vedic mathematics การคูณacademic.obec.go.th/images/news/1599793303_d_3.pdfการค...

การคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณคดเลขเรวแบบเวทคณต การคณ

VEDIC MATHEMATICSคดเลขเรวแบบเวทคณต

สานกวชาการและมาตรฐานการศกษา

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

กระทรวงศกษาธการ

การคณคดเลขเรวแบบเวทคณต

สำ�นกวช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศกษ�

สำ�นกง�นคณะกรรมก�รก�รศกษ�ขนพนฐ�น

กระทรวงศกษ�ธก�ร

คดเลขเรวแบบเวทคณต

การคณ

ปทพมพ พ.ศ.2562

จำ�นวนพมพ 45,000เลม

พมพท โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จำากด

79ถนนงามวงศวานแขวงลาดยาวเขตจตจกร

กรงเทพมหานคร10900

โทร.0-2561-4567โทรสาร0-2579-5101

นายโชคด ออสวรรณ ผพมพผโฆษณา

คำานำา

ก า ร จ ด ก า ร เร ย นก า ร สอนคณ ต ศ า สต ร ด ว ย เ ทคน ค

การคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) เลมน จดทำาขนโดยมวตถประสงค

เพอพฒนาทกษะการคดคำานวณทางคณตศาสตรของผเรยน ใหผเรยน

คดเลขไดรวดเรว ถกตอง และแมนยำา รจกคด มเหตผลอยางเปนระบบ

สามารถแกปญหาใหมประสทธภาพมากขน ในการจดทำาเอกสารเลมน

ไดศกษาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย(เวทคณต:VedicMathematics)

มทมาจากคมภรโบราณในการคดเลขเรวซงเปนสวนหนงของคมภรพระเวท

ของอนเดย ประกอบดวยสตรหลก 16 สตร และสตรยอย 13 สตร

ทเกยวกบการบวกลบคณหารซงแตละสตรเปนสตรเฉพาะสามารถนำามา

ผสมผสานและผนวกกบพนความรในดานคดคำานวณได

จากนโยบายของนายกรฐมนตร (พลเอกประยทธ จนทรโอชา)

ในงานนายกรฐมนตรพบเพอนคร เมอป 2559 สำานกงานคณะกรรมการ

การศกษาขนพนฐาน ไดดำาเนนการจดทำาคมอเทคนคการคดเลขเรว

แบบอนเดย(เวทคณต)พรอมทงขยายผลครอบคลมทกเขตพนทการศกษา

และไดสงผบรหาร ศกษานเทศก ครผสอนคณตศาสตรเขารวมโครงการ

ฝกอบรมและสมมนาการจดการเรยนการสอนเวทคณตณสาธารณรฐอนเดย

จากผเชยวชาญทมประสบการณซงเปนตนกำาเนดเวทคณต และพฒนา

เปนตนแบบในการจดการเรยนการสอน การพฒนาเอกสารการจด

การเรยนการสอนคณตศาสตร ดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย

ก

(เวทคณต)เลมน ไดรอยเรยงภาษาทงายกะทดรดเขาใจไดอยางรวดเรว

พรอมตวอยางประกอบ ทำาใหครผสอนและผ เรยนสามารถศกษา

และทำาความเขาใจไดดวยตนเองเอกสารการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร

ดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย(เวทคณต)ใน1ชดจดทำาเปน4เรอง

ประกอบดวยเรองการบวกการลบการคณและการหาร

สำานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐานหวงเปนอยางยงวา

เอกสารการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรดวยเทคนคการคดเลขเรว

แบบอนเดย(เวทคณต)เลมนจะเปนประโยชนตอครผสอนนำาไปใชเพอพฒนา

ผเรยนทมพนฐานการใชเทคนคเวทคณตไดอยางคลองแคลวรวดเรว

ถกตอง แมนยำามากขน ซงเปนการบมเพาะและพฒนาผเรยนทม

ความโดดเดนทางคณตศาสตรเพอตอยอดผ เรยนไปสการแขงขน

ในระดบชาตและนานาชาตตอไป

สำานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

สารบญ

หน�คำานำา กสารบญ ขเกรนนำา คแผนผงกรอบเนอหาเรองการคณแบบเวทคณต งการคณแนวตงและแนวไขว 1(UrdhvaTiryagbhyamหรอVerticallyandCross-wise)การคณโดยการเลอนตวคณ(MovingMultiplier) 19ขอตกลงเบองตนสำาหรบการคณโดยวธเบยงฐาน 34(YavadunamหรอByTheDeficiency)การคณโดยวธเบยงฐาน 47(YavadunamหรอByTheDeficiency) การคณโดยวธเบยงฐานจากฐานปฐมภม(PrimaryBase) 47 การคณโดยวธเบยงฐานจากฐานทตยภม 76 (SecondaryBaseหรอSub-Base) การคณของจำานวนทตวตงและตวคณตางฐานกน 109 (NumbersnearDifferentBase) การคณสามจำานวนทมคาเบยงฐานใกลเคยงฐานเดยวกน 132การยกกำาลงสองโดยใชDvandvaYogaหรอDuplex 146การคณพหนามกบพหนาม 161(AlgebraicMultiplicationusingUrdhvaTiryagbhyam)การตรวจคำาตอบของการดำาเนนการคณ 169บรรณานกรม 182คณะทำางาน 183

ข

การคณแบบเวทคณตในเอกสารฉบบน มวธการคณ 2 วธ

ไดแก การคณแนวตงและแนวไขว (Urdhva Tiryagbhyam หรอ

Vertically and Cross-wise) ซงมความสมพนธกนกบการคณโดย

การเลอนตวคณ (Moving Multiplier) จะแตกตางในรปแบบของ

การเขยนแสดงวธทำา และการคณโดยวธเบยงฐาน (Yavadunamหรอ

By The Deficiency) นอกจากวธการคณทกลาวมาขางตน ในการคณ

แบบเวทคณตยงสามารถใชพนฐานความรเรองการคณโดยการเลอนตวคณ

มาปรบเปนเทคนคการหากำาลงสองของจำานวนนนและยงสามารถประยกต

ใชกบการคณพหนามไดโดยนำาเสนอตามลำาดบดงน

1. การคณแนวตงและแนวไขว(UrdhvaTiryagbhyamหรอ

VerticallyandCross-wise)

2. การคณโดยการเลอนตวคณ(MovingMultiplier)

3. ข อตกลง เ บองตนสำ าหรบการคณโดยว ธ เบ ย งฐาน

(YavadunamหรอByTheDeficiency)

4. การคณโดยวธเบยงฐาน (Yavadunam หรอ By The

Deficiency)

4.1 การคณโดยวธเบยงฐานจากฐานปฐมภม(PrimaryBase)

เกรนนำา

ค

4.2 การคณโดยวธเบยงฐานจากฐานทตยภม(Secondary

BaseหรอSub-Base)

4.3 การคณของจำานวนทตวตงและตวคณตางฐานกน

(NumbersnearDifferentBase)

4.4 การคณสามจำานวนทมคาเบยงฐานใกลเคยงฐานเดยวกน

5. การยกกำาลงสองโดยใชDvandvaYogaหรอDuplex

6. การคณพหนามกบพหนาม (Algebraic Multiplication

usingUrdhvaTiryagbhyam)

ก�รคณแนวตงและแนวไขว

(Urdhva Tiryagbhyam หรอ

Vertically and Cross-wise)

ก�รคณโดยก�รเลอนตวคณ

(Moving Multiplier)

ก�รคณโดยวธเบยงฐ�น

(Yavadunam หรอ By The Deficiency)

ขอตกลงเบองตนสำ�หรบก�รคณโดยวธเบยงฐ�น

(Yavadunam หรอ By The Dificiency)

ก�รคณโดยวธเบยงฐ�น จ�กฐ�นปฐมภม

(Primary Base)

ก�รคณโดยวธเบยงฐ�น จ�กฐ�นทตยภม

(Secondary Base หรอ Sub-Base)

ก�รคณของจำ�นวนทตวตงและตวคณต�งฐ�นกน

(Numbers near Different Base)

ก�รคณส�มจำ�นวนทมค�เบยงฐ�นใกลเคยงฐ�นเดยวกน

ก�รยกกำ�ลงสองโดยใช Dvandva Yoga หรอ Duplex

ก�รคณพหน�มกบพหน�ม (Algebraic Multiplication using Urdhva Tiryagbhyam)

ง

แผนผงกรอบเนอห�เรอง ก�รคณแบบเวทคณต


1

การคณแนวตงและแนวไขว มแบบรปทวไป (General

Multiplication) ของจำานวนสองจำานวน โดยการดำาเนนการคณแนวตง

และแนวไขวเปนวธทสนสามารถคณกนไดรวดเรว

ขอตกลงเบองตนของก�รคณแนวตงและแนวไขว

ผลลพธทเกดจากการคณของเลขโดด กรณผลคณเปนจำานวน

2หลกเขยนไดดงตอไปน

6×4=24เขยนแทนดวย24อานวาเขยนสหอยสอง

5×3=15เขยนแทนดวย15อานวาเขยนหาหอยหนง

7×8=56เขยนแทนดวย56อานวาเขยนหกหอยหา

1.การคณแนวตงและแนวไขว (UrdhvaTiryagbhyamหรอ Vertically and Cross-wise)


