21/03/2012

HEWLETTPACKARD

VALUE AT RISQUE

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Introduction

Avant de grer ou de transfrer un risque, il est ncessaire de bien comprendre quel pourrait tre limpact sur la valeur de lentreprise (la svrit du risque) et quelle frquence (quelle probabilit) ce risque pourrait affecter lentreprise. Cette ralit cre le besoin dune mesure regroupant la fois la probabilit et limpact potentiel dun certain risque. La VaR est un outil trs rpandu dans les marchs financiers d sa quasi- ncessit rglementaire (voir le cadre rglementaire la fin de ce document) et sa promesse implicite damliorer la gestion des risques en offrant une mesure complte des risques.

La VaR est un concept relativement simple ce qui permet son utilisation par lensemble des gestionnaires. Par contre, la VaR peuttre passablement complique faisant appel des notions avances de statistique, stochastique et de probabilit.

Plan : I. Aperu sur la notion du risque en gnral

Dfinition du risque Typologie des risques La mesure du risque II. la VAR comme mesure du risque de march

Naissance de la var Dfinition de la var III. IV. V. Fond propres et Value-at-risk Les exigences rglementaires Le calcul de la Var

Les 3 lments de la mesures de la var Hypothses ncessaires au calcul de la VaR Les mthodes de calcul Mthodes statique Mthode analytique VI. Les limites de la Var Conclusion

Aperu sur la notion du risque en gnral Dfinition du risqueLe risque est une notion difficile cerner mais de faon gnrale il est li ` la survenance dun ea vnement que lon ne peut prvoir qui a des consquences importantes sur le bilan de lentreprise. Il a donc un caractre alatoire et imprvisible.

Typologie des risquesVoici une liste non exhaustive des diffrents risques que peut rencontrer un tablissement financier : Risque de crdit : Le risque de crdit ou risque de contrepartie est le risque que l'emprunteur (un particulier ou une entreprise) ne rembourse pas sa dette l'chance fixe o Risque de dfaillance (default risk) o Risque de dgradation de la valeur de la crance (downgrading risk)

Risque de march : est le risque de perte qui peut rsulter des fluctuations des prix des instrumentsfinanciers qui composent un portefeuille.

o Risque de taux dintrt o Risque de change Risque oprationnel o o o o o Risque de dsastre Risque de fraude Risque de traitement Risque technologique Risque juridique

Risque de liquidit : concerne les placements financiers qui sont trs difficile liquider (cest--dire vendre) trs rapidement. Risque stratgique

Mesure du risque du march : La valeur en risque

Le risque est li ` la volatilit du Mark to Market (ou valorisation au prix de march) du ea portefeuille dactifs. Pendant tr`s longtemps, la mesure naturelle du risque a donc t la e ee volatilit. Par exemple, dans le modlede slection de portefeuille de Markowitz, lagent maximise son esprance de gain pour un niveau de risque donn, qui est mesur par l carte type. Cette vision du risque nest cohrente que dans un monde gaussien. Cependant, nous savons depuis fort longtemps que lhypothse de normalit des rendements des actifs financiers nest pas vrifie. Actuellement, la mesure de risque qui est la plus rpandue est la valeur en risque (Value-at-Risk ou VaR). Statistiquement, ce nest rien dautre que le quantile de la perte potentielle pour un horizon donn. Soit la variable alatoire reprsentant la perte potentielle. Notons F la distribution de probabilit de . Nous avons : VaR = F1 ()

Deux lments sont donc dterminants pour calculer la valeur en risque : la distribution de probabilit et le seuil de confiance

Pour calculer la VaR, nous devons identifier les facteurs de march qui affectent la valeur du portefeuille. Le nombre de ces facteurs peut tre plus ou moins grand, mais dpend gnralement du type de march considr. En pratique, nous pouvons obtenir les facteurs de march en dcomposant les instruments du portefeuille en instruments de base (par exemple, nous pouvons d composer un portefeuille de contrats forward en un portefeuille quivalent dobligations ` a coupon zro). Le calcul de la VaR dpend alors de la mthodologie utilise. Dune manire gnrale, nous avons le choix entre trois grandes familles de mthodes :

1. la VaR analytique (ou paramtrique) 2. la VaR historique (ou non paramtrique) ; 3. la VaR Monte-Carlo.

