UNIVERSIDAD TECNICA UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJAPARTICULAR DE LOJA

Escuela de Ciencias de la ComputaciónEscuela de Ciencias de la ComputaciónALGEBRAALGEBRAIng. Germania Rodríguez MoralesIng. Germania Rodríguez Morales

I BimestreI BimestreAbril – Agosto 2008Abril – Agosto 2008

CAPITULO ICAPITULO IConceptos Fundamentales de AlgebraConceptos Fundamentales de Algebra

Sistema de Números Reales

Recta de Números Reales

Exponentes y Radicales

Expresiones Algebraicas

Expresiones Fraccionarias

Sistema de Números RealesSistema de Números RealesFundamental en todas las ramas de las matemáticas se definen como los números que se pueden representar en la recta numérica

-∞ ………-30/3….. -√25.. -∏ -3/2 -1 0 1 3/2 ∏ √25…30/3…….∞

Exponentes y RadicalesExponentes y RadicalesLeyes de los exponentes

Ley Ejemplo

a0 = 1 30 = 1

a-n = 1 / a 3-3 = 1 / 33 = 1 /27

aman = a m+n 23.24 = 23+4=128

(am)n = a m.n 23.22 = 23.2 =64

(ab)n = am bn (20)3 = (2.10)3 =23 103 =8.1000 = 8000

(a / b)n = an /bn (2 / 10)3 = 23 /103 = 8 / 1000

am / an = a m-n

an / am = a n-m

25 / 23 = 25-3 = 22 = 4

23 / 25 = 23-5 = 2-2 = 1/22=1/4

Exponentes y RadicalesExponentes y RadicalesLeyes de los radicales

Ley Ejemplo

n√ a.b = n√a. n√b √ 25.2 = √25. √2 = 5 √2

n√ a / b = n√a / n√b √ 25 / 2 = √25 / √2 = 5 / √2

m√n√a = mn√ a √3√64 = 2.3√64 = 6√26

a1/n = n√ a 271/3 = 3√ 27 = 3

am/n = (n√ a)m = n√ am 23/2 = (2√2)3 = 3√23 = 3√8

Exponentes Racionales

Expresiones AlgebraicasExpresiones AlgebraicasColección de variables y números realesPOLINOMIOS:

Suma de cualquier número de monomios (una expresión de la forma axn)

EJEMPLO:

anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0 Polinomio de Grado n

OPERACIONES

Suma, Resta, Multiplicación y División

Expresiones AlgebraicasExpresiones AlgebraicasFórmulas de Productos

Fórmula Ejemplo

(x + y)(x – y) = (x2-y2) (2a + 3)(2a - 3) = (2a) 2 – 32 = 4a2 - 9

(x ± y)2 = (x2 ± 2xy+y2) (2a - 3)2 = (2a)2–2(2a)(3)+ 32

= 4a2-12a+ 9

(x ± y)3 =(x3±3x2y+3xy2±y3) (2a+3)3 = (2a)3–3(2a)2(3)+ (2a)32+33

= 8a3+36a2+ 18a +27

Expresiones AlgebraicasExpresiones AlgebraicasFactorización

Fórmula Ejemplo

( x2- y2) =(x + y)(x – y) 4a2 – 9 = (2a) 2 – 32 = (2a + 3)(2a - 3)

(x3- y3) = (x - y)(x2 + xy+y2) (8a3 - 27) = (2a)3– 33

= (2a – 3)(4a2+6a+ 9)

(x3+ y3) = (x + y)(x2 -xy+y2) (125a3 + 8) = (5a)3+23

= (5a+2)(25a2-10a+ 4)

Expresiones FraccionariasExpresiones FraccionariasExpresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios

Cociente Denominador 0 si: Dominio

6x 2- 5x + 4 x2 - 9

x = ±3 Toda x ≠ ±3

x 3 – 3x 2y + 4y 2

y – x3

y = x3 Toda x y y tales que y ≠

x3

CAPITULO IICAPITULO IIEcuaciones y DesigualdadesEcuaciones y Desigualdades

Ecuaciones.Problemas aplicados.Ecuaciones cuadráticasNúmeros complejosOtros tipos de ecuacionesDesigualdades.

