Problemorienteret projektarbejde i matematisk modellering

- Erfaringer fra et efteruddannelseskursus

Tinne Hoff Kjeldsen IMFUFA, Institut for Natur, Systemer og Modeller, RUC.

Konference om den nye skriftlighed i matematikundervisningenMatematiklærerforeningen og Institut for Naturfagenes Didaktik

H.C. Ørsted Instituttet, KU, 15. april 2008

Disposition

1. Hvad er det for et kursus?

”Problemorienteret projektarbejde inden for matematisk modellering – et kursus for matematiklærere på gymnasialt niveau.” Morten Blomhøj og Tinne Hoff Kjeldsen, RUC.

2. To eksempler: Medicindosering og bakteriesuppe

– At sætte scenen for projektarbejdet

– Styring af processen undervejs

– (Pædagogisk observation – udvikling af egen praksis)

3. Eksempler på forløb udviklet på kurset

Hvad er det for et kursus?

Kursets formål er at kvalificere deltagerne til at anvende problemorienteret projektarbejde som pædagogisk metode i matematikundervisningen specielt med henblik på at kunne leve op til udfordringerne i reformen om:

• at arbejde med matematisk modellering,• at arbejde projektorganiseret, • at støtte progressionen i elevrollen og• at bringe matematikfaget i samspil med andre fag i

gymnasieforløbet. (Uvm, 2004)

Kursusbevis – 7.5 ETCS point; Kursusgebyr – 5.000 kr.

Hvad er det for et kursus?Struktur: • 3-dages internat – midtvejsmøde – 2-dages internat D 28• Design af problemorienteret projektarbejde, afprøvning i egen klasse,

rapport

3-dages internat (29. september – 1. oktober, 2008):• Teori:

– Problemorienteret projektarbejde– Modelleringskompetence, oplæg om kompartmentsmodellering D 29

• Praksis:– Hvad er et godt problem, hvor kommer de fra?– Styring, vejlederroller, pædagogisk observation

• Gruppearbejde – udvikling af skitser til undervisningsforløb:– Intentioner: egne og eleverne, elevoplæg, vejlederrolle, evaluering,

observering– Fremlæggelser og diskussion

Hvad er det for et kursus?

Midtvejsmødet: • 1-dag på RUC (december) – støtte til afrapportering og

evaluering

2-dages internat (28. – 29. januar, 2009):• Fremlæggelser og diskussion: Hvordan gik det så?

– Kompetenceindhold– Eksemplaritet– Forbedrings- og udviklingsmuligheder: pædagogisk og

indholdsmæssigt– Pædagogiske observationer diskuteres– Konstruktiv kritik til rapportering af forløbene

Slut:• Publicering af rapporterne + elevoplæg på EMU

Hvordan ”sættes scenen”?

Hvad er det problemorienteret projektarbejde kan?• Skabe motivation, der knytter sig til det faglige indhold • Give mulighed for detalgerstyring• Støtte udviklingen af elevernes autonomi og myndighed.

Kriterier for det gode projektforløb• Selvstændiggørelse af projektets problem• Arbejdsdisciplin og godt samarbejde• Fokus på de faglige problemstillinger og det faglige niveau

Udfordring• Skabe en ramme om projektarbejdet, der sætter eleverne fri

til selv at køre med projektet, på en sådan måde at projektarbejdets pointer kan indfries.

• Det handler om at ”sætte scenen”: Medicindosering og bakteriesuppe

Hvordan ”sættes scenen”?

Intentionerne for elevernes udbytte af projektet

• Hvad er det for indsigter og kompetencer som projektforløbet skal støtte udviklingen af?

• Prioritering og begrundelse af målene for elevernes udbytte.

• Hvilke specifikke faglige forståelser og indsigter skal projektet bibringe eleverne?

Hvordan ”sættes scenen”?

Design af forløbet

• Hvordan skal scenen sættes?

• Hvilke materialer skal eleverne have?

• Udvikling af problemformulering?

• Hvilke produktkrav skal der være?

• Fastlæggelse og formidling af evalueringskrav

• Vejledning og styring under forløbet. (Dialog, ”Facitliste”)

Eks. 1: MedicindoseringIntentionerne for elevernes udbytte• at eleverne skulle arbejde over et længere tidsrum, hvor de selv

skulle styre forløbet i et projektarbejde. • at eleverne skulle arbejde med en større og mere uoverskuelig

problemstilling, hvor de ikke i forvejen er blevet præsenteret for et standard-svar.

