Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveu£ili²ni preddiplomski studij matematike

Ira �tivi¢

Zanimljivi brojevi

Zavr²ni rad

Osijek, 2019.

Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveu£ili²ni preddiplomski studij matematike

Ira �tivi¢

Zanimljivi brojevi

Zavr²ni rad

Mentor: doc. dr. sc. Mirela Juki¢ Bokun

Osijek, 2019.

Saºetak

U ovom radu prou£it ¢emo nekoliko klasa zanimljivih brojeva koji imaju vaºnu ulogu u

teoriji brojeva. Poglavlja ovog rada bazirat ¢emo na opisu, svojstvima i primjeni pojedinih

klasa brojeva. U radu ¢emo obraditi sljede¢e klase brojeva: �gurativni brojevi, Eulerovi

brojevi, Fibonaccijev niz brojeva, Mersenneovi brojevi, savr²eni brojevi, Fermatovi brojevi,

pseudoprosti brojevi i Carmichaelovi brojevi. Na kraju rada ¢emo navesti nekoliko de�nicija

i primjera jo² nekih zanimljivih klasa brojeva koje u ovom radu ne¢emo detaljnije obra�ivati.

Klju£ne rije£i

Prost broj, mnogokut, Fibonaccijev niz, Lucasov broj, Eulerov broj, Fermatov broj, mali

Fermatov teorem, Mersenneov broj, pseudoprost broj, Carmichaelov broj.

Interesting numbers

Abstract

In this paper we will consider a few di�erent classes of interesting numbers which have

an important role in number theory. The chapters of this paper will be based on the descrip-

tion, properties and use of each of these classes of numbers. In the paper we will process the

next classes of numbers: �gurative numbers, Euler's number, Fibonacci number sequence,

Mersenne's number, perfect number, Fermat's number, pseudoprime number and Carmic-

hael's number. At the end of this paper we will list a few de�nitions and examples of other

interesting clasess of numbers which we will not process in detail.

Key words

Prime number, polygon, Fibonacci sequence, Lucas number, Euler's number, Fermat's num-

ber, Fermat's little theorem, Mersenne number, pseudoprime number and Carmichael num-

ber.

Sadrºaj

Uvod 1

1 Figurativni brojevi 2

2 Eulerovi brojevi 4

3 Fibonaccijevi brojevi 5

4 Mersenneovi brojevi 8

5 Savr²eni brojevi 9

6 Fermatovi brojevi 11

7 Pseudoprosti brojevi i Carmichaelovi brojevi 14

8 Drugi zanimljivi brojevi 18

Literatura 20

Uvod

Teorija brojeva je grana matematike koja se bavi prou£avanjem prirodnih, cijelih i raci-

onalnih brojeva. Stariji naziv za teoriju brojeva je aritmetika. Problemima ovog podru£ja

bavili su se jo² u starom Babilonu i Egiptu, a posebice u staroj Gr£koj. Tijekom povijesti

pojavljuju se razne klase brojeva koje se isti£u po svojim svojstvima, zna£aju ili primjenama

te zbog toga dobivaju istaknuta imena. Ponekad su to konstruktivna imena, a ponekad

imena dobivena prema znanstvenicima koji su prou£avali problematiku te klase brojeva.

U ovom radu pru£it ¢emo nekoliko klasa zanimljivih brojeva, detaljnije opisati njihova

svojstva te primjenu, ²to ¢emo pokazati i na nekoliko primjera. Na kraju ¢emo navesti

jo² nekoliko de�nicija i primjera drugih zanimljivih klasa brojeva koje ne¢emo detaljnije

obra�ivati.

1

1 Figurativni brojevi

Figurativni brojevi prvi put su se pojavili u Pitagorinoj ²koli u 6. stolje¢u prije Krista

u poku²aju povezivanja geometrije i aritmetike. Pitagorejci su, vjeruju¢i da je "sve broj",

smatrali svaki pozitivni cijeli broj skupom to£aka u ravnini. Teorija �gurativnih brojeva, iako

ne pripada sredi²njoj domeni matematike, pridobila je paºnju mnogih znanstvenika tijekom

vi²e tisu¢a godina. Me�u matemati£arima koji su prou£avali �gurativne brojeve nalaze se

Pitagora, Diofant, Fibonacci, Pell, Fermat, Euler i brojni drugi.

Figurativni broj je u su²tini onaj broj koji se moºe prikazati pomo¢u geometrijskog uzorka

razli£itih to£aka u ravnini. Najpoznatija vrsta �gurativnih brojeva su ravninski �gurativni

brojevi koji se reprezentiraju kao mnogokuti.

Mnogokutni brojevi obuhva¢aju brojeve koji se mogu urediti tako da tvore trokut, kva-

drat i bilo koji drugi m-terokut za cijeli broj m ≥ 3. Niz mnogokutnih brojeva sastoji se od

trokutnih brojeva 1, 3, 6, 10, 15, . . . (Slika 1), kvadratnih brojeva 1, 4, 9, 16, 25, . . . (Slika 2),

peterokutnih brojeva 1, 5, 12, 22, 35, . . . (Slika 3), itd.

