universidade federal do parana felipe wisniewski · 2019. 9. 26. · neste trabalho, apresenta-se...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA
FELIPE WISNIEWSKI
FUNCOES WAVELETS DE HAAR COM APLICACOES
CURITIBA
FEVEREIRO DE 2014
FELIPE WISNIEWSKI
FUNCOES WAVELETS DE HAAR E APLICACOES
Dissertacao apresentada ao Programa de
Pos-Graduacao em Matematica Aplicada
da Universidade Federal do Parana, como
requisito parcial a obtencao do grau de
Mestre em Matematica Aplicada.
Orientador: Prof. Dr. Saulo Pomponet
Oliveira.
CURITIBA
FEVEREIRO DE 2014
W815f Wisniewski, Felipe,
Funcoes Wavelets de Haar com Aplicacoes / Felipe Wisni-
ewski. — Curitiba, 2014.
XI, 74f. : il. color. ; 30 cm.
Dissertacao (Mestrado) - Universidade Federal do Parana, Se-
tor de Ciencias Exatas, Programa de Pos-graduacao em Ma-
tematica Aplicada, 2014.
Orientador: Prof. Dr. Saulo Pomponet Oliveira
Bibliografia: p. 72-74.
1. Wavelets (Matematica). 2. Equacoes integrais. 3. Teoria
da aproximacao . I. Universidade Federal do Parana. II. Oliveira,
Saulo Pomponet. III. Ttulo.
CDD: 515.2433
iv
v
Agradecimentos
Meus sinceros agradecimentos:
Em primeiro lugar, ao meu orientador Saulo, por seus
ensinamentos e por todo esforco e dedicacao depositados. Alem
disso, a empatia com que recebeu as minhas ideias foi o estımulo
que me permitiu vencer as insegurancas deste processo.
Aos meus pais Geraldo e Leonarda, a minha irma Silvia, que
estiveram fortemente presentes na minha caminhada, oferecendo
apoio e compreencao.
Aos meus amigos que tanto me apoiaram e me incentivaram.
Aos professores Ana Gabriela Martinez e Juarez dos Santos
Azevedo, membros da banca examinadora, por aceitarem o
convite para participar da defesa e por contribuırem com
sugestoes enriquecedoras.
Ao Programa de Pos-Graduacao em Matematica Aplicada da
UFPR pela oportunidade e formacao de qualidade propiciada.
A Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior,
pelo apoio financeiro.
A Rede de Geofısica Aplicada CENPES-PETROBRAS, uma vez
que este trabalho foi desenvolvido no contexto do projeto
“Modelagem e Tomografia Sısmicas usando Parametrizacao
Ondaleta de Campos de Velocidades”.
A Deus pelo dom da vida, pelo equilıbrio e pela paz interior.
vi
“ A verdadeira viagem de descobrimento nao
consiste em procurar novas paisagens, mas
em ter novos olhos”
Marcel Proust
vii
Resumo
Neste trabalho, apresenta-se um estudo de bases ortogonais wavelets, com enfase
no sistema de Haar e suas aplicacoes. Inicialmente e feita uma breve revisao de concei-
tos, partindo em seguida para resultados da analise de multirresolucao para wavelets
em geral. Feito isso, passa-se a estudar o caso particular das wavelets de Haar unidi-
mensionais: suas principais propriedades e um algoritmo que pode ser usado no calculo
de aproximacoes de funcoes com suporte contido no intervalo [0,1]. A teoria estudada
para funcoes de uma dimensao e estendida para funcoes bidimensionais. Com isto, sera
vista a implementacao de metodos de aproximacao de funcoes utilizando a base de Haar
2D e a aproximacao da solucao da equacao integral de Fredholm, tanto homogenea
como nao-homogenea. Utilizando o pacote computacional Matlab sao feitos experimen-
tos numericos a fim de ilustrar tais aproximacoes.
Palavras-chave: funcoes wavelets; Sistema de Haar; Analise de Multirresolucao; Equacao
Integral de Fredholm.
viii
Abstract
In this work we present a study about wavelet orthogonal basis focusing on the
Haar system and in its applications. Initially, we do a brief review of concepts followed by
the main results on multi-resolution analysis for wavelets in general. We proceed to the
study of the particular case of one-dimensional Haar wavelets: its main properties and an
algorithm that may be used for approximating functions supported on the interval [0, 1].
The theory for one-dimensional functions will be extended for the two-dimensional case.
In this sense, we deal with the implementation of approximation methods for functions
using the 2D Haar basis and the approximation of the solutions both the homogeneous
and the non-homogeneous Fredholm integral equation. Using the computational package
Matlab we perform numerical experiments in order to illustrate such approximations.
Keywords: wavelet functions; Haar System; Multi-resolution Analysis; Fredholm Inte-
gral Equation.
ix
Lista de Figuras
3.1 Funcoes escala e wavelet-mae de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1 Comparacao da aproximacao com a funcao u no espaco V3 . . . . . . . . 57
4.2 Erro relativo entre a aproximacao e a funcao u no espaco V3 . . . . . . . 58
4.3 Comparacao da aproximacao com a funcao u no espaco V6 . . . . . . . . 59
4.4 Erro relativo entre a aproximacao e a funcao u no espaco V6. . . . . . . . 60
4.5 Autovalores gerados pelo metodo das wavelets de Haar 2D e autovalores
exatos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Comparacao da aproximacao da solucao com a solucao exata no espaco V3 67
4.7 Erro relativo entre a aproximacao da solucao e a solucao exata no espaco V3 67
4.8 Comparacao da aproximacao da solucao com a solucao exata no espaco V6 68
4.9 Erro relativo entre a aproximacao da solucao e a solucao exata no espaco
V6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.10 Diferenca em modulo entre a aproximacao direta da funcao u e a apro-
ximacao da solucao de (4.42). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
x
Sumario
Introducao 1
1 Conceitos Preliminares 4
1.1 Espacos de Funcoes Integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Funcoes Wavelets 9
2.1 Translacao e Mudanca de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Analise de Multirresolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Funcao Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Wavelet mae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Algoritmo de Mallat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Sistema de Haar 30
3.1 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Aproximacoes de Funcoes Utilizando o Sistema de Haar . . . . . . . . . . 45
3.3 Base 2D Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Base 2D Gerada por Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Aplicacoes 52
4.1 Implementacao da Aproximacao de Funcoes na Base de Haar 2D . . . . . 52
4.2 Equacao de Fredholm Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1 Formulacao Variacional e Aproximacao de Galerkin . . . . . . . . 57
4.2.2 Montagem do Sistema de Autovalores Discreto . . . . . . . . . . . 59
4.2.3 Exemplo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
xi
4.3 Equacao de Fredholm nao Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.1 Exemplo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Conclusao 70
Referencias Bibliograficas 72
xii
Introducao
Na natureza encontramos grandezas dispostas em inumeras escalas: desde mi-
nimamente pequenas a extremamente grandes. Ao modelar essas grandezas tendo em
maos ferramentas que nao se adequam a isso, e difıcil obter, ao mesmo tempo, pre-
cisao e baixo custo computacional. Nesse ponto, as funcoes Wavelet dispoem da grande
vantagem de permitir a utilizacao de varias escalas simultaneamente. Esse e um dos
principais motivos de adotarmos essa teoria, que tornou-se ferramenta muito usada em
varias areas que ate hoje estao sendo ampliadas. Em 1990, a analise wavelet recebeu o
destaque de topico de pesquisa recomendado para as proximas decadas pela Sociedade
de Matematica Norte-Americana [5].
O termo “wavelets”, adotado nesse trabalho, teve inicialmente sua versao em
frances com o termo “ondelettes”, em portugues “ondinhas”ou “ondaletas”, que associa-
se a “pequenas ondas”, tendo apelo intuitivo associado a ondas que crescem e decaem
num perıodo limitado de tempo [5].
E importante ressaltar que, muito antes de se ter conhecimento da analise wave-
let, mais precisamente no ano de 1911, Alfred Haar apresentou em seu trabalho [15] uma
sequencia de funcoes ortonormais constantes por partes, que hoje e considerada como um
exemplo importante de sistema de funcoes wavelets, ao qual e dado o nome de Sistema
de Haar. No final desse seu trabalho, Haar se concentra em descrever esse sistema de
funcoes e demostrar as relacoes de ortogonalidade, a densidade desse sistema no espaco
L2(0, 1), e acima de tudo a convergencia uniforme das somas parciais da serie Haar a uma
funcao f , para qualquer funcao contınua f em [0, 1]. Mais especificamente, ele mostra a
Georg Zimmermann disponibilizou uma traducao para a lıngua inglesa deste artigo na paginahttps://www.uni-hohenheim.de/∼gzim/Publications/haar.html
Introducao 2
convergencia das somas parciais de Haar em todos os pontos onde a antiderivada de f
existe.
Segundo Feichtinger [12], o surgimento do Sistema de Haar instigou muitos pes-
quisadores a se perguntar se a convergencia uniforme era valida apenas para conjuntos
de funcoes ortonormais descontınuas. As respostas para tal pergunta comecaram a surgir
a partir de cerca de 18 anos mais tarde, com exemplos de sistemas de funcoes ortogonais
contınuas [13]. Depois disso, houve contribuicoes significativas de varios autores ate a
teoria wavelet se consolidar no que e hoje. Nesse tempo surgiram varios outros exemplos
de sistemas de funcoes wavelets.
Dentre as contribuicoes mais recentes podemos ressaltar a importancia de Le-
marie e Meyer [19] que apresentaram uma generalizacao das funcoes wavelets num con-
ceito que foi aperfeicoado ate se tornar o que se compreende por Analise de Multirre-
solucao, posteriormente descrita por [21].
Outra contribuicao importante foi a de Ingrid Daubechies, que foi capaz de
construir sistemas de funcoes wavelets de suporte compacto. Seu artigo [9] e um marco
importante na historia da teoria de wavelets, por pelo menos duas razoes: a importancia
do suporte compacto das funcoes wavelets para aplicacoes, e oferecer condicoes para
poder utilizar o algoritmo cascata para calcular os coeficientes das funcoes wavelets
numericamente com precisao [12].
Depois disso, Mallat [22], visando praticidade em utilizar bases ortonormais
wavelets para aproximar funcoes de L2(R), desenvolveu um metodo para calcular os
coeficientes das somas wavelets, que basicamente sao produtos internos entre as funcoes
da base e a funcao a ser aproximada, sem recorrer ao uso do calculo de integrais.
Contudo, mesmo com a existencia de uma gama grande de exemplos de funcoes
wavelets, o Sistema de Haar e muitas vezes considerado como o mais natural e simples
exemplo de um sistema ortonormal wavelet, que tem desempenhado um papel importante
ate hoje [12]. Alem disso, podemos contar com uma extensao do conceito de Base de
Haar para espacos de funcoes bidimensionais [2]. A principal contribuicao do presente
trabalho e agregar os principais aspectos teoricos sobre o sistema de Haar, resultando
Introducao 3
em um estudo detalhado sobre o Sistema de Haar no contexto de sistemas de funcoes
wavelets ortogonais para, a partir daı, explorar suas aplicacoes. Duas referencias foram
fundamentais para este trabalho: os livros de G. Walter [23] e C. Blatter [4], nos quais
se encontram feitas ou esbocadas diversas demonstracoes necessarias aqui.
No primeiro capıtulo, serao apresentados conceitos preliminares que ajudarao a
compreender a teoria apresentada posteriormente. No segundo capıtulo, sera feita uma
abordagem a funcoes wavelets englobadas no que se entende por Analise de Multirre-
solucao, e nessa parte tambem estudaremos o algoritmo de Mallat [22]. Em seguida,
no terceiro capıtulo, trataremos do caso especıfico do Sistema de Haar, expondo sua
definicao e demonstrando suas principais propriedades. Posteriormente faremos um es-
tudo sobre a extensao do conceito de base de Haar para o espacos de funcoes de duas
variaveis. Tendo em maos as ferramentas citadas ate aqui, no quinto capıtulo, explora-
remos aplicacoes das Bases de Haar bidimensionais, mais precisamente, combinaremos o
conceito de base de Haar de duas dimencoes com o metodo de Galerkin a fim de aproximar
a solucao de equacoes integrais de Fredholm, tanto homogeneas, como nao-homogeneas.
Capıtulo 1
Conceitos Preliminares
Neste capıtulo buscamos fazer uma breve revisao de conceitos matematicos que
sao de fundamental importancia no desenvolvimento deste trabalho. A primeira parte
contem definicoes e resultados provenientes da teoria da Medida e Integracao e de Analise
Funcional. Em seguida, sao apresentadas nocoes relacionadas a bases ortonormais.
1.1 Espacos de Funcoes Integraveis
Inicialmente, apresentamos algumas definicoes importantes.
Definicao 1.1 (Espaco de Hilbert) Um espaco de Hilbert e um espaco vetorial Hsobre um corpo K, munido com um produto interno 〈·, ·〉, completo perante a metricad(x, y) = ‖x− y‖ induzida pela norma desse espaco.
Definicao 1.2 (Espaco lp(Z)) O espaco lp(Z) (1 ≤ p < ∞) e um espaco vetorial for-mado pelas sequencias (sn)n∈Z tais que
∞∑n=−∞
|sn|p <∞.
Pode-se definir a norma
‖sn‖2 :=
(∑k∈Z
|sn|2) 1
2
.
em lp(Z) de modo que este seja um espaco de Hilbert perante a metrica induzida pela
norma ‖ · ‖l2(Z) [18].
4
Conceitos preliminares 5
Definicao 1.3 (Espaco Lp(R)) O espaco Lp(R) (1 ≤ p < ∞) e um espaco vetorialformado pelas funcoes f : R→ C tais que∫ ∞
−∞|f(t)|pdt <∞,
Para uma correta definicao dos espacos Lp(R), devemos considerar as integrais
no sentido de Lebesgue [17].
No desenvolvimento deste trabalho, sao feitas muitas referencias a funcoes f :
R → C pertencentes ao espaco de Hilbert Lp com p = 2 [8], ao qual podemos associar
uma operacao de produto interno:
Definicao 1.4 (Espaco L2(R)) O espaco (L2, 〈·, ·〉), em que
〈f, g〉 :=
∫ ∞−∞
f(t)g(t)dt (1.1)
e um espaco vetorial com produto interno. Definimos neste espaco a norma
‖f‖ := (〈f, f〉)12 =
(∫ ∞−∞|f(t)|2dt
) 12
(1.2)
Em alguns casos precisaremos da definicao de um espaco de funcoes mais especıfico:
Definicao 1.5 (Espaco L2(a, b)) Dados a, b ∈ R com a < b, dizemos que o espacoL2(a, b) e um espaco vetorial formado pelas funcoes f : [a, b]→ C tais que∫ b
a
|f(t)|2dt <∞.
O espaco L2(a, b), por sua vez, tambem e munido de produto interno e sua norma
induzida conforme as definicao a seguir:
Definicao 1.6 Dados a, b ∈ R com a < b, o espaco L2(a, b) e um espaco vetorial comproduto interno dado por
〈f, g〉L2(a,b)
:=
∫ b
a
f(t)g(t)dt. (1.3)
Neste espaco, definimos a norma
‖f‖L2(a,b)
:= 〈f, f〉1/2L2(a,b) =
(∫ b
a
|f(t)|2dt) 1
2
. (1.4)
Conceitos preliminares 6
Por simplicidade de notacao, quando estivermos falando sobre espacos L2, seja definidos
na reta toda ou num intervalo (a, b), utilizaremos sempre 〈·, ·〉 e ‖ · ‖ para denotar o
produto interno e a norma respectivamente.
Levando em consideracao que, em muitos casos, buscaremos aproximacoes de
funcoes, se faz necessario a utilizacao de resultados importantes relacionados a con-
vergecia de sequencias de funcoes, seja no espaco L2(R) ou no espaco L2(a, b), com a < b.
A seguir listamos alguns resultados relacionados a esse assunto, cuja demonstracao pode
ser encontrada em [24].
Teorema 1.7 (Convergencia Monotona) Seja (fn)n∈N uma sequencia monotona defuncoes de L2(R) cujas integrais sao limitadas, ou seja, fn ∈ L1(R) para todo n ∈ N.Entao (fn)n∈R converge para uma funcao f em quase todo ponto de R e∫ ∞
−∞f(t) dt = lim
n→∞
∫ ∞−∞
fn(t) dt.
Corolario 1.8 Se f e um elemento positivo de L1(R), isto e, f(x) ≥ 0 para quase todox ∈ R, e
∫∞−∞ f(t) = 0 entao f ≡ 0 em quase todo ponto.
Da teoria de Analise Funcional, extraimos a desigualdade a seguir, que tem uma
versao tambem para integrais.
Teorema 1.9 (Desigualdade de Holder) Sejam p, q > 1 numeros que satisfazem arelacao 1
p+ 1
q= 1. Temos que, para quaisquer sequencias (ak)k∈Z ⊂ lp(Z) e (bk)k∈Z ⊂
lq(Z),∞∑
k=−∞
|ak · bk| ≤
(∞∑
k=−∞
|ak|p) 1
p
·
(∞∑
k=−∞
|bk|q) 1
q
. (1.5)
A demonstracao do Teorema 1.9 pode ser encontrada em [8].
Teorema 1.10 (desigualdade de Holder para integrais [24]) Sejam p, q > 1 nume-ros que satisfazem a relacao 1
p+ 1
q= 1 e f, g funcoes tais que f ∈ Lp(R) e g ∈ Lq(R).
Entao, f.g ∈ L1(R) e∫ ∞−∞|f(t) · g(t)| dt ≤
(∫ ∞−∞|f(t)|p dt
) 1p
·(∫ ∞−∞|g(t)|q dt
) 1q
. (1.6)
Note agora que a seguinte condicao e necessaria para que f ∈ L2(R):
limt→±∞
|f(t)| = 0.
Conceitos preliminares 7
Esta condicao e satisfeita automaticamente pelas funcoes que se anulam quando |t| > T
para algum T > 0 dado. Isto motiva introduzir o conceito de suporte de uma funcao:
Definicao 1.11 (Suporte) O suporte de uma funcao f : R→ C e o conjunto supp(f)definido por
supp(f) = {t ∈ R | f(t) 6= 0}. (1.7)
Definicao 1.12 (Suporte compacto) Uma funcao f : R→ C e dita de suporte com-pacto se o conjunto supp(f) ∈ R e fechado e limitado.