2

1. การคณจำานวนสองหลกกบจำานวนสองหลก

ผงก�รคณแนวตงและแนวไขว ของจำ�นวนสองหลกกบจำ�นวนสองหลก

• • • • • •

• • • • • •

ขนท 3 ขนท 2 ขนท 1

ซงสรปเปนขนตอนก�รคณแนวตงและแนวไขว ของจำ�นวนสองหลก

กบจำ�นวนสองหลกไดดงน

ขนท 1 หาผลคณตามแนวตงของหลกหนวยกบหลกหนวย

ขนท 2 หาผลบวกของผลคณไขวของหลกสบกบหลกหนวย

ขนท 3 หาผลคณตามแนวตงของหลกสบกบหลกสบ


3

ตวอยางท1จงห�ผลคณ 21 x 23

วธคด


จะได(1×3)=3 เขยน3ในหลกหนวย

ขนท 2หาผลบวกของผลคณไขวของหลกสบกบหลกหนวย

จะได(2×3)+(1×2)=8เขยน8ในหลกสบ

ขนท 3หาผลคณตามแนวตงของหลกสบกบหลกสบจะได(2×2)=4

เขยน4ในหลกรอยไดคำาตอบคอ483

2 1

2 3

3

2 1

2 3

8 3

2 1

2 3

4 8 3

x

x

x

ดงนน 21 x 23 = 483

ตอบ 483


4

ตวอยางท2 จงห�ผลคณ 43 × 32

วธคด


จะได(3×2)=6 เขยน6ในหลกหนวย



4 3

3 2

6

4 3

3 2

17 6

x

x


5

ขนท 3หาผลคณตามแนวตงของหลกสบกบหลกสบ

จะได(4×3)=12เขยน12ในหลกรอย

ผลคณทได12

176

ไดคำาตอบคอ 1,376

4 3

3 2

12

17 6

x

ดงนน 43 x 32 = 12

176

= 1,376

ตอบ 1,376


6

2. การคณจำานวนสามหลกกบจำานวนสามหลก

ผงก�รคณแนวตงและแนวไขว ของจำ�นวนส�มหลกกบจำ�นวนส�มหลก

• • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • •

ขนท 5 ขนท 4 ขนท 3 ขนท 2 ขนท 1

ซงสรปเปนขนตอนก�รคณแนวตงและแนวไขว ของจำ�นวนส�มหลก

กบจำ�นวนส�มหลกไดดงน

ขนท 1หาผลคณตามแนวตงของหลกหนวยกบหลกหนวย


ขนท 3 หาผลบวกของผลคณไขวของหลกรอยกบหลกหนวย

และผลคณแนวตงของหลกสบกบหลกสบ

ขนท 4 หาผลบวกของผลคณไขวของหลกรอยกบหลกสบ

ขนท 5 หาผลคณตามแนวตงของหลกรอยกบหลกรอย


7


วธคด


จะได(3×8)=24เขยน24ในหลกหนวย



ขนท 3หาผลบวกของผลคณไขวของหลกรอยกบหลกหนวยและผลคณ

แนวตงของหลกสบกบหลกสบ

จะได(6×8)+(3×1)+(1×5)=56เขยน56ในหลกรอย

6 1 3

1 5 8

24

6 1 3

1 5 8

23

24

6 1 3

1 5 8

56

23

24

x

x

x


8

ขนท 4หาผลบวกของผลคณไขวของหลกรอยกบหลกสบ

จะได(6×5)+(1×1)=31เขยน31ในหลกพน

ขนท 5หาผลคณตามแนวตงของหลกรอยกบหลกรอย

จะได(6×1)=6เขยน6ในหลกหมน

ผลคณทได 631

56

23

24


6 1 3

1 5 8

31

56

23

24

6 1 3

1 5 8

6 3

156

23

24

x

x

ดงนน 613 x 158 = 631

56

23

24

= 96,854

ตอบ 96,854


9


วธคด


จะได(5×2)=10เขยน10ในหลกหนวย



ขนท 3หาผลบวกของผลคณไขวของหลกรอยกบหลกหนวยและผลคณ

แนวตงของหลกสบกบหลกสบ

จะได(8×2)+(5×4)+(6×3)=54เขยน54ในหลกรอย

8 6 5

4 3 2

10

8 6 5

4 3 2

27

10

8 6 5

4 3 2

54

27

10

x

x

x


10

ขนท 4หาผลบวกของผลคณไขวของหลกรอยกบหลกสบ

จะได(8×3)+(6×4)=48เขยน48ในหลกพน

ขนท 5หาผลคณตามแนวตงของหลกรอยกบหลกรอย

จะได(8×4)=32เขยน32ในหลกหมน

ผลคณทได32

48

54

27

10


8 6 5

4 3 2

48

54

27

10

8 6 5

4 3 2

32

48

54

27

10

x

x

ดงนน 865 x 432 = 32

48

54

27

10

= 373,680

ตอบ 373,680


11


หม�ยเหต ถาหลกไมเทากนใหเตม0ขางหนาเพอใหจำานวนหลกเทากน

วธคด

หลกหนวย(7×1)=7

หลกสบ (3×1)+(7×2)=17เขยน17

หลกรอย (4×1)+(7×0)+(3×2)=10เขยน10

หลกพน (4×2)+(3×0)=8

หลกหมน (4×0)=0

ผลคณทได 0810

177


4 3 7

0 2 1

0 810

17 7

x

ดงนน 437 x 21 = 0810

177

= 9,177

ตอบ 9,177


12

3. การคณจำานวนสหลกกบจำานวนสหลก

ผงก�รคณแนวตงและแนวไขว ของจำ�นวนสหลกกบจำ�นวนสหลก

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

ขนท 7 ขนท 6 ขนท 5 ขนท 4 ขนท 3 ขนท 2 ขนท 1

ซงสรปเปนขนตอนก�รคณแนวตงและแนวไขว ของจำ�นวนสหลก

กบจำ�นวนสหลกไดดงน



ขนท 3 หาผลบวกของผลคณไขวของหลกรอยกบหลกหนวยและ

ผลคณแนวตงของหลกสบกบหลกสบ

ขนท 4 หาผลบวกของผลคณไขวของหลกพนกบหลกหนวยและ

ผลคณไขวของหลกรอยกบหลกสบ

ขนท 5 หาผลบวกของผลคณไขวของหลกพนกบหลกสบและ

ผลคณแนวตงของหลกรอยกบหลกรอย

ขนท 6 หาผลบวกของผลคณไขวของหลกพนกบหลกรอย

ขนท 7 หาผลคณตามแนวตงของหลกพนกบหลกพน


13

ตวอยางท6จงห�ผลคณ 1,207 x 1,312

วธคด

หลกหนวย(7×2)=14เขยน14

หลกสบ (0×2)+(7×1)=7

หลกรอย (2×2)+(7×3)+(0×1)=25เขยน25

หลกพน (1×2)+(7×1)+(2×1)+(0×3)=11เขยน11

หลกหมน (1×1)+(0×1)+(2×3)=7

หลกแสน (1×3)+(2×1)=5

หลกลาน (1×1)=1

1 2 0 7

1 3 1 2

1 5 711

25 7

14

x

ดงนน 1,207 x 1,312 = 15711

257

14

= 1,583,584

ตอบ 1,583,584


14

แบบฝกหด

เรองการคณแนวตงและแนวไขว

จงห�ผลคณตอไปน

1)25×15=

วธคด

ตอบ

2)53×39=

วธคด

ตอบ

3)144×62=

วธคด

ตอบ

4)185×151=

วธคด

ตอบ

5)368×244=

วธคด

ตอบ

6)542×438=

วธคด

ตอบ


15

7)254×548=

วธคด

ตอบ

8)503×339=

วธคด

ตอบ

9)1,844×612=

วธคด

ตอบ

10)2,184×1,151=

วธคด

ตอบ

11)7,542×4,347=

วธคด

ตอบ

12)4,983×9,372=

วธคด

ตอบ


16

เฉลยแบบฝกหด

เรองการคณแนวตงและแนวไขว


1)25×15=

วธคด

ตอบ 375

2)53×39=

วธคด

ตอบ 2,067

3)144×62=

วธคด

ตอบ 8,928

4)185×151=

วธคด

ตอบ 27,935

2 5

1 5

215

25

3 7 5

1 4 4

0 6 2

0 626

32 8

8 9 2 8

1 8 5

1 5 1

113

46

33 5

2 7 9 3 5

5 3

3 9

15

54

27

2 0 6 7

x

x x

x


17

5)368×244=

วธคด

ตอบ 89,792

6)542×438=

วธคด

ตอบ 237,396

7)254×548=

วธคด

ตอบ 139,192

8)503×339=

วธคด

ตอบ 170,517

3 6 8

2 4 4

624

52

56

32

8 9 7 9 2

5 4 2

4 3 8

20

31

60

38

16

2 3 7 3 9 6

5 0 3

3 3 9

15

15

54 9

27

1 7 0 5 1 7

x

x

x

x 2 5 4

5 4 8

10

33

56

56

32

1 3 9 1 9 2


18

9)1,844×612=

วธคด

ตอบ 1,128,528

10)2,184×1,151=

วธคด

ตอบ 2,513,784

11)7,542×4,347=

วธคด

ตอบ 32,785,074

12)4,983×9,372=

วธคด

ตอบ 46,700,676

x

x x

x 1 8 4 4

0 6 1 2

0 649

34

44

12 8

1 1 2 8 5 2 8

7 5 4 2

4 3 4 7

28

41

59

89

57

36

14

3 2 7 8 5 0 7 4

4 9 8 3

9 3 7 2

36

93

127

122

83

37 6

4 6 7 0 0 6 7 6

2 1 8 4

1 1 5 1

2 319

19

45

28 4

2 5 1 3 7 8 4


19

การคณโดยการเลอนตวคณใชหลกการเดยวกนกบการคณแนวตง

และแนวไขว แตจะเขยนในรปแนวนอน หาผลคณโดยเลอนตวคณ

ทละตำาแหนงดงน

จำ�นวนสองหลกคณจำ�นวนสองหลก

AB x CD = (A x C) / ((A x D) + (B x C)) / (B x D)

2.การคณโดยการเลอนตวคณ (Moving Multiplier)

A B x C D ขนท 1 หลกหนวย

หลกหนวย

คณกบ


(BxD)

A B x C D ขนท 2 หลกสบ


คณกบ

หลกสบ

(AxD)+(BxC)

A B x C D ขนท 3 หลกรอย

หลกสบ

คณกบ

หลกสบ

(AxC)


20


วธคด

ขนท 1 หลกหนวย 34x21(4x1)=4

ขนท 2 หลกสบ 34x21(3x1)+(4x2)

=11เขยน11

ขนท 3 หลกรอย 34x21(3x2)=6

ดงนน 34 x 21 = 6114

= 714

ตอบ 714


21


วธคด

ขนท 1 หลกหนวย 72x46(2x6)=12เขยน

12

ขนท 2 หลกสบ 72x46(7x6)+(2x4)

=50เขยน50

ขนท 3 หลกรอย 72x46(7x4)=

28

ดงนน 72 x 46 = 28

50

12

= 3,312

ตอบ 3,312


22

ABCxDEF ขนท 1 หลกหนวย


คณกบ


(CxF)

ABCxDEF ขนท 2 หลกสบ


คณกบ

หลกสบ

(BxF)+(CxE)

ABCxDEF ขนท 3 หลกรอย

หลกรอยคณกบ


กบหลกสบ

คณกบหลกสบ

(AxF)+(BxE)

+(CxD)

ABCxDEF ขนท 4 หลกพนหลกสบคณกบ

หลกรอย

(AxE)+(BxD)

ABCxDEF ขนท 5 หลกหมนหลกรอยคณกบ

หลกรอย

(AxD)

จำ�นวนส�มหลกคณจำ�นวนส�มหลก

ABC x DEF = (A x D) / ((A x E) + (B x D)) / ((A x F) +

(B x E) + (C x D)) / ((B x F) + (C x E)) / (C x F)


23


วธคด


18

ขนท 2 หลกสบ 536x423(3x3)+(6x2)

=21เขยน21

ขนท 3 หลกรอย 536x423(5x3)+(3x2)+(6x4)

=45เขยน45

ขนท 4 หลกพน 536x423(5x2)+(3x4)

=22เขยน22

ขนท 5 หลกหมน 536x423(5x4)=20เขยน

20

ดงนน 536 x 423 = 20

22

45

21

18

= 226,728

ตอบ 226,728


24


วธคด


ขนท 2 หลกสบ 731x254(3x4)+(1x5)=17เขยน

17

ขนท 3 หลกรอย 731x254(7x4)+(3x5)+(1x2)

=45เขยน45

ขนท 4 หลกพน 731x254(7x5)+(3x2)=41เขยน

41

ขนท 5 หลกหมน 731x254(7x2)=14เขยน

14

ดงนน 731 x 254 = 14

41

45

174

= 185,674

ตอบ 185,674


25

ตวอยางท5จงห�ผลคณ 2,531 x 7,489

วธคด


ขนท 2 หลกสบ 2531x7489(3x9)+(1x8)=

35

ขนท 3 หลกรอย 2531x7489(5x9)+(3x8)+(1x4)

=73เขยน73

ขนท 4 หลกพน 2531x7489(2x9)+(5x8)+(3x4)

+(1x7)=77เขยน77

ขนท 5 หลกหมน 2531x7489(2x8)+(5x4)+(3x7)

=57เขยน57

ขนท 6 หลกแสน 2531x7489(2x4)+(5x7)

=43เขยน43

ขนท 7 หลกล�น 2531x7489(2x7)=14เขยน

14

ดงนน 2,531 x 7,489 = 14

43

57

77

73

359

= 18,954,659

ตอบ 18,954,659


26


วธคด


54

ขนท 2 หลกสบ 326x59(2x9)+(6x5)

=48เขยน48

ขนท 3 หลกรอย 326x59(3x9)+(2x5)

=37เขยน37

ขนท 4 หลกพน 326x59(3x5)=15เขยน

15

ดงนน 326 x 59 = 15

37

48

54

= 19,234

ตอบ 19,234


27

ขนท ก�รคณแนวตง

และแนวไขว

ก�รคณโดยก�รเลอนตวคณ

ขนท 1 A B C D

O P Q RA B C D x O P Q R

ขนท 2 A B C D


ขนท 3 A B C D


ขนท 4 A B C D


ขนท 5 A B C D


ขนท 6 A B C D


ขนท 7 A B C D


ต�ร�งเปรยบเทยบก�รคณแนวตงและแนวไขว กบ

ก�รคณโดยก�รเลอนตวคณมวธก�รเหมอนกนดงน


28


เรองการคณโดยการเลอนตวคณ

1)74x25=

วธคด

ตอบ

2)68x39=

วธคด

ตอบ

3)59x42=

วธคด

ตอบ

4)84x57=

วธคด

ตอบ

5)93x46=

วธคด

ตอบ

6)85x35=

วธคด

ตอบ



29

7)367x29=

วธคด

ตอบ

8)731x52=

วธคด

ตอบ

9)574x123=

วธคด

ตอบ

10)259x487=

วธคด

ตอบ

11)189x436=

วธคด

ตอบ

12)627x349=

วธคด

ตอบ

13)598x412=

วธคด

ตอบ

14)284x507=

วธคด

ตอบ


30

15)2,531x472=

วธคด

ตอบ

16)3,059x829=

วธคด

ตอบ

17)2,562x3,429=

วธคด

ตอบ

18)1,494x2,953=

วธคด

ตอบ

19)6,473x5,961=

วธคด

ตอบ

20)1,574x8,296=

วธคด

ตอบ


31


เรองการคณโดยการเลอนตวคณ

1)74x25=

วธคด

74x25 =14

43

20

= 1,850

ตอบ 1,850

2)68x39=

วธคด

68x39 =18

78

72

= 2,652

ตอบ 2,652

3)59x42=

วธคด

59x42 =20

46

18

= 2,478

ตอบ 2,478

4)84x57=

วธคด

84x57 =40

76

28

= 4,788

ตอบ 4,788

5)93x46=

วธคด

93x46 =36

66

18

= 4,278

ตอบ 4,278

6)85x35=

วธคด

85x35 =24

55

25

= 2,975

ตอบ 2,975



32

7)367x29=

วธคด

367x29 = 639

68

63

= 10,643

ตอบ 10,643

8)731x52=

วธคด

731x52 =35

29

112

= 38,012

ตอบ 38,012

9)574x123=

วธคด

574x123 = 517

33

29

12

= 70,602

ตอบ 70,602

10)259x487=

วธคด

259x487= 836

90

107

63

=126,133

ตอบ 126,133

11)189x436=

วธคด

189x436 = 435

66

75

54

= 82,404

ตอบ 82,404

12)627x349=

วธคด

627x349 =18

30

83

46

63

= 218,823

ตอบ 218,823

13)598x412=

วธคด

598x412 =20

41

51

26

16

= 246,376

ตอบ 246,376

14)284x507=

วธคด

284x507 =10

40

34

56

28

= 143,988

ตอบ 143,988


33

15)2,531x472=

วธคด

2,531x472 = 834

51

35

132

= 1,194,632

ตอบ 1,194,632

16)3,059x829=

วธคด

3,059x829 =246

67

82

63

81

= 2,535,911

ตอบ 2,535,911

17)2,562x3,429=

วธคด

2,562x3,429 = 623

42

58

65

58

18

=8,785,098

ตอบ 8,785,098

18)1,494x2,953=

วธคด

1,494x2,953 = 217

59

112

93

47

12

= 4,411,782

ตอบ 4,411,782

19)6,473x5,961=

วธคด

6,473x5,961=30

74107108

73253

=38,585,553

ตอบ 38,585,553

20)1,574x8,296=

วธคด

1,574x8,296=842

75

97101

7824

=13,057,904

ตอบ 13,057,904


34

1. ฐานในระบบเวทคณต ฐานในระบบเวทคณตแบงเปน2ชนดคอ ฐ�นปฐมภม (Primary Base) ไดแก ฐาน 10, ฐาน 100, ฐาน1000,… ฐ�นทตยภม (Secondary Base หรอ Sub-Base) ไดแก ฐาน20,ฐาน30,...,ฐาน200,ฐาน300,...ฐาน2,000,ฐาน3,000,...เปนตน จำานวนใด ๆ สามารถหาคาเบยงฐานได ซงตองพจารณาวา จำานวนนนใกลเคยงฐานใดทสดจงจะหาคาเบยงฐานไดเชน 8 พจารณาวา8ใกลเคยงฐาน10จาก8มคานอยกวา10อย2 ดงนนคาเบยงฐานสบของ8คอ-2 13พจารณาวา13ใกลเคยงฐาน10จาก13มคามากกวา10อย3 ดงนนคาเบยงฐานสบของ13คอ+3 17พจารณาวา17ใกลเคยงฐาน20จาก17มคานอยกวา20อย3 ดงนนคาเบยงฐานยสบของ17คอ-3 แตถาพจารณาวา17ใกลเคยงฐาน10จาก17มคามากกวา 10อย7 ดงนนคาเบยงฐานสบของ17คอ+7 ซงตอไปนจะยกตวอยางการหาคาเบยงฐานจากฐานตางๆ

3. ขอตกลงเบองตนสำาหรบการคณ

โดยวธเบยงฐาน(Yavadunam

หรอByTheDeficiency)


35

ตวอยางท1 ค�เบยงฐ�นจ�กฐ�น 10 (ถ�เบยงฐ�นจ�กฐ�น 10

ค�เบยงฐ�นจะเปนเลขหนงหลก)

7มคานอยกวา10อย 3คาเบยงฐานสบของ 7 คอ -3

6มคานอยกวา10อย 4คาเบยงฐานสบของ 6 คอ -4

13มคามากกวา10 อย 3คาเบยงฐานสบของ 13 คอ +3

ตวอยางท2 ค�เบยงฐ�นจ�กฐ�น 100 (ถ�เบยงฐ�นจ�กฐ�น 100

ค�เบยงฐ�นจะเปนเลขสองหลก)

