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Unidad 11 – Geometría analítica PÁGINA 190

SOLUCIONES

Representa gráficamente puntos en el plano.

Calcular razones trigonométricas.

Calcula las siguientes razones trigonométricas utilizando la calculadora. a) b) c)

Determina un ángulo que verifique.

a) b) c)

520

SOLUCIONES

1.

2.

521

SOLUCIONES

3. a)

b)c)d)e)f)g)

h)

522

4.

523

SOLUCIONES

5. a)

b)

c)d)

524

SOLUCIONES

6. a) son paralelos

b) no son paralelos

7. Basta con multiplicar cada vector con un escalar, por ejemplo, el 2:

a) b) c)

8. a) No están alineados, no es paralelo a b) Sí están alineados,

9. Para que sea un paralelogramo deben ser paralelos dos a dos. a)

525

SOLUCIONES

10. a) b)

11. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es nulo: a) Son perpendiculares

b) No son perpendiculares

12. Utilizamos el producto escalar, que debe ser nulo para que ambos vectores sean perpendiculares:a) son perpendiculares

b) son perpendiculares

c) son perpendiculares

13. De la definición de producto escalar:

a)

b)

526

SOLUCIONES

14.La ecuación vectorial es de la forma . En nuestro caso: ( , ) (2,5) (2, 5) Si 0 ( , ) (2,5)Si 1 ( , ) (4,0)Si 1 ( , ) (0,10)

Q P ku x y kk x yk x yk x y

15.

1

2

La ecuación paramétrica es de la forma

1 2En nuestro caso:

2 3Si 0 ( , ) ( 1,2)Si 1 ( , ) ( 3,5)Si 1 ( , ) (1, 1)

x a kuy b ku

x ky k

k x yk x yk x y

527

SOLUCIONES

16.3 2Ecuación continua:

2 1Si 1 0 ( 1,0)Si 1 1 (1, 1)

1 1Si 0 (0, )2 2

x y

x yx y

x y

17.El vector director es: ( 2,3)Si 1 2 (1, 2)Si 1 1 ( 1,1)Si 3 5 (3, 5)

x yx yx y

18.Ecuación punto pendiente: ( ) 2( 4) 1Si 0 7 (0,7)Si 4 1 (4, 1)Si 3 1 (3,1)

y m x a b y xx yx yx y

19.Ecuación punto pendiente: 2( 2) 3y x

528

20.

529

SOLUCIONES

21.

22.

23.2 1 5 10 3 3

3 5Ecuación general: 5 3 7 0

x y x y

x y

530

SOLUCIONES

24.3a)1

1 r y s son rectas secantes. 1

1 2 4b) 2 r y s son rectas coincidentes. 1 1 222 5 3c) 4 10 23 3

3 2 r y s son rectas paralelas. 4

531

SOLUCIONES

25.Como r 3 2 1 0, entonces, su vector normal es u (3, 2). Como la recta que buscamos

tiene que ser paralela a r, sus vectores normales coinciden, luego, u (3, 2).Por otra parte, tiene que pasar por

x y

el punto A ( 2, 4), entonces:s 3 2 0 6 8 0 14La recta que buscamos tiene como ecuación s 3 2 14 0

x y c c cx y

26.Como r 2 4 0, entonces, su vector normal es u ( 2,1). Como la recta que buscamos

tiene que ser perpendicular a r, su vector normal es perpendicular a u ( 2,1), es decir v (1,2).Por otra parte,

x y

tiene que pasar por el punto A (4, 2), entonces:s 2 0 4 4 0 0La recta que buscamos tiene como ecuación s 2 0x y c c c

x y

27.El ángulo que forman las rectas es el que forman sus vectores directores, luego, calculemos su producto escalar.

r 2 3 0 u (1,2). u v u v cos , donde es el ángulo

s 3 4 0 v (3,1).

x yx y

que buscamos.

u v 1 3 2 1 52u 5 5 5 2 cos cos 45º

2v 10

Ambas rectas forman un ángulo de 45º.

