trabajo de estadistica ii distribuciÓn normal o de gauss.doc

7/25/2019 TRABAJO DE ESTADISTICA II DISTRIBUCIN NORMAL O DE GAUSS.doc

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

UNIVERSITARIAUNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA

FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALESESCUELA DE PSICOLOGIA

SAN JOAQUIN DE TURMERO.

PSICOLOGIA T1

Participant!

Carlos Alberto Cabuya Guerrero.D"cnt! Lic. Wilmar Prez Rojas.

San Cri#t$%a&' (%rr" )*1+


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INTRODUCCIN

El presente trabajo es realizado con la finalidad de dar a conocer la importancia que

tuo Carl !riedric" Gauss# con su $bra% La Campana de Gauss.

El estudio es importante porque a a aportar en el conocimiento de los educandosque se ienen desarrollando en la UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA.Gauss es sin duda uno de los tres &enios de la "istoria de las 'atem(ticas. )usaportaciones en todos los campos matem(ticos fueron incre*bles# aunque al&unos desus descubrimientos tuieran que esperar m(s de un si&lo para ser aloradosdebidamente.

En conclusi+n la campana de Gauss intenta dar una base matem(tica a ciertoscomportamientos de la naturaleza o de la sociedad.


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DISTRIBUCION NORMAL O DISTRIBUCION DE GAUSS

En estad*stica y probabilidad se llama distribuci+n normal# distribuci+n de Gauss o

distribuci+n &aussiana# a una de las distribuciones de probabilidad de ariablecontinua que con m(s frecuencia aparece apro,imada en fen+menos reales.

La distribuci+n normal es una distribuci+n de probabilidad de ariable continua quedescribe los datos que se a&rupan en torno a un alor central. -odo proceso en el quesolo e,istan causas aleatorias de ariaci+n si&ue una &, - -i#tri%ci$n n"r/a&.Esta condici+n que aparece con frecuencia en fen+menos naturales de a"* que se ladenomine /normal01# puede obtenerse en los procesos industriales si los procesos sellean a un estado en el que solo e,isten causas comunes de ariaci+n. Larepresentaci+n &r(fica es la cura de distribuci+n normal tambin denominada

campana de Gauss en "onor del renombrado cient*fico alem(n Carl !riedric" Gauss aquien se le atribuye err+neamente su inenci+n pero que sin duda la us+frecuentemente para analizar fen+menos astron+micos con ,ito.

La &r(fica de su funci+n de densidad tiene una forma acampanada y es simtricarespect+ de un determinado par(metro. Esta cura se conoce como campana deGauss. En otras palabras# La campana de Gauss es una representaci+n &r(fica de ladistribuci+n normal de un &rupo de datos. 2stos se reparten en alores bajos# mediosy altos# creando un &r(fico de forma acampanada y simtrica con respecto a undeterminado par(metro. El punto m(,imo de la cura corresponde a la media# y tiene

dos puntos de infle,i+n a ambos lados.
http://qualitasaagg.files.wordpress.com/2010/01/10_curvadistribucionnormal.jpg


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Caractersticas de la distribucin nr!al de la"rbabilidad#

1.La cura tiene un solo pico# por consi&uiente es unimodal. Presenta una forma decampana.

).La media de una poblaci+n distribuida normalmente se encuentra en el centro desu cura normal.

0.A causa de la simetr*a de la distribuci+n normal de probabilidad# la mediana y lamoda de la distribuci+n tambin se "allan en el centro# por tanto en una cura normal#la media# la mediana y la moda poseen el mismo alor.

.Las dos colas e,tremos1 de una distribuci+n normal de probabilidad se e,tiendende manera indefinida y nunca tocan el eje "orizontal.

2.La distribuci+n normal tiene forma de campana.

+.La distribuci+n normal es una distribuci+n de probabilidad que tiene media 3 4y desiaci+n est(ndar 3 5.

3.El (rea bajo la cura o la probabilidad desde menos infinito a m(s infinito ale 5.

4.La distribuci+n normal es simtrica# es decir cada mitad de cura tiene un (rea

de4.6.5.La escala "orizontal de la cura se mide en desiaciones est(ndar.

1*.La forma y la posici+n de una distribuci+n normal dependen de los par(metros#en consecuencia "ay un n7mero infinito de distribuciones normales

11.Los alores de las mediciones tienden a a&ruparse alrededor de un punto central#la media

1). La representaci+n de los datos es simtrica a ambos lados de la media

58. Las desiaciones est(ndares quedan situadas a i&ual distancia unas de otras

1. La proporci+n de mediciones situada entre la media y las desiaciones es unaconstante en la que%

La media 9 5 : desiaci+n est(ndar 3 cubre el ; : desiaci+n est(ndar 3 cubre el ?6#6= de los casos

La media 9 8 : desiaci+n est(ndar 3 cubre el ??#@= de los casos

Podemos analizar el comportamiento de los procesos &r(ficos y determinar suefectiidad tomando como base su &rado de apro,imaci+n a la cura de distribuci+nnormal a partir de los datos &enerados y la creaci+n de "isto&ramas que permitan lacomparaci+n con cura de distribuci+n normal.


