universidade da beira interior departamento de...

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIORDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

1◦ Ciclo em Engenharia Electromecânica1◦ Ciclo em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Cálculo II

Ficha 1Ano Lectivo 2011/2012

1) Calcule os dez primeiros termos das sucessões de termo geral

a) un =2− 3n

2b) un = (−1)n

n

n+ 1

c) un =2 + (−1)n n

nd) un = (−2)n

e)

{

u1 = 1

un+1 = 1 +un10

f) un =1

1.2+

1

2.22+

1

3.23+ ...+

1

n.2n

2) Determine o termo geral das sucessões sugeridas pelos primeiros termos a seguir listados

a) 8, 16, 24, 32, . . . b) 2, −2, 2, −2, 2, −2, . . . c) −2, 2, −2, 2, −2, 2, . . .d) 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . . e) 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . f) 2, 5, 8, 11, 14, . . .

g) 4, 16, 64, 256, 1024, . . .

3) Escreva os dez primeiros termos das sucessões definidas por recorrência:

a)

{

u1 = 4

un+1 = 2un

b)

u1 = 1

un+1 = un +

(

1

2

)n c)

u1 = 1

u2 = 1

un+2 = un + un+1

4) Defina, por recorrência, as sucessões sugeridas pelos primeiros termos listados a seguir

a) 1,1

2,1

4,1

8,1

16, . . . b) −

1

2,1

4, −1

8,1

16, . . .

5) Mostre que são limitadas as sucessões:

a) an = 1 +1

nb) bn = 5 c) cn = (−1)n

1

n

d) en =3n+ 10

ne) fn = 2−

5

n2f) gn =

1√n2 + 3

g) hn = −4n

n+ 3h) dn =

1

nse n é par

−1 se n é ı́mpar

6) Estude, quanto à monotonia, as sucessões cujos termos gerais são:

a) un = n2 − n b) un = 2n+ (−1)n c) un = (−1)nn

d) un = (−1)n + (−1)n−1 e) un =1

2n− (−1)n f) un = 1−n+ 1

2n

g) un =n+ 1

n2 + 3h) un =

n2 + 3

3n+ 2 i) un =

(

3

2

)n

n!

j)

{

u1 = 1

un+1 = n(1 + un)k)

{

u1 = 1

un+1 =√25 + 3un

l) un =

2n− 15

se n 6 15

5− 12n

se n > 15

7) Calcule, caso exista, o limite de cada uma das sucessões de termo geral

a) an = 1− n b) bn = n− 3 c) cn = −n+ 1 d) dn =−3n+ 2

2

e) en =1− nn

f) an =

(

1− nn

)2

g) dn =

(

n− 1−2n

)3

h) an =6 + (−1)n

7n

i) an =2

n+ 1j) an =

2n+ 3

4nk) un =

2n2 + 1

n2l) vn =

(

−12− 1

n+ 1

)2

m) an =7n2

n3− 1

nn) an = (n+ 1)

2 + n3 o) an = −n2 − n3; p) cn = n3 − n2

q) an =

2 +3

nse n é par

2n2 + n

n2se n é ı́mpar

r) bn =

3√n+ 1 se n é par

2− 1√n

se n é ı́mpar

8) Calcule

a) lim2n

4n+1b) lim

6n

4n+1c) lim

2n

1 + 5n+1

d) lim3n+1 + 7

3n − 1e) lim

2n + 3

4n + 8f) lim

2n − 3n6n

g) lim(

2n+1 − 2n)

h) lim

[

1−(

2

3

)n]

i) lim

[

1−(

3

2

)n]

9) Calcule

a) lim

(

1 +1

n

)n−1b) lim

(

1 +1

n+ 3

)n

c) lim

(

1 +1

n

)8n

d) lim

(

1 +1

n

)n/2

e) lim

(

1 +1

n

)−3nf) lim

(

1 +1

3n

)n

g) lim

(

1− 12n

)n

h) lim

(

1 +4

3n

)n

i) lim

(

n− 1n+ 2

)n

j) lim

(

n2 + 1

n2 + 5

)n2

k) lim

(

5n− 25n+ 3

)3n

l) lim

(

1 +1

2n

)2n+1

10) Dê exemplos de sucessões (an) e (bn) tais que an → +∞, bn → +∞ e

a) (an − bn) → −∞ b) (an − bn) → +∞ c) (an − bn) → 0

d) (an − bn) → 3 e) (an − bn) não tem limite f)anbn

→ 0

g)anbn

→ +∞ h) anbn

→ 5

11) Das seguintes sucessões, indique as que são convergentes.

a)800

n+ (−1)n b) 800 +

(−1)nn

c) 800 + (−1)n × n

d) n2[(−1)n + 1] e) 3n+ (−1)n f) 3 + (−1)n

n2

12) Calcule cada um dos seguintes limites:

a) lim(−1)nn2 + 1

b) lim

√

n

n2 + 1c) lim

(

1 +2

n

)−n−2d) lim

3n + 2n

5n

e) lim3− n52 + n4

f) lim

(

n+ 3

3n+ 1

)3

g) lim

√n2 + n+ 3

n+ 1h) lim

7−n

2−n

i) lim3 + (−1)nn

n2j) lim

(

2n

8n+ 1

)2n

k) lim√n3 + 1−

√n2 + 2



Cálculo II


1) Estude a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência calcule a respectiva soma.

a)

+∞∑

n=1

(

2

7

)n

b)+∞∑

n=1

2

7nc)

+∞∑

n=1

2−2n d)+∞∑

n=1

ln

(

1 +1

n

)

e)

+∞∑

n=2

ln

(

1− 1n

)

f)

+∞∑

n=1

6

n(n+ 1)(n + 3)g)

+∞∑

n=1

2−n h)

+∞∑

n=1

2

3n−1

i)

+∞∑

n=0

2n−1

6n+ e−n j)

+∞∑

n=1

√n+ 1−√n√

n2 + nk)

+∞∑

n=1

3

6n+

1

nl)

+∞∑

n=1

3.2n + n(n+ 1)

2nn(n+ 1)

2) Mostre que são divergentes as seguintes séries.

a)+∞∑

n=1

n2 + n

n2 + 2 b)

+∞∑

n=1

(−2)n c)+∞∑

n=1

n

√

1

n+ 1d)

+∞∑

n=1

2n+1 sen1

2n

3) Use a teoria das séries geométricas escrever na forma de fracção os racionais dados pelas d́ızimasabaixo.

a) 3,666 . . . b) 2,181818 . . . c) 0,999 . . .