Slika 1: Trokutni �gurativni brojevi [8]

Slika 2: Kvadratni �gurativni brojevi [8]

Slika 3: Peterokutni �gurativni brojevi [8]

Ako je m broj strana u mnogokutu, onda se moºe pokazati ([2]) da je formula za n-ti i

m-gonalni broj dana s

Sm(n) =1

2m(n2 − n)− n2 + 2n.

2

Tako�er, moºe se pokazati da vrijede sljede¢e relacije:

• Theonova formula:

S3(n) + S3(n− 1) = S4(n),

• Diofantova formula:

S4(2n+ 1) = 8S3(n) + 1,

• Teorem o heksagonalnim brojevima:

S6(n) = S3(2n− 1),

• Teorem o oktagonalnim brojevima:

S8(n) = 6S3(n− 1) + n,

• Nicomachusova formula:

Sm(n) = Sm−1(n) + S3(n− 1),

• te Bachet de Meziriacova formula:

Sm(n) = S3(n) + (m− 3)S3(n− 1).

Osim klasi£nih mnogokutnih brojeva, prou£avani su i pravilni mnogokutni brojevi koji

mogu biti konstruirani u ravnini iz to£aka. Svaki takav broj formira se iz sredi²nje to£ke

koju okruºuju mnogokutni slojevi s konstantnim brojem strana. Svaka strana jednog sloja

sadrºi jednu to£ku vi²e od bilo koje druge strane prethodnog sloja. Tako postoje, jed-

nako kao i klasi£ni, pravilni trokutni brojevi 1, 4, 10, 19, 31, . . ., pravilni kvadratni brojevi

1, 5, 13, 25, 41, . . ., pravilni peterokutni brojevi 1, 6, 16, 31, 51, . . . itd. [2]. Konstrukcija ovak-

vih brojeva prikazana je na Slici 4.

Slika 4: Konstrukcija pravilnog kvadratnog, peterokutnog i trokutnog broja

Pravilni trokutni brojevi su brojevi oblika

T3(n) = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2,

pravilni kvadratni brojevi su brojevi oblika

T4(n) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2,

pravilni peterokutni brojevi su brojevi oblika

T5(n) = 1 + 4 + 7 + · · ·+ (3n− 2) = 3T3(n)− 2n =n(3n− 1)

2.

Formule za ostale pravilne �gurativne brojeve izvode se analogno.

3

2 Eulerovi brojevi

Znamo li koliko je "cik-cak ure�aja", u oznaci Zn, brojeva 1, 2, . . . , n, tj. ure�aja u kojima

brojevi naizmjeni£no rastu, a zatim padaju?

Sljede¢a tablica pokazuje prvih nekoliko takvih ure�aja:

n Zn Ure�aj1 1 12 1 123 2 231;1324 5 3412;1423,2413;1324,2314

To£ke zarezi u ovakvom ure�aju razdvajaju brojeve u redoslijedu prema njihovoj zadnjoj

znamenci, tzv. r-toj znamenci. Brojevi oblika Z2n nazivaju se Eulerovim brojevima [1].

Poznati su jo² i kao sekantni brojevi iz aspekta formule za sekans:

secx = 1 +1x2

2!+

5x4

4!+

61x6

6!+ · · · (1)

Desna granica cik-cak trokuta predstavlja tzv. tangens brojeve, Z2n+1, jer je:

tg x =x

1!+

2x3

3!+

16x5

5!+

272x7

7!+ · · · (2)

Ukupan broj ure�aja brojeva 1, 2, . . . , n u kojemu je k− 1 porasta, tako�er je dobio ime

po Euleru i naziva se Eulerski broj u oznaci A(n, k).

A(n, k) =k∑

j=0

(−1)j(n+ 1

j

)(k − j)n. (3)

4

3 Fibonaccijevi brojevi

Fibonaccijevi brojevi ime su dobili po talijanskom matemati£aru Leonardu iz Pise (1175.-

1250.) poznatijem kao Fibonacci (skra¢eno od tal. �llius Bonacci -"Bonaccijev sin"). Fibo-

naccija se smatralo najdarovitijim zapadnja£kim matemati£arem srednjeg vijeka. Niz brojeva

koji je otkrio postao je jedan od najzanimljivijih matemati£kih nizova £ije je postojanje ot-

kriveno u prirodi, a zatim se nastavio koristiti i u drugim podru£jima matematike gdje je

svoju primjenu na²ao u poja²njenjima prirodnih pojava. Fibonacci je promatrao par ze£eva

i pitao se koliko ¢e parova ze£eva biti u n-toj generaciji potomstva prvotnog para ze£eva.

Za pretpostavku je uzeo da ¢e svaki par ze£eva iz svake generacije dobiti potomstvo svakog

prvog dana u mjesecu, ali tek nakon navr²ena dva mjeseca. Tako�er, pretpostavio je da

parovi ze£eva nakon reprodukcije ne umiru. Ono ²to je iz ove pretpostavke zaklju£io, opisao

je sljede¢om formulom. Ako postoji fn parova ze£eva u n-toj generaciji, onda vrijedi:

f1 = 1,

f2 = 1,

fn+2 = fn + fn+1.