82มคานอยกวา100อย18คาเบยงฐานหนงรอยของ 82คอ-18

96มคานอยกวา100อย 4 คาเบยงฐานหนงรอยของ 96คอ-04

105มคามากกวา 100อย 5คาเบยงฐานหนงรอยของ105คอ+05

118มคามากกวา100อย18คาเบยงฐานหนงรอยของ118คอ+18


36

ตวอยางท3 ค�เบยงฐ�นจ�กฐ�น 1,000 (ถ�เบยงฐ�นจ�ก

ฐ�น 1,000 ค�เบยงฐ�นจะเปนเลขส�มหลก)

2. ผลคณของคาเบยงฐาน

ผลคณของคาเบยงฐานจะตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลก

ของคาเบยงฐาน แตถาผลคณของคาเบยงฐานมจำานวนหลกมากกวา

จำานวนหลกของคาเบยงฐานใหเขยนเลขหลกทเกนเปนตวหอยดงตวอยาง

ตอไปน

992 มคานอยกวา1,000 อย 8 คาเบยงฐานหนงพนของ 992คอ-008

986 มคานอยกวา1,000 อย 14 คาเบยงฐานหนงพนของ 986คอ-014

1,011 มคามากกวา1,000 อย 11 คาเบยงฐานหนงพนของ1,011คอ+011

1,126มคามากกวา 1,000 อย126 คาเบยงฐานหนงพนของ 1,126คอ+126


37

ตวอยางท1ก�รคณเบยงฐ�นจ�กฐ�น 10

ผลคณของคาเบยงฐานตองมหนงหลก แตถาผลคณเกนหนงหลก

ใหเขยนเลขหลกทเกนเปนตวหอย

เชน (+2)×(+6)=(+12) เขยนแทนดวย12

(อานวาสองหอยหนง)

(-3)×(+9)=(-27) เขยนแทนดวย27

(อานวาบารเจดหอยบารสอง)

(-7)×(-5)=(+35) เขยนแทนดวย35

(อานวาหาหอยสาม)

ตวอยางท2ก�รคณเบยงฐ�นจ�กฐ�น 100

ผลคณของคาเบยงฐานตองมสองหลก แตถาผลคณเกนสองหลก


เชน (+12)×(+11)=(+132) เขยนแทนดวย132

(อานวาสองสามหอยหนง)

(-15)×(+30)=(-450) เขยนแทนดวย450

(อานวาศนยบารหาหอยบารส)

(-14)×(-20)=(+280) เขยนแทนดวย280

(อานวาศนยแปดหอยสอง)


38

ตวอยางท3ก�รคณเบยงฐ�นจ�กฐ�น 1,000

ผลคณของคาเบยงฐานตองมสามหลก แตถาผลคณเกนสามหลก


เชน (+113)×(+009)=(+1017) เขยนแทนดวย1017

(อานวาเจดหนงศนยหอยหนง)

(+050)×(-040)=(-2000) เขยนแทนดวย2000

(อานวาศนยศนยศนยหอยบารสอง)

(-202)×(-030)=(+6060) เขยนแทนดวย6060

(อานวาศนยหกศนยหอยหก)

ก�รอ�นตวหอยกรณ มตวหอยม�กกว�หนงตว เชน

62163 อานวา สามหกหนงหอยสองหอยหก

20564 อานวา สหกหาหอยศนยหอยสอง

5246 อานวา หกสหอยสองหอยบารหา

3 128 อานวา แปดสองหอยบารหนงหอยบารสาม


39

3. การเขยนคำาตอบจากตวเลขทมตวหอย

เมอคำาตอบของการคณมตวหอย ใหนำาตวหอยบวกเพม

ในหลกถดไปทางซายดงน

ตวอยางท1

243

51=681 หลกหนวยคอ1

หลกสบนำา5ไปบวกกบ3ได8

หลกรอยนำา4ไปบวกกบ2ได6


7 54



หลกรอยนำา5ไปบวกกบ7ได12เขยน2

ในหลกรอยทด1ไปบวกกบหลกพน

หลกพนนำา1ททดมาจากหลกรอยได1


40

3642



หลกรอยนำา4ไปบวกกบ6ได10ใส0

ในหลกรอยทด1ไปบวกกบหลกพน

หลกพนนำา1ททดมาจากหลกรอย

บวกกบ3ได4



175483



หลกรอยคอ8

หลกพนคอ4

หลกหมนนำา5ไปบวกกบ7ได12

ใส2ในหลกหมนทด1ไปบวกกบหลกแสน

หลกแสนนำา1ททดมาจากหลกหมน

บวกกบ1ได2


41

1) 7 คาเบยงฐานสบของ7 คอ..........

2) 12 คาเบยงฐานสบของ12 คอ..........

3) 36 คาเบยงฐานสามสบของ36 คอ..........

4) 36 คาเบยงฐานสสบของ36 คอ..........

5) 79 คาเบยงฐานแปดสบของ79 คอ..........

6) 79 คาเบยงฐานเจดสบของ79 คอ..........

7) 97 คาเบยงฐานหนงรอยของ97 คอ..........

8) 97 คาเบยงฐานเกาสบของ97 คอ..........




เรองการหาคาเบยงฐาน

จงห�ค�เบยงฐ�นของจำ�นวนตอไปน


42


12) 318 คาเบยงฐานสามรอยของ318 คอ..........

13) 478 คาเบยงฐานหารอยของ478 คอ..........

14) 509 คาเบยงฐานหารอยของ509 คอ..........

15) 776 คาเบยงฐานแปดรอยของ776 คอ..........

16) 996 คาเบยงฐานหนงพนของ996 คอ..........

17) 1,012 คาเบยงฐานหนงพนของ1,012 คอ..........

18) 8,865 คาเบยงฐานเกาพนของ8,865 คอ..........

19) 1,079 คาเบยงฐานหนงพนของ1,079 คอ..........

20) 2,013 คาเบยงฐานสองพนของ2,013 คอ..........


43

1) 7 คาเบยงฐานสบของ7 คอ...............

2) 12 คาเบยงฐานสบของ12 คอ...............

3) 36 คาเบยงฐานสามสบของ36 คอ...............

4) 36 คาเบยงฐานสสบของ36 คอ...............

5) 79 คาเบยงฐานแปดสบของ79 คอ...............

6) 79 คาเบยงฐานเจดสบของ79 คอ...............

7) 97 คาเบยงฐานหนงรอยของ97 คอ...............

8) 97 คาเบยงฐานเกาสบของ97 คอ...............



-3

+2

+6

-4

-1

+9

-03

+7

+03

+21


เรองการหาคาเบยงฐาน

จงห�ค�เบยงฐ�นของจำ�นวนตอไปน


44


12) 318 คาเบยงฐานสามรอยของ318 คอ...............

13) 478 คาเบยงฐานหารอยของ478 คอ...............

14) 509 คาเบยงฐานหารอยของ509 คอ...............

15) 776 คาเบยงฐานแปดรอยของ776 คอ...............

16) 996 คาเบยงฐานหนงพนของ996 คอ...............

17) 1,012 คาเบยงฐานหนงพนของ1,012 คอ...............

18) 8,865 คาเบยงฐานเกาพนของ8,865 คอ...............

19) 1,079 คาเบยงฐานหนงพนของ1,079 คอ...............

20) 2,013 คาเบยงฐานสองพนของ2,013 คอ...............

+25

+18

-22

-24

+012

+079

+09

-004

-135

+013


45


เรองการเขยนคำาตอบจากตวเลขทมตวหอย

1) 241

54 =

2) 10561

34 =

3) 7 61

34

72 =

4) 3360

30

72 =

5) 1603

6030

72 =

6)6512

63

38 =

7)6004

60

36 =

8) 5107

66

30 =

9) 67010

91

90 =

10) 4 19

19

99

99 =


46


เรองการเขยนคำาตอบจากตวเลขทมตวหอย

1) 241

54 = 664

2) 10561

34 = 11,144

3) 7 61

34

72 = 13,512

4) 3360

30

72 = 39,372

5) 1603

6030

72 = 7,090,372

6)6512

63

38 = 651,868

7)6004

60

36 = 601,036

8) 5107

66

30 = 61,390

9) 67010

91

90 = 672,000

10) 4 19

19

99

99 = 61,989


47

4.1การคณโดยวธเบยงฐานจากฐานปฐมภม

(PrimaryBase)

เมอพจารณาตวตงและตวคณแลวหากพบวาจำานวนนนมคาใกล

ฐานปฐมภมใดจะสามารถดำาเนนการคณตามขนตอนไดดงน

ขนท 1 พจารณาตวต งและตวคณวามคาใกลเคยงฐานใด

หาคาเบยงฐานและเขยนคาเบยงฐานกำากบไวทดานขวา

ของทงตวตงและตวคณ

ขนท 2 เขยน“/”เพอแบงผลคณเปนสวนหนาและสวนหลง

ขนท 3 หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐาน

ขนท 4 หาสวนหนาไดจาก ผลบวกไขวของตวตงกบคาเบยงฐาน

ของตวคณ หรอผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐาน

ของตวตง

ขนท 5 สรปคำาตอบโดยการนำาเครองหมาย“/”ออกแลวนำา

สวนหนาและสวนหลงของผลคณมาเขยนตอกนเปนคำาตอบ

4. การคณโดยวธเบยงฐาน

(YavadunamหรอByTheDeficiency)


48

1 2 + 2×

1 4 + 4

/ 8

ขนท 3 หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐาน(+2)×(+4)=(+8)

เขยน8เปนสวนหลงของคำาตอบ

1 2 + 2×

1 4 + 4

/

ขนท 1พจารณาตวตงและตวคณวามคาใกลเคยงฐานใดหาคาเบยงฐาน

และเขยนคาเบยงฐานกำากบไวทดานขวาของทงตวตงและตวคณ

ตวตงคอ12คาเบยงฐานสบของ12คอ+2

ตวคณคอ14คาเบยงฐานสบของ14คอ+4

ขนท 2เขยน“/”เพอแบงผลคณเปนสวนหนาและสวนหลง

ตวอยางท1 จงห�ผลคณ 12 x 14

วธคด

1. การหาผลคณของจำานวนทมคาใกลเคยงฐาน10


49

1 2 + 2×

1 4 + 4

1 6 / 8

ขนท 4 หาสวนหนาไดจาก

ผลบวกไขวของตวตงกบคาเบยงฐานของตวคณคอ12+(+4)=16หรอ

ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตงคอ14+ (+2)=16

เขยน16เปนสวนหนาของคำาตอบ

1 2 + 2×

1 4 + 4

1 6 8

ขนท 5 สรปคำาตอบโดยการนำาเครองหมาย“/”ออกแลวนำาสวนหนา

และสวนหลงของผลคณมาเขยนตอกนเปนคำาตอบ

ดงนน 12 x 14 = 168

ตอบ 168


50

1 7 + 7×

9 − 1

/ 7

ขนท 3 หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐาน(+7)×(-1)=(-7)


1 7 + 7×

9 − 1

/



ตวตงคอ17คาเบยงฐานสบของ17คอ+7

ตวคณคอ9คาเบยงฐานสบของ9คอ-1



วธคด


51

1 7 + 7×

9 − 1

1 6 / 7


ผลบวกไขวของตวตงกบคาเบยงฐานของตวคณคอ17+(-1)=16หรอ

ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตงคอ 9+ (+7)=16


1 7 + 7×

9 − 1

1 6 7



ดงนน 17 x 9 = 167

= 153

ตอบ 153


52

1 1 2 + 1 2×

1 0 8 + 0 8

/ 9 6

ขนท 3 หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐาน(+12)×(+08)=(+96)


1 1 2 + 1 2×

1 0 8 + 0 8

/



ตวตงคอ112คาเบยงฐานหนงรอยของ112คอ+12

ตวคณคอ108คาเบยงฐานหนงรอยของ108คอ+08



วธคด

2. การหาผลคณของจำานวนทมคาใกลเคยงฐาน100


53

1 1 2 + 1 2×

1 0 8 + 0 8

1 2 0 / 9 6



ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตงคอ108+(+12)=120


1 1 2 + 1 2×

1 0 8 + 0 8

1 2 0 9 6



ดงนน 112 x 108 = 12,096

ตอบ 12,096


54

9 3 − 0 7×

8 4 − 1 6

/ 11 2


(-07)×(-16)=(+112) เขยน112เปนสวนหลงของคำาตอบ

9 3 − 0 7×

8 4 − 1 6

/



ตวตงคอ93คาเบยงฐานหนงรอยของ93คอ-07

ตวคณคอ84คาเบยงฐานหนงรอยของ84คอ-16



วธคด


55

9 3 − 0 7×

8 4 − 1 6

7 7 / 11 2



ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตงคอ84+(-07)=77


9 3 − 0 7×

8 4 − 1 6

7 7 11 2



ดงนน 93 x 84 = 77112

= 7,812

ตอบ 7,812


56

1 1 2 + 1 2×

9 7 − 0 3

/ 3 6


เขยน3 6เปนสวนหลงของคำาตอบ

1 1 2 + 1 2×

9 7 − 0 3

/







วธคด


57

1 1 2 + 1 2×

9 7 − 0 3

1 0 9 / 3 6





1 1 2 + 1 2×

9 7 − 0 3

1 0 9 3 6



ดงนน 112 x 97 = 1093 6

= 10,864

ตอบ 10,864


58

1 0 0 2 + 0 0 2×

1 0 0 8 + 0 0 8

/ 0 1 6


(+002)×(+008)=(+016)เขยน016เปนสวนหลงของคำาตอบ

1 0 0 2 + 0 0 2×

1 0 0 8 + 0 0 8

/



ตวตงคอ1002คาเบยงฐานหนงพนของ1002คอ+002

ตวคณคอ1008คาเบยงฐานหนงพนของ1008คอ+008


ตวอยางท1 จงห�ผลคณ 1,002 x 1,008

วธคด

3. การหาผลคณของจำานวนทมคาใกลเคยงฐาน1,000


59

1 0 0 2 + 0 0 2×

1 0 0 8 + 0 0 8

1 0 1 0 / 0 1 6





1 0 0 2 + 0 0 2×

1 0 0 8 + 0 0 8

1 0 1 0 0 1 6



ดงนน 1,002 x 1,008 = 1,010,016

ตอบ 1,010,016


60

1 0 2 0 + 0 2 0×

9 9 5 − 0 0 5

/ 1 0 0


(+020)×(-005)=(-100)เขยน100เปนสวนหลงของคำาตอบ

1 0 2 0 + 0 2 0×

9 9 5 − 0 0 5

/




ตวคณคอ995คาเบยงฐานหนงพนของ995คอ-005


ตวอยางท2 จงห�ผลคณ 1,020 x 995

วธคด


61

1 0 2 0 + 0 2 0

9 9 5 − 0 0 5

1 0 1 5 / 1 0 0





1 0 2 0 + 0 2 0×

9 9 5 − 0 0 5

1 0 1 5 1 0 0



ดงนน 1,020 x 995 = 1015100

= 1,014,900

ตอบ 1,014,900


62

ในทำานองเดยวกน เราสามารถแสดงวธคดไดในอกรปแบบหนง

โดยมขนตอนดงตอไปน

ขนท 1 พจารณาตวตงและตวคณวามคาใกลเคยงฐานใดหาคาเบยงฐาน

และเขยนคาเบยงฐานกำากบไวทดานบนของทงตวตงและตวคณ


ขนท 3หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐาน


ของตวคณหรอผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง




63

+ 0 0 2 + 0 0 8

1002x1008 = / 016



+ 0 0 2 + 0 0 8

1002x1008 = /




ตวคณคอ1008คาเบยงฐานหนงพนของ1008คอ+008



วธคด


64

+ 0 0 2 + 0 0 8

1002x1008 = 1010/016


ผลบวกไขวของตวตงกบคาเบยงฐานของตวคณ

คอ1002+(+008)=1010หรอ

ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง

คอ1008+(+002)=1010


+ 0 0 2 + 0 0 8

1002x1008 = 1010016



ดงนน 1,002 x 1,008 = 1,010,016

ตอบ 1,010,016


65

+ 0 2 0 −0 0 5

1 0 2 0 x 9 9 5 = /1 0 0


(+020)×(-005)=(-100)


