universite sidi mohamed ben abdellah´ faculte des sciences dhar el … · 2019. 10. 27. ·...

UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAHFACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’algèbre 1

Barbara Abdelkrim & Mouanis Hakima

Département de Mathématiques

Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 1 / 62

Chapitre 4

L’espace vectoriel IRn


Généralités la structure d’espace vectoriel IRn

la structure d’espace vectoriel IRn

Définition

Soit n un entier naturel. IRn est le produit cartésien de n copies de R. C’est àdire

IRn = {(a1,a2, ...,an) tq a1,a2, ...,an ∈ IR}

1 Pour n = 1, IR1 = IR.2 Pour n = 2, IR2 = {(x , y), tq x , y ∈ IR}.




Définition

pour n ∈ IN? on définit dans IRn les deux opérations :1 ∀a = (a1,a2, ...,an) ∈ IRn et b = (b1,b2, ...,bn) ∈ IRn :

a + b = (a1,a2, ...,an) + (b1,b2, ...,bn) = (a1 + b1,a2 + b2, ...,an + bn)

a + b est appelé la somme de a et b.2 ∀α ∈ IR et a = (a1,a2, ...,an) ∈ IRn :

αa = (αa1, αa2, ..., αan)

αa est appelé le produit de α par a.Cette opération est appelé la multiplication externe dans IRn sur IR.




DéfinitionSoit n ∈ IN?.• On dit que IRn muni de l’addition et la multiplication externe sur IR est unespace vectoriel et on note IRn est e.v .• les éléments de IR sont appelés les scalaires.• les éléments de IRn sont appelés les vecteurs de IRn• Le vecteur (0,0, ...,0) est appelé le vecteur nul et noté 0n.




DéfinitionSoit n ∈ IN? et a,a1,a2, ...,ap ∈ IRn. On dit que a est combinaison lineaire dea1, a2,...,ap s’il existe λ1, λ2,..., λp ∈ IR tels que

a =p∑

i=1

λiai = λ1a1 + λ2a2 + ...+ λpap


Sous espace vectoriel de IRn Généralités

Sous espace vectoriel de IRn

DéfinitionUne partie E de IRn est dite sous espace vectoriel de IRn et on note E est uns.e.v . s’elle vérifie les trois propriétés suivantes :

1 E est non vide : E 6= ∅2 E est stable par addition : ∀a,b ∈ E , a + b ∈ E3 E est stable par multiplication par un scalaire : ∀a ∈ E , ∀λ ∈ R, λa ∈ E .




Exemples

1 IRn est un sous espace de IRn.2 0n = (0, ...,0) est sous espace de IRn.

Propriété

Si E est un sous espace vectoriel de IRn alors 0n ∈ E




Proposition

Soit E une partie de IRn.E est un s.e.v . de IRn si et seulement si les deux propriétés suivantes sontvérifiées :

1 E 6= ∅.2 ∀α ∈ IR, ∀u, v ∈ E : αu + v ∈ E


Sous espace vectoriel de IRn Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels

Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels

Exemples

1 E = {(x , y , z) ∈ IR3 tq : 2x − y + 3z = 1} n’est pas un sous espacevectoriel de IR3.

2 E = {(x , y) ∈ IR2 tq xy = 0} n’est pas un sous espace vectoriel de IR2.3 E = {(x , y , z) ∈ IR3 tq : 2x − y + 3z = 0} est un sous espace vectoriel

de IR3.


Sous espace vectoriel de IRn Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels

Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels

Propriétés

Si E et F sont deux sous espaces vectoriels de IRn alors E ∩ F est un sousespaces vectoriel de IRn.