EcuacionesEcuacionesSon expresiones algebraicas (igualdades) que contienen al menos un valor desconocido incógnita tienen una sola solución; para resolverla se debe obtener expresiones equivalentes y para esto se debe sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación o también se puede multiplicar o dividir ambos lados por la misma cantidad, tratando de aislar la incógnita a un solo lado de la ecuaciónLas ecuaciones más básicas donde la incógnita esta elevada a potencia 1 ose denominan Ecuaciones Lineales son de la forma ax + b = 0 para resolverla aplicamos resolución de las ecuaciones Ejemplo ax + b - b = 0 – b

ax / a = -b / a x = -b / a

Ecuaciones CuadráticasEcuaciones CuadráticasUna ecuación cuadrática posee la incógnita a la segunda potencia, su forma general es: ax2+bx+c = 0;a≠0 Esta ecuación tiene a lo sumo dos raíces (soluciones).Para resolverla se puede aplicar:• Factorización que consiste en transformar a la ecuación cuadrática en dos factores, para luego igualar a 0 cada factor y obtener así las soluciones.

Ecuaciones CuadráticasEcuaciones Cuadráticas• Completar el trinomio cuadrado perfecto método que consiste en agregar la mitad del coeficiente del término en x (b) elevado al cuadrado, a los dos miembros de la ecuación, obteniéndose así un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, que luego se soluciona aplicando el método de la raíz cuadrada• El método más fácil y más sencillo es el de aplicar la fórmula cuadrática: x=( b±√b− 2 4ac)/2a donde b− 2 4ac es el −discriminante de la ecuación si es mayor a cero las soluciones son dos raíces reales y diferentes, y si es menor a cero la solución no esta en los números reales

Números ComplejosNúmeros ComplejosLos números complejos se necesitan para expresar la solución de ecuaciones que no se halla en el conjunto de números reales, por ejemplo la raiz cuadrada de un número negativo Ejm: x2 = -9 para poder expresar la solución de este tipo de ecuación se utiliza i = √-1 de donde i2 = -1 Con este término x = √-9 la solución sería x=3i Los números complejos contienen a los reales normalmente se forman de una combinación de un real y el imaginario. Se puede realizar operaciones entre ellos como suma, resta, multiplicación, división

Otro tipo de ecuacionesOtro tipo de ecuacionesEcuaciones con valor absoluto 2|x-5| + 3 = 11Solución de una Ecuación por agrupación3x3-4x2-27x+36=0Ecuaciones con exponentes racionalesy3/2 = 5yEcuaciones con radicales2√x – √x-3 = √5+xEcuaciones de tipo cuadrático2x4 – 10x2 + 8 = 0

DesigualdadesDesigualdadesTambién llamada inecuación para resolverla se debe encontrar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Una desigualdad puede tener un número infinito de soluciones que se representan en la recta numérica o en intervalos.Se resuelven igual que las ecuaciones aislando la incógnita aplicando operaciones iguales en ambos lados, con la diferencia que al multiplicar ambos lados por un valor negativo la desigualdad cambia de sentido Ejm: 4x – 3 < 2x + 5 Desigualdad continua 4 ≥ 3x+5 > -1 Desigualdad racional 4 / (3x+2) ≥ 0

DesigualdadesDesigualdadesDesigualdad con valor absoluto

PROPIEDADES|a| < b equivale a –b < a < b|a| > b equivale a a < –b o a > bEjemplo:|x+5| < 3, |x+5| > 3 y |x+5| = 3

Desigualdad CuadráticaFactorar y utilizar diagrama de signosEjemplo 25x2 – 9 < 0

CAPITULO IIICAPITULO III Funciones y gráficas Funciones y gráficas

Sistema de coordenadas rectangularesGráficas de ecuaciones.RectasDefinición de funciónGráficas de funcionesTipos de funcionesFunciones cuadráticasOperaciones sobre funciones

Sistema de coordenadas rectangularesSistema de coordenadas rectangularesFormado por la intersección de dos rectas numéricas una horizontal y otra vertical llamados ejes coordenados, que forman cuatro semirectas y cuatro cuadrantes; el punto de intersección se denomina origen, Un punto cualesquiera quedará representado en este plano por medio de sus coordenadas P(a,b), que no son más que las distancias que existen entre el punto considerado y los ejes coordenados.