+ 0 2 0 −0 0 5

1 0 2 0 x 9 9 5 = /







วธคด


66

+ 0 2 0 −0 0 5

1 0 2 0 x 9 9 5 = 1 0 1 5/1 0 0



คอ1020+(-005)=1015หรอ


คอ995+(+020)=1015


+ 0 2 0 −0 0 5

1 0 2 0 x 9 9 5 = 1 0 1 5 1 0 0



ดงนน 1,020 x 995 = 1015100

= 1,014,900

ตอบ 1,014,900


67

−1 5 6 −0 08

8 4 4 x 9 9 2 = 8 3 6 /12 4 8



ตวตงคอ844คาเบยงฐานหนงพนของ844คอ-156



ขนท 3หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐาน

(-156)×(-008)=1248เขยน1248เปนสวนหลงของคำาตอบ

ขนท 4หาสวนหนาไดจาก


คอ844+(-008)=836หรอ

ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง992+(-156)=836


ขนท 5สรปคำาตอบโดยการนำาเครองหมาย“/”ออกแลวนำาสวนหนา



วธคด

ดงนน 844 x 992 = 8361248

= 837,248

ตอบ 837,248


68

+ 1 5 9 + 0 1 0

1 1 5 9 x 1 0 1 0 = 1 1 6 9 /15 9 0

= 1 1 6 915 9 0

= 1 1 7 0 5 9 0


วธคด

ตอบ 1,170,590

* หม�ยเหต ถาฐานปฐมภมอน ๆ เชน 10,000 หรอ 100,000 ใหใช

หลกการทำานองเดยวกนในการหาผลคณ


69


เรองการคณโดยวธเบยงฐานจากฐานปฐมภม


1)11x15=

วธคด

ตอบ

2)92x95=

วธคด

ตอบ

3)18x13=

วธคด

ตอบ

4)1,008x1,019=

วธคด

ตอบ

5)19x7=

วธคด

ตอบ

6)990x989=

วธคด

ตอบ


70

7)102x117=

วธคด

ตอบ

8)1,020x992=

วธคด

ตอบ

9)121x97=

วธคด

ตอบ

10)10,010x10,004=

วธคด

ตอบ


71


เรองการคณโดยวธเบยงฐานจากฐานปฐมภม

วธคดแบบท 1 วธคดแบบท 2

1)11x15=

วธคด

ดงนน 11 x 15 = 165

ตอบ 165

1)11x15=

วธคด

ดงนน 11 x 15 = 165

ตอบ 165

2)92x95=

วธคด

ดงนน 92 x 95 = 8,740

ตอบ 8,740

2)92x95=

วธคด

ดงนน 92 x 95 = 8,740

ตอบ 8,740

1 1 + 1×

1 5 + 5

1 6 / 5

9 2 −0 8×

9 5 −0 5

8 7 / 4 0

+1 + 5

1 1 x 1 5 =16/5

−0 8 −0 5

9 2 x 9 5 = 87/40



72


3)18x13=

วธคด

ดงนน 18 x 13 = 2124

= 234

ตอบ 234

3)18x13=

วธคด

ดงนน 18 x 13 = 2124

= 234

ตอบ 234

4)1,008x1,019=

วธคด

ดงนน 1,008 x 1,019 = 1,027,152

ตอบ 1,027,152

4)1,008x1,019=

วธคด

ดงนน 1,008 x 1,019 = 1,027,152

ตอบ 1,027,152

1 8 +8×

1 3 +3

2 1 /24

10 0 8 +0 0 8

10 1 9 +0 1 9

10 2 7 / 1 5 2

+ 8 + 3

1 8 x 1 3 = 21/24

+ 0 0 8 + 0 1 9

10 0 8 x 1 0 1 9

=1 0 2 7 / 1 5 2

×


73


5)19x7=

วธคด

ดงนน 19 x 7 = 1627

= 147

= 133

ตอบ 133

5)19x7=

วธคด

ดงนน 19 x 7 = 1627

= 147

= 133

ตอบ 133

6)990x989=

วธคด

ดงนน 990 x 989 = 979,110

ตอบ 979,110

6)990x989=

วธคด

ดงนน 990 x 989 = 979,110

ตอบ 979,110

1 9 +9×

7 −3

1 6 /27

9 9 0 −0 1 0×

9 8 9 −0 1 1

9 7 9 / 1 1 0

+9 −3

1 9 x 7 = 16/27

−0 1 0 −0 1 1

9 9 0 x 9 8 9

= 979 /110


74


7)102x117=

วธคด

ดงนน 102 x 117 = 11,934

ตอบ 11,934

7)102x117=

วธคด

ดงนน 102 x 117 = 11,934

ตอบ 11,934

8)1,020x992=

วธคด

ดงนน 1,020 x 992 = 10121 60

= 1,011,840

ตอบ 1,011,840

8)1,020x992=

วธคด

ดงนน 1,020 x 992 = 10121 60

= 1,011,840

ตอบ 1,011,840

1 0 2 + 0 2×

1 1 7 + 1 7

1 1 9 / 3 4

1 0 2 0 +0 2 0×

9 9 2 −0 0 8

1 0 1 2 / 1 6 0

+ 0 2 + 1 7

1 0 2 x 1 1 7

= 119/34

+ 0 2 0 −0 0 8

1 0 2 0 x 9 9 2

=1012/1 60


75


9)121x97=

วธคด

ดงนน 121 x 97 = 1186 3

= 11,737

ตอบ 11,737

9)121x97=

วธคด

ดงนน 121 x 97 = 1186 3

= 11,737

ตอบ 11,737

10)10,010x10,004=

วธคด

ดงนน 10,010 x 10,004

= 100,140,040

ตอบ 100,140,040

10)10,010x10,004=

วธคด

ดงนน 10,010 x 10,004

= 100,140,040

ตอบ 100,140,040

1 2 1 + 2 1

9 7 − 0 3

1 1 8 / 6 3

10010 +0010×

10004 +0004

10014/ 0040

+ 2 1 -0 3

1 2 1 x 9 7

= 118/6 3

+0010 +0004

10010x10004

= 10014/0040

x


76

4.2การคณโดยวธเบยงฐานจากฐานทตยภม (SecondaryBaseหรอSub-Base) เมอพจารณาตวตงและตวคณแลว หากพบวาจำานวนนนมคา

ใกลฐานทตยภม จะใชหลกการคลายกนกบการคณโดยวธเบยงฐานจาก

ฐานปฐมภมแตสวนหนาของคำาตอบจะตองดำาเนนการตอไปอกหนงขนตอน

ซงสรปเปนขนตอนไดดงน






ของตวคณหรอผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง

แลวนำาผลบวกไปคณกบอตราสวนของฐานท เลอกกบ

ฐานปฐมภมทอางอง




77

2 4 + 4×

2 3 + 3

/ 12



2 4 + 4×

2 3 + 3

/



ในตวอยางนตวตงและตวคณใกลเคยงฐาน20

ตวตงคอ24คาเบยงฐานยสบของ24คอ+4

ตวคณคอ23คาเบยงฐานยสบของ23คอ+3



วธคด

อางองฐาน10


78

2 4 + 4×

2 3 + 3

2 7x2=54/12

5 4/ 12




เนองจากฐาน 20 เปนสองเทาของฐาน 10 ดงนนคำาตอบสวนหนา

ตองคณดวย2นนคอ27×2=54



79

2 4 + 4×

2 3 + 3

2 7x2=54/12

5 4 12



ดงนน 24 x 23 = 5412

= 552

ตอบ 552


80

5 3 + 3×

4 7 − 3

/ 9



5 3 + 3×

4 7 − 3

/




ตวตงคอ53คาเบยงฐานหาสบของ53คอ+3

ตวคณคอ47คาเบยงฐานหาสบของ47คอ-3



วธคด



81

5 3 + 3×

4 7 − 3

5 0x5=250/ 9

2 5 0/ 9




เนองจากฐาน 50 เปนหาเทาของฐาน 10 ดงนนคำาตอบสวนหนา




82

5 3 + 3×

4 7 − 3

5 0x5=250/ 9

2 5 0 9



ดงนน 53 x 47 = 2509

= 2,491

ตอบ 2,491


83

6 7 − 3×

6 6 − 4

/ 12

ขนท 3 หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐาน(-3)×(-4)=(+12)