4) Determine a natureza das seguintes séries usando o critério geral de comparação ou o critério dolimite.

a)

+∞∑

n=1

1

2n + 3 b)+∞∑

n=1

1

ln(n+ 1)c)

+∞∑

n=1

1

n2 + 1d)

+∞∑

n=1

1

(2n − 1)22n−1

e)

+∞∑

n=1

n+ 1

n(n+ 2)f)

+∞∑

n=1

n√3

n+ 1

n(n+ 2)g)

+∞∑

n=1

5

2 + 3nh)

+∞∑

n=1

senπ

2n

i)

+∞∑

n=1

4 + 3n

2nj)

+∞∑

n=2

1

n−√n k)+∞∑

n=1

tgπ

4nl)

+∞∑

n=1

n−√

n2 − 1

m)+∞∑

n=1

1√

n(n2 + 1)n)

+∞∑

n=1

1

(n+ 1)no)

+∞∑

n=1

√

n+ 1

n2 + 1p)

+∞∑

n=1

cos2 n

n2 + 1

5) Determine a natureza das seguintes séries usando o critério de D’Alembert.

a)

+∞∑

n=1

n!

n2 b)+∞∑

n=1

nn

(2n)!c)

+∞∑

n=1

2× 5× . . . × (3n− 1)1× 5× . . . × (4n− 3)

d)

+∞∑

n=1

nn

n! 3ne)

+∞∑

n=1

10n × 2× n!(2n)!

f) 1 +2

3+

2× 33× 5 +

2× 3× 43× 5× 7 + · · ·

6) Determine a natureza das seguintes séries usando o critério de Cauchy.

a)+∞∑

n=1

1

n2n b)

+∞∑

n=1

(

n2 + 1

2n2 + 1

)n

c)

+∞∑

n=1

(

n+1n

)n2

3nd)

+∞∑

n=1

n

2n

e)

+∞∑

n=1

1

lnn(n+ 1)f)

+∞∑

n=1

(

n

2n+ 1

)n

g)

+∞∑

n=1

nn

21+3nh)

+∞∑

n=1

(2n+ 3)2n

(5n2 − 1)n

7) Calcule os seguintes limites.

a) lim

(

2

3

)n

n b) limnn

(2n)!c) lim

nn

(n!)2d) lim

xn

n!, x ∈ R

8) Estude a natureza das seguintes séries alternadas.

a)

+∞∑

n=1

cos(nπ) sen1

n b)

+∞∑

n=1

(−1)n 2√n

c)

+∞∑

n=1

(−1)n+1 12n− 1 d)

+∞∑

n=1

(−1)n nn+ 1

e)+∞∑

n=1

(−1)n cos(π

n

)

f)+∞∑

n=2

(−1)n 2n + 1n2 − n g)

+∞∑

n=1

sen nπ2n!

h)+∞∑

n=1

(−1)n+1 1ne1/n

9) Determine se são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as sériesindicadas.

a)

+∞∑

n=1

(−1)n nn+ 2 b)

+∞∑

n=1

sen(π4 + nπ)

3n + 1c)

+∞∑

n=1

(−1)n n!(n + 2)!

d)+∞∑

n=1

e−n n!

e)

+∞∑

n=1

cos(nπ) f)

+∞∑

n=1

(−1)n+1 2n

n4g)

+∞∑

n=1

1

(n+ 1)(n + 2)h)

+∞∑

n=1

sen(4n)

4n

10) Determine a natureza das seguintes séries.

a)+∞∑

n=1

2n31−2n b)

+∞∑

n=1

1

n2 + 4n+ 3c)

+∞∑

n=1

n! e−n d)

+∞∑

n=1

√n+ 1

n3

e)

+∞∑

n=1

2n

n2 + 3nf)

+∞∑

n=1

1 + n

n 2ng)

+∞∑

n=1

1

n!h)

+∞∑

n=1

n

3n+1

i)+∞∑

n=1

(

1 + n2

1 + n3

)2

j)+∞∑

n=1

(n+ 1)!

e3nk)

+∞∑

n=1

lnn

n3l)

+∞∑

n=1

3n − 2n4n + 3nn

m)

+∞∑

n=1

n sen1

nn)

+∞∑

n=1

n tgπ

2n+1o)

+∞∑

n=1

cos(nπ)

3n + 1p)

+∞∑

n=1

lnn2 + 1

n2

q)

+∞∑

n=1

(

n+ 2

n+ 4

)n

r)

+∞∑

n=1

(

n

2n+ 1

)n

s)

+∞∑

n=1

(2n)!

n2n + 2nt)

+∞∑

n=1

(−1)nn2n+ 1

senπ

2n

u)+∞∑

n=1

2nnn

(3 + 9n)nv)

+∞∑

n=1

(

tg

(

π

n+ 3

))n

w)+∞∑

n=1

(

n

n2 + 4

)n

x)+∞∑

n=1

n 5n(

n

n+ 2

)2n2



Cálculo II


1) Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:

a)+∞∑

n=0

1

n+ 1(x− 3)n b)

+∞∑

n=0

(x+ 1)n c)

+∞∑

n=0

n

n+ 1(x− 1)n

d)

+∞∑

n=0

n

n2 + 1xn e)

+∞∑

n=0

n2

10n(x+ 2)n f)

+∞∑

n=0

2n

1 + 8n(x− 1)n

g)+∞∑

n=0

(−1)n (x+ 2)n

2n+1h)

+∞∑

n=0

2n(n!)2

(2n)!(x− 2)n i)

+∞∑

n=0

1

n2 + 1x2n+1

j)

+∞∑

n=0

1

n2 + 1(5x+ 1)2n k)

+∞∑

n=0

(−1)n2n+ 1

x2n+1 l)

+∞∑

n=1

1

n3(x+ 1)2n+1

2) Determine para cada uma das funções seguintes a série de potências que tem por soma essa funçãoe indique o intervalo de convergência da série.

a)1

1 + xb) − 1

(1 + x)2c) ln(1 + x) d)

1

3 + x

e) − 1(3 + x)2

f) ln(3 + x) g)2x3

1− x2 h)1 + x2

1− x2

i)3

(1− x)2 j)1

(1− x)3 k) x ln(1− x) l) arctg(3x)

3) Sabendo que

senx =+∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!, cos x =

+∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!e ex =

+∞∑

n=0

1

n!xn

para cada x ∈ R, verifique que para cada x ∈ R se tem

a) e−x2

=

+∞∑

n=0

(−1)nn!

x2n b) 2x =

+∞∑

n=0

(ln 2)n

n!xn c) senhx =

+∞∑

n=0

x2n+1

(2n+ 1)!

d) cosh x =+∞∑

n=0

x2n

(2n)!e) sen2 x =

+∞∑

n=1

(−1)n+1 22n−1

(2n)!x2n f) cos2 x = 1+

+∞∑

n=1

(−1)n 22n−1

(2n)!x2n

4) Sejam f e g as funções dadas por f(x) =ex−1x

e g(x) = x ex.

a) Escreva as funções f e g como séries de potências centradas em zero.

b) Derive a série que obteve para f e mostre que+∞∑

n=1

n

(n + 1)!= 1.

c) Primitive a função g e a sua série para mostrar que+∞∑

n=1

1

n!(n+ 2)=

1

2.



Cálculo II


1) a) Represente no plano os seguintes pontos (2, 2), (1, 2), (−2,−4) e (−3, 1).b) Represente no espaço os seguintes pontos (0, 5, 2), (4, 0,−1), (2, 4, 6) e (1,−1, 2).

