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Prof. Dr. Alexander Braun // Fortgeschrittene Photonik // SS 2016

Fortgeschrittene PhotonikTechnische Nutzung von Licht

HSDHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 10. Mai 2016

Fresnel Formeln

HSDHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences


10. Mai 2016

Fresnel’sche FormelnAnschaulich



10. Mai 2016

Fresnel’sche FormelnFormeln



Fresnel‘schen Formeln Intensitätskoeffizienten

Rk = r2k =

0

@n2 cos↵� n1

q1� (n1

n2sin↵)2

n2 cos↵+ n1

q1� (n1

n2sin↵)2

1

A

2

R? = r2? =

0

@n1 cos↵� n2

q1� (n1

n2sin↵)2

n1 cos↵+ n2

q1� (n1

n2sin↵)2

1

A

2

Tk = 1�Rk

T? = 1�R?

Energieerhaltung: Eigentlich:

Zu kompliziert )

Tk,? =n2 cos�

n1 cos↵· t2k,?



10. Mai 2016

Reflexionsgrad I Vom dünnen ins dichte Medium

• Reflexion nimmt stetig bis 100% zu großen Winkeln zu

• Bei „normalem“ Glas ca. 4% Reflexe

• „Alles“ reflektiert bei flachen Winkeln

• Brewster-Winkel: p-Polarisation verschwindet

↵ (�)

Refle

xions

grad

(%)



10. Mai 2016

Brewster-Winkel

• Hertz‘scher Dipol: strahlt nicht in Schwingungsrichtung

• Wenn die reflektierte und die transmittiert Welle eine Winkel von 90° einschließen, kann die p-Polarisation nicht abgestrahlt werden.

p-Polarisation s-Polarisation



Brewster-Winkel

p-Polarisation s-Polarisation

180� = 90� + ↵+ �

) � = 90� � ↵

Summe der Winkel:

sin� = sin(90� � ↵) = cos↵

Also:

↵

�

n1 sin↵B = n2 cos↵B

) tan↵B =n2

n1

Für den Brewster-Winkel :↵B



10. Mai 2016

Reflexionsgrad II Vom dichten ins dünne Medium

• Reflexion nimmt stetig und schnell bis 100% beim Winkel der Totalreflexion zu.

• Für Winkel oberhalb des Grenzwinkels wird das Licht zu 100% (total-) reflektiert.

• Bei „normalem“ Glas ca. 4% Reflexe

• Brewster-Winkel: p-Polarisation verschwindet ↵ (�)

Refle

xions

grad

(%)



10. Mai 2016

Nachschlagen

• Auf der Seite refractiveindex.info gibt es viele Informationen rund um den Brechungsindex, die Fresnel-Formeln und Dispersion.

Wavelength, µm

n

5 10 15 20 253.415

3.42

3.425

3.43

3.435

3.44

3.445

RefractiveIndex.INFO

Si(Silicon)

EdwardsandOchoa1980-n2.5-25µm;26°C

Angle of incidence, deg.

Refl

ecta

nce

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

RefractiveIndex.INFO

Brechungsindex Silizium Reflexionsgrad nach Fresnel von Silizium

http://refractiveindex.info



10. Mai 2016

Fresnel’sche FormelnAbsorption



10. Mai 2016

Intensität

• Intensität ist definiert als Energie pro Fläche und Zeit.

• Energiedichte des E-Feldes ist:

• Energiedichte des B-Feldes ist:

• Zusammen:

Intensitat =Energie

Flache · Zeit

u = uE + uB = "E2

I = c · u = c · "E2

uE =1

2"E2

uB =1

2µB2 E=cB

=1

2"E2 Instantane Intensität



10. Mai 2016

Intensität

• Die durch die Welle transportierte Energie ist proportional zu E2.

• Kein Detektor ist schnell genug um diesen Zeitverlauf zu folgen.

• Daher ist eine Intensitätsmessung eine Mittelwertbildung über viele Schwingungen N der Welle.

E2 ⇠ sin2 !t

sin2 !t =1

2� 1

2cos 2!t

sin2 !t =1

T

Z T

0(1

2� 1

2cos 2!t)dt

=1

2

I = c · "E2

I =1

2c · "E2

0



10. Mai 2016

Poynting-Vektor

• Der Poynting-Vektor gibt den Energiefluss an.

• Dies ist gerade die vektorielle Darstellung der instantanen Intensität.

• Der Poynting-Vektor zeigt in die gleiche Richtung wie der k-Vektor.

~S = ~E ⇥ ~H

= "c2 ~E ⇥ ~B



10. Mai 2016

Komplexer Brechungsindex

• Eine Möglichkeit die Absorption von Wellen darzustellen ist über einen komplexen Brechungsindex.