Tako je nastao niz brojeva koji danas nazivamo Fibonaccijev niz [1]:

f0 = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .

Iz niza vidimo da je svaki sljede¢i broj u nizu jednak zbroju dvaju prethodnih brojeva. Moºe

se pokazati da je Fibonaccijev niz brojeva dan sljede¢om eksplicitnom formulom:

fn =1√5

[(1 +√5

2

)n

−(1−√5

2

)n](4)

Primjer 1. [4] Stubi²te se sastoji od n stuba. U jednom koraku moºemo presko£iti jednu ili

dvije stube. Na koliko na£ina moºemo prije¢i cijelo stubi²te ?

Rje²enje:

Stubi²te od jedne stube moºemo prije¢i na samo jedan na£in, ono od dvije na dva na£ina.

Tri stube moºemo prije¢i koracima 1,1,1 ili 1,2 ili 2,1, dakle, na tri na£ina.

Me�utim, £etiri stube moºemo prije¢i na pet na£ina. Za mali n lako moºemo ispisati sve

odgovaraju¢e nizove:

n nizovi broj1 1 12 11,2 23 111,12,21 34 1111,112,121,211,22 55 11111,1112,1121,1211,2111,122,212,221 8

. . .

5

Fibonaccijev niz brojeva ima ²iroku primjenu u matematici. Francuski matemati£ar Edo-

uard Lucas (1842.-1891.) otkrio je da se Fibonaccijev niz moºe i²£itati pomo¢u Pascalovog

trokuta koriste¢i sljede¢u relaciju:

fn+1 =

(n

0

)+

(n− 1

1

)+

(n− 2

2

)+ · · ·

Primjer 2. Zbrojimo li elemente Pascalovog trokuta duº rastu¢ih dijagonala, suma ¢e biti

Fibonaccijev broj. Nekoliko prvih vrijednosti nazna£eno je na sljede¢oj slici gdje su Fibonac-

cijevi brojevi napisani na gornjoj desnoj strani trokuta.

Slika 5: Veza izme�u Fibonaccijevog niza i Pascalovog trokuta1

Izaberemo li u relaciji za Fibonaccijev niz par brojeva koji nisu uzastopni £lanovi Fi-

bonaccijeva niza, dobit ¢emo niz razli£it od Fibonaccijevog. Iako imaju potpuno razli£ite

vrijednosti, ti nizovi ¢e imati neka identi£na svojstva [1]. Uz Fibonaccijeve, sljede¢i dobar

odabir parova brojeva je onaj koji daje Lucasove brojeve.

Lucasovi brojevi (ln) de�nirani su rekurzivnom relacijom

ln = ln−1 + ln−2

uz po£etne vrijednosti

l0 = 2, l1 = 1.

Prvih nekoliko Lucasovih brojeva su:

2,1,3,4,7,11,18,29,47,. . .

Ne²to kasnije, njema£ki matemati£ar Johannes Kepler (1571.-1630.) otkrio je da je omjer

uzastopnih Fibonaccijevih brojeva pribliºno jednak 1.618. To£nije, limes omjera jednak je

1.61803398874989..., ²to se jo² od anti£ke Gr£ke naziva zlatnim rezom:

ϕ =1 +√5

21http://fotoklub-cakovec.hr/wp/2012/02/geometricnost-fotografije-ii

6

Pravilo zlatnog reza:

Omjer manjeg dijela prema ve¢em jednak je omjeru ve¢eg dijela prema cjelini.

Omjer uzastopnih Lucasovih brojeva ima isti limes kao i omjer Fibonaccijevih brojeva, dok

omjer Lucasovih i Fibonaccijevih brojeva, lnfn, teºi ka

√5.

Iako se pokazalo da Fibonaccijevo pravilo nije primjenjivo na parovima ze£eva u stvarnom

ºivotu, Fibonaccijev niz brojeva prisutan je u mnogim drugim prirodnim elementima, npr.

moºe se pokazati da je raspored ºila na listovima biljaka ili raspored latica cvije¢a kao npr.

ruºa (Slika 6) odre�en upravo ovim nizom brojeva [1].

Slika 6: Prikaz rasporeda latica ruºe pomo¢u pravila zlatnog reza2

2https://fibonacijevniz.wordpress.com/2016/06/03/fibonacijev-niz-u-prirodi/

7

4 Mersenneovi brojevi

Francuski teolog, �lozof i matemati£ar Marin Mersenne (1588.-1648.) bio je jedan od

prvih matemati£ara koji je svoja otkri¢a zabiljeºio u dnevnike i pisma. 1536. godine, u pismu

Frenicleu de Bessyju, Mersenne navodi mogu¢nost postojanja prostih brojeva oblika Mn =

2n−1, gdje je n prirodan broj. Mersenne je tvrdio da su za n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257

brojevi 2n− 1 zaista prosti, te da ova tvrdnja ne vrijedi ni za jedan drugi broj manji od 257.