Dado um conjunto A ∈ R, seja int(A) o interior de A, ou seja, o maior conjunto
aberto contido em A.
Proposicao 1.13 Se dois sinais f, g ∈ L2(R) satisifazem int (supp(f) ∩ supp(g)) = ∅,entao f e g sao ortogonais, isto e, 〈f, g〉 = 0.
Demonstracao. Segue diretamente da hipotese que f(x)·g(x) = 0 para todo x real. Desta
maneira, pela definicao do produto interno em temos L2(R), temos 〈f, g〉 = 0.
1.2 Bases Ortonormais
Inicialmente, vamos introduzir o conceito de conjuntos ortogonais e complemento
ortogonal de um subconjunto seguidas da definicao de conjunto ortonormal total.
Definicao 1.14 Dizemos que um subconjunto A do espaco com produto interno X e umconjunto ortogonal se quaisquer dois vetores distintos de A forem ortogonais, ou seja,o produto interno entre eles deve ser zero. Se, alem disso, seus elementos tem normaum, sera dito um conjunto ortonormal. Dizemos tambem que dois conjuntos A e B saoortogonais quando qualquer elemento de A e ortogonal a todo elemento de B.
Definicao 1.15 Seja A um subconjunto do espaco com produto interno X. Chamamosde complemento ortogonal do conjunto A em X, o conjunto de elementos de X que saoortogonais a todo elemento de A.
Definicao 1.16 Seja M um subconjunto do espaco com produto interno X. Definamosspan(M) como sendo o conjunto das combinacoes lineares finitas dos elementos de M .
Definicao 1.17 Seja M um subconjunto do espaco com produto interno X. Dizemosque M e total em X se o subespaco vetorial span(M) e denso em X, isto e, span(M) =X onde span(M) representa o fecho do conjunto span(M). Em outras palavras, umconjunto M e total no espaco X quando, para cada elemento de X, existe um elementode span(M) suficientemente proximo.
Conceitos preliminares 8
Indicamos a seguir alguns resultados importantes a respeito da caracterizacao
de sequencias ortonormais, cujas demonstraccoes podem ser encontradas em [8].
Teorema 1.18 Seja M um subconjunto do espaco com produto interno H. O subcon-junto M e total em H se, e somente se, seu complemento ortogonal em H contemsomente o elemento nulo.
Teorema 1.19 (Desigualdade de Bessel) Seja (fn)n∈Z uma sequencia ortonormal emum espaco com produto interno H. Para todo h ∈ H,
∞∑n=−∞
|〈h, fn〉|2 ≤ ‖h‖2.
Teorema 1.20 (Identidade de Parseval) Seja H um espaco de Hilbert. Uma sequencia(fn)n∈Z e total em H, se e somente se, para cada h ∈ H, tem-se
‖h‖2 =∞∑
n=−∞
|〈h, fn〉|2.
Teorema 1.21 Seja H um espaco de Hilbert. Uma sequencia (fn)n∈Z e total em H, see somente se, para cada h ∈ H, tem-se
h =∑n∈Z
〈h, fn〉fn. (1.8)
Dizemos que (fn)n∈Z e uma base ortonormal para H.
Vale lembrar que a igualdade (1.8) refere-se a convergencia perante a norma ‖ · ‖ do
espaco H, isto e,
limN→∞
∥∥∥∥∥h−N∑
n=−N
〈h, fn〉fn
∥∥∥∥∥ = 0.
Os coeficientes 〈h, fn〉, da expressao (1.8), sao comumente chamados de coeficientes de
Fourier [8].
Uma vez que os espacos L2(R) e L2(a, b), com a < b, sao espacos de Hilbert
(ver [8]), podemos assumir como validos para esses espacos, todos os resultados vistos
ate agora. Isso nos sera de grande utilidade, uma vez que no desenvolvimento deste
trabalho, veremos alguns exemplos de sequencias ortonormais totais de funcoes em tais
espacos, que serao tambem chamadas de sistemas ortonormais totais.
Capıtulo 2
Funcoes Wavelets
Neste capıtulo, sera estudada a teoria de bases ortonormais wavelets. Veremos
a maneira de construir um conjunto ortonormal total no espaco L2(R) a partir de uma
funcao, denominada funcao escala. Estudaremos tambem as condicoes que essa funcao
deve satisfazer para gerar o conjunto desejado. Ao final do capıtulo, exploraremos uma
maneira pratica de calcular a aproximacao de funcoes utilizando bases wavelets.
2.1 Translacao e Mudanca de Escala
Inicialmente, vamos definir duas operacoes fundamentais na construcao das
funcoes wavelets:
Definicao 2.1 (Translacao) Seja f ∈ L2(R) e b ∈ R uma constante. A operacaotranslacao por uma constante b e definida por:
Tbf(t) := f(t− b). (2.1)
Definicao 2.2 (Mudanca de Escala) Seja f ∈ L2(R) e a ∈ R uma constante. Aoperacao de mudanca de escala da funcao f segundo o fator a e dada por:
Daf(t) := f(at). (2.2)
2.2 Analise de Multirresolucao
O conceito de Analise de Multirresolucao(MRA), [21] foi formulado com base no
estudo de bases wavelets ortonormais. De modo geral, esse conceito fornece um quadro
9
Funcoes wavelets 10
natural para a compreensao das bases wavelets. A abordagem dada a esse conceito aqui,
e baseada em [4].
Uma Analise de Multirresolucao (ou Multiresolution Analysis - MRA) e uma
famılia (Vj| j ∈ Z) de subespacos fechados em L2 definida por meio das seguintes pro-
priedades:
(i) Os subespacos sao ordenados por inclusao:.
. . . ⊂ V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ ... ⊂ Vj ⊂ Vj+1 ⊂ ... ⊂ L2(R) (2.3)
(os maiores valores de j correspondem aos maiores espacos Vj); e valem os seguintesaxiomas:
(a) Axioma de Separacao: ⋂j∈Z
Vj = {0} ,
(b) Axioma da Completude: ⋃j∈Z
Vj = L2(R); (2.4)
(ii) Os subespacos Vj sao relacionados uns aos outros por meio do operador escala:
Vj+1 = D2Vj = . . . = D2jV0, ∀j ∈ Z. (2.5)
A propriedade 2 pode ser descrita em termos de uma funcao f na seguinte forma:
f(t) ∈ V0 ⇐⇒ D2jf(t) = f(2jt) ∈ Vj; (2.6)
(iii) Existe uma funcao φ ∈ L2(R) ∩ L1(R) tal que o conjunto de translacoes (Tkφ =φ(t − k)| k ∈ Z) forma uma base ortonormal de V0 ∈ L2(R). Essa funcao edenominada funcao escala da MRA.
Assim, o subespaco V0 pode ser descrito como um conjunto de funcoes da se-
guinte forma:
V0 =
{f ∈ L2(R)| f(t) =
∑k∈Z
ckφ(t− k),∑|ck|2 <∞
}. (2.7)
Podemos agora, utilizando a funcao φ e as operacoes mudanca de escala e
translacao, definir as funcoes
φj,k(t) = 2j/2φ(2jt− k) (j ∈ Z, k ∈ Z). (2.8)
Funcoes wavelets 11
Segue de (2.6) que as funcoes (φj,k| k ∈ Z) formam uma base do subespaco Vj.
Como as translacoes (Tkφ = φ(t − k)| k ∈ Z) sao ortonormais, pode-se verificar que as
funcoes (φj,k) tambem sao ortonormais para cada j ∈ Z. Com efeito, se fixarmos j ∈ Z,
dados k, l ∈ Z, utilizando integracao por substituicao temos
〈φj,k, φj,l〉 =
∫ ∞−∞
2j/2φ(2jt− k)2j/2φ(2jt− l)dt
x=2jt=
∫ ∞−∞
2jφ(x− k)φ(x− l) 1
2jdx
=
∫ ∞−∞
φ(x− k)φ(x− l)dx = δk,l.
2.3 Funcao Escala
Ate agora sabemos que, ao escolhermos a funcao φ = φ0,0 ∈ L2(R) ∩ L1(R), ela
deve satisfazer tres condicoes gerais. Uma delas e que o conjunto (φ(t− k)| k ∈ Z) seja
ortonormal. Outra condicao que devemos verificar e a garantia das inclusoes (2.3). A
terceira condicao, e que valem os axiomas de separacao e da completude. Nesta secao
estudaremos, essencialmente, requisitos para que essas condicoes sejam satisfeitas.
Lema 2.3 Seja φ ∈ L2(R) uma funcao escala nao nula, V0 o espaco definido em (2.7),e (Vj| j ∈ Z) a sequencia de espacos definida por (2.5). Se V0 ⊂ V1, todas as inclusoesde (2.3) sao validas.
Demonstracao. Dado j ∈ Z, seja f ∈ Vj e
f0(t) = D2−jf(t) = f(2−jt), ∀t ∈ R.
Note que f(t) = f(2j2−jt) = D2jf0(t), logo
f ∈ Vj =⇒ D2jf0 ∈ Vj.
Temos agora por (2.6) que
D2−jD2jf0 ∈ Vj−j, (2.9)
ou seja, f0 ∈ V0. Como V0 ⊂ V1 entao f0 ∈ V1 logo, por (2.6), temos que
f0 ∈ V1 =⇒ D2jf0 ∈ Vj+1. (2.10)
Funcoes wavelets 12
Portanto, f = D2jf0 ∈ Vj+1 com f ∈ Vj arbitrario. Como j ∈ Z tambem foi escolhido
arbitrariamente entao
Vj ⊂ Vj+1, ∀j ∈ Z.
Teorema 2.4 A inclusao V0 ⊂ V1 e valida, se e somente se, existe uma sequencia(hk) ∈ l2(Z) tal que
φ(t) =√
2∞∑
k=−∞
hkφ(2t− k). (2.11)
Demonstracao. (⇒)Temos que φ ∈ V1. Definamos φ0(t) := φ(2−1t), ou seja,
φ(t) = φ(2.2−1t) = D2φ(2−1t) = D2φ0(t).
Temos de (2.6) que
φ = D2φ0 ∈ V1 =⇒ φ0 ∈ V0,
sendo assim, existe uma sequencia (an)n∈Z ∈ l2(Z) tal que
φ0(t) =∑n∈Z
anφ(t− n).
Segue que
φ0(2t) =∑n∈Z
anφ(2t− n).
Mas φ0(2t) = D2φ0(t) = φ(t) de modo que se escolhermos hk =ak√
2, para todo k inteiro,
temos
φ(t) =∑k∈Z
hk√
2φ(t− k).
(⇐)Seja f ∈ V0. Existe uma sequencia (an)n∈Z ∈ l2(Z) tal que
f(t) =∑n∈Z
anφ(t− n), ∀t ∈ R.
Por outro lado, para todo n ∈ Z, existe uma sequencia (ck)k∈Z ∈ l2(Z) tal que
φ(t− n) =∑k∈Z
ck√
2φ(2(t− n)− k)
=∑k∈Z
ck√
2φ(2t− 2n− k)
l=2n+k=
∑l∈Z
cl−2n√
2φ(2t− l) ∈ V1. (2.12)
Funcoes wavelets 13
Definamos a sequencia (fN)N∈N dada por
fN(t) =N∑
n=−N
anφ(t− n). (2.13)
Note que, por (2.12), fN ∈ V1 para todo N ∈ N. Temos tambem que
f(t) = limN→∞
N∑n=−N
anφ(t− n), (2.14)
sendo assim, para mostrar que f ∈ V1 basta provar que V1 e fechado. Para tal, seja
(gn)n∈N uma sequencia em V1 tal que limn→∞
gn = g. Como as funcoes (φ1,k| k ∈ Z) formam
uma base para V1, para cada n ∈ N existe uma sequencia a(n) = (a(n)k )k∈Z ∈ l2(Z) tal que
gn(t) =∑k∈Z
a(n)φ1,k(t). (2.15)
Como a sequencia (gn)n∈N converge entao ela tambem e de Cauchy, ou seja, dado ε > 0
existe n0 ∈ N tal que ‖gm − gn‖ < ε para todo m,n > n0. Mas como o conjunto
(φ1,k| k ∈ Z) e ortonormal total em V1 entao, pela identidade de Parseval temos que
‖gm − gn‖2 =
∥∥∥∥∥∑k∈Z
a(m)k φ1,k −
∑k∈Z
a(n)k φ1,k
∥∥∥∥∥2
=
∥∥∥∥∥∑k∈Z
(a(m)k − a(n)k )φ1,k
∥∥∥∥∥2
=∑k∈Z
|a(m)k − a(n)k |
2 = ‖a(m) − a(n)‖2.
Isto significa que a sequencia (a(n))n∈N e de Cauchy em l2(Z). Como l2(Z) e um espaco
de Hilbert, temos que existe uma sequencia a = (ak)k∈Z ∈ l2(Z) tal que limn⇒∞
a(n)k = ak
para todo k ∈ Z. Se definirmos
g(t); =∑k∈Z
akφ1,k(t),
Funcoes wavelets 14
temos que f ∈ V1. Alem disso, utilizando a identidade de Parseval novamente, temos
limn→∞
‖gn − g‖ = limn→∞
∥∥∥∥∥∑k∈Z
a(n)k φ1,k −
∑k∈Z
akφ1,k
∥∥∥∥∥2
= limn→∞
∥∥∥∥∥∑k∈Z
(a(n)k − ak)φ1,k
∥∥∥∥∥2
= limn→∞
∑k∈Z
|a(n)k − ak|2 = lim
n→∞‖a(n) − a‖2 = 0.
Isto prova que V1 e fechado.
A identidade (2.11) recebe o nome de Equacao Escala.
Seja φ uma funcao que satisfaz a equacao escala. Reescrevendo a equacao escala
em termos das funcoes (φ1,k| k ∈ Z) e usando a ortogonalidade destas, obtemos
φ =∞∑
k=−∞
hkφ1,k, hk = 〈φ, φ1,k〉 . (2.16)
Esta representacao permite verificar que, se a funcao escala φ possuir suporte
compacto, entao somente alguns hk sao nao nulos.
Teorema 2.5 Se o suporte da funcao escala e supp(φ) = [−M1,M2] e k ≤ −(2M1+M2)ou k ≥ 2M2 +M1 entao hk = 0.
Demonstracao. Seja supp(φ) = [−M1,M2]. Temos que, se 2t− k < −M1 e 2t− k > M2
entao
φ1,k(t) = φ(2t− k) = 0 (2.17)
ou seja, supp(φ1,k) ⊆ [(k −M1)/2, (k +M2)/2]. Assim, se (k −M1)/2 ≥ M2 ou (k +
M2)/2 ≤ −M1 entao int(supp(φk)) ∩ int(supp(φ1,k)) = ∅ . Nestes casos, segue pela
proposicao (1.13) que 〈φ, φ1,k〉 = 0.
Vamos agora formular condicoes para a funcao escala φ a fim de garantir que os
axiomas da separacao e de completude da famılia (Vj| j ∈ Z) sejam validos.
Teorema 2.6 Supondo que existe uma constante C tal que a funcao escala φ ∈ L2(R)∩L1(R) satisfaz a estimativa da forma
|φ(t)| ≤ C
1 + t2, ∀t ∈ R. (2.18)
Funcoes wavelets 15
e que a famılia (φ0,k| k ∈ Z) e uma base ortonormal de V0, entao vale o axioma daseparacao.
Demonstracao. Seja f ∈ V0. Existe uma sequencia (ak)k∈Z ∈ l2(Z) tal que
f(t) =∞∑
k=−∞
akφ(t− k), ∀t ∈ R. (2.19)
Dado t0 ∈ R, pela desigualdade de Holder (1.9),
|f(t0)| =
∣∣∣∣∣∞∑
k=−∞
akφ(t0 − k)
∣∣∣∣∣ ≤(
∞∑k=−∞
|ak|2)1/2
·
(∞∑
k=−∞
|φ(t0 − k)|2)1/2
. (2.20)
Primeiramente, nosso objetivo sera majorar o termo da direita do produto que aparece
na expressao (2.20). Uma vez que 1 + t20 > 1 entao (1 + t20)2 > 1 + t20 logo, 1
(1+t20)2 <
11+t20
.
Supondo, sem perda de generalidade, que C > 1 temos que
|φ(t0)| ≤C
(1 + t20)=⇒ |φ(t0)|2 ≤
C2
(1 + t20)2≤ C2
1 + t20. (2.21)
Seja j ∈ Z tal que t0 = j +α, |α| < 1 (j e a parte inteira de t0). A partir de j definamos
a soma parcial
SN =
j+N∑k=j−N
|φ(t0 − k)|2. (2.22)
Por (2.21) tem-se que
SN ≤ C2
j+N∑k=j−N
1
1 + (t0 − k)2= C2
j+N∑k=j−N
1
1 + (j + α− k)2(2.23)
≤ C2
1 + (α + 1)2+
C2
1 + (α)2+
C2
1 + (α− 1)2+
j+N∑k=j−N
|k|>j+1
1
1 + (j + α− k)2(2.24)
< C2
(3 +
j−2∑k=j−N
1
1 + (j + α− k)2+
j+N∑k=j+2
1
1 + (j + α− k)2
). (2.25)
Por outro lado,
1 + (j + α− k)2 = 1 + (j − k)2 + 2α(j − k) + α2
≥ 1 + (j − k)2 + 2α(j − k)
≥ 1 + (j − k)2 − 2|α||(j − k)|
≥ 1 + (j − k)2 − 2|(j − k)| = (1− |j − k|)2
Funcoes wavelets 16
logo,
SN ≤ C2
(3 +
j−2∑k=j−N
1
1− |j − k|2+
j+N∑k=j+2
1
1− |j − k|2
).
Definindo i = j − k tem-se i ≥ 0 e assim
SN ≤ C2
(3 +
−2∑i=−N
1
(1− |i|)2+
N∑i=2
1
(1− |i|)2
)
= C2
(3 +
−2∑i=−N
1
(1− i)2+
N∑i=2
1
(1− i)2
). (2.26)
Definindo agora k = i + 1 e k = i − 1 no penultimo e no ultimo somatorios de (2.26)
respectivamente obtem-se
SN ≤ C2
(3 +
−2∑k=−N+1
1
k2+
N−1∑k=1
1
k2
)
= C2
(3 + 2
N−1∑k=1
1
k2
)≤ C2
(3 + 2
∞∑k=1
1
k2
)= C2
(3 +
π2
3
).