Sous espace vectoriel de IRn la somme directe des sous espaces vectoriels

la somme directe des sous espaces vectoriels

DéfinitionSoient n ∈ IN?, E et F sont deux sous espaces vectoriels de IRn.On appelle somme de E et F ou E plus F l’ensemble noté E + F défini par

E + F = {a + b tq a ∈ E et b ∈ F}




DéfinitionSoient E et F deux s.e.v . de IRn.On dit que la somme de E et F est directe si∀a ∈ E +F il existe d’une façon unique aE ∈ E et aF ∈ F tels que a = aE +aF .dans ce cas :

1 E + F est noté aussi E ⊕ F .2 E ⊕ F est appelé somme directe de E et F .3 ∀a ∈ E ⊕ F{

aE , est appelé la projection de a sur E parallèlement à FaF , est appelé la projection de a sur F parallèlement à E

4 Si G est un s.e.v . de IRn et E ⊕ F = G on dit que E et F sontsupplémentaires dans G ou E est un supplémentaire de F dans G.

5 Si E et F sont supplémentaire dans IRn on dit aussi que E et F sontsupplémentaires.




Proposition

Soit n ∈ IN?.la somme de deux sous espaces vectoriel E et F est direct dans IRn si etseulement si E ∩ F = {0n}En particulier :

E ⊕ F = IRn ⇐⇒{

E + F = IRn

E ∩ F = {0n}


Les systèmes de vecteursLes systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de

vecteurs

Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendrépar un système de vecteurs

Notations

Soit S = (a1,a2, ...,ap) un système de vecteurs de IRn.1 On note par vect(S) = vect(a1,a2, ...,ap) l’ensemble des combinaisons

linéaires des vecteurs a1,a2, ...,ap :

vect(S) = {α1a1 + α2a2 + ...+ αpap / α1, α2, ..., αp ∈ IR}

2 On note vect(∅) = {0n}.


Les systèmes de vecteursLes systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de

vecteurs

Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendrépar un système de vecteurs

Proposition

vect(S) = vect(a1,a2, ...,ap) est un sous espace vectoriel de IRn contenanta1,a2, ...,ap.et c’est le plus petit sous espace vectoriel de IRn contenant les vecteursa1,a2, ...,ap.


Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés :

les systèmes libres et les systèmes liés :

Définition

Soient n ∈ IN? et S = (a1,a2, ...,ap) un système de vecteurs de IRn.1 On dit que le système S est lié ou que a1,a2, ...,ap sont linéairement

dépendantss’il existe des scalaires α1, α2, ..., αp ∈ IR non tous nuls tels que :

p∑i=1

αiai = α1a1 + α2a2 + ...+ αpap = 0n

2 Dans le cas contraire on dit que le système S est libre ou quea1,a2, ...,ap sont linéairement indépendants. c’est à dire si on a :

∀α1, α2, ..., αp ∈ IR :p∑

i=1

αiai = 0n =⇒ α1 = α2 = ... = αp = 0




Exemples 1

Soient a1 = (−2,1),a2 = (1,1),a3 = (3,−1) et S = (a1,a2,a3) un système devecteurs de IR2.∀α, β, γ ∈ IR :

αa1 + βa2 + γa3 = (0,0)

⇐⇒ α(−2,1) + β(1,1) + γ(3,−1) = (0,0)

⇐⇒ (−2α+ β + 3γ, α+ β − γ) = (0,0)

⇐⇒{−2α+ β + 3γ = 0α+ β − γ = 0 ⇐⇒

{γ = α+ βα+ 4β = 0 ⇐⇒

{α = −4βγ = −4β

admet plusieurs solution donc le système S est lié.




Exemple 2

Soient a1 = (−2,1,3),a2 = (1,1,−1) et S = (a1,a2)

∀α, β ∈ IR : αa1 + βa2 = (0,0,0)

⇐⇒ α(−2,1,3) + β(1,1,−1) = (0,0,0) −2α+ β = 0α+ β = 03α− β = 0 ⇐⇒{β = 2α3α = 0 ⇐⇒ α = β = 0

Donc le système S est libre.