Ova tvrdnja je pobudila veliko zanimanje kod drugih matemati£ara upravo zbog toga

²to su navedeni brojevi toliko veliki. Dugi niz godina niti jedan matemati£ar nije mogao

potvrditi ni opovrgnuti Mersenneovu tvrdnju. Tek 1722. godine je Euler uspio dokazati da

je broj M31 prost, a 1876. godine E. Lucas je do²ao do zaklju£ka da je i M127 usitinu prost

broj.

Prvih nekoliko Mersenneovih brojeva su 1,3,7,15,31,63,127,255 iz £ega je vidljivo da su

neki Mersenneovi brojevi prosti, a neki sloºeni. Do tog zaklju£ka je do²ao ameri£ki matema-

ti£ar Cole 1903. godine pokazav²i da je

267 − 1 = 193707721 · 761838257287

sloºen broj, odakle slijedi da M67 nije prost broj [1].

Propozicija 1. [5] Ako je Mersenneov broj Mn prost, tada je i n prost broj.

Dokaz. Ako je broj n sloºen, moºemo ga zapisati u obliku n = rs, za neke prirodne brojeve

r,s koji su oba ve¢i od 1. Tada je

2rs − 1 = (2s − 1)(2s(r−1) + 2s(r−2) + · · ·+ 2s + 1)

te je Mn sloºen broj jer je djeljiv s 2s − 1.

Danas postoje mnoge tehnike i testovi koji donekle olak²avaju provjeru je li broj oblika

2n − 1 zaista prost. Jedan od najpouzdanijih kriterija za ispitivanje prostosti Mersenneovih

brojeva je tzv. Lucas-Lehmerov test :

Teorem 1. [5] De�nirajmo niz prirodnih brojeva (sn) sa s1=4, sn+1 = s2n − 2. Neka je p

neparan prost broj. Mersenneov broj Mp je prost ako i samo ako Mp dijeli sp−1.

8

5 Savr²eni brojevi

Za prirodan broj n kaºemo da je savr²en ako je jednak sumi svojih djelitelja manjih od

njega samog. U matematici to zapisujemo na sljede¢i na£in: σ(n) = 2n. Naziv savr²eni

brojevi potje£e jo² iz anti£ke Gr£ke, to£nije od Pitagorejaca. Drugi znanstvenici i �lozo�

su, sli£no kao Pitagorejci, obja²njavali zna£enje savr²enih brojeva pomo¢u religije. Sveti

Augustin smatrao je da je Bog stvorio svijet u ²est dana, a u ranom Starom zavjetu spominje

se i savr²enstvo svemira koje je simbolizirano brojem 28 jer je toliko dana potrebno Mjesecu

da obi�e Zemlju. Sljede¢i raspisi pokazuju da su 6 i 28 savr²eni brojevi:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Gotovo dvije tisu¢e godine prije M. Mersennea, Euklid (330.pr.Kr.-275.pr.Kr.) je otkrio

zanimljivu poveznicu izme�u savr²enih brojeva i onoga ²to danas nazivamo Mersenneovim

brojevima. Pokazao je da £injenica da je broj 2n − 1 prost povla£i da je broj 2n−1(2n − 1)

savr²en.

Na osnovi poznavanja samo £etiri savr²ena broja nastala je slutnja da n-ti savr²eni broj

ima to£no n znamenki, te da parni savr²eni brojevi zavr²avaju naizmjence na znamenke 6 i

8.

Obje pretpostavke, Eulerova i ona starih Grka, pokazale su se neto£nima nakon ²to

je Pietro Cataldi (1548.-1626.) dokazao da su peti, ²esti i sedmi savr²eni brojevi jednaki

33550336, 8589869056 i 137438691328. Oko dvije tisu¢e godina nakon Euklida, Euler je

dopunio njegovu tvrdnju koju ¢emo iskazati i dokazati u sljede¢em teoremu.

Teorem 2. [5] Paran broj n je savr²en ako i samo ako se moºe prikazati u obliku n =

2k−1(2k − 1), gdje je broj 2k − 1 prost.

Dokaz. Neka je

n = 2k−1(2k − 1),

gdje je 2k − 1 prost. Direktno slijedi

σ(2k−1) = 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2k−1 =2k−1+1

2− 1= 2k − 1

te

σ(2k − 1) = 1 + 2k − 1 = 2k.

Kako su 2k−1 i 2k − 1 relativno prosti, multiplikativnost funkcije σ povla£i

σ(n) = σ(2k−1)σ(2k − 1) = (2k − 1)2k = 2n

pa je broj n savr²en.

Obratno, neka je n savr²en; zapi²imo ga u obliku n = 2km, gdje je k ≥ 0 i m neparan.

Kako je σ(n) = 2n, dobivamo

2k+1m = 2n = σ(n) = σ(2km) = σ(2k)σ(m) = (2k+1 − 1)σ(m).