Podemos agora tomar o limite quando N tende a infinito em SN :
limN→∞
Sn =∞∑
k=∞
|φ(t0 − k)|2 ≤ C2
(3 +
π2
3
):= C. (2.27)
Perceba ainda que (∞∑
k=−∞
|ak|2)1/2
= ‖f‖ <∞. (2.28)
Deste modo, por (2.20), (2.27) e (2.28) temos que
|f(t0)| ≤ C‖f‖.
Como t0 ∈ R foi escolhido arbitrariamente entao
ess supt∈R|f(t)| ≤ C‖f‖. (2.29)
Seja f ∈⋂
m∈Z Vm, ou seja, f ∈ Vm para todo m ∈ Z. Queremos mostrar que f ≡ 0 q.t.p.
fixando um m0 ∈ Z, segue de (2.6) que existe uma funcao f0 ∈ V0 tal que f = D2m0f0
logo
ess supt∈R|f(t)| = ess sup
t∈R|f0(2m0t)| = ess sup
t∈R|f0(t)| ≤ C‖f‖. (2.30)
Funcoes wavelets 17
Por outro lado,
‖f0‖2 =
∫ ∞−∞|f0(t)|2dt =
∫ ∞−∞|f(2−m0t)|2dt s=2−m0 t
= 2m0
∫ ∞−∞|f(s)|2dt = 2m0‖f‖.
Assim, por (2.29),
ess supt∈R|f(t)| ≤ 2m0‖f‖.
Em particular, tomando o limite quando m0 tende a infinito, obtem-se
ess supt∈R|f(t)| ≤ 0
em quase todo ponto de R.
Obs.: Para que |φ(t)| ≤ C1+t2
e suficiente que a funcao φ tenha suporte compacto
e seja limitada.
O lema e o teorema seguintes utilizam a funcao escala de Haar φH , que ate
entao nao foi definida. Ela aparece em detalhes na Secao 3.1 do Capıtulo 3, onde sao
verificadas tambem propriedades sobre as funcoes de Haar utilizadas na demontracoes
dos resultados a seguir.
Lema 2.7 Seja φ ∈ L2(R) uma funcao escala e V =⋃j∈Z
Vj. Vale
∣∣∣∣∫ ∞∞
φ(t)dt
∣∣∣∣ = 1 (2.31)
se, e somente se, a funcao escala de Haar φH pertence ao conjunto V .
Demonstracao. Vamos considerar a sequencia (φHj )j∈Z definida por
φHj (t) :=
∑k∈Z
ckφj,k(t), ∀t ∈ R, ck = 〈φH , φj,k〉. (2.32)
Pela desigualdade de Bessel, ∑k∈Z
|ck|2 ≤ ‖φH‖.
Funcoes wavelets 18
Como φH ∈ L2(0, 1), (ck)k∈Z ∈ l2(Z), ou seja, para cada j ∈ Z, φHj ∈ Vj donde (φH
j )j∈Z ⊂⋃j∈Z
Vj. Temos que
|ck|2 = |〈φH , φj,k〉|2
=
∣∣∣∣∫ 1
0
φj,k(t)dt
∣∣∣∣2=
∣∣∣∣∫ 1
0
2j/2φ(2jt− k)dt
∣∣∣∣2s=2jt−k
= 2−j
∣∣∣∣∣∫ 2j−k
−kφ(s)ds
∣∣∣∣∣2
.
Assim,
‖φHj ‖ =
∑k∈Z
|ck|2 =∑k∈Z
2−j
∣∣∣∣∣∫ 2j−k
−kφ(s)ds
∣∣∣∣∣2
. (2.33)
Seja n tal que −k = −n− 2j
2, ou seja, n = k − 2j
2. Neste caso, n e inteiro quando j ≥ 0.
Note que 2j − k = 2j − n− 2j
2= 2j
2− n. Assim,
‖φHj ‖ =
∑n∈Z
2−j
∣∣∣∣∣∫ −n+2j−1
−n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
=∑n∈Z
2−j
∣∣∣∣∣∫ n+2j−1
n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
, ∀j ≥ 0. (2.34)
Vamos estabelecer condicoes para que limj→+∞ ‖φHj ‖ = ‖φH‖ = 1. Note que o ındice
n translada o intervalo de integracao [−2j−1, 2j−1]. Dado M > 0 (adiante veremos
condicoes mais especıficas de como atribuir valores para M , para que o intervalo de
integracao [n−2j−1, n+2j−1] contenha o intervalo [−M,M ], devemos ter −M+2j−1 ≥ n
e n ≥M − 2j−1. Deste modo, podemos reescrever (2.34) da seguinte maneira:
‖φHj ‖ =
−(2−j−M)−1∑n=−∞
2−j
∣∣∣∣∣∫ n+2j−1
n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
+2−j−M∑
n=−(2−j−M)
2−j
∣∣∣∣∣∫ n+2j−1
n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
+∞∑
n=2−j−M+1
2−j
∣∣∣∣∣∫ n+2j−1
n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
, ∀j ≥ 0.
Definindo αn :=
∣∣∣∣∣n+2j−1∫n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
e q := 2j−1 −M tem-se que
‖φHj ‖ = 2−j
( −q−1∑n=−∞
αn +
q∑n=−q
αn +∞∑
n=q+1
αn
), ∀j ≥ 0. (2.35)
Funcoes wavelets 19
Levando em consideracao que
limm→∞
∣∣∣∣∫ M
−Mφ(t)dt
∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣∫ ∞−∞
φ(t)dt
∣∣∣∣2 = |φ(0)|2, (2.36)
temos que, para todo ε > 0, existe M1 > 0 tal que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∫ N2
−N1
φ(t)dt
∣∣∣∣2 − |φ(0)|2∣∣∣∣∣ < ε, ∀N1, N2 ≥M1. (2.37)
Escolhendo entao M > M1, segue de (2.35) e (2.37) que
‖φHj ‖ ≥ 2−j
q∑n=−q
αn
> 2−jq∑
n=−q
(|φ(0)|2 − ε
)> 2−j(2q − 1)
(|φ(0)|2 − ε
)= 2−j(2j − 2M + 1)
(|φ(0)|2 − ε
)≥ |φ(0)|2 − ε− (2M − 1)(|φ(0)|2 − ε), ∀j > 0.
Fixando M = M1, tomemos ε > 0 tal que 0 < ε < |φ(0)|2 e M1 = M(ε) > 12. Vamos
tomar tambem j > 0 tal que 2−j(2M1 − 1) < ε, ou seja, 2j > 2M1−1ε
. Deste modo,
‖φHj ‖2 > |φ(0)|2−ε−ε(|φ(0)|2−ε) = |φ(0)|2−ε(1+ |φ(0)|2−ε), ∀j > log
(2M1 − 1
ε
).
Portanto, limj→+∞
‖φHj ‖2 ≥ |φ(0)|2. Vamos verificar agora que lim
j→+∞‖φH
j ‖2 ≤ |φ(0)|2. Com
efeito, utilizando novamente (2.35) e (2.37) tem-se
2−jq∑
n=−q
αn < 2−jq∑
n=−q
(|φ(0)|2 + ε)
= 2−j(2q + 1)(|φ(0)|2 + ε)
= 2−j(2j − 2M + 1)(|φ(0)|2 + ε)
= |φ(0)|2 + ε− 2−j(2M − 1)(|φ(0)|2 + ε).
Fixando M = max{M1, 1}, obtem-se
a−jq∑
n=−q
αn < |φ(0)|2 + ε.
Funcoes wavelets 20
Por outro lado,
2−j∞∑
n=q+1
αn = 2−j
(2m−1∑n=q+1
αn +∞∑
n=2m−1+1
αn
). (2.38)
Vamos analisar inicialmente o primeiro somatorio da direita de (2.38). Lembrando que
αn =
∣∣∣∣∣n+2j−1∫n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
, podemos afirmar que
2m−1∑n=q+1
αn =2m−1∑n=q+1
∣∣∣∣∣∫ n+2j−1
n−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
≤2m−1∑n=q+1
∣∣∣∣∣∫ n+2j−1
n−2j−1
|φ(s)|ds
∣∣∣∣∣2
, (2.39)
mas, ∫ ∞−∞|φ(s)|ds ≤
∫ ∞−∞
C
1 + s2ds = Cπ, (2.40)
Pois, para qualquer numero natural L,∫ L
−L
ds
1 + s2= 2 · arctg(L).
Tomando o limite quando L tende a infinito temos
limL→∞
2 · arctg(L) = 2 · π2.
Assim,
2m−1∑n=q+1
αn ≤2j−1∑
n=q+1
|Cπ|2
= (2j−1 − (Q+ 1) + 1)C2π2
= (2j−1 − (2j−1 −M))C2π2 = MC2π2. (2.41)
Agora, para o somatorio da direita do lado direito da igualdade (2.38), temos
∞∑n=2j−1+1
αnl=n−2j−1
=∞∑l=1
αl+2j−1 =∞∑l=1
∣∣∣∣∣∫ l+2j−1+2j−1
l+2j−1−2j−1
φ(s)ds
∣∣∣∣∣2
≤∞∑l=1
∣∣∣∣∫ ∞l
|φ(s)|ds∣∣∣∣2 .(2.42)
Porem, para cada l ∈ Z,∫ ∞l
|φ(s)|ds ≤∫ ∞l
C
1 + s2dt ≤
∫ ∞l
C
s2dt =
C
l, (2.43)
Funcoes wavelets 21
assim,∞∑
n=2j−1+1
αn ≤∞∑l=1
∣∣∣∣Cl∣∣∣∣2 = C2
∞∑l=1
1
l2= C2π
2
6. (2.44)
Portanto, por (2.41) e (2.44),
2−j∞∑
n=q+1
αn ≤ 2−j(MC2π2 + C2π
2
6
). (2.45)
Analogamente, pode-se verificar que
2−j−q−1∑n=−∞
αn ≤ 2−j(MC2π2 +
p12
6
). (2.46)
Assim, para M ≥ max{M1,
12
}e j > 0 tal que q = 2j−1 −M > 0,
‖φHj ‖2 ≤ |φ(0)|+ε+2−j
(2MC2π2 +
C2π2
3
)= |φ(0)|2+ε+2−j
(2M +
1
3
)C2π2. (2.47)
Por fim, para M = M1, e j tal que 2−j(2M1 + 1
3
)< ε, ou seja, 2j > 2M1+1/3
ε, tem-se
‖φHj ‖2 ≤ |φ(0)|2 + ε(1 + C2π2). (2.48)
Sendo assim, limj→∞‖φH
j ‖2 ≤ |φ(0)|2. Alem disso, limj→∞‖φH
j ‖2 ≥ |φ(0)|2 conforme prova-
mos anteriormente, de modo que limj→∞‖φH
j ‖2 = |φ(0)|2. Como sabemos tambem que
limj→∞‖φH
j ‖2 = ‖φH‖2 = 1 entao, por unicidade de limite, podemos concluir que
φH ∈ V ⇐⇒ |φ(0)|2 = 1.
Teorema 2.8 Dada uma funcao escala φ ∈ L2(R), axioma da completude e valido se, esomente se, ∣∣∣∣∫ ∞
∞φ(t)dt
∣∣∣∣ = 1. (2.49)
Demonstracao. Fazendo uso do lema (2.7), nosso objetivo se resume a provar que o
axioma da completude e valido se e somente se a funcao escala de Haar φH pertence ao
conjunto V , em outros termos,
V = L2(R)⇔ φH = χ[0,1) ∈ V . (2.50)
Funcoes wavelets 22
(⇒)Se V = L2(R) entao φH ∈ V pois φH ∈ L2(R).
(⇐) Supondo agora que φH ∈ V , vamos verificar que φHj,k ∈ V ,∀j, k ∈ Z, lembrando que
φHj,k(t) = 2j/2φH(2jt− k), ∀t ∈ R. (2.51)
Com efeito, note que se φH ∈ V entao, pelo fato de V ser fechado, existe uma sequencia
(φ(n))n∈N ∈⋃j∈Z
Vj tal que limn→∞
‖φ(n) − φH‖ = 0. Para cada n > 0, uma vez que φ(n0) ∈⋃j∈Z
Vj, existe jn ∈ Z tal que φ(n0) ∈ Vjn . Sendo assim, para cada n > 0 existe uma
sequencia (ck)k∈Z ∈ l2(Z) de modo que
φ(n)(t) =∑k∈Z
ckφjn,k(t), ∀t ∈ R.
Dados j, k ∈ Z, para mostrar que φHj,k ∈ V , devemos obter uma sequencia (φ(n))n∈N tal
que limn→∞
‖φ(n) − φHj,k‖ = 0. Para isto, basta escolher
φ(n)(t) = φ(n)j,k (t) := 2j/2φ(n)(2jt− k), ∀n ∈ N & ∀t ∈ R.
Por (2.3) temos
φ(n)(t) = 2j/2∑l∈Z
ckφjn,l(2jt− k) (2.52)
=∑l∈Z
2j/2ck2jn/2φ(2jn(2jt− k)− l) (2.53)
=∑l∈Z
2(j+jn)/2ckφ(2(j+jn)t− (2jnk + l)), ∀t ∈ R,∀n ∈ Z. (2.54)
Definamos, para cada p ∈ Z, p = 2jnk + l e dp = cp−2jnk. Assim, temos que
φ(n)(t) =∑p∈Z
2(j+jn)/2dpφ2j+jn(t− p) =∑p∈Z
dpφj+jn(t), ∀t ∈ R.
Funcoes wavelets 23
Note que a sequencia (dp)p∈Z pertence ao conjunto l2(Z) portanto, φ(n) ∈ Vj+jn ⊂⋂j∈Z
Vj.
Alem disso,
‖φ(n) − φHj,k‖2 =
∫ ∞−∞|φ(n)(t)− φH
j,k(t)|2dt
=
∫ ∞−∞|2j/2φ(n)(2jt− k)− 2j/2φH(2jt− k)|2dt
=
∫ ∞−∞
2j|φ(n)(2jt− k)− φH(2jt− k)|2dt
s=2jt−k=
∫ ∞−∞|φ(n)(s)− φH(s)|2dt
= ‖φ(n) − φH‖.
Tomando o limite quando n tende a infinito temos
limn→∞
‖φ(n)(t)− φHj,k‖2 = lim
n→∞‖φ(n) − φH‖ = 0. (2.55)
Sendo assim, φHj,k ∈ V . Como V e fechado, Vj := span{φH
j,k}k ∈ Z ⊂ V para todo j em
Z e⋃j∈Z
V Hm ⊆ V . Mas, pelo Teorema 3.6,
⋃j∈Z
V Hm = L2(R) , portanto V = L2(R).
2.4 Wavelet mae
Por (2.3) as funcoes φj,k sao linearmente dependentes, ou seja, o conjunto
(φj,k| k ∈ Z, j ∈ Z) nao forma uma base para L2(R). Isto motiva a construcao de uma
sequencia (Wj| j ∈ Z) de subespacos ortogonais dois a dois. Para tanto, consideramos o
complemento ortogonal de V0 em V1:
V1 = V0 ⊕W0, W0⊥V0. (2.56)
Uma vez sendo valida a igualdade (2.56), vale o caso geral descrito na proposicao
a seguir.
Proposicao 2.9 Seja V0 := span (φ(t− k)|k ∈ Z) com φ ∈ L2(R) uma funcao escalaque gera uma Analise de Multirresolucao. Seja tambem ψ ∈ L2(R) tal que W0 :=span (ψ(t− k)|k ∈ Z). Definindo
Wj := span(ψj,n(t) := 2j/2ψ(2jt− n)|n ∈ Z
)(2.57)
Funcoes wavelets 24
eVj := span
(φj,n(t) := 2j/2φ(2jt− n)|n ∈ Z
)(2.58)
e supondo que a igualdade (2.56) seja valida, entao
Vj+1 = Vj ⊕Wj. (2.59)
Demonstracao. Dividiremos a demostracao em tres etapas:
(i) Vj⊥Wj, ∀j ∈ Z
Fixemos um j ∈ Z. Dados k, l ∈ Z,
〈φj,k, ψj,l〉 =
∫ ∞−∞
2j/2φ(2jt− k)2j/2ψ(2jt− l)dt
s=2jt=
∫ ∞−∞
2j/2φ(s− k)2j/2ψ(s− l)dt = δk,l.
Como j ∈ Z foi tomado arbitrariamente, temos o resultado desejado.
(ii) Vj ⊕Wj ⊂ Vj+1, ∀j ∈ Z
Fixemos um numero inteiro j. Seja f = f1 +f2 um funcao com f1 ∈ Vj e f2 ∈ Wj. Sendo
assim, existe uma sequencia (ak)k∈Z em l2(Z) tal que
f2(t) =∑k∈Z
ψj,k(t)
= 2j/2∑k∈Z
ψ(2jt− k), ∀t ∈ R.
Perceba que
D2−jf2(t) = 2j/2∑k∈Z
ψ(2−j2jt− k) = 2j/2∑k∈Z
ψ(t− k), ∀t ∈ R.
Como a sequencia 2j/2(ak)k∈Z esta em l2(Z), a funcao D2−jf2 pertence a W0. Alem disso,
ja e visto em (2.6) que
f1 ∈ Vj =⇒ D2−j ∈ V0.
Assim,
D2−j(f1 + f2) = D2−jf1 +D2−jf2 ∈ V0 ⊕W0 = V1.
Funcoes wavelets 25
Finalmente, por (2.6),
D2−j(f1 + f2) ∈ V1 =⇒ D2jD2−j
(f1 + f2) ∈ Vj+1,
ou seja, f = f1 + f2 ∈ Vj+1 Como o numero inteiro j foi escolhido arbitrariamente
concluımos que
Vj ⊕Wj ⊂ Vj+1, ∀j ∈ Z.
