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ASIGNATURA: MATEMÁTICA GENERAL
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA
FACULTAD REGIONAL MULTIDISCIPLINARIA MATAGALPA
UNAN – FAREM – MANAGUA
MSc. Rudy Martínez MSc. Mayling Vanessa Zamora
Aritmética
𝒙 =−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Algebra
Funciones
Geometría
Índice
Introducción .............................................................................................................. 1
I. Aritmética ............................................................................................................... 2
Reseña histórica de la Aritmética .............................................................................. 3
Números primos y compuestos ................................................................................. 7
Múltiplos y divisores de un número ......................................................................... 11
Múltiplo de un número ......................................................................................... 11
Divisor de un número ........................................................................................... 11
Algunos criterios de divisibilidad ....................................................................... 12
Descomposición en factores primos ................................................................. 13
Divisores de un número compuesto ................................................................. 15
Clasificación de los conjuntos numéricos ......................................................... 16
Máximo común divisor ......................................................................................... 16
Mínimo común múltiplo ........................................................................................ 18
Propiedades del mínimo común múltiplo .......................................................... 19
Resolución de problemas con máximo común divisor o mínimo común múltiplo 21
Operaciones con fracciones ................................................................................ 21
Concepto de fracción........................................................................................ 21
Unidad fraccionaria .......................................................................................... 22
Representación de fracciones .......................................................................... 23
Tipos de fracciones .......................................................................................... 24
Operaciones con fracciones ................................................................................ 26
Suma y resta de fracciones .............................................................................. 26
Suma y resta con el mismo denominador ........................................................ 26
Suma y resta con distinto denominador ........................................................... 27
Multiplicación de fracciones .............................................................................. 27
División de fracciones....................................................................................... 28
Fracción compleja ............................................................................................ 28
Razones y proporciones ...................................................................................... 28
Propiedades de las proporciones ..................................................................... 30
Magnitudes Proporcionales .............................................................................. 32
Regla de tres .................................................................................................... 34
Porcentajes ...................................................................................................... 38
Medidas y magnitudes...................................................................................... 40
II. ÁLGEBRA ........................................................................................................... 61
¿Qué es el Álgebra? ............................................................................................... 62
Operaciones con polinomios ................................................................................... 65
Adición de expresiones algebraicas. ................................................................... 65
Sustracción de expresiones algebraicas ............................................................. 66
Multiplicación de expresiones algebraicas ........................................................... 67
División de expresiones algebraicas .................................................................... 67
División Sintética ................................................................................................. 69
Operaciones con exponentes racionales. ............................................................ 70
Productos Notables ............................................................................................. 72
Factorización ....................................................................................................... 76
Diferencia de cubos. ......................................................................................... 83
Ecuaciones .......................................................................................................... 84
Ecuaciones lineales .......................................................................................... 85
Ecuaciones de primer grado o ecuación lineal con una variable ...................... 86
Resolución de ecuación lineal usando las propiedades fundamentales ........... 86
Ecuaciones cuadráticas .................................................................................... 88
Problemas con ecuaciones lineales ................................................................. 91
Sistemas de Ecuaciones. .................................................................................... 95
Métodos para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables ... 95
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución .......... 95
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Igualación ........... 96
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Reducción ........... 97
Problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones lineales ....................... 98
Desigualdades ................................................................................................... 102
III. Funciones ........................................................................................................ 113
Funciones polinómicas ...................................................................................... 121
Funciones constantes..................................................................................... 121
Función lineal ................................................................................................. 121
Función identidad ........................................................................................... 122
Funciones Afín ............................................................................................... 123
Función cuadrática ............................................................................................ 128
Función valor absoluto ....................................................................................... 133
Función exponencial .......................................................................................... 133
Funciones logarítmicas ...................................................................................... 135
Progresiones ..................................................................................................... 138
Concepto de sucesión. ...................................................................................... 138
Concepto de progresión ................................................................................. 139
Progresión aritmética ......................................................................................... 139
Interpolación de medios aritméticos ............................................................... 143
Suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética .................. 143
Progresión Geométrica ...................................................................................... 146
IV. Geometría ........................................................................................................ 160
Conceptos Intuitivos .......................................................................................... 167
Definicion de Geometría. ................................................................................ 167
Objeto de la Geometría .................................................................................. 167
Figuras Geometricas ...................................................................................... 167
Elementos Geometricos Fundamentales ........................................................ 167
Definiciones básicas ....................................................................................... 168
Clasificación de los polígonos. ....................................................................... 175
Triángulos. ...................................................................................................... 177
Clasificación de los triángulos ........................................................................ 177
Área y Perímetro de un triángulo. ................................................................... 178
Cuadriláteros .................................................................................................. 181
Clasificación de Cuadriláteros ........................................................................ 181
Círculo. .............................................................................................................. 185
Segmentos y rectas notables en la circunferencia ......................................... 185
Área del Círculo. ............................................................................................. 186
Área de un sector circular. .............................................................................. 186
Área de un segmento circular. ........................................................................ 187
Área de una corona circular. .......................................................................... 187
Área de un trapecio circular. ........................................................................... 188
Bibliografía ............................................................................................................ 194
1
Introducción
La Matemática es lógica, precisa, rigurosa, abstracta, formal y bella. Representa un
saber escalonado, donde cada etapa es necesaria para afrontar la siguiente. Esta
ciencia fortalece el pensamiento crítico para entender mejor el entorno, desarrolla la
lógica de pensamiento para la toma de decisiones. Por tanto, contribuye al
desarrollo de las inteligencias, los sentimientos y la personalidad.
Este módulo está diseñado de manera que el estudiante pueda realizar las
actividades iniciando con una breve historia de cada una de las ramas sujetas de
estudio como son: La aritmética, álgebra, funciones y la geometría. En segundo
momento está destinado a lo conceptual, definiciones, teoremas gráficos y la
ejercitación con ejemplos y un segundo momento a la ejercitación de cada uno de
los contenidos de cada unidad con diferentes grados de dificultad procurando
establecer ítems de seleccionar, completar, Falso y verdadero, y de resolver con
construcciones auxiliares.
Todas las ciencias son creación del ser humano y para entender cualquier
fenómeno, se necesita la matemática, para poder interpretarlas en toda su
dimensión. Por esta razón la asignatura de Matemática General está ubicada
dentro de los Planes de Estudios del primer año de todas las carreras que ofrece la
UNAN-Mangua, porque sirve de instrumento para desarrollar las distintas áreas del
conocimiento y mejora las formas de desarrollo intelectual, hasta la forma que los
individuos debe rigen su vida. (Universidad Nacional Autonoma de Nicaragua,
2013)
La mayoría de las profesiones y los trabajos técnicos que hoy se ejecutan requieren
conocimientos matemáticos. Por ejemplo, las actividades industriales, la medicina,
la química, la arquitectura, la ingeniería, las artes, la música, educación física, las
ciencias sociales entre otras. Por este motivo, en el programa se han pensado en
objetivos y contenidos incluyentes para todas las carreras que sea una herramienta
imprescindible para la formación de un profesional integral que contribuya a la
transformación de su entorno social.
Esperamos que este módulo pueda contribuir a tu formación profesional con una
concepción científica y humanista, capaz de interpretar los fenómenos sociales y
naturales con un sentido crítico, reflexivo y propositivo.
Objetivos de la asignatura
Objetivos conceptuales
Explicar los conceptos, definiciones, algoritmos, propiedades y leyes
fundamentales de la Aritmética.
Objetivos procedimentales
Aplicar conceptos, definiciones, algoritmos, propiedades y leyes
fundamentales de la Aritmética en la resolución de ejercicios.
Resolver problemas del entorno a través de la Aritmética.
Objetivos actitudinales
Valorar la importancia de la Aritmética como herramienta para la solución de
problemas de su entorno social.
Participar activamente en las distintas formas organizativas del proceso
enseñanza- aprendizaje basada en la cooperación grupal.
Contenidos Cognitivos Contenidos Procedimentales
Contenidos Actitudinales
Conceptos, definiciones, algoritmos, propiedades y leyes de la Aritmética Conjunto de los números reales. Múltiplos y divisores Números primos y compuestos. Divisibilidades por 2, 3 y 5 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Operaciones con fracciones. Magnitudes proporcionales: Directa e inversa. Regla de tres simple y porcentaje.
Aplicación de los conceptos, definiciones, algoritmos, propiedades y leyes fundamentales de la Aritmética en la resolución de ejercicios y problemas de la vida cotidiana. Cálculo de Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo para simplificar operaciones con fracciones. Problemas: de máximo común divisor, mínimo común múltiplo, fracciones, regla de tres simple y porcentaje.
Valoración de la importancia de la Aritmética como herramienta para la solución de problemas de su entorno social. Participación activa en las distintas formas organizativas del proceso enseñanza-aprendizaje basada en la cooperación grupal.
I. Aritmética
A. Vivencias
Para iniciar esta unidad de Aritmética, se le invita a la reflexión sobre los conceptos
y reglas importantes sobre este tema que serán de mucha utilidad en la resolución
de problemas.
Trabajo en equipo
a) Nos organizamos en equipos de tres personas, elegimos los compañeros que
asumirán los roles de líder, controlador de tiempo, comunicador y relator.
b) Solicitamos al comunicador realice lectura del siguiente aspecto histórico de las
funciones.
Reseña histórica de la Aritmética
Basado en la lectura inicial responde a las interrogantes.
a) ¿Qué es Aritmética?
b) ¿Por qué crees que la Aritmética es importante?
c) ¿Cómo se usaban los números en la historia antigua?
d) ¿Qué puedes decir de la máquina de Leibniz?
e) Señala algunas situaciones donde haces uso de la Aritmética en la vida
cotidiana.
Documento Complementario
B. Fundamentación Cientifica
Los hombres primitivos usaban los
dedos, rayas en huesos, troncos.
Expresaban cantidades para
representar animales, luna, sol, tiempo.
Los Egipcios (2000 A. C.), usaron
expresiones que representan las
fracciones, apareciendo así los
NÚMEROS FRACCIONARIOS, eso sí,
muy básicos y generalmente con uno
como denominador.
En el siglo V A. C. los Griegos
encontraron otro tipo de números que eran la solución de determinadas ecuaciones
y que no tenían fin, eran algo que se le escapaba al razonamiento humano, eran los
NÚMEROS IRRACIONALES. Pitágoras enseñó la importancia del estudio de los
números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron
importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se
atribuyen al propio Pitágoras.
Babilonios (2100 A. C.) tenían un sistema de numeración considerando el valor
posicional de las cifras. Introdujeron un símbolo, parecido a una trompeta, que
sustituía al espacio vacío y que podríamos considerar como cero.
En el siglo XVII se empezó a considerar los NÚMEROS NEGATIVOS como
soluciones falsas a las raíces negativas de una ecuación, en China, colocaban
bolas rojas en los ábacos, simbolizando a los números negativos.
En el siglo XIX se inició la fundamentación de los números imaginarios, los cuales
aparecen como las raíces de números negativos.
La máquina aritmética de Leibniz
“Es inapropiado de hombres excelentes
perder horas como esclavos en la labor de
cálculo, que podría ser relegada
seguramente a cualquier otro si se
empleasen máquinas”
Leibniz se inspiró en las ideas de Pascal
puestas en práctica en la pascalina, pero
pronto descubrió que para poder
multiplicar y dividir necesitaba otro tipo de
mecanismos. En 1674 puso en marcha su máquina de calcular. Era un prototipo de
madera que funcionaba con muchas dificultades. En principio la bautizó como
Staffelwalfe, calculador escalonado, pero pronto le definió como máquina
aritmética. Un relojero le fabricó una en metal que es similar a la de la fotografía. La
máquina usa tres tipos de ruedas: para sumar, para el multiplicando y para el
multiplicador. Combinándolas se podían efectuar sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones.
En un manuscrito de 1679 que se conserva en la biblioteca de Basse-Saxe en
Hannover se puede comprobar cómo Leibniz dominaba el cálculo en este sistema.
La Criba de Eratóstenes
Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el
norte de África. Vivió entre los años 275 y 195 antes
de Cristo.
Por varias décadas, fue el director de la famosa
Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas
más reconocidas de la época, pero lamentablemente
sólo pocos fragmentos de lo que escribió
sobrevivieron en el tiempo.
Finalmente, murió en una huelga voluntaria de
hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba.
De todas formas, Eratóstenes se hizo famoso por dos cosas que hizo:
1. La medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra.
2. Creó una criba o filtro para descubrir todos los números primos.
Números primos: Un número primo (positivo) es aquel número entero que sólo es
divisible por sí mismo y por uno (y explícitamente se excluye al número 1 de la
definición). Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… son números primos.
Se sabe que hay infinitos números primos (el primero en comprobarlo fue Euclides),
pero lo maravilloso que hizo Eratóstenes fue construir un mecanismo que permite
encontrarlos a todos (los primos).
2. Tacharemos todos los números que se
pueden dividir entre 2 (Todos los números
pares) y dejamos el 2 sin tachar.
1. Escribimos los primeros 100
números
¿Para qué sirve la criba de Eratóstenes?
La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para determinar todos los números
primos hasta cierto número natural dado. También se llama Criba de Eratóstenes a
la tabla resultante de este proceso. El proceso consiste en recorrer una tabla de
números usando el siguiente algoritmo:
Este procedimiento lo hacemos con el número
siguiente que va quedando sin tachar. De esta
forma van quedando los número primos y los que
no se eliminan se llaman números compuestos
(el número 1 no es número primo ni es
compuesto)
Números primos y compuestos
Un número primo es un número natural que sólo tiene dos factores que son el mismo
número y el uno. (esta división debe ser exacta)
2 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 2.
3 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 3.
5 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 5.
Un número compuesto tiene otros factores además de si mismo y el uno.
4. Dejamos el 5 sin tachar y luego
tachamos todos sus múltiplos (De
cinco en cinco)
3. Dejamos el 3 sin tachar y luego
tachamos todos sus múltiplos (De tres
en tres)
Ejemplos de números primos
4 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2 y 4.
6 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2, 3 y 6.
9 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 3, y 9.
Los "factores" son los números que multiplicas para llegar
a otro número
Algunos números se pueden factorizar de muchas maneras:
Los factores de 12 que es un número compuesto son:
Factor Factor Producto Factores
1 X 12 = 12 1, 12
2 X 6 = 12 2, 6
3 X 4 = 12 3, 4
Si sólo hay una manera de factorizar un número, ese número es primo, si hay
varias maneras es un número compuesto.
Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.
Ejemplo: Asignar el nombre de número primo o compuesto, y escribir los
divisores de cada número.
¿Cómo saber si un número es primo?
Ejemplos de números compuestos
Recuerda
que
Procedimiento
a. Para saber si un número es primo extraemos raíz cuadrada del número.
b. Dividimos el número entre el resultado exacto o los números primos
menores que el resultado de la raíz cuadrada.
Ejemplos:
197 = 14.0356 …
Como la raíz cuadrada es aproximada a 14, dividimos entre los números
primos menores o iguales al resultado obtenido, en este caso entre: 2, 3,
5, 7, 11, 13, como ninguna división es exacta el número es primo.
169 = 13
Como la raíz cuadrada es exactamente 13 dividimos entre 13, y como el
resultado es exacto porque da como resultado 13, entonces el número es
compuesto.
135 = 11.619 …
Como la raíz cuadrada es aproximada a 11, dividimos entre los
números primos menores o iguales al resultado obtenido, en este caso
entre: 2, 3, 5, 7 y 11, y como el resultado entre 3 es igual a 45, entre 5 es
igual a 27 o sea que hay dos divisiones exactas, entonces el número es
compuesto.
Número Se puede dividir exactamente entre
¿Primo o compuesto?
1 (1 no es primo ni compuesto)
2 1,2 Primo
3 1,3 Primo
4 1,2,4 Compuesto
5 1,5 Primo
6 1,2,3,6 Compuesto
7 1,7 Primo
8 1,2,4,8 Compuesto
9 1,3,9 Compuesto
10 1,2,5,10 Compuesto
97 = 9.8489 …
Como la raíz cuadrada es aproximada a 9, dividimos entre los números
primos menores o iguales al resultado obtenido, en este caso entre: 2, 3,
5, 7, como ninguna división es exacta el número es primo.
Determina si los números 122, 324, 137, 561, 821 son primos o compuestos.
Propiedades de los divisores
a) Todo número, distinto de 0, es divisor de sí mismo.
3 es divisor de 3
5 es divisor de 5
6 es divisor de 6
b) El 1 es divisor de todos los números.
1 es divisor de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, es decir de todos los números.
c) Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por
tanto el número de divisores es finito, (se pueden contar).
Los divisores de 10 son 1, 2, 5, 10
Los divisores de 8 son 1, 2, 4, 8
d) Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su
diferencia.
Ejemplos:
4 es divisor de 16 y 12
16 + 12 = 28, 4 es divisor de 28
16 – 12 = 4, 4 es divisor de 4
6 es divisor de 30 y 18
18 + 30 = 48, 6 es divisor de 48
30 – 18 = 12, 6 es divisor de 12
e) Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del
primero.
6 es divisor de 12, 18, 24,…
f) Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es
del tercero.
Ejemplos:
6 es divisor de 12, 12 es divisor de 24, entonces 6 es divisor de 24.
8 es divisor de 16, 16 es divisor de 32, entonces 8 es divisor de 32.
Múltiplos y divisores de un número
Múltiplo de un número
Múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número
exacto de veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal
que dividido por n, da por resultado un número entero. Los primeros
múltiplos del uno al diez suelen agruparse en las llamadas tablas de
multiplicar.
Los múltiplos de un número se forman multiplicando este número por la serie
infinita de los números naturales. Por tanto todo número tiene infinitos múltiplos.
• Todo número entero es múltiplo de 1 y de si mismo.
• Cero es múltiplo de cualquier número.
Divisor de un número
Divisor de un número es aquel número natural que lo puede dividir
exactamente, resultando de cociente de la división otro número natural y
de resto o residuo 0.
Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor
de 9.
Ejemplos
• 18 es múltiplo de 9, porque 18 contiene a 9 dos veces exactamente:
18 = 2 x 9
20 es múltiplo de 5, porque 20 contiene a 5 cuatro veces exactamente:
20 = 5 x 4
• 63 es múltiplo de 7, porque 63 contiene a 7 nueve veces:
63 = 9 x 7
• 7 es un divisor de 63
• 7 divide a 63
• 7 es un factor de 63
• 7 es un submúltiplo de 63
• 63 es divisible por 7
Divisores de 2 = {1, 2} porque 2 es número primo.
Divisores de 6 = {1, 2, 3, 6} porque 6 es número compuesto.
Divisores de 7 = {1, 7} porque 7 es número primo.
Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8} porque 8 es número compuesto.
Algunos criterios de divisibilidad
Regla 1. Criterio de divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 cuando
termina en 0 o cifra par, o sea cuando su última cifra es 0, 2, 4, 6, u 8.
Ejemplos: Los números 10, 12, 24, 36, 48 son divisibles por dos, porque sus
últimas cifras son: 0, 2, 4, 6 y 8 respectivamente.
Regla 2. Criterio de divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3 cuando la
suma de los valores absolutos de las cifras que lo forman es múltiplo de 3.
Ejemplos:
Nota: Si 63 es múltiplo de 7, también se puede decir que:
Analicemos si 24 es múltiplo de 3
Sus cifras son 2 y 4, las sumamos así 2 + 4 = 6, como 6 es múltiplo de
3, decimos que 24 es múltiplo de 3.
Analicemos si 438 es múltiplo de 3
Sus cifras son 4, 3 y 8, las sumamos así 4 + 3 + 8 = 15, como 15 es
múltiplo de 3, decimos que 438 es múltiplo de 3.
Regla 3. Criterio de divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5 cuando
termina en cero o cinco.
Ejemplos: Los números 15, 20, 35, 50, 85 son divisibles por 5, ya que su última
cifra es cero o cinco.
Descomposición en factores primos
Para descomponer un número en sus factores primos lo dividimos por
el primer número primo que sea posible aplicando los criterios de
divisibilidad.
Ejemplos: Descomponer 60 en sus factores primos
Su última cifra es cero, 60 tiene mitad que es 30
30 su última cifra es cero, tiene mitad que es 15
15 al sumar sus cifras nos da 1 + 5 = 6, 6 es múltiplo de 3, por tanto tiene
tercera, además su última cifra es 5, tiene quinta, en este ejemplo lo dividimos
entre 3 y nos da 5
5 su cifra es él mismo, tiene quinta, lo dividimos entre 5 y nos queda al final 1.
Cuando el último resultado es uno hemos terminado de descomponer el número
en sus factores primos. Este resultado lo expresamos como un producto de
potencias de factores primos.
60301551
2235
60 = 22𝑥3𝑥5
Descomponer 128 en sus factores primos
Su última cifra es ocho, 128 tiene mitad que es 64
64 su última cifra es cuatro, tiene mitad que es 32
32 su última cifra es dos, tiene mitad que es 16
16 su última cifra es seis, tiene mitad que es 8
8 tiene mitad que es 4
4 tiene mitad 2
2 tiene mitad 1
Cuando el último resultado es uno hemos terminado de descomponer el
número en sus factores primos. Este resultado lo expresamos como un
producto de potencias de factores primos.
1286432168421
2222222
128 = 27
Ejemplo
1200 = 24 𝑥 3 𝑥 52
6936 = 23 𝑥 3 𝑥 172
Teorema Fundamental de la Aritmética
En teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética afirma que todo
entero positivo mayor que 1 se puede representar de forma única como producto de
factores primos.
Divisores de un número compuesto
Para conocer cuántos divisores tiene un número, se descompone en sus factores
primos. Se escriben los exponentes de los factores primos y se suma a cada
exponente la unidad, los números que resulten se multiplican entre sí. El producto
indicará el número total de divisores.
Ejemplos
Encontrar el número de divisores que tienen los siguientes números.
a) 5𝟔𝟎 = 𝟐𝟐 𝐱 𝟑 𝐱 𝟓 = 𝟐𝟐𝒙 𝟑𝟏 𝒙 𝟓𝟏, los exponentes de cada factor son 2, 1 y 1,
a cada uno de ellos les sumaremos uno, como sigue, y el resultado es
el número de divisores que tiene 560.
Número de divisores de 560: (𝟐 + 𝟏)(𝟏 + 𝟏)(𝟏 + 𝟏) = 𝟏𝟐
Los divisores de 560 son: 1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 28, 70, 140, 280, 560
b) 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 𝐱 𝟓𝟐, los exponentes de cada factor son 2 y 2, a cada uno de ellos
se les sumará uno.
Número de divisores de 𝟏𝟎𝟎: (𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏) = 𝟗
Los divisores de 100 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
c) 𝟗𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 𝐱 𝟑𝟐 𝐱 𝟓𝟐
Número de divisores de 900: (𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏) (𝟐 + 𝟏) = 𝟐𝟕
Los divisores de 900 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50,
60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900
Ejemplo: Divisores de 1800
𝟏𝟖𝟎𝟎𝟗𝟎𝟎𝟒𝟓𝟎𝟐𝟐𝟓𝟕𝟓𝟐𝟓𝟓𝟏
𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑𝟓𝟓
𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟑 𝒙 𝟑𝟐 𝒙 𝟓𝟐
Número de divisores: (𝟑 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟏) = 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 = 𝟑𝟔, por lo tanto tiene
36 divisores que son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 25, 30, 36, 40, 45,
50, 60, 72, 75, 90, 100, 120, 150, 180, 200, 225, 300, 360, 450, 600, 900, 1800
Clasificación de los conjuntos numéricos
Máximo común divisor
El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el mayor número
que los divide a todos exactamente.
Pasos para calcular el máximo común divisor
a) Se descomponen los números en factores primos.
b) Se toman los factores comunes con menor exponente.
c) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el máximo
común divisor.
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor
Propiedades del máximo común divisor
a) Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores
del máximo común divisor.
Ejemplo: Calcular los divisores comunes de 54 y 90. m. c. d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3,
6, 9, 18.
b) Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número
entonces su m. c. d. también queda multiplicado o dividido por el
mismo número.
Se descomponen cada uno
de los números en sus
factores primos, luego
escribimos sus resultados
como producto de potencias
y encerramos aquellos
factores comunes y de
menor exponente.
Ejemplo:
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:
54 · 3 = 162
90 · 3 = 270
m. c. d. (162, 270) = 54 = 18 · 3
Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen
por su m. c. d. los cocientes resultantes son primos entre sí (su m. c. d. es 1).
Ejemplo: m. c. d. (54, 90) = 18
54 ÷ 18 = 3
90 ÷ 18 = 5
m. c. d. (3, 5) = 1
c) Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.
Ejemplo: El número 12 es divisor de 36 . El mcd = 12
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios
números, excluido el cero.
Pasos para calcular el mínimo común múltiplo
a) Se descomponen los números en factores primos.
b) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Propiedades del mínimo común múltiplo
a) Dados varios números todo múltiplo común a ellos es múltiplo del m. c.
m de dichos números.
b) Los múltiplos comunes a varios números son también múltiplos del m.
c. m. de dichos números.
Ejemplo: m. c. m. (16, 8) = 80
Algunos de los múltiplos comunes de 16 y 8 son 160, 240, 320 que también
son múltiplos de 80
c) Cualquier múltiplo del m. c. m. de varios números también lo es de dichos
números.
Se descomponen cada uno de los
números en sus factores primos,
luego escribimos sus resultados
como producto de potencias y
encerramos aquellos factores
comunes y no comunes que tienen
mayores exponentes.
Ejemplo: m. c. m. (16, 8) = 80
Algunos de los múltiplos de 80 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 16 y
de 8
d) El m. c. m. de dos números primos entre sí es su producto.
Ejemplo: Los números 2 y 5 son primos entre sí, entonces el m. c. m (2, 5) es
su producto, es decir los multiplicamos 2 x 5 = 10
e) Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.
Ejemplo: El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36)=36
f) Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número
entonces su m. c. m. también queda dividido o multiplicado por el
mismo número.
Ejemplo: m. c. m. (32,84) = m. c. m. (25, 2² · 3 · 7) = 672
32 · 4 = 128
84 · 4 = 336
𝑚. 𝑐. 𝑚. (128, 336) = 2688 = 672 · 4
Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b
Ejemplo:
m. c. d. (12, 16) = 4
m. c. m. (12, 16) = 48
(4) ·(48) = (12) ·(16)
192 = 192
Si multiplicamos el m. c. m. y el m.
c. d. se obtiene como resultado el
producto de los dos números a los
que se les ha encontrado el m. c. m.
y el m. c. d.
Resolución de problemas con máximo común divisor o mínimo común
múltiplo
a) Joel y Vera van caminando por la arena dejando huellas marcadas. Cada 60
cm de longitud aparece una huella de Joel y cada 45 cm los de Vera. ¿En
centímetros, coinciden alguna vez sus huellas?
𝟔𝟎 𝟒𝟓𝟑𝟎 𝟒𝟓𝟏𝟓 𝟒𝟓𝟓 𝟏𝟓𝟓 𝟓𝟏 𝟏
𝟐𝟐𝟑𝟑𝟓
𝒎. 𝒄. 𝒎. 𝟒𝟓, 𝟔𝟎 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟖𝟎 𝐜𝐦 𝐜𝐨𝐢𝐧𝐜𝐢𝐝𝐫á𝐧
b) Mario tiene 12 rosas, 18 claveles y 6 jazmines. Desea armar el mayor
número de ramos con la misma cantidad de flores en cada paquete y que
cada tipo de flor tenga la misma cantidad en paquete ¿Cuántos paquetes
puede armar y cuántas flores de cada tipo por paquete?
𝟏𝟐 𝟏𝟖 𝟔𝟔 𝟗 𝟑𝟐 𝟑 𝟏
𝟐𝟑 𝒎. 𝒄. 𝒅. 𝟏𝟐, 𝟏𝟖, 𝟔 = 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟔
𝟏𝟐 ÷ 𝟔 = 𝟐 𝐫𝐨𝐬𝐚𝐬
𝟏𝟖 ÷ 𝟔 = 𝟑 𝐜𝐥𝐚𝐯𝐞𝐥𝐞𝐬
𝟔 ÷ 𝟔 = 𝟏 𝐣𝐚𝐳𝐦í𝐧
Operaciones con fracciones
Concepto de fracción
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una
totalidad en partes iguales.
Por ejemplo, cuando hablamos de un cuarto de hora, de la mitad
de un pastel, o de un tercio de una pizza. Tres cuartos de hora no
son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de
un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la
totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y
tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos
casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel,
etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno
sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya
fraccionaria.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El
numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el
que está bajo la raya fraccionaria.
Concepto de fracción
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la
siguiente forma:
a
b
→
→
numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas
denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad
Unidad fraccionaria
La unidad fraccionaria es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad
en n partes iguales.
Ejemplo: En este caso tenemos una naranja que se
ha dividido en dos partes iguales. A cada parte le
llamaremos un medio y se representa así: 1
2= 0.5,
si dividimos el numerador entre el denominador obtendremos el número en forma
decimal que es equivalente a su forma fraccionaria.
2 es el denominador que indica en cuántas partes se ha de dividir la naranja, en
este caso la naranja se dividirá en dos partes iguales. 1 es el numerador, que indica
cuántas partes se han de tomar, es decir se tomará
una de dos partes de la naranja.
Si tenemos una pizza, y queremos tomar 𝟐
𝟖 la
cortamos en 8 trozos iguales, luego tomaremos 2
trozos. De igual forma si queremos tomar 𝟑
𝟖 lo
dividiremos en 8 partes, pero en este caso tomaremos tres de las ocho.
Representación de fracciones
Recuerda que para representar fracciones dividimos la unidad en las partes
que nos indique el denominador y tomamos las partes que nos indique el
numerador
Tipos de fracciones
Fracciones propias: Son aquellas cuyo numerador es menor que el
denominador.
Ejemplos:
Su valor está comprendido entre cero y uno.𝟐
𝟑,𝟒
𝟗,𝟕
𝟖
Fracciones Impropias: Son aquellas cuyo numerador es mayor que el
denominador.
Ejemplos de fracciones impropias: 𝟓
𝟑= 𝟏. 𝟔 … ,
𝟕
𝟓= 𝟏. 𝟒,
𝟐𝟑
𝟗= 𝟐. 𝟓 … ,
𝟏𝟕
𝟔= 𝟐. 𝟖𝟑 …
Las fracciones impropias se utilizan en situaciones donde necesitamos más de una
unidad.
Por ejemplo si hay 5 niños y queremos repartir
entre ellos 3 tortas. Pretendemos que sean trozos
iguales para cada uno. Dividiremos cada torta en
dos trozos, es decir cada trozo será 1
2, que es lo
que le toca a cada niño. Se hacen 6 pedazos y se tomarán 5 del total, si contamos
los trozos obtendremos cinco de dos y se representará así 5
2 que es una fracción
impropia porque el numerador es mayor que el
denominador. Al dividir 5 entre 2 obtenemos 2.5, es
decir que el resultado es mayor que 1. El pedazo
que sobra es 1
2 y esta es una fracción propia, ya que
el numerador es menor que el
denominador si dividimos 1 entre
dos se obtiene 0.5 que es menor
que 1.
Al dividir el numerador entre el
denominador el resultado es un
número menor que uno.
Al dividir el numerador entre el
denominador el resultado es un
número mayor que uno.