Propriétés

1 (0n) est système lié2 Tout système de vecteurs de IRn qui contient 0n est lié.3 ∀a ∈ IRn − {0n} : le système (a) est libre4 ∀a,b ∈ IRn avec a 6= 0n

(a,b) est lié si et seulement s’il existe α ∈ R tel que b = αa




Proposition

Soit S = (a1,a2, ...,ap) un système de vecteurs de IRn.S est lié⇔ ∃k ∈ {1, ...,p} tq ak est une combinaison linéaire des autresvecteurs. c’est à direS est lié⇔ ∃k ∈ {1, ...,p} tq ak ∈ vect(a1, ...,ak−1,ak+1, ...,ap)




Exemple

Soient u = (1,2,3), v = (5,1,−1),w = (3,−3,−7) et S = (u, v ,w).On a

v = w + 2u

doncv ∈ vect(u,w)

D’ou S est un système lié.


Les systèmes de vecteurs les systèmes générateurs

les systèmes générateurs

Définition

soient n ∈ IN?, E un sous espace vectoriel et S = (a1,a2, ...,ap) un systèmede vecteurs de IRn.On dit que S est un système générateur de E si on a :

E = vect(S) = vect(a1,a2...,ap)


Les systèmes de vecteurs les systèmes générateurs

les systèmes générateurs

Exercice

Soit E = {(x , y , z) ∈ IR3 / 2x − y + 3z = 0} un s.e.v . de IR3. Trouver unsystème générateur de E


Les systèmes de vecteurs Les bases

Les bases

Définition

Soient E un sous espace vectoriel de IRn et B un système de vecteurs de E .On dit que B est une base de E si B est à la fois libre et générateur de E



Les bases

Proposition

Soit E un sous espace vectoriel de IRn et B = (a1,a2, ...,an) un système devecteurs de E .

B est une base de E

⇔

∀a ∈ E : ∃!α1, α2, ..., αp ∈ IR tq a = α1a1 + α2a2 + ...+ αpapDans ce cas α1, α2, ..., αp sont appelées les coposantes du vecteur a dans labase B



Les bases

Exemple

soient E = IR2 et B = (a1,a2) un système de IR2 avec a1 = (2,1),a2 = (1,1).(a1,a2) est une base de R2. En effet :alors ∀a = (x , y) ∈ IR2,∀α, β ∈ IR :

a = αa1 + βa2 ⇔ (x , y) = (2α+ β, α+ β)

⇔{

2α+ β = xα+ β = y ⇔

{α = x − yβ = 2y − X

Donc B est une base de IR2

et les composantes d’un vecteur a = (x , y) dans B sont x − y et 2y − x



Les bases

Propriétés

Soient n ∈ IN? et E un sous espace vectoriel de IRn.1 Si E = IR2, e1 = (1,0) , e2 = (0,1)

Alors B = (e1,e2) est un système libre et générateur de IR2 donc B estune base de IR2 appelé la base canonique de IR2

2 En général :Si E = IRn, e1 = (1,0, ...0), e2 = (0,1,0, ...,0),...,en = (0, ...,0,1).Alors B = (e1,e2, ...,en) est un système libre et générateur de IRn

Donc B est une base de IRn appelé la base canonique de IRn.



Les bases

Exercice

Soit E = {(x , y , z) ∈ IR3 / 2x − y + 3z = 0} un s.e.v . de IR3. Trouver unebase de E



Les bases

Propriétés

Soient F1 et F2 deux s.e.v. de IRn. Si B1 est une base de F1 est B2 est unebase de F2 alors :

la somme de F1 et F2 est directe⇔{

B1 ∩ B2 = ∅B1 ∪ B2 est libre

Dans ce cas B1 ∪ B2 est une base de F1 ⊕ F2


Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel

La dimension d’un sous espace vectoriel

Notation

Soit A un ensemble fini. le nombre des éléments de A est appelé le cardinalede A et noté |A|

Théorème et définitionSi n ∈ IN? et E un sous espace vectoriel de IRn Alors E admet des bases ettous ces bases ont le même nombre de vecteurs appelé la dimension de E etnoté dimE et on a dimE ≤ n.Ainsi, si B est une base de E alors

dimE = |B| ≤ n

Propriétés

∀n ∈ IN?, dimIRn = n




Propriétés

Soient E et F deux sous espaces vectoriels de IRn. Alors :1 Si S est une partie génératrice de E alors |S| ≥ dimE .2 Si S est une parie libre de E alors |S| ≤ dimE .3 Si E ⊂ F et dimE = dimF alors E = F .4 Si dimE = n alors E = IRn.