• at eleverne skulle lære at opstille en problemformulering.• at eleverne skulle tage udgangspunkt i et problem i stedet for en

opgave så selve modelleringen, matematiseringen og fortolkningen af resultaterne også blev en del af opgaven. D 28

• at forstå hvad begrebet ”en matematisk model” dækker over.• at analysere en række data med henblik på at opstille en

matematisk model• at anvende kendte matematiske begreber som grafer og

regneforskrifter i en konkret sammenhæng.• at eleverne skulle trænes i at formulere matematiske

problemstillinger til ikke-fagfolk.• at eleverne i projektet i udstrakt grad skulle benytte IT

Eks. 1: MedicindoseringDesign af forløbet: 4 faser• (1.5 modul) præsentation af problemet. Exel-kursus, netstudier,

social kontrakt. Lynkursus i modelleringsprocessens elementer.• (1 modul) Problemformuleringsfase og –beslutning• (3 moduler) Arbejde med hjælpespørgsmål (afleveres). (Vejledning

og styring under vejs. (mat.+kom.))• (4 moduler) Arbejde med det egentlige projekt

Materialer: Projektoplæg• Problemstilling + data• Rapporten (krav)• Hjælpeopgaver (4 styk)• Den ”skjulte” lærerplan• Elementer i projektarbejdet• Faser i modelleringsprocessen• Evaluering• Exel-øvelser, den sociale kontrakt, p-hæftet (logbog og

projektstyring).

Eks. 1: MedicindoseringProduktkrav (Styringsredskab)• I skal opstille en model for hele problemstillingen og aflevere

en rapport skrevet til lægen, der tager fat på følgende spørgsmål: • Hvordan falder koncentrationen i blodet som tiden går?• Hvordan kan man planlægge en løbende medicinering med

fast dosis D og fast tidsinterval T, så koncentrationen efter et par injektioner ligger indenfor 5-15 mg/L?

• Hvordan kan man planlægge en løbende medicinering med en startdosis og derefter en fast dosis D og fast tidsinterval T, såkoncentrationen med det samme ligger indenfor 5-15 mg/L?

• Hvad skal man overveje inden man bruger denne medicineringsplan på en anden patient?

• Rapporten skal være skrevet i et letforståeligt sprog, og den skal først og fremmest give et klart billede af jeres konklusioner formidlet tydeligt og overskueligt. I et appendiks til rapporten vedlægges de mere matematiske overvejelser og gennemregninger, så det er muligt at kontrollere alle jeres påstande.

Eks. 1: Medicindosering

Evaluering (Styringsredskab)• Er sproget i rapporten forståeligt og præsentationen af

problemet og løsningerne præsenteret i en overskuelig form. Er teksten i selve rapporten skrevet til en ikke-matematiker. (KOM)

• Er der brugt grafer til at anskueliggøre problemerne. (SPECIFIKKE)

• Er de mellemregninger, matematiske overvejelser og forudsætninger klart formuleret i appendikset. Kan man se, hvordan I er kommet frem til jeres resultater.

• Hvor avanceret er det niveau, opgaven er løst på?• Er selve modelleringsprocessen tydelig: problem – system

– matematisk problem – matematisk løsning –handlingsforslag. (MODEL)

Ex 1: MedicindoceringTid i timer Koncentration mg/L0 10,02 7,04 5,06 3,5 Falder til det halve hver 4. time8 2,510 1,912 1,314 0,916 0,618 0,5

Vejledning og styring undervejs: Dialog (Pædagogisk observation)

E1: Vi kan se at den falder hele tiden, men den falder mindre ogmindre.

L : Hvaffor en?E1: Øh … det må være koncentrationen af medicin.L : Ja. Er der noget system?

E2: Ja, den falder til det halve hver fjerde time.

L: Ja. Den falder altså ikke med en fast størrelse, men hvad er det

så der er fast?

E1: Det er det den falder… altså det vi ganger med.

E3: Det må være procenten …

L: Falder den også med en fast procent, hvis vi kun ser på spring på2 timer?

E1: Den falder fra 10 til 7. Så der er altså 70% tilbage.

L: Ja og når vi skal finde 70%, hvad er det så vi ganger med for at

finde det?

E1: Vi ganger med 0,7

L: Passer det at den fortsætter med at falde til 70%, når vi går videre?

E2: Hvis vi ganger 7 med 0,7 så får vi 4,9 og det passer ikke! Det skulle give 5.

E3: Det passer da fint. Det er jo næsten det samme! Det er bare afrundingsfejl.

L: Hvis den også falder med en fast procent hver time, hvor mange procent skulle det så være, når den falder med 30% på to timer.

E1: Det må være 15%

L: Prøv at se om det passer. Hvad skal man så gange med for at fåkoncentration en time efter?

