N,

St = 0, ako 1 6 t 6 N .

• Doºivotno osiguranje ºivota sa isplatom iznosa 1 u slu£aju smrti i godi²njim uplatamapremija moºemo modelirati sa:

N =∞,

Pt =Axax:nq

, ako 0 6 t,

Bt = 0, ako 0 6 t,

St = 1, ako 1 6 t.

• Mje²ovito osiguranje u trajanju od n godina, s osiguranim iznosom 1 koji se ispla¢ujeako osoba doºivi n godini ili po smrti, ako umre ranije. Premije se upla¢uju godi²nje.Imamo model (N = n):

Pt =

Ax:nqax:nq

, 1 6 t 6 N − 1

0 , t = N,

Bt =

{0 , 0 6 t 6 N − 11 , t = N,

St = 1, ako 1 6 t 6 N.

Vratimo se op¢enitom modelu. Promatrat ¢emo tV sa prospektivnog stajali²ta, a to jeo£ekivana sada²nja vrijednost toka novca nakon trenutka t. Podijelit ¢emo taj tok novca nadva dijela. Sada²nja vrijednost u trenutku t toka novca izme�u t i t+ 1 iznosi

Bt − Pt + v qx+t St+1 = Bt − Pt +Cx+tDx+t

St+1.

S druge strane, sada²nja vrijednost u trenutku t+ 1 toka novca nakon vremena t+ 1 iznosi

t+1V . Sada²nja vrijednost tog toka novca u trenutku t je

v px+t t+1V.

70

Slijedi

tV = Bt − Pt + v qx+t St+1 + v px+t t+1V, (29)

odnosno

t+1V =(tV −Bt + Pt)− v qx+t St+1

v px+t.

Ako uvedemo funkcije

ux =1

v pxi kx =

qxpx,

moºemo pisati

t+1V = (tV −Bt + Pt)ux+t − St+1 kx+t, t = 0, 1, . . . , N − 1. (30)

Funkcije ux i kx se lako mogu zapisati pomo¢u zamjenskih funkcija

ux =1

v px=

vx lxvx+1 lx+1

=Dx

Dx+1

,

kx =qxpx

=dxlx· lxlx+1

=vx dx

vx+1 lx+1

=CxDx+1

.

Formulu (30) onda moºemo zapisati na sljede¢i na£in

t+1V =(tV −Bt + Pt)Dx+t − St+1 Cx+t

Dx+t+1

, t = 0, 1, . . . , N − 1. (31)

Ako ºelimo ºelimo izra£unati rezerve u bilo kojem trenutku, jednostavnije je koristitirekurzivnu formulu nego direktno ra£unati rezerve za svaku godinu. Primjerice, ako kre¢emood 0V = 0, pomo¢u rekurzivne formule lako moºemo dobiti vrijednosti za 1V, 2V, . . . . Akoje N kona£an vrijedi NV =N V prosp = BN −PN . Ako rekurzivnom formulom izra£unamo sve

tV, za t = 0, . . . , N, trebali bi dobiti upravo NV =N V prosp = BN − PN (naravno dozvolit¢emo male gre²ke zaokruºivanja).

Primjer 6.2.1 Desetogodi²nje osiguranje ºivota u iznosu 5000 eura je ugovoreno s osobomu dobi 45, koja je odabrala godi²nju otplatu premija. Izra£unajte rezervu na kraju 4. godine ina osnovu toga, koriste¢i rekurzivnu formulu, izra£unajte rezervu na kraju 5. godine. (LATA 1967-70, 4%)

Rje²enje:Godi²nja premija iznosi

P = 5000 ·A45:10|

a45:10|

= 5000 · M45 −M55

N45 −N55

= 21.92.

71

Rezerva na kraju 4. godine iznosi

4V = 5000 · A49:6| − 21.92 · a49:6|

= 5000 · M49 −M55

D49

− 21.92 · N49 −N55

D49

= 29.77.