Théorème

Soient F un sous espace de IRn de dimension p et B un système de F decardinal p. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1 B est un système libre2 B est un système générateur de F3 B est une base de F




proposition

Soient E et F deux sous espace vectoriel de IRn.Alors dim(E + F ) = dimE + dimF − dim(E ∩ F ) ≤ dimE + dimFSi en plus la somme de E et F est directe alors dim(E ⊕ F ) = dimE + dimF .



Les bases

Théorème de la base incomplète

Soient E un sous espace vectoriel de IRn. Si S et T sont deux parties finies deE qui vérifient les 3 propriétés suivantes :

1 S une partie libre de E .2 T est une partie génératrice de E .3 S ⊂ T .

Alors il existe une base B de E telle que S ⊂ B ⊂ T .



Les bases

Corollaire

Soit E un s.e.v. de IRn. Si S et T sont deux parties finies de E qui vérifient lesdeux propriétés suivantes :

1 S est une partie libre de E .2 T est une partie génératrice de E .

Alors il existe une base B de E telle que S ⊂ B ⊂ S ∪ T .



Les bases

Exemple

Si n = 5 et E = IR5, a1 = (1,0,0,1,1), a2 = (1,1,1,1,1), S = (a1,a2)e1 = (1,0,0,0,0), e2 = (0,1,0,0,0), ...,e3 = (0,0,1,0,0) , e4 = (0,0,0,1,0),e5 = (0,0,0,0,1) et T = (e1,e2,e3,e4,e5).

1 S est une partie libre de IR5.2 T est une partie génératrice de IR5.

Alors il existe une base B de IR5 telle que S ⊂ B ⊂ S ∪ T .On a S = (a1,a2) est un système libre de IR5.

1 On verifie que le système (a1,a2,e1) est libre.2 On vérifie que (a1,a2,e1,e2) est libre.3 On verifie que (a1,a2,e1,e2,e3) est lié.4 On vérifie que (a1,a2,e1,e2,e4) est libre.

Ainsi le système B = (a1,a2,e1,e2,e4) est libre et card(B) = 5 = dimIR5 cequi montre que B est une base de IR5.



Les bases

Proposition

Soient E un sous espace vectoriel de IRn. Alors E admet au moins unsuplémentaire dans IRn.C’est à dire pour tout s.e.v E il existe au moins un s.e.v , F tel que

F ⊕ E = IRn



Les bases

Exemple

Soit F = {(x ,3x ,0), tq x ∈ IR}. Trouvons un supplémentaire de F dans IR3On a F = vect(a) = IRa avec a = (1,3,0) donc (a) est une base de F .♣ Soient B0 = (e1,e2,e3) la base canonique de IR3 et T = (a,e1,e2,e3)trouver une base B de IR3 tel que {a} ⊆ B ⊆ T .

1 on vérifie que (a,e1) est libre.2 On vérifie que (a,e1,e2) est lié.3 On vérifie que (a,e1,e3) est libre.

Ainsi, puisque card(B) = dimIR3 = 3 alors B = (a,e1,e3) est une base de IR3.Ce qui implique queG = vect(e1,e3) = {αe1 + βe3 /α, β ∈ R} = {(α,0, β) /α, β ∈ R}est un supplémentaire de F dans IR3.


La structure euclidienne de IRn Le produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs

DéfinitionSoit n ∈ IN?

1 Si a = (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn et b = (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn on appelle le produitscalaire de a et b ou a fois b le nombre réel noté < a,b > ou ab défini

par : < a,b >= ab =n∑

k=1

xk yk = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn

2 ∀a ∈ IRn : < a,a >= aa est noté aussi a2 appelé a carré.L’espace vectoriel muni du produit scalaire est appelé l’espace vectorieleuclidien IRn.


