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INSTITUCION EDUCATIVA PROVENZA[ ] 26 de mayo de 2012

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Contenido ............................................................................................................................................................................¡Error! Marcador no definido.

Introducción .................................................................................................................................................................................................... 3

POLÍGONOS .......................................................................................................................................................................................................... 3

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA ........................................................................................................................................................................... 6

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y DEL CÍRCULO ............................................................................................................................... 13

RECTAS EN LA CIRCUNFERENCIA ................................................................................................................................................................ 13

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA......................................................................................................................................................... 15


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Introducción

Los polígonos regulares son formas geométricas que son estudiadas en las asignaturas de

Matemáticas (definición y propiedades) y en las de Dibujo (construción). Menos conocido es -pues

suele soslayarse cuando se estudian- que algunos de los polígonos, por sí solos o en combinación,

tienen la propiedad de cubrir el plano (muchos acerados y plazas públicas de nuestras ciudades

aprovechan esta propiedad), y que con algunas modificaciones sobre sus lados pueden obtenerse

sorprendentes mosaicos decorativos capaces de provocar curiosidad y admiración a quien los

contempla. Con la presente página se pretende, sin formulismos, exponer esta propiedad y

acercarse someramente a sus implicaciones artísticas.

POLÍGONOS


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Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados.

Un polígono está formado por elementos básicos. Éstos son:

1. vértice

2. lado

3. ángulo interior

4. ángulo exterior

5. diagonal

1. Vértice: es el punto de intersección de dos segmentos contiguos. Se designan con una letra mayúscula A, B, C, D...

2. Lados: es cada uno de los segmentos de recta que forman el polígono. Se designa con dos letras mayúsculas ubicadas en sus


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extremos, o con una letra minúscula en correspondencia con el vértice opuesto:

AB = d, BC = e , CD = a, DE = b, EA = c

3. Ángulo interior: es el ángulo formado por dos lados del polígono. El ángulo interior se designa con una letra griega o con las tres letras mayúsculas de los vértices que correspondan.

4. Angulo exterior: es el ángulo formado por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior. Generalmente se designa con la letra griega del ángulo interior adyacente acompañada de un subíndice


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5. Diagonal: es el trazo que une dos vértices no consecutivos del polígono. Se designa con las dos letras mayúsculas correspondientes a los vértices que se unen, o por una letra d con subíndice: AC =d1, AD = d2.

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

Una de las formas más difundidas de la Naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a

hacerse más o menos "redondeadas".

Desde la antigüedad, el hombre se ha inquietado por conocer cuál es el perímetro de una rueda o

de un platillo circular, para esto ha utilizado su ingenio; por ejemplo, ideó un procedimiento para

trazar un círculo sin compás. ¿Cómo funciona este procedimiento?

En primer lugar se requiere tener un cordel y dos estacas con punta; en segundo lugar, se

determina un punto a partir del cual se trazará el círculo. A dicho punto se le identificará con el

nombre de centro del círculo.

El cordel debe amarrarse a ambas puntas de las estacas y una de éstas se clavará en el punto

escogido como centro. La otra estaca, con el cordel bien estirado marcará, entre el centro y la punta

de la estaca, el radio del círculo que trazaremos haciendo girar la estaca hasta que se dibuje

claramente, en el suelo o en la superficie elegida. la circunferencia.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Diagonales.html


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Llamaremos círculo a la superficie interior que se encuentra limitada por la circunferencia trazada

por el cordel

.

Si éste es un círculo, entonces, ¿qué es una circunferencia?


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Una circunferencia es una línea curva y cerrada, en la cual todos los puntos que la conforman se

encuentran a la misma distancia de un punto llamado centro.

A partir del centro se había estirado un cordel al que se le identificó con el nombre de radio. ¿Qué

es el radio?

Radio es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto

cualquiera de ella.

Si el segmento de recta llamada radio se prolonga, se tendrán dos radios o bien un diámetro,

entonces, ¿qué es un diámetro?

Diámetro es la recta que, pasando por el centro de la circunferencia, une dos puntos de ella.


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Elaborados los conceptos de círculo y de circunferencia pensemos en el problema de cómo saber

las medidas de una rueda.

Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la

circunferencia de la rueda.