En este ejemplo tenemos dos pizzas cortadas en cuatro partes, cada trozo será 1
4,
si se quieren repartir entre siete personas se necesitarán 2 pizzas enteras, se
tomarán 7 trozos de 4 lo que se llamará 7
4 y también es
una fracción impropia porque su numerador 7 es
mayor que el denominador 4, y al dividir 7 entre 4 es
igual a 1.75, el resultado es mayor que 1. El trozo
restante es 1
4, esta es una fracción propia porque el
numerador 1 es menor que el denominador 4, si dividimos 1 entre 4 se obtiene 0.75
que es menor que 1.
Fracción mixta
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra
fraccionaria.
Para pasar de número mixto a fracción impropia:
a) Se deja el mismo denominador
b) El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el
denominador más el numerador, del número mixto.
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: 𝟐𝟑
𝟒=
𝟐𝑿𝟒 + 𝟑
𝟒=
𝟏𝟏
𝟒
Para pasar una fracción impropia a número mixto:
a) Se divide el numerador por el denominador.
b) El cociente es el entero del número mixto.
c) El resto es el numerador de la fracción.
d) El denominador es el mismo que el de la fracción impropia.
Ejemplo. Pasar 𝟏𝟑
𝟓 a número mixto
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de los extremos es igual al
producto de medios.
a
b=
c
d si a ∙ d = b ∙ c
a y d son los extremos
b y c son los medios
Ejemplo. Comprobar si las fracciones son equivalentes
𝟓
𝟖=
𝟏𝟓
𝟐𝟒
𝟓 𝟐𝟒 = 𝟖 𝟏𝟓
𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟐𝟎
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones
Suma y resta con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Ejemplos:
𝐒𝐮𝐦𝐚𝐫:𝟒
𝟔+
𝟑
𝟔+
𝟖
𝟔=
𝟒 + 𝟑 + 𝟖
𝟔=
𝟏𝟓
𝟔
𝐑𝐞𝐬𝐭𝐚𝐫:𝟗
𝟕−
𝟑
𝟕=
𝟗 − 𝟑
𝟕=
𝟔
𝟕
13
5= 2
3
5
Dividimos 13 entre 5
2 es el cociente, será la parte entera
3 es el resto de la fracción, será el numerador
5 es el denominador anterior y lo será de la
nueva fracción
Suma y resta con distinto denominador
Ejemplos. Sumar las fracciones
a) 6
8+
12
4=
6
8+
24
8=
30
8=
15
4= 3
3
4
b) 4
5+
1
3+
1
2=
24
30+
10
30+
15
30=
49
30= 1
19
30
Restar las fracciones
a) 6
8−
12
4=
6
8−
24
8= −
18
8= −
9
4= −2
1
4
b) 2
3−
1
4=
8
12−
3
12=
5
12
c) 27
12−
5
8=
31
12−
5
8=
62
24−
15
24=
47
24= 1
23
24
d) Restar 22
5− 1
4
15=
12
5−
19
15=
36
15−
19
15=
17
24
Multiplicación de fracciones
𝐚
𝐛∙𝐜
𝐝=
𝐚 ∙ 𝐜
𝐛 ∙ 𝐝
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
a) Por numerador el producto de numeradores.
b) Por denominador el producto de denominadores.
a) Encuentra el mínimo común denominador (m. c. m. de los denominadores).
b) Reescribe cada fracción usando el común denominador (divide el m. c. m.
entre cada denominador y el resultado lo multiplica por el numerador).
c) Ahora que las fracciones tienen un común denominador, puedes sumar los
numeradores.
d) Simplifica a su mínima expresión, representando fracciones impropias como
números mixtos.
Ejemplo. Multiplicar las fracciones
𝟒
𝟓 ∙
𝟐
𝟑 ∙
𝟏
𝟒 =
𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
𝟓 ∙ 𝟑 ∙ 𝟒 =
𝟖
𝟔𝟎=
𝟒
𝟑𝟎=
𝟐
𝟏𝟓
División de fracciones
Ejemplo. Dividir las fracciones
4
5÷
3
8=
4
5 ∙
8
3 =
4 ∙ 8
5 ∙ 3 =
32
15
Fracción compleja
a)
56
−64
18 +
36
= 5
6−
6
4 ÷
1
8+
3
6 =
10
12−
18
12 ÷
3
24+
12
24 = −
8
12 ÷
15
24
= −8
12∙
24
15= −
192
180= −
96
90= −
48
45= −
16
15= −1
1
15
b) 1
12 ∙
25
2 +16 −
14
= 11
2 ∙
2
5 ÷ 2 +
1
6−
1
4 =
3
2 ∙
2
5 ÷
2
1+
1
6−
1
4
= 6
10 ÷
24
12+
2
12−
3
12 =
6
10 ÷
23
12 =
6
10 ∙
12
23 =
72
230=
36
115
Razones y proporciones
Definiciones
Razón o Relación: Es la relación de tamaño que existe entre dos números
(distintos de cero) expresada como el cociente entre ellos.
𝐚
𝐛÷
𝐜
𝐝=
𝐚
𝐛∙𝐝
𝐜=
𝐚 ∙ 𝐝
𝐛 ∙ 𝐜
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
a) Por numerador el producto de los extremos.
b) Por denominador el producto de los medios.
O sea que se llamará así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de
ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente. Estas cantidades las
presentaremos en forma fraccionaria (aunque no es exactamente una fracción), de
la siguiente manera:
antecedente
consecuente
El valor de una razón corresponde al cociente entre el antecedente y el
consecuente de la razón
Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente
será 4. Nuestra razón quedará: 7
4, se lee siete es a cuatro
Orden en una razón: En una razón, al anotar las cantidades, debemos mantener el
orden en que se nombran los elementos que se están comparando. Las razones
siempre se expresan en forma reducida. Por ejemplo, digamos que en una escuela
por cada 18 estudiantes varones hay 29 estudiantes féminas. La razón 18 a 29
debe expresarse como 18 ∶ 29 o bien 18
29, se lee dieciocho es a veinte y nueve.
Se llama razón a un número de la forma b
a que se lee “a es a b” y que significa que
al número ”a le corresponde el número b”.
En un aula, por cada 4 alumnos hay 7 alumnas. Si el número de alumnos es 16
¿Cuántas alumnas tiene el aula?
La razón 4
7 se lee 4 es a 7 entonces
4
7=
8
14=
12
21=
16
28 por lo tanto hay 28 alumnas.
Proporción: Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto orden,
constituyen una proporción, si la razón de los dos primeros es igual a la
razón de los dos segundos. O sea que una proporción es una igualdad entre
dos o más razones.
En una proporción 𝐚
𝐛=
𝐜
𝐝 que se lee: “a es a b como c es a d”
𝐚
𝐛 es la primera razón
𝐜
𝐝 es la segunda razón
a y d son los extremos
b y c son los medios
a y c son los antecedentes
b y d son los consecuentes
Ejemplo
6 ∶ 4 ∶ : 3 ∶ 2 𝑆𝑖
6
4= 1.5
3
2= 1.5
𝑆𝑒 𝑙𝑒e "6 es a 4 como 3 es a 2"
Una proporción puede ser ordinaria o continua.
Ordinaria si tiene la forma: a
b=
c
d por ejemplo
7
8=
14
16
Continua: cuando sus medios son iguales a
b=
b
d por ejemplo
4
6=
6
9
Propiedades de las proporciones
En toda proporción, el producto de los términos extremos es igual al
producto de los términos medios, por lo tanto:
a
b=
c
d⟹ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
Por ejemplo, tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9. Se escribirán
2
3=
6
9, entonces 2 9 = 3 6
Como los resultados son iguales podemos afirmar que son fracciones equivalentes,
pero además están formando una proporción.
En toda proporción la suma del antecedente y consecuente de la primera
razón es a su antecedente como la suma del antecedente y consecuente de
la segunda razón es a su antecedente.
a
b=
c
d⟹
a + b
a=
c + d
c
Ejemplo.
6
4=
3
2→
6 + 4
6=
3 + 2
3→
10
6=
5
3→ 30 = 30
En toda proporción la suma del antecedente y consecuente de la primera
razón es a su consecuente como la suma del antecedente y consecuente de
la segunda razón es a su consecuente.
a
b=
c
d⟹
a + b
b=
c + d
d
Ejemplo.
6
4=
3
2→
6 + 4
4=
3 + 2
2→
10
4=
5
2→ 20 = 20
En toda proporción la diferencia del antecedente y consecuente de la
primera razón es a su antecedente como la diferencia del antecedente y
consecuente de la segunda razón es a su antecedente.
a
b=
c
d⟹
a − b
a=
c − d
c
Ejemplo.
6
4=
3
2→
6 − 4
6=
3 − 2
3→
2
6=
1
3→ 6 = 6
En toda proporción la diferencia del antecedente y consecuente de la
primera razón es a su consecuente como la diferencia del antecedente y
consecuente de la segunda razón es a su consecuente.
a
b=
c
d⟹
a − b
b=
c − d
d
Ejemplo.
6
4=
3
2→
6 − 4
4=
3 − 2
2→
2
4=
1
2→ 4 = 4
La suma del antecedente y consecuente de la primera razón es a su
diferencia como la suma del antecedente y consecuente de la segunda
razón es a su diferencia.
a
b=
c
d⟹
a + b
a − b=
c + d
c − d
Ejemplo.
6
4=
3
2→
6 + 4
6 − 4=
3 + 2
3 − 2→
10
2=
5
1→ 10 = 10
Cálculo de los valores de una proporción
Hallar el valor de un extremo.
Ejemplo: 5
6=
10
x→ 5x = 6 10 → 5x = 60 → x =
60
5→ x = 12
Hallar el valor de un extremo en una proporción continua.
En toda proporción continua un extremo es igual al cuadrado del medio
proporcional dividido por el extremo conocido.
Ejemplo:x
6=
6
9→ x 9 = 6 6 → 9x = 36 → x =
36
9→ x = 4
Hallar el valor del medio de una proporción.
En toda proporción continua el medio es igual al producto de los extremos dividido
por el medio conocido.
Ejemplo:5
6=
x
12→ 5 12 = 6 x → 60 = 6x →
60
6= x → x = 10
Magnitudes Proporcionales
Cuando aplicamos proporciones a la solución de problemas observamos que la
relación entre dos cantidades variables produce una de dos tipos de magnitudes
proporcionales o proporciones directa o inversa.
Magnitudes Directamente Proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al disminuir una la otra
también disminuye o al aumentar una la otra también aumenta en la misma
proporción. Es el caso más común, por ejemplo a menor cantidad de huevos
comprados menos debe ser el costo.
En la magnitud directamente proporcional el valor de la razón permanece
constante.
Por ejemplo si tenemos: 7
4
Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el
mismo número tanto a 7 como a 4
7
4=
7𝑥4
4𝑥4=
28
16
Hemos formado: 7
4=
28
16
Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan porque se han multiplicado
ambos números por el mismo número 4. (Éste puede ser cualquier número)
Ejemplo: Venta de metros de tela. Al aumentar la compra de metros de tela el costo
aumenta en esa proporción.
Tela (metros) 10 15 20
Costo (C$) 90 135 180
¿Cómo reconocer sin una proporción es directa? Si una cantidad aumenta, la
otra también, y el cociente entre sus valores es una constante.
Libras de azúcar 1 2 4 5 10 20
Precio (C$) 10 20 40 50 100 200
Cociente (división) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
Magnitudes Inversamente Proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar el valor de
una variable la otra disminuye y viceversa.
Por ejemplo si queremos formar una proporción empleando el criterio de
magnitudes inversamente proporcionales
4
7=
4 ÷ 4
7x4=
1
28
Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye, el número de arriba
se divide entre 4 y el de abajo se multiplica por el mismo 4.
Número de obreros 1 2 3 4
Días de trabajo 60 30 20 15
Ejemplo: La velocidad de un vehículo y la duración del trayecto. Cuanto mayor es la
velocidad, el tiempo disminuye en esa proporción.
Velocidad (Km/h) 40 80 160
Tiempo (horas) 4 2 1
¿Cómo reconocer sin una proporción es inversa? Si una cantidad aumenta, la otra
disminuye, y el producto entre sus valores es una constante.
Variable 1 15 30 60
Variable 2 4 2 1
Constante 60 60 60
Regla de tres
Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones está en la resolución
de los problemas de regla de tres.
Cuarta proporcional
La cuarta proporcional es el cuarto número buscado en una proporción donde se
conocen los otros tres.
El cuarto número se obtiene por el “producto cruz” o regla de tres.
Ejemplo: 6
12=
8
x de donde se obtiene 6x = 12 8
𝑥 = 12 8
6= 16
A veces es más práctico usar una tabla para plantear la proporción, de la siguiente
manera
6 8
12 x
Ejemplos de proporcionalidad directa
a) Un fabricante factura 350 sillas idénticas a un precio de C$5600. ¿Cuál sería
el precio de 1250 sillas?
Solución
Primero expresamos los datos en la siguiente tabla, sabiendo que la
proporcionalidad es directa (ambos valores aumentan, a más sillas mayor precio)
Número de sillas Precio en córdobas
Conozco 350 5600
Desconozco 1250 X
350x = 1250 5600
x = 1250 5600
350
x = C$20000 Por lo tanto el precio de las 1250 sillas será de C$ 20000
b) Si 5 libros de lectura costaron $ 210. ¿Cuál es el precio de la docena de
libros?
Solución
Es una proporcionalidad directa:
Número de libros Precio en dólares
Conozco 5 210
Desconozco 12 X
5x = 12 210
x = 12 210
5
x = C$ 504 Por lo tanto el precio de la docena de libros será de C$ 504
Otra forma de plantear la regla de tres para este problema es la siguiente:
Convenimos en usar un signo más cuando en el planteo la segunda cantidad
aumenta o es mayor que la primera y un signo menos cuando disminuye o es
menor
Si 5 libros cuestan $ 210, más libros costarán más”, entonces nos queda:
+ 5 libros 210 $ +
– 12 libros x –
Si los dos signos son iguales (más o menos), existe entre los elementos del
problema una correspondencia directamente proporcional.
Si los signos fueran distintos uno más y otro menos, la correspondencia que existe
es inversamente proporcional.
Como la correspondencia de este problema es directamente proporcional,
planteamos la proporción con los datos en el orden que figura en el planteo.
c) Un automóvil recorre 240 km. en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá
recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que ”a menos horas recorrerá
menos kilómetros”.
Número de kilómetros
Número de horas
Conozco 240 3
Desconozco X 2
240 2 = 3x
240 2
3= x
x = 160 Km, es decir habrá recorrido 160 Km en 2 horas
d) Ana compra 5 libras de papas, si 2 libras cuestan C$ 26, ¿cuánto pagará
Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más libras de papas, más
córdobas.
Número de libras Precio
Conozco 2 26
Desconozco 5 X
2x = 5 26
5 26
2= x
x = C$65 , es decir Ana pagará C$65 por las 5 libras de papas
Proporcionalidad inversa
Ejemplo: A tres trabajadores les tomó 30 días construir una casa. ¿Cuántos días
les habría tomado si hubieran laborado 5 trabajadores para construir la misma casa
y en las mismas condiciones?
Solución
Primero expresamos los datos en la siguiente tabla, sabiendo que la
proporcionalidad es inversa (Si aumenta un dato el otro disminuye: a más
trabajadores menos días)
Número de trabajadores
Número de días
Conozco 3 30
Desconozco 5 X
3 30 = 5x
x =90
5
x = 18, A 5 obreros les habría tomado 18 días construir la misma casa
Lo más importante es razonar bien el planteo, para deducir si la proporción es
directa o inversa.
8 jóvenes piensan salir de campamento con víveres para 24 días; llegado el
momento, 2 deciden no ir. ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres a los
restantes?
Solución
Número de jóvenes
Número de días
Conozco 8 24
Desconozco 6 X
Si 8 jóvenes podían pasar con esos alimentos 24 días, menos jóvenes podrán vivir
más días. La correspondencia es inversamente proporcional.
Cuando formamos la proporción en una correspondencia inversamente
proporcional, invertimos antecedente y consecuente de la razón donde figura x.
8 24 = 6x
8 24
6= x
32 = x
Los víveres durarán 32 días a los 6 jóvenes.
Porcentajes
Tanto por ciento: Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien
partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios
centésimos de un número. El signo de tanto por ciento es %.
Así, el 4% de 80 o 4
100 de 80 equivale a cuatro centésimas partes de 80, es decir,
que 80 se divide en cien partes iguales y de ellas se toman cuatro.
Es evidente que el 100% de un número es el mismo número. Así, el 100% de 10 es
10.
Ejemplos
a) Al comprar un televisor que vale C$ 8200 nos hacen un descuento del 6%
¿Cuánto tenemos que pagar?
Precio del televisor (Córdobas)
Porcentaje %
Se conoce 8200 100
Se desconoce x 5
100 x = 8200 5 %
x = 8200 5 %
100 %
x =41000
100
x = 410, le hacen un descuento de C$ 410
Como la pregunta del problema es cuánto tiene que pagar, finalmente debemos
realizar una resta de lo que costaba el televisor inicialmente menos el descuento
que es de C$ 410.
8200 − 410 = C$ 7790, este será lo que tiene que pagar con el descuento
b) Si un carro en diciembre costaba $ 3500, pero en este mes se le hizo un
aumento de precio del 20 % ¿cuánto cuesta el automóvil actualmente?
Precio del carro
(Dólares) Porcentaje
%
Se conoce 3500 100
Se desconoce X 20
100 x = 3500 20 %
x = 3500 20 %
100 %
x =70000
100
x = 700
700 es lo que se le aumentará actualmente.
Como la pregunta es cuánto costará el automóvil actualmente, debemos sumar el
valor de lo que aumentará más lo que costaba anteriormente
700 + 3500 = 4200, esto es lo que cuesta el automóvil actualmente.
El 60 % de los trabajadores de una empresa tiene vehículo. Si el número total de
empleados es de 1200 ¿cuántos empleados tienen auto?
Número de empleados que tiene auto
Porcentaje %
Se conoce 1200 100
Se desconoce x 60
100 x = 1200 60 %
x = 1200 60 %
100 %
x =72000
100
x = 720
720 empleados tienen automóvil
Medidas y magnitudes
El ser humano por naturaleza se empeña en medir, definir, comparar. Por lo tanto
desde sus orígenes estableció la necesidad de medir.
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.
Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad.
La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad.
Ejemplo:
Si queremos medir la longitud de un pasillo en primer lugar debemos elegir la
unidad, en este caso la más apropiada es el metro.
Sistema métrico decimal
En el pasado cada país y, en algunos casos, cada región seguían unidades de
medidas diferentes. Esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los
pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792, la Academia de Ciencias de
París propuso el Sistema Métrico Decimal.
Progresivamente fue adoptado por todos los países, a excepción de los de habla
inglesa, que se rigen por el Sistema Inglés o Sistema Imperial Británico.
El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y
submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o
submúltiplos de 10. (Sistema Internacional, SI)
El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes
magnitudes: Longitud, Masa, Capacidad, Superficie y Volumen
Las unidades de tiempo no son del Sistema Métrico Decimal, ya que están
relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 60. El tiempo es una magnitud
del Sistema Sexagesimal.
Medidas de longitud
La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para
medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:
Unidad Abreviatura Equivalencia
Kilómetro Km 1 000 m
Hectómetro Hm 100 m
Decámetro Dm 10 m
Metro M 1 m
Decímetro Dm 0.1 m
Centímetro Cm 0.01 m
Milímetro Mm 0.001 m
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en
la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior.
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a
multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre
ellas.
Ejemplos de conversión de medidas
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos
a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya
que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación.
1. Pasar 50 metros a centímetros
Para pasar de metros a centímetros se
multiplica el número por 100, es decir por
la unidad seguida de dos
ceros porque hay dos lugares de separación (se multiplica porque
vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor).
50 · 100 = 5 000 𝑐𝑚
2. Pasar 4 385 milímetros a metros
Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque
vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad
seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separación.
4 385 ÷ 1000 = 4.385 𝑚
Para expresar en metros los siguientes casos convertimos cada uno de ellos en
metros y luego realizaremos la suma de sus resultados
3. Expresar en metros
a) 5 Km; 5 Hm; 7 Dm 5 000 m + 500 m + 70 m = 5 570 m
b) 3 m; 2 cm; 3 mm 3 m + 0.02 m + 0.003 m = 3.023 m
c) 25.56 Dm; 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m
d) 53 600 mm; 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m
e) 1.83 Hm + 9.7 Dm + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m 317 m
Recuerda
que
Medidas de masa
La unidad principal para medir masas es el gramo.
Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales
son:
Medida Símbolo Equivalencia
Kilogramo Kg 1000 g
Hectogramo Hg 100 g
Decagramo Dg 10 g
Gramo G 1 g
Decigramo dg 0.1 g
Centigramo cg 0.01 g
Miligramo mg 0.001 g
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una
unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por
la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Ejemplos de conversión de medidas
1. Pasar 50 kilogramos a decigramos:
Tenemos que multiplicar (porque el kilogramo es mayor que
el decigramo) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que
hay cuatro lugares entre ambos.
𝟓𝟎 𝐊𝐠 · 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝐝𝐠
2. Pasar 408 miligramos a decigramos:
Tenemos que dividir (porque el miligramo es menor que el
decigramo) por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos
lugares entre ambos.
𝟒𝟎𝟖 𝒎𝒈 ÷ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒. 𝟎𝟖 𝒅𝒈
3. Expresar en gramos
Para expresar en gramos los siguientes casos convertimos cada uno de ellos en
gramos y luego realizaremos la suma de sus resultados.
a) 5 Kg; 5 Hm; 7 Dg → 5 000 g + 500 g + 70 g = 5 570 g
b) 3 g; 2 cg; 3 mg → 3 g + 0.02 g + 0.003 g = 3.023 g
c) 25.56 Dg; 526.9 dg → 255.6 g + 52.69 g = 308.29 g
d) 53 600 mg; 9 830 cg → 53.6 g + 98.3 g = 151.9 g
e) 1.83 Hg; 9.7 Dg; 3 700 cg → 183 g + 97 g + 37 g = 317 g
Conversiones de Peso corporal
Otras medidas de masa
a) Cambio de 150 lb a kilogramos. Dividir 150 entre 2.2 = 68 kg
b) Cambio de 60 kg a libras. Multiplicar 60 por 2.2 = 132 lb
Ejemplos
a) A un paciente se le receta 4 gramos diarios de acetaminofén, si se tiene
tabletas en presentación de 500 mg ¿cuántas tabletas se le deben dar?
Solución: Para convertir 4 g a mg, se debe mover el punto decimal (4.0 g) tres
lugares a la derecha: 4000 o multiplicar por 1000 como factor, así 4 𝑥 1000 =
4000 mg, Como ambas cantidades están en la misma unidad de medida,
procedemos a dividirlas para obtener el número de tabletas que nos pregunta el
problema.
4,000𝑚𝑔
500𝑚𝑔= 8 se le deben dar 8 tabletas
b) Un niño pesa en el centro de salud 42 Kg, ¿Cuánto es el peso del niño en
libras?
Solución
Como se pide convertir de kilogramos a libras se multiplica 42 Kg por 2.2 (Un
kilogramo
42 2.2 = 92.4. El peso del niño es de 92.4 libras.
c) Expresa en gramos
Para expresar en gramos los siguientes casos convertimos cada uno de ellos en
gramos y luego realizaremos la suma de sus resultados
Medidas de capacidad
La unidad principal para medir capacidades es el litro.
También existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores:
Medida Símbolo Equivalencia
Kilolitro Kl 1000 l
Hectolitro Hl 100 l
Decalitro Dl 10 l
Litro l 1 l
Decilitro dl 0.1 l
Centilitro cl 0.01 l
Mililitro ml 0.001 l
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una
unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por
la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Ejemplos de conversión de medidas
1. Pasar 50 hectolitros a centilitros:
Tenemos que multiplicar (porque el hectolitro es mayor que el
centilitro) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay
cuatro lugares entre ambos.
𝟓𝟎 · 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒍
2. Pasar 2587 centilitros a litros
Tenemos que dividir (porque el centilitro es menor que
el litro) por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay
dos lugares entre ambos.
𝟐𝟓𝟖𝟕 𝒍 ÷ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟓. 𝟖𝟕 𝒍
Las tazas dosificadoras también son una forma práctica para la administración de
medicamentos líquidos, sin embargo ha habido errores en la dosificación con ellas.
Verifique siempre que las unidades (cucharadas, cucharaditas, ml o cc) en la taza o
la jeringa concuerden con las unidades de la dosis que desea administrar.
Conversión de unidades:
1 ml = 1 cc
2,5 ml = 1/2 cucharadita
5 ml = 1 cucharadita
1.5 ml = 1 cucharada
3 cucharaditas = 1 cucharada
II. Expresar en litros
Para expresar en litros los siguientes casos convertimos cada uno de ellos
en litros y luego realizaremos la suma de sus resultados.
a) 5 Kl; 5 Hl; 7 Dl → 5 000 l + 500 l + 70 l = 5 570 l
b) 3 l; 2 cl; 3 ml → 3 l + 0.02 l + 0.003 l = 3.023 l
c) 25.56 Dl; 526.9 dl → 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l
d) 53 600 ml; 9 830 cl → 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l
e) 1.83 Hl; 9.7 Dl; 3 700 cl → 183 l + 97 l + 37 l = 317 l
Medidas de superficie
La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la
superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.
Otras unidades mayores y menores son:
Medida Símbolo Equivalencia
Kilómetro cuadrado Km2 1 000 000 m2
Hectómetro cuadrado Hm2 10 000 m2
Decámetro cuadrado Dm2 100 m2
Metro cuadrado m2 1 m2
Decímetro cuadrado dm2 0.01 m2
Centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2
Milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en
la parte superior, cada unidad vale 100 más que la anterior.
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a
multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos pares de ceros como
lugares haya entre ellas.
Ejemplos de conversión de medidas
a) Pasar 1.5 hectómetros cuadrados a metros cuadrados:
Tenemos que multiplicar (porque el Hm2 es mayor que el
m2) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos
lugares entre ambos.
𝟏. 𝟓 · 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎𝒎𝟐
b) Pasar 15 000 mm2 a m2:
Tenemos que dividir (porque el mm2 es menor que el m2)
por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay tres
lugares entre ambos.
𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝒍 ÷ 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 𝒎𝟐
Medidas de superficie agrarias
Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias. La
hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.
1 Hectárea = 1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m2
Medidas de volumen
La medida fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico.
Otras unidades de volúmenes son:
Medida Símbolo Equivalencia
kilómetro cúbico Km3 1 000 000 000 m3
Hectómetro cúbico Hm3 1 000 000 m3
Decámetro cúbico Dm3 1 000 m3
Metro cúbico m3 1 m3
Decímetro cúbico dm3 0.001 m3
Centímetro cúbico cm3 0.000001 m3
Milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en
la parte superior, cada unidad vale 1 000 más que la anterior. Por lo tanto, el
problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por
la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas.
Ejemplos
a) 15 m3 → 15 x 1 000 000 = 15 000 000 cm3
b) 102 cm3 → 102 ÷ 1 000 000 = 0.000102 m3
c) 35 Dm3 = 35 x 1 000 000 = 350 000dm3
Ejemplos de conversión de medidas
a) Pasar 1.36 Hm3 a m3:
Tenemos que multiplicar (porque el hm3 es mayor que el m3)
por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay dos lugares
entre ambos.
1.36 𝑥 1 000 000 = 1 360 000m3
b) Pasar 15 000 mm3 a cm3
Tenemos que dividir (porque el mm3 es menor que el cm3) por la
unidad seguida de tres ceros, ya que hay un lugar entre ambos.
15 000 ÷ 1 000 = 15 cm3
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa
Existe una relación muy directa entre el volumen y capacidad.
Ejemplo. Un litro es la capacidad que contiene un recipiente cúbico de un
decímetro de arista, es decir, la capacidad contenida en un volumen de un
decímetro cúbico (1 dm3) También existe una relación entre el volumen y la masa
de agua.
Ejemplo.1 g equivale a 1 cm3 de agua pura a 4 °C.
Analicemos las relaciones que existen entre capacidad, volumen y masa (de agua):
Capacidad Volumen Masa (de agua)
1 Kl 1 m3 1 t
1 l 1 dm3 1 Kg
1 ml 1 cm3 1 g
Ejemplos de relaciones entre capacidad, volumen y masa
Expresa en litros:
a) 23.2 m3 = 23 200 dm3 = 23 200 l
b) 0.07 m3 = 70 dm3 = 70 l
c) 5.2 dm3 = 5.2 l
d) 8 800 cm3 = 8.8 dm3 = 8.8 l
Otras Medidas de longitud
Tradicionalmente, la unidad de medida utilizada era la vara. Su valor más usado era
el de 83.6 cm.
Otras unidades son:
Medida Equivalencias
Pulgada 2.3 cm
Palmo 9 pulgadas ≈ 20.9 cm
Pie 12 pulgadas ≈ 27.9 cm
Vara 3 pies ≈4 palmos ≈83.6 cm
Paso 5 pies ≈ 1.39 m
Milla 1 000 pasos ≈ 1.39 km
Legua 4 millas ≈ 5.58 km
Medidas de longitud Medidas de masa
Medida Equivalencias
Pulgada = 2.54 cm
Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm
Yarda = 3 pies = 91.44 cm
Braza = 2 yardas = 1.829 m
Milla terrestre 880 yardas = 1.609 km
milla náutica 1 852 m
Medida Equivalencias
Onza 28.375 g
Libra 454 g
1 Libra 16 Onzas
Múltiplos (letras Griegas) Submúltiplos (letras en Latín)
Prefijo Símbolo Factor de multiplicación
Deca Da 10 101
Hecto H 100 102
Kilo K 1000 103
Mega M 1 000 000 106
Giga G 1 000 000 000 109
Tera T 1 000 000 000 000 1012
Peta P 1 000 000 000 000 000 1015
Exa E 1 000 000 000 000 000 000 1018
C Ejercitación
Primera parte
1. A la par de cada proposición escriba una (V) si es verdadera o una (F) es
falsa.
a. – 2 es un número entero.
b. 5 4 es un número racional.
c. 6 ( 2 - 5) es un número natural.
d. es un número irracional.
e. Todo número real es entero .
f. ( 7) ( 7 ) es un número entero.
g. 3. 55555… Es un número irracional.
h. 0.5 es un número racional.
i. ( 8) ( 5) es un número racional.
j. Todo número entero es racional.
2. Elaborar un mapa conceptual del conjunto de los números reales y de la
aplicación en sus actividades personales.
3. Dados los números 54, 540, 315 y 162, determine:
a. La cantidad de divisores de cada número
b. Los divisores de cada número.
4. Agrupa los siguientes números en el cuadro que corresponda. Algunos
números pueden ir en más de un cuadro.
Prefijo Símbolo Factor de multiplicación
Deci D 1/10 10 -1
Centi C 1/100 10-2
Mili M 1/1000 10-3
Micro 1/1 000 000 10-6
Nano N 1/1 000 000 000 10-9
Pico p 1/1 000 000 000 000 10-12
Femto f 1/1 000 000 000 000 000 10-15
Atto a 1/1 000 000 000 000 000 000 10-18
52
46 81 55 25 30 21 40
70 105 87 72 85 36 220
Divisibles por 2 Divisibles por 3 Divisibles por 5
5. Marca con una X los números de la lista que son primos
32 45 17 123 91 80 37
51 95 221 97 541 301 121
6. Resolver los siguientes problemas.
a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar 72 baldosas cuadradas
de manera que formen un rectángulo?
b) Las edades de Pedro y Juan son dos números enteros consecutivos cuya
suma es 51. Si Pedro es el menor, ¿cuál es la edad de cada uno?
c) Si Enrique tiene un año menos que Basilio y ambas edades suman 103
años, ¿cuál es la edad de cada uno?
d) Las edades de Pedro, Juan y Enrique que son tres números enteros
consecutivos, suman 87 años. Si Enrique es el menor y Pedro el mayor,
¿cuál es la edad de cada uno?
e) ¿Qué factor común tiene 8 y 9?
f) ¿Qué factor común tiene 10, 11 y 12?
g) ¿Qué factor común tiene 84, 83, 82 y 81?