9

Iz prethodnih jednakosti zaklju£ujemo da 2k+1 − 1 dijeli 2k+1m. Kako su 2k+1 i 2k+1 − 1

relativno prosti, 2k+1 − 1 dijeli m. Zapi²imo sada m u obliku m = (2k+1 − 1)m′. Dobivamo

da je

σ(m) = 2k+1m′,

te

n = (2k+1 − 1)2km′.

Preostaje jo² dokazati da je m′=1 i da je 2k+1 − 1 prost broj.

Ako je m′ 6= 1, slijedi

σ(m) ≥ 1 +m+m′.

No, vidjeli smo da je

σ(m) = 2k+1m′ = (2k+1 − 1)m′ +m′ = m+m′ < 1 +m+m′.

Prema tome, m′=1 te m=2k+1 − 1. S druge strane,

σ(m) = m+m′ = m+ 1

pa je m, tj. 2k+1 − 1 prost broj.

O neparnim savr²enim brojevima ne znamo mnogo, osim da moraju imati najmanje 1500

znamenki [6] i velik broj faktora pa se name¢e pretpostavka da neparni savr²eni brojevi ne

postoje.

10

6 Fermatovi brojevi

Pierre de Fermat (1607.-1665.) bio je francuski pravnik kojemu je matematika bila hobi.

Kasnije ¢e postati veoma zna£ajan znanstvenik upravo u tom podru£ju. Uglavnom se bavio

analiti£kom geometrijom i teorijom vjerojatnosti, ali najvi²e se istaknuo svojim doprinosom

teoriji brojeva.

1640. godine dolazi do spoznaje da su brojevi oblika Fn = 22n+ 1, gdje je n prirodan

broj, prosti brojevi. Ovi brojevi danas se nazivaju Fermatovi brojevi.

Prvih nekoliko Fermatovih brojeva su:

F0 = 220

+ 1 = 3

F1 = 221

+ 1 = 5

F2 = 222

+ 1 = 17

F3 = 223

+ 1 = 257

F4 = 224

+ 1 = 65537

i svi ovi brojevi su prosti.

Me�utim, 1732. godine Euler je otkrio da je sljede¢i Fermatov broj, F5 sloºen:

225

+ 1 = 4294967297 = 641 · 6700417.

Tako�er, 1880. godine F. Landry je pokazao da je 226+ 1 sloºen broj, 1975. godine

Brillhart i Morrison isto su pokazali za broj 227+1, a 1981. R. Brent i J. Pollard faktorizirali

su broj 228+ 1. Poznato je i da su brojevi 22

9+ 1, 22

10+ 1,. . . ,22

32+ 1 sloºeni [10].

Matemati£ar koji je najvi²e pozornosti pridao Fermatovim brojevima, i postigao najve¢e

rezultate, bio je Carl Friedrich Gauss (1777.-1855.). Gauss je jo² kao mladi¢ uspio dokazati

da ukoliko je p Fermatov prost broj, onda se ravnalom i ²estarom moºe konstruirati pravilan

mnogokut s p strana. Euklid je konstruirao trokut i peterokut, ali prije Gaussa nitko nije

uspio konstruirati ve¢i mnogokut s prostim brojem strana.

Dokazano je da je lako konstruirati pravilan 85-terokut koriste¢i konstrukcije za peterokut

i 17-terokut (Slika 7), a obzirom da se kutovi u mnogokutu mogu prepoloviti, tako�er je

mogu¢e konstruirati pravilni 170-terokut, 340-terokut itd. Op¢enito, mogu se konstruirati

mnogokuti oblika

2kpqr · · · ,

gdje su p,q,r,. . . razli£iti Fermatovi prosti brojevi. Gauss je tvrdio da su ovo jedini mnogokuti

koji se mogu konstruirati ravnalom i ²estarom. Jedini takvi poznati mnogokuti s neparnim

brojem strana su oni £iji je broj strana djelitelj broja 225 − 1. Takvih brojeva ima 32, a

najve¢i djelitelj je upravo sam 225 − 1 = 4294967295.

11

Slika 7: Konstruirani pravilni 17-terokut

Primjer 3. Pokaºimo da je 225+ 1 sloºen broj koriste¢i kongruencije modulo p=641.

Rje²enje: Vrijedi

p = 625 + 16 ≡ 54 + 24

p− 1 = 5 · 128 = 5 · 27

5 · 128 ≡ −1 (mod p)

24 ≡ −54 (mod p).

Iz toga slijedi:

225

= 232 = 24 · 228 ≡ −54 · 1284 ≡ −(−1)4 ≡ −1 (mod p).

Fermatovi brojevi zadovljavaju nekoliko rekurzivnih relacija koje se mogu dokazati in-

duktivno:

Fn = (Fn−1 − 1)2 + 1

Fn = Fn−1 + 22n−1F0F1 . . . Fn−2

Fn = F 2n−1 − 2(Fn−2 − 1)2

Fn = F0F1 . . . Fn−1 + 2

12

Posljednju od navedenih relacija iskoristiti ¢emo u dokazu idu¢e propozicije:

Propozicija 2. [5] Neka su i,j nenegativni cijeli brojevi. Ako je i6=j, tada je (Fi,Fj)=1.