Dalje imamoB4 = 0,

P4 = P = 21.92,

S5 = 5000.

Koriste¢i formulu (31) dobijemo rezervu na kraju 5. godine

5V =(4V −B4 + P4) ·D49 − 5000 · C49

D50

= 32.6.

6.3 Dobit i gubitak zbog smrtnosti

Osiguravaju¢e dru²tvo u trenutku t mora "ostaviti sa strane" iznos tV kako bi budu¢eobveze mogle biti podmirene. U tijeku idu¢e godine primat ¢e nove premije, ali i ispla¢i-vati naknade osiguranicima. Ako je u trenutku t = 1 osiguranik ºiv, tada ¢e i iznos t+1V

te godine morati biti ostavljen sa strane. No, u trenutku t + 1 osiguravatelj moºe to£noizra£unati akumulaciju nov£anog toka koji se sastoji od tV , to£ne uplate premija i isplatenaknada te rezervu t+1V ako je osiguranik jo² ºiv. Ako je akumulirana vrijednost pozitivna,osiguravatelj to moºe smatrati pro�tom po polici tijekom godine. Budu¢i da je taj pro�todre�en smrtno²¢u osiguranika zovemo ga dobit zbog smrtnosti. Ako je akumulirana vrijed-nost negativna, radi se o gubitku zbog smrtnosti.

U ovom poglavlju ¢emo promatrati grupu osiguranika. Prisjetimo se modela iz Poglavlja6.2, koji se sastoji od premija Pt, naknada u slu£aju doºivljenja Bt i naknada uslijed smrtiSt. Ako se pojedini tip osiguranja uklapa u model, jednostavno moºemo izra£unati dobit iligubitak zbog smrtnosti.

Ako osiguravatelj pravi adekvatne rezerve u trenutku t, izdvojeni novac po polici kojaje aktivna u trenutku t iznosi tV. Ako je osiguranik ºiv u trenutku t, on ¢e uplatiti premijuPt i naknada za doºivljenje Bt ¢e mu biti ispla¢ena (ako je to ugovoreni slu£aj) na vrijeme.Iznos tV −Bt + Pt ¢e se akumulirati do (tV −Bt + Pt)(1 + i) do trenutka t+ 1. Budu¢i daje osiguranik ºiv u t + 1, osiguravatelj mora napraviti rezervu t+1V u trenutku t + 1. Tadaje dobit po polici u godini t+ 1

(tV −Bt + Pt)(1 + i)− t+1V.

Ako je osiguranik umro izme�u t i t+ 1 osiguravatelj ¢e isplatiti naknadu zbog smrti St+1 utrenutku t+ 1. Dobit zbog smrtnosti po polici u godini t+ 1 onda iznosi

(tV −Bt + Pt)(1 + i)− St+1.

72

Ako je vrijednost ovih izraza negativna, govorimo naravno o gubitku zbog smrtnosti.

Pretpostavljamo da ukupno n0 osoba u istoj dobi ugovara isti tip osiguranja i u istovrijeme. Tada je nt broj svih vlasnika polica koji su ºivi u trenutku t, t = 1, 2, . . . , N .Ukupan iznos dobiti grupe od nt polica za godinu t+ 1 iznosi

nt+1∑k=1

((tV −Bt + Pt)(1 + i)− t+1V

)+

nt−nt+1∑k=1

((tV −Bt + Pt)(1 + i)− St+1

)

=nt∑k=1

(tV −Bt + Pt)(1 + i)−nt+1∑k=1

t+1V −nt−nt+1∑k=1

St+1.