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IM$ORTANCIA

La importancia de esta distribuci+n radica en que permite modelar numerososfen+menos naturales# sociales y psicol+&icos. 'ientras que los mecanismos quesubyacen a &ran parte de este tipo de fen+menos son desconocidos# por la enormecantidad de ariables incontrolables que en ellos interienen# el uso del modelo normalpuede justificarse asumiendo que cada obseraci+n se obtiene como la suma de unaspocas causas independientes.

e "ec"o# la estad*stica es un modelo matem(tico que s+lo permite describir unfen+meno# sin e,plicaci+n al&una. Para la e,plicaci+n causal es preciso el diseBo

e,perimental# de a"* que al uso de la estad*stica en psicolo&*a y sociolo&*a seaconocido como mtodo correlacional.

La distribuci+n normal tambin es importante por su relaci+n con la estimaci+n porm*nimos cuadrados# uno de los mtodos de estimaci+n m(s simples y anti&uos.

Al&unos ejemplos de ariables asociadas a fen+menos naturales que si&uen elmodelo de la normal son%

6 Caractr# /"r("&$7ic"# - in-i8i-"# c"/" &a #tatra9

6 Caractr# (i#i"&$7ic"# c"/" & (ct" - n (:r/ac"96 Caractr# #"ci"&$7ic"# c"/" & c"n#/" - cirt" pr"-ct" p"r n /i#/"

7rp" - in-i8i-"#9

6 Caractr# p#ic"&$7ic"# c"/" & c"cint int&cta&9

6 Ni8& - ri-" n t&c"/nicaci"n#9

6 Err"r# c"/ti-"# a& /-ir cirta# /a7nit-#' tc.

La distribuci+n normal tambin aparece en muc"as (reas de la propia estad*stica.

Por ejemplo# la distribuci+n muestral de las medias mustrales es apro,imadamentenormal# cuando la distribuci+n de la poblaci+n de la cual se e,trae la muestra no esnormal. Adem(s# la distribuci+n normal ma,imiza la entrop*a entre todas lasdistribuciones con media y arianza conocidas# lo cual la conierte en la elecci+nnatural de la distribuci+n subyacente a una lista de datos resumidos en trminos demedia muestral y arianza. La distribuci+n normal es la m(s e,tendida en estad*stica ymuc"os test estad*sticos est(n basados en una supuesta normalidad.

En probabilidad# la distribuci+n normal aparece como el l*mite de arias distribucionesde probabilidades continuas y discretas.


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$RO$IEDADES

El campo de e,istencia es cualquier alor real# es decir# ;


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%UNCIN DE DISTRIBUCIN

Puede tomar cualquier alor F# F1

)on m(s probables los alores cercanos a uno central que llamamos media D

Conforme nos separamos de ese alor D# la probabilidad a decreciendode i&ual forma a derec"a e izquierda es simtrica1.

Conforme nos separamos de ese alor D# la probabilidad adecreciendo de forma m(s o menos r(pida dependiendo de unpar(metro H# que es la desiaci+n t*pica.

!,1 es el (rea sombreada de esta&r(fica


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TI$I%ICACINDISTRIBUCIN NORMAL

Por tanto su funci+n de densidad es

y su funci+n de distribuci+n es

)iendo la representaci+n &r(fica de esta funci+n a la ariable I se ladenomina ariable tipificada de J# y a la cura de su funci+n de densidad curanormal tipificada.


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Caracterstica de la distribucin nr!al ti"i&icada 'reducida( est)ndar*

Ko depende de nin&7n par(metro

)u media es 4# su arianza es 5 y su desiaci+n t*pica es 5.

La cura f,1 es simtrica respecto del eje $

-iene un m(,imo en este eje

-iene dos puntos de infle,i+n en z 35 y z 3 5

DISTRIBUCIN NORMAL

Apr"i/aci$n - &a Bin"/ia& p"r &a N"r/a& ;T"r/a - D M"i8r?!

emostr+ que bajo determinadas condiciones para n &rande ytanto p como q no estn pr+,imos a cero1 la distribuci+n Minomial Mn# p1 sepuede apro,imar mediante una distribuci+n normal

ebemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el alor de n# ycuanto m(s pr+,imo sea p a 4.6# tanto mejor ser( la apro,imaci+n realizada.Es decir# basta con que se erifique

Gracias a esta apro,imaci+n es f(cil "allar probabilidadesbinomiales# que para alores &randes de n resulten muy laboriosos decalcular.

Nay que tener en cuenta que para realizar correctamente estatransformaci+n de una ariable discreta binomial1 en una ariablecontinua normal1 es necesario "acer una correcci+n de continuidad.


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DISTRIBUCIN NORMAL

MANEJO DE TABLAS. CASOS MS FRECUENTES.

La -i#tri%ci$n - &a 8aria%& Z # ncntra ta%&a-a


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DISTRIBUCIN NORMAL


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UTILIZANDO OTRO TIPO DE EPLICACION DE LADISTRIBUCION NORMAL O DISTRIBUCION DE GAUSS

LA DISTRIBUCIKN NORMAL!