532

SOLUCIONES

28.2 2 2

1 2La ecuación reducida de la circunferencia es ( ) ( )a) (0,0); 1; (0, 1), (0, 1), (1,0), ( 1,0)

11 1b) (2,1); 3; ( 3 2, 1), ( 2 2, 2), ( 2 2,0), 2,2 2

c) (0, 1); 2; (0, 1), (0, 3),

x c y c rC r

C r

C r (2, 1), ( 2, 1)

d) ( 3, 2); 5; ( 1, 1), ( 5, 1), ( 2,0), ( 4,0)C r

29.2 2 ( 1) ( 2) 9x y

30.

2 2

2 2

El radio de la circunferencia coincide con la distancia entre A y B, entonces:

( , ) (5 2) (3 5) 73

( 2) ( 5) 73

r d A B

x y

31.

2 2

2 2

El radio de la circunferencia coincide con la distancia entre A y B, entonces:

( , ) (4 1) (3 5) 73

( 1) ( 5) 73

r d A B

x y

533

SOLUCIONES

32.2 2 2 2

2 2

( 2) ( 3) 16 4 4 6 9 16La ecuación general de la circunferencia es 4 6 3 0x y x x y y

x y x y

33.2 2 2

1 2 1 2

1 2

1 2

En general 2 ; 2 ;

a) En nuestro caso: 1, 2, 6,

luego ( 1,2) 6.

b) En este caso: 4, 1, 15,

luego ( 4,1) 15.

A c B c C c c r

c c r

C y r

c c r

C y r

34.2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

a) ( 5) ( 2) 1 10 25 4 4 1La ecuación general de la circunferencia es 10 4 28 0b) ( 1) 2 2 1 2La ecuación general de la circunferencia es 2 1 0

x y x x y yx y x y

x y x y yx y y

35.2 2 2

1 2 1 2

1 22 2

En general 2 ; 2 ; a) En nuestro caso: 3, 2, 4,

luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( 3) ( 2) 16

A c B c C c c rc c r

x y

1 22 2

b) En este caso: 3, 4, 21,

luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( 3) ( 4) 21

c c rx y

534

SOLUCIONES

Vectores.36.Verde:Azul:Negro:Marrón: Naranja:Morado:Amarillo: Rosa:

37.

a) Granate b) Rojo c) Azul d) Verde

536

38.

a) Rojo b) Verde c) Azul d) Naranja

39.a)b)c)d)e)f)

40.

a)

b)

c)

537

d)

e)

f)

Vector de posición de un punto.41.a)b)c)d)e)f)

42.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

43.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

44.a)b)c)d)

538

e)f)

45.

2 2

2 2

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( 5,1), ( 2, 2), (1, 4), (2, 2), (4,1), (1, 1)

( , ) ( 2 5) (2 1) 10 3'16 cm

( , ) (1 2) (4 2) 13 3'61 cm

( , ) (2 1) (2 4) 5 2 '24

Perímetro d A B d B C d C D d D E d E F d F AA B C D E F

d A B

d B C

d C D2 2

2 2

2 2

cm

( , ) (4 2) (1 2) 5 2 '24 cm

( , ) (1 4) ( 1 1) 13 3'61 cm

( , ) ( 5 1) (1 1) 40 6 '32 cm

21'17 cm.

d D E

d E F

d F A

Perímetro

539

SOLUCIONES

Vectores paralelos.

46.

a) paralelos

b) paralelos

c) paralelos

d) paralelos

47.a)b)

c)d)

48.Los paralelogramos se caracterizan por tener lados paralelos dos a dos:

yLlamamos a e imponemos las condiciones analíticas consecuentes:

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:

49.Para que tres puntos estén alineados debe verificarse que

a) No alineados

b) Alineados

c) Alineados

d) Alineados

541

Producto escalar. Ángulo entre dos vectores.

