vol-1 kt 1-1/maths-7
TRANSCRIPT
KT
1-1
/Math
s-7(E) V
ol-1
The National Anthem
Jana-gana-mana adhinayaka, jaya he
Bharatha-bhagya-vidhata.
Punjab-Sindh-Gujarat-Maratha
Dravida-Utkala-Banga
Vindhya-Himachala-Yamuna-Ganga
Uchchala-Jaladhi-taranga
Tava subha name jage,
Tava subha asisa mage,
Gahe tava jaya gatha.
Jana-gana-mangala-dayaka jaya he
Bharatha-bhagya-vidhata.
Jaya he, jaya he, jaya he,
Jaya jaya jaya, jaya he!
PLEDGE
India is my country. All Indians are my broth-
ers and sisters.
I love my country, and I am proud of its rich
and varied heritage. I shall always strive to
be worthy of it.
I shall give respect to my parents, teachers and
all elders and treat everyone with courtesy.
I pledge my devotion to my country and my
people. In their well-being and prosperity
alone lies my happiness.
State Council of Educational Research and Training (SCERT)Poojappura, Thiruvananthapuram 695012, Kerala
Website : www.scertkerala.gov.ine-mail : [email protected]
Phone : 0471 - 2341883, Fax : 0471 - 2341869Typesetting and Layout : SCERT
First Edition : 2014, Reprint : 2016Printed at : KBPS, Kakkanad, Kochi-30
© Department of Education, Government of Kerala
Dear children,
We’ve learned much math.
Let’s now move up higher
To the world of Arithmetic
Full of interesting numbers
And strange relations
To the new levels of Geometry
To understand the logic of Math
And to find the new things
Let’s move ahead with confidence.
Dr. P. A. FathimaDirectorSCERT
Anil Kumar M.K.
H.S.A., S.K.M.J.H.S.S. Wayanad
Arunlal M.J.
U.P.S.A, A. U. P. S. Aramangalam,
Kozhikode
Kunhabdulla M.
U.P.S.A, Muyippoth M.U.P.S. Kozhikode
K.G. Thulasidharan Pillai
P.D. Teacher, G.H.S.S. Karukon, Kollam
Balagangadharan V.K.
G.M.H.S.S. Calicut University Campus,
Malappuram
Artist
Dhaneshan M.V., Karivellur, Kannur
Manikantan K.O.V.
U.P.S.A. Pattiyamma,A.U.P.S. Kannur
Rajesh K.P.
Lecturer, DIET, Kannur
R. Ramanujam
H.S.S.T., M.N.K. M.G.H.S.S., Pulapatta,
Palakkad
Sunil Kumar V.P.
H.S.A. Janatha H.S.S. Thembamood,
Thiruvananthapuram
Experts
Dr. E. Krishnan
Prof.(Rtd) University College, Thiruvananthapuram
Dr. Vijaya Kumar A.
Prof. Cochin University, Cochi
TEXTBOOK DEVELOPMENT TEAM
Academic Co-ordinator
Dr. Lidsonraj J. Research Officer, SCERT
ENGLISH VERSION
Dr. E. Krishnan
Prof.(Rtd) University College,
Thiruvananthapuram
S. Bindu
Associate Professor of English (Rtd)University College, Thiruvananthapuram
Academic Co-ordinator
Arun Jyothi. S. Research Officer, SCERT
Venugopal C.
Asst. Professor, Govt. Collegeof Teacher Education, Thiruvananthapuram
State Council of Educational Research and Training (SCERT)
Vidya Bhavan, Thiruvananthapuram
Participants
1. Adding Angles..............................................7
2. Parallel Lines..............................................13
3. Unchanging Relations................................35
4. Repeated Multiplication............................49
5. Area of a Triangle ......................................67
6. Square and Square Root ...........................79
7. Speed Math ...............................................89
ContentsContentsContentsContentsContents
Certain icons are used in this textbookfor convenience
Computer Work
Additional Problems
Project
Self Assessment
1Adding Angles
8
Joining angles
Can you draw this angle?
A B
C
30o
Draw another angle on top like this:
How many angles at A now?
∠CAB = ............
∠DAC = ............
Do you see one more large angle?
How much is it?
∠DAB = ............
How did you compute it?
∠DAB = 45o + 30o = 75o
In the figures below, the measures of two angles are
shown. Write the third angle as a sum or difference
and compute its measure:
∠DAB = ............ + ............ = ...........
∠DAB = ............ + ............ = ...........
∠CAB = ............ − ............ = ...........
A B
C
30o45o
D
40o
60o
A B
C
D
30o
60o
A B
C
D
80o
A B
C
D
120o
45o
A B
C
D
50o
∠DAC = ............ − ............ = ...........
IT 1
75-5
/Bac
.Sci
e-5(M
) (V
ol-
1)
9
On both sides
Draw a line and a perpendicular to it as below:
BA
C
Now draw an angle within it like this:
What is the measure of ∠DAC?
∠DAC = ............ − ............ = ...........
Let’s stretch AB a bit to the left:
How much is ∠DAE?
∠DAE = ............ + ............ = ...........
Do you see how ∠DAE is related to ∠DAB ?
Now look at this figure:
Can you compute ∠DCA?
How about drawing a perpendicular at C and splitting
this angle?
How much is ∠DCE?
So, how much is ∠DCA?
∠DCE = 90o − 60o = 30o
∠DCA = 90o + 30o = 120o
BA
C
D
50o
D
CA B
E
60o
BA
C
D
E
50o
40o
BA
C
D
E
50o
D
CA B
60o120o
D
CA B
60o
IT-2
61/2
/MA
TH
S-7
(E
) V
ol-1
1 0
Like this, can you compute the angle on the right in
the figure below?
In the figures below, the angles made on either side
by joining two lines are shown; the measure of one
angle is given. Compute the measure of the other:
What do we see in all these?
If a line is drawn from another line, then
the sum of the angles on either side is
180o.
A pair of angles got like this is called a linear pair.
Angle calculation
$ How much is ∠ACE in this figure?
$ How much is the angle between the two slanted
lines in this figure?
$ In the figure below, ∠ACD = ∠BCE. How
much is each?
130o
100o
40o
50o
80o
50o
25o
A B
D
E
C
A C B
E D
30o
1 1
Cutting across
In the figure below, how much is the angle on
the left?
Suppose we extend the upper line downwards:
Now there are two more angles underneath.
How much is each?
The angles at the top and bottom, on the left of the
slanted line form a linear pair.
There is such a linear pair on the right also.
Now can’t we compute these angles?
In the figure below also, two lines cut across each
other. Can you compute the other three angles
marked?
What do we see from all these?
Among the four angles made by two lines
cutting across each other, the sum of each
pair of nearby angles is 180o. Each pair of
opposite angles are equal.
Now can’t you calculate the angles marked in each
of the figures below? Write them in the figure.
75o
75o105o
75o105o
75o105o
120o
110o
135o
45o
1 2
70o
50o
60o 40o
70o
30o
Looking backLooking backLooking backLooking backLooking back
$ Applying the geometrical ideas learnt in
new contexts.
$ Explaining the concepts of linear pair and
opposite angles, using ideas relating to
angles.
$ Solving problems using the knowledge
relating to angles.
Achievements On my own With teacher’s Must improve
help
50o
Let's do it!
In each figure some angles are given. Findall other angles.
2Parallel Lines
1 4
Parallel Lines
We get a line by joining any two points; on the other hand,
do any two lines meet at a point?
What about the lines got by extending a pair of opposite
sides of a rectangle?
Do they meet however much we extend them?
Why?
Look at this quadrilateral:
If we extend the top and bottom sides, do they meet?
What about the left and right sides?
� �
��������������� ���������������������
���������������������������������������������
����
��������� ���� � � �� ����� ��� ���� ������
������ ���� ��� �� ���� � ��������� ���� �����
���������
�����������
����������������������������������
��������������������������������������������
������� ���������
!�������"�������#�������
$���������������%����������������������������������
"�������������������#�&�������������'
(��� ��� ��� ����� ��� ��� ��� "������� ���#� ���� �
���������������������������)�*��������������������
��������������������������������������������������
�������'
(���������������������������������������������+�
�������������������������'
,����������������������������&�����������������#���
����
����
����
����
�������
����� �������������������������
������������� ���������������������� � �
����� ����� ������� �� ���� ��������� � �
�����
���� ��������
������������������ �� �������������� �����!
���������� ������ �����������������������
����
"����#���� � ����
$��%����� ����������#�������� ����������#��
� ���� ����&
� ���������������#����� ����������#������
����'����������
� �
�����������������������������������������������
$��������������������������������������������������'
!�������������������������������������������������
��������'
-���������������������������������������������#�����
���������'
(��������������������� ��������������������������� ���
�����������������#��������������������'
����
��� ��������� ��������
(���� ���� ���&
$��%����� ��'��'����������������� �� ���)��!
���
*���� ���'�����
+�������� ��&
*�'��'�������������������� �� ���)��������
���� �����'��'������������ ��'��'�������
��������
*���� �� ���)����������'�����
, ���������������������������������'����
���'��'�������������������-��������������
������%� �� '����� ��� ���� (����� � ���������
�����������������������%����� ���������'�����
��� �����'��'������������ ������� ��� �� �
'������ (�� � �� '��'�������� ���� #�� ����
� ��� ���'������������� �����������,������!
�� ���'��'������������ ���'��'��������
,������������'������������ ����� ����������
�����������������.��%���'������������� ������
(������ �������������%����� ���������� �
'��������� ���� ��'������ ��� �� ��'���������
� ��'��������� �� ������������� ��� �''���
���� ��'������������ ������
����
����
∠
∠ −
∠
∠
∠ ∠
∠
∠∠
∠ −∠
� �
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������
� � � �
� � � �
�������
� � � �
��������������
����� �������� ������������ � ��������� ���������������������������
����������� ����������� ����� ���� ��������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ��������������� ������ ����� ����� ��������������������������������������������� ���������� ���� ��������������������� �� ������′��������������′�����������
������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������′′��������
���������������������������������������������� ��������������� ��� ���� ����������������������������������������������������������������������������������������
�′
�′�′′
KT
1-2
/Math
s-7(E) V
ol-1
� �
(��������������������'
34� 54�
.�������������������������
��������������������������������������������
����������������������������
34� �4�
���������������������������������
,������������������������
-������������������������������#�������������������
����������������������
���������'��������''������ ������������ ��
�������
�������������������
6���%���� ���������������� �������� ������
��������� ����������������� �����������������
���� �������������
� �
(��������������������������������������'
7��
7��� �
�
�
-�������� ������������������������������������������
����������
-����� ��������������������#����������������������
���������������'
����
8���
84�
/�������������������������������������������
.� ��������������������#�������������������������#���������
�������������)
�� ���������������
-��������������#����������������������������������'
�4�
�����������������������������������
34� 34�
����������������
�������'�������'����������
*������ ���'���������� ��������� ���
$��%����� ���� ��������#�������� ��&
� ���������������
�
0���������������������"��������������������������
���'
�4�
�4�
!�������������������)�/����������������������
$�����������������������������'
��������������������������������������������
��������������������������������
�4�
�4�
�4�
�4�
�4�
984�
984�
/���������������������������������������������������
�4�
�4�
�4�
�4�
984�
984�
984�
984�
���������� �������������
1������������#���������� �&
+�������������� ��� ��� �� ��#������������
���� ����#���&
:����� ������� ������ ���� ��������%��� ���
���� �����'����� ����
� ��
���� ������� ���
� �� �������� ��
��������� �� ��
����� ����� ��������
� �� ���� ��� ������
���� ��������
� �
-�������������������#��������������������������������
�������'
74�
�������������������������������"���������������
�����)
��������"�����������������������'
��������� ��������"���#������������� ������ ��
�����
-���������������#������������������������������������
����������������������������)�-�����������#���������
����������������"��������������������������)�$�������
��������������������������������������)
34�
7��
����������������
:������������� �������������� ��'����
��� ��� ��� ����:���� ���� ������� ������� ��
'������ ����� �� ��&
:���� ���� '����� ����� � �� �� ����*� � ���
�� ������� ����;��� ���
+���#���%����� ��������� �������'�����&
���� ��������
��� ����������
� �������� �
������ ���� ���� ���
��� ���� ������
!"� #�� �� ��� ���
����� ��$������
����� ������� ����
���������
� �
�������������
��������������������������������������������#�����������
��������'
-����������#������������������������������#�������
��������������������������������������������������������
���)
���������������������������������������������������
�"���������������)�,����������������� ���+������
���������������1�������������������234�5)
�����������������������
*��� �������������� �������� ���� ���
� ����#����� ���� ��������'����� ����
34�
1������������ ���� ������� ��������'�����!