(iii) Vj+1 ⊂ Vj ⊕Wj Fixemos j ∈ Z. Seja f ∈ Vj+1 um funcao. Por (2.6) temos que
D2−jf ∈ V1. Definamos os funcao g := D2−jf . Por hipotese temos que V1 = V0 ⊕W0.
Uma vez que g ∈ V1 sabemos, por definicao de soma direta, que existem funcoes g1 ∈ V0,
g2 ∈ W0 tais que
g(t) = g1(t) + g2(t), ∀t ∈ R.
Como g1 ∈ V0, por (2.6), D2jg1 ∈ Vj. Por outro lado, como g2 ∈ W0, podemos verificar
que D2jg2 ∈ Wj. Com efeito, sabemos que existe uma sequencia (ak)k∈Z em l2(Z) tal
que
g2(t) =∑k∈Z
akψ(t− k), ∀t ∈ R.
Note que
D2jg2(t) = g2(2jt) =
∑k∈Z
akψ(2jt− k) =∑k∈Z
ak2−j/22j/2ψ(2jt− k), ∀t ∈ R.
Uma vez que (ak)k∈Z ∈ l2(Z) entao 2−j/2(ak)k∈Z ∈ l2(Z). Sendo assim, D2jg2 ∈ Wj.
Logo,
f(t) = D2jD2−jf(t) = D2jg(t) = D2jg1(t) +D2jg2(t) ∈ Vj ⊕Wj, ∀t ∈ R.
Assim, para j ≥ 0,
Vj = Vj−1 ⊕Wj−1
= (Vj−2 ⊕Wj−2)⊕Wj−1
= V−(j+1) ⊕W−(j−1) ⊕W−j ⊕ ...⊕W0 ⊕ ...⊕Wm.
Funcoes wavelets 26
Uma vez que valem as inclusoes descritas em (2.3),
Vj+1 =
j+1⋃k=−(j+1)
Vk e V−(j+1) =
j+1⋂k=−(j+1)
Vk,
deste modo,j+1⋃
k=−(j+1)
Vk =
j+1⋂k=−(j+1)
Vk
⊕ j+1⊕
k=−(j+1)
Wk
. (2.60)
Como⋂k∈Z
Vk = L2(R), fazendo k tender a infinito em (2.60) e utilizando os axiomas de
completude e separacao temos
L2(R) =⊕k∈Z
Wk. (2.61)
Isto significa que o sistema de funcoes {ψj,k}j,k∈Z e uma base ortonormal para L2(R).
Agora, dada uma funcao escala φ ∈ L2(R) que gera uma Analise de Multirre-
solucao, e preciso encontrar outra funcao ψ ∈ L2(R), comumente chamada de wavelet-
mae [4], tal que W0 = span (ψ(t− n)n∈Z) e
V1 = V0 ⊕W0. (2.62)
Para isso, em particular, ψ deve pertencer ao subespaco V1, ou seja, deve existir uma
sequencia (dk)k∈Z em l2(Z) tal que
ψ(t) =∑k∈Z
dkφ1,k(t) =∑k∈Z
dk√
2φ(2t− k), ∀t ∈ R. (2.63)
Devemos tambem garantir que as relacoes de ortonormalidade sejam satisfeitas, ou seja,
para quaisquer k, l ∈ Z,
〈ψ0,k, ψ0,l〉 = δk,l, (2.64)
〈ψ0,k, φ0,l〉 = 0. (2.65)
No proximo capıtulo e apresentado o exemplo do sistema de funcoes wavelet de
Haar [15]. Nesse exemplo, a funcao wavelet-mae e construıda a partir da fucao escala.
Para funcoes wavelets mais gerais, Blatter [4] descreve uma maneira de gerar a funcao
wavelet-mae ψ a partir da funcao escala φ conforme segue.
ψ(t) =∑k∈Z
dk√
2φ (2t− k) , ∀t ∈ R (2.66)
Funcoes wavelets 27
com dk := −c1−k(−1)k, lembrando que os coeficientes ck sao os coeficientes da Equacao
Escala (2.11).
2.5 Algoritmo de Mallat
Estudaremos agora uma maneira de utilizar bases de funcoes ortogonais wavelets
para gerar aproximacoes de funcoes do espaco L2(R). Uma vez que, como veremos a
seguir, essas aproximacoes sao feitas utilizando series de funcoes, veremos como calcular
os coeficientes dessas series utilizando o algoritmo de Mallat, apresentado por [22].
Pela representacao (2.61) do espaco L2(R) e pela ortogonalidade das funcoes
ψj,k, uma funcao f ∈ L2(R) pode ser representada por uma serie de funcoes ψj,k de
maneira unica:
f(t) =∞∑
j,k=−∞
dj,kψj,k(t), dj,k = 〈f, ψj,k〉, k ∈ Z. (2.67)
Podemos ainda obter uma aproximacao truncada dessa mesma funcao, calcu-
lando a sua projecao no espaco VJ , definido conforme (2.58), para algum J ≥ 0.
PJf(t) :=∞∑
n=−∞
sj,kφj,k(t), ∀t ∈ R, sj,k := 〈f, φj,k〉.
Note que, pelo axioma da completude e pelas inclusoes (2.3), se fizermos J tender
a infinito na expressao acima, a sequencia PJf converge em norma para a funcao f . E
tambem importante observar que, pela igualdade (2.59) da Proposicao 2.9,
VJ = VJ−1 ⊕WJ−1
= VJ−2 ⊕WJ−2 ⊕WJ−1
= V0 ⊕W0 ⊕W1 ⊕W2 ... ⊕WJ−2 ⊕WJ−1.
Assim, pela ortogonalidade dos espacos Wj e V0, podemos escrever a projecao da funcao
f no espaco VJ da seguinte maneira:
PJf(t) =∞∑
k=−∞
s0,kφ0,k +J−1∑j=0
∞∑k=−∞
dj,kψj,k(t), ∀t ∈ R. (2.68)
Funcoes wavelets 28
O algoritmo de Mallat [22] e uma estrategia para calcular os coeficientes dj,n sem
recorrer repetidamente ao calculo de integrais. Os valores de dj,n sao obtidos a partir
dos coeficientes auxiliares sj,n das projecoes de f nos espacos Vj (j ≤ J). Porem, para
j < J , os coeficientes sj,n tambem sao calculados indiretamente, de modo que a unica
informacao requerida sobre f sao os coeficientes
s0,n := 〈f, φ0,n〉, n ∈ Z.
Para determinar recursivamente os coeficientes sj,n, voltemos a equacao escala
(2.11). Utilizando a definicao de φjk em (2.8) e a equacao escala, obtemos
φj,n(t) = 2(j+1)
2
∞∑k=−∞
hkφ(2j+1t− 2n− k
),
que podemos reescrever como:
φj,n =∞∑
k=−∞
hkφj+1,2n+k, j, n ∈ Z, j > 0. (2.69)
Tomando o produto interno com f em ambos os lados da equacao acima, obtemos
sj,n := 〈f, φj,n〉 =∞∑
k=−∞
hksj−1,2n+k. (2.70)
De forma semelhante, temos de (2.57) e (2.66) que
ψj,n(t) =∞∑
k=−∞
gkφj+1,2n+k(t), j, n ∈ Z, j > 0, (2.71)
e tomando o produto interno com f em ambos os lados desta equacao, obtemos
dj,n =∞∑
k=−∞
gksj+1,2n+k. (2.72)
Vamos particularizar o calculo dos coeficientes sj,n assumindo que supp(f) =
[0, 1] e supp(φ) ⊆ [−M1,M2]. Feito isso, poderemos fazer uso do teorema a seguir.
Teorema 2.10 Dada uma funcao f ∈ L2(R), seja φ uma funcao escala satisfazendo ascondicoes dos teoremas 2.6 e 2.8, e ψ a wavelet-mae gerada a partir de φ. Se supp(f) =[0, 1], supp(φ) ⊆ [−M1,M2] e supp(ψ) ⊆ [−M1,M2], entao, para todo j ≥ 0,
sj,k = dj,k = 0, para k ≤ −M2 ou k ≥ 2j +M1. (2.73)
Funcoes wavelets 29
Demonstracao. Por hipotese temos que supp(φ) ⊆ [−M1,M2]. A fim de estender essa
informacao para φj,k definida em (2.8), pode-se observar que
−M1 ≤ 2jt− k < M2 =⇒ (−M1 + k)2−j ≤ t < (M2 + k)2−j, ∀t ∈ R,
logo supp(φj,k) ⊆ [(k−M1)2j, (k+M2)2
j]. Assim, como supp(f) = [0, 1], pela Proposicao
1.13 tem-se que 〈f, φj,k〉 = 0 se (k +M2)2−j ≤ 0 ou (k −M1)2
−j ≥ 1, ou seja,
sj,k = 0, k ≤ −M2 ou k ≥ 2j +M1. (2.74)
O resultado e identico para os coeficientes dj,k se os inteiros M1 e M2 forem tais que
supp(ψ) ⊆ [−M1,M2].
Corolario 2.11 Nas condicoes do Teorema 2.10, a expansao truncada (2.68) satisfaz
PJf(t) =
M1−1∑k=−M2
s0,kφ0,k +J−1∑j=0
2j+M1−1∑k=−M2
dj,kψj,k(t), ∀t ∈ R. (2.75)
Seguindo um argumento analogo ao do Teorema 2.5,
gk = 0, k ≤ −N1 ou k ≥ N2, (2.76)
sendo N1 = −(2M1 +M2) e N2 = 2M2 +M1. Segue de (2.72) e de (2.76) que
dj,n =
N2−1∑k=−N1+1
gksj+1,2n+k, j, n ∈ Z, j > 0. (2.77)
Capıtulo 3
Sistema de Haar
Sera estudado, neste capıtulo, um exemplo bastante conhecido de base ortogonal
de funcoes wavelets. Essas funcoes foram apresentadas inicialmente por Haar [15], em
1910. Por esse motivo, consolidou-se o nome “wavelets de Haar”. Inicialmente estuda-
remos tais funcoes de uma variavel real apenas. A partir da penultima secao sera feita
uma abordagem a extencao do conceito de base wavelet de Haar para espacos de funcoes
com duas variaveis reais.
3.1 Densidade
Nesta secao, estudaremos a construcao e as principais propriedades das funcoes
wavelets de Haar [15], uma delas, e talvez a mais importante, e o fato das funcoes de Haar
formarem um sistema ortogonal total no espaco L2(R). Boa parte da teoria estudada no
inıcio desta secao pode ser encontrada, de forma mais sucinta, em [23].
Inicialmente, definamos a funcao a seguir, que chamaremos de funcao escala de
Haar ( ver grafico (a) da Fig. 3.1) e que, no decorrer do texto, veremos que satisfaz as
condicoes para gerar uma Analise de Multirresolucao.
φ(t) :=
1, t ∈ [0, 1)
0, t 6∈ [0, 1).(3.1)
Assim, tomando k ∈ Z qualquer, φ(t − k) = 1 para 0 ≤ t − k < 1, ou seja,
30
Sistema de Haar 31
k ≤ t < 1 + k. Donde
φk(t) := φ(t− k) =
0, t ∈ [k, k + 1)
1, t 6∈ [k, k + 1). (3.2)
Note que o conjunto {φk : k ∈ Z} e ortonormal pois, para k ∈ Z qualquer,
〈φ, φ〉 =
∫ ∞−∞|φk(t)|2 dt =
∫ k+1
k
(1)2 dt = 1,
alem disso, dados k, k′ ∈ Z com k < k′ temos que (−∞,∞) = (−∞, k)∪ [k, k+ 1)∪ [k+
1, k′) ∪ [k′, k′ + 1) ∪ [k′ + 1,∞), logo
〈φk, φ′k〉 =
∫ k
−∞φk(t)φ′k(t) dt+
∫ k+1
k
φk(t)φ′k(t) dt+
∫ k′
k+1
φk(t)φ′k(t) dt
+
∫ k′+1
k′φk(t)φ′k(t) dt+
∫ ∞k′+1
φk(t)φ′k(t) dt
=
∫ k
−∞0 · 0dt+
∫ k+1
k
1 · 0dt+
∫ k′
k+1
0 · 0 dt = 0.
Porem, o conjunto span{φk : k ∈ Z} nao e denso em L2(R).
Exemplo 3.1 Seja f : R→ R dada por
f(t) =
{1, t ∈ [0, 1/2)0, t 6∈ [0, 1/2).
. (3.3)
Se tomarmos a serie com coeficientes de Fourier truncada de f temos que
N∑k=−N
〈f, φ〉φ(t) = 〈f, φ0〉φ0(t) =1
2φ0(t), ∀N > 0,∀t ∈ R. (3.4)
Logo, ∥∥∥∥∥f −N∑
k=−N
〈f, φk〉φk
∥∥∥∥∥2
=
∫ 1
0
∣∣∣∣f(t)− 1
2φ0(t)
∣∣∣∣2 dt
=
∫ 1/2
0
∣∣∣∣1− 1
2
∣∣∣∣2 +
∫ 1
1/2
∣∣∣∣0− 1
2
∣∣∣∣2 dt
=1
4· 1
2+
1
4· 1
2=
1
4,
donde
limN→∞
∥∥∥∥∥f −N∑
k=−N
〈f, φk〉φk
∥∥∥∥∥2
= limN→∞
1
4=
1
46= 0. (3.5)
Sistema de Haar 32
Por outro lado, se definirmos os espacos
Vj = span{φj,k : k ∈ Z} (3.6)
com φj,k(t) = 22/jφ(2jt− k) para cada j inteiro, ou seja,
φj,k(t) =
2j/2, t ∈ [2−jk, 2−j(k + 1))
0, t 6∈ [2−jk, 2−j(k + 1)),(3.7)
em que o fator 2m/2 e escolhido de modo que {φj,k : k ∈ Z} seja uma sequencia ortonormal
pois perceba que, para j, k inteiros quaisquer,
〈φj,k, φj,k〉 =
∫ 2−j(k+1)
2−jk
(2j/2)2 dt = 2j(2−j(k + 1)− 2−jk) = 1.
Note ainda que, dados j, k inteiros,
[2−j+1k, 2−j+1(k + 1)) = [2−j+1k, 2−j(2k + 2))
= [2−j(2k), 2−j(2k + 1)) ∪ [2−j(2k + 1), 2−j(2k + 2)),
logo,
2−(j−1)
2 φj−1,k(t) = 2−j/2(φj,2k(t) + φj,2k+1(t)).
Assim, Vj−1 ⊂ Vj. Como j foi escolhido arbitrariamente, em geral temos que
· · · ⊂ V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · . (3.8)
A funcao φ definida em (3.1) possui suporte compacto, logo, satisfaz as hipoteses
do teorema 2.6. Portanto, ⋂j∈Z
Vj = {0}. (3.9)
Segue imediatamente de (3.8) que o conjunto {φj,k : j, k ∈ Z} nao e linearmente
independente logo, ou seja, esse conjunto nao pode ser ortogonal.
Motivados pelo objetivo de estabelecer ortogonalidade entre as funcoes, vamos
aplicar o processo de Gram-Schmidt ao conjunto {φ0,0, φ1,0}. Encontramos assim a se-
guinte funcao:
φ1,0(t) = φ1,0(t)− 〈φ0,0, φ0,1〉φ0,0(t), ∀t ∈ R. (3.10)
Sistema de Haar 33
Note que
〈φ0,0, φ0,1〉 =
∫ ∞−∞
φ(t) · 21/2φ(2t) dt =
∫ 1/2
0
21/2 dt =
√2
2,
e substituindo esse resultado em (3.10) obtem-se
φ1,0(t) =√
2φ(2t)−√
2
2φ(t) =
√22, t ∈ [0, 1/2)
−√22, t ∈ [1/2, 1)
0, t 6∈ [0, 1).
. (3.11)
Para finalizar o processo, vamos normalizar a funcao φ1,0. Assim, obtemos a funcao
ψ(t) :=φ1,0(t)
〈φ1,0, φ1,0〉1/2=
√2φ(2t)−
√22φ(t)
1√2
= 2φ(2t)− φ(t), (3.12)
em que
〈φ1,0, φ1,0〉 =
∫ 1/2
0
(√2
2
)2
dt+
∫ 1
1/2
(−√
2
2
)2
dt =1
2
(1
2
)+
1
2
(1
2
)=
1
2.
Como φ(t) = χ[0,1)(t), para todo t real, podemos reescrever a funcao ψ dada
pela igualdade (3.12) como segue:
ψ(t) = φ(2t)− φ(2t− 1), ∀t ∈ R, (3.13)
ou seja, conforme o grafico (b) da Figura 3.1,
ψ(t) =
1, t ∈ [0, 1/2),
−1, t ∈ [1/2, 1),
0, t 6∈ [0, 1),
(3.14)
de modo que o conjunto de funcoes {φ, ψ} e ortonormal.
Havıamos mencionado anteriormente (Secao 2.4) que, dada uma funcao escala
φ qualquer, [4] relaciona a wavelet-mae ψ a funcao escala φ da seguinte maneira:
ψ(t) =∑k∈Z
dk√
2φ (2t− k) , ∀t ∈ R (3.15)
com dk := −c1−k(−1)k e com os coeficientes ck sendo os coeficientes da Equacao Escala
(2.11).
Sistema de Haar 34
(a) Grafico da funcao φ de Haar (b) Grafico da funcao ψ de Haar
Figura 3.1: Funcoes escala e wavelet-mae de Haar
Voltando ao caso particular das funcoes wavelets de Haar, note que podemos
representar a Funcao Escala de Haar (3.1) por
φ(t) = φ(2t) + φ(2t− 1) =1√2
√2φ(2t) +
1√2
√2φ(2t− 1), ∀t ∈ R. (3.16)
Assim, a funcao escala de Haar (3.1) satisfaz a Equacao escala (2.11) com h0 = h1 =
1/√
2 e hk = 0 para k > 1 e k < 0. Portanto, pela igualdade (2.66), a funcao wavelet-mae
de Haar pode ser escrita como
ψ(t) =1√2
√2φ(2t)− 1√
2
√2φ(2t− 1) = φ(2t)− φ(2t− 1), ∀t ∈ R, (3.17)
que e identica a funcao definida em (3.1).
Vejamos a seguir mais uma propriedade das funcoes φ e ψ de Haar.
