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ECONOMICS - Urban, Rural, and Regional EconomicsJEL R4 - Transportation Systems

Ed. Transmitworld 2013ISSN: 2280-1901 Transmitworld (Verona) [Online]

Sistemi dinamici lineari e non lineari di analisi e gestione del traffico autostradale, a definizione dei parametri di conto per la previsione, a breve termine, di una gestione economica virtuosa delle tratte autostradali

Abstract; 1. Lo scenario; 2. L’approccio metodologico all’incidentalità; 3. I modelli di studio; 4. Affidabilità dei modelli; 5. L’analisi modellata del traffico; 6. Approccio spazio-temporale delle distanze di sicurezza autostradali; 7. Conclusioni; Bibliografia; Appendice 1.

AbstractLa puntuale e affidabile assegnazione di parametri di scenario economico, finalizzati alla programmazione della circolazione veicolare (auto)stradale, non può prescindere dall’analisi dei parametri di sicurezza autostradale come elementi confliggenti nella capacità decisionale del management in condizioni di crisi. Viene presentato un nuovo metodo per la ricerca dell’equilibrio economico dell’infrastruttura autostradale a breve termine.

The precise and reliable assignment of parameters of economic scenery, aimed at planning of motorway traffic, can not be separated from the analysis of the parameters of highway safety as conflicting elements in the decision-making capacity management in crisis conditions. We present a new method for the economic balance of the motorway infrastructure in the short term.

Keyword: sicurezza stradale-conto economico-modello gestionale autostradale

1. Lo scenarioLe notizie di cronaca ci hanno abituato ad ascoltare d’incidenti autostradali con decine di vittime e con danni ai veicoli e alle infrastrutture, fattori che impegnano le società autostradali concessionarie a rivedere continuamente i piani della sicurezza e il posizionamento dei cantieri fissi e mobili, in ragione della necessità di provvedere ad assicurare elevate velocità veicolari in rapporto alle condizioni giuridiche d’esercizio - per il cui scopo vengono costruite le autostrade e le strade a scorrimento veloce - e la sicurezza dei conducenti i veicoli nelle diverse sezioni autostradali.In alcune condizioni, particolarmente quelle critiche, date dalla stagionalità, dalla periodicità del traffico, dallo scorrimento orario e dalle condizioni meteorologiche, che sono fattori naturali incidenti sulla sicurezza autostradale, assieme all’attivazione di sistemi manutentivi o migliorativi della circolazione, dati dai cantieri mobili oppure fissi, come fattori tecnici che interferiscono sulla sicurezza, si verificano perturbazioni alla circolazione dei veicoli autostradali che generano incidentalità.

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Kroes e Sheldon (Kroes E.P., Sheldon R.J., 1988) indicano la frequenza generale degli incidenti in autostrada, in presenza di congestione, come quasi doppia di quella su autostrade in presenza di condizioni di deflusso libero. Per salire a tali casi, poiché l’aumento delle capacità delle autostrade non sempre è possibile attraverso le manutenzioni migliorative, talora è preferibile ricorrere ad altri approcci tra i quali la regolazione del deflusso che ha per obiettivo primario la riduzione della congestione e dell’incidentalità.Nel deflusso, i flussi di veicoli o persone, regolano il proprio moto unitario, dato da comportamenti di guida o di andatura, che inducono i conducenti o i pedoni a regolare la propria velocità e le proprie traiettorie in riferimento a posizioni e spostamenti degli altri veicoli e pedoni, attraverso scelte temporali, di costo, di sicurezza, di comfort.L’assegnazione dinamica dei flussi permette di riprodurre il carico variabile nel tempo in ogni sezione dell’infrastruttura autostradale e consente, quindi, di prevedere l’insorgere di fenomeni di congestione dovuti a un eccesso di domanda rispetto alla capacità locale della via. Offre, altresì, l’opportunità di valutare sia l’incidenza percentuale del flusso proveniente da ogni particolare rampa di accesso sul valore globale del carico previsto in un punto qualsiasi della rete, sia quando il flusso entrante verrà a trovarsi in un punto critico in funzione della velocità di marcia (Camus, Longo, Santorini, 1995).Considerando che le modalità di deflusso sono differenti per le intersezioni tra i differenziati elementi della via e le fermate dei sistemi di trasporto pubblico (nodi) e per gli elementi di via compresi tra un nodo e l’altro (archi), la realizzazione delle condizioni di sicurezza e di comfort viene usualmente normoregolata, con modalità variabili da una modalità di trasporto all’altro e, per lo stesso modo di trasporto, secondo l’elemento viario considerato. Il sistema di regolazione è, pertanto, costituito da un pacchetto di regole di circolazione (es. codice della strada, codice della navigazione, regolamento di circolazione treni).Per esempio, nel deflusso sugli archi la condizione di sicurezza stradale veicolare consiste nel mantenere la distanza di sicurezza dell’inseguitore, sul veicolo antecedente, lungo una traiettoria intercettata da entrambi. Nel deflusso attraverso un nodo veicolare, laddove le diverse correnti veicolari condividono l’uso di un elemento comune della via, la decisione è relativa all’impegno dell’area comune.In genere, nella circolazione veicolare su tutte le infrastrutture a terra, una modalità di marcia è denominata a densità libera, quando l’attuazione della condizione di sicurezza sugli archi viene interamente caricata sulla responsabilità del conducente (es. autoveicoli, autobus); è a densità controllata, quando il distanziamento tra veicoli è fisso o controllato da un sistema di segnalamento (es. impianti a fune, funicolari, metropolitane, ferrovie); è a densità mista quando il distanziamento tra veicoli su sede stradale propria o mista è in parte autoregolato, in parte sotto segnalamento (es. ferrotramvie).

2. L’approccio metodologico all’incidentalitàPer quanto riguarda i modelli di flusso/deflusso tradizionali, individuiamo che le condizioni di funzionamento sono descritte, normalmente, attraverso la valutazione di tre grandezze: la velocità media v il flusso o portata f


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la densità1 veicolare kPer qualsiasi scelta coerente delle definizioni operative delle grandezze citate, sussiste, fra esse, la seguente equazione di congruenza (Ascione L., Grimaldi A., 1989), definita anche modello di deflusso veicolare:

f =k∗v (1)Quindi, l’equazione fondamentale del flusso, che deriva dall’analisi macroscopica dell'evoluzione dinamica di un'infrastruttura, avviene studiando il variare delle grandezze medie fondamentali, consentendo di rappresentare come proiezioni bidimensionali le relazioni tra le variabili macroscopiche flusso, densità, velocità (Florio, Mussone, 1998). Vengono, pertanto, utilizzati dei modelli matematici, basati su rilevazioni empiriche, che legano tra loro queste grandezze2.