Ces trois mthodes utilisent les donnes du pass pour estimer les variations potentielles de la valeur du portefeuille dans le futur proche. Cela suppose implicitement que ce futur se comporte comme le pass : nous supposons donc que la variation de la valeur du portefeuille est stationnaire. Nous comprenons pourquoi lapproche Value-at-Risk nest pertinente que dans des conditions normales de march (` moins que les donnes utilises aient t collectes pendant a ee des priodes anormales).

la VAR comme mesure du risque de march Naissance du varLes mesures du risque ont bien volu depuis que Markowitz a avanc sa clbre thorie de la diversification de portefeuille la fin des annes 1950, thorie qui devait rvolutionner la gestion de portefeuille moderne. Lcart type tait alors la mesure du risque dun portefeuille efficient. Mais pour un titre, cette mesure nest pas approprie. En effet, dans le cas dun titre individuel, le risque est prsent par la covariance de son rendement avec celui des autres titres qui constituent un portefeuille bien diversifiable. Lcart type du rendement dun titre comprend les risques diversifiables et non diversifiables. Or, seul le risque non diversifiable est rmunr par le march. Ce risque est reprsent par la covariance entre le rendement du titre et les rendements des titres qui constituent un portefeuille hautement diversifi. Mais le modle de Markowitz comportait de nombreuses failles auxquelles il fallait pallier Durant les annes 60, Sharpe a propos le modle de lvaluation des actifs financiers, soit le MEDAR ou le CAPM en anglais. Ce modle est monofactoriel dans le sens ou il ne distingue quun seul facteur explicatif du risque dun titre, soit la corrlation entre le rendement de ce titre et celui du portefeuille du march. Cest ce quon appelle le risque systmatique du titre, catgorie de risque qui nest pas diversifiable. Le risque non systmatique ou risque idiosyncratique est celui qui est particulier la compagnie qui met le titre. Etant diversifiable, il n est pas rmunr par le march. A linterieur de la thorie du M3DAF, le risque systmatique dun titre quivaut son bta qui est une mesure relative du risque tablie en comparaison avec le beta du portefeuille du march qui, lui, est gal un.

Au milieu des annes 70, est apparu un autre modle du risque bas sur labsence darbitrage : lAPT, acronyme de lexpression : Arbitrage pricing theory. Ce modle, propos par ROSS, reconnait que le risque est un phnomne multidimensionnel qui sexplique par plusieurs facteurs. Le modele APT est donc multifactoriel. Le beta dun titre pour un facteur donn est la sensibilit relative du rendement du titre a ce facteur. Lune des faiblesses du modle APT est quil reste muet quant lidentit des facteurs qui dterminent les rendements des titres.

Au dbut des annes 90, une nouvelle mesure du risque a fait son entre (Utilise pour la premire fois dans les annes 1980 par la banque Bankers Trust sur les marchs financiers amricains, la notion de Value-At-Risk (ou VAR) a principalement t dmocratise par la banque JP Morgandans les annes 1990 grce son systme de RiskMetrics): la VaR, soit lacronyme de Value at Risk. On reconnaissait en effet de plus en plus les limites des mesures traditionnelles du risque. Il fallait se donner des mesures du risque de baisse de la valeur des actifs. Pour ce faire, il fallait trouver des mesures qui sont davantage relies lensemble de la distribution des flux montaires dun portefeuille. Cest dans ce contexte quune mesure nominale du risque a t propose : la VaR. cette mesure a dabord servi quantifier le risque de march auquel sont soumis les portefeuilles bancaires. En effet, laccord de bale a impos aux banques, en 1997, de dtenir un montant de capital rglementaire pour pallier aux risques de march. Or, ce capital est calcul partir de la VaR. cette mesure est ensuite devenue de plus en plus populaire pour valuer le risque de portefeuilles institutionnels ou individuels. Elle permet entre autres dvaluer les risques de type asymtrique, comme celui associ aux options, lcart type et le bta ne permettant pas de prendre en compte ce risque de faon satisfaisante.