7. Hallar el Máximo Común Divisor por descomposición en factores primos
entre los números dados.
a) 5, 50, 25 b) 100, 60 c) 125, 100, 50 d) 60, 90, 120
a) 40, 80, 150 f) 68, 48, 88 g) 24, 40, 64, 72
8. Hallar el Mínimo Común Divisor por descomposición en factores primos
entre los números dados.
a) 12, 16 b) 24, 48, 72 c) 12, 16, 20 d) 40, 50, 60
e) 10, 20, 40 f) 25, 50, 18 g) 125, 35, 105, 40
53
9. Resolver los siguientes problemas por m. c. m. o m. c. d.
a) Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero
cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
b) Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado
los dos en Barcelona.
c) ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
d) Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96
cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?
e) ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y
48, en cada caso, da de resto 9?
f) Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un
tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en
Sevilla los tres viajantes ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a
coincidir en Sevilla?
g) Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene
bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene
bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número
de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B.
¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?
h) María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y
quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna
bola.
¿Cuántos collares iguales pueden hacer?
¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar?
i) Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da
una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360
minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal.
¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir?
¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?
j) Juan tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.
Acaba de tomar los dos medicamentos juntos. ¿De aquí a cuántas horas
volverá a tomárselos a la vez?
54
k) Eva tiene una cuerda roja de 15 m y una azul de 20 m. Las quiere cortar en
trozos de la misma longitud, de forma que no sobre nada.
¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo de cuerda que puede cortar?
l) Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han
coincidido los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de
su abuela?
m) Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas,
de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de
naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas
de cada caja y el número de cajas necesarias.
n) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y
540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.
Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se
pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de
garrafas que se necesitan.
o) Un cambista tiene tres fajos de billetes de C$4,500, C$5,240 y C$6,500. Si
todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible, ¿Cuánto
vale cada billete y cuántos billetes hay en cada fajo?
p) La alarma de los celulares de María, Juan y Pedro suenan al mismo tiempo
el día martes 01 de marzo de 2011 a las 10:30 am. Si el celular de María
está programado para timbrar cada 18 min, el de Juan y Pedro cada 20 y 23
min, ¿Cuál es el menor tiempo transcurrido para que los tres celulares
suenen simultáneamente? ¿En qué día, mes, año y hora, exactamente?
q) Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras de
jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del
mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos
bloques de jabón hay en cada caja?
r) ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número
exacto de cuadernos de C$30, C$45 o C$50 cada uno si quiero que encado
caso me sobren C$25 ?
s) Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 días, el segundo
cada 10 días y el tercero cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el
día 2 de enero. ¿Cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán
a salir juntos (el año no es bisiesto).
t) ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y
48, en cada caso, da de resto 9?
55
u) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3
m de ancho. Calcula el lado de la baldosa y el número de las baldosas, tal
que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea
necesario cortar ninguna de ellas.
10. Dadas las figuras marca con un lápiz sobre cada una la fracción que se
le indica y escribe su significado.
11. Efectuar las operaciones indicadas.
a) 1
2+ 2
1
4+
2
6 − 3
1
6−
2
8+ 4
b) 4 −3
8−
1
5 + 2 −2
4
3− 1
2
3
c)
25
+3
10 − 5 ∙ −225
24 + 6
d)
38 +
46 − 3
69 +
310 − 3
x27
10
e) 31
5− 2
1
5 + 2 +
3
2−
1
3
12. Resolver los siguientes problemas de fracciones.
a) Un depósito contiene 90 litros de agua. Se consumen los 3/5 de su
contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?
b) De una pieza de tela de 60 m se cortan 5/6. ¿Cuántos metros mide el trozo
restante?
c) ¿Cuánto son los 2/5 de 10 litros?
56
d) Una bolsa contiene 80 confites. Eva se comió 1/5 de los caramelos y Ana
1/2. ¿Cuántos confites se comieron Eva, y Ana? ¿Qué fracción de caramelos
se comieron entre las dos?
e) Elena va de compras con C$240. Se gasta 3/4 de esa cantidad. ¿Cuánto le
queda?
f) A lo largo de una calle instalaron 3 tubos con las siguientes medidas: el 1ro
mide 6m; el 2do mide 61
2m y el 3ro mide 8
1
4m. ¿Cuántos metros de tubo
instalaron en la calle?
g) De una finca de 40 hectáreas se venden los ¾ y se alquila 1/2 del resto.
¿Cuánto queda?
h) De una deuda de $90 se paga un abono de 1/2. ¿Cuánto se debe todavía?
i) Tenía C$1000, y compré cinco lapiceros de a C$18.50 cada una y tres
memorias de a C$145 cada una. ¿Cuánto me queda?
j) Un estudiante dibujó dos circunferencias de radios 5/4 cm y 8/3 cm,
respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran las circunferencias si las
distancias entre sus centros es de 7 cm.
13. Analiza las situaciones sobre proporcionalidad y responde las
preguntas
a) Un transportista propone las siguientes tarifas:
Distancia (Km) 100 150 200 250
Costo($) 83.60 171.36 189.00 191
¿El costo es proporcional a la distancia recorrida? Justifique su respuesta.
b) En un inmueble los impuestos se pagan proporcional a la superficie de
suelo que posee cada uno de sus propietarios. Encontrar los valores de x, y
y de z en la tabla de impuestos de algunos de los propietarios.
Superficie de suelo en m2 x 61.2 y 72.9
Monto del impuesto C$ 82.32 125.40 159.20 Z
14. Completar las siguientes tablas las cuales corresponden a situaciones de
proporcionalidad
a) b)
1 2 3 z
x 10 Y 20
12 23 y z
1.2 x 1.9 0.45
57
c) d)
REGLA DE TRES DIRECTA (Cociente entre los valores de las variables una
constante)
15. Cal
16. cular x para cada una de las situaciones dadas
a) x
1.4=
1.2
9
b) 0.5
0.9=
1
x
c) 2.7
x=
6.6
14
d) x
12=
12
6
e) 64
x=
x
4
f) 18
9=
6
x
g) 15
25=
45
x
h) x
30=
5
10
1 3 Y 13
x 1.8 4.2 z
X 3.6 18 z
1 4.8 y 5.2
58
17. Complete:
a. Un paquete de tres bombillos cuesta C$ 100. ¿Cuánto valen nueve bombillas?
_______ Córdobas.
b. Un motor eléctrico gira a la velocidad de 1200 revoluciones/minuto. ¿Cuántas
revoluciones hará el motor en 30 minutos? _______ revoluciones.
c. Un corredor recorre 2 kilómetros en veinte minutos. ¿Qué distancia se recorre en
una hora?_______ Km
d. Un empresario factura 350 sillas idénticas al precio C$ 5.600. ¿Cuál será el precio
de 1250 de estas sillas? _______ córdobas.
e. 30 obreros hacen una construcción en 48 días. Si se aumenta a 40 obreros, ¿en
cuántos días harán la obra? ______ días.
18. Analiza las situaciones con regla de tres inversa y responda a las
interrogantes.
a) Una empresa especializada en la fabricación de muebles de madera tiene un
nuevo contrato. Se debe hacer 500 armarios tan rápidamente como sea
posible. Cada gabinete requiere un día de trabajo. La tabla de valores siguiente
presenta algunos escenarios de producción de los armarios.
Número de obreros 1 5 10 50 100
Tiempo(días) 500 100 50 10 5
Identificar en tipo de proporcionalidad entre el número de obreros y los días utilizados
y la opción más rápida
b) Los estudiantes organizaron una venta de pan para financiar su viaje de fin de
año. Las ganancias de $ 1,500 que realizaron en la venta se repartirá a partes
iguales entre los n estudiantes participantes. La tabla de valores asociados a
esta situación se presenta a continuación:
Número de estudiantes 1 5 10 20 100
Parte para cada uno($) 1500 300 150 75 15
Identificar en tipo de proporcionalidad entre el número de estudiantes y el dinero para
cada uno.
19. Problemas sobre porcentajes
59
a) Habiendo más de dos facultades en una universidad. El 44% de 875 mujeres y
varones de dicha universidad estudian en la facultad de Humanidades. ¿Cuántos
de ellos estudian en otras facultades?
b) De los 240 viajeros que ocupan un avión con destino a México, el 30% son
salvadoreños, el 25% Hondureños, el 10% Nicaragüenses y el resto son de
nacionalidad desconocida hasta ese momento. ¿Cuánto personas de
nacionalidad desconocida van en el avión?
c) Un pantano adherido al rio San Juan contenía en el mes de diciembre un millón
de metros cúbicos de agua y estaba lleno. Sus reservas se redujeron en enero al
80% de la capacidad y en febrero al 60%. ¿Cuántos metros cúbicos contenía en
enero? ¿Y en febrero?
d) Una cámara de video costaba C$ 3,800 y con el descuento por pago al contado
una persona canceló C$ 3,150 ¿Cuál fue el porcentaje de descuento?
e) Una tienda tiene todos sus artículos con un porcentaje de reducción. Un artículo
antes de la reducción valía C$ 420 y ahora se vende por C$ 273.
a) ¿Cuál es el porcentaje de reducción?
b) ¿A que precio se vende?
Segunda parte
Ejercicios sobre unidades de medida.
1. Expresa las siguientes medidas a unidades del Sistema Internacional:
a) 3.5 cm b) 40 mg c) 7.5 lb d) 1362 Onzas
2. Expresa en metros las siguientes cantidades:
a) 42 mm b) 7.3 × 103𝐻𝑚 c) 0.0024 cm d) 12.5 Km
3. Realiza las siguientes conversiones de unidades:
a) 705 Kg a mg b) 2345 dm a Km c) 10.5 mg a g d) 10.500 litros a
metro cúbico
4. Resuelva las siguientes situaciones.
a) Las dimensiones de un terreno son 3 Km de largo y 1.5 Km de ancho. Calcula
la superficie del terreno y expresa en metros cuadrados.
60
b) Una piscina mide 15m de largo, 7m de ancho y 2.5 de profundidad. Calcula la
cantidad de agua expresada en litros, que caben en la piscina, si el nivel de
agua está a 50cm del borde.
c) Un medicamento debe administrarse en dosis de 0.075 gr por cada 1,500 gr de
peso corporal. ¿Cuál es la dosis para una persona que pesa aproximadamente
52 Kg?
5. Calcula y expresa el resultado en centilitros:
a) 3 Dl + 7l + 5 dl + 4 cl + 5 ml
b) 6 Hl + 8 l + 2 ml
c) 3) 0.072 Kl + 5.06 Dl + 400 ml
d) 4) 0.000534 Kl + 0.47 l
6. Expresa en centímetros cúbicos:
a) 13.2 m3
b) 0.05 mm3
c) 3.9 dl
d) 7 700 cm3
7. Expresa en metros:
a) 3 Km + 5 Hm + 7 Dm
b) 7 m + 4 cm + 3 mm
c) 25.56 Dm + 526.9 dm
d) 53 600 mm + 9 830 cm
e) 1.83 Hm + 9.7 Dm + 3 700 cm
8. Expresa en gramos:
a) 5 Kg + 3 Hg + 4 g
b) 4 Hg + 8 Dg + 2 g + 5 dg
c) 2 Dg + 3 g + 8 dg + 7 cg
d) 35 dg + 480 cg + 2 600 mg
61
Objetivos conceptuales
Comprender que el Álgebra es una generalización de la Aritmética.
Identificar los casos de factorización de acuerdo a sus características.
Dominar los distintos métodos de solución para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas sistemas de ecuaciones lineales y Desigualdades lineales.
Objetivos procedimentales
Aplicar los conceptos, leyes y axiomas del Álgebra en la resolución de operaciones con Polinomios.
Resolver problemas de la vida cotidiana utilizando ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas lineales y desigualdades.
Objetivos actitudinales
Valorar la importancia del Álgebra, como herramienta para la solución de problemas de su entorno social.
Contenidos a desarrollar
Contenidos Cognitivos Contenidos
Procedimentales Contenidos
Actitudinales
Conceptualización del Álgebra como una generalización de la Aritmética. Definición de Álgebra. Lenguaje común y algebraico. Expresiones algebraicas. Leyes de los exponentes. Operaciones con polinomios. Casos de factorización y sus características Productos notables. Métodos de solución para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas sistemas de ecuaciones Lineales y Desigualdades lineales. Concepto y propiedades.
Aplicación de los conceptos, leyes y axiomas del Álgebra en la resolución de operaciones con Polinomios. Resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas lineales y desigualdades.
Valoración de la importancia del Álgebra, como herramienta para la solución de problemas de su entorno social.
II. ÁLGEBRA
62
A Vivencias
Para iniciar esta unidad de Álgebra, se le invita a la reflexión sobre los conceptos y
reglas importantes sobre este tema que serán de mucha utilidad en la resolución de
problemas.
Trabajo en equipo
a) Nos organizamos en equipos de tres personas, elegimos los compañeros que
asumirán los roles de líder, controlador de tiempo, comunicador y relator.
b) Solicitamos al comunicador realice lectura del siguiente aspecto histórico de las
funciones.
Basado en la lectura inicial responde a las interrogantes.
a) ¿Qué es Álgebra?
b) ¿Por qué crees que el Álgebra es importante?
c) ¿Qué relación encuentras entre el Álgebra y la Aritmética?
B. Fundamento Teórico
¿Qué es el Álgebra?
La palabra Álgebra proviene del árabe y significa reducción.
Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma
operación: ecuación algebraica. Es una rama de la Matemática que se ocupa de
estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y los números.
63
¿Cómo se originó el Álgebra?
Sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un
avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una
forma algebraica. Usaban primordialmente el Álgebra para resolver ecuaciones de
primer y segundo grado.
El Álgebra es una de las partes más importantes de la Matemática. Se sabe que su
iniciador fue Al-Khwarizmi (750 - 850). Su nombre completo era Muhammad ibn Musa
Al-Kwarizmi. Vivió en Baghdad en una época floreciente para las artes y las ciencias
en la que el Califa Al-Mammun fundó la Casa de la Sabiduría, centro cultural que
recogió los saberes griegos, hindúes y babilonios. La obra que le inmortalizó fue
el "Kitab al-jabr wa al-mugabalh" y de la pronunciación de ese título, que nos resulta
tan complicada, proviene la palabra "álgebra".
Para Al-Kwarizmi, lo que nosotros llamaremos la incógnita, aquel valor que
desconocemos y queremos conocer, recibía el nombre de "la cosa". También es
curioso saber que si el Álgebra se desarrolló en el mundo árabe fue en buena parte
motivado por la necesidad que tenían de resolver los complicados problemas de
herencias que se planteaban en una sociedad polígama (un hombre podía tener
varias esposas) cuando a la muerte de aquel había que repartir su herencia entre
éstas y sus hijos, siguiendo los preceptos de su religión. Pero las ecuaciones han
resultado útiles para resolver problemas de muchos otros tipos, en cualquier tiempo y
sociedad.
¿Por qué el Álgebra es una generalización de la Aritmética?
El concepto de cantidad en Álgebra es más amplio que en Aritmética, porque se
representan por medio de letras.
En general se usan las últimas letras del alfabeto (x, y, z) para variables y las
primeras (a, b, c) para constantes.
64
Expresión algebraica: Es toda combinación de números reales y letras que
representan números reales, ligadas por las operaciones fundamentales de Álgebra:
suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.
Conceptos básicos
Término: Producto de una colección finita de números y variables.
Polinomio: Suma de un número finito de términos. (Si tiene dos términos se le
llama binomio, si tiene tres términos es un trinomio).
Coeficiente numérico: Número que precede a las variables.
Términos semejantes: Términos que difieren únicamente en sus coeficientes
constantes.
Variable: Símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto (letras).
Constante: Símbolo que representa un elemento determinado de un conjunto.
Grado de un polinomio: Grado del término de mayor grado.
Definiciones
Un monomio en x es una expresión de la forma 𝑎𝑥𝑛
Son ejemplos de monomios: 3a, −5b,x2y
4a3
Binomio: Suma de dos monomios.
Ejemplos de binomios: 3a − 5b, 6y − 3x
Trinomio: Suma de tres monomios.
Son ejemplos de trinomios: 3x + 5y + 4; 2x2 + 6x − 12
Polinomio: Suma de cualquier número de monomios en x.
Coeficiente Variable
4x – 7 = 5
Operador Constantes
65
Ejemplos de polinomios: 2x − 5y + 8z + 5; 4x4 − 2x3 − 3x2 + 5x − 6
Definición. Un polinomio en x es una suma de la forma: anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x +
a0 en donde n es un entero no negativo y cada coeficiente ak es un número real. Si
𝑎𝑛 ≠ 0 se dice que el polinomio tiene grado n.
Ejemplo Coeficiente principal Grado
2x2 + 3x + 2 2 2
−3x + 2 -3 1
3 3 0
Casos en que una expresión algebraica no es un polinomio
Si una expresión algebraica contiene divisiones o raíces que incluyen una variable x,
entonces no es un polinomio en x.
a)1
x+ 3x
b)x − 5
x2 + 2
c) 3x2 + x − 2
Operaciones con polinomios
Adición de expresiones algebraicas.
Sumar:
Se puede agrupar
a) (2x + 3y – 7) + (5x – 2y + 4) =
= (2x + 5x) + (3y – 2y) + (– 7 + 4)
= 7x + y – 3
Para sumar polinomios se puede
hacer una suma en forma
horizontal, agrupando los
términos semejantes y luego
sumando los coeficientes
correspondientes, o arreglar los
términos, un polinomio debajo del
otro colocándolos según sean
semejantes, y en seguida resolver
la suma.
66
O bien se puede resolver así:
2𝑥 + 3𝑦 – 7 5𝑥 – 2𝑦 + 4
7𝑥 + 1𝑦 – 3
b) (7x2 + 3x + 8) + (9x2 – 8x + 7) =
= (7x2 + 9x2) + (3x – 8x) + (8 + 7)
= 16x2 – 5x + 15
7x2 + 3x + 8
9x2 – 8x + 7
= 16x2 – 5x + 15
Sustracción de expresiones algebraicas
𝒂) 𝐃𝐞 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 – 𝟕 𝐫𝐞𝐬𝐭𝐚𝐫 𝟓𝐱 – 𝐲 + 𝟒
(2x + 3y – 7) – (5x – y + 4) =
= (2x + 3y – 7) + (– 5x + y – 4)
= (2x– 5x) + (3y + y) + (– 7 – 4)
= – 3x + 4y – 11
O bien 2x + 3y – 7
– 5x + y – 4
= – 3x + 4y – 11 b) 3m3 − 8m2 + 6m − 12 − 13 + 10m3 + 3m
= 3m3 − 8m2 + 6m − 12 + −10𝑚3 − 3𝑚 − 13 = 3𝑚3 − 10𝑚3 + −8m2 + 6𝑚 − 3𝑚 + −12 − 13 = −7𝑚3 − 8m2 + 3m − 25
3m3 − 8m2 + 6m − 12
−10𝑚3 − 3𝑚 + 0𝑚 − 13
= −7𝑚3 − 8m2 + 3m − 25 c) Restar – 4(5ab + 6a2) de – 6(2ab – b2)
De – 6 ∙ (2ab – b2) restar – 4 ∙ (5ab + 6a2) Ordenamos la resta
– 6 ∙ (2ab – b2) – [– 4 ∙ (5ab + 6a2)]
= (– 12ab + 6b2) – (– 20ab – 24a2)
= – 12ab + 6b2 + 20ab + 24a2
Agrupamos términos semejantes
y luego sumamos
Ordenamos los polinomios verticalmente y
seguidamente sumamos
𝐦 − 𝐬 = 𝐦 + −𝐬 = 𝐝
a) Identificamos el minuendo y el sustraendo.
b) Agrupamos los términos semejantes.
c) Sumamos al minuendo el inverso aditivo del sustraendo.
Al igual que en la suma podemos hacer la operación agrupando de forma vertical.
Agrupamos términos semejantes y luego sumamos
Ordenamos los polinomios verticalmente y
seguidamente sumamos
67
= 24a2 + (– 12ab + 20ab) + 6b2
= 24a2 + 8ab + 6b2
Multiplicación de expresiones algebraicas
Multiplicar las expresiones
𝑎) (2xy) ∙ (4ax2 – 5y2z2) =
= (2xy) ∙ (4ax2) + (2xy) ∙ (– 5y2z2)
= 8 ax3y – 10xy3z2
b) (3x + 1) ∙ (2x + 3)
= (3x) ∙ (2x) + (3x) ∙ (3) + (1) ∙ (2x) + (1) ∙ (3)
= 6x2 + 9x + 2x + 3
= 6x2 + 11x + 3
e) 3x − 2y + 3 2x − 5y
3x − 2y + 3
2x − 5y
6𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 6𝑥 −15𝑥𝑦 + 10𝑦2 − 15𝑦
6𝑥2 − 19𝑥𝑦 + 6𝑥 + 10𝑦2 − 15𝑦 e) 4x2 − 5x + 2 7x − 3
4x2 − 5x + 2 7x − 3
28𝑥3 − 35𝑥2 + 14𝑥 −12𝑥2 + 15𝑥 − 6
28𝑥3 − 47𝑥2 + 29𝑥 − 6
División de expresiones algebraicas
a) 25a3b6
5ab2= 5a2b4
b) 16a3bc2 − 8a2c3
4ac2=
16a3bc2
4ac2−
8a2c3
4ac2= 4a2b − 2ac
Para multiplicar polinomios:
Se aplica la propiedad distributiva
a) Se multiplican los coeficientes.
b) Se suman los exponentes de las
variables que sean iguales y de las
que no se van escribiendo en
orden alfabético.
c) Se realiza la suma de los términos
semejantes.
Se multiplica 𝟐𝒙 por todos los términos
de los términos del polinomio
𝟑𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝟑. Luego multiplicamos −5y
por todos los términos de 𝟑𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝟑.
68
𝐜) 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐢𝐫 𝟔𝐚𝟑 − 𝐚𝟐𝐛 − 𝟏𝟏𝐚𝐛𝟐 + 𝟔𝐛𝟑
𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝟐𝐚 + 𝟑𝐛
6a³ − a²b − 11ab² + 6b3 2a + 3b
−6a³ − 9a²b 3a² − 5ab + 2b²
−10a²b − 11ab² 10a²b + 15ab²
4ab² + 6b3 −4ab² − 6b²
0
𝐝) 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐢𝐫 𝐱⁴ + 𝟑 + 𝐱 − 𝟗𝐱² 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐱 + 𝟑
x⁴ + 0x³ − 9x² + x + 3 entre x + 3
x4 + 0x3 − 9x2 + x + 3 x + 3
−x4 − 3x3 x3 − 3x2 + 1
−3x3 − 9x2 +3x³ + 9x²
x + 3 −x − 3
0
Dividendo
Cociente
Residuo
Divisor
Ordenamos ambos polinomios en forma descendente.
Dividimos x4 ÷ x = x3
Multiplicamos x3 x + 3 =
−x4 − 3x3 cambiamos los signos para pasar a restar
con el dividendo.
Volvemos a dividir −3x3 ÷ x = −3x2
Multiplicamos
−3x2 x + 3 = −3x³ − 9x² cambiamos los signos
para pasar a restar con el dividendo.
Dividimos 𝑥 ÷ 𝑥 = 1
Multiplicamos
1 𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 cambiamos los signos
Para dividir dos polinomios:
Ordenamos los polinomios en orden decreciente (si faltan exponentes se deja el espacio).
Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y obtenemos el primer
término del cociente: 6a³ ÷ 2a = 𝟑𝐚²
Multiplicamos este primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y el resultado restarlo del dividendo, así se obtiene un
dividendo parcial. 3a² 2a + 3b = 𝟔𝐚³ +𝟗𝐚²𝐛 (recuerda que los signos cambian porque se pasa a restar este resultado)
Repetimos los pasos a partir del inciso 2.
−10a²b ÷ 2a = −𝟓𝐚𝐛 −5ab 2a + 3b = 𝟏𝟎𝐚²𝐛 +𝟏𝟓𝐚𝐛² (cambiamos los signos)
4ab² ÷ 2a = +𝟐𝐛² +2b² 2a + 3b = −𝟒𝐚𝐛² −𝟔𝐛² (𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐬𝐢𝐠𝐧𝐨𝐬)
Se repite este proceso hasta obtener residuo cero, o una expresión de grado inferior que el del divisor. Si el residuo es cero, la división es exacta.
69
División Sintética
𝐚) 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐢𝐫 x3 − x − 10 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 x − 3
1 + 0 − 1 − 10 3
1 3 = +3 3 3 = +9 8 3 = +24
1 + 3 + 8 + 14
𝐂𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞: 𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 + 𝟖; 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐨: 𝟏𝟒
𝐛) 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐢𝐫 x4 − 5x3 + 4x − 48 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 x + 2
1 − 5 + 0 + 4 − 48 −2
1 −2 = −2 −7 −2 = +14 +14 −2 = −28 −24 −2 = +48
𝟏 − 𝟕 + 𝟏𝟒 − 𝟐𝟒 𝟎
𝐂𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞: 𝐱𝟑 − 𝟕𝐱𝟐 + 𝟏𝟒𝐱 − 𝟐𝟒 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐨: 𝟎
𝐜) 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐢𝐫 𝟑 x4 − 4x3 + 4x2 − 10x + 8 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝟑 x − 1
3 − 4 + 4 − 10 + 8 + 1
3
3 1
3 = 1 −3
1
3 = −1 +3
1
3 = +1 −9
1
3 = −3
3 − 3 + 3 − 9 + 5 𝐂𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞: 𝟑𝐱𝟑 − 𝟑𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 − 𝟗 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐨: 5
Importante: Como en este caso se ha multiplicado por 1
3 el resultado (cociente) se
tiene que dividir entre 3 que es el denominador de la fracción
3x3 − 3x2 + 3x − 9 ÷ 3 = 𝐱𝟑 − 𝐱𝟐 + 𝐱 − 𝟑. Este resultado será el cociente de la
división
Residuo
Residuo
Cuando el divisor
tiene esta forma se
transforma en forma
fraccionaria 1
3
70
Operaciones con exponentes racionales.
Exponentes enteros
La notación exponencial se utiliza para escribir en forma corta los productos de
factores que se repiten.
Por ejemplo:
a) – 𝟑 −𝟑 −𝟑 −𝟑 = −𝟑 𝟒
b) 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 = (𝟐𝒙 − 𝟏)𝟐
Notación exponencial
Sea a un número real, variable o expresión algebraica y n un entero positivo.
Entonces 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎, 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 donde n es el exponente, a es
la base y 𝑎𝑛 es la n-ésima potencia de a, se lee como “a elevado a la n”.
Reglas de los Exponentes:
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝟏: 𝒂𝒏 · 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎
Esta regla establece que en la multiplicación de potencias, cuando las bases son
iguales, los exponentes se suman y se escribe la misma base.
Ejemplos
a) 𝟐𝟐 · 𝟐𝟏 = 𝟐𝟐+𝟏 = 𝟐𝟑 = 𝟖 ≡ 𝟐𝟐 · 𝟐𝟏 = 𝟐 · 𝟐 · 𝟐 = 𝟐𝟑
b) 𝒙𝟑 · 𝒙𝟒 = 𝒙𝟑+𝟒 = 𝒙𝟕 ≡ 𝒙𝟑 · 𝒙𝟒 = 𝒙 · 𝒙 · 𝒙 · 𝒙 · 𝒙 · 𝒙 · 𝒙 = 𝒙𝟕
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝟐: (𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏𝒎
Esta regla establece que si dentro de un paréntesis está una cantidad elevada a una
potencia, y al mismo tiempo éste está elevado a otra potencia escribimos la misma
base y los exponentes se multiplican.
Ejemplos
a) (𝒂𝟐)𝟑 = 𝒂𝟐 𝟑 = 𝒂𝟐·𝟑 = 𝒂𝟔 ≡ 𝒂𝟐 𝟑 = 𝒂𝟐 · 𝒂𝟐 · 𝒂𝟐 = 𝑎6 (𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 #1)
71
b) (𝟐𝟐)𝟑 = 𝟐𝟐∙𝟑 = 𝟐𝟔 = 𝟔𝟒 ≡ (𝟐𝟐)𝟑 = (𝟒)𝟑 = 𝟔𝟒 ≡ (𝟐𝟐)𝟑 = 𝟐𝟐 · 𝟐𝟐 · 𝟐𝟐 = 𝟐𝟔
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝟑: (𝒂𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 · 𝒃𝒏
Cuando hay un producto de varias cantidades elevado a una potencia (con un
exponente afuera) se eleva cada factor a este exponente y luego se efectúa el
producto.
Ejemplos:
a) 𝑥𝑦 6 = 𝑥6 ∙ 𝑦6
b) 𝑚2𝑛3𝑝5 3 = 𝑚2 3 𝑛3 3 𝑝5 3 = 𝑚2∙3𝑛3∙3𝑝5∙3 = 𝑚6𝑛9𝑝15
c) 3 ∙ 4 2 = 32 ∙ 42 = 9 ∙ 16 = 144
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝟒: 𝒂𝒎 ÷ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 , 𝒂 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝟎.
En la división de potencias con igual base se escribe una vez la base y los
exponentes se restan.
Ejemplos:
𝒂) 𝒙𝟑 ÷ 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑−𝟐 = 𝒙𝟏 = 𝒙
𝒃) 𝟏𝟎𝟓 ÷ 𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟓−𝟐 = 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝟓:
𝒂𝟎 = 𝟏; 𝒔𝒊 𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝟎. 𝑻𝒐𝒅𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒂𝒍 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟎 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟏.
Ejemplos
a) 30 = 1
b) −6 0 = 1
c) 𝑥0 = 1
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝟔: 𝑎−1 =1
𝑎𝑛, 𝒔𝒊 𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝟎.
Esta es la forma de convertir un exponente negativo a positivo, pasamos el
numerador a denominador y cambiamos el signo del exponente a positivo.
72
Ejemplos
a) 𝟑−𝟐 =𝟏
𝟑𝟐=
𝟏
𝟗
b) 𝒙−𝒏 =𝟏
𝒙𝒏
c) 𝟐−𝟓 =𝟏
𝟐𝟓=
𝟏
𝟑𝟐
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒏 > 1ℝ, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒃𝟏𝒏 = 𝒃
𝒏
Ejemplos
a) 51
2 = 512= 5
b) 31
5 = 315
c) 64
= 61
4
d) 93
= 91
3
Simplificación de expresiones que incluyen potencias
a) 2𝑎𝑏3 5𝑎2𝑏5 = 2 5 𝑎𝑎2 𝑏3𝑏5 = 10𝑎3𝑏8
𝐛) 𝑢2𝑣−2
𝑢−1𝑣3=
𝑢2𝑢1
𝑣2𝑣3=
𝑢3
𝑣5
𝐱𝟐
𝟐
−𝟑
= 𝐱𝟐 −𝟑
𝟐−𝟑=
𝐱 𝟐 ∙ −𝟑
𝟐−𝟑=
𝐱−𝟔
𝟐−𝟑=
𝟐𝟑
𝐱𝟔=
𝟖
𝐱𝟔
Productos Notables
Los productos notables son el producto (resultado de una multiplicación) de
expresiones algebraicas que por simple inspección podemos determinar su desarrollo
o resultado, esto debido a que tienen características especiales que los distinguen de
otros productos.
• La identificación de un producto como notable nos permite aplicar la regla
correspondiente para su resolución.