1 In alcuni studi sperimentali la densità viene sostituita con l’occupazione percentuale R, che può venire misurata attraverso sistemi di rilevamento magnetici. La densità K e l’occupazione percentuale R sono in media legate da un rapporto di proporzionalità (Ferrari et alii, 1991).2 I termini utilizzati nelle pagine successive, adottano le definizioni:

fc = capacità della strada

fm = valore massimo del flusso veicolare

vc = velocità massima praticabile a flusso nullo vm = velocità alla quale il flusso è massimo v f = velocità “libera” kc = densità critica, o densità per flusso di saturazione km = densità alla quale il flusso è massimo kj = jam density, o densità d’arresto (a deflusso impossibile)

Ogni collezione di veicoli è caratterizzata da un proprio flusso e da una propria densità.Si consideri, ora, un insieme di veicoli che attraversano una sezione Z, in un periodo T. Si definisce come: flusso f , il numero di veicoli che, attraversa la sezione Z nell'unità di tempo T.Viene calcolato come il rapporto tra il numero n di veicoli, che attraversano la sezione Z nel periodo T, cioè:

f = nT (A.1)

Per distanziamenti tra i singoli veicoli hi con n elevato, la somma dei singoli distanziamenti è coincidente con il periodo T , cioè:

∑i=1

n

hi≈ T (A.2)

Dividendo entrambi i membri per n si ottiene la relazione:

1n∑i=1

n

h i=Tn

→ f −1=Tn=h (A.3)

ovvero che

LEMMA 1: l'inverso del flusso è quasi uguale al distanziamento medio temporale tra i veicoli nell'infrastruttura.

Si definisce come:densità k, il numero di veicoli in un generico istante, insistenti nell'unità di lunghezza dell'infrastruttura.La densità k si calcola come il rapporto fra il numero n di veicoli, che insistono nell’istante generico in un tronco stradale di lunghezza L, e L:


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Nell'andamento del flusso/deflusso dei veicoli autostradali si evidenziano due comportamenti sotto descritti: 1) velocità media v coindice con la velocità di flusso libero vc cioè la velocità massima praticabile al tendere a zero della densità, con la portata in calo a zero2) la velocità media v e la portata tendono a zero, al tendere della densità o jam density, al suo valore massimo, cioè la densità "limite" o "di arresto" kj Come conseguenza, ad una certo valore di densità critica kc< kj e alla corrispondente velocità v, il flusso assume un valore massimo fc pari alla capacità della strada.

k=nL (A.4)

In modo analogo, per plurime misurazioni e per distanze omogenee i-esime (di), si può approssimare la distanza al tronco L come:

∑i=1

n

d i≈ L (A.5)

La conseguenza di ciò, dividendo entrambi i membri per n, si ottiene l’espressione:

1n∑i=1

n

di=Ln

→ K−1= Ln=d (A.6)

LEMMA 2: l'inverso della densità è quasi uguale al distanziamento spaziale medio tra i veicoli nell'infrastruttura.

Essendo la velocità, in genere, il rapporto spazio-temporale, otteniamo, per l’i-esimo valore di distanziamento veicolare:

vi=Di

H i=

k i−1

f i−1 =

f i

k i (A.7)

Per cui, sommando i flussi e le densità totali nelle sezioni autostradali otteniamo:

f t=∑i=1

n

f i (A.8)

k t=∑i=1

n

ki (A.9)

∑i=1

n

f i=∑i=1

n

k i∗vi (A.10)

f t=k t∑i=1

n k i

k t∗v i (A.11)

Il flusso, pertanto, è dato dal prodotto tra la densità e la velocità media rispetto allo spazio:

f =k∗v (A.12)


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Aumentando il numero di veicoli che transitano nell'unità di tempo attraverso una sezione la velocità media del singolo veicolo diminuisce e si stabilisce, così, un rapporto di correlazione fra velocità media v e densità k.Figura 1. Relazione velocità, flusso, densità. Andamento delle curve f(k), v(k). Transportation Research Board (1985) Highway Capacity Manual 1985. Special Report, Washington D.C.

La relazione f= k * v corrisponde in modo seriale a una relazione di deflusso v(k) per la funzione f(k)=k*v(k). La curva f(k) ha un andamento come la curva v(k): 1. nello studio delle curve si notano dei flussi intermedi con uno o più punti di massimo fra i due

punti di nullo rispetto alle curve sottese, con la funzione f-v che viene derivata dalla funzione v-k

2. per la relazione intercorrente fra le tre variabili f, k, v, esisteranno, così, due punti a flusso nullo, quello in cui la densità é nulla e la velocità di deflusso massima e quello in cui la densità é massima e la velocità è nulla

3. per densità critiche kc si osserva un flusso nullo quando i primi veicoli di una colonna rimangono fermi, per cui quelli successivi sono costretti all’arresto (il cosiddetto effetto elastico), come nel caso di code generate dai segnali di traffico e come accade su strade libere in caso di eventi occasionali o di cantieraggio variabile in autostrada

4. a densità nulla non si ottiene deflusso, con la conseguenza che la curva f-k intercetta l'origine degli assi coordinati; essendo la velocità media v data dal rapporto f/k, il coefficiente angolare con cui la curva parte dall'origine rappresenta la velocità di flusso libero e coinciderà anche con l’inclinazione massima della curva

5. la legge v(k) descrive l’andamento della velocità al crescere del numero di veicoli presenti in un tronco di strada e rappresenta, quindi, il ben noto fenomeno della congestione, o, più in generale, del condizionamento veicolare (in condizioni teoriche): al crescere della densità media si riduce la velocità della corrente/plotone, il ché vale a dire che una corrente/plotone di traffico denso (con veicoli molto ravvicinati) è meno veloce di una corrente/plotone di traffico fluido, con veicoli molto distanziati tra loro.

La curva f-v avrà, dunque, un punto sull'origine e uno sull'asse delle velocità al valore corrispondente alla velocità massima (vd. la proiezione delle curve f-v-k, secondo il metodo Monge): se la curva v-k é una rettifilo di Greenshields, la risultante curva f-v é una parabola.


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Per sommario, la valutazione e la previsione delle variazioni di stato, dal flusso libero alla congestione e viceversa, potendo avvenire per valori di flusso non necessariamente prossimi alla capacità critica (Forbes, Hall, 1990) si rappresentano come un processo di non linearità.Altri studi, (Ferrari, 1980; 1988; 1989; 1990) mettono attenzione sul controllo del parametro della velocità (che si dimostra essere un processo ergodico di classe ARMA integrato a media mobile del primo ordine, la cui previsione può essere utilizzata per la valutazione della stabilità del flusso. D’influenza per le caratteristiche del flusso possono essere, in molti casi, le condizioni meteorologiche ambientali, quali pioggia, neve, nebbia, luminosità, ecc.In tali casi, il rapporto tra velocità media ed i parametri caratteristici della distribuzione dei tempi di percorrenza, dipende da alcune variabili indipendenti, quali le condizioni atmosferiche e dalla congestione.

3. I modelli di studioCom’è noto, gli approcci metodologici principali, definiti in relazione alle classi d’intervento, sono raggruppati in tre classi di riferimento, evidenziate dai sottoposti modelli di studio:A. Velocità/Densità

a) Modello lineare di Greenshieldb) Modello logaritmico di Greenberg

B. Flusso/Densitàa) Modello parabolicob) Modello logaritmico

C. Velocità/Flussoa) Flussi ininterrottib) Reti neurali

A. Velocità/Densitàa) Modello lineare di Greenshield

Il modello lineare di Greenshields correla la velocità e la densità, poiché, all’aumentare della densità veicolare su una corsia o su una strada, i conducenti tendono a diminuire spontaneamente la velocità dell’autoveicolo. Inizialmente il modello lineare di Greenshield nasce interpolando i dati della velocità e della densità, raccolte con aerofotografie, secondo l’equazione:

v=v (1− kk j ) (2)

con: v è la velocità media di “libero flusso” (velocità isotachica media, relativa a veicoli che

percorrono in modo isolato, ovvero, in assenza totale di condizionamenti reciproci, il tratto di strada oggetto dello studio)

k è la densità veicolare istantanea kj è il valore massimo/critico della densità di traffico per sezione/tratta in corrispondenza

della quale la velocità del deflusso si annulla (quando il deflusso è impossibile)


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Il modello di Greenshields postula, quindi, una relazione lineare decrescente della velocità media del deflusso con la densità.

