visualización e intuición en investigación en educación ... · fórmula y pareció convertirse...

Visualización e intuición en investigación en Educación Matemática

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

Inés Mª Gómez‐ChacónFacultad de Ciencias Matemáticas

Universidad Complutense de Madrid

Para empezar… Una anécdota…• “¿Qué se entiende por visualización? La siguiente historia

parece apropiada para ponerlo de manifiesto mejor que muchos análisis.

• La anécdota suele ser contada teniendo al famoso NorbertWiener como protagonista, pero son muchos los estudiantesde matemáticas que podrían reconocer la misma actitud enalguno o tal vez en muchos de los profesores que han tenidoa lo largo de sus estudios. Se encontraba Wiener ante suclase en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) enmedio del desarrollo de una complicada demostración. Lapizarra estaba llena a rebosar de intrincadas fórmulas. Depronto se atascó, se quedó mirando fijamente a la últimafórmula y pareció convertirse en estatua por un buen rato.Todos pensaban, conteniendo el aliento, que estaba en uncallejón sin salida. Pero Wiener, sin decir una sola palabra sedirigió al rincón de la pizarra, donde había todavía unpequeño espacio libre, y trazó unas pocas figuras que nadiepudo ver pues quedaban ocultas por su propia espalda. Depronto se le iluminó el rostro. Sin decir ni una sola palabraborró sus figuras misteriosas y volvió al punto en que sehabía atascado para continuar ya impecablemente y sinproblema alguno hasta el final. “

Miguel de Guzmán. El rincón de la pizarra. Ensayos de visualización en análisis matemático. Ed. Piramide, 1996, p. 15

Índice

1. El trabajo matemático desde una perspectiva didáctica2. El pensamiento está formado en gran parte por imágenes3. La visualización a lo largo del tiempo4. ¿Qué es la visualización?5. Tipologías de investigaciones (¿Qué se investiga, cómo se

investiga y qué resultados?)• Investigaciones en Análisis: Concepto de integral definida• Investigaciones en Algebra• Investigaciones en contextos tecnológicos: Geometría en

formación de profesores6. Y para terminar…..

El trabajo matemático desde una perspectiva didáctica

• Hans Reichenbach (1938) escribió: “Los sistemas filosóficos, en el mejor de los casos, han reflejado la situación del conocimiento científico de su época; pero no han contribuido al desarrollo de la ciencia.El desarrollo lógico de los problemas es labor del científico; su análisis técnico, aun cuando a menudo se halla dirigido hacia pequeños detalles y rara vez se realiza con propósitos filosóficos, ha ampliado la comprensión del problema hasta que, con el tiempo, el conocimiento técnico fue lo suficientemente completo para poder dar respuesta a las preguntas filosóficas”.

Dos facetas del trabajo matemático:

Contexto de descubrimiento y

Contexto de justificación

El pensamiento está formado en gran parte por imágenes

Benoit Mandelbrot, Geometría Fractal

Hadamard (1945) hablando de Albert Einstein:

“Las palabras del lenguaje, tal como se escriben o se hablan, no parecen desempeñar papel alguno en mi mecanismo de pensamiento. Las entidades psíquicas que parecen servir como elementos en el pensamiento son determinados signos o imágenes más o menos claras que pueden reproducirse y combinarse “voluntariamente”. Existe, desde luego, una cierta conexión entre estos elementos y los conceptos lógicos relevantes. También, es evidente que el deseo de llegar finalmente a conceptos conectados de forma lógica es la base emocional de este juego más bien vago con los elementos anteriormente mencionados.

Los elementos anteriores mencionados son, en mi caso, de tipo visual y …muscular. Las palabras u otros signos convencionales sólo han de buscarse laboriosamente en una fase secundaria, cuando el juego asociativo citado se halla suficientemente establecido y puede reproducirse a voluntad” (A. Einstein, citado en J. Hadamard (1945) The psychology of invention in the mathematical field, Princeton University Press. Princeton N. J.)

La visualización a lo largo del tiempo• La visualización en los orígenes

–Número– Euclides

• Los clásicos modernos– Descartes– Cálculo del XVII: surge con un componente muy visual.