La -i#tri%ci$n n"r/a& N ;' ?! es un modelo matem(tico que ri&e muc"osfen+menos. La e,periencia demuestra que las distribuciones de la mayor*a de lasmuestras tomadas en el campo de la industria se apro,iman a la distribuci+n normal siel tamaBo de la muestra es &rande. Esta distribuci+n queda definida por dospar(metros% &a /-ia y &a -#8iaci$n tpica.)e presenta mediante una curasimtrica conocida como ca/pana - Ga##. Esta distribuci+n nos da la probabilidadde que al ele&ir un alor# ste ten&a una medida contenida en unos interalosdefinidos. Esto permitir( predecir de forma apro,imada# el comportamiento futuro de

un proceso# conociendo los datos del presente.

O

3OF

La distribuci+n normal fue reconocida por primera ez por el

francs Abra"am de 'oire 5;;@ 5@61.

Posteriormente# Carl !riedric" Gauss 5@@@ 5


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Qna -i#tri%ci$n n"r/a&de /-iay -#8iaci$n tpicase desi&na por

N;' ?. )u &r(fica es laca/pana - Ga## %

E& :ra del recinto determinado por la funci+n y el eje de abscisas# i7a& a &ani-a-.

Al ser #i/tricarespecto al eje que pasa por @# deja un :ra i7a& a*.2 a &aiir-a , "tra i7a& a *.2 a &a -rca.

La pr"%a%i&i-a- i8a& a& :ra ncrra-a %a" &a cr8a.

DISTRIBUCIKN NORMAL ESTNDAR N;*' 1?

La -i#tri%ci$n n"r/a& #t:n-ar' " tipi(ica-a " r-ci-a'es aquella que tienepor /-iael alor cr"*?# y por -#8iaci$n tpica n" ;1?.

La pr"%a%i&i-a- - &a 8aria%& -pn-r: -& :ra -& :ra #"/%ra-" n&a (i7ra. para calcularla utilizaremos unata%&aadjunta1
http://www.vitutor.net/1/56.htmlhttp://www.vitutor.net/1/56.htmlhttp://www.vitutor.net/1/56.html


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TIPIFICACIKN DE LA VARIABLE

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la ariable que si&ue una

distribuci+n N ;'?en otra ariable Zque si&a una distribuci+n N;*' 1?.

C:&c&" - pr"%a%i&i-a-# n -i#tri%ci"n# n"r/a

La ta%&anos da las pr"%a%i&i-a-# - P; H ?# siendo la ariable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la (nci$n - -i#tri%ci$n;?.

;? P; H ?

B#-a n &a ta%&a - 8a&"r -

Uni-a-# , -ci/a# en la columna de la izquierda y Cnt#i/a# en la

fila de superior .

$'+ , a*-./ $'+ 0 a*


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$'+ 0 a* - . / $'+ , a*

$'+ , 1a* - . 1 $'+ , a*

$'+ 0 1a* - ./$'+ ,/a*

$'a 2 + , b * - $'+ , b* 1 $'+ , a*


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$'1b 2 + , 1a * - $'a 2 + , b *

Kos encontramos con el caso inerso a los anteriores# conocemos el alor de laprobabilidad y se trata de "allar el alor de la abscisa. A"ora tenemos que buscar en latabla el 8a&"r /:# # apr"i/ a .

$'1a 2 + , b * - $'+ , b* 1 3 . 1 $'+ , a*4

" - 5

Para calcular la ariable nos amos a la ($r/&a - &a tipi(icaci$n.


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E6ERCICIOS

1. arios test de inteli&encia dieron una puntuaci+n que si&ue una ley

norm al con media 544 y d esi aci+ n t t*pica 56.

a) eterminar el porcentaje de poblaci+n que obtendr*a un

coeficiente entre ?6 y 554.

). arios test de intel i&encia dieron una puntuaci+n que si&ue una leynormal con media 544 y desiaci+n t*pica 56.

a? eterminar el porcentaje de poblaci+n que obtendr*a uncoeficiente entre ?6 y 554


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CONCLUSIONES

Gauss es sin duda uno de los tres &enios de la "istoria de las'atem(ticas. )us aportaciones en todos los campos matem(ticos fueronincre*bles# aunque al&unos de sus descubrimientos tuieran que esperar m(sde un si&lo para ser alorados debidamente.

M(sicamente# la campana de Gauss intenta dar una basematem(tica a ciertos comportamientos de la naturaleza o de la sociedad.E,plica los ciclos de nacimiento# crecimiento# madurez y declie de todo lo quenos rodea.

Qn ejemplo claro y entendible por todos# aplicado al mundoempresarial# podr*a ser el ciclo de ida de una empresa% sta nace con unosbeneficios escasos o casi nulos. Con el tiempo a cre(ndose un nic"o demercado que "ace que sus beneficios ayan en aumento. As* continuar(durante un per*odo de tiempo indeterminado. La comprensi+n y aplicaci+n dela !unci+n Gaussiana# es base fundamental para el estudio de la probabilidad#al dar respuesta a situaciones complejas y de una forma sencilla# mediante la

distribuci+n de datos en una representaci+n &r(fica en forma de campana.

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