����
84�
34� 34�
34� 34�
34�9�4�
9�4�
%�� ���
&���� !�"
'(�
<4�9�4�
7��
+�������� ���� ������� ������������
��������� ���
�
6������������������������ ���������)�$������"����#
���������"����������������)�6�����������������������
���������������������'
7�����#������������������������������������������%�����
���#���������������������������������+������������������
��������������������������%���������#����������������������
����������)
!�����������������������������������������������
������������������������������'
.������������������������#�������������������������
���������#���������� ���������������)
�
8
�
�
������ ��
��� ����
������ ��
��� ����
9
�
�
�
�
� �
�
������ ��
�� � �� ��
������ ��
�� � �� ��
�
�
�
�
� ��������
��� ����
�������
��� ����
�
8
�
� �
�
�������
�� � ����
�������
�� � ����
�������� ���������
� �
: �����������������������������������������������
������������)�,�������������'
!����������������������������������%���������#�������
�������������������������
�����������������������
.����������������������%���������#��������������������
����������)
�������������� �������������������������#�������
���������� ��������������'
.������������������������#����������"������������#
����������������������)
�������������
������ �������������#���&
� ��� ��� � �� ��������#������� � �� ������ ��
���%��
+�����%����� ����������
(���������������#�������� ���� ���
���������������� ������������&
� �
-��������������#���������������������������������������
���������������)�!�����������������������������"�)
/����������������������������������������
�����������������������������������������������������'
� �
� �
� �
�
34�
-�������#
!������������������������������������������������
���������������������"�������#�����������������
�����������������������������������������������
�����������)�7�����#��������������"� ���������)
9����������������������������������������#������
��������������������������������������������������
��������������������������������)
$������������� ������
����� �������
∠���#��∠��� ;4�
�� ���� �� ������
����� �������
∠���#��∠��� ;4�
�������� ������ ��������
$��%����� ��'�������
:��������������'���� ��� ����������� ������
������
� ����#����� ���'�������
� �
���������� �� �����
6������"���������������������������������������������
������������������'
�������������������������������
!���������������������������������������������������
������������������)
�4�
984�
�4�
!���������������������������������������� �������)
!����������������������� ������������)
984�
�4�
984�
�4�
������������ � ������ ����*0������'����
����� ��� �1�
.��%�'�����������-����� �������=����� ���
.��%�����'������>����"�������� ���� ����
+����������� ������������������%����>��-�
"����� ������������ ������0�����-�
+��������������� �������������� ������ ���
� �
�
�
�
�
���� � ������� ���� ��� � �� �� � �� '�������
���-�
-���� ���� ����� ������-�������%��� ���
������������������ ������ ����?� �����%
��������� �� ��� ������ %&� ������� ����
��� � �������� ���%� ���$����� ��� � ����� �
������� 1 ����� � �� ����� ������ ���� ����
�� ������� ����'����#������
�
�
�
�
�
���
���
�
� �
-��������������#���������������������������������
�����������������������������)�$����������������������<
��������������<����������������������������������
����������)� �
� �
� �
�
34�
$���� ������ ������ $���' ������ ������
�� ��������������� ������
,�����������'
�4�
�
�
�
����������������������������������#��������������)
������������
$��%����� ��'����� ���&
34�
1�������������� ��������������� ���� ���� ���
�� ���
� ������� ������������ ���� ���
+�����%����� ���'����� ���&
+���� ����� �����
0��� ���;�� ���� ����� ��� � �� ������� � �� ���
�� ������� ���������
� ����#����� �������� ���� ��
(���� ������� ������������������ ���
� �
������������������������)
(�������������������������������������������)�6����
��������������=4�)�!����������������������������)�6����
���������������������������������������'
�4�
�
�
�
�
(������������������)�.���������������������
�����)
������������������������
!���������������������������)�/���������������
�������������'
�4�
�
�
�
�
34�
54�
�
!��������� ��������� ����
������� ����� �� �%�� � ��� ��� ��'�������� ���!
#����
34� 74�
�
�
�
34� 74�
�
�
�
���������������
!������������������������<�������#�������
�4�
�
�
�
�
34�
54�
�
+���'�������� ����� �������%���� �� �����
����������%���'���� ��� ���������
?������ � �� ����%��'����� ��� ��� ���'����� ��
���
34� 74�
�
�
�
+���� ����� ������� ������%���%����� ����
*����� ����
(��� ������ ����� ���� ����������� ������� ��
� �
∠��������∠��������������������'
�4�
�
�
�
�
34�
54�
34�
�
6����#������������������������������������������
����
���������������������������������������������������
�����#��������������������
����"�������������∠���)
$����#����������������� �������∠����1����5)
!�������∠���#��������������∠���+��������������
�����������∠����������<������������)
,�#
∠��� > 234��−�?4��>�2?4�
$������������
∠��� > 2?4��−�;4��>�34�
!���������
∠����>�∠��� > 34�
�
�
�
74�
�
�
34�
�������������� ��������
$��%����� ���'����� ���&
� ������� ����������#�������� ���� ������%�
���
*��� ���� ������%�� �����
*��� �������%���������������������
+��� =���� � ���''������ �������� �����%�� ���
����� ��&
� ������� ����������#�������� ���� ������%�
#���
*��� �������%�������
� ��� ��� � �� ������� � ������ ��������������
�������
� ��� ��� � �� ������� � �� � ������ ���������
����� ��
�
�
�
74�
34�
(����������������'
°
�° �°
!��������������������������"���������������#��#� )
���������������������������
6����������������������������)
$��������������#��������
∠����>�∠�����>� �
°
�° �°
�
�
�
�
�
$����������������"#
∠���@�∠��� >�234�
°
�° �°
�
�
�
�
�
�°
!������� ������
"���������������� ���� ���������� ���� ��
������������ �����9<4������������� ����������
������� ����� ������������ � �� �� ��� ��
� ��%�� �������"������������������������ ��
����������� ���������� �� ������ ���������9<4��
������� ����� ���������������� ���� � ���
������������'��������� ���''�����������*�
� ������� �� �����������#��������� ������
#��'����������������������� ���� ��������
� ���� ������������� �����9<4��
0����� �� ��������� �������� �
� @���� ������ � �� �� � �� ����� ��� � �
�� ������������������ �� ���(���� �
������������� � ���� �� ������� ���� ��
���������� ��� �� ������� ��
� :��'����������'��������������#�������
���� ��)���0���� �������� ����������� �
�� ��� ��� �� ����� �� ��� 9<4��� ��� ���
�����������#�������, �������������'�
�������#�� �� ����'����������������
��������'������ ��
� � ����� ������� ���� ��%������ �����
���� ������� ���������'�������������
���� ���� ��� � �� � ������ � ��� ������
� ���� ������������� �����9<4���#������
����� �����������
�
�
�
74�
�
�
34�<4�
<4�
� �� �
�������
������� ��� �
�������������������������
�������������� ������� ������ ������������
���� ��� �������
� � � � � �
�
��
� ���������������������������������������������������������
� �
�
�
��� ���
� �����������������������������������������!���������
����������������"��������������#�$��%�������������������
�������������������#
���������� ��� ���
������������ �� ���������������������
���� ����������� ����������� ��� �
�� ! ���� ��"������� ��
����������
#���������� $%���!��&������'�����
( � ��� �������������� ��������� �� &
��%���'��������� ������ ������)�*���
α �� �� ���� ��� �� &���+ � ��� �
,�����′�+����� ��! ���� �� &���′���'��� ��� ��β �� �� ���� ��+ � � � � �
������′′���� &���′′ ���'������ γ ���� ���� ��� ������ �������′′′� -���'%′ ���'%′′��������� ��� � ��. ∠�������∠���∠�′���″���∠��∠�″���′′′���∠�/�. �� ��!
�������� 0������� ��
�� �� ���� ���� �� ���� �� ������� 1�
���� ��2� ���� � �� �� "���� �� �� �����
���� ���� �+���� !������ ���� �3
�
��� 4��
���%′
���
� �����������������������������������������#�$������
����������������������������#
� � �
5��
67�
67�
�
�
34�
�
�
�
<4�
� �
�
�
34� 74�
�
-��������������"#���������������������)�/�����
�������������������������)
� -��������������#����������������������)�/�������
��������������������������)
�
-����������#���������������������)�/���������
����������)
���"�����������������
$��;��������'����� �������� ����������
-����� ���� ���� �����*0� ���01������ � �
�������������������������� ������� ��� �1
'��������*0����� ������� ��� �*�'����
���01��.��%�� ��'�������� ����� ������������
����� ���������� ���� ������'���� � ��'���!
�� ����*01��
7��
8��� �
� �
�
�
�
�
$���������%�� ���������#�������
+����� �����%����*0����������(�������
��� � ��� ����01������(����� � ������� ����
���%���� ��� � ��'����� ��������� ��'!