• El formalismo en el s. XX y la visualización– S. XX: surge desconfianza y la visualización pasa a un 2º plano

La visualización a lo largo del tiempo

• Consecuencias:• Preferencia por la formalización, no sólo en la fundamentación de la matemática, si no también en la intercomunicación y la enseñanza

• Desconfianza hacia lo visual llegando al extremo de querer prescindir de ella completamente.

• El modelo formalista de la universidad cala rápido a secundaria.

• ¿Hacia un retorno de la visualización?

– Presmeg (2006) Research on visualization in learning an teaching mathematics, hace una panorámica del papel de la visualización en los 30 años del PME (The International Group for the Psychology of Mathematics Education)

• Los comienzos:– Primera mitad del s. XX: ‘parón’ por el dominio del conductivismo.– Años 1970 – 1980: re‐emerge la investigación en imágenes desde su base psicológica

con metodologías tanto cuantitativas como cualitativas, sobre todo las últimas.– Se investigan tanto las ventajas y desventajas, como los aspectos cognitivos y

afectivos.• En los años 90:

– La visualización se reconoce como un campo específico de investigación de EM– Estudios sobre desarrollo curricular y sobre áreas particulares de las matemáticas– Investigaciones sobre qué tipo de enseñanza promueve una visualización efectiva– Influencia de las tecnologías– Diferencias de género en el uso de la visualización, y uso que hacen de ella la

comunidad matemática.– Rechazo de los estudiantes a visualizar en matemáticas– Usar medios de representación conlleva necesariamente una mejora y evolución

• Del 2000 en adelante:– Se amplía la visión de la visualización hacia sus aspectos semióticos– Investigaciones sobre gesticulación y encarnación de las ideas matemáticas.– Conexiones entre diferentes registros matemáticos y flexibilidad– La necesidad de dar consistencia a teorías que puedan unificar todo el campo de

visualización dentro de la educación matemática

¿Qué es la visualización?

• Papel de la intuición en el razonamiento matemático (De Guzmán, 1996; Arcavi, 2003; Fichbein, 2005)

• Las diferencias individuales en la preferencia por lo visual (Presmeg, 1985, 1986, 1991, 1994, 1995, 2006);

• Causas del rechazo y status de la visualización (Eisenberg y Dreyfus, 1991; Dörfler, )

¿Qué es visualización?• Miguel de Guzmán

– Visualización matemática vs Visualización en psicología• “Para ellos (los psicólogos) la visualización es una técnica, entroncada en el análisis

transaccional iniciado por Eric Berne (años 50), que pretende una reestructuración de ciertos aspectos del subconsciente. Tiene mucho más que ver con componentes afectivos que con componentes propiamente cognitivos. “

– A por una definición• “Con la visualización en matemáticas se pretende otra cosa. Las ideas, conceptos y

métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de los problemas del campo. […] Esta forma de actuar con atención explícita a las posibles representaciones concretas en cuanto desvelan las relaciones abstractas que al matemático interesan constituye lo que denominamos visualización en matemáticas. “

• Norma Presmeg: siguiendo a Piaget e Inheld (Artículo del PME Research on visualization in learning an teaching mathematics)

– “ La visualización incluye procesos tanto de construcción como de transformación de imágenes visuales que nos hacemos en la mente y todas las inscripciones de naturaleza espacial que podrían estar implicadas en el quehacer matemático”. Incluye dos aspectos del pensamiento espacial elaborados por Bishop:

• Interpreting figural information (IFI)• Visual processing (VP)

¿Qué es visualización?Arcavi• “Visualización es la capacidad, el proceso y el producto de la

creación, interpretación, uso y reflexión sobre figuras, imágenes, diagramas, en nuestra mente, sobre el papel o con herramientas tecnológicas con el propósito de representar y comunicar información, pensar y desarrollar ideas y avanzar la comprensión” (Arcavi, 2003:217)

Investigación1‐ Visualización en Análisis

Souto, B. & Gómez-Chacón, I. (2009) How to prepare students for asuccessful first year at university: an experience in visualization, EnTzekaki, M., Kaldrimidou, M. y Sakonidis, H (Eds.) Proceedings of the 33rdConference of the International Group of Psychology of Mathematics, Vol5, 495. Thessaloniki, Greece: PME.