6 7 − 3×

6 6 − 4

/




ตวตงคอ67คาเบยงฐานเจดสบของ67คอ-3

ตวคณคอ66คาเบยงฐานเจดสบของ66คอ-4



วธคด



84

6 7 − 3×

6 6 − 4

6 3x7=441/12

4 4 1/12



ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง คอ 66 + (-3) = 63

เนองจากฐาน 70 เปนเจดเทาของฐาน 10 ดงนนคำาตอบสวนหนา




85

6 7 − 3×

6 6 − 4

6 3x7=441/12

4 4 1 12



ดงนน 67 x 66 = 44112

= 4,422

ตอบ 4,422


86

3 1 2 + 1 2×

2 9 5 − 0 5

/ 6 0



3 1 2 + 1 2×

2 9 5 − 0 5

/




ตวตงคอ312คาเบยงฐานสามรอยของ312คอ+12

ตวคณคอ295คาเบยงฐานสามรอยของ295คอ-05



วธคด



87

3 1 2 + 1 2×

2 9 5 − 0 5

3 0 7x3=921/ 6 0

9 2 1 / 6 0




เนองจากฐาน 300 เปนสามเทาของฐาน 100 ดงนนคำาตอบสวนหนา




88

3 1 2 + 1 2×

2 9 5 − 0 5

3 0 7x3=921/ 6 0

9 2 1 6 0



ดงนน 312 x 295 = 92160

= 92,040

ตอบ 92,040


89

6 2 4 + 2 4×

6 1 1 + 1 1

/ 26 4



6 2 4 + 2 4×

6 1 1 + 1 1

/




ตวตงคอ624คาเบยงฐานหกรอยของ624คอ+24

ตวคณคอ611คาเบยงฐานหกรอยของ611คอ+11



วธคด



90

6 2 4 + 2 4×

6 1 1 + 1 1

6 3 5x6=3810/ 26 4

3 8 1 0 / 26 4




เนองจากฐาน 600 เปนหกเทาของฐาน 100 ดงนนคำาตอบสวนหนา




91

6 2 4 + 2 4×

6 1 1 + 1 1

6 3 5x6=3810/ 26 4

3 8 1 0 26 4



ดงนน 624 x 611 = 3810264

= 381,264

ตอบ 381,264


92

8 8 7 − 1 3×

8 8 5 − 1 5

/ 19 5


(-13)×(-15)=(+195)เขยน195เปนสวนหลงของคำาตอบ

8 8 7 − 1 3×

8 8 5 − 1 5

/




ตวตงคอ887คาเบยงฐานเการอยของ887คอ-13

ตวคณคอ885คาเบยงฐานเการอยของ885คอ-15



วธคด



93

8 8 7 − 1 3×

8 8 5 − 1 5

8 7 2x9=7848/19 5

7 8 4 8 /19 5



ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตงคอ885+(-13)=872

เนองจากฐาน 900 เปนเกาเทาของฐาน 100 ดงนนคำาตอบสวนหนา




94

8 8 7 − 1 3×

8 8 5 − 1 5

8 7 2x9=7848/ 19 5

7 8 4 8 19 5



ดงนน 887 x 885 = 7848195

= 784,995

ตอบ 784,995


95

5 1 1 1 + 1 1 1×

4 9 8 7 − 0 1 3

/ 14 4 3


(+111)×(-013)=(-1143)เขยน14 4 3เปนสวนหลงของคำาตอบ

5 1 1 1 + 1 1 1×

4 9 8 7 − 0 1 3

/




ตวตงคอ5111คาเบยงฐานหาพนของ5111คอ+111

ตวคณคอ4987คาเบยงฐานหาพนของ4987คอ-013



วธคด



96

5 1 1 1 + 1 1 1×

4 9 8 7 − 0 1 3

5 0 9 8x5=25490/14 4 3

2 5 4 9 0 /14 4 3



คอ5111+(-013)=5098หรอ


คอ4987+(+111)=5098

เนองจากฐาน5000เปนหาเทาของฐาน1000ดงนนคำาตอบสวนหนา




97

5 1 1 1 + 1 1 1×

4 9 8 7 − 0 1 3

5 0 9 8x5=25490/ 14 4 3

2 5 4 9 0 14 4 3



ดงนน 5,111 x 4,987 = 2549014 4 3

= 25,488,557

ตอบ 25,488,557


98

ในทำานองเดยวกนเราสามารถแสดงวธคดไดในอกรปแบบหนง

เปนการนำามาคณในแนวนอนโดยมขนตอนดงตอไปน





ขนท 4 หาสวนหนาไดจาก ผลบวกไขวของตวตงกบคาเบยงฐานของ

ตวคณ หรอ ผลบวกไขวของตวคณกบคาเบยงฐานของตวตง

แลวนำาผลบวกไปคณกบอตราสวนของฐานท เลอกกบ

ฐานปฐมภมทอางอง




99

+ 1 5 + 3 0

4 1 5 x 4 3 0 = /450



+ 1 5 + 3 0

4 1 5 x 4 3 0 = /




ตวตงคอ415คาเบยงฐานสรอยของ415คอ+15

ตวคณคอ430คาเบยงฐานสรอยของ430คอ+30



วธคด



100

+ 1 5 + 3 0

4 1 5 x 4 3 0 = 4(445)/450

= 1780 /450




เนองจากฐาน 400 เปนสเทาของฐาน 100 ดงนนคำาตอบสวนหนา



+ 1 5 + 3 0

4 1 5 x 4 3 0 = 4(445)/450

= 1780 /450

= 1780450



ดงนน 415 x 430 = 1780450

= 178,450

ตอบ 178,450


101

− 2 2 2 − 1 1 1

6 7 7 8 x 6 8 8 9 = 7(6667) /24642

= 46669 /24642

= 4666924642

= 46,693,642

ตอบ 46,693,642


พจารณาแลวทงตวตงและตวคณมคาใกลเคยงฐาน7,000

วธคด


102


เรองการคณโดยวธเบยงฐานจากฐานทตยภม


1)35x34=

วธคด

ตอบ

2)64x56=

วธคด

ตอบ

3)77x76=

วธคด

ตอบ

4)215x240=

วธคด

ตอบ

5)530x487=

วธคด

ตอบ

6)687x695=

วธคด

ตอบ


103

7)373x320=

วธคด

ตอบ

8)3,050x3,280=

วธคด

ตอบ

9)4,150x3,800=

วธคด

ตอบ

10)7,877x7,700=

วธคด

ตอบ


104


เรองการคณโดยวธเบยงฐานจากฐานทตยภม


1)35x34=วธคด

ดงนน 35 x 34 = 11720

= 1,190ตอบ 1,190


ตอบ 1,190


ดงนน 64 x 56 = 36016

= 361 6

= 3,584ตอบ 3,584


ตอบ 3,584

3 5 + 5×

3 4 + 4 3 9x3=117/

20

1 1 7 / 20

6 4 + 4×

5 6 − 4 6 0x6=360/

16

3 6 0 / 16

+ 5 + 4

3 5 x 3 4 =3(39)/20

=117 /20

=11720

=1,190

+ 4 − 4

6 4 x 5 6 =6(60)/16

=360 /16

=36016

=361 6

=3,584



105


3)77x76=

วธคด

ดงนน 77 x 76 = 58412

= 5,852

ตอบ 5,852

3)77x76=

วธคด

ตอบ 5,852

4)215x240=

วธคด

ดงนน 215 x 240 = 510600

= 51,600

ตอบ 51,600

4)215x240=

วธคด

ตอบ 51,600

7 7 − 3×

7 6 − 4

7 3x8=584/12

5 8 4 / 12

215 +1 5×

240 +4 0

255x2=510/ 60 0

510 / 60 0

− 3 − 4

7 7 x 7 6 =8(73)/12

=584 /12

=58412

=5,852

+1 5 +4 0

215x240=2(255) /600

=510 /600

=510600

=51,600


106


5)530x487=

วธคด

ดงนน 530 x 487 = 2585390

= 258290

= 258,110

ตอบ 258,110

5)530x487=

วธคด

ตอบ 258,110

6)687x695=

วธคด

ดงนน 687 x 695 = 477,465

ตอบ 477,465

6)687x695=

วธคด

ตอบ 477,465

530 +30×

487 −13

517x5=2585/ 390

2 585 / 390

6 87 −13×

6 95 −05

6 82x7=4774/ 65

47 74 / 65

+3 0 −1 3

530x487=5(517)/390

=2585 /390

=2585390

=258290

=258,110

−13 −0 5

687x695=7(682)/65

=4774/65

=477,465


107


7)373x320=

วธคด

ดงนน 373 x 320 = 11791460

= 119,360

ตอบ 119,360

7)373x320=

วธคด

ตอบ 119,360

8)3,050x3,280=

วธคด

ดงนน 3,050 x 3,280 = 999014000

= 10,004,000

ตอบ 10,004,000

8)3,050x3,280=

วธคด

ตอบ 10,004,000

3 7 3 +7 3×

3 2 0 +2 0

3 9 3x3=1179/146 0

1 1 7 9 /146 0

3050 +050×

3280 +280

3330x3=9990/ 14000

9990 / 14000

+73+20

373x320 =3(393)/1460

=1179 /1460

=11791460

=119,360

+050 +280

3050x3280=3(3330)/14000

=9990/14000

=999014000

=10,004,000


108


9)4,150x3,800=

วธคด

ดงนน 4,150 x 3,800 = 15800/30000

= 15830000

= 15,770,000

ตอบ 15,770,000

9)4,150x3,800=

วธคด

ตอบ 15,770,000

10)7,877x7,700=

วธคด

ดงนน 7,877 x 7,700 = 6061636900

= 60,652,900

ตอบ 60,652,900

10)7,877x7,700=

วธคด

ตอบ 60,652,900

4150 +150×

3800 −200

3950x4=15800/30000

15800 /30000

7877 −123×

7700 −300

7577x8=60616/36900

60616 /36900

+150 −200

4150x3800 =4(3950)/30000

=15800/30000

=1580030000

=15830000

=15,770,000

−123 −300

7877x7700 =8(7577)/36900

=60616 /36900

=6061636900

=60,652,900


109

4.3การคณของจำานวนทตวตงและตวคณตางฐานกน (NumbersnearDifferentBase)