Dfinition du var La Valeur en Risque, plus connue sous le nom anglais Value-at-Risk ou VaR, est une mesure de la perte potentielle qui peut survenir ` la suite de a mouvements adverses des prix de march. ELLE permet de donner une vision globale du risque de march dun portefeuille. Elle permet de rpondre ` la a question suivante : Combien l etablissement financier peutil perdre avec une probabilit pour un horizon de temps T fix ? Deux lments sont donc indispensables pour interprter le chiffre VaR (qui permet de donner une vision globale du risque de march dun portefeuille) :

1. la priode de dtention T ou holding period qui correspond ` la priode sur a laquelle la variation de valeur du portefeuille est mesure ; 2. le seuil de confiance du chiffre VaR qui correspond ` la probabilit de a ne pas dpasser cette mesure du risque.

Fonds propres et Value-at-Risk L'allocation de fonds propres Les exigences rglementaires (Un rappel sur les aspects rglementaires)

I.

Fonds propres et VaR :

Les fonds propres sont un des lments du passif d'une banque. Ils regroupent les actions ordinaires et les certificats d'investissement, les rserves, le rsultat non distribu, etc. Les autres lments du passif d'une banque sont les dpts, l'pargne des mnages, ainsi que les dettes. A l'actif, nous trouvons les crdits et les prts aux mnages et aux entreprises, les services, etc. Ces fonds propres sont des lments de notation de la banque, note qui conditionne le cot des ressources (de trsorerie ou de long terme). 1. Quelle est l'utilit des fonds propres ? Ils servent garantir l'activit de la banque. En particulier, ils doivent permettre d'absorber les fortes pertes dues des lments exognes et/ou inattendus : Crise russe (risque pays - dfaut de paiement), Crise asiatique (implosion des systmes bancaires) Crise immobilire (krach spculatif), etc.

Ainsi plus leur niveau est lev, plus la banque prsente des gages de solidit ( activit bancaire constante). Rsum : Les fonds propres (qui correspondent au capital de la banque) permettent de couvrir les risques (exceptionnels). C'est donc le moteur de l'activit bancaire. Pour cela, ils sont rmunrs. Le taux de rmunration est appel Return on Equity ou ROE. Prendre le moins de risque est en mme temps offrir le ROE le plus lev ses actionnaires. Il faut donc savoir mesurer le risque. Value-at-Risk ou Valeur en Risque La Value-at-Risk est une mesure de perte potentielle. Elle permet de rpondre la question suivante :

Combien ltablissement financier peut-il perdre avec une probabilit 1 pour une priode de temps T fixe ? Combien = Value-at-Risk (montant en Francs ou Euros) Interprtation statistique : Value-at-Risk = Quantile

II.

Lallocation des fonds propres:

La problmatique : Cadre d'analyse : Utilisation d'un modle interne d'allocation de fonds propres sur base conomique. Objectif : Cration de valeur (EVA) pour les actionnaires (Shareholder Value Added analysis SVA). Moyens : Calcul de la rentabilit conomique de chaque opration, de chaque projet (c--d. de la rentabilit de chaque projet en tenant compte du montant de fonds propres (capital conomique consomm). La notion de capital conomique : Chaque opration (risque) mobilise des fonds propres de la banque.

Ceux-ci peuvent tre calculs de faon forfaitaire. Cependant, le calcul ne tient pas compte des effets de diversification, de la nature du portefeuille de la banque, de la signature (rating) de la contrepartie, etc. Fonds propres forfaitaires Ceux-ci peuvent tre calculs partir de modles internes, qui sont (supposs tre) plus rationnels. Fonds propres conomiques (ou capital conomique = mesure juste du risque) La construction des VaRs va donc concerner l'ensemble des risques d'une banque : 1. Le risque de march 2. Le risque de crdit 3. Le risque oprationnel Slectionner (et comparer) les projets en tenant compte du capital conomique allou. Rduire au final les fonds propres allous pour afficher une meilleure rentabilit (ROE).