Souto, B. y Gómez- Chacón, I. Mª (2011) Challenges with visualization. Theconcept of integral with undergraduate students. The concept of integral.Proceedings CERME 7. Poland.

Dificultades de aprendizaje en los procesos de comprensión y visualización del Cálculo con estudiantes universitarios. Ver por ejemplo:

– Castañeda, F. (2004) Matemáticas y Visualización. Universidad del País Vasco.– Llorens, J. L. & Santoja, F. J. (1997). Una interpretación de las dificultades en el

aprendizaje del concepto de integral. Divulgaciones Matemáticas, v. 5, No 1(2), 61‐76.

Motivación del estudioLo que no debería ocurrir…..

Alumno de matemáticas de 1º de biología, 2001.

Figuras Castañeda (2004)

– Calcular el área de las siguientes figuras:

Figure 4. 1: Figuras de Llorens y Santoja (1997)

– Necesidad de estudios de visualización a nivel universitario (Presmeg, 2006)

Introdución: Motivación del Estudio

-¿Cómo solucionarlo?

- ¿Qué consideras los estudiantes harían?

Investigación sobre Integral definidaldentificar dificultades de los estudiantes en la comprensión delconcepto de integral. Algunas de estas dificultades tienen un claroorigen en la coordinación entre registros visuales y analíticos.

Se busca proporcionar algunos puntos clave de reflexión de cara aelaborar una propuesta didáctica de la integral que tenga en cuenta losprocesos de visualización

Se presta atención a especialmente a los siguientes aspectos:•Errores y dificultades cometidas en el registro analítico que podrían evitarse con la coordinación del registro visual.

•Errores y dificultades con el manejo del registro visual que han impedido o dificultado la resolución con éxito del problema

Grupo de Estudio: El grupo de estudio está compuesto por un total de 29 estudiantes de primero de la Licenciatura de Matemáticas UCM

• Marco teórico definido por las teorías cognitivas sobre registros de representación semiótica (Duval, 1995, 1999, 2006; Hitt 2003, 2006).

• Para Duval (1999) el aprendizaje de las matemáticas consiste en construir una arquitectura cognitiva en el que debe existir una coordinación entre registros.

• Se define Comprensión Visual (CV) como aquella que se da cuando un sujeto adquiere representaciones de ese concepto en el registro visual y además, es capaz de transformarlas y convertirlas a otros registros a la hora de realizar razonamientos matemáticos.

Investigación sobre Integral definida

Arcavi“Visualización es la capacidad, el proceso y el producto de la creación, interpretación, uso y reflexión sobre figuras, imágenes, diagramas, en nuestra mente, sobre el papel o con herramientas tecnológicas con el propósito de representar y comunicar información, pensar y desarrollar ideas y avanzar la comprensión” (Arcavi, 2003:217)

.23

3dxx

aa,

dxxfba

a ))((

Nº ENUNCIADO Aspecto del concepto deintegral

Visualización

1 ¿Qué está mal en el siguiente cálculo de la integral?

Dominio del concepto deintegral y sus propiedades. Esno rutinario por la formulación(buscar un error y no resolver)

CVPV

2 Calcula Dominio en el cálculo deintegrales, con la dificultad deinvolucrar un valor absoluto.

CVPVHV

3 Si f es una función impar en calcula

Dominio en el cálculo deintegrales, mayor grado deabstracción (funcióndesconocida y uso deparámetros) lo que obliga aemplear razonamientos ypropiedades con másgeneralidad que el anterior.

CVPVHV

Tabla 1: Enunciados de los problemas analizados, objetivos y criterios que permiten evaluar

Investigación 1: Resultados

1ª columna: Porcentaje de alumnos que no dejan la respuesta en blanco (Resp.)2ª columna: Porcentaje de alumnos que responden de forma correcta (Corr.)3ª columna: Porcentaje alumnos que emplean un argumento visual. (AV)4ª columna: Porcentaje de alumnos que realizan algún dibujo. (Dib)

Problema 1: ¿Qué está mal en el siguiente cálculo de la integral?