A. Velocità/Densitàb) Modello logaritmico di Greenberg

Il modello teorico e sperimentale logaritmico di Greenberg (1959), teorizza e verifica sperimentalmente, per lo stato stazionario, un legame di tipo logaritmico tra velocità e densità, secondo l’equazione:

v=vc log(1−kk j ) (3)

per l’intervallo: v={ v , 0≤ k<k ( v )

vc log( kk j ) ,k ( v )≤ k<k j} (4)

dove: vc è la velocità massima praticabile al tendere a zero della densità, con la portata calante allo

zero k è la densità veicolare istantanea kj è il valore d’arresto della densità di traffico per sezione/tratta v rappresenta la velocità assunta da un veicolo che percorra isolato il tratto (auto)stradale

La relazione velocità-densità rappresenta il condizionamento intraveicolare e, pertanto, per distanziamenti superiori alla distanza di sicurezza alla velocità “libera”, al tendere a zero della densità, la velocità tende all’infinito, se non si considera l’intervallo.Invertendo la funzione in relazione alla variabile k e per a sperimentale, otteniamo:

k=k j e−α∗( v

v c)0≤ vc<v (5)

Per evitare di avere velocità infinite, per k che tende allo 0, Underwood (Underwood R. T., 1961), ha modificato la formula nel modo seguente:

v=vc e−α∗( k

kc)0≤ k c<¿ k (6)

Applicando l’equazione (1) f =k∗v alla (5) nella sua classe di velocità generica, otteniamo, dalle relazioni tra flusso e velocità e flusso e densità:

f ={ kv , 0≤ k<k (v )

vc k log( k j

k ) , k (v ) ≤k<k j} (7)

e: f =k j v e−α∗( v

vc)0≤ vc<v (8)


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Figura 2. Relazione velocità, densità. Andamento delle curve v-k nel modello di Greenberg (1959).

B. Flusso/Densitàa) Modello parabolico

Il modello parabolico flusso-densità deriva dal modello lineare di Greenshield (velocità-densità), mediante la sostituzione della velocità (vd. figura 1):

f =k∗v=k v m(1− kk j )=vm(k− k2

k j ) (9)

che, ponendo k = km e derivando rispetto a k otteniamo:

dfdk

=vm(1−

2 km

k j)=0 (10)

Ma, essendo v≠ 0 otteniamo:

(1−2 km

k j)=0 …→ …km=

k j

2 (11)

che si sostituisce, ottenendo:

vm=v f (1−k j

2 k j)= v f

2 (12)

f m=vm km=v f ¿k j

4(13)


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Analogamente, partendo dal modello v-k lineare di Greenshield della (2) e sostituendo dal modello e nella relazione f = k v, è possibile in modo analogo definire il legame funzionale tra le variabili flusso e velocità:

k=( v f−v )( kv f ) (14)

f =k j(v− v2

v f ) (15)

con massimo in : dfdv

=kj−2 v

v jk j=0 …→ …v=

v f

2 (16)

Per un valore nullo del flusso si verificano due situazioni: una situazione di velocità nulla o una situazione di velocità libera per condizioni d’infrastruttura satura o vuota, come sotto descritta:

k j(v− v2

v f )=0→… v1=0 , v2=¿ v f (17)

Flusso/DensitàA.

a)b) Modello logaritmico

Il modello logaritmico flusso-densità deriva dal modello di Greenberg sostituendo la (3) nella (1):

f =k∗v=k v m log( kk j ) (18)

che, ponendo k = km e derivando rispetto a k otteniamo:dfdk

=0 …→…vm

log k j−(vm log k+k vm1k )=0 (19)

Poiché e=k j

kmper log( k

k j ) = 1

otteniamo la condizione di flusso massimo

f m=vm

k j

e(20)

Con vm velocità di flusso massimo.

Per la relazione velocità-flusso, esplicitando il modello logaritmico v-k in funzione di v si ha:

k=k j1

eα∗( v

vm ) (21)

f =v k j1

eα∗( v

vm) (22)


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L’equazione (23) denuncia un valore nullo di flusso quando la velocità assume il valore nullo o tende a infinito. Il valore di flusso massimo si ottiene per una v = vm che si rappresenta come:

dfdv

=kj

1

eα∗( v

vm )− v

vmk

j

1

eα∗( v

vm)=0…→ …1− v

vm=0 → … v=vm (23)

Velocità/Flussoa) Flussi ininterrotti

Dal modello di Greenshields, poiché per flussi veicolari ininterrotti abbiamo:

v−v∗f =−v f ( kk j ) (24)

con: k j(1− k 2

k j ) (25)

Per cui, sostituendo:

f =k∗v=k j(v− v2

v f ) (26)

C. Velocità/Flussob) Reti neurali

Per ultimo, in un approccio con reti neurali il modello di riconoscimento ha la struttura R7—R1.Per densità, meteo, visibilità, luminosità, percentuale di veicoli pesanti, messaggi a pannello, flusso, si ha flusso stabile con D1> 0, instabile con D1 < 0 e critico con D1 = 0.Sebbene le reti neurali si siano dimostrate buoni controllori di processo nel campo della robotica la comunità scientifica ha riscontrato l’inefficienza per un settore come quello del traffico. Sono da preferirsi sistemi di controllo a piani determinati che hanno costi inferiori e un’efficienza di non molto inferiore a quella che si ottiene con sistemi di controllo in tempo reale (Torrieri, 1998).

Oltre ai citati modelli, esistono altri modelli di studio, che affrontano i legami funzionali della relazione v-k, come ad esempio, l’esponenziale negativa (Underwood, 1961; Edie, 1960), il discontinuo o biregime, la generalizzazione polinomiale del modello di Greenshields, fino a forme fondate sulla teoria delle catastrofi nel piano tridimensionale f-v-k e ai modelli di deflusso di Daganzo et alii (Daganzo C.F., Cassidy M.J., Bestini R.L., 1999) che utilizzano una relazione funzionale di forma triangolare per il legame f-k.