La construction d'un modle interne : La VaR est l'outil de mesure (outil de rfrence) du capital conomique. Elle permet donc de savoir combien il faut allouer de capital conomique un nouveau projet, mais ce n'est pas un modle d'allocation. Modle d'allocation = modle qui permet d'allouer de faon efficiente les fonds propres entre diffrentes activits ou diffrents projets. 2 approches: bottom-up et top-down. 1. L'approche bottom-up (ascendante): L'approche bottom-up peut tre considre comme un modle d'allocation de fonds propres et/ou comme un suivi de la consommation de fonds propres. Le principe est de mesurer le capital conomique au niveau le plus fin, c'est--dire au niveau de la transaction, puis de consolider ces capitaux conomiques des niveaux moins dtaills. De par sa nature, l'approche bottom-up permet effectivement de suivre la consommation en fonds propres. Questions : Comment dcider la ralisation ou non d'une opration ? Comment choisir entre deux oprations ? Que faire lorsque l'enveloppe alloue est entirement consomme ? Nous voyons bien que dans ce contexte le principe de premier arriv, premier servi ne tient plus. a. Premire approche : Principe dEuler : Portefeuille avec un vecteur de stratgie u Mesure de risque R Vecteur de capital conomique K Nous pouvons alors dfinir une mesure de performance raisonnable par (Tasche [1999], thorme 4.4): a (u) = u R (u) Le capital conomique est alors dfini par K = (Ki (u)):

Dans le cas d'une mesure de risque de type Value-at-Risk gaussienne, nous retrouvons le principe de covariance. b. Deuxime approche : L'galisation des mesures de performance ajustes du risque RAPM: Risk-Adjusted Performance Measure 1. Roc (return on regulatory capital) 2. Rorac (return on risk-adjusted capital) 3. Raroc (risk-adjusted return on regulatory capital) 4. Rarorac (risk-adjusted return on risk-adjusted capital)

L'ide sous-jacente est de comparer cette mesure une cible, et seuls les projets qui prsentent des performances suprieures cette cible seront retenus. Considrons M activits relativement indpendantes. Notons Km le capital conomique allou la m-ime activit. Soit (K) la fonction qui relie le capital conomique et le RORAC. C reprsente le capital de la banque. Nous pouvons alors formaliser le problme d'allocation de la faon suivante :

A moins de considrer l'indpendance entre les diffrentes activits (ou de faire des hypothses simplificatrices), l'approche bottom-up est difficile utiliser pour faire un vritable exercice d'allocation de fonds propres. En fait, cette approche est beaucoup plus approprie pour suivre la consommation de fonds propres, et posteriori pour mesurer la vritable rentabilit de chaque activit.

2. L'approche top-down (descendante) : Concrtement, selon la mthodologie EaR (Earnings-at-Risk) usuellement mise en uvre dans ce contexte, le risque d'une activit est directement reli la volatilit de son rsultat. De ce point de vue, la volatilit est perue comme un intgrateur de l'ensemble des risques associs cette activit. Cette dmarche est une tape prliminaire naturelle de l'allocation puisqu'elle adopte le point de vue de l'actionnaire qui investit son capital dans diffrentes activits bancaires assimiles autant d'actifs financiers. Thorie du portefeuille, mais avec des particularits lies l'activit bancaire.

Figure 3: Reprsentation graphique du problme d'optimisation

L'approche retenue : Dcoupage de la banque en M business lines (M = 16) Proxy pour la mesure du risque : volatilit des rsultats Modle suffisament flexible pour pouvoir intgrer de nombreuses contraintes et des lments stratgiques

Problme: il va nous falloir un certain moment une matrice de corrlation de la rentabilit des capitaux conomiques: Matrice de corrlation top-down.

Comment dfinir cette matrice de corrlation top-down ? Lavis des experts : utilisation de donnes internes utilisation de donnes externes La solution retenue est de considrer les rendements des cours boursiers et de dcomposer ceux-ci en une composante commune qui reflte la rentabilit des capitaux conomiques et une composante spcifique:

r t,n est le rendement de l'tablissement financier n la date t t,n est le vecteur des sensibilits aux facteurs ft f t est le vecteur alatoire M 1 des rendements des capitaux conomiques u t,n est la composante l'tablissement financier idiosyncratique qui reflte les spcificits de

t,n f t est une composante de march. Modle factoriel de type APT.

Ecriture du modle statistique :

Avec

Et

De plus, nous supposons que Nous avons donc un modle factoriel classique, sauf que At est une matrice connue

(pas d'estimation des sensibilits). At est la matrice des allocations de capitaux conomiques. Ecriture de la vraisemblance : Notons = (, , D) le vecteur des paramtres. L'estimateur du Maximum de Vraisemblance est la solution du problme suivant d'optimisation :

Rsolution numrique (algorithme de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno + SQP).