Resten fik fremskrivningsfaktoren 0,85

Eks. 2: Bakteriesuppe

Eks. 2: BakteriesuppeIntentionerne for elevernes udbytte• At udvikle elevernes forståelse af f ’ som en væksthastighed. Det er

velkendt at spørgsmålet: ”Hvor er væksthastigheden størst” kan tage pippet fra selv fagligt stærke elever, så emnet er skam værd at se på.

• At udvikle elevernes generelle forståelse af funktionsbegrebet og at øve dem i at opstille funktioner, der opfører sig på en eller anden bestemt måde (voksende eller lineært aftagende f.eks.)

• At lære eleverne at anvende IT-værktøj til numerisk løsning af differentialligninger – om end ordet differentialligning ikke behøver at optræde undervejs i forløbet. En integreret del af anvendelsen af IT-værktøjer at fortolke resultaterne – i dette tilfælde en større samling kurver.

• At øve eleverne i parameterkontrol• At udvikle elevernes modelleringskompetence, specielt at øve dem i at

udvælge udtryk for væksthastighed, der afspejler deres forestillinger om den situation de ser på. Dette punkt er vigtigt! Anmoder man en tilfældig elev om at angive en simpel, voksende funktion vil resultatet i de fleste tilfælde være en lammende tavshed. At f(x) = a·x + b for positivt a skulle være brugbar ”er bare for meget”

Eks. 2: Bakteriesuppe

Design af forløbet:• Eleverne fik udleveret oplægget til gennemlæsning hjemme før

start. Der blev på forhånd afsat skønsmæssigt 7 lektioner til projektet, som blev afviklet i et EDB-lokale med gode computerfaciliteter. Produktkravet var fungerende FPro-projektersamt et tekstdokument med beskrivende kommentarer.

Udleveret materiale: • Billede af glade børn i badebassin (Jyllands-Posten, den

11.08.2004.)• Den model for populationens vækst, der lægges op til, kan iflg.

billedteksten beskrives ved, at én bakterie bliver til to på 20 minutter.

• Oplægget

Eks. 2: Bakteriesuppe

Oplægget: Opstilling af en simpel model• Lad os nu foretage et hovedspring ned i suppen, hvor vi i nogen detalje vil

foretage en simpel modelopstilling. Vi forestiller os vi har en – for bakterier – næringsrigtig suppe. Antallet af bakterier kaldes N, hvor N naturligvis afhænger af tiden, t. Er N lille kan mængden af næring betragtes som uendelig. Vi vil gerne vide hvorledes antallet af bakterier udvikler sig i tiden. Den helt, helt, helt centrale størrelse er her væksthastigheden N’. I matematisk set løs tale angiver N’ ændringen i antallet af bakterier per tidsenhed. Regner vi tiden i minutter og er N’ = 10 betyder det at antallet af bakterier vokser med 10 hvert minut. Denne meget kontante tolkning af N’gælder kun hvis N’ er konstant, hvad den sjældent er – men som tankefigur er tolkningen effektiv.

• Vi antog at bakterierne havde al den næring de havde behov for. Den simpleste model vi kan opstille for hvordan antallet af bakterier udvikler sig i tiden er at sige at væksthastigheden er proportional med det øjeblikkelige antal bakterier, altså at N’ = k·N, hvor k er en konstant.

Eks. 2: Bakteriesuppe

Udvidelser• Mængden af føde er ikke ubegrænset. Antag at der tilføres en

bestemt mængde føde per tidsenhed. Hvordan vil mængden af bakterier ændre sig i tiden?

• Antag at rensningsanlægget fjerner en bestemt brøkdel af bakteriebestanden per tidsenhed.

• Nogle bakterier udskiller giftstoffer. Tænk på en vinballon. …Giftstoffet hæmmer gærcellernes formering. Man kan også sige at spritten slår en bestemt brøkdel af gærcellerne ihjel – en brøkdel der selvfølgelig stiger med spritindholdet i ballonen.