2) Sejam x = (1, 2/3) e y = (0,−3) dois vectores de R2, u = (1, 3/4, 0) e v =(

7,√3, π

)

dois vectores

de R3 e z =(√

2/3, 1,−1/2,−2)

e w = (2, 1,−2, 1) dois vectores de R4. Determinea) x+ 2y b) u+ v c) u− 2v d) −1/3w +

√2z

3) Determine distância entre os pontos

a) (2, 1) e (6, 2) b) (1,√2, 1) e (6, 2, 1) c) (3, 2, 1, 4) e (2, 4, 6, 1)

4) Calcule a norma dos vectores

a) (2, 3) b)(√

3, 2, 3)

c) (2, 1, 0, 5) d)(

3/2, 1,−1/2,√5)

5) Calcule o produto interno dos seguintes vectores

a) (2, 1) e (6, 2) b) (1,√2, 1) e (6, 2, 1) c) (3, 2, 1, 4) e (2, 4, 6, 1)

6) Verifique se

a) (√2, 3) ∈ B1[(−1, 2)] b) (2,

√2,√2) ∈ B2((2, 0, 0))

c) (2,√2,√2) ∈ B2[(2, 0, 0)] d) (2, 2, 1, 0) ∈ B4((1, 1, 0,−1))

7) Represente geometricamente

a) B1(2) b) B1[2] c) S1(2) d) B2((1, 2))e) B2[(1, 2)] f) S2((1, 2)) g) B1[(1, 2, 3)] h) B2[(2, 2, 3)]

8) Represente geometricamente cada um dos seguintes conjuntos e determine o interior, o exterior, afronteira, o fecho e o derivado. Indique ainda se o conjunto é aberto, se é fechado e se é limitado.

a) A ={

(x, y) ∈ R2 : x > 4}

b) B ={

(x, y) ∈ R2 : y 6 −2}

c) C ={

(x, y) ∈ R2 : xy > 1}

d) D ={

(x, y) ∈ R2 : max {|x|, |y|} 6 1}

e) E ={

(x, y) ∈ R2 : x = 0, 2 < y < 4}

f) F ={

(x, y) ∈ R2 : x = π, 2 6 y 6 4}

g) G ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, y < x2}

h) H ={

(x, y) ∈ R2 : x > y2, 2 6 y 6 4}

i) I ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, y 6= x2}

j) J ={

(x, y) ∈ R2 : 1 6 x2 + y2 6 2, x 6= 0}

k) K ={

(x, y) ∈ R2 : − 1 6 x 6 1, −x2 < y < x2}

l) L ={

(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2}

m) M ={

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 6 1, 0 < z < 4}

n) N ={

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 2, x2 + y2 < 1}

o) O ={

(x, y, z) ∈ R3 : 1 < x2 + y2 + z2 6 4, z > 0}

p) P ={

(x, y, z) ∈ R3 : 1 < x2 + y2 + z2 6 4}

q) Q ={

(x, y, z) ∈ R3 : z 6 x2 + y2, 1 6 z 6 4}



Cálculo II


1) Sejam f e g as funções dadas por f(x, y) = x2 + ln(y − 1) e g(x, y) = x2

1− ln(x+ y − 1) .

a) Calcule f(1, 2), f(2, 1 + e), g(1, 2) e g(2, 0).

b) Determine o domı́nio e o contradomı́nio de f e de g.

2) Sejam f e g as funções definidas por f(x, y, z) = x2 e2xy cos z e g(x, y, z) = e√

z−x2−y2 .

a) Calcule f(0, 1,−π), f(π, 2, 0), g(2,−1, 6), g(0, 0, 1).b) Determine o domı́nio e o contradomı́nio de f e de g.

3) Sejam f e g as funções dadas por

f(x, y) =(

x2 −√

y − 1, ex/y)

e g(x, y, z) =

(

e√z−x−y, arcsen x,

1

x2 + y2

)

.

Calcule f(2, 3), f(0, 1), g(0, 1, 5) e g(0, 1, 2) e determine o domı́nio de f e de g.

4) Determine o domı́nio D de cada uma das seguintes funções. Determine ainda o interior, o exterior,a fronteira, a aderência e o derivado de D, e indique se D é aberto, se é fechado e se é limitado.

a) f(x, y) =√x+ y b) f(x, y) =

√x+

√y c) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)

d) f(x, y) =√y − x ln(x+ y) e) f(x, y) = x− 3y

x+ 3yf) f(x, y) =

3x+ 5y

x2 + y2 − 4

g) f(x, y) =

√

y − x21− x2

h) f(x, y) =1

x2 + y2i) f(x, y) =

1√

1− x2 − y2

j) f(x, y) = arctg

√

|xy|x+ y

k) f(x, y) =

√

x2 + y2 − 1ln(4− x2 − y2) l) f(x, y) =

ln(x2 + y2)√x2 − x

m) f(x, y, z) =ln(xy)

x2 + y+ z n) f(x, y, z) = ln(xyz) o) f(x, y, z) =

√

1− x2 − y2 − z2

p) f(x, y, z) = ln(16 − 4x2 − 4y2 − z2) q) f(x) =(

ln(2− |x|), arccos(1− x2))

r) f(x, y) =

(

ln(x− x2), 4xy − 1

)

s) f(x, y, z) =ln(z − 1−

√

x2 + y2)√

z − 2x2 − 2y25) Determine o domı́nio de cada uma das seguintes funções. Determine ainda as curvas de ńıvel e

esboce quatro delas.

a) f(x, y) = 9− x2 − y2 b) f(x, y) = 8− x2 − 2y c) f(x, y) = x2 + y2 + 1d) f(x, y) =

√

4− x2 − y2 e) f(x, y) = y − 3x+ 2 f) f(x, y) = y2 − x2

g) f(x, y) =x

yh) f(x, y) = xy i) f(x, y) = sen(x2 + y2)

6) Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.

a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = 4− x2 − y2 c) f(x, y) = x2 + y2 + 1d) f(x, y) =

√

9− x2 − y2 e) f(x, y) = 2y − 3x+ 1 f) f(x, y) = senx7) Para cada uma das seguintes funções determine as superf́ıcies de ńıvel e esboce quatro delas.

a) f(x, y, z) = x2 + y2 b) f(x, y, z) = x2 + y2 − z c) f(x, y, z) = (x− 1)2 + y2 + z2

d) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2 e) f(x, y, z) = z −√

x2 + y2 f) f(x, y, z) = x+ 3y + 5z



Cálculo II


1) Determine, caso existam, os seguintes limites:

a) lim(x,y)→(5,−2)

(x5 + 4x3y − 5xy2) b) lim(x,y)→(6,3)

xy cos(x− 2y)

c) lim(x,y)→(0,0)