������� ��������� ���
� �
� �
�
�
�
����������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������
���� �������������������� ����� ��� ����� ������������������
� �
�
� �
KT
1-3
/Math
s-7(E) V
ol-1
� ����������������� ���� � ���� �����
������� ������ �����������
� ��������������������� ������ ������
������������� ��� �����
� �������������� ���� � �����������
������ ������������������������
������
� ����������������� ���� � ������� �
� �����������������������������
���� ��������������� ���� � �������
�� ������������ ��� �� ������ ���
������������
� �� �������� �� �� ����� ������
��������� �� �������� ���� �
� ��������� ������ ��������������� ��
����� ������� ���������� �����������
��� ����������� ���� �
� !������������ ����������� ���
������� � "#$��
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
�
�
������������� ����
� �
����������� ����� ��
������������ ��������������������������
����������������������������������������
�������� ��������������� �������������������
�������� ����������������������������������
���� ��� ������� ��� ��� ���� ���������� �������
�������
����� �������� � ��� ��� ����������� ����
��� ������������ ��������������������������
��������������������������� ���!���������
�� ��"�� ������� ��#������������� ����� ����
��� ����������������� �������������� �� ��
����������������������������� ���������
���������� �����$�%����������������������������
��������&��������������������������#���������
������������������������������ ���������%�'�
�����������������������������
(�� � ��� �����!���� ���� ���������� �������
����������� ��� ��� �������� ����� �������
���!����������������������������������#���
����������������������������� �������������
���������
��)�$�%�
(������"�����������������������������������
�������
��)�%�'�
(�������������������������������#�������������
��� �����������������������������������������
��������������������������������������������
��)���
�����������������
�������������� ���������������������
����������������������
*���
*���
*���
*���
������� ������ ������������������������
��������������������� ������� ���������������������
������������������� ��� �����������!�!��!�����������
�������� �������������
"�!��!������������������������������������ �����������
��������������������!������!����
��#�$���
��������%�!�������!����!��!������ ��������������!���
� ������ ��������������!���� ��!���������� ���������������&
���× �'����!��(��)��!��!��������������������!�������
������������������������������������� ������
��#�$�
������� ���������������������������� ����
"�!��%�!���������������!� ��� �����������!���!�
���� ����������������
"�!��������������������������������������������������&
������������!���!��!��������������������!���������������
*!���!��!���������������������!����������������������
�������������������������� �������������
� �
�����������������
+ �������� ������������,��� ��� ��������
���� ������� ���� ������ �������� �
�!��������������������������-��������� ����
������.�� � ����� ����� -�� �� �� ��� � ����
������.���������������������� ���/� �������
����������-��"����������������.����������
��������������������-��"����������������
"��������.�
0����������������������������� ����������
����� ���� ��������������� ��������������
��� ���� ������������ ���� � �� ��� ���� ��
���� ��������� �� ������� ����� ���������
����� ������ ���!������������������ �����
�� ������ ��� ����"���� ������� �� ���
������������� ���� ������� ���� ���� ����� ���
��� ���
(���� ���������������������������"������� �
��������������� ��� ��������� �����"���
����� ������� ������� �� �!������� � ����
���������������
��� ���� ��� ������������ ��� �� ���������
�������� ������� ���� ���� �� � ������ ���
�������� �� ����� ����� ���� �� ��
�������������������������� ���������� �
���������������������������� ������������
����
�������� ��� � ���������� ��� � ����
���������������������������������������
� ������������� ��������
, ������������������������������ �����������
��
1����1���1�2�����3
��������������
+%����������� ��,
-�.�/ # �
/�.�� # �
��.�$ # 0
��������!������ ��1����� ����� ������
2!��%���������,
'/��-(��.�- # �
'/��/(��.�- # �
'/���(��.�- # 0
���� ������� ����� ��������������-�
*!�����!������ ��!�������������� ������
+�� ����%������� ����� �����������������������������3�
�4���������!��������!����0��������4����� ����� ��������56
��������� �
0�.�5�#�-�
) �����!��!���������5���������0�.�-�������������
0�.�0�.�-�#�'/��0(�.�-�#�-�
�����!����������������� ����� ���������������0�
����������������� ������� ���������������
��� ������� ��� �������������������� �������
������������������������������ �������� ������
7���!�������������!������� ����� ������
3���4��������� ����%�������������������������������������
����������������4��������6�� ��!���������������� �������
�����������������������������������������%����������
�������������!����������!�������������!����������������
����!������!���%����!�
������������������� ������������%�����6�������������
�������%���/����������
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2+ 1 = + + 1 = 2 + 1� � ���
� �
�������� ����������������!����1����������!��������!����
)�!�������4���������������1�����1��
���������������� ����������������������
��������� �������� �������������������
��� ��� ��� ������ ����� ��� ��� ��� ��
����������������������� ������������������������
���������� ��������������3�����������8��!������������
� �����!��������!�������������������������.�-6��������
� ��������������.�'��.�-(��2�4������ ��������!���������
/�6������������������������/��.�-��)��������������������
!����1������1������������!��������� �6
���������������������� ���������� �������
����������������������������!�������� �����������������
������������������������������
+��8���%��������������4�������) ������������ ����
!����������������������� ������������������ ����������
��!����1���!������������ ��������%��������
"�!����%������������ ������������������������� ����
'!��������������� ��������(������������!������!���������������
!��������������
�������������������� ��������� �������
2�������������������������������������!������������������
� �������7������������������������������������ �����6
���4����������/�.�/�����/����/���1��$��9 �����.��
#���������������������������������'��!��������������/����
���������������(�
2!���������������!�����������������1������ �����
�������������������� ��������������������������������� ��
����������������������� ����������!������������������������
�4��������� �������������
������� ������
��� ����� ����� ����� ������� ��������� ��
���������� ��� � ����� ���� ��� ������� ��
���������� ������������
���!��������������������
:���������������� �������1�����������
� �����
7����������������
����4������������ ������
)����������������������
������������� ��������� ��������������
�������������������
������������
��������������������� �������������
&������ ������ ��"�� ����������� ��� ������
���������� ����� ���� ��� ��������� ��� ����
������
� �����"��������5
6������������ �������������������������
��������������� ����� ������� ����� ���
���������������� ���
(�� ���� ������� ����������� ��� ������� ���
��������� ���������� ��
����2����73��1����7��������� �������
8������ ����������� ��������� ������� (�� ��
����� ��� ������� � ��� ��������� ��� ����
� ����� �������������������� ���"�������
���������������
������� ������������������������� ������
���9��"�������������������������� ����
�������
� �
� ��������� �������!��������������� �����
� ������������ ���������� ��������!�
� 3������ ������� ����������������������������!���
����� ���������� �����
� ��������� ���������� �����������
� �����!������ ��1����� ����� �����������������
� ������������������������
� �����!������ ��1������ ����������� ����������
�1���� ���������������������
� ����� ���������������������� ����������������
� ����� ������������������������������������ �������
������ �����
� ) ������� �!� ������ �� � ����� ��� �1�� ������ ���
� �����
� �����!���������� �����!������������������������
� �����
������������
���������5�.�/��.�0��
��������������������1�������,
�5�.�/� # ;�
;��.�0� # -�5
�����������������%������,
/��.�0� # -<<
�5�.�-<< # -�5
�����8��������������������������������������!���
2!���������,
/=�.�1
3�.�
2
3
�����������������!������!�� ������! ���� ����������
�������!����������������!�� ���
���������� ������� ������
6��������������������� ���������������������
������������� ����� ����������������� ��� ��
������ ���� ���!���������������������*������
$���������74�������17�
6���������������� �����������������������
� ������������������ �����������������������
�� �!������� ����� ��������� ��� :� �����
:�;�2:�;�73�)�'�����������������������������
���� ������ ��������� ���� ����� �� ���� (�� ��
���������������������������������
����2����73��1����7
(�������������������������2����73������������
���������������������� �������������������
���� � ����� ����� ����1�� ;� 7� ��� ���� ����
��������� ��������� ���������������������
���������� ������������������������������������
������������������� ���
&��������� �� �������� ���� ��������� ��
�� ���������� �������������������������
���1��;�1��������������������������������
���� ���������� ��� �� ������ ���� � ����� ��
� ����� ��� 1� 2��;��3������������� ��������
�������������������������������������������
� ��������������������� �����������
1����1���12�����3��������� ����������
,����������� ������������� ���������� �
�������������������������������������������
�������������������������� ����
� �
����������� ���������� ��������������!�������������
� �������������!�����������������������������!���������
����� �������������!��������������������������������!�
����������������������
��������� ������� ����� ������ ��� �����
������������������������������� ����� � ��
���������!�������������������� ���������%�����3�
�4�������!������!��������������� ����%������,
'�5�.�/�(�.�0��#��5�.�'/��.�0�(
��������������� ����%������
( )1
329 + �.�
2
3�#�/=�.� ( )1 2
3 3+
)�!������!����������������������������������������
� ������ ������������,
����������������������������������� ��������������
2!�� �����!��!���������� ������;�.�/��.�;$�
"��8�������������������;�����;$������
3�����!�����/��.�;$����;$�.�/�����������!��������� ���� �
���'�;�.�;$(�.�/��
������������������� �����������������������������
2!������������������ ������� ������,
� $=�.�-/��.�0� � �$0�.�;��.��0
� 55�.�0/�.�-/ �
1
4�.�-�
3
4�.��/
� -����.�<�/��.�<�0� � 5�/�.���;�.�;�$
������������������
��� ��1�� ����� ���� �������� ���������� � ������� �����
� ������
�������!��� �����������������������������������
�� ����� �����������
&� ��������� �����������������"������
����������� ���� �������� ����� ����� ������� ��
�������
(�������������������������������������*�����$
���������*�;�$������� ����������� ���������
�������������74��6���������
*���$��74
��������������������������������� ���
(�� �������� ���� ��������� ��� ������� ��
� ����� ������������� �� ;����8������
���� ���� � �<���� ������� ����� ������� �
"������������� ���� ������������&�������
�����������;����������� �������
� ���������������
6���� �������������������������� �������
� ���
�������������������������
�������1����������� ������
+���� ����� ����� ��������������������������� �
�������������������������� ����������������1�
����� ��� �� ��� �
�������� ��� ����
����� ��� ����� �
�� ���� ����
������ �� ��
������ �
�
+%���������������,
>���������<<�� �����!����������������1��-<<�� ����
����� ��)���������������� ����!����<�� ����
��������2!��!�� ������������>������1���
������������������ ��������
�<<�−�-�< #���<�� ����
�������������������������� ��������
��<�−��< # �<<�� ����
���������������%��������������!��������������������
�������
-�<�.��< # /<<�� ����
)�!��������������������
�<<�−�/<< # �<<�� ����
"�� ����� !����� !������� !�� �� 2=44�−�7=43�−�=4� �
=44�−�27=4�;�=43��!���������������� ��������������� ���
)�������������� ������������� �������
/-5�−�/<�−�5<
*!�����!��������!����!����1������������������������
����������
������� �� � �������� ���� ��� � ������ �
� ������ ��� ����� ������� ��� ����� ���
� ����� ��� � ���� ����� ��� ������
���������������
��������������������������� ��������� ��������������
"������������������ �����������!�� ���������� ��������
� �����!���������� ���������� ��������������
+%����������������
������ !���� �5� ��������� !���� ���� ������ ��������
����������������)����������������!����������������
?����7� �����������*!������������������������!�
+��8�����������������������1�����������������@�����
������!���
�5�.�� # $�
� ����������� �������
������� ���� � �� ��� ����� � ����� ��� ���
��� ����&������������� ����������������"������
��������������������!�������
2�����3����������2����3
(��� ����� ��� ��� ����� ��� ���������� ��"�
���� �������������� ���!�������������� ������
1'�;�*$�;�>*������������� ��"�������*$�;�>*�)
744����������������������������������������71'�
2������� ��� ������������������ �� ������
��������3�
� ����� ���������� ������� ���������
��������������
274�−�*3�−�1
����� ������*�����74����������� ������1����
������ ������$����������������������� ������=�
�������� ������<
74�−�2*�−�13
����� ������1�����*��������7�������� �����
�����7�����74���������'�
(�����������������������������������������
�� ������ �������� �����������274�−�*3�−�1����
74�−� 2*;13� � ���=������ ���"���������������
��������� ��
2��−��3�−��)���−�2����3
���������������5
������������ ������������� ��������
�������������������������� ����������
� ��
�
����!��������������������������!���
$��−�� # $<
"�����������!���%���������1��������������!��������� ��
��%������,���������������������������������������)���������
������������� �����������
��−�� # /
�����������������������!�����5����������
)����������� ������!���
�5�.�/ # $<
�� ����������������������� ��������������� ���������
��������!������� ������������������ ����������������
���������3���4������
'-<5�.�/�(�−�-� # -<5�.�'/��−�-�(�#�--5
����� ���������������� ������������� �����%�����������
� ������ ����������� ��������������������� �����������
3���4��������%���������������,
/��.�-<�−�-�
����������!�������������� �������-�����-<�
"���������
������������������������������������ �������������
������ ���
>����������������������������������������!��� �����
���������,
� '-���−�0�(�−�/0
� ( )1
237 1− �−� 1
2
� '/=5�−�$��(�−����
� '-/5�.�0=(�−�/=
� '/=5�.�$��(�−����
� ( )1
2149 3+ �−�/� 1
2
����������������
+%����������������
A� ������--<�� ��������������1������4��*���%� ��-�
� �������� ���������*���������������-<�� ������*�
�������������� ��
������1=�;�14�−�7=�������������������������
� ������ ��� ���� � :=�−� 7=� )� *4�� ���� ���
�������� ���� � ������������� �������������� ��
����1=�;�=�)�*4�
� ������1=��;��74�−�7=��������������������������
��������������� ��������������
(��������������"�������������� ���� ��������
�������� ��� ���� ����������������������������
���������� ����������������������������
��� ������������������������������������"�
������ ��
�������������������
2��;��3�−��)���;�2��−�3
���������������������������?��
� �
��� �������� ������������4���*!�� ��������������4
�!�
+��8���������� ����������������!����A� ����������
����%� ��-��� �����������4����
--<�−�-��#�=��� ����
)��������� �����%���� �����������4��!����
=��.���#�-<<�� ����
����������������1������������!��������������%���%������,���
�%� ��-��� ���������� �����%���� ����6���������� ��
�����������������4�������
-��−���#�-<�� ����
)������4��!����
--<�−�-<�#�-<<�� ����
�������������������� ���������2774�−�7=3�;�=��������
���������774�−�27=��−�=3��!����!��������������
'--<�−�-�(�.���#�--<�−�'-��−��(
������������������� ������������� ��������������������
��������!������������ ������������������������������
�������������3���4������
'/=�−�-0(�.��0�#�/=�−�'-0�−�0(�#�-=
7���!�������������������������� ������������������
��������3���4�����������!����!����
'/=�−�0(��.�-0
���������������
)�������������������������!��������������������
������������������������������������ �������������
������� ��
2!� ������������������� �����������!��� ����������������
� '-���−�0�(�.�/�
� ( )1
238 8− �.� 1
2
� '-=�−�;��(�.����
� -���−�'���−�-5(
� $�/�−�'��/�−�/��(
�����������
0��"��������������������5
74�−�' ) 7
74�−�% ) 1
74�−�$ ) *
74�−�> ) :
�������� ���������������������������<
8��� ������<
��������� ��� � ����������� ���� ��������
����������� ����������������������
(��������
����� ����� ��� � ��������� ���� �� ��� ��
��������������������� �������������
� ���������������� ���
0��9���������������������� ������������������
������������� �������������� ����������
�������−���
+�� ��"���� ������� � ���� �� ���� � ���
��−������������������������−�2��−�3��������
�������−���
�� ��
��−�2��−�3�)�2��−��3�;�
!�� ��� ���"� ��� �#� �
����� � ��� ��$� ����
���������������
%���� ����� ���� �
�� �����
� �
����������������
��� ���� ���� ������� ���� ����������� !���� ���� ��!