U praksi je £esto prikladnije koristiti neke od sljede¢ih izraza za ukupan pro�t:( nt∑k=1

tV −nt∑k=1

Bt +nt∑k=1

Pt

)(1 + i)−

nt+1∑k=1

t+1V −nt−nt+1∑k=1

St+1 (32)

ilint(tV −Bt + Pt)(1 + i)− nt+1 t+1V − (nt − nt+1)St+1. (33)

Jednakost (32) moºemo interpretirati na sljede¢i na£in:

Ukupna dobit zbog smrtnosti u godini =(ukupne rezerve na po£etku godine- ukupne naknade za doºivljenje pla¢ene po£etkom godine+ ukupne premije upla¢ene po£etkom godine)(1 + i)

- ukupne rezerve na kraju godine- ukupne naknade uslijed smrti pla¢ene na kraju godine.

Koriste¢i formulu (29) iz Poglavlja 6.2 moºemo izvesti jo² jednu formulu za ukupnu dobitpo polici. Moºemo pisati

tV −Bt + Pt = v qx+t St+1 + v px+t t+1V,

odnosno(tV −Bt + Pt)(i+ 1) = qx+t St+1 + px+t t+1V.

Ako je osiguranik ºiv u trenutku t+ 1 dobit po polici za tu godinu je

qx+t St+1 + px+t t+1V − t+1V = qx+t (St+1 − t+1V ),

a ako je osiguranik umro tijekom te godine onda je ukupna dobit po polici zbog smrtnostiza tu godinu

qx+t St+1 + px+t t+1V − St+1 = px+t (t+1V − St+1)

= (1− qx+t) (t+1V − St+1)

= qx+t (St+1 − t+1V )− (St+1 − t+1V ).

73

Kada to sve sumiramo dobijemo ukupnu dobit za nt polica u godini t+ 1:

nt+1∑k=1

qx+t (St+1 − t+1V ) +

nt−nt+1∑k=1

(qx+t (St+1 − t+1V )− (St+1 − t+1V )

)=

nt∑k=1

qx+t (St+1 − t+1V )−nt−nt+1∑k=1

(St+1 − t+1V )

= (nt qx+t − (nt − nt+1)) (St+1 − t+1V ).

Moºemo to interpretirati na sljede¢i na£in. Pretpostavimo da je osiguranik ºiv u trenutku t.Ako preºivi do t+1, osiguravatelj mora odvojiti iznos t+1V kako bi bio u mogu¢nosti pokritisvoje budu¢e obveze. Ako pak smrt nastupi izme�u t i t+ 1 osiguravatelju ¢e biti potrebaniznos St+1 u trenutku t+ 1 kako bi isplatio naknadu. Razlika

St+1 − t+1V

se zove svota pod rizikom. Taj iznos ¢e nam biti potreban samo ako osiguranik umre izme�ut i t+ 1, a vjerojatnost za to je qx+t. O£ekivani iznos, koji ¢e nam uz t+1V jo² biti potrebanu trenutku t+ 1, je

px+t 0 + qx+t(St+1 − t+1V ) = qx+t (St+1 − t+1V )

i £esto se naziva o£ekivana svota pod rizikom ili tro²ak osiguranja. Ako sumiramo o£ekivanusvotu pod rizikom za svih nt polica u trenutku t, dobijemo ukupnu o£ekivanu svotu podrizikom (TEDS = total expected death strain)

TEDS =nt∑k=1

qx+t (St+1 − t+1V ) = nt qx+t (St+1 − t+1V ).

Dosad smo ra£unali na osnovu smrtnosti iz tablica. Zanima nas, na osnovu stvarne smrtnosti,

koliki je iznos stvarno potreban, uznt∑k=1

t+1V , u trenutku t+ 1. Rije£ je o svoti pod rizikom

(ADS = actual death strain) koja iznosi

TADS =

nt−nt+1∑k=1

(St+1 − t+1V ) = (nt − nt+1) (St+1 − t+1V ).