• Der Imaginärteil für zu einem exponentiellen Abfall des E-Feldes und mithin zum…

• Lambert-Beert’schen Gesetz

n⇤ = n+ i

~E(~x, t) = e�k0xei(kx�!t)

mit ↵ = 2k0 = 2!

c0

I(x,�) = I0(x,�) · e�↵x



10. Mai 2016

Transmission und Absorption

• Absorption eines Photons und Umwandlung der Energie in Wärme

• Lambert-Beer‘sches Gesetz• Genau wie der

Brechungsindex abhängig von der Wellenlänge

• Gilt für alle Materialien (später : komplexer Brechungsindex) Lambert-Beer‘sches Gesetz

I(x) = I0 · e�↵x

Herleitung bei Chemgapedia

Vorlesung 01

http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/13/vlu/praktikum1/saeurebase.vlu/Page/vsc/de/ch/13/pc/praktikum1/saeurebase/grundlagen_1.vscml/Supplement/3.html



10. Mai 2016

Fresnel’sche FormelnAnwendungen



10. Mai 2016

Transmissionsmessung

• Eine Transmissionsmessung macht zwei Messungen: ‣ Referenz (ohne Probe)‣ Probe

• Das Verhältnis der Intensitäten ist die Transmission.

• Auch hier müssen die Fresnel-Reflexe berücksichtigt werden.

• Das gilt insbesondere für winkelaufgelöste Messungen.

Reflexion R1 Reflexion R2

Transmission T



10. Mai 2016


• Eine Transmissionsmessung macht zwei Messungen: ‣ Referenz (ohne Probe)‣ Probe

• Das Verhältnis der Intensitäten ist die Transmission.

• Auch hier müssen die Fresnel-Reflexe berücksichtigt werden.

• Das gilt insbesondere für winkelaufgelöste Messungen.

⌧ = (1�R1) · e�kx · (1�R2)




0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Inte

rnal

tran

smitt

ance

Wavelength [nm]

BG62

d [mm] = 1.20

P = 0.91

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Tran

smitt

ance

Wavelength [nm]

BG62

d [mm] = 1.20

P = 0.91

Transmission Reintransmission

Quelle: http://www.us.schott.com/advanced_optics

http://www.us.schott.com/advanced_optics



10. Mai 2016

Reflex-Minderung an Displays

• Das LCD-Panel wird direkt (ohne Luftspalt) an das Display laminiert.

• Dadurch werden Fresnel-Reflexe deutlich unterdrückt.

kein Luftspalt

AR-Beschichtung

dünneres LCD-Panel

Quelle: https://www.apple.com/imac/design/

https://www.apple.com/imac/design/



10. Mai 2016

Reflex-Minderung an Displays

• Aufgabe: machen Sie eine Skizze und nehmen Sie einmal mit und einmal ohne Luftspalt an.

• Nehmen Sie folgende Brechungsindizes an:

• Glas: 1.5• LCD: 1.5• Laminat: 1.4• Luft: 1.0

kein Luftspalt

AR-Beschichtung

dünneres LCD-Panel

Quelle: https://www.apple.com/imac/design/

https://www.apple.com/imac/design/



10. Mai 2016

Strahlungsbilanz Solarkollektor

• Reflexions- und Transmissionsverluste am Deckglass.

• Teilweise Absorption, geringe Reflexion am Absorber.

• Wärmestrahlung vom Absorber.• Produkt aus Gesamttransmission Deckglass

und Absorption ist der optische Wirkungsgrad.

• Selektive Schicht auf dem Absorber reduziert Wärmestrahlung.

• Selektive AR-Schicht auf der Innenseite des Deckglases reflektiert Wärmestrahlung.

R1

R2T ⇠ e�kx

↵

⌧ = (1�R1) · e�kx · (1�R2)

⌧↵ · ⌧

Gesamttransmission DeckglassOptischer Wirkungsgrad

I0



10. Mai 2016

Anti-Reflex-Beschichtung

• Idee: Destruktive Interferenz von reflektierten Wellen

• Eine zusätzliche dünne Schicht auf einem Substrat erzeugt einen zweiten Reflex

• Schichtdicke bestimmt Wellenlänge und Richtung der reflexmindernden Interferenz



Beispiel: Breitband AR-Schicht

Name Brechungsindex Dicke (nm)

MgF2 1.38 90.6

TiO2 2.15 115.9

Al2O3 1.63 76.6

Glas 1.52 Substrat Glas

Al2O3

TiO2

MgF2

SubstratGlas



Beispiel: Breitband AR-Schicht

0246

300 400 500 600 700 800

Refle

xions

grad

(%)

Wellenlänge (nm)

81012141618



AR-Schicht für Sonnenkollektoren

http://www.dincertco.de/logos/011-7S1126%20F.pdf http://www.dincertco.de/logos/011-7S1129%20F.pdf

http://www.dincertco.de/logos/011-7S1126%20F.pdf

http://www.dincertco.de/logos/011-7S1129%20F.pdf



10. Mai 2016

Regensensor Funktionsprinzip

•Im trockenen Zustand Totalreflexion an der Windschutzscheiben-Außenseite

•Wassertropfen hebt die Bedingung für Totalreflexion durch höheren Brechungsindex (n = 1.33) auf.

•Das Signal der Photodiode verringert sich.

LED Photodiode

t

I trockene Scheibe nasse Scheibe



10. Mai 2016

Regensensor Funktionsprinzip

•Aufgabe: Berechnen Sie im nassen Fall den Restreflex an der Grenzfläche Glas-Wasser (unter 45°)

LED Photodiode

t

I trockene Scheibe nasse Scheibe

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