6x3y

2x4 + y4d) lim

(x,y)→(0,0)

x2√

x2 + y2

e) lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2x− y f) lim(x,y)→(0,0)

x4 − y4x2 + y2

g) lim(x,y)→(0,0)

x2 + sen2 y

2x2 + y2h) lim

(x,y)→(0,0)

xy cos y

3x2 + y2

i) lim(x,y)→(0,2)

sen(xy)

xj) lim

(x,y)→(0,0)

x2 sen2 y

x2 + 2y2

k) lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 − cos(x+ y))x2 − cos(x+ y) l) lim(x,y)→(0,0)

sen(x+ y)x2y

x2 + y2

m) lim(x,y,z)→(3,0,1)

e−xy senπz

2 n) lim(x,y)→(1,0)

e(x−1)y −1sen y tg(x− 1)

o) lim(x,y,z)→(0,0,0)

x2 + 2y2 + 3z2

x2 + y2 + z2p) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xy + yz2 + xz2

x2 + y2 + z4

q) lim(x,y,z)→(0,0,0)

xy + yz + zx

x2 + y2 + z2r) lim

(x,y,z)→(0,0,2)

xy(z − 2)|x|+ |y|+ |z − 2|

s) lim(x,y)→(0,0)

(

x2

y2 + 2,x2 + 3

x2 + 1

)

t) limx→0

(

tgx2 + 1

x, tg x2,

tg x+ 1

x2

)

2) Seja f a função definida por

f(x, y) =xy2

x2 + y4.

a) Mostre que a função tem o mesmo limite no ponto (0, 0) ao longo de qualquer recta que passena origem.

b) Calcule o limite no ponto (0, 0) ao longo da parábola de equação x = y2.

c) O que pode concluir sobre a existência de lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)?

3) Seja f a função definida por

f(x, y) =x4y

x8 + y2.

a) Mostre que a função tem o mesmo limite no ponto (0, 0) ao longo de qualquer recta que passena origem.

b) Calcule o limite no ponto (0, 0) ao longo da da curva de equação y = x4.

c) O que pode concluir sobre a existência de lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)?



Cálculo II


1) Estude a continuidade das funções indicadas.

a) f(x, y) = arctg(x+√y) b) f(x, y) = arcsen(x2 + y2) c) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 4)

d) f(x, y) =senxy

ex − y2 e) f(x, y) =1

ycos

√

x2 + y f) f(x, y) =

(

sen(xy)

x+ y,1

|x|

)

g) f(x, y, z) =

(

ln(x+ y), x− z, x+ yz + 1

)

h) f(x, y) =

xy

x2 + xy + y2se (x, y) 6= (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0)

i) f(x, y) =

x2y3

2x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0)

j) f(x, y) =

x2 − y2x− y se x 6= y

0 se x = y

k) f(x, y) =

x3 − y3x+ y

se x+ y 6= 0

x− y se x+ y = 0l) f(x, y) =

1− 2y + x se x+ y < 1

1 se x+ y = 1

2− x+ y se x+ y > 1

2) Seja f : R2 → R uma função cont́ınua em R2 e tal que f(x, y) = 1+ x x2 − y2

x2 + y2para (x, y) 6= (0, 0).

Indique, justificando, o valor de f(0, 0).

3) Seja k ∈ R. Considere a função f(x, y) =

x2 − y2x2 + y2

+ ek(x+ y) se x 6= y

k + 1 se x = y

a) Calcule lim(x,y)→(0,0)

y=mx

f(x, y).

b) A função possui limite na origem?

c) Determine k de tal modo que f seja cont́ınua no ponto (1/2, 1/2).

d) Será posśıvel determinar k de tal forma que f seja simultaneamente cont́ınua em dois pontosdistintos da forma (a, a)?

4) Considere a função f(x, y) = x2 + y2 e conjunto C ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 4}

.

a) Verifique que a função f é cont́ınua em C e que C é limitado.

b) Esboce algumas curvas de ńıvel de f e o conjunto C e conclua da análise desse esboço que afunção f não tem máximo nem mı́nimo em C.

c) Porque é que as aĺıneas anteriores não contradizem o teorema de Weierstrass?

d) Diga, justificando, se f admite extremos em C.

5) Considere a função f(x, y) = x+ y e o conjunto C ={

(x, y) ∈ R2 : xy > 0}

.

a) Verifique que a função f é cont́ınua em C e que C é fechado.

b) Esboce algumas curvas de ńıvel de f e o conjunto C e conclua da análise desse esboço que afunção f não tem máximo nem mı́nimo em C.

c) Porque é que as aĺıneas anteriores não contradizem o teorema de Weierstrass?



Cálculo II


1) Para cada uma das seguintes funções calcule as derivadas parciais de primeira ordem no ponto(0, 0).

a) f(x, y) =

x2

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

2x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

c) f(x, y) =

xy2

x2 + y4se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)d) f(x, y) =

x− yx+ y

se y 6= −x

0 se y = −x

2) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções.

a) f(x, y) = 3x− 2y4 b) f(x, y) = xe3y c) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4d) f(x, y) = y/ lnx e) f(x, y) = xy f) f(x, y) = x2 + y2 sen(xy)

g) f(x, y) = ln (senx) h) f(x, y, z) = x/y +√z i) f(x, y, z) = (2x− y + z)ex−y

j) f(x, y, z, t) =xy2

t+ 2zk) f(x, y, z, t) = sen(x+ ez) + ln(yzt)− 3xt5

l) f(x, y) = (ex+y, 2y) m) f(x, y) =

(

√

x2 + y2,x√

x+ y + 1

)

n) f(x, y) =

x3 − y3 − yx2 + y2

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)o) f(x, y) =

x3y − y2x2 + (y − 1)2 se (x, y) 6= (0, 1)

1 se (x, y) = (0, 1)

3) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções que se seguem.

a) f(x, y) = x2y3 + 3xy + 1 b) f(x, y) = cos x3 + xy c) f(x, y) = arctgx

y

d) f(x, y) = x sen(xy) + y2 e) f(x, y, z) = exyz f) f(x, y, z) = x2z3 + 4y4z2 + x2z

4) Considere a função f(x, y, z) = x2yz + xy + yz definida em R3. Calcule∂4f

∂x2∂y∂z.

5) Determine todas as funções f : R2 → R que verificam as igualdades indicadas.

a)∂2f

∂x2(x, y) = 0 b)

∂2f

∂x∂y(x, y) = 0

c)∂2f

∂x2(x, y) = 24x,

∂2f

∂x∂y(x, y) = −3, ∂

2f

∂y∂x(x, y) = −3, ∂

2f

∂y2(x, y) = 42y

d)∂2f

∂x2(x, y) = 12x− 4y, ∂

2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) = −4x, ∂

2f

∂y2(x, y) = 60y2 + 2.

6) Mostre que não existe nenhuma função f : R2 → R tal que ∂f∂x

(x, y) = xy2 + 1 e∂f

∂y(x, y) = y2.

7) Mostre que a função z = xey + yex é uma solução da equação∂3z

∂x3+

∂3z

∂y3= x

∂3z

∂x∂y2+ y

∂3z

∂x2∂y.