II I

III IV

P(a,b)

a

b

O

Sistema de coordenadas rectangularesSistema de coordenadas rectangularesDe manera general cada par ordenado de números reales constituye una relación y la ubicación de estas parejas ordenadas en el plano, constituye el gráfico de la relación.

Una de las fórmulas básicas de la Geometría analítica es la fórmula de la distancia entre dos puntos que tiene la siguiente forma:

d(P1,P2)= √(x2 x− 1)2+(y2 y− 1)2

El punto medio M de un segmento entre P1y P2

M= x2+x1 , y2+y1

2 2

Gráfica de ecuacionesGráfica de ecuacionesGraficar una ecuación quiere decir representar en un sistema de coordenadas todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla, así por ejemplo si la relación esta dada por la fórmula 2y=x2 algunos de los pares ordenados que cumplen con la relación son (0,0), (2,2), (1, 1/2), ( 2,2) −etc. Si representamos estos pares ordenados y luego los unimos tendríamos:

(0,0)

(2,2)

(1,1/2)

(-2,2)

Gráfica de ecuacionesGráfica de ecuacionesCuando se grafica se debe considerar algunas definiciones:

INTERSECCIONES: que son los puntos por donde la gráfica de la ecuación corta los ejes coordenados x o y. Estos valores se encuentran x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0

SIMETRIAS: La gráfica de una ecuación también puede ser simétrica, esto quiere decir que la porción de la gráfica en un cuadrante es imagen (como reflejada en un espejo) de la gráfica en otro cuadrante. Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje x reemplazamos y por y en la ecuación, y viceversa −para el eje y reemplazamos x por -x

Gráfica de ecuacionesGráfica de ecuacionesCIRCUNFERENCIAS: Una circunferencia se define como un conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro siempre es constante. La distancia constante se llama radio. Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación del conjunto antes mencionado.La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:

(x h)− 2+(y k)− 2=r2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: r2 = x2 + y2 Al estudiar la circunferencia pueden presentarse dos tipos de ejercicios; dados los elementos de la circunferencia es decir el centro y el radio encontrar su ecuación y, dada la ecuación de la circunferencia, encontrar sus elementos. EJEMPLO: Obtener la ecuación dado centro (2,-3) radio 5 yObtener el centro y el radio dada x2 + y2 +4y -117 = 0

RectasRectasLa ecuación de la recta tiene la forma ax + by = c

Dada la ecuación podemos obtener la recta calculando las intersecciones.

EJEMPLO 2x – 5y = 0

La pendiente de la recta es M = (y2-y1) / (x2-x1)

PARALELAS: dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente M

PERPENDICULARES: dos rectas son perpendiculares cuando M1.M2 = -1

FunciónFunciónUna relación es una correspondencia entre los elementos de 2 conjuntos Ejemplo relaciones familiares, laborales, numéricas.Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento de x de D un único elemento de y de E.

D Ef(x) = x3

y = x3

x y

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

FunciónFunciónSe debe resaltar que en una función existen dos tipos de variables, la variable que puede tomar diferentes valores (en este caso x se denomina variable independiente y la variable que depende de los valores tomados por x, que se denomina variable dependiente (en este caso y). Además gráficamente el Rango se ubica en el eje x y el dominio en el eje yPRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Es una forma de saber si el grafico de una relación corresponde al gráfico de una función, que consiste en trazar una recta vertical por cualquier parte del grafico. Si la recta vertical corta al grafico en un punto, el gráfico constituye el gráfico de una función; caso contrario no

Gráficas de FuncionesGráficas de FuncionesToda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica, que es la gráfica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo regular al eje horizontal y los valores del rango con el eje vertical.