50.a)b)c)d)e)

51.

a) No perpendicular

b) Perpendicular

c) No perpendicular

d) Perpendicular

e) Perpendicular

52.Puesto que el producto escalar debe ser 0, bastea con permutar ambas coordenadas y alternar el signo de una de ellas:

a) (-3,2) b) (-5,-2) c) (1,-4) d) (7,5)

53.

u v u v cos , donde es el ángulo que buscamos.

a)

u v 4 2 3 3 17

u 5 17 5 13 cos 160º 33'35'8 ''

v 13

542

b)

u v 1 4 3 3 5

u 10 5 5 10 cos 71º 33'54 '18''

v 5

c)

u v 2 4 4 1 12

u 2 5 12 2 5 17 cos 49º 23'55'34 ''

v 17

d)

u v 0 2 3 5 15

u 3 15 3 29 cos 21º 48'5 '07 ''

v 29

e)

u v 2 1 4 2 10

u 2 5 10 2 5 5 cos 180º

v 5

Ecuaciones de la recta.

54.Dada la recta ( , ) (2, 1) (2, 3) a) Si 0 ( , ) (2, 1) Si 1 ( , ) (4, 4) Si 1 ( , ) (0, 2)

b) El vector director de la recta es u (2, 3)2 2

c) La ecuación paramétrica es de la forma

x y kk x yk x yk x y

x ky 1 3k

543

55.2 3

Dada la recta 1 5

a) Si 0 ( , ) ( 2,1) Si 1 ( , ) (1, 4) Si 1 ( , ) ( 5,6)

x ky k

k x yk x yk x y

b) El vector director de la recta es u (3, 5)c) La ecuación vectorial es de la forma ( , ) ( 2, 1) (3, 5)

2 1d) La ecuación contínua es de la forma 3 5

e) El punto ( 3, 5) no pertenece a la re

x y kx y

cta porque no verifica su ecuación.

56.

Dada la recta , su vector director es el u (1, 1), y pasa por el punto (0, 1), 1

1luego, la ecuación contínua es de la forma 1 1

x ky k

x y

57.2 1Dada la recta r

3 1a) ( , ) (1,0) ( , ) (4, 1) ( , ) ( 2,1)

b) El vector director de la recta es u (3, 1)2 3

c) Las ecuaciones paramétricas son de la forma 1

d) La ecuación vec

x y

x yx yx y

x ky k

torial es de la forma ( , ) ( 2, 1) (3, 1)e) El punto ( 1, 1) no pertenece a la recta porque no verifica su ecuación.

x y k

58.Dada la recta 2 3a) ( , ) (0,3) ( , ) (1,1) ( , ) ( 1,5)

y xx yx yx y

b) El vector director de la recta es u ( 1,2)

544

3c) La ecuación contínua de la recta es de la forma 1 2x y

d) El punto (2, 1) pertenece a la recta porque verifica su ecuación.

59.5y x

60.2 1

1 3x y

61.Para escribir la ecuación continua necesito un punto y un vector. Conocemos el punto,

y podemos calcular el vector AB (5, 6).3 1Por lo tanto, la ecuación continua de la recta es:

5 6

B Ax y

62.

2

1

Para escribir la ecuación punto-pendiente necesito un punto y la pendiente, que podemos calcularlaa través de las coordenadas del vector director.

AB ( 4,0) 0

La ecuación que buscamos es

uB A mu 2y

63.1Si el ángulo es de 30º, entonces, su pendiente coincide con la tangente de 30º, es decir . Por lo tanto 3

1 .3

1 5 3 12Como pasa por el punto (5, 4), entonces: 4 5 .33

Luego, la ecuación que

y x c

c c

3buscamos es de la forma: ( 1) 4.3

y x

64.Para escribir las ecuaciones paramétricas necesitamos un punto y un vector. Conocemos el punto,

y podemos calcular el vector AB ( 9,9).B A

545

2 9Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta son:

8 9x ky k

546

SOLUCIONES

65.

a)

b)

c)

d)

66.a)

b) Un vector normal tiene los coeficientes de x e y en la forma general:

c) Un vector director es perpendicular al normal, luego (ver ejercicio 36): (-1,3)

67.En primer lugar encontraremos la pendiente, luego la forma “punto-pendiente” y, finalmente, despejando, la forma general:

a)

b)

c)

d)

68.3 2 2 0x y

69.5

1 3x y

548

Posición relativa de dos rectas en el plano.