II.

Les exigences rglementaires :

Le texte de Ble A l'poque, l'exigence en fonds propres tait calcule partir de bases forfaitaires. Dsormais, le comit de Ble autorise les tablissements financiers d'utiliser les modles internes pour calculer l'exigence en fonds propres pour les risques de march. Lgitimit rglementaire de la VaR. La VaR est trs vite adopte par les tablissements financiers afin de rduire l'exigence en fonds propres. Mise en place d'un cadre rglementaire pour utiliser les modles internes. Les tablissements doivent calculer la perte potentielle quotidiennement pour une priode de dtention de 10 jours. Notons cette perte potentielle P (t) la date t (jour ouvr). A chaque date t, l'tablissement calcule l'exigence de fonds propres FP (t) de la faon suivante :

Avec le complment ventuel (0 1). Il est donc important de disposer d'une bonne mesure des risques puisque celle-ci conditionne l'exigence en fonds propres. Les contrles ex post visent s'assurer que le degr de couverture observ correspond bien au niveau de confiance de 99%. Le backtesting porte sur la VaR un jour, et non sur la VaR pour une priode de dtention de 10 jours. La commission bancaire autorise le calcul de la VaR 10 jours partir de la VaR 1 jour par scaling. Les contrles doivent porter sur les 250 derniers jours ouvrables. La Commission Bancaire dfinit alors trois zones pour valuer les rsultats des contrles ex post et pour appliquer le complment ventuel au coefficient multiplicateur 3 : Zone Verte Orange Rouge Dfinition de la zone Pr (X n) < 95% Pr (X n) < 99.99% Pr (X n) 99.99% Valeur de 0 01 1

Pr (X n) :Probabilit cumule d'avoir n exceptions Pour 250 jours, les zones sont les suivantes : Verte (n < 5) Orange (5 n 9) Rouge (n > 10) Le facteur multiplicatif (3 + )

Facteur de prudence. Etant donn une variable alatoire X de loi quelconque dont nous connaissons les deux premiers moments et 2, quelle distance relative par rapport l'cart-type se situe le quantile ? Pour cela, nous utilisons l'ingalit de Bienaym-Tchebyshev :

Si la loi est symtrique, nous avons :

Or cette probabilit n'est rien d'autre que la fonction de rpartition F :

Au seuil de confiance de

et si nous dsignons par

la fonction inverse

de rpartition (qui n'est rien d'autre que la fonction de quantile), nous en dduisons que :

Et donc :

En ngligeant la tendance et en assimilant X la perte potentielle, celle-ci se situe donc k carts-types. Or la VaR telle qu'elle est calcule se situe c = 1 () cartstypes.

Le ratio k/c est le coefficient de multiplication qui permet d'tre sr que la VaR correspond bien un quantile au moins gal lorsque nous utilisons une approximation gaussienne et ceci quelle que soit la vraie fonction de distribution. Il est facile de montrer que lorsque la fonction de distribution est asymtrique, une borne suprieure de k est (1 )1. Le tableau suivant contient les valeurs du ratio pour diffrentes valeurs de . Symtrique 90.00 95.00 99.00 99.25 99.50 99.75 99.99 c 1.28 1.64 2.33 2.43 2.58 2.81 3.72 k 2.24 3.16 7.07 8.16 10.00 14.14 70.71 k/ c 1.74 1.92 3.04 3.36 3.88 5.04 19.01 Asymtrique k 3.16 4.47 10.00 11.55 14.14 20.00 100.00 k/ c 2.47 2.72 4.30 4.75 5.49 7.12 26.89

Pour = 99.5%, le ratio est proche de 4. Si les autorits rglementaires prenaient alors cette valeur pour fixer le coefficient multiplicateur, cette mesure aurait pour incidence d'augmenter les fonds propres de 41.4% par rapport la situation actuelle. Les rflexions actuelles sur le risque de crdit L'utilisation des modles internes pour calculer l'exigence en fonds propres pourrait tre tendue trs prochainement aux risques de crdit.