Cálculo II


1) Determine o gradiente e o laplaciano das seguintes funções.

a) f(x, y, z) = xey−z b) f(x, y, z) = ln(x2 + y2) + z

c) f(x, y, z, t) = 2xt− 3yt+ zx+ y

d) f(x, y, z) = x3 + y3 − 3z

2) Determine a matriz jacobiana das seguintes funções

a) f(x, y) = 2x+ y + xy b) f(x, y) = y2 + 7

c) f(x, y) = (x3 − 3y, 2x+ y + xy) d) f(x, y, z) =(

x2 + z2, sen(yz), ln x2)

e) f(x, y) =(

x+ y2, ex+y, 3xy)

f) f(x, y, z) = x2 + z2 + ex

g) f(x) =(

x+ ex, e2x)

h) f(x, y, z) =(

x2 + z2, y + ln(x2 + 3z))

3) Determine a divergência das seguintes funções.

a) f(x, y) =(

x3y2, x2y3)

b) f(x, y, z) = (y − z, z − x, x− y)c) f(x, y, z) =

(

xy, xz3, 2z − yz)

d) f(x, y, z, t) =(

x2 + zt, ey senx, y + et, ex+t3)

4) Determine o rotacional das seguintes funções.

a) f(x, y, z) = (y − z, z − x, x− y) b) f(x, y, z) =(

xy, xz3, 2z − yz)

c) f(x, y, z) = (ex sen y, ex cos y, ez senx) d) f(x, y, z) =(

2z2 − sen ey, xy,−xz)

5) Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções nos pontos indicados e segundo ovector indicado.

a) f(x, y) = xy2 no ponto (0,−1) segundo o vector (1, 2)b) f(x, y) = sen(xy) no ponto (0, 0) segundo o vector (1, 1)

c) f(x, y) = 2x− y no ponto (−1, 2) segundo o vector (1, 1)d) f(x) = (sen(x+ 1), ln x) no ponto 1 segundo o vector 1

e) f(x, y, z) = ln(x2 + y2) + z no ponto (−1, 1, 0) e segundo o vector (1, 1, 1)f) f(x, y, z) = 2x− y no ponto (0, 1, 1) segundo o vector (1, 2, 1)g) f(x, y, z) = xy + yz + xz no ponto (−1, 1, 7) segundo o vector (3, 4,−12)h) f(x, y, z) =

(

x2 + y2 + z2, xy)

no ponto (1, 2, 3) segundo o vector (1, 1, 1)

i) f(x, y) =

xy2

x+ yse x+ y 6= 0

0 se x+ y = 0no ponto (−1, 3) segundo o vector (1,−2)

6) Calcule as derivadas direccionais das seguintes funções no ponto (0, 0).

a) f(x, y) = 3x− 2y4 b) f(x, y) = xe3y

c) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4 d) f(x, y) = x2 + y2 sen(xy)

e) f(x, y) =

2x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)f) f(x, y) =

xy2

x2 + y4se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)



Cálculo II


1) Verifique, usando a definição, que as seguintes funções são diferenciáveis no ponto indicado

a) f(x, y) = 4x2 − y2 + 2y no ponto (1, 2) b) f(x, y) = 4− x2 − 2y2 no ponto (0, 1)

c) f(x, y) = y cos(x− y) no ponto (2, 2) d) f(x, y) ={

2x+ 3y se x 6= 00 se x = 0

no ponto (0, 0)

2) Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis usando a definição.

a) f(x, y) = x+ y b) f(x, y) = xy c) f(x, y) = x+ y2 d) f(x, y) = x2 + xy − y2

3) Determine os pontos onde as funções indicadas são diferenciáveis.

a) f(x, y) =√

x2 + y2 + sen(xy) b) f(x, y, z) = x+ y + z + cos(xyz)

c) f(x, y) =

x2y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)d) f(x, y) =

ex+y −12x+ 2y

se x+ y 6= 0

3 se x+ y = 0

4) Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis e calcule a sua derivada.

a) f(x, y) = 2x+ y + xy b) f(x, y) = y2 + 7

c) f(x, y) = (x3 − 3y, 2x+ y + xy) d) f(x, y, z) =(

x2 + z2, sen(yz), ln x2)

e) f(x, y) =(

x+ y2, ex+y, 3xy)

f) f(x, y, z) = x2 + z2 + ex

g) f(x) =(

x+ ex, e2x)

h) f(x, y, z) =(

x2 + z2, y + ln(x2 + 3z))

5) Mostre que as funções que se seguem são diferenciáveis e calcule sua derivada nos pontos indicadose segundo o vector indicado.

a) f(x, y) = xy2 no ponto (0,−1) segundo o vector (1, 2)b) f(x, y) = sen(xy) no ponto (0, 0) segundo o vector (1, 1)

c) f(x) = (sen(x+ 1), ln x) no ponto 1 segundo o vector 1

d) f(x, y, z) = ln(x2 + y2) + z no ponto (−1, 1, 0) e segundo o vector (1, 1, 1)e) f(x, y, z) = xy + yz + xz no ponto (−1, 1, 7) segundo o vector (3, 4,−12)f) f(x, y, z) =

(

x2 + y2 + z2, xy)

no ponto (1, 2, 3) segundo o vector (1, 1, 1)

6) Verifique que as seguintes funções são diferenciáveis no ponto indicado e determine uma equaçãodo plano tangente ao gráfico das funções no ponto indicado

a) f(x, y) = 4x2 − y2 + 2y no ponto (−1, 2, 4);b) f(x, y) =

√

4− x2 − 2y2 no ponto (1,−1, 1);c) f(x, y) = y cos(x− y) no ponto (2, 2, 2).

7) Prove que a função é diferenciável no ponto dado e calcule a linearização L(x, y) da função noponto.

a) f(x, y) = x√y no ponto (1, 4) b) f(x, y) = ex cos xy no ponto (0, 0)

c) f(x, y) = arctg(x+ 2y) no ponto (1, 0) d) f(x, y) = sen(2x+ 3y) no ponto (−3, 2)8) Determine a aproximação linear da função f(x, y) = ln(x − 3y) em (7, 2) e use-a para aproximar

f(6.9, 2.06).

9) Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2 em (3, 2, 6) e use-a paraaproximar

√

(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2.



Cálculo II


1) Use a regra da derivada da função composta para calcular as seguintes derivadas:

a)dz

dtquando z = x2 + y senx, x = 2t+ arctg t e y = et−t2;

b)dw

dtquando w = x2 + yz, x = 3t2 + 1, y = 2t− 4 e z = t3;

c)dw

dtquando w = xy + yz, x = et, y = et sen t e z = et cos t;

d)∂w

∂xe

∂w

∂yquando w = et

2

e t = x ln y;

e)∂w

∂se

∂w

∂tquando w = x2 exy +y2 cos x2, x = st2 e y = s et;

f)∂w

∂xe

∂w

∂yquando w = r3 + s+ v2, r = x ey, s = y ex e v = x2y;

g)∂w

∂x,

∂w

∂ye

∂w

∂zquando w = r2 + sv + t3, r = x2 + y2 + z2, s = xyz, v = x ey e t = yz2.

