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UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAHFACULTE DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’algebre 2

CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed

Departement de Mathematiques

Filieres SMP-SMC (Semestre 1) Module Math: Algebre 1 1 / 41

Chapitre 3

APPLICATIONS LINEAIRES

Dans ce chapitre K est soit egal a IR soit egal a IC.


Definitions et proprietes


DefinitionSoient E et F deux espaces vectoriels sur K . Une application f : E −→ F estdite lineaire si

f (a + b) = f (a) + f (b) (∀ a, b ∈ E)

f (αa) = αf (a) (∀α ∈ K , ∀ a ∈ E , )




Exemples1 L’application nulle est lineaire.2 L’application identite est lineaire.3 f : IR3 −→ IR, (x , y , z) 7−→ x + y + 2z est lineaire.4 f : IR2 −→; IR, (x , y) 7−→ xy n’est pas lineaire.5 f : IRn[X ] −→ IRn[X ],P 7−→ P + (1− X )P

′est lineaire.




Remarque

Si f : E −→ F est une application lineaire, alors f (0E) = 0F .





Soient E et F deux espaces vectoriels sur K1 L’ensemble des applications lineaires de E vers F est note L(E ,F ).2 Lorsque E = F on dit que f est un endomorphisme de E dans ce casL(E ,E) est note aussi L(E).

3 Une application lineaire bijective est appelee isomorphisme .4 S’il existe un isomorphisme de E vers F on dit que E est isomorphe a F

et on ecris E ' F .5 Si f est un isomorphisme et E = F on dit que f est un automorphisme.



Proposition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K . Pour montrer qu’une applicationf de E vers F est lineaire il suffit de montrer que

∀α ∈ K ∀a, b ∈ E , f (αa + b) = αf (a) + f (b)




ExempleMontrer que les applications suivantes sont lineaires :

1 f : IR2 −→ IR2, (x , y) 7−→ (x − y , x + y).2 f : IR2 −→ IR3, (x , y) 7−→ (x + y , x − y ,2y).3 f : IR3 −→ IR2, (x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z).4 f : IRn[X ] −→ IRn−1[X ],P 7−→ P

′.

5 f : IRn[X ] −→ IRn+1[X ],P 7−→ X .P.




Definition

Pour toute application lineaire f d’un K -espace vectoriel E vers un K -espacevectoriel F on defini le noyau de f par :

kerf = {a ∈ E ; f (a) = 0}

Proposition

Kerf est un sous-espace vectoriel de E .




ExempleDeterminer le noyau des applications lineaires suivantes :


′.

5 f : IRn[X ] −→ IRn+1[X ],P 7−→ XP.




Definition

Pour toute application lineaire f d’un K -espace vectoriel E vers un K -espacevectoriel F on defini l’image de f par :

Imf = {f (a);a ∈ E}

Proposition

Imf est un sous-espace vectoriel de F .




ExempleDeterminer l’image des applications lineaires suivantes :


′.

5 f : IRn[X ] −→ IRn+1[X ],P 7−→ XP.




Theoreme

Soit f une application lineaire d’un K e.v E vers un K e.v.1 f est injective si et seulement si son noyau est reduit a 0.

C’est a dire f est injective si et seulement si Ker(f ) = {0}2 f est surjective si et seulement si Imf = F .




Exercice1 L’application : f : IR3 −→ IR2 definie par

f (x , y , z) = (x + y , x + y + z),

est-t-elle injective?.2 L’application : f : IR2 −→ IR3 definie par

f (x , y) = (x + y , x − y ,2y),

est-t-elle surjective?3 L’application f : IR2 −→ IR2, (x , y , z) 7−→ (x + y , x − y). est-t-elle injective?4 L’application f : IRn[X ] −→ IRn−1[X ],P 7−→ P

′est-elle-injective?.

5 L’application f : IRn[X ] −→ IRn+1[X ],P 7−→ XP est-t-elle surjective?.




Proposition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K de dimension fini tels quedim E = dim F , et f : E −→ F une application lineaire. Les trois proprietessuivantes sont equivalentes :

1 f est un isomorphisme2 f injective3 f surjective




Exercice1 Montrer que l’application : f : IR2 −→ IR2 definie par

f (x , y) = (x + y , x − y),

est un isomorphisme.


Rang d’une applicationlineaire

Rang d’une application lineaire

Definition

Soit f : E −→ F une application lineaire d’un K -espace vectoriel E , dedimension finie, vers un K -espace vectoriel F . La dimension de Imf estappelee rang de f et on le note rgf .




Exercice

Determiner le rang de chacune des applications suivantes :

1f : IR2 −→ IR3

(x , y) 7−→ (x , x + y , x − y)

2g : IR3 −→ IR3

(x , y , z) 7−→ (x , x + y , x − y)

3h : IR3 −→ IR2

(x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z) .



Theoreme du rang

Theoreme du rang

Soient E et F deux K -espaces vectoriels de dimensions finies et f uneapplication lineaire de E vers F . On a alors

dim E = rgf + dim kerf .