Le calcul de la VAR :Les trois lments de la mesure de la Var :

1) La distribution des pertes et profits du portefeuille valable pour une certaine priode de dtention et dont les diffrentes mthodes de calcul seront expliques un peu plus loin dans cette fiche. 2) Le niveau de confiance. Compris entre 0 et 1, il permet de contrler la probabilit que lon obtienne un rendement suprieur ou gal la VAR. Supposons par exemple que la distribution des pertes et profits associe la dtention dun actif sur une priode corresponde une distribution normale standard. La VAR au seuil de confiance de 95% 1 jour note VAR(95%, 1Jour), gale 1 million deuros signifie quil y a 95% de chances pour que la perte associe la dtention de lactif nexcde pas 1 million deuros. Graphiquement, la VAR un jour avec un indice de confiance de 95% peut tre reprsente par le graphique ci-dessous:

D'aprs ce graphique, la VAR(95%, 1Jour) correspond une perte approximative de 1,65 million deuros. 3) La priode de dtention de lactif ou du portefeuille dactifs.

Le calcul de la VAR doit tre ajust de faon tenir compte de la composition des rendements. Mme si la priode de dtention est propre chacun, les autorits de rgulation exigent des horizons communs dans le cadre des procdures de validation de la Value-At-Risk. Hypothses ncessaires au calcul de la VAR La dtermination de la Value-At-Risk repose principalement sur trois hypothses: - La premire hypothse, et non des moindres, concerne la normalit des distributions considres. On suppose gnralement que le prix dun instrument financier suit une loi log-normale. - La deuxime hypothse concerne le lien entre une VAR N jours et une VAR 1 jour. En effet on considre que la VAR N jours est gale la racine carr de N multiplie par la VAR 1 jour. - Enfin, la dernire hypothse est que le rendement moyen dun actif financier est nul pour la priode considre. (Si lon sattend un rendement annuel moyen de 15% pour un certain actif, le rendement journalier moyen est de 15/252=0,06%, 252 correspondant au nombre de jours o la bourse est ouverte. Ainsi faire lhypothse dun rendement journalier nul nest donc pas restrictif).

Les mthodes de calculs : Nous avons vu prcdemment que la VaR est une mesure des pertes potentielles d'instruments financiers pour une priode donne. Par exemple, on dira que la VaR sur tel instrument est de 1 millions d' Euros sur 10 jours avec une probabilit de 2%. Cela veut dire qu'il y a une probabilit de 2% que la position sur cet instrument engendre une perte de 1 million d'Euros d'ici 10 jours. Pour calculer la VaR, on peut utiliser 2 mthodes :

la mthode statistique encore appele mthode par scnarios, la mthode analytique.

Mthode statistique Scnario historique Elle se base sur l'observation des gains et pertes d'un ensemble d'instruments financiers partir de sries chronologiques de prix de march.

Les informations ncessaires sont :

les caractristiques des instruments en position, les modles de pricing de chaque instruments, les donnes historiques de march.

Elle ncessite seulement de connatre la valeur de la position dans le pass (par exemple historique des prix pour un indice). Pour un portefeuille, il faudra reconstituer sa valeur passe partir du prix des diffrents actifs et de la composition actuelle du portefeuille. Aprs avoir identifi les facteurs de risque significatifs pour le portefeuille, on utilise l'historique des donnes collectes afin d'en dduire un montant de perte. Exemple: Soit un portefeuille compos de plusieurs actifs. Afin de calculer la VAR historique un jour sur ce portefeuille il faut relever l'ensemble des gains et des pertes quotidiennes ralises sur les 1 000 derniers jours (par exemple). Une fois toutes ces donnes obtenues, il faut les classer par ordre croissant. Si l'on souhaite obtenir la VAR 99%, il suffira de trouver la 10me (1000*(100%-99%)) valeur obtenue. Avantages et inconvnients de cette mthode : Cette mthode est trs peu coteuse en calcul et en technique. De plus aucune hypothse pralable sur la forme de la distribution nest requise.

En revanche, cette simplicit de mise en place, engendre de nombreuses limites. Et ce qui peut tre considr comme un avantage peut rapidement se retourner en inconvnient. En effet, lhistorique doit tre suffisamment grand compar lhorizon de la VAR et son niveau de confiance, mais pas trop pour sassurer que la loi de probabilit na pas trop chang sur la priode. Autre point ngatif, et non des moindres, cette mthode est inadapte aux produits drivs.