����1������������������������!�����%��B����%�������!
� ������������1������������� ���������������6�"���������
� ������ ������C
B) �����-<�����������������/C��D�������������
BE���F�� ����������;�����$C����� ���������
B) ��-;������������C���������1 ��G����������������
��� ������ �����������������������
B2�������F�2 ����������-<� 1
2������ 1
2C
*!�������� ������������� ������
*!� �� !�� ���� �!� � ������� ����� ������ � �� ���
���������
+��8����%������� ���������������������������� �������.����"
!����%�������������� ������������������������������H���
>������������!����1����������������
�������������.����!������������ ��������,
'��.��(�−���#��
9 ��!����8���%�!���
�������!��������������
'��.��(�−����.����#���.���#�/�
) �����������������������������������������������������
���������� �������������������
'��.��(�.�'��−��(��#��/�
�������������������
�������� �����������������1����!���������������� �����
3���4��������D����8��� �����-<�����������������/�������
� �����-/�����������!���������������� ������)�����������
� ��������;6������������������ ��������-<�H�;�#��$�
������ �������
����� �������������� ���� ���� � �� ���
����������������� ����<
@��������� ��� ���� �������� ���� � �������
��������������� ���������������� ���������
������������
���!���������"��������� ��������$�����*�
���� � �� ��� $� ;� *� ���� ���������� ��� $�−� *�
����� ���� ��������������74�����:����������
������ ��������
2$�;�*3�;�2$�−�*3
8������������� ����$�������������������
�������*������������������������� ��������
&������������� ������$�;�$�)�7:�
(�� ����� ����� ��������� ���� ���� ��
�����������������
2$�;�*3�;�2$�−�*3�)�2$�;�$3�;�2*�−�*3�)�7:
(�� ��� ����� ����� ����������� ��� ���� ������
��������� ���
2��;��3�;�2��−��3�)�2�����3�+�2��−��3��1�
��� ��� � ����� �����
��������� ������� ��
������ � � ��� ������ �
&�������� '���� ��
���������� ������� �
#�����
� �
2!����8���%����!����G����������,�� ��-;������������6
������� �����/-��)������������� �����������������������
�������-<� 1
26����������������-;�−�-<� 1
2�#��� 1
2�
I�� �������� ���8������%�
������������������������������) ����������������������
����� �,
'��.��(�−�'��−��( # '��.��(�−���.��
# ��.���−���.��
# ��−���.���.��
# /�
�������������������
) ������������������������������� ����1����!�������
��������� �����
3���4�����������D����8��������� �����-<��������������/�
)��� ����������������� ��������-<�H�/�#�5�����������
��������� �������������������!��������$�
����� ���������������������������� ������������1��
���!��7���� ���������� ������
� ) ��-/�����������5
� ) ��-$<�����������5<
� ) ��/������������--
� ) ��/<������������
���������������������
�����1�������������!������� �����������������������
� �������1����1������������� ������'������������������
���������������� � �������(
�����������������������������������������
�����!����"��� ��� ������� �������
� �����������
0��"���������������5
�����������������"�������������������
7>� �������������������������"����74
�����������������������������������
�������������������<
(������������� �����"������������������"���
���������� �������� ������ ����������� ��
��"������5
���� � �� ��� ��� � ����� ��� 7>� ���� ����
�������������74��������������� ����<
@� �������������� �������7>�;�74�)�1>����
���������� �������7*���6������������������
� �������7>�A�7*�)�*���� �����������������
���"����7*� ��������������������������������*
�����
�������������������(���������������"����
������ ������������"������� �����&��������
���������������"����74� ������������� ��
�������������74����� ���������������7>�;�74�)
1>� �����
��������������������������"���&��������������
�������"����7*� �����
� �
�����!�����������������������������
"��������� ������������� ��������/���������������������
��������!������������ ������������� ����������
3���4������
'/��-;(�.�'���-;(�#����-;�#�5<
"��������� �����!����%�������� ���������������/����
��
+%���������������,
"��������������������!��������� ���������� �����
"������������������$<������������������������������
���&��������������������1���/����� �����*!���������� ���
�����������
"���������������!������
$<��/�#�5<
�����������������
����/�#��0<
)������������!������
5<��.�0<�#��-�<
���������������%���%������,����������� ��������������
$<��.����#�0�
)������ ���������� �������������
0���/�#�-�<
�������!������������"��������� ����������/����$<����
��������������������������������!������������ �������������
� ��0�����/�
�������������������� ����������������������������3�
�4���������!�����������$����������;��!������/�.���#
�6����������� ��-<����������
�������������������������!�������������������
# ��$������ �� � ������ ��� �� � ����
��$������� ���� ������� ����� ��� ����� ��� �� ��
� ��$������ ����� � ����� ���� �����
�����������
��"�� ���������B�� �������� ������"� ��
� �������"�������� ��5
������ ����� ������ �������� ������� ������ ��������
� � � �
� � � �� ��
�� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� ��
�� �� � � ��
(���������� �������� ����������������� ����
����%�;�'�;�7=�;�7>�)�:%��@��������������:����
� ������:������������������� ����%������<
��������������������<
(������"������������ ��������������� ����
��"�����
� ��;�7
����$ ����%
������ ����
��;�2����73���2����$3�2����%3�)�:��;�7>
������������������
:���;�7> ) 2:� ���3�;�2:� ��:3
) :�2�� ;�:3
���������������:�������������� ������������
� �������������:�
&�� ������� ���"� ���� ����� � ����������� ��
����������:����������� ������:�
� �
�����������
����� ������� �� ��������� �������� ����
����������������������������������
������ ����� ������ �������� ������� ������ ��������
� � � �
� � � �� ��
�� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� ��
�� �� � � ��
�������������������������������������������
��������������������������� �
!���� ����� ������� ����� ����� ���� �����
"�����������������������������
������"����������������������������������
������#����������������������������������������
����������������� ���������
��������������������������� ������ ��������
���������������� �
��������� �� ��� ������ ��� �� ����
����������� �� �������� ������� ���� ����������
������������ �� ����������� ������ ���� �����
$����%�����
��������������������������� ������ ��������
���������������������
� ������� �!���"���� � ( )3
415× �!� ( )3
45×
� ( )1
320× �!� ( )2
320× � ��#�×��� ��−���##�×���
� ( )1
22 23× ��−�� ( )1
21 23× � ����#�×�$% �− ���#�×�$% �� −��
��−�� � �����
�����
��−�� ��−�� ���−��
��−�� � �����
����� ����� �����
� � � $ # �
" & ' �% �� ��
�� �$ �# �� �" �&
�' �% �� �� �� �$
�# �� �" �& �' �%
�� �� �� �$ �# ��
����������
� (��������)����������*��+��� ��'� ���������+ ����
�)������( ���������� ������ ���������� ����
������������������,�����)������-��,����������
�� ����������
��������������#� ������� ����)�����
$�����������"������������������������−�&������&�
"����������"���������������������������
�����������������������������������������
�������� �
�� �� ��� �
��� � ���� �����
���� ���� ��
� ��� �
����� �� ��� �
� �� ��� ��
������� �����
� �
� ������������ ����� ��� ������������
���� � ��������
� ������� ����� ����� ��� �����������
�������
� �� ������ ��������������������
����� ������������� ������
� ���������� ����� ��� �����������
��������� �����
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
������������������������
� �
������������ ���
������������� ���
������������������������������������
����������������������������������
�������������������������������������������������
������������
�� ������������!��������������
"�����������������������#�$��������������������
��������#
%��������& × & ' ()����#
"��������������������!�����������������������
������������������ × � � ������#
�����������������
)& × & ' *+)����#
�����������������������
,�����������
��������������� &
��������������� & × &
���������������� & × & × &
��������������(-��������
& × & × & × & × & × & × & × & × & × &����#
������������� �
������� ���� ������� ������������ ������
����� ��������������������������������� �
� !����� !�����!����������� �����������"
��������� ��� !� ����������������������
��������������������� � ���� !#��������
����� �������������$� �������� !������%
&���������#����������'
(��)� ���
���� ���� ������������� ����� ������*++++
�!������*+�����
&�����# !�������� ��'
��,�-�,���,�.�,����,����
&���!�����������������!�#����/ �� !�0� �
� ���!��� �� '� �+1*1��.-*�����������
� �������� ����� ����!���2
��������������� ����������������������������� ������� ������������ �� ��������� ��� ���� ���������
��������� ���������� ����� �������
� �
��������������� ���������������������������������������
��&��#�$�������.&���������(-.#
�����������������������!��������������������������
(-&/+0)#
,��������������������������������������������
���������&��&���&��###�%����������������������������
*-����������&��������������������������(--���������
&������������#�����������������������������!�����
���������������������������!���#
"��������&��&���&���&��##�����������������������
����������&#
&������������!�������&#
&�����������!�������&#
$�������#���������������������&��������&����������
�����������!�������&#
���&������������1������������������2��������3#
�������������������!��������������������� �������
���������!��������� ��#
�������������
4����������������!��������������������������!����5
������ ��� ���� ���� �!���� �����!��������� �
����������#
��6�������������������!�#
�����������!�������1�
������������!���1���1��1��###�
���������!������!��������������
1� ' 1
1� ' 1��1�'�7
1� ' 1��1��1 ' 7��1�'��*0
������������!���1�
������������!���� �!�������������������������8�
��6���������������������#�9������!�
1 ' 1��1��1��1��1��1
��������������!���� �������������6�����������������#
������ �� ���
&��!!������ ������ !�� ����� �� ������ ��
!#����� ����!������� ������� ��������3
������45� ������ ������������ ����� ���6!�
���!������� ��#�����!�����!�#������������
���� ����5� ������ �������������!������3
� ��
���� ���� � !�� ����� �� ���� ��������#�� �
��# ���7,��−, ×, ÷)�#������������!�#��� �3
������� ���8!��� �!�����# ���!���� ���3
������5� ������ ��
����� ��� ���� ������ ������!���������� �
�����!�#�����!�������������!�#���� ���
� ������������ ��!������������������� ���
9 ���5���������������������
� �
1 ' 21��1��13��21��1��13
' *0��*0
' 0*7
����������*�
* ' 2*��*��*��*3��2*��*��*��*��*3
' ()��1*
' +(*
:����������!�����������������������
,������!������!����
��* ��1� ��&� ��*
��(- ��(�� ��(--� ��-��
����������
�����������!�������(-�
"����������������(-��(-���(-���###
������������!�������
(-� ' (-��(-�'�(--
(-� ' (-��(-��(-' (---
%���������(-��
%�!!���������������!���!�������*-#
������������!���*-��
*-� ' *-��*-��*-��*-
' 2*�×�(-3�× 2*�×�(-3�×�2*�×�(-3�× 2*�×�(-3
' 2*��*��*��*3��2(-��(-��(-��(-3
' ()��(----�'�()----
�����������*���+��
����������������2*�×�*�×�*�×�*3�× 2+�×�+�×�+�×�+�×�+3
;������ ��������������������
2*��+3��2*��+3��2*��+3��2*��+3��+
' (-��(-��(-��(-��+
' (-���+�'�+----
�������(--��
(--� ' (--��(--��(--
������������
&��������� �������:!����������'
1
2�����������:!����
��������� ��'
1
2���
1
4��
3
4
&������� 0�������������
����!�������������1
4�
� �����������������
��−�1
4���
3
4
&����� �����������'
11 1 1
2 4 4+ = −
��������� ����� ���� �����������:!����
11 1 1 1
2 4 8 8+ + = −
������ ������� !����
11 1 1 1 1
2 4 8 16 16+ + + = −
&������� ���!����;
12 3 32 2 2
1 1 1 1
2+ + = −
12 3 4 42 2 2 2
1 1 1 1 1
2+ + + = −
����������������!�� ������� ����1
2�� 2
1
2�� 3
1
2
���� � ����:!���� ���������� ����!#�������
�� ����
� �
������������������(-��(-��(-��(-��(-��(-
(--� ' (-
' (------
,����������!�����#
� ����������������������������������������(-�����
�����������!�������(-#
� :��!������!���#
� 1-� � +-� � *--�
��������
���������!����1)0+��������� ����!����8����
21��(---3�<�2)��(--3�<�20��(-3�<�+
=�� �!�������(-������������������
21��(-�3�<�2) �(-�3�<�20 �(-3�<�+
:�������!���������������������
�� (**( �� )-+-& �� &1*( �� 01*
������������������
���������!����1)*#+0&�
1)*#+0& ' 21��(--3�<�2)��(-3�<�*
,�1
105
⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠
�,�1
1007
⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠�,�
1
10004
⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠
����������������
21��(-�3�<�2)��(-3<*<1
105
⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠
�,� 2
1
107
⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠
�,� 3
1
104
⎛ ⎞×⎜⎝ ⎠
"������!��������������������
�� �*1.<� �� -*.++< �� �<�1 �� -+�
����������
������ �������>� ���������� �� ��!����������!���
�����#�9������!��������������0*��
0*�'�*��*��*��1��1�
=�� �!���������������������
0* ' *� �1�
��� �������
1
2�,�
1
4�,�
1
8�� ���−�
1
8
�������!�����������!�#��� �����������#��.�
������
.�1 1 1
2 4 8+ +⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ � �.�1
81−⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
������
1
28
⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠
�,�1
48
⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠,
1
88
⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠
����.�− 1
88
⎛ ⎞×⎜ ⎟⎝ ⎠
��,�-�,�� � �.�−��
(0������!����������������� �
1 1 1 1 11
2 4 8 1 6 1 6+ + + = −
#������������
.�,���,�-�,��������−��
=���������������!�#����������
��,�-�,�� � .�−��
��,�-�,���,�. � ���−��
������
-�,�� � .�−�-
-�,���,�. � ���−�-
>���� ���������������������
�-�,�-� � -��−�-
�-�,�-��,�-� � -��−�-
������������ ���!��
������������ ����!�� �� ����� ���� �-�� �-���-�
���� � ��� � �:!��� � �-� !#�������� �� �� ���
��5��� ����� ���������
5 4
How do we split 1000 like this?