La structure euclidienne de IRn Le produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs

Propriétés

Soient α ∈ IR, a,b et c ∈ IRn.1 ab = ba2 (a + b)c = ac + bc3 (αa)b = a(αb) = α(ab)4 a2 = 0⇔ a = 0n5 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab


La structure euclidienne de IRn La norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur

Définition

Soit a = (x1, x2, ...., xn) ∈ IRn. On appelle la norme de a le nombre réel noté‖a‖ défini par :

‖a‖ =√

a2 =

√√√√ n∑k=1

x2k =√

x21 + ...+ x2n

Si ‖a‖ = 1 on dit que a est normé.

Exemple

Si a = (3,1,−2,2) alors ‖a‖ =√

32 + 12 + (−2)2 + 22 = 3√

2.

Si a = ( 12 ,−12 ,√

22 ) alors ‖a‖ =

√( 12 )

2 + (−12 )2 + (

√2

2 )2 = 1.


La structure euclidienne de IRn La norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur :

Propriétés

Soient α ∈ IR, a et b ∈ IRn

1 ‖a‖2 = a2

2 Si a 6= 0 alors ‖a‖ > 0.3 ‖αa‖ = |α|‖a‖.4 Si a 6= 0 alors a‖a‖ est normé.5 ab ≤ |ab| ≤ ‖a‖‖b‖.6 ‖a + b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 + 2ab.7 ‖a + b‖ ≤ ‖a‖+ ‖b‖.8 |‖a‖ − ‖b‖| ≤ ‖a− b‖.


La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité

L’orthogonalité

DéfinitionsSoit n ∈ IN? .

1 Soit a,b ∈ IRn sont deux vecteurs de IRnsi ab = 0 on dit que a et orthogonale à b ou a et b sont orthogonaux eton note a⊥b.

2 Si S = (a1,a2, ...,an) est un système de vecteurs de IRn et si les vecteursde S sont orthogonaux deux à deux on dit que S est un systèmeorthogonal de IRn.

3 Si S est un système orthogonal et si tous ses vecteurs sont normé on ditque S est un système orthonormé de IRn

4 Soit B une base d’un sous espace vectoriel E

• Si B est un système orthogonal on dit que B est une baseorthogonale de E .

• Si B est un système orthonormé on dit que B est une baseorthonormale.



L’orthogonalité

Proposition

Si S = (a1,a2, ...,an) un système orthogonal de IRn et si les vecteurs de Ssont tous non nuls alors S est libre.En particulier : tous les systèmes orthonormés de IRn sont libre.



L’orthogonalité

Théorème (Le procédé de schmidt)

Soit n ∈ IN?. Si S = (a1,a2, ...,am) est un système libre de IRn alors il existe unsystème orthonormé B = (e1,e2, ...,em) de IRn tel quevect(a1,a2, ...,am) = vect(e1,e2, ...,em) et ak ek > 0. avec

1 e1 = a1‖a1‖2 ei = vi‖vi‖

où vi = ai − (aiei−1)ei−1 − (aiei−2)ei−2 − ...− (aie2)e2 − (aie1)e1; ∀i ≥ 2



L’orthogonalité

Exemple

Soient a1 = (1,1,1),a2 = (2,1,0),a3 = (4,−3,2) et S = (a1,a2,a3).On a S est un système libre de IR3. On pose

1 e1 = a1‖a1‖ = (√

33 ,√

33 ,√

33 )

2 v2 = a2 − (a2e1)e1 = (1,0,−1) donc e2 = v2‖v2‖ = (√

22 ,0,−

√2

2 ).

3 v3 = a3 − (a3e2)e2 − (a3e1)e1 = (2,−4,2) donce3 = v3‖v3‖ = (

√6

6 ,−√

66 ,√

66 )

Alors B′= (e1,e2,e3) est un système orthonormé de IR3 vérifiant{

vect(S) = vect(B)aiei > 0



L’orthogonalité

Corollaire

Tous les sous espaces vectoriels non nuls de IRn possèdent des basesorthonormales.