De 97% de los estudiantes, únicamente un 28 % responde de forma correcta. Entre las respuestas incorrectas, 7 de los 29 e. responden que está bien. Tres de ellos incluso repite el mismo cálculo. El resto, también trata de realizar de nuevo el cálculo o indican cómo debería hacerse correctamente cometiendo alguno o varios de los siguientes bloqueos y errores:

•Emplear otra primitiva distinta.•Intercambiar los signos al aplicar la regla de Barrow (en ese caso se obtiene 2, que es coherente con las propiedades de la integral).•Tener en cuenta la constante de integración.•Errores de cálculo.

Sólo 2 de los 29 emplean el registro gráfico de forma explícita y sol. correcta.Lo visual favorece la resolución correcta.

El dominio de diversidad de representaciones de los conceptos involucrados en un problema junto con un adecuado manejo de las mismas, proporciona una buena comprensión de los conceptos así como del problema. De modo que existe mayor posibilidad de éxito en su resolución.

RESPUESTA DEL ALUMNO REPRESENTACIONES. CONCEPTOS INVOLUCRADOS

- Al no ser continua la función, no se puede aplicar la regla de Barrow. (1) Continuidad. Función como parte de las hipótesis de un

- Recalcula la primitiva (con cte de int.) y escribe La primitiva de 1/x2 está bien calculada; y añade Cálculo de primitivas

pero la integral no está bien definida; pues x = 0 )1( 2xDom (4)

No es integrable en [-1, 1] (7) - La f no está definida en 0 El cálculo está mal porque no tenemos en cuenta este valor de

la x (17)

Función como aplicación que asigna un valor a otro

No se puede calcular, ya que la función tiende a cuando x tiende a 0 (14)

- En x=0, f se va al infinito En x = 0 la función se va al infinito. No se

puede calcular la integral de esa manera en esta función.

(28)

Función dependiente de una variable. Idea de límite, asíntotas

Respuesta correcta

- Está mal el segundo = (sin justificación). Dibuja la función y concluye que no puede ser negativa

(22)

(29)

Función como objeto, algo más global. Integral como área bajo una curva.

Concluye que está bien (13) (24) (20)* Se fija en que -1/x es negativo y añade que (19)

Integral como área bajo una curva. - Repite los

mismos pasos Intenta otro camino (primitivas) 2x 3-2 x

y obtiene, con errores, -4 (12)

3

x3

2- x y obtiene -2/3 (18) - Utiliza otras

primitivas Indica qué primitiva usaría 332

3

31

11xxx

(11)

211

111 1

1

x

(2) (19) (25) - Cambio de orden en la regla de Barrow Con errores de cálculos 2

11

111 1

1

x

(27)

- Intenta un cambio de variable Problemas con los diferenciales. Integra en lugar de derivar (16)

Sustitución directa: 0)1(1 222 dxx (23)

Signos 0111 1

1

x

(5) (8) (21) (27) - Otros errores

Otros (9) (12) (15)

IntegralCálculo de primitivas Int. DefinidaRegla de Barrow

- Siendo más quisquilloso se podría decir que tendría que aparecer la cte de integración que luego al aplicar Barrow se simplifica

(13)

Rehace el cálculo o indica cómo rehacerlo

- Comentarios - Las integrales dan áreas bajo curvas, que son siempre positivas(No dibuja) (27) Visual: Integral como

área bajo una curva. - Está bien Sin justificación (3)

- No sé integrar, para mí estaría bien (6) - Problemas con los diferenciales. (16)

- Otros ejemplos de primitivas1 (10)

Respuesta incorrecta

No rehacen el cálculo -Problemas

con la integral

- Problemas con las primitivas tipo

1

1

nxdxx

nn cuando n

es positivo. No puede aplicarse este método a potencias de exponente negativo. Y pone como ejemplo n = 1.