1000 = 2 2 2 5 5 5
= 23 53
Now try to write the numbers below as product of powers
of prime numbers.
$36 $225 $500 $784
$750 $625 $1024
Powers of a fraction
Look at these pictures:
What part of the first square is coloured?
And in the second?
1
4 of
Numbers in science
Science often requires large numbers. For
example, the average distance between the
Earth and Sun is 149000000 kilometres. This
is written in scientific notation as 1.49 108.
Similarly, the distance travelled by light in one
year is about 9.46 1017 kilometres. This dis-
tance is called a light year. Astronomical dis-
tances are often given in terms of light years.
The star nearest to the Earth is the Sun. The
next nearest star is Proxima Centauri, which
is about 4.22 light years away, that is, about
3.99 1018 kilometres. We can describe this
in another way. Light rays from this star take
more than four years to reach the earth. Thus
what we now see is how the star was four
years ago. So even if the star dies now, we
would go on seeing it for four more years!
Hey! Prakash!
Wait Sir! Problemis about light
years. It'll taketime!
� �
"������1
4�× 1
4'
1
16
�����������������������!��������������
1
4��
1
16'
1
64
"��������!��������������1
46#
���������������������������!������������������������
����������
$��������������������
�����������!����� ������8�1
46#
�������������������
51
4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#
51
4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'1
4�× 1
4�× 1
4�× 1
4�× 1
4
'1
4 4 4 4 4× × × ×
' 5
1
4
'1
64 16×
'1
1024
"������������������������������1
1024������������
�������#
���������������!���������!��������������������������
��!�����������#�9������!��
33
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'3
5�×
3
5�×
3
5
'3 3 3
5 5 5
× ×× × �'�
3
3
3
5
'27
125
��6�����������������!��
32
52
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'
312
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'12
5×
12
5×
12
5
��� ����
������������ ��� ����� ���� ���+��+��&���
������������� ����� ���� ��<'
&�����# !���'
( 0���������������� ��� ���� ���"���������
�����������'
&�������������������'
$���0� ���� ���� ���� �� ���� � ���� �� ����
����������!�#���
A���� ���:!�� �;�&����������������� �
-�'
�������
� �
'1728
125�'�(1�
103
125
:��!������!���� �8�������
� 5
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� 4
3
5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� 10
1
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� 3
1
22
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� �����
�������2(.*3��
2(.*3� ' (.*��(.*
' (.&&
:����������!����2(#+3� ��������
�������2-#*3��
������������*��'�()
�����������-#*���2
10#
2-#*3� '
42
10
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'4
4
2
10
'16
10000
' -#--()
:��6��������������������������� ��������
:����������!���2-#13� ������������
�������1��
����������������!����������2-#13� ���8�
(*�'�(0*/#�:����������������2(#*3������2-#(*3����� �����
:��!������!���� �8�������
� 2(#(3� � 2-#-*3� � 2-#(3
?�8�������()��'��&-7)�������������!������!����
� 2(#)3� � 2-#()3� � 2-#-()3�
��������������������
&���� �� ���� � �� ���� � ���� -�� ��� .�� ���
���� ��-��� �� ���������/ ������ ���� �� ����
�!�#����� ���������0����'
&������������� ���� ��1
2'
1
2��
1
4��
1
8��
1
16�����
8!�� ������� ��#�� ���������������������
����'
��������� ���� ���2
3'
��������� ���� ��3
2'
&�������������!�#����� ��� ����#�� ��
������� ���� ������'���������� �!�#��� �� �
������������������� ���'
&�����# !������� ���� ���'
�
�����������������
��������������������������������������!������
������������ �������!�����������������
21��*3�<�2+��*3�'�21�<�+3��*�'�/��*
��������������
1��* ' *�<�*�<�*
+��* ' *�<�*�<�*�<�*�<�*
$����
21��*3�<�2+��*3 ' 2*�<�*�<�*3�<�2*�<�*�<�*�<�*�<�*3
' *�<�*�<�*�<�*�<�*�<�*�<�*�<�*
' /��*
%������������������������!����������!���#
9������!����*���*�
*� ' *��*��*
*� ' *�×*�×�*�×�*�×�*
"���
*� ×�*� ' 2*�×�*�×�*3�× 2*�×�*�×�*�×�*�×�*3
' *��*��*��*��*��*��*��*
' *�
%�!!���������!����������������������!���������
�����������
32
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� × 5
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × × × × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
'2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3× × × × × × ×
'8
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������������������������
� ×�� '�2�×��×�3�× 2�×��×��×��×�3
'�����������������'��
��� �������������
9 ���������!�����!�#���������� �������!�#��
7���!���� �!�#��� �� ����� �B���� ���� � ��� �
��� �������� �!���� ���� �������!�� ����
��0�������������������� ��������� �!��� �
����0���������
( 0� ��� ���� �!��� � �� �������!������ �� �
�!�#���#�����!�����!�#���������!�������
� ���� �����!�#��;
���,��� � 7��,��B�
���� �� � ���� �
&�������!������ ���!�#���#�� ����� �� �� �
#!�� �� � � �� ��������� ���� ��� 9 �� ��
�!������� ������������!�����������,�����
7��,��B����� ������������������������� ��
8!�������������� ���������# �������������
� ��������
�
C ��!�� �������0�� ��� ������ ���;
� ×� � � 7�×�B�× 7�×��×��×�B
� ����������� �
��6����������!���������������#
"������ �����
��×�� �( )...x x x x× × × ×��������� �×
( )...x x x x× × × ×���������
�( )...x x x x× × × ×���������
� � �
���������� �����!�����!�����
�������������������������� ��������
���������� ��������
������������������������������� �� �
"�����������������
��� ���� ������� ��� ���� ������� ��� ���� ����
�� ��� �������������� ������� ���
���� ���� ������� ��� ������������ ��� ���� ������
���� �������� ��� ���� ��������
"������!������ �8����������� ��������#
� �����!�������*��� �����������!���� �*������*��
� �����������������(-�� ��(-� ���������������� �� �
� �����!��������*���������*���
� �������������������*�� ���� ��*���
� �������������������1�� ���� ��1���
� "������������ �8����!�������*#
*� * * )& *�� *-&/
*� & *� (*/ *�� &-7)
*� / *� *+) *�� /(7*
*� () * +(* *�� ()1/&
*� 1* *�� (-*& *�� 1*0)/
��� �����������������
����� ���� ��-������ ��"�#!������� ����!�#��
����� ��� ���� ��-��9 ���5�������������� ��
�!�#��������� ����� ���� ��-��8!�
����-�,�����-��,�-�
&�������� �����
�+���-�,�.���-��,�-�
�-�����,�.���-��,�-�
�����-�,���,�.���-��,�-��,�-�
$���0��������� ������ ����!�#���������
#�����������!�� ��� ���� ��-�
9 ���5��������������������++�����!�� �
����� ���� ��-'
������� 0��������� ���� ��-� ���#�� ������
��� ����� -�� �� ��� � ��� ����� �++�� ����
-�� ����-.��� ���������++��&�����������#�
�����
�++���-��,�*�
���� �������� � ��� ����� -�� �� *-� D� *�� ���
-���������E�*��� �����������������
*�����-��,�����-��,�-�
��!
�++����-��,�-��,�-�
C ������� �������<+�����!�� ��� ���� ��-�
!�����������:!��
�� ����� �� �����
������ �����
� �
=�� ���������!������!������#
� ()��)& � )&��*+)
� 1*��+(* � (*/��*+)
������������
����������������������!���������������������!���
����������������������!�������
9������!����������&� ÷�&��
=�� ����!�����������
&��'�&� �&�
%������������ �������8���� ��&�����&��
&� ÷�&� '��&�
�������������������!���+� ÷�+��
��������������+���������!������+��
+��'�+� �########
9���������� ��
<� ÷�<����########
�����������/�� ÷�/��
"�� ��/��������������������������!���/��
9��������������������������������������������()���
��*1#
*1�−�()�'�0
%�
/�� '�/� �/�
,������6�����������/�� ÷�/��
"����������������!�������������������#
9������!�����6���8����16
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����9
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
#
$����������������
162
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��9
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
× 7
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
!���������������������
&����������� ����!�#�������#����������
!�� ��� ���� ��-������ ����!�#�����5����
������������� ����� ����!�#����� ��������
���������!�� ��� ���� ��-�������
9 ���5�������� �����-<��0�����������������
-<���-��,��
�������������-����!�� ��� ���� ��-��
#�� ��
-�������,�.���-��,�-�
��!