Eks. 2: Bakteriesuppe

Vejledning og styring undervejs: En slags facitliste• Begrænset fødemængd: den relative væksthastighed aftager med

populationens størrelse. Vi får N’ =(a – b·N) ·N,• Med rensningsanlæg: N’ = (b-a·N)·N – c·N• Vinballonen: der to størrelser at se på, antallet af mikroorganismer N og

giftindholdet g i systemet. • Går vi ud fra, at den enkelte mikroorganisme producerer gift med en

konstant hastighed må der gælde: g’ = c·N. En rimelig model for antallet af mikroorganismer er N’ = a·N – b·g·N. Her angiver parameteren b giftens ’giftighed’ (og betyder altså noget andet end før). Vi får altså et system af to koblede differentialligninger: g’ = c·N og N’ = a·N – b·g·N

• Hvis giftstoffet er nedbrydeligt, skal modellen modificeres. Et godt forslag kunne se således ud: N’ = a·N – b·g·N og g’ = c·N – d·g

• Hvis endelig fødemængden samtidig er begrænset, kan man forestille sig følgende model: N’ =(a – e·N) ·N – b·g·N og g’ = c·N – d·g

Udvikling af egen praksis: Pædagogisk observationI forhold til det faglige indhold i gruppernes arbejde:- er der en faglig dialog i gruppen?- fortager eleverne bevidste metodevalg?- formuleres faglige forståelsesproblemer?- specifikke observation af, hvordan gruppen

håndterer bestemte begreber og metoder- hvordan fungerer samspillet med læreren?

For at vurdere elevernes faglige læring og for at kunne udfordre deres begrebsforståelse og læringsstrategier

3. Eksempler på forløb udviklet på kurset Lav et gameshow til tv2-zulu!

Systematik i solsystemet

Udvikling i befolkningssammensætning -Befolkningspyramider

YOUNG MOBILE A/S - Det optimale mobilabonnement

Befolkningstal og indvandring i Danmark D 30

Investeringsteori

Trafikmodellering – over en bro og ved lyskryds

Effektiviteten af Tangeværket

3. Eksempler på forløb udviklet på kurset

Nedbrydning og udskillelse af narkotika

Design og placering af et hus

Design af en vodka-klovn D 32

Faldskærmsudspring D 33

Rapporterne findes på:http://mmf.ruc.dk/mat/matefteruddannelse.htm

Eller via www.ruc.dk/nsm/uddannelser/

Blomhøj, M. (1993): Modellerings betydning for tilegnelsen af matematiske begreber. Nordisk matematikkDidaktikk,, 1 (1), 18-38.

Blomhøj, M. (2001): Hvorfor matematikundervisning? – matematik og almendannelse i et højteknologisk samfund. I M. Niss (red.) Matematik og verden, s.219-246. København: Fremad.

Blomhøj, M., T. Højgaard Jensen, T. Hoff Kjeldsen and J. Ottesen (2001): Matematisk modellering ved den naturvidenskabelige basisuddannelse -udvikling af et kursus. Imfufa-tekst 402, Roskilde University, 2001

Blomhøj, M. (2003): Modellering som undervisningsform. I O. Skovsmose og M. Blomhøj (red.), Kan det virkelig passe?. Kapitel 4. København: L& R Uddannelse.

Blomhøj, M. (2004): Mathematical modelling – a theory for practice. In International perspectives on learning and teaching mathematics.National center for mathematics education, Göteborg University, Sweden, pp.145-160.

Blomhøj, M. & T. Hoff Kjeldsen (2006): Teaching mathematical modelling through project work - Experiences from an in-service course for upper secondary teachers. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38, 2, pp. 163-177.

Referencer

Autentiske matematik anvendelser (1991): Autentiske matematik anvendelser. Matematiklærerforeningen.

Blomhøj, M., T Hoff Kjeldsen and Johnny Ottesen (2004): BASE - et grundkursus i matematisk modellering 4. udgave, (del I-II og problemstillinger). Kan bestilles på imfufa@ruc.dk.

Dejgaard, J. og C. Michelsen (2001): Trafikmodeller. Matematiklærerforeningen.

Hjersing, N., P. Hammershøj Jensen og B. Jørgensen (2004): Modeller i Derive. Differentialligninger og modelbygning. Højt niveau i matematik. København: Matematiklærerforeningen.

Thue Poulsen, E. (1997): Matematiske modeller. Matematisk afdeling.Aarhus Universitet

Blomhøj, M. (2006): Matematisk modellering. Kapitel i Matema10k T.Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen, Matematik for B-niveau. København: Frydenlund.

Referencer der kan bruges i undervisningen

Søminestationen i Holbæk

D 4

Virkelighed

Undersøgelsesdomæne

System

Matematisk system

Modelresultater

(a) Problemformulering

(b) Systematisering

(c) Matematisering(d) Matematisk analyse

(e) Fortolkning og evaluering

(f) Validering

Data

Teori

Handling/erkendelse

Modelleringsprocessens dynamik

Erfaring

Interesse

(Blomhøj & Kjeldsen, 2006)

D 4

D 9

Peter Skaarup, 25.05.2004

En befolkningsmodel i Dynasys

D 24

D 25

D 25