Si dividimos la longitud entre el diámetro de la rueda

obtenemos un valor que es independiente del tamaño de la

rueda. Es decir, cualquier rueda, del tamaño que sea, al dar

una vuelta completa recorre un camino de una determinada

longitud. Si dividimos dicha longitud entre el diámetro de la

rueda siempre obtenemos el mismo valor.

Este hecho era conocido por los babilonios y ya se encuentran noticias sobre el mismo en los

papiros egipcios que se conservan en el Museo Británico.

Esta relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es, posiblemente, la más popular

de todas las constantes matemáticas: el número Π (pi). Dicho número, irracional, ha ocupado a

generaciones de matemáticos y su atractivo perdura en nuestros días, y para fines prácticos se

considera que su valor es de 3,1416.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_Pi.htm


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Conocemos el valor del número Π, pero ¿cómo podríamos demostrar prácticamente que en todo

círculo existe una relación constante entre el diámetro y la circunferencia.

Para hacerlo debemos operar de la siguiente manera:

Tomamos dos círculos (a y b), que son de diferente tamaño y diferente diámetro. Pero sabemos

que en ambos casos el diámetro cabe tres veces y una pequeña fracción (equivalente más o menos

a un séptimo) en toda la circunferencia.

Luego tomaremos dos trozos de cordel, cada uno del tamaño del diámetro de cada círculo, y con ellos podremos comprobar lo anterior al colocarlos en forma sucesiva sobre las circunferencias.


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Una vez comprobado lo anterior, y sabiendo que el valor representado con la letra griega Π es de 3,1416, tenemos que:

El perímetro del círculo o bien la longitud de la circunferencia será siempre igual al producto de Π (pi) por el diámetro de la misma. O bien, será igual al producto de Π por el doble del radio.

Quedando la fórmula de la siguiente manera:


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Veamos ahora cómo se utiliza el valor de Π (pi)

Problema:

La boca de un pozo mide 0,75 metro de radio, ¿cuál es su perímetro?

P = Π d P = 2 Π r

d = 2 r = 2 (0,75) = 1,50 m P = 2 (3,1416) (0,75)

P = (3,1416) (1,50) P = (6,289) (0,75)

P = 4,71 m P = 4,71 m

De esta manera se tiene que la longitud de la boca del pozo es de 4,71 m.


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ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y DEL CÍRCULO

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de

un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no

pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del

centro y un radio.

Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o

área interior

Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un

plato, etc.

Perímetro de la circunferencia: 2 p · r p · d

Elementos de la circunferencia

RECTAS EN LA CIRCUNFERENCIA

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con

cualquier punto de ella.

El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.

La medida del radio es constante.


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Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia.

El diámetro es la cuerda de mayor medida.

El diámetro se nombra con la letra “d”.

El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .

Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la

circunferencia.


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Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos

puntos de ella.

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos

radios de ella.

Figura Características Medida


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Vértice en el centro de la circunferencia

Lados que contienen radios de ella

m (< AOB) = m

(arco AB)

Ejemplo:

(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la

circunferencia. Calcular el ángulo X))

Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del

ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el

arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.

360º : 3 = 120º < SOR = 120º

Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de

ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo

inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Figura Características Medida


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< ABC inscrito que subtiende

arco AC

< AOC del centro que subtiende

arco AC

Vértice en la circunferencia.

Los lados son cuerdas de ella.

< ABC subtiende arco AC.

El centro de la circunferencia

está en el interior del ángulo.

m ( <ABC) = ½ m

(<AOC)

(Debe leerse:

medida del ángulo

(ABC) es igual a la

mitad del ángulo

(AOC)

Ejemplo:

Si ángulo y es igual a 54 grados

Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?

El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito

que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto,

se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.

Por Teorema: x = 1/2 y x = 1/2 · 54 = 54/2 = 27º

Caso Especial:


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Si un ángulo inscrito subtiende una

semicircunferencia, entonces es recto.

α = 180º β = 90º

CIRCULO O REGION CIRCULAR: Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..

REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro,

CD, etc

AREA DEL CIRCULO: p · r2

Elementos del círculo

Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide

un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la cuerda es

un diámetro, cada parte será un semicírculo.

Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios

y un arco.


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Corona circular: es la porción del plano comprendida entre

dos circunferencias concéntricas.

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Documents

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ngulo formado

ngulo exterior

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segmentos contiguos

segmentos de recta

polgono est formado

vrtice opuesto