• Sin embargo para los estudiantes estos productos no son tan notables.
73
Productos notables se refieren a aquellas multiplicaciones que podemos resolver sin
necesidad de desarrollar el procedimiento sino mediante reglas que se pueden
identificar a simple vista por las características que presentan los factores.
A continuación veremos algunas ilustraciones geométricas que nos ayuden a
comprender mejor el concepto de producto notable.
Ejemplos: Calcular el producto notable
a) (x + 3)2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 = x2 + 6 x + 9
b) (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9
c) (m + 4n)2 = m 2 + 2 · m · 4n + 4n 2 = m2 + 8mn + 16n2
d) (3x − 2)2 = 3x 2 − 2 · 3x · 2 + 2 2 = 9x2 − 12x + 4
Para calcular todos los productos notables de dos binomios podemos utilizar un método con
un nombre atractivo “método del gato” que nos facilitará el cálculo algebraico. A
continuación tenemos el procedimiento:
𝐁𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐨 𝐚𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐝𝐨
(𝐚 ± 𝐛)𝟐 = 𝐚𝟐 ± 𝟐 · 𝐚 · 𝐛 + 𝐛𝟐
“El cuadrado del primer término
más (menos) el doble producto del
primer término por el segundo
término más el cuadrado del
segundo término”
74
a) Colocamos los dos términos del primer
binomio en la casilla 1 y 3 respectivamente:
(5𝑥 – 8)
b) De igual forma colocamos los términos
del segundo binomio en la casilla 7 y 9:
(5𝑥 – 8)
Quedarán vacías momentáneamente las
casillas del centro que forman una cruz. (2, 5,
8, 4 y 6)
c) Multiplicamos los términos de las
esquinas 1 y 9 para obtener el resultado de la
casilla 2: 5𝑥 −8 = −40𝑥
d) Multiplicamos los términos de las esquinas 7 y 3, se
obtiene el resultado de la casilla 8 5𝑥 −8 = −40𝑥
e) El resultado de las casillas 2 y 8 se suman o restan
para obtener el resultado de la casilla 5. (−40𝑥 −
40𝑥 = −80𝑥)
f) Para encontrar el término de la casilla 4 se
multiplican las casillas 1 y 7. 5𝑥 5𝑥 = 25𝑥2
g) Para encontrar el término de la casilla 6 se multiplican los términos de las
casillas 3 y 9. −8 −8 = +64
h) La respuesta del producto serán los términos que forman el trinomio con las
casillas 4, 5 y 6:
25𝑥2– 80𝑥 + 64 = (5𝑥 – 8)2 = 5𝑥 – 8 5𝑥 – 8 = 25𝑥2 – 80𝑥 + 64
Binomios conjugados
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
“El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”
75
Ejemplos: Calcular el producto notable
a) (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5) = (2𝑥)2 − 52 = 4𝑥2– 25
b) 3𝑥 − 2 3𝑥 + 2 = 3𝑥 2– 22 = 9𝑥2– 4
c) 𝑥 + 5𝑦 𝑥– 5𝑦 = 𝑥 2– (5𝑦)2 = 𝑥2– 25𝑦2
d) (3x+7)(3x–7)= 9x2–49
𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒎ú𝒏
𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏
“El cuadrado del término común más la suma de los términos no
comunes por el término común más el
producto de los términos no comunes”
Ejemplos
Calcular el producto notable de la forma
𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏
a) 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟑 = 𝒙𝟐 + (𝟐 + 𝟑)𝒙 + 𝟐 ·
𝟑 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔
𝟑𝒙 −𝟕 = −𝟐𝟏𝒙
𝟑𝒙 +𝟕 = +𝟐𝟏𝒙
−𝟐𝟏𝒙 + 𝟐𝟏𝒙 = 𝟎𝒙
𝟑𝒙 𝟑𝒙 = 𝟗𝒙𝟐
𝟕 −𝟕 = −𝟒𝟗
(𝟑𝒙 + 𝟕)(𝟑𝒙 – 𝟕) = 𝟗𝒙𝟐 – 𝟒𝟗
Este producto lo puedes resolver utilizando el método del gato Operaciones del esquema izquierdo
76
b) 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟒 = 𝒙𝟐 + −𝟐 + 𝟒 𝒙 + −𝟐 · 𝟒 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖
c) 𝒙 − 𝟓 𝒙 − 𝟐 = 𝒙𝟐 + −𝟓 − 𝟐 𝒙 + −𝟓 · −𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎
d) (𝒙 – 𝟏𝟎)(𝒙 − 𝟐) = 𝒙𝟐 – 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟎
a) 𝟐𝐱 + 𝟓𝐲 𝟓𝐱 − 𝟑𝐲 = 𝟏𝟎𝐱𝟐 + −𝟔 + 𝟐𝟓 𝐱𝐲 − 𝟏𝟓𝐲𝟐 = 𝟏𝟎𝐱𝟐 + 𝟏𝟗𝐱𝐲 − 𝟏𝟓𝐲𝟐
b) 𝟐𝐚 − 𝟓𝐛 𝟒𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝒂𝒃 + 𝟐𝟓𝒃𝟐 = 𝟐𝐚 − 𝟓𝐛 𝟐𝐚 𝟐 + 𝟐𝒂 𝟓𝒃 + 𝟓𝒃 𝟐 = 𝟐𝒂 𝟑 −
𝟓𝒃 𝟑 = 𝟖𝒂𝟑 − 𝟏𝟐𝟓𝒃𝟑
𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒃𝒐 𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 ± 𝒃𝟑
“El cubo del primer término más (menos) el triple del cuadrado del primer
término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado
del segundo término más (menos) el cubo del segundo término”
a) (𝒙 + 𝟑)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟑 · 𝒙𝟐 · 𝟑 + 𝟑 · 𝒙 · 𝟑𝟐 + 𝟑𝟑 = 𝐱𝟑 + 𝟗𝐱𝟐 + 𝟐𝟕𝐱 + 𝟐𝟕
b) (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟑 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟑 · 𝟐𝒙 𝟐 · 𝟑 + 𝟑 · 𝟐𝒙 · 𝟑𝟐 − 𝟑𝟑 = 𝟖𝐱𝟑 − 𝟑𝟔𝐱𝟐 + 𝟓𝟒𝐱 − 𝟐𝟕
c) (𝒙 + 𝟏)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟑 · 𝒙𝟐 · 𝟏 + 𝟑 · 𝒙 · 𝟏𝟐 + 𝟏𝟑 = 𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 + 𝟏
Factorización
Factorizar una expresión algebraica, es expresarla como producto de expresiones
más simples llamadas factores de la expresión original. En general la factorización de
expresiones algebraicas puede ser muy complicada y nos limitaremos por ahora a
considerar algunos casos sencillos, que se derivan de las fórmulas de los productos
notables cuando se leen de derecha a izquierda.
𝑥 −2 = −2𝑥 𝑥 −10 = −10𝑥 −2𝑥 − 10𝑥 = −12𝑥 𝑥 𝑥 = 𝑥2 −10 −2 = +20
(𝑥 – 10)(𝑥 − 2) = 𝑥2 – 12𝑥 + 20
Este producto notable lo puedes resolver utilizando el método del gato. Operaciones del esquema izquierdo
77
Factor común
Factor común monomio
Para factorizar una expresión que tiene factor común, se buscará el máximo común
divisor de todos los coeficientes y las variables que estén todos los términos con el
menor exponente, y con ellos se formará el factor común. Luego dividiremos cada
término entre el factor común.
Ejemplos
a) 2𝑥3 – 6𝑥2 + 4𝑥
= 2𝑥(𝑥2 – 3𝑥 + 2)
b) 3𝑥3 − 6𝑥 + 9 = 3 (𝑥3 − 2𝑥 + 3)
c) 12𝑥4𝑦 + 18𝑥3𝑦2𝑧3 − 24𝑥2𝑦2𝑧 = 6𝑥2𝑦 2𝑥2 + 3𝑥𝑦𝑧3 − 4𝑦𝑧
d) 15𝑥2𝑦 − 30𝑥𝑦2 + 20𝑥2𝑦2 = 5𝑥𝑦(3𝑥 − 6𝑦 + 4𝑥𝑦 )
15𝑥2𝑦 = 𝟐𝒙𝟐
+ 18𝑥3𝑦2𝑧3 ÷ 6𝑥2𝑦 = +3𝑥𝑦𝑧3
−24𝑥2𝑦2𝑧 ÷ 6𝑥2𝑦 = −4𝑦𝑧
El máximo común divisor de (15, 30, 20) es 5, y las variables que se encuentran
en los tres términos y que tienen menor exponente son xy, entonces el factor
común es 5xy.
Dividimos cada término entre 2x
12𝑥4𝒚 ÷ 6𝑥2𝑦 = 𝟐𝒙𝟐
+ 18𝑥3𝑦2𝑧3 ÷ 6𝑥2𝑦 = +3𝑥𝑦𝑧3
−24𝑥2𝑦2𝑧 ÷ 6𝑥2𝑦 = −4𝑦𝑧
El máximo común divisor de (12, 18, 24, 30) es 6, y las variables que se
encuentran en los tres términos y que tienen menor exponente son 𝑥2𝑦,
entonces el factor común es 𝟔𝒙𝟐𝒚
Dividimos cada término entre 2x
𝟐𝒙𝟑 ÷ 𝟐𝒙 = 𝒙𝟐
– 𝟔𝒙𝟐 ÷ 𝟐𝒙 = −𝟑𝒙
+𝟒𝒙 ÷ 𝟐𝒙 = +𝟐
El máximo común divisor de (2, 6, 4) es 2, y la
variable que se encuentra en los tres términos y que
tiene menor exponente es x, entonces el factor
común es 2x.
Dividimos cada término entre 2x
El factor común es 3
78
Factor común por agrupación
Este se utiliza cuando tenemos más de tres términos, pero los podemos agrupar de
dos en dos, de tal manera que la pareja de términos que estén dentro del paréntesis
tenga factor común, luego efectuaremos la división
Ejemplos. Factorización de factor común por agrupación.
a) 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑞
= 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑞
= 𝑝 𝑎 + 𝑏 + 𝑞 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 + 𝑏 𝑝 + 𝑞
De otra forma
𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑞
𝑎𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑝 + 𝑏𝑞
𝑎 𝑝 + 𝑞 + 𝑏 𝑝 + 𝑞
𝑝 + 𝑞 (𝑎 + 𝑏)
b) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
= 𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑥 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑥
Se deja al lector resolverlo de la otra forma
c) 6𝑎𝑐 − 4𝑎𝑑 − 9𝑏𝑐 + 6𝑏𝑑 + 15𝑐2 − 10𝑐𝑑 =
= 6𝑎𝑐 − 4𝑎𝑑 + (−9𝑏𝑐 + 6𝑏𝑑) + (15𝑐2 − 10𝑐𝑑)
= 2𝑎 3𝑐 − 2𝑑 − 3𝑏 3𝑐 − 2𝑑 + 5𝑐 3𝑐 − 2𝑑
= 3𝑐 − 2𝑑 (2𝑎 − 3𝑏 + 5𝑐)
Trinomio cuadrado perfecto.
En este caso debemos verificar tres condiciones, las que estrictamente se deberán
cumplir para poder afirmar que es un TCP y poderlo factorizar como tal.
a) Ordenamos el trinomio.
b) Verificamos que los primeros y terceros términos tengan raíz cuadrada exacta.
c) El término que está en el centro será el doble producto de las raíces cuadradas
que acabamos de encontrar.
En este caso se pueden agrupar de dos
maneras, por ejemplo los dos primeros términos
tienen factor común p y los dos últimos que
tienen factor común q.
Dividimos los términos del primer paréntesis
entre p, y los del otro paréntesis entre q.
O bien el mismo ejercicio se puede agrupar de
esta otra forma: Dos términos que tienen factor
común a y los dos que tienen factor común b.
Dividimos los términos del primer paréntesis
entre a, y los del otro paréntesis entre b.
79
d) Posteriormente que hayamos constatado todo lo anterior, procedemos a
factorizar el trinomio que será igual al cuadrado de la suma o de la resta de las
raíces cuadradas encontradas.
Ejemplos. Factorización de trinomios cuadrados perfectos
Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Este tipo de trinomios se factoriza siguiendo los siguientes pasos
a) Ordenamos el trinomio.
b) Escribimos dos paréntesis a la derecha del igual.
c) Extraemos raíz cuadrada del primer término, que solo tendrá la variable
elevada al cuadrado (puede ser más de una variable), la escribimos repetida,
una vez en cada paréntesis.
d) Colocamos el primer signo del trinomio en el primer paréntesis.
e) En el segundo paréntesis escribiremos el resultado de multiplicar los dos
signos que estén en el trinomio, como si fuesen dos números.
Esto es importante, porque de los signos resultantes dependerán los
números que se buscan en el inciso g.
f) Buscamos dos números que cumplan con las condiciones siguientes: que
sumados o restados (esto depende de los signos que nos den en el inciso f, si
resultan ambos iguales serán sumados, pero si resultan ambos distintos serán
restados) den como respuesta el segundo término, y que multiplicados resulten
igual al tercer término.
a) 9𝑥2 − 30𝑥 + 25 = 3𝑥 − 5 3𝑥 − 5 = (𝟑𝒙 − 𝟓)𝟐
𝟗𝒙𝟐
= 𝟑𝒙
𝟐𝟓
= 𝟓 2 3𝑥 5 = 30𝑥
b) 16𝑚2 + 24𝑚 + 9 = 4𝑚 + 2 4𝑚 + 2 = (𝟒𝒎 + 𝟐)𝟐
𝟏𝟔𝒎𝟐
= 𝟒𝒎
𝟗
= 𝟑 2 4𝑚 3 = 24𝑚
Podemos usar el método del
gato para factorizar, pero
comenzamos escribiendo el
trinomio en el centro
80
Ejemplos. Factorizar trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
a)
b) 𝒎𝟐 − 𝟓𝒎 + 𝟔 = 𝒎 − 𝟑 𝒎 − 𝟐
Ejemplos
Realiza el esquema para encontrar los resultados de estos ejemplos
c) 𝒏𝟐 − 𝟕𝒏 − 𝟖 = 𝒏 − 𝟖 𝒏 + 𝟏
d) 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝒚 + 𝟑 𝒚 − 𝟏
e) 𝒛𝟐 − 𝟓𝒛 − 𝟏𝟒 = 𝒛 − 𝟕 𝒛 + 𝟐
Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Los trinomios que tienen esta forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se factorizan haciendo un
procedimiento parecido al caso anterior.
a) Ordenamos el trinomio.
b) Multiplicamos todos los términos por el coeficiente del primer término, y al
mismo tiempo dividiremos todo como se muestra en el ejemplo.
c) Escribimos dos paréntesis a la derecha del igual.
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝒙 + 𝟓 𝑥 + 1
+5 + 1 = +6
+𝟓 +𝟏 = +𝟓
𝒙 + 𝟓 𝑥 + 1
La raíz cuadrada de 𝒙𝟐 = 𝒙
Los números que cumplen
con las condiciones son 5 y
1, porque
y
La respuesta es 𝒙𝟐 = 𝒙
+𝟓 +𝟏 =+
5 +5 + 1 = +6
−3 − 2 = −5
−𝟑 −𝟐 = +𝟔
𝒎 − 𝟑 𝑚 − 2
La raíz cuadrada de 𝒎𝟐 = 𝒎
Los números que cumplen con las
condiciones son −3 𝑦 − 2, porque
y
La respuesta es
𝒎𝟐 = 𝒎 −𝟑 −𝟐 = +𝟔
−3 − 2 = −5
81
d) Extraemos raíz cuadrada del primer término ya multiplicado, lo escribimos
repetido, una vez en cada paréntesis.
e) Extraemos raíz cuadrada del primer término
f) Colocamos el primer signo del trinomio en el primer paréntesis.
g) En el segundo paréntesis escribiremos el resultado de multiplicar los dos
signos que estén en el trinomio, como si fuesen dos números.
Esto es importante, porque de los signos resultantes dependerán los
números que se buscan en el inciso g.
h) Buscamos dos números que cumplan con las condiciones siguientes: que
sumados o restados (esto depende de los signos que nos den en el inciso f, si
resultan ambos iguales serán sumados, pero si resultan ambos distintos serán
restados) den como respuesta el segundo término, y que multiplicados resulten
igual al tercer término.
Ejemplos. Factorizar trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Diferencia de cuadrados.
Este caso es muy sencillo, la expresión algebraica debe cumplir algunas
características:
a) Es una resta de dos términos.
b) Ambos tienen raíz cuadrada exacta.
−10 − 1 = −11
−𝟏𝟎 −𝟏 = +𝟏𝟎
𝒙 − 𝟓 2𝑥 − 1
La raíz cuadrada
de 𝟒𝒙𝟐 = 𝟐𝒙
Los números que
cumplen con las
condiciones son -
10 y 1, porque
y
La respuesta es
2x2 − 11x + 5
= 𝟐 2x2)– 2(11x) + 2(5
𝟐
=4x2 − 11 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎
𝟐
= 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟐𝒙 − 𝟏
𝟐
=𝟐 𝒙 − 𝟓 𝟐𝒙 − 𝟏
𝟐
= 𝒙 − 𝟓 𝟐𝒙 − 𝟏
Se simplifica el 2 del numerador con el 2 del
denominador que es el mismo por el cual
multiplicamos inicialmente
𝟒𝒙𝟐 = 𝟐𝒙 −10 − 1 = −11 −𝟏𝟎 −𝟏 = +𝟏𝟎
82
c) Su factorización es igual a la multiplicación de la suma por la resta de las
raíces cuadradas encontradas.
Ejemplos. Factorización de la diferencia de cuadrados.
a) 9𝑥2 − 16𝑦2 = 3𝑥 + 4𝑦 (3𝑥 − 4𝑦)
b) 25𝑦2 − 𝑧2 = 5𝑦 + 𝑧 (5𝑦 − 𝑧)
Suma de cubos.
Es una suma de dos términos. Primero identificamos las características de ambos
términos, son dos y ambos están elevados al cubo, o sea que los dos tienen raíz
cúbica exacta.
Para factorizar una suma de cubos:
a) Extraemos raíz cúbica de los dos términos.
b) Escribimos dos paréntesis.
c) En el primer paréntesis escribimos las dos respuestas de las raíces cúbicas
encontradas, separadas por el signo de la suma del ejercicio que estamos
factorizando.
d) En el otro paréntesis escribimos un trinomio así: el primer término será la
primera raíz elevada al cuadrado menos el segundo término que será la
multiplicación de las dos raíces cúbicas más el tercer término que será la
segunda raíz elevada al cuadrado
Ejemplo de factorización de la suma de cubos.
𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 · 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟑
𝟗𝒙𝟐 = 𝟑𝒙 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟒𝒚
25𝑦2 = 5𝑦 𝒛𝟐 = 𝒛
83
Ejemplos. Factorización de suma de cubos.
a) 8𝑥3 + 27 = (2𝑥 + 3) (4𝑥2 − 6𝑥 + 9)
Se deja al lector que compruebe los siguientes ejemplos
b) 𝑥3 + 1 = (𝑥 + 1) (𝑥2 − 𝑥 + 1)
c) 27𝑥3 + 125 = (3𝑥 + 5) (9𝑥2 − 15𝑥 + 25)
Diferencia de cubos.
𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃) · (𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟑)
Es una resta de dos términos. Primero identificamos las características de ambos
términos, al igual que en el caso anterior son dos y ambos están elevados al cubo, es
decir que los dos tienen raíz cúbica exacta.
Para factorizar una suma de cubos:
a) Extraemos raíz cúbica de los dos términos.
b) Escribimos dos paréntesis.
c) En el primer paréntesis escribimos las dos respuestas de las raíces cúbicas
encontradas, separadas por el signo de la resta del ejercicio que estamos
factorizando.
d) En el otro paréntesis escribimos un trinomio así: el primer término será la
primera raíz elevada al cuadrado más el segundo término que será la
multiplicación de las dos raíces cúbicas más el tercer término que será la
segunda raíz elevada al cuadrado.
Ejemplo de factorización de suma de cubos
𝟖𝒙𝟑𝟑= 𝟐𝒙
𝟐𝟕𝟑
= 𝟑 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 2𝑥 3 = 6𝑥 𝟑 𝟐 = 𝟗
84
a) 𝑥3 − 8 = (𝑥 − 2) (𝑥2 + 2𝑥 + 4)
Se deja al lector que compruebe los siguientes ejemplos
b) 𝑥3 + 1 = (𝑥 + 1) (𝑥2 − 𝑥 + 1)
c) 27𝑥3 + 125 = (3𝑥 + 5) (9𝑥2 − 15𝑥 + 25)
Ecuaciones
Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las expresiones
matemáticas son iguales. Por ejemplo,
3 + 5 = 8,
es una ecuación. La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en el Álgebra
contiene variables, las cuales son símbolos, casi siempre letras que representan
números.
En la ecuación
4𝑥 + 7 = 19
La letra x es la variable. Consideramos que la x es la “incógnita” de la ecuación, por
lo que el objetivo es determinar el valor de x que hace que la ecuación sea cierta. Los
valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman
soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se
llama resolución de una ecuación.
Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones se llaman ecuaciones
equivalentes. Para resolver una ecuación, tratamos de encontrar una ecuación más
simple y equivalente en la que la variable esté sola en un lado del signo de “igual”.
En seguida están las propiedades que aplicamos para resolver una ecuación. (En
estas propiedades, A, B y C representan expresiones algebraicas y el símbolo ⟺
significa “equivale a”.)
𝒙𝟑𝟑= 𝒙 𝟖
𝟑= 𝟐
𝒙 𝟐 = 𝒙𝟐 𝑥 2 = 2𝑥
𝟐 𝟐 = 𝟒
85
Propiedad Descripción
1. 𝐴 = 𝐵 ⟺ 𝐴 + 𝐶 = 𝐵 + 𝐶 Sumar la misma cantidad a ambos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
2. 𝐴 = 𝐵 ⟺ 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵
𝐶 ≠ 0
Multiplicar ambos miembros de una ecuación por la misma cantidad no cero
se obtiene una ecuación equivalente.
Estas propiedades requieren que usted efectúe la misma operación en ambos lados
de una ecuación cuando la resuelve. Por lo tanto, al decir “se suma −7” al resolver
una ecuación, lo que realmente queremos decir es “sumar −7 a cada miembro de la
ecuación”.
Ecuaciones lineales
El tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal, o ecuación de primer grado,
que es una ecuación en la cual cada término es una constante o un múltiplo no cero
de la variable.
Igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el
mismo valor.
Ejemplos.
3𝑥 + 2 = 8
7𝑥 = 5
3𝑥2 = 5𝑥 + 4
Identidad: es una igualdad que se verifica para cualesquier valor de las letras que
entran en ella.
Miembros: se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la
expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo
miembro, a la expresión que está a la derecha.
Términos: son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el
signo + ó –, o la cantidad que está sola en un miembro.
Los términos de la ecuación anterior son: 4x, −2, 8x, 6
86
Grado de una ecuación: con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la
incógnita en la ecuación.
Ejemplo
Sea la ecuación 3𝑥 − 5 = 𝑥 + 3, el primer miembro es 3𝑥 − 5 y el segundo miembro
es 𝑥 + 3.
La ecuación anterior es de primer grado, porque el mayor exponente de x es 1,
también se le llama ecuación lineal de una sola variable.
Por ejemplo la ecuación 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 es una ecuación de segundo grado o
ecuación cuadrática.
Ecuaciones de primer grado o ecuación lineal con una variable
Una ecuación lineal o ecuación de primer grado en una variable real es una ecuación
de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0; ó cualquier otra ecuación en la que
al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
Resolver una ecuación es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las
incógnitas que satisfacen la ecuación.
Resolución de ecuación lineal usando las propiedades fundamentales
Las ecuaciones se pueden resolver haciendo uso de las propiedades que son las
responsables de trasladar a los términos de un miembro a otro.
Ejemplo
Resolver la ecuación haciendo uso de las propiedades
3𝑥 − 6 = 0
3𝑥 − 6 + 6 = 0 + 6 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
3𝑥 + 0 = 6 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑑é𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
3𝑥 = 6
1
3 ∙ 3𝑥 =
1
3 ∙ 6 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
3
3𝑥 =
6
3
1𝑥 = 2 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑑é𝑛𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
87
𝑥 = 2
Ejemplos
Resolver las ecuaciones siguientes utilizando la transposición de términos.
a) 3x - 6 = 3
3x = 3 + 6
3x = 9
9 x =
3
x = 3
b) 6x + 4 = 8
6x = 8 - 4
6x = 4
4 x = simplificando
6
2 x =
3
c) 10x - 6 = 2x + 8
10x - 2x = 8 + 6
8x = 14
14 x =
8
7 x =
4
d)3x -10 = 8x - 5
3x - 8x = - 5 +10
-5x = 5 1
5x = - 5
5 x = -
5
x = - 1
e)5
3𝑥 + 12 = 6𝑥 −
5
4
12 5
3𝑥 + 12 2 = 12 6𝑥 − 12
5
4
4 5𝑥 + 12 2 = 12 6𝑥 − 3 5
Se pasa −𝟔 que está
restando en el primer
miembro a sumar al
segundo miembro.
Se pasa el 3 que está
multiplicando en el primer
miembro a dividir al
segundo miembro.
Buscaremos el mínimo común
múltiplo para simplificar los
denominadores y facilitar la
resolución de ejercicios
88
20𝑥 + 24 = 72𝑥 − 15
20𝑥 − 72𝑥 = −24 − 15
−52𝑥 = −39 −1
52𝑥 = 39
𝑥 =39
52
𝑥 =3
4
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación de segundo grado o cuadrática con una variable es la ecuación de la
forma: ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c ∈ R, a ≠ 0.
O sea es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos.
Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método
apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación
cuadrática que se va a resolver. En esta asignatura estudiaremos los siguientes
métodos: factorización, y la fórmula cuadrática.
Factorización
Para utilizar este método la ecuación debe estar igualada a cero. Luego expresar el
lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores lineales. Finalmente
igualar a cero cada factor y despejar la variable.
Resolver Ecuaciones Cuadráticas mediante Factorización
a) 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 – 𝟑𝒙
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 – 𝟏𝟎 = 𝟎
(𝒙 + 𝟓) (𝒙 – 𝟐) = 𝟎
𝒙 + 𝟓 = 𝟎 ⋁ 𝒙 – 𝟐 = 𝟎
𝒙 = – 𝟓 ⋁ 𝒙 = 𝟐
b) 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 – 𝒙
𝟑𝐱𝟐 + 𝐱 – 𝟏𝟎 = 𝟎
Simplificamos porque ambos
números de la fracción tienen
treceava.
Resolvemos esta
ecuación factorizando
Recuerda que lo primero que
debes hacer es ordenar el
trinomio.
89
3(3x2) + 3(x) – 3(10)
3 = 0
9x2 + 1 (3x) – 30
3= 0
(3x + 6)(3x – 5)
3= 0
(3x + 6)(3x – 5)
3= 0
3(x + 2)(3x – 5)
3= 0
(x + 2) ⋁ (3x – 5) = 0
x + 2 = 0 ⋁ 3x – 5 = 0
x = − 2 ⋁ 3x = 5
x = − 2 ∨ x =5
3
Fórmula cuadrática
La solución de una ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝑎 diferente de cero está dada por la
fórmula cuadrática:
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Pasos para buscar las Raíces de una ecuación usando la fórmula cuadrática:
Verificar que la ecuación esté en su forma estándar.
Determinar los valores de las variables a, b y c. (a: es el coeficiente cuadrático, b:
el coeficiente lineal, y c: es el término independiente)
Luego utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de a, b y c.
La fórmula genera dos respuestas:
𝑥1 =−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎, 𝑥2 =
−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Tipos de soluciones
Las soluciones de una ecuación cuadrática pueden ser reales e imaginarias.
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones o raíces:
a) Dos raíces reales distintas
90
b) Una raíz real (o dos raíces iguales)
c) Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante.
Se define al discriminante a la expresión: 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
Número de soluciones y tipo de solución de acuerdo con el discriminante.
Valor de 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Tipo de solución
Positivo Dos soluciones reales
Cero Una solución real
Negativo Dos soluciones imaginarias
Ejemplos
Resolver las ecuaciones utilizando la fórmula cuadrática
a) 5𝑥2 – 𝑥 – 2 = 0
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−(−1) ± (−1)2 − 4 5 (−2)
2(5)
𝑥 =1 ± 1 − (−40)
10
𝑥 =1 ± 1 + 40
10
𝑥 =1 ± 41
10
𝑥1 =1 − 41
10 ∨ 𝑥2 =
1 + 41
10
b) 6𝑥 − 𝑥2 = 9
No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada
y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los
cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada.
Ordenamos la ecuación:
𝑎 = 5
𝑏 = −1
𝑐 = −2
Identificamos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática y luego la sustituiremos en la fórmula cuadrática
91
− 𝑥2 + 6𝑥 − 9 = 0
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (6)2 − 4 −1 −9 = 36 − 36 = 0
Al calcular el discriminante se obtiene cero, entonces la solución es única solución
real
𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−6 ± 6 2 − 4 −1 (−9)
2(−1)
𝑥 =−6 ± 36 − (36)
−2
𝑥 =−6 ± 36 − 36
−2
𝑥 =−6 ± 0
−2
𝑥 =−6 ± 0
−2
𝑥 =−6
−2
𝑥 = 3 Solución única
Problemas con ecuaciones lineales
Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el Álgebra. Por cuanto ello
facilita la solución a múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de
Matemática.
Ejemplos
a) La edad de María es el triple de la edad de Cristina, y ambas edades suman 52
años. ¿Cuáles son sus edades?
𝑥: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑎
3𝑥: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟í𝑎
𝑥 + 3𝑥 = 52
𝑎 = −1
𝑏 = 6
𝑐 = −9
Identificamos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática y luego la sustituiremos en la fórmula cuadrática
Definimos nuestra variable x. x será la edad de Cristina por lo tanto la edad de María es 3x por ser el triplo de la edad de Cristina
92
4𝑥 = 52
𝑥 =52
4
𝑥 = 13 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑎
3𝑥 = 3 13 = 39 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟í𝑎
b) La suma de las edades de Carlos y María es 30 años, y María tiene 8 años menos
que Carlos. ¿Cuáles son las edades?
𝑥: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠
𝑥 − 8: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟í𝑎
𝑥 + 𝑥 − 8 = 30
𝑥 + 𝑥 − 8 = 30
𝑥 + 𝑥 = 30 + 8
2𝑥 = 38
𝑥 =38
2
𝑥 = 19 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠
c) La suma de tres números enteros consecutivos es 15. Hallar los números.
𝑥: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑥 + 1: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑥 + 2: 𝑁ú𝑚𝑟𝑒𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 15
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 15
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 15 − 1 − 2
3𝑥 = 12
𝑥 =12
3
𝑥 = 4 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑥 + 1 = 4 + 1 = 5 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑥 + 2 = 4 + 2 = 6 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
d) La edad de Juan es el doble de la edad de José, ambas edades suman 12 años.
Encontrar las edades.
𝑥: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑜𝑠é
2𝑥: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛
𝑥 + 2𝑥 = 12
Sustituimos el valor obtenido
para x = 4, y así encontramos los
otros números.
Prueba del problema 39 es el triplo de 13 y además ambas edades suman 52:
𝟏𝟑 + 𝟑𝟗 = 𝟓𝟐
x es la edad de Carlos La edad de María es x – 8, porque ella es menor 8 años que Carlos
𝑥 − 8 = 19 − 8 = 11 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟í𝑎 Comprobamos el problema
Ambas edades suman 30: 19 + 11 = 30
Comprobación del problema Los tres números 4, 5, 6 son consecutivos.