ในการหาผลคณของจำานวนสองจำานวนใด ๆ ทคาเบยงฐานของ

ตวตงและคาเบยงฐานของตวคณมคาตางกนมากเกนไป ทำาใหยาก

ในการคดคำานวณวธการนจะเปนการแกปญหาดงกลาวโดยการหาสดสวน

ระหวางฐานของตวตงและฐานของตวคณโดยนำาฐานของตวตงหารดวยฐาน

ของตวคณและนำาสดสวนดงกลาวไปชวยในการหาสวนหนาของคำาตอบ

ขนตอนก�รห�ผลคณของจำ�นวนทตวตงและตวคณต�งฐ�นกน




ขนท 3 หาสดสวนฐานของตวตงกบฐานของตวคณ โดยนำาฐานของ

ตวตงหารดวยฐานของตวคณ

ขนท 4 หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบคาเบยงฐาน

ของตวคณ โดยผลคณทไดจะตองมจำานวนหลกเทากบ

หลกของคาเบยงฐานของฐานทนอยกวา


110

ขนท 5 หาสวนหนาไดจากผลคณของตวตงกบสดสวนฐานของตวคณ

บวกดวยผลคณของคาเบยงฐานของตวคณกบสดสวนฐานของ

ตวตงหรอผลคณของตวคณกบสดสวนฐานของตวตงบวกดวย

ผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบสดสวนฐานของตวคณ




111

1 0 7 + 0 7×

1 3 + 3

/

ขนท 3 หาสดสวนฐานของตวตงกบฐานของตวคณ ซงในทน

มคาสดสวนฐานคอ10010

= 101

1 0 7 + 0 7×

1 3 + 3

/







วธคด

สดสวนฐาน

1 0

1


112

1 0 7 + 0 7×

1 3 + 3

1 3 7 / 21


บวกดวยผลคณของคาเบยงฐานของตวคณกบสดสวนฐานของตวตง

จะได(107x1)+[(+3)x10]=137หรอ

ผลคณของตวคณกบสดสวนฐานของตวตงบวกดวยผลคณของ

คาเบยงฐานของตวตงกบสดสวนฐานของตวคณ

จะได(13x10)+[(+07)x1]=137

1 0 7 + 0 7×

1 3 + 3

/ 21

ขนท 4หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบคาเบยงฐาน

ของตวคณโดยผลคณทไดจะตองมจำานวนหลกเทากบหลกของคาเบยงฐาน

ของฐานทนอยกวาซงในทนคอฐานสบ

จะได(+07)x(+3)=21เขยนแทนดวย21


1 0

1


1 0

1


113

ดงนน 107 x 13 = 13721

= 1,391

ตอบ 1,391



9 9 7 − 0 0 3×

1 2 + 2

/







วธคด


114

9 9 7 − 0 0 3×

1 2 + 2

/

ขนท 3 หาสดสวนฐานของตวตงกบฐานของตวคณซงในทนมคาสดสวนฐาน

คอ100010

=1001

9 9 7 − 0 0 3×

1 2 + 2

/ 6

ขนท 4 หาสวนหลงไดจาก ผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบ

คาเบยงฐานของตวคณ โดยผลคณทไดจะตองมจำานวนหลกเทากบ

หลกของคาเบยงฐานของฐานทนอยกวาซงในทนคอฐานสบ

จะได(-003)x(+2)=6


1 0 0

1


1 0 0

1


115


1 0 0

1

ดงนน 997 x 12 = 11976

= 11,964

ตอบ 11,964

9 9 7 − 0 0 3×

1 2 + 2

1 1 9 7 / 6

ขนท 5 หาสวนหนาไดจาก ผลคณของตวตงกบสดสวนฐานของตวคณ

บวกดวย ผลคณของคาเบยงฐานของตวคณกบสดสวนฐานของตวตง

จะได(997x1)+[(+2)x100]=1197หรอ

ผลคณของตวคณกบสดสวนฐานของตวตงบวกดวยผลคณของคาเบยงฐาน

ของตวตงกบสดสวนฐานของตวคณ

จะได(12x100)+[(-003)x1]=1197




116


วธคด

1 9 9 6 −0 0 4×

9 8 − 0 2

/

ขนท 3 หาสดสวนฐานของตวตงกบฐานของตวคณซงในทนมคาสดสวนฐาน

คอ200010

= 201


2 0

1

1 9 9 6 − 0 0 4×

9 8 − 0 2

/



ตวตงคอ1996คาเบยงฐานสองพนของ1996คอ-004




117


2 0

1


2 0

1

1 9 9 6 −0 0 4×

9 8 − 0 2

1 9 5 6 / 0 8

ขนท 4หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบคาเบยงฐาน


ของฐานทนอยกวาซงในทนคอฐานหนงรอยจะได(-004)x(-02)=08

1 9 9 6 – 0 0 4×

9 8 – 0 2

1 9 5 6 / 0 8



จะได (1996 x 1) + [(-02) x 20] = 1956หรอ ผลคณของตวคณ

กบสดสวนฐานของตวตงบวกดวย ผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบ

สดสวนฐานของตวคณจะได(98x20)+[(-004)x1]=1956


118

ดงนน 1,996 x 98 = 195,608

ตอบ 195,608



ในทำานองเดยวกนเราสามารถแสดงวธคดไดในอกรปแบบหนง

โดยมขนตอนดงตอไปน



ขนท 2 หาสดสวนฐานของตวตงกบฐานของตวคณ โดยนำาฐานของ

ตวตงหารดวยฐานของตวคณและเขยนกำากบไวทดานบนของ

ทงตวตงและตวคณ


ขนท 4 หาสวนหลงไดจาก ผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบ

คาเบยงฐานของตวคณ โดยผลคณทไดจะตองมจำานวน

หลกเทากบหลกของคาเบยงฐานของฐานทนอยกวา


119


บวกดวย ผลคณของคาเบยงฐานของตวคณกบสดสวนฐาน

ของตวตง หรอ ผลคณของตวคณกบสดสวนฐานของตวตง

บวกดวยผลคณของคาเบยงฐานของตวตงกบสดสวนฐานของ

ตวคณ




120


วธคด

7 3 สดสวนฐาน

+ 2 + 4 คาเบยงฐาน

7 2 x 3 4 = /



ตวตงคอ72คาเบยงฐานเจดสบของ72คอ+2

ตวคณคอ34คาเบยงฐานสามสบของ34คอ+4

ขนท 2หาสดสวนฐานของตวตงกบฐานของตวคณและเขยนกำากบไว

ทดานบนของทงตวตงและตวคณซงในทนมคาสดสวนฐาน

คอ 7030

= 73



121



7 2 x 3 4 = /8


ของตวคณ โดยผลคณทไดจะตองมจำานวนหลกเทากบหลกของ

คาเบยงฐานของฐานทนอยกวาซงในทนคอฐานสามสบ

จะได(+2)x(+4)=8



7 2 x 3 4 = 2 4 4 /8



จะได(72x3)+[(+4)x7]=244หรอ


ของตวตงกบสดสวนฐานของตวคณจะได(34x7)+[(+2)x3]=244



ตอบ 2,448


122


วธคด

1 0 1 สดสวนฐาน

−0 0 6 −0 3 คาเบยงฐาน

9 9 4 x 9 7 = /





ขนท 2หาสดสวนฐานของตวตงกบฐานของตวคณและเขยนกำากบไวท

ดานบนของทงตวตงและตวคณซงในทนมคาสดสวนฐาน

คอ100010

= 101



123



9 9 4 x 9 7 = / 1 8



ของฐานทนอยกวาซงในทนคอฐานหนงรอยจะได(-006)x(-03)=18



9 9 4 x 9 7 = 9 6 4 / 1 8



จะได(994x1)+[(-03)x10]=964หรอ


ของตวตงกบสดสวนฐานของตวคณจะได(97x10)+[(-006)x1]=964



ตอบ 96,418


124


วธคด

ตอบ 6,726


+ 1 4 − 1 คาเบยงฐาน

1 1 4 x 5 9 = 6 7 4 /14

= 67414

= 6734

= 6,726


125


เรองการคณของจำานวนทตวตงและตวคณตางฐานกน


1)82x34=

วธคด

ตอบ

2)58x37=

วธคด

ตอบ

3)96x61=

วธคด

ตอบ

4)115x82=

วธคด

ตอบ

5)413x68=

วธคด

ตอบ

6)996x95=

วธคด

ตอบ


126

7)991x14=

วธคด

ตอบ

8)489x312=

วธคด

ตอบ

9)2,995x495=

วธคด

ตอบ

10)3,016x998=

วธคด

ตอบ


127


เรองการคณของจำานวนทตวตงและตวคณตางฐานกน



1)82x34=

วธคด

ดงนน 82 x 34 = 2,788

ตอบ 2,788

1)82x34=

วธคด

ตอบ 2,788

2)58x37=

วธคด

ดงนน 58 x 37 = 2,146

ตอบ 2,146

2)58x37=

วธคด

ตอบ 2,146

8 2 + 2×

3 4 + 4

2 7 8 /

8

5 8 − 2×

3 7 − 3

2 1 4 /

6



8 2 x 3 4 =278/8

=2788


− 2 − 3 คาเบยงฐาน

5 8 x 3 7 =214/6

=2146


8

3


6

4


128


3)96x61=

วธคด

ดงนน 96 x 61 = 5864

ตอบ 5,856

3)96x61=

วธคด

ตอบ 5,856

4)115x82=

วธคด

ดงนน 115 x 82 = 94030

= 9,430

ตอบ 9,430

4)115x82=

วธคด

ตอบ 9,430

9 6 −04×

6 1 + 1

5 8 6 /

4

1 1 5 +1 5×

8 2 +2

9 4 0 / 3

0


−0 4 + 1 คาเบยงฐาน

9 6 x 6 1 =586/4

=5856


+ 1 5 + 2 คาเบยงฐาน

115 x 8 2 =940/30

=94030

=9430


1 0

6


1 0

8


129


5)413x68=

วธคด

ดงนน 413 x 68 = 281126

= 2811 6

= 28,084

ตอบ 28,084

5)413x68=

วธคด

ตอบ 28,084

6)996x95=

วธคด

ดงนน 996 x 95 = 94,620

ตอบ 94,620

6)996x95=

วธคด

ตอบ 94,620

4 1 3 +1 3×

6 8 −2

2 8 1 1 / 26

9 9 6 −0 0 4×

9 5 −0 5

9 4 6 /

2 0


+ 1 3 − 2 คาเบยงฐาน

4 1 3 x 6 8 =2811/26

=2811 6

=28084


− 0 0 4 − 0 5 คาเบยงฐาน

9 9 6 x 9 5 =946/20

=94620


4 0

7


1 0

1


130


7)991x14=

วธคด

ดงนน 991 x 14 = 139136

= 1392 6

= 13874

ตอบ 13,874

7)991x14=

วธคด

ตอบ 13,874

8)489x312=

วธคด

ดงนน 489 x 312 = 152713 2

= 15263 2

= 152568

ตอบ 152,568

8)489x312=

วธคด

ตอบ 152,568

9 9 1 −0 0 9×

1 4 +4

1 3 9 1 / 36

4 8 9 −1 1×

3 1 2 +1 2

1 5 2 7 / 1

3 2

1 0 0 1 สดสวนฐาน

− 0 0 9 + 4 คาเบยงฐาน

9 9 1 x 1 4 =1391/36

=1392 6

=13874


− 1 1 + 1 2 คาเบยงฐาน

4 8 9 x 312=1527/13 2

=15263 2

=152568


100

1


5

3


131


9)2,995x495=

วธคด

ดงนน 2,995 x 495 = 1,482,525

ตอบ 1,482,525

9)2,995x495=

วธคด

ตอบ 1,482,525

10)3,016x998=

วธคด

ดงนน 3,016 x 998 = 301003 2

= 3,009,968

ตอบ 3,009,968

10)3,016x998=

วธคด

ตอบ 3,009,968

2 9 9 5 −0 0 5×

4 9 5 −0 5

1 4 8 2 5 / 2 5

3 0 1 6 +0 1 6×

9 9 8 −0 0 2

3 0 1 0 / 0 3 2


−005 − 0 5 คาเบยงฐาน

2995x495= 14825/25

= 1482525


+ 0 1 6 −0 0 2 คาเบยงฐาน

3 0 1 6 x 9 98=3010/03 2

=301003 2

=3009968


3 0

5


3

1


132

4.4 การคณสามจำานวนทมคาเบยงฐานใกลเคยง ฐานเดยวกน

ในการหาผลคณของจำานวนสามจำานวน โดยจำานวนทงสาม

จำานวนมคาเบยงฐานเดยวกนมขนตอนการดำาเนนการดงน

ขนท 1 พจารณาจำานวนทงสามจำานวนวามคาใกลเคยงฐานใด

หาคาเบยงฐานและเขยนคาเบยงฐานกำากบไวทดานบนของจำานวน

ทงสาม

ขนท 2 เขยน“ /” เพอแบงผลคณออกเปนสามสวนคอสวนหนา

สวนกลางและสวนหลง

ขนท 3 หาสวนหลงไดจากผลคณของคาเบยงฐานของทงสามจำานวน

(เขยนตอบใหจำานวนหลกตรงกบจำานวนหลกของคาเบยงฐาน)

ขนท 4 หาสวนกลางไดจากผลบวกของผลคณแตละคของคาเบยงฐาน

ในเชงการจดหม(เขยนตอบใหจำานวนหลกตรงกบจำานวนหลก

ของคาเบยงฐาน)

ขนท 5 หาสวนหนาไดจาก นำาจำานวนหนงในสามจำานวนไปบวกกบ

คาเบยงฐานของอกสองตวทเหลอ


สวนกลางและสวนหลงของผลคณมาเขยนตอกนเปนคำาตอบ


133

+ 0 5 + 0 4 + 0 3

1 0 5 x 1 0 4 x 1 0 3 = / /60


จะได05x04x03=60

+ 0 5 + 0 4 + 0 3

1 0 5 x 1 0 4 x 1 0 3 = / /

ขนท 1พจารณาจำานวนทงสามจำานวนวามคาใกลเคยงฐานใดหาคาเบยงฐาน

และเขยนคาเบยงฐานกำากบไวทดานบนของจำานวนทงสาม

คาเบยงฐานหนงรอยของ105คอ+05



ขนท 2 เขยน “ / ” เพอแบงผลคณออกเปนสามสวน คอสวนหนา


ตวอยางท1 จงห�ผลคณ 105 x 104 x 103

วธคด


134

ดงนน 105 x 104 x 103 = 1,124,760

ตอบ 1,124,760

+ 0 5 + 0 4 + 0 3

1 0 5 x 1 0 4 x 1 0 3 = 112/47/60



จะไดวา 105+04+03=112หรอ

104+05+03=112หรอ

103+05+04=112



+ 0 5 + 0 4 + 0 3

1 0 5 x 1 0 4 x 1 0 3 = /47/60

ขนท 4หาสวนกลางไดจากผลบวกของผลคณแตละคของคาเบยงฐาน

ในเชงการจดหม

จะได(05x04)+(05x03)+(04x03)

=20+15+12

=47


135

−0 4 −0 9 −0 5

9 6 x 9 1 x 9 5 = / /180


จะได(-04)x(-09)x(-05)=-180(เขยนแทนดวย180)

−0 4 −0 9 −0 5

9 6 x 9 1 x 9 5 = / /



คาเบยงฐานหนงรอยของ96คอ-04



ขนท 2 เขยน“ / ” เพอแบงผลคณออกเปนสามสวนคอ สวนหนา


ตวอยางท2 จงห�ผลคณ 96 x 91 x 95

วธคด


136

ตอบ 829,920

−0 4 −0 9 −0 5

9 6 x 9 1 x 9 5 =82/101/

180

=82101

180

=830080

=829,920



96+(-09)+(-05)=82 หรอ

91+(-04)+(-05)=82 หรอ

95+(-04)+(-09)=82



−0 4 −0 9 −0 5

9 6 x 9 1 x 9 5 = /101/

180



จะไดวา [(-04)x(-09)]+[(-04)x(-05)]+[(-09)x(-05)]

=36+20+45=101(เขยนแทนดวย101)


137

+0 1 1 −0 0 3 −0 0 2

1 0 1 1 x 9 9 7 x 9 9 8 = / /066


จะได(011)x(-003)x(-002)=066

+0 1 1 −0 0 3 −0 0 2

1 0 1 1 x 9 9 7 x 9 9 8 = / /



คาเบยงฐานหนงพนของ1011คอ+011

คาเบยงฐานหนงพนของ997คอ-003

คาเบยงฐานหนงพนของ998คอ-002

ขนท 2 เขยน“ / ” เพอแบงผลคณออกเปนสามสวนคอ สวนหนา


ตวอยางท3 จงห�ผลคณ 1,011 x 997 x 998

วธคด


138

ตอบ 1,005,951,066

+0 1 1 −0 0 3 −0 0 2

1 0 1 1 x 9 9 7 x 9 9 8 =1006/04 9/066

=100604 9066

=1,005,951,066



จะไดวา1011+(-003)+(-002) = 1006 หรอ

997+(011)+(-002) = 1006 หรอ

998+(011)+(-003) = 1006



+0 1 1 −0 0 3 −0 0 2

1 0 1 1 x 9 9 7 x 9 9 8 = /04 9/066



จะไดวา [(011)x(-003)]+[(011)x(-002)]+[(-003)x(-002)]

=(-033)+(-022)+(006)

=-049(เขยนแทนดวย04 9)


139


เรองการคณสามจำานวนทมคาเบยงฐานใกลเคยง

ฐานเดยวกน

1)101x102x103=

วธคด

ตอบ

2)107x109x111=

วธคด

ตอบ

3)104x103x108=

วธคด

ตอบ

4)93x91x94=

วธคด

ตอบ

5)95x99x93=

วธคด

ตอบ

6)97x92x98=

วธคด

ตอบ



140

7)103x98x95=

วธคด

ตอบ

8)105x92x103=

วธคด

ตอบ

9)1,014x1,009x1,011=

วธคด

ตอบ

10)994x992x995=

วธคด

ตอบ


141


เรองการคณสามจำานวนทมคาเบยงฐานใกลเคยง

ฐานเดยวกน


1)101x102x103=

วธคด

ตอบ 1,061,106

2)107x109x111=

วธคด

ตอบ 1,294,593

+ 0 1 + 0 2 + 0 3

1 0 1 x 1 0 2 x 1 0 3 =1 0 6 / 1 1 / 0 6

=1 0 6 1 1 0 6

+ 0 7 + 0 9 + 1 1

1 0 7 x 1 0 9 x 1 1 1 =1 2 7 /23 9 /

69 3

=1 2 7239

693

=1 2 9 4 5 9 3


142

3)104x103x108=

วธคด

ตอบ 1,156,896

4)93x91x94=

วธคด

ตอบ 795,522

+ 0 4 + 0 3 + 0 8

1 0 4 x 1 0 3 x 1 0 8 =1 1 5 / 6 8 / 9 6

=1 1 5 6 8 9 6

−0 7 −0 9 −0 6

9 3 x 9 1 x 9 4 =7 8 /15 9 /

37 8

=7 8159

37 8

=7 9 5 6 7 8

=7 9 5 5 2 2


143

5)95x99x93=

วธคด

ตอบ 874,665

6)97x92x98=

วธคด

ตอบ 874,552

−0 5 −0 1 −0 7

9 5 x 9 9 x 9 3 =8 7 / 4 7 / 3 5

=8 7 4 7 3 5

=8 7 4 6 6 5

−0 3 −0 8 −0 2

9 7 x 9 2 x 9 8 =8 7 /4 6 /4 8

=8 7 4 6 4 8

=8 7 4 5 5 2


144

7)103x98x95=

วธคด

ตอบ 958,930

8)105x92x103=

วธคด

ตอบ 994,980

+0 3 −0 2 −0 5

1 0 3 x 9 8 x 9 5 =9 6 / 1 1 / 3 0

=9 6 1 1 3 0

=9 5 8 9 3 0

+0 5 −0 8 + 0 3

1 0 5 x9 2 x 1 0 3 =1 0 0 /4 9 /12 0

=1 0 0 4 9 120

=1 0 0 4 102 0

=1 0 0 5 0 2 0

=9 9 4 9 8 0


145

9)1,014x1,009x1,011=

วธคด

ตอบ 1,034,380,386

10)994x992x995=

วธคด

ตอบ 981,117,760

+ 0 1 4 + 0 0 9 + 0 1 1

1 0 1 4 x 1 0 0 9 x 1 0 1 1 =1034/379/1386

=10343791386

=1034380386

−0 0 6 −0 0 8 −0 0 5

9 9 4 x 9 9 2 x 9 9 5 =981/118/2 40

=9811182 40

=981117760


146

ยกกำาลงสอง(Squares)

ยกกำาลงสอง(squares)คอการคณจำานวนเดยวกนสองจำานวน

เชน42คอ4คณกนสองตวหรอ4x4ดงนนยกกำาลงสองของ4เทากบ16

ขนตอนก�รยกกำ�ลงสอง (Squares)

ขนท 1พจารณาจำานวนแลวเขยน“/”เพอแบงคำาตอบเปนสวน

โดยการแบงสวนมหลกดงน

ถาจำานวนม3หลกจะแบงคำาตอบเปน5สวน

ถาจำานวนม4หลกจะแบงคำาตอบเปน7สวน

ถาจำานวนมnหลกจะแบงคำาตอบเปน2n−1สวน

โดยnคอจำานวนนบ

5. การยกกำาลงสองโดยใช

DvandvaYogaหรอDuplex


147

ขนท 2 พจารณาการยกกำาลงของจำานวนจากการเลอนตำาแหนงตวคณ

A B C2 เลอนตำ�แหนง ตวคณ

เขยนแทนดวย

อ�นว�

ABCxABC=CxC

=C2D(C) DuplexของC

ABCxABC=(BxC)+(CxB)

=2(BxC)D(BC) DuplexของBC

ABCxABC

=(AxC)+(BxB)

+(CxA)

=2(AxC)+B2

D(ABC) DuplexของABC

ABCxABC=(AxB)+(BxA)

=2(AxB)D(AB) DuplexของAB

ABCxABC=AxA

=A2D(A) DuplexของA


148

(A B C)2 = D(A) D(AB) D(ABC) D(BC) D(C)

ขนท 3 หาคาDuplex

D(C) = C2

D(BC) = 2(BxC)

D(ABC) = 2(AxC)+B2

D(AB) = 2(AxB)

D(A) = A2

=A2/2(AxB)/2(AxC)+B2/2(BxC)/C2

ขนท 4สรปคำาตอบโดยการนำาเครองหมาย“/”ออกแลวนำาแตละสวน

มาเขยนตอกนเปนคำาตอบ


149

ขอสงเกต

ถาDuplexจำานวนหลกเดยวคอกำาลงสองของจำานวนนนเชน

D(5)=52

D(9)=92

ถา Duplex เลขโดดทจบคกนได คอ การหาสองเทาของผลคณเลขท

จบคแลวนำาบวกกนเชน

D(53)=2(5x3)

D(27)=2(2x7)

D(2147)=2[(2x7)+(1x4)]

D(321475)=2[(3×5)+(2x7)+(1x4)]

ถาDuplexเลขโดดทจบคแลวเหลอเลขโดดหนงตวคอการหาสองเทา

ของผลคณเลขทจบคทกค และหากำาลงสองของเลขทเหลอหนงตว

แลวนำาทงหมดมาบวกกนเชน

D(234)=2(2x4)+32

D(21346)=2[(2x6)+(1x4)]+32

เราเขยนผลการหาDuplexเปนเลขหลกเดยวถาเกนหนงหลกจะเขยน

ในรปจำานวนทมตวหอย


150

ตวอยางท1 จงห�ค�ของ 1562

วธคด

1562= / / / /

1 5 6 x 1 5 6

1 5 6 x 1 5 6

1 5 6 x 1 5 6

1 5 6 x 1 5 6

1 5 6 x 1 5 6

ขนท 1พจารณา156ม3หลกดงนนจงแบงคำาตอบออกเปน5สวน

คนแตละสวนดวยเครองหมาย“/”

ขนท 2พจารณายกกำาลงสองของจำานวนจากการเลอนตำาแหนงตวคณ

เขยนแทนดวยD(6)





1562 = D(1)/D(15)/D(156)/D(56)/D(6)