Teorema 3.2 Sejam V0 e V1 espacos vetoriais definidos conforme (3.6) e o espaco W0
dado porW0 := span{ψ0,k : k ∈ Z} (3.18)
com ψ0,k(t) = ψ(t− k). Entao,V1 = V0 ⊕W0. (3.19)
Demonstracao. Inicialmente, vamos verificar que V0 ⊥ W0. Com efeito, dados dois
numeros inteiros k, k′ quaisquer, se k = k′, por construcao temos que 〈φ0,k, ψ0,k′〉 = 0.
Sistema de Haar 35
Por outro lado, se k 6= k′ entao supp(φ0,k)∩supp(ψ0,k′) = ∅, logo, pela Proposicao 1.13,
〈φ0,k, ψ0,k′〉 = 0. Em particular, V0 ∩W0 = {0}, ou seja, V0 +W0 = V0 ⊕W0. Temos que
V0 ⊂ V1. Alem disso, por(3.13), dado k ∈ Z arbitrario,
ψ(t− k) = φ(2(t− k))− φ(2(t− k)− 1) = φ(2t− 2k)− φ(2t− 2k − 1) ∈ V1.
Logo W0 ⊂ V1, e portanto V0 ⊕W0 ⊂ V1. Por outro lado, de (3.16) e (3.17),
φ(t− k) = φ(2t− 2k) + φ(2t− 2k − 1)
ψ(t− k) = φ(2t− 2k)− φ(2t− 2k − 1),
de onde obtemos, somando e depois subtraindo as equacoes, φ(2t− 2k) = 12(ψ(t− 2k/2)− ψ(t− 2k/2))
φ(2t− (2k − 1)) = 12(φ(t− 2k/2)− ψ(t− 2k/2)).
Portanto φ1,k ∈ V0 ⊕W0, donde V1 ⊂ V0 ⊕W0. Assim, concluımos que V1 = V0 ⊕W0.
De maneira analoga ao que foi feito com a funcao φ, definamos, a partir de ψ,
as funcoes
ψj,k(t) := 2j/2ψ(2jt− k), ∀j, k ∈ Z, ∀t ∈ R, (3.20)
e a partir daı os espacos
Wj = span{ψj,k : k ∈ Z}. (3.21)
Pela Proposicao 2.9 temos que
Vj+1 = Vj ⊕Wj, ∀j ∈ Z. (3.22)
Disto segue que
Vj = V0 ⊕W0 ⊕W1 ⊕ ...⊕Wj−1, ∀j ∈ Z. (3.23)
Vamos estabelecer a ortogonalidade das funcoes geradoras dos espacos Wj.
Lema 3.3 O conjunto B = {ψj,k : j, k ∈ Z}, de funcoes definidas conforme a expressao(3.20), e um subconjunto ortonormal de L2(R).
Sistema de Haar 36
Demonstracao. Dados j, k ∈ Z, tem-se que
0 ≤ 2jt− k < 1 ⇐⇒ k ≤ 2jt < 1 + k
⇐⇒ 2−jk ≤ t < (1 + k)2−j
portanto, a funcao ψj,k possui suporte contido no intervalo
Ij,k = [2−jk, 2−j(k + 1)), (3.24)
que possui comprimento 2−j. Mais precisamente, como o ponto medio do intervalo Ij,k
e dado por2−jk + (1 + k)2−j
2= 2−j
k + 1 + k
2= 2−j
(k +
1
2
),
temos por (3.14) que
ψj,k(t) =
√
2j, t ∈ [2−jk, 2−j(k + 1/2))
−√
2j, t ∈ [2−j(k + 1/2), 2−j(k + 1))
0, t 6∈ [2−jk, 2−j(k + 1)).
, (3.25)
Alem disso, para quaisquer j, k inteiros,∫ ∞−∞
ψj,k(t)dt =
∫Ij,k
ψj,k(t) dt =
∫ 2−j(k+1/2)
2−jk
√2j dt+
∫ 2−j(k+1)
2−j(k+1/2)
−√
2j dt = 0. (3.26)
Perceba que dados os ındices k, k′, j ∈ Z tais que k 6= k′ entao Ij,k ∩ Ij,k′ = 0 portanto,
〈ψj,k, ψj,k′〉 =
∫ ∞−∞
ψj,k(t)ψj,k′(t)dt = 0. (3.27)
Se supormos que k = k′ entao
〈ψj,k, ψj,k′〉 =
∫ ∞−∞
ψj,k(t)ψj,k(t)dt =
∫Ij,k
|ψj,k(t)|2dt = 1. (3.28)
Agora, vamos considerar j, j′ ∈ Z tais que j ≤ j′. Sejam tambem k e k′ numeros inteiros
quaisquer. Vamos supor inicialmente que 2−j′k′ < 2−jk. Como k′ e 2j′−jk sao numeros
inteiros entao
2−j′k′ < 2−jk ⇒ k′ < 2j′−jk ⇒ k′ + 1 ≤ 2j′−jk ⇒ 2−j
′(k′ + 1) < 2−jk, (3.29)
Sistema de Haar 37
ou seja, [2−j′k′, 2−j
′(k′ + 1)) ∩ [2−jk, 2−j(k + 1)) = ∅. Assim, pela proposicao (1.13,
〈ψj′,k′ , ψj,k〉 =
∫ ∞∞
ψj′,k′(t)ψj,k(t) dt = 0. (3.30)
Vamos supor agora que 2−jk ≤ 2−j′k′. Observe que 2−j(k + 1/2) 6= 2−j
′(k′ + 1/2) pois
caso contrario terıamos
2−j(k + 1/2) = 2−j′(k′ + 1/2)⇔ k = 2j−j′k′ + 1/2,
ou seja, k nao seria inteiro, o que e um absurdo. A partir daı temos tres casos a considerar:
(i) 2−j′(k′ + 1/2) < 2−j(k + 1/2)
(ii) 2−j(k + 1/2) < 2−j′(k′ + 1/2) ≤ 2−j(k + 1)
(iii) 2−j(k + 1) < 2−j′(k′ + 1/2).
No primeiro caso, observe que, como j′ > j, k′ e 2j′−j(k + 1/2) sao numeros inteiros.
Assim,
2−j′(k′ + 1/2) < 2−j(k + 1/2) ⇒ (k′ + 1/2) < 2j′−j(k + 1/2)
⇒ k′ + 1 ≤ 2j′−j(k + 1/2)
⇒ 2−j′(k′ + 1) ≤ 2−j(k + 1/2).
Isso significa que [2−j′k′, 2−j
′(k′+1)) ⊆ [2−jk, 2−j(k+1/2)). Sendo assim, como ψj,k(t) =
√2j para todo t ∈ [2−jk, 2−j(k + 1/2)), entao
〈ψj,k, ψj′,k′〉 =
∫ ∞−∞
ψj,k(t)ψj′,k′(t) dt
=√
2j
∫ 2−j′ (k′+1)
2−j′k′ψj′,k′(t) dt
=√
2j
∫ 1
0
ψ(t) dt
=√
2j · 0 = 0.
Vamos considerar agora o segundo caso, ou seja, quando
2−j(k + 1/2) < 2−j′(k′ + 1/2) ≤ 2−j(k + 1).
Sistema de Haar 38
E conveniente notar que 2−j′(k′ + 1/2) 6= 2−j(k + 1), pois caso contrario terıamos k′ =
2j−j(k + 1) − 1/2 que nao e numero inteiro, ou seja, um absurdo. Assim, o caso (ii)
equivale a dizer que
2−j(k + 1/2) < 2−j′(k′ + 1/2) < 2−j(k + 1).
Note que
2−j(k) < 2−j(k + 1/2) < 2−j′(k′ + 1/2),
alem disso, como k′ e um numero inteiro,
2−j′(k′ + 1/2) < 2−j(k + 1) ⇒ (k′ + 1/2) < 2j′−j(k + 1)
⇒ (k′ + 1) ≤ 2j′−j(k + 1)
⇒ 2−j′(k′ + 1) ≤ 2−j(k + 1).
Portanto [2−jk, 2−j(k+ 1)) ⊆ [2−j′(k′ + 1/2), 2−j(k′ + 1)). Sendo assim, como ψj′,k′(t) =
−√
2j′ para todo t ∈ [2−j′k′, 2−j
′(k′ + 1/2)), entao
〈ψj,k, ψj′,k′〉 =
∫ ∞−∞
ψj,k(t)ψj′,k′(t) dt
= −√
2j
∫ 2−j(k+1)
2−jk
ψj,k(t) dt
=√
2j
∫ 1
0
ψ(t) dt
=√
2j · 0 = 0.
Finalmente, no terceiro caso temos 2−j(k + 1) < 2−j′(k′ + 1/2). Por argumentos
analogos aos utilizados anteriormente podemos afirmar que 2−j(k + 1) ≤ 2−j′k′. Por-
tanto, [2−jk, 2−j(k+ 1))∩ [2−j′k′, 2−j
′(k′ + 1)) = ∅, donde segue, pela proposicao (1.13),
que
〈ψj,k, ψj′,k′〉 =
∫ ∞−∞
ψj,k(t)ψj′,k′(t) dt = 0.
Cabe observar tambem que, tomando a funcao φ, dada por (3.1), tem-se
〈φ, φ〉 =
∫ ∞−∞|φ(t)|2 dt = 1. (3.31)
Sistema de Haar 39
Alem disso, dados j = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1, 2, ..., 2j−1, como supp(φ) ⊆ [0, 1] e supp(ψj,k) ⊆
[2−jk, 2−j(k + 1)] ⊆ [0, 1] entao
〈φ, ψj,k〉 =
∫ ∞−∞
φ(t)ψj,k(t) dt =
∫ 2−j(k+1)
2−jk
ψj,k(t) dt = 0. (3.32)
Essas informacoes, juntamente com o Lema 3.3, serao importantes na demonstracao do
teorema a seguir, que garante a densidade do espaco L2 em um domınio limitado. Esta
demonstracao e baseada em [15, p.28-30].
Teorema 3.4 O conjunto de funcoes de Haar restritas ao intervalo [0, 1],
A = {φ |[0,1], ψj,k |[0,1]: j = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1, 2, ..., 2j − 1},
sendo a funcao φ definida conforme (3.1) e as funcoes ψj,k dadas por (3.20), e umconjunto ortonormal total no espaco vetorial L2(0, 1).
Demonstracao.
Inicialmente, perceba que, como supp(φ) ⊆ [0, 1], temos que
〈φ, φ〉 =
∫ ∞−∞|φ(t)|2 dt =
∫ 1
0
|φ(t)|2 dt =
∫ 1
0
|φ |[0,1] (t)|2 dt = 〈φ |[0,1], φ |[0,1]〉, (3.33)
e analogamente, para todos os produtos internos que envolvem as restricoes das funcoes
φ e ψj,k, observando que supp(ψj,k) ⊆ [0, 1] para j ≥ 0 e 0 ≤ k ≤ 2j−1. Portanto, pelo
Lema 3.3 e pelas igualdades (3.31) e (3.32), a ortogonalidade do conjunto A e garantida.
Por clareza de notacao, vamos omitir o operador restricao |[0,1] daqui em diante. Convem
observar que, na ultima igualdade em (3.33), temos que 〈·, ·〉 representa o produto interno
no espaco L2(0, 1). Agora, para provar que o conjunto A e total em L2(0, 1), fazendo
uso do Teorema 1.18, vamos mostrar que o complemento ortogonal desse conjunto em
L2(0, 1) contem somente a funcao nula. De fato, seja f ∈ L2(0, 1) uma funcao ortogonal
a todos os elementos do conjunto A, ou seja,
〈f, φ〉 = 〈f, ψj,k〉 = 0, ∀j = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1, 2, ..., 2j − 1. (3.34)
Definamos a funcao auxiliar F : [0, 1]→ R dada por
F (s) =
∫ s
0
f(t) dt, ∀s ∈ [0, 1]. (3.35)
Sistema de Haar 40
Note que
F (1) =
∫ 1
0
f(t) dt =
∫ 1
0
f(t)φ(t) dt = 〈f, φ〉 = 0. (3.36)
Sabendo que F (0) = F (1) = 0, nosso objetivo sera verificar que
F(2−jk
)= 0, ∀j ∈ Z+, k = 1, 2, ..., 2j − 1. (3.37)
Faremos essa demonstracao utilizando inducao sobre j e k. Para j = k = 1 tem-se
0 = 〈f, ψ0,0〉 =
∫ 1
0
f(t)ψ0,0(t) dt
=
∫ 1/2
0
f(t) dt−∫ 1
1/2
f(t) dt+
0︷ ︸︸ ︷∫ 1
0
f(t) dt
=
∫ 1/2
0
f(t) dt−∫ 1
1/2
f(t) dt+
∫ 1/2
0
f(t) dt+
∫ 1
1/2
f(t) dt
= 2
∫ 1/2
0
f(t) dt,
ou seja, F(12
)= 0. Vamos supor, por hipotese de inducao, que
F(2−jk
)= 0, ∀j ≤ m− 1, k = 1, 2, ..., 2j − 1. (3.38)
Nosso objetivo e mostrar que F (2−(m+1)) = 0 para todo k = 1, 2, ..., 2m−1. Observe que,
se o k, estando entre 1 e 2(m+1) − 1, for par, entao k = 2l para algum numero natural l
entre 1 e 2m − 1, logo, por hipotese de inducao temos
F (2−(m+1)k) = F (2−(m+1)2l) = F (2−ml) = 0. (3.39)
Assim, nosso objetivo se restringe a mostrar que
F (2−(m+1)(2k − 1)) = 0, ∀k = 0, 1, ..., 2m − 1. (3.40)
Com efeito, utilizando a definicao das funcoes ψj,k e em seguida a hipotese de inducao,
Sistema de Haar 41
tem-se que
0 = 〈f, ψm,k−1〉 =
∫ 1
0
f(t)ψm,k−1(t) dt
=
∫ 2−m(k−1/2)
2−m(k−1)f(t) dt−
∫ 2−m(k)
2−m(k−1/2)f(t) dt+
0︷ ︸︸ ︷∫ 2−m(k)
0
f(t) dt
=
∫ 2−m(k−1/2)
2−m(k−1)f(t) dt−
∫ 2−m(k)
2−m(k−1/2)f(t) dt+
∫ 2−m(k−1/2)
0
f(t) dt
+
∫ 2−m(k)
2−m(k−1/2)f(t) dt
= 2
∫ 2−m(k−1/2)
2−m(k−1)f(t) dt+
∫ 2−m(k−1)
0
f(t) dt︸ ︷︷ ︸0
= 2
∫ 2−(m+1)(2k−1)
2−m(k−1)f(t) dt,
ou seja, ∫ 2−(m+1)(2k−1)
2−m(k−1)f(t) dt = 0. (3.41)
Assim, pelo Teorema Fundamental do calculo,
0 =
∫ 2−(m+1)(2k−1)
2−m(k−1)f(t) dt = F (2−(m+1)(2k − 1))− F (2−m(k − 1)). (3.42)
Como F (2−m(k − 1)) = 0, entao, F (2−(m+1)(2k − 1)) = 0, donde podemos concluir que
F (2−jk) = 0 para todo j ≥ 0 e k = 0, 1, 2, ..., 2j − 1.
Agora, dado um numero real t no intervalo [0, 1], sabe-se que esse numero pode
ser aproximado por combinacoes lineares finitas de numeros na base binaria, ou seja,
para todo ε > 0 existe um n ∈ N tal que∥∥∥∥∥t−n∑
p=0
ap2p
∥∥∥∥∥ < ε, (3.43)
com ap assumindo valores zero ou um. Uma vez que podemos representar o somatorio
do lado direito da igualdade (3.43) por k/2j, com j = n e 0 ≤ k ≤ 2j − 1, entao, pelo
que provamos anteriormente, a funcao F se anula em um subconjunto denso no intervalo
[0, 1]. Lembrando tambem que
f(t) =dF
dt(t)
Sistema de Haar 42
a menos de um conjunto de medida nula, entao a funcao f se anula eu quase todo ponto
do intervalo [0, 1]. Portanto, o conjunto A e ortogonal total em L2(R).
O teorema a seguir, garante que as funcoes wavelets de Haar podem ser utili-
zadas para aproximar funcoes do espaco L2(R). Algumas ideias da demonstracao foram
baseadas em [16, p.178]
Teorema 3.5 O sistema de Haar B = {ψj,k : j, k ∈ Z} e um sistema ortonormal totalem L2(R), ou equivalentemente, o subconjunto span(B) = L2(R) e denso em L2(R).
Demonstracao. Segue diretamente do Lema 3.3 que o conjunto B e ortonormal. Resta
ainda provar que B e total em L2(R). Com efeito, vamos supor que a funcao f ∈ L2(R) e
ortogonal a toda funcao do conjunto B. Entao, em particular, dado um numero natural
N , f e ortogonal a todas as funcoes ψj,k que possuem suporte contido no intervalo
compacto [−2N , 2N ]. Fixemos um numero natural N . Vamos definir a funcao auxiliar
fN := f |[−2N ,2N ],
que e a restricao da funcao f no intervalo [−2N , 2N ]. Ja vimos em (3.24) que, da-
dos j, k ∈ Z, supp(ψj,k) ⊆ [2−jk, 2−j(k + 1)]. Sendo assim, temos duas possibilidades:
supp(ψj,k) ⊆ [−2N , 2N ] ou int(supp(ψj,k)) ∩ int([−2N , 2N ]) = ∅. No primeiro caso, fN
tem a ortogonalidade com ψj,k herdada de f . No segundo caso, fN e ortogonal a ψj,k
pela Proposicao 1.13. Assim, fN e ortogonal a todo elemento de B. Note que pode-
mos definir um isomorfismo g : [0, 1] → [−2N , 2N ] dado por g(t) := (2(N+1)t) − 2N
para todo t ∈ [0, 1]. Seja g−1 : [−2N , 2N ] → [0, 1] a inversa do isomorfismo g, ou seja,
g−1(x) = 2−(N+1)(x + 2N) para todo x ∈ [−2N , 2N ]. Como a imagem da funcao g esta
contida no domınio da funcao fN , faz sentido definir a composta fN o g. Alem disso,
como f ∈ L2(R) entao h = fN o g ∈ L2(0, 1). Deste modo, pelo Teorema 3.4, vale a
Sistema de Haar 43
igualdade a seguir, no sentido de convergencia perante a norma no espaco L2(0, 1).
h(t) = 〈h, φ |[0,1]〉φ |[0,1] (t) +∞∑j=0
2j−1∑k=0
〈h, ψj,k |[0,1]〉ψj,k |[0,1] (t) (3.44)
=
∫ 1
0
h(s)φ |[0,1] (s) ds φ |[0,1] (t) (3.45)
+∞∑j=0
2j−1∑k=0
∫ 1
0
h(s)ψj,k |[0,1] (s) ds ψj,k |[0,1] (t). (3.46)
Substituindo t por g−1(x) e s por g−1(y),
h(g−1(x)) = 2(N+1)
∫ 2N
−2Nh(g−1(y))φ |[0,1] (g−1(y)) dy φ |[0,1] (g−1(x))
+∞∑j=0
2j−1∑k=0
2(N+1)
∫ 2N
−2Nh(g−1(y))ψj,k |[0,1] (g−1(y)) dy ψj,k |[0,1] (g−1(x))
= 2(N+1)〈h o g−1, φ |[0,1] o g−1〉φ |[0,1] (g−1(x)) (3.47)
+∞∑j=0
2j−1∑k=0
2(N+1)〈h o g−1, ψj,k |[0,1] o g−1〉 ψj,k |[0,1] (g−1(x)), ∀x ∈ [−2N , 2N ],
lembrando que o produto interno que aparece no ultimo termo da expressao acima esta
definido para o espaco L2(−2N , 2N).