Theoreme du rang

Exercice

Calculer le rang des applications lineaire suivantes :

1f : IR2 −→ IR3

(x , y) 7−→ (x , x + y , x − y)

2g : IR3 −→ IR3

(x , y , z) 7−→ (x , x + y , x − y)

3f : IR3 −→ IR2

(x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z) .

4f : IRn[X ] −→ IRn−1[X ]

P 7−→ P′ .

5f : IRn[X ] −→ IRn+1[X ]

P 7−→ XP .


Operations sur les applications lineaires


Definitions et propietes1 Addition : Soient f et g deux applications lineaires d’un K -espace

vectoriel E vers un K espace vectoriel F . L’application

f + g : E −→ F ; x 7−→ f (x) + g(x)

est lineaire appelee somme de f et g.2 Multiplication par un scalaire : Soient f : E −→ F une application d’un

K -espace vectoriel E vers un K espace vectoriel F et α un element de K .L’application

αf : E −→ F ; x 7−→ αf (x)

est lineaire.

Theoreme

Soit E et F deux K -espaces vectoriels, L(E ,F ) est un K -espace vectoriel.




Composee d’applications

Soient E , F et G trois K -espaces vectoriels ; f : E −→ F et g : F −→ G deuxapplications lineaires. L’application gof definie par :

gof : E −→ Gx 7−→ g(f (x))

est applee la composee de g et de f et elle est lineaire.


Matrice d’une application lineaire


NotationSoient E un K espace vectoriel non nul de dimension fini n etB = {e1,e2...,en} une base de E .Soit a = a1e1 + a2e2 + ...+ anen un vecteur de E (c’est a dire (a1, ...,an) sontles composantes de a dans la base B). On noteI] (a)B le vecteur (a1,a2, ...,an) ∈ IK n

II] [a]B la matrice colonne

a1a2...

an

Exemple :Soit E = IR2[X ] et B = (1 + X ,X + X 2,2 + X 2)

1 Verifier que B est une base de E .2 Soit P = a0 + a1X + a2X 2 ∈ E . Calculer (P)B et [P]B.3 Application : P = 3− 2X .




Definition

Soient f une application lineaire d’un K -espace vectoriel E dans un K -espacevectoriel F , tous deux de dimensions finies ;B = {e1, . . . ,en} une base de F et S = {ε1, . . . , εm} une base de E .On appelle matrice de f dans les bases B, S la matrice de colonnes[f (ε1)]B, [f (ε2)]B, ..., [f (εm)]B. c’est a dire :

M(f ,B,S) =

[f (ε1)]B . . . [f (εi)]B . . . [f (εm)]B

a11 . . . a1i . . . a1m...

......

......

an1 . . . ami . . . anm

avec f (εi) = a1ie1 + · · ·+ anien. Autrement dit [f (εi)]B =

a1ia2i...

ani




Exercice1 Soit

f : IR3[X ] −→ IR2[X ]

P 7−→ P′

On considere la base canonique S = (1,X ,X 2,X 3) de IR3[X ] et la baseB = (1 + X ,X + X 2,2 + X 2) de IR2[X ].Determiner la matrice de f par rapport aux bases S et B.

2 Soit f : IR3 // IR2 definie par f (x , y , z) = (x + y , x + y + z). Determinerla matrice de f par rapport aux bases canoniques.




Exercice

Soit f un endomorphisme de IR3 dont la matrice par rapport aux basescanoniques est 1 2 1

2 3 11 1 0

Determiner le noyau de f et l’image de f.




Remarque

La matrice d’une application lineaire n’est pas unique. Elle depend du choixdes bases.



Image d’un vecteur

DefinitionSoient E et F deux espaces vectoriel sur IK de bases respectives S et B. Soit

u ∈ E tel que [u]S =

u1u2...

un

Alors :

[f (u)]B = M(f ,B,S)[u]S = M(f ,B,S)

u1u2...

un




Exercice

Soit f : IR3 −→ IR2 l’application lineaire dont la matrice par rapport aux basecanonique est

M(f ,B,S) =

(1 1 11 1 0

)1 Soitu = (x , y , z) ∈ IR3. Calculer [f (u)]B.2 Determiner Ker f.3 En deduire la dimension de Imf et en donner une base.




Exercice

Soit f : IR3 −→ IR2 l’application lineaire definie par :f (e1) = (1,2)f (e2) = (3,4)f (e3) = (5,−1)

1 Determiner la matrice de f par rapport aux bases canoniques.2 calculer [f (u)]B ou u = (−2,1,3)




Proposition

Soient f une application lineaire d’un K -espace vectoriel E dans un K -espacevectoriel F , tous deux de dimensions finies ;B = {e1, . . . ,en} une base de F et S = {ε1, . . . , εm} une base de E etM(f ,B,S) la matrice de f dans les bases B,S.Alors,

rg f = rg M(f ,B,S)




Exercice

Soit f : IR3 // IR2 definie par f (x , y , z) = (x − z,2x + y − 3z,−y + 2z)1 Verifier que f est une application lineaire2 Determiner la matrice de f par rapport aux bases canoniques.3 calculer rg(f ).