(26)

IntegralCálculo de primitivasProceso inverso a la derivación.

• 7 alumnos usan registro visual, 5 resuelven bien el problema (a pesar de que uno de ellos realiza un dibujo incorrecto) y 2 responden con errores (aunque las respuestas son coherentes y se observa comprensión del problema)

• Función ilustrativa y heurística de las imágenes

Llorens y Santoja (1997) afirman que “el alumno está prefiriendo el contexto algebraico‐formal al visual‐geométrico, simplemente porque no los ha integrado”.

• Si f es una función impar aa, dxxfba

a ))((calcula

12 de 29 dan una respuesta eminentemente analítica:Pero sólo a la mitad (6 de 12) les sirve para dar la respuesta correcta.

abbxdxxfdxbdxxfb a

a

a

a

a

a

a

a20)()(

Estrategia visual de un estudiante

Dificultad cognitiva propia del uso del registro visual (Zimmermann y Cunningham (1991)) como una de las tres causas para el rechazo de la visualización.

Visual-contemplar el proceso desde una perspectiva global y deben tenerse en cuenta mayor número de conceptos y relaciones de forma simultánea:

Remarcar el tipo de comprensión tan diferente que nos proporciona cada registro, y lo conveniente que resulta combinarlos. Contribuir a que posean una mayor comprensión de los objetos y relaciones matemáticas.

Tipología de estudiantes

ADVANCED

From headline, they are able to develope non‐routine answers, simple, smart arguments, inside an analytical register, which lead them to success. They avoid visual references, although they deal mental images with ease. Security in the answer.

They are able of founding an image to depict all the relevant elements and to put attention in those relations that take part in the resolution (heuristic funcition of images). Imagery is enough to account to the results, but they are able of explaining them and to formalize even. Security.

They are able to extract some non‐explicit conclusions from headlines.. They feel the need of explain their results and include more explanations, altough sometime they have some diffiuclties to complete the argument. They don’t look for conections with visual, but can make implicit references.

They combine anlaytical arguments with imagery in a acceptable way, although not ideally. They are able to reason with imagery, but they don’t look feel satified. There is a lack of clarity or economy in theirarguments. Sometimes exists a lack of coherence between the image and the analytical argument.

They reason with ease and correctly with imagery, but another kind of argument or explanation is missed sometimes. Prototypical mathematical images, are forced by students to fit with that they are waiting, and the argument is subordinated to this images, in a not very reflectively way.

BASIC

They do not answer anything or do it of incorrect form. Few explanations and when they appear they are of descriptive or intuitive character. They do not feel the need to verify more, or do not know. Mechanical, memory learning. Miscalculations.

They use images, besides analytical arguments, but without success, since they do not find the connection between both records of representation. Instrumental comprehension of the concepts. Memory learning. Insecurity.

They detect the relevant explicit information of the headline, and are capable of expressing it in a visual form. But the image is not used as base for the reasoning (heuristic function), but of illustrative form, what prevents from establishing the necessary connections to go beyond. Insecurity. Few ones or no explanation.

ANALYTICAL VISUAL

Image 2.5.5

Image 2.8.5

Image 2.10.5

Image 2.25.5

Image 2.9.5Image 2.6.5

Image 2.23.5

Image 2.7.5

Image 2.3.5

Image 2.11.5

Image 2.15.5

Image 2.2.5Image 2.1.5

Argument well-balanced and flexible between registers. They are combined in such a way as they serve to compare the result. Reflection on the own practice. Security. Good relationship with formal proofs.

4. Results and discussion. Profiles according to the thinking level and the use o

STUDENT G

STUDENT I

STUDENT S

Investigación 1. ConclusionesDeficiencias en la comprensión del concepto de integral

De acuerdo con otras investigaciones, la visión operativa introducida en el Bachillerato, pervive de forma persistente frente a la “nueva integral formal” introducida en la Universidad. Este aprendizaje mecánico, conlleva a un manejo exclusivamente operativo de la integral que tiene lugar principalmente en el registro analítico.