Dolazimo do zaklju£ka da je ukupna dobit od smrtnosti na godinu

TEDS − TADS = (St+1 − t+1V )(nt qx+t − (nt − nt+1)) (34)

pri £emu nt qx+t ozna£ava o£ekivani broj umrlih izme�u t i t + 1, a nt − nt+1 stvarni brojumrlih u istom periodu. Iz gornje jednakosti moºemo zaklju£iti:

(1) Ako je o£ekivana svota pod rizikom (St+1 − t+1V ) pozitivna i ako je

� umrlo manje ljudi od o£ekivanog u periodu izme�u t i t+1, (nt qx+t > nt−nt+1),ostvarena je dobit od smrtnosti,

74

� umrlo vi²e ljudi od o£ekivanog u periodu izme�u t i t + 1, (nt qx+t 6 nt − nt+1),osiguravatelj se suo£ava s gubitkom od smrtnosti.

(2) Ako je o£ekivana svota pod rizikom (St+1 − t+1V ) negativna i ako je

� umrlo manje ljudi od o£ekivanog u periodu izme�u t i t+1, (nt qx+t > nt−nt+1),do²lo je do gubitka zbog smrtnosti,

� umrlo vi²e ljudi od o£ekivanog u periodu izme�u t i t + 1, (nt qx+t 6 nt − nt+1),osiguravatelj posluje s dobitkom u toj godini.

Primjer 6.3.1 Osiguravaju¢e dru²tvo ugovara 20-ogodi²nje mje²ovito osiguranje u iznosu5000 eura s osobama u dobi 50 na dan 1.1.2000. godine. Premije se pla¢aju godi²nje. Nadan 1.1.2013. je jo² uvijek 800 vlasnika polica ºivo, a tijekom 2013. godine ih je 13 umrlo.Izra£unajte dobit ili gubitak od smrtnosti za 2013. godinu. (LAT A 1967-70, i = 4%)

Rje²enje:Prvo moramo odrediti godi²nju premiju po polici. Vrijedi

P = 5000 ·A50:20|

a50:20|

= 5000 · M50 −M70 +D70

N50 −N70

= 190.91.

Ako ºelimo koristiti (33) moramo znati rezerve na po£etku i na kraju 2013. godine.1.1.2013. rezerva po polici koja je na snazi iznosi

13V = 5000 · A63:7| − P · a63:7|

= 5000 ·(1−

a63:7|a50:20|

)= 5000 ·

(1− N63 −N70

D63

· D50

N50 −N70

)= 2760.58.

Najlak²i na£in da izra£unamo rezervu za godinu poslije je koriste¢i formulu (31):

14V = (13V + P )u63 − 5000k63

=(2760.58 + 190.91)D63 − 5000C63

D64

= 3030.85.

Dalje,B13 = 0,

P13 = P = 190.91,

75

S14 = 5000,

n13 = 800,

n14 = 800− 13 = 787,

i = 4%.

Koriste¢i (33) dobitak od smrtnosti iznosi

n13(13V −B13 + P13)(1 + i)− n14 14V − (n13 − n14)S14 = 5360.73.

Dakle, pro�t za 2013. godinu iznosi 5360.73 eura.

Alternativno, mogli smo koristiti i formulu (34), tj. ukupnu dobit moºemo izra£unati kaoTEDS − TADS. Znamo q63 = 0.01965464 pa moºemo ra£unati

TEDS − TADS = (S14 − 14V )(n13 q63 − (n13 − n14)) = 5363.4.

Ovom metodom dobijemo pro�t u iznosu 5363.4 eura. Razlika od prve metode je zbog gre²kezaokruºivanja.