L’orthogonalité

Proposition

Soient E un sous espace vectoriel de IRn.Si B = (e1,e2, ...,em) est une base orthonormale de E alors∀a ∈ E les coposantes du vecteur a dans B sont ae1,ae2, ...,aen



L’orthogonalité

Exemple

Soient e1 =√

33 (1,1,1),e2 =

√2

2 (1,0,−1),e3 =√

66 (1,−2,1)

On a déja vu que B = (e1,e2,e3) est une base orthonormale de IR3.∀a = (x , y , z) ∈ IR3 les composantes de a dans B sont :ae1 =

√3

3 (x + y + z) ,ae2 =√

22 (x − z) et ae3 =

√6

6 (x − 2y + z)


La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale

La projection orthogonale

DéfinitionSoient n ∈ IN? et A ⊂ IRn.On appelle projection orthogonale de A la partie de Rn noté A⊥ défini par :

A⊥ = {x ∈ IRn tq ∀a ∈ A : x⊥a} = {x ∈ IRn tq ∀a ∈ A : xa = 0}

Exemple

Soient a = (1,0,−1),b = (0,1,−1) et A = {a,b}. Alors A est une partie deIR3.

A⊥ = {u ∈ IR3 tq : ua = ub = 0}

∀u ∈ A⊥ ⇔ ua = ub = 0⇔{

(x , y , z)(1,0,−1) = 0(x , y , z)(0,1,−1) = 0 ⇔

{x = zy = z

Donc A⊥ = {(x , x , x) tq x ∈ IR}




Propriétés

Soient n ∈ IN?, A et B deux partie de IRn.1 ∅⊥ = {0n}⊥ = IRn.2 IRn⊥ = {0n}.3 A⊥ est un sous espace de IRn.4 A ⊂ (A⊥)⊥.5 A ⊂ B alors B⊥ ⊂ A⊥.6 (A ∪ B)⊥ = A⊥ ∩ B⊥

7 A⊥ + B⊥ ⊂ (A ∩ B)⊥.




Propriétés

Si S est une partie fini non vide de IRn alors S⊥ = vect(S)⊥.C’est à dire :

∀a1,a2, ...,am ∈ IRn, {a1,a2, ...,am}⊥ = vect(a1,a2, ...,am)⊥

Exemple

Soit E = {(x , y ,−x − y) tq x , y ∈ IR}. Alors E est un sous espace vectoriel deIR3.∀u = (x , y ,−x ,−y) ∈ E : u = x(1,0,−1) + y(0,1,−1)Posons a = (1,0,−1) et b = (0,1,−1) et S = {a,b}.Alors E = vect(S). Donc

E⊥ = S⊥ = {(x , x , x) tq x ∈ IR}




Théorème

Soient n ∈ IN? et E un sous espace vectoriel de IRn. Alors E⊥ est lesupplémentaire de E dans IRn

corollaire

Si E un sous espace vectoriel de IRn. Alors (E⊥)⊥ = E




DéfinitionSoient n ∈ IN?, E un sous espace vectoriel de IRn et u ∈ IRn la projection duvecteur u sur E parallèlement à E⊥ est appelé la projection orthogonale duvecteur u sur E .

Théorème

Soient n ∈ IN?, E un sous espace vectoriel de IRn. Si S = (e1,e2, ...,em) unebase orthonormale de E alors la projection orthogonale d’un vecteurquelconque u ∈ IRn sur E est

uE = (ue1)e1 + (ue2)e2 + ...(uem)em




CorollaireSoit E une droite vectorielle de IRn.Si e est un vecteur normé de E alors la projection orthogonale d’un vecteurquelconque u ∈ IRn sur E est : uE = (ue)e

CorollaireSoit E une droite vectorielle de IRn.Si a est un vecteur non nul de E alors la projection orthogonale d’un vecteurquelconque u ∈ IRn sur E est : uE = (ua) a‖a‖2


La structure euclidienne de IRn Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Dans tous ce paragraphe n étant un entier où n ≥ 2, E un plan vectorieleuclidien de IRn et B = (e1,e2) une base orthonormale de E .