Esta situación provoca que la comprensión de la integral quede limitada, lo que impide resolver con éxito problemas no rutinarios.

Las principales deficiencias en torno a la comprensión de la integral puede resumirse del siguiente modo: identifican “integral” con “primitiva”; las integrales “definidas” se identifican con las regla de Barrow, incluso cuando ésta no pueda aplicarse; no se integra el concepto de área con el de integral.

Investigación 1. Conclusiones

Necesidades docentes:‐ Manejo adecuado de las representaciones y coordinación de registros.

‐ Uso de imágenes, dos funciones distintas : la ilustrativa y la heurística. El uso ilustrativo de imágenes, más extendido entre los estudiantes, complementa al registro analítico mientras que el heurístico abre nuevos caminos para la comprensión y es el que identificamos con los procesos de visualización.

‐ El manejo del registro visual no es fácil ni tan natural‐Importancia de la visión global

Investigación 2‐ Visualización en Álgebra, University of East Anglia, UK

Estudio en la University of East Anglia, UK: MathematicsUndergraduates’ Experience of Visualisation in Abstract Algebra.Proceeding of the 13Th Annual conference on Research inUndergraduate Mathematics Education, 2009.


Estudio en la University of East Anglia, UK: Mathematics Undergraduates’ Experience ofVisualisation in Abstract Algebra. Proceeding of the 13Th Annual conference on Researchin Undergraduate Mathematics Education, 2009.

Finalidad: Identificar en el aprendizaje del álgebra abstractas qué facetas cognitivas, emocionales y sociales están influyendo.- Visualización en Alg.

Contexto: 78 estudiantes de 2 curso de matemática, seguidos durante un semestre académico (10 semanas, 20 horas de clase, 3 seminarios cíclicos en la 3ª,6ª, 10ª semana).

Metodología: Métodos cualitativos. Grabaciones video clases y seminarios, entrevistas (3 ciclos de entrevistas), protocolos de resolución de problemas, exámenes

Primeros resultados:

-Variabilidad de respuestas en los usos de la visualización-Dificultades

-Disminución de participación de los estudiantes. Primera tipología: Patología de la ausencia (disminución de la asistencia de los estudiantes), Patología de la presencia (están pero pasan) y explicita expresión de la emoción (declaraciones y carga emocional)

Visualización:• Necesidad de imágenes• Rechazo a construir con imágenes• Utilización de las imágenes que ofrece el profesor en el aula

Identificación de:‐ 42 episodios de visualización en 39 entrevista a 13 estudiantes de los 78‐ 19 ejemplos de los 78 durante las 10 semanas en clase ‐ 18 ejemplos de visualización en exámenes)

Cuestiones:¿ Los académicos utilizan visualizaciones, referencia a imágenes? Si si Cómo?

Si no Por qué?¿Los estudiantes utilizan/ hacen referencia en sus escritos o en su expresión

oral a visualización? Si si ¿Cómo?, si no ¿Por qué?


• Uso de la visualización por parte de los profesores.


Categoría 1: objetos externos

Visualización- concepto

En 20 lecciones han utilizado un total de 14 ilustraciones

Rotaciones, tabla de multiplicar, las rotaciones de un pentágono regular y un hexágono regular, como ejemplos de grupos diedro y simetrías de un cubo.

Es una lista de los objetos externos que se han representado gráficamente con el fin de facilitar a los estudiantes "ver” de estos objetos

• Uso de la visualización por parte de los profesores.


Categoría 2:

La visualización de conceptos abstractos de la Teoría de Grupos: equivalencia de clases, representación de homeomorfismos, imagen del grupo cociente, diagrama de Ven como parte del teorema de Lagrange

• Uso de la visualización por parte de los estudiantes


Ilustraciones de homeomorfismos

Concepto de clase en teoría de grupos (solo 2 estudiantes de 13)

Los estudiantes muestran la necesidad de visualizar: grupos, subgrupo, clases, etc.. No eran capaces de traducir en imágenes los conceptos. Causándoles ansiedad y estrés,

Conclusiones para el Algebra• Falta de utilización de imágenes en la docencia:

– No forma parte de una clase típica el usar fotos e imágenes que representen conceptos

– los profesores no alientan a que los estudiantes a tener imágenes mentales

• Las imágenes propuesta por el profesor no necesariamente tienen el impacto esperado, ya que rara vez se son adoptadas por los estudiantes. Necesidad metacognitiva

• La capacidad de visualizar juega un papel importante en la comprensión y la construcción de las demostraciones.