Note que, para j = 1, 2 . . . , k = 0, 1, 2, ..., 2j−1,
ψj,k |[0,1] (g−1(x)) = ψj,k
(2−(N+1)(x+ 2N)
)= 2j/2ψ
(2−(N+1−j)x+ 2j−1 − k
)m=−(N+1−j)
= 2j/22−(m/2)2m/2ψ(2mx+ 2j−1 − k
)n=−2j−1+k
= 2j/22−(m/2)2m/2ψ (2mx− n) (3.48)
= 2j−m
2 ψm,n(x), ∀x ∈ [−2N , 2N ].
Como j ≥ 1, temos a garantia de que o numero n e inteiro. Vamos considerar agora
j = 0 em (3.48). Como 0 ≤ k ≤ 2j − 1 segue que, neste caso, temos somente k = 0, ou
seja,
ψ0,0 |[0,1] (g−1(x)) = 2m2 ψ
(2mx+
1
2
), ∀x ∈ [−2N , 2N ]. (3.49)
Sistema de Haar 44
Uma vez que a funcao ψ e constante por partes, segundo [10, p.11], ela pode ser repre-
sentada da seguinte maneira:
ψ |[0,1] (g−1(x))(t) =∞∑
j,k=−∞
〈ψ |[0,1] (g−1(x)), ψj,k〉ψj,k(t), ∀t ∈ R. (3.50)
Substituindo (3.48) e (3.50) em (3.47) e observando que h o g−1 = fN o g o g−1 = f
temos
fN(x) = 2(N+1)〈fN , φ |[0,1] o g−1〉 φ |[0,1] (g−1(x))
+
⟨fN , 2
j−m2
∞∑j,k=−∞
〈ψ |[0,1] (g−1(x)), ψj,k〉ψj,k(t)
⟩ψj,k |[0,1] (g−1(x))
+∞∑j=1
2j−1∑k=0
2(N+1)⟨fN , 2
j−m2 ψm,n
⟩ψj,k |[0,1] (g−1(x)), ∀x ∈ [−2N , 2N ].
Agora, pela continuidade do produto interno temos
fN(x) = 2(N+1)〈fN , φ |[0,1] o g−1〉φ |[0,1] (g−1(x))
+2j−m
2
∞∑j,k=−∞
〈ψ |[0,1] (g−1(x)), ψj,k〉 〈fN , ψj,k(t)〉ψj,k |[0,1] (g−1(x))
+2j−m
2
∞∑j=1
2j−1∑k=0
2(N+1) 〈fN , ψm,n〉ψj,k |[0,1] (g−1(x)), ∀x ∈ [−2N , 2N ].
Uma vez que fN e ortogonal a todas as funcoes do conjunto B,
fN(x) = 2(N+1)〈f, φ |[0,1] og−1〉φ |[0,1] (g−1(x)),∀x ∈ R,
ou seja, fN e constante no intervalo [−2N , 2N ]. Seja (fN)N∈N a sequencia definida por
fN = f |[−2N ,2N ] para todo numero naural N . Se fizermos N tender a infinito, fN converge
para a funcao f , assim, f deve ser constante em todo o domınio. No entanto, qualquer
funcao constante nao nula nao pertence a L2(R), sendo assim, f ≡ 0. Isto conclui a
demonstracao de que B e total em L2(R).
Com as informacoes obtidas ate aqui, vamos verificar o seguinte resultado:
Teorema 3.6 Sejam Vj os espacos definidos por (3.6) para cada numero inteiro j.Entao ⋃
j∈Z
Vj = L2(R), (3.51)
ou seja, vale o axioma da completude para a funcao escala de Haar.
Sistema de Haar 45
Demonstracao. Claramente,⋃
j∈Z Vj ⊂ L2(R). Uma vez que o espaco L2(R) e fechado
entao⋃
j∈Z Vj ⊂ L2(R). Resta entao provar a inclusao contraria, porem, pelo Teo-
rema 3.5, sabemos que L2(R) =⊕
j∈ZWj. Deste modo, e suficiente verificarmos que⊕j∈ZWj ⊂
⋃j∈Z Vj. Com efeito, seja uma funcao f ∈
⊕j∈ZWj. Assim, existem
sequencias {(a(j)k )k∈Z}∞j=−∞ ⊂ l2(Z) tais que
f =∞∑
j=−∞
∑k∈Z
a(j)k ψj,n.
Definamos a sequencia (fN)N∈N dada por
fN =N∑
j=−N
∑k∈Z
a(j)k ψj,n
para cada numero natural N . Assim,
fN ∈ W−N ⊕W−N+1 ⊕ ...⊕W0 ⊕ ...⊕WN−1 ⊕WN .
Pelas igualdades (3.22) e (3.23),
VN+1 = V0 ⊕W0 ⊕W1 ⊕ ...WN
= V−N ⊕W−N ⊕W−N+1 ⊕ ...⊕W0 ⊕ ...⊕WN ,
Assim, para cada N ∈ N, fN ∈ VN+1 ⊂⋃
j∈Z Vj. Claramente temos que, quando N
tende a infinito, fN tende a funcao f , donde segue que f ∈⋃
j∈Z Vj.
3.2 Aproximacoes de Funcoes Utilizando o Sistema
de Haar
Vejamos agora, como podemos utilizar o algoritmo de Mallat para o caso par-
ticular de funcoes wavelets de Haar. Daqui em diante, vamos buscar aproximacoes de
funcoes de suporte compacto contido no intervalo [0, 1]. Isso favorece os calculos pelo fato
de que os coeficientes das funcoes wavelets cujos suportes sao disjuntos com o intervalo
[0, 1] se anulam.
Sistema de Haar 46
Vamos tomar f ∈ L2(R) uma funcao com suporte compacto supp(f) = [0, 1]. Se
considerarmos as funcoes escala e wavelet mae de Haar (3.1) e (3.13) respectivamente,
temos supp(φ) =supp(ψ) = [0, 1]. Assim, M1 = 0 e M2 = 1, de modo que a expressao
(2.75) se reduz a
PJf(t) = s0,0φ0,0(t) +J−1∑j=0
2j−1∑k=0
dj,kψj,k(t). (3.52)
Como φ0,0(t) = 1 para t ∈ [0, 1), temos que
s0,0 = 〈f, φ0,0〉 =
∫ 1
0
f(t) dt,
assim, a restricao da funcao PJf ao intervalo [0, 1) satisfaz
PJf(t) = f +J−1∑j=0
2j−1∑k=0
dj,kψj,k(t), t ∈ [0, 1), f =
∫ 1
0
f(t) dt. (3.53)
Perceba que f nada mais e do que a media da funcao f(t) em seu suporte.
3.3 Base 2D Tensorial
Vimos que dado J > 0, a representacao aproximada PJf(t) de uma funcao f
de suporte compacto [0, 1] pelas wavelets de Haar num espaco VJ , (3.53), e dada pela
combinacao linear das funcoes ortonormais do conjunto
St := {{φ0,0(t)}, {{ψj,k(t)}2j−1k=0 }J−1j=0 }.
Buscaremos a extensao desta aproximacao, PJf(x, z), para um sinal f(x, y) com
suporte compacto [0, 1]× [0, 1]. Vamos considerar uma combinacao linear das funcoes
Sxy = {u(x)v(y), u, v ∈ St}. (3.54)
Considerando o produto interno
〈f, g〉L2(R2)
:=
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
f(x, y)g(x, y) dx dy, (3.55)
Sistema de Haar 47
temos que as funcoes do conjunto Sxy herdam a ortonormalidade do conjunto St. De
fato, se f = u1v1 e g = u2v2 com u1, . . . v2 ∈ St,
〈f, g〉 =
∫ ∞−∞
u1(x)u2(x) dx
∫ ∞−∞
v1(y)v2(y) dy =
1, (u1, v1) = (u2, v2)
0, (u1, v1) 6= (u2, v2).
Vamos explicitar as funcoes que formam o conjunto Sxy:
Sxy = { {{φ0,0(x)φ0,0(y)} , {{φ0,0(x)ψj,k(y)}2j−1k=0 }J−1j=0 ,
{{ψj,k(x)φ0,0(y)}2j−1k=0 }J−1j=0 ,
{{{{ψjx,kx(x)ψjy ,ky(y)}2j−1kx=0}J−1jx=0}2
j−1ky=0}
J−1jy=0 }.
Assim, em analogia a (3.53), buscamos
PJf(x, y) = d0φ0,0(x)φ0,0(y) +J−1∑j=0
2j−1∑k=0
dyj,kφ0,0(x)ψj,k(y)
+J−1∑j=0
2j−1∑k=0
dxj,kψj,k(x)φ0,0(y) (3.56)
+J−1∑jx=0
2j−1∑kx=0
J−1∑jy=0
2j−1∑ky=0
dxykx,jx,ky ,jyψjx,kx(x)ψjy ,ky(y),
com
d0 := 〈f, φ0,0(x)φ0,0(y)〉 , dxj,k := 〈f, ψj,k(x)φ0,0(y)〉 , dyj,k := 〈f, φ0,0(x)ψj,k(y)〉 ,
dxyjx,kx,jy ,ky :=⟨f, ψjx,kx(x)ψjy ,ky(y)
⟩.
Levando-se em conta que φ0,0(t) = 1 para t ∈ [0, 1), temos que
PJf(x, y) = f +J−1∑j=0
2j−1∑k=0
dyj,kψj,k(y) +J−1∑j=0
2j−1∑k=0
dxj,kψj,k(x) (3.57)
+J−1∑jx=0
2j−1∑kx=0
J−1∑jy=0
2j−1∑ky=0
dxyjx,kx,jy ,kyψjx,kx(x)ψjy ,ky(y), (x, y) ∈ [0, 1)× [0, 1),
sendo f a media da funcao f na regiao [0, 1)× [0, 1), e
dxj,k = 〈f, ψj,k(x)〉 , dyj,k = 〈f, ψj,k(y)〉 .
Sistema de Haar 48
Vamos considerar os coeficientes auxiliares
sxj,k = 〈f, φj,k(x)〉 , syj,k = 〈f, φj,k(y)〉 .
Levando-se em conta (2.69) e o Teorema 2.5 (com M1 = 0 e M2 = 1), encontra-
mos em analogia com (2.70),
sxj,k =1∑
n=0
hn2J 〈f, φj+1,2k+n(x)〉 =1∑
n=0
hnsxj+1,2k+n.
Observando-se ainda que h0 = h1 = 2−1/2 (ver (3.16)), obtemos
sxj,k =1√2
(sxj+1,2k + sxj+1,2k+1
).
Analogamente, encontramos
dxj,k =1√2
(sxj+1,2k − sxj+1,2k+1
),
e, para os coeficientes dy e sy,
syj,k =1√2
(syj+1,2k + syj+1,2k+1
), dyj,k =
1√2
(syj+1,2k − s
yj+1,2k+1
).
Vamos repetir o procedimento acima para os coeficientes dxy. Usaremos os
seguintes coeficientes auxiliares:
sjx,kx,jy ,ky =⟨f, φjx,kx(x)φjy ,ky(y)
⟩, sjx,kx,jy ,ky =
⟨f, φjx,kx(x)ψjy ,ky(y)
⟩.
Da relacao entre φjx,· e φjx+1,· para a funcao escala de Haar, encontramos
sjx,kx,jy ,ky =1∑
nx=0
hnx
⟨f, φjx+1,2kx+nx(x)ψjy ,ky(y)
⟩=sjx+1,2kx,jy ,ky + sjx+1,2kx+1,jy ,ky√
2.
Alem disso, da relacao entre ψjx,· e φjx+1,·,
dxyjx,kx,jy ,ky =1∑
nx=0
gnx
⟨f, φjx+1,2kx+nx(x)ψjy ,ky(y)
⟩=sjx+1,2kx,jy ,ky − sjx+1,2kx+1,jy ,ky√
2.
Sistema de Haar 49
Repetimos este processo ate que djx,kx,jy ,ky esteja escrito em termos dos coefi-
cientes auxiliares s0,kx,jy ,ky . Para obter estes termos, devemos anteriormente efetuar a
recursao em y: a partir da relacao entre ψjy ,· e φjy+1,·, obtemos
s0,kx,jy ,ky =⟨f, φ0,kx(x)ψjy ,ky(y)
⟩=
1∑ny=0
gny
⟨f, φ0,kx(x)φjy−1,2ky+ny(y)
⟩=s0,kx,jy+1,2ky − s0,kx,jy+1,2ky+1√
2,
sendo que os coeficientes s0,kx,jy ,2ky sao obtidos de forma analoga:
s0,kx,jy ,ky =1∑
ny=0
hny
⟨f, φ0,kx(x)φjy+1,2ky+ny(y)
⟩=s0,kx,jy+1,2ky + s0,kx,jy+1,2ky+1√
2.
Deste modo, conseguimos determinar todos os coeficientes presentes em (3.57)
por meio dos coeficientes auxiliares
sx0,k, sy0,k, s0,k,0,n, k, n = 0, . . . 2J − 1.
3.4 Base 2D Gerada por Soma Direta
Beylkin [2] se refere a base tensorial descrita anteriormente como standard form.
A proxima base, denominada non-standard form, e construıda por meio da decomposicao
em soma direta dos espacos que formam a analise de multirresolucao para L2(R2).
Vamos considerar a analise de multirresolucao formada pelos espacos
Vj = V xj ⊗ V
yj ,
V xj = span{φj,k(x)}k∈Z,
V yj = span{φj,k(y)}k∈Z,
com as funcoes φj,k definidas em termos da funcao escala φ de Haar (3.1) conforme
(2.8). Seguindo [6, Sec. 1.4], vamos decompor Vj+1 em uma soma direta entre Vj e
seu complemento ortogonal Wj utilizando a decomposicao em soma direta dos espacos
Sistema de Haar 50
componentes V xj−1 e V y
j−1:
Vj+1 = V xj+1 ⊗ V
yj+1
=(V xj ⊕ W x
j
)⊗(V yj ⊕ W y
j
)= V x
j ⊗ Vyj ⊕ V x
j ⊗Wyj ⊕ W x
j ⊗ V yj ⊕ W x
j ⊗Wyj
= Vj ⊕ V xj ⊗W
yj ⊕ W x
j ⊗ V yj ⊕ W x
j ⊗Wyj
= Vj ⊕ Wj, Wj = (V xj ⊗W
yj )⊕ (W x
j ⊗ V yj )⊕ (W x
j ⊗Wyj ).
Em particular, temos para j = 0 que
V x0 = span{φ(x− k)}k∈Z
W x0 = span{ψ(x− k)}k∈Z
V y0 = span{φ(y − k)}k∈Z
W y0 = span{ψ(y − k)}k∈Z
=⇒
V x0 ⊗W
y0 = span{φ(x− kx)ψ(y − ky)}kx,ky∈Z
W x0 ⊗ V
y0 = span{ψ(x− kx)φ(y − ky)}kx,ky∈Z
W x0 ⊗W
y0 = span{ψ(x− kx)ψ(y − ky)}kx,ky∈Z,
de modo que, em geral, temos que Wj = span{ψaj,kx,ky
, ψbj,kx,ky
, ψcj,kx,ky
}kx,ky∈Z, comψaj,kx,ky
(x, y) = φj,kx(x)ψj,ky(y)
ψbj,kx,ky
(x, y) = ψj,kx(x)φj,ky(y)
ψcj,kx,ky
(x, y) = ψj,kx(x)ψj,ky(y)
e a representacao correspondente a (3.56) e dada por
f(x, y) = d0φ0,0(x)φ0,0(y) +
J−1∑j=0
2j−1∑kx=0
2j−1∑ky=0
[aj,kx,kyψ
ajx,kx(x, y) + bj,kx,kyψ
bjx,kx(x, y) + cj,kx,kyψ
cjx,kx(x, y)
],
para (x, y) ∈ [0, 1)× [0, 1), com d0 = 〈f, φ0,0(x)φ0,0(y)〉 e
aj,kx,ky =⟨f, ψa
j,kx,ky
⟩, bj,kx,ky =
⟨f, ψb
j,kx,ky
⟩, cj,kx,ky =
⟨f, ψc
j,kx,ky
⟩.
Assim como em (3.57), o termo d0φ0,0(x)φ0,0(y) corresponde a f . Para calcular
recursivamente os demais coeficientes, vamos precisar do coeficiente auxiliar
sj,kx,ky =⟨f, φj,kx(x)φj,ky(y)
⟩,
Sistema de Haar 51
que satisfaz
sj,kx,ky =
⟨f,φj+1,2kx(x) + φj+1,2kx+1(x)√
2
φj+1,2ky(y) + φj+1,2ky+1(y)√
2
⟩=
1
2
⟨f, φj+1,2kx(x)φj+1,2ky(y)
⟩+
1
2
⟨f, φj+1,2kx(x)φj+1,2ky+1(y)
⟩+
1
2
⟨f, φj+1,2kx+1(x)φj+1,2ky(y)
⟩+
1
2
⟨f, φj+1,2kx+1(x)φj+1,2ky+1(y)
⟩=
1
2(sj+1,2kx,2ky + sj+1,2kx,2ky+1 + sj+1,2kx+1,2ky + sj+1,2kx+1,2ky+1).