-<���-��,�-��,��
�������������������!�����!�#�������#��������
������!�� �� ��� �������!�#������-��-�����
������ ���������������
��������� �� ����� ���
������ �� ����� ������
�������� �����
���� �����
���� ����
� �
��������������
162
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
÷�9
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
7
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��������������������������������������������������
���������������������������������
�����������������������������������������������������������
���������������� �����������������������������!���������
�����������������!�����������
��������������������������÷���"
#�����������������������������$������"
���
��� ������������
%���������������
n
mx
x� �������
�������
m
n
x
x��������������������������� ���������
�����������������������
&�������������������������������������������������������
������"
�����������������������
� #�����������'��������������������'�����'�"
� #������()��÷�()�"
� #�����������'����������'��"
� ���$�����������������������'��������*+��,��������
���������������������-��������"
� �./�÷�(. � *('�÷�0'
� ()'/�÷�('+ � (.0+/�÷�')/+
� #������'� × 3
1
2"
� 1�������������2����������������������2�"
������������ � ���
������������� �������������������� ���
��������������������������� ������������
�������������� ��� �� � �� � ����� �� �������
���� ����������������������� ������������
�������
���−���������−�������� ������������������ ����������������������������
�����
������� ��� �����
n
mx
x������−��
�������������� ������������� ���� �
0x ≠
!�� ��� ���� ����� �� ������ ��� ���� ��� � �� ��"
������ �� ����������� ��������������������
���� ������ ���
� �
���������� ���
���������������� ����������������
�����
�����1
32
������ ÷��������
���������������
���÷������1
32
��������������������������������� ������ ��÷� �!
�����
��� 4
1
7��� �
������������������
��÷� ���� 4
1
7
"�������
m
n
x
x���
1
n mx
�
������������������ ���������
�����������������������
#������������������
� $�������
�
5 3
4
2 2
2
�
7
2 4
3
3 3× �
2 4
5 4
5 5
5 5
××
�
2 7
6 3
8 8
8 8
×× �
3 5
2 4
4 4
4 4
×× �
4 5
6 7
10 10
10 10
××
� ���������������1
5���������������������%�����%�!
� ����������������������������� ��������������������
&'�����&'��!
� �������� ���� �����������������������5
1
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���8
1
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
!
� (���������� ���� ������� ��)'*�%+����� �����
������)'*�%+!
�������������� �� ���
����� ���� ��� ��� �� � ����� ��� � ����
��� �� ������� � ����� ������� ��� � ����
��������� �� ������������ �������� ���� ��
� ������ ������������� �� ���������� ���
������������ ������ �
�
mx
nx
���1
n mx
− �����������
��������� ��� � ��������� �������������� ����
��� � ������� �� ������� � ������ ������
�� �����������������������
� �
� A�������������!����1���������������������
!������������������#
� /(�×�7 � 0*7�×�/( � )+)(�÷�*&1
� *&1�×�/( � *(/0�÷�7 � +7-&7�÷�0*7
�������������
:����������)&������!���������������
�����������������������������
* ' )&
&� ' )&
/� ' )&
)&� ' )&
������������������1�����!������������������
1�� ' 1 × 1
' 20*73�× 20*73
' 0*7�
"����������������
1�� ' 1� × 1�
' 21� × 1�3�× 1�
' /(�× /(�× /(
' /(�
$����������
1�� ' 1 × 1
' 21� × 1�3�× 21� × 1�3
' *0�× *0�× *0�× *0
' *0�
����������������"��B
���������������1 × 1�����
��������!��������������1���� ���
�����������������213�#
������������
�++� ��3�!����� ������� �#���!���� �� ����
� !�����!�������������� !���!�� ��++��!���
����#����0������ !�� ����������� !����$��
���� ��'
@!���������� ������������� !����-�� ���
���� �� ���� �� �� ���� ����� ���� � ��� !��
� ���� ��-�
��,�-�,���,�.�,����,�*-������−������*@!�� ���� ���������++�−� �*���*1� � �� �� ������� !���
C ���������:!������ !�������������*����
�������� �� ���� ��-�7��������������B����
��0������� ���� ������ !�����9 ���5������
*<���*-�,�-�,��
� ������������� ���� ��0�� ���� ����� �� ��
��������5���� !���
9 ���� !����������������*��!���'
9 ���5�������� ���0���<��!�����������0�����
����� !��� ��*1��!�����&���������<�−�*1��-.� �!����� �������� ��� ���� #�� � ��� #�
������
-.������,�.�,��
� �
"��
213� ' 1 × 1
' 1 �
' 1 × �
' 1��
%���������������������1� × 1� × 1� ���21�3�#
%��
21�3� ' 1� × 1� × 1�
' 1� � � � �
' 1� × �
' 1��
������������������������
2&�3� ' &� × &� × &�
' &� × �
' &
2+�3 ' +� ×
' +��
��������#
,�����6�������������!���������������#
��������
32
2
3
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠����
22
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
×
22
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
× 2
2
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
"������
2 2 22
3
+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
'
3 22
3
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�'�
62
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��� ����������������������������������������������
���
2�3� '....m m m
x x x× × ×�������
'...m m m
x+ + +
�������
' ��
� ���
�������
� ������!�����!�#�������#�����������!�
��� ���!� �����!�����!�#���
9 ���5������
* � ��,�-
1 � *�,��
�< � ��,�-�,�*�,���,�<���1�,�.
8!�� ������!�����!�#������� ��#�������0�
����9 ���5������������� ��#�������������
� ���
$���� !����������������� ���� ���!�#��
��������� ��#�����������!�� ��� ���!3
� �����!�����!�#��'
�� �����
�������
� �
"������
������ � ������� ���� ����� ����� �����������
�� ��������
,������������������������� ��!����
��2&�3� ��21�3� × 7�
��
43
1
2
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ��2*�3� × *
�����������������!��������������������#
��1� ��& ��*�� ��+��
������
���������������������1*�
(, *, &, /, (), 1*
C��!��(������������!�������*#�%���������������
����������1*��
(, *, *�, *�, *�, *�
������������������������/(�
/(�'�1�
$�����������������
(, 1, 1�, 1���1�
,�����6�����������������������0*#
0*�'�*� × 1�
��6���������������������������������������#
9�����������(�������������������������!�������*�
(��*��*���*�
A����!���� �������1� �8����������������
1��*��1��*���1��*���1
A����!���� ������������������������1����������� ����5
�����������������
1���*��1���*���1���*���1�
������ ��������
�������� �� �����������-��*����
����!�� ���������� �� �����������������
��,�-�,�*����
C �����H�� 0����-.;
-.���-�� × �1
���� ������� ������#��������
� �- -�
1 -��1 -���1
��������!�� ������ �� ����������-.������
��,�-�,�-��,�1�,�7-��1B���1�,�1�,������-.
C�5�����H�� 0������������ �� ���?�
-����*��������*�����?�
�����*�����������!�#������������ �����
� �- -� -� -�
*� -��*� -���*� -���*� -���*�
�����������!�� �������!�#�������������� �
��,�-�,�-��,�-��,�-����-��−�����*�
7��� ������� ��� ���������B
��������!�� �������!�#�����5�����-���*��������� ���� ��
7��,�-�,�-��,�-�B�×�*�� 7-��−��B�×�*�
� 7-��×�*�B��−�*�
� �����!�� ���������� ���5������?������
*��,�7-��×�*�B��−�*�� -��×�*�����?�
C!�#����0�����-.������?��������������������
�!�#���
������������������������
� �
�������������������������������������������������������������
��������× ��������×���������������������������������������������
� � �� ��� ���� ������ �������� ����� ������� �������
��������������������������������� � �����������������
����������������������������������� � �� �� ��� ���� ����� ����� ������ ���� ����� ����� �����
���� ������� �������� �������� �����������������������������������������������������������
�� ��� �� �� ���
��������
�� � �� ����������������� ��� � �� ����������������� ��� � ������ ����������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������� ��������������������������� ���−���������������������−��� ������������������������������������������������������������������������������������������
������� 1
5x ���� 10
1
5�������������� ��
��������5 6
4 4
3 3
3 3
×× ( )
7 8
2 3 5
4 4
4 4
×
×
( ) ( )( ) ( )
4 5
2 4
2 3
2 5
6 6
6 6
×
×
������������
6 6
$ Describing exponentiation as the op-
eration of repeated multiplication.
$ Justifying the rules of exponentiation.
$ Using the rules of exponentiation to
solve problems.
$ Describing the positional system of no-
tation using exponentiation.
$ Logically justifying number relations
associated with powers.
Achievements On my own With teacher’s Must improve
help
Looking backLooking backLooking backLooking backLooking back
�
�������������� �
�������� ����� �
� �
�������
�������� �� ���� ���� ���� ������������ �����
���������� ��
��������������������������������
������������������ �������������������������
�����������!������������ ����� �"���������#��������
������
$����������������������� ������������������������
���� ��� ������"
1
2�%&�' (��)���������
����#�������������������#�������#�
��� ������
�������������� ���� ��%*�����������������+
���������� ��
����� ���� ���� ����� �� ���� � ����� ������
�� ��
��������
����������������� �������������� ������������
���������������������������
��� ���� �������������� ���������� ���������
���������������������������������
����
���
!"���
#���
123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234
1234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567123456789012345671234567890123456712345678901234567
12345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345123456789012345678901234512345678901234567890123451234567890123456789012345
$��� ���������������� ��������� ����� ��
����������%� ��������������� ������ ��&
��� ������ ����������� �� ���� ����� ���� �
����������������������
'� �� ���� ���� ����� �� ������$� ����&� ���
�������� ���������� ��� ������ ��&�������
������������
����
���
� �
�������������
�������������
������
������� ����������������������� ���
,���������)����
������������������-��������
.��������������� ���������
���������������������������
$�"�������������������������� ��
�������������� �������������������������� ��
������"
1
2��%*��+�'��*��)�����
���#�����������#���� ������������ �������������� ���
,����� ���������� ����� ����������������������������
������������
�������������
������� ����� ������� �
������������� ���
(���
����
!"���
#���
���� ��������
)�������� ����������� ���������������������� �
��������� ��� ����������� �*
�������� �����������������������&����
������ ������ �����������
��������������������������� ������ ���
��������������� ��
+���,��������� ���-����� ����� � �� �� �� ���
�����
%������-����� ����� ������� ���������������.
� � ��������� �������������
� �
������������� ����� ������� �����-������������������
�� �����������������
�������������������������� ��
������������ ����� ������� �����������������"�� ���
,������������ � '1
2�����/
' %*��)�����
0������"�������/�������� ���������������������������
���� ����� ������� ��
������������������������������������������ ��
�� ������� ��
�� ��� ��������������� �������� �����������
�������������� �� �� ������������ ��
��������������������������� ��������������
��������������� �� ����� ���
/�������������� ���� ������� ���� ���� .
� �����
'����������������� ��������� ���������� �����
������ ��
)���� ������������������� �&�����*
0����������������� ������������������
����
(���
1���
!"���
��(���
1���
�(���
(���
� �
1���
(���
2���
2���
1���
2��� ���
2��� ����
3���
� ����������� ����� ������ �����1(��)�������2
�����3��������������������������%(������2
������ ��������������� �������������
� ����������������������� ����� ������� ���
%&�����%/������������ ��,������ ����� ��
���� �������������������������������������
�����%+������������ ��������������� ��������
����
!��� ���� 2���
���
���
����� ����� �� ��� ���
��� ���� �������� �� �������� ����� �� ���� ����.