151



ขนท 3หาคาDuplex

D(6) = 62 = 36เขยน36

D(56) = 2(5x6) = 60เขยน60

D(156) = 2(1x6)+52= 37เขยน37

D(15) = 2(1x5) = 10เขยน10

D(1) = 12 = 1

1562 = D(1)/D(15)/D(156)/D(56)/D(6)

= 1/10/

37/

60/

36

1562 = 110

37

60

36

= 24336

ดงนน 1562 = 24,336

ตอบ 24,336


152

ตวอยางท2 จงห� 3,6722

วธคด

36722= / / / / / /

3 6 7 2 x 3 6 7 2

3 6 7 2 x 3 6 7 2

3 6 7 2 x 3 6 7 2

3 6 7 2 x 3 6 7 2

3 6 7 2 x 3 6 7 2

3 6 7 2 x 3 6 7 2

3 6 7 2 x 3 6 7 2

ขนท 1พจารณา3672ม4หลกดงนนจงแบงคำาตอบออกเปน7สวน

คนแตละสวนดวยเครองหมาย“/”

ขนท 2พจารณายกกำาลงสองของจำานวนจากการเลอนตำาแหนงตวคณเขยนแทนดวยD(2)เขยนแทนดวยD(72)เขยนแทนดวยD(672)เขยนแทนดวยD(3672)เขยนแทนดวยD(367)เขยนแทนดวยD(36)เขยนแทนดวยD(3) 36722 = D(3)/D(36)/D(367)/D(3672)/D(672)/D(72)/D(2)


153



ขนท 3หาคาDuplex

D(2) = 22 = 4เขยน4

D(72) = 2(7x2) = 28เขยน28

D(672) = 2(6x2)+72 = 73เขยน73

D(3672)= 2[(3x2)+(6x7)] = 96เขยน96

D(367) = 2(3x7)+62 = 78เขยน78

D(36) = 2(3x6) = 36เขยน36

D(3) = 32 = 9เขยน9

36722= D(3)/D(36)/D(367)/D(3672)/D(672)/D(72)/D(2)

= 9/36/

78/

96/

73/

28/4

36722= 936

78

96

73

284

= 13483584

ดงนน 3,6722 = 13,483,584

ตอบ 13,483,584


154

28392 = D(2)/D(28)/D(283)/D(2839)/D(839)/D(39)/D(9)

= 4/32/

76/

84/

153/

54/

81

= 432

76

84

153

54

81

= 8059921

ดงนน 2,8392 = 8,059,921

ตอบ 8,059,921

ตวอยางท3 จงห�ค�ของ 2,8392

วธคด


155


เรองการยกกำาลงสองโดยใชDvandvaYogaหรอDuplex

1)1662=

วธคด

ตอบ

2)1782=

วธคด

ตอบ

3)2152=

วธคด

ตอบ

4)3562=

วธคด

ตอบ

5)7942=

วธคด

ตอบ

6)1,0202=

วธคด

ตอบ

7)1,8972=

วธคด

ตอบ

8)4,3662=

วธคด

ตอบ


156

9)6,2482=

วธคด

ตอบ

10)9,6122=

วธคด

ตอบ


157


เรองการยกกำาลงสองโดยใชDvandvaYogaหรอDuplex

1)1662=

วธคด

ตอบ 27,556

2)1782=

วธคด

ตอบ 31,684

1662 = D(1)/D(16)/D(166)/D(66)/D(6)

= 1/12/

48/

72/

36

= 112

48

72

36

= 27556

1782 = D(1)/D(17)/D(178)/D(78)/D(8)

= 1/14/

65/

112/

64

= 114

65

112

64

= 31684


158

3)2152=

วธคด

ตอบ 46,225

4)3562=

วธคด

ตอบ 126,736

5)7942=

วธคด

ตอบ 630,436

2152 = D(2)/D(21)/D(215)/D(15)/D(5)

= 4/4/21/

10/

25

= 4421

10

25

= 46225

3562 = D(3)/D(35)/D(356)/D(56)/D(6)

= 9/30/

61/

60/

36

= 930

61

60

36

= 126736

7942 = D(7)/D(79)/D(794)/D(94)/D(4)

=49/

126/

137/

72/

16

=49

126

137

72

16

= 630436


159

6)1,0202=

วธคด

ตอบ 1,040,400

7)1,8972=

วธคด

ตอบ 3,598,609

8)4,3662=

วธคด

ตอบ 19,061,956

10202 = D(1)/D(10)/D(102)/D(1020)/D(020)/D(20)/D(0)

= 1/0/4/0/4/0/0

= 1040400

18972 = D(1)/D(18)/D(189)/D(1897)/D(897)/D(97)/D(7)

= 1/16/

82/

158/

193/

126/

49

= 116

82

158

193

126

49

= 3598609

43662 = D(4)/D(43)/D(436)/D(4366)/D(366)/D(66)/D(6)

=16/

24/

57/

84/

72/

72/

36

=16

24

57

84

72

72

36

= 19061956


160

9)6,2482=

วธคด

ตอบ 39,037,504

10)9,6122=

วธคด

ตอบ 92,390,544

62482 = D(6)/D(62)/D(624)/D(6248)/D(248)/D(48)/D(8)

=36/

24/

52/

112/

48/

64/

64

=36

24

52

112

48

64

64

= 39037504

96122 = D(9)/D(96)/D(961)/D(9612)/D(612)/D(12)/D(2)

=81/

108/

54/

48/

25/4/4

=81

108

54

48

2544

= 92390544


161

(5x+3)x(2x+7)

=10x2+___+___ผลคณดกร2(5x+3)x(2x+7)คอ10x2

(5x+3)x(2x+7)

=10x2+41x+___ผลคณดกร1(5x+3)x(2x+7)

คอ35x+6x=41x

(5x+3)x(2x+7)

=10x2+41x+21ผลคณดกร0(5x+3)x(2x+7)คอ21

ดงนน (5x + 3) x (2x + 7) = 10x2 + 41x + 21

ตอบ 10x2 + 41x + 21

การคณของพหนามสองพหนาม สามารถทำาการคณตามดกร

ของผลคณเอกนามไดดงน

6. การคณพหนามกบพหนาม (Algebraic Multiplication using Urdhva Tiryagbhyam)

ตวอยางท1 จงห�ผลคณ (5x + 3) x (2x + 7)

วธคด


162

ตวอยางท2 จงห�ผลคณ (2x – 3) x (x + 9)

วธคด

(2x–3)x(x+9)

=2x2+___+___ผลคณดกร2(2x–3)x(x+9)คอ2x2

(2x–3)x(x+9)

=2x2+15x+___ผลคณดกร1(2x–3)x(x+9)

คอ18x–3x=15x

(2x–3)x(x+9)

=2x2+15x+(–27)ผลคณดกร0(2x–3)x(x+9)คอ–27

ดงนน (2x – 3) x (x + 9) = 2x2 + 15x – 27

ตอบ 2x2 + 15x – 27


163

ตวอยางท3 จงห�ผลคณ (5x2 + 2x + 3) x (x − 1)

วธคด

(5x2+2x+3)×(x–1)

=5x3+__+__+__ผลคณดกร3(5x2+2x+3)×(x–1)

คอ5x3

(5x2+2x+3)×(x–1)

=5x3+(–3x2)+__+__ผลคณดกร2(5x2+2x+3)×(x–1)

คอ–5x2+2x2=–3x2

(5x2+2x+3)×(x–1)

=5x3–3x2+x+__ผลคณดกร1(5x2+2x+3)×(x–1)

คอ–2x+3x=x

(5x2+2x+3)×(x–1)

=5x3–3x2+x+(–3)ผลคณดกร0(5x2+2x+3)×(x–1)

คอ–3

ดงนน (5x2 + 2x + 3) × (x – 1) = 5x3 – 3x2 + x – 3

ตอบ 5x3 – 3x2 + x – 3


164

ตวอยางท4 จงห�ผลคณ (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1)

วธคด

(2x2–x+3)×(x2+5x–1)

=2x4 +__+__+__+__ผลคณดกร4(2x2–x+3)×(x2+5x–1)

คอ2x4

(2x2–x+3)×(x2+5x–1)

=2x4+9x3+__+__

+__

ผลคณดกร3(2x2–x+3)×(x2+5x–1)

คอ10x3–x3=9x3

(2x2–x+3)×(x2+5x–1)

=2x4 +9x3+(-4x2)

+__+__


คอ–2x2–5x2+3x2=-4x2

(2x2–x+3)×(x2+5x–1)

=2x4 +9x3–4x2+16x

+__


คอx+15x=16x

(2x2–x+3)×(x2+5x–1)

=2x4+9x3–4x2+16x

+(-3)


คอ-3

ดงนน (2x2 – x + 3) × (x2 + 5x – 1) = 2x4 + 9x3 – 4x2 + 16x – 3

ตอบ 2x4 + 9x3 – 4x2 + 16x – 3


165

1)(x+3)x(7x+6)=

วธคด

ตอบ

2)(3x–6)x(4x–1)=

วธคด

ตอบ

3)(4x2–2x–1)x(6x–8)=

วธคด

ตอบ

4)(5x2+x–3)x(7x+8)=

วธคด

ตอบ

5)(2x2–3x+11)x(3x–7)=

วธคด

ตอบ

6)(2x2+5x–9)x(x2–8x–10)=

วธคด

ตอบ


เรองการคณพหนามกบพหนาม


166

7)(x2–2x+9)x(x2+3x+7)=

วธคด

ตอบ

8)(11x2+x+3)x(2x2–3x–1)=

วธคด

ตอบ

9)(3x2–x+13)x(5x2+2x–1)=

วธคด

ตอบ

10)(3x2+2x+1)x(4x2–x–7)=

วธคด

ตอบ


167

1)(x+3)x(7x+6)

วธคด

(x+3)x(7x+6)

=7x2+27x+18

ตอบ x2 + 27x + 18

2)(3x–6)x(4x–1)

วธคด

(3x–6)x(4x–1)

=12x2–27x+6

ตอบ 12x2 – 27x + 6

3)(4x2–2x–1)x(6x–8)

วธคด

(4x2–2x–1)x(6x–8)

=24x3–44x2+10x+8

ตอบ 24x3 – 44x2 + 10x + 8

4)(5x2+x–3)x(7x+8)

วธคด

(5x2+x–3)x(7x+8)

=35x3+47x2–13x–24

ตอบ 35x3 + 47x2 – 13x – 24

5)(2x2–3x+11)x(3x–7)

วธคด

(2x2–3x+11)x(3x–7)

=6x3–23x2+54x–77

ตอบ 6x3 – 23x2 + 54x – 77

6)(2x2+5x–9)x(x2–8x–10)

วธคด

(2x2+5x–9)x(x2–8x–10)

=2x4 –11x3–69x2+22x+90

ตอบ 2x4 – 11x3 – 69x2 + 22x + 90


เรองการคณพหนามกบพหนาม


168

7)(x2–2x+9)x(x2+3x+7)

วธคด

(x2–2x+9)x(x2+3x+7)

=x4+x3+10x2+13x+63

ตอบ x4 + x3 + 10x2 + 13x + 63

8)(11x2+x+3)x(2x2–3x–1)

วธคด

(11x2+x+3)x(2x2–3x–1)

=22x4 –31x3–8x2–10x–3

ตอบ 22x4 – 31x3 – 8x2 – 10x – 3

9)(3x2–x+13)x(5x2+2x–1)

วธคด

(3x2–x+13)x(5x2+2x–1)

=15x4 +x3+60x2+27x–13

ตอบ 15x4 + x3 + 60x2 + 27x – 13

10)(3x2+2x+1)x(4x2–x–7)

วธคด

(3x2+2x+1)x(4x2–x–7)

=12x4 +5x3–19x2–15x–7

ตอบ 12x4 + 5x3 – 19x2 – 15x – 7


169

7.การตรวจคำาตอบของการดำาเนนการคณ

มวธการตรวจคำาตอบได3วธดงน

1. การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม

2. เทคนคการหาผลบวกเลขโดดของจำ านวนนบ ดวย

การตดเลข9ออก

2.1 วงกลมเกาจด(Thenine-pointcircle)

2.2 การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบดวยการตดเลข9ออก

3. การนำาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตมไปใชตรวจคำาตอบ

ของการดำาเนนการคณ

1. การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม

เลขโดดคอ1,2,3,4,5,6,7,8,9และ0และจำานวน10,

11,12,13,…,99เปนจำานวนทมเลขโดด2ตวเปนตน

ผลบวกเลขโดด (digit sum) ของจำานวนใดๆคอการนำาตวเลขโดด

ในจำานวนนนๆมาบวกกน

เชน

-ผลบวกเลขโดดของ25คอ7เพราะวา2+5=7

-ผลบวกเลขโดดของ53คอ8เพราะวา5+3=8

-ผลบวกเลขโดดของ231คอ6เพราะวา2+3+1=6


170

ผลบวกเลขโดดของจำานวนใดๆตองลดรปใหเปนตวเลขตวเดยวเสมอ

โดยการบวกเลขโดดทกตวถาไดผลบวกเปนจำานวนทมตวเลขโดด2ตว

ตองหาผลบวกเลขโดดอกครงจนไดตวเลขตวเดยว

เชน

ผลบวกเลขโดดของ19คอ1เพราะวา1+9=10แลวหา

ผลบวกเลขโดดของ10คอ1+0=1

ผลบวกเลขโดดของ58คอ4เพราะวา5+8=13แลวหา

ผลบวกเลขโดดของ13ได1+3=4

ผลบวกเลขโดดของ875คอ2เพราะวา8+7+5=20แลวหา

ผลบวกเลขโดดของ20ได2+0=2


171

2. เทคนคการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบ

ดวยการตดเลข9ออก

2.1 วงกลมเก�จด (The nine - point circle)

จำานวนทมากกวาอยหนงของตวทมากอน หรอจำานวน

ทมากกวาอยหนงของตวทอยถดไป (By Onemore than the One

Before :EkadhikenaPurvena)คอจำานวนนบ เรมตนท1และเพม

ขนทละ1ไปเรอยๆ

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,

17, 18, 19,20, 21, … ดงนน เมอพจารณาการนบไปเรอย ๆ พบวา

เกดระบบการครบรอบของสบคอ10,20,30,40,…เปนตนนำาไปสราง

บนวงกลมไดเกาจดโดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนนบทเรยงอนดบกนอย

