(OHPHQWRV,VRSDUDPpWULFRV

7UDQVIRUPDomRGH&RRUGHQDGDV

Maio de 2001

2EMHWLYRV

,QWURGXomR

5HTXLVLWRVGDDSUR[LPDomR(VSDoR,VRSDUDPpWULFRHILQLomRGD*HRPHWULD&RQVWUXomRGDV)XQo}HVGH)RUPD7UDQVIRUPDomRGRV2SHUDGRUHVLIHUHQFLDLV

([HPSOR

0RGHODJHPH5HVROXomR

Fsica

Leis daMecnica

Observaes Experimentos

Sistema de EquaesDiferencias e

Condies de contorno

ModeloMatemtico

0

0:a Sujeito

),(2

=

=

=

Q

S

S

\[ISEscoamentoPotencial

0RGHORH$SUR[LPDomR

Sistema de EquaesDiferencias e

Condies de contorno

ModeloMatemtico

Modelo Numrico

Mtodo dos ResduosPonderados

Aproximao > Polinomial Nodal

Discretizao > EF

Espao Isoparamtrico

Transformao deCoordenadas

5HTXLVLWRVGD$SUR[LPDomR

A aproximao em cada elemento devesatisfazer:

Cond1. Suavidade no interior de cada Elemento

Cond2. Continuidade atravs do contorno doselementos

Cond3. Ser uma aproximao Completa

5HTXLVLWRVGD$SUR[LPDomR Exemplo:

Operador dif. : Na forma fraca aparecem termos em primeira

derivada, logo

Cond1.

Cond2.

Cond3. >

S2

\F[FF\[S 210),( ++=

Funes deinterpolaoLineares

Derivadas com saltos nocontorno dos Elementos

(VSDoR,VRSDUDPpWULFRHILQLomRGD*HRPHWULD

Defini-se sistema de coordenadas locais > Elemento de Referncia > Triangular

Aproximao geomtrica :

)(: HHH [[ =

O mapeamento deve ser feito um a um, ou seja, para qualquer ponto doelemento de referncia , h um e somente um ponto do elemento real.

Os ns geomtricos do elemento de referncia correspondem aos nsgeomtricos do elemento real.

Qualquer poro do contorno do elemento de referncia, corresponde auma poro do elemento real

)XQo}HVGHWUDQVIRUPDomRJHRPpWULFD

Logo:

Q

Q

Q

]1]

\1\

[1[

)]([)()]([)()]([)(

=

=

=

Onde: )(1 - so as funes de interpolao da geometria- so funes idnticas para as trs coordenadas

- definem o elemento geomtrico

&RQVWUXomRGDV)XQo}HVGH)RUPD

Usa-se um mtodo sistemtico para obteno das funes de Forma:

(0,0) (1,0)

(0,1)

Tringulo de Pascal

22

1

Aproximao de base:

=

3

2

1

}1{),(

(0,0) (1,0)

(0,1)

=

3

2

1

}1{),(

Avalia-se a aproximao no contorno dos elementos

( )( )( ) 3

2

1

1,03 1,00,12 0,10,01 0,0

===

===

===

Qy

Qy

Qy

Onde: 321 ,, Variveis nodais (fsica ou geomtrica)

Substituindo na aproximao de base:

}]{[}1{),(3

2

1

3=

=

Tem-se

}]{[101011001

3

2

1

3

2

1

31=

=

Onde um parmetro sem sentido fsico e umparmetro nodal (presses , temperaturas, coordenadas, etc)

Logo a aproximao final ser:

=

3

2

1

1

101011001

}1{),(

O que resulta em:

{ {

=

3

2

1

),(),(),( 321

1),(

111

43421

Assim , a aproximao geomtrica dada por:

( ) { }

=

N

M

L

[

[

[

[ 1,

( ) { }

=

N

M

L

\

\

\

\ 1,

E a aproximao da varivel presso tem-se:

( ) { }

=

N

M

L

S

S

S

S 1,

Isoparamtricos

Mesma ordemde interpolao

7UDQVIRUPDomRGRV2SHUDGRUHVLIHUHQFLDLV

No clculo dos elementos aparecem operaes dediferenciao e Integrao.

Os operadores devem ser transformados.

Transformao das derivadas - Regra da cadeia

}]{[ [-\

[\[

\[

=

=

Matriz Jacobiana

}{][ 1

=

=

-

\[

\[

\

[

Normalmente deseja-se derivar com respeito a (x,y), logo:

Inversa da MatrizJacobiana

Avaliao dos termos de [J] , caso do Elemento Triangular linear:

[ ] { } [ ]

=

=

33

22

11

321 ),(),(),(\[

\[

\[

111\[- 7

[ ]

=

33

22

11

321

321

),(),(),(

),(),(),(

\[

\[

\[

111

111

-

O que permite avaliar a matriz Jacobiana da seguinte forma:

que resulta em:

[ ]

=

=

1313

1212

33

22

11

101011

\\[[

\\[[

\[

\[

\[

-

O que pode ser facilmente calculado para cada elemento

Transformao de uma Integral

Seja a transformao geral:

A transformao de uma integrao genrica feita daseguinte maneira:

