trabajo de calculo, asintotas, continuidad y limites trigonometricos. (angel rodriguez)
TRANSCRIPT
0
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD YACAMBU
CABUDARE – ESTADO LARA
Nombre: Angel D Rodríguez R.
C.I. 25.146.710.
Expediente: III-133-00236.
Profesor: Rubén Bravo.
Sección: MA12TOP.
Cabudare; 09 de Abril del 2014.
1
Resolver detalladamente cada ejercicio.
1. ���(�) � −4,��� < −2��� ,�� − 2 ≤ � < 2� − 1,��� ≥ 2 , ������ ��)lim�→�� �(�)�)lim�→� �(�)
2. Hallar lim →!" #$%& �!"'()# �√�+
3. Hallar lim�→, -�()#��.�+
4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.
�(�) � �/, ��� ≤ −20�� − 2�, ��� > −2
5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación. �2� − 2� − 4� − 8 = 0
6. Sea g(x)= 2x2 + x. Calcular g’ (x) por definición.
7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.
�(�)6 −2, ��� < −1�� + �, �� − 1 ≤ � < 32, ��� ≥ 3
2
Ejercicios:
1. Sif(x) � −4,six < −2 �� ,si − 2 ≤ x < 2x − 1,six ≥ 2 , Hallar �a)lim →�� f(x)b)lim →� f(x)
Solución:
a) ∃lim →�� f(x) = −4
lim →��B x/2 = (−2)/2 = −82 = −4
lim →��C−4 = −4
Luego el límite existe ya que los laterales son iguales así lim�→�� �(�) = −4
b) lim →�B x − 1 = 2 − 1 = 1
lim →�C x/2 = (2)/2 = 82 = 4
∄lim →� f(x)yaqueloslateralessondiferentes.
3
2. Hallar lim →!" #N%O �P"Q()# �√�+ = ,, R. S
Solución:
Ya que lim →!" sen x −TU = sen TU −TU = sen0 = 0 Λ
lim →!" cos x −√/� = cos TU −√/� =√/� −√/� = 0
SeaW = x − π6 ⇒ x = [W+ π6\
x → π6 W → 0
Así; lim]→, #N%]^_`O]a!"Q�√�+ de la identidad cos(A+B)= cos A × cos B – sen A × sen B
lim]→, #N%]()#]×()#!"�#N%]×#N%!"�√�+
Como cos TU = cos30° = √/� Λ senTU = cos30° =
-�
Tenemos lim]→, #N%]√�+ ()#]�c+#N%]�√�+
Reagrupando tenemos lim]→, #N%]�c+#N%]�√�+ (-�()#])
4
Si dividimos numerador y denominador por W ya que W → 0 Λ W ≠ 0
Tenemos lim]→, efghi�c+efghi �√�+ OcCjke hi Q
Aplicando teorema de límites y usando los límites fundamentales de lim]→, #N%]] = 1 Λ lim]→, -�()#]] = 0
Tenemos = l$mh→nefghh�c+ l$mh→nefghi �√�+ l$mh→n OcCjke hi Q
= -−12−√32 ×0 = −2
Así que el lim →!" #$%& �!"'()# �√�+ = −2.
1
1 0
0
5
3. Hallar lim →, -�()# � . + = lim →, -�()#� (� )+
Hacemos a W = 2x lim]→, -�()#]]+
x → 0W → 0
Multiplicando y dividiendo por la conjugada de 1 − cos W. Tenemos lim]→, -�()#]]+ .-a()#]-a()#]
De la identidad �op�� +qr��� = 1. Sale 1 − qr��� = �op��.
lim]→, -�^_`+]]+(-a()#]) = lim]→, s`tu+]]+ . --a()#]v
Multiplicando teorema de límites tenemos
OlimW→0 �opWW Q� . limW→0 11 + cos W = 1� . 11 + cos 0 = 1. 11 + 1 = 12
Por el limite fundamental de #N%]] W → 0 que es igual a 1 y el coseno de 0 = 1
Así que el lim →, -�()#� . + = -�
6
4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.