��� ������������������ ��
$��������������������������4��������5�������&
�������������������������
��� ������ � ��
� ���� ������� � ��� ��
������ ��� �����
������ ������
���
� �
��� ��������� �
4��-������������� ��
����� ������������ ���
.�����������������������
����������������������� ����� ������� ���
4��-������������������#�����������
$�����������������"������������ ��������������2
���
,� '1
22 3
⎛ ⎞× ×⎜ ⎟⎝ ⎠
�5��1
24 3
⎛ ⎞× ×⎜ ⎟⎝ ⎠
' ��5�(
' 1��)�����
��������������������������#����� ����-������
����������� ��������������������������������
���� ��
����� ����� �� ��� ���
/�� ����� �������� ���� ������� �� ���� ��
�� ��� ������� ��
+���� �� ������� �� ������������ �������&� �
�������������������%� ���������������
����������������� �������������� ����' ��
��������%� ���������� ��� ������������������
������������ ��
+������������������������������������
�����������
$������������������������ ����������������
������ �� �� �� ���� ������� ����� �������%� ���
�������������������-�� ����� ������������
���������� �������� ��
$��������� ����������� ������������������
����� ������������� ��
$��� ���� ������� ���������� � ���� ������ �� �
�� ����������������������� �������� ��
������������������������ �������
2��� ����
���
�
4��-������������� ��
������������"��������������������������������
�������������������������� ����� ������� ���
���������� �����������������
4�6������������������������������� �
$�"��������������������
������������������������ ����� ������� �����
1
2zx× ×⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
�5�1
2zy× ×⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
'1
2� ��5�
1
2���
'1
2�7 �5��8��
0������"���6�� �������� ��������������������
����� �������� � ����� ���
7&��������������� �*
+������������� �����������������������
���� ���� ������� ��
$���&����������������������������������
��� ���� ������
� �
�
�
� �
� 6��
�
1���
����
2���
���
$�"��������������������������������� ��
�� ��� ������������� ����������� �����������
�� ���� �������� �� �� ���������������� ����
����� ���� �
�������������������������� ���
3�������
1���
���
����(���
����
(�(���!"���
(���
����� �������� � ����� ���
$��������� ������� ������������ �����������
���������������� ��������� �����-�� ������
8����������������� ���������������������
������� ��������������������� ���������� ��
������ ��
$������������������� ��������� �����������
� ��������-�� �
%�� � ���� ����� �� ���� ���� ������� �� ���� �
�-�� �
����������������������� ����������������
����������������� �
���������������������������������� � ����
#�������������9�� ��������� ��������&� ��
�����+�����:����������������;��&��������5
�� ���� ��� ���� ���� �����Δ+:5������ ���
������� ������������������������������ ��
'���&���������������������� ��� ��0�
�����5�������������������������������
3���
� �
�����������
+������-������������&������������������
����
<��� ����� �� ���� ������ �� ���� -����� �
������ �*
���������-������������������*
��� ���������
4��-������������� ���
��
.����������������������
.�������������������������������������
.���������9����� ����������� ���
�
��
�
�����������������������������������
�� �������#������ �������������
����
����
!"���
!2���
���������������������� �-�����������
� �
�
��
�
���������� ����� ������� ��
,����������'�1
2��������
��������������� ����� ������� ��
,����������'�1
2��������
����������������������������
,������Δ��� ' ,�����Δ����−�,�����Δ���
'1
2�×�����×����−
1
2��������
'1
2�×�7���−���8�×���
:�����������"
���−��������
���������
,�������� ��1
2�×�7���−���8�×���
��1
2��������
;������������������������������
.������������ ����������������
$��������� �����������-��������"������������������������
��������������� ����������
�����������
'��������������� �&���������������
=�������������������� ��������� �&�����*
0��������������-��������-�� �����
%�������� �-��������1
5������������ �-�����
� �
4��-������������� ��
� ���������
� ,����� �������������*�������� �����%*����
��������������"������� �������������-����������2
�� ����������
123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234
!"��
!1��
2"��
��������
�
�
�
�
��
�
����� ����
����� ����
�����
����������������������� ���#������� �������
������ ����
������������������������������ ��������� �
����������� ��������� ��
���������������������������������������
���������
� ��������������������������
� ������������������������ �������������
� ������������������������
� ��������������������<�������������������
������������
� 0� ���"������ ����������� ����0����������+��)��
����������������� �������������+���������
����������������9������#�(��������������
����������������������
� �
� ��������� �� � ����� �� ������
�� �� ���� ������� � ������ �
� ������������ �� �� ��� ��� ������
� ���� ������ ��� �������� ����
���� ��� � ������ ��
� ������ ����� �� �� ����������� ��
��������� �� ���
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
�
�������������������
� �
������������� ��
��������������� ���������� ���
����������� ��
������������� ��
�������� ��������������������� ���������
��������������������
����������������������������������
����������������� � ����������������������
����������!��������"�� ��
����������� ���������������������������"�� ��
�������� ���#���������������������"�� ������
�����
$���� ��������������� ���������"�� ��� ��������
"�� ������� �
���������������������������������!���������� ��!����
���������"�� ��
�������
%����� ��������������������������� �����&'������� �����
�!����������� �
���()*���&��(�*������+
%����������� ���
&'�,�'��'
-��������#��������������������������� ��������&'�,�'��
&'���'��������������'�����!.�������*�������������� ��!�'�
/�� ���������� ������!� �����
&'�������"�� ���!�'�
/���������������"�� ���!�0�
%����������"�� ���!�1
2�
1
2�× 1
2�,��
1
4
����������������������������
�������
��������������������� ������ ��� ��������
���� ���
����� ������� � ��� ��� ��� ���� ���� ��� �����
���� �����������
���!�������� ���������������
�������������"�#�$���
�������������"�#�"���$���
%������������������� �����������
� �
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��−�� � ���−�� � ����−�� � �
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������ ��������������������������������
����������������������������������������������������������������������������
� � ������ � ������� � ������
�������������� ���������������������������������������������� �������� �������� ������ �� ���� ���� ����������������������������������������������� ��� ���� ������� ���� �������� ���� �������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�� � ��� � ����������� � ����������� � ����������
� �
%���������� ������������������������� ��!���������#�
��������� �! ���(��������� ����
%��������������!�&1���������#����������� ��� ����
! ���(�
��������������
/���"�� ���!�(1���(11��%����������"�� ���!�(11�
������"�� ���!�(111*����������7� ��� ����� ���!�� �(�
%��������������"�� ���!��(1111�
%���������������������� ��!�7� �����"�� ����
3�������������������� !����"�� ��������(1*�(11*
(111*�(1111����������
������������� !����"�� ��
%�������������������8�������9�
$���!������������"�� ���!���1*��11������111�
��11111111���� !����"�� ��
%�����!���������������� ��7� ��
$������� ������������������������� ������
� :������������"�� ���!����������� �
� &1 � �11 � 2111 � '�× (1��
� :������������� !����"�� ������������������ �
� �011 � &'111 � (011
� +�× (1� � ('�× (1��
�����������
%����������"�� ���!���(�
%������������!� �������� �������������
/���"�� ���!��1����11*���4������3�������������"�� ���!
�(*������������������������������ �
%�������������� �
���4��� ��! ������������������%������� ���
�� , (��5�&�,�(��5�8(�5��9
&� , ���5�0�,����5�8��5�&9
&��'��������������(������
� $ �
- $ ��"�#�"��
. $ ��"�#�"���"�#�"��
�� $ ��"�#�"���"�-�"���"�#�"��
���� �� ���� �� ��
/������(�������������(��!����*������'�
����
� �
�� , &��5�2�,�&��5�8&�5��9
0� , ���5�+�,����5�8��5�09
�����������������������������*������������ �����(��
#�� $ #����"�2#��"�#�3
/�����*
#�� $ -���"�-��$�--�
$�����������������������!� ������
##� $ --��"�-��$�-4-
���������
����������!������������"�� ���!�(1(�
�����$������
%������ ���������������
����"�����$�#��
3�*
���� $ ������"�#���$���#��
� :������������"�� ���!����������� �������������#�
�����
� 0( � '( � (�( � (11(
� �����������"�� ���!����� �������� �! ���+1���
(11�
���������������
-�! ������������������������!���������"�� ��
���������������� ��3
4�
23
4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�,��3
4��
3
4�,�
3 3
4 4
×
�,�
9
16
/�����*
23
4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
,�9
16�,�
2
2
3
4
3�����"�� ����! ������*��������������"�� ���������� ���
�������������� ��� ������
����� ���� � ��
%���+����� ���
#� $ ����"���2��"�#3
�� $ #���"��2#�"��3
-� $ ����"��2��"�-3
��������
%�����������������������������������
#� − ����$����"�#
�� − #���$��#�"��
-� − ����$����"�-
5�� ������� ���� ��!!������� �!� ���� *���� �!
������������+��������������������������
6������'��������
���−��� $ .��−��� �$ �4
-��−�#� $����− �- �$ ��#
1��−��� $ #1�− �. �$ ���
%��� �� ���� ���������������� ������!!������
�!�����*�����!��������+��������������
������������
���������� ����
������� ���� �����
�����������
� �
$����������� ����������������������� �
� :������������"�� ���!����������� �
�
2
3�
1
5�
7
3�
11
2
� %������!�����! �������������� ��"�� ��
�
4
15�
8
9�
16
25�
12
4
�
14
9�
8
18
��� ����������
%����������"�� ���!�1�0�
%������������0��,��0�����������������������������
������ ��������� ������1�0��1�0�
%���
1�0�,�5
10*� �����
��������!������������"�� ���!�1�10�
6�����#��������������"�� ���!���������� �������� �
;��������������*���������!������������"�� ���!��1�(0�
�������� ���������������� ������
� :������������"�� ���!����������� �
��(�� ��1�(� � 1�1(&
� %������!�����!�������������� �� ��"�� ��
� ��0 � 1��0 � 1�11('
� (��� � (���
������������
%������0������
0�������,��0��('�,������������
/�� ����������� �����
0����� , 0��0������
, 80�×��9�× 80�×��9
, �1���1
, �11
���������
&��'� �� ���� ��� �� ��� �!� *���� �!� �����
�������!������������
���-��.�����1�����.��-������
6�������'������������ ����!�*�����!������
�������!����������#��
7������+���������(������
&��,����'�������������� ��7������(��!���
*�����������#�
%�������������� ���������������������������
�����!�(��!���� *����
5�#��8�������(��!����*����
�� ������� ���� � ������� �� ���� � (��!���
*���������������������'������������ ���
/����� ������� ���� � ������� �� � (��!���
*����!������������ ��������
������
� �
��������!������������ ��������������������*�����������
������ �
� 0��×�)� � ��0��×��� � 8(�09���× 81��9�
%�������� ��� ��������������������������
���������� � � ���� ������� � � ����������� ��
����� ��� ���� ������� � ������������
������������������������� ��
�������������� ������������������
%����������!� ��� �������� �
�������������
����������� ����&1����� �������!� ��������� �
&1�,����&��0
3������������!���� �7��+11�
+11�,�&1��,�8���&��09��,�����&���0�
3����� ��*����������!������������,�����&���������,�02'*
������
02'�,�����,�8����&9��,�8��9���&��,�����&�
��������� �������������� ��������������"�� �����
�������!� ������� �
• &0 • �0 • 2�
• &' • �+
����������������������� �����!������<�������!�����!����
�!�����"�� ��
�������� � ��������
%����#������ �����"�� �.��������� ����������+�"�� �
�������� ��
����������������
/���� ����!���"�� ��������"�� ���!���������
� ����� ��������
&��'�������(�������
7������������ ���
/����������� �� �������� ����'��������
����� ���
/����������� ��������������'���*����
�������'������
�������� ����� ��� ������� ��� �'��
*����
�������� ��������� ������ ��� ���� ��� ���
����� �������������������*����
%�����������������
-� $ 2���13�"�
/�� ��� ��� ���� !��� ��� ����� ���
��� ������
���������������������-��1�
����!�����������'�������'������������������
����������������������������!�����������
���������������!���������� ���
%�������������������������
#� $ 2����3��"��
�� $ 2#�× -3��"��
-� $ 2���13��"��
�������������������
�
3���!������ �����������+�"�� ���������� �*��������������
��������
/��� �����"�� ���!�� ���('+�"�� ���������� �*�����
���������������������!��������
:� �����*��������!������������������� �"�� �����#�
('+�������������� ��������!�"�� �*����!�����(&��,�('+�
3���������� �����"�� ���!�����(&��������� ��
�� �*���#���������� ����!�������������������� ���������
"�� ���!��/����� ����������������<� �����������������
����
/�����*���������!�����������"�� ���!�(&���('+*�������
������ �#� �����������"�� �� �����!�('+���(&�
=��������� ���
����$���.