Changement de base Matrice de passage

Matrice de passage

DefinitionSoit E un IK -espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1,B = {e1, . . . ,en} et B

′= {e′

1, . . . ,e′

n} deux base de E .La matrice de passage de la base B = {e1, . . . ,en} a la baseB

′= {e′

1, . . . ,e′

n} est la matrice carree d’ordre n de colonnes [e′

1]B, ..., [e′

n]B,notee par M(B,B′), c’est a dire :

M(B,B′) =

[e

′

1]B [e′

2]B . . . [e′

n]B. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .



Matrice de passage

Exemple

I]1 Verifier que S = {ε1 = (1,0,1), ε2 = (1,1,0), ε3 = (0,0,1)} est une base

de IR3.2 Donner la matrice P, de passage de la base canonique de IR3 a la base

S.3 Calculer Q la matrice de passage de la base S a la base canonique

B = {e1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1)}.4 Calculer le produit PQ. Conclure.

II] Soit B = {1,X} la base canonique de IR1[X ] et B′= {2X + 1,X + 1} une

famille de polynome de IR1[X ].1 Montrer que B

′est une base de IR1[X ].

2 Calculer M(B,B′) et M(B

′,B).



Matrice de passage

Proposition

Soient E un IK -espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, B et B′

deux basesde E et M(B,B

′) la matrice de passage de B a B

′.

M(B,B′) est une matrice inversible et son inverse c’est M(B

′,B) la matrice de

passage de B′

a B.



Effet de changement de base sur les composantesd’un vecteurSoient E un K -espace vectoriel de dimension fini n , B et B

′deux bases de E .

Soient v un vecteur de E tel que [v ]B =

x1x2...

xn

et [v ]′B =

x

′

1x

′

2...

x′

n

et M(B,B

′) = (aij) est la matrice de passage de B a B′. Alors,

x1...

xn

︸︷︷︸

coordonnees de v dans B

=

a11 . . . ann...

......

an1 . . . ann

︸︷︷︸

matrice de passage

·

x′

1...

x′

n

︸︷︷︸

coordonnees de v dans B′



Exemple

Soit IR1[X ] l’espace vectoriel sur IR. On considere la base canoniqueB = (1,X ) et la base B

′= (2X + 1,X + 1) de IR1[X ].

Soit P = 3− 2X . Calculer les composantes de P dans la base B′.


Changement de base Effet de changement de base sur la matrice d’une application lineaire

Effet de changement de base sur la matrice d’uneapplication lineaire

Teoeme(Formule de changement de base)

Soient E et F deux K -espaces vectoriels de dimenions finies, B, B′ deuxbases de F , S, S′ deux bases de E , f une application lineaire de E dans F ,M(f ,B′,S′) la matrice de f dans les bases B′ et S′,M(f ,B,S) la matrice de f dans les bases B et S,Q = M(B,B′) la matrice de passage de B a B′ et P = M(S,S′) la matrice depassage de S a S′. On a alors

M(f ,B′,S′) = M(B,B′)−1 M(f ,B,S) M(S,S′) = Q−1 M(f ,B,S) P

(E ,S)f→ (F ,B)

P ↓ ↓ Q(E ,S′) f→ (F ,B′)



Effet de changement de base sur la matrice d’uneapplication lineaire

Cas particulier

Lorsque E = F , B = S et B′ = S′ on a M(S,S′) = M(B,B′) = P et

M(f ,B′) = P−1 M(f ,B) P.



Exemple

Soitf : IR1[X ] −→ IR2[X ]

P 7−→ XPOn considere la base S

′= (2 + X ,X + 1) de IR1[X ] et la base

B′= (1 + X ,X + X 2,2 + X 2) de IR2[X ].

1 Determiner A la matrice de f par rapport aux bases canoniques.2 Determiner P la matrice de passage de la base B a la base B

′et Q la

matrice de passage de la base S a la base S′.

3 Determiner P−1 et Q−1.4 Donner la formule de changement de bases et calculer la matrice

M(f ,S′,B

′).



ExerciceSoith : IR3 −→ IR2

(x , y , z) 7−→ (x + y , x + y + z)Soient u1 = (1,1,0), u2 = (0,−1,0) et u3 = (3,2,−1)ξ1 = (1,1) et ξ2 = (2,1). Notons S et B les bases canoniques de IR3 et IR2

respectivement.1 Verifier que S

′= (u1,u2,u3) est une base de IR3.

2 Verifier que B′= (ξ1, ξ2) est une base de IR2.

3 Determiner A la matrice de f par rapport aux bases canoniques S et B.4 Determiner P la matrice de passage de la base B a la base B

′et Q la

matrice de passage de la base S a la base S′.

5 Determiner P−1 et Q−1.6 Donner la formule de changement de bases et calculer la matrice

M(f ,S′,B

′).


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