76

7 Ponuda ºivotnih osiguranja u Hrvatskoj

U Republici Hrvatskoj postoji 26 osiguravaju¢ih dru²tava, od £ega njih 16 u svojim po-nudama ima i ºivotna osiguranja. Hrvatski ured za osiguranje (HUO) je nepro�tna pravnaosoba koja u pravnom prometu s tre¢im osobama predstavlja udruºenje dru²tava za osigu-ranje sa sjedi²tem u Republici Hrvatskoj. Trºi²te osiguranja u Republici Hrvatskoj ure�enoje Zakonom o osiguranju, Zakonom o obveznim osiguranjima u prometu te pripadaju¢impodzakonskim aktima. HANFA (Hrvatska agencija za nadzor �nancijskih usluga) provodinadzor trºi²ta osiguranja radi odrºavanja u£inkovitog, sigurnog i stabilnog trºi²ta osiguranjas ciljem za²tite interesa osiguranika te pridono²enja stabilnosti �nancijskog sustava. Osimnadzora nad dru²tvima za osiguranje i reosiguranje, HANFA provodi nadzor i nad zastup-nicima u osiguranju te Hrvatskim uredom za osiguranje. Tako�er izdaje i ovla²tenje zaobavljanje poslova ovla²tenog aktuara.

Kako bi imali uvid u to koliko je trºi²te osiguranja veliko navest ¢emo izvje²¢e Hrvatskogureda za osiguranje prema kojemu su u prvih 6 mjeseci 2014. godine 16 dru²tava za osiguranjekoji se bave ºivotnim osiguranjma zara£unala bruto premiju u iznosu 1 307 108 196 kuna,²to predstavlja rast od 5.7% u odnosu na isto razdoblje prethodne godine. U ukupnojstrukturi osiguranja, ºivotna osiguranja sudjeluju 27.9%, dok je u istom razdoblju pro²legodine udio u zara£unatoj premiji bio 25.2%. Mje²ovito osiguranje ºivota i doºivljenja jedaleko najpopularniji oblik ºivotnog osiguranja.

Dva osiguravaju¢a dru²tva s najve¢im udjelom na trºi²tu su Allianz Zagreb d.d. i Croatiaosiguranje d.d. pa ¢emo zbog toga i predstaviti dio njihove ponude na trºi²tu ºivotnihosiguranja.

7.1 Allianz Zagreb d.d.

Allianz Grupa je najve¢e europsko osiguravaju¢e dru²tvo i jedna od vode¢ih svjetskih�nancijskih institucija, a kroz Allianz Zagreb je jedini njema£ki osiguravatelj u Hrvatskoj.Allianz je u Hrvatskoj prisutan od 1999. godine i danas drºi preko 13% trºi²nog udjela tezauzima ukupno drugu poziciju me�u hrvatskim osiguravateljima, ali zato vode¢u pozicijuu ºivotnim osiguranjima.

Predstavit ¢emo tri ponude ºivotnih osiguranja.

Osiguranje ºivota (AllianZ �ivot)

AllianZ �ivot je oblik mje²ovitog osiguranja za slu£aj smrti i doºivljenja u kojem osi-guranik sam bira iznos koji ºeli ²tedjeti (ukoliko doºivi istek roka osiguranja) ili koji ¢ebiti ispla¢en njegovoj obitelji u slu£aju prirodne smrti. Po isteku osiguranja ispla¢uje seugovorena svota uve¢ana za udio u dobitku. U slu£aju potpune i trajne nesposobnosti zarad Allianz preuzima pla¢anje premije te se dio iznosa ispla¢uje za ro�enje djeteta i za 25.

77

godi²njicu braka. Polica ºivotnog osiguranja moºe biti jamstvo otplate kredita, a moºe seugovoriti i dodatno osiguranje za slu£aj nastanka 10 naj£e²¢ih ozbiljnih bolesti ili stanja.Pogledajmo primjer izra£una jedne takve police.

Slika 14 . Primjer izra£una police mje²ovitog osiguranja ºivota

Riziko osiguranje ºivota

Za razliku od klasi£ne police ºivotnog osiguranja, riziko osiguranje nije ²tednja, ali osigu-rava visoku �nancijsku potporu obitelji osiguranika nakon njegove smrti. Osiguranju mogupristupiti osobe u dobi izme�u 18 i 65 godina s trajanjem osiguranja do maksimalno 75.godine ºivota, a ugovorena svota koja moºe biti ispla¢ena u slu£aju smrti osiguranika sekre¢e izme�u 2500 i 94999 eura. Moºe se ugovoriti i dopunsko osiguranje od posljedica nez-gode koje pokriva rizike smrti, trajnog invaliditeta ili lije£enja u bolnici. Primjer izra£unaza osiguranje ºivota na odre�eno vrijeme moºemo vidjeti na Slici 15.