Dokaz. Bez smanjenja op¢enitosti moºemo pretpostaviti i>j. Prema navedenoj relaciji,

vrijedi Fi = F0 · · ·Fj · · ·Fi−1 + 2. Kako (Fi, Fj)|Fi i (Fi, Fj)|F0 · · ·Fj · · ·Fi−1, slijedi da

(Fi, Fj)|2. No, svi Fermatovi brojevi su neparni, odakle dobivamo (Fi,Fj)=1.

13

7 Pseudoprosti brojevi i Carmichaelovi brojevi

Koriste¢i Mali Fermatov teorem, mogu¢e je pokazati da je neki cijeli broj sloºen. Prisje-

timo se Malog Fermatovog teorema:

Teorem 3. [5] Neka je p prost broj i a cijeli broj. Tada je ap ≡ a (mod p) te ako p-a vrijedi

i ap−1 ≡ 1 (mod p).

Na primjeru ¢emo pokazati kako ovaj test radi.

Primjer 4. Ispitajte je li broj 91 prost koriste¢i Mali Fermatov teorem.

Rje²enje:

Ispitajmo je li 290 ≡ 1 (mod 91)?

Kako je

26 = 64 ≡ −27 (mod 91)

212 = (−27)2 = 729 ≡ 1 (mod 91)

dobivamo

284 = (212)7 ≡ 17 ≡ 1 (mod 91)

pa je

290 = 284 · 26 ≡ 1 · (−27) (mod 91)

Iz prethodnih kongruencija slijedi da 91 nije prost broj!

Prethodni primjer pokazuje da Fermatov test zadovoljava nuºne uvjete provjere prostosti

brojeva, ali ne i dovoljne uvjete. Test koji zadovoljava i dovoljne uvjete provjere prostosti

brojeva uveo je Sir J. Wilson (1741.-1793.).

Teorem 4. [5] Ako je p prost broj, tada je (p− 1)! ≡ −1 (mod p).

Tako�er vrijedi i obrat Wilsonova teorema:

Propozicija 3. [5] Ako prirodan broj n zadovoljava kongruenciju (n − 1)! ≡ −1 (mod n),

tada je n prost.

Kako je Wilsonov test nee�kasan, u svrhu testiranja prostosti brojeva £e²¢e se koristi

Mali Fermatov teorem.

Ono ²to je u Fermatovom testu nedostajalo je metoda provjeravanja je li broj prost. U

staroj Kini se vjerovalo da ako je 2n ≡ 2 (mod n), onda n mora biti prost broj. Postavlja

se pitanje kako moºemo pokazati da su brojevi sloºeni ako ne moºemo prona¢i njihovu

faktorizaciju? U tu svrhu promatrat ¢emo sloºene brojeve koji zadovoljavaju relaciju iz

Malog Fermatovog teorema, ²to dovodi do sljede¢e de�nicije:

De�nicija 1. [7] Neka je b pozitivan cijeli broj. Ako je n sloºen pozitivan cijeli broj i vrijedi

bn ≡ b (mod n), onda se n naziva pseudoprostim brojem u bazi b.

14

Uo£imo, ukoliko vrijedi (b, n) = 1, onda je kongruencija bn ≡ b (mod n) ekvivalentna

kongruenciji bn−1 ≡ 1 (mod n).

Primjer 5. Cijeli brojevi 341=11·31, 561=3·11·17 i 645=3·5·43 su svi pseudoprosti brojevi

u bazi 2 jer se lako provjeri da vrijedi 2340 ≡ 1 (mod 341), 2560 ≡ 1 (mod 561) i 2644 ≡ 1

(mod 645).

Provjera je li zadovoljena kongruencija bn ≡ b (mod n) je u£inkovita ukoliko postoji

relativno mali broj pseudoprostih brojeva u bazi b, me�utim, vrlo mali broj sloºenih brojeva

zadovoljava ovu kongruenciju. Pokazalo se da je broj pseudoprostih brojeva u bazi b znatno

manji od broja poznatih prostih brojeva. Preciznije, postoji beskona£no mnogo prostih

brojeva, dok je poznato samo 14884 pseudoprostih brojeva u bazi 2. Iako su pseudoprosti

brojevi u bilo kojoj danoj bazi rijetki, neosporivo je da postoji beskona£no mnogo takvih

pseudoprostih brojeva. Pokazati ¢emo ovu tvrdnju za bazu 2.

Lema 1. [7] Ako su d i n pozitivni cijeli brojevi takvi da d dijeli n, onda 2d− 1 dijeli 2n− 1.

Dokaz. Budu¢i da d|n, postoji pozitivan cijeli broj t takav da dt=n. Ukoliko u izrazu

xt − 1 = (x− 1)(xt−1 + xt−2 + · · ·+ 1)

postavimo x = 2d, dobit ¢emo da vrijedi

2n − 1 = (2d − 1)(2d(t−1) + 2d(t−2) + · · ·+ 2d + 1)

iz £ega slijedi (2d − 1)|(2n − 1).