4. Affidabilità dei modelliLe sezioni dove è più frequente l’innesco di criticità di traffico sono quelle in prossimità degli accessi (Torrieri, 1998).L’affidabilità, quale indicatore d’instabilità, è data dalla probabilità che, in un dato intervallo di tempo predefinito, a partire dall’istante in cui l’affidabilità viene misurata, non si verifichino cadute di velocità; consiste, in sostanza, nella predisposizione di opportuni piani di controllo predefiniti, basati sull’analisi storica dei dati di deflusso, in grado di monitorare alcune sezioni chiave


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dell’infrastruttura. E’ possibile, così, predisporre dei piani di controllo programmati per alcune situazioni che si prevede possano verificarsi più frequentemente per la data infrastruttura. In questo modo, il controllo può estendersi per tratti più lunghi, quali, ad esempio, i tronchi compresi tra due accessi. Ferrari evidenzia che l’adozione di piani di controllo precalcolati fornisce dei buoni risultati, in alcune situazioni poco discosti da quelli ottenuti con il controllo reale (Ferrari, 1998).L’affidabilità del sistema può decrescere con il numero di utenti informati, in quanto i sistemi di informazione sviluppati in tal senso sono obsoleti poiché si limitano a fornire dati sulla strada migliore senza tenere conto di come le informazioni fornite influenzano la situazione futura. L’informazione migliore che è possibile fornire all’utente è quella predittiva e nel contempo affidabile (Ben Akiva et alii, 1991).I benefici dati dal sistema di controllo potrebbero venire annullati da tre fenomeni principali negativi: sovrasaturazione da informazione, iper-reazione degli utenti, concentrazione (Ben Akiva et alii, 1991).Al fine del controllo delle condizioni della circolazione in ambiente (auto)stradale, può essere utile rilevare il grado di condizionamento del flusso veicolare. Un veicolo può essere definito “libero” se ha piena libertà di movimento latitudinale, longitudinale, obliquo per corsia, nel senso che può spostarsi alla velocità desiderata ed occupare la corsia preferita, come pure si può ritenere libero se è isolato. Esso può venire, invece, condizionato3 dal:a) rispetto al mantenimento della velocità desideratab) rispetto alla libertà di cambio corsa Ogni utente stradale, generalmente, cerca di sfuggire al condizionamento derivante dalla presenza di altri veicoli cambiando, ove possibile, corsia di marcia. Se sulla corsia adiacente non esistono gap temporali sufficientemente ampi, l’utente sarà costretto a ridurre la propria velocità accodandosi al precedente. Dai dati sperimentali risulta che l’esigenza di attuare il cambio di corsia aumenti al crescere della densità per le correnti veicolari in transito sulle singole corsie. Le opportunità di trovare distanziamenti interveicolari liberi diminuisce su tutte le corsie all’aumentare della densità di flusso (Torrieri et alii, 1994).Tra i fattori perturbativi che possono influenzare significativamente la qualità della circolazione veicolare su un’arteria autostradale rientrano le rampe d’ingresso e d’uscita.Torrieri (1998) sottolinea come le condizioni di conflitto e di perturbazione nel traffico autostradale modifichino, facendolo scadere, il livello di servizio dell’infrastruttura. La natura e l’entità dei conflitti4 dipendono da una molteplicità di variazioni quali l’intensità di traffico sulle rampe, la 3 Cfr.Torrieri et alii, 1995.4 In realtà, esistono diversi fattori che riducono, in una sezione, la capacità limite a valori inferiori legati alle infrastruttura stradali e al traffico che le percorrono.Per ogni fattore perturbativo, lo “Highway Capacity Manual-Manuale della Capacità delle Strade” dell’American Association of State Highway Officials (AASHO) prevede dei coefficienti di riduzione della capacità limite, variabili in funzione dei vari fattori e della loro ponderazione.I principali fattori di riduzione sono stati rilevati come:Per la capacità dell’infrastruttura

larghezza della corsia presenza di ostacoli laterali a distanza inferiore a 1,83 m presenza di banchine e relativa larghezza pendenza longitudinale stato della pavimentazione visibilità

Per il traffico percentuale di veicoli commerciali This monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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portata veicolare a monte e a valle delle rampe, la morfologia degli svincoli e dell’autostrada (numero di corsie, larghezza, presenza di banchine, curvatura, pendenze, distanza fra le due rampe successive). La progettazione delle rampe è, così, indirizzata a facilitare le manovre d’immissione e di diversione, ammorbidendo il contatto fra le componenti antagoniste del traffico. Secondo l’Highway Capacity Manual-HCM (Highway Research Board; Ferrari, Giannini, 1980) il flusso sulla rampa d’ingresso in autostrada induce effetti sulla distribuzione tra le corsie del flusso di traffico principale su un tratto di circa 150 metri a monte e 750 a valle (aree critiche), mentre una di uscita avrebbe un raggio di influenza di 750 a monte e 150 a valle.

5. L’analisi modellata del trafficoSin dalle origini dello studio fenomenico, a metà degli anni ’50, molti studiosi cercarono di stabilire, attraverso la costruzione di modelli matematici, quale fossero i migliori e meno costosi pacchetti di analisi da elaborare attraverso i computer dell’epoca, per la migliore definizione del traffico e della congestione (auto)stradale.Furono due gli approcci principali individuati: il primo approccio, detto microscopico, modella assieme, per ciascun veicolo, le interazioni con altri veicoli e le caratteristiche biopsicografiche del conducente.Il secondo approccio, detto macroscopico, utilizza le leggi fisiche della fluidodinamica, ipotizzando la strada come fosse un tubo adiabatico nel quale ogni veicolo rappresenta una componente di un flusso liquido incomprimibile, a viscosità controllata.Il primo approccio determina una certa complessità computazionale, per cui è preferibile, in termini di costo, per universi di popolazione veicolare abbastanza contenuti; diversamente, l’approccio di tipo macroscopico è indicato per universi veicolari estesi, che necessitano di semplificazione.Entrambi conducono, sperimentalmente, nella medesima direzione, anche se la percentuale di rumore nelle misurazioni (per rallentamenti da cantieri, congestione da traffico, fermate da incidente) colpisce maggiormente il modello macroscopico, creando, talvolta, severi errori nelle classi di misurazione veicolare, impedendone, quindi, l’assegnazione corretta. A tal fine sono necessari dei campionamenti particolarmente raffinati e si ricorre alla stazionarietà come condizione di analisi.

A. Approccio MicroscopicoL’analisi con approccio microscopico, abbiamo detto, segue le leggi della meccanica che vengono applicate a ogni singolo elemento che partecipa all’intero fenomeno. Il modello microscopico descrive la dinamica di ogni singolo veicolo analizzando le intenzioni e il processo decisionale di ciascun conducente e le interazioni fra più veicoli in un flusso ininterrotto.Di massima, i modelli microscopici si possono dividere in due sottoclassi distinte. La prima sottoclasse, conosciuta come follow the leader models, di moto longitudinale, descrive la condizione di ciascun veicolo inseguitore che deve mantenere la distanza di sicurezza dal veicolo che sta davanti in funzione della velocità relativa tra i due. Il secondo approccio descrive ogni veicolo con una propria velocità indipendente da quella degli altri veicoli: il veicolo precedente influenza la velocità del veicolo seguente in funzione della distanza relativa di entrambi.

percentuale di autobus presenza di auto in sosta presenza di flussi pedonaliThis monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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Attualmente, l’approccio più utilizzato dai ricercatori risulta essere proprio il follow the leader models, in quanto esso sembra fornire una risposta maggiomente realistica rispetto all’elaborazione sperimentale.I modelli per la simulazione del traffico attraverso l’approccio microscopico consentono, quindi, la determinazione della posizione, della velocità e dell’accelerazione dei veicoli singoli o di un gruppo di essi. Nel suo aspetto metodologico, la simulazione di tali sistemi comprende la sommatoria dei comportamenti di ogni singolo veicolo, in relazione ai veicoli con i quali condivide il tratto (auto)stradale, secondo il principio della funzione stimolo-reazione allo stimolo. L’adattività ai condizionamenti individuali indotti dall’ambiente esterno, condizionamenti, secondo i quali ogni conducente di veicolo, che si trovi dentro una corrente/plotone veicolare, produrrà delle accelerazioni o decelerazioni, a un tempo t + T, correlate secondo la propria sensibilità biopsichica reattiva agli stimoli ricevuti dall’ambiente circostante al tempo t, ponendo T come tempo psicotecnico di reazione, è data dalla relazione:

sensibilit à biopsic h icaΘ∗efficienza ;efficacia dello stimolo (t)=tempo direazione(t +T )

Secondo l’equazione oraria del moto, per ogni veicolo in movimento sulla strada, la posizione spaziale al tempo t + Δt (che si succede al tempo t), dipende sia dalla posizione spaziale, che dalla velocità già sostenuta dallo stesso veicolo al tempo t.Invece, la velocità al tempo t + Δt è funzione delle sollecitazioni al tempo t che vengono meglio rappresentate mediante i modelli microscopici denominati Car Following e Lane Change.