=

5

GGG-[IG[G\G][I ]det[)),(()(

O volume elementar definido pelo produto misto:

= ]G\G[GG9 ) (

Sendo que em funo das componentes cartesianas tem-se:

=

=

=

NG]G]

MG\G\

LG[G[

]G\G[GG9 =

O volume elementar no Espao de referncia definido por:

= GGGG9 ) (Onde:

GN-M-L-G

GN-M-L-G

GN-M-L-G

)()()(

333231

232221

131211

++=

++=

++=

GGG-G9 ]det[=

([HPSOR

Seja o problema de escoamento potencial, P1, definido por:

2

1

2

em 0

em 0:a Sujeito

em ),(),(:que taly),p(x,Achar

=

=

=

Q

S

S

\[I\[S

Equao Local

deve ser satisfeita emcada ponto do domnio

1

2

Aplicando o Mtodo dos Resduos Ponderados, ao problema P1:

{ }

== 0),(),(),(:que taly),p(x,Achar

2 G\[I\[GS\[:

Onde conjunto das funes de ponderaop(x,y) devem ser duas vezes diferenciveis no est sujeita a nenhuma restrio

),( \[

),( \[

Forma forte

Forma Fraca

Usando-se uma integrao por partes, tem-se o problema P1 Fraco:

=+

+

+

0)(:que taly),p(x,Achar

21

GQ

SG

Q

SIGG

\

S

\[

S

[

Condies de contornoNaturais includas naFormulao

veldiferenci vezuma e S

Anlise das condies de contorno:

Neuman deou Natural Contorno Cond. em 0n

pDirichilet deou Essencial Contorno Cond. em 0

2

1

=

=S

Substituindo na forma fraca , tem-se o problema P2

=

=

=

=+

+=

+

0)(

: que tal, oAchar

0n

p pois 0

2

em 0 1

1 4342143421

GQ

SGQ

SIGG

\

S

\[

S

[

p

1 em 0p e =

P2

Funes de Ponderao / Mtodo de Galerkin

1=

Mtodo dos Elementos Finitos / Discretizao

=

=

O

LLL S1\[S

1),(

Geraoda Malha

compacto suporte de funes )(N onde i LMM[ =

O problema em coordenadas globais dado por:

{ }

[ ]{ } { }

=

=

+

IS

G[G\I1SG[G\\

1

\

1

[

1

[

1

HH

MLMLM

eH matricial forma naou

: que tal, {p}Achar

Os componentes do sistema matricial podemser escritos da seguinte maneira:

[ ] Forma de funes das derivadas das Matriz

= 7

7

\

1

[

1

%

{ } { }Q7[Q 1111 K211 =

[ ] vaconstituti Matriz 1001

=&

Forma matricial de um elemento

Aproximao da Fsica

Elemento Fsico

[ ] [ ] [ ][ ]G[G\%&%+ 7HH

=

{ } { }G[G\1I)H

H

=

Matriz de Rigidez/Volumtrica

Vetor de carga

[ ] { } { }HH )S+ =

$SUR[LPDomR,VRSDUDPpWULFD

$SUR[LPDomRGD*HRPHWULD

(OHPHQWR*HRPpWULFR

( ) { }

=

N

M

L

[

[

[

[ 1,

( ) { }

=

N

M

L

\

\

\

\ 1,

$SOLFDQGRDWUDQVIRUPDomR,VRSDUDPpWULFDWHPVH

[ ] [ ] [ ]{ [ ][ ][ ] 43421Integral da Trans.

Derivada da Trans.

det[J] GG%4&4%+ 77H5()

=

Elemento GeomtricoElemento Fsico +

Operador Diferencial

Material

Lei ConstitutivaGauss ouEquivalente

A transformao das derivadas dada por:

[ ] [ ][ ]

%41

1

\\

[[

\

1

[

1

% 7

7

7

7

=

=

=

ElementoGeomtrico

Elemento Fsico

[ ] [ ] Jacobiana Matriz da inversa , Q sendo 1= -

{ } { } GG1I)5()

H

= det[J]

Para o clculo das Foras Nodais equivalentes:

Elemento Geomtrico

Elemento Fsico

Caso Especfico de um elemento triangular:

{ }

1001111

11

1

Logo,

[ ]

=

=

101011

321

321

111

111

%

[ ]

=

1313

1212

\\[[

\\[[-

[ ] [ ]

==

1213

12131

)()(

21

[[[[

\\\\

$-4

E os termos do Elemento geomtrico so dados por:

))(())((2]det[ 12131312 \\[[\\[[$- ==

Medida da distoro

Elemento triangular linear > integrao analtica:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] ==

GG-%4&4%+ 77H5()

det

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

+

++

++

=

212

212

123112312

132

13

23122312312331232

232

23

.

41

[[\\6LP

[[[[\\\\[[\\

[[[[\\\\[[[[\\\\[[\\

$

Observaes Finais:

1. [H] > S depende da forma dos elementos, isto de seusngulos internos.

2. A implementao genrica para diferentes Operadoresdiferencias e diferentes elementos geomtricos e fsicos.

3. Pronto para Elementos tipo p > Prxima Aula.