Función creciente, decreciente o Función creciente, decreciente o constanteconstanteEn un intervalo I del dominio de una función ff es creciente en I si f(b) > f(a) siempre que b > a en el intervalo If es decreciente en I si f(b) < f(a) siempre que b < a en el intervalo If es constante en I si f(b) = f(a) siempre que b = a en el intervalo I

Continuidad una función es continua cuando la gráfica esta unida en todo su dominio, es decir no existen punto en x que no tengan valor en y

Paridad de una funciónParidad de una funciónAl reemplazar la variable x por –x Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) la función es impar

Si f es par entonces es simétrica al eje vertical ySi f es impar entonces es simétrica respecto al origen

EJEMPLOS:Si f(x) = x2 – 1 entonces f(-x) = (-x)2 – 1 = x2 – 1 función parSi f(x) = 2x – 3 entonces f(-x) = 2(-x) – 3 = -2x – 3 función impar

Tipos de FuncionesTipos de FuncionesFunciones LinealesDel tipo f(x) = ax + b a ≠ 0Se llaman así porque su gráfica es una línea recta

Funciones CuadráticasDel tipo f(x) = ax2 + bx + c a ≠0Su gráfica es una parabola

Operaciones con FuncionesOperaciones con FuncionesCon las funciones se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas suma, resta, multiplicación y división, pero además tienen una operación propia llamada composición que se denota con o se da entre dos o más funciones

La función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x))EJEMPLO: si f(x) = 4x + 5 y g(x) = x2 – 1obtener (f o g )(x) y (g o f)(x)

CAPITULO IVCAPITULO IVFunciones polinomiales y Racionales Funciones polinomiales y Racionales

Funciones polinomiales de grado mayor que 2Funciones racionales.

Funciones polinomiales y Racionales Funciones polinomiales y Racionales Tienen la forma

f(x) = an xn + an-1 xn-1+ ….. + a1 x + a0

Que es un polinomio de grado n y con an ≠ 0

Los casos para grado de 0 a 2 se resumen en la siguiente tabla:

Todas las gráficas de las funciones polinomiales son continuas

Grado de f Forma de f(x) Gráfica de f (con intersección en y)

0 f(x) = a0 Recta horizontal

1 f(x) = a1x+a0 Recta con pendiente a1

2 f(x) = a2x2+a1x+a0 Parábola con eje vertical

Funciones polinomiales de grado mayor Funciones polinomiales de grado mayor a 2a 2

Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto an

son cero entonces: f(x)=axn en donde a=an≠0

Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen

EJEMPLOf(x) = ½ x3

y= ½ x3

x y

-2 -8/2=-4

-1,5 -27/16=-1,7

-1 -1/2=-0,5

0 0

1 ½=0,5

1,5 27/16=1,7

2 8/2=4

Funciones polinomiales de grado mayor Funciones polinomiales de grado mayor a 2a 2

Si n es par f es una función par por tanto la gráfica es simétrica respecto a y, algunos ejemplos

Funciones polinomiales de grado mayor Funciones polinomiales de grado mayor a 2a 2

Normalmente se puede obtener una gráfica muy precisa con los siguientes pasos2.Calcule ƒ(-x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría 3.Calcule el intersecto ƒ(0) en y.4.Factorice el polinomio.5.Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación ƒ(x) = 0.6.Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde ƒ(x) > 0 y donde ƒ(x) < 0. 7.Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario

Funciones racionalesFunciones racionalesTienen la forma R(x) = P(x) donde Q(x) ≠ 0

Q(x) Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma R(x)= amxm+.......+a1x+a0

bnxn+.......+b1x+b0 donde am,bn≠0

División de polinomios objeto bajar el grado de un polinomio EJM: x 4 – 16

x2+3x+1TEOREMA ASINTOTAS HORIZONTALES:1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=ambn es una asíntota horizontal.