1. Car Following

Figura 3. Follow the leader rappresentazionePer tale approccio metodologico, ogni veicolo mantiene una distanza di sicurezza dal veicolo che sta davanti che è funzione della velocità relativa fra i due veicoli (secondo le norme sulle distanze di sicurezza del codice stradale).Secondo Newell (2002), il moto dei veicoli su un tronco può essere modellizzato semplicemente traslando la traiettoria del veicolo leader e i modelli appartenenti a questa categoria agiscono direttamente sulla posizione dei veicoli piuttosto che sulla loro velocità o accelerazione (che introdurrebbero dei lag nell’output). Vengono chiamati modelli di ordine inferiore (lower-order).

Figura 4. Follow the leader schema


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Notazione per l’equazione oraria del moto n veicolo leader n+1 veicolo follower xn posizione del leader al tempo t vn velocità del leader veicolo al tempo t xn+1 posizione del follower al tempo t vn+1 velocità del follower al tempo t Δt intervallo di tempo di reazione t+ Δt intervallo di tempo per

l’accelerazione del follower xn−xn+1 gap distance

Figura 5. Follow the leader dinamica

Notazione n veicolo

leader n+1

veicolo follower

xnt

posizione dell’enne-simo veicolo al tempo t

vnt velocità dell’enne-simo veicolo al tempo t

xn+1t posizione del follower al tempo t

vn+1t velocità del follower al tempo t

Δt intervallo di tempo per rimpiazzo an

t accelerazione dell’enne-simo veicolo al tempo t


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Figura 6. Follow the leader velocità contro tempo Figura 7. Follow the leader accelerazione contro tempo

I modelli o famiglie di modelli, dei circa 200 microscopici noti in letteratura, maggiormente utilizzati sono, a solo titolo esemplificativo: Pipe: dove l’algoritmo descrivente correla la distanza di sicurezza, intesa come spazio di

frenatura, con la velocità dei veicoli successivi “A good rule for following another vehicle at a safe distance is to allow yourself at least the length of a car between your vehicle and the vehicle ahead for every ten miles per hour of speed at which you are traveling”. Lo svantaggio di questo modello nella forma teorica risulta, alle basse velocità, essere inferiore alle misure sperimentali

Forbes: dove l’algoritmo descrivente comprende anche la reazione del veicolo successivo alla frenatura del veicolo leader. Significa che il tempo di fuga rispetto all’ostacolo frenante dovrebbe essere uguale o maggiore rispetto al tempo di reazione. Quindi, il tempo minimo di frenatura al fine di evitare l’ostacolo, risulta uguale al tempo di reazione minimun time gap e il tempo richiesto al leader di attraversare a distanza equivalente sia pari alla sua lunghezza. Lo svantaggio è similare al Pipe model, con discrasie tra il modello teorico e le misurazioni sul campo, a bassa e alta velocità

GMM (General Motors’ Model): la più popolare tra le teorie, in quanto presenta:o ottime correlazioni tra modello teorico e dati rilevati sul campoo la relazione matematica derivata dal GMM corrisponde al modello di GreensbergNel Car Following model-GMM il moto del singolo veicolo è governato da un’equazione analoga alla Legge di Newton sulla gravità. Nella meccanica newtoniana l’accelerazione è la risultante delle forze d’interazione tra le masse delle componenti interagenti. In equazione:

[ Risposta ]n∗τ∗[ Stimolo ]n (27)con:

n enne-simo veicolo (per n = 1, 2, 3, ..) τ coefficiente di sensitività

Ciascun conducente può rispondere alle circostanti condizioni di traffico solamente accelerando o decelerando il proprio veicolo. Lo stimolo può essere composto da velocità del veicolo, velocità relative, distanza tenuta dai veicoli, ecc., pertanto la funzione viene rappresentata come:

ant =F stimolo(vm , Δ xn, v n) (28)

con: F stimolo funzione stimolo dipendente dalla velocità del veicolo corrente, relativo a posizione e

velocità con il veicolo frontale

Il GMM pone due assiomi a fondamento teorico: più alta è la velocità del veicolo, più alto dovrà essere lo spazio di frenatura il veicolo follower dev’essere omotachico con il leader

Al proposito, dati:


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Δ xn+1t è la gap distance per (n+1 )n veicoli

Δ xsicurezza distanza di sicurezza vn

t velocità del leader vn+1

t velocità del follower

la gap distance richiesta sarà:Δ xn+1

t =Δ xsicurezza+ τ vn+1t (29)

con: τ coefficiente di sensitività

La (29) si può scrivere anche come:xn−xn+1

t =¿ Δ xsicurezza+τ vn+1t (30)

E differenziando rispetto al tempo:vn

t −vn+1t =τ an+1

t (31)

an+1t =1

τ [ vnt −vn+1

t ] (32)

Il modello GM contempla una sensitività generale del tipo:

an+1t =[ ∝l ,m(vn+1

t )m

(xn−xn+1t )l ] [vn

t −vn+1t ] (33)

con: l esponente della distanza di attestazione {+4;+1} m esponente della velocità {-2;+2} α coefficiente di sensitività an+1

t accelerazione del follower

Introducendo: ΔT tempo di reazione Δt tempo di adattamento

L’equazione generale del GMM risulta, in accordo con le leggi sul moto di Newton:vn

t =vnt−Δt+an

t−Δt∗Δt (34)

xnt =xn

t−Δt+vnt−Δt∗Δt+ 1

2an

t−Δt Δt2 (35)

an+1t =[ ∝l , m(vn+1

t )m

(xnt−Δt−xn+1

t−Δt )l ](vnt −Δt−vn+1

t−Δt ) (36)


