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Today’s Outline - September 26, 2012

• Hermitian operators

• Determinate states

• Eigenfunctions and eigenvalues

• Discrete and continuous spectra

• Statistical interpretation

Exam #1: Monday, October 1, 2012 Covers Chapters 1 & 2, closedbook, calculators provided

Homework Assignment #05:Chapter 3: ??,??,??,??,??,??due Wednesday, October 3, 2012

C. Segre (IIT) PHYS 405 - Fall 2012 September 26, 2012 1 / 10

Vector properties: addition

The expectation value of an observ-able Q(x , p) is

since any observable must be realby definition, we can write

This holds for all wave functionsand operators which represent ob-servables have the property that:

Such operators are said to be her-mitian.

〈Q〉 =

∫Ψ∗QΨ dx = 〈Ψ|QΨ〉

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

∫Ψ∗QΨ dx

= 〈Ψ|QΨ〉

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

since any observable must be realby definition

, we can write

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

since any observable must be realby definition

, we can write

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉

= 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

~if ∗g

∣∣∣∣∞−∞−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx

= 〈pf |g〉

〈Q〉 =

〈Q〉 = 〈Q〉∗

〈Ψ|QΨ〉∗ = 〈QΨ|Ψ〉 = 〈Ψ|QΨ〉

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

Is p is hermitian?

〈f |pg〉 =

∫ ∞−∞

f ∗~i

dxdx =

��~

if ∗g

∣∣∣∣∣∞

−∞

−∫ ∞−∞

df ∗

dxg dx

∫ ∞−∞

)∗g dx = 〈pf |g〉

Problem 3.5

The hermitian conjugate (or adjoint) of an op-erator Q is the operator Q† such that

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

Find the hermitian conjugates of x , i , d/dx , a+, and QR.

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

〈f |(QR)g〉 = 〈Q†f |Rg〉 = 〈R†Q†f |g〉 = 〈(QR)†f |g〉

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉

Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx

= 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx

= 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

= f ∗g∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

= −〈 ddx

f |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(− ip + mωx)†

2~mω(i

p + mωx

) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

p + mωx

= a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

+ mωx

= a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

(ip + mωx)

= a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

(ip + mωx) = a−

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

(ip + mωx) = a−

〈f |(QR)g〉 = 〈Q†f |Rg〉

= 〈R†Q†f |g〉 = 〈(QR)†f |g〉

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

(ip + mωx) = a−

〈f |(QR)g〉 = 〈Q†f |Rg〉 = 〈R†Q†f |g〉

= 〈(QR)†f |g〉

Problem 3.5

〈f |Qg〉 = 〈Q†f |g〉Q = Q†

〈f |xg〉 =

∫f ∗(xg) dx =

∫(xf )∗g dx = 〈xf |g〉

〈f |ig〉 =

∫f ∗(ig) dx =

∫(−if )∗g dx = 〈−if |g〉

〈f | ddx

g〉 =

∫f ∗

dxdx = f ∗g

∣∣∣∞−∞−∫ (

)g dx = −〈 d

dxf |g〉

a†+ =1√

2~mω(−ip + mωx)† =

1√2~mω

(ip + mωx) = a−

Determinate states

Suppose that we have many systems all prepared in the same way and wemeasure the expectation value of Q on each system.

If there is adeterminate state for the system, we will always get the same answer, q.

In this case, the standard deviation of Q must be exactly zero.

Since Q is hermitian, then Q − q must be as well.

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

The only function whose square in-tegral vanishes is zero

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

This is the eigenvalue equation for the Q operator with Ψ being aneigenfunction of Q and q being its eigenvalue.

Thus, determinate states are eigenfunctions of Q.

Determinate states

Suppose that we have many systems all prepared in the same way and wemeasure the expectation value of Q on each system. If there is adeterminate state for the system, we will always get the same answer, q.

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉

= 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉

= 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉

= 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

This is the eigenvalue equation for the Q operator with Ψ being aneigenfunction of Q

and q being its eigenvalue.

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

Determinate states

σ2 = 〈(Q − 〈Q〉)2〉 = 〈Ψ|(Q − q)2Ψ〉 = 〈(Q − q)Ψ|(Q − q)Ψ〉 ≡ 0

(Q − q)Ψ ≡ 0

QΨ = qΨ

All about eigenfunctions...

An eigenfunction multiplied by a constant gives the same eigenvalue:

Q(aΨ) = q(aΨ)

Zero cannot be an eigenfunction

The collection of all eigenvalues of an operator is its spectrum

If two linearly independent eigenfunctions have the same eigenvalue, theyare said to be degenerate.

Determinate states of the total energy are thus, eigenfunctions of theHamiltonian:

Hψ = Eψ

If the spectrum of an operator is discrete (eigenvaluse are “quantized”),then the eigenfunctions lie in Hilbert space and are physical states

If the spectrum is continuous, then the eigenfunctions are not normalizableand cannot represent physical states. But linear combinations of them(wavepackets) might.

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

If the spectrum is continuous, then the eigenfunctions are not normalizableand cannot represent physical states.

But linear combinations of them(wavepackets) might.

Q(aΨ) = q(aΨ)

Hψ = Eψ

Example 3.1

Find the eigenfunctions and eigenvalues of Q ≡ i ddφ

First let’s see if Q is hermitian.This operator acts on functionsf (φ), where

f (φ+ 2π) = f (φ)

integrating by parts

The eigenvalue equation is

This is solved by, which uponapplication of the periodicboundary condition, gives

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

First let’s see if Q is hermitian.