Rentno osiguranje (Allianz Renta)

Allianz Renta sluºi kao �nancijska potpora starijim osobama da uz mirovinu primajudodatne, redovite mjese£ne prihode. Jednokratna uplata omogu¢ava isplatu ve¢ od sljede¢egmjeseca tijekom odre�enog razdoblja ili £ak doºivotno. Razlikujemo ponude Allianz RentaGold (neposredna doºivotna za osobe starije od 60 godina) i Allianz Renta Senior (nepo-sredna renta s odre�enim trajanjem za starije od 50 godina). Radi ilustracije, pretpostavimoda osoba odlazi u mirovinu u kojoj ¢e primati mjese£nu naknadu od mirovine 2500 kuna.Ima u²te�eno 10000 eura i ºeli si osigurati dodatna mjese£na primanja doºivotno kroz rentnoosiguranje Allianz Renta Gold. Ugovorena je isplata 150% iznosa rente do 80. godine ºi-vota, a nakon toga doºivotno 100% iznosa mjese£ne rente. Mogu¢e je dogovoriti i dopunskopokri¢e smrti uslijed nezgode uz neznatno smanjenje ugovorene rente, ali uz puno ve¢u is-

78

pla¢enu naknadu ukoliko do toga do�e.

Slika 15 . Primjer izra£una police privremenog osiguranja ºivota

Slika 16 . Primjer izra£una police rentnog osiguranja

79

7.2 Croatia osiguranje d.d.

Croatia osiguranje je najve¢e i najstarije osiguravaju¢e dru²tvo u Hrvatskoj, osnovano1884. godine. Krajem 2013. godine trºi²ni udio Croatia osiguranja iznosio je visokih 30.3%.Tvrtka i dalje zauzima vode¢u poziciju u neºivotnim osiguranjima s udjelom od 34.7%, a uºivotnim osiguranjima drugu poziciju s 14% trºi²nog udjela. Pogledat ¢emo neke od ponudaºivotnih osiguranja ovog osiguravatelja.

Mje²ovito osiguranje ºivotaOvom vrstom osiguranja pokriveni su slu£ajevi doºivljenja, smrti uslijed bolesti i smrti

uslijed nezgode. Osiguranje mogu ugovoriti zdrave osobe izme�u 14. i 65. godine ºivota, narok od 10 do 30 godina. Dostupno je i starijim osobama, ali isklju£ivo na temelju obavljenoglije£ni£kog pregleda i procjene rizika. Primjerice, ako bi osoba u dobi od 30 godina ugovorilamje²ovito osiguranje na rok od 30 godina, uz godi²nju uplatu premija u iznosu 400 eura (kaoi u slu£aju kod Allianz osiguranja), isplata za doºivljenje bi iznosila 12886.80 eura (upla¢enobi bilo ukupno 12000 eura premija).

Riziko PLUS osiguranje za slu£aj smrtiRiziko polica pruºa osiguranje i isplatu osigurane svote za slu£aj smrti, a osiguranje

se moºe ugovoriti na rok od 1 do 30 godina. Pogledajmo kakva bi bila polica osiguranja,uz iste uvjete kao i u prethodnom primjeru za Allianz osiguranje. Dakle, pretpostavimoda mu²karac u dobi 35 godina ugovara osiguranje u slu£aju smrti na rok od 20 godina,uz ugovoreni iznos 30000 eura. Godi²nja premija bi tada iznosila 176.70 eura. Ako bi seosiguranik odlu£io i na dopunsko osiguranje od posljedica nesretnog slu£aja, godi²nja pre-mija bi iznosila 304 eura, a u slu£aju da se ugovoreni slu£aj dogodi isplata bi bila 38000 eura.