La suma de los tres 4 + 5 + 6 = 15
93
3𝑥 = 12
𝑥 =12
3
𝑥 = 4 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑜𝑠é
2𝑥 = 2 4 = 8 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛
e) Se compró un lápiz, un cuaderno y un borrador en C$12. El borrador cuesta el
doble del lápiz, y el cuaderno tanto como los otros dos juntos. Encuentra el precio
de cada artículo.
𝑥: 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑙á𝑝𝑖𝑧
2𝑥: 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑏𝑜𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑥 + 2𝑥: 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 12
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 12
6𝑥 = 12
𝑥 =12
6
𝑥 = 2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑙á𝑝𝑖𝑧
2𝑥 = 2 2 = 4 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑏𝑜𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑥 + 2𝑥 = 2 + 2 2 = 2 + 4 = 6 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜
2 + 4 + 6 = 12
Comprobación del problema El borrador cuesta el doble de lo que cuesta el lápiz, el lápiz cuesta 2 y el borrador 4, el cuaderno cuesta lo que
valen ambos juntos: 2 + 4 = 6 Por todo se pagan 12 córdobas,
8 + 4 = 12
Comprobación del problema La edad de Juan es 8 y la de José es 4, o sea el doble de la de José Ambas edades suman 12 años:
94
f) Un padre dejó a sus hijos como herencia 17 cabritas, con la condición de que: La
mitad de la herencia era para el mayor, la tercera parte de la herencia para el
siguiente y el menor debería recibir la novena parte, sin dividir ninguna de las
cabritas. ¿Cuántas cabritas le quedó a cada hijo?
x: Número de cabritas para el hijo mayor
2
x: Número de cabritas para el hijo mediano
3
x: Número de cabritas para el hijo enor
9
x x x17 , m. c. m. : 18
2 3 9
x x x18 18 18 18 17
2 3 9
9 6 2 306
9
m
+ + =
( )+ ( )+ ( ) = ( )
(x)+ (x)+ (x) =
x + 6 2 306
17 306
306
18
x 18Hijo mayor recibe : 9 cabritas
2 2
x 18Hijo mediano recibe : 6 cabritas
3 3
x 18Hijo menor recibe : 2 cabritas
9 9b
La suma de las cabritas es 17 : 9 6 2 17
x + x =
x =
x =
x =
= =
= =
= =
+ + =
g) Si a un número se multiplica por 7 y al producto se le resta el doble del número,
el resultado es el número aumentado en 36. Hallar el número.
95
x : número a encontrar
7x - 2x x 36
7x - 2x x 36
4x 36
36 x
4
x 9 : El número es 9
Prueba del problema : 7 9 - 2 9 9 36
= +
=
=
=
=
( ) ( ) = +
63 -18 45
45 45
=
=
Sistemas de Ecuaciones.
Un sistema de dos ecuaciones lineales, es un par de ecuaciones de la forma
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
,
donde x e y son cantidades desconocidas (variables), y el resto de cantidades son
conocidas y no todas iguales a cero.
Métodos para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos variables
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver con diferentes métodos
algebraicos, en este caso lo haremos por los Métodos de Eliminación por Sustitución,
Igualación y Reducción. En los tres ejemplos siguientes resolveremos el mismo
sistema de ecuaciones lineales haciendo uso de los tres métodos para que el lector
observe que al usar cualquiera de ellos se llegará a la misma solución es decir las
variables tendrán los mismos resultados.
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución
Sea el sistema 𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟏: 𝑬𝟏
𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟑: 𝑬𝟐
Despejamos una de las variables en cualquiera de las ecuaciones, en este
caso despejamos y en la ecuación 1
96
3𝑥 + 𝑦 = 11: 𝐸1
𝑦 = 11 – 3𝑥
5𝑥–𝑦 = 13
5𝑥 – (11– 3𝑥) = 13
5𝑥 – 11 + 3𝑥 = 13
5𝑥 + 3𝑥 = 13 + 11
8𝑥 = 24 Despejamos x
𝑋 = 3
𝑦 = 11 – 3𝑥
𝑦 = 11 – 3(3)
𝑦 = 11 – 9
𝑦 = 2
La solución al sistema de ecuaciones propuesto será 𝒙 = 𝟑 𝒆 𝒚 = 𝟐
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Igualación
Sea el sistema 𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟏: 𝑬𝟏
𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟑: 𝑬𝟐
11– 3𝑥 = – 13 + 5𝑥
– 3𝑥– 5𝑥 =– 13– 11
– 8𝑥 = – 24
(– 8𝑥 =– 24)(– 1)
Igualamos ambas ecuaciones despejadas, las colocamos así, una a la izquierda del
igual y la otra a su derecha
𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟑: 𝑬𝟐 −𝑦 = 13 − 5𝑥 −1
𝒚 = 𝟓𝒚 − 𝟏𝟑
𝑦 = −13 + 5𝑦 Ordenamos
𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟏: 𝑬𝟏
𝒚 = 𝟏𝟏 – 𝟑𝒙
Despejamos una de las variables en las dos ecuaciones, en este caso
despejamos y en la ecuación 1 y la ecuación 2
Copiamos la segunda ecuación 𝐸2 y sustituimos
en ella el valor anteriormente despejado (en
lugar de y se escribe 𝟏𝟏 – 𝟑𝒙)
Ahora tenemos una ecuación con una sola
incógnita x, la ordenamos y resolvemos
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la
expresión del valor de y que obtuvimos a partir
de la primera ecuación del sistema o en
cualquiera de las ecuaciones del sistema
97
8𝑥 = 24
𝑥 =24
8
𝑥 = 3
𝑦 = 11 – 3𝑥
𝑦 = 11 – 3(3)
𝑦 = 11 − 9
𝑦 = 2
La solución al sistema de ecuaciones propuesto será 𝒙 = 𝟑 𝒆 𝒚 = 𝟐
Resolución de un sistema de ecuaciones por el Método de Reducción
Sea el sistema 3𝑥 + 𝑦 = 11: 𝐸1
5𝑥 − 𝑦 = 13: 𝐸2
3𝑥 + 𝑦 = 11 5𝑥 − 𝑦 = 13
8𝑥 + 0 = 24 8𝑥 = 24
𝑥 = 24
8
𝑥 = 3
3𝑥 + 𝑦 = 11
3(3) + 𝑦 = 11
9 + 𝑦 = 11
𝑦 = 11 – 9
𝑦 = 2
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será 𝒙 = 𝟑 𝒆 𝒚 = 𝟐
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema
con el propósito de poder cancelar una de las variable en ambas ecuaciones.
Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones despejadas o en
una de las planteadas en el ejercicio para encontrar el valor de y, la otra variable
Le extraemos mitad a ambos números o los dividimos
𝟐𝟒 ÷ 𝟖 = 𝟑
Como nos queda 8x = 24
despejaremos x
Este valor lo sustituiremos en cualquiera de las
ecuaciones del ejercicio para encontrar el valor de
la otra variable
98
Si el sistema de ecuaciones no tiene la variable como en el ejemplo anterior que se
podía eliminar la variable y, lo que haremos es buscar m. c. m. de los coeficientes de
la misma variable, para luego dividirlo entre cada uno de ellos, y así poder restar los
términos correspondientes a la misma variable.
Ejemplo
6 3y -6x
5 7y -8x
: variablemisma la a respecto ecuaciones ambas Ordenamos
6 3y 6x
7y 5 -8x
:reducción de método elpor sistema elResolver
(8x - 7y 5) (-3)
(6x - 3y 6) (4)
24x 21y -15
24x- 12 y 24
9y 9
9 y
9
y 1
8x - 7y 5
8x - 7 (1) 5
8x - 7 5
8x 5 7
8x 12
12 x
8
3 x
2
La solución del sistema de ecuaciones es 𝒙 =𝟑
𝟐 𝒆 𝒚 = 𝟏
Problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones lineales
a) El primer problema es una caricatura de los Simpson, un programa de televisión,
donde Homero y Marge son los papás de Bart y Maggie. Leamos el diálogo, y
formulemos el sistema de ecuaciones.
𝟖 − 𝟔𝟒 − 𝟑𝟐 − 𝟑𝟏 − 𝟑 𝟏
𝟐𝟐𝟐𝟑
𝟐𝟒 ÷ 𝟖 = 𝟑 𝟐𝟒 ÷ 𝟔 = 𝟒
Buscamos el m. c. m. de 8 y 6, que son los coeficientes de x:
Este m. c. m. lo dividimos entre los mismos 8 y 6, para obtener dos números que al ser multiplicados nos den el mismo resultado para coeficientes de x Por ejemplo
99
Para comenzar, vamos a asignar nombre a las variables:
Llamaremos "x" al precio de una hamburguesa e "y" al precio de una gaseosa.
Ahora traduciremos a lenguaje simbólico los datos que nos brindan Homero y Bart en
el diálogo
Homero dice: “Compramos 3 hamburguesas y 3 gaseosas y gastamos 21” esto es
3𝑥 + 3𝑦 = 21
Bart dice: “Comí 2 hamburguesas y tomé 1 gaseosa y pagué 12”, entonces:
2𝑥 + 𝑦 = 12
Con esto formamos el sistema de ecuaciones lineales para resolver la situación
planteada
3𝑥 + 3𝑦 = 212𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 + 3𝑦 = 21 (1) 2𝑥 + 𝑦 = 12 (−3)
3𝑥 + 3𝑦 = 21
−6𝑥 − 3𝑦 = −36
−3𝑥 = −15
3𝑥 = 15
𝑥 =15
3
𝑥 = 5 Este es el precio de una hamburguesa
Luego sustituiremos este valor en cualquiera de las ecuaciones que formulamos
inicialmente para encontrar el precio de una gaseosa
2𝑥 + 𝑦 = 12
2 5 + 𝑦 = 12
3 − 11
3
3 ÷ 3 = 1 3 ÷ 1 = 3
Buscaremos m.c.m. de 3 y 1, que son coeficientes de la variable y
El 3 lo dividiremos entre los coeficientes de y
100
10 + 𝑦 = 12
𝑦 = 12 − 10
𝑦 = 2 Este es el precio de una gaseosa
Ahora podemos responder a la pregunta de Maggie, el precio de
una hamburguesa es de 5 dólares y el de una gaseosa es de 2
dólares.
b) María y su hija Sara tienen en la actualidad 56 años entre las dos. Si dentro de 18
años Sara tendrá 5 años más que la mitad de la edad de su madre, ¿qué edad
tiene actualmente cada una?
𝑥 ∶ edad de la madre
𝑦 ∶ edad de Sara
𝑥 + 𝑦 = 56
𝑦 + 18 =𝑥 + 18
2+ 5
𝑦 + 18 =𝑥+18
2+ 5
2 𝑦 + 2 18 = 2 𝑥 + 18
2 + 2 5
2𝑦 + 36 = 𝑥 + 18 + 10 ordenamos
– 𝑥 + 2𝑦 = 18 + 10 − 36
– 𝑥 + 2𝑦 =– 8
𝑥 + 𝑦 = 56
– 𝑥 + 2𝑦 =– 8
3𝑦 = 48
𝑦 =48
3
𝑦 = 16
𝑥 + 𝑦 = 56
𝑥 + 16 = 56
𝑥 = 56– 16
𝑥 = 40
Respuesta: Sara tiene 16 años y su madre tiene 40 años
c) Jorge tiene en su cartera billetes de C$10 y C$50, en total tiene 20 billetes y
C$440 ¿cuántos billetes tiene de cada tipo?
𝑥: Billetes de C$10
𝑦: Billetes de C$50
𝑥 + 𝑦 = 20
10𝑥 + 50𝑦 = 440
Para simplificar denominadores
multiplicaremos toda la ecuación por
2
Sustituiremos y = 16 en la ecuación
1 para encontrar el valor de y
Primera ecuación: El número de billetes de 10 más el número
de billetes 50 son en total 50 billetes: 𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟎
Segunda ecuación: número de billetes de 10 más número de
billetes de 50 en total 440 córdobas: 𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝒚 = 𝟒𝟒𝟎
Le sumamos 18 a ambos
miembros porque será dentro de
18 años
101
10𝑥 + 50𝑦 = 440 ÷ (– 10)
– 1𝑥– 5𝑦 =– 44
𝑥 + 𝑦 = 20
−1𝑥– 5𝑦 =– 44
(– 4𝑦 = – 24)
4𝑦 = 24
𝑦 =24
4
𝑦 = 6 Es el número de billetes de 50 córdobas
𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥 + 6 = 20
𝑥 = 20 – 6
𝑥 = 14 Es el número de billetes de 10 córdobas
Jorge tiene en su cartera 14 billetes de 10 córdobas y 6 billetes de 50 córdobas.
Realiza la comprobación del problema.
d) Una granja tiene gallinas y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos
cerdos y gallinas hay?
𝑥: Número de gallinas
𝑦: Número de cerdos
𝑥 + 𝑦 = 58
2𝑥 + 4𝑦 = 168
(𝑥 + 𝑦 = 58) × (−2)
(2𝑥 + 4𝑦 = 168)(1)
– 2𝑥 – 2𝑦 =– 116
2𝑥 + 4𝑦 = 168
2𝑦 = 52
𝑦 =52
2
𝑦 = 26 Es el número de cerdos
𝑥 + 𝑦 = 58
𝑥 + 26 = 58
𝑥 = 58 − 26
𝑥 = 32 Es el número de gallinas
En la granja hay 32 gallinas y 26 cerdos.
Podemos dividir todos los términos
entre −𝟏𝟎 para simplificar la ecuación
Primera ecuación: Número de gallinas
más número de cerdos es igual a 58
cabezas de animales que hay en la
granja 𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟖
Segunda ecuación: Número de patas de
gallinas más número de patas de cerdos
es igual a 168 patas: 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟔𝟖
102
Desigualdades
En el Álgebra, algunos problemas originan desigualdades en lugar de ecuaciones.
Una desigualdad es similar a una ecuación, solo que en lugar de tener un signo de
igual hay uno de los símbolos. Aquí está un ejemplo de una desigualdad:
𝟒𝒙 + 𝟕 ≤ 𝟏𝟗
x 𝟒𝒙 + 𝟕 ≤ 𝟏𝟗 Análisis
1 11 ≤ 19 Verdadero
2 15 ≤ 19 Verdadero
3 19 ≤ 19 Verdadero
4 23 ≤ 19 Falso
5 27 ≤ 19 Falso
Resolver una desigualdad que contiene una variable quiere decir determinar todos los
valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que
en una ecuación, una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones, las cuales
forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los números reales.
Desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que
otra.
Los signos de desigualdad son:
: “mayor que”
: “menor que”
: “mayor o igual que”
: “menor o igual que”
Una desigualdad es lineal si cada término es constante o es un múltiplo de la
variable.
Podemos observar que existen varios
resultados que cumplen con la desigualdad
planteada
103
Resolver las inecuaciones lineales
La solución se interpreta de la siguiente manera: “Todos los números menores que
-7/6”
b) 3x 6 4x - 2
3x -4x -2 -6
-x -8 1
x 8
𝑺 = (−, 𝟖)
a) 14x -5 8x -12
14x -8x -12 5
6x -7
7 x -
6
7 Notación de Intervalo: S - , -
6
Notación de desigualdad
Representación gráfica
Como el signo del resultado
de la inecuación es “menor
que”, en el gráfico usaremos
un paréntesis.
Utilizamos esta propiedad de multiplicar por menos
uno toda la expresión cuando el coeficiente de la x
nos resulte con signo negativo. Luego el sentido
que tenía la inecuación cambiará al contrario.
Como el signo del resultado
de la inecuación es “menor
que”, en el gráfico usaremos
un paréntesis.
“Todos los números menores que 8”
c) 5x -10 10x -20
5x - 10x -20 10
-5x -10 1
5x 10
10 x
5
x 2
Como el signo del resultado de la
inecuación es “mayor o igual
que”, en el gráfico usaremos un
corchete.
𝑺 = (𝟐, +]
“Todos los números mayores o iguales que 2”
104
d) 2x - 10 5x - 3
2x - 5x -3 10
-3x 7 1
3x -7
7 x -
3
3x 5 4xe) - 2 , m. c. m. : 24
8 3 3
3x 5 4x 24( ) - 24 ( ) 24(2) 24 ( )
8 3 3
3 (3x) - 8 (5) 48 8 (4x)
9x - 40 48 32x
9x - 32x
48 40
- 23x 88 1
23x -88
88 x -
23
f) -10 5x 3 8
-10 5x 3 5x 3 8
5x 3 -10 5x 8 - 3
5x -10 - 3 5x 5
5x -13
5
x 5
13 x - x 1
5
“Todos los números mayores o iguales que -
7/3” 𝑺 = [−𝟕
𝟑, + )
Es una inecuación con doble signo.
S = ( - , 23
88- ]
“Todos los números menores
o iguales que -88/23”
S = ( 5
13- , 1] “Todos los
números mayores que -13/5
y menores o iguales que 1”
105
g) -8 6x - 12 12
- 8 6x - 12 6x - 12 12
6x - 12 - 8 6x 12 12
6x 8 12 6x
24
24 6x 4 x
6
6x 4 x 4
4 x
6
2 x
3
2 5xh) 8 2
3 2
2 5x 6 6 6 8 6 2
3 2
2 2 3 5x 48 12
4 15x 48 12
4 15x 48 15x 48 12
15x 48 4
15x 12 -48
15x 4 - 48 15x - 36
36 15x -44 x -
15
44 x - x
15
12
-5
S = (- , 3
2) [ 4, + )
“Todos los números menores que
2/3, pero mayores o iguales que
4”.
S = [ 15
44 - ,
5
12- ]
“Todos los números comprendidos
entre -44/15 y -12/5”.
106
1 x 2i) - 3
2 4
1 x 24 (- ) 4( ) 4 (3)
2 4
2 (-1) 1 (x 2 ) 12
2 x 2 12
-2 x 2 x 2 12
x 2 -2 x 12
- 2
x -2 - 2 x 10
x -4
C Ejercitación
Primera parte
1. Resuelve ejercicios con potencias
a) 𝑚5𝑛6𝑝5 2
b) 12𝑥4𝑦6
18𝑥5𝑦3 −2
c) 8𝑚−3𝑛−2
16𝑚3𝑛3 −3
d) 2𝑚 𝑚4 𝑚−5
e) 𝑥3𝑦4 3 𝑥5𝑦3 −2
f) 125𝑚 63
g) 𝑚3𝑚−4𝑚4𝑚−3
2. Resuelva las operaciones con polinomios
a) Sume los siguientes polinomios: 6𝑥4 − 4𝑥3+3𝑥2 y 5𝑥4 − 2𝑥3−7𝑥2
b) A la suma de 𝑚𝑥 − 5𝑚𝑦 + 6𝑚𝑧; 𝑚𝑦 − 𝑚𝑥 + 7𝑚𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 9𝑚𝑥 + 5𝑚𝑦 − 10𝑚𝑧
c) 2 2 2Sumar: 3x 5x 6 ; x 8x 9 ; 3x 4-3x .
d) 2 2 23y 6 +8 ; 9y 8y 9 ; 3y 4y +12y
e) 3 2 3 2De x 5x 7x e 2x 6x 3x 1r star
f) 3 2 3 2De 8 2 - 5 14 e -13 - 10 8 4x x x r star x x x
g) 𝑚3 + 5𝑚 + 4 (2𝑚 + 5)
S = (- , -4) (10, + )
107
h) 𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑚 (2𝑥 − 2)
i) 4𝑚2 − 7𝑚 − 3 4𝑚 − 6
h) 5𝑥 + 2 10𝑥 + 4
j) 4 𝑥 + 1 + 3 4 𝑥 + 1 − 3
k) 3𝑥2 − 2𝑥 + 10 + 5𝑥2 − 12𝑥 − 15 =
l) 4𝑚2 − 3𝑚3 + 15 − 8𝑚2 − 2𝑚3 + 4𝑚2 − 12 =
m) 6𝑥 − 8𝑦 + 10𝑧 − 2𝑥 + 15𝑦 − 13𝑧 =
n) El residuo al dividir un polinomio por es . Sabiendo que el
cociente es encuentre el polinomio dividendo.
o) Encuentre el cociente y el residuo al dividir:
entre
entre
entre
p) Aplique la división sintética o regla de Ruffini para encontrar el cociente y el
residuo al dividir:
q) entre
r) entre
s) entre
t) 8m3 + 4m2 – 6m – 2 entre m – 1
u) 2m3 + 9m2 +5m – 15 entre m + 3
v) 12x5 – 6x4 + 4x3 – 10x2 + 12x – 2 entre 2x – 1
3. Factorice los polinomios.
a) 9x + 6y - 12z
b) 9xy2 + 6y4 – 12 y3z
c) 2𝑝3 − 𝑝2 + 2𝑝 − 1
d) 𝑥𝑦 + 5𝑥 − 6𝑦 − 30
e) 𝑥3 − 27𝑦3
f) 𝑚2
4+ 3
𝑚
𝑛2 +9
𝑛4
108
g) 𝑘2 −1
9
h) 5𝑣2 + 6𝑣 + 1
3. Descomponer en factores los polinomios
a) 2
5𝑥5 −
6
5𝑥4 +
14
15𝑥2 =
b) 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 3𝑦 + 6 =
c)
25𝑥2 − 1 =
d)
36𝑥6 − 49 =
e) 𝑥2 − 2𝑥 + 1 =
f)
𝑥2 − 6𝑥 + 9 =
g) 𝑥2 − 20𝑥 + 100 =
h) 𝑥2 + 10𝑥 + 25 =
i)
𝑥2 + 14𝑥 + 49 =
j)
𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥 =
k)
3𝑥7 − 27𝑥 =
l)
𝑥2 − 11𝑥 + 30 =
m) 3𝑥2 + 10𝑥 + 3 =
n)
2𝑥2 − 𝑥 − 1 =
o)
9𝑥4 − 4𝑥2 =
p)
𝑥 5
+ 20𝑥3 + 100𝑥 =
q) 𝑥5 − 18𝑥3 + 27𝑥 =
r)
2𝑥3 − 50𝑥 =
s)
2𝑥5 − 32𝑥 =
t) 2𝑥2 + 𝑥 − 28 =
109
Segunda parte
4. Resolver los siguientes Productos Notables
a) (x + 5)2
b) (7a + b)2
c) (4ab2 + 6xy3)2
d) (x4 + y2)2
e) (8 - a)2
f) (3x4 -5y2)2
g) (x5 - 4x3)2
h) (5a+10b)(5a - 10b)
i) (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)
j) (x + 4)3
k) (5x + 2y)3
l) (2x2y + 4m)3
m) (1 - 4y)3
n) (3a3 - 7xy4)3
o) (2x4 - 8y4)3
p) (y - 12)(y - 7)
q) (x + 5)(x + 3)
r) (a + 9)(a - 6)
s) (4x3 + 15)(4x3 + 5)
t) (5y2 + 4)(5y3 - 14)
5. Resuelva las ecuaciones lineales.
𝑎) 5𝑥 − 3 = 2𝑥 + 4 𝑏) 6𝑥 − 3 = 4𝑥 −
𝑐) 3𝑥 − 2
4=
3
2
𝑑) 3𝑥 + 4
2=
𝑥 + 5
4
𝑒) 3
5𝑥 − 6 =
2
3𝑥 +
3
5
𝑓) 1
2𝑥 − 8 =
3
4𝑥 −
1
6
𝑔) 6𝑥 + 3 = 2𝑥 − 7
6. Resuelva las ecuaciones cuadráticas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
110
h)
i)
j)
7. Resuelva los problemas siguientes con ecuaciones lineales.
a) La suma de las edades de José y Roberto es de 18 años, y Roberto es 4 años
menor que José. Hallar las edades.
b) La suma de tres números enteros consecutivos es 24. Hallar los números.
c) Las edades de Carlos y Juan suman 28 años, y Carlos tiene el triplo de la edad
de Juan. Hallar ambas edades.
d) La edad de Pedro es el triplo de la de Juan y ambas edades suman 40 años.
Hallar ambas edades.
e) Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendría 100 años ¿Qué edad tengo?
f) El duplo de un número equivale a un tercio del número aumentado en 25.
Hallar el número.
g) Se compran una taza, un vaso y una cuchara en C$ 24, el vaso cuesta el triplo
de lo que cuesta la cuchara, y la taza cuesta tanto como los otros dos juntos.
¿Cuál es el precio de cada objeto?
h) Si x es un número entero, los números 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2 se llaman enteros
consecutivos. Encuentre tres enteros consecutivos cuya suma es 21.
i) La suma de dos números consecutivos pares es 10. Hallar los números.
j) La suma de dos números consecutivos pares es 26. Hallar los números.
k) La suma de tres números enteros consecutivos es 30. ¿Cuáles son los
números?
9. Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales utilizando los métodos de
eliminación por sustitución, igualación y reducción.
a) 2𝑥 + 3𝑦 = 123𝑥 + 2𝑦 = 13
b) 5𝑥 − 𝑦 = 7
3𝑥 + 2𝑦 = 12
c) 3𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 2𝑦 = 11
d) 2𝑥 + 3𝑦 = 35𝑥 − 6𝑦 = 3
e) 3𝑥 + 𝑦 = 17𝑥 − 𝑦 = 3
f) 4𝑥 − 3𝑦 = −23𝑥 − 2𝑦 = −1
10. Resuelva las inecuaciones siguientes (desigualdades)
a) 6𝑥 − 3 < 4𝑥 + 6
b) 8𝑥 − 18 > 9
c) 2𝑥 + 6 > 3𝑥 − 2
d) 4𝑥 − 7 ≤ 𝑥 − 8
e) 6𝑥 + 10 ≥ 5𝑥 − 10
f) 3
4𝑥 + 12 ≤ 2𝑥 − 8
111
g) 3𝑥+2
4<
1
2
h) 4
3𝑥 ≤ 2𝑥 − 10 < 12
i) −2𝑥 <4𝑥−6
10≤ 10
j) −3 ≥4𝑥−3
10≥
1
6
k) −12 ≤ 4𝑥 − 20 ≤ 10
11. Resuelva los problemas con sistemas de ecuaciones lineales.
a) En una granja, se tienen cien animales entre cerdos y gallinas. Si en total suman
240 patas ¿cuántos animales tengo de cada clase?
b) Paola tiene 27 años más que su hija Andrea. Dentro de 8 años, la edad de Paola
doblará a la de Andrea. ¿Cuántos años tiene cada una?
c) La diferencia de dos números es 14, y la cuarta parte de su suma es 13. Hallar los
números.
d) El precio del boleto para un concierto es de 225 córdobas para público en general,
y 150 córdobas para estudiantes. La taquilla recaudó C$77 775 por la venta de 450
boletos. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
e) En un barco viajan 480 pasajeros entre hombres y mujeres. El número de hombres
es el triple que el de mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay?
f) Alberto tiene triple de edad que Lucía. Si Alberto tuviese 30 años menos y Lucía 8
años más, los dos tendrían la misma edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?
g) Halla las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga
que ancha y que el perímetro es 400 m.
h) Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87
camas ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
i) En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las
patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
j) En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos
luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una
araña 8 patas).
112
k) Si una señora en el mercado compra dos libras de frijoles y tres de azúcar paga 105
córdobas. Si compra tres libras de frijoles y dos de azúcar paga 120 córdobas. ¿Cuál
es el precio de una libra de frijoles y una libra de azúcar?
l) Si compro cuatro docenas de naranjas y una arroba de maíz pago 230 córdobas. Si
compro una docena de naranjas y dos arrobas de maíz pago 320 córdobas. ¿Cuál
es el precio de una docena de naranjas y de una arroba de maíz?
113
Objetivos conceptuales
Explicar el concepto de función a través de las distintas formas de
representación
Identificar dominio y recorrido de las funciones constantes, lineales y valor
absoluto.
Comprender los diferentes tipos de comportamiento de las funciones
cuadrática, exponencial y logarítmica.
Identificar el dominio y el recorrido de las funciones cuadrática, exponencial
y logarítmica.
Explicar el concepto de función con dominio natural.
Describir las sucesiones aritméticas y geométricas
Objetivos procedimentales
Identificar el dominio y el recorrido de los tipos de funciones de acuerdo a su
expresión analítica y/o gráfica.
Representación de funciones según sus características de acuerdo a su
expresión analítica y/o gráfica.
Determinar términos y suma de términos en sucesiones aritméticas y
geométricas.
Objetivos actitudinales
Valorar la importancia de la teoría de funciones en situaciones de su
entorno.
Compromiso en el trabajo grupal.
Participar de manera propositiva en la resolución de problemas.
Mostrar respeto por el pensamiento ajeno y seguridad en la defensa del
propio con la flexibilidad para modificarlo.
III. Funciones
114
Contenidos a desarrollar
Contenidos Cognitivos Contenidos Procedimentales
Contenidos Actitudinales
Reseña histórica e importancia de las funciones. Concepto, definición, propiedades y formas de representar las funciones: constante, lineal y valor absoluto.
Identificación de dominio y recorrido de las distintas funciones. Representación de funciones, según sus características: constante, lineal y valor absoluto.
Valoración de la importancia de las funciones en la vida cotidiana.
Representación de funciones de acuerdo a su expresión analítica y /o gráfica.
Realización de lectura de gráficas de las funciones lineales y valor absoluto
Mostrar precisión y exactitud en la representación gráfica de modelos lineales y valor absoluto.
Función cuadrática. Funciones exponencial y logarítmica.
Representación de funciones, según sus características: cuadrática, exponencial y logarítmica. Realización de lecturas de gráficas de los distintos modelos funcionales.
Mostrar precisión y exactitud en la representación gráfica de modelos cuadráticos, exponenciales y logarítmicos.
Funciones con dominio natural: Sucesiones Aritméticas y Geométricas
Determinación de términos, suma finitas de términos de sucesiones. Aplicación de las sucesiones aritméticas y geométricas en la resolución de problemas.
Valoración de la importancia de las sucesiones en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
A Vivencias
Para iniciar el componente conceptual, conviene reflexionar sobre mi propio
Concepto acerca de estos temas, a través del desarrollo histórico de las funciones
Trabajo en equipo
a) Nos Organizamos en subgrupos de trabajo de tres personas, elegimos los
compañeros que asumirán los roles de líder, controlador de tiempo, comunicador
y relator.
b) Solicitamos al comunicador realice lectura del siguiente aspecto histórico de las
funciones
El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más
importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue
fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos
durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa. (Perero, 1994)
115
Desde los tiempos de Galileo, que fue uno de los primeros en usarlo (aunque no en la
forma que nosotros lo conocemos actualmente), pasando por el gran Newton y
Leibniz, que fue el primero que en 1673 usó la palabra "función" para referirse a la
relación de dependencia de dos variables o cantidades, Euler, que le dio su
formulación moderna y = f(x), Cauchy, Dirichlet o Gau ss, las mejores mentes de la
Historia de la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos.
El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de
fenómenos que acontecen anuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos
sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos económicos,
como la inflación o la evolución de los valores bursátiles, con todo tipo de fenómenos
físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad
y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda
de una partícula a escala cuántica, la desintegración de sustancias radiactivas o la
reproducción de especies vegetales y animales. Casi todo es susceptible de
ser tratado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones que
gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.
Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones
que intervienen encada proceso en concreto. Esta es la tarea de los científicos:
descubrir la dinámica rectora de cada fenómeno y expresarla en términos de una
función.
El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los
fenómenos sujetos a cambios. Las referencias más antiguas al concepto de función
se encuentran en algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el
estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento, siendo uno de los
primeros en realizarlo Nicolás de Oresme (1323-1392) el cuál representó en
unos ejes coordenados gráficos relacionados con el cambio de la velocidad respecto
al tiempo.