Por outro lado, o coeficiente aj,nx,ny satisfaz
aj,kx,ky =
⟨f,φj+1,2kx(x) + φj+1,2kx+1(x)√
2
φj+1,2ky(y)− φj+1,2ky+1(y)√
2
⟩=
1
2
⟨f, φj+1,2kx(x)φj+1,2ky(y)
⟩− 1
2
⟨f, φj+1,2kx(x)φj+1,2ky+1(y)
⟩+
1
2
⟨f, φj+1,2kx+1(x)φj+1,2ky(y)
⟩− 1
2
⟨f, φj+1,2kx+1(x)φj+1,2ky+1(y)
⟩=
1
2(sj+1,2kx,2ky − sj+1,2kx,2ky+1 + sj+1,2kx+1,2ky − sj+1,2kx+1,2ky+1),
e analogamente,
bj,kx,ky =1
2(sj+1,2kx,2ky + sj+1,2kx,2ky+1 − sj+1,2kx+1,2ky − sj+1,2kx+1,2ky+1),
cj,kx,ky =1
2(sj+1,2kx,2ky − sj+1,2kx,2ky+1 − sj+1,2kx+1,2ky + sj+1,2kx+1,2ky+1).
As extensoes realizadas, tanto atraves de produto tensorial como por soma di-
reta, podem ser utilizadas independentemente da base escolhida [2], porem, esses con-
ceitos de base 2D estao fortemente relacionados com a teoria de wavelets 1D. Por isso,
nao se pode negar a importancia da teoria apresentada no inıcio deste capıtulo, para
o caso particular das funcoes de Haar. Alem disso, as bases 2D abrem espaco para o
estudo de uma ampla area de aplicacoes . No capıtulo seguinte podem ser vistos alguns
exemplos de tais aplicacoes nas quais escolhemos utilizar a base de Haar 2D gerada por
soma direta.
Capıtulo 4
Aplicacoes
4.1 Implementacao da Aproximacao de Funcoes na
Base de Haar 2D
Nesta secao, veremos como implementar o algoritmo de Mallat utilizando a
Base de Haar 2D gerada por soma direta para obter a aproximacao de funcoes no espaco
L2(R2).
Seja D = [0, 1]× [0, 1]. Vamos considerar o espaco de Hilbert L2(D) de funcoes
reais munido com o produto interno usual e a norma induzida,
〈u, v〉 =
∫D
u(x, y)v(x, y) dx dy, ‖v‖L2(D) = 〈v, v〉1/2 , (4.1)
Consideremos uma funcao f : D2 −→ R. Nosso objetivo e calcular a projecao
de f num espaco VM a seguir:
PMf(x, y) =N∑i=1
Fivi(x, y), Fi = 〈f, vi〉, i = 0, 1, 2, ..., N. (4.2)
O ındice N da expressao acima depende de M , conforme veremos posteriormente.
Vamos utilizar a base 2D gerada por soma direta descrita na Secao 3.4 do
Capıtulo 3. Definamos as funcoesψ
(1)m,n,l(x, y) = φm,n(x)ψm,l(y),
ψ(2)m,n,l(x, y) = ψm,n(x)φm,l(y),
ψ(3)m,n,l(x, y) = ψm,n(x)ψm,l(y),
(4.3)
52
Aplicacoes 53
e a funcao adicional
ψ(0)m,n,l(x, y) = φm,n(x)φm,l(y). (4.4)
A fim de tornar o problema mais simples, vamos particionar o domınio D em
2M × 2M partes iguais. Nossa primeira funcao da base e
v1(x, y) = φ0,0(x)φ0,0(y), (4.5)
enquanto que para 2 ≤ i ≤ 22M definimos as funcoes da forma vi como
vi(x, y) = ψ(k)m,n,l(x, y), (4.6)
com os ındices 0 ≤ m ≤M − 1, 0 ≤ n, l ≤ 2m− 1, e k = 1, 2, 3 relacionados com o ındice
global i como segue:
i = 22m + 3(2m l + n) + k (i > 1). (4.7)
Sabemos ainda, por (2.8) e (3.13), que
φm,n(x) = 2m/2φ(2mx− n)
=1√2
2(m+1)/2[φ(2m+1x− 2n) + φ(2m+1x− (2n+ 1))
]=
1√2
[φm+1,2n(x) + φm+1,2n+1(x)] , ∀x ∈ R (4.8)
e
ψm,n(x) = 2m/2ψ(2mx− n)
=1√2
2(m+1)/2
[1√2φ1,0(2
mx− n)− 1√2φ1,1(2
mx− n)
]=
1√2
2(m+1)/2[φ(2m+1x− 2n)− φ(2m+1x− (n+ 1))
]=
1√2
[φm+1,2n(x)− φm+1,2n+1(x)] , ∀x ∈ R. (4.9)
A partir de (4.3), (4.4), (4.8) e (4.9), podemos reescrever as funcoes da base 2D
como:
Aplicacoes 54
ψ(0)m,n,l(x, y) =
1
2[φn+1,2n(x)φm+1,2l(y) + φn+1,2n(x)φm+1,2l+1(y)
+ φm+1,2n+1(x)φm+1,2l(y) + φm+1,2n+1(x)φm+1,2l+1(y)]
=1
2
[ψ
(0)m+1,2n,2l(x, y) + ψ
(0)m+1,2n,2l+1(x, y)
+ ψ(0)m+1,2n+1,2l(x, y) + ψ
(0)m+1,2n+1,2l+1(x, y)
], (4.10)
ψ(1)m,n,l(x, y) =
1
2[φn+1,2n(x)φm+1,2l(y)− φn+1,2n(x)φm+1,2l+1(y)
+ φm+1,2n+1(x)φm+1,2l(y)− φm+1,2n+1(x)φm+1,2l+1(y)]
=1
2
[ψ
(0)m+1,2n,2l(x, y)− ψ(0)
m+1,2n,2l+1(x, y)
+ ψ(0)m+1,2n+1,2l(x, y)− ψ(0)
m+1,2n+1,2l+1(x, y)], (4.11)
ψ(2)m,n,l(x, y) =
1
2[φn+1,2n(x)φm+1,2l(y) + φn+1,2n(x)φm+1,2l+1(y)
− φm+1,2n+1(x)φm+1,2l(y)− φm+1,2n+1(x)φm+1,2l+1(y)]
=1
2
[ψ
(0)m+1,2n,2l(x, y) + ψ
(0)m+1,2n,2l+1(x, y)
− ψ(0)m+1,2n+1,2l(x, y)− ψ(0)
m+1,2n+1,2l+1(x, y)], (4.12)
ψ(3)m,n,l(x, y) =
1
2[φn+1,2n(x)φm+1,2l(y)− φn+1,2n(x)φm+1,2l+1(y)
− φm+1,2n+1(x)φm+1,2l(y) + φm+1,2n+1(x)φm+1,2l+1(y)]
=1
2
[ψ
(0)m+1,2n,2l(x, y)− ψ(0)
m+1,2n,2l+1(x, y)
− ψ(0)m+1,2n+1,2l(x, y) + ψ
(0)m+1,2n+1,2l+1(x, y)
]. (4.13)
Vamos tomar os coeficientes auxiliares
F(0)ni,li
= 〈f, ψ(0)M,ni,li
〉,
F(1)mi,ni,li
= 〈f, ψ(0)mi,ni,li
〉,
F(2)ki,mi,ni,li
= 〈f, ψ(ki)mi,ni,li
〉.
(4.14)
Aplicacoes 55
Pela relacao entre ındices (4.7) podemos rearranjar os coeficientes auxiliares
(4.14) como segue.
F(0)ni,li
= F(0)
2M li+ni+1,
F(1)mi,ni,li
= F(1)
(22mi−1)/3+2mi li+ni+1,
F(2)ki,mi,ni,li
= F(2)
22mi+3(2mi li+ni)+ki.
(4.15)
Alem disso, a partir de (4.14) tem-se que
Fi =
F(1)0,0,0, i = 1,
F(2)ki,mi,ni,li
, 2 ≤ i ≤ n.(4.16)
Inicialmente vamos calcular as entradas F(0)ni,li
, (0 ≤ ni, li < 2M). Com efeito,
sabemos que
F(0)ni,li
=
∫Di
F (x, y)ψ(0)M,ni,li
(x, y) dy dx
Temos por definicao que φM,nj(x) = 2M/2φ(2Mx− nj). Como
0 ≤ 2Mx− nj < 1 ⇐⇒ nj ≤ 2mx < 1 + nj
⇐⇒ 2−Mnj ≤ x < (1 + nj)2−M
Entao φM,njnao se anula somente em x ∈ [2−Mnj, (1 + nj)2
−M). Temos um resultado
analogo para φM,lj(y). Portanto, pondo D = [2−Mnj, (1+nj)2−M ]× [2−M lj, (1+ lj)2
−M ],
podemos escrever:
F(0)ni,li
=
∫D
F (x, y)ψ(0)M,ni,li
(x, y) dy dx = 2M
∫D
F (x, y) dy dx, (4.17)
Para aproximar essa integral utilizando a Regra do Retangulo precisamos dos pontos
medios dos intervalos de integracao. Fazendo
2−Mnj + (1 + nj)2−M
2= 2−M
nj + 1 + nj
2= 2−M
2nj + 1
2= 2−M
(nj +
1
2
),
encontramos o ponto medio xM,nj= 2−M(nj + 1/2) ∈ [2−Mnj, (1 +nj)2
−M). De maneira
analoga encontramos yM,lj= 2−M(lj +1/2). Assim, podemos aproximar a integral (4.17)
utilizando a Regra do Retangulo como segue.
F(0)ni,li
= 2−2MF (xM,ni, xM,li), xM,n = 2−M
(n+
1
2
). (4.18)
Aplicacoes 56
A partir de (4.14) temos que, para 0 ≤ ni, li < 2M−1,
F(1)M−1,ni,li
= 〈f, ψ(0)M−1,ni,li
〉
=
⟨f,
1
2
[ψ
(0)M,2ni,2li
+ ψ(0)M,2ni,2li+1 + ψ
(0)M,2ni+1,2li
+ ψ(0)M,2ni+1,2li+1
]⟩=
1
2
[〈f, ψ(0)
M,2ni,2li〉+ 〈f, ψ(0)
M,2ni,2li+1〉+ 〈f, ψ(0)M,2ni+1,2li
〉+ 〈f, ψ(0)M,2ni+1,2li+1〉
]=
1
2
[F
(0)2ni,2li
+ F(0)2ni,2li+1 + F
(0)2ni+1,2li
+ F(0)2ni+1,2li+1
].
Em geral, para mi < M e 0 ≤ ni, li < 2mi tem-se que
F(1)mi,ni,li
=1
2
[F
(1)mi+1,2ni,2li
+ F(1)mi+1,2ni,2li+1 + F
(1)mi+1,2ni+1,2li
+ F(1)mi+1,2ni+1,2li+1
],
F(2)1,mi,ni,li
=1
2
[F
(1)mi+1,2ni,2li
− F (1)mi+1,2ni,2li+1 + F
(1)mi+1,2ni+1,2li
− F (1)mi+1,2ni+1,2li+1
],
F(2)2,mi,ni,li
=1
2
[F
(1)mi+1,2ni,2li
+ K(1)mi+1,2ni,2li+1 − F
(1)mi+1,2ni+1,2li
− K(1)mi+1,2ni+1,2li+1
],
F(2)3,mi,ni,li
=1
2
[F
(1)mi+1,2ni,2li
− F (1)mi+1,2ni,2li+1 − F
(1)mi+1,2ni+1,2li
+ F(1)mi+1,2ni+1,2li+1
].
Exemplo 4.1 Vamos considerar a funcao u : D → R dada por
u(x, y) =1
1 + x+ y, ∀(x, y) ∈ D.
Observando as figuras 4.1 a 4.3, podemos comparar o grafico da funcao original u comas aproximacoes de u na Base de Haar 2D gerada por soma direta nos espacos V3 e V6respectivamente.
4.2 Equacao de Fredholm Homogenea
Seja D = [0, 1]×[0, 1]. Seja K um nucleo de covariancia simetrico e nao negativo-
definido, i.e., para todo subconjunto finito Dn ⊂ D e para qualquer funcao u : Dn → IR,∑x,y∈Dn
K(x,y)u(x)u(y) ≥ 0. (4.19)
De acordo com [20], K admite a decomposicao espectral
K(x,y) =∞∑k=1
λkuk(x)uk(y), (4.20)
Aplicacoes 57
00.2
0.40.6
0.81
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Aproximação com M=3
00.5
10
0.5
10.2
0.4
0.6
0.8
1
Função original
Figura 4.1: Comparacao da aproximacao com a funcao u no espaco V3
sendo que os autovalores nao-negativos λk e as autofuncoes ortonormais uk (k ≥ 1) sao
as solucoes da equacao integral de Fredholm homogenea.∫D
K(x,y)u(y) dy = λu(x), x ∈ D. (4.21)
A equacao integral (4.21) pode ser resolvida analiticamente em alguns casos,
como no exemplo apresentado por [25]. Mas na maioria dos casos a obtencao da solucao
analıtica da equacao integral nao e possıvel e os metodos numericos sao o unico recurso
viavel. Em funcao disso, as autofuncoes serao aproximadas por combinacoes lineares
finitas de funcoes da base a ser escolhida, transformando (4.21) numa equacao residual.
O resıduo da solucao pode ser minimizado utilizando o metodo de Galerkin e fazendo
com que a equacao residual seja ortonormal para cada uma das funcoes da base escolhida.
4.2.1 Formulacao Variacional e Aproximacao de Galerkin
Inicialmente vamos considerar a formulacao variacional da equacao integral de
Fredholm (4.21)∫D
∫D
K(x,y)u(y)v(x) dy dx = λ 〈u, v〉 , ∀ v ∈ L2(D) (4.22)
Aplicacoes 58
Erro
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Figura 4.2: Erro relativo entre a aproximacao e a funcao u no espaco V3
que pode ser obtida aplicando-se o produto interno com cada funcao v ∈ L2(D) na
equacao (4.21). Vamos definir
a(u, v) :=
∫D
∫D
K(x,y)u(y)v(x) dy dx. (4.23)
Ate aqui, o objetivo se resume a encontrar valores λk ∈ R e funcoes uk(x) ∈ L2(D) com
(k = 1, 2, . . .) tais que
a(uk, v) = λk 〈uk, v〉 , ∀ v ∈ L2(D), (4.24)
Aplicando o metodo de Galerkin (vide, por exemplo, [14]), vamos considerar Vh
um subespaco de dimensao finita de L2(D) e {v1, . . . , vN} ⊂ L2(D) uma base para Vh. A
aproximacao de Galerkin para a solucao de (4.24) em Vh consiste em encontrar λhk ∈ IR
e uhk(x) ∈ Vh (1 ≤ k ≤ N) tais que
a(uhk, vh) = λhk⟨uhk, vh
⟩, ∀ vh ∈ Vh. (4.25)
Uma vez que {v1, . . . , vN} e uma base para Vh, temos que a solucao de (4.25) e
equivalente a resolver o sistema
a(uhk, vi) = λhk⟨uhk, vi
⟩1 ≤ i ≤ N. (4.26)
Aplicacoes 59
Figura 4.3: Comparacao da aproximacao com a funcao u no espaco V6
Vamos escrever uhk com respeito a base do subespaco Vh:
uhk(x) =N∑j=1
ujvi(x, y). (4.27)
Substituindo (4.27) em (4.26) e utilizando a linearidade de a(·, ·), encontramos
a
(N∑j=1
ujvj, vi
)= λhk
⟨N∑j=1
ujvj, vi
⟩1 ≤ i ≤ N
N∑j=1
uja(vj, vi) = λhk
N∑j=1
uj 〈vj, vi〉 1 ≤ i ≤ N.
Na forma matricial, temos o problema de autovalores generalizado Kuk =
λhkWuk, em que as matrizes K e W sao definidas pelos coeficientes
Ki,j = a(vj, vi), Wi,j = 〈vj, vi〉 , 1 ≤ i, j ≤ N. (4.28)
Se a base de funcoes v1, . . . , vN for ortonormal, o problema se reduz ao problema
de autovalor padrao Kuk = λhkuk.
4.2.2 Montagem do Sistema de Autovalores Discreto
A fim de ter as funcoes de base bidimensionais, vamos tomar as funcoes vi, 1 ≤
i ≤ N, a partir das wavelets de Haar. Mais precisamente, vamos utilizar a base 2D
Aplicacoes 60
Erro
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
4
6
8
10
12
14x 10
−3
Figura 4.4: Erro relativo entre a aproximacao e a funcao u no espaco V6.
gerada por soma direta descrita na Secao 3.4 e utilizada na Secao 4.1 deste capıtulo.
A fim de calcular os coeficientes Ki,j = a(vj, vi) do sistema de autovalores dis-
cretos, vamos introduzir os coeficientes auxiliares
K(0)ni,li,nj ,lj
= a(ψ(0)M,nj ,lj
, ψ(0)M,ni,li
),
K(1)mi,ni,li,mj ,nj ,lj
= a(ψ(0)mj ,nj ,lj
, ψ(0)mi,ni,li
),
K(2)ki,mi,ni,li,mj ,nj ,lj
= a(ψ(0)mj ,nj ,lj
, ψ(ki)mi,ni,li
),
K(3)mi,ni,li,kj ,mj ,nj ,lj
= a(ψ(kj)mj ,nj ,lj
, ψ(0)mi,ni,li
),
K(4)ki,mi,ni,li,kj ,mj ,nj ,lj
= a(ψ(kj)mj ,nj ,lj
, ψ(ki)mi,ni,li
).