���� ������!� ����������>����"�� ���!�(&���('+>*���
� ���� �������������>����"�� �� �����!�('+� ��(&>� ��
�� ������!� ���
169 �$���
8�����<� ��������!�"�� �� ����������������������������
�9�
3����� ��*�����!�������������"�� ���!�0����0�����������
�����*�����"�� �� �����!��0���0�� ���� �������!� �*
1��$�#1
25 �$�1
������ ��
�������������������� �������������� � y ����
$���!������������"�� �� �����!����������� �
• (11 • �0'
•1
4•
16
25
• (��� • 1�1(
����� �������� �� �������
84-����(��!����*�����%��������*���������
84-� �� �������� ����(��!���� *����-��� ��
.��9�������'��������������*�����������
#������������ 784� ����������#��������
����������� ����!�84-���-�����*��������������
�+��#����4����������� ������� 784 ���������
##����#4�
84-����������.�������-������� 784�������
#4��6�����������#4���������'�
:�+��� ���� ���.�� � #����� ##�.� ��� (��!���
*�����!����������*�����������'������
�
������������������
����������!��������"�� �� �����!�(��0�
3������� �������!�"�� ��������"�� ���!����� �����*
�������������� �����(��0����� �������!�"�� ��
:� ��!���� �7��(��0������ ����
�##1�$�1���8�
-����������� ���
0���2��,�80��29��,�&0�
3�*�(��0�,�&0�
: ������*��������� 1225 �,�&0
���4������������ ��<������%���������� 3969 �
-���!� �*����!� ��!���� �7��&+'+������ ����
&+'+�,�&��× &��× 2�
,�8&��&��29�
: ������*��������� 3969 �,�&��&��2�,�'&
$��������������"�� �� �����!������
� �0' � �1�0 � ��( � +�(' � (1)+
� (0'�0 � (+&' � &1�0 � (�0��
��������
������(��!����*���������������!������ ��
��8�
��� ����� (��!���� *���� #1� ��� �� �� ��
���8�
����� �������!������.�
�������!������� ����!����������(��!����*���
-.�������5!������������� ��� ������������
-��;������������!������� ������2�����������
�� ����� ���������3��!�(��!����*���������
!������
7�����������(������
5���#-���(��!����*����
������
��!������"
� /���� ����!���"�� ��������(1���"�� ����� ���%���
��������������!��������
� ��������*�'�0����� �� ��� ��������� �������������*
�������������� ��!� ����"���������������� ��!����?
�����/������� �������� ������������������� �� �?
��#����������������� � ������
� /�������!����� ���������� ��!���������#���������?
�� *��� ����������(*���0()���������������������
� ��������
� /�������!�������������#������ �������� ��������
"�� ���!�����!� ����0&�+��%����� ����������� �
� �
� ����������� ������������������ ����
����� ���������
� ���������� ������������������ ����
����� ���������
� �������� ������� ������������� �� ����
���������
� ����������������� ��� ���� ��� ���
�� ������������������������ ����
� �������� ������� ���������� ��� �� ���
��������������������
� ������������������������� ����� ���
����� ���� �����
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
�
��������
� �
������
���
�� � ���� ���
�� ������� ����
�� ��������� ����
�� ��� ���� ��� ����
�� �������� ����
�� ������� ����
���������������
������������ ������������� ���� ��������������
���������������������������
��������� ���� �������������� �!��������
�"�������� ��������#������$������� ���� � "���
���� ����
����������� �����"�� ��
% �������� �����������
��������������$������#
��������� �
!���� �� �"�����#��$ ��%�&� %�'���(��)�
���(� &���*&�� �� ��!��+��,��(*�-�
���� ���
�� &���� �'���� �
(� )� �*���� �
+� �"�� �*���� �
,� -������ �.���� �
���� ���������
/����������� �������������� �"�����""�����
��������
�"���� ������ ����� �� ���$��������0��������
12��������������������.�� ������ � "�� ���������
������������������ "��3���������������������0���
�����$�� ������������� "����� ������0�
4���������$�� �,������������������������'�������5
������� �6�� ��3����������������������
/7�� � � ����� � �� ���� ���������������� ��� �����"��
�����$���
.�#(�-� �(� +� ��� ��� � &�� ���
(� &��/
� �
������������� ����������������3�����������
% ������������������������
&������� �������������������150
3�8�3������������ � �
����� ������"��
����� �0�����������#���������"���0���������$������
3�����������0�������
�������������3����9��
���������
4��� ��� ��:�� ���� ��12������������&���%��
;��������4��� ������������ ���!��0������� "�<����������
� �(�����=�:�� �������� ��������������� "��3����������
� �+������������������������������
����!��0����������<��������������"��
% ����(��������������0�
&����������������"���0����
90
2�8�,3���9�
���������"���0��������������� �����$����0��������
����
���������"������
>����������������0�$����#
� &����������������� ������ ������� "�(,������������
+�������������������� � ��0������ ����������
� �� ������� ��������� "��(������������ �(������
��������� �������������������������
� %���� ���,������� ��+���� ����������+'�����5
����������������������"���0����
����������
�� �� ������ ���
� ��� �
����� ��������
� ���� �� ��
��� ���� ������
� �
��7�������� ����0�$����
/����������"���0��������$������3(���9��������������
��������� �'������
&� ������������3(������������������� ������"���� �'
�������������
3(��'�8�+�(���
���� "������������������3(����������������
�0����
� �����$���$����"������������������)�7����0��;������
�������� "�� ����#
������ ���� �� ����������
�����
���� ��������� ,���� '����9�
4�� �(���� (���� ���������
%��0�� � 3�,���� ��������� *,����9�
� &�����7���6����������(�7������������������0�����
���������������3�����������$��$���� ���.3����5
������ $�� ��� ��%����"�� �0���� �� $��� !�� ��
���(����9��� �������"�� �0������ ��� � !�� ��� ��
3����9����������������������$���������6�������
������&����������������
���������
%�$����������?� ���������'�� ������ � "�� ���������
������� � ��0��������(� ���� � "�,����9��
�����"����������� ���������������$���������������
��������"���0����$��� ��������
����������������� ����������
/�����!�� ������������$�����������$������������������
$�����������������0�
���� ������$�� ��� �����"�� �0���� � ������ � ����
��������
�������������
0�#��'�&&�(���� ���/���1�& �#��-�-�&2
&��������3 �&����� �� �(�3�*�����$��� �
�#���+$���$&���+ ��4���5 �*���� �"��
�����(6���+&�'��'��&���+ ��4��� �"��
�������(6��
�������� �� �� �����
����� ��� ����� �� ����
���� �� ���� ����
�������������
�������������
��� �������
� �
���������������
%$��$��������$�����.�� ������ � "��@����������$��
�������+����9�� ������"������������������������ ��
����:�� �� ��� ������ ��� � "�� ���$��� ����� �� � ��
(����9�� ������"���%$��"��� ��������$�����<�
���"��������� ���������������� ��������������������
��������"���0�������������
�������������� ������������������ �
��������������$���������� ���������(������
&������ ����������������������������
����������������������
>���� 7������ ����������"���0����
��������������������������
%����������������������(�����������������0���� �����5
�"���0������+����9��� ����� �6��(�������������(�
��9������������������"���0���������� ������0�
���������"����������0�������
30 20
2
+�8�(3����9�
/��������������� �
�������������������� � "�
����0�����������"���0������������������������
���� ���$��������������������������(������������
� ������"���0������+����9����
120
30�8�,�����
�������������(�������������� ������"���0�����
(����9����
120
20�8�'�����
����������������,�A�'�8��������
�������� �������������8�(,����
%����"���0����8�(,���9�
�����������
����(����� ��� �% �(�#��������������
��-��+�4�(� �(��#����+ � ��� �(����&
��� ���-����(�-&���-��+�&�������-��+�
7(�-&���-��+���(������ ��%���-��+�7
������-��+��� ������+ ��%�(�-&���-��+�
0�������#"�#�� *�& �% � ��-��++�+
8�������������,��(*�-(�+��/
9 4
Train and bus
Rahim travelled 350 kilometres in a train and 150 kilome-
tres in a bus. The average speed of the train was 70 km/h.
The bus trip lasted 5 hours. What is the average speed of
the entire trip?
To Ratnagiri
Ratnagiri is 360 kilometres from Pavizhamala.
Gopika's family travelled in a car, at an average speed of
60 km/h. They managed only 40 km/h during the return
trip. What is the average speed of the entire trip?
Suppose we take the distance as 180 kilometres in this
problem.
Does it change the average speed for the entire journey?
Unknown distance
Babu went to Mananthavady by bus to see his friend. The
average speed of the bus was 40 km/h. He came back in a
car, at an average speed of 60 km/h. What is the average
speed of the entire trip?
To find this, we have to divide the total distance by the
total time. But we don't know the distance.
We have seen in an earlier problem the average speed
would be the same, whatever be the total distance.
Let's take the distance one way as 120 kilometres.
Total distance is then 240 kilometres
Time for the onward trip = 120
40 = 3 hours
Time for the return trip = = 2 hours
So, the average speed of the entire trip = 48 km/h
What if we take the one way distance as 240 kilometres?
Can't we find the average speed of this trip?
Look at the average speeds of some animals:
Sl.No. Animal km/h
1 Cheetah 112
2 Horse 70
3 Fox 65
4 Lion 80
5 Elephant 40
6 Zebra 64
� �
������� ���� �
� ��������������� �������� ����������������������
������������������������������������������
������� ��!����������"� ���#
��� �����
$������������������������� ���!�%&�������'��
� ��������������������������#
(���� �������)����� �*�����������������������+
���
,� �����)����� �����������������������%&��������
-������������ ������ ��������72000
60�.��&�������
������������������������������ �������1200
60�.�&�
����
���������������������� ���!����������&�����
��������������&������
/�� ���� �� ���� ���!����������������������
0��������� �������
� $������������������������ ���!�1)�������'��
!����������������1���� �#
� $��2��������������������3���������� �����
������� �������������������� ���!����������
������� ���� �#
����� ������
������������ �� ���������������������
��������
90
60���
3
2�����
1
2���
����������������
�1
2�������������� ���������������
1500
60���
75
3������������
��� �� �!� ��� ������ ��� ���� ������ � ��� ��
""�#�������$� �����%�������������� ��
��������������� � �
�� �������������������� ����
����������� ��� �� �� ��� ������
���� ������� ���
� ��������
� $�������������������� ���!�1)������!���������+
������)�������!������4������� ���'���� ��
�����������������#
� 5�� �����-��������������,��� ������� ����!���
������ �������������������������5�� ������
����� ���
������������
�
������������
?�&��+�"�� &�%%�-�--�+�� ��'�&�+����
��*�*�&�����(���-������&��*��+��$��+
-�&����������.�#(�����'���&���� ����&
&��+� �'�&�+��@
���&������# �� ���'�'���-��������+��2
� ����A�*��+2��-�A�?� � ���+�'�-�3 ���-��2
�� $�"����+�-�& ����*��+�
5% ��-��% �� �"�� �� &�%%�- &����3#� -��
&�+�-� ����("�&�%�--�+�� ��
� ������ �� ���� �� ������ ���� �
� ��� ���� ������ �����
� �� ����� �� ����� ��� ����� ����
������ �������� ����
� � ������ �� ����� ��� ������ �������
������� �������� �� � �����
���������� � �� �� ��� �������� ��� �������
����
�������� � ��
�����!�� ������ ������"���0��������(����9�
� ��������� ���3����9���&���������$����0����'�
��9�����������������!�� ���� ����������
� ������ ���������� "��� "�0��������������� ��������
������ ���3����9��� ���������9�� ������"������
��������� �������(������������� ������������%���
����� ���������������������������� �������0�
� %��(3������� "���� ����������<����9����������
������������������������.3������� "�$���"��