SCENARIO DE STRESS On tablit des hypothses de variation des diffrents facteurs de risques et l'on rvalue toutes les positions individuelles du portefeuille selon ces diffrents scnarios. Cette mthode est notamment utilise pour mettre en vidence l'effet de scnarios catastrophes observs dans le pass et mesurer ainsi le risque potentiel maximum. Particulirement adapt au calcul des niveaux de risques exceptionnels.

SIMULATION DE MONTE C ARLO On rvalue le portefeuille en slectionnant par tirage au sort les chantillons de facteurs de risques partir des variations historiques. Particulirement adapt au calcul de VaR sur des portefeuilles d'instruments optionnels.

Mthode analytique Le calcul de la perte potentielle s'effectue partir de la sensibilit des positions aux diffrents facteurs de risque. Particulirement adapt au calcul de VaR sur des portefeuilles d'instruments fermes. La mise en oeuvre Une fois trouv le modle mathmatique satisfaisant, il reste surmonter les obstacles de mise en oeuvre. Trois points doivent particulirement tre soigns :

La qualit des donnes : elles doivent couvrir les instruments traits par la banque et former un ensemble cohrent (mme nombre d'observations, relev synchrone, etc.). L'application de la thorie : celle-ci a amen un certain nombre de questions, quelle est la meilleure mthode de prvision de la volatilit ? Comment rduire le nombre de donnes en vitant de relever les prix de toutes les obligations ou de toutes les actions ? Comment modliser la courbe des taux d'intrt ? Comment traiter les produits de type optionnel ? Le traitement de l'information : la puissance de calcul croissante autorise dsormais la prise en compte de plus en plus d'instruments. Les progrs dans le domaine des rseaux et de l'information financire permettent de collecter quotidiennement les donnes ncessaires, les positions des oprateurs et les prix de march.

Ce sont les progrs rapides dans ces 3 domaines qui ont permis le dveloppement rapide de la Value at Risk depuis 1995.

Les limites de la VAR Soit deux portefeuilles de 1 million d'euros et de 5 millions d'euros constitus respectivement d'actions Peugeot, de volatilit annuelle 20%, et d'actions Socit Gnrale de volatilit annuelle 10%. La volatilit quotidienne du portefeuille A est : jours o la bourse franaise est ouverte). Ainsi la Var 99% une journe est alors : La volatilit quotidienne du portefeuille B est : Et la Var 99% une journe est donc : Afin d'obtenir la Var 10 jours il suffit d'appliquer la formule : Ainsi : Un investisseur possdant ces deux actifs dans un mme portefeuille, doit prendre en compte la corrlation entre les variations du titre Socit Gnrale et les variations du titre Peugeot. Considrons que le coefficient de corrlation entre les deux actifs est =0,6. On peut alors obtenir la Var par la formule suivante : Dans notre exemple Ainsi on peut remarquer que cette Value at Risk est infrieure la somme des deux VAR calcules prcdemment. Ceci est d aux gains de diversification. Remarque: La mme logique devra tre applique un portefeuille constitu de N actifs (en prenant en compte la corrlation entre chacun d'entre eux). Avantages et inconvnients de cette mthode Le principal point fort de cette mthode repose sur la rapidit et la simplicit des calculs qui ncessitent seulement une matrice de variance-covariance entre les diffrents actifs prsents dans le portefeuille. (252 = nombre de