2) Utilize a regra da derivada da função composta para determinar as derivadas parciais indicadas:

a)∂R

∂xe

∂R

∂yquando R = ln(u2 + v2 + w2), u = x + 2y, v = 2x − y e w = 2xy no ponto

(x, y) = (1, 1);

b)∂z

∂u,∂z

∂v,

∂z

∂wquando z = x2+xy3, x = uv2+w3 e y = u+vew no ponto (u, v, w) = (2, 1, 0);

c)∂Y

∂s,

∂Y

∂te

∂Y

∂rquando Y = w arctg(uv), u = r + s, v = s + t e w = t + r no ponto

(r, s, t) = (1, 0, 1).

3) Usando a regra da derivada da função composta, determine a matriz jacobiana de w ◦ v quando

a) w(x, y, z) =(

x2 + y2, arctg x)

e v(s, t) = (2s+ t, s, sen t);

b) w(x, y) = (tg x+ y, y, 2x) e v(s, t) = (t− 1, s).

4) Usando a regra da derivada da função composta, determine a matriz jacobiana de g ◦ f nos pontosindicados para

a) f(t) =(

sen t, t2)

e g(x, y) = e3x+2y no ponto π;

b) f(x, y, z) =(

xy, x2 + z2)

e g(s, t) =(

es2+t, s+ t

)

no ponto (2, 0,−4);

c) f(x, y) = (ex−y, x− y) e g(u, v) =(

tg(u− 1)− ev, u2 − v2)

no ponto (1, 1).

5) Seja f : R → R uma função de classe C2 e a, c1 e c2 constantes reais. Prove que qualquer funçãoda forma u(t, x) = c1f(x− at) + c2f(x+ at) é solução da equação

∂2u

∂t2= a2

∂2u

∂x2.

6) Sejam z = u2v3, u = x+ y, e v = x2 − y2. Calcule ∂z∂x

,∂z

∂y,

∂2z

∂x2e

∂2z

∂x∂y.



Cálculo II


1) Determine, caso existam, os máximos, mı́nimos e pontos sela das seguintes funções.

a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = x2 − y2

c) f(x, y) = (x− 1)2 − 2y2 d) f(x, y) = (x− 1)2 + 2y2

e) f(x, y) = (x− y2)(x+ y2 − 2) f) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x− y

g) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2 h) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y

i) f(x, y) = e4y−x2−y2 j) f(x, y) = (1 + xy)(x+ y)

k) f(x, y, z) = 2− x2 − y2 − z2 + xy + yz l) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + x− 2y

m) f(x, y, z) = x2 − 2xy + zy + z2 n) f(x, y, z) = (x− y)2 + (x− z)2 − xz + y

o) f(x, y, z) =1

2x2 + y2 + z2 + xz p) f(x, y, z) = (x− 1)2 + yz

2) Determine, utilizando multiplicadores de Lagrange, os extremos absolutos das seguintes funçõessujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

a) f(x, y) = x2 − y2; x2 + y2 = 1 b) f(x, y) = xy; x2 + y2 = 1

c) f(x, y) = xy; 4x2 + y2 = 4 d) f(x, y) = xy; x+ y = 1; 4x2 + y2 = 4

e) f(x, y) = 3x+ 4y; x2 + y2 = 1 f) f(x, y) = 4x+ 6y; x2 + y2 = 13

g) f(x, y) = x2y; x2 + 2y2 = 6 h) f(x, y, z) = xyz; x2 + 2y2 + 3z2 = 6

i) f(x, y, z) = x+ z; x2 + y2 + z2 = 1 j) f(x, y, z) = x− y + 2z; x2 + y2 + 2z2 = 2

k) f(x, y, z) = yz + xy; xy = 1, y2 + z2 = 1 l) f(x, y, z) = xyz; x2 + y2 = 1; x = z

3) Determine os extremos absolutos das seguintes funções nos conjuntos indicados.

a) f(x, y) = x2 − y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4}

b) f(x, y) = 1 + x2 + 2y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4}

.

c) f(x, y) = x2 + xy + y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4}

d) f(x, y) = 1− x2 + y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1 ∧ 0 6 y 6 12

}

e) f(x, y) = x2 + 2x+ y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4 ∧ x > −1}

f) f(x, y) = 5− 3x+4y na região triangular fechada com vértices nos pontos (0, 0), (4, 0) e (4, 5).



Cálculo II


1) Determine o volume máximo do paraleliṕıpedo de arestas paralelas aos eixos coordenados e inscritona figura dada por

x2 + y2 − z = 0 e z 6 4.

2) Determine, usando multiplicadores de Lagrange, a distância da parábola de equação y = x2 à rectay = x− 1.

3) Calcule os extremos da função

f(x, y, z) = (x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2,

sujeita à condiçãox2 + y2 + z2 = 1.

Interprete geometricamente.

4) Determine os pontos da superf́ıciez2 = xy + 1

que estão mais próximos da origem.

5) Determine as dimensões da caixa rectangular de maior volume cuja área da sua superf́ıcie total é64 cm2.

6) Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Determine as dimensões queminimizem a quantidade de papelão utilizado.

7) Considere a funçãof(x, y) = x2 + x2y + y2

e o conjunto compacto em R2

D ={

(x, y) ∈ R2 : y 6 −x2

2e y > −2

}

a) Determine os extremos locais de f no interior de D.

b) Usando o resultado da aĺınea anterior e o método dos multiplicadores de Lagrange determineos extremos globais de f em D.

8) Suponha que se pretende construir um tanque ciĺındrico de chapa metálica com uma dada capaci-dade V . Com que altura e raio da base o devemos construir de forma a gastar o mı́nimo posśıvelde chapa?

9) O plano x + y + 2z = 2 intersecta o parabolóide z = x2 + y2 numa elipse. Determine os pontosdessa elipse que estão mais próximo(s) e mais distante(s) da origem.



Cálculo II


1) Calcule os seguintes integrais duplos.

a)

∫ 2

0

∫ 3

0x+ y dx dy b)

∫ 1

0

∫ e

1

y

x+ 1dx dy

c)

∫ 1

0

∫ 1

0xy ex+y dx dy d)

∫ π2

0

∫ π2

0senx cos y dx dy

e)

∫ 3

0

∫ 1

0

√x+ y dx dy f)

∫ 4

1

∫ 2

1

y

x+

x

ydx dy

g)

∫ 2

0

∫ 0

−1x2y2 + x dx dy h)

∫ 0

−1

∫ 2

1−x ln y dy dx

i)

∫ 1

0

∫ 1

0

√y + x− 3xy2 dy dx j)

∫ π

0

∫ π

0sen2 x sen2 y dx dy

k)

∫ π/2

0

∫ π/2

0sen (x+ y) dy dx l)

∫ 3

1

∫ 1

0(1 + 4xy) dx dy

m)

∫ 4

2

∫ 1

−1(x2 + y2) dy dx n)

∫ 2

0

∫ π2

0x sen y dy dx

o)

∫ 4

1

∫ 2

0(x+

√y) dx dy p)

∫ 2

0

∫ 1

0(2x+ y)8 dx dy

q)

∫ 1

0

∫ 2

1

xex

ydy dx r)

∫ 2

1

∫ 1

0(x+ y)−2 dx dy

s)