This operator acts on functionsf (φ), where

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

This is solved by

, which uponapplication of the periodicboundary condition, gives

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

This is solved by

, which uponapplication of the periodicboundary condition, gives

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Example 3.1

f (φ+ 2π) = f (φ)

〈f |Qg〉 =

∫ 2π

0f ∗(idg

= i f ∗g∣∣∣2π0−∫ 2π

(df ∗

)g dφ

= 〈Qf |g〉

dφf (φ) = qf (φ)

f (φ) = Ae−iqφ

e−iq2π = 1, q = 0,±1,±2, . . .

Discrete spectra

Important properties of the eigenfunctions of hermitian operators

1. Eigenvalues are real

observables are real!Qf = qf

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

2. Eigenfunctions with distincteigenvalues are orthogonal

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Even with degenerate eigenvalues, it is possible to choose orthogonaleignefunctions by taking linear combinations.

3. The eigenfuctions of an observable operator are complete (can’t provethis so take it as an axiom following Dirac!)

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

observables are real!

Qf = qf

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

Qf = qf

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉

q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

Qf = qf

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉

= q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

Qf = qf

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉

→ q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

Qf = qf

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉

q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉

= q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉

→ 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

3. The eigenfuctions of an observable operator are complete

(can’t provethis so take it as an axiom following Dirac!)

Discrete spectra

〈f |Qf 〉 = 〈Qf |f 〉q〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → q∗ = q

Qg = q′g

〈f |Qg〉 = 〈Qf |g〉q′〈f |f 〉 = q∗〈f |f 〉 → 〈f |g〉 = 0

Momentum eigenfunctions: orthonormality

For continuous spectra, the eigenfunctions are not normalizable and theproperties (reality, orthogonality and completeness) are not directlyprovable.

But ...

Take the case of eigenfunctionsand eigenvalues of the momen-tum operator.

restricting only to real values ofp

choosing A = 1/√

2π~ will nor-malize this set of eigenfunctions

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

〈fp′ |fp〉 = δ(p − p′)This is called Dirac orthonormality

For continuous spectra, the eigenfunctions are not normalizable and theproperties (reality, orthogonality and completeness) are not directlyprovable. But ...

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~

∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~

∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

〈fp′ |fp〉 = δ(p − p′)

This is called Dirac orthonormality

choosing A = 1/√

dxfp(x) = pfp(x)

fp(x) = Ae ipx/~∫ ∞−∞

f ∗p′fp dx = |A|2∫ ∞−∞

e i(p−p′)x/~ dx

= |A|22π~δ(p − p′)

fp(x) =1√2π~

e ipx/~

Momentum eigenfunctions: completeness

This restricted set of eigenfunctions of momentum are also complete.

f (x) =

∫ ∞−∞

c(p)fp(x) dp =1√2π~

∫ ∞−∞

c(p)e ipx/~ dp

〈fp′ |f 〉 =

∫ ∞−∞

c(p)〈fp′ |fp〉 =

∫ ∞−∞

c(p)δ(p − p′) dp = c(p′)

While this subset of eigenfunctions of p are not In a true Hilbert space,they have quasi-normalizibility and can be used to build wavepackets whichdo represent physical states, albeit without a determinate momentum.

f (x) =

∫ ∞−∞

c(p)fp(x) dp

=1√2π~

∫ ∞−∞

c(p)e ipx/~ dp

〈fp′ |f 〉 =

∫ ∞−∞

c(p)δ(p − p′) dp = c(p′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(p)e ipx/~ dp

〈fp′ |f 〉 =

∫ ∞−∞

c(p)δ(p − p′) dp = c(p′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(p)e ipx/~ dp

〈fp′ |f 〉 =

∫ ∞−∞

c(p)〈fp′ |fp〉

∫ ∞−∞

c(p)δ(p − p′) dp = c(p′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(p)e ipx/~ dp

〈fp′ |f 〉 =

∫ ∞−∞

c(p)δ(p − p′) dp

= c(p′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(p)e ipx/~ dp

〈fp′ |f 〉 =

∫ ∞−∞

c(p)δ(p − p′) dp = c(p′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(p)e ipx/~ dp

〈fp′ |f 〉 =

∫ ∞−∞

c(p)δ(p − p′) dp = c(p′)

Position eigenfunctions

The same can be shown forthe position operator x

what eigenfunction has theproperty that multiplied bythe variable x is identical tomultiplying it by the constanty?

picking A = 1

and for completeness

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

g∗y ′(x)gy (x) dx

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

c(y)δ(x − y) dy = c(x)

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = ?

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = ?

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y)

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y)

→ 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

c(y)δ(x − y) dy

= c(x)

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

picking A = 1

so that

c(y) = f (y)

x gy (x) = y gy (x)

gy (x) = Aδ(x − y) =

∫ ∞−∞

= |A|2∫ ∞−∞

δ(x − y ′)δ(x − y) dx

= |A|2δ(y − y ′)

gy (x) = δ(x − y) → 〈g∗y ′ |gy 〉 = δ(y − y ′)

f (x) =

∫ ∞−∞

c(y)gy (x) dy

∫ ∞−∞

today’s outline - september 26, 2012csrri.iit.edu/~segre/phys405/12f/lecture_11.pdf · 2012. 9....

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