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Optimal velocity model OVM: proposto da Bando et alii (1995), dove la ricerca dell’ottimo di velocità, corrisponde al posizionamento omotachico tra i due veicoli, continuamente ricercato attraverso lo spazio di frenatura, sperato come sufficiente per evitare l’ostacolo di un’ipotetico scontro fronto-laterale di corsia. Ogni conducente risponde ad uno stimolo proveniente dal veicolo che lo precede e deve, quindi, controllare l’accelerazione in modo da mantenere una velocità desiderata “sicura”, concordemente con il moto veicolare del leader.La formulazione dell’algoritmo, la cui espressione matematica è un’equazione differenziale del primo ordine, parte dall’assunto che la velocità desiderata vndes dipende dalla distanza attestata dall’enne-simo veicolo n, cioè:

v tndes

=vopt (Δ xnt ) (37)

con: v t

ndes velocità desiderata dell’enne-simo veicolo

vopt funzione di velocità ottimale (Δ xn

t ) funzione di distanza istantanea

Dalla (37) si ricava l’accelerazione (reattività) del veicolo al tempo t data da:

ant OVM=[ 1

τ ]∗[vopt ( Δ xnt )−vn

t ] (38)

con: τ coefficiente di sensitività

Quando il distanziamento temporale tra i veicoli si riduce, la velocità deve diminuire in ragione da evitare possibili collisioni con il veicolo leader. Pertanto, la funzione v t

ndes deve presentarsi come

monotona crescente e vopt ( Δ xnt ) deve porsi limitata superiormente. Viene raggiunta la velocità

massima desiderata al tendere a infinito del distanziamento spaziale.In breve, la strategia dell’enne-simo veicolo sarà quella di provare a mantenere una velocità di sicurezza che dipende dalla propria posizione relativa, piuttosto che dalla propria velocità effettiva.La funzione più corrispondente alla velocità “legale” degli autoveicoli che consente di simulare un comportamento del conducente che accelera o frena in maniera graduale, riproducendo spontaneamente i fenomeni di congestione, è data da:

vopt ( Δ xnt )=tanh( Δ xn

t −2)+ tanh 2 (39)

Intelligent Drive Model: proposto da Treiber et alii (2000, 2006, 2010). Esso è un perfezionamento del modello di Bando, notando che il reciproco del coefficiente di sensitività è dello stesso ordine degli usuali tempi di reazione dei conducenti, in quanto ciò è dovuto al fatto che le velocità intra-veicolari, quando vengono trascurate dal modello, producono tassi di accelerazione e decelerazione uguali in modulo e simmetriche nel verso al pari della velocità del veicolo rispetto a quella di equilibrio, anch’essa uguale e opposta.


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Nell’IDM, l’accelerazione del veicolo al tempo t è una funzione continua di velocità e distanziamento veicolare-differenza intraveicolare rispetto al leader. È data da:

ant IDM (x t

n , vnt , Δvn

t )=dvdt

=a [1−( v tn

v tndes

)δ

−( Δ xdes [ vnt , Δ vn

t ]

Δ xnt )

2] (40)

dove: a accelerazione massima v t

ndes velocità desiderata del veicolo generico al tempo t

δ “characterizes how the acceleration decreases with velocity (δ=1 corresponds to a linear decreases while δ → ∞ denotes a costant acceleration”5

Δ xdes distanziamento desiderato dal conducente, funzione e della velocità del follower e della differenza del distanziamento cinetico intraveicolare

a (1− v tn

v tndes

)δ

free road acceleration strategy = reattività del generico veicolo in guida libera

−a ( Δ xdes [ vnt , Δ vn

t ]

Δ xnt )

2] deceleration strategy = reattività del generico veicolo con veicolo leader

lentocon:

Δx des (vnt , Δ vn

t )=x0+v t T +v t Δ vn

t

2√ab (41)

e: x0 minimun dìstance (for low velocities only) v t

nT velocity-dependent distance at t-time, corresponds to following leading vehicle with a constant desired time-gap T

v t Δ vnt

2√ab dynamic contribution (active only in non-stationary traffic corresponding to

situations in which Δ vnt ≠ 0

This last contribution implements an ‘intelligent’ driving behaviour that, in normal situations, limits braking decelerations to the comfortable deceleration b. In critical situations, however, the IDM deceleration becomes significantly higher, making the IDM collision free (Treiber et al. 2000). The IDM parameters v t

ndes, T, x0, a and b have a reasonable interpretation, are known to be relevant, are

empirically measurable and have realistic values (Kesting, Treiber, 2006; 2010)6.

Chandler: di tipo monoregime, cioè di semplice formulazione lineare, descrive la risposta di un veicolo come direttamente proporzionale alla velocità relativa tra il veicolo follower e il veicolo leader (stimolo) semplificato nell’equazione:

ant =[ 1

τ ]∗Δ vn ( t−ΔT ) (42)

5 cfr. Kesting A., Treiber M., Helbing D. (2006; 2010), Enhanced intelligent driver model to access the impact of driving strategies on traffic capacity, Physica A 360, 71–88.6 Ibidem.This monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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dove: τcoefficiente di sensitività an

t accelerazione del veicolo generico ΔT tempo di reazione vn velocità dell’enne-simo veicolo

Il modello di Chandler trova limite nella mancata correlazione tra lo stimolo e il distanziamento veicolare. Infatti, a distanziamenti contenuti il modello diventa non corrispondente alla realtà.In caso di un veicolo leader che marci a velocità maggiore che il veicolo follower, il Chandler model produce un’accelerazione di segno positivo.Helly (1959) introdusse una variazione al modello di Chandler, inserendo un secondo stimolo, che fosse funzione della differenza tra il distanziamento veicolare e quello desiderato dal follower, che nel tempo è divenuto quello enunciato nella (39).

2. Lane Change

Figura 8. Lane Change

L’operazione più naturale in caso di cambio di velocità nelle corsie autostradali è di certo il cambio di corsia (o la frenatura). Usualmente, ricorre la necessità di effettuare un cambio di corsia per raggiungere una méta desiderata o per superare un veicolo che procede a una velocità ritenuta troppo bassa o per temute condizioni di pericolo.In tutti i casi, la scelta è effettuata tenendo in considerazione le condizioni dell’intorno dell’elemento dinamico.Si definisce, così, una nuova funzione di gap acceptance; il gap, definito come la distanza fra il veicolo in arrivo e il veicolo che sta valutando, viene accettato a seconda della propensione al rischio dell’ automobilista.I Lane Change models, simulano il cambio di corsia stradale di veicoli da parte di altri veicoli provenienti corsie laterali.A fondamento teorico del lane changing in linea, il cambio di corsia può presentarsi come vincolato oppure opzionale. Un cambio di corsia vincolato si determina quando il conducente del veicolo è costretto a spostarsi per uscire da un’autostrada oppure, se su strada, per girare ad un incrocio, mentre si osserva un cambio di corsia opzionale, quando il conducente ritiene che l’altra corsia soddisfi maggiormente le sue attuali necessità di spazio o di velocità. I modelli di lane changing si basano, così, sull’osservazione e la valutazione di queste due grandezze.


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La figura (8) rappresenta una situazione di cambio di corsia determinato da un processo di scelta di sorpasso operabile da parte del conducente del veicolo 1 oppure che questo debba, per motivi di sicurezza, rimanere nella sua corsia. Il punto di debolezza, per questi sistemi dinamici, rimane quello di riuscire a riprodurre un comportamento realistico per un universo sufficiente di conducenti, in quanto ben si sa che le persone conducono i loro veicoli in modo completamente diverso, le une dalle altre.Partendo dal Car Following e integrandolo con il Lane Change e una funzione di gap acceptance è possibile ottenere modelli di traffico multicorsia e di qualsiasi tipo di intersezione stradale e autostradale. Uno dei modelli di lane changing deterministico fra i più usati è quello sviluppato da Gis (Gis P.G., 1981).