70.1 1a)2 2

1 r y s son rectas paralelas. 3

1 2 3 1b) r y s son rectas coincidentes. 3 6 9 36 2 4 2c) r y s son rectas coincidentes.

9 3 6 32d)4

510

0 r y s son rectas secantes.

71.r 3 2 s 3 81 31 3

x y x y2 r y s son rectas paralelas. 8

72.Buscar el punto de intersección entre ambas rectas se reduce a resolver el sistema formado por sus dos ecuaciones.

r 2 1 1a) (0,1)

s 2 3 3

r 2 3 39 9b) ,s 4 3 7 7

x yx y

x yx y

Rectas paralelas y perpendiculares. Ángulo entre rectas.

73.Como r 3 0, entonces, su vector normal es u ( 1,1). a) Buscamos una recta paralela a r, luego sus vectores normales coinciden,

es decir, u ( 1,1).Por otra parte, tiene que pasar por el punto A

x y

( 2,5), entonces:s 0 2 5 0 7La recta que buscamos tiene como ecuación s 7 0

x y c c cx y

549

b)Buscamos una recta perpendicular a r, luego sus vectores normales también son perpendiculares,

es decir, v (1,1).Por otra parte, tiene que pasar por el punto A (5, 2), entonces:s 0 5 2 0 3x y c c cLa recta que buscamos tiene como ecuación s 3 0x y

74.Como r 2 3 1 0, entonces, su vector normal es u (2,3). a) Buscamos una recta paralela a r, luego sus vectores normales coinciden,

es decir, u (2,3).Además tiene que pasar por el punto A ( 3, 1), e

x y

ntonces:s 2 3 0 6 3 0 9La recta que buscamos tiene como ecuación general s 2 3 9 0

x y c c cx y


es decir, v (3, 2).Por otra parte, tiene que pasar por el punto A ( 2,3), entonces:s 3 2 0 6 6 0 12x y c c cLa recta que buscamos tiene como ecuación s 3 2 12 0x y

75.La ecuación general de r es r 4 11 0, entonces, su vector normal es u (4,1). a) Buscamos una recta paralela a r, luego sus vectores normales coinciden,

es decir, u (4,1).Además tiene que pasar po

x y

r el punto A ( 3, 2), entonces:s 4 0 12 2 0 10La recta que buscamos tiene como ecuación general s 4 10 0

x y c c cx y


es decir, v (1, 4).Por otra parte, tiene que pasar por el punto A (2,5), entonces:s 4 0 2 20 0 18x y c c cLa recta que buscamos tiene como ecuación s 4 18 0x y

76.El ángulo que forman las rectas es el que forman sus vectores directores o los vectores normales.a) Calculamos el producto escalar de los vectores normales.

r 2 3 0 u ( 2,3).

s 3 2 0 v (1, 3

x yx y

u v u v cos , donde es el ángulo que buscamos. ).

550

u v 2 1 3 3 11

u 13 11 13 10 cos 164º 44 '41'5 ''

v 10

Ambas rectas forman un ángulo de 164º 44 '41'5 ''.b) Calculamos el producto escalar de los vectores normales.

r 7 3 0 u (7, 1). u v u v cos , donde es el ángulo que buscamos.

s 2 1 0 v ( 1,2).

u v 7 1 1 2 9

u 5 2

v 5

x yx y

9 5 2 5 cos 124º 41'42 '5 ''

Ambas rectas forman un ángulo de 124º 41'42 '5 ''.c) Calculamos el producto escalar de los vectores normales.

r 3 4 0 u (1, 3). u v u v cos , donde es el ángulo que buscamos.

s 3 6 0 v (3,1).

u v 1 3 3 1 0

u 10 0 1

v 10

x yx y

0 10 cos 90º

Ambas rectas forman un ángulo de 90º .d) Calculamos el producto escalar de los vectores normales.

r 2 7 0 u ( 1, 2). u v u v cos , donde es el án

s 3 5 1 0 v ( 3,5).

x yx y

gulo que buscamos.

u v 1 3 2 5 7

u 5 7 5 34 cos 122º 28'16 '2 ''

v 34

Ambas rectas forman un ángulo de 122º 28'16 '2 ''.