Kolektivno osiguranje ºivota za slu£aj smrti i doºivljenjaPoslodavac jednom policom moºe osigurati svoje djelatnike koji su u radnom odnosu na

neodre�eno vrijeme, bez obzira na pristupnu dob ili zdravstveno stanje, ali uz uvjet da ih jebarem 10 u grupi. Korisnicima se ispla¢uju ugovoreni iznosi u slu£aju smrti ili doºivljenja,bez obzira na ostale £lanove grupe.

80

Literatura

[1] D. Baki¢, D. Franci²kovi¢, Financijska i aktuarska matematika, skripta, Osijek, 2013.

[2] N. L. Bowers, Jr, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbitt,Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, 1997.

[3] D. Dickson, M. Hardy, H. Waters, Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks,Cambridge University Press, Cambridge, 2009.

[4] H.U. Gerber, Life Insurance Mathematics, Swiss Association of Actuaries Zurich,Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, Berlin, 1997.

[5] A.K. Gupta, T. Varga, An Introduction to Acturial Mathematics, Mathematical Model-ling: Theory and Applications, Vol.14, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 2002.

[6] Tablice mortaliteta Republike Hrvatske 2000 - 2002, Republika Hrvatska, Drºavni zavodza statistiku, Zagreb, 2007.

[7] Uvod u aktuarsku matematiku, skripta, 2012.

Saºetak

U ovom radu obra�ujemo temu ºivotnih osiguranja, koja su danas od sve ve¢eg zna£aja,kako za pojedinca, tako i za dru²tvo op¢enito. U prvih nekoliko poglavlja radimo uvod uºivotna osiguranja i analiziramo smrtnost, ²to je glavna zada¢a aktuara. Opisane su raznevrste ºivotnih osiguranja, pri £emu osigurane svote mogu biti ispla¢ene jednokratno ili u vi²eobroka (u obliku ºivotnih renti). Navodimo i frekvencije uplate premija i usporedbe me�unjima. Pregled premijskih rezeri jasno pokazuje njihovu vaºnost za odrºavanje solventnostipoduze¢a. Za kraj donosimo kratak pregled jednog dijela ponude ºivotnih osiguranja nahrvatskom trºi²tu kroz dva najve¢a osiguravaju¢a dru²tva - Allianz Zagreb d.d. i Croatiaosiguranje d.d.

82

Summary

In this thesis we are going to elaborate the problem of life insurance. They are veryimportant, not just for an individual, but for society too. In �rst couple chapters we aremaking an introduction to life insurances and analyzing the mortality. Further, there aredescribed many types of life insurances, where the bene�t can be paid as a lump sum or as anannuity. We are also describing the frequency of premium payments and comparison betweenthem. Review of premium reserves shows how important they are in keeping the companysolvent. In the end, there is a short review of one part of life insurance o�er in Croatiathrought two biggest insurance companies - Allianz Zagreb d.d. and Croatia osiguranje d.d.

83

�ivotopis

Tina Malo£a ro�ena je 18. listopada 1990. godine u Vinkovcima. Nakon zavr²enePrirodoslovno - matemati£ke gimnazije M. A. Reljkovi¢a u Vinkovcima, 2009. godine upisujePreddiplomski studij na Odjelu za matematiku Sveu£ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku.Akademske godine 2012./2013. upisuje Diplomski studij na Odjelu za matematiku u Osijeku,smjer Financijska matematika i statistika. Tijekom diplomskog studija bila je £lanica Vije¢aOdjela za matematiku, a tijekom zadnje godine studija i predsjednica Studentskog zboraOdjela za matematiku.

84

Prilozi

A. Tablice smrtnosti LAT A 1967-70

85

86

87

88

89

90

91

92