3. I modelli psico-fisici o cognitiviIl precursore del modelli psico-fisici o cognitivi si deve a Michaels (1963), il quale teorizzò la capacità di di percepire l’avvicinamento ad un veicolo da parte dei conducenti, proporzionato alla variazione delle sue dimensioni apparenti, percependo la velocità relativa Δ v attraverso delle variazioni dell’angolo di percezione/visione Θ (la cd. “coda dell’occhio”) sotteso al veicolo che li precede.Inizialmente, la velocità relativa diminuisce fino a un primo valore di soglia e i conducenti iniziano, dopo un tempo di ritardo lag, a decelerare. Tale decelerazione continua senza soluzioni di continuità, finché la velocità relativa diviene nulla e il veicolo follower raggiunge un distanziamento desiderabile.

4. Modelli mistiAlcuni modelli microscopici come il modello di Leeds (Wang et alii, 2005), possono essere considerati appartenenti ad entrambi gli approcci decritti in precedenza. Essi combinano, infatti, sia le proprietà dell’approccio ingegneristico che di quello psico-fisiologico.

B. Approccio MacroscopicoL’analisi viene focalizzata sul comportamento dell’insieme degli elementi che partecipano al fenomeno.I modelli di tipo macroscopico possono venire classificati in funzione alla loro rappresentazione dello spaziale, assumendo il tempo in forma continua e non discreta (Cascetta, 2006).Mentre i modelli a spazio continuo richiedono variabili definite in qualsiasi punto dello spazio, i modelli a spazio discreto sono più prossimi ai modelli statici: le variabili di base che influenzano la prestazione del ramo (densità e velocità) sono definite a livello dell’intero ramo e la loro soluzione richiede una discretizzazione spazio/temporale.I modelli macroscopici, per descrivere una situazione di traffico, usano variabili aggregate, cioè variabili che contengano informazioni medie di grandezza per congrui di veicoli. Vennero sviluppati in analogia con le leggi della dinamica dei gas e dei fluidi.Entrando nel merito, nei modelli macroscopici si considerano correnti/plotoni di veicoli come sezioni di flusso di un fluido incomprimibile. In queste condizioni, l’informazione sul singolo veicolo viene perduta e si descrive l’intero sistema. Questo processo abbisogna della necessità di definire le opportune variabili di sistema che esprimano un comportamento standard tenuto dai veicoli stradali.This monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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Nel modello Lighthill-Whitham-Richards (LWR) l’approccio macroscopico, è costituito sulla conservazione dei veicoli in sezione ed è descritto dall’equazione seguente, dove con (k ) si indica la densità numerica di veicoli (numero di veicoli/unità di lunghezza di sezione):

k t+f (k )x=0 (43) dove:

f valore del flusso veicolare funzione della densità k

per f ( k )=k v ,0 ≤ k<k ( v ) (44)

In generale, la relazione f = f ( k ) prende il nome di diagramma fondamentale del modello di traffico. La formulazione più ristretta del modello LWR è che la velocità media v dei veicoli sia solamente funzione della densità k , il ché pone la velocità v come funzione decrescente della densità.

5. Modelli multicorsia e multipopolazioneNei modelli multicorsia vengono considerate le variabili macroscopiche come la densità delle auto k j e la velocità media v su ogni singola corsia, nel caso di strade con N corsie. In una (auto)strada a corsie plurime, si osservano usualmente comportamenti di traffico differenti in relazione alla densità di traffico: con traffico basso, i veicoli possono cambiare corsie ed effettuare sorpassi a velocità media elevata. In una situazione di traffico elevato la velocità media risulta, invece, più bassa. I modelli multipopolazione, che prevedono il comportamento di un gruppo eterogeneo di conducenti (Benzoni-Gavage, Colombo, 2003), vengono spesso descritti come un’appendice naturale del modello Lighthill-Whitham-Richards:

∂t k i+∂t (k i vi )=0 ,∀ i (1 , …. , n) (45)con:

v i è la velocità media relativa all’i-esima classe di conducenti che percorre il tratto di (auto)strada e dipendente da tutte le velocità medie omotachiche dei veicoli per le corsie

ossia, con:vi=v i (k1 , k2, …k n) (46)

come generalizzazione della (2) di Greenshield k i è la densità relativa all’i-esima classe di popolazione di conducenti che percorre il tratto di

(auto)strada7

6. Approccio spazio-temporale delle distanze di sicurezza autostradaliSpazio e Tempo di frenatura e di arresto – approccio fluidodinamico

7 Garavello M., Piccoli B. (2006), Traffic flow on network, Applied Math Series, vol. 1, American Institute of Mathematical Sciences, 12, 15, 16, 17, 20, 59.This monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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Nella presentazione dei vari modelli di studio del traffico, al fine di evidenziare e definire compiutamente i fattori negativi come l’incidentalità e la congestione, il conducente rimane ancora l’arbitro nel giudicare quale sia il proprio comportamento più profittevole in termini di sicurezza e di attuarlo in riferimento a quello degli altri conducenti. Il comportamento dei conducenti è essenzialmente legato ai condizionamenti cui si è sopra accennato.Secondo il criterio della marcia a vista, ogni conducente adatta la propria velocità in modo da poter far fronte alla situazione di pericolo data principalmente dallo scontro fronto-laterale, di origine longitudinale e/o trasversale, laddove l’ostacolo originato da un veicolo che si muove parallelamente alla traiettoria medesima, è presente sulla traiettoria e l’ostacolo che interferisce con la traiettoria proviene da una direzione ad essa trasversale. Il codice della strada, in Italia, interviene imponendo delle restrizioni che servono a ridurre il numero o la pericolosità delle situazioni di conflitto. Resta sempre affidata al conducente sia la verifica delle effettive condizioni di sicurezza trasversale che della sicurezza longitudinale rispetto alla propria traiettoria.In definitiva, il conducente è vincolato dalla necessità di coesistenza in sicurezza delle tre componenti del sistema di trasporto: strada, veicoli ed ambiente, in cui la sicurezza della marcia, è legata perciò all’arbitrio dei singoli sovrapposto ad una base comportamentale comune.Di seguito, verrà riportata una tavola in cui viene calcolata la distanza di sicurezza, partendo dai parametri che determinano lo spazio di arresto, il tempo di reazione dell’individuo alla guida del veicolo e il tempo di arresto (Siuhi, Kaseko, 2010) in condizioni di legalità prevista dal Codice della Strada8 italiano. Per affrontare il problema della valutazione economica della redditività in sezione/tratta autostradale, si rende necessaria la scelta della modellazione maggiormente rispondente ai criteri di efficienza descrittiva e di economicità procedurale.Dall’osservazione diretta e videoripresa del fenomeno del traffico autostradale sulle autostrade A4 da Brescia Est a Padova Ovest e A31 da Vicenza a Piovene Rocchette, nel settembre 2003, rinforzata dall’acquisizione dei dati da spire a terra, selezioniamo, per l’introduzione del modello economico di redditività più efficiente, l’approccio dei già visti Modelli multicorsia e multipopolazione, per i seguenti motivi:1. il traffico autostradale nelle giornate centrali della settimana per stagionalità mitigata, per ore

centrali della giornata, appare a rappresentazione stazionaria per serie storiche2. il traffico nelle corsie9 autostradali è assimilabile, nelle condizioni di imperturbabilità, in

assenza di viscosità10, al flusso dinamico incomprimibile (come le distanze di sicurezza veicolari) di un fluido contenuto in una condotta.