∫ ln 2

0

∫ ln 5

0e2x−y dx dy t)

∫ 1

0

∫ 1

0

xy√

x2 + y2 + 1dx dy

2) Calcule os seguintes integrais triplos.

a)

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0x2 dx dy dz b)

∫ 1

0

∫ 1

−1

∫ 2

02x+ 3y + z dx dy dz

c)

∫ 1

0

∫ 2

0

∫ 3

0xy2z3 dx dy dz d)

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0y e−xy dx dy dz

e)

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0z ex+y dx dy dz f)

∫ π

0

∫ 3

2

∫ 1

−1y senx dz dy dx

g)

∫ 2

0

∫ π2

0

∫ π

0r2 cos θ dϕdθ dr h)

∫ 1

−1

∫ 1

0

∫ π2

0y cos x+ 2 dx dy dz

i)

∫ 1

0

∫ 2

1

∫ 3

2cos [π(x+ y + z)] dx dy dz j)

∫ π2

0

∫ π2

0

∫ 1

0cos x sen y ez dz dy dx



Cálculo II


1) Calcule os seguintes integrais duplos.

a)

∫∫

R(6x2y3 − 5y4) dA, onde R =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 3, 0 6 y 6 1}

b)

∫∫

Rcos(x+ 2y) dA, onde R =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 π2}

c)

∫∫

D

4y

x3 + 2dA, onde D =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 2, −x 6 y 6 x}

d)

∫∫

D

2y

1 + x2dA, onde D =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 √x}

e)

∫∫

Dey

2

dA, onde D ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 1, 0 6 x 6 y}

f)

∫∫

De

xy dA, onde D =

{

(x, y) ∈ R2 : 1 6 y 6 2, y 6 x 6 y3}

g)

∫∫

Dx√

y2 − x2 dA, onde D ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 1, 0 6 x 6 y}

h)

∫∫

Dx cos y dA, onde D é limitada por y = 0, y = x2, x = 1

i)

∫∫

D(x+ y) dA, onde D é limitada por y =

√x e y = x2

j)

∫∫

Dxy2 dA, onde D é limitada por x = 0 e x =

√

1− y2

k)

∫∫

Dy3 dA, onde D é a região triangular com vértices (0, 2), (1, 1) e (3, 2)

2) Calcule

∫∫

Rf dA para as funções e regiões de integração indicadas, utilizando as duas posśıveis

ordens de integração.

a) f(x, y) = xy e R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 2 ∧ 0 6 y 6 x2}

b) f(x, y) = ex+y e R = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| 6 1}

c) f(r, θ) = cos θ e R = {(r, θ) ∈ R2 : 0 6 θ 6 π2 ∧ 0 6 r 6 cos θ}

d) f(x, y) = (x+ y)2 e R = {(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2− y ∧ 0 6 y 6 1}

e) f(x, y) =x2

y2e R a região limitada pelas rectas x = 2, y = x e pela hipérbole xy = 1.

3) Calcule

∫∫

Rf dA para as funções e regiões de integração indicadas.

a) f(x, y) = x2 e R ⊂ R2 é a região limitada pelas rectas y = x, y = 2x e x = 2

b) f(x, y) = x+ y, onde R ⊂ R2 é o rectângulo definido pelos vértices (0, 1), (1, 0), (3, 4) e (4, 3)

c) f(x, y) = x2y2, onde R ⊂ R2 é a região limitada por 1 6 y 6 2 e 0 6 x 6 y

d) f(x, y) = x cos(x+ y), onde R ⊂ R2 é o triângulo definido pelos vértices (0, 0), (π, 0), (0, π)

e) f(x, y) = ex+y e R é a região definida por 0 6 y 6 senx e 0 6 x 6 π.

4) Esboce a região de integração e faça a mudança da ordem de integração.

a)

∫ 1

0

∫ y

0f(x, y) dx dy b)

∫ 1

0

∫ 2−y

y2f(x, y) dx dy

c)

∫ 4

0

∫ 2

y2

f(x, y) dx dy d)

∫ 4

1

∫ 2

√xf(x, y) dy dx

e)

∫ 2

1

∫

√2x−x2

2−xf(x, y) dy dx f)

∫ 1

−1

∫ 2y2−1

−√

1−y2f(x, y) dx dy

g)

∫ π2

0

∫ senx

0f(x, y) dy dx h)

∫ e

1

∫ lnx

0f(x, y) dy dx

i)

∫ 4

0

∫y−42

−√4−y

f(x, y) dx dy j)

∫ π

0

∫ sen y

− sen y/2f(x, y) dx dy

5) Calcule, trocando a ordem de integração, os integrais seguintes.

a)

∫ 1

0

∫ 3

3yex

2

dx dy b)

∫ 1

0

∫ 1

√y

√

x3 + 1 dx dy

c)

∫ 3

0

∫ 9

y2y cos(x2) dx dy d)

∫ 1

0

∫ 1

x2x3 sen(y3) dy dx

e)

∫ 1

0

∫ π2

arcsen ycos x

√

1 + cos2 x dx dy f)

∫ 8

0

∫ 2

3√yex

4

dx dy

g)

∫ 1

0

∫ arcsen y

0y senx dxdy

6) Calcule os seguintes integrais triplos.

a)

∫ 1

0

∫ z

0

∫ x+z

06xz dy dx dz b)

∫ 1

0

∫ 2x

x

∫ y

02xyz dz dy dx

c)

∫ 3

0

∫ 1

0

∫

√1−z2

0zey dx dz dy d)

∫ 1

0

∫ z

0

∫ y

0ze−y

2

dx dy dz

e)

∫∫∫

E2x dV , onde E = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 y 6 2, 0 6 x 6

√

4− y2, 0 6 z 6 y}

f)

∫∫∫

Eyz cos(x5) dV , onde E = {(x, y, z)R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x, x 6 z 6 2x}

g)

∫∫∫

Ey dV , com E a região limitada pelos planos de equação x = 0, y = 0, z = 0 e 2x+2y+z = 4.



Cálculo II


1) Calcule os seguintes integrais utilizando a mudança de coordenadas indicada.

a)

∫ 1

0

∫ y

0(x+ y) dx dy onde x = u+ v e y = u− v;

b)

∫ 1

0

∫ 1

0

1√1 + x+ 2y

dx dy onde x = u e y =v

2

2) Utilize coordenadas polares para calcular os integrais indicados.

a)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0ex

2+y2 dy dx b)

∫ 2

0

∫

√4−y2

−√

4−y2x2y2 dx dy

c)

∫ 2

−2

∫

√4−x2

−√4−x2

(x+ y) dy dx d)

∫ 0

−√

2

2

∫

√1−x2

−xy dy dx

e)

∫ 2a

0

∫

√2ax−x2

0(x2 + y2) dy dx f)

∫ a

1

∫ x

0

(

x2 + y2)

dy dx

g)

∫ 1

0

∫

√9−x2

√1−x2

√

x2 + y2 dydx+

∫ 3

1

∫

√9−x2

0

√

x2 + y2 dydx

h)

∫∫

Rln

(

x2 + y2)

dxdy, onde R ⊂ R2 é a região do primeiro quadrante definida por a2 6x2 + y2 6 b2, com a, b ∈ R tais que 0 < a < b.

i)

∫∫

R

√

1− x2 − y2 dxdy, onde R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2

}

.