(4.29)
em analogia a (4.7), esses coeficientes podem ser arranjados formando matrizes
da seguinte maneira:
K(0)ni,li,nj ,lj
= K(0)
2M li+ni+1,2M lj+nj+1,
K(1)mi,ni,li,mj ,nj ,lj
= K(1)
(22mi−1)/3+2mi li+ni+1,(22mj−1)/3+2mj lj+nj+1,
K(2)ki,mi,ni,li,mj ,nj ,lj
= K(2)
22mi+3(2mi li+ni)+ki,(22mj−1)/3+2mj lj+nj+1
,
K(3)mi,ni,li,kj ,mj ,nj ,lj
= K(3)
(22mi−1)/3+2mi li+ni+1,22mj+3(2mj lj+nj)+kj,
K(4)ki,mi,ni,li,kj ,mj ,nj ,lj
= K(4)
22mi+3(2mi li+ni)+ki,22mj+3(2mj lj+nj)+kj
.
(4.30)
Aplicacoes 61
Alem disso, note que, a partir de (4.29),
Ki,j =
K(1)0,0,0,0,0,0, i = j = 1,
K(2)ki,mi,ni,li,0,0,0
, 2 ≤ i ≤ n, j = 1,
K(3)0,0,0,kj ,mj ,nj ,lj
, i = 1, 2 ≤ j ≤ n,
K(4)ki,mi,ni,li,kj ,mj ,nj ,lj
, 2 ≤ i, j ≤ n.
(4.31)
Vamos primeiro calcular K(0)ni,li,nj ,lj
, (0 ≤ ni, li, nj, lj < 2M). Com efeito, sabemos
que
K(0)ni,li,nj ,lj
= a(ψ(0)M,nj ,lj
, ψ(0)M,ni,li
)
=
∫D
∫D
K(x, y, s, t)ψ(0)M,nj ,lj
(x, y)ψ(0)M,ni,li
(s, t) dt ds dy dx
=
∫D
∫D
K(x, y, s, t)φM,nj(x)φM,lj(y)φM,ni
(s)φM,li(t) dt ds dy dx.
Temos por definicao que φM,nj(x) = 2M/2φ(2Mx− nj). Como
0 ≤ 2Mx− nj < 1 ⇐⇒ nj ≤ 2mx < 1 + nj
⇐⇒ 2−Mnj ≤ x < (1 + nj)2−M ,
sabemos que φM,njnao se anula somente em x ∈ [2−Mnj, (1+nj)2
−M). Temos resultados
analogos para φM,lj(y), φM,ni(s) e φM,li(t). Portanto, pondo Dj = [2−Mnj, (1+nj)2
−M ]×
[2−M lj, (1+ lj)2−M ] e Di = [2−Mni, (1+ni)2
−M ]× [2−M li, (1+ li)2−M ], podemos escrever:
K(0)ni,li,nj ,lj
=
∫Dj
∫Di
K(x, y, s, t)ψ(0)M,nj ,lj
(x, y)ψ(0)M,ni,li
(s, t) dt ds dy dx. (4.32)
Em analogia a (4.18), aplicando a Regra do Retangulo na igualdade acima, temos
K(0)ni,li,nj ,lj
= 2−M2−M2−M2−MK(xM,nj, yM,lj
, sM,ni, tM,li)2
M2M
= 2−2MK(xM,nj, yM,lj
, sM,ni, tM,li).
(4.33)
Temos que K(0)ni,li,nj ,lj
e, com ındices permutados, a matriz do metodo de ele-
mentos finitos com funcoes de base constantes por partes para (4.21) [1]. No que segue,
Aplicacoes 62
descrevemos o algoritmo piramidal [3] para recuperar K(4)ki,mi,ni,li,kj ,mj ,nj ,lj
, evitando a
necessidade de novas integracoes.
Usamos as relacoes (4.10)-(4.13) e a bilinearidade de a(·, ·) para calcular os
coeficientes K(1)mi,ni,li,M,nj ,lj
for 0 ≤ ni, li < 2mi , bem como os coeficientes K(2)ki,mi,ni,li,M,nj ,lj
for 0 ≤ nj, lj < 2M .
Temos, por exemplo, a partir de (4.10) e (4.29) que, para 0 ≤ ni, li < 2M−1,
K(1)M−1,ni,li,M,nj ,lj
= a(ψ
(0)mj ,nj ,lj
, ψ(0)M−1,ni,li
)= a
(ψ
(0)mj ,nj ,lj
,1
2
[ψ
(0)M,2ni,2li
+ ψ(0)M,2ni,2li+1 + ψ
(0)M,2ni+1,2li
+ ψ(0)M,2ni+1,2li+1
])=
1
2
[a(ψ
(0)mj ,nj ,lj
, ψ(0)M,2ni,2li
) + a(ψ(0)mj ,nj ,lj
, ψ(0)M,2ni,2li+1)+
a(ψ(0)mj ,nj ,lj
, ψ(0)M,2ni+1,2li
) + a(ψ(0)mj ,nj ,lj
, ψ(0)M,2ni+1,2li+1)
]=
1
2
[K
(0)2ni,2li,nj ,lj
+ K(0)2ni,2li+1,nj ,lj
+ K(0)2ni+1,2li,nj ,lj
+ K(0)2ni+1,2li+1,nj ,lj
].
Em geral, temos para mi < M e 0 ≤ ni, li < 2mi que
K(1)mi,ni,li,M,nj ,lj
=1
2
[K
(1)mi+1,2ni,2li,M,nj ,lj
+ K(1)mi+1,2ni,2li+1,M,nj ,lj
+ K(1)mi+1,2ni+1,2li,M,nj ,lj
+ K(1)mi+1,2ni+1,2li+1,M,nj ,lj
],
K(2)1,mi,ni,li,M,nj ,lj
=1
2
[K
(1)mi+1,2ni,2li,M,nj ,lj
− K(1)mi+1,2ni,2li+1,M,nj ,lj
+ K(1)mi+1,2ni+1,2li,M,nj ,lj
− K(1)mi+1,2ni+1,2li+1,M,nj ,lj
],
K(2)2,mi,ni,li,M,nj ,lj
=1
2
[K
(1)mi+1,2ni,2li,M,nj ,lj
+ K(1)mi+1,2ni,2li+1,M,nj ,lj
− K(1)mi+1,2ni+1,2li,M,nj ,lj
− K(1)mi+1,2ni+1,2li+1,M,nj ,lj
],
K(2)3,mi,ni,li,M,nj ,lj
=1
2
[K
(1)mi+1,2ni,2li,M,nj ,lj
− K(1)mi+1,2ni,2li+1,M,nj ,lj
− K(1)mi+1,2ni+1,2li,M,nj ,lj
+ K(1)mi+1,2ni+1,2li+1,M,nj ,lj
].
Aplicacoes 63
Em seguida, calculamos K(4) a partir de K(2) seguindo o mesmo procedimento:
K(2)ki,mi,ni,li,mj ,nj ,lj
=1
2
[K
(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj
+ K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj+1
+ K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj
+ K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj+1
],
K(4)ki,mi,ni,li,1,mj ,nj ,lj
=1
2
[K
(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj
− K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj+1
+ K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj
− K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj+1
],
K(4)ki,mi,ni,li,2,mj ,nj ,lj
=1
2
[K
(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj
+ K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj+1
− K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj
− K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj+1
],
K(4)ki,mi,ni,li,3,mj ,nj ,lj
=1
2
[K
(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj
− K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj ,2lj+1
− K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj
+ K(2)ki,mi,ni,li,mj+1,2nj+1,2lj+1
].
Precisamos tambem das entradas de K(3)0,0,0,kj ,mj ,nj ,lj
in (4.31):
K(3)0,0,0,1,mj ,nj ,lj
=1
2
[K
(1)0,0,0,mj+1,2nj ,2lj
− K(1)0,0,0,mj+1,2nj ,2lj+1
+ K(1)0,0,0,mj+1,2nj+1,2lj
− K(1)0,0,0,mj+1,2nj+1,2lj+1
],
K(2)0,0,0,2,mj ,nj ,lj
=1
2
[K
(1)0,0,0,mj+1,2nj ,2lj
+ K(1)0,0,0,mj+1,2nj ,2lj+1
− K(1)0,0,0,mj+1,2nj+1,2lj
− K(1)0,0,0,mj+1,2nj+1,2lj+1
],
K(2)0,0,0,3,mj ,nj ,lj
=1
2
[K
(1)0,0,0,mj+1,2nj ,2lj
− K(1)0,0,0,mj+1,2nj ,2lj+1
− K(1)0,0,0,mj+1,2nj+1,2lj
+ K(1)0,0,0,mj+1,2nj+1,2lj+1
].
Em termos de implementacao, ao considerarmos uma particao do domınio em
2M × 2M partes iguais, o algoritmo descrito nesta secao gera matrizes de ordem 22M .
Essas matrizes por sua vez, possuem todas as suas entradas nao-nulas. Desta maneira,
a elevacao do numero M gera um aumento significativo no custo computacional desse
metodo. Dependendo da disponibilidade de memoria do computador utilizado, o al-
goritmo pode nao funcionar para valores de M elevados. Na plataforma em que os
experimentos foram realizados (um notebook com sistema operacional Windows 7, pro-
cessador Intel Dual-Core e 2Gb de memoria RAM) nao foi possıvel executar o algoritmo
Aplicacoes 64
com M ≥ 7.
4.2.3 Exemplo Numerico
Vamos aplicar o metodo apresentado nesta secao para calcular os autovalores
aproximados da funcao covariancia exponencial separavel K(x,y) = exp(−|x1− y1|/η−
|x2 − y2|/η) (η = 0.1), cujos autovalores e autofuncoes exatos podem se encontrados
em [25]. Resultados numericos obtidos utilizando o pacote computacional Matlab sao
mostrados e comparados com os autovalores exatos na Figura 4.5. No grafico (a) pode-
se observar a aproximacao para a solucao da equacao (4.21) feita tomando M = 3. No
grafico (b) e ilustrada a aproximacao da solucao da mesma equacao, porem com M = 6.
0 10 20 30 40 50 60 7010
−3
10−2
10−1
exataHaar
(a) No espaco V3
0 1000 2000 3000 4000 500010
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
exataHaar
(b) No espaco V6
Figura 4.5: Autovalores gerados pelo metodo das wavelets de Haar 2D e autovaloresexatos.
Aplicacoes 65
4.3 Equacao de Fredholm nao Homogenea
Vamos nos ater agora a uma equacao integral um pouco diferente da que foi
vista na secao anterior. Seja novamente D = [0, 1]× [0, 1] e K(x,y) uma funcao nucleo
de covariancia conforme definida na Secao 4.2. Seja ainda f : D2 −→ R uma funcao
contınua. Vamos considerar o problema cujo objetivo e encontrar uma funcao u ∈ L2(D)
que satisfaca a equacao de Fredholm nao Homogenea
f(x) +
∫D
K(x,y)u(y) dy = u(x), x ∈ D. (4.34)
Fazendo uso da expressao (4.23) e aplicando o produto interno com cada funcao v ∈
L2(D) temos uma reformulacao da equacao (4.34):
〈f, v〉+ a(u, v) = 〈u, v〉 , ∀ v ∈ L2(D). (4.35)
Mais uma vez, vamos considerar Vh como sendo um subespaco de dimensao finita de
L2(D) e {v1, . . . , vN} ⊂ L2(D) uma base para Vh. Neste caso, a aproximacao de Galerkin
para (4.35) em Vh consiste em encontrar uhk(x) ∈ Vh (1 ≤ k ≤ N) tal que⟨fhk , vh
⟩+ a(uhk, vh) =
⟨uhk, vh
⟩, ∀ vh ∈ Vh. (4.36)
Reescrevendo (4.36) em termos da base do subespaco Vh tem-se o seguinte sis-
tema de equacoes: ⟨fhk , vi
⟩+ a(uhk, vi) =
⟨uhk, vi
⟩1 ≤ i ≤ N. (4.37)
Podemos ainda escrever uhk e fhk com respeito a base de Vh:
uhk(x) =N∑j=1
ujvi(x, y), fhk (x) =
N∑j=1
fjvi(x, y). (4.38)
Substituindo (4.38) into (4.37) e fazendo uso da linearidade de a(·, ·), obtem-se⟨N∑j=1
fjvj, vi
⟩+ a
(N∑j=1
ujvj, vi
)=
⟨N∑j=1
ujvj, vi
⟩1 ≤ i ≤ N
N∑j=1
fj 〈vj, vi〉+N∑j=1
uja(vj, vi) =N∑j=1
uj 〈vj, vi〉 1 ≤ i ≤ N.
Aplicacoes 66
Na forma matricial, temos o sistema WF + Ku = Wu, com as matrizes K,
W e F definidas pelos coeficientes
Ki,j = a(vj, vi), Wi,j = 〈vj, vi〉 , Fi = 〈f, vi〉 , 1 ≤ i, j ≤ N. (4.39)
Vamos escolher a base de funcoes ortonormais v1, . . . , vN da mesma forma que
foi feita na Secao 4.2, de modo que o problema se reduz a resolver F + Ku = u, que e
equivalente a resolver o sistema linear
(I − K)u = F. (4.40)
Consideremos novamente as funcoes base vi, com 1 ≤ i ≤ 22M , conforme de-
finidas em (4.5) e (4.6). Pelo que foi estudado nas secoes 4.1 e 4.2, ja sabemos como
encontrar as entradas das matrizes K e F . Com isto, conseguimos os dados necessarios
para resolver o sistema linear (4.40) e encontrar a matriz u. Resta agora reconstruir a
funcao u ∈ L2(D) que aproxima a solucao da equacao (4.34). Deste modo por (4.2),
temos
u(x, y) ∼=22M∑i=1
〈u, vi〉vi(x, y) =22M∑i=1
uivi(x, y). (4.41)
4.3.1 Exemplo Numerico
Para ilustrar, vamos considerar o problema
f(x, y) +
∫ 1
0
∫ 1
0
(x
1 + y
)· (1 + s+ t) · u(s, t)dsdt, 0 ≤ x, y < 1, (4.42)
com
f(x, y) =1
(1 + x+ y)− x
1 + y,
cuja solucao analıtica segundo [11] e dada por
u(x, y) =1
1 + x+ y(4.43)
As figuras 4.6-4.9 exibem as aproximacoes e erros relativos obtidos nos espacos
V3 e V6.
Aplicacoes 67
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Aproximação com M=3
00.5
10
0.5
10.2
0.4
0.6
0.8
1
Solução exata
Figura 4.6: Comparacao da aproximacao da solucao com a solucao exata no espaco V3
Erro
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Figura 4.7: Erro relativo entre a aproximacao da solucao e a solucao exata no espaco V3
Aplicacoes 68
Figura 4.8: Comparacao da aproximacao da solucao com a solucao exata no espaco V6
Erro
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
4
6
8
10
12
14x 10
−3
Figura 4.9: Erro relativo entre a aproximacao da solucao e a solucao exata no espaco V6.
Aplicacoes 69
No exemplo da secao 4.1, foi calculada uma aproximacao para a funcao que
coincide com a solucao da equacao (4.42). A Figura 4.10 apresenta a diferenca cal-
culada entre a aproximacao feita diretamente sobre a funcao u, dada por (4.43), e a
aproximacao da solucao da equacao (4.42), cuja solucao exata e a mesma funcao u. Para
essa comparacao foram consideradas as aproximacoes no espaco V6.
Erro
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.8
1.9
2
2.1
2.2
x 10−14
Figura 4.10: Diferenca em modulo entre a aproximacao direta da funcao u e a apro-ximacao da solucao de (4.42).
Pode-se observar que os dados obtidos no primeiro caso, aproximando dire-
tamente a funcao u, quase nao diferem do resultado obtido no segundo caso, onde e
feita uma aproximacao da solucao da equacao (4.42). Inclusive, como a quantidade de
calculos envolvidos na implementacao do segundo caso e muito grande comparada com
a do primeiro, acredita-se que a diferenca mostrada na figura 4.10 pode ter sido gerada
unicamente por erros de arredondamento do pacote computacional utilizado. Esse fato,
de certa forma, traz mais seguranca de poder aproximar solucoes de equacoes integrais
utilizando o metodo apresentado neste trabalho.
Consideracoes Finais
Durante a pesquisa feita para a realizacao deste trabalho, mais especificamente
ao que se refere as propriedades das wavelets de Haar, pode-se perceber que a teoria refe-
rente a esse assunto esta bastante fragmentada na literatura. Foi preciso consultar varias
referencias e ate mesmo acrescentar argumentacoes nas demonstracoes para conseguir o
embasamento teorico que desejavamos.
Pudemos perceber tambem que a utilizacao da base de Haar 2D para aproximar a
solucao de equacoes integrais de Fredholm ainda esta pouco estudada. Encontramos algo
a respeito em [11], que trata do caso da equacao de Fredholm nao-homogenea. Mesmo
assim, tivemos a percepcao de que a literatura atual dispoe de bastante espaco para
melhorar estudos relacionados a essa tecnica, inclusive utilizando outras bases wavelets.
Neste trabalho, decidimos utilizar o conjunto de wavelets de Haar para aproxi-
mar funcoes com domınio restrito ao intervalo [0, 1]. Essa decisao se justifica basicamente
pelo fato de que, conforme o Teorema 3.4, podemos escolher funcoes desse conjunto a fim
de formar uma base para o espaco L2(0, 1) de modo que o suporte dessas funcoes esteja
todo completamente contido no intervalo [0, 1]. O mesmo ja nao acontece, em geral,
para as outras bases wavelets. Cohen et al [7] salientam que se tomarmos as wavelets de
Daubechies [9] e optarmos por uma escolha semelhante a que foi feita com as funcoes de
Haar com o intuito de formar uma base para o espaco L2(0, 1), havera entao, dentre as
funcoes escolhidas, algumas que nao terao suporte contido totalmente do intervalo [0, 1]
e nem totalmente contido no complementar desse intervalo.
Por esse motivo, em estudos futuros, pretendemos estudar as possibilidades de
utilizacao de funcoes de Daubechies para problemas como os que aparecem neste traba-
Conclusao 71
lho. Mais precisamente, temos a ambicao de estudar a teoria apresentada por [7] para
funcoes de uma variavel real e depois buscar uma forma de extender esse raciocınio para
funcoes bidimensionais e estudar sua aplicabilidade nos metodos de projecao.
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