Définitions et notations

1 Le vecteur nul 0n est noté 0.2 Si a = x1e1 + y1e2 ∈ E et a2 = x2e1 + y2e2 ∈ E

on appelle déterminant de a1 et a2 par rappot à B ou le déterminant de a1et a2 le nombre réel, noté detB(a1,a2) défini par :

detB(a1,a2) = det(a1,a2) =x1 x2y1 y2

= x1y2 − x2y1

3 Si a = xe1 + ye2 ∈ E on appelle l’affixe de a le nombre complexe notéaff (a) défini par aff (a) = x + iy ∈ IC


La structure euclidienne de IRn Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes

Propriétés

1 ∀a1,a2 ∈ E : (a1,a2) est un système lié si et seulement si det(a1,a2) = 0.2 ∀a1,a2 ∈ E : (a1,a2) est une base de E si et seulement si det(a1,a2) 6= 03 ∀a = xe1 + ye2 ∈ E et b = ue1 + ve2 ∈ E : ab = xu + yv4 aff (a + b) = aff (a) + aff (b)5 ∀a = xe1 + ye2 ∈ E : ‖a‖ = |aff (a)| =

√(x2 + y2)

6 ∀a ∈ E a est normé⇔ |aff (a)| = 1


La structure euclidienne de IRn Le produit vectoriel

Le produit vectoriel

Définition

Si a = (x , y , z) ∈ IR3 et b = (t ,u, v) ∈ IR3.On appelle produit vectoriel ab ou a vectoriel b, le vecteur de IR3 noté a ∧ bdéfini par :

a ∧ b =(

y uz v ,

z vx t ,

x ty u

)




Exemple

♣ Si a = (2,−1,4) et b = (3,5,1) alors

a ∧ b =(−1 5

4 1 ,4 12 3 ,

2 3−1 5

)= (−21,10,13)

♣ Si B = (e1,e2,e3) la base canonique de IR3. alors• e1 ∧ e1 = e2 ∧ e2 = e3 ∧ e3 = 0• e1 ∧ e2 = −e2 ∧ e1 = e3• e2 ∧ e3 = −e3 ∧ e2 = e1• e3 ∧ e1 = −e1 ∧ e3 = e2




Propriétés

Soient a,b, c ∈ IR3

1 a ∧ b = −(b ∧ a)2 (−a) ∧ b = a ∧ (−b) = −(a ∧ b)3 (−a) ∧ (−b) = a ∧ b4 ∀α ∈ IR, (αa) ∧ b = a ∧ (αb) = α(a ∧ b)5 (a + b) ∧ c = (a ∧ c) + (b ∧ c)6 a ∧ (b + c) = (a ∧ b) + (a ∧ c)




Propriétés

1 le système (a,b) est lié si et seulement si a ∧ b = 02 le système (a,b) est libre si et seulement si a ∧ b 6= 03 (a ∧ b)⊥a et (a ∧ b)⊥b c’est à dire : (a ∧ b)a = 0 et (a ∧ b)b = 04 Si (a,b) est un système libre orthogonal de IR3 alors (a,b,a ∧ b) est une

base orthogonale de IR3

5 Si (a,b) est un système orthonormal de IR3 alors (a,b,a ∧ b) est unebase orthonormale de IR3

6 Si a⊥b alors ‖a ∧ b‖ = ‖a‖‖b‖


Généralitésla structure d'espace vectoriel IRn

Sous espace vectoriel de IRnGénéralitésExemples et propriétés des sous espaces vectorielsla somme directe des sous espaces vectoriels

Les systèmes de vecteursLes systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de vecteursles systèmes libres et les systèmes liés:les systèmes générateursLes basesLa dimension d'un sous espace vectoriel

La structure euclidienne de IRnLe produit scalaire de deux vecteursLa norme d'un vecteurL'orthogonalitéLa projection orthogonaleLe plan vectoriel euclidien et les nombres complexesLe produit vectoriel

universite sidi mohamed ben abdellah´ faculte des sciences dhar el … · 2019. 10. 27. ·...

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