• Los estudiantes no se creen capaces de utilizar sus imágenes mentales en la solución "formal" soluciones: representaciones y dibujos y no se percibe como rigor o formalización en sus escritos y por lo tanto no tener que hacerlo.

• Distancia a entre tener una imagen en la cabeza y obtener una detallada y viable sobre el papel. Ser incapaz de hacer un dibujo, no implica que uno no tiene una imagen adecuada del concepto.

• Subjetividad en el uso de imágenes, estilos de pensamiento.

Investigación 2‐Visualización en contextos tecnológicos

GÓMEZ-CHACÓN, I. Mª & KUZNIAK, A. (2010). The geometric work spaces of futureteachers in the context of technological and professional knowledge. Proceedings ofFrench-Cypriot Symposium Mathematical Working Space. Université de Paris 7Diderot, Paris, pp. 97-112.

1. Condiciones de experimentación y cuestiones iniciales de investigación

Estudiar del trabajo geométrico en formación inicial de profesores en un ambiente de aprendizaje basado en el uso de software dinámico GeoGebra.

Identificar cómo se interrelacionan las tres génesis (figural, instrumental y de razonamiento discursivo) y si realmente GeoGebra desempeña un papel especial en la construcción de este espacio geométrico.

Influencia del software en el conocimiento de propiedades y en el paso de la Geometría I a la II.

Marco teorico de los Paradigmes geometricos (Houdement et Kuzniak, 1998, 2006) y la aproximación instrumental (Artigue, 2002, Lagrange, 2005, Trouche, 2005)

1. Condiciones de experimentación y cuestiones iniciales de investigación

Présentation de la situation de formation et de la méthodologie de recherche utilisée/Presentation of training and the research methodology used

Adaptado de Houdement y Kuzniak (1999).

************************Se desea agrandar la figura 1. (ABCH) en (A’B’C’H’) tal que A’H’ mida el doble que AB.Efectúa esta ampliación con regla no graduada y compás, dejando constancia del proceso.Los alumnos afirman que el área de la figura obtenida es 4 veces más grande que la de la

figura inicial, ¿tienen razón? Justifica tu respuesta. Si no es cierto, encuentra la razón de proporción entre las dos áreas.

Agranda la siguiente campana de tal manera que A’H’ mida el doble que AB.

Escribe un protocolo de resolución del problema detallado. Algunas pistas que te pueden ayudar a dibujar la campana son:

Observa que A está sobre la recta BI y sobre la recta CJ.H es el punto medio de BC.Los ángulos IBC y JCB miden 60º.Los ángulos BIC y CJB son ángulos rectos.BC pertenece a una circunferencia de centro A.

Análisis de resultados

Tipologías de soluciones obtenidas por los estudiante

Tipologías de soluciones para construir la campana inicial: -Regla y Compás (RC)-Solución de ángulos (AN)-Solución Polígono regular (PR)

Tipologías de soluciones para construir la campana ampliada- Solución Thales (TH)-Solución Pitágoras (PI)-Solución Angulos (An)-Solución Homotecia (H)

Analysis GlobalThales Pythagora

sAngles Homothety Unsolved Total

Rule and compass

1 3 1 1 1 7

Regularpolygon

4 - 5 - - 9

Angles 3 - 11 - - 14Total 8 3 16 1 1 30

Table 2: Results crossing

Análisis Global

Característica del trabajo geométrico del estudiante:

-Génesis figural: el comportamiento al introducir la campana (espacio real y local, objeto tangible) se estudia desde el punto de vista cognitivo las visualizaciones y percepciones que tiene el estudiante y las intuiciones que le ha permito llegar a ello.