ดงน

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,…

1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3,…

จากสมบตขางตนน นำาไปสรางวงกลมเกาจด โดยใชผลบวก

เลขโดดของจำานวนนบทเรยงอนดบกนดงตอไปน


172

จำานวนนบ:เรมตนท1และเพมขนทละ1

ไปเรอยๆ1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,

12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,…

ดงนนเมอพจารณาการนบไปเรอยๆ

จะพบวาเกดระบบการครบรอบของสบคอ

10,20,30,40เปนตน

จากสมบตขางตนนนำาไปสรางวงกลมเกาจด

โดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนนบทเรยง

อนดบกนกจะได1,2,3,4,5,6,7,8,9

วงกลมเกาจดเปนวงกลมทแบงเสนรอบวง

ออกเปนเกาสวนเทาๆกนและทำาใหเกดจด

บนเสนรอบวงไดเกาจดเมอใสจำานวนนบ

ทตอเนองลงไปใส0ตรง9จะเรยกวา0

เปนแขนงของ9

101

2

3

46

7

8

9

5

1

2

3

4

6

7

8

9

5

12

3

4

56

7

8

90

10pointcircle

9pointcircle


173

วงกลมเกาจดเปนวงกลมทแบงเสนรอบวง

ออกเปนเกาสวนเทาๆกนและทำาใหเกด

จดบนเสนรอบวงไดเกาจดเมอใสจำานวนนบ

ทตอเนองลงไปใส0ตรง9จะเรยกวา0

เปนแขนงของ9,ใส10เปนแขนงของ1,

ใส11เปนแขนงของ2,ใส12เปนแขนง

ของ3,ใส13เปนแขนงของ4,ใส14

เปนแขนงของ5,ใส15เปนแขนงของ6,

ใส16เปนแขนงของ7,ใส17เปนแขนงของ8,

ใส18เปนแขนงของ9หรอ0,ใส19

เปนแขนงของ1ไปเรอยๆ

จากวงกลมเกาจดเมอใสจำานวนนบทตอเนอง

ลงไปตามเขมนาฬกาจะพบวาแตละแขนง

มผลบวกเลขโดดเทาๆกนเชน

แขนงผลบวกเลขโดดเทากบ3ไดแก

3,12,21,…เปนตน


1,10,19,28,…เปนตน


7,16,25,…เปนตน

9018

1

2

3

45

6

7

8

1019

11

12

1314

15

16

17


174

2.2 ก � ร ห � ผ ล บ ว ก เ ล ข โ ด ด ข อ ง จำ � น ว น น บ ด ว ย

ก�รตดเลข 9 ออก

ถานำาเลขโดด9ไปบวกกบเลขโดดใดๆ ไมมผลกบผลบวก

เลขโดดของจำานวนนนๆ

ดงนนในการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนใดๆมเทคนค

ในการตดเลขโดด9หรอผลบวกเลขโดดสองจำานวนเทากบ9ออกเชน

6,60,69,96,969ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ6

19,28,91,109,982ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ1

21,129,309,903ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ3

ขอสงเกต พจารณาเลข0บนวงกลมเกาจดควรจะอยตำาแหนงใด

บนวงกลมเกาจด

1. หากจะตองนบทวนเขมนาฬกาถอยหลงจากเลข 1

กจะไดเลข0ดงนนเลข0ควรอยตรงตำาแหนงเดยว

กบเลข9

2. เลขโดด 9 และ 0 เมอนำาไปบวกกบเลขโดดใด ๆ

ไดผลบวกเปนเลขโดดนน จงสามารถตด 9 และ 0

ออกจากการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบใดๆได


175

ตวอยางท1จงห�ผลบวกเลขโดดของจำ�นวน 1,996

วธคด

วธบวกปกต

ผลบวกเลขโดด1996คอ

1+9+9+6=25

2+5=7

ตอบ 7

ขนท 1 นำา1บวก9บวก9บวก6เทากบ25

1+9+9+6=25

ขนท 2 นำา2บวก5เทากบ7

2+5=7วธตดเลข 9 ออก ผลบวกเลขโดด1996คอ 1+9+9+6 1+6=7 ตอบ 7

ขนท 1 ตดเลข9ออกเหลอ1กบ6 1+9+9+6 ขนท 2 นำา1บวก6เทากบ7

1+6=7


176



3+9+6=18

1+8=9หรอ0

ตอบ9หรอ0

ขนท 1 นำา3บวก9บวก6เทากบ18

3+9+6=18


1+8=9หรอ0

วธตดเลข 9 ออก


3+9+6

3+6=9

ตอบ9หรอ0

ขนท1 ตดเลข9ออกเหลอ3กบ6

3+9+6

ขนท2 นำา3บวก6เทากบ9

3+6=9หรอ0

ตวอยางท2จงห�ผลบวกเลขโดดของจำ�นวน 396

วธคด


177

ตวอยางท3จงห�ผลบวกเลขโดดของจำ�นวน 9,999

วธคด



9+9+9+9=36

3+6=9หรอ0

ตอบ 9หรอ0

ขนท 1 นำา9บวก9บวก9บวก9เทากบ36

9+9+9+9=36


3+6=9หรอ0

วธตดเลข 9 ออก


9+9+9+9

0=9

ตอบ 9หรอ0

ขนท 1 ตดเลข9ออก

9+9+9+9

ขนท 2 ตดเลข9ออกหมดทกตวเหลอ0


178

3. การนำาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตมไปใชตรวจคำาตอบ

ของการดำาเนนการคณ

วธการตรวจคำาตอบของการดำาเนนการคณโดยใชเลขโดด

ของจำานวนเตมมขนตอนดงน

ขนท 1 หาผลบวกเลขโดดของตวตงและตวคณ

ขนท 2 นำาผลบวกเลขโดดของตวตงและตวคณมาคณกน

แลวนำาผลคณไปหาผลบวกของเลขโดด

ขนท 3 หาผลบวกเลขโดดของคำาตอบ(ผลคณทได)

ขนท 4ตรวจสอบวาผลบวกเลขโดดจากขนท 2 และขนท 3

เทากนหรอไมถาเทากนแสดงวาคำาตอบทคดไวถกตอง


179

ตวอยางท 1 จงห�ผลคณ 43 x 32 และตรวจสอบคำ�ตอบทได

โดยใชผลบวกเลขโดด

วธคด

ขนตอนก�รห�ผลคณ ขนตอนก�รตรวจสอบคำ�ตอบ

4 3

3 2

12

17 6

ขนท 1

ผลบวกของเลขโดดของตวตง=4+3=7

ผลบวกของเลขโดดของตวคณ=3+2=5

ขนท 2

7x5=35

หาผลบวกเลขโดด=3+5=8

ขนท 3

ผลบวกเลขโดดของคำาตอบ=1+3+7+6=8

ขนท 4

พบวาผลบวกเลขโดดจากขนท2และขนท3

เทากน(ตางเทากบ8)

ดงนนคำาตอบทไดถกตอง

x

ดงนน 43x32 =12

176

= 1,376

ตอบ 1,376


180



วธคด


ขนท 1 หลกหนวย

72x46 =12

ขนท 2 หลกสบ

72x46 =50

12

ขนท 3 หลกรอย

72x46 =28

50

12

ขนท 1

หาผลบวกของเลขโดดของตวตง=7+2=9หรอ0

หาผลบวกของเลขโดดของตวคณ

=4+6=10=1+0=1

ขนท 2

9x1=9หรอ0x1=0

หาผลบวกเลขโดด=9หรอ0

ขนท 3

หาผลบวกเลขโดดของคำาตอบ

=3+3+1+2= 9 หรอ 0

ขนท 4

พบวาผลบวกเลขโดดจากขนท2และขนท3เทากน

(ตางเทากบ9หรอ0)


ดงนน 72x46 =28

50

12

= 3,312

ตอบ 3,312


181



วธคด


1 1 2 +1 2

9 7 −0 3

1 0 9 / 3 6

ขนท 1

หาผลบวกเลขโดดของตวตง=1+1+2=4

หาผลบวกเลขโดดของตวคณ=9+7=7

ขนท 2

4x7=28

หาผลบวกเลขโดด=2+8=10=1+0=1

ขนท 3

หาผลบวกเลขโดดของคำาตอบ

=1+0+8+6+4=10

=1+0=1

ขนท 4

พบวาผลบวกเลขโดดจากขนท2และขนท3

เทากน(ตางเทากบ1)


x

ดงนน 112x97 = 1093 6

= 10,864

ตอบ 10,864


182

บรรณานกรม

ศกดาบญโต. (2543). เวทคณต (VedicMathematics) :คณตคดลด

จ�กสตรพนฐ�น 16 สตร.กรงเทพฯ:ศลปการพมพ.

สำานกวชาการและมาตรฐานการศกษา.(2554).แบบฝกเสรมสร�งทกษะ

กระบวนก�รคดสำ�หรบนกเรยนทมคว�มส�ม�รถพเศษ

ท�งคณตศ�สตร ระดบประถมศกษ� เลมท 6 : เวทคณตมหศจรรย.

กรงเทพฯ:องคการคาของสกสค.ลาดพราว.

Puri,N. (1992).AncientVedicMathematics (2nded.).Maths

of Smiles.India:JugnuPrinters,NaveenShahadara,

Delhi.

. (1988). Ancient VedicMathematics.Mathematics

with Smile. India:JugnuPrinters,NaveenShahadara,

Delhi.

Williams,R.K.(2009).Vedic Mathematics Teacher’s Manual.

Advanced Level (2nd ed.). United of Kingdom :

InspirationBooks.

.(2009). Vedic Mathematics Teacher’s Manual.

Elementary Level (2nd ed.). United of Kingdom :

InspirationBooks.


183

ทปรกษา 1.นายบญรกษยอดเพชร เลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 2.นายสนทแยมเกษร รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 3.นายพระรตนวจตร รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 4.นายอมพรพนะสา รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 5.นางสาวนจสดาอภนนทาภรณผอำานวยการสำานกวชาการและมาตรฐานการศกษา

ผทรงคณวฒ 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นายประเสรฐสภรกษ ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครสวรรคเขต1 3.นายกระจายคงสง ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพระนครศรอยธยาเขต1 4.นายปรชาอรณสวสด ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 5.นางสาวพนวนาพฒนาอดมสนคา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2

ผรบผดชอบโครงการกลมพฒน�กระบวนก�รเรยนร สำ�นกวช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศกษ� 1.นางผาณตทวศกด รองผอำานวยการสำานกวชาการ และมาตรฐานการศกษา 2.นางเกศกญญาอนกล นกวชาการศกษา 3.นางสาวภทราดานววฒน นกวชาการศกษา

คณะทำางาน


184

4.นางสาวอธฐานคงชวยสถตย นกวชาการศกษา 5.นายอภศกดสทธเวช นกวชาการศกษา 6.นางสาววศนเขยวเขน นกวชาการศกษา 7.นางสาวปรมาพรเรองเจรญ พนกงานธรการ

คณะทำางานพฒนาและปรบปรงเอกสาร 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นายปรชาอรณสวสด ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 3.นายกระจายคงสง ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพระนครศรอยธยาเขต1 4.นายประเสรฐสภรกษ ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครสวรรคเขต1 5.นางสาวณภทรใจกลา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 6.นางสาวพนวนาพฒนาอดมสนคา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2 7.นางสาวเยาวภาศานตธรรม ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต4 8.นางสาวดรณวรรณพศฟทธภมเลศ ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต4 9.นายภทรวตฐซอตรง ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบรเขต110.นางสาวประทมวนดอมไธสง ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต611.นางสาวสาลนจงใจสรธรรม ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลงเขต1


185

12.นางสาวกจตมาสงหนา ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร13.นางสาวปวรศาออนขำา ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร14.นางสาวพรรณกาอนแปลง ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร15.นางสาวอรทยไพสาร ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร16.นางสาวธนยนนทอครชณหะวงศ ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร17.นายกตคณศลยานนท ครโรงเรยนอนบาลกาญจนบร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต118.นางประนอมทมพทกษ ครโรงเรยนอนบาลวดลกแกประชาชนทศ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต219.นายชาตรอนตะ ครโรงเรยนวดเขาสะพายแรง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต220.นางสาวอรทยธมา ครโรงเรยนวดทงสมอ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต221.นางสาววรญญาเมตตาพล ครโรงเรยนวดดอนแสลบ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต222.นางสาวสจตรานาคนาร ครโรงเรยนวดเบญพาด สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต223.นายนฐกาญจนเฑยมเทวญญ ครโรงเรยนวดสระลงเรอ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต224.นางสรลกษณสารกา ครโรงเรยนวดดอนชะเอม สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต225.นายกรวฒนภฆง ครโรงเรยนบานหนองปลง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต4


186

26.นายวรวฒสมบรณด ครโรงเรยนบานหนองแกประชาสรรค สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต427.นายภทรเจรญกล ครโรงเรยนอนบาลนครปฐม สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครปฐมเขต128.นางสาวเพญพรทพยอโนทย ครโรงเรยนวดบานไร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต629.นายธรวทยจตตสวรรณ ครโรงเรยนอนบาลสมทรสาคร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสมทรสาคร30.นายมานะมาเสมอ ครโรงเรยนอนบาลดานชาง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบรเขต331.นายวชยพรสรโชคชย ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต132.นางศรวรรณเนตรสวาง ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต133.นางสาวฐารวณกตตโชตธนารตน ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต134.นายศรสษฐเชอทอง ครโรงเรยนวสทธรงษ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต835.นางสาวศรญญาจนดา ครโรงเรยนทามวงราษฎรบำารง สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต836.นายปยวทยเหลองระลก ครโรงเรยนเฉลมพระเกยรต สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต8 สมเดจพระศรนครนทรกาญจนบร37.นางสาวกมลวรรณสงหาศร ครโรงเรยนบางสะพานวทยา สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1038.นางปรงอนทมาตร ครโรงเรยนสมทรสาครบรณะ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต10


187

39.นางสาวศรารตนอนทรประเสรฐ ครโรงเรยนศรทธาสมทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1040.นายเชาวฤทธภบวเพชร ครโรงเรยนสดาวทยา สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต31

คณะบรรณาธการกจและจดทำาตนฉบบสมบรณ 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นางผาณตทวศกด รองผอำานวยการสำานกวชาการ และมาตรฐานการศกษา 3.นางเกศกญญาอนกล นกวชาการศกษา 4.นางสาวภทราดานววฒน นกวชาการศกษา 5.นางสาวอธฐานคงชวยสถตย นกวชาการศกษา 6.นายอภศกดสทธเวช นกวชาการศกษา 7.นางสาววศนเขยวเขน นกวชาการศกษา 8.นางสาวปรมาพรเรองเจรญ พนกงานธรการ


188

การคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณการคณคดเลขเรวแบบเวทคณต การคณ

VEDIC MATHEMATICSคดเลขเรวแบบเวทคณต

สานกวชาการและมาตรฐานการศกษา

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

กระทรวงศกษาธการ

vedic mathematics การคูณacademic.obec.go.th/images/news/1599793303_d_3.pdfการค...

Documents