Mais elle reste inadapte aux portefeuilles non linaires (instruments optionnels) et aux distributions non-normales des rendements. - La dernire mthode n'est autre qu'une mthode de simulation par Monte Carlo et n'est utilise que lorsque les autres mthodes ne s'appliquent pas. Aprs avoir identifier les facteurs de risque du portefeuille d'actifs (taux de change, cours d'une action...), il suffit de simuler un grand nombre de fois les valeurs futures possibles de ces facteurs par Monte Carlo, puis de calculer le montant des pertes ou des gains associs ces simulations. Exemple Prenons un exemple relativement simple. Un oprateur souhaite investir sur une action aujourd'hui et la revendre dans un an (esprant ainsi la revendre plus cher qu'il ne l'a achet). Mais durant ce laps de temps, l'action est soumise des fluctuations. L'oprateur souhaitant ainsi dterminer la VAR de cette action va simuler par Monte Carlo, 10 000 variations possibles (par exemple), puis calculer les pertes ou les gains raliss dans chacune de ces simulations. Si l'oprateur souhaite obtenir une VAR 99%, il lui suffira de reprer la 100me pire perte afin de pouvoir affirmer avec 99% de chances que la perte qu'il ralisera sur cette opration ne dpassera pas ce montant. Avantages et inconvnients de cette mthode Cette mthode permet dans la plupart des cas de calculer la VAR lorsque les autres mthodes ne le permettent pas. Elle convient tous les types d'instruments y compris les produits optionnels. En revanche la mise en uvre de cette mthode de simulation est trs lourde et ncessite d'normes calculs. Ainsi le principal dfaut de cette mthode repose sur le temps de calcul ncessaire pour gnrer un grand nombre de scnarios. Quels sont les limites de la Value At Risk ? On vient de voir que la Value At Risk pouvait tre considre comme la perte potentielle maximale. Mais son valuation repose sur des imprcisions parfois plus ou moins importantes qui peuvent influencer le rsultat final. - La premire limite rside dans l'hypothse de normalit des variations des prix des diffrents actifs. En effet, la loi normale sous-estime bien souvent les grandes variations de march et nglige ainsi le caractre leptokurtique des queues de distributions (longues queues de distributions). - La seconde limite concerne la fiabilit du rsultat obtenu lorsque, pour anticiper l'volution d'un actif dans un avenir plus ou moins proche, on utilise son volution passe.

- Le calcul de la Value At Risk ncessite un horizon fixe. C'est dire que l'on considre le march liquide et que l'on puisse ainsi couper nos positions l'horizon choisi. - Enfin la dernire limite de la VAR vient du fait que l'on utilise normment d'approximations et de simulations. Et malgr la puissance croissante des machines, la volont de mise en uvre rapide impose l'utilisation d'approximations. pOUr rsumer : La Value at Risk n'est qu'une mesure thorique d'une perte potentielle. Cette valuation peut comporter une imprcision assez importante, qui serait par exemple intolrable dans le cadre d'un calcul de rsultat. Cependant, la notion de VaR a ses limites qu'il vaut mieux connatre. Les limites conceptuelles Le concept de Value at Risk s'appuie sur des hypothses qui sont parfois contestes par les faits :

L'amplitude de certains mouvements de march contrarie l'hypothse de normalit des variations des prix. La prvision des prix futurs partir de ceux passs est limite (celui connaissant une mthode infaillible serait un dieu vivant). La liquidation des positions une date donne peut tre plus difficile que prvue en cas de mouvements importants des marchs.

Les approximations La mise en oeuvre rapide et cot limit impose l'utilisation d'approximations. La vrification La vrification (ou back testing) est ncessaire afin de s'assurer que le rsultat rel ne dpasse la perte VaR que de temps en temps. En effet, si le dpassement survient souvent, on peut se poser la question de la pertinence du modle utilis, s'il survient trop rarement, le risque de l'activit est probablement surestim.n

Conclusion :

Aujourd'hui, pour de nombreux investisseurs, grer le risque de position se limite dterminer des stops de scurit qui leur permettraient ainsi de limiter les pertes. En ralit cette mthode ne permet pas une mesure du risque mais seulement une dcision face au risque. Et mme si la Value At Risk n'est pas un vrai instrument de prvision, elle permet nanmoins d'obtenir une mesure quantitative du risque. Utilise par la plupart des grandes banques mondiales, la VAR tente depuis de nombreuses annes de s'imposer comme un outil universel de mesure du risque. Mais les crises financires de ces dernires annes sont venues mettre mal son image. En effet, de nombreuses institutions ont d revoir leur modle de calcul de la Value At Risk suite des pertes colossales dans leurs activits de trading notamment en 2008 lors de la crise des subprimes. Ainsi de nouveaux modles plus solides et mieux adapts aux grosses variations de marchs devront tre mis en place durant les prochaines annes afin que la VAR puisse enfin s'imposer comme instrument mondial de mesure du risque.