8Art.149 del Codice della Strada. Distanza di sicurezza tra veicoli.1. Durante la marcia i veicoli devono tenere, rispetto al veicolo che precede, una distanza di sicurezza tale che sia garantito in ogni caso l'arresto tempestivo e siano evitate collisioni con i veicoli che precedono. Titolo V Norme di comportamento-Regolamento art. 348. (Art. 149 Cod. Strada) Distanza di sicurezza tra i veicoli.1. La distanza di sicurezza tra due veicoli deve sempre essere commisurata alla velocità, alla prontezza dei riflessi del conducente, alle condizioni del traffico, a quelle planoaltimetriche della strada, alle condizioni atmosferiche, al tipo e allo stato di efficienza del veicolo, all'entità del carico, nonché ad ogni altra circostanza influente.2. La distanza di sicurezza deve essere almeno uguale allo spazio percorso durante il tempo che passa tra la prima percezione di un pericolo e l'inizio della frenata.9 Duderstadt J.S., Martin W.R. (1979), Transport theory, cap. 4: “The derivation of continuum description from transport equations”,.New York, Wiley-Interscience Publications.10 L'assenza di viscosità significa che non vi sono azioni tangenziali fra elementi fluidi a contatto.This monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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Si consideri, al proposito, un’ampia scala spaziale-temporale, come risultante dall’osservazione del fenomeno di traffico o congestione effettuata da un punto lontano, in modo tale da assimilare i veicoli stradali a microparticelle indistinte non molecolari e considerando la densità come una distribuzione continua, il ché non contrasta con una distanza intraparticellare simile alla distanza di sicurezza veicolare.Inoltre, al pari della continuità distributiva nella fluidodinamica, è necessario assumere anche la conservazione del numero di auto in una sezione/tratta autostradale senza uscite né entrate, giungendo, così, a una legge di conservazione matematica assimilabile alla legge di conservazione fluidodinamica: in questa condizione, quindi, si può affermare che il numero di auto si conserva e se c’è una quantità che si conserva, allora si parla di legge di conservazione.Quando il moto è stazionario, la velocità v in ogni punto dello spazio del flusso dinamico incomprimibile è costante nel tempo, cioè ogni veicolo-particella che transita per un qualsiasi punto della condotta lo fa sempre con la stessa velocità in modulo, direzione e verso. Così, trattando il fenomeno dal punto di vista euleriano, anziché descrivere la cronologia di ogni singola particella di fluido-traffico, si valutano la densità, la pressione-distanza di sicurezza e la velocità veicolare-particellare puntiformi in ogni punto dello spazio occupato in ogni istante successivo e si fa riferimento al cosiddetto volume di controllo, cioè la regione dello spazio che in istanti diversi viene occupata da veicoli-particelle puntiformi diverse.È possibile, alla fine, affermare che per il moto stazionario11 esiste una sola linea di flusso per ogni punto del fluido veicolare e che l’insieme delle linee di flusso veicolare è fisso nel tempo12. Le linee di flusso veicolare, ovvero le traiettorie che seguono i veicoli-particelle puntiformi, possono anche non essere rettilinee, ma rimarranno sempre costanti nel tempo13.

11 Si dice in flusso stazionario, quando la velocità del fluido pur potendo variare da punto a punto, rimane costante nel tempo in ciascun punto.12 J. Lighthill, G. Whitham e P. Richards, mutuarono il loro metodo LWR, dalle equazioni di derivate parziali note come equazioni di Eulero o di Navier-Stokes che descrivono il flusso d’acqua, esprimendo la conservazione della massa, del momento e dell’energia assimilabili alla dinamica del flusso del traffico stradale .13 La risoluzione di un problema fluidodinamico comporta generalmente la risoluzione di complesse equazioni per il calcolo di diverse proprietà del fluido, in funzione dello spazio e del tempo. Per un flusso stazionario è verificata la conservazione della massa e da essa ricaviamo l'equazione di continuità:Sia dato un tubo di flusso di sezioni ed entro il quale le densità siano e le velocità siano , la massa non può variare attraversando il tubo di flusso nella frazione di tempo dt, cioè:

(A.13)Dunque:

(A.14)che è l'equazione di continuità.Effettuando il prodotto tensoriale di una equazione del trasporto di tipo lineare come quella di Boltzmann, in forma euleriana:

(A.15)per la velocità (microscopica) del sistema, ed integrandola nel momento coniugato in modo che vi rimanga solo la dipendenza dalla coordinata coniugata:

(A.16)si verifica che il vettore collisionale è nullo, se vale la conservazione della quantità di moto in ogni collisione binaria:

(A.17)Quindi, in base alla definizione della densità nello spazio delle configurazioni come:

(A.18)e dell'operatore media integrale nello spazio dei momenti "< >":This monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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7. ConclusioniPoiché non è possibile influire direttamente sui comportamenti umani nella condotta dei veicoli nelle carreggiate autostradali, per non entrare in aree d’illegalità, è utile conoscere quali interventi reali siano possibili senza dover approfittare di quanto rappresentato in questo articolo per fare, invece, pianificazione.La modellistica appare come un utile strumento di pianificazione progettuale e di programmazione generale gestionale.Le riflessioni, a risposta di quanto richiamato nel titolo dell’articolo, impongono l’adozione di strumenti di conoscenza dei fenomeni critici in condizioni d’incertezza e il loro trattamento interattivo con un modello MPCA, lontano dalla manipolazione che se ne potrebbe fare, al fine di ricercare l’utile ad ogni costo: qui è in gioco la vita umana, a cui l’economia dà sempre un prezzo secondo l’età e l’aspettativa di vita, ma che è inapprezzabile per ogni singolo soggetto, che è monopolista nella sua unicità razionale ed emozionale e al quale è affidata, in questo mondo, l’incolumità propria e, per responsabilità civile, quella di tutti gli altri.

(A.19)tenendo conto della potenza generalizzata definibile come:

(A.20)si può riesprimere il vettore dinamico definendo il vettore campo medio:

(A.21)si può riesprimere il tensore cinetico definendo il tensore degli sforzi interni:

(A.22)Otterremo allora l'equazione di bilancio della quantità di moto in forma differenziale:

(A.23)Si noti che l'equazione coinvolge la variabile velocità media nello spazio delle configurazioni, detta usualmente velocità macroscopica, in cui l'equazione risulta iperbolica, applicando la regola di Leibnitz:

(A.24)Si indicherà ora la derivata nella coordinata generalizzata sarà indicata, conformemente alla consuetudine fluidodinamica, col simbolo nabla:

(A.25)Quindi, in forma euleriana, applicando il teorema della divergenza, e il teorema di Reynolds all'integrale di quantità di moto:

(A.26)dove il volume e la sua frontiera sono considerabili costanti del tempo. Si definiscono, infine, le forze di volume e di contatto:

(A.27)se si riassumono i termini di forza:

(A.28)La legge di bilancio della quantità di moto per un corpo continuo in un sistema di riferimento euleriano può essere quindi enunciata come segue: “la variazione, nel tempo, della quantità di moto in un volume di controllo, sommata al flusso netto di quantità di moto attraverso la superficie che lo delimita, uguaglia la risultante delle forze esterne agenti al suo interno” (da: http://it.wikipedia.org/wiki/Fluidodinamica, 2013).This monograph may be freely reproduced for the purposes of private research and study and may be included in professional journals provided that suitable acknowledgement is made and the reproduction is not associated with any form of advertising.

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