-Génesis de razonamiento discursivo: se apoya sobre las propiedades y los procesos deductivos.

- Génesis instrumental: la construcción que depende de los instrumentos y de la configuración

Análisis Global/Característica del trabajo geométrico del estudiante

Trabajo Geométrico promoviendo una genésis instrumental

Trabajo geométrico soportado por una génesis de razonamiento discursivo

A un trabajo geométrico apropiado para el software

Interacción entre diferentes génesis en trabajo geométrico de los estudiantes y bloqueos

1. Dificultades de comprensión e interpretación del problema en la fase inicial de resolución de problema En relación con la vision de la figuraEn relación con la movilización de conocimiento disponiblesEn relación con la organización del trabajo de resolución

2. Dificultades ligadas a la genesis instrumentaleLigados a la utilización de comandos y su significación matemática La cuestión de dependencias de los objetos matemáticos en la geometría

dinámica 3. Bloqueos en la gestión completa de diferentes genesis de trabajo

geométrico Del discursivo al instrumentalSobre la utilización de homotecia

ConclusionImportancia el contexto informático en las tres génesis (figural, instrumental y de razonamiento discursivo) en el ETG:

- Diversidad de aproximaciones

- Tipos de relaciones que privilengia en el ciclo global de dos genésis intrumental y figural

-La incompletitud del ciclo en el trabajo geométrico de los estudiantes que comoienza su investigación se apoyan sobre el trabajo figural y discursivo.

-La vuelta a los instrumentos para terminar el ciclo es problemático y no es congruente con las herramientas teóricas e informáticas

-Situación de formación

-La articulación entre la aproximación instrumental y el ETG

- Dimensión más dinámica y completa sobre el trabajo global del profesor como elemento de un marco más general.

•Añade elementos de orquestación del profesor como facilitador de la genesis instrumental

•El estudio muestra que es necesario añadir una dimensión para el desarrollo de razonamiento geométrico del estudiante que tome en cuenta una linea de construcción de la genésis discursiva articulada con elementos de de-construcción visual.

Conclusion

– Consideraciones para la enseñanza en el contexto universitario:• Dificultades debida a la elección de representaciones • Dificultades debidas a la falta de flexibilidad• Dificultades debidas a la consideración específica de cada registro• Dificultades debidas a dominios instrumentales (software)

– Uso de las imágenes y ventajas en el uso de resolución de problemas:• Diferente tipologías de imágenes y usos asociados a ellas• Función heurística versus función Ilustrativa • Errores debidos a la falta de flexibilidad entre registros

– Influencia de los aspectos afectivos y socio‐culturales • Creencias sobre la naturaleza de las matemáticas en estudiantes y profesores

• Metodología utilizada en los cursos. Institucional• Evaluación y su significado. Institucional

– Identificación de perfiles: niveles de pensamiento y preferencia por lo visual.

Y para terminar…..

Y para terminar …….• La visualización es un aspecto muy importante de la actividad matemática

– En el nacimiento de la actividad matemática– Descubrimiento de nuevas relaciones– Transmisión y comunicación

• La visualización aparece de forma natural– Por la propia naturaleza de la matemática. Concepto de matematización.– Porque nuestra percepción es prioritariamente visual– Aparece también en actividades matemáticas en las que la abstracción parece

llevarnos lejos de lo perceptible por la vista. En esos casos, los matemáticos se valen de procesos simbólicos, diagramas visuales y otros procesos imaginativos que les ayuden a desarrollar una intuición de lo abstracto.

• La visualización tarea por hacer:“En muchas de las formas de visualización que vamos a experimentar se trata de un verdadero camino de codificación y descodificación que está inmerso en todo un cúmulo de intercambios personales y sociales, buena parte de ellos arraigados profundamente en la misma historia de la actividad matemática. Esto implica que la visualización sea un proceso que hay que aprender en la interacción con las personas a nuestro alrededor y en la inmersión e inculturación en el tejido histórico y social de la matemática” (Miguel de Guzmán)

visualización e intuición en investigación en educación ... · fórmula y pareció convertirse...

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