Ecuación de la circunferencia.

77.2 2 2

1 2La ecuación reducida de la circunferencia es ( ) ( )a)(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4)b) (2, 3)

c) 2

x c y c r

C

r

551

78.2 2

2 2

2 2

a) 1b) 4c) 2

x yx yx y

79.2 2 2 2

2 2 2 2

a) ( 1) 3 2 4 0

b) ( 1) ( 3) 4 2 6 6 0

x y x y y

x y x y x y

80.2 2 2

1 2 1 2

1 2

22

En general 2 ; 2 ;

1 17En nuestro caso: 1, , , 2 2

1 17luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( 1)2 4

1 13 1 13 1 1a) , 1 , , 1 , ,2 2 2 2 2

A c B c C c c r

c c r

x y

7 1 171 , , 1 , 2 2 2

1 17b)C=(1, , 2 2

r

81.2 2 2

1 2 1 2

1 222

1 2

En general 2 ; 2 ;

a) 2, 3, 14,

luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( 2) 3 14

b) 2, 1, 2 2,

luego la ecuación reducida de nuestra circunfe

A c B c C c c r

c c r

x y

c c r22

1 222

1 2

rencia es: ( 2) 1 8

c) 4, 1, 3 3,

luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( 4) 1 27

1 1 3d) , , , 2 2 2

1luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es:

x y

c c r

x y

c c r

x2 21 3

2 2 4y

552

82.

2 2

2 2

El radio de la circunferencia coincide con la distancia entre A y C, entonces:

( , ) (2 3) ( 1 1) 5

( 2) ( 1) 5

r d A C

x y

83.

2 2

El radio de la circunferencia coincide con la mitad de la distancia entre A y B, entonces:

29( , ) ( 2 3) ( 1 1) 292

d A B r

22

El centro es el punto medio entre A y B. 1 ,0

2 2

1 29La ecuación de la circunferecia es 2 4

A B

x y

84.

2 2

El centro de la circunferencia es el punto C(2, 1) y su radio es 5. Buscamos un punto B, tal que

5 ( , ) ( 2) ( 1) (5,5)

La recta que determina el radio de la circunferencia tiene como vector dir

d C B x y B

ector BC( 3, 4),que coincide con el vector normal de la recta que buscamos, 3 4 0.Como la recta tiene que pasar por el punto (6,4): 18 16 0 34La recta que buscamos es 3 4 34 0

x y cc c

x y

553

SOLUCIONES

85.Sumamos, trayecto a trayecto, la longitud:

Casa-Casa amigo:

Casa amigo – Trabajo:

Trabajo-Restaurante:

Restaurante-Kiosko:

Kiosko-Trabajo:Trabajo-Casa:

86.La pendiente, por definición, es la tangente del ángulo que forma el vector director con la horizontal, por tanto, buscaremos el arco cuya tangente vale 0’07 usando la función arcotangente de la calculadora:

87.Debe ser paralela, luego mantendremos los coeficientes de x e y utilizando “k” como término independiente incógnita:

88.

2 2

La distancia de un punto A(a,b) a una recta r 0 viene dada por

d(A,r)=

2 1 1 1 2 5En nuestro caso: d(A,r)=55

El hombre se encuentra a 0'45 m.

Ax By C

Aa Bb CA B

555

89.