Sada uz pomo¢ prethodne leme moºemo dokazati sljede¢i teorem.

Teorem 5. [7] Postoji beskona£no mnogo pseudoprostih brojeva u bazi 2.

Dokaz. Pokazat ¢emo da ako je n neparan pseudoprost broj u bazi 2, onda je m = 2n − 1

tako�er pseudoprost broj u bazi 2. Obzirom da znamo da postoji barem jedan neparan

pseudoprost broj, ozna£imo ga s n0=341, moºemo konstruirati beskona£no mnogo pseudo-

prostih brojeva u bazi 2 uzimaju¢i n0 i nk+1 = 2nk − 1 za k=0,1,2,. . . . Svi ovi neparni cijeli

brojevi su razli£iti obzirom da je n0 < n1 < · · · < nk < nk+1 < · · · .Neka je n neparan, sloºen pseudoprost broj takav da vrijedi 2n−1 ≡ 1 (mod n). Kako je

n sloºen, znamo da je n = dt i da vrijedi 1 < d < n i 1 < t < n. Pokazat ¢emo da je broj

m = 2n − 1 tako�er pseudoprost broj tako ²to ¢emo prvo dokazati da je sloºen, a zatim da

vrijedi 2m−1 ≡ 1 (mod m).

Kako bismo pokazali da je m sloºen broj, koristimo prethodnu lemu iz koje je jasno

uo£ljivo da je (2d − 1)|(2n − 1) = m. Zatim, da bismo pokazali kako vrijedi 2m−1 ≡ 1

(mod m), prvo moramo uo£iti da, s obzirom da vrijedi 2n ≡ 2 (mod n), postoji cijeli broj

k takav da je 2n − 2 = kn. Dakle, 2m−1 = 22n−2 = 2kn. Prema prethodnoj lemi znamo da

vrijedi m = (2n − 1)|(2kn − 1) = 2m−1 − 1. Iz toga slijedi da je 2m−1 − 1 ≡ 0 (mod m) i

2m−1 ≡ 1 (mod m) pa moºemo zaklju£iti da je m pseudoprost broj u bazi 2.

15

Ukoliko ºelimo provjeriti je li cijeli broj n prost, a znamo da je 2n−1 ≡ 1 (mod n),

moºemo zaklju£iti da je n ili prost broj ili pseudoprost broj u bazi 2. Ne²to druk£iji pristup

je provjeravanje broja n u drugim bazama, tj. provjeravamo vrijedi li bn−1 ≡ 1 (mod n)

za razli£ite pozitivne cijele brojeve b. Ako prona�emo bilo koji b takav da je (b, n) = 1 i

bn−1 6≡ 1 (mod n), onda slijedi da je n sloºen.

Primjer 6. Obzirom da vrijedi

73 = 343 ≡ 2 (mod 341)

i

210 = 1024 ≡ 1 (mod 341),

slijedi da je

7340 = (73)1137 ≡ 21137 = (210)11 · 23 · 7≡ 8 · 7 ≡ 56 6≡ 1 (mod 341).

Dakle, obzirom da 7340 6≡ 1 (mod 341), moºemo zaklju£iti kako je 341 sloºen broj.

Postoje sloºeni cijeli brojevi takvi da je bn−1 ≡ 1 (mod n) za sve b takve da je (b,n)=1, za

koje se ne moºe pokazati da su sloºeni koriste¢i metodu iskori²tenu u prethodnom primjeru.

De�nicija 2. [7] Sloºen cijeli broj takav da je bn−1 ≡ 1 (mod n) za sve pozitivne cijele

brojeve b za koje vrijedi (b,n)=1, naziva se Carmichaelov broj.

Primjer 7. 561=3·11·17 je Carmichaelov broj.

Rje²enje: Primijetimo, ako je (b,561)=1, onda je (b,3)=(b,11)=(b,17)=1. Dakle, iz Malog

Fermatovog teorema slijedi:

b2 ≡ 1 (mod 3),

b10 ≡ 1 (mod 11),

b16 ≡ 1 (mod 17).

Posljedi£no gledaju¢i, slijedi da je b560 = (b2)280 ≡ 1 (mod 3), b560 = (b10)56 ≡ 1 (mod 11)

i b560 = (b16)35 ≡ 1 (mod 17). Dakle, slijedi da je b560 ≡ 1 (mod 561) za sve b takve da je

(b,n)=1.

Pretpostavlja se da postoji beskona£no mnogo Carmichaelovih brojeva, ali to jo² nije

dokazano. U sljede¢em teoremu dokazati ¢emo uvjete koje zadovoljavaju Carmichaelovi

brojevi.

Teorem 6. Ako je n = q1q2 · · · qk, gdje su qj razli£iti prosti brojevi za koje vrijedi (qj −1)|(n− 1) za sve j, onda je n Carmichaelov broj.