3.- Sí m > n, no hay asíntotas.

Gráfica de Gráfica de Funciones racionalesFunciones racionalesSi f(x) = g(x) / h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas:2.Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 03.Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x) = 04.Encontrar las intersecciones con y, obteniendo f(0), trazamos la intersección (0,f(0))5.Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c6.Si existen asíntotas horizontales deternubar su corta la gráfica con f(x) = c7.Trazar la gráfica en cada región

CAPITULO VCAPITULO VFunciones exponenciales y LogarítmicasFunciones exponenciales y Logarítmicas

Funciones inversas.Funciones exponenciales.Función exponencial naturalFunciones logarítmicas.Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Función InversaFunción InversaSe dice que una función ƒ es uno a uno o biunívoca si y solo si cada elemento del rango de ƒ está asociado con exactamente un elemento de su dominio x.

Prueba Recta Horizontal

Sea ƒ una función biunívoca con dominio D y rango E.Una función f 1 con dominio D y rango E se llama − función inversa de ƒ sí: f 1− (f(x))=x para todo x en D y f(f-1(x))=y para todo y en E PROCEDIMIENTO10.Reemplazamos f(x) por y11.Obtenemos el valor de x12.Reemplazamos y por x y x por f -1(x)13.Comprobación (f o f -1)(x) = (f ( f -1(x)) = x (f -1 o f)(x) = (f -1( f (x)) = x EJEMPLO: Si f(x) = 3x + 2

Funciones ExponencialesFunciones ExponencialesTienen la forma f(x)=ax

En donde x es cualquier número real. Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales.

PROPIEDADES•El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo y negativo).•El rango de ƒ es el conjunto de las reales positivos. (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba del eje de las x).•El intersecto en y para la gráfica de ƒ es 1. •La gráfica no tiene intersectos en x. El eje x es una asíntota horizontal para la gráfica de ƒ. •La función ƒ es creciente si a > 0 y decreciente si 0< a < 1.•La función ƒ es biunívoca (uno a uno).

Funciones ExponencialesFunciones ExponencialesOtra forma de funciones exponenciales podría ser:f( x) = 3− ( x)− 2

=3x2 = f(x)

Lo que implica que ƒ es una función par. En consecuencia la gráfica es simétrica con el eje y. El intersecto en y de la gráfica es ƒ(0) = 30

= 1.Utilizando esta información y marcando los puntos que resultan de la tabla anexa podemos graficar la función que se muestra a continuación.

x y

-2 81

-1 9

0 1

1 9

2 81

Funciones Logarítmicas Funciones Logarítmicas FUNCION EXPONENCIAL NATURALLa base e.- El número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=ex

FUNCION LOGARITMICALa inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por loga Sus valores se representan como loga(x) o como logax, puesto que:

f 1− (x) sí y solo sí x=f(y)La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:

y=loga(x) sí y solo sí x=ay

Funciones LogarítmicasFunciones LogarítmicasEJEMPLOS

Gráficas características

Funciones Logarítmicas Funciones Logarítmicas Propiedades de las gráficas• El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales positivos (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo).• El rango de ƒ es el conjunto de las reales (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo del eje de las x)• El intersecto en x para la gráfica de ƒ es 1. La gráfica no tiene intersecto en y.• El eje x es una asíntota vertical para la gráfica de ƒ.• La función ƒ es creciente en el intervalo (0, ∞) si a > 1 y decreciente en el intervalo (0, ∞) si 0< a < 1.• La función ƒ es biunívoca (uno a uno).

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

Algebra y Trigonometría con geometría analítica, Eart Swokowski y Jeffery Cole, THOMSON, Undécima Edición

Ing. Germania Rodríguez MoralesUNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJAGestión del ConocimientoMail: grrodriguez@utpl.edu.ecSkype: grrodriguez78