22

El centro es el punto medio entre Estela y Carmen. 1 , 2

2 2

El radio es la distancia entre Carmen y Estela. ( , ) 61

1La ecuación de la circunferecia es ( 2) 612

A B

d A B

x y

90.a) El vector normal de nuestra recta r, el es vector director del trayecto que hace la hormiga,

es decir, ( 2, 3).Luego, la ecuació de la recta que describe es de la formas 3 2 0.Sabemos que l

vx y c

lega hasta el punto A(4,2), luego, sustituyendo en s, obtenemos 8. La ecuación que describe la trayectoria de la hormiga es s 3 2 8 0.

b) El punto de donde parte es la intersección entre ambas re

cx y

ctas. r 2 3 7 0 38 5( , ) ,s 3 2 8 0 13 13

c)La distancia recorrida es la distancia entre A y B.( , ) 1'94

Ha recorrido 1'94 cm.

x yB x y B

x y

d A B

1.

a) 2u ( 2,6) b) u 2 10 c) u 2v (10, 13)

d) 3v 3 41 e)u 2 46 f)u u 13v

2.

1 2

1 2

Vectores paralelos: u (4, 5) u ( 2,5)

Vectores perpendiculares: v (5,2) v ( 5, 2)

3.(2,4), ( 1,7)

a) ( , ) 18 3 2

A B

d A B

556

b) 2 2(2, 4) ( 1,7) (5,1)El simétrico de respecto a es (5,1).OS OA OB OS

B A S

1 11c) ,2 2 2

A B

4.Dada la recta (2,3) (1, 6)

a) El vector director de la recta es u (1, 6)b) Si 0 ( , ) (2,3) Si 1 ( , ) (3, 3) Si 1 ( , ) (1,9)

2 3c) La ecuación contínua es de la forma 1 6

Q k

k x yk x yk x y

x y

5.El vector director de la recta es AB ( 6, 5)

4 6a) La ecuación contínua es de la forma 6 5

b) (4,6), ( 2,1), ( 8, 4)c) La ecuación general es de la forma 5 6 16 0

x y

x y

6.Si las rectas son paralelas, sus vectores normales también lo son, luego, la recta es de la forma 3 4 0Como sabemos que pasa por el punto (2,4), al sustituirlo en la ecuación, tenemos quec toma e

x y cA

l valor 22.La ecuación de nuestra recta es 3 4 22 0x y

7.Si las rectas son perpendiculares, el vector director de r es paralelo al vector normal de s,

es decir ( 4,3). Por lo tanto, el vector director de s es equipolente a (3,4), y su

ecuación es de la

v v2 5 forma

3 4x y

8.r 3 2 0 s 3 5 0

3a)1

x y x y2 r y s son rectas secantes.

3

557

b) Resolvemos el sistema:r 3 2 0 25 10( , ) ,s 3 5 0 11 11

25 10El punto de intersección es ,11 11

x yx y

x y

c) El ángulo que forman las dos rectas es el que forman sus vectores normales.

r 3 2 5 0 u (3, 2). u v u v cos , donde es el ángulo que buscamos.

s 3 5 0 v (1,3).

u v 3 1 2 3

x yx y

3

u 13 3 13 10 cos 105º15'18'4 ''

v 10

Ambas rectas forman un ángulo de 105º15'18'4 ''.

9.2 2 2

1 2 1 2

1 2

En general 2 ; 2 ; a) 1, 3 (1, 3)

b) 11c) (0, 2 '05), (0,0 '05), (2 '41,0), ( 0 '41,0),

A c B c C c c rc c C

r

10.2 2

2 2

La ecuación reducida de la circunferencia es ( 2) ( 4) 9

luego, desarrollando los cuadrados obtenemos su ecuación general 4 8 11 0

x y

x y x y

558

Denominamos al radio de la circunferencia mayor.Debemos encontrar el área de la intersección de las dos circunferencias interiores para poder calcular el área total. Para ello, debemos prestar atención en cómo descomponer las figuras para que, mediante sumas y restas, podamos encontrar el área final:

El área del triángulo es conocida:

Por otro lado, el área del sector circular es:

Así pues el área de la mitad buscada será el doble de la resta del sector al triángulo:

El área total será el área de un cuarto de circunferencia grande menos el área de una circunferencia pequeña más el área interior que se resta dos veces:

A

OB

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