�(�) � �/, ��� ≤ −20�� − 2�, ��� > −2
Solución:
I. �(−2) = (−2)/ =−8
II. lim�→��B 0�� − 2� = 40 + 4
lim�→��C(−2)/ =−8
Luego 4k + 4 = −8 ya que; ∃lim →�� f(x) en su condición de
continuidad en −2.
Así, 4K + 4 = −8 ⇒ 4(K + 1) = −8
K + 1 =�y.
K + 1 = −2
K =−2 − 1
K =−3
7
5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación. �2� − 2� − 4� − 8 = 0
Despejemos 2: �2� −2� = 4� + 8 2�(� − 1) = 4� + 8
2� =4� + 8� − 1
2 = {4(� + 2)� − 1
2 = 2. {� + 2� − 1
Despejemos A.V diremos que x = a es A.V
Si y solo si lim�→|C �(�) = ±∞
Λ donde a es un punto de discontinuidad de f(x)
lim�→|B �(�) = ±∞
Sea � = 1 la posible asíntota � = 1
2 lim�→-B{� + 2� − 1 = 2. { 1 + 21a − 1 = 2. { 30a = 2. √+∞
2 lim�→-C{� + 2� − 1 = 2. { 1 + 21� − 1 = 2. { 30� = 2. √−∞ = ∄
Luego podemos decir que � = 1 es una asíntota vertical por la derecha.
8
Definamos la A.H, diremos que 2 = ±� es A.H.
Si y solo si lim�→a� �(�) = ±�
V
lim�→�� �(�) = ±�
Así; 2 lim�→a���a���- = 2.�lim�→a� �a���- = 2.{lim�→a� �B+��Cc� =2.{lim�→a� ��a+����c� = 2. �-a,-�, = 2.�-- = 2. 1 = 2
2 ����→����a���- = 2.�����→�� �a���- = 2.{����→�� �B+��Cc� =2.{����→�� ��a+����c� = 2.�-a,-�, = 2. �-- = 2. 1 = 2
Luego podemos decir que 2 = 2 es una A.H.
1 0
1 0
1 0
1 0
9
6. Sea g(x)= 2x2 + x. Calcular g’ (x) por definición.
Así;
��(�) = lim�→,�(� + ℎ) − �(�)ℎ
Solución:
��(�) = lim�→, 2(� + ℎ)� + (� + ℎ) − (2�� + �)ℎ
��(�) = lim�→,2(�� + 2�ℎ + ℎ�) + � + ℎ − 2�� − �ℎ
��(�) = lim�→, ��+a.��a��+a�a����+���
��(�) = lim�→,4�ℎ + 2ℎ� + ℎℎ
��(�) = lim�→, �(.�a��a-)�
��(�) = lim�→,4� + 2ℎ + 1
���; ��(�) = 4� + 1
0
10
7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.
�(�)6 −2, ��� < −1�� + �, �� − 1 ≤ � < 32, ��� ≥ 3
Recordemos que f(x) es continua en x=a
Sí; ∃�(�);∃lim�→| �(�); lim�→| �(�) = �(�)
Estudiemos que f(x) sea continua en � = −1
I. ∃�(−1) = −� + �
II. ∃lim�→�- �(�) lim�→�-B �� + � = −� + �
lim�→�-C −2 =−2 ���;−� + � = −2 1
Estudiemos en � = 3
I. ∃�(3) = 2
II. ∃lim�→/ �(�) lim�→/B 2
lim�→/C �� + � = 3� + � ���; 2 = 3� + � 2
11
Luego resolviendo el sistema
�−�+ � = −23�+ � = 2
Multiplicando por 3 la primera ecuación. −3� + 3� = −6 3� + � = 2 4� = −4
� = −44
� = −1
Sustituyendo b en una ecuación original. −� + � =−2 −� − 1 = −2 −� =−2 + 1 (−1).− � = −1. (−1) � = 1
Así los valores para que f(x) sea continua en
� = 1Λ� = −1