3) Utilize coordenadas ciĺındricas para calcular os seguintes integrais.

a)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0

∫

√1−x2−y2

0z dz dy dx

b)

∫ 2

−2

∫

√4−x2

−√4−x2

∫

√4−x2−y2

0

(

x2 + y2)

dz dy dx

c)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0

∫ 2

0sen(x2 + y2) dz dy dx

d)

∫ 1

−1

∫

√1−x2

−√1−x2

∫ 2−x2−y2

x2+y2

√

x2 + y2 dz dy dx

e)

∫∫∫

Rdx dy dz, onde R =

{

(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2 ∧ 0 6 z 6

√

4− (x2 + y2)}

f)

∫∫∫

Rz3 dx dy dz, onde R =

{

(x, y, z) ∈ R3 : − 1 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2 ∧

√

x2 + y2 6 z 6 1}

4) Utilize coordenadas esféricas para calcular os seguintes integrais.

a)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0

∫

√2−x2−y2

√x2+y2

dz dy dx b)

∫ 2

0

∫

√4−x2

0

∫

√8−x2−y2

√x2+y2

(

x2 + y2 + z2)

dz dy dx

c)

∫ 3

0

∫

√9−x2

0

∫

√9−x2−y2

0z√

x2 + y2 + z2 dz dy dx

d)

∫∫∫

R

1

1 + x2 + y2 + z2dz dy dx,

onde R ={

(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2 ∧ 0 6 z 6

√

1− x2 − y2}

5) Calcule o integral das funções que se seguem na região R indicada.

a) f(x, y) = y e R ⊆ R2 é a região do primeiro quadrante limitada pelo ćırculo de equaçãox2 + y2 6 9 e pelas rectas de equação y = x e y = 0.

b) f(x, y) = xy e R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4 ∧ x 6 |y|}

.

c) f(x, y) = ln(x2 + y2) e R ⊆ R2 é a região do primeiro quadrante definida por 1 6 x2 + y2 6 4.

d) f(x, y) =√

1− x2 − y2 e R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2

}

.

e) f(x, y) = (x2 + y2)3

2 e R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}

.

f) f(x, y) = x2 e R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 y ∧ x2 + y2 6 1}

.

g) f(x, y, z) = x2 e R é a região definida por x2 + y2 6 a2 e 0 6 z 6 b, onde a, b ∈ R.

h) f(x, y, z) = x2 sen z e R é a região limitada pelos planos x = 0, x+ y = 1, y = 0, z = 0 e z = π.

i) f(x, y, z) = z e R o tetraedro limitado pelo plano x+ y+ z = 1 e pelos planos das coordenadas.

j) f(x, y, z) =√x2 + z2 e R é o sólido limitado pelo plano y = 4 e pelo parabolóide y = x2 + z2.

k) f(x, y, z) = z e R ⊆ R3 é a região definida pelas condições x2 + y2 6 1, z > 0 e z2 6 x2 + y2.

l) f(x, y, z) =1

√

x2 + y2e R é a região limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1, os planos z = −3 e

z = 3 e que verifica a condição y > 0.

m) f(x, y, z) = 7yz e R é a região limitada pelo cilindro x2 + y2 = a2 e os planos y = 0, z = 0 ez = b, com b > 0.

n) f(x, y, z) =√

x2 + y2 e R ⊆ R3 é a região contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre osplanos z = −5 e z = 4.

o) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e R ⊆ R3 é a bola unitária x2 + y2 + z2 6 1.

p) f(x, y, z) = y e R ⊆ R3 é o sólido que está entre os cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 acimado plano xy e abaixo do plano z = x+ 2

q) f(x, y, z) = xz e R ⊆ R3 é o sólido limitado pelos planos z = 0, z = y + 2 e pelo cilindrox2 + y2 = 1.

r) f(x, y, z) = x e(x2+y2+z2)2 e R ⊆ R3 é o sólido que está no primeiro octante e entre as esferas

x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4.

s) f(x, y, z) = e(x2+y2+z2)3/2 e R ⊆ R3 é a bola unitária.

t) f(x, y, z) =ez

√

x2 + y2 + z2e R =

{

(x, y, z) ∈ R3 : 1 6 x2 + y2 + z2 6 9 ∧ z > 0}

.



Cálculo II


1) Determine a área das regiões indicadas.

a) R ={

(x, y) ∈ R2 : y > |3x| ∧ y + x2 6 4}

b) R ={

(x, y) ∈ R2 : y2 6 x 6 y ∧ 0 6 y 6 1}

c) R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 16}

d) R ={

(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1 ∧ |y| 6 1}

e) R ={

(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 6 36 ∧ x > 0 ∧ y > 0}

f) R ={

(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1 ∧ −2|x| 6 y 6 |x|}

g) R =

{

(x, y) ∈ R2 : x2

a2+

y2

b26 1

}

, onde a, b ∈ R

h) R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1 ∧ y + x− 1 6 0 ∧ y 6 x}

. Escreva uma expressão para a áreade R em termos de integrais iterados nas duas ordens de integração posśıveis.

2) Determine o volume dos seguintes sólidos.

a) O sólido limitado pelo cilindro x = y2 e os planos z = 0 e x+ z = 1.

b) O sólido limitado pelas superf́ıcies z = 0, z = xy e x2 + y2 = 1.

c) O sólido limitado pelo parabolóide z = 4− x2 − y2 e o plano z = 0.d) O sólido definido por x2 + y2 6 z 6 x+ y, 0 6 y 6 x e 0 6 x 6 1.

e) O sólido limitado pelo parabolóide z = 2x2 + y2 e pela superf́ıcie z = 4− y2.f) O cone circular de raio R e altura h.

g) O sólido limitado pelas superf́ıcies x2 + 2y2 = 2, z = 0 e x+ y + 2z = 2.

h) O sólido definido por x2 + y2 > 1 e x2 + y2 + z2 6 5.

i) O sólido R ={

(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1− x, 0 6 z 6 1− x− y}

.

j) A parte da esfera unitária centrada na origem situada no primeiro octante.

k) A parte do cilindro eĺıptico 4x2 + z2 6 4 limitada pelos planos y = 0 e y = 4.

l) A intersecção dos parabolóides x2 + y2 6 z e 18− x2 − y2 > z.

3) Usando coordenadas ciĺındricas determine o volume da porção da esfera x2 + y2 + z2 6 a2 que seintersecta com o cilindro x2 + y2 6 ay.

4) Usando coordenadas esféricas determine o volume do cone x2 + y2 6 z2 tal que 0 6 z 6 1.

5) Determine o volume do sólido limitado superiormente pela esfera unitária de centro na origem einferiormente por:

a) o cone z2 = x2 + y2;

b) a superf́ıcie z = x2 + y2.

universidade da beira interior departamento de...

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