16

Dokaz. Neka je b pozitivan cijeli broj takav da je (b,n)=1. Tada vrijedi (b,qj)=1 za j=1,2,. . . ,k

pa iz Malog Fermatovog teorema slijedi da je bqj−1 ≡ 1 (mod q)j za j=1,2,. . . ,k. Budu¢i

da za sve cijele brojeve j=1,2,. . . ,k vrijedi (qj − 1)|(n− 1), postoje cijeli brojevi tj takvi da

je tj(qj − 1)=n − 1. Dakle, za svaki j vrijedi bn−1 = b(qj−1)tj ≡ 1 (mod q)j. Sada moºemo

zaklju£iti da je bn−1 ≡ 1 (mod n) pa je n Carmichaelov broj.

Tako�er vrijedi i obrat ovog teorema:

Teorem 7. Svi Carmichaelovi brojevi su oblika q1q2 · · · qk, gdje su qj razli£iti prosti brojevi

i vrijedi (qj − 1)|(n− 1),∀j.

Druga zanimljiva svojstva i primjene Carmichaelovih brojeva mogu se prona¢i u [7].

17

8 Drugi zanimljivi brojevi

U ovom poglavlju navesti ¢emo de�nicije jo² nekih zanimljivih klasa brojeva [9].

De�nicija 3. Cunninghamov broj je pozitivan cijeli broj oblika n2n + 1.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 1,3,9,25,65,161,385,. . ..

De�nicija 4. Euklidov broj je prirodan broj oblika En = pn# + 1, gdje je pn# umnoºak

prvih n prostih brojeva.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 2,3,7,31,211,2311,30031,. . ..

De�nicija 5. n-ti Hardy-Ramanujanov broj, u oznaci Ta(n) je najmanji pozitivan broj koji

se moºe izraziti kao suma dva kuba na n razli£itih na£ina.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 2,1729,87539319,6963472309248, . . ..

De�nicija 6. Pellove brojeve £ini niz brojeva, (Pn), kojeg de�niramo sljede¢om rekurzivnom

relacijom:

P (n) =

0 , n = 0

1 , n = 1

2Pn−1 + Pn−2 , n ∈ N \ {0, 1}

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 0,1,2,5,12,29,70,169,408,. . ..

De�nicija 7. Prothov broj je prirodan broj oblika N = k2n+1, gdje je k neparan cijeli broj,

n pozitivan cijeli broj i 2n>k.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 3,5,9,13,17,25,33,41,49,. . ..

De�nicija 8. Neka je k neparan, pozitivan cijeli broj. Tada je k Rieselov broj ako i samo

ako je za sve pozitivne cijele brojeve n, broj k2n − 1 sloºen.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 509203,762701, 777149,790841,. . ..

De�nicija 9. Brojevi Sierpinskog 1. vrste su cijeli brojevi Sn oblika Sn = nn + 1, za sve

cijele brojeve n. Brojevi Sierpinskog 2. vrste su neparni, pozitivni cijeli brojevi k takvi da su

brojevi oblika k2n + 1 sloºeni za sve cijele brojeve n.

De�nicija 10. Smithovi brojevi su oni sloºeni brojevi £ija je suma znamenki jednaka sumi

znamenki njihovih prostih faktora.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 4,22,27,58,85,94,121,166,. . ..

De�nicija 11. Sternov broj je neparan broj koji se ne moºe zapisati u obliku 2a2 + p, gdje

je a pozitivan cijeli broj, a p prost broj.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 1,3,17,137,227,. . ..

18

De�nicija 12. Prost broj Sophie Germain je prost broj p takav da je 2p+ 1 tako�er prost.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 2,3,5,11,23,29,41,53,83,. . ..

De�nicija 13. Wieferichov prost broj je prost broj p takav da p2|2p−1 − 1.

Niz Wieferichovih brojeva zapo£inje s: 1093,3511,. . ..

De�nicija 14. Wilsonov prost broj je prost broj p takav da p2|(p− 1)! + 1.

Prvih nekoliko takvih brojeva su: 5,13,563,. . ..

19

Literatura

[1] J. H. Conway, R. K. Guy, The book of numbers, Copernicus, New York, 1996.

[2] E. Deza, M. Deza, Figurate numbers, World Scienti�c, Singapore, 2011.

[3] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, PMF, Zagreb (skripta).

[4] Fibonaccijev niz, FER, Zagreb,

URL: https://www.fer.unizg.hr/_download/repository/diskont1-06.pdf

[5] I. Mati¢, Uvod u teoriju brojeva, Odjel za matematiku, Osijek, 2013.

[6] P. Ochem, M. Rao, Odd Perfect Numbers Are Greater than 101500, Mathematics of

Computation 81 (2012), 1869�1877.

[7] K. H. Rosen, Elementary number theory and its applications, Addison-Wesley, 1984.

[8] Figurate numbers,

URL: https://www.learner.org/courses/learningmath/algebra/sesion7/index.html

[9] Number sequence,

URL: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_recreational_number_theory_topics

#Number_sequences

[10] Summary of factoring status for Fermat numbers Fm as of March 27, 2019,

URL: https://www.prothsearch.com/fermat.html#Summary

20