Tres siglos más tarde, Galileo, en 1630, estudió el movimiento desde un punto de
vista cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo a partir de ello,
leyes y relaciones entre magnitudes.
A partir de Galileo, el concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos
del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de función como relación entre
dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos.
116
Trabajo individual
c) Con base a la lectura del texto respondo las siguientes preguntas.
a. ¿Qué crees que son las funciones?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
b. ¿A qué se refiere la palabra funcion?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_________________________________________________________
c. ¿A qué fenómenos de nuestro medio se puede aplicar las propiedades de las
funciomnes?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
En plenaria d) Socializamos las respuestas con los compañeros y el profesor identificando las
ideas principales de la lectura.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
___________________________________________________________
B Fundamentacion Cientifica
Trabajo en equipo
Solicitamos al relator realice una lectura del siguiente texto.Para mejorar la
comprension podemos ir escribiendo las ideas que sinteticen su contenido y luego
117
registramos por escrito aquellos conceptos que consideramos deban ser ampliados
por nuestro profesor.
La teoría de conjuntos ayuda al establecimiento de los conceptos matemáticos
necesarios; el álgebra y los sistemas de coordenadas, herramientas basicas para
abordar el estudio de Relaciones y Funciones (Mendoza, 2005).
Para profundizar en el estudio de las funciones, primero abordaremos conceptos
básicos.
1.Par ordenado.
Al objeto matemático, denotado por (a,b), en el cual se asigna un orden, donde “a” es
el primer elemento y “b” el segundo elemento, se llama par ordenado.
2. Producto Cartesiano.
Sean A y B dos conjuntos no vacios, llamamos Producto Cartesiano de A y B,
denotado por A x B, al conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tales que
𝑎 ∈ 𝐴 𝑦 𝑏 ∈ 𝐵.
𝐴𝑥𝐵 = (𝑎, 𝑏)/ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵
Ejemplos. Si 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝐵 = 1,2,3
i) 𝐴𝑥𝐵 = 𝑎, 1 , 𝑎, 2 , 𝑎, 3 , 𝑏, 1 , 𝑏, 2 , 𝑏, 3 , 𝑐, 1 𝑐, 2 , 𝑐, 3
ii) 𝐵𝑥𝐵 = 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3
iii) 𝐵𝑥𝐴 = 1, 𝑎 , 1, 𝑏 , 1, 𝑐 , 2, 𝑎 , 2, 𝑏 , 2, 𝑐 , 3, 𝑎 , 3, 𝑏 , 3, 𝑐
Observemos que en general A x B ≠ B x A, el producto cartesiano no es
conmutativo.
Muchas cantidades dependen de otras por ejemplo:
1.- Los costos totales de producción, c, dependen de la cantidad de artículos a
producir, q.
2.-El nivel de contaminación en una determinada región puede depender del número
de vehículos circulando en la vía.
3.-El área de un círculo depende del radio.
4.- La presión depende de la temperatura.
Para describir como una cantidad depende o es determinada por otra se usa el
concepto de función.
Una función tiene tres partes: Dos conjuntos A y B, no vacíos, y una regla que
relaciona dichos conjuntos.
118
Una aplicación es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser
numéricos o no. Usaremos la flecha → para indicar el sentido de la aplicación, es
decir, cuál es el conjunto origen y cuál el destino. Lo denotaremos: S: A → B
A B
En este ejemplo, la aplicación relaciona los elementos de A (números) con los de B
(letras). Las flechas indican los elementos emparejados entre sí:
1→ 𝑏 2 → 𝑐 3 → 𝑑 4 → 𝑎
También se puede expresar la aplicación como conjunto de pares: s = {(1, b) (2, c) (3,
d) (4, b)} con el criterio de que el primer valor de cada par pertenece al conjunto origen
y el segundo valor del par pertenece al conjunto destino
Una aplicación debe entenderse como cualquier ley que asocie elementos de
un conjunto con elementos de otro conjunto, sin más condiciones. Este concepto
debe refinarse hasta llegar al de función matemática.
La idea que subyace en el núcleo central del concepto de función, es la de relación de
dependencia entre magnitudes o variables. Al estudiar un fenómeno cualquiera, se
suele observar que las magnitudes o cantidades que intervienen presentan una
relación entre ellas, de forma que una de las magnitudes depende de la otra. La
expresión analítica de esa relación de dependencia es la función. (Dennis G. Zill, 2000)
f : X → Y
y = f(x) (Se lee y es igual a f de x)
Una función matemática es una aplicación entre dos conjuntos numéricos deforma
que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del
segundo conjunto.
a
b
c
d
1
2
3
4
5
119
Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Imagen.
Se debe cumplir:
a) todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y
b) a cada elemento X le corresponde un único elemento Y
A la variable x se le llama variable independiente, mientras que a la variable y se le
denomina variable dependiente.
1. La siguiente aplicación NO es función: XY
X Y
La razon por lo que no es funcion es que hay un elemento del dominio, el 6,que tiene
2 imágenes distintas: al elemento 6 le correspondería 1 y 10 , NO es función.
2. La siguiente aplicación Si es función
X Y
Esta aplicación SI es una función ya que a cada elemento del dominio X le
corresponde un único elemento d en la imagen Y.
Podemos comparar una función f(x) con una máquina ala cuál se le introduce un valor
x y después de una serie de cálculos, ésta devuelve el valor de f(x) que es y.
18
10
-8
6
-4
6
10
14
5
1
-4
10
11
2
3
6
-3
5
120
Por ejemplo el 8 se introduce a la maquina , la funcion procesa , con x = 8 , eleva al
cuadrado 82 = 64 y sale 𝑓 𝑥 = 64 , 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = 64
Tipos de Funciones
1. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 − 𝟐
Funciones
Algebraicas
Polinomicas
Constante
Identica
Afín
Cuadrádratica
Racionales
Radicales
Atrozos
Trascendentes
Exponenciales
Logarítmicas
Trigonométricas
121
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso
efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0, para este caso se deberá despejar la variable
dependiente para encontrar sus imágenes. 𝑦 = 5𝑥 − 2, o 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 2
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real 𝑓 𝑥 = 𝑘. La gráfica es una recta horizontal
paralela a al eje de abscisas. El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Por ejemplo. La gráfica de la función constante 𝒇 𝒙 = 𝟑 𝒆𝒔:
Gráfico 1
Función lineal
La función lineal es del tipo y = mx. Su gráfica es una línea recta que pasa por el
origen de coordenadas. Si asignamos valores a x como variable independiente, como
en la tabla que está a continuación, tendremos. Su representación gráfica es:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.5
3.0
3.5
4.0
x
y
𝒇 𝒙
= 𝟑
122
Gráfico 2
m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto
al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del
eje OX es agudo. Gráfico 3 (Vitutor matemática, 2015)
Fig.3 Fig.4
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva
del eje OX es obtuso. Gráfico 4
Función identidad
𝑓 𝑥 = 𝑥
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
y = 2x x Y = 2x
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
123
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Gráfico 5
En este caso iguales valores para x, y
para y, x = y
Funciones Afín
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒏
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Son
funciones de este tipo las siguientes: Función afín
La función afín es del tipo: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏, m es la pendiente de la recta. La pendiente
es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. n es la ordenada en el
origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Comentarios sobre terminología (Elon Lages Lima, 2000)
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Ejemplo 1,
El nombre más apropiado, que se debe usar, tasa de variación (tasa de
crecimiento).En resumen: se tiene tasa de variación de una función y coeficiente
angular de una recta.
x f(x)=x
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
124
Gráfico 6
Por ejemplo 2 si tenemos la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3. Para graficar tenemos dos
formas de realizarlo, una es elaborando una tabla de valores y la otra encontrando los
intercepto, bastara dos puntos. Si 𝑥 = 0, 𝑦 = 3, 𝑎𝑜𝑟𝑎 𝑦 = 0, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑥 =
−3
2.Los puntos de intersección con los ejes son: Para el eje x el punto (−
3
2, 0), para él
y el punto (0, 3), según gráfica 7
En dependencia del signo coeficiente de la variable x, que es la pendiente de la recta
así será la forma de cómo se desplaza en el plano cartesiano.
Ejemplo 3. Para la función 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏, Cuando x =0, y toma el valor de -1,
obteniendo el punto de coordenada (0, −1), si hacemos 𝑦 = 0, x = 1, obtenemos el
punto (1, 0).
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3
x -2 -1 0 1 2
y -1 1 3 5 7
125
Gráfico 8
También se puede hacer una tabla de valores y dar ciertos valores procurando dar
valores, negativos, cero y positivos.
Ejemplo 4. Dada la función 𝑦 = −3
4𝑥 − 1, Si x = 0, y = -1. Punto (0, -1), si y = 0, x =
𝑥 = −4
3 . Punto (−
4
,3, 0), son los interceptó con los ejes. (Figura 9)
Fig.9
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏,
𝒚 = −𝟑
𝟒𝒙 − 𝟏
x y
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
126
Ejercicios Propuestos 1. Representa los puntos siguientes: A (0, 2); B (4, 7); C (4, 1); D (1, 0); E (0, 1); F (6,1); G (6,0). Une mediante segmentos AB, BC, CA, DE, EF, FG, GD
Y x
2. Planes recreativos
El grafico de una línea ilustra algunas veces un patrón de datos conocidos como una
función. La relación matemática entre estos valores de las escalas horizontal (x) y
vertical (y) es la misma para todos los puntos del gráfico.
Observe el grafico de ésta línea. En él se muestran los costos de dos planes
diferentes para el pago del uso de las instalaciones del centro recreativo de la ciudad
de Matagalpa.
127
Costos Planes Recreativos
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 x
Utilicemos la línea del grafico para contestar las siguientes preguntas.
1. Cuánto mide el eje vertical ?______________________________________
2. Cuánto mide el eje horizontal ?______________________________________
3. cuál de los pagos es más caro al inicio_____________________________
4. Cuanto debería costar los boletos de 5 visitas en el plan individual________
5. Cuanto es el costo del boleto individual_________ _____________________
6. Si usted visita el centro recreativo 9 veces, ¿Cuál de los planes le sería
favorable?____________________________________ (Plan familiar o plan
individual)
Número de visitas
ero de visitas
9
Plan Paseo
Familiar
Plan Paseo
Individual
C
O
S
T
O
S
128
7. Escriba las funciones que representan cada plan. Sea x = el número de visitas y la
letra y = el costo total.
a) Función plan individual_____________________________________________
b) Función plan familiar____________________________________________
8. Si usted fue 11 veces en el trascurso del semestre. Use las ecuaciones para
encontrar el costo total en cada plan.
a) Plan individual _____________________________ Cordobas.
b) Plan Familiar____________________ Córdobas aproximado
9. Imagínese que usted está vendiendo los planes a un cliente. Explique cuando es
más favorable comprar boletos individuales y cuando es mejor el plan familiar.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. El coeficiente a del término cuadrático indica hacia donde se abre la parábola, si a es positivo se abre hacia arriba y si es negativo se abre hacia abajo. Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
i) Vértice. 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎 , 𝑦𝑣 = 𝑓
−𝑏
2𝑎 , la coordenada del vértice será:𝑣 =
−𝑏
2𝑎, 𝑓
−𝑏
2𝑎
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría
𝑥 = −𝑏
2𝑎
ii) Puntos de corte con el eje OX
Cuando se resuelve la ecuación cuadrática, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 utilizando la fórmula
cuadrática pueden suceder tres situaciones:
a) Si el discriminante o la cantidad subradical 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0. Tiene dos puntos de
corte: 𝑥1, 0 𝑦 𝑥2, 0 .
129
b) Si el discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0.Tiene un punto de corte 𝑥1, 0 .
c) Si el discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0. No tiene punto de corte.
iii) Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
𝑓 0 = 𝑎. 02 + 𝑏. 0 + 𝑐, la coordenada de corte es (0, 𝑐)
Ejemplo 1.Representar la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3.determine el dominio y la
imagen
Vértice 𝑥𝑣 =−(−4)
2= 2, sustituyendo en la función, 𝑦𝑣 = 22 − 4 2 + 3 = −1,
𝑣 2, −1 .
Puntos de corte con el eje OX
Como la expresión es 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3. Y tiene la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se puede
observar que 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟒, 𝒚 𝒄 = 𝟑.
Utilizando la formula cuadrática 𝒙 =−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂,
=−(−𝟒)± (−𝟒)𝟐−𝟒(𝟏)(𝟑)
𝟐(𝟏)=
𝟒± 𝟏𝟔− 𝟏𝟐
𝟐 =
𝟒± 𝟒
𝟐 =
𝟒±𝟐
𝟐 . Calculando para signo más
𝒙𝟏 =𝟒+𝟐
𝟐=3, Ahora para menos 𝒙𝟐 =
𝟒−𝟐
𝟐=1.Los cortes con x son: (3,0) y
(1,0)
Punto de corte con el eje OY
Hacemos cero a x, en la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 , 𝑓 0 = 02 − 4 0 + 3 = 3.El
punto de corte es: (0,3).El dominio es 𝑥 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ , la imagen es 𝑦
𝑦 , 𝑦 ≥ −1 .
Fig.10
130
Fig.10
Ejemplo 2. Ahora observemos el comportamiento de la función
.Como el coeficiente a es negativo a = -2, se abre hacia
abajo. El vértice (h, k) es 𝑥𝑣 =−10
2(−2)=
5
2 , sustituyendo en la función, 𝑦𝑣 =
−2 5
2
2
+ 10 5
2 + 2 =
29
2, 𝑣
5
2,
29
2 𝑜 2.5, 14.5
Punto de corte con el eje OY
Evaluamos la función para x = 0, en la función𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 10𝑥 + 2 ,
𝑓 0 = −2(0)2 + 10 0 + 2 .El punto de corte es: (0,2)
Puntos de corte con el eje OX
Utilizando la formula cuadrática 𝒙 =−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂, para la función 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙𝟐 +
𝟏𝟎𝒙 + 𝟐, con 𝒂 = −𝟐, 𝒃 = 𝟏𝟎, 𝒚 𝒄 = 𝟐.Se asume que 𝒇 𝒙 = 𝟎
=−(𝟏𝟎)± (𝟏𝟎)𝟐−𝟒(−𝟐)(𝟐)
𝟐(−𝟐)=
−𝟏𝟎± 𝟏𝟎𝟎+ 𝟏𝟔
−𝟒 =
−𝟏𝟎± 𝟏𝟏𝟔
−𝟒 =
−𝟏𝟎±𝟏𝟎.𝟕𝟕
−𝟒 .La raíz es
aproximada. Calculando para signo más, 𝒙𝟏 =−𝟏𝟎+𝟏𝟎.𝟕𝟕
−𝟒=, -0.2. Ahora para
menos 𝒙𝟐 =−𝟏𝟎−𝟏𝟎.𝟕𝟕
−𝟒= 𝟓. 𝟐. Los cortes con x son: −𝟎. 𝟐, 𝟎 𝒚 𝟓. 𝟐, 𝟎 .El
dominio es 𝒙 𝒙 , 𝒙 ∈ ℝ , y la imagen
𝒚
𝒚 , 𝒚 ≤𝟐𝟗
𝟐 .
Figura 11
-4 -2 0 2 4 6 8 10
10
20
30
40
50
60
x
y
fx 2x2 10x 2
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
131
Ejemplo 3. Representemos la función 𝑓 𝑥 = 4𝑥2, en este caso no aparecen los
términos lineal y el independiente, es una función cuadrática y asumimos que b = 0 y
c = 0.El vértice es 0,0 es el origen, pero también podemos utilizar la fórmula
𝑥𝑣 =0
2(4)= 0 , sustituyendo en la función, 𝑦𝑣 = 4 0 2 = 0, 𝑣 0,0 .
Punto de corte con el eje OY
Evaluamos la función para x = 0, en la función𝑓 𝑥 = 4 0 2 = 0. El punto de corte es:
(0,0), coincide con el origen.
Puntos de corte con el eje OX
Utilizando la formula cuadrática 𝒙 =−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂, con 𝒂 = 𝟒, 𝒃 = 𝟎, 𝒚 𝒄 = 𝟎.Se asume
que 𝒇 𝒙 = 𝟎
=𝟎± (𝟎)𝟐−𝟒(𝟒)(𝟎)
𝟐(𝟒)=
𝟎± 𝟎
−𝟒 =
𝟎±𝟎
−𝟒 = 0, el punto (0,0) que también es el origen, solo tiene
un corte. El dominio es 𝒙 𝒙 , 𝒙 ∈ ℝ y la imagen 𝒚
𝒚 , 𝒚 ≥ 𝟎 .
Figura 12
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-40
-30
-20
-10
10
x
y
𝑓 𝑥 = −2𝑥2 +
10𝑥 + 2
132
. Ejemplo 4. Escoge la función a la que corresponde la siguiente gráfica (Figura 13)
Fig.13
a) 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 b) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 c) 𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥 + 4
Solucion: En primer lugar descartamos la opcion c por ser negativa.,ya que la
parábola se habre hacia arriba , como el intersepto con y es el punto (0,4) , según la
grafica, no podemos decidir todavia, por que es igual para ambas al hacer cero a x en
la funcion 𝑦 = 02 − 4(0) + 4 y se corresponde con el punto anterior (0,4).El vértice
tiene coordenada (2,0) según la grafica que tambien es un corte con el eje x.
𝑓 𝑥 = 4𝑥2
133
Si factorizamos la expresion haciendo cero a y, tenemos probando para b. 𝑦 = 𝑥2 −
4𝑥 + 4
𝑥 − 2 𝑥 − 2 = 0 , igualamos a cero cada factor 𝑥 − 2 = 0, 𝑥 = 2 .Las raíces son
iguales y el punto de coordenada es (2,0) que se corresponde para la función b.
Función valor absoluto
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante.
Ejemplo 1. Dada la función 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 , la igualamos a cero. 𝒙 − 𝟑 = 𝟎, 𝒙 = 𝟑
Fig.14
Función exponencial
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
x
yx y
0 3
1 2
2 1
3 0
4 1
5 2
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3
134
La función exponencial es del tipo: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace
corresponder la potencia 𝑎𝑥 se llama función exponencial de base a y exponente x.
Ejemplo 1. Dada la función exponencial 𝑓 𝑥 = 2𝑥 , representarla gráficamente y
determinar sus características.Fig.15
Construimos una tabla de valores de manera que la variable x tenga valores
negativos, cero y positivos para observar sus comportamiento en el plano cartesiano.
Propiedades La función es creciente, ya que la base (a > 0)
a) El punto de corte con el eje y es la coordenada (0,1) b) El eje x es una asíntota para la grafica c) El dominio de la función es 𝑥 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ , la imagen de la función
es 𝑦
𝑦 , 𝑦𝜖ℝ > 0
d) Es continua
Fig.15
Ejemplo 2. Dada la función exponencial 𝑓 𝑥 = 1
2
𝑥
, representarla gráficamente y
determinar sus propiedades.
Fig.16
𝑥 y
−3 1
8
−2 1
4
−1 1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
𝑥 y
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
135
Fig.16
Propiedades
a) La función es decreciente, ya que la base (a < 0)
b) El punto de corte con el eje y es la coordenada (0,1)
c) El eje x es una asíntota para la grafica
d) El dominio de la función es 𝑥 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ , la imagen de la función
es 𝑦
𝑦 , 𝑦𝜖ℝ > 0
e) Es continua
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 , con 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
𝑦, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑥 𝑑𝑎𝑑𝑜. 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑎𝑦 = 𝑥
Ejemplo 1. Dada la función logarítmica de base 2, 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 representar gráficamente y determinar sus propiedades.
−3 8
−2 4
−1 2
0 1
1 1
2
2 1
4
3 1
8
𝒇 𝒙 = 𝟏
𝟐
𝒙
136
La x no puede tomar valores negativos, ni cero porque logaritmo de un número negativo no existe, elaboremos una tabla de valores. Como la bese es 2 por conveniencia seleccionamos números que se puedan expresar como base (Figura 17)
Fig.17
Propiedades
x 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
1
8 -3
1
4 -2
1
2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔12 𝑥
1
8 -3
1
4 -2
1
2 -1
1 0
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
137
a) La función es creciente ya que la base es (a >1) b) El punto de corte con el eje x es la coordenada (1,0) c) El eje y es una asíntota para la grafica d) El dominio de la función es 𝑥 𝑥 , 𝑥 > 0 , la imagen de la
función es 𝑦
𝑦 , 𝑦𝜖ℝ
e) Es continua Ejemplo 1. Dada la función logarítmica de base 2, 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
2 𝑥 representar
gráficamente y determinar sus propiedades. (Figura 18)
Fig. 18
Propiedades
a) La función es decreciente ya que la base es (a <1) b) El punto de corte con el eje x es la coordenada (1,0) c) El eje y es una asíntota para la grafica
d) El dominio de la función es 𝑥 𝑥 , 𝑥 > 0 , la imagen de la función es 𝑦
𝑦 , 𝑦𝜖ℝ
e) Es continua
2 1
4 2
8 3
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔12 𝑥
138
Progresiones
Concepto de sucesión.
Si a cada número natural se le hace corresponder un número real; 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ………, el
conjunto 𝑆𝑛 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ……… , 𝑎𝑛 se denomina sucesión.
En el diagrama se representa el concepto de sucesión como una función.
N ℝ
Una sucesion es una funcion cuyo dominio es el conjunto de los numeros naturales
ℕ y su rango es un conjunto de los numeros reales ℝ. En general, se puede decir que una sucesion esta definida por una expresion con una variable que toma valores naturales de 1 en adelante y forma sucesiva, obteniendo los terminos de la sucesion. (Earl W. Swokowski,Jeffery A. Cole, 2009)
Ejemplo 1. El termino general de la sucesion de numeros impares es: 𝑺𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏.Asi los términos son: Para 𝒏 = 𝟏 𝑺𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏 𝑺𝟏 = 𝟐(𝟏) − 𝟏 = 1 Para 𝒏 = 𝟐 𝑺𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏 𝑺𝟏 = 𝟐(𝟐) − 𝟏 = 3 Para 𝒏 = 𝟑 𝑺𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏 𝑺𝟏 = 𝟐(𝟑) − 𝟏 = 5 Para 𝒏 = 𝟒 𝑺𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏 𝑺𝟏 = 𝟐(𝟒) − 𝟏 = 7 Se forma la sucesión de números
𝑎1
𝑎2
𝑎3
𝑎𝑛
.
.
1
2
3
.
.
n
139
Impares → 𝟏; 𝟑; 𝟓; 𝟕; … Una sucesion es finita, cuando tiene un termino que es el ultimo por ejemplo:
3;7;11;15;19;23;27 Tiene último término que es 27.
Una sucesión es infinita cuando no tiene último término, por ejemplo: 𝑺𝒏 =𝒏
𝒏+𝟐; son:
𝑺𝟏 =𝟏
𝟏 + 𝟐=
𝟏
𝟑; 𝑺𝟐 =
𝟐
𝟐 + 𝟐=
𝟐
𝟒=
𝟏
𝟐; 𝑺𝟑 =
𝟑
𝟑 + 𝟐=
𝟑
𝟓; 𝑺𝟒 =
𝟒
𝟒 + 𝟐
=𝟒
𝟔=
𝟐
𝟑; …
Los puntos suspensivos sirve para indicar que tiene infinitos términos.
Concepto de progresión
Se denomina progresion a toda sucesion, en la que siempre entre dos terminos consecutivos hay una misma relacion. Ejemplo 1. La sucesión 𝒂𝒏 = 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟏𝟎; … (𝟐𝒏 + 𝟐), es una progresión. Podemos comprobar que cada termino, después del primero, tiene una diferencia de dos unidades con el anterior o tambien si le sumamos dos a un termino se obtiene el siguiente.
Ejemplo 2. La sucesión 𝒂𝒏 = 𝟑; 𝟗; 𝟐𝟕; 𝟖𝟏;…; 𝟑𝒏, es una progresión, donde cada término despues del primero , se obtiene multiplicando el anterior por 3. Ejemplo 3. La sucesión 𝒂𝒏 = 𝟐; 𝟔; 𝟏𝟐; 𝟐𝟎; 𝟑𝟎;…;𝒏(𝒏 + 𝟏) no es progresión ya que no hay una relacion constante entre términos consecutivos. Las progersiones se clasifican en: Progresión aritmética y Progresión geométrica
Progresión aritmética
Una progresión es aritmética si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una diferencia constante tambien llamada (razón). Esta diferencia constante se llama diferencia aritmética de la progresión (razón aritmética) y la denotaremos con la letra d.
Si 𝒂𝟏; 𝒂𝟐 𝒚 𝒂𝟑 son tres términos consecutivos de una progresión aritmética de diferencia d, entonces se cumple:
140
𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 = 𝒅
Ahora si 𝒂𝟏 es el primer término de la progresión y d la diferencia que hay entre dos términos consecutivos, entoncespodemos escribir lo siguiente:
𝒂𝟏 = 𝒂𝟏 𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒅 𝒂𝟑 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒅
𝒂𝟒 = 𝒂𝟏 + 𝟑𝒅. Ahora podemos encontrar el término general o término enésimo de la progresión aritmética.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
Ejemplo 1. Se forman n triangulos con palitos, conforme a la figura.
n =1 n = 2 n = 3 ¿Cuál es el número de palitos usados para construir n triángulos? Solucion.Cuando tenemos un triángulo necesitamos tres palitos, para dos triángulos 5 palitos ya que comparten un lado, para tres triángulos 7 palitos, en general para aumentar un triángulo mas se necesitan 2 palitos, formandose la progresión aritmética siguiente.
3, 5,7,9,…,…,…, 𝒂𝒏
El primer término 𝒂𝟏 = 𝟑, la diferencia común 𝒅 = 𝟓 − 𝟑 = 𝟐,ahora sustituimos en la fórmula del enésimo término, y dejamos la expresion en funcion de n.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
𝒂𝒏 = 𝟑 + 𝒏 − 𝟏 𝟐 𝒂𝒏 = 𝟑 + 𝟐𝒏 − 𝟐
𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 + 𝟏 con esta expresion podemos calcular cualquier término de la progresión aritmética, por ejemplo si queremos saber cunatos palillos se necesitan para formar 50 triángulos, n = 50.
𝒂𝒏 =Último término
𝒂𝟏 =Primer término
𝒏 =Número de términos 𝒅 =Diferencia común
141
Evaluando la expresión tenemos:
𝒂𝒏 = 𝟐(𝟓𝟎) + 𝟏
𝒂𝒏 = 𝟏𝟎𝟏 palitos.
Ejemplo 2. Se sabe que en una progresión aritmética el término que ocupa el lugar 3 es -7 y que la diferencia es 7 . Se desea saber cuál es el noveno término de la progresión.
Solucion. Los datos del problema son: 𝒂𝟑 = −𝟕; 𝒅 = 𝟕 ; 𝒏 = 𝟑; la incógnita son: 𝒂𝟏 =? 𝒂𝟗 =?
De la fórmula del término general 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅 , tenemos
𝒂𝟑 = 𝒂𝟏 + 𝟑 − 𝟏 𝟕
−𝟕 = 𝒂𝟏 + 𝟏𝟒
𝒂𝟏 = −𝟐𝟏 Ahora podemos el noveno término, aplicando la misma fórmula del término general
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏
𝒂𝟗 = −𝟐𝟏 + 𝟗 − 𝟏 𝟕
𝒂𝟗 = −𝟐𝟏 + 𝟖 𝟕
𝒂𝟗 = −𝟐𝟏 + 𝟓𝟔
𝒂𝟗 = 𝟑𝟓
Ejemplo 3. ¿Cuántos numeros impares hay desde 15 hasta 277? Solución:De acuerdo al enunciado la progresión aritmética tiene la siguiente forma.
𝟏𝟓; ……………… . . ; 𝟐𝟕𝟓
𝑎1 𝑎𝑛
Para este tipo de problema cuando utilizamos el término desde –hasta debemos
tomar los extremos.
142
Como los términos de la progresión son números impares consecutivos la diferencia
es 2.
Utilizamos la fórmula del término general 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1
𝟐𝟕𝟓 = 𝟏𝟓 + 𝑛 − 1 2
𝟐𝟕𝟓 = 𝟏𝟓 + 2𝑛 − 2
𝟐𝟕𝟓 = 𝟏𝟑 + 2𝑛
𝟐𝟕𝟓 − 𝟏𝟑 = 2𝑛
𝟐𝟔𝟐 = 2𝑛 𝟐𝟔𝟐
𝟐= 𝑛
𝒏 = 131 números impares
Ejemplo 4. La suma de los dos primeros términos de una progresión aritmética es la
solución de la ecuación: 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝟎, siendo el quinto término 13.Hallar la
diferencia.
A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7
Solución: En primer lugar encontramos la solución de ecuación por factorización.
X 11x + 11
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓𝟓
X -5x - 5
Igualamos a cero cada factor.
a) 𝑥 + 11 = 0, 𝑥 = −11
b) 𝑥 − 5 = 0, 𝑥 = 5, aceptamos el valor positivo 5.Represenemos graficamente la
progersión aritmética.
𝑎1; 𝑎1 + 𝑑 ; 𝑎1 + 2𝑑 ; 𝑎1 + 3𝑑 , 𝑎1 + 4𝑑 ; …
El segundo término es 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑑 = 5 2 𝑎1 + 𝑑 = 5 Ec. 1
El quinto término es 𝑎1 + 4𝑑 = 13 despejando 𝑎1 = 𝟏𝟑 − 𝟒𝒅, ahora
sustituimos en la Ec. 1 2 𝟏𝟑 − 𝟒𝒅 + 𝑑 = 5
26 − 8𝑑 + 𝑑 = 5
26 − 7𝑑 = 5
−7𝑑 = 5 − 26
−7𝑑 = −21 multilpicamos por ( -1)
7𝑑 = 21
143
𝑑 =21
7
𝑑 = 3 la opción correcta es B
Interpolación de medios aritméticos
Interpolar: Significa interponer,insertar o intercalar una o más cosas entre otras dos
dadas o conocidadas.
El problema de la interpolación de medios aritméticos, se resuelve simplemente
aplicando la fórmula 𝑑 =𝑎𝑛 −𝑎1
𝑛−1 , ya conociendo la diferencia basta ir sumándola
sucesivamente al primer término, luego al segundo y asi sucesivamente.
Ejemplo 5. Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 3 y 28.
Solución: En este caso 𝑎1 = 3 ; 𝑎6 = 28; 𝑛 = 6. Utilizamos la fórmula 𝑑 =𝑎𝑛−𝑎1
𝑛−1
𝑑 =28−3
6−1 𝑑 =
25
5= 5. Ahora le sumamos al primer
término 5
3 + 5 = 8, 8 + 5 = 13, 13 + 5 = 18, 18 + 5 = 23, la progresion aritmética
es:3,8,13,18,23,28
Suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética
Para encotrar una expresión para la sumatoria de los “n” términos de una progresión
aritmética, designaremos por 𝑆𝑛 y procederemos de la siguiente manera.
1° Escribimos la suma de los “n” primeros términos de la prograsión aritmética.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 2𝑑 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑛 − 2 𝑑 + 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
2° Escribimos esta misma suma pero en orden inverso.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 + 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 + ⋯ + 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1
3° Sumamos miembro a miembro y término a término, las igualdades anteriores.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1 + 2𝑑 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑛 − 2 𝑑 + 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 + 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 + ⋯ + 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑎1 + 𝑑 + 𝑎1
2𝑆𝑛 = 2𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 + 2𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 + ⋯ + 2𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
n veces
2𝑆𝑛 = 𝑛. 2𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
144
𝑺𝒏 =𝒏
𝟐 𝟐𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
También se puede deducir una expresion equivalente a partir de 𝑆𝑛 =𝑛
2 𝑎1 + 𝑎1 +
𝑛−1𝑑.Como 𝑎𝑛=𝑎1+𝑛−1, podemos escribir
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏
𝟐 . 𝒏
Propiedades.
