UNIVERSIDAD NACIONAL DE

INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Trabajo de Volúmenes de sólidos de revolución

CURSO: Cálculo Integral CÓDIGO CURSO: MB 147

PROFESOR: Edwin Tello Godoy

AUTOR:

o Vargas Cano Ronaldinho Junior 20140013B

ESPECIALIDAD: Ing. Mecánica y Eléctrica SECCIÓN: A

FECHA DE REALIZACIÓN: 26/11/14

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Mecánica

“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso

Climático”

1. Se tiene la región R limitada por la gráfica de X3+Y 3=8 , sus asíntotas y las rectas verticales que pasan por sus puntos de inflexión, que se hace rotar alrededor de la recta vertical que pasa por su punto de inflexión de menor abscisa. Calcule el volumen del sólido de revolución que se origina.

Analizamos la función Y 3+X3=8 despejando la variable Y en función de X:

Y= 3√8−X3

Derivamos la función

Y '= X 2

(8−X3)2 /3 Hallamos los mínimos y máximos relativos: 0 y 2

Usamos método de puntos críticos para derivadas para saber si es máximo o mínimo

Y ' '= −16 X(8−X3)5/3

Por lo tanto los puntos de inflexión son 0 y 2

Siendo el punto de inflexión de menor abscisa es 0

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“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso

Climático”

Como el dx es paralelo a la al eje de rotación X=0 utilizamos el método de la cáscara cilíndrica:

V=2π ×∫0

2

X ( 3√8−X3−(−X ) )dx

V=2π ×∫0

2

X ( 3√8−X3−(−X ) )dx

V=2π ×∫0

2

(X2+X ( 3√8−X3 ))dx

V=2π ׿

( X2 )3

=Y dX=23Y

−23 dY

V=2π ׿

V=2π ×(∫0

2

(X2 )dx+ 83β ( 23;43))

V=2π ×(83+ 83

Γ ( 23 )Γ ( 43 )Γ (2 )

)

V=2π ×(83+ 83

Γ ( 23 ) 13 Γ ( 13 )Γ (2 )

)

V=2π ×(83+ 83

Γ ( 23 ) 13 Γ ( 13 )1

)

V=2π ×(83+ 89×

π

sinπ3

)

V=37.015u3

2. Se tiene la región R limitada por las gráfica de: F(X )=X3+3 ;G( x )=3 e

−X ; X=1

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Climático”

a) Se hace rotar alrededor de la rectaX=1 b) Se hace rotar alrededor de la recta: L :X+3=0 Halle el volumen correspondiente a cada caso propuesto.

Solución:a) Debido a que las gráficas de las funciones son “notables” no hay necesidad de hallar

sus máximos y mínimos relativos.

Entonces procedemos a hallar los puntos de intersección

De la función F con la función G:

X3+3=3e−X

X=0Y=3 De la función F con la recta:

X=1Y=3e

F(X )=X3+3

G ( x )=3e−X

X=1

dx

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Climático”

Al hacer girar la función respecto a la recta Y=0

Como el dx es perpendicular al eje de rotación Y=0 usamos el método del disco para poder hallar el volumen del sólido de revolución:

V=π∫0

1

((X ¿¿3+3)¿¿2−(3e−X)2)dx¿¿

V=2π (∫0

1

( X6+6 X3+9 )dx−9∫0

1

(e−2X)dx )

V=π ( X7

7+ 3 X

4

2+9 X+ 9

2e−2X ){10

V=π (( 17 +32+9+ 9

2e−2)−( 9

2e0

)){10V=21.21u3

X

dx

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Climático”

b) Como el dx es paralelo al eje de rotación X=1 usamos el método del cascarón para poder hallar el volumen del sólido de revolución:

Como el dx es paralelo al eje de rotación X=1 usamos el método del cascarón para poder hallar el volumen del sólido de revolución:

V=2π∫0

1

(X−(−3))׿¿

V=2π (∫0

1

( X4+3 X3+3 X+9 )dx−3∫0

1

(X e−X)¿ dx+12∫0

1

(e−X )dx¿)V=2π ( X

5

5+3 X

4

4+ 32X2+9 X+3e−X (X+1 )−12e−X ){10

V=2π (( 15 + 34+ 32+9+e−1 (6 )−12e−1)−(e0 (3 )−12e0)){10V=114.62u3