1. La suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a suma de los
extremos.
Ejemplo 1. Sea la prograsión aritmética
4; 7; 11; 14; 17; 20; 23
equidistantes
extremos
En una progresión aritmética de un número impar de términos, el término central es
igual a la semisuma de los extremos.
Ejemplo 2. Sea la prograsión aritmética:
3; 9; 15; 21; 27; 33; 39
Equidistantes
extremos
Aplicando la fórmula 𝑎𝐶 =𝑎1+𝑎𝑛
2, verifiquemos que se cumple esta propiedad 𝑎𝐶 =
3+39
2=
42
2= 21
Ejemplo 3. ¿Cuál es el valor de suma de los 20 primeros términos de la progresión
aritmética 2,6,10,…?
Solucion: El primer término 𝒂𝟏 = 𝟐, 𝒅 = 𝟒, y 𝒏 = 𝟐𝟎.Podemos utilizar la expresión
𝑺𝒏 =𝒏
𝟐 𝟐𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
𝑺𝟐𝟎 =𝟐𝟎
𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟎 − 𝟏 𝟒
𝑆𝑛 = Suma de los “n” términos 𝑎1 =Primer término 𝑛 = Números de términos
𝑑 =Diferencia común
145
𝑺𝟐𝟎 = 𝟏𝟎 𝟒 + 𝟏𝟗 𝟒
𝑺𝟐𝟎 = 𝟏𝟎 𝟒 + 𝟕𝟔
𝑺𝟐𝟎 = 𝟏𝟎 𝟖𝟎
𝑺𝟐𝟎 = 𝟖𝟎𝟎
Nota: Para utilizar la expresión 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏+𝒂𝒏
𝟐 . 𝒏 , primero debemos encontrar el
término 20, lo que hace un poco largo el procediemiento.
Ejemplo 4. Halla la suma de los trienta primeros términos de la prograsión aritmética:
6,9,12,15,…?
Solución: Para este ejercicio utilizaremos la expresión 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏+𝒂𝒏
𝟐 . 𝒂𝟏 = 𝟔, 𝒅 = 𝟑 y
𝒂𝟑𝟎 =?
𝑎30 = 𝑎1 + 𝑛 − 1
𝑎30 = 𝟔 + 30 − 1 3
𝑎30 = 𝟔 + 29 3
𝑎30 = 𝟔 + 87
𝑎30 = 𝟗𝟑
Ahora utilizamos la expresión 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏+𝒂𝒏
𝟐 𝒏
𝑺𝟑𝟎 = 𝟔 + 𝟗𝟑
𝟐 𝟑𝟎
𝑺𝟑𝟎 = 𝟗𝟗
𝟐 𝟑𝟎
𝑺𝟑𝟎 = 𝟏𝟒𝟗𝟓
Ejemplo 5. Hallar la suma de los números impares comprendidos entre 19 y
153.Como dice comprendidos los extremos no se incluyen.
Soución: La progresión aritmética que se forma por ser impares es: 19,21,23,.,
149,151,153.
𝑎1 = 21, 𝑎𝑛 = 151 , para cualquiera de las dos expresiones necesitamos n.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒏 − 𝟏 𝒅 , despejamos n
𝒂𝒏 − 𝒂𝟏 = 𝒏 − 𝟏 𝒅
𝒂𝒏 − 𝒂𝟏
𝒅= 𝒏 − 𝟏
𝒂𝒏 − 𝒂𝟏
𝒅+ 𝟏 = 𝒏
146
𝒏 =𝟏𝟓𝟏 − 𝟐𝟏
𝟐+ 𝟏
𝒏 =𝟏𝟑𝟎
𝟐+ 𝟏
𝒏 = 𝟔𝟔 La suma de los 66 números impares comprendidos entre 19 y 153 es.
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏
𝟐 𝒏
𝑺𝟔𝟔 = 𝟐𝟏 + 𝟏𝟓𝟏
𝟐 𝟔𝟔
𝑺𝟔𝟔 = 𝟏𝟕𝟐
𝟐 𝟔𝟔
𝑺𝟔𝟔 = 𝟓, 𝟔𝟕𝟔
Progresión Geométrica
Una progersión Geométrica si entre cada par de términos consecutivos de ella hay
una razón constante denominada factor o razón geométrica de la progresión.
Por ejemplo 1. Sea la progresión geométrica de puntos, iniciando con un punto, tres,
seis,doce , veinti cuatro y cuarenta y ocho. Si 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, son tres términos
consecutivos de una progresión geométrica de razón “r” , entonces se cumple que: 𝒂𝟑
𝒂𝟐=
𝒂𝟐
𝒂𝟏= 𝒓, para el ejemplo, tenemos
𝟔
𝟑= 𝟐
147
La expresión la podemos escribir como:
3. 6, 12, 24, 48
𝟑. 𝟐𝟎 𝟑. 𝟐𝟏 , 𝟑. 𝟐𝟐, 𝟑. 𝟐𝟑 𝟑. 𝟐𝟒
𝒂𝟏; 𝒂𝟏. 𝒓; 𝒂𝟏. 𝒓𝟐; 𝒂𝟏. 𝒓𝟑; 𝒂𝟏. 𝒓𝟒 ; … 𝒂𝟏. 𝒓𝒏−𝟏
El término general o enésimo término es 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓𝒏−𝟏
Ejemplo 2. Cada una de las siguientes sucesiones es una prograsión geométrica.
Progresiones geometricas Razón Primer término
1; 𝟑; 𝟗; 𝟖𝟏; ……… 𝒓 = 𝟑 𝒂𝟏 = 𝟏
𝟓; 𝟐𝟎; 𝟖𝟎: 𝟑𝟐𝟎;… … … 𝒓 = 𝟒 𝒂𝟏 = 𝟓
1;𝟏
𝟐;𝟏
𝟒;𝟏
𝟖;
𝟏
𝟏𝟔; ………… 𝒓 = 𝟐 𝒂𝟏 = 𝟏
Ejempo 3. Calcular el término 20 de la progresión geométrica: 2; 6; 18;54;…
Solución: Los datos son: 𝒂𝟏 = 𝟐; 𝒓 =𝒂𝟐
𝒂𝟏=
𝟔
𝟐= 𝟑; 𝒏 = 𝟐𝟎; 𝒂𝟐𝟎 =? .Podemos utilizar
la espresión
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓𝒏−𝟏
𝒂𝟐𝟎 = 𝟐. 𝟑𝟐𝟎−𝟏
𝒂𝟐𝟎 = 𝟐. 𝟑𝟏𝟗
𝒂𝟐𝟎 = 𝟐. 𝟑𝟏𝟗
𝒂𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟑𝟐𝟒, 𝟓𝟐𝟐, 𝟗𝟑𝟒
Ejempo 4. En una progresión geométrica , el término que ocupa el quinto lugar es 48
y la razón es 2.Hallar el primer término de la progresión.
𝒂𝟏:Primer término
𝑛: Número de términos
𝑟: Razón geométrica
𝒂𝒏: Término enésimo
148
Solución: Los datos son: 𝒂𝟓 = 𝟒𝟖; 𝒓 = 𝟐; 𝒏 = 𝟓; 𝒂𝟏 =?. De donde:
𝒂𝟓 = 𝒂𝟏. 𝒓𝟓−𝟏
𝟒𝟖 = 𝒂𝟏. 𝟐𝟒
𝟒𝟖 = 𝒂𝟏.16
𝟒𝟖
𝟏𝟔= 𝒂𝟏
𝒂𝟏 = 𝟑
Ejempo 5. En una progresión geométrica el término de sexto lugar es 486 y el primer
término es 2.Hallar la razón de la progresión.
Solución: Los datos son: 𝒂𝟏 = 𝟐 ; 𝒂𝟔 = 𝟒𝟖𝟔 ; 𝒏 = 𝟔; 𝒓 =?
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓𝒏−𝟏
𝒂𝟔 = 𝟐. 𝒓𝟔−𝟏
𝟒𝟖𝟔 = 𝟐. 𝒓𝟓
𝟒𝟖𝟔
𝟐= 𝒓𝟓
𝟐𝟒𝟑 = 𝒓𝟓 . Extraemos la raiz quinta 𝒓𝟓𝟓= 𝟐𝟒𝟑
𝟓 𝒓 = 𝟑
Producto de los “n” términos de una progresión geométrica
El producto de los “n” primeros términos de una progresión geométrica es igual
a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado al número de términos.
Sea la progresión geométrica 𝒂𝟏; 𝒂𝟐; 𝒂𝟑; 𝒂𝟒; …… . . ; 𝒂𝒏
Extremos
149
El producto será:
𝑷𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒂𝒏 𝒏
Ejemplo 1. Calcular el producto de los 8 primeros términos de la progresión
geométrica. 2; 6; 18;…
Solución: Primero encontramos el término 6, la razón es 𝒓 =𝒂𝟐
𝒂𝟏=
𝟔
𝟐 = 3 , 𝒏 = 𝟔, 𝒂𝟏 = 𝟐
𝒂𝟔 = 𝟐. 𝟑𝟔−𝟏
𝒂𝟔 = 𝟐. 𝟑𝟓
𝒂𝟔 = 𝟒𝟖𝟔
El producto será:
𝑷𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒂𝒏 𝒏 ⟹ 𝑷𝟔 = 𝟐. 𝟒𝟖𝟔 𝟔= 𝟗𝟕𝟐 𝟔 = 𝟗𝟕𝟐 𝟑 = 𝟗𝟏𝟖, 𝟑𝟑𝟎, 𝟎𝟒𝟖
Propiedades.
1. En toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes de
los extremos es igual al producto de los extremos.
Ejemplo 2. Sea la progresion geométrica
4; 12; 36 ; 108; 324; 972
equidistantes
equidistantes
extremos
Podemos verificar que: 𝟒 × 𝟗𝟕𝟐 = 𝟏𝟐 × 𝟑𝟐𝟒 = 𝟑𝟔 × 𝟏𝟎𝟖 = 𝟑𝟖𝟖𝟖
2. En toda prograsión geomética de un número impar de términos, el término
centra es igual a la raiz cuadrada de los extremos.
Ejemplo 3. Sea la progresion geométrica
6; 18, 54; 162 ; 486; 1 458; 4 374
Término centra
Extremos
𝑷𝒏 =Producto de los “n”
términos
𝒂𝟏 =Primer término
𝒂𝒏 =Término general
𝑛 =Número de términos
150
𝟏𝟔𝟐 = 𝟔 × 𝟒 𝟑𝟕𝟒
𝟏𝟔𝟐 = 𝟐𝟔, 𝟐𝟒𝟒
𝟏𝟔𝟐 =162 se cumple
Suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica
La sumatoria de los “n” primeros términos de una progresión geométrica que
denotaremos por 𝑺𝒏 se deduce de la siguiente menera.
1° Escribimos la suma de los “n” primeros términos de la progresión geométrica.
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟏. 𝒓 + 𝒂𝟏𝒓𝟐 + 𝒂𝟏𝒓
𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒓𝒏−𝟏 expresión I
2° Multiplicamos por “r” a cada término de esta igualdad:
𝒓. 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓 + 𝒂𝟏. 𝒓𝟐 + 𝒂𝟏𝒓𝟑 + 𝒂𝟏𝒓
𝟒 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒓𝒏 expresión II
3° Restamos miembro a miembro las igualdades I y II
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟏. 𝒓 + 𝒂𝟏𝒓𝟐 + 𝒂𝟏𝒓
𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒓𝒏−𝟏
𝒓. 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒓 + 𝒂𝟏. 𝒓𝟐 + 𝒂𝟏𝒓𝟑 + 𝒂𝟏𝒓
𝟒 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒓𝒏
____________________________________
𝑺𝒏 − 𝒓. 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 − 𝒂𝟏𝒓𝒏
𝑺𝒏(𝟏 − 𝒓) = 𝒂𝟏(𝟏 − 𝒓𝒏)
𝑺𝒏(𝟏 − 𝒓) = 𝒂𝟏(𝟏 − 𝒓𝒏)
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 (𝟏−𝒓𝒏)
𝟏−𝒓 , con 𝒓 ≠ 𝟏
Ejemplo 1. Calculemos la suma de los 6 primeros términos e la progresión
geométrica 2;8;32;128;…
Solución: Los datos necesarios son: 𝒂𝟏 = 𝟐; 𝒓 =𝟖
𝟐= 𝟒 ; 𝒏 = 𝟔
151
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 (𝟏 − 𝒓𝒏)
𝟏 − 𝒓
𝑺𝟔 = 𝟐 (𝟏 − 𝟒𝟔)
𝟏 − 𝟒
𝑺𝟔 = 𝟐 (𝟏 − 𝟒𝟎𝟗𝟔)
−𝟑
𝑺𝟔 = 𝟐 (−𝟒𝟎𝟗𝟓)
−𝟑
𝑺𝟔 =−𝟖𝟏𝟗𝟎
−𝟑
𝑺𝟔 = 𝟐 𝟕𝟑𝟎
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente.
Sea la progresión geométrica indefina decreciente, 𝒂𝟏; 𝒂𝟐; 𝒂𝟑; … ; 𝒂𝒏; … con
𝟎 < 𝑟 < 1 de esto podemos establecer el cambio 𝒓 =𝟏
𝒒, siendo 𝒒 > 1.
La expresión es:
𝑺∞ =𝒂𝟏
𝟏 − 𝒓
Ejemplo 1. Hallar el valor hacia el cual tiende la suma de infinitos términos de la
progresión geométrica
9; 3; 1; 𝟏
𝟑;
𝟏
𝟗; …
Solución:Los datos son: 𝒂𝟏 = 𝟗; 𝒓 =𝟑
𝟗=
𝟏
𝟑, 𝑺∞ =?
𝑺∞ =𝒂𝟏
𝟏 − 𝒓
La suma de los infinitos términos de una prograsión geométrica indefinida
decreciente es una fracción cuyo numerador es el primer y cuyo denomnador
es la uindad disminuida en la razón
𝑆∞ = Suma de los infinitos términos
𝑎1 = Primer término
𝑟 =Razón dela progresión
152
𝑺∞ =𝟗
𝟏 −𝟏𝟑
𝑺∞ =𝟗𝟐
𝟑
= 𝟗
𝟏÷
𝟐
𝟑=
𝟐𝟕
𝟐
Ejemplo 2. Se tiene un cuadrado de lado igual 1 cm; uniendo los puntos medios de
sus lados se forma otro cuadrado; uniendo los puntos medios de sus lados de este
seundo cuadrado se forma un tercer cuadrado y asi se sigue indefinidamente.¿
Cuánto vale la suma de las áreas de la regiones de todos estos cuadrados cuando el
número de ellos tiende al infinito?
C Ejercitación
Funciones lineales
1. Representa las siguientes funciones y diga cuál es dominio y recorrido
2. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes funciones:
𝒓 =
𝟏𝟐𝟏
=𝟏
𝟐
𝑺∞ =𝟏
𝟏 − 𝟏𝟐
=𝟏
𝟏𝟐
= 𝟐𝒄𝒎𝟐
El área del primer cuadrado 1𝒄𝒎𝟐, el segundo 𝟏
𝟐𝒄𝒎𝟐, el tercero
𝟏
𝟒𝒄𝒎𝟐 y asi indefinidamente. Obteniendo la progresión
geométrica.
𝟏;𝟏
𝟐;𝟏
𝟒; …, donde 𝒂𝟏 = 𝟏;
153
3. María pasea alejándose de su pueblo a una velocidad de 2 km/h. En este momento
se encuentra a 4 km del pueblo.
a) ¿Dónde se encontrará dentro de una hora?
b) ¿Dónde se encontraba hace una hora?
c) Representa su distancia al pueblo en función del tiempo transcurrido a partir de
ahora.
d) Halla la ecuación de la función llamando x al tiempo e y a la distancia al pueblo.
4. En una cierta compañía de teléfonos móviles, la tarifa para llamadas a países de la
U. E. es 1 € por establecimiento de llamada y 0,50 € por minuto de conversación.
a) Encuentra la ecuación de la función que relaciona el costo en euros (y) en función
de la duración de la llamada en minutos (x).
b) Representa la gráfica de la función.
5. En cada caso, escribe la función y di el significado de la pendiente:
a) El precio de x kilos de manzanas, si pagué 3,6 € por 3 kg. b) Los metros que hay
en x kilómetros.
c) El precio de un artículo que costaba x €, si se ha rebajado un 20%.
6. Pon un ejemplo de una función de proporcionalidad, halla tres puntos de ella y
comprueba que el cociente entre la ordenada y la abscisa es constante.
¿Cómo se llama esa constante?
• Una función de proporcionalidad es de la forma y = mx. Por ejemplo, y = 3x.
Funciones Cuadráticas
1. Escoge la función a la que corresponde cada una de las siguientes gráficas:
154
i) a) 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 b) 𝒚 = 𝒙𝟐 c) 𝒚 =𝟏
𝟑𝒙𝟐
ii) a) 𝑦 = 3𝑥2 − 18𝑥 + 24 b) 𝑦 = −3𝑥2 + 18𝑥 − 12 c) 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 4
155
iii) ) a) 𝑦 = 𝑥2 + 1 b) 𝑦 = −𝑥2 − 1 c) 𝑦 = −𝑥2 + 3
Funcion Valor Absoluto I. Representa las funciones en valor absoluto
a) 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟐
b) 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟒
Funcion Exonencial.
I. Representa las funciones exponenciales:
1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥
2.𝑓 𝑥 = 2
5
𝑥
3.𝑓 𝑥 = 3
2
𝑥
4.𝑓 𝑥 = 4𝑥
Funcion Logarítmica.
Representa la función logarítmica:
1.𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙
2.𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙
3.𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 + 𝟐
4. 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒙
156
Progresiones Aritméticas.
I.Diga si las siguientes progresiones son aritméticas o no:
1. La sucesión 𝒂𝒏 = 29, 27, 25, 23, 21,... es una progresión aritmética.
A) Sí y su diferencia es d = 2
B) Sí y su diferencia es d = -2
C) no
2. La sucesión 𝒂𝒏 = (1, 3, 6, 10, 15,... es una progresión aritmética
A) Sí y su diferencia es 3
B) Sí y su distancia es 2n+1
C) no
3. La sucesión 𝒂𝒏 = 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21,... es una progresión aritmética.
A) Sí pero no tiene diferencia
B) Sí y sus diferencias es 1
C) no
II. Realiza el siguiente problema:
1. Marco, Ana, José y Eva son hermanos que se l levan 3 años cada
uno con su siguiente. Sus edades suman 38 años. Sabiendo que José
tiene 11 años y que el orden en que se dan los nombres es de menor a
mayor edad ¿sabrías decir la edad de cada uno de el los?
Marco Ana
José Eva
III. Completa con lo que se pida en cada caso:
1. 𝑎𝑛= 5, 8, 11, 14,...
𝑎𝑛 =
2. 𝑏𝑛 = 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4,...
𝑏𝑛=
IV. Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas conociendo
los datos indicados de cada una:
157
1. 𝒂𝟑 = 5, 𝒂𝟏𝟎 = 61 𝑎1 = 𝑑 =
𝟐. 𝒂𝟗= 4, 𝟏𝟓 = 13 𝑎1 = 𝑑 =
3. 𝒂𝟏𝟎= 17, 𝒂𝟏𝟑 = 2 𝑎𝑛 =
𝑑 =
V. Realiza las siguientes sumas de términos consecutivos de progresiones
aritméticas.
1. Calcula la suma de los primeros siete términos de la progresión aritmética 𝑎𝑛 = −4,
1, 6, 11, 16,...
S7 =
2. Calcula la suma de los primeros 4 términos de la sucesión 𝑎𝑛 = 3n − 1
Sn =
3. ¿Cuál es la suma de los primeros 100 números naturales?
S100 =
VI. Resuelve los siguientes problemas y luego selecciona la respuesta correcta
1. Una progresión aritmética tiene 33 términos y su término central vale 8. ¿Cuánto
vale la suma de los 33 términos?
A) 263 B) 264 C) 265 D) 266 E) 267
2. Sumar los 30 múltiplos de 5 siguientes.
A) 3825 B) 3830 C) 3835 D) 3840 E) 3820
Progresiones Geométrica
I. Diga si las siguientes progresiones son geométricas o no :
1. La sucesión 𝒂𝒏 = 12, 48, 192, 768,... es una progresión
geométrica .
Sí y su razón es r = 2
Sí y su razón es r = 4
No
158
2. La sucesión 𝒂𝒏 = −1, −3, −9, −27, −81,... es una progresión
geométrica.
Sí y su término general es 𝑎𝑛 = −3n−1
Sí y su término general es 𝑎𝑛 = 3n−1
No
II. Completa con lo que se pida en cada caso:
1. 𝑎𝑛= 5, 10, 20, 40,… 𝑎𝑛 = 𝑟 =
2. 𝑎𝑛= (2, 3.4, 5.78, 9.826, ... 𝑎3 = 𝑟 =
3. 𝑎𝑛= 1, 7, 49, 343,... 𝑟 = 𝑎6 =
III. Sabiendo que los términos dados pertenecen a una progresión
geométrica, completa los datos que se piden
1. 𝑎3 = 80, 𝑎5 = 1 280 𝑎1 = 𝑟 =
2. 𝑎4 = 18, 𝑎6 = 162
𝒂𝟏=
𝑟 =
IV. Completa sabiendo que los números son términos de
progresiones geométricas:
1. 23, , 575
2. 3, , ,
v. Resuelve para cada caso
1. Calcula la suma de los cinco primeros términos de la progresión
geométrica 𝑎𝑛 = 1, 7, 49,...
159
S5 =
2. Calcula la suma de los primeros 4 términos de la sucesión
𝑎𝑛 = 3 · 2n − 1
S4 =
3. Calcula el producto de los cuatro primeros términos de la
progresión geométrica 𝑎𝑛= 5 · 3n − 1
P4 =
4. Dado que 𝑎12 = 72 y 𝑟 =1
2 en una progresión geométrica el término 𝑎8
A) 263 B) 264 C) 265 D) 266
E) 267
5. En una progresión geométrica el primer término vale 6 y el término del lugar 15 es
54, el término octavo es.
A) 18 B) 36 C) 9 D) 27 E) 6
160
Objetivos conceptuales
Explicar conceptos intuitivos y definiciones básicas de la geometría plana.
Señalar las características de las definiciones de la geometría plana.
Identificar las figuras poligonales según sus propiedades y características
Discutir propiedades y características de las figuras poligonales
Explicar la diferencia entre circunferencia y círculo
Describir la diferencia entre área y perímetro de un círculo
Explicar los conceptos de perímetro y área de polígonos y círculos.
Describir los razonamientos utilizados en la resolución de problemas
Objetivos procedimentales
Analizar las relaciones entre puntos, rectas y planos.
Determinar medidas de ángulo notables.
Aplicar definiciones básicas, y propiedades en ejercicios de medidas de
lados y ángulos de figuras geométricas.
Establecer diferencias entre los distintos tipos de polígonos
Clasificar las rectas y segmentos notables de una circunferencia
Resolver problemas relacionados con área y perímetro del círculo.
Utilizar las fórmulas de perímetros y áreas según la figura geométrica.
Objetivos actitudinales
Mostrar respeto por el pensamiento ajeno y seguridad en la defensa del
propio con la flexibilidad para modificarlo.
Interactuar los conocimientos geométricos con respeto y tolerancia.
Ser consciente de la utilidad de los polígonos en situaciones del entorno.
Criticar propositivamente brindando
Retroalimentación a las dificultades de los compañeros
IV. Geometría
161
Contenidos a desarrollar Contenidos Cognitivos Contenidos
Procedimentales Contenidos Actitudinales
Reseña histórica de la Geometría y su importancia, Conceptos intuitivos: Punto, recta, plano.
Análisis de las relaciones entre puntos, rectas y planos. Determinación de medidas de ángulo notables.
Respeto por el pensamiento ajeno y seguridad en la defensa del propio con la flexibilidad para modificarlo.
Definiciones básicas: Segmento, rayo, ángulos, tipos de ángulos.
Aplicación de las definiciones básicas, fórmulas y propiedades en ejercicios de medidas de lados y ángulos de figuras geométricas.
Interés en el orden, limpieza y claridad en los trabajos realizados. Reconocer las dificultades para la toma de decisiones en nuevos aprendizaje.
Definición de polígono, Clasificación, propiedades y características de los polígonos. Área y perímetro de polígonos.
Análisis de las propiedades y características de los polígonos. Resolución de problemas del entorno sobre área y perímetro.
Conciencia de la utilidad de los polígonos en situaciones del entorno.
Circunferencia y círculo: definición, rectas y segmentos notables. Área y perímetro.
Clasificación de los elementos de una circunferencia o círculo. Resolución de problemas.
Manifestación de sus ideas de manera clara y sin ambigüedades.
A Vivencias
Para iniciar el componente conceptual, conviene reflexionar sobre mi propio
Concepto acerca de estos temas, a través del desarrollo histórico de las funciones
Trabajo en equipo
a) Nos Organizamos en subgrupos de trabajo de tres personas, elegimos los
compañeros que asumirán los roles de líder, controlador de tiempo, comunicador
y relator.
b) Solicitamos al comunicador realice lectura del siguiente aspecto histórico de la
Geometría.
162
Bosquejo Histórico de la Geometría
Para iniciar el estudio de la Geometría, haremos una breve exposición acerca del
desarrollo de esta ciencia a través del tiempo, así como también citaremos a los
grandes matemáticos que con su aporte hicieron posible su desarrollo. (Rodriguez,
1995)
Precisar el origen de la Geometría es un asunto que ha preocupado y preocupa a los
historiadores de la ciencia, algunos se han debido remontar hasta el milenio III a. de
J.C., gracias al descubrimiento de algunos textos de la época de Hammurabi, de la
dinastía I de Babilonia, quien reino de 1 789 a 1 686 a. de J.C., lo que obliga a
rectificar la opinión general de haber sido Egipto la cuna de la Geometría; pero esta
rectificación solo es parcial porque los conocimientos geométricos de los Babilonios
no formaban un sistema, y si bien es cierto que la ciencia de la extensión(Geometría),
no adquiere categoría racional hasta Grecia, este hecho no desmerece que los
egipcios hayan descubierto con anterioridad, una serie de propiedades geométricas
que no son aisladas, como las de los babilonios, sino que formaron el cuerpo de esta
doctrina.
De lo dicho resulta que el más notable conocimiento geométrico de los babilonios es
el teorema de Pitágoras; pero no consideraban las relaciones entre los lados del
triángulo, como los griegos, sino entre la diagonal y los lados de un triángulo.
Este mismo método lo encontramos en la India anterior a las expediciones de
Alejandro Magno (356 – 323 a de J.C., o que hace pensar en una geometría hindú
anterior a la griega y posterior a la babilonia o tal vez coetánea.
El primer documento que da idea clara de los estados de las matemáticas en el
antiguo Egipto es una copia hecha en un papiro por Ahmés, o conocido también como
papiro Rhind que probablemente floreció por los años de 1 700 antes de nuestra era.
Figura 1 (http://www.neoteo.com/el-papiro-de-rhind-matematica-antigua/, 2015)
163
Fig. 1 http://www.neoteo.com/el-papiro-de-rhind-matematica-antigua/
De Egipto y quizas tambien de Babilonia, la Geometria paso a las costas del Asia
Menor y a Grecia.El estudio cientifico inicia con Thales , un de los siete sabios, que
nacio en Mileto como en el año 640 y murio en el 548 antes de la era cristiana, visito
Egipto y alli aprendio los ELEMENTOS de la geometria que alli se conoccian. Figura 2
Fig.2: Origen de la Geometría en las civilizaciones, Griega, Babilónica y Egipcia
164
El discipulo mas celebre de Thales fue Pitágoras y es recordado por demostrar “que el
cuadrado construido sobre la hipotenuza de un triángulo rectángulo es igual a la
suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
El primer gran texto de Geometria, y el mas famoso de los que se conocen, fue escrito
por Euclides, profesor de matematicas en la universidad de Alejandria, cerca de 300
años antes de la era cristiana.La obra de Euclides se llama ELEMENTOS , y según
costumbre antigua, esta dividida en partes llamadas libros.Euclides establecio un
rigurosos orden logico, a todas las proposiciones geometricas conocidas en su
tiempo.
Despues de esta epoca, los griegos no hicieron grandes progresos en la geometria
elemental, aunque Apolonio de Perga, que eneseño en Alejandria entre los años 250
y 200, escribio mucho sobre las secciones cónicas, y Herón de Alejandria, cerca del
principio de nuestra era, demostro que el área de un triángulo de lados a,b,c y
perímetro, 𝑃 2 , (semiperimetro).
Sea P el semiperimetro de un triángulo ∆𝐴𝐵𝐶 , es decir 𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐
2 . Asi
𝐴 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐
En el siglo XII se tradujo la obra de Euclides del árabe al latín.La primera edicion
latina de Euclidfes se imprimio en 1482; la primera traducción Inglesa 1570.
En un libro publicado en Praga, en 1588, Bruno presenta una colección de mándalas
curiosos cuyos títulos son: figura mentís, figura intellectus, figura amoris.
(http://www.librosmaravillosos.com/ladivinaproporcion/capitulo02.html, 2015)(Figura 3)
Fig. 3 Teorema de Pitágoras
165
Fig. 4. Figura mentis, figura intellectus figura amoris
Los tres están formados por variaciones de círculos intersecantes y, según Bruno, son
extraordinariamente fecundos no sólo para la geometría sino para todas las ciencias y
para la contemplación; esas imágenes deben imprimirse en la memoria de forma que
ésta se unifique estructuralmente y así el alma entre en contacto directo con la
realidad superior.
En la edad moderna hubo un desarrollo extraordinario de la geometria; Desargues
establece los fundamentos de la Geometria proyectiva apoyandose en los estudios
anterios hechos por Lázaro Carnot (1 753 – 1 867 ).
Gaspard Monge ( 1 746 – 1 818 ) dio gran aporte a la geometria con su llamada
Geometria Descriptiva, la cual tiene doble objetivo: Es dar métodos para representar
en una hoja de dibujo, que solo tiene dimensiones largo y ancho, todos los cuerpos de
la naturaleza que tienen tres dimensiones largo, ancho y alto. El segundo objeto es:
proporcionar el medio de reconocer la forma de los cuerpos, luego de una descripción
exacta.
Finalmente el ruso Nicolai Ivanovich Lobatschewski ( 1 793 – 1 856 ) y el húngaro
Juan Bolyai ( 1 802 – 1 860), fueron los que descubrieron la llamada Geometria No-
Euclidiana, cuya creacion se basa en la idea de la indemostrabilidad del postulado V
de Euclides y su independencia de los demas postulados.Con ideas mas generales
que sus predecesores Riemann ( 1 826 – 1 866 ) expuso sus tesis doctoral “ Sobre
los fundamentos que sirven de base de la Geometria” , lo cual entusiamo a Gauss que
formaba parte del jurado examinador.
166
Trabajo individual
3. Con base a la lectura del texto respondo las siguientes preguntas.
i) Para precisar el origen de la Geometría, algunos historiadores se han tenido que se
han tenido que remontar hasta el milenio.
A) I a. de J. C B) II a. de J.C C) III a. de J.C D) IV a. de J.C E) V a. de J.C
ii) La obra cumbre que atribuye al gran geómetra Euclides, se denomina
A) Geometría B) Sulva - sutra C) Los elementos D) Tcheu Pei
E) Geometría Euclidiana
iii) La cultura que se cree que descubrió, antes que las otras el llamado “Teorema de
Pitágoras” fue.
A) La Griega B) Los Caldeos C) La China D) Los Babilonios
E) La Hindú
iv) Según la historia, la cultura más sabia y misteriosa de antiguo oriente fue:
A) Egipcia
B) Los Caldea
C) La China
D) Los Babilonia
E) La Hindú
v) Los geómetras a los cuales se le atribuye el descubrimiento de la Geometría No –
Euclidiana fueron:
A) Riemann – Bolyai
B) Descartes - Lobatschewski
C) Lobatschewsk - Bolyai
D) Lobatschewski - Riemann
E) Monge - Riemann
vi) El discípulo más célebre de Thales, así como uno de los hombres más famosos
de la antigüedad fue:
A) Arquímedes
B) Sócrates
C) Platón
D) Euclides
E) Pitágoras
167
Conceptos Intuitivos
Antes de estudiar estos conceptos fundamentales o intuitivos se hace referencia a dos
aspectos de estudio de la Geometria.
Definicion de Geometría.
La Geometría es la ciencia deductiva que trata de la propiedades de las figuras
geometricas empleadas para la medicion de extensiones.Extensión es la porción del
espacio que ocupa, una figura geometrica, llamandose extensión volumetrica para un
sólido, extension superficial en una superficie y extension lineal la que ocupa una
linea.
Objeto de la Geometría
El objeto original de la Geometría Euclidiana es el estudio de las figuras geomtricas
desde el punto de vista de su forma, extension y relaciones que guardan entre si.Se
divide en dos partes: Geometria plana (planimetría) y Geometria del Espacio
(Estereometría).
Hacia fines del siglo XX, la geometria ha ampliado su campo de accion hacia nuevos
problemas, generandose por tanto nuevas ramas como: La Geometria Analitica, la
Geometria Proyectiva, la Geometria Descriptiva, la Geometria No- Euclidiana o de
Lobatschewski y en la actualidad la Topologia y la Geometría Vectorial.
Figuras Geometricas
Se llaman figuras geometricas a los conjuntos de puntos tales como las lineas,
superficies y cuerpos, con determinada forma,tamaño y posición.
El tamaño de un sólido se mide por su volumen, el de una superficie por su
área y el una linea por su longitud.
Forma: Designamos con este nombre a la manera de esta,limitada por la
figura.
Posicion: Es el lugar que ocupa una figura y el modo de estar colocada.
Elementos Geometricos Fundamentales
En la Geometráa Sintética Actual ( Axiomática ), el punto, la recta y el plano son
conceptos fundamentales o primitivos y no se definen; se enuncian simplemente
estableciendo su exitencia. Estas ideas básicas de la Geometría nos hacen pensar en
objetos que vemos en el mundo físico; sin embargo, es importante anotar que estos
168
conceptos son simples abstracciones de nuestras mentes y se aceptan sin
definiciones.
El Punto. La marca que deja la punta bien aguda de un lápiz en el papel nos da la
idea del punto.Esta marca no es realmente un punto, sino simplemente su
representación, ya que el punto geometrico es una idea.
Un punto se representa por medio de una marquita redonda, indicandolo
generalmente por una letra mayúscula. Asi en la figura 5 tenemos los puntos A y B
La existencia del punto admite el siguiente postulado:” Existen infinitos puntos”
La Recta. El trazo de un lápiz en el papel utilizando una regla, nos da la idea de la
recta.Este trazo no es realmente una recta, sino simplemente su representación ya
que la recta esuna idea, y como tal no puede verse ni tocarse. La representación de la
recta AB se observa en la figura 6.
Fig. 5 Fig.6
La existencia de la recta admite el postulado siguiente: “Existen infinitas rectas”
El Plano. La superficie de una mesa, la pizarra del aula nos da la idea de plano. Estas
superficies no son realmente el plano sino que representan la idea de él.
Generalmente un plano se representa por un paralegramo, como se muestra en la
figura 6, y se lee plano 𝜌.
Fig. 7
La existencia del plano admite el siguiente postulado: “Existen infinitos planos”
Definiciones básicas
La importancia de medir angulos y segmentos es notoria en nuestra vida podemos
citar el instrumento llamado teodolito (figura 8) que utilizan los topografos para medir
𝜌
169
terrenos y accidentes geograficos u otros aparatos como una cinta metrica (figura 9)
el transportador angulos d (figura 10) y otros.
Fig.8 Teodolito Fig. 9 Cinta métrica Fig. 10 Transportador
Rayo.
Si sobre la recta 𝐴𝐵 (figura 11 ) ubicamos el punto 0 entre A y B, entonces la figura
formada por el conjunto de todos los puntos a partir de 0 hacia hacia el lado B se
llama rayo OB y se denota: 𝑂𝐵 .
Asi como el rayo 𝑂𝐵 tambien queda determinado el rayo 𝑂𝐴 , opuesto al rayo 𝑂𝐵 , el
origen es 0.
Segmento de recta
Dados dos puntos distintos A y Ben una recta, se llama segmento a la figura formada
por la unión de Ay B y todos los puntos que estan entre ellos dos.(Fig. 12).Se denota
por 𝐴𝐵 , y se lee segmento AB. Los puntos A y B se denominan extremos y los otros
puntos forman un conjunto llamado interior del segmento.
La medida de unsegmento 𝐴𝐵 se donota 𝑚𝐴𝐵 o AB y es un número positivo que
compara la longitud del segmento dado con la longitud del segmento unitario (𝜇)
Fig. 11 Fig. 12
170
Ángulos
Un ángulo es una figura como las que se presentan a continuación:Figura 13
Fig.13
Definición.Si dos rayos tienen el mismo origen pero no están en la misma recta
entonces su reunión es un ángulo.Los rayos se llaman lados del ángulo, y el origen se
llama vértice. Si los rayos son 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵 , asi el ángulo se indica con ∠𝐴𝑂1𝐵 O
∠𝐵2𝑂𝐴2 (Figura 14 ).
Fig. 14
Medida de un ángulo
Para medir los ángulos necesitamos un transportador como el de la (figura 10). El
número de grados de un ángulo se llama medida.Si hay β grados en el m∠PQR,
entonces escribimos m∠PQR = β.
De las marcas del transportador podemos observar que: En la figura 15 la medida que
indica el transportador es de 30° y 60° respectivamente.Generalmente en el
transportador se puede medir un ángulo en dos sentidos ( en el sentido horario
positivo y sentido antihorario negativo)
171
Fig. 15
En la figura 15 se indica la medida d un ángulo de 90° y 120° respectivamente.
Fig.16
Clasificación de los ángulos
Los ángulos pueden ser:
a) Angulos adyacentes. Los ángulos AOB y BOC son adyacentes si y solo si
tienen un lado común 𝑂𝐵 y dos lados no comunes 𝑂𝐴 y 𝑂𝐶 estan en distintos
semiplanos separados por el lado común. (Figura 17)
De acuerdo con la figura 16 son validas las siguientes relaciones:
i) De la adición: 𝑚∠𝐴𝑂𝐶 = 𝑚∠𝐴𝑂𝐵 + 𝑚∠𝐵𝑂𝐶
ii) De la sustracción: : 𝑚∠𝐴𝑂𝐵 = 𝑚∠𝐴𝑂𝐶 − 𝑚∠𝐵𝑂𝐶, también se puede
decir que:
: 𝑚∠𝐵𝑂𝐶 = 𝑚∠𝐴𝑂𝐶 − 𝑚∠𝐴𝑂𝐵
172
Fig.17
b) Angulos adyacentes Suplementarios. Se les llama también par lineal, son
dos ángulos adyacentes como los ángulos AOB y BOC (Figura 18) donde
podemos observar que dos de los lados de estos ángulos se ubican sobre una
misma recta, verificando las medidas que sumen 180°.
Podemos decir: 𝑚∠𝐴𝑂𝐵 + 𝑚∠𝐵𝑂𝐶 = 180° . Los rayos 𝑂𝐴 y 𝑂𝐶 son rayos
opuestos.
Fig.18
C) Angulos opuestos por el vértice.
En el gráfico adjunto puede observarse dos rectas 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 que se
intersectan en un punto “O” desde la cual se determinan cuatro ángulos, los
cuales son: AOB, COD, AOC y BOD.Los que llamaremos opuestos por el
vértice a las parejas:∠AOB y ∠COD, ∠AOC y ∠BOD .
Se pude probar que cada par de ángulos opuestos por el vértice son congruentes(
tiene la misma medida. (Figura 19).
d) Ángulos complementarios
Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Luego, si los ángulos AOB y BOC
(Figura 20) son complementarios, y se cumple: : 𝑚∠𝐴𝑂𝐵 + 𝑚∠𝐵𝑂𝐶 = 90°.Si
dos ángulos son complementarios, cada uno de ellos es el complemento del
otro.
173
Fig. 19 Fig.20
e) Ángulo agudo. Aquel cuya medida es menor que 90° (Figura 21. a )
f) Ángulo recto. Es aquel cuya medida es igual a 90° (Figura 21. b)
g) Ángulo obtuso. Es aquel cuya medida es mayor que 90° (Figura 21.c)
Fig.21
Ángulos formados por dos rectas intersecadas por una transversal
Sean 𝒍𝟏 𝑦 𝒍𝟐 dos rectas intersecadas por la transversal 𝒍 (Figura 22) se verificará la
formación de ocho ángulos los cuales se denominan.
a) Angulos internos: 3,4,5 y 6.
b) Angulos externos: 1,2,7 y 8.
c) Angulos alternos internos: 3 y 6, 4 y 5
d) Angulos alternos externos: 1 y 8 , 2 y 7
e) Angulos correspondientes: 1 y 5, 2 y 6 , 4 y 8 , 3 y 7
f) Angulos conjugados internos: 3 y 5, 4 y 6
g) Angulos conjugados externos: 1 y 7 , 2 y 8
Fig. 22
Si 𝒍𝟏 𝑦 𝒍𝟐 son paralelas se cumple lo siguiente:
1. Angulos alternos son congruentes ( tienen la misma medida) ∠3 = ∠6, ∠4 =
∠5, ∠1 = ∠8 𝑦 ∠2 = ∠7
2. Angulos correspondientes son congruentes es decir: ∠1 = ∠5∠, ∠3 = ∠7, ∠2 =
∠6 𝑦 ∠4 = ∠8
174
3. Los angulos conjugados son suplementarios: ∠3 + ∠5 = 180°, ∠4 +
∠6 = 180°, ∠1 + ∠7 = 180° 𝑦 ∠2 + ∠8 = 180°
Ejemplo1. En la (figura 23) 𝑙1 es paralela a 𝑙2 , entonces el valor de y es.
A) 72° B) 85° C) 92° D) 80°
E) 73°
Fig.23
Ejemplo 2. Si el triángulo ABC es equilátero, el valor de x en la figura 24 es .
A) 25° B) 28° C) 30° D) 45°
E) N.A
Fig.24 Fig.25
De la gráfica se observa que 2𝑥 = 𝑦
… (1)
Por ser opuestos por el vértice.
2𝑥 = 3𝑥 − 40 (Ángulos
alternos)
Resolviendo 𝑥 = 40° (2)
Sustituyendo (2) en (1) 𝑦 =
2 40° = 80°
Opción D
175
Solución: Trazamos la recta PC, paralela a las recta 𝐿1 y 𝐿2.La 𝑚∠𝐶𝐻𝐿 = 32° por
suplementario al ∠𝐵𝐻𝐿. Luego 𝑚∠𝑃𝐶𝐵 = 𝑚∠ =32° por alternos internos.Como el
triángulo ABC es equilátero 𝑥0 = 60° − 32° = 28°.Como 𝑥 es alterno interno con
𝑥0 , 𝑥 = 28° (Fig.25)
Definición de polígono.
Polígono: Es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada, como la
(figura 26).
Fig.26
La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios-muchos) y
gono (ángulos).Con frecuencia observaras que muchos términos utilizados en
geometría proceden del griego donde la geometría adquirió un gran relieve.
También podemos decir que un polígono es: La región del plano limitada por
tres o más segmentos (Figura 27)
Fig. 27. Elementos de un polígono
Clasificación de los polígonos.
Según el número de lados de polígonos, éstos pueden ser: Triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos,
decágonos,… (Figura 28)
Lados : Son los segmentos que lo l imita, a, b, c y d Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados, A, B, C y D Ángulos interiores : Son los eterminados
por dos lados consecutivos,𝛼, 𝛽, 𝛾 𝑦 𝛿
176
Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octógono
Fig.28
Al polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un
polígono regular.
El centro de un polígono regular es el punto interior que se halla a igual distancia de
sus vértices, y la apotema es el segmento perpendicular desde el centro a uno
cualquiera de los lados, también se puede decir que la apotema es el segmento
determinado por el centro y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, (Figura
29)
Fig.29
Actividad 1. Completa la tabla calculando el número de triángulos obtenidos en un
polígono al trazar diagonales desde un vértice.
Polígono Números de
lados Número de triángulos
Suma de los ángulos interiores
Cálculos
Triángulo 3 1 180°
Cuadrilátero
Pentágono 3 540° 180°. 𝑛 − 2
6
Heptágono
Octógono
9
8
1 620°
Polígono de n lados
n n - 2 180°. 𝑛 − 2
En triángulo la suma de los ángulos interiores suman 180°. En polígono, la suma de sus ángulos interiores
será. 180°. 𝑛 − 2 En un polígono regular, cada ángulo interior mide:
180°.(𝑛−2)
𝑛
177
Triángulos.
El triángulo es un polígono de tres lados y es el más sencillo que se puede construir.
Teorema. En Cualquier triángulo un lado siempre tiene que ser menor que la suma de
los otros dos y mayor que su diferencia. Ejemplo. ¿Es posible construir un triángulo
cuyos lados miden 7cm, 3cm y 2 cm. (Fig.30)
Fig.30
Clasificación de los triángulos
Atendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros,
isósceles o escaleno.
Los triángulos equiláteros tiene sus tres lados iguales, los isósceles tiene dos
lados iguales y uno desigual, y los escalenos tiene sus lados desiguales. (Figura 31)
Fig.31
Por otra parte, atendiendo a la amplitud de sus ángulos, los triángulos pueden ser
rectángulos, obtusángulo o acutángulo según tengan respectivamente un ángulo
recto, un ángulo obtuso o bien los tres ángulos agudos. (Figura 32)
7 > 3 + 2
2 < 7 − 2
No se puede
construir
178
Fig.32
Los lados de un triángulo rectángulo tienen nombres especiales como en la figura
33.
Fig.33
Área y Perímetro de un triángulo.
a) El área de un triángulo cualquiera es igual al semiproducto de su base y la
altura correspondiente (Figura 34).
𝑨 =𝑨𝑪.𝑩𝑯
𝟐 (1)
Fig. 34
b) El área de un triángulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos.
c) El perímetro es la suma de todos sus lados del triángulo o ya sea del polígono.
179
d) área de un triángulo equilátero. Es igual al cuadrado de la longitud de su lado
multiplicado por 𝟑
𝟒. En la figura 35 "𝑙" es la longitud del lado y "" su altura, se
cumple que:
𝐴 =𝑙2 3
4 (2)
También
𝐴 =2 3
3 (3)
Fig.35
Ejemplo 1. Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
Solución: Utilizamos la fórmula 2. 𝐴 =𝑙2 3
4=
102 3
4=
100 3
4= 25 3. Aproximadamente
43,30
Ejemplo 2. Hallar el área del triángulo siguiente, (figura 36)
Fig.36
e) Área de un triángulo en función de sus lados.
El área de un triángulo es la raíz cuadrada de un producto cuyos factores son el
semiperímetro y el semiperímetro menos cada lado.
Sea “P” el semiperímetro del triángulo ABC, cuyos lados son respectivamente, a, b y
c. (Figura 37)
Solución: Utilizamos la fórmula (1), la base es 11
cm y la altura 7 cm.
𝐴 =𝐵𝑎𝑠𝑒 ×𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2=
7𝑐𝑚 ×11𝑐𝑚
2=
77𝑐𝑚 2
2= 38.5 𝑐𝑚2
180
𝑃 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
𝐴 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 . (4)
Esta expresión es conocida como la fórmula de Herón
Fig.37
Podemos verificar con el ejemplo 2, utilizando la fórmula de Herón tenemos que:
𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐
2=
11𝑐𝑚 +11𝑐𝑚 +7.5𝑐𝑚
2=
29.5𝑐𝑚
2= 14.75𝑐𝑚
𝐴 = 14.75𝑐𝑚 14.75𝑐𝑚 − 11𝑐𝑚 14.75𝑐𝑚 − 11𝑐𝑚 14.75𝑐𝑚 − 7.5𝑐𝑚
𝐴 = 14.75𝑐𝑚 3.75𝑐𝑚 3.75𝑐𝑚 7.25𝑐𝑚
𝐴 = 1,503.80𝑐𝑚2
A = 38,78𝒄𝒎𝟐. La diferencia está en la parte decimal
Ejemplo 3.Hallar el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 4 m y un
ángulo mide 30° (Figura 38)
A) 𝟑𝒎𝟐 B) 𝟓𝒎𝟐 C) 𝟕𝒎𝟐 D) 𝟖𝒎𝟐 E) 𝟐 𝟑𝒎𝟐
181
Fig.38 Fig.30
Cuadriláteros
El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Sin duda es uno de los
polígonos que resulta más familiar; basta observar el plano de un piso para
constatar que está compuesto en su mayoría por piezas en forma de
cuadriláteros. Sin embargo no todos los cuadriláteros
Clasificación de Cuadriláteros
El perímetro de un cuadrilátero es la longitud de la línea cerrada que lo bordea, es
decir, la suma de las longitudes de sus cuatro lados.
a) Área del cuadrado. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de
su lado. Sea "𝑙" la longitud del lado del cuadrado ABCD (Figura 39)
Fig.39
𝐴 =2𝑚 × 2 3𝑚
2= 𝟐 𝟑𝒎𝟐
Solución: En triángulo rectángulo donde los ángulos agudos miden 30° y 60°, el cateto menor es la mitad de la hipotenusa AB = 2m. Aplicando la fórmula (1), inciso b) tenemos.
La opción correcta es E
2 3
𝐴 = 𝑙2
𝑙 =𝐷
2
𝐴 =𝐷2
2
182
b) El área de un rectángulo
A la medida de la extensión de la superficie de un cuadrilátero, es decir, de la porción
del plano limitada por la línea cerrada que lo determina se llama área del cuadrilátero.
El área de un rectángulo de lados b y a mide 𝑨 = 𝒃 × 𝒂 (Área = base × altura).
(Figura 40)
Fig.40
Ejemplo1. El anfiteatro que se construye en la UNAN, FAREM, Matagalpa tiene forma
rectangular como se puede apreciar en la imagen. La plaza que rodea la construcción
tiene dimensiones de 22.40 m por 15.5 m, las dimensiones de la construcción vertical
son: 18.5 m y 12.5 respectivamente. La plaza está cubierta con cerámica cuadrada de
33 cm de lado. ¿Cuántas unidades de cerámica se han necesitado para cubrir dicha
superficie?
Anfiteatro UNAN-FAREM MATAGALPA
Calculamos las áreas de cada rectángulo, luego restamos ya podemos convertir a un
solo sistemas de unidades en este caso a metros cuadrados.
𝑨𝟏 = 𝟐𝟐. 𝟒𝟎𝒎 × 𝟏𝟓. 𝟓𝒎 = 𝟑𝟒𝟕. 𝟐𝟎𝒎𝟐
𝑨𝟐 = 𝟏𝟖. 𝟓𝒎 × 𝟏𝟐. 𝟓𝒎 = 𝟐𝟑𝟏. 𝟐𝟓. 𝟐𝟎𝒎𝟐
𝑨𝑻 = 𝑨𝟏 − 𝑨𝟐 , 𝑨𝑻 = 𝟑𝟒𝟕. 𝟐𝟎𝒎𝟐 − 𝟐𝟑𝟏. 𝟐𝟓. 𝟐𝟎𝒎𝟐 = 𝟏𝟏𝟓. 𝟗𝟓𝒎𝟐
Esquema de solución: La figura
geométrica es un rectángulo tanto para la
parte externa como la interna.
183
La cerámica es cuadrada y convertimos los 33cm a metros, 𝟑𝟑 ÷ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟑𝒄𝒎
𝑨 = 𝒍𝟐, 𝑨 = 𝟎. 𝟑𝟑𝒎 𝟐
𝑨 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟖𝟗𝒎𝟐
Ahora dividimos el 𝑨𝑻 ÷ 𝑨, Cantidad de unidades de cerámica
𝟏𝟏𝟓. 𝟗𝟓𝒎𝟐 ÷ 𝟎. 𝟏𝟎𝟖𝟗𝒎𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟔𝟒. 𝟕𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 Aproximadamente
c) El área de un paralelogramo
Observa que en la siguiente figura, si recortamos paralelogramo ABCD el triángulo
ABM y lo colocamos a la derecha del lado CD obtenemos el rectángulo MBCN que
tiene la misma superficie que el paralelogramo original.
Por tanto, el área de un paralelogramo cualquiera es 𝑨 = 𝒃 × 𝒂, A = base
×altura,
𝑨 = 𝒃 × 𝒂.Figura 41
Fig.41
c) El área de un rombo
En la figura siguiente un rombo está inscrito en un rectángulo. Los vértices del rombo
coinciden con los puntos medios de los lados del rectángulo. Las medidas de los
lados del rectángulo coinciden con las de las diagonales del rombo. 𝐴 =𝐷.𝑑
2, donde D
= Diagonal mayor y d= Diagonal menor. Figura 42
Fig.42
184
d) El área de un trapecio
El área es igual a la semisuma de sus bases por la altura. En la (figura 43), si a,
b y h representan las longitudes de las bases y la altura del trapecio ABCD,
entonces se cumple:
Fig.43
Ejercicios resueltos
1. Los lados de un rectángulo miden 40 y 9 metros, respectivamente. Halla la longitud
de su diagonal.
Solución: En este caso la diagonal es la hipotenusa, aplicando el teorema de
Pitágoras.
𝑑2 = 402 + 92 𝑑2 = 1600 + 81 𝑑2 = 1681=41m
5. Circunferencia y Círculo
Uno de los inventos que le ha permitido al hombre desarrollarse y alcanzar un notable
progreso es sin duda la rueda. Este singular invento encierra de por si una serie de
elementos, cuyo estudio le dan un enorme campo de aplicación en nuestra vida.
La región interior de la rueda es el círculo y su borde es la circunferencia. El estudio
del triángulo y la circunferencia han jugado un papel determinante para el desarrollo
de la geometría encontrándose que estas dos figuras tienen carácter complementario.
5.1. Definición
Sea O un punto de un plano, y R un número positivo. La circunferencia con centro O y
radio R es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia R
de centro O. (Figura 44 a). El punto P cuya distancia al centro es menor que el radio
(OP < R) será interior a la circunferencia y el punto Q cuya distancia al centro es
𝐴 = 𝑎 + 𝑏
2
A= área
a= base menor
b=base mayor
h= altura
185
mayor que el radio (OQ < R) será exterior (Figura 44 b).Todo punto que pertenece a
la circunferencia se llamara aferente como B en la (figura 44 c).
La circunferencia tiene longitud y es igual 𝐿𝐶 = 2𝜋𝑅, la circunferencia no tiene área.
Fig.44
Círculo.
Es la reunión de la circunferencia con todos sus puntos interiores (Fig.44. c)
Segmentos y rectas notables en la circunferencia
En la circunferencia podemos trazar varias e importantes líneas, las que se muestran
en la figura 45.
a) Radio 𝑶𝑳 . Es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con su
centro. La notación R indica la longitud del radio
b) Cuerda MN. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.
c) Diámetro 𝑨𝑩 . Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. La
medida de diámetro equivale a: 2R.
d) Arco MN. Es la porción de circunferencia limitada por dos puntos.
e) Flecha o Sagita 𝑷𝑸 . Segmento de recta determinado al trazar un radio que es
perpendicular a una cuerda y que queda comprendido entre la cuerda y el arco que
subtiende.
f) Recta exterior 𝑳𝟏. Es toda recta coplanar con la circunferencia que no tiene ningún
punto en común con ella.
g) Recta tangente 𝑳𝟐. Recta coplanar que tiene un punto común con ella.
h). Recta secante 𝑳𝟑. Es aquella recta que tiene dos puntos comunes con la
circunferencia.
𝐴 ∈ 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝐵 ∈ 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
186
Fig.45
Área del Círculo.
El área de un círculo es igual a la mitad de la longitud de su circunferencia
multiplicada por el radio de la misma. 𝑨𝒐 = 𝝅𝑹𝟐
Área de un sector circular.
El área de un sector circular es igual al área del círculo correspondiente multiplicado
por el cociente entre su ángulo central y 360°. (Figura 46, a)
Sea AOB el sector circular de área A (Figura 47, b) 𝐴 = 𝝅𝑹𝟐 𝜽
𝟑𝟔𝟎°.
Si representamos por L, la longitud del arco AB se tiene: 𝐴 =𝑳𝑹
𝟐
187
Fig.46
Área de un segmento circular.
Si en una circunferencia de centro O trazamos la cuerda AB, entonces la región
comprendida entre la cuerda AB y el arco AB se llama segmento circular,
cumpliéndose que su área será igual al área del sector circular AOB menos el área
del triángulo AOB. (Figura 47, a)
𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝐴𝑂𝐵 − 𝐴𝑟𝑒𝑎 ∆ 𝐴𝑂𝐵
Área de una corona circular.
La corona circular es la región exterior a la circunferencia e interior a la mayor en dos
circunferencias.
Si r y R representan las longitudes de los radios de las circunferencias (figura 47, b),
entonces el área de la corana circular es:
𝐴 = 𝜋 𝑅2 − 𝑟2
Fig.47
188
Área de un trapecio circular.
En la Fig. 48 las circunferencias de radios r y R los son concéntricas; las longitudes de
los arcos, AB y CD son 𝐿1 𝑦 𝐿2. El área A del trapecio circular sombreado será:
𝐹𝑖𝑔. 48
Ejemplo 1. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm
respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°.
Calcular el área del trapecio circular formado. Figura 49
Solución:
Fig.49
Ejemplo 2. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo
equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia. (Figura 50)
Solución:
Fig.50
𝐴 =𝜋𝜃
360° 𝑅2 − 𝑟2
𝐴 = 𝐿1+𝐿2
2 𝑅 − 𝑟
También
189
Ejemplo 3. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro
una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de
paseo. (Figura 51)
Solución:
Fig.51
C Ejercitación
Angulos y Triángulos
I. Completa según se indique:
1. El ángulo complementario de 57°. º
2 . El ángulo complementario de 35°25' 56'' º
' '
3. El ángulo suplementario de 123°. º
II Recordando que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, responde
justificando tus respuestas.
a) ¿Puede un triángulo tener más de un ángulo recto? ¿Y más de un ángulo obtuso?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________________
b) ¿Cómo son los ángulos que se oponen a los lados iguales de un triángulo
isósceles? ¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo equilátero y cuánto mide cada
uno de ellos?
𝐴 = 𝜋 7002 − 52 = 1 538 521.5𝑚2
190
c) Completa la tabla siguiente dibujando a mano alzada todos los posibles tipos de
triángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Rectángulo No existe
T1
T2
T3
Obtusángulo
T4
T5
T6
Acutángulo
T7
T8
T9
Nota: 𝑻𝟔 es escaleno y obtusoángulo y 𝑻𝟖 es isósceles y
acutángulo .
¿Por qué crees que no es posible dibujar triángulos del t ipo 𝑇1?
III. Resuelva los siguientes problemas
1. En la figura el ángulo 𝑥0 del triángulo mide (Figura 52)
A) 80° B) 60 C) 40° D) 120° E) 30°
Fig.52
2. En el hexágono se trazaron las diagonales. ¿Cuánto mide el ángulo x ?
191
3. En el cuadrilátero. ¿Cuánto mide el ángulo exterior y?
Triángulos y cuadriláteros
2. Calcula el número de cerámica cuadrada, de 10 cm, de lado que se necesitan para
cubrir una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.
120 baldosas B) 12 baldosas C) 12 000 baldosas D) 1 200 baldosas
3. Los lados de un triángulo isósceles son 12 y 5 metros, su perímetro es: (consultar
Geometría de Ernesto Quispe Rodríguez)
36m B) 22m C) 21m D) 14m E) 29m
4. Si los ángulos de un triángulo miden 40°,60° y 80°, entonces el triángulo es:
I) Acutángulo II) Escaleno III) Obtusángulo IV) Rectángulo
5. Si los lados de un triángulo miden 4, 9 y 8, entonces su perímetro será:
19 B) 22 C) 21 D) 22 E) 23
IV. Escoge la opción correcta:
1. Un rombo se diferencia de un cuadrado en...
a) que puede tener sus lados iguales dos a dos.
b) que puede tener sus ángulos iguales dos a dos.
c) Ambas respuestas son verdaderas.
2 Todos los ángulos de un cuadrado miden...
A) 135°
B) 180°
C) 150°
D) 120°
E) 110°
A) 108°
B) 72°
C) 90°
D) 36°
E) 180°
192
a) 90°.
b) 100°.
c) Depende del cuadrado
3. Todos los lados de un cuadrado miden...
a) 90 cm.
b) 90°.
C) depende del cuadrado y siempre son iguales
4. Los trapecios son...
a) cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo.
b) cuadriláteros con los lados paralelos dos a dos.
c) cuadriláteros con dos lados paralelos.
5. Los rombos, romboides, cuadrados y rectángulos se denominan...
a) paralelepípedos.
b) paralelogramos.
c) paraleloides.
6. El único cuadrilátero que es un polígono regular es el...
a) cuadrado.
b) rombo.
c) cualquier trapecio.
7. Si tres de los cuatro ángulos de un cuadrilátero miden respectivamente 100°, 90° y
85°, entonces el cuarto ángulo mide...
a) 35°.
b) la suma de los ángulos anteriores.
c) 85°.
8. Si decimos que una figura o polígono tiene dos lados paralelos y otros dos que no
lo son, pero que son iguales estaremos hablando de...
a) un rombo
b) un trapecio isósceles.
c) un trapecio isósceles o escaleno.
Circunferencia y Círculo
V. Resuelva los siguientes problemas.
1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión
cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
545 m B) 560 m C) 565 m D) 556 m E) 555 m
2. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
193
155.94 𝒄𝒎𝟐 B) 153.94 𝒄𝒎𝟐 C) 155.94 𝒄𝒎𝟐 D) 154.94 𝒄𝒎𝟐 E) 152.94 𝒄𝒎𝟐
3. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que
pertenece y la longitud de la circunferencia.
4 cm B) 25.13 cm C) 25.13 𝒄𝒎𝟐 D) 52.13 cm E) 16 cm
VI. Señala la opción correcta:
1. En un círculo mediremos...
La superficie, porque el círculo es "lo de dentro".
La superficie, porque el círculo es "la línea de fuera".
La longitud, porque el círculo es "lo de dentro".
2. El radio de una circunferencia es...
Un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
Un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Las dos respuestas anteriores son correctas, porque el centro de la circunferencia
es un punto de la misma.
3. Una porción de pizza recuerda a...
Un sector circular.
Una corona circular.
Un arco de circunferencia.
4. Un diámetro es un caso particular de...